33 trang 100 lượt tải

Bài giảng chương 3: Khoảng ước lượng | Đại học Sư phạm Hà Nội

199

Bài giảng chương 3: Khoảng ước lượng bao gồm nội dung đầy đủ của cả chương và các ví dụ để các bạn ôn tập của Đại học Sư phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Thống kê xã hội học 96 tài liệu

Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội 2.1 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Lê Văn Tiến

1 năm trước
Danh sách Quiz
/33
NÎi dung cıa ch˜Ïng
1
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cıa trung bình qun th∫.
2
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho tø lª.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 2/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Mˆc tiêu cıa ch˜Ïng
1
Hi∫u ˜Òc ˛ nghæa cıa kho£ng ˜Óc l˜Òng, Î tin c™y.
2
Xác ‡nh kho£ng ˜Óc l˜Òng cıa trung bình vÓi Î tin c™y cho tr˜Óc.
3
Xác ‡nh kho£ng ˜Óc l˜Òng cıa tø lª vÓi Î tin c™y cho tr˜Óc.
4
Xác ‡nh ˜Òc cÔ m®u ∫ có kho£ng ˜Óc l˜Òng vÓi sai sË cho tr˜Óc.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 3/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
3.1 Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
∞t vßn ∑
Thông th˜Ìng, ∫ ˜Óc l˜Òng trung bình µ, ta s˚ dˆng trung bình m®u ¯x
n
.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 4/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
3.1 Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
∞t vßn ∑
Thông th˜Ìng, ∫ ˜Óc l˜Òng trung bình µ, ta s˚ dˆng trung bình m®u ¯x
n
.
Ví dˆ
∫ nghiên c˘u trÂng l˜Òng trung bình cıa các s£n ph©m ˜Òc s£n xußt bi mÎt nhà máy,
ng˜Ìi ta cân 100 s£n ph©m cıa xí nghiªp ó, d˙ liªu thu ˜Òc ˜Òc mô t£ bi b£ng sau:
TrÂng l˜Òng (g)
498 502 506 510
SË s£n ph©m 40 20 20 20
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 4/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
3.1 Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
∞t vßn ∑
Thông th˜Ìng, ∫ ˜Óc l˜Òng trung bình µ, ta s˚ dˆng trung bình m®u ¯x
n
.
Ví dˆ
∫ nghiên c˘u trÂng l˜Òng trung bình cıa các s£n ph©m ˜Òc s£n xußt bi mÎt nhà máy,
ng˜Ìi ta cân 100 s£n ph©m cıa xí nghiªp ó, d˙ liªu thu ˜Òc ˜Òc mô t£ bi b£ng sau:
TrÂng l˜Òng (g)
498 502 506 510
SË s£n ph©m 40 20 20 20
Khi ó, trÂng l˜Òng trung bình cıa 100 s£n ph©m là:
x
100
=
498 × 40 + 502 × 20 + 506 × 20 + 510 × 20
100
= 502, 8(g).
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 4/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
3.1 Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
∞t vßn ∑
Thông th˜Ìng, ∫ ˜Óc l˜Òng trung bình µ, ta s˚ dˆng trung bình m®u ¯x
n
.
Ví dˆ
∫ nghiên c˘u trÂng l˜Òng trung bình cıa các s£n ph©m ˜Òc s£n xußt bi mÎt nhà máy,
ng˜Ìi ta cân 100 s£n ph©m cıa xí nghiªp ó, d˙ liªu thu ˜Òc ˜Òc mô t£ bi b£ng sau:
TrÂng l˜Òng (g)
498 502 506 510
SË s£n ph©m 40 20 20 20
Khi ó, trÂng l˜Òng trung bình cıa 100 s£n ph©m là:
x
100
=
498 × 40 + 502 × 20 + 506 × 20 + 510 × 20
100
= 502, 8(g).
◊Óc l˜Òng trÂng l˜Òng trung bình tßt c£ s£n ph©m trong nhà máy là µ ≈ 502, 8(g).
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 4/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
∞t vßn ∑
N∏u mÎt ng˜Ìi khác cÙng chÂn ng®u nhiên ra 100 s£n ph©m và tính trÂng l˜Òng trung
bình cıa chúng thì có thu ˜Òc áp sË là 502, 8g không?
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 5/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Vì ¯x
n
phˆ thuÎc vào t¯ng m®u, t˘c là n∏u ta lßy hai m®u khác nhau thì trung bình m®u
có th∫ khác nhau nên ∫ t´ng Î tin c™y cıa k∏t qu£, thay vì nói µ gn b¨ng mÎt sË, ta
nói µ thuÎc mÎt kho£ng (µ
1
,µ
2
) nào ó.
Ví dˆ: D¸a vào k∏t qu£ i∑u tra trên, hãy nh™n xét ba phát bi∫u sau:
1
µ thuÎc kho£ng (502, 7, 502, 9).
2
µ thuÎc kho£ng (500, 505).
3
µ thuÎc kho£ng (400, 600).
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 6/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Kho£ng ˜Óc l˜Òng
Do ta chø d¸a vào mÎt m®u nh‰ ∫ ˜Óc l˜Òng giá tr‡ cıa µ nên ta không th∫ ch≠c
ch≠n 100% v∑ k∏t qu£ thu ˜Òc.
Tuy nhiên, áp dˆng các k∏t qu£ cıa l˛ thuy∏t xác sußt, trong nhi∑u tr˜Ìng hÒp ta có
th∫ tìm ˜Òc hai thËng kê µ
1
và µ
2
sao cho xác sußt
P[µ ∈ (µ
1
,µ
2
)] = 1 − α.
Khi ó ta gÂi kho£ng (µ
1
,µ
2
) là kho£ng ˜Óc l˜Òng cıa µ vÓi Î tin c™y 1 − α.
SË 2ε = µ
2
− µ
1
˜Òc gÂi là Î dài cıa kho£ng ˜Óc l˜Òng; sË ε ˜Òc gÂi là sai sË
cıa ˜Óc l˜Òng.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 7/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
K◊L cho trung bình µ khi σ
2
ã bi∏t
Gi£ s˚ (X
1
,...,X
n
) là m®u ng®u nhiên quan sát ˜Òc t¯ mÎt qun th∫ có phân phËi
chu©n N (µ, σ
2
) vÓi ph˜Ïng sai σ
2
ã bi∏t.
Kho£ng ˜Óc l˜Òng (µ
1
,µ
2
) cıa µ vÓi Î tin c™y 1 − α ˜Òc xác ‡nh bi
µ
1
= x − z
α/2
σ
√
n
,µ
2
=
x + z
α/2
σ
√
n
(1.1)
¯x là trung bình m®u
σ là Î lªch chu©n cıa X
n là kích th˜Óc m®u
z
α/2
là phân v‡ m˘c
α
2
cıa phân phËi chu©n t≠c.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 8/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
finghæacıaÎ tin c™y
VÓi mÈi m®u ng®u nhiên khác nhau ta s≥ thu ˜Òc các kho£ng ˜Óc l˜Òng (µ
1
,µ
2
)
khác nhau. MÈi kho£ng ˜Óc l˜Òng (µ
1
,µ
2
) có th∫ ch˘a µ ho∞c không ch˘a µ.
Î tin c™y 1 − α cıa K◊L (µ
1
,µ
2
) xác ‡nh bi (1.1) ˜Òc hi∫u theo nghæa là n∏u ta
s˚ dˆng công th˘c (1.1) rßt nhi∑u ln (cho các m®u khác nhau) ∫ tìm ra các kho£ng
˜Óc l˜Òng thì tø lª các kho£ng ˜Óc l˜Òng th¸c s¸ ch˘a µ s≥ xßp xø (1 − α) × 100%.
Nói cách khác, khi ta dùng công th˘c (1.1) ∫ tìm mÎt kho£ng ch˘a µ thì xác sußt
thành công (t˘c là tìm ˜Òc kho£ng th¸c s¸ ch˘a µ)là1− α.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 9/37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Phân v‡ cıa phân phËi chu©n t≠c
Phân v‡ m˘c α cıa phân phËi chu©n t≠c Z ∼N(0; 1) là sË th¸c z
α
th‰a mãn
P(Z > z
α
)=α.
z
0,05
= 1, 645; z
0,025
= 1, 96; z
0,01
= 2, 33; z
0,005
= 2, 58.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 10 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Ví dˆ 1
Gi£ s˚ chø sË IQ cıa mÎt ng˜Ìi là §i l˜Òng ng®u nhiên có phân phËi chu©n vÓi Î lªch
chu©n σ = 15. ∫ ˜Óc l˜Òng chø sË IQ trung bình cıa mÎt cÎng Áng, ng˜Ìi ta chÂn ng®u
nhiên 200 ng˜Ìi trong cÎng Áng và tính ˜Òc chø sË IQ trung bình cıa 200 ng˜Ìi này là
105. Hãy ˜Óc l˜Òng chø sË IQ trung bình cıa cÎng Áng dân c˜ ó:
a) vÓi Î tin c™y 95%.
b) vÓi Î tin c™y 99%.
1
1
Chø sË IQ (TNTA: Intelligence quotient), nguÁn https://vi.wikipedia.org/wiki/IQ
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 11 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
LÌi gi£i
Ta có σ = 15, n = 200, ¯x = 105.
a) N∏u 1 − α = 0, 95 thì α = 0, 05 và z
α/2
= z
0,025
= 1, 96.
Tính ˜Òc z
α/2
σ
√
n
= 2, 08.
V™y K◊L cıa chø sË IQ trung bình µ vÓi Î tin c™y 95% là 102, 92 <µ<107, 08.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 12 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
LÌi gi£i
Ta có σ = 15, n = 200, ¯x = 105.
a) N∏u 1 − α = 0, 95 thì α = 0, 05 và z
α/2
= z
0,025
= 1, 96.
Tính ˜Òc z
α/2
σ
√
n
= 2, 08.
V™y K◊L cıa chø sË IQ trung bình µ vÓi Î tin c™y 95% là 102, 92 <µ<107, 08.
b) N∏u 1 − α = 0, 99 thì α = 0, 01 và z
α/2
= z
0,005
= 2, 58.
Tính ˜Òc z
α/2
σ
√
n
= 2, 74.
