Bài giảng Bài 6: Biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn môn Tín hiệu và hệ thống | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Bài 6: Biểu Diễn Tần Số Của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Lê Trung Thành
Phòng Thí Nghiệm Tín Hiệu và Hệ Thống
Trường Đại học Công nghệ - ĐHQG Hà Nội thanhle88.github.io thanhletrung@vnu.edu.vn Ngày 25 tháng 3 năm 2025 Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 1 / 26
Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Định nghĩa
• Tuần hoàn: ∃T : 0 < T < ∞ sao cho x(t) = x(t + T )
hoặc ∃N nguyên : 0 < N < ∞ sao cho x[n] = x[n + N ]
• Không tuần hoàn: T = ∞, N = ∞ Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 2 / 26 Biểu diễn tần số Fourier Series • x(t) = P+∞ k=−∞ X (k)ejkω0t • x[n] = PN−1 X(k)ejkω0n k=0 Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 3 / 26 Biểu diễn tần số Fourier Series
• Phổ vẽ theo X(k) có dạng rời rạc (phổ vạch- line spectrum)
• Khoảng cách giữa các vạch phổ là ω0 = 2π T
• Khi tín hiệu không tuần hoàn T → ∞(N → ∞) thì ω0 → 0
• Đồ thị X(k) rời rạc thành liên tục
• Thay biến kω0 bằng ω liên tục −∞ → +∞ Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 4 / 26 Biểu diễn tần số Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 5 / 26
Biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn Thời gian LIÊN TỤC
• x(t) tuần hoàn với chu kỳ T hữu hạn 1 Z X(k) = x(t)e−jkω0tdt T T
• x(t) tuần hoàn với chu kỳ T vô hạn (i.e., không tuần hoàn) Z +∞ X(ω) = x(t)e−jωtdt −∞
• X(ω) được gọi là biến đổi tần số/biểu diễn tần số/biến đổi Fourier của tín hiệu x(t) Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 6 / 26
Biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn Thời gian LIÊN TỤC
• x(t) tuần hoàn với chu kỳ T hữu hạn +∞ X x(t) = X(k)ejkω0t k=−∞
• x(t) tuần hoàn với chu kỳ T vô hạn (i.e., không tuần hoàn) 1 Z +∞ x(t) = X(ω)ejωtdω 2π ω=−∞
• X(ω) được gọi là biến đổi tần số/biểu diễn tần số/biến đổi Fourier của tín hiệu x(t) Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 7 / 26
Biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn Thời gian RỜI RẠC
• x[n] tuần hoàn với chu kỳ n hữu hạn N −1 1 X X(k) = x[n]e−jkω0n N n=0
• x[n] tuần hoàn với chu kỳ N vô hạn (i.e., không tuần hoàn) +∞ X X(ω) = x[n]e−jωn n=−∞
• X(ω) được gọi là biến đổi tần số/biểu diễn tần số/biến đổi Fourier của tín hiệu x[n] Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 8 / 26
Biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn Thời gian RỜI RẠC
• x[n] tuần hoàn với N vô hạn: (i.e không tuần hoàn) +∞ X X(ω) = x[n]e−jωn n=−∞ +∞ +∞ • X X X(ω + 2π) = x[n]e−j(ω+2π)n = x[n]e−jωne−j2πn = X(ω) n=−∞ n=−∞
⇒ X(ω) liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 9 / 26
Biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn Thời gian RỜI RẠC
• x[n] tuần hoàn với N hữu hạn: N −1 X x[n] = X(k)ejkω0n k=0
• x(n) tuần hoàn với N vô hạn (i.e không tuần hoàn): Z x[n] = X(ω)ejωndω ω
− X(ω) và ejωn đều tuần hoàn với chu kỳ 2π nên X(ω)ejωn tuần hoàn
với chu kỳ 2π, nên công thức chuẩn là 1 Z x[n] = X(ω)ejωndω 2π 2π Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 10 / 26
Biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 11 / 26
Biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn Điều kiện hội tụ
• X(ω) được tính dựa trên tích phân vô hạn R +∞ hoặc tổng vô hạn −∞
tổng vô hạn P+∞ nên tuỳ theo −∞
x(t)(x[n]) mà X(ω) có thể nhận giá
trị hữu hạn hoặc vô hạn
• Điều kiện hội tụ Dirichlet: Biểu diễn tần số của tín hiệu không
tuần hoàn sẽ hữu hạn/tồn tại/hội tụ khi và chỉ khi x(t)(x[n]) là tín hiệu năng lượng +∞ Z +∞ X x(t)2dt < ∞ hoặc x[n]2 < ∞ −∞ −∞
• Chỉ có tín hiệu năng lượng có biến đổi Fourier Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 12 / 26
Phổ của tín hiệu không tuần hoàn
• X(ω) là số phức ⇒ Vẽ phổ biên độ và pha • Biên độ: | p X(ω)| = Re(X(ω))2 + Im(X(ω))2 • Pha:
ψ X(ω) = arctan Im(X(ω))Re(X(ω))
• ω là biến liên tục ⇒ Phổ của tín hiệu không tuần hoàn có dạng liên tục • Fourier x(t)
⇒ X(ω) với −∞ < ω < +∞, nên ta vẽ X(ω) trong −∞ đến +∞ • Fourier x[n]
⇒ X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π, nên ta vẽ X(ω) trong [0, 2π] hoặc [−π, π] Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 13 / 26 Ví dụ
Ví dụ 1: Xác định biểu diễn tần số và vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu x(t) = δ(t) Z +∞ X(ω) = δ(t)e−jωtdt = 1 −∞ 1 0 0 Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 14 / 26 Ví dụ
Ví dụ 2: Xác định biểu diễn tần số và vẽ phổ biên độ và phổ pha của
tín hiệu x(t) (không tuần hoàn) sau 1 0 Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 15 / 26 Ví dụ Lời giải • Phổ tần số Z +∞ Z T1 −1 T X(ω) = x(t)e−jωtdt = 1.e−jωtdt = e−jωt 2 T −∞ − 1 T jω 1 −1 2 sin(ωT1) = (ejωT1 − e−jωT1 ) = = 2T1 sinc(ωT1) jω ω
• Phổ biên độ |X(ω)| = 2T1 sinc(ωT1), Phổ pha ψ(X(ω)) = 0 Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 16 / 26 Ví dụ
Ví dụ 3: Xác định biểu diễn tần số và vẽ phổ biên độ và phổ pha của
tín hiệu x(t) = e−atu(t), a > 0 Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 17 / 26 Ví dụ
Lời giải: x(t) = e−atu(t), a > 0 • x(t) không tuần hoàn
• Năng lượng E = R +∞ |x(t)|2dt = R +∞ e−2atdt = 1 < 0 ⇒ x(t) có −∞ 0 2a
biểu diễn tần số hội tụ
• X(ω) = R +∞ x(t)e−jωtdt = R +∞ e−(a+jω)tdt = 1 = a−jω −∞ 0 a+jω a2+ω2
• Phổ biển độ |X(ω)| = 1 √a2+ω2
• Phổ pha ψ(X(ω)) = arctan( −ω ) a Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 18 / 26 Ví dụ
Ví dụ 4: Xác định biểu diễn tần số và vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu x[n] = ( 1 )nu[n] 2 Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 19 / 26 Ví dụ
Lời giải: x[n] = ( 1 )nu[n] 2 • x[n] không tuần hoàn • Năng lượng E = P+∞ | −∞ x[n]|2 = P+∞
−∞(1/2)2n = 4/3 < 0 ⇒ x[n] có
biểu diễn tần số hội tụ +∞ +∞ X X X(ω) = x[n]e−jωn = (1/2)ne−jωn n=−∞ n=0 +∞ X 1 1 1 = e−jωn = = 2 1 − 1 e−jω 1 − 1 cos(ω) + j sin(ω) n=0 2 2 2
• Phổ biển độ |X(ω)| = 1 r 2 1+ 1 cos(ω) +sin(ω)2 2 1 • sin(ω) Phổ pha ψ(X(ω)) = arctan 2 1− 1 cos(ω) 2 Lê Trung Thành (VNU-UET) Signals and Systems (ELT 2035) Ngày 25 tháng 3 năm 2025 20 / 26