Bài giảng Chương 3: Tích phân kép - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

1. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
2. Tọa độ cực
3. Ứng dụng hình học
4. Ứng dụng cơ học Nhắc lại = lim n→∞ 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa
Do đó, D có thể được bao kín trong một miền chữ nhật C. y
Xác định hàm F(x,y) như sau: D C
 f (x, y) (x, y)  D F( , x ) y   x 0 ( , x ) y  D  n  
Nếu giới hạn: I  l i m  F ( M )  S 
tồn tại hữu hạn, thì ta nói hàm f(x,y) i C  i
n   i 1  
khả tích trên miền D. Ký hiệu: I  f ( , x ) y dxdy D 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính chất 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 2 2 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN (Định tục miền đóng bị chặn 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
a  x  b b g2 ( ) x R : 
I   f (x, y)dxdy   dx  f (x, y)dy g x  y   1( ) 2 g ( x) R a 1 g ( x) y g (x) 2 g (x) 1 a b x 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  c  y  d d 2 h ( y) R : 
I   f (x, y)dxdy   dy  f (x, y)dx h y  x   1( ) 2 h ( y) R c 1 h ( y) y d c h (y) 1 h (y) 2 x 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 21
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 1 5 4    . 2 6 3 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 22
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 23
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 24
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 25
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 26
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 27
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 28
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Tổng quát, xét phép đổi biến T từ mặt Ouv sang mặt Oxy:
𝑇(𝑢, 𝑣) = (𝑥, 𝑦)
với x và y liên hệ với u và v bởi:
𝑥 = 𝑔 𝑢, 𝑣 ; 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣)
Có thể viết: 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣).
Giả sử T là một phép biến thỏa mãn: g và h có đạo hàm riêng bậc nhất liên tục. Nếu 𝑇(𝑢 , 𝑣 , 𝑦
được gọi là ảnh của điểm 1 1) = (𝑥1 1), thì (𝑥 , 𝑦 ) 1 1 (𝑢 , 𝑣 1 1).
Nếu không có 2 điểm nào có cùng chung 1 ảnh và ngược lại, thì ta gọi
T là đổi biến 1-1. 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 29
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Nếu T là đổi biến 1-1, nó sẽ có một phép biến đổi ngược 𝑇−1 từ mặt Oxy sang mặt Ouv.
Do đó, ta có thể tìm u và v theo x và y :
𝑢 = 𝐺(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝐻(𝑥, 𝑦) 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 30
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Xét một hình chữ nhật nhỏ S trong mặt Ouv: ảnh của S là miền R trong mặt
Oxy. Một điểm trên cạnh biên của nó sẽ là: (𝑥 , 𝑦 , 𝑣 ) 0 0) = 𝑇(𝑢0 0 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 31
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Ta có vector vị trí của điểm (u, v):
𝒓(𝑢, 𝑣) = 𝑥 𝒊 + 𝑦 𝒋 = 𝑔(𝑢, 𝑣) 𝒊 + ℎ(𝑢, 𝑣) 𝒋
Phương trình của cạnh dưới của S là: 𝑣 = 𝑣0
Ảnh của nó được cho bởi hàm vector 𝒓(𝑢, 𝑣 ) 0 . 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 32
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Nếu một đường cong trong mặt phẳng cho bởi hàm vector:
𝒓(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝒊 + 𝑦(𝑡) 𝒋
với 𝑡 là tham số thì vector tiếp tuyến tại 𝑡 đối với đường cong không gian 0 này sẽ là: x  y 
r  x i  y j  i  j t t t 0 0 t  t 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 33
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Do đó vector tiếp tuyến tại (𝑥 , 𝑦 đối với đường cong ảnh này sẽ là: 0 0) x y
r  g (u , v ) i  h (u , v ) j  i  j u u 0 0 u 0 0 u u 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 34
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Tương tự, vector tiếp tuyến tại (𝑥 , 𝑦 ) đối với đường cong ảnh của cạnh trái 0 0 của (𝑢 = 𝑢0) là: x y
r  g (u ,v ) i  h (u ,v ) j  i  0 0 0 0 j v v v v v 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 35
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Ta có thể xấp xỉ miền ảnh 𝑅 = 𝑇(𝑆) bởi một hình bình hành xác định
bởi các vector cát tuyến: a  (
r u  u, v ) 0 0
 r(u , v ) 0 0
b  r(u , v   ) 0 0 v
 r(u , v ) 0 0 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 36
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát Tuy nhiên, ( r u   , u v )  ( r u , v ) 0 0 0 0 r  lim u   u 0 u
Nên, r(u   ,
u v )  r(u , v )  u r . 0 0 0 0 u
Tương tự, r(u , v  v)  r(u , v )  v r . 0 0 0 0 v 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 37
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Điều này có nghĩa là ta có thể xấp xỉ R bởi một hình bình hành xác định bởi 2 vector ∆𝑢. 𝒓 ∆𝑣. 𝒓 𝑢 và 𝑣 . 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 38
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Vậy, có thể xấp xỉ diện tích của R bởi diện tích của hình bình hành này:
|(∆𝑢 𝒓 ) × (∆𝑣 𝒓 )| = |𝒓 × 𝒓 | ∆𝑢 ∆𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣
Tích có hướng của 2 vector: i j k x y x x x y u u u v r r 0        k  k u v u u x y y y x y 0 v v u v v v 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 39
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Jacobian của biến đổi T cho bởi 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣) và 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣) là: x x ( , x ) y u v
x y x y    ( , u ) v y y
u v v u u v
Với ký hiệu này ta có thể xấp xỉ một diện tích ∆A của R: ( , x y) ở đây Jacobian được A  u v (u,v)
tính tại (u0, v ). 0 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 40
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Tiếp theo, ta chia miền S trong mặt Ouv thành các hình chữ nhật nhỏ 𝑆 𝑖𝑗
và gọi ảnh của nó trong mặt Oxy là 𝑅 . 𝑖𝑗 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 41
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát
Áp dụng công thức xấp xỉ đối với 𝑅 ở trên, ta có xấp xỉ của tích phân 𝑖𝑗
2 lớp của f trên miền R như sau. f ( , x y)  dxdy R 
f (x , y )  A i j (x, y)  ở đây Jacobian được
f (g(u , v ), h(u , v )) u   v i j i j (u,v) tính tại (𝑢 , 𝑣 𝑖 𝑗).
Chú ý đây chính là tổng Riemann của tích phân: ( , x y)
f (g (u,v),h(u,v))  du dv (u, v) S 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 42
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát Định lý: 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 43
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa y 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 44
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 45
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 46
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 47
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 48
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 49
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 50
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 51
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 52
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 53
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 37  35 67 3   6 24 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 54
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 55
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tọa độ cực suy rộng 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 56
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tọa độ cực suy rộng 2 2 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 57
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 32   8 3 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 58
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 3  6  2 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 59
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 3  2 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 60
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Diện tích miền D: S   dxdy D x D y 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 61
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính thể tích 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 62
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 63
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 64
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 65
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 66
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 67
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 68
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 69
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Diện tích mặt cong
Diện tích tương ứng: ∆𝑆 . 1, ∆𝑆2, ⋯ , ∆𝑆𝑛
Lấy điểm tùy ỳ P (x , y ,0)  D . i i i i
Tương ứng với điểm M (x , y , z )  S . i i i i i
Gọi Ti là mặt tiếp diện với Si tại Mi .
Và Ti là mảnh có hình chiếu xuống Oxy là D i 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 70
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Diện tích mặt cong
Véctơ pháp của S tại M : n     i
 z (x , y ), z (x , y ), x i i y i i 1 i 1 cos  i
z (x , y )  z x y   x i i  2 2 ( , ) 1  y i i  23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 71
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 72
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN (5 5 1)  6 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 73
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 74 23-Feb-21 75 23-Feb-21 76