V™y K◊L cıa chø sË IQ trung bình µ vÓi Î tin c™y 99% là 102, 26 <µ<107, 74.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 12 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Nh™n xét:
- Trên cùng mÎt m®u thì kho£ng rÎng hÏn s≥ có Î tin c™y cao hÏn.
- N∏u muËn t´ng Î tin c™y mà không t´ng sai sË thì ph£i t´ng cÔ m®u.
Câu h‰i:Phátbi∫usaulàúnghaysai:
“Xác sußt ∫ µ thuÎc kho£ng (102, 92, 107, 08) là 0, 95”.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 13 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Ví dˆ 2
Bi∏t r¨ng chi∑u cao ng˜Ìi tr˜ng thành là §i l˜Òng ng®u nhiên có phân phËi chu©n vÓi Î
lªch chu©n σ = 7, 62cm. ∫ ˜Óc l˜Òng chi∑u cao n˙ sinh viên mÎt tr˜Ìng §i hÂc, ng˜Ìi
ta ti∏n hành kh£o sát 250 n˙ sinh viên và thu ˜Òc trung bình m®u ¯x = 156, 67cm.VÓiÎ
tin c™y 90%, hãy ˜Óc l˜Òng chi∑u cao trung bình cıa n˙ sinh viên tr˜Ìng §i hÂc ó.
2
2
Theo thËng kê cıa Viªn dinh d˜Ông quËc gia n´m 2019, chi∑u cao trung bình cıa ng˜Ìi Viªt Nam là
163.7 cm vÓi nam và 153 cm vÓi n˙ (theo Vnexpress.net)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 14 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
LÌi gi£i
Ta có σ = 7, 62, n = 250, ¯x = 156, 67.
Vì 1 − α = 0, 9nênα = 0, 1 và z
α/2
= z
0,05
= 1, 64.
Tính ˜Òc z
α/2
σ
√
n
= 0, 79. V™y K◊L cıa chi∑u cao trung bình µ cıa n˙ sinh viên vÓi
Î tin c™y 95% là
155, 88 <µ<157, 46.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 15 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
K◊L cho trung bình µ cıa m®u cÔ lÓn
Gi£ s˚ m®u ng®u nhiên có cÔ m®u n ≥ 30. Kho£ng ˜Óc l˜Òng (µ
1
,µ
2
) cıa trung bình µ
vÓi Î tin c™y 1 − α ˜Òc xác ‡nh bi
µ
1
= x − z
α/2
s
√
n
,µ
2
=
x + z
α/2
s
√
n
(1.2)
Gi£i thích
¯x là trung bình m®u
s là Î lªch m®u
n là kích th˜Óc m®u
z
α/2
là phân v‡ m˘c
α
2
cıa phân phËi chu©n t≠c.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 16 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Ví dˆ 3
∫ ˜Óc l˜Òng thu nh™p trung bình trong mÎt n´m cıa nhân viên mÎt tÍng công ty XYZ,
ng˜Ìi ta chÂn ng®u nhiên 150 nhân viên và tính ˜Òc trung bình m®u ¯x = 280 (triªu
Áng) vÓi Î lªch m®u s = 27 (triªu Áng). Hãy tìm kho£ng ˜Óc l˜Òng cho thu nh™p
trung bình cıa nhân viên tÍng công ty XYZ vÓi Î tin c™y 95%.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 17 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Ví dˆ 3
∫ ˜Óc l˜Òng thu nh™p trung bình trong mÎt n´m cıa nhân viên mÎt tÍng công ty XYZ,
ng˜Ìi ta chÂn ng®u nhiên 150 nhân viên và tính ˜Òc trung bình m®u ¯x = 280 (triªu
Áng) vÓi Î lªch m®u s = 27 (triªu Áng). Hãy tìm kho£ng ˜Óc l˜Òng cho thu nh™p
trung bình cıa nhân viên tÍng công ty XYZ vÓi Î tin c™y 95%.
LÌi gi£i
Ta có s = 27, n = 150, ¯x = 280.
Vì 1 − α = 0, 95 nên α = 0, 05 và z
α/2
= z
0,025
= 1, 96.
Tính ˜Òc z
α/2
s
√
n
= 4, 32. V™y K◊L vÓi Î tin c™y 95% cho thu nh™p trung bình µ
cıa nhân viên tÍng công ty XYZ là
275, 68 <µ<284, 32.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 17 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Ví dˆ 4
Cho mÎt lo§i ô tô ch§y th˚ 40 ln t¯ ‡a i∫m A tÓi ‡a i∫m B, ng˜Ìi ta ghi nh™n ˜Òc
l˜Òng x´ng tiêu thˆ nh˜ sau.
L˜Òng x´ng tiêu thˆ (lít)
SË ln ch§y
9.6–9.8 5
9.8–10.0
8
10.0–10.2
11
10.2–10.4
10
10.4–10.6
6
VÓi Î tin c™y 99%, hãy ˜Óc l˜Òng x´ng tiêu thˆ trung bình cıa lo§i ô tô này khi ch§y t¯
A ∏n B.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 18 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
LÌi gi£i
Tính ˜Òc n = 40, ¯x = 10, 12, s = 0, 25.
Vì 1 − α = 0, 99 nên α = 0, 01 và z
α/2
= z
0,005
= 2, 58.
Tính ˜Òc z
α/2
s
√
n
= 0, 10. V™y K◊L vÓi Î tin c™y 95% cho l˜Òng x´ng tiêu thˆ
trung bình µ cıa lo§i ô tô ó là
10, 02 <µ<10, 22.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 19 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
K◊L cho m®u nh‰ có phân phËi chu©n vÓi σ
2
ch˜a bi∏t
Gi£ s˚ qun th∫ có phân phËi chu©n N (µ, σ
2
) vÓi σ ch˜a bi∏t và cÔ m®u n ≤ 30.
Kho£ng ˜Óc l˜Òng (µ
1
,µ
2
) cıa µ vÓi Î tin c™y 1 − α ˜Òc xác ‡nh bi
µ
1
= x − t
α/2,n−1
s
√
n
,µ
2
=
x + t
α/2,n−1
s
√
n
. (1.3)
Gi£i thích
¯x là trung bình m®u
s là Î lªch m®u
n là kích th˜Óc m®u
t
α/2,n−1
là phân v‡ m˘c
α
2
cıa phân phËi Student T vÓi n − 1 b™c t¸ do
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 20 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Phân v‡ cıa phân phËi Student
Phân v‡ m˘c α cıa phân phËi Student T vÓi ν b™c t¸ do ˜Òc k˛ hiªu là t
α,ν
.
Ví dˆ
Phân v‡ m˘c 0,025 cıa phân phËi Student vÓi 24 b™c t¸ do làt
0,025,24
= 2, 064.
Chú ˛
Khi n ı lÓn (n ≥ 150) thì t
α,n
≈ z
α
.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 21 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Ví dˆ 5
Bi∏t r¨ng trÂng l˜Òng mÎt s£n ph©m có phân phËi chu©n. Cân 25 s£n ph©m ˜Òc chÂn
ng®u nhiên, thu ˜Òc trung bình m®u ¯x = 532g và Î lªch m®u s = 12g . VÓi Î tin c™y
95%, hãy tìm kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trÂng l˜Òng trung bình cıa tßt c£ các s£n ph©m.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 22 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Ví dˆ 5
Bi∏t r¨ng trÂng l˜Òng mÎt s£n ph©m có phân phËi chu©n. Cân 25 s£n ph©m ˜Òc chÂn
ng®u nhiên, thu ˜Òc trung bình m®u ¯x = 532g và Î lªch m®u s = 12g . VÓi Î tin c™y
95%, hãy tìm kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trÂng l˜Òng trung bình cıa tßt c£ các s£n ph©m.
LÌi gi£i
Ta có n = 25, ¯x = 532, s = 12.
Vì 1 − α = 0, 95 nên α = 0, 05 và t
α/2,n−1
= t
0,025,24
= 2, 064.
Tính ˜Òc t
α/2,n−1
s
√
n
= 4, 95. V™y K◊L cho trong l˜Òng trung bình µ cıa tßt c£
các s£n ph©m là
527, 05 <µ<636, 95.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 22 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Vßn ∑ xác ‡nh cÔ m®u
Xác ‡nh cÔ m®u
VÓi Î tin c™y cË ‡nh, kích th˜Óc m®u càng lÓn thì Î dài kho£ng ˜Óc l˜Òng càng ng≠n,
nghæa là Î chính xác cıa ˜Óc l˜Òng càng cao.
Tuy nhiên kích th˜Óc m®u càng lÓn thì thÌi gian và công s˘c nghiên c˘u càng nhi∑u.
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 23 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Vßn ∑ xác ‡nh cÔ m®u
Xác ‡nh cÔ m®u
VÓi Î tin c™y cË ‡nh, kích th˜Óc m®u càng lÓn thì Î dài kho£ng ˜Óc l˜Òng càng ng≠n,
nghæa là Î chính xác cıa ˜Óc l˜Òng càng cao.
Tuy nhiên kích th˜Óc m®u càng lÓn thì thÌi gian và công s˘c nghiên c˘u càng nhi∑u.
Câu h‰i
VÓi Î tin c™y 1 − α cË ‡nh, cn chÂn kích th˜Óc m®u tËi thi∫u là bao nhiêu ∫ kho£ng
˜Óc l˜Òng cıa trung bình µ có sai sË không v˜Òt quá ε cho tr˜Óc?
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 23 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Công th˘c xác ‡nh cÔ m®u
N∏u σ ã bi∏t. Vì ε = z
α/2
σ
√
n
nên chÂn
n ≈
⇣
z
α/2
σ
ε
⌘
2
N∏u σ ch˜a bi∏t thì ta th¸c hiªn mÎt i∑u tra sÏ bÎ ∫ tìm ˜Òc ph˜Ïng sai m®u
s
2
≈ σ
2
. Khi ó kích th˜Óc m®u cn chÂn là
n ≈
⇣
z
α/2
s
ε
⌘
2
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 24 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho tø lª
B£ng giá tr‡ phân phËi chu©n Φ(z)=
R
z
−∞
1
√
2π
e
−
x
2
2
dx .
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 35 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho tø lª
B£ng giá tr‡ phân phËi student t
α,n
P[t
n
> t
α,n
]=α
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 36 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho tø lª
B£ng giá tr‡ cıa phân phËi χ-bình ph˜Ïng c
2
α,n
P[χ
2
n
> c
2
α,n
]=α
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 37 / 37
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
lOMoARcPSD|36403279

Tài liệu khác của Đại học Sư Phạm Hà Nội

Preview text:

lOMoARcPSD|36403279 NÎi dung cıa ch˜Ïng 1
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cıa trung bình qu¶n th∫. 2
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho tø lª.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 2 / 37 lOMoARcPSD|36403279 Mˆc tiêu cıa ch˜Ïng 1
Hi∫u ˜Òc ˛ nghæa cıa kho£ng ˜Óc l˜Òng, Î tin c™y. 2
Xác ‡nh kho£ng ˜Óc l˜Òng cıa trung bình vÓi Î tin c™y cho tr˜Óc. 3
Xác ‡nh kho£ng ˜Óc l˜Òng cıa tø lª vÓi Î tin c™y cho tr˜Óc. 4
Xác ‡nh ˜Òc cÔ m®u ∫ có kho£ng ˜Óc l˜Òng vÓi sai sË cho tr˜Óc.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 3 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
3.1 Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình ∞t vßn ∑
Thông th˜Ìng, ∫ ˜Óc l˜Òng trung bình µ, ta s˚ dˆng trung bình m®u ¯ x . n
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 4 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
3.1 Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình ∞t vßn ∑
Thông th˜Ìng, ∫ ˜Óc l˜Òng trung bình µ, ta s˚ dˆng trung bình m®u ¯ x . n Ví dˆ
∫ nghiên c˘u trÂng l˜Òng trung bình cıa các s£n ph©m ˜Òc s£n xußt bi mÎt nhà máy,
ng˜Ìi ta cân 100 s£n ph©m cıa xí nghiªp ó, d˙ liªu thu ˜Òc ˜Òc mô t£ bi b£ng sau: TrÂng l˜Òng (g ) 498 502 506 510 SË s£n ph©m 40 20 20 20
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 4 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
3.1 Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình ∞t vßn ∑
Thông th˜Ìng, ∫ ˜Óc l˜Òng trung bình µ, ta s˚ dˆng trung bình m®u ¯ x . n Ví dˆ
∫ nghiên c˘u trÂng l˜Òng trung bình cıa các s£n ph©m ˜Òc s£n xußt bi mÎt nhà máy,
ng˜Ìi ta cân 100 s£n ph©m cıa xí nghiªp ó, d˙ liªu thu ˜Òc ˜Òc mô t£ bi b£ng sau: TrÂng l˜Òng (g ) 498 502 506 510 SË s£n ph©m 40 20 20 20
Khi ó, trÂng l˜Òng trung bình cıa 100 s£n ph©m là:
498 × 40 + 502 × 20 + 506 × 20 + 510 × 20 x 100 = = 502, 8(g ). 100
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 4 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
3.1 Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình ∞t vßn ∑
Thông th˜Ìng, ∫ ˜Óc l˜Òng trung bình µ, ta s˚ dˆng trung bình m®u ¯ x . n Ví dˆ
∫ nghiên c˘u trÂng l˜Òng trung bình cıa các s£n ph©m ˜Òc s£n xußt bi mÎt nhà máy,
ng˜Ìi ta cân 100 s£n ph©m cıa xí nghiªp ó, d˙ liªu thu ˜Òc ˜Òc mô t£ bi b£ng sau: TrÂng l˜Òng (g ) 498 502 506 510 SË s£n ph©m 40 20 20 20
Khi ó, trÂng l˜Òng trung bình cıa 100 s£n ph©m là:
498 × 40 + 502 × 20 + 506 × 20 + 510 × 20 x 100 = = 502, 8(g ). 100
◊Óc l˜Òng trÂng l˜Òng trung bình tßt c£ s£n ph©m trong nhà máy là µ ≈ 502, 8(g).
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 4 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình ∞t vßn ∑
N∏u mÎt ng˜Ìi khác cÙng chÂn ng®u nhiên ra 100 s£n ph©m và tính trÂng l˜Òng trung
bình cıa chúng thì có thu ˜Òc áp sË là 502, 8g không?
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 5 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Vì ¯
x phˆ thuÎc vào t¯ng m®u, t˘c là n∏u ta lßy hai m®u khác nhau thì trung bình m®u n
có th∫ khác nhau nên ∫ t´ng Î tin c™y cıa k∏t qu£, thay vì nói µ g¶n b¨ng mÎt sË, ta
nói µ thuÎc mÎt kho£ng (µ1, µ2) nào ó.
Ví dˆ: D¸a vào k∏t qu£ i∑u tra trên, hãy nh™n xét ba phát bi∫u sau: 1
µ thuÎc kho£ng (502, 7, 502, 9). 2 µ thuÎc kho£ng (500, 505). 3 µ thuÎc kho£ng (400, 600).
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 6 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Kho£ng ˜Óc l˜Òng
Do ta chø d¸a vào mÎt m®u nh‰ ∫ ˜Óc l˜Òng giá tr‡ cıa µ nên ta không th∫ ch≠c
ch≠n 100% v∑ k∏t qu£ thu ˜Òc.
Tuy nhiên, áp dˆng các k∏t qu£ cıa l˛ thuy∏t xác sußt, trong nhi∑u tr˜Ìng hÒp ta có
th∫ tìm ˜Òc hai thËng kê µ1 và µ2 sao cho xác sußt
P[µ ∈ (µ1, µ2)] = 1 − α.
Khi ó ta gÂi kho£ng (µ1, µ2) là kho£ng ˜Óc l˜Òng cıa µ vÓi Î tin c™y 1 − α.
SË 2ε = µ2 − µ1 ˜Òc gÂi là Î dài cıa kho£ng ˜Óc l˜Òng; sË ε ˜Òc gÂi là sai sË cıa ˜Óc l˜Òng.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 7 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình K◊L cho trung bình 2 µ khi σ ã bi∏t
Gi£ s˚ (X1, . . . , X ) là m®u ng®u nhiên quan sát ˜Òc t¯ mÎt qu¶n th∫ có phân phËi n chu©n N (µ, 2 2 σ ) vÓi ph˜Ïng sai σ ã bi∏t.
Kho£ng ˜Óc l˜Òng (µ1, µ2) cıa µ vÓi Î tin c™y 1 − α ˜Òc xác ‡nh bi σ σ µ1 = x − z √ √ (1.1) α/2 , µ2 = x + zα/2 n n ¯ x là trung bình m®u σ là Î lªch chu©n cıa X n là kích th˜Óc m®u z cıa phân phËi chu©n t≠c. α/2 là phân v‡ m˘c α 2
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 8 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình fi nghæa cıa Î tin c™y
VÓi mÈi m®u ng®u nhiên khác nhau ta s≥ thu ˜Òc các kho£ng ˜Óc l˜Òng (µ1, µ2)
khác nhau. MÈi kho£ng ˜Óc l˜Òng (µ1, µ2) có th∫ ch˘a µ ho∞c không ch˘a µ.
Î tin c™y 1 − α cıa K◊L (µ1, µ2) xác ‡nh bi (1.1) ˜Òc hi∫u theo nghæa là n∏u ta
s˚ dˆng công th˘c (1.1) rßt nhi∑u l¶n (cho các m®u khác nhau) ∫ tìm ra các kho£ng
˜Óc l˜Òng thì tø lª các kho£ng ˜Óc l˜Òng th¸c s¸ ch˘a µ s≥ xßp xø (1 − α) × 100%.
Nói cách khác, khi ta dùng công th˘c (1.1) ∫ tìm mÎt kho£ng ch˘a µ thì xác sußt
thành công (t˘c là tìm ˜Òc kho£ng th¸c s¸ ch˘a µ) là 1 − α.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 9 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Phân v‡ cıa phân phËi chu©n t≠c
Phân v‡ m˘c α cıa phân phËi chu©n t≠c Z ∼ N (0; 1) là sË th¸c z th‰a mãn α P(Z > z ) = α α.
z0,05 = 1, 645; z0,025 = 1, 96; z0,01 = 2, 33; z0,005 = 2, 58.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 10 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Ví dˆ 1
Gi£ s˚ chø sË IQ cıa mÎt ng˜Ìi là §i l˜Òng ng®u nhiên có phân phËi chu©n vÓi Î lªch chu©n σ = 15.
∫ ˜Óc l˜Òng chø sË IQ trung bình cıa mÎt cÎng Áng, ng˜Ìi ta chÂn ng®u
nhiên 200 ng˜Ìi trong cÎng Áng và tính ˜Òc chø sË IQ trung bình cıa 200 ng˜Ìi này là
105. Hãy ˜Óc l˜Òng chø sË IQ trung bình cıa cÎng Áng dân c˜ ó: a) vÓi Î tin c™y 95%. b) vÓi Î tin c™y 99%. 1
1Chø sË IQ (TNTA: Intelligence quotient), nguÁn https://vi.wikipedia.org/wiki/IQ
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 11 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình LÌi gi£i Ta có σ = 15, n = 200, ¯ x = 105.
a) N∏u 1 − α = 0, 95 thì α = 0, 05 và zα/2 = z0,025 = 1, 96. σ Tính ˜Òc z √ = 2, 08. α/2 n
V™y K◊L cıa chø sË IQ trung bình µ vÓi Î tin c™y 95% là 102, 92 < µ < 107, 08.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 12 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình LÌi gi£i Ta có σ = 15, n = 200, ¯ x = 105.
a) N∏u 1 − α = 0, 95 thì α = 0, 05 và zα/2 = z0,025 = 1, 96. σ Tính ˜Òc z √ = 2, 08. α/2 n
V™y K◊L cıa chø sË IQ trung bình µ vÓi Î tin c™y 95% là 102, 92 < µ < 107, 08.
b) N∏u 1 − α = 0, 99 thì α = 0, 01 và zα/2 = z0,005 = 2, 58. σ Tính ˜Òc z √ = 2, 74. α/2 n
V™y K◊L cıa chø sË IQ trung bình µ vÓi Î tin c™y 99% là 102, 26 < µ < 107, 74.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 12 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Nh™n xét:
- Trên cùng mÎt m®u thì kho£ng rÎng hÏn s≥ có Î tin c™y cao hÏn.
- N∏u muËn t´ng Î tin c™y mà không t´ng sai sË thì ph£i t´ng cÔ m®u.
Câu h‰i: Phát bi∫u sau là úng hay sai:
“Xác sußt ∫ µ thuÎc kho£ng (102, 92, 107, 08) là 0, 95”.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 13 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Ví dˆ 2
Bi∏t r¨ng chi∑u cao ng˜Ìi tr˜ng thành là §i l˜Òng ng®u nhiên có phân phËi chu©n vÓi Î lªch chu©n σ = 7, 62cm.
∫ ˜Óc l˜Òng chi∑u cao n˙ sinh viên mÎt tr˜Ìng §i hÂc, ng˜Ìi
ta ti∏n hành kh£o sát 250 n˙ sinh viên và thu ˜Òc trung bình m®u ¯ x = 156, 67cm. VÓi Î
tin c™y 90%, hãy ˜Óc l˜Òng chi∑u cao trung bình cıa n˙ sinh viên tr˜Ìng §i hÂc ó. 2
2Theo thËng kê cıa Viªn dinh d˜Ông quËc gia n´m 2019, chi∑u cao trung bình cıa ng˜Ìi Viªt Nam là
163.7 cm vÓi nam và 153 cm vÓi n˙ (theo Vnexpress.net)
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 14 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình LÌi gi£i Ta có σ = 7, 62, n = 250, ¯ x = 156, 67.
Vì 1 − α = 0, 9 nên α = 0, 1 và zα/2 = z0,05 = 1, 64. σ Tính ˜Òc z
√ = 0, 79. V™y K◊L cıa chi∑u cao trung bình µ cıa n˙ sinh viên vÓi α/2 n Î tin c™y 95% là 155, 88 < µ < 157, 46.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 15 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
K◊L cho trung bình µ cıa m®u cÔ lÓn
Gi£ s˚ m®u ng®u nhiên có cÔ m®u n ≥ 30. Kho£ng ˜Óc l˜Òng (µ1, µ2) cıa trung bình µ
vÓi Î tin c™y 1 − α ˜Òc xác ‡nh bi s s µ1 = x − z √ √ (1.2) α/2 , µ2 = x + zα/2 n n Gi£i thích ¯ x là trung bình m®u s là Î lªch m®u n là kích th˜Óc m®u z cıa phân phËi chu©n t≠c. α/2 là phân v‡ m˘c α 2
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 16 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Ví dˆ 3
∫ ˜Óc l˜Òng thu nh™p trung bình trong mÎt n´m cıa nhân viên mÎt tÍng công ty XYZ,
ng˜Ìi ta chÂn ng®u nhiên 150 nhân viên và tính ˜Òc trung bình m®u ¯ x = 280 (triªu
Áng) vÓi Î lªch m®u s = 27 (triªu Áng). Hãy tìm kho£ng ˜Óc l˜Òng cho thu nh™p
trung bình cıa nhân viên tÍng công ty XYZ vÓi Î tin c™y 95%.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 17 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Ví dˆ 3
∫ ˜Óc l˜Òng thu nh™p trung bình trong mÎt n´m cıa nhân viên mÎt tÍng công ty XYZ,
ng˜Ìi ta chÂn ng®u nhiên 150 nhân viên và tính ˜Òc trung bình m®u ¯ x = 280 (triªu
Áng) vÓi Î lªch m®u s = 27 (triªu Áng). Hãy tìm kho£ng ˜Óc l˜Òng cho thu nh™p
trung bình cıa nhân viên tÍng công ty XYZ vÓi Î tin c™y 95%. LÌi gi£i Ta có s = 27, n = 150, ¯ x = 280.
Vì 1 − α = 0, 95 nên α = 0, 05 và zα/2 = z0,025 = 1, 96. s Tính ˜Òc z
√ = 4, 32. V™y K◊L vÓi Î tin c™y 95% cho thu nh™p trung bình µ α/2 n
cıa nhân viên tÍng công ty XYZ là 275, 68 < µ < 284, 32.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 17 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Ví dˆ 4
Cho mÎt lo§i ô tô ch§y th˚ 40 l¶n t¯ ‡a i∫m A tÓi ‡a i∫m B, ng˜Ìi ta ghi nh™n ˜Òc
l˜Òng x´ng tiêu thˆ nh˜ sau.
L˜Òng x´ng tiêu thˆ (lít) SË l¶n ch§y 9.6–9.8 5 9.8–10.0 8 10.0–10.2 11 10.2–10.4 10 10.4–10.6 6
VÓi Î tin c™y 99%, hãy ˜Óc l˜Òng x´ng tiêu thˆ trung bình cıa lo§i ô tô này khi ch§y t¯ A ∏n B.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 18 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình LÌi gi£i Tính ˜Òc n = 40, ¯ x = 10, 12, s = 0, 25.
Vì 1 − α = 0, 99 nên α = 0, 01 và zα/2 = z0,005 = 2, 58. s Tính ˜Òc z
√ = 0, 10. V™y K◊L vÓi Î tin c™y 95% cho l˜Òng x´ng tiêu thˆ α/2 n
trung bình µ cıa lo§i ô tô ó là 10, 02 < µ < 10, 22.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 19 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
K◊L cho m®u nh‰ có phân phËi chu©n vÓi 2 σ ch˜a bi∏t
Gi£ s˚ qu¶n th∫ có phân phËi chu©n N (µ, 2
σ ) vÓi σ ch˜a bi∏t và cÔ m®u n ≤ 30.
Kho£ng ˜Óc l˜Òng (µ1, µ2) cıa µ vÓi Î tin c™y 1 − α ˜Òc xác ‡nh bi s s µ1 = x − t √ √ α/2,n , µ . (1.3) −1 2 = x + tα/2,n n −1 n Gi£i thích ¯ x là trung bình m®u s là Î lªch m®u n là kích th˜Óc m®u t
cıa phân phËi Student T vÓi n α/2,n − 1 b™c t¸ do −1 là phân v‡ m˘c α 2
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 20 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Phân v‡ cıa phân phËi Student
Phân v‡ m˘c α cıa phân phËi Student T vÓi ν b™c t¸ do ˜Òc k˛ hiªu là t . α,ν Ví dˆ
Phân v‡ m˘c 0,025 cıa phân phËi Student vÓi 24 b™c t¸ do làt0,025,24 = 2, 064. Chú ˛
Khi n ı lÓn (n ≥ 150) thì t . α,n ≈ zα
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 21 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Ví dˆ 5
Bi∏t r¨ng trÂng l˜Òng mÎt s£n ph©m có phân phËi chu©n. Cân 25 s£n ph©m ˜Òc chÂn
ng®u nhiên, thu ˜Òc trung bình m®u ¯
x = 532g và Î lªch m®u s = 12g . VÓi Î tin c™y
95%, hãy tìm kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trÂng l˜Òng trung bình cıa tßt c£ các s£n ph©m.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 22 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Ví dˆ 5
Bi∏t r¨ng trÂng l˜Òng mÎt s£n ph©m có phân phËi chu©n. Cân 25 s£n ph©m ˜Òc chÂn
ng®u nhiên, thu ˜Òc trung bình m®u ¯
x = 532g và Î lªch m®u s = 12g . VÓi Î tin c™y
95%, hãy tìm kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trÂng l˜Òng trung bình cıa tßt c£ các s£n ph©m. LÌi gi£i Ta có n = 25, ¯ x = 532, s = 12.
Vì 1 − α = 0, 95 nên α = 0, 05 và tα/2,n−1 = t0,025,24 = 2, 064. s Tính ˜Òc t
√ = 4, 95. V™y K◊L cho trong l˜Òng trung bình µ cıa tßt c£ α/2,n−1 n các s£n ph©m là 527, 05 < µ < 636, 95.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 22 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Vßn ∑ xác ‡nh cÔ m®u Xác ‡nh cÔ m®u
VÓi Î tin c™y cË ‡nh, kích th˜Óc m®u càng lÓn thì Î dài kho£ng ˜Óc l˜Òng càng ng≠n,
nghæa là Î chính xác cıa ˜Óc l˜Òng càng cao.
Tuy nhiên kích th˜Óc m®u càng lÓn thì thÌi gian và công s˘c nghiên c˘u càng nhi∑u.
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 23 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình Vßn ∑ xác ‡nh cÔ m®u Xác ‡nh cÔ m®u
VÓi Î tin c™y cË ‡nh, kích th˜Óc m®u càng lÓn thì Î dài kho£ng ˜Óc l˜Òng càng ng≠n,
nghæa là Î chính xác cıa ˜Óc l˜Òng càng cao.
Tuy nhiên kích th˜Óc m®u càng lÓn thì thÌi gian và công s˘c nghiên c˘u càng nhi∑u. Câu h‰i
VÓi Î tin c™y 1 − α cË ‡nh, c¶n chÂn kích th˜Óc m®u tËi thi∫u là bao nhiêu ∫ kho£ng
˜Óc l˜Òng cıa trung bình µ có sai sË không v˜Òt quá ε cho tr˜Óc?
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 23 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho trung bình
Công th˘c xác ‡nh cÔ m®u N∏u σ σ ã bi∏t. Vì ε = z nên chÂn α/2 √n ⇣ z ⌘2 α/2σ n ≈ ε
N∏u σ ch˜a bi∏t thì ta th¸c hiªn mÎt i∑u tra sÏ bÎ ∫ tìm ˜Òc ph˜Ïng sai m®u s2 ≈ 2 σ . Khi
ó kích th˜Óc m®u c¶n chÂn là ⇣ z ⌘2 α/2s n ≈ ε
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 24 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho tø lª
B£ng giá tr‡ phân phËi chu©n R 2 Φ(z) = z 1 √ e− x2 dx −∞ 2 . π
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 35 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho tø lª
B£ng giá tr‡ phân phËi student tα,n P[t ] = n > tα,n α
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 36 / 37 lOMoARcPSD|36403279
Kho£ng ˜Óc l˜Òng cho tø lª
B£ng giá tr‡ cıa phân phËi χ-bình ph˜Ïng c2α,n P[ 2 χ > c 2 ] = α n α,n
Downloaded by ti?n v?n lê (vanletien573@gmail.com)
CH◊ÃNG 3 KHOÉNG ◊ŒC L◊—NG Ngày 19 tháng 1 n´m 2022 37 / 37

Tài liệu liên quan: