Bài giảng chuyên sâu Toán 12

Bài giảng chuyên sâu Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

LƯUHÀNHNIBỘ
THS.TRNĐÌNHCƯ
CS 1: P5, Dãy 14 tp th xã tc. Đường Ngô Thi Nhm
CS 2: Trung Tâm luyn thi - 18 kit 87 Bùi Th Xuân
CS 3: Trung tâm cao thng - 11 Đống Đa
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 1
CHƯƠNG I. NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIU CA HÀM S
A. KIN THC CƠ BN CN NM
1. Định nghĩa
Cho hàm s
f
xác định trên khong (đon hoc na khong)
K
.
* Hàm s
f
gi là đồng biến (tăng) trên
K
nếu
12 1 2 1 2
,;
x
xKxx fx fx
.
Nhn xét:
- Hàm s

f
x
đồng biến trên
K
thì đồ th hàm sđường đi lên t trái sang phi, biu din trong bng
biến thiên là du mũi tên hướng lên t trái sang phi.
* Hàm s
f
gi là nghch biến (gim) trên
nếu
12 1 2 1 2
,;
x
x Kx x fx fx
Nhn xét:
Hàm s
f
x nghch biến trên
K
thì đồ th hàm sđường đi xung t trái sang phi, biu din trong
bng biến thiên là du mũi tên hướng xung t trái sang phi.
2. Định lý
Định lí thun
Gi s hàm s
f
đạo hàm trên khong
K
.
Nếu
0,
f
xxK
 thì hàm s đồng biến trên khong
K
.
Nếu
0,
f
xxK
 thì hàm s nghch biến trên khong
K
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 2
Nếu
0,
f
xxK

thì hàm s không đổi trên khong
K
.
Định lí đảo
Gi s hàm s
f
đạo hàm trên khong
K
.
Nếu hàm s
f
đồng biến trên khong
K
thì
0,
f
xxK
.
Nếu hàm s
f
nghch biến trên khong
K
thì
0,
f
xxK

.
B. PHÂN DNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1. Tìm các khong đơn điu ca hàm s cho bi công thc

y
fx
1. Phương pháp gii
Thc hin các bước như sau:
Bước 1. Tìm tp xác định D .
Bước 2. Tính đạo hàm

yfx

.
Bước 3. Tìm các giá tr
x
0fx
hoc nhng giá tr làm cho
f
x
không xác định.
Bước 4. Lp bng biến thiên hoc xét du trc tiếp đạo hàm.
Bước 5. Kết lun tính đơn điu ca hàm s
yfx (chn đáp án).
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s

2019
2
1fx x . Khng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm s đồng biến trên .
B. Hàm s đồng biến trên

;0
.
C.
Hàm s nghch biến trên

;0
.
D.
Hàm s nghch biến trên .
Hướng dn gii
Chn B.
Tp xác định D .
Đạo hàm

 

2018 2018
22 2
2019. 1 . 1 2019. 1 . 2
f
xxx xx
 
2018
2
2019. 1 0x, x nên du ca đạo hàm cùng du vi
x
.
Ta có

0
0
1
x
fx
x


Ta có bng biến thiên
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 3
Vy hàm s đồng biến trên

;0 .
Chú ý: Du hiu m rng khi kết lun khong đồng biến
;0 .
Bài tp 2. Cho hàm s
32
8cos
f
xxx x x
. Vi hai s thc ,ab sao cho ab . Khng định nào
sau đây là đúng?
A.
f
afb
. B.
f
afb
.
C.
f
afb
. D.
f
afb
.
Hướng dn gii
Chn C.
Tp xác định D .
Ta có
22
328sin 3217sin 0,fx x x x x x x x

Suy ra

f
x đồng biến trên . Do đó
ab fa fb .
Bài tp 3. Hàm s
2
23yx x đồng biến trên khong nào dưới đây?
A.

;1 . B.
1; 3 . C.
1;
. D.
3;  .
Hướng dn gii
Chn D.
Tp xác định D .
Ta có


2
2
22
2
2
22 23
23 23
23
xxx
yx x x x y
xx



0220 1yx x
 
; y
không xác định nếu 1; 3xx
.
Ta có bng biến thiên
Hàm s đồng biến trên khong
1;1
3;
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 4
Chú ý: -
 
2
f
xfx
nên có tht tính đơn điu ca hàm s

2
yfx
để suy ra kết qu.
- Đạo hàm

2
.
f
xfx
y
f
x
.
Dng 2. Xét tính đơn điu ca hàm s
yfx
khi cho hàm s
yfx
1. Phương pháp gii
Thc hin theo ba bước như sau:
Bước 1.m các giá tr
x
0fx
hoc nhng giá tr làm cho
f
x
không xác định.
Bước 2. Lp bng biến thiên hoc xét du trc tiếp đạo hàm.
Bước 3. Kết lun tính đơn điu ca hàm s
yfx
(chn đáp án).
2. Bài tp
Bài tp 1: Cho hàm s
yfx
đạo hàm trên
2
1fx xx
. Hàm s đã cho đồng biến trên
khong
A.
1;  . B.
;0 ; 1;  . C.
0;1 . D.
;1 .
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có

2
0
010
1
x
fx xx
x
 
Ta có bng xét du
x

0
1
f
x
0
0
Vy hàm s đồng biến trên khong
1; 
.
Bài tp 2. Cho hàm s
f
x đạo hàm

23
112
f
xx x x

. Hàm s
yfx đồng biến
trên khong nào, trong các khong dưới đây?
A.
1; 1 . B.
1; 2 . C.
;1
 . D.
2;  .
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có

2
0
1
x
fx
x


Bng xét du
x

1
1
2
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 5
f
x
0
0
0
Hàm s

f
x
đồng biến trên khong
1; 2
.
Bài tp 3. Cho hàm s
yfx
xác định trên khong
0;3
có tính cht
0, 0;3fx x

0fx
,
1; 2x .
Tìm khng định đúng trong các khng định sau.
A. Hàm s
f
x
đồng biến trên khong
0; 2
.
B. Hàm s
f
x
không đổi trên khong
1; 2
.
C.
Hàm s
f
x đồng biến trên khong
1; 3 .
D.
Hàm s
f
x đồng biến trên khong
0;3 .
Hướng dn gii
Chn B.
0fx
,
1; 2x nên
f
x là hàm hng trên khong
1; 2 .
Trên các khong
0; 2 , 1; 3 , 0; 3 hàm s
y
fx tha
0fx nhưng
0fx
,
1; 2x nên
f
x không đồng biến trên các khong này.
2. Bài tp:
D
ng3: Tìm tham s để hàm s đơn điu trên tp xác định
1. Phương pháp gii
* Đối vi hàm s
32
y
ax bx cx d=+++
ta thc hin theo các bước sau
Bước 1. Tính
2
32yaxbxc

(1).
Bước 2. Xét hai trường hp
Trường hp 1: 0a , thay trc tiếp vào (1) để xét.
Trường hp 2:
0a
, tính
2
3bac
 .
Hàm s nghch biến trên
2
0
30
a
bac

Hàm s đồng biến trên
2
0
30
a
bac

Bước 3. Kết lun (chn đáp án).
* Đối vi hàm s
ax b
y
cx d
ta thc hin theo các bước sau
Bước 1. Tp xác định \
d
D
c




Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 6
Bước 2. Tính

2
ad bc
y
cx d
Hàm s đồng biến trên các khong xác định
0ad bc

Hàm s nghch biến trên các khong xác định
0ad bc

Bước 3. Kết lun.
2. Bài tp:
Bài tp 1.
Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m thuc đon

20; 2
để hàm s
32
31yx x mx đồng biến trên ?
A. 20 . B. 2. C. 3 . D. 23.
Hướng dn gii
Chn B.
Tp xác định D .
Ta có
2
323yx xm

Hàm s trên đồng biến trên
2
3230xxm vi mi x
.
1
0
19 0
30
9
mm


Do
m là s nguyên thuc đon

20; 2
nên có 1; 2mm
.
Bài tp 2. Có bao nhiêu giá tr nguyên
m
để hàm s
23 2
114ym x m xx
 nghch biến trên
khong
; 
.
A.
3
. B.
0
. C. 1. D. 2.
Hướng dn gii
Chn D.
Tp xác định D .
Ta có
22
31211ymx mx

Hàm s đã cho nghch biến trên khong
;0y
 vi x
.
Vi
1m ta có 10y

vi x nên hàm s nghch biến trên khong
;

. Vy 1m
là giá
tr cn tìm.
Vi 1
m  ta có
1
410 1
4
yx x m
   không tha mãn.
• Vi
1m 
ta có 0y
vi
2
2
10
4220
m
x
mm



11
1
1
2
m
m


1
1
2
m
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 7
T các trường hp ta được
1
1
2
m
. Do
0;1mm
Vy có hai giá tr nguyên ca
m tha mãn.
Bài tp 3. Các giá tr ca tham s
m
đểm s
1
1
mx
y
x
đồng biến trên tng khong xác định ca nó
A. 1m  . B. 1m  . C. 1m . D. 1m .
Hướng dn gii
Chn C.
Tp xác định
\1D 
Ta có

2
11
1
1
mx m
yy
x
x


Xét
1m , hàm s tr thành 1y . (hàm hng)
Xét
1m
, hàm s đồng biến trên tng khong xác định ca nó khi và ch khi
0, 1 1 0 1yx m m

.
Lưu ý: Vi 1m thì
0, \ 1yx
 .
Bài tp 4.
Tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
1mx
y
x
m
nghch biến trên tng khong
xác định là
A.
;1
. B.
1;1
. C.
1;
. D.
;1
.
Hướng dn gii
Chn B.
Tp xác định
\Dm
Ta có

2
2
1m
y
x
m
Hàm s nghch biến trên tng khong xác định

2
2
1
0
m
y
xm

2
10 1 1mm
 .
Dng 4: Xét tính đơn điu hàm s bc cao, căn thc, lượng giác có cha tham s
1. Phương pháp gii
S dng các kiến thc
Điu kin cn để

21
.
m
yxa gx

m không đổi du khi
x
đi qua a
0ga .
Cho hàm s
yfx liên tc trên
K
min
K
f
xA
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 8
Khi đó bt phương trình

f
xm
nghim đúng vi mi
x
K
khi và ch khi
mA
.
Cho hàm s

yfx liên tc trên
K
max
K
f
xB
.
Khi đó bt phương trình

f
xm
nghim đúng vi mi
x
K
khi và ch khi
mB
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Có bao nhiêu giá tr ca tham s
m
để hàm s
92 632 4
3 3 2 2019yx m mx m m mx đồng biến trên
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
1
.
Hướng dn gii
Chn A.
Tp xác định D .
Ta có
82432 3
953 4 3 2yx mmx mmmx


35 2 3 2 3
953 4 3 2 .yx x mmx m m m xgx



vi
52 32
953 4 3 2
g
xx mmxmmm .
Nếu

0
00 2
1
m
gm
m

thì
y
s đổi du khi đi qua đim 0x m s s có khong đồng biến và nghch biến. Do đó để hàm
s đồng biến trên
thì điu kin cn là
00g

2
0
320 1
2
m
mm m m
m

Th li:
+ Vi
0m
8
90yx

,
x
nên hàm s đồng biến trên .
+ Vi
1m
44
9100yx x
, x nên hàm s đồng biến trên .
+ Vi
2m
44
9500yx x
,
x
nên hàm s đồng biến trên .
Vy vi
0
1
2
m
m
m
thì hàm s đã cho đồng biến trên
.
Lưu ý: Nếu
00g thì y
luôn đổi du khi
x
qua 0, do đó nếu
0gx
vô nghim thi s luôn có mt
khong đồng biến và mt khong nghch biến.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 9
Bài tp 2. Gi
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
25 3 2 2
20 2019fx mx mx m m x nghch biến trên . Tng giá tr ca tt c các phn t
thuc
S bng
A. 4 . B. 1. C. 1
. D. 5 .
Hướng dn gii
Chn D.
Tp xác định D .
Ta có
24 2 2
532 20
f
xmxmxmmx


23 2
532 20.
x
mx mx m m xg x



.
Để hàm s nghch biến trên
thì
0fx
, x
(*)
Nếu
0x không phi là nghim ca
g
x
thì
f
x
s đổi du khi
x
đi qua 0x , lúc đó điu kin (*)
không được tha mãn.
Do đó điu kin cn để hàm s đồng biến trên
0x
là nghim ca

2
4
0200
5
m
gx m m
m

 
Th li:
+ Vi
4m  thì
422 2
80 12 12 80
f
xxxx x

, do đó
4m
không tha mãn.
+ Vi
5m thì
422 2
125 15 125 15 0fx x x x x
  , x
do đó 5m tha mãn.
Vy
5S nên tng các phn t ca
S
bng 5.
Lưu ý:

f
x
đổi du qua các nghim ca phương trình
2
12 80 0x
.
Bài tp 3.
Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
2018; 2018m 
để hàm s
2
11yx mx
đồng biến trên

;  .
A. 2018 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2017 .
Hướng dn gii
Chn A.
Tp xác định D .
Ta có
2
1
x
ym
x

Theo yêu cu bài toán
2
0
1
x
ym
x

, x
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 10
2
1
x
m
x

,
x
.
Xét hàm s
 

222
;0
111
xx
gx g x
xxx


Bng biến thiên
Vy
1m 
2018; 2018m  nên có 2018 giá tr nguyên.
Bài tp 4. Tìm tt c các giá tr ca m để hàm s sin cosyxxmx
 đồng biến trên .
A.
22m
. B.
22m
.
C.
2m
. D.
2m
.
Hướng dn gii
Chn C.
Tp xác định D .
Ta có cos sinyxxm

Hàm đồng biến trên 0, cos sin 0,yx xxmx
 

sin cos ,xxmx
Xét hàm

sin cos
f
xxx trên
Ta có
 
sin cos 2 sin 2 2, 2
4
xx x fx x maxfx




Do đó
,2fx m x maxfx m m
Dng 5. Xét tính đơn điu ca hàm s trên trên khong cho trước
1. Phương pháp gii
* Đối vi hàm s
32
yax bx cxd
Gi s phương trình
2
yax bxc
0a
có hai nghim
12
,
x
x . Ta nhc li các mi liên h nghim v
tam thc bc hai
Khi đó
12
0xxaf

 .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 11

12
12
12
2
0
xx
xx
xx




.

12
12
12
2
0
xx
xx
xx




.

12
0
0
af
xx
af


.
* Để hàm s
32
;y f x m ax bx cx d
đơn điu trên đon có độ dài bng
k
Thc hin theo các bước sau
Bước 1. Tính
2
;32y f x m ax bx c


Bước 2. Hàm s đơn điu trên
12
;0xx y
 có hai nghim phân bit
0
0a
Theo định lý Vi-ét
12
12
b
xx
a
c
xx
a

Bước 3. Hàm s đơn điu trên khong có độ dài bng

2
2
12 12 12
4kxxk xx xxk

Bước 4. Gii các điu kin để suy ra giá tr m cn tìm.
* Hàm s
ax b
y
cx d
đơn điu trên khong
;
cho trước
Thc hin theo các bước sau
Bước 1. Hàm s xác định trên
 
;;
d
d
c
d
c
c
 



Bước 2. Tính

2
ad bc
y
cx d
.
Hàm s đồng biến trên các khong xác định
0ad bc
.
Hàm s nghch biến trên các khong xác định
0ad bc

Bước 3. Kết lun
2. Bài tp
Bài tp 1.
Các giá tr thc ca tham s m sao cho hàm s
32
2321 6 11yx m x mm x
 đồng
biến trên khong
2; 
A. 1m . B. 1m . C. 2m
. D. 1m .
Hướng dn gii
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 12
Chn B.
Tp xác định D .
Ta có
2
66216 1yx mxmm

Để hàm s đã cho đồng biến trên khong
2;
thì ta xét hai trường hp
- Trường hp 1: Hàm s đồng biến trên
0,yx


2
0214 1010mmm (vô lí).
- Trường hp 2: Phương trình 0
y
có hai nghim phân bit tha mãn

12 1 2 12
12 1 2
0
2 2 20 40
240
xx x x xx
xx x x





10
3
230 ;1
2
122 140
;1 2;
m
mmm
mm m
m




 

Lưu ý: - Hàm s đồng biến trên
thì s đồng biến trên khong
2;
.
- Bng biến thiên ca hàm s
f
xy
khi phương trình 0y
có hai nghim
12
,
x
x.
Bài tp 2. Các giá tr thc ca tham s m để hàm s

32
1
1310
3
yxmxmx

đồng biến trên
khong
0; 3
A.
12
7
m
. B.
12
7
m
. C. m
. D.
7
12
m
.
Hướng dn gii
Chn A.
Tp xác định D .
Ta có

2
21 3yx mxm gx
 .
Do
y là hàm s bc ba vi h s 0a nên hàm s đồng biến trên
0;3 0y
có hai nghim
12
,
x
x
tha mãn

12
1. 0 0
03
1. 3 0
g
xx
g



x

1
x
2
x
y
0
0
y
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 13
12
30
7120
7
m
m
m



.
Bài tp 3. Các giá tr thc ca tham s m để
32
3123fx x x m x m
 trên mt khong có độ
dài ln hơn 1 là
A. 0m . B. 0m . C.
5
0
4
m
. D.
5
4
m  .
Hướng dn gii
Chn D.
Tp xác định
D
.
Ta có
2
36 1fx x xm

Hàm s đồng biến trên mt khong có độ dài ln hơn 1 khi và ch khi
0fx
có hai nghim phân bit
12
,
x
x
tha mãn
21
1xx
.
Để
0fx
có hai nghim phân bit
12
,0
xx
360 2mm
Theo định lý Vi-ét, ta có
12
12
2
1
3
xx
m
xx

Vi

2
21 12 12
5
1410450
4
xx xx xx m m
Kết hp, ta được
5
4
m 
Bài tp 4. Các giá tr thc ca tham s m để hàm s
32
23 1 6 23yx m x m x
 nghch biến
trên mt khongđộ dài ln hơn 3 là
A. 6m . B.
0; 6m . C. 0m
. D. 0; 6mm.
Hướng dn gii
Chn D.
Tp xác định D .
Ta có
2
66 16 2yx mxm

1
0
2
x
y
x
m



Hàm s nghch biến trên mt khong có độ dài ln hơn 3
0
y có ha nghim phân bit
12
;
x
x sao cho
12
3xx
(1)
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 14

12
3
0
12 3 33
6
m
m
m
mm
m




.
Bài tp 5. Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca
m
để hàm s
3
4
x
y
x
m
nghch biến trên khong
2; 
?
A. 1. B. 3 . C. vô s. D. 2.
Hướng dn gii
Chn A
Tp xác định
\4Dm
Để hàm s xác định trên
2; 
thì
1
42
2
mm
Ta có

2
43
4
m
y
x
m
Hàm s nghch biến trên khong
2; 0, 2;yx
 


2
43 3
0, 2; 4 3 0
4
4
m
xmm
xm

Vy có mt s nguyên
0m tha mãn.
Bài tp 6. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để hàm s
2
5
x
y
x
m
đồng biến trên khong
;10 ?
A. 2. B. Vô s. C. 1. D. 3 .
Hướng dn gii
Chn A.
Tp xác định
\5Dm
Ta có

2
52
5
m
y
x
m
Hàm s đồng biến trên khong


0, ; 10
;10
5;10
yx
m



2
2
520
2
5
510
5
2
m
m
m
m
m



Do
m nên
1; 2m .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 15
Bài tp 7. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
4mx
y
mx
nghch biến trên khong
3;1 ?
A. 2. B. 3 . C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Tp xác định
\Dm
Ta có

2
2
4m
y
mx
Hàm s nghch biến trên khong


2
40
3;1
3;1
m
m


22
12
3
1
m
m
m
m



Do
m
, nên
1m
.
Vy có mt giá tr nguyên ca tham s
m tha mãn yêu cu bài toán.
Bài tp 8. Các giá tr thc ca tham s m để hàm s
2cos 3
2cos
x
y
x
m
nghch biến trên khong 0;
3



A.

3;1 2;m 
.
B.
3;m

.
C.

;3m  . D.
;3 2;m
  .
Hướng dn gii
Chn C.
Đặt costx , vi
1
0; ;1
32
xt




Khi đó

23
2
t
yft
tm

\
2
m
D



.
Vì hàm s
costx nghch biến trên
0;
3
x



nên hàm s đã cho nghch biến trên
0;
3



. Khi và ch
khi hàm s đồng biến trên khong
1
;1
2



.
Hàm s

23
2
t
yft
tm

đồng biến trên khong
1
;1
2



khi và khi và ch khi
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 16


 

2
26 1
0, ;1
2
260 3
2
;3
1; 2 1; 2
1
;1
22
m
ft t
mm
tm
m
mm
m














Dng 6: Phương pháp cô lp tham s m, phương pháp hàm s
1. Phương pháp gii
Thc hin theo các bước sau
Bước 1. Tính
yfx

Bước 2. Chuyn v bài toán tìm tham s v mt bt phương trình nghim đúng vi mi
x
D .
Hàm s đồng biến trên
0,Dfx xD
, du bng ti hu hn đim trên đó.
Hàm s nghch biến trên
0,Dfx xD

, du bng ti hu hn đim trên đó.
Bước 3. Kết lun (chn đáp án).
2. Bài tp
Bài tp 1.
Có bao nhiêu giá tr nguyên không âm ca tham s m sao cho hàm s
42
23yx m xm
nghch biến trên đon
1; 2
?
A. 2 . B. Vô s. C.
3
. D. 4 .
Hướng dn gii
Chn C.
Tp xác định
D
Ta có
32
4223 446yx mxxxm

Hàm s nghch biến trên đon

1; 2
khi
0, 1; 2yx

2
4460xm ;
 
2
3
1; 2 , 1; 2
2
xmxx
 

2
1;2
35
min
22
mx




Kết hp vi
m nguyên không âm suy ra
0;1; 2m
Vy có ba giá tr nguyên không âm ca
m
tha mãn yêu cu bài toán.
Bài tp 2. Có bao nhiêu giá tr nguyên âm ca tham s m để hàm s
4
13
42
yxmx
x
 đồng biến trên
khong

0; 
?
A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 17
Hướng dn gii
Chn A.
Hàm s luôn xác định trên khong
0; 
.
Hàm s
4
13
42
yxmx
x

đồng biến trên
0; 0, 0;yx

 
33
22
33
0, 0; , 0;
22
xm x x mx
x
x
 
(1)
Xét hàm s

3
2
3
2
fx x
x
 trên
0; 


5
2
33
31
3
3;01
x
f
xx fx x
xx


.
Bng biến thiên

55
1
22
 mm
m
là s nguyên âm nên
2; 1m  .
Vy có hai giá tr ca
m tha mãn.
Bài tp 3. Cho hàm s


343 2
1
81 2 27 122018
4
ymxxmxx
 vi
m
là tham s. S các giá tr
nguyên
m
thuc đon

2018; 2018 để hàm s đã cho đồng biến trên
11
;
24
A.
2016
. B.
2019
. C.
2010
. D.
2015
.
Hướng dn gii
Chn D.
Tp xác định D
Ta có
332
81 622712ymxx mx

Hàm s đã cho đồng biến trên
11
;
24




khi và ch khi
11
0, ;
24
yx



332
11
81 6227120, ;
24
mxx mx x


33
222 222mx mx x x (*),
11
;
24
x

Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 18
Xét
32
2; 3 2 0,ft t tf t t t

Suy ra
f
t là hàm đồng biến trên .
T (*) ta có
11 2 11
22,; ,;
24 2 24
x
mx x x m x
x
 
 
 
 
 
11
;
24
27
min
22
x
mm
x




 
.
Do
m nguyên và

2018; 2018m  nên có 2015 giá tr ca m tha mãn.
Bài tp 5. Cho hàm s
3
1yxmx. Gi S là tp hp các s t nhiên m sao cho hàm s đồng biến
trên
1;  . Tng các phn t ca S bng
A.
1
. B. 3. C. 9 . D.
10
.
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt
3
1
g
xxmx
Ta có
lim
x
gx

 . Do đó hàm s
ygx đồng biến trên
1;
khi và ch khi

2
3
0, 1; 3 0, 1;
0, 1;
10, 1;
gx x x m x
gx x
xmx x
 



2
2
1;
2
2
1;
min 3 , 1;
3, 1;
1
1
,1;
min , 1;
mxx
mxx
mx x
mx x
x
x













3
20;1;2
2
m
mm
m

.
Lưu ý:
 
2
ygx gx nên ta có th chuyn bài toán v xét tính đơn điu ca hàm s

2
ygx
.
- Tính đạo hàm

2
.
g
xgx
y
g
x
.
- Hàm s
32
yaxbx cxd đồng biến trên
;
khi và ch khi 0y
vi
;x
 .
Trường hp 1:

0, ;
0
gx x
g

Trường hp 2:

0, ;
0
gx x
g

Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 19
Dng 7. Tìm khong đồng biến, nghch biến ca hàm s
y
fx
,
y
fux
,
yfux hx
… khi biết bng biến thiên ca hàm s
1. Phương pháp gii
Bước 1:
Tìm đạo hàm ca hàm s
y
fux
,
y
fux hx
.yuxfux

,
.yuxfux hx


Bước 2: T bng biến thiên xác định nghim phương trình
0fx
, nghim ca bt phương trình
0fx
và nghim ca bt phương trình
0fx
.
Bước 3: Đánh giá các khong tha mãn 0, 0yy

Bước 4: Kết lun khong đồng biến, nghch biến ca hàm s
yfx ,
yfux ,
yfux hx
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s
yfx
có bng xét du đạo hàm như sau
Hàm s
2
2yfx x đồng biến trên khong nào dưới đây?
A.
1; 
. B.
3; 2
. C.
0;1
. D.
2; 0
.
Hướng dn gii
Chn C.
Đặt
2
2
g
xfx x
Ta có
2
2.2 2gx f x x x



2
2
2
1
1
0
22
02
20
1
23
3
x
x
x
xx
gx x
xx
x
xx
x






Bng xét du
g
x
x

2
0
3
f
x
0
0
0
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 20
Da vào bng xét du ca
g
x
suy ra hàm s
2
2
g
xfx x đồng biến trên
;3, 2;1
0;1 , nên hàm s đồng biến trên
0;1 .
Lưu ý: - Thông qua bng xét du
fx
xác định đưc nghim ca phương trình
0fx
.
- Hàm s
2
2yfx x đồng biến đánh giá 0y
vi
2
22 2yxfxx

 (gii bt phương
trình tích)
Chú ý:
Nếu
0
f
xxa
thì
0
f
ux ux a
.
- Bng xét du
g
x
chính là bng xét du ca tích
2
22 2
x
fx x
.
Bài tp 2. Cho hàm s
yfx có bng xét du ca đạo hàm
f
x
như sau
Hàm s
32
32391ygx f x x x x nghch biến trên khong nào sau đây?
A.
2;1
.
B.
2; 
.
C.
0; 2
.
D.
;2
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
2
36932ygx x x f x

.
Hàm s
ygx nghch biến khi và ch khi
2
0232
y
gx x x f x


(1).
Nhn xét:
• Xét
2; 
Vi
3112 10xf
 loi.
• Xét
0; 2
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 21
Vi

391
10
242
xf




loi.
• Xét
;2
Vi
415 60xf

loi.
Xét
2;1 tha mãn (1) vì

2
2
31
230
230
31
3
21
20
31
12 5
x
xx
xx
x
x
x
fx
x
x











Lưu ý: - Thông qua bng xét du
fx
xác định được nghim ca bt phương trình
0fx
nghim ca bt phương trình
0fx
.
- Hàm s
ygx nghch biến
đánh giá
0y
.
Vi dng toán này cn tìm nhng giá tr ca
x
sao cho
2
20
230
fx
xx


.
Dng 8: Tìm khong đồng, biến nghch biến ca hàm s
,yfxyfux khi biết đồ th ca
hàm s
yfx
1. Phương pháp gii
Bước 1:
Tìm đạo hàm ca hàm s
yfux ,
yuxfux

.
Bước 2: T đồ th hàm s
yfx
xác định được hàm s
yfx
hoc (nghim phương trình
0fx
, nghim ca bt phương trình
0fx
và nghim ca bt phương trình
0fx
).
Bước 3: Đánh giá các khong tha mãn 0, 0yy
.
Bước 4: Kết lun khong đồng biến, nghch biến ca hàm s
yfx ,
yfux
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s
32
yfx axbxcxd

,,,abcd đạo hàm trên và có đồ th như
hình v. Đặt hàm s
21ygx f x. Hàm s
y
gx nghch biến trên khong
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 22
A.

1; 0 . B.

8; 1. C.
1; 2 . D.
0;1 .
Hướng dn gii
Chn D.
Cách 1:
Hàm s
21ygx f x
221ygx f x


Hàm s nghch biến khi và ch khi
221 12110 1
y
fx x x


Cách 2: Hàm s
yfx có dng
32
yfx axbxcxd
,,,abcd .
Ta có

2
32
f
xaxbxc
.
Theo đồ th, hai đim

1; 3A
1; 1B
là hai đim cc tr ca đồ th hàm s
y
fx
.
Ta có



13
31
11
10
32 0 3
10
32 0 1
10
f
abcd a
f
abcd b
abc c
f
abc d
f













Vy
3
31
f
xx x

3
21 21 3211ygx f x x x ;

2
62 1 6ygx x



21 1 0
0
211 1
xx
gx
xx






Bng xét du
x

0
1
g
x
0
0
Vy hàm s

y
gx
nghch biến trên
0;1
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 23
Lưu ý: T đồ th hàm s

yfx
xác định hàm
yfx
. và hàm
21yfx

kho sát và tìm
khong nghch biến ca hàm s.
Chú ý:
Nếu hàm s

yfx đồng biến trên

;ab thì hàm s
f
mx n
:
Đồng biến trên
;
anbn
mm




nếu
0m .
Nghch biến trên
;
bnan
mm




nếu
0m
.
Bài tp 2. Cho hàm s
32
y
f x ax bx cx d

,,,abcd
đồ th như hình bên. Đặt
2
2ygx fx x.
Chn khng định đúng trong các khng định sau.
A.
g
x
nghch biến trên khong
0; 2
.
B.
g
x đồng biến trên khong
1; 0 .
C.
g
x nghch biến trên khong
1
;0
2



.
D.
g
x
đồng biến trên khong
;1
.
Hướng dn gii
Chn C.
Hàm s
32
yfx axbxcxd, có đồ th như hình v.
Nhn xét
0; 4A
2; 0M là hai đim cc tr ca hàm s.
Ta có



04
41
20
842 0 3
32 0 0
00
12 4 0 4
20
f
da
f
abcd b
abc c
f
abc d
f










Tìm được hàm s
32
34yx x
Ta có

32
22
23 24ygx x x x x

2
22
213 2 6 2ygx x xx xx





Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 24

1
2
00
1
x
gx x
x



Bng xét du
x

1
1
2
0

g
x
0
0
0
Vy
ygx nghch biến trên khong
1
;0
2



.
Lưu ý: - T đồ th hàm s
yfx xác định được hàm
yfx và hàm
2
2yfx x

kho sát
và tìm khong nghch biến ca hàm s.
- Có th s dng
2
21. 2yxfxx


0y

2
210
20
x
fx x


2
2
210
20
22
x
xx
xx



Bài tp 3. Cho hàm s bc ba
32
y
f x ax bx cx d
1ygx fmx
 , 0m đồ th
như hình v. Hàm s

ygx nghch biến trên đúng mt khongcó đội bng 3. Giá tr m
A.
3
. B.
1
2
.
C.
2
3
.
D.
2
5
.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 25
Hàm s
1ygx fmx
nghch biến trên khong có độ dài bng 3 nên
10 10gx mf mx fmx

 trên mt khong có độ dài bng 3.
Ta có

1
10
10
12 1
x
mx
m
fmx
mx
x
m



Bng xét du
1fmx
x

1
m
1
m

1fmx
0
0

11
10 ;fmx x
mm




Yêu cu ca bài toán
11 2
3
3
m
mm




Lưu ý: T đồ th hàm s
yfx xác định hàm s
yfx
1ygx fmx
 kết hp vi
phn nhn xét Bài tp 1 cho kết qu.
- Hàm s
f
x đồng biến trên
0; 2 Hàm s
1yfmx
 nghch biến trên
0121
;
mm




độ
dài bng
22
3
3
m
m
 .
Dng 9: Tìm khong đồng biến, nghch biến ca hàm s
yfx ,


yfux ,


yfux hx … khi biết đồ th ca hàm s

yfx
1. Phương pháp gii
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 26
Bước 1: Tìm đạo hàm ca hàm s
yfux
,
yfux hx
 
yuxfux

,
.yuxfux hx


Bước 2: T đồ th hàm s
yfx
xác định nghim phương trình
0fx
, nghim ca bt phương
trình
0fx
và nghim ca bt phương trình
0fx
.
Bước 3: Đánh giá các khong tha mãn
0, 0yy


Bước 4: Kết lun khong đồng biến, nghch biến ca hàm s
yfx
,
yfux
,
yfux hx
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s
yfx . Đồ th hàm s
yfx
như hình v. Hàm s
32ygx f x
nghch biến trên khong
A.
;1 . B.
2;  . C.
0; 2 . D.
1; 3 .
Hướng dn gii
Chn A.
T đồ th

22
:;0
5
x
Cy fxfx
x



(1)
2. 3 2


g
xfx (2)
T (1) và (2) ta có

15
232 2
0320
22
32 5
1
x
x
gx f x
x
x


 


Vy hàm s
g
x
nghch biến trên các khong
15
;
22



;1

.
Lưu ý: Thông qua đồ th hàm s
yfx


22
0
5
x
fx
x


.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 27

2
0
25
x
fx
x



.
Hàm s
32yf x nghch biến đánh giá
232 0yf x

.
Chú ý:
Da vào giao đim ca đồ th hàm s
yfx
vi trc hoành chn hàm c th tha mãn
225yfx x x x

232yf x

 .
Lp bng xét du.
Kết lun.
Bài tp 2. Cho hàm s
yfx
liên tc trên
. Hàm s
yfx
đồ th như hình v. Hàm s

2019 2018
1
2018
x
gx f x
 trên khong nào dưới đây?
A.
2;3
.
B.
0;1
.
C.
1; 0
.
D.
1; 2
.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
11gx f x


Do đó

11 0
011
12 3
xx
yfx
xx







Vy hàm s đồng biến trên

1; 0 .
Nhn xét: Hàm s
g
x
11gx f x


.
T đồ th hàm s
yfx
, ta có

1
1
2
x
fx
x

11 2fx x

.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 28
Bài tp 3. Cho hai hàm s
f
x
g
x
đồ th như hình v. Biết rng hai hàm s
21fx
g
ax b có cùng khong nghch biến
;mn , ,mn
. Khi đó giá tr ca biu thc
4ab bng
A.
0
. B. 2 . C. 4
. D.
3
.
Hướng dn gii
Chn C.
Hàm s
yfx
nghch biến trên khong
1; 3
Hàm s
21yfx
221yfx


Vi
0 2. 210 210 12131 2

   yfx fx x x
Vy hàm s

21yfx nghch biến trên khong
1; 2
Hàm s
ygaxbđạo hàm
.yagaxb



0
.0
22
b
x
ax b
a
yagaxb
ax b b
x
a





Nếu
2
0
bb
a
aa

Hàm s nghch biến trên các khong
2
;; ;
bb
aa

 


(không tha mãn).
Nếu
2
0
bb
a
aa

Hàm s nghch biến trên khong
2
;
bb
aa



Do hàm s có cùng khong nghch biến là
1; 2
nên
22
11
2
4
22
b
a
aa
bbb
aa









.
Vy
44ab.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 29
Dng 10. ng dng tính đơn điu vào gii phương trình, bt phương trình, tìm điu kin có nghim
ca phương tnh
1. Phương pháp gii
*
Cho hàm s
yfx liên tc và đồng biến (hoc nghch biến) trên tp D, ta có
Vi mi
,uv D
f
ufv uv
Nhn xét:
00
f
xfx xx
. Do đó phương trình
0fx
có nhiu nht mt nghim
* Cho hàm s
yfx
liên tc và đồng biến (hoc nghch biến) trên tp
D
, ta có
Vi mi
,:uv D f u f v u v.
Vi mi
,:uv D f u f v u v
.
* Nếu hàm s
yfx liên tc và có
min
D
f
xA
,
D
max B
thì phương trình
f
xgm
nghim thuc tp hp
DAgmB
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Biết phương trình
3
3
27 23 1 26 1
x
xx có mt nghim thc dương
1
6
ac
x
bd

vi
,,bcd là các s nguyên t. Khng định đúng là
A.
61ad bc. B.
61ad bc
.
C.

51ad bc. D.
51ad bc
.
Hướng dn gii
Chn B.
Phương trình

3
3
33
27 23 1 26 1 3 3 26 1 26 1
x
xxxxx x . (1)
Xét hàm s
32
310ft t t f t t
 , t
Hàm s đồng biến trên
.
Phương trình (1):

3
33
3 261 3 261 27 2610fx f x x x x x
10
1123
1123
26 3
26 3
x
x
x



là nghim có dng đã cho
1, 2, 23, 3ab c d
61ad bc.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 30
Bài tp 2. Biết phương trình
32
812103101101
x
xx x x
có mt nghim thc dương
ab
x
c
vi , ,abc
,ac là các s nguyên t cùng nhau.
Khng định đúng là
A.

23ac b. B.
43ac b
.
C.
23ac b. D.
43ac b
.
Hướng dn gii
Chn D.
Nhn xét:
- Vế trái là đa thc bc ba, vế phi cha căn bc hai nên ta biến đổi để xut hin
3
10 1x . Ta có
 
3
10 1 10 1 10 1 2 10 1 10 1 2 10 1
x
xx x x x 

Khi đó phương trình có dng

3
3
2 101 2101ax b ax b x x
Điu kin
1
10
x
Phương trình đã cho

3
3
21 221 101 2101
x
xx x (1).
Xét hàm s
32
2320ft t t f t t

,
t
Hàm s đồng biến trên
.
Phương trình



2
210
1 21 101 21 101
21 101
x
fx f x x x
x
x



2
1
741
2
4
2710
x
x
xx


7, 41, 4 4 3ab c acb
.
Bài tp 3. Biết phương trình
3
12 1
2
213
x
x
x


, có mt nghim thc
2
ab
x
, vi , ,abc
và c là
s nguyên t. Khng định đúng là
A. 21ac b. B. 2ac b
.
C.
21ac b. D. 2ac b
.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 31
kin
13
1
x
x

Phương trình đã cho
3
2122213xx x x  
33
33 3
1 1 21 21 1 21xx x xfxfx (1)
vi
3
f
ttt
Xét hàm s
3
f
ttt
, có
2
31ft t

, t
m s đồng biến trên .
Do đó


3
66
3
32
1
210
1121
2
121
0
x
x
xx
xx
xxx






0
15
1, 5, 2 2 1
15
2
2
x
x
ab c acb
x

.
Bài tp 4. Cho hàm s
yfx
0
fx ,
x
. Tt c các giá tr thc ca
x
để

1
2ff
x



A.
1
0;
2
x



.
B.

1
;0 ;
2
x

 


.
C.
1
;
2
x




.
D.

1
;0 0;
2
x




.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
0
fx , x nên hàm s
yfx nghch biến trên
Do đó
 
1112 1
22 0 ;0;
2
x
ff x
xxx




Bài tp 5. Bt phương trình
32
236164 23xxx x
có tp nghim là

;ab
. Tng
ab
giá tr bng
A. 2 . B. 4. C. 5 . D. 3 .
Hướng dn gii
Chn C.
Điu kin: 24x
Xét

32
236164
f
xxxx x trên đon
2; 4 .


2
32
31
1
,2;4
24
23616
xx
fx x
x
xxx



, do đó hàm s đồng biến trên

2; 4 .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 32
Bt phương trình đã cho
123 1
f
xf x
So vi điu kin, tp nghim ca bt phương trình là
1; 4 5Sab

.
Bài tp 6. Cho
3
2
m
fx x x
.Tng các giá tr nguyên ca tham s
m
để phương trình
f
fx x
có nghim trên đon
1; 4
A. 6 . B. 9. C. 21. D. 22 .
Hướng dn gii
Chn C.
Đặt



tfx
tfx fttfxx
ft x

. (1)
Xét hàm s
3
22
m
gu f u u u u
2
320gu u
,
u
.
Do đó
3
12
m
tx fx x x
. (2)
Phương trình
f
fx x
có nghim trên đon
1; 4 2
có nghim trên đon
33
1; 4 1 2 4 0;1; 2;3; 4;5; 6
m
m
Tng các giá tr
123456 21
.
Bài tp 7. Cho hàm s

53
34
f
xx x m . Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để phương
trình

3
3
f
fx m x m có nghim trên đon
1; 2 ?
A. 15 . B. 16. C. 17 . D. 18 .
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt
 
3
3
tfxmfxtm, kết hp vi phương trình ta có h phương trình


3
33
3
ft x m
f
tt fxx
fx t m



.(1)
Xét hàm s
 
35 3
44
g
ufuuu u m

42
512 0, 1;2gu u u u
 Hàm s đồng biến đon
1; 2 .
Do đó
353
123tx fx x m x x m
(2)
Vi
53
1; 2 , 3 2 4 8xxx
Phương trình (2) có nghim trên đon
1; 2 3 3 48 1 1 6mm

Bài tp 8. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để phương trình
22sinsinmm x x
nghim thc?
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 33
A.
0
. B. 1. C.
3
. D. 2 .
Hướng dn gii
Chn D.
Điu kin
sin 0x
.
Ta có
2
2 2sin sin 2 2sin sinmm x xmm x x  .
2
2sin 2 2sin sin 2sinmxmxxx (1)
Xét hàm s
2
2
f
tt t
220, 0ft t t

Hàm s
f
t
đồng biến trên
0;
.
Phương trình


1 2sin sin 2sin sin
f
mxfxmxx
2
sin 2sin
x
xm
Đặt
sin 0;1xt t
Phương trình đã cho có nghim khi và ch khi phương trình
2
2ttm
có nghim trên
0;1 .
Xét hàm s
2
2
g
tt t,

0;1t
Ta có
22; 0 1
g
ttgt t


Suy ra


0;1
0;1
0; min 1max g t g t
Do đó phương trình có nghim khi và ch khi
10m

m nên 0; 1mm.
Bài tp 9. Cho hàm s
y
fx liên tc trên , có đồ th như hình v.
Có bao nhiêu giá tr ca tham s
m để phương trình


3
2
2
9
3
38
mm
fx
fx
có 3 nghim thc phân
bit?
A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 34
Hướng dn gii
Chn B.
Phương trình


32 2
27 3 3 9 3 8m m fx fx


3
3
22
333838m m fx fx

2
338gm g f x (1)
Xét hàm s
32
310,gt t t g t t t
 nên hàm s đồng biến trên
Do đó


 


2
2
2
2
2
98
2
38
3
13 83
98
98
3
3
3
m
fx
m
fx m
m
fx
m
fx


Da vào hình v thì phương trình (3) vô nghim (
0,
f
xx
)
Do đó để phương trình đã cho có ba nghim phân bit
2 có ba nghim pn bit hay
2
2
98
35
3
3
5
11
98
1
3
3
m
m
m
m

.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 35
BÀI 2. CC TR CA HÀM S
A. KIN THC CƠ BN CN NM
1. Khái nim cc tr ca hàm s
Định nghĩa
Gi s hàm s f xác định trên

KK
0
x
K
a)
0
x
được gi là đim cc đại ca hàm s f nếu tn ti mt khong
;ab K
cha đim
0
x
sao
cho
00
,;\.
f
xfx xabx
Khi đó
0
f
x được gi là giá tr cc đại ca hàm s f.
b)
0
x
được gi là đim cc tiu ca hàm s f nếu tn ti mt khong
;ab K
cha đim
0
x
sao
cho

00
,;\.
f
xfx xabx
Khi đó

0
f
x được gi là giá tr cc tiu ca hàm s f.
Chú ý:
1) Đim cc đại (cc tiu)
0
x
được gi chung là đim cc tr. Giá tr cc đại (cc tiu)
0
f
x
ca hàm
s được gi chung là cc tr. Hàm s có th đạt cc đại hoc cc tiu ti nhiu đim trên tp hp K.
2)
Nói chung, giá tr cc đại (cc tiu)
0
f
x không phi là giá tr ln nht (nh nht) ca hàm s f trên
tp K;
0
f
x ch là giá tr ln nht (nh nht) ca hàm s f trên mt khong
;ab cha
0
x
.
3)
Nếu
0
x
là mt đim cc tr ca hàm s f thì đim
00
;
x
fx được gi là đim cc tr ca đồ th hàm
s f.
2. Điu kin cn đểm s đạt cc tr
Định lí 1
Gi s hàm s
f đạt cc tr ti đim
0
x
. Khi đó, nếu fđạo hàm ti đim
0
x
thì
0
0.fx
Chú ý:
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 36
1) Điu ngược li có th không đúng. Đạo hàm
f
có th bng 0 ti đim
0
x
nhưng hàm s f không đạt
cc tr ti đim
0
x
.
2) Hàm s có th đạt cc tr ti mt đim mà ti đó hàm s không có đạo hàm.
3. Điu kin đủ để hàm s đạt cc tr
Định lí 2
a) Nếu

f
x
đổi du t âm sang dương khi x đi qua đim
0
x
(theo chiu tăng) thì hàm s đạt cc tiu ti
đim
0
x
.
b) Nếu
f
x
đổi du t dương sang âm khi x đi qua đim
0
x
(theo chiu tăng) thì hàm s đạt cc đại ti
đim
0
x
.
Định lí 3
Gi s hàm s
fđạo hàm cp mt trên khong
;ab
cha đim
00
,0xfx
fđạo hàm cp hai
khác 0 ti đim
0
x
.
a) Nếu
0
0fx

thì hàm s f đạt cc đại ti đim
0
.
x
b)
Nếu
0
0fx

thì hàm s f đạt cc tiu ti đim
0
.
x
Nếu
0
0fx

thì ta chưa th kết lun được, cn lp bng biến thiên hoc bng xét du đạo hàm.
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP BÀI TP
Dng 1: Cho hàm s
()
fx hoc
()
'fx. Tìm đim cc tr, giá tr cc tr
1. Phương pháp
Cách 1: Lp bng biến thiên hoc bng xét du
Bước 1.
Tìm
f
x
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 37
Bước 2. Tìm các đim

1, 2,...
i
xi
ti đó đạo hàm bng không hoc hàm s liên tc nhưng không có đạo
hàm.
Bước 3. Xét du

f
x
. Nếu

f
x
đổi du khi x qua đim
i
x
thì hàm s đạt cc tr ti đim
i
x
.
Cách 2: Dùng định lý 3
Bước 1:
Tìm

f
x
Bước 2: Tìm các nghim

1, 2,...
i
xi
ca phương trình
0.fx
Bước 3: Tính
i
f
x

Nếu
0
i
fx

thì hàm s f đạt cc đại ti đim.
i
x
Nếu
0
i
fx

thì hàm s f đạt cc tiu ti đim
.
i
x
Nếu
0
i
fx

thì ta lp bng biến thiên để xác định đim cc tr.
* Tìm (đim) cc tr thông qua đạo hàm
f
x
: Ta đi đếm s nghim bi l ca phương trình đạo hàm
2. Bài tp
Bài tp 1:
Giá tr cc đại ca hàm s

2
21fx x x

là s nào dưới đây?
A.
3
.
3
B. 3. C. 3. D.
3
.
3
Hướng dn gii
Chn C.
Hàm s đã cho xác định trên .
Ta có:

2
2
1.
1
x
fx
x

T đó:

2
22
20
3
012 .
3
14
x
fx x x x
xx


Bng biến thiên:
Vy hàm s đạt cc đại ti đim
3
3
x
, giá tr cc đại ca hàm s
3
3.
3
f





Bài tp 2: Các đim cc đại ca hàm s
2sin
f
xx x dng (vi k
)
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 38
A.
2.
3
xk

B.
2.
3
x
k

C.
2.
6
xk
 D. 2.
6
x
k

Hướng dn gii
Chn A.
Hàm s đã cho xác định trên .
Ta có:
12cosxfx

. Khi đó
 
1
0cosx 2,
23
fx x k k

2sin
f
xx

22sin 22sin0
333
fk k




 


nên
2
3
x
k

đim cc tiu.
2 2sin 2 2sin 2sin 0
3333
fk k




 


nên
2
3
x
k

đim cc đại
Bài tp 3: Cho hàm s (x)yf
đạo hàm
23 2
(x) (x 1)(x 3x 2)(x 2x)f
 .
S đim cc tr ca hàm s
(x)yf
A. 6. B. 2. C. 3. D. 5.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:
3
(x) (x 2)(x 1) x(x 1)(x 2)f

(x) 0f
có 5 nghim bi l nên có 5 đim cc tr.
Bài tp 4: Cho hàm s
(x)yf
đạo hàm
22
(x) x (x 1)(x 4)f
. Tìm s đim cc tr ca hàm s
2
(x )yf .
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
225222
(x ) 2x.f (x ) 2x (x 1)(x 4)f



Phương trình
2
(x ) 0f


có 3 nghim bi l
x0,x 1

nên s đim cc tr ca hàm s
2
(x )yf
là 3.
Chú ý:
Đạo hàm ca hàm s hp






.
f
ux f ux u x
hay
..
x
ux
f
fu
Bài tp 5: Cho hàm s (x)yf
liên tc trên , có
2
17
(x) 3x , x 0
x2
f
.
Mnh đề nào dưới đây đúng?
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 39
A. Hàm sđúng mt đim cc tr trên .
B.
Hàm s có ít nht mt đim cc tr trên (0; )
.
C.
Hàm s không có đim cc tr nào trên
(0; )
.
D.
Hàm sđúng hai đim cc tr trên .
Hướng dn gii
Chn C.
Vi
x0
ta có:
2
3
22
173 3 17 3 7
(x) 3x x x 3 0
x22 2 x2 2 2
f




.
Vy hàm s không có cc tr trên
(0; ) .
Bài tp 6: Cho hàm s
(x)yf
liên tc trên
, có đạo hàm
232
(x) (x x 2)(x 6x 11x 6) (x)
f
g
  vi
(x)
g
là hàm đa thc
đồ th như hình v dưới đây (
(x)
g
đồng biến trên (;1)

trên
(2; )
. S đim cc tr ca hàm s
(x)yf
A.
5. B. 2.
C.
3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn D.
Da vào đồ th, phương trình (x) 0g có 3 nghim bi l x 0, x 1, x 2
và mt nghim bi chn là
x1 .
Tóm li, phương trình
'0y
ch
x1,x0,x2

x3
là nghim bi l, nên hàm s có 4
đim cc tr.
Dng 2. Tìm (đim) cc tr thông qua bng xét du, bng biến thiên ca đạo hàm
Bài tp 1: Cho hàm s (x)yf liên tc trên và có bng xét du đạo hàm như hình v dưới đây.
S đim cc tiu ca hàm s
(x)yf
A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
Hướng dn gii
Chn A.
Đạo hàm đổi du t âm sang dương 1 ln nên có 1 đim cc tiu.
Bài tp 2: Cho hàm s (x)yf
liên tc trên và có bng xét du đạo hàm như hình v dưới đây
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 40
S đim cc tr ca hàm s
(x)yf
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Đạo hàm đổi du hai ln nên có hai đim cc tr.
Bài tp 3: Cho hàm s
(x)yf
liên tc trên
và có bng xét du đạo hàm như hình v dưới đây
S đim cc tr ca hàm s
(x)yf
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Hướng dn gii
Chn D.
Chc chn hàm s có 3 đim cc tr x1,x2,x3
 .
Xét ti đim
x0 , đạo hàm đổi du, hàm s không có đạo hàm ti đim x0
, nhưng theo đề bài, hàm
s liên tc trên nên (0)
f
xác định. Vy hàm s có tng cng 4 đim cc tr.
Bài tp 4: Cho hàm s
(x)yf
liên tc trên
\1 và có bng xét du đạo hàm như hình v dưới đây
S đim cc tr ca hàm s
(x)yf
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Hướng dn gii
Chn B.
Hàm s có 3 đim cc tr x2,x2,x3 (hàm s không đạt cc tr ti đim x1 vì hàm s không
xác định ti đim
x1 ).
Bài tp 5: Cho hàm s (x)yf
có bng biến thiên ca (x)f
như hình v dưới đây
S đim cc tr ca hàm s (x)
yf
A. 4 B. 2 C. 3 D. 5
Hướng dn gii
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 41
Chn C.
D thy phương trình
(x) 0f
có ba nghim bi l nên hàm s có 3 đim cc tr.
Dng 3. Tìm (đim) cc tr thông qua đồ th

,,
f
ff
Bài tp 1: Cho hàm s (x)yf đạo hàm đến cp hai trên và có đồ th hàm s
yfx

như hình
v dưới đây (đồ th
(x)yf

ch có 3 đim chung vi trc hoành như hình v). S đim cc tr ti đa
ca hàm s
A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có bng biến thiên ca hàm s
(x)yf
như sau
Nhn thy trc hoành ct đồ th hàm s
(x)yf
ti ti đa 2 đim nên
(x) 0f
có ti đa 2 nghim phân
bit. Vy hàm s (x)
yf ti đa 2 đim cc tr.
Bài tp 2: Cho hàm s (x)yf
là hàm đa thc. Trên hình vđồ th hàm s (x)yf trên ( ; ]a
(và
hàm s
(x)yf nghch biến trên
;1
), đồ th ca hàm s
(x)yf
trên
;ab
(và
0
(x ) 0f
), đồ
th ca hàm s (x)
yf

trên
;b 
(và hàm s (x)yf
luôn đồng biến trên
;b 
,
1
(x ) 0f
).
Hi hàm s (x)
yf có ti đa bao nhiêu đim cc tr?
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 42
A. 1. B. 6. C. 5. D. 3.
Hướng dn gii
Chn D
Bng xét du bên dưới được lp t các suy lun sau:
* Hàm s (x)
yf nghch biến trên

;1
nên
(x) 0, x ; 1f

đồng biến trên
1; a
nên
(x) 0, x 1;
f
a

.
* Hàm s
(x)yf
0
(x) 0, x ;xfa

0
(x) 0, x x ;
f
b

0
(x) 0, x x ; .
f
b

* Hàm s (x)
yf

1
(x) 0, x ;xfb


1
() 0 (x)<0, x ;xfb f b


Li có
1
(x) 0, x x ;f

 . Vy trong khong
1
x;
, phương trình
(x) 0f
có ti đa 1 nghim,
và nếu có đúng 1 nghim thì
(x)f
đổi du khi qua nghim y.
Vy
(x)f
có ti đa 3 nghim (bi l) nên hàm s (x)yf
có ti đa 3 đim cc tr.
Bài tp 3: Cho hàm s (x)yf đạo hàm cp hai liên tc trên . Trên hình vđồ th hàm s
(x)
yf trên đon

2; 3 , đồ th ca hàm s (x)yf
trên
;2
 , đồ th ca hàm s (x)yf
trên
3;  . Hi hàm s (x)yf có ti đa bao nhiêu đim cc tr?
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 43
A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Bng xét du bên dưới được lp t các suy lun sau:
+ Đồ th ca hàm s (x)
yf

trên
3;
ct trc hoành ti đim 5, (x) 0xf

khi
x3;5
(x) 0f

khi
x5;
.
+ Đồ th ca hàm s ()
yfx
trên
;2
ct trc hoành ti đim x 5, (x) 0f
khi
x;5
() 0
fx
khi
x5;2 .
+ Đồ th hàm s
(x)yf
trên đon

2; 3 : hàm s đồng biến trên
2; 1
2; 3 ; hàm s nghch biến
trên
1; 2
T bng xét du trên, đồ th (x)
f
ct trc hoành ti đa ti 2 đim trên
3;
, khi đó trên
2;
thì
(x)
f
đổi du 2 ln, trên
;2 thì (x)f
đổi du 3 ln nên hàm s (x)
yf
có ti đa 5 đim cc tr.
Dng 4: Cc tr hàm bc ba
1. Phương pháp
Bước 1.
Hàm s đạt cc đại (cc tiu) ti đim
0
x
thì
0
0fx
, tìm được tham s.
Bước 2. Vi giá tr tham s tìm đưc, ta thế vào hàm s ban đầu để th li.
Chú ý: Đối vi hàm bc ba, ta có th làm trc nghim như sau:
+) Hàm s đạt cc tiu ti

0
0
0
0
.
0
fx
xx
fx


Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 44
+) Hàm s đạt cc đại ti


0
0
0
0
.
0
fx
xx
fx


2. Bài tp
Bài tp 1:
Tìm m để hàm s

322
1
43
3
yxmxm xđạt cc đại ti đim x = 3.
A.
1.m  B. 5.m  C. 5.m
D. 1.m
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
22
2422.yx mxm y x m


Hàm s đạt cc đại ti
3
x
thì

2
1
30 6 50 .
5
m
ymm
m
 
Vi
1, 3 2.3 2.1 4 0my


suy ra
3
x
đim cc tiu.
Vi
5, 3 2.3 2.5 4 0my


suy ra 3x
đim cc đại.
Bài tp 2: Hàm s
32
5yax x xbđạt cc tiu ti 1
x
và giá tr cc tiu bng 2, giá tr ca
4Hab
A.
1.
H
B.
1.
H 
C.
2.
H
D.
3.
H
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
2
325 62.yax x y ax


+) Hàm s đạt cc tiu ti

110 1.xy a

+) Thay
1a ta thy
16280y


nên 1
x
đim cc tiu.
+) Mt khác ta có:
12115 2 5.ybb
Vy
4.1 5 1.H 
Bài tp 3: Hàm s
32
f
xaxbxcxdđạt cc tiu ti đim
0, 0 0xf
đạt cc đại ti
đim
1, 1 1xf. Giá tr ca biu thc 23Ta b cd

A. 2.T B. 3.T C. 4.T
D. 0.T
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
2
32.
f
xaxbxc

Do hàm s đạt cc tiu ti đim
0, 0 0xfđạt cc đại ti đim
1, 1 1xf
nên ta có h phương
trình
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 45



00
0
00
02
4.
320 3
10
1
11
f
c
f
da
T
ab b
f
ab
f







Bài tp 4: Giá tr ca m để hàm s
3
1yx mx cc đại và cc tiu là
A. 0.m B. 0.m C. 0.m D. 0.m
Hướng dn gii
Chn D.
Hàm s
3
1yx mx có cc đại và cc tiu khi và ch khi 0y
có hai nghim phân bit hay
2
30xm
có hai nghim phân bit.
Do đó
0.m
Chú ý: Do hàm bc ba có đạo hàm là tam thc bc hai nên các yêu cu sau: hàm s có cc tr, hàm s
cc đại và cc tiu, hàm s có hai cc tr có cách làm ging nhau, tc là
0y
có hai nghim phân bit.
Bài tp 5: Vi giá tr nào ca m thì hàm s
32
7
3
m
yxxx
 có cc tr?
A.
1; 0 .m  B. 1.m
C.

;1 \ 0 .m  D. 1.m
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
2
21.ymx x

+) Vi
0m , hàm s tr thành
2
7yx x, đồ th là mt parabol nên hin nhiên có cc tr.
Vy
0m tha mãn yêu cu.
+) Xét
0m , để hàm s có cc tr thì 0y
có hai nghim pn bit 0

10 1mm .
Hp c hai trưởng hp, khi
1m
thì hàm s có cc tr.
Chú ý:
Vi bài toán hi “có cc tr” và h s ca bc ba (bc cao nht) có cha tham s thì nên chia hai
trường hp: H s ca bc cao nht bng 0 và khác 0.
Bài tp 6: Tìm các giá tr ca m để hàm s
32
312ymx mx m x
không có cc tr.
A.
1
0.
4
m
B.
1
0.
4
m
C.
1
0.
4
m
D.
1
0.
4
m
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 46
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
2
36 1.ymx mxm

+) Vi
0m , hàm s tr thành 2yxlà hàm đồng biến trên nên không có cc tr, nhn 0m
.
+) Xét
0m , hàm s không có cc tr khi 0y
có nghim kép hoc vô nghim

22
1
931 012300 .
4
mmm mm m

Hp c hai trường hp, khi
1
0
4
m
thì hàm s không có cc tr.
Bài tp 7: S giá tr nguyên ca tham s
20; 20m  để hàm s

32 22
1
491
3
m
yxmxmx




có hai đim cc tr trái du là
A. 18. B. 17. C. 19. D. 16.
Hướng dn gii
Chn A.
22 2
12 4 9.ymx m xm

Hàm s có hai đim cc tr trái du khi
0y
có hai nghim trái du


2
3
190 .
13
m
mm
m



Vy
20; 19;...; 4; 2m  , có 18 giá tr ca m.
Bài tp 8: Có bao nhiêu giá tr nguyên ca m để hàm s
32
111
y
mx m m x m x

có hai đim
cc tr đối nhau?
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
2
32 1 1.ymx mmxm

Hàm s có hai đim cc tr đối nhau 0y
có hai nghim đối nhau

2
2
0
30
013101.
0
10
m
m
mm mm m
S
m




Bài tp 9: Giá tr ca m để đồ thm s

32
126
3
m
yxmxmx
  có hai đim cc tr có hoành
độ dương là
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 47
A.
1
.
4
m
B.
1
0.
4
m
C.
0.m
D.
1
0.
4
m
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
2
21 2.ymx m xm

Đồ th hàm s có hai đim cc tr có hoành độ dương
0y
có hai nghim pn bit dương


2
1
120
4
0
1
1
00010.
4
0
2
0
0
2
m
mmm
m
Smm
m
P
m
m
m
m










Bài tp 10: Cho hàm s
32
12 2 2yx mx mxm . các giá tr ca m để đồ th hàm sđim
cc đại, cc tiu, đồng thi hoành độ ca đim cc tiu nh hơn 1 là
A.
1
.
57
45
m
m


B.
1
.
58
45
m
m


C.
1
.
57
45
m
m

D.
2
.
35
22
m
m


Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:
2
32(12)2yx mx m
 .
Đồ th hàm sđim cc đại, cc tiu khi phương trình 0y
có hai nghim phân bit
22
1
(1 2 ) 3( 2 ) 0 4 5 0 .
5
4
m
mmmm
m

Khi đó, gi s
1
x
,
2
x
(vi
12
x
x
) là hai nghim ca phương trình
0y
.
Bng biến thiên
Khi đó, yêu cu bài toán tr thành:
2
2
2
214 5
114542
3
mmm
x
mm m

 
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 48
22
2
42 0
7
.
7
5
4541616
5
m
m
m
m
mm m m




Kết hp điu kin có cc tr thì
1m 
57
45
m
tha mãn yêu cu.
Chú ý:
Có th dùng Vi-ét để li gii đơn gin hơn như sau:
Xét
12
1xx
12
12
2
(1)(1)0
xx
xx


213
22(12)30
m
mm


2
7
7
5
5
m
m
m

Bài tp 11: Tìm các giá tr thc ca tham s m sao cho đim cc tiu ca đồ th hàm s
32
1yx x mx nm bên phi trc tung.
A. 0m . B.
1
0
3
m
.
C.
1
3
m
. D. Không tn ti.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:
2
32yx xm
.
Đồ th hàm sđim cc tiu khi phương trình
0y
có hai nghim phân bit
1
13 0 (1).
3
mm

Khi đó, gi s
1
x
,
2
x
(vi
12
x
x ) là hai nghim ca phương trình 0y
thì
12
12
2
3
.
.
3
xx
m
xx

Bng biến thiên
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 49
Do
12
2
0
3
xx
nên đim cc tiu ca đồ th hàm s
32
1yx x mx

nm bên phi trc tung
12
.0 0 0
3
m
xx m
(2).
T (1), (2) ta có
0m
Bài tp 12: Giá tr ca m để hàm s
32
1
(2) (48) 1
3
xm x mxmhai đim cc tr
1
x
,
2
x
tha
mãn
12
2
x
x
A. m < 2. B. m < 2 hoc m > 6.
C.
3
2
m hoc m > 6.
D.
3
.
2
m
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:
2
2( 2) (4 8)yx m x m
 .
Yêu cu bài toán tr thành
12
3
( 2)( 2)0 (4 8)4( 2)40
2
xx m m m  
Bài tp 13: Gi S là tp các giá tr thc ca tham s m để hàm s
2
()(2 1)yxmx xm
 có hai đim
cc tr
1
x
,
2
x
tha
12
.1xx
. Tng tt c các phn t ca S bng
A. 2. B. – 2. C. 4. D. 0.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:
2
32(2) 1yx mxm
.
Hàm s có hai đim cc tr khi
0y
có hai nghim phân bit
2
70mm
 (luôn đúng).
Theo định lí Vi-ét ta có:
12 12
4
1
..113
2
3
m
m
xx xx m
m

.
Vy tng cn tìm bng 4 ( 2) 2 .
Bài tp 14: Có bao nhiêu giá tr nguyên ca
20;20m  để hàm s
32
1
1
3
y x mx mx
 có hai đim
cc tr
1
x
,
2
x
sao cho
12
26xx ?
A. 38. B. 35. C. 34. D. 37.
Hướng dn gii
Chn D.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 50
Ta có
2
2yx mxm

.
Hàm s có hai đim cc tr khi
0y
có hai nghim phân bit
2
0mm

(*).
Theo định lí Vi-ét ta có
12
12
2
.
x
xm
xx m

.
Khi đó
22
12 12 12
3
2 6 ( ) 4 . 24 4 4 24
2
m
xx xx xx m m
m

(tha mãn(*)).
Do m nguyên và
20; 20m 
nên
20; 19;...; 2;3; 4;...;20m 
.
Vy có 37 giá tr ca m.
Bài tp 15: Cho hàm s
32
3( 1) 9yx m x xm
. Tng tt c các giá tr ca tham s m tha mãn hàm
s đạt cc tr ti hai đim
1
x
,
2
x
sao cho
12
32 6xxm

A. 0. B. 1. C. – 2. D. – 3.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
2
36(1)9yx mx

Hàm s có hai đim cc tr khi 0y
có hai nghim phân bit
22
9( 1) 27 0 ( 1) 3mm
 (*).
Theo định lí Vi-ét ta có
12
12
2( 1)
.3
xx m
xx

.
T
12 1
12 2
2( 1) 2
32 6
xx m xm
xxm xm





thế vào
12
.3xx
ta được
1
(2)3
3
m
mm
m


tha mãn (*).
Bài tp 16: Có bao nhiêu giá tr ca tham s m để hàm s
322
29 12yx mx mx đim cc đại
CD
x
,
đim cc tiu
CT
x
tha mãn
2
CD CT
x
x ?
A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:
22
618 12 6( )(2)yx mxm xmxm
 .
Hàm s có hai đim cc tr khi
0y
có hai nghim phân bit 0m
(*)
Trường hp 1: m < 0 khi đó, lp bng xét du đạo hàm d thy
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 51
,2
CD CT
x
mx m 
Khi đó:
22
22
CD CT
xx m mm
(tha mãn).
Trường hp 2: m > 0 lp bng xét du đạo hàm ta 2 ,
CD CT
x
mx m
.
22
1
4
4
CD CT
xx mmm
, loi.
Vy
2m  tha mãn đề bài.
Bài tp 17: Có bao nhiêu giá tr nguyên ca
18;18m  để đồ th hàm s
2
121yx x mx
 hai
đim cc tr nm v hai phía trc hoành?
A. 34. B. 30. C. 25. D. 19.
Hướng dn gii
Chn A.
Bng biến thiên ca hàm s bc ba khi có hai cc tr và hai đim cc tr ca đồ th nm v hai phía trc
hoành là
Để đồ th hàm s có hai đim cc tr nm v hai phía trc hoành thì
0y có ba nghim phân
bit
2
210xmx có hai nghim phân bit khác 1
2
2
1
12.110
1
.
10
1
m
m
m
m
m







Do m nguyên và
18;18m 
nên
18; 17;....; 2;2;3;....;18m 
Vy có 34 giá tr ca m tha mãn đề.
Bài tp 18: Cho hàm s
32
23yx mxxm
. Gi S tp hp các giá tr nguyên ca tham s m trong
khong
10;10 để đồ th hàm s đã cho có hai đim cc tr nm v hai phía ca đường thng 6yx
.
S phn t ca tp S là
A. 9. B. 12. C. 7. D. 11.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 52
Đặt
32
23 6.fx x mx m
Ta có


32
0
023 60 .
x
fx x mx m
x
m
 
Xét
6gx gx x
. Đồ th hàm s đã cho có hai cc tr nm v hai phía đường thng
6yx


3
0
0
.
0. 0 12 12 0
m
m
ggm m m




Do
m và thuc
10;10 nên
3; 4;.......9m .
Bài tp 19: Cho hàm s
322
342yx mx m đồ th (C)đim
1; 4C
. Tng các giá tr nguyên
dương ca m để (C) có hai đim cc tr A, B sao cho tam giác ABC có din tích bng 4 là
A.
6. B. 5. C. 3. D. 2.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
2
0
03 6 0 .
2
x
yxmx
x
m
 
Đồ th (C) luôn có hai đim cc tr vi mi m nguyên dương (vì m là s nguyên dương nên phương trình
0y
luôn có hai nghim phân bit).
Khi đó
232
0;42,2;442Am Bmmm
26 4
416 241.AB m m m m

2
22
3
42
0
:2420.
20 4
ym
x
AB m x y m
mm



Thế ta độ C vào phương trình đường thng (AB), d thy
CAB .

22 2
44
24422 3
,.
41 41
mm m
dCAB
mm




2
4
4
23
11
.. , 4 .2.4 1. 4
22
41
ABC
m
SABdCAB mm
m

2 642
32 6 9 40mm m m m 

2
22
1
140 .
2
m
mm
m



Do m nguyên dương nên ta nhn được
1, 2mm
. Tng là 3.
Chú ý: Hc sinh nên kim tra điu kin để hàm s có hai đim cc trđiu kin để ba đim A, B, C
không thng hàng (dù trong bài toán này, nếu “quên” thì không nh hưởng đến kết qu).
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 53
Ta có th tính nhanh din tích như sau:
Ta có
2
0; 4 2OA m

32
2;4 4 2OB m m m

Khi đó:

2
1
24 2 4
2
ABC
Smm
Bài tp 20: Có bao nhiêu giá tr thc ca tham s m để hàm s

32 2
1
3
3
yxxm x có hai đim cc
tr
12
,
x
x sao cho giá tr biu thc
12 2
22 1Pxx xđạt giá tr ln nht?
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
22
23.yx xm

Hàm s có hai đim cc tr khi
2
13022.mm
Theo định lí Vi-ét
12
2
12
2
.
.3
xx
xx m


12 2 12 1 2
22 1 2 2Pxx x xx xx
22
32.22 9 9.mm
Du “=” xy ra khi và ch khi
0m
(tha mãn).
Bài tp 21: Gi
12
,
x
x là hai đim cc tr ca
32
11
410
32
yx mxx
. Giá tr ln nht ca
22
12
116Sx x
A. 16. B. 32. C. 4. D. 0.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
2
4yxmx
 . Do 1, 4actrái du nhau nên 0y
luôn có hai nghim trái du hay hàm s
luôn có hai đim cc tr.
Theo định lí Vi-ét:
12
12
.
.4
x
xm
xx


Khi đó


22
22 22
12 1 2 12 1 2
16 16 2 16 . 16 0.Sxx xx xx xx
Du “=” xy ra khi
22
12 2 1
16 4 3.xx x x m
Bài tp 21: Tìm m để đồ th hàm s
32
:3296Cyx m x m xm
 có hai đim cc tr
khong cách t gc ta độ O đến đường thng qua hai đim cc tr đạt giá tr ln nht
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 54
A.
33
6;6 .
22
m

 


B.
33
3;3 .
22
m
 

C.
362;362.m  D.
662;662.m 
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
22
y3 2 3 2 9 3 6 9 2 2
x
mxm xx mxm
 
13 9 2 .
x
xm
Hàm s có hai cc tr khi 0y
có hai nghim phân bit
392 0 6mm

Mt trong hai đim cc tr
1;1A
1;1 2OA OA


1.
OA
k
Đường thng d qua hai đim cc tr h s góc là

2
22
29 3
39
d
kmm

Ta có
;2.dOd OA
Du “=” xy ra khi


2
22
.1 29 31
39
d
OA
dOA kk m m




3
6.
2
m
Bài tp 22: Gi s A, B là hai đim cc tr ca đồ th hàm s
32
y x ax bx c
đường thng (AB) đi
qua gc ta độ. Giá tr ln nht
min
P
ca
P
abc ab c
bng
A.
min
9.P  B.
min
1.P
C.
min
16
.
25
P 
D.
min
25
.
9
P 
Hướng dn gii
Chn D.
Đường thng qua hai cc tr

2
22
:.
39 9
aab
AB y b x c




Do (AB) qua gc O nên
09.
9
ab
cabc
Khi đó
2
2
52525
910 3 , .
39 9
P abc ab c c c c c




Vy
min
25
9
P 
khi
5
.
9
5
c
ab


Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 55
Bài tp 23: Biết rng đồ th hàm s
3
32yx mx
có hai đim cc tr A, B. Gi M, N là hai giao đim
ca đường thng (AB) và đường tròn

22
:1 13Cx y
 . Biết MN ln nht. Khong cách t đim

3;1E
đến

A
B
bng
A.
3.
B.
2.
C.
23.
D.
22.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
2
33.yxm

Hàm s có hai đim cc tr
0y

có hai nghim pn bit 0.m
Viết hàm s dưới dng

2
3322 22
33
xx
yxmmx ymx

Suy ra đường thng đi qua hai đim cc tr ca đồ th hàm s đã cho là
:22.AB y mx

Đường thng
A
B luôn đi qua đim c định là
0; 2 .M
Đường tròn
C m
1;1I , bán kính 3R
;13dI AB IM R



nên đường thng luôn ct
đường tròn ti hai đim M, N.
Gi s

1
1; 1 1 2 2 .
2
IAB mm
Vy khi
1
2
m (tha mãn hàm s có hai đim cc tr) thì (AB) qua
1; 1I , ct đường tròn
C ti hai đim
M, N vi
2
M
NR là ln nht. Khi đó:
3;1 ; : 2 0 2.dE AB y x 

Dng 5. Cc tr hàm bc bn trùng phương
1. Phương pháp
Xét hàm s
42
yax bx c,
0a
, có đạo hàm là
32
4222yaxbxxaxb
 .
Đồ th hàm s có ba đim cc tr khi và ch khi
0y
có ba nghim phân bit
0ab
.
Đồ th hàm sđúng mt đim cc tr khi và ch khi 0y
đúng mt nghim
0ab.
Đồ th hàm s hoc có đúng mt đim cc tr hoc có ba đim cc tr, và luôn có mt đim
cc tr nm tn trc tung.
Đồ th hàm s có ba cc tr:
Nếu
0a
hàm s có hai đim cc tiu và mt đim cc đại;
Nếu 0a hàm shai đim cc đại và mt đim cc tiu.
Chú ý rng ba đim cc tr ca đồ th hàm s luôn to thành mt tam giác cân.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 56
Khi hàm s có mt cc tr:
0a thì đim cc trđim cc tiu;
0a thì đim cc trđim cc đại.
Đồ th hàm s
42
yaxbx c có nhiu đim cc tr nht (by cc tr) khi đồ th hàm s
42
f
xaxbxc
có ba đim cc trđồ th ca nó ct trc hoành ti bn đim phân
bit.
Đồ th hàm s
42
yaxbx c có ít đim cc tr nht (mt cc tr) khi đồ th hàm s
42
f
xaxbxc
có mt đim cc trđồ th ca nó không có đim chung hoc ch
tiếp xúc vi trc hoành.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Có bao nhiêu s nguyên
20;20m 
để đồ th hàm s
42 2
91ymx m x
 có ba đim
cc tr?
A. 20. B. 19. C. 18. D. 17.
Hướng dn gii
Chn B.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 57
Ta có
32 22
42922 9ymx m xxmxm



.
22
0
0
290
x
y
mx m



1
.
Hàm s có ba đim cc tr khi và ch khi
0y
có ba nghim phân bit hay
1
có hai nghim phân bit
khác 0

2
3
290
03
m
mm
m



.
Vy có 19 giá tr ca
m tha mãn đề bài.
Bài tp 2. Tp hp các giá tr ca tham s m để đồ th hàm s
42
34yx mx
 có ba đim cc tr phân
bit và hoành độ ca chúng trong khong
2; 2
A.
8
;0
3



.
B.
8
0;
3



.
C.
3
;0
2



.
D.
3
0;
2



.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
3
46yxmx
 . Cho
2
0
0
23
x
y
x
m


2
.
Để tha mãn đề bài phương trình
2
có hai nghim phân bit khác 0 và thuc khong
2; 2
38
040
23
m
m  .
Bài tp 3. Biết rng hàm s
422
212yx m x đim cc tiu. Giá tr ln nht ca cc tiu là
A. 1. B. -1. C. 0. D. 2.
Hướng dn gii
Chn A.

32
22
0
44 1 0
1
x
yx m xy
xm


.
Rõ ràng phương trình
0y
luôn có ba nghim phân bit.
Lp bng biến thiên, d thy
2
1xm là các đim cc tiu ca đồ th hàm s.
Giá tr cc tiu là
2
242
21121
CT
ym mm (du " "
xy ra khi
0m
).
Bài tp 4. Vi giá tr nào ca k thì hàm s
42
112ykx k x k
 ch có mt cc tr?
A. 01k. B. 01k. C.
1
0
k
k
.
D.
1
0
k
k
.
Hướng dn gii
Chn D.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 58
Vi
0k
, hàm s tr thành
2
1yx

đồ th là mt parabol nên có đúng mt cc tr. Do đó
0k tha mãn đề bài.
Vi 0k . Ta có
32
42122 1ykx kxxkxk
 .
Để tha mãn yêu cu đề bài thì phương trình
2
210kx k

vô nghim hoc có nghim

1
010
0
k
xkk
k
 
.
Kết hp hai trường hp ta được các giá tr cn tìm là
1k
hoc
0k
.
Chú ý: x=0 là nghim ca phương trình
2
210kx k

Bài tp 5. Giá tr ca
m
để hàm s
42 4
12 2ym x mx mm
đạt cc đại ti
2x
A.
4
3
m
.
B.
4
3
m 
.
C.
3
4
m
.
D.
.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
32
41 4 121 4
y
mxmxy mxm

 
.
Để hàm s đạt cc đại ti
2x thì

4
2032 18 0
3
ymmm

.
Vi
4
3
m  thì

2
44
212 1.24 0
33
y





, suy ra
2x
đim cc đại.
Chú ý: Nếu
(
)
(
)
00
'''0fx f x==
thì ta lp bng biến thiên hoc bng xét du đạo hàm để kim tra.
Bài tp 6. Cho hàm s
42
13
22
yx mxx
x
m
là mt đim cc tr. Tng các giá tr ca m
A.
1
. B.
1
2
.
C.
1
. D.
1
2
.
Hướng dn gii
Chn D.
32
23 1 63yxmx yxm

 .
Hàm s đạt cc tr ti đim

1
0
1
2
m
xm ym
m

.
Vi
1m
, ta có:
1630y


1
x
đim cc tiu (cc tr) nên
1m
tha mãn.
Vi
1
2
m 
, ta có:
133
0
222
y





1
2
x
đim cc tiu (cc tr) nên
1
2
m
tha
mãn.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 59
Vy tng các giá tr ca
m
tha mãn điu kin trên là
11
1
22




.
Bài tp 7. Biết đồ th hàm s
42
yax bx c có hai đim cc tr
0; 2A ,
2; 14B . Giá tr ca

1
y
A.
15y  . B.

14y  . C.
12y
. D.

10y .
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
3
42yaxbx
.
Các đim
0; 2A
,
2; 14B
thuc đồ thm sn
2
16 4 14
c
abc

1
.
Mt khác, hàm s đạt cc tr ti đim
2x
, suy ra 32 4 0ab
2 .
T
1
;
2
ta có
42
82yx x .
D thy hàm s có các đim cc tr
0; 2A ,
2; 14B nên
42
82yx x
 là hàm s cn tìm.
Khi đó
15y 
.
Bài tp 8. Biết rng đồ th hàm s
42
21 3yx m x m
A
đim cc đại và
B
, C là hai đim
cc tiu. Giá tr nh nht ca biu thc
12
POA
BC

A. 9. B. 8. C. 12. D. 15.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
3
44 1yx mx

. Cho
2
0
0
1
x
y
xm

.
Hàm s có ba đim cc tr nên
1m
.
Khi đó ta độ ba đim cc tr

0; 3
A
m ,
2
1; 5 1Bm mm

2
1; 5 1Cm mm
. Suy ra
3OA m
, 21BC m.
Ta có

12 6 3 3
331 3
111
POA m m
BC
mmm



2
3
3
333 1 12
1
m
m




.
Du " " xy ra khi

3
31 2
1
mm
m

.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 60
Bài tp 9. Cho đồ th hàm s
42
1
:Cyfx xaxb

đồ th hàm s
32
2
:Cygxxmxnxp như hình v dưới. Gi
B
, D là hai đim cc tiu ca
1
C
A
, C
ln lượt là đim cc đại và đim cc tiu ca
2
C
(
A
,
C
đối xng nhau qua UOy ). Biết hoành độ
ca
A
,
B
bng nhau và hoành độ ca C , D bng nhau. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca a để 3AB
?
A.
1. B. 2. C. 3. D. 4.
Phân tích: da vào đồ th ta có bp 0m
. Khi đó:
3
2
:Cyxnxb

Ta cn tìm tung độ ca đim
A
B (theo a ).
Hướng dn gii
Chn B.

2
0
0
2
x
fx
a
x


2
0
3
n
gx x
 .
Theo đề bài ta có , 0an
3
23 2
an
na


.
Khi đó:
2
24
B
aa
yf b





;
32
A
na
yg ba





.
2
43
2. 2
422
aaa
A
Btt

 trong đó 0
2
a
t
.
Xét
43
3231 1 2
2
a
AB t t t a
 
.
Do
0a
nên
2; 1a  .
Bài tp 10. Cho hai hàm đa thc
yfx ,
ygx đồ th là hai đường cong như hình v. Biết rng
đồ th hàm s
y
fx
đúng mt đim cc tr
A
, đồ th hàm s
y
gx
đúng mt đim cc
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 61
tr
B
(vi
A
B
x
x
) và
7
2
AB
. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca
10;10m 
để hàm s
yfxgxmđúng by đim cc tr?
A. 5. B. 6. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Gi
1
x
,
2
x
vi
12
x
x là hoành độ giao đim ca đồ th
yfx
ygx (da vào đồ th đã
cho, hai đồ th ch hai giao đim đã k trên, tc là
 
1
2
0
x
x
fx gx
x
x

.
Xét
hx f x gx m
.
Ta có:
  
 
.
f
xgx
hx f x gx
f
xgx




.
Cho
0
A
B
hx x x x

. Ta có bng biến thiên ca
hx
như sau
Da vào bng biến thiên ca
hx, yêu cu bài toán tr thành
77
00
22
mm m
.
Do
m nguyên và
10;10m  nên
3; 2; 1m
 .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 62
Bài tp 11. Tìm các giá tr ca tham s
m
để đồ th
422
21yx mx

có ba đim cc tr to thành mt
tam giác vuông cân.
A. 1m  . B. 0m . C. 2m
. D. 1m .
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
32
44yxmx
 ;
22
0
0
x
y
x
m

.
Hàm s có ba cc tr khi và ch khi
0m
.
Khi đó ta độ ba đim cc tr
0;1A ,
4
;1Bm m
,
4
;1Cmm

4
;
A
Bmm

,
4
;
A
Cmm

, d thy
A
BAC
.
Do đó tam giác
A
BC vuông cân ti
A
khi và ch khi .0AB AC

28
01mm m 
(do
0m
).
Bài tp 12. Giá tr ca tham s
m
để đồ th hàm s
42
21 3yx m x m có ba đim cc tr to thành
mt tam giác có góc bng
60
thuc khong nào sau đây?
A.
513
;
25



.
B.
12 5
;
52



.
C.
11
2;
5



.
D.
11 12
;
55



.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
3
44 1yx mx

. Xét
2
0
0
1
x
y
xm


2
.
Hàm s có ba đim cc tr khi
1m .
Khi đó ta độ ba đim cc tr
0; 3
A
m ,
2
1; 5 m 1Bm m

2
1;5 m 1Cm m
.
Suy ra

4
22
11AB AC m m
;
21BC m
.
Tam giác
A
BC tam giác cân ti
A
, có mt góc bng 60 nên là tam giác đều

4
3
1141 13AB BC m m m m
.
Bài tp 13. Có tt c bao nhiêu giá tr ca tham s m để đồ thm s
42
24 1yx mx
 có ba đim cc
tr to thành mt tam giác có mt góc bng
30 ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
3
88yxmx
 ;
2
0
0
x
y
x
m

.
Hàm s có ba cc tr khi và ch khi
0m .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 63
Khi đó ta độ ba đim cc tr
0;1A
,
2
;2 1Bm m
,
2
;2 1Cmm

22 4
4
A
BACmm, 2
B
Cm .
Do đó tam giác
A
BC
cân ti
A
.
Trường hp 1:
30BAC , ta có

22
22
2
2
cos 2 3
2
AB BC
B
AC AB BC
AB


4
3
2342
42 3 3
mm m
m


.
Phương trình này có đúng mt nghim thc.
Trường hp 2:
30ABC , khi đó
22 4 3
3. 3 3 12 4 12 1BC AB AB BC m m m m
.
Phương trình này có đúng mt nghim thc.
Bài tp 14. Cho đồ th hàm s
4224
:21Cyx m x m . Gi
A
, B , C ba đim cc tr ca
C
1
S ,
2
S ln lượt là phn din tích phía trên và phía dưới trc hoành ca tam giác
A
BC . Có bao nhiêu
giá tr ca tham s
m sao cho
1
2
1
3
S
S
?
A. 1. B. 2. C. 4. D. 0.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
32
44 1yx m x

.
Cho
4
22 2
0
0
121
xym
y
xm y m



.
Hàm s luôn có ba đim cc tr vi mi tham s
m
.
Gi
4
0;
A
m
,
22
1; 2 1Bm m
,
22
1; 2 1Cm m

là ba đim cc tr ca đồ th hàm s.
Ta có
4
OA m ,
42
;21hdABC m m
2
42
1
1
4
21 1
121
34 4 2
3
ABC ABC
SS S
Shmm
SS SOA m


 


42
210 12mm m .
Vy có hai giá tr ca tham s tha mãn đề bài.
Lưu ý: Do hai tam giác đồng dng nên t l din tích bng bình phương t l đồng dng, vi t l đồng
dng là t l đường cao.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 64
Bài tp 15 . Cho hàm s
 
3
32
1
12
33
m
fx x m x mm x
đồ th
C
vi m là tham s. Gi
S
là tp tt c các giá tr ca tham s
m
để đồ th
C và parabol
2
:28
P
yx mx
 có chung mt
đim cc tr. Tng bình phương tt c các phn t ca
S
A. 8. B. 10. C. 16. D. 18.
Hướng dn gii
Chn A.
P
đim cc tr
2
;8Mm m.
2
21 2fx x m xmm



2
;
0
22;
B
xm Amm
fx
x
mBmyM



.
Vì hai đồ th hàm s có chung mt đim cc tr nên
22
82AM m m m

.
Bài tp 16. Biết hai hàm s
32
21
f
xxax x
32
31
g
xxbxx

có chung ít nht mt
đim cc tr. Giá tr nh nht ca biu thc
P
ab
A. 30 . B. 26. C. 36 . D. 33.
Hướng dn gii
Chn A.
Gi s đim cc tr chung ca
f
x
g
x
0
0x
, suy ra


0
2
0
0
00
2
0
00
0
0
12
3
20
32 20
0
3230
13
3
2
ax
x
fx
xax
gx
xbx
bx
x












.
Khi đó
00
00
12 1
33
2
Pab x x
x
x





00
00
151 5
6.26.30
22
AM GM
xx
xx





.
Du
"" xy ra khi
00
0
530
6
6
xx
x

.
Khi đó
930
20
a
11 30
20
b
.
Chú ý:
Khi
A
B
cùng du thì
A
BAB . Hin
nhiên
0
x
0
1
x
cùng
du.
Bt đẳng thc
A
MGM
:
2,,0
2
xy
xy x y

Du
""
xy ra
x
y
.
Dng 6. Cc tr hàm phân thc
1. Phương pháp
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 65
Xét

ux
y
vx
. Ta có

2
..uxvx vxux
y
vx

.
Gi

00
;
M
xy đim cc tr. Khi đó
0
0yx
.
Suy ra
 


00
00 0 0 0
00
..0
ux u x
ux vx vx ux y
vx v x


.
Đường cong qua các đim cc tr (nếu có) ca đồ th hàm s

ux
y
vx

ux
y
vx
.
Nói riêng, đường thng qua các đim cc tr (nếu có) ca đồ thm s
2
ax bx c
y
dx e
2ax b
y
d
.
Chú ý:


11 11 11
2
2
2
2
22 22 22
111
2 2
2
2
222
222
2
2
.
ab ac bc
bc
xx
adx aex
ab ac bc
de
ax bx cax bx c
dx e a x b x c
dx e
ax bx c












.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Giá tr ca
m
để hàm s
2
31xmxm
y
x

cc tr
A.
1
3
m .
B.
1
3
m .
C.
1
3
m
. D.
1
3
m .
Hướng dn gii
Chn A.
Điu kin 0x . Ta có
2
2
31xm
y
x

.
Hàm s có cc tr khi
2
310xm
có hai nghim phân bit khác 0
1
310
3
mm.
Bài tp 2. Giá tr ca m để hàm s
2
1
x
mx
y
x
m
đạt cc đại ti 1
x
A. 2m . B. 1m  . C. 2m
. D. 1m .
Hướng dn gii
Chn C.
Điu kin:
x
m .
Ta có

22
2
21xmxm
y
xm

;
1
0
1
xm
y
xm



.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 66
Bng biến thiên
Da vào bng biến thiên, hàm s đạt cc đại ti
111 2xm m
  .
Bài tp 3. Cho hàm s
1
q
yxp
x

(vi
p
,
q
là tham s thc). Biết hàm s đạt cc đại ti 2x
,
giá tr cc đại bng
2 . Tng 2Sp q bng
A.
2S
. B.
0S
. C.
1S
. D.
3S
.
Hướng dn gii
Chn D.
Điu kin: 1x  .
Ta có:

2
1
1
q
y
x

.
Hàm s đạt cc đại ti đim
2x  , giá tr cc đại bng 2
nên
10 1
221
qq
pq p





.
Th li 1pq tha mãn nên 1 2 3S  .
Bài tp 4. Giá tr ca m để khong cách gia hai đim cc tr ca đồ th hàm s
2
1
x
mx
y
x
bng 10 là
A. 10m . B. 8m . C. 4m
. D. 2m .
Hướng dn gii
Chn C.
Điu kin:
1
x
.
Ta có

2
2
2
1
x
xm
y
x

.
Hàm s có hai cc tr khi
2
20xxm có hai nghim phân bit
1
x
,
2
x
khác
12 0
1
10
m
m
m



.
Khi đó theo định lý Vi-ét ta có
12
12
2
.
xx
x
xm

.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 67
Đường thng qua hai đim cc tr ca đồ th
:2dy xm

.
Ta độ hai đim cc tr ca đồ th
11
;2
A
xxm
,
22
;2
B
xxm

211 2
;2 2
A
Bxxx x

.
Theo yêu cu ca đề bài ta

22 2
12 12 12 12
4 100 4 . 20xx xx xx xx
44 20m
4m
.
Bài tp 5. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca m để đồ th hàm s
1
ymx
x
hai đim cc tr và tt c
các đim cc tr đều thuc hình tròn tâm
O , bán kính 6?
A. 10. B. 8. C. 9. D. 7.
Hướng dn gii
Chn B.
Điu kin:
0x
. Ta có:
2
1
ym
x
 .
Hàm s có hai đim cc tr khi
0m . Khi đó
1
0
1
x
m
y
x
m


.
Ta độ hai đim cc tr ca đồ th
1
;2
A
m
m



,
1
;2
B
m
m




.
Theo đề bài ta có
22 2
1
4364 3610OA OB m m m
m
.
Do
m , 0m nên
1; 2;3...;8m
.
Vy có 8 giá tr nguyên ca
m
tha mãn.
Bài tp 6. Có bao nhiêu giá tr ca m để đồ thm s
2
4xmx
y
xm
có hai đim cc tr
A
,
B
và ba
đim
A
,
B
,
4; 2C phân bit thng hàng?
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Hướng dn gii
Chn A.
Điu kin:
x
m .
Ta có


2
22
22
4
24
xm
xmxm
y
xm xm




.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 68
Cho

2
24
040
24
xm ym
yxm
xm ym

 

.
Do
22mm , m nên 0y
luôn có hai nghim phân bit.
Do đó đồ th hàm s luôn có hai đim cc tr. Khi đó đường thng qua hai đim cc tr
:2
A
By xm. Ba đim
A
,
B
,
4; 2C phân bit thng hàng khi và ch khi
6
4; 2
24 2
24 6
m
CAB
mm
mm







.
Suy ra không có giá tr nào ca
m tha mãn đề bài.
Bài tp 7. Cho hàm s

22
21 4
:
2
x
mxmm
Cy
x

. Có bao nhiêu giá tr thc ca
m
để đồ th
hàm s
C đim cc đại, cc tiu
A
, B sao cho tam giác OAB vuông?
A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Hướng dn gii
Chn A.
Điu kin: 2x  . Ta có

22
2
44
2
x
xm
y
x

.
Ta có
22
2
44 0
2
xm
xx m
xm



.
Hàm sđim cc đại, cc tiu khi và ch khi
0m
.
Ta độ các đim cc tr ca đồ th
2; 2Am
,
2; 4 2 2 ; 4
B
mm ABmm

D thy
OA

, OB

, 0AB

.
Trường hp 1: Tam giác
OAB vuông ti O
2
.0 880 426OA OB m m m

(tha mãn)
Trường hp 2: Tam giác
OAB vuông ti
A
.0OA AB

222.40 240 6mm m m m
(tha mãn)
Trường hp 3: Tam giác
OAB
vuông ti
B
.0OB AB

 
2
2 24240 22420
3
mm m m m m m (tha mãn)
Vy có bn giá tr thc ca
m
tha mãn đề bài.
Bài tp 8. Cho hàm s

2
2
1
:
1
x
mx
Cy
x

vi
m là tham s. Giá tr thc ca m để đồ th hàm s
C
có hai đim cc tr
A
,
B
sao cho đường thng
A
B đi qua đim
1; 2M
A. 8m . B. 6m . C. 4m
. D. 2m .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 69
Hướng dn gii
Chn B.
Tp xác định: D . Ta có

2
2
2
4
1
mx x m
y
x
.
Hàm s có hai đim cc tr khi và ch khi
2
40mx x m

có hai nghim phân bit
2
0
0
40
m
m
m


.
Đường cong qua hai đim cc tr có phương trình là
2
2
x
m
y
x
.
Ta viết phương trình đường cong dưới dng
2
24
2
x
mkmx xm
y
x

.
Ta chn
k sao cho nghim ca mu là nghim ca t để có th rút gn thành hàm s bc nht. Vì
0x
là nghim ca mu, nên thế
0x
vào t ta được
01mk m k

.
Vi
1k  :

2
24
1: 1
22 2
xmmx xm m m
yxAByx
x

.
Đim
1; 2M

21 6
2
m
AB m (tha mãn) .
Dng 7: Cc tr ca hàm cha căn
Bài tp 1. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca
10;10m  để hàm s
2
22 45yx mxx
 có cc
tiu?
A. 7. B. 16. C. 8. D. 14.
Hướng dn gii
Chn C.
Hàm s xác định trên .
Ta có
2
2
2.
45
x
ym
xx



3
2
45
m
y
xx


.
 


2
2
2
20
02 21 2
424
mx
yxmx
mx




1
.
Hàm s có cc tiu khi và ch khi
1
có nghim
2
2
40
2
m
m
m

.
Khi đó,
1 có hai nghim phân bit là
1;2
2
2
2
4
x
m

.
Vi 2m , thì
1
2
2
2
4
x
m

tha mãn
1
0yx
1
0yx

,
suy ra
1
x
đim cc tiu, nhn 2m .
Chú ý:
Để làm trc
nghim ta có th làm như
sau: Hàm s đạt cc tiu
khi h sau có nghim:
0
0
y
y

Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 70
Vi
2m 
, thì
2
2
2
2
4
x
m

tha mãn
2
0yx
2
0yx

,
suy ra
2
x
đim cc đại, loi, do
2m
.
Do
m
nguyên,
2m
10;10m
nên
3; 4;...;9;10m
.


2
2
20
424
0
mx
mx
m


2
0, 2
2
40
mx
m
m



Bài tp 2. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để đồ th hàm s
2
.1yxmx
đim cc tr
và tt c các đim cc tr thuc hình tròn tâm
O , bán kính
82
3
?
A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Hướng dn gii
Chn A.
Tp xác định: D .
Ta có
2
1.
1
x
ym
x

.
Cho
2
1
0
x
ym
x

, (
0x
).
Xét
 
2
22
11
0
.1
x
gx g x
x
xx

,
0x
.
Ta có
lim 1
x
gx


;
lim 1
x
gx

;
0
lim
x
gx

;
0
lim
x
gx

.
Bng biến thiên:
Hàm s có cc tr khi
\1;1m 
.
Gi
;
A
ab đim cc tr ca đồ th hàm s.
Khi đó
2
1a
m
a

2
11 1
;
a
ba Aa
aa a




.
Ta có:
22
2
1821
9
39
OA a a
a
 .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 71
Vy
2
2
1110
1;10
3
a
m
aa




.
Kết hp vi các điu kin
m ,
\1;1m  , ta được
3; 2; 2; 3m  .
Bài tp 3. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để đồ th hàm s
2
2
2
mx
yx
x

đim cc tr
và tt c các đim cc tr thuc hình tròn tâm
O , bán kính 68 ?
A. 16. B. 10. C. 12. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Tp xác định:
D
.
Ta có:
2
2
2
mx
yx
x

3
2
2
2
2
m
y
x

,
x
.
2
3
02yx m
 .
Hàm s có cc tr khi và ch khi
3
222mm .
Gi
;
A
ab ( 0a ) là đim cc tr ca đồ th hàm s, khi đó:
2
3
2am

3
223
3
2
222
2
ma ma
ba a a m aa a
m
a
 
.
Theo đề bài ta có
22 26 2
68 68 68 4OA a b a a a
.
Ta có:
22
3
042 262 666 22aa m m
.
m 66 22m nên
14; 13;...; 4; 3m

.
Vy có 12 giá tr ca tham s
m tha mãn đề bài.
Chú ý:
Hàm s
không th đạt cc
tr ti đim
0x
.
Dng 8: Cc tr ca hàm bc cao và hàm lượng giác
Bài tp 1. Biết rng tn ti các s thc a , b , c sao cho hàm s
642
3
f
x x ax bx x c
 đạt cc tr
ti đim
2x . H s góc tiếp tuyến ca đồ th hàm s
f
x ti đim có hoành độ 2x 
A. 0. B.
3
. C. 3. D. 6.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:
53
64 23
f
xxaxbx
 .
Hàm s đạt cc tr ti đim
2x nên
53
206.24..2430fab

.
H s góc tiếp tuyến ca đồ th hàm s
f
x ti đim có hoành độ 2x
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 72
53 53
2 0 6.2 4. .2 4 3 3 6.2 4. .2 4 6fabab
 .
Bài tp 2. Biết rng tn ti các s thc
a
,
b
,
c
sao cho hàm s
2
.sin .cos3
f
xa xb xxc
 đạt cc
tr ti đim
6
x

. H s góc tiếp tuyến ca đồ th hàm s
f
x
ti đim có hoành độ
6
x
A. 0. B.
1
. C. 2. D.
2
.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:

.sin 2 3 .sin3 1
f
xa xb x

.
Hàm s đạt cc tr ti đim
6
x

, suy ra
0.sin3.sin10
632
fab





.
H s góc tiếp tuyến ca đồ th hàm s
f
x
ti đim có hoành độ
6
x
.sin 3 .sin 1 2
632
fa b





.
Bài tp 3. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để hàm s
8524
4161yx m x m x

đạt
cc tiu ti đim
0x
?
A. 8. B. Vô s. C. 7. D. 9.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:
7423
85 4 4 16yx m x m x



34 2 3
85 44 16 .
x
xmxm xgx



Vi


42
85 4 4 16gx x m x m . Ta xét các trường hp sau:
-
Nếu
2
16 0 4mm.
+ Khi
4m ta có
7
80yx x
đim cc tiu.
+ Khi
4m 
ta có
43
840 0yx x x
 không là đim cc tiu.
-
Nếu
2
16 0 4 0 0mmg .
Hàm s đạt cc tiu ti đim
0x
Đạo hàm đổi du t âm sang dương khi đi qua đim
0x


0
0
0
lim 0
lim 0
lim 0
x
x
x
gx
gx
gx

22
4160 1604 4 3;2;1;0;1;2;3mm mm  .
Tng hp các trường hp ta có:
3; 2; 1; 0;1; 2;3; 4m  .
Vy có tám giá tr nguyên ca
m tha mãn yêu cu.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 73
Bài tp 4. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
8524
241yx m x m x
 đạt
cc tiu ti
0x
?
A. 3. B. 5. C. 4. D. Vô s.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
74233
85 2 4 4 .yx m x m xxhx
 vi
42
85 2 4 4hx x m x m
 .
Ta xét các trường hp sau:
Nếu
2
40 2mm
.
-
Khi
2m
thì
7
80yx x

đim cc tiu nên
2m
tha mãn.
-
Khi
2m 
thì
43
820 0yx x x
 không là đim cc tiu.
Nếu
2
40 2 0 0mmh .
Hàm s đạt cc tiu ti đim
0x
khi và ch khi giá tr đạo hàm đổi du t âm sang dương khi đi qua
đim
0x .
Do đó


0
0
0
lim 0
lim 0
lim 0
x
x
x
hx
hx
hx

2
4402 2 1;0;1mmm .
Tng hp các trường hp ta có
1; 0; 1; 2m  .
Vy có bn giá tr nguyên ca
m tha mãn yêu cu.
Dng9:Tìm cc tr ca hàm s cha tr tuyt đối
1. Phương pháp
Bước 1.
Tp xác định và tính đạo hàm
Đạo hàm hàm cha tr tuyt đối vi công thc:

2
.
.
uu
uu
u

Chú ý:
khi 0
khi 0.
uu
u
uu

Bước 2. Gii phương trình đạo hàm bng 0 và tìm nhng đim làm cho đạo hàm không xác định (nhưng
hàm s xác định ti nhng đim đó).
Bước 3. Lp bng biến thiên hoc bng xét du đạo hàm.
2. Bài tp:
Bài tp 1.
S đim cc đại ca hàm s
2
() 2 2 2fx x x x

A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
Hướng dn gii
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 74
Chn C.
Hàm s liên tc trên

2
12
22
x
x
x
fx
xx

Hàm s không có đạo hàm ti đim
0x
.
Khi 0x ta có

2
1
2
1
33
02222 .
3
3620
x
f
xxxx x x
xx


 

Khi 0x ta có

2
2
2
1
33
02222 .
3
3620
x
f
xxxx x x
xx


Bng xét du y
:
Vy hàm s có hai đim cc đại.
Bài tp 2. S đim cc tr ca hàm s
12yx x

A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có đồ th ca hàm s
12yx x như sau.


12,2
12
12,2
xx x
yx x
xx x



nên để v đồ th hàm s đã cho, ta gi nguyên đồ
th
12yx x
khi 2x và ly đối xng qua
trc hoành phn đồ th

12yx x ng vi
2x
.
D thy hàm s

12yx x có hai đim cc tr (xem hình v dưới đây):
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 75
Dng 10: Tìm cc tr ca hàm s tr tuyt đối nếu biết bng biến thiên hoc đồ th
1. Phương pháp
Khi cho trước bng biến thiên ca hàm s, tìm cc tr ca hàm s cha giá tr tuyt đối:
Ta dùng các phép biến đổi đồ th cha giá tr tuyt đối để lp bng biến thiên hoc bng xét du.
Chú ý:
Cách nhm nhanh s đim cc tr ca hàm s.
Bước 1. Tìm s đim cc tr ca hàm s
yfx .
Bước 2. Tìm s nghim bi l ca phương trình
0fx
Bước 3. S đim cc tr ca hàm s
yfx
là tng s đim ca c hai bước trên.
Ví d: Cho hàm s

yfx có bng biến thiên như hình v dưới đây.
Tìm s đim cc tr ca hàm s
yfx .
Hướng dn gii
D thy trc hoành ct đồ th
yfx
ti ba đim phân bit.
Bng biến thiên ca
yfx :
Suy ra hàm s có 5 đim cc tr.
Nhm nhanh s cc tr
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 76
Da vào bng biến thiên ta thy hàm s
yfx
có hai đim cc tr.
D thy trc hoành ct đồ th

yfx ti ba đim phân bit. S nghim bi l ca phương trình

0fx
là 3.
Suy ra hàm s có năm đim cc tr.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s
yfx
có bng biến thiên như hình v dưới
đây:
S cc tr ca hàm s
yfx
A. 5. B. 4. C. 3. D. 6.
Hướng dn gii
Chn A
Khi 0x thì
f
xfx nên bng biến thiên ca
yfx
trên
0;  cũng chính là bng biến thiên ca
yfx
trên
0;
.
Do đồ th
yfx nhn trc tung làm trc đối xng nên ta có bng
biến thiên ca
yfx trên như sau:
Suy ra hàm s có 5 đim cc tr.
Chú ý:
Có th nhm nhanh
s đim cc tr như sau:
S đim cc tr ca hàm
yfx
bng hai ln s
đim cc tr dương ca hàm
s

yfx ri cng thêm 1.
Bài tp 2. Cho hàm s
yfx
có bng biến thiên như hình v dưới
đây:
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 77
Biết
00,50ff. S đim cc tr ca hàm s
yfx
A. 8. B. 9. C. 10. D. 11.
Hướng dn gii
Chn D
Hàm s đã cho đồng biến trên

1;1
nên
00,5ff
.
Bài tp 3. Cho hàm s
2
3fx xxđồ th như hình v
Gi s đim cc tr ca hàm s

33gx xx x

2
33hx x x x ln lượt là m , n .
Giá tr ca mn
A. 7. B. 5. C. 4. D. 6.
Hướng dn gii
Chn A.
+) Xét


2
2
(3), 3
33
(3), 3
xx x
gx xx x
xx x



, suy ra đồ th ca
g
x
gm hai phn được suy
ra t đồ th ban đầu như sau:
+ Phn 1: là đồ th hàm

f
x tương ng vi 3x .
+ Phn 2: là phn đối xng vi phn đồ th hàm
f
x qua trc Ox khi 3x . Đồ thm s
g
x
đường nét lin hình dưới đây.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 78
T đồ th hàm s
g
x , ta có s đim cc tr là 3 hay
3m
.
+) Xét



2
2
2
(3), ;30;
33
(3),0;3.
xx x
hx x x x
xx x



Suy ra đồ th ca
hx gm 2 phn được suy ra t đồ th
ban đầu như sau:
+ Phn 1: đồ th hàm

f
x
ng vi 3x và vi 0x
.
+ Phn 2: là phn đối xng vi phn đồ th hàm
f
x
khi
03x .
Đồ th hàm s
hx
đường nét lin hình dưới đây.
T đồ th hàm s

hx, ta có s đim cc tr là 4 hay
4n .
Vy
34 7mn.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 79
Bài tp 4. Cho hàm s

yfx
đồ th như hình v
S đim cc tr ca hàm s

yfx trên
4; 4
A. 5. B. 7. C. 9. D. 3.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có đồ th

yfx như sau:
Vy s đim cc tr ca hàm s
yfx trên
4; 4
là 7.
Chú ý:
Đề bài hi s đim cc tr
trong khong

4; 4
nên các
đim
4x 
không là đim
cc tr.
Dng 11: Mt s bài toán s dng phép dch chuyn đồ th
1. Phương pháp
Cho đồ th hàm s

():Cy fx
Đồ th hàm s
1
():Cyfxa
được bng cách dch chuyn đồ th hàm s
()C qua bên phi
a đơn v nếu 0a và dch qua trái a đơn v nếu 0a
.
Đồ th hàm s

2
():Cyfxbđược bng cách dch chuyn đồ th hàm s
()C
lên trên b
đơn v nếu
0b và dch xung dưới b đơn v nếu 0b
.
Chú ý : Khi tnh tiến đồ th lên – xung, trái – phi thì s đim cc tr ca hàm s ()C ,
1
()C ,
2
()C
bng nhau.
Chú ý : S đim cc tr ca các hàm s sau là bng nhau:

ymfxpq tn (1);
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 80
ymfxpq t (2);
yfxpqt (3);
yfxqt
(4);
T (1) qua (2): dch chuyn lên xung không làm thay đổi s đim cc tr.
T (2) qua (3): phóng to và thu nh không làm thay đổi s đim cc tr.
T (3) qua (4): dch trái phi không làm thay đổi s đim cc tr.
Để tìm s đim cc tr ca hàm s, ta có th làm như sau:
Bước 1. Tìm hàm s có cùng s đim cc tr vi hàm ban đầu.
Bước 2. Da vào đồ th, bng biến thiên, bng xét du đạo hàm ca đề bài mà suy ra s đim cc tr ca
m tìm được bước 1.
2.Bài tp:
Bài tp 1.
Cho hàm s
yfx
có bng biến thiên như hình v dưới đây.
S đim cc tr ca hàm s
39yfx
A. 4. B. 3. C. 2. D. 5.
Hướng dn gii
Chn A.
S đim cc tr ca các hàm s sau đây là như nhau:
39yfx;
9yfx. Ta có bng biến thiên ca hàm s
9yfx
Suy ra s đim cc tr ca hàm s
9yfx là 4.
Bài tp 2. Cho hàm s

yfx
xác định trên
\0
và liên tc trên tng khong xác định, có bng
biến thiên như hình v.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 81
Đồ th hàm s
2( 1)11yfx có bao nhiêu đim cc tr?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Hướng dn gii
Chn B.
S đim cc tr ca các hàm s sau đây là như nhau:
2( 1)11yfx; 2( 1)1yfx; (1)1yfx
; () 1yfx
Hàm s
1yfx bng biến thiên như hình v:
Suy ra s đim cc tr ca hàm
() 1yfx
là 4.
Vy hàm s
2( 1)11yfx có 4 đim cc tr.
Bài tp 3. Cho hàm s
yfx xác định trên
\1
và liên tc trên tng khong xác định, có bng
biến thiên như hình v.
Đồ th hàm s
221yfx
có bao nhiêu đim cc tr?
A. 5. B. 9, C. 7. D. 6.
Hướng dn gii
Chn B.
S đim cc tr ca các hàm s sau đây là như nhau:

221yfx
;

1
2
2
yfx
;

1
2
yfx
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 82
Ta có bng biến thiên ca hàm s

1
2
yfx
T đó suy ra s cc tr ca hàm s

1
2
yfx
là 9 nên s cc tr ca hàm s
221yfx
cũng là 9.
Bài tp 4. Cho hàm s
yfx
xác định trên
\1
và liên tc trên tng khong xác định, có bng
biến thiên như hình v.
Hàm s
223yfx
có bao nhiêu đim cc tr?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Hướng dn gii
Chn A.
S đim cc tr ca các hàm s sau đây là như nhau:
223yfx;
22yfx;
2yfx
;
yfx
(vì ba hàm đầu có s nghim ca đạo hàm là như nhau; t hàm th tư, ta dch qua phi 2 đơn v s
được đồ thm th ba).
T bng biến thiên đã cho, suy ra bng biến thiên ca hàm s
yfx :
Da vào bng biến thiên, ta có hàm s
yfx có 3 đim cc tr.
Do đó hàm s
223yfx
có 3 đim cc tr.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 83
Bài tp 5. Cho hàm s
yfx
xác định trên
\1
và liên tc trên tng khong xác định, có bng
biến thiên như hình v.
Biết
0. 1 0ff . S đim cc tr ca đồ th hàm s
223yfx

A. 5. B. 9. C. 7. D. 6.
Hướng dn gii
Chn C.
Quan sát bng biến thiên, rõ ràng hàm s đã cho đồng biến trên
(1;3)
, suy ra
01
f
f . Li do
0. 1 0ff
nên
00 1
f
f
.
Tương t như Bài tp 4, s đim cc tr ca hàm
223yfx
 bng vi s cc tr ca hàm

yfx .
Bng biến thiên ca hàm s
yfx là:
Đến đây, ta d dàng suy ra được s đim cc tr ca hàm
yfx là 7.
Vy hàm s
223yfx có 7 đim cc tr.
Chú ý: Nếu
(
)
0fx³
thì hàm s
223yfxch có 5 đim cc tr.
Bài tp 6. Cho hàm s
yfx xác định trên
\1
và liên tc trên tng khong xác định, có bng
biến thiên như hình v. Đồ th hàm s
321yfx
 có bao nhiêu đim cc tr?
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 84
A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.
Hướng dn gii
Chn A
S đim cc tr ca các hàm s sau đây là như nhau:
321yfx;
32yfx
2yfx
.
Để v được bng biến thiên hoc đồ th ca hàm s
2yfx
, ta dch bng biến thiên (đồ th) ca
hàm s
yfx qua phi 2 đơn v ri ly đối xng phn bên phi trc Oy qua Oy (b phn bên trái
Oy).
Sau đây ln lượt là bng biến thiên ca
2yfx
2yfx
Vy hàm s ban đầu có 3 đim cc tr.
Dng 12: Định tham s để hàm s cha du tr tuyt đối có n đim cc tr
1. Phương pháp
Xét bài toán:
Định tham s để đồ th hàm s
yfx
hoc
yfx
n đim cc tr.
Bước 1. Lp bng biến thiên ca hàm s
yfx
Bước 2. Da vào bng biến thiên, suy ra tham s tha mãn yêu cu đề bài
2. Bài tp
Bài tp 1.
Có bao nhiêu giá tr nguyên ca
5; 5m  để hàm s
Li bình: Ta có th nhìn
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 85
32
69 22yx x mx m có 5 đim cc tr?
A. 6. B. 8 C. 5. D. 7.
Hướng dn gii
Chn B
Xét
32
69 22fx x x mx m
Cho
32
069 220fx x x mx m


32
2
2
692 20
241 0
2
41 0
xxx mxm
xxxm
x
xx m



Hàm s
32
69 22yx x mx m 5 đim cc tr khi
0fx
có 3 nghim phân bit và ch khi
2
41 0xx m

có 2 nghim phân bit
khác 2
2
4(1 ) 0
3
3.
3
24.21 0
m
m
m
m
m






Do
m nguyên
5; 5m 
nên
2; 1; 0;1; 2; 3; 4; 5m 
.
Vy có 8 g tr ca
m tha mãn đềi.
rõ nhng kết lun này t
vic biến đổi đồ th.
T đồ th
yfx
suy
ra đồ th
yfx
Bài tp 2.
Có bao nhiêu giá tr ca m để hàm s

3
2
21 3 5yx m x mx có 5 đim cc tr.
A.
1
0;
4
m



.
B.

1
0; 1;
4
m




.
C.
1;m 
. D.
;0m 
.
Hướng dn gii
Chn B
Xét
32
(2 1) 3 5
f
xx m x mx
.
Suy ra
2
32(21)3
f
xx mxm
 .
Hàm s

3
2
21 3 5yx m x mx có 5 đim cc tr khi và ch khi
hàm s
yfx 2 đim cc tr dương
0fx
có 2 nghim phân
bit dương
Li bình: Ta có th nhìn
rõ nhng kết lun này t
vic biến đổi đồ th.
T đồ th
yfx
suy
ra đồ th
yfx .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 86

2
2
219 0
1
4510
210
1
0
0
0
4
mm
m
mm
m
m
m
m






Bài tp 3.
Có bao nhiêu s nguyên ca tham s
2021; 2020m  để hàm s
2
2 2020 2021fx x mx m
có 3 đim cc tr?
A. 1009. B. 2020. C. 2019. D. 1008
Hướng dn gii
Chn A.

2 2 , 2020 0
2020
22
2 2 , 2020 0.
2020
xmxm
xm
fx x m
xmxm
xm





D thy hàm s không có đạo hàm ti đim
2020xm
.
Ta có:

22 0
2020 0
0
22 0
2020 0
xm
xm
fx
xm
xm





, 1010.
2 2020 0
xm
xm
xm
xmm
m




Nếu
1010m thì
0fx
x
m và không có đạo hàm ti đim 2020xm
nên không có đủ
3 đim cc tr. Do đó loi trường hp này.
Khi
1010m , ta có bng xét du đạo hàm như sau:
Vy hàm s có 3 đim cc tr vi
1010m .
2021; 2020m 
nên
1011;1012;...;2019m
.
Vy có 1009 s tha mãn đề bài.
Bài tp 4. Cho hàm s
32
2fx x mx nx vi m, n là các s thc tha mãn
1
25
mn
mn


. S đim
cc tr ca hàm s
yfx
A. 1. B. 3. C. 5. D. 2.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 87
Hàm s
32
2fx x mx nx
liên tc trên
.






lim
lim . 2 0
284222(2 5)0
2. 1 0
11 2 10
(1). lim 0
lim
x
x
x
x
fx
fxf
fmnmn
ff
fmnmn
ffx
fx









 



Suy ra phương trình
0fx
có ít nht 3 nghim. Mà
0fx
là phương trình bc 3 nên có ti đa 3
nghim. Vy
0fx đúng 3 nghim phân bit.
Vy hàm s
yfx đúng 5 đim cc tr.
Bài tp 5. Cho hàm s
32
1
1
3
yxmxx vi m là tham s thc. Đồ th ca hàm s đã cho có nhiu
nht bao nhiêu đim cc tr?
A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.
Hướng dn gii
Chn A.
Xét

32
1
1
3
fx x mxx có tp xác định D
.
Ta có

2
2
2
21
1
x
fx x m
x

;
 
22
2
1
0
21
xx
f
xm gx
x

.
Ta có

42
222
232
(2 1) 1
xx x
gx
xx


. Bng biến thiên
g
x :
Da vào bng biến thiên ta có
0fx
có ti đa 2 nghim khác 0 khi 0m
. Do hàm s
f
x liên
tc trên
nên
0fx
có ti đa 3 nghim phân bit. Nếu tn ti giá tr ca tham s m sao cho
phương trình
0fx đúng 3 nghim phân bit thì hàm s
32
1
1
3
yxmxx

có 5 đim cc tr.
Ta có


22
0
0
31.2
x
fx
xmx


Khi
0m thì (2)
4222
990xmxm luôn có 2 nghim pn bit khác 0.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 88
Vy phương trình
0fx
đúng 3 nghim phân bit nếu
0m
.
Vy s đim cc tr ti đa ca hàm s
32
1
1
3
yxmxx
 là 5.
Bài tp 6. Có bao nhiêu s nguyên ca
0; 2021m để hàm s

3
1yx m xđúng mt đim cc
tr?
A. 2021. B. 2022. C. 21. D. 20.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta s chng minh hàm s trên luôn có đúng 1 đim cc tr vi mi tham s m.
Hin nhiên hàm s liên tc trên
.
Ta có:
2
3
2
31,0
3
1
31,0.
xm x
x
ym
x
xm x



Đạo hàm không xác định ti đim
0x
.
+) Khi
1m thì
2
2
3, 0
3, 0
xx
y
xx
Hàm s không có đạo hàm ti đim
0x
đạo hàm đổi du khi đi qua đim 0x
(vì
00
lim 0, lim 0
xx
yy




).
Vy hàm s ch đạt cc tr ti 0x .
+) Khi 1m , ta có 0, 0yx

0
lim 0
x
y
.
Cho
1
0
3
m
yx
 đạo hàm đổi du khi đi qua đim đó nên hàm s cũng ch có 1 đim cc
tr.
+) Tương t vi
1m , hàm s cũng ch đạt cc tr ti đim
1
3
m
x
.
Vy hàm s luôn có 1 đim cc tr vi mi tham s m.
Do m nguyên và
0; 2021m
nên có 2022 giá tr ca m.
Dng 13: Cho bng biến thiên, định giá tr tham s đểm s tr tuyt đối có n đim cc tr
1. Phương pháp
Bài toán:
Cho bng biến thiên ca hàm s
yfx hoc cho bng biến thiên, bng xét du ca
f
x
.
Yêu cu tìm giá tr ca tham s m để hàm s
,
g
xm
n đim cc tr.
Đưa hàm s
,
g
xm v hàm s đơn gin hơn (nếu có th). Sau đó s dng các phép biến đổi đồ th hàm
tr tuyt đối.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 89
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s
y
fx
liên tc trên
\1
, có đạo hàm trên
\1
và có bng biến thiên ca
hàm s
yfx
như sau
Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
20;20m  để hàm s
2020
22gx f x m có nhiu
đim cc tr nht?
A. 21. B. 19. C. 22. D. 20.
Hướng dn gii
Chn D.
S đim cc tr ca
2020
22gx f x m bng vi s đim cc tr ca hàm s
hx f x m.
Ta có


x
hx f x m
x


.
Hin nhiên hàm s không có đạo hàm ti đim
0x
.
Cho

11
0
0
1.
xm x m
hx
x
mx x x m






Hàm s
hx f x mnhiu đim cc tr nht khi và ch khi
0hx
có nhiu nghim dương
nht hay
0 m .
Do m nguyên và

20;20m  nên
1; 2;3;...;20m .
Bài tp 2. Cho hàm s

y
fx đạo hàm trên và có bng biến thiên ca hàm s
y
fx
như
sau:
S giá tr nguyên ca tham s m để hàm s

42
4
g
xfx xm có nhiu đim cc tr nht?
A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 90
Ta có



42
342
42
4
48 4
4
xxm
g
xxx fxxm
xxm




.
Ta có
42
40xxm.
Da vào bng biến thiên, suy ra
42
40fx x m
 vô nghim (*).
Hàm s
g
x
có nhiu đim cc tr nht khi
0gx
có nhiu nghim phân bit nht.
Kết hp vi (*), ta có h phương trình
42
3
40
480
xxm
xx


có nhiu nghim phân bit nht
42
40xxm
có nhiu nghim nht và tt c các nghim đều khác 0 và khác
2
(vì
3
480xx luôn có ba nghim phân bit là 0; 2 )
42
4mx x có nhiu nghim nht và tt c
các nghim đều khác 0 và khác
2 (**).
Lp bng biến thiên ca
42
4yx x ta có:
Do đó (**)
04m .
Vy có ba giá tr nguyên là
1; 2; 3m .
Dng 14: Cho đồ th, định tham s để có hàm sn đim cc tr
1. Phương pháp
Bước 1.
Tìm hàm s đơn gin hơn có cùng s đim cc tr vi hàm ban đầu
Bước 2.
Da vào đồ th, xác định s cc tr ca hàm đơn gin bước 1.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho đường cong như hình vđồ th ca hàm s
yfx
. Tìm tp hp tt c các giá tr
thc ca tham s m để hàm s
3yfx m có 5 đim cc tr.
A.
;1m 
. B.
1;1m 
.
C.

1;m. D.
;1m
 .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 91
Hướng dn gii
Chn D.
S đim cc tr ca hàm s
3yfx m bng vi s đim cc tr ca hàm s
g
xfxm.
Ta có


.
x
g
xfxm
x


.
Da vào đồ th, ta có
 
11
0*
11
xm x m
gx
xm x m






(chú ý rng hàm s

g
x không có đạo hàm ti đim
0x
).
Hàm s
3yfx m 5 đim cc tr
g
xfxm
 có 5 đim cc tr
(*) có 4
nghim phân bit
10 1mm  .
Bài tp 2. Cho hàm s

yfx liên tc trên
và có đồ th như hình v. Tìm tt c các giá tr ca tham
s m để hàm s
yfxm có nhiu đim cc tr nht.
A.

2; 2m  . B.
2; 2m  .
C.
1;1m  . D.
1;1m  .
Hướng dn gii
Chn A.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 92
Đồ th hàm s

yfxm có nhiu đim cc tr nht khi và ch khi
yfxm
ct trc hoành ti
nhiu đim nht
22m .
Bài tp 3. Cho hàm s
yfx đồ th như hình v.
Gi S là tp hp các s nguyên dương ca m để hàm s

2
1
2020
3
yfx m 5 đim cc tr. Tng
tt c các phn t ca S
A. 5. B. 10. C. 6. D. 7.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có s đim cc tr ca hàm

2
1
2020
3
yfx m bng s đim cc tr ca hàm

2
1
3
yfx m.
Xét hàm
 
2
1
3
g
xfx m.
Da vào đồ th ta có s đim cc tr ca hàm
g
x bng s đim cc tr ca hàm
f
x và bng 3.
Suy ra hàm s

2
1
2020
3
yfx m có 5 đim cc tr thì s giao đim ca
g
x vi trc Ox
(không k các đim tiếp xúc) là 2.
2
2
2
1
2
332
3
918
1
32 3.
63
3
m
m
m
m
m





Do m nguyên dương nên
3; 4m .
Vy tng các giá tr là 7.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 93
Bài tp 4. Cho hàm s
yfx
đồ th như hình v bên dưới. S giá tr nguyên ca tham s m để đồ
th hàm s
3
3
g
xfx fxmđúng 9 đim cc tr
A. 16. B. 17. C. 15. D. 18.
Hướng dn gii
Chn A.
Xét
3
3hx f x f x m.
Suy ra
2
03 10hx f x f x




.
Da vào đồ th, ta có

0
0
2
x
fx
x


1
2
3
2
12;0
0
xx
fx x x
xx



(đạo hàm đều đổi du khi đi qua c 3 nghim đều là nghim đơn và khác
2 nghim trên).

43
1
2
x
xx
fx
x



(trong đó
4
x
x
là nghim đơn
2x
là nghim kép).
Ta tính các giá tr:
123
2hx hx hx m
4
22hx h m
018hm
Bng biến thiên
hx
:
Suy ra hàm s
hx luôn có 6 đim cc tr.
Đồ th hàm s
3
3
g
xfx fxmđúng 9 đim cc tr tương đương đồ th
yhx ct
trc hoành ti đúng 3 đim (không k nhng đim tiếp xúc)
2 0 18 18 2mmm

.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 94
Vy
17; 16;...; 2m 
hay có 16 giá tr nguyên ca m.
Dng 15. Biết được đồ th ca hàm s
f
x
tìm (s đim) cc tr ca hàm n
1. Phương pháp
Bước 1.
Tìm đạo hàm ca hàm s
y
fux
:
y
ux.f ux

.
Bước 2. T đồ th hàm s, xác định s nghim bi l ca phương trình 0y
.
Bước 3. Kết lun cc tr ca hàm s
yfux .
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s
yfx đạo hàm trên
và có đồ th như hình v
dưới (ch đạt cc tr ti 3 đim và cũng ch có 3 đim chung vi trc hoành).
S đim cc tr ca hàm s
 
2
g
xfx

A. 5. B. 4.
C.
3. D. 6.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:
2
g
xfx.fx.

Cho


0
0
0
fx
gx
fx

(1)
(2).
Da vào đồ th trên, ta có:
1
2
(1) 0
x
x
x
x
x

(các nghim đều là nghim bi l).
2
(2) 3
0
x
x
x


(trong đó
0x
nghim kép,hai nghim kia là nghim đơn).
Vy phương trình
0gx
có 5 nghim bi l.
Do vy s đim cc tr ca hàm s
 
2
g
xfx
là 5.
Bài tp 2. Chom s
y
fx
đạo hàm trên
và có đồ th như hình v bên dưới (ch đạt cc
tr ti 3 đim và cũng ch 3 đim chung vi
trc hoành). S đim cc tr ca hàm s
g
xffx

A. 6 B. 7
Chú ý:
Ch cn quan tâm
đến nghim bi l hoc
nghim mà đạo hàm đổi
du khi đi qua ca
phương trình
(
)
'0fx=
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 95
C. 8 D. 9
Hướng dn gii
Chn D
Ta có:
..
g
xfxffx



Cho


0
0
0
fx
gx
ffx



(1)
(2)
Da vào đồ th trên ta có:
1
2
(1) 0
x
x
x
x
x

(các nghim đều là nghim bi l).


1
2
(2) 0
.
f
xx
fx
f
xx

Phương trình
1
f
xx vi

1
2; 1x  có 2 nghim đơn khác vi 3
nghim
12
;0;
x
xx x x
.
Phương trình
0fx có 2 nghim đơn là 2, 3xx
 (khác vi 5 nghim
đơn trên) và nghim kép
0x .
Phương trình

2
f
xx vi

2
2; 3x có 2 nghim đơn khác vi tt c các
nghim trên.
Vy phương trình
0gx
có tng cng 9 nghim bi l nên hàm s
g
xffx

có tng cng 9 đim cc tr.
Bài tp 3.
Cho hàm s

yfx xác định, liên tc trên và có đúng 2
đim cc tr 1, 1
x
x đồ th như hình v sau:
Hi hàm s
32
3 6 9 1 2020yfx x x có bao nhiêu đim cc tr?
A. 2. B. 3.
C.
4. D. 5.
Hướng dn gii
Chn C
Do hàm s

yfx
đúng hai đim cc tr 1, 1
x
x
 nên phương trình

0fx
có hai nghim
bi l phân bit
1, 1
x
x .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 96
Ta có:
()( )
232
'33 12 9 ' 6 9 1yxxfxxx=-+ -++


2
32
0
32
2
1
3
31290
06911 1;0
6911
30.
x
x
xx
yxxx xx
xxx
xx





0y
có các nghim l
0
,1
x
xx
3x
nên hàm s
32
3 6 9 1 2020yfx x x
có tt c
4 đim cc tr.
Bài tp 4. Biết rng hàm s

f
x
xác định, liên tc trên
đồ th được cho
như hình v bên. S đim cc tr ca hàm s
53120yffx


A. 6. B. 5.
C.
3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn D.
S đim cc tr ca hàm s
53120yffx


bng vi s đim cc tr ca
hàm s
31yffx


và cũng bng vi s đim cc tr ca hàm s

g
xffx


.
Ta có:
.
g
xfxffx



.


0
0
0
fx
gx
ffx




1
2
Da vào đồ th, ta có

0
1
2
x
x
(trong đó
0x
2x là nghim bi l).


0
2
2
fx
fx

3
4

33x (nghim đơn) hoc 0x (nghim kép).
0
43xx (nghim đơn).
Vy phương trình
0gx
có 4 nghim bi l nên
g
x
có 4 đim cc tr
Suy ra hàm s
53120yffx

cũng có 4 đim cc tr.
Dng16. Tìm (s đim) cc tr hàm n biết đồ th ca hàm s
f
x
1. Phương pháp
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 97
Bài toán: Cho trước đồ th ca hàm s
f
x
. Tìm (s đim) cc tr ca (đồ th) hàm s
f
u
.
+ Nếu
0fx
có các nghim
i
x
, thì
0.
i
f
uux

+ Chúng ta ch cn quan tâm đến các nghim bi l ca phương trình.
2. Bài tp mu
Bài tp 1.
Cho hàm s
yfx
đạo hàm liên tc trên
. Hàm s
y
fx
đồ th như hình v.
Hàm s

2
3
g
xf x đạt cc tiu
ti đim
A. 0.x B. 2.x
C.
2.x  D. 2.x 
Hướng dn gii
Chn A.
Phương trình
'0fx có 2 nghim bi l 1, 3.xx

Ta có:

 
22
32.3.
g
xfx xf x




Cho

22
22
00
03 1 4
33 0
xx
gx x x
xx








Suy ra
0gx
có 3 nghim bi l 0, 2xx
 .
36.60gf

 nên ta có bng xét du
g
x như sau:
Bài tp 2. Cho hàm s
yfx đạo hàm liên tc trên . Hàm
s
yfx
đồ th như hình v.
Lưu ý: Do các nghim đều là
nghim bi l, nên
(
)
'
g
x đổi
du khi đi qua mi nghim y.
Chính vì vy mà ta ch cn biết
du ca mt khong nào đó s
suy ra du các khong còn
li. Do hàm s liên tc, nên ch
cn biết du ti 1 đim, ta s
biết du khong cha đim
đó.
bài này, ta xét ti đim
()
32;x +¥.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 98
S cc tr ca hàm s

2
2hx f x x
A. 2. B. 4.
C.
3. D. 5.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
2
h22. 2.


x
xfxx
Da vào đồ th, ta có

2
2
1
h0 21
23.


x
xxx
xx
Phương trình trên ch có 3 nghim bi l
1, 3
xx
nên hàm s
hx ch có 3 đim cc tr.
Chú ý: Ta ch cn quan tâm
đến nghim bi l, nên trong
bài này ta b qua nghim x=0
ca phương trình
(
)
'0fx=
(là nghim bi chn nên đạo
hàm không đổi du khi qua
nghim này). Ta cũng không
cn xét đến phương trình
2
21xx

Bài tp 3. Cho hàm s
yfx
đồ th hàm s
yfx
như hình v:
Biết
0; 0 .
f
afc fb fe
S đim cc tr ca hàm s

2



gx f x m
A. 5. B. 7. C. 6. D. 8.
Hướng dn gii
Chn B.
T đồ th ca đạo hàm, ta có bng biến thiên sau:
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 99
Da vào bng biến thiên, ta thy
yfx
có 4 đim cc tr, suy ra hàm s
yfxm
cũng có 4 đim
cc tr
0
fxm có 4 nghim bi l phân bit. Khi
0; 0
f
afc fb fe thì đồ th
hàm s
yfx
ct trc hoành ti 3 đim phân bit nên đồ th hàm s
yfxm
cũng ct trc hoành
ti 3 đim phân bit.
Ta có
 
2
2..

 

g
x fxm gx fxmfxm
Cho


0
0
0



fxm
gx
fx m

1
2.
Phương trình

1
có 4 nghim phân bit, phương trình
2
có 3 nghim phân bit khác vi 4 nghim ca
phương trình

1 . Vy
g
x có 7 nghim (bi l) phân bit hay
g
x có 7 đim cc tr.
Bài tp 4. Cho hàm s
yfxđạo hàm liên tc trên
, hàm s
2
yfx đồ th như hình
dưới. S đim cc tr ca hàm s
y
fx
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có s đim cc tr ca hàm s
yfxbng vi s đim cc tr ca
2yfx . Vì hàm s
2yfx
có 2 đim cc tr nên hàm s
yfx
có 2 đim cc tr.
Bài tp 5. Cho hàm s
y
fx liên tc trên đồ th
2
yfx như hình v. S đim cc tr
ca hàm s
234yfx
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 100
A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
Hướng dn gii
Chn A.
Nhn xét: S đim cc tr ca hàm s
234
yfx bng vi s đim cc tr ca hàm s
y
fx
và bng vi s đim cc tr ca hàm s
2
yfx
. Ta có đồ th hàm s

2
yfx
ct trc hoành
ti 4 đim phân bit nên hàm s

2yfx có 4 đim cc tr. Vy hàm s

234
yfx có 4 đim
cc tr.
Dng 17. Biết được

f
x hoc bng xét du, bng biến thiên ca
f
x , tìm s đim cc tr ca
hàm n
Bài tp 1. Cho hàm s

y
fx
đạo hàm
3
412
f
xxx x
, .x
S đim cc tr ca
hàm s
24
g
xfx xm
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có

26 2 3 26
24 12 4 24 1gx x x x x x x x x



.

0
01
2.
x
gx x
x


Lp bng xét du

g
x
:
Da vào bng xét du, ta có hàm s

g
x
có 2 đim cc tiu.
Lưu ý: Khi làm trc nghim, ta có th lp bng xét du thu gn như sau:
Bài tp 2. Cho hàm s

yfx đạo hàm

4
2
12fx xx x
,
.x
S đim cc tr ca
hàm s
2
1gx f x x
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Hướng dn gii
Chn B.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 101
Ta có:

2
21 1gx x f x x



24
222
21 1 2 3xxx xx xx   
D thy

0gx
có 3 nghim đơn là
1
2, , 1
2
x
xx

nên hàm s có 3 đim cc tr.
Bài tp 3. Cho hàm s

yfx có bng xét du đạo hàm như sau:
S đim cc tr ca hàm s
 
32
3
6 2020
2
gx f x x x x
A. 3. B. 2.
C.
1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
2
32.gx f x x x


Nhn xét:

120.gg


Khi
2
1
x
x

thì


2
0
0
320
fx
gx
xx


.
Khi 12x thì


2
0
0
320
fx
gx
xx


.
Tc là
g
x
đổi du khi đi qua 2 đim 1x
2x
.
Vy hàm s
g
x
có hai đim cc tr.
Bài tp 4. Cho hàm s
yfx đạo hàm

2
2
12
f
xx xx
 vi
.x
Có bao nhiêu giá tr
nguyên dương ca tham s
m để hàm s
2
8
f
xxm có 5 đim cc tr?
A. 17. B. 16.
C.
14. D. 15.
Hướng dn gii
Chn D.
Đặt
2
8
g
xfx xm
.
Ta có:

2
12fx x xx
 suy ra
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 102
2
28 8
g
xxfxxm



2
222
28 8 1 8 8 2.xxxm xxmxxm







2
2
2
2
4
8101
0
802
8203
x
xxm
gx
xxm
xxm




Các phương trình

1 ,
2 ,
3 không có nghim chung tng đôi mt và
1 nếu có các nghim thì
nghim y là nghim bi chn.
Suy ra
g
x
có 5 đim cc tr khi và ch khi
2
3
đều có 2 nghim pn bit khác 4
16 0 16
16 2 0 18
16.
16 32 0 16
16 32 2 0 18
mm
mm
m
mm
mm








Do
m
nguyên dương và
16m
nên có 15 giá tr
m
cn tìm.
Bài tp 5. Cho hàm s
yfx đạo hàm

2
2
123 25fx x x x x mx
  vi mi
x . Có bao nhiêu s nguyên 20m  để hàm s
g
xfx đúng 5 đim cc tr?
A. 6. B. 7. C. 9. D. 5.
Hướng dn gii
Chn A.
Do tính cht đối xng qua trc Oy ca đồ th hàm s
f
x nên hàm s
g
xfx đúng 5 đim
cc tr
f
x
có 2 đim cc tr dương
0fx
có 2 nghim bi l phân bit và dương
*
.
Xét



2
2
1
2
0
30
2501.
x
x
fx
x
xmx



Để tha mãn
* ta có các trường hp sau:
+)
1 có nghim kép hoc vô nghim khi và ch khi
2
50 5 5mm
 .
Do m nguyên âm nên
2; 1; 0;1; 2m 
.
+)
1 có 2 nghim dương phân bit, trong đó có 1 nghim bng 1, nghim còn li khác 2.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 103
Ta có
1
nhn
1
x
là nghim khi
2
12.1. 50 3mm

. Khi
3m
, thế vào
1
ta thy
phương trình có 2 nghim dương phân bit là
1
x
5x
. Vy 3m
tha mãn.
+)
1
có 2 nghim dương phân bit, trong đó có 1 nghim bng 2, nghim còn li khác 1.
Nếu
1 nhn 2x là nghim thì
2
9
22.2. 50
4
mm
.
Trường hp này không có giá tr nguyên ca
m tha mãn.
Vy
3; 2; 1; 0;1; 2 .m 
Bài tp 6. Cho hàm s
y
fx
đạo hàm liên tc trên và bng xét du đạo hàm như sau:
Hàm s
42 64 2
3462312
g
xfxx xx x tt c bao nhiêu đim cc tiu?
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:

 

2
222
12 2 2 2 1 .gx xx f x x


 


Da vào bng xét du, ta
0, ; 2 2; .fx x

Ta có
2
2
222x nên
2
2
220.fx




Suy ra
2
22
22 10,.fx x x




Do đó

0
0
2
x
gx
x


, c 3 nghim đều là nghim bi l.
2
22
12 2 2 1 0fx x
  nên
g
x
cùng du vi
2
2hx xx
nên d thy hàm s
g
x có 2 đim cc tiu.
Bài tp 7. Cho hàm s
yfx có bng biến thiên như sau:
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 104
S cc đại ca hàm s

2
2
2
g
xfxx



A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có

 

22 2
2
1
4
2. 4 1 . 2 . 2 0 2 0
20.
x
gx x f xxfxx f xx
fxx



Da vào bng biến thiên, ta có

2
2
2
1
22
20
1
.
21
2
x
xx
fxx
x
xx




Da vào bng biến thiên ta có phương trình
0
01.fx x x

Khi đó
22
0
202 0.fxx xxx

0
20ac x nên phương trình này luôn có 2 nghim trái du là
00
12
18 18
11
;.
44 44
x
x
xx

 
Ta có
1
118
1
44
x
 
20
1181
,1
442
xx
 .
Ta có bng xét du ca
g
x
:
T đó suy ra hàm s

g
x ch có 2 đim cc đại.
Bài tp 8. Cho hàm s
y
fx liên tc trên , có bng biến thiên
f
x
như hình v dưới đây
S đim cc tr ca hàm s


353
12
3320
53
gx f x x x x x
trên đon
1; 2
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 105
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:


232
13 3 3.gx x f x x x




D thy khi

1; 2x 
thì
3
32;2xx
và khi y
3
33;1fx x

.
Suy ra
32
33 30fx x x
.
Du
""
xy ra khi

3
2
31
01
0
fx x
f
x


(vô lí).
Vy
32
33 30,1;2fx x x x
.
Khi đó

01gx x

(đều có 2 nghim đơn).
Bng xét du

,1;2gxx

Vy hàm s


353
12
3320
53
gx f x x x x x trên đon
1; 2 ch có 1 đim cc tr.
Bài tp 9. Cho hàm s

yfx đạo hàm
1245fxxxxx
 vi x . Có bao
nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để hàm s
g
xfxmx 4 đim cc tr?
A. 5. B. 6.
C.
7. D. 8.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:

x.
g
fx m


Cho
22
x0 0 65 68 0.gfxmxxxxm

 
Đặt

2
3tx , 0t , phương trình tr thành:

2
41 0 54 0tt m ttm
1.
Hàm s
g
xfxmx
có 4 đim cc tr khi và ch khi
1
có 2 nghim dương phân bit
25 4 4 0
9
50 4.
4
40
m
Sm
Pm



Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 106
Do
m
nguyên và
9
;4
4
m




nên
2; 1; 0;1; 2;3 .m 
Bài tp 10. Cho hàm s
yfx đạo hàm

2
8, 8;8.fx x x x

Có tt c bao nhiêu giá
tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
2
2
g
xfxmxmcó 2 đim cc tr?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.
Hướng dn gii
Chn D.
Hàm s
2
2
g
xfxmxm
xác định trên
8; 8
.
Đạo hàm

222
x8
g
fx m x x m

.
Hàm s
2
2
g
xfxmxm
có 2 đim cc tr khi
0gx
có 2 nghim phân bit và
g
x
đổi
du qua các nghim đó

1.
Ta có:
22 2 2
808
x
xm x x m
*.
Xét hàm s

2
8, 8;8.hx x x x




2
2
82
.
8
x
hx
x
Cho
02.hx x

Bng biến thiên ca hàm
hx:
Da vào bng biến thiên, suy ra
* ti đa 2 nghim hay
0gx
có ti đa 2 nghim.
Vy

2
22
10 4
0.
m
m
m

 
m nguyên nên
1;1 .m 
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 107
BÀI 3. GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT CA HÀM S
A. KIN THC CƠ BN CN NM
Cho hàm s
yfx xác định trên tp D.
+) S M được gi là giá tr ln nht (GTLN) ca hàm s
yfx
trên tp D nếu
f
xM
vi mi
x
D
và tn ti
0
x
D
sao cho

0
f
xM
.
Kí hiu:
max
D
M
fx
+) S m được gi là giá tr nh nht (GTNN) ca hàm s
yfx
trên tp D nếu
f
xm
vi mi
x
D và tn ti
0
x
D sao cho
0
f
xm
Kí hiu:

min
D
mfx
SƠ ĐỒ H THNG HÓA
S M được gi là giá tr ln nht (GTLN) ca hàm s
yfx
trên tp D nếu
f
xM vi mi
x
D và tn ti
0
x
D sao cho
0
f
xM.
Kí hiu:
max
D
M
fx
Cho hàm s
yfx
xác định
trên tp D
S m được gi là giá tr nh nht (GTNN) ca hàm s
yfx trên tp D nếu
f
xm
vi mi
x
D và tn ti
0
x
D sao cho
0
f
xm
.
Kí hiu:
min
D
mfx
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 108
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Tìm GTLN – GTNN ca hàm s y = f(x) trên mt khong
1. Phương pháp gii
Ta thc hin các bước sau
Bước 1. Tìm tp xác định (nếu đề chưa cho khong).
Bước 2. Tính

yfx
; tìm các đim mà đạo hàm bng không hoc không xác định.
Bước 3. Lp bng biến thiên
Bước 4. Kết lun
Lưu ý: Có th dùng máy tính cm tay để gii.
Bước 1. Để tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s
y
fx
trên min (a; b) ta s dng máy
tính Casio vi lnh MODE 7 (MODE 9 lp bng giá tr)
Bước 2. Quan sát bng giá try tính hin th, giá tr ln nht xut hin là max, giá tr nh nht xut
hin là min.
- Ta thiết lp min giá tr ca biến x Start a End b Step
19
ba
(có th làm tròn để Step đẹp).
Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu t lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyn máy tính v chế độ Radian.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s

652
121
1
352

f
xxxxx.Khng định nào sau đây đúng?
A.

17
max
30
fx B.

47
max
30
fx
C.

67
max
30
fx
D. Hàm s không tn ti giá tr ln nht
Hướng dn gii
Chn B
Tp xác định D
Ta có
54 4
22 1 121
  fx x x x x x
Khi đó
4
012101
 fx x x x
Bng biến thiên
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 109
Da vào bng biến thiên, ta thy

47
max
30
fx
ti
1
x
Bài tp 2. Gi a là giá tr ln nht ca hàm s

2
68
1
x
fx
x
trên khong
;1 . Khi đó giá tr ca
biu thc
2
68
1
a
P
a
bng
A.
22
5
B.
6
13
C.
58
65
D.
74
101
Hướng dn gii
Chn C
Hàm s liên tc trên khong

;1
Ta có


2
2
2
8128
1
xx
fx
x

Khi đó


2
2;1
08 1280
1
;1
2
x
fx x x
x

 

Bng biến thiên
Da vào bng biến thiên, ta thy


2
;1
68 58
max 8
165
a
fx P
a


Bài tp 3. Cho hàm s

2
2
1
1



x
x
yfx
x
x
. Trong các khng định sau, khng định nào đúng?
A.
min 1
fx B.

1
min
3
fx
C.

min 3
fx D. Hàm s không có giá tr nh nht
Hướng dn gii
Chn B
Tp xác định
D
Ta có

 
2
2
222
22
21221
222
1
1
11



 
xx xx
xx
yfx y
xx
xx xx
Do đó
2
02 20 1
 yx x
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 110
Bng biến thiên
Da vào bng biến thiên, ta thy

1
min
3
fx ti
1
x
Dng 2: Tìm GTLN và GTNN ca hàm s trên mt đon
1. Phương pháp gii
Bước 1.
Tính

f
x
Bước 2. Tìm các đim
;
i
x
ab mà ti đó
0
i
fx hoc
i
f
x không xác định
Bước 3. Tính
,,
i
f
afx fb
Bước 4. Tìm s ln nht M và s nh nht m trong các s trên.
Khi đó

;
max
ab
M
fx


;
min
ab
mfx
Chú ý:
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 111
+) Hàm s
yfx đồng biến trên đon [a; b] thì

max
min
f
xfb
f
xfa
+) Hàm s
yfx
nghch biến trên đon [a; b] thì

max
min
f
xfa
f
xfb
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s
2
1
x
y
x
. Giá tr ca


2
2
2; 3
2; 3
min max






yy bng
A. 16 B.
45
4
C.
25
4
D.
89
4
Hướng dn gii
Chn D
Ta có

2
3
0, 1
1

yx
x
, do đó hàm s nghch biến trên mi khong
;1 ; 1;
 Hàm s
nghch biến trên [2; 3].
Do đó




2; 3
2; 3
5
min 3 ; max 2 4
2
 yy yy
Vy


2
2
2
2
2; 3
2; 3
589
min max 4
24










yy
Bài tp 2. Gi M, m ln lượt là giá tr ln nht và nh nht ca hàm s
2
4
yx x
Giá tr ca biu thc

P
Mm bng
A.

221 B.
221 C.
21
D.
21
Hướng dn gii
Chn A
Tp xác định
2; 2D
Ta có

2
22
4
1,2;2
44



xxx
yx
xx

2
0
04
22;2
 

x
yxx
x

222; 20;22; 2 2yyyy
Vy
22, 2 22 2 2 2 1MmP
Bài tp 3. Giá tr nh nht ca hàm s
32
23
yx xm trên đon [0; 5] bng 5 khi m bng
A. 6 B. 10 C. 7 D. 5
Hướng dn gii
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 112
Chn A.
Hàm s xác định và liên tc trên
0; 5D
Ta có
2
0
06 60
1

 

x
D
yxx
x
D
0 ; 1 1; 5 175
f
mf m f m
D thy
501, fffm
nên

0; 5
min 1 1
fx f m
Theo đề bài

0; 5
min 5 1 5 6  fx m m
Bài tp 4. Gi A, B là giá tr nh nht, giá tr ln nht ca hàm s
2
1
x
mm
y
x
trên đon [2; 3]. Tt c
các giá tr thc ca tham s m để
13
2
AB
A. 1; 2mm B. 2
m
C. 2m D. 1; 2
mm
Hướng dn gii
Chn A
Hàm s đã cho liên tc trên đon [2; 3]
Ta có

2
2
1
0,
1


mm
ym
x
 
2
2
3
3;22
2


mm
Ay By m m
Do đó
2
2
13 3 13
2
22 2

 
mm
AB m m
2
1
360
2


m
mm
m
Bài tp 5. Biết hàm s
32
33211 yx mx m x (vi m là tham s) trên đon [-2; 0] đạt giá tr ln
nht bng 6. Các giá tr ca tham s m
A. 1m B. 0m C. 3
m D. 1m
Hướng dn gii
Chn D
1
0
12



x
y
x
m
21;01 yy
và theo bài ra

2; 0
max 6
y
nên giá tr ln nht không đạt ti 2; 0 xx. Do đó
giá tr ln nht đạt ti
1y hoc
12ym.
Ta có

2
133,12 12 21 ymymmm
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 113
- Trường hp 1: Xét
336 1mm
Th li vi
1m
, ta có

12;0
0
32;0



x
y
x
nên
1
m
là mt giá tr cn tìm.
- Trường hp 2: Xét


2
2
12 2 5 1
12 2 16
13
212 0
22






mm
mm
m
m

2
13
20 12 2 0
22
 mm mm nên (1) vô nghim
Dng 3: Tìm GTLN – GTNN ca hàm s y = |f(x)| trên đon [a; b]
1. Phương pháp gii
Thc hin theo các bước sau
Bước 1. Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s
f
x
trên đon
;ab
, gi s th tM, m.
Bước 2.
+) Tìm

;
max max ;
ab
yMm
+) Tìm

;
min
ab
y
- Trường hp 1:

;
.0min0
ab
Mm y
- Trường hp 2:

;
0min
ab
mym
- Trường hp 3:

;
0min
ab
M
yM M
Bước 3. Kết lun.
* Tìm tham s để GTLN ca hàm s y = |f(x)| trên đon [α, β] bng k
Thc hin theo các bước sau
Bước 1. Tìm


;;
max max ;
f
xAB
 
Bước 2. Xét các trường hp
+)
A
k tìm m, th li các giá tr m đó
+)
B
k
tìm m, th li các giá tr m đó
2. Bài tp
Bài tp 1.
Giá tr nh nht ca hàm s
32
92468 yx x x trên đon [-1; 4] bng
A. 48 B. 52 C. -102 D. 0
Hướng dn gii
Chn A
Bng biến thiên ca hàm s
32
92468 yx x x trên
1; 4
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 114
Suy ra bng biến thiên ca hàm s
32
92468 yx x x trên đon
1; 4
Vy giá tr nh nht ca hàm s
32
92468 yx x x trên đon
1; 4 bng 48.
Cách khác: Theo trường hp 3 thì 48 0 min 48 My
Bài tp 2: Gi S là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s m sao cho giá tr ln nht ca hàm s
2
1

x
mx m
y
x
trên đon [1; 2] bng 2.
S phn t ca tp S là
A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Hướng dn gii
Chn D
Xét hàm s

2
1


x
mx m
yfx
x
Ta có


2
2
01;2
2
0
21;2
1



x
xx
y
x
x
Mt khác
 
21 34
1;2
23


mm
ff
Do đó

1; 2
2134
max max ;
23



mm
y
- Trường hp 1:

1; 2
3
21
2
max 2
5
2
2


m
m
y
m
+) Vi
33417
2
236

m
m
(loi)
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 115
+) Vi
5347
2
236

m
m (tha mãn)
- Trường hp 2:

1; 2
2
34
3
max 2
10
3
3


m
m
y
m
+) Vi
2217
2
326

m
m
(tha mãn)
+) Vi
10 2 1 17
2
326

m
m (loi)
Vy có hai giá tr ca m tha mãn.
Bài tp 3. Gi S là tp các giá tr nguyên ca tham s m sao cho giá tr ln nht ca hàm s

42
1
14 48 30
4
fx x x x m trên đon [0; 2] không vượt quá 30. Tng các phn t ca S bng
A. 108 B. 120 C. 210 D. 136
Hướng dn gii
Chn D
Xét hàm s

42
1
14 48 30
4
gx x x x m trên đon [0; 2]
Ta có
 


3
60;2
28 48 0 2 0; 2
40;2




x
gx x x gx x
x
Để



0; 2
030
30 30
max 30 0 16
14 30
230





g
m
gx m
m
g
0;1; 2;...; 15; 16m
Tng các phn t ca S là 136.
Bài tp 4. Biết giá tr ln nht ca hàm s
2
1
4
2
yxxm bng 18.
Mnh đề nào sau đây đúng?
A.
05m
B.
10 15
m
C. 510m D. 15 20
m
Hướng dn gii
Chn D
Xét hàm s

2
1
4
2
gx x x liên tc trên tp xác định [-2; 2]
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 116
Ta có
  
22
10 10,2;2
44




xx
gx gx x
xx

2
22
0
422;2
4
 

x
xx x
xx



51423
2;2 ;2
222
gg g


Do đó


2; 2
5
max
2
gx khi 2x , suy ra giá tr ln nht ca hàm s bng
5
2
m
Theo bài ra
5
18 15,5
2
 mm
. Vy
15 20
m
Dng 4: Tìm điu kin tham s để GTLN ca hàm s y = |f(x) + g(m)| trên đon [a; b] đạt GTNN
1. Phương pháp gii
Thc hin các bước sau
Bước 1. Tìm


;
;
max ; min
ab
ab
f
xfx

Bước 2. Gi M là giá tr ln nht ca
yfxgm thì
 
max ;
M
gm gm

22
 

g
mgm gm gm

Du bng xy ra khi và ch khi

g
mgm

Áp dng bt đẳng thc
2

g
mgm

22


gm gm

Du bng xy ra khi và ch khi
0

gm gm

Bước 3. Kết lun min
2
M
khi

2
gm
2. Bài tp
Bài tp 1:
Biết rng giá tr ln nht ca hàm s
2
24
yx xm trên đon [-2; 1] đạt giá tr nh nht,
giá tr ca tham s m bng
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
Hướng dn gii
Chn B
Đặt
2
2
f
xx x
Ta có
22; 0 1 2;1

 fx x fx x
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 117
20;13; 1 1 fff
Do đó


2; 1
2; 1
max 3; min 1
fx fx
Suy ra

2; 1
max max 5 ; 1
ymm
515 1
2
22


mm mm
Du bng xy ra khi và ch khi

51
3
510



mm
m
mm
(tha mãn)
Bài tp 2: Để giá tr ln nht ca hàm s
2
234
yxxm đạt giá tr nh nht thì m bng
A.
3
2
m
B.
5
3
m
C.
4
3
m
D.
1
2
m
Hướng dn gii
Chn A
Tp xác định

0; 2D
Đặt

2
2,
f
xxxxD
.
Ta có
 
2
1
01
2


x
f
xfxx
xx
00;20;11fff
Suy ra

3435
max max 3 4 ; 3 5
2


D
mm
Py mm
53 3 4
1
22


mm
Du bng xy ra

3435
3
2
53 3 4 0



mm
m
mm
(tha mãn)
Suy ra giá tr ln nht ca hàm s là nh nht khi
3
2
m
Bài tp 3. Giá tr nh nht ca hàm s
2
,25yfxm x x mx
đạt giá tr ln nht bng
A. 2 B. 5 C. 8 D. 9
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
min , 0, 5,fxm f m m
Xét
2m ta có
22
,2 2 5 2 2 5 2 5, fx x x x x x x x
Du bng xy ra ti
0x . Suy ra
min , 2 5,
fx x
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 118
Do đó



min , 5,
max min , 5
min , 2 5,



fxm m
fxm
fx x
, đạt được khi
2
m
Tng quát:
2
yax bxcmx
Trường hp 1:
.0ac
max minyc
Đạt được khi
mb
Bài tp 4. Giá tr nh nht ca hàm s
2
,47
f
xm x x mx đạt giá tr ln nht bng
A. 7 B. -7 C. 0 D. 4
Hướng dn gii
Chn C
Phương trình
2
470xx
luôn có hai nghim ti du
12
0
x
x
Trường hp 1: Nếu
0m
Ta có
1
min , , 0,fxm fxm mx m
Xét
0m
ta có
2
,0 4 7 0,fx x x x . Du bng xy ra ti
1, 2
x
x .
Suy ra
min , 0 0,fx x
Do đó



min , 0,
max min , 0
min , 0 0,
fxm m
fxm
fx x



khi 0
m
Trường hp 2: Nếu 0m
Ta có
22
min , , 0, max min , 0 fxm fx m mx m fxm
So sánh c hai trường hp thì
max min , 0
fxm khi 0
m
Trường hp 2:
.0maxmin 0 ac y Đạt được khi 0
m
Dng 5: TÌM GTLN-GTNN khi cho đồ th - bng biến thiên
Bài tp 1. Hàm s
yfx liên tc trên và có bng biến thiên như hình bên dưới
Biết
48ff, khi đó giá tr nh nht ca hàm s đã cho trên bng
A. 9 B.

4f C.
8
f
D. -4
Hướng dn gii
Chn C
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 119
T bng biến thiên ta có
4, ;0fx f x
8, 0;fx f x
.
Mt khác
48ff
suy ra

;x
thì
8fx f
Vy
min 8
fx f
Bài tp 2. Cho hàm s
yfx xác định trên tp hp
3
;1 1;
2
D

và có bng biến thiên như
sau
Khng định đúng là
A.
max 0
D
fx
; không tn ti
min
D
f
x
B.
max 0
D
fx
;
min 5
D
fx
C.
max 0
D
fx
;
min 1
D
fx
D.
min 0
D
fx ; không tn ti
max
D
f
x
Hướng dn gii
Chn B
Da vào bng biến thiên thì
 
3
max 1 0; min 5
2
D
D
fx f fx f




Bài tp 3. Cho hàm s
yfx
liên tc trên đon
1; 3
và có đồ th như hình vn dưới.
Gi
Mm ln lượt là giá tr ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên đon
1; 3 . Giá tr ca
M
m bng
A.
1 B. 3 C. 4 D. 5
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 120
Hướng dn gii
Chn D
Da vào đồ th suy ra
33; 2 2Mf mf
Vy
5Mm
Bài tp 4. Cho đồ th hàm s
yfx
như hình v
Hàm s
yfx đạt giá tr ln nht trên khong
1; 3 ti
0
x
. Khi đó giá tr ca
2
00
2 2019xx bng
bao nhiêu?
A.
2018 B. 2019 C. 2021 D. 2022
Hướng dn gii
Chn B
Da vào đồ th ca hàm s
yfx
ta có bng biến thiên như sau
Da vào bng biến thiên suy ra hàm s
yfx đạt giá tr ln nht trên khong

1; 3 ti
0
2
x .
Vy
2
00
2 2019 2019 xx
Dng 6. Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s lượng giác
1. Phương pháp gii
Ghi nh:
Điu kin ca các n ph
- Nếu
sin
11
cos

tx
t
tx
- Nếu
2
cos
01
cos


tx
t
tx
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 121
- Nếu
2
sin
01
sin

tx
t
tx
- Nếu
sin cos 2.
4




txxsnix
22 t
Bước 1. Đặt n ph và tìm điu kin cho n ph
Bước 2. Gii bài toán tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s theo n ph
Bước 3.
Kết lun (Chn đáp án)
2. Bài tp
Bài tp 1.
Giá tr ln nht M và giá tr nh nht m ca hàm s 2cos2 2sin
yxx
A.
9
;4
4
Mm
B. 4; 0
Mm
C.
9
0;
4
Mm
D.
9
4;
4
Mm
Hướng dn gii
Chn A
Ta có
22
2cos2 2sin 2 1 2sin 2sin 4sin 2sin 2yxx xx xx
Đặt

sin , 1; 1txt , ta được
2
422 ytt
Ta có

1
0820 1;1
4
yt t


14
10
19
44




y
y
y
nên
9
;4
4
Mm
Bài tp 2. Tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
2
cos cos 1
cos 1
xx
y
x
bng
A.
3
2
B.
5
2
C.
7
2
D. 3
Hướng dn gii
Chn B
Đặt
cos 0 1tx t
, ta được

2
1
1

tt
yft
t
vi
01
t



2
2
2
0, 0; 1
1

tt
ft t
t
nên



 
0; 1
0; 1
3
min 0 1; max 1
2
ft f ft f
Suy ra tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s đã cho bng
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 122




0; 1
0; 1
35
min max 1
22
ft ft
Bài tp 3. Giá tr ln nht M ca hàm s
42
cos 3 sin 2
yx x
A.
23M B. 3
M
C.
5
3
4
M
D. 33M
Hướng dn gii
Chn A
Đặt
2
cos 0 1txt, ta được
2
31 2 yt t vi
0; 1t
Ta có

3
230 0;1
2
 yt t
 
35
0 2 3; 3; 1 3
24





yy y
nên
23M
Bài tp 4. Cho hàm s
2
sin 1 sin 2 2
sin 2

xm x m
y
x
(vi m là tham s thc).
Giá tr ln nht ca hàm s đạt giá tr nh nht khi m bng
A.
3
2
B.
1
2
C.
3
2
D.
1
2
Hướng dn gii
Chn A
Xét

2
sin sin 2
sin 2

xx
fx
x
Đặt
sin 1 1tx t, ta được

2
2
2
tt
ft
t
vi
1; 1t
Ta có



2
2
2
01;1
4
040
41;1
2



t
tt
ft t t
t
t
 
4
1;12;01
3
 fff
nên

1; 1
max 1
ft

1; 1
min 2
ft
Hay
2
sin sin 2
21,
sin 2


xx
x
x
Mt khác
 
2
sin sin 2
,2 1
sin 2


xx
ymfxmfx
x
Do đó

2; 1
max max max 2 , 1 max 2 , 1


yfxm mm mm
21
21
1
max
222



mm
mm
y
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 123
Du bng đạt được khi

21
3
2
210



mm
m
mm
Bài tp 5. Giá tr nh nht ca biu thc 12cos 12sin
P
xx bng
A.
21 B. 31 C. 1 D. 23
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
2
6 4 sin cos 2 1 2 sin cos 4sin cos
P
xx xx xx
Đặt
sin cos 2.sin
4




txx x
vi
2
1
2sincos
2

t
txx
Xét
2
22
2
13 13
484 ;
22
64 22 2 1
13 13
48
22
 

 
 

tt khit t
yP t t t
tkhit
13 13
88 ;
22
13 13
8
22
 


 

tkhit t
y
tkhi t
Bng biến thiên
Da vào bng biến thiên, suy ra

2
2; 2
min 4 2 3 3 1


ft
min 3 1P
Bài tp 6. Giá tr ln nht ca hàm s
sin cos 2
f
xx x trên đon
0;
A.

0;
5
max
4
y
B.

0;
max 1y
C.

0;
max 2
y
D.

0;
9
max
8
y
Hướng dn gii
Chn D
Đặt
22
sin cos2 1 2sin 1 2 tx x x t, vi
0; 0; 1xt
Ta được
2
21
f
tttvi
0; 1t
Ta có
 
1
410 0;1
4
 ft t t
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 124
Do
 
19
01; ;10
48




ff f nên


0; 1
9
max
8
ft
Vy giá tr ln nht ca hàm s

0;
9
max
8
y
Dng 7. Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s khác
Bài tp 1. Giá tr ln nht ca hàm s
3
22
6
41
11
xx
y
xx





bng
A.
5
2
B. -5 C.
9
2
D. 3
Hướng dn gii
Chn A
Do
2
2
1
12
2
1

x
xx
x
Đặt
2
1
2
1

x
tt
x
Khi đó
3
461yt t vi
11
;
22




t
2
12 6 0,
yt t nên hàm s đồng biến trên
11
;
22
Do đó
11
;
22
15
max
22







yy
Bài tp 2. Giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s 19
yx x ln lượt là
A.
2; 2 B. 4; 2 C. 4; 2 D. 4; 2 2
Hướng dn gii
Chn D
Tp xác định

1; 9D
Ta có

11
01 951;9
212 9


yxxx
xx
1922;54 yy y nên max 4; min 2 2yy.
Nhn xét: vi hàm s yxa xb
;0
 axbab thì
2
0
2.

y
yab xaxb

2
2
2


yab
yabxa xb ab
Suy ra
2 ab y ab du bng luôn xy ra.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 125
Bài tp 3. Giá tr nh nht ca hàm s

13 13
 yx x x x
bng
A.
5
2
B. – 2 C. – 4 D. 2
Hướng dn gii
Chn A
Tp xác định ca hàm s

1; 3D
Đặt
 
2
2
4
13 42 13 13
2

t
tx xt xxxx
Do

2
42 13 4, 1;3 txxx, t đó suy ra 22t

Bài toán quy v tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s

2
2
2

t
g
tt
trên đon

2; 2
.
Ta có
10 1 2;2
 gt t t
Li có

5
22;22;1
2
 ggg
Suy ra giá tr nh nht bng
5
2
Nhn xét: Vi hàm s
yxa xb
;0
 axbab thì
2
2. yab xaxbab
 ab y ab
Dng 8. Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca biu thc nhiu biến
Bài tp 1. Cho biu thc
22
22
x
xy y
P
x
xy y


vi
22
0xy
. Giá tr nh nht ca P bng
A. 3. B.
1
3
.
C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn B.
Nếu 0y thì P =1. (1)
Nếu
0y
thì
2
22
2
22
1
.
1
xx
yy
xxyy
P
xxyy
xx
yy
 
 

 


 
 
 
Đặt
x
t
y
, khi đó
2
2
1
() .
1
tt
Pft
tt



Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 126
2
2
22
22
() 0 2 2 0 1.
(1)
t
ft t t
tt



Bng biến thiên
Da vào bng biến thiên ta
1
() .
3
Pft
(2)
T (1) và (2) suy ra
11
() min
33
Pft P .
Bài tp 2. Cho hai s thc x,y tha mãn 0; 0xy 1
x
y
. Giá tr nh nht và giá tr ln nht ca
biu thc
11
x
y
P
yx


ln lượt là
A.
1
2
và 1.
B. 0 và 1. C.
2
3
và 1.
D. 1 và 2.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
2
(1) (1)( )2 122
.
11(1)(1) 12
x
yxx yy xy xy xy
P
y x x y xy x y xy



Đặt
txy
ta được
22
.
2
t
P
t
0; 0 0.xy t
Mt khác
11
12 .
44
x y xy xy t
Khi đó, bài toán tr thành tìm giá tr ln nht ca hàm s
22
()
2
t
gt
t
trên
1
0; .
4
Xét hàm s
22
()
2
t
gt
t
xác định và liên tc trên
1
0; .
4
Ta có
2
6
() 0
(2 )
gt
t

vi
1
0;
4
t




hàm s ()
g
t nghch biến trên đon
1
0; .
4



Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 127
Do đó
1
0;
4
1
0;
4
12
min ( )
2
43
min
3
max ( ) (0) 1
max 1
gt g
P
gt g
P














.
Bài tp 3. Cho x, y là các s thc tha mãn
22
(3)(1)5xy
 . Giá tr nh nht ca biu thc
2
34741
21
yxyxy
P
xy


bng
A. 3. B.
3
.
C.
114
11
.
D.
23
.
Hướng dn gii
Chn A.
2222
(3)(1)5 6250.xy xyxy 
222
22 2
(3 4 7 4 1) ( 6 2 5)
21
44 24(2)(2)4
21 21
yxyxy xyxy
P
xy
y xyx x y yx x y
xy xy




 
Đặt
2.tx y
2
22 2 2
(12)(3)(1) (3)(22)xy xy



2
( 2 5) 25 0 2 10.xy xy
Ta được
2
44
( ) ,0 10.
11
tt
Pft t t
tt



Xét
2
2
1 (0;10)
4
() 1 0 ( 1) 4
3 (0;10)
(1)
t
ft t
t
t



114
(0) 4; (10) ; (1) 3 min 3
11
ff f P khi
1t
.
Bài tp 4.
Gi
000
,,
x
yz là ba s thc dương sao cho biu thc
222
381
28
2( ) 4 3
P
x
yz
xy yz
xyz xz



đạt giá tr nh nht.
Tng
000
x
yz bng
A. 3. B. 1. C. 33. D.
3
2
.
Hướng dn gii
Chn B.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 128
Ta có
22
381
222
22()3
P
x
yz
xy yz
yxz



381
2( ) ( ) 3
x
yz xyz xyz

  
.
Đặt
0xyzt. Khi đó
18
() ,( 0)
23
Pft t
tt

.
Ta có
'
22
3( 1)(5 3)
() 0 1
2( 3)
tt
f
tt
tt


.
Bng biến thiên
Suy ra
3
2
P  . Du “=” xy ra
1
1
4
2
1
2
xyz
xz
yz
y
yxz






.
Do đó
000
111
1.
442
xyz
Bài tp 5.
Cho x,y là các s thc dương tha mãn điu kin
2
30
23140
xxy
xy


.
Tng giá tr ln nht và nh nht ca biu thc
223
322
P
xy xy x x
 bng
A. 8. B. 0. C. 12. D. 4.
Hướng dn gii
Chn B.
Vi điu kin bài toán , 0xy
2
2
33
30
x
xxy y x
x
x
 .
Li có
2
39
23140 23 1405 1490 1;
5
xy x x x x x
x




.
T đó
2
23
33 9
3225Pxx xx x xx
x
xx




.
Xét hàm s
'
2
99 9 9
() 5 ; 1; () 5 0; 1;
55
fx x x f x x
xx
 
 
 
 
.
Suy ra hàm s đồng biến trên
9
1;
5



Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 129
9
(1) ( ) 4 ( ) 4 max min 4 ( 4) 0
5
ffxf fx P P




.
Bài tp 6.
Cho x, y, z là ba s thc thuc đon
1; 9 ,
x
yx z. Giá tr nh nht ca biu thc
1
10 2
yyz
P
yx yz zx





bng
A.
11
.
18
B.
1
.
3
C.
1
.
2
D.
1.
Hướng dn gii
Chn C.
Tht vy
2
11 2
10
11
1
ab ab
ab
ab


đúng do
1ab .
Du bng xy ra khi và ch khi a = b hoc ab = 1.
Áp dng bt đẳng thc trên
111 1 1 1
2
10 1 1 10
1
P
xzxx
x
yyzy
y



 




.
Đặt

1; 3
x
t
y
 . Xét hàm s
2
11
()
10 1
ft
tt

trên đon
1; 3
.
''432
22 2
21
( ) ; ( ) 0 2 24 2 100 0
(10 ) (1 )
t
ft ft t t t t
tt


.
3
( 2)( 24 50) 0 2tt t t
do
3
24 50 0, 1;3tt t .
Bng biến thiên
Suy ra
min
1
2
P khi và ch khi
4
4
2
1
xy
zx
x
y
yz
x
zy
y
Dng 9. Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… khi biết bng
biến thiên hoc đồ th ca hàm s y = f(x)
1. Phương pháp gii
Thc hin theo mt trong hai cách
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 130
Cách 1:
Bước 1.
Đặt t = u(x).
Đánh giá giá tr ca t trên khong K.
Chú ý: Có th s dng kho sát hàm s, bt đẳng thc để đánh giá giá tr ca t = u(x).
Bước 2. T bng biến thiên hoc đồ th ca hàm s cho ta giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s y
= f(t).
Bước 3. Kết lun.
Cách 2:
Bước 1.
Tính đạo hàm
'' '
() (()).yuxfux
Bước 2. Tìm nghim
'' '
() (())yuxfux =0.
Bước 3. Lp bng biến thiên.
Bước 4. Kết lun v giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s
(), (())yfxyfux
,
( ( )) ( )...yfux hx
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s
()yfx
có bng biến thiên như sau
Hàm s
(1)yfx
có giá tr nh nht trên đon
0; 2
bng
A. (2)f . B. (2)
f
. C. (1)
f
. D. (0)
f
.
Hướng dn gii
Chn D.
Đặt
1, 0;2 0;1.tx x t
Da vào bng biến thiên ta có hàm s ()yft
có giá tr nh nht

0;1
min ( ) (0).ft f
Bài tp 2. Cho hàm s ()yfx đồ th như hình v sau. Khi đó hàm s
2
(2 )yf x đạt giá tr nh
nht trên
0; 2


bng
A. (2)f . B. (2)
f
. C. (1)
f
. D. (0)
f
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 131
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt
2
2tx
. T
22
0; 2 0 2 2 2 0 0; 2xxxt



.
Da vào đồ th, hàm s ()yft có giá tr nh nht

0;2
min ( ) (2).ft f
Bài tp 3. Cho hàm s
42
()yfx axbxc xác định và liên tc trên và có bng biến thiên sau
Giá tr nh nht ca hàm s
(3)yfx trên đon
0; 2
A. 64. B. 65. C. 66. D. 67.
Hướng dn gii
Chn C.
Hàm s có dng
42
()
f
xaxbxc
. T bng biến thiên ta có
42
'
(0) 3 3 3
(1) 2 2 2 ( ) 2 3
420 1
(1) 0
fc c
fabcbfxxx
ab a
f








.
Đặt
3, 0; 2 3;5tx x t
.
Da vào đồ th, hàm s ()yft đồng biến trên đon
3; 5 .
Do đó

0;2 3;5
min ( 3) min ( ) (3) 66fx ft f .
Dng 10. Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s
,
yfux yfux hx Khi
biết đồ th ca hàm s
'
()yfx
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 132
Bài tp 1. Cho hàm s
()yfx
đạo hàm và liên tc trên .
Biết rng đồ th hàm s
'
()yfx như dưới đây.
Lp hàm s
2
() ()
g
xfxxx.
Mnh đề nào sau đây đúng?
A. (1) (1)
g
g .
B.
(1) (1)
g
g .
C.
(1) (2)
g
g
.
D.
(1) (2)
g
g .
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
''
() () 2 1
g
xfx x.
T đồ th hàm s
'
()yfx đường thng 2 1yx
ta có
'
() 0gx
'
1
() 2 1 1
2
x
fx x x
x


.
Bng biến thiên
Ta ch cn so sánh trên đon
1; 2 . Đường thng 21yx
đường thng đi qua các đim
(1;1)A
,
(1; 3)B
,
(2;5)C
nên
đồ th hàm s
'
()yfx
đường
thng 2 1yx ct nhau ti 3
đim.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 133
Dng 11. ng dng ca giá tr ln nht và nh nht trong các bài toán thc tế
Bài tp 1. Mt cht đim chuyn động theo quy lut
23
3
s
tt
. Thi đim t (giây) mà ti đó vn tc

/vm s
ca cht đim chuyn động đạt giá tr ln nht là
A. t = 2s B. t = 5s C. t = 1s D. t =3s
Hướng dn gii
Chn C
Ta có
  
2
2
63 3 1 33,vt s t t t vt t t

Giá tr ln nht ca

3vt
khi
1t
.
Bài tp 2.
Mt vt chuyn động theo quy lut
32
1
6
3
s
tt
vi t (giây) là khong thi gian tính t khi
vt bt đầu chuyn động và s (mét) là quãng đường vt di chuyn được trong khong thi gian đó. Hi
trong khong thi gian 7 giây, k t khi bt đầu chuyn động, vn tc ln nht ca vt đạt được bng bao
nhiêu?
A. 180 (m/s) B. 36 (m/s) C. 144 (m/s) D. 24 (m/s)
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
2
12vt s t t t

2120 6vt t t

636;00;735vvv nên vn tc ln nht đạt được bng 36 (m/s).
Bài tp 3.
Mt loi thuc được dùng cho mt bnh nhân và nng độ thuc trong máu ca bnh nhân được
giám sát bi bác sĩ. Biết rng nng độ thuc trong máu ca bnh nhân sau khi tiêm vào cơ th trong t gi
được cho bi công thc
 
2
/
1
t
ct mg L
t
. Sau khi tiêm thuc bao lâu thì nng độ thuc trong máu
ca bnh nhân cao nht?
A. 4 gi B. 1 gi C. 3 gi D. 2 gi
Hướng dn gii
Chn B
Xét hàm s
 
2
0
1
t
ct t
t




2
2
2
10;
1
0
10;
1
t
t
ct
t
t



Bng biến thiên
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 134
Vi t = 1 (gi) thì nng độ thuc trong máu ca bnh nhân cao nht.
Bài tp 4.
Người ta xây mt b cha nước vi dng khi hp ch nht không np có th tích bng
3
500
3
m . Đáy b là hình ch nht có chiu dài gp đôi chiu rng. Giá thuê nhân công để xây b
600.000
đồng /
2
m
. Hãy xác định kích thước ca b sao cho chi phí thuê nhân công thp nht. Chi phí đó
A. 75 triu đồng B. 85 triu đồng C. 90 triu đồng D. 95 triu đồng
Hướng dn gii
Chn C
Gi

x
m là chiu rng ca đáy b, khi đó chiu dài ca đáy b
2
x
m

hm là chiu cao b
B có th tích bng
2
2
500 250
2
33
xh h
x

Din tích cn xây

222
2
250 500
2226 2 2
3
Sxhxhxx x x
x
x
 
Xét hàm
  
2
2
500 500
2, 0; 4 0 5fx x x f x x f x x
x
x


Bng biến thiên
Do đó

0;
min 5 150fx f


Chi phí thuê nhân công thp nht khi din tích xây dng là nh nht và bng
min
150S
Vy giá thuê nhân công thp nht là 150.600000 = 90.000.000 đồng.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 135
Bài tp 5. Bác Hoàng có mt tm thép mng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định ct ra mt hình
qut tròn tâm O, qun ri hàn ghép hai mép ca hình qut tròn li để to thành mt đồ vt dng mt nón
tròn xoay (tham kho hình v). Dung tích ln nht có th ca đồ vt mà bác Hoàng to ra bng bao nhiêu?
(b qua phn mi hàn và độy ca tm thép)
A.
3
128 3
27
dm
B.
3
128 3
81
dm
C.
3
16 3
27
dm
D.
3
64 3
27
dm
Hướng dn gii
Khi hàn hai mép ca hình qut tròn, độ dài đường sinh ca hình nón bng bán kính ca hình qut tròn,
tc là
4OA dm
Chn A
Th tích ca hình nón

22
11
.. .16 .
33
Vrh hh

 vi
04h
Ta có



2
143
.16 3 0
33
Vh h Vh h


Da vào bng biến thiên, suy ra th tích ln nht ca hình nón là
3
128 3
27
dm
.
Bài tp 6.
Người ta làm chiếc thùng phi dng hình tr, kín hai đáy, vi th tích theo yêu cu là
3
2 m
.
Hi bán kính đáy R và chiu cao h ca thùng phi bng bao nhiêu để khi làm thì tiết kim vt liu nht
A.
1
;8
2
R
mh m B. 1; 2
R
mh m C.
1
2;
2
R
mh m D.
1
4;
5
R
mh m
Hướng dn gii
Chn B
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 136
T gi thiết ta có
2
2
2
2VRh h
R


Din tích toàn phn ca thùng phi là
22
2
222
tp
SRhR R
R





Xét hàm s

2
2
fR R
R
 vi
0;R 
Ta có

3
22
21
2
2
R
fR R
RR

01fR R

Bng biến thiên
Suy ra din tích toàn phn đạt giá tr nh nht khi
12Rh

Vy để tiết kim vt liu nht khi làm thùng phi thì 1 ; 2
R
mh m
.
Bài tp 7.
Mt đường dây đin được ni t mt nhà máy đin A đến mt hòn đảo C như hình v.
Khong cách t C đến B là 1 km. B bin chy thng t A đến B vi khong cách là 4km. Tng chi phí
lp đặt cho 1km dây đin trên bin là 40 triu đồng, còn trên đất lin là 20 triu đồng. Tính tng chi p
nh nht để hoàn thành công vic trên (làm tròn đến hai ch s sau d
u phy)
A. 120 triu đồng B. 164,92 triu đồng C. 114,64 triu đồng D. 106,25 triu đồng
Hướng dn gii
Chn C
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 137
Gi M là đim trên đon thng AB để lp đặt đường dây đin ra bin ni vi đim C
Đặt


2
2
414178,0;4AM x BM x CM x x x x
Khi đó tng chi phí lp đặt là
2
.20 40 8 17yx x x (đơn v: triu đồng)

2
22
8172 4
4
20 40. 20.
817 817
xx x
x
y
xx xx


 

2
12 3
081724
3
yxx xx

Ta có
 
12 3
80 20 3 114,64; 0 40 17 164,92; 4 120
3
yyy





Do đó chi phí nh nht để hoàn thành công vic là 114,64 triu đồng.
Dng 12. Tìm m để
;0Fxm
có nghim trên tp D
1. Phương pháp gii
Thc hin theo các bước sau
Bước 1.lp tham s m và đưa v dng
f
x
g
m
Bước 2.
Kho sát s biến thiên ca hàm s
f
x
trên D
Bước 3. Da vào bng biến thiên để xác định giá tr tham s
A
m
sao cho đường thng
yg
m
ct đồ
th hàm s
yfx
Bước 4. Kết lun
Chú ý:
+)Nếu hàm s
yf
x
liên tc và có giá tr ln nht và giá tr nh nht trên D thì phương trình

f
x
g
m
có nghim khi và ch khi
min max
D
D
f
xgm fx
+)Nếu bài toán yêu cu tìm tham s để phương trình có k nghim phân bit, ta ch cn da vào bng biến
thiên để xác định điu kin sao cho đường thng
yg
m
nm ngang ct đồ th hàm s
yf
x
ti k
đim phân bit
2. Bài tp
Bài tp1:
Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m trong đon
100;100
để phương trình
21
x
xm
có nghim thc?
A. 100 B.101 C. 102 D. 103
Hướng dn gii
Chn D
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 138
Điu kin
1x 
Đặt
2
0
1
1
t
tx
xt


Ta được phương trình
22
21 21tt m m t t
Xét hàm s
2
21, 0
f
tttt

220 1
f
tt t

Bng biến thiên
T bng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghim khi
2 100 2mm

Vy có 103 giá tr nguyên m tha mãn
Bài tp 2. Cho phương trình
22
221 20mx x x x
( m là tham s). Biết rng tp hp các giá
tr ca tham s m để phương trình có nghim thuc đon
0;1 2 2
đon
;ab
. Giá tr ca biu thc
2Tab
A.
4T
B.
7
2
T
C.
3T
D.
1
2
T
Hướng dn gii
Chn A
Đặt
2
22txx
Xét hàm s

2
22tx x x
trên đon
0;1 2 2

2
1
01
22
x
tx t x
xx



 

02;11;1223tttnên
1; 3t
Yêu cu ca bài toán tương đương vi phương trình
2
12mt t

có nghim thuc đon

2
2
1; 3
1
t
m
t

có nghim thuc đon
1; 3
(1)
Xét hàm s

2
2
1
t
ft
t
trên đon
1; 3
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 139



2
2
22
0, 1;3
1
tt
ft t
t


khi hàm s đồng biến trên đon
1; 3
Để phương trình (1) đã cho có nghim thì


1;3
1;3
min max
f
tm
f
t

17
13
24
fmf m
Vy
17
;4
24
ab T .
Bài tp 3. Giá tr nh nht ca tham s m để h phương trình
44
2xy
x
ym

,xy
có nghim là
0
m
Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0
20; 15m 
B.
0
12; 8m

C.
0
3
;0
2
m



D.
0
19
;
24
m



Hướng dn gii
Chn D
Ta có

44
1
2
2
xy
xym


T (1) suy ra
2yx
thay vào (2) ta được (2)

4
4
2
x
xm
(3)
Xét hàm s

4
4
2
f
xx x
có tp xác định D
 
33
33
442 0 2 2 1
f
xx x fx x x x xx


Bng biến thiên
H đã cho có nghim thc khi và ch khi phương trình (3) có nghim thc
Da vào bng biến thiên ta được
0
19
22;
24
mm




.
Dng 13. Tìm m để bt phương trình

; 0;; 0;, 0;; 0F xm F xm F xm F xm
có nghim
trên tp D
1. Phương pháp gii
Thc hin theo các bước sau
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 140
Bước 1. lp tham s m và đưa v dng
g
m
f
x
hoc
g
m
f
x
hoc

g
m
f
x
hoc

g
m
f
x
Bước 2. Kho sát s biến thiên ca hàm s
f
x
trên D
Bước 3. Da vào bng biến thiên xác định các giá tr ca tham s m
Bước 4. Kết lun
Chú ý: Nếu hàm s

yf
x
liên tc và có giá tr ln nht; giá tr nh nht trên D thì
+) Bt phương trình

g
m
f
x
có nghim trên D
max
D
g
m
f
x
+) Bt phương trình

g
m
f
x
nghim đúng
min
D
x
Dgm fx
+) Bt phương trình

g
m
f
x
có nghim trên
min
D
Dgm fx
+) Bt phương trình

g
m
f
x
nghim đúng
max
D
x
Dgm fx
2. Bài tp
Bài tp 1:
Các giá tr ca tham s m để bt phương trình
4
0
1
xm
x

có nghim trên khong
;1
A.
5m B. 3m  C. 1m
D. 3m
Hướng dn gii
Chn B
Bt phương trình đã cho tương đương vi
4
1
x
m
x
Xét hàm s
4
1
yx
x

trên khong
;1



2
22
14
4
1
11
x
y
xx





3;1
0
1;1
x
y
x



Bng biến thiên
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 141
T bng biến thiên, để bt phương trình
4
0
1
xm
x

có nghim trên khong
;1
thì 3m
.
Bài tp 2.
Gi S là tp hp các giá tr nguyên ca tham s
0;2019m
để bt phương trình

3
22
10xm x
nghim đúng vi mi
1;1x 
. S các phn t ca tp S là
A. 1 B. 2020 C. 2019 D. 2
Hướng dn gii
Chn C
Đặt
2
1tx
, vi
1;1 0;1xt
Bt phương trình đã cho tr thành
32 32
10 1tt m mtt

(1)
Yêu cu ca bài toán tương đương vi bt phương trình (1) nghim đúng vi mi
0;1t
Xét hàm s
32 2
132
f
ttt
f
ttt



00;1
0
2
0;1
3
t
ft
t




223
011;
327
ff f




nên

0;1
max 1ft
Do đó bt phương trình (1) nghim đúng vi mi
0;1t
khi và ch khi 1m
Mt khác m là s nguyên thuc
0;2019
nên
1;2;3;...;2019m
Vy có 2019 giá tr ca m tha mãn bài toán.
Bài tp 3. Cho hàm s
yf
x
liên tc trên
1; 3
và có
đồ th như hình v.
Bt phương trình
17
f
xx xm
có nghim
thuc

1; 3
khi và ch khi
A. 7m
B. 7m
C. 22 2m 
D. 22 2m 
Hướng dn gii
Chn A
Xét hàm s
17Px x
trên đon
1; 3
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 142
Ta có
 
2
82 1.7 8 1 7 16 4PxxxxP 
Du bng xy ra khi
3x
Suy ra

1;3
max 4P
ti
3x
(1)
Mt khác da vào đồ th ca

f
x
ta có

1;3
max 3fx
ti 3x
(2)
T (1) và (2) suy ra


1;3
max 1 7 7fx x x

ti 3x
Vy bt phương trình

17
f
xx xm
có nghim thuc
1; 3
khi và ch khi


1;3
max 1 7 7mfxx xm

.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 143
BÀI 4. TIM CN
A. KIN THC CƠ BN CN NM
Đường thng
0
yy được gi là đường tim cn ngang (gi tt là tim cn ngang) ca đồ th hàm s
yfx nếu

0
lim

x
f
xy
hoc
0
lim

x
y
Đường thng
0
x
x được gi là đường tim cn đứng (gi tt là tim cn đứng) ca đồ th hàm s
yfx
nếu ít nht mt trong các điu kin sau được tha mãn:
00
lim ; lim


 
xx xx
fx fx ;
00
lim ; lim


 
xx xx
fx fx
.
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1. Xác định các đưng tim cn da vào định nghĩa
1. Phương pháp gii
Tim cn ngang
Đường thng
0
yyđường tim cn ngang ca đồ th hàm s
yfx nếu
0
lim

x
f
xy
hoc
0
lim

x
f
xy
Tim cn đứng
Đường thng
0
x
x đường tim cn đứng ca đồ th hàm s
y
fxnếu mt trong các điu kin sau
được tha mãn:
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 144
00
lim ; lim


 
xx xx
fx fx
;
00
lim ; lim


 
xx xx
fx fx
2. Bài tp
Bài tp 1:
Các đường tim cn ca đồ th hàm s
21
1
x
y
x
to vi hai trc ta độ mt hình ch nht có
din tích bng
A. 2 (đvdt) B. 3 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 4 (đvdt)
Hướng dn gii
Chn A
Tp xác định
\1D
Đồ th hàm sđường tim cn đứng
1
x
và tim cn ngang 2y
. Khi đó hình ch nht to bi
hai đường tim cn và hai trc ta độ có các kích thước là 1 và 2 nên có din tích
1.2 2S  (đvdt)
Bài tp 2: Biết các đường tim cn ca đường cong

2
61 2
:
5
xx
Cy
x

và trc tung ct nhau to
thành mt đa giác

H
. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.

H
là mt hình ch nht có din tích bng 8
B.

H là mt hình vuông có din tích bng 4
C.

H là mt hình vuông có din tích bng 25
D.

H là mt hình ch nht có din tích bng 10
Hướng dn gii
Chn D
Tp xác định

;2 2; \5



Ta có
2
61 2
lim lim 5 5
5
xx
xx
yy
x
 


là tim cn ngang ca
C
2
61 2
lim lim 7 7
5
xx
xx
yy
x
 


là tim cn ngang ca
C
55
lim ; lim 5
xx
yx


  là tim cn đứng ca
C
Vy đồ th có ba đường tim cn là 5; 7; 5yyx cùng vi trc tung to thành mt hình ch nht có
kích thước
25 nên có din tích bng 10.
Dng 2: Tim cn ca đồ th hàm s
ax b
y
cx d
1. Phương pháp gii
Để tn ti các đường tim cn ca đồ th hàm s
ax b
y
cx d
thì 0c
0ad bc
Khi đó phương trình các đường tim cn là
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 145
+ Tim cn đứng
d
x
c

+ Tim cn ngang
a
y
c
2. Bài tp
Bài tp 1:
Giá tr ca tham s thc m để đồ th hàm s
21 1mx
y
x
m
đường tim cn ngang
3y
A. 1m B. 0m C. 2m
D. 3m
Hướng dn gii
Chn C
Điu kin để đồ th hàm s tim cn là
2
21102 10mm m m m
Phương trình đường tim cn ngang là
21ym
nên có 213 2mm
 .
Bài tp 2: Tp hp các giá tr thc ca tham s m để đồ th hàm s
1
1
x
y
mx
có tim cn đứng là
A.
B.
\0
C.
\1
D.
\0;1
Hướng dn gii
Chn D
Điu kin để đồ th hàm s tim cn là
00
10 1
mm
mm




Bài tp 3. Tp hp các giá tr ca tham s m để đồ th hàm s
3
1
x
y
mx
không có tim cn đứng
A.
B.
1
0;
3



C.
1
3

D.
0
Hướng dn gii
Chn B
Điu kin để đồ th hàm s không có tim cn đứng là
0
0
1
13 0
3
m
m
m
m

Bài tp 4: Cho hàm s
1
ax b
y
x
. Biết đồ th hàm s đã cho đi qua đim
0; 1A và có đường tim
cn ngang là
1y . Giá tr ab bng
A.
1 B. 0 C. 3 D. 2
Hướng dn gii
Chn B
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 146
Điu kin để đồ th hàm s tim cn là
0ab
Do đồ th hàm s đi qua đim
0; 1A
nên 1b
Đồ th hàm sđường tim cn ngang là
1ya a
 (tha mãn điu kin)
Vy
0ab
Bài tp 5: Biết rng đồ th ca hàm s

3 2019
3
axa
y
xb


nhn trc hoành làm tim cn ngang và
trc tung làm tim cn đứng. Khi đó giá tr ca
ab
bng
A.
3 B. -3 C. 6 D. 0
Hướng dn gii
Chn D
Điu kin để đồ th hàm s tim cn là
3 3 2019 0ab a

Phương trình các đường tim cn là
330 3
330 3
xb b b
ya a a






(tha mãn điu kin)
Vy
0ab
Bài tp 6: Giá tr thc ca tham s m để đường tim cn đứng ca đồ th hàm s
1
2
x
y
x
m
đi qua đim
1; 2A
A.
4m
B.
2m 
C.
4m
D.
2m
Hướng dn gii
Chn B
Điu kin để đồ th hàm s đường tim cn là 20 2mm

Đường tim cn đứng là
12
22
mm
xm  
(tha mãn)
Bài tp 7: Cho hàm s
1
2
mx
y
x
m
vi tham s
0m
. Giao đim ca hai đường tim cn ca đồ th hàm
s thuc đường thng nào dưới đây?
A.
20xy
B.
20xy
C.
20xy
D.
2yx
Hướng dn gii
Chn C
Điu kin để đồ th hàm s đường tim cn là
2
210mm

.
Phương trình các đường tim cn là
2;
x
my m
nên ta độ giao đim ca hai đường tim cn là

2;Imm thuc đưng thng
2
x
y
Bài tp 8: Tt cc giá tr thc ca tham s m để đồ th hàm s
45x
y
x
m
có tim cn đứng nm bên
phi trc tung là
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 147
A.
0m
5
4
m
B.
0m
C.
0m
3
4
m
D.
0m
Hướng dn gii
Chn A.
Điêu kin để đồ th hàm s có tim cn là
5
450
4
mm

Phương trình đường tim cn đứng là
x
m
Để tim cn đứng nm bên phi trc tung thì
0m
Vy điu kin cn tìm là
0
5
4
m
m
Dng 3: Tim cn ca đồ th hàm s phân thc hu t
1. Phương pháp gii
- Tim cn ca đồ th hàm s

A
y
f
x
vi A là s thc khác 0 và
f
x đa thc bc 0n .
- Đồ th hàm s

A
y
f
x
luôn có tim cn ngang
0y
.
- Đường thng
0
x
x là tim cn đứng ca đồ th hàm s

A
y
f
x
khi và ch khi
0
x
là nghim ca

f
x hay
0
0fx
- Tim cn ca đồ th hàm s

f
x
y
g
x
vi
,
f
xgx các đa thc bc khác 0.
- Điu kin để đồ th hàm s

f
x
y
g
x
có tim cn ngang là bc
f
x
bc
g
x .
- Điu kin để đưng thng
0
x
x tim cn đứng ca đồ th hàm s


f
x
y
g
x
0
x
là nghim ca
g
x nhưng không là nghim ca

f
x hoc
0
x
là nghim bi n ca
g
x , đồng thi là nghim bi m
ca
f
x mn
2. Bài tp
Bài tp 1:
Tt c các giá tr thc ca tham s m để đồ th hàm s
2
21
21
mx x
y
x
có tim cn đứng là
A. 8m B. 0m C. 4m
D. 8m 
Hướng dn gii
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 148
Chn D
Tp xác định
1
\
2
D




. Đặt
2
21
g
xmx x

Để đồ th hàm s có tim cn đứng thì
1
2
x
không là nghim ca
g
x
1
020 8
24
m
gm




Bài tp 2: Biết đồ th hàm s
2
1
26
x
y
x
mx n

(m, n là tham s) nhn đường thng
1
x
là tim cn
đứng, giá tr ca
mn
bng
A.
6 B. 10 C. -4 D. -7
Hướng dn gii
Chn C
Điu kin:
2
260xmxn
. Đặt
2
26gx x mx n

Do
1
x
là nghim ca
1
f
xx
nên đồ th hàm s đã cho nhn đường thng
1
x
là tim cn đứng
thì
1
x
phi là nghim kép ca phương trình

2
2
12 70
27
1
0
5
210
60
gmn
nm
m
gx
n
mm
mn






Vy
4mn.
Bài tp 3: Biết đồ th hàm s
2
2
21
6
mnx mx
y
x
mx n


nhn trc hoành và trc tung làm hai tim cn.
Giá tr mn bng
A. 8 B. 9 C. 6 D. -6
Hướng dn gii
Chn B
Điu kin
2
60xmxn
Phương trình đường tim cn ngang ca đồ th hàm s
2ymn
20mn (1)
Đặt
2
(2 ) 1
f
xmnxmx
2
6gx x mx n

Nhn thy

00f vi mi m, n nên đồ th nhn trc tung
0x
là tim cn đứng thì
00 60 6gnn. Kết hp vi (1) suy ra
3m
.
Vy
9mn
Bài tp 4: Cho hàm s
2
2
1
49
ax x
y
x
bx


đồ th
C (a, b là các s thc dương và
4ab
). Biết rng

C có tim cn ngang yc và có đúng mt tim cn đứng. Giá tr ca tng 324Tab c bng
A. 8 B. 9 C. 6 D. 11
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 149
Hướng dn gii
Chn D
Điu kin
2
490xbx
Phương trình tim cn ngang ca đồ th hàm s
44
aa
yc

Đồ th

C
có mt tim cn đứng nên ta có các trường hp sau:
Trường hp 1: Phương trình
2
490xbx có nghim kép
0
x
x
và không là nghim ca
2
10ax bx
2
144 0 12bb
. Vì
0b
nên
11
12
312
bac

Th li ta có hàm s
2
2
1
1
3
4129
xx
y
x
x


(tha mãn)
Vy
11
3. 12 24. 11
312
T 
Trường hp 2:
2
490xbx có hai nghim phân bit và mt trong hai nghim tha mãn
2
10ax x. Điu này không xy ra vì
4ab
.
Chú ý: a; b > 0 nên mu s (nếu có) hai nghim đều âm, t s hai nghim trái du.
Dng 4 Tim cn ca đồ thm s vô t
Cho hàm s vô t

yfx
- Tìm tp xác định D ca hàm s.
- Để tn ti tim cn ngang ca đồ th hàm s
y
fx thì trong tp xác định D ca hàm s phi cha ít
nht mt trong hai kí hiu - hoc + và tn ti ít nht mt trong hai gii hn
lim
x
y

hoc
lim
x
y

hu
hn.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Biết đồ th hàm s
2
24y x ax bx
có tim cn ngang 1y
Giá tr
3
2ab bng
A. 56 B. -56 C. -72 D. 72
Hướng dn gii
Chn B.
Điu kin
2
40ax bx
Để đồ th hàm s có tim cn ngang thì
0a
Khi đó, ta có
2
lim lim 2 4
xx
y x ax bx
 

Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 150
2
2
2
44
lim lim 2 4 lim 1
42
xx x
axbx
y x ax bx
ax bx x
  



40
4
1
4
2
a
a
b
b
a




. Vy
3
256ab
Chú ý: Để lim 1
x
y

 thì bc t phi bng bc mu nên phi có 40a
. Khi đó lim
2
x
b
y
a


Bài tp 2: Có bao nhiêu giá tr ca tham s m để đồ th hàm s
2
23
21
mx x x
y
x

có mt đường
tim cn ngang là
2y ?
A.
0 B. Vô s C. 1 D. 2
Hướng dn gii
Chn D
Tp xác định
1
\
2
D



Ta có
11
lim ; lim
22
xx
mm
yy



Đồ th hàm s có mt đường tim cn ngang là
1
2
3
2
2
15
2
2
m
m
y
mm

Dng 5: Biết đồ th, bng biến thiên ca hàm s
yfx
, xác định tim cn ca đồ th hàm s

A
y
gx
vi A là s thc khác 0,

g
x xác định theo
f
x
1. Phương pháp gii
- Xác định tim cn đứng:
+ S tim cn ca đồ th hàm s

A
y
g
x
là s nghim ca phương trình
0gx .
+ Da vào đồ th, bng biến thiên ca hàm s
y
fx
để xác định s nghim ca phương trình
0gx để suy ra s đường tim cn đứng.
- Xác định tim cn ngang: da vào nhánh vô tn ca đồ th, bng biến thiên ca hàm s để xác định.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s
y
fx liên tc trên và có bng biến thiên như hình v dưới đây.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 151
Tng s đường tim cn ca hàm s

1
1
y
fx
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn D.
S đường tim cn đứng ca đồ th là s nghim ca phương trình
10 1fx fx

.
T bng biến thiên ta thy phương trình có hai nghim phân bit nên đồ th hàm s

1
1
y
fx
hai đường tim cn đứng.
Ta có

111
lim
1314
x
fx



;

111
lim
1112
x
fx


nên đồ th hàm s có hai đường tim cn
ngang là
1
4
y
1
2
y .
Vy đồ th hàm s

1
1
y
fx
có bn đường tim cn.
Bài tp 2. Cho hàm s
yfx xác định, liên tc trên và có bng biến thiên như hình v bên dưới.
Tng s tim cn ngang và tim cn đứng ca đồ th hàm s

3
1
3
y
fx x
A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Hướng dn gii
Chn A.
Đặt
3
tx x, ta có khi
x
 thì t  và khi
x
 thì t .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 152
Mt khác ta có
2
310,tx x

nên vi mi
t
phương trình
3
x
xt
có duy nht mt
nghim x.
S đường tim cn đứng ca đồ th là s nghim ca phương trình
30 3ft ft
.
T bng biến thiên ta thy phương trình có duy nht mt nghim nên đồ th hàm s

3
1
3
y
fx x
có mt tim cn đứng.
Ta có


3
11
lim lim 0
3
3
xt
ft
fx x
 


;


3
11
lim lim 0
3
3
xt
ft
fx x
 

nên đồ th hàm s

3
1
3
y
fx x

có mt tim cn ngang là
0y
.
Vy đồ th có hai đường tim cn
Bài tp 3. Cho hàm s bc ba
32
,,,f x ax bx cx d a b c d đồ th như hình v dưới đây.
Đồ th hàm s


2
1
43
gx
fx

có bao nhiêu đường tim cn đứng và tim cn ngang?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Hướng dn gii
Chn C.
Đặt
2
4tx
, ta có khi
x

thì
t 
.
Khi đó


1
lim lim 0
3
xt
gx
ft
 

nên 0y
là tim cn ngang ca đồ th hàm s
g
x .
Mt khác
 
2
22
2
42
6
43043
0
44
x
x
fx fx
x
x



Đồ th hàm s
g
x có ba đường tim cn đứng.
Vy đồ th hàm s
g
x có bn đường tim cn.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 153
Dng 6: Biết đồ th, bng biến thiên ca hàm s
yf
x
, xác định tim cn ca đồ th hàm s


x
y
gx
vi

x
là mt biu thc theo x,
gx
là biu thc theo
f
x
1. Phương pháp gii
- Da vào đồ th hàm s
y
fx
tìm nghim ca phương trình
0gx
và xác định biu thc
g
x
.
- Rút gn biu thc


x
g
x
và tìm tim cn đứng, tim cn ngang.
Chú ý:
- Điu kin tn ti ca
x
.
- S dng tính cht nếu đa thc
g
x có nghim là
0
x
x
thì
01
.
g
xxxgx , đó
1
g
x mt
đa thc.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s bc ba
32
f
xaxbxcxd
đồ th như hình v.
Đồ th hàm s

 
2
2
32 1
x
xx
gx
x
fx fx



có bao nhiêu
đường tim cn đứng?
A. 4. B. 6.
C. 3. D. 5.
Hướng dn gii
Chn C.
Điu kin xác định
 


2
1
1
00
0
1
x
x
xfx
fx fx
fx




.
Xét phương trình
2
0fx fx
 
01
12
fx
fx
.
Da vào đồ th ta thy
- Phương trình (1) có hai nghim phân bit
1
1xx
(loi) và 2x
(nghim kép).
- Phương trình (2) có ba nghim phân bit
1
x
,
2
1; 2xx ,
3
2xx
.
Khi đó
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 154
   
2
22
123
121
f
x fx fx fx axx x x xx xx  

Suy ra


2
123
1
2
x
gx
ax x x x x x x x

,
trong đó
1
1x ,
2
1; 2x ,
3
2x nên đồ th hàm s
ygx có ba tim cn đứng là 2x ;
2
x
x
;
3
x
x .
Bài tp 2. Cho hàm s bc ba
32
f
xaxbxcxd
đồ th như hình v dưới đây.
Đặt

 
2
2
2
xx
gx
f
xfx
. Đồ th hàm s
ygx
có bao nhiêu đường tim cn đứng?
A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.
Hướng dn gii
Chn A.
Điu kin xác định
 

2
0
20
2
fx
fx fx
fx

.
Ta có
 

2
0
20
2
fx
fx fx
fx

.
Da vào đồ th ta có
0fx
có hai nghim
1
0xx
1
x
(nghim kép).

21
3
;1
20
1
xx x
fx x
xx



.
Vy biu thc
2
22f x fx fx fx

2
2
123
1.axx x xxx xx .
Khi đó ta có

 

2
22
123
1
21
xx
gx
f
xfxax xxxxxx


.
Vy đồ th hàm s có bn đường tim cn đứng.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 155
Bài tp 3. Cho
f
x
là hàm đa thc bc 6 có bng biến thiên như sau
Đồ th hàm s

 
2
343
2
xxx
gx
fx fx



có bao nhiêu đường tim cn đứng?
A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.
Hướng dn gii
Chn A.
Điu kin

0
2
fx
fx
.
Ta có


2
2
343 31xxx x x;
 

0
.20
2
fx
fx fx
fx


.
Da vào bng biến thiên, ta có
0fx
có nghim là 1
x
; 2x (nghim kép); 3x
(nghim kép)

22
12 3fx ax x x

vi
0a .
2fx
có hai nghim

1
2
1
2;3
xx
xx


nên
12
.
f
xxxxxpx
vi
p
x
là mt đa thc
bc 4 và

0,px x .
Khi đó


2
12
1
2.
gx
ax xx xx px

.
Vy đồ th hàm s

y
gx có ba đường tim cn đứng.
Chú ý: Do f(x) là hàm đa thc bc 6 nên f’(x) là hàm đa thc bc 5.
Bài tp 4. Cho hàm s

y
fx là hàm đa thc bc 6 tha mãn
31 20f
3
330,2fa a a a. Đồ thm s
y
fx
như hình v.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 156
S đường tim cn đứng ca đồ th hàm s


3
1
32 3
x
gx
f
xxx

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt
3
32 3hx f x x x. Điu kin
0hx
.
Ta có
2
3233hx f x x

,
2
021hx f x x

.
Đặt
2tx, ta được

2
43
f
tt t

. (*)
V đồ th hàm s
2
43yt t vào cùng h trc có đồ th hàm s
yft
ta được hình v sau
Da vào đồ th ta thy (*) có ba nghim là
1; 3; 4tt ta

.
Suy ra phương trình
0hx
có nghim đơn
1; 1; 2 2xxxab

.
Ta có bng biến thiên ca

hx như sau
13120hf
 
3
32
32323361220hb f a a a f a a a a a
vi mi
4a nên phương trình
0hx có hai nghim phân bit
12
1; 1; 1xx xx .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 157
Vy đồ th hàm s
ygx
có hai tim cn đứng.
Dng 7: Bin luôn s đường tim cn ca đồ th hàm s phân thc

f
x
y
gx
, vi
f
x
gx
các đa thc
1. Phương pháp gii
Điu kin đề đồ th hàm s

f
x
y
g
x
có tim cn ngang khi và ch khi bc
f
x
bc
g
x
. Khi đó đồ
th hàm s

f
x
y
g
x
đúng mt đường tim cn ngang.
Điu kin để đồ th hàm s

f
x
y
g
x
có tim cn đứng
0
x
x
Trường hp 1:
0
x
x
là nghim ca phương trình
0gx
nhưng không là nghim ca phương trình
0fx
.
Trường hp 2:
0
x
x
là nghim bi n ca phương trình
0gx
, đồng thi là nghim bi m ca
phương trình
0fx thì nm .
Ta có
 
01
.
m
f
xxxfx
vi
1
f
x
không có nghim
0
x
x

01
.
n
g
xxxgx
vi
1
g
x
không có nghim
0
x
x . Khi đó






01 1
01 0 1
.
..
m
nnm
fx xx fx fx
y
gx
x
xgx xx gx


nên
0
x
x tim cn đứng ca đồ th hàm s đã cho.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Gi S là tp các giá tr nguyên dương ca tham s m để đồ th hàm s
22
2
23
x
y
x
xm m

ba tim cn. Tng các giá tr ca tp S bng
A. 6. B. 19. C. 3. D. 15.
Hướng dn gii
Chn C.
Điu kin
22
230xxmm .
Ta có lim 0
x
y

 đồ th hàm s luôn có mt tim cn ngang 0y
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 158
S đường tim cn đứng ca hàm s đã cho là s nghim khác -2 ca phương trình
22
230xxmm
nên để đồ th hàm s
22
2
23
x
y
x
xm m

có ba tim cn thì phương trình
22
230xxmm
phi có hai nghim phân bit khác -2.
2
2
313 313
130
22
30
0, 3
mm
m
mm
mm








.
Do m nguyên dương nên
1; 2m
.
Vy tng các giá tr ca tp S bng 3.
Bài tp 2. Tng tt c các giá tr thc ca tham s m để đồ thm s
2
2
32
x
m
y
xx
đúng hai đường
tim cn là
A. -5 B. 4 C. -1 D. 5
Hướng dn gii
Chn A.
Điu kin
1; 2xx
.
Vì lim 1
x
y

nên đồ th luôn có mt đường tim cn ngang 1y
vi mi m.
Ta có
2
1
32
2
x
xx
x

.
Xét
2
f
xxm
. Để đồ th hàm sđúng hai đường tim cn thì
f
x
phi nhn 1
x
hoc
2x là nghim hay

10
10 1
40 4
20
f
mm
mm
f






.
Vi 1m  , ta có hàm s
2
2
11
32 2
x
x
y
xx x


nên đồ th có hai đường tim cn là 2; 1
x
y
(tha mãn).
Vi
4m

, ta có hàm s
2
2
42
32 1
xx
y
x
xx


nên đồ th có hai đường tim cn là 1; 1
x
y
(tha mãn).
Vy
1; 4S 
nên tng các giá tr m bng -5.
Bài tp 3. Tính tng tt c các giá tr nguyên ca tham s m để đồ th hàm s
2
2
32
5
xx
y
xmxm


không
đường tim cn đứng
A. -12. B. 12. C. 15. D. -15.
Hướng dn gii
Chn D.
Điu kin
2
50xmxm.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 159
Đặt
22
32, 5fx x x gx x mxm 
.
Ta có

1
0
2
x
fx
x

là nghim đơn ca t thc.
Để đồ th không có tim cn đứng, ta có các trường hp sau
Trường hp 1. Phương trình
0gx
vô nghim
2
4200 226 226mm m  
.
Do
m nên
6; 5;...;2m 
Trường hp 2.
0fx
nhn đồng thi
1
x
2x
làm nghim
150
3
42 50
mm
m
mm



.
Th li, ta có
2
2
32
1
32
xx
y
xx



, khi đó đồ th hàm s 1y
không có tim cn loi.
Vy các giá tr nguyên ca m để đồ th không có tim cn đứng là
6; 5;...;2;3m 
nên tng bng
-15.
Bài tp 4. Tp hp các giá tr thc ca tham s m để đồ th hàm s

22
21
214 4 1
x
y
mx x x mx

đúng mt đường tim cn là
A.
1; 0
B.
0
C.
;1 0
D.
;1 1; 
Hướng dn gii
Chn B.
Điu kin
2
2
210
44 10
mx x
xmx


.
- Vi
0m
, hàm s có dng
2
1
41
y
x
.
Đồ th hàm sđúng mt tim cn ngang 0y
.
Do đó
0m là mt giá tr cn tìm.
- Vi
0m .
Ta có lim 0
x
y

nên đồ th hàm s có mt tim cn ngang 0y
.
Để đồ th hàm sđúng mt tim cn thì
+ Trường hp 1. Hai phương trình
2
210fx mx x

2
4410gx x mx

cùng vô
nghim
2
10
1
11
440
m
m
m
m





vô nghim
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 160
+ Trường hp 2. Phương trình

22
214 4 10mx x x mx

có nghim duy nht là
1
2
x
. Khi đó
1
2
x
là nghim ca mt trong hai phương trình
0fx
hoc
0gx
0
0
4
1
12 10
m
m
m
m



.
Do
0m
nên
1m 
.
Th li, vi
1m  thì hàm s


22 2
21 1
214 41 2121
x
y
xx xx xx x

 
Khi đó, đồ th hàm s đã cho có các tim cn đứng là
1
12,
2
xx
 1m không tha mãn.
Vy tp hp tham s m cn tìm là
0m
.
Dng 8: Bin lun s đường tim cn ca đồ th hàm s cha căn thc
1. Phương pháp gii
Thc hin theo các bước sau
Bước 1. Tìm tp xác định ca hàm s.
Bước 2. Xác định các đường tim cn.
- Tim cn ngang
+ Điu kin cn: Để đồ th hàm s cha căn thc có tim cn ngang thì trong tp xác định phi có các
khong
;a hoc

;b  .
+ Điu kin đủ là: Tn ti mt trong các gii hn
lim
x
a

hoc
lim
x
b

thì đường thng ya
hoc
yb là tim cn ngang ca đồ th hàm s đã cho.
* Tim cn đứng: Tn ti giá tr
0
x
để mt trong các gii hn
0
lim
xx
y
 hoc
0
lim
xx
y
 thì
0
x
x
tim cn đứng ca đồ th hàm s đã cho
2. Bài tp mu
Bài tp 1.
Tt c các giá tr thc ca tham s m để đồ th hàm s
2
4
3
mx
y
x
đúng ba tim cn là
A.
4
9
m
B.
0m
C.
4
0
9
m
D.
m
Hướng dn gii
Chn A.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 161
Điu kin
2
40
3
mx
x

.
Để đồ th hàm s có tim cn ngang thì
0m .
Khi đó tp xác định ca hàm s

22
;;\3D
mm





.
Ta có
2
4
lim
3
x
mx
m
x

;
2
4
lim
3
x
mx
m
x


nên đồ th hàm s
có hai tim cn ngang là
ym
Để tn ti tim cn đứng
3
x
thì
24
3
9
m
m
 .
Kết hp li ta có
4
9
m .
Nếu
0m
thì
2
40mx
Bài tp 2. Tt c các giá tr thc ca tham s m để đồ th hàm s

2
2
13
12
x
xx
y
xmxm


đúng hai
đường tim cn là
A. m B.
1
2
3
m
m
m



C.
2
3
m
m
D.
1
2
m
m

Hướng dn gii
Chn D.
Điu kin

2
2
30
3; 0
1; 2
120
xx
xx
xxm
xmxm





.
Tp xác định
;3 0; \1; 2Dm
Ta có
lim 0, 0
x
ymDy


là tim cn ngang ca đồ th hàm s.
Để đồ th hàm sđúng hai đường tim cn thì phi có mt đường tim cn đứng.
- Vi
3m  thì
;3 0; \1D  .
Khi đó, ta có hàm s

2
2
2
13 1
21
11 3
xxx
y
xx
x
xxx




.
Do đó
1
lim
x
y

1
lim
x
y

nên
1
x
là tim cn đứng ca đồ th hàm s 3m tha mãn.
- Vi
3m 
, ta có
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 162



2
2
11 1
2
13 1 1
lim lim lim
12 43
21 3
xx x
xxx
y
xmxm m
xm x x x





1
x
 không là tim cn đứng ca đồ th hàm s.
Để đường
2xm
là tim cn đứng thì
23 1
20 2
mm
mm





.
Khi đó
(2)
lim
xm
y


(tùy theo m) nên
2xm

là tim cn đứng khi
1
2
3
m
m
m


.
Kết hp c hai trường hp, ta có
1
2
m
m

.
Bài tp 3. Tt c các giá tr thc ca tham s m để đồ th hàm s
2
1yx mx
 có tim cn ngang là
A. 1m B. 01m C. 1m
D. 1m 
Hướng dn gii
Chn C.
Trường hp 1. Vi 0m
thì hàm s 1yx
nên đồ th không có tim cn ngang. Do đó 0m
không phi giá tr cn tìm.
Trường hp 2. Vi
0m
thì hàm s có tp xác định là
11
;D
mm


nên không tn ti lim
x
y

lim
x
y

đồ th không có tim cn ngang.
Do đó
0m không phi giá tr cn tìm.
Trường hp 3. Vi
0m
thì hàm s có tp xác định là D
.
Xét
2
lim 1
x
xmx

.
Xét
2
2
2
11
lim 1 lim
1
xx
mx
xmx
xmx
 



.
Để đồ th hàm s có tim cn ngang thì
10 1mm
 .
Bài tp 4. Tp tt c các giá tr thc ca tham s m để đồ th ca hàm s
2
1
32
x
y
mx mx

có bn
đường tim cn phân bit là
A.
0;  B.
9
;
8




C.
8
;
9



D.

8
;\1
9




Hướng dn gii
Chn D.
Điu kin
2
320mx mx. (*)
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 163
Trường hp 1. Vi
0m
, ta có
1
2
x
y
nên đồ th không có đường tim cn.
Do đó
0m không phi giá tr cn tìm.
Trường hp 2. Vi
0m .
Phương trình
2
320mx mx
2
980, 0mm m

nên
2
12
320 ;mx mx x x x (vi
12
,
x
x là hai nghim ca phương
trình
2
320mx mx
) nên đồ th hàm s không có tim cn ngang, ch
có ti đa hai tim cn đứng
Nếu
0
thì hàm s
có tp xác định là
D 
Do đó
0m không phi giá tr cn tìm.
Trường hp 3. Vi
0m
.
Xét phương trình
2
320mx mx.
- Nếu
2
8
9800
9
mm m
. Hàm s xác định trên
.
Khi đó
2
320,mx mx x nên đồ th hàm s không có tim cn đứng mà ch có hai tim cn
ngang là
1
y
m

1
lim
x
m

1
lim
x
m

.
- Nếu
2
8
980
9
mm m .
Khi đó, hàm s tr thành
2
32 32
22 3
82418
xx
y
x
xx



nên đồ th hàm s ch có mt tim cn
đứng và hai tim cn ngang.
- Nếu
2
8
980
9
mm m .
Hàm s xác định trên các khong

1
;
x

2
;x
.
Khi đó đồ th hàm s có hai tim cn ngang là
1
y
m
 .
Để đồ th hàm s đã cho có bn đường tim cn thì đồ th hàm s phi
có hai đường tim cn đứng.
1
x
là nghim ca t
1
f
xx nên để đồ th có hai tim cn
đứng thì
1
x
không phi là nghim ca phương trình
2
320mx mx 320 1mm m .
Vy giá tr ca m cn tìm là
8
9
1
m
m
.
Nếu
1
x
là nghim ca
phương trình
0gx
,
do phương trình
0gx
có hai nghim phân bit
nên phương trình

0gx
có mt nghim
na
1xa thì

1.
g
xmx xa
.
Khi đó hàm s có dng

1
1.
x
y
mx x a

nên ch có mt tim cn
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 164
đứng là
x
a
.
Bài tp 5.
Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để đồ th hàm s

2
11
12
x
y
x
mx m


có hai
tim cn đứng?
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Hướng dn gii
Chn B.
Điu kin

2
1
120
x
xmxm


.
Đặt
2
12
f
xx mxm
Để đồ th hàm s có hai đường tim cn đứng thì phương trình
0fx
có hai nghim phân bit
12
,1xx
.
Trường hp 1.
f
x có nghim
110 2xf m  .
Khi đó hàm s có dng
2
11
34
x
y
xx


có tp xác định là
4;D

nên ch có mt tim cn
đứng.
Trường hp 2.
f
x
có hai nghim phân bit

12 1 2
12
0
,1 110
2
xx x x
xx




2
526
180
526
21 10 2 526
12
2
3
m
mm
m
mm m
m
m
m









Do
m nên 1; 0mm
Dng 9: Bin lun s đường tim cn ca đồ th hàm n
Bài tp 1. Cho hàm s
y
fx liên tc trên
y
fx
có bng biến thiên như sau
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 165
Đồ th hàm s


2020
gx
f
xm
có nhiu nht bao nhiêu đường tim cn đứng?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Điu kin
f
xm
.
Để đồ th hàm s


2020
gx
f
xm
đường tim cn đứng thì phương trình
f
xm phi có nghim.
T bng biến thiên ca hàm s
yfx
suy ra phương trình
0fx
đúng hai nghim là
x
a
x
b
vi
11ab .
T đó ta có bng biến thiên ca hàm s
yfx
như sau
Suy ra phương trình
yfx có nhiu nht là ba nghim phân bit.
Vy đồ th hàm s


2020
gx
f
xm
có nhiu nht ba đường tim cn đứng.
Bài tp 2. Cho hàm s


2
2020
gx
hx m m

vi
43 2
h x mx nx px qx

.
,, , , 0mn pq m
,
00h . Hàm s
yhx
đồ th như hình vn dưới.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 166
Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để đồ th hàm s
g
x
có hai tim cn đứng?
A. 2. B. 11. C. 71. D. 2019
Hướng dn gii
Chn B.
T đồ th suy ra
32
14 5 3 4 13 2 15hx mx x x m x x x

0m
nên

432
13
15
3
hx mx x x x




do
00h
.
Đồ th
g
x
có hai đưng tim cn đứng
phương trình
2
hx m m
có hai nghim phân bit
432
13
15 1
3
xxxxm có hai nghim phân bit.
Đặt

432
13
15
3
f
xx xx x .
Ta có bng biến thiên ca

f
x như sau
0m nên
32 35
1;1 ;0
33
mm





.
Vy có 11 s nguyên m.
Bài tp 3. Cho hàm s
y
fx là hàm s bc 3. Đồ th hàm s
y
fx
như hình v dưới đây và

120f 
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 167
Đồ th hàm s


20fx
gx
f
xm
(m là tham s thc) có bn tim cn khi và ch khi
A.

3mf B.
31fmf C.
1mf D.
31fmf
Hướng dn gii
Chn B.
Điu kin
f
xm .
T đồ th hàm s

f
x
, ta có bng biến thiên hàm s
f
x
- Nếu
20m thì đồ th hàm s không có đủ bn tim cn.
- Nếu
20m thì

20
lim 1
x
fx
fx m


Đường thng 1y
là tim cn ngang ca đồ th hàm s.
Ta có phương trình
20fx
có mt nghim 3xa
120f
.
Suy ra đồ th hàm s
g
x có bn tim cn khi phương trình
f
xm
có ba nghim phân bit khác
31af mf.
Bài tp 4. Cho hàm s
f
x liên tc trên
lim 1
x
fx

;
lim
x
fx


. Có bao nhiêu giá tr
nguyên ca tham s m thuc

2020; 2020 để đồ th hàm s

 
2
2
3
2
xxx
gx
f
xfxm

có tim cn
ngang nm bên dưới đường thng 1y  .
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 168
Điu kin

 
2
3; 0
02
20
xx
fx
fx f x m



Do
lim
x
fx


nên khi
x
 thì
2
2 fx f x
 vì vy
 
2
2
f
xfx không có nghĩa
khi x đủ ln. Do đó không tn ti
lim
x
g
x

.
Xét
lim
x
g
x

.
lim 1
x
fx

nên
   
22
lim 2 lim 2 1
xx
fx fx fx fx
 



;
2
33
lim 3 lim
2
3
11
xx
xxx
x
 






T đó

3
lim
22
x
gx
m

vi
1m  .
Khi đó đồ th hàm s
g
x
có tim cn ngang là đường thng
3
22
y
m
.
Để tim cn ngang tìm được trên nm dưới đường thng 1y
thì
31
11
22 2
m
m

m
nên
0m
.
Dng 10: Bài toán liên quan đến đường tim cn ca đồ thm s
ax b
y
cx d
1. Phương pháp gii
Đồ th hàm s
ax b
y
cx d
đường tim cn khi và ch khi 0, 0ad bc c
.
Khi đó, phương trình đường tim cn đứng là
d
x
c
.
Phương trình đường tim cn ngang là
a
y
c
.
- Ta độ giao đim ca hai đường tim cn là đim
;
da
I
cc



và cũng là tâm đối xng ca đồ th.
- Hai đường tim cn ca đồ th hàm s cùng vi hai trc ta độ to thành mt hình ch nht có các
kích thước là
d
c
a
c
nên có chu vi là
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 169
2
da
C
cc




và din tích là
2
ad
S
c
2. Bài tp mu
Bài tp 1.
Giá tr ca tham s m để đồ th hàm s
1
2
mx
y
x
m
đường tim cn đứng đi qua đim

1; 2A
A.
2m 
. B.
2m
. C.
2m
. D.
1m 
.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
2
20,ad bc m m nên đồ th hàm s có tim cn đứng là đường thng
2
m
x  .
Để tim cn đứng đi qua đim

1; 2A
thì
12
2
m
m

.
Bài tp 2. Các đường tim cn ca đồ th hàm s
23
1
x
y
x
to vi hai trc ta độ mt hình ch nht có
din tích bng
A. 3 (đvdt) B. 6 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 2 (đvdt)
Hướng dn gii
Chn D.
Phương trình các đường tim cn là 1; 2xy
.
Do đó hai đưng tim cn và hai trc ta độ to thành hình ch nht din tích bng 1.2 = 2 (đvdt).
Bài tp 3. Tt c các giá tr thc ca tham s m để đồ th hàm s
2
1
mx m
y
x
đường tim cn đứng,
tim cn ngang ca đồ th hàm s cùng hai trc ta độ to thành mt hình ch nht có din tích bng 8 là
A. 2m  . B. 2m . C.
1
2
m
.
D. 4m  .
Hướng dn gii
Chn D.
Điu kin để đồ th hàm s có tim cn là 200mm m
.
Khi đó phương trình hai đường tim cn là
1
x
2ym
.
Theo công thc tính din tích hình ch nht to bi hai tim cn và hai trc ta độ, ta có
2Sm .
Theo gi thiết thì
28 4mm .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 170
Bài tp 4. Cho đồ th hai hàm s

21
1
x
fx
x

1
2
ax
gx
x
vi
1
2
a
. Tt c các giá tr thc
dương ca tham s a để các tim cn ca hai đồ th hàm s to thành mt hình ch nht có din tích bng
4 là
A. 6a . B. 4a . C. 3a
. D. 1a .
Hướng dn gii
Chn A.
Đồ th hàm s

21
1
x
fx
x
có hai đường tim cn là
1x
2y
.
Điu kin để đồ th hàm s

1
2
ax
gx
x
có tim cn là
1
210
2
aa
.
Vi điu kin đó thì đồ thm s
g
x có hai đường tim cn là
2x
ya
.
Hình ch nht được to thành t bn đường tim cn ca hai đồ th trên có hai kích thước là 1 và
2a
.
Theo gi thiết, ta có
6
2.1 4
2
a
a
a


.
0a nên 6a .
Bài tp 5. Cho hàm s
1
1
x
y
x
đồ th
C . Hai đường tim cn ca
C ct nhau ti I. Đường thng
:2dy x b (b là tham s thc) ct đồ th
C ti hai đim phân bit A, B. Biết
0b
và din tích tam
giác AIB bng
15
4
. Giá tr ca b bng
A. -1. B. -3. C. -2. D. -4
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có ta độ đim
1;1I .
Phương trình hoành độ giao đim ca
C d

2
1
1
2
2310*
1
x
x
xb
fx x b x b
x


.
Đường thng d ct đồ th
C ti hai đim phân bit khi và ch khi
0fx
có hai nghim phân bit
khác 1

2
2170
120
bb
b
f



.
Gi
12
,
x
x là hai nghim ca (*).
Khi đó

11 2 2
;2 , ;2
A
xxbBxx b.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 171
Ta có
11
1; 2 1IA x x b

;
22
1; 2 1IB x x b

.
Din tích tam giác IAB

12 21
1
12 1 12 1
2
Sx xb x xb

2
12
11217
11.
222
bb
bxx b


.
Theo gi thiết thì
2
1217
15
44
bbb
 
22 2
2
1 1 16 225 1 9
4
b
bb b
b

 

.
Do
0b
nên
4b 
.
Chú ý:
- Vi tam giác ABC
;; ;
A
BabACcd

thì
1
2
ABC
Sadbc
.
- Nếu phương trình bc
hai
2
0ax bx c
hai nghim phân bit
12
,
x
x
thì
12
xx
a

Bài tp 6. Trong mt phng ta độ Oxy, cho hai đường tròn
1
C
2
C
ln lượt có phương trình

22
121xy

2
2
11xy
. Biết đồ th hàm s
ax b
y
x
c
đi qua tâm ca
1
C , đi qua
tâm ca
2
C
và có các đường tim cn tiếp xúc vi c
1
C
2
C
. Tng
abc
A. 5. B. 8. C. 2. D. -1.
Hướng dn gii
Chn C.
Đường tròn
1
C có tâm
1
1; 2I ;
1
1R
2
C có tâm
2
1; 0I ;
2
1R
.
Điu kin để đồ th hàm s có tim cn là
0ac b
.
Gi

C đồ thm s
ax b
y
x
c
.
Khi đó ta có các đường tim cn
C
x
c
ya
.
Ta có

12
1
2
1
,
0
1
1
ab
c
c
II C a b
ab
ac
c





.
Đường thng
x
c tiếp xúc vi c
1
C
2
C nên
11
0
11
c
c
c



1ab
Khi đó tim cn ngang ca
C
1y tiếp xúc vi c
1
C
,
2
C
tha mãn bài toán.
Vy 1; 0 2ab c abc .
Dng 11: Bài toán v khong cách t đim trên đồ thm s
ax b
y
cx d
đến các đường tim cn
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 172
1. Phương pháp gii
Gi s đồ th hàm s
ax b
y
cx d
có các đường tim
cn là
1
:
d
x
c

2
:
a
y
c
.
Gi
0
0
0
;
ax b
Mx
cx d



đim bt kì trên đồ th.
Khi đó

0
110
;
cx d
d
ddM x
cc



0
22
00
;
ax b
aadbc
ddM
cx d c c cx d


.
Vy ta luôn có
12
2
.
ad bc
dd K
c

là mt s
không đổi.
Khi đó
12 12
22dd dd K nên
12
min 2dd K khi
12
dd


2
0
0
0
cx d
ad bc
cx d ad bc
cccxd

.
Bài tp: Xét hàm s
21
1
x
y
x
có hai đường
tim cn là
1
x
2y
. Khi đó tích các
khong cách t đim M bt k trên đồ th đến
hai đường tim cn là
21
1
1
d


.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Gi M là giao đim ca đồ th
21
23
x
y
x
vi trc hoành. Khi đó tích các khong cách t đim
M đến hai đường tim cn ca đồ th hàm s đã cho bng
A. 4. B. 2. C. 8. D. 6.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi
12
,dd ln lượt là khong cách t M đến tim cn đứng và tim cn ngang ca đồ th hàm s đã cho.
Áp dng công thc, ta
12
62
.2
4
dd
.
Bài tp 2. Cho hàm s
23
2
x
y
x
C . Gi Mđim bt k trên
C , d là tng khong cách t M đến
hai đường tim cn ca đồ th. Giá tr nh nht ca d bng
A. 10. B. 6. C. 2. D. 5.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 173
Gi
12
,dd
ln lượt là khong cách t M đến tim cn đứng và tim cn ngang ca đồ th hàm s đã cho.
Áp dng công thc, ta
12
43
.1
1
dd


.
Khi đó
12 12
2. 2dd d dd .
Vy
min
2d .
Bài tp 3. Cho hàm s
13
3
x
y
x
đồ th
C
. Đim M có hoành độ dương, nm trên
C
sao cho
khong cách t M đến tim cn đứng gp hai ln khong cách t M đến tim cn ngang ca
C . Khong
cách t M đến tâm đối xng ca
C
bng
A. 5. B. 32. C. 25. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Gi s

0
000
0
31
;0;3
3
x
Mx C x x
x




.
Đồ th
C
có tim cn đứng
1
:3x, tim cn ngang
2
:3y
và tâm đối xng

3; 3I
.
Khi đó
110
;3ddM x

22
0
8
;
3
ddM
x

.
Theo gi thiết
0
12 0 0
0
0
7
16
23 7
1
3
x
dd x x
x
x


(do
0
0x ).
Vy
7;5 2 5MIM .
Bài tp 4. Cho hàm s
45
1
x
y
x
đồ th
H . Gi
00
;
M
xy vi
0
0x
là mt đim thuc đồ th
H tha mãn tng khong cách t M đến hai đường tim cn ca
H bng 6. Giá tr ca biu thc

2
00
Sxy
bng
A. 4. B. 0. C. 9. D. 1.
Hướng dn gii
Chn C.
Đồ th
H có tim cn đứng
1
:1x và tim cn ngang
2
:4y
.
Gi

0
000
0
45
;,1,0
1
x
Mx H x x
x




.
Khi đó
110
;1ddM x

22 12
0
9
;.9
1
ddM dd
x

.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 174
Ta có
12 12
26dd dd
nên
12
min 6dd
khi
0
12 0
0
0
2
9
1
4
1
x
dd x
x
x

.
Do
0
0x nên
4;7 9MS.
Dng 12: Bài toán liên quan gia tiếp tuyến và tim cn ca đồ th hàm s
ax b
y
cx d
1. Phương pháp gii
Gi s đồ th hàm s
ax b
y
cx d
đồ th
C
các đường tim cn là
1
:
d
x
c

,
2
:
a
y
c

;
da
I
cc



.
Gi
0
0
0
;
ax b
Mx
cx d



đim bt k trên đồ th.
Khi đó tiếp tuyến ca
C
ti M


0
0
2
0
0
:
ax b
ad bc
dy x x
cx d
cx d

.
Gi
1
Ad


0
00
2
2
;
ad bc
bc ad acx
d
AIA
c c cx d c cx d







.
2
Bd
0
0
2
2;
cx d
da
Bx IB
cc c




.
Do đó
2
4
.
ad bc
IA IB K
c
 là mt s không đổi.
Do IAB vuông ti I nên
2
2
11
.
22
IAB
ad bc
SIAIB K
c
 là mt s không
đổi.
Ngoài ra, ta có
2
2
A
BM
A
BM
x
xx
yy y


nên M luôn là
trung đim ca AB.
Ta có các dng câu hi thường gp sau
Câu 1:
Tính din tích tam giác IAB.
2
2
11
.
22
IAB
ad bc
SIAIB K
c
 .
Câu 2: Tìm đim
M
C hoc viết phương trình
tiếp tuyến ca
C biết tiếp tuyến to vi hai trc
ta độ mt tam giác vuông có
a) Cnh huyn nh nht.
22
2. 2
A
BIAIB IAIB K
.
Du bng xy ra khi
IA IB
.
b) Chu vi nh nht
Ta có
2. 2. 2 2IA IB AB IA IB IA IB K K
Du bng xy ra khi
IA IB
.
c) Bán kính đường tròn ngoi tiếp nh nht.
Ta có
1
22
K
RAB
Du bng xy ra khi
IA IB
.
d) Bán kính đường tròn ni tiếp ln nht.
Ta có
SK
r
p
IA IB AB


Vy r ln nht khi
IA IB AB
nh nht và bng
22
K
K .
Du bng xy ra khi
IA IB
.
e) Khong cách t I đến tiếp tuyến ln nht.
Gi H là hình chiếu ca I lên d, ta có
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 175
222
111 22
.2
K
IH
IA IB K
IH IA IB

.
Du bng xy ra khi IA IB
.
Nhn xét: Các câu hi trên thì đẳng thc đều xy
ra khi IA IB
nên IAB
vuông cân ti I. Gi
góc gia tiếp tuyến d và tim cn ngang
2
thì
2
;;45ddOx

nên h s góc ca tiếp
tuyến là
tan 45 1k
.
Vy các bài toán trong câu 2 ta quy v bài toán viết
phương trình tiếp tuyến ca đồ th hàm s
ax b
y
cx d
khi biết h s góc 1k hoc 1k
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hàm s
21
1
x
y
x
đồ th
C . Tiếp tuyến ca
C ti đim có hoành độ bng 3 thuc
C ct các đường tim cn ca
C to thành tam giác có din tích bng
A. 4. B. 22 . C. 422 . D. 2
Hướng dn gii
Chn D.
Áp dng công thc, ta
221
2
1
S

.
Bài tp 2. Cho hàm s
1
23
x
y
x
C . Gi I là giao đim ca hai tim cn ca đồ th hàm s
C .
Khong cách t I đến tiếp tuyến bt k ca đồ th
C đạt giá tr ln nht bng
A.
1
2
.
B. 1. C.
2
. D. 5.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta độ giao đim ca hai đường tim cn là
31
;
22
I



Gi A, B là giao đim ca tiếp tuyến d ti
M
C
bt k vi hai đường tim cn.
Khi đó ta có
2
4432
.1
4
ad bc
IA IB
c

.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 176
Gi H là hình chiếu ca I trên d, ta có
222
111 2 2
2
.2
IH
IA IB
IH IA IB

.
Vy
max
2
2
IH
.
Bài tp 3. Cho hàm s
21
2
x
y
x
đồ th
C . Gi I là giao đim ca hai đường tim cn ca
C .
Biết tiếp tuyến
ca
C
ti M ct các đường tim cn đứng và tim cn ngang ti AB sao cho
đường tròn ngoi tiếp tam giác IAB có din tích nh nht. Khi đó, din tích ln nht ca tam giác to bi
và hai trc ta độ thuc khong nào dưới đây?
A.

28;29 . B.

29;30 . C.
27;28 . D.
26;27 .
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có

2
3
0
2
y
x

.
Theo lý thuyết thì để din tích đường tròn ngoi tiếp tam giác IAB nh nht thì AB nh nht. Khi đó h
s góc ca tiếp tuyến phi là
1k  .
Do
0,yx

nên 1k  .
Xét phương trình

2
23
3
1
2
23
x
yk
x
x



.
- Vi
23 23xy  Tiếp tuyến
1
:2323yx
423yx .
Khi đó
1
ct Ox, Oy ti hai đim
423;0, 0;423MN
2
1
423
2
OMN
S  .
- Vi
23 23xy  tiếp tuyến
1
:2323yx
423yx
.
Khi đó
1
ct Ox, Oy ti hai đim
423;0, 0;423PN
2
1
423 27,85
2
OPQ
S  .
Bài tp 4. Cho hàm s
1
2
x
y
x
, gi d là tiếp tuyến ca đồ th hàm s ti đim có hoành độ bng
2m
.
Biết đường thng
d ct tim cn đứng ca đồ th hàm s ti đim
11
;
A
xy và ct tim cn ngang ca đồ
th hàm s ti đim
22
;
B
xy. Gi S là tp hp các s m sao cho
21
5xy
 . Tng bình phương các
phn t ca
S bng
A. 4. B. 9. C. 0. D. 10.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 177
Hướng dn gii
Chn D.
Điu kin
22 0mm
.
Đồ th hàm s có tim cn đứng
:2x và tim cn ngang
:1
y
.
Ta có


22
33
2
2
yym
m
x



3
2
m
ym
m

.
Phương trình đường thng
d

2
33
2
m
yxm
m
m

.
6
2;
m
Ad A
m




;
22;1Bd Bm

Do đó
2
21
1
6
522 52 460
3
m
m
xy m m m
m
m

.
Vy

2
2
3110S  .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 178
BÀI 5. TIP TUYN
A. KIN THC CƠ BN CN NM
Cho hai hàm s

fx

gx đạo hàm ti đim
0
x . Ta nói rng
hai đường cong
C:y fx
C:y gx
tiếp xúc vi nhau ti
đim
00
Mx;y
nếu M là mt tiếp đim chung ca chúng.
(C) và (
C
) có tiếp tuyến chung ti M.
Điu kin tiếp xúc:
Hai đường cong (C):

yfx
C:y gx
tiếp xúc vi nhau h phương trình
 
fx gx
fx gx

có nghim.
Nghim ca h phương trình là hoành độ tiếp đim ca hai đường cong đó.
B. PHÂN DNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: S tiếp xúc ca hai đường cong
1. Phương pháp gii
Cho hai đường cong (C):
yfx
C:y gx
. Điu kin để hai đường cong tiếp xúc vi
nhau là h phương trình
 
fx gx
fx gx

có nghim.
- Nghim
0
xx ca h trên là hoành độ ca tiếp đim ca hai đường cong đã cho.
- H trên có bao nhiêu nghim thì hai đường cong (C) và
C
tiếp xúc vi nhau ti by nhiêu đim.
2. Bài tp
Bài tp 1: Đồ th hàm s
3
yx x1 tiếp xúc vi đường thng nào dưới đây?
A.
yx1. B. y2x1.

C.
yx1. D. y2x1.
Hướng dn gii:
Chn A.
Áp dng điu kin tiếp xúc ca hai đường cong
C:y fx
C:y gx
là h phương trình
 
fx gx
fx gx

có nghim.
Ta có
2
y3x10,x
 nên các phương án B, C b loi.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 179
Xét phương án A.
yx1. Ta có h
3
2
xx1x1
x0
3x 1 1


.
Vy đường thng
yx1 tiếp xúc vi đồ thm s đã cho.
Bài tp 2. Tp hp tt c các giá tr thc ca tham s m để đường thng
y2xm

tiếp xúc vi đồ th
hàm s
x1
y
x1
A.
7; 1
. B.
1
. C.
6
. D.
6; 1
.
Hướng dn gii:
Chn A.
Đường thng
y2xm tiếp xúc vi đồ th hàm s
x1
y
x1
khi và ch khi h phương trình sau có
nghim


2
2
2
0
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
20
11
1
7










x
x
xm
x
x
xm
m
x
xm
x
x
x
xx
x
x
m
Vy
1; 7m
thì đường thng d tiếp xúc vi (C).
Bài tp 3: Gi S là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s m để đồ th (
m
C
) ca hàm s
32
473 y x mx mx m tiếp xúc vi parabol
2
:1

P
yx x . Tng giá tr các phn t ca S bng
A.
11
4
. B.
331
4
. C.
9
4
. D. 4 .
Hướng dn gii:
Chn A.
Để (
m
C ) tiếp xúc vi (P) thì h phương trình sau có nghim:
32 2
2
473 1
38 721


xmxmxmxx
xmxmx

32
2
41 71 3101
32417102
 

xmxmxm
xmxm
Gii (1), ta có (1)
2
14310 xxmxm
2
1
4310

x
xmxm
+ Vi
1x thay vào (2) được 2m
+ Xét h


2
2
43103
21 14
3241710



xmxm
mxm
xmxm
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 180
• Nếu
1
2
m
thì (4) vô nghim.
• Nếu
1
2
m
thì (4)
1
21

m
x
m
.
Thay
1
21
m
x
m
vào (3) ta được
2
11
4310
21 21






mm
mm
mm
32
2
1
411520
4
1

m
mmm m
m
(tha mãn điu kin).
Vy
1
2; ;1
4




S
nên tng các phn t trong S bng
11
4
.
Bài tp 4: Gi S là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s m để đồ th hàm s

3
2
1
221
32

x
ymxmx
tiếp xúc vi đường thng 1
y . Tng giá tr các phn t ca S bng
A. 10. B.
20
.
3
C.
8
.
3
D.
32
.
3
Hướng dn gii
Chn B.
Xét h phương trình


3
2
2
1
22111
32
2202


x
mxmx
xm xm
Gii phương trình (2) ta được
2
xm
x
.
+ Vi
xm, thay vào (1) ta được

3
2
0
0
66
m
m
m
m
.
+ Vi
2x
, thay vào (1), ta được
2
3
m
.
Vy tp hp các giá tr ca tham s thc để đồ th hàm s đã cho tiếp xúc vi đường thng
1
y
2
0;6;
3



S
nên tng các phn t trong S bng
20
3
.
Bài tp 5. Biết đồ th ca hàm s
32
:,,  Cyx ax bxcabc , tiếp xúc vi trc hoành ti gc
ta độ và ct đường thng
1x ti đim có tung độ bng 3. Tng a + 2b + 3c bng
A. 4. B. 2. C. 6. D. 3.
Hướng dn gii:
Chn B.
Vì (C) tiếp xúc vi Ox ti gc ta độ nên
0
x là nghim ca h phương trình
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 181
32
2
00
0
32 0



xaxbxc b
c
xaxb
Mt khác (C) đi qua đim
1; 3A nên
13 2
 abc a
.
Vy
232.abc
Bài tp 6. H parabol
2
:2320
m
Pymx m xm m
luôn tiếp xúc vi đường thng d c định
khi m thay đổi. Đường thng d đi qua đim nào dưới đây?
A.
1; 8A
. B.

0; 2B
. C.
0;2C
. D.
1; 8D
.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
22
23 2 2162 ymx m xm mx x x
2
162 ymx x
.
Xét đường thng
:62dy x thì h phương trình


2
16262
2166


mx x x
mx
luôn có nghim 1
x vi mi 0
m .
Vy

m
P
luôn tiếp xúc vi đường thng :62
dy x .
Đường thng d đi qua đim

0; 2B
.
Nhn xét: Nếu có th viết li hàm s
m
P
theo dng
2
ymaxb cxd
thì

m
P
luôn tiếp xúc vi
đường
ycxd.
Dng 2. Lp phương trình tiếp tuyến ca đồ th hàm s
y
fx
ti đim
00
;
M
xy
1. Phương pháp gii
Thc hin theo các bước sau
Bước 1: Tính

yfx

0
fx.
Bước 2: Suy ra phương trình tiếp tuyến cn tìm là
000
yfx xx y
Bước 3: Thc hin các yêu cu còn li ca bài toán. Kết lun.
Chú ý:
- Nếu bài toán ch cho
0
x thì ta cn tìm
00
yfx
0
fx.
- Nếu bài toán ch cho
0
y thì ta cn tìm
0
x bng cách gii phương trình
0
fx y.
- Giá tr
0
fx là h s góc ca tiếp tuyến ca đồ th hàm s
yfx ti đim
00
;Mx y .
2. Bài tp
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 182
Bài tp 1. Gi M là đim thuc đồ th hàm s

21
:
1
x
Cy
x
có tung độ bng 5. Tiếp tuyến ca đồ th
(C) ti M ct các trc Ox, Oy ln lượt ti A, B. Din tích tam giác OAB bng
A.

125
®vdt
6
. B.

117
®vdt
6
C.

121
®vdt
6
D.

119
®vdt
6
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có



2
3
2;5 ; ; 2 3
1


MCy y
x
.
Phương trình tiếp tuyến ti
2;5M
:311
dy x
.
Khi đó d ct Ox, Oy ti
11
;0
3



A

11
0;11 ; 11.
3
 BOAOB
Vy

1 1 11 121
...11®vdt
2236

OAB
SOAOB
Bài tp 2. Cho hàm s

2, 0
2

xb
yaba
ax
. Biết rng a và b là các giá tr tha mãn tiếp tuyến ca
đồ th hàm s ti đim
1; 2A
song song vi đường thng :3 4 0
dxy . Khi đó giá tr ca 3
ab
bng
A. 5. B. 4. C. –1. D. –2.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:



 



22
22
1
22
ab ab
yy
ax a
Do tiếp tuyến song song vi đường thng
:3 4 0 3 4
 dxy y x
nên


2
2
13 3
2

 
ab
y
a
.
Mt khác
1; 2A thuc đồ th hàm s nên
1
223.
2

b
ba
a
Khi đó ta có h





2
2
2
3
2
2
515100
1
23
ab
a
a
aa
a
ba
+ Vi
21 2 ab ab (loi)
+ Vi
11 ab ( tha mãn điu kin).
Khi đó ta có hàm s
1
2
x
y
x
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 183


2
3
13
2


yy
x
nên phương trình tiếp tuyến là
31
yx
song song vi đường thng
34 yx.
Vy
32ab .
Bài tp 3. Trong tt c các đường thng tiếp xúc vi đồ th hàm s
32
331
 yx x x thì đường thng
d có h s góc ln nht. Phương trình đường thng d là
A.
62.yx B. 22.yx C. 1.
y D. 31.yx
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
2
363
 yxx
Gi
00
;
M
xy thuc đồ thm s. Khi đó h sc ca tiếp tuyến ti
00
;
M
xy
2
2
00 0
3633 166  kxx x
max 0
61kx hay
1; 4M .
Phương trình đường thng d là
614 62yx yx.
Nhn xét: Đối vi hàm s bc ba
32
yax bx cxd thì tiếp tuyến có h s góc ln nht (nh nht) là
tiếp tuyến ti đim un ca đồ th
00
;Ux f x , vi
0
x là nghim ca phương trình 0

y .
+ Nếu
0a thì h s góc

0
kfx
là nh nht.
+ Nếu
0a thì h s góc
0
kfx là ln nht.
Bài tp 4. Cho hàm s
32
212 yx x m x m
đồ th
m
C
. Giá tr thc ca tham s m để tiếp
tuyến ca đồ th
m
C
ti đim có hoành độ 1
x song song vi đường thng 310yx
A.
2.m B. 4.m C. 0.
m D. không tn ti m.
Hướng dn gii
Chn D.
2
34 1 1 2

 yx xm y m.
Tiếp tuyến ca
m
C
ti đim có hoành độ 1
x có phương trình là
2132 22  ym x m ym xm
Do tiếp tuyến song song vi đường thng
310
yx
nên
23
210
m
m
(vô lí)
Vy không tn ti m tha mãn yêu cu bài toán.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 184
Bài tp 5. Cho hàm s
32
1 fx x mx x
. Gi k là h s góc tiếp tuyến ca đồ th hàm s ti M có
hoành độ
1x . Tt c các giá tr thc ca tham s m để tha mãn
.10
kf
A.
2m . B. 21 m . C. 1m . D. 2m
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
2
32 1 142

 fx x mx k f m
.
Do đó
.142 1 kf m m
Để
.10kf
thì
42 1 0 2 1mm m
.
Bài tp 6. Cho hàm s
32
311 yx mx m x , vi m là tham s thc, có đồ th (C). Biết rng khi
0
mm
thì tiếp tuyến vi đồ th (C) ti đim có hoành độ
0
1
x
đi qua
1; 3A . Mnh đề nào sau đây
đúng?
A.
0
21 m . B.
0
10 m C.
0
01
m D.
0
12m
Hướng dn gii
Chn C.
Gi B là tiếp đim ca tiếp tuyến đi qua
1; 3A
khi
0
mm
Ta có
2
36 1

yx mxm.
Vi
0
1x thì

0
21 1;21 ym B m
154
 ym.
Tiếp tuyến ti B ca (C) có phương trình là
54 121
 ymx m.
Do tiếp tuyến đi qua
1; 3A
nên

1
25 4 2 13
2
 mm m.
Vy

0
1
0;1
2
m .
Bài tp 7. Cho hàm s
2
2
x
y
x
đồ th (C). Gi M là mt đim thuc (C) có khong cách t M đến
trc hoành bng hai ln khong cách t M đến trc tung, M không trùng vi gc ta độ O và có ta độ
nguyên. Phương trình tiếp tuyến ca (C) ti M là
A.
8.y B. 64.y C. 12.
y D. 9.y
Hướng dn gii:
Chn A.
Gi s
2
;
2



a
Ma
a
là mt đim thuc (C).
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 185
Do
;2;dMOx dMOy nên
2
2
2
0
2
4
2
2
23
2
4
2



a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
Theo gi thiết thì M không trùng vi gc ta độ O và có ta độ nguyên nên
44;8
aM.
Khi đó


2
2
4
40
2


xx
yy
x
Phương trình tiếp tuyến cn tìm là
8y
.
Bài tp 8. Cho hàm s
1
2
x
y
x
đồ th (C) và đường thng :2 1
dy x m ( m là tham s thc).
Gi
12
,kk là h s góc tiếp tuyến ca (C) ti giao đim ca d và (C). Tích
12
.kk bng
A. 4. B.
1
4
. C. 2. D. 3.
Hướng dn gii
Chn A.
Tp xác định
\2D
.
Ta có

2
1
2
y
x
Xét phương trình hoành độ giao đim ca (C) và (d)
1
21
2

x
xm
x
( vi 2x )
2
26 3201 xmxm
Để đường thng (d) ct đồ th hàm s (C) ti hai đim thì phương trình (1) phi có hai nghim phân bit
khác –2.


2
2
68320
4120
10
826 32 0






mm
mm
m
mm
Vy (C) luôn ct (d) ti hai đim phân bit
11
;Ax y
22
;
B
xy , vi
12
,xx là nghim ca phương trình
(1).
Theo định lý Vi-ét ta có
12
12
6
2
32
.
2

m
xx
m
xx
Ta có


12
22 2
12
12 1 2
11 1
..
22
24





kk
xx
xx x x
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 186
2
1
4
32 6
2. 4
22






mm
Bài tp 9. Cho hàm s
42
2 yx mx mđồ th (C) vi m là tham s thc. Gi A là đim thuc đồ th
(C) có hoành độ bng 1. Giá tr ca tham s thc m để tiếp tuyến
ca đồ th (C) ti A ct đường tròn
2
2
:14 xy
to thành mt dây cung có độ dài nh nht là
A.
13
.
16
m
B.
13
.
16
m
C.
16
.
13
m
D.
16
.
13
m
Hướng dn gii
Đường tròn
2
2
:14 xy
có tâm
0;1 , 2
IR
.
Ta có
3
1;1 ; 4 4 1 4 4

Amyxmxy m
.
Suy ra phương trình tiếp tuyến
:44 11 ymx m
.
D thy
luôn đi qua đim c định
3
;0
4



F
đim F nm trong đường tròn
.
Gi s
ct
ti M, N, Khi đó
 
22 2
2;24;
M
N R dI dI .
Do đó MN nh nht
;
dI
ln nht
;dI IF IF.
Khi đó đường thng
có 1 vectơ ch phương

3
;1; 1;4 4
4





uIF u m
nên

313
.01.44 0
416
 

uIF m m .
Dng 3: Viết phương trình tiếp tuyến ca đồ th hàm s khi biết h s góc da vào các quan h song
song, vuông góc,...
1. Phương pháp gii
Thc hin theo mt trong hai cách sau:
Cách 1:
Bước 1. Xác định h s góc k ca tiếp tuyến da vào gi thiết bài toán.
Bước 2. Gii phương trình
fx k
để tìm
0
xx là hoành độ ca tiếp đim.
Tính
00 00
;yfx Mxy.
Khi đó phương trình tiếp tuyến cn tìm là
00
ykxx y
Đim
00
;
M
xy là tiếp đim ca tiếp tuyến vi đồ th hàm s đã cho.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 187
Cách 2:
Bước 1. Xác định h s góc k ca tiếp tuyến da vào gi thiết bài toán.
Bước 2. Vì tiếp tuyến có h s góc là k nên phương trình tiếp tuyến có dng

y
kx b
. Da vào
điu kin tiếp xúc ca tiếp tuyến vi (C) ta tìm giá tr ca b.
Lưu ý:
- Phương trình
fx k
có bao nhiêu nghim thì có by nhiêu tiếp đim.
- Mt s trường hp xác định h s góc ca đường thng thường gp.
Cho hai đường thng
1112 22
:;: dykxbdykxb.
+ Trường hp 1:
12 12
.1. dd kk
+ Trường hp 2:
12
12
12
//
kk
dd
bb
+ Trường hp 3: Góc

12
12
12
;tan
1.k

kk
dd
k

.
Đặc bit:
1. Nếu góc gia
: dy kx b vi Ox bng
090

thì tank
.
2. Nếu đường thng d ct Ox, Oy ti hai đim A, B
.
OB m OA
thì
tan
OB
km
OA
.
+ Trường hp 4: Nếu đường thng d đi qua hai đim
11
;Ax y
22
;
B
xy thì
12
12
yy
k
xx
.
2. Bài tp
Bài tp 1: Phương trình tiếp tuyến ca đồ th hàm s
3
31
yx x song song vi trc Ox là
A.
3, 1.yy B. 3, 2.
yy
C.
3, 1.xx D. 2, 1.
yy
Hướng dn gii
Chn A.
Do tiếp tuyến song song vi trc Ox nên tiếp tuyến có tiếp đim là các đim cc tr và có phương trình
0
yy vi
0
y là giá tr cc tr ca hàm s đã cho.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 188
Ta có
2
33; 0 1

 yx y x
.
Do hàm s đã cho là hàm bc ba nên các đim cc tr
1; 1 , 1; 3AB
.
Vy phương trình các đường tiếp tuyến cn tìm
1; 3.
yy
Bài tp 2: Cho hàm s
21
1
x
y
x
đồ th là (C). Phương trình tiếp tuyến ca đồ th (C) sao cho tiếp
tuyến này ct các trc Ox, Oy ln lượt ti các đim A, B tho mãn
4
OA OB
A.
15
44
113
44


yx
yx
B.
15
44
113
44


yx
yx
C.
15
44
113
44


yx
yx
D.
15
44
113
44


yx
yx
Hướng dn gii
Chn C.
Do tiếp tuyến ct Ox, Oy ti hai đim A, B mà
4
OA OB
.
Khi đó
OAB
vuông ti O và ta có
11
tan
44

OB
kOAB k
OA
.
Ta có:

2
1
1

y
x
Xét phương trình

2
11
4
1

x
(vô nghim).
Xét phương trình

2
3
11
41
1

x
x
x
+ Vi
3x thì
5
2
y
. Phương trình tiếp tuyến là

15113
3
4244
  yx x
.
+ Vi
1x thì
3
2
y
. Phương trình tiếp tuyến là

1315
1
4244
  yx x
Bài tp 3: Đường thng nào dưới đây là tiếp tuyến ca đồ th hàm s
23
2
x
y
x
chn hai trc ta độ mt
tam giác vuông cân?
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 189
A.
2yx
. B.
2yx
. C.
2
yx
D.
13
42
yx
Hướng dn gii
Chn A.
Gi A, B là giao đim ca tiếp tuyến ln lượt vi Ox, Oy.
OAB vuông cân ti O nên OA OB .
Do đó
tan 1 1
OB
kOAB k
OA
.
Ta có

2
1
2
y
x
Xét phương trình

2
1
1
2

x
(vô nghim).
Xét phương trình

2
1
1
1
3
2



x
x
x
.
+ Vi
1x
thì
1y
. Phương trình tiếp tuyến là
11 2
yx x
.
+ Vi
3x thì 3y . Phương trình tiếp tuyến là
33 6
yx x .
Bài tp 4: Cho hàm s

32
1
1431
3
ymxmx mx
đồ th
m
C . Tt c các giá tr thc ca
tham s m để trên đồ th
m
C tn ti mt đim duy nht có hoành độ âm mà tiếp tuyến ti đó vuông góc
vi đường thng
:230dx y
A. m < 12 hoc
2
.
3
m
B. m < 0 hoc m > 1.
C. m < 0 hoc
1
m
3
. D. m < 0 hoc
2
3
m
.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:
13
:230
22
 dx y y x
nên h s góc ca d là
1
2
.
Do tiếp tuyến vuông góc vi d nên h s góc ca tiếp tuyến là k thì
1
.12.
2




kk
Gi
00
;
M
xy là tiếp đim ca tiếp tuyến vi
m
C thì
0
x là nghim ca phương trình
2
21432
 yk mx m x m
.
2
21230*mx m x m
Theo bài toán thì ta phi tìm m để (*) có duy nht mt nghim âm.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 190
+ Trường hp 1: Nếu
0m thì (*)
22 1  xx
(loi).
+ Trường hp 2: Nếu
0m
. Ta thy phương trình (*) có hai nghim là
1
x
23
m
x
m
.
Do đó để (*) có mt nghim âm thì
23
00

m
m
m
hoc
2
3
m
.
Bài tp 5: Biết tiếp tuyến ca đồ th hàm s
42
2
yax bx
ti đim
1;1A
vuông góc vi đường
thng
:230dx y . Giá tr
22
ab bng
A. 13. B. –2. C. –5. D. 10.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
13
:230
22
 dx y y x
nên
1
2
d
k
Vì tiếp tuyến vuông góc vi d nên phi có h s góc bng –2.
Ta có

32
4222
 yaxbxxaxb
đim
1;1A
là tiếp đim ca tiếp tuyến vi đồ th nên 1
x là nghim ca phương trình
2
22 2 22 2 2 1 xax b ab ab .
Mt khác đim A thuc đồ th hàm s nên
21 1
ab ab .
Vy ta có h
22
21 2
5.
13






ab a
ab
ab b
Bài tp 6: Cho hàm s
32
391 yx x x đồ th là (C). S tiếp tuyến ca (C) to vi đường thng
:1 dy x mt góc
tha mãn
5
cos
41
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn D.
Gi k là h s góc ca tiếp tuyến cn tìm.
Ta có

2
514
cos 0 90 tan 1
cos 5
41


.
Vì d có h s góc bng –1 nên
9
14
tan
1
15
9

k
k
k
k
Ta có
2
369
yx x.
+ Trường hp 1:
2
0
920
2

x
kxx
x
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 191
T đó ta tìm được hai tiếp tuyến
91
y
x
93

y
x
.
+ Trường hp 2:
2
1 9 321
27 54 80 0
99
 kxxx
T đó ta tìm được hai tiếp tuyến là

0
1 9 321
99





yx yx
Vy có bn tiếp tuyến cn tìm.
Bài tp 7: Cho hàm s
42
17
84
yx x
đồ th (C). Có bao nhiêu đim A thuc đồ th (C) sao cho tiếp
tuyến ca (C) ti A ct (C) ti hai đim phân bit
11 2 2
;; ;Mx y Nx y ( M, N khác A ) tha mãn
12 12
3 yy xx
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Hướng dn gii
Chn B.
Do tiếp tuyến đi qua hai đim
11 2 2
;; ;
M
xy Nxy
nên h s góc ca tiếp tuyến là
12
12
3

yy
k
xx
.
Ta có
3
17
22
yxx
.
Xét phương trình
3
17
3 3;1;2.
22
 xx xx x
Mt khác để tiếp tuyến ca hàm s trùng phương ct được đồ th ti hai đim phân bit thì tiếp đim A ch
có th chy trong phn đồ th t đim cc tiu th nht sang đim cc tiu th hai (tr hai đim un).
Khi đó phương trình
3
0
070
7
 
x
yxx
x
Do đó hai đim cc tiu là
7x 7x nên hoành độ ca tiếp đim
0
7; 7x
Vy ch
00
1; 2 xx tha mãn.
Dng 4: Viết phương trình tiếp tuyến ca đồ th hàm s
ax b
y
cx d
khi biết mi quan h ca tiếp
tuyến vi các đường tim cn ca đồ thm s
1. Phương pháp gii
Vi hàm s
ax b
y
cx d
( vi 0; 0
cadbc) thì đồ th hàm s có hai tim cn là
;
da
xy
cc
.
Gi
;



da
I
cc
là giao đim ca hai đường tim cn ( và cũng là tâm đối xng ca đồ th).
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 192
Khi đó tiếp tuyến ti đim
00
;yMx
bt kì ca đồ th ct tim cn đứng ti đim

0
0
2
;





bc ad acx
d
A
cccxd
và ct tim cn ngang ti đim
0
2;



da
Bx
cc
.
Ta có

0
0
22
;


ad bc cx d
IA IB
ccx d c
2
4
.

ad bc
IA IB K
c
là hng s không đổi.
Suy ra
2
2
IAB
ad bc
S
c
.
Khi đó các bài toán sau là tương đương:
Tìm đim
M
C
hoc viết phương trình tiếp tuyến ca (C) biết tiếp tuyến to vi hai tim cn mt
tam giác vuông có
a) Cnh huyn nh nht
22
2. 2
A
BIAIB IAIB K
Du bng xy ra khi
IA IB .
b) Chu vi nh nht
Ta có 2. 2. 2 2 IA IB AB IA IB IA IB K K
Du bng xy ra khi
IA IB
.
c) Bán kính đường tròn ngoi tiếp nh nht
Ta có
1
22

K
RAB
.
Du bng xy ra khi
IA IB .
d) Bán kính đường tròn ni tiếp ln nht
Ta có 

SK
r
p
IA IB AB
Vy r ln nht khi
IA IB AB nh nht và bng 22KK.
Du bng xy ra khi
IA IB .
e) Khong cách t I đến tiếp tuyến ln nht
Gi H là hình chiếu ca I lên d, ta có
222
111 22
.2

K
IH
IH IA IB IA IB K
Du bng xy ra khi
IA IB
.
Nhn xét: Các câu hi trên thì đẳng thc đều xy ra khi
IA IB
nên
IAB
vuông cân ti I.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 193
Gi
là góc gia tiếp tuyến d và tim cn ngang
2
thì
2
;;45
 ddOx
nên h sc ca
tiếp tuyến là
tan 45 1 k .
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho hàm s
1
1
x
y
x
đồ th (C). Có bao nhiêu cp đim A, B thuc (C) mà tiếp tuyến ti
đó song song vi nhau?
A. Không tn ti cp đim đó. B. Vô s s cp đim.
C.
2. D. 1.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi s
11
;,B,
11





ab
Aa b
ab
vi ;, 1abab .
Do tiếp tuyến ti A, B song song vi nhau nên
 


22
22
2
11





ab
ya yb
ab
ab
Do
ab nên ch 2ab . Vy có vô s cp đim A, B tha mãn.
Nhn xét: Hai đim A, B phân bit thuc đồ th hàm s
ax b
y
cx d
mà tiếp tuyến ti đó song song vi
nhau thì A, B đối xng vi nhau qua tâm đối xng I.
Bài tp 2: Tiếp tuyến ca đồ th hàm s
43
21
x
y
x
cùng vi hai tim cn to thành mt tam giác có din
tích bng
A. 6. B. 7. C. 5. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Gi
00
;
M
xy
là tiếp đim ca tiếp tuyến vi đồ th. Khi đó tiếp tuyến ti M ct hai tim cn ti A, B và I
là giao đim ca hai tim cn.
Theo lý thuyết đã nêu thì
24 6
5.
4

IAB
S .
Bài tp 3: Cho hàm s
21
1
x
y
x
đồ th (C). Tiếp tuyến ti đim
;,0Mab C a to vi hai
tim cn ca (C) mt tam giác có bán kính đường tròn ngoi tiếp bng
2 . Giá tr ca 2ab bng
A. 2. B. 4. C. 8. D. 5.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 194
Gi A, B là giao đim ca tiếp tuyến vi hai đường tim cn và I là giao đim ca hai đường tim cn. Do
IAB vuông ti I nên bán kính đường tròn ngoi tiếp
IAB
1
222
2
RAB AB
.
Theo lý thuyết, ta có
22
.4, 2.22 IA IB AB IA IB IA IB .
Du " = " xy ra khi
IA IB . Khi đó h s góc ca tiếp tuyến 1
k .
Mt khác


2
1
01
1

kya k
a
.
Ta có

2
0
1
1
2
1

a
a
a
. Do
023.aab
Vy 28.
ab
Bài tp 4: Gi (C) là đồ th ca hàm s
2
2
xm
y
x
, m là tham s khác –4 và d là mt tiếp tuyến ca (C).
Gi S là tp các giá tr thc ca tham s m để d to vi hai đường tim cn ca (C) mt tam giác có din
tích bng 2, tng giá tr các phn t ca S bng
A. –11. B. 8. C. 3. D. –8.
Hướng dn gii
Chn D.
Gi A, B ln lượt là các giao đim ca tiếp tuyến vi hai đường tim cn và I là giao đim ca hai tim
cn.
Theo lý thuyết, ta có
.44 24

IAB
IA IB m S m
Vy ta
3
242
5



m
m
m
5; 3S nên tng các phn t ca S bng –8.
Bài tp 5: Gi là tiếp tuyến ti đim
00 0
;, 0
Mx y x thuc đồ th ca hàm s
2
1
x
y
x
sao cho
khong cách t
1;1I đến A đạt giá tr ln nht. Giá tr
00
.xy bng
A. –1. B. 0. C. –2. D. 2.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi A, B là giao đim ca A vi hai đường tim cn.
Theo lý thuyết

;dI ln nht khi 1IA IB k .
Mt khác


0
2
0
1
01
1

kyx k
x
.
Vy

0
2
0
0
0
1
1
2
1


x
x
x
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 195
Do
00 000
020.0  xx yxy
.
Bài tp 6: Cho hàm s
22
1
x
y
x
đồ th là (C). Phương trình tiếp tuyến ca (C) to vi hai tim cn
mt tam giác có chu vi nh nht là
A. :1
y
x :17yx
B.
:1
y
x :7yx
C.
:21yx
:7yx
D.
:3yx :2yx
Hướng dn gii
Chn B.
Gi A, B là giao đim ca tiếp tuyến ti đim
00
;
M
xy C
vi hai tim cn và I là giao đim ca hai
đường tim cn. Khi đó IAB vuông ti I.
Theo lý thuyết, chu vi
IAB 2. 2. 842 IA IB AB IA IB IA IB
2
4
.16

ad bc
IA IB
c
Do đó chu vi nh nht bng
842 khi 1
IA IB k .
Mt khác


0
2
0
4
01
1

kyx k
x
.
Vy ta

0
2
0
0
3
4
1
1
1


x
x
x
Vi
0
3x thì
0
4y . Do đó phương trình tiếp tuyến là
34 7
yx x
Vi
0
1x
thì
0
0y
. Do đó phương trình tiếp tuyến là
11
yx x
Bài tp 7: Cho hàm s
22
1
x
y
x
đồ th (C). Mt tiếp tuyến bt k vi (C) ct đường tim cn đứng
đường tim cn ngang ca (C) ln lượt ti A và B, biết
1; 2I . Giá tr ln nht ca bán kính đường
tròn ni tiếp tam giác IAB bng
A. 732 . B. 842 . C. 422 D. 832
Hướng dn gii
Chn C.
Gi A, B là giao đim ca tiếp tuyến ti đim
00
;
M
xy C
vi hai tim cn và I là giao đim ca hai
đường tim cn và IAB vuông ti I.
Theo lý thuyết, ta có

2
4
.168
IAB
ad bc
IA IB S
c
.
Khi đó bán kính đường tròn ni tiếp
IAB ln nht xy ra khi
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 196
442 422
2


IA IB AB
IA IB AB p
max
8
422
422

r
Bài tp 8: Cho hàm s
2
2
x
y
x
đồ th (C). Phương trình tiếp tuyến ca (C) to vi hai trc ta độ
mt tam giác có din tích bng
1
18
A.
91 42
;.
42 99
 yx yx
B.
931 42
;.
42 99
 yx yx
C.
91 44
;.
42 99
 yx yx
D.
91 41
;.
42 99
 yx yx
Hướng dn gii
Chn A.
Gi

2
;2
2




a
Ma a
a
là tiếp đim ca tiếp tuyến. Khi đó phương trình tiếp tuyến d ca (C) ti M là



2
24 2
22
2


aa
yyaxa y xa
aa
a
.
Gi A, B ln lượt là các giao đim ca d vi hai trc Ox, Oy.
Ta độ các đim A, B

22
2
2
;0 , 0;
2
2







aa
AB
a
.
Vy

2
4
2
2
1
32
11
.
2
218
32
22
3



OAB
a
aa
a
SOAOB
a
aa
a
Vi

1
4242
1: 1
9399
 adyx x
.
Vi
2
29291
:1
34342




adyx x
Bài tp 9: Cho hàm s
21
22
x
y
x
đồ th (C). Gi
00 0
;, 0Mx y x đim thuc (C), biết tiếp tuyến
ca (C) ti M ct tim cn đứng và tim cn ngang ln lượt ti A và B sao cho
8

OIB OIA
S
S ( I là giao hai
đường tim cn). Giá tr biu thc
00
4
S
xy bng
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 197
A.
13
4
. B. –2. C. 2. D.
7
4
.
Hướng dn gii
Chn B.
Do góc
OIA OIB n
1
8

OIA
OIB
S
IA
SIB
.
tan
IA
kIBA
IB
nên
11
88
kk
.
Mt khác


0
2
0
21
0
8
41

kyx k
x

0
2
0
0
3
11
81
21


x
x
x
.
Do
0
0x
nên
00 00
5
342
4
 xy Sxy
Bài tp 10: Cho hàm s
23
2
x
y
x
đồ th là (C). Phương trình tiếp tuyến ti đim M thuc (C) ct
tim cn đứng và tim cn ngang ln lượt ti A, B sao cho côsin góc
ABI bng
4
17
vi
2;2I
A.
13 17
;
42 42
  yxyx
B.
13 17
;
42 42
  yxyx
C.
13 17
;
42 42
  yxyx
D.
13 17
;
42 42
  yxyx
Hướng dn gii:
Chn D.
Ta có
2
111
tan 1
44
cos
 kABI k
ABI
Gi s
00
; Mx y C
thì


0
2
0
11
0.
4
2

kyx k
x
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 198
Xét phương trình

0
2
0
0
0
11
44
2

x
x
x
+ Vi
0
0x
thì
0
3
2
y
. Phương trình tiếp tuyến là
13
42
yx
.
+ Vi
0
4x thì
0
5
2
y
. Phương trình tiếp tuyến là

1517
4
4242
yx x
Dng 5. Lp phương trình tiếp tuyến ca đồ th hàm s
y
fx đi qua đim
00
;
M
xy cho trước.
1. Phương pháp gii
Thc hin mt trong hai cách sau
Cách 1:
Bước 1.
Gi s tiếp tuyến có h s góc k, khi đó phương trình tiếp tuyến có dng
00
.ykxx y
Bước 2. Tìm k là nghim ca h phương trình

00

fx kx x y
fx k
T đó suy ra phương trình ca tiếp tuyến.
Cách 2:
Bước 1.
Gi s
;Aaf a là tiếp đim ca tiếp tuyến vi đồ th hàm s đã cho nên phương trình
tiếp tuyến ti đim A là
yfaxa fa
.
Bước 2. Do tiếp tuyến đi qua
00
;
M
xy nên a là nghim ca phương trình
00
 fax a fa y
.
Tìm a và suy ra phương trình tiếp tuyến.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho đồ th hàm s

1
:
2
x
Cy
x
. Có bao nhiêu tiếp tuyến ca đồ th hàm s đi qua đim

2; 1A ?
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có

2
1
,2
2

yx
x
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 199
Gi ta độ tiếp đim là
0
0
0
1
;
2




x
Mx
x
vi
0
2
x
. Khi đó phương trình tiếp tuyến ca đồ th (C) ti
đim M là


0
0
2
0
0
1
1
2
2


x
yxx
x
x
.
Do tiếp tuyến đi qua đim
2; 1A nên ta có phương trình

0
00
2
00
0
2
1
11
22
2



x
xx
xx
x
( vô nghim).
Vy không có tiếp tuyến tha mãn yêu cu đề bài.
.
Nhn xét: Đối vi đồ th hàm s
ax b
y
cx d
thì không có tiếp tuyến nào ca đồ th hàm s đi qua đim
;



da
I
cc
là giao đim ca hai đường tim cn.
Bài tp 2: Cho hàm s
42
13
3
22
yxx
đồ th (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến ca đồ th (C) đi qua
đim
3
0;
2
A



?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Phương trình đường thng đi qua đim
3
0;
2
A



và có h s góc k có dng
3
2
ykx
.
Để
tiếp xúc vi (C) thì h phương trình


42
3
133
31
222
26 2
xx kx
xxk


có nghim x.
Thế (2) vào (1), ta có

42 3
13 3
326
22 2
xx xxx

22
0
20
2
x
xx
x


.
+ Vi
1
3
00:.
2
xk y
+ Vi
2
3
222:22x.
2
xk y   
+ Vi
3
3
222:22x.
2
xk y 
Vy có ba tiếp tuyến tha mãn.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 200
Dng 6: Xác định các đim M để có k tiếp tuyến ca đồ th hàm s
:Cyfx đi qua đim M
1. Phương pháp gii
Thc hin theo các bước sau:
Bước 1. Xây dng ta độ đim
;
M
ab .
Bước 2. Gi s d là đường thng đi qua M và có h s góc k. Khi đó phương trình đường thng
:dy kx a b.
Bước 3. Để d là tiếp tuyến ca (C) thì h phương trình


*
fx kx a b
fx k

có nghim.
Da vào s nghim ca h trên suy ra s tiếp tuyến tương ng bài toán yêu cu.
Nhn xét:
- Nếu
fx là hàm s bc 2, bc 3, bc nht trên bc nht thì h (*) có bao nhiêu nghim thì
tương ng vi by nhiêu tiếp tuyến.
- Nếu
fx là hàm s trùng phương có 3 đim cc tr thì nếu h (*) có nghim không phi là hoành độ
ca 2 đim cc tiu (cc đại) thì mi nghim ng vi mt tiếp tuyến ca đồ th (C).
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho hàm s
32
62yx x đồ th (C) và đim
;2Mm . Gi S là tp hp các giá tr
thc ca m để qua M có hai tiếp tuyến vi đồ th (C).
Tng các phn t ca S bng
A.
20
.
3
B.
13
.
2
C. 4. D.
16
.
3
Hướng dn gii
Chn A.
Gi d là đường thng đi qua
;2Mm
và có h s góc k.
Khi đó phương trình ca d là
2ykxm.
Đểđúng hai tiếp tuyến ca (C) đi qua M thì h phương trình

2
32
312
62 2
kx x
xx kxm


phi có hai nghim phân bit.
T h trên, ta có
32 2
62312 2xx x xxm


2
2
0
23 212 0
23 2120*
x
xx m x m
xmxm




Để hđúng hai nghim, ta xét các trường hp sau
+ Trường hp 1: Phương trình (*) có nghim kép khác 0
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 201

2
6
92960
2
12 0
3
m
mm
m
m


.
+ Trường hp 2: Phương trình (*) có hai nghim phân bit trong đó có mt nghim bng 0

2
92960
0
12 0
mm
m
m


Vy
2
6; ;0
3
S



nên tng các phn t bng
20
3
.
Bài tp 2: Cho hàm s
2
23xx
đồ th (C) đim
1;Aa. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca a để
đúng hai tiếp tuyến ca (C) đi qua A ?
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có hàm s
2
23yx x xác định trên
,
2
1
23
x
y
xx
.
Gi k là h s góc ca đường thng
đi qua
1;
A
a .
Phương trình đường thng

:1ykx a
.
Đường thng
tiếp xúc vi đồ th (C) khi h phương trình sau có nghim


2
2
23 1 1
1
2
23
xx kx a
x
k
xx


Thay (2) vào (1) ta được

2
2
1
23 1
23
x
xx x a
xx



2
222
23 1 23 232xx x axx axx  

2
2
3
23
a
xx


.
Qua A có đúng hai tiếp tuyến ca (C) khi và ch khi phương trình (3) có hai nghim phân bit.
Xét hàm s

2
2
23
fx
xx

.
Ta có



22
21
;01
23 23
x
fx fx x
xx xx



 
.
Bng biến thiên
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 202
T bng biến thiên ta có (3) có hai nghim phân bit thì
0; 2 .a
Mà a nguyên nên 1a .
Dng 7: Lp phương trình tiếp tuyến ca đồ th hàm s n ti đim có hoành độ
0
xx cho trước
1. Phương pháp gii
T biu thc ca hàm n, tìm cách tính các giá tr
00
yfx
0
fx
.
Áp dng công thc viết phương trình tiếp tuyến ca đồ thm s
yfx
ti đim có hoành
độ
0
xx
.
Chú ý công thc đạo hàm ca hàm s hp: Cho hàm s
fxđạo hàm trên khong
,Ku ux
hàm s xác định và có đạo hàm trên K và có giá tr trên khong K. Khi đó



.fu uf u

.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho hàm s
yfx đạo hàm liên tc trên tha mãn
2
22 12 12,fx f x x x . Phương trình tiếp tuyến ca đồ th hàm s
yfx ti đim có
hoành độ bng 1 là
A.
22.yx
B.
46.yx
C.
26.yx D. 42.yx
Hướng dn gii
Chn D.
Ta cn tính
 
1, 1ff
.
T gi thiết
2
22 12 12,fx f x x x . (*)
Chn
0x
1
2
x
, ta được


20 1 0 0 1
21 0 3 1 2
ff f
ff f







.
Ly đạo hàm hai vế (*) ta được
4. 2 2. 1 2 24 ,fx f x xx


Chn
0x
1
2
x
, ta được


40210 02
412012 14
ff f
ff f









.
Vy
12;14ff
 nên phương trình tiếp tuyến là
41242yx x
 .
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 203
Bài tp 2: Cho các hàm s
3
,,2yfxygx ffx yhx fx đạo hàm trên và có
đồ th ln lượt là
123
,,CCC. Đường thng 2x
ct
123
,,CCC ln lượt ti A, B, C. Biết
phương trình tiếp tuyến ca
1
C ti A và ca
2
C ti B ln lượt là
34yx
613yx
. Phương
trình tiếp tuyến ca
3
C ti C là
A.
24 23.yx
B.
10 21.yx
C.
12 49.yx D. 25.yx
Hướng dn gii
Chn A.
Để gii bài toán, ta cn tính

2h
2h
.
Phương trình tiếp tuyến ca
1
C ti A là
 
 

23 23
22234
22 24 210
ff
yf x f x
ff f








Phương trình tiếp tuyến ca

2
C
ti B là
 
2. 2 2 2 2. 10 2 10 6 13yf ff x ff f f x f x
.
 

2. 10 6 10 2
22.10 1013 1025
ff f
ff f f










Ta có




323
23. 2hx fx xf x

 nên
2121024hf

21025hf.
Phương trình tiếp tuyến ca

3
C
ti C là
2 2 2 24 2 25 24 23yh x h x x
.
Bài tp 3: Cho hàm s

yfx
xác định có đạo hàm và nhn giá tr dương trên . Biết tiếp tuyến ca
hai đồ th hàm s
yfx


2
fx
ygx
fx

cùng ti đim có hoành độ
0
1x có h s góc ln lượt
là 12 và –3. Giá tr ca
1f bng
A. 3. B. 4. C. 6. D. 2.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có




 


22
222
..2.fx f x fx xf x
fx
gx
fx f x






T gi thiết ta có
112f
13, 0,gfxx

Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 204



2
1. 1 2 1. 1 1
3314.
11
ff ff f
f
ff

 
Bài tp 4: Cho hàm s

yfx đạo hàm liên tc trên . Gi
12
,
ln lượt là tiếp tuyến ca đồ th
hàm s

yfx
2
.4 3ygx xf x
ti đim có hoành độ
1x
. Biết hai đường thng
12
,
vuông góc nhau và
1
không song song vi Ox, Oy . Mnh đề nào sau đây đúng?
A.

312.f B.
12.f
C.

