21 Dạng Viết Phương Trình Mặt Phẳng Thi Đại Học Có Lời Giải
21 Dạng Viết Phương Trình Mặt Phẳng Thi Đại Học Có Lời Giải
Chủ đề: Tài liệu chung 172 tài liệu
Môn: Toán 12 4.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
21 dạng Viết phương trình mặt
phẳng trong đề thi Đại học có lời giải
Bài giảng: Cách làm bài tập viết phương trình mặt phẳng cơ
bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M và nhận vecto n→ làm vecto pháp tuyến 1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(xo; yo; zo) và có vecto
pháp tuyến n→(A;B;C) ≠ 0→ :
A.(x- xo) + B( y- yo)+C( z- zo) =0 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua điểm A(0; 1; -1) và có vecto pháp tuyến n→(2;3;4)
A. y – z + 1 = 0 B. 2x + y - z- 3= 0
C. 2x + 3y + 4z +1= 0 D. 2x- 3y - 4z - 1 = 0 Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0;1; -1) và có vecto pháp
tuyến n→(2;3;4) có phương trình là:
2( x- 0) + 3( y – 1) + 4( z + 1) = 0 Hay 2x + 3y + 4z + 1 = 0 Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 1;2; 7) và B(3; 0; -3), gọi M là trung
điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và
vecto pháp tuyến n→(2;-3;1)
A. 2x - 3y+ z + 2 = 0 B. 2x - 3y + z + 3=0
C. 2x - 3y+ z = 0 D. 2x – 3y + z - 3= 0 Hướng dẫn giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là: => M(2; 1; 2)
+ Mặt phẳng đi qua điểm M( 2; 1; 2) và có vecto pháp tuyến có phương trình là:
2( x – 2) -3( y- 1)+ 1( z – 2 ) = 0 Hay 2x -3y + z - 3= 0 Chọn D.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết A( 2; 1; 3) và B( - 2; 3; -1) và C( 0;
2; 1), gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt
phẳng đi qua điểm G và vecto pháp tuyến n→(2;1;1)
A. 2x+ y+ z- 3= 0 B. 2x+ y- z+ 3=0
C. 2x+ z- 3= 0 D. 2x+ y- z- 6= 0 Hướng dẫn giải:
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là: => G( 0; 2; 1)
+ Mặt phẳng đi qua điểm G(0; 2; 1) và có vecto pháp
tuyến n→(2;1;1) có phương trình là:
2( x- 0) + 1( y - 2) + 1.( z - 1) = 0 Hay 2x+ y+ z – 3= 0 Chọn A.
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo;
yo; zo) và song song với một mặt phẳng (P): Ax+ By + Cz + D= 0. 1. Phương pháp giải Cách 1:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n→(A;B;C)
Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n→(A;B;C)
Phương trình mặt phẳng (α):
A(x- xo) + B. (y – yo) + C( z- zo) = 0 Cách 2:
Mặt phẳng (α ) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng:
Ax+ By + Cz + D’= 0 (*) với D' ≠ D
Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo; yo; zo) nên thay tọa độ điểm M vào (*) tìm đươc D’ 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua điểm M (-1; 2; 0) và song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 10 = 0.
A. x + 2y – 3z - 3= 0 B. x - 2y+ 3z + 5 = 0
C. x+ 2y - 3z +3 = 0 D. – x+ 2y + 10 = 0 Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến
của mặt phẳng (P) là n→(1;2-3) .
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( -1; 2; 0) và có vecto pháp
tuyến n→(1;2-3) nên có phương trình:
1( x+1) + 2(y- 2) – 3( z- 0) = 0 hay x+ 2y – 3z – 3 = 0 Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(0; -2;1) và B( 2; 0; 3). Gọi M là trung
điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song
song với mặt phẳng Q: 2x + 5y +z - 10 =0
A. 2x+ 5y + z+ 2= 0 B. 2x+ 5y + z+ 3= 0
C. 2x+ 5y + z - 4= 0 D. 2x+ 5y + z+ 1= 0 Hướng dẫn giải:
Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là: => M( 1; -1; 2)
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P)
có vecto pháp tuyến n→(2;5;1)
Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2;5;1) và đi qua điểm M (1; -1; 2) là:
2( x- 1) + 5( y+ 1) + 1(z- 2) = 0 hay 2x + 5y + z + 1= 0 Chọn D.
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 1; 3), B(1; 2;
6), C(5; 0; 4), D( -1; 2; -3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D
và song song với mặt phẳng (ABC)
A. x+ y – z - 4= 0 B. x+ y +z+ 2= 0 C.x - y+ z+ 6= 0 D. Tất cả sai Hướng dẫn giải: Ta có:
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có
nên n→ cùng phương với [AB→, AC→]
Chọn n→(1;1;1) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng
(P) có vecto pháp tuyến n→(1;1;1)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (-1; 2; -3) và có vecto pháp
tuyến n→(1;1;1) là:
1( x+ 1) + 1( y – 2) + 1( z+ 3) = 0 hay x+ y + z + 2= 0 Chọn C.
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (-2;1;3), B(1; 2;
4), C(2; -1;3), D(0; 0; -1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và
song song với mặt phẳng (ABC) A. x+ 2y+ z- 2= 0 B. x- 2y- 5z- 5= 0 C. x+ 2y- 5z- 9= 0 D. Tất cả sai Hướng dẫn giải: Ta có:
Gọi n→ là một VTPT của mặt phẳng (ABC) ta có nên n→ cùng phương với
Chọn n→(1;2;-5) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng
(P) có VTPT n→ (1; 2; -5).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (0; 0; -1) và có vecto pháp tuyến n→ là:
1. (x – 0)+ 2( y – 0) - 5( z+ 1) =0 hay x+ 2y – 5z – 5 = 0 Chọn D.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm
A, B, C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt
phẳng đi qua một điểm và nhận hai vecto u→, v→ làm vecto chỉ phương 1. Phương pháp giải
* Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
1. Tìm tọa độ các vecto AB→, AC→
2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [AB→, AC→]
3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B, hoặc C)
4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp
tuyến n→ = [AB→, AC→]
Chú ý: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a;0;0);
B(0;b;0); C(0;0;c) có dạng là:
x/a + y/b + z/c = 1 với a.b.c ≠ 0.
Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Khi đó (P) được gọi là phương
trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
* Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và nhận hai
vecto u→, v→ làm vecto chỉ phương
1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P): n→ = [u→, v→]
2. Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT
=> Phương trình mặt phẳng (P). 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi
qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2)
A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0 B. 9x+ y- 3z – 7= 0 C. 9x- y- 3z- 11=0 D. 9x- y+ 3z- 10= 0 Hướng dẫn giải:
Ta có: AB→(0;3;1); AC→ => [AB→, AC→]= ( - 9; -1; 3)
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có
nên n→ cùng phương với [AB→, AC→]
Chọn n→( 9;1; -3) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là
9.( x – 1)+1.(y + 2) - 3( z - 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0 Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi
qua điểm M(5; 4; 3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C
sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).
A. x+ y+ z - 12 = 0 B. x- y- z + 2= 0
C. x- y+ z – 4= 0 D. x+ y- z – 6= 0 Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC nên
A (a; 0; 0); B(0; a; 0); C(0; 0; a) ; ( a > 0)
Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1
Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (5; 4; 3) nên ta có:
5/a + 4/a + 3/a = 1 => 12/a = 1 => a = 12
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là: x/12 + y/12 + z/12 = 1 hay x+ y + z – 12 = 0 Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3),
B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B
và song song với đường thẳng CD có phương trình là:
A. x+ 4y+ z- 27= 0 B. 10x+ 9y+ 5z- 74= 0
C. 10x- 5y- 9z+ 22= 0 D. Tất cả sai Hướng dẫn giải:
Ta có: AB→(-4;5-1); CD→(-1;0;-2) => [AB→, CD→] = (10; 9; 5)
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có:
nên n→ cùng phương với [AB→, CD→]. Chọn n→ = (10;9;5)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:
10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0 Chọn B.
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M( 2; -1; 2)và
nhận hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) làm vecto chỉ phương?
A. 3x+ 6y- 5z+ 1= 0 B. – 3x- 6y + 5z- 10= 0
C. 3x+ 5y- 6x+ 8= 0 D. 3x- 6y+ 5z+ 1= 0 Hướng dẫn giải:
Ta có hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) là vecto chỉ phương của
mặt phẳng (P) nên một vecto pháp tuyến của mp (P) là: n→ = [u→,v→] = (- 3; - 6; 5)
Mặt phẳng (P) nhận n→ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm
M( 2; -1; 2 ) nên phương trình mặt phẳng ( P) là:
-3( x- 2) – 6 ( y+ 1) + 5( z-2)= 0 hay – 3x- 6y+ 5z - 10= 0 Chọn B.
Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 2; -3; 4); B(2;
1; -3) và mặt phẳng (P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương ?
A. 2x- 7y- 4z- 9= 0 B. 2x- 5y+ 3z – 9= 0
C. 2x+ 5y- 7z+ 10= 0 D. 2x+ 7y- 4z+ 10= 0 Hướng dẫn giải: + Ta có: AB→(0; 4; -7)
+ Lại có mặt phẳng ( P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ
phương nên một vecto pháp tuyến của mp( P) là: n→ = [u→;AB→] = (-4; 14; 8)= -2( 2; -7; -4)
=> Phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A(2; -3; 4) và nhận n→ làm VTPT là:
2( x-2) – 7( y+ 3) – 4( z- 4) =0 hay 2x – 7y - 4z- 9=0 Chọn A.
Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng 1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (xo; yo; zo) và có vecto
pháp tuyến n→(A:B:C) là:
A(x – xo) + B( y – yo) + C(z- zo ) = 0
+ Cho trước hai điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB :
• Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ điểm I ( áp dụng công
thức trung điểm của đoạn thẳng).
• Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I và nhận AB→ làm vecto pháp tuyến
=> Phương trình mặt phẳng trung trực của AB. 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A( 2; 1; 0) và B(-4 ; -3; 2) . Viết phương
trình mặt phẳng trung trực của AB?
A. 3x + 2y - z+ 6= 0 B. 6x- 4y + 4z+ 3= 0
C. 3x – 2y – 2z+ 4= 0 D. 6x + 4y + 4z+ 1= 0 Hướng dẫn giải:
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB.
=> Mặt phẳng ( P) nhận AB→ (- 6; -4; 2) làm vecto pháp tuyến. Chọn n→ ( 3; 2; -1)
+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là: => I( -1; - 1; 1)
+ Mặt phẳng ( P) qua I (- 1; -1; 1) và vecto pháp tuyến có phương trình là:
3( x+ 1)+ 2( y+ 1) – 1( z – 1) = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0 Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 0; 2; -3) và B( 4; -4; 1). Gọi M là trung
điểm của AB.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OM?
A. 2x + y +z+ 3= 0 B. 2x + y - z+ 3= 0
C. 2x – y – z - 3 = 0 D. 2x – y + z+ 1= 0 Hướng dẫn giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ của M là: => M( 2; -1; -1)
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của OM.
=> Mặt phẳng ( P) nhận OM→(2;-1;-1) làm vecto pháp tuyến
+ Gọi I là trung điểm của OM; tọa độ điểm I là:
+ Mặt phẳng ( P) qua I và vecto pháp tuyến OM→(2;-1;-1) có phương trình là:
2.(x-1) - 1.(y+1/2) - 1.(z+1/2) = 0 hay 2x – y – z – 3= 0 Chọn C.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho hai điểm A và B. Gọi I
là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
AB biết tọa độ điểm A( 1; 2; 0) và I( -2; 1; 1)
A. x + y- z+ 1= 0 B. 3x+ y- z+ 6= 0
C. 3x- y+ z- 1= 0 D. Tất cả sai Hướng dẫn giải:
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB .
=> Mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc AI
=> Mặt phẳng ( P) đi qua I ( -2; 1; 1) và nhận vecto IA→ ( 3; 1; -1) làm vecto pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (P):
3( x+ 2) + 1( y-1) – 1(z- 1) = 0 hay 3x+ y – z+ 6= 0 Chọn B.
Dạng 5. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn 1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0) ; B( 0; b;
0) , C(0;0; c) với abc ≠ 0 có phương trình: x/a + y/b + z/c = 1
+ Phương trình mặt phẳng có dạng: x/a + y/b + z/c = 1 cắt ba
trục Ox; Oy;Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) . 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P):
2x - y+ 2z - 4= 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn? Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A( 2; 0;
0); B( 0; -4; 0) và C(0; 0; 2)
=> Phương trình mặt phẳng ( P) theo đoạn chắn là: x/2 + y/-4 + z/2 = 1 Chọn C.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt
phẳng qua G(1; -2; -1) và cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các
điểm A; B; C (khác gốc O) sao cho G là trọng tâm của tam giác
ABC. Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình:
A. 2x - y+ 2z + 3 = 0 B. 2x – y - 2z – 6 =0
C. 2x + y - 2z + 9 = 0 D. 2x+ y + 3z - 9 =0 Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A( a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó
mặt phẳng (P) phương trình có dạng:
Mà điểm G( 1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC nên Chọn B.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P)
đi qua điểm H(2; 1;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B;
C (khác gốc toạ độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Mặt
phẳng (P) có phương trình là:
A. 2x+ y + z - 6= 0 B. 2x + y + z+ 6 = 0
C. 2x – y + z +6 = 0 D. 2x+ y - z + 6 = 0 Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó
mặt phẳng ( P) phương trình có dạng: Ta có:
Điểm H(2; 1; 1) là trực tâm tam giác ABC nên
Thay a; b; c vào (1), ta được: (P): x/3 + y/6 + z/6 = 1 hay (P): 2x+ y + z - 6 = 0 Chọn A.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P)
đi qua điểm M(1; 1; 1) và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần
lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao cho tứ diện OABC có thể
tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) có phương trình là:
A. x – y - z- 3 = 0 B. x+ y+ z+ 3= 0
C. x+ y+ z - 3 = 0 D. x+ y – z+ 3 = 0 Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) với a; b;c >
0 . Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
Điểm M(1;1;1) thuộc (P) nên ta có: 1/a + 1/b + 1/c = 1.
Thể tích khối tứ diện OABC: VO.ABC = 1/6.OA.OB.OC = 1/6 a.b.c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1/a; 1/b; 1/c :
Do 1/a + 1/b + 1/c = 1 nên suy ra abc ≥ 27 => 1/6 ≥ abc ≥ 9/2 .
=> VOABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9/2 khi 1/a = 1/b = 1/c = 1/3 - a = b = c = 3
(P) : x/3 + y/3 + z/3 = 1 ⇔ x + y + z - 3 = 0 Chọn C
Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm
M và vuông góc với đường thẳng d. 1. Phương pháp giải + Đường thẳng d:
nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto chỉ phương. Đường thẳng :
nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto chỉ phương.
+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với
đường thẳng d ta làm như sau:
Tìm vecto chỉ phương của d là ud→
Vì d ⊥ (α) nên (α) có vecto pháp tuyến là nα→= ud→
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1
vecto pháp tuyến nα→ 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d: A. 2x – z = 0 B. –y+ 2z= 0 C. x- y+ 2z= 0 D. x + z = 0 Hướng dẫn giải:
+Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud→(2;0;-1)
+Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyến là:
nP→ →= ud→(2; 0; -1)
+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến nP→ là:
2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0 Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; -
3), B(2; 1; -1) và C(0; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng qua A và
vuông góc với đường thẳng BC. A. 2x+ y – z - 3= 0 B. x+ 2y - 2z + 2 = 0
C. -2x + y + z - 4 = 0 D. x + y + z + 2 = 0 Hướng dẫn giải:
Đường thẳng BC có vecto chỉ phương u→ = BC→ = (-2; 1;1).
Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng
(P) có vecto pháp tuyến là n→ = BC→ = (-2; 1; 1)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
-2( x+ 2) + 1. ( y – 3) + 1( z+ 3) = 0 hay -2 x + y+ z – 4= 0 Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A (1;
2; 3) và B( 3; 0; -1). Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình
mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc với đường thẳng (d): ?
A. 5x+ 27 y - 5z + 12 = 0 B. 2x+ y+ 3z + 8 = 0 C. 2x+ y+ 3z - 8=0 D. 5x+ 27y – 5 z – 7= 0 Hướng dẫn giải:
+ I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là: => I (2; 1; 1)
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→ (2; 1; 3)
+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P)
có VTPT là n→(2;1;3)
=> Phương trình mặt phẳng ( P) : 2( x-2) + 1( y- 1) + 3( z - 1) =0 Hay 2x+ y+ 3z – 8 = 0 Chọn C.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC
với A (1;0; -1); B(2; 1; -1) Và C( 3; 2; -1). Gọi G là trọng tâm của
tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua G và vuông
góc với đường thẳng (d) : ?
A. 2x - 3y+ z- 10= 0 B. 3x- 4y+ z - 1= 0
C. 3x+ 4y - z + 3= 0 D. 4x- 3y+ 2z - 10= 0 Hướng dẫn giải:
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là: => G( 2; 1; -1)
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→(3;-4;1) .
+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P)
có vecto pháp tuyến là : n→(3;-4;1)
=> Phương trình mặt phẳng ( P): 3( x- 2) – 4( y - 1) + 1( z + 1) = 0 Hay 3x – 4y + z- 1= 0 Chọn B.
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa
đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (β) . 1. Phương pháp giải
• Tìm vecto pháp tuyến của (β) là nβ→
• Tìm vecto chỉ phương của Δ là uΔ→
• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng α là nα→
• Lấy một điểm M trên Δ
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT n →α 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa đường thẳng
và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y - z+ 10 = 0
A. x+ z = 0 B. x+ y +1= 0 C. y - z + 1= 0 D. x – y + 2z= 0 Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm A ( -1; 2; 1) và có vecto chỉ phương u→ (-1;2;1)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→ = (1;2;-1)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) nên (P)
có một vecto pháp tuyến là
n→ =[u→ ,nQ→ ]= ( - 4; 0; -4) = - 4(1; 0; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1) và có VTPT n'→ (1; 0; 1) là:
1( x + 1) + 0( y - 2) + 1( z - 1) = 0 hay x+ z = 0 Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
và vuông góc với mặt phẳng α : 2x – y + 3z
– 98= 0 có phương trình là
A. 2x+ 3y+ 8z- 10= 0 B. 5x+ 8y – 6z- 1= 0
C. 5x+ 8y+ 3z- 1= 0 D.5x - 8y- 6z – 5 = 0 Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u∆→ (2;2; -1) và đi qua điểm A( -1; 1; -3).
+ Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến là: nα→ ( 2; -1; 3)
+ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng
(α) nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u → → ∆ ,nα ] = (5; -8; -6) và đi qua A(0; -1; 2)
Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:
5( x+ 1) – 8( y - 1) – 6( z + 3) = 0 hay 5x - 8y - 6z - 5 = 0 Chọn D.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A(3; 1; 1), B( 2; -1; 2) và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0. Mặt
phẳng (P) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với mặt phẳng α có phương trình là
A. x – 3y – 5z + 5 = 0 B. 3x - 4y – 5z = 0.
C. 3x - 4y – 5z – 2= 0 D. 3x+ 4y – 5z = 0 Hướng dẫn giải:
Ta có đường thẳng AB nhận AB→ (-1 ; -2 ; 1) làm vecto chỉ phương
Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến nα→ (2 ; -1 ; 2)
+ Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và
vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) có một VTPT là n→ = [AB→ ,
n →α ] = (-3; 4; 5) và đi qua A(3; 1; 1)
+ Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:
-3( x- 3) + 4( y-1) + 5( z- 1) = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0
Vậy phương trình mp (P): - 3x + 4y+ 5z = 0 ⇔ 3x- 4y- 5z= 0 Chọn B.
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường
thẳng Δ và song song với Δ'; (Δ; Δ' chéo nhau).
1. Phương pháp giải
Tìm vecto chỉ phương của ∆; ∆’ là u1→ ; u2→
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là nα→ = [u1→, u2→]
Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến. 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa đường thẳng
A.– 6x+ y+ 2z- 3= 0 B. -6x+ y+ 2z+ 3= 0
C. 6x+ y- 2z+ 1= 0 D. 6x- y- 2z+ 4= 0 Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u →1(0;-2;1)
Đường thẳng d2 đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u →2(1;2;2) Ta có: [u → → 1 ,u2 ] = ( - 6; 1; 2)
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có:
nên → cùng phương với [u → →
1 ,u2 ] . Chọn n→ ( -6; 1; 2)
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận VTPT n→ (-6; 1; 2) có phương trình là:
- 6(x -1) + 1( y- 1) + 2( z - 1)= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là – 6x + y + 2z + 3= 0 Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
Mặt phẳng α chứa ∆1 và song song với đường thẳng ∆2 có phương trình là
A. x+ 4y + 2z + 2 = 0 B. 3x – 2y + 2z – 6 = 0
C. 3x – 2y + 2z + 6 = 0 D. x+ 4y+ 2z - 2 = 0 Hướng dẫn giải:
Đường thẳng ∆_1 đi qua điểm M (0; 1; -2) và có vecto chỉ phương u →1 (2; 1; -2)
Đường thẳng d_2 đi qua điểm N (0; 0; 2) có vecto chỉ phương u →2 (2; 2; -1) Ta có: [u → → 1 , u2 ] = (3; -2; 2)
Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có nên
n→ cùng phương với [u → →
1 , u2 ] .Chọn n→ ( 3; -2; 2)
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (0; 1; -2) và nhận VTPT n→ ( 3; -2; 2) có phương trình là:
3( x- 0) – 2( y – 1) + 2( z+ 2) = 0 hay 3x – 2y + 2z + 6 = 0
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 3x - 2y + 2z + 6 = 0 Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
.Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’
A. x+ 3y - 2z - 24= 0 B. x+ 3y+ 2z - 24=0
C. x - 3y+ 2z + 12= 0 D. x - 3y - 2z - 1= 0 Hướng dẫn giải: