-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Bài giảng Hàm biến phức | Trường Đại học Đồng Tháp
Bài giảng Hàm biến phức | Trường Đại học Đồng Tháp. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 38 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
Hàm biến phức 2 tài liệu
Đại học Đồng Tháp 205 tài liệu
Bài giảng Hàm biến phức | Trường Đại học Đồng Tháp
Bài giảng Hàm biến phức | Trường Đại học Đồng Tháp. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 38 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Hàm biến phức 2 tài liệu
Trường: Đại học Đồng Tháp 205 tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
NGUYỄN THỊ THANH LÝ BÀI GIẢNG HÀM BIẾN PHỨC ĐỒNG THÁP - 2020 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Hàm biến phức 4
1.1 Trường số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Phép biến hình bảo giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Tích phân của hàm biến phức 15 2.1
Định nghĩa và tính chất của tích phân của hàm biến phức . . . . . . . . . . . 15
2.2 Định lí Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Chuỗi hàm phức và lí thuyết thặng dư 25
3.1 Định nghĩa và tính chất của chuỗi hàm phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Khai triển Taylor và khai triển Laurent của hàm giải tích . . . . . . . . . . . 25
3.3 Thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Ứng dụng của thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4.1
Tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4.2
Tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4.3
Tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 Tài liệu tham khảo 37 2 Lời nói đầu
Hàm biến phức có nhiều ứng dụng trong Vật lí, Cơ học và nhiều ngành khoa học kĩ thuật
khác. Hàm biến phức là một môn học của chuyên ngành giải tích ở các trường Đại học Sư
phạm. Nội dung này có tầm quan trọng đặc biệt trong Giải tích cổ điển. Bài giảng này được
viết cho sinh viên và học viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp. Nội
dung bài giảng này được biên soạn theo theo đề cương môn học Giải tích hàm của Bộ môn
Giải tích - Toán ứng dụng, Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp. Người học
có thể xem thêm các tài liệu tham khảo trình bày ở cuối bài giảng.
Tài liệu không thể tránh khỏi những thiếu sót về nội dung cũng như hình thức. Những thiếu
sót đó là lỗi của chính tác giả. Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp để tài liệu được hoàn thiện hơn. 3 Chương 1 Hàm biến phức
1.1 Trường số phức
1.1.1 Định nghĩa. (Dạng đại số của số phức)
1. Số phức1 z là một biểu thức có dạng
z = x + iy
trong đó x,y ∈ R và i2 = −1. Khi đó,
x được gọi là phần thực của z. Kí hiệu, x = Rez.
y được gọi là phần ảo của z. Kí hiệu, y = Imz.
i được gọi là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là C và C = C ∪{∞}.
2. Hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 được gọi là bằng nhau nếu x1 = x2 và y1 = y2.
3. Cho trước số phức z = x + iy. Khi đó
Số phức liên hợp của z = x + iy, kí hiệu z và xác định bởi z = x − iy.
Mô đun của số phức p
z = x + iy, kí hiệu là |z|, xác định bởi |z| = x2 + y2.
Trường số phức Tập hợp các số phức C cùng với hai phép toán"cộng" và "nhân" lập
thành 01 trường - được gọi là Trường số phức. 1.1.2 Tính chất.
1. Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa trên số phức được thực
hiện tương tự như các phép toán trên các biểu thức số thức với i2 = −1.
2. Liên hợp của số phức tổng (tích, thương) bằng tổng (tích, thương) các số phức thành phần.
3. Môđun của số phức tích (thương) bằng tích (thương) của các môđun của số phức thành phần.
1Số phức được định nghĩa đầu tiên bởi nhà Toán học người Ý R. Bombelli (1526-1573) khi ông nghiên cứu
về phương trình bậc 3 và đưa ra căn bậc 2 của -1. 4
4. Một số đẳng thức và bất đẳng thức thường gặp.
z + z = 2Rez; z − z = 2i.Imz;
z.z = |z|2;
z = z ↔ z ∈ R;
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|;
||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|;
5. Một số dạng biểu diễn khác của số phức.
(a) Biểu diễn hình học và dạng lượng giác của số phức
Mỗi số phức z = x + iy luôn có thể được biểu diễn tương ứng với duy nhất bởi một
điểm M(x,y) trên mặt phẳng Oxy. Do đó, mặt phẳng Oxy cũng đươc gọi là mặt
phẳng phức. Ta cũng biểu diễn số phức z = x + iy bởi một vec-tơ ~ OM có tọa độ
(x, y). Khi đó,
Ox được gọi là trục thực.
Oy được gọi là trục ảo. z }| {
(Ox, OM) = Argz = argz + k.2π, argz ∈ [0,2π], Argz được gọi là argument của số
phức z và argz gọi là argument chính của số phức z.
r = |z| = OM.
*Lưu ý: argz = ϕ nếu ϕ > 0 hoặc argz = 2π + ϕ nếu ϕ < 0; y y
Với ϕ = arctan nếu x > 0 và ϕ = π + arctan nếu x < 0. x x
Mối liên hệ giữa phần thực, phần ảo, mođun và argumen: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, y tan ϕ = . x
Khi đó, dạng lượng giác của số phức z = x + iy được biểu diễn bởi
z = r(cosϕ + i sin ϕ).
Chú ý: Từ biểu diễn dạng lượng giác của số phức, ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau:
arg(z1.z2) = arg(z1) + arg(z2)
arg(z1/z2) = arg(z1) − arg(z2)
(b) Dạng mũ của số phức. Theo công thức Euler eiϕ = cos ϕ + isinϕ, ta có thể biểu
diễn dạng mũ của số phức z = x + iy bởi z = |z|eiϕ với ϕ = argz.
6. Căn của số phức. Số phức √
w được gọi là căn bậc n của số phức z, kí hiệu w = n z nếu wn = z. ϕ k.2.π Nếu √ √
z = r(cosϕ + i sin ϕ) và w = n z thì |w| = n r và argw = + , k ∈ Z. n n 5
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu một số tập con và đường cong trong mặt phẳng phức.
* Ví dụ Modul và argument của các số phức sau √ a) z = 1 + i 3; √
b) z = 1 − i 3; √
c) z = − 3 + i; √
d) z = − 3 − i.
* Ví dụ Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau √
a) z = ( 3 + i)9;
b) z = (a + ib)5; √ (− 3 + i)2023 c) z = √ . (1 + i 3)2021 6
1.1.3 Định nghĩa. Cho A ⊂ C,z0 ∈ C,r > 0. Khi đó,
1. B(z0,r) = {z ∈ C : |z − z0| < r}. được gọi là hình tròn (đĩa) mở tâm z0, bán kính r.
2. z0 được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho B(z0,r) ⊂ A.
3. z0 được gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại r > 0 sao cho B(z0,r) ⊂ CA.
4. z0 được gọi là điểm biên của A nếu với mọi r > 0, đều có B(z0,r) ∩ A 6= /0 và B(z0,r) ∩
CA 6= /0. Kí hiệu bA = {z ∈ C,z là điểm biên của A} gọi là biên của A.
5. A được gọi là tập mở nếu A ∩ bA = /0.
6. A được gọi là tập đóng nếu bA ⊂ A.
7. Kí hiệu A = A ∪ bA được gọi là bao đóng của A.
8. Kí hiệu ˚A = AbA được gọi là phần trong của A.
9. A được gọi là bị chặn nếu tồn tại z ∈ C và r > 0 sao cho A ⊂ B(z,r).
* Ví dụ Hãy xác định miền được cho sau
a) |z + a| = r; y2 b) x2 + = 1; 4
c) |z − z0| ≤ 9. 7
1.1.4 Định nghĩa. Cho hàm phức γ : [a,b] −→ C,γ(t) = x(t)+iy(t),∀t ∈ [a,b] trong đó
x, y là các hàm thực trên [a, b].
1. Hàm γ được gọi là liên tục, khả vi, khả tích nếu các hàn x,y tương ứng liên tục, khả vi, khả tích. Hơn nữa,
γ0(t) = x0(t) + iy0(t). Z b Z b Z b γ(t)dt =
x(t)dt + i y(t)dt. a a a
2. γ được gọi là một đường cong trong C nếu γ liên tục trên [a,b]. Khi đó, γ(a), γ(b) tương
ứng được gọi là điểm đầu, điểm cuối của γ. Điểm đầu, điểm cuối được gọi chung là điểm mút.
3. Đường cong γ được gọi là đóng nếu γ(a) = γ(b).
4. Đường cong γ được gọi là đơn nếu ∀t1,t2,∈ [a,b],t1 6= t2 và {t1,t2} 6= {a,b} thì γ(t1) 6= γ(t2).
5. Đường cong γ được gọi là chu tuyến nếu nó đóng và đơn.
6. Đường cong γ được gọi là trơn nếu γ0(t) liên tục trên [a,b].
7. Đường cong γ được gọi là trơn từng khúc nếu tồn tại a = a0 < a1 < .... < an = b sao cho
γ0(t) liên tục trên [ai, ai+1],∀i = 0,1,2,..., n − 1.
8. Tập A được gọi là liên thông nếu với mọi z1,z2 ∈ A tồn tại đường cong γ : [a,b] −→ C
sao cho γ(a) = z1,γ(b) = z2 và γ([a,b]) ⊂ A.
9. Tập A được gọi là miền nếu A mở và liên thông. Nếu A là một miền thì A được gọi là miền đóng.
10. Miền D được gọi là đơn liên nếu bD trong C là một tập liên thông.
11. Miền D được gọi là n-liên nếu bD trong C là hợp của n tập liên thông, rời nhau và không có điểm chung. 1.2 Hàm biến phức
1.2.1 Định nghĩa. 1. Cho A ⊂ C. Hàm một biến phức f trên A là một quy tắc đặt tương
ứng mỗi số phức z ∈ A với duy nhất một số phức w ∈ C. Kí hiệu, f : A −→ C xác định bởi
w = f (z), ∀z ∈ A.
2. Nếu z = x + iy,∀x,y ∈ R thì f biểu diễn duy nhất dưới dạng f (z) = u(x,y)+iv(x,y), với
u, v là các hàm hai biến thực trên A ⊂ R2. Kí hiệu, u = Re f , v = Im f tương ứng gọi là phần
thực và phần ảo của f .
3. Hàm phức f được gọi là hữu hạn nếu f (z) 6= ∞,∀z ∈ A.
4. Hàm phức f được gọi là bị chặn nếu tồn tại M > 0 sao cho | f (z)| ≤ M,∀z ∈ A. 8
1.2.2 Nhận xét. Cách biểu diễn hàm phức
Hàm phức f (z) = f (x,y) = u + iv có thể được biểu diễn bởi hàm ρ = | f (x,y)| được gọi là mặt
môdun của hàm f . Hàm phức cũng có thể được biểu diễn bởi hai mặt phẳng (z) và (w).
Tương tự như hàm thực, các khái niệm về giới han và liên tục của hàm phức được trình bày như sau.
1.2.3 Định nghĩa. Cho A ⊂ C, hàm phức f : A −→ C và L ∈ C. Khi đó,
1. Dãy {zn} ∈ C được gọi là hội tụ đến z0 ∈ C, kí hiệu lim zn = z0 nếu lim |zn − z0| = 0. n→∞ n→∞
2. Dãy {zn} ∈ C được gọi là dần đến ∞, kí hiệu lim zn = ∞ nếu lim |zn| = +∞. n→∞ n→∞
3. Số phức L được gọi là giới hạn của hàm f khi z → z0, kí hiệu L = lim f (z) nếu với mọi z→z0
ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi z ∈ A,0 < |z − z0| < δ thì | f (z) − L| < ε.
4. Hàm f được gọi là liên tục tại z0 nếu lim f (z) = f (z0). z→z0
5. Hàm f được gọi là liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi z ∈ A.
6. Hàm f được gọi là liên tục đều trên A nếu ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
z1, z2 ∈ A, |z1 − z2| < δ thì | f (z1) − f (z2)| < ε. 1.2.4 Nhận xét.
1. lim f (z) = L khi và chỉ khi với mọi dãy {zn} ⊂ A{z0} mà lim zn = z0 z→z0 n→∞
thì lim f (zn) = L. n→∞
2. Hàm f (z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại z0 = x0 + iy0 nếu u,v liên tục tại (x0,y0).
3. Nếu f liên tục đều trên A thì f liên tục trên A.
4. Nếu f liên tục trên tập compact A thì f liên tục đều trên A.
1.2.5 Định nghĩa. Một số hàm sơ cấp thường gặp a n−1 nzn + a + ... +
1. Hàm hữu tỷ có dạng n−1z a0
f (z) = b m mz + bm b −1zm−1 + ... + 0
Hàm tuyến tính có dạng f (z) = az + b
Hàm lũy thừa có dạng f (z) = zn
Hàm đa thức có dạng f (z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a0 az + b
Hàm phân tuyến tính có dạng f (z) = cz+d 9
2. Hàm mũ có dạng w = ez = ex.eiy = ex(cosy + isin y),∀z = x + iy ∈ C.
Chú ý: w = ez 6= 0,∀z ∈ C và tuần hoàn với chu kì 2πi.
eiz − e−iz
eiz + e−iz sin z = ; cos z = . 2i 2
3. Hàm logarit Nếu z = ew thì w = lnz được gọi là hàm logarit của số phức z.
Nếu z = reiϕ thì w = lnz = ln r + i(ϕ + k2π),k ∈ Z. 1.3 Hàm giải tích
1.3.1 Định nghĩa. Cho f (z) xác định trên miền miền D và z0 ∈ D. Với mọi ∆z ∈ C sao cho
z0 + ∆z ∈ D và đặt ∆ f (z0) = f (z0 + ∆z) − f (z0). Khi đó
1. ∆z được gọi là số gia của đối số và ∆ f (z0) là số gia của hàm tại z0. ∆ f (z 2. Hàm 0)
f được gọi là có đạo hàm tại z0 nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim . Giới hạn ∆z→0 ∆z
này được gọi là đạo hàm của hàm f tại z0. Kí hiệu f 0(z0), Vậy ∆ f (z0) f 0(z0) = lim (tồn tại hữu hạn) ∆z→0 ∆z
3. Hàm f được gọi là khả vi tại z0 nếu tồn tại A ∈ C sao cho ∆ f (z0) = A∆z + 0(∆z) trong
đó 0(∆z) → 0 khi ∆z → 0.
4. Hàm f được gọi là giải tích tại z0 nếu tồn tại r > 0 sao cho f có đạo hàm tại mọi
z ∈ B(z0, r).
5. Hàm f được gọi là giải tích trên miền D nếu f khả tích tại mọi z ∈ D.
* Ví dụ Kiểm chứng rằng các hàm sau giải tích trên C
a) f (z) = ez;
b) f (z) = sinz.
c) f (z) = zn. 10 1.3.2 Nhận xét.
1. Đạo hàm của hàm phức có các tính chất và quy tắt tính tương tự như của hàm biến thực.
2. Hàm f khả vi tại z0 khi và chỉ khi f có đạo hàm tại z0. Hơn nữa, ∆ f (z 0
0) = f (z0)∆z + 0(∆z).
3. Nếu f khả vi tại z0 thì f liên tục tại z0.
1.3.3 Định lí. (Điều kiện Cauchy-Riemann)
Hàm f = u + iv khả vi tại z0 = x0 + iy0 khi và chỉ khi u,v khả vi tại (x0,y0) và thỏa mãn
(u0x(x0,y0) = v0y(x0,y0)
u0y(x0, y0) = −v0x(x0, y0) (Điều kiện Cauchy Riemann).
1.3.4 Nhận xét. Nếu f khả vi tại z0 = x0 + iy0 thì
f 0(z0) = u0x(x0, y0) + iv0x(x0, y0)
f 0(z0) = v0y(x0, y0) − iu0y(x0, y0). 1.3.5 Ví dụ.
1. Chứng minh a)(ez)0 = ez; b)(cosz)0 = sin z.
2. Xét tính khả vi của hàm sau và tính đạo hàm tại điểm mà hàm khả vi
a)w = (x2 − y2) + 2 jxy.; b)w = z.Rez 11
1.3.6 Định nghĩa. Cho f giải tích trên miền D,z0 ∈ D,γ là đường cong trơn đi qua điểm z0,
trong D và Γ = f (z) là đường cong trơn đi qua điểm w0 = f (z0). Khi đó,
1. | f 0(z0)| được gọi là hệ số co giản của f (z) dọc theo γ tại z0.
2. Hàm f được gọi là có hệ số co giản đều tại z0 nếu | f 0(z0)| không đổi với mọi γ đi qua z0.
3. Hàm f được gọi là bảo toàn góc tại z0 nếu f bảo toàn góc giữa hai cung đường cong bất kì đi qua z0.
4. Hàm f được gọi là bảo giác tại z0 nếu f bảo toàn góc và có hệ số giản đều tại z0.
5. Hàm f được gọi là bảo giác trên D nếu f bảo giác tại mọi z0 ∈ D.
1.3.7 Định lí. Hàm f bảo giác trên miền D nếu f giải tích trên D và f 0(z) 6= 0 với mọi z ∈ D.
1.4 Phép biến hình bảo giác
1.4.1 Định nghĩa. Cho D ⊂ C, f : D −→ C, z1,z2,z3,z4 ∈ C và γ1,γ2 là hai đường cong đi qua điểm ∞ trong C. Khi đó,
1. D được gọi là miền nếu D\{∞} là miền trong C và nếu ∞ ∈ D thì tồn tại M > 0 sao cho
{z : |z| > M} ⊂ D. 1 2. Góc ([
γ1, γ2) tại ∞ xác định bởi góc ( \
f (γ1), f (γ2)) tại O với f (z) = , z ∈ D. z
3. f được gọi là phép biến hình bảo giác (hay ánh xạ bảo giác) D lên f (D) = D0 nếu f
đơn ánh và bảo giác trên D.
4. f được gọi là đẳng cấu bảo giác nếu f và ánh xạ ngược f −1 đều là ánh xạ bảo giác.
5. Miền con G của D được gọi là miền đơn diệp của f nếu f |G giải tích và đơn ánh.
6. Tỉ số kép của bốn điểm z1,z2,z3,z4, kí hiệu là (z1,z2,z3,z4) được định nghĩa bởi
z1 − z3 z1 − z4
(z1, z2, z3, z4) = : .
z2 − z3 z2 − z4
Sau đây chúng tôi trình bày một số tính chất của hai phép biến hình bảo giác sơ cấp thường
gặp là phép biến hình tuyến tính và phép biến hình phân tuyến tính. 1.4.2 Tính chất.
1. Phép biến hình tuyến tính w = f (z) = az + b,a 6= 0.
- Đặt f (∞) = ∞. Ta được f : C −→ C là đẳng cấu bảo giác.
- Phép biến hình tuyến tính biến đường tròn thành đường tròn, tâm đường tròn thành tâm đường tròn. 12
- Tồn tại một phép biến hình tuyến tính w biến cặp z1,z2 tương ứng thành w1,w2 xác định bởi w − w1 z − z1 = . w2 − w1 z2 − z1 az + b
2. Phép biến hình phân tuyến tính w = f (z) =
, ad − bc 6= 0. cz + d c a
- Đặt f (− ) = ∞, f (∞) = . Ta được f : C −→ C là đẳng cấu bảo giác. d c
- Phép biến hình phân tuyến tính biến đường tròn thành đường tròn, hình tròn thành hình tròn.
- Phép biến hình phân tuyến tính bảo toàn tỉ số kép, tức là
(z1, z2, z3, z4) = f (z1), f (z2), f (z3), f (z4) .
- Phép biến hình phân tuyến tính bảo toàn tính đối xứng của hai điểm qua đường tròn. 1.4.3 Nhận xét.
1. Đường thẳng trong C được xem là đường tròn qua ∞ và có tâm là ∞.
2. z và z∗ đối xứng nhau qua đường tròn (C) tâm z0, bán kính R
(z,z∗cùng thuộc tia xuất từ z ⇐⇒ 0
|z − z0|.|z∗ − z0| = R2
(arg(z−z ∗
0) = arg(z − z ⇐⇒ 0)
(z − z0).(z∗ − z0) = R2
1.4.4 Định lí. Cho hai bộ ba điểm phân biệt {z1,z2,z3} và {w1,w2,w3} trong C. Khi đó, tồn
tại duy nhất một phép biến hình phân tuyến tính các định bởi w − w2 w − w3 z − z2 z − z3 : = : .
w1 − w2 w1 − w3
z1 − z2 z1 − z3 1.4.5 Ví dụ.
1. Tìm dạng tổng quát của phép biến tuyến tính biến đường tròn |z−a1| = R1
thành đường tròn |z − a2| = R2|. (HD: w biến a iϕ
1 7→ w(a1) = a2; z0 = a1 + R1 7→ w(z0) = a2 + R2e , ϕ ∈ R. )
2. Tìm dạng tổng quát của phép biến phân tuyến w tính biến zi thành wi., i = 1,2,3
với z1 = ∞,z2 = 0,z3 = 1;w1 = 1,w2 = i,w3 = 1 − i 13 Bài tập
Bài 1.1 Tìm môdun và arg của các số phức sau √ (a) z = 1 + i 3; √ (b) z = 3 − i; (c) z = 1 − i.
Bài 1.2 Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau √ (1 + i 3)113 (a) z = ; (1 + i)117 √ ( 3 − i)2021 (b) z = ; (1 − i)2023 √ (− 3 + i)2022 (c) z = . (−1 − i)2024
Bài 1.3 Tính căn của các số phức sau: √ (a) 3 1; √ (b) 4 −1; √ (c) 3 −i.
Bài 1.4 Tìm phần thực và phần ảo của hàm f (z) sau:
(a) f (z) = iz − 2z2;
(b) f (z) = sin z;
(c) f (z) = cos z.
Bài 1.5 Giải các phương trình sau: (a) cos z = 2; (b) sin z = −2; (c) cos z = −2.
Bài 1.6 Xét tính khả vi của hàm số và tính đạo hàm tại các điểm mà hàm số khả vi
(a) f (z) = z;
(b) f (z) = x2 + y2 + 2xyi; (c) 2
f (z) = e|z−1| .
Bài 1.7 Tìm phép biến hình phân tuyến tính biến zi thành wi, i = 1,2,3.
(a) z1 = 1,z2 = i,z3 = 0; w1 = 0,w2 = −1,w3 = ∞.
(b) z1 = −∞,z2 = −i,z3 = 0; w1 = 0,w2 = ∞,w3 = −i.
(c) z1 = ∞,z2 = i,z3 = 1 + i; w1 = 0,w2 = 2i,w3 = i. 14 Chương 2
Tích phân của hàm biến phức
2.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân của hàm biến phức
2.1.1 Định nghĩa. (Tích phân của hàm phức biến số thực) Nếu f là hàm phức biến thực
liên tục trên [a,b] và được xác định bởi f (t) = u(t) + iv(t), t ∈ [a,b] thì tích phân của f trên
[a, b] được định nghĩa bởi Z b Z b Z b f (t)dt =
u(t)dt + i v(t)dt a a a
trong đó u,v là các hàm thực liên tục trên [a,b].
2.1.2 Định nghĩa. (Tích phân của hàm phức theo đường cong trên mặt phẳng phức.)
Cho γ là một đường cong định hướng, trơn từng khúc trong C xác định bởi γ(t) = x(t) +
iy(t),t ∈ [a, b] và f (z) = u + iv xác định trên đường cong γ.
Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a = t0 < t1 < ...... < tn = b. Đặt
|τ| = max (tk −tk z
−1), ∆ k = γ(tk) − γ(tk−1). 1≤k≤n
Chọn tùy ý ξk ∈ [tk t
−1, k] và gọi ck = γ(ξk). Lập tổng KH ∑n = σ
k=1 f (ck)∆zk τ ( f ). Khi đó,
Ta nói lim στ( f ) = α nếu ∀ε > 0,∃δ > 0,∀τ,|τ| < δ, ta có |στ( f ) − α| < ε không phụ |τ|→0
thuộc vào cách chọn điểm ξk.
Ta nói f khả tích (integrable) nếu tồn tại lim στ( f ) và giới hạn đó gọi là tích phân (inte- |τ|→0
gral) của hàm f trên γ. Kí hiệu R f (z)dz. Vậy γ Z
f (z)dz = lim στ ( f ). |τ|→0 γ 15
Chú ý nếu γ là đường cong kín thì tích phân của hàm f trên γ thường được kí kiệu là I f (z)dz. γ
2.1.3 Tính chất. Cho γ : [a,b] −→ D là một đường cong định hướng, trơn từng khúc trong C
xác định bởi γ(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a,b] và hai hàm phức f ,g xác định trên đường cong γ. Khi đó (1) Z Z Z f (z)dz =
(udx − vdy) + i (udy + vdx) (2.1) γ γ γ
với f (z) = u + iv.
Công thức (2.1) là công thức liên hệ giữa tích phân phức và tích phân đường loại 2. Từ
công thức này, ta suy ra tích phân của hàm biến phức dọc theo một đường cong có tất cả
các tính chất thông thường của một tích phân đường loại 2. (2) R
α f (z) + β g(z) dz = α R f (z)dz + β R g(z)dz, α, β ∈ C. γ γ γ
(3) R f (z)dz = −R f (z)dz trong đó γ− = γ(a + b −t),t ∈ [a,b] là đường cong ngược hướng γ− γ của γ.
(4) R f (z)dz = R f (z)dz + R f (z)dz trong đó γ = γ1 ∪ γ2. γ γ1 γ2
(5) R f (z)dz = R b f (γ(t))γ0(t)dt. a γ
(6) Nếu | f (z)| ≤ M,∀z ∈ γ và l là độ dài của γ thì Z Z Z
| f (z)dz| ≤
| f (z)||dz| ≤ M |dz| = Ml. γ γ γ
(7) Công thức Newton-Leibnitz: Z
Nếu F0(z) = f (z),∀z ∈ D thì
f (z)dz = F(γ(b)) − F(γ(a)). γ
Khi đó, F được gọi là nguyên hàm của f trên miền D.
Chứng minh. (1) Đặt ∆zk = ∆xk + i∆yk. Khi đó, n n σ
τ ( f ) = ∑ u(ck)∆x − v(ck)∆y + i ∑ u(ck)∆y + v(ck)∆x . k=1 k=1
Cho qua giới hạn khi |τ| → 0, theo định nghĩa tích phân đường loại 2, ta được (2.1).
(2)-(5) Suy từ tính chất của tích phân đường loại 2 và (2.1).
(6), (7) Sinh viên tự chứng minh. 16 Z 2.1.4 Ví dụ. dz
(1) Tính tích phân In =
với γn = eint,t ∈ [0,2π],n ∈ N∗. z γn Z
(2) Tính tích phân I =
¯zdz với γ là đọan thẳng nối từ điểm z1 = 0 đến z2 = 1 + i. γn Z 2π Z 2π Giải. ineint
(1) Sử dụng công thức (5), ta được In = dt =
indt = 2nπi. 0 eint 0
(2) Đoạn γ có phương trình tham số γ(t) = t + it),t ∈ [0,1]. Sử dụng công thức (5), ta có Z Z 1 I = ¯zdz =
(t −ti)(1 + i)dt 0 γn Z 1 = 2tdt = 1. 0 2.2 Định lí Cauchy
2.2.1 Định lí. (Định lí Cauchy trên miền đơn liên) Nếu f (z) giải tích trong miền đơn liên D I
và γ là một đường cong kín trơn từng khúc nằm trong D thì
f (z)dz = 0. γ
Chứng minh. Giả sử f (z) = u(x,y) + iv(x,y). Vì f giải tích nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy- Riemann, tức là: u0 và x = v0y
u0y = −v0x. Do đó, sử dụng công thức (2.1) và công thức Green, ta được I I I f (z)dz =
(udx − vdy) + i (udy + vdx) γ γ γ ZZ ZZ =
(u0y + v0x)dxdy + i
(u0x − v0y)dxdy Dγ Dγ = 0.
2.2.2 Định lí. (Định lí Cauchy mở rộng) Cho D là một miền bị chặn, có biên là hữu hạn các I
đường cong trơn từng khúc. Nếu f giải tích trên D và liên tục trên D thì
f (z)dz = 0. bD
2.2.3 Hệ quả. Nếu f (z) giải tích trong miền đơn liên D và z,z0 là hai điểm nằm trong D thì z Z
f (z)dz không phụ thuộc vào hình dạng của đường lấy tích phân. z0 17
2.2.4 Hệ quả. Cho D là miền đơn liên có biên bD là đường cong kín trơn từng khúc. Nếu f
giải tích trên D và liên tục trên D nhưng gián đoạn tại cực điểm z0 trong D thì I I f (z)dz = f (z)dz bD C0
với C0 là đường tròn tâm z0 với bán kính đủ nhỏ sao cho C0 nằm trọn trong D.
2.2.5 Hệ quả. Cho D là miền đơn liên có biên bD là đường cong kín trơn từng khúc. Nếu f
giải tích trên D và liên tục trên D nhưng gián đoạn tại n cực điểm z1,z2, ...zn trong D thì I n I
f (z)dz = ∑ f (z)dz k=1 bD Ck
với Ck,k = 1,2,...n là đường tròn tâm zk với bán kính đủ nhỏ sao cho Ck nằm trọn trong D. I 2.2.6 Ví dụ. 1. Tính tích phân
ezdz với γ là đường cong kín bất kì trong miền đơn liên γ nào đó. I dz 2. Tính tích phân
dz với γ là đường cong kín bất kì trong miền đơn liên nào đó. z − z0 γ 3. Chứng minh rằng ( I dz 2πi nếu n = 1,z = 0 nằm trong γ (z − z n 0) 0 trường hợp còn lại. γ
trong đó γ là đường cong kín, trơn và z0 / ∈ γ. 18
2.3 Công thức tích phân Cauchy
2.3.1 Định lí. (Công thức tích phân Cauchy) Cho D là miền bị chặn, có biên bD là hữu hạn
các đường cong trơn từng khúc. Nếu f giải tích trên D và liên tục trên D thì với mọi z0 ∈ D, ta có 1 I f (z) f (z0) = dz. (2.2) 2πi z − z0 bD
Chứng minh. Theo Ví dụ (1) 2.2.6, ta có (2.2) tương đương với
1 I f (z) − f (z0)dz = 0. 2πi z − z0 bD
Hơn nữa, với mọi r > 0 bé tùy ý sao cho hình tròn tâm z0, bán kính r nằm trọn trong D, ta có
1 I f (z) − f (z I 0) 1
f (z) − f (z0) dz = dz 2πi z − z0 2πi z − z0 bD Cr
trong đó Cr là đường tròn tâm z0 bán kính r. Khi đó, I
f (z) − f (z I 0)
f (z) − f (z0) dz = lim dz. z − z0 r→0 z − z0 bD Cr
Tham số hóa Cr ta được I
f (z) − f (z Z 0)
1 f (z) − f (z0) dz =
2πir.e2πitdt z − z0 0 r.e2πit Cr Z 1 = 2πi
f (z) − f (z0) dt. 0 Z 1 Z 1 |
f (z) − f (z0) dt| ≤
f (z) − f (z0)dt 0 0 ≤
max f (z) − f (z0).
|z−z0|=r
Vì f liên tục tại z0 nên lim| f (z) − f (z0)| = 0. Do đó, r→0 I
f (z) − f (z I 0)
f (z) − f (z0) dz = lim dz = 0. z − z0 r→0 z − z0 bD Cr
Định lí sau là mở rộng của Công thức tích phân Cauchy để đặc trưng cho hàm giải tích.
Đây cũng là điểm khác biệt của hàm phức với hàm thực. 19