1. Đạo hàm riêng, vi phân
2. Đạo hàm riêng, vi phân của hàm hợp
3. Đạo hàm riêng, vi phân của hàm ẩn
4. Đạo hàm theo hướng
5. Công thức Taylor, Maclaurint
6. Cực trị hàm nhiều biến
Định nghĩa đạo hàm riêng theo biến 𝒙 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa đạo hàm riêng theo biến 𝒚
Cho hàm hai biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) cố định.
Xét hàm một biến 𝐹 𝑦 = 𝑓(𝑥0, 𝑦) theo biến 𝑦.
Đạo hàm của hàm một biến 𝐹(𝑦) tại 𝑦 được gọi đạo 0 là hàm riêng
theo biến 𝑦 của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) tại 𝑀 hiệu 0(𝑥0, 𝑦0), ký : 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ghi nhớ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 𝑓′ ′ 𝑥 𝑥, 𝑦
= −2𝑥 → 𝑓𝑥 1,1 = −2 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính chất của đạo hàm riêng 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đạo hàm riêng cấp cao 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Chú ý 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 2 u  a
 sin(x  at) tt
u   sin(x  at ) xx 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 2 2  2 2 x
2a t x /(4a t)
 u (x,t )  e xx 5 2 8a t t  2 2 u   1
 x /(4 a t)   e   t  2a  t  t 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 21
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN u ) T x T y 1 2   30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 22
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 23
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 24
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 25
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa
có thể biễu diễn được ở dạng:  f (
          0 x , 0 y ) A x B y ( x, y) 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 26
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định lý 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 27
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 59
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 60
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định lý (về hàm ẩn) 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 61
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Chú ý 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 62
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 63
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 64
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 65
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 66
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 67
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 68
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 69
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Véctơ M
M cùng phương, chiều với 0 u 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 70
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Do đó: 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 71
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 72
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 73
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 74
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 75
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 76
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 77
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Chú ý 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 78
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 79
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Chú ý 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 80
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 81
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 82
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 83
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 84
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 85
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 86
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 87
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 88
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 89
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ứng dụng khai triển Taylor 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 90
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 2 2
trong đó:   (x 1)  ( y  2) . 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 91
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Chú ý 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 92
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 93
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 94
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 95
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ
Cách 1: Sử dụng khai triển hàm hai biến: 2 df (0,0) d f (0, 0) 2 2 2
f (x, y)  f (0, 0)  
 o( ),  x  y 1! 2! 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 96
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ
Vì các đạo hàm riêng cấ p 1, cấ
p 2 tạ i(0,0) đều bằng 0 do đó: 2
f (x, y)  o(  ) sin  sin o x y y x  2   Vậy: lim  lim  0 2 2 2 ( x, y) (  0,0) ( x, y) (  0,0) x  y  30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 97
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ
Cách 2: Sử dụng khai triển hàm một biến: 3  y      3    3 x x y o y  y x   o    3x  3!   3! 
f (x, y)  2 2 x  y xy  2 2 x  y  x  o  3
y   y  o 3 x     2 2 x  y  2 2  3! x  y 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 98
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Ta có: xy 2 2 x  y  2 2 x  y 0     0,( , x ) y  (0,0) 2 2
x  y  3! 2 3! x  o  3
y   y o 3 x  x  o  3
y   y o 3 x  x  o  3 y  y  o  3 x  0     2 2 x  y 2xy 2xy 2xy o  3 y  o  3 x     0,( ,
x y)  (0,0) . Do đó: lim f ( , x ) y  0 2y 2x ( , x y) (  0,0) 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 99
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cực trị không điều kiện
Điểm dừng: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0.
Điểm tới hạn: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc không tồn tại.
Điểm cực trị: hàm đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 100
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 101
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 102
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 103
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cực trị không điều kiện 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 104
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cực trị không điều kiện 3) 𝑑2𝑓 𝑀
không xác định dấu thì 𝑀 không phải là điểm cực trị. 0 0 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 105
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cực trị không điều kiện biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 106
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cực trị không điều kiện 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 107
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 108
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 109
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 110
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 111
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 112
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 113
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cực trị có điều kiện 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 114
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cực trị có điều kiện 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 115
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cực trị có điều kiện Định nghĩa B  (M      0 , r ) : M
B(M 0, r) : f (M )
f (M 0) ; (M ) 0
Định nghĩa tương tự cho cực tiểu có điều kiện. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 116
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cực trị có điều kiện 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 117
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cực trị có điều kiện 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 118
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 119
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
3) Nếu từ 𝜑 𝑥, 𝑦 = 0 → 𝑦 = 𝑦 𝑥 hoặc 𝑥 = 𝑥(𝑦), khi đó hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) sẽ
thành hàm 1 biến theo 𝑥 hoặc 𝑦. Khảo sát cực trị của hàm 1 biến này. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 120
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 2
 2(2dx  3dy)  0 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 121
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 122
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 123
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 124
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 125
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 126
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 127
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 128
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 129
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 130
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 131
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 132
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 133
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 134
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 135
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 136
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN