Tổng hợp lý thuyết và bài tập môn giải tích phức | Trường Đại học Đồng Tháp
Tổng hợp lý thuyết và bài tập môn giải tích phức | Trường Đại học Đồng Tháp. Tài liệu gồm 50 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Hàm biến phức 2 tài liệu
Trường: Đại học Đồng Tháp 357 tài liệu
Tác giả:
Preview text:
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC
(Tài liệu chỉ có nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com )
Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm.
Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp. Môn giải ch
phức thực chất là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rắc rối” (không phải ở
môn học mà ở… các bạn chắc đã hiểu) vì vậy mọi người đừng chủ quan nhé. Sau đây là một
số dạng bài tập mà chúng ta sẽ ôn tập
I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1.1. Kiến thức bổ trợ
a. Đồng nhất số phức = Cho = + khi đó phương trình = + ⇔ = b. Căn thức
Số phức được gọi là căn bậc của số phức nếu
= (1) và phương trình (1) có
đúng nghiệm được xác định bởi công thức + 2 + 2 = √ cos + sin , = 0,1, … , − 1 1.2. Bài tập mẫu
Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải các phương trình sau: a. + + = b. + = c. = ( + ) d. + = e. + = √ f. = . Giải: = = − + a. 5 + 2 + 10 = 0 ⇔ = = − − b. + 81 = 0 ⇔ = −81
Ta có −81 = 81(cos( ) + sin( ))
Khi đó căn bậc 4 của −81 được xác định bởi + 2 + 2 + 2 + 2 = √81 cos + sin = 3 cos + sin , = 0,1,2 4 4 4 4 GIẢI TÍCH PHỨC 01 √ √ = 0 ⇒ = 3 cos + sin = 3 + √ = 1 ⇒ = 3 cos + sin = 3 − √ + = 2 ⇒ = 3 cos + sin = 3 − √ − √ √ = 3 ⇒ = 3 cos + sin = 3 − √
Vậy , , , là nghiệm của phương trình + 81 = 0
c. 2 = (2 + 9 ) ⇔ 2 = −9 + 2 ⇔ = − + d. Đặt = + , khi đó 2 − (2 − )(1 − 3 ) 1 7 + 2 ̅ = ⇔ + + 2( − ) = ⇔ 3 − = − − 1 + 3 10 10 10 3 = − = − ⇔ ⇔ − = − = Vậy = − + e. + 1 = √3 ⇔ = −1 + √3 Ta có − √ 1 + √3 = 2 − + = 2 cos + sin
Khi đó căn bậc 6 của −1 + √3 được xác định bởi 2 2 + 2 + 2 3 3 + 3 + 3 = √2 cos + sin = √2 cos + sin 6 6 9 9 = 0 ⇒ = √2 cos + sin 9 9 4 4 = 1 ⇒ = √2 cos + sin 9 9 7 7 = 2 ⇒ = √2 cos + sin 9 9 10 10 = 3 ⇒ = √2 cos + sin 9 9 GIẢI TÍCH PHỨC 02 13 13 = 4 ⇒ = √2 cos + sin 9 9 16 16 = 5 ⇒ = √2 cos + sin 9 9
Vậy , , , , , là nghiệm của phương trình + 1 = √3 . f. = Ta có = cos + sin
Khi đó căn bậc 2 của được xác định bởi + 2 + 2 + 4 + 4 = cos 2 + sin 2 = cos + sin , = 0,1. 2 2 4 4 √2 √2 = 0 ⇒ = cos + sin = + 4 4 2 2 5 5 √2 √2 = 1 ⇒ = cos + sin = − − 4 4 2 2
Vậy , là nghiệm của phương trình = .
Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình: ( − ) = Giải: (1 − ) = 16 ⇔ − + 16 = 0 ⇔ = 1 + 3√7 = 1 − 3√7
Xét 1 + 3√7 có = √1 + 63 = 8 cos =
= , khi đó căn bậc 2 của 1 + √63 được xác định bởi √ sin = = + 2 + 2 + 2 + 2 = √8 cos + sin = 2√2 cos + sin , = 0,1. 2 2 2 2 = 0 ⇒ = 2√2 cos + sin 2 2 + 2 + 2 = 1 ⇒ = 2√2 cos + sin = −2√2 cos + sin 2 2 2 2 GIẢI TÍCH PHỨC 03 Ta có √ cos = ± = ± = ± và sin = ± = ± = ± Chọn √ cos = ; sin = , khi đó ⎧ 3 √7 ⎪ = 2√2 + 4 4 ⎨ 3 √7 ⎪ = −2√2 + ⎩ 4 4
Vậy , là nghiệm của phương trình = 1 + 3√7
Làm tương tự với 1 − 3√7 trong đó chọn cos = ; sin = − √ , khi đó ⎧ 3 √7 ⎪ = 2√2 − 4 4 ⎨ 3 √7 ⎪ = −2√2 − ⎩ 4 4
Vậy , là nghiệm của phương trình = 1 − 3√7 Suy ra , , ,
là nghiệm của phương trình (1 − ) = 16
II. BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC
2.1. Kiến thức bổ trợ
Để m ảnh của một điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức = ( ) = ( , ) +
( , ), ta xác định mối liên hệ của , dựa trên miền cho trước
Ngược lại để m tạo ảnh của hàm ( , ), ( , ), ta xác định mối liên hệ của , . 2.2. Bài tập mẫu
Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh của đường = qua ánh xạ phức = .
(Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử = + , khi đó = = = − = ( , ) + ( , ) GIẢI TÍCH PHỨC 04 ( , ) = ⇒ + ( , ) = − + Với = 1, khi đó ( , ) = và ( , ) = − 1 + 1 1 1 ⇒ + = = = ⇔ − + = 0 ⇔ − + = (1 + ) 1 + 2 4
Vậy ảnh của đường = 1 là đường tròn tâm ( , 0), bán kính là .
Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh của đường tròn | − | = qua ánh xạ phức = − . Giải: Giả sử = + , = + Ta có | − | = ⇒ − = ⇔ = + , khi đó = − 2 = ( + ) − 2 = + + (cos + sin ) − 2 = (−
− 2 − sin ) + ( + cos ) = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = −
− 2 − sin ⇔ sin = ( , ) + + 2 ( , ) = + cos cos = ( , ) − ⇒ ( + ( + 2) ) + ( − ) =
Vậy ảnh của đường tròn | − | = qua ánh xạ =
− 2 là đường tròn tâm (− − 2, ), bán kính .
Bài 2.3: Cho hàm = . Tìm ảnh của:
a. Đường tròn | | = , b. Miền quạt < < . Giải: a. Giả sử = + , khi đó = = ( + ) = − + 2 = ( , ) + ( , ) ⇒ ( , ) = − ( , ) = 2 = 2 cos
Ta có phương trình tham số của đường tròn | | = 2 là: = 2 sin 0 ≤ ≤ 2 GIẢI TÍCH PHỨC 05 Khi đó:
( , ) = (2 cos ) − (2 sin ) = 4(cos − sin ) = 4 cos 2
( , ) = 2.2 cos . 2 sin = 4 sin 2 ⇒ + = cos 2 + sin 2 = 1 ⇔ + = 16 4 4
Vậy ảnh của đường tròn | | = 2 trong mp( ) là đường tròn có tâm là gốc tọa đô, bán kính là 4 trong mp( ) b. Đặt = ⇒ 0 < < Ta có = (cos + sin ) ⇒ = = (cos 2 + sin 2 ) ⇒ = 2 Ta coi miền quạt 0 < < được quét bởi a
= , với biến thiên từ 0 đến
Theo chứng minh trên thì ảnh của a = qua phép biến hình = là a =
2 . Khi biến thiên từ 0 đến thì 2 biến thiên từ 0 đến .
Vậy ảnh của miền quạt 0 <
< là nửa mặt phẳng trên 0 < < .
Bài 2.4: Cho hàm = , = + . Tìm:
a. Ảnh của đường =
b. Tạo ảnh của đường = . Giải: a. Ta có: 1 1 − = = = = − = ( , ) + ( , ) + + + + ( , ) = ⇒ + ( , ) = − +
+ Trường hợp = = 0, khi đó ( , ) = 0 ⇒ = − ( , ) = − , ( ≠ 0)
Vậy ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ
+ Trường hợp = ≠ 0, khi đó GIẢI TÍCH PHỨC 06 ( , ) = + ( , ) = − + + 1 ⇒ + = = = ( + ) + 1 1 ⇔ − + = 0 ⇔ − + = 2 4
Vậy ảnh của đường = là đường tròn tâm , 0 , bán kình là , ( ≠ 0). | | b. = ⇔ = + Trường hợp = 0 ⇒ = 0
Vậy tạo ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ
+ Trường hợp ≠ 0, khi đó + = ⇔ − + = 0 ⇔ − + =
Vậy tạo ảnh của đường = là đường tròn tâm , 0 , bán kình là , ( ≠ 0). | |
III. BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM PHỨC
3.1. Kiến thức bổ trợ
a. Giới hạn dãy số phức { }, = + lim = Cho → lim = = + ⇔ lim = → →
b. Giới hạn hàm phức Cho ( ) = ( , ) + ( , ), = + , = + , khi đó lim → ( , ) = → lim ( ) = ⇔ → lim → ( , ) = →
Nếu khi xét → theo các hướng khác nhau thì có các kết quả khác nhau thì ta kết luận
không tồn tại giới hạn tại = . GIẢI TÍCH PHỨC 07 c. Hàm liên tục
Cho ( ) xác định trong lân cận điểm , khi đó: + ( ) á đị ℎ ạ ( ) + ồ ạ lim ( ) liên tục tại ⇔ → + lim ( ) = ( ) →
( ) liên tục trên miền nếu liên tục tại mọi điểm thuộc . 3.2. Bài tập mẫu Bài 3.1: Tính ( + ) → Giải: Giả sử = + , khi đó + = ( + ) + = − + (2 + 1) = ( , ) + ( , ) ⇒ ( , ) = − ; = 1 + ( , ) = 2 + 1 lim ( , ) = lim( − ) = 0 → → → → lim ( , ) = lim(2 + 1) = 3 → → → → Vậy lim (
+ 1) = lim ( , ) + lim ( , ) = 3 → → → → →
Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh rằng − + − + → − = + . Giải: 3 − 2 + 8 − 2 + 5 ( − )[3 + (3 − 2) + (5 − 2 ) + 5 ] = lim → − = lim → − = lim[3 + (3 − 2)
+ (5 − 2 ) + 5 ] = 3 + (3 − 2) + (5 − 2 ) + 5 →
= −3 − 3 + 2 + 5 + 2 + 5 = 4 + 4
Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính các giới hạn sau: GIẢI TÍCH PHỨC 08 a. b. c. ( ) → → → Giải: a. Đặt ( ) = + 1; ( ) = + 1, khi đó ( ) = + 1 = 0; ( ) = + 1 = 0 và ( ) = 6 = 6 ≠ 0
Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có ( ) ′( ) 10 5 5 5 lim = lim = lim = lim = = → ( ) → ′( ) → 6 → 3 3 3 + 1 5 ⇒ lim = . → + 1 3 b. lim = lim = lim = lim → → → → Ta có lim = 1 và lim = 1 → → 1 − cos 1 ⇒ lim = . → sin 2 c. lim(cos ) = →
Bài 3.4: Xét sự tồn tại giới hạn của . → Giải: Giả sử = + , khi đó = ̅
+ Cho → 0 theo hướng trục khi đó = 0 + lim = lim 1 = 1 (1) → ̅ = lim → − = lim → →
+ Cho → 0 theo hướng đường thẳng = + + 1 + lim → ̅ = lim → − = lim → − = lim → 1 − = −1 (2) GIẢI TÍCH PHỨC 09
Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại giới hạn lim → ̅
Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số ( ) =
không liên tục tại = 0. ̅
Bài 3.5: Xét nh liên tục của hàm − ( ) = − ế | | ≠ ạ = , = ế | | = Giải: + Tại = 1 ta có: (1) = 3 và lim ( ) = lim = lim( + + 1) = 3 → → →
Vậy lim ( ) = (1) nên hàm số liên tục tại = 1 → + Tại = ( ) = 3 và lim ( ) = lim = lim( + + 1) = → → →
Vậy lim ( ) ≠ (1) nên hàm số gián đoạn tại = →
Bài 3.6: Cho các hàm a. ( ) ( ) ( ) = b. ( ) = c. ( ) = | | | |
Có thể gán giá trị của hàm số tại = để nó trở thành hàm liên tục tại = hay không? Giải: a. Chọn 2 dãy
= và ∗ = , khi đó , ∗ → 0 khi → ∞ Xét 1 ( ) lim ( ) = lim = lim = lim 1 = 1 → → → 1 → ( ∗) 0 lim ( ∗) = lim = lim 0 = 0 ∗ → ∗ → ∗ = lim → 1 → GIẢI TÍCH PHỨC 10
Suy ra không tồn tại lim ( ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm = 0 để nó trở →
thành hàm liên tục tại = 0. b. Chọn 2 dãy = và ∗ =
+ , khi đó , ∗ → 0 khi → ∞ Xét 1 lim ( ) = lim = lim = lim 1 = 1 → → | | → 1 → ∗ 1 + 1 + 1 + lim ( ∗) = lim = lim = lim = ∗ → ∗ → | ∗| → 1 1 → √2 √2 +
Suy ra không tồn tại lim ( ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm = 0 để nó trở →
thành hàm liên tục tại = 0. c. Giả sử = + Khi đó ( ) ( ) ( ) = = = + = ( , ) + ( , ) | | ⎧ ⎪ ( , ) = ⇒ + ⎨ ⎪ ( , ) = ⎩ + Ta có 0 ≤ ≤
= | | mà lim| | = 0 nên lim ( , ) = lim = 0 (1) | | → → → → → → 0 ≤ ≤ = mà lim = 0 nên lim ( , ) = lim = 0 (2) → → → → → → Từ (1) và (2) suy ra ( ) lim ( ) = lim = 0 → → | |
Vậy có thể gán giá trị ( ) = 0 tại = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại = 0.
Bài 3.7 (câu 2, đề thi môn GTP – K16): Chứng minh rằng hàm ( ) = liên tục trên ℂ. Giải: Giả sử = + , khi đó ( ) = ̅ = − = ( , ) + ( , ) GIẢI TÍCH PHỨC 11 ( ⇒ , ) = ( , ) = − Lấy tùy ý = +
∈ ℂ, khi đó ta có: ( ) = − Xét lim ( → , ) = lim → = → → lim ( (− ) → , ) = lim → = − → →
⇒ lim ( ) = lim [ ( , ) + ( , )] = − = ( ) → → →
Suy ra hàm số liên tục tại =
Do lấy tùy ý trong ℂ nên hàm ( ) liên tục trên ℂ.
Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) =
liên tục đều trên miền | | < . Giải: Đặt : { : | | < 1} Với , ′ ∈ ta có | ( ) − ( )| = |
− ′ | = | − ′|| + ′| ≤ | − |(| | + | |) < 2| − ′|
Vậy ∀ > 0, ∃ = , ∀ ,
∈ : | − | < ⇒ | ( ) − ( )| < 2| − | < 2 =
Do đó ( ) = liên tục đều trên : | | < 1.
Bài 3.9 (bài 11, SGK, tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) = không liên tục đều trên miền | | < . Giải:
IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC
4.1. Kiến thức bổ trợ
a. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng đại số) Cho hàm ( ) = ( , ) +
( , ) có đạo hàm tại điểm = + thì: GIẢI TÍCH PHỨC 12
+ ( , ), ( , ) có đạo hàm riêng tại điểm ( , )
+ Các đạo hàm riêng của ( , ), ( , )thỏa mãn phương trình = à = − (1)
Ngược lại nếu ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm ( , ) và thỏa (1) thì ( ) = ( , ) +
( , ) có đạo hàm tại điểm = + và ( ) = ( , ) + ( , ) ℎ ặ ( ) = ( , ) − ( , ).
b. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng phức) Ta có = cos , = sin , = + , = arctan
, khi đó điều kiện Cauchy- Rieamann dạng phức là 1 1 = à = − 4.2. Bài tập mẫu
Bài 4.1: Khảo sát sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau: a. ( ) =
b. ( ) = | | Giải: a. Giả sử = + , khi đó ( ) = = ( + ) = − 3 + (3 − ) = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = − 3 ( , ) = 3 − Suy ra = 3 − 3 ; = 3 − 3 ; = −6 ; = 6 ⇒ = = 3 − 3 à = − = −6
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann nên ( ) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức b. Giả sử = + , khi đó ( ) = | | = + = ( , ) + ( , ) GIẢI TÍCH PHỨC 13 ⇒ ( , ) = + ( , ) = 0 Suy ra = 2 ; = 0; = 2 ; = 0 Hàm ( ) có đạo hàm khi ⎧ ⎪ = ⇔ 2 = 0 ⇔ = = 0 ⎨ 2 = 0 ⎪ = − ⎩
Vậy hàm ( ) có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠ 0
Bài 4.2 (bài 13,14, SGK, tr52): Chứng minh rằng ; (
) không tồn tại tại mọi điểm
thuộc mặt phẳng phức. Giải:
+ Chứng minh ̅ không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Giả sử = + , đặt ( ) = ̅, khi đó ( ) = ̅ = − = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = ( , ) = − Suy ra = 1; = −1; = 0; = 0 Rõ ràng = 1 ≠ −1 =
nên ( ) không có đạo hàm tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức.
Vậy ̅ không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức + Chứng minh (
̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Giả sử = + , đặt ( ) = ̅, khi đó ( ) = ̅ = ( + ) ( − ) = + + ( + ) = ( , ) + ( , ) GIẢI TÍCH PHỨC 14 ( ⇒ , ) = + ( , ) = + Suy ra = 3 + ; = + 3 ; = 2 ; = 2 Hàm ( ) có đạo hàm khi ⎧ ⎪ = ⇔ 3 + = + 3 ⇔ = = 0 ⎨ 2 = −2 ⎪ = − ⎩
Suy ra hàm ( ) có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠ 0 Vậy (
̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
Bài 4.3: Cho hàm ( , ) có ( ) =
− . Giả sử ( ) có đạo hàm, m ( ). Giải: Giả sử = + , ( ) = ( , ) + ( , )
Theo giả thiết ta có ( , ) = − ⇒ = 2 ; = −2
Do ( )có đạo hàm nên ta có ⎧ ⎪ = ⎧ = 2 (1) ⇔ ⎨ ⎨ ⎪ = − = 2 (2) ⎩ ⎩ Từ (1): = 2 ⇒ ( , ) = 2 + ( ) ⇒
= 2 + ′( ) thay vào (2) ta được 2 + ( ) = 2 ⇔ ( ) = 0 ⇒ ( ) = = Vậy ( ) = − + (2 + ) = ( + ) + = + .
Bài 4.4: Tìm sao cho các hàm sau khả vi a. ( ) = − − + ( − + ) b. ( ) = + GIẢI TÍCH PHỨC 15 | | > c. ( ) =
| | ≤ (đề thi môn GTP – K18) Giải: a. ( ) = − − 2 + ( − + 2 ) = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = − − 2 ( , ) = − + 2 Suy ra = 2 − 2 ; = 2 − 2 ; = −2 − 2 ; = 2 + 2 ⇒ = = 2 − 2 à = − = −2 − 2
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann nên ( ) có đạo hàm hay khả vi tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
b. Giả sử = (cos + sin ), khi đó ( ) = + ̅ =
(cos 5 + sin 5 ) + (cos − sin ) = ( cos 5 + cos ) + ( sin 5 − sin ) = ( , ) + ( , ) ⇒ ( , ) = cos 5 + cos ( , ) = sin 5 − sin Suy ra = 5 cos 5 + cos ; = 5 sin 5 − sin = −5 sin 5 − sin ; = 5 cos 5 − cos Rõ ràng 1 1 = (5 cos 5 − cos ) = 5 cos 5 − cos ≠ 1 1 − = − (−5 sin 5 − sin ) = 5 sin 5 + sin ≠
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng không thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên ( ) không khả vi tại mọi .
c. + Tập = { : | | > 3} là tập mở GIẢI TÍCH PHỨC 16
Ta có ( ) = 2 = 2 + 0 = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = 2 ( , ) = 0 Suy ra = 0; = 0; = 0; = 0 ⇒ = = 0 à = − = 0
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập
nên ( ) có đạo hàm hay khả vi trên .
+ Tương tự với = { : | | < 3} ta chứng minh được ( ) có đạo hàm hay khả vi trên
+ Xét = { : | | = 3}, khi đó ( ) = 1 Xét dãy = (1 + ) 1 1 | | = 1 + | | = 1 + 3 > 3 ⇒ ( ) = 2 Ta có
→ khi → ∞, tuy nhiên ( ) = 2 ≠ 1 = ( ) nên hàm ( ) không liên tục tại
mọi điểm trên . Do đó ( ) không khả vi tại mọi : | | = 3.
Bài 4.5 (đề thi môn GTP – Cao học 2008-2009): Cho ớ | | ≥ ( ) = ớ | | <
Hàm ( ) có đạo hàm tại = nào? Giải:
+ Xét tập = { : | | > 1} là tập mở Ta có ( ) = = ( + ) = − + 2 = ( , ) + ( , ) ⇒ ( , ) = − ( , ) = 2 Suy ra = 2 ; = 2 ; = −2 ; = 2 GIẢI TÍCH PHỨC 17 ⇒ = = 2 à = − = −2
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên
tập nên ( ) có đạo hàm tại mọi điểm trên .
+ Xét tập = { : | | < 1} là tập mở
Ta có ( ) = 1 = 1 + 0 = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = 1 ( , ) = 0 Suy ra = 0; = 0; = 0; = 0 ⇒ = = 0 à = − = 0
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên
tập nên ( ) có đạo hàm tại mọi điểm trên .
+ Xét = { : | | = 1}, khi đó ( ) = Với = ±1 thuộc thì ( ) =
= 1 = 1 + 0 ta chứng minh được ( ) khả vi tại = ±1 Với ≠ ±1. Xét dãy = (1 − ) 1 1 | | = 1 − | | = 1 − 1 < 1 ⇒ ( ) = 1 Ta có
→ khi → ∞, tuy nhiên ( ) = 1 ≠
= ( ) nên hàm ( ) không liên tục tại
mọi điểm trên \{±1}. Do đó ( ) không khả vi tại mọi trên \{±1}.
V. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA
5.1. Kiến thức bổ trợ a. Hàm giải ch
+ ( ) giải ch trên miền mở nếu khả vi (tồn tại đạo hàm) tại mọi điểm thuộc GIẢI TÍCH PHỨC 18
+ ( ) giải ch tại điểm nếu khả vi trong lân cận của điểm + ( ) = ( , ) +
( , ) giải ch trong miền , các ( , ), ( , )có đạo hàm riêng liên
tục trên thì ( , ), ( , ) thỏa phương trình Laplace: Φ Φ + = 0. b. Hàm điều hòa
+ Hàm thực hai biến có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa.
+ Hai hàm điều hòa ( , ), ( , ) sao cho ( ) = ( , ) + ( , ) giải ch được gọi là
hai hàm điều hòa liên hợp. + Hàm ( ) = ( , ) +
( , ) xác định trên miền đơn liên và giải ch trên thì
( , ), ( , ) là các hàm điều hòa trên .
+ ( , ) là hàm điều hòa trên thì tồn tại ( ) giải ch trên sao cho ( ) = ( , ) 5.2. Bài tập mẫu
Bài 5.1 (đề thi môn GTP – CH 2008-2009): Cho ( , ) = − − + − +
a. Chứng tỏ là hàm điều hòa.
b. Tìm hàm giải ch ( ) sao cho = ( ). Tìm ( ). Giải:
a. Chứng minh Φ là hàm điều hòa. Φ Φ = 12 − 4 − 1, = 12 − 12 Φ Φ = 12 − 4 + 1, = 12 − 12 Φ Φ ⇒ + = 12 − 12 + 12 − 12 = 0
Vậy hàm thực Φ hai biến có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa
phương trình Laplace nên Φ là hàm điều hòa (có thể gọi Φ là phần thực của hàm giải ch). b. Tìm hàm giải ch
Giả sử hàm giải ch cần m có dạng: ( ) = Φ( , ) + iΨ( , ), với Ψ( , ) là hàm điều
hòa liên hợp với Φ( , ), khi đó Φ( , ), Ψ( , ) phải thỏa điều kiện Cauchy-Riemann GIẢI TÍCH PHỨC 19 ⎧ Φ Ψ Ψ ⎪ = ⎧ = 12 − 4 − 1 (1) ⎨ Φ Ψ ⇔ ⎨ Ψ ⎪ = − = −12 + 4 − 1 (2) ⎩ ⎩ Từ (1): = 12 − 4 − 1 ⇒ Ψ = 4 − 4 − + ( ) ⇒ = 4 − 12 + ′( ) thay vào (2) ta có 4 − 12 + ( ) = −12 + 4
− 1 ⇔ ( ) = −1 ⇒ ( ) = − + ⇒ ( ) = Ψ( , ) = 4 − 4 − − + Vậy ( ) = 6 − − + − + 1 + (4 − 4 − − + ).
Bài 5.2 (đề thi môn GTP – K15): Cho ( , ) = ( − )
a. Chứng tỏ ( , ) là hàm điều hòa trên một miền thích hợp.
b. Tìm một hàm giải ch ( ) = ( , ) +
( , ), giải ch trên miền .
c. Biểu diễn trong câu (b) theo biến Giải:
a. Chứng minh ( , ) là hàm điều hòa. = − ( sin − cos ) + sin = (sin − sin + cos ) = − (sin − sin + cos ) − sin = (−2 sin + sin − cos ) = ( cos − cos + sin ) = (− sin + sin + sin + cos ) = (2 sin − sin + cos ) ⇒ + = 0
Vậy ( , ) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa phương trình
Laplace nên ( , ) là hàm điều hòa. b. Hàm ( ) = ( , ) +
( , ) giải ch trên miền nên ( , ), ( , ) thỏa điều kiện Cauchy-Riemann: GIẢI TÍCH PHỨC 20