Tổng hợp lý thuyết và bài tập môn giải tích phức | Trường Đại học Đồng Tháp

Tổng hợp lý thuyết và bài tập môn giải tích phức | Trường Đại học Đồng Tháp. Tài liệu gồm 50 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Hàm biến phức 2 tài liệu

Trường:

Đại học Đồng Tháp 205 tài liệu

Thông tin:
50 trang 5 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Tổng hợp lý thuyết và bài tập môn giải tích phức | Trường Đại học Đồng Tháp

Tổng hợp lý thuyết và bài tập môn giải tích phức | Trường Đại học Đồng Tháp. Tài liệu gồm 50 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

69 35 lượt tải Tải xuống
GI
I TÍCH PH
C
01
LÝ THUYT & BÀI TP MÔN GII TÍCH PHC
(Tài liu ch có nh chất tham kho hp://nguyenchiphuong.WordPress.com )
Trong tài liu này xin tng hp li tt c các dng bài tp có liên quan tới đề thi ca các năm.
Riêng các bài tập căn bn c bn xem li trong các ví d giáo trình trên lp. Môn giải ch
phc thc cht là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rc ri” (không phi
môn hc mà các bn chc đã hiu) vì vy mọi người đừng ch quan n. Sau đây là một
s dng bài tp mà chúng ta s ôn tp
I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1.1. Kiến thc b tr
a. Đồng nht s phc
Cho = +  khi đó phương trình = + 󰇥
=
=
b. Căn thức
S phc đưc gọi căn bc ca s phc nếu
= (1) phương trình (1) có
đúng nghiệm được xác định bi công thc
=
cos
+ 2
+ sin
+ 2
, = 0,1, , 1
1.2. Bài tp mu
Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải các phương trình sau:
a. 
+ + = b.
+ = c. = (+ )
d. +
=


e.
+ =
 f.
= .
Gii:
a. 5
+ 2+ 10 = 0 󰇯
=

=
+
=

=
b.
+ 81 = 0
= 81
Ta có 81 = 81
(
cos
(
)
+ sin
(
))
Khi đó căn bậc 4 ca 81 được xác định bi
= 81
cos
+ 2
4
+ sin
+ 2
4
= 3 cos
+ 2
4
+ sin
+ 2
4
, = 0,1,2
GI
I TÍCH PH
C
02
= 0
= 3 󰇡cos
+ sin
󰇢= 3 󰇡
+
󰇢
= 1
= 3 󰇡cos

+ sin

󰇢= 3 󰇡−
+
󰇢
= 2
= 3 󰇡cos

+ sin

󰇢= 3 󰇡−
󰇢
= 3
= 3 󰇡cos

+ sin

󰇢= 3 󰇡
󰇢
Vy
,
,
,
là nghim của phương trình
+ 81 = 0
c. 2=
(
2 + 9
)
2= 9 + 2=
+
d. Đặt = + , khi đó
+ 2=
2
1 + 3
+ + 2
(

)
=
(
2
)
(1 3)
10
3=
1
10
7
10
3=

−=

=

=

Vy =

+

e.
+ 1 =
3
= 1 +
3
Ta có 1 +
3
= 2 󰇡−
+
󰇢= 2 󰇡cos

+ sin

󰇢
Khi đó căn bậc 6 ca 1 +
3
được xác định bi
= 2
󰇭cos
2
3
+ 2
6
+ sin
2
3
+ 2
6
󰇮= 2
cos
+ 3
9
+ sin
+ 3
9
= 0
= 2
󰇡cos
9
+ sin
9
󰇢
= 1
= 2
cos
4
9
+ sin
4
9
= 2
= 2
cos
7
9
+ sin
7
9
= 3
= 2
cos
10
9
+ sin
10
9
GI
I TÍCH PH
C
03
= 4
= 2
cos
13
9
+ sin
13
9
= 5
= 2
cos
16
9
+ sin
16
9
Vy
,
,
,
,
,
là nghim của phương trình
+ 1 =
3
.
f.
=
Ta có = cos
+ sin
Khi đó căn bậc 2 ca được xác định bi
= cos
2
+ 2
2
+ sin
2
+ 2
2
= cos
+ 4
4
+ sin
+ 4
4
, = 0,1.
= 0
= cos
4
+ sin
4
=
2
2
+
2
2
= 1
= cos
5
4
+ sin
5
4
=
2
2
2
2
Vy
,
nghim của phương trình
= .
Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình:
(
)
=
Gii:
(
1
)
= 16
+ 16 = 0
= 1 + 3
7
= 1 3
7
Xét 1 + 3
7=
1 + 63 = 8
󰇱
cos =
=
sin =
=
, khi đó căn bc 2 ca 1 +
63 được xác định bi
= 8
cos
+ 2
2
+ sin
+ 2
2
= 22 cos
+ 2
2
+ sin
+ 2
2
, = 0,1.
= 0
= 22
cos
2
+ sin
2
= 1
= 22
cos
+ 2
2
+ sin
+ 2
2
= 22 cos
2
+ sin
2
GI
I TÍCH PH
C
04
Ta có cos
= ±

= ±

= ±
sin
= ±

= ±

= ±
Chn cos
=
; sin
=
, khi đó
= 22 󰇧
3
4
+
7
4
󰇨
= 22
󰇧
3
4
+
7
4
󰇨
Vy
,
nghim của phương trình
= 1 + 3
7
Làm tương tự vi 1 3
7
trong đó chọn cos
=
; sin
=
, khi đó
󰆒
= 22
󰇧
3
4
7
4
󰇨
󰆒
= 22
󰇧
3
4
7
4
󰇨
Vy
󰆒
,
󰆒
nghim của phương trình
= 1 3
7
Suy ra
,
,
󰆒
,
󰆒
là nghim của phương trình
(
1
)
= 16
II. BÀI TOÁN 2: TÌM NH VÀ TO NH QUA ÁNH X PHC
2.1. Kiến thc b tr
Để m nh ca mt điểm, đường thẳng hay đưng tròn qua ánh x phc =
(
)
=
(
,
)
+ (, ), ta xác định mi liên h ca , da trên miền cho trước
Ngược lại để m tạo nh ca hàm
(
,
)
, (, ), ta xác định mi liên h ca , .
2.2. Bài tp mu
Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm nh ca đường = qua ánh x phc =
.
(Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16)
Gii:
Gi s = + , khi đó =
=

=


=
(
,
)
+ (, )
GI
I TÍCH PH
C
05
(
,
)
=
+
(
,
)
=
+
Vi = 1, khi đó
(
,
)
=

(
,
)
=

+
=
1 +
(
1 +
)
=
1
1 +
=
+
= 0 
1
2
+
=
1
4
Vy nh ca đường = 1 là đường tròn tâm (
, 0), bán kính
.
Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham s hóa để m nh của đưng tròn
|
|
= qua
ánh x phc = .
Gii:
Gi s = + ,
=
+
Ta có
|
|
=
=

=
+

, khi đó
= 2 =
(
+ 

)
2 =
+
+
(
cos + sin
)
2
=
(
−
2 sin
)
+
(
+ cos
)
=
(
,
)
+ (, )
(
,
)
=
2 sin
(
,
)
=
+ cos
sin =
(
,
)
+
+ 2
cos =
(
,
)
(
+
(
+ 2
)
)
+
(
)
=
Vy nh ca đường tròn
|
|
= qua ánh x = 2 đường tròn tâm
(
−
2,
)
, bán kính .
Bài 2.3: Cho hàm =
. Tìm nh ca:
a. Đường tròn
|
|
= ,
b. Min qut < <
.
Gii:
a. Gi s = + , khi đó =
=
(
+ 
)
=
+ 2=
(
,
)
+ (, )
(
,
)
=
(
,
)
= 2
Ta có pơng trình tham số ca đường tròn
|
|
= 2 là:
= 2 cos
= 2 sin
0 2
GI
I TÍCH PH
C
06
Khi đó:
(
,
)
=
(
2 cos
)
(
2 sin
)
= 4
(
cos
sin
)
= 4 cos 2
(
,
)
= 2.2 cos . 2 sin = 4 sin 2
󰇡
4
󰇢
+ 󰇡
4
󰇢
= cos
2+ sin
2= 1
+
= 16
Vy nh của đường tròn
|
|
= 2 trong mp
(
)
đường tròn tâm gc tọa đô, n kính
là 4 trong mp()
b. Đặt = 0 < <
Ta có =
(
cos + sin
)
=
=
(
cos 2+ sin 2
)
= 2
Ta coi min qut 0 < <
được qt bởi a = , vi biến thiên t 0 đến
Theo chng minh trên thì nh ca a = qua phép biến hình =
a =
2. Khi biến thiên t 0 đến
thì 2 biến thiên t 0 đến .
Vy nh ca min qut 0 < <
là na mt phng trên 0 < < .
Bài 2.4: Cho hàm =
, = + . Tìm:
a. nh của đường =
b. To nh của đường = .
Gii:
a. Ta có:
=
1
=
1
+ 
=

+
=
+
+
=
(
,
)
+ (, )
(
,
)
=
+
(
,
)
=
+
+ Trường hp = = 0, khi đó
󰇫
(
,
)
= 0
(
,
)
=
,
(
0
)
=
Vy nh ca đường = 0 là trc o tr gc tọa độ
+ Trường hp = 0, khi đó
GI
I TÍCH PH
C
07
(
,
)
=


+
(
,
)
=

+
+
=

+
(

+
)
=
1

+
=


+
= 0 
1
2
+
=
1
4
Vy nh ca đường =  là đường tròn tâm 󰇡

, 0󰇢, bán kình là
||
,
(
0
)
.
b. = 

= 
+ Trường hp = 0 = 0
Vy to nh của đường = 0 là trc o tr gc tọa độ
+ Trường hp 0, khi đó
+
=
+
= 0 󰇡

󰇢
+
=

Vy to nh của đường =  là đường tròn tâm 󰇡

, 0󰇢, bán kình là
||
,
(
0
)
.
III. BÀI TOÁN TÌM GII HN VÀ CHNG MINH S LIÊN TC CA HÀM PHC
3.1. Kiến thc b tr
a. Gii hn dãy s phc
Cho 󰇫
{
}
,
=
+
lim
→
=
=
+
󰇫
lim
→
=
lim
→
=
b. Gii hn hàm phc
Cho
(
)
=
(
,
)
+ 
(
,
)
,
=
+ 
, = + , khi đó
lim
→
() =
lim
→
→
(, ) =
lim
→
→
(, ) =
Nếu khi xét
theo các hướng khác nhau thì có các kết qu khác nhau tta kết lun
không tn ti gii hn ti =
.
GI
I TÍCH PH
C
08
c. Hàm liên tc
Cho () xác định trong lân cn điểm
, khi đó:
() liên tc ti
+
(
)
á địℎ ạ
+ ồ ạ lim
→
(
)
+ lim
→
() =
(
)
() liên tc trên min nếu liên tc ti mi điểm thuc .
3.2. Bài tp mu
Bài 3.1: Tính 
→
(
+ )
Gii:
Gi s = + , khi đó
+ =
(
+ 
)
+ =
+
(
2+ 1
)
=
(
,
)
+ (, )
(
,
)
=
(
,
)
= 2+ 1
;
= 1 +
lim
→
→
(
,
)
= lim
→
→
(
)
= 0
lim
→
→
(
,
)
= lim
→
→
(
2+ 1
)
= 3
Vy lim
→
(
+ 1
)
= lim
→
→
(
,
)
+ lim
→
→
(
,
)
= 3
Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chng minh rng

→


+ 
+
= + .
Gii:
= lim
→
3
2
+ 8
2+ 5
= lim
→
(
)
[
3
+
(
32
)
+
(
5 2
)
+ 5
]
= lim
→
[
3
+
(
32
)
+
(
5 2
)
+ 5
]
= 3
+
(
32
)
+
(
5 2
)
+ 5
= 33+ 2 + 5+ 2 + 5= 4 + 4
Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính các gii hn sau:
GI
I TÍCH PH
C
09
a. 
→


b. 
→


c. 
→
(

)
Gii:
a. Đặt
(
)
=

+ 1;
(
)
=
+ 1, khi đó
(
)
=

+ 1 = 0;
(
)
=
+ 1 = 0
󰆒
(
)
= 6
= 60
Áp dng quy tc L’Hospital ta có
lim
→
()
()
= lim
→
′()
′()
= lim
→
10
6
= lim
→
5
3
=
5
3
=
5
3
lim
→

+ 1
+ 1
=
5
3
.
b. lim
→


= lim
→
󰇡
󰇢

= lim
→


= lim
→

󰇡
󰇢

Ta có lim
→

󰇡
󰇢
= 1 và lim
→

= 1
lim
→
1 cos
sin
=
1
2
.
c. lim
→
(
cos
)
=
Bài 3.4: Xét s tn ti gii hn ca 
→
󰇡
󰇢
.
Gii:
Gi s = + , khi đó

=


+ Cho 0 theo hướng trc  khi đó = 0
lim
→
󰇡
󰇢
= lim
→

+ 

= lim
→

󰇡
󰇢
= lim
→

1 = 1 (1)
+ Cho 0 theo hướng đường thng =
lim
→
󰇡

󰇢
= lim
→

+ 

= lim
→

+ 

= lim
→

1 +
1
= 1 (2)
GI
I TÍCH PH
C
10
T (1)(2) ta suy ra không tn ti gii hn lim
→
󰇡

󰇢
Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số
(
)
= 󰇡
󰇢
không liên tc ti = 0.
Bài 3.5: Xét nh liên tc ca hàm
(
)
= 󰇱
ế
|
|
ế
|
|
=
ạ
= ,
=
Gii:
+ Ti
= 1 ta có:
(
1
)
= 3lim
→
(
)
= lim
→


= lim
→
(
+ + 1
)
= 3
Vy lim
→
(
)
= (1) nên hàm s liên tc ti
= 1
+ Ti
=
(
)
= 3lim
→
(
)
= lim
→


= lim
→
(
+ + 1
)
=
Vy lim
→
(
)
(1) nên hàm s gián đoạn ti
=
Bài 3.6: Cho các hàm
a.
(
)
=
()
b.
(
)
=
|
|
c.
(
)
=
()
|
|
Có th gán giá tr ca hàm s ti = để nó tr thành hàm liên tc ti = hay không?
Gii:
a. Chn 2 dãy
=
=
, khi đó
,
0 khi
Xét
lim
→
(
) = lim
→
(
)
= lim
→
1
1
= lim
→
1 = 1
lim
→
(
) = lim
→
(
)
= lim
→
0
1
= lim
→
0 = 0
GI
I TÍCH PH
C
11
Suy ra không tn ti lim
→
() nên không th gán giá tr ca hàm s tại điểm = 0 để tr
thành m liên tc ti = 0.
b. Chn 2 dãy
=
=
+
, khi đó
,
0 khi
Xét
lim
→
(
) = lim
→
|
|
= lim
→
1
1
= lim
→
1 = 1
lim
→
(
) = lim
→
|
|
= lim
→
1
+
󰇡
1
󰇢
+ 󰇡
1
󰇢
= lim
→
1 +
2
=
1 +
2
Suy ra không tn ti lim
→
() nên không th gán giá tr ca hàm s tại điểm = 0 để tr
thành m liên tc ti = 0.
c. Gi s = + 
Khi đó
(
)
=
()
||
=
(

)


=


+



=
(
,
)
+ (, )
(
,
)
=
+
(
,
)
=


+
Ta có
0

|
|
=
|
|
lim
→
→
|
|
= 0 nên lim
→
→
(, ) = lim
→
→


= 0 (1)
0






=

lim
→
→


= 0 nên lim
→
→
(, ) = lim
→
→


= 0 (2)
T (1) và (2) suy ra lim
→
() = lim
→
()
|
|
= 0
Vy có thn giá tr
(
)
= 0 ti = 0 để nó tr thành hàm liên tc ti = 0.
Bài 3.7 (câu 2, đề thi môn GTP – K16): Chng minh rng hàm
(
)
=
liên tc trên .
Gii:
Gi s = + , khi đó
(
)
= = =
(
,
)
+ (, )
GI
I TÍCH PH
C
12
(
,
)
=
(
,
)
= −
Ly tùy ý
=
+
, khi đó ta có:
(
)
=
Xét
lim
→
→
(
,
)
= lim
→
→
=
lim
→
→
(
,
)
= lim
→
→
(
−
)
= −
lim
→
() = lim
→
→
[
(
,
)
+ (, )
]
=
=
(
)
Suy ra hàm s liên tc ti =
Do
ly tùy ý trong nên hàm () liên tc trên .
Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chng minh rng hàm
(
)
=
liên tục đều trên min
|
|
<
.
Gii:
Đặt : {:
|
|
< 1}
Vi , ′ ta có
|
(
)
(
󰆒
)
|
=
|
′
|
=
|
′
||
+ ′
|
|
󰆒
|
(
|
|
+
|
󰆒
|
)
< 2|′|
Vy ∀> 0, ∃=
, ∀,
󰆒
:
|
󰆒
|
<
|
(
)
(
󰆒
)
|
< 2
|
󰆒
|
< 2=
Do đó
(
)
=
liên tục đều trên :
|
|
< 1.
Bài 3.9 (bài 11, SGK, tr 52): Chng minh rng hàm
(
)
=
không liên tục đều trên min
|
|
< .
Gii:
IV. BÀI TOÁN CHNG MINH S TN TẠI ĐẠO HÀM CA HÀM PHC
4.1. Kiến thc b tr
a. Điều kin Cauchy-Riemann (dạng đại s)
Cho hàm
(
)
=
(
,
)
+ (, ) có đạo hàm tại điểm = +  thì:
GI
I TÍCH PH
C
13
+
(
,
)
,
(
,
)
đạo hàm riêng tại điểm
(
,
)
+ Các đạo hàm riêng ca
(
,
)
,
(
,
)
tha mãn phương trình


=


à


=


(1)
Ngược li nếu
(
,
)
,
(
,
)
c đo hàm riêng liên tc tại điểm
(
,
)
và tha (1) thì
(
)
=
(
,
)
+ (, ) có đạo hàm tại điểm = + 
󰆒
(
)
=
󰆒
(
,
)
+
󰆒
(
,
)
ℎặ
󰆒
(
)
=
󰆒
(
,
)
󰆒
(
,
)
.
b. Điều kin Cauchy-Riemann (dng phc)
Ta = cos , = sin , =
+
, = arctan 󰇡
󰇢, khi đó điều kin Cauchy-
Rieamann dng phc là


=
1


à


=
1


4.2. Bài tp mu
Bài 4.1: Kho sát s tn tại đạo hàm ca các hàm s sau:
a.
(
)
=
b.
(
)
=
|
|
Gii:
a. Gi s = + , khi đó
(
)
=
=
(
+ 
)
=
3
+
(
3
)
=
(
,
)
+ 
(
,
)
(
,
)
=
3
(
,
)
= 3
Suy ra


= 3
3
;


= 3
3
;


= 6;


= 6


=


= 3
3
à


=


= 6
Vy
(
,
)
,
(
,
)
các đạo hàm riêng liên tc ti mọi điểm
(
,
)
tha điều kin
Cauchy-Riemann nên
(
)
có đạo hàm ti mọi điểm thuc mt phng phc
b. Gi s = + , khi đó
(
)
=
|
|
=
+
=
(
,
)
+ (, )
GI
I TÍCH PH
C
14
(
,
)
=
+
(
,
)
= 0
Suy ra


= 2;


= 0;


= 2;


= 0
Hàm () có đạo hàm khi


=




=


2= 0
2= 0
= = 0
Vy hàm () có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm ti mọi điểm 0
Bài 4.2 (bài 13,14, SGK, tr52): Chng minh rng
;

(
)
không tn ti ti mi điểm
thuc mt phng phc.
Gii:
+ Chng minh

không tn ti ti mọi điểm thuc mt phng phc
Gi s = + , đặt
(
)
= , khi đó
(
)
= = =
(
,
)
+ (, )
(
,
)
=
(
,
)
= −
Suy ra


= 1;


= 1;


= 0;


= 0
ràng


= 1 1 =
nên () không đạo hàm ti mi điểm thuc mt phng
phc.
Vy


không tn ti ti mọi điểm thuc mt phng phc
+ Chng minh
(

)
không tn ti ti mi điểm thuc mt phng phc
Gi s = + , đặt
(
)
=
, khi đó
(
)
=
=
(
+ 
)
(

)
=
+
+
(
+
)
=
(
,
)
+ (, )
GI
I TÍCH PH
C
15
(
,
)
=
+
(
,
)
=
+
Suy ra


= 3
+
;


=
+ 3
;


= 2;


= 2
Hàm () có đạo hàm khi


=




=


3
+
=
+ 3
2= 2
= = 0
Suy ra hàm () có đo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm ti mọi điểm 0
Vy

(

)
không tn ti ti mi điểm thuc mt phng phc
Bài 4.3: Cho hàm (, )
(
)
=
. Gi s () có đạo hàm, m ().
Gii:
Gi s = + ,
(
)
=
(
,
)
+ (, )
Theo gi thiết ta có
(
,
)
=


= 2;


= 2
Do
(
)
đo hàm nên ta có


=




=




= 2 (1)


= 2 (2)
T (1):


= 2
(
,
)
= 2+
(
)


= 2+ () thay vào (2) ta được
2+
󰆒
(
)
= 2
󰆒
(
)
= 0
(
)
= = 
Vy
(
)
=
+
(
2+
)
=
(
+ 
)
+ =
+ .
Bài 4.4: Tìm sao cho các hàm sau kh vi
a.
(
)
=
+
(
+ 
)
b.
(
)
=
+
GI
I TÍCH PH
C
16
c.
(
)
=

|
|
>

|
|
(đề thi môn GTP – K18)
Gii:
a.
(
)
=
2+
(
+ 2
)
=
(
,
)
+ (, )
(
,
)
=
2
(
,
)
=
+ 2
Suy ra


= 22;


= 22;


= 22;


= 2+ 2


=


= 22 à


=


= 22
Vy
(
,
)
,
(
,
)
các đạo hàm riêng liên tc ti mọi điểm
(
,
)
thỏa điều kin
Cauchy-Riemann nên
(
)
có đạo hàm hay kh vi ti mọi đim thuc mt phng phc
b. Gi s = (cos + sin ), khi đó
(
)
=
+ =
(
cos 5+ sin 5
)
+
(
cos sin
)
=
(
cos 5+ cos
)
+
(
sin 5sin
)
=
(
,
)
+ (, )
(
,
)
=
cos 5+ cos
(
,
)
=
sin 5sin
Suy ra


= 5
cos 5+ cos ;


= 5
sin 5sin


= 5
sin 5sin ;


= 5
cos 5cos
Rõ ràng
1


=
1
(
5
cos 5cos
)
= 5
cos 5cos


1


=
1
(
5
sin 5sin
)
= 5
sin 5+ sin


Vy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng không thỏa điều kin Cauchy-Riemann nên
(
)
không kh vi ti mi .
c. + Tp =
{
:
|
|
> 3
}
tp m
GI
I TÍCH PH
C
17
Ta có
(
)
= 2 = 2 + 0=
(
,
)
+ (, )
(
,
)
= 2
(
,
)
= 0
Suy ra


= 0;


= 0;


= 0;


= 0


=


= 0 à


=


= 0
Vy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng liên tc thỏa điều kin Cauchy-Riemann trên tp
n () đạo hàm hay kh vi trên .
+ Tương t vi =
{
:
|
|
< 3
}
ta chứng minh được () có đạo hàm hay kh vi trên
+ Xét =
{
:
|
|
= 3
}
, khi đó
(
)
= 1
Xét dãy
= (1 +
)
|
|
= 1 +
1
|
|
= 1 +
1
3 > 3
(
)
= 2
Ta
khi , tuy nhiên
(
)
= 2 1 =
(
)
n hàm () không liên tc ti
mọi điểm trên . Do đó () không kh vi ti mi :
|
|
= 3.
Bài 4.5 thi môn GTP – Cao hc 2008-2009): Cho
(
)
=
ớ
|
|
ớ
|
|
<
Hàm () có đạo hàm ti =
nào?
Gii:
+ Xét tp =
{
:
|
|
> 1
}
là tp m
Ta có
(
)
=
= (+ )
=
+ 2=
(
,
)
+ (, )
(
,
)
=
(
,
)
= 2
Suy ra


= 2;


= 2;


= 2;


= 2
GI
I TÍCH PH
C
18


=


= 2 à


=


= 2
Vy
(
,
)
,
(
,
)
các đạo m riêng liên tc thỏa điều kin Cauchy-Riemann trên
tp nên () đạo hàm ti mọi đim trên .
+ Xét tp =
{
:
|
|
< 1
}
là tp m
Ta có
(
)
= 1 = 1 + 0=
(
,
)
+ (, )
(
,
)
= 1
(
,
)
= 0
Suy ra


= 0;


= 0;


= 0;


= 0


=


= 0 à


=


= 0
Vy
(
,
)
,
(
,
)
các đạo m riêng liên tc thỏa điều kin Cauchy-Riemann trên
tp nên () có đạo hàm ti mọi điểm trên .
+ Xét =
{
:
|
|
= 1
}
, khi đó
(
)
=
Vi = ±1 thuc thì
(
)
=
= 1 = 1 + 0 ta chng minh được () kh vi ti =
±1
Vi ±1. Xét dãy
= (1
)
|
|
= 1
1
|
|
= 1
1
1 < 1
(
)
= 1
Ta có
khi , tuy nhiên
(
)
= 1
=
(
)
nên hàm () không liên tc ti
mọi điểm trên \{±1}. Do đó () không kh vi ti mi trên \{±1}.
V. BÀI TOÁN XÁC ĐNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA
5.1. Kiến thc b tr
a. Hàm giải ch
+ () giải ch trên miền m nếu kh vi (tn tại đạo hàm) ti mi điểm thuc
GI
I TÍCH PH
C
19
+ () giải ch tại điểm
nếu kh vi trong lân cn của điểm
+
(
)
=
(
,
)
+ (, ) giải ch trong miền , các
(
,
)
,
(
,
)
có đạo hàm riêng liên
tc trên thì
(
,
)
, (, ) thỏa phương trình Laplace:
Φ
+
Φ
= 0.
b. Hàm điều hòa
+ Hàm thc hai biến có đạo hàm riêng cp 2 liên tc và thỏa phương trình Laplace đưc gi
là hàm điều hòa.
+ Hai hàm điều hòa
(
,
)
,
(
,
)
sao cho
(
)
=
(
,
)
+ (, ) giải ch được gi
hai hàm điều hòa liên hp.
+ Hàm
(
)
=
(
,
)
+ (, ) xác định trên min đơn liên và giải ch trên t
(
,
)
,
(
,
)
là các hàm điều hòa trên .
+
(
,
)
m điều hòa trên thì tn ti
(
)
giải ch trên sao cho 
(
)
=
(
,
)
5.2. Bài tp mu
Bài 5.1 thi môn GTP – CH 2008-2009): Cho
(
,
)
= 
+ +
a. Chng t là hàm điều a.
b. Tìm hàm giải ch () sao cho = (). Tìm 
(
)
.
Gii:
a. Chng minh Φ là hàm điều hòa.
Φ

= 12
4
1,
Φ

= 12
12
Φ

= 12
4
+ 1,
Φ
= 12
12
Φ

+
Φ
= 12
12
+ 12
12
= 0
Vy hàm thc Φ hai biến các đạo hàm riêng cp 2 liên tc ti mi điểm (, ) tha
phương trình Laplace nên Φ là hàm điều hòa (có th gi Φ là phn thc ca hàm giải ch).
b. Tìmm giải ch
Gi s hàm giải ch cần m dng:
(
)
= Φ
(
,
)
+ iΨ(, ), vi Ψ(, ) hàm điu
hòa liên hp vi Φ
(
,
)
, khi đó Φ
(
,
)
, Ψ(, ) phi thỏa điều kin Cauchy-Riemann
GI
I TÍCH PH
C
20
Φ

=
Ψ

Φ

=
Ψ

Ψ

= 12
4
1
(
1
)
Ψ

= 12
+ 4
1 (2)
T (1):


= 12
4
1 Ψ= 4
4
+
(
)
= 4
12
+ ′() thay vào (2) ta có
4
12
+
󰆒
(
)
= 12
+ 4
1
󰆒
(
)
= 1
(
)
= −+
(
)
= Ψ
(
,
)
= 4
4
+
Vy
(
)
= 6
+ + 1 +
(
4
4
+
)
.
Bài 5.2 thi môn GTP – K15): Cho
(
,
)
=
(  )
a. Chng t (, ) là hàm điều hòa trên mt min thích hp.
b. Tìm mt hàm giải ch
(
)
=
(
,
)
+ 
(
,
)
, giải ch trên miền .
c. Biu din trong câu (b) theo biến
Gii:
a. Chng minh (, ) là hàm điều hòa.


= −

(
sin cos
)
+

sin =
(
sin sin + cos
)

=

(
sin sin + cos
)
sin =

(
2 sin + sin cos
)


=

(
cos cos + sin
)
=

(
−sin + sin + sin + cos
)
=

(
2 sin sin + cos
)
+
= 0
Vy
(
,
)
c đạo hàm riêng cp 2 liên tc ti mọi điểm (, ) tha phương trình
Laplace nên (, ) là hàm điều hòa.
b. Hàm
(
)
=
(
,
)
+ (, ) giải ch trên miền nên
(
,
)
, (, ) tha điu kin
Cauchy-Riemann:
| 1/50

Preview text:

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC
(Tài liệu chỉ có nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com )
Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm.
Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp. Môn giải ch
phức thực chất là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rắc rối” (không phải ở
môn học mà ở… các bạn chắc đã hiểu) vì vậy mọi người đừng chủ quan nhé. Sau đây là một
số dạng bài tập mà chúng ta sẽ ôn tập
I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1.1. Kiến thức bổ trợ
a. Đồng nhất số phức = Cho = + khi đó phương trình = + ⇔ = b. Căn thức
Số phức được gọi là căn bậc của số phức nếu
= (1) và phương trình (1) có
đúng nghiệm được xác định bởi công thức + 2 + 2 = √ cos + sin , = 0,1, … , − 1 1.2. Bài tập mẫu
Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải các phương trình sau: a. + + = b. + = c. = ( + ) d. + = e. + = √ f. = . Giải: = = − + a. 5 + 2 + 10 = 0 ⇔ = = − − b. + 81 = 0 ⇔ = −81
Ta có −81 = 81(cos( ) + sin( ))
Khi đó căn bậc 4 của −81 được xác định bởi + 2 + 2 + 2 + 2 = √81 cos + sin = 3 cos + sin , = 0,1,2 4 4 4 4 GIẢI TÍCH PHỨC 01 √ √ = 0 ⇒ = 3 cos + sin = 3 + √ = 1 ⇒ = 3 cos + sin = 3 − √ + = 2 ⇒ = 3 cos + sin = 3 − √ − √ √ = 3 ⇒ = 3 cos + sin = 3 − √
Vậy , , , là nghiệm của phương trình + 81 = 0
c. 2 = (2 + 9 ) ⇔ 2 = −9 + 2 ⇔ = − + d. Đặt = + , khi đó 2 − (2 − )(1 − 3 ) 1 7 + 2 ̅ = ⇔ + + 2( − ) = ⇔ 3 − = − − 1 + 3 10 10 10 3 = − = − ⇔ ⇔ − = − = Vậy = − + e. + 1 = √3 ⇔ = −1 + √3 Ta có − √ 1 + √3 = 2 − + = 2 cos + sin
Khi đó căn bậc 6 của −1 + √3 được xác định bởi 2 2 + 2 + 2 3 3 + 3 + 3 = √2 cos + sin = √2 cos + sin 6 6 9 9 = 0 ⇒ = √2 cos + sin 9 9 4 4 = 1 ⇒ = √2 cos + sin 9 9 7 7 = 2 ⇒ = √2 cos + sin 9 9 10 10 = 3 ⇒ = √2 cos + sin 9 9 GIẢI TÍCH PHỨC 02 13 13 = 4 ⇒ = √2 cos + sin 9 9 16 16 = 5 ⇒ = √2 cos + sin 9 9
Vậy , , , , , là nghiệm của phương trình + 1 = √3 . f. = Ta có = cos + sin
Khi đó căn bậc 2 của được xác định bởi + 2 + 2 + 4 + 4 = cos 2 + sin 2 = cos + sin , = 0,1. 2 2 4 4 √2 √2 = 0 ⇒ = cos + sin = + 4 4 2 2 5 5 √2 √2 = 1 ⇒ = cos + sin = − − 4 4 2 2
Vậy , là nghiệm của phương trình = .
Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình: ( − ) = Giải: (1 − ) = 16 ⇔ − + 16 = 0 ⇔ = 1 + 3√7 = 1 − 3√7
Xét 1 + 3√7 có = √1 + 63 = 8 cos =
= , khi đó căn bậc 2 của 1 + √63 được xác định bởi √ sin = = + 2 + 2 + 2 + 2 = √8 cos + sin = 2√2 cos + sin , = 0,1. 2 2 2 2 = 0 ⇒ = 2√2 cos + sin 2 2 + 2 + 2 = 1 ⇒ = 2√2 cos + sin = −2√2 cos + sin 2 2 2 2 GIẢI TÍCH PHỨC 03 Ta có √ cos = ± = ± = ± và sin = ± = ± = ± Chọn √ cos = ; sin = , khi đó ⎧ 3 √7 ⎪ = 2√2 + 4 4 ⎨ 3 √7 ⎪ = −2√2 + ⎩ 4 4
Vậy , là nghiệm của phương trình = 1 + 3√7
Làm tương tự với 1 − 3√7 trong đó chọn cos = ; sin = − √ , khi đó ⎧ 3 √7 ⎪ = 2√2 − 4 4 ⎨ 3 √7 ⎪ = −2√2 − ⎩ 4 4
Vậy , là nghiệm của phương trình = 1 − 3√7 Suy ra , , ,
là nghiệm của phương trình (1 − ) = 16
II. BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC
2.1. Kiến thức bổ trợ
Để m ảnh của một điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức = ( ) = ( , ) +
( , ), ta xác định mối liên hệ của , dựa trên miền cho trước
Ngược lại để m tạo ảnh của hàm ( , ), ( , ), ta xác định mối liên hệ của , . 2.2. Bài tập mẫu
Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh của đường = qua ánh xạ phức = .
(Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử = + , khi đó = = = − = ( , ) + ( , ) GIẢI TÍCH PHỨC 04 ( , ) = ⇒ + ( , ) = − + Với = 1, khi đó ( , ) = và ( , ) = − 1 + 1 1 1 ⇒ + = = = ⇔ − + = 0 ⇔ − + = (1 + ) 1 + 2 4
Vậy ảnh của đường = 1 là đường tròn tâm ( , 0), bán kính là .
Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh của đường tròn | − | = qua ánh xạ phức = − . Giải: Giả sử = + , = + Ta có | − | = ⇒ − = ⇔ = + , khi đó = − 2 = ( + ) − 2 = + + (cos + sin ) − 2 = (−
− 2 − sin ) + ( + cos ) = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = −
− 2 − sin ⇔ sin = ( , ) + + 2 ( , ) = + cos cos = ( , ) − ⇒ ( + ( + 2) ) + ( − ) =
Vậy ảnh của đường tròn | − | = qua ánh xạ =
− 2 là đường tròn tâm (− − 2, ), bán kính .
Bài 2.3: Cho hàm = . Tìm ảnh của:
a. Đường tròn | | = , b. Miền quạt < < . Giải: a. Giả sử = + , khi đó = = ( + ) = − + 2 = ( , ) + ( , ) ⇒ ( , ) = − ( , ) = 2 = 2 cos
Ta có phương trình tham số của đường tròn | | = 2 là: = 2 sin 0 ≤ ≤ 2 GIẢI TÍCH PHỨC 05 Khi đó:
( , ) = (2 cos ) − (2 sin ) = 4(cos − sin ) = 4 cos 2
( , ) = 2.2 cos . 2 sin = 4 sin 2 ⇒ + = cos 2 + sin 2 = 1 ⇔ + = 16 4 4
Vậy ảnh của đường tròn | | = 2 trong mp( ) là đường tròn có tâm là gốc tọa đô, bán kính là 4 trong mp( ) b. Đặt = ⇒ 0 < < Ta có = (cos + sin ) ⇒ = = (cos 2 + sin 2 ) ⇒ = 2 Ta coi miền quạt 0 < < được quét bởi a
= , với biến thiên từ 0 đến
Theo chứng minh trên thì ảnh của a = qua phép biến hình = là a =
2 . Khi biến thiên từ 0 đến thì 2 biến thiên từ 0 đến .
Vậy ảnh của miền quạt 0 <
< là nửa mặt phẳng trên 0 < < .
Bài 2.4: Cho hàm = , = + . Tìm:
a. Ảnh của đường =
b. Tạo ảnh của đường
= . Giải: a. Ta có: 1 1 − = = = = − = ( , ) + ( , ) + + + + ( , ) = ⇒ + ( , ) = − +
+ Trường hợp = = 0, khi đó ( , ) = 0 ⇒ = − ( , ) = − , ( ≠ 0)
Vậy ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ
+ Trường hợp = ≠ 0, khi đó GIẢI TÍCH PHỨC 06 ( , ) = + ( , ) = − + + 1 ⇒ + = = = ( + ) + 1 1 ⇔ − + = 0 ⇔ − + = 2 4
Vậy ảnh của đường = là đường tròn tâm , 0 , bán kình là , ( ≠ 0). | | b. = ⇔ = + Trường hợp = 0 ⇒ = 0
Vậy tạo ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ
+ Trường hợp ≠ 0, khi đó + = ⇔ − + = 0 ⇔ − + =
Vậy tạo ảnh của đường = là đường tròn tâm , 0 , bán kình là , ( ≠ 0). | |
III. BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM PHỨC
3.1. Kiến thức bổ trợ
a. Giới hạn dãy số phức { }, = + lim = Cho → lim = = + ⇔ lim = → →
b. Giới hạn hàm phức Cho ( ) = ( , ) + ( , ), = + , = + , khi đó lim → ( , ) = → lim ( ) = ⇔ → lim → ( , ) = →
Nếu khi xét → theo các hướng khác nhau thì có các kết quả khác nhau thì ta kết luận
không tồn tại giới hạn tại = . GIẢI TÍCH PHỨC 07 c. Hàm liên tục
Cho ( ) xác định trong lân cận điểm , khi đó: + ( ) á đị ℎ ạ ( ) + ồ ạ lim ( ) liên tục tại ⇔ → + lim ( ) = ( ) →
( ) liên tục trên miền nếu liên tục tại mọi điểm thuộc . 3.2. Bài tập mẫu Bài 3.1: Tính ( + ) → Giải: Giả sử = + , khi đó + = ( + ) + = − + (2 + 1) = ( , ) + ( , ) ⇒ ( , ) = − ; = 1 + ( , ) = 2 + 1 lim ( , ) = lim( − ) = 0 → → → → lim ( , ) = lim(2 + 1) = 3 → → → → Vậy lim (
+ 1) = lim ( , ) + lim ( , ) = 3 → → → → →
Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh rằng − + − + → − = + . Giải: 3 − 2 + 8 − 2 + 5 ( − )[3 + (3 − 2) + (5 − 2 ) + 5 ] = lim → − = lim → − = lim[3 + (3 − 2)
+ (5 − 2 ) + 5 ] = 3 + (3 − 2) + (5 − 2 ) + 5 →
= −3 − 3 + 2 + 5 + 2 + 5 = 4 + 4
Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính các giới hạn sau: GIẢI TÍCH PHỨC 08 a. b. c. ( ) → → → Giải: a. Đặt ( ) = + 1; ( ) = + 1, khi đó ( ) = + 1 = 0; ( ) = + 1 = 0 và ( ) = 6 = 6 ≠ 0
Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có ( ) ′( ) 10 5 5 5 lim = lim = lim = lim = = → ( ) → ′( ) → 6 → 3 3 3 + 1 5 ⇒ lim = . → + 1 3 b. lim = lim = lim = lim → → → → Ta có lim = 1 và lim = 1 → → 1 − cos 1 ⇒ lim = . → sin 2 c. lim(cos ) = →
Bài 3.4: Xét sự tồn tại giới hạn của . Giải: Giả sử = + , khi đó = ̅
+ Cho → 0 theo hướng trục khi đó = 0 + lim = lim 1 = 1 (1) → ̅ = lim → − = lim → →
+ Cho → 0 theo hướng đường thẳng = + + 1 + lim → ̅ = lim → − = lim → − = lim → 1 − = −1 (2) GIẢI TÍCH PHỨC 09
Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại giới hạn lim → ̅
Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số ( ) =
không liên tục tại = 0. ̅
Bài 3.5: Xét nh liên tục của hàm − ( ) = − ế | | ≠ ạ = , = ế | | = Giải: + Tại = 1 ta có: (1) = 3 và lim ( ) = lim = lim( + + 1) = 3 → → →
Vậy lim ( ) = (1) nên hàm số liên tục tại = 1 → + Tại = ( ) = 3 và lim ( ) = lim = lim( + + 1) = → → →
Vậy lim ( ) ≠ (1) nên hàm số gián đoạn tại = →
Bài 3.6: Cho các hàm a. ( ) ( ) ( ) = b. ( ) = c. ( ) = | | | |
Có thể gán giá trị của hàm số tại = để nó trở thành hàm liên tục tại = hay không? Giải: a. Chọn 2 dãy
= và ∗ = , khi đó , ∗ → 0 khi → ∞ Xét 1 ( ) lim ( ) = lim = lim = lim 1 = 1 → → → 1 → ( ∗) 0 lim ( ∗) = lim = lim 0 = 0 ∗ → ∗ → ∗ = lim → 1 → GIẢI TÍCH PHỨC 10
Suy ra không tồn tại lim ( ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm = 0 để nó trở →
thành hàm liên tục tại = 0. b. Chọn 2 dãy = và ∗ =
+ , khi đó , ∗ → 0 khi → ∞ Xét 1 lim ( ) = lim = lim = lim 1 = 1 → → | | → 1 → ∗ 1 + 1 + 1 + lim ( ∗) = lim = lim = lim = ∗ → ∗ → | ∗| → 1 1 → √2 √2 +
Suy ra không tồn tại lim ( ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm = 0 để nó trở →
thành hàm liên tục tại = 0. c. Giả sử = + Khi đó ( ) ( ) ( ) = = = + = ( , ) + ( , ) | | ⎧ ⎪ ( , ) = ⇒ + ⎨ ⎪ ( , ) = ⎩ + Ta có 0 ≤ ≤
= | | mà lim| | = 0 nên lim ( , ) = lim = 0 (1) | | → → → → → → 0 ≤ ≤ = mà lim = 0 nên lim ( , ) = lim = 0 (2) → → → → → → Từ (1) và (2) suy ra ( ) lim ( ) = lim = 0 → → | |
Vậy có thể gán giá trị ( ) = 0 tại = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại = 0.
Bài 3.7 (câu 2, đề thi môn GTP – K16): Chứng minh rằng hàm ( ) = liên tục trên . Giải: Giả sử = + , khi đó ( ) = ̅ = − = ( , ) + ( , ) GIẢI TÍCH PHỨC 11 ( ⇒ , ) = ( , ) = − Lấy tùy ý = +
∈ ℂ, khi đó ta có: ( ) = − Xét lim ( → , ) = lim → = → → lim ( (− ) → , ) = lim → = − → →
⇒ lim ( ) = lim [ ( , ) + ( , )] = − = ( ) → → →
Suy ra hàm số liên tục tại =
Do lấy tùy ý trong ℂ nên hàm ( ) liên tục trên ℂ.
Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) =
liên tục đều trên miền | | < . Giải: Đặt : { : | | < 1} Với , ′ ∈ ta có | ( ) − ( )| = |
− ′ | = | − ′|| + ′| ≤ | − |(| | + | |) < 2| − ′|
Vậy ∀ > 0, ∃ = , ∀ ,
∈ : | − | < ⇒ | ( ) − ( )| < 2| − | < 2 =
Do đó ( ) = liên tục đều trên : | | < 1.
Bài 3.9 (bài 11, SGK, tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) = không liên tục đều trên miền | | < . Giải:
IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC
4.1. Kiến thức bổ trợ
a. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng đại số) Cho hàm ( ) = ( , ) +
( , ) có đạo hàm tại điểm = + thì: GIẢI TÍCH PHỨC 12
+ ( , ), ( , ) có đạo hàm riêng tại điểm ( , )
+ Các đạo hàm riêng của ( , ), ( , )thỏa mãn phương trình = à = − (1)
Ngược lại nếu ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm ( , ) và thỏa (1) thì ( ) = ( , ) +
( , ) có đạo hàm tại điểm = + và ( ) = ( , ) + ( , ) ℎ ặ ( ) = ( , ) − ( , ).
b. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng phức) Ta có = cos , = sin , = + , = arctan
, khi đó điều kiện Cauchy- Rieamann dạng phức là 1 1 = à = − 4.2. Bài tập mẫu
Bài 4.1: Khảo sát sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau: a. ( ) =
b. ( ) = | | Giải: a. Giả sử = + , khi đó ( ) = = ( + ) = − 3 + (3 − ) = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = − 3 ( , ) = 3 − Suy ra = 3 − 3 ; = 3 − 3 ; = −6 ; = 6 ⇒ = = 3 − 3 à = − = −6
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann nên ( ) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức b. Giả sử = + , khi đó ( ) = | | = + = ( , ) + ( , ) GIẢI TÍCH PHỨC 13 ⇒ ( , ) = + ( , ) = 0 Suy ra = 2 ; = 0; = 2 ; = 0 Hàm ( ) có đạo hàm khi ⎧ ⎪ = ⇔ 2 = 0 ⇔ = = 0 ⎨ 2 = 0 ⎪ = − ⎩
Vậy hàm ( ) có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠ 0
Bài 4.2 (bài 13,14, SGK, tr52): Chứng minh rằng ; (
) không tồn tại tại mọi điểm
thuộc mặt phẳng phức. Giải:
+ Chứng minh ̅ không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Giả sử = + , đặt ( ) = ̅, khi đó ( ) = ̅ = − = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = ( , ) = − Suy ra = 1; = −1; = 0; = 0 Rõ ràng = 1 ≠ −1 =
nên ( ) không có đạo hàm tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức.
Vậy ̅ không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức + Chứng minh (
̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Giả sử = + , đặt ( ) = ̅, khi đó ( ) = ̅ = ( + ) ( − ) = + + ( + ) = ( , ) + ( , ) GIẢI TÍCH PHỨC 14 ( ⇒ , ) = + ( , ) = + Suy ra = 3 + ; = + 3 ; = 2 ; = 2 Hàm ( ) có đạo hàm khi ⎧ ⎪ = ⇔ 3 + = + 3 ⇔ = = 0 ⎨ 2 = −2 ⎪ = − ⎩
Suy ra hàm ( ) có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠ 0 Vậy (
̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
Bài 4.3: Cho hàm ( , ) ( ) =
. Giả sử ( ) có đạo hàm, m ( ). Giải: Giả sử = + , ( ) = ( , ) + ( , )
Theo giả thiết ta có ( , ) = − ⇒ = 2 ; = −2
Do ( )có đạo hàm nên ta có ⎧ ⎪ = ⎧ = 2 (1) ⇔ ⎨ ⎨ ⎪ = − = 2 (2) ⎩ ⎩ Từ (1): = 2 ⇒ ( , ) = 2 + ( ) ⇒
= 2 + ′( ) thay vào (2) ta được 2 + ( ) = 2 ⇔ ( ) = 0 ⇒ ( ) = = Vậy ( ) = − + (2 + ) = ( + ) + = + .
Bài 4.4: Tìm sao cho các hàm sau khả vi a. ( ) = − − + ( − + ) b. ( ) = + GIẢI TÍCH PHỨC 15 | | > c. ( ) =
| | ≤ (đề thi môn GTP – K18) Giải: a. ( ) = − − 2 + ( − + 2 ) = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = − − 2 ( , ) = − + 2 Suy ra = 2 − 2 ; = 2 − 2 ; = −2 − 2 ; = 2 + 2 ⇒ = = 2 − 2 à = − = −2 − 2
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann nên ( ) có đạo hàm hay khả vi tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
b. Giả sử = (cos + sin ), khi đó ( ) = + ̅ =
(cos 5 + sin 5 ) + (cos − sin ) = ( cos 5 + cos ) + ( sin 5 − sin ) = ( , ) + ( , ) ⇒ ( , ) = cos 5 + cos ( , ) = sin 5 − sin Suy ra = 5 cos 5 + cos ; = 5 sin 5 − sin = −5 sin 5 − sin ; = 5 cos 5 − cos Rõ ràng 1 1 = (5 cos 5 − cos ) = 5 cos 5 − cos ≠ 1 1 − = − (−5 sin 5 − sin ) = 5 sin 5 + sin ≠
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng không thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên ( ) không khả vi tại mọi .
c. + Tập = { : | | > 3} là tập mở GIẢI TÍCH PHỨC 16
Ta có ( ) = 2 = 2 + 0 = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = 2 ( , ) = 0 Suy ra = 0; = 0; = 0; = 0 ⇒ = = 0 à = − = 0
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập
nên ( ) có đạo hàm hay khả vi trên .
+ Tương tự với = { : | | < 3} ta chứng minh được ( ) có đạo hàm hay khả vi trên
+ Xét = { : | | = 3}, khi đó ( ) = 1 Xét dãy = (1 + ) 1 1 | | = 1 + | | = 1 + 3 > 3 ⇒ ( ) = 2 Ta có
→ khi → ∞, tuy nhiên ( ) = 2 ≠ 1 = ( ) nên hàm ( ) không liên tục tại
mọi điểm trên . Do đó ( ) không khả vi tại mọi : | | = 3.
Bài 4.5 (đề thi môn GTP – Cao học 2008-2009): Cho ớ | | ≥ ( ) = ớ | | <
Hàm ( ) có đạo hàm tại = nào? Giải:
+ Xét tập = { : | | > 1} là tập mở Ta có ( ) = = ( + ) = − + 2 = ( , ) + ( , ) ⇒ ( , ) = − ( , ) = 2 Suy ra = 2 ; = 2 ; = −2 ; = 2 GIẢI TÍCH PHỨC 17 ⇒ = = 2 à = − = −2
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên
tập nên ( ) có đạo hàm tại mọi điểm trên .
+ Xét tập = { : | | < 1} là tập mở
Ta có ( ) = 1 = 1 + 0 = ( , ) + ( , ) ( ⇒ , ) = 1 ( , ) = 0 Suy ra = 0; = 0; = 0; = 0 ⇒ = = 0 à = − = 0
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên
tập nên ( ) có đạo hàm tại mọi điểm trên .
+ Xét = { : | | = 1}, khi đó ( ) = Với = ±1 thuộc thì ( ) =
= 1 = 1 + 0 ta chứng minh được ( ) khả vi tại = ±1 Với ≠ ±1. Xét dãy = (1 − ) 1 1 | | = 1 − | | = 1 − 1 < 1 ⇒ ( ) = 1 Ta có
→ khi → ∞, tuy nhiên ( ) = 1 ≠
= ( ) nên hàm ( ) không liên tục tại
mọi điểm trên \{±1}. Do đó ( ) không khả vi tại mọi trên \{±1}.
V. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA
5.1. Kiến thức bổ trợ a. Hàm giải ch
+ ( ) giải ch trên miền mở nếu khả vi (tồn tại đạo hàm) tại mọi điểm thuộc GIẢI TÍCH PHỨC 18
+ ( ) giải ch tại điểm nếu khả vi trong lân cận của điểm + ( ) = ( , ) +
( , ) giải ch trong miền , các ( , ), ( , )có đạo hàm riêng liên
tục trên thì ( , ), ( , ) thỏa phương trình Laplace: Φ Φ + = 0. b. Hàm điều hòa
+ Hàm thực hai biến có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa.
+ Hai hàm điều hòa ( , ), ( , ) sao cho ( ) = ( , ) + ( , ) giải ch được gọi là
hai hàm điều hòa liên hợp. + Hàm ( ) = ( , ) +
( , ) xác định trên miền đơn liên và giải ch trên thì
( , ), ( , ) là các hàm điều hòa trên .
+ ( , ) là hàm điều hòa trên thì tồn tại ( ) giải ch trên sao cho ( ) = ( , ) 5.2. Bài tập mẫu
Bài 5.1 (đề thi môn GTP – CH 2008-2009): Cho ( , ) = − − + − +
a. Chứng tỏ là hàm điều hòa.
b. Tìm hàm giải ch
( ) sao cho = ( ). Tìm ( ). Giải:
a. Chứng minh Φ là hàm điều hòa. Φ Φ = 12 − 4 − 1, = 12 − 12 Φ Φ = 12 − 4 + 1, = 12 − 12 Φ Φ ⇒ + = 12 − 12 + 12 − 12 = 0
Vậy hàm thực Φ hai biến có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa
phương trình Laplace nên Φ là hàm điều hòa (có thể gọi Φ là phần thực của hàm giải ch). b. Tìm hàm giải ch
Giả sử hàm giải ch cần m có dạng: ( ) = Φ( , ) + iΨ( , ), với Ψ( , ) là hàm điều
hòa liên hợp với Φ( , ), khi đó Φ( , ), Ψ( , ) phải thỏa điều kiện Cauchy-Riemann GIẢI TÍCH PHỨC 19 ⎧ Φ Ψ Ψ ⎪ = ⎧ = 12 − 4 − 1 (1) ⎨ Φ Ψ ⇔ ⎨ Ψ ⎪ = − = −12 + 4 − 1 (2) ⎩ ⎩ Từ (1): = 12 − 4 − 1 ⇒ Ψ = 4 − 4 − + ( ) ⇒ = 4 − 12 + ′( ) thay vào (2) ta có 4 − 12 + ( ) = