Bài giảng chương 2: Phép tính tích phân hàm một biến số | Giải tích 1

Chương 2
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Ngày 1 tháng 8 năm 2023
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 1/67 Ngày 1 tháng 8 năm 2023 1 / 67 Nội dung 1 Tích phân bất định 2 Tích phân xác định 3 Tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng với cận vô hạn
Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn
Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ
4 Các ứng dụng của tích phân xác định
Tính diện tích hình phẳng
Tính độ dài đường cong phẳng Tính thể tích vật thể
Tính diện tích mặt tròn xoay
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 2/67 Ngày 1 tháng 8 năm 2023 2 / 67 Nguyên hàm của hàm số Định nghĩa 1
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b). Hàm số F (x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng (a, b) nếu F ′(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b). Định lý 1.1
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b), thì:
a) Hàm số F (x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x),
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) đều viết được dưới dạng F (x) + C, trong đó C là một hằng số. Định nghĩa 2
Tích phân bất định của một hàm số f(x) là họ các nguyên hàm F (x) + C, với x ∈ (a, b), trong đó F (x) là một Z
nguyên hàm của hàm số f(x) và C là một hằng số bất kỳ. TPBĐ của hàm số f(x) được ký hiệu là f (x)dx.
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 3/67 Ngày 1 tháng 8 năm 2023 3 / 67
Các tính chất của tích phân bất định Z
a) Nếu hàm số f(x) liên tục trên (a, b) thì tồn tại f (x)dx trên (a, b), Z ′ b) f (x)dx = f (x) Z c) F ′(x)dx = F (x) + C Z Z d) af (x)dx = a
f (x)dx, (a là hằng số khác 0) Z Z Z e) [f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x)dx
Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung Z Z Z [αf (x) + βg(x)] dx = α f (x)dx + β g(x)dx,
trong đó α, β là các hằng số không đồng thời bằng 0.
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 4/67 Ngày 1 tháng 8 năm 2023 4 / 67
Một số công thức tích phân thông dụng Z Z dx a) xα+1 xαdx = + C, (α 6= −1), f) = tan x + C, α + 1 cos2 x Z Z ax b) dx = ln |x| + C, g) axdx = + C, (0 < a 6= 1), x ln a Z Z c) sin xdx = − cos x + C, h) exdx = ex + C, Z Z dx d) cos xdx = sin x + C, i) = arctan x + C, 1 + x2 Z Z dx e) dx = − cot x + C, j) √ = arcsin x + C. sin2 x 1 − x2
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 5/67 Ngày 1 tháng 8 năm 2023 5 / 67
Các phương pháp tính tích phân bất định
Phương pháp đổi biến t = ψ(x)
Nếu f(x) = g [ψ(x)] ψ′(x) thì có thể đặt t = ψ(x), Z Z Z f (x)dx = g [ψ(x)] ψ′(x)dx = g(t)dt.
Nếu hàm số g(t) có nguyên hàm là hàm số G(t) thì I = G [ψ(x)] + C.
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 6/67 Ngày 1 tháng 8 năm 2023 6 / 67 Ví dụ 1.1 Tính tích phân Z Z a) 1 x(1 − x2)2023dx c) xx+1 1 + + ln x dx. x Z Z 1 b) ex dx d) xx−1 1 − + ln x dx. ex + 1 x
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 7/67 Ngày 1 tháng 8 năm 2023 7 / 67 a) Z x(1 − x2)2023dx Z 1 Z (1 − x2)2024 x(1 − x2)2023dx =
−(1 − x2)2023d(1 − x2) = − + C. 2 4048 b) Z ex dx ex + 1 Z ex Z d(ex + 1) dx = = ln(ex + 1) + C. ex + 1 ex + 1
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 8/67 Ngày 1 tháng 8 năm 2023 8 / 67
Các phương pháp tính tích phân bất định Z Xét tích phân I =
f (x)dx. Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm
số khác bằng một phép đổi biến x = ϕ(t) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được
nguyên hàm một cách đơn giản hơn.
Phương pháp đổi biến x = ϕ(t) Z Z f (x)dx = f [ϕ(t)] ϕ′(t)dt
Nếu hàm số g(t) = f [ϕ(t)] ϕ′(t) có nguyên hàm là hàm G(t), và t = h(x) là hàm số ngược của hàm số x = ϕ(t) thì Z I =
g(t)dt = G(t) + C = G [h(x)] + C.
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 9/67 Ngày 1 tháng 8 năm 2023 9 / 67 Ví dụ 1.2 Z √ Tính 1 − x2dx. Lời giải: √
Đặt x = cos t với 0 ≤ t ≤ π. Khi đó dx = −2 sin tdt và 1 − x2 = sin t. Nên Z Z Z p 1 − cos t(2t) t sin(2t) t sin t cos t 1 − x2dx = − sin2 tdt = − = − + + C = − + 2 2 4 2 2 √ arcsin x x 1 − x2 = − + + C. 2 2
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 10/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 10 / 67
Phương pháp tích phân từng phần Công thức Z Z udv = uv − vdu.
Khi nào tích phân từng phần? Z Z Z a) Pn(x)ekxdx, Pn(x) sin kxdx,
Pn(x) cos kxdx, chọn u = Pn(x). Z b)
Pm(x) lnn xdx, chọn u = lnn x. Z c)
Pn(x) arctan kxdx, chọn u = arctan kx. Z d)
Pn(x) arcsin kxdx, chọn u = arcsin kx.
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 11/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 11 / 67
Phương pháp tích phân từng phần Ví dụ 1.3 (Giữa kì, K61) Tính tích phân Z Z a) x3 arctan xdx. c) x2 sin 2xdx. Z Z b) x3 arccot xdx. d) x2 cos 2xdx.
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 12/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 12 / 67
Tích phân hàm phân thức hữu tỉ Định nghĩa 3
a) Phân thức hữu tỷ: là một hàm số có dạng P (x) f (x) =
, trong đó P (x), Q(x) là các đa thức của x. Q(x)
b) Phân thức hữu tỷ thực sự: deg P (x) < deg Q(x).
Bằng phép chia đa thức, chia P (x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng r(x) f (x) = H(x) + Q(x)
trong đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư trong phép chia. Khi đó r(x) là một phân thức hữu tỷ thực Q(x) sự.
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 13/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 13 / 67
Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
Phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự P (x) thành tổng (hiệu) của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số Q(x)
là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm.
a) Phân tích đa thức ở mẫu số Q(x)
Q(x) = (x − α1)a1...(x − αm)am(x2 + p1x + q1)b1...(x2 + pnx + qn)bn.
b) Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện (x − α)a, thì trong phân tích của phân thức P (x) xuất hiện các Q(x) hạng tử dạng Ai , 1 ≤ i ≤ a. (x − α)i
c) Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện (x2 + px + q)b, thì trong phân tích của phân thức P (x) xuất Q(x) hiện các hạng tử dạng Bjx + Cj , 1 ≤ j ≤ b. (x2 + px + q)j
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 14/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 14 / 67
Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
Việc dùng phương pháp hệ số bất định dẫn chúng ta tới việc tính bốn loại tích phân hữu tỷ cơ bản sau: Z Z I. Adx II. Adx x − a (x − a)k Z Z III. (M x + N )dx IV. (M x + N )dx x2 + px + q (x2 + px + q)m
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 15/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 15 / 67
Tích phân hàm lượng giác Phương pháp chung Z Xét tích phân
R(sin x, cos x)dx, trong đó hàm dưới dấu tích phân là một biểu thức hữu tỷ đối với x
sin x, cos x. Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát t = tan , khi đó 2 2t 1 − t2 2t 2dt sin x = , cos x = , tan x = , dx = 1 + t2 1 + t2 1 − t2 1 + t2
tích phân đang xét được đưa về tích phân của phân thức hữu tỉ của biến t.
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 16/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 16 / 67 Ví dụ 1.4 Z dx . 1 + sin x + cos x Lời giải: Đặt x t = tan . Khi đó 2 2t 1 − t2 2t 2dt sin x = , cos x = , tan x = , dx = 1 + t2 1 + t2 1 − t2 1 + t2 Nên 2 + 2t 1 + sin x + cos x = . Suy ra 1 + t2 Z dx Z dt x =
= ln |t + 1| + C = ln |1 + arctan | + C. 1 + sin x + cos x t + 1 2
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 17/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 17 / 67
Tích phân hàm lượng giác Z Tích phân
R(sin x, cos x)dx có dạng đặc biệt
a) Đặt t = cos x nếu R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x).
b) Đặt t = sin x nếu R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x).
c) Đặt t = tan x nếu R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x). Ví dụ 1.5 Z Z a) dx sin2 x cos3 xdx g) (sin x + cos x)2 Z b) sin4 x dx Z dx cos2 x h) 1 + cos2 x Z c) cos 2xdx sin4 x + cos4 x Z i) dx Z d) sin 2xdx
sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x sin4 x + cos4 x Z 2 sin x + 3 cos x Z j) e) dx sin x sin 2x sin 3xdx 3 sin x + 2 sin x Z Z
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 18/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 18 / 67 f) sin 2xdx k) tan x dx.
Tích phân hàm lượng giác Z Tích phân dạng sinm x cosn xdx
a) Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cos x.
b) Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = sin x.
c) Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc:
sin2 x = (1 − cos 2x)/2, cos2 x = (1 + cos 2x)/2. Ví dụ 1.6 Z Z a) sin2 x cos2 xdx c) sin3 x cos4 xdx Z Z b) sin2 x cos4 xdx d) sin4 x cos3 xdx
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 19/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 19 / 67 a) Z sin2 x cos2 xdx. Lời giải: Có sin2 2x 1 − cos 4x sin2 x cos2 x = = . 4 8 Nên Z Z 1 − cos 4x x sin 4x sin2 x cos2 xdx = dx = − + C. 8 8 32
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 20/6 N 7 gày 1 tháng 8 năm 2023 20 / 67