146 trang 15 lượt tải

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số môn Giải tích | Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông

30

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số môn Giải tích | Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.

Môn: Giải tích (BAS1203) 18 tài liệu

Trường: Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông 1.8 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Đại Phan

2 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/146
TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
PGS. TS. Phạm Ngọc Anh
HÀ NỘI-2013
PTIT
M l
Lêi nãi ®Çu 6
Ch¬ng 1. Php tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn sè 7
1.1. Kh«ng gian
R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. C¸ php to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. ChuÈn vµ hµm kho¶ng ¸h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. T«p« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Hµm sè nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. MÆt Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. MÆt elipxoit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. MÆt hypeboli mét tÇng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4. MÆt hypeboli hai tÇng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5. MÆt paraboloit-elipti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.6. MÆt tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.7. MÆt nãn bË hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Giíi h¹n hµm hai biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Hµm liªn t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n ¶u hµm nhiÒu biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1. §¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2. Hµm kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. §¹o hµm theo ph¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7. Quan hÖ gi÷a ®¹o hµm theo ph¬ng vµ ®¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . 19
1.8. §¹o hµm riªng ña hµm hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n Êp ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10. C«ng thø Taylor ña hµm hai biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11. Hµm Èn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.12. Cù trÞ ña hµm hai biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12.1.Cù trÞ kh«ng ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12.2.Cù trÞ ã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2
PTIT
1.13. Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.13.1.§Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.13.2.Ph¬ng ph¸p t×m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Bµi tËp h¬ng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Ch¬ng 2. TÝnh ph©n béi 41
2.1. TÝh ph©n ph thué tham sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1. TÝh ph©n x¸ ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2. TÝh ph©n suy réng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. TÝh ph©n kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2. §iÒu kiÖn kh¶ tÝh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.3. C¸ tÝnh hÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.4. §Þnh lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.5. C«ng thø ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.6. C«ng thø ®æi biÕn trong täa ®é ù . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.7. ng dng ña tÝh ph©n kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3. TÝh ph©n béi ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.2. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.3. Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Bµi tËp h¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Ch¬ng 3. TÝh ph©n ®êng vµ mÆt 73
3.1. TÝh ph©n ®êng lo¹i mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.2. TÝnh hÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.3. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2. TÝnh ph©n ®êng lo¹i hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.2. NhËn xt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3
PTIT
3.2.3. TÝnh hÊt ¬ hä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.4. C¸h tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.5. Chó ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.6. C«ng thø Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.7. §Þnh lý bèn mÖnh ®Ò t¬ng ®¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3. TÝh ph©n mÆt lo¹i mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.1. C¸ kh¸i niÖm vÒ mÆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.2. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.3. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4. TÝnh ph©n mÆt lo¹i hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.2. C¸h tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5. Quan hÖ gi÷a ¸ tÝh ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5.1. C«ng thø Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5.2. C«ng thø Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6. V t¬ r«ta vµ trêng thÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Bµi tËp h¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Ch¬ng 4. Ph¬ng tr×nh vi ph©n 110
4.1. Kh¸i niªm hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.1.1. C¸ bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.1.2. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2. Ph¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.1. §Þnh nghÜa vµ sù tån t¹i nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.2. Ph¬ng tr×nh t¸h biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.3. Ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.4. Ph¬ng tr×nh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.5. Ph¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3. Ph¬ng tr×nh vi ph©n Êp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.1. §Þnh nghÜa vµ sù tån t¹i nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.2. Ph¬ng tr×nh khuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4
PTIT
4.3.3. Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh Êp hai . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.3.1. CÊu tró nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.3.1. Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh Êp hai víi hÖ sè h»ng sè . . . . . . 126
4.4. HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4.1. HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4.2. Ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . 135
4.4.3. Ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 víi hÖ sè h»ng sè . 136
Bµi tËp h¬ng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5
PTIT
Lêi nãi ®Çu
Trong ho¹t ®éng khoa hä vµ kü thuËt thêng gÆp nhiÒu vÊn ®Ò ã liªn quan ®Õn hµm nhiÒu
biÕn sè vµ ¸ øng dng ña hóng. Do vËy, gi¶i tÝh hµm nhiÒu biÕn sè lµ mét m«n hä ®ang gi÷
mét vÞ trÝ quan träng trong ¸ lÜnh vù øng dng vµ trong hÖ thèng ¸ m«n hä ña Hä viÖn
C«ng nghÖ Bu hÝnh ViÔn th«ng. C¸ kiÕn thø vµ ph¬ng ph¸p tiÕp Ën ña gi¶i tÝh hµm nhiÒu
biÕn sè ®· hç trî hiÖu qu¶ ¸ kiÕn thø nÒn t¶ng ho ¸ m«n hä nh vËt lý, x¸ suÊt thèng kª,
to¸n kü thuËt, to¸n rêi r¹ vµ ¸ m«n huyªn ngµnh kh¸.
Bµi gi¶ng "Gi¶i tÝh hµm nhiÒu biÕn sè" ®î biªn so¹n l¹i theo h¬ng tr×nh qui ®Þnh ña
Hä viÖn ho hÖ ®¹i hä huyªn ngµnh §iÖn tö-ViÔn th«ng-C«ng nghÖ th«ng tin víi h×nh thø
®µo t¹o theo tÝn hØ. Do ®èi tîng sinh viªn rÊt ®a d¹ng víi tr×nh ®é ¬ b¶n kh¸ nhau, hóng t«i
®· è g¾ng t×m ¸h tiÕp Ën ®¬n gi¶n vµ hîp lý ®Ó tr×nh bµy néi dung theo ph¬ng ph¸p dÔ hiÓu
h¬n, nh»m gióp ho sinh viªn n¾m ®î ¸ kiÕn thø ¬ b¶n nhÊt.
§Ó võa «n tËp, võa tù kiÓm tra kiÕn thø vµ ®Ó h×nh dung ®î mø ®é ña mét ®Ò thi hÕt
m«n, sau mçi phÇn lý thuyÕt quan träng hóng t«i thêng ®a ra ¸ vÝ d minh häa hi tiÕt. Néi
dung ®î hia thµnh 4 h¬ng. Ch¬ng 1 dµnh ho php tÝnh vi ph©n ña hµm nhiÒu biÕn sè.
Ch¬ng 2 vµ 3 tr×nh bµy hi tiÕt vÒ tÝh ph©n ®êng vµ tÝh ph©n mÆt. Ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ ¸
ph¬ng ph¸p gi¶i ®î ®a ra trong h¬ng 4. C¸ kh¸i niÖm vµ «ng thø ®î tr×nh bµy t¬ng
®èi ®¬n gi¶n vµ ®î minh häa b»ng nhiÒu vÝ d víi ¸ h×nh vÏ sinh ®éng. C¸ høng minh khã
®î lî bít ã hän lä ®Ó gióp ho gi¸o tr×nh kh«ng qu¸ ång kÒnh nhng vÉn ®¶m b¶o ®î,
®Ó tiÖn ho sinh viªn hä tËp huyªn s©u vµ tra øu ph v qu¸ tr×nh hä tËp ¸ m«n hä kh¸.
Cuèi mçi h¬ng hä ®Òu ã ¸ bµi tËp ®Ó sinh viªn tù gi¶i nh»m gióp ¸ em hiÓu s©u s¾ h¬n
vÒ lý thuyÕt vµ rÌn luyÖn kü n¨ng thù hµnh.
T¸ gi¶ hy väng r»ng gi¸o tr×nh nµy ã Ýh ho ¸ em sinh viªn vµ ¸ b¹n ®ång nghiÖp
trong qu¸ tr×nh hä tËp vµ gi¶ng d¹y vÒ m«n hä gi¶i tÝh hµm nhiÒu biÕn sè. T¸ gi¶ òng ¸m
¬n mäi ý kiÕn gãp ý ®Ó gi¸o tr×nh bµi gi¶ng nµy ®î hoµn thiÖn h¬n nh»m n©ng ao hÊt lîng
d¹y vµ hä m«n hä nµy.
11/2013, T¸ gi¶: PGS. TS. Ph¹m Ngä Anh
6
PTIT
Ch¬ng 1. php tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn
1.1. Kh«ng gian
R
n
1.1.1. C¸ php to¸n
Cho hai v t¬
x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ R
n
, y = (y
1
, y
2
, ..., y
n
) ∈ R
n
.
Khi ®ã, ta nh¾ l¹i ¸ php to¸n quen thué trong kh«ng gian
n
hiÒu
R
n
:
+ Php éng vµ trõ:
x ±y = (x
1
± y
1
, x
2
± y
2
, ..., x
n
± y
n
).
+ Php nh©n v t¬ víi 1 sè thù:
λx = (λx
1
, λx
2
, ..., λx
n
), ∀λ ∈ R.
+ Php nh©n v« híng 2 v t¬:
hx, yi = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ ... + x
n
y
n
.
Khi ®ã, ta ã v t¬
x
vu«ng gã víi
y
khi vµ hØ khi
x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ ... + x
n
y
n
= 0.
+ Gã gi÷a 2 v t¬
x 6= 0
vµ
y 6= 0
x¸ ®Þnh bëi «ng thø:
cos(x, y) =
x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ ... + x
n
y
n
p
x
2
1
+ x
2
2
+ ... + x
2
n
p
y
2
1
+ y
2
2
+ ... + y
2
n
.
1.1.2. ChuÈn vµ hµm kho¶ng ¸h.
Cho v t¬
x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ R
n
.
Khi ®ã,
huÈn
ña v t¬
x
lµ mét sè thù ®î ký
hiÖu bëi
kxk
vµ ®î x¸ ®Þnh bëi
kxk =
q
x
2
1
+ x
2
2
+ ... + x
2
n
.
ChuÈn ã ¸ tÝnh hÊt ¬ b¶n sau:
+
kxk ≥ 0 ∀x ∈ R
n
vµ
kxk = 0
khi vµ hØ khi
x = 0
.
+
kλxk = |λ|kxk ∀x ∈ R
n
, λ ∈ R
.
+
kx + yk ≤ kxk+ kyk ∀x, y ∈ R
n
.
Khi ®ã, kho¶ng ¸h gi÷a
x ∈ R
n
vµ
y ∈ R
n
®î x¸ ®Þnh bëi «ng thø
d(x, y) = kx − yk.
1.1.3. T«p«.
Cho
x ∈ R
n
, ǫ > 0
. Khi ®ã
7
PTIT
+
B(x, ǫ) = {y ∈ R
n
: ky − xk < ǫ}
gäi lµ
h×nh Çu më
ã t©m t¹i ®iÓm
x
vµ b¸n kÝnh lµ
ǫ
.
+
¯
B(x, ǫ) = {y ∈ R
n
: ky − xk ≤ ǫ}
gäi lµ
h×nh Çu ®ãng
ã t©m t¹i ®iÓm
x
vµ b¸n kÝnh lµ
ǫ
.
+ §iÓm
x ∈ M ⊆ R
n
gäi lµ ®iÓm
trong
, nªu tån t¹i mét h×nh Çu më
B(x, ǫ)
sao ho
B(x, ǫ) ⊆ M
.
TËp hîp ¸ ®iÓm trong ña
M
®î gäi lµ
phÇn trong
ña
M
vµ ký hiÖu bëi
intM
.
+ TËp
M ⊆ R
n
gäi lµ tËp më, nÕu
intM = M
.
+ Cho
M ⊆ R
n
. §iÓm
x
®î gäi lµ ®iÓm
biªn
ña
M
, nÕu víi mäi
ǫ > 0
th×
B(x, ǫ)
høa nh÷ng
®iÓm thué
M
vµ nh÷ng ®iÓm kh«ng thué
M
. TËp hîp ¸ ®iÓm biªn ña
M
®î ký hiÖu lµ
∂M
.
+ TËp
M ⊆ R
n
gäi lµ mét tËp
®ãng
, nÕu
∂M ⊆ M
.
+ TËp
M ⊆ R
n
gäi lµ
bÞ hÆn
bëi
α > 0
, nÕu
kxk ≤ α ∀x ∈ M
.
+ TËp
M ⊆ R
n
gäi lµ tËp
ompat
, nÕu
M
lµ tËp ®ãng vµ bÞ hÆn.
1.2. Hµm sè nhiÒu biÕn
Cho
∅ 6= D ⊆ R
n
. Khi ®ã, ¸nh x¹
f : D → R
x¸ ®Þnh bëi
x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D 7−→ y = f (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ R
®î gäi lµ mét
hµm sè nhiÒu biÕn
, TËp
D
®î gäi lµ
miÒn x¸ ®Þnh
ña hµm sè
f
. C¸ sè
x
1
, x
2
, ..., x
n
®î gäi lµ ¸
biÕn sè
ña hµm sè
f
.
VÝ d 1.1.
Cho
R > 0
. T×m miÒn x¸ ®Þnh ña hµm sè
f(x) =
q
R
2
− x
2
1
− x
2
2
− ... − x
2
n
.
Gi¶i.
Theo ®Þnh nghÜa, miÒn x¸ ®Þnh
D
®î x¸ ®Þnh bëi
D ={x ∈ R
n
: R
2
− x
2
1
− x
2
2
− ... − x
2
n
≥ 0}
={x ∈ R
n
: kx − 0k
2
≤ R
2
}
=
¯
B(0, R).
Díi ®©y lµ mét sè mÆt bË 2 thêng gÆp trong kh«ng gian
R
3
.
1.2.1. MÆt Çu
Ph¬ng tr×nh:
(S) = {(x, y, z) ∈ R
3
: (x − a)
2
+ (y −b)
2
+ (z −c)
2
= R
2
}.
8
PTIT
c
b
a
I
z
y
x
O
H×nh 1: MÆt Çu.
Khi ®ã, ®iÓm
I(a, b, c)
gäi lµ
t©m
vµ
R
gäi lµ
b¸n kÝnh
ña mÆt Çu
(S)
.
1.2.2. MÆt Elipxoit
Ph¬ng tr×nh:
(E) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1 (a, b, c > 0).
C¸ mÆt ¾t
(Oxy) z = 0 :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
(Oyz) x = 0 :
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1.
(Oxz) y = 0 :
x
2
a
2
+
z
2
c
2
= 1.
1.2.3. MÆt hypeboloit 1 tÇng
Ph¬ng tr×nh:
(H
1
) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1 (a, b, c > 0).
C¸ mÆt ¾t
(Oxy) z = 0 :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
9
PTIT
c
b
O
x
y
z
a
H×nh 2: MÆt elipxoit.
(Oyz) x = 0 :
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1.
(Oxz) y = 0 :
x
2
a
2
−
z
2
c
2
= 1.
1.2.4. MÆt hypeboloit 2 tÇng
Ph¬ng tr×nh:
(H
2
) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= −1 (a, b, c > 0).
§iÒu kiÖn
z
2
c
2
− 1 ≥ 0 ⇔ z ∈ (−∞, −c] ∪ [c, +∞).
C¸ mÆt ¾t
(Oyz) x = 0 :
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= −1.
(Oxz) y = 0 :
x
2
a
2
−
z
2
c
2
= −1.
(P ) z = h > c :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
h
2
c
2
− 1.
10
PTIT
b
a
O
z
y
x
H×nh 3: MÆt hypeboloit 1 tÇng.
O
x
y
z
c
−c
H×nh 4: MÆt hypeboloit 2 tÇng.
1.2.5. MÆt paraboloit-elipti
Ph¬ng tr×nh:
(P E) :
x
2
p
+
y
2
q
= 2z (p, q > 0),
11
PTIT
víi ®iÒu kiÖn
z ≥ 0
. C¸ mÆt ¾t
(Oyz) x = 0 : y
2
= 2qz.
(Oxz) y = 0 : x
2
= 2pz.
(P ) z = h > 0 :
x
2
p
+
y
2
q
= 2h.
x
y
z
O
H×nh 5: MÆt hypeboloit-elipti.
1.2.6. MÆt tr
Ph¬ng tr×nh:
(T
z
) : f(x, y) = 0
song song víi tr
Oz,
(T
y
) : g(x, z) = 0
song song víi tr
Oy,
(T
x
) : f(y, z) = 0
song song víi tr
Ox,
trong ®ã
f, g, h : D ⊆ R
2
→ R
.
1.2.7. MÆt nãn bË hai
Ph¬ng tr×nh:
(N) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0 (a, b, c > 0).
C¸ mÆt ¾t
(Oyz) x = 0 : y = ±
b
c
z.
12
PTIT
O
z
y
x
H×nh 6: MÆt tr song song
Oz
.
(Oxz) y = 0 : x = ±
a
c
z.
(P ) z = h > 0 :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
h
2
c
2
.
1.3. Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn sè
§Ó hiÓu vÒ giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn sè trong kh«ng gian
R
n
, ta ã thÓ nghiªn øu th«ng qua
giíi h¹n ña hµm hai biÕn sè. Mét d·y ®iÓm
{M
n
} ⊂ R
2
®î gäi lµ
dÇn tíi
®iÓm
M
0
∈ R
2
, viÕt
t¾t lµ
M
n
→ M
0
khi
n → ∞
hay
lim
n→∞
M
n
= M
0
, nÕu víi mäi
ǫ > 0
tån t¹i sè tù nhiªn
n(ǫ)
sao
ho
M
n
∈ B(M
0
, ǫ) ∀n ≥ n(ǫ).
Trong trêng hîp ®Æ biÖt: NÕu
lim
n→∞
x
n
= x
0
vµ
lim
n→∞
y
n
= y
0
th× ®iÓm
M
n
(x
n
, y
n
) → M
0
(x
0
, y
0
)
khi
n → ∞
.
Cho mét hµm 2 biÕn sè
z = f (x, y)
x¸ ®Þnh trong l©n Ën ña ®iÓm
M
0
∈ R
2
ã thÓ trõ
®iÓm
M
0
. Khi ®ã, sè
m
®î gäi lµ giíi h¹n ña hµm
f(x, y)
khi
(x, y)
dÇn tíi
M
0
(x
0
, y
0
)
, ký
hiÖu
lim
M→M
0
f(M) = m
, nÕu víi mäi d·y ®iÓm bÊt kú
{M
n
} ⊂ R
2
sao ho
lim
n→∞
M
n
= M
0
th×
lim
n→∞
f(M
n
) = m.
Ta ã thÓ høng minh ®î r»ng:
lim
M→M
0
f(M) = m
khi vµ hØ khi
∀ǫ > 0, ∃δ > 0, ∀M ∈ B(M
0
, δ) ⇒ |f (M) − m| < ǫ.
13
PTIT
x
y
z
O
H×nh 7: MÆt nãn bË hai.
VÝ d 1.2.
T×m giíi h¹n
I
1
= lim
(x,y)→(0,0)
x
2
y
2x
2
+ y
2
.
Gi¶i.
Hµm sè
f(x, y) =
x
2
y
2x
2
+y
2
x¸ ®Þnh trªn
D = R
2
\{(0, 0)}
. Tõ bÊt ®¼ng thø
x
2
2x
2
+ y
2
≤
x
2
2x
2
=
1
2
∀(x, y) ∈ D,
ta ã
|f(x, y)| ≤
1
2
|y|
víi mäi
(x, y) ∈ D
. Do ®ã
0 ≤ lim
(x,y)→(0,0)
x
2
y
2x
2
+ y
2
≤ lim
(x,y)→(0,0)
1
2
|y| = 0.
VËy
I
1
= 0
.
VÝ d 1.3.
T×m giíi h¹n
I
2
= lim
(x,y)→(0,0)
xy
2x
2
+ y
2
.
Gi¶i.
Hµm sè
f(x, y) =
xy
2x
2
+y
2
x¸ ®Þnh trªn
D = R
2
\{(0, 0)}
. Ta xt 2 trêng hîp ®Æ biÖt sau:
14
PTIT
+ §iÓm
(x, y) ∈ d : y = x
. Khi ®ã
(x, y) → (0, 0)
khi vµ hØ khi
x → 0
. Khi ®ã, ta ã
I
2
= lim
(x,y)→(0,0)
xy
2x
2
+ y
2
= lim
x→0
x
2
2x
2
+ x
2
=
1
3
.
+ §iÓm
(x, y) ∈ d : y = 3x
. Khi ®ã
(x, y) → (0, 0)
khi vµ hØ khi
x → 0
. Khi ®ã, ta ã
I
2
= lim
(x,y)→(0,0)
xy
2x
2
+ y
2
= lim
x→0
3x
2
2x
2
+ 9 x
2
=
3
11
.
Do vËy
I
2
kh«ng tån t¹i.
1.4. Hµm sè liªn t
Cho hµm sè
z = f(x, y)
x¸ ®Þnh trªn miÒn
D
vµ ®iÓm
M
0
∈ D
. Khi ®ã,
+ Hµm sè
f
liªn t t¹i ®iÓm
M
0
nÕu tån t¹i giíi h¹n
lim
M→M
0
f(M) = f(M
0
).
+ Hµm sè
f
liªn t trªn miÒn
D
nÕu
f
liªn t t¹i mäi ®iÓm
M ∈ D
.
+ Hµm sè
f
liªn t ®Òu trªn miÒn
D
nÕu víi mäi
ǫ > 0
, tån t¹i
δ > 0
sao ho
∀(x, y), ( x
′
, y
′
) ∈ D : k( x, y) − ( x
′
, y
′
)k < δ ⇒ | f (x, y) − f (x
′
, y
′
)| < ǫ.
B»ng ¸h dïng ®Þnh nghÜa, ta ã nhËn xt sau.
NhËn xt 1.4.
+ NÕu hµm
f : D ⊆ R
2
→ R
liªn t ®Òu trªn miÒn
D
, th×
f
liªn t trªn miÒn
D
. §iÒu ngî l¹i kh«ng ®óng.
+ NÕu
f
liªn t trªn miÒn
D
vµ
D
lµ tËp ompat, th×
f
liªn t ®Òu trªn miÒn
D
.
+ NÕu
f
liªn t trªn miÒn ompat
D
, th×
f
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt trªn miÒn
D
.
1.5. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn ña hµm nhiÒu biÕn sè
Cho hµm sè
z = f(x)
x¸ ®Þnh trªn miÒn
D ⊆ R
n
vµ ®iÓm
¯x = (¯x
1
, ¯x
2
, ..., ¯x
n
) ∈ D
.
1.5.1. §¹o hµm riªng
NÕu hµm mét biÕn sè
x
1
7−→ f(x
1
, ¯x
2
, ..., ¯x
n
)
ã ®¹o hµm t¹i
x
1
, th× ®¹o hµm ®ã ®î gäi lµ
®¹o hµm riªng ña
f
theo Èn
x
1
t¹i ®iÓm
¯x
vµ ®î ký hiÖu
f
′
x
1
(¯x)
hay
∂f
∂x
1
(¯x).
B»ng ¸h hiÓu t¬ng tù, ta òng ã ¸
®¹o hµm riªng ña
f
theo Èn
x
i
(
i = 1, 2, ..., n
) t¹i ®iÓm
¯x
vµ ®î ký hiÖu
f
′
x
i
(¯x)
hay
∂f
∂x
i
(¯x).
15
PTIT
VÝ d 1.5.
T×m ¸ ®¹o hµm riªng ña hµm sè sau:
f(x, y) = x
2
tan(x
3
+ 2 y) .
Gi¶i.
∂f
∂x
= 2x tan(x
3
+ 2 y) + x
2
.
1
cos
2
(x
3
+ 2 y)
.3x
2
= 2x tan(x
3
+ 2 y) +
3x
4
cos
2
(x
3
+ 2 y)
.
∂f
∂y
= x
2
.
1
cos
2
(x
3
+ 2 y)
.2 =
2x
2
cos
2
(x
3
+ 2 y)
.
1.5.2. Hµm kh¶ vi
Cho hµm nhiÒu biÕn
f : D ⊆ R
n
→ R
vµ ®iÓm
¯x = (¯x
1
, ¯x
2
, ..., ¯x
n
) ∈ D
.
+ Víi mçi
x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ D
, ®Æt
∆
x
i
= x
i
− ¯x
i
.
Khi ®ã
∆
f
= f(¯x
1
+ ∆
x
1
, ¯x
2
+ ∆
x
2
, ..., ¯x
n
+ ∆
x
n
) − f (¯x
1
, ¯x
2
, ..., ¯x
n
)
®î gäi lµ
sè gia ña hµm sè
t¹i ®iÓm
¯x
.
+ NÕu sè gia ña hµm sè ã d¹ng
∆
f
= A
1
∆
x
1
+ A
2
∆
x
2
+ ... + A
n
∆
x
n
+ α
1
∆
x
1
+ α
2
∆
x
2
+ ... + α
n
∆
x
n
,
trong ®ã
A
i
(i = 1, 2, ..., n)
hØ ph thué vµo
¯x
, kh«ng ph thué vµo
∆
x
= (∆
x
1
, ∆
x
2
, ..., ∆
x
n
)
vµ
lim
∆
x
→0
α
k
= 0 ∀k = 1, 2, ..., n,
th× hµm sè
f
®î gäi lµ
kh¶ vi
t¹i ®iÓm
¯x
. Khi ®ã
df = A
1
∆
x
1
+ A
2
∆
x
2
+ ... + A
n
∆
x
n
®î gäi lµ
vi ph©n toµn phÇn
ña
f
t¹i ®iÓm
¯x
.
+ Hµm sè
f
®î gäi lµ kh¶ vi trªn miÒn
D
, nÕu
f
kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm
¯x ∈ D
.
§Þnh lý 1.6.
NÕu hµm
f : D ⊆ R
n
→ R
ã ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trong mét l©n Ën ña
®iÓm
¯x ∈ D
, th×
f
sÏ kh¶ vi t¹i ®iÓm
¯x
vµ
df =
∂f
∂x
1
(¯x)∆
x
1
+
∂f
∂x
2
(¯x)∆
x
2
+ ... +
∂f
∂x
n
(¯x)∆
x
n
.
16
PTIT
Chøng minh:
Theo ®Þnh nghÜa, ta ã
∆
f
=f(¯x
1
+ ∆
x
1
, ¯x
2
+ ∆
x
2
, ..., ¯x
n
+ ∆
x
n
) − f(¯x
1
, ¯x
2
, ..., ¯x
n
)
=f(¯x
1
+ ∆
x
1
, ¯x
2
+ ∆
x
2
, ..., ¯x
n
+ ∆
x
n
) − f(¯x
1
, ¯x
2
+ ∆
x
2
, ..., ¯x
n
+ ∆
x
n
)
+ ···
+ f (¯x
1
, ¯x
2
, ...¯x
n−1
, ¯x
n
+ ∆
x
n
) − f(¯x
1
, ¯x
2
, ..., ¯x
n
).
Theo «ng thø sè gia giíi néi, tån t¹i ¸ sè
θ
1
, θ
2
, ..., θ
n
∈ (0, 1)
sao ho
f(¯x
1
, ..., ¯x
i−1
, ¯x
i
+ ∆
x
i
, ..., ¯x
n
+ ∆
x
n
) − f (¯x
1
, ..., ¯x
i
, ¯x
i+1
+ ∆
x
i+1
, ..., ¯x
n
+ ∆
x
n
)
=
∂f
∂x
i
(¯x
1
, ..., ¯x
i−1
, ¯x
i
+ θ
i
∆
x
i
, ..., ¯x
n
+ ∆
x
n
)∆
x
i
.
Do ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trong l©n Ën ña ®iÓm
¯x
nªn
∂f
∂x
i
(¯x
1
, ..., ¯x
i−1
, ¯x
i
+ θ
i
∆
x
i
, ..., ¯x
n
+ ∆
x
n
) =
∂f
∂x
i
(¯x) + α
i
(∆
x
),
trong ®ã
lim
∆
x
α
i
(∆
x
) = 0 ∀i = 1, 2, ..., n
. Do vËy, ®Þnh lý ®î høng minh.
NhËn xt 1.7.
Trong trêng hîp hµm 3 biÕn sè
f(x, y, z)
ã ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trong l©n
Ën ña ®iÓm
(x
0
, y
0
, z
0
)
, theo ®Þnh lý trªn, ta ã
∆
f
=
∂f
∂x
(x
0
, y
0
, z
0
)∆
x
+
∂f
∂y
(x
0
, y
0
, z
0
)∆
y
+
∂f
∂z
(x
0
, y
0
, z
0
)∆
z
+ α∆
x
+ β∆
y
+ γ∆
z
.
§Æt
ρ =
p
∆
2
x
+ ∆
2
y
+ ∆
2
z
vµ
ǫ =
1
ρ
(α∆
x
+β∆
y
+γ∆
z
)
. Khi ®ã, theo bÊt ®¼ng thø Bunhia«pski,
ta ã
|ǫ| =
1
ρ
|α∆
x
+ β∆
y
+ γ∆
z
| ≤
q
(α
2
+ β
2
+ γ
2
)(∆
2
x
+ ∆
2
y
+ ∆
2
z
)
p
∆
2
x
+ ∆
2
y
+ ∆
2
z
=
p
α
2
+ β
2
+ γ
2
.
Do ®ã
lim
(∆
x
,∆
y
,∆
z
)→0
ǫ = 0
vµ
α∆
x
+ β∆
y
+ γ∆
z
= o(ρ).
Nh vËy
∆
f
≈
∂f
∂x
(x
0
, y
0
, z
0
)∆
x
+
∂f
∂y
(x
0
, y
0
, z
0
)∆
y
+
∂f
∂z
(x
0
, y
0
, z
0
)∆
z
+ o( ρ).
Khi ¸ sè
∆
x
, ∆
y
, ∆
z
kh¸ nhá, ta ã
∆
f
≈
∂f
∂x
(x
0
, y
0
, z
0
)∆
x
+
∂f
∂y
(x
0
, y
0
, z
0
)∆
y
+
∂f
∂z
(x
0
, y
0
, z
0
)∆
z
.
(1.1)
17
PTIT
VÝ d 1.8.
Dïng vi ph©n, tÝnh xÊp xØ gi¸ trÞ biÓu thø sau:
S = arctan
1, 02
0, 95
.
Gi¶i:
Tõ
S = arctan
1 + 0, 02
1 − 0, 05
ta ®Æt
x
0
= 1, y
0
= 1, ∆
x
= 0, 02, ∆
y
= −0, 05
vµ
f(x, y) = arctan
x
y
. Khi ®ã
∂f
∂x
=
−y
x
2
+ y
2
,
∂f
∂y
=
x
x
2
+ y
2
.
Theo «ng thø (1.1) ho hµm sè ã 2 biÕn, ta ã
∆
f
≈
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)∆
x
+
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)∆
y
.
Do ®ã
S = ∆
f
+ f (x
0
, y
0
)
≈
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)∆
x
+
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)∆
y
+ f (x
0
, y
0
)
= f(1, 1) +
1.0, 02 + 1.0, 05
2
=
π
4
+ 0 , 035
= 0, 82rad.
1.6. §¹o hµm theo ph¬ng
Cho v t¬
d ∈ R
n
. NÕu tån t¹i giíi h¹n (h÷u h¹n)
lim
λ→0
f(¯x + λd) − f (¯x)
λ
,
th× giíi h¹n nµy ®î gäi lµ
®¹o hµm theo ph¬ng
d
ña hµm
f
t¹i ®iÓm
¯x
vµ ®î ký hiÖu bëi
D
d
f(¯x)
.
VÝ d 1.9.
T×m ®¹o hµm theo ph¬ng
D
d
f(¯x)
ña hµm sè
f(x, y, z) = 2x + 3y + z
2
, trong ®ã
d = (1, 2, 0), ¯x = (3, −1, 1)
Gi¶i:
18
PTIT
Theo ®Þnh nghÜa, ®¹o hµm
D
d
f(¯x)
®î x¸ ®Þnh bëi «ng thø
D
d
f(¯x) = lim
λ→0
f(¯x + λd) − f (¯x)
λ
= lim
λ→0
f(1 + 3λ, −1 + 2λ, 1) − f (3, −1, 1)
λ
= lim
λ→0
2(1 + 3λ) + 3 (−1 + 2λ) + 1
2
− (2.3 + 3.(−1) + 1
2
)
λ
= 12.
Dùa vµo ®Þnh nghÜa, ta ã nhËn xt sau:
NhËn xt 1.10.
Gi¶ sö
{e
1
, e
2
, ..., e
n
}
lµ mét hÖ ¬ së trù huÈn trong
R
n
, hµm sè
f(x)
tån t¹i
¸ ®¹o hµm riªng trªn
D
vµ
¯x ∈ D
. Khi ®ã
D
e
i
f(¯x) =
∂f
∂x
i
(¯x) ∀i = 1, 2, ..., n.
1.7. Quan hÖ gi÷a ®¹o hµm theo ph¬ng vµ ®¹o hµm riªng
Cho hµm
f : D ⊆ R
n
→ R
kh¶ vi t¹i ®iÓm
¯x ∈ D
. Khi ®ã, ®¹o hµm theo ph¬ng
d = (d
1
, d
2
, ..., d
n
)
®î x¸ ®Þnh bëi «ng thø:
D
d
f(¯x) =
∂f
∂x
1
(¯x)d
1
+
∂f
∂x
2
(¯x)d
2
+ ... +
∂f
∂x
n
(¯x)d
n
.
(1.2)
Chøng minh:
Theo ®Þnh nghÜa, hµm sè
f
kh¶ vi t¹i ®iÓm
¯x
hay
∆
f
= A
1
∆
x
1
+ A
2
∆
x
2
+ ... + A
n
∆
x
n
+ α
1
∆
x
1
+ α
2
∆
x
2
+ ... + α
n
∆
x
n
,
trong ®ã
∆
f
= f(¯x + ∆
x
) − f (¯x), A
i
=
∂f
∂x
i
(¯x), lim
∆
x
→0
α
i
= 0
víi mäi
i = 1, 2, ..., n
. Dïng «ng
thø trªn víi
∆
x
i
= λd
i
, ta ã
D
d
f(¯x) = lim
∆
x
→0
f(¯x + λd) − f(¯x)
λ
= lim
∆
x
→0
(A
1
d
1
+ ... + A
n
d
n
+ α
1
d
1
+ ... + α
n
d
n
)
=
∂f
∂x
1
(¯x)d
1
+
∂f
∂x
2
(¯x)d
2
+ ... +
∂f
∂x
n
(¯x)d
n
.
VÝ d 1.11.
T×m ®¹o hµm theo ph¬ng
d = (−1, 3)
t¹i ®iÓm
¯x = (e, e
2
)
ña hµm sè
f(x, y) = ln(x
2
+ y).
Gi¶i.
TÝnh ¸ ®¹o hµm theo ph¬ng
∂f
∂x
=
2x
x
2
+ y
,
∂f
∂y
=
1
x
2
+ y
.
19
PTIT
Khi ®ã
∂f
∂x
(¯x) =
2x
x
2
+ y
(¯x) =
1
e
,
∂f
∂y
(¯x) =
1
x
2
+ y
(¯x) =
1
2e
2
.
Theo «ng thø (1.2), ta ã
D
d
f(¯x) =
∂f
∂x
(¯x)d
1
+
∂f
∂y
(¯x)d
2
=
1
e
(−1) +
1
2e
2
3
=
3
2e
2
−
1
e
.
1.8. §¹o hµm riªng ña hµm hîp
Cho hµm v t¬
f : D ⊆ R
n
→ R
m
vµ hµm sè
g : f (D) → R
. Khi ®ã hµm sè
h = gof :
D → R
®î x¸ ®Þnh bëi
gof(x) = g
f(x)
®î gäi lµ
hµm hîp
ña 2 hµm sè
g
vµ
f
. NÕu ¸ hµm sè
g
, hµm sè trong täa ®é thµnh phÇn
ña
f
vµ ¸ ®¹o hµm riªng ña hóng liªn t t¹i ®iÓm
x = (x
1
, ..., x
n
)
vµ
f(x)
t¬ng øng. Khi
®ã ¸ ®¹o hµm riªng ña hµm hîp
h
®î x¸ ®Þnh bëi «ng thø
∂h
∂x
1
=
∂g
∂f
1
∂f
1
∂x
1
+
∂g
∂f
2
∂f
2
∂x
1
+ ... +
∂g
∂f
m
∂f
m
∂x
1
...
∂h
∂x
n
=
∂g
∂f
1
∂f
1
∂x
n
+
∂g
∂f
2
∂f
2
∂x
n
+ ... +
∂g
∂f
m
∂f
m
∂x
n
.
(1.3)
Chøng minh:
20
PTIT

Tài liệu khác của Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông

Preview text:

TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ PTIT
PGS. TS. Phạm Ngọc Anh HÀ NỘI-2013 M l Lêi nãi ®Çu 6 Ch­¬ng 1. Php tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn sè 7 Rn 1.1. Kh«ng gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. C¸ php to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. ChuÈn vµ hµm kho¶ng ¸h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. T«p« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Hµm sè nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. MÆt Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. MÆt elipxoit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. MÆt hypeboli mét tÇng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4. MÆt hypeboli hai tÇng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5. MÆt paraboloit-elipti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1.2.6. MÆt tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.7. MÆt nãn bË hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Giíi h¹n hµm hai biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Hµm liªn t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n ¶u hµm nhiÒu biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . 15 PTIT 1.5.1. §¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2. Hµm kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. §¹o hµm theo ph­¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7. Quan hÖ gi÷a ®¹o hµm theo ph­¬ng vµ ®¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . 19 1.8. §¹o hµm riªng ña hµm hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n Êp ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10. C«ng thø T aylor ña hµm hai biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1 1. Hµm Èn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.12. Cù trÞ ña hµm hai biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.12.1. Cù trÞ kh«ng ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.12.2. Cù trÞ ã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 1.13. Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.13.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.13.2. Ph­¬ng ph¸p t×m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Bµi tËp h­¬ng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Ch­¬ng 2. TÝnh ph©n béi 41 2.1. TÝh ph©n ph thué tham sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1. TÝh ph©n x¸ ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2. TÝh ph©n suy réng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2. TÝh ph©n kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.2. §iÒu kiÖn kh¶ tÝh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.3. C¸ tÝnh hÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.4. §Þnh lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.5. C«ng thø ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.6. C«ng thø ®æi biÕn trong täa ®é ù . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.7. ng dng ña tÝh ph©n kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3. TÝh ph©n béi ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 PTIT 2.3.2. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.3. Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Bµi tËp h­¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Ch­¬ng 3. TÝh ph©n ®­êng vµ mÆt 73 3.1. TÝh ph©n ®­êng lo¹i mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.2. TÝnh hÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.3. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2. TÝnh ph©n ®­êng lo¹i hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.2. NhËn xt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3 3.2.3. TÝnh hÊt ¬ hä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.4. C¸h tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.5. Chó ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2.6. C«ng thø Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.7. §Þnh lý bèn mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.3. TÝh ph©n mÆt lo¹i mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.1. C¸ kh¸i niÖm vÒ mÆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.2. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3.3. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4. TÝnh ph©n mÆt lo¹i hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.4.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.4.2. C¸h tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.5. Quan hÖ gi÷a ¸ tÝh ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.1. C«ng thø Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.2. C«ng thø Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.6. V t¬ r«ta vµ tr­êng thÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Bµi tËp h­¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Ch­¬ng 4. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n 110 4.1. Kh¸i niªm hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 10 PTIT 4.1.1. C¸ bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 10 4.1.2. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 10 4.2. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 4.2.1. §Þnh nghÜa vµ sù tån t¹i nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 4.2.2. Ph­¬ng tr×nh t¸h biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 12 4.2.3. Ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 14 4.2.4. Ph­¬ng tr×nh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 16 4.2.5. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 18 4.3. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n Êp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 19 4.3.1. §Þnh nghÜa vµ sù tån t¹i nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 19 4.3.2. Ph­¬ng tr×nh khuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4 4.3.3. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh Êp hai . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3.3.1. CÊu tró nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3.3.1. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh Êp hai víi hÖ sè h»ng sè . . . . . . 126 4.4. HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.4.1. HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.4.2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . 135 4.4.3. Ph­¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 víi hÖ sè h»ng sè . 136 Bµi tËp h­¬ng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 PTIT 5 Lêi nãi ®Çu Trong ho¹t ®éng khoa hä vµ kü thuËt th­êng gÆp nhiÒu vÊn ®Ò ã liªn quan ®Õn hµm nhiÒu biÕn sè vµ ¸ øng dng ña hóng. Do vËy , gi¶i tÝh hµm nhiÒu biÕn sè lµ mét m«n hä ®ang gi÷ mét vÞ trÝ quan träng trong ¸ lÜnh vù øng dng vµ trong hÖ thèng ¸ m«n hä ña Hä viÖn C«ng nghÖ B­u hÝnh ViÔn th«ng. C¸ kiÕn thø vµ ph­¬ng ph¸p tiÕp Ën ña gi¶i tÝh hµm nhiÒu biÕn sè ®· hç trî hiÖu qu¶ ¸ kiÕn thø nÒn t¶ng ho ¸ m«n hä nh­ vËt lý, x¸ suÊt thèng kª, to¸n kü thuËt, to¸n rêi r¹ vµ ¸ m«n huyªn ngµnh kh¸. Bµi gi¶ng "Gi¶i tÝh hµm nhiÒu biÕn sè" ®­î biªn so¹n l¹i theo h­¬ng tr×nh qui ®Þnh ña Hä viÖn ho hÖ ®¹i hä huyªn ngµnh §iÖn tö-ViÔn th«ng-C«ng nghÖ th«ng tin víi h×nh thø ®µo t¹o theo tÝn hØ. Do ®èi t­îng sinh viªn rÊt ®a d¹ng víi tr×nh ®é ¬ b¶n kh¸ nhau, hóng t«i ®· è g¾ng t×m ¸h tiÕp Ën ®¬n gi¶n vµ hîp lý ®Ó tr×nh bµy néi dung theo ph­¬ng ph¸p dÔ hiÓu h¬n, nh»m gióp ho sinh viªn n¾m ®­î ¸ kiÕn thø ¬ b¶n nhÊt. §Ó võa «n tËp, võa tù kiÓm tra kiÕn thø vµ ®Ó h×nh dung ®­î mø ®é ña mét ®Ò thi hÕt m«n, sau mçi phÇn lý thuyÕt quan träng hóng t«i th­êng ®­a ra ¸ vÝ d minh häa hi tiÕt. Néi dung ®­î hia thµnh 4 h­¬ng. Ch­¬ng 1 dµnh ho php tÝnh vi ph©n ña hµm nhiÒu biÕn sè. Ch­¬ng 2 vµ 3 tr×nh bµy hi tiÕt vÒ tÝh ph©n ®­êng vµ tÝh ph©n mÆt. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n vµ ¸ ph­¬ng ph¸p gi¶i ®­î ®­a ra trong h­¬ng 4. C¸ kh¸i niÖm vµ «ng thø ®­î tr×nh bµy t­¬ng ®èi ®¬n gi¶n vµ ®­î minh häa b»ng nhiÒu vÝ d víi ¸ h×nh vÏ sinh ®éng. C¸ høng minh khã ®­î l­î bít ã hän lä ®Ó gióp ho gi¸o tr×nh kh«ng qu¸ ång kÒnh nh­ng vÉn ®¶m b¶o ®­î, PTIT ®Ó tiÖn ho sinh viªn hä tËp huyªn s©u vµ tra øu ph v qu¸ tr×nh hä tËp ¸ m«n hä kh¸. Cuèi mçi h­¬ng hä ®Òu ã ¸ bµi tËp ®Ó sinh viªn tù gi¶i nh»m gióp ¸ em hiÓu s©u s¾ h¬n vÒ lý thuyÕt vµ rÌn luyÖn kü n¨ng thù hµnh. T¸ gi¶ hy väng r»ng gi¸o tr×nh nµy ã Ýh ho ¸ em sinh viªn vµ ¸ b¹n ®ång nghiÖp trong qu¸ tr×nh hä tËp vµ gi¶ng d¹y vÒ m«n hä gi¶i tÝh hµm nhiÒu biÕn sè. T¸ gi¶ òng ¸m ¬n mäi ý kiÕn gãp ý ®Ó gi¸o tr×nh bµi gi¶ng nµy ®­î hoµn thiÖn h¬n nh»m n©ng ao hÊt l­îng d¹y vµ hä m«n hä nµy . 1 1/2013, T¸ gi¶: PGS. TS. Ph¹m Ngä Anh 6 Ch­¬ng 1. php tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn Rn 1.1. Kh«ng gian 1.1.1. C¸ php to¸n Cho hai v t¬
x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn. n Rn Khi ®ã, ta nh¾ l¹i ¸ php to¸n quen thué trong kh«ng gian hiÒu : + Php éng vµ trõ:
x ± y = (x1 ± y1, x2 ± y2, ..., xn ± yn). + Php nh©n v t¬ víi 1 sè thù:
λx = (λx1, λx2, ..., λxn), ∀λ ∈ R. + Php nh©n v« h­íng 2 v t¬:
hx, yi = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn. x y x1y1 + x2y2 + ... + xnyn = 0. Khi ®ã, ta ã v t¬ vu«ng gã víi khi vµ hØ khi x 6= 0 y 6= 0 + Gã gi÷a 2 v t¬ vµ x¸ ®Þnh bëi «ng thø: x cos(x, y) = 1y1 + x2y2 + ... + xnyn .
px2 + x2 + ... + x2 py2 + y2 + ... + y2 1 2 n 1 2 n 1.1.2. ChuÈn vµ hµm kho¶ng ¸h. PTIT x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn. x Cho v t¬ Khi ®ã, huÈn ña v t¬ lµ mét sè thù ®­î ký kxk hiÖu bëi vµ ®­î x¸ ®Þnh bëi q kxk = x2 + x2 + ... + x2 . 1 2 n ChuÈn ã ¸ tÝnh hÊt ¬ b¶n sau: kxk ≥ 0 ∀x ∈ Rn kxk = 0 x = 0 + vµ khi vµ hØ khi .
kλxk = |λ|kxk ∀x ∈ Rn, λ ∈ R + .
kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ Rn + . x ∈ Rn y ∈ Rn Khi ®ã, kho¶ng ¸h gi÷a vµ ®­î x¸ ®Þnh bëi «ng thø d(x, y) = kx − yk. 1.1.3. T«p«. x ∈ Rn, ǫ > 0 Cho . Khi ®ã 7
B(x, ǫ) = {y ∈ Rn : ky − xk < ǫ} x ǫ + gäi lµ h×nh Çu më ã t©m t¹i ®iÓm vµ b¸n kÝnh lµ . ¯
B(x, ǫ) = {y ∈ Rn : ky − xk ≤ ǫ} x ǫ + gäi lµ h×nh Çu ®ãng ã t©m t¹i ®iÓm vµ b¸n kÝnh lµ . x ∈ M ⊆ Rn B(x, ǫ) B(x, ǫ) ⊆ M + §iÓm gäi lµ ®iÓm trong, nªu tån t¹i mét h×nh Çu më sao ho . M M intM TËp hîp ¸ ®iÓm trong ña ®­î gäi lµ phÇn trong ña vµ ký hiÖu bëi . M ⊆ Rn intM = M + TËp gäi lµ tËp më, nÕu . M ⊆ Rn x M ǫ > 0 B(x, ǫ) + Cho . §iÓm ®­î gäi lµ ®iÓm biªn ña , nÕu víi mäi th× høa nh÷ng M M M ®iÓm thué vµ nh÷ng ®iÓm kh«ng thué . TËp hîp ¸ ®iÓm biªn ña ®­î ký hiÖu lµ ∂M . M ⊆ Rn ∂M ⊆ M + TËp gäi lµ mét tËp ®ãng, nÕu . M ⊆ Rn α > 0 kxk ≤ α ∀x ∈ M + TËp gäi lµ bÞ hÆn bëi , nÕu . M ⊆ Rn M + TËp gäi lµ tËp ompat, nÕu lµ tËp ®ãng vµ bÞ hÆn. 1.2. Hµm sè nhiÒu biÕn ∅ 6= D ⊆ Rn Cho . Khi ®ã, ¸nh x¹ f : D → R x¸ ®Þnh bëi
x = (x1, x2, ..., xn) ∈ D 7−→ y = f(x1, x2, ..., xn) ∈ R D f ®­î gäi lµ mét hµm sè nhiÒu biÕn, TËp ®­î gäi lµ miÒn x¸ ®Þnh ña hµm sè . C¸ sè x1, x2, ..., xn f ®­î gäi lµ ¸ biÕn sè ña hµm sè . R > 0 VÝ d 1.1. Cho . T×m miÒn x¸ ®Þnh ña hµm sè PTIT q f (x) =
R2 − x21 − x22 − ... − x2 . n Gi¶i. D Theo ®Þnh nghÜa, miÒn x¸ ®Þnh ®­î x¸ ®Þnh bëi
D ={x ∈ Rn : R2 − x21 − x22 − ... − x2n ≥ 0}
={x ∈ Rn : kx − 0k2 ≤ R2} = ¯ B(0, R). R3 D­íi ®©y lµ mét sè mÆt bË 2 th­êng gÆp trong kh«ng gian . 1.2.1. MÆt Çu Ph­¬ng tr×nh:
(S) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2}. 8 z c I b y O a x H×nh 1: MÆt Çu. I(a, b, c) R (S) Khi ®ã, ®iÓm gäi lµ t©m vµ gäi lµ b¸n kÝnh ña mÆt Çu . 1.2.2. MÆt Elipxoit Ph­¬ng tr×nh: x2 y2 z2 (E) : + + = 1 (a, b, c > 0). a2 b2 c2 PTIT C¸ mÆt ¾t x2 y2 (Oxy) z = 0 : + = 1. a2 b2 y2 z2 (Oyz) x = 0 : + = 1. b2 c2 x2 z2 (Oxz) y = 0 : + = 1. a2 c2 1.2.3. MÆt hypeboloit 1 tÇng Ph­¬ng tr×nh: x2 y2 z2 (H1) : + − = 1 (a, b, c > 0). a2 b2 c2 C¸ mÆt ¾t x2 y2 (Oxy) z = 0 : + = 1. a2 b2 9 z c b y O a x H×nh 2: MÆt elipxoit. y2 z2 (Oyz) x = 0 : − = 1. b2 c2 x2 z2 (Oxz) y = 0 : − = 1. a2 c2 PTIT 1.2.4. MÆt hypeboloit 2 tÇng Ph­¬ng tr×nh: x2 y2 z2 (H2) : + − = −1 (a, b, c > 0). a2 b2 c2 §iÒu kiÖn
z2 − 1 ≥ 0 ⇔ z ∈ (−∞,−c] ∪ [c,+∞). c2 C¸ mÆt ¾t y2 z2 (Oyz) x = 0 : − = −1. b2 c2 x2 z2 (Oxz) y = 0 : − = −1. a2 c2 x2 y2 h2 (P ) z = h > c : + = − 1. a2 b2 c2 10 z b y O a x H×nh 3: MÆt hypeboloit 1 tÇng. z c y O PTIT −c x H×nh 4: MÆt hypeboloit 2 tÇng. 1.2.5. MÆt paraboloit-elipti Ph­¬ng tr×nh: x2 y2 (P E) : + = 2z (p, q > 0), p q 1 1 z ≥ 0 víi ®iÒu kiÖn . C¸ mÆt ¾t (Oyz) x = 0 : y2 = 2qz. (Oxz) y = 0 : x2 = 2pz. x2 y2 (P ) z = h > 0 : + = 2h. p q z y O x H×nh 5: MÆt hypeboloit-elipti. PTIT 1.2.6. MÆt tr Ph­¬ng tr×nh: (Tz) : f (x, y) = 0 Oz, song song víi tr (Ty) : g(x, z) = 0 Oy, song song víi tr (Tx) : f (y, z) = 0 Ox, song song víi tr f, g, h : D ⊆ R2 → R trong ®ã . 1.2.7. MÆt nãn bË hai Ph­¬ng tr×nh: x2 y2 z2 (N) : + − = 0 (a, b, c > 0). a2 b2 c2 C¸ mÆt ¾t b (Oyz) x = 0 : y = ± z. c 12 z y O x Oz H×nh 6: MÆt tr song song . a (Oxz) y = 0 : x = ± z. c x2 y2 h2 (P ) z = h > 0 : + = . a2 b2 c2 1.3. Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn sè Rn §Ó hiÓu vÒ giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn sè trong kh«ng gian , ta ã thÓ nghiªn øu th«ng qua {Mn} ⊂ R2 M0 ∈ R2 giíi h¹n ña hµm hai biÕn sè. Mét d·y ®iÓm ®­î gäi lµ dÇn tíi ®iÓm , viÕt PTIT Mn → M0 n → ∞ lim Mn = M0 ǫ > 0 n(ǫ) t¾t lµ khi hay , nÕu víi mäi tån t¹i sè tù nhiªn sao n→∞ ho
Mn ∈ B(M0, ǫ) ∀n ≥ n(ǫ). lim xn = x0 lim yn = y0 Mn(xn, yn) → M0(x0, y0) Trong tr­êng hîp ®Æ biÖt: NÕu vµ th× ®iÓm n→∞ n→∞ n → ∞ khi . z = f (x, y) M0 ∈ R2 Cho mét hµm 2 biÕn sè x¸ ®Þnh trong l©n Ën ña ®iÓm ã thÓ trõ M0 m f (x, y) (x, y) M0(x0, y0) ®iÓm . Khi ®ã, sè ®­î gäi lµ giíi h¹n ña hµm khi dÇn tíi , ký lim f (M) = m {Mn} ⊂ R2 lim Mn = M0 hiÖu , nÕu víi mäi d·y ®iÓm bÊt kú sao ho th× M →M0 n→∞ lim f (Mn) = m. n→∞ lim f (M) = m T a ã thÓ høng minh ®­î r»ng: khi vµ hØ khi M →M0
∀ǫ > 0, ∃δ > 0, ∀M ∈ B(M0, δ) ⇒ |f(M) − m| < ǫ. 13 z y O x H×nh 7: MÆt nãn bË hai. VÝ d 1.2. T×m giíi h¹n x2y I1 = lim . (x,y)→(0,0) 2x2 + y2 Gi¶i. f (x, y) = x2y D = R2\{(0, 0)} PTIT Hµm sè 2x2+y2 x¸ ®Þnh trªn . Tõ bÊt ®¼ng thø x2 x2 1 ≤ = ∀(x, y) ∈ D, 2x2 + y2 2x2 2 |f(x, y)| ≤ 1|y| (x, y) ∈ D ta ã 2 víi mäi . Do ®ã x2y 1 0 ≤ lim ≤ lim |y| = 0. (x,y)→(0,0) 2x2 + y2 (x,y)→(0,0) 2 I1 = 0 VËy . VÝ d 1.3. T×m giíi h¹n xy I2 = lim . (x,y)→(0,0) 2x2 + y2 Gi¶i. f (x, y) = xy D = R2\{(0, 0)} Hµm sè 2x2+y2 x¸ ®Þnh trªn . T a xt 2 tr­êng hîp ®Æ biÖt sau: 14 (x, y) ∈ d : y = x (x, y) → (0, 0) x → 0 + §iÓm . Khi ®ã khi vµ hØ khi . Khi ®ã, ta ã xy x2 1 I2 = lim = lim = . (x,y)→(0,0) 2x2 + y2 x→0 2x2 + x2 3 (x, y) ∈ d : y = 3x (x, y) → (0, 0) x → 0 + §iÓm . Khi ®ã khi vµ hØ khi . Khi ®ã, ta ã xy 3x2 3 I2 = lim = lim = . (x,y)→(0,0) 2x2 + y2 x→0 2x2 + 9x2 11 I2 Do vËy kh«ng tån t¹i. 1.4. Hµm sè liªn t z = f (x, y) D M0 ∈ D Cho hµm sè x¸ ®Þnh trªn miÒn vµ ®iÓm . Khi ®ã, f M0 + Hµm sè liªn t t¹i ®iÓm nÕu tån t¹i giíi h¹n lim f (M) = f (M0). M →M0 f D f M ∈ D + Hµm sè liªn t trªn miÒn nÕu liªn t t¹i mäi ®iÓm . f D ǫ > 0 δ > 0 + Hµm sè liªn t ®Òu trªn miÒn nÕu víi mäi , tån t¹i sao ho
∀(x, y), (x′, y′) ∈ D : k(x, y) − (x′, y′)k < δ ⇒ |f(x, y) − f(x′, y′)| < ǫ. B»ng ¸h dïng ®Þnh nghÜa, ta ã nhËn xt sau. f : D ⊆ R2 → R D f NhËn xt 1.4. + NÕu hµm liªn t ®Òu trªn miÒn , th× liªn t trªn miÒn
D. §iÒu ng­î l¹i kh«ng ®óng. f D D f D + NÕu liªn t trªn miÒn vµ lµ tËp ompat, th× liªn t ®Òu trªn miÒn . PTIT f D f D + NÕu liªn t trªn miÒn ompat , th× ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt trªn miÒn . 1.5. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn ña hµm nhiÒu biÕn sè z = f (x) D ⊆ Rn ¯ x = (¯ x1, ¯ x2, ..., ¯ xn) ∈ D Cho hµm sè x¸ ®Þnh trªn miÒn vµ ®iÓm . 1.5.1. §¹o hµm riªng
x1 7−→ f(x1, ¯x2, ..., ¯xn) x1 NÕu hµm mét biÕn sè ã ®¹o hµm t¹i , th× ®¹o hµm ®ã ®­î gäi lµ f x1 ¯ x ®¹o hµm riªng ña theo Èn t¹i ®iÓm vµ ®­î ký hiÖu ∂f f ′ (¯ x) (¯ x). x hay 1 ∂x1 f xi i = 1, 2, ..., n B»ng ¸h hiÓu t­¬ng tù, ta òng ã ¸ ®¹o hµm riªng ña theo Èn ( ) t¹i ®iÓm ¯ x vµ ®­î ký hiÖu ∂f f ′ (¯ x) (¯ x). x hay i ∂xi 15 VÝ d 1.5. T×m ¸ ®¹o hµm riªng ña hµm sè sau: f (x, y) = x2 tan(x3 + 2y). Gi¶i. ∂f 1 3x4 = 2x tan(x3 + 2y) + x2. .3x2 = 2x tan(x3 + 2y) + . ∂x cos2(x3 + 2y) cos2(x3 + 2y) ∂f 1 2x2 = x2. .2 = . ∂y cos2(x3 + 2y) cos2(x3 + 2y) 1.5.2. Hµm kh¶ vi f : D ⊆ Rn → R ¯ x = (¯ x1, ¯ x2, ..., ¯ xn) ∈ D Cho hµm nhiÒu biÕn vµ ®iÓm . x = (x1, x2, ..., xn) ∈ D + Víi mçi , ®Æt ∆x = x i i − ¯ xi. Khi ®ã ∆f = f (¯ x1 + ∆x , ¯ x , ..., ¯ x ) − f(¯x 1 2 + ∆x2 n + ∆xn 1, ¯ x2, ..., ¯ xn) ¯ x ®­î gäi lµ sè gia ña hµm sè t¹i ®iÓm . + NÕu sè gia ña hµm sè ã d¹ng ∆f = A1∆x + A + ... + A + α + α + ... + α , 1 2∆x2 n∆xn 1∆x1 2∆x2 n∆xn Ai(i = 1, 2, ..., n) ¯ x
∆x = (∆x , ∆x , ..., ∆x ) trong ®ã hØ ph thué vµo , kh«ng ph thué vµo 1 2 n PTIT vµ
lim αk = 0 ∀k = 1, 2, ..., n, ∆x→0 f ¯ x th× hµm sè ®­î gäi lµ kh¶ vi t¹i ®iÓm . Khi ®ã df = A1∆x + A + ... + A 1 2∆x2 n∆xn f ¯ x ®­î gäi lµ vi ph©n toµn phÇn ña t¹i ®iÓm . f D f ¯ x ∈ D + Hµm sè ®­î gäi lµ kh¶ vi trªn miÒn , nÕu kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm . f : D ⊆ Rn → R §Þnh lý 1.6. NÕu hµm ã ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trong mét l©n Ën ña ¯ x ∈ D f ¯ x ®iÓm , th× sÏ kh¶ vi t¹i ®iÓm vµ ∂f ∂f ∂f df = (¯ x)∆ + (¯ x)∆ + ... + (¯ x)∆ . ∂x x1 x2 xn 1 ∂x2 ∂xn 16 Chøng minh: Theo ®Þnh nghÜa, ta ã ∆f =f (¯ x1 + ∆x , ¯ x , ..., ¯ x ) − f(¯x 1 2 + ∆x2 n + ∆xn 1, ¯ x2, ..., ¯ xn) =f (¯ x1 + ∆x , ¯ x , ..., ¯ x ) − f(¯x , ..., ¯ x ) 1 2 + ∆x2 n + ∆xn 1, ¯ x2 + ∆x2 n + ∆xn + · · · + f (¯ x1, ¯ x2, ...¯ xn ) −1, ¯ xn + ∆x − f(¯x n 1, ¯ x2, ..., ¯ xn). θ1, θ2, ..., θn ∈ (0, 1) Theo «ng thø sè gia giíi néi, tån t¹i ¸ sè sao ho f (¯ x1, ..., ¯ xi , ..., ¯ x ) , ..., ¯ x ) −1, ¯ xi + ∆x − f(¯x i n + ∆xn 1, ..., ¯ xi, ¯ xi+1 + ∆xi+1 n + ∆xn ∂f = (¯ x , ..., ¯ x )∆ . ∂x 1, ..., ¯ xi−1, ¯xi + θi∆xi n + ∆xn xi i ¯ x Do ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trong l©n Ën ña ®iÓm nªn ∂f ∂f (¯ x , ..., ¯ x ) = (¯ x) + α ∂x 1, ..., ¯ xi−1, ¯xi + θi∆xi n + ∆xn i(∆x), i ∂xi
lim αi(∆x) = 0 ∀i = 1, 2, ..., n trong ®ã . Do vËy , ®Þnh lý ®­î høng minh. ∆x f (x, y, z) NhËn xt 1.7. T rong tr­êng hîp hµm 3 biÕn sè ã ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trong l©n (x0, y0, z0) Ën ña ®iÓm , theo ®Þnh lý trªn, ta ã ∂f ∂f ∂f ∆f = (x (x (x ∂x
0, y0, z0)∆x + ∂y 0, y0, z0)∆y + ∂z 0, y0, z0)∆z + α∆x + β∆y + γ∆z. ρ = p∆2 + ∆2 + ∆2 ǫ = 1 (α∆x+β∆y +γ∆z) §Æt x y z vµ ρ . Khi ®ã, theo bÊt ®¼ng thø Bunhia«pski, ta ã PTIT q 1
(α2 + β2 + γ2)(∆2 + ∆2 + ∆2) x y z |ǫ| = |α∆ = pα2 + β2 + γ2. ρ x + β∆y + γ∆z | ≤ p∆2 + ∆2 + ∆2 x y z Do ®ã lim ǫ = 0 (∆x,∆y,∆z)→0 vµ
α∆x + β∆y + γ∆z = o(ρ). Nh­ vËy ∂f ∂f ∂f ∆f ≈ (x (x (x ∂x
0, y0, z0)∆x + ∂y 0, y0, z0)∆y + ∂z 0, y0, z0)∆z + o(ρ). ∆x, ∆y, ∆z Khi ¸ sè kh¸ nhá, ta ã ∂f ∂f ∂f ∆f ≈ (x (x (x ∂x
0, y0, z0)∆x + ∂y 0, y0, z0)∆y + ∂z 0, y0, z0)∆z. (1.1) 17 VÝ d 1.8. Dïng vi ph©n, tÝnh xÊp xØ gi¸ trÞ biÓu thø sau: 1, 02 S = arctan . 0, 95 Gi¶i: Tõ 1 + 0, 02 S = arctan 1 − 0,05
x0 = 1, y0 = 1, ∆x = 0, 02, ∆y = −0, 05 f (x, y) = arctan x ta ®Æt vµ y . Khi ®ã ∂f −y ∂f x = , = . ∂x x2 + y2 ∂y x2 + y2 Theo «ng thø (1.1) ho hµm sè ã 2 biÕn, ta ã ∂f ∂f ∆f ≈ (x (x ∂x 0, y0)∆x + ∂y 0, y0)∆y. Do ®ã S = ∆f + f (x0, y0) ∂f ∂f ≈ (x (x ∂x
0, y0)∆x + ∂y 0, y0)∆y + f(x0, y0) 1.0, 02 + 1.0, 05 = f (1, 1) + 2 π = + 0, 035 4 = 0, 82rad. PTIT 1.6. §¹o hµm theo ph­¬ng d ∈ Rn Cho v t¬ . NÕu tån t¹i giíi h¹n (h÷u h¹n) f (¯ x + λd) − f(¯x) lim , λ→0 λ d f ¯ x th× giíi h¹n nµy ®­î gäi lµ ®¹o hµm theo ph­¬ng ña hµm t¹i ®iÓm vµ ®­î ký hiÖu bëi Ddf (¯ x). Ddf (¯ x) f (x, y, z) = 2x + 3y + z2 VÝ d 1.9. T×m ®¹o hµm theo ph­¬ng ña hµm sè , trong ®ã d = (1, 2, 0), ¯ x = (3, −1, 1) Gi¶i: 18 Ddf (¯ x) Theo ®Þnh nghÜa, ®¹o hµm ®­î x¸ ®Þnh bëi «ng thø f (¯ x + λd) − f(¯x) Ddf (¯ x) = lim λ→0 λ
f (1 + 3λ, −1 + 2λ, 1) − f(3, −1, 1) = lim λ→0 λ
2(1 + 3λ) + 3(−1 + 2λ) + 12 − (2.3 + 3.(−1) + 12) = lim λ→0 λ = 12. Dùa vµo ®Þnh nghÜa, ta ã nhËn xt sau: {e1, e2, ..., en} Rn f (x) NhËn xt 1.10. Gi¶ sö lµ mét hÖ ¬ së trù huÈn trong , hµm sè tån t¹i D ¯ x ∈ D ¸ ®¹o hµm riªng trªn vµ . Khi ®ã ∂f De f (¯ x) = (¯ x) ∀i = 1, 2, ..., n. i ∂xi 1.7. Quan hÖ gi÷a ®¹o hµm theo ph­¬ng vµ ®¹o hµm riªng f : D ⊆ Rn → R ¯ x ∈ D Cho hµm kh¶ vi t¹i ®iÓm . Khi ®ã, ®¹o hµm theo ph­¬ng
d = (d1, d2, ..., dn) ®­î x¸ ®Þnh bëi «ng thø: ∂f ∂f ∂f Ddf (¯ x) = (¯ x)d (¯ x)d (¯ x)d ∂x 1 + 2 + ... + n. (1.2) 1 ∂x2 ∂xn f ¯ x Chøng minh: Theo ®Þnh nghÜa, hµm sè kh¶ vi t¹i ®iÓm hay ∆f = A1∆x + A + ... + A + α + α + ... + α , 1 2∆x2 n∆xn 1∆x1 2∆x2 n∆xn ∆f = f (¯
x + ∆x) − f(¯x), Ai = ∂f (¯x), lim αi = 0 i = 1, 2, ..., n trong ®ã ∂x víi mäi . Dïng «ng i ∆x→0 ∆x = λdi thø trªn víi i , ta ã PTIT f (¯ x + λd) − f(¯x) Ddf (¯ x) = lim ∆x→0 λ
= lim (A1d1 + ... + Andn + α1d1 + ... + αndn) ∆x→0 ∂f ∂f ∂f = (¯ x)d (¯ x)d (¯ x)d ∂x 1 + 2 + ... + n. 1 ∂x2 ∂xn d = (−1, 3) ¯ x = (e, e2) VÝ d 1.11. T×m ®¹o hµm theo ph­¬ng t¹i ®iÓm ña hµm sè f (x, y) = ln(x2 + y). Gi¶i. TÝnh ¸ ®¹o hµm theo ph­¬ng ∂f 2x = , ∂x x2 + y ∂f 1 = . ∂y x2 + y 19 Khi ®ã ∂f 2x 1 (¯ x) = (¯ x) = , ∂x x2 + y e ∂f 1 1 (¯ x) = (¯ x) = . ∂y x2 + y 2e2 Theo «ng thø (1.2), ta ã ∂f ∂f Ddf (¯ x) = (¯ x)d (¯ x)d ∂x 1 + ∂y 2 1 1 = (−1) + 3 e 2e2 3 1 = − . 2e2 e 1.8. §¹o hµm riªng ña hµm hîp f : D ⊆ Rn → Rm g : f (D) → R h = gof : Cho hµm v t¬ vµ hµm sè . Khi ®ã hµm sè D → R ®­î x¸ ®Þnh bëi gof (x) = g f (x) g f g ®­î gäi lµ hµm hîp ña 2 hµm sè vµ . NÕu ¸ hµm sè , hµm sè trong täa ®é thµnh phÇn f x = (x1, ..., xn) f (x) ña vµ ¸ ®¹o hµm riªng ña hóng liªn t t¹i ®iÓm vµ t­¬ng øng. Khi h ®ã ¸ ®¹o hµm riªng ña hµm hîp ®­î x¸ ®Þnh bëi «ng thø ∂h ∂g ∂f ∂g ∂f ∂g ∂f = 1 + 2 + ... + m ∂x1 ∂f1 ∂x1 ∂f2 ∂x1 ∂fm ∂x1 ... PTIT ∂h ∂g ∂f ∂g ∂f ∂g ∂f = 1 + 2 + ... + m . ∂x (1.3) n ∂f1 ∂xn ∂f2 ∂xn ∂fm ∂xn Chøng minh: 20

Tài liệu liên quan: