Bài giảng Chương I: Hàm nhiều biến - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Bài giảng Chương I: Hàm nhiều biến - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

9 5 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 2 (MAT1042)

Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

46 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Tài liệu tham khảo
1) Toán cao cấp Tập 3 – Nguyễn Đình Trí (CB) – NXB Giáo
Dục
2) Giải Tích, Tập I, II – Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang,
Hoàng Quốc Toàn – NXB ĐHQGHN
3) Giải Tích Toán học – Nguyễn Thủy Thanh – NXB
ĐHQGHN
4) Calculus – Jame Stewart – 7 .
th
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 2
Nội dung
• Chương I: Hàm nhiều biến (4b)
• Chương II: Tích phân bội (3b)
• Kiểm tra giữa học kỳ (1b) – Tuần 8 (20%)
• Chương III: Tích phân đường, tích phân mặt (4b)
• Chương IV: Phương trình vi phân (2b)
• Ôn tập cuối học kỳ (1b) – Tuần 15
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 3
Chương I: Hàm nhiều biến
• Giới hạn và liên tục
Tính giới hạn, chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn
Khảo sát liên tục của hàm 2 biến
• Đạo hàm, vi phân
Đạo hàm riêng hàm hợp, hàm ẩn
Xét tính khả vi của hàm số
Tìm vi phân toàn phần của hàm số, tính giá trị gần đúng
• Cực trị
Cực trị không điều kiện, cực trị có điều kiện
Bài toán min, max
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 4
1. Hàm hai biến
• Hàm hai biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi một cặp
số thực , ∈⊂
có duy nhất một số thực ký hiệu
(,).
:→
(,)→(,)
• Ký hiệu: =,|(,)∈;
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 5
1. Hàm hai biến
• D - miền xác định: tập hợp tất cả những giá trị của x và y
sao cho biểu thức f(x,y) có nghĩa.
• Miền giá trị: tập hợp các giá trị mà hàm nhận được
≔ ∈|=,,(,)∈
• ,: biến độc lập; : biến phụ thuộc.
• Giá trị của hàm tại điểm ,
:
,
hoặc ().
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 6
1. Hàm hai biến
• Ví dụ 1. Tìm miền D và (3,2)của các hàm số sau:
), =
++1
−1
;), =
−
Giải:
a) Miền xác định:= ,|++1≥0,≠1
3,2 =
3+2+1
3−1
=
6
2

3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 7
1. Hàm hai biến
b) , =
−
Miền xác định: = ,|≤
3,2 =31=0.
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 8
1. Hàm nhiều biến
Về mặt hình học:
o Mỗi cặp số thực (,): xác định một điểm P trên .()
o (): cao độ của điểm P trong không gian .
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 9
o Tập hợp các điểm trong
mà tọa độ thỏa mãn phương
trình =(,): đồ thị của
hàm hai biến – 1 mặt trong
mà hình chiếu vuông góc
của nó lên ()là D.
1. Hàm nhiều biến
Đường đồng mức, mặt đồng mức
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 10
• Mặt đồng mức của hàm
=(,,): mặt trong
mà tại các điểm của nó
,, =(C: hằng số).
• Đường đồng mức của hàm
=(,): Đường trên
()mà tại các điểm của
nó: , = (C: hằng
số).
1. Hàm nhiều biến
Bản đồ thời tiết thế giới: nhiệt độ trung bình trong 1 tháng.
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 11
1. Hàm nhiều biến
Ví dụ. Tìm đường mức của hàm:
(,)=4 + ;
Đường mức là đường , =, = constC
4 +
=⇔
/4
+
=1
Vậy đường đồng mức là họ các đường elip có tâm tại
(0,0), các bán trục là:
2
, ,(>0)
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 12
1. Hàm nhiều biến
• Bản đồ đường mức và các đường tiến ngang tăng theo các
đường mức
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 13
2. Giới hạn và liên tục
• Cho hai hàm , khảo sát các giá trị của các,,(,)
hàm trên khi , → 0,0:
, =

+
+
;, =
−
+
Bảng giá trị của (,)
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 14
2. Giới hạn và liên tục
Bảng giá trị của g(,)
• Nhận xét:
Tại (0,0): : không xác định;,,(,)
Khi , → 0,0: , →1;(,): không tiến tới 1 giá
trị cụ thể nào.
lim
(,)→(,)

+
+
=1;∄ lim
(,)→(,)
−
+
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 15
2. Giới hạn và liên tục
• Giả sử hàm u = f(M) = f(x,y) xác định trên tập hợp D.
M
0
(a,b) là điểm cố định nào đó của mặt phẳng và
→, →⇒, →
,
2 2
0
, 0
M M x a y b
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 16
2. Giới hạn và liên tục
• Định nghĩa 1 (Cauchy)
lim
→
(,)=
Nếu:
0
0, 0: :0 ,
.
M D M M
f M L
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 17
2. Giới hạn và liên tục
• Chú ý rằng:
0<,
< : tập hợp các điểm M nằm trong
đường tròn tâm (a,b) bán kính .
có thể tiến tới
theo nhiều đường khác nhau.
• Nếu:
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 18
1 1
2 2
, ,
1 2
, : , ,
, : , , lim ,
x y a b
f x y L x y a b C
f x y L x y a b C f x y
L L
2. Giới hạn và liên tục
• Định nghĩa 2 (Heine)
Số L: giới hạn của hàm f(M) tại điểm M
0
nếu:
Kí hiệu:
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 19
0 0
, ,
n n n n
M M n M D M M f M L
0
lim ; lim ,
M M x a
y b
f M L f x y L
2. Giới hạn và liên tục
Giới hạn của hàm không phụ thuộc vào phương M tiến
đến M
0
.
Nếu M→M
0
theo các phương khác nhau mà f(M) dẫn đến
các giá trị khác nhau thì hàm f(M) không có giới hạn.
Số L: giới hạn của hàm f(M) khi →∞nếu:
0, 0: : ,0 .
R M D M R f M L
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 20
2. Giới hạn và liên tục
• Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
∄ lim
(,)→(,)
−
+
Giải.
Xét , → 0,0 theo trục =0):Ox (y
,0 =
=1
Xét , → 0,0 theo trục Oy (x=0):
0, =
−
=−1≠1
Vậy không tồn giới hạn của hàm f(x,y) đã cho.
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 21
1. Giới hạn và liên tục
• Dạng 1. Tính giới hạn kép
0 0 0 0
, ,
lim , lim , lim
x x x y x y M M
y y
• Ví dụ 1. Tính giới hạn
2
2 2 2
, 1, 1 , 0,0
2 2
2 2
, 0,0 , 0,0
2 3 1
) lim ; ) lim
3
1
) lim ; ) lim sin
x y x y
x y x y
x x xy
a b
xy x y
xy
c d x y
xy
x y
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 22
1. Giới hạn và liên tục
Cho , → 0,0 theo phương của đường thẳng y = kx
Khi k khác nhau, , → 0,0 theo các phương khác
nhau, f(x,y) dần tới những giới hạn khác nhau.
Giới hạn không tồn tại.
2 2
, 0,0
) lim
x y
xy
b
x y
2 2
0
, 0 lim , .
1 1
x
k k
f x kx x f x kx
k k
2
2
, 1, 1
2 3 1 1
) lim
3 2
x y
x x
a
xy
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 23
1. Giới hạn và liên tục
hoặc:
(nguyên lý kẹp)
Vậy:
2 2
, 0,0
) lim ;
x y
xy
c
x y
2 2
0 , ,
xy xy
f x y x
y
x y
, 0,0
lim 0
x y
x
0
2 2
, 0,0
lim 0
x y
xy
x y
2 2
2 2
0
2
x y
xy
x y
2 2
2
x y
xy
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 24
1. Giới hạn và liên tục
Vậy
2 2
, 0,0
1
) lim sin
x y
d x y
xy
2 2
, 0,0
1
lim sin 0
x y
x y
xy
2 2 2 2
1
0 sin
x y x y
xy
2 2 2 2
, 0,0 , 0,0
1
lim 0 lim sin 0
x y x y
x y x y
xy
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 25
1. Giới hạn và liên tục
Nhận xét
• Thông thường, đối với hàm phân thức, bậc của tử ≤ bậc
của mẫu: xét dãy điểm tiến tới điểm cần tính giới hạn theo
các đường khác nhau.
• Nếu bậc của tử > bậc của mẫu: sử dụng nguyên lý kẹp
Chú ý:
a b a b a b
2 2
2
x y
xy
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 26
1. Giới hạn
• Dạng 2. Giới hạn lặp
Giả sử tồn tại lim
→
(,)=()với mỗi y cố định
Nếu tồn tại lim
→
() =,L được gọi là giới hạn lặp
Ký hiệu:
lim
→
lim
→
(,)
Tương tự có:
lim
→
lim
→
(,)
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 27
1. Giới hạn
Chú ý:
Nếu
1) Tồn tại giới hạn kép lim
→
→
(,)=
2) Với mỗi y cố định, tồn tại lim
→
(,)
Thì
∃lim
→
lim
→
(,)
lim
→
→
(,)=lim
→
lim
→
(,)
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 28
1. Giới hạn
Ví dụ: Cho hàm số : 0,+∞ × 0,+∞ →xác định
bởi công thức
, =



.
Tính các giới hạn lặp tại điểm .(0,0)
• Ta có: lim
→
(,)=lim
→



=−1
⇒lim
→
−1 =−1
lim
→
(,)=lim
→
−+
+
+
=+1
⇒lim
→
+1 =1
Hai giới hạn lặp tồn tại nhưng khác nhau ⇒∄lim
→
→
(,).
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 29
1. Giới hạn và liên tục
• Ví dụ 2: Tính giới hạn
2
2 2
3
2 6 2 2
, 0,0 , 0,0
2
2
2
2
2
, 0,2 , 0,2
sin
) lim ; ) lim
2 3
2 1 1
) lim ; ) lim 1
2
x y x y
x xy
x y x y
x y
xy
a b
x y x y
x y
c d xy
x y
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 30
1. Giới hạn và liên tục
Xét dãy điểm:
với k, l là các hằng số.
Khi đó:
Với mỗi cặp giá trị (k, l) khác nhau, f(x,y) dần tới những
giá trị khác nhau.
Vậy:
3
2 6
, 0,0
) lim ;
2 3
x y
xy
a
x y
3
, , 0,0 ,
n n
k l
x y n
n n

3
2 6
, ,
2 3
n n
kl
f x y n
k l

3
2 6
, 0,0
lim
2 3
x y
xy
x y
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 31
1. Giới hạn và liên tục
• Đặt:
+
=∶ , → 0,0 ⟹→0
• Khi đó
2 2
2 2
, 0,0
sin
) lim
x y
x y
b
x y
2 2
2 2
, 0,0 0
sin
sin
lim lim 1
x y t
x y
t
x y t
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 32
1. Giới hạn và liên tục
• Đặt: =
+ −2
, ≥0, , → 0,2:→0
• Khi đó:
2
2
2
2
, 0,2
2 1 1
) lim
2
x y
x y
c
x y
2
2
2
2
2
2
, 0,2 0
2
0
2 1 1
1 1
lim lim
2
1 1
lim
2
1 1
x y
x y
x y
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 33
1. Giới hạn và liên tục
• Ta có:
• Đặt =, , → 0,2:→0
• Khi đó:
• Mà:
2
2
, 0,2
) lim 1
x xy
x y
d xy
2
2
2 2
2 1 1
1 1 1
xy y
x y
x xy
xy xy
x xy
xy xy xy
1 1
, 0,2 0
lim 1 lim 1
xy t
x y t
xy t e
2
2
2
, 0,2 , 0,2
2
lim 2 lim 1
x xy
x y x y
y
xy e
x y
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 34
1. Giới hạn và liên tục
• Dạng 2. Khảo sát tính liên tục
Hàm số f(x,y) liên tục tại ,
∈⊂
nếu
0 0
0 0
, ,
lim , ,
x y x y
f x y f x y
• Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số:
3 3
2 2
, , 0,0
,
0, , 0,0
x y
x y
x y
f x y
x y
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 35
1. Giới hạn và liên tục
- Hàm f(x,y) liên tục với
∀
(x, y) ≠ (0, 0).
- Xét tính liên tục của f(x,y) tại (0, 0): f(0,0) = 0,
Mà:
2 2
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
0
x y x xy y
x y x y
x xy y
x y x y x y
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
3
2 2
x xy y x y xy
x y
x y xy x y x y
3 3
2 2
2 2 2 2
3 3
0 .
2 2
x y x y
x y x y
x y x y
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 36
1. Giới hạn và liên tục
Suy ra f(x, y) liên tục tại điểm (0,0).
Vậy hàm số f(x,y) đã cho liên tục trên R .
2
Cách biến đổi khác:
3 3
2 2
, 0,0 , 0,0
3 3
2 2
, 0,0
3
lim 0 lim 0
2
lim 0
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
0
x y x y
x y
x y x y x y
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 37
1. Giới hạn và liên tục
• Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số:
2 2
, , 0,0
,
0 , , 0,0
xy
x y
f x y
x y
x y
Giải:
- Hàm f(x,y) liên tục với
∀
(x, y) ≠ (0, 0).
- Xét tính liên tục của f(x,y) tại (0, 0):
f(0,0) = 0,
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 38
1. Giới hạn và liên tục
• Mặt khác:
Nhận thấy: phụ thuộc vào α
0 không tồn tại ≠ 0
f(x,y) liên tục trên R
2
nếu α >1, gián đoạn tại (0,0) nếu α ≤ 1
2 2
1
2 2
2 2
1
2 2
xy
x y
xy x y
x y
1
2 2
, 0,0
1
lim
2
x y
x y
1
1
1
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 39
3. Bài tập
• Bài tập. Tính các giới hạn sau:
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 4
2 2
1
1) , khi , 0,0
2) , khi , 0,0
3) , khi , 0,0
4) , 1 khi , 0,0
x y
x y
x y
f x y x y
x y
xy
f x y x y
x y
f x y x y x y
f x y xy x y
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 40
3. Bài tập
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 41
2 2
2 2
3 3
2 2
5) , khi , 0,0
4 2
sin
6) , khi , 0,3
sin
7) , khi , 0,0
8) , arctan khi , 0,0
x y
f x y x y
x y
xy
f x y x y
x
x y
f x y x y
x y
y
f x y x x y
x
3. Bài tập
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 42
2 2
2
2 2
2
2 2
1
9) , 1 cos khi , 0,0
cos
10) , khi , 0,0
sin
1 1 cos
11) , khi , 0,0
12) , khi , ,
x y
f x y y x y
y
x y x y
f x y x y
x y
x y y
f x y x y
y
x y
f x y x y
x y
 
3. Bài tập
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 43
2
2 2
2 2
2
2 2
13) , khi , ,
14) , khi , ,
15) , arctan khi , 0,0
siny ysinx
16) , khi , 0,0
x
x y
f x y x y
x xy y
xy
f x y x y
x y
y
f x y x x y
x
x
f x y x y
x y
3. Bài tập
• Bài tập. Khảo sát sự liên tục của các hàm số sau tại (0,0):
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 44
2 2
2 2
2 2
1
sin , , 0,0
1) , ;
0, , 0,0
sin sin
, , 0,0
2) , ;
0, , 0,0
x y x y
x y
f x y
x y
x y y x
x y
x y
f x y
x y
3. Bài tập
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 45
2
4 4
, , 0,0
3) , ;
0, , 0,0
cos cos
, 0,
4) ,
2
1, 0
x y
x y
x y
f x y
x y
x y x y
xy
f x y
xy
xy
3. Bài tập
Cho hàm số
, =
.


. CMR tồn tại giới hạn lặp
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 46
Hướng dẫn
.
3/12/2020 Chương I: Hàm nhiều biến 47
2 2
2
2 2 2 2
2 2
13) lim
2 0
1 1
0 0, ,
x
y
x y
x xy y
x xy y x y x xy y xy
x y x y
x y
x xy y xy x y


| 1/46
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Tài liệu tham khảo
1) Toán cao cấp Tập 3 – Nguyễn Đình Trí (CB) – NXB Giáo Dục
2) Giải Tích, Tập I, II – Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang,
Hoàng Quốc Toàn – NXB ĐHQGHN
3) Giải Tích Toán học – Nguyễn Thủy Thanh – NXB ĐHQGHN
4) Calculus – Jame Stewart – 7th . 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 2 Nội dung
• Chương I: Hàm nhiều biến (4b)
• Chương II: Tích phân bội (3b)
• Kiểm tra giữa học kỳ (1b) – Tuần 8 (20%)
• Chương III: Tích phân đường, tích phân mặt (4b)
• Chương IV: Phương trình vi phân (2b)
• Ôn tập cuối học kỳ (1b) – Tuần 15 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 3
Chương I: Hàm nhiều biến
• Giới hạn và liên tục
 Tính giới hạn, chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn
 Khảo sát liên tục của hàm 2 biến • Đạo hàm, vi phân
 Đạo hàm riêng hàm hợp, hàm ẩn
 Xét tính khả vi của hàm số
 Tìm vi phân toàn phần của hàm số, tính giá trị gần đúng • Cực trị
 Cực trị không điều kiện, cực trị có điều kiện  Bài toán min, max 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 4 1. Hàm hai biến
• Hàm hai biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi một cặp
số thực ,  ∈  ⊂  có duy nhất một số thực ký hiệu (, ).
:   →    (, ) → (, )
• Ký hiệu:  =  ,  |(, ) ∈ ; 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 5 1. Hàm hai biến
• D - miền xác định: tập hợp tất cả những giá trị của x và y
sao cho biểu thức f(x,y) có nghĩa.
• Miền giá trị: tập hợp các giá trị mà hàm nhận được
 ≔  ∈ | =  ,  , (, ) ∈ 
• , : biến độc lập; : biến phụ thuộc.
• Giá trị của hàm tại điểm  ,  :   ,  hoặc (). 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 6 1. Hàm hai biến
• Ví dụ 1. Tìm miền D và (3,2) của các hàm số sau:  +  + 1 ) ,  =
 − 1 ;       ) ,  =   −  Giải:
a) Miền xác định: = ,  | +  + 1 ≥ 0,  ≠ 1 3 + 2 + 1 6  3,2 = 3 − 1 = 2    3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 7 1. Hàm hai biến
b)  ,  =   − 
Miền xác định:  = ,  | ≤    3,2 = 31 = 0. 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 8 1. Hàm nhiều biến  Về mặt hình học:
o Mỗi cặp số thực (, ): xác định một điểm P trên ().
o (): cao độ của điểm P trong không gian . o
Tập hợp các điểm trong 
mà tọa độ thỏa mãn phương
trình  = (, ): đồ thị của
hàm hai biến – 1 mặt trong
 mà hình chiếu vuông góc
của nó lên () là D. 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 9 1. Hàm nhiều biến
 Đường đồng mức, mặt đồng mức
• Đường đồng mức của hàm
 = (, ): Đường trên
() mà tại các điểm của
nó:  ,  =  (C: hằng số).
• Mặt đồng mức của hàm
 = (, , ) : mặt trong
 mà tại các điểm của nó
 , ,  =  (C: hằng số). 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 10 1. Hàm nhiều biến
Bản đồ thời tiết thế giới: nhiệt độ trung bình trong 1 tháng. 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 11 1. Hàm nhiều biến
Ví dụ. Tìm đường mức của hàm:
(, ) = 4 + ;
Đường mức là đường  ,  = , C = const  
4 +  =  ⇔ /4 +  = 1
Vậy đường đồng mức là họ các đường elip có tâm tại
(0,0), các bán trục là: 2, ,(>0) 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 12 1. Hàm nhiều biến
• Bản đồ đường mức và các đường tiến ngang tăng theo các đường mức 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 13
2. Giới hạn và liên tục
• Cho hai hàm  ,  , (, ), khảo sát các giá trị của các
hàm trên khi ,  → 0,0 :   +   − 
 ,  =  +  ;   , =  + 
Bảng giá trị của (, ) 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 14
2. Giới hạn và liên tục
Bảng giá trị của g(, ) • Nhận xét:
 Tại (0,0):  ,  , (, ): không xác định;
 Khi ,  → 0,0 :  ,  → 1; (, ): không tiến tới 1 giá
trị cụ thể nào.   +  −  lim (,)→(,)
 +  = 1; ∄ lim
(,)→(,)  +  3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 15
2. Giới hạn và liên tục
• Giả sử hàm u = f(M) = f(x,y) xác định trên tập hợp D.
M0(a,b) là điểm cố định nào đó của mặt phẳng và
 → ,  →  ⇒  ,  →  ,  2 2 M , M x a y b 0 0 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 16
2. Giới hạn và liên tục • Định nghĩa 1 (Cauchy) lim (, ) =  → Nếu: 0, 0 : M D : 0 M , M0 f M L . 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 17
2. Giới hạn và liên tục • Chú ý rằng:
0 <  ,  <   : tập hợp các điểm M nằm trong
đường tròn tâm (a,b) bán kính   .
  có thể tiến tới  theo nhiều đường khác nhau. f x, y L : x, y a,b C 1 1 • Nếu: f x, y L : x, y a,b C lim f x, y 2 2 x, y a,b L L 1 2 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 18
2. Giới hạn và liên tục • Định nghĩa 2 (Heine)
Số L: giới hạn của hàm f(M) tại điểm M0 nếu: M M n,M D, M M f M L n 0 n n 0 n Kí hiệu: lim f M L; lim f x, y L M M 0 x a y b 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 19
2. Giới hạn và liên tục
 Giới hạn của hàm không phụ thuộc vào phương M tiến đến M0.
 Nếu M→M0 theo các phương khác nhau mà f(M) dẫn đến
các giá trị khác nhau thì hàm f(M) không có giới hạn.
 Số L: giới hạn của hàm f(M) khi  → ∞ nếu: 0, R 0 : M D : M ,0 R f M L . 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 20
2. Giới hạn và liên tục
• Ví dụ 2. Chứng minh rằng:  −  ∄ lim
(,)→(,)  +  Giải.
Xét ,  → 0,0 theo trục Ox (y=0):   , 0 =  = 1
Xét ,  → 0,0 theo trục Oy (x=0): −
 0,  =  = −1 ≠ 1
Vậy không tồn giới hạn của hàm f(x,y) đã cho. 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 21
1. Giới hạn và liên tục
• Dạng 1. Tính giới hạn kép lim f x, y lim f x, y lim f M L x 0 x x, y 0 x , 0 y M M0 y y0
• Ví dụ 1. Tính giới hạn 2 2x 3x 1 xy a) lim ; b) lim 2 2 2 x, y 1, 1 x,y 0,0 xy 3 x y xy 2 2 1 ) c lim ; d) lim x y sin x, y 0,0 2 2 x, y 0,0 x y xy 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 22
1. Giới hạn và liên tục 2 2x 3x 1 1 a) lim 2 x, y 1, 1 xy 3 2 xy b) lim 2 2 x,y 0,0 x y
Cho ,  → 0,0 theo phương của đường thẳng y = kx k k f , x kx x 0 lim f , x kx . 2 2 x 0 1 k 1 k
Khi k khác nhau, ,  → 0,0 theo các phương khác
nhau, f(x,y) dần tới những giới hạn khác nhau.
 Giới hạn không tồn tại. 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 23
1. Giới hạn và liên tục xy c) lim ; x, y 0,0 2 2 x y xy xy 0 f x, y x , lim x 0 2 2 x y y x,y 0,0 2 2 x y hoặc: xy 0 2 2 2 (nguyên lý kẹp) xy x y 0 xy 2 2 x y 2  Vậy: lim 0 x ,y 0,0 2 2 x y 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 24
1. Giới hạn và liên tục 1 2 2 d ) lim x y sin x ,y 0,0 xy 2 2 1 2 2 0 x y sin x y xy 2 2 2 2 1 lim x y 0 lim x y sin 0 x,y 0,0 x,y 0,0 xy 1  Vậy 2 2 lim x y sin 0 , x y 0,0 xy 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 25
1. Giới hạn và liên tục  Nhận xét
• Thông thường, đối với hàm phân thức, bậc của tử ≤ bậc
của mẫu: xét dãy điểm tiến tới điểm cần tính giới hạn theo các đường khác nhau.
• Nếu bậc của tử > bậc của mẫu: sử dụng nguyên lý kẹp Chú ý: a b a b a b 2 2 x y xy 2 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 26 1. Giới hạn
• Dạng 2. Giới hạn lặp
Giả sử tồn tại lim (, ) = () với mỗi y cố định →
Nếu tồn tại lim () = , L được gọi là giới hạn lặp → Ký hiệu: lim lim (, ) → → Tương tự có: lim lim (, ) → → 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 27 1. Giới hạn Chú ý: Nếu
1) Tồn tại giới hạn kép lim (, ) =  → →
2) Với mỗi y cố định, tồn tại lim (, ) → Thì ∃lim lim (, ) → →
lim (,) = lim lim (,) → → → → 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 28 1. Giới hạn
 Ví dụ: Cho hàm số : 0, +∞ × 0, +∞ →  xác định
bởi công thức  ,  = . 
Tính các giới hạn lặp tại điểm (0,0). 
• Ta có: lim (, ) = lim =  − 1 → →  ⇒ lim  − 1 = −1
→ −  +  + lim (, ) = lim → →  +  =  + 1 ⇒ lim  + 1 = 1 →
Hai giới hạn lặp tồn tại nhưng khác nhau ⇒ ∄ lim (, ). → → 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 29
1. Giới hạn và liên tục
• Ví dụ 2: Tính giới hạn 2 2 3 sin x y xy a) lim ; b) lim 2 6 2 2 x,y 0,0 x,y 0,0 2x 3 y x y 2 2 2 x y 2 1 1 2 c) lim ; d ) lim 1 xy x xy 2 x,y 0,2 2 x,y 0,2 x y 2 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 30
1. Giới hạn và liên tục 3 xy a) lim ; 2 6 x,y 0,0 2x 3y k l Xét dãy điểm: x , y , 0,0 , n n n 3 n n
với k, l là các hằng số. 3 kl Khi đó: f x , y , n n n 2 6 2k 3l
Với mỗi cặp giá trị (k, l) khác nhau, f(x,y) dần tới những giá trị khác nhau. 3 xy  Vậy: lim 2 6 x, y 0,0 2 x 3 y 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 31
1. Giới hạn và liên tục 2 2 sin x y b) lim 2 2 x, y 0,0 x y
• Đặt:  +  =  ∶  ,  → 0,0 ⟹  → 0 • Khi đó 2 2 sin x y sin t lim lim 1 2 2 x, y 0,0 t 0 x y t 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 32
1. Giới hạn và liên tục 2 2 x y 2 1 1 c) lim 2 x,y 0,2 2 x y 2
• Đặt:  =   +  − 2 ,  ≥ 0, ,  → 0,2 :  → 0 • Khi đó: 2 2 2 x y 2 1 1 1 1 lim lim 2 2 x,y 0,2 2 0 x y 2 1 1 lim0 2 1 1 2 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 33
1. Giới hạn và liên tục 2 2 d) lim 1 xy x xy x, y 0,2 • Ta có: 2 xy 2 y 2 1 2 1 x xy x y 2 1 xy x xy 1 xy xy 1 xy xy
• Đặt  = , ,  → 0,2 :  → 0 • Khi đó: 1 1 lim 1 xy xy lim 1 t t e x, y 0,2 t 0 2 2 y • Mà: 2 2 lim 2 lim 1 xy x xy e x, y 0,2 x, y 0,2 x y 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 34
1. Giới hạn và liên tục
• Dạng 2. Khảo sát tính liên tục
Hàm số f(x,y) liên tục tại  ,  ∈  ⊂  nếu lim f x, y f x , y 0 0 , x y 0 x , y0
• Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số: 3 3 x y , ,x y 0,0 2 2 f x, y x y 0, , x y 0,0 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 35
1. Giới hạn và liên tục
- Hàm f(x,y) liên tục với ∀(x, y) ≠ (0, 0).
- Xét tính liên tục của f(x,y) tại (0, 0): f(0,0) = 0, 2 2 3 3 x y x y x xy y x y 2 2 0 x xy y 2 2 2 2 2 2 x y x y x y Mà: 2 2 2 2 x xy y x y xy 2 2 x y 3 2 2 2 2 2 2 x y xy x y x y 2 2 3 3 x y x y 3 3 2 2 0 . x y x y 2 2 2 2 x y x y 2 2 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 36
1. Giới hạn và liên tục 3 3 3 x y lim x y 0 lim 0 2 2 x, y 0,0 x, y 0,0 2 x y 3 3 x y lim 0 2 2 x, y 0,0 x y
Suy ra f(x, y) liên tục tại điểm (0,0).
 Vậy hàm số f(x,y) đã cho liên tục trên R2. Cách biến đổi khác: 3 3 3 3 x y x y 0 x y 2 2 2 2 2 2 x y x y x y 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 37
1. Giới hạn và liên tục
• Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số: xy , , x y 0,0 2 2 f x, y x y 0 , , x y 0,0 Giải:
- Hàm f(x,y) liên tục với ∀(x, y) ≠ (0, 0).
- Xét tính liên tục của f(x,y) tại (0, 0): f(0,0) = 0, 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 38
1. Giới hạn và liên tục • Mặt khác: 2 2 x y xy 1 1 2 2 xy x y 2 2 2 x y 2 1 1 Nhận thấy: l i m x 2 y 2 phụ thuộc vào α x,y 0,0 2 1 1 1 0 không tồn tại ≠ 0
 f(x,y) liên tục trên R2 nếu α >1, gián đoạn tại (0,0) nếu α ≤ 1 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 39 3. Bài tập
• Bài tập. Tính các giới hạn sau: 2 2 x y 1) f , x y khi , x y 0,0 2 2 x y 2 xy 2) f , x y khi , x y 0,0 2 4 x y 2 2 2 2 x y 3) f , x y x y khi , x y 0,0 1 2 2 4) f , x y 1 xy x y khi , x y 0,0 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 40 3. Bài tập 2 2 x y 5) f , x y khi , x y 0,0 2 2 4 x y 2 sin xy 6) f , x y khi , x y 0,3 x 3 3 sin x y 7) f , x y khi , x y 0,0 2 2 x y y 8) f , x y xarctan khi , x y 0,0 x 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 41 3. Bài tập 2 2 1 x y 9) f , x y 1 cos y khi , x y 0,0 2 y x y cos x y 10) f , x y khi , x y 0,0 sin x y 2 2 1 x y 1 cos y 11) f , x y khi , x y 0,0 2 y x y 12) f , x y khi , x y , 2 2 x y 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 42 3. Bài tập x y 13) f x, y khi x, y , 2 2 x xy y 2 x xy 14) f x, y khi x, y , 2 2 x y 2 y 15) f x, y xarctan khi x, y 0,0 x xsiny ysinx 16) f x, y khi x, y 0,0 2 2 x y 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 43 3. Bài tập
• Bài tập. Khảo sát sự liên tục của các hàm số sau tại (0,0): 2 2 1 x y sin , x ,y 0,0 2 2 1) f x, y x y ; 0, x, y 0,0 x sin y y sin x , x,y 0,0 2 2 2) f x, y x y ; 0, x, y 0,0 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 44 3. Bài tập 2 x y , x, y 0,0 4 4 3) f x, y x y ; 0, x, y 0,0 cos x y cos x y , xy 0, 4) f x, y 2xy 1, xy 0 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 45 3. Bài tập
Cho hàm số  ,  = .. CMR tồn tại giới hạn lặp  3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 46 Hướng dẫn x y 13) lim 2 2 x x xy y y 2 2 2 2 2 x 2xy y x y 0 x xy y xy x y x y 1 1 0 0, x , y 2 2 x xy y xy x y . 3/12/2020
Chương I: Hàm nhiều biến 47