12.f D.
2123.f
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có


 
22
.4 3 2.4 3 4. 4 3gx xf x xf x xf x


.
Ta có h s góc ca các tiếp tuyến
12
, ln lượt là
1f
12141gff

.
Theo gi thiết thì
1. 1 1fg


10f
.
1.2 1 4 1 1fff




 

 
11
21 4 1 2 1 4 1 4 1 2
1
1
fffff
f
f


.
Bài tp 5: Cho hàm s
yfx đạo hàm
fx
trên tha mãn
3
3121fx x x vi mi
x . Phương trình tiếp tuyến ca đồ thm s ti đim có hoành độ 3x
A.
1
3
yx
. B.
1
2
3
yx
. C.
1
3
3
yx
. D.
1
2.
3
yx
Hướng dn gii
Chn B.
Để viết phương trình tiếp tuyến ti đim 3x
, ta cn tính
3f
3f
.
Vi
1x  suy ra
33f .
Do
323
3121 3 3 312fx x x x f x x
 
.
Vi
 
1
16 32 3
3
xf f


.
Do đó phương trình tiếp tuyến cn tìm
  
11
33 3 33 2
33
yf x f y x y x

.
Bài tp 6: Cho hàm s
yfx
đạo hàm trên . Gi
12
,CC
3
C
ln lượt là đồ th ca các
hàm s
2
,fx gx fx
3
hx f x . Biết
11f
và tng h s góc ca hai tiếp tuyến ti đim
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 205
có hoành độ
1x
ca
12
,CC
bng –3. Phương trình tiếp tuyến ca
3
C
ti đim có hoành độ
1x
A.
2.yx
B.
32.yx
C.
1.yx

D.
34.yx
Hướng dn gii
Chn D.
Ta cn tính
1, 1hh
.
Ta có
223
2, 3gx xf x hx xf x


.
Theo gi thiết, ta có
113121311fg f f f

 
.
Do đó
131 3hf


111hf
.
Vy phương trình tiếp tuyến cn tìm
31134yx x

.
Bài tp 7: Cho hai hàm s
,fx gx
đều có đạo hàm trên và tha mãn
322
2223 360fxf xxgxx , vi mi x
. Phương trình tiếp tuyến ca đồ th hàm s
yfx
ti đim có hoành độ
2x
A.
.
y
x
B.
23.yx
C.
23.yx

D.
.
y
x
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
322
2223 360, 1fxf xxgxxx
Thay
0
x
vào (1) ta có
 

32
20
22 2 0
22
f
ff
f

Ly đạo hàm hai vế ca (1) ta được
2 2
3 2 .2 1223.23 2. . 360.2fxfxfxf xxgxxgx


Thay
0x
vào (2) ta có
2
32.2122.2360.3ff ff


+ Vi
20f thay vào (3) thì 36 0 (vô lý).
+ Vi
22f thay vào (3) thì
21f
nên phương trình tiếp tuyến là yx
.
Bài tp 8: Cho hàm s
yfx đạo hàm liên tc trên
tha mãn
 
3
6310fx fx x



vi
mi
x . Phương trình tiếp tuyến ca đồ th hàm s
yfx ti đim có hoành độ 1x
A.
2.yx
B.
.
y
x
C.
12
.
33
yx
D.
14
.
33
yx
Hướng dn gii
Chn D.
Ta cn tính
1, 1ff
.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 206
Thay
1x
vào đẳng thc
 
3
6310fx fx x



, ta có
    
33
161310 16170 11.ff ff f
 

 
Theo bài ra ta có
 
3
6310fx fx x



đúng vi mi x nên đạo hàm hai vế ta được
  
2
3. . 6 3,fx fx fx x




.
Thay
1x vào ta có
  
2
31.161 3ff f




.
11f
nên

1
1
3
f

.
Vy phương trình tiếp tuyến cn tìm
14
33
yx
.
212.f
Dng 8. Tìm các đim trên đồ th hàm s
y
fxtiếp tuyến ti các đim đó song song vi
nhau hoc có cùng h s góc k.
1. Phương pháp gii
Gi s hai đim
;,;
AA BBAB
A
xfx Bxfx x x
thuc đồ th hàm s
yfx mà tiếp
tuyến ti hai đim đó song song vi nhau hoc có cùng h s góc k thì
,
AB
xx là hai nghim ca
phương trình
fx k
.
Khi đó ta có biu thc liên h gia
,
AB
xx. T đó gii quyết yêu cu bài toán đưa ra.
Đối vi hàm s

0; 0
ax b
y c ad bc
cx d

có tâm đối xng là ;
da
I
cc



. Nếu A, B là hai đim thuc
đồ th có tiếp tuyến ti A, B song song vi nhau thì I là trung đim ca AB.
2. Bài tp mu
Bài tp 1:
Cho hàm s
1
21
x
y
x
đồ th (H). Gi
11 2 2
;, ;
A
xy Bxy là hai đim phân bit thuc (H)
sao cho tiếp tuyến ca (H) ti A, B song song vi nhau. Độ dài nh nht ca đon thng AB bng
A. 32. B. 3. C. 6. D. 26.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có

2
3
21
y
x
. Do tiếp tuyến ca (H) ti A, B song song vi nhau nên



12
12
22
12
12
33
1
21 21
xx
yx yx
xx
xx




Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 207
12
xx
nên
12
1xx
.
Khi đó do vai trò ca A, B như nhau nên ta có th gi s
1
11
,0
22
xaa
thì
11 3 11 3
;, ;
222 222
aa
Aa B a
aa





.
Gi
11
;
22
I



là giao đim ca hai đường tim cn.
Ta thy
12
12
12
12
I
I
xx x
yy y


nên I là trung đim ca AB.
Ta có
22
22
3993
;2.
22 4 4 4 4 2
aaa
IA IA
aaa





Vì I là trung đim ca AB nên
3
22 6
2
AB IA
.
Vy
min
6AB khi
2
2
2
9
33
44
a
aa
a

Bài tp 2: Cho hàm s
1
21
x
y
x
đồ th (H). Gi
11 2 2
;, ;Ax y Bx y
là hai đim phân bit thuc (H)
sao cho tiếp tuyến ca (H) ti A , B có cùng h s góc k . Biết din tích tam giác OAB bng
1
2
. Mnh đề
nào dưới đây đúng?
A. 9.k  B. 96.k C. 63.k
 D. 30.k
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:

2
3
21
y
x

Tiếp tuyến ti A, B ca (H) có cùng h s góc k nên
12
,xx là hai nghim pn bit ca phương trình

2
3
0
21
kk
x

.
Suy ra
2
44 30*kx kx k nên
12
12
1
3
.
4
xx
k
xx
k

Khi đó do vai trò ca A, B như nhau nên ta có th gi s
1
11
,0
22
xaa
thì
11 3 11 3
;, ;
222 222
aa
Aa B a
aa





.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 208
Áp dng công thc tính din tích tam giác ABC nếu có
;, ;AB a b AC c d

thì
1
2
ABC
Sadbc

.
Ta có
11 3 11 3
;, ;
222 222
aa
OA a OB a
aa






2
113 1 3131
.
22 2 2 2 4 2
OAB
aa a a a
S
aaa





2
2
2
230 3
3
2
1
230
aa a
a
aa
aa



( vì a > 0).
+ Vi
12
1
32;1 .
3
axx k
+ Vi
12
11;0 3.axx k
Vy giá tr ca k là
1
3;
3
kk 
.
Bài tp 3: Cho hàm s
3
31yx x
đồ th (C). Gi
;, ;
AA BB
Ax y Bx y
vi
AB
xx
là các đim
thuc (C) sao cho tiếp tuyến ti A, B song song vi nhau và
637AB
. Giá tr 23
AB
xx bng
A. 15. B. 90. C. – 15. D. – 90.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
2
33yx
.
Do tiếp tuyến ca (C) ti A, B song song vi nhau nên
AB
yx yx

22
3333 0
AB AB
xxxx (do
AB
xx ).
Gi s
33
,31, , 31Aaa a B a a a vi a > 0 thuc (C).
Khi đó
2
22 3 6 4 2
4 2 6 4 24 40 6 37AB a a a a a a 
642 2
4 24 40 1332 0 9 3aaa a a
(vì a > 0)
3; 3
AB
xx nên 2315.
AB
xx
Bài tp 4: Cho hàm s
2
1
x
y
x
đồ th (C). Gi A, B là hai đim phân bit thuc (C) và tiếp tuyến
ca (C) ti A, B song song vi nhau. Đường thng AB ct các trc Ox, Oy ln lượt ti M, N din tích tam
giác OMN bng
1
4
. Độ dài đon MN bng
A.
10
. B.
5
.
2
C.
35
.
2
D.
10
.
2
Hướng dn gii
Chn B.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 209
Ta có

2
3
1
y
x
. Gi

11 2 2
;, ;
A
xy Bxy
.
Khi đó
22
121 2 12
11 2yx yx x x x x


.
Do đó tâm đối xng
1;1I ca (C) là trung đim ca đon thng AB.
Gi h s góc ca đường thng AB là k.
Phương trình đường thng AB là
11ykx.
Điu kin để đường thng
:11dy kx
ct (C) ti hai đim phân bit A, B là phương trình

2
11*
1
x
kx
x

có hai nghim pn bit 1x
.
Ta có
2
*230kx kx k
có hai nghim phân bit 1x
khi và ch khi

2
0
30 0
230
k
kkk k
kkk


Vì M, N là giao đim ca AB vi Ox, Oy nên

1
;0 , 0;1
k
M
Nk
k



.
Suy ra


2
2
2
1
1
21
1
24
2
OMN
k
k
Skk
k
k

Ta có


2
22
2
22
1
1
111
k
MN k k
kk

 


+ Vi
5
2.
2
kMN
+ Vi
15
.
22
kMN
Vy trong c hai trường hp thì
5
2
MN
.
Dng 9: Mt s dng toán khác
Bài tp 1: Gi A là đim thuc đồ th (C) ca hàm s
42
32yx x

và có hoành độ a. Có bao nhiêu s
nguyên a sao cho tiếp tuyến ca (C) ti A ct (C) ti hai đim phân bit B, C khác A?
A. 1. B. 3. C. 2. D. 5.
Hướng dn gii
Chn B.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 210
Ta có
3
0
46; 0
6
2
x
yxxy
x



.
2
2
12 6; 0
2
yxy x
 

.
Ta độ các đim có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến ti đim đó ct trc hoành ti hai đim tha mãn

66
22
1; 0;1
2
;
2
a
a
aa



.
Vy có ba giá tr nguyên ca a tha mãn.
Nhn xét: Đối vi đồ th hàm s
42
yax bx cđồ th có ba đim cc tr ( khi ab < 0) thì tiếp
tuyến ca đồ th ti các đim có hoành độ nm gia hai đim cc tiu (cc đại), tr đim un s luôn ct
đồ th ti hai đim khác na.
Bài tp 2:
Gi A là đim thuc đồ th (C) ca hàm s
42
32yx x
 và có hoành độ a . Có bao nhiêu s
nguyên a sao cho tiếp tuyến ca (C) ti A ct (C) ti hai đim phân bit B, C khác A và din tích tam giác
OBC bng
23?
A. 1. B. 3. C. 2. D. 5.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
3
0
46;0
6
2
x
yxxy
x



.
2
2
12 6; 0
2
yxy x
 

.
Ta độ các đim có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến ti đim đó ct trc hoành ti hai đim na thì

66
22
1; 0;1
2
2
a
a
a



+ Vi
11;0aA . Khi đó phương trình tiếp tuyến là
21yx
.
Xét phương trình

42
0
3221 1
2
x
xx x x
x

nên
0;2 , 2;6 2
OBC
BC S
 (loi).
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 211
+ Vi

00;2aA
. Khi đó phương trình tiếp tuyến là
2y
nên
3;2 , 3;2 2 3
OBC
BC S

(tha mãn).
+ Vi
11;0aA
. Khi đó phương trình tiếp tuyến là
21yx
nên

0;2 , 2;6 2
OBC
BC S
 (loi).
Vy
0a
.
Bài tp 3: Cho hàm s
1
2
x
y
x
đồ th (C). Gi S là tp hp tt c các giá tr thc ca m sao cho tiếp
tuyến ca (C) ti đim có hoành độ
2xm
ct tim cn đứng ti
11
;Ax y
, ct tim cn ngang ti

22
;
B
xy tha mãn
21
5xy. Tng giá tr các phn t ca S bng
A. 4. B. – 2. C. – 4. D. 2.
Hướng dn gii
Chn B.
Đồ th (C) có tim cn đứng và tim cn ngang ln lượt là
2x
1
y
.
Ta có


2
2
33
,2
2
yym
m
x


.
Gi

3
2; , 0
m
Mm C m
m




, tiếp tuyến ca (C) ti M có phương trình là

2
33
2
m
yxm
mm

.
Giao đim ca tiếp tuyến vi tim cn đứng là
6
2;
m
A
m



và tim cn ngang là
22;1Bm .
Theo gi thiết ta có
2
1
6
2252 46
3
m
m
mmm
mm
 
.
Vy
12
2mm.
Bài tp 4: Cho hàm s
1
1
x
y
x
đồ th (C). Gi A, B là hai đim nm trên hai nhánh ca (C) và các
tiếp tuyến ca (C) ti A, B ct các đường tim cn ngang và tim cn
đứng ln lượt ti các cp M, N và P, Q. Din tích t giác MNPQ nh
nht bng
A. 16. B. 32. C. 8. D. 4.
Hướng dn gii
Chn A.
Gi I là giao đim ca hai đường tim cn. Theo tính cht ca tiếp tuyến đồ th hàm s bc nht trên bc
nht thì
..8IM IN IP IQ.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 212
Ta có

11 1
.....
22 2
MNPQ
S MPNQ IMIPINIQ IMINIPIQIMIQINIP

11641
88 . . 8 . 8 .264 16
22.2
IM IQ IN IP IN IP
IN IP




.
Vy
min
16S khi
64
..8
.
IN IP IN IP
IN IP

hay 22IN IQ IM IP tc là MNPQ là hình
vuông.
Bài tp 5: Cho hàm s
43 2
1
67
2
yxxx
đồ th (C). Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m
để có ít nht hai tiếp tuyến ca (C) song song hoc trùng vi đường thng
:dy mx
?
A. 27. B. 28. C. 26. D. 25.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi s
;Mab
là tiếp đim. Ta
32
2312yxx x
.
Tiếp tuyến ca (C) ti M song song hoc trùng vi đường thng
:dy mx
nên a là nghim ca phương
trình
32
2312 *xx xm
.
Để có ít nht hai tiếp tuyến ca (C) song song hoc trùng vi đường thng d thì phương trình (*) có ít
nht hai nghim.
Xét
32
2312fx x x x
2
1
6612; 0
2
x
yxx y
x


.
Bng biến thiên
T bng biến thiên, để phương trình (*) có ít nht hai nghim thì
20 7m
.
m
nên
20, 19,...,6,7m  .
Vy có 28 giá tr m tha mãn.
Bài tp 6: Cho đường cong

1
:
1
x
Cy
x
đim
1;1I
. Hai đim A B thuc cùng mt nhánh ca
đồ th sao cho
IA IB . Gi
1
k
2
k ln lượt là h s góc ca tiếp tuyến ti A và B. Khi tiếp tuyến ti A
và B ca (C) to vi nhau mt góc
15, giá tr biu thc
12
kk
bng
A. 26 22. B.
42 3. C. 26 22. D.
42 3.
Giáo viên nhu cu sở hu file word vui lòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 213
Hướng dn gii
Chn A.
Do IA IB nên
12
.1kk .
Ta có
12
12
tan15
1.
kk
kk

12
22 3kk
2
12
28 16 3kk

2
12 12
32 16 3 4 2 3 2 6 2 2kk kk .
Nhn xét: Đối vi đồ th hàm s
ax b
y
cx d
có tâm đối xng là I. Cho A, B là hai đim thuc cùng mt
nhánh ca đồ th hàm s tha mãn
IA IB .
Gi
12
,kk là h s góc ca tiếp tuyến ca đồ th hàm s đã cho ti A, B.
Ta có
12
1
kk
c
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 214
BÀI 6. ĐỒ TH HÀM S VÀ S TƯƠNG GIAO
Dng 1: Da vào Đồ th hàm s
Bài tp 1. Hình dng có th có ca đồ th hàm s
32
yx bx xd=+ -+
là nhng hình nào trong các hình sau
đây?
(Hình I) (Hình II) (Hình III) (Hình IV)
A. (I). B. (III). B. (I) hoc (III). D. (II) hoc (IV).
Hướng dn gii.
Chn A.
Hàm s
32
yx bx xd=+ -+ có h s ca
3
dương nên loi (II) và (IV).
Xét
2
321yxbx
¢
=+-
2
30, .
y
bb
¢
¢
D= +> "Î
Do đó hàm s có hai cc tr.
Bài tp 2. Biết rng hàm s
()
32
0yax bx cxda=++ =/+ đồ th là mt trong các dng dưới đây:
(Hình I) (Hình II) (Hình III) (Hình IV)
Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ th như (I) có được khi
0a <
()
0fx
¢
= có hai nghim phân bit.
B. Đồ th như (II) có được khi
0a >
()
0fx
¢
= có hai nghim phân bit.
C. Đồ th như (III) có được khi
0a >
()
0fx
¢
=
vô nghim.
D. Đồ th như (IV) có được khi
0a >
()
0fx
¢
= có có nghim kép.
Hướng dn gii.
Chn C.
Bài tp 3. Cho hàm s
()
42
yfxaxbxc==++đồ th
như hình bên
()
,, .abcÎ
Tính
()
2.f
A.
()
215.f = B.
()
216.f =
C.
()
217.f = D.
()
2 18.f =
Hướng dn gii.
Chn C.
Ta có
()
()
32
4222 .yfx ax bxxaxb
¢¢
==+= +
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 215
Đồ th hàm s đi qua các đim
()( )
0;1 , 1; 1AB-
đồ th hàm s đạt cc tiu ti
()
1; 1B -
nên ta có h
phương trình:
()
()
()
01
12
11 1 4.
420 1
10
f
ca
f abc b
ab c
f
ì
ï
=
ìì
==
ïï
ï
ïï
ï
ïï
ï
ïï
=- + + =- =-
íí í
ïï ï
ïï ï
ïï ï+= =
¢
=
ïï
îî
ï
î
Do đó:
() ()
42
241 217.yfx x x f==-+¾¾=
Dng 2: Bng biến thiên
Bài tp 1. Cho hàm s
()
32
yfx axbxcxd==+++ có bng biến thiên sau:
Đồ th nào trong các phương án A, B, C, D th hin hàm s
()
yfx=
?
A B C D
Hướng dn gii.
Chn A.
Da vào bng biến thiên, ta thy:
• Hàm s có giá tr cc đại bng
2 giá tr cc tiu bng 2.- Loi đáp án B và C.
• Khi
x
+¥
thì y +¥ nên ch đáp án A là phù hp.
Bài tp 2. Cho hàm s
()
32
yfx xaxbxc==+++
có bng biến thiên như hình v:
Tính giá tr ca biu thc
3.Pab c=++
A.
9.P =- B. 3.P =- C. 3.P = D. 9.P =
Hướng dn gii.
Chn B.
Đạo hàm
2
32 .yxaxb
¢
=++
Phương trình
0y
¢
= có hai nghim là 1- 3
32 0 3
.
27 6 0 9
ab a
ab b
ìì
-+= =-
ïï
ïï

íí
ïï
++= =-
ïï
îî
Li có
()
324 2793 24 3.fabcc=- ¾¾+++=¾=
Vy
33.Pab c=++ =-
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 216
Bài tp 3. Cho hàm s
() ( )
42
0yfx axbxca==++¹ có bng biến thiên như hình v:
Tính giá tr ca biu thc
222
.
P
abc=++
A.
2.P = B. 4.P = C. 6.P = D. 8.P =
Hướng dn gii.
Chn C.
Đạo hàm
()
32
4222 .yaxbxxaxb
¢
=+= +
Phương trình
0y
¢
= có nghim
1x =
20.ab+=
()
1
Li có
()
()
01
1
2
12
f
c
abc
f
ì
ï
=
ì
=
ï
ï
ï
íí
ïï
++=
=
ï
ïî
î
.
()
2
Gii h
()
1
()
2,
ta được
222
1, 2, 1 6.a b c Pabc=- = = ¾¾= + + =
Bài tp 4. Cho hàm s
() ( )
42
0yfx ax bxa==+ ¹ có bng biến thiên như hình v:
Hiu
ab- bng
A.
3.-
B.
1.-
C.
1.
D.
3.
Hướng dn gii.
Chn D.
Đạo hàm
()
()
32
4222 .
f
xaxbxxaxb
¢
=+= +
T bng biến thiên, ta có
()
()
()
10
22 0
1
.
2
11
1
f
ab
a
b
f
ab
ì
¢
ì
ï=
ì
ï+=
=
ï
ï
ïï

íí í
ïï ï
=-
-
+=-
ï
ïï î
î
î
Dng 3 : Phép suy đồ th
Bài tp 1. Cho hàm s
32
69yx x x=- + đồ th như Hình 1. Đồ th Hình 2 là ca hàm s nào trong bn
đáp án A, B, C, D dưới đây?
Hình 1 Hình 2
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 217
A.
32
69.yx xx=- + - B.
32
69.yx x x=+ +
C.
32
69.yx x x=- + D.
3
2
69.yx x x=- +
Hướng dn gii.
Chn D.
Nhc li lí thuyết: Đồ th hàm s
()
yfx= được suy ra t đồ th hàm s
()
yfx= bng cách
• Gi nguyên phn đồ thm s
()
yfx= vi 0.x ³
• Sau đó ly đối xng phn đồ th va gi trên qua trc
Oy .
Bài tp 2. Cho hàm s
32
32yx x=+ -đồ th như Hình 1 . Đồ th Hình 2 là ca hàm s nào dưới đây?
Hình 1 Hình 2
A.
3
2
32.yx x=+- B.
32
32.yx x=+ -
C.
3
2
32.yx x=+- D.
32
32.yxx=- - +
Hướng dn gii.
Chn B.
Nhc li lí thuyết: Đồ th hàm s
()
yfx=
được suy ra t đồ th hàm s
()
yfx=
bng cách
• Gi nguyên phn đồ thm s
()
yfx= vi 0.y ³
• Ly đối xng phn đồ th hàm s
()
yfx= vi 0y < qua trc .Ox
Bài tp 3. Cho hàm s
()
()
2
21yx x=- -
đồ th
như hình v bên. Hình nào dưới đây là đồ th ca
hàm s
()
2
21yx x=- -?
A.
B. C. D.
Hướng dn gii.
Chn A.
Ta có
()
()
()
()
()
2
2
2
21khi2
.
21
2
khi 2
1
xx x
yx x
xx x
é
-- ³
=-
ê
=
ê
ê
-- - <
ë
-
Suy ra đồ th ca hàm s
()
2
21yx x=- - như sau:
• Gi nguyên phn đồ th ca hàm s
()
()
2
21yx x=- - vi 2x ³ (bên phi đường thng 2x = ).
• Ly đối xng phn đồ th
()
()
2
21yx x=- - vi 2x < qua trc hoành.
Hp hai phn đồ th trên ta được đồ th hàm s cn tìm.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 218
Bài tp 4. Cho hàm s
()
()
2
21yx x=- -đồ th
như hình v bên. Hình nào dưới đây trong các đáp
án A, B, C, D là đồ th ca hàm s
()
2
132?yx x x=+ - +
A.
B. C. D.
Hướng dn gii.
Chn C.
Ta có
()
()
()
()
()
2
2
2
21khi 1
132 .
21khi 1
xx x
yx x x
xx x
é
-- ³-
ê
=+ - +=
ê
ê
-- - <-
ë
Suy ra đồ th ca hàm s
()
2
132yx x x=+ - + ging hoàn toàn phn đồ th ca hàm s
()
()
2
21yx x=- -
vi
1x ³- (bên phi đường thng 1x =- ).
Đối chiếu các đáp án ta
Bài tp 5. Cho hàm s
21
x
y
x
=
+
đồ th như Hình 1 . Đồ th Hình 2 là ca hàm s nào trong các đáp
án A, B, C, D dưới đây?
Hình 1 Hình 2
A.
.
21
x
y
x
=
+
B. .
21
x
y
x
=
+
C. .
21
x
y
x
=
+
D. .
21
x
y
x
=
+
Hướng dn gii.
Chn A.
Bài tp 6. Cho hàm s
2
21
x
y
x
+
=
-
đồ th như Hình
1
. Đồ th Hình
2
là ca hàm s nào trong các đáp án
A, B, C, D dưới đây?
Hình 1 Hình 2
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 219
A.
2
.
21
x
y
x
æö
+
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
èø
-
B.
2
21
x
y
x
+
=
-
C.
2
.
21
x
y
x
+
=
-
D.
2
.
21
x
y
x
+
=
-
Hướng dn gii.
Chn B.
Bài tp 7. Đồ th hàm s
21
1
x
y
x
-
=
-
đồ th
như hình bên. Hi đồ th hàm s
21
1
x
y
x
-
=
-
đồ th là hình nào trong các đáp án sau:
A.
B.
C.
D.
Hướng dn gii.
Chn C.
Ta có
21 1
khi
21
12
21 1
1
1
.
khi
2
x
x
x
x
y
x
x
x
x
ì
ï
ï
-
³
-
-
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
î
==
-
-
-<
-
Do đó đồ th hàm s
21
1
x
y
x
-
=
-
được suy t đồ th hàm s
21
1
x
y
x
-
=
-
bng cách:
• Gi nguyên phn đồ thm s
21
1
x
y
x
-
=
-
phía bên phi đường thng
1
.
2
x =
• Ly đối xng phn đồ th hàm s
21
1
x
y
x
-
=
-
phía bên trái đường thng
1
2
x =
qua trc hoành.
Hp hai phn đồ th trên ta được toàn b đồ th hàm s
21
.
1
x
y
x
-
=
-
Bài tp 8. Trong các đồ th hàm s sau, đồ th nào là đồ th ca hàm s
1
x
y
x
=
-
?
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 220
A.
B.
C.
D.
Hướng dn gii.
Chn B.
Ta có
khi 1
1
.
1
khi 1
1
x
x
x
x
y
x
x
x
x
ì
ï
ï
>
ï
ï
-
ï
==
í
ï
-
ï
-<
ï
ï
-
ï
î
Do đó đồ th hàm s
1
x
y
x
=
-
được suy t đồ th hàm s
1
x
y
x
=
-
bng cách:
• Gi nguyên phn đồ thm s
1
x
y
x
=
-
phía bên phi đường thng 1.x =
• Ly đối xng phn đồ th hàm s
1
x
y
x
=
-
phía bên trái đường thng
1x =
qua trc hoành.
Hp hai phn đồ th trên ta được toàn b đồ th hàm s
1
x
y
x
=
-
.
Dng 4: Xác định du ca các tham s ca hàm s da vào tính cht đồ th
Bài tp 1. Cho hàm s
32
yax bx cxd=+++đồ th
như hình v bên. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
0, 0, 0, 0.abcd>><>
B.
0, 0, 0, 0.abcd<<<<
C.
0, 0, 0, 0.abcd><<>
D.
0, 0, 0, 0.abcd>>> <
Hướng dn gii.
Chn C.
Ta có
2
32.yaxbxc
¢
=++
Đồ th hàm s th hin
0;a > ct trc tung ti đim có tung độ dương nên 0.d >
Da vào đồ th hàm s, ta thy
CT CÐ CT
CT
10
10 .0
xxx
xxx
ìì
>+>
ïï
ïï
¾¾
íí
ïï
-< < <
ïï
îî
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 221
0
0
2
00 0
3
.
00 0
3
a
a
bb
b
aa
cc
c
aa
>
>
ì
ï
ï
->¾¾<¾¾¾<
ï
ï
ï
í
ï
ï
¾<¾¾¾<
ï
ï
ï
î
Vy
0, 0, 0, 0.abcd><<>
Bài tp 2: Cho hàm s
32
yax bx cxd=+++đồ
th như hình v bên. Mnh đềo dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0, 0.abcd<>><
B.
0, 0, 0, 0.abcd<<> <
C.
0, 0, 0, 0.abcd><<>
D.
0, 0, 0, 0.abcd<><<
Hướng dn gii.
Chn A.
Bài tp 3. Cho hàm s
32
yax bx cxd=+++đồ th như hình
v. Khng định nào dưới đây là đúng?
A.
0, 0.ac bd><
B.
0, 0.ac bd>>
C.
0, 0.ac b d<<
D.
0, 0.ac b d<>
Hướng dn gii.
Chn A.
Ta có
2
32.yaxbxc
¢
=++
• D dàng suy ra
0a >
0.d >
Đồ th hàm s có hai đim cc tr đều dương nên phương trình
0y
¢
= có hai nghim dương phân bit,
suy ra
0
3
c
a
>
0
2
00.
3
a
b
b
a
>
->¾¾¾< Vy 0, 0.ac bd><
Bài tp 4. Cho hàm s
42
yaxbxc=++đồ th như hình v
bên. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
0, 0, 0.abc>>< B. 0, 0, 0.abc><<
C.
0, 0, 0.abc><> D. 0, 0, 0.abc<><
Hướng dn gii.
Chn C.
Đồ th hàm s th hin
0.a >
Đồ th hàm s có ba đim cc tr nên
0
00.
a
ab b
>
¾¾<
Đồ th hàm s ct trc tung ti đim có tung độ dương nên
0.c >
Vy
0, 0, 0.abc><>
Bài tp 5. Cho hàm s
42
yaxbxc=++đồ th như hình
v bên. Khng định nào sau đây đúng?
A.
0, 0, 1.abc<>= B. 0, 0, 1.abc><=
C.
0, 0, 1.abc>>=
D.
0, 0, 0.abc>>>
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 222
Hướng dn gii.
Chn B.
Bài tp 6. Cho hàm s
42
yaxbxc=++đồ th như hình v
bên. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
0, 0, 0.abc<>> B. 0, 0, 0.abc<><
C.
0, 0, 0.abc<<> D. 0, 0, 0.abc<<<
Hướng dn gii.
Chn B.
Bài tp 7. Hàm s
()
42
0yaxbxca=++ ¹đồ th như hình
v bên. Mnh đềo sau đây là đúng?
A.
0, 0, 0.abc< B. 0, 0, 0.abc><£
C.
0, 0, 0.abc> D. 0, 0, 0.abc<<<
Hướng dn gii.
Chn A.
Da vào dáng điu đồ th suy ra
0a >
.
Hàm s
1 đim cc tr nên
0
00.
a
ab b
>
³¾¾¾³
Đồ th hàm s ct trc tung ti đim có tung độ âm nên
0.c <
Vy
0, 0, 0.abc<
Bài tp 8. Hàm s
ax b
y
cx d
+
=
+
vi
0a >
đồ th
như hình v bên. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
0, 0, 0.bcd>> <
B.
0, 0, 0.bcd>< <
C.
0, 0, 0.bcd<< <
D.
0, 0, 0.bcd<> <
Hướng dn gii.
Chn A.
T đồ th hàm s, ta thy
• Khi
0
000.
a
b
yx b
a
>
¾=-<¾¾¾> Khi
0
000
b
b
xy d
d
>
¾= ¾¾<.
Đồ th hàm s có tim cn đứng
0
00.
d
d
xc
c
<
=- > ¾¾¾>
Vy
0, 0, 0.bcd>> <
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 223
Bài tp 99. Hàm s
bx c
y
x
a
-
=
-
(
0;a ¹
)
, , abcÎ
đồ th như hình v bên. Mnh đề nào sau đây là
đúng?
A.
0, 0, 0.abcab>>-<
B.
0, 0, 0.abcab>>->
C.
0, 0, 0.abcab>>-=
D.
0, 0, 0.abcab><-<
Hướng dn gii.
Chn A.
Đồ th hàm s có tim cn đứng
0;xa=>
tim cn ngang
0.yb=>
Mt khác, ta thy dng đồ thđường cong đi xung (t trái sang phi) nên suy ra đạo hàm
()
2
0, 0.
cab
yxacab
xa
-
¢
=<"¹¾¾- <
-
Vy 0, 0, 0.abcab>>-<
Bài tp 10. Đường cong hình bên là đồ th hàm
s
ax b
y
cx d
+
=
+
vi , , , abcd là các s thc. Mnh đề
nào sau đây là đúng ?
A.
0, 1.yx
¢
<"¹ B. 0, 2.yx
¢
<"¹
C.
0, 1.yx
¢
>"¹ D. 0, 2.yx
¢
>"¹
Hướng dn gii
Chn B.
Da vào hình v, ta thy hàm s
ax b
y
cx d
+
=
+
nghch biến trên mi khong xác định và đường thng 2x =
là tim cn đứng ca đồ th hàm s.
Suy ra
0, 2yx
¢
<"¹.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 224
Dng 5: Xác đinh s nghim ca phương trình da vào đồ th hoc bng biến thiên
Bài tp 1. Cho hàm s
()
yfx= có bng biến thiên như sau
S nghim thc ca phương trình
()
270fx-=
A.
2. B. 4. C. 6. D. 8.
Hướng dn gii.
Chn C.
Ta có
() () ()
77
270 .
22
fx fx fx-= = =
Da vào BBT, suy ra
()
7
2
fx=
4 nghim;
()
7
2
fx=-
2 nghim.
Cách 2. T BBT ca hàm s
()
,
f
x
suy ra BBT ca hàm s
()
f
x
như sau
Da vào BBT
() ()
7
270
2
fx fx¾¾-==
6
nghim.
Bài tp 2. Cho hàm s
()
yfx=
xác định, liên tc trên
{
}
\0
và có bng biến thiên như sau
Gi
m là s nghim ca phương trình
()
3fx= n là s nghim ca phương trình
()
3fx= . Khng
định nào sau đây đúng?
A.
4.mn+=
B.
6.mn+=
C. 7.mn+= D.
8.mn+=
Hướng dn gii.
Chn C.
T BBT ca hàm s
()
f
x , suy ra BBT ca hàm
s
() ()
g
xfx= như hình bên(trong đó
a
hoành độ giao đim ca đồ th
()
yfx= vi trc
hoành).
Da vào BBT
()
3fx¾¾= 3 nghim.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 225
T BBT ca hàm s
()
f
x
, suy ra BBT ca hàm
()
()
hx f x=
như hình bên. Da vào BBT
()
3fx¾¾= 4 nghim.
Vy
34 7.mn+=+=
Bài tp 3. Cho hàm s bc ba
()
yfx=
đồ th như
hình v. Hi phương trình
()
2
4fx
éù
=
ëû
có bao nhiêu
nghim?
A.
2. B. 3.
C. 4. D. 5.
Hướng dn gii.
Chn C.
Ta có
()
() ()
() ()
2
2 1
4.
2 2
fx
fx
fx
é
=
ê
éù
=
ê
ëû
=-
ê
ë
Do đó s nghim ca
phương trình
()
2
4fx
éù
=
ëû
chính là s giao đim ca đồ th
hàm s
()
f
x
vi hai đường thng 2y = 2.y =-
Da vào đồ th ta thy: Phương trình
()
1 1 nghim; Phương trình
()
2 3 nghim. Vy phương trình
đã cho có
4
nghim.
Bài tp 4: Cho hàm s
()
yfx= liên tc trên
[
]
2;2-
đồ thđường cong như hình v. Hi phương trình
()
11fx-= có bao nhiêu nghim phân bit trên
[
]
2;2- ?
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
6.
Hướng dn gii.
Chn C.
Ta có
()
() ()
() ()
0 1
11 .
2 2
fx
fx
fx
é
=
ê
-=
ê
=
ê
ë
Da vào đồ th, ta thy
()
1 3 nghim;
()
2 2 nghim.
Bài tp 5: Cho hàm s
()
32
34fx x x=- +
đồ th như
hình v. Hi phương trình
()
() ()
2
1
354
ffx
fx fx
éù
ëû
=
-+
có bao
nhiêu nghim ?
A.
4. B. 5.
C.
6. D. 8.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 226
Hướng dn gii.
Chn C.
Ta có
()
() ()
() () () ()
32 2
2
134354
354
ffx
fx fx fx fx
fx fx
éù
ëû
= - += - +
-+
() () ()
()
()
()
()
()
()
32
0
1
650 1 2.
3
5
fx
f x f x fx fx
fx
é
=
ê
ê
- +==
ê
ê
ê
=
ë
Da vào đồ th ta thy
()
1 2 nghim;
()
2 3 nghim;
()
3 1 nghim.
Bài tp 6. Cho hàm bc ba
()
=yfxđồ th như hình v.
Hi phương trình
()
1
2
2
fx-=-
có bao nhiêu nghim?
A.
1. B. 3.
C.
4.
D.
6.
Hướng dn gii.
Chn C.
Đồ th hàm s
()
2,fx- được suy t đồ th
()
f
x bng cách:
• Ly đối xng phn đồ th hàm s
()
f
x phía bên phi Oy (xóa phn đồ th bên trái Oy ) qua Oy (xem
Hình 1);
• Tnh tiến đồ th bước trên sang phi
2 đơn v (xem Hình 2).
Hình 1. Hình 2.
T đồ th ca hàm s
()
2,fx-
suy ra phương trình đã cho có
4
nghim.
Bài tp 7. Cho hàm s
()()
1.yx fx=-
xác định, liên tc trên
và có đồ th như hình v. Tìm tt c các giá tr ca m để
đường thng
2
ym m=- ct đồ th hàm s
()
1.yx fx=- ti
hai đim có hoành độ nm ngoài đon
[
]
1;1 .-
A.
0.m > B. 1.m < C. 01.m<< D. 1m > hoc 0.m <
Hướng dn gii.
Chn D.
T đồ th hàm s
()()
1. ,yx fx=- suy ra đồ th hàm s
()
1fxx-
như hình bên.
Da vào đồ th, suy ra phương trình
()
2
1.
x
fx m m-=-
hai nghim có hoành độ nm ngoài đon
[
]
1;1- khi và ch khi
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 227
2
1
0.
0
m
mm
m
é
>
ê
->
ê
<
ë
Bài tp 8. Cho hàm s bc ba
()
yfx=
đồ th như hình
v. Hi phương trình
()
0ffx
é
ù
=
ë
û
có bao nhiêu nghim
thc phân bit?
A.
3. B. 5.
C.
7. D. 9.
Hướng dn gii.
Chn D.
Da vào đồ th hàm s
()
,yfx= ta suy ra phương trình
()
() ( )
() ( )
() ( )
21
0 01
12
fx a a
ffx fx b b
fx c c
é
=-<<-
ê
ê
éù
= = <<
ê
ëû
ê
ê
=<<
ë
()
()
()
1
2.
3
Mi phương trình đều có
3 nghim.
Bài tp 9. Cho hàm s
()
yfx= liên tc trên
và có đồ th
như hình v. S nghim thc ca phương trình
()
()
2ffx=-
A.
2. B. 4.
C.
5. D.
9.
Hướng dn gii.
Chn C.
T đồ th
()
,yfx= suy ra phương trình
()
()
()
()
1
2
2
fx
ffx
fx
é
=-
ê
=-
ê
=
ê
ë
()
()
1
2
.
Da vào đồ th, ta thy
()
1 3 nghim;
()
2 2 nghim.
Bài tp 10. Cho hàm s bc ba
()
yfx=
đồ th như hình
v. S nghim ca phương trình
()
2
230fx +=
A.
0. B. 2.
C.
4. D. 6.
Hướng dn gii.
Chn C.
Đặt
2
tx=
()
0.t ³ Khi đó phương trình đã cho tr thành:
()
3
.
2
ft=-
()
*
S nghim ca
()
* chính là s giao đim ca đồ th hàm s
()
yfx= đường thng
3
.
2
y =- Da vào đồ
th, phương trình
()
()
1
22
33
0
02 .
2
t
txt
txt
é
<
ê
ê
* < < ¾¾=
ê
ê
ê
¾=
ê
ë
loaïi
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 228
Bài tp 11. Cho hàm s
42
yx mx n=+ + vi ,mnÎ
đồ th như hình v. Biết phương trình
42
0xmxn++=
k
nghim thc phân bit,
*
.k Î
Mnh đề nào sau đây đúng?
A.
2,k = 0.mn < B. 2,k = 0.mn >
C.
4,k = 0.mn < D. 4,k = 0.mn >
Hướng dn gii.
Chn C.
Da vào đồ th hàm s ta thy phương trình
42
0xmxn++= 4 nghim phân bit, suy ra
4.k =
Do đồ th hàm s
3 đim cc tr nên 0,m < ta thy hàm s ct trc tung ti đim có tung độ dương nên
00.nmn¾<
Dng 6: Bin lun s nghim ca phương trình
Bài tp 1. Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên
{
}
\1,
liên tc trên tng khong xác định và có bng biến
thiên như sau:
Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m để đồ th hàm s
()
yfx=
ct đường thng 21ym=- ti hai
đim phân bit.
A.
3
1.
2
m<< B.
3
1.
2
m£< C.
3
1.
2
m££ D. 12.m<<
Hướng dn gii.
Chn A.
YCBT
3
12 12 1 .
2
mm< -< < <
Nhn xét: Sai lm hay gp là cho
3
12 12 1 .
2
mm£-£££
Bài tp 2. Cho hàm s
()
yfx= xác định trên
{
}
\1;1,- liên tc trên mi khong xác định và có bng
biến thiên sau:
Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m để đưng thng 21ym=+ ct đồ th hàm s đã cho ti hai đim
phân bit.
A.
2.m £- B. 1.m ³ C. 2,m £- 1.m ³ D. 2,m <- 1.m >
Hướng dn gii.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 229
Chn D.
YCBT
213 1
.
213 2
mm
mm
éé
+> >
êê

êê
+<- <-
ëë
Nhn xét: Nếu yêu cu bài toán có duy nht mt nghim thc
32 13.m- £ + £
Bài tp 3. Cho hàm s
()
32
2912yfx x x x==-+đồ
th như hình v. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m để
phương trình
()
0fx m+=
6
nghim phân bit.
A.
5.m <- B.
54.m-< <-
C.
45.m<< D. 4.m >-
Hướng dn gii.
Chn B.
Trước tiên t đồ th hàm s
()
yfx=
, ta suy ra đồ th
hàm s
()
yfx= như hình v.
Ta có
() ()
0.
f
xm fx m+= =-
Do đó YCBT
4554.mm<-<-< <-
Bài tp 4. Cho hàm s bc ba
()
=yfx
đồ th như
hình v. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để phương trình
()
20fx m-= 4 nghim phân
bit?
A.
3. B. 4.
C.
7.
D.
8.
Hướng dn gii.
Chn C.
Trước tiên t đồ th hàm s
()
,yfx= ta suy ra đồ th
hàm s
()
yfx= như hình v.
Ta có
() ()
20 .
2
m
fx m fx-= =
Do đó YCBT
0408.
2
m
m< << <
Bài tp 5. Tp hp các giá tr ca tham s
m
để đồ th hàm s
()
()
2
1=- + +yx xmxm ct trc hoành ti
ba đim phân bit là
A.
()
0;4 . B.
()
4; .
C.
11
;;0.
22
æöæö
÷÷
çç
- È -
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
D.
()
11
;;04;.
22
æöæö
÷÷
çç
- È - È
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Hướng dn gii.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 230
Chn D.
Phtrình hđgđ:
()
()
()
2
2
1
10 .
01
x
xxmxm
xmxm
é
=
ê
-++=
ê
++=
ê
ë
YCBT
()
1 có hai nghim phân bit khác
2
2
1.1 0
1.
40
mm
mm
ì
ï
++¹
ï
í
ï
D= - >
ï
î
Phương trình hoành độ giao đim
32
0ax bx c x d+++=.
• Nếu nhm được mt nghim
0
x
thì phương trình tương đương
0
2
0
xx
ax b x c
é
=
ê
ê
¢¢
++=
ë
.
• Cô lp tham s
m và lp bng biến thiên hoc dùng đồ th.
• Nếu không nhm được nghim và không cô lp được
m thì bài toán được gii
quyết theo hướng tích hai cc tr, c th:
Đồ th ct trc hoành đúng ba đim phân bit
CD CT
.0.yy<
Đồ th có hai đim chung vi trc hoành
CD CT
.0.yy=
Đồ th có mt đim chung vi trc hoành
CD CT
.0yy> hoc hàm s không có
cc tr.
Chú ý: Nếu
2
32 0yaxbxc
¢
=++=
nhm được hai nghim thì tính
CD CT
, yy d dàng.
Trường hp không nhm được nghim thì dùng mi liên h hai nghim đó là h
thc Viet.
Bài tp 6. Tp hp các giá tr thc ca tham s
m
để đồ th hàm s
32
3yx x=- ct đường thng ym=
ti ba đim phân bit là
A.
()
4;0 .- B.
()
0; .
C.
()
;4. -
D.
()()
;4 0; . - È
Hướng dn gii.
Chn A.
Xét hàm bc ba
32
3,yx x=-
CD
2
CT
00
36 0 .
24
xy
yxx y
xy
é
¾=
ê
¢¢
=-¾¾=
ê
¾=-
ê
ë
Da vào dáng điu ca đồ th hàm bc ba, ta có YCBT
CT CD
40.ymy m<<-<<
Bài tp 7. Cho phương trình
32
23 21.xx m-=+m tt c các giá tr thc ca tham s
m
để phương trình
đã cho có đúng hai nghim phân bit.
A.
1
,
2
m =-
1.m =- B.
1
,
2
m =-
5
.
2
m =-
C.
1
,
2
m =
5
.
2
m =
D. 1,m =
5
.
2
m =-
Hướng dn gii.
Chn A.
Xét hàm bc ba
()
32
23,
f
xxx=-
() ()
CD
2
CT
00
66 0 .
11
xy
fx x x fx
xy
é
¾=
ê
¢¢
=-¾¾=
ê
¾=-
ê
ë
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 231
Da vào dáng điu ca đồ th hàm bc ba, ta có YCBT
CD
CT
21
210
.
21 211
my
m
my m
é
é
+=
+=
ê
ê

ê
ê
+= +=-
ë
ë
Bài tp 8. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để đồ thm s
32
4yx mx=- +
ct trc hoành ti
ba đim phân bit.
A.
0.m ¹
B.
0.m >
C.
3.m ¹
D.
3.m >
Hướng dn gii.
Chn D.
Ta có
()
2
0
32 32 0 .
2
3
x
yxmxxxm y
m
x
é
=
ê
¢¢
ê
=- = - ¾¾=
ê
=
ê
ë
YCBT
Hàm s có hai đim cc tr và hai giá tr cc tr trái du
()
3
2
0
0
3
3.
4
2
4. 4 0
0. 0
27
3
m
m
m
m
m
yy
é
é
¹
ê
¹
ê
ê
ê
æö
ê
 >
-
÷
êç
æö
ê
÷
+<
ç
÷
÷
ê
ç
ç
ê
<
÷
ç
÷
ç
èø
ê
÷
ç
ë
ê
èø
ë
Bài tp 9. Tìm giá tr thc ca tham s
m
để đồ th hàm s
32
32yx mx=- +
đúng hai đim chung vi
trc hoành.
A.
1
.
6
m = B.
3
2.m = C.
3
1
.
2
m =
D. 3.m =
Hướng dn gii.
Chn C.
Ta có
()
2
0
36 3 2 0 .
2
x
yxmxxxm y
x
m
é
=
ê
¢¢
=- = - ¾¾=
ê
=
ë
YCBT
hàm s có hai đim cc tr và tích hai cc tr bng 0
() ( )
()
3
3
0
20
1
.
0. 2 0 2. 4 2 0
2
m
m
m
yym m
ì
¹
ì
ï
¹
ï
ï
ïï
 =
íí
ïï
=-+=
ïï
î
ï
î
Bài tp 10. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để phương trình
3
320xmx-+=
có nghim duy
nht.
A.
0.m £ B.
01.m<<
C.
1.m <
D.
1.m >
Hướng dn gii.
Chn B.
Ta có
()
22 2
333 0 .yxmxm y xm
¢¢
=-= -¾¾= =
Khi đó yêu cu bài toán tương đương vi:
TH1. Hàm s không có cc tr
0y
¢
=
có nghim kép hoc vô nghim 0.m£
TH2. Hàm s có hai cc tr
CD CT
, yy tha mãn
CD CT
.0yy>
()() ()()
00
0
01.
.022220
1
mm
m
m
y my m mm mm
m
ìì
>>
ïï
ì
>
ï
ïï
ïï ï
 <<
íí í
ïï ï
->+->
<
ï
ïï î
ïï
îî
Kết hp hai trường hp ta được
1.m <
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 232
Bài tp 11. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m để đường thng
()
:11dy mx=-+
ct đồ th hàm s
3
31yxx=- + - ti ba đim phân bit
()
1;1 , , .ABC
A.
0.m ¹ B.
9
.
4
m <
C.
9
0
4
m¹<
. D. 0m = ,
9
.
4
m >
Hướng dn gii.
Chn C.
Phtrình hđgđ:
()
3
31 11xx mx-+ -= -+
()
()
()
2
2
1
120 .
20 *
x
xxx m
xx m
é
=
ê
- +-+ =
ê
+-+ =
ê
ë
YCBT
(
)
*
có hai nghim pn bit khác
9
94 0
1
4
0
0
m
m
m
m
ì
ï
ï
ì
D= - >
<
ï
ï
ï

íí
ïï
¹
ï
îï
¹
ï
î
.
Bài tp 12. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m để đồ th hàm s
32
32yx x=- +
ct đường thng
()
:1dy mx=-
ti ba đim phân bit có hoành độ
123
, ,
x
xx tha mãn
222
123
5.xxx++=
A.
3.m >- B. 3.m =- C. 2.m >- D. 2.m =-
Hướng dn gii.
Chn D.
Phtrình hđgđ:
()
()
32
2
1
32 1 .
220 *
x
xx mx
xxm
é
=
ê
-+= -
ê
---=
ê
ë
Để
()
* có hai nghim phân bit khác 1
2
120
3.
12.1 20
m
m
m
ì
¢
D= + + >
ï
ï
>-
í
ï
---¹
ï
î
Gi s
1
1.x = Khi đó
2
,
x
3
x
là hai nghim ca
()
*.
Theo Viet, ta có:
23
23
2
.
2
xx
xx m
ì
+=
ï
ï
í
ï
=- -
ï
î
YCBT
() ()
2
22
23 23 23
42442242xx xx xx m m + = + - =+ + = =-.
Bài tp 13. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m để đường thng :4dy x=+ ct đồ th hàm s
()
32
234yx mx m x=+ ++ +
()
m
C
ti ba đim phân bit
()
0;4 , ,
A
BC
sao cho tam giác
M
BC có din tích
bng
4 , vi
()
1; 3 .M
A.
3.m = B. 2,m = 3.m = C. 2,m =- 3.m =- D. 2,m =- 3.m =
Hướng dn gii.
Chn A.
Phtrình hđgđ:
()
()
32
2
0
2344 .
220*
x
xmxmx x
xmxm
é
=
ê
++++=+
ê
+++=
ê
ë
Để
d ct
()
m
C ti ba đim phân bit
()
* có hai nghim phân bit khác 0
2
2
20
.
21
20
m
mm
m
m
ì
é
>
ï
D= - - >
ï
ê

í
ê
ï
<-
ïë
î
Gi
12
,
x
x là hai nghim ca
()
*. Theo định lí Viet, ta có:
12
12
2
.
.2
x
xm
xx m
ì
+=-
ï
ï
í
ï
=+
ï
î
Gii s
()( )
11 2 2
;4, ; 4.Bx x Cx x++ Ta có
()
2
21
2BC x x=-
[]
13 4
,2.
2
dMd
-+
==
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 233
YCBT:
() ( ) ( )
22
21 12 12
1
4,4 16 416
2
MBC
SdMdBCxxxxxx= = - = + - =
()
()
2
3
60 .
2
m
mm
m
é
=
ê
--=
ê
=-
ê
ë
thoûa maõn
loaïi
Bài tp 14. Tp hp các giá tr thc ca tham s
m
để đường thng :dy mx=- ct đồ th ca hàm s
32
32yx x m=- -+
()
C
ti ba đim phân bit
, , ABC
sao cho
AB BC=
A.
()
;1. -
B.
()
;3 .
C.
()
1; .
D.
()
;.
Hướng dn gii.
Chn B.
Phtrình hđgđ:
()
32
2
1
32 .
220
x
xxm mx
xxm
é
=
ê
--+=-
ê
-+-= *
ê
ë
Để
d ct
()
C ti ba đim phân bit
()
* có hai nghim phân bit khác 1
()
2
0
120
3.
12.1 20 3
m
m
mm
ìì
¢
D>
ïï-->
ïï
<
íí
ïï
-+-¹ ¹
ïï
îî
Gi
12
,
x
x là hai nghim ca
()
*. Theo định lí Viet, ta có
12
2.xx+=
Gi s
2
1x > thì
12
21xx=- <, suy ra
12
1.
x
x<<
Theo gi thiết
BA BC= nên B là trung đim ca AC do đó 1
B
x =
1A
x
x= ,
2C
x
x= . Khi đó ta có
2
AC B
x
xx+= nên d luôn ct
()
C ti ba đim phân bit , , ABC tha mãn .AB BC= Vy vi 3m < tha
mãn yêu cu bài toán.
Bài tp 15. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m để đồ th hàm s
32
368y x mx mx=- + -
ct trc
hoành ti ba đim phân bit có hoành độ lp thành cp s cng.
A.
1.m = B. 2, 1.mm==- C. 1.m =- D. 2.m =
Hướng dn gii.
Chn C.
Ta có
13 2
2
32 Viet
123 2
0.
3
xx x
bb
ax bx c x d x x x x
aa
+=
+++=¾¾¾ + + =- ¾¾¾¾ =-
Phương trình hoành độ giao đim:
32
3680.xmxmx-+-=
()
*
T gi thiết suy ra phương trình
()
* có mt nghim .
x
m=
Thay
x
m= vào phương trình
()
*, ta được
32
1
3. 6. 8 0 .
2
m
mmmmm
m
é
=-
ê
-+-=«
ê
=
ë
Th li: • Vi
1,m =- ta được
32
4
3680 1:
2
x
xxx x
x
é
=-
ê
ê
+--==-
ê
ê
=
ë
tha mãn.
•Vi
2,m = ta được
32
61280 2:xx x x-+-== không tha mãn.
Vy
1m =-
là giá tr cn tìm.
Bài tp 16. Vi điu kin nào ca tham s
k
thì phương trình
()
22
41 1
x
xk-=- có bn nghim phân bit?
A.
02.k<<
B.
3.k <
C.
11.k-< <
D.
01.k<<
Hướng dn gii.
Chn D.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 234
Xét hàm trùng phương
()
22 42
41 4 4,yx x x x=-=-+
()
3
000
16 8 0 .
22
1
22
xy
yxxy
xy
é
¾=
ê
ê
¢¢
æö
=- + ¾¾=
ê
÷
ç
÷
ç
= ¾¾ =
ê
÷
ç
÷
÷
ê
ç
èø
ë
YCBT
CT CD
101101.yky k k <-< <-<<<
Bin lun s nghim ca phương trình
()
42
0, 0 .ax bx c m a b++= > <
()
1
Cách 1. Phương trình
42
ax bx c m++= là phương trình hoành độ giao đim ca đồ th hàm trùng phương
42
yaxbxc=++
đường thng
ym=
(có phương song song vi trc hoành)
Do h s
0, 0ab>< nên đồ th hàm s
42
yaxbxc=++
có dng như sau:
Da vào đồ th ta có:
()
1
vô nghim
CT
.my<
()
1 2 nghim
CT
CD
.
my
my
é
=
ê
ê
>
ë
()
1 3 nghim
CD
.my=
()
1 4 nghim
CT CD
.ymy<<
Cách 2. Phương trình
42 42
0.ax bx c m ax bx c m++=¬¾++-=
()
2
Do h s
0, 0ab>< nên đồ th hàm s
42
yaxbxcm=++- có dng như sau:
Ta có các trường hp sau:
()
2
vô nghim
CT
0.y>
()
2 2 nghim
CT
CD
0
.
0
y
y
é
=
ê
ê
<
ë
()
2 3 nghim
CD
0.y=
()
2
4
nghim
CT CD
0.yy<<
Bài tp 17. Cho hàm s
()
423
1yx mm x m=- + + vi m là tham s thc. Tìm tt c các giá tr ca m để
đồ th hàm s ct trc hoành ti bn đim phân bit.
A.
1.m > B. 2.m >- C. 2.m > D. 01.m
Hướng dn gii.
Chn D.
Xét hàm trùng phương
()
423
1,yx mm x m=- + +
()
()
()
3
3
2
2
23
0
42 1 0 .
11
24
xym
yxmmx y
mm m m
x
ym
é
¾=
ê
ê
¢¢
=- +¾¾=
++
ê
¾=- +
ê
ê
ë
YCBT
m s có ba đim cc tr
CT CD
0yy<<
()
()
2
2
33
1
0
2
01
1
0
4
mm
m
mm
mm
ì
ï
+
ï
>
ï
ï
ï
ï
<¹
í
ï
+
ï
ï
-+<<
ï
ï
ï
î
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 235
Bài tp 18. Cho hàm s
()
42
22 4yx mx m=- + + - -
vi m là tham s thc. Có bao nhiêu giá tr nguyên
ca
m
để đồ th hàm s không có đim chung vi trc hoành?
A.
1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii.
Chn C.
Xét hàm trùng phương
()
42
22 4 ,yx mx m=- + + - -
()
3
2
0
442 0 .
2
x
yx mxy
x
m
é
=
ê
¢¢
=- + + ¾¾=
ê
=+
ë
Da vào dáng điu ca hàm trùng phương vi h s ca
4
âm, ta có các trường hp sau tha mãn yêu
cu bài toán:
Hàm s có mt cc tr và cc tr đó âm
()
20
20
42.
00
40
m
m
m
y
m
ì
ì
ï
ï
ïï
 -<£-
íí
ïï
<
-- <
ï
ïî
î
Hàm s có ba đim cc tr và giá tr cc đại âm
()
2
20
20
20.
20
30
m
m
m
ym
mm
ì
+>
ï
ì
+>
ï
ï
ïï
-<<
íí
ïï
+ <
+<
ïï
î
ï
î
Kết hp hai trường hp ta được
{
}
40 3;2;1.
m
mm
Î
-< < ¾¾¾=---
Bài tp 19. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để đường thng :2dy x m=- ct đồ th hàm s
3
1
-
=
+
x
y
x
()
C ti hai đim phân bit có hoành độ dương.
A.
01<<m . B. 2, 5.mm<- > C.
3
1
2
<<m
. D.
1
0
3
<<m
.
Hướng dn gii.
Chn C.
Phương trình hoành độ giao đim:
()
3
2 1
1
x
xmx
x
-
=- ¹-
+
()()
2
321 2230.xxmx xmxm-= - + - - +=
()
*
YCBT
()
* có hai nghim dương phân bit
0
3
01 .
2
0
Sm
P
ì
¢
D>
ï
ï
ï
ï
><<
í
ï
ï
ï>
ï
î
Bài tp 20. Gi
d đường thng đi qua
()
1; 0A
và có h s góc .m Tìm tt c các giá tr thc ca tham
s
m để d ct đồ th hàm s
2
1
x
y
x
+
=
-
()
C ti hai đim phân bit thuc hai nhánh ca đồ th.
A.
0.m < B. 0.m ¹ C. 0.m > D. 01.m
Hướng dn gii.
Chn C.
Đường thng
d có dng
()
1.ymx mxm=-=-
Phương trình hoành độ giao đim:
()
2
1
1
x
mx m x
x
+
=- ¹
-
()() ()
()
2
212120.
gx
xmxmxmxmxm+= - - - + +-=

()
*
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 236
YCBT
()
*
có hai nghim pn bit
12
x
x< tha mãn
12
1
x
x<<
() ( )
0
0
0.
10 2 1 20
m
m
m
mg m m m m
ì
ì
¹
ï¹
ï
ï
ï
 >
íí
éù
ïï
<-++-<
ïï
îë û
î
Bài tp 21. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m để đường thng : =- +dy x m ct đồ thm s
21
1
-+
=
+
x
y
x
()
C
ti hai đim
,A
B
sao cho
22.AB =
A.
7
.
1
m
m
é
=-
ê
ê
=
ë
B.
7
.
5
m
m
é
=-
ê
ê
=
ë
C.
2
.
1
m
m
é
=-
ê
ê
=
ë
D.
1
.
1
m
m
é
=-
ê
ê
=
ë
Hướng dn gii.
Chn A.
Phương trình hoành độ giao đim:
()
21
1
1
x
xm x
x
-+
=- + ¹-
+
()() ()
2
21 1 1 1 0.xxmxxmxm- + = - + + - + + - =
()
*
Để
d
ct
()
C ti hai đim phân bit
()
* có hai nghim phân bit
()()
2
323
141 0 .
323
m
mm
m
é
>- +
ê
D= + - - >
ê
<- -
ê
ë
Theo đinh lí Viet, ta có
12
12
1
.
1
xx m
xx m
ì
+=+
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
Gi s
()
11
;-+Ax x m
()
22
;.Bx x m-+
YCBT:
() ()
22
2
21 1 2 12
22 8 2 8 4 4==-=+- =AB AB x x x x x x
()()
2
1
141 4
7
m
mm
m
é
=
ê
+--=
ê
=-
ë
(tha mãn).
Bài tp 22. Tìm giá tr thc ca tham s
m để đưng thng :2dy x m=-+ ct đồ th hàm s
2
1
x
y
x
=
-
()
C ti hai đim phân bit
A
B sao cho độ dài
A
B ngn nht.
A.
3.m =- B. 1.m =- C. 1.m = D. 3.m =
Hướng dn gii.
Chn C.
Phương trình hoành độ giao đim:
()
2
2 1
1
x
xm x
x
=- + ¹
-
()()()
2
221 120.xxm x x m xm = -+ - - + +-=
()
*
Ta có
2
290, mm mD= - + > " Î nên d luôn ct
()
C
ti hai đim phân bit.
Gi
1
,
x
2
x
là hai nghim ca
()
*. Theo định lí Viet, ta có
12
12
1
.
2
xx m
xx m
ì
+=+
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
Gi s
()
11
;2Ax x m-+
()
22
;2Bx x m-+
là ta độ giao đim ca
d
()
C
.
Ta có
()() ()()()
22 2 2
2
21 1 2 12
2 2 8 2 18 22 11616.AB x x x x x x m m m= - = + - = +- -= -+³
Du
'' ''= xy ra
1.m=
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 237
Bài tp 23. Tìm giá tr thc ca tham s
k sao cho đường thng :21dy x k=+ + ct đồ th hàm s
21
1
x
y
x
+
=
+
()
C
ti hai đim phân bit
A
B sao cho các khong cách t
A
B đến trc hoành là bng
nhau.
A.
4.k =- B. 3.k =- C. 1.k =- D. 2.k =-
Hướng dn gii.
Chn C.
Phương trình hoành độ giao đim:
()
21
21 1
1
x
xk x
x
+
=+ + ¹-
+
()()
2
21 21 1 2 2 0.xxkx xkxk+=++ ++ +=
()
*
Để
d
ct
()
C
ti hai đim phân bit
()
*
có hai nghim pn bit
2
2
20
0
k
kk
k
é
>
ê
¢
D = - >
ê
<
ë
.
Gi
12
x
x¹
là hai nghim ca
()
*
. Gi s
()
11
;21Ax x k++
()
22
;21Bx x k++
.
YCBT :
[
]
[
]
12
,, 2121dAOx dBOx x k x k=++=++
()
11
21 21xk xk++=- ++ (do
12
x
x¹ )
()
12
42 2 42 1 .xx k k k k+=---=--=-thoûa maõn
Bài tp 24. Tìm giá tr thc ca tham s
m
để đường thng :dy x m=+ ct đồ th hàm s
21
1
x
y
x
-
=
-
()
C
ti hai đim phân bit
,
A
B sao cho tam giác OAB vuông ti ,O vi O là gc ta độ.
A.
2.m =- B.
1
.
2
m =-
C. 0.m = D. 1.m =
Hướng dn gii.
Chn A.
Phương trình hoành độ giao đim:
()
21
1
1
x
xm x
x
-
=+ ¹
-
()() ()
2
21 1 3 1 0.xxmx xmxm-=+ -+- +-=
()
*
Để
d ct
()
C ti hai đim phân bit
()
* có hai nghim phân bit
2
250, .mm mD= - + > " Î
Gi
12
,
x
x là hai nghim ca
()
* . Theo định lí Viet, ta có
12
12
3
.
1
x
xm
xx m
ì
+=-
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
Gi s
()
11
;
A
xx m+
()
22
;.Bx x m+
YCBT
()() ( )
2
12 1 2 12 1 2
.0 02 0OA OB x x x m x m x x m x x m=+++=+++=
 
()()
2
21 3 0 2 0 2.mm mm m m-+ -+=+==-
Bài tp 25. Tìm giá tr thc ca tham s
m để đường thng
:3dy x m=- +
ct đồ th hàm s
21
1
x
y
x
+
=
-
()
C
ti hai đim phân bit
A
B sao cho trng tâm tam giác OAB thuc đưng thng :220,xyD- -=
vi
O là gc ta độ.
A.
2.m =- B. 0.m = C.
1
.
5
m
=- D.
11
.
5
m
=-
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 238
Hướng dn gii.
Chn D.
Phương trình hoành độ giao đim:
()
21
3 1
1
x
xm x
x
+
=- + ¹
-
()()()
2
21 3 1 3 1 10.xxmxxmxm+=-+ - -+ ++=
()
*
Để
d
ct
()
C
ti hai đim phân bit
()
*
có hai nghim pn bit
2
1
10 11 0 .
11
m
mm
m
é
<-
ê
D= - - >
ê
>
ë
Gi
1
,
x
2
x
là hai nghim ca
()
*
. Theo Viet, ta có
12
1
3
m
xx
+
+=
12
1
.
3
m
xx
+
=
Gi s
()
11
;3
A
xxm-+
()
22
;3 .Bx x m-+
Suy ra
()
12
12
32
;.
33
x
xm
xx
G
æö
-++
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
YCBT :
()
12
12
32
2. 2 0
33
xx m
xx
G
-++
+
ÎD¾¾- -=
()
()
12
111
2. 2 0 .
93 5
mm
m
m
-++
+
- -==-
thoûa maõn
Câu 65. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để đường thng :2dy x m=+ ct đồ th hàm s
24
1
x
y
x
-
=
-
()
C
ti hai đim phân bit
A
B
sao cho
415,
IAB
S
D
=
vi
I
là giao đim ca hai đường tim
cn ca đồ th.
A.
5.m =- B. 5.m = C. 5.m = D. 0.m =
Hướng dn gii.
Chn C.
Phương trình hoành độ giao đim:
()
24
2 1
1
x
xm x
x
-
=+ ¹
-
()() ()
2
242 12 4 40.xxmxxmxm -= + - + - -+=
()
*
Để
d
ct
()
C
ti hai đim phân bit
()
*
có hai nghim pn bit
2
4
16 0 .
4
m
m
m
é
<-
ê
D= - >
ê
>
ë
Gi
12
,
x
x là hai nghim ca
()
* . Theo Viet, ta có
12
4
2
m
xx
-
+=
12
4
2
m
xx
-
=
.
Gi s
()
11
;2
A
xxm+
()
22
;2Bx x m+ .
YCBT:
[]
22
4 15 2 . , 15 2 . 15 4 . 1125
5
IAB
m
SABdIABAB ABm
= = = =
() ()
22
22
12 1 2 12
20 1125 4 4 225xxm xx xxm
é
ù
- =+- =
êú
ë
û
()
()
22 2
16 225 25 5 .mm m m- ===thoûa maõn
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 239
BÀI 1. LŨY THA
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. Khái nim lũy tha
1. Lũy tha vi s mũ nguyên
Cho
n là mt s nguyên dương, a là mt s thc tùy ý. Lũy tha bc n ca a là tích ca n tha
s
a .
1
thöøa soá
. ... ;
n
na
aaaaaa==
 
Trong biu thc
n
a
, a được gi là cơ s, s nguyên n s mũ
Vi
0a ¹
,
0n =
hoc n là mt s nguyên âm, lũy tha bc n ca s a là s
n
a
xác định
bi:
0
1
1;
n
n
aa
a
-
==
.
Chú ý:
 Kí hiu
0
0,0
n
( n nguyên âm) không có nghĩa.
 Vi
0a ¹
và n nguyên, ta có
1
n
n
a
a
-
=
2. Phương trình
n
x
b
a) Trường hp
n l: Vi mi s thc b, phương trình có nghim duy nht
b) Trường hp n chn
Vi
0b , phương trình vô nghim
Vi
0b
, phương trình có mt nghim
0x
Vi
0b
, phương trình có hai nghim đối nhau
3. Căn bc n
a)Khái nim: Vi n nguyên dương, căn bc n ca s thc
a là s thc b sao cho
n
ba=
.
Ta tha nhn hai khng định sau:
 Khi n là s l, mi s thc
a
ch có mt căn bc n. Căn đó được kí hiu là
n
a
 Khi n là s chn, mi s thc dương a có đúng hai căn bc n là hai s đối nhau là
n
a ( còn gi là
căn bc s hc ca
a ) và
n
a- .
b) Tính cht căn bc n: Vi a, b
0, m, n
N*, p, q
Z ta có:
.
nnn
ab a b= ;
(0)
n
n
n
aa
b
b
b
=>
;
()
(0)
p
n
p
n
aaa=>;
m
nmn
aa=
Nếu
(0)
nm
pq
pq
thì a a a
nm
==>
; Đặc bit
mn
m
n
aa=


,
,
n
n
anle
a
a n chan
4. Lũy tha vi s mũ hu t
Cho s thc
a dương và
r
là mt s hu t. Gi s
m
r
n
=
, trong đó m là mt s nguyên, còn n là
mt s nguyên dương. Khi đó, lũy tha ca a vi s mũ r là s
r
a
xác định bi
m
n
rm
n
aa a== .
4. Lũy tha vi s mũ hu t: ( SGK)
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 240
II. TÍNH CHT CA LŨY THA VI S MŨ THC
Cho
,ab
là nhng s dương;
,
.aa a

;
a
a
b
;
aa

;
aa
bb



Nếu
1a
thì
aa


Nếu
1a
thì
aa


B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Các phép toán biến đổi lũy tha
1. Phương pháp:
Ta cn nm các công thc biến đổi lũy tha sau:
Vi
a0;b0
,
ta


 


.
aaa
a.a a ; a ; (a) a ; (ab) a.b ;
b
ab
Via,b
0,m,n
N*,p,q
Ztacó:
nnn
ab a. b
;
n
n
n
aa
(b 0)
b
b
;


p
n
p
n
aa(a0)
;

m
nmn
aa


nm
pq
pq
Neáu thì a a (a 0)
nm
;Đặcbit
mn
m
n
aa
Công thc đặc bit

x
x
a
fx
aa
thì
11.fx f x
Tht vy, ta có:

1
.
x
x
x
a
a
a
fx
a
aaa
a
a


1
x
a
fx
aa

Nên:

11.fx f x
2. Bài tp
Bài tp 1. Viết biu thc
3
0,75
24
16
v dng lũy tha
2
m
ta được ?m
.
A.
13
6
. B.
13
6
. C.
5
6
. D.
5
6
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 241
Hướng dn gii
Chn A

5
13
6
2
3
6
6
3
0,75 3
4
4
24 2.2 2
2
16 2
2

.
Bài tp 2. Cho 0x ;
0y
. Viết biu thc
4
5
6
5
.
x
xx
v dng
m
x
và biu thc
4
5
6
5
:yyy
v
dng
n
y
. Ta có ?mn
A.
11
6
B.
11
6
C.
8
5
D.
8
5
Hướng dn gii
Chn B
4 4 5 103
1
5
6
55660
12
103
...
60
xxxxxx x m
4457
1
5
6
55660
12
7
::.
60
yyyyyy y n




11
6
mn
Bài tp 3.
Biết
44 23
xx

tính giá tr ca biu thc
22
x
x
P
:
A. 5. B.
27
. C.
23
. D. 25 .
Hướng dn gii
Chn A
Do
22 0,
xx
x

Nên

2
22
22 22 2 22 44 2 2325
xx xx x x xx 

.
Bài tp 4. Biu thc thu gn ca biu thc
111
222
11
22
221
,( 0, 1),
1
21
aaa
Paa
a
aa a







dng
m
P
an

Khi đó biu thc liên h gia
m
n
là:
A. 31mn. B. 2mn
 . C. 0mn
. D. 25mn.
Hướng dn gii
Chn D


111
222
112
22
221 2 2 1
1
11
1
21
aaa a a a
P
a
a
aa
a
aa a












221212
11
11
aa a
aa
aaa a


 



Do đó
2; 1mn
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 242
Bài tp 5. Cho s thc dương
x
. Biu thc
x
xxxxxxx đưc viết dưới dng lũy
tha vi s mũ hu t có dng
a
b
x
, vi
a
b
là phân s ti gin. Khi đó, biu thc liên h gia
a
b là:
A. 509ab . B. 2767ab
. C. 2709ab
. D. 3510ab .
Hướng dn gii
Chn B
x
xxxxxxx
1
2
x
xxxxxxx
3
2
x
xxxxxx

1
3
2
2
xxxxxxx
7
4
x
xxxxx
7
8
x
xxxxx
15
8
x
xxxx
15
16
x
xxxx
31
16
x
xxx
31
32
x
xxx
63
32
x
xx
63
64
x
xx
127
64
x
x
127
128
x
x
255
128
x
x
255
128
x
255
256
x
. Do đó
255, 256ab
.
Nhn xét:
8
8
21
255
256
2
x
xxxxxxx x x

.
Bài tp 6. Cho 0a ; 0b . Viết biu thc
2
3
aa
v dng
m
a
và biu thc
2
3
:bb
v dng
n
b
. Ta
có ?
mn
A.
1
3
B.
1
C.
1
D.
1
2
Hướng dn gii
Chn C
225
1
336
2
5
.
6
aaaa a m
;
221
1
336
2
1
::
6
bbbbb n

1
mn
Bài tp 7. Viết biu thc
4
22
8
v dng
2
x
và biu thc
3
28
4
v dng
2
y
. Ta có
22
?xy
A.
2017
567
B.
11
6
C.
53
24
D.
2017
576
Hướng dn gii
Chn D
Ta có:
3
4
8
4
8
3
22 2.2 3
2
8
8
2
x
;
3
11
2
6
2
3
3
28 2.2 11
2
6
4
2
y

22
53
24
xy
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 243
Bài tp 8. Cho
12
x
a

,
12
x
b 
. Biu thc biu din b theo a là:
A.
2
1
a
a
. B.
1a
a
. C.
2
1
a
a
. D.
1
a
a
.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có:
12 1,
x
ax

nên
1
2
1
x
a
Do đó:
1
1
11
a
b
aa


Bài tp 9. Cho các s thc dương
a
b. Biu thc thu gn ca biu thc
11 11 1 1
44 44 2 2
23 23 49Pababab 
có dng là
Pxayb
. Tính
?
x
y
A.
97xy
. B.
65xy

. C.
56xy
. D.
97yx
.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có:
22
11 11 11 1 1 11
44 44 22 4 4 22
23 23 49 2 3 49
P
ab ab ab a b ab


 

11 11
22 22
49 49ab ab
22
11
22
491681abab
.
Do đó:
16, 81xy
.
Bài tp 10. Cho các s thc dương phân bit
a
b. Biu thc thu gn ca biu thc
4
44 44
416ab a ab
P
ab ab



có dng
44
Pmanb
. Khi đó biu thc liên h gia
m
n
là:
A. 23mn. B. 2mn
 . C. 0mn
. D. 31mn.
Hướng dn gii
Chn A
22
4444444
44 44 44 44
416 2 2ab a ab a b aa ab
P
ab ab ab ab



.
4444 444
44 44
2abab aab
ab ab



44 4 44
2ab aba
.
Do đó
1; 1mn
.
Bài tp 11: Cho

2018
.
2018 2018
x
x
fx
Tính giá tr biu thc sau đây ta được
1 2 2018
...
2019 2019 2019
Sf f f
 

 
 
A.
2018.S
B.
2019.S
C.
1009.S
D. 2018.S
Hướng dn gii
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 244
Chn C.
Ta có:
 
2018
111
2018 2018
x
fx fxfx 
Suy ra
1 2 2018 1 2018
...
2019 2019 2019 2019 2019
Sf f f f f
 

 
 
2 2017 1009 1010
... 1009.
2019 2019 2019 2019
ff ff
 

 
 
Bài tp 12: Cho 9 9 23.
xx
 Tính giá tr ca biu thc
53 3
13 3
x
x
x
x
P


ta được
A. 2. B.
3
.
2
C.
1
.
2
D.
5
.
2
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:


2
33 5
9 9 23 3 3 25
33 5 loaïi
xx
xx xx
xx




T đó, thế vào

533
55 5
.
15 2
133
xx
xx
P



Dng 2: So sánh, đẳng thc và bt đẳng thc đơn gin
1. Phương pháp
Ta cn lưu ý các tính cht sau
Cho
,
.Khiđó
a>1:

aa
;
0<a<1:

aa
Vi0<a<b,
m
tacó:

mm
ab m0
;

mm
ab m0
Vi
ab
,
n
sốtựnhiênlẻthì
nn
ab
Vi
a,b nhngsốdương,nmtsốnguyêndươngkháckhông

nn
ab ab
Chúý:Nếunsốnguyêndươnglẻa<bthì
nn
ab
.
Nếunsốnguyêndươngchn0<a<bthì
nn
ab
.
2. Bài tp
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 245
Bài tp 1. Vi giá tro ca
a
thì đẳng thc
24 5
3
4
1
1
.. 2.
2
aaa
đúng?
A.
1a
. B.
2a
. C.
0a
. D.
3a
.
Hướng dn gii.
Chn B
Ta có
1
1
2
117
3
3
4
424
24 5
3
4
1
51 17
24
5
24 2 24
1
.. ..
1
.. 2. 2.
2
1
2. 2 .2 2
2
aaa aaa a
aaa a











Bài tp 2. Cho s thc 0a . Vi giá tr nào ca
x
thì đẳng thc

1
1
2
xx
aa
đúng?
A.
1
x
. B.
0x
. C.
x
a
. D.
1
.
x
a
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
 
2
11
12210
2
xx x x x
x
aa a a a
a

2
10 1 0
xx
aax
.
Bài tp 3. Tìm tt c các giá tr ca a tha mãn
15 7 5 2
aa
.
A. 0a . B. 0a
. C. 1a . D. 01a.
Hướng dn gii
Chn C
Ta có
72 7 6
15 7 5 2
15 5 15 15
1.aaaaaa a
Bài tp 4.
Tìm tt c các giá tr ca a tha mãn

21
33
11aa

.
A.
2a . B. 1a . C. 12a
. D. 01a.
Hướng dn gii
Chn A
Ta có
21
33

, kết hp vi

21
33
11aa

. Suy ra hàm s đặc trưng
1
x
ya
đồng biến
cơ s 11 2aa .
Bài tp 5. Nếu
1
1
6
2
aa
23
bb
. Tìm mi các điu kin ca đáp án a và b
A.
1; 0 1ab
. B.
1; 1ab
.
C.
01;1ab
. D.
1; 0 1ab
Hướng dn gii
Chn D
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 246
1
1
6
2
11
26
1a
aa

23
23
01b
bb

Bài tp 6. Kết lun nào đúng v s thc
a
nếu
21
33
(1) (1)aa

A.
2a
. B.
0a
. C.
1a
. D.
12a
.
Hướng dn gii
Chn A
Do
21
33

và s mũ không nguyên nên
21
33
(1) (1)aa

khi
11 2
aa
.
Bài tp 7.
Kết lun nào đúng v s thc a nếu
31
(2 1) (2 1)aa

A.
1
0
2
1
a
a


. B.
1
0
2
a

. C.
01
1
a
a
. D.
1a 
.
Hướng dn gii
Chn A
Do
31
và s mũ nguyên âm nên
31
(2 1) (2 1)aa


khi
1
02 11
0
2
21 1
1
a
a
a
a




.
Bài tp 8.
Kết lun nào đúng v s thc a nếu
0,2
2
1
a
a



A. 01a. B. 0a . C. 1a . D. 0a .
Hướng dn gii
Chn C
0,2
20,22
1
aaa
a




Do
0, 2 2
và có s mũ không nguyên nên
0,2 2
aa
khi 1a .
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 247
HÀM S LŨY THA
A. KIN THC CƠ BN CN NM
1. Khái nim hàm lũy tha
Hàm s lũy tha là hàm s có dng
,yx
.
Chú ý: Tp xác định ca hàm s lũy tha ph thuc vào giá tr ca
- Vi
nguyên dương thì tp xác định là R
- Vi
nguyên âm hoc bng 0, tp xác định là
\0
- Vi
không nguyên thì tp xác định là
0;
Theo định nghĩa, đẳng thc
1
n
n
x
x= ch xy ra nếu
0.x >
Do đó, hàm s
1
n
yx=
không đồng nht
vi hàm s
()
*
n
yxn
. Bài tp
3
yx=
là hàm s căn bc 3, xác định vi mi
x Î
; còn hàm s
lũy tha
1
3
yx=
ch xác định khi
0x >
2.Đạo hàm ca hàm s lũy tha
() ()
()
()
'
1
'
1
vôùi 0; . ',vôùi 0
1
, vôùi moïi 0 neáu chaün, vôùi moïi 0 neáu leû
'
, vôùi moïi u 0 neáu chaün, vôùi moïi u 0 neáu leû
11
'. '.
n
n
n
n
n
n
xuu
x
xn xn
nx
u
unn
nu
xx uu
aa aa
aa
-
-
>>
=> ¹
=> ¹
--
==
3.Kho sát hàm s lũy tha
Tp xác định ca hàm s lũy tha
yx
luôn cha khong
0;
vi mi
. Trong trường
hp tng quát ta kho sát hàm s
yx
trên khong này.
*
*
2,nn

21,nn

T
p xác định:
D
.
S biến thiên:
221
2.
nn
yx y nx

.
00yx
.
B
ng biến thiên
T
p xác định:
D
.
S biến thiên:
21 2
21. 0
nn
yx y n x y xD

 
.
Hàm s đồng biến trên
D
.
B
ng biến thiên
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 248
Hàm s đồng biến trên

0;  .
Hàm s nghch biến trên

;0
.
Đ
th:
Đ
th:
\

2, \kk

21, \kk

T
p xác định:
0\D
.
S biến thiên:
221
2.
nn
yx y nx

.
G
ii hn:
lim 0 0
x
yy


là TCN.
0
0
lim
0
lim
x
x
y
x
y



là TCĐ.
B
ng biến thiên
T
p xác định:
0\D
.
S biến thiên:
21 2
21. 0
kk
yx y k x y xD

 
.
Hàm s nghch biến trên
D
.
G
ii hn:
lim 0 0
x
yy


là TCN.
0
0
lim
0
lim
x
x
y
x
y



là TCĐ.
B
ng biến thiên
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 249
Hàm s đồng biến trên

;0 .
Hàm s nghch biến trên

0; 
.
Đ
th:
Đ
th:
Trong gii hn chương trình ta ch kho sát trên
0;
.
0
0
T
p kho sát:
0;D 
.
S biến thiên:
1
.0yx

hàm s đồng biến trên

0; 
.
G
ii hn:
0
lim 0; lim
x
x
xx



.
Hàm s không có tim cn.
B
ng biến thiên
T
p kho sát:
0;
D
.
S biến thiên:
1
.0
yx
hàm s nghch biến trên
0;
.
G
ii hn:
0
lim

x
x TCĐ:
0
x
.
lim 0

x
x
TCN:
0
y
B
ng biến thiên
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 250
Đồ th hàm s luôn đi qua đim
1;1A
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 251
HÀM S LŨY THA
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1. Tìm tp xác định ca hàm s lũy tha
1. Phương pháp gii
Ta tìm điu kin xác định ca hàm s

,yfx


da vào s mũ
ca nó như sau:
Nếu
là s nguyên dương thì không có điu kin xác định ca

.fx
Nếu
là s nguyên âm hoc bng 0 thì điu kin xác định là

0.fx
Nếu
là s không nguyên thì điu kin xác định là

0.fx
2. Bài tp
Bài tp 1. Tìm giá tr thc ca tham s
m
để hàm s

2
2
yxm
có tp xác định là
.
A. mi giá tr
m
. B.
0m
. C.
0m
. D.
0m
.
Hướng dn gii
Chn C.
Để hàm s

2
2
yxm
có tp xác định là
thì
2
0xm
0m
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 252
Bài tp 2. Tìm tp xác định
D
ca hàm s
2
3
1
41.
1
x
yx x
x

A.

2;2 .D
B.
2;2 \ 1 .D
C.
;2 2; .D 
D.
2;2 \ 1 .D 
Hướng dn gii
Chn B
Hàm s xác định khi và ch khi
2
22
40
.
1
1
x
x
x
x



Vy tp xác định ca hàm s
2;2 \ 1 .D
Bài tp 3. Tìm tp xác định
D
ca hàm s


3
5
22
5
2952.yx x x x

A.
;3 3; .D 
B.
2; .D

C.
3; .D 
D.
\3,3,2.D
Hướng dn gii
Chn C
Hàm s xác định khi và ch khi
2
2
20
3.
3
90
3
x
x
x
x
x
x






Vy tp xác định ca hàm s
3; .D

Bài tp 4. Tìm tp xác định
D
ca hàm s

23
2232
54 37 21.yx x x x x x x
 
A.
;1 4; \ 0 .D 
B.
;1 4; .D

C.

1; 4 .D
D.
1; 4 .D
Hướng dn gii
Chn A
Hàm s xác định khi và ch khi
2
1
540
.
4
0
0
x
xx
x
x
x



Vy tp xác định ca hàm s
;1 4; \ 0 .D 
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 253
Bài tp 5: Có bao nhiêu giá tr nguyên ca
2018;2018m
để hàm s

5
2
21yx xm
tp xác định là
?
A. 4036. B. 2018. C. 2017. D. Vô s
Hướng dn gii
Chn C.
Vì s mũ 5 không phi là s nguyên nên hàm s xác định vi
.
x
2
210,xxm x

0
0 luoân ñuùng vì 1 0aa


110m
0m

2018;2018
1,2,3,...,2017 .
m
m
m


Vy có 2017 giá tr nguyên ca tham s
m tha mãn yêu cu.
Dng 2: Đồ th hàm s lũy tha
Bài tp 1. Cho các hàm s lũy tha ,yx
a
= yx
b
= trên
()
0;
đồ th như hình v. Mnh đề nào sau đây
đúng?
A.
01.ba<<<
B.
01.ab<<<
C.
01.ba<<<
D.
01 .ba<<<
Hướng dn gii.
Chn C.
T hình v ta thy hàm s
yx
a
= đồng biến trên
()
1;
và nm trên đưng thng
y
x=
nên
1.a >
yx
b
= đồng biến trên
()
1;
và nm dưới đưng thng
y
x=
nên
01.b<<
Vy
01.ba<<<
Bài tp 2. Cho các hàm s lũy tha ,yx
a
= ,yx
b
=
yx
g
= trên
()
0;
đồ th như hình v. Mnh đề
nào sau đây đúng?
A.
.gab<<
B.
.bga<<
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 254
C.
.agb<<
D.
.gba<<
Hướng dn gii.
Chn D.
T hình v ta thy hàm s
yx
g
= nghch biến trên
()
0;
nên
0.g <
• như câu trên ta có
01.ba<<<
Vy
01.gba<<<<
Bài tp 3. Cho các hàm s lũy tha
,yx
a
=
,yx
b
=
yx
g
= trên
()
0;
đồ th như hình v. Mnh đề
nào sau đây đúng?
A. 0.gba<<<
B. 01.gba<<<<
C.
1.gba<<<
D.
01.abg<<<<
Hướng dn gii.
Chn C.
Da vào đồ th, ta có
Vi
01x<<
thì
1
1xxxx
abg
abg<<<¾¾>>>
.
Vi 1x > thì
1
1xxx x
gba
gba<<<¾¾< < <
.
Vy vi mi
0,x >
ta có
1.abg>>>
Nhn xét.
đây là so sánh vi đường
1
.yxx==
Bài tp 4. Cho hàm s
()
1
4
1.yx
-
=-
Khng định nào sau đây đúng?
A.
Đồ th hàm s không có đường tim cn đứng.
B. Đồ th hàm sđường tim cn đứng
1.x =-
C. Đồ th hàm sđường tim cn đứng
0.x =
D. Đồ th hàm sđường tim cn đứng
1.x =
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 255
Hướng dn gii.
Chn D.
Bài tp 5.
Cho hàm s
1
2
.yx
-
=
Cho các khng định sau:
i) Hàm s xác định vi mi
.
x
ii) Đồ th hàm s luôn đi qua đim
()
1;1 .
iii) Hàm s nghch biến trên
.
iv) Đồ th hàm s
2
đường tim cn.
Trong các khng định trên có bao nhiêu khng định đúng?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Hướng dn gii.
Chn B.
Ta có khng định ii) và iv) là đúng.
i) sai vì hàm s đã cho xác định khi
0.x >
iii) sai vì hàm s nghch biến trên
()
0; .
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 256
BÀI 3. LÔGARIT
A. KIN THƯC CƠ BN CN NM
1. Khái nim lôgarit
Cho hai s dương
,ab vi 1a . S
tha mãn
đẳng thc
ab
được gi là lôgarit cơ s
a
ca
b , và ký hiu là log
a
b .
2. Tính cht
Cho , 0, 1ab a. Ta có:

log
log 0; log 1
;log


a
aa
b
a
a
ab a
Nhn xét:
log , 0, 1

a
bababa
Bài tp:
3
2
log 8 3 2 8

Chú ý:
Không có lôgarit ca s âm và s 0.
3. Quy tc tính lôgarit
a. Lôgarit ca mt tích
Cho
12
,, 0ab b vi 1a
, ta có:
12 1 2
log ( ) 
aaa
b b log b log b
Chú ý: Định lý trên có th m rng cho tích ca n
s dương:
11
log ... log ... log
an a an
bb b b
trong đó
12
, , ,..., 0, 1.
n
ab b b a
Bài tp:
11
log log 2 log .2 log 1 0;
22





333 33
123 78
log log log ... log log
234 89

3
123 78
log . . ..... .
234 89



3
1
log 2.
9

b. Lôgarit ca mt thương
Cho
12
,, 0ab b vi 1,a
ta có:
1
12
2
log log log
aaa
b
bb
b

Đặc bit:
1
log log
aa
b
b

0, 0 .ab
Bài tp:
555
125
log log 125 log 25 3 2 1;
25

77
1
log log 49 2.
49

c. Lôgarit ca mt lũy tha Bài tp:
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 257
Cho hai s dương
,,ab 1.a
Vi mi
, ta có:
log log
aa
bb
Đặc bit:
1
log log
n
aa
bb
n
3
22
log 8 3log 8 3.3 9;

4
22
113
log 8 log 8 .3 .
444

4. Đổi cơ s
Cho
,, 0; 1; 1,abc a c
ta có:
log
log
log
c
a
c
b
b
a
Đặc bit:

1
log 1 ;
log
a
b
bb
a


1
log log 0 .
a
a
bb

Bài tp:
2
8
2
log 16
4
log 16 ;
log 8 3
3
27
1
log 27 3;
log 3
7
128 2
2
11
log 2 log 2 log 2 .
77

5. Lôgarit thp phân – lôgarit t nhiên
a. Lôgarit thp phân
Lôgarit thp phân là lôgarit cơ s 10. Vi
10
0, logbb thường được viết là logb hoc
lgb .
b. Lôgarit t nhiên
Lôgarit t nhiên là lôgarit cơ s e . Vi
0, log
e
bb
được viết là lnb .
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 258
SƠ ĐỒ H THNG HÓA
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TÂP
Dng 1. Tính giá tr ca biu thc không có điu kin. Rút gn biu thc.
1. Phương pháp gii
Để tính
log
a
b
ta có th biến đổi theo mt trong các cách
sau:
,ba
t đó suy ra log log ;
aa
ba

,ab
t đó suy ra
1
log b log ;
a
b
b

,ac
,bc
t đó ta suy ra
log log .
a
c
bc

Để tính
log
a
c
b , ta biến đổi ba
, t đó suy ra
log log
aa
cc
ba c

Bài tp:
5
7
32
2
7
log 128 log 2 ;
5
22
log 9 5log 9
5
32 2 9 .
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 259
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho ,b,c,d 0a . Rút gn biu thc Sln ln ln ln
abcd
bcda

ta được
A.
1.S
B.
S0.
C.
ln .
abcd
S
bcda




D.
ln .S abcd
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có: ln ln ln ln ln . . . ln1 0.
abcd abcd
S
bcda bcda




Bài tp 2: Cho ,0ab ,1ab , biu thc
34
log .log
b
a
P
ba bng
A. 6 B. 24 C. 12. D. 18.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có :
1
2
34 34
31
log .log log .log .4.log . 24.
1
log
2
bba
a
a
a
Pba ba b
b

Bài tp 3: Cho ,ab là các s thc dương tha mãn 1,a
ab
log 3.
a
b
Biến đổi biu
thc
Plog
b
a
b
a
ta được
A.
533.P 
B.
13.P 
C.
13.P  D. 533.P 
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:


11
log
log 1 3 1
31
22
13.
1
log 1 3 2
log 1
log
2
a
a
a
a
a
b
b
a
P
bb
b
a



Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 260
Bài tp 4 : Biến đổi biu thc

2
3
10 2 2
log log log
a
ab
a
Pab b
b




(vi
01, 01ab 
)
ta được
A. 2.P B. 1.P C. 3.P D.
2.P
Hướng dn gii
Chn B.
S dng các quy tc biến đổi lôgarit ta có:

2
3
10 2 2
log log log
a
ab
a
Pab b
b





10 2
1
log log 2 log log 3. 2 log
2
aa aa b
ab ab b





11
10 2log 2 1 log 6 1.
22
aa
bb






Bài tp 5. Rút gn biu thc
32
log 2 log log log log log
bbbaabb
Pa aabba
vi
0,1ab.
A.
1
P
. B.
2
P
. C.
0P
. D.
3P
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:
32
log 2 log log log log log
bbbaabb
Pa aabba

2
1
log log 2log 1 log log
log
bb b a b
b
aa a b a
ab





2
1
log log 1 log log
log 1
bb a b
b
aa b a
a





2
log log 1 1
log log 1 log
log 1
ab
bb b
b
ba
aa a
a






log log 1 log log log 1 log
bb ab a b
aa ba b a

log log 1 log log
bb a b
aa b a
log 1 log 1
bb
aa
.
Bài tp 6. Cho 0a , 0b tha mãn
22
221 4 1
log 4 1 log 2 2 1 2
ab ab
ab ab


. Giá tr ca
2ab
bng:
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 261
A.
15
4
. B. 5. C.
4
. D.
3
2
.
Hướng dn gii
Chn
A.
Ta có
22
44ab ab , vi mi ,0ab . Du ‘
’ xy ra khi 2ba

1
.
Khi đó

22
221 4 1
2log 4 1 log 2 2 1
ab ab
ab ab



221 4 1
log 4 1 log 2 2 1
ab ab
ab a b


.
Mt khác, theo bt đẳng thc Cauchy ta có

221 4 1
log 4 1 log 2 2 1 2
ab ab
ab a b


.
Du ‘
’ xy ra khi
221
log 4 1 1
ab
ab

41221ab a b

2
.
T
1
2
ta có
2
860aa
3
4
a
. Suy ra
3
2
b
. Vy
15
2
4
ab
.
Bài tp 7. Cho
3
log 7
27a
,
7
log 11
49b
,
11
log 25
11c
. Tính


22
2
37
11
log 7 log 11
log 25
Sa b c
.
A. 33S . B. 469S
. C. 489S
. D. 3141S .
Hướng dn gii
Chn B
Ta có:
3
log 7
27a
3
log 7 log 27
a
33 3
log 7.log 7 log 27.log 7
a

2
33
log 7 3log 3.log 7
a


2
3
3
log 7 log 7
a


2
3
3
log 7
log 7
a
aa
3
7
.
Tương t ta

2
7
7
log 11
log 11
2
49 11bb
;

2
11
11
log 25
log 25
11 5bc

.
Vy


22
2
37
11
log 7 log 11
log 25
Sa b c
32
7115

469
.
Bài tp 8. Đặt
7
log 2 a
,
7
log 3 b
,
77 7 7
1 2 2014 2015
log log ... log log
2 3 2015 2016
Q 
. Tính Q
theo
a ,
b
.
A.
521ab
. B.
521ab
. C.
521ab
. D.
521ab
.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có
77 7 7
1 2 2014 2015
log log ... log log
2 3 2015 2016
Q 
77 7 7 7 7 7 7
log 1 log 2 log 2 log 3 ... log 2014 log 2015 log 2015 log 2016
77 7
log 1 log 2016 log 2016
7
log 32.9.7
777
log 32 log 9 log 7
52
77
log 2 log 3 1
77
5log 2 2log 3 1

521ab
 .
Bài tp 9. Cho hai s thc dương ,ab (1a
) tha mãn các điu kin
log
4
a
b
b
2
16
log
a
b
.
Tính tng
Sab.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 262
A.
12S
. B.
10S
. C.
16S
. D.
18S
.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có
2
log
4
16
log
a
b
b
a
b
4
16
2
b
b
ba
a
16
4
16
2
2
b
b
b
b
a




16
.
4
16
2
2
b
b
b
b
a
16
2
b
a
.
Vy ta có 16 2 18S .
Bài tp 10. Gi
12
,
x
x
là các nghim ca phương trình
2
20 2 0xx

. Tính giá tr ca biu thc
12 1 2
log( ) log logPxx xx
.
A.
1
2
. B.
1
. C.
0
.
D.
10
.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
12 1 2
log( ) log logPxx xx
12 12
log log .
x
xxx
12
12
log
.
x
x
x
x
.
1
x
,
2
x
là hai nghim ca phương trình
2
20 2 0xx

nên ta có
12
20xx
;
12
.2xx
.
Vy ta có
20
log 1
2
P
.
Bài tp 11. Cho
=+ ++
216
11 1
...
log l og log
a
aa
M
xx x
. Tính
M
.
A.
=
272
log
a
M
x
. B.
=
136
log
a
M
x
. C.
=
1088
log
a
M
x
. D.
=
272
3log
a
M
x
.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
216
11 1
...
log log log
a
aa
M
x
xx

216
log log ... log
xx x
aa a
216
log log ... log
xx x
aa a log 2 log ... 16 log
x
xx
aa a

12...16log
x
a
16 1 16
log
2
x
a
136
log
a
x
.
Bài tp12. Vi
,,
x
yz
là các s nguyên dương tha mãn
1512 1512 1512
log 2 log 3 log 7 1xyz

.
Tính giá tr ca biu thc
3Qxy z .
A. 1512 . B.
12
. C. 9. D. 7.
Hướng dn gii
Chn C
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 263
Ta
1512 1512 1512
log 2 log 3 log 7 1xyz
1512 1512 1512 1512
log 2 log 3 log 7 log 1512
xyz

1512 1512
log 2 .3 .7 log 1512
xyz

2.3.7 1512
xyz

33
2 .3 .7 2 .3 .7
xyz

3
3
1
x
y
z

.
Vy
331.3 9Q  .
Bài tp 13. Giá tr biu thc
2 3 2017
11 1
...
log 2017! log 2017! log 2017!
P 
A. 0. B. 2. C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C
Ta
2 3 2017
11 1
...
log 2017! log 2017! log 2017!
P 
2017! 2017! 2017!
log 2 log 3 ... log 2017


2017!
log 2.3...2017
2017!
log 2017! 1
.
Bài tp 14. Gi s
3
0;cos
2
10
xx

. Giá tr ca biu thc
log sin log cos log tan
x
xx
A.
3
.
10
B.
1
.
10
C.
3
.
10
D.
1
.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có
22
sin 1 cos
x
x
91
1
10 10

.
Khi đó
log sin log cos log tan
x
xx
2
log sin .cos . tan log sin
x
xx x
1
log 1
10

.
Bài tp 15. Cho
7
log 12
x
,
12
log 24
y
54
1
log 168
axy
bxy cx
, trong đó ,,abc là các s
nguyên. Tính giá tr biu thc 2 3 .Sa b c
A. 4S . B. 19.S
C. 10.S
D. 15.S
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:
7
54
7
log 24.7
log 168
log 54
7
7
log 24 1
log 54
712
7
log 12log 24 1
log 54
712
712
log 12log 24 1
log 12log 54
12
1
.log 54
xy
x
Tính

12 12
log 54 log 27.2
12 12
3log 3 log 2
12 12
3.2.12.24 24
3log log
2.12.24 12

.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 264
3
12 12
2
12 24
3log log
24 12

12 12
3 3 2 log 24 log 24 1
12
85log24
85y .
Do đó:

54
1
log 168
85
xy
x
y
1
58
xy
x
yx
.
Vy
1
5
8
a
b
c

2315Sa b c .
Bài tp 16. Vi
,ab
tha mãn để hàm s

2
1
1
xkhix
fx
ax b khi x
đạo hàm ti
0
1x
. Khi đó
giá tr biu thc
2
log 3 2Sab
bng?
A.
1S
.
B.
2S
. C.
3S
. D.
4S
.
Hướng dn gii
Chn B.
Hàm s

f
x
đạo hàm ti
0
1x
suy ra:.
+ Hàm s liên tc ti
0
1x
:
11
lim lim 1 1 1
xx
fx fx f ab



.
+ Tn ti gii hn
1
1
lim
1
x
f
x
f
x
.

11
11
lim lim
11
xx
f
x
ff
x
f
xx





.
2
11
11
lim lim
11
xx
x
ax b
xx





.
1
2lim
1
x
ax b a b
x


.

22a
.
T
1
2
suy ra
2
1
a
b

.

22
log 3 2 log 4 2Sab
.
Dng 2. Đẳng thc cha logarit
1.Phươngpháp
2.Bàitp
Bài tp 1: Cho ,0
x
y
22
412.
x
yxy Khng đinh nào sau đây đúng?
A.
222
log 2 log log 1.xy x y
B.
222
2
log log log .
4
xy
x
y




Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 265
C.
 
222
1
log 2 2 log log .
2
x
yxy
D.

222
4log 2 log log .
x
yxy
Hướng dn gii
Chn C.
Vi ,0
x
y , ta có:
2
22
412 2 16
x
yxyxy xy
2
22
log 2 log 16
x
yxy
222
2log 2 4 log log
x
yxy
 

222
1
log 2 2 log log .
2
x
yxy
Bài tp 2: Cho
,
x
y
là các s thc ln hơn 1 tha mãn
22
96
x
yxy
. Tính
12 12
12
1log log
2log ( 3 )
xy
M
xy

.
A.
1
4
M
. B.
1
M
. C.
1
2
M
. D.
1
3
M
.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
22
96
x
yxy

2
30xy
3
x
y
.
Vy ta

12 12
12
1log log
2log 3
x
y
M
x
y

12 12
12
1 log 3 log
2log 6
yy
y

12 12 12 12
12 12
log 12 log 3 log log
2 log 6 log
yy
y

12 12
12 12
log 36 2 log
1
log 36 2 log
y
y

.
Bài tp 3: Cho biu thc
3
log
2
5
3 log .log 25
a
a
Ba
vi a là s dương, khác 1. Khng định nào
sau đây là đúng?
A.
25Ba. B.
2
4
log 1
a
B
. C. 4Ba
. D. 3B .
Hướng dn gii
Chn C
Ta có
3
log
2
5
3 log .log 25
a
a
Ba
5
2log .log 25
a
aa
2
5
2log .log 5
a
aa
5
4log .log 5
a
aa
4a.
Vy 4Ba
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 266
Bài tp 4: Gi
c
là cnh huyn,
a
b
là hai cnh góc vuông ca mt tam giác vuông. Trong các
khng định sau khng định nào đúng?
A.
log log 2 log .log
bc cb bc cb
aa aa


.
B.
log log 2 log .log
bc bc bc bc
aa aa


.
C.
log log log .log
bc cb bc cb
aa aa


.
D.
log log 4 log .log
bc bc bc bc
aa aa


.
Hướng dn gii
Chn A
Ta có:
222
cab
22 2
cb a
2
.cb cb a

log . 2
a
cb cb

log log 2
aa
bc cb
 
11
2
log log
aa
bc cb


log log 2 log .log
bc cb bc cb
aa aa


(đpcm).
Bài tp 5: Cho
27
log 5 a
,
8
log 7 b
,
2
log 3 c
. Khng định nào sau đây đúng?
A.
12
32
log 35
2
bac
c
. B.
12
33
log 35
2
bac
c
.
C.
12
32
log 35
3
bac
c
. D.
12
33
log 35
1
bac
c
.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có :

27 3 8 2 2
log 5 lo g 5 3 ; log 7 lo g 7 3 ; log 3aabbc


2
333
2
12
333 3
log 7
3
log 5 log 5 log 7
log 3
log 35
log 12 log 3 log 4 1 2 log 2
a

3
3
33
1
2
12.
b
a
ac b
c
c
c
.
Bài tp 6: Cho

14
4
1
log log 1yx
y

, vi 0,yyx. Chn khng định đúng trong các khng
định sau?
A. 34
x
y . B. 3
x
y
. C.
3
4
x
y
. D.
3
4
yx
.
Hướng dn gii
Chn C
Ta có

14
4
1
log log 1yx
y

44
log log 1yx y
44
log 1 logyyx

44
log log 4.yyx
4yyx

3
4
x
y
.
Bài tp 7: S thc dương ,ab tha mãn
41216
log log log ( )ab ab

. Mnh đềo dưới đây
đúng?
A.
2
;1
3
a
b



. B.
2
0;
3



a
b
C.

9;12
a
b
. D.
(9;16)
a
b
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 267
Hướng dn gii.
Chn B.
Gi s
41216
log log log ( ) tab ab
. Khi đó, ta có:
4; 12; 16
tt t
ab ab
. T đây,
ta có phương trình:
13
41216 1
44
tt
tt t
 

 
 
*
.
Vế trái ca phương trình
*
nghch biến nên
*
có 1 nghim duy nht là
1t
. Suy ra
4; 12ab suy ra
12
0;
33
a
b




.
Bài tp8: Có tt c bao nhiêu s dương
a
tha mãn đẳng thc
235 235
log log log log .log .logaaa aaa
.
A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.
Hướng dn gii
Chn A
Ta có
235 235
log log log log .log .logaaa aaa
23252 2355
log log 2.log log 2.log log .log 5.log .logaaaaaa
2
235235
log . 1 log 2 log 2 log .log 5.logaaa
2
23535
log . 1 log 2 log 2 log 5.log 0aa
2
2
3535
log 0
1 log 2 log 2 log 5.log 0
a
a

35
5
3
1
1 log 2 log 2
log
log 5
a
a


35
3
1log2log2
log 5
1
5
a
a

.
Bài tp 9: Cho
n
là mt s nguyên dương, tìm
n
sao cho
3
22 2 22
log 2019 2 log 2019 3 log 2019 ... log 2019 1008 .2017 .log 2019
n
a a
aa a
n
A. 2017 . B. 2019 . C. 2016 . D. 2018 .
Hướng dn gii
Chn C
Đặt
3
22 2 22
log 2019 2 log 2019 3 log 2019 ... log 2019 1008 .2017 .log 2019
n
a a
aa a
n
.
Ta có
23
log 2019 log 2019
n
a
a
nn
.
Vy VT


2
333 3
1
1 2 3 ... log 2019 .log 2019
2
aa
nn
n




.
Hay t
ta có
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 268

2
22
1
.log 2019 1008 .2017 .log 2019
2
aa
nn



2
2222
1 2 .1008 .2017nn

2
222
1 2016 .2017nn
2
4066272 0nn

2016
2017
n
n

2016n
(vì
n
).
Bài tp 10: Cho

22
22
log 1 log
x
yxy
, vi 0xy . Chn khng định đúng trong các khng
định sau?
A.
x
y
. B.
x
y
. C.
x
y
. D.
2
x
y
.
Hướng dn gii
Chn C
Ta

22
22
log 1 log
x
yxy
22
22
log log 2
x
yxy
22
2
x
yxy

2
0xy
x
y
.
Dng 3. Biu th biu thc theo mt biu thc đã cho và t đó tìm GTLN, GTNN
1. Phương pháp gii
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hai s thc
x
,
y
tha mãn
22
log 2 4 1
xy
xy
. Tính
x
P
y
khi biu thc
435Sxy đạt giá tr ln nht.
A.
8
5
P
. B.
9
5
P
. C.
13
4
P
. D.
17
44
P
.
Hướng dn gii
Chn C
Ta có

22
log 2 4 1
xy
xy

22
21xy x y

22
124xy

.
Khi đó ta có
435Sxy



22
22
413 27 43 1 2 73xy xy .
Du
""
xy ra khi và ch khi
12
43
4353
xy
xy


13
5
4
5
x
y
.
Vy ta
x
P
y
13
13
5
4
4
5

.
Bài tp 2. Xét các s thc
a
, b tha mãn 1ab . Tìm giá tr nh nht
min
P
ca biu thc

22
log 3log




ba
b
a
Pa
b
.
A.
min
19P
. B.
min
13
P
. C.
min
14
P
. D.
min
15P
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 269
Hướng dn gii
Chn D
Vi điu kin đề bài, ta có

2
2
2
2
log 3log 2 log 3log 4 log . 3log


  

  


  

aaa
bb
b
b
bb
aaaa
Pa a b
bbbb
2
4 1 log 3log .







ba
b
a
b
b
Đặt
log 0
a
b
tb
(vì 1
ab ), ta có
 
2
2
33
41 4 48 Pt t
t
t
f
t
t
.
Ta có
2
32
22 2
214 3
38 3
() 8
6
8
8


t
t
tt
t
ft t
tt t
Vy

1
0
2
ft t
. Kho sát hàm s, ta có
min
1
15
2



Pf
.
Bài tp 3. Xét các s thc dương
x
,
y
tha mãn
3
1
log 3 2 4
2
xy
xy
x
y
xy

. Tìm giá tr nh
nht
min
P
ca
P
xy
.
A.
min
911 19
9
P
. B.
min
911 19
9
P
.
C.
min
18 11 29
9
P
. D.
min
211 3
3
P
.
Hướng dn gii
Chn D.
3
1
log 3 2 4
2
xy
xy x y
xy

33
log 1 log 2 3 1 2 1xy xy xy xy
33
log 3 1 log 2 3 1 2
x
yxyxyxy
33
log 3 1 3 1 log 2 2
x
yxy xyxy
Xét
3
log
f
ttt
,
0t

1
10, 0
ln 3
ft t
t

Suy ra :
31 2
f
xy f x y
33 2
x
yx y

32
13
y
x
y

Điu kin
2
1522
00
25
63
xy y
y
xy
y

 
32
13
y
Pxyy
y

Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 270

2
111
11
3
10
13
111
3
y
P
y
y



Lp bng biến thiên ta có
min
211 3
3
P
.
Bài tp 4. Cho các s thc ,, 1;2abc


tha mãn điu kin
333
222
log log log 1abc

Khi biu thc
333
222
3 log log log
abc
Pa b c a b c
đạt giá tr ln nht thì giá tr ca
abc bng
A. 3. B.
3
1
33
3.2 . C. 4. D. 6.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta xét hàm s
33
22
3log logfx x x x c
vi
1; 2 .x
Ta có đạo hàm

2
2
2
2
3log
3
f33log ;
ln2 ln2
x
xx x
x


2
22
22 2
63log
3
f6 .
ln2
ln 2 ln2
log x x
xx
x
xx



22
33 2 32
6log 3 log
13
61 0 1;2
ln 2 ln2 ln 2
xx
fx x
xx x





nên
11,670.fx f
 

Như vy hàm s
fx
đồng biến và có nghim duy nht trên 1; 2
10; 20ff

và có đồ
th lõm trên
1; 2


. Do đó ta có bng biến thiên
T bng biến thiên ta nhn thy rng
1fx
cho nên
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 271
333
222
3 log log log 4Pabc
Đẳng thc xy ra khi và ch khi
1, 2ab c và các hoán v.
Bài tp 5. Trong tt c các cp
;
x
y tha mãn
22
2
log 4 4 4 1.
xy
xy


Vi giá tr nào ca m
thì tn ti duy nht cp

;
x
y sao cho
22
222 0?xy xy m

A.
2
10 2 . B.
2
10 2
2
10 2 .
C.
10 2
10 2.
D.
10 2.
Hướng dn gii
Chn B.
Điu kin: 4440.
x
y
Ta có
22
2
log 4 4 4 1
xy
xy


22
22
1
444 2 2 2 2 .
x
yxy x y C
Min nghim ca bt phương trình là hình tròn (c b)
1
C có tâm
1
2;2I bán kính
1
2.R
Mt khác:
22
22
222 0 1 1 *.xy xy m x y m
Vi
0m thì 1; 1
x
y (không tha mãn
22
222xy
 ).
Vi
0m
thì
* đường tròn

2
C có tâm
2
1; 1I bán kính
2
.
R
m
Để tn ti duy nht cp

;
x
y thì
1
C
2
C tiếp xúc vi nhau.
Trường hp 1:
1
C
2
C
tiếp xúc ngoài.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 272
Khi đó:
2
1212
210 102.RR II m m
Trường hp 2:
1
C nm trong

2
C và hai đường tròn tiếp xúc trong.
Khi đó:
2
2112
210 102.RRII m m
Vy
2
10 2m 
2
10 2m  tha mãn yêu cu bài toán.
Bài tp 6. Xét các s thc a, b tha mãn 1.ab Giá tr nh nht
min
P
ca biu thc

22
log 3log
ab
b
a
Pa
b




bng
A.
min
19.P B.
min
13.P C.
min
14.P D.
min
15.P
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:


2
22
2
log 3log 3 log 1
log
ab b
b
a
a
Pa a
a
b
b











2
2
3log 1.
1log
b
a
a
b





Đặt
log 0 1 .
a
bt t Khi đó


2
43
3
1
Pft
t
t

vi
01.t
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 273
Ta có



32
83 1
0.
3
1
ft ft t
t
t


Bng biến thiên:
T bng biến thiên, ta có
min
15.P
Bài tp 7. Cho hai s thc x, y tha mãn:
22
3xy
22
222
log 4 3 4 3 2
xy
xx x y y



Gi
M m ln lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc .
P
xy
Khi đó biu thc
21TMm có giá tr gn nht s nào sau đây?
A. 7. B. 8. C. 9. D. 10.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có
22 22
222 22
log 4 3 4 3 2 log 4 3 2
xy xy
xx x y y x y x






2
2
22 22 2
43 2 1.xy x xy x y
Tp hp các s thc
x, y tha mãn:

22
2
2
3
21
xy
xy


nhng đim thuc min trong hình tròn
1
C
có tâm
2;0 ,I bán kính
1
1R
và nm ngoài hình tròn
2
C có tâm
0;0O và bán kính
2
3.R
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 274
Biu thc: 0Pxy xyP h đường thng
song song vi đường .
y
x
Các giao đim ca hai hình tròn là
33 3 3
;,;
22 2 2
AB




P đạt giá tr nh nht khi đường thng
đi qua A.
Khi đường thng
qua đim A, ta có:
min min
33 33
0.
22 2
PP

P đạt giá tr ln nht khi đường thng
tiếp xúc vi đường tròn
1
C ta có:

1max
2
; 1 22 22.
11
P
dI R P P

Do đó

33
2 1 2 2 2 10.
2
TMm





Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 275
BÀI 4. HÀM S MŨ – HÀM SGARIT
A. KIN THC CO BN CN NM
1. Hàm s mũ
Định nghĩa
Hàm s
0; 1
x
yaa a được gi là hàm s mũ cơ s a.
Tp xác định
Hàm s
0; 1
x
yaa a có tp xác định là .
Đạo hàm
Hàm s
0; 1
x
yaa a
đạo hàm ti mi x.

'ln
xx
aaa
'ln.'
uu
aaau
lim 0, lim 1 ;
xx
xx
aaa
 

lim , lim 0 0 1 .
xx
xx
aaa
 

S biến thiên
Khi 1a hàm s luôn đồng biến.
Khi 01am s luôn nghch biến.
Đồ th
Đồ th hàm s có tim cn ngang là trc Ox và luôn đi qua các
đim
0;1 , 1;a và nm phía trên trc hoành.
2. Hàm s lôgarit
Định nghĩa
Hàm s
log 0; 1
a
yxaa được gi là hàm s lôgarit cơ
s a.
Đặc bit:

'e
x
x
e
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 276
Tp xác định
Tp xác định:
0; .
Đạo hàm
Hàm s
log 0; 1
a
yxaa
đạo hàm ti mi x dương và

1
log '
ln
a
x
x
a
.
Gii hn đặc bit
0
lim log , lim log 1
aa
x
x
xxa

  ;
0
lim log , lim log 0 1
aa
x
x
xxa

  .
S biến thiên
Khi 1a hàm s luôn đồng biến.
Khi
01a
hàm s luôn nghch biến.
Đồ th
Đồ th hàm s có tim cn đứng là trc Oy và luôn đi qua các
đim
1; 0 , ;1a và nm bên phi trc tung.
Nhn xét: Đồ th ca các hàm s
x
ya
log
a
yx
0, 1aa
đối xng vi nhau qua đường thng
yx .
ng dng
1. Lãi đơn
là s tin lãi ch tính trên s tin gc mà không
tính trên s tin lãi do s tin gc sinh ra, tc là tin lãi ca kì
hn trước không được tính vào vn để tính lãi cho kì hn kế tiếp,
cho dù đến kì hn người gi không đến rút tin ra.
Công thc tính:
Khách hàng gi vào ngân hàng A đồng vi
lãi đơn
r (% / kì hn) thì s tin khách hàng nhn được c vn ln
Đặc bit:

1
ln 'x
x
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 277
lãi sau n kì hn (
*n
) là:

1
n
S A nAr A nr
2. Lãi kép là tin lãi ca kì hn trước nếu người gi không
rút ra thì được tính vào vn để tính lãi cho kì hn sau.
Công thc tính:
Khách hàng gi vào ngân hàng A đồng vi
lãi kép r (% / kì hn) thì s tin khách hàng nhn được c vn ln
lãi sau n kì hn (
*n
) là:

1
n
n
SA r
.
3. Tin gi hàng tháng: Mi tháng gi đúng cùng mt s
tin vào mt thi gian c định.
Công thc tính:
Đầu mi tháng, khách hàng gi vào ngân
hàng s tin A đồng vi lãi kép r (% / tháng) thì s tin khách
hàng nhn được c vn ln lãi sau n tháng (
*n
) (nhn tin
cui tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S
n
.
Ta có
 
111
n
n
A
Srr
r



.
4. Gi ngân hàng và rút tin gi hàng tháng
Gi ngân hàng s tin là A đồng vi lãi sut r (% / tháng).
Mi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra s tin là X đồng.
Công thc tính:


1
11
n
n
n
r
XArS
r



.
Khi đó s tin còn li sau n tháng là


11
1
n
n
n
r
SA r X
r


5. Vay vn tr góp:
Vay ngân hàng s tin là A đồng vi
lãi sut r (% / tháng). Sau đúng mt tháng k t ngày vay, bt
đầu hoàn n; hai ln hoàn n cách nhau đúng mt tháng, mi
hoàn n s tin là X đồng và tr hết tin n sau đúng n tháng.
Công thc tính:
Cách tính s tin còn li sau n tháng ging
hoàn toàn công thc tính gi ngân hàng và rút tin hàng tháng
nên ta


11
1
n
n
n
r
SA r X
r

.

1
log ;
n
r
S
n
A



%1;
n
n
S
r
A

1
n
n
S
A
r


1
.
log 1 ;
1
n
r
Sr
n
Ar







1
.
log 1 ;
1
n
r
Sr
n
Ar






.
11 1
n
n
Sr
A
rr



Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 278
Để sau đúng n tháng tr hết n thì
0
n
S
nên


11
10
n
n
r
Ar X
r


.
Suy ra mi ln hoàn n s tin là


1.
11
n
n
A
rr
X
r
.
6. Bài toán tăng lương: Mt người được lãnh lương khi
đim là A (đồng/tháng). C sau n tháng thì lương người đó được
tăng thêm r (% / tháng). Hi sau kn tháng, người đó lĩnh được
bao nhiêu tin?
Công thc tính:
Lương nhn được sau kn tháng là

11
.
k
kn
r
SAn
r

.
7. Bài toán tăng trưởng dân s
Công thc tính tăng trưởng dân s:

1,,,
mn
mn
XX r mn mn

Trong đó: r % là t l tăng dân s t năm n đến năm m;
m
X dân s năm , X
n
m dân s năm n.
T đó ta có công thc tính t l tăng dân s
%1
m
mn
n
X
r
X
8. Lãi kép liên tc
Gi vào ngân hàng A đồng vi lãi kép r (% / năm) thì s
tin nhn được c vn ln lãi sau n năm (
*n
) là:

1
n
n
SA r.
Gi s ta chia mi năm thành m kì hn để tính lãi và lãi
sut mi kì hn là
%
r
m
thì s tin thu được sau n năm là:
.
1
mn
n
r
SA
m




Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 279
Khi tăng s kì hn ca mi năm lên vô cc, tc là
m , gi là hình thc lãi kép liên tc thì người ta chng
minh được s tin nhn được c gc ln lãi là:
.nr
SAe (công thc tăng trưởng mũ).
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 280
SƠ ĐỒ H THNG HÓA
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 281
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1. Tìm tp xác định ca hàm s cha mũ – lôgarit.
1. Phương pháp gii
* Hàm s
0; 1
x
yaa a có tp xác định là .
* Hàm s
log 0; 1
a
yxaa
có tp xác định là
0;
.
* Tìm điu kin ca tham s để hàm s
log
a
yfx xác định trên trong đó

f
x mt tam
thc bc hai.
Áp dng tính cht
Tam thc bc hai
2
0 fx ax bx c x khi và ch khi
0
0
a
.
* Tìm điu kin ca tham s để hàm s
log
a
yfx xác định trên khong D.
Cô lp tham s m.
S dng phương pháp kho sát hàm s.
2. Bàitp
Bài tp 1:
Điu kin xác định D ca hàm s
9
1
21
log
12
y
x
x
A. 3x  B. 1x  C. 31x
 D. 03x
Hướng dn gii
Chn C
Hàm s xác định
1
2
9
21
2
log
9
2
12
1
3
2
1
2
0
0
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x




3
03 1
1
x
x
x

Bài tp 2: Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để hàm s
2
ln 2 4yxmx

xác
định vi mi
x ?
A. 5 B. 2 C. 4 D. 3
Hướng dn gii
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 282
Chn D.
Hàm s xác định
2
240, xxmx x .
2
10
0
22
0
4160
a
m
m




.
Do
m
nên
1; 0;1m 
Bài tp 3: Tìm m để hàm s
2
2
log 2 2 2 3ymxmxm

có tp xác định D
.
A.
2m 
B.
2m 
C.
2m
D.
2m 
Hướng dn gii
Chn D.
Hàm s xác định trên
2
222 30,mx mxm x  (*).
Trường hp 1:
0a
.
(*)

2
20
02
2
020
4242 30
m
am
m
m
mmm








.
Trường hp 2:
02am , ta có
(*)
10,x (đúng), nhn 2m
Vy
2m 
.
Bài tp 4: Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m nm trong khong
10;10 để hàm s
2
log 4 2
xx
ym có tp xác định D
?
A. 9 B. 10 C. 11 D. 8
Hướng dn gii
Chn A.
Hàm s có tp xác định D khi
42 0
xx
mx

(1).
Đặt 2 , 0
x
tt.
Khi đó (1) tr thành
22
0 t0; t0;ttm m tt


0;
1
max
4
mft


vi

2
f
ttt .
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 283
Do
m

10;10m  nên
1;2;3;...;8;9m .
Bài tp 5: Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m nm trong khong
10;10 để hàm s
2
33
1
log 4log 3
y
mx xm

xác định trên khong
0;
?
A. 13 B. 11 C. 12 D. 10
Hướng dn gii
Chn A.
Hàm s xác định
2
33
0; log 4log 3 0, 0;xmxxmx  (*).
Đặt
3
log ,txt .
(*)
2
430mt t m vô nghim.
Trường hp 1:
0m
. Phương trình có nghim (loi
0m
).
Trường hp 2:
0m . Phương trình vô nghim khi và ch khi
'0 4 3 0 4mm m hoc 1m .
Do
m
10;10m  nên
9; 8; 7; 6; 5;2;3;...8;9m  .
Vy có 13 giá tr nguyên tha mãn.
Bài tp 6: Hàm s
2
log 4 2
xx
ym
có tp xác định
D
khi.
A.
1
4
m
.
B.
1
4
m
.
C.
0m
. D.
1
4
m
.
Hướng dn gii
Chn B.
Hàm s
2
log 4 2
xx
ym có tp xác định khi và ch khi.

1
42 0 24 max24
4
xx xx xx
mx m x m 
.
Bài tp 7: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
2
33
1
log 4log 3
y
mx xm

xác định
trên khong
0; 
.
Hướng dn gii
Đặt
3
logtx , khi đó
0;xt .
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 284
2
33
1
log 4log 3
y
mx xm

tr thành
2
1
43
y
mt t m

.
Hàm s
2
33
1
log 4log 3
y
mx xm

xác định trên khong
0;
khi và ch khi hàm
s
2
1
43
y
mt t m

xác định trên .
2
() 4 3ft mt t m vô nghim.
2
430 4;1mm m m

.
Bài tp 8: Tp xác định ca hàm s
2
2
ln 16
51025
x
y
xxx

là:
A.
5; 
.
B.
; 5 . C.
. D.
\5 .
Hướng dn gii
Chn A.
Viết li

222
22
ln 16 ln 16 ln 16
55
51025
55
xxx
y
xx
xxx
xx





.
Biu thc

2
ln 16
55
x
xx

có nghĩa khi và ch khi
2
16 0
550
x
xx


.
2
16
4
5
55
50
x
x
x
xx
x






.
Suy ra hàm s có tp xác định là
5;
.
Bài tp 9: Cho hàm s

22
2
1
log 2 2 1 4
y
x
mxmxm

. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s đã cho xác định vi mi
1;x

.
A.
;2m  . B.
1; 1m  . C.
;1m
 . D.
;1m  .
Hướng dn gii
Chn D.
Hàm s

22
2
1
log 2 2 1 4
y
x
mxmxm



xác định vi
1;x
 khi
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 285


22
22
0
22 1 4 0
22 1 4
l
đ
lđ1
xm
xmxm
xmxm



vi
1;x

1; 1mm
Dng 2: Đồ th hàm s
1.Phươngpháp
2.Bàitp
Bài tp 1: Cho ba s thc dương , , abc khác 1. Đồ th các hàm s ,,
x
xx
yaybyc
 được cho
trong hình v sau
Mnh đề nào đúng?
A.
abc
B.
acb
C.
bca
D.
cab
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
x
ya
nghch biến nên 0 1a.
Mt khác, ,
x
x
ybyc đồng biến, đồng thi cho 1
x
ybyc
.
Vy
acb
Bài tp 2: T các đồ th log
a
yx , log
b
yx
, log
c
yx
đã cho hình v sau:
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 286
Khn định nào sau đây đúng?
A.
01ab c
B.
01cab

C.
01ca b D. 01cba

Hướng dn gii
Chn B.
Ta có: log
c
yx nghch biến nên 01c
.
Mt khác,
log
a
yx
log
b
yx
đồng biến nên
,1ab
đồng thi cho
1y
thì
x
axb
.
Vy
01cab.
Bài tp 3: Cho các hàm s
x
ya , log
b
yx
, log
c
yx
đồ th như hình v.
Chn mnh đề đúng?
A. bca B. acb C. cba
D. cab
Hướng dn gii
Chn D.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 287
Ta có
log
c
yx
nghch biến nên
01c
còn
log
b
yx
x
ya
đồng biến nên
1b
1a
.
Xét
x
ya : Vi 1 1 2xyaa  .
Xét log
b
yx : Vi 1 2yxbb .
Do đó
ab
Vy
1cab
.
Bài tp 4: Cho hàm s
yfx
đồ th như hình v bên dưới. Tìm s đim cc tr ca hàm s
34
f
xfx
y 
.
A.
5
. B.
3
. C.
6
. D.
4
.
Hướng dn gii
Chn A.
Đặt

 
34
f
xfx
ygx
.
Quan sát đồ th, ta thy hàm s
yfx có ba đim cc tr.
Ta có

 
 
0
.3 .ln3 4 .ln4 0
3.ln34.ln40
fx fx
fx fx
fx
yfx y




.
 

3
4
3ln4 ln4
3.ln34.ln40 log 0,8
4ln3 ln3
fx
fx fx
fx




. Phương trình này
có hai nghim phân bit khác các nghim ca phương trình
0fx
nên hàm s
34
f
xfx
y 
có năm đim cc tr.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 288
Bài tp 5: Cho hàm s

ln
f
xxx
. Mt trong bn đồ th cho trong bn phương án A, B, C, D
dưới đây là đồ th ca hàm s
yfx
. Tìm đồ th đó?
A. B.
C.
D.
Hướng dn gii
Chn C.
Tp xác định
0;D 
Ta có
ln ln 1
f
xxx fxgx x
 
.
Ta có
11g
nên đồ th hàm s đi qua đim
1; 1
. Loi hai đáp án B và D
00
lim lim ln 1
xx
gx x





. Đặt
1
t
x
. Khi
0x
thì t .
Do đó



0
1
lim lim ln 1 lim ln 1
tt
x
gx t
t
 








nên loi đáp án
A.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 289
Cách 2 : Ta nhn thy
ln ln 1
f
xxx fxgx x

nm bên phi trc tung và
không đi qua
(1; 0)
. Vy chn đáp án C.
Dng 3: Xét tính đơn điu, cc tr, GTLN và GTNN ca hàm s mũ, logarit
1. Phương pháp.
Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm tp xác định
Bước 2: Tìm đạo hàm

f
x
. Tìm các đim
i
x
làm cho
0fx
hoc không xác định.
Bước 3: Sp xếp các đim
i
x
theo th t tăng dn và lp BBT.
Bước 4: Kết lun.
Ngoài ra cn chú ý tính cht ca hàm s mũ và hàm s logarit:
+) Hàm s
x
ya và hàm s log
a
yx
đồng biến trên TXĐ 1a
.
+) Hàm s
x
ya và hàm s log
a
yx
nghch biến trên TXĐ 01a
.
2. Bài tp
Bài tp 1. Gi
a
,
b
ln lượt là s đim cc đại và s đim cc tiu ca hàm s
32
31
x
y
xxe
 . Tính
2ab
.
A.
0
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
32
31
x
yx x e

. Tp xác định: D
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 290
 
323 22223
31 31 3 3 2e 31
xxxx
yx x e x x e x e x x



.

232
2361
x
exxx

;
0y
có mt nghim là
0
x
.
Bng biến thiên:
.
Suy ra hàm s
1 đim cc đại và
0
đim cc tiu.
Vy
22ab.
Bài tp 2. Tìm giá tr nh nht ca hàm s
2
lnyx x trên đon
1
;e
e
.
A.
2
1
;
1
min
e
e
y
e



 . B.
1
;
min
e
e
ye



. C.
1
;
1
min
e
e
y
e



. D.
1
;
1
min
2
e
e
y
e



.
Hướng dn gii
Chn D.
Đạo hàm

2
1
2ln 2ln 2ln 1yxxx xxxx x
x

;
1
0;
0
11
;
x
e
e
y
x
e
e
e









.
Tính các giá tr:
2
11
y
ee




,
2
ye e
,
11
2
y
e
e




.
Vy
1
;
1
min
2
e
e
y
e



 .
Bài tp 3. Cho
164x
. Tìm giá tr ln nht ca biu thc
42
222
8
log 12log .logPx x
x

.
A.
82
. B.
96
. C.
64
. D.
81
.
Hướng dn gii
Chn D.

42 42 42
222222222 2
8
log 12log .log log 12log . log 8 log log 12log . 3 log
P
xx xx xxxx
x
  
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 291
Đặt
2
logtx
, do
164x nên 06t
.
42
12 . 3
f
tt t t
vi
06t
.
 
32
0
43672 ; 0 3
6
t
f
tt t tft t
t


.
.
Vy giá tr ln nht ca biu thc
81P
.
Bài tp 4. Tìm tt c các giá tr ca tham s thc
m
để hàm s
33
3
x
x
y
m
nghch biến trên
1; 1
.
A.
1
3
m
. B.
1
3
3
m
. C.
1
3
m
. D.
3m
.
Li gii
Chn C.
T
a có
333.31
331
xx
xx
y
mm



Đặt
3
x
t
. Vì
1;1x  nên
1
;3
3
t



.
Khi đó

2
31 3
1
1
tm
yy
mt
mt


+ Vi
0m
tha mãn.
+ Vi
0m
. Yêu cu bài toán

30
11
1
;\0
3
3
1
3
m
m
m
m




.
Bài tp 5. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
2
ln 1 2 2yx mx

đồng biến trên
.
A. Không tn ti
.m
B.
1
.
2
m
C.
1
.
2
m
D.
11
.
22
m
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 292
Hướng dn gii
Chn C.
Hàm s
2
ln 1 2 2yx mx
xác định vi
x
.
Ta có:

2
2
2
ln 1 2 2 2
1
x
yx mx m
x



Để hàm s
2
ln 1 2 2yx mx đồng biến trên
thì
0,yx

.
22
2
20, ,
11
xx
mx mx
xx



.
Xét hàm s

2
1
x
gx
x
xác định vi mi
x
;


2
2
2
1
1
x
gx
x
.
01gx x

.
Lp bng biến thiên ca
g
x :
Theo bng biến thiên trên thì hàm s đồng biến trên
hay
1
0,
2
yx m

.
Bài tp 6. Có bao nhiêu giá tr ca
m
để giá tr nh nht ca hàm s
2
4
xx
f
xe em trên
0;ln 4
bng
6
.
A.
3
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 293
Hướng dn gii
Chn D
Đặt
x
te
, vi
0;ln 4 1; 4xt. Khi đó
2
4
f
xt tmgt
.

24
g
tt


02gt t
.
Ta có bng biến thiên
T bng biến thiên ta thy


0;4
6
min 6
46
m
gt
m


6
10
m
m
.
Bài tp 7. Giá tr nh nht ca hàm s
240
20 20 1283
x
yxx e trên tp hp các s t nhiên là:
A.
1283
. B.
280
163.e
. C.
320
157.e
. D.
300
8.e
.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có

40 2 40 40 2
40 20 40 20 20 1283 20 40 42 2565
xxx
yxe xx e exx

2
15
2
0 40 42 2565 0
171
20
x
yxx
x
 

Đặt
12
171 15
;
20 2
yy y y




280 320
7 163. ; 8 157.yeye
Bng biến thiên
x

171
20
15
2

y
0
0
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 294
y

1
y
2
y

Da vào bng biến thiên ta có Giá tr nh nht ca hàm s
240
20 20 1283
x
yxx e
trên
tp hp các s t nhiên là
280
163.e
.
Bài tp 8. Tìm tp hp tt c các giá tr ca tham s thc
m
để hàm s
2
42 1
xx
ymx

đồng
biến trên khong
1; 1 .
A.
1
;ln2
2



. B.
;0
.
C.
;2ln2
. D.
3
;ln2
2



.
Li gii
Chn C.
Ta có
2
4 2 1 4 .ln 4 4.2 .ln 2 4 2.2 .ln 4
xx x x x x
ymxy m m

Theo đề

0, 1;1yx

42.2.ln4 0, 1;1
xx
mx


1;1
42.2.ln4 , 1;1
xx
mgxx
mMingx



1;1
ln 4Min g x
 .
Bài tp 9. Giá tr nh nht ca tham s m ð hàm s
2
2
x
x
em
y
em
ðng biến trên khong
1
ln ;0
4



gn nht vi s nào sau ðây:
A. 0,03. B. 1. C. 0, 45
. D. 1, 01 .
Hướng dn gii
Chn C.
Đặt
.
x
et
Suy ra
2
2tm
y
tm

đồng biến trên khong
1
;1
4



.

2
2
2
2mm
y
tm

.
Để hàm s đồng biến trên khong
1
;1
4



cn:
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 295
2
12
20
12
1
1
1
1
;1
1
4
4
4
m
mm
m
m
m
m
m











. Suy ra chn
C.
Bài tp 10. Cho hàm s

4
2017
y



3x x
em-1e+1
. Tìm m để hàm s đồng biến trên khong

1; 2 .
A.
2
31me. B.
23
31 31eme
 .
C.
34
31 31eme
. D.
4
31me
.
Hướng dn gii
Chn D.



3
11
3
44
.ln . 1 1
2017 2017
xx
eme
xx
yeme

 

 
 
=



3
11
3
44
.ln . 3 1
2017 2017
xx
eme
x
x
yeme

 

 
 
.
Hàm s đồng biến trên khong
1; 2




3
11
3
44
.ln . 3 1 0, 1;2
2017 2017
xx
eme
xx
yemex

 

 
 
(*), mà

3
11
4
0,
2017
4
ln 0
2017
xx
eme
x








. Nên (*)
3
310,1;2
xx
eme x
2
31, 1;2
x
emx .
Đặt
2
31, 1;2
x
gx e x ,
2
3.20, 1;2
x
gx e x.
.
Vy (*) xy ra khi

2mg
4
31me.
Dng 4: Tìm GTLN và GTNN ca hàm s mũ, logarit nhiu biến
1. Phương pháp
PP1: S dng các bt đẳng thc c đin như: Côsi, Bunhiacôpski và mt s BĐT quen thuc
khác
PP2: S dng phương pháp dn biến:
+) Biến đổi biu thc đã cho theo mt biu thc chung mà ta đặt là biến
t .
+) Biu din biu thc đã cho theo
t ta được hàm
f
t . Tìm điu kin cho t .
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 296
+) Lp bng biến thiên ca
f
t . Suy ra kết qu.
2. Bài tp
Bài tp 1. Cho 2 s dương
a
b
tha mãn
22
log 1 log 1 6ab
. Giá tr nh nht ca
Sab
là.
A.
min 8S
. B.
min 14S
. C.
min 12S
. D.
min 16S
.
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt

2
2
log 1
6
log 1
ax
xy
by



.
Ta có
6
12
2 2 2 2 2 2. 2 16 14
12
x
xy xy
y
a
ab ab
b

 

.
Bài tp 2. Cho các s thc ,mn tha mãn 1mn. Tìm giá tr nh nht
min
P
ca biu thc

22
log 3log
mn
n
m
Pm
n




.
A.
min
13P
. B.
min
15P
. C.
min
16P
. D.
min
14P
.
Hướng dn gii
Chn B.
Do 1mn nên ta có.




2
22
22
log 3log 2log 3 log 1
443
3log 1 3
log
1log
log
mn m n
nn
n
m
m
m
m
Pm m m
n
m
n
mn
n











.
Do
1mn nên
log log 1
log log 1 0
mm
mm
nm
n

.
Xét hàm s

2
43
3
1
y
x
x

trên
0;1 .
Ta có

3
2
83
1
y
x
x

.
 
32
33
2
2
83 3 93 1
00 0
3
11
xx x
yx
x
xxx

  

.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 297
Bng biến thiên.
.
Vy giá tr nh nht ca biu thc là
min
15P
.
Bài tp 3. Cho ba s thc
a
,
b
,
1
;1
4
c



. Tìm giá tr nh nht
min
P
ca biu
thc.
111
log log log
444
abc
Pb c a
 

 
 
.
A.
min
1P
. B.
min
3P
. C.
min
33P
. D.
min
6P
.
Hướng dn gii
Chn D.
Vi mi
1
;1
4
x



ta có
2
22
11 1
0
42 4
xx x x x




.
Ly logarit 2 vế, ta được
2
1
log log
4
tt
xx



(vi
0;1t
(*).
Áp dng BĐT (*) ta được:
2
1
log log 2log
4
aaa
bbb




.
2
1
log log 2log
4
bbb
ccc




.
2
1
log log 2log
4
ccc
aaa




.
Suy ra
3
min
2 log log log 2.3 log .log .log 6
abc abc
P
bca bcaP .
Bài tp 4. Tìm giá tr nh nht ca biu thc

2
2
2
log 6 log
a
b
a
b
Pb
a





vi ,ab là các s thc
tha mãn
1ba.
A.
30
. B.
40
. C.
60
. D.
50
.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
2
2
2
log 4 log
aa
bb . Đặt log
a
bt
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 298
11 111
log log log log
22 2
log log
bbbb
aaaa
ba
bb
ba
a
abb
aa










2log 6 4log
11 1 1 2 2 1
11
2 2 1 2log log 2 2 log 4log 4
log log 1
22
ab
ba a b
ba
ba
ab b a
ab















2
2
2
4
26
232
12
11 1
4
2244 2
2
4
t
tt
tt
t
t
tt t
t
t
t






.
Ta được
2
2
1
46
2
t
Pt
t




.
Vi

2
1*ba ba Ly log cơ s
1a
hai vế ca
*
ta được log 2
a
b nên
2t
.
*) Xét hàm s
 
2
2
1
46 , 2;
2
t
ft t t D
t




.
Ta được.




232
2
3
12( 1) 1 3
'8 08 44121083220120
2
2
13
2
t
t
ft t tt t t t t t t
t
t


.
Do
2t
nên
'0ft nghim
3t
.
Ta có

2
lim ; 3 60;lim
t
t
ft f ft

  nên hàm s đạt giá tr nh nht bng
60.
.
Bài tp 5. Cho hai s thc dương
,
x
y
tha mãn
 
1
3
log 1 1 9 1 1
y
xy xy


. Tìm giá
tr nh nht ca biu thc
2Px y
.
A.
min
11
2
P
. B.
min
27
5
P
. C.
min
563.P  D.
min
362.P 
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
 
1
3
log 1 1 9 1 1
y
xy xy
 



33
99
log 1 1 log
11
xx
yy


.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 299
Xét hàm s

3
log , 1
f
tttt;

1
'10
ln 3
ft
t

,
1t
.
Suy ra

9
1
1
fx f
y




9
1
1
x
y

8
1
y
x
y

2
828
2
11
yyy
Py
yy



.
Bng biến thiên ca hàm s
2
28
, 1
1
yy
P
y
y

Vy
min
362.P 
Bài tp 6. Trong các nghim
(; )
xy
tha mãn bt phương trình
22
2
log (2 ) 1
xy
xy
. Giá tr ln
nht ca biu thc
2Tx
y

bng:
A. 9 . B.
9
8
. C.
9
4
. D.
9
2
.
Hướng dn gii
Chn D.
Bt PT
22
22 22
2
22 22
21 0 21
log (2 ) 1 ( ), ( )
22022
xy
xy xy
x
yIII
xyx y xyx y

 



 


.
Xét T= 2
x
y .
TH1: (x; y) tha mãn (II) khi đó
22
02 21Txyx y .
TH2: (x; y) tha mãn (I)
22 2 2
19
22 (1)(2 )
8
22
xyxyx y . Khi đó.
22 2
1191 199999
22(1)(2 ) (2)(1)(2 ) .
42 42842
222 22
xy x y x y

 


.
Suy ra :
9
max
2
T
1
(;y) (2; )
2
x.
Bài tp 7. Cho hai s thc
,ab
tha mãn
10ab
. Tính giá tr nh nht
min
T
ca biu thc sau
236
.
log log
aab
Tb a
.
A.
mi n
16T
. B.
mi n
13T
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 300
C.
min
T
không tn ti. D.
mi n
19T
.
Hướng dn gii
Chn A.
2362 2
.
36 36
log log log log
log 1 log
aab a a
aa
Tb a b b
ab b
  
.
Đặt
log
a
tb
, vì
10loglog1
ab
ab b b t
.
Xét
2
2
36 36
() '() 2
1(1)
ft t f t t
tt


. Cho
'( ) 0 2ft t

.
Hàm s
()
f
t
liên tc trên
[1; )
[1; ) [1; )
(1) 19
(2)16 ()16 16
lim ( )
t
f
fMinftMinT
ft
 



.
Bài tp 8. Xét các s thc a ,
b
tha mãn
1ab
. Biết rng biu thc
1
log
log
a
ab
a
P
ab

đạt
giá tr ln nht khi
k
ba . Khng định nào sau đây đúng?
A.
3
;2
2
k


.
B.
2;3k
. C.
3
0;
2
k


.
D.
1; 0k 
.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
1
log log 1 log 1 log 1 log
log
aa a a a
ab
a
P
ab b b b
ab

.
Khi
k
ba
11
P
kk
. Đặt
1tk
. Vi
1k
.
2
2
199
2
244
Ptt t

 


.
9
Max
4
P . Đẳng thc xy ra
1
2
t
33
0;
42
k




.
Bài tp 9.
Xét các s thc
a
,
b
tha mãn
1ab
. Tìm giá tr nh nht
min
P
ca biu thc

22
log 3log
ba
b
a
Pa
b




.
A.
min
19P
. B.
min
13P
. C.
min
14P
. D.
min
15P
.
Hướng dn gii
Chn D.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 301
Vi điu kin đề bài, ta có.

2
2
2
2
2
log 3log 2log 3log 4 log . 3log
4 1 log 3log
aaa
bbb
a
bb b
b
b
aaaa
Pa a b
bbbb
a
b
b

 


 

 









.
Đặt
log 0
a
b
tb
(vì 1ab), ta có
22
33
4(1 ) 4 4 ( )8Pt t ftt
tt
 
.
Ta có
32 2
22 2
38 3(21)(4 3)
)
86
(88
ttt
t
tt
ft t
tt


.
Vy
1
() 0
2
ft t

. Kho sát hàm s, ta có
min
1
15
2
fP



.
Bài tp 10. Cho các s thc
,,abc
không âm tho mãn 2484
abc
. Gi
,
M
m
ln lượt là giá
tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc
23Sa b c
. Giá tr ca biu thc
4log
M
M
m
bng
A.
2809
500
.
B.
281
50
.
C.
4096
729
.
D.
14
25
.
Hướng dn gii
Chn C
2484
abc

23
22 2 4
abc

.
Đặt
2
3
2
2
2
a
b
c
x
y
z
4
,, 1
xyz
xyz

.
23Sa b c
222
log log log
xy
z
2
log
x
yz
.
Ta có
33
4
33
xyz
xyz





2
4
3log
3
S

.
Du bng xy ra
4
3
xyz

.
Do đó
2
4
3log
3
M
2
4
23log
3
abc

.
Mt khác
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 302



111 11 11 11 2xyzxyz xy yz zx xyz
111 11 11 1122xyzxyyzzx.
Du bng xy ra khi và ch khi
1; 1; 2
1; 2; 1
2; 1; 1
xyz
x
yz
x
yz



.
Suy ra
1m
.
Vy
6
4 4096
4log
3 729
M
M
m




.
Bài tp 11. Cho các s thc
,,,abcd
tho mãn
111 11
24816 4
abc d

. Gi
m
là giá tr nh nht
ca biu thc
234Sa b c d
. Giá tr ca biu thc
2
log m
bng
A.
1
2
.
B.
1
4
.
C.
4
.
D.
2
.
Hướng dn gii
Chn C
111 11
24816 4
abc d

234
1
22 2 2
4
abcd

.
Đặt
2
3
4
2
2
2
2
a
b
c
d
x
y
z
t
1
4
,,, 0
xyzt
xyzt

.
234Sa b c d
2222
log log log log
x
yzt
2
log
x
yzt
.
Ta có
4
16
4
1
2
416
xyzt
xyzt





16S
.
Du bng xy ra
1
16
xyzt

.
Do đó
16m
4
2
4
3
1
a
b
c
d
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 303
Bài tp 12. Cho ,a
,b
c là các s thc ln hơn 1. Tìm giá tr nh nht
min
P
ca biu thc:
3
41 8
log
log 3log
ac ab
bc
P
a
bc

.
A.
min
20P
. B.
min
10P
. C.
min
18P
. D.
min
12P
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:
418
2log 2log 8log
1
2log log
log
2
abc
bc ab
ac
P
bc ac ab
ac
b

2log 2log 2log 2log 8log 8log
aabbcc
bcacab
2log 2log 2log 8log 2log 8log
ab ac bc
ba ca cb.
,a
,b
c
là các s thc ln hơn
1
nên:
log ,
a
b log ,
b
a log ,
a
c log ,
c
a log ,
b
c log 0
c
b
.
Do đó
áp dng bt đẳng thc Cauchy, ta có:
2 2log .2log 2 2log .8log 2 2log .8log 4 8 8 20
ab ac bc
Pbacacb
.
Du “=” xy ra khi và ch khi
2
2
log log
log 4log 1
log 4log
ab
ac
bc
ab
ba
cacaabc
cb
cb



.
Vy
min
20P .
Dng 5: Bài toán lãi sut
1.Phươngpháp
2.Bàitp
Bài tp 1: Mt người gi tiết kim s tin 80 000 000 đồng vi lãi sut
6,9% mt năm. Biết rng tin lãi hàng năm được cng vào tin gc, hi
sau 5 năm người đó rút đưc c tin gc ln tin lãi gn vi con s nào
sau đây?
A. 105370000 đồng B. 111680000 đồng
C.
107667000 đồng D. 116570000 đồng
Hướng dn gii
Chn B
Gi A là s tin gi ban đầu, r là lãi sut hàng năm.
Ghi nh:
Khách hàng gi vào ngân
hàng A đồng vi lãi kép r (% /
kì hn) thì s tin khách hàng
nhn được c vn ln lãi sau n
kì hn

*n là:

1
n
n
SA r
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 304
S tin gc và lãi sau năm th nht là
1
.1SAArA r
 .
S tin gc và lãi sau năm th hai là

2
211
.1SSSrA r
.
S tin gc và lãi người đó rút ra được sau 5 năm là

55
5
. 1 80000000. 1 6,9% 111680799SA r (đồng)
Bài tp 2: Mt người gi ngân hàng 100 triu vi lãi sut 0,5% mt
tháng. Biết rng nếu không rút tin ra khi ngân hàng thì c sau mi
tháng, s tin lãi s được cng vào vn ban đầu để tính lãi cho tháng
tiếp theo. Sau ít nht bao nhiêu tháng, người đó có nhiu hơn 125 triu?
A. 45 tháng B. 46 tháng C. 47 tháng D. 44 tháng
Hướng dn gii
Chn A
Sau n tháng, tng s tin gc và lãi là:

100 1 0,5%
n
.
Theo đề bài:


10,5%
125
100 1 0,5% 125 log 44,74
100
n
n

Vy sau ít nht 45 tháng, người đó có nhiu hơn 125 triu.
T công thc lãi kép

1
n
n
SA r
, ta suy ra

1
log
n
r
S
n
A



.
Bài tp 3: Bác Ton gi s tin 58 triu đồng vào mt ngân hàng theo
hình thc lãi kép và n định trong 9 tháng thì lĩnh v được 61758000
đồng. Hi lãi sut ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rng lãi sut
không thay đổi trong thi gian gi.
A. 0.8% B. 0,6% C. 0,7% D. 0,5%
Hướng dn gii
Chn C.
Gi r là lãi sut tin gi ca ngân hàng theo tháng. ,
n
A
S ln lượt là
s tin gi ban đầu và s tin sau
9n
tháng. Áp dng công thc lãi
kép ta có
T công thc lãi kép

1
n
n
SA r
, ta có
1
n
n
S
r
A

.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 305
 
9
1 61758000 58000000 1
n
n
SA r r
3
9
61758000
17.10 0,7%
58000000
r

Vy lãi sut ngân hàng hàng tháng là 0,7%
Bài tp 4:
Để đủ tin mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triu theo
phương thc tr góp vi lãi sut 0,85% mi tháng. Nếu sau mi tháng,
k t thi đim vay, anh An tr n cho ngân hàng s tin c định là 10
triu đồng bao gm c tin lãi vay và tin gc. Biết phương thc tr lãi
và gc không thay đổi trong sut quá trình anh An tr n. Hi sau bao
nhiêu tháng anh tr hết n ngân hàng?
A. 65 B. 66 C. 67 D. 68
Hướng dn gii
Chn B
Đặt
500A
triu là s tin đã vay,
10X
triu là s tin tr trong mi
tháng và 0,85%r là lãi sut ngân hàng, n là s tháng anh An phi tr
hết n.
Theo đề bài:
Cui tháng th nht anh An còn n s tin là
1
A
Nr X A r X .
Cui tháng th hai anh An còn n s tin là
   
2
11 111ArX ArXrXAr X r  

.
Cui tháng th ba anh An còn n s tin là
    
232
1111 1111Ar X r rXAr X r r

 


Cui tháng th n anh An còn n s tin là
  
12
1 1 1 ... 1 1
nnn
Ar X r r r




Bài toán vay vn tr góp:
Vay ngân hàng s tin là A
đồng vi lãi sut r (% /
tháng). Sau đúng mt tháng k
t ngày vay, bt đầu hoàn n;
hai ln hoàn n cách nhau
đúng mt tháng, mi hoàn n
s tin là X đồng và tr hết
tin n sau đúng n tháng.
Cách tính s tin còn li sau n
tháng là:


11
1
n
n
n
r
SA r X
r
 .
Để sau đúng n tháng tr hết
n thì


11
10
n
n
r
Ar X
r

 .
Suy ra

1
log
r
X
n
XAr



.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 306
Để sau n tháng, anh An tr hết n thì
  
12
1 1 1 ... 1 1 0
nnn
Ar X r r r




  
12
1 1 1 ... 1 1
nnn
Ar X r r r








1
11
11log
n
nn
r
r
XX
Ar X r n
rXArXAr






Áp dng ta có:

10,0085
10
log 65,38
10 500.0,0085
nn




.
Vy anh An phi tr trong vòng 66 tháng.
Bài tp 5: Bác An có 400 triu đồng mang đi gi tiết kim hai kì hn
khác nhau đều theo hình thc lãi kép. Bác gi 200 triu đồng theo kì
hn quý vi lãi sut 2,1% mt quý; 200 triu còn li bác gi theo kì hn
tháng vi lãi sut 0,73% mt tháng. Sau khi gi được đúng 1 năm,c
rút tt c s tin loi kì hn theo quý và gi theo tháng. Hi sau đúng
2 năm k t khi gi tin ln đầu, bác An thu được tt c
bao nhiêu tin
lãi? (kết qu làm tròn đến hàng phn nghìn).
A. 75,304 triu đồng B. 75,303 triu đồng
C.
470,656 triu đồng D. 475,304 triu đồng
Hướng dn gii
Chn A
Công thc tính lãi kép là

1
n
n
SA r.
Tng s tin bác An thu được sau 1 năm theo kì hn quý là:

4
1
200 1 2,1%S  triu đồng
Tng s tin bác An thu được sau 1 năm theo kì hn tháng là:

12
2
200 1 0,73%S  triu đồng
Tng s tin bác An thu được sau 1 năm là
12
SS
triu đồng.
Tng s tin bác An thu được sau 2 năm là
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 307

12
12
1 0,73% 475,304SSS
triu đồng.
Vy tin lãi bác An thu được sau 2 năm là 400 75,304LS

triu đồng.
Bài tp 6: Mt người vay ngân hàng s tin 350 triu đồng, mi tháng
tr góp 8 triu đồng và lãi sut cho s tin chưa tr là 0,79% mt tháng.
Kì tr đầu tiên là cui tháng th nht. Hi s tin phi tr kì cui là
bao nhiêu để người này hết n ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn)
A. 2921000 đồng B. 7084000 đồng
C.
2944000 đồng D. 7140000 đồng
Hướng dn gii
Chn D
Kì tr đầu tiên là cui tháng th nht nên đây là bài toán vay vn tr
góp cui kì.
Gi A là s tin vay ngân hàng, B là s tin tr trong mi chu kì,
%dr là lãi sut cho s tin chưa tr trên mt chu kì, n là s kì tr n.
S tin còn n ngân hàng (tính c lãi) trong tng chu kì như sau:
+
Đầu kì th nht là A
+
Cui kì th nht là
1
A
dB
.
+
Cui kì th hai là
 
2
11 1 11AdB dBAd B d  

+
Cui kì th ba
    
232
1111 1111Ad B d dBAd B d d

  


+
Theo gi thiết quy np, cui kì th n
   

1
11
11...111
n
nn n
d
Ad B d d Ad B
d

 

Vy s tin còn n (tính c lãi) sau n chu kì là
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 308


11
1
n
n
d
Ad B
d


.
Người đó tr hết n ngân hàng khi


11
10
n
n
d
Ad B
d


1,0079 1
350.1,0079 8. 0 53,9
0,0079
n
n
n
 .
Tc là phi mt 54 tháng người này mi tr hết n.
Cui tháng th 53, s tin còn n (tính c lãi) là
53
53
53
1,0079 1
350.1,0079 8.
0,0079
S
 (triu đồng)
Kì tr n tiếp theo là cui tháng th 54, khi đó phi tr s tin
53
S
lãi ca s tin này na là
53 53 53
0,0079. .1,0079 7,139832SSS
(triu đồng).
Bài tp 7: Ông A vay dài hn ngân hàng 300 triu, vi lãi sut 12%
năm. Ông mun hoàn n cho ngân hàng theo cách: Sau đúng mt năm
k t ngày vay, ông bt đầu hoàn n, hai ln hoàn n liên tiếp cách nhau
đúng mt năm, s tin hoàn mi ln là như nhau và tr hết n sau
đúng 4 năm k t ngày vay. Hi theo cách đó, s tin m mà ông A s
phi tr cho ngân hàng trong mi ln hoàn n là bao nhiêu? Biết rng lãi
su
t ngân hàng không thay đổi trong thi gian ông A hoàn n.
A.


4
4
36 1,12
1,12 1
m
(triu đồng)
B.

2
36 1,12m (triu đồng)
C.


3
3
36 1,12 1
1,12
m
(triu đồng)
D.


4
4
300 1,12
1,12 1
m
( triu đồng)
Hướng dn gii
Chn A
S tin n sau năm th nht:
1
300 1 12% 300Tmpm, vi
1 12% 1,12p 
.
S tin n sau năm th hai:
2
2
300 300Tpmpmpmpm
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 309
S tin n sau năm th ba:
232
3
300 300T p mp m p m p mp mp m
Tr hết n sau năm th tư:
32
300 0p mp mpmpm

432 4 32
300 0 300 1 0pmpmpmpm pmp p p



4
4
4
4
1,12 1
1
300 . 0 300 1,12 .
10,12
p
pm m
p





44
44
300 1,12 . 0,12 36 1,12
1,12 1 1,12 1
mm 

Vy


4
4
36 1,12
1,12 1
m
.
Bài tp 8: Mt người mi đầu tháng gi vào ngân hàng T triu đồng vi
lãi sut kép 0,6% mt tháng. Biết cui tháng th 15 thì s tin c gc ln
lãi s thu v là 10 triu đồng. Hi s tin T gn vi s nào nht trong các
s sau đây?
A. 535000 đồng B. 635000 đồng
C.
613000 đồng D. 643000 đồng
Hướng dn gii
Chn B
Sau tháng gi đầu tiên s tin c gc và lãi thu được là
1Tr
Sau tháng th hai s tin c gc và lãi thu được là
 
2
11TrTr .
Sau tháng th 15, s tin c gc và lãi thu được là
  
1
1 1 ... 1
nn
TrTr Tr

.
Để s tin c gc ln lãi thu v là 10 triu đồng thì
Bài toán tin gi ngân hàng:
Đầu mi tháng, khách hàng
gi vào ngân hàng s tin A
đồng vi lãi kép r (% / tháng)
thì s tin khách hàng nhn
được c vn ln lãi sau n
tháng
*n (nhn tin
cui tháng, khi ngân hàng đã
tính lãi) là
 
111
n
n
A
Srr
r



.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 310
  
15 14
1 1 ... 1 10000000TrTr Tr


15
11
1 10000000 635.000
r
Tr T
r


(đồng).
Bài tp 9: Mt huyn A có 100 000 dân. Vi mc tăng dân s bình
quân 1,8% năm thì sau ít nht bao nhiêu năm na dân s s vượt 150
000 dân.
A. 22 B. 23 C. 27 D. 28
Hướng dn gii
Chn B
Gi s sau n năm na thì dân s s vượt 150 000 dân.
Áp dng công thc:

'1
n
XX r
.
Suy ra
111,8%
' 150000
log log 22,72796911
100000
r
X
n
X





.
Bài tp 10: T l tăng dân s hàng năm Vit Nam được duy trì mc
1,05%. Theo s liu ca Tng cc Thng kê, dân s ca Vit Nam năm
2014 là 90728900 người. Vi tc độ tăng dân s như thế thì vào năm
2030, dân s ca Vit Nam là:
A. 106118331 người B. 198049810 người
C.
107232574 người D. 108358516 người
Hướng dn gii
Chn C
Áp dng công thc:

2030 2014
1
n
XX r
Trong đó:
2014
90728900; 1,05; 16Xrn
Ta được dân s đến hết năm 2030 là:
2030
107232574.X
Bài tp 11: Trong vt lý, s phân rã ca các cht phóng x được biu
din bi công thc:

1
0
1
2
T
mt m



, trong đó
0
m là khi lượng ban đầu
ca cht phóng x (ti thi đim 0t
); T là chu kì bán rã (tc là
Công thc tính tăng trưởng
dân s:

1
mn
mn
XX r

,,mn m n

Trong đó: r % là t l tăng dân
s t năm n đến năm m;
m
X
dân s năm m,
n
X
dân s năm
n.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 311
khong thi gian để mt na khi lượng cht phóng x b biến thành
cht khác). Chu kì bán rã ca Cabon
14
C là khong 5730 năm. Cho
trước mu Cabon có khi lượng 100g. Hi sau khong thi gian t thì
khi lượng còn bao nhiêu gam?
A.

1
5730
1
100.
2
mt



B.

ln 2
5730
100.e
t
mt
C.

100
5730
1
100
2
t
mt



D.

100
5730
100.e
t
mt
Hướng dn gii
Chn A
Theo công thc:

1
0
1
2
T
mt m



ta có:

5730
1
100.
2
t
mt
Bài tp 12: Cường độ ánh sáng đi qua môi trường khác không khí
(chng hn sương mù, nước,…) s gim dn tùy thuc độ dày ca môi
trường và hng s
gi là kh năng hp thu ca môi trường, tùy thuc
môi trường thì kh năng hp thu tính theo công thc
0
x
IIe
vi x
độ dày ca môi trường đó và được tính bng đơn vt. Biết rng nước
bin có
1, 4
. Hãy tính cường độ ánh sáng gim đi bao nhiêu khi t
độ sâu 2m xung đến 20m?
A.
25,2
e B.
22,5
e C.
32,5
e D.
52,5
e
Hướng dn gii
Chn A
Cường độ ánh sáng thay đổi khi t độ sâu
1
x
đến độ sâu
2
x
là:

1
21
2
10
20
x
x
x
x
IIe
e
IIe
.
Thay
12
2; 20, 1, 4xx
 ta có
25,2
1
2
I
e
I
.
Giáoviênnhucusởhufilewordvuilòng
liênh.Face:TrnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang 312
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 313
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bn
Phương trình mũ cơ bn là phương trình có dng
0; 1
x
aba a

- Nếu
0b
thì phương trình có duy nht mt nghim
log
a
x
b
;
- Nếu
0b
hoc
0b
thì phương trình vô nghim.
2. Cách gii mt s phương trình mũ cơ bn
a) Đưa v cùng cơ s
 
 
,0,1
Ax Bx
aa AxBxaa
b) Phương pháp đặt n ph
2
.0
xx
aa


. Đặt
,0
x
tat
c) Logarit hóa
Nếu phương trình cho dng
()
01
0
() log
fx
a
a
abb
f
xb
ì
ï
ï
ï
ï
= >
í
ï
ï
ï=
ï
î
.
II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bn: là phương trình có dng
log
a
x
b
vi
01a
log
b
a
x
bxa
2. Cách gii mt s phương trình mũ cơ bn
a) Đưa v cùng cơ s
 
 
0, 1
() 0( () 0)
log log
aa
aa
f x hoac g x
fx gx
fx gx



b) Phương pháp đặt n ph
2
log .log 0
aa
xx


. Đặt
log , 0
a
txx
c) Mũ hóa
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 314


() 0
log
a
b
fx
fx b
f
xa

H THNG HÓA BNG SƠ ĐỒ
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 315
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Phương pháp đưa v cùng cơ s
1. Phương pháp
Phương pháp đưa phương trình mũ v cùng cơ s
- Biến đổi các hàm s có mt trong phương trình v cùng cơ s, sau đó rút gn, đưa v dng cơ bn
hoc v dng:
() ()
() (). (
fx gx
aa fxgx
 Vôùi 0 a 1).
(Thường gp)
- Nếu cơ s a thay đổi thì:

0)()()1(
0
)()(
xgxfa
a
aa
xgxf
(Ít gp).
Phương pháp đưa phương trình loga v cùng cơ s
Biến đổi phương trình để đưa v dng cơ bn đã nêu hoc là dng:
log log .
aa
M
NMN

2. Bài tp
Bài tp 1. Tìm tích s ca tt c các nghim thc ca phương trình
2
3
2
7497
xx
A.
1
. B.
1
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Li gii
Chn A
22
335
22
222
15
35
2
749777 10
22
15
2
xx xx
x
xx xx
x
 
 
Khi đó tích các nghim là:
1515
.1
22

.
Bài tp 2. Cho phương trình

2
12
743 2 3


x
xx
. Mnh đề nào sau đây đúng?
A. Phương trình có hai nghim không dương.
B. Phương trình có hai nghim dương phân bit.
C. Phương trình có hai nghim trái du.
D. Phương trình có hai nghim âm pn bit.
Li gii
Chn A
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 316
Do
2
743 2 3
nên phương trình ban đầu tương đương vi


2
21 2
23 23


xx x
2
222 2xx x
2
20
xx
0
1
2

x
x
.
Vy phương trình đã cho có hai nghim không dương.
Bài tp 3. Phương trình có bao nhiêu nghim?
A. Vô nghim. B. Mt nghim. C. Hai nghim. D. Ba nghim.
Li gii
Chn C
Điu kin: .
Ta có
.
Đối chiếu điu kin, phương trình đã cho có hai nghim .
Bài tp 4.
Tp nghim
S
ca phương trình
31
47 16
0
74 49



xx
A.
1
2




S
. B.
2S
. C.
11
;
22

. D.
1
;2
2




S
.
Li gii
Chn A
Ta có
31
47 16
0
74 49




xx
21 2
44
77

 

 
 
x
212
x
1
2
x .
Cách trc nghim: Nhp VT phương trình vào máy tính, dùng nút Calc th các nghim.
Bài tp 5. Phương trình

21
7
1
8 0,25. 2
x
x
x
có tích các nghim bng?
A.
4
7
. B.
2
3
. C.
2
7
. D.
1
2
.
 
23
48
2
log 1 2 log 4 log 4
x
xx
44x 1x 
 
23
48
2
log 1 2 log 4 log 4
x
xx

22
log 4 1 log 4 4
x
xx


2
4116
x
x


2
2
4116
41 16
x
x
xx


2
2
4120
4200
xx
xx


2
6
226
226
x
x
x
x



2x
226x 
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 317
Li gii
Chn C
Ta có

21 21
7
7
3.
2
11
2
8 0,25. 2 2 2 .2
xx
x
x
xx



21 21
774
3. 3.
2
11
22
22.222
xx
xx
xx


 
2
1
217 4
3. 7 9 2 0
2
12
7
x
xx
xx
x
x


.
Vy tích các nghim bng
22
1.
77
.
Bài tp 6. Tìm s nghim ca phương trình
7
2
1
3
27
243
x
x
x
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D. Vô s.
Li gii
Chn A
Điu kin
1
x
.
Ta có:
7
2
2
1
5
3
27
3
x
x
x
36
710
1
2
33
x
x
x

36710
12
xx
x

612710 1xxx
2
723220xx (PT vô nghim)
Bài tp 7. Cho phương trình . Tng các nghim ca phương trình
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Điu kin:
Ta có:

 
2
3
33
3
2log 1 log 2 1 log 1xxx
2
3
41

3
2
10
1
21 0
1
2
10
x
x
x
x
x








 
2
3
33
3
2log 1 log 2 1 log 1xxx

3
333
2log 1 2log 2 1 2log 1xxx

3
33
log 1 log 2 1 1xxx


3
12 1 1xxx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 318
Trường hp 1: . Ta có:
. So sánh điu kin nên .
Trường hp 2: . Ta có:
. So sánh điu kin nên .
Kết lun: Tng các nghim ca phương trình là .
Bài tp 8. Cho là s nguyên dương và , . Tìm sao cho
.
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Ta có
.
Do là s nguyên dương nên .
Bài tp 9. Tng tt c các nghim thc ca phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dn gii
Chn B
ĐKXĐ: .
1
2
x
3
12 1 1xxx


3
121 1xxx

32
220xxx
121
x
xx 21
x
x
1
2
x
3
12 1 1xxx


3
112 1xxx

32
20xxx
0
1
x
x

0x
012 3

n 0a 1a
n
3
log 2019 log 2019 log 2019 ... log 2019 2033136.log 2019
n
a a
aa a

2017n 2016n 2018n
2019n
3
log 2019 log 2019 log 2019 ... log 2019 2033136.log 2019
n
a a
aa a

log 2019 2.log 2019 3.log 2019 ... .log 2019 2033136.log 2019
aaa a a
n

1 2 3 ... .log 2019 2033136.log 2019
aa
n

1
2033136 .log 2019 0
2
a
nn




0, 1aa

2
1
2033136 4066272 0
2
nn
nn

2016
2017
n
n

n 2016n

2
44
2log 3 log 5 0xx

8 82 82 42
30
50
x
x


3
5
x
x
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 319
.
.
Vy tng tt c các nghim ca phương trình là .
Bài tp 10. Gii phương trình có nghim là
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Điu kin: .
Ta có
.
Bài tp 11. S nghim ca phương trình:
42 24
log log log log 2xx
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Li gii
Chn D
Điu kin:
2
0
1
log 0
x
x
x

.
Ta có:
  
42 24 22 2 2
11
log log log log 2 log log log log 2
22
xx x x





3
2
22
1
log 4 log 4 16
2
xxx tha điu kin.
Bài tp 12. Phương trình
8
349
.
4316
x
x
 
 
 
có hai nghim
1
x
2
x
. Tng
12
Sxx

2
44
2log 3 log 5 0xx
4
2log 3 5 0xx





351xx


3 5 1 khi 5
3 5 1 khi 3 5
xx x
xx x


2
2
8 15 1 khi 5
8 15 1 khi 3 5
xx x
xx x


42
4
x
x

82
2 3 2018
11 1
... 2018
log log logxx x

2018.2018!x
2018
2018!x
2017!x

2018
2018!x
01
x

2 3 2018
11 1
... 2018
log log logxx x

log 2 log 3 ... log 2018 2018
xx x


log 2.3...2018 2018
x

log 2018! 2018
x

2018
2018!x
2018
2018!x
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 320
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
Li gii
Chn C
Đk:
0x
Xét phương trình
84
349349
..
4 3 16 4 3 16
xx
xx
  

  
  

44
2
2
33 9 3 3 4
.22401
44 16 4 4
xx
xx
xxx
x

  

  
  
0x
không phi là nghim ca phương trình
1
1. 4 0
nên
Phương trình

1
có hai nghim
1
x
,
2
x
12
2xx
. Vy
2S
.
Dng 2: Phương pháp đặt n ph
1. Phương pháp
Loi 1: Phương trình có dng
kf(x) (k -1)f(x) f(x)
kk-1 10
b a +b a + ... + b a + b = 0
Khi đó ta đặt: t = a
f(x)
điu kin: t > 0 . Ta được mt phương trình đại s n t, gii pt đại s này ta biết
được nghim ca phương trình n t.
Nếu có nghim t thì cn xét xem có tha điu kin t > 0 hay không. Nếu tha điu kin thì gii phương trình
()
f
x
ta để tìm nghim ca phương trình đã cho.
Ví d:
11 121
4 6.2 8 0 (2 ) 6.2 8 0
xx x x
 
Đặt t =
1
2
x
. Điu kin t > 0. Ta có
2
2
680
4
t
tt
t

Vi t = 2 ta có
1
2
x
=2
0x
Vi t = 4 ta có
1
2
x
= 4
1
x

.
Vy phương trình đã cho có hai nghim:
0x
1.x
Loi 2: Phương trình đưa được v dng:
f(x)
2
13
f(x)
α
α a+ +α =0
a
Hướng gii: Đặt
()
f
x
ta .
Ví d 1: Gii phương trình
13
5125
55 26 260
55
x
xx
x


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 321
Đặt
5; 0
x
tt
Ta được phương trình:
2
125 ( )
125
26 0 26 125 0
5( )
55
t
tt
t
t
t

nhaän
nhaän
Vi t =125 ta có 5125 3
x
x.
Vi t = 5 ta có 55 1.
x
x
Vy phương trình đã cho có hai nghim: x = 1 và x = 3.
Lưu ý: Mt s nhng cp s là nghch đảo ca nhau. Ví d:
,... 83 ; 32 ; 12
Loi 3: Phương trình có dng:
2f(x) f(x) 2f(x)
12 3
α a+α (ab) + α b=0
Hướng gii: Chia c hai vế cho
2()
f
x
b
ta được phương trình
1
)(2 xf
b
a
+
2
)( xf
b
a
+
3
= 0
Ta đặt: t =
)( xf
b
a
điu kin: t > 0, gii phương trình n t, sau đó tìm nghim x.
Chú ý: Cũng có th chia hai vế phương trình cho:
()
()
f
x
ab
hoc:
2()
f
x
a .
Ví d: Gii phương trình 96 2.4
x
xx
 .
2
3
1
2
96 3 3
962.4 () 20 () 20 0
44 2 2
3
2( )
2
x
xx
xx x x x
x
x



 
 
 
 




Voâ nghieäm
Mt s dng phương trình logarit s dng phương pháp đặt n ph thường gp:
Ví d1: Gii phương trình
12
1
5lg 1lg
xx


.
Phân tích: Ta nhn thy trong phương trình ch có mt hàm s lôgarit duy nht, đó là lg
x
. Vì vy ta gii pt
bng cách đặt lg .tx
Đặt
lgtx
đk
5t
1t 
.Ta được phương trình:
12
1
51
tt



2
11
11154
51
t
ttt
tt





2
2
560
3
t
tt
t

thoûa ñieàu kieän
thoûa ñieàu kieän
Vi t = 2 ta có
lg 2 100xx
Vi t = 3 ta có
lg 3 1000xx
Vy phương trình đã cho có hai nghim x = 100; x = 1000.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 322
Ví d 2: Gii phương trình
22 3
22
log ( 1) log ( 1) 7.xx 
Điu kin:
1
x
22 3
22
log ( 1) log ( 1) 7xx
2
22
4log 1 3log 1 7 0xx
Đặt

2
log 1tx
, ta được phương trinh:
2
1
4370
7
4
t
tt
t

Vi t =1 ta có

2
log 1 1 1 2 3xxx
Vi
7
4
t
ta có

77
44
2
7
log 1 1 2 1 2
4
xxx

. Kết lun:....
2. Bài tp
Bài tp 1.
Phương trình

21 21 22 0
xx

có tích các nghim là:
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Hướng dn gii
Chn
A

21 21 22 0
xx


1
21 22 0
21
x
x

.
 
2
21 22 21 10
xx


21 21
1
1
21 21
x
x
x
x



.
Vy tích các nghim ca phương trình là
1
.
Bài tp 2. Phương trình
11
9 13.6 4 0
xxx
 có 2 nghim
1
x
,
2
x
. Phát biu nào sau đây đúng?
A. Phương trình có
2
nghim nguyên. B. Phương trình có
2
nghim vô t.
C. Phương trình có
1
nghim dương. D. Phương trình có
2
nghim dương.
Li gii
Chn A
Ta có:
11
9 13.6 4 0
xxx
 9.9 13.6 4.4 0
xxx

96
9. 13. 4 0
44
xx
xx

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 323
2
33
9. 13. 4 0
22
xx
 

 
 
3
1
2
34
29
x
x






0
2
x
x
.
Vy phương trình có
2
nghim nguyên.
Bài tp 3. Tính tng ca tt c các nghim thc ca phương trình

33 3
39 93 9312
xxxx

.
A.
3
. B.
7
2
.
C.
4
. D.
9
2
.
Li gii
Chn B
Đặt
39
93
x
x
a
b


.
Phương trình đã cho

3
33
ab ab
30ab a b

0
0
0
a
b
ab

.
0a 2x
.
0b
1
2
x.
0ab
93120
xx


33
34
x
x
VN

1
x
.
Vy tng tt c các nghim thc ca phương trình là
7
2
.
Bài tp 4. Tích các nghim ca phương trình
2
25
log 125 log 1
x
x
x
bng
A.
7
25
.
B.
630
625
.
C.
1
125
.
D.
630
.
Li gii
Chn C
Điu kin:
01
x

, ta có:

2
25
log 125 log 1
x
x
x
22
25 25
log log .log 125 1
x
xx
2
25 25
3
log log 1 0
2
xx

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 324
25
25
1
log
2
log 2
x
x

2
5
1
25
x
x
.
Vy tích các nghim ca phương trình là:
1
125
.
Bài tp 5. Phương trình
2
5
log 2 log
2
x
x
A. Có hai nghim dương. B. Vô nghim.
C. Có mt nghim âm. D. Có mt nghim âm và mt nghim dương.
Li gii
Chn A
Điu kin:
01
x

.
2
5
log 2 log
2
x
x
2
2
15
log 0
log 2
x
x

2
2
log 2
4
1
log
2
2
x
x
x
x

.
Vy phương trình đã cho có hai nghim dương.
Bài tp 6. Gi
S
là tp nghim ca phương trình
22 2
21
22 4 1
xx xx xx
. S phn t ca tp
S
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
Li gii
Chn
D
TXĐ:
D
Xét phương trình:
2
22 2 2 2
21 1
2
22 4 12 4 1
4
xx
xx xx xx xx xx


2
22 2 2
2
1
4.2 2 4.4 4 5.2 2 4
xx
xx xx xx xx

 
2
2
2
25.240
xx
xx
. Đặt
2
2, 0
xx
tt
Phương trình tr thành:
2
1
540
4
t
tt
t

Vi
2
2
0
12 1 0
1
xx
x
txx
x

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 325
Vi
2
22
2
42 2 20
1
xx
x
txx
x
 
Vy tp nghim ca phương trình
1; 0; 1; 2S 
4
phn t.
Bài tp 7.
Gi
a
là mt nghim ca phương trình
2log log 2log
4.2 6 18.3 0

xx x
. Khng định nào sau đây là
đúng khi đánh giá v
a
.
A.

2
10 1a
. B.
2
12aa .
C. a cũng là nghim ca phương trình
log
29
34



x
. D.
2
10a .
Li gii
Chn
C
Điu kin:
0x
. Chia hai vế cho
2log
3
x
ta được phương trình:
2log log
22
4. 18 0
33
 

 
 
xx

log
log
29
34
2
2
3







x
x
VN
log
29
34



x
.
Bài tp 8. Biết phương trình
2
2log 3log 2 7
x
x
có hai nghim thc
12
x
x
. Tính giá tr ca biu thc

2
1
x
Tx
A.
64T
. B.
32T
. C.
8
T
. D.
16T
.
Li gii
Chn D
Điu kin:
0
1
x
x
.
Ta có:
2
2log 3log 2 7
x
x
2
2
3
2log 7
log
x
x
2
22
2log 7log 3 0xx
2
2
log 3
1
log
2
x
x
8
2
x
x
(tha mãn).
1
2x
;
2
8x

2
1

x
Tx
8
2
16
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 326
Bài tp 9. Tng tt c các nghim thc ca phương trình
22
21 3 61
25.220
xxxx

bng
A.
4
.
B.
10.
C.
6.
D.
8 .
Li gii
Chn C
Ta có
22 22
21 3 61 2 3 6
2 5.2 2 0 2.2 5.2 2.2 0
xxxx xxxx

.
6
20
x
, chia c 2 vế ca phương trình cho
6
2
x
, ta được
22
26 3
2.2 5.2 2 0
xx xx

.
Đặt
2
3
2
xx
t
, điu kin
0t
.
Ta có phương trình:

2
2
2520
1
2
tN
tt
tN

.
+ Vi
2
32
313
22 2 310
2
xx
txxx

.
+ Vi
2
32
11 35
231
22 2
xx
txxx

.
Vy tng các nghim bng
6
.
Bài tp 10. Cho phương trình . Khi đặt , ta được phương trình
nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn
B
TXĐ: .
Ta có .
Đặt .
Phương trình tr thành .

1
525
log 5 1 .log 5 5 1
xx

5
log 5 1
x
t
2
10t 
2
20tt
2
20t
2
2210tt

1
525
log 5 1 .log 5 5 1

xx

1

0;D 
 
2
1
25 5
5
1
log 5 5 log 5.5 5 log 5 1 1
2
xxx
 

5
log 5 1
x
t 

0t

1

1
.11
2
tt
2
20tt

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 327
Bài tp 11. Gi a là mt nghim ca phương trình . Khng định nào sau đây đúng
khi đánh giá v ?
A. .
B. cũng là nghim ca phương trình .
C. .
D. .
Li gii
Chn D
Điu kin .
Chia c hai vế ca phương trình cho ta được .
Đặt , .
Ta có .
Vi .
Vy .
Bài tp 12. Tích tt c các nghim ca phương trình
2
22
log log 1 1xx

A.
15
2
2

. B.
1
. C.
15
2
2
. D.
1
2
.
Li gii
Chn A
Điu kin
2
0
log 1 0
x
x

0
1
2
x
x
1
2
x
.
Đặt
2
log 1
x
t
,

0t
2
2
log 1xt
ta có phương trình
2log log 2log
4.2 6 18.3 0
xx x

a

2
10 1a 
a
log
29
34
x



2
12aa
2
10a
0x
2log
3
x
2log log
33
4180
22
xx
 

 
 
log
3
2
x
t



0t
2
4180tt

9
4
2
t
tL

9
4
t
log
39
24
x




log 2x
100x
2
100 10a 
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 328

2
2
11tt
42
20ttt
3
21 0tt t

2
1210tt t t




0 /
1 /
15
/
2
15
2
ttm
ttm
ttm
tloai


.
Vi
0t
thì
1
2
log 1 2xx

.
Vi
1t
thì
0
2
log 0 2xx
.
Vi
15
2
t

thì
15
2
2
15
log 2
2
xx

.
Vy tích các nghim ca phương trình là
15
2
2

.
Bài tp 13. Phương trình
22
sin 1 cos
22
xx
m

có nghim khi và ch khi
A.
432m
. B.
32 5m
. C.
05m
. D.
45m
.
Li gii
Chn D
Ta có
22 22 2
2
sin 1 cos sin 2 sin sin
sin
4
22 22 2
2
xx xx x
x
mmm


*
.
Đặt
2
sin
2
x
t
,
1; 2t
,
*
tr thành
4
tm
t
.
Xét hàm s

4
ft t
t
 vi
1; 2t
. Ta có



2
22
21;2
44
10
21;2
t
t
ft
tt
t



.
Khi đó

15f
;

24f
. Do đó

1; 2
min 4ft

1;2
max 5ft
.
Phương trình đã cho có nghim khi và ch khi phương trình
*
có nghim
1; 2t




1;2
1;2
min max 4 5ft m ft m
.
Vy:
45m
.
Bài tp 14. Cho phương trình

22
11
42.2210
xx
mm


. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca m thuc
đon
10;20
để phương trình có nghim?
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 329
A.
6
. B.
7
. C.
8
. D.
9
.
Li gii
Chn B
Điu kin:

1; 1x
.
Vi
1; 1x
thì
2
01 1x
, do đó,
2
01 1
22 2
x
hay
2
1
12 2
x
.
Đặt
2
1
2
x
t
1; 2t
. Phương trình tr thành:
2
2210tmtm

2
21 2tt mt
2
21
2
tt
m
t


(do
2t
không là nghim ca phương trình).
Xét hàm s

2
21
2
tt
ft
t

trên
1; 2
.


2
2
45
2
tt
fx
t

,

0fx
11;2
51;2
x
x


.
Lp bng biến thiên
Do đó, để phương trình đã cho có nghim thì
4m
.
Suy ra, giá tr nguyên ca
m thuc đon
10;20
để phương trình có nghim là
10;9;8;7;6;5;4m
.
Vy có
7
giá tr cn tìm ca m .
Bài tp 15.
Có bao nhiêu s nguyên m để phương trình
1
4.220

xx
mm có hai nghim
1
x
,
2
x
tha mãn
12
3xx
?
A.
2
.
B.
0
. C.
1
. D.
3
.
Li gii
Chn C
Phương trình
42.22 0 1
xx
mm
Đặt
2
x
t ,
0t
phương trình tr thành
2
2. 2 0 2tmtm
.
Để phương trình

1
có hai nghim
1
x
,
2
x
tha mãn
12
3
xx
điu kin là phương trình
2
hai nghim
12
, 0tt
tha mãn
12 12
12
.2.22 8

xx xx
tt
. Vy điu kin là
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 330
2
20
20 4
28




mm
b
mm
a
c
m
a
.
Bài tp 16. Cho phương trình . Tìm để phương trình có hai nghim phân
bit , tha mãn .
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn
B
.
Điu kin .
Đặt . Ta được phương trình .
Ta có: .
Phương trình có hai nghim phân bit , tha mãn khi và ch khi có hai
nghim phân bit , tha mãn .
Vy suy ra .
Th li thy tha mãn.
Bài tp 17. Giá tr ca để phương trình có nghim là:
A.
. B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Đặt vi . Khi đó phương trình đã cho tr thành: (*).
Phương trình đề cho có nghim khi và ch khi phương trình (*) có ít nht mt nghim dương.
Xét hàm s . Xét .

22
22
log 3 log 3 0xm m x
m
1
x
2
x
12
16xx
1
4
m
m
1
4
m
m

1
1
m
m
1
4
m
m


22
22
log 3 log 3 0 1xm m x
0x
2
log
x
t
22
3302tmmt
12
16xx

212
log 4xx
21 22
log log 4xx


1
1
x
2
x
12
16xx
2
1
t
2
t
12
4tt
2
34mm
4
1
m
m

m
93 0
xx
m

0m 0m 1m 01m
3
x
t
0t
2
0ttm


2
f
ttt

21
f
tt

1
0
2
ft t

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 331
Bng biến thiên:
Da vào bng biến thiên, phương trình có ít nht mt nghim dương khi và ch khi
.
Bài tp 18. Vi giá tr nào ca tham s thì phương trình có hai nghim , tho
mãn ?
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dn gii
Chn
A
Đặt , .
Phương trình đã cho có 2 nghim , tho mãn khi phương trình
có 2 nghim tho mãn .
Bài tp 19. Vi điu kin nào sau đây ca thì phương trình có hai nghim phân bit?
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn D
Đặt thì phương trình tr thành .
Phương trình đã cho có 2 nghim phân bit khi nghim dương phân bit
2
tt m

00mm
m
1
4.220
xx
mm

1
x
2
x
12
3xx
4m 3m 2m
1m
2
x
t
0t
1
x
2
x
12
3xx
2
2. 2 0tmtm
0t
12 12
12
.2.22 8
xx xx
tt

2
12
0
20
4
.8
28
mm
m
tt
m




m
9.360
xx
m

26m 6m 6m 26m

30
x
tt
2
60 1tmt
1
2
0
0


x

1
2
0

y
y

1
4
0

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 332
.
Bài tp 20. Tìm tt c các giá tr tham s m để phương trình

22 2
221242
9.9 2 1 15 4 2 5 0
xx xx xx
mm


2
nghim thc phân bit.
A.
1m
hoc
1
2
m .
B.
36 36
22
m


.
C.
1
1
2
m.
D.
36
2
m
hoc
36
2
m
.
Li gii
Chn C

22 2
221242
9.9 2 1 15 4 2 5 0
xx xx xx
mm







22 2
11 1
9211542250
xx x
mm





22
21 1
33
21 420
55
xx
mm

 

 
 
.
Đặt

2
1
3
5
x
t



. Do

2
10x 
nên
01t
.
Phương trình có dng:

2
21420tmtm
2
21
t
tm
. Do
01t
nên
21tm
.
Để phương trình có 2 nghim thc phân bit thì
02 11m

1
1
2
m
.
Bài tp 21. Tìm tt c các giá tr ca tham s m để phương trình

22 2
221242
4.4 2 2 6 6 3 3 0
xx xx xx
mm


có hai nghim thc phân bit.
A.
1
1
2
m

.
B.
432m 
hoc
432m 
.
C.
432 432m
. D.
1m 
hoc
1
2
m
.
Li gii
Chn A
Viết li phương trình ta được:
 
22
21 21
42
22 630
93
xx xx
mm
 
 

 
 
.
0
0
0
S
P


2
24 0
0
60
m
m


26
0
m
m
26m
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 333
Do

2
2
21 1 0xx x
nên
2
21
2
1
3
xx



Đặt
2
21
2
3
x
x
t




,
01t
. Phương trình tr thành:

2
22 630tmtm
3
21
t
tm

.
Để phương trình đã cho có hai nghim thc phân bit thì
0211m

1
1
2
m  .
Vy giá tr cn tìm ca
m
1
1
2
m .
Bài tp 22. Cho phương trình
32ln3ln9
e2.e e 0
xx x
m

, vi m là tham s thc. Tt c các giá tr ca tham
s
m để phương trình có nghim duy nht là
A.
0m
hoc
4m
. B.
0m
hoc
4m
.
C.
40m
. D.
0m
hoc
4m
.
Hướng dn gii
Chn
B
32ln3ln9
e2.e e 0
xx x
m


32ln3ln9
e2.e.e e.e 0
xx x
m
32
e6.e9.e 0
xxx
m
.
Đặt
e
x
t

0t
, phương trình tương đương vi
32
69mt t t
 .
Xét

32
69
f
t ttt
trên

0;
.

2
3129
f
ttt

,

0ft
1
3
t
t
.
Ta có bng biến thiên
Da vào bng biến thiên: vi
0m
hoc
4m
thì phương trình có nghim duy nht.
Chú ý:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 334
Ta không ly giá tr
0x
nên ti
0m
đường thng
y
m
vn ct đồ th ti duy nht mt đim
(đim tiếp xúc ti
3x
).
Bài tp 23. Tp hp tt c các giá tr ca tham s m để phương trình
22
2
42 6
xx
m

đúng
3
nghim
thc phân bit là
A.
3
. B.
2
. C.
3;
. D.

2;3
.
Li gii
Chn A
Đặt
2
2
x
t
. Do
2
01
x
t.
Ta có phương trình
2
46 01tt m
.
Do vi mi
1t
thì có hai nghim
2
log
x
t
, còn vi
1t
ch có mt nghim
0x
. Nên để
phương trình ban đầu có đúng 3 nghim thì phương trình
1
có mt nghim
1
1t
và mt nghim
2
1t
.
Phương trình

1
có nghim
1t
khi
146 0m
 3m
.
Thay
3m
vào

1
, ta có:
2
430tt
1
3
t
t
. Vy
3m
tha mãn.
Bài tp 24. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m nh hơn
10
để phương trình
ee
x
x
mm
nghim thc?
A.
9
. B.
8
. C.
10
. D.
7
.
Li gii
Chn C
Điu kin:
e0
e0
x
x
m
mm


.
Đặt
e
x
tm

0t
ta suy ra:
2
2
e
e
x
x
mt
tm



22
e 0 1
eeee10
e102
x
xxxx
x
t
tt t t
t



.
Phương trình

2
vô nghim vì
e10
x
t

.
Phương trình

1
tương đương vi
2
ee e ee
x
xx xx
tmm


3
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 335
Phương trình
ee
x
x
mm
*
có nghim thc khi phương trình

3
có nghim thc.
Xét hàm s
2
ee
x
x
fx
vi
x
, ta có:

2
1
2e e 0 e ln 2
2
xx x
fx x
.
Bng biến thiên ca hàm s

2
ee
x
x
fx

Lp bng biến thiên
S nghim ca
3
bng s giao đim ca đồ th hàm s
2
ee
x
x
fx
đường thng
y
m
.
Da vào bng biến thiên suy ra phương trình
3
có nghim khi
1
4
m 
.
Kết hp vi gi thiết
m là s nguyên nh hơn
10
ta suy ra
0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9m
.
Vy có
10
giá tr tha mãn.
Dng 3: Phương pháp logarit hóa, mũ hóa
1. Phương pháp
2.
Bài tp
Bài tp 1.
Phương trình
1
27 .2 72
x
x
x
có mt nghim viết dưới dng
log
a
x
b
, vi a,
b
là các s nguyên
dương. Tính tng
Sab
.
A.
4S
. B.
5S
. C.
6S
. D.
8S
.
3.
Li
gii
Chn B
Điu kin
0x
.
Phương trình
1
27 .2 72
x
x
x
1
3
23
3.23.2
x
x
x




33
3
2
32
32
x
x
x

33
2
3
32
x
x
x

3
3
32
x
x
x

3
3
3
log 2
x
x
x


3
3
3log2
x
x
x


3
1
3log20x
x




3
3
1
log 2
x
x



2
3
log 3
xN
x
N

.
Suy ra
2
3
a
b
. Vy tng
5Sab
.
Bài tp 2. Phương trình
2
log 5 2 2
x
x

có hai ngim
1
x
,
2
x
. Tính
1212
Pxx xx

.
A.
11
. B.
9
. C.
3
. D.
2
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 336
Li gii
Chn D
Điu kin:
25
x
2
log 5 2 2
x
x

2
52 2
x
x

4
52
2
x
x

21
24
x
x
0
2
x
x
1212
2Px x xx
.
Bài tp 3. Gi S là tng tt c các nghim thc ca phương trình
2
7.3 1
xx
. Tìm S.
A.
7
log 3.S
B.
3
log 7.S
C.
2
S log 3.
D.
3
log 2.S
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:

22 2
3333
7 .3 1 log 7 .3 log 1 log 7 log 3 0
xx xx x x


2
33
7
3
0
.log 7 0 log 7 1 0 .
1
log 3
log 7
x
xxxx
x


Vy tng các nghim là
7
log 3.S
Ly logarit cơ s 3
hoc cơ s 7 hai vế.
Bài tp 4. Phương trình
21
3.5 15
x
x
x
có mt nghim dng
log
a
x
b
, vi a,
b là các s nguyên dương ln hơn 1 và nh hơn 8. Giá tr ca
2Pa b
bng
bao nhiêu?
A.
8.P
B.
5.P
C.
13.P
D.
3.P
Hướng dn gii
Chn C
Ta có:
21
21 1 1
11
3
3.5
3.5 15 1 3 .5 1 log 3 .5 0
3.5
x
xxx
x
x
xxx
xxx






1
1
33 3
1
log 3 log 5 0 1 .log 5 0
x
x
x
x
x
x


3
3
1
1
1.1 .log 5 0 .
log 5
x
x
x
x





Vy
3, 5ab suy ra
213.ab
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 337
Dng 4: Phương biến đổi thành tích
1. Phương pháp
(thường s dng trong trường hp hai vế không cùng cơ s).
Hướng gii: Biến đổi phương trình v dng:
).10 ,1,0.(log).(log).(
)()(
cbabxgaxfba
cc
xgxf
Lưu ý: Ta thường lôgarit hóa hai vế vi cơ s a hoc b.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Gii phương trình
23 3
log .log .log 3
x
xx x
23
log 3log
x
xx

. Ta có tng tt c các nghim
bng
A.
35
. B.
5
. C.
10
. D.
9
.
Li gii
Chn B
Điu kin
0x
.
23 3
log .log .log 3
x
xx x
23
log 3log
x
xx
23
log 3 log 1 0xx x

2
3
log 3 0
x
xx

.
Ta có hàm s

2
log
f
xxx
liên tc và đồng biến trên
0;

23f
nên phương trình
2
log 3 0xx
có mt nghim
2x
.
Vy tng tt c các nghim bng
5
.
Bài tp 2. S nghim ca phương trình
2
2
1
4. 25.2 100 100
5
x
x
x




A.
3
. B.
1
. C.
2
. D. vô nghim.
Li gii
Chn B
Ta có
2
2
1
4. 25.2 100 100
5
x
x
x




4.5 25.2 100 10
x
xx

42.5 25 0
xx

2x
.
Vy phương trình đã cho có
1
nghim.
Bài tp 3. S nghim ca phương trình
23 2
log .log 2 1 2log
x
xx
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 338
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Li gii
Chn
A
ĐK:
1
2
x .

23 2
log .log 2 1 2log
x
xx

23
log . log 2 1 2 0xx

2
3
log 0
log 2 1 2 0
x
x

1
219
x
x


1
5
x
n
x
n
.
Vy phương trình đã cho có hai nghim.
Bài tp 3. Biết n là s r nhiên tha mãn phương trình 33 2cos
xx
nx

2018
nghim. Tìm s nghim
ca phương trình
99 42cos2
xx
nx
 .
A.
4036
. B.
2018
. C.
4035
. D.
2019
.
Li gii
Chn A
99 42cos2
xx
nx
 9 9 2.3 .3 2 2cos2
xx xx
nx



2
2
33 4cos
xx
nx


33 2cos 1
33 2cos 2
xx
xx
nx
nx


Khi đó nếu

1
2
có nghim chung thì 33 3 3
x
xxx
 33
x
x

0x
Thay
0x
vào

1
ta được
00
33 2cos0
02
, tc là
1
2
không có nghim chung.
Mt khác ta thy nếu
0
x
là nghim ca
1
thì
0
x
s là nghim ca
2
1
2018
nghim nên

2
cũng có
2018
nghim.
Vy phương trình đã cho có
4036
nghim.
Bài tp 4. Cho phương trình
22 2
23 6
log 1 .log 1 log 1xx xx xx  
. Biết phương trình có
mt nghim là
1
và mt nghim còn li có dng

log log
1
2
bb
cc
xa a
 (vi a, c là các s nguyên
t
ac ). Khi đó giá tr ca
2
23abc
bng:
A.
0
. B.
3
. C.
6
. D.
4
.
Li gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 339
Chn B
Điu kin
2
11
10
x
xx


*
22 2
23 6
log 1 .log 1 log 1xx xx xx  
22
23 6
2
1
log 1 .log log 1
1
xx xx
xx


222
236 6
log 1 .log 6.log 1 log 1xx xx xx   
22
632
log 1 log 6.log 1 1 0xx xx






2
6
2
32
log 1 0 1
log 6.log 1 1 0 2
xx
xx



2
111xx
2
11
x
x

2
2
1
11
x
xx

1
x
.

2
23
2log 1.log61xx
2
26
log 1 log 3xx
6
log 3
2
12xx

6
6
log 3
2
log 3
2
2
12
x
x
x


66
log 3 log 3
1
22
2
x

.

66
log 2 log 2
1
33
2
x

. (tha mãn
*
)
Như vy phương trình đã cho có các nghim là
1
x
,

66
log 2 log 2
1
33
2
x
.
Khi đó
3a
,
6b
,
2c
. Vy
2
233abc
.
Bài tp 5. Gi
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s m để phương trình
22
712 2 105
.3 3 9.3
xx xx x
mm


có ba nghim thc phân bit. Tìm s phn t ca
S
.
A.
3
. B. Vô s. C.
1
. D.
2
.
Li gii
Chn
A
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 340
Ta có:
22
712 2 105
.3 3 9.3
xx xx x
mm


222
712 2 712
313310
xx xx xx
m
 


22
712 2
3130
xx xx
m


2
2
712
2
310
30
xx
xx
m


2
3
3
4
2log0*
x
x
xx m

.
Phương trình đã cho có ba nghim thc phân bit, ta có các trường hp sau:
Trường hp 1:
*
có mt nghim
3x
và nghim còn li khác
3
4
.
Thay
3x
vào
*
ta được
3
1
log 3
27
mm . Khi đó
*
tr thành
2
1
230
3
x
xx
x


(Tha yêu cu).
Trường hp 2:
*
có mt nghim
4x
và nghim còn li khác
3
4
.
Thay
4x
vào
*
ta được
8
3
log 8 3mm

.
Khi đó
*
tr thành
2
4
280
2
x
xx
x

(Tha yêu cu).
Trường hp 3:
*
có nghim kép khác
3
4
3
3
3
1log 0
log 3
log 8
m
m
m



3m
.
Bài tp 6. Phương trình
1111
ln .ln .ln .ln 0
2248
xxxx




có bao nhiêu nghim?
A.
3
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Li gii
Chn A
Điu kin:
1
0
2
1
0
2
1
0
4
1
0
8
x
x
x
x




1
2
1
2
1
4
1
8
x
x
x
x



1
2
x
.
Khi đó:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 341
1111
ln .ln .ln .ln 0
2248
xxxx




1
ln 0
2
1
ln 0
2
1
ln 0
4
1
ln 0
8
x
x
x
x












1
1
2
1
1
2
1
1
4
1
1
8
x
x
x
x




3
2
1
2
3
4
7
8
x
x
x
x
.
So vi điu kin, ta được tp nghim ca phương trình là
337
;;
248
S

.
Vy phương trình đã cho có
3
nghim.
Bài tp 7. Gi a là mt nghim ca phương trình

26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
xxx
 
. Khi đó giá
tr ca biu thc nào sau đây là đúng?
A.
2
2aa. B.
2
sin cos 1aa
. C.
2cos 2a
. D. 32a5
a
.
Li gii.
Chn B
Ta có

26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
xxx

.

32
23 223 223 1
xxx

43
23 223 23 20
xxx

 
3
23 123 20
xx





23 1
x

0x
.
0a
2
sin cos 1aa.
Bài tp 8. Gi
A
là tp tt c các giá tr thc ca tham s m sao cho tp nghim ca phương trình
.2 1 2 1
xx
xxxm m
có hai phn t. Tìm s phn t ca
A
.
A.
1
. B. Vô s. C.
3
. D.
2
.
Li gii
Chn
D
Xét phương trình

.2 1 2 1
xx
xxxm m
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 342


210
x
xm x
21
x
xm
x
.
Mà phương trình
21
x
x
 có hai nghim là
0x
;
1
x
.
Tht vy: da vào hình v
Vi
0x
hoc
1
x
thì 21
x
x
, đẳng thc xy ra khi
0x
hoc
1
x
.
Vi
01
x

thì 21
x
x

phương trình 21
x
x
vô nghim.
Do đó tp
A
có hai phn t khi
0m
hoc
1m
.
Dng 5: Phương pháp s dng tính đơn điu
1. Phương pháp
* Ta thường s dng các tính cht sau:
Tính cht 1: Nếu hàm s f tăng ( hoc gim ) trong khang (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá mt nghim trong khong (a;b). ( do đó nếu tn ti x
0
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghim duy nht ca phương trình f(x) = C)
Tính cht 2 : Nếu hàm f tăng trong khong (a;b) và hàm g là hàm mt hàm gim trong khong
(a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiu nht mt nghim trong khong (a;b) .
( do đó nếu tn ti x
0
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghim duy nht ca phương trình
f(x) = g(x))
2. Bài tp
Bài tp 1.
S nghim ca phương trình
2
3
5
2018 2016 2017 2018
x
x
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Li gii
Chn
B
O
1
x
y
1
2
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 343
Đặt

2
3
5
2018 2016 2017 2018
x
fx x
,
D
.
Suy ra

2018 .ln 2018 2
x
f
xx

,,
M
AB liên tc trên
.

2018 .ln 2018 2
x
f
xx


2
2018 .ln 2018 2 0,
x
f
xx


T đó
f
x
đồng biến trên
D
1. 0 0ff

nên
0fx
có nghim duy nht trong
khong

1; 0
suy ra phương trình
0fx
có nhiu nht hai nghim, mt khác nhp hàm s vào
TABLE ca casio (START
10
END
10
STEP
1
), ta được:
Da vào TABLE ta được


7. 6 0
0. 1 0
ff
ff

Vy phương trình đã cho ch có hai nghim trên hai khong
7; 6
0;1
.
Chú ý: Máy tính hin th “Insufficient MEM” thì tiến hành cài đặt để không xut hin
gx
bng
cách bm SHIFT MODE mũi tên xung,
5
,
1
.
Bài tp 2.
Tp nghim ca phương trình
2
log 6 log 2 4xx x x

là:
A.
1
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Li gii.
Chn B
Điu kin:
2
60
3.
20
xx
x
x



Phương trình đã cho tương đương vi
 
log 2 ( 3) log 2 4xx x x
log( 3) 4 * .xx
Vế trái ca phương trình cui là hàm tăng, còn vế phi là hàm gim nên nghim ca phương
trình(nếu có) là duy nht.
Bng cách nhm nghim ta chn kết qu
4.x
Bài tp 3. Cho
x
,
y
là các s thc tha
26
log 3log 3log
x
yxy

. Tìm giá tr Txy.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 344
A.
28T
. B.
22T
. C.
34T
. D.
30T
.
Li gii
Chn
A
Đặt
26
log 3log 3log 3
x
yxyt
8
6
10
t
t
t
x
y
xy


8610
tt t

43
1
55
tt




1
.
Nhn xét:
2t
là nghim ca phương trình
1
.
Vi
2t
:
22
4343
1
5555
tt
 

 
 
.
Vy
2t
không là nghim ca phương trình

1
.
Vi
2t
:
22
4343
1
5555
tt
 

 
 
.
Vy
2t
không là nghim ca phương trình

1
.
Vy
2t
là nghim duy nht ca

1
.
Khi đó, ta có
2
2
864
636
x
y


28Txy .
Bài tp 4. Phương trình
22 2
sin cos sin
23 4.3
x
xx

có bao nhiêu nghim thuc
2017; 2017
.
A.
1284
. B.
4034
. C.
1285
. D.
4035
.
Li gii
Chn
C.
Ta có
22 2 2 2 2
sin os sin sin 1 sin sin
234.3 23 4.3
x
cx x x x x

Đặt
2
sin
x
t vi
0;1t
, ta có phương trình
321
24.3 3.4
339
tt
tt
t




. Vì hàm s

21
3.
39
tt
ft




nghch biến vi
0;1t
nên phương trình có nghim duy nht
0t
. Do đó
sin 0
x
xk

,
k
.
2017; 2017x
nên ta có
2017 2017
2017 2017kk
 nên có
1285
giá tr
nguyên ca
k
tha mãn. Vy có
1285
nghim.
Bài tp 5. Tìm s nghim ca phương trình 2 3 4 ... 2017 2018 2017
xxx x x
x
 .
A.
1
. B.
2016
. C.
2017
. D.
0
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 345
Li gii
Chn A
Xét hàm s
2 3 4 ... 2017 2018
x
xx x x
fx
Ta có

2 ln 2 3 ln3 ... 2018 ln 2018 0
xx x
fx

,
x
.
Suy ra hàm s
2 3 4 ... 2017 2018
xxx x x
y 
đồng biến trên
.
Hàm s

2017gx x
nghch biến trên
.
Mt khác
 
0 0 2017fg
.
Do đó, phương trình
 
f
xgx
có nghim duy nht
0x
.
Bài tp 6. Tìm tt c các giá tr ca tham s a để phương trình 33
33
x
x
xx
a

có nghim duy nht.
A.
a
. B.
10a
. C.
0a
. D. không tn ti a.
Li gii
Chn A
Ta có:
33
33
x
x
xx
a

33 33
x
xx x
a


22
33
x
x
a

1
.
Xét hàm s

22
33
x
x
fx

.

22
2.3 2.3 0
xx
fx

,
x
.
Do đó, hàm s
yfx
luôn đồng biến trên
.
Suy ra vi mi giá tr ca
a thì
1
luôn có nghim duy nht.
Bài tp 7. S nghim ca phương trình

2
2
ln 2 2018
2
x
xx
A.
3
. B.
1
. C.
4
. D.
2
.
Li gii
Chn C
Xét hàm s


2
2
ln 2
2
x
fx x x
vi
;2 2;x
 
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 346
Ta có

2
2
1
2
x
fx x
x

;



2
2
2
24
10,;22;
2
x
fx x
x

 
.
Nên suy ra hàm s

2
2
1
2
x
fx x
x

đồng biến trên mi khong
;2
2;
.
M khác

 
2. 3 1.1 3 0ff



8
3. 2 .1 0
7
ff

 nên
f
x
đúng mt
nghim

;2a
đúng mt nghim
2;b

.
Ta có bng biến thiên
Ta có


3
3 3 2018
2
fa f

3
3 3 2018
2
fb f
Bài tp 8. Tìm s thc a để phương trình:
99 3cos
xx
ax

, ch có duy nht mt nghim thc
A.
6a 
. B.
6a
. C.
3a
. D.
3a
.
Hướng dn gii
Chn
A
Gi s
0
x
là nghim ca phương trình. Ta có
00
0
99.3cos()
xx
ax

.
Khi đó
0
2
x
cũng là nghim ca phương trình.
Tht vy
00
22
0
993cos2
xx
ax





00
0
81 9
9cos
93
xx
ax

00
0
99.3cos
xx
ax

.
Vy phương trình có nghim duy nht khi và ch khi
00
2
x
x
0
1x
.
Vi
0
1x
6a
.
Ngược li, vi
6a 
, phương trình
99 6.3cos
xx
x


9
36cos
3
x
x
x
 .
+
9
36
3
x
x

+

6cos 6x

Khi đó du
""
xy ra khi và ch khi
9
36
3
cos 1
x
x
x
1
x
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 347
Vy
00
0
99.3cos()
xx
ax

có nghim duy nht khi và ch khi
6a
.
Bài tp 9. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để tn ti cp s

;
x
y
tha mãn
2132
ee 1
xy x y
xy


, đồng thi tha mãn
22
22
log 2 1 4 log 4 0xy m xm

.
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Li gii
Chn A
Ta có:
2132
ee 1
xy x y
xy


21 32
e21e32
xy x y
x
yxy


.
Xét hàm s

e
t
f
tt
trên
. Ta có
e10
t
ft

nên hàm s đồng biến trên
.
Do đó phương trình có dng:

2132
f
xy f x y
2132
x
yxy
 1yx.
Thế vào phương trình còn li ta được:
22
22
log 4 log 4 0xm xm

.
Đặt
2
logtx
, phương trình có dng:
22
440tmtm

.
Để phương trình có nghim thì
0
2
380mm

8
0
3
m
.
Do đó có
3
s nguyên m tha mãn.
Bài tp 10. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để tn ti cp s

;
x
y
tha mãn
35 31
ee 122
xy xy
x
y


, đồng thi tha mãn
22
33
log 3 2 1 6 log 9 0xy m xm

.
A.
6
. B.
5
. C.
8
. D.
7
.
Li gii
Chn B
Ta có:
35 31
ee 122
xy xy
xy


35 31
e35e 31
xy xy
xy xy


.
Xét hàm s

e
t
f
tt
trên
. Ta có
e10
t
ft

nên hàm s đồng biến trên
.
Do đó phương trình có dng:

35 31fx y fx y

35 31
x
yx y
 212yx.
Thế vào phương trình còn li ta được:
22
33
log 6 log 9 0xm xm

.
Đặt
3
logtx
, phương trình có dng:
22
690tmtm

.
Để phương trình có nghim thì
0
2
3120mm

04m

.
Do đó có
5
s nguyên m tha mãn.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 348
Bài tp 11. Gi
0
3ab
x
c
là mt nghim ln hơn
1
ca phương trình

1
1
2
1
23 121
3
x
x
xx








.
Giá tr ca
Pabc
A.
6P
. B.
0P
. C.
2P
. D.
4P
.
Li gii
Chn D
Điu kin xác định:
0x
.

1
1
1
23 1
3
x
x
x








2
21x
1
1
2
1
331
2
x
x
x
x

1
1
2
1
331
2
x
x
x
x

1
. Xét hàm s
3
t
f
tt
0t
,
3.ln3 1 0
t
ft

 
1
11
2
ffx
x




1
1
2
x
x

13
2
x

1a
,
1b
,
2c
. Vy
4P
.
Bài tp 12. Tìm tt c các giá tr ca tham s m để phương trình
ln lnmmxx

có nhiu nghim
nht.
A.
0m
. B.
1m
. C. em
. D.
1m 
.
Li gii
Chn B
Ta có



ln ln 1mmxx
.
Điu kin
e
m
x
m
.
Đặt

ln mx y
ta được e
y
mx. Thay vào
1
ta được
ln my x
e
x
m
y

.
Ta có h
e
ee e e
e
x
xy x y
y
my
yx x y
mx



. Do hàm s
e
t
f
tt
đồng biến trên
nên suy ra
x
y

ln
x
xm
e
x
x
m
 .
Xét hàm s

e
x
gx x
;

e1
x
gx
;
00gx x

.
BBT
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 349
Suy ra phương trình có nhiu nht là hai nghim
1m
. (chú ý nghim luôn tha điu kin).
Bài tp 13. Có bao nhiêu s nguyên m để phương trình
2
2
2
2
33 1
log 5 2
21
xxm
x
xm
x
x


Có hai nghim phân bit ln hơn
1
.
A.
3
. B. Vô s. C.
2
. D.
4
.
Li gii
Chn C
Điu kin:
2
33 10xxm.
Ta có:
2
2
2
2
33 1
log 5 2
21
xxm
x
xm
x
x



2
2
2
2
33 1
log 1 5 1
21
xxm
x
xm
xx






2
2
2
2
33 1
log 5 1
422
xxm
x
xm
x
x




2222
22
log 3 3 1 log 4 2 2 4 2 2 3 3 1xxm xx xx xxm  

22 22
22
log 3 3 1 3 3 1 log 4 2 2 4 2 2xxm xxm xx xx
1
Xét hàm s:
2
log
f
tt t
trên
0;
, ta có

1
10
.ln2
ft
t

,
0;t
.
Do đó hàm s
f
t
đồng biến trên
0;
.
Suy ra:


22
1422331fx x fx xm
22
42233 1xx xxm
2
51xxm

2
. Điu này đúng vi mi
x
.
Xét hàm s:
2
5gx x x
trên
, ta có

5
250
2
gx x x
 .
Bng biến thiên:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 350
- Theo bng biến thiên ta thy: phương trình

2
có hai nghim phân bit ln hơn
1
khi và ch khi
25
14
4
m
21
3
4
m
.
Do
m
nên

5; 4m
.
Vy có
2
giá tr nguyên ca
m
tha mãn yêu cu bài toán.
Bài tp 14. Cho phương trình
22 2
25
log 1 .log 1 log 1 .
m
xx xx xx  
Có bao nhiêu giá tr
nguyên dương khác
1
ca
m
sao cho phương trình đã cho có nghim
x
ln hơn
2
?
A. Vô s. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Li gii
Chn D
Điu kin xác định:
2
1xx
1x
.
Đặt
2
2
log 1txx
thì
2
2
1
1
1
.
ln 2
1
x
x
t
xx

2
22
11
.
ln 2
11
xx
xx x


2
1
0
1ln2x

BBT:
Do
2x

2
log 2 3t
.
Phương trình tr thành
5
1
.log 2 log
2
t
m
t
t
5
.log 2 log 2
m
t
5
1
log m
t

Ycbt

5
2
1
log
log 2 3
m 

2
1
log 2 3
5m

. Do
*
m
1m
nên
2m
.
Bài tp 15. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để phương trình
3
3
3 27 3 27.2 2
xx
mm
nghim thc?
A. 6. B. 4.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 351
C. Vô s. D. Không tn ti m.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có

3
333
3 27 3 27.2 2 27 3 27.2 2 3 . 1
xx x x
mm m m
Đặt
2,
x
u
điu kin:
0u

3
3
3 27.2 3 27. . 2
x
mvvmu
(1) tr thành
3
27 3 . 3uvm
T (3) và (2) suy ra
33 22
27 27 . 27 0uvvuuvuuvv
.uv
Do
2
2
22
13
4270,,,
24
v
uuvv u v uv




nên
3
3
27
327 ,
3
uu
muum

vi
0.u
Xét hàm s

3
27
3
uu
fu
vi
0.u
Ta có



3
1
327; 0 3
3
fu u fu u

 do
0.u
Suy ra

0;
min 54.fu


Do đó có vô s giá tr nguyên ca m để phương trình có nghim thc.
Bài tp 16. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để phương trình 4.2250
xx
mm
 có hai
nghim trái du?
A. Vô s. B. 0. C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có

2
4 .22 50 2 .22 50
xx x x
mm mm 
Đặt
2, 0,
x
tt
phương trình thành
2
2502.tmtm
Đặt

2
25ft t mt m
Nhn xét rng vi mt giá tr
0t
ta tìm được mt nghim x nên để phương trình có hai nghim
12
0
x
x
thì phương trình (2) có hai nghim phân bit
21
0tt
đồng thi
12
1tt
(vì
12
0
222
x
x
 ). T đó, ta có:



2
2
8200
0
42 5 0
5
0
250
5
4.
2
0
0
2
0
1. 0
1. 1 2 5 0
4
mm
mm
P
m
m
m
S
m
m
ft
mm
m











Vy ch có mt giá tr nguyên ca tham s m tha đề.
Bài tp 17. Có bao nhiêu giá tr nguyên dương ca tham s m để phương trình

23 41*
xx
m
nghim duy nht?
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 352
A. 3. B. Vô s. C. 1. D. 2.
Hướng dn gii
Chn D.
Đặt
2, 0,
x
tt
phương trình
 
2
2
3
*3 1 1.
1
t
tmt m
t

Xét hàm s

2
3
1
t
ft
t
xác định trên tp
0; .D

Ta có


22
13
.
11
t
ft
tt

Cho

1
0130 .
3
ft t t
 
Bng biến thiên
x

0
1
3

y
+ 0
y
10
3 1
Da vào bng biến thiên ta thy vi
13m
hoc
10m
phương trình có nghim duy nht nên có hai
giá tr nguyên ca tham s m.
Bài tp 18. Có bao nhiêu giá tr nguyên dương ca tham s m để phương trình

11
2.4 5.2 0, *
xx
m


có nghim?
A. 3. B. 0. C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn A.
Đặt
1
2,
x
t
điu kin
1
2
t
11.x 
Khi đó
2
*25 .ttm
Xét hàm s
2
25
y
tt
trên
1
;.
2



Ta có
45.
yt

Cho
5
0450 .
4
yt t
 
x

1
2
5
4

y
+ 0
y
25
8
2

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 353
Do đó phương trình có nghim khi
25
.
8
m
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 354
BÀI 6. BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. KIN THC SÁCH GIÁO KHOA CN NM
I. BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Bt phương trình mũ cơ bn
2. Cách giai bt phương trình mũ đơn gin
a) Đưa v cùng cơ s
 
 
 
01
1
fx gx
a
f
xgx
aa
a
f
xgx


b) Đặt n ph
 
2
0
fx fx
aa


. Đặt
,0
fx
ta t
c) Phương pháp logarit hóa


()
01
log
1
log
a
a
fx
a
a
f
xb
a
f
xb
b


() ()
1
() ().log
01
() ().log
b
a
fx gx
b
a
a
fx gx
ab
a
fx gx


II. BT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Bt phương pháp logarit cơ bn
2. Cách gii mt s bt phương trình logarit đơn gin
a) Đưa v cùng cơ s
 
 
 
0
log log
1
1
aa
a
fx
a
g
x
fx gx
g
xfx


b) Phương pháp mũ hóa
1
()
01
0()
log ( )



b
b
a
fx a
a
a
f
xa
fx b
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa v cùng cơ s
1. Phương pháp
a. Bt phương trình mũ cơ bn
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 355
Bt phương trình
() ()
() ()
() ()
1
1
01
fx gx
a
f
xgx
aa a
a
f
xgx
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
£
ï
ê
î
ê
£=
ê
ê
ì
ê
<<
ï
ï
ê
í
ê
ï
³
ï
ê
î
ë
( hoc
()()()
0
10
a
afxgx
ì
>
ï
ï
í
é
ù
ï
--£
ï
ë
û
î
).
Bt phương trình
()
fx
ab<
(vi
0b >
)
()
()
1
log
01
log
a
a
a
f
xb
a
f
xb
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
£
ï
ê
î
ê
ì
<<
ê
ï
ï
ê
í
ê
ï
³
ï
î
ë
.
Bt phương trình
()
fx
ab>
()
()
()
0
0
1
0
log
01
0
log
a
a
a
b
fx
a
b
f
xb
nghia
a
b
f
xb
é
ì
ï
>
ï
ê
ï
ê
ï
£
í
ê
ï
ê
ï
ï
ê
ï
î
ê
ê
ì
ï
>
ê
ï
ï
ê
ï
>
í
ê
ï
ê
ï
ï
>
ê
ï
î
ê
ê
ì
ï
<<
ê
ï
ï
ê
ï
>
í
ê
ï
ê
ï
ï
<
ê
ï
î
ë
.
b. Bt phương trình logarit cơ bn
Bt phương trình
() ()
() ()
() ()
1
0
log log
01
aa
a
f
xgx
fx gx
a
fx gx
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
ï
ê
î
£
ê
ì
<<
ê
ï
ï
ê
í
ê
ï
³
ï
î
ë
( hoc
()
()
( ) () ()
01
0
0
10
a
fx
gx
afxgx
ì
ï
ï
ï
ï
>
ï
ï
í
ï>
ï
ï
ï
éù
ï
--£
ï
ëû
î
).
Bt phương trình
()
()
()
1
0
log
01
b
a
b
a
f
xa
fx b
a
fx a
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
ï
ê
î
£
ê
ì
ê
<<
ï
ï
ê
í
ê
ï
³
ï
ê
î
ë
.
Bt phương trình
()
()
()
1
log
01
0
b
a
b
a
fx a
fx b
a
f
xa
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
>
ï
ê
î
³
ê
ì
ê
<<
ï
ï
ê
í
ê
ï
ï
ê
î
ë
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 356
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho bt phương trình
22
77
log 2 2 1 log 6 5
x
xxxm

. Có bao nhiêu giá
tr nguyên ca tham s m để bt phương trình trên có tp ngim cha khong

1; 3 ?
A.
35
. B.
36
. C.
34
. D.
33
.
Li gii
Chn C

2
22
77
65 0
log 7 2 2 log 6 5
xx m
bpt
x
xxxm


 

2
2
65
689
mx x
x
xm






1;3
1;3
max
min
mfx
mgx
, vi

2
65
f
xxx
 ;
2
689
g
xxx

Xét s biến thiên ca hai hàm s
f
x
g
x

260, 1;3fx x x

f
x
luôn nghch biến trên khong
1; 3


1;3
max 1 12fx f
12 8 0, 1;3gx x x

g
x luôn đồng biến trên khong
1; 3


1;3
min 1 23gx g
Khi đó
12 23m
m
nên
11; 10; ...;22m 
Vy có tt c
34
giá tr nguyên ca
m
tha mãn yêu cu bài toán.
Bài tp 2. Gi
S
là tp tt c các giá tr nguyên ca tham s
m
để bt phương trình
22
22
log 7 7 log 4
x
mx x m
có tp nghim là
. Tng các phn t ca
S
A.
10
. B.
11
. C.
12
. D.
13
.
Li gii
Chn
C
BPT có tp nghim
2
22
40
77 4
mx x m
x
mx x m


,
x


2
2
401
7472
mx x m
mx x m


,
x
.
Ta có:

2
1
0
12
40
am
m
m



.
Ta có:


2
2
70
2725
47 0
am
mm
m



.
Do đó
2
25
5
m
m
m

, mà
m
nên
3; 4; 5m .
Vy
34512S 
.
Bài tp 3.
Bt phương trình
2
2
68
log 0
41
xx
x

có tp nghim là
1
;;
4
Tab



. Hi
M
ab
bng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 357
A.
12
M
. B.
8M
. C.
9M
. D.
10M
.
Li gii
Chn D
Ta có
2
2
68
log 0
41
xx
x

2
68
1
41
xx
x


2
10 9
0
41
xx
x

2
2
10 9 0
410
10 9 0
410
xx
x
xx
x




1
1
4
9
x
x

.
Nên
1
;1 9;
4
T



M
ab 1910

.
Bài tp 4. Tp nghim ca bt phương trình
2
12
2
log log 1 1x

là:
A.
1; 5S


. B.
;5 5;S

 

.
C.
5; 5S



. D.
5; 1 1; 5S

.
Li gii
Chn B
* ĐKXĐ:

2
2
2
2
log 1 0
11 ; 2 2;
10
x
xx
x



.
Bt phương trình
2
12
2
log log 1 1x


1
2
2
1
log 1 2
2
x




2
14x
2
5x
;5 5;x



.
* Kết hp điu kin ta được:
;5 5;x



.
Bài tp 5. Bt phương trình
22
ln 2 3 ln 1xxax nghim đúng vi mi s thc
x
khi:
A.
22 22a
. B.
022a
. C.
02a
. D.
22a
.
Li
gii
Chn
D
22
ln 2 3 ln 1xxax
nghim đúng vi mi s thc
x
2
22
10
,
23 1
xax
x
xxax



.
2
2
10
,
20
xax
x
xax



2
2
40
80
a
a


2
40a

22a
.
Bài tp 6. Bt phương trình
2
31 3 4 0
x
xx
có bao nhiêu nghim nguyên nh hơn 6?
A.
9
. B.
5
. C.
7
. D. Vô s.
Li gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 358
Chn C
2
31 3 4 0
x
xx
2
2
310
340
310
340
x
x
xx
xx




0
41
0
41
x
x
x
x
x



1
40
x
x

.
Kết hp điu kin nghim nguyên nh hơn
6
ta thy các giá tr tha là
3; 2; 1; 2;3; 4;5 .
Bài tp 7.
nghim ca bt phương trình
2
21 1
22
11
22
x
xx
xx

 

 
 
A.
2
1;
2




. B.
2
0;
2
.
C.
1; 0
. D.
22
1; 0;
22




.
Li gii
Chn D
Do
2
1
0
2
x
x
nên
2
2
21 1
2
22
2
2
2
1
1
2
1
1
11
2
22
211
1
01
2
211
xx x
x
x
xx
x
xx
x
x
xx



 

 
 





1
1
2
2
11
;;
1
1;
22
2
1; 0
1
0;
11
2
;
22
;1 0;
x
x
x
x
x
x
x
x













22
1; 0;
22
x




.
Bài tp 8. S nghim nguyên ca bt phương trình
2
310 2
11
33
x
xx

 
 
 
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 359
A.
1
. B.
0
. C.
9
. D.
11
.
Li gii
Chn C

2
310 2
2
2
2
2
11
310 2
33
2
5
3100
2 0 2
14
310 2
5 14
xx x
xx x
x
x
xx
xx
x
xx x
x

 

 
 








Vy tp tt c các nghim nguyên ca bt phương trình đã cho là
5; 6; 7;8; 9;10;11;12;13
.
Bài tp 9. Tìm tp nghim
S
ca bt phương trình
22
log 2 3 log 3
mm
x
xxx

vi m là tham s
thc dương khác
1
, biết
1
x
là mt nghim ca bt phương trình đã cho.
A.

1
2;0 ;3
3
S



. B.

1
1; 0 ; 3
3
S



.
C.
1; 0 1; 3S  . D.
1
1; 0 ; 3
3
S



.
Li gii
Chn
D
Do
1
x
là nghim nên ta có
log 6 log 2
mm
01m
.
Bt phương trình tương đương vi
22
2
233
30
x
xxx
xx


2
2
230
30
xx
xx


13
1
0;
3
x
xx

10
1
3
3
x
x


.
Vy
1
1; 0 ; 3
3
S



.
Bài tp 10. Tìm tt c các giá tr ca tham s m để bt phương trình:
22
55
1 log 1 log 4
x
mx x m

tha mãn vi mi
x
.
A.
10m
. B.
10m
. C.
23m
. D.
23m
.
Li gii
Chn C
Ta có:
22
55
1 log 1 log 4
x
mx x m
22
55
log 5 5 log 4
x
mx x m
 
2
2
22 2
40 1
40
55 4 5 4 50 2
mx x m
mx x m
x mxxm mxxm






Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 360
Để bt phương trình đã cho tha mãn vi mi x
điu kin là c
1
2
đều tha mãn
vi mi
x . Điu kin là

2
2
05
40 23
450
m
mm
m



.
Bài tp 11. Bt phương trình
22
ln 2 3 ln 1xxax
nghim đúng vi mi s thc
x
khi:
A.
22 22a
. B.
022a
. C.
02a
. D.
22a
.
Li
gii
Chn
D
Ta có
22
ln 2 3 ln 1xxax
nghim đúng vi mi s thc
x
2
22
10
23 1
xax
x
xax


x
2
2
10
20
xax
xax


x
2
2
40
80
a
a


2
40a
22a
.
Bài tp 12. Gi
S
là tp tt c các giá tr nguyên không dương ca m để phương trình
15
5
log log 2 0xm x
có nghim. Tp
S
có bao nhiêu tp con?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Li gii
Chn D
Ta có:
15
5
log log 2 0xm x

55
20
0
log 2 log
x
xm
x
xm



2
2
x
xm
x
xm


2
2
2
x
x
m
m
x

.
Do đó phương trình có nghim khi và ch khi
2
2
2
2
2
m
m
m

2
2
m
m


2m
.
m là s nguyên không dương nên
1; 0m . Suy ra
1; 0S  .
Vy s tp con ca
S
bng
2
24
.
Chú ý:
- Các tp con ca
S
là:
,
1
,
0 ,
S
.
- Mt tp hp có
n phn t thì s tp con ca nó là
2
n .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 361
Bài tp 13. Tìm các giá tr thc ca tham s m để bt phương trình
0,02 2 0,02
log log 3 1 log
x
m
nghim vi mi
;0x 
.
A.
9.m
B.
2.m
C.
01.m
D.
1.m
Li gii
Chn D
0,02 2 0,02
log log 3 1 log
x
m
TXĐ:
D
ĐK tham s
m :
0m
Ta có:
0,02 2 0,02 2
log log 3 1 log log 3 1
xx
mm
Xét hàm s


2
log 3 1 , ;0
x
fx x


3.ln3
0, ;0
31ln2
x
x
fx

Bng biến thiên

f
x :
x
 0
f
+
f
1
0
Khi đó vi yêu cu bài toán thì
1.m
Bài tp 14. Nghim ca bt phương trình
22
log 3 1 6 1 log 7 10
x
x

A.
369
1
49
x
. B.
369
49
x
. C.
1
x
. D.
369
49
x
.
Li gii
Chn A
Điu kin
1
10
3
x
.
*
Ta có
22
log 3 1 6 1 log 7 10
x
x
3 1614210
x
x

318210
x
x
3 1 64 32 10 4 10
x
xx
(Do
* )
32 10 103 7
x
x

(*)
2
1024 10 10609 49 1442
x
xx
2
49 418 369 0xx
369
1
49
x
.
Bài tp 15. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m để bt phương trình sau nghim đúng vi mi
x
thuc
:
22
66
1 log 1 log 2
x
mx x m
.
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Li gii
Chn C
Điu kin:
2
20mx x m
.
Ta có
22 2 2
66 6 6
1 log 1 log 2 log 6 1 log 2
x
mx x m x mx x m




22 2
61 2 62 60xmxxmmxxm
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 362
Điu kin bài toán

2
2
2 0, 1
62 60, 2
mx x m x
mxxm x


Gii

1 : Do
0m
không tha
1 nên

2
0
11
10
m
m
m


.
Gii

2 : Do
6m
không tha
2 nên:


2
2
6
6
6
25
5
12 35 0
160
7
m
m
m
m
m
mm
m
m



 

.
Suy ra
15m
.
Vy có
4
giá tr nguyên ca m .
Dng 2: Phương pháp đặt n ph
1. Phương pháp
a. Bt phương trình mũ
Tng quát:
()
()
()
(
)
0
00 1
0
gx
gx
ta
fa a
ft
ì
ï
=>
ï
éù
=<¹
í
êú
ëû
ï
=
ï
î
.
Ta thường gp các dng:
() ()
2
.. 0
fx fx
ma na p++=
() ()
.. 0
fx fx
ma nb p++=
, trong đó
.1ab=
. Đặt
()
,0
fx
ta t=>
, suy ra
()
1
fx
b
t
=
.
()
()
()
()
22
....0
fx
fx fx
ma n ab pb++=
. Chia hai vế cho
(
)
2
f
x
b
đặt
()
0
fx
a
t
b
æö
÷
ç
=>
÷
ç
÷
ç
èø
.
b. Bt phương logarit
Tng quát:
() ( )
()
()
log
log 0 0 1
0
a
a
tfx
ffx a
ft
ì
=
ï
ï
éù
=<¹
í
ëû
ï
=
ï
î
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Tìm s các nghim nguyên ca bt phương trình

2
log 100
log 10
1log
4.3 9.4 13.6
x
x
x
.
A.
10
. B.
9
. C.
8
. D.
11
Li gii
Chn C
ĐK:
0
x
.
PT
 
2.log 10 2.log 10 log 10
4.3 9.2 13.6
x
xx


2log 10 log 10
33
4. 13. 9 0
22
xx
 

 
 
Đặt
log 10
3
0
2
x
t




thì phương trình tr thành:
2
413901
4
tt t

.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 363
Do đó


log 10
39
11log102110
24
x
xx




S các nghim nguyên ca bt phương trình là
8
.
Bài tp 2. Xét bt phương trình
2
22
log 2 2 1 log 2 0xm x

. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để
bt phương trình có nghim thuc khong
2;
.
A.
0;m 
. B.
3
;0
4
m




. C.
3
;
4
m




. D.
;0m 
.
Li gii
Chn C
Điu kin:
0x
2
22
log 2 2 1 log 2 0xm x

2
22
1log 2 1log 2 0 1xm x
.
Đặt
2
logtx
.Vì
2x
nên
22
1
log log 2
2
x 
. Do đó
1
;
2
t





1
thành

2
12120tmt 
2
210tmt

2
Cách 1:u cu bài toán tương đương tìm
m
để bpt (2) có nghim thuc
1
;
2




.
Xét bt phương trình (2) có:
2
'10, mm
.
2
210ft t mt
0ac
nên (2) luôn có 2 nghim phân bit
12
0tt
.
Khi đó cn
2
2
113
1
224
tmm m 
.
Cách 2:

2
2
11
210 < m
22
t
tmt ft t
t




Kho sát hàm s

f
t
trong
0;
ta được
3
;
4
m




.
Bài tp 3. Cho bt phương trình:
91.301
xx
mm
. Tìm tt c các giá tr ca tham s m để bt
phương trình

1
nghim đúng
1
x
.
A.
3
.
2
m 
B.
3
.
2
m 
C.
322.m 
D.
322.m 
Li gii
Chn A
Đặt
3
x
t
13
x
t
Bt phương trình đã cho thành:
2
1. 0tmtm

nghim đúng
3t
2
1
tt
m
t

nghim đúng
3t
.
Xét hàm s
 

2
22
2,3,'1 0,3
1
1
g
tt t gt t
t
t
 
. Hàm s đồng biến trên
3; 

3
3
2
g
. Yêu cu bài toán tương đương
33
22
mm

.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 364
Bài tp 4. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
0;10m
để tp nghim ca bt phương trình
22 2
21 4
2
log 3log 7 log 7xxmx
cha khong
256;
.
A.
7
. B.
10
. C.
8
. D.
9
.
Li gii
Chn C
Điu kin:
22
21
2
0
log 3log 7 0
x
xx

2
22
0
log 6log 7 0
x
xx

2
2
0
log 1
log 7
x
x
x

0
1
2
128
x
x
x
1
0
2
128
x
x
Vi điu kin trên bt phương trình tr thành

2
26 2
log 6log 7 log 7 *xxmx
Đặt
2
logtx
thì
8t
256;x 
 
*177tt mt
. Đặt

1
7
t
ft
t
.
Yêu cu bài toán

8;
maxmft


Xét hàm s

1
7
t
ft
t
trên khong
8;
Ta có


2
47
.0,8
1
7
t
f
tt
t
t


f
t luôn nghch biến trên khong
8; 
Do đó

8;
max 8 3ft f


3m
.
0;10m nên
3;4;...;10m .
Vy có
8
giá tr nguyên ca tham s m tha mãn yêu cu bài toán.
Bài tp 5. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s m để bt phương trình
22
log 5 1 .log 2.5 2
xx
m
có nghim vi mi
1
x
.
A.
6m
. B.
6m
. C.
6m
. D.
6m
.
Li gii
Chn C.
Điu kin ca bt phương trình:
0x
.
Ta có
22
log 5 1 .log 2.5 2
xx
m
22
log 5 1 . 1 log 5 1
xx
m




1 .
Đặt
2
log 5 1
x
t 
, vi
1
x
ta có
2t
. Khi đó
1 tr thành
2
mt t

2 .
Xét hàm s

2
f
ttt trên
2;
ta có
210ft t
,
2;t
.
Do đó để bt phương trình đã cho có nghim vi mi
2t
thì

2;
minmft

hay
6m
.
Bài tp 6. Có bao nhiêu giá tr nguyên dương ca tham s m để bt phương trình
22
33223
92.3 3
x
xm x xm x x 

có nghim?
1
,8
7
t
mt
t

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 365
A.
6
. B.
4
. C.
9
. D.
1
.
Li gii
Chn D.
Điu kin
2
30xxm
(*)
22
33223
92.3 3
x
xm x xm x x 

2
2
23
3
21
3.3 0
927
xxmx
xxmx



2
32
03 3
xxmx

2
32xxmx
2
32xxmx
.
2
22
30
20
344
xxm
x
xxmxx



2
30
2
4
xxm
x
xm



42 2mm
.
Do
m nguyên dương nên
1m
tha mãn (*).
Bài tp 7. Bt phương trình
2
2
2
22
log
log
2
1
log log 1
x
x
xx

có bao nhiêu nghim nguyên dương nh hơn
10
.
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D.
6
.
Li
gii
Chn
A
Điu kin ca bt phương trình là
0x
. Khi đó
2
2
2
22
log
log
2
1
log log 1
x
x
xx
22
22
log 1 2log
1
log log 1
xx
xx

Đặt
2
logtx
. Ta có
12
1
1
tt
tt



2
2
12
1
1
tt
tt



2
2
12
10
1
tt
tt



2
21
0
1
tt
tt


1
1
0
2
1
t
t
t


Tr li n ta có
2
2
2
log 1
1
0log
2
log 1
x
x
x


1
2
12
2
x
x
x

Kết hp vi điu kin
0x
ta có
1
0
2
x
hoc
12x
hoc
2x
.
Khi đó bt phương trình có
7
nghim nguyên dương nh hơn
10
.
Bài tp 8. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s m sao cho bt phương trình

2
.4 1 .2 1 0
xx
mm m

nghim đúng
x
?
A.
3m
. B.
1m
. C.
14m

. D.
0m
.
Li gii
Chn
B.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 366
Bt phương trình

.4 4 1 .2 1 0
xx
mm m

44.2114.2
x
xx
m
14.2
44.21
x
xx
m


Đặt
2
x
t
(Điu kin
0t
). Khi đó
2
41
41
t
m
tt
. Để bt phương trình ban đầu nghim đúng
x
thì bt phương trình
2
41
41
t
m
tt
nghim đúng
0t
.
Đặt
 

2
22
2
41 4 2
0, 0
41
41
ttt
ft f t t
tt
tt




.
Hàm s nghch biến trên

0; 
. Khi đó
2
41
41
t
m
tt
0t
khi và ch khi
01mf
Bài tp 9. Tìm tt c các giá tr ca tham s m bt phương trình
1
4210
xx
m

có nghim
x
.
A.
;0m 
. B.
0;m

.
C.

0;1m
. D.
;0 1;m

.
Li gii
Chn A
Ta có:


1
1
44
4210
21
42 1
xx
xx
x
x
mmm

.
Đặt
2, 0
x
tt
. Yêu cu bài toán tương đương vi


2
,0;
41
t
mt
t

.
Đặt


2
,0
41
t
ft t
t

,




2
2
22
21
112
.
44
11
tt t
tt
ft
tt







.

0
0
2
t
ft
t


.
Bng biến thiên (B sung các đầu mũi tên trong bbt là
vào nhé)
Da vào bng biến thiên có
0m
.
Bài tp 10. Xét bt phương trình
2
22
log 2 2 1 log 2 0xm x

. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để bt phương trình có nghim thuc khong
2;
.
A.
0;m 
. B.
3
;0
4
m




. C.
3
;
4
m




. D.
;0m 
.
Li gii
Chn C
+
-
0
0
-1
t
+-
0
-2
0
f
'(t)
f
(t)
+
-
+
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 367
Điu kin: 0x
2
22
log 2 2 1 log 2 0xm x

2
22
1log 2 1log 2 0 1xm x
.
Đặt
2
logtx
.Vì
2x
nên
22
1
log log 2
2
x . Do đó
1
;
2
t





1
thành

2
12120tmt 
2
210tmt

2
Cách 1: Yêu cu bài toán tương đương tìm
m
để bpt (2) có nghim thuc
1
;
2




.
Xét bt phương trình (2) có:
2
'10, mm
.
2
210ft t mt
0ac
nên (2) luôn có 2 nghim phân bit
12
0tt
.
Khi đó cn
2
2
113
1
224
tmm m .
Cách 2:

2
2
11
210 < m
22
t
tmt ft t
t




Kho sát hàm s

f
t
trong
0;
ta được
3
;
4
m




.
Bài tp 11. Tìm giá tr gn đúng tng các nghim ca bt phương trình sau:
()
2 65 43 2
2
22 22
33
22 22 2 4
2log 2log 5 13 4 24 2 27 2 1997 2016 0
33 loglog
xx
xx xx x
xx
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
-+-+-+-+-++£
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç
èø
A.
12,3. B.
12
. C. 12,1. D. 12,2 .
Li gii
Chn C
Điu kin:
01
x

.
Ta có
65 43 2
24 2 27 2 1997 2016xx xx x 

22
32 3 6 4 2
1 22 26 1997 2015 0xx x x x x
,
x
.
Do đó bt phương trình đã cho tương đương vi
2
2
22 22
33
22 22 2 4
2log 2log 5 13 4 0
33 loglog
xx
xx






.
Đặt
22
log
3
x
t , ta có bt phương trình
22
22524413tt tt 

22
2
2
13 13
11
22 2
tt




.
Đặt
13
;
22
ut





1;1vt
. Ta có
13
2
uvuv

.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 368
Du bng xy ra khi
1
34
2
2133
12 5
t
ttt
t

5
4
22
12,06
3
x




.
Bài tp 12. Tìm tt c giá tr thc ca tham s m để bt phương trình
1
4.2320
xx
mm
 có nghim
thc.
A.
2m
. B.
3m
. C.
5m
. D.
1m
.
Li gii
Chn D
Ta có
1
4.2320
xx
mm

2
22.2320
xx
mm

Đặt
20
x
tt
.
Ta có bt phương trình tương đương vi
2
2. 3 2 0tmt m

2
3
22
t
m
t
Xét

2
3
22
t
ft
t
trên

0; 
.


2
2
246
22
tt
ft
t

;

0ft
1
3
t
t
.
Bng biến thiên
Vy để bt phương trình có nghim thc thì
1m
.
Bài tp 13. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s m để bt phương trình
2
22
4log log 0xxm
nghim đúng vi mi giá tr
1; 64x
.
A.
0m
. B.
0m
. C.
0m
. D.
0m
.
Li gii
Chn B
Ta có
2
22
4log log 0xxm

2
22
log log 0xxm

.
Đặt
2
log
x
t
, khi
1; 64x
thì
0;6t
.
Khi đó, ta
2
0ttm
2
*mtt
.
Xét hàm s
2
f
ttt
vi
0;6t
.
Ta có
210, 0;6ft t t

.
Ta có bng biến thiên:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 369
Bt phương trình đã cho đúng vi mi
1; 64x
khi và ch khi bt phương trình
*
đúng vi
mi
0;6t
0m.
Bài tp 14. Có bao nhiêu giá tr dương ca tham s thc
m
để bt phương trình

2222
21 4
2
log log 3 log 3xxmx
có nghim duy nht thuc
32;
?
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0
.
Li gii
Chn D
Điu kin xác định:
2
22
0
log 2log 3 0
x
xx

1
0
2
8
x
x
.
Hàm s xác định trên
32;
.

2222
21 4
2
log log 3 log 3xxmx

22
22 2
log 2log 3 log 3xxmx

.
Đặt
2
logtx
. Khi
32x
, ta có min giá tr ca
t
5;
.
Bt phương trình có dng:

2
222 2
23 1
23 3
33
tt t
tt mt m m
tt


.
Xét hàm s

1
3
t
ft
t
trên
5;


2
4
3
ft
t
nên hàm s nghch biến trên
5;
.
Do
lim 1
x
ft

53f
nên ta có
13ft
.
Do vi mi
t
có duy nht mt giá tr
x
nên để bt phương trình đãcho có nghim duy nht thuc
32;
khi và ch bt phương trình

2
m
f
t
có nghim duy nht trên
5;
.
Khi đó:
2
4
33mm
. Do đó không có s nguyên dương m tha mãn.
Bài tp 15. Có bao nhiêu giá tr nguyên dương ca tham s m để bt phương trình
22
33223
92.3 3
x
xm x xm x x 

có nghim?
A.
6
. B.
4
. C.
9
. D.
1
.
Li gii
Chn D
Điu kin
2
30xxm (*)
22
33223
92.3 3
x
xm x xm x x 

2
2
23
3
21
3.3 0
927
xxmx
xxmx



2
32
03 3
xxmx

2
32xxmx
2
32xxmx

.
 





Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 370
2
22
30
20
344
xxm
x
xxmxx



2
30
2
4
xxm
x
xm



42 2mm
.
Do
m nguyên dương nên
1m
tha mãn (*).
Bài tp 16.
Tìm tt c các giá tr thc ca tham s m để bt phương trình

22
log 5 1 .log 2.5 2
xx
m
có nghim vi mi
1
x
.
A. 6m . B. 6m . C. 6m
. D. 6m .
Li gii
Chn C
Điu kin ca bt phương trình:
0x
.
Ta có

22
log 5 1 .log 2.5 2
xx
m
22
log 5 1 . 1 log 5 1
xx
m



1
.
Đặt
2
log 5 1
x
t 
, vi 1
x
ta có 2t . Khi đó
1
tr thành
2
mt t

2
.
Xét hàm s

2
f
ttt
trên
2;
ta có
210ft t

,
2;t

.
Do đó để bt phương trình đã cho có nghim vi mi
2t thì

2;
minmft

hay 6m
.
Bài tp 17. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s m sao cho bt phương trình

2
.4 1 .2 1 0
xx
mm m

nghim đúng
x
?
A.
3m
. B.
1m
. C.
14m

. D.
0m
.
Li gii
Chn
B
Bt phương trình

.4 4 1 .2 1 0
xx
mm m

44.2114.2
x
xx
m
14.2
44.21
x
xx
m


Đặt
2
x
t
(Điu kin
0t
). Khi đó
2
41
41
t
m
tt
. Để bt phương trình ban đầu nghim đúng
x thì bt phương trình
2
41
41
t
m
tt
nghim đúng 0t
.
Đặt
 

2
22
2
41 4 2
0, 0
41
41
ttt
ft f t t
tt
tt




.
Hàm s nghch biến trên

0; 
. Khi đó
2
41
41
t
m
tt
0t
khi và ch khi
01mf
Bài tp 18. m tt c các giá tr ca tham s m bt phương trình
1
4210
xx
m

có nghim
x
.
A.
;0m 
. B.
0;m

.
C.
0;1m
. D.
;0 1;m

.
Li gii
Chn A
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 371
Ta có:


1
1
44
4210
21
42 1
xx
xx
x
x
mmm

.
Đặt
2, 0
x
tt
. Yêu cu bài toán tương đương vi


2
,0;
41
t
mt
t

.
Đặt


2
,0
41
t
ft t
t

,




2
2
22
21
112
.
44
11
tt t
tt
ft
tt







.

0
0
2
t
ft
t


.
Bng biến thiên (B sung các đầu mũi tên trong bbt là
vào nhé)
Da vào bng biến thiên có
0m
.
Dng 3: Phương pháp logarit hóa
1. Phương pháp
Vi bt phương tình
() ()
() ()
() ()
1
.log
01
.log
a
fx gx
a
a
f
xgx b
ab
a
f
xgx b
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
>
ï
ê
î
>
ê
ì
<<
ê
ï
ï
ê
í
ê
ï
<
ï
î
ë
2. Bài tp
Bài tp 1.
Nghim ca bt phương trình
2
2
8 36.3
x
x
x
A.
32
.
4
x
x

B.
2
log 6 2
.
4
x
x

C.
42
.
1
x
x

D.
3
log 18 2
.
4
x
x

Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
44
24 4
22 2
33
8 36.3 2 3 log 2 log 3
xx x
x
xx
xx x





3
3
log 2
4
log 2 4 4 1 0
22
x
xx
xx





33
40 4
40 4
log 2 log 2 2
10 0
22
xx
xx
x
xx

















+
-
0
0
-1
t
+-
0
-2
0
f
'(t)
f
(t)
+
-
+
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 372
3
3
4
4
4
4
log 18
log 18 2
0
2
x
x
x
x
x
x
x



3
4
.
log 18 2
x
x

Bài tp 2. Bt phương trình
2
1
2.5 10
x
x
x
có tp nghim là
;;.baa Khi đó
ba
bng
A.
2
log 5.
B.
5
2
log . C. 1. D.
2
2 log 5.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
2
211
1
11
111
55
2.5
2.510 12.51log2.5 log1
2.5
x
xxx
x
x
xxx
xxx




 


 
55
11
1.log 2 0 1. log 2 0
11
x
xx
xx

 




55
1 . x.log 2 log 2 1
0.
1
x
x


Bng xét du:

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 373
x

2
log 10
-1 1 
VT
+
0 +
T bng xét du ta có
55
2
11
1 . x .log 2 log 2 1
0.
log 10
1
x
x
x
x




Do đó
2
2
1
log 5.
log 10
a
ba
b

Bài tp 3. Có bao nhiêu s nguyên dương m trong đon
2018;2018
sao cho bt phương trình sau đúng
vi mi

1;100x
:

11
log
log
10
10
10 10
x
x
m
x
.
A.
2018
. B.
4026
. C.
2013
. D.
4036
.
Li gii
Chn A
  
11
log
log
10
10
log 11
10 10 log 1 log log 10 log 1 11log 0
10 10
x
x
m
x
xmxxxmxx

 


2
10 log 1 log 10 log 0mx x x
.
Do
1;100 log 0;2xx
. Do đó

2
2
10log log
10 log 1 log 10log 0 10
log 1
x
x
mx x x m
x

.
Đặt
logtx
,
0;2t
, xét hàm s

2
10
1
tt
ft
t
. Ta có:



2
2
10 2
00;2
1
tt
ft t
t


.
Do đó
 
16
020
3
fftf ft .
Để
2
10log log
10
log 1
x
x
m
x
đúng vi mi
1;100x
thì
16 8
10
315
mm.
Do đó
8
;2018
15
m



hay có
2018
s tha mãn.
Dng 4: Phương pháp s dng tính đơn điu
1. Phương pháp
Nếu hàm s
()
yfx=
luôn đồng biến trên
D
thì
() ()
,,
f
ufvuv uvD>>"Î
.
Nếu hàm s
()
yfx=
luôn nghch biến trên
D
thì
() ()
,,
f
ufvuv uvD><"Î
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Tìm s nghim nguyên ca bt phương trình
22
2 15 100 10 50 2
2 2 25 150 0
xx xx
xx
 

A.
6
. B.
4
. C.
5
. D.
3
.
Li gii
Chn B
Đặt
2
215100ax x;
2
10 50bx x ta có bt phương trình:
22 0
ab
ab 22
ab
abab
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 374
(do hàm s
2
x
yx
là hàm s đồng biến trên
)
Vi
ab
22
2 15 100 10 50xx xx
2
25 150 0xx

10;15x
. Vy bt phương trình có 4 nghim nguyên.
Bài tp 2.Tìm s nguyên
m
nh nht để bt phương trình
232
33
log 1 2 3 log 1xx x x xm

(n
x
) có ít nht hai nghim phân bit.
A. 3m . B. 2m
. C. 1m
. D. 1m  .
Li gii
Chn B
232
33
log 1 2 3 log 1 1xx x x xm
Điu kin
0x .

2
32
3
1
1log 23 1
xx
xxm
x





32
3
1
log 1 2 3 1xxxm
x




.
Xét

32
3
1
log 1 2 3
f
xxxx
x




, vi
0x
.

2
2
1
1
66
1
1ln3
x
f
xxx
x
x





;
01
f
xx

.
Vi
0;1 0xfx

; vi
1; 0xfx

.
Vy bt phương trình có ít nht hai nghim
10m
 1m
. Vy 2m .
Bài tp 3.Gi a là s thc ln nht để bt phương trình
22
2ln 10xx a xx
 
nghim đúng vi
mi
x
. Mnh đề nào sau đây đúng?
A.
2;3a
. B.
8;a

. C.
6;7a
. D.
6; 5a 
.
Li gii
Chn C
Đặt
2
2
13
1
24
tx x x




suy ra
3
4
t
Bt phương trình
22
2ln 10xx a xx 
ln 1 0tat
 ln 1at t

Trường hp 1:
1t
khi đó
ln 1at t
luôn đúng vi mi a .
Trường hp 2:
3
1
4
t
Ta có
313
ln 1, ;1 , ;1
4ln4
t
at t t a t
t

 



 
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 375
Xét hàm s
 
2
1
ln 1
13
0, ;1
ln ln 4
t
t
t
ft f t t
tt



do đó
13 7
,;1
3
ln 4
4ln
4
t
at a
t




Trường hp 3:
1t
Ta có
 
1
ln 1, 1; , 1;
ln
t
at t t a t
t

Xét hàm s
  
2
1
ln 1
1
,1;
ln ln
t
t
t
ft f t t
tt



.
Xét hàm s
g
t

2
111
ln 1 0tgt
ttt

Vy
0gt
có ti đa mt nghim.
12;lim
t
ggt

 
vy
0gt
có duy nht mt nghim trên

1; 
Do đó
0ft
có duy nht mt nghim là
0
t
. Khi đó
0
0
0
1
ln
t
t
t
suy ra
00
f
tt
Bng biến thiên
Vy

0
1
,1;
ln
t
at at
t


.
Vy
0
7
3
4ln
4
ta

.
Vy s thc
a tha mãn yêu cu bài toán là:
6;7a
.
Bài tp 4.Biết tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để bt phương trình
22 2
sin cos cos
45 .7
x
xx
m có nghim
;
a
m
b



vi
,ab
là các s nguyên dương và
a
b
ti gin. Tng
Sab
là:
A.
13S
. B.
15S
. C.
9S
. D.
11S
.
Li
gii
Chn
A
Ta có:
22 2
sin cos cos
45 .7
x
xx
m
22
cos cos
15
4.
28 7
xx
m




.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 376
Xét

22
cos cos
15
4.
28 7
xx
fx




vi x
. Do
2
2
cos
cos
11
28 28
55
77
x
x






nên

45
28 7
fx
hay

6
7
fx
. Du đẳng thc xy ra khi
2
cos 1
x
sin 0x
x
k
.
Vy

6
min
7
fx
. Bt phương trình có nghim khi và ch khi
minmfx
6
7
m
hay
6
;
7
m



13S .
Bài tp 5.Vi giá tr nào ca tham s
m
thì bt phương trình
22 2
sin cos sin
23 .3
x
xx
m
có nghim?
A.
4.m
B.
4.m
C.
1.m
D.
1.m
Li gii
Chn A
Chia hai vế ca bt phương trình cho
2
sin
30
x
, ta được
22
sin sin
21
3.
39
xx
m




Xét hàm s
22
sin sin
21
3.
39
x
x
y
 

 
 
là hàm s nghch biến.
Ta có:
2
0sin 1
x

nên
14y
Vy bt phương trình có nghim khi
4m
. Chn đáp án A
Bài tp 6. Tìm s nguyên m nh nht để bt phương trình
232
33
log 1 2 3 log 1xx x x xm

(n
x
) có ít nht hai nghim phân bit.
A.
3m
. B.
2m
. C.
1m
. D.
1m 
.
Li gii
Chn B
232
33
log 1 2 3 log 1 1xx x x xm
Điu kin
0x
.

2
32
3
1
1log 23 1
xx
xxm
x





32
3
1
log 1 2 3 1xxxm
x




.
Xét

32
3
1
log 1 2 3
f
xxxx
x




, vi
0x
.

2
2
1
1
66
1
1ln3
x
f
xxx
x
x





;
01
f
xx

.
Vi
0;1 0xfx

; vi
1; 0xfx

.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 377
Vy bt phương trình có ít nht hai nghim
10m
 1m
. Vy 2m .
Bài tp 7. Biết tp nghim ca bt phương trình
22
35
log 4 1 2 log 5 3xx xx

;ab
.
Khi đó tng
2ab
bng
A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1.
Li gii
Chn C
Xét hàm s

22
35
log 4 1 2 log 5fx x x x x
.


2
22
12
21
5ln5
2414ln3
fx x
xx
xx xx





 


D đánh giá


2
22
12
0
5ln5
2414ln3
gx
xx
xx xx


 
, x
Bng biến thiên:
013ff
và da vào bng biến thiên ta
30;1fx x
Vy
0; 1ab
; suy ra
22ab
Bài tp 8. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s a
a0
tha mãn
2017
2017
2017
11
22
22




a
a
a
.
A. 01a . B. 1 2017
a . C. 2017a . D. 02017a .
Li gii
Chn D
Ta có
2017
2017
2017
11
22
22




a
a
a
2017
22
2017
11
2017log 2 log 2
22
a
a
a






Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 378
2017
22
2017
11
log 2 log 2
22
2017
a
a
a





.
Xét hàm s

 
2
22
1
log 2
log 4 1 log 4 1
2
1
x
xx
x
x
yfx
xxx





.
Ta có




2
2
41
ln 4 1
4ln4 41ln41
11
41
0
ln2 ln2
41
x
x
xxx
x
x
'
.x
..x
y
x
x














2
4ln4 4 1ln4 1
1
0
ln2
41
xx x x
x
.
y
x






,
0
x
.
Nên
yfx
là hàm gim trên
0;
.
Do đó
2017fa f
,
0a
khi
02017
a
.
Bài tp 9. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s m để bt phương trình
2
22
4log log 0xxm
nghim đúng vi mi giá tr
1; 64x
.
A.
0m
. B.
0m
. C.
0m
. D.
0m
.
Li gii
Chn B
Ta có
2
22
4log log 0xxm

2
22
log log 0xxm

.
Đặt
2
log
x
t
, khi
1; 64x
thì
0;6t
.
Khi đó, ta
2
0ttm
2
*mtt
.
Xét hàm s
2
f
ttt
vi
0;6t
.
Ta có
210, 0;6ft t t

.
Ta có bng biến thiên:
Bt phương trình đã cho đúng vi mi
1; 64x
khi và ch khi bt phương trình
*
đúng vi
mi
0;6t
0m
.
Bài tp 10. Gi s
,Sab
là tp nghim ca bt phương trình

234 2 2
22
56 log log556
x
xxx xxx x xx
. Khi đó
ba
bng
A.
1
2
.
B.
7
2
.
C.
5
2
.
D.
2
.
Li gii
 





Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 379
Chn A
Điu kin:
2
0
60
x
xx

0
23
x
x

.
0;3D
.

234 2 2
22
56 log log556
x
xxx xxx x xx

22
22
5 6 log 1 log 5 5 6
x
xxx xxx x xx
 
2
22
15 log 6 log 5 0xxxxxxx

2
2
5log 16 0xxx xx


2
2
2
2
5log 0
16 0
5log 0
16 0
xx
I
xxx
xx
II
xxx




.
 Gii h (I).

2
2
5log 01
16 02
xx
xxx


Gii
1
2
5log 0xx
.
Xét hàm s

2
5
log
f
xx x
x




x
gx
vi
0;3x
Ta có

2
51
00;3
ln 2
gx x
x
x
 .
Lp bng biến thiên
Vy

2
5
log 0 0;3fx x x x
x




.
Xét bt phương trình (2):
2
61
x
xx

2
2
61
1
xx x
x

2
2350
1
xx
x

1
5
2
1
x
x
x

5
2
x.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 380
Vy nghim ca h

I
5
;3
2
D


.
 H

II
vô nghim.
Vy
5
,3
2
S


.
51
3
22
ba
.
Bài tp 11. Có bao nhiêu giá tr nguyên thuc khong
9;9
ca tham s
m
để bt phương trình

2
3log 2log 1 1
x
mx x x x
có nghim thc?
A.
6
. B.
7
. C.
10
. D.
11
.
Li gii
Chn B
Điu kin

2
01
110
x
mx x x x



01
10
x
mx x



01
1
0
x
x
m
x


.
Bt phương trình đã cho tương đương

2
32
log log 1 1
x
mx x x x

2
32
11
x
mx x x x 

2
11
x
xmxx x x
2
11
1
1
xx x x
x
x
m
x
x
xx


.
Áp dng bt đẳng thc cô si ta có
1
1221
1
xx
x
xx x
xx




.
Vì vy
1mx x
.
Kho sát hàm s
1
f
xx x
trên
0;1
ta được
2 1, 414fx
.
Vy
m có th nhn được các giá tr 2,3, 4,5,6,7,8 .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 381
CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ NG DNG
BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm s

fx
xác định trên
K
(
K
là khong hoc đon hoc na đon ca
). Hàm s

Fx
được gi là nguyên hàm ca hàm s
fx
trên K nếu
Fʹ xfx
vi mi xK.
Định lý 1: Nếu

Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
fx
trên
K
thì vi mi hng s C, hàm s
 
Gx Fx C
cũng là mt nguyên hàm ca
fx
trên
K.
Định lý 2: Nếu

Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
fx
trên
K
thì mi nguyên hàm ca
fx
đều có dng

Fx C,
vi
C
là mt hng s.
Hai định lý trên cho thy:
Nếu

Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
fx
trên
K
thì
Fx C,C
là h tt c các nguyên
hàm ca

fx
trên K. Kí hiu
 
fxdx Fx C.
Chú ý: Biu thc
fxdx
chính là vi phân ca nguyên hàm

Fx
ca
fx,
  
ʹ
dFx F xdx fxdx.
2. Tính cht ca nguyên hàm
Tính cht 1
 
fʹ xdx fx C
Tính cht 2
 
kf x dx k f x dx

, k là hng s khác 0.
Tính cht 3
   
fx gx dx fxdx gxdx.




3. S tn ti ca nguyên hàm
Định lý 3: Mi hàm s f(x) liên tc trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bng nguyên hàm
Nguyên hàm ca hàm s
sơ cp
Nguyên hàm ca hàm s
hp
u=u x
Nguyên hàm ca hàm s hp
u=ax+b;a 0
dx x C
du u C
dax b ax b C


1
1
1
x
xdx C


1
1
1
u
uC


1
1
1
ax b
ax b dx C
a

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 382
1
lndx x C
x

1
lndu u C
u
11
lndx ax b C
ax b a

2
11
dx C
xx

2
11
du C
uu


2
111
.dx C
aax b
ax b

2
3
xdx x x C
2
3
udu u u C

12
.
3
ax bdx ax b ax b C
a

1
2dx x C
x

1
2du u C
u
11
.2dx ax b C
a
ax b

xx
edx e C
uu
edu e C
2
ax b ax b
edx e C
a



0, 1
ln
x
x
a
adx C a a
a


0, 1
ln
u
u
a
adu C a a
a


1
.0,1
ln
mx n
mx n
a
adx Ca a
ma

sin cosxdx x C
sin cosudu u C

 
1
sin cos
ax b dx ax b C
a

cos sinxdx x C
cos sinudu u C
 
1
cos sin
ax b dx ax b C
a

tan ln cosxdx x C
tan ln cosudu u C

 
1
tan ln cos
ax b dx ax b
C
a

cot ln sinxdx x C
cot ln sinudu u C
 
1
cot ln sin
ax b dx ax b C
a

2
1
cot
sin
dx x C
x

2
1
cot
sin
du u C
u



2
11
cot
sin
dx ax b C
ax b a

2
1
tan
cos
dx x C
x

2
1
tan
cos
du u C
u


2
11
tan
cos
dx ax b C
ax b a

1
ln tan
sin 2
x
dx C
x

1
ln tan
sin 2
u
du C
u

1
ln tan
sin 2
dx ax b
C
ax b a

1
ln tan
cos 2 4
x
dx
C
x




1
ln tan
cos 2 4
u
du
C
u





1
cos
1
ln tan
24
dx
ax b
ax b
C
a




II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến s
Định lý 1: Nếu
f(u)du F( u) C
uu(x)
đạo hàm liên tc thì:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 383
fu(x).uʹ(x)dx F u(x) C
 
 
H qu: Vi

uaxba0
ta có
 
1
faxbdx Faxb C.
a

2. Phương pháp tính nguyên hàm tng phn:
Định lý 2: Nếu hai hàm s

uux
vvx
đạo hàm liên tc trên K thì:
   
uxvʹ xdx uxvx uʹ xv x dx.

B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Tìm nguyên hàm bng các phép biến đổi sơ cp
1. Phương pháp gii
Biến đổi các hàm s dưới du nguyên hàm v dng tng, hiu ca các biu thc cha x,
trong đó mi biu thc cha x là nhng dng cơ bn có trong bng nguyên hàm.
Áp dng các công thc nguyên hàm trong bng nguyên hàm cơ bn để tìm nguyên hàm.
2. Bài tp
Bài tp 1. Nguyên hàm ca hàm s

21
x
x
fx
e
A.
2
ln 2
x
x
x
eC
e
 B.

2
ln 2 1
x
x
x
eC
e
C.

2
ln 2 1
x
x
x
eC
e

D.

2
ln 2 1
x
x
x
eC
e
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:

21 2 2
ln 2 1
x
xx
xx
xx
dx dx e dx e C
ee e






.
Bài tp 2. Nguyên hàm ca hàm s
2019
2fx xx
A.
2021 2020
22
2021 1010
xx
C


B.
2020 2018
22
2021 1009
xx
C

C.
2021 2020
22
2021 1010
xx
C


D.
2021 2020
22
2021 1010
xx
C

Hướng dn gii
Chn D.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 384
Ta có:
 


2019 2019
2021 2020
2020 2019
2222
22
222
2021 1010
x x dx x x dx
xx
xdxxdx C







Bài tp 3. Nguyên hàm ca hàm s

2
1
1
x
fx
e
A.
2
ln 1
x
xe C B.

2
1
ln 1
2
x
xe C

C.
2
ln 1
x
eC
D.
2
ln 1
x
xe C

Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
22
2
22 2
1
1
1
11 1
xx
x
xx x
ee
e
ee e



.
Do đó

2
2
2
22 2
1
111
1ln1
11212
x
x
x
xx x
de
e
dx dx dx x e C
ee e






Bài tp 4. Nguyên hàm ca hàm s

1
22
fx
xx

là:
A.
33
1
22
6
xxC




B.
1
22
6
xxC



C.

11
222
66
xxxC
D.

11
22 2
66
xx xC
 
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:
   
122
4
22
12 2 1 1
22 22 22 22
43 3 6 6
xx
dx dx
xx
xx xx Cxx xxC







Chú ý: S dng kĩ thut nhân liên hp:
ab
ab
ab

.
Lưu ý:

2
3
ax bdx ax b ax b C
a

.
Bài tp 5. Nguyên hàm ca hàm s

2
513
56
x
fx
xx
là:
A.
2ln 3 3ln 2xxC B. 3ln 3 2 ln 2xxC

C.
2ln 3 3ln 2xxC D. 2ln 3 3ln 2xxC

Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 385
Chn D.
Ta có:

2
513 513
56 2 3
xx
xx x x


Ta s phân tích:
513 2 31xAxBx
Thế
2x
3x
ln lượt vào (1) ta có
3
B
2
A
.
Khi đó

2
2233
513 2 3
56 2 3 3 2
2ln 3 3ln 2
xx
x
dx dx dx dx
xx x x x x
xxC





Bài tp 6. Nguyên hàm ca hàm s

4
5
1 x
fx
xx
là:
A.

4
1
ln ln 1
2
xxC
B.
4
ln ln 1xx C

C.

4
1
ln ln 1
2
xxC
D.

4
1
ln ln 1
2
xxC

Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:


44
43
4
54
4
12
1121
ln ln 1
12
1
xx
xx
dx dx dx dx x x C
xx x x
xx




Bài tp 7. Nguyên hàm ca hàm s

2
3
333
32
xx
fx
xx
là:
A.
3
ln 2 2 ln 1
1
xx C
x

B.
3
ln 2 2 ln 1
1
xx C
x

C.
3
2ln 2 ln 1
1
xx C
x

D.
3
2ln 2 ln 1
1
xx C
x

Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:

22
2
3
333 333
32
12
xx xx
dx dx
xx
xx
 



.
Ta phân tích
2
2
333 1 1 2 2xx Ax Bx x Cx .
Ta có th dùng các giá tr riêng, tính ngay
1, 3AC
2
B
.
(thay
21;13xAxC 02xB
).
Khi đó
 
2
22
333 1 1 1 3
2 3 ln 2 2 ln 1
21 1
12 1
xx
dx dx dx dx x x C
xx x
xx x





.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 386
Lưu ý: Ta có kiến thc tng quát dùng cho các nguyên hàm hu t

Px
Idx
Qx
, vi
P
x

Qx là các đa thc, c th như sau:
Nếu
deg deg
P
xQx
thì ta thc hin phép chia
P
x
cho

Qx
( đây, kí hiu
deg
P
x là bc ca đa thc
P
x ).
Khi
deg deg
P
xQx
thì ta quan sát mu s
Qx
ta tiến hành phân tích thành các
nhân t, sau đó, tách
P
x theo các t hp ca các nhân t đó. Đến đây, ta s s dng đồng
nht thc (hoc giá tr riêng) để đưa v dng tng ca các phân thc.
Mt s trường hp đồng nht thc thường gp
Trường hp 1:

11ac
ax b cx d ad bc ax b cx d





.
Trường hp 2:


Ax Ba x Ad Bb
mx n A B
ax b cx d ax b cx d ax b cx d


 
.
Ta đồng nht thc
1mx n Ax Ba x Ad Bb .
Cách 1. Phương pháp đồng nht h s.
Đồng nht đẳng thc, ta được
Ac Ba m
Ad Bb n


. Suy ra A, B.
Cách 2. Phương pháp giá tr riêng.
Ln lượt thay
;
bd
xx
ac
 
vào hai vế ca (1), tìm được A, B.
Trường hp 3:
 
22
mx n A B
ax b
ax b ax b


.
Trường hp 4:


22
2
*
mx n A B C
cx d ax b
ax b cx d ax b
mx n A cx d B ax b C ax b cx d




Ln lượt thay
;;0
bd
xxx
ac
  vào hai vế ca (*) để tìm A, B, C.
Trường hp 5:


2
2
1 ABxC
x m ax bx c
x m ax bx c



vi
2
40bac

.
Trường hp 6:
  
22 2 2
1 ABCD
xa xb
xa xb xa xb



.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 387
Bài tp 8. Cho hàm s
fx
xác định trên
1
\
2

tha mãn
 
2
';01
21
fx f
x


12f . Giá tr ca biu thc
13
P
ff là:
A.
3ln5 ln2 B. 3ln2 ln5 C. 32ln5
D. 3ln15
Hướng dn gii
Chn D.
 


1
2
1
ln 2 1
2
2
'ln21
21 1
ln 1 2
2
xCkhix
f x f x dx dx x C
x
xCkhix





2
1
01
1
2
12
f
C
C
f

.
Suy ra



1
ln 2 1 2
2
1
ln 1 2 1
2
xkhix
fx
xkhix


.
Do đó
1 3 3 ln 3 ln 5 3 ln15Pf f
Bài tp 9. Cho hàm s
fx
xác định trên
\1;1
, tha mãn
 
2
2
';332ln2
1
fx f f
x

11
0
22
ff




. Giá tr ca biu thc
204Pf f f
là:
A.
2ln2 ln5 B. 6ln2 2ln3 ln5 C. 2ln2 2ln3 ln5
D. 6ln2 2ln5
Hướng dn gii
Chn C.
 
2
211 1
'ln
111 1
x
f x f x dx dx dx C
xxxx






Hay

1
2
3
1
ln 1
1
11
ln ln 1 1
11
1
ln 1
1
x
Ckhix
x
xx
fx C Ckhi x
xx
x
Ckhix
x











Theo bài ra, ta có:
13
2
332ln2
2ln2
11
0
0
22
ff
CC
C
ff







Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 388
Do đó

32 1
3
2 0 4 ln3 ln 2ln2 2ln3 ln5
5
fff CC C
.
Bài tp 10. Nguyên hàm
3
2
.1
P
xx dx
là:
A.

3
22
3
11
8
P
xxC
B.

22
3
11
8
P
xxC

C.
3
2
3
1
8
P
xC D.

3
22
3
11
4
P
xxC

Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:

14
3
2222
33
13
.1 1 1 1
28
xx dx x dx x C

.
Bài tp 11. Nguyên hàm ca hàm s
sin cos sinxxxdx
là:
A.
11 1
sin 2 cos 2
24 4
xx xC
B.
11 1
sin 2 cos 2
24 4
xx xC

C.
11
sin 2 cos 2
22
xx xC
D.
11 1
sin 2 cos 2
24 4
xx xC

Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
2
sin cos sin sin sin cos
1cos2 sin2 1 1 1
sin 2 cos2
22 222
xxxdx xxxdx
xx
dx x x x C






Bài tp 12. Nguyên hàm ca hàm s
22
1
sin cos
dx
xx
là:
A.
tan cotxxC
B.
tan cotxxC
C.
tan cotxxC
D.
cot tanxxC
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
22
22 2 2 2 2
1sincos 11
tan cot
sin cos sin . cos cos sin
xx
dx dx dx x x C
xx x x x x





.
Bài tp 13. Nguyên hàm ca hàm s
42
1
4cos 4cos 1
dx
xx
là:
A.
cot 2
2
x
C
B. tan 2xC C. cot 2xC
D.
tan 2
2
x
C
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:



42 22 2 2
11111tan2
(2 )
4 cos 4 cos 1 (2 cos 1) cos 2 2 cos 2 2
x
dx dx dx d x C
xx x x x
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 389
Bài tp 14. Nguyên hàm ca hàm s
3
tan xdx
là:
A.
2
tan
ln cos
2
x
xC
B.
2
tan
ln sin
2
x
xC
C.
2
tan
ln cos
2
x
xC
D.
4
2
tan
4cos
x
C
x
Hướng dn gii
Chn A.
T
32
tan tan 1 tan tanxx x x
Suy ra

2
3
cos
tan
tan tan tan ln cos
cos 2
dx
x
xdx xd x x C
x


.
Bài tp 15. Gi
Fx là nguyên hàm ca hàm s
sin 2 tanfx x x tha mãn
3
34
F



. Giá
tr ca
4
F



là:
A.
31
212
B.
31
212
C.
31
212
D.
31
212
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:

2
sin
sin 2 . tan 2 sin .cos . 2 sin
cos
x
F x x xdx x x dx xdx
x


.
Suy ra

sin 2
1cos2
2
x
F
xxdxxC
.
Theo gi thiết, ta có:
312 3 3
sin
34323 4 23
FCC





.
Vy

sin 2 3
223
x
Fx x
 .
Do đó
1331
sin 2
442 4 23 2 12
F

 
 
 
 
.
Bài tp 16. Gi
Fx
là nguyên hàm ca hàm s
4
cos 2fx x
tha mãn
0 2019F
. Giá tr
ca
8
F



là:
A.
3 16153
64
B.
3 129224
8
C.
3 129224
64
D.
3 129224
32
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 390
Ta có:


2
42
1cos4 1
cos 2 1 2 cos 4 cos 4
24
11cos81
1 2cos4 3 4cos4 cos8
428
x
xxx
x
xxx








Do đó
 
111
3 4 cos 4 cos8 3 sin 4 sin 8
888
Fx x xdx x x x C




0 2019F
nên ta có
2019C
.
Vy

11
3 sin 4 sin8 2019
88
Fx x x x




.
Do đó
3 129224
864
F




Bài tp 17. Gi

Fx là nguyên hàm ca hàm s

5
cos
1sin
x
fx
x
, vi
2,
2
xkk

và tha
mãn

3
4
F
. Giá tr ca
2
F



là:
A.
2
3
B. 0. C.
5
3
D.
1
3
Hướng dn gii
Chn D.
Ta thy:





5
323
34
23
cos
cos 1 sin 1 sin cos cos .sin
1sin
sin cos
1 sin sin cos cos sin
34
x
xx xxxx
x
xx
Fx xd x xd x x C



Theo gi thiết, ta có

3
4
F
nên 1C
.
Vy

34
sin cos
sin
34
xx
Fx x C
Do đó
1
23
F




.
Chú ý:
Vi
*
n , ta có:

1
cos
cos .sin cos cos
1
n
nn
x
xxdx xd x C
n



1
sin
sin .cos sin sin
1
n
nn
x
xxdx xdx C
n


.
Bài tp 18. Biết
cosx a
dx ln 5sin x 9 C, a,b
5sinx 9 b

,
a
b
là pn s ti gin. Giá tr 2a b
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 391
A.
10.
B.
4.
C.
7.
D.
3.
Hướng dn gii
CHN D

d5sinx 9
cosx 1
dx
5sinx 9 5 5sinx 9


1
ln 5sin x 9 C
5

Vy
a1,b5.
Nên 2a b 3.
Bài tp 19. Tìm mt nguyên hàm

Fx
ca hàm s

2
fx 1 sinx biết
3
F.
24



A.

31
Fx x 2cosx sin2x.
24

B.

31
Fx x 2cosx sin2x.
24

C.

31
Fx x 2cosx sin2x.
24

D.

31
Fx x 2cosx sin2x.
24

Hướng dn gii
CHN B
Ta có


2
2
1cos2x
1 sinx dx 1 2sin x sin x dx 1 2sin x dx
2
31
x2cosx sin2xc
24






33 1 3
F2cossincc0
2422 24 4


 


.
Vy

31
Fx x 2cosx sin2x
24

.
Bài tp 20. Cho

cos2x
dx F x C
sin x cos x

Fab.

Tính

6
Aab.
A.
2. B. 2. C. 1. D. 1.
Hướng dn gii
CHN C
Ta có:

22
cos2x cos x sin x
F x dx dx
sinx cosx sinx cosx





cosx sinx cosx sinx
dx cos x sin x dx sin x cosx.
sin x cos x




F1abA1.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 392
Bài tp 21. Cho tích phân
22
1
dx a.
sin xcos x
Tính
2
A12cot2x theo a.
A.
2
4a . B.
2
2a . C.
2
3a . D.
2
a .
Hướng dn gii
CHN C
Ta có:

22
22 22 2 2
1sinxcosx11
F x dx dx dx
sinxcosx sinxcosx cosx sinx





tan x cot x .
Theo đề:
22
2
2
2
2
sin x cos x sin x cos x 2cos 2x
tan x cot x a
cosx sinx sinxcosx sin2x
cos2x a
sin 2x 2
cos 2 x a
A 12. 12. 3a .
2
sin 2x







Bài tp 22. Cho
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
22
sin 2
cos 4sin
x
dx
x
x

02 1
2




Ff
. Tính

20
2



FF
.
A.
7
9
. B.
7
9
. C.
0
. D.
1
Li gii
CHN B
Ta có
22
cos 4sindx x
2sin cos 8sin cos
x
xxxdx
6sin cos
x
xdx
3sin2
x
dx
22
1
sin 2 cos 4sin
3
x
dx d x x
.
Do đó :
22
sin 2
cos 4sin
x
dx
x
x
22
22
cos 4sin
1
3
cos 4sin
dx x
x
x
22
22
cos 4sin
2
3
2cos 4sin
dx x
x
x
22
2
cos 4sin
3
x
xC


24 7
02 2. 3 1
23 3 9
FF CC




.
Vy

24 7
20 2. 2
23 3 9
FF CCC




Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 393
Bài tp 23. Gi
F
x
là nguyên hàm ca hàm s

2
8
x
fx
x
trên khong
22;22
tha
mãn
20F . Khi đó phương trình
Fx x
có nghim là:
A. 0x B. 1x C. 1x
D. 13x 
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:


22
22
1
88
828
x
Fx dx d x x C
xx



Mt khác

2
20 8 0 2FxCC 
Vy

2
82Fx x
.
Xét phương trình


22
2
2
2
20
82 8 2
82
2
2
13 13
2440
13
x
Fx x x x x x
xx
x
x
xx
xx
x

 


 



Bài tp 24. Cho
Fx mt nguyên hàm ca hàm s

432
21
2
x
fx
xxx
trên khong
0;

1
1
2
F
. Tng
1 2 3 ... 2019SF F F F
A.
2019
2020
B.
2019.2021
2020
C.
1
2018
2020
D.
2019
2020
Hướng dn gii
Chn C.
Phân tích



22
432
2
2
21 21 21
2
1
xxx
fx
xxx
xx
xx



Khi đó

 

2
22
2
22
21 1 1x
Fx dx dx x C
xx
xx xx



.
Mt khác

11 1
11
22 2
FCC
.
Vy


2
1111
11 1
11
Fx
xx xx xx

  



.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 394
Do đó

11111 1 1
1 2 3 ... 2019 1 ... 2019
2 2 3 3 4 2019 2020
111
1 2019 2018 2018
2020 2020 2020
SF F F F








Bài tp 25. Cho hàm s
fxđạo hàm xác định trên tha mãn

022, 0ffx
  
2
.' 2 1 1 ,fx f x x f x x . Giá tr
1f là:
A. 62 B. 10 C. 53 D. 26
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:
  

2
2
.'
.' 2 1 1 2 1
1
fx f x
fx f x x f x x
fx

.
Suy ra
 




2
22
22
1
.'
21 21 1
121
dfx
fx f x
dx x dx x dx f x x x C
fx fx
 


Theo gi thiết
022f , suy ra

2
122 3CC

Vi
3C thì
 

2
22 2
13 31fx xx fx xx
Vy

12426f 
Bài tp 26. Cho hàm s

yfx
đạo hàm liên tc trên đon
2;1
tha mãn
03f


2
2
.' 3 4 2fx f x x x. Giá tr ln nht ca hàm s
yfx trên đon
2;1 là:
A.
3
242
B.
3
215
C.
3
42
D.
3
15
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:


2
2
.' 3 4 2 *fx f x x x
Ly nguyên hàm hai vế ca đẳng thc (*) ta được:




 
2
2332332
1
.' 3 4 2 2 2 3 6 6 3
3
f x f x dx x x dx f x x x x C f x x x x C

Theo gi thiết, ta có
03f
nên


3
32 3 32
0 3 0 2.0 2.0 27 3 9 3 6 6 27fCCCfxxxx
Ta tìm giá tr ln nht ca hàm s
32
36627gx x x x
 trên đon
2;1 .
Ta có
2
'91260, 2;1gx x x x
nên đồng biến trên đon
2;1 .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 395
Vy


3
3
2;1 2;1
max m ax 42fx gx


.
Dng 2: Phương pháp đổi biến dng 1, đặt
u=u x
1. Phương pháp gii
Định lí:
Cho
fudu Fu C
uux
là hàm sđạo hàm liên tc thì
'fux uxdx Fux C
 

 
Các bước thc hin đổi biến:
Xét
'Ifuxuxdx
Bước 1: Đặt
uux
, suy ra
'du u x dx
Bước 2: Chuyn nguyên hàm ban đầu v n u ta được
IfuduFuC

, trong đó
Fu
mt nguyên hàm ca hàm s
fu.
Bước 3: Tr v biến x ban đầu, ta có nguyên hàm cn tìm
IFux C
H qu: nếu
Fx là mt nguyên hàm ca hàm s
fx trên K ,;0ab a ta có:
 
1
faxbdx Faxb C
a

.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Nguyên hàm
Fx ca hàm s
3
21
.
x
fx xe
, biết

1
1
3
F
:
A.

3
1
1
3
x
Fx e C
 B.

3
1
1
2019
3
x
Fx e
 C.

3
1
11
33
x
Fx e
D.

3
1
1
3
x
Fx e
Hướng dn gii
Chn D.
Đặt
3
1ux ta có
22
1
3
3
du x dx x dx du
Suy ra

11
33
uu
fxdx e du e C

Do đó

3
1
1
3
x
F
xeC

.
Mt khác

1
1
3
F 
nên 0C . Vy

3
1
1
3
x
fxdx e
.
Lưu ý: Ta có th viết như sau:


33 3
21 1 3 1
11
1
33
xx x
f x dx x e dx e d x e C



Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 396
Chú ý: Vi các viết

23
1
1
3
xdx d x
, ta có th tính nguyên hàm đã cho mt cách đơn gin và
nhanh gn.
Bài tp 2. Nguyên hàm
2sin
13cos
x
M
dx
x
là:
A.

1
ln 1 3cos
3
M
xC B.
2
ln 1 3cos
3
M
xC

C.
2
ln 1 3cos
3
M
xC
D.
1
ln 1 3cos
3
M
xC

Hướng dn gii
Chn C.
Đặt 13cosux , ta 3sindu xdx hay
2
2sin
3
xdx du
.
Khi đó
21 2
ln
33
M
du u C
u
 
Vy
2sin 2
ln 1 3cos
13cos 3
x
M
dx x C
x

Bài tp 3.


4
0
sin x
4
43a
Idx,a,b.
b
sin 2x 2 1 sinx cosx





Tìm t l
a
b
.
A.
1
.
3
B.
1
.
2
C.
2
.
1
D.
3
.
1
Hướng dn gii
CHN B
Đặt

2
dt cos x sin x dx 2 sin x dx
4
tsinxcosx
sin 2x t 1






x:0
4
thì t:1 2 .


2
22
2
22
1
11
1dt 2dt21432
I.
22t14
2
t121t
t1



.
Bài tp 4. Cho

3
cos xsin xdx F x C

1
F0 a b .
4

Tính
22
A a b 2018.
A. 2018. B. 2016. C. 2022. D. 2020.
Hướng dn gii
CHN A
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 397
3
cos xsin xdx
Đặt
ucosx dusinxdx .

 
44
33
2
33
ucosx
cos xsinxdx u du C C
44
11
F0 ab ab0.
44
A a b 2018 a b 2ab a b 2018 2018.
  



Chú ý: chú ý rng vi
0a
,;0mn n
ta luôn có:
m
n
m
n
aa .
Bài tp 5. Nguyên hàm
1
1
R
dx
xx
là:
A.
111
ln
2
11
x
R
C
x



B.
111
ln
2
11
x
R
C
x


C.
11
ln
11
x
R
C
x



D.
11
ln
11
x
R
C
x


Hướng dn gii
Chn D.
Đặt
2
11ux ux
. Suy ra
2
1xu
2dx udu
.
Khi đó

2
2
2211 1
ln
111 1
1
uu
R
du du du C
uuuu
uu






.
Vy
11
ln
11
x
R
C
x



Bài tp 6. Nguyên hàm
32
9Sxx dx
là:
A.

2
22
22
99
39 9
5
xx
S
xxC


B.

4
22
22
99
39 9
5
xx
S
xxC


C.

22
2
22
99
39 9
5
xx
S
xxC


D.
2
22
2
99
39
5
xx
S
xC


Hướng dn gii
Chn A.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 398
Xét
32 22
99
S
xx dx xx xdx

.
Đặt
222
99ux ux. Suy ra
22
9xu
xdx udu
.
Khi đó

5
2423
9. 9 3
5
u
S
u u udu u u du u C 

.
Vy

2
22
22
99
39 9
5
xx
S
xxC


Bài tp 7. Nguyên hàm
1
ln 1
Tdx
xx
là:
A.
1
2ln 1
TC
x

B. 2ln 1TxC

C.

2
ln 1 ln 1
3
Tx xC
D.
ln 1TxC

Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:

11
ln 1 2 ln 1
ln 1 ln 1
TdxdxxC
xx x



.
Bài tp 8. Nguyên hàm

2020
2022
2
1
x
Udx
x
là:
A.
2021
12
31
x
UC
x




B.
2020
12
6060 1
x
UC
x



C.
2021
12
6063 1
x
UC
x




D.
2023
12
6069 1
x
UC
x



Hướng dn gii
Chn C.
Xét
 
2020
2020
2022 2
2
21
1
11
x
x
Udx dx
x
xx






Đặt
 
22
2311
13
11
x
ududxdudx
x
xx


.
Suy ra.
2020 2021
11
3 6063
Uudu uC
. Vy
2021
12
6063 1
x
UC
x



Lưu ý:

1
2
11
1
n
n
n
ax b
ax b
dx C
nadbdcxd
cx d





Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 399
Bài tp 9. Xét nguyên hàm

2
ln
1ln1
x
Vdx
xx

. Đặt
11lnux
, khng định nào sau đây
sai?
A.

22
dx
udu
x

B.

2
2
2
.2 2
uu
Vudu
u

C.
54 32
2516
4
52 3
Vu u uuC
D.
54
32
16
4
523
uu
VuuC

Hướng dn gii
Chn C.
Đặt
 
2
2
1 1 ln 1 1 ln ln 2 2 2
dx
uxu xxuuudu
x
 
.
Khi đó



2
2
2
432 5 4 32
2
ln
.2 2
1ln1
2516
2584 4
52 3
uu
x
Vdxudu
u
xx
uuuuduu u uuC




Bài tp 10. Gi
Fx
là nguyên hàm ca hàm s
23
sin 2 .cos 2fx x x
tha 0
4
F



. Giá tr

2019F
là:
A.

1
2019
15
F
 B.
2019 0F
C.

2
2019
15
F
D.

1
2019
15
F
Hướng dn gii
Chn A.
Đặt
1
sin 2 2 cos2 cos2
2
u x du xdx du xdx
Ta có

 
23 22 24
35 3 5
11
sin 2 .cos 2 . 1
22
11 1 1
sin 2 sin 2
610 6 10
F x x xdx u u du u u du
uuC x xC



35
11 1
0sin sin 0
462102 15
FCC


 


Vy

35
11 1
sin 2 sin 2
61015
Fx x x
Do đó

1
2019
15
F

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 400
Bài tp 11. Biết rng
 
23
1
1231
xdx
C
xx x x gx


(vi C là hng s). Gi S là tp
nghim ca phương trình
0gx . Tng các phn t ca S bng:
A. 0. B.
35
C. 3
D.
35
Hướng dn gii
Chn C.

 
2
22 2
1231 3 321 31xx x x xxxx xx

nên ta đặt
2
3ux x,
khi đó

23du x dx
Nguyên hàm ban đầu tr thành

2
1
1
1
du
C
u
u

.
Suy ra

2
23
1
1231 31
xdx
C
xx x x x x


Vy
 
22
35
2
31; 0 310
35
2
x
gx x x gx x x
x

 

.
Do đó
3535
;
22
S

 




.
Tng giá tr các phn t ca S bng
3 .
Bài tp 12.

3cos2x sin4x
IdxFxC.
2sinxcosx


Tính
F1,
biết rng
Fx
không cha h s t do.
A.
17
.
3
B.
2
.
3
C.
15
.
3
D.
9
.
3
Hướng dn gii
CHN A



32sin2xcos2x
3cos2x sin4x
Idx dx
2sinxcosx 2sinxcosx
32sin2xcosxsinxcosxsinx
dx
2sinxcosx

 



Đặt

2
dt cos x sin x dx
tsinxcosx
sin 2x t 1



Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 401

2
3
2
32
32t 1.t
2t 5t 6
Idtdt2t4t3dt
2t t2 t2
2
t2t3t6lnt2 C.
3














Dng 3: Tìm nguyên hàm bng cách đổi biến dng 2
1. Phương pháp gii
Kiến thc cn nh:
Ta đã biết các đẳng thc sau:
22
sin cos 1tt
, vi mi t .


2
2
2
2
1
1tan ,
cos 2
1
1cot ,
sin
ttkk
t
ttkk
t


Vi các bài toán sau đây thì ta không th gii quyết
ngay bng nguyên hàm cơ bn cũng như đổi biến s
dng 1, đòi hi người hc phi trang b tư duy đổi
biến theo kiu “
lượng giác hóa” da vào các hng
đẳng thc lượng giác cơ bn và mt s biến đổi thích
hp, c th ta xem xét các nguyên hàm sau đây:
Các kĩ thut đổi biến dng 2 thường gp và
cách x lí.
Bài toán 1: Tính
1
22
dx
A
ax
Bài toán 1:
Tính
1
22
dx
A
ax
Đặt
sinxa t , vi
;
22
t



hoc
cosxa t vi
0;t
Bài toán 2: Tính
2
22
dx
A
ax
Bài toán 2: Tính
2
22
dx
A
ax
Đặt
tanxa t , vi ;
22
t



.
Bài toán 3: Tính
3
ax
Adx
ax
Bài toán 3: Tính
3
ax
Adx
ax
Đặt
cos 2xa t
vi
0;
2
t



Bài toán 4: Tính
4
Axaxbdx
Bài toán 4: Tính
4
Axaxbdx
Đặt
2
sinxa ba t vi
0;
2
t



Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 402
Bài toán 5: Tính
22
5
Axadx
Bài toán 5: Tính
22
5
Axadx
Đặt
sin
a
x
t
vi ;
22
t



2. Bài tp
Bài tp 1.
Nguyên hàm
2
2
4
x
Idx
x
là:
A.
2
4
arcsin
24
xx x
C

B.
2
4
2arccos
22
xx x
C
C.
2
4
arccos
24
xx x
C

D.
2
4
2arcsin
22
xx x
C
Hướng dn gii
Chn D.
Đặt 2sinxt vi ;
22
t



. Ta có cos 0t 2cosdx tdt
.
Khi đó
2
2
2
4sin
2cos 4sin
44sin
t
Itdttdt
t


(vì cos 0, ;
22
tt




).
Suy ra
21cos2 2 sin2ItdtttC
T
2 sin arcsin
2
x
xtt
2
4
sin 2 2 sin .cos
2
xx
ttt

Vy
22
2
4
2arcsin
22
4
xxxx
Idx C
x

Bài tp 2. Nguyên hàm

3
2
1
1
Idx
x
là:
A.

2
2
3
1 xC
B.
2
1
x
C
x
C.

3
2
1
x
C
x
D.
2
1 x
C
x
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt cos , 0 sin .xtt dx tdt
.
Khi đó
32
sin .
cot
sin sin
tdt dt
Idt tC
tt
 

hay
2
1
x
IC
x
Vy

32
2
1
1
1
x
dx C
x
x

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 403
Ví d 3. Nguyên hàm
2
1
1
Idx
x
là:
A.
arctan xC B. arccot xC
C. arcsin xC
D. arccos xC
Hướng dn gii
Chn A.
Đặt tanxt vi
;
22
t



, ta có
2
1tandx t dt
.
Khi đó

2
2
1
1tan
1tan
ItdtdttC
t


Vy
2
1
arctan
1
IdxxC
x

Dng 4: Tìm nguyên hàm bng phương pháp nguyên hàm tng phn
1. Phương pháp gii
Vi

uux
vvx
là các hàm sđạo hàm trên khong K thì ta có:
.' '.'uv u vv u
Viết dưới dng vi phân
d uv vdu udv
Khi đó ly nguyên hàm hai vế ta được:
d uv vdu udv

T đó suy ra
1udv uv vdu

Công thc (1) là công thc nguyên hàm tng phn.
Du hiu nhn biết phi s dng phương pháp nguyên hàm tng phn.
Bài toán: Tìm
.Iuxvxdx
, trong đó
ux
vx là hai hàm có tính cht khác nhau,
chng hn:

ux là hàm s đa thc,

vx là hàm s lượng giác.

ux là hàm s đa thc,

vx là hàm s mũ.
ux là hàm s logarit,
vx hàm s đa thc.

ux
là hàm s mũ,

vx
là hàm s lượng giác.
Phương pháp nguyên hàm tng phn
Bước 1: Đặt



'du u x dx
uux
dv v x dx v v x dx



Bước 2: Áp dng công thc (1), ta được:
udv uv vdu
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 404
Lưu ý: Đặt

uux (ưu tiên) theo th t: “Nht lc, nhì đa, tam lượng, t mũ. Tc là, nếu có
logarit tưu tiên đặt ulogarit, không có logarit thì ưu tiên uđa thc,… th t ưu tiên sp xếp
như thế.
Còn đối vi nguyên hàm
vvxdx
ta ch cn Chn mt hng s thích hp. Điu này s được
làm rõ qua các Bài tp minh ha ct bên phi.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Kết qu nguyên hàm
2
ln 2Ix xdx
là:
A.

22
2
2
ln 2
22
xx
xC

B.

2
22
2ln 2
2
x
xx C

C.
222
2ln 2xxxC D.

22
2
2
ln 2
22
xx
xC

Hướng dn gii
Chn D.
Đặt

2
2
2
2
ln 2
2
2
2
x
du dx
ux
x
x
dv xdx
v



Khi đó
 
222
22
22
ln 2 ln 2
222
xxx
IxxdxxC


Chú ý: Thông thường thì vi
2
2
x
dv xdx v
Tuy nhiên trong trường hp này, ta để ý
2
2
2
x
v
mang li s hiu qu.
Bài tp 2. Kết qu nguyên hàm
2
ln sin 2 cos
cos
xx
Idx
x
là:
A.
tan 2 .ln sin 2 cos 2 ln cosxxxxxC
B.
tan 2 .ln sin 2 cos 2 ln cosxxxxxC
C.
tan 2 .ln sin 2 cos 2 ln cosxxxxxC
D.
cot 2 .ln sin 2 cos 2 ln cosxxxxxC
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt

2
cos 2 sin
ln sin 2 cos
sin 2 cos
sin 2 cos
tan 2
cos
cos
xx
uxx
du dx
xx
dx
xx
dv
vx
x
x





Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 405
Khi đó


cos 2 sin
tan 2 ln sin 2 cos
cos
tan 2 ln sin 2 cos 2 ln cos
xx
Ix x x dx
x
xxxxxC


Chú ý:
Bài tp này, Chn tan 2vx có th rút gn được ngay t và mu trong nguyên hàm
vdu
.
Bài tp 3. Kết qu nguyên hàm
2
sin 5Ix xdx
là:
A.
2
122
cos 5 sin 5 cos 5
525125
xxxx xC
B.
2
122
cos 5 sin 5 cos 5
525125
xxxx xC

C.
2
122
cos 5 sin 5 cos 5
525125
xxxx xC
D.
2
122
cos5 sin5 cos5
5 25 125
xxxx xC

Hướng dn gii
Chn D.
Phân tích: đây ta s ưu tiên
2
ux đa thc, tuy nhiên vì bc ca u là 2 nên ta s tng phn hai
ln mi thu được kết qu. Nhm tiết kim thi gian, tôi gi ý vi phương pháp “sơ đồ đường chéo
c th như sau:
Bước 1: Chia thành 3 ct:
+ Ct 1: Ct u luôn ly đạo hàm đến 0.
+ Ct 2: Dùng để ghi rõ du ca các phép toán đường chéo.
+ Ct 3: Ct dv luôn ly nguyên hàm đến khi tương ng v
i ct 1.
Bước 2: Nhân chéo kết qu ca 2 ct vi nhau. Du ca phép nhân đầu tiên sdu (+), sau đó
đan du (-), (+), (-),… ri cng các tích li vi nhau.
Khi đó
2
122
cos 5 sin 5 cos 5
5 25 125
Ixxxx xC
Chú ý:
Kĩ thut này rt đơn gin và tiết kim nhiu thi gian.
Trong kĩ thut tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cu độc gi cn tính toán chính xác đạo
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 406
hàm và nguyên hàm hai ct 1 và 3. Nếu nhm ln thì rt đáng tiếc.
Bài tp 4. Nguyên hàm
43x
Ixedx
là:
A.
43 2
3
2345
4122424
33 3 3 3
x
xx x x
IeC




B.
53
.
53
x
xe
IC
C.
43 2
3
2345
412 2424
33 3 3 3
x
xx x x
IeC




D.
43 2
3
23
412
33 3
x
xx x
IeC




Hướng dn gii
Chn A.
Nếu làm thông thường thì tng phn 4 ln ta mi thu được kết qu. đây, chúng tôi trình bày theo
sơ đồ đường chéo cho kết qu và nhanh chóng hơn.
Vy
43 2
3
2345
4122424
33 3 3 3
x
xx x x
IeC




.
Bài tp 5. Nguyên hàm sin
x
Ie xdx
là:
A.
2sin cos
x
ex xC B.
2sin cos
x
exxC
C.

1
sin cos
2
x
exxC
D.

1
sin cos
2
x
ex xC
Hướng dn gii
Chn C.
Phân tích: S tn ti ca hàm s mũ và lượng giác trong cùng mt nguyên hàm s rt d gây cho
người hc s nhm ln, nếu ta s không biết đim dng thì có th s b lc vào vòng lun qun.
đây, để tìm được kết qu thì ta phi tng phn hai ln như trong Bài tp 3. Tuy nhiên, vi sơ đồ
đường chéo thì sao? Khi nào s dng li?
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 407
Khi đó, ta s có th kết lun
sin cos sin
xx x
Ie xe x e xdx
.
Hay
2sin.cos
xx
Ie xe x
. Vy

1
sin cos
2
x
Ie x xC
Chú ý: Ch dng li khi đạo hàm ca nó có dng ging dòng đầu tiên. Dòng cui thu được
sin
x
xe dx I
.
Bài tp 6. Tìm
ln
n
Iaxbvxdx
, trong đó
vx là hàm đa thc,
*
n ,;0ab a
Hướng dn gii
Phân tích: ưu tiên
ln
n
ux ax b nên
1
.ln
n
na ax b
du dx
ax b
và tiếp tc đạo hàm thì ct 1
s không v 0 được, vì vy phi chuyn lượng

na
tx
ax b
t ct 1 sang nhân vi
vx ct 3 để
rút gn bt; tiếp tc quá trình như thế cho đến khi đạo hàm ct 1 v 0, và chú ý s dng quy tc đan
du bình thường.
Bài tp 6.1. Kết qu nguyên hàm .lnIxxdx
là:
A.
22
.ln2
24
xx
C B.
22
.ln2
24
xx
C
C.
22
.ln2
42
xx
C
D.
22
.ln2
42
xx
C
Hướng dn gii
Chn A.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 408
Vy
22
.ln .ln2
24
xx
Ixxdx C
Chú ý: chuyn lượng

1
tx
x
bên ct 1 sang nhân vi

2
2
x
vx
ta thu được kết qu
2
x
. Khi đó
bên ct 1 còn li 1, đạo hàm ca nó bng 0; bên ct 3 có nguyên hàm ca
2
x
2
4
x
.
Bài tp 6.2. Kết qu nguyên hàm
3
41.ln2Ix xdx
là:
A.






2
23 2 2 2
3
2ln233ln236ln2 6
2
x
xx x x x x x x x xC
B.






2
23 2 2 2
3
2ln233ln236ln2 6
2
x
xx x x x x x x x xC
C.






2
23 2 2 2
3
2ln233ln236ln2 6
2
x
xx x x x x x x x xC
D.






2
23 2 2 2
3
2ln233ln236ln2 6
2
x
xx x x x x x x x xC
Hướng dn gii
Chn B.
Vy






2
23 2 2 2
3
2ln233ln236ln2 6
2
x
Ixx x xx x xx x xC
Chú ý:
Chuyn
3
x
, nhân vi

2
2xx thu được
63x
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 409
Chuyn
2
x
, nhân vi
2
33xx thu được
66x
.
Chuyn
1
x
, nhân vi

2
36xx thu được
36x
.
Bài tp 7. Cho
1
x
F
xxe là mt nguyên hàm ca hàm s
2
x
fxe. Biết rng hàm s
fx
đạo hàm liên tc trên
. Nguyên hàm ca hàm s
2
'
x
fxe là:
A.
2
x
xe C
B.
2
x
xe C
C.
1
x
xe C
D.

1
x
xe C
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
222
'1...
xx x x x x
Fx fxe e x e fxe fxe xe .
Xét
2
'
x
fxedx
Đặt
 
22
2
'
xx
ue du edx
dv f x dx v f x







Do đó
2
.2 21
xxxx
Ifxe fxedxxe x eC
Vy
2
'2
xx
I f xe dx xe C
Dng 5: Các bài toán thc tế ng dng nguyên hàm
1. Phương pháp gii
Ý nghĩa vt lí ca đạo hàm:
Mt cht đim chuyn động theo phương trình
SSt
, vi
St
là quãng đường mà cht đim đó
đi được trong thi gian t, k t thi đim ban đầu.
Gi
vt
at ln lượt là vn tc tc thi và gia tc tc thi ca cht đim ti thi đim t, ta có:
 
'vt S t
'at v t .
T đó ta có:
St vtdt
vt atdt
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Mt vt chuyn động vi gia tc


2
3
/
1
at m s
t
, trong đó t là khong thi gian tính
t thi đim ban đầu. Vn tc ban đầu ca vt là. Hi vn tc cu vt ti giây th 10 bng bao
nhiêu?
A. 10 m/s. B. 15,2 m/s. C. 13,2 m/s. D. 12 m/s.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 410
Vn tc ca vt ti thi đim t được tính theo công thc:
 
3
3ln 1
1
v t a t dt dt t C
t


Vì vn tc ban đầu (lúc
0t ) ca vt là
0
6/vms
nên:
03ln01 6 6 3ln16vCCvtt
.
Vn tc ca vt chuyn động ti giây th 10 là:
10 3ln 10 1 6 13,2 /vms .
Bài tp 2. Mt vn động viên đin kinh chy vi gia tc


322
15
/
24 16
at t t m s
, trong đó t
khong thi gian tính t lúc xut phát. Hi vào thi đim 5 (s) sau khi xut phát thì vn tc ca vn
động viên là bao nhiêu?
A. 5,6 m/s. B. 6,51 m/s. C. 7,26 m/s. D. 6,8 m/s.
Hướng dn gii
Chn B.
Vn tc
vt
chính là nguyên hàm ca gia tc
at
nên ta có:
 
32 4 3
15 15
24 16 96 48
v t a t dt t t dt t t C





Ti thi đim ban đầu
0t
thì vn động viên ti v trí xut phát nên vn tc lúc đó là:

43
0
15
000 .0 .0 0 0
96 48
vv CC
.
Vy công thc vn tc là

43
15
96 48
vt t t
Vn tc ca vn động viên ti giây th 5 là
56,51/vms .
Chú ý: Gia tc ca vt chuyn động là


2
3
/
1
at m s
t
. Ta tính
vt atdt
, kết hp vi
điu kin vn tc ban đầu
0
6/vms . Suy ra công thc tính vn tc
vt ti thi đim t và tính
được
10v
.
Bài tp 3. Mt nhà khoa hc t chế tên la và phóng tên la t mt đất vi vn tc ban đầu là 20
m/s. Gi s b qua sc cn ca gió, tên la ch chu tác động ca trng lc. Hi sau 2s thì tên la
đạt đến tc độ là bao nhiêu?
A. 0,45 m/s. B. 0,4 m/s. C. 0,6 m/s. D. 0,8 m/s.
Hướng dn gii
Chn B.
Xem như ti thi đim
0
0t thì nhà khoa hc phóng tên la vi vn tc đầu 20 m/s. Ta có
00s
020v
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 411
Vì tên la chuyn động thng đứng nên gia tc trng trường ti mi thi đim t
2
9,8 /
n
st ms .
Nguyên hàm ca gia tc là vn tc nên ta có vn tc ca tên la ti thi đim t

1
9,8 9,8vt dt t C
.
Do
020v
nên
11
9,8 20 20 9,8 20tC C vt t 
.
Vy vn tc ca tên la sau 2s là

29,8.2200,4/vms .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 412
BÀI 2: TÍCH PHÂN
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHT CA TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa tích phân
Định nghĩa
Cho hàm s
f
x liên tc trên đon
;ab , vi
.ab
Nếu
Fx là nguyên hàm ca hàm s
f
x trên
đon

;ab thì giá tr
Fb Fa được gi là tích
phân ca hàm s
f
x
trên đon

;ab
.
Kí hiu
 
b
b
a
a
f
xdx F x Fb Fa
(1)
Công thc (1) còn được gi là công thc Newton
Leibnitz; ab được gi là cn dưới và cn trên ca
tích phân.
Ý nghĩa hình hc ca tích phân
Gi s hàm s

yfx là hàm s liên tc và không
âm trên đon

;ab . Khi đó, tích phân

b
a
f
xdx
chính là din tích hình phng gii hn bi đưng
cong

yfx , trc hoành Ox và hai đường thng
,,
x
ax b vi
.ab

b
a
Sfxdx
Chng hn:
3
Fx x C
là mt nguyên
hàm ca hàm s
2
3
f
xx nên tích phân
  
1
1
0
0
10fxdx Fx F F
33
101.CC

Lưu ý: Giá tr ca tích phân không ph
thuc vào hng s C.
Trong tính toán, ta thường chn
0.C
Chng hn: Hàm s
2
21
f
xx x
đồ th
C

2
10fx x
, vi
x
.
Din tích “tam giác cong” gii hn bi
C
, trc Ox và hai đường thng
1x 
1
x


11
2
11
21Sfxdx xxdx



3
1
2
1
8
.
33
x
xx




Lưu ý: Ta còn gi hình phng trên là “hình
thang cong”.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 413
2. Tính cht cơ bn ca tích phân
Cho hàm s
f
x

g
x là hai hàm s liên tc
trên khong K, trong đó K có th là khong, na
khong hoc đon và
,, ,abc K khi đó:
a. Nếu ba thì

0
a
a
fxdx
b. Nếu
f
x đạo hàm liên tc trên đon
;ab
thì ta có:
 
b
b
a
a
f
xdx f x f b f a

c. Tính cht tuyến tính
   
.. .
bbb
aaa
kf x hgx dx k f xdx h gxdx


Vi mi
,.kh
d. Tính cht trung cn
  
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx

, vi
;cab
e. Đảo cn tích phân
 
ab
ba
f
xdx f xdx

f. Nếu
0,fx

;
x
ab thì

0
b
a
fxdx

0
b
a
fxdx
khi

0fx .
g. Nếu
 
,;
f
xgx xab thì
Chng hn: Cho hàm s
f
x liên tc, có
đạo hàm trên đon
1; 2 tha mãn
18f
21.f
Khi đó
  
2
2
1
1
219fxdx fx f f

Lưu ý: T đó ta cũng có

b
a
f
bfa fxdx

 
b
a
f
afb fxdx

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 414
 
bb
aa
f
xdx g xdx

h. Nếu

;
min
ab
mfx

;
max
ab
M
fx thì
 
b
a
mb a f xdx M b a
i. Tích phân không ph thuc vào biến, tc là ta luôn
 
...
bbb b
aaa a
f x dx f t dt f u du f y dy

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến s
Đổi biến dng 1
Bài toán:
Gi s ta cn tính tích phân

b
a
I
fxdx
, trong
đó ta có th phân tích
f
xguxux
thì ta thc hin
phép đổi biến s.
Phương pháp:
+ Đặt
uux , suy ra

.du u x dx
+ Đổi cn:
x a b
u
ua
ub
+ Khi đó
 





ub
b
ub
ua
aua
Ifxdx guduGu

, vi
Gu là nguyên hàm ca
.
g
u
Đổi biến dng 2
Du hiu Cách đặt
22
ax
sin ; ;
22
xa tt

22
x
a
sin
a
x
t
;

;\0
22
t




22
ax
tan ; ;
22
xa tt




Lưu ý:
Phương pháp đổi biến s
trong tích phân cơ bn ging như
đổi biến s trong nguyên hàm,
đây ch thêm bước
đổi cn.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 415
ax
ax
.cos2 ; 0;
2
xa tt



ax
ax
.cos2 ; 0;
2
xa tt


x
abx

2
sin ; 0;
2
xa ba tt

2. Phương pháp tích phân tng phn
Bài toán: Tính tích phân
 
.
b
a
Iuxvxdx
Hướng dn gii
Đặt




uux duuxdx
dv v x dx v v x






Khi đó

..
b
b
a
a
Iuv vdu
(công thc tích phân tng
phn)
Chú ý: Cn phi la chn u và dv hp lí
sao cho ta d dàng tìm được v và tích phân
b
a
vdu
d tính hơn
b
a
udv
.
III. TÍCH PHÂN CÁC HÀM S ĐẶC BIT
1.
Cho hàm s
f
x liên tc trên

;aa . Khi đó
Đặc bit
 
0
aa
a
f
xdx f x f x dx



(1)
+ Nếu
f
x là hàm s l thì ta có

0
a
a
fxdx
(1.1)
+ Nếu
f
x là hàm s chn thì ta có
 
0
2
aa
a
f
xdx f xdx

(1.2)


0
1
12
aa
x
a
fx
dx f x dx
b


01b (1.3)
2. Nếu
f
x liên tc trên đon

;ab thì

bb
aa
f
xdx f a b xdx

H qu: Hàm s
f
x liên tc trên
0;1 , khi đó:
 
22
00
sin cos
f
xdx f xdx


3. Nếu
f
x liên tc trên đon

;ab
f
abx fx thì
 
2
bb
aa
ab
x
f x dx f x dx

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 416
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 417
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Tính tích phân bng cách s dng định nghĩa, tính cht
1. Phương pháp gii
S dng các tính cht ca tích phân.
S dng bng nguyên hàm và định nghĩa tích phân để tính tích phân.
2. Bài tp
Bài tp 1: Biết tích phân

2
1
23
11
dx
I
abc
xxxx


, vi ,,abc . Giá tr biu thc
P
abc
A.
8.P
B.
0.P
C.
2.P
D.
6.P
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
10,1;2xxx
nên

222
2
1
111
111
221
.1 1
xx
Idxdxdxxx
xx x x




42 23 2.
Suy ra 4, 2abc nên
0.P abc

Nhân liên hp
1.
x
x
Bài tp 2: Cho hàm s
f
x tha mãn

1
2
3
f
 
2
f
xxfx
vi mi
x
. Giá tr
1
f
bng
A.

2
1.
3
f
B.

3
1.
2
f
C.

2
1.
3
f
D.

1
1.
3
f
Hướng dn gii
Chn C.
T
 
2
f
xxfx


(1), suy ra
0fx
vi mi
1; 2x .
Suy ra
f
x là hàm không gim trên đon
1; 2 nên
20fx f
,

1; 2x .
Chia 2 vế h thc (1) cho

2
f
x


ta được


2
,1;2.
fx
xx
fx



(2)
Ly tích phân 2 vế trên đon

1; 2
h thc (2), ta được

  
22
2
22
2
11
11
1113
.
2122
fx
x
dx xdx
fx f f
fx


 







Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 418
Do

1
2
3
f 
nên suy ra

2
1.
3
f 
Chú ý rng đề bài cho

2f
, yêu cu tính
1
f
, ta có th s dng nguyên hàm để tìm hng s C.
Tuy nhiên ta cũng có th da vào định nghĩa ca tích phân để x lí.
Bài tp 3: Cho hàm s

f
x
xác định trên
1
\
2

tha mãn

2
21
fx
x

01,1 2ff
. Khi đó
13ff bng
A.
1ln15.
B.
3ln5.
C.
2ln3.
D.
1ln15.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có

0
1
01fxdx f f

nên suy ra

0
1
10 .
f
ffxdx


0
1
1.
f
xdx

Tương t ta cũng có

3
1
31
f
ffxdx


3
1
2
f
xdx

.
Vy
 
03
03
11
11
1 3 1 1 ln 2 1 ln 2 1 .f f f x dx f x dx x x

 

Vy
1 3 1 ln15.ff
Bài tp 4: Cho hàm s

f
x đạo hàm liên tc trên đon
0;1 tha mãn
10f
,

1
2
0
7fx dx



1
3
0
.1.xf xdx

Giá tr

1
0
I
f
xdx
A. 1. B.
7
.
4
C.
7
.
5
D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có

1
2
0
7fx dx


(1).
11
66
00
1
49 7
7
xdx xdx

(2).
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 419

1
3
0
14 . 14xf xdx

(3).
Cng hai vế (1), (2) và (3) suy ra

1
2
3
0
70fx x dx




2
3
70fx x



3
7.
f
xx

Hay

4
7
.
4
x
f
xC

77
10 0 .
44
fCC 
Do đó

4
77
.
44
x
fx
Vy

11
4
00
77 7
.
44 5
x
f x dx dx





Bài tp 5: Cho
 
,
f
xgx là hai hàm s liên tc trên đon
1;1
f
x là hàm s chn,
g
x
là hàm s l. Biết
 
11
00
5; 7f x dx g x dx

. Giá tr ca
 
11
11
A
f x dx g x dx



A. 12. B. 24. C. 0. D. 10.
Hướng dn gii
Chn D.
f
x là hàm s chn nên
 
11
10
22.510f x dx f x dx



g
x là hàm s l nên

1
1
0gxdx
.
Vy
10.A
Bài tp 6: Cho

1
2
0
ln 3
21
xdx
ab
x

vi a, b là các s hu t. Giá tr ca ab
bng
A.
5
.
12
B.
1
.
3
C.
1
.
4
D.
1
.
12
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
  
11 1
22 2
00 0
12 11 1 1 1
2221
21 21 21
xdx x
dx dx
x
xx x








Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 420


1
0
11 11
ln 2 1 ln 3.
42 1 4 6 4
x
x





Vy
11 1
,.
64 12
ab ab
Bài tp 7: Cho
3
2
2
23
ln 2 ln 3,
x
dx a b
xx

vi
,ab
. Giá tr biu thc
2
aabb
A. 11. B. 21. C. 31. D. 41.
Hướng dn gii
Ta có
33 3
22 22
22 2
23 212 21 2xx x
dx dx dx
xx xx xxxx








3
3
2
2
2
2
212 2
ln 2ln 2ln 1 5ln 2 4 ln 3
1
x
dx x x x x
xxxx





2
5
41.
4
a
aabb
b


Chn D.
Bài tp 8.
Biết rng tích phân
2
2
1
56
ln 2 ln 3 ln 5,
56
x
dx a b c
xx


vi
,,abc
là các s nguyên. Giá
tr biu thc
Sabc
là bao nhiêu?
A. 62.S  B. 10.S C. 20.S
D. 10.S 
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có

22 2
2
11 1
56 56 9 4
56 2 3 3 2
xx
dx dx dx
xx x x x x








2
1
9ln 3 4ln 2 9ln5 4ln3 26ln2.xx
Suy ra
26, 4, 9.abc Vy
26 4.9 10.Sabc
Bài tp 9: Cho

2
3
43
4
cos sin .cos 1
ln 2 ln 1 3
cos sin .cos
xxx
dx a b c
xxx


, vi
,,abc
là các s hu t. Giá
tr abc bng
A. 0. B.
2.
C.
4.
D.
6.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 421
Ta có

222
33
43
22
44
cos sin .cos 1 2cos sin .cos sin
cos sin .cos
cos cos sin .cos
x
xx x xx x
dx dx
xxx
xxxx


 

 

22
33
2
44
2 tan tan 2 tan tan
tan
cos 1 tan 1 tan
xx xx
dx d x
xx x


 





2
3
3
3
4
4
4
2tan
tan tan 2ln tan 1
1tan 2
x
xdx x
x





1 2ln 2 2ln 3 1 .
Suy ra 1, 2, 2ab c nên
4.abc
Bài tp 10: Cho hàm s

2
,0
23 , 0
x
em khix
fx
xxkhix
liên tc trên
.
Biết
 
1
1
3,,f x dx ae b c abc

. Tng 3Tab c
 bng
A. 15. B. 10. C. 19.
D. 17.
Hướng dn gii
Chn C.
Do hàm s liên tc trên
nên hàm s liên tc ti
0x
00
lim lim 0 1 0 1.
xx
fx fx f m m



Ta có
  
101
12
110
f
xdx f xdx f xdx I I




1
0
00
22222
2
1
11
1
216
23 3 3 3 3 23 .
33
Ixxdx xdx xx




1
1
2
0
0
12.
xx
Iedxexe
Suy ra

1
12
1
22
23 .
3
fxdx I I e

Suy ra
22
1; 2; .
3
ab c
Vy
31222 19.Tab c
Bài tp 11: Biết
2
cos
13
x
x
dx m
. Giá tr ca
2
cos
13
x
x
dx
bng
A. .m
B.
.
4
m
C.
.m
D.
.
4
m
Hướng dn gii
Chn A.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 422
Ta có

22
2
cos cos 1
cos 1 cos 2 .
13 13 2
xx
xx
dx dx xdx x dx






Suy ra
2
cos
.
13
x
x
dx m

Dng 2: Tính tích phân bng phương pháp đổi biến
1. Phương pháp gii
Nm vng phương pháp đổi biến s dng 1 và dng 2, c th:
Đổi biến dng 1
Bài toán:
Gi s ta cn tính

,
b
a
I
f
xdx
trong đó ta có th phân tích



.
f
xguxux
Bước 1: Đặt
,uux suy ra
.du u x dx
Bước 2: Đổi cn
x a B
u
ua
ub
Bước 3: Tính
 





ub
b
ub
ua
aua
Ifxdx guduGu

Vi

Gu là mt nguyên hàm ca
g
u .
Đổi biến dng 2
Bài toán:
Gi s ta cn tính

b
a
I
f
xdx
, ta có th đổi biến như sau:
Bước 1: Đặt

,
x
t
ta có
.dx t dt
Bước 2: Đổi cn
x a b
t
Bước 3:
Tính


  
.I f t t dt g t dt G t





Vi

Gt là mt nguyên hàm ca
.
g
t
Du hiu Cách đặt
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 423
22
ax
sin , ;
22
xa tt

22
x
a

,;\0
sin 2 2
a
xt
t





22
ax
tan , ;
22
xa tt




ax
ax
.cos2 , 0;
2
xa tt



ax
ax
.cos2 , 0;
2
xa tt


x
abx

2
sin , 0;
2
xa ba tt

2. Bài tp mu
Bài tp 1: Biết
2
2
0
cos
ln 2 ln 3,
sin 3sin 2
x
dx a b
xx


vi ,ab là các s nguyên.
Giá tr ca
2
P
ab
A. 3. B. 7. C. 5. D. 1.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có


22
2
00
cos 1
sin
sin 3sin 2 sin 1 sin 2
x
dx d x
xx x x





2
2
0
0
11
sin lnsin 1 lnsin 2
sin 1 sin 2
dx x x
xx






ln 2 ln1 ln 3 ln 2 2 ln 2 ln 3
Suy ra
2, 1 2 3.ab ab
Bài tp 2: Biết

ln 2
0
1
ln ln ln
34
xx
dx
Iabc
ee c


, vi ,,abc là các s nguyên t.
Giá tr ca
2
P
abc
A.
3.P 
B.
1.P 
C.
4.P
D.
3.P
Hướng dn gii
Chn D.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 424
Ta có
ln 2 ln 2
2
00
.
34 43
x
xx xx
dx e dx
I
ee e e



Đặt
.
xx
te dtedx
Đổi cn 01,ln22.xtx t
Khi đó

2
22
2
11
1
1111111
ln ln 3 ln 5 ln 2 .
43 2 1 3 2 3 2
t
Idt dt
tt t t t






Suy ra
3, 5, 2abc. Vy
23.Pabc
Bài tp 3: Biết
6
0
3
1sin
dx a b
xc
, vi
,,ab c

a, b, c là các s nguyên t cùng nhau.
Giá tr ca tng
abc
bng
A. 5. B. 12. C. 7. D.
1.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
2
2
66 6 6
22 2
00 0 0
1
1tan
cos
2
2
.
1sin
cos sin 1 tan 1 tan
22 2 2
x
x
dx dx
Idxdx
x
xx x x










Đặt
2
1tan 2 1tan .
22
xx
tdtdx




Đổi cn
01; 33.
6
xtx t

33
33
2
1
1
22 33
.
3
dt
I
tt


Suy ra 1, 3, 3abc nên
5.abc
Lưu ý:
2
1sin sin cos .
22
x
x
x




Chia t và mu cho
2
cos .
2
x



Bài tp 4: Cho hàm s
yfx liên tc trên

1
0
28.fxdx
Giá tr ca

2
2
0
Ixfxdx
A. 4. B. 8. C. 16. D. 64.
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt
2
22 2 .
x
u xdx du xdx du
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 425
Đổi cn
00,21.xux u
Khi đó
 
11
00
228.Ifudufxdx

Bài tp 5: Cho hàm s

yfx xác định và liên tc trên
0;
sao cho
2
1;
xx
xxfe fe
vi mi
0;x  . Giá tr ca
.ln
e
e
f
xx
I
dx
x
A.
1
.
8
I 
B.
2
.
3
I 
C.
1
.
12
I
D.
3
.
8
I
Hướng dn gii
Chn C.
Vi
0;x  ta có
  
2
2
1
11.
1
xx x
x
x
xf e f e f e x
x

Đặt
ln .
t
dx
xt xe dt
x

Đổi cn
1
;1.
2
xet xet
Khi đó


11
11
22
1
.1.
12
t
I t f e dt t t dt

Bài tp 6: Biết

2
0
3sin cos 11
ln 2 ln 3 , ,
2sin 3cos 13
xx
dx b c b c
xx


. Giá tr ca
b
c
A.
22
.
3
B.
22
.
3
C.
22
.
3
D.
22
.
13
Hướng dn gii
Chn A.
Phân tích
2sin 3cos 2cos 3sin
3sin cos
2sin 3cos 2sin 3cos
mx xn x x
xx
xx xx



23sin 32cos
2sin 3cos
mn x mn x
xx

Đồng nht h s ta
233
311
;
32 1
13 13
mn
mn
mn



.
Suy ra

22
00
311
2sin 3cos 2cos 3sin
3sin cos
13 13
.
2sin 3cos 2sin 3cos
xx xx
xx
dx dx
xx xx




Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 426

22
2
0
00
3 11 2cos 3sin 3 11 2cos 3sin
..
13 13 2sin 3cos 13 13 2sin 3cos
xx xx
dx x dx
x
xxx









2
2
0
0
2sin 3cos
311 311
ln 2sin 3cos
26 13 2sin 3cos 26 13
dx x
dx x x
xx

 
311 11
ln 2 ln 3.
26 13 13

Do đó
11
11 26 22
13
.
3
13 3 3
26
b
b
c
c

Bài tp 7: Cho hàm s

f
x liên tc trên
và tha mãn

4
2
0
tan . cos 2xf x dx
2
2
ln
2
ln
e
e
fx
dx
xx
. Giá tr ca
2
1
4
2fx
Idx
x
A. 0. B. 1. C. 4. D. 8.
Hướng dn gii
Chn D.
Đặt
 
44
22
2
00.
sin .cos
tan . cos 2 . cos 2.
cos
xx
A xfxdx fxdx
x



Đặt
2
1
cos 2sin cos sin cos .
2
t x dt x xdx dt x xdx
Đổi cn
01
x
t
1
.
42
xt
 Khi đó
1
1
2
4.
ft
Adt
t
Đặt
22
22
2
ln ln . ln
22.
ln ln
ee
ee
fx xfx
Bdx dx
xx x x


Tương t ta có
4
1
4.
ft
Bdt
t

Giá tr ca

2
1
4
2
.
fx
Idx
x
Đặt
1
2.
2
t x dx dt
Đổi cn
11
42
xt
24.xt
Khi đó
414
11
1
22
448

ft ft ft
Idtdtdt
ttt
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 427
Bài tp 8: Cho

1
3
0
1
;
31
dx a b
xx


vi ,ab là các s nguyên. Giá tr ca biu thc
ba
ab
bng
A. 17. B. 57. C. 145. D. 32.
Hướng dn gii
Chn A.
Giá tr ca


11
2
3
00
11
.
3
1
31
1
dx
Idx
x
x
xx
x



Đặt
 
22
32
2.
1
11
xdx
t tdt dx tdt
x
xx



Đổi cn
03,12.xtxt
Ta có


123
3
2
2
0
32
11
32.
3
1
1
dx
I t dt dt t
t
x
x
x



1
3
0
1
31
dx a b
xx


nên suy ra 3, 2.ab
T đó ta có giá tr
23
3217.
ba
ab
Bài tp 9: Cho
1
3
1
2
1
ln
1
xa
dx b
xab




, vi ,ab là các s nguyên t. Giá tr ca biu thc
2
P
ab bng
A. 12. B. 10. C. 18. D. 15.
Hướng dn gii
Chn B.
Biến đổi
11 1 1
3
3 4
3
11 1 1
3
33
22 2 2
11
.
1
1
11
1
.1 1
xx x
Idx dx dx dx
xx
x
x
x
xx






.
Đặt
2
33 4
11 3
112u u udu dx
xx x

3
2
1
.
1
x
u
Đổi cn
1
3; 1 2.
2
xuxu
Ta có

33
3
2
2
2
22
2
21113
3
ln ln 2 .
313132
1.
udu
du u
I
uu
uu






Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 428
Suy ra
3, 2.ab
Vy

2 10.Pab
Dng 3: Tính tích phân bng phương pháp tích phân tng phn
Bài tp 1. Cho tích phân
2
1
ln
ln 2
xb
Idxa
xc

vi a là s thc bc là các s dương, đồng thi
b
c
là phân s ti gin. Giá tr ca biu thc
23
P
abc

A.
6.P
B.
5.P
C.
6.P
D.
4.P
Hướng dn gii
Chn D.
Đặt
2
ln
.
1
dx
ux
du
x
dx
dv
v
x
x



Khi đó
2
22
2
11
1
ln 1 ln 1 1 ln 2
.
22
xx
Idx
xx xx





Suy ra
1
1, 2, .
2
bc a
 Do đó
23 4.Pabc
+ Ưu tiên logarit.
+ Đặt
2
ln
.
ux
dx
dv
x
Bài tp 2: Biết
4
0
ln 2,
1cos2
x
dx a b
x

vi ,ab là các s hũu t. Giá tr ca
16 8Tab
A.
4.T
B.
5.T
C.
2.T
D.
2.T 
Hướng dn gii
Chn A.
Đặt
444
22
000
1
.
1cos2 2cos 2cos
xxx
A
dx dx dx
x
xx



Đặt
2
1
tan
cos
ux dudx
dv dx v x
x


Khi đó
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 429

4
44
00
0
11
tan tan tan ln cos
22
Axx xdx xx x











1211 1
ln ln 2 ln 2.
24 2 24 2 8 4



 





Vy
11
,
84
ab
 do đó
16 8 2 2 4.ab
+ Biến đổi
2
1cos2 2cos .
x
x
+ Ưu tiên đa thc.
+ Đặt
2
.
1
cos
ux
dv dx
x
Bài tp 3: Cho
1
22
0
.
x
Ixedxaeb
vi ,ab
. Giá tr ca tng
ab
A.
1
.
2
B.
1
.
4
C.
0.
D. 1.
Hướng dn gii
S dng phương pháp tng phn.
Đặt
2
2
.
1
2
x
x
du dx
ux
ve
dv e dx

Khi đó
11
11 11
22 222
00 00
00
11 1111
.. . . .
22 2444
xx xx
Iuv vdu xe edx xe e e

Suy ra
22
11
..
44
ae b e
Đồng nht h s hai vế ta có
11
,.
44
ab Vy
1
.
2
ab
Chn A.
+ Ưu tiên đa thc.
+ Đặt
2
.
x
ux
dv e dx
Bài tp 4: Cho hàm s
f
x liên tc, có đạo hàm trên
,
216f

2
0
4.fxdx
Tích phân
4
0
2
x
xf
dx



bng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 430
A. 112. B. 12. C. 56. D. 144.
Hướng dn gii
Chn A.
Đặt 22.
2
x
txtdxdt
Đổi cn
00
.
42
xt
xt


Do đó

422
000
44.
2
x
x
fdxtftdtxfxdx






Đặt
 
44
.
ux dudx
dv f x dx v f x







Suy ra
    
222
2
0
000
4 4 4 8 2 4 8.16 4.4 112.xf xdx xfx fxdx f fxdx



Bài tp 5. Cho

4
2
0
ln sin 2 cos
ln 3 ln 2
cos
xx
dx a b c
x

vi ,,abc là các s hu t.
Giá tr ca abc bng
A.
15
.
8
B.
5
.
8
C.
5
.
4
D.
17
.
8
Hướng dn gii
Chn A.
Đặt
2
ln sin 2cos
cos 2sin
.
sin 2cos
tan 2
cos
uxx
xx
du dx
xx
dx
dv
vx
x





Khi đó


4 4
4
2
0
0 0
ln sin 2 cos
cos 2sin
tan2lnsin2cos
cos cos
xx
x
x
dx x x x dx
xx



4
0
32
3ln 2ln2 1 2tan
2
x
dx






4
0
7
3ln3 ln2 2ln cos
2
xx

725
3ln 3 ln 2 2ln 3ln 3 ln 2 .
24 2 24
 
Suy ra
51
3, , .
24
ab c Vy
18.abc
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 431
Bài tp 6. Biết

2
1
2
1
1,
p
x
q
x
x
edxme n

trong đó
,,,mn pq
là các s nguyên dương và
p
q
là phân
s ti gin. Giá tr ca
Tmnpq
A.
11.T
B.
10.T
C.
7.T
D.
8.T
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có


22 22
1111
2
22
11 11
12112.
xxxx
xxxx
I x e dx x x e dx x e dx xe dx



Xét

22 2 2
11 1 1
2
22 2 2
1
2
11 1 1
11
1.. .









xx x x
x
xx x
x
I x edxxe dxxedx xde
xx

22
11 1 1
22
222
11
11
2
xx x x
xx x x
x
eedxxe xedx

 

2
11 1
3
22
22
2
1
11
1
241
xx x
xx x
Ixedxxe Ixe e


4, 1, 3, 2.mnpq
Khi đó
413210.Tmnpq
Bài tp 7. Tìm s thc
m1
tha mãn

m
1
ln x 1 dx m.
A. m2e. B.
me.
C.
2
me.
D. me1.
Hướng dn gii
Chn B

mmm
111
Alnx1dxlnxdxdx

m
1
I ln xdx
Đặt
1
ulnx
du dx
x
dv dx
vx

m
m
1
1
Ixlnx dx
m
1
me
A x ln x m ln m m .
m0

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 432
Bài tp 8. Đặt
1
ln d ,
e
k
k
Ix
x
k nguyên dương. Ta có
2
k
I
e
khi:
A.
1; 2 .k B.
2;3 .k C.
4;1 .k D.
3; 4 .k
Hướng dn gii
Chn A
Đặt
1
ln
k
ududx
x
x
dv dx v x








1
1
.ln + d 1 ln 1
e
e
k
k
Ix xe k
x




2
k
Ie

32
1ln 1 2 ln ln 1
11
e
eke k k
ee


Do
k
nguyên dương nên
1; 2 .k
Bài tp 9.
m m để

1
0

x
exmdxe
.
A.
m0.
B.
me.
C.
m1.
D.
me.
Hướng dn gii
Chn C
Đặt
  
xx
11
11
xxxx
00
00
uxm dudx
dv e dx v e
I e x m dx e x m e dx e x m 1 me m 1







Mt khác:
I e mem1e me1 e1 m 1. 
Dng 4: Tích phân cha du giá tr tuyt đối
1. Phương pháp
Bài toán: Tính tích phân

d
b
a
Igxx
( vi
()
g
x
là biu thc cha n trong du giá tr tuyt đối)
PP chung:
Xét du ca biu thc trong du giá tr tuyt đối trên
;ab
Da vào du để tách tích phân trên mi đon tương ng ( s dng tính cht 3 để tách)
Tính mi tích phân thành phn.
Đặc bit: Tính tích phân
()d
b
a
Ifxx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 433
Cách gii
Cách 1:
+) Cho
() 0fx
tìm nghim trên

;ab
+) Xét du ca
()
f
x
trên

;ab
, da vào du ca
()
f
x
để tách tích phân trên mi đon tương ng
( s dng tính cht 3 để tách)
+) Tính mi tích phân thành phn.
Cách 2:
+) Cho () 0fx tìm nghim trên
;ab gi s các nghim đó là
12
; ;...
n
x
xx
( vi
12
...
n
x
xx
).
Khi đó
3
12
12
()d ()d ()d ... ()d

n
x
xx
b
ax x x
I
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
3
12
12
()d ()d ()d ... ()d

n
x
xx
b
ax x x
I fxx fxx fxx fxx
+) Tính mi tích phân thành phn
2. Bài tp
Bài tp 1:

2
2
1
aa
Sxx2dx,a,b ,
b
b

là phân s ti gin. Giá tr
ab
bng
A. 11. B. 25. C. 100. D. 50.
Hướng dn gii
Chn A

2
22
32
22
11
1
xx
Sxx2dx xx2dx 2x
32
84 11 9
42
32 32 2








 





Bài tp 2:

*
0
I1sin2xdxaa,a .

Hi
3
a
là bao nhiêu?
A. 27. B. 64. C. 125. D. 8.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có:

2
1 sin2x sinx cosx sinx cosx 2 sin x .
4




Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 434
Vi
3
x0; x ; .
444





+ Vi
x;0
44




thì
sin x 0
4




+ Vi
3
x0;
44




thì
sin x 0
4




4
0
4
I2sinxdx2sinxdx22.
44
 

 
 

Chn 3: Biết
5
1
221
d4ln2ln5,


x
Ixab
x
vi
a
,
b
là các s nguyên. Giá tr
Sab
bng
A.
9.
B.
11.
C.
5.
D.
3.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có:
525
112
221 221 221
ddd
xxx
Ixxx
xxx
  


 
25
25
12
12
22 1 2 2 1
52 2 3
xx
xx
dx dx dx dx
xxxx
 




25 2 5
12
12
53
2 5ln 2 3ln
x
dx dx x x x x
xx
 

 
 

8ln2 3ln5 4
8
11.
3
a
ab
b


Bài tp 4: Cho tích phân

2
0
1cos2xdxab
ab222.
Giá tr ca a và b ln lượt là
A.
a2
.
b
22

B.
a22
.
b2
C.
a2
a22
.
b
2b22






D.
a2
a22
.
b
2b22






Hướng dn gii
Chn D





22 2
000
2
0
1cos2xdx 2 sinxdx 2sinxdx 2 sinxdx
2cosx 2cosx 4 2.

2
a2
ab 4 2
a22
X222X420 .
b
2b22
ab222








Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 435
Bài tp 5: Tính tích phân
1
0
-d, 0Ixxaxa
ta được kết qu
()Ifa
. Khi đó tng
1
(8)
2
ff



có giá tr bng:
A.
24
91
. B.
91
24
. C.
17
2
. D.
2
17
Hướng dn gii
Chn B
TH1:
Nếu
1a
khi đó

1
1
32
0
0
18111
d(8)
32 23 233
xax a
Ixxax f




TH 2: Nếu 01a khi đó
 
1
0
dd
a
a
I xxa x xxa x

1
32 32 3
0
111111
32 32 323 224438
a
a
xax xax aa
f







Khi đó
111191
(8)
23824
ff




.
Bài tp 6:
Cho hàm s
f
x liên tc trên
tha

1
0
2d 2
fxx

2
0
6d 14
fxx
. Giá tr

2
2
52d
f
xx
bng
A. 30. B. 32 . C. 34. D. 36 .
Li gii
Chn B
+ Xét

1
0
2d 2fxx
.
Đặt
2d2dux u x
;
00xu
;
12xu

.
Nên

1
0
22d
f
xx

2
0
1
d
2
f
uu

2
0
d4fu u
.
+ Xét

2
0
6d 14fxx
.
Đặt
6d6dvx v x
;
00xv
;
212xv

.
Nên

2
0
14 6 d
f
xx

12
0
1
d
6
f
vv

12
0
d84fv v
.
+ Xét

2
2
52d
f
xx
 
02
20
52d 52d
f
xxfxx


.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 436
 Tính

0
1
2
52dIfx x

.
Đặt
52tx
.
Khi
20x , 52tx d5dtx ; 212xt
 ; 02
x
t
.

2
1
12
1
d
5
Iftt
 
12 2
00
1
dd
5
f
tt ftt






1
84 4 16
5

.
 Tính

2
1
0
52dIfx x
.
Đặt
52tx
.
Khi
02x
,
52tx d5dtx
;
212xt

;
02
x
t

.

12
2
2
1
d
5
Iftt
 
12 2
00
1
dd
5
f
tt ftt






1
84 4 16
5

.
Vy

2
2
52d32fx x

.
Bài tp 7: Cho hàm s

yfx liên tc trên
0; 4

2
0
d1
f
xx
;

4
0
d3
fx x
. Giá tr

1
1
31d
f
xx
bng
A.
4
. B.
2
. C.
4
3
. D.
1
.
Hướng dn gii
Chn C

 
11/31
111/3
31d 13d 31d
f
xxf xxfxx



.
 
1/3 1
11/3
11
13d13 3 1d3 1
33
fx x fx x


.
 
02
40
11
dd
33
f
tt ft t


114
3.1
333

.
Bài tp 8.
3
42
3
24 3
43 .

a
Syydy
b
Giá t
2
A
B
bng
A. 80. B. 83. C. 142. D. 79.
Hướng dn gii
Chn C
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 437

42 2 2
y4y3 y1y3
Xét du

22
y1y3
, ta có:


33
24 42
33
113
42 42 42
11
3
S 4 4y 1 y dy y 4y 3 dy
y4y3dy y4y3dy y4y3dy





11 3
53 53 53
311
y4y y4y y4y
3y 3y 3y
53 53 53
112 24 3
.
15



  


Bài tp 9.

1
2
0
aa
S4x4x1dx,a,b ,
b
b

là phân s ti gin. Giá tr
a4b
bng
A.
1.
B.
3.
C.
35.
D.
3.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có:

11
2
7
00
I2x1dx2x1dx

 
11
11 1
22
7
11
00 0
22
1
I 2x 1 dx 2x 1 dx 2x 1 dx 1 2x dx 2x 1 dx
2


.
Suy ra:
a1,b2.
Bài tp 10.
2
0
I1sinxdxAB

, biết
A2B
Giá tr
33
AB
bng
A. 72. B. 8. C. 65. D. 35.
Hướng dn gii
Chn A
Ta có:
2
xx xx x
1 sin x sin cos sin cos 2 sin
22 22 24




00
0
0
0
00
0
+
+
+++
+
+
+
+
3
11 3
‐∞
(y
2
1)(y
2
3)
y
2
3
y
2
1
y
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 438
Vi
xx5
x0;2 0; ;
22444

 

.
+ Vi
x
;
24 4




thì
x
sin 0
24




+ Vi
x5
;
24 4




thì
x
sin 0
24




3
2
2
3
0
2
xx
I 2 sin dx 2 sin dx 4 2
24 24
 

 
 

.
Bài tp 11. Cho tích phân
2
2
0
13sin22cos 3.
x
xdx a b
Giá tr 4
Aab bng
A. 2. B. 5
. C. 5. D. 8 .
Hướng dn gii
Chn D




2
42
2
2
000
I 1 3sin2x 2cos xdx sinx 3cosx dx sinx 3cosxdx
.
sin x 3 cos x 0 tan x 3 x k
3
.
Do



x0;
2
nên
x
3
.






 
 

33
22
00
33
32
0
3
I sin x 3 cos x dx sin x 3 cos x dx sin x 3 cos x dx sin x 3 cos x dx
13 13
cosx 3 sinx cosx 3 sinx 1 3 3 3.
22 22
 a1;b3A8
Dng 5: Tính tích phân các hàm đặc bit, hàm n
1. Phương pháp gii
a. Cho hàm s
f
x liên tc trên

;aa .
Khi đó
Bài tp 1: Tích phân
1
1
2
cos .ln
2
x
Ixdx
x
bng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 439
 
0
aa
a
f
xdx f x f x dx



(1)
Chng minh
Ta có
  
0
0
.
aa
aa
f
xdx f xdx f xdx



Xét

0
.
a
Ifxdx
Đổi biến
.
x
tdx dt 
Đổi cn
;0 0
x
atax t
Khi đó
 
0
00
aa
a
Iftdt ftdtfxdx

Do đó (1) được chng minh.
Đặc bit
+ Nếu
f
x
là hàm s l thì ta có

0
a
a
fxdx
(1.1).
+ Nếu
f
x là hàm s chn thì ta
 
0
2
aa
a
f
xdx f xdx

(1.2)
+ Nếu
f
x là hàm s chn thì ta cũng có


1
12
aa
x
aa
fx
dx f x dx
b


01b
(1.3).
Chng minh (1.3):
Đặt
1
a
x
a
fx
A
dx
b
(*).
Đổi biến
.
x
tdx dt 
Đổi cn
;
x
ataxat a 
Khi đó


1.
.
11
t
aa
tt
aa
fbft
A
dt dt
bb



A.
1.
B.
2.
C.
0. D. 1.
Hướng dn gii
Hàm s

2
cos .ln
2
x
fx x
x
xác định và liên tc
trên đon
1; 1 .
Mt khác, vi

1;1 1; 1xx
  
22
cos .ln cos .ln .
22
xx
f
xx x fx
xx

Do đó hàm s

2
cos .ln
2
x
fx x
x
là hàm s l.
Vy
1
1
2
cos .ln 0
2
x
Ixdx
x
.
Chn C.
Bài tp 2:
Cho
yfx là hàm s chn, liên tc
trên đon
6;6 .
Biết rng

2
1
8fxdx

3
1
23.fxdx
Tính

6
1
.
f
xdx
A.
11.I
B.
5.I
C.
2.I
D.
14.I
Hướng dn gii
Gi
Fx là mt nguyên hàm ca hàm s
f
x trên
đon
6;6 ta

33
11
23 23fxdx fxdx



3
1
1
23.
2
Fx
Do đó
626FF
hay

6
2
6.fxdx
Vy
  
626
112
14.



I f xdx f xdx f xdx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 440
Hay
.
1
x
a
x
a
bfx
A
dx
b
(**).
Suy ra
 
1
2.
2
aa
aa
A
fxdx A fxdx



Chn D.
Bài tp 3:
Tích phân
1
2020
1
1
x
x
Idx
e
có giá tr
A.
0.I
B.
2020
2
.
2019
I
C.
2021
2
.
2021
I
D.
2019
2
.
2019
I
Hướng dn gii
Áp dng bài toán (1.3) ct bên trái cho hàm s
2020
f
xx
be
ta có
Ta có
1
2021 2021 2021
1
2020
1
1
12.22
.
2 2021 2021 2021
x
Ixdx I

Chn C.
b.
Nếu
f
x liên tc trên đon
;ab thì

bb
aa
f
xdx f a b xdx

H qu: hàm s
f
x liên tc trên
0;1 , khi đó:

22
00
sin cos
f
xdx f xdx


Bài tp 4: Cho hàm s
f
x liên tc trên
tha điu
kin
2cos ,
f
xfx x vi
x
.
Giá tr ca

2
2
Nfxdx
A.
1.N
B.
0.N
C.
1.N
D.
2.N
Hướng dn gii
Ta có
 
22
22
N f xdx f xdx





Suy ra

22
22
22cos.Nfxfxdx xdx







Vy
2
2
0
0
2 cos 2sin 2.Nxdxx

Chn D.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 441
c. Nếu
f
x
liên tc trên đon
;ab

f
abx fx thì
 
2
bb
aa
ab
x
fxdx fxdx

d. Nếu
f
x liên tc trên đon
;ab
0fx vi

;
x
ab thì

0
b
a
fxdx

0
b
a
fxdx
khi
0.fx
Bài tp 5: Cho hàm s

f
x
liên tc trên
và tha
mãn
22,.fx f x x x x

Giá tr tích phân

2
0
Gfxdx
A.
2.G
B.
1
.
2
G
C.
2
.
3
G
D.
1
.
3
G
Hướng dn gii
Ta có

22
00
2Gfxdxf xdx

Suy ra

22
00
22Gfxfxdxxxdx


Vy

2
0
12
2.
23
Gxxdx

Chn C.
Bài tp 6:
Cho hàm s
f
x đạo hàm liên tc trên
đon
0;1 tha mãn
10,f

1
2
0
7fx dx



1
2
0
1
.
3
xf xdx
Tích phân

1
0
f
xdx
bng
A.
7
.
5
B. 1.
C.
7
.
4
D. 4.
Hướng dn gii
Đặt


3
2
3
du f x dx
ufx
x
dv x dx
v




Ta có


3
11
1
23
0
00
1
33


xf x
x
fxdx xf xdx
 
11
33
00
11
..x1.
33
xf xdx xf xd

 

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 442
Cách 1: Ta có

1
2
0
7fx dx


(1).
11
7
1
66
0
00
11
49 .49 7
77 7
x
xdx xdx


(2).
 
11
33
00
.114.14xf xdx xf xdx



(3).
Cng hai vế (1), (2) và (3) suy ra
 
111
2
63
000
'4914.0fx dx xdx xfxdx




1
2
3
0
70.fx x dx



Do
 
1
22
33
0
70 7 0fx x fx x dx




. Mà
 
1
2
33
0
70 7.
f
xxdx fx x





4
7
.
4
x
f
xC


77
10 0 .
44
fCC

Do đó

4
77
.
44
x
fx

Vy

11
4
00
77 7
.
44 5
x
fxdx dx





Mt s kĩ thut gii tích phân hàm n
Loi 1: Biu thc tích phân đưa v dng:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
''ux f x u x f x hx+=
Cách gii:
+ Ta có
() () () () () ()
'
''uxf x uxfx uxfx
éù
+=
ëû
+ Do đó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
'
''ux f x u x f x hx ux f x hx
é
ù
+= =
ë
û
Suy ra
() () ()
ux f x hxdx=
ò
Suy ra được
()
f
x
Loi 2: Biu thc tích phân đưa v dng:
() () ()
'
f
xfxhx+=
Cách gii:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 443
+ Nhân hai vế vi
() () () () ()
'
.' . . . .
xx x x x x
e ef x efx ehx efx ehx
éù
+= =
ê
ú
ë
û
Suy ra
() ()
.
xx
efx ehxdx=
ò
Suy ra được
()
f
x
Loi 3: Biu thc tích phân đưa v dng:
() () ()
'
f
xfxhx-=
Cách gii:
+ Nhân hai vế vi
() () () () ()
'
.' . . . .
xx x x x x
e e f x e f x e hx e f x e hx
-- - - - -
éù
+= =
ê
ú
ë
û
Suy ra
() ()
.
xx
efx ehxdx
--
=
ò
Suy ra được
()
f
x
Loi 4: Biu thc tích phân đưa v dng:
(
)
(
)
(
)
(
)
'
f
xpxfxhx+=
Cách gii:
+ Nhân hai vế vi
()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
'
'. . . .
..
pxdx pxdx pxdx pxdx
pxdx pxdx
e f xe pxe f x hxe
fxe hxe
òòò ò
+ =
éù
òò
êú
=
êú
ëû
Suy ra
()
() ()
()
..
pxdx pxdx
f
xe e hxdx
òò
=
ò
Suy ra được
()
f
x
Công thc
() ( )
bb
aa
f
xdx f a b xdx

2. Bài tp
Bài tp 1: Cho s thc
0.a
Gi s hàm s
f
x liên tc và luôn dương trên đon
0; a tha mãn

.1.fxfa x Giá tr tích phân

0
1
1
a
Idx
f
x
A.
2
.
3
a
I
B. .
2
a
I C. .
3
a
I
D.
.
I
a
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt
.tax dt dx
Đổi cn 0; 0.xtaxat
Khi đó
 


00 00
111
.
1
11 1
1

 

aa aa
fx
Idt dxdxdx
fa t fa x fx
fx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 444


00 0
1
21..
11
aa a
fx
Idxdxdxa
fx fx



Vy .
2
a
I
Ta có th chn hàm s
1fx , vi mi
0;
x
a tha mãn yêu cu đề bài.
Khi đó

00
11
.
122
aa
a
Idxdx
fx


Bài tp 2: Cho hàm s
f
x
liên tc trên
1;1
2019 , 1;1 .
x
fx fxe x
Tích phân

1
1
M
fxdx
bng
A.
2
1
.
2019
e
e
B.
2
1
.
e
e
C.
2
1
.
2020
e
e
D.
0.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có

11
11
.
M
f x dx f x dx



Do đó
 
11 1
11 1
2020 2019 2019 .
M
f x dx f x dx f x f x dx



Suy ra
1
2
1
11
.
2020 2020
x
e
Medx
e

Nếu
f
x liên tc trên đon
;ab thì

b
a
f
xdx

b
a
f
abxdx
Bài tp 3. Cho
f
x là mt hàm s liên tc trên
tha mãn
22cos2
f
xfx x
.
Giá tr tích phân

3
2
3
2
P
fxdx
A.
3.P
B.
4.P
C.
6.P
D.
8.P
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
 
33
22
33
22



P
f x dx f x dx



333
222
33
0
22
222cos24sin.
P
f x f x dx xdx x dx



 


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 445
Hay
3
3
2
2
0
0
2 sin 2 sin 2cosx 2cos 6. 

Pxdx xdx x
Bài tp 4: Cho
f
x là hàm s liên tc trên
tha mãn
sin
f
xfx x
 vi mi
x
01.f
Tích phân
.ef
bng
A.
1
.
2
e
B.
1
.
2
e
C.
3
.
2
e
D.
1
.
2
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
sin
f
xfx x
 nên
.sin , .
xx x
ef x ef x e x x


.sin
xx
ef x e x



hay

00
.sin
xx
ef x dx e xdx




 

00
11
sin cos 0 1
22
xx
ef x e x x ef f e






3
.
2
e
ef

Để ý rng

x
x
ee
nên nếu nhân thêm hai vế ca
sin
f
xfx x
 vi
x
e thì ta s có ngay


..sin.
xx
efx e x
Bài tp 5: Cho hàm s
f
x tun hoàn vi chu kì
2
và có đạo hàm liên tc tha mãn
0
2
f



,

2
2
4
fx dx



2
.cos .
4
fx xdx
Giá tr ca
2019f
.
A.
1.
B. 0. C.
1
.
2
D. 1.
Hướng dn gii
Chn A.
Bng phương pháp tích phân tng phn ta có
  
2
22
.cos .sin .sin .
f
x xdx f x x f x xdx





Suy ra

2
.sin .
4
fx xdx
Mt khác
2
2
22
1cos2 2 sin2
sin .
244
xxx
xdx dx








Suy ra
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 446
  
2222
2 2
2
0000
2 sin sin 0 sin 0.f x dx xf x dx xdx f x x dx





sin .
f
xx
 Do đó
cos .
f
xxC
0
2
f



nên
0.C
Ta được
cos 2019 cos 2019 1.fx x f


Bài tp 6: Cho hàm s
f
x đạo hàm liên tc trên
0;1 , thon

2018
3
f
xxfx x
 vi
mi
0;1 .x Tính

1
0
dIfxx
.
A.
1
.
2018 2021
I
B.
1
.
2019 2020
I
C.
1
.
2019 2021
I
D.
1
.
2018 2019
I
Hướng dn gii
Chn C
T gi thiết
2018
3,fx xf x x

nhân hai vế cho
2
x
ta được
  
2 3 2020 3 2020
3.xf x xf x x xf x x



Suy ra

2021
32020
d.
2021
x
x
fx x x C
Thay
0x vào hai vế ta được

2018
0.
2021
x
Cfx
Vy

1
11
2018 2019
0
00
111 1
dd. .
2021 2021 2019 2021 2019
fx x x x x

Bài tp 7: Cho hàm s
f
x đạo hàm liên tc trên
0; 4 , tha mãn
21
x
f
xfxe x

vi mi

0; 4 .x
Khng định nào sau đây là đúng?
A.
 
4
26
40 .
3
ef f
B.
4
403.ef f e
C.
44
40 1.ef f e D.
4
403.ef f
Li gii
Chn A
Nhân hai vế cho
x
e để thu được đạo hàm đúng, ta được
  
/
'21 21.
xx x
ef x ef x x ef x x



Suy ra
 
1
21d 2121 .
3
x
ef x x x x x C
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 447
Vy
 
4
26
40 .
3
ef f
Bài tp 8: Cho hàm s

f
x đạo hàm trên , tha mãn
2017 2018
' 2018 2018
x
fx fx x e vi
mi
x
0 2018.f Giá tr
1
f
bng
A.
2018
2018 .
e
B.
2018
2017 .e
C.
2018
2018 .e
D.
2018
2019 .e
Li gii
Chn D
Nhân hai vế cho
2018
x
e
để thu được đạo hàm đúng, ta được
  
2018 2018 2017 2018 2017
2018 2018 2018 .
xx x
f xe f xe x f xe x




Suy ra

2018 2017 2018
2018 d .
x
f
xe x x x C

Thay
0x
vào hai vế ta được
2018 2018
2018 2018 .
x
Cfxxe
Vy
2018
1 2019 .fe
Bài tp 9: Cho hàm s
f
x đạo hàm và liên tc trên , tha mãn
 
2
2
x
f
xxfx xe

02.f  Giá tr

1
f
bng
A.
.e
B.
1
.
e
C.
2
.
e
D.
2
.
e
Hướng dn gii
Chn C
Nhân hai vế cho
2
2
x
e để thu được đạo hàm đúng, ta được
  
2222 2
2222 2
22.
x
xxx x
f
xe f xxe xe e f x xe






Suy ra

222
222
2d2 .
xxx
efx xe x e C


Thay
0x vào hai vế ta được

2
02.
x
Cfxe

Vy

1
2
12 .fe
e
 
Bài tp 10: Xét hàm s ()
f
x liên tc trên đon
0;1 và tha mãn
2() 3(1 ) 1
f
xfx x

. Tích
phân
1
0
()d
f
xx
bng
A.
2
3
. B.
1
6
. C.
2
15
. D.
3
5
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 448
Hướng dn gii
Chn C
Ta có:
2() 3(1 ) 1
f
xfx x
(1)
.
Đặt
1tx
, thay vào
(1)
, ta được: 2(1 ) 3()
f
tftt
 hay 2(1 ) 3()
f
xfx x
(2)
.
T
(1) & (2), ta được:
32
() 1
55
f
xx x
.
Do đó, ta có:
1
0
()d
f
xx
11
00
32
d1d
55
x
xxx

24
515
2
15
.
Cách 2. Công thc
() ( )
bb
aa
f
xdx
f
abxdx

Ly tích phân 2 vế ta được
11 1
00 0
2()d3(1)d 1d
f
xx
f
xx xx

.
Chú ý: Ta có th dùng công thc . Khi đó:
T suy ra:
.
Bài tp 11: Cho là hàm s chn, có đạo hàm trên đon . Biết rng
Giá tr bng
A. B. C. D.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có là hàm s chn nên suy ra
Mt khác:
11
00
22
5()d ()d
315
fx x fx x


22
11
dd
xaxb
xaxb
f
ax b x f x x


231 1
f
xfx x

11 1
00 0
2d31d1d
f
xx f xx xx

 
101
010
2d3d1d
f
xx fxx xx

 
11
00
22
5d d
315
fx x fx x


 
22
11
11 a
Iftdtfxdx.
22 2


yfx
6;6

2
1
fxdx 8

3
1
f2xdx3.

6
1
f
xdx
1.
e.
1.
14.

yfx
f2x f 2x

33
11
f2xdx f2xdx3.


   
33 6 6
11 2 2
11
f2xdx f2xd2x fxdx 3 fxdx 6.
22


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 449
Vy
Bài tp 12: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s k để
A. B. C. D.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có
Khi đó
Bài tp 13: Cho là hàm liên tc trên đon tha mãn
, trong đó b, c là hai s nguyên dương và là phân s ti gin. Khi đó giá
tr thuc khong nào dưới đây?
A. B. C. D.
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN B
Đặt
Đổi cn
Lúc đó
Suy ra
Do đó
  
626
112
I f xdx f xdx fxdx 8 6 14.




k
x0
1
x11
2x 1 dx 4lim .
x


k1
.
k2
k1
.
k2
k1
.
k2
k1
.
k2

 


22
kk
k
1
11
2x 1 2k 1
11
2x1dx 2x1d2x1
2444




x0 x0 x0
x11 x11
x11 1
4lim 4lim 4lim 2
x
x11
xx11

 







2
k
2
x0
1
k2
2k 1 1
x11
2x 1 dx 4lim 2 2k 1 9 .
k1
x4





fx
0;a


fx.fa x 1
fx 0, x 0;a



a
0
dx ba
1fx c
b
c
b
c
11;22 .
0;9 .
7;21 .
2017;2020 .
tax dt dx
x0 ta;xa t0 
  


a0 a a a
0a 0 0 0
fxdx
dx dt dx dx
I
1
1 fx 1 fa t 1 fa x 1 fx
1
fx






aa a
00 0
fxdx
dx
2I I I 1dx a
1fx 1fx



1
Iab1;c2bc3.
2

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 450
Cách 2: Chn mt hàm tha các gi thiết. D dàng tính được
Bài tp 14: Cho hàm s liên tc trên Giá tr ca
tích phân bng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN C
Xét Đặt suy ra
Đổi cn
Suy ra
Xét Đặt suy ra
Đổi cn Suy ra
Vy
.
Bài tp 15: Cho hàm s liên tc trên Giá tr ca
tích phân bng
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN A
Xét

fx 1
1
Iab1;c2bc3.
2

f
x

9
2
10
d4, sincosd2.

fx
xfxxx
x

3
0
d
f
xx
2
6
4
10
9
1
d4.
fx
x
x
2
,txtx
2d d .tt x
11
.
93
xt
xt


 
933
111
4d22dd2.
fx
xfttftt
x



2
0
sin cos d 2.fxxx
sin ,ux
dcosd.uxx
00
.
1
2
xu
xu


 
1
2
00
2sincosd d.
f
xxx
f
tt


  
313
001
ddd4.I fxx fxx fxx

f
x


2
1
4
2
00
tan d 4, d 2.
1
xf x
fxx x
x


1
0
d
Ifxx
6I
2
I
3I
1
I

4
0
tan d 4.fxx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 451
Đặt suy ra
Đổi cn: Khi đó
T đó suy ra
Bài tp 16: Cho hàm s liên tc trên và tha mãn
Giá tr ca tích phân bng
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN D
Xét .
Đặt
Suy ra
Đổi cn:
Khi đó
Xét Đặt
Suy ra
Đổi cn:
Khi đó
tan ,
tx

2
22
1d
ddtan1dd.
cos 1
t
txxxx
x
t

00
.
1
4
xt
xt



 
11
4
22
000
4tand d d.
11
ft fx
f
xx t x
tx





2
11 1
22
00 0
dd d426.
11
fx xfx
Ifxx x x
xx



f
x

4
2
0
tan . cos d 1,xf x x
2
2
ln
d1.
ln
e
e
fx
x
xx
2
1
4
2
d
fx
Ix
x
12
3
4

4
2
0
tan . cos d 1
A
x
f
xx

2
cos .tx
2
d
d 2sin cos d 2cos tan d 2 .tan d tan d .
2
t
t x xx x xx t xx xx
t
   
01
.
1
42
xt
xt


   
1
111
2
111
1
222
111
1dddd2.
222
ft ft fx fx
Attxx
ttxx


2
2
ln
d1.
ln
e
e
fx
Bx
xx

2
ln .ux
2
2ln 2ln 2 d du
dd dd .
ln ln ln 2
xxux
ux xx
x
xx xx xx u
 
2
1
.
4
xe u
xe u


 
444
111
11
1ddd2.
22
fu fx fx
Buxx
uxx


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 452
Xét tích phân cn tính
Đặt suy ra Đổi cn:
Khi đó
Bài tp 17: Cho hàm s nhn giá tr dương, có đạo hàm liên tc trên Biết
vi mi Giá tr tích phân bng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN D
T gi thiết
Ta có Đặt
Khi đó
Ta có
Suy ra
2
1
2
2
d.
fx
Ix
x
2,vx
1
dd
2
.
2
x
v
v
x
11
.
42
24
xv
xv


44 1 4
11 1
1
22 2
dddd224.
fv fx fx fx
Iv x xx
vx xx


f
x
0; 2 .
01f

2
24
2
x
x
fxf x e

0; 2 .x

32
2
0
3
d
xxfx
Ix
fx
14
3
32
5
16
3
16
5
 
2
224
221.
xxx
fxf x e f


32
2
0
3'
d.
xxfx
Ix
fx




32
2
3
d36d
.
'
dd
ln
ux x
uxxx
fx
vx
vfx
fx











2
2
32 2
0
0
2
21
2
0
3ln 3 6ln d
32lnd3.


f
Ix x fx x x fxx
xxfxx J

  
20
2
2
2
02
2ln d 2 22 ln 2 d2
xt
J
xxfxx t t f t t





 


02
2
2
20
222ln2d2 2ln2d.
x
xfx x xxfxx

 








22
22
00
2
2
0
2 2 ln d 2 ln 2 d
2ln 2 d



J
xxfxxxxf xx
xxfxf xx
 
2
22
22422
00
32 16
2ln d 2 2 4d .
15 15
xx
xxe x xxxxx J
 

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 453
Vy
Bài tp 18: Cho hàm s liên tc trên và tha mãn Giá
tr ca tích phân bng
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dn gii
ĐÁN ÁN B
T gi thiết, thay bng ta được
Do đó ta có h
Khi đó
Bài tp 19: Cho hàm s liên tc trên và tha mãn Giá tr ca
tích phân bng
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN B
T gi thiết, thay bng ta được
Do đó ta có h
Khi đó
16
3.
5
IJ 
yf
x
;
22
2cos.
f
x
f
xx

2
2
d
Ifxx
2
I

2
3
I
3
2
I
2
I
x
x
2cos.
f
x
f
xx



2 cos 4 2 2cos
1
cos .
3
2 cos 2 cos
fx f x x fx f x x
f
xx
fx fx x fx fx x









22
2
2
22
112
dcosdsin .
333
Ifxx xx x





f
x
1
;2
2

1
23.
f
xf x
x




2
1
2
d
fx
Ix
x
1
2
3
2
5
2
7
2
x
1
x

13
2.ffx
x
x








11
23 23
2
.
13 16
242
fxfxfxfx
xx
f
xx
x
ffx fxf
xx xx

 
 
 




 


 

 

22
2
1
2
11
2
22
223
1.
2
fx
Idx dxx
xx x





Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 454
Cách khác. T
Khi đó
Xét Đặt , suy ra
Đổi cn:
Khi đó
Vy .
Bài tp 20: Cho hàm s tha mãn vi mi
Giá tr ca bng
A.
B. C. D.
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN C
Nhn thy được
Do đó gi thiết tương đương vi
Suy ra
Thay vào hai vế ta được
 
11
23 32.fx f x fx x f
x
x
 

 
 

22 22
11 11
22 22
11
d32 d3d2 d.
ff
fx
xx
Ix xx x
xx x

 
 

 






2
1
2
1
d.
f
x
Jx
x



1
t
x
2
22
11
ddddd.
txtxxt
xt
  
1
2
2
.
1
2
2
xt
xt



 
1
22
2
2
11
2
22
1
ddtd.
ft fx
J
tf t t x I
ttx





22
11
22
3
3d 2 d .
2
IxIIx

f
x
  
2
4
.1512
f
xfxfxxx



x
001.ff

2
1f
5
.
2
9
.
2
8. 10.
    
2
...f x fxf x fxf x



 
4
.1512.
f
xf x x x



 

 
001.
452
.1512d36 1
ff
fxf x x x x x x C C


 
52
.361fxf x x x

 

2
6
52 3
.d361d 2 '.
22
fx
x
f
xf x x x x x x xC


0x
2
0
1
''.
22
f
CC

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 455
Vy
Bài tp 22: Cho hàm s liên tc trên tha mãn . Giá tr
bng
A. B. 1. C. D.
Hướng dn gii
ĐAP ÁN A

263 2
421 18.fx x x x f
f
x
4
tan cos ,fx xx


1
0
Ifxdx
2
.
8
2
.
4
.
4
 



2
4
2
1
2
2
0
1
ftanx cosx ftanx
tan x 1
12
fx fxdx
8
x1






Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 456
Dng 8: Bt đẳng thc tích phân
1. Phương pháp
Áp dng các bt đẳng thc:
+ Nếu liên tc trên thì
+ Nếu liên tc trên thì
+ Nếu liên tc trên thì du xy
ra khi và ch khi .
+ Bt đẳng thc AM-GM
2. Bài tp
Bài tp 1: Cho hàm s đạo hàm liên tc trên tha mãn ,
Giá tr phân bng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dn gii
Chn B
Dùng tích phân tng phn ta có Kết hp vi gi thiết
, ta suy ra
Theo Holder
Vy đẳng thc xy ra nên ta có thay vào ta được
Suy ra
f
x
;ab
 
bb
aa
f
xdx f xdx

f
x
;ab
m
f
xM
 
b
a
mb a f xdx M b a

,
f
x
g
x
;ab
   
2
22
.
bbb
aaa
f
xgxdx f xdx g xdx




""
.
f
xkgx
f
x
0;1 ,
10f

1
2
0
d7


fx x

1
2
0
1
d.
3
xf x x

1
0
d
f
xx
1
7
5
7
4
4
  
11
3
1
23
0
00
1
d'd.
33
x
x
fx x fx xf x x

10f

1
3
0
'd 1.xf x x

2
111
7
1
2
2
36
0
000
1'dd.'d.71.
7
x
xf x x x x f x x

 




3
',
f
xkx

1
3
0
'd 1xf x x
7.k 

3
'7
f
xx



34
7
'7,0;1
4
f
xxx fx xC

 
1
10
4
0
777 7
d.
444 5
f
Cfxx fxx
 
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 457
Bài tp 2: Cho hàm s đạo hàm liên tc trên tha mãn ,
Giá tr bng
A. B. C. D.
Hướng dn gii
Chn D
Theo Holder
Vy
Bài tp 3: Cho hàm s đạo hàm liên tc trên tha mãn
Tích phân bng
A. B. C. D.
Hướng dn gii
Chn B
Theo Holder
Vy
Bài tp 4: Cho hàm s nhn giá tr dương và có đạo hàm liên tc trên tha mãn
Mnh đề nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dn gii
f
x
0;1 ,
11f

1
5
0
11
d
78
xf x x
 

1
0
4
d.
13
fx fx
2f
2.
251
.
7
256
.
7
261
.
7
 
2
2
111
2
612
000
2144
d.d..
13 13 13 169
xf x x xdx f x x



 






 

11
67
25
2.
77
f
fx x fx x C C

 
7
25 261
2.
77 7
fx x f
f
x
0;1 ,
12, 00ff

1
2
0
d4.


fx x

1
3
0
2018 d .


f
xxx
0. 1011. 2018. 2022.
 
2
111
2
2
000
2'dd.'d1.44.fxx x fx x

 





00
'2 2 0.
f
fx fx xC C

 
1
3
0
2 2018 d 1011.fx x f x x x



f
x
f
x

0;1 ,

10fef


11
2
2
00
d
d2.




x
fx x
fx

2
1.
1
e
f
e

22
1.
1
e
f
e

2
2
2
1.
1
e
f
e


22
1.
1
e
f
e
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 458
Chn C
Ta có
nên du xy ra, tc là
Theo gi thiết nên ta có
Bài tp 5: Cho hàm s nhn giá tr dương trên đạo hàm dương và liên tc trên
tha mãn Giá tr bng
A. B. C. D.
Hướng dn gii
Chn A
Áp dng bt đẳng thc cho ba s dương ta có
Suy ra
nên du xy ra, tc là





11 1 1
AM GM
22
22
00 0 0
'
d1
'd ' d 2 d
fx
x
f
xx fx x x
fx fx fx

  

 


  

1
0
1
2ln 2ln 1 2ln 0 2ln 2 ln 2.
0
f
fx f f e
f



11
2
2
00
d
'd2
x
fx x
fx



'' ''


 
1
''1fx fxfx
fx

 

2
'd d 22.
2
fx
f
xf x x xx x C fx x C

10fef
2
2
1
22 2 22 2
1
CeC CeC C
e

 
2
222
222
212 .
111
e
fx x f
eee


f
x
0;1 ,
0;1 ,
01f
   
11
3
32
00
4d3 d.








f
xfxxfxfxx

1
0
d
Ifxx
21.e
2
21.
e
1
.
2
e
2
1
.
2
e
AM GM
  



 
33
33
3
33
3
2
3
4' 4'
22
34 ' . . 3 ' .
22




f
x
f
x
f x fx fx
fxfx
fx fxf x
   
11
3
32
00
4' d 3' d.
f
xfxxfxfxx





   
11
3
32
00
4' d3' d
f
xfxxfxfxx





'' ''

 
33
3
1
4' '
22 2
fx fx
f
xfxfx




 
1
2
''
11 1
ddln .
22 2
x
C
fx fx
x x fx xC fx e
fx fx


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 459
Theo gi thiết
Bài tp 6: Cho hàm s đạo hàm liên tc trên tha mãn
Giá tr tích phân bng
A. B. C. D.
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN B
Theo Holder
Bài tp 7: Cho hàm s đạo hàm liên tc trên tha t
Giá tr ca ích phân bng
A. B. C. D.
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN B
Theo Holder
Vy
Bài tp 8: Cho hàm s nhn giá tr dương trên đạo hàm dương liên và tc trên
tha mãn Giá tr ca bng
A. B. C. D.
 

1
1
2
0
01 0 d 2 1.
x
fCfxefxxe
f
x
0; ,

0
sin d 1
fx xx

2
0
2
d.
fxx

0
d
x
fx x
6
.
4
.
2
.
4
.
 
2
2
22
000
2
1cosd dcosd.1.
2
fx xx f x x xx



 
00
22cos4
cos d d .
xx
fx x xfx x x




f
x
0;1 ,

1
2
2
0
10, d
8



ffxx

1
0
1
cos d .
22



x
fx x

1
0
d
f
xx
1
.
2
.
.
2
.
 
2
2
111
2
2
2
000
1
sin ' d sin d . ' d . .
42 2 28
xx
fxx x fx x


 
 

 

 


 

10
'sin cos 0.
22 2
f
xx
fx fx C C


 


 
1
0
2
cos d .
2
x
fx fx x




f
x
0;1 ,
0;1 ,


1
0
d1
xf x
x
fx
01,f
2
1.
f
e
1
2



f
1. 4.
.e
.e
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 460
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN C
Hàm dưới du tích phân là Điu này làm ta liên tưởng đến đạo
hàm đúng , mun vy ta phi đánh giá theo như sau:
vi
Do đó ta cn tìm tham s sao cho
hay
Để du xy ra thì ta cn có
Vi thì đẳng thc xy ra nên
Theo gi thiết
Cách 2. Theo Holder
Vy đẳng thc xy ra nên ta có thay vào ta được
Suy ra (làm tiếp như trên)





''
., 0;1.
xf x f x
xx
fx fx


'
f
x
f
x
AM GM




''
2.
f
xxfx
mx m
f
xfx

0m
0;1 .x
0m




11
00
''
d2. d
fx xfx
mx x m x
fx fx





  
2
11
00
ln 2 .1 ln 1 ln 0
22
2202.
2


x
m
fx m m f f
m
mm
'' ''
20 2 4.
2
m
mm
4m

'
4
fx
x
fx


 
2
22
'
d4dln 2 .
x
C
fx
xxx fxxCfxe
fx




2
2
2
01
1
0.
2
1
x
f
Cfxef e
fe












22
11 11
2
00 00
'''1
1
1d.dd.d.ln1.
20
xf x f x f x f
xx xxx x
fx fx fx f







'
,
fx
kx
fx


1
0
'
d1
xf x
x
fx
4.k


'
4.
fx
x
fx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 461
Bài tp 9: Cho hàm s đạo hàm liên tc trên tha mãn
Giá tr ca bng
A. B. C. D.
Li gii
ĐÁP ÁN A
Hàm dưới du tích phân là Điu này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng
, mun vy ta phi đánh giá theo như sau:
vi
Do đó ta cn tìm tham s sao cho
hay
Để du xy ra thì ta cn có
Vi thì đẳng thc xy ran
(vô lý)
Theo gi thiết
Cách 2. Ta có
Theo Holder
Vy đẳng thc xy ra nên ta thay vào ta được Suy ra
(làm tiếp như trên)
f
x
0;1 ,
 
1
2
0
d1


f
xf x x
01,f
13.f
1
2



f
2. 3.
.e
.e

2
'.fxf x


'
f
x
f
x
AM GM
   
2
'2.'
f
xf x m mfxf x


0.m
0m
 
 
11
2
00
'd2 'd.
f
xf x m x m fxf x x


2
1
0
12. 12.
2
fx
mm mm 
'' ''
12 1.mmm
1m
 
 
2
'1
'1 .
'1
fxf x
fxf x
fxf x



   
2
11
11
00
00
'1 'dd 11.
2
fx
fxf x fxf x x x x   

   

2
'1 'dd 22.
2
fx
f
xf x fxf x x x x C fx x C




01
11
21 2.
22
13
f
Cfxxf
f





 

2
1
1
22
0
0
1
'd 1 0 1.
22
fx
fxf x x f f



   
2
111
2
22
000
11. 'd 1d. 'd1.11.fxf x x x fxf x x

 




',
f
xfx k
 
1
0
'd1
f
xf x x
1.k
'1.fxfx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 462
Bài tp 10: Cho hàm s nhn giá tr dương và có đạo hàm liên tc trên tha
mãn Giá tr ca bng
A. B. C. D.
Hướng dn gii
ĐÁP ÁN D
Hàm dưới du tích phân là Điu này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng
, mun vy ta phi đánh giá theo như sau:
vi
Do đó ta cn tìm tham s sao cho
hay
Để du xy ra thì ta cn có
Vi thì đẳng thc xy ra nên
Theo gi thiết
Cách 2. Ta có
Theo Holder
f
x
f
x

1; 2 ,


2
2
1
d24


fx
x
xf x
11,f
2 16.f
2f
1.
2.
2. 4.




22
''
1
..
fx fx
xf x x f x
 
 

'
f
x
f
x
AM GM




2
'
'
2
fx
f
x
mx m
xf x
f
x



0m
1; 2 .x
0m




2
22
11
'
'
d2 d
fx
fx
mx x m x
xf x
fx








  
2
1
22 2
24 4 24 4 2 1 24 12 16.
33 3
mm m
mfx m f f m m

  

'' ''
2
24 12 16.
3
m
mm
16m




2
'
'
16 2
2
fx
fx
x
x
xf x
fx




 

2
22
'
d2d .
2
fx
x
xx fx x C fx x C
fx





4
11
024.
216
f
Cfxxf
f



  
22
2
1
11
''
d2. d2 2 2 1 6.
2
fx fx
xxfxff
fx fx










22
2
21 22
2
2
2
1
11 11
'
''
6 d . d d . d .24 36.
2
fx
fx fx
x
xx xxx x
xf x
fx xfx








Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 463
Vy đẳng thc xy ra nên ta có thay vào ta được
Suy ra (làm tiếp như trên)
Bài tp 11: Cho hàm s
f
x đạo hàm liên tc trên đon
0;1 , và

14
10 .
2
ff
Biết
rng

022,0;1
fx x x
. Khi đó, giá tr ca tích phân

1
2
0
f
xdx


thuc khong nào
sau đây?
A.
2; 4 . B.
13 14
;.
33



C.
10 13
;.
33



D.

1; 3 .
Hướng dn gii
Chn C.
Do

022,0;1fx x x

nên


2
08,0;1.fx xx

Suy ra

11
2
00
8
f
xdx xdx



hay

1
2
0
4fx dx


(1).
Mt khác, áp dng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
  
2
111 1
222
2
000 0
1. 1 0
f
xdx dxfxdx f f fxdx



 

 



1
2
0
7
2
f
xdx



Vy

1
2
0
7
4.
2
fx dx




''
,
fx fx
kx kx
xf x f x


2
1
'
d6
fx
x
fx
4.k

'
4.
fx
x
fx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 464
BÀI 3. NG DNG HÌNH HC TÍCH PHÂN
A. KIN THC SÁCH GIÁO KHOA CN NM
I. DIN TÍCH HÌNH PHNG
1. Định lý 1: Cho hàm s
()yfx
liên tc, không âm trên

;ab
. Khi đó din tích S ca hình thang
cong gii hn bi đồ th hàm s
()yfx
, trc hoành và 2 đường thng
,xaxb
là:
()
b
a
Sfxdx
2. Bài toán liên quan
Bài toán 1: Din tích hình phng gii hn bi đồ th hàm s
()yfx
liên tc trên đon

;ab
, trc
hoành và hai đường thng
xa
,
xb
được xác định:
()
b
a
Sfxdx
Bài toán 2: Din tích hình phng gii hn bi đồ th hàm s
()yfx
,
()ygx
liên tc trên đon

;ab
và hai đường thng
xa
,
xb
được xác định:
() ()
b
a
Sfxgxdx
Chú ý: Nếu trên đon
[;]ab
, hàm s
()fx
không đổi du thì:
() ()
bb
aa
fxdx fxdx

Bài toán 3: Din tích ca hình phng gii hn bi các đường
()xgy
,
()xhy
và hai đường thng
yc
,
yd
được xác định:
() ()
d
c
Sgyhydy
Bài toán 4: Din tích hình phng gii hn bi 2 đồ th
11
():()Cfx
,
22
():()Cfx
là:
2
1
() ()
x
x
Sfxgxdx
. Trong đó:
12
,xx
tương ng là nghim ca phương trình

12
() (),fx gx x x
II. TH TÍCH CA KHI TRÒN XOAY
11
22
(): ()
(): ()
()
Cyfx
Cyfx
H
xa
xb
1
()C
2
()C

b
a
Sfxfxdx
12
() ()
a
1
c
y
Ob
x
2
c
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 465
1. Th tích vt th
Gi
B
là phn vt th gii hn bi hai mt phng vuông góc vi trc Ox ti các đim ab;
()Sx là din tích thiết din ca vt th b ct bi mt phng vuông góc vi trc Ox ti đim
x
,
()axb . Gi s ()Sx là hàm s liên tc trên đon [;]ab .
2. Th tích khi tròn xoay
Bài toán 1: Th tích khi tròn xoay đưc sinh ra khi quay hình phng gii hn bi các đường
()yfx , trc hoành và hai đường thng
x
a
,
x
b
quanh trc Ox:
Bài toán 2: Th tích khi tròn xoay đưc sinh ra khi quay hình phng gii hn bi các đường
()
x
gy , trc hoành và hai đường thng
yc
, yd
quanh trc Oy:
Bài toán 3: Th tích khi tròn xoay đưc sinh ra khi quay hình phng gii hn bi các đường
()yfx
,
()ygx
và hai đường thng
x
a
,
x
b
quanh trc Ox:
22
() ()
b
a
V
f
x
g
xdx

.
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Tính din tích gii hn bi 1 đồ th
1. Phương pháp:
a/ Phương pháp 1:
|()|
b
a
Sfxdx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 466
* Xét du biu thc
()
f
x
;
[;]
x
ab
, phá du tr tuyt đối và tính tích phân.
b/ Phương pháp 2:
* Gii phương trình
() 0fx ; chn nghim trong [;]ab. Gi s các nghim là ;
vi
.
* Áp dng tính cht liên tc ca hàm s
()
f
x trên [;]ab; ta có:
|()d||()d||()d|
b
a
Sfxx fxx fxx



2. Các Bài tp mu:
Bài tp 1: Tính din tích S ca hình phng gii hn bi đồ th
2
yx
, trc hoành và đường thng
x2
.
A.
8
S.
9
B.
16
S.
3
C.
S16.
D.
8
S.
3
Hướng dn gii
CHN D
Nhn thy rng, để tính din tích ta cn phi tìm được 2 cn. Để tìm thêm cn còn li ta gii phương
trình hoành độ giao đim ca đồ th

2
P:y x
vi trc hoành.
Phương trình hoành độ giao đim ca đồ th

2
P:y x
vi trc hoành:
2
x0x0

Áp dng công thc ta có
2
2
0
8
Sxdx.
3

Nhn xét: Nếu ta v đồ th hàm s
2
yx
đường thng
x2
ta d dàng xác định được hình
phng gii hn bi các đường này. T đó ta d dàng tính được din tích S.
Bài tp 2: Tính din tích hình phng gii hn bi đồ th các hàm s
2x
yx.e
, trc hoành và đường
thng
x1
A. e2. B. 2e.
C. 2e.
D. 1.
Hướng dn gii
CHN A
Phương trình hoành độ giao đim
2x
xe 0 x 0

Ta có:
 

11 1
1
2x 2 x 2x x 2
0
00 0
11 1
1
xxxx
0
00 0
S xedx xd e xe ed x
e 2 xe dx e 2 xd e e 2xe 2 e dx

  


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 467
1
x
0
e 2e 2e e 2e 2 e 2. 
Li bình: Bài toán trên đã có 1 cn, ta ch cn tìm thêm 1 cn na bng
cách gii phương trình hoành độ giao đim. Sau đó áp dng công thc.
Nếu v đồ th bài này để tìm hình phng gii hn bi các đường là không
nên vì đồ th hàm s hơi phc tp. Vic tìm được công thc
1
2x
0
Sxedx
và tính tích phân này ta có th dùng MTCT để tính và chn Chn.
Bài tp 3: Tính din tích hình phng gii hn bi đồ th
2
y1x
và trc hoành:
A.
2.
B. .
4
C. 1. D. .
2
Hướng dn gii
CHN D
Phương trình hoành độ giao đim ca, Ox là
2
1x 0 x 1

Khi đó, din tích hình phng cn tìm
1
2
1
S 1 x dx.

Đặt
x sin t dx cos tdt
x1 t
2
x1t
2

 
Suy ra
1
22
22 2
1
22
S 1 x dx 1 sin t.cos tdt cos tdt
2





Li bình: Bài toán trên chưa có cn, ta phi gii phương trình hoành độ
giao đim để tìm cn. Sau đó áp dng công thc. Vic tìm được công
thc
1
2
1
S1xdx

và tính tích phân này tương đối phc tp, do đó ta
có th dùng MTCT để tính và chn Chn.
Nếu v được đồ th thì ta xác định được hình phng và din tích ca nó
d dàng, đó chính là din tích ca na đường tròn bán kính bng 1. Do
đó:
2
1
SR.
22

Bài tp 4: Tính din tích S hình phng gii hn bi các đường
1
y lnx,x e, x
e
 và trc hoành
A.
2
S2 .
e

B.
1
S1 .
e
C.
2
S2 .
e
D.
1
S1 .
e

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 468
Hướng dn gii
CHN A
Phương trình hoành độ giao đim ca đồ th
ylnx
và tr hoành là
ln x 0 x 1.

e1e
1e
1
1
e
11
1
ee
2
S ln x dx ln xdx ln x.dx x x ln x x ln x x 2 .
e


Bài tp 5: Din tích tam giác được ct ra bi các trc ta độ và tiếp tuyến ca đồ th ylnx ti giao
đim ca đồ th hàm s vi trc Ox là:
A.
2
S
3
B.
1
S
4
C.
2
S
5
D.
1
S
2
Hướng dn gii
Chn D
Phương trình hoành độ giao đim:
ln x 0 x 1

Ta có:
 
1
y' lnx ' .y' 1 1
x'

Phương trình tiếp tuyến ca đồ th
ylnx
ti giao đim ca đồ th hàm s vi trc Ox
là:
y1x1 0 hay yx1
Đường thng
yx1 ct Ox ti đim
A1;0 và ct Oy ti đim
B0; 1 .
Tam giác vuông OAB có
OAB
11
OA 1,OB 1 S OA.OB
22

Bài tp 6: Din tích hình phng gii hn bi đường cong
y2axa0
, trc hoành và đường
thng
xa bng
2
ka . Tính giá tr ca tham s k.
A.
7
k
3
B.
4
k
3
C.
12
k
5
D.
6
k
5
Hướng dn gii
    
b0 b 0b
D
aa 0 a0
S f xdx f x dx f xdx f xdx f xdx

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 469
Chn B
a
a
3
22
2
0
0
24 4
S2axdx2a..x aka k
33 3

Bài tp 7: Cho hình cong gii hn bi các đường
x
ye,y0,x0

xln4
. Đường thng
xk
vi
0kln4
chia thành hai phn có din tích là S
1
và S
2
như hình v
bên. Tìm k để
12
S2S
.
A.
2
kln4
3
B.
kln2
C.
8
kln
3
D. kln3
Hướng dn gii
Chn D
Do
ln 4
ln 4 ln 4
xxx
121
0
00
22 2 2
S2S S S edx edx e 2
33 3 3


Do đó:
k
xk k
1
0
Sedxe12e3kln3
Dng 2: Tính din tích gii hn bi 2 hai đồ th
1. Phương pháp:
Công thc tính
|() ()|
b
a
Sfxgxdx
. Tính như dng 1.
2. Mt s bài tp mu
Bài tp 1:
Tính din tích hình phng gii hn bi đồ th
22
11
;;;
cos sin 6 3
yyxx
x
x

Li gii
Ta có:
/3
22
/6
11
cos sin
Sdx
x
x

Trong trường hp này nếu chn cách xét du biu thc
11
;;
22
63
cos sin
yx
xx




hoc v đồ th hàm s
11
;;
22
63
cos sin
yx
xx

là khá khó khăn.
Vì vy ta chn cách sau:
+ Xét phương trình:
22
11
cos sin
x
x
0
;
;
63
x
22
cos sin 0xx

;
63
x



Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 470
cos 2 0x
;
;
63
x



4
x

T đó suy ra:
/4 /3
22 22
64/4
11 11
|
cos sin cos sin
Sdx dx
xx xx






4
/4 4 3
|(tan cot )| | |(tan cot ) | 2 2
/6 3
Sxx xx







.
Bài tp 2 : Tính din tích hình phng gii hn bi đồ th hàm s
2
2
1
;
12
x
yy
x

.
Li gii
Xét phương trình hoành độ giao đim ca hai đồ th trên:
2
2
1
12
x
x
42 2
1
20 1
1
x
xx x
x

Vì vy hình phng đã cho có din tích là:
2
1
2
1
1
12
x
Sdx
x

Do trên
(1;1) phương trình
2
2
1
12
x
x
vô nghim nên ta có:
111
22 2
1
222
1
111
111
ddd
12 12 1 2
xx x
Sdx xxx
xxx







Tính
1
I
1
2
1
1
1
dx
x
.
+/ Đặt
tan
x
t
;
;
22
t




2
1
cos
dx dt
t

+/ Đổi cn:
1
4
1
4
xt
xt
 

2
/4 /4
1
2
/4 /4
1
cos
d
1tan 2
t
Idtt
t





2
I
2
1
1
1
23
x
dx
Thay thế vào ta được:
S
1
23
1
23
.
Bài tp 3: Tính din tích hình phng gii hn bi đồ th
2
43yx x

3y .
Hướng dn gii
Xét phương trình hoành độ giao đim ca hai đồ th trên:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 471
2
43xx
3
2
2
0
433
4
433
x
xx
x
xx



Khi đó:
S
4
242
0
0
43|3| | 43|3 |
x
xdxxxdx 

34
1
222
0
13
433 433 433Sxx dxxxdxxxdx   

34
1
22 2
0
13
4464|Sxxdx xxdxxxdx

3
14
33 3
22 2
03
1
22628
33 3
xx x
SS x x x x
 

 
 
.
Bài tp 4: Tính din tích hình phng gii hn bi đồ th: sin | |
yx;
y
||
x
-
.
Hướng dn gii
Xét phương trình hoành độ: sin | | | |xx

Đặt
||
x
t
Khi đó tr thành:
sin tt
sin 0tt

Xét hàm s
()
f
t
sin tt

; [0, )t .
() cost 1 0 [0, )ft t

.
BBT ca hàm s
()
f
t như sau:
phương trình có nghim duy nht
t
.
phương trình có 2 nghim phân bit:
x
x
.
|sin | | | | | (sin | | | | )Sxxdx xxdx






.
3. Bài tp
Bài tp 1:
Din tích hình phng gii hn bi parabol
2
P:y x 3x 3
 đường thng

d:y 2x 1 là:
A.
7
3
B.
13
3
C.
19
6
D. 11
Hướng dn gii
Chn B
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 472
Xét phương trình
22
x1
x3x32x1 xx20
x2
 
Gi S là din tích hình phng gii hn bi parabol
2
P:y x 3x 3

đường thng

d:y 2x 1



2
22
23
22
11
1
xx 13
S x 3x 3 2x 1 dx 2 x x dx 2x
23 3





Vy
13
S
3
.
Bài tp 2: Parabol chia hình tròn có tâm ti gc ta độ, bán kính thành 2 phn. T s
din tích ca chúng thuc khong nào:
A. B. C. D.
0,7;0,8
Hướng dn gii
Chn A
Phương trình đường tròn:
22 2 2
xy8x8y
 
Thế vào phương trình parabol, ta được
2
2
8y
yy2y80
2


2
y2
x4x2
y4l


Din tích phn được to bi phn đường tròn phía trên vi Parabol là:
222
22
22
1 12
222
xx
S8xdx8xdxdxII
22






;
2
23
2
2
2
xx8
Idx
2
263

Tính
22
22
1
20
I8xdx28xdx


Đặt
x22sint dx22costdt;x0 t0
; x2 t
4

444
2
1
000
cos 2t 1
I 2 2 2 cos t2 2 cos tdt 16 cos tdt 16 dt 4 2
2



2
2
x
y
22

0, 4;0,5
0,5;0,6
0,6;0,7
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 473
112
84
SII42 2
33

Din tích hình tròn:
2
21
44
SR8 SSS8 2 6
33





1
2
4
2
S
3
0, 435 0, 4;0,5
4
S
6
3



.
Bài tp 3:
Tính din tích hình phng gii hn bi đồ th hàm s
2
x
y4
4
đồ th hàm s
2
x
y
42
A. 24 B.
4
2
3
C.
4
2
3
D.
8
3
Hướng dn gii
Chn B
Phương trình hoành độ giao đim:
2
22
2
x16l
xx
4x22
4
42
x8


. Khi đó
22
22
22
xx 4
S4 2
43
42

Bài tp 4: Gi S là din tích hình phng gii hn bi các đường
2
my x
,
2
mx y
(vi
0m
).
Tìm giá tr ca
m để
3S
.
A.
1m
. B.
2m
. C.
3m
. D.
4m
.
Hướng dn gii
Chn C.
0m
nên t
2
my x
ta suy
2
0
x
y
m
;
T
2
mx y
nên
0x
ymx
.
Xét phương trình
2
43
0x
x
mx x m x
x
m
m

Khi đó din tích hình phng cn tìm là:
22
00
mm
xx
Smxdx mx dx
mm





3
22
0
211
.
3333
m
mx
x
xmm
m





Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 474
Yêu cu bài toán
22
1
3393
3
Smmm 
(vì 0m ).
Bài tp 5: Din tích hình phng gii hn bi đồ th ca hai hàm
2
yx
2
1
x
y
x
ln 2Sab
vi a, b là nhng s hu t. Giá tr ca
ab
A.
1
3
. B. 2. C.
2
3
. D. 1.
Hướng dn gii
Chn A.
Phương trình hoành độ giao đim ca
1
C :
2
y
x
2
C :
2
1
x
y
x

232
0
2
1201
1
2
x
x
xxxxxx
x
x

Din tích hình phng cn tìm là:
00
0
3
22
111
22 5
2 2 2ln 1 2ln2
11 33
xx
Sxdx xdxxx
xx










Suy ra
5
3
a
2b 
Vy
1
3
ab
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 475
Bài tp 6:
Cho
H là hình phng gii hn bi parabol
2
3yx ,
cung tròn có phương trình
2
4
y
x
(vi 02x
) và trc hoành
(phn tô đậm trong hình v). Din tích ca
H
A.
43
12
. B.
43
6
.
C.
4233
6

. D.
53 2
3
.
Hướng dn gii
Phương trình hoành độ giao đim ca parabol
2
3yx
và cung tròn
2
4
y
x
(vi
02x
) l
22 24
4343 1
x
xxxx .
Din tích ca

H
12
1
223
0
01
33
34
33
Sxdx xdxxI I

vi
2
2
1
4Ixdx
.
Đặt
2sin
x
t
,
;2cos.
22
tdxtdt





Đổi cn
1
6
xt

,
2
2
xt

.

2
222
22
6
666
4 4sin .2cos . 4cos . 2 1 cos2 . 2 sin 2Ittdttdttdtxt




23
32

Vy
332343
33326
SI


Chn B.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 476
Bài tp 7:
Hình phng
H
được gii hn bi đồ th
C ca hàm đa thc bc ba và parabol
P
có trc đối xng vuông góc vi trc hoành. Phn
đậm ca hình v có din tích bng
A.
37
12
. B.
7
12
. C.
11
12
. D.
5
12
.
Hướng dn gii
Chn A.
đồ th hàm bc ba và đồ th hàm bc hai ct trc tung ti các đim có tung độ ln lượt là
2y 0y nên ta xét hai hàm s
32
2yax bx cx

,
2
y
mx nx
(vi a,
0m
).
Suy ra
C :
32
2yfx axbxcx
P
:
2
ygx mx nx
.
Phương trình hoành độ giao đim ca
C
P
là:

32 2 32 2
220ax bx cx mx nx ax bx cx mx nx 
.
Đặt


32 2
2P x ax bx cx mx nx .
Theo gi thiết,

C

P
ct nhau ti các đim có hoành độ ln lượt là
1x 
,
1
x
,
2x
nên
112Px ax x x.
Ta có

02
P
a .
Mt khác, ta có
 
0002 1Pfg a.
Vy din tích phn tô đậm là

2
1
37
112
12
Sxxxdx

Dng 3: Tính th tích vt th tròn xoay da vào định nghĩa
1. Phương pháp:
Gi
B
là phn vt th gii hn bi hai mt phng vuông góc vi trc Ox ti các đim ab; ()Sx
din tích thiết din ca vt th b ct bi mt phng vuông góc vi trc
Ox ti đim
x
,
()axb
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 477
Gi s
()Sx
là hàm s liên tc trên đon
,ab .
2. Các Bài tp mu:
Bài tp 1: Cho phn vt th
B
gii hn bi hai mt phng có phương trình
0x
2x
. Ct phn
vt th
B
bi mt phng vuông góc trc
Ox
ti đim có hoành độ
02xx
, ta được din tích là
mt tam giác đều có đội cnh bng
2.
x
x
Tính th tích
V
ca phn vt th
B
.
Li gii
Mt tam giác đều cnh a có din tích
2
3
4
a
S
Do tam giác đều cnh
2
x
x có din tích là
2
23
()
4
xx
Sx
Suy ra th tích

2
22 2
2
00 0
23
3343
() 2
44 433
Ca sio
xx
SSxdx dx x xdx
 

Bài tp 2: Trong không gian Oxyz , cho vt th nm gia hai mt phng
0x
x
, biết rng
thiết din ca vt th b ct bi mt phng vuông góc vi trc
Ox
ti đim có hoành độ bng
,0xx

là mt tam giác đều cnh là 2sin
x
.Tính th tích ca vt th đó.
Li gii
Mt tam giác đều cnh a có din tích
2
3
4
a
S
Do đó tam giác đều cnh
2sin
x
có din tích là

4sin . 3
3sin
4
x
Sx x

Suy ra th tích

22
00
d3sind23VSxx xx

Bài tp 3: Mt bn tr đang cha du đưc đặt nm ngang có chiu dài bn là 5m, bán kính đáy 1m
. Người ta rút du ra trong bn tương ng vi 0,5 m ca đường kính đáy. Tính th tích gn đúng ca
du còn li trong bn
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 478
Li gii
* Th tích c khi tr
22 3
1
.1 .5 5VRh m

* Tính th tích phn khi tr b mt đi
+ Cách 1:
22
2
viên ph
R
d
ân
SRxdx
1
2
1
2
21 0,61
xdx
1
2
2
1
2
.21 53,07
viên phân
VS h xdx
Suy ra th tích khi tr còn li

1
23
12
1
2
5 2 1 5 12,637
VVV xdx m
+ Cách 2: Tính góc tâm
1
cos
22

OH
R
23

2
3


2
1122
sin . sin 0,614
2233




viên phân
SR


2
12 2
.. sin 5
23 3




viên phân
VS h

2
2
x
y
d
y
=
R
2
-x
2
d
O
R
2
2
x
y
B
A
H
O
R
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 479

3
12
12 2
5 . sin 5 12,637
23 3




VVV m

Bài tp 4: Bn A có mt cc thy tinh hình tr, đường kính trong lòng đáy cc là chiu cao
trong lòng cc là đang đựng mt lượng nước. Bn A nghiêng cc nước, va lúc khi nước chm
ming cc thì đáy mc nước trùng vi đường kính đáy. Tính th tích lượng nước trong cc
Li gii
Phân tích: Th tích nước có hình dng “cái nêm”; có 2 phương pháp tính th tích này
+ Cách 1 – Chng minh công thc b
ng PP tích phân: Xét thiết din ct cc thu tinh ti v trí
bt k; ta có din tích thiết din là
; th tích.
.
Cách 2:
Gi S là din tích thiết din do mt phng có phương vuông góc vi trc Ox vi khi nước, mt
phng này ct trc Ox ti đim có hoành độ . Ta có:
, vì thiết din này là na hình tròn bán kính
Th tích lượng nước cha trong bình là.
Bài gii
+ Cách 1: Áp dng công thc tính th tích cái nêm bi
ết góc gia mt ct và mt đáy bng
vi ta được
6,cm
10cm
x

RxR


22 22 22
11
.. .tan tan
22
 Sx Rx Rx Rx


22 3
12
dtan d tan
23



RR
RR
VSxx RxxR
0hx
()

rhx hxR
r
Rh h
r
22
2
2
1()
()
22

hxR
Sx r
h
23
22
.tan
33

VRhR
tan
h
R

32 3
22
. .3 .10 60
33

h
VR cm
R
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 480
+ Cách 2: Tính trc tiếp bài toán bng PP tích phân. ; thch
Bài tp 5:
Ct mt khi tr bi mt mt phng ta được mt khi như hình v bên. Biết rng thiết din
là mt hình elip có độ dài trc ln bng 10, khong cách t đim thuc thiết din gn mt đáy nht
đim thuc thiết din xa mt đáy nht ln lượt là 8 và 14. Tính th tích ca.
Li
gii
Tính các s đo: ; suy ra bán kính khi tr
.
Cách 1: Th tích khi bng th tích “khi tr trung bình”:
Cách 2: Áp dng công thc tính th tích “cái nêm”: Ly mt phng vuông góc vi đường
sinh ca hình trđi qua đim , khi đó chia khi thành hai khi:
+ Khi 1: là khi tr chiu cao , bán kính
4
r
nên th tích
+ Khi 2: là phân na mt khi tr có chiu cao và bán kính nên th tích
+ Vy
22
2
2
1()
()
22

hxR
Sx r
h
10
23
00
9
() (10 ) 60( ).
200


h
VSxdx xdx cm
0
()
h
VSxdx
8
10
14 8 6

AB
AE
DE
22
8 AD AE DE
4
2

AD
R


22
. .4 .11 176
2




H
AB CE
VR đvtt

P
A
H
8h
2
1
128Vrh
6
DE
4
r
22
2
11
.. ..4.648
22

VrAD


12
12848176
H
VvVV đ tt

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 481
3. Bài tp
Câu 1:
Cho
T là vt th nm gia hai mt phng
0x
,
1
x
. Tính th tích
V
ca
T biết
rng khi ct
T bi mt phng vuông góc vi trc
Ox
ti đim có hoành độ bng
x
,
01
x

, ta được thiết din là tam giác đều có cnh bng
1
x
.
A.
3
2
V
. B.
33
8
V
. C.
33
8
V
. D.
3
2
V
.
Li gii
Chn C
Ta có din tích tam giác đều cnh bng 1
x

2
13
4
x
Sx
31
4
x
Th tích ca vt th
T

1
0
dVSxx
1
0
31
d
4
x
x

1
2
0
3
1
8
x

33
8
.
Câu 2: Cho vt th
T
gii hn bi hai mt phng 0; 2xx
. Ct vt th
T
bi mt phng
vuông góc vi trc
Ox
ti
02xx
ta thu được thiết din là mt hình vuông có cnh
bng
1
x
x
e
. Th tích vt th
T
bng
A.
4
13 1
4
e
. B.
4
13 1
4
e
. C.
2
2e
. D.
2
2 e
.
Li gii
Chn B
Din tích thiết din là

2
2
1
x
Sx x e
.
Th tích ca vt th
T

22
2
2
00
1
x
VSxdx x edx

.
 
22
22
4
2
22 22
00
00
19111
11
2222
xx xx
ex
V x e x edx e edx







2
44 4
244
0
91311 1 1131
3
224 444
x
ee e
eee


.
Dng 4: Tính th tích vt th tròn xoay khi quay hình phng gii hn bi 1 đồ th
1. Phương pháp:
Vt th tròn xoay sinh bi min hình phng được gii hn: Đồ th ; trc ;
; quay xung quanh .
- Nếu thiếu cn thì gii phương trình để b sung cn.
- Tính th tích theo công thc:
()
yf
x
(0)Ox y
,
x
ax b
Ox
() 0fx=
2
()
b
Ox
a
V
f
xdx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 482
2. Các Bài tp mu:
Bài tp 1:
Kí hiu là hình phng gii hn bi đồ th hàm s trc hoành. Tính th
tích ca vt th tròn xoay được sinh ra bi hình phng đó khi nó quay quanh trc .
Li gii
Phương trình hoành độ giao đim .
Th tích ca vt th tròn xoay cn tìm .
Bài tp 2: Cho min hình phng gii hn bi: quay xung quanh . Tính th
tích ca vt th to thành.
Li gii
Xét phương trình hoành độ giao đim ca đồ th hàm s: và trc
Vy vt th tròn xoay có th tích là:
.
Bài tp 3: Cho min hình phng gii hn bi: ; quay xung quanh . tính th
tích ca vt th to thành.
Li gii
Hoành độ giao đim ca đồ th hàm s: đường thng là nghim ca phương
trình:
Vt th to thành có th tích là:
Bài tp 4: Gi th tích khi tròn xoay to thành khi quanh hình phng gii hn bi các đường
và trc
Ox
. Đường thng ct đồ th hàm s ti
M
.
H
2
2yxx
VOx
2
0
20
2
x
xx
x


2
2
2
0
16
2d
15
Vxxx

, Ox 1
x
yxe x
Ox
x
yxe
Ox
0
x
xe
0x
11
2
22
00
xx
Vxedxxedx



1
2
11
22 2 2
00
0
1
22
xx x
e
V xe xedx xedx






2
2
1
11
22 2
00
0
1
11
22 2 4 4
xx x
e
e
Vxeedxe





2
4, 0yx xy

Ox
2
4yx x
0y
2
40xx
0
4
x
x
44
2
2432
00
4816Vxxdxxxxdx



4
53
4
0
16 512
2
5315
xx
x




V
;0;4yxy x
04xa a

y
x
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 483
Gi là th tích khi tròn xoay to thành khi quay tam giác quanh trc . Biết rng
1
2VV
. Tính
Li gii
Ta có .
Tam giác
M
OH quanh trc to nên hai khi nón chung đáy. Gi là hình chiếu vuông góc ca
trên trc . Suy ra .
.
Suy ra .
Bài tp 5: Cho là hình phng gii hn bi độ thm s ; trc đường thng
Tính th tích khi tròn xoay thu được khi quay quanh hình xung quanh trc .
Li gii
Phương trình hoành độ giao đim
Theo bài toán thì th tích ca vt th tròn xoay cn tìm
1
V
M
OH Ox
a

44
2
1
00
dd8 4
2
V
VxxxxV



Ox N
M
Ox
M
rMN y ya a

2
2
1
11 4
.. .4.
33 3
a
VOHr a


4
43
3
a
a


H
2
4
x
y
x
Ox
1.x
H
Ox
2
00.
4
x
x
x

1
1
2
2
0
0
4
ln 4 ln ln .
42 232
x
a
Vdx x
x
b


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 484
Do đó
3. Bài tp
Câu 1:
Cho hình phng
H
gii hn bi các đường
2
3, 0, 0, 2yx y x x

. Gi
V
là th
tích khi tròn xoay được to thành khi quay
H
xung quanh trc
Ox
. Mnh đề nào sau
đây đúng?
A.

2
2
2
0
3dVx x

. B.

2
2
0
3dVx x
.
C.

2
2
2
0
3dVx x
. D.

2
2
0
3dVxx

.
Li gii
Th tích ca vt th được to nên là

2
2
2
0
3d.Vx x

Câu 2: Gi
V
là th tích khi tròn xoay to thành do quay xung quanh trc hoành mt elip có
phương trình
22
1
25 16
xy

.
V
có giá tr gn nht vi giá tr nào sau đây?
A.
550
B.
400
C.
670
D.
335
Li gii
Chn D
Quay elip đã cho xung quanh trc hoành chính là quay hình phng:
2
41 , 0, 5, 5
25
x
Hy y x x


 



.
Vy th tích khi tròn xoay sinh ra bi
H
khi quay xung quanh trc hoành là:
23
5
5
5
16 16 320
16 16 335,1
5
25 75 3
xx
Vdxx





4, 3 7.ab ab
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 485
Câu 3:
Cho hình phng
()H
được gii hn bi đường cong
22
ymx
(
m
là tham s khác 0
) và trc hoành. Khi
()H
quay xung quanh trc hoành được khi tròn xoay có th tích V .
Có bao nhiêu giá tr nguyên ca
m
để 1000V
.
A. 18. B. 20. C. 19. D. 21.
Li gii
Chn A
Phương trình hoành độ giao đim ca đường cong và trc hoành là:
22
0mx x m
Th tích vt th tròn xoay cn tính là:
2
22 2 3
4
1
()( )|
33
m
m
m
m
mm
Vmxdxmxx


Ta có:
1000V
2
4
1000
3
mm

3
750m
33
750 750m
.
Ta có
3
750 9,08
0m
. Vy có 18 giá tr nguyên ca m.
Câu 8 : Cho hình phng
D
gii hn bi các đưng cong
3
1
x
y
x
, trc hoành và trc tung. Khi
tròn xoay to thành khi quay
D
quanh trc hoành có th tích
(ln2)
Vab
vi
,ab
các s nguyên. Tính
.Tab
A.
3.T B. 6.
T C. 10.
T D. 1.T
Li gii
Da vào đồ th hàm s trên ta có:
22
33 3
2
00 0
3
0
34 816
11
111(1)
16
8ln( 1) (15 16ln 2) 15;b 16.
1















x
Vdx dx dx
xxxx
xx a
x
Vy
1.Tab
Câu 4: Cho hình
H
trong hình v dưới đây quay quanh trc
Ox
to thành mt khi tròn xoay
có th tích bng bao nhiêu?
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 486
A.
2
2
. B.
2
. C.
2
. D.
2
2
.
Li gii
Th tích khi tròn xoay nhn được khi quay hình

H
quanh trc
Ox

2
2
00
1c 1
sd d sin2
0
22
os 2
in
22
Vx xxxx
x








Câu 5:
Vt th parabolide tròn xoay như hình v bên dưới có đáy có din tích
3B
chiu cao
4h
. Th tích ca vt th trên là
A.
1
3
V
. B.
6V
. C.
1
4
V
. D.
8V
.
Li gii
Đường cong parabol có dng:
2
yax
đi qua đim có ta độ

;Rh
nên ta có:
2
2
h
yx
R
Ry
x
h

R
h
y
x
O
B
h
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 487
Th tích ca khi tròn xoay trên là:
22
2
0
0
1
d.
2
h
h
RR
Vyy y
hh


2
1
2
R
h
.
Áp dng công thc ta có:
2
1
2
VRh
11
.3.4
22
Bh
6
.
Câu 6: Cho hàm s
32
,,,, , 0yfx axbxcxdabcd a
đồ th

C
. Biết rng đồ
th

C tiếp xúc vi đường thng 4y
ti đim có hoành độ âm và đồ th ca hàm s
'yfx cho bi hình v dưới đây. Tính th tích vt th tròn xoay được to thành khi
quay hình phng H gii hn bi đồ th
C và trc hoành khi quay xung quanh trc
Ox
.
A.
725
35
. B.
1
35
. C. 6
. D. Chn khác.
Li gii
Chn D
Da vào đồ th hàm s
'yfx
2
'31fx x
.
Khi đó
 
3
'3
f
xfxdxxxC
.
Điu kin đồ th hàm s
f
x tiếp xúc vi đường thng 4y
là:



3
2
34
4
1
2
310
'0
xxC
fx
x
C
x
fx





suy ra
32
32
f
xx x C .
+

COx hoành độ giao đim là 2; 1
x
x
.
+Khi đó

1
2
32
2
729
32
35
Vxxdx

.
Dng 5: Tính th tích vt th tròn xoay khi quay hình phng gii hn bi 2 đồ th
1. Phương pháp:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 488
Nếu hình phng được gii hn bi các đường thì th tích khi
tròn xoay sinh bi khi quay quanh trc
Ox
được tính bi công thc:
2. Các Bài tp mu:
Bài tp 1: Cho hình phng gii hn bi các đường quay xung quanh trc
. Th tích ca khi tròn xoay to thành bng:
A.
3
3
11
.
35
b
V
a




. B. .
C. . D.
Hướng dn gii
Chn D
Ta độ giao đim ca hai đường là các đim . Vy th
tích ca khi tròn xoay cn tính là: .
Bài tp 2: Cho hình phng gii hn bi các đường quay xung quanh trc Ox.
Th tích ca khi tròn xoay to thành bng:
D
,,,yfxygxxaxb

D
 
22
b
a
Vfxgxdx

2
., , , 0yaxybxab

Ox
5
3
.
5
b
V
a
5
3
.
3
b
V
a
5
3
11
.
35
b
V
a



2
.yax
.
y
bx
(0; 0)O
2
;
bb
A
aa



5
22 24
3
00
11
35
bb
aa
b
V bxdx axdx
a





22
1
4,
3

y
x
y
x
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 489
A.
. B. .
C. . D.
Hướng dn gii
Chn B
Ta độ giao đim ca hai đường các đim . Vy
th tích ca khi tròn xoay cn tính là:
.
Bài tp 3: Cho hình phng gii hn bi các đường quay xung quanh trc Ox. Th
tích ca khi tròn xoay to thành bng:
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dn gii
Chn D
Vi thì
Ta độ giao đim ca đường vi các đim . Vy th tích ca
khi tròn xoay cn tính là:
Bài tp 4: Th tích khi tròn xoay khi quay hình phng D gii hn bi các đường elip
quay quanh Ox bng:
A.
. B. . C. . D.
Hướng dn gii
Chn D
24 3
V
5
28 3
V
5
28 2
V
5
24 2
V
5
2
4yx
2
1
3
yx
3;1A

3;1B

33
24
33
1283
4.
95
Vxdxxdx



22
2, 4
yxy x
88
5
V
9
70
V
4
3
V
6
5
V


0; 2x

2
44yxy x
2
2yx
2
4yx (0; 0)O (1; 2)A
11
4
00
6
.4 .4 . .
5
Vxdxxdx



22
99xy
2
3
4
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 490
Ta có: .
Bài tp 5: Th tích ca khi tròn xoay khi quay hình phng D gii hn bi các đường
quanh trc Ox bng:
A.
. B. .
C. . D.
Hướng dn gii
Chn D
Xét phương trình .
Và .
3. Bài tp
Câu 1:
Quay hình phng như hình được tô đậm trong hình v bên quanh trc Ox ta được khi tròn
xoay có th tích là:
A.
. B. . C. . D.
Hướng dn gii
Chn A
Xét h phương trình:
22 2
43
3
11
xy x
x
yy




.
Do đối xng nhau qua Oy nên:
33
22
22 2 2
33
99
99 4
99
xx
xy y V ydx dx





,
y
x
y
x

1
0
x
xdx

1
0
x
xdx

1
2
0
x
xdx

1
2
0
x
xdx
2
0
0; 1
x
x
xxx
xx




11
22 2
00
0;1 ( )
x
xx V x xdx xxdx



43V
63V
53V
23V
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 491
.
Câu 2: Quay hình phng như hình được tô đậm trong hình v bên quanh trc Ox ta được khi tròn
xoay có th tích:
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dn gii
Chn B
Xét h phương trình: .
Do đối xng nhau qua Oy nên
.
Câu 3: Quay hình phng như hình được tô đậm trong hình v bên quanh trc Ox ta được khi tròn
xoay có th tích là:
A.
. B. . C.
2
2
3
V
. D.
 
33
3
22 2
00
3
24 1 23 23 43
3
0
x
Vxdxxdxx








46
9
V
46
15
V
23
9
V
13V
22
4
1
3
xy
x
yx





33
2
224
00
24 3 24 3Vxxdxxxdx






55
346
3
24
35 15
0
xx
x




2
3V
2
V
2
2V
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 492
Hướng dn gii
Chn D
Ta có:
Ta có:
Đặt ;
.
Câu 4: Cho hình gii hn bi các đường cong tiếp tuyến ca ti đim
và trc Th tích ca khi tròn xoay khi quay quanh trc bng:
A.
. B. . C. . D.
Li gii
Chn D
Ta có
Phương trình tiếp tuyến ca ti là
Din tích ca bng:
.
Câu 5: Cho hình phng gii hn bi các đường . Th tích
ca khi tròn xoay được to thành khi quay xung quanh trc bng:
A.
. B. . C. . D. .
Li gii
Chn D
 
2
22
22
2
11
11 11
11
y
x
xy y x
y
x

 

11
22
22 2
00
211 11 81Vxxdxxdx






sin
x
t
;
22
t








22
2 2
00
sin 2
8cos 4 1cos2 4 2
2
2
0
t
Vtsdt tdtt








H
:,
x
Cye
C
1;
M
e
.O
y
H
Ox
-1 1 2
1
2
3
x
y
O
2
2
e
2
1
3
e
2
1
2
e
2
3
6
e
x
ye
C
1;
M
e
1.
y
ex e
y
ex
H

1
1
22
222 2 3
0
0
13
d
23 6
xx
ee
Veexxex





H
2
4, 2 4, 0, 2yx y x x x

H
Ox
32
5
6
6
32
5
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 493
Suy ra th tích cn tìm là .
Dng 6: Tính th tích vt th tròn xoay khi quay hình phng gii hn bi nhiu đồ th
1. Phương pháp:
2. Các Bài tp mu:
Bài tp 1: Gi là th tích khi tròn xoay to thành khi quay hình phng gii hn bi các đường
, quanh trc . Đường thng ct đồ th hàm ti
.
Gi là th tích khi tròn xoay to thành khi quay tam giác quanh trc . Biết rng
. Khi đó
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dn gii
Chn
D
Ta có . Khi đó
Ta có
Khi quay tam giác quanh trc to thành hai hình nón có chung đáy:
 Hình nón đỉnh là , chiu cao , bán kính đáy ;
 Hình nón th 2 có đỉnh là , chiu cao , bán kính đáy
Khi đó
Theo đề bài .
Bài tp 2: Cho hình thang cong gii hn bi các đường . Đường thng x
= k chia thành hai hình phng là S
1
và S
2
như hình v bên. Quay quanh trc Ox
được khi tròn xoay có th tích ln lượt là . Vi giá tr nào ca k thì
A. . B. . C.
111
ln
23
k
. D.


22
2
2
2
00
32
4d 2 4d
5
Vx x xx



V
y
x
0y
4x Ox
04xa a

y
x
M
1
V
OMH Ox
1
2VV
2a
22a
5
2
a
3a
00xx
4
0
d8Vxx

;
M
aa
OMH Ox
1
N O
1
hOKa

R
MK a
2
N
H
2
4
hHK a 
R
MK a
22
112
11 4
33 3

VRhRha
1
4
282. 3
3

 VV aa
,0,0,ln4
x
yey x x 
0ln4k
12
,SS
12
,VV
12
2VV
132
ln
23
k
1
ln11
2
k
32
ln
3
k
x
y
O
a
M
H
4
K
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 494
Hướng dn gii
Chn
B
Ta có:
Theo gi thiết:
22
2
12
1
228 11ln11
22 2 2
kk
k
ee
VV e k





Bài tp 3: Cho hình phng D gii hn bi các đường
2
4yx
đường thng
4x
. Th tích ca
khi tròn xoay sinh ra khi
D xoay quanh trc Ox là:
A.
32
. B.
64
.
C.
16
. D.
4
.
Hướng dn gii :
Chn A
Giao đim ca hai đường
2
4yx
4x

4; 4D

4; 4E
. Phn phía trên
Ox
ca đường
2
4yx
có phương trình
2yx
. T hình v suy ra th tích ca khi tròn xoay cn tính là:

4
2
0
232Vxdx
.
Bài tp 4: Cho hình phng gii hn bi các đường
3, , 0, 1yxyxx x
quay xung quanh trc
Ox. Th tích ca khi tròn xoay to thành bng:
 
ln 4
22 2 2
22
12
0
ln 4
;8
0
222 2 2
k
x
kxk
xx
k
k
ee e e
V e dx V e dx
k


 

 
 

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 495
A.
8
V.
3
B.
4
V.
3
C.
2
V.
3
D. V.
Hướng dn gii
Chn A
Ta độ giao đim ca đường
1
x
vi
yx
3yx
là các đim
1; 1C
3;1B . Ta độ giao
đim ca đường
3yx vi
yx
0;0O . Vy th tích ca khi tròn xoay cn tính là:
11
22
00
8
.9 .
3
Vxdxxdx

.
Bài tp 5: Trên mt phng Oxy, cho hình phng gii hn bi các đường

22
:;':y4;:4Pyx P xdy . Th tích ca khi tròn xoay khi quay quanh trc Ox bng:
A.
9
5
. B.
4
5
. C.
7
5
. D. 2
.
Hướng dn gii
Chn B
Đặt V là th tích cn tìm
Xét phương trình hoành độ giao đim ca và:
2
2
4
2
x
x
x

Xét phương trình hoành độ giao đim ca và:
2
1
44
1
x
x
x

OAC
V
là th tích khi tròn xoay sinh bi khi quay:
2
4
y
x
y
Oy
quanh Ox
OAB
V
là th tích khi tròn xoay sinh bi khi quay:
2
4
4
yx
y
Oy
quanh Ox
Lúc đó:

22 21
22
2224
00 00
4444416
OAC OAB
VV V x dx x dx xdx xdx






55
21
32 16 4
441684
00
55555
xx
xx








Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 496
3. Bài tp trc nghim:
Câu 1:
Cho

H
là hình phng gii hn bi đồ th ca các hàm s
:y , 0, 2
P
xy y x
.
Th tích ca khi tròn xoay thu được khi quay hình
H
xung quanh trc
Ox
là:
A.
42 1
3
. B.
7
6
.
C.
82 3
6
. D.
5
6
.
Li gii
Chn D
22
02 02
21
(2 ) 5 4 0
xx
x
xx
xxxx







12
2
2
01
5
(2 )
6
Vxdx xdx



.
Câu 2: Cho hình

H gii hn bi các đường
1yx
;
6
y
x
;
1
x
. Quay hình

H quanh
trc
Ox
ta được khi tròn xoay có th tích là:
A.
13
6
. B.
125
6
. C.
35
3
. D.
18
.
Li gii
Chn
C
Phương trình hoành độ giao đim:


2
2
6
1600
3
x
xxxx
x
l
x


x
y
1
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 497
6
10x
x

vi
1; 2x
nên th tích cn tính là

2
22
2
11
635
d1d
3
Vxxx
x






.
Câu 3: Gi
H
là hình phng gii hn bi các đường:
3; ; 1yxyxx

. Quay
H
xung
quanh trc
Ox
ta được khi tròn xoay có th tích là:
A.
8
3
. B.
2
8
3
. C.
2
8
. D.
8
.
Li gii
Chn A
Phương trình hoành độ giao đim:
30xx x

30xx
vi
0;1x
.
Th tích cn tính là

11
2
2
00
8
3d d
3
Vxxxx



.
Câu 4: Cho hình phng

H gii hn bi các đường
2
,2yxy x
. Th tích ca khi tròn xoay
được to thành khi quay

H xung quanh trc
Ox
bng:
A.
16
15
. B.
21
15
. C.
32
15
. D.
64
15
.
Li gii
Chn D
Hoành độ giao đim ca đồ th 2 hàm s
2
yx
2yx
là nghim ca phương trình
2
0
2
2
x
xx
x

Th tích ca khi tròn xoay to thành là


22
2
2
2
00
π 2dπ dVxxxx

2
2
5
3
0
0
464π
ππ
3515
x
x







.
Câu 5: Cho hình phng gii hn bi các đường
22
1
4,
3
yxyx
quay xung quanh trc
Ox
.
Th tích ca khi tròn xoay to thành bng:
A.
28 2
5
V
. B.
28 3
5
V
. C.
24 2
5
V
. D.
24 3
5
V
.
Li gii
Chn B
Gii phương trình
22
1
43
3
xxx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 498
Th tích cn tìm
2
33
2
2
2
33
28 3
4d d
35
x
Vxx x







.
Dng 7: Mt s bài toán thc tế ng dng tích phân
1. Phương pháp gii
* Mt vt chuyn động có phương trình vn
tc trong khong thi gian t đến
s di chuyn được quãng đường
là:
Ví d 1: Mt vt chuyn động chm dn đều vi
vn tc . Quãng đường
mà vt chuyn động t thi đim đến
thi đim mà vt dng li là
A. 1028m. B. 1280m.
C. 1308m. D. 1380m.
Hướng dn gii
Khi vt dng li thì
Do đó
.
Chn B.
* Mt vt chuyn động có phương trình
gia tc thì vn tc ca vt đó sau
khong thi gian là:
Ví d 2: Mt chiếc ô tô chuyn động vi vn tc
, có gia tc
Vn tc ca ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn
v) là
A. 4,6 m/s. B. 7,2 m/s.
C.
1,5 m/s. D. 2,2 m/s.
Hướng dn gii
Vn tc ca ô tô sau 10 giây là
.
vt
ta
tbab

b
a
Svtdt
160 10 /vt tm s
0ts
160 10 0 16vt t t


16 16
00
160 10Svtdt tdt



16
2
0
160 5 1280tt m
at

12
;tt

2
1
t
t
vatdt
vt
/ms
 

2
3
/.
21
at v t m s
t


10
10
0
0
33 3
ln 2 1 ln 21 4,6 /
21 2 2
vdtt ms
t

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 499
Chn A.
* Đin lượng chuyn qua tiết din ca dây dn
ca đon mch trong thi gian t đến là:
2. Bài tp
Bài tp 1: Mt vt chuyn động vi vn tc 10 m/s thì tăng tc vi gia tc . Tính
quãng đường vt đi được trong khong thi gian 10 giây k t lúc bt đầu tăng tc.
A. B. 4300 m. C. 430 m. D.
Hướng dn gii
Chn A.
Hàm vn tc
Ly mc thi gian lúc tăng tc
Ta được
Sau 10 giây, quãng đường vt đi được là
Bài tp 2: Dòng đin xoay chiu hình sin chy qua mt đon mch LC có biu thc cường độ
. Biết vi
qđin tích tc thi t đin. Tính t lúc , đin lượng
chuyn qua tiết din thng ca dây dn ca đon mch đó trong thi gian t 0 đến
A. B. 0. C. D.
Hướng dn gii
1
t
2
t

2
1
t
t
QItdt
2
3at t t
4300
.
3
m
430
.
3
m
 

23
2
3
3.
23
tt
v t a t dt t t dt C

0 10 10.vC

23
3
10.
23
tt
vt 

10
23 34
10
0
0
3 4300
10 10
23 212 3
tt tt
Sdttm




vt atdt

0
cos
2
it I t




iq
0t
0
2
.
I
0
2
.
I
0
.
2
I
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 500
Chn C.
Đin lượng chuyn qua tiết din ca dây dn ca đon mch trong thi gian t 0 đến
Bài tp 3: Gi mc nước trong bn cha sau khi bơm được t giây. Biết rng
và lúc đầu bn không có nước. Tìm mc nước bn sau khi bơm nước được 6 giây
(chính xác đến 0,01
cm)
A. 2,67 cm. B. 2,66 cm. C. 2,65 cm. D. 2,68 cm.
Hướng dn gii
Chn B.
Mc nước bn sau khi bơm nước được 6 giây là
Bài tp 3: Mt viên đá được bn thng đứng lên trên vi vn tc ban đầu là
40
m/s t mt đim cao
5 m cách mt đất. Vn tc ca viên đá sau
t
giây được cho bi công thc
40 10vt t m/s. Tính
độ cao ln nht viên đá có th lên ti so vi mt đất.
A.
85
m. B.
80
m. C.
90
m. D.
75
m.
Li gii
Chn
A
Gi
h
là quãng đường lên cao ca viên đá.
2
'dt4010dt405vt h t ht vt t t t c

Ti thi đim
0t
thì
5h
. Suy ra
5c
.
Vy
2
40 5 5ht t t
ht
ln nht khi
040100 4vt t t 
. Khi đó
485mh
.
Bài tp 4: Mt ô tô chy vi vn tc
20
m/s thì người lái đạp phanh còn được gi là “thng”. Sau khi
đạp phanh, ô tô chuyn động chm dn đều vi vn tc
40 20vt t
 trong đó
t
là khong thi
gian tính bng giây k tc bt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô di chuyn t lúc đạp phanh đến
khi dng hn là bao nhiêu?

00
0
0
00
2
cos sin .
22
II
QItdtI t dt t









Qt Itdt
ht cm

3
1
8
5
ht t

  
66
6
33
0
00
13
8882,66
520
htdt t dt t t cm





Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 501
A.
2
m. B.
3
m. C.
4
m. D.
5
m.
Li gii
Chn
D
Ly mc thi gian là lúc ô tô bt đầu đạp phanh
0t
Gi
T
là thi đim ô tô dng li. Khi đó vn tc lúc dng là
0vT
Vy thi gian t lúc đạp phanh đến lúc dng là

1
040200
2
vT T T

Gi
s
t là quãng đường ô tô đi đưc trong khong thi gian
T
.
Ta có
vt s t
suy ra
s
t là nguyên hàm ca
vt
Vy trong

1
s
2
ô tô đi được quãng đường là:


1
1
2
2
2
0
0
d 40 20 d 20 20 5
T
t
vt t t t t t


Bài tp 5: Mt ô tô xut phát t A chuyn dng vi vn tc nhanh dn đều,
10
giây sau, ô tô đạt vn
tc
5
và t thi đim đó ô tô chuyn động đều. Ô tô th hai cũng xut phát t A nhưng sau ô tô th
nht là 10 giây, chuyn động nhanh dn đều và đui kp ô tô th nht sau
25
giây. Vn tc ô tô th
hai ti thi đim đó là
A.
12
. B.
8
. C.
10
. D.
7
.
Li gii
Chn
A
Ta có gia tc trong
10
s đầu ca ô tô th nht là

2
0
0
5
0,5 m/s
10
vv
a
tt

Trong
10
s đầu, ô tô th nht chuyn động nhanh dn vi vn tc
0,5vt t
Quãng đường ô tô th nht đi được trong
10
s là

10
0
0,5 dt 25 mt
.
Trong
25
s tiếp theo, ô tô th nht đi được
5.25 125
Vy quãng đường ô tô th nht đi được đến khi b đui kp là
25 125 150 m
Mt khác
2
0
1
2
SS at
Gia tc ca ô tô th hai là

0
2
22
2
2.150
0, 48 m/s
25
SS
a
t

Vy khi đui kp ô tô th nht, vn tc ca ô tô th hai là
0
12
t
vvat

.
Bài tp 6: Mt ô tô bt đầu chuyn động nhanh dn đều vi vn tc
1
7vt t
đi được
5
, người lái
xe phát hin chướng ngi vt và phanh gp, ô tô tiếp tc chuyn động chm dn đều vi gia tc
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 502
2
70 m/sa 
. Tính quãng đường
mS đi được ca ô tô t lúc bt đầu chuyn bánh cho đến khi
dng hn.
A.
95,70 mS
. B.
87,50 mS . C.
94,00 mS . D.
96,25 mS .
Li gii
Chn D
Quãng đường ô tô đi được t lúc xe lăn bánh đến khi được phanh.
 
5
55
2
11
00
0
dt 7 dt 7 87,5 m .
2
t
Svt t

Vn tc
2
m/svt ca ô tô t lúc được phanh đến khi dng hn tha mãn
2
70 dt 70vt tC
,

21
5535 385vv C. Vy
2
70 385vt t .
Thi đim xe dng hn tương ng vi
t
tha mãn
2
05,5svt t .
Quãng đường ô tô đi được t lúc xe được phanh đến khi dng hn.

5,5 5,5
21
55
dt 70 385 dt 8,75 mSvt t

.
Quãng đường cn tính
12
96,25 mSS S .
Bài tp 7: Mt vt di chuyn vi gia tc

2
2
20 1 2 /at t m s

. Khi
0t
thì vn tc ca vt

30 /ms. Tính quãng đường vt đó di chuyn sau
2
giây.
A.
46Sm
. B.
47Sm
. C.
48Sm
. D.
49Sm
.
Li gii :
Chn C
Vn tc vt là :
 
21
20 1 2 10 1 2vt atdt t dt t C



.
Khi
0t
thì

1
0 10. 1 30 20vCC

.
Nên

1
10 1 2 20 /vt t m s

.
Suy ra :



2
1
0
10 1 2 20 48Stdtm

Bài tp 8: Vt chuyn động vi vn tc ban đầu
5/ms
và có gia tc được xác định bi công thc

2
2
/
1
ams
t
. Vn tc ca vt sau 10s đầu tiên là
A.
10 /ms
. B.
9/ms
. C.
11 /ms
. D.
12 /ms
Hướng dn gii:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 503
Chn A
Ta có
 
2
2ln 1
1
vt dt t c
t

Mà vn tc ban đầu 5m/s tc là :
05 2ln01 5 5vcc

.
Nên

2ln 1 5vt t
Vn tc ca vt sau 10s đầu tiên là :
10 2ln 11 5 9,8v 
Chn Chn
A.
Bài tp 9:
Trong gi thc hành môn Vt Lí. Mt nhóm sinh viên đã nghiên cu v s chuyn động
ca các ht. Trong quá trình thc hành thì nhóm sinh viên này đã phát hin mt ht prôton di chuyn
trong đin trường vi biu thc gia tc là:

2
20 1 2at

.Vi
t
ca ta được tính bng giây. Nhóm
sinh viên đã tìm hàm vn tc
v theo
t
, biết rng khi
0t
thì
2
30 /vms . Hi biu thc đúng là?
A.
2
10
25 /
12
vcms
t




. B.
2
10
20 /
1
vcms
t




.
C.
2
10
10 /
12
vcms
t




. D.
2
10
20 /
12
vcms
t




Hướng dn gii :
Chn D
Trước hết để gii bài toán này ta cũng chú ý. Biu thc vn tc
v
theo thi gian
t
có gia
tc
a là:
.vadt
Áp dng công thc trên, ta có :

2
20
12
v adt dt
t


Đến đây ta đặt :
12 2
2
du
u t du dt dt
2
10 10 10
10
12
vduuduK K
uut


Vi
0, 30 20tv K
Vy biu thc vn tc theo thi gian là :
2
10
20 / .
12
vcms
t




Bài tp 10: Người ta t chc thc hành nghiên cu thí nghim bng cách như sau. H tiến hành quan
sát mt tia la đin bn t mt đất bn lên vi vn tc 15
m / s. Hi biu thc vn tc ca tia la đin
là?
A.
9,8 15vt
.
B.
9,8 13vt

.
C.
9,8 15vt
.
D.
9,8 13vt
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 504
Chn A
Tia la chu s tác động ca trng lc hướng xung nên ta có gia tc
2
9,8 /ams
Ta có biu thc vn tc
v theo thi gian
t
có gia tc a là :
9,8 9,8v adt dt t C

đây, vi :
0, 15 / 15tvmsC
Vy ta đưc biu thc vn tc có dng :
9,8 15vt

Bài tp 11: Người ta t chc thc hành nghiên cu thí nghim bng cách như sau. H tiến hành quan
sát mt tia la đin bn t mt đất bn lên vi vn tc 15
m / s. Hi sau 2, 5 giây thì tia la đin đấy có
chiu cao là bao nhiêu?
A.
6.235 m . B.
5.635 m . C.
4.235 m . D.
6.875 m
Hướng dn gii
Chn D
Tia la chu s tác động ca trng lc hướng xung nên ta có gia tc
2
9,8 /ams
Ta có biu thc vn tc
v theo thi gian
t
có gia tc a là :
9,8 9,8v adt dt t C

đây, vi
0, 15 / 15tvmsC
Vy ta đưc biu thc vn tc có dng:
9,8 15vt
Ly tích phân biu thc vn tc, ta sđược bu thc quãng đường:

2
9,8 15 4,9 t 15
s
vdt t dt t K

Theo đề bài, ta được khi
00 0.tsK
Vy biu thc ta độ ca qung đường là :
2
4,9 15 .
s
tt
Khi
2,5ts , ta s được
6,875
s
m .
Dng 8: Bài toán thc tế
1. Phương pháp: Vn dng các kiến thc v tích phân và bài toán ng dng.
2. Các Bài tp mu:
Bài tp 1: Tính th tích hình xuyến to thành do quay hình tròn

2
2
:21Cx y

quanh trc
Ox
.
Hướng dn gii:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 505
Hình tròn

C
có tâm

0; 2I
, bán kính
1R

2
2
21 xy
Ta có

2
2
2
2
21
11 1 1
21



yx
yxx
yx
Th tích cn tính:
1
22
222
1
21 21 4





Vxxdx
Bài tp 2: Thành ph định xây cây cu bc ngang con sông dài
500m
, biết rng người ta định xây
cu có 10 nhp cu hình dng parabol,mi nhp cách nhau
40m
,biết 2 bên đầu cu và gia mi nhp
ni người ta xây 1 chân tr rng
5m
. B dày nhp cu không đổi là
20cm
. Biết 1 nhp cu như hình
v. Hi lượng bê tông để xây các nhp cu là bao nhiêu
A.
3
20m
. B.
3
50m
.
C.
3
40m
. D.
3
100m
.
Hướng dn gii:
Chn C
Chn h trc ta độ như hình v vi gc

0;0O
là chân cu,
đỉnh

25;2I
, đim

50;0A
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 506
Gi Parabol trên có phương trình:
 

22
11 1
:P y ax bx c ax bx O P
22
2
20 1
100 2
yaxbx axaxbx là phương trình parabol dưới
Ta có
 
22
111 2
24 241
,:
625 25 625 25 5
IA P P y x x y x x  
Khi đó din tích mi nhp cu là
1
SS
vi
1
S
là phn gii hn bi
12
;yy
trong khong

0; 25
0,2
15
22
00,2
24 1
20,9
625 25 5
Sxxdxdxm









Vì b dày nhp cu không đổi nên coi th tích là tích din tích và b dày
3
.0,2 1,98VS m
s
lượng bê tông cn cho mi nhp cu
3
2m
Vy mười nhp cu hai bên cn
3
40m
bê tông
Chn Chn.
C.
Bài tp 3:
Trong Công viên Toán hc có nhng mnh đất mang hình dáng khác nhau. Mi mnh
được trng mt loài hoa và nó được to thành bi mt trong nhng đường cong đẹp trong toán hc.
đó có mt mnh đất mang tên Bernoulli, nó được to thành t đường Lemmiscate có phương trình
trong h ta độ
Oxy

22 2
16 25yx x
như hình v bên.
Tính din tích
S
ca mnh đất Bernoulli biết rng mi đơn v trong h ta độ
Oxy
tương ng vi
chiu dài
1
mét.
A.

2
125
6
Sm
. B.

2
125
4
Sm
.
C.

2
250
3
Sm . D.

2
125
3
Sm
Hướng dn gii
x
y
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 507
Chn
D
Vì tính đối xng tr nên din tích ca mnh đất tương ng vi 4 ln din tích ca mnh đất thuc
góc phn tư th nht ca h trc ta độ
Oxy .
T gi thuyết bài toán, ta có
2
1
5
4
yxx
.
Góc phn tư th nht

2
1
25 ; 0;5
4
yx xx
Nên
5
23
()
0
1 125 125
25 d ( )
4123
I
Sxxx Sm
Bài tp 4: Mt Bác th gm làm mt cái l có dng khi tròn xoay được to thành khi quay hình
phng gii hn bi các đường
1yx
và trc Ox quay quanh trc Ox biết đáy l và ming l
đường kính ln lượt là
2dm
4dm
, khi đó th tích ca l là:
A.
2
8 .dm
. B.
3
15
.
2
dm
.
C.
2
14
.
3
dm
. D.
2
15
.
2
dm
Li gii
Chn B
11 1
10ry x
22 2
23ry x
Suy ra:

33
2
23
0
00
15
d1d
22
x
Vyx xx x






Bài tp 5: Để kéo căng mt lò xo có độ dài t nhiên t
10cm
đến
15cm
cn lc
40N
. Tính công (
A
) sinh ra khi kéo lò xo có độ dài t
15cm
đến
18cm
.
A. 1, 56 ( )
A
J . B. 1 ( )
A
J
.
C. 2,5 ( )
A
J . D. 2 ( )
A
J
.
Li gii
Chn A
x
y
O
3
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 508
Theo Định lut Hooke, lc cn dùng để gi lò xo giãn thêm
x
mét t độ dài t nhiên là

fx kx
, vi

/kNm
độ cng ca lò xo. Khi lò xo được kéo giãn t độ dài
10cm
đến
15cm
, lượng kéo giãn
5 0.05 cm m
. Điu này có nghĩa

0.05 40f
, do đó:

40
0,05 40 800 /
0,05
kk Nm
Vy

800fx x
và công cn để kéo dãn lò xo t đến
18cm
là:

0,08
0,08
22
2
0,05
0,05
800d 400 400 0,08 0,05 1,56Axx J



Góc phn tư th nht

2
1
25 ; 0;5
4
yx xx
Nên
5
23
()
0
1 125 125
25 d ( )
4123
I
Sxxx Sm
3. Bài tp trc nghim:
Câu 1:
Trong chương trình nông thôn mi, ti mt xã X có xây mt cây cu bng bê tông như hình
v. Tính th tích khi bê tông để đổ đủ cây cu.
A.
3
19m
. B.
3
21m
. C.
3
18m
. D.
3
40m
.
Hướng dn gii
Chn D
Chn h trc
Oxy
như hình v.
15cm
0,5m 0,5m19m
5 m
2 m
0,5m
x
O
M
x
x
.
f
xkx
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 509
Ta có
Gi

2
1
:Pyax c
là Parabol đi qua hai đim

19
;0 , 0;2
2
AB



Nên ta có h phương trình sau:

2
2
1
8
19
0. 2
8
:2
361
2
361
2
2
a
a
Py x
b
b









Gi

2
2
:Pyaxc
là Parabol đi qua hai đim

5
10;0 , 0;
2
CD



Nên ta có h phương trình sau:
Ta có th tích ca bê tông là:
19
10
223
2
00
15 8
5.2 2 40
40 2 361
Vxdxxdxm








.
Câu 2: Cho hai mt cu

1
S
,

2
S
có cùng bán kính
R
tha mãn tính cht: tâm ca

1
S
thuc

2
S
và ngược li. Tính th tích phn chung
V
ca hai khi cu to bi
1
()S
2
()S
.
A.
3
VR
. B.
3
2
R
V
. C.
3
5
12
R
V
. D.
3
2
5
R
V
.
Hướng dn gii
Chn C


2
2
2
1
5
0.10
15
40
2
:
5
5
40 2
2
2
a
a
Py x
b
b






O
R
2
R
22 2
():Cx y R
y
x
y
O x
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 510
Gn h trc
Oxy
như hình v
Khi cu

,SOR
cha mt đường tròn ln là

22 2
:Cx y R
Da vào hình v, th tích cn tính là
.
Câu 3: Mt thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết din vuông góc vi trc và cách đều hai
đáy có bán kính là 40cm, chiu cao thùng rượu là 1m. Biết rng mt phng cha trc và
ct mt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hi th tích ca thùng rượu
là bao nhiêu?
A.
425,2
lit. B.
425162
lit. C.
212581
lit. D.
212,6
lit.
Hướng dn gii
Chn A
Gi

2
:Pyax bxc
là parabol đi qua đim

0,5;0,3A
và có đỉnh

0;0, 4S
. Khi
đó, th tích thùng rượu bng th tích khi tròn xoay khi cho hình phng gii hn bi

P
,
trc hoành và hai đường thng
0,5x 
quay quanh trc
Ox
.
D dàng tìm được

2
2
:0,4
5
Py x
Th tích thùng rượu là:
22
0,5 0,5
22
0,5 0
2 2 203
0,4 2 0, 4 425,5 (l)
5 5 1500
Vxdxxdx






.
Câu 4: Bác Năm làm mt cái ca nhà hình parabol có chiu cao t mt đất đến đỉnh là 2,25 mét,
chiu rng tiếp giáp vi mt đất là 3 mét. Giá thuê mi mét vuông là 1500000 đồng. Vy
s tin bác Năm phi tr là:

33
22 2
2
2
5
2d2
312
R
R
R
R
x
R
VRxxRx





x
y
0,4m
0,3m
0,5m
O
S
A
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 511
A.
33750000 đồng. B. 12750000 đồng. C. 6750000 đồng. D. 3750000
đồng.
Hướng dn gii
Chn C
Gn parabol

P
và h trc ta độ sao cho

P
đi qua
(0;0)O
Gi phương trình ca parbol là:

2
: Pyaxbxc
Theo đề ra,

P
đi qua ba đim
(0;0)O
,
(3;0)A
,
(1, 5; 2, 25)B
.
T đó, suy ra

2
: 3Py x x
Din tích phn Bác Năm xây dng:
3
2
0
9
3
2
Sxxdx
Vy s tin bác Năm phi tr là: 1500000 675 0
9
.
2
000 .
Câu 5: Ông An có mt mnh vườn hình Elip có độ dài trc ln bng
16m
độ dài trc bé bng
10m
. Ông mun trng hoa trên mt di đất rng
8m
và nhn trc bé ca elip làm trc đối
xng. Biết kinh phí để trng hoa là
100.000
đồng/
2
1m
. Hi ông An cn bao nhiêu tin để
trng hoa trên di đất đó?
A.
7.862.000
đồng. B.
7.653.000
đồng. C.
7.128.000
đồng. D.
7.826.000
đồng.
Hướng dn gii
Chn B
Gi s elip có phương trình
22
22
1
xy
ab

.
T gi thiết ta có
216 8aa
210 5bb
x
y
A
B
O
8m
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 512
Vy phương trình ca elip là
2
22
1
2
1
5
64 ( )
8
1
5
64 25
64 ( )
8
yyE
xy
yyE



Khi đó din tích di vườn được gii hn bi các đường
12
();(); 4; 4EEx x
và din
tích ca di vườn là
44
22
40
55
264d 64d
82
Sxxxx


Tính tích phân này bng phép đổi biến
8sin
x
t
, ta được
3
80
64
S




Khi đó s tin là
3
80 .100000 7652891,82 7.653.000
64
T




.
Câu 6: Người ta dng mt cái lu vi có dng hình “chóp lc giác cong đều” như hình vn. Đáy
ca là mt hình lc giác đều cnh
3.m
Chiu cao
6SO m
. Các cnh bên ca là các si
dây
123456
,,,,,cccccc
nm trên các đường parabol có trc đối xng song song vi SO. Gi
s giao tuyến ca vi mt phng vuông góc vi SO là mt lc giác đều và khi qua trung
đim ca SO thì lc giác đều có cnh bng
1.m
Tính th tích phn không gian nm bên
trong cái lu đó.
A.
3
135 3
()
5
m
. B.
3
96 3
()
5
m
. C.
3
135 3
()
4
m
. D.
3
135 3
()
8
m
Hướng dn gii
Chn D
c
1
c
4
c
5
c
2
c
6
c
3
3m
1m
O
S
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 513
Đặt h ta độ như hình v, ta có parabol cn tìm đi qua 3 đim có ta độ ln lượt là
(0;6), (1;3), (3;0)ABC
nên có phương trình là
2
17
6
22
yx x

Theo hình v ta có cnh ca thiết din là
B
M
Nếu ta đặt
tOM
thì
71
2
24
BM t

Khi đó din tích ca thiết din lc giác:
2
2
3337 1
() 6. 2 ,
422 4
BM
St t





vi
0; 6t
Vy th tích ca túp lu theo đề bài là:
2
66
00
3 3 7 1 135 3
() 2 .
22 4 8
VStdt t dt






.
Câu 7: Mt vt có kích thước và hình dáng như hình v dưới đây. Đáy là hình tròn gii hn bi
đường tròn , ct vt bi các mt phng vuông góc vi trc Ox ta được thiết din
là tam giác đều. Th tích ca vt th là:
A.
32 3
.
3
V
. B.
256 3
.
3
V
.
22
16xy
y
x
O
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 514
C.
256
.
3
V
.
D.
32
.
3
V
Hướng dn gii
Chn B
Gii phương trình
22 2 2 2
16 16 16
x
yyxy x
Din tích thiết din là

2
22
1
() 216 .sin 16 3
23
Sx x x

Th tích cn tìm là

44
2
44
256 3
() 3 16
3
VSxdx xdx



.
Dng 9: Các bài toán bn cht đặt sc ca tích phân
Bài tp 1: Cho hàm s

yfx
đồ th trên
2;6
như hình v bên. Biết các min A, B, 2x
có din tích ln lượt là 32; 2; 3. Tích phân

2
2
221
f
xdx

bng
A.
45
2
. B. 41. C. 37. D.
41
2
.
Hướng dn gii
Chn D.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 515
Ta có
 
22
22
221 22 4
f
xdxfxdx





Xét

2
1
2
22Ifxdx

.
Đặt
22 2
2
dt
t x dt dx dx
Đổi cn:
22xt 
;
26
x
t
.
Suy ra

6
1
2
1
2
Iftdt
.
Gi
1
x
;
2
x
là các hoành độ giao đim ca đồ th hàm s
yfx vi trc hoành
12
26xx . Ta
   

12
12
6
1
2
11
22
133
32 2 3
22
xx
A
BC
xx
I f tdf f tdf f tdf S S S







Vy

2
1
2
33 41
221 4 4
22
fx dxI



Bài tp 2: Cho hàm s
yfx đồ th ca hàm s
yfx
như hình bên. Đặt
 
2
21gx f x x
. Mnh đề nào dưới đây đúng?
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 516
A.
331
g
gg . B.
331
g
gg .
C.
133gg g . D.
13 3gg g.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
 
221gx f x x


01
g
xfxx

 . Đây là phương trình hoành độ giao đim ca đồ th hàm s
f
x
đường thng d:
1yx
.
Da vào đồ th ta thy:
 
1
01
3
x
gx f x x
x

 
Bng biến thiên:
x

–3 1 3
g
x
0 + 0 0 +
g
x

3g
1
g

3g
Suy ra

31
g
g
31
g
g
Gi
1
S
,
2
S
ln lượt là din tích các hình phng gii hn bi đồ th hàm s
f
x
, đường thng
d:
1yx trên các đon
3;1

1; 3 ta có:
+) Trên đon
3;1 ta có

1
f
xx
 nên
 
11
1
33
1
1
2
Sgxdx fxxdx




.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 517
+) Trên đon

1; 3
ta có

1
f
xx

nên
 
33
2
11
1
1
2
Sgxdx xfxdx



.
Da vào đồ th ta thy
12
SS
nên ta có:
   
1
3
31
13 313 3gx gx g g g g g g
 
.
Vy
13 3gg g.
Lưu ý:
- Hoành độ giao đim ca đồ th hàm s
f
x
đường thng d:
1yx
chính là nghim ca
phương trình
0gx
.
- Lp bng biến thên ta thy

1
g
ln hơn
3g
. Ta ch cn so sánh
3g
3g .
- So sánh din tích da vào đồ th.
Ví d 4: Hình phng

H được gii hn bi đồ th
C ca hàm đa thc bc ba và parabol
P
trc đối xng vuông góc vi trc hoành. Phn
đậm ca hình v có din tích bng
A.
37
12
. B.
7
12
. C.
11
12
. D.
5
12
.
Hướng dn gii
Chn A.
đồ th hàm bc ba và đồ th hàm bc hai ct trc tung ti các đim có tung độ ln lượt là
2y 0y nên ta xét hai hàm s
32
2yax bx cx

,
2
ymx nx
(vi a,
0m
).
Suy ra

C :
32
2yfx axbxcx
P
:
2
ygx mx nx
.
Phương trình hoành độ giao đim ca
C
P
là:

32 2 32 2
220ax bx cx mx nx ax bx cx mx nx 
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 518
Đặt


32 2
2P x ax bx cx mx nx
.
Theo gi thiết,

C

P
ct nhau ti các đim có hoành độ ln lượt là
1x 
,
1
x
,
2x
nên
112Px ax x x.
Ta có
02
P
a .
Mt khác, ta có
  
0002 1Pfg a
.
Vy din tích phn tô đậm là

2
1
37
112
12
Sxxxdx

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 519
CHƯƠNG 4. S PHC
BÀI 1&2. KHÁI NIM S PHC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CA S PHC
A. LÝ THUYT
I. KHÁI NIM V S PHC
1. S phc
Định nghĩa
Cho s phc
z có dng: zabivi ,
ab , trong đó
a
gi là phn thc ca
z
,
b
gi là phn o ca
z
,
i
gi là
đơn v o tha mãn
2
1i .
Đặc bit:
Tp hp các s phc, kí hiu là
.
S phc
z là s thc nếu
0b
.
S phc
z là s thun o nếu
0a
.
S phc
00 0 zi
va là s thc, va là s o (còn gi là
s thun o).
S phc liên hp
S phc liên hp ca s phc z , kí hiu z , là
zabi.
đun ca s phc
đun ca s phc z , kí hiu là
22
zab.
2. Hai s phc bng nhau
Định nghĩa
Hai s phc
111
zabi
222
zabi được gi là bng
Bài tp:
+)
2
5
7
zi
;
+) 2
zi;
+)
4
,cos,
312
ziw iui
,… là
các s thun o.
Bài tp
+) S phc
2
5
7
zi có s phc
liên hp là
2
5
7
zi;
+) S phc
4
3
zi
có s phc liên
hp là
4
3
zi.
Nhn xét: Mi s thc có s phc
liên hp là chính nó.
Bài tp:
S phc
2
5
7
zi
có môđun
2
2
2 1229
5
77




z
Bài tp:
S phc
zabi bng 0 khi và
ch khi
0
0
a
b
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 520
nhau khi và ch khi
12
12
aa
bb
.
3. Biu din hình hc ca s phc
Trên mt phng ta độ Oxy , mi s phc ; ,
zabiab
được biu din bi đim ( ; )
M
ab . Ngược li, mi đim
(;)
M
ab biu din duy nht mt s phc là
zabi
.
hay
0
z .
Nhn xét:
+)
OM z ;
+) Nếu
12
,zz có các đim biu din
ln lượt là
12
,
M
M thì
12 1 2
M
Mzz.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 521
SƠ ĐỒ H THNG HÓA
a
là phn thc ca s phc z
b là phn o ca s phc
z
S phc liên hp ca
z
zabi
22
zab
M
đim biu din ca
s phc
z
Độ dài đon OM là môđun
s phc
z
M
đim biu din ca s phc z
Đại s
(
là tp hp
s phc)
S phc
liên hp
đun s
phc
Hình hc
S PHC
zabi
2
,;1
ab i
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 522
II. CÁC PHÉP TOÁN S PHC
1. Phép cng s phc
Định nghĩa
Tng ca hai s phc
,,,,zabiz abiabab


là s phc
.zz aa bbi


Tính cht
Vi mi , ,zz z

ta có:
Tính cht kết hp:
;zz z z z z


Tính cht giao hoán:
;zz z z


Cng vi 0:
00 ;zzz
0.zz zz
2. Phép tr s phc
Hiu ca hai s phc
,,,,:zabiz abiabab


.zz z z aa bbi


3. Phép nhân s phc
Định nghĩa
Tích ca hai s phc
,,,,zabiz abiabab


s phc
.zz aa bb ab a b i


Tính cht
Vi mi , ,zz z

ta có:
• Tính cht giao hoán: ;zz z z

• Tính cht kết hp:
;zz z z z z

• Nhân vi 1:
1. .1 ;zz z
• Tính cht phân phi ca phép nhân đối vi phép cng:
.zz z zz zz


4. Phép chia cho s phc khác 0
S nghch đảo ca s phc 0z kí hiu là
1
,z
là s phc
tha mãn
1
1,zz
, hay
1
2
1
.zz
z
Thương ca phép chia s phc
z
cho s phc
z
khác
0,
Bài tp:
54 32 82.iii

Bài tp:
2
5
7
zi
có s đối là
2
5.
7
zi
Bài tp:
54 32 26.iii

Bài tp:
54 32 158 1210 232.ii i i

Chú ý:
Ta có th thc hin phép cng và phép nhân
các s phc theo các quy tc như phép toán
cng và nhân các s thc.
° Các hng đẳng thc ca các s thc cũng
đúng đối vi các s phc.
Bài tp:

2
22
42 22.zzizizi
Bài tp:
32zi
có s phc nghch đảo là

11 32
.3 2 .
13 13 13
ii
z

Bài tp:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 523
kí hiêu là
1
2
.
zzz
zz
z
z



54 32
54 722 7 22
.
3 2 3 2 3 2 13 13 13
ii
ii
i
iii




SƠ ĐỒ H THNG HÓA
Phép cng s phc
Tng ca hai s phc zabi
,, ,zabiabab


là s phc
.zz aa bbi


Phép tr s phc
Hiu ca hai s phc
zabi
,, ,zabiabab

 là s
phc
.zz aa bbi


Phép nhân s phc
Tích ca hai s phc zabi
,, ,zabiabab

 là s
phc
.zz aa bb ab a b i


Phép chia s phc khác 0
S nghch đảo ca s phc 0z
kí hiu là
1
z
là s
phc tha mãn
1
1zz
hay
1
2
1
.zz
z
Thương ca phép chia s phc z
cho s phc
0z
, kí
hiu là
1
2
.
zzz
zz
z
z

Tính cht phép cng s phc
Vi mi ,,zz z

ta có
;zz z z z z


;zz z z


00 ;
zzz

0.zz zz

Tính cht phép nhân s phc
Vi mi ,,zz z

ta có
;
zz z z

;zz z z z z

1. .1 ;
zz z
.zz z zz zz


CÁC
PHÉP TOÁN
VI S PHC
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 524
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Thc hin các phép toán ca s phc, tìm phn thc phn o
1. Phương pháp gii
Cho hai s phc
zabi
zabi

,
trong đó , , ,
aba b

. Khi đó:
'' ;zz aa bbi

'' ;zz aa bbi

;zz aa bb ab a b i


2
.
zzz
z
z

Bài tp:
Hai s phc
12
37, 43ziz i

12
34 73 74;zz i i

12
34 73 110;zz i i
12
3.4 7 .3 3.3 4. 7 33 19 ;zz i i

1
2
37 43
937
.
43.43 25 25
ii
z
i
zii



2. Bài tp
Bài tp 1:
Tt c các s phc z tha mãn
231 73ziizi

A.
84
.
55
zi B.
42.zi
C.
84
.
55
zi D.
42.zi
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:

10
231 73 2 10 42.
2
ziizi iz z zi
i

Bài tp 2: Cho s phc
,zabiab tha mãn 13 0zizi
 . Giá tr ca 3Sa b
A.
7
.
3
S  B. 3.S C. 3.S
D.
7
.
3
S
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có 13 0zizi
22
22
10
13 0
3
a
ab abi
bab

 


2
2
1
1
3
3.
4
3
31
a
a
b
S
b
bb








Bài tp 3. Tính
 

23 20
C1 1i 1i 1i ... 1i
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 525
Áp dng công thc ca cp s nhân:
Ta có:
 




 


21
23 20
1
21 21
1q
C1 1i 1i 1i ... 1i u.
1q
11i 11i
1. .
i
11i
Ta có:



  
2
21 20 10
10 10 10
1i 2i
1i 1i .1i 2i .1i 2 1i 2 i.2
Do đó:



10 10
10 10
12 i.2
C212i.
i
Bài tp 4. Tính tng

2 3 2012
S i 2i 3i ... 2012.i .
A. 1006 1006i B. 1006 1006i C. 1006 1006i
D. 1006 1006i
Hướng dn gii
Chn D
Cách 1.
Ta có

2 3 4 2013
iS i 2i 3i ... 2012i

2 3 2012 2013
S iS i i i ... i 2012.i
Dãy s
2 3 2012
i, i , i , ...,i
là mt cp s nhân có công bi
qi
và có 2012 s hng, suy ra:

2012
2 3 2012
1i
i i i ... i i. 0
1i
Do đó:

2013
2012i
S iS 2012.i 2012i S 1006 1006i
1i
Cách 2. Dãy s
22012
1,x,x ,...,x là mt cp s nhân gm 2013 s hng và có công bi bng x.
Xét
x1,x0 ta có:


2013
2 3 2012
1x
1 x x x ... x 1
1x
Ly đạo hàm hai vế ca (1) ta đưc:




2013 2012
2 2011
2
2012.x 2013x 1
1 2x 3x ... 2012x 2
1x
Nhân hai vế ca (2) cho x ta đưc:




2014 2013
2 3 2012
2
2012.x 20 13x x
x 2x 3x ... 2012x 3
1x
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 526
Thay
xi
vào (3) ta được:


2014 2013
2 2 2012
2
2012i 2013i i
S i 2i 3i ... 2012i
1i
Vi

2014 2013
i1,ii
Vy


2012 2012i
S 1006 1006i.
2i
Bài tp 5. Cho
,
hai s phc liên hip tha mãn
2
R  23. Tính .
A.
3
B.
3 C. 2
D.
5
Hướng dn gii
Chn C
Đặt   xiy xiy vi x, y R.
Không gim tính tng quát, ta coi
y0.
 23
nên
2iy 2 3 y 3.
Do
,
hai s phc liên hp nên

.,



3
22
do đó 
3
. Nhưng ta có


33 2 2 3
x3xy 3xyyi
nên 
3
khi và ch khi

23 22 2
3x y y 0 y 3x y 0 x 1.
Vy

22
xy 132.
Bài tp 6. Tìm c biết a,b và c các s nguyên dương tha mãn:


3
c a bi 107i.
A. 400 B. 312 C. 198 D. 123
Hướng dn gii
Chn C
Ta có


3
32 23
c a bi 107i a 3ab i 3a b b 107 .
Nên c là s nguyên dương thì

23
3a b b 107 0.
Hay


22
b
3a b 107.
a, b Z và 107 là s nguyên t nên xy ra:

22 2
11450
b
107;3a b 1 a Z
3
(loi).

22 2
b
1; 3a b 107 a 36 a 6 (tha mãn). Vy nên  
323 2
c a 3ab 6 3.6.1 198.
Bài tp 7. Cho s phc z có phn o bng 164 và vi s nguyên dương n tha mãn
z
4i.
zn
Tìm
n.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 527
A.
n14
B.
n149
C.
697
D.
789
Hướng dn gii
Chn C
Đặt
z x 164i
ta có:

 




zx164i
4i 4i x 164i 656 4 x n i
zn x164in
x656
n 697.
xn41
Vy giá tr cn tìm ca n là 697.
Bài tp 8. Cho s phc z tha mãn
13i
z
1i
.Tìm mô đun ca s phc
ziz
A. 2 B. 3
C.
5
D.
7
Hướng dn gii
Chn A
T z ta phi suy ra được z và thay vào biu thc
ziz ri tìm môđun:




13i 13i1i
1313
zi
1i 2 2 2
Suy ra:
 
 
1313 1313
zii.zi
22 22
Do đó:
 ziz1i ziz 2.
Dùng MTCT:
Bước 1: Lưu

13i
A
1i
Bước 2: Tính AiA
Li bình: Nhn thy rng vi s phc
zabi bt kì ta đều có

 ziz 1iab
hay


ziz
ab ,z
1i
. V phương din hình hc thì
ziz
1i
luôn nm trên trc Ox khi biu din
trong mt phng phc.
Bài tp 9. Tìm s thc m biết:


im
z
1mm2i
2m
zz
2
( trong đó i là đơn v o)
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 528
A.
m1
m1

B.
m0
m1

C.
m0
m1
D.
m2
m1
Định hướng:
Quan sát thy z cho dng thương hai s phc. Vì Vy cn phi đơn gin z bng
cách nhân liên hin mu. T
zz
. Thay z z vào
2m
zz
2
ta tìm được m
Hướng dn gii
Chn C
Ta có:







2222
22
22 2
22
22222
2
im1m 2mi m1m 2mi1m 2m
im
z
1mm2i
1m 4m 1m
m1 m i1 m
mi mi
z
1m 1m 1m 1m
1m






 
Như vy:

 
2
32
22
2
m0
2m m 1 1 1 1
zz m2 m2 m 2m m0
m1
22 2
1m
m1

 
Bài tp 10. Tìm phn thc ca s phc:


n
z1i,n tha mãn phương trình:


44
log n 3 log n 9 3 .
A. 6 B. 8 C. 8 D. 9
Hướng dn gii
Chn C
Điu kin: n3,n
Phương trình

 
44 4
logn3 logn9 3 logn3n9 3


32
n3n9 4 n 6n90 n7do:n3
 

   


3
723
z 1 i 1 i. 1 i 1 i.2i 1 i. 8i 8 8i
Vy phn thc ca s phc z là 8.
Bài tp 11. Cho s phc


m3i
zm
1i
. Tìm m, biết s phc
2
wzđun bng 9.
A.
m1
m1

B.
m3
m1

C.
m3
m1
D.
m3
m3

Hướng dn gii
Chn D
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 529
Ta có:
 


 
 
 
2
22 2
22
m96mi m9 m9
wz 3m iw 9 9m 9
2i 2 2

42 2 2
1
m18m819m918m9m3
2
Vy giá tr cn tìm là
m3
Bài tp 12. Cho s phc



im
z,m
1mm2i
. Tìm giá tr nh nht ca s thc k sao cho tn
ti m để
z1 k
A.
51
k
2
B.
52
k
2
C.
51
k
2
D.
52
k
2
Hướng dn gii
Chn C
Ta có




22
im 1 1mi
zz1
im mi
imim


 

2
2
2
2
2
k0
1mi
m2m2
z1 z1 k
m2m2
mi
k
m1
m1
Xét hàm s


2
2
m2m2
fm
m1
Ta có:






2
ʹʹ
2
2
2m m 1
15
fm fm 0 m .
2
m1
Lp bng biến thiên ta có min







15 35
fm
22
Yêu cu bài toán


2
35 35 51
kk
222
Vy
51
k
2
là giá tr phi tìm.
Dng 2. Tìm s phc liên hp, tính môđun s phc
1. Phương pháp gii
S phc zabi zabi
22
.zab
Chú ý:
Nếu zabi thì
Bài tp: S phc liên hp ca s phc
23 32zii
A. 12 5 .zi
B. 12 5 .zi
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 530
22
2a; . .zz zza b
C. 12 5 .zi
 D. 12 5 .zi
Hướng dn gii
Ta có
2
23 32 65 6 125ziiii i

12 5 .zi
Chn D.
2. Bài tp mu
Bài tp 1:
Cho s phc ,zabi vi ,ab là các s thc tha mãn
24,abi iabi i vi i đơn v o. Môđun ca
2
1 zz

A. 229.
B. 13.
C.
229.
D.
13.
Hướng dn gii
Chn A
Ta có

24 2
24 .
21 3
ab a
abi iabi i
ba b






Suy ra
23.zi
Do đó
2
1215.zz i

Vy

22
2 15 229

Bài tp 2: Cho s phc z tha mãn
13
.
1
i
z
i
đun ca s phc .wizz
A. 42.w B. 2.w C. 32.w D. 22.w
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
13
12.
1
i
zi
i

12 . 12 12 33.ziwii i i   

22
331832.w
Bài tp 3: Cho
12
,zz là các s phc tha mãn
12
1zz
12
26.zz
Giá tr ca biu thc
12
2
P
zz
A.
2.P
B.
3.P
C.
3.P
D.
1.P
Hướng dn gii
Chn A.
Đặt
11111
;, ,zabiab
22222
;, .zabiab
Suy ra
22 22
11 22
1ab ab
12 1212
1
26.. .
4
zz aabb

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 531
Ta có:
12 12 12
22 2zz aa bbi 



22
22 22
12 12 12 1 1 2 2 1212
1
2222 .
4
zz aa bb ab ab aabb
Suy ra
12
22.Pzz
Dng 3. Bài toán liên quan đến đim biu din s phc
Bài tp 1: Cho , ,
A
BC ln lượt là các đim biu din ca các s phc
43,12 ,iii
1
.
i
S phc
đim biu din D sao cho
A
BCD là hình bình hành là
A. 64.zi B. 63.zi C. 65.zi
D. 42.zi
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
A
đim biu din ca s phc 43i nên
4; 3 .A
B
đim biu din ca s phc
12 2ii i nên
2;1 .B
C đim biu din ca s phc
1
i
i
 nên
0; 1 .C
Điu kin để
A
BCD là hình bình hành là
A
DBC
 

6
6; 5 6 5 .
5
DACB D CAB
DACB D CAB
xxxx x xxx
Dzi
yyyy y yyy
 



 

Bài tp 2: Cho tam giác
A
BC có ba đỉnh , ,
A
BC ln lượt là đim biu din hình hc ca các s
phc
12 3
2, 16, 8.ziz izi S phc
4
z đim biu din hình hc là trng tâm ca tam
giác
A
BC . Mnh đề nào sau đây đúng?
A.
4
32.zi B.
4
5.z
C.

2
4
13 12 .zi D.
4
32.zi
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có:
2; 1 , 1; 6 , 8;1 .ABC
Gi
G là trng tâm tam giác .
A
BC
44
3; 2 3 2 3 2 .Gzizi
Bài tp 3: Cho các s phc
12
,zz tho mãn
1212
3, 4, 5zz zz
. Gi ,
A
B ln lượt là các
đim biu din s phc
12
,zz trên mt phng to độ. Din tích S ca OAB
(vi O là gc to độ)
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 532
A.
52.S
B.
6.S
C.
25
.
2
S
D.
12.S
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
1
3,zOA
2
4,zOB
12
5zz AB

OAB
vuông ti
O
(vì
22 2
OA OB AB
)
11
..3.46.
22
OAB
SOAOB

Dng 4. Tìm s phc tha mãn điu kin cho trước
Bài tp 1: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
1
?
2
zi z
ziz


A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn A.
Đặt
,, .zxyixy
Ta có h phương trình:


22
22
2
222
11
1.
2
xy x y
xy
xy xy
 


Do đó
1zi
nên có mt s phc tha mãn.
Bài tp 2: Có bao nhiêu s phc z tha điu kin .2zz z
2?z
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
2
.2 242.zz z z z z 
Suy ra đim
M
biu din s phc z giao ca hai đường tròn
22
1
:4Cx y

2
2
2
:4 4.Cx y
12 1 2
II R R (
12
,II là tâm ca các đường tròn
12
,CC
) nên
1
C
2
C
tiếp xúc nhau).
Suy ra: Có mt s phc z tha mãn yêu cu.
Bài tp 3: Có bao nhiêu s phc tha mãn
627?zz i i iz
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Hướng dn gii
Chn B.
Nhn xét: T gi thiết, ng vi mi z cho ta duy nht mt s phc .z
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 533
Đặt
0,za a , khi đó ta có
627zz i i iz
627az i i iz
76a2aiz aii
76a2aiz ai
76a2aiz ai
 
23
22
7 1 36a 2aa a



432 32
14a 13a 4a 4 0 1 13a 4 0.aaa
Hàm s
32
13a 0fa a a có bng biến thiên:
Đường thng 4y  ct đồ th hàm s
f
a ti hai đim nên phương trình
32
13a 4 0a 
hai nghim khác 1 (do
10f ). Thay giá trđun ca
z
vào gi thiết ta được 3 s phc tha
mãn điu kin.
Bài tp 4: Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca m đểđúng hai s phc
z
tha
mãn
21 10zm i
123?ziz i
A. 40. B. 41. C. 165. D. 164.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi s
,zxyixy
,
M
xyđim biu din s phc .z
Ta có:
 
2
2 1 10 2 1 100zm i zm i

2
2
2 1 1 100.xm y


Khi đó đim biu din s phc
z
nm trên đường tròn
C có tâm
21;1,Im bán kính 10.R
Li có
 
22
12311 23ziz i x yi x yi

22 2 2
11 23 2x8110.xyx y y
Khi đó đim biu din s phc
z
cũng nm trên đường thng
:2 8 11 0xy

đúng hai s phc
z
tha mãn nếu đường thng
ct đường tròn
C ti 2 đim phân bit.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 534
Tc là

22
22 1 8 11
5 20 17 5 20 17
,10 10 .
44
28
m
dI m



Vy có 41 giá tr nguyên ca
m đểđúng hai s phc z tha mãn yêu cu bài toán.
Bài tp 5: Cho hai s phc
1
z
2
z tha mãn
1212
3, 4, 37.zz zz Hi có bao nhiêu
s
z
1
2
?
z
zabi
z

A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt
12
,,,,.z x yiz c di xycd Ta có:
22
1
39;zxy
22
2
416;zcd
2222
12
37 2 2 37 6.z z x y c d xc yd xc yd 
Li có:
1
22 22
2
3
.
8
z
xyi xcyd ycxd
ibi
z cdicd cd



Suy ra
3
.
8
a
1
22 22 2 2
1
22
3992733
41616648
z
z
ab ab b a b
zz

Vy có hai s phc
z
tha mãn.
Bài tp 6: Gi S là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s m để tn ti duy nht s phc z
tha mãn
.1zz 3zim-+=. S phn t ca S
A.
2.
B.
4.
C.
1.
D.
3.
Hướng dn gii
Chn A.
D thy
0.m
Đặt
;,zabiab
ta có h phương trình.


22
2
2
2
1
31
ab
abm


Phương trình
22
1abđường tròn tâm ,O bán kính 1
R
.
Phương trình

2
2
2
31abmđường tròn tâm
3; 1 ,I
bán kính
R
m .
Có duy nht s phc tha mãn đề bài
H phương trình


22
2
2
2
1
31
ab
abm


có nghim duy nht
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 535
Hai đường tròn này tiếp túc vi nhau
1
112
3
m
OI m m
m

(tha mãn
0m
).
Vy, có hai s thc tha mãn.
Bài tp 7: Có tt c bao nhiêu s phc z tha mãn 1z
1.
zz
z
z
A.
3.
B.
4.
C.
6.
D.
8.
Hướng dn gii
Chn D.
Đặt
,, .zabiab
Ta có
22 22
11.zab ab

22
2
2
22
2
221.
.
abi abi
zz z z
ab
z
zzz
z


Ta có h:
22
22
22
22
1
1
1
22 1
2
ab
ab
ab
ab







hoc
22
22
1
1
2
ab
ab


2
2
3
4
1
4
a
b
hoc
2
2
1
4
.
3
4
a
b
Suy ra

1 3 1 3 31 31
; ; ;; ;;; ; .
22 22 22 22
ab

 

 
 

 

 

Vy có 8 cp s

;ab do đó có 8 s phc tha mãn.
Dng 5: Bài toán tp hp đim biu din s phc
1. Phương pháp gii
S dng các định nghĩa, tính cht hình hc đã biết.
Cho trước các đim c định
1212
,,; 2 0IFF FF cc
Tp hp các đim
M
tho mãn
0MI R R
đường tròn tâm
I
bán kính .
R
Tp hp các đim
M
tho mãn

12
2
M
FMF aac
là elip có hai tiêu đim là
12
,.FF
Tp hp các đim
M
tho mãn
12
M
FMF
đường
Bài tp:
Trên mt phng Oxy tp hp các đim
biu din s phc z tho mãn
25 4zi
đường tròn tâm
2;5 ,I bán kính
2.R
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 536
trung trc ca đon thng
12
.FF
2. Bài tp
Bài tp 1
: Xét các s phc z tha mãn

68 .zzis thc. Biết
rng tp hp tt c các đim biu din ca
z là mt đường tròn, có tâm

;Iabvà bán kính
.
R
Giá tr
abR
bng
A. 6. B. 4. C. 12. D. 24.
Chú ý:
Trong mt phng Oxy ,

22
2
x
aybR

phương trình đường tròn
có tâm
;Iabvà bán
kính
0R .
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt
,.zxyixy


68 . 6 8zzixyiyxi 


là s thc nên

22
6803425.xx yy x y 
Tp hp tt c các đim biu din ca
z đường tròn có tâm
3; 4 ,I
bán kính 5.R
Vy
4.abR
Bài tp 2: Cho s phc
z
tha mãn
3310zz

. Tp hp các đim biu din s phc
z
A. Mt parabol.
B.
Mt đường tròn.
C.
Mt elip.
D.
Mt hypebol.
Hướng dn gii
Chn C.
Gi

,zxyixy
thì
3 3 10 3 3 10(*)zz xyix yi
Gi
M
đim biu din s phc z và các đim
12
3; 0 , 3; 0 .FF D thy
12
62FF c
Khi đó:
12
3 3 10 10 2 .zz MFMF a
Vy tp hp các đim
M
biu din s phc z là elip có hai tiêu đim
12
,FF, độ dài trc ln là
210a
Bài tp 3: Cho s phc z tha mãn 10z

2
68 12 .wizi Tp hp các đim biu
din s phc
w
đường tròn có tâm là
A.
3; 4 .I  B.
3; 4 .I C.
1; 2 .I
D.
6;8 .I
Hướng dn gii
Chn A.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 537
Ta có

2
68 12wizi

34 68wiiz

22
34 6 8wi z
3 4 10.10 3 4 100wi wi 
Vy tp hp các đim biu din s phc
w đường tròn
C
có tâm
3; 4 .I
Bài tp 4: Trong mt phng ta độ
,Oxy
tp hp các đim biu bin các s phc
z
tha mãn 12 12zizi đường thng có phương trình
A. 210.xy B. 20.xy
C.
20.xy D. 210.xy
Hướng dn gii
Chn C.
Đặt
,.zxyixy zxyi 
Gi

;
M
xyđim biu din ca s phc .z
Ta có:
12 12zizi
12 12
x
yi i z yi i
12 12
x
yix yi 
 
22 22
12 12
x
yx y
22 22
21 4 4 21 4 4xx yy xx yy
20.xy
Vy tp hp các đim biu bin các s phc
z tha mãn yêu cu bài toán là đường thng có phương
trình là
20.xy
Bàitp5.GiảsửM(z)đimtrênmtphngtađbiudinsốphcz.Tphpnhng
đimM(z)thamãnđiu
2z iz
A.Đườngthng
4x 2 y 3 0 B. Đườngthng 4x 2 y 3 0

A.Đườngthng
x2y30 D.Đườngthng x9y30

Hướngdngii
ChnA
Cách1.Đặt

zxyi;x,y .
sốphcđãcho
Mx;y
đimbiudincaztrong
mtphngphc
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 538
Ta
   
22
22
z2 iz x2 yi x y1i x2 y x y1 
4x 2y 3 0
.VytphpđimMcntìmđưngthng
4x 2 y 3 0

Cách2.

z2 iz z 2 iz*
Đặt

zxyi;x,y . số phcđã cho
Mx;yđi m biu din ca z trong mt
phngphc,ĐimAbiudinsố‐2tc
A2;0
đimBbiudinsốphcitc
B0;1
Khiđó

*MAMB. Vy tp hpđim M cn tìm đưng trung tc ca AB:
4x 2 y 3 0.
Bàitp6.Tphpcđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthanđiu
kin
z2i z1i
A.Đườngthng
xy30 B. Đưngthng x2y30

A.Đườngthng
x2y30 D.Đườngthng xy10

Hướngdngii
ChnD
Giảsử
zxyi(x,y )
,đim
Mx;y
biudinz.Theobàiratacó:
 
222
2
x y2i x1 y1i x y2 x1 y1
4y 4 2x 2y 2 x y 1 0
   

SuyraMthucđườngthngphươngtrình
xy10
.
Vytphpđimbiudincácsốphczđườngthngphươngtrình
xy10.
Bàitp7.Tphpcđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthanđiu
kin
 
51 iz 3 2i 1 7iz i
A.Đườngthng B. Đườngtròn
A.Đườngelip D. ĐưngParabol
Hướngdngii
ChnA
Nhnthy
51 i 5 2 1 7i
Ta
 
51 iz 3 2i 1 7iz i
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 539

32i i
51 i .z 1 7i.z
55i 17i
32i i 1 1 7 1
zz zizi
55i 17i 10 2 50 50


  

VytphpMđườngtrungtrcAB,vi
11 7 1
A;,B;
10 2 50 50



.
Bàitp8.Tphpcđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthanđiu
kin
zz3 4
A.Haiđungthng
1
x
2
,
7
x
2

 B.Haiđungthng
1
x
2
,
7
x
2

A.Haiđungthng
1
x
2
,
7
x
2
D.Haiđungthng
1
x
2
,
7
x
2
Hướngdngii
ChnA
Đặt

zxyi,x,y

Lúcđó:
2
2
zz3 4 xyixyi3 4 2x3 4 4x 12x916
1
x
2
4x 12x 7 0
7
x
2
  


VytphpđimMhaiđườngthng
17
x= ;x
22
songsongvitrctung.
Bàitp9.Tphpcđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthanđiu
kin
zz1i 2
A.Haiđungthng
13 13
y;y
22


B.Haiđungthng
13 13
y;y
22



A.Haiđungthng
15 13
y;y
22


D.Haiđungthng
15 13
y;y
22


Hướngdngii
ChnB
Đặt

zxyi,x,y 
Lúcđó:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 540

2
22
2
zz1i 2 xyixyi1i 2 1 2y1i 2
1 2y 1 2 1 4y 4y 1 4 4y 4y 2 0
13
y
2
2y 2y 1 0
13
y
2
  
  

VytphpđimMhaiđườngthng
13 13
y;y
22


songsongvitrchoành.
Bàitp10.Tphpcácđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthamãnđiu
kin
2z 1 z z 2
A.Haiđungthng
x0
,
y0
. B. Haiđungthng
x0
,
y2
.
C.Haiđungthng
x0 , x2 .
D.Haiđungthng
x2
, y2 .
Hướngdngii
ChnC
Gi

Mx;y
đimbiudinsốphc
zxyi
,
x, y
tha
2z1 zz2


 
222
22
2 x yi 1 x yi x yi 2 2 x 1 yi 2 2yi
x0
2x1 y 2 2y x 2x0
x2


VytphpcácđimMcntìmhaiđườngthng
x0
, x2
.
Bàitp11.Tphpcácđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthamãnđiu
kin
z1i 2
A.Đungthng
xy20
B.Đườngtròn

22
x1 y1 4

C.Đườngthng
xy20

D.Đưng tròn tâm

I1; 1 bán kính
R2.
Hướngdngii
ChnD
Xéthệthc:
z1i 2 Đặt
zxyi,x,y .
Khiđó:
 
22 22
(1) x 1 y 1 2 x 1 y 1 4
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 541
Vy,tphpnhngđimM(z)thamãnhệthc(1)đưngtrònm

I1; 1 bán
kính
R2. 
Bàitp12.Tphpcácđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthamãnđiu
kin
z
3
z1
A.Đungtròn
22
18 9
xy y 0
88

B.Đườngtròn
22
18 9
xy y 0
88

C.Đườngtròn
22
18 9
xy y 0
88

D.Đưng tròn tâm
9
I0;
8



bán kính
1
R.
8
Hướngdngii
ChnB
Đặt

zxyi,x,y .
Ta
22
z189
3z3z1xy y 0
z1 8 8

Vy,tphpnhngđimM(z) thamãnhệthc(1) đưngtròntâm
9
I0;
8



bán
kính
3
R.
8

Bàitp13.Tphpcácđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthamãnđiu
kin
z32i 2z12i
A.Đungtròn
22
248
xy x y 0
333

B.Đườngtròn
22
248
xy x y 0
333

C.Đườngtròn
22
248
xy x y 0
333

D.
22
248
xy x y 0
333

Hướngdngii
ChnC
Đặt

zxyi;x,y . 
Tacó:
z32i 2z12i
 
22 2
22
x3 y2i 2x1 2y2i x3 y2 2x1 2y2
3x 3y 2x 4 y 8 0
 

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 542
Suy ra: Tp hp cácđim biu din z phương trìnhđưng tròn (C):
22
248
xy x y 0
333

.
Bàitp14.Tphpcácđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthamãnđiu
kin

zi 1iz
A.Đungtròn

2
2
xy12
B.Đườngtròn

2
2
xy12

C.Đườngtròn

22
x1 y1 2 D.

22
x1 y1 2

Hướngdngii
ChnA
Gi

Mx;yđimbiudincasốphc
zxyi;x,y .
Suyra
   
222
2
zi x y1 1iz 1ixyi xy xy  
Nên
 
222 2
22
zi 1iz x y1 xy xy x y1 2
VytphpđimMđườngtròn

2
2
xy12

.
Bàitp15.Tphpcácđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthamãnđiu
kin
z4i z4i 10
A.Đungelip
2
2
y
x
1
916

B.Đungelip
2
2
y
x
1
16 9
C.Đungelip
2
2
y
x
1
43

D.Đungelip
2
2
y
x
1
94
Hướngdngii
ChnA
Xéthệthc:
z4i z4i 10

Đặt

zxyi,x,y
.Lúcđó
 
2
2
22
22
y
x
(4) x y 4 x y 4 10 1
916

VytphpđimMđưngeliphaitiêuđim
12
F (0;4);F (0; 4)
đdàitrcln
16.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 543
Bàitp16.Tphpcácđimtrênmtphngtađộbiudincsốphczthamãnđiu
kin
z2 z2 5
A.Đungtròn B. Đungelip
C.Đungparabol D. Đungthng
Hướngdngii
ChnB
Đặt

zxyi;x,y .
Tacó:
z2 z2 5
    
22
22
x 2 yi x 2 yi 5 x 2 y x 2 y 5 1 
Xét

A 2;0 ; B 2 ;0 ;I x;y IA IB 5
VytphpđimbiudinsốphczchínhtphpcđimIthamãn
IA IB 5,đó
chínhm teliptiêucự
AB IA IB 5
c2;a
222


Bàitp17.Tphpcđimtrênmtphngtađbiudincácsốphczthamãn
điukin
2z z2
A.Tphpcácđi
mnamtphngở
b
ênphitrctung
B.Tphpcácđi
mnamtphngở
b
êntráitrctung
C.Tphpcácđi
mnamtphngphíatrêntrchoành
D.Tphpcácđi
mnamtphngphíadướitrchoành
Hướngdngii
ChnA
Xéthệthc:

2z z21
.Đặt
zxyi,x,y
.
Khiđó:
(3) 8x 0
TphpnhngđimM(z)thamãnđiukin(1)namtphngởbênphitrctung,
tccácđim

x,y
x0
Bàitp18.Tphpcđimtrênmtphngtađbiudincácsốphczthamãn
điukin
1z1i2
A.Tphpcácđimhìnhtròntâm
I1; 1
,bánkính2
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 544
B.Tphpcđimhìnhvànhkhăntâmti
A1;1các nkínhlnnhỏln
lượt
2; 1 
C.Tphpcácđimhìnhtròntâm
I1; 1
,bánkính1
D.Tphpcácđimhìnhvànhkhăntâmti
I1; 1cácbánkínhlnnhỏln
lượt
2; 1
Hướngdngii
Chn18B
Xéthệthc:

1z1i22 .Đặt
zxyi,x,y .
Khiđó:

22
21x1 y14
Vy tp hp nhngđim M(z) tha mãnđiu kin (2) hình vành khăn tâm ti

A1;1cácbánkínhlnnhỏlnlượt2; 1 
Bàitp19.Tìmttcảcđimcamtphngphcbiudincsốphczsaocho
zi
zi
sốthc.
A.Tphpđi
mg
mhaitrctađộ
B.Tphpđi
mtrchoành
C.Tphpđimgmhaitrctađộbỏđiđim
A(0;1)
D.Tphpđimtrctung,bỏđi
A(0;1)
Hướngdngii
ChnC
Đặt

zxyi,x,y .
Tacó:


2
2
xy11y xy1x1yi
zi
zi
x1y

 


zi
zi
sốthc

xy 1 x1 y 0 xy 0.
Mtkhác:

2
2
xy10
cảmtphngphcbỏđiđim
0;1

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 545
Tómli:

x0
y0
ycbt .
x,y 0;1
Vycácđimcamtphngphccntìmgmhaitrcta
độbỏđiđim
A(0;1)
Bàitp14.Tìmtphpcácđimbiudinsốphczsaocho
z23i
u
zi
mtsốthun
o.
A.Đườngtròntâm
I1;1
bánkính
R5
B.Đườngtròntâm

I1;1
bánkínhR5 trừđihaiđim

A0;1;B 2; 3
.
C.Đườngtròntâm

I1;1bánkính
R5
D.Đườngtròntâm
I1;1
bánkính
R5
trừđihaiđim
A0;1;B 2; 3
.
Hướngdngii
ChnB
Đặt

zxyi,x,y 
Tacó:



22
22
22
x2 y3ix y1i
xy2x2y322xy1i
z23i
u
zi
xy1 xy1






 
usốthunảo



22
22
x1 y1 5
xy2x2y30
x, y 0;1
2x y 1 0
x, y 2; 3








Vytphpđim
z đườngtròntâm
I1;1
bánkính
R5
trừđihaiđim

A0;1;B 2; 3 .
Bài tp 21. Tìmtp hp cácđim biu din số phc
zxyi
tha mãnđiu kin
xy1
A.Bacnhcatamgiác
B.B
ncnhcahìnhvuông
C.B
ncnhcahìnhchữnht
D.B
ncnhcahìnhthoi
Hướngdngii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 546
ChnB
GiMđimbiudinsốphcz.
Tacó:
xy1 khi x0,y0
xy1 khi x0,y0
xy1
xy1khi x0,y0
xy1 khi x0,y0





VytphpđimM4cnhcahìnhvuông.
Bàitp22.TrongmtphngtađOxy,tìmtphpđimbiudincácsốphcztha
mãn
zi zi
z1
z1

sốthunảo.
A.Đườngtròntâm
1
I;0
2



bánkính
1
R
2
B.Đườngtròntâm
1
I;0
2



bánkính
1
R
2
trừđihaiđim
1; 0 .
C.Đườngtròntâm
1
I;0
2



bánkính
1
R
4
D.Đườngtròntâm
1
I;0
2



bánkính
1
R
4
trừđihaiđim
0;1 .
Hướngdngii
ChnB
Giảsử
zxyi
đimbiudinsốphcz
Mx;y.
Tacó:



2
22
22
2
2x y 2x 2x 1i
2z z z i z z 2i
zi zi
z1
z1
zzz1 x1 y





zi zi
z1
z1

sốthunảo



2
22
2
2
2
11
2x y 2x 0
xy
24
x1 y 0
x;y 1;0











VytphpđimMđườngtròn
2
2
11
xy
24




bỏđiđim
1; 0 .
Bàitp23.mqu tíchcácđi
mtrênmtphngphcbi
udinchos
phc wiz1
,
biếtzsốphcthamãn:

3
z2i1 8 .
A.Đườngtròn

22
C:x 3 y 1 4
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 547
B.Đườngtròn

22
C:x 3 y 1 2
C.Đườngtròn

22
C:x 3 y 1 4
D.Đườngtròn

22
C:x 3 y 1 4
Hướngdngii
ChnC
Ta
3
3
zz nên
 

3
3
z2i1 2 z2i1 2 * 
Đặt
wxyi
Tali
wiz1 ziiw z ii.w .(*)trởthành:
 
22 22
iw 3i 1 2 y 1 x 3 2 y 1 x 3 4
Vy quỹ tích cđim biu din w trên mt phng phc đưng tròn

22
C:x 3 y 1 4.
Bàitp24.TrongmtphngtađộOxy,tìmtphpđimbiudinsốphcwthamãn:
wz2i
,biếtzsốphctha
z12i 1

.
A.Đườngtròntâm
I1;2bánkínhR2
B.Đườngtròntâm

I2;1bánkínhR2

C.Đườngtròntâm

I1;1bánkínhR1
D.Đườngtròntâm
I3;3
,bánkínhR1
.
Hướngdngii
ChnD
Gi

wxyix,y Mx;y đimbiudinchosốwtrênhệtrcOxy.

 
22
zw2ix2 y1i zx2 1yi
z12i 1 x3 3yi 1 x3 y3 1


Vâytphpđimbiudinsốphcwmtđườngtròntâm
I3;3,bánkínhR1 .
Bài tp 25. Trong mt phng phc Oxy, tìm tp hp cácđim M biu din số phc

w12iz3 biếtzsốphcthamãn: z2 5
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 548
A.Đườngtròntâm
I1;2
bánnh
R5
B.Đườngtròntâm

I2;1bánkínhR5

C.Đườngtròntâm

I1;4bánkínhR55 .
D.Đườngtròntâm
I1;3
,bánkính
R5
.
Hướngdngii
ChnC
Theogiảthiết:


a1 b4i
z2 5 5 a1 b4i 512i
12i

 
 
22 22
a1 b4 55 a1 b4 125
VytphpđimMthamãnđềbàiđườngtròntâm
I1;4bánkínhR55 .
Bàitp26.Tìmtphpcácđimbiudinsốphc
zʹ 1i3z2

vi z1 2.
A.Hìnhtròntâm

I3;3 ,R4 .
B.Đườngtròntâm
I3;3
,R4 .
C.Hìnhtròntâm

I1; 4
bánkính
R5
.
D.Đườngtròntâm
I1;3,bánkính R5
.
Hướngdngii
ChnA
Giảsửta


zabia,b
zʹ xyix,y


Khiđó:
 
zʹ 1i3z2xyi1i3abi2xyiab32ba3  
xy32
a
xab32
4
yba3 3xy23
b
4





 

Theobàiratacó:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 549

22
2
2
xy32 3xy23
z1 2 a1 b 4 1 4
44


 






22
22
2
2
22
xy36 3xy23 64 4x 4y 24x83y160
xy6x23y40 x3 y 3 16
 

Vyquỹtíchcácđimbiudinsốphcz’hìnhtròntâm
I3;3
,R4 .
Bàitp27.Tìmtphpcácđimbiudintrongmtphngphc

w1i3z2
biết
rngsốphczthamãn
z1 2.
A.Hìnhtròntâm

I3;3
,R4 .
B.Đườngtròntâm
I3;3bánkính
R4

C.Đườngtròntâm

I3; 3
bánkínhR4
.
D.Hìnhtròntâm

I3; 3
bánkínhR4.
Hướngdngii
ChnD
Đặt

zabi,a,b
wxyi,x,y 
Tacó:

2
2
z1 2 a1 b 4* 
Từ
 


22 2
2
w 1 i3z 2 x yi 1 i3 a bi 2
x3a1b3
xab32
y33a1b
y3ab
x3 y3 4a1 b 16Do(*)
 













Vytphpcácđimcntìmhìnhtròntâm
I3; 3
bánkínhR4.

Bàitp28.Tìmtphpcácđimbiudinsốphc
zʹ 2z 3 i

vi
2
3z i zz 9.
A.Hìnhtròntâm

I3;3
,R4 .
B.Đườngtròntâm
I3;3bánkính R4

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 550
C.Đườngtròntâm

I3; 3
bánkính
R4
.
D.Hìnhtròntâm
7
I3;
4



,
73
R
4
Gii
ChnD
Giảsửta


zabia,b
zʹ xyix,y


Khiđó

x3
a
x2a3
2
zʹ 2x 3 i x yi 2a 3 2 b 1 i
y1
y2b1
b
2




Theobàiratacó:

22
22222
3z i zz 9 9a 3b 1 a b 9 4a 4b 3b 4 0   
 
2
22 2
3773
x3 y1 y1 40 x3 y
2416

 


Vyquỹtíchcácđimbiudinsốphcz’hìnhtròntâm
7
I3;
4



,
73
R
4
Bàitp29.Chocsốphc
z
thamãn
4z
.Biếtrngtphpcđimbiudincácsố
phc
(3 4 )wizi mtđườngtròn.nhbánkínhrcađườngtrònđó.
A.r
4. B.r5. C.r20. D.r22.
Hướngdngii
ChnC
Gi
wabi ,ta
2
(1)(34)
(1)
(3 4 )
34 916
ab i i
ab i
wabi izi z
ii




22
(3 4 4) (3 4 3)
344(343)
.
25 25 25
ab ba
ab ba
iz




z =4nên
22222
(3 4 4) (3 4 3) 100 2 399ab ba ab b 
Theogiảthiết,tphpcácđimbiudincsốphc
(3 4 )wizi
mtđưngtròn
nênta
22 2 2
2 399 ( 1) 400 400 20ab b a b r

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 551
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BC HAI VI H S THC
A. LÍ THUYT
1. Căn bc hai ca mt phc
Định nghĩa
Cho s phc w. Mi s phc z tha mãn
2
zw được gi là
mt căn bc hai ca
w
Tìm căn bc hai ca s phc w
w là s thc.
+ Nếu 0w thì w có hai căn bc hai là
iw
iw
+ Nếu 0w thì w có hai căn bc hai là w w
wabi

, ab
,
0b
Nếu zxiy là căn bc hai ca w thì

2

x
iy a bi
Do đó ta có h phương trình:
22
2x
x
ya
yb
Mi nghim ca h phương trình cho ta mt căn bc hai
ca w
2. Gii phương trình bc hai vi h s thc
Xét phương trình
2
0az bz c
,,c ; 0
ab a
Ta có
2
4 bac
Nếu 0 thì phương trình có nghim thc
2

b
x
a
Nếu
0
thì phương trình có hai nghim thc phân
bit:
1
2

b
x
a
;
2
2

b
x
a
Nếu 0 thì phương trình có hai nghim thc phân
bit:
1
2

bi
x
a
;
2
2

bi
x
a
H thc Vi-ét đối vi phương trình bc hai vi h s thc
Phương trình bc hai
2
0ax bx c
0
a có hai nghim
Nhn xét:
+) S 0 có đúng mt căn bc hai
là 0
+) Mi s phc khác 0 có hai căn
bc hai là hai s đối nhau (khác
0)
Chú ý:
Mi phương trình bc n:
1
01 1
... 0

nn
nn
Az Az A z A
luôn có n nghim phc (không
nht thiết phân bit) vi n nguyên
dương.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 552
phân bit
1
x
,
2
x
(thc hoc phc) thì
12
12


b
Sxx
a
c
Pxx
a
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Gii phương trình. Tính toán biu thc nghim
1. Phương pháp gii
Cho phương trình:
2
0az bz c
,,c ; 0ab a
Gii pương trình bc hai vi h s thc
Áp dng các phép toán trên tp s phc
để biến đổi biu thc
Ví d: Xét phương trình
2
250zz
a) Gii phương trình trên tp s phc
b) Tính
12
zz
Hướng dn gii
a) Ta có:

2
'15 4 2 i
Phương trình có hai nghim là:
1
22
zi
;
2
22
zi
b) Ta có
22
12
22 22 zz
Suy ra
12
22 22 42 zz
2. Bài t
Bài tp 1.
Trong các s sau, s nào là nghim ca phương trình
2
1
zz
z ?
A.
13
2
i
B.
13
2
C.
13
2
D.
12
2
i
Hướng dn gii
Chn A
Ta có
2
1zz

z
2
2
2
11 3 1 3
2. .
24 4 2 4




i
zz z
13 13
22 2
13 13
22 2










ii
zz
ii
zz
Bài tp 2. Phương trình
2
0zazb
, ab có nghim phc là 34
i . Giá tr ca ab bng
A. 31 B. 5 C. 19 D. 29
Hướng dn gii
Chn C
Chú ý:
Nếu
0
z
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 553
Cách 1: Do
34zi
là nghim ca phương trình
2
0
zazb
nên ta có:

2
34 34 0 3 7 4 24 0 ia ib ab a i
370 6
4240 25






ab a
ab
Do đó
19ab
Cách 2:
1
34zi
là nghim ca phương trình
2
0
zazb nên
2
34zi cũng là nghim ca phương trình đã cho
Áp dng h thc Vi-ét vào phương trình trên ta có
12
12
.

zz a
zz b

34 34
6
19
25
34 34





iia
a
ab
b
iib
nghim ca phương
trình bc hai vi h
s thc thì
0
z cũng
là nghim ca
phương trình
Bài tp 3. Gi
0
z là nghim phc có phn o dương ca phương trình
2
6340
zz . Giá tr ca
0
2zi
A. 17 B. 17 C. 217 D. 37
Hướng dn gii
Chn A
ra có

2
'255 i
. Phương trình có hai nghim là
35
zi
;
35
zi
Do đó
00
35 2 14 17 zizii
Bài tp 4. Gi
1
z
là nghim phc có phn o âm ca phương trình
2
250
zz
Ta độ đim biu din s phc
1
74 i
z
trên mt phng phc là
A.
3; 2P B.

1; 2N C.
3; 2
Q D.

1; 2M
Hướng dn gii
Chn A
Ta có
2
12
250
12



zi
zz
zi
Theo yêu cu ca bài toán ta chn
1
12
zi. Khi đó:
22
1
74 12
74 74
32
12 1 2




ii
ii
i
zi
Vy đim biu din ca s phc là
3; 2P
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 554
Bài tp 5. Gi
1
z
,
2
z
là hai nghim phc ca phương trình
2
450
zz
. Giá tr ca biu thc

2019 2019
12
11zz bng
A.
1009
2 B.
1010
2 C. 0 D.
1010
2
Hướng dn gii
Chn D
Xét phương trình

2
1
2
2
2
450 2 1
2

zi
zz z
zi
Khi đó ta có:

2019 2019 2019 2019
12
1111zz ii


1009 1009
22
1.1 1.1 ii ii
 
1009 1009
1.2 1.2 ii i i


505
1009 1010
2 1010 1010
211 2 .22 iiiii
Dng 2: Định lí Vi-ét và ng dng
1. Phương pháp gii
Định lí Vi-ét: Cho phương trình:
2
0az bz c ; ,,cab ; 0a
có hai nghim phc
1
z ,
2
z thì
12
12
.
b
zz
a
c
zz
a

Ví d: Phương trình
2
4240zz có hai
nghim phc
1
z
,
2
z
nên
12
4zz
;
12
.24zz
Chú ý: Hc sinh hay nhm ln:
12
b
zz
a

2. Bài tp
Bài tp 1:
Gi
1
z
,
2
z
là hai nghim phc ca phương trình
2
250zz

. Giá tr ca biu thc
22
12
zz bng
A. 14 B. –9 C. –6 D. 7
Hướng dn gii
Chn C
Gi
1
z
,
2
z
là nghim ca phương trình
2
250zz

Theo định lí Vi-ét ta có:
12
12
2
.5
zz
zz

Suy ra

2
22 2
12 12 12
222.56zz zz zz 
Bài tp 2:
Phương trình bc hai nào sau đây có nghim là 12i
? Chúng ta có th gii tng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 555
A.
2
230zz B.
2
250zz
C.
2
250zz
D.
2
230zz
Hướng dn gii
Chn C
Phương trình bc hai có hai nghim phc là liên hp ca nhau nên
phương trình bc hai có nghim
12i thì nghim còn li là 12i
Khi đó tng và tích ca hai nghim ln lượt là 2; 5
Vy s phc
12i
là nghim ca phương trình
2
250zz

phương trình:
+)
2
230zz

2
2
12zi
12zi
12zi
+)
2
250zz

2
2
14zi
12zi

12zi

+)
2
250zz

2
2
14zi
12
zi

12zi

+)
2
230zz

2
2
12zi
12zi
12zi
Bài tp 3: Kí hiu
1
z ,
2
z là nghim phc ca phương trình
2
2430zz
. Tính giá tr biu thc
12 1 2
P
zz i z z
A. 1
P
B.
7
2
P C. 3P D.
5
2
P
Hướng dn gii
Chn D
Ta có
1
z ,
2
z là hai nghim ca phương trình
2
2430zz

Theo định lý Vi-ét ta có
12
12
2
3
.
2
zz
zz

Ta có
  
2
2
12 1 2
333 5
22 2
222 2
Pzzizz i i




Bài tp 4:
Gi
1
z ,
2
z là hai nghim phc ca phương trình
Cách khác:
Ta có:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 556
2
470zz
. Giá t ca
33
12

P
zz
bng
A. –20 B. 20
C.
14 7 D. 28 7
Hướng dn gii
Chn A
Theo định lý Vi-ét ta có
12
12
4
.7
zz
zz

Suy ra
33 2 2
12 121122
zz zzzzzz

2
12 12 12
3zz zz zz
2
4. 4 3.7 20
2
470zz


2
2
23zi
1
2
23
23
zi
zi


Do đó:
33
12
zz
33
23 23ii
20
Bài tp 5: Gi
1
z
2
z
là hai nghim phc ca phương trình
2
32270zz

. Giá tr ca
12 21
zz z z bng
A. 2 B. 6 C. 36 D. 6
Hướng dn gii
Chn A
Áp dng định lý Vi-ét, ta có
12
2
3
zz
12
.9zz
12 12 12
.93zz zz zz
Do đó

12 21 1 2 1 2
2
.3 .3 3 3. 2
3
zz z z z z z z
Bài tp 6: Cho s thc 2a và gi
1
z ,
2
z là hai nghim phc ca phương trình
2
20zza.
Mnh đề nào sau đây
sai?
A.
12
zz là s thc B.
12
zz
là s o
C.
12
21
zz
zz
là s o
D.
12
21
zz
zz
là s thc
Hướng dn gii
Chn C
Ta có
12
2
b
zz
a
. Đáp án A đúng
Phương trình bc hai vi h s thc có hai nghim là s phc liên hp. Gi
1
zxyi ;
,xy
mt nghim, nghim còn li là
2
zxyi
Suy ra
12
2zz yi là s o. Đáp án B đúng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 557

2
22
12 12
1212
2 1 12 12
2
42
..
zz zz
zz zz
a
z z zz zz a


Vy C là đáp án sai và D đúng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 558
Dng 3: Phương trình quy v phương trình bc hai
1. Phương pháp gii
Nm vng cách gii phương trình bc
hai vi h s thc trên tp s phc
Nm vng cách gii mt s phương trình
quy v bc hai, h phương trình đại s
bc cao;…
Ví d:
Gii phương trình:
42
60zz
trên tp
s phc.
Hướng dn gii
Đặt
2
zt
, ta có phương trình:
2
3
60
2
t
tt
t

Vi
3t
ta có
2
33zz

Vi
2t
ta có
2
22zzi 
Vy phương trình đã cho có bn nghim
3z
; 2zi
2. Bài tpmu
Bài tp 1:
Tng môđun bn nghim phc ca phương trình
42
2320zz

A.
32
B.
52
C.
25
D.
23
Hướng dn gii
Chn A
Ta có:
2
42
22
2
2
2
2
2320
11
.
2
22
2
2
z
z
z
zz
zi
zi
zi




Khi đó, tng môđun bn nghim phc ca phương trình đã cho bng
22
22 32
22
ii 
Bài tp 2: Kí hiu
1
z ,
2
z ,
3
z ,
4
z là bn nghim phc ca phương trình
42
450zz
. Giá tr ca
2222
1234
zzzz bng
A. 225 B. 12 C. 0 D. 25
Hướng dn gii
Chn B
Ta có:
2
42
2
1
1
1
450
5
5
5
z
z
z
zz
zi
z
zi




Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 559
Phương trình có bn nghim ln lượt là:
1
1z
,
2
1z
,
3
5zi ,
4
5zi
Do đó:
22
2222
22
1234
11 5 5 12zzzz
Bài tp 3: Gi
1
z ,
2
z ,
3
z ,
4
z là các nghim phc ca phương trình
2
22
4120zz zz
.
Giá tr ca biu thc
2222
1234
Sz z z z
A.
18S
B.
16S
C.
17S
D.
15S
Hướng dn gii
Chn C
Ta có:
2
22
4120zz zz
Đặt
2
tz z
, ta có
2
2
4120
6
t
tt
t

Suy ra:
1
2
2
2
3
4
1
2
20
123
60
2
123
2
z
z
zz
i
z
zz
i
z






Suy ra

22
22
2
2
1231 23
12 17
22 2 2
S

 


 

 

Bài tp 4: Gi
1
z ,
2
z là hai nghim ca phương trình
4
2
4
z
z
z
 . Khi đó
12
zz bng
A. 1 B. 4 C. 8 D. 2
Hướng dn gii
Chn A
Điu kin: 0z
Ta có:
2
2
42
2
.
444
zz
zz
zzz
zz z


  




2
115 115
22 22
40
115 115
22 22
zizi
zz
zizi

 




 


Vy
12
115115
11
22 22
zz i i
Bài tp 5: Cho s thc a, biết rng phương trình
42
10zaz
 có bn nghim
1
z ,
2
z ,
3
z ,
4
z tha
mãn
2222
1234
4444441zzzz. Tìm a
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 560
A.
1
19
2
a
a

B.
1
19
2
a
a

C.
1
19
2
a
a
D.
1
19
2
a
a
Hướng dn gii
Chn B
Nhn xét:

2
22
42 22zzizizi
Đặt
42
1fx z az , ta có:


44
2222
1234
11
4444 2. 2 2.2
kk
kk
zzzz zizififi



2
42 42
16 4 1 16 4 1 17 4iai iai a
Theo gi thiết, ta có

2
1
17 4 441
19
2
a
a
a

Bài tp 6: Cho s phc z tha mãn
2018 2017
11 10 10 11 0ziziz
. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
23z
B.
01z
C.
12z
D.
13
22
z
Hướng dn gii
Chn D
Ta có

2017
2017 2017
11 10 11 10
11 10 11 10
11 10 11 10
iz iz
zzi izz z
zi zi



Đặt
zabi





2
22
2
2
22
2
100 220 121
11 10 10 11 100
11 10
11 10 11 10
121 220 100
121 11 10
ab b
ia bi b a
iz
zi abi i
ab b
ab






Đặt
tz
0t ta có phương trình
2
2017
2
100 220 121
121 220 100
tb
t
tb


Nếu
11tVT ; 1VP
Nếu
11tVT ; 1VP
Nếu
11tz
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 561
BÀI 4. CC TR S PHC
A. LÍ THUYT TRNG TÂM
1. Các bt đẳng thc thường dùng
a. Cho các s phc
12
,zz
ta có:
+)
1212
zz zz (1).
Đẳng thc xy ra khi và ch khi
1
121
0
0, , 0,
z
zkkzkz

.
+)
12 1 2
zz z z (2).
Đẳng thc xy ra khi và ch khi
1
121
0
0, , 0,
z
zkkzkz

.
b. Bt đẳng thc Cauchy – Schwarz
Cho các s thc
,,,abx y ta có:
222 2
ax by a b x y
Đẳng thc xy ra khi và ch khi
ay bx .
2. Mt s kết qu đã biết
a.
Cho hai đim ,
A
B c định. Vi đim
M
bt k luôn có bt đẳng thc tam giác:
+)
M
AMB AB, du “=” xy ra
M
nm gia hai đim ,
A
B .
+)
M
AMB AB
, du “=” xy ra
B
nm gia hai đim ,
A
M .
b. Cho hai đim ,
A
B nm cùng phía đối vi đường thng d
M
đim di động trên d . Ta có:
+)
M
AMB AB
, du “=” xy ra Ba đim , ,
A
MB thng hàng.
+) Gi
A
đim đối xng vi
A
qua d , khi đó ta có
M
AMB MA MB AB

 
, du “=” xy ra
Ba đim
,,
A
MB
thng hàng.
c. Cho hai đim ,
A
B nm khác phía đối vi đường thng d
M
đim di động trên d . Ta có:
+)
M
AMB AB, du “=” xy ra
M
nm gia hai đim ,
A
B .
+) Gi
A
đim đối xng vi
A
qua d , khi đó ta có
M
AMB MA MB AB

 
, du “=” xy ra
Ba đim
,,
A
MB
thng hàng.
d. Cho đon thng
P
Q đim
A
không thuc
P
Q ,
M
đim di động trên đon thng
P
Q , khi đó
max max ,
A
MAPAQ . Để tìm giá tr nh nht ca
A
M ta xét các trường hp sau:
+) Nếu hình chiếu vuông góc
H ca
A
trên đường thng
P
Q nm trên đon
P
Q thì min
A
MAH
.
+) Nếu hình chiếu vuông góc
H ca
A
trên đường thng
P
Q không nm tn đon
P
Q thì
min min ;
A
MAPAQ .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 562
e. Cho đường thng đim
A
không nm trên
. Đim
M
trên
có khong cách đến
A
nh nht
chính là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
.
f. Cho ,
x
y là các ta độ ca các đim thuc min đa giác
12
...
n
A
AA. Khi đó giá tr ln nht (nh nht) ca
biu thc
Faxby ( ,ab là hai s thc đã cho không đồng thi bng 0 ) đạt được ti mt trong các
đỉnh ca min đa giác.
SƠ ĐỒ H THNG HÓA
Bt đẳng thc Cauchy – Schwarz
Vi các s thc ,,,abx y ta có
222 2
ax by a b x y .
Du “=” xy ra khi
ab
x
y
.
B. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1: Phương pháp hình hc
1. Phương pháp gii
Vi d:
Cho s phc
z
tha mãn
2
2 zz izz . Giá tr nh nht ca 3zi
bng
A. 3. B.
3
.
C. 2 3 . D. 2.
Hướng dn gii
Bước 1:
Chuyn đổi ngôn ng bài toán s phc
Gi s
,zxyixy zxyi . Khi đó
Bt đẳng thc tam giác
12 1 2
zz z z. Du “=” xy ra khi
12
0zkzk.
12 1 2
zz z z
. Du. “=” xy ra khi
12
0zkzk
.
12 1 2
zz z z . Du. “=” xy ra khi

12
0zkzk
.
12 1 2
zz z z
Du “=” xy ra khi

12
0zkzk
.
Các bt đẳng thc
thường dùng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 563
sang ngôn ng hình hc.

2
22
2224zz izz yi xi y x

.
Gi
;;0;3Mxy A
ln lượt là đim biu din
cho s phc
;3zi
thì
3ziMA
.
Bước 2: S dng mt s kết qu đã biết để gii
bài toán hình hc.
Parabol
2
yx
đỉnh ti đim

0;0O
, trc đối
xng là đường thng
0x
. Hơn na, đim
A
thuc trc đối xng ca parabol, nên ta có:
3MA OA. Suy ra, min 3MA khi
M
O
.
Bước 3:
Kết lun cho bài toán s phc.
Vy
min 3 3zi
, khi 0z
. Chn A.
2. Bài tp mu
Bài tp 1:
Cho s phc z tha mãn
34 1zi
. Môđun ln nht ca
s phc
z
bng
A. 7. B. 6.
C.
5. D. 4.
Hướng dn gii
Chn B
Gi
;,3;4Mxy I
là các đim biu din ln lượt cho các s phc
;3 4
zi . T gi thiết 34 1 1zi MI .
Tp hp các đim
M
biu din s phc z tha mãn gi thiết là đường
tròn tâm

3; 4I , bán kính
1r
.
Mt khác
zOM . Mà OM đạt giá tr ln nht bng OI r
, khi
M
là giao đim ca đường thng
OM
vi đường tròn tâm
3; 4I , bán
Nhn xét:
OI r OM z OI r

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 564
kính
1r . Hay
18 24
;
55
M



.
Do đó,
max 5 1 6zOIr
, khi
18 24
55
zi
.
Bài tp 2:
Trong các s phc z tha mãn
24 2zizi

, s phc
z có môđun nh nht là
A. 22zi . B. 1zi.
C.
22zi . D. 1zi.
Hướng dn gii
Chn C
Đặt

,zxyixy . Khi đó 24 2zizi
40xy


d .
Vy tp hp đim
M
biu din s phc z đưng thng d .
Do đó
zOM nh nht khi
M
là hình chiếu ca O trên d .
Suy ra

2; 2M hay 22zi .
Nhn xét: Trong tt c các đon
thng k t đim O đến đường
thng
d
, đon vuông góc
OM
ngn nht.
Bài tp 3: Cho s phc
z
tha mãn 3310zz . Giá tr nh
nht ca
z
A. 3. B. 4.
C.
5. D. 6.
Hướng dn gii
Chn B
Cách 1:
Gi
12
3; 0 , 3; 0FF , có trung đim là
0;0O . Đim
M
biu din
s phc
z .
Theo công thc trung tuyến thì
22 2
2
2
1212
24
M
FMF FF
zOM
 .
Ta có
2
22
12
22
12
50
2
MF MF
MF MF
 .
Đẳng thc xy ra khi

12
12
4;0
50 36
min 4
10
24
4;0
M
MF MF
z
MF MF
M


,
Khi
4zi hoc 4zi .
Vi mi s thc
,ab ta có bt
đẳng thc:

2
22
2
ab
ab

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 565
Cách 2:.
Gi
12
3; 0 , 3; 0FF
,

;;,Mxy xy
ln lượt là các đim biu
din các s phc
3; 3; z .
Ta có
12
26 3FF c c. Theo gi thiết ta có
12
10MF MF
, tp
hp đim
M
đường elip có trc ln 210 5aa
 ; trc bé
22
22 22598bac
.
Mt khác
OM z nh nht bng 4 khi 4zi
hoc 4zi
.
Vy giá tr nh nht ca
z
bng 4.
Vi mi đim
M
nm trên elip,
đon
OM
ngn nht là đon ni
O
vi giao đim ca trc bé vi
elip.
Bài tp 4: Xét s phc
z
tha mãn 4310zi zi
. Tng giá tr
ln nht và giá tr nh nht ca
z
A.
60
49
.
B.
58
49
.
C.
18
7
.
D.
16
7
.
Hướng dn gii
Chn D
Gi
0; 1 , 0;1AB , đon thng
A
B có trung đim
0;0O . Đim
M
biu din s phc z .
Theo công thc trung tuyến
222
2
2
24
M
AMB AB
zOM
 .
Theo gi thiết
4310MA MB. Đặt
10 4
3
a
MA a MB
 .
Khi đó
10 7
416
261076
377
a
MA MB AB a a
 .
Ta có

2
2
222
58 36
10 4
39
a
a
MA MB a




.
Do

2
36 24 576
58 058
77 49
aa
nên
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 566
22
2
22
1
4
260
81 9
49
49 7
z
MA MB
MA MB
zz







.
Đẳng thc
1z
khi
24 7
25 25
zi
. Đẳng thc
9
7
z
khi
9
7
zi
.
Vy tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
z
16
7
.
Bài tp 5:
Cho z là s phc thay đổi tha mãn
2242zz
.
Trong mt phng ta độ gi
,
M
N đim biu din s phc z
z
.
Giá tr ln nht ca din tích tam giác
OMN
A. 1. B. 2 .
C.
42
. D.
22
.
Hướng dn gii
Chn D
Đặt
,zxyixy
zxyi .
Gi
12
2;0 , 2; 0FF ,
;, ;
M
xy N x y
ln lượt là các đim biu
din các s phc
2; 2; ;zz
.
Do ,
M
N đim biu din s phc z z nên suy ra ,
M
N đối xng
nhau qua
Ox .
Khi đó
OMN
Sxy
.
Ta có
12
24 2FF c c. Theo gi thiết ta có
12
42MF MF,
tp hp đim
M
tha điu kin trên là elip có trc ln
242 22aa ; trc bé
22
22 2844bac 2b .
Nên elip có phương trình

22
:1
84
xy
E 
.
Do đó
22 22
12. 22
84 84
22
OMN
xy
xy xy
Sxy
 .
Đẳng thc xy ra khi
2
2
x
y
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 567
Bài tp 6: Cho s phc
z
tha mãn
2zi z i

. Giá tr nh nht
ca
142
P
iz i
A. 1. B.
3
2
.
C.
3. D.
32
2
.
Hướng dn gii
Chn C
Gi
,zxyixy ;

;
M
xyđim biu din s phc
z
.
Ta có
2zi z i 
121
x
yix yi 

222
2
121xy x y 10xy
.
Ta có
142
P
iz i


42
123
1
i
iz z i
i


22
23 12
x
yMA, vi
3;1A
.

min min
22
311
22,2 3
11
PMAdA


.
Đẳng thc xy ra khi
M
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên đường
thng hay
35 3 5
;
22 2 2
M
zi




.
Bài tp 7:
Cho hai s phc
12
,zztha mãn
12
6zz
12
2zz
.
Gi ,
M
m ln lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc
12
P
zz
. Khi đó môđun ca s phc
M
mi
A. 76 . B. 76.
C.
210. D. 211.
Hướng dn gii
Chn A
Ta gi ,
A
B ln lượt là các đim biu din ca các s phc
12
,zz.
T gi thiết
12
6zz 63OA OB OI

vi
I
là trung
đim ca đon thng
A
B .
12
2zz 22OA OB AB

.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 568
Ta có
2
22 2
220
2
AB
OA OB OI
.
12
P
zz
222 2 2
11 40OA OB P OA OB .
Vy
max 2 10
P
M.
Mt khác,
12
P
zz
6OA OB OA OB

.
Vy
min 6
P
m
.
Suy ra
40 36 76Mmi .
Bài tp 8:
Cho s phc z tha mãn 2135ziz i
 . Giá tr
nh nht ca biu thc
14
P
zi
bng
A. 1. B.
3
5
.
C.
1
5
.
D.
2
.
Hướng dn gii
Chn B
Gi

;
M
xyđim biu din s phc z ; gi
2; 1 , 1;3AB
đim biu din s phc
2;13ii . Ta có
5
AB
.
T gi thiết
2135ziz i

22 2 2
21 135xy xy  
5
M
AMB MAMB AB MA MB AB .
Suy ra , ,
M
AB thng hàng (
B
nm gia
M
A
). Do đó qu tích
đim
M
là tia
B
t ngược hướng vi tia
BA
.
14
P
zi

22
14xy
, vi
1; 4C
P
MC
.
Ta có
3; 4AB 

phương trình đường thng : 4 3 5 0AB x y
 .

22
413.45
3
,
5
43
CH d C AB


,

22
11 3 4 1CB
 .
Do đó
3
min
5
PCHkhi H là giao đim ca đường thng
A
B
đường thng đi qua đim
C và vuông góc vi
A
B
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 569
Dng 2: Phương pháp đại s
1. Phương pháp gii
Các bt đẳng thc thường dùng:
1. Cho các s phc
12
,zz
ta có:
a.
1212
zz zz (1)
Đẳng thc xy ra khi và ch khi
1
121
0
0, , 0,
z
zkkzkz

b.
12 1 2
zz z z
.(2)
Đẳng thc xy ra khi và ch khi
1
121
0
0, , 0,
z
zkkzkz

2. Bt đẳng thc Cauchy - Schwarz
Cho các s thc
,,,abx y
ta có
222 2
ax by a b x y
Đẳng thc xy ra khi và ch khi
ay bx .
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho s phc

3,za a ia . Giá tr ca
a
để
khong cách t đim biu din s phc
z đến gc ta độ là nh nht
bng
A.
3
2
a . B.
1
2
a .
C.
1a . D. 2a .
Hướng dn gii
Chn A

2
2
2
3932
32
222
zaa a




.
Đẳng thc xy ra khi
3
2
a
. Hay
33
22
zi
.
Nhn xét: Li gii có s
dng đánh giá
2
0,xx
Bài tp 2: Trong các s phc z tha mãn điu kin 24 2zizi
,
s phc
z có môđun nh nht là
A. 12zi . B. 1zi .
C.
22zi . D. 1zi .
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 570
Chn C
Gi
,zabiab
.
24 2zizi
24 2 40abiabiab  
.
  
22
2
4422822zbbiz bb b  .
Suy ra
min 2 2 2 2 2 2zbazi 
.
Bài tp 3: Cho s phc z tha mãn
1
1
2
z
zi
, biết
3
5
2
zi
đạt giá
tr nh nht. Giá tr ca
z
bng
A. 2 . B.
2
2
.
C.
5
2
.
D.
17
2
.
Hướng dn gii
Chn C.
Gi
2,zabiz iab .
1
1
2
z
zi
122430234zziab a b
 
22 2
3
52 5512025
2
zibb b
Suy ra
1
31
min 5 2 5
2
22
1
a
zi zi
b

Vy
5
2
z .
Bài tp 4:
Cho hai s phc
12
,zz tha mãn
12
34zz i

12
5zz
. Giá tr ln nht ca biu thc
12
zz
A. 5. B. 53.
C.
12 5 . D. 52.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
22 2 2
222
12 1212
253450zz zz zz.
Nhn xét: Li gii s dng
bt đẳng thc Cauchy
Schwarz.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 571
S dng bt đẳng thc Cauchy – Schwarz, ta có
22
12 1 2
25052zz z z .
Gi
12
,;,,,zxyizabiabxy 
Đẳng thc xy ra khi và ch khi
12
12
22
12
12
34
5
25
zz i
zz
zz
zz



7
2
1
2
x
y
1
2
7
2
a
b

. Hay
12
71 17
;
22 22
zizi  .
Thay
12
,zz
vào gi thiết tha mãn.
Vy, g tr ln nht ca biu thc
12
zz bng
52
.
Bài tp 5:
Cho s phc
z
tha mãn 1z . Giá tr ln nht ca biu
thc
131
P
zz
bng
A. 210. B. 65.
C.
315. D. 2 5 .
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có

22 22
22
1 3 1 1 20 1 2 10Pzzz
Đẳng thc xy ra khi
22
22
4
1
1
43
5
5
1
3
55
10
1
2
3
5
z
x
xy
zi
x
z
xy
z
y










.
Vy
max 2 10P
.
Nhn xét:
Li gii s dng
bt đẳng thc Cauchy
Schwarz.
Bài tp 6:
Cho s phc z tha mãn
12 2zi
. Giá tr ln nht ca
3zi bng
A. 6. B. 7.
C.
8. D. 9.
Nhn xét: Li gii s dng
bt đẳng thc
1212
zz zz
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 572
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có 3zi
12 43 12 43 7zi izi i
.
Đẳng thc xy ra khi
12 43, 0
13 16
55
12 2
zikik
zi
zi



.
Vy giá tr ln nht ca
3zi bng 7.
Bài tp 7:
Cho s phc z tha mãn điu kin
34 4zi

. Gi
M
m là giá tr ln nht và nh nht ca môđun s phc z . Giá tr ca
.
M
m
bng
A. 9. B. 10.
C.
11. D. 12.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
34 34 34 34 459zz i iz i i M .
Đẳng thc xy ra khi

4
34 34, 0
5
27 36
34 4
55
k
zikik
zi
zi





.
Mt khác
34 34 34 34 45 1zz i i z i i m    .
Đẳng thc xy ra khi

4
34 34, 0
5
34
34 4
55
k
zikik
zi
zi





Nhn xét: Li gii s dng
bt đẳng thc
1212
zz zz

12 12
zz zz
.
Bài tp 8: Cho s phc z tha mãn
2
42zzzi . Giá tr nh
nht ca
zi
bng
A. 2. B. 2 .
C.
1. D.
1
2
.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
2
42zzzi
22 2zizi zzi
Chú ý: Vi mi s phc
12
,zz :
12 1 2
..zz z z .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 573
2. 2 . 2zizizzi
20
2
2
2
,
2
zi
zi
zi
zzi
zaia
zzi







Do đó

2
21
min 1 1
42
zi ii
z
zi ai i a


 
.
Bài tp 9: Tìm s phc
z
tha mãn

12zzi là s thc và z đạt
giá tr nh nht.
A.
42
55
zi
. B.
42
55
zi
.
C.
42
55
zi . D.
42
55
zi .
Hướng dn gii
Chn D.
Gi ; ,zabiab .
Ta có

12zzi
12 22aab b ab i


Do đó

12zzi là s thc 220 22ab b a
Khi đó

2
2
2
4425
22 5
555
za a a




.
Đẳng thc xy ra khi
4
5
2
5
a
b
4
25
5
min
2
5
5
a
z
b

. Vy
42
55
zi
.
Bài tp 10:
Cho s phc
z
tha mãn điu kin 12z  . Tìm giá tr
ln nht ca biu thc
2Tziz i
  .
A. max 8 2T . B. max 4T .
C.
max 4 2T . D. max 8T .
Hướng dn gii
Chn B.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 574
Đặt
,zxyixy
, ta có

2
2
12 1 2 1 2zxyixy

2
222
12 21
x
yxyx
(*).
Li có
2Tziz i
121
x
yix yi
22 22
21 425xy y xy xy
Kết hp vi (*) ta được
 
222 622 2 2 62Txy xy xy xy  
Đặt
Txy, khi đó
22 62Tft t t vi
1; 3t  .
Cách 1: S dng phương pháp hàm s
Ta có
 
11
'; 01
22 62
f
tftt
tt


.
1 4, 1 22, 3 22ff f
. Vy
max 1 4ft f
.
Cách 2: S dng phương pháp đại s
Áp dng bt đẳng thc Cauchy – Schwarz ta có

22 62 11.84Tt t.
Đẳng thc xy ra khi 1t .
Bài tp 11:
Cho s phc z tha mãn
1z
. Gi
M
m ln lượt là
giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
2
11zzz
. Khi đó giá tr
ca
M
m bng
A. 5. B. 6.
C.
5
4
.
D.
9
4
.
Hướng dn gii
Chn B.
Đặt
,zabiab
1tz
. Khi đó


2
2
2
2
11 1 22
2
t
tz z z zz aa

.
Ta có
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 575

222 22
12 11 21z z a b abi a bi a b a b a i 

 


2
22 2
22 2 2
22121121aa ba a a a a
2
21 1at
22
111zzztt (vi 02t , do
2
1a
).
Xét hàm s

2
1ft t t vi
0; 2t
.
Trường hp 1:


22
15
0;1 1 1
24
tftttttf




và có

011ff nên




0;1
0;1
5
max
4
min 1
ft
ft
.
Trường hp 2:

22
1; 2 1 1, 2 1 0, 1; 2tftttttfttt

Do đó hàm s luôn đồng biến trên

1; 2


 
1;2
1;2
max 2 5
min 1 1
ft f
ft f
.
Vy



0;2
0;2
max 5
6
min 1
Mft
Mm
mft



.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 576
CHƯƠNG I: KHI ĐA DIN VÀ TH TÍCH KHI ĐA DIN
BÀI 1. KHÁI NIM V KHI ĐA DIN
A. LÍ THUYT
I – KHI LĂNG TR VÀ KHI CHÓP
Khi lăng tr là phn không gian được gii hn bi mt hình lăng tr k c hình lăng tr y.
Khi chóp là phn không gian được gii hn bi mt hình chóp k c hình chóp y.
Khi chóp ct là ph
n không gian được gii hn bi mt hình chóp ct k c hình chóp ct y.
II – KHÁI NIM V HÌNH ĐA DIN VÀ KHI ĐA DIN
1. Khái nim v hình đa din
Hình đa din là hình được to bi mt s hu hn các đa giác tha mãn hai tính cht:
Hai đa giác phân bit chth hoc không có đim chung, hoc chmt đỉnh chung, hoc
ch có mt c
nh chung.
Mi cnh ca đa giác nào cũng là cnh chung ca đúng hai đa giác.
Mi đa giác như trên được gi là mt mt ca hình đa din.
Các đỉnh, các cnh ca đa giác y theo th t gi là các đỉnh, các cnh ca hình đa din.
2. Khái nim v khi đa din
Khi đa din là phn không gian được gii hn bi mt hình đ
a din, k c hình đa din đó.
Nhng đim không thuc khi đa din được gi là đim ngoài ca khi đa din. Tp hp các đim
ngoài được gi là min ngoài ca khi đa din. Nhng đim thuc khi đa din nhưng không thuc
hình đa din ng vi đa din y đượ
c gi là đim trong ca khi đa din. Tp hp các đim trong
được gi là min trong ca khi đa din.
Mi khi đa din được xác định bi mt hình đa din ng vi nó. Ta cũng gi đỉnh, cnh, mt, đim
trong, đim ngoài… ca mt khi đa din theo th tđỉnh, cnh, mt,
đim trong, đim ngoài…
ca hình đa din tương ng.
Đ
i
m ngoài
Đ
i
m trong
M
i
n ngoài
d
M
N
Ví d
- Các hình dưới đây là nhng khi đa din:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 577
- Các hình dưới đây không phi là nhng khi đa din:
Hình a
Hình b
Hình c
Gii thích: Hình a không phi là hình đa din vì tn ti cnh không phi là cnh chung ca hai mt;
Hình b không phi là hình đa din vì có mt đim đặc bit trong hình, đim đó không phi là đỉnh
chung ca hai đa giác; Hình c không phi là hình đa din vì tn ti mt cnh là cnh chung ca bn
đa giác.
III – HAI ĐA DIN BNG NHAU
1. Phép di hình trong không gian
Trong không gian, quy tc đặt tương ng mi đ
im
M
vi đim
M
¢
xác định duy nht được gi là
mt phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gi là phép di hình nếu nó bo toàn khong cách gia hai
đim tùy ý.
a) Phép tnh tiến theo vectơ
v
, là phép biến hình biến mi đim
M
thành đim
M
¢
sao cho
M
Mv
¢
=

. Kí hiu là
v
T
.
b) Phép đối xng qua mt phng
()
P
là phép biến hình biến mi đim thuc
()
P
thành chính nó,
biến mi đim
M
không thuc
()
P
thành đim
M
¢
sao cho
()
P
là mt phng trung trc ca
M
M
¢
.
Nếu phép đối xng qua mt phng
()
P
biến hình
()
H
thành chính nó thì
()
P
được gi là mt phng
đối xng ca
()
H
.
c) Phép đối xng tâm
O
là phép biến hình biến đim
O
thành chính nó, biến mi đim
M
khác
O
thành đim
M
¢
sao cho
O
là trung đim ca
M
M
¢
.
Nếu phép đối xng tâm
O
biến hình
()
H
thành chính nó thì
O
được gi là tâm đối xng ca
()
H
.
d) Phép đối xng qua đường thng
D là là phép biến hình biến mi đim thuc đường thng D
thành chính nó, biến mi đim
M
không thuc
D
thành đim
M
¢
sao cho
D
đường trung trc
ca
M
M
¢
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 578
Nếu phép đối xng qua đường thng
D
biến hình
()
H
thành chính nó thì
D
được gi là trc đối
xng ca
()
H
.
Nhn xét
Thc hin liên tiếp các phép di hình s được mt phép di hình.
Phép di hình biến đa din
()
H
thành đa din
()
¢
H
, biến đỉnh, cnh, mt ca
()
H
thành đỉnh,
cnh, mt tương ng ca
()
¢
H
.
Ví d:Cho hình lp phương
.
A
BCD A B C D
¢¢¢¢
. Khi đó:
Các hình chóp
.
A
ABCD
¢¢¢¢
.CABCD
¢
bng nhau (vì qua phép đối xng tâm O hình chóp
.
A
ABCD
¢¢¢¢
biến thành hình chóp
.CABCD
¢
).
Các hình lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
.
A
AD BBC
¢¢ ¢¢
bng nhau (vì qua phép đối xng qua mt phng
()
A
BCD
¢¢
thì hình lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
biến thành hình lăng tr
.
A
AD BBC
¢¢ ¢¢
).
D
'
C'
B
'
A
'
D
C
B
A
O
A
B
C
D
A
'
B
'
C'
D
'
2. Hai hình bng nhau
Hai hình được gi là nếu có mt phép di hình biến hình này thành hình kia.
Đặc bit, hai đa din được gi là bng nhau nếu có mt phép di hình biến đa din này đa din kia.
IV – PHÂN CHIA VÀ LP GHÉP CÁC KHI ĐA DIN
Nếu khi đa din
()
H
là hp ca hai khi đa din
()
1
H
()
2
H
sao cho
(
)
1
H
()
2
H
không có
chung đim trong nào thì ta nói có th phân chia được khi đa din
()
H
thành hai khi đa din
(
)
1
H
()
2
H
. Khi đó ta cũng nói có th ghép hai khi đa din
(
)
1
H
()
2
H
để được khi đa din
()
H
.
Ví d 1. Vi khi chóp t giác
.SABCD
, xét hai khi chóp tam giác
.SABC
.SACD
.
Ta thy rng:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 579
Hai khi chóp
.SABC
.SACD
không có đim trong chung (tc là không tn ti đim trong ca
khi chóp này là đim trong ca khi chóp kia và ngược li).
Hp ca hai khi chóp
.SABC
.SACD
chính là khi chóp
..SABCD
Vy khi chóp
.SABCD
được phân chia thành hai khi chóp
.SABC
.SACD
hay hai khi chóp
.SABC
.SACD
được
ghép li thành khi chóp
..SABCD
Ví d 2. Ct khi lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
bi mt phng
()
A
BC
¢
.
Khi đó, khi lăng tr được phân chia thành hai khi đa din
A
ABC
¢
A
BCC B
¢¢¢
.
Nếu ta ct khi chóp
A
BCC B
¢¢¢
bi mt phng
()
A
BC
¢¢
thì ta chia khi chóp
A
BCC B
¢¢¢
thành hai khi
chóp
A
BCB
¢¢
A
CC B
¢¢¢
.
Vy khi lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
được chia thành ba khi t din là
A
ABC
¢
,
A
BCB
¢¢
A
CC B
¢¢¢
.
MT SÔ KT QU QUAN TRNG
+) Kết qu 1: Mt khi đa din bt kì có ít nht 4 mt.
+) Kết qu 2: Mi hình đa din có ít nht 4 đỉnh.
+) Kết qu 3: Cho
H
đa din mà tt các mt ca nó là nhng đa giác
p
cnh. Nếu s mt
ca

H
là l thì p phi là s chn.
+) Kết qu 4: Cho

H đa din có m mt, mà các mt ca nó là nhng đa giác có
p
cnh. Khi
đó s cnh ca

H .
2
pm
c
+) Kết qu 5: Mi khi đa din có các mt là các tam giác thì tng s các mt ca nó phi là mt s
chn.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 580
+) Kết qu 6: Mi khi đa din bt kì luôn có th được phân chia thành nhng khi t din
+) Kết qu 7: Mi đỉnh ca mt đa din là đỉnh chung ca ít nht 3 cnh.
+) Kết qu 8: Nếu khi đa din có mi đỉnh là đỉnh chung ca 3 cnh thì s đỉnh phi là s chn.
Tng quát:
Mt đa din mà mi đỉnh ca nó đều là đỉnh chung ca mt s l mt thì tng đỉnh là
mt s chn.
+) Kết qu 9: Mi hình đa din có ít nht 6 cnh.
+) Kết qu 10: Không tn ti hình đa din có 7 cnh.
+) Kết qu 11: Vi mi s nguyên
3k luôn tn ti mt hình đa din có 2k cnh.
+) Kết qu 12: Vi mi s nguyên
4k luôn tn ti mt hình đa din có 21k
cnh.
+) Kết qu 13: Không tn ti mt hình đa din có
+) S mt ln hơn hoc bng s cnh;
+) S đỉnh ln hơn hoc bng s cnh.
+) Kết qu 14: Tn ti khi đa din có
2n
mt là nhng tam giác đều.
II. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1. Điu kin để mt hình là hình đa din – khi đa din.
1. Phương pháp gii
Hình đa din là hình được to bi mt
s hu hn các đa giác tha mãn hai tính cht:
+) Hai đa giác phân bit ch có th
hoc không có đim chung, hoc ch có mt
đỉnh chung, hoc ch có mt cnh chung.
+) Mi cnh ca đa giác nào cũng là
cnh chung ca đúng hai đa giác.
Ví d:
Các hình dưới đây là nhng khi đa din :
Các hình dưới đây không phi là khi đa din:
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho các hình sau. Hình không phi hình đa din là
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 581
A. Hình (a). B. Hình (b). C. Hình (c). D. Hình (d).
Hướng dn gii
Chn D.
Áp dng các tính cht ca hình đa din:
Mi cnh là cnh chung ca đúng hai mt;
Hai mt bt kì hoc có mt đỉnh chung, hoc có mt cnh chung, hoc không có đim chung nào.
Hình d vi phm quy tc: có cnh trên cùng ch là cnh ca mt mt.
Bài tp 2: Trong các hình dưới đây, hình nào là hình đa din?
A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Hình 1 không phi là hình đa din vì có mt cnh là cnh chung ca 4 đa giác, loi A.
Hình 2 không phi là hình đa din vì có mt cnh là cnh chung ca 3 đa giác, loi B.
Hình 4 không phi là hình đa din vì có mt cnh là cnh chung ca 4 đa giác, loi D.
Hình 3 là hình đa din vì nó tha mãn khái nim hình đa din.
Dng 2. Xác định s đỉnh, cnh, mt ca mt khi đa din
1. Phương pháp gii
Mi đa giác gi là mt mt ca hình đa din.
Các đỉnh, cnh ca các đa giác y theo th t
được gi là các đỉnh, cnh ca hình đa din.
Ví d:
Hình sau đây có 11 đỉnh, 20 cnh, 11
mt
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 582
2. Bài tp
Bài tp 1. S mt ca hình đa din hình v dưới đây
là ?
A. 11. B. 10.
C. 12. D. 9.
Hướng dn gii
Chn D
Hình đa din trên có 9 mt là

;;; ; ; ;
;;.
A
BD BDC ADC ABFE BFGC ACGE
HFE HFG EHG
Bài tp 2:
Cho hình đa din như hình v bên. Hi có
bao nhiêu đon thng ni 2 đỉnh ca hình đa din
nhưng không là cnh ca hình đa din?
A. 66. B. 30.
C. 36. D. 102.
Chú ý:
Hình đa
din có
n
đỉnh thì s
2
n
C
cnh ni 2
đỉnh ca
hình đa
din
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 583
Hướng dn gii
Chn
C
Ta có khi đa 20 mt có 12 đỉnh.
S đon thng được to thành 12 đỉnh trên là
2
12
C
cnh.
S cnh ca khi 20 mt trên là 30 cnh.
Vy s đon thng ni hai đỉnh ca hình đa din
nhưng không phi là cnh ca hình đa din là
2
12
30 36C .
nhưng
không là
cnh ca
hình đa
din là
hiu ca
2
n
C
và s
cnh khi
đa din.
Bài tp 3. Cho mt hình chóp có s đỉnh là 2018, s cnh ca hình chóp
đó là
A. 2019.. B. 1009.
C. 4036. D. 4034.
Hướng dn gii
Chn D
Hình chóp có 2018 đỉnh thì đa giác đáy có 2017 đỉnh, nên có 2017 cnh
đáy và 2017 cnh bên.
Vy hình chóp có
2017 2017 4034
cnh
Chú ý:
+ Hình chóp có
n
đỉnh thì s
2. 1n
cnh.
+ Hình chóp có
n
đỉnh thì s
n
mt.
Dng 3. Phân chia, lp ghép các khi đa din
1. Phương pháp gii
Nếu khi đa din
H là hp ca hai khi
đa din

12
,HH sao cho

1
H
2
H
không có chung đim trong nào thì ta nói có
th chia được khi đa din
H
thành hai khi
đa din
1
H
2
H , hay có th lp ghép hai
khi đa din
1
H
2
H vi nhau để được
khi đa din
H .
2. Bài tp
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 584
Bài tp 1. Cho khi t din
A
BCD
. Ly đim
M
nm gia
A
B , đim
N
nm gia
C D . Bng hai mt phng
DMC
A
BN , ta chia khi t din đó thành bn khi
t din nào sau đây ?
A. ,, ,.
M
ANC BCDN AMND ABND
B. ,,,.NACB BCMN ABND MBND
C. ,, ,.
A
BCN ABND AMND MBND
D. ,, ,.
M
BND MBNC AMDN AMNC
Hướng dn gii
Chn D.
Da vào hình v, ta thy hai mt phng
DMC
A
BN chia khi t din
A
BCD
thành bn khi t din là
,, ,.
M
BDN MBNC AMDN AMNC
Bài tp 2. Các khi lp phương đen và trng xếp chng lên nhau xen k màu to thành
mt khi rubik
757 (như hình v).
Gi
x
là s khi lp phương nh màu đen, y khi lp phương nhu trng. Giá tr
x
y
A.
1
. B. 0. C. 1. D. 2.
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 585
Chn C.
Có 7 lp hình vuông xếp chng lên nhau. Mi lp có 75 35
khi nh.
Ta thy hai lp dưới đáy, mt khi đen chng lên mt khi trng (hay ngược li) nên
s lượng khi đen, trng bng nhau.
Tương t 6 lp bên dưới có s lượng khi đen, trng bng nhau.
Ta xét lp trên cùng có
4343418 khi màu đen và có 3434317

khi màu trng
1
x
y
.
Bài tp 3. Mt phng
()
A
BC
¢¢
chia khi lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
thành các khi đa din nào?
A. Mt khi chóp tam giác và mt khi chóp t giác.
B. Hai khi chóp tam giác.
C. Mt khi chóp tam giác và mt khi chóp ngũ giác.
D. Hai khi chóp t giác.
Hướng dn gii
Chn A
Da vào hình v, ta thy mt phng
()
A
BC
¢¢
chia khi lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
thành khi
chóp tam giác
.
A
ABC
¢¢¢
và khi chóp t giác
..
A
BCC B
¢¢
C
C'
B
'
A
'
B
A
Bài tp 4.
Lp ghép hai khi đa din
()()
12
,
H
H
để to thành khi đa din
()
H
, trong đó
(
)
1
H
khi chóp t giác đều có tt c các cnh bng
a ,
()
2
H
là khi t din đều cnh a sao cho
mt mt ca
()
1
H
trùng vi mt mt ca
()
2
H
như hình v. Hi khi da din
()
H
có tt
c bao nhiêu mt?
A.
5.
B.
7.
C.
8.
D.
9.
Hướng dn gii
Chn A
Khi đa din
()
H
đúng 5 mt.
Sai lm hay gp: Khi chóp t giác đều có 5 mt. Khi t din đều có 4 mt.
Ghép hai hình li như hình v ta được khi đa din
()
H
có 8 mt.
Bài tp 5. Có th chia mt hình lp phương thành bao nhiêu khi t din bng nhau?
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 586
A.
2.
B.
4.
C.
6.
D.
8.
Hướng dn gii
Chn C
Ln lượt dùng mt phng
()
B
DD B
¢¢
ta chia thành hai khi lp phương thành hai khi lăng
tr
.
A
BD A B D
¢¢¢
.
B
CD B C D
¢¢¢
.
Vi khi
.
A
BD A B D
¢¢¢
ta ln lượt dùng các mt phng
(
)
A
BD
¢¢
()
A
BD
¢
chia thành ba
khi t din bng nhau.
Tương t vi khi
.
B
CD B C D
¢¢¢
.
Vy có tt c 6 khi t din bng nhau.
Dng 4: Phép biến hình trong không gian
1. Phương pháp gii
Phép biến hình F biến đim
M
thành
đim
M
duy nht và kí hiu
.
M
FM
Qua phép biến hình F, mi hình
H
được biến thành hình

H
gm tt c các
nh ca các đim thuc hình
H .
Hai hình

H

H
gi là bng nhau
nếu có mt phép di hình biến hình này
thành hình kia.
Ví d: Cho hình lp phương ..
A
BCD A B C D

Khi đó:
+ Các hình chóp
.
A
ABCD

.C ABCD
bng nhau (vì qua phép đối xng tâm
O
hình
chóp
.
A
ABCD

biến thành hình chóp
.C ABCD
).
+ Các hình lăng tr .
A
BC A B C

.
A
AD BBC

bng nhau (qua phép đối xng
qua mt phng
A
BCD
thì hình lăng tr
.
A
BC A B C

biến thành hình lăng tr
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 587
Hình
H được gi là đồng dng vi hình
H
nếu có phép v t biến hình
H
thành hình

1
H mà hình
1
H bng hình
H
.
.
A
AD BBC

.
+ Hai hình t din
A
BCD
A
BCD

bng
nhau nếu chúng có các cnh tương ng bng
nhau, nghĩa là:
A
BAB
,
B
CBC
, D=C DC

, DA=D A
,
A
CAC
,
BD BD
.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho hình lăng tr ..
A
BCD A B C D

nh ca đon thng
A
B
qua phép tnh
tiến theo vectơ
CC

là:
A. Đon thng CD

. B. Đon thng DD
.
C. Đon thng DC . D. Đon thng
A
B
.
Hướng dn gii
Chn D.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 588
Ta có


CC
CC
CC
TAA
TABAB
TBB




.
Bài tp 2:
Cho hình chóp đều
.SABCD
như
hình v. Phép đối xng qua mt phng

SAC biến hình chóp S.
A
BD thành hình
chóp nào sau đây?
A. ..S ABC
B.
.D.SAB
C.
..S ABO
D.
.D.SA C
Hướng dn gii
Chn B
Ta có









..D.
SAC
SAC
SAC
SAC
SAC
Đ SS
Đ AA
Đ
SAB SADB
Đ BD
Đ DB
.
Bài tp 3.
Cho hai đường thng song song d, d
và mt đim O không nm trên chúng.
Có bao nhiêu phép v t tâm
O
biến
d
thành
d
?
A. Có mt. B. Không có.
C. Có hai. D. Có mt hoc không có.
Hướng dn gii
Chn D.
+
Trong trường hp O , d, d
đồng phng thì tn ti duy nht phép v t tâm O biến
d
thành
d
.
+ Trong trường hp
d, dO
thì không tn ti phép v t tâm
O
biến
d
thành
d
.
Bài tp 4. Cho hình chóp t giác đều .SABCD. S mt phng qua đim S và cách đều
các đim
,,,D
A
BC
A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 589
Có ba mt phng gm:
+ Mt mt phng qua đỉnh hình chóp và song song vi
A
BCD .
+ Hai mt phng qua đỉnh hình chóp và qua hai trung đim ca cp cnh đối ca hình
vuông
A
BCD
.
Bài tp 5. Hình lăng tr tam giác đều có bao nhiêu mt phng đối xng?
A. 5. B. 6. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn D.
Hình lăng tr tam giác đều có bn mt đối xng gm:
Ba mt là mt phng cha mt cnh bên và hai trung đim ca hai cnh đáy không
chung đỉnh vi cnh bên đó.
Mt mt phng cha trung đim ca ba cnh bên ca hình lăng tr.
Bài tp 6. Gi
123
, , nnn
ln lượt là s trc đối xng ca khi t din đều, khi chóp t giác đều và
khi lp phương. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
123
0, 0, 6.nnn=== B.
123
0, 1, 9.nnn===
C.
123
3, 1, 9.nnn=== D.
123
0, 1, 3.nnn===
Hướng dn gii
Chn C
Khi t din đều có 3 trc đối xng (đi qua trung đim ca các cp cnh đối din). Khi
chóp t giác đều có 1 trc đối xng (đi qua đỉnh và tâm ca mt t giác). Khi lp
phương có 9 trc đối xng (Loi 1: đi qua tâm ca các mt đối din ; Loi 2: đi qua trung
đim các cp cnh đối din).
Bài tp 7.
Hình chóp t giác đều có bao nhiêu mt phng đối xng?
A.
4
mt phng. B.
1
mt phng. C.
2
mt phng. D.
3
mt phng.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 590
Hướng dn gii
Chn A
Hình chóp t giác đều có 4 mt phng đối xng bao gm:
2 mt phng đi qua đỉnh hình chóp và cha đường trung bình ca đáy.
2 mt phng đi qua đỉnh hình chóp và cha đường chéo ca đáy.
Bài tp 8. S mt phng đối xng ca hình t din đều là:
A.
4
mt phng. B.
6
mt phng. C.
8
mt phng. D.
10
mt
phng.
Hướng dn gii
Chn B
Các mt phng đối xng ca hình t din đều là các mt phng cha mt cnh và qua
trung đim cnh đối din.
Vy hình t din đều có 6 mt phng đối xng.
Bài tp 9.
Hình hp ch nht có ba kích thước đôi mt khác nhau có bao nhiêu mt phng đối
xng?
A.
4
mt phng. B.
6
mt phng. C.
9
mt phng. D.
3
mt phng.
Hướng dn gii
Chn D
Hình hp ch nht (không là hình lp phương) có các mt phng đối xng là các mt các
mt phng trung trc ca các cp cnh đối.
Bài tp 10. Mt hình hp đứng có đáy là hình thoi (không phi là hình vuông) có bao nhiêu mt
phng đối xng?
A. 4 mt phng. B. 1 mt phng. C. 2 mt phng. D.
3
mt phng.
Hướng dn gii
Chn D
Hình hp đứng có đáy là hình thoi (không phi là hình ch nht) có 3 mt phng đối xng
bao gm:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 591
2 mt phng cha đường chéo ca đáy và vuông góc vi đáy.
Mt mt phng là mt phng trung trc ca cnh bên.
Bài tp 11. Hình lp phương có tt c bao nhiêu mt phng đối xng?
A.
8
mt phng. B.
9
mt phng.
C.
10
mt phng. D.
12
mt phng.
Hướng dn gii
Chn B
Có 9 mt đối xng (như hình v sau).
Bài tp 12. S mt phng đối xng ca hình bát din đều là:
A.
4
mt phng. B.
9
mt phng.
C.
6
mt phng. D.
12
mt phng.
Hướng dn gii
Chn B
Gi bát din đều
A
BCDEF
. Có 9 mt phng đối xng, bao gm: 3 mt phng
(
)
A
BCD
,
()
BEDF
,
(
)
A
ECF
và 6 mt phng mà mi mt phng là mt phng trung trc ca hai cnh
song song (chng hn
A
B
CD
).
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 592
Bài tp 13. Có tt c bao nhiêu mt phng cách đều bn đỉnh ca mt t din?
A.
1
mt phng. B.
4
mt phng.
C.
7
mt phng. D. Có vô s mt phng.
Hướng dn gii
Chn C
2
loi mt phng tha mãn đề bài là:
Loi 1: Mt phng qua trung đim ca
3
cnh bên có chung đỉnh. Có 4 mt phng tha
mãn loi này (vì có 4 đỉnh)
Nhn xét. Loi này ta thy có 1 đim nm khác phía vi 3 đim còn li.
Loi 2: Mt phng qua trung đim ca
4
cnh (
4
cnh này thuc
2
cp cnh, mi cp
cnh là chéo nhau). Có
3
mt phng như thế.
Nhn xét. Loi này ta thy có 2 đim nm khác phía vi 2 đim còn li.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 593
BÀI 2: KHI ĐA DIN LI – KHI ĐA DIN ĐỀU
A. LÍ THUYT
1. Khi đa din li
Khi đa din được gi là khi đa din li nếu đon thng ni
hai đim bt kì ca khi đa din thuc khi đa din.
Mt s kết qu
quan trng v khi đa din li
Cho mt khi t din đều: Khi đó:
+) Các trng tâm ca các mt ca nó là các đỉnh ca mt
khi t din đều.
+) Các trung đim ca các cnh ca nó là các đỉnh ca mt
khi bát din đều (khi tám mt đều).
Tâm ca các mt ca mt khi lp ph
ương là các đỉnh ca
mt khi bát din đều.
Khi đa din li Khi đa din
không li
Lưu ý: Mt khi đa din là khi đa din
li khi và ch khi min trong ca nó luôn
nm v mt phía đối vi mi mt phng đi
qua mt mt ca nó.
Bài tp:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 594
Tâm ca các mt ca mt khi bát din đều là các đỉnh ca
mt hình lp phương.
Hai đỉnh ca mt khi bát din đều được gi là hai đỉnh đối
din nếu chúng không cùng thuc mt cnh ca khi đó.
Đon thng ni hai đỉnh đối din gi là đường chéo ca khi
bát din đều. Khi đ
ó:
+) Ba đường chéo ct nhau ti trung đim ca mi đường.
+) Ba đường chéo đôi mt vuông góc vi nhau.
+) Ba đường chéo bng nhau.
2. Khi đa din đều
Khi đa din đều là khi đa din li có tính cht sau đây:
+) Mi mt ca nó là mt đa giác đều n cnh.
+) Mi đỉnh ca nó là đỉnh chung ca đúng p mt.
Khi đ
a din đều như vy được gi là khi đa din đều loi
;np
.
Định lí: Ch có năm loi khi đa đin đều.
Đó là loi
3;3,4;3,3;4,5;3
3; 5 .
Các khi đa din đều:
T din đều Khi lp phương
Khi bát din đều Khi 12 mt đều
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 595
Bng tóm tt năm loi khi đa din đều
Khi đa din đều
S
đỉnh
S
cnh
S
mt
Loi
S
MPĐX
T din
đều
4 6 4
3; 3
6
Khi lp
phương
8 12 6
4; 3
9
Bát din
đều
6 12 8
3; 4
9
Mười
hai mt
đều
20 30 12
5; 3
15
Hai
mươi
mt đều
12 30 20
3; 5
15
Công thc Ơ-le:
Trong mt đa din li nếu gi Đ là s đỉnh,
C là s cnh, M là s mt thì ta có: ĐC + M = 2.
Tâm đối xng ca mt hình: Nếu phép đối xng qua tâm I
biến hình
H
thành chính nó thì I là tâm đối xng ca hình

H
.
Mt phng đối xng ca mt hình: Nếu phép đối xng qua
mt phng

P
biến hình

H thành chính nó thì
P
là mt
phng đối xng qua hình
H .
Khi 20 mt đều
Chú ý: Gi s khi đa din đều loi
;np
Đ đỉnh, C cnh và M mt. Khi
đó: p.Đ = 2C = n.M.
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Nhn din đa din li, đa din đều
1. Phương pháp gii
Khi đa din được gi là khi đa din li nếu đon
thng ni hai đim bt kì ca khi đa din thuc
khi đa din.
Ví d:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 596
Khi đa din li Khi đa din không li
2. Bài tp
Bài tp 1:
Trong các hình dưới đây hình nào không phi khi đa din li?
A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Hướng dn gii
Chn D.
Đường ni đon MN không thuc khi hình 4
nên hình 4 không phi khi đa din li.
Bài tp 2: Trong các mnh đề sau, mnh đề nào sai?
A. Hình hp là đa din li.
B.
T din là đa din li.
C.
Hình to bi hai t din đều ghép vào nhau là mt hình đa din li.
D.
Hình lp phương là đa din li.
Hướng dn gii
Chn C.
Các đáp án A, B, D đều đúng da vào khái nim hình đa din li.
Hai t din đều ghép vào nhau có th không to thành mt hình đa din li.
Hai t din (đều là các
đa din li) nhưng khi
ghép vi nhau có th
không to thành mt
hình đa din li.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 597
Hai t din ABCD
MNPQ trước khi ghép.
Sau khi ghép hai t din
ABCD và MNPQ ta được
hình mi không phi
hình đa din li.
Dng 2: Các đặc đim ca khi đa din đều
1. Phương pháp gii
Ch có năm loi khi đa din đều. Đó là loi
3; 3 , 4; 3 , 3; 4 , 5; 3
3; 5 .
Da vào bng tóm tt phn lý thuyết các thông s: Đỉnh cnh mt ca các khi đa din để gii toán.
Da vào tính cht phép biến hình để tìm mt phng đối xng, tâm đối xng, trc đối xng,… ca các loi
khi đa din.
Công thc Ơ-le: Trong mt đa din li nếu gi Đ là s đỉnh, C là s cnh, M là s
mt thì ta có công thc
ĐC + M = 2.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Hình bát din đều có tt c bao nhiêu cnh?
A. 6 B. 8 C. 12 D. 20
Hướng dn gii
Chn C.
Hình bát din đều có 12 cnh.
Bài tp 2:
Khi mười hai mt đều có bao nhiêu đỉnh?
Hình bát din đều
Khi mười hai mt đều
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 598
A. 12 B. 16 C. 20 D. 36
Hướng dn gii
Chn C.
Khi mười hai mt đều có 20 đỉnh.
Bài tp 3:
Cho khi đa din đều loi
3; 4 . Tng các góc phng ti mt
đỉnh ca khi đa đin đó bng
A. 180 B. 240 C. 324 D. 360
Hướng dn gii
Chn B.
Khi đa din đều loi
3; 4 là khi bát din đều. Mi đỉnh là đỉnh chung
ca 4 mt.
Vy tng các góc phng ti mt đỉnh ca khi đa din đó bng
60 .4 240
.
Bài tp 4: Cho hình đa din đều loi
{
}
4;3
cnh .a Gi
S
là tng din tích
tt c các mt ca hình đa din đó. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
4.Sa=
B.
2
6.Sa=
C.
2
8.Sa=
Hướng dn gii
Chn B
Đa din đều loi
{
}
4;3
là khi lp phương nên có 6 mt là các
hình vuông cnh
a . Vy hình lp phương có tng din tích tt c
các mt là
2
6.Sa=
Bài tp 5: Cho hình bát din đều cnh .a Gi
S
là tng din tích tt c các
mt ca hình bát din đó. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
43 .Sa=
B.
2
3.Sa=
C.
2
23 .Sa=
Hướng dn gii
Chn C
Hình bát din đều là hình có tám mt bng nhau và mi mt là
mt tam giác đều. Gi
0
S là din tích tam giác đều cnh
2
0
3
.
4
a
aS¾¾=
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 599
Vy din tích
S
cn tính là
2
2
0
3
8. 8. 2 3 .
4
a
SS a== =
Bài tp 6:
Cho hình 20 mt đều có cnh bng 2. Gi
S
là tng din tích tt
c các mt ca hình đa din đó. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
10 3.S =
B.
20 3.S =
C. 20.S =
Hướng dn gii
Chn B
Hình 20 đều là hình có 20 mt bng nhau và mi mt là mt tam
giác đều.
Gi
0
S
là din tích tam giác đều cnh bng
2
0
2. 3
23.
4
S¾¾= =
Vy din tích
S
cn tính là
0
20. 20 3 .SS==
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 600
BÀI 3. TH TÍCH KHI ĐA DIN
A. LÍ THUYT
Công thc tính th tích khi chóp, lăng tr
Th tích khi chóp: .
Trong đó: : Din tích mt đáy.
h: Độ dài chiu cao khi chóp.
Th tích khi lăng tr:
Trong đó: : Din tích mt đáy.
h: Chiu cao ca khi chóp.
Th tích khi hp ch nht:
Th tích khi lp phương:
Chú ý: Lăng tr đứng có chiu cao chính là
cnh bên.
Chú ý:
+) Đường chéo ca hình vuông cnh a là:
a2
.
+) Đường chéo ca hình lp phương cnh a là:
a3
+) Đường chéo ca hình hp ch nht có ba
kích thước a, b, c là:

222
abc.
+) Đường cao ca tam giác đều cnh a là:
3
2
a
1
.
3
®¸y
VSh
®¸y
S
.
®¸y
VSh
®¸y
S
..Vabc
3
Va
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 601
CÁC CÔNG THC HÌNH PHNG CN NM
1. H thc lượng trong tam giác
a) Cho vuông ti A, đường cao AH.
+) ; +) ;
+) ; +) ;
+) ; +) ;
+) .
b) Cho độ dài ba cnh a, b, c; độ dài các trung tuyến ; bán kính đường tròn
ngoi tiếp R; bán kính đường tròn ni tiếp r, na chu vi p.
+) Định lí hàm s cosin:
;
;
.
+) Định lí hàm s sin: .
+) Độ dài trung tuyến:
.
2. Các công thc tính din tích
a) Tam giác:
+)
+)
+)
+) (p: na chu vi c
a tam giác).
+)
+) vuông ti A:
+) đều, cnh a: .
ABC

222
A
BACBC
2
.
A
CCHBC
..AH BC AB AC
2
.
A
BBHBC
2
.
A
HBHHC

222
111
AH AB AC
.sin .cos .tan .cotAB BC C BC B AC C AC B
ABC
, ,
abc
mmm

222
2.cosabc bc A

222
2.cosbca ca B

222
2.coscab ab C
2
sin sin sin
abc
R
A
BC
22 2 2 2 2 22 2
222
; ;
24 24 24
abc
bc a ca b ab c
mmm



111
...
222
abc
Sah bh ch

111
sin ca sin sin
222
SbcA BabC
4
abc
S
R
Spr

S
ppapbpc
A
BC 
..
22
A
BAC BCAH
S
A
BC

2
33
,
24
aa
AH S
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 602
b) Hình vuông: (a: cnh hình vuông)
c) Hình ch nht: (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành:
e) Hình thoi:
f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiu cao)
g) T giác có hai đường chéo vuông góc:
NHC LI CÁCH XÁC ĐỊNH CAC GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Góc gia cnh bên và mt phng đáy
Để tính góc


,SA P
, ta gi H là hình chiếu vuông góc
ca S trên

P
. Khi đó HA là hình chiếu vuông góc ca SA
trên
P
.
Vy



,,SA P SA AH SAH.
Góc gia cnh bên và mt đứng
Để tính góc


,SB SAH biết

SAH P ta dng
B
KAHKAH. Vì
B
KAH
B
KSH
nên
B
KSAH
Khi đó K là hình chiếu vuông góc ca B trên
SAH
SK là hình chiếu vuông góc ca SB trên
SAH
Vy



,,SB SAH SB SK BSK
Góc gia hai mt phng
Góc gia hai mt phng bng góc gia hai đường thng
ln lượt thuc hai mt phng cùng vuông góc vi giao tuyến.
Góc gia mt bên và mt phng đáy
Để tính góc


,SAB P , ta gi H là hình chiếu vuông
góc ca S trên
P
.
K
HI AB I AB
2
S
a
Sab
 ®¸y chiÒu cao = . .sin
S
AB AD BAD

1
..sin .
2
S
AB AD BAD AC BD


1
2
S
abh
1
.
2
S
AC BD
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 603

AB HI
A
BSHI ABSI
AB SH

Vy



,,SAB P SI HI SIH.
Góc gia mt bên và mt đứng
Để tính góc


,SAB SAH
biết
SAH P
, ta k

BK HA
B
K HA K HA BK SHA
BK SH

.
K
K
ISAISA

SA KI
SA BKI SA BI
SA BK

Vy



,,SAB SAH KI BI BIK.
II. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1. Th tích khi chóp có cnh bên vuông góc vi đáy
1. Phương pháp
Hình chóp có cnh bên vuông góc vi đáy, thì
cnh bên đó chính là chiu cao ca khi chóp.
MÔ HÌNH 1
Hình chóp
.SABC
, cnh SA vuông góc vi đáy.
+ Đáy tam giác ABC.
+ Đường cao SA.
+ Cnh bên SB, SC, SA.
+
SAB , SAC là các tam giác vuông ti A.
+ Góc gia cnh SB vi đáy ABC là góc
SBA.
+ Góc gia cnh SC vi đáy ABC là góc
SCA.
+ Góc gia mt bên SBC vi đáy là góc
SHA
vi H là hình chiếu vuông góc ca A trên BC.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 604
MÔ HÌNH 2
Hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình ch
nht (hình vuông) và SA vuông góc vi đáy.
+ Đáy là hình ch nht (hình vuông) ABCD.
+ Đường cao SA.
+ Cnh bên SA, SB, SC, SD.
+
, , SAB SAC SAD là các tam giác vuông
ti A.
+ Góc gia cnh SB vi đáy ABCD
SBA
.
+ Góc gia cnh SC vi đáy ABCD
SCA.
+ Góc gia cnh
SD vi đáy ABCD
SDA .
+ Góc gia mt bên SBC vi đáy ABCD
SBA
+ Góc gia mt bên SCD vi đáy ABCD
SDA
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hình chóp .SABCDđáy ABCD là hình vuông. Cnh bên SA a= và vuông góc vi
đáy. Din tích tam giác
SBC
bng
2
2
.
2
a
Th tích khi chóp đã cho bng
A.
3
.a
B.
3
3
.
2
a
C.
3
.
3
a
D.
3
2
.
3
a
Li gii.
Chn C.
Đặt cnh hình vuông là
0.x >
Suy ra
2222
.SB SA AB a x=+=+
D thy
()
BC SAB BC SB^^
nên ta có
2
22
211
...
222
ABC
a
SSBBCaxxxa
D
== =+¾¾=
Vy th tích khi chóp:
3
.
1
..
33
S ABCD ABCD
a
VSSA==
Bài tp 2. Cho khi chóp .SABCDđáy ABCD là hình vuông cnh ,a SA vuông góc vi đáy và
khong cách t
A
đến mt phng
()
SBC bng
2
.
2
a
Th tích ca khi chóp đã cho bng
A.
3
.a
B.
3
.
2
a
C.
3
.
3
a
D.
3
3
.
9
a
Li gii.
Chn C.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 605
Gi
H
là hình chiếu ca
A
trên
.SB
D dang chng minh được
() ()
2
,.
2
a
AH SBC d A SBC AH
éù
^ ==
ëû
Ta có
222
111
.SA a
AH SA AB
=+ ¾¾=
Vy th tích khi chóp:
3
1
..
33
ABCD
a
VSSA==
Bài tp 3. Cho hình chóp đáy ABC là tam giác vuông ti B, , cnh bên
SA vuông góc vi mt phng đáySB to vi mt đáy mt góc bng . Th tích ca khi chóp
A. B. C. D.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có vuông ti B nên
Ta có
AB là hình chiếu vuông góc ca SB trên
vuông ti
A nên
.
Vy
23
.
11.33
..
33618

S ABC ABC
aa
VSSA a
Bài tp 4.
Cho hình chóp đáy ABCD là hình thang cân, , cnh
,
SA vuông góc vi mt phng , cnh SC to vi mt phng đáy
góc . Th tích ca khi chóp
A. B. C. D.
Hướng dn gii
Chn C.
.S ABC
A
Ba
60ACB
45
.S ABC
3
3
6
a
3
3
18
a
3
3
9
a
3
3
12
a
A
BC
3
.cot .cot60
3

a
BC AB ACB a
2
1133
..
2236

ABC
aa
SBABCa
A
BC


,,45SB ABC SB AB SBA
SAB
.tan .tan45SA AB SBA AB a
.SABCD
A
DBC
2
A
Da

A
BBCCDa
A
BCD
60 .SABCD
3
3
a
3
3
4
a
3
33
4
a
3
33
2
a
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 606
Gi M là trung đim AD. Ta chia hình thang cân ABCD thành ba tam giác ABM, BCM, CDM, ba tam
giác này là các tam giác đều cnh a.
Do đó .
Ta có AC là hình chiếu vuông góc ca SC trên .
Li có AHđường cao trong tam giác đều ABM nên .
vuông ti A nên
.
Vy .
Nhn xét: Vic chia nh hình thang cân ABCD thành ba tam giác đều s giúp ta thun tin trong
vic tính din tích đáy.
Chú ý: Nếu ABC là tam giác đều thì
Bài tp 5. Cho hình chóp đáy ABCD là t giác li , ,
SA vuông góc vi mt phng , cnh SC to vi mt phng đáy góc tha mãn
. Th tích khi chóp
A. B. C. D.
Hướng dn gii
Chn A.
2
33
4
ABCD
a
S
 
,,60ABCD SC ABCD SC AC SCA
33
23
22

AB a
A
HACAHa
SAC
.tan .tan60 3SA AC SCA AC a
23
.
113.333
.. .3
3344

S ABCD ABCD
aa
VSSA a
2
3
4
ABC
AB
S
.SABCD 2
A
Ca 3BD a
A
CBD
A
BCD
1
tan
3
.S ABCD
3
2
3
a
3
3
a
3
4
a
3
12
a
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 607
Ta có .
Do AC là hình chiếu vuông góc ca SC trên
nên
.
Vy .
Bài tp 6. Cho hình chóp SA vuông góc vi mt phng , hai mt phng
vuông góc vi nhau, , , . Th tích khi chóp
V. T s
A. B. C. D.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có: .
là các tam giác vuông ti B.
Xét vuông ti A :
Xét vuông ti B có:
Vy
2
.
3
2

ABCD
AC BD
A
CBD S a
A
BCD

,,
SC ABCD SC AC SCA
2
.tan
3

a
SA AC
3
2
..
1122
.3.
3333

SABCD SABCD
aa
VSSAa
.SABC
A
BC
SAB
SBC
3SB a
45
BSC
30
ASB
SABC
3
a
V
8
3
83
3
23
3
4
3

SA ABC SAB ABC


,


SBC SAB ABC SAB
BC SAB
SBC ABC BC
, 
A
BC SBC
SAB
33
.sin , .cos
22

aa
AB SB ASB SA SB ASB
SBC
.tan 3
B
CSB BSCa
2
1133
...3
2224

ABC
aa
SABBC a
233
.
113338
.. ..
334283

S ABC ABC
aa a a
VSSA
V
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 608
Tng quát:
Cho hình chóp SA vuông góc vi mt phng , hai mt phng
vuông góc vi nhau, , .
Th tích khi chóp là:
Chng minh:
Xét vuông ti A có: ;
Xét vuông ti B có:
Vy
Dng 2. Th tích khi chóp có mt bên vuông góc vi đáy
1. Phương pháp
Hình chóp có mt mt bên vuông góc vi đáy thì chân đường
cao nm trên giao tuyến ca mt phng đó và đáy.
Ta có:







d
a
a
ad
.
Hình chóp có hai mt vuông góc vi đáy thì giao tuyến ca
chúng s vuông góc vi đáy.
Ta có:






P
P
dP
d
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hình chóp .SABCDđáy ABCD,
A
Ba, 3
A
Da , tam giác SABn ti S
nm trong mt phng vuông góc vi đáy, khong cách gia
ABSC bng
3
2
a
. Tính th tích V ca
khi chóp
.SABCD.
A.
3
3Va B.
3
23Va C.
3
23
3
a
V
D.
3
33Va
.SABC
A
BC
SAB
SBC
BSC
ASB
.SABC
3
.
.sin2 .tan
12
SABC
SB
V
SAB .sin
AB SB .cos
SA SB
SBC
.tan
BC SB
1
.
2

ABC
SABBC
2
1
..sin.tan
2
SB
.
1
..
3
S ABC ABC
VSSA
2
sin tan cos
6

SB SB
3
.sin 2 .tan
12
SB
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 609
Hướng dn gii
Chn A.
Gi H, I ln lượt là trung đim ca AB, CD, k
HK SI .
Vì tam giác SAB cân ti S và nm trong mt phng vuông góc vi đáy
Suy ra
SH ABCD .

 
CD HI
CD SIH CD HK HK SCD
CD SH
,, , CD AB d AB SC d AB SCD d H SCD HK
Suy ra
3
;3
2

a
HK HI AD a
Trong tam giác vuông SHI ta có
22
22
.
3
HI HK
SH a
HI HK
Vy
23
.
11
.3.33
33

S ABCD ABCD
VSHSaaa.
Bài tp 2. Cho hình chóp .S ABC đáy ABC là tam giác vuông ti A, 2AB A , 5
A
CA . Hình
chiếu ca đim
S trên mt phng
A
BC trùng vi trung đim ca đon thng BC. Biết rng góc gia
mt phng
SAB và mt phng

SAC bng 60. Th tích ca khi chóp .S ABC
A.
3
56
12
a
B.
3
510
12
a
C.
3
210
24
a
D.
3
30
12
a
Hướng dn gii
Chn D.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 610
Gi H là trung đim ca BC.
Ta có
SAB SAC SA
, k
B
ESA
GH BE
,
Suy ra


,, 60SAC SAB GH SAC HGI .
Đặt
SH h , ta tính được
2
2
7
4

a
SA h
2
2
5
4

a
SP h .
Vy
2
2
22
22
5
2
2.
.
2
.
4
2
,
2
7
42


SAB
a
a
ah
h
S
BE SH HM
BE HG HI
SA SM
aa
hh
Tam giác GIH vuông ti I
2
2
22
22
25
2
.
.
3
24
2
sin 60 .
2
7
42


aa
a
h
h
IH
HG
aa
hh
24
42
715 23
0
48 4

aa a
hh h
Vy
3
130
..
612

SABC
a
VABACSH .
Bài tp 3. Cho hình chóp .S ABC vi các mt phng
, , SAB SBC SAC vuông góc vi nhau
tng đôi mt, din tích các tam giác
SAB, SBC, SAC ln lượt là
222
20 cm , 27 cm , 30 cm . Th tích
khi chóp
SABC
A.
3
40 3 cm B.
3
40 cm C.
3
60 cm D.
3
60 3 cm
Hướng dn gii
Chn D.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 611
Ta có các mt phng
, , SAB SBC SAC vuông góc vi nhau tng đôi mt nên
SA SB
,
SA SC , SB SC .
22
20 cm . 40 cm
SAB
SSASB
22
27 cm . 54 cm
SBC
SSBSC
22
30 cm . 60 cm
SAC
SSASC

2
. . 40.54.60 129600 . . 360SA SB SC SA SB SC
Do
,,SAB SBC SAC vuông góc vi nhau tng đôi mt

A
SSBC.
Vy
3
.
11
...60 cm
36

S ABC ABC
V S SA SA SB SC
.
Bài tp 4. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy là hình vuông cnh a, hai mt phng
SAB
SAD
cùng vuông góc vi đáy, biết
3SC a
. Gi M, N, P, Q ln lượt là trung đim ca SB, SD, CD, BC.
Th tích ca khi chóp
.
A
MNPQ
A.
3
3
a
B.
3
8
a
C.
3
12
a
D.
3
4
a
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có


MN PQ
MN PQ
NP PQ BD SC
M
NPQ là hình ch nht.
Suy ra
...
22
A
MNPQ A MQP M AQP
VVV
Ta có


1
;
2
dM AQP SA


22
1
;
22

a
SA SC AC a d M AQP SA
2
2
11313 33
... . 2
2 2 4 2 16 16 8

AQP
SAHQPACBDACBDa a
Do đó:


3
2
.
113
;. ..
332816

MAQP AQP
aa
VdMAQPS a
Vy
33
..
22.
16 8

AMNPQ M AQP
aa
VV
Dng 3. Th tích khi chóp đều
1. Phương pháp
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 612
Hình chóp đều là hình chóp đáy là đa giác
đều và các cnh bên bng nhau.
Trong hình chóp đều:
+) Đáy mt đa giác đều
+) Đường cao hình chóp qua tâm ca đa
giác đáy.
+) Các mt bên là các tam giác cân và bng
nhau .
Đường cao v t đỉnh ca mt mt bên gi là
trung đon ca hình chóp đều.
+) Các cnh bên hp vi đáy các góc bng
nhau
+) Các mt bên hp vi đáy các góc bng
nhau.
Chú ý:
+) Phân bit hình chóp tam giác đều khác
vi hình chóp có đáy là tam giác đều. Hình
chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam
giác đều và các cnh bên bng nhau. Nói mt
cách khác, hình chóp tam giác đều là
hình
chóp có đáy là tam giác đều nhưng điu
ngược li không đúng.
+) Hình chóp t giác đều là hình chóp đều
đáy là hình vuông.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho khi chóp tam giác đều .SABC có cnh đáy bng a và cnh bên bng 2a. Th tích
ca khi chóp
.S ABC
A.
3
11
12
a
V
B.
3
13
12
a
V
C.
3
11
6
a
V
D.
3
11
4
a
V
Hướng dn gii
Chn A.
.SABC
là hình chóp tam giác đều và G
trng tâm tam giác
ABC. Khi đó
SG ABC
. Do đáy là tam giác đều nên gi I là trung đim
cnh
BC, khi đó AIđường cao ca tam giác
đáy.
Theo định lý Pi-ta-go ta có
2
2
3
42
aa
AI a
, và
2233
33.23
aa
AG AI
.
Trong tam giác
SGA vuông ti G ta có
2
2
11
4
3
3
aa
SG a
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 613
Vy
3
11 3 11 11
..
32 2 12
3
aaa
Va
Bài tp 2. Cho hình chóp tam giác đều
.SABC
có cnh đáy bng a, góc gia cnh bên và mt đáy
bng
60. Th tích khi chóp .S ABC
A.
3
3
4
a
V
B.
3
3
12
a
V
C.
3
.5
12
a
V
D.
3
.3
10
a
V
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
2
3
4
ABC
a
S
.
.S ABC là hình chóp tam giác đều và G là trng
m tam gc ABC. Khi đó
SG ABC .
G là trngm tam gc ABC nên
23
33
a
AG AM
Xét tam giác SAG vuông ti G
.tan60SG AG a
Vy
23
.
1133
...
33412
S ABC ABC
aa
VSGSa
.
Bài tp 3. Cho hình chóp t giác đều .S ABCD có cnh đáy bng a và cnh bên to vi mt phng
đáy mt góc
60
. Th tích ca khi chóp
.SABCD
A.
3
6
2
a
V
B.
3
6
3
a
V
C.
3
3
2
a
V
D.
3
6
6
a
V
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
2
ABCD
Sa .
Gi
OACBD.
Do
.S ABCD là hình chóp đều nên
SO ABCD
.
Ta có



,,SB ABCD SB OB SBO.
Tam giác SOB vuông ti O,
26
.tan .tan60
22
aa
SO OB SBO.
Vy
3
2
.
1166
.. ..
3326
S ABCD ABCD
aa
VSSOa
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 614
Bài tp 4. Cho hình chóp tam giác đều
.SABC
có cnh đáy bng a. Gi G là trng tâm tam giác ABC,
góc gia SGmt phng

SBC 30 . Th tích khi chóp .SABC
A.
3
3
4
a
B.
3
3
8
a
C.
3
3
12
a
D.
3
3
24
a
Hướng dn gii
Chn D.
Tam giác ABC đều cnh a nên
2
3
4
ABC
a
S
.
H

,30GH SM H SM GH SBC SG SBC GSM .
113
.cot . .cot30 . . 3
3322
aa
SG GM GSM AM
Vy
23
.
1133
.. . .
334224
S ABC ABC
aaa
VSSG .
Bài tp 5. Cho hình chóp t giác đều có tt cc cnh bng nhau, đường cao ca mt mt bên là
3a . Th tích V ca khi chóp đó là
A.
3
22
3
Va
B.
3
42
3
Va
C.
3
2
6
Va
D.
3
2
9
Va
Hướng dn gii
Ta có
3SM a . Do SBC đều nên 2SC BC a
.
22
2
22
AC a
SO a
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 615
Vy th tích khi chóp đó là
3
2
1142
.2.4
33 3
ABCD
a
VSOS aa.
Bài tp 6.
Cho khi chóp t giác đều
.SABCD
đáy
ABCD
là hình vuông tâm
,O
cnh bng
.a
Cnh bên bng
3.a
Gi
M
là trung đim
ca
,CD
H
đim đối xng ca
O
qua
SM
(tham kho hình v bên). Th tích khi đa din
ABCDSH
bng
A.
3
10
.
12
a
B.
3
10
.
18
a
C.
3
10
.
24
a
D.
3
510
.
24
a
Li gii.
Chn D.
Khi đa din
ABCDSH
được chia thành hai khi chóp
.SABCD
..HSCD
3
22
.
11 10
.. .
33 6
S ABCD ABCD ABCD
a
VSSOSSBOB
== -=
• Vì
H
đối xng vi
O
qua
SM
nên
() ()
,,.dO SCD dH SCD
éùé ù
=
ëûë û
Suy ra
3
.
110
.
424
HSCD OSCD S ABCD
a
VV V
== =
Vy th tích khi đa din cn tính:
3
..
510
.
24
SABCD HSCD
a
VV V=+=
Bài tp 7:
Cho hình chóp
.SABCD
đều có cnh bên và cnh đáy đều bng a. Cho đim
MSA
sao
cho din tích
S
ca
MBD
nh nht. Giá tr
S
bng
A.
3a
.
4
B.
a
.
2
C.
2a
.
4
D.
a
.
4
Hướng dn gii
Chn C
Gi S là din tích
MBD
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 616


11
SBD.MOa2.MO1
22
minS xy ra min MO xy ra
Nhưng


min MO d O,SA OH
Vì t din đều nên
OABCD
thì SO là đường cao.
SOA vuông ti O (2)
Trong đó:

22
222
a2
OA
2
2a 2a a 2
SO SA OA a
442


2
SOA vuông cân ti O 
2a2 2a
OH OA. .
2222


1
1a2a
min S .a 2.
224
xy ra khi H là trung đim SA.
Dng 4. Th tích khi chóp biết trước mt đường thng vuông góc vi đáy
1. Phương pháp
Hình chóp có cnh bên vuông góc vi đáy, thì cnh bên đó chính là chiu cao ca khi chóp.
Vic tính SH ta thường da vào h thc lượng trong tam giác vuông.
Đề bài thường cho mi quan h v góc gia đường thng vi mt phng hoc góc gia hai mt
phng xác định độ dài đường cao.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hình chóp .S ABC đáy là tam giác vuông cân
ti A, cnh
2
B
Ca , gi M là trung đim BC,nh chiếu vuông
góc ca S lên mt phng

A
BC là trung đim ca AM, tam giác
SAM vuông ti S. Th tích ca khi chóp
.S ABC
A.
3
6
a
B.
3
2
a
C.
3
3
a
D.
3
9
a
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
A
BC vuông cân ti A, 2BC a
2
1
.
22
ABC
BC
A
MaSAMBCa

Chú ý:
Trong tam giác vuông đường
trung tuyến ng vi cnh
huyn bng na cnh huyn.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 617
Xét
SAM
vuông ti S có:
22
A
Ma
SH 
Vy
3
2
.
11
.. ..
3326
S ABC ABC
aa
VSSHa
Bài tp 2.
Cho hình chóp .S ABC , đáy là tam giác ABC
19 cmAB , 20 cmBC , 37 cmAC
, cnh bên
SA= 985 cm . Gi M là trung đim ca BC, hình chiếu vuông
góc ca S lên mt phng
A
BC
đim H tha mãn
1
3
A
HAM
 
. Th tích ca khi chóp .SABC
A.
3
570cm B.
3
760cm C.
3
1520cm D.
3
1140cm
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
38 cm
2
AB BC AC
p


.

2
S 38381938203837 114 cm
ABC
 .
22 2
385 cm
24
AB AC BC
AM

1
85 cm
3
AH AM
SAH vuông ti H có:
22
30 cmSH SA AH
Vy
3
.
11
. . .114.30 1140 cm
33
S ABC ABC
VSSH
Chú ý:
Khi biết độ dài ba cnh thì din
tích tam giác được tính theo
công thc Hê-rông.
Tam giác ABC có:
;;
B
CaACbABc

Na chu vi:
2
abc
p

Khi đó:

ABC
Sppapbpc

.
Công thc độ dài trung tuyến:
22 2
2
24
a
bc a
m

.
22 2
2
24
b
acb
m
.
22 2
2
24
c
ab c
m
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 618
Bài tp 3. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy là hình ch nht cnh
A
Ba , 2
A
Da . Hình chiếu vuông góc ca S lên mt phng
A
BCD
là trung đim H ca AD. Cnh SC to vi đáy mt góc
bng
30
. Th tích khi chóp
.S ABCD
A.
3
3
a
B.
3
26
9
a
C.
3
3
3
a
D.
3
2
3
a
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
2
.2
ABCD
SABADa
.
Do
HC là hình chiếu vuông góc ca SC lên
 

,30ABCD SC ABCD SCH
+ Xét tam giác
DHC vuông ti D có:
22
2HC DH DC a
+ Xét tam giác
SHC vuông ti H có:
6
.tan .tan30
3
a
SH HC SCH HC
.
Vy
3
2
.
11626
..2a.
3339
S ABCD ABCD
aa
VSSH

.
Bài tp 4.
Cho hình chóp .SABCDđáy ABCD là hình ch
nht tâm
O, cnh
A
Ba
, 3
B
Ca , tam giác SAC vuông ti S.
Hình chiếu vuông góc ca
S trên mt phng đáy trùng vi trung
đim
H ca đon AO. Th tích khi chóp .SABC
A.
3
2
a
B.
3
4
a
C.
3
6
a
D.
3
8
a
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
2
13
.
22
ABC
a
SABBC

Xét
A
BC
vuông ti B có:
22
2
A
CABBC a
Xét
SAC vuông ti S có:
222
A
CAOa
SO AO a HO

Xét
SHO
vuông ti H có:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 619
2
222
3
42
aa
SH SO HO a

Vy
23
.
1133
...
33224
S ABC ABC
aa a
VSSH

Bài tp 5.
Cho hình chóp
.SABCD
đáy ABCD là hình thoi
cnh
a,
60BAC , hình chiếu vuông góc ca S trên mt phng
A
BCD trùng vi trng tâm G ca tam giác ABC. Mt phng
SAC
hp vi mt phng
A
BCD
mt góc 45. Th tích khi
chóp
.S ABCD
A.
3
3
12
a
B.
3
6
a
C.
3
12
a
D.
3
2
6
a
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
60BAC  nên tam giác ABC đều
2
3
2.
2
ABCD ABC
a
SS

Gi
OACBD
Ta có ,
A
CBDACSG
A
C SBD AC SO 
Mt khác
OB AC


,45SAC ABCD SOB
Xét tam giác
SOG vuông ti G:
13
.tan .tan45
36
a
SG OG SOB OG BO

Vy
23
.
1133
...
336212
S ABCD ABCD
aa a
VSGS

.
Dng 5. Th tích khi chóp có các cnh bên bng nhau hoc các cnh bên, mt bên cùng to
vi đáy nhng góc bng nhau
1. Phương pháp
- Hình chóp có các cnh bên bng nhau hoc cnh
bên cùng to vi đáy nhng góc bng nhau thì chân
Ví d: Cho hình chóp .S ABC , đáy ABC có
10 cmAB
, 12 cmBC
, 14 cmAC , các mt bên
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 620
đường cao trùng vi tâm đường tròn ngoi tiếp mt
đáy.
- Hình chóp có các mt bên cùng to vi đáy nhng
góc bng nhau thì chân đường cao chính là tâm
đường tròn ni tiếp mt đáy.
cùng to vi mt phng đáy các góc bng nhau và đều
bng
tha mãn tan 3
. Thch khi chóp
.SABCD
A.
3
228 cm
B.
3
576 cm
C.
3
192 cm D.
3
384 cm
Hướng dn gii
Ta có

18 cm
2
AB BC AC
p


2
18 18 10 18 12 18 14 24 6 cmS 
Các mt bên cùng to vi mt phng đáy các góc bng
nhau nên hình chiếu ca S trên
A
BC là tâm đường
tròn ni tiếp
A
BC SI ABC .

46
.cm
3
S
Spr IMr
p

SIM
vuông ti I

46
.tan .3 4 6 cm
3
SI IM SMI.
Vy

3
11
. . .24 6.4 6 192 cm
33
SABC ABBC
VSSI
Chn C.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho chóp .S ABC đáy ABC là tam giác đều cnh
bng a, các cnh bên bng nhau và đều bng
3a . Th tích khi
chóp
.S ABC
A.
3
3
2
a
B.
3
3
6
a
C.
3
2
6
a
D.
3
2
4
a
Các cnh bên bng nhau nên
hình chiếu ca S trên
A
BC
là tâm đường tròn ngoi tiếp
A
BC
. Do
A
BC đều nên
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 621
Hướng dn gii
Chn C.
Gi G là trng tâm
A
BC SG ABC
A
BC đều
33
23
aa
AM AG
SGA
vuông ti G
22
26
3
a
SG SA AG
Vy
23
113262
.. . .
33436
SABC ABC
aaa
VSSG
hình chiếu vuông góc ca S
trên
A
BC là trng tâm G
SG ABC
Bài tp 2. Cho hình chóp .S ABC đáy ABC là tam giác cân
A
BACa,
120BAC , các cnh bên bng nhau và cùng to
vi mt phng đáy các góc
30
. Th tích khi chóp
.S ABCD
A.
3
3
12
a
B.
3
4
a
C.
3
3
4
a
D.
3
12
a
Hướng dn gii
Chn D
2
13
..sin
24
ABC
a
SABACBAC

Các cnh bên bng nhau và cùng to
vi mt phng đáy các góc
30 nên
hình chiếu O ca S trên
A
BC
tâm đường tròn ngoi tiếp
A
BC
SO ABC

,30SA ABC SAO
A
BC
22
2..cos 3
B
CABAC ABACBACa
2
.. 3 3
44. 4
abc a a a a
SOAa
R
OA

SAO
3
.tan
3
a
SO AO SAO
Vy
23
1133
.. . .
334312
SABC AABC
aa a
VSSO
Cnh bên bng nhau và cùng
to vi mt phng đáy các góc
30 nên hình chiếu ca S trên
A
BC tâm đường tròn
ngoi tiếp
A
BC
.

,30SA ABC SAO
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 622
Bài tp 3. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy ABCD là t giác li
và góc to bi các mt phng
SAB
,
SBC
,
SCD
,
SDA
vi mt đáy ln lượt là
90 , 60, 60, 60. Biết rng tam giác
SAB vuông cân ti S,
A
Ba
và chu vi t giác ABCD
9a
. Tính
th tích V ca khi chóp
.S ABCD .
A.
3
3
9
a
V
B.
3
3
4
a
V
C.
3
23
9
a
V
D.
3
3Va
Hướng dn gii
Chn A
Gi
I là trung đim AB.
K
IH BC H BC
, ta có góc gia


,SBC ABCD SHI
Do các mt
SBC ,
SCD ,
SDA to vi
A
BCD các góc
bng nhau và bng
60 nên các khong cách t I đến các cnh
CD, DA bng nhau và bng IH.
Ta có
21 6
.tan60 .
tan60 2 6
3
SI a a
SI IH IH


2
11626
.9.
2263
ABCD
aa
SBCCDDAHIaAB

Vy
23
112263
.
33269
ABCD
aa a
VSIS

K
IH BC
ta có


,SBC ABCD SHI
.
Do các mt
SBC ,
SCD ,
SDA to vi
A
BCD các
góc bng nhau nên các khong
cách t I đến các cnh CD, DA
bng nhau t đó tính được
.tanSI IH SIH
Bài tp 4. Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình ch
nht cnh
A
Ba
,
2
A
Da
. Đỉnh Sch đều các đỉnh A, B, C,
D,
ca mt đáy và 5SB a . Th tích khi chóp .S ABCD
A.
3
15
8
a
B.
3
15
6
a
C.
3
15
4
a
D.
3
15
3
a
Hướng dn gii
Chn D
Đỉnh S cách đều các đỉnh A, B,
C, D nên tâm hình ch nht là
chân đưng cao h t đỉnh
xung đáy.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 623
Ta có
2
.2
ABCD
SABADa.
A
CDB O
. Do S các đều các đỉnh
,,,
A
BCD SO ABCD .
Ta có
22
5
B
DABADa
5SB SD BD a nên
SBD
là tam giác đều
315
22
BD a
SO
.
Vy
3
2
.
1 1 15 15
...2
3323
S ABCD ABCD
aa
VSOS a

.
Bài tp 5. Cho hình chóp .S ABC đáy ABC là tam giác đều
cnh
a. Các mt bên
SAB
,
SAC
,
SBC
ln lượt to vi đáy
các góc là
30 , 45, 60. Tính th tích ca khi chóp .SABC.
Biết rng hình chiếu vuông góc ca
S trên
A
BC
nm trong tam
giác
ABC.
A.

3
3
84 3
a
V
B.
3
3
43
a
V
C.

3
3
44 3
a
V
D.

3
3
24 3
a
V
Hướng dn gii
Chn
Gi H là hình chiếu vuông góc ca S trên mt phng
A
BC
.
K
HD AB D AB,
HE AC E AC,
HF BC F BC.
Ta có
.cot 30 3HD SH SH, .cot45HE SH SH
 ,
Gi H là hình chiếu vuông góc
ca S trên mt phng
A
BC .
K
HD AB D AB
HE AC E AC
HF BC F BC
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 624
3
.cot 60
3
HF SH SH
Ta có
2
3
4
ABC
a
S
A
BC HAB HBC HAC
SSSS

2
1333
13 .
234
24 3
aa
SH a SH





Vy
 
23
.
13 3 3
..
34
24 3 84 3
SABCD
aa a
V 

Tam giác ABC b chia thành 3
tam giác nh do đó
A
BC HAB HBC HAC
SSSS

.
Din tích các tam giác nh biu
din theo cnh SH và h thc
lượng các tam giác vuông. T
đó tìm được SH.
Dng 6. Th tích lăng tr đứng
1. Phương pháp
Hình lăng tr đứng:
Là hình lăng tr có các
cnh bên vuông góc vi đáy. Độ dài cnh bên
là chiu cao ca hình lăng tr đứng.
Các mt bên là các hình ch nht. Các mt
bên đều vuông góc vi đáy.
Hình lăng tr đều: Là hình lăng tr đứng có
đáy là đa giác đều. Các mt bên đều là các
hình ch nht bng nhau.
Ví d: Cho hình lăng tr đứng tam giác
.
A
BC A B C

có tt c các cnh đều bng a. Th
tích ca khi lăng tr
.
A
BC A B C

A.
3
3a
.
4
B.
3
a3
.
4
C.
3
3a 3
.
4
D.
3
a
.
4
Hướng dn gii
Ta có
A
BC
đều cnh a
2
3
.
4
ABC
a
S

Vy
23
.
33
...
44
ABC A B C ABC
aa
VSAAa


Chn B.
2. Bài tp
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 625
Bài tp 1. Cho hình lăng tr đứng
.
A
BC A B C

, đáy là tam giác
ABC vuông ti A,
,30AB a ABC
cnh
CA
hp vi mt đáy
góc
60.Thch khi lăng tr .
A
BC A B C

A.
3
.
6
a
B.
3
.
2
a
C.
3
3
.
6
a
D.
3
3
.
2
a
Hướng dn gii
Chn C
A
BC vuông ti A
3
.tan
3
a
AC AB ABC
2
13
.. .
26
ABC
a
SABAC

Ta có

C A ABC C AC

60.
A
CC
vuông ti C
.tan .CC AC C AC a


Vy
23
.
33
...
66
ABC A B C AABC
aa
VSCCa


Bài tp 2. Cho lăng tr đứng
.
A
BC A B C

, đáy ABC là tam giác
vuông ti A, cnh
,30AC a ABC
, cnh BC
hp vi mt bên
A
CC A
góc
30
. Th tích khi lăng tr
.
A
BC A B C

bng
A.
3
6.a B.
3
6
.
3
a
C.
3
23.a D.
3
3
.
3
a
Hướng dn gii
Chn A
A
BC
vuông ti A có:
.tan
A
CAB ABC
1
..
2
ABC
SABAC
Ta có

C A ABC C AC

60
t đó da vào h thc lương
trong
A
CC
vuông ti C
tính được
.tan .CC AC C AC
A
BC
vuông ti A có:
.cot
A
BAC ABC
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 626
Ta có

,30BA ACC A BC ACC A BC A
 
 .
A
BC
vuông ti A
.cot 3
A
BAC ABCa
2
13
..
22
ABC
a
SABAC

A
BC
vuông ti A
.cot 3. 3 3
A
CAB ACBa a

.
A
CC vuông ti C
22
22.CC AC AC a


Vy
2
3
.
3
..226.
2
ABC A B C ABC
a
VSCC aa


Bài tp 3: Cho lăng tr đều .
A
BC A B C

có cnh đáy bng a và
A
BBC

. Th tích ca khi lăng tr .
A
BC A B C

A.
3
7
.
8
a
V
B.
3
6.Va
C.
3
6
.
8
a
V
D.
3
6
.
4
a
V
Hướng dn gii
Chn C
Gi Eđim đối xng ca C qua đim
1
.
2
BAB CEa
Khi đó tam giác ACE vuông ti
22
43.AAE aaa
T giác
B
CBE

là hình bình hành //
B
CBE
.
Do
A
BBC ABBE


.
1
.
2
ABC
SABAC

da vào h thc lượng trong
A
BC vuông ti A tính được
.cot .
A
CAB ACB
A
CC
vuông ti C tính
được chiếu cao lăng tr
22
CC AC AC


Ta ly đim E đim đối
xng vi C qua B.
Khi đó tam giác ACE vuông
ti A.
T giác
B
CBE

là hình bình
hành
//
B
CBE

.
Do
A
BBC

A
BBE

.
Ta có BC B E AB

 nên
tam giác
A
BE
vuông cân
ti
.
B
Nên tính được
2
A
E
AB
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 627
Mt khác, ta có
BC B E AB


nên tam giác
A
BE
vuông cân
ti
B
36
.
2
22
AE a a
AB

Xét tam giác
A
AB

vuông ti
A
2
22 2
62
.
22
aa
AA AB A B a






Vy
23
23 6
..
24 8
aa a
V 
Bài tp 4: Cho lăng tr đứng .
A
BC A B C

đáy ABC là tam
giác vuông cân ti A, cnh
2
B
Ca , góc gia hai đường thng
A
C
BA
bng
60
. Th tích khi lăng tr
.
A
BC A B C

A.
3
3
.
2
a
B.
3
.
2
a
C.
3
3
.
3
a
D.
3
.
3
a
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
1
2..
22
ABC
a
BC a AB AC a S AB AC

Ly D,
D
sao cho
.
A
BDCABDC

là hình hp
// , 60BD AC A BD AC BA


A
BAC ABBD ABD

 đều.
Do
A
BCD

là hình ch nht,
22
A
DBCa ABa AAa

.
Vy
3
.
..
2
ABC A B C ABC
a
VSAA


Bài tp 5: Cho hình lăng tr đứng
.
A
BC A B C

đáy ABC
tam giác vuông,
A
BBCa . Biết rng góc gia hai mt phng
A
CC

A
BC

bng 60. Thch khi chóp .
B
ACC A

bng
A.
3
.
3
a
B.
3
.
6
a
Da vào định lý Py-ta-go
trong tam giác
A
AB

vuông
ti
A
tính được
22
.
A
AABAB


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 628
C.
3
.
2
a
D.
3
3
.
3
a
Hướng dn gii
Chn A
Gi M là trung đim ca
A
C

. Do tam giác
A
BC

vuông cân
ti
B
nên
B
MAC

M
BAACC


.
Th tích khi chóp
.
B
ACC A

.
1
..
3
BACCA
VBMAAAC


.
Ta có
2
,2
2
a
BM AC a
.
Do

M
BAACCMBAC

.
K
M
KAC BKAC

 .
Vy góc gia hai mt phng
A
CC
A
BC
60MKB MKB

.
Trong tam giác vông
M
KB
ta có
6
tan 60
tan 60 6
M
BMBa
MK
MK


.
Trong tam giác vuông
M
KC
ta có
22 22
6
2
6
tan .
2
26
436
a
MK
MC K
MC MK a a

Mt khác trong tam giác vuông
A
AC
ta có
2
.tan 2
2
A
AAC MCK a a


Vy
3
.
112
.. . .2 .
3323
BAACC
aa
VBMAAACaa



Gi M là trung đim ca
A
C
.
Do tam giác
''
A
BC
vuông
cân ti
B
nên
BM AC

M
BAACC


.
Dng 7. Th tích lăng tr xiên
1. Phương pháp
Lăng tru xiên có cnh bên không vuông góc
vi đáy. Chiu cao là khong cách t mt
đỉnh bt kì ca mt đáy này đến mt đáy đối
din. Để tính chiu cao ta da vào h thc
lượng trong tam giác.
Ví d:Cho lăng tr .
A
BC A B C

tam giac ABC
vuông cân ti A, cnh
3
A
Aa
, hình chiếu
vuông góc ca
A
lên mt phng

A
BC trong
đim ca AC, góc to bi
A
A
vi
A
BC
bng
45
. Th tích khi lăng tr
.
A
BC A B C

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 629
A.
3
36
.
2
a
B.
3
6
.
3
a
C.
3
3
.
4
a
D.
3
6.a
Hướng dn gii
Chn A
Gi H là trung đim
A
C A H ABC
 ;


,45AA ABC A AH

.
Xét tam giác
A
HA
vuoong cân ti H
26
.sin 3. ,
22
a
AH AA AAH a


6
26
2
a
A
HAH ABAC AHa

2
1
.3
2
ABC
SABACa
.
Vây
3
2
.
63 6
.3..
22
ABC A B C ABC
aa
VSAHa


.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho lăng tr .
A
BC A B C

đây là tam giác ABC vuông
ti A,
,3
A
BaBCa, hình chiếu vuông góc ca B
trên mt
phng
A
BC
trùng vi chân đường cao H k t đỉnh A ca tam
giác ABC, góc to bi
A
B
vi
A
BC bng 60. Th tích khi
lăng tr
.
A
BC A B C

A.
3
3
.
4
a
B.
3
33
.
4
a
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 630
C.
3
.
3
a
D.
3
.a
Hướng dn gii
Chn D
2
11 2
..2.
22 2
ABC
a
SABACaa

Ta có
B
HABC


,60AB ABC B AH


Xét tam giác ABC vuông ti A
..26
3
3
A
BAC aa a
AH
BC
a
.
Xét tam giác
A
HB
vuông ti H
6
.tan .tan60 2
3
a
B
HAH BAH a

.
Vy
2
3
.
2
..2
2


ABC ABC ABC
a
VSBHaa
Bài tp 2. Cho lăng tr .
A
BCDABCD

đáy là hình thang cân
ABCD
,2
A
CBDAC a, cnh
A
A
to vi mt phng đáy
góc
60. Hình chiếu vuông góc ca
A
trên mt phng (ABCD)
đim H thuc đon AC sao cho
1
3
A
HHC . Th tích ca khi
lăng tr
.
A
BCDABCD

A.
3
23
.
3
a
B.
3
23.a
C.
3
3
.
3
a
D.
3
3a .
Hưỡng dn gii
Chn D
ABCD là hình thang cân
2
A
CBD a
2
1
.2
2

ABCD
SACBDa
11
342
a
AH HC AH AC


,60AA ABCD A AH


Xét tam giác
A
HA
vuoong ti H
Ta có


,
A
BABC BAH

60
Tam giác ABC vuông ti A có
nên:
.
A
BAC
AH
BC
.
Áp dng h thc lượng trong
tam giác
A
HB
vuông ti H ta
tính được chiu cao:
.tanBH AH BAH
T giác ABCD có hai đường
chéo
A
CBD
1
..
2
ABCD
SACBD

,60AA ABCD A AH


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 631
3
.tan . 3
22
aa
AH AH AAH


.
Vy
23
.
3
.2. 3
2
ABCD A B C D ABCD
a
VSAHaa


.
Bài tp 3. Cho khi lăng tr .
A
BC A B C

, khong cách t C đến
đường thng
BB
bng 2, khong cách t A đến các đường thng
BB
CC
ln lượt bng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc A lên
mt phng

A
BC

là trung đim M ca
B
C
2
A
M
. Th
tích ca khi lăng tr
.
A
BCABC

bng
A. 3. B. 1.
C.
2. D.
23
.
3
Hướng dn gii
Chn C
Gi N là trung đim BC,
2AN A M

.
K
A
EBB
ti,
EAF CC ti F.
Ta có
EF MN H nên H là trung đim EF.
Li có

.
AE AA
A
A AEF AA EF EF BB
AF AA

 
Khi đó
,1,, 3,,2d A BB AE d A CC AF d C BB EF

 
Ta có
222
A
EAFEF AEF
vuông ti
1.
2
EF
AAH
Mt khác

//
AA AEF
M
N AEF MN AH
MN AA
 
.
Xét
A
MN vuông ti A
22
.23
3
AH AN
AM
AN AH

.
Ta có





,
AA NM ABC
AA NM AEF
A
BC AEF HAN
AA NM ABC AN
AA NM AEF AH



.
1
2
1
.. .3
2

 
AH
AN
ABC ABC
AH
AE AF S S AE AF
AN
Vy
.
23
..32
3
ABC A B C ABC
VSAM

.
Áp dng h thc lượng trong
tam giác
A
HA
vuông ti H ta
tính được chiu cao:
.tan
A
HAH AAH
Gi N là trung đim BC.
2AN A M
.
K
A
EBB
ti E,
A
FCC
ti F.
Ta có
EF MN Hnên H
là trung đim EF.
Ta có
A
EAA
A
FAA

A
AAEF

A
AEF EFBB


Khi đó
,1,d A BB AE

,3,
dACC AF
,2dCBB EF
.
A
MN
vuông ti A ta tính
được chiu cao AM.
Din tích tam giác AEF tính
theo công thc
.cos
AEF ABC
SS HAN

Tng quát các dng bài này:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 632


2
,,
22
,
..
4
ABB ACC
CBB
ddAM
V
AM d

Dng 8 . Th tích hình hp
1. Phương pháp
Hình hp:
Là hình lăng trđáy là hình bình hành.
Có bn mt bên đều là các hình bình hành.
Hình hp đứng: Là hình lăng tr đứng có đáy là
hình bình hành. Có bn mt bên đều là các hình ch
nht.
Hình hp ch nht: Là hình hp đứng có đáy là
hình ch nht. Sau mt ca hình hp ch nhât đều là
các hình ch nht.
Hình lp phương: Là hình hp ch nht có tt c
các cnh bng nhau. Sáu mt đều là các hình vuông.
Ví d: Cho hình lp phương
.
A
BCDABCD

43AC
.
Th tích khi lp phương
.
A
BCDABCD

A. 23. B. 43.
C.
64. D. 125.
Hướng dn gii
Đặt
2.AB x AC x
A
AC
vuông ti A
22 22
23;AC AA AC x x x

43 3 43 4.AC x x

Vy
3
.
464
ABCD A B C D
V


.
Chn C.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hình hp đứng .
A
BCDABCD

đáy ABCD là hình
thoi cnh a,
120BAD
.Gi G là trng tâm tam giác ABD, góc to
bi
CG
và mt đáy bng 30 . Th tích khi hp .
A
BCDABCD

A.
3
.a B.
3
.
3
a
C.
3
.
6
a
D.
3
.
12
a
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 633
Ta có
2
3
..sin .
2
ABCD
a
SABADBAD
Do
120
B
AD ACD đều
A
Ca
22
33
a
CG CO OG AC
.
Li có

,30CG ABCD CGC


Xét
CCG
vuông ti C
23
.tan
9
a
CC CG C GC


Vy
3
.
.
3
ABCDABCD ABCD
a
VSCC


Chn B.
Bài tp 2.
Mt tm bìa hình vuông có cnh 50cm. Người ta ct b đi
mt góc tm bìa hình vuông cnh 16cm ri gp li thành mt cái
hp ch nahat không có np. Th tích khi hp ch nht là
A. 5184
3
.cm B. 8704
3
.cm
C.
4608
3
.cm
D. 18496
3
.cm
Hướng dn gii
16
A
ABBCCDD cm


nên ABCD là hình vuông có
50 2.16 18 .
A
Bcm
3
.
. . 18.18.16 5184
ABCD A B C D
VABACAD cm

.
Chn A.
..sin
ABCD
SADADBA
D
Góc to bi
CG
và mt đáy

,

CG ABCD C
Áp dng h thc
lượng trong
CCG
vuông ti
C tính được
.tan 'CC CG C G
C
.
Khi ct b mt góc
tm bìa mt hình
vuông cnh 16cm
thì cnh đáy còn li
50 2.16 18 ,cm
chiu cao là 16cm.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 634
Bài tp 3. Cho hình hp .
A
BCDABCD

đáy ABCD là hình ch
nht
15,AB 5AD . Hai mt bên
A
BB A
A
DD A
ln
lượt to vi mt phng đáy nhng góc
30
60
, cnh bên có độ
dài bng 1. Th tích khi hp
.
A
BCDABCD

A. 21. B.
15 65
.
12
C.
15 65
.
13
D.
21
.
2
Hướng dn gii
Ta có
.515
ABCD
SABAD
K

,, ;
A
H ABCD MH AB NH AD M AB N AD


,30;ABBA ABCD AMH



,60ADD A ABCD A NH


Đặt
A
Hx
, khi đó
23
,
sin 60 3
xx
AN

3
,2
3
x
A
MNH AM x

.
Xét
A
AM
vuông ti M
2
22 2 2
339
14
339
x
AA AM AM x x


Vy
.
339 1565
.515. .
39 13
ABCD A B C D ABCD
VSAH


Chn B.
Ta có
.5
ABCD
SABAD
K

A
HABCD
,
,
M
HABNHA
D


,
A
BB A ABCD


,
A
DD A ABCD

Xét
A
AM
vuông
ti M có
22
2
A
AAMAM


sin 60
A
H
AN
,
,2
A
MNHAM
A

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 635
T đó suy ra .
A
H
Dng 9. T s th tích khi chóp
1. Phương pháp
So sánh th tích khi chóp cn tính vi mt
khi đa din khác đã biết trước hoc d dàng
tính th tích.
Trong phương pháp này, ta thường hay s
dng kết qu ca các bài toán sau
Kết qu 1.
Cho hình chóp .SABC. Ly
,,
A
BC

tương
ng trên các cnh
,,SA SB SC
Khi đó
Chú ý: Kết qu trên vn đúng nếu như trong
các đim
,,
A
BC

có thđim
,,
A
AB BC C


Thông thường, đối vi bài toán này, đề
thường cho đim chia đon theo t l, song
song, hình chiếu…
Công thc ch đúng khi đáy là tam giác. Nếu
đáy là t giác, ngũ giác… ta phi phân chia
đáy thành các tam giác và tính tng th tích
các khi có đáy là tam giác.
Kết qu 2.
Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình
bình hành. Mt phng

P
ct
Chng minh
Đặt
BSC BSC


Ta có


,
,
dA SBC
SA
SA
dASBC




..
..
1
,.
3
1
,.
3
SB C
S ABC A SBC
S ABC A SBC
SBC
dA SBC S
VV
VV
dASBC S
 






11
,...sin
32
..
11
,...sin
32
dA SBC SBSC
SA SB SC
SA SB SC
dASBC SBSC



(điu phi chng minh)
Chng minh
1.
Chng minh
acbd

.
.
..
SABC
SABC
V
SA SB SC
VSASBSC


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 636
,,,SA SB SC SD
ln lượt ti
,,,
A
BCD

vi
;;;
SA SB SC SD
abcd
SA SB SC SD


;;; 0abcd
Khi đó ta có hai công thc quan trng sau
1.
2.
Chú ý: Các công thc 1, 2 ch áp dng cho
hình chóp có đáy là hình bình hành. Các công
thc này được ng dng rt nhiu trong các
bài toán tìm thiết din cũng như th tích khi
đa din nên tn dng khi làm trc nghim để
không phi làm theo phương pháp chia nh
đáy thành các tam giác.
Gi O là
tâm hình bình hành, I là giao đim ca SO và
A
BCD

Ta có
2
SA I SC I SA C
SAO SOC
SAO SCO SAC
SS S
SS
SS S


..sin ..sin
..sinAS ..sinCS
SA SI A SI SC SI C SI
SA SO O SC SO O


=
'. 'sin ' '
2.
.sin
SA SC A SC
SA SC ASC
.. .
2.
.. .
SA SI SC SI SA SC
SA SO SC SO SA SC


Nhân c hai vế ca đẳng thc vi
..
..
SA SC SO
SA SC SI

ta được
2.
SA SC SO
SA SC SI


(1)
Chng minh tương t
2.
SB SD SO
SB SD SI


(2)
T (1) và (2) suy ra
SA SC SB SD
SA SC SB SD


Hay
acbd

(điu phi chng minh)
acbd
.
.
4
S ABCD
S ABCD
V
abcd
Vabcd


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 637
2. Chng minh
.
.
4
S ABCD
S ABCD
V
abcd
Vabcd


Ta có
...
...
22
S ABCD S ABC S ADC
SABCD SABC SADC
VVV
VVV
  

1
.. ..
2
SA SB SC SA SD SC
SA SB SC SA SD SC
 




=
11 1
22
db
abc acd abcd




Do
acbd

suy ra
2
abcd
bd


Vy
.
.
4
SABCD
S ABCD
V
abcd
Vabcd


(điu phi chng minh)
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hình chóp SABC, trên các cnh AB, BC, SC ln lượt ly các đim M, N, P sao cho
2, 4,
A
MMBBNNCSPPC
. T s th tích ca hai khi chóp S.BMN và A.CPN là
A.
4
3
. B.
8
3
. C.
5
6
. D.
1
.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
..
.B.ACS
14 4
.. .
35 15
SBMN BMNS
SABC
VV
BM BN BS
V V BA BC BS

..
.C.ABS
11 1
.. .
52 10
ACPN C ANP
SABC
VV
CA CN CP
V V CA CB CS

.
.
41 8
:
15 10 3
SBMN
ACNP
V
V

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 638
Bài tp 2. Cho hình chóp t giác đều
.S ABCD
đáy là hình vuông
A
BCD
cnh a, góc gia mt
bên và mt phng đáy là
tha mãn
1
cos
3
. Mt phng
P
qua AC và vuông góc vi mt phng
SAD
chia khi chóp
.S ABCD
thành hai khi đa din có th tích là
1
V
2
V
vi
12
VV
. T l
1
2
V
V
gn nht vi giá tr nào trong các giá tr sau?
A.
0,11
. B.
0,13
. C.
0,7
. D.
0,9
.
Hướng dn gii
Chn A
Gi O là tâm hình vuông
A
BCD
.
.S ABCD
là hình chóp t giác đều nên
SO ABCD
Gi N là trung đim CD


,
,
CD SN CD ON
SCD ABCD SNO
SCD ABCD CD



K
CM SD
Ta có

AC BD
A
C SBD AC SD
AC SO
 

SD ACM ACM SAD
nên mt phng
P
A
CM
Xét tam giác SON vuông ti O có
3
2
1
2
cos
3
a
ON a
SN
SNO

22
22
3
2
22
aa
SO SN ON a




Xét tam giác SOD vuông ti O có
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 639

2
2
22
210
2
22
aa
SD SO OD a





Ta có
3
.
11 . 310
2
..
22 10
10
2
SCD
a
a
SN CD a
SCMSDSNCDCM
SD
a

Xét tam giác MCD vuông ti M có
2
222
310 10
10 10
aa
DM CD CM a





Ta có
10
1111
10
... . .
2. 2 2 2 10
10
2
MACD MACD
SABCD SACD
a
VV
DM DA DC DM
V V DS DA DC DC
a
 
1
10
M
ACD SABCD
VV
Mt phng

P
chia khi chóp
.S ABCD
thành 2 khi
M
ACD
SABCM
9
10
SABCD MACD SABCM SABCM SABCD
VVV V V
Do đó
1
0,11
9
MACD
SABCM
V
V

Tng quát: Cho hình chóp t giác đều
.S ABCD
đáy là hình vuông
A
BCD
cnh a, góc gia
mt bên và mt phng đáy là
. Mt phng
P
qua AC và vuông góc vi mt phng
SAD
chia
khi chóp
.S ABCD
thành hai khi đa din có th tích là
1
V
2
V
vi
12
VV
. T s th tích ca hai
khi đa din là
2
1
2
cos
V
V
Hướng dn gii
Ta có
22 2 2
2
1
.
cos
SD SN ND ON ND
SNO

2
2
1
1cos1
2 cos 2.cos
aa


Ta có
11
..
22
SCD
SCMSDSNCD

2
2
1
.
.
2cos
1cos
cos 1
2cos
a
a
SN CD a
CM
a
SD

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 640
2
222
2
2
.cos
1cos
1cos
aa
DM CD CM a

11
... .
2. 2 2
MACD MACD
SABCD SACD
VV
D
MDADC DM
V V DS DA DC DS

2
2
2
2
cos
1cos
1cos
21cos
1cos
2cos
a
a

22
222
cos cos 1
1
1 cos 1 cos 1 cos
M
ACD SABCD SABCM SABCD SABCD
VVV V V







Do vy
2
cos
MACD
SABCM
V
V
.
Bài tp 3. Cho hình chóp
.SABC
00
; 2 , ASB=BSC=60 ,ASC 90SA SB a SC a
. Th tích ca
khi chóp
.SABC
bng V. T s
3
6V
a
bng
A.
46
3
. B.
2
. C.
3
. D.
3
3
.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi M là trung đim SC.
Ta có
SM a SAM
vuông cân ti S.
Gi H là trung đim ca AM.
Ta có
222
2
A
MSASMa=+=
12
22
a
SH AM
SM SB a
0
60BSC
nên
BSM
đều
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 641
BM a
SAB
0
;ASB=60SA SB a nên là tam giác đều
AB SA a
Suy ra
AB BM a ABM
cân ti B.
Mt khác
222
2
A
BBM a
22 2 2 2
2
A
M a AB BM AM
ABM
vuông cân ti B (định lý Py-ta-go đảo)
12
22
a
BH AM
Ta có
22
22 2 2222
22
22
aa
SH BH a SH BH SB a

 



SHB
vuông cân ti H (định lý py-ta-go đảo).
Ta có
,SH AM SH HB SH ABM.
223
.
11122
..
22 3 32212
ABM S ABM ABM
aaaa
SABBMVSHS

 
3
.
..
3
.
26
22 2
6
S ABC
S ABC S ABM
S ABM
V
SC a V
VV
VSM a

Tng quát: Cho chóp
.SABC
,;SA a SB b SC c

ASB= ,BSC= , ASC

. Th tích
khi chóp
.SABC
222
.
1 cos os cos 2cos cos cos
6
SABC
abc
Vc



.
Bài tp 4. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cnh SA, SB, SC
ln lượt ly các đim
,,
A
BC

sao cho
2; 3; 4SA SA SB SB SC SC


, mt phng
A
BC

ct cnh
SD ti
D
. Gi
12
,VV ln lượt là th tích ca hai khi chóp
.SABCD

.S ABCD
. Khi đó t s
1
2
V
V
bng
A.
1
24
. B.
1
26
. C.
7
12
. D.
7
24
.
Hướng dn gii
Chn A.
Cách 1.
Phân chia đáy thành 2 tam giác
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 642
243 3 3
SA SC SB SD SD SD
SD SD
SA SC SB SD SD SD


.
..
.
111 1 1
.. ..
234 24 24
S ABC
S ABC S ABCD
S ABC
V
SA SB SC
VS
VSASBSC




.
..
.
111 1 1
.. ..
2 3 4 24 24
SACD
S ABC S ACD
SACD
V
SA SD SC
VS
VSASDSC




.. .
...
.
1
24 24
SABC SACD SABCD
S ABCD S ABC S ACD
S ABCD
VV V
VVV
V

  

Cách 2. Áp dng trc tiếp công thc
Ta có
.
.
2433 1
4.2.4.3.3 24
4. . . .
S ABCD
S ABCD
SA SB SC SD
V
SA SB SC SD
SA SB SC SD
V
SA SB SC SD






Dng 10. T s th tích khi lăng tr
1. Phương pháp
Trong phương pháp này, ta thường hay
s dng kết qu ca bài toán
Cho hình lăng tr
.
A
BCABC

có các
đim M, N, P ln lượt thuc các cnh
AA , ,BB CC

sao cho
,,
AA
AM BN CP
abc
BB CC


Khi đó
.
3
ABCMNP
ABC A B C
V
abc
V


Đặc bit:
..
..
,
33
A MNP M BCPN
ABC A B C ABC A B C
VV
abc
VV
 

Chng minh
Ta có
...ABCCB ABC ABC AABC
VV V

.
..
2
1
33
ABC ABC
ABC A B C ABC A B C
V
VV

 

Ta có




.
.
1
;.
3
;.
A
BC
M ABC
ABC A B C
ABC
d M ABC S
V
V
dA ABC S

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 643


;
111
33AA3
;
dM ABC
AM
a
dA ABC

Suy ra
Ta có
// ; ;
A
M BCC B d M BCPN d A BCPN


..
M
BCPN A BCPN
VV
Suy ra
..
..
M
BCPN A BCPN BCPN
A BCC B A BCC B BCC B
VVS
VVS




1
.;
2
.; 2
BN CP d C BB
B
NCP
B
Bd CBB BB


2222 2
BN CP BN CP b c
BB BB BB CC


..
2
M
BCPN A BCC B
bc
VV

.
.
2
.
23
A
BC A B C
MBCPN
V
bc
V


..
.
3
M
BCPN ABC A C B
bc
VV


Mt khác
.. .'
.
3
A
BCMNP M ABC M BCPN ABC A B C
abc
VVV V


.
3
ABCMNP
ABC A B C
V
abc
V

(điu phi chng minh).
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho khi lăng tr
.
A
BC A B C

có M, N, P ln lượt thuc các cnh
AA , ,BB CC

sao
cho
A,3,3
M
MA BN NB CP PC


. Đặt
1
V
là th tích ca khi đa din
2
,
A
BCMNP V
là th
tích khi đa din còn li. T s
1
2
V
V
A.
3
2
. B.
2
. C.
3
. D.
4
3
.
Hướng dn gii
Chn B
..
.
3
M
ABC ABC A B C
a
VV

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 644
Ta có
133
;3 ;3
AA 2 4 4
MA BN CP
MA MA BN NB CP PC
BB CC

 

Đặt
.ABC A B C
VV

Suy ra
1 1
121
2
133
22 1
244
2
33 3 3
VV
VVVVVV
VV


Bài tp 2. Cho hình lăng tr tam giác
.
A
BCABC

có thch là V và độ dài cnh bên
6AA
.
Trên cnh
,,
A
ABBCC

ln lượt ly các đim M, N, P sao cho
2, ,
A
MBNxCPy

vi x, y
là các s dương tha mãn
12xy
. Biết rng th tích khi đa din
.
A
BC MNP
bng
1
2
V
. Giá tr
ca
22
x
y
bng
A.
24
. B.
25
. C.
10
. D.
17
.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
.
.
1111
;; ;
36 6 33662
ABC MNP
ABC A B C
V
AM BN x CP y x y
AA BB CC V






.
Suy ra

2
22 22
749492 25xy xy x y xy x y  
Dng 11: T s th tích khi hp
1. Phương pháp
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 645
Cho hình khi hp
.
A
BCD A B C D

, mt phng
ct các cnh
,,,DDAA BB CC

ln lượt ti
M, N, P, Q sao cho
,,,
DD
AM BN CP DQ
abc d
AA BB CC


Khi đó ta có


.
.
1
4
11
22
ABDC MNPQ
ABCD A B C D
V
abcd
V
ac bd



Chng minh
Xét mt phng
A
CC A

T M, P ta ln lượt k các đường thng
song song vi AC ct
OO
theo th t E, F
Ta có
OF
OO OO
AM CP OE
AA CC


OI - IF 2
OO OO OO
OI IE OI


Tương t xét mt phng
DDBB
Ta cũng có
2
DD OO
BN DQ OI
BB


Do đó
DD
AM CP BN DQ
acbd
AA CC BB


Chia khi hp
.
A
BCD A B C D

thành
hai khi
.
A
BCABC

.
A
CD A C D

Áp dng t s th tích ca khi lăng tr
tam giác ta được

.
.
1
4
ABDC MNPQ
ABCD ABCD
V
abcd
V



11
22
ac bd

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 646
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hình lp phương
.
A
BCD A B C D

có N là trung đim
CC
. Mt phng
đi qua
AN ct các cnh
,BB DD

ln lượt ti M, P.
chia khi lp phương thành hai phn có th tích
tương ng bng
1
V

21 2
VV V
. T s
2
1
V
V
bng
A.
7
3
. B.
2
. C.
3
. D.
5
2
.
Hướng dn gii
Chn C
T gi thiết ta có
.
1
0
1
2
224
ABCDPNM
ABCD A B C D
AA CN
V
AA CC
V



Vy
2
1
3
3
4
ABCDPNM
AMNPABCD
V
V
VV


Bài tp 2. Cho hình hp
.
A
BCD A B C D

có th tích bng
3
36cm
. Gi hai đim M, N ln lượt
thuc các cnh
,
A
ACC

sao cho
2, 3
A
MAMCNCN
. Mt mt phng đi qua M, N ln lượt
ct cnh
,BB DD

ti P và Q. Th tích khi
A
BCDMPNQ
bng
A.
3
18cm
. B.
3
22cm
. C.
3
10,5cm
. D.
3
25,5cm
.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có
.
23
17
34
2224
ABCDMPNQ
ABCD A B C D
AM CN
V
AA CC
V




3
.
17 17
.36 25,5
24 24
ABCDMPNQ ABCD A B C D
VV cm


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 647
Bài tp 3. Cho hình hp
.
A
BCD A B C D

có th tích bng
V
. Gi M, N, P ln lượt thuc các cnh
,,,DDAA BB CC

sao cho
2,2 3;3 4;4 5
A
MAMBNBNCPCPDQDQ


. Th tích
khi
A
BCDMNPQ
bng
A.
572
945
V
. B.
13
21
V
. C.
26
45
V
. D.
559
945
V
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
2 4 26 3 5 52
;
3 7 21 DD 5 9 45
AM CP BN DQ
AA CC BB

 
DD
A
MCPBNDQ
AA CC BB


Cnh MP s lch trên. Khi đa din li
A
BCDMNPQ
được chia thành hai khi đa din theo cnh
MP là BACNMP và DACQMP.
Ta có
1 1 3 2 4 193
3 3537 315
BACNMP
BACB A C
V
BN AM CP
VBBAACC






193 193
315 630
BACNMP BACB A C
V
VV


.
1 1 5 2 4 113
3 DD 3 9 3 7 189
DACQMP
DACD A C
V
DQ AM CP
VAACC






113 113
189 378
DACQMP DACD A C
V
VV


Vy
193 113 572
630 378 945
ABCDMNPQ BACNMP DACQMP
VV V
VVV
Dng 12. Tách hình để tính th tích
1. Phương pháp
Để tính th tích các khi da din phc tp ta
không tính trc tiếp mà tính gián tiếp thông
Ví d: Ct khi hp
.
A
BCD A B C D

bi các
mt phng
,,
A
BD CBD BAC
 
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 648
qua vic tính th tích các khi đơn gin (khi
chóp, khi lăng tr).
+ Khi đa din A được to bi các khi đơn
gin
12
, ,...
n
A
AA
. Khi đó
12
...
n
A
AA A
VVV V
.
+ Khi đa din A được b sung thêm các khi
cơ bn
12
, ,...
n
A
AA
để to thành khi cơ bn
B
Khi đó

12
...
n
AB AA A
VV VV V
.
+ Ta có th s dng khôi phc li hình n ban
đầu để tính toán d dàng hơn.
+ S dng phương pháp tri hình trên mt
phng để d hình dung và tính toán thun tin
hơn.
, DAC
ta được khi đa din có th tích ln
nht là
A.
'
A
AB D
. B.
D
ADC
.
C.
A
CB D
. D.
CC B D

.
Hướng dn gii
Ct khi hp bi các mt phng
,
A
BD

,CB D
B
AC
, DAC
ta được 5 khi t
din
A
ABD

,
B
ABC
,
CC B D

,
DDAC
,
A
BDC
.
Gi V là th tích ca khi hp.
1
6
AA B D B ABC CC B D D ADC
VVVV V


Suy ra
1
3
ACB D
VV

nên t din
A
CB D

th tích ln nht
Chn C.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Mt khúc g có dng và độ dài các cnh được cho như hình v. Th tích khúc g
A. V = 12. B. V = 96. C. V = 36. D. V = 24.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 649
Hướng dn gii
Chn C.
Khúc g được chia thành 2 phn, mi phn là mt lăng tr tam tam giác có đáy là các tam giác vuông,
chiu cao khi lăng tr bng 4.
Th tích khi g
12
11
4. .3.2 4. .3.4 36
22
VVV
.
Bài tp 2. Mt hình hp ch nht ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước là 2 cm, 3 cm và 6 cm. Th tích
ca khi t din A.CB’D’ bng
A.
3
8cm
. B.
3
12cm
. C.
3
16cm
. D.
3
4cm
.
Hướng dn gii
Chn B.
Khi hp được to thành t 5 khi B.AB’C; D.ACD’; A’.B’AD’; C.B’C’D’; A.CB’D’.
Ta có
.’ . . . ..''' ' BABC DACD A BAD CBCD AABCD A D BCCDB
VVVVVV
.’ . ..''' ' .''' '’.
44
B
AB C A CB D A CB D B CABCD A B B ACD ABCDA CD B
VVVVVV
3
.''' ' .''' ' '. ''’. '
111
4 .2.3.6 12
633
ABCD A B C D ABCD A B C DAABCDABDC CBD
VV V V cm
.
Bài tp 3. Cho hình lăng tr đứng ABC.A’B’C’ có th tích bng V. Gi M, N, P ln lượt là các đim
nm trên các cnh AA’, BB’, CC’ sao cho AM =
1
2
AA’; BN =
2
3
BB’; CP =
3
4
CC’. Th tích khi
chóp M.BCPN là
A.
7
36
V
. B.
17
36
V
. C.
7
18
V
. D.
11
18
V
.
Hướng dn gii
Chn B.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 650
Ta có
.'''
'.
A
BC A B C ABC
VV AAS
..'''
111
...'.
332 6
M ABC M A B C ABC ABC
V
VV MAS AAS
.
Mt khác
'''.
'''.
1' ' '
3' ' '
ABC MNP
ABC ABC
V
A
MBNCP
VAABBCC




' ' '. ' ' '. ' ' '.
1111 13
3234 36
ABC MNP ABC ABC ABC MNP
VVVV

 


.
.'''..'''.
13 17
636 36
M BCPN A B C ABC M ABC A B C MNP
VV
VV VV V V
.
Bài tp 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hai cnh AC, BD ct nhau ti O. Mt
phng (P) đi qua đim O và song song vi mt phng (SAD) ct khi chóp S.ABCD to thành hai
khi có th tích ln lượt là
1
V
;
21 2
()VV V
. T s
1
2
V
V
bng
A.
5
11
. B.
3
5
. C.
7
13
. D.
1
2
.
Hướng dn gii
Chn A.
Cách 1:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 651
Gi h, V,
A
BCD
S
ln lượt là chiu cao, th tích và din tích đáy ca hình chóp S.ABCD. Mt phng
(P) ct hình chóp S.ABCD to thành thiết din như hình v. Khi đó
1HGFCBE
VV
và th tích phn còn
li là
21 2
()VV V
.
Ta có
....
H
GFCBE H BEO H BOC H OCF G HCF
VVVVV
.
1111
...
32 32 32 2
BEO BOC OCF B GCF
hhh
SSSV


111
...
32 2 32
BEO BOC OCF BCF
hh
SSS S





111
.. ..
32 2 32 4
ABCD
BEFC
S
hh
S




11 111 1 1 1 5
... ... .
2 3 2 2 2 4 3 4 16 16
ABCD
ABCD
S
hhSVVV




.
Suy ra
1
5
16
VV
. Do đó
21
511
16 16
VVVV V V
.
Vy
1
2
5
11
V
V
.
Cách 2:
Ta có
.
11
.. ..
3322
SADFE ADFE
SV
VhSh
.
Li có
.
.
112 2 3
4.1.1.2.2. 8
4. . . .
SEFGH
SEFCB
SE SF SB SC
V
SE SF SH SG
SE SF SB SC
V
SE SF SH SG



..
33
816
SEFGH SEFCB
V
VV
.
Do đó
.. 2
311
216 16
SADFGHE S ADFE S EFGH
VV V
VVV V
suy ra
1
5
16
VV
.
Vy
1
2
5
11
V
V
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 652
Bài tp 5. Cho hình lp phương ABCD.A’B’C’D’ cnh 2a, gi M là trung đim ca BB’ và P thuc
cnh DD’ sao cho
1
DD'
4
DP
. Mt phng (AMP) ct CC’ ti N. Th tích khi đa din AMNPBCD
bng
A.
3
2Va
. B.
3
3Va
. C.
3
9
4
a
V
. D.
3
11
3
a
V
.
Hướng dn gii
Chn B.
Th tích khi lp phương ABCD.A’B’C’D’ là V=

3
3
28aa
.
Cách 1: Gi O, O’ ln lượt là tâm hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’, gi K=OO’ MP, khi đó
N=AK
CC’.
Ta có

1
2
OK DP BM
13 3
2
224 2
aa a
aCNOK




.

2
1135
..2
2222
BMNC
aa
SBMCNBCaa




.
23
.
1155
.. ..2
3323
A BMNC BMNC
aa
VSAB a.

2
113
..22
2222
DPNC
aa
SDPCNCD aa




.
3
2
.
114
.. .2.2
333
A DPNC DPNC
a
VSADaa.
33
3
..
54
3
33
ABMNC ADPNC
aa
VV V a.
Cách 2:
Áp dng công thc tính t s th tích khi hp, ta có
.''' ' .''' '
11113
.
2' ' 2248
AMNPBCD AMNPBCD
ABCD A B C D ABCD A B C D
VV
BM DP
VBBDDV




33
3
.8 3
8
AMNPBCD
Vaa
.
Bài tp 6. Cho t din đều ABCD có cnh bng 1. Gi M, N ln lượt là trung đim các cnh AB
BC. Đim P trên cnh CD sao cho PD=2CP. Mt phng (MNP) ct AD ti Q. Th tích khi đa din
BMNPQD bng
A.
2
16
. B.
25 2
432
. C.
2
48
. D.
13 2
432
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 653
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có MN//AC và PQ = (MNP) (ACD)
PQ//AC
2
3
DQ DP
DA DC

.
Th tích khi t din đều ABCD là
2
12
ABCD
VV
.
Chia khi đa din cn tính thành các khi t din D.PQB; B.MNQ; B.PQN.
Ta có
.. .
B
MNPQD D PQB B MNQ B PQN
VVVV
.
Trong đó
2
.
24
...
39
DPQB
DQ DB DP
VVVV
DA DB DC




.
2
...
1111
... . . . ..
24412
ACQ
B MNQ B ACQ B ACQ
ACD
S
BM BN BQ AQ
VVVVVV
BA BC BQ S AD




.
...
11 1
... . . .
22 6
PQC
BPQN BPQC BPQC
ACD
S
BP BQ BN
VVVVV
BP BQ BC S
.
Vy
411 252
9 12 6 432
BMNPQD
VV




.
Bài tp 7. Cho khi lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cnh a. Cnh AA’=2a và
to vi đáy mt góc
45
. Th tích khi t din ACA’B’ là
A.
3
6
12
a
. B.
3
6
8
a
. C.
3
6
4
a
. D.
3
6
6
a
.
Hướng dn gii
Chn A.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 654
Gi H là hình chiếu ca A’ trên (ABC).
A
BC
đều cnh a
2
3
4
ABC
a
S
.
Ta có
', ( ) ' 45AA ABC A AH
.
'
A
AH
vuông ti H có
''.sin' 2
A
HAA AAHa.
3
.'''
6
.'
4
ABC A B C ABC
a
VSAH
.
Khi lăng tr được chia làm ba khi chóp C.A’B’C’, B’.ABC và A.CA’B’.
Ta có
.''' .'''
1
3
C A B C ABC A B C
VV
'. . ' ' '
1
3
B ABC ABC A B C
VV
3
'' .''' .''' '. .'''
16
312
ACA B ABC A B C C A B C B ABC ABC A B C
a
VV V V V 
.
Bài tp 8. Cho lăng tr ABC.A’B’C’ có th tích bng 15. Gi M, N, P ln lượt là các đim trên cnh
A’B’, B’C’, BC sao cho M là trung đim ca A’B’, B’N=
4
''
5
BC
và BP=
3
5
BC
. Đưng thng NP
ct đường thng BB’ ti E và đường thng EM ct đường thng AB ti Q. Th tích khi đa din li
AQPCA’MNC’ bng
A.
23
64
. B.
49
16
. C.
83
8
. D.
45
4
.
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 655
Ta có
3
''4
EB EQ EP BP
EB EM EN B N

()
()
()
()
()
()
()
()
,'''
'
4,'''4,'''
'
,'''
dE ABC
EB
dE ABC dB ABC
BB
dB ABC
===
Li có
'
'''
''142
..
'' '' 25 5
BMN
ABC
S
BM BN
SBABC

.
 
.' ' '''
112
,( ' ) . .4 ,( ' ' ') .
335
EMBN MBN ABC
VdEMBNS dBABCS
.'''
88
.15 8
15 15
ABC A B C
V
.
33
.
..'
.'
327 27
..
''464 64
EQPB
E
QPB E MB N
EMBN
V
EP EQ EB EB
VV
VENEMEBEB




.
Suy ra
.' . ' . . ' . ' . '
27 37 37 37
.8
64 64 64 8
BQPBMN EMBN EBQP EMBN EMBN EMBN
VVVV V V
.
Vy
' ' .''' .'
37 83
15
88
AQPCA MNC ABC A B C BQP B MN
VVV
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 656
Dng13.Phchìnhtriphng
Bài tp 1. Cho t din ABCD có
90DAB CBD
; AB=a; 5
A
Ca ;
135ABC
. Biết góc gia
hai mt phng (ABD), (BCD) bng
30
. Th tích ca t din ABCD bng
A.
3
23
a
. B.
3
2
a
. C.
3
32
a
. D.
3
6
a
.
Hướng dn gii
Chn D.
Dng
()
D
H ABC
.
Ta có
BA DA
B
AAH
BA DH

;
BC DB
B
CBH
BC DH

.
Tam giác AHB có AB=a,
45ABH
H
AB
vuông cân ti A
AH=AB=a.
Áp dng định lý cosin, ta có BC=
2a
.
Vy
2
112
.. .sin ..2.
2222
ABC
a
SBABCCBAaa
.
Dng


()
HE DA E AD
HE DAB
HF DB F BD



()
H
FDBC
.
Suy ra
(),( ) ,DBA DBC HE HF EHF
Đặt DH=x, khi đó
22 22
2
,
2
ax xa
HE HF
ax ax


.
Suy ra
22
22
32
cos
4
22
HE x a
EHF x a
HF
xa

.
Vy
3
1
..
36
ABCD ABC
a
VDHS
.
Bài tp 2
Cho t din
A
BCD
4; 5;AB CD AC BD

6AD BC
. Th tích ca khi t din
A
BCD
A.
15 6
4
B.
15 6
2
C.
45 6
4
D.
45 6
2
Chú ý: Cho khi
t din gn đều có
độ dài các cnh
A
BCDa
A
CBDb
A
DBCc



Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 657
Hướng dn gii
Chn A
Dng t din AMNK sao cho B, C, D
ln lượt là trung đim ca các cnh MN,
NK, KM.
T din AMNK có AM, AN, AK đôi mt
vuông góc.
22 2
22 2
22 2
36
64 54
100 10 10
144 90
310
AM
AM AN AM
AN AK AN AN
AK AM AK
AK








11
.. .3610.310156
66
AMNK
VAMANAK
Vy
15 6
44
AMNK
ABCD
V
V 
Đặt
222
222
222
x
abc
yb c a
za c b



Khi đó
2
12
ABCD
V xyz
Bài tp 3. Mt con kiến đang v trí M là trung đim
cnh
A
D

ca mt chiếc hp hình lp phương
.
A
BCDABCD

cnh 5cm.
Con kiến mun bò qua sáu mt ca chiếc hp
ri quay tr li M. Quãng đường bò đi ngn
nht ca con kiến là
A.
16 2cm
. B.
15 2cm
.
C.
12 2cm
. D.
13 2cm
.
Hướng dn gii
Chn B.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 658
Tri sáu mt phng ca hình lp phương
.
A
BCDABCD

như hình v 1. Để đi đường ngn nht t
M
đến
(
M
MM

hay
M
là trung đim
A
D
trên mt khai trin) thì con kiến cn bò theo đon
M
M
. Trên chiếc hp, đường đi ngn nht ca con kiến là đường
M
NPQKZM
như hình 2 vi N, P,
Q, K, Z ln lượt là trung đim ca
DD , , , ,CD BC BB A B

.
Quãng đường ngn nht con kiến bò là đon
M
NPQKZM
.
Ta có
M
NPQKZM MN NP PQ QK KZ ZM
.
Các đon thng con kiến bò trên các mt hình lp phương đều có độ dài bng na độ dài đường chéo
hình vuông.
Do đó quãng đường con kiến bò ngn nht là
52
6. 15 2
2
Bài tp 4. Cho hình chóp t giác đều
.S ABCD
mt con kiến bò t đỉnh A ca đáy để đi tt c các mt
xung quanh ri tr v v trí A. Biết cnh bên bng 6cm, cnh đáy bng 4cm. Quãng đường ngn nht
mà con kiến đi là
A.
13,48cm
. B.
10,25cm
. C.
12,05cm
. D.
11,73cm
.
Hướng dn gii
Chn D.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 659
Tri hình chóp thành hình như hình v trên. Khi đó quãng đường ngn nht con kiến phi bò
1
A
A
Ta có
000
1
1
sin AS AS 19 28 ASA 8.19 28 155 46
3
AH
HH
SA


22
1111
2. cosAS 11,73
A
ASASASASA A cm
Bài tp 13. Cho hình chóp t giác đều
.S ABCD
SA a
11
24
SAB
. Gi Q là trung đim
cnh SA. Trên các cnh
,,SB SC SD
ln lượt ly các đim
,,
M
NP
không trùng vi các đỉnh ca hình
chóp. Giá tr nh nht ca tng
A
MMNNPPQ

theo a là
A.
11
2sin
24
3
a
B.
3
2
a
C.
2
4
a
D.
11
3sin
12
3
a
Hướng dn gii
Chn B.
Tri phng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 660
Do hình chóp t giác đều nên mi mt bên đều là các tam giác cân, theo gi thiết
11
24
SAB
nên
22
24 12
ASB

(1)
Ct hình chóp theo cnh bên SA ri tri các mt bên thành mt mt phng ta được hình v như
trên sao cho khi ghép li thì
A
A
. Khi đó, tng
A
MMNNPPQ

là tng các đường gp khúc
nên tng này nh nht nếu xy ra các đim
,, ,,
A
QM NP
thng hàng và Q là hình chiếu ca A trên
SA
.
Đồng thi theo (1) ta có
AS 4.
12 3
A

(2)
Suy ra
ASA
là tam giác đều.
Vy
3
2
a
AQ
hay GTNN ca tng
3
2
a
AM MN NP PQ
Bài tp 6 Cho hình chóp đều
.S ABC
0
30 , 1ASB SA
. Ly
,BC
ln lượt thuc cnh
,SB SC
sao cho chu vi tam giác
A
BC

nh nht. T s
.
.
SABC
SABC
V
V
gn giá tr nào nht trong các giá tr sau?
A.
0,55
. B.
0,65
. C.
0, 45
. D.
0,75
.
Hướng dn gii
Chn A
Tri phng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 661
Ct t din theo các cnh
,,SA AC AB
ri tri lên mt
SBC
.
Tam giác
SBC
gi nguyên; tam giác
SAB
lt thành tam giác
SAB
; tam giác
SAC
thành tam
giác
SCA
Do đó
,1AC A C SA SA


00
3.30 90ASA ASB BSC CSA


1SA SA
nên
SAA
là tam giác vuông cân
ti S.
2
AB C
C ABBCACABBCACAA

 
 
không đổi.
Du
""
xy ra khi và ch khi
,,,
A
BC A

thng hàng tc là khi
00
,
B
BC C
.
Ta có
0
00 0
0
0
sin
sin 45
13
sin105
sin
SB SB SAB
SB
SB SB SA
SB A

Vy
2
.
.
.4230,54
SABC
S ABC
V
SB SC SB
VSBSCSB






.
Dng 14.Bài toán cc tr liên quan đến th tích khi đa din
1. Phương pháp
Bước 1:
Chn n. n này có th góc hoc cnh thích hp trong khi đa din.
Bước 2: Vi n s được chn bước 1, ta xem đó như là các yếu t đã cho để tính th tích ca
khi đa din theo các phương pháp đã biết.
Bước 3: Ta có mt hàm s mà cn tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca nó.
Dùng bt đẳng thc c đin
(Cô-si hay Bunhiacopxki) hoc s dng tính đơn điu ca hàm để tìm giá tr ln nht và giá tr nh
nht.
1. Bt đẳng thc Cô-si.
Cho ta có .
Đẳng thc xy ra khi và ch khi .
Cho ta có
Đẳng thc xy ra khi và ch khi .
V
,
f
xxD
a
0, 0ab
2
ab
ab
ab
b
0, 0, 0abc
3
.
3
abc
abc

abc
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 662
Cho
Ta có
Đẳng thc xy ra khi và ch khi .
Các bt đẳng thc cơ bn.
Các dng hay s dng.
2. Bt đẳng thc Bunhiacopxki.
a.
Dng đa thc Bt đẳng thc Bunhiacopxki.
Cho 2 b s ta có
Du xy ra
b. Dng phân thc
Cho 2 b s vi
Ta có
Bài tp: Cho hình chóp đáy là tam giác vuông cân ti vuông góc vi mt
phng đáy. Cho , mt phng to vi mt đáy mt góc . Th tích khi chóp
đạt giá tr ln nht là
A. . B. . C. . D. .
Hướng dn gii
c
12
0, 0, , a 0
n
aa
12
12
..
n
n
n
aa a
aa a
n

12 n
aa a

22 2
11 8
2, , 0; ;
ab
ab
ba
ab
ab

1
2, 0aa
a

2
22
42ab a b a b
2
222
33.ab bc ca a b c a b c

2
12
12
11 1
n
n
aa a n
aa a






2
12 12
11 1
.
nn
n
aa a aa a


12
,2:,,,
n
nZn aa a
12
,,,
n
bb b
22 2 22 2
12 12
.
nn
aa a bb b 

2
11 2 2 nn
ab ab ab
""
12
12
.
n
n
a
aa
bb b

12
,2:,,,
n
nZn aa a
12
,,,
n
bb b
12
,,, 0.
n
bb b

2
2
22
12
12
12 12
.
n
n
nn
aa a
a
aa
bb b bb b



.SABC
A
BC C SA
SC a
SBC
.S ABC
3
16
a
3
3
27
a
3
3
48
a
3
2
24
a
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 663
Chn B.
Ta có
Xét vuông ti
đạt giá tr ln nht khi và ch khi biu thc
đạt giá tr ln nht
Cách 1:
Đặt . Vì nên
Ta có xác định và liên tc trên .
Bng biến thiên:
Da vào bng biến thiên, ta có khi .
Vy khi và ch khi .


,,SBC ABC SC AC SCA

SAC
A
.sin sin
.cos cos
SA SC a
AC SC a


2
.
111
.. .
332
S ABC ABC
V S SA AC SA





3
2
2
1
.cos .sin cos.sin.
66
a
aa


.S ABC
V
22
cos .sin . 1 sin .sinP


sint
090
 0sin 1

01t
23
1
P
ft t t t t
0;1
 



2
3
(
3
31 0
3
(loai)
nha )
3
nt
ft t ft
t


0;1
23
max
9
ft
3
3
t
33 3
.max
23 3
max . .
66927
S ABC
aa a
VP
3
sin
3
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 664
Cách 2:
.
Áp dng Cô-si cho 3 s dương , ta được:
Đẳng thc xy ra khi
Vy
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hình chóp
.SABC
SA
đon thng thay đổi sao cho
SA x
,

0; 3x , các cnh còn li đều bng 1. Th tích khi chóp
.SABC
đạt giá tr ln
nht là
A.
1
4
B.
1
16
C.
1
12
D.
1
8
Hướng dn gii
Chn D
Tng quát:
Cho hình
chóp S.ABC
có SA là
đon thng
thay đổi sao
cho SA=x,
các cnh còn
li đều bng
a (a là hng
s) vi
090sin0

2
222
1sin sinP

222
1 sin 1 sin 2sin
=
2


22
1sin ,1sin

2
2sin

222
1 sin 1 sin 2sin



3
222
1 sin 1 sin 2sin
8
327








222
1 sin 1 sin 2sin
4
227



2
max max
423
.
27 9
PP
22
3
1 sin 2sin sin .
3


33 3
.max
23 3
max . . .
66927
SABC
aa a
VP

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 665
Ta có tam giác
A
BC
đều
3
4

ABC
S
.
Gi ,
M
N ln lượt là trung đim ca
SA
BC
.
Ta có
SAB
SAC
là hai tam giác cân ti
B
C
nên
SA BM
SA CM
. SA BCM SA BC
Mt khác

2
2
2
1
4

x
B
MCM AB AM BMC
cân ti M.
Suy ra
.
M
NBC BC SAN
K
.SH AN
Do
.BC SAN BC SH SH ABC
Ta có
2
22 2
31
3.
44 2

x
M
NSNSM x
2
11 . 3
.. .
22
3
 
SAN
SA NM x x
SSANMSHANSH SH
AN
222
..
13131
...
3121228






ABC ABC
xx x x
SSSH
Vy
.
1
max
8
S ABC
V
đạt được khi và ch khi
222
36
3.
22
 xxx x
Bài tp 2. Cho hình chóp .S ABCD đáy
A
BCD là hình vuông cnh 2a . Tam giác
SAB
vuông ti
S
và nm trong mt phng vuông góc vi đáy. Gi
là góc to
bi đường thng
SD
và mt phng
SBC
, vi
45
. Tìm giá tr ln nht ca th
tích khi chóp
.SABCD
A.
3
4a
B.
3
8
3
a
C.
3
4
3
a
D.
3
2
3
a
Hướng dn gii
Chn C
Gi
D
đỉnh th tư ca hình
bình hành
SADD
.
Khi đó
//DD SA
SA SBC
Nên
DD SBC
Ta có


,,SD SBC DSD SDA

0; 3xa
. Th tích
khi chóp
.SABC
đạt
giá tr ln
nht là
3
.
8
SABC
a
V
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 666
Do đó
.tan 2 tan .SA AD a
Đặt
tan , x 0;1
x
Gi
H là hình chiu ca
S
lên
A
B , ta có
2
.
14
...
33

S ABCD ABCD
a
VSHS SH
Do đó
.SABCD
V đạt giá tr ln nht khi
SH
ln nht.
SAB
vuông ti
S
nên
22 222
2
.244
21 .
2


SA SB SA AB SA ax a a x
SH ax x
AB AB a
22
1
2. .
2


xx
SH a a
T đó
max SH a
khi
2
tan .
2
Vy
3
2
.
14
max .4 .
33

S ABCD
a
Vaa
Bài tp 3. Khi chóp .SABCDđáy là hình thoi cnh a ,
,
SA SB SC a
cnh
SD
thay đổi. Th tích ln nht ca khi chóp
.S ABCD
A.
3
2
a
B.
3
8
a
C.
3
3
8
a
D.
3
4
a
Hướng dn gii
Chn D
Gi
I
tâm hình thoi
A
BCD
,
H
là hình
chiếu ca
S
lên mt phng
A
BCD
,
suy ra
HBI
.
Ta có
22222
,SI SA IA a IA
22222
IB AB IA a IA
suy ra
SI IB
.
Khi đó tam giác
SBD
vuông ti
S
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 667
Đặt
SD x
.
Ta có
.
....

ax
SB SD SH BD a x SH BD SH
B
D
Ta có
11 1 1 1
.. ... ..
32 3 2 6

SABCD
ax
VSHACBD ACBDaxAC
BD
Li có
22222

B
DSBSDax
suy ra
22
2
4
ax
IB
22 22
22
3
.
44


ax ax
IA a
Suy ra
22
22
3
22 3 .
4

ax
A
CIA ax
2223
22
13
.3 . .
6624


SABCD
ax a x a
Vaxax
Bài tp 4 : Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình vuông cnh bng 2,
2SA
SA
vuông góc vi mt phng đáy
A
BCD
. Gi ,
M
N là hai đim thay
đổi trên hai cnh
,AB AD
sao cho mt phng
SMC
vuông góc vi mt phng

SNC
. Tính tng
22
11
T
A
NAM

khi th tích khi chóp
.SAMCN
đạt giá tr ln
nht.
A.
2.T
B.
5
.
4
T
C.
23
.
4
T
D.
13
.
9
T
Hướng dn gii
Chn B
Đặt ,.AM x AN y
Gi
; E ;OACDB BDCM 
.FBDCN
H
là hình chiếu vuông góc ca
O trên
,SC
khi đó:
2
.
3
HO
Ta có

.
SC OH SC HE
SC HBD
SC BD SC HF






Do đó góc gia
SCM

SCN
bng góc gia
H
E
H
F . Suy ra
.
H
EHF
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 668
Mt khác

.
12
..
33
S AMCN AMCN
VSASxy
Ta có
0, 0
x
y
và nếu
2, 2
x
y
thì gi
K
là trung đim ca
AM
, khi đó
2
.
42 42 4 4
OE KM x OE EB OB x
OE
E
BMB x x x x x


Tương t
2
4
y
OF
y
2
. 2 2 12.OE OF OH x y
Nếu
2
x
hoc
2
y
thì ta có
2
. 2 2 12.OE OF OH x y
Suy ra

.
122
.224
333
SAMCN AMCN
VSASxyxy


212
24.
32
x
x




Do đó
.
2222
1
2
11115
max 2 .
4
2
1
SAMCN
x
y
VT
AM AN x y
x
y

Bài tp 5: Cho hình chóp
.SABC
đáy là tam giác vuông ti
A
vi
1, 3.AB AC
Hình chiếu ca S trên mt phng đáy là đim
H
sao cho các mt
phng
SAB
SAC
cùng to vi
SH
góc 30mt phng
SBC
to vi
mt phng đáy mt góc
60
. Th tích ln nht ca khi chóp
.SABC
A.
max
13
.
4
V
B.
max
33
.
4
V
C.
max
31
.
4
V
D.
max
33
.
4
V
Hướng dn gii
Chn D
.
Ta có


,,30SH SAB SH SAC nên hai
mt phng
SAB
SAC
s cùng to vi mt
phng đáy mt góc
60
.
Suy ra

,,,dHAB dHAC dHBC
tc
H
hoc là tâm ni tiếp hoc là tâm bàng tiếp
các góc
,,ABC
ca tam giác.
Ta có
333
;
22
Sp

còn các cnh
2, 3, 1.ab c

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 669
Khi đó
13 33
;;
22
a
SS
rr
ppa


13 33
;.
22
bc
SS
rr
pb pc



Chiu cao chóp ln nht khi
max max
333 3 3
3.
24
a
SH r V


Bài tp 6. Cho hình chóp t giác đều
.SABCD
có các cnh bên bng
a
, góc to bi
mt bên và mt phng đáy
vi
0;
2



. Th tích khi chóp
.SABCD
đạt
giá tr ln nht là
A.
3
47
.
49
a
B.
3
43
.
27
a
C.
3
23
.
9
a
D.
3
415
.
75
a
Hướng dn gii
Chn B.
A
CBD O SO ABCD
Gi
M
là trung đim ca
CD


,.SCD ABCD SMO

Gi độ dài mt cnh hình vuông là
x
.
Tam giác
SMC
vuông ti
M
2
222
.
4
x
SM SC CM a
Tam giác
SOM
vuông ti
O
có:
2
2
.cos cos .
4
x
OM SM SMO a

22 2
222
cos . cos
2444
xxxx
aa




2
22 2
2
2
22
2
2
1
4.
4cos 4 2
1tan
1
1cos 2tan
2tan
1
1tan
a
aaa
xx



.
2
2
4
.
2tan
ABCD
a
S

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 670
Ta có:
2
.tan
.tan .tan .
2
2tan
xa
SO OM SMO


23
.
2
23
2
114.tan4.tan
.. . . .
33
2tan
2tan
32tan
S ABCD ABCD
aa a
VSSO


Do
0; tan 0
2





. Th tích khi chóp đạt giá tr ln nht khi

3
3
2
4.tan
.
3
2tan
a
đạt giá tr ln nht.
Ta xét


2
3
2
tan
.
2tan
f
Áp dng bt đẳng thc Cô-si cho ba s dương
2
222
tan 1 1
;;.
2 tan 2 tan 2 tan


Ta có


22
3222
2
tan tan 1 1
..
2 tan 2 tan 2 tan
2tan
f




3
2
222
1tan 1 1 1
.
327
2tan 2tan 2tan











2
2
22
1tan 1
tan 1 .
27 4
2 tan 2 tan
f




Vy

33
3
443
max .
27
321
SABCD
aa
V

Bài tp 7. Mt hình hp ch nht có din tích toàn phn là
S
. Th tích ln nht ca
khi hp ch nht là
A.
.
3
SS
B.
.
36
SS
C.
6
.
36
SS
D.
3
.
9
SS
Hướng dn gii
Chn C.
Gi chiu dài, chiu rng, chiu cao ca hình hp ch nht ln lượt là ,,abc vi
,, 0abc .
Ta có
222Sabacbc
Áp dng bt đẳng thc
:
A
MGM
3
222
3
22232.2.26Sabacbc abacbc abc
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 671
33
3
222 222
6
6.
216 216 36
SSSS
a b c S a b c abc

Đẳng thc xy ra khi
abc
hình hp ch nht tr thành hình lp phương.
Bài tp 8. Cho hình lăng tr đứng
.
A
BCABC

, đáy
A
BC
là tam giác vuông ti A
. Khong cách t
A
A
đến
BCC B

và khong cách t
C
đến
A
BC
đều bng
x
không đổi, góc gia hai mt phng
A
BC
A
BC
bng 0;
2



. Để th
tích khi lăng tr
.
A
BCABC

nh nht thì góc
có giá tr gn nht giá tr nào sau
đây?
A. 25 B. 35
C.
45 D. 55
Hướng dn gii
Chn B
Dng
,
A
HBCHBC
()CK AC K AC


Ta có


;dAA BCCB AH x




;d C ABC CK x



;.ABC ABC CAC


Xét tam giác
A
CK
vuông ti
K
.
sin sin
CK x
AC

Xét tam giác
'ACC
vuông ti
C
' .tan .tan .
sin cos
x
x
CC AC


Xét tam giác
A
BC
vuông ti A

2
222
23
22
111 .
.
cos
1sin
AH AC x x
AB
AB AH AC
AH AC
x

Th tích khi lăng tr
.
A
BC A B C



3
.
2
1
.. .
2
2sin cos
ABC A B C
x
VABACCC
Để th tích khi lăng tr
.
A
BCABC

là nh nht thì
2
sin cos
ln nht.
Ta có
24 222
1
sin cos 2sin cos cos
2

222 3
2
12sin cos cos 8 23 3 3
sin cos .
23 54 94
x
V







Trong các
hình hp ch
nht có cùng
din tích
toàn phn thì
hình lp
phương thì
có th tích
ln nht.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 672
Vy
3
min
33
.
4
x
V
Đẳng thc xy ra khi
22
2
2sin cos tan 35 .
2


Bài tp 9. Cho hình hp ch nht .
A
BCD A B C D

A
BBC
3BD cm
. Hai
mt phng
A
CC A

BDD B

hp vi nhau mt góc
0
2





. Đường
chéo
B
D
hp vi mt phng

CDD C

mt góc
0
2





. Hai góc
,
thay
đổi nhưng tha mãn hình hp
.
A
DD A BCC B
 
luôn là hình lăng tr đều. Giá tr ln
nht th tích ca khi hp
.
A
BCD A B C D

A.
3
3
cm
B.
23
3
cm
C.
63
3
cm
D.
12 3
3
cm
Hướng dn gii
Chn B
Ta có

;ACC A BDD B COD


.cos 3cos
22
CBD BC BD CBD

Li có
.sin 3sin
2
CD BD CBD

Ta có

;BD CDDC BDC


Do
.
A
DD A BCC B

luôn là hình lăng tr đều nên
BC CC
2
.
. . 27.sin .cos
22
ABCDABCD
VBCCDCC


Xét
24 222
1
sin cos .2sin .cos .cos
222 222

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 673
3
222
2sin cos cos
14
222
.
23 27








Du
""
xy ra khi và ch khi
22 2
12
2sin cos tan 2arctan
22 22 2


2
23
sin cos 6 3
229
V


.
Dng 15: S dng th tích để tính khong cách
1. Phương pháp
Để tính khong cách t mt đim đến mt mt phng ta s dng phương pháp đổi đỉnh và
áp dng công thc
13
..
3
V
VhSh
S

Trong đó
V
là th tích khi đa din,
S
là din tích đáy và
h
là khong cách t đỉnh đến
mt đáy.
Để tính khong cách hai đường thng chéo nhau ta áp dng công thc



16
..sin , ; ; .
6
..sin ,
V
VABCD ABCDdABCDdABCD
AB CD AB CD

2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hình chóp
.SABC
đáy là tam giác vuông
B
. Cnh
SA
vuông
góc vi đáy. Biết
,.SA a AB b Khong cách t đim A đến mt phng
SBC
A.
22
.
ab
ab
B.
22
2
.
ab
ab
C.
22
.
2
ab
ab
D.
22
.
ab
ab
Hướng dn gii
Khong
cách t đim
A đến mt
phng
SBC
bng
chiu cao
ca hình
chóp
.
A
SBC
.
Do đó:


,dASBC
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 674
Chn D
Ta có


.
3
,.
A
SBC
SBC
V
dASBC
S
Ta có:
..
11
....
36
A SBC S ABC ABC
VV SAS SAABBC
Mt khác

SA SBC SA BC
ABC
vuông ti
B
nên
.
B
CBA
Suy ra
B
CSB
hay
SBC
vuông ti
B
1
..
2
SBC
SBCBS
Vy


22 22
1
3. . .
..
6
,.
1
.
2
SA AB BC
SA AB SA AB ab
dASBC
SB
SA AB a b
SB BC


Bài tp 2. Cho t din đều cnh bng 1 và đim
I
nm trong t din.
Tng khong cách t
I
đến các mt ca t din là
A. 6. B.
6
.
9
C.
3
.
2
D.
6
.
3
Hướng dn gii
Chn D
Xét t din đều
A
BCD
có din tích
đáy
3
4
và chiu cao là
2
3
nên
th tích t din đều
A
BCD
2
.
12
V
Gi
1234
,,,hhhh
ln lượt là khong
cách t
I
đến các mt
, , , .
B
CD ACD ABD ABC
Đặt
1234
, , , .
IBCD IACD IABD IABC
VV VV VV V V
Ta có
1234
.VVV VV
Cách trc
nghim:
Chn đặc
bit
I
A
.
Khi đó tng
khong cách
t
I
đến các
mt ca t
din bng
khong cách
t
A đến
B
CD
bng
6
.
3
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 675
1
11 1
3
1
..
3
BCD
BCD
V
VhS h
S

Tương t
3
24
234
3
33
,,.
A
CD ABD ABC
V
VV
hhh
SSS

Vy
3
12 4
1234
3
33 3
.
BCDACDABDABC
V
VV V
hhhh
SSSS

T din
A
BCD
là t din đều nên
3
.
4
BCDACDABDABC
SSSS
Suy ra



1234
1234
3
36
.
3
33
44
VVVV
V
hhhh
Bài tp 3. Cho hình hp ch nht
.
A
BCDABCD

3, 4, 5AB AD AA
. Ly
đim
M
trên cnh
A
B sao cho 4
B
MAM
. Khong cách t
C
đến
B
D bng 4.
Khong cách t đim
M
đến
BC D
A. 2 B.
12
5
C.
33
2
D.
8
3
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
..
44
4
55
M
BC D A BC D
BM
BM AM V V
AB

.. .
11
...108.
36
A BC D C ABD ABD M BC D
VV CCS CCABAD V



Ta có

22
,
1
5, . 10.
2
CBD
CBD
BD AB AD S d BD

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 676
Ta có




.
,
,,
3
112
..
35
MBCD
MBCD BCD
M BCD M BCD
BC D
V
VdSd
S



Bài tp 4. Cho t din ABCD 4, 5, 6.AB CD AC BD AD BC

Khong cách t
A đến mt phng
B
CD
A.
36
.
7
B.
32
.
5
C.
342
.
7
D.
7
.
2
Hướng dn gii
Chn C.
Áp dng công thc tính nhanh th tích khi t din gn đều, ta có

222222222
1
62
ABCD
Vabcabcabc   

222222222
1156
= 4 5 6 4 5 6 4 5 6 .
4
62

Ta có
456 15
.
222
BC CD DB
p


Suy ra

15 7
456 .
4
BCD
Spppp

Ta có


.
15 6
3.
3
342
4
,.
7
15 7
4
ABCD
BCD
V
dABCD
S

Bài tp 5. Cho hình chóp S.ABC 2, 3, 4SA SB SC
.Góc
45 , 60 , 90ASB BSC CSA  
. Tính khong cách d gia hai đường thng SA
BC.
A.
634
.
17
B.
434
.
17
C.
734
.
17
D.
334
.
17
Hướng dn gii
Chn C
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 677
Hình chóp S.ABC , , SA a SB b SC c
,,ASB BSC CSA


222
. .
1 cos cos cos 2cos .cos .cos 2.
6
SABC SABC
abc
VV

 
Ta có:
20; 13.AC BC

22 2222
3 4 20 13 6 2 3
cos , .
2.
2.2. 13 26
SB SC AC AB
SA BC
SA BC


Suy ra

17
sin , .
26
SA BC
Suy ra


6634
,.
17
..sin ,
V
dSABC
SA BC SA BC

Bài tp 6. Cho t din ABCD có th tích bng V. Trên AB ly hai đim M, N trên
CD ly hai đim P, Q tha mãn
231
MN PQ
CD AB
. Th tích khi MNPQ đạt giá tr
ln nht bng
A. .
8
V
B. .
16
V
C.
.
24
V
D.
.
32
V
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 678

1
.. , .sin , ;
6
ABCD
V AB CD d AB CD AB CD

1
.. , .sin , .
6
MNPQ
V MN PQ d MN PQ MN PQ
Do
,,dABCD dMNPQ

sin , sin ,
A
BCD MN PQ
nên
.
.
.
MNPQ
ABCD
V
M
NPQ
VABCD
Ta có 2 3 22 .3 26 .
M
NPQ MNPQ MNPQ
CD AB CD AB CD AB

1
6.
2
MN PQ
CD AB

do
231
MN PQ
CD AB

11
..
24 24
MNPQ
ABCD
V
MN PQ
CD AB V

Vy
.
24 24
MNPQ MNPQ
VV
VMaxV
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 679
CHƯƠNG 2: MT NÓN, MT TR, MT CU
BÀI 1: MT NÓN
A. LÍ THUYT TRNG TÂM
MT NÓN TRÒN XOAY
Trong mt phng
P
. Cho hai đường thng Δ
ct nhau ti O và to thành góc
vi
090
. Khi quay mt phng

P
xung quanh
Δ thì đường thng
sinh ra mt mt tròn xoay
đỉnh O gi là mt nón tròn xoay (hay đơn gin là
mt nón). Khi đó:
Đường thng Δ gi là trc ca mt nón.
Đường thng
được gi là đường sinh ca mt
nón.
Góc
2 gi là góc đỉnh ca mt nón.
Nhn xét:
Nếu Mmt đim y ý ca mt nón

N khác vi đim O thì đường thng OM
đường sinh ca mt nón đó.
HÌNH NÓN TRÒN XOAY
Cho
OIM
vuông ti I quay quanh cnh góc
vuông
OI thì đường gp khúc OMI to thành mt
hình, gi là hình nón tròn xoay (gi tt là hình
nón).
Khi đó:
Đường thng OI gi là trc, Ođỉnh, OI gi là
đường cao và
OM gi là đường sinh ca hình nón.
Hình tròn tâm I, bán kính rIM đáy ca hình
nón.
Chú ý: Nếu ct mt nón

N bi hai mt
phng song song
P
Q
vi
P
qua O và vuông góc vi thì phn mt
nón
N gii hn bi hai mt phng
P
Q và hình tròn giao tuyến ca
Q
và mt nón
N
là hình nón.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 680
KHI NÓN TRÒN XOAY
Phn không gian được gii hn bi mt hình nón
tròn xoay k c hình đó ta gi là khi nón tròn
xoay hay ngn gn là khi nón.
Các khái nim tương t như hình nón.
Xét khi nón có hình biu din là hình bên thì ta có
nhn xét:
- Nếu mp

P
cha OI thì thiết din ca mp
P
và khi nón là mt hình tam giác cân ti
O.
- Nếu mp
P
vuông góc vi OI (không cha O)
thì thiết din ca mp
P
và khi nón (nếu có) là
mt hình tròn. Hình tròn thiết din này có din tích
ln nht khi mp
P
đi qua I.
CÔNG THC CN NH
Hình nón có chiu cao là
h, bán kính đáy rđộ
dài đường sinh là
thì có:
- Din tích xung quanh:
xq
Sr
.
- Din tích đáy (hình tròn):
2
ht
Sr .
- Din tích toàn phn:
2
tp
Srr
.
- Th tích khi nón:
2
11
.
33
ht
VSh rh
 .
Chú ý: V hình biu din hình nón hay
khi nón ta thường v như hình bên.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 681
SƠ ĐỒ H THNG HÓA
MT NÓN
Trong mt phng
P
. Cho hai đường thng Δ
ct nhau ti O và to thành góc
. Khi quay
mt phng

P
xung quanh Δ thì đường thng
sinh ra mt mt tròn xoay đỉnh O gi là mt nón
tròn xoay.
MT NÓN TRÒN XOAY
Cho OMI vuông ti I quay quanh cnh góc
vuông OI thì đường gp khúc OMI to thành
mt hình, gi là hình nón tròn xoay.
HÌNH NÓN TRÒN XOAY
Phn không gian được gii hn bi mt hình
nón tròn xoay k c hình đó ta gi là khi
nón tròn xoay hay ngn gn là khi nón.
KHI NÓN TRÒN XOAY
CÁC CÔNG THC
Din tích xung quanh
xq
Sr
Din tích đáy
2
ht
Sr
Din tích toàn phn
2
tp
Srr
Th tích
2
11
.
33
ht
VSh rh
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 682
B. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1: Tính din tích xung quanh, din tích toàn phn, độ dài đường sinh, chiu cao,
bán kính đáy, thiết din ca hình nón
1. Phương pháp gii
Nm vng các công thc v din tích xung
quanh, din tích toàn phn, din tích đáy.
Biết s dng các kết qu ca phn kiến thc
quan h song song, quan h vuông góc, các
h thc lượng trong tam giác… để áp dng
vào tính toán.
Ví d: Tính din tích xung quanh ca khi nón
có thiết din qua trc là tam giác vuông cân
din tích bng 2?
A. 22S
. B. 4S .
C.
2S
. D. 42S .
Hướng dn gii
Tam giác OAB vuông
cân din tích bng 2
2
1
2
2
OA
2OA OB
22
22 22AB 
2
2
AB
hR
Suy ra
.2.2 22
xq
S
.
Chn A.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Ct mt hình nón bi mt mt phng qua trc ta được thiết
din là tam giác đều cnh 2a. Tính din tích toàn phn ca hình nón đó.
A.
2
6 a . B.
2
24 a . C.
2
3 a
. D.
2
12 a
.
Hướng dn gii
Chn C
Ta có
23
3, 2 ,
2
a
ha a ra .
Din tích toàn phn ca hình nón là
222
..2 . 3
tp
Srraaa a  .
Bài tp 2: Cho hình nón có đường sinh bng đường kính đáy, din tích
đáy ca hình nón bng 9
. Độ dài đường cao ca hình nón bng
Lưu ý:
Din tích tam giác
đều cnh x là:
2
3
4
x
S
độ dài chiu cao là:
3
2
x
h
.
bài toán này
2
x
a
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 683
A. 33. B. 3. C.
93
2
.
D.
3
3
.
Hướng dn gii
Chn A
Gi ,,rh ln lượt là bán kính đường tròn đáy,
đường sinh, chiu cao ca hình nón đã cho.
Theo gi thiết ta có
2
9
2
r
r

nên
3
6
r
.
Li có
22
hr do đó 36 9 3 3h .
Bài tp 3: Thiết din qua trc ca mt hình nón là tam giác vuông
cnh góc vuông bng 1. Mt phng
qua đỉnh S ca hình nón đó ct
đường tròn đáy ti
M, N. Tính din tích tam giác SMN, biết góc gia
đáy hình nón bng
60.
A.
1
3
. B.
1
2
.
C.
2
3
.
D.
3
2
.
Hướng dn gii
Chn C
Gi O là tâm đường tròn đáy, H là trung đim
ca
MN.
Ta có
MN là giao tuyến ca đường tròn đáy
mt phng
, li có ,OH MN SH MN.
Do đó góc gia
đáy hình nón là
60SHO .
Vì thiết din qua trc ca mt hình nón là tam giác vuông có cnh góc
vuông bng 1
2
2
SO
.
Xét
SOH vuông ti O
6
sin 60
sin 60 3
SO SO
SH
SH

.
Khi đó
2
22 2
623
221
33
MN SN SH





.
Vy din tích tam giác SMN
116232
...
22333
SMN
SSHMN

.
Bài tp 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, AB là hai đim thuc
Lưu ý: Tam giác SMN là tam
giác cân ti S và
1SM SN.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 684
đường tròn đáy sao cho khong cách t O đến mt phng
SAB bng
3
3
a
30SAO ,
60SAB . Độ dài đường sinh ca hình nón theo a
bng
A. 2a . B. 3a . C. 23a . D. 5a .
Hướng dn gii
Chn A
Gi I là trung đim ca AB, dng OH SI
.
Ta có
3
3
a
OH
.
Do
60SAB  nên tam giác SAB đều.
Suy ra
SA SB AB.
Mt khác
1
30 .sin 30
2
SAO SO SA SA
.3
.cos30
2
SA
OA SA
.
Xét tam giác
SOI ta có
2
222222
2
2
1111 1 1 1
1
31
2
22
OH OS OI OS OA AI
SA
SA
SA










22
16 3
6.62
3
a
SA OH a
OH SA

.
Bài tp 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O bán kính bng
2
ađộ dài đường sinh bng 5a . Mt phng
P
qua đỉnh S ct hình
nón theo thiết din là mt tam giác có chu vi bng
21 5 a . Khong
cách
d t O đến mt phng
P
A.
3
3
a
d
. B.
2
a
d .
C.
3
7
a
d .
D.
3
2
a
d .
Hướng dn gii
Chn D
Gi s thiết din là tam giác SAB, khi đó ta có
Lưu ý:
Ta có: OH SI (1)

AB OI
A
BSOI
AB SI

A
BOH
(2)
T (1) và (2) suy ra:
OH SAB , do đó
;dO SAB OH
.
Có th đặt SA x
.
Do:
222
111
OH OE OS

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 685
21 5SA SB AB a
55 215aaAB a
2
A
Ba
.
Gi E là trung đim AB, ta có
A
BSE
, mt khác
A
BSO
nên

A
BSOE
.
K
OH SE
ti H, (
HSE
).
Ta thy
OH AB
OH SOE OH SAB
.
Vy khong cách t S đến
P
OH (hay
;dO P OH ).
22 22
1
,2, 4 3
2
EB AB a OB R a OE OB EB a a a 
.
22 22
54SO SB OB a a a,
22 22
..33
2
3
OS OE a a a
OH
OS OE a a


.
Vy
3
2
a
d
.
Bài tp 6:
Cho hình nón tròn xoay nm gia hai mt phng song song
P
Q
như hình v. K đường cao
SO ca hình nón và gi I là trung đim
ca SO. Ly
,,
M
PN QMN a
đi qua I ct mt nón ti EF đồng
thi to vi SO mt góc
. Biết góc
gia đường cao và đưng sinh ca hình nón bng 45. Độ dài đon EF
A.
2
E
Fa
. B. tan 2
2
a
EF
.
C.
tan 2EF a
. D.
2tan2EF a

.
Hướng dn gii
Chn B.
22
.OS OE
OH
OS OE

Lưu ý:
SFI SEI SFE
SSS

 (*)
1
..sin45
2
SFI
SSFSI

1
..sin45
2
SEI
SSESI

1
..sin90
2
SFE
SSFSE

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 686
Xét tam giác NIO
.cos cos , .sin sin
22
aa
OI NI NO NI
Xét tam giác SEF vuông ti S
45 90 135SEF ESM SME   
.

1tan
.tan .tan 135 .
tan 1
SF SE SEF SE SE

.
SIđội đường phân giác trong góc
FSE nên

tan 135
.
2. cos 2
2 1 tan 135
SE
SE SF a
SI
SE SF




1tan
1cos
tan 1
sin
1tan
21 tan
22
tan 1
a
a
SE









Do đó

sin
tan 2
cos 135 1 tan cos sin 2
cos
SE SE a a
EF
SEF


.
Bài tp 7: Cho hình chóp đều S.ABC có cnh đáy bng a, góc gia mt
bên và mt đáy bng
60. Tính din tích xung quanh
x
q
S ca hình nón
đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoi tiếp tam giác ABC.
A.
2
3
3
xq
a
S
.
B.
2
10
8
xq
a
S
.
C.
2
7
4
xq
a
S
.
D.
2
7
6
xq
a
S
.
Hướng dn gii
Chn D.
Gi O là tâm ca tam gc ABC, khi đó
SO ABC .
Hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoi tiếp tam giác ABCđường
sinh là SA, bán kính đường tròn đáy là OA.
Gi H là trung đim ca BC thì


;60SBC ABC SHO.
Tam giác ABC đều và O là tâm ca tam
giác đều nên
1133
.
3326
aa
OH AH ;
23
33
a
OA AH
.
Thay vào (*) ta được
.
2
SE SF
SI
SE SF
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 687
Tam giác SOH vuông ti O và có
60SHO
nên
3
.tan60 . 3
62
aa
SO OH.
Tam giác SOA vuông ti O nên
22
22
321
49 6
aaa
SA SO OA
.
Din tích xung quanh hình nón là
2
321 7
.. . .
36 6
xq
aa a
SrOASA
  
.
Dng 2: Tính th tích khi nón, bài toán cc tr
1. Phương pháp
Nhìn vào công thc tính th tích khi nón
2
11
.
33
nht
VSh rh
ta thy cn xác định chiu cao và din
tích đáy (bán kính đáy) ca khi nón. Đối
vi bài toán cc tr ta thường tính toán
đưa đại lượng cn tìm cc tr ph thuc
vào mt biến sau đó dùng đánh giá (s
dng bt đẳng thc, kho sát hàm s…)
để tìm ra kết qu.
Ví d: Cho hình nón có góc đỉnh bng
60
, din
tích xung quanh bng
2
6 a
. Th tích V ca khi
nón đã cho là
A.
3
32
4
a
V
.
B.
3
2
4
a
V
.
C.
3
3Va
. D.
3
Va
.
Hướng dn gii
Chn C
Th tích
22
11
..
33
VRhOASO  .
Ta có
60 30ASB ASO

1
tan 30 3
3
OA
SO OA
SO
 .
Li có
22 2
.. . 6
xq
S R OA SA OA OA SO a

222 22
3626OA OA OA a OA a
23
1
3 3 .3 .3 3
3
OA a SO a V a a a .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 688
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho tam giác ABC
2
45 , 30 ,
2
ABC ACB AB  .
Quay tam giác ABC xung quanh cnh BC ta được khi tròn xoay có th
tích V bng
A.

31 3
2
V

B.
13
24
V

C.
13
8
V

D.
13
3
V

Hướng dn gii
Chn B
Ta có
sin 30 sin 45 sin105
A
BAC BC


1
513
2sin
12 2
AC
BC


.
Gi
H là chân đường cao k t đỉnh A.
Ta có
1
. . .sin105
2
AH BC AB AC AH
.
Suy ra th tích khi tròn xoay cn tìm là
22 2
111
...
333
V AHBH AHCH AHBC 
13
24

.
Bài tp 2: Cho t din đều ABCD có cnh bng a. Hình nón
N
đỉnh
Ađường tròn đáy là đường tròn ngoi tiếp tam giác BCD. Th
tích
V ca khi nón
N
A.
3
3
27
a
V
B.
3
6
27
a
V
C.
3
6
9
a
V
D.
3
6
27
a
V
Hướng dn gii
Chn D.
Gi O là tâm ca tam gc đều BCD.
Ta có ,
A
OhOCr
23 3
.
32 3
aa
r
.
Lưu ý:
V chính là tng
th tích ca hai khi
nón: Khi nón có chiu
cao BH đường sinh AB
và khi nón có chiu
cao CH và đường sinh
AC.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 689
Suy ra
2
22 2
32
3
3
aa
har a





.
Vy th tích khi nón là
23
2
11 26
.
333 27
3
aa a
Vrh
 
.
Bài tp 3: Cho hình nón
N
có góc đỉnh bng 60. Mt phng qua
trc ca

N ct
N theo mt thiết din là tam giác có bán kính đưng
tròn ngoi tiếp bng 2. Th tích khi nón
N
A. 33V . B. 43V . C. 3V
. D. 6V
.
Hướng dn gii
Chn C
Tam giác SAB đều vì có SA SB
60ASB . Tâm đường tròn ngoi tiếp ca
SAB là trng tâm tam giác. Bán kính
đường tròn ngoi tiếp tam giác
SAB
2
23
3
rSO SO
.
3
.sin 60 2 3
sin 60
3
2
SO
SO SA SA
.
Vy bán kính đường tròn ca khi nón là
23
3
22
AB
R 
.
Vy th tích khi nón là
2
1
3.33
3
V  .
Bài tp 4: Cho hình t din ABCD
A
D ABC , ABC là tam giác
vuông ti
B. Biết
,3,3BC a AB a AD a

. Quay các tam giác ABC
ABD (bao gm c đim bên trong hai tam giác) xung quanh đường
thng
AB ta được hai khi tròn xoay. Th tích phn chung ca hai khi
tròn xoay đó bng:
A.
3
33
16
a
. B.
3
83
3
a
. C.
3
53
16
a
. D.
3
43
16
a
Hướng dn gii
Chn A.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 690
Khi quay tam giác
ABD quanh AB ta được khi nón đỉnh Bđường cao
BA, đáyđường tròn bán kính 3AE
cm. Gi ,IACBEIH AB
,
ti
H.
Phn chung ca 2 khi nón khi quay tam giác
ABC và tam giác ABD
quanh
AB là 2 khi nón đỉnh Ađỉnh Bđáy là đường tròn bán kính
IH.
Ta có
IBC đồng dng vi
1
3
3
IC BC
IEA IA IC
IA AE

.
Mt khác
333
444
A
HIH AI a
IH // BC IH BC
A
BBCAC

.
Gi
12
;V V ln lượt là th tích ca khi nón đỉnh ABđáy là hình
tròn tâm
H.
22
12
11
.; .
33
VIHAH VIHBH 
23
2
12
933
...3
3 3 16 16
aa
VVV V IHAB V a V

 
.
Bài tp 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có
đường tròn đáy là đường tròn ni tiếp tam giác
ABC gi là hình nón ni
tiếp hình chóp
S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường
tròn ngoi tiếp tam giác
ABC gi là hình nón ngoi tiếp hình chóp S.ABC.
T s th tích ca hình nón ni tiếp và hình nón ngoi tiếp hình chóp đã
cho bng
A.
1
2
.
B.
1
3
.
C.
2
3
.
D.
1
4
.
Hướng dn gii
Chn D.
Hai hình nón có cùng chiu cao nên t s th
tích bng t s din tích mt đáy. Vì tam giác
ABC đều nên bán kính đường tròn ngoi tiếp
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 691
bng
2
3
đường cao ca tam giác, bán kính đường tròn ni tiếp bng
1
3
đường cao ca tam giác.
Suy ra
11
22
11
24
VSr
RVS

.
Bài tp 6: Cho mt đồng h cát gm 2 hình nón chung đỉnh ghép li,
trong đó đường sinh bt k ca hình nón to vi đáy mt góc
60 như
hình bên dưới. Biết rng chiu cao ca đồng h là 30cm và tng th tích
ca đồng h

3
1000 cm . Hi nếu cho đầy lượng cát vào phn trên thì
khi chy hết xung dưới, khi đó t l th tích lượng cát chiếm ch và th
tích phn dưới là bao nhiêu?
A.
1
33
.
B.
1
8
.
C.
1
27
.
D.
1
64
.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi bán kính ca hình nón ln và nón nh ln lượt là
,
x
y x y .
Suy ra chiu cao ca hình nón ln và nón nh ln lượt là
3, 3
x
y .
Theo gi thiết, ta có
22
3330
11
. 3 . 3 1000
33
xy
xx yy


33
10 3
20 3 10 3
,
33
1000 3
xy
x y
xy



.
Do hai hình nón đồng dng nên t s cn tính bng
3
1
8
y
x



.
Bài tp 7: Trong tt c các hình nón có độ dài đường sinh bng
. Hình
nón có th tích ln nht bng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 692
A.
3
3
9
. B.
3
23
9
. C.
3
3
27
. D.
3
23
27
.
Hướng dn gii
Chn D.
Gi
0hh
là chiu cao hình nón, suy ra
bán kính
22
rh .
Suy ra th tích khi nón là


223
11 1
33 3
Vrh hh fh
   .
Xét hàm

23
f
hhh trên

0; .


22
3
30
3
h
fh h
h khong thoa man


Lp bng biến thiên ta được
Ta thy

3
2
max
333
fh f





.
Vy
3
max
23
27
V
. Du “=” xy ra
3
h

.
Bài tp 8: Trong các hình nón cùng có din tích toàn phn bng S. Hình
nón có th tích ln nht khi ( ,r
ln lượt là bán kính đáy và đường sinh
ca hình nón)
A. 3r . B. 22r . C.
r
. D.
2r
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
2
2
Sr
Sr r
r


 .
Th tích
Lưu ý: điu kin ca
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 693


2
2
22222 2 24
22
11 1 1
2
33 3 3
Sr
Vrhr r r r SSrr
r

  
.
Lp bng biến thiên cho hàm
24
2
f
rSr r
 trên
0;
, ta thy
hàm s đạt giá tr ln nht ti
3
4
S
rr
.
Bài tp 9: Cho hình nón đỉnh S đáy là đưng tròn tâm O. Thiết din
qua trc hình nón là mt tam giác cân vi cnh đáy bng a và có din tích
2
a
. Gi A, B là hai đim bt k trên đường tròn
O
. Th tích khi
chóp S.OAB đạt giá tr ln nht bng
A.
3
2
a
.
B.
3
6
a
.
C.
3
12
a
.
D.
3
2
12
a
.
Hướng dn gii
Chn C.
Tam giác cân SCD, có
2
11
..2
22
SCD
SCDSOaaSOSOa

.
Khi chóp S.OAB có chiu cao
2SO a
không đổi nên để th tích ln
nht khi và ch khi din tích tam giác OAB ln nht.
2
11
..sin .sin
22
OAB
S OA OB AOB r AOB
 (vi r là bán kính đường
tròn mt đáy hình nón). Do đó để
OAB
S
ln nht khi
sin 1AOB
. Khi đó
3
max
12
a
V
.
Bài tp 10: Cho hình nón
1
N
đỉnh S, chiu cao h. Mt hình nón

2
N đỉnh là tâm ca đáy

1
N và có đáy là mt thiết din song song
vi đáy ca
2
N
như hình v.
biến khi kho sát hàm.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 694
Khi nón
2
N
có th tích ln nht khi chiu cao x bng
A.
2
h
.
B.
3
h
.
C.
2
3
h
.
D.
3
3
h
.
Hướng dn gii
Chn B.
Xét mt ct qua trc hình nón và kí hiu như hình v. Vi O, I ln lượt là
tâm đáy ca hình nón
12
,NN
; R, r ln lượt là các bán kính ca hai
đường tròn đáy ca
12
,NN.
Ta có
R
hx
SI r h x r
r
SO R h R h
 
.
Th tích khi nón
2
N



2
2
2
2
2
2
22
11
.
33 3
N
Rhx
R
Vrx xxhx
hh
 
.
Xét hàm

2
322
2
f
xxhx x hxhx trên
0; h . Ta có
 
22
34 ; 0
3
x
h
fx x hxh fx
h
x


.
Lp bng biến thiên ta
Vy

f
x đạt giá tr ln nht trên khong
0; h ti
3
h
x
.
Bài tp 11: Xét các hình nón có đường sinh vi độ dài đều bng 10cm.
Chiu cao ca hình nón có th tích ln nht là
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 695
A. 53cm. B. 10 3 cm. C.
53
3
cm.
D.
10 3
3
cm.
Hướng dn gii
Chn D.
Xét hình nón có chiu cao là x cm và bán
kính đáy là y cm (x, y dương).
Ta có
22 2 2 2
10 100
x
yyx , ta có
điu kin

,0;10x y .
Th tích khi nón là

22
11
100
33
Vrh xx 
.
Xét hàm s
23
100 100 , 0;10fx x x x x x ;
 
2
10 3
100 3 ; 0
3
fx x fx x

 .
Bng biến thiên
Ta thy V ln nht khi

f
x ln nht ti
10 3
3
x
cm.
Bài tp 12: Gi s đồ th hàm s
24 22
12 1ym x mxm
 có 3
đim cc trA, B, C
A
BC
x
xx. Khi quay tam giác ABC quanh
cnh AC ta được mt khi tròn xoay. Giá tr ca m để th tích ca khi
tròn xoay đó ln nht thuc khong nào trong các khong dưới đây?
A.
4; 6
.
B.
2; 4
.
C.
2; 0
.
D.
0; 2
.
Hướng dn gii
Chn B.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 696
23 22
4144 1ymxmxxmxm



.


22
2
0
04 1 0
0
1
x
yxmxm
m
xm
m

 


.
Vi
0m thì đồ th hàm s có 3 đim cc tr (vi
A
BC
x
xx
) là

2
22
22
;1;0;1
11
mm
Am Bm
mm






;
2
2
22
;1
11
mm
Cm
mm






.
Quay
A
BC
quanh AC thì được khi tròn xoay có th tích là

2
29
22
5
22
2
12 2 2
2. . .
33 3 1 13
1
mm m
VrhBIIC
mm
m

  



.
Xét hàm


9
5
2
1
m
fm
m
.
Ta có



82
6
2
9
;030
1
mm
fm fm m m
m


.
Ta có bng biến thiên
Vy th tích cn tìm ln nht khi
3m .
Bài tp 13: Cho tam giác ABC vuông ti A, có 6AB
cm, 3AC
cm.
Gi M đim di động trên cnh BC sao cho MH vuông góc vi AB ti H.
Cho tam giác AHM quay quanh cnh AH to nên mt hình nón, thch
ln nht ca hình nón được to thành
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 697
A.
3
.
B.
4
3
.
C.
8
3
. D. 4
.
Hướng dn gii
Chn C.
Đặt
,0 6AH x cm x
.
Khi đó
6
B
Hxcm .
Xét tam giác BHM vuông ti H.
Ta có
tan
HM
HBM
BH

.tan 6 .tanHM BH HBM x HBM .
31
tan tan
62
AC
HBM ABC
A
B

.
Do đó

1
6.
2
HM x .
Th tích ca khi nón to thành khi tam giác AHM quay quanh cnh AH


2
232
11
.. .. 6 12 36
33412
VAHHM x x x x x

 (1).
Xét hàm s
32
12 36
f
xx x x vi 06x
, ta có
 
22
2
3 24 36; 0 3 24 36 0
6
x
fx x x fx x x
x


.
Bng biến thiên ca hàm s
32
12 36
f
xx x x vi 06x
T (1) và bng biến thiên ta có th
tích ln nht ca khi nón to thành là
8
.32
12 3
V

.
Bài tp 14: Cho hình lp phương
.
A
BCDABCD

có th tích bng 1.
Gi
N là mt hình nón có tâm
đường tròn đáy trùng vi tâm ca
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 698
hình vuông ABCD, đồng thi các đim
,,,
A
BCD

nm trên các đường
sinh ca hình nón như hình v. Thch khi nón
N có giá tr nh nht
bng
A.
2
3
.
B.
3
4
.
C.
9
8
. D.
9
16
.
Hướng dn gii
Chn C.
Xét phn mt ct qua trc hình nón và đi qua mt phng
A
ACC
, kí
hiu như hình v. Vi I, H ln lượt là tâm ca hình vuông ABCD,
A
BCD

đỉnh
A
nm trên đường sinh EF ca hình nón.
Hình lp phương có th tích bng 1 nên
2
1,
2
AA HI A H

 .
Đặt
0EH x x. Khi đó, ta có
221
12 2
EH A H x x
FI r
EI FI x FI x




.
Th tích khi nón
N



3
2
2
2
1
111
1
36 6
N
x
x
VrEI x
xx





.
Xét hàm s


3
2
1x
fx
x
trên
0; 
. Ta có


2
3
21xx
fx
x

.
Lp bng biến thiên
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 699
Ta được


0;
27
min
4
fx

ti
2x
. Suy ra

9
min
8
N
V
.
Bài tp 15: Mt hình nón đỉnh S bán kính đáy 3
R
a , góc đỉnh là
120. Mt phng qua đỉnh hình nón ct hình nón theo thiết din là mt
tam giác. Din tích ln nht ca tam giác đó bng
A.
2
3a . B.
2
2a
. C.
2
3
2
a
.
D.
2
23a .
Hướng dn gii
Chn B.
Gi s
SAM là thiết din to bi mt phng và hình nón.
Gi

023AM x x a
.
Gi H là trung đim ca AM
OH AM AM SOH AM SH 
.
2
sin 60
120 60
tan 60
AO
SA a
ASB ASO
AO
SO a


.
22
22 2 22 2
34
44
x
x
OH OA AH a SH OH SO a
.
2
2
11
.4
224
SAM
x
SAMSHxa
.
Ta có
22 22
2
22
22
1162
4022
24
44 84
44
xx ax
Sa Sxa
xx
aa









.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 700
2
max
2Sa.
Bài tp 16: Cho mt cu

S
bán kính R. Hình nón
N
thay đổi có
đỉnh và đường tròn đáy thuc mt cu
S . Th tích ln nht ca khi
nón

N
A.
3
32
81
R
. B.
3
32
81
R
. C.
3
32
27
R
. D.
3
32
27
R
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có th tích khi nón đỉnh S ln hơn
hoc bng th tích khi nón đỉnh
S
. Do
đó ch cn xét khi nón đỉnh S có bán
kính đưng tròn đáy là rđường cao
SI h vi hR . Th tích khi nón
được to nên bi
N

2
11
..
33
C
VhS hr

2
2
1
..
3
hR hR




32
1
2
3
hhR

.
Xét hàm s
32
2
f
hhhR
vi
;2hRR
.
Ta có
2
34
f
hhhR
 .
2
0340 0fh h hR h
 
(loi) hoc
4
3
R
h
.
Bng biến thiên
Chú ý: Sau khi tính
được

32
1
2
3
VhhR

ta
có th làm như sau:

32
1
2
3
VhhR


2
1
2
3
hRh


.4 2
6
hh R h

3
42
63
hh R h



3
32
81
R
.
Đẳng thc xy ra khi và
ch khi
4
42
3
R
hRhh

.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 701
Ta có

3
32
max
27
f
hR ti
4
3
R
h .
Vy th tích khi nón được to nên bi
N
có giá tr ln nht là
33
132 32
327 81
VRR
 khi
4
3
R
h .
Dng 3 Bài toán thc tế v hình nón, khi nón
Bài tp 1: Người th gia công ca mt cơ s cht lượng cao X ct mt miếng tôn hình tròn vi
bán kính 60 cm thành ba miếng hình qut bng nhau. Sau đó người th y qun và hàn ba
miếng tôn đó để được ba cái phu hình nón. Hi th tích V ca mi cái phu đó bng bao
nhiêu?
A.
16000 2
3
V
lít. B.
16 2
3
V
lít. C.
16000 2
3
V
lít. D.
160 2
3
V
lít
Hướng dn gii
Chn B.
Đổi 60 cm = 6 dm.
Đường sinh ca hình nón to thành là 6
dm.
Chu vi đường tròn ban đầu là
212CR
.
Gi r là bán kính đường tròn đáy ca hình nón to thành.
Chu vi đường tròn đáy ca hình nón to thành là
2.6
24
3
r

(dm)
4
2
2
r

(dm).
Đường cao ca khi nón to thành là
22 22
62 42hr .
Th tích ca mi phu là

22 3
11 162
2.4 2
33 3
Vrh dm
 
16 2
3
(lít).
Bài tp 2: Hai chiếc ly đựng cht lng ging ht nhau, mi chiếc có phn
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 702
cha cht lng là mt khi nón có chiu cao 2dm (mô t như hình v).
Ban đầu chiếc ly th nht cha đầy cht lng, chiếc ly th hai để rng.
Người ta chuyn cht lng t ly th nht sang ly th hai sao cho độ cao
ca ct cht lng trong ly th nht còn 1dm. Tính chiu cao h ca ct cht
lng trong ly th hai sau khi chuyn (độ cao ca ct ch
t lng tính t đỉnh
ca khi nón đến mt cht lng – lượng cht lng coi như không hao ht
khi chuyn. Tính gn đúng h vi sai s không quá 0,01dm).
A. 1, 73h dm. B. 1, 89h dm. C. 1, 91h
dm. D. 1, 41h
dm.
Hướng dn gii
Chn C.
Có chiu cao hình nón khi đựng đầy
nước ly th nht
2
A
H
.
Chiu cao phn nước ly th nht sau
khi đổ sang ly th hai 1
A
D .
Chiu cao phn nước ly th hai sau
khi đổ sang ly th hai
A
Fh .
Theo Ta-lét ta có
1
,
22
R
AD R AF h
RAH R AH

 
suy ra ,
22
R
Rh
R R


.
Th tích phn nước ban đầu ly th nht
2
2VR
.
Th tích phn nước ly th hai
23
2
1
4
R
h
VRh


.
Th tích phn nước còn li ly th nht
2
2
4
R
V
.
23 2 3
2
3
12
1
2271,91
44 44
Rh R h
VVV R h


.
Bài tp 2: Mt b nước ln ca khu công nghip có phn cha nước là
mt khi nón đỉnh S phía dưới (hình v), đường sinh
27SA
mét. Có
mt ln lúc b cha đầy nước, người ta phát hin nước trong b không đạt
yêu cu v v sinh nên lãnh đạo khu công nghip cho thoát hết nước để
làm v sinh b cha. Công nhân cho thoát nước ba ln qua mt l đỉnh
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 703
S. Ln th nht khi mc nước ti đim M thuc SA thì dng, ln th hai
khi mc nước ti đim N thuc SA thì dng, ln th ba mi thoát hết
nước. Biết rng lượng nước mi ln thoát bng nhau. Tính độ dài đon
MN.
A.

3
27 2 1
m.
B.
3
3
99 4 1 m.
C.
3
3
99 2 1 m.
D.
3
3
93 2 1 m.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta gi
12
,,V V V
ln lượt là th tích khi nón có đường sinh là SN, SM,
SA.
Do
SEM
đồng dng vi
SOA
nên ta có
SM SE EM
SA SO OA
 .
Li có
2
33
3
2
2
1
..
22
3
13122
1
3327
..
3
EM SE
V
SA SM
SM
VSM
OA SA
 

 
 
Tương t
33
3
1
1
6561
327
VSN SN
SN
VSA
 

 
 
.
Vy
33
13122 6561MN SM SN .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 704
BÀI 2: MT TR
A. LÝ THUYT TRNG TÂM
MT TR TRÒN XOAY
Trong mp
P
cho hai đường thng
l
song song vi nhau, cách
nhau mt khong r. Khi quay mp

P
xung quanh
thì đường thng
l
sinh ra mt mt tròn xoay được gi là mt tr tròn xoay hay gi tt là mt
tr.
- Đường thng được gi là trc.
- Đường thng
l
được gi là đường sinh.
- Khong cách r được gi là bán kính ca mt tr đó.
HÌNH TR TRÒN XOAY
Ta xét hình ch nht
A
BCD
.
Khi quay hình đó xung quanh đường thng cha mt cnh, chng hn
cnh
A
B, thì đường gp khúc
A
BCD
to thành mt hình được gi là hình tr tròn xoay hay gi tt
là hình tr.
- Đường thng
A
B
được gi là trc.
- Đon thng
CD
được gi là độ dài đường sinh.
- Độ dài đon thng
A
BCDhđược gi là chiu cao
ca hình tr (độ dài đường sinh bng chiu cao ca hình tr).
- Hình tròn tâm A, bán kính rAD và hình tròn tâm B , bán
kính
rBC được gi là hai đáy ca hình tr.
- Phn mt tròn xoay được sinh ra bi các đim tn cnh CD
khi quay quanh
A
B gi là mt xung quanh ca hình tr.
KHI TR TRÒN XOAY
Phn không gian được gii hn bi mt hình tr tròn xoay k c hình tr đó
ta gi là khi tr tròn xoay hay ngn gn là khi tr.
Các khái nim tương t như hình tr.
CÔNG THC CN NH
Cho hình tr có chiu cao là
h, bán kính đáy r thì ta có:
- Din tích xung quanh 2.
xq
Srh
- Din tích đáy (hình tròn)
2
ht
Sr
.
- Din tích toàn phn
2
2. 2 2
tp xq Đ
SS S rh r
 .
- Th tích khi tr
2
.
kt
VBhrh
 .
Chú ý: V hình biu din hình tr hay khi tr
ta thường v như hình bên.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 705
A’
B. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1: Tính din tích xung quanh, din tích toàn phn, din tích thiết din, chiu cao, bán
kính đáy, din tích đáy ca hình tr
Bài tp 1: Cho hình tr có chiu cao bng 33. Ct hình tr đã cho bi mt phng song song vi
trc và cách trc mt khong bng 1, thiết din thu được có din tích bng 18. Din tích xung quanh
ca hình tr đã cho bng
A. 63
B. 639
C. 339
D. 12 3
Hướng dn gii
Chn D.
Thiết din thu được là hình ch nht ABCD

OO'/ /
A
BCD , gi I là trung đim ca AB
Ta có




22
'; ; 1
..3318
23
3
2
ABCD
OI ABCD
d OO ABCD d O ABCD OI
SABBCAB
AB
AI
rOA OI AI





Din tích xung quanh ca hình tr đã cho là
2123
xq
Srl


.
Bài tp 2:
Cho hình tr có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), thiết din qua trc ca hình tr
hình vuông. Gi
A, B là hai đim ln lượt nm trên hai đường tròn (O) và (O'). Biết AB = 2a
khong cách gia hai đường thng
AB và 00' bng . Bán kính đáy bng
3
2
a
. Bán kính đáy bng
A.
17
3
a
B.
14
2
a
C.
14
4
a
D.
14
9
a
Hướng dn gii
Chn C.
Gi r là bán kính đáy.
Do thiết din qua trc là hình vuông nên độ dài
đường sinh bng 2r.
Dng đường sinh AA'.
Gi M là trung đim ca A' B
Lưu ý:
+

’,dOO AB
=
O'M.
+ Góc gia AB và
mt đáy là
góc
'
A
BA .
+ Góc gia AB và
OO' là góc
'
A
AB
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 706

''
', '
3
'
2
OM AAB
dOO AB OM
a
OM



Ta có
22 22
''44
A
BABAA ar
Mt khác
2
222
3
'''''
4
a
AM O A OM r
2
22 2
314
442
44
aa
ar r r
Bài tp 3: Cho hình tr có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiu cao 2R và bán kính đáy R. Mt
mt phng

đi qua trung đim ca 'OO và to vi 'OO mt góc 30 . Hi

ct đường tròn
đáy theo mt dây cung có độ dài bng bao nhiêu?
A.
22
3
R
B.
4
33
R
C.
2
3
R
D.
2
3
R
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 707
Chn A.
Gi I là trung đim ca 'OO .
Khi đó, mt phng

=

IAB
H
,OH AB OK IH. D thy H là trung đim ca AB

OK IAB .
Suy ra



', , , 30OO IO IAB OI KI KIO
(vì
K
IO vuông ti O)
Khi đó
1
22
R
KO IO

. Vì HIO vuông ti O nên
222
111
OK OH OI

2
2
222222
2
222
111413
3
2
3
3
22
3
R
OH
OH OK OI R R R
RR
AH OA OH R
R
AB


Bài tp 4: Cho hình tr có chiu cao bng
62
. Biết rng mt mt phng không vuông góc vi đáy
và ct hai mt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B'
AB = A'B' = 6, dỉện tích hình ch nht
ABB'A' bng 60. Bán kính đáy ca hình tr
A. 5. B. 32 C. 4 D. 52
Hướng dn gii
Chn C.
Din tích hình ch nht ABB'A' bng 60
(cm
2
)
nên
AB.BB' = 60
6. ' 60 ' 10BB BB
Ta có
5MK
Chiu cao hình tr bng
62
(cm) nên
32MO .
Lưu ý: Bài tp 5 và
Bài tp 6 tuy đề cho
khác nhau nhưng
thiết din ging nhau.
Bài tp 7 dưới đây
thêm mt cách hi
khác na dù thiết
din vn là vy.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 708
22
22
25 18 7;
63.
79 4
OK MK MO
AB KB
BO OK KB



Bài tp 5: Mt hình tr có bán kính đáy bng chiu cao và bng a. Mt hình vuông ABCDAB,
CD
là hai dây cung ca 2 đưng tròn đáy và mt phng
ABCD
không vuông góc vi đáy. Din
tích hình vuông đó bng
A.
2
5
4
a
B.
2
5a
C.
2
52
2
a
D.
2
5
2
a
Hướng dn gii
Chn D
Đặt
2
24
ABCD
A
BAD x S x.
Gi
A', B' ln lượt là hình chiếu vuông góc ca A, B lên mt
đáy ca hình tr.
Xét tam giác
AA'D vuông ti A' ta có
22 22
''4A D AD AA x a
Mt khác, gi
I là trung đim ca 'AD thì ta có:
2
22 2
1
' 2' 2 '' ' 2 ''
2
AD AI OA OI OA CD

 


2
222
1
222
2
axax

 


Do đó
22 22 22 22
42 44
x
aaxxaax 
2
2
5
4
2
a
x
. Vy
2
5
2
ABCD
a
S
(đvdt)
Dng 1: Th tích khi tr, bài toán cc tr
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 709
Bài tp 1: Ct mt khi tr bi mt phng qua trc ta đưc thiết din là hình ch nht ABCD
cnh
AB và cnh CD nm trên hai đáy ca khi tr. Biết 2
B
Da ,
30DCA . Tính theo a th
tích khi tr.
A.
3
32
48
a
B.
3
32
32
a
C.
3
32
16
a
D.
3
36
16
a
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
2
A
CBDa .
Mt khác xét tam giác ADC vuông ti D, ta có
22
.sin30
22
A
DAC a h a
66
cos30
224
CD
CD AC a r a
.
Nên
2
23
6232
.
4216
Vrh a a a






.
Bài tp 2: Cho hình ch nht ABCDAD = 3AB. Gi
1
V là th tích ca khi tr to thành khi cho
hình ch nht quay xung quanh cnh AB,
2
V
là th tích khi tr to thành khi cho hình ch nht
quay xung quanh cnh
AD. T s
1
2
V
V
là.
A. 9 B. 3 C.
1
3
D.
1
9
Hướng dn gii
Chn B.
Khi tr to thành khi cho hình ch nht ABCD quay xung quanh cnh AB có bán kính đáy và chiu
cao ln lượt là
11
3;rAD ABhAB
.
Khi đó, th tích ca khi tr này là
23
111
9Vrh AB

 .
Khi tr to thành khi cho hình ch nht ABCD quay xung quanh cnh ADbán kính đáy
chiu cao ln lượt là
22
;3r AB h AD AB.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 710
Khi đó, th tích ca khi tr này là
23
222
3Vrh AB


.
Vy
3
1
3
2
9
3
3
VAB
VAB

.
Bài tp 3: Cho hình thang ABCD vuông ti Avà B vi
2
A
D
A
BBC a . Quay hình thang và min
trong ca nó quanh đường thng cha cnh BC. Th tích V ca khi tròn xoay được to thành là
A.
3
4
3
a
V
B.
3
5
3
a
V
C.
3
Va
D.
3
7
3
a
V
Hướng dn gii
Chn B.
Th tích
12
VVV
.
Trong đó
1
V
là th tích khi tr có bán kính đáy là
BA a
và chiu cao
2
2;
A
DaV là th tích khi nón có bán kính đáy '
B
Da
và chiu cao 'CB a
Khi đó
3
22
12
15
.2 .
33
a
VVV aa aa


.
Bài tp 4: Cho hình tr có bán kính đáy bng a. ct hình tr bi mt mt phng

P
song song vi
trc ca hình tr và cách trc ca hình tr mt khong bng
2
a
ta được thiết din là mt hình
vuông. Th tích khi tr bng
A.
3
3 a
B.
3
3a
C.
3
3
4
a
D.
3
a
Hướng dn gii
Chn B.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 711
Gi s hình vuông ABCD là thiết din ca hình tr ct bi
P
như hình v.
Gi
H, K ln lượt là trung đim AD, BC.
Ta có
 

;
2
a
OH AD OH P d O P OH OH 
.
Do đó
22
3
22 2 3
2
a
A
DAH OAOH a
Suy ra
'3OO AB AD a
.
Vy nên
22 3
.3 3VRhaa a

 .
Bài tp 5: Ct mt khi tr cao 18cm bi mt mt phng, ta được khi hình dưới đây. Biết rng
thiết din là mt elip, khong cách t đim thuc thiết din gn đáy nht và đim thuc thiết din xa
mt đáy nht ln lượt là
8cm 14cm . T s th tích ca hai khi được chia ra (khi nh chia khi
ln) là
A.
2
11
B.
1
2
C.
5
11
D.
7
11
Hướng dn gii
Chn D.
Gi V
1
;V
2
ln lượt là th tích khi nh và khi ln.
Ta có th tích khi tr
2
2
814
11
2
R
VR

(vi
R là bán kính khi tr).
Th tích
2
2
2
814
11
2
R
VR
.
Vy
22
12
2
22
18 11 7
11 11
VVV R R
VV R



.
Bài tp 6:
Cho tam giác vuông cân ABC 2
A
BACa và hình ch nht
M
NPQ vi MQ =
3MN
được xếp chng lên nhau sao cho M,N ln lượt là trung đim ca AB, AC (như hình v). Tính
th tích
V ca vt th tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trc AI, vi / là trung đim PQ.
A.
3
11
.
6
a
V
B.
3
5
.
6
a
V
C.
3
11
.
8
a
V
D.
3
17
.
24
a
V
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 712
Chn D.
Ta có
22
2,2.
B
CABAC aMNaMQa
Gi
E, F ln lượt là trung đim MNBC.
3
,
22
a
A
FaEF IF a
Vy th tích cn tìm là tng th tích ca khi nón có chiu cao là
AF bán kính đáy FB và thch
khi trchiu cao
IF bán kính IQ.
2
222 3
11317
......
332224
a
VAFFBIFIQ aa a a





.
Bài tp 7: Cho lăng tr đứng .'' '
A
BC A B C độ dài cnh bên bng 2a, đáy ABC là tam giác vuông
cân ti A, góc gia AC' và mt phng
''
B
CC B
bng
30 (tham kho hình v). Th tích ca khi
tr ngoi tiếp lăng tr
.'' '
A
BC A B C bng
A.
3
a
B.
3
2 a
C.
3
4 a
D.
3
3 a
Hướng dn gii
Chn C.
Gi bán kính ca hình tr là R.
Ta có
''CC ABC CC AI
Li có tam giác ABC là tam giác vuông cân ti A
nên
A
IBC do đó
''
A
IBCCB
hay góc gia
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 713
AC’ và mt phng

''
B
CC B
'IC A
.
Xét tam giác
'
A
IC
ta có
AI
IC' R 3
tan IC'A

Xét tam giác
CIC' ta có
22 2 222
''342IC IC CC R R a R a
Th tích khi tr ngoi tiếp lăng tr
.'' '
A
BC A B C
23
4VRh a
.
Bài tp 8: Trong tt c các khi tr có cùng th tích 330, xác định bán kính đáy ca khi tr có din
tích toàn phn nh nht.
A.
3
165
B.
165
C.
3
330
D.
330
Hướng dn gii
Chn A.
2
2
330
330 330VhR h
R

Khi đó din tích toàn phn ca khi tr
2
22
2
.2 . 2
330 660
.2 2 2
Sh R R
SRRS R
RR



 
Ta xem S là 1 hàm s n R. Xét
2
660
'4SR
R

.
3
3
22
660 660 4 165
'0 4 0 0
R
SR R
RR

  
Lp bng biến thiên ta
Bài toán hi v bán kính đáy nên ta xem bán
kính đáyn, tính din tích xung quanh
theo bán kính đáy.
Vy S đạt giá tr nh nht khi và ch khi
3
165
R
Bài tp 9: Th tích ln nht ca khi tr ni tiếp hình cu có bán kính R bng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 714
A.
3
43
9
R
B.
3
83
3
R
C.
3
8
27
R
D.
3
83
9
R
Hướng dn gii
Chn A.
Gi X là khong cách t tâm I ca mt cu đến mt đáy ca hình tr (0 < X <R). Bán kính đáy
ca hình tr
22
rRx
Th tích ca khi tr
22 22
.2 2Vrhrx Rxxfx


 
22
3
'2 6;'0
3
R
fx R xfx x


(vì
0x ).
Ta có bng biến thiên như sau
Vy th tích ln nht ca khi tr ni tiếp trong hình cu bán kính R
3
max
34 3
39
RR
Vf





.
Dng 3: Bài toán thc tế v khi tr.
Ví d: Mt cơ s sn xut có hai b nước hình tr có chiu cao bng nhau, bán kính đáy ln lượt
bng 1m và 1,5m. Ch cơ s d định làm mt b nước mi, hình tr, có cùng chiu cao và có th
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 715
tích bng tng th tích ca hai b trên. Bán kính đáy ca b nước d định làm gn nht vi kết qu
nào dưới đây?
A.
1, 6
m. B.
2,5
m. C.
1, 8
m D.
2,1
m.
Hướng dn gii
Chn C.
Gi r là bán kính b d định làm, h là chiu cao các b.
Ta có:

222 2
11,5 11,5 1,8mrh h r

 .
Bài tp 1. Cho mt tm bìa hình ch nht có kích thước 3a, 6a.
Người ta mun to tm bìa đó thành 4 hình không đáy như hình v
dưới đây, trong đó có hai hình tr ln lượt có chiu cao 3a, 6a và hai
hình lăng tr tam giác đều có chiu cao ln lượt 3a, 6a.
Trong bn hình H1, H2, H3, H4 ln lượt theo th t có th tích ln nht và nh nht là
A. H1, H4. B. H1, H3. C. H2, H3. D. H2, H4.
Hướng dn gii
Chn A
Gi
12
,
R
R ln lượt là bán kính ca hai hình tr hình H1, H2.
Gi
12
,VV ln lượt là th tích ca hai hình tr hình H1, H2.
12
,CC ln lượt là chu vi đáy ca hai hình tr hình H1, H2.
Ta có:
11 1 2 2 2
33
26 ;23
2
aa
CRaR C RaR


22
33
12
327 327
3;6
22
aa aa
Va V a






Do hai hình H3, H4 là hai hình lăng tr tam giác đều nên ta có độ dài các cnh đáy ca hai hình
H3, H4 ln lượt là 2a;a.
Th tích hình H3, H4 ln lượt là:
33
34
1133
3 . .2 .2 .sin 60 3 3 ; 6 . . . .sin 60
222
Vaaa aVaaa a


T đó ta có hai hình có th tích ln nht và nh nht ln lượt theo th t là H1, H4.
Lưu ý: Không phi ct nh
tm bìa để to ra 4 hình
bên vì nếu vy không tha
đề bài mà ly tm bìa ln
lượt to thành 4 hình trong
đề bài.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 716
Bài tp 2. Mt người th có mt khi đá hình tr. K hai đường
kính MN, PQ ca hai đáy sao cho MN
PQ. Người th đó ct
khi đá theo các mt ct đi qua 3 trong 4 đim M, N, P, Q để
khi đá có hình t din MNPQ. Biết MN = 60 cm và th tích
khi t din MNPQ bng 30 dm
3
. Th tích lượng đá ct b
bao nhiêu? (Làm tròn đến mt ch s thp phân sau du phy).
A. 101,3 dm
3
. B. 111,4 dm
3
.
C.
121,3 dm
3
. D. 141,3 dm
3
.
Hướng dn gii
Chn B
Gi ,OO
ln lượt là tâm đáy trên và đáy dưới ca hình tr.
Ta có:
.
1
() 2 2..
3
=
M
NPQ N OPQ OPQ
MN OPQ V V NO S

1
2. 2 . 6 30 5
2
OPQ
SOOOO


.
Ta có th tích khi tr là:
22
.5.3.45
KT
VOOR

.
Vy th tích lượng đá ct b là:
3
45 30 111,4 dm
 .
Bài tp 3. Mt khi đồ chơi gm hai khi tr
1
H ,
2
H xếp chng lên
nhau, ln lượt có bán kính đáy và chiu cao tương ng là
112 2
,,,rhr h tha mãn
21
1
2
rh ;
21
2hh (tham kho hình v bên). Biết rng th tích ca toàn b
khi đồ chơi bng 30cm
3
, th tích khi tr
1
H bng
A.
3
24cm . B.
3
15cm . C.
3
20cm . D.
3
10cm .
Hướng dn gii
Chn C.
Gi th tích ca toàn b khi đồ chơi là V, th tích ca khi dưới và khi trên ln lượt là V
1
V
2
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 717
Ta có:
12
VVV
2121
1
,2
2
rrhh nên
222
222 1 1 1 1 1
11 1
2
42 2
Vhr h r h r V


111
1
30 20
2
VVV
.
Bài tp 4. Cho mt dng c đựng cht lng được to bi mt hình tr và hình nón được lp đặt như
hình sau. Bán kính đáy hình nón bng bán kính đáy hình tr. Chiu cao hình tr bng chiu cao hình
nón và bng h. Trong bình, lượng cht lng có chiu cao bng
1
24
chiu cao hình tr. Lt ngược
dng c theo phương vuông góc vi mt đất. Độ cao phn cht lng trong hình nón theo h
A.
8
h
B.
3
8
h
C.
2
h
D.
8
h
Hướng dn gii
Chn C.
Th tích cht lng
22
11
..
24 24
Vr h rh


Khi lt ngược bình, th tích phn hình nón cha cht lng là
2
1
'
3
Vrh
.
rh h
rr
rh h


Do dó
2
3
2
2
11
33
hh
Vrhr
hh






Theo bài ra
3
2233
2
11 1
324 82
hh
VV r rh h h h
h


 .
Bài tp 5. Công ty ca ông Bình d định đóng mt thùng phi hình tr (có đáy dưới và np đậy phía
trên) bng thép không g để đựng nước. Chi phí trung bình cho 1 m
2
thép không g là 350000 đồng.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 718
Vi chi phí b ra để làm cái thùng phi không quá 6594000 đồng, hi công ty ông Bình có th
được mt thùng phi đựng được ti đa bao nhiêu mét khi nước? (Ly 3,14
)
A.12,56 B. 6,28
C.
3,14
D.
9,52
.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi R, h ln lượt là s đo bán kính và chiu cao ca thùng phi hình tr.
Vi gi thiết như trên thì din tích thép không g được dùng ti đa là

2
6594000 471
m
350000 25
A 
Ta có
2( )
2
tp
A
SRRhAh R
R

Th tích ca thùng phi là
22 3
22
AA
VRhR R RR
R





(coi V là hàm s biến
R
).
2
3; 0 ,(0)
26
AA
VRVRR


Bng biến thiên
Da vào bng biến thiên ta có, giá tr !n nht ca th tích là
3
max 6, 28
36
AA
Vm

.
Bài tp 6. Người ta thiết kế mt thùng cha hình tr (như hình v) có th tích V nht định. Biết rng
giá ca vt liu làm mt đáy và np ca thùng bng nhau và đắt gp 3 ln so vi giá vt liu đểm
mt xung quanh ca thùng (chi phí cho mi đơn v din tích). Gi chiu cao ca thùng là h và bán
kính đáy là r. T s
h
r
sao cho chi phí vt liu Sn xut thùng là nh nht là bao nhiêu?
A.
2
h
r
B.
2
h
r
C.
6
h
r
D.
32
h
r
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 719
Chn
C
.
Ta có
2
23
VhV
Vhrh
rrr

Giá thành vt liu để làm chiếc thùng là

22 2
2
26 6 6 ,
VVV
TrhrA rA rA
rrr


 


trong đó
A
là giá ca mt đơn
v din tích vt liu làm mt xung quanh ca thùng. Áp dng bt đẳng thc Cô-si cho các s
dương
2
,,6
VV
r
rr
được
32
36TV
Du “ ” xy ra khi
2
3
66
VV
r
rr

Vy chi phí vt liu sn xut thùng là nh nht khi
6
h
r
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 720
BÀI 3: MT CU – KHI CU
A. LÍ THUYT TRNG TÂM
Định nghĩa
- Tp hp các đim trong không gian cách đim O c
định mt khong R không đổi gi là mt cu tâm O, bán
kính R, kí hiu là:
;.SOR Khi đó
;.SOR MOM R
- Khi cu hay hình cu
;SOR là tp hp tt c các
đim M sao cho
.OM R
V trí tương đối gia mt cu và mt đim
Cho mt cu

;SORmt đim A. Nếu:
+)
OA R thì đim A nm trên mt cu
;.SOR
+)
OA R thì ta nói đim A nm ngoài mt cu
;.SOR
+)
OA R thì ta nói đim A nm trong mt cu
;.SOR
Ta thường v hay biu din mt mt
cu hay khi cu như hình sau:
V trí tương đối gia mt cu và đường thng
Cho mt cu
;SIRđường thng . Gi
H là hình chiếu ca I lên
hay
;.dI IH
Nếu:
+)
:IH R không ct mt cu hay mt
cu

S;IRđường thng không có đim
chung.
+)
IH R thì vi mt cu
;SIR có mt
đim chung duy nht là H. Ta nói
là mt tiếp
tuyến ca mt cu
;SIRH là tiếp đim.
+)
:IH R ct mt cu
;SIR ti hai
đim phân bit.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 721
Nhn xét:
+) IAB
cân ti
I, đim H là trung
đim ca AB
2
22 22
.
2
AB
RIHAHIH

 


V trí tương đối gia mt cu và mt phng
Cho mt cu
;SIR
và mt phng
P
. Gi
H là hình chiếu vuông góc ca I lên
P
hay
;.dI P IH
Nếu:
+)
:IH R Mt cu
;SIR và mt phng
P
không có đim chung.
+) Nếu
:IH R
Mt phng
P
tiếp xúc
mt cu
;SIR. Lúc này ta nói mt phng
P
là mt phng tiếp din ca mt cu và H là tiếp
đim.
Lưu ý:
IH P
+) Nếu
:IH R Mt phng
P
ct mt cu
theo thiết din là đường tròn có tâm
II H

và bán kính
22 22
.rRIH RII

Nhn xét: Đường tròn giao tuyến có din tích
ln nht khi mt phng
P
đi qua tâm I ca mt
cu
;SIR. Đường tròn này ta gi là đường
tròn ln.
Công thc cn nh
Cho mt cu
;.SIR
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 722
- Din tích mt cu
2
4.SR
- Th tích khi cu
3
4
.
3
VR
B. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1. Mt cu ngoi tiếp hình đa din
Các khái nim cn lưu ý:
- Mt cu ngoi tiếp hình đa din: là mt cu mà nó đi qua tt c các đỉnh ca hình đa din.
Tâm ca mt cu ngoi tiếp cách đều tt c các đỉnh ca hình đa din.
-
Trc ca đa giác:đường thng đi qua tâm ca đường tròn ngoi tiếp đa giác và vuông góc
vi mt phng cha đa giác. Mi đim nm trên trc thì cách đều các đỉnh ca đa giác và ngược li.
-
Mt phng trung trc ca đon thng: Là mt phng đi qua trung đim ca đon thng và
vuông góc vi đon thng đó. Mi đim nm trên mt phng trung trc ca đon thng thì cách đều
hai đim mút ca đon thng và ngược li.
Phương pháp gii
Đối vi bài toán mt cu ngoi tiếp khi đa din thì mu cht ca vn đề là phi xác định được
tâm ca mt cu ngoi tiếp khi đa din đó. Khi xác định được tâm ca mt cu ngoi tiếp thì ta có
th tính được các yếu t còn li như bán kính, din tích mt cu, th tích ca khi cu...
Bài tp: Cho hình hp ch nht có ba kích thước là 2,4,4,aaa vi 0.aR
Bán kính ca mt cu
ngoi tiếp hình hp ch nht đã cho bng
A. 6a. B. 4a. C. 3a. D. 2a.
Hướng dn gii
Gi s hình hp ch nht là ABCD.A'B'C'D'. D thy đim O là trung đim ca AC’ là tâm mt
cu ngoi tiếp ca hình hp ch nht.
Bán kính mt cu ngoi tiếp hình hp ch nht là
.ROA

22
11
22
RAC AA AC




222
222
1
2
1
2443.
2
A
AAD DC
aaaa



Chn C.
Bài tp mu
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 723
Cách 1. Tìm mt đim cách đều các đỉnh ca khi đa din theo định nghĩa mt cu
Bài tp 1.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình ch nht, SA vuông góc vi mt phng (ABCD).
Tâm mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABCD đim I vi
A. I là trung đim ca đon thng SD.
B. I là trung đim ca đon thng AC.
C. I là trung đim ca đon thng SC.
D. I là trung đim ca đon thng SB.
Hướng dn gii
T gi thiết ta có
B
CAB
B
CSA

90 1 .
o
B
CSAB BCSB
SBC
 

Chng minh tương t ta cũng có

90 2 .
o
CD SD SDC
Do


90 3 .
o
SA ABCD SA AC SAC
T (1), (2) và (3) suy ra mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABCD là mt cu đường kính SC nên
tâm mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABCD là trung đim I ca đon thng SC.
Chn C.
Bài tp 2.
Cho khi chóp đều S.ABCD có tt c các cnh đều bng 3a . Th tích V ca khi cu
ngoi tiếp hình chóp là
A.
3
36.Va
B.
3
6.Va
C.
3
6
.
8
a
V
D.
3
36
.
8
a
V
Hướng dn gii
S.ABCD là hình chóp đều nên
.SO ABCD
Ta có
11 6
.6 ,
22 2
a
OD BD a
22
6
.
2
a
SO SD OD
Vy
,OS OA OD OB OC nên O là tâm mt cu ngoi
tiếp S.ABCD.
Vy th tích khi cu cn tìm là
33
4
.6
3
VSOa

 (đvtt)
Chn B.
Lưu ý:
Công thc tính nhanh bán kính mt cu ngoi tiếp chóp đều:
2
2
a
R
h
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 724
vi a: độ dài cnh bên, h: chiu cao hình chóp.
Bài tp 3: Cho hình chóp S.ABCDđáy ABCD là hình vuông,
SA ABCD
.SA AB a
Bán kính mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABCD
A.
2
.
2
a
B.
3
.
2
a
C.
5
.
2
a
D.
2.a
Hướng dn gii
Chng minh tương t như Bài tp 2 ta được kết qu
Ba đỉnh A, B, D đều nhìn cnh SC dưới mt góc vuông.
Tâm mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABCD là trung đim SC
bán kính mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABCD
.
2
SC
R
Ta có ABCD là hình vuông cnh a
2.AC a
Xét tam giác SAC vuông ti A
22
23.SC a a a
Vy bán kính mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABCD
3
.
2
a
R
Chn B.
Bài tp 4.
Cho t din ABCD có các mt ABCBCD là các tam giác đều cnh bng 2, hai mt
phng (ABD) và (ACD) vuông góc vi nhau. Bán kính mt cu ngoi tiếp t din ABCD bng
A.
22.
B.
2.
C.
22
.
3
D.
6
.
3
Hướng dn gii
Ta có ABC, BCD đều cnh bng 2 nên
2
A
CCD ACD
cân ti C.
Gi I là trung đim
.
A
DCIAD
Li có

ACD ADB
A
CD ADB AD CI ABD
IC AD

1CI IB do IB ABD
Ta có
.. 2.ACD ABD c c c CI IB
T (1) và (2) ta có ACB vuông cân ti
2
22.
22
CB
ICBIB IB IC
 
DIB vuông ti
22
2222.IID BDIB ADID
Xét ADB
2; 2 2
A
B DB AD ABD vuông ti B.
90 90 .
oo
ABD ACD
Suy ra mt cu ngoi tiếp t din ABCDđường kính là AD nên bán kính là
2.RID
Chn B.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 725
Bài tp 5. Cho hình chóp S.ABC
,SA ABC tam giác ABC vuông ti B. Biết
4, 2, 4.SA a AB a BC a Bán kính R ca mt cu ngoi tiếp hình chóp là
A. 3a. B. 2a. C. a. D. 6a.
Hướng dn gii
Ta có



.
BC AB
B
C SAB BC SB
BC SA do SA ABC
 

SA ABC SA AC
Suy ra hai đim A, B cùng nhìn SC dưới mt góc vuông. Vy tâm
ca mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABC là trung đim SC, bán kính
mt cu là
.
2
SC
R
Ta có
22222 2
416 20
A
CABBC a a a
22 2 2
16 20 6SC SA AC a a a

//
// .
BD
B
DEF
SBD EF

Vy
3.Ra
Chn A.
Bài tp 6:
Cho lăng tr đứng ABC.A'B'C' đáy ABC là tam giác vuông ti B,
3, 30 .
o
AC a ACB Góc gia đường thng AB'mt phng (ABC) bng 60°. Bán kính mt cu
ngoi tiếp t din A'ABC bng
A.
21
.
4
a
B.
21
.
2
a
C.
3
.
4
a
D.
21
.
8
a
Hướng dn gii
Trong tam giác vuông ABC
3
.sin30 .
2
o
a
AB AC

A
BABCA

và hình chiếu ca B lên mt phng (ABC) là
B nên góc gia đường thng AB' và mt phng (ABC) bng góc gia hai
đường thng AB'AB, và bng góc
B
AB
(vì tam giác AB'B vuông ti
B). Do đó
60 .
o
BAB
Trong tam giác vuông AB'B
33
.tan60 tan60 .
22
oo
aa
BB AB

Trong tam giác vuông AA'C

2
2
22
321
3.
22
a
A
CAAAC a a





Ta có
B
CAB
B
CAA
nên
,
B
C ABB A
suy ra
B
CAB
hay
90 .
o
ABC
90 ,
o
AAC
suy ra hai đim A, B cùng nhìn A'C dưới mt góc vuông.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 726
Vy bán kính mt cu ngoi tiếp t din A'ABC bng
21
.
24
AC
R
a

Chn A.
Bài tp 7.
Cho hình chóp S.ABC đáy là hình vuông cnh
,2aSA a
và vuông góc vi mt
phng (ABCD). Gi M là trung đim cnh SC. Mt phng () qua AM đồng thi song song vi
đường thng BD ct SB, SD ln lượt ti E, F. Bán kính mt cu đi qua 5 đim S, A, E, M, F nhn giá
tr nào sau đây?
A. a. B.
.
2
a
C.
2
.
2
a
D. 2.a
Hướng dn gii
Gi I là giao đim ca AMSO.
D thy I là trng tâm tam giác SACI, E, F thng hàng.
Li có
22
33
SF SI
SF SD
SD SO


2222
2
22
.2
33
..
SF SD SD SA AD a
SF SD SA


Xét tam giác vuông SAD
2
.SF SD SA AF
đường cao tam giác .
A
FSF
Chng minh tương t ta
.
A
ESB
Tam giác
2SA AC a
nên AM va là trung tuyến va là đường cao tam giác
.
A
MSC
Ta có
A
MSM
A
FSF
A
ESE
nên mt cu đi qua 5 đim S, A, E, M, F có tâm là trung đim SA và bán kính
bng
2
.
22
SA a
Chn C.
Chú ý:
Ta có th làm như sau
Do
EF SBD

//
B
D
nên
// .
E
FBD
Ta có
,.
B
D AC BD SA BD SAC EF SAC EF SC  
Tam giác
SAC 2SA AC a nên .
A
MSC
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 727
Do đó
1.SC AMEF SC AE
Li có ,
B
CABBCSA nên
2.BC SAB BC AE
T (1) và (2) suy ra
.
A
ESBC AESB
Chng minh tương t, ta được
.
A
FSD
T đây, suy ra kết qu như cách bên.
Cách 2. Tâm mt cu ngoi tiếp khi đa din là giao đim ca trc đường tròn ngoi tiếp đa giác
đáy và mt phng trung trc ca mt cnh bên
Chú ý:
Trong khuôn kh bài tp thường xoay quanh hình chóp, hình lăng tr nên đa giác đáy ta
nói đến đây là đáy ca hình chóp hay hình lăng tr.
Bài tp 1. Cho hình chóp đều S.ABC có cnh đáy bng a, cnh bên hp vi mt đáy mt góc 60°.
Gi (
S) là mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABC. Th tích ca khi cu to nên bi mt cu (S) bng
A.
3
32
.
81
a
B.
3
32
.
77
a
C.
3
64
.
77
a
D.
3
72
.
39
a
Hướng dn gii
Gi H là tâm ca tam giác ABC, SHtrc ca đường tròn ngoi tiếp ABC, mt phng trung trc
ca
SA qua E là trung đim ca SA và ct SH ti I. Khi đó I là tâm ca
mt cu ngoi tiếp hình chóp
S.ABC.
Xét trong tam giác
SAH ta có
32
SH AH.tan60 .tan60 ; .
3sin60
3
oo
o
aSHa
aSA
Xét hai tam giác đồng dng
SEISHA
Ta có
22
.
.2
323
3
aa
SI SE SA SE a
SI
SA SH SH a

2
.
3
a
R
Suy ra th tích ca khi cu to nên bi mt cu (S) bng
3
3
42 32
.
33 81
aa



Chn A.
Bài tp 2.
Tính din tích mt cu ngoi tiếp hình lăng tr đều có tt c các cnh đều bng a.
A.
2
7
.
5
a
B.
2
7
.
3
a
C.
2
7
.
6
a
D.
2
3
.
7
a
Hướng dn gii
Gi O
1
, O
2
ln lượt là tâm đường tròn ngoi tiếp hai đáy lăng tr
O
1
O
2
là trc đường tròn ngoi tiếp hai đa giác đáy.
Gi I là trung đim ca
12
.O O IA IB IC IA IB IC


Suy ra trung đim I ca O
1
O
2
là tâm mt cu ngoi tiếp lăng tr.
Bán kính
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 728
2
22
22 2
12
22 2
23 7
...
232212
OO a a
RIA AO IO AO a










Do đó din tích mt cu ngoi tiếp hình lăng tr đều có tt c các cnh đều bng a
2
3
2
77
4. 4. . .
12 3
a
SR a






Chn B.
Lưu ý:
Mt phng trung trc ca mt cnh bên ct O
1
O
2
ti I là trung đim ca O
1
O
2
.
Bài tp 3. Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông ti A, SA vuông góc vi mt phng
(ABC) và
2, 4, 5.AB AC SA Mt cu đi qua các đỉnh ca hình chóp S.ABC có bán kính là
A.
25
.
2
R
B.
5
.
2
R
C. 5.R
D.
10
.
3
R
Hướng dn gii
Gi M, H ln lượt là trung đim ca BC, SA
Ta có tam giác ABC vuông ti A suy ra A là tâm đường tròn
ngoi tiếp tam giác ABC. Qua M k đường thng d sao cho
dABC d là trc đường tròn ngoi tiếp tam giác ABC.
Trong mt phng k đường trung trc
ca đon SA, ct d ti I
IA IB IC
IA IB IC IS
IA IS


I là tâm mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABC. D thy t giác HAMI là hình ch nht.
Ta có
22
11
24 5,
22
15
.
22
AM BC
IM SA


Bán kính mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABC
22
55
5.
42
RAI AM IM
Chn B.
Lưu ý:
có th thay mt phng trung trc ca SA bng đường trung trc ca SA xét trong mt phng
(SAM).
Bài tp 4. Cho hình chóp đều S.ABCD tt c các cnh bng a. Bán kính mt cu ngoi tiếp hình
chóp S.ABCD
A. 2.a B. .a C.
2
.
2
a
D. 2.a
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 729
Gi O là tâm ca hình vuông
A
BCD SO ABCD
Vy SO là trc ca đưng tròn ngoi tiếp hình vuông ABCD
Trong (SAC) gi (d) là trung trc ca SA I là giao đim ca (d)
vi SO

.
ISO
IA IB IC ID
IA IS
Id
IA IB IC ID IS




Vy
I là tâm mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABCD.
Bán kính mt cu là
22 2
22 2
2
2
.
22
2
2
2
2
SA SA a a
R
SO
SA AO
a
a




Chn C.
Bài tp 5.
Cho hình chóp t giác đều S.ABCD có cnh đáy bng 2a, các mt bên to vi đáy mt
góc 60°. Din tích S
mc
ca mt cu ngoi tiếp hình chóp là
A.
2
25
.
3
mc
a
S
B.
2
32
.
3
mc
a
S
C.
2
8
.
3
mc
a
S
D.
2
.
12
mc
a
S
Hướng dn gii
Trc ca đường tròn ngoi tiếp đa giác đáy là SO. Mt phng trung trc ca SB ct SO ti I, ct
SB ti K thì I là tâm mt cu ngoi tiếp hình chóp.
Gi H là trung đim BC thì
60 .
o
SHO
Xét tam giác vuông SHO, ta có
tan 60 3.
o
SO
SO a
OH

T đó suy ra
22 22
32 5.SB SO OB a a a
Ta có
..SKI SOB g g
5
5.
.553
2
.
6
323
a
a
SK SI SK SB a a
SI SI
SO SB SO
a
 
Vy din tích mt cu ngoi tiếp hình chóp
22
2
75 25
44 .
36 3
mc
aa
SR


Chn A.
Bài tp 6.
Cho hình chóp đều S.ABCD có cnh đáy
2,a
cnh bên 2a. Gi M, N, P, Q ln lượt là
trung đim ca SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R ca mt cu ngoi tiếp hình đa din ABCDMNPQ.
A.
6
.
2
a
R
B. .Ra C.
6
.
4
a
R
D.
10
.
4
a
R
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 730
Hướng dn gii
Ta có
// .
A
BCD MNPQ Gi
.OACBD
S.ABCD là hình chóp t giác đều nên
.SO ABCD Nên SO
là trc ca hai đáy (ABCD) và (MNPQ).
Trong mt phng (SAO) k đưng trung trc d ca đon thng AM
ct SA, SO ti H, I.
Khi đó I là tâm mt cu ngoi tiếp khi đa din ABCDMNPQ
bán kính là IA.
Ta có
2SA SB SC SD a

2.AB BC CD DA a
Li có
333 1
.2 .
44 2 42
aa
SH SA a HA SA

22
22 3.AC AB a AO a SO SA AO a 
Mt khác

3
.
.3
2
..
2
3
a
a
HI SH OA SH a
SHI SOA g g HI
OA SO SO
a

Bán kính mt cu cn tìm là
2
2
22
3
.
22
aa
R
AI HI HA a








Chn B.
Cách 3. Da vào trc ca đường tròn ngoi tiếp đa giác đáy và trc ca đường tn ngoi tiếp
mt mt bên
Bài tp 1.
Cho hình chóp S.ABCDđáy là hình ch nht, 2, ,
A
BaBCa
hình chiếu ca S lên
mt phng (ABCD) là trung đim H ca
3
,.
2
a
AD SH Din tích mt cu ngoi tiếp hình chóp
S.ABCD bng bao nhiêu?
A.
2
16
.
3
a
B.
2
16
.
9
a
C.
3
4
.
3
a
D.
2
4
.
3
a
Hướng dn gii
Gi I là giao đim ca ACBC, qua I dng đương thng d song song vi
.SH d ABCD
Gi M là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác SAD, qua M k đưng
thng d' vuông góc vi mp(SAD), d' ct d ti O O là tâm mt cu
ngoi tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính bng
22
.
R
OS MO MS
Vi
,
2
AB
OM IH a MS r (r là bán kính đường tròn ngoi tiếp
tam giác SAB).
Li có, SAD cân ti A, cnh ,
A
Da
đường cao
3
2
a
SH
suy ra
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 731
tam giác SAD đều
2
2
234
33 3
aa
rAM SH R
(R là bán kính mt cu ngoi tiếp hình
chóp S.ABCD).
Vy din tích mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABCD bng
2
2
16
4.
3
a
SR

Chn A.
Bài tp 2.
Cho hình chóp S.ABC
.SA ABC Gi M, N ln lượt là hình chiếu ca A trên SB,
SC. Biết
,.
B
AC BC a

Din tích mt cu ngoi tiếp khi đa din ABCMN
A.
2
2
.
cos
a
B.
2
2
.
sin
a
C.
2
2
4
.
cos
a
D.
2
2
4
.
sin
a
Hướng dn gii
+) Gi K, P ln lượt là trung đim ca ACAB.
ACN vuông ti N K là tâm đường tròn ngoi tiếp ACN.
ABM vuông ti M P là tâm đường tròn ngoi tiếp ABM.
+) Hai mt phng (SAB), (ABC) vuông góc và ct nhau theo giao tuyến AB nên gi d
1
là trc ca
đường tròn ngoi tiếp ABM thì d
1
qua
1
,
P
dABC
1
.dAB
Tương t, gi d
2
là trc ca
đường tròn ngoi tiếp ACN thì d
2
qua
2
,
K
dABC
2
.dAC
+) Rõ ràng, trong mt phng (ABC) thì d
1
d
2
ln lượt là đường trung trc ca các cch AB, AC
nên hai đường này ct nhau ti tâm đường tròn ngoi tiếp ABC. Do đó, tâm mt cu ngoi tiếp
khi đa din ABCMN cũng là tâm đường tròn ngoi tiếp ABC, bán kính R ca mt cu này cũng
chính là bán kính đường tròn ngoi tiếp ABC.
+) Áp dng định lí sin cho ABC ta được
.
2sin 2sin
BC a
R
A

Vây din tích mt cu ngoi tiếp khi đa din ABCMN
2
2
2
4.
sin
a
SR

Chn B.
Lưu ý:
Cách 2: V đường kính AE ca đưng tròn ngoi tiếp tam giác ABC. Khi đó A, M, N, B, Cng
nhìn AE góc 90°.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 732
Áp dng định lí sin cho ABC ta được
.
2sin 2sin
BC a
R
A

Vy din tích mt cu ngoi tiếp khi đa din ABCMN
2
2
2
4.
sin
a
SR

Dng 2. Mt cu ni tiếp khi đa din
Mt cu ni tiếp khi đa din là mt cu tiếp xúc vi tt c các mt ca khi đa din.
Phương pháp gii
Xác định được và hiu rõ khong cách t tâm ca mt cu ni tiếp khi đa din ti các mt ca
khi đa din chính là bán kính ca mt cu ni tiếp khi đa din. T đó có th tính được bán kính,
din tích xung quanh ca mt cu, th tích ca khi cu và gii được các bài toán liên quan.
Ví d: Thch khi cu ni tiếp hình lp phương có cnh bng 1 là
A. .
12
B. .
3
C.
2
.
3
D. .
6
Hướng dn gii
Khi cu ni tiếp hình lp phương có tâm trùng vi tâm ca hình lp phương và tiếp xúc vi các
mt ca hình lp phương ti tâm ca các hình vuông là các mt ca hình lp phương.
Suy ra bán kính
1
R.
2
Th tích khi cu ni tiếp hình lp phương là
3
3
441
.
3326
VR





Chn D.
Bài tp mu
Bài tp 1.
Cho hình lp phương có th tích bng 64a
3
. Th tích ca khi cu ni tiếp ca hình lp
phương đó bng
A.
3
64
.
3
a
V
B.
3
8
.
3
a
V
C.
3
32
.
3
a
V
D.
3
16
.
3
a
V
Hướng dn gii
Hình lp phương có th tích bng 64a
3
, suy ra cnh hình lp phương là 4a.
Khi cu ni tiếp hình lp phương có bán kính bng
1
2
cnh hình lp phương
2.
R
a
Vy
3
3
432
.
33
a
VR

Chn C.
Bài tp 2.
Cho hình chóp S.ABCđáy là tam giác vuông ti
,8,6.BAB BC
Biết 6SA SA
vuông góc vi mp(ABC). Tính th tích khi cu có tâm thuc phn không gian bên trong ca hình
chóp và tiếp xúc vi tt c các mt ca hình chóp S.ABC.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 733
A.
16
.
9
B.
625
.
81
C.
256
.
81
D.
25
.
9
Hướng dn gii
Gi Ir ln lượt là tâm và bán kính ca hình cu tiếp xúc vi tt c các mt ca hình chóp
S.ABC.
Khi đó

.....
.
.
.
1
33
3
.
111
. .6. .8.6 48;
332
24; 30 108.
TP
S ABC I ABC I SBC I SAB I SAC ABC SAB SBC SAC
SABC
TP
SABC ABC
ABC SAB SBC SAC TP
rS
VVVVV rSSSS
V
r
S
VSAS
SS SS S






Vy
3
.
3
3.48 4 4 256
.
108 3 3 81
S ABC
mc
TP
V
rVr
S

Chn C.
Dng 3. Bài toán cc tr
1. Phương pháp gii
Tương t như bài toán cc tr v hình nón, hình tr ta thường đánh giá trc tiếp da vào hình
hoc biu din hay quy đại lượng cn tìm cc tr ph thuc vào mt yếu t sau đó đánh giá tìm ra
đáp án.
Ví d: Cho mt cu bán kính 5.
R
cm Mt phng (P) ct mt cu (S) theo giao tuyến là đường tròn
(C) có chu vi bng 8cm. Bn đim A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuc đường tròn (C), đim
D thuc
SD C và tam giác ABC đều. Th tích ln nht ca t din ABCD bng
A.
3
20 3 .cm B.
3
32 3 .cm C.
3
60 3 .cm D.
3
96 3 .cm
Hướng dn gii
Gi H là hình chiếu ca D trên mt phng (P). Đường tròn ngoi tiếp tam giác đều ABC có chu
vi bng 8cm.
Suy ra bán kính đường tròn

8
4.
2
Rcm

Suy ra cnh ca tam giác ABC bng
43cm
Suy ra


2
2
43 3
12 3
4
ABC
Scm
 không đổi
Do đó th tích khi t din ABCD ln nht khi
,dD ABC ln nht
D O nm cùng phía SO vi mt phng (P) và D, O, H thng hàng
22
525168.
DH DO OH DO OA AH

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 734
Khi đó

3
max
1
.12 3.8 32 3 .
3
Vcm
Chn B.
2. Bài tp mu
Bài tp 1.
Cho hai mt cu
12
,SS có cùng tâm I và bán kính ln lượt là 2 và
10.
Các đim A,
B thay đổi thuc

1
S còn C, D thay đổi thuc
2
S sao cho có t din ABCD. Khi th tích khi t
din ABCD đạt giá tr ln nht thì khong cách gia hai đường thng ABCD bng
A. 10. B. 3. C. 5. D. 2.
Hướng dn gii
Để có t din ABCD thì ABCD không đồng phng.
Gi R
1
, R
2
ln lượt là bán kính ca các mt cu
1
S
21 2
2; 10.SRR
Gi K là trung đim ca CD h là khong cách gia hai đường thng ABCD.
Ta
1
2, 2 4,sin , 1.CD CK AB R AB CD
Th tích khi t din ABCD

11
..sin , . , .4..
66
ABCD
VABCDABCDdABCDCDh
22 22
44
.
33
Co si
hCK IKCK

Xét ICK vuông ti K
2222
2
.IK CK CI R
Khi đó
2
44
10.
33
ABCD
VR
Du “=” xy ra
4
5
AB CD
AB
hIKCK


Chn C.
Bài tp 2:
Cho tam giác ABC đều cnh a, đường thng d đi qua A và vuông góc vi mt phng
(ABC). Gi Sđim thay đổi trên đường thng d, H là trc tâm tam giác SBC. Biết rng khi S thay
đổi trên đường thng d thì đim H nm tn đường (C). Trong s các mt cu cha đường (C), bán
kính mt cu nh nht là
A.
2
.
2
a
B. .a C.
3
.
12
a
D.
3
.
6
a
Hướng dn gii
Gi M là trung đim BC suy ra ; .
A
MBCSMBC
Gi G là trng tâm tam giác ABC, vì tam giác ABC đều cnh a nên
31 3
;
236
aa
AM MG MA suy ra
2
..
4
a
MG MA
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 735
Mt khác H trc tâm tam giác SBC nên tam giác BMHtam giác
SMC là hai tam giác đồng dng nên
2
...
4
B
MMH a
MH MS BM MC
SM MC

Do đó
..
M
HMS MGMA hay
M
HMA
M
GMS
nên tam giác MHG và tam
giác MAS đồng dng suy ra
.GH SM
H thuc (SAM) c định khi S thay đổi trên d
GH SM
nên (C)
là mt phn ca đưng tròn đường kính GM do đó trong các mt cu
cha (C), mt cu có bán kính nh nht là mt cu nhn GM làm đường kính nên bán kính mt cu
3
.
212
GM a
R 
Chn C.
Dng 4. Bài toán thc tế
1. Phương pháp gii
Nm vng kiến thc các dng toán trên để gii bài toán thc tế liên quan đến mt cu.

33
0
4
EV 3 36
3
cm


Bài tp: Người ta th mt viên bi có dng hình cu vi bán kính bng 3cm vào mt cái ly dng hình
tr đang cha nước. Người ta thy viên bi chìm xung đáy ly và chiu cao ca mc nước dâng lên
thêm 1cm. Biết rng chiu cao ca mc nước ban đầu trong ly bng 7,5cm. Tính th tích V ca khi
nước ban đầu trong ly (kết qu ly xp x).
A.
3
282,74 .Vcm B.
3
848,23 .Vcm
C.
3
636,17 .Vcm
D.
3
1272,35 .Vcm
Hướng dn gii
Gi V
0
là th tích ca viên bi.
Gi R là bán kính ca cái ly (không tính v).
Theo bài ra ta có th tích ca ct nước dâng lên 1cm bng th tích viên bi nên ta có
2
.1 36 6
R
Rcm


Suy ra th tích V ca khi nước ban đầu trong ly
23
. .36.7,5 848,23Rh cm


Chn B.
2. Bài tp mu
Bài tp 1:
Cho ba hình cu tiếp xúc ngoài vi nhau tng đôi mt và cùng tiếp xúc vi mt mt
phng. Các tiếp đim ca các hình cu trên mt phng lp thành tam giác có các cnh là 4, 2 và 3.
Tích bán kính ca ba hình cu trên là
A. 12. B. 3. C. 6. D. 9.
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 736
Gi
11 2 2 3 3
,, ,, ,Or Or Or ln lượt là 3 hình cu tha mãn. Gi A, B, C ln lượt là hình chiếu
ca O
1
; O
2
; O
3
trên mt phng. Gi s 4, 2, 3.AB BC AC

Ta có
112 23 3121223233131
;;; ; ; .OA r OB r OC r OO r r OO r r OO r r
K
12 2 1221
;.OH BO H BO BH r OH r r
Theo định lý Py-ta-go ta có

2
22
222 2
12 1 2 1 2 2 1 12
.
4
A
B
OO OH O H r r AB r r rr
Tương t ta có
22
23 31
;.
44
B
CAC
rr rr
Vy
222
123
3.
64
AB BC CA
rrr 
Chn B
Bài tp 2.
Cho qu địa cu có độ dài đường kinh tuyến 30° Đông là 40cm (tham kho hình v).
Độ dài đường xích đạo là:
A.
40 3 .cm
B. 40 .cm
C. 80 .cm
D.
80
.
3
cm
Hướng dn gii
Đường xích đạo là đường vĩ tuyến ln nht. Độ dài đường xích đạo gp hai ln đường kinh tuyến
30° Đông.
Vy độ dài đường xích đạo là:
2.40 80 .cm

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 737
Chn C.
Bài tp 3.
Qu bóng đá được dùng thi đấu ti các gii bóng đá Vit Nam t chc có chu vi ca thiết
din qua tâm là 68,5cm. Qu bóng được ghép ni bi các miếng da hình lc giác đều màu trng và
đen, mi miếng có din tích 49,83cm
2
. Hi cn ít nht bao nhiêu miếng da để làm qu bóng trên?
A. 40 (miếng da). B. 20 (miếng da).
C. 35 (miếng da). D. 30 (miếng da).
Hướng dn gii
Vì thiết din qua tâm là đường tròn có chu vi là 68,5cm, nên gi s bán kính mt cu là R ta có
68,5
268,5 .
2
RR

Din tích mt cu:

2
22
68,5
4 4 1493,59 .
2
xq
SR cm





Vì mi miếng da có din tích 49,83cm
2
nên để ph kín được mt ca qu bóng thì s miếng da
cn là
1493,59
29,97.
49,83
Vy phi cn 30 miếng da.
Chn D.
Dng 5. Dng toán tng hp
1. Phương pháp gii
S dng kiến thc v hình nón, hình tr, hình cu các dng toán trên để gii bài toán tng hp.
Ví d: Cho tam giác đều ABC ni tiếp đường tròn tâm I đường kính AA', M là trung đim ca BC.
Khi quay tam giác ABM cùng vi na hình tròn đường kính AA' xung quanh đường thng AM, ta
được khi nón và khi cu có th tích ln lượt là V
1
V
2
. T s
1
2
V
V
bng
A.
9
.
4
B. 49 C.
27
.
32
D.
9
.
32
Hướng dn gii
Chn D.
Gi a là cnh ABC đều, suy ra
33
;;.
223
aa a
BM AM IA
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 738
Ta có
2
2
1
3
3
2
3
1
.
.
19
22
3
..
4
432
3
..
3
3
aa
BM AM
V
V
a
IA







2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho hình nón có thiết din qua trc là mt tam giác đều cnh là 2a, có thch V
1
và hình
cu có đường kính bng chiu cao hình nón, có th tích V
2
. Khi đó t s th tích
1
2
V
V
bng bao nhiêu?
A.
1
2
1
.
3
V
V
B.
1
2
2
.
3
V
V
C.
1
2
1
.
2
V
V
D.
1
2
1.
V
V
Hướng dn gii
Chn B.
Cho hình nón có thiết din qua trc là mt tam giác đều cnh là 2a
23
1
3
3
2
13
2, , 3 3 ;
33
433
.
32 2
IaRaha V a a a
a
Va







Vy
1
2
2
.
3
V
V
Bài tp 2. Mt cái bn cha nước gm hai na hình cu và mt hình tr (như hình v).
Đường sinh ca hình tr bng hai ln đường kính ca hình cu. Biết th tích ca bn cha nước là
3
128
.
3
m
Tính din tích xung quanh ca cái bn cha nước theo đơn v m
2
.
A. 48 m
2
. B. 50 m
2
. C. 40 m
2
. D. 64 m
2
.
Hướng dn gii
Chn A.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 739
Gi x là bán kính hình cu.
Ta có 2 4 4 4 .
tcct
ldRRx
Th tích ca b nước là
232 3
3
4 4 128
.4
333
82.
tc tt c
VVV Rl R x x x
xx



Din tích xung quanh ca b nước là
222
2 . 4 2.2 .8 4 .2 48 .
tt c
SRlR m


Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 740
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
BÀI 1: H TA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÍ THUYT TRNG TÂM
1. H ta độ trong không gian
H trc ta độ Đề-các vuông góc trong không gian gm ba trc
x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc vi nhau tng đôi mt.
Gi
,,ijk

ln lượt là các vectơ đơn v trên các trc Ox, Oy, Oz.
Đim O đưc gi là gc ta độ.
Các mt phng (Oxy), (Oyz), (Ozx) là các mt phng ta độ.
Không gian gn vi h ta độ Oxyz được gi là không gian Oxyz.
2. Ta độ ca vectơ
Trong không gian Oxyz, cho vectơ u
. Khi đó
ux;y;z uxiyjzk.

Chú ý:
1)
0 0;0;0 .
2)
11
22
33
ab
ab a b
ab


3) a
cùng phương

11
22
33
akb
akbb 0
b
akb


Biu thc ta độ ca các phép toán vectơ
Cho hai vectơ
123 123
;; , ;;aaaabbbb

và k là s thc tùy ý.
Khi đó ta có:
112 23 3
;; .ab a ba ba b

112 23 3
;; .ab a ba ba b

123
.;;k a ka ka ka
11 2 2 3 3
.. . ..ab a b a b a b

ng dng ca tích vô hướng:
11 2 2 33
a.b aab a.b0 .b a.b 0

2
222
123
aa.aaaa.

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 741
2
222
123
aa aaa.


11 2 2
222222
12
33
31 23
ab a b a
a.b
cos a;b
a.b
aa .bb
b
ab





Vi a 0, b 0.

3. Ta độ ca mt đim
Trong không gian Oxyz, cho đim M tùy ý.
Khi đó
Mx;y;z OM(xiyjzk).

Tính cht
Nếu
AAA BBB
A x ;y ;y và B x ;y ;y thì
BABACA
AB x x ; y y ; z z .

Khi đó

2
BA B
22
BAA
AB AB x x y y z z .

Ta độ trung đim I ca đon thng AB là
ABABAB
xxyyzz
;; .I
222




Ta độ trng tâm G ca tam giác ABC là
CCAB A A CBB
xx yy zz
;; .
33
xy
3
z
G




Ta độ trng tâm G ca t din ABCD là
AB CDABCDA BCD
xx xxyyyyz zzz
G;;
444
 



4. Tích có hướng ca hai vectơ
Định nghĩa
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ
123
b
b;b ;b .
Tích có hướng ca hai vectơ avàb

là mt
vectơ vuông góc vi c hai vectơ
avàb

, kí hiu là a,b
được xác định như sau:
2331
12
2331
12
aaaa
aa
a,b ; ;
bbbb
b
b






23 32 31 13 12 21
aab;ababba
b
;b a .
Tính cht
a
cùng phương vi a b 0.b,



a,b



vuông góc vi c hai vectơ avàb
.
Chú ý: Trong h ta độ Oxyz, cho đim M
(
x; y; z) ta có các khng định sau:
0; 0 .0;MO M
MOxy z0

, tc là
Mx;y;0.
MOyz x0

, tc là
M0;y;z.
MOxz y0

, tc là
Mx;0;z.
MOx yz0

, tc là
M x;0;0 .
MOy xz0
, tc là
M0;y;0.
MOz x y0
, tc là
M0;0;z.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 742
b
,a a,b .
 

 
 
a,b a .b.sin a;b .


 
5. Phương trình mt cu
Trong không gian Oxyz, mt cu tâm
Ia;b;cbán kính R có phương trình là

222
2
xa yb zc R.
Ngược li phương trình
222
xyz2Ax2By2CzD0 1.
Vi
222
0ABCD là phương trình mt cu tâm
;;IABC

có bán kính
222
.
R
ABCD
Chú ý: Điu kin để phương trình (1) là phương trình mt cu là:
222
0.ABCD
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 743
SƠ ĐỒ H THNG HÓA
B. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1: Tìm ta độ đim, vectơ trong h trc Oxyz
1. Phương pháp
S dng các định nghĩa và khái nim có liên quan đến đim, vectơ: Ta độ ca đim, vectơ; độ
dài vectơ, ...và các phép toán vectơ ... để tính tng, hiu các vectơ; tìm ta độ trng tâm tam giác, ...
a,b

cùng phương
a,b 0




a,b a,b


 
a,b a .b .sin a;b


 
Không gian gn vi
h ta độ Oxyz
H ta độ Đề-các vuông góc Oxyz gm
ba trc x’Ox, y’Oy, z’Oz.
Đim O là gc ta độ.
Các vectơ đơn v trên các trc Ox, Oy,
Oz là
i, j, k

Các mt phng ta độ:
Oxy , Oyz , Ozx
H TA ĐỘ
KHÔNG GIAN
Tích có hướng
Tích có hướng ca hai
vectơ là mt vectơ

123
aa;a;a,

123
b
b;b ;b .
2331
12
2331
12
aaaa
aa
a,b ; ;
bbbb
b
b







23 32 31 13 12 21
aab;ababba
b
;b a .
Ta độ vectơ Ta độ đim
ux;y;z
uxiyjzk


Mx;y;z
OM xi y j zk 

2
222
xyzuu 
BABACA
AB x x ; y y ; z z

Biu thc ta độ ca các phép toán vectơ
123
aa;a;a,
123
b
b;b ;b .
112 23 3
;; .ab a ba ba b
123
k.a ka ; k a ; k a
vi k là s thc
11 2 2 3 3
.. . . ab a b a b a b
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 744
2. Bài tp
Bài tp 1.
Trong không gian Oxyz, cho
2; 2; 0 , 2; 2; 0 , 2; 2; 2 .abc

Giá tr ca abc

bng
A.
6. B.
26.
C. 11. D.
211.
Hướng dn gii
Chn D.
T a có
2; 6; 2abc

nên
222
262 44211.abc

Bài tp 2. Trong không gian Oxyz cho hai đim
1; 2; 3 , 1; 0;1 .AB Trng tâm G ca tam giác
OAB
có ta độ là:
A.
0;1;1 . B.
24
0; ; .
33



C.
0; 2; 4 . D.

2; 2; 2 .
Hướng dn gii
Ta độ trngm tam gc là:
G
G
G
110
x0
3
200 2 24
yG0;;.
33 33
310 4
z
33









Chn B.
Bài tp 3.
Trong không gian Oxyz, cho vectơ
000
1; 2; 4 , ; ;abxyz
) cùng phương vi vectơ
a
. Biết vectơ
b
to vi tia Oy mt góc nhn và
b
21.
Giá tr ca tng
000
x
yz bng
A. 3. B. 6. C. 6.
D. 3.
Hướng dn gii
Chn A.
Li có
b
21.
suy ra
22 2
k1
k4k16k 21
k1.

Vi
k1 ta có

b
1; 2; 4 ,
suy ra góc gia
b
và Oy tha mãn

b
.j
cos b, Oy ,
b
.j


trong đó
b
.j 2 0.

Suy ra góc to bi
b
và Oy là góc tù. Suy ra
k1
không tha mãn.
Vi
k1
ta có

b
1; 2; 4 ,
suy ra góc gia
b
và Oy tha mãn

b
.j
cos b, Oy ,
b
.j


trong đó
b
.j 2 0.

Suy ra góc to bi
b
và Oy là góc nhn. Vy k1
tha mãn.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 745
Do đó

b
1; 2; 4 .
Suy ra
000
124 3.xyz  
Bài tp 4. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng tr tam giác đều .
A
BC A B C


A3;1;1,
hai đỉnh B, C thuc trc Oz và
AA 1
(C không trùng vi O). Biết vectơ ;;()2uab
(vi
a,b ) là mt vectơ ch phương ca đường thng
A
C
. Tính
22
.Ta b
A. T5. B. T16 . C. T4.
D. T9.
Hướng dn gii
Chn B
Ly M là trung đim BC.
Khi đó ta có
AM BC
AA BC
nên BC A M
ti M;
suy ra M là hình chiếu ca
A
trên trc Oz
M0;0;1 và AM 2.

Mt khác
22
AM A M AA 3.


Li có
ABC đều nên
3
AM BC 3
2

BC 2 MC 1.
Gi
C0;0;c,c 0 suy ra MC c 1 .
c0
MC 1 c 1 1
c2
 
( loi c0
)
C0;0;2.
AC 3;1;1


là mt vectơ ch phương ca đường thng AC
Suy ra

u23;2;2
cũng là mt vectơ ch phương ca AC
.
Vy
23; 2.ab Suy ra
22
16.Ta b
Dng 2. Tích có hướng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 746
1. Phương pháp gii
Để tính tích có hướng ca hai vectơ, ta áp
dng công thc:
2331
12
2331
12
,;;
aaaa
aa
ab
bbbb
bb






23 32 31 13 12 21
;; .aababababbba
Bài tp: Tính tích có hướng ca hai vectơ
1; 0;1 , 2;1; 1

ab
Hướng dn gii

011110
,;;1;3;1
111221
ab







2. Bài tp mu
Bài tp 1.
Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho hai vectơ ,ab
khác
0.
Kết lun nào sau đây
sai?
A. ,3 3 , .ab ab



B. 2, 2 , .ab ab



C.
3,3 3 , .ab ab



D.
.a,b a b.sin .a,b



Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
3,3 3 ,3 9 , .
ab ab ab




(C sai)
Bài tp 2. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
1; 2;1 , 0; 2; 1 , ,1;(0.)ab cm

Tìm giá tr thc ca tham s m để ba vectơ ;;abc

đồng phng.
A.
m1.
B.
m0.
C.
1
m.
4
D.
1
m.
4
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có

,4;1;2.ab




Ba vectơ
;;
abc

đồng phng
1
a, b . c 0 4m 1 0 m .
4




Bài tp 3. Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho năm đim
0; 0; 3 , 2; 1; 0 ,AB
3; 2; 4 ,C

1; 3; 5 ,D
4; 2;1E to thành mt hình chóp có đáy là t giác. Đỉnh ca hình chóp tương ng là
A. Đim C. B. Đim A. C. Đim B. D. Đim D.
Hướng dn gii
Chn A.
Xét đáp án A, gi s C là đỉnh ca hình chóp, ta có:
2; 1; 3 , 1; 3; 2 , 4; 2; 2 , 3; 2;1AB AD AE AC
   
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 747
AB, AD .AE 4.7 2.7 2.7 0
AB, AD .AC 3.7 2.7 1.7 14.






  
  
Suy ra A, B, D, E đồng phng.
Vy đim C là đỉnh ca hình chóp.
Bài tp 4. Trong không gian Oxyz cho các đim
1; 0; 0 , 0; 2; 0 , 0; 0;3 , 2; 2; 0 .AB C D
Có tt c bao nhiêu mt phng phân bit đi qua 3 trong 5 đim O, A, B, C, D?
A. 10. B. 7. C. 5. D. 6.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có
1; 2; 0 , 1; 2; 0 ,AB AD

suy ra 3 đim A, B, D thng hàng.
T đó chúng ta xác định được v trí các đim trong h trc độ Oxyz và đếm trc tiếp ta có 5 mt
phng đi qua 3 trong 5 đim O, A, B, C, D là:
, , , ,OCB OCA OCD OAB ABC
Dng 3. ng dng ca tích có hướng để tính din tích và th tích
1. Phương pháp gii
Din tích hình bình hành:
ABCD
SAB,AD.

Tính din tích tam giác:
ABC
SAB,AC.
 
Tính th tích hình hp:
ABCD.A B C D
VAB,AC.AD.



  
Tính th tích t din:
ABCD
1
VAB,AC.AD.
6


  
2. Bài tp
Bài tp 1.
Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho ba đim
1; 2; 0 , 2;1; 2 , 1; 3;1 .ABC
Bán kính đường tròn ngoi tiếp tam giác ABC là
A. 310. B.
310
.
5
C.
10
.
5
D. 10.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có:
1; 1; 2 , 2; 1; 1 , 3; 2; 1AB AC BC
  
Suy ra
AB AC 6; BC 14.
Suy ra
ABC
135
SAB,AC.
22




Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 748
Gi R
ABC
là bán kính đường tròn ngoi tiếp tam giác ABC, ta có
ABC
ABC
AB.AC.BC 6. 6. 14 3 10
R.
4S 5
35
4.
2

Bài tp 2. Trong không gian Oxyz, cho
2; 1; 1 , 3; 0 (;1 , 2; 1;3)ABC và D nm trên trc Oy.
Th tích t din ABCD bng 5. Ta độ ca D là
A.
D0; 7;0. B.
D0;8;0.
C.
D0; 7;0 hoc
D0;8;0. D.
D 0;7;0 hoc
D0; 8;0.
Hướng dn gii
Chn C.
Vì D Oy nên

D0;y;0. Khi đó. Th tích ca t din ABCD là
11
VAB,AC.AD4y2
66



  
Theo đề ra, ta có
y7
1
4y 2 5
y8.
6

Bài tp 3. Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho hình lăng tr
.' ' '
A
BC A B C
có ta độ các đỉnh
 
3
0; 0; 0 , 0; ; 0 , ; ; 0 0; 0; 2 .
22




aa
A
Ba C vàA a Gi D là trung đim cnh BB' và M di động
trên cnh AA'. Din tích nh nht ca tam giác MDC' là
A.
2
3
.
4
a
B.
2
5
.
4
a
C.
2
6
.
4
a
D.
2
15
.
4
a
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 749
Ta có






 
a3a
CC AA C ; ;2a .
22


 
CC BB B 0;a;2a .
Đim D là trung đim ca BB' nên
0; ; .Daa
()0; 0;
M
t
vi

0t2a.
Ta có






 
a3 a
DC ; ;a ,DM 0; a;t a .
22
Ta có:







2
2
22 2
MDC
a2t3a 6a
1 a 4t 12at 15a a 6
SDC,DM .
2444
Suy ra
2
MDC
a6
minS
4
khi
3
ta.
2
Dng 4: Phương trình mt cu
1. Phương pháp gii
Cách viết phương trình mt cu:
Mt cu tâm
Ia;b;c,
bán kính R có phương trình

222
2
xa yb zc R.
Bài tp:
Phương trình mt cu tâm
2; 1;1 ,I bán kính R = 3 là

222
x2 y1 z1 9.

Xét phương trình:
222
y z 2ax 2by 2cz d 0. *x 
Ta có
222
*x2axy2byz2czd

222
222
xa yb zc a b c d. 
Điu kin để phương trình (*) là phương trình mt cu
222
abcd.
Khi đó (S) có


22 2
taâm I a; b; c
baùnkínhR a b c d.
Đặc bit mt cu
222 2
:x SyzR thì (S) có

taâm O 0;0;0
baùnkínhR.
2. Bài tp
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 750
Bài tp 1. Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz, cho mt cu (S) có phương trình
22 2
S:x y z 2x 6y 6z 6 0. Tính din tích mt cu (S)
A. 100 .
B. 120 .
C. 9.
D. 42 .
Hướng dn gii
Chn A.
Mt cu (S) có tâm
I1; 3;3
, bán kính r19965.

Vy din tích mt cu là
22
4r 4.5 100.


Bài tp 2. Trong không gian Oxyz, cho đim
I1; 2;3. Viết phương trình mt cu tâm I, ct trc
Ox ti hai đim A và B sao cho
AB 2 3.
A.

222
x 1 y 2 z 3 16. B.

22
2
x1 y2 z3 2() 0.
C.

222
x 1 y 2 z 3 25. D.

222
x1 y2 z3 9.

Chú ý:
Tính khong cách t đim A đến đưng thng
:
- Xác định đim
M.
- Áp dng công thc:

AM, u
dA, .
u




Hướng dn gii
Chn A.
Gi H là trung đim
AB IH AB ti



I;Ox
I; AB
HIHd d
Ly


I,Ox
IM, i
M2;0;0 Ox IH d 3.
i




Bán kính mt cu cn tìm là
22
RIA IH HA 4.
Vy phương trình mt cu cn tìm là

222
x 1 y 2 z 3 16.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 751
Bài tp 3. Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho mt cu

222
S:x 1 y 2 z 1 9

và hai đim
A 4;3;1 , B 3;1;3 ; M là đim thay đổi trên (S). Gi m, n ln lượt là giá tr ln nht,
nh nht ca biu thc
22
P2MA MB.
Giá tr
(m n)
bng
A.
64. B. 60. C. 68. D. 48.
Hướng dn gii
Mt cu (S) có tâm
I1;2; 1
và bán kính R = 3.
Ly đim E sao cho
2AE BE 0 E 5;5; 1 .

Ta có IE 5.
D thy đim E là đim nm ngoài mt cu (S).
Khi đó
22
22 2 22
P 2MA MB 2MEAE MEBE ME 2AE BE.
   
P ln nht và nh nht khi và ch khi ME ln nht và nh nht.
maxME IE R 8;minME IE R 2. 
Do đó
2222
;n mimmaxP64 nP42AE BEE.2AE B 
Suy ra mn 60.
Chn B.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 752
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MT PHNG
A. LÍ THUYT TRNG TÂM
1. Phương trình mt phng
Vectơ pháp tuyến
Vectơ
0n
ρρ
là vectơ pháp tuyến ca
nếu giá ca
n
ρ
vuông góc vi
.
Cp vectơ ch phương ca mt phng
Hai vectơ
,ab
ρρ
không cùng phương là cp vectơ ch phương ca
nếu các giá ca chúng song song
hoc nm trên

.
Chú ý:
Nếu
n
ρ
là mt vectơ pháp tuyến ca
thì
0kn k
ρ
cũng là vectơ pháp tuyến ca

.
Nếu ,ab
ρρ
là mt cp vectơ ch phương ca
thì ,nab
ρ
ρρ
là mt vectơ pháp tuyến ca
.
Phương trình tng quát ca mt phng
0 Ax By Cz Dvi
222
0ABC
.
Nếu ()
có phương trình 0Ax By Cz D thì (;; )nABC
là mt vectơ pháp tuyến ca
()
.
Phương trình mt phng đi qua
0000
;;
M
xyz
và có mt vectơ pháp tuyến ( ; ; )nABC
là:
000
0Ax x By y Cz z .
Các trường hp đặc bit
Các h s
Phương trình mt phng
Tính cht mt phng
0D .
0Ax By Cz
đi qua gc ta độ O
0A 0By Cz D
//Ox
hoc
Ox
0B
0Ax Cz D
//Oy hoc
Oy
0C
0Ax By D
//Oz hoc
Oz
0AB 0Cz D
// Oxy
hoc
Oxy
0AC 0By D
// Oxz hoc
Oxz
0BC 0Ax D
// Oyz
hoc
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 753
Oyz
Nếu
()
ct các trc to độ ti các đim
( ;0;0),(0; ; 0), (0;0; )abc
vi
0
abc
thì ta có phương trình mt
phng theo đon chn
(): 1
x
yz
abc

.
Chú ý: Nếu trong phương trình ()
không cha n nào thì ()
song song hoc cha trc tương ng.
2. Khong cách t mt đim ti mt phng
Trong không gian
,Oxyz
cho đim
;;
A
AA
A
xyz và mt phng
(): 0Ax By Cz D
.
Khi đó khong cách t đim A đến mt phng
()
được tính theo công thc:
222
d( ,( ))
AAA
A
xByCzD
A
ABC


3. V trí tương đối
V trí tương đối gia hai mt phng
Trong không gian ,Oxyz cho hai mt phng
11 1 1 2 2 2 2
(): 0; (): 0Ax B y Cz D Ax B y C z D
+)
111 1
222 2
() ()
A
BCD
A
BCD


.
+)
111 1
222 2
()//()
A
BC D
A
BC D


.
+)
11
22
() ()
A
B
A
B


hoc
11
22
B
C
B
C
.
+)
12 12 12
() () 0AA BB CC
.
V trí tương đối gia mt phng và mt cu
Trong không gian
,Oxyz
cho mt phng và mt cu
(): 0Ax By Cz D
;
2222
():( )( )( )Sxa yb zc R.
Để xét v trí ca
()
()S ta làm như sau:
+) Nếu
,dI R
thì
()
không ct
()S
.
+) Nếu
,dI R thì

tiếp xúc
S ti .H Khi đó H được gi là
tiếp đim đồng thi
H là hình chiếu vuông góc ca I lên
được gi là tiếp din.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 754
+) Nếu
,dI R
thì
ct
S
theo đường tròn có phương trình
2
22 2
()()
():
0.
x
aybzcR
C
Ax By Cz D


Bán kính ca
C
22
d[,( )]rR I
.
Tâm J ca (C) là hình chiếu vuông góc ca
I trên
.
4. Góc gia hai mt phng
Trong không gian ,Oxyz cho hai mt phng
11 1 1
(): 0Ax By Cz D
22 2 2
(): 0Ax By Cz D

.
Góc gia ( )
( )
bng hoc bù vi góc gia hai vectơ pháp tuyến , .nn
Tc là


12 12 12
222 222
111 222
cos , cos , .
nn
AA BB CC
nn
nn
A
BC ABC


 






Chùm mt phng
Tp hp tt c các mt phng qua giao tuyến ca hai mt phng ()
()
được gi là mt chùm mt phng.
Gi

d là giao tuyến ca hai mt phng
11 1 1
22 2 2
(): 0
(): 0
Ax By Cz D
Ax By Cz D


Khi đó nếu
P
là mt phng cha

d thì mt phng
P
có dng
11 1 1 2 2 2 2
0mAxByCzD nAxByCzD
vi
22
0mn
SƠ ĐỒ H THNG HÓA
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 755
B. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mt phng
1. Phương pháp
1. Mt phng
đi qua đim
000
;;
M
xyz có vectơ pháp tuyến
;;nABC
ρ
000
0.Ax x By y Cz z
2.
Mt phng ( )
đi qua đim
000
;;
M
xyz có cp vectơ ch phương , .ab
Khi
đó mt vectơ pháp tuyến ca
()
[,].nab
2. Bài tp
Bài tp 1:
Cho mt phng
:220.Qxy z Viết phương trình mt phng
()
P
song song vi mt
phng

,Q đồng thi ct các trc
, Ox Oy
ln lượt ti các đim
,
M
N
sao cho 22MN .
A. (): 2 2 0Pxy z . B. (): 2 0Pxy z
.
C.
(): 2 2 0.Pxy z  D. (): 2 2 0Pxy z
.
Hướng dn gii
Chn A.
()//()
P
Q
nên phương trình mt phng
()
P
có dng
20(2).xy zD D

Khi đó mt phng ( )
P
ct các trc ,Ox Oy ln lượt ti các đim ( ;0;0)MD
, (0; ;0)ND.
T gi thiết:
2
2 2 2 2 2 2 (do 2).MN D D D 
Vy phương trình mt phng ( ) : 2 2 0Pxy z .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 756
Chú ý:
Mt phng
đi qua đim
000
;;
M
xyz
và song song vi mt phng (): 0Ax By Cz D
thì

có phương trình là
000
0Ax x By y Cz z
Bài tp 2:
Cho đim (1;2;5).M Mt phng ( )
P
đi qua đim
M
ct trc ta độ ,,Ox Oy Oz ti , ,
A
BC
sao cho
M
là trc tâm tam giác
.
A
BC
Phương trình mt phng
()
P
A.
80xyz
. B.
25300xyz
. C.
0
521
xyz

.
D.
1
521
xyz

.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
() ( ) (1)
OA BC
OA OBC BC OAM BC OM
AM BC
 
Tương t
(2)AB OM
.
T (1) và (2) suy ra
()OM ABC hay ()OM P
.
Suy ra (1;2;5)OM

là vectơ pháp tuyến ca ( )
P
.
Vy phương trình mt phng
P
1 2 2 5 5 0 2 5 30 0.xy z xyz
Bài tp 3: Cho t din
A
BCD đỉnh (8; 14; 10); , ,
A
AD AB AC
ln lượt song song vi , , .Ox Oy Oz
Phương trình mt phng

B
CD
đi qua
(7; 16; 15)H
là trc tâm
BCD
có phương trình là
A. 2 5 100 0xyz . B. 2 5 100 0xyz
 .
C.
0
71615
xy z


. D.
1
71615
xy z

.
Hướng dn gii
Chn B.
Theo đề ra, ta có
()BCD đi qua (7; 16; 15),H
nhn (1; 2; 5)HA

là vectơ pháp tuyến. Phương trình
mt phng

B
CD
( 7) 2( 16) 5( 15) 0
2 5 100 0.
xy z
xyz


Vy ( ) : 2 5 100 0BCD x y z
 .
Bài tp 4: Trong không gian vi h ta độ ,Oxyz lp phương trình ca các mt phng song song vi mt
phng
(): 3 0xyz
và cách
()
mt khong bng 3.
A.
60; 0xyz xyz 
. B.
60xyz

.
C.
60; 0xyz xyz 
. D.
60; 0xyz xyz

.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 757
Hướng dn gii
Chn A.
Gi ( )
là mt phng cn tìm. Ta có (0;0;3) ( )A
.
Do ( ) / /( )
nên phương trình ca mt phng ( )
có dng:
0xyzm
 vi 3m .
Ta có
|3|
d((),()) 3 d(,()) 3 3
3
m
A
 

.
6
|3|3
0
m
m
m

(tha mãn).
Vy phương trình ca các mt phng cn tìm là
60xyz
 0xyz.
Bài tp 5: Trong không gian ,Oxyz cho hai mt phng
(): 3 2 0,(): 3 4 0Px z Qx z
 .
Mt phng song song và cách đều ( )
P
( )Q có phương trình là:
A. 310xz. B. 320xz. C. 360xz
. D. 360xz.
Hướng dn gii
Chn A.
Đim
(; ;)
M
xyz
bt k cách đều
()
P
() ( ;()) ( ;())QdMPdMQ
32 34
|32||34|
32 34
19 19
24
310.
310
xz xz
xz xz
x
zxz
xz
xz

 






Vy
M
thuc (): 3 1 0.xz
Nhn thy ()
song song vi ()
P
()Q .
Bài tp 6: Trong không gian vi h ta độ ,Oxyz cho hai đim
1; 2;1 , 3; 4;0 ABmt phng
(): 46 0Paxbycz. Biết rng khong cách t ,
A
B đến mt phng ( )
P
ln lượt bng 6 và 3. Giá tr
ca biu thc
T abc bng
A. 3. B. 6. C. 3. D. 6.
Hướng dn gii
Gi ,HK ln lượt là hình chiếu ca ,
A
B trên mt phng ()
P
.
Theo gi thiết, ta có:
3, 6, 3AB AH BK
.
Do đó ,
A
B cùng phía vi mt phng ( )
P
.
Li có:
.
A
BBK AK AH
A
BBK AH
nên HK
.
Suy ra
,,
A
BH
là ba đim thng hàng và
B
là trung đim ca
A
H
nên ta độ
(5;6; 1)H
.
Vy mt phng ( )
P
đi qua (5;6; 1)H
và nhn (2;2; 1)AB

là vectơ pháp tuyến nên có phương
trình là
2( 5) 2( 6) 1( 1) 0 2 2 23 0xyz xyz
Theo bài ra, ta
():4 4 2 46 0Pxyz
nên
4, 4, 2abc

.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 758
Vy
6Tabc

.
Dng 2. Viết phương trình mt phng liên quan đến mt cu
1. Phương pháp
Viết phương trình mt phng
tiếp xúc vi mt cu (S) ti đim
.H
Gi s mt cu

S
có tâm I và bán kính ,
R
khi đó ta viết được phương trình mt phng ( )
đi qua H
và có mt vectơ pháp tuyến là
nIH

.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Trong không gian vi h ta độ
,Oxyz
cho mt cu
S
có phương trình
222
(1)( 2)(3)12xy z và mt phng ( ) : 2 2 3 0.Pxyz
 Viết phương trình mt phng song
song vi
()
P
và ct ()S theo thiết din là đường tròn ()C sao cho khi nón có đỉnh là tâm mt cu và
đáy là hình tròn (C) có th tích ln nht.
A.
22 20xyz
hoc
22 80xyz
.
B.
22 10xyz hoc 22 110xyz.
C.
22 60xyz hoc 22 30xyz.
D.
22 20xyz hoc 22 20xyz.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
()//()
P
nên
():2 2 0( 3).xyzd d
Mt cu

S có tâm (1; 2;3),I bán kính 23R .
Gi
H
là khi nón tha mãn đề bài vi đường sinh
23.IM R
Đặt ( ,( )).xhdI
Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là
2
12rx
.
Th tích khi nón là

2
()
1
12
3
H
Vxx
vi 023x .
Xét hàm s:

2
1
() 12
3
f
xxx
vi
023x
.
Khi đó
()
f
x
đạt giá tr ln nht ti 2x
hay
(,( )) 2dI
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 759
Ta có
22 2
56 11
|2.1 2 ( 2) 3 |
(,( )) 2 2
56 1
22(1)
dd
d
dI
dd


 
 

.
.
Chú ý:
Công thc tính th tích hình nón:
11
.2 .
33
VhS Rh
Trong đó
R
là bán kính đáy, h là chiu cao.
Bài tp 2: Trong không gian ,Oxyz cho mt cu (S):
22 2
(1) 4xy z
 đim (2;2;2).A T
A
k
ba tiếp tuyến
,,
A
BACAD
vi mt cu
(,,
B
CD
là các tiếp đim). Phương trình mt phng
B
CD
A. 22 10xyz. B. 22 30xyz
.
C.
22 10xyz. D. 22 50xyz
.
Hướng dn gii
Chn D.
Ta có mt cu

S có tâm I (0;0;1) và bán kính 2R
.
Do ,,
A
BACAD là ba tiếp tuyến ca mt cu ()S vi ,,BCD là các tiếp đim nên
AB AC AD
IA
IB IC ID R


là trc ca đường tròn ngoi tiếp
.
B
CD
()IA BCD .
Khi đó mt phng
B
CD
có mt vectơ pháp tuyến (2;2;1)nIA
.
Gi
J
là tâm ca đường tròn ngoi tiếp
BCD J IA

.IJ BJ
Ta có
IBA
vuông ti
B
B
JIA nên
2
2
44
.
39
IB
IB IJ IA IJ IJ IA
IA


.
Đặt
(; ;).
J
xyz
Ta có
(; ; 1); (2;2;1)IJ x y z IA

.
T
4
9
IJ IA

suy ra
8813
;;
99 9
J



.
Mt phng
()BCD đi qua
8813
;;
99 9
J



và nhn vectơ pháp tuyến
(2;2;1)n
có phương trình:
8813
22 02250
999
xyz xyz

  


.
Bài tp 3: Trong không gian ,Oxyz cho mt cu
S :
222
(1)(1)(1)12xyz
 và mt phng
(): 2 2 11 0.Px y z Xét đim
M
di động trên ( )
P
và các đim , ,
A
BC phân bit di động trên
S
sao cho , ,
A
MBMCM là các tiếp tuyến ca
.S
Mt phng
A
BC
luôn đi qua đim c định nào dưới
đây?
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 760
A.
111
;;
422




.
B. (0; 1;3) . C.
3
;0;2
2



.
D.
0;3; 1
.
Hướng dn gii
Chn D.
Mt cu

S
có tâm
I
(1;1;1) và bán kính
23R
.
Xét đim
(;;) (); (;;) ()
M
abc P Ax yz S nên ta có h điu kin:
222
222
(1)(1)(1)12
22110
xyz
AI AM IM
abc



222
222222
( 1) ( 1) ( 1) 12 (1)
12 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) (2)
22110(3)
xyz
xaybzcabc
abc

 


Ly (1) (2) ta có:
222 2 22
(1)(1)(1) 12( )( )( )
x
yz xaybzc



222
12 ( 1) ( 1) ( 1)abc

(1)(1) (1) 90axbyczabc
Vy mt phng đi qua ba tiếp đim là:
():( 1) ( 1) ( 1) 9 0Qa xb yc zabc
Kết hp vi (3) suy ra mt phng này luôn đi qua đim c định (0;3;-1).
Dng 3. Phương trình mt phng đon chn
1. Phương pháp
Phương trình mt phng ( )
đi qua ba đim ( ;0;0), (0; ;0)
A
aBb (0;0; )Cc vi 0abc là:
1.
xyz
abc

2. Bài tp
Bài tp 1:
Trong không gian vi h trc ta độ ,Oxyz cho hai đim (3;0;0), (2;2;2)MN. Mt phng ( )
P
thay đổi qua
,
M
N
ct các trc
,Oy Oz
ln lượt ti
(0; ;0), (0; 0; )Bb C c
vi
,0.bc
H thc nào dưới đây
đúng?
A.
6bc
. B.
3( )bc b c
. C.
bc b c
.
D.
111
6bc

.
Hướng dn gii
Chn D.
Mt phng
()
P
đi qua
(3;0;0), (0; ;0), (0;0; )
M
Bb C c
vi
,0bc
nên phương trình mt phng
()
P
theo đon chn là:
1
3
xyz
bc

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 761
Mt phng
()
P
đi qua
(2;2;2)N
suy ra
222 111
1
36bc bc

.
Bài tp 2: Trong không gian ,Oxyz cho đim
1; 4; 3 .G Phương trình mt phng ct các trc ta độ
,,Ox Oy Oz ln lượt ti , ,
A
BC sao cho
G
là trng tâm t din
OABC
A.
1
3129
xyz

.
B.
1
41612
xy z

.
C.
312 9780xyz. D. 4 16 12 104 0xyz
.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi s (,0,0); (0,,0); (0;0;)
A
aBbCc.
(1; 4; 3)G
là trng tâm t din
4
4
4
A
BCD
G
A
BCD
G
ABCD
G
x
xxx
x
yyyy
OABC y
zzzz
x




0004.1 4
00 04.4 16
000 4.3 12
aa
bb
cc






.
Ta có phương trình mt phng ( )
A
BC là: 1
41612
xy z
.
Bài tp 3: Trong không gian vi h ta độ .Oxyz Viết phương trình mt phng
P
đi qua đim
(1; 2; 3)M và ct các trc , ,Ox Oy Oz ln lượt ti ba đim , ,
A
BC khác vi gc ta độ
O
sao cho biu
thc
22 2
111
OA OB OC

có giá tr nh nht.
A.
(): 2 14 0Px yz
. B.
(): 2 3 14 0Px y z

.
C.
(): 2 3 11 0Px y z. D. (): 3 14 0Pxy z
.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi H là trc tâm
.
A
BC
Ta có

() 1.
BH AC
AC OBH AC OH
OB AC
 
Chng minh tương t, ta có:
B
COH
2 .
T (1), (2) ta có ( )OH ABC .
Suy ra
22 2 2
111 1
OA OB OC OH
 .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 762
Vy để biu thc
22 2
111
OA OB OC

đạt giá tr nh nht thì
OH
đạt giá tr ln nht. Mà
OH OM
nên
OH
đạt giá ln nht bng
OM
hay
.HM
Khi đó ( )OM ABC nên ( )
P
có mt vectơ pháp tuyến là (1;2;3)OM

.
Phương trình mt phng ( )
P
1( 1) 2( 2) 3( 3) 0 2 3 14 0xyz xyz   .
Bài tp 4: Trong không gian ,Oxyz có bao nhiêu mt phng qua đim
4; 4;1M
và chn trên ba trc
ta độ ,,Ox Oy Oz theo ba đon thng có độ dài theo th t lp thành cp s nhân có công bi bng
1
?
2
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C.
Gi ( ;0; 0), (0; ;0), (0; 0; )
A
aBbCc vi 0abc
là giao đim ca mt phng ()
P
và các trc to độ. Khi
đó
()
P
có phương trình là
1
x
yz
abc

.
Theo gi thiết ta có:
441
8, 4, 2
()
1
8, 4, 2
11
11
|| || ||
16, 8, 4
24
24
abc
MP
abc
ab c
OC OB OA
cba
ab c









Vy có ba mt phng tha mãn.
Bài tp 5: Trong không gian vi h to độ ,Oxyz cho các đim

1;0; 0 , 0;1; 0 .AB
Mt phng
0xaybzc đi qua các đim ,
A
B đồng thi ct tia Oz ti C sao cho t din OABC có th tích
bng
1
.
6
Giá tr ca
32abc
A. 16. B. 1. C. 10. D. 6.
Hướng dn gii
Chn D.
Mt phng đi qua các đim ,
A
B đồng thi ct tia Oz ti
0;0;Ct
vi 0t có phương trình là
1
11
xyz
t
.
Mt khác:
OABC
11
.
66
V  OA.OB.OC
1
1
6
t
.
Vy phương trình mt phng cn tìm có dng
110
111
xyz
xyz
.
Vy 1, 1ab c .
Suy ra
3213.126abc .
Dng 4. V trí tương đối gia hai mt phng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 763
1. Phương pháp
Cho hai mt phng:
(): 0PAxByCzD
;
:0PAxByCzD

.
Khi đó:
()
P
ct
:: : :.PABCABC



()//
A
BC D
PP
A
BCD


.

()
A
BCD
PP
A
BCD


.
 
() ()
() 0
PP
PP
PP n n nn



.
0.AA BB CC


Chú ý:
Nếu
0A
thì tương ng
0A
.
Nếu 0B thì tương ng 0B
.
Nếu 0C thì tương ng 0C
.
Ví d: Trong không gian vi h trc to độ ,Oxyz cho hai mt phng ( ) : 2 1 0xyz
():2 4 2 0xymz
.
Tìm
m để

song song vi nhau.
Hướng dn gii
Ta có
12 1 1
()//()
24 2m




(vô lý vì
24 2
12 1

).
Vy không tn ti
m
để hai mt phng
,
song song vi nhau.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Trong không gian vi h ta độ ,Oxyz cho mt phng
P
có phương trình
(1) 100mx m y z và mt phng ():2 2 3 0Qxyz
.
Vi giá tr nào ca
m thì
()
P
()Q
vuông góc vi nhau?
A. 2m  . B. 2m . C. 1m
. D. 1m  .
Hướng dn gii
Chn C.
(): ( 1) 10 0Pmx m yz có vectơ pháp tuyến
1
(; 1;1)nmm
.
():2 2 3 0Qxyz
có vectơ pháp tuyến
2
(2;1; 2)n
.
12
() () 0 2 12 0 1PQnn mm m

.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 764
Dng 5. V trí tương đối gia mt cu và mt phng
1. Phương pháp
Cho mt phng ( ) : 0Ax By Cz D
và mt cu tâm ;I bán kính .
R
()
( )S khôngđim chung ( ,( ))dI R
.
()
tiếp xúc vi () (,()) .SdI R
Khi đó ()
là tiếp din.
()
()S ct nhau (;( ))dI R
.
Khi đó
O
có tâm là hình chiếu ca
I
trên
và bán kính
22
(;( ))rRdI
.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Trong không gian ,Oxyz cho mt cu
222
(): 6 4 12 0Sx y z x y
 .
Mt phng nào ct
S theo mt đường tròn có bán kính 3?r
A. 43 4260xyz . B. 22 120xyz
 .
C.
345172020xyz . D. 30xyz
 .
Hướng dn gii
Chn C.
Phương trình mt cu

S
222
6 4 12 0.xyz xy
Suy ra tâm
3; 2; 0I
và bán kính
5R
.
Ta gi khong cách t tâm
I ca mt cu ti các mt phng các đáp án là h, khi đó để mt phng ct
mt cu
S theo mt đưng tròn có bán kính 3r
thì
22
25 9 4hRr
 .
Đáp án
A loi vì
|18 4 26 |
4
26
h

.
Đáp án
B loi vì
14
4
3
h .
Chn đáp án
C 4h .
Đáp án
D loi vì
13
4
3
h
.
Bài tp 2: Trong không gian vi h ta độ
,Oxyz
cho đim
1; 2; 2I
và mt phng
():2 2 5 0.Pxyz Phương trình mt cu tâm I ct mt phng ()
P
theo giao tuyến là mt đường
tròn có din tích bng
16
A.
222
(2)(2)(1)36xyz.
B.
222
(1)( 2)(2)9xy z .
C.
222
(1)( 2)(2)25xy z .
D.
222
(1)( 2)(2)16xy z .
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 765
Chn C.
Ta có
222
|2.1 2.2 2 5|
(;( )) 3
221
adIP



.
Bán kính ca đường tròn giao tuyến là:
16 4
S
r

.
Mt cu tâm
I
ct mt phng
P
theo giao tuyến là mt đường tròn nên ta có
222
916 25 5Rar R.
Vy phương trình mt cu tâm I , bán kính
5R
là:
222
(1)( 2)(2) 25xy z .
Bài tp 3: Trong không gian ,Oxyz cho mt cu
S có phương trình
222
24620xyz xyz

và mt phng
():4 3 12 10 0.xy z
Tìm phương trình mt phng
tha mãn đồng thi các điu
kin: tiếp xúc vi
S ; song song vi ( )
và ct trc
Oz
đim có cao độ dương.
A. 4 3 12 78 0xy z . B. 4 3 12 26 0xy z
.
C.
4 3 12 78 0xy z . D. 4312260xy z
.
Hướng dn gii
Chn C.
Mt cu ()S có tâm (1; 2; 3),I bán kính
222
12324R
.
Vì ( ) / /( )
nên phương trình ( )
có dng: 4 3 12 0, 10xy zd d
 .
()
tiếp xúc mt cu
()S
nên
(,( ))
22 2
26
| 4.1 3.2 12.3 |
4| 26|52
78
4 3 ( 12)
I
d
d
dR d
d



.
Do
()
ct trc Oz đim có cao độ dương nên chn 78d
.
Vy phương trình mt phng
():4 3 12 78 0xy z

.
Dng 6. Khong cách t mt đim đến mt phng
1. Phương pháp
Khong cách t đim
0000
;;
M
xyz
đến mt phng
:0Ax By Cz D



000
0
222
,.
A
xByCzD
dM
ABC



2. Bài tp
Bài tp 1:
Trong không gian ,Oxyz khong cách gia hai mt phng
:22100Px y z

:2230Qx y z
bng
A.
4
.
3
B. 3. C.
8
.
3
D.
7
.
3
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 766
Chn D.
//
P
Q nên
,,dP Q dAQ vi
.
A
P
Chn

0;0;5
A
P thì


222
02.02.53
7
.
3
122
dAQ



Chú ý:
Khong cách gia hai mt phng song song bng khong cách t mt đim bt kì trên mt phng
này đến mt phng kia.
Nếu hai mt phng không song song thì khong cách gia chúng bng 0.
Bài tp 2: Trong không gian vi h trc to độ
,Oxyz
cho
1;2;3 , 3;4; 4 .AB
Tìm tt c các giá tr ca
tham s
m sao cho khong cách t đim
A
đến mt phng
:2 1 0Pxymz
 bng độ dài đon
thng
.
A
B
A. 2.m B. 2.m  C. 3.m
D. 2.m 
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
 
222
2; 2;1 2 2 1 3 1 .AB AB
υυυρ
Khong cách t
A
đến mt phng
P
22 2 2
|2.1 2 3 1| |3 3|
(,())
21 5
mm
dA P
mm



(2).

22
2
|3 3|
(,()) 3 95 9( 1) 2
5
m
AB d A P m m m
m

.
Bài tp 3: Trong không gian
,Oxyz
cho t din
A
BCD vi
1; 2; 1 ,A
2;1;3 ,B
(3;2;2), (1;1;1)CD
. Độ dài chiu cao
DH
ca t din bng
A.
314
14
.
B.
14
14
.
C.
414
7
.
D.
314
7
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có (1; 1;2), (2;0;1) [ ; ] ( 1;3;2)AB AC AB AC
  
là mt vectơ pháp tuyến ca mt phng
()
A
BC
.
Vy phương trình mt phng
()
A
BC
1( 1) 3( 2) 2( 1) 0 3 2 7 0xy z xyz .
Độ dài chiu cao DH ca t din
A
BCD
là khong cách t D đến ( )
A
BC .
Suy ra
222
| 1.1 3.1 2.1 7 | 3 14
(,( ))
14
(1) 3 2
DH d D ABC



.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 767
Bài tp 4: Trong không gian ta độ
,Oxyz
cho đim
;;
A
abc
vi
,, 0.abc
Xét
P
là mt phng thay
đổi đi qua đim
A
. Khong cách ln nht t đim O đến mt phng ()
P
bng
A.
222
abc. B.
222
2 abc. C.
222
3 abc
. D.
222
4 abc.
Hướng dn gii
Chn A.
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca O lên mt phng
P
.
Khi đó
222
(,())dOP OHOA abc.
Dng 7. Góc gia hai mt phng
1. Phương pháp
Cho hai mt phng

, có phương trình:

11 1 1
22 2 2
:0
:0.
Ax By Cz D
Ax B y Cz D


Góc gia

,
bng hoc bù vi góc gia hai vectơ pháp tuyến
12
,.nn
υ
ρυυρ

12
12
.
cos ,
.
nn
nn

υρ υυρ
υρ υυρ
12 12 12
222222
111 222
.
.
AA BB CC
A
BC ABC

 
Chú ý:

0,90.
oo
 
2. Bài tp
B sung sau
Dng 8. Mt si toán cc tr
Bài tp 1: Trong không gian ,Oxyz cho ba đim
1;1; 1 , 1; 2; 0 , 3; 1; 2AB C
M
đim thuc
mt phng
:2 2 7 0.xy z
Tính giá tr nh nht ca
357.
P
MA MB MC
υυυρ υυυρ υυυυρ
A.
min
20.P B.
min
5.P C.
min
25.P
D.
min
27.P
Hướng dn gii
Chn D.
Gi đim
;;Ixyz sao cho 357 0.IA IB IC
υυρυυρυυρρ
Khi đó



31 5 1 73 0
23
31 5 2 7 1 0 20 23;20; 11.
11
31 50 7 2 0
xxx
x
yy y y I
z
zzz


 



 
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 768
Xét
357 3 5 7 .
P
MA MB MC MI IA MI IB MI IC
υυυρ υυυρ υυυυρ υυυρυυρυυυρυυρ υυυρυυρ
357 .
M
IIAIBICMIMI 
υυυρυυρυυρυυρ υυυρ
min
P
khi
M
I ngn nht hay
M
là hình chiếu vuông góc ca I lên mt phng
.
Khi đó:



min
2
22
2. 23 20 2. 11 7
, 27.
212
PdI



Bài tp 2: Trong không gian vi h trc ta độ ,Oxyz cho hai đim
3;5; 5 , 5; 3; 7AB mt
phng
(): 0.Pxyz m to độ đim
M
trên mt phng ()
P
sao cho
22
2
M
AMB
ln nht.
A. ( 2;1;1)M . B. (2; 1;1)M . C. (6; 18;12)M
. D. (6;18;12)M .
Hướng dn gii
Chn C.
Gi I tha mãn
20.IA IB

Khi đó
2( ) 0 2 (13; 11;19).IO OA IO OB OI OB OA I 
     
Ta có

22 2 2
22 22 2
22 2 2.
M
AMBMAMBMIIAMIIBMIIAIB
   
22
2
M
AMB
ln nht khi
M
I
nh nht. Khi đó
I
là hình chiếu vuông góc ca
M
lên
()
P
.
Ta tìm được
(6; 18;12)M
.
Bài tp 3: Trong không gian ,Oxyz cho các đim ( ;0;0), (0; ; 0), (0;0; )
M
mNnPp không trùng vi gc
ta độ và tha mãn
22 2
3mn p . Giá tr ln nht ca khong cách t O đến mt phng
M
NP bng
A.
1
3
.
B. 3. C.
1
3
.
D.
1
27
.
Hướng dn gii
Chn C.
Do , ,
M
NP không trùng vi gc ta độn 0, 0, 0mn p
.
Phương trình mt phng ( )
M
NP là:
111
110
xyz
xyz
mn p m n p
 .
Suy ra
22 2
1
(,( ))
111
dO MNP
mn p

.
Áp dng bt đẳng thc Cô-si cho ba s dương
22 2
,,mn p và ba s dương
2
1
m
22
11
,
np
ta có:
22 2 222
3
3mn p mnp
3
22 2 222
111 1
3
mn p mnp
 .
Suy ra

22 2
22 2
111
9mn p
mn p




Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 769

22 2
22 2
111
39do 3mn p
mn p




22 2 22 2
22 2
111 111 1 1
33
111 3
mn p mn p
mn p
 

Vy
1
(,( )) .
3
dO MNP Du "=" xy ra khi và ch khi
22 2
1mn p
.
Vy giá tr ln nht ca khong cách t
O đến mt phng
M
NP
1
3
.
Bài tp 4: Trong không gian vi h ta độ
,Oxyz
cho mt phng
(): 2 2 3 0Px y z

và mt cu
222
(): 2 4 2 5 0.Sx y z x y z
Gi s
()
M
P
()NS
sao cho
M
N

cùng phương vi vectơ
(1; 0;1)u
và khong cách gia
M
N ln nht. Tính .
M
N
A.
3MN
. B.
122MN 
. C.
32MN
. D.
14MN
.
Hướng dn gii
Chn C.

S có tâm
(1;2;1)I
và bán kính
1R
.
Ta có:
222
|12.2 2.13|
(,( )) 2
122
dI P R



.
Gi H là hình chiếu vuông góc ca
N trên mt phng
P
là góc gia
M
N .NH
M
N
υυυυρ
cùng phương vi
u
nên góc
có s đo không đổi.
M
NH
vuông ti H
HNM nên
1
.cos .
cos
HN MN MN HN
Do đó
M
N ln nht HN ln nht (,( )) 3.HN d I P R

1
cos cos( , )
2
P
un

nên
1
32
cos
MN HN
.
Bài tp 5: Trong không gian vi h to độ
,Oxyz
gi
:30Paxbycz
 (vi
,,abc
là các s
nguyên không đồng thi bng 0) là mt phng đi qua hai đim
0; 1; 2 , 1; 1; 3MN và không đi qua
đim
(0;0;2).H
Biết rng khong cách t
H
đến mt phng
()
P
đạt giá tr ln nht. Giá tr ca tng
2312Ta b c
bng
A. 16 . B. 8. C. 12. D. 16.
Hướng dn gii
Chn D.
Gi
K
là hình chiếu ca H lên ( ),
P
E là hình chiếu ca H lên .
M
N
Ta có
(;())dH P HK (; ) ,d H MN HE HK HE
(không đổi).
Vy ( ;( ))dH P ln nht khi ,
K
E vi E là hình chiếu ca H lên
M
N
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng liên
h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 770
Suy ra
117
;;
333
E




.
Vy mt phng ( )
P
cn tìm là mt phng nhn
111
;;
333
HE





làm vectơ pháp tuyến và đi qua
M
có phương trình là
30xyz .
Suy ra
1
1
1
a
b
c


.
Vy 16T .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 771
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THNG
A. LÍ THUYT TRNG TÂM
1. Phương trình đường thng
Vectơ ch phương ca đường thng
Cho đường thng . Vectơ
0

u gi là vectơ ch phương ca
đường thng nếu giá ca nó song song hoc trùng vi .
Cho đường thng đi qua
000
;;
M
xyz
và có vectơ ch
phương là

;;
uabc.
Chú ý:
+ Nếu
u là vectơ ch phương ca
thì
.0
ku k cũng là vectơ ch
phương ca .
+
Nếu đường thng đi qua hai đim
A, B thì

A
B
là mt vectơ ch phương.
Phương trình tham s ca đường thng
Phương trình tham s ca đường thng có dng
0
0
0
, (1)



xx at
yy btt
zz ct
Cho đường thng có phương trình
(1) thì
+
;;
uabc
là mt vectơ ch
phương ca .
+ Vi đim
M
thì
000
;;
M
xatybtzct
trong đó t
là mt giá tr c th tương ng vi
tng đim M.
Phương trình chính tc
Nếu
,, 0abc
thì phương trình chính tc ca đường thng
dng

000
2


xx yy zz
abc
2. Khong cách
Khong cách t đim đến đường thng
Cho đường thng đi qua
0
M
, có vectơ ch phương
u
đim
M
. Khi đó để tính khong
cách t
M
đến ta có các cách sau:
Cách 1: S dng công thc:

0
,
,

M
Mu
dMd
u
.
Cách 2:
+ Lp phương trình mt phng

P
đi qua
M
vuông góc vi .
+ Tìm giao đim H ca

P
vi .
+ Khi đó độ dài
M
H là khong cách cn tìm.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 772
Cách 3:
+ Gi Nd, suy ra ta độ N theo tham s t .
+ Tính
2
M
N theo t .
+ Tìm giá tr nh nht ca tam thc bc hai.
Khong cách gia hai đường thng chéo nhau
Cho hai đường thng chéo nhau đi qua
0
M
có vectơ ch phương
u
đi qua
0
M
có vectơ
ch phương

u . Khi đó khong cách gia hai đường thng
được tính theo các cách sau:
Cách 1: S dng công thc:

00
,.
,
,







uu MM
d
uu
.
Cách 2: Tìm đon vuông góc chung
M
N
. Khi đó độ dài
M
N
là khong cách cn tìm.
Cách 3: Lp phương trình mt phng
P
cha qua và song song vi
. Khi đó khong cách
cn tìm là khong cách t mt đim bt kì trên
đến
P
.
3. V trí tương đối
V trí tương đối gia hai đường thng
Trong không gian Oxyz, hai đường thng
000
1
:


x
xyyzz
d
abc
đi qua
1000
;;
M
xyz
vectơ ch phương
1
;;

uabc, và
000
2
:




x
xyyzz
d
abc
đi qua
2000
;;
M
xyz
vectơ ch phương
2
;;


uabc.
Để xét v trí tương đối ca
1
d
2
d , ta s dng
phương pháp sau:
Phương pháp hình hc
+
1
d trùng
2
d
3
12
12
123
12
12
//





a
aa
uu
bbb
Md
Md
+
12
12
112
,0
//
,0
uu
dd
uMM




 

hoc
3
12
12
123
12
12
||



 
a
aa
uu
bbb
Md
Md
Ta có th dùng
phương pháp đại s để xét v
trí tương đối: Da vào s nghim ca h
phương trình các đường thng.
Chú ý trường hp vô nghim
+ Nếu
12
;

uu cùng phương t
12
//dd.
+ Nếu
12
;

uu
không cùng phương thì
12
;dd
chéo nhau.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 773
+
1
d ct
2
d
12
12 12
,0
,. 0




 
  
uu
uu MM
+
1
d
chéo
2
d
12 12
,. 0



  
uu MM
V trí tương đối gia đường thng và mt phng
Trong không gian Oxyz, cho mt phng
:0Ax By Cz D
có vectơ pháp tuyến
;;

nABC
đường thng
0
0
0
:
x
xat
dyybt
zz ct
đi qua
000
;;
M
xyz
có vectơ ch phương
;;

d
uabc
.
Phương pháp đại s
Xét h phương trình



0
0
0
1
2
3
04




xx at
yy bt
zz ct
Ax By Cz D
Để xét v trí tương đối ca
d
ta s dng phương
pháp sau:
Phương pháp hình hc
Nếu

000
;;

d
un
Mxyz
thì
d
.
Nếu

000
;;

d
un
Mxyz
thì

//d
.
Nếu

d
u

n
cùng phương .

d
ukn
vi 0
k
thì
d
.
Nếu .0

d
un
;

d
u

n
không cùng phương thì d
ct

.
Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được
000
0*A x at B y bt C z ct D
+) Nếu phương trình (*) vô nghim
t
thì
//d
.
+) Nếu phương trình (*) có nghim t duy
nht thì
d
ct
.
+) Nếu phương trình (*) có vô s nghim t
thì
d
.
Chú ý: Để tìm đim chung ca đưng thng
d
và mt phng
ta gii phương trình (*),
sau đó thay giá tr t vào phương trình tham s
ca
d
để tìm
;;
x
yz
V trí tương đối gia đường thng và mt cu
Trong không gian Oxyz, cho đường thng và mt cu
có phương trình ln lượt là:
0
0
0
:,



xx at
dyybtt
zz ct

222
2
: Sxa yb zc R
.
Để xét v trí tương đối ca
d
ta s dng
phương pháp sau:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 774
Phương pháp hình hc
Bước 1:
Tìm khong cách t tâm I ca
S đến d .
Bước 2:
+ Nếu
, dId R thì d không ct
S .
+ Nếu
, dId R
thì d tiếp xúc
S
.
+ Nếu
, dId R thì d ct
S .
Phương pháp đại s
thay x, y, z t phương trình tham s ca d vào
phương trình
S
, khi đó ta được phương trình
bc hai theo t . Bin lun s giao đim ca
d
S theo s nghim ca phương trình
bc hai theo
t
.
Chú ý: Để tìm đim chung ca đường thng và
mt cu ta gii phương trình bc hai theo
t
,
sau đó thay giá tr ca
t
vào phương trình
tham s ca d để tìm
;;
x
yz
.
4. Góc
Góc gia hai đường thng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thng
12
,dd
ln lượt có các vectơ pháp tuyến là
12
,

uu
.
Góc gia
1
d
2
d
bng hoc bù vi góc gia
1
u
2

u
.
Ta có:


12
12 12
12
.
cos , cos ,
.




uu
dd uu
uu
.
Chú ý: Góc gia hai đường thng là góc nhn.
Góc gia đường thng và mt phng
Trong không gian Oxyz, cho đường thng d có vectơ
ch phương

d
u và mt phng
có vectơ pháp tuyến

n
.
Góc gia đường thng
d và mt phng
bng
góc gia đường thng
d
vi hình chiếu
d
ca nó trên
.
Ta có:



.
sin , cos ,
.




d
d
d
un
dun
un
.
Chú ý: Góc gia đường thng và mt phng là
góc nhn.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 775
SƠ ĐỒ H THNG
Đi qua
0000
;;
M
xyz
và có
vectơ ch phương là
;;
uabc
Tham s:
0
0
0
,



xx at
yy btt
zz ct
Chính tc:
Nếu , , 0
abc thì
000


x
xyyzz
abc
u
Phương
trình đư
n
g
ĐƯỜNG THN
G
V trí
tươn
g đối
Hai đường thng
12
,dd
12 12
12 12
12 12
// //
;//







uu uu
dd dd
M
dMd
;
1
d ct
2
d
12 12 12
,0;,. 0



 
uu uu MM
1
d
chéo
2
d
12 12
,. 0


 
uu MM
Đường thng
d và mt phng

000
;;;

d
dunMxyz
000
;;;// 

d
dunMxyz
d ct
.0
d
un

, ,

d
un
không cùng phương
Đường thng
d mt cu
,SIR
d
không ct
S
,dId R
d
ti
ế
ú
S
dId R
Khon
g
cách
Khong cách t đim
M
đến đường thng

0
,
,




M
Mu
dM
u
Khong cách 2 đường
thng chéo nhau
,

0
,.
,







uu MM
d
Góc
Gia hai đường thng
d
d

12 12
cos , cos ,
 
dd uu
Góc gia đường thng
d
và mt phng

sin , cos ,

d
dun
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 776
B. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1: Viết phương trình đường thng
1. Phương pháp
Đường thng d đi qua đim

0000
;;
M
xyz
và có vectơ ch phương
123
;;
aaaa
có phương
trình tham s

01
02
03



xx at
yy att
zz at
.
Đường thng
d
đi qua hai đim A, B: Mt vectơ ch phương ca d

A
B .
Đường thng
d
đi qua đim
0000
;;
M
xyz và song song vi đường thng cho trước: Vì
//
d
nên vectơ ch phương ca cũng là vectơ ch phương ca
d .
Đường thng d đi qua đim
0000
;;
M
xyz và vuông góc vi mt phng
P
cho trước: Vì
dP
nên vectơ pháp tuyến ca
P
cũng là vectơ ch phương ca
d
.
Đường thng
d là giao tuyến ca hai mt phng
P
,
Q
.
Cách 1: Tìm mt đim và mt vectơ ch phương
Tìm to độ mt đim
A
d bng cách gii h phương trình mt phng ca
P
,
Q vi vic
chn giá tr cho mt n.
Tìm mt vectơ ch phương ca d : ,
PQ
ann

.
Cách 2: Tìm hai đim A, B thuc d ri viết phương trình đường thng đi qua hai đim đó.
Đường thng d đi qua đim
0000
;;
M
xyz và vuông góc vi hai đường thng
12
,dd: Vì
12
,dddd nên mt vectơ ch phương ca d là:
12
,
 
dd
uuu.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Trong không gian Oxyz, cho tam giác
A
BC
2;1; 1 , 2;3;1 AB
0; 1; 3C .
Gi d đường thng đi qua tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
A
BC và vuông góc vi mt
phng
A
BC . Phương trình đường thng d
A.
112
111


xyz
.
B.
1
111
x
yz
.
C.
2
211

x
yz
.
D.
1
111
x
yz
.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
4; 2; 2 16 4 4 2 6

AB AB .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 777
2; 2; 4 4 4 16 2 6

AC AC
.
2; 4; 2 4 16 4 2 6

BC BC .
Vy tam giác
A
BC
đều nên tâm đường tròn ngoi tiếp là trng tâm
0;1;1G .
Ta có

, 12;12;12 12 1;1;1




AB AC .
Đường thng
d
đi qua
0;1;1G và có vectơ ch phương cùng phương vi
,



A
BAC
, do đó
chn
1;1;1
u .
Phương trình đường thng
d
1
1
x
t
yt
zt
.
Vi
1t , ta có đim
1; 0; 0
A
d
.
Vy đường thng
d đi qua
1; 0; 0A
và có vectơ ch phương
1;1;1
u .
Bài tp 2. Trong không gian Oxyz, cho hai
1; 2; 3 , 3; 4; 5 MN
và mt phng
:23140 Px y z . Gi đường thng thay đổi nm trong mt phng
P
, các đim
,HK
ln lượt là hình chiếu vuông góc ca ,
M
N trên . Biết rng khi
M
HNK
thì trung đim ca HK
luôn thuc mt đường thng
d c định, phương trình ca đường thng d
A. 13 2
4


xt
yt
zt
.
B. 13 2
4


xt
yt
zt
.
C. 13 2
4

xt
yt
zt
.
D.
1
13 2
4


x
yt
zt
.
Hướng dn gii
Chn A.
Gi I là trung đim ca HK .
Do
M
HNK nên HMI KNI IM IN . Khi đó I thuc mt phng
Q
là mt phng
trung trc ca đon
M
N .
Ta có
Q
đi qua trung đim ca
M
N
đim
2;3; 4J
và nhn

1
1; 1; 1
2


nMN
làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình là
:90
Qxyz
.
IA P. Suy ra

90
:
23140



xyz
Id P Q
xyz
Tìm được
0;13; 4d và vectơ ch phương ca d
1; 2; 1 .
Vy
:132
4


xt
dy t
zt
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 778
Bài tp 3. Trong không gian Oxyz. Cho đim
1;1; 1E , mt cu
222
:4
Sx y z và mt phng

:3530Px y z . Gi đường thng đi qua E , nm trong
P
và ct

S ti hai đim
,
A
B sao cho OAB là tam giác đều. Phương trình tham s ca
A.
12
1
1



x
t
yt
zt
. B.
14
13
1



x
t
yt
zt
. C.
12
1
1
x
t
yt
zt
. D.
1
1
12



x
t
yt
zt
.
Hướng dn gii
Chn C.
Gi
;;
uabc
là mt vectơ ch phương ca vi
222
0
abc
.
Ta có
1; 3; 5

P
n .

P
nên .0 350 35  

PP
un un a b c a b c. (1)
Mt cu
S có tâm
0; 0; 0O và bán kính 2
R .
Gi H là hình chiếu vuông góc ca
O trên
A
B
Ta có
OAB
là tam giác đều cnh
R
nên
3
3
2

R
OH .
Suy ra khong cách t
O
đến đường thng bng
3OH
.
Khi đó
,
3



uOE
u

222
222
3 ab bc ca abc

2
00 abc abc (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
35 0 2bcbc bca c.
Thay
1c thì 1b 2a .
Ta được mt vectơ ch phương ca
2; 1; 1

u
Vy phương trình ca đường thng
12
1
1
x
t
yt
zt
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 779
Dng 2: Viết phương trình đường thng bng phương pháp tham s hóa
1. Phương pháp
Viết phương trình đường thng
d
đi qua đim
0000
;;
M
xyz , vuông góc và ct đường thng .
Cách 1: Gi
H là hình chiếu vuông góc ca
0
M
trên đường thng . Khi đó
0
,

 
HMHu.
Khi đó đường thng
d đường thng đi qua
0
,
M
H .
Cách 2: Gi
P
là mt phng đi qua
0
M
và vuông góc vi d .
Q mt phng đi qua
0
M
cha
d . Khi đó

dP Q
Viết phương trình đường thng
d
đi qua đim
0000
;;
M
xyz và ct hai đưng thng
12
,dd.
Cách 1: Gi
11 2 2
, 
M
ddMd d
. Suy ra
012
,,
M
MM
thng hàng. T đó tìm được
12
,
M
M
và suy ra phương trình đường thng
d .
Cách 2: Gi

P
là mt phng đi qua
0
M
và cha
1
d ;
Q là mt phng đi qua
0
M
và cha
2
d .
Khi đó

dP Q. Do đó mt vectơ ch phương ca d có th chn là ,



PQ
unn.
Đường thng d nm trong mt phng
P
và ct c hai đường thng
12
,dd: Tìm các giao đim
 
12
,
A
dPBd P . Khi đó d chínhđường thng
A
B .
Đường thng d song song vi và ct c hai đường thng
12
,dd: Viết phương trình mt phng
P
song song vi và cha
1
d , mt phng
Q
song song vi và cha
2
d . Khi đó

dP Q.
Đường thng d đường vuông góc chung ca hai đường thng
12
,dd
chéo nhau:
Cách làm: Gi
12
, 
M
dNd. T điu kin
1
2
M
Nd
M
Nd
, ta tìm được
,
M
N
. Viết phương trình
đường thng
M
N
chính là đường vuông góc chung ca
12
,dd.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz, cho mt phng
:10
Pxyz đường
thng
421
:
22 1


x
yz
d . Phương trình đường thng
d
là hình chiếu vuông góc ca
d
trên
mt phng

P
A.
21
57 2


x
yz
.
B.
21
57 2

x
yz
.
C.
21
57 2


x
yz
.
D.
21
57 2

x
yz
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 780
Hướng dn giii
Chn B.
Đường thng d có phương trình tham s

42
22
1



xt
ytt
zt
.
Ly đim
42;22;1 
M
dP M t t td. Thay đổi ta độ đim
M
vào phương
trình mt phng
P
ta được:
42 22 1 0 2ttt t
.
Suy ra
0; 2;1M .
Do đó
0; 2;1dPM
.
Ly
4; 2; 1
A
d
. Gi H là hình chiếu vuông góc ca
A
lên mt phng
P
.
Đường thng
A
H đi qua
4; 2; 1A và nhn

1; 1; 1

P
n làm vectơ ch phương nên
A
H
phương trình là

1
11
1
4
2
1



xt
ytt
zt
.
Suy ra
111
4;2;1Ht t t.
Thay ta độ
H vào phương trình mt phng
P
được
111 1
21081
42110 ;;
3333
ttt t H




.
M
H
là hình chiếu ca d lên mt phng
P
,
M
H
đi qua
0; 2;1M và nhn

10 14 4 2
;; 5;7;2
333 3





MH
là vectơ ch phương nên có phương trình là
21
57 2


x
yz
.
Bài tp 2. Cho các đường thng
1
11
:
121

x
yz
d đường thng
2
23
:
122


xyz
d .
Phương trình đường thng đi qua
1; 0; 2A , ct
1
d và vuông góc vi
2
d
A.
12
221


xyz
.
B.
12
411

xyz
.
C.
12
23 4


xyz
. D.
12
221

xyz
.
Hướng dn gii
Chn C.
Gi
1
Id ,
1,12, ;21; 2 

It tt AItt t mt vectơ ch phương ca .
Do
2
1; 2; 2
d
u
là mt vectơ ch phương ca đường thng
2
d
2
d .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 781
Suy ra
2
.0 221220360 2  

d
AI u t t t t t
.
Vy
2; 3; 4

AI . Phương trình đường thng cn tìm
12
23 4

xyz
.
Bài tp 3. Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho mt phng
:3 2 0
Pxyz và hai đường
thng
1
16
:
121


x
yz
d
2
124
:
314



xy z
d
.Đường thng vuông góc vi

P
ct c hai
đường thng
1
d
2
d có phương trình là
A.
21
312


x
yz
.
B.
54
312

xyz
.
C.
281
31 2


x
yz
.
D.
122
31 2


xy z
.
Hướng dn gii
Chn A.
1
1
16
:62,
121



xt
xy z
dytt
zt
1
1;62;
M
dM t tt.
2
13
124
:2,
314
44






xt
xy z
dytt
zt
1
13;2 ;4 4

 Nd N t t t
.
23;42;44



M
Ntt tttt.
:3 2 0 Pxyz có vectơ pháp tuyến
3;1; 2
n .
Đường thng

d vuông góc vi
P
ct c hai đường thng
1
d
ti
M
và ct
2
d
ti
N suy ra
233 2
42 1
442 1




 





tt k t
MN kn t t k t
tt k k
21;2;2 tM
Do
dP nên


d
P
un.
Phương trình đường thng
d
13
2;
22



xs
yss
zs
.
Chn

21
12;1;0 :
312

x
yz
sA dd
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 782
Bài tp 4. Viết phương trình đường thng
d
qua
1; 2; 3A
ct đường thng
1
2
:
21 1

xyz
d
song song vi mt phng
:20Pxyz .
A.
1
2
3



x
t
yt
zt
. B.
1
2
3


x
t
yt
z
. C.
1
2
3
x
t
yt
z
. D.
1
2
3



x
t
yt
zt
.
Hướng dn gii
Chn C.
Do
1
2;; 2 2 1; 2; 1

dd B Bmmm AB m m m
.
d
song song vi mt phng
P
nên

.01211.2 10 1 1;1;0 

P
AB n m m m m AB .
Vy phương trình đường thng
1
2
3
x
t
yt
z
.
Bài tp 5. Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho mt phng
:2 10 0 Pxyz , đim
1; 3; 2A đường thng
211
:
21 1


x
yz
d
. Tìm phương trình đường thng ct
P
d
ln lượt ti
M
N sao cho
A
là trung đim ca
M
N .
A.
613
74 1


x
yz
. B.
613
74 1


xyz
.
C.
613
741



xyz
.
D.
613
741


xyz
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
2 2 ;1 ;1 NdN ttt
.
A
là trung đim ca
4 2 ;5 ;3
M
NM t t t.
M
P nên ta độ
M
tha phương trình
P
, ta được:
24 2 5 3 10 0 2 6; 1;3, 8;7;1ttt t N M .
Suy ra
14;8; 2

MN .
Đường thng đi qua hai đim
M
N nên có mt vectơ ch phương

1
7; 4; 1
2


uNM
nên có phương trình là
613
74 1


x
yz
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 783
Bài tp 6. Trong không gian ta độ Oxyz, cho đim
3; 3; 3
A thuc mt phng
:2 2 15 0xyz
và mt cu

222
: 2 3 5 100Sx y z
. Đường thng qua
A
,
nm trên mt phng
ct
S ti ,
M
N . Để độ dài
M
N ln nht thì phương trình đường thng
A.
333
146


xyz
.
B.
333
16 11 10


xyz
.
C.
35
3
38


x
t
y
zt
. D.
333
113


xyz
.
Hướng dn gii
Chn A.
Mt cu

S có tâm
2; 3;5I và bán kính
10
R
.
Mt phng
có vectơ pháp tuyến
2; 2;1
n .
Gi
,HK ln lượt là hình chiếu vuông góc ca I lên và mt phng
.
IK
nên phương trình đường thng IK đi qua I và vuông góc vi mt phng
22
32
5



x
t
yt
zt
.
Ta độ đim
K
là nghim h phương trình

22
32
2; 7; 3
5
22 150





xt
yt
K
zt
xyz
.

nên IH IK . Do đó IH nh nht khi H trùng vi
K
.
Để
M
N ln nht thì IH phi nh nht.
Khi đó đường thng cn tìm đi qua
A
K
. Ta có
1; 4; 6

AK
.
Đường thng có phương trình là:
333
146


xyz
.
Bài tp 7. Trong không gian Oxyz, cho
A
BC
2; 3;3A , phương trình đường trung tuyến k t
B
332
:
12 1



xyz
d , phương trình đường phân giác trong ca góc
C
242
:
211



xyz
. Đường thng
A
B
có mt vectơ ch phương là
A.
2;1; 1
u . B.

1; 1; 0
u . C.
0;1; 1
u . D.
1; 2; 1
u .
Hướng dn gii
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 784
Chn C.
Ta có phương trình tham s ca là:

22
422;4;2
2



xt
y t C ttt
zt
.
Gi
M
là trung đim ca
A
C
nên
75
2; ;
22




tt
Mt
.
M
d nên

75
32
23
11 1
22
1
12 1142









tt
t
ttt
t .
Suy ra
4; 3;1C .
Phương trình mt phng
P
đi qua
A
và vuông góc vi là: 220
xyz .
Gi
H là giao đim ca
P
2; 4; 2 H
.
Gi
A
đim đối xng vi
A
qua đường phân giác , suy ra H là trung đim
A
A
2; 5;1
A
.
Do
A
BC nên đường thng
B
C có vectơ ch phương là
2; 2; 0 2 1;1; 0


CA .
Suy ra phương trình ca đường thng
B
C
4
3
1
x
t
yt
z
.
2;5;1

B
BM BC B A .
Đường thng
A
B có mt vectơ ch phương là
0; 2; 2 2 0;1; 1


AB .
Bài tp 8. Trong không gian h ta độ Oxyz, cho đường thng
12
:
211

x
yz
và hai đim
4; 2; 4 , 0; 0; 2 AB. Gi d đưng thng song song và cách mt khong bng 5, gn
đường thng
A
B nht. Đường thng d ct mt phng
Oxy
ti đim nào dưới đây?
A.
2;1; 0 . B.
214
;;0
33




.
C.
3; 2; 0 . D.
0; 0; 0 .
Hướng dn gii
Chn D.
Phương trình tham s ca đường thng
A
B có dng:
4
2
26


xt
yt
zt
.
Để đường thng
d
tha mãn bài toán thì ta có hình v tương ng
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 785
Đon vuông góc chung ca hai đường thng
A
B
M
N vi
0; 5;1 , 3;1;1MN.
Để
d gn đường thng
A
B nht thì d phi đi qua đim D nm trên đon
M
N
,5,35 DN d d MN
. Do đó
32;1;1

MN DN D
.
Vectơ ch phương ca đưng thng
d

2; 1;1

d
u
.
Suy ra phương trình tham s ca
d
22
1
1

x
t
yt
zt
Đường thng
d ct

Oxy
ti đim có
0
10 1
0

x
zt t
y
.
Vy giao đim ca
d
Oxy
0; 0; 0 .
Bài tp 9. Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho bn đường thng
12
221 11
:;:
111 121



x
yz xyz
34
21 5
:;:
11 1 1 3 1
x
yz xyazb


Biết không tn ti đường thng nào trong không gian mà ct được đồng thi c bn đường thng
trên. Giá tr ca biu thc
2Ta b bng
A. 2. B. 3. C. 2. D. 3.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có:
13
//.
Gi
P
là mt phng cha
1
3
:2 30
Px yz
.
Gi
2
0; 1;1 IPI
.
Gi

4
222324278
;;
666
 




ab b a b
JPJ .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 786
2 22 3 18 2 7 14
;;
66 6
 





ab b a b
IJ
.
Để tha mãn yêu cu bài toán thì
IJ phi cùng phương vi
1
1; 1; 1


u .
Suy ra
2 22 3 18 2 7 14
22
666
 


ab b a b
ab .
Dng 3. Góc gia đường thng và mt phng
1. Phương pháp
Cho đường thng

000
:


x
xyyzz
abc
và mt phng
:0Ax By Cz D
.
Gi
là góc gia hai mt phng
ta có công thc:
222222
sin
.


Aa Bb Cc
A
BCabc
Chú ý: ,,
A
BC , ,abc không đồng thi
bng 0.
Ví d: Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz cho
đường thng
32
:
211

x
yz
và mt phng
:3 4 5 8 0
xyz
.
Tính góc to bi
.
Hướng dn gii
có vectơ ch phương
2;1;1
u .
có vectơ pháp tuyến
3; 4; 5
n .
Ta có:

sin , cos ,
nu
2 2 2 222
3.2 4.1 5.1
3
2
345.211



.
Suy ra

,60

.
2. Bài tp
Bài tp 1:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thng
312
:
114


xyz
và mt phng
:260 Pxy z
. Biết ct mt phng
P
ti ,
A
M thuc sao cho
23AM
. Tính
khong cách t
M
ti mt phng
P
.
A. 2 . B. 2. C. 3. D. 3.
Hướng dn gii
Chn B.
Đường thng
312
:
114


xyz
có vectơ ch phương
1;1; 4
u .
Mt phng
:260 Pxy z có vectơ ch phương
1;1; 2
n .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 787



.
1
sin , cos , sin
3
.
un
Pun
un




Suy ra

1
,.sin23.2
3
 d M MH MA
.
Dng 4: Góc gia hai đường thng
1. Phương pháp
Cho hai đường thng:

000
1
:


x
xyyzz
abc

000
2
:



x
xyyzz
abc
Gi
là góc gia hai đường thng
1

2
.
Ta có:
222 2 2 2
cos
.




aa bb cc
abca b c
.
Ví d: Trong không gian Oxyz, cho hai đường
thng
1
123
:
21 2


x
yz
;
2
312
:
11 4


xyz
.
Tính góc gia hai đường thng trên.
Hướng dn gii
Vectơ ch phương ca
1
1
2;1; 2 

u .
Vectơ ch phương ca
2
2
1; 1; 4

u .


12
12 12
12
.
cos , cos ,
.
uu
uu
uu

 
 
 
 
22
2222
2.1 1.1 2. 4
212.11 4


92
2
3.3 2
.
Vy góc gia hai đường thng đã cho là
45.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Trong không gian Oxyz, cho đường thng
d là giao tuyến ca hai mt phng

: .sin cos 0; : .cos sin 0; 0;
2




Pxz Qyz

. Góc gia
d và trc Oz là:
A. 30 . B. 45. C. 60. D. 90 .
Hướng dn gii
Chn B.
Mt phng
P
có vectơ pháp tuyến là

1;0; sin

P
n
.
Mt phng
Q
có vectơ pháp tuyến là

0;1; cos

Q
n
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 788
d là giao tuyến ca
P
Q nên vectơ ch phương ca
d là:


, sin ;cos ;1



  
dPQ
unn
.
Vectơ ch phương ca
Oz

0; 0;1

Oz
u .
Suy ra
 
222 2
0.sin 0.cos 1.1
1
cos , , 45
2
sin cos 1 . 0 0 1



dOz dOz


.
Vy góc gia

d
và trc

Oz
45
.
Bài tp 2. Trong không gian Oxyz, d đường thng đi qua đim
1; 1; 2A , song song vi mt
phng
:2 3 0Pxyz , đồng thi to vi đường thng
11
:
122

x
yz
mt góc ln nht.
Phương trình đường thng
d
A.
112
45 3


xyz
.
B.
112
453


xyz
.
C.
112
45 3


xyz
.
D.
112
453


xyz
.
Hướng dn gii
Chn D.
Mt phng
:2 3 0Pxyz có mt vectơ pháp tuyến là

2; 1; 1

P
n .
Đường thng
11
:
122


x
yz
có mt vectơ ch phương là
1; 2; 2

u .
Gi s đường thng
d có vectơ ch phương là
d
u .
Do
0,90 d
mà theo gi thiết
d
to góc ln nht nên
,90


d
duu
.
Li có

//dP nên

dP
un. Do đó chn


, 4;5;3
dP
uun




.
Vy phương trình đường thng
d
112
453


xyz
.
Bài tp 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thng
212
:
443


xyz
d
và mt phng
:2 2 1 0 Pxyz
. Đường thng đi qua
2;1; 2
E
, song song vi
P
có mt vectơ ch
phương
;;1
umn
, đồng thi to vi
d
góc bé nht. Tính
22
Tm n.
A.
5T
. B. 4T . C.
3
T
. D. 4T .
Hướng dn gii
Chn D.
Mt phng
P
có vectơ pháp tuyến là
2; 1; 2
n ; đường thng d có vectơ ch phương là
4; 4;3
v
.
22022//

Pun mn nm
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 789
Mt khác ta có:


2
22 2 2
.
443
cos ;
1. 4 4 3





uv
mn
d
uv
mn


2
2
22
2
45 45
1 1 16 40 25
..
585 585
41 41
41 5 8 5



 

mm
mm
mm mm
mm
.
0,90 d nên

, d bé nht khi và ch khi
cos , d ln nht.
Xét hàm s
 

22
2
2
2
16 40 25 72 90
585
585




tt tt
ft f t
tt
tt
.
Bng biến thiên:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 790
x
5
4
0

f
0 + 0
f
16
5
5
0
16
5
Da vào bng biến thiên ta có:
max 0 5
ft f
.
Suy ra

, d
bé nht khi 02mn.
Do đó
22
4Tm n
.
Dng 5: Khong cách t mt đim đến đường thng
1. Phương pháp
Ví d:
Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho
đường thng
122
:
12 2


xy z
d
.
Tính khong cách t
2;1; 1
M ti d .
Cho đường thng
đi qua đim
0000
;;
M
xyz và có vectơ ch phương
;;
uabc
. Khi đó khong cách t đim
1
M
đến
được tính bi công thc:

01
1
;
,
M
Mu
dM
u




.
Hướng dn gii
Ta có
1; 2; 2 3; 1; 1 , 1; 2; 2


AdAM u
.
Khong cách t đim
M
đến đường thng d là:

;
52
;
3




AM u
dMd
u
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Viết phương trình đường thng d đi qua đim
1;1; 1
A
cho trước, nm trong mt
phng
:2 2 0Pxyz và cách đim
0; 2;1M mt khong ln nht.
A.
111
131



x
yz
. B.
111
131


x
yz
.
C.
111
13 1


x
yz
. D.
111
13 1


x
yz
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 791
Hướng dn gii
Chn C.
Ta gi
B
là hình chiếu ca
M
lên đường thng
d
khi đó
M
BMA.
Suy ra
max
M
BMA nên đường thng
d
đi qua đim
A
và vuông góc vi
M
A .
Đồng thi đường thng
d nm trong mt phng
P
nên ta có


,1;3;1



  
d
P
uMAn
.
Bài tp 2. Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz, cho hai đim
2;1; 2 , 5;1;1AB và mt cu
222
:61290 Sx y z y z
. Xét đường thng d đi qua
A
và tiếp xúc vi
S
sao cho
khong cách t
B đến d nh nht. Phương trình ca đường thng d
A.
2
1
22


x
yt
zt
. B.
2
14
2


x
yt
zt
. C.
22
12
2

x
t
yt
zt
. D.
2
14
2



x
t
yt
zt
.
Hướng dn gii
Chn C.
Mt cu
222
:61290 Sx y z y z có tâm
0; 3; 6
I bán kính 6R .
6,310  IA R A S IB R nên
B
nm ngoài
S .
Đường thng
d
đi qua
A
và tiếp xúc vi
S n
d
nm trong mt phng

P
tiếp xúc vi mt
cu

S ti
A
.
Mt phng
P
đi qua
A
và nhn
IA
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
220xyz
.
Gi
H
là hình chiếu ca
B
lên

P
thì ta độ ca
4; 1; 1
H .
Ta có:

;;dBd dB P BH.
Vy khong cách t
B
đến d nh nht khi d đi qua
H
. Ta có
2; 2;1

d
uAH .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 792
Suy ra phương trình đường thng
d là:
22
12
2

x
t
yt
zt
.
Dng 6: Khong cách gia hai đường thng chéo nhau
1. Phương pháp
Trong không gian Oxyz, cho hai đường
thng chéo nhau:
1
vectơ ch phương
;;
uabc
đi qua

0000
;;
M
xyz
;
2
vectơ ch phương

;;


u abc
đi qua

0000
;;

M
xyz
.
Khi đó khong cách gia
1
2
được tính
bi công thc

00
12
,.
,
,








uu MM
d
uu
.
Nếu
12
//
(
1

u
2

u
cùng phương và
02
M ) thì
12 02
,, ddM
Ví d: Trong không gian Oxyz, tính khong cách
gia hai đường thng
1
12
:
211
x
yz
d
2
14
:12,
22



xt
dy tt
zt
.
Hướng dn gii
Đường thng
1
d đi qua đim
1; 2; 0M và có
mt vectơ ch phương
1
2; 1;1
u
.
Đường thng
2
d đi qua đim
1; 1; 2N
và có
mt vectơ ch phương
2
4; 2; 2
u
.
Do
1
u cùng phương vi
2

u
2
M
d nên
12
//dd
.
Suy ra

1
12 1
1
,
;;





uMN
ddd dNd
u
.
Ta có

0;1; 2 , , 3; 4; 2




MN u MN
.
Suy ra


22
2
1
2
2
1
,
342
174
6
211







uMN
u
.
Vy

12
174
;
6
ddd
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Cho phương trình mt phng
:2 3 0Pxyz

, đường thng
1
:
121

x
yz
d
đim
0; 2;1A . Viết phương trình đường thng d đi qua
A
, nm trong
P
sao cho khong cách
d
d
đạt giá tr ln nht.
A.
21
17 9


x
yz
. B.
21
17 9

x
yz
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 793
C.
21
179


x
yz
.
D.
21
17 9

x
yz
.
Hướng dn gii
Chn A.
Gi
1
d đường thng đi qua
A
và song song vi
d .
Phương trình ca
1
d là:
22
1


xt
yt
zt
.
Trên đường thng
1
d ly đim
1; 0; 0B .
Gi
Q là mt phng cha
d
1
d .
Ta có
,, ,

ddd dd Q dBQ .
Do
1
d c định cho nên
1
,, ,
ddd dB Q dBd .
Đẳng thc xy ra khi và ch khi

 
Q
nBH trong đó H là hình chiếu ca B n
1
d
.
Ta tìm được
221
;;
333



H nên


521
;; 5;2;1
333




 
Q
BH n .
Ta có


;1;7;9



  
d
PQ
unn .
Vy phương trình ca đường thng
d
21
17 9

x
yz
.
Lưu ý :
đường thng d đi qua A nên ta có th loi đáp án bng cách thay ta độ đim A vào các
đáp án trong bài
Dng 7: V trí tương đối gia đường thng và mt phng
1. Phương pháp
Trong không gian Oxyz, xét đường thng
có vectơ ch phương là
123
;;
aaaađi qua
0000
;;
M
xyz và mt phng
:0
Ax By Cz D
có vectơ pháp tuyến
;;
nABC.
ct
123
.0 0

a n Aa Ba Ca
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 794


123
000
0
0
.0
0
//





Aa Ba Ca
an
Ax By Cz D
MP
.


123
000
0
0
.0
0





Aa Ba Ca
an
Ax By Cz D
MP

a
n cùng phương
123
:: ::
aa a ABC.
Ta có th bin lun v trí tương đối da vào s nghim ca phương trình đường thng
mt phng
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho đường thng
15
:
131


x
yz
d và mt
phng
:3 3 2 6 0Pxyz .
Mnh đề nào dưới đây đúng?
A. d ct và không vuông góc vi
P
. B. d song song vi
P
.
C.
d
vuông góc vi
P
. D.
d
nm trong
P
.
Hướng dn gii
Chn A.
Đường thng d nhn
1; 3; 1
u
làm mt vectơ ch phương.
Mt phng
P
nhn
3; 3; 2
n
làm mt vectơ pháp tuyến.
Do
.0

un và hai vectơ này không cùng phương nên đường thng d ct và không vuông góc
vi
P
.
Bài tp 2. Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz, cho đường thng có phương trình
211
:
11 1


x
yz
d
và mt phng
2
:170
Pxmy m z vi m là tham s thc. Tìm
m
sao cho đường thng
d
song song vi mt phng
P
.
A. 1m . B. 1m . C.
1
2
m
m
.
D. 2m .
Hướng dn gii
Chn B.
Đường thng
d
có vectơ ch phương là
1;1; 1
u và mt phng
P
có vectơ pháp tuyến là
2
1; ; 1
nmm.

22
1
.01 10 20
2
//


m
dP un un mm mm
m
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 795
Th li ta thy vi
2m
thì
dP (loi). Vy
1
m
.
Bài tp 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thng
123
:
241


x
yz
d và mt phng
:250 xy z
, mnh đề nào dưới đâyđúng?
A.
//d
. B.
d
.
C.
d
ct
và không vuông góc vi
. D.
d
.
Hướng dn gii
Chn B.
Ta có
12
:24,
3



xt
dy tt
zt
.
Xét h phương trình:



12 1
24 2
33
250*




xt
yt
zt
xy z
Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được
12 24 23 5 0
 tt t .
Phương trình này có vô s nghim.
Do đó, đường thng
d nm trong mt phng
.
Bài tp 4. Trong không gian Oxyz, cho hai mt phng
:2 10, :2 20  Px yz Q xyz
và hai đường thng
12
11 21
:,:
21 2 1 1 2


x
yz xy z
.
Đường thng song song vi hai mt phng
,
P
Q và ct
12
,
tương ng ti ,HK. Độ dài
đon HK bng
A.
811
7
.
B. 5. C. 6. D.
11
7
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có

, 1;1;3




PQ
unn .
Gi
2;1 ;12; ;2 ;12  Ht t tKm m m
2;1 ;2 2 2

HK mt mt mt
.
song song vi 2 mt phng
,
P
Q nên

HK ku nên
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 796
21 22 2
11 3


mt mt mt
.
Tính ra được
23
;
77
mt
. Suy ra
811
7
HK
.
Bài tp 5. Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz, cho mt phng
22 2
:2 2 1 2 1 0 Pmmxm ymzmm luôn cha đường thng c định khi
m thay đổi. Khong cách t gc ta độ đến là?
A.
1
3
. B.
2
3
.
C.
2
3
.
D.
2
3
.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có:
22 2
2212 10,   mm xm ym zmm m
2
21214210, mxy mxz xyz m
210
210
210
210210
4210








xy
xy yz
xz
xz xy
xy z
Vy
P
luôn cha đường thng
c định:
1
22

t
x
yt
zt
Đường thng
đi qua
1
;0;0
2



A
và có vectơ ch phương
1
;1;1
2




u
.
Vy khong cách t gc ta độ đến
là:

,
2
;
3





OA u
dO
u
.
Dng 8: V trí tương đối gia hai đường thng
1. Phương pháp
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thng
000
1
:
x
xyyzz
d
abc


đi qua
1000
;;
M
xyz
có vectơ ch phương
1
;;uabc

000
2
:
x
xyyzz
d
abc




đi qua
2000
;;
M
xyz

có vectơ ch
phương
2
;;u abc


.
Để xét v trí tương đối ca
1
d
2
d , ta s dng phương pháp sau:
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 797
+)
1
d trùng
2
d
3
12
12
123
12
12
//
a
aa
uu
bbb
Md
Md




.
+)
12
12
112
,0
,0
//
uu
dd
uMM




 

hoc
3
12
12
123
12
12
//
a
aa
uu
bbb
Md
Md



.
+)
1
d
ct
2
d
12
12 12
,0
,. 0
uu
uu MM




 
  
.
+)
1
d
chéo
2
d
12 12
,. 0uu MM



  
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Trong không gian ta độ Oxyz, cho hai đường thng
1
112
:
121
xyz
d



2
2
392
:0
48
xyz
dm
m


Tp hp các giá tr
m
tha mãn
12
//dd
có s phn t là:
A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Hướng dn gii
Chn B.
Đường thng
1
d đi qua
1; 1; 2A và có vectơ ch phương là
1
1; 2; 1u
.
Đường thng
2
d đi qua
3; 9; 2B 
và có vectơ ch phương là
2
2
4;8;um
.
Đường thng
12
//dd khi và ch khi
1
u
cùng phương vi
2
u
và hai đường thng
1
d
2
d không
trùng nhau.
31 91 2 2
121
 

nên B nm trên đường thng
1
d .
Do đó hai đưng thng này luôn có đim chung là
B
nên hai đường thng không th song song.
Bài tp 2. Trong không gian ta độ Oxyz, xét v trí tương đối ca hai đường thng
12
11 332
:,:
223 121
xyz x y z

A.
1
song song vi
2
. B.
1
chéo vi
2
.
C.
1
ct
2
. D.
1
trùng vi
2
.
Hướng dn gii
Chn C.
22
12

nên vectơ ch phương
1
2; 2; 3u
ca đường thng
1
không cùng phương vi
vectơ ch phương
2
1; 2; 1u 

ca
2
.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 798
Suy ra
1
chéo vi
2
hoc
1
ct
2
.
Ly
12
1; 1; 0 , 3; 3; 2 MN . Ta có
2; 4; 2MN

.
Khi đó
12
,. 0uu MN


 
.
Suy ra
12
,,uu MN
 
đồng phng.
Vy
1
ct
2
.
Dng 9: V trí tương đối gia đường thng và mt cu
1. Phương pháp
Cho đường thng


01
02
03
1
:2
3
xx at
dyyat
zz at



mt cu


22
22
:Sxa yb zc R
có tâm
;;Iabc, bán kính
R
.
Ví d 1: Trong không gian vi h ta độ Oxyz,
cho mt cu

2
22
:225Sx y z
 đường
thng
d phương trình
22
23
32
x
t
yt
zt



Chng minh
d
luôn ct
S ti hai đim phân
bit.
Bước 1: Tính khong cách t tâm I ca
mt cu
S đến đường thng d

0
.
,
IM a
hdId
a




Hướng dn gii
Mt cu
S có tâm
0; 0; 2I và bán kính
5
R
.
Đường thng d đi qua
2; 2; 3M  và có vectơ
ch phương là
2; 3; 2u
.
Ta có

,
,3
IM u
hdId
u




.
Bước 2: So sánh
,dId vi bán kính
R
ca mt cu:
Nếu

,dId R thì
d
không ct
S .
Nếu
,dId R thì d tiếp xúc
S .
Nếu

,dId R thì d ct

S ti hai
đim phân bit ,
M
N
M
N vuông góc
vi đường kính (bán kính) mt cu
S .
hR
nên d ct mt cu
S ti hai đim
phân bit.
Phương pháp đại s
Ví d 2:
Trong không gian Oxyz, mt cu
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 799
Thế (1), (2), (3) vào phương trình
S
rút gn đưa v phương trình bc hai theo

* t
.
Nếu phương trình (*) vô nghim thì
d
không ct

S
.
Nếu phương trình (*) có mt nghim
thì
d
tiếp xúc
S
.
Nếu phương trình (*) có hai nghim thì
d ct

S ti hai đim phân bit ,
M
N .
Chú ý: Để tìm ta độ ,
M
N ta thay giá tr t
vào phương trình đường thng
d
.

2
22
:217Sx y z

ct trc
Oz
ti hai
đim
,
A
B
. Tìm độ dài đon
A
B
.
Hướng dn gii
Gi
M
là giao đim ca
S vi trc
Oz
.
Ta có
M
Oz
nên
0; 0;
M
t .
M
S nên

2
22
00 2 17t


2
217
217 217
217
t
tt
t



.
Suy ra ta độ các giao đim là
0; 0; 2 17A  ,
0; 0; 2 17 2 17BAB
.
2. Bài tp
Bài tp 1.
Trong không gian ta độ Oxyz, cho đim
0; 0; 2A
đường thng có phương trình
223
232
x
yz

.
Phương trình mt cu tâm
A
, ct ti hai đim
B
C
sao cho
8BC
A.

222
23116xyz. B.

2
22
225xy z
 .
C.

2
22
225xyz. D.

2
22
216xy z
 .
Hướng dn gii
Chn B.
Gi

S là mt cu tâm
0; 0; 2A có bán kính
R
.
Đường thng
đi qua
2; 2; 3M  có vectơ ch phương
2; 3; 2u
.
Gi
H là trung đim
B
C
nên
A
HBC
.
Ta có

.
,
M
Au
AH d A
u




.
Vi




22
2
22 2
2; 2;1
7210
.7;2;10 3
2;3; 2
232
MA
MA u AH
u








.
Bán kính mt cu
S là:
2222
34 5RAB AH HB .
Vy phương trình mt cu
S là:

2
22
225xy z
 .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 800
Bài tp 2. Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho mt cu

22 2
:1 1 29Sx y z

đim
1; 3; 1M . Biết rng các tiếp đim ca các tiếp tuyến k t
M
ti mt cu đã cho luôn
thuc mt đường tròn
C có tâm
;;
J
abc .
Giá tr
2abc bng
A.
134
25
.
B.
116
25
.
C.
84
25
.
D.
62
25
.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta có mt cu
S có tâm
1; 1; 2I và bán kính 3R
.
Khi đó
5IM R M
nm ngoài mt cu.
Phương trình đường thng
M
I
1
14
23
x
x
t
zt


.
Tâm
;;
J
abc
nm trên
M
I nên
1; 1 4 ; 2 3
J
tt
.
Xét
M
HI vuông ti H
22
5; 3 4 MI IH MH MI HI.
Mt khác


22
1; 3; 1
44 33
1; 1 4 ; 2 3
M
M
Jtt
Jtt


.
2
16
.
5
MJ MI MH MJ

22
256
44 32
25
tt
2
9
369
25
25 50 0
41
25
25
t
tt
t

.
Suy ra
11 23
1; ;
25 25
J



hoc
139 73
1; ;
25 25
J



.
+) Vi
11 23
1; ;
25 25
J



thì
9
5
IJ IM (nhn).
+) Vi
139 73
1; ;
25 25
J



thì
41
5
IJ IM (loi).
Vy
11 23
1; ;
25 25
J



nên
84
2
25
abc .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 801
Bài tp 3. Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho mt cu
S có phương trình là

222
14
123
3
xy z
đường thng d có phương trình
444
322
xyz


. Gi
000
;;
A
xyz
,
0
0x
đim nm trên đường thng
d
sao cho t
A
k được ba tiếp tuyến đến mt
cu
S có các tiếp đim , ,
B
CD sao cho
A
BCD là t din đều.
Giá tr ca biu thc
000
P
xyz
A. 6. B. 16. C. 12. D. 8.
Hướng dn gii
Chn C.
I
là tâm mt cu thì
1; 2; 3I .
Gi
O là giao đim ca mt phng
B
CD
đon
A
I .
Vì theo gi thiết
A
BACAD
14
3
IB IC ID
nên
A
I
vuông góc vi mt phng
B
CD
ti
O
. Khi đó
O
là tâm đường tròn
ngoi tiếp
B
CD
.
Đặt
14
3
AI x x





.
Ta có
22 2
14
3
AB AI IB x
2
222
14 14 14
.
333
IB IO IA OI OB IB IO
x
x




222 2
2 . .cos120 3BD OB OD OB OD OB
2
14 196
333.
39
BD OB BD OB
x

 


Do
A
BCD là t din đều nên
22
22
14 14 196 14 196
314
339 33
AB BD x x
x
x




2
42
2
14
3561960 14
3
14
x
xx x
x

.
A
d nên
43;42;4
A
ttt.
Suy ra

222
14 4 3 1 4 2 2 4 3 14AI t t t
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 802

4; 4; 4
0
11
2
2; 0; 2
A
t
t
t
A


.
Do
0
0x nên đim
A
có ta độ
4; 4; 4A .
Suy ra 12
P
.
Bài tp 4. Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho ba đim , ,
P
QR ln lượt di động trên ba trc
ta độ ,,Ox Oy Oz (không trùng vi gc ta độ
O
) sao cho
222
1111
8OP OQ OR
. Biết mt phng
P
QR
luôn tiếp xúc vi mt cu
S
c định. Đường thng
d
thay đổi nhưng luôn đi qua
13
;;0
22
M




và ct
S ti hai đim ,
A
B phân bit. Din tích ln nht ca
A
OB
A. 15 . B. 5. C. 17 . D. 7.
Hướng dn gii
Chn D.
Gi H là hình chiếu vuông góc ca đim
O trên mt phng
P
QR
.
D thy
2222 2
1 111 11
22
8
OH
OH OP OQ OR OH
 .
Khi đó
P
QR
luôn tiếp xúc vi mt cu
S
tâm O , bán kính 22R .
Ta có
13
01
44
OM R
nên đim
M
nm trong mt cu
S .
Gi
I là trung đim ca
A
B , do OAB
cân ti O nên
1
.
2
OAB
SOIAB
.
Đặt
OI x . Vì OI OM nên 01
x

2
28
A
Bx
.
Ta có
2224
1
.2 8 8 8
2
OAB
Sxxxxxx
.
Xét hàm s
24
8,01
f
xxx x
.
2
44 0fx x x

vi mi
0;1x nên
17fx f
.
Suy ra din tích ca
OAB
ln nht bng 7 đạt được khi
M
là trung đim ca
A
B .
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 803
Dng 10: Mt s bài toán cc tr
Bài tp 1: Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz, cho hai đim
2; 2;1 , 1; 2; 3MA

đường thng
15
:
221
x
yz
d


. Tìm mt vectơ ch phương
u
ca đường thng đi qua
M
,
vuông góc vi đường thng
d
đồng thi cách đim
A
mt khong bé nht.
A.
2; 2; 1u 
. B.
1; 7; 1u 
. C.
1; 0; 2u
. D.
3; 4; 4u 
.
Hướng dn gii
Chn C.
Xét
P
là mt phng qua
M
P
d
.
Mt phng
P
qua
2; 2;1M  và có vectơ pháp tuyến
2; 2; 1
Pd
nu

nên có phương trình: 22 90xyz
.
Gi
,HK ln lượt là hình chiếu ca
A
lên
P
.
Khi đó
A
KAHconst nên
A
K đạt giá tr nh nht khi và ch khi
K
H
.
Đường thng
A
H
đi qua

1; 2; 3A và có vectơ ch phương
2; 2; 1
d
u
nên
A
H
có phương
trình tham s
12
22
3
x
t
yt
zt



.
H
AH nên
12;22;3Httt
.
Li

HP
nên

21 2 22 2 3 9 0 2 3; 2; 1ttt tH 
.
Vy
1; 0; 2uHM

 
.
Bài tp 2: Trong không gian Oxyz, cho mt cu
S có phương trình
222
42230xyz xyzđim
5; 3; 2A
. Mt đưng thng
d
thay đổi luôn đi qua
A
và luôn ct mt cu ti hai đim phân bit ,
M
N .
Tính giá tr nh nht ca biu thc
4SAM AN
.
A.
min
30S . B.
min
20S . C.
min
534 9S
. D.
min
34 3S .
Hướng dn gii
Chn C.
Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòng
liên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 804
Mt cu

S
có tâm

2; 1;1I
, bán kính

2
22
21133R
  .
Ta có:

222
25 13 12 34
A
IR nên
A
nm ngoài mt cu

S .
Ta li có:
4SAM AN .
Đặt
,343;343 AM x x



.
22
25
.34925AM AN AI R AN
A
M

.
Do đó:

100
Sfx x
x

vi
34 3; 34 3x

.
Ta có:

2
2
100 100
10
x
fx
xx
 vi
34 3; 34 3x

.
Do đó:

34 3; 34 3
min 34 3 5 34 9fx f



.
Du “=” xy ra
,,,
A
MNI
thng hàng và
34 3; 34 3 AM AN

.
Bài tp 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đim
9; 6;11 , 5;7; 2ABđim
M
di động trên
mt cu

222
:1 2 336Sx y z.
Giá tr nh nht ca
2
A
MMB
bng
A. 105 . B. 226. C. 229. D. 102 .
Hướng dn gii
Chn C.
Mt cu

222
:1 2 336Sx y z có tâm
1; 2; 3I
và bán kính 6R .
Ta có
12 2IA R
.
Gi
E
là giao đim ca
IA
và mt cu
S suy ra
E
là trung đim ca
IA
nên
5; 4; 7E .
Gi
F là trung đim ca IE suy ra
3; 3; 5F .
Xét
M
IF
A
IM
A
IM
chung và
1
2
IF IM
IM IA
.
Suy ra

22c.g.c
MA AI
M
IF AIM MA MF
MF MI
 # .
Do đó
22 2229AM MB MF MB BF (theo bt đẳng thc tam giác).
Du “=” xy ra khi
M
là giao đim
FB
và mt cu
S .
| 1/813