Bài giảng Chương 2: Tích phân bội - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội
Bài giảng Chương 2: Tích phân bội - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Môn:
Trường:
Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Chương TÍCH PHÂN BỘI 2.
2.1. Tích phân hai lớp
2.1.1. Định nghĩa và cách tính tích phân hai lớp
2.1.1.1. Định nghĩa
Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân hai lớp
Giả sử có một vật thể hình trụ, phía trên giới hạn bởi mặt cong được biểu diễn bằng phương trình z
= f(x,y), mặt xung quanh là mặt của hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, còn phía dưới giới hạn
bởi hình phẳng đóng D nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy và được gọi là đáy của của hình trụ. Yêu cầu
tính thể tích V của vật thể hình trụ này với giả thiết f(x,y) là hàm không âm, xác định và liên tục trên miền đóng D.
Bài giải. Chia D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau (giao của 2 hai miền nhỏ bất kỳ bằng rỗng).
Gọi diện tích của n miền nhỏ đó là S1, S2, …, Sn. Lấy mỗi miền nhỏ là đáy của hình trụ mà mặt xung
quanh có đường sinh song song với trục Oz và phía trên giới hạn bởi mặt cong được biểu diễn bằng phương trình f(x,y).
Như vậy, vật thể hình trụ đã được chia thành n hình
trụ nhỏ. Trong mỗi miền nhỏ Si (1 i n) chúng ta lấy
một điểm tùy ý Mi(xi,yi). Chúng ta có tích zi.Si =
f(xi,yi).Si là thể tích hình trụ có diện tích đáy Si và
chiều cao zi = f(xi,yi). Nếu miền nhỏ Si khá bé, thì do
hàm f(x,y) liên tục trên D nên giá trị của z = f(x,y) xấp xỉ
bằng giá trị của zi = f(xi,yi) nên có thể coi thể tích của
hình trụ nhỏ thứ i là Vi f(xi,yi)Si. Như vậy, nếu mọi
miền nhỏ Si (1 i n) đều khá bé thì có thể coi thể tích n
của hình trụ là V f (x , y ) S . i i i i=1 n Tổng f (x , y . ) S
sẽ có độ chính xác càng cao (tức là giá trị của biểu thức này càng gần thể tích i i i i 1 =
thực V của hình trụ đang xét) nếu n càng lớn và tất cả các Si (1 i n) càng bé. Do đó, thể tích V của n
hình trụ đang xét bằng giới hạn (nếu có) của tổng f (x , y )
S khi n → cùng với đường kính của mỗi i i i i 1 = n
miền nhỏ Si (1 i n) bé dần về 0, tức là V = limf (x , y )S với d = max d , trong đó di là đường i i i i d→ 0 1i n i 1 =
kính của mỗi miền nhỏ Si (1 i n) (đường kính của một miền được định nghĩa là khoảng cách lớn
nhất giữa hai điểm trên biên của miền ấy).
Định nghĩa tích phân hai lớp
Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng D. Chia miền D một cách tùy ý thành n miền nhỏ không
dẫm lên nhau. Gọi diện tích của n miền nhỏ đó là S1, S2, …, Sn. Trên mỗi miền nhỏ Si (1 i n) n
chúng ta lấy một điểm tùy ý Mi(xi,yi) và lập tổng I = f (x , y ) S . I n i i i
n được gọi là tổng tích phân của i=1
hàm f(x,y) trên miền D nếu khi n → sao cho d = max d →0 (trong đó di là đường kính của miền nhỏ i 1in
Si) mà In dần đến một giá trị hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mi(xi,yi)
trên mỗi miền nhỏ Si, thì giá trị hữu hạn này được gọi là tích phân hai lớp của hàm số f(x,y) trên miền D
và ký hiệu là f(x, y)dS , khi đó D, f(x,y), dS, x và y lần lượt được gọi là miền tính tích phân, hàm số D
dưới dấu tích phân, vi phân diện tích, các biến tính tích phân. 59 n
Như vậy, chúng ta có f (x, ) y dS = limI = lim f(x ,y ) S
nếu giới hạn này tồn tại và hữu n i i i n → max d 0 → i D 0i n i=1
hạn, khi đó chúng ta nói rằng hàm số f(x,y) khả tích trên miền đóng D . Định lý. D
Nếu hàm số f(x,y) xác định và liên tục trong miền đóng .
thì nó khả tích trên đó
Vì tích phân hai lớp nếu tồn tại thì không phụ thuộc vào cách chia miền D, nên chúng ta có thể chia
D bởi lưới các đường thẳng song song với các trục tọa độ Ox, Oy. Khi đó, mỗi miền nhỏ Si (1 i n)
nói chung là hình chữ nhật, do đó dS = dxdy f (x, y)dS f (x, y)dxdy. = D D
Nhận xét. Bản chất của phép tính tích phân là tính giới hạn, tuy nhiên việc tính tích phân bằng cách
dùng định nghĩa không phải đơn giản, do đó các nhà toán học đã dùng định nghĩa để đưa ra các công thức
tích phân cơ bản để việc tính tích phân đơn giản hơn.
Ý nghĩa hình học của tích phân hai lớp
Nếu hàm số z = f(x,y) > 0, xác định và liên tục với (x,y) D
thì giá trị của tích phân hai lớp
f(x,y)dxdy là thể tích của hình trụ có đáy là miền D thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy, mặt xung quanh là D
mặt của hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, còn mặt trên của hình trụ là mặt cong được biểu
diễn bằng phương trình z = f(x,y).
Đặc biệt, nếu f(x,y) = 1 với (x,y) D thì giá trị
của tích phân f(x,y)dxdy = d 1 xdy = dxdy là D D D
diện tích S của miền D.
Các tính chất của tích phân hai lớp (1) f(x,y) +g(x,y)
dxdy = f(x,y)dxdy + g(x,y)dxdy D D D
(2) kf (x, y)dxdy = k f(x, y)dxdy (k là hằng số) D D D D =
(3) f(x, y)dxdy = f (x, y d ) xdy + f (x, y d ) xdy với 1 2 D1 D2 = D D 1 D D2
(4) f(x, y)dxdy g(x, y)dxdy nếu f(x,y) g(x,y) với (x,y) D D D
(5) f(x, y)dxdy f(x, y) dxdy D D (6) mS f (x, y)dxdy MS D
với S là diện tích của , m = min f (x, y) và M = max f (x, y) ( x,y) D (x,y) D D
(7) Nếu f(x,y) xác định và liên tục trên D, S là diện tích của D thì ( x, y) D sao cho f (x, y)dxdy = Sf (x, y) D
2.1.1.2.Tích phân lặp
Như đã Nhận xét ở trên, việc tính một tích phân hai lớp trực tiếp từ định nghĩa là điều rất khó, tuy
nhiên, các nhà toán học đã biểu diễn một tích phân hai lớp dưới dạng một tích phân lặp, để sau đó có thể
tính được dễ dàng bằng cách tính 2 tích phân một lớp quen thuộc.
Giả sử hàm số f(x,y) khả tích trên hình chữ nhật D = {(x,y)R2a x b, c y d} [a,b][c,d]. d
Chúng ta sử dụng ký hiệu f (x,y)dy để hàm ý rằng x coi như hằng số và hàm số f(x,y) được lấy tích phân c d
theo y từ y = c đến y = d. Như vậy, sau việc tính tích phân xác định một lớp đối với y thì f (x,y)dy trở c 60
thành một biểu thức của x, vì a x
b nên biểu thức của x là một hàm số của x và chúng ta có thể ký d
hiệu g(x) = f(x,y)dy với a x b. c
Tiếp theo, chúng ta tính tích phân hàm số g(x) theo x từ x = a đến x = b thì b b d
g(x)dx = f(x, )ydydx . Tích phân bên phải của đẳng thức trên được gọi là tích phân lặp. Để đơn a a c
giản, cặp dấu [ ] không viết và dx được viết giữa hai dấu tích phân một lớp, tức là b d b d
dxf(x,y)dy = f(x,y d)ydx . Đẳng thức này có nghĩa là: đầu tiên chúng ta tính tích phân biểu thức a c a c
f(x,y) theo y từ y = c đến y = d khi coi x là hằng số, sau đó tính tích phân biểu thức vừa tính được theo x từ x = a đến x = b. d b d b
Tương tự, tích phân lặp dyf(x,y d ) x = f(x, )
y dx dy có nghĩa là: đầu tiên chúng ta tính tích c a c a
phân biểu thức f(x,y) theo x từ x = a đến x = b khi coi y là hằng số, sau đó tính tích phân biểu thức vừa
tính được theo y từ y = c đến y = d. 3 2 2 3
Ví dụ 2.1. Tính các tích phân lặp I = d x f (x, y)dy, J = d
y f (x, y)dx với f(x,y) = x2y 0 1 1 0 Bài giải. y= 2 x=3 3 2 3 2 2 y2 3 3 2 3 x 3 3 27 27 + I = dx x ydy = x dx = x dx = = . = 2 2 2 3 2 3 2 0 1 0 y 1 = 0 x=0 x 3 = y 2 = 2 3 2 2 x3 2 27 27 y y 2 27 3 27 + J = dy x ydx = y d y = ydy = = . = 3 3 3 2 3 2 2 1 0 1 x 0 = 1 y 1 = 27 Nhận xét: I =
= J từ ví dụ trên và nếu thực hiện nhiều ví dụ khác có kết quả tương tự, vậy liệu 2 b d d b
dxf(x,y)dy = dy f(x,y)dx có luôn đúng với cùng f(x,y) không? a c c a
Định lý Fubini. Nếu hàm số f(x,y) xác định và liên tục trên hình chữ nhật D = [a,b][c,d] thì b d d b
f(x,y d)xdy = dx f(x,y d)y = dyf(x,y)dx D a c c a b d
Hệ quả. Nếu f(x,y) = g(x)h(y) thì f (x, y d ) xdy = g(x)h(y)dxdy = g(x)dx h(y)dy D D a c f (x, y) = y sin x ( y)
Ví dụ 2.2. Tính tích phân I = f(x,y)dxdyvới D = , 1 [ ] 2 [ , 0 ] D Bài giải. Hàm số f (x, )
y = y sin(xy) liên tục trên R2 nên liên tục trên DR2, nên theo Định lý 2 2
Fubini thì I = ysin(xy)dxdy = dx ysin(xy)dy = dy ysin(xy)dx . D 1 0 0 1
- Chúng ta tính I theo y trước y= y= y cos x ( y) 1 cos(x) sin(xy) cos(x) sin( x ) y sin(xy)dy = − + cos x ( y)dy = − + = − + 2 2 x x x x x = = x 0 y 0 0 y 0 2 2 = cos(x) sin( x ) sin( x ) x 2 sin 2 I = dx ysin(xy)dy = − + dx = − = − +sin =0 . x x2 x = 2 1 0 1 x 1 61
- Bây giờ, chúng ta tính I theo x trước 2 2 x 2 ysin(xy)dx = = sin(xy)d(xy) = co − s x ( y) = −cos2y +cosy x 1 = 1 1 y 2 =
I = dy ysin(xy)dx = − cos2y + cos sin 2y sin 2 y dy = − + sin y = − + sin 0 = 0 . 2 2 0 1 0 y= 0
Nhận xét. Ở Ví dụ 2.1. tính tích phân theo biến x hoặc biến y trước đều dễ như nhau, nhưng ở Ví dụ
2.2. việc tính tích phân theo biến x trước dễ hơn nhiều so với việc tính tích phân theo biến y trước. Do đó,
khi tính tích phân hai lớp, chúng ta nên lựa chọn thứ tự tính tích phân sao cho quá trình tính tích phân
theo mỗi lớp đơn giản hơn.
2.1.1.3. Cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Descartes
- Miền tính tích phân là hình chữ nhật D = {(x,y)R2a x b, c y d} = [a,b][c,d] b d d b b
f(x,y)dxdy = dxf(x, y)dy = dyf(x,y)dx (khi tính f(x,y)dx thì coi y là hằng số, khi D a c c a a d
tính f (x,y)dy thì coi x là hằng số). c 0 x 1
Ví dụ 2.3. Tính tích phân I = xydxdy với D= 1 y 2 D
Bài giải. Đồ thị của miền D là Chúng ta 3 c có thể tính I bằng ách: 1 2 1 2 1 y =2 2 1 1 xy x 3 3 Cách 1. I =
xydxdy = xydy dx = dx xydy = dx = dx = xdx = 2 2 2 D 0 1 0 1 0 y =1 0 0 x 1 = 3 x2 3 1 3 = = . 2 2 2 2 4 x=0 2 1 2 1 2 x =1 2 2 2 x y y 1 Cách 2. I =
xydxdy = xydx dy = dy xydx = dy = dy = ydy = 2 2 2 D 1 0 1 0 1 x=0 1 1 2 1 y2 1 4 1 1 3 3 = = − = = . 2 2 2 2 2 2 2 4 1 x 1 = y= 2 1 2 x2 y2 1 4 1 1 3 3 Cách 3. I = xydxdy = xdx ydy = = . − = = . 2 2 2 2 2 2 2 4 D 0 1 x=0 y=1 - Miền tính
tích phân là không phải là hình chữ nhật 62
+ Trường hợp 1. Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy đồ thị của miền D có dạng
Chiếu miền D lên trục Ox thì D = {(x,y)R2a x b, y1(x) y y2(x)} b y2 ( x )
f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy . D a y ( x ) 1
+ Trường hợp 2. Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy đồ thị của miền D có dạng
Chiếu miền D lên trục Oy thì D = {(x,y)R2c y d, x1(y) x x2(y)} d x ( y) 2
f(x,y d)xdy = dy f(x,y)dx . D c x ( y) 1
Ví dụ 2.4. Tính tích phân I = 2
x ydxdy trên miền D xác định bởi tam giác ABC với A(0,0), D B(1,0), C(1,1).
Bài giải. Đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là
Chúng ta có thể tính I bằng 2 cách: 0 x 1
Cách 1. Chiếu miền D lên trục Ox thì D = 0 y x y x = x= 1 1 x 1 2 2 y2 2 1 1 4 1 x5 1 1 1 I = x ydxdy = dx x ydy = x dx = x dx = = = . 2 2 2 5 2 5 10 D 0 0 0 y 0 = 0 x= 0 0 y 1
Cách 2. Chiếu miền D lên trục Oy thì D = y x 1 1 1 1 x =1 3 = x 1 1 x 1 1 2 5 y y 2 2 I = x ydxdy = dy x d y x = y dy = (y− 4 y )dy = − = 3 3 3 2 5 D 0 y 0 x =y 0 = y 0 1 1 1 1 5− 2 1 3 1 − = = = . 3 2 5 3 10 310 10
+ Trường hợp 3. D là miền đóng nội ,
tiếp trong hình chữ nhật {x = a, x = b, y = c, y = d}, trong đó
các điểm tiếp xúc M, Q, P, N có thể là một đoạn thẳng. 63
- Nếu cung MNP được biểu diễn bằng phương trình y = y1(x), còn cung MQP được biểu diễn bằng
phương trình y = y2(x) và chiếu miền D lên trục Ox thì D = {(x,y)R2a x b, y1(x) y y2(x)} b y2 ( x )
f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy . D a y ( x ) 1
- Nếu cung QMN được biểu diễn bằng phương trình x = x1(y), còn cung QPN được biểu diễn bằng
phương trình x = x2(y) và chiếu miền D lên trục Oy thì D = {(x,y)R2c y d, x1(y) x x2(y)} d x ( y) 2
f(x,y d)xdy = dy f(x,y)dx . D c x ( y) 1 2 x
Ví dụ 2.5. Tính tích phân I =
dxdy trên miền D giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, y = x và 2 y D đường hypecbol y =1 x .
Bài giải. Đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là
Chúng ta có thể tính I bằng hai cách: 1 x 2
Cách 1. Chiếu miền D lên trục Ox thì D = 1 ( x) y x = x=2 y x x2 2 x x2 2 2 1 2 3 x 4 x2 9 dxdy = dx dy = − x dx = (x − x)dx = − = . y2 y2 y 4 2 4 D 1 1 x 1 y 1 = x 1 x 1 = 1 y 2 1 ( ) 2 y 1
Cách 2. Chiếu miền D lên trục Oy thì D = D1D2 với D = và D = 2 1 y x 2 1 ( y) x 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 = x I = x dxdy + x dxdy dxdy = x dy dx + x dy dx = 2 2 2 2 2 y y y y y D D D 1 y 1 2 1 y 1 2 64 2 x =2 3 1 x =2 3 2 1 x 1 x 1 8 1 1 8 1 dy + dy = − y dy + − dy = 2 2 2 2 5 y 3 y 3 3 y 3 y y 1 x =y 1 2 = x 1 y 1 1 2 y 2 = y 1 = 1 8 y2 1 8 1 17 5 9 − − + − + = + = . 3 y 2 3 y 4y4 12 6 4 = y 1 y=1 2 d x ( y) 2
Nhận xét. (1) Với miền D ở Ví dụ 2.5. nếu sử dụng công thức f(x, y d
) xdy = dy f(x, y)dx thì D c x ( y) 1 b y ( x ) 2
tính toán cồng kềnh hơn sử dụng công thức f(x, y)dxdy = dx f(x, y)dy . D a y ( x ) 1
(2) Nếu biết các cận của tích phân hai lớp, chúng ta có thể suy ra miền tính tích phân D, do đó đổi
được thứ tự tính tích phân. 2 4
Ví dụ 2.6. Đổi thứ tự
tính tích phân của tích phân I = dx f(x, y)dy −2 x2 Bài giải. 2 4 − 2 x 2
Từ các cận của tích phân I = dx f (x, y d ) y D =
nên đồ thị của miền D trong hệ 2 −2 x2 x y 4
tọa độ Descartes vuông góc Oxy là
Đường thẳng y = 4 giao với y = đường parabol
x2 tại 2 điểm (–2,4) và (2,4). 0 y 4 4 y
Nếu chiếu miền D lên trục tung Oy thì miền D=
, khi đó I = dy f (x, ) y dx . − y x y 0 − y Ví dụ xdxdy
2.7. Tính tích phân
trên miền đóng D = {(x,y)R2|0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1} 3 D 1+ y Bài giải.
Đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là 0 x 1 1 1 1 1 xdy dy
Nếu chiếu miền D lên trục Ox thì D = I= dx = xdx 3 x y 1 0 x + 3 1 y 0 x 1+ y 0 y 1 y 1 y 1
Nếu chiếu miền D lên trục Oy thì D = xdx dy I = dy = xdx 3 3 0 x y 0 0 1+ y 0 1 + y 0 65 1 y 1 1 Chúng ta nhận thấy dy dy , tính I =
xdx đơn giản hơn tính I = xdx . 3 3 0 1 + y 0 0 x 1+ y 1 y 1 x =y 2 1 2 1 3 dy 1 x I = xdx = dy = 1 y dy = 1 1 d(y ) = 3 3 3 1 y 1 y 2 2 1 y 2 3 0 + 0 0 + 3 x=0 0 + 0 1 + y 1 1 = − = = ( 1 y 1 y 1 − + − 1+ y3) 3 1 1 3 ( 1 2) 1 1 3 2 1 2 d 1 ( + y ) = 1 ( + y ) = 1+ y = . 6 6 ( 1 − 2) +1 y 0 = 3 y=0 3 0 1 2 Ví dụ 2
2.8. Tính tích phân I = dy x e dx 0 2 y
Bài giải. Các nhà toán học đã chứng minh rằng, biểu thức dưới dấu tích phân trong tích phân 2 2
ex dx không có nguyên hàm sơ cấp, tức là nguyên hàm của tích phânex dx không thể biểu diễn qua
các hàm số sơ cấp được, mặc dù về mặt lý thuyết thì tích phân 2 ex dx là khả tích. 1 2 0 y 1
Từ các cận của tích phân 2 I = dy x e dx D =
nên đồ thị của miền D trong hệ tọa độ 2y x 2 0 2 y Descartes vuông góc Oxy là
Bây giờ, chúng ta chiếu miền D lên trục Ox thì miền D được mô tả bằng cách khác là 0 x 2 2 x 2 2 y= x 2 = x2 − x2 1 2 x2 1 2 x2 2 1 x x2 e4 2 1 D = I = dx e dy = e y dx = xe dx = e d(x ) = e = . 0 y x 2 y= 0 2 4 4 x=0 4 0 0 0 0 0 1 2
Nhận xét. Nếu tính tích phân 2 I = dy x
e dx theo thứ tự đã cho thì không tính được, nhưng nếu đổi 0 2 y 2 x 2
thứ tự tính tích phân thành 2 I = dx x
e dy thì tích phân này tính được. 0 0 2.1.2.
Phép đổi biến trong tích phân hai lớp
2.1.2.1. Công thức đổi biến trong tích phân hai lớp
Xét tích phân hai lớp f(x, y)dxdy , trong đó hàm số f(x,y) xác định và liên tục trên miền đóng D. D x = x(u, v)
Giả sử chúng ta thực hiện phép đổi biến
thỏa mãn các điều kiện sau đây: y = y(u, v) x = x(u, v) (1) Phép đổi biến -
là ánh xạ 1 1 từ miền D lên miền D’ (miền D’ là ảnh của mi qua ền D y = y(u, v) phép đổi biến này);
(2) Các hàm x(u,v), y(u,v) là các hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 1 x , , u ( ) v , x, , u ( ) v , y, , u ( ) v ,
liên tục trên miền đóng D’ = {(u,v)R2} nào đấy; u v u y,v , u ( ) v x, (u, v) x, (u, v)
(3) Định thức Jacobi J = det u v 0 trong miền D’; y, (u, ) v y, (u, v) u v 66 Khi đó f (x, y dx ) dy f x(u, v), y(u, v)J dudv = . D D' Lưu ý.
(1) Nếu phép đổi biến là ánh xạ 1-1 thì một điểm trong của miền D tương ứng với một điểm trong
của miền D’ và ngược lại, một điểm trên biên của miền D tương ứng với một điểm trên biên của miền D’ và ngược lại.
(2) Nhà toán học Carl Gustav Jacob Jacobi (người Đức) đã chứng minh: Giá trị của định thức x = x(u, v)
Jacobi của phép đổi biến
là nghịch đảo giá trị của định thức Jacobi của phép đổi biến ngược y = y(u, v) u = u(x, y) x, (u,v) x, (u,v ) u v 1
của phép biến đổi trên, tức là J = det = và , , v = v(x, y) y (u, v) y (u, v) u v u, (x, y) u , (x, y) x y det , , v (x, y) v (x, y) x y u, (x, ) y u , (x, y) x y 1 ngược lại det = . v, (x, y) v, (x, y) J x y
Ví dụ 2.9. Tính tích phân I = 2 ( x 3
+ 4xy)dxdy trên miền D là hình bình hành giới hạn bởi các D
đường thẳng {x + 2y = 2, x + 2y = 4, 3x – y = 0, 3x – y = 3}. Bài giải. 2 x + 2y 4
Đồ thị của miền D =
trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là 0 x 3 − y 3
Nếu tính tích phân này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy thì việc chia miền D thành các
miền nhỏ bởi các đường song song với các trục tọa độ là phức tạp (phải tìm tọa độ điểm giao của các
đường thẳng chứa các cạnh của hình bình hành, sau đó chiếu miền D lên trục Ox hoặc trục Oy), dẫn đến
việc tính toán cồng kềnh, do đó chúng ta thực hiện đổi biến sao cho miền D là hình bình hành trong hệ
tọa độ Descartes vuông góc Oxy chuyển thành miền D’ là hình chữ nhật trong hệ tọa độ Descartes vuông u = x +2y u(x, y) x = u 7 + 2v 7 x(u, v) 2 u 4
góc Ouv bằng phép đổi biến D'= vì v = 3x − y v(x, y) y = u 3 7 − v 7 ( y u, v) 0 v 3 2 x + 2y 4 D = . 0 x 3 − y 3 x, (u, v) x, (u,v ) u = x + 2y
Để tìm định thức Jacobi J = det u v từ phép đổi biến chúng ta có thể , , y v = x 3 − y u (u, v) yv (u, v)
thực hiện bằng cách sau đây 2 : u = x + 2y x = u 7 + 2v 7 x , (u, v) x, (u, v) 1 7 2 7 u v 1 - Cách 1. J = det = = − v = x 3 − y y = u 3 7 − v 7 y , (u, v) y, (u, v) 3 7 − 1 7 7 u v u = x + 2y u, (x, y) u, (x, y) x y 1 2 1 1 - Cách 2. det = det = 7 − J = = − v = x 3 − y v, (x, y) v, (x, y) − − x y 3 1 7 7 67 I = 2 3 ( x + 4xy)dxdy = 2 3
[ x (u, v) + 4x(u, v)y(u, v)]J dudv = D D' 4 3 du ( 3 [ u 7 + 2 2v 7) + ( 4 u 7 + 2v ) 7 ( u 3 7 − v ) 7 ]−1 7 dv = 2 0 v =3 4 3 4 1 1 2 3 v v 2 du 1 ( u 5 + 3 u 2 v + 2 4v )dv = 2 1 u 5 + v 3 u 2 + 4 du = 3 3 7 7 2 3 2 0 2 v=0 = v 3 u=4 4 1 3 4v 4 1 1 3 2 u u 2 1 u 5 v + 2 1 u 6 v + du = 2 (4 u 5 +14 u 4 + 3 ) 6 du = 45 + 144 + 3 u 6 = 3 7 3 343 343 3 2 2 =v0 2 u=2 1 u= 4 1776 1 ( u 5 3 + 7 u 2 2 + 3 u 6 ) = . 343 u=2 343
2.1.2.2. Tính tích phân hai lớp trong tọa độ cực Tọa độ cực
Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều, trong đó mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được
biểu diễn duy nhất bằng hai thành phần: Khoảng cách từ
điểm đó tới một điểm gốc O (được gọi là gốc
cực) gọi là bán kính r 0 (r = 0 khi điểm M trùng với điểm gốc O) và góc tạo bởi hướng gốc cho trước
(được gọi là trục cực) với đường thẳng chứa OM (gọi là đường thẳng OM) theo chiều dương (trục cực
quay quanh gốc cực theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, cho đến khi trùng với đường
thẳng OM), trục cực thường được vẽ theo chiều ngang và hướng về bên phải.
Hình sau đây thể hiện mối quan hệ giữa tọa độ Descartes (x,y) với tọa độ cực (r,) của cùng một
điểm trong mặt phẳng R2 trong trường hợp gốc của hai hệ tọa độ này trùng nhau và trục hoành Ox của hệ
tọa độ Descartes vuông góc Oxy trùng với trục cực của hệ tọa độ cực cả phương và hướng. x = x(r, ) = r cos
Khi đó, phép biến đổi từ tọa độ Descartes ( ) sang tọa x,y độ cực (r,) là , vì các y= y r ( , ) = r si n r 0
hàm số lượng giác cos, sin là các hàm số tuần hoàn có chu kỳ 2 nên với thì phép biến đổi 0 2
này xác định một ánh xạ 1-1 giữa tọa độ Descarter (x,y) và tọa độ cực (r,) của cùng một điểm trong mặt
phẳng R2, riêng điểm gốc tọa độ O(0,0) tương ứng với r = 0 và tùy ý. Còn phép biến đổi từ tọa độ cực r = r(x,y) = x2 + y2
(r,) sang tọa độ Descartes (x,y) là
cũng xác định một ánh xạ 1-1 giữa tọa độ
= (x,y) =arctan(y x)
cực (r,) và tọa độ Descartes (x,y) của cùng một điểm trong mặt phẳng R2. 68
Nhận xét. Hệ tọa độ cực có ích trong những trường hợp mà trong ,
đó quan hệ giữa hai điểm được
mô tả dưới dạng khoảng cách và góc. Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy, quan hệ này được biểu
diễn dưới dạng công thức lượng giác .
Khi tính tích phân f(x, y)dxdy , nếu các hàm số mô tả biên của miền D là các hàm số của biến D 2 2 x + y hoặc 2 2
px + qy (trong các tham số p 0 và q 0 phải có ít nhất một tham số có giá trị khác 1) thì
nên đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) hoặc tọa độ cực (r,) mở rộng, khi đó, việc
tính tích phân này, nói chung sẽ đơn giản hơn.
Đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r, )
Công thức đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) của điểm M(x,y) là x = x(r,) = x + rcos 0
, trong đó (x0,y0) là tọa độ (trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy) của điểm
y = y(r, ) = y + r sin 0
gốc cực của hệ tọa độ cực. x = x(r,) = x + rcos
r = r(x, y) = (x − x )2 + (y − y )2
Phép biến đổi ngược của 0 là 0 0 .
y = y(r, ) = y + r sin 0
= (x, y) = arctan[(y −y ) (x −x )] 0 0 x = x(r,) = x + rcos
Nếu r > 0 và 0 2 thì phép đổi biến 0
xác định một ánh xạ 1-1 giữa
y = y(r, ) = y + r sin 0
tọa độ Descarter (x,y) và tọa độ cực (r,), riêng điểm gốc cực có tọa độ (x0,y0) trong hệ tọa độ Descartes
vuông góc Oxy, tương ứng với r = 0 và tùy ý. Chúng ta c ó (x + r cos) ( x +r cos ) 0 0
x , (r,) x ,(r,) cos − r sin r = r J det = det = det = r 0 y, (r,) y ,(r,) ( y + r sin ) (y + r sin ) 0 0 sin r cos r r
trừ điểm gốc cực có tọa độ (x0,y0) trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy.
f(x,y)dxdy = f(x + rcos,y + rsin)J drd = rf(x rcos ,y rsin )drd , miền D’ 0 0 + + 0 0 D D' D'
trong hệ tọa độ cực (r,) là ảnh của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy.
Để đơn giản, nhưng không mất tính tổng quát, các trình bày sau đây khi đổi biến từ tọa độ
Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,), chúng ta chọn (x0,y0) = (0,0), tức là điểm gốc cực của hệ tọa độ cực
trùng với điểm gốc của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy.
Có 3 trường hợp xảy ra khi đổi biến từ tọa độ Descarte ,
s (x,y) sang tọa độ cực (r,). Trường hợp 1.
Điểm gốc cực của hệ tọa độ cực nằm ngoài miền D g ( ) 2 D'=
f(x,y)dxdy = f(rco s,rsi n ) r dr d = d rf(rcos,rsi n )dr . g ( ) r g ( ) 1 2 D D' g ( ) 1 Trường hợp 2.
Điểm gốc cực của hệ tọa độ cực nằm trên biên của miền D 69 g( ) D'=
f(x,y)dxdy = f(rco s , rsi n ) r drd = d rf(rco s , rsi n )dr . 0 r g() D D' 0 Trường hợp 3.
Điểm gốc cực của hệ tọa độ cực là điểm trong của miền D 2 g 0 ( ) 2 D'=
f(x,y)dxdy = f(rco s , rsi n ) r dr d = d rf(rco s , rsi n )dr . 0 r g() D D' 0 0
Ví dụ 2.10. Tính tích phân I = ydxdy trên miền D = {(x,y)R2|4 ≤ x2 + y2 ≤ 9,–x ≤ y ≤ x} D Bài giải.
Đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là x = r cos
Nếu đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) theo công thức thì điểm y = r sin
gốc cực của hệ tọa độ cực nằm ngoài miền D (Trường hợp 1), khi đó D'= . g () r g () 1 2
Để xác định các góc , (tạo bởi trục Ox với các đường thẳng y = x, y = –x tương ứng, với chiều
dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ) và các hàm g1(), g2() chúng ta thực hiện như sau x = r cos - Thay
vào các bất đẳng thức –x ≤ y ≤ x –rcos ≤ rsin ≤ rcos –1 ≤ tan ≤ 1 y = r sin
arctan(–1) ≤ ≤ arctan(1) 4
3 4 = 4 và = 3 4 , hoặc bằng cách khác: đường
thẳng y = x có hệ số góc tan = 1 = arctan1 = 4 , còn đường thẳng y = –x có hệ số góc tan = 1 − = arctan(− )
1 = 3 4 4 3 4 . x = r cos - Thay
vào các bất đẳng thức 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9 22 ≤ (rcos)2 + (rsin)2 ≤ 3 2 y = r sin 22 ≤ r2 ≤ 32
2 ≤ r ≤ 3 (vì r 0) g1() = 2 và g2() = 3. = 4 g () = 2 4 3 4 và 1 ' D = . = 3 4 g () = 3 2 2 r 3 70
Chúng ta có |J| = r và vì f(x,y) = y f(rcos,rsin) = rsin I = ydxdy = (rsin) J dr d = D D' g () 3 4 3 2 3 4 3 2 2 (rsi n r ) drd = d r sindr = sind r dr = sin d 2 r dr = D' g ( ) 4 2 1 4 2 ( 3 3 3 4 − cos . ) r 3 1 3 3 2 2 1 19 2 = cos − cos (3 − 2 ) = + .(27 − ) 8 = 4 3 4 4 3 2 2 3 3 2
Ví dụ 2.11. Tính tích phân I = ydxdy trên miền D là một phần tư đường tròn có tâm tại gốc tọa D
độ, bán kính R nằm trong góc vuông thứ nhất của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy. Bài giải.
Đường tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) và bán kính R có phương trình x2 + y2 = R2, do đó một
phần tư đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính R nằm trong góc vuông thứ nhất của hệ tọa độ
Descartes vuông góc Oxy là miền D = {(x,y)R2| x2 + y2 ≤ R2, x 0, y 0}
. Đồ thị của miền D trong hệ
tọa độ Descartes vuông góc Oxy là x = r cos
Nếu đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) theo công thức thì điểm y = r sin
gốc cực của hệ tọa độ cực nằm trên biên của miền D (Trường hợp 2), đồng thời trùng với điểm gốc của
hệ tọa độ Descartes, khi đó D'= . 0 r g ( )
Để xác định các góc , (tạo bởi trục Ox với các đường thẳng y = 0, x = 0 tương ứng, với chiều
dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ) và hàm g() chúng ta thực hiện như sau x = r cos x 0 r cos 0 cos 0 - Thay
vào các bất đẳng thức 0 2 , y = r sin y 0 r sin 0 sin 0 = 0 và = 2 . x = r cos - Thay
vào bất đẳng thức x2 + y2 ≤ R2 (rcos)2 + (rsin)2 ≤ R2 r2 ≤ R2 0 ≤ r ≤ y = r sin
R (vì r 0) g() = R. = 0 0 2 và g ( ) = R D'= . = 2 0 r R
Chúng ta có |J| = r và vì f(x,y) = y nên f(rcos,rsin) = rsin I = ydxdy = (rsin) J dr d = D D' g( ) 2 R 2 R (rsi n ) d r rd = d 2 r sindr = sind 2 r dr = sin d 2 r dr = D' 0 0 0 0 0 ( R 3 3 3 − cos 2 ) r R R = (−0+ ) 1 = . 0 3 3 3 0
Ví dụ 2.12. Tính tích phân I = (2x + 3y)dxdy trên miền D = {(x,y)R2|x2 + y2 ≤ –2y, x ≤ 0, y ≤ 0} D 71
Bất đẳng thức x2 + y2 ≤ –2y x2 + y2 – 2y ≤ 0 x2 + y2 + 2y + 1 ≤ 1 x2 + (y + 1)2 ≤ 12 là hình
tròn có tâm tại điểm (0,–1) và bán kính R = 1, do đó đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là x = r cos
Cách 1. Nếu đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) theo công thức thì y = r sin
điểm gốc cực của hệ tọa độ cực nằm trên biên của miền D (Trường hợp 2), đồng thời trùng với điểm gốc
của hệ tọa độ Descartes, khi đó D'= . 0 r g()
Để xác định các góc , (tạo bởi trục Ox với các đường thẳng x = 0, y = 0 tương ứng, với chiều
dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ) và hàm g() chúng ta thực hiện như sau x = r cos x 0 r cos 0 c os 0 - Thay
vào các bất đẳng thức
− − 2, y = r sin y 0 r sin 0 s in 0 = − và = − 2 . x = r cos - Thay
vào bất đẳng thức x2 + y2 ≤ 2y –
(rcos)2 + (rsin)2 ≤ –2rsin r2 + 2rsin y = r sin
≤ 0 r(r + 2sin) ≤ 0 0 ≤ r ≤ –
2sin (vì r 0) g() = 2s – in. = −
− − 2
và g() = −2sin D'= . = − 2 0 r −2 sin
Chúng ta có |J| = r và vì f(x,y) = 2x + 3y nên f(rcos,rsin) = r(2cos + 3sin)
I = (2x +3y)dxdy = r(2 cos +3sin ) J drd = (2 cos +3sin 2 )r drd = D D' D' g ( ) − 2 −2sin d (2 cos + 3sin 2 )r dr = (2 co s + 3sin) 2 d r dr = 0 − 0 − r=−2 2 sin 3 − 2 r (2 cos +3sin ) d = − 8 3 3 (2co s + 3sin) sin d 3 − = r 0 −
Hạ bậc biểu thức lượng giác 3 9 sin 2 3cos2 sin 4 3cos4 (2 cos + 3sin) sin = + − − + 8 2 2 4 8 − 2 8 9 sin 2 3cos 2 sin 4 3cos 4 I = − + − − + d = 3 8 2 2 4 8 − − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 3 − 4 d sin 2 d + 4 cos 2 + 2 d sin 4 d − cos4 d = 3 3 − − − − − − 2 − 2 − 2 − 2 − − 2 − 4 3
sin 2d(2) + 2 cos2d(2 + 2 ) sin 4 d( 4 − 1 ) cos 4 d( 4 ) = − . 3 2 . 3 4 4 − − − − − 3 + 2 cos − 2 2 + s 2 in − 2 − 1 2 cos − 2 − 1 4 sin − 2 4 = − − − − 2 3 6 4 72 3 2 1 1 3 4 − + ( 1 − − ) 1 + ( 2 0 − + 0) − 1 ( − ) 1 − ( 0 − + 0) = − − . 2 3 6 4 2 3
Cách 2. Nếu đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) theo công thức x = r cos
thì điểm gốc cực của hệ tọa độ cực vẫn nằm trên biên của miền D (Trường hợp 2), y = −1 + r sin
nhưng ở điểm (0,–1) trong hệ tọa độ Descartes, khi đó D'= . 0 r g ( )
Để xác định các góc , (tạo bởi đường thẳng y = 1 với đường thẳng x = 0 tương ứng, với chiều
dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ) và hàm g() chúng ta thực hiện như sau
- Thay x = rcos vào các bất đẳng thức x ≤ 0 rcos ≤ 0 cos ≤ 0 (vì r 0)
2 3 2 = 2 và = 3 2 . x = r cos - Thay
vào bất đẳng thức x2 + y2 ≤ –2y (rcos)2 + (–1 + rsin)2 ≤ –2.(–1 + y = −1 + r sin rsin) r2 – 1 ≤ 0 ( r – 1)(r + 1) ≤ 0
0 ≤ r ≤ 1 (vì r + 1 0) g() = 1. = 2 2 3 2 và g ( ) = 1 D = ' . = 3 2 0 r 1
Chúng ta có |J| = r và f(rcos, 1 + – rsin) = 2rcos + 3( 1 + – rsin) = 3 + – 2rcos + 3rsin I = (2x+ 3y)dxdy = − ( 3+ 2r co s + r 3 sin) J d rd = − ( 3+ 2r co s + r 3 sin)rd rd = D D' D' g ( ) 3 2 1 d (−3 + 2r cos + r 3 sin )rdr = d (− r 3 + 2 2r cos + 2 r 3 sin )dr = 0 2 0 3 = 2 r 1 2 3 3 r r r 3 2 3 2 − 3 + 2 cos + 3 sin d =
− + cos + sin d = 2 3 3 2 3 2 = 2 r 0 3 2 3 2 3 3 2 3 4
− + sin − cos = − − + (−1− ) 1 − (0 − 0) = − − . 2 3 2 2 2 3 2 3 2
Ví dụ 2.13. Tính tích phânI = 4 − 2 x − 2
y dxdy trên miền D = {(x,y)R2|x2 + y2 ≤ 4} D Bài giải.
Đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là hình tròn x2 + y2 ≤ 22 có tâm tại gốc
tọa độ O(0,0) và bán kính R = 2 73 x = r cos
Nếu đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) theo công thức thì điểm y = r sin 0 2 gốc cực
của hệ tọa độ cực là điểm trong của miền D (Trường hợp 3), khi đó D'= . 0 r g() x = r cos
Để xác định hàm g() chúng ta thay
vào bất đẳng thức x2 + y2 ≤ 4 (rcos)2 + y = r sin 0 2 (rsin)2 ≤ 22 r
2 ≤ 22 0 ≤ r ≤ 2 (vì r 0) g() = 2 g ( ) = 2 D = ' . 0 r 2 Chúng ta có |J| = r và vì 2 2 f (x, ) y = 4 − x − y nên f r ( co s ,rsin) = 4 − (rcos 2 ) − (rsin 2 ) = 4 − 2 r I = 4 − 2 x − 2 y dxdy = 4 − (r cos 2 ) − (r sin 2 ) J dr d = D D' 2 2 2 2 2 4− 2 r rdr d = d r 4− 2 r dr = d r 4− 2 r dr = 2 1 2 2 ( 4 r d(4 r ) 0 ) − − − = 2 D' 0 0 0 0 0 2 2 1 2 1 + 2 2 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 16 2
− (4 − r ) d(4 − r ) = − (4 − r ) = − (4 − r )2 = − .( − ) 8 = . 2 1 ( ) 2 +1 3 3 3 0 0 0
Đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r, ) mở rộng
Công thức đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) mở rộng của điểm M(x,y) là
x = x(r,) = x + pr cos 0
, trong đó (x0,y0) là tọa độ (trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy) của
y = y(r,) = y + qr sin 0
điểm gốc tọa độ của hệ tọa độ cực, đối với các tham số p 0 và q 0 phải có ít nhất một tham số có giá trị khác 1. Khi đó
(x + pr cos ) (x + pr cos) , , 0 0 x (r, ) x r (r, ) J = det r = det = , , y (r, ) y (r, ) (y qr sin ) (y qr sin ) r + + 0 0 r p cos − pr sin det = pqr 0 q sin qr cos 2 2 x − x y− y 0 0 = = + r r(x, y)
x = x(r, ) = x + r cos
Phép biến đổi ngược của p q 0 là .
y = y(r, ) = y + r sin 0 p(y − y ) = ( x, y) = arctan 0 q(x − x ) 0
Đặc biệt, khi p = q = 1 thì công thức đổi biến trên trở lại công thức đổi biến từ tọa độ Descartes
(x,y) sang tọa độ cực (r,) và ngược lại. x 2 y2
Ví dụ 2.14. Tính tích phânI = 2 x dxdy trên miền D = + 1 9 4 D Bài giải. x 2 y2
Đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là hình ellips + 1 có tâm tại 32 22
gốc tọa độ O(0,0), hai bán trục có độ dài là 3 và 2 74 x = r 3 co s
Nếu đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) mở rộng theo công thức y = 2r sin 0 2
thì điểm gốc của hệ tọa độ cực là điểm trong của miền D, khi đó D'= . 0 r g() x = r 3 cos x 2 y2 r 3 ( co s )2 (2r sin ) 2 Thay vào bất đẳng thức + 1 + 1 y = 2r sin 32 22 32 22 0 2
r 2 cos2 + r 2 sin2 1 r2 1 r 1 0 r 1 (vì r 0) g() = 1 D' = . 0 r 1
Vì |J| =|2.3r| = 6r và f(x,y) = x2 f r 3 ( cos 2 , r sin ) = r 3 ( cos 2 ) = 2 2 9r cos 2 1 I = 2 x dxdy = 2 2 9r cos J dr d = 2 2 9r cos r 6 dr d = 5 2 4 cos d 3 r dr = D D' D' 0 0 1 2 2 1+ cos2 r 4 2 1 27 sin 2 27 27 54 d = 27 1 ( + cos2 ) d = + = 2 = . 2 4 4 4 2 4 2 0 0 0 0
2.1.3. Ứng dụng hình học của tích phân hai lớp
2.1.3.1. Tính diện tích hình phẳng
S = dxdy là diện tích của miền phẳng D . D
Ví dụ 2.15. Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi các
đường y = x và y = 2 – x2. Bài giải.
Đồ thị của miền phẳng D là
Đường thẳng y = x giao với đường parabol y = 2 – x2 tại các điểm (1,1); (–2,–2) và khi chiếu miền − 2 x 1
D lên trục Ox chúng ta được D =
nên diện tích S của miền D là x y 2 − 2 x 2 x 1 = 1 2− x 1 1 y= 2− x2 2 x3 x 9 S= dxdy = dx dy = y d
x = (2 − x − x)dx = 2x − − = . y x = − − − 3 2 2 D 2 x 2 2 x=− 2
Lưu ý. Nếu miền phẳng có tính đối xứng thì chỉ cần tính diện tích một phần của nó rồi suy ra diện
tích của cả miền phẳng.
Ví dụ 2.16. Tính diện tích S của miền phẳng D = {y = x2, x = y2}.
Bài giải. Đồ thị của miền D
trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là
Các đường parabol y = x2, x = y2 giao nhau tại các điểm (1,1), (–1,1), (–1,–1), (1,–1). 75
Ký hiệu D+ là phần của miền D nằm trong góc vuông thứ nhất của hệ tọa độ Descartes vuông góc
Oxy (x 0 và y 0). Do tính đối xứng miền D nên diện tích S của miền D bằng 4 lần diện tích của miền
D+, tức là S = dxdy = 4 dxdy . + D D 0 x 1
Chiếu miền D+ lên trục Ox thì + D = x2 y x 1 1 x 1 1 1 1 1 ( 2)+1 3 S = 4 dx dy = y = x x x 4 y 2 dx = 4 ( x − 2 x ) dx = 4 x − 2 2 x dx = 4 − = 2 y x = 1 ( 2) 1 3 0 x 0 0 0 + 0 2 1 1 4 4 − = . 4 = . 3 3 3 3
2.1.3.2. Tính diện tích mặt cong
Nếu mặt cong z = f(x,y) có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng tọa độ Oxy là miền đóng D, còn
hàm số f(x,y) và các đạo hàm riêng f ,
liên tục trên miền D thì diện tích S của mặt cong z = x (x, ) y ,f ,y (x, y)
f(x,y) được tính bằng công thức S = + , 2 1 f [ (x, y)] + , 2 f [ (x, y)] dxdy . x y D
Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên tương tự, với mặt cong x = f(y,z) có hình chiếu vuông góc lên
mặt phẳng tọa độ Oyz là miền đóng D, còn hàm số f(y,z) và các đạo hàm riêng f , ( , y z),f , ( , y z) liên tục y z
trên miền D thì diện tích của mặt cong x = f(y,z) được tính bằng công thức S = 1+ , 2 f [ (y, z)] + , 2 f [ (y, z)] dydz . y z D
Cũng như vậy, với mặt cong y = f(x,z) có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng tọa độ Oxz là miền
đóng D, còn hàm số f(x,z) và các đạo hàm riêng f ,
liên tục trên miền D thì diện tích của mặt x (x, z),f ,z (x, z)
cong y = f(x,z) được tính bằng công thức S = 1+ , 2 [f (x, z)] + , 2 [f (x, z)] dxdz . x z D Ví dụ
2.17. Tính diện tích mặt cầu 2 2 2 2
x + y + z = R bằng tích phân 2 lớp
Bài giải. Đồ thị của mặt cầu 2 2 2 2
x + y + z = R bán kính R và tâm tại điểm O(0,0,0) trong hệ tọa độ
Descartes vuông góc Oxyz là
Hình chiếu của hai nửa mặt cầu này lên mặt phẳng tọa độ Oxy là D = {(x,y)R2|x2 + y2 ≤ R2} (tương ứng với z = 0). 2 2 2 2 R2 − x2 − y2 khi z 0
Chúng ta có x + y + z = R z = f (x, y) = tương ứng với nửa
− R2 − x2 − y2 khi z 0
mặt cầu phía trên và nửa mặt cầu phía dưới mặt phẳng tọa độ Oxy.
Hai nửa mặt cầu đối xứng qua mặt phẳng tọa độ Oxy nên diện tích của mặt cầu là S = 2 1+ ' 2 [f (x, y)] + ' 2 [f (x, y)] dxdy với 2 2 2 f (x, y) = R − x − y x y D 2 2 S = 2 1 − 2x 1 − 2y 1+ + dxdy = dxdy 2R 2 2 2 2 2 2 2 R x y 2 D − − R − x − 2 2 2 y D R − x − y 76 x = r cos Để tính tích phân dxdy , chúng ta đổi biến
từ tọa độ Descartes (x,y) sang 2 2 2 y = r sin D R − x − y
tọa độ cực (r,) có định thức Jacobi J = r, khi đó miền D là hình tròn x2 + y2 ≤ R2 trong hệ tọa độ 0 r R
Descartes vuông góc Oxy trở thành miền D'=
trong hệ tọa độ cực (r,) . 0 2 J drd rdr d 2 R rdr S = 2R = 2R = 2 R d = 2 2 2 2 2 2 2 D' R − (r co s ) − (r sin) D' R − r 0 0 R −r R 1 − + − − 2 ( 2 1 1 (R r ) R −
(R − r ) d(R − r ) = 2R.2 − = 4R . 0 ) 1 R 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 − +1 2 0
2.1.3.3. Tính thể tích vật thể
Trường hợp 1. Thể tích V của hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, có mặt đáy là hình
phẳng D trong mặt phẳng Oxy và mặt trên là mặt cong z = f(x,y) 0 liên tục trên miền D, được tính bằng
công thứcV = f(x,y)dxdy . D
Trường hợp 2. Thể tích V của vật thể có đường sinh song song với trục Oz, còn mặt dưới và mặt
trên của vật thể tương ứng là mặt cong z f1(x,y) z1(x,y) và mặt cong z = f2(x,y) z2(x,y), trong đó
f1(x,y) và f2(x,y) là các hàm số liên tục trên miền D, với D là hình chiếu vuông góc của vật thể lên mặt
phẳng Oxy, được tính bằng công thức V = f (x, y) −f (x,y)dxdy z (x,y) z (x, y)dxdy . 2 1 − 2 1 D D Lưu ý.
(1) Nếu vật thể có tính đối xứng thì chỉ cần tính thể tích một phần của nó rồi suy ra thể tích của cả vật thể.
(2) Nếu vật thể có dạng không thuộc hai trường hợp cơ bản trên thì chia vật thể thành các phần nhỏ
bằng các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ chứa trục Oz, khi đó các phần nhỏ của vật thể có
dạng thuộc một trong trường hợp cơ bản trên, tính thể tích mỗi phần xong rồi cộng lại.
(3) Vì vai trò của x, y và z là như nhau nên nếu hình trụ có các đường sinh song song với trục Ox
hoặc Oy thì đổi vai trò x với z hoặc y với z trong các công thức trên.
Ví dụ 2.18. Tính thể tích hình cầu 2 2 2 2
x + y + z R bằng tích phân 2 lớp. Bài giải.
Đồ thị của hình cầu 2 2 2 2
x + y + z R bán kính R và tâm tại điểm O(0,0,0) trong hệ tọa độ
Descartes vuông góc Oxyz là 77
Hình chiếu của hình cầu này lên mặt phẳng tọa độ Oxy là D = {(x,y)R2|x2 + y2 ≤ R2} (tương ứng với z = 0). 2 2 2 R2 2 − x2 − y2 khi z 0
Chúng ta có x + y + z = R z = f (x, y) = tương ứng với nửa
− R2 − x2 − y2 khi z 0
mặt cầu phía trên và nửa mặt cầu phía dưới mặt phẳng tọa độ Oxy. z (x, )
y f (x, y) = R2 − x2 − y2 khi z 0
Từ đồ thị của hình cầu chúng ta có 2 2 2 2 2
z (x, y) f (x, y) = − R − x − y khi z 0 1 1
V = f (x,y)− f (x,y) dxdy = 2 R x y dxdy 2 1 2 − 2 − 2 D D x = r cos Để tính tích phân 2 R − 2 x − 2
y dxdy , chúng ta đổi biến
từ tọa độ Descartes (x,y) y = r sin D
sang tọa độ cực (r,) có định thức Jacobi J = r, khi đó miền D là hình tròn x2 + y2 ≤ R2 trong hệ tọa độ 0 r R
Descartes vuông góc Oxy trở thành miền D'=
trong hệ tọa độ cực (r,) . 0 2 2 R V = 2 2 R − (r cos 2 ) − (r sin 2 ) J dr d = 2 2 r R − 2 r drd = 2 d 2 r R − 2 r dr = D' D' 0 0 R 1 1+ R 1 2 2 2 3 2 − 2( ) 1 2 2 2 2 1 (R r ) 4 R − (R − r ) d 2 (R − r ) = 2.2 − = . 0 2 2 1 3 0 +1 2 0 Hướng dẫn.
(1) Tính tích phân hai lớp f (x, ) y dxdy D
Bước 1. Vẽ đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy.
Bước 2. Căn cứ vào đồ thị của miền D và biểu thức của một/nhiều hàm số biểu diễn biên của miền
D để quyết định tính trực tiếp tích phân này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc này, hoặc đổi biến sang
hệ tọa độ Descartes vuông góc khác, hoặc đổi biến sang hệ tọa độ cực/hệ tọa độ cực mở rộng trước khi
tính tích phân. Khi đổi biến cần phải biết giá trị của định thức Jacobi (nếu đã biết giá trị của định thức
Jacobi thì không cần tính mà chỉ việc sử dụng, nếu chưa biết thì phải tính) và xác định miền D’ là ảnh của
miền D qua phép đổi biến.
Bước 3. Nếu tính tích phân trong hệ tọa độ Descartes, để xác định các cận của mỗi tích phân một
lớp, chúng ta chiếu miền D lên một trong hai trục tọa độ, sao cho việc tính tích phân đơn giản hơn. Nếu
tính tích phân trong hệ tọa độ cực/hệ tọa độ cực mở rộng, chúng ta thay x và y qua các biến mới vào
một/nhiều hàm số biểu diễn biên của miền D để tìm miền D’. Xác định thứ tự tính tích phân theo nguyên
tắc: Tích phân một lớp nào có cả hai cận là hằng số thì tính sau.
Bước 4. Lần lượt tính các tích phân một lớp từ phải sang trái.
(2) Để đổi thứ tự tính tích phân của tích phân 2 lớp khi đã biết trước một thứ tự tính
Bước 1. Từ các cận của tích phân 2 lớp với một thứ tự tính đã cho, chúng ta xác định miền tính
tích phân D theo chiều đã được chiếu lên trục tọa độ Ox hoặc Oy của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy.
Bước 2. Vẽ đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy. 78
Bước 3. Chiếu miền D lên trục tọa độ Oy hoặc Ox của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy, xác
định miền tính tích phân D theo chiều chiếu này.
Bước 4. Từ miền tính tích phân D được xác định ở Bước 3, chúng ta viết tích phân theo thứ tự
tính còn lại so với thứ tự tính tích phân đã biết.
(3) Tính diện tích của miền phẳng D
Bước 1. S = dxdy là diện tích của miền phẳng D. D
Bước 2. Nếu D có tính đối xứng thì tính diện tích một phần của D rồi suy ra diện tích của D.
Bước 3. Nếu miền D có dạng không thuộc các trường hợp cơ bản thì chia miền này thành các
miền nhỏ bằng các đường thẳng song song với một trong hai trục tọa độ Ox hoặc Oy (sao cho việc tính
tích phân đơn giản hơn), khi đó các miền nhỏ của D có dạng thuộc một trong các trường hợp cơ bản, tính
diện tích của mỗi phần xong rồi cộng lại. 2 16− 2 x
Ví dụ 2.19. Đổi thứ tự tính tích phân của I = dx f (x, )
y dy và tính I với f(x,y) = 3(x +y). 0 8x − 2 x Bài giải.
(1) Đổi thứ tự tính tích phân 2 16 −x 2 0 x 2 Từ I = dx f (x, y)dy = f (x, y d ) xdy D = 0 2 D 2 2 x 8 x y 16 x 8 x−x − − 8x − 2 x y x 8 − 2 x 2 y 2 4 (x − 2 4) + 2 y Chúng ta có nên nửa đường tròn x 8 − x 2 y y 16 − 2 x 2 y 16 − 2 x 2 x + 2 y 2 4
giao với nửa đường tròn 2
y 16 − x tại điểm (2,2 3) .
Đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes Oxy là D = D D 0 y 2 3
Chiếu miền D lên trục Oy chúng ta được 1 2 , trong đó D = và 1 D D = 2 1 2
0 x 4 − 16 − x 2 3 4− − 2 16 y 4 16 − 2 2 3 y y 4 D = I f (x, dx ) y dy f (x, y dx ) dy dy f (x, y d ) x dy f (x, ) y dx 2 = 2 + = + 0 x 16− y D1 D 2 0 0 2 3 0
(2) Tính I với f(x,y) = 3(x + y) 2 2 = y 1 − 2 2 16 −x 2 1 − 6 x 6 x 2 2 y I = dx ( 3 x + y d ) y = 3 dx (x + y)dy = 3 xy + dx = 2 2 2 0 8x− 0 x 8x − 0 x = y 8 − x x2 2 2 2 2 =3 (x 16 − 2 x −x x 8 − 2 x − x 4 + ) 8 dx = 3 x 16 − 2 x dx −4 (x − ) 2 dx − x x 8 − 2 x dx = 0 0 0 0 2 2 2 = 3(I 2 2 1 + I2 + I3) với I = x 16 x dx , I = −4 (x ) 2 dx và I = − x 8x x dx 1 − 2 − 3 − 0 0 0 79 2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 64 + I = x 16 − x dx = − 16 − x d 1 ( 6 −x ) = − − = − 1 (16 x )2 8 3 2 3 3 0 0 0 2 2 2 (x − 2)2 + I = −4 (x − ) 2 dx = −4 (x − ) 2 d(x − ) 2 = − . 4 = 8 2 2 0 0 0 2 2 + I = − x x 8 − 2 x dx = − [(x − ) 4 + ] 4 16− (x − 2 4) dx = 3 0 0 2 2 2 2
= − (x − 4) 16 − (x − ) 4 dx − 4 16 − (x − 4) dx = I + I 31 32 0 0 2 2
với I = −(x − 4) 16− (x − 2) 4 dx và I = −4 16 − 2 (x 4) dx 31 32 − 0 0 2 2 1
* I = − (x − 4) 16 − (x − 2 4) dx = 16− (x − 4) d 16 (x 4) 31 2 − − 2= 2 0 0 2 1 3 3 3 16 −(x −4 2 1 ) 2 =
16−(2−4)2 −16−(0− )42 2 2 = 8 3 3 3 0 2 * I = −4 16− (x − 2 4) dx 32 0 x = 4 + 4sin t x = 0 t = − 2 Đặt x – 4 = 4sint và dx = 4 costdt x = 2 t = − 6 − 6 − 6 − 6 I = −4 16− 2 (4sin t) 4 costdt = −4 4 cos . t 4 cos tdt = − 2 64 cos tdt = 32 − 2 − 2 − 2 − 6 − 6 − 6 64 −6 1 − − + 1 ( cos2t d ) t = − 32 dt + cos2tdt = −3 2 t + sin 2t = 6 2 2 2 − 2 2 − 2 − − − 2 3 32 −32 − = − + 8 3 . 3 4 3 64 32 I = ( 3 I + I + I + I ) = 3 −8 3 + 8 + 8 3 −
+ 8 3 = 88+ 24 3 − 3 2 . 1 2 31 32 3 3 x = r cos
Cách khác: Đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) bằng phép đổi biến y = r sin
J = r và 3(x + y) = 3r(cos + sin) Tìm miền D’: 2 1 − 6 x 2 + Từ I = dx f (x, y d ) y 8x − 2 x y 16− 2 x x 8 − 2 x 2 y 16− 2 x 0 8 x−x2 8r cos − 2 2 r cos 2 2 r sin 16 − 2 2 r cos r
8 cos − r 2 cos2 r 2 sin 2 8 cos r 8 cos r 8cos r 4
r2 sin2 16− r2 cos2 r2 16 r2 16 2 3
+ Từ đồ thị của miền D chúng ta có = và tan = = 3 = 2 do đó 2 1 2 1 3 3 2 8cos r 4 D' = 3 2 80 2 16 −x2 2 16−x 2 I = dx f (x, y)dy = dx ( 3 x + y)dy = (
3 r cos + r sin ) J dr d = 0 8x − 2 0 x 8x − 2 D' x 2 4 2 4 2 4 3 (cos + sin) 2 d r dr = d ( 3 r cos + r sin)rdr = 3 d (cos + sin 2 )r dr = 3 8cos 3 8co s 3 8cos 2 = r 4 3 2 r 64 1 ( − 3 8 cos 3 (co s + sin) d = 3 (cos + sin ) ) d = 3 3 3 r =8cos 3 2 64 (cos + sin) 1 ( − 3 8 cos ) d 3
Hạ bậc biểu thức lượng giác (cos + sin) 1
( − 8cos3 ) = −3 + cos + sin − 4 cos 2 − 2sin 2 − cos 4 − sin 4 3
I = 64 (−3 +cos +sin −4cos2 −2sin 2 −cos4 −sin 4 ) d = 3 2 sin 4 cos 4 6
4 − 3 +sin − cos − 2sin 2 + cos2 − + = 88+ 24 3 − 3 2 4 4 3 Bài tập 2.1.
Tính các tích phân hai lớp trên miền tương ứng
(a) I = xydxdy , D = {y = 1, y = 3, y = x, y = x + 1} D
(b) I = (x + y)dxdy , D = {y = 0, y = x2, y + x = 2} D
(c) I = xydxdy , D = {xy = 1, xy = 3, y2 = 2x, y2 = 4x} D x −y (d) I = x+y e
dxdy D = {x 0, y 0, x + y 1} D (e) I = 2 (x + 2
y )dxdy , D = {x2 + y2 2Rx (R > 0)} D 2 2 x y x 2 y2 (f) I = 1− − dxdy , D = + 2 2 1 2 2 a b a b D
(g) I = (x −y)dxdy , D = {(x − ) 3 2 + (y − ) 2 2 } 1 D
(h) I = x + y dxdy , D = {|x| | ≤ 1, y| ≤ 1} D (i) I = (2x + y) x
( − 2y)dxdy , E là hình vuông ABCD có các đỉnh A(1,0); B(3,1); C(2,3); D(0,2) E 2.2.
Đổi thứ tự tính tích phân của các tích phân 2 lớp sau đây 3 2 y 2 2x 1 + 1 − 2 1 y (a) I = dy f(x, y)dx (b) I = dx f(x, y)dy (c) I = dy f(x,y)dx 0 0 0 2x −x 2 0 − 2 y 1 1− 2 x 2 y 2 − 2 4 y (d) I = dx f(x, y)dy (e) I = dy f(x,y d ) x + dy f(x, y)dx 0 − − 2 1 x 0 0 2 0
2.3. Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường bậc nhất/bậc hai sau đây (a) {x = 4y y – 2, x + y = 6} ( ) b {xy = 1, x + y = 5/2}
(c) {y2 = 2x, y2 = 3x, x2 = y, x2 = 4y} 81
2.4. Đề thi Giải tích 2 về tính tích phân 2 lớp x (a) Tính I = y
e dxdy , D là miền giới hạn bởi trục tung Oy, đường thẳng y = 1 và đường parabol D y2 = x.( 2017-2018) 1 1 2
(b) Tính tích phân I = dy e1−x dx. (2018-2019) 0 y 2 2 2 2 x (c) Tính I = −x −y e dxdy , D = 1 x + y , 4 y 3x . (2019-2020) 3 D dxdy (d) Cho D = x { 2 + y2 a 2 x, a } 0 , xác định a nếu = . 4 (2020-2021) 2 2 + D x y 82