3 điểm thẳng hàng là gì? Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
1. Định nghĩa điểm, đường thằng và ba điểm thẳng hàng
1.1 Điểm là gì? Định nghĩa về điểm trong hình học
Dấu chấm nhỏ trên trang giấy là hình ảnh của điểm. Điểm được biết là khái niệm cơ bản của hình học.
Ký hiệu: người ta dùng các chữ in hoa A, B, C,… để đặt tên cho điểm.
Hai điểm không trùng nhau sẽ là hai điểm phân biệt.
Với nhiều điểm, ta xây dựng được các hình, bất cứ hình nào cũng là một tập hợp các điểm.
Ví dụ: Trong ảnh trên A, B, C, M, N được gọi là các điểm.
1.2 Đường thẳng là gì? Định nghĩa đường thẳng trong hình học
Đường thẳng cũng là tập hợp của các điểm.
Đường thẳng thì không bị giới hạn của hai phía.
Đường thẳng thường được đặt tên bởi chữ cái thường hoặc hai chữ cái thường.
Một số hình ảnh thực tế: một vết bút chị vạch ngang theo thước, hay một sợi chỉ căng.
1.3 Mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng là gì?
1.4 Thế nào là ba điểm thẳng hàng?
Ba điểm thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng.
Ba điểm không thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kì một đường thẳng nào.
1.5 Quan hệ giữa ba điểm thẳng hàng
Trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
Lưu ý : Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì 3 điểm đó thẳng hàng.
Khi điểm C nằm giữa hai điểm A và B ta có thể nói:
+Hai điểm C và B nằm cùng phía đối với điểm A
+Hai điểm A và C nằm cùng phía đối với điểm B
+Hai điểm A và B nằm khác phía đối với điểm C
2. Những phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
1. Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.
2. Ba điểm cùng thuộc một tia hoặc một một đường thẳng
3. Trong ba đoạn thẳng nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng kia.
4. Hai đoạn thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba.
5. Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
6. Đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy có chứa điểm thứ ba.
7. Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao trong tam giác
8. Sử dụng tính chất hình bình hành.
9. Sử dụng tính chất góc nội tiếp đường tròn.
10. Sử dụng góc bằng nhau đối đỉnh
11. Sử dụng trung điểm các cạnh bên, các đường chéo của hình thang thẳng hàng
12. Chứng minh phản chứng
13. Sử dụng diện tích tam giác tạo bởi ba điểm bằng 0
14. Sử dụng sự đồng qui của các đường thẳng. ể ẳ
3. Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng thường được áp dụng nhất
Phương pháp 1: Áp dụng tính chất góc bẹt
Chọn một điểm D bất kì: nếu góc ABD + góc DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng
Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-cơ-lit
Cho 3 điểm A, B, C và 1 đường thẳng a. Nếu AB // a và AC // a thì ta có thể khẳng định ba điểm A; B; C
thẳng hàng. (dựa trên cơ sở tiên đề Ơ-cơ-lít trong chương trình Toán lớp 7)
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc
Nếu đoạn thẳng AB vuông góc a; đoạn thẳng AC vuông góc a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có 1 và chỉ 1 một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc
với đường thẳng a cho trước)
Hoặc sử dụng tính chất A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(nằm trong chương trình toán học lớp 7)
Phương pháp 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác
Nếu 2 tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ta có thể khẳng định 3 điểm O, A, B thẳng hàng
Cơ sở lý thuyết phương pháp trên: Một góc chỉ có một và chỉ một đường phân giác
* Hoặc : Hai tia OA và OB nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Phương pháp 5: Sử dụng tính chất đường trung trực
Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm K’ là giao điểm của 2 đoạn thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là
trung điểm BD và K’ trùng K. Từ đó ta có thể kết luận 3 điểm A, K, C thẳng hàng.
(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất 1 trung điểm)
Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy
Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy của tam giác.
Ví dụ: Chứng minh điểm E là trọng tâm tam giác ABC và đoạn thẳng AM là trung tuyến của góc A suy ra 3 điểm A, M, H thẳng hàng.
Bên cạnh đó, các em học sinh hoàn toàn có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy khác của tam giác
như 3 đường cao, 3 đường phân giác hoặc 3 đường trung trực trong tam giác.
Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ
Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm
(tức là 3 điểm thẳng hàng)
Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC có cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB vectơ
và vectơ BC có cùng phương thì ta có thể kết luận 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
4. Một số bài tập luyện tập các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm
bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng
minh góc MID = Góc MBC và tứ giác AIKM nội tiếp đường tròn, từ đó các em học sinh hãy chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. Lấy B làm tâm, vẽ một đường tròn có bán kính BA, lấy
điểm C làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là điểm D. Vẽ
AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho thỏa mãn điều kiện AM vuông góc với
AN và điểm D nằm giữa 2 điểm M và N. Hãy chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.
Bài tập 3: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Gọi điểm C là một điểm điểm bất kì thuộc nửa
đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho góc COD = 90 độ. Gọi điểm E
là giao điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC, điểm F là giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD. Gọi I là trung
điểm của EF. Chứng minh rằng đoạn thẳng IC là tiếp tuyến của (O).
Bài tập 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ Hai tia Ax và
By sao cho góc BAx = góc ABy.Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C), trên By lấy hai điểm D và F
( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng, ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài tập 5: Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường
thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh các đường
thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối tia AC lấy điểm E mà
AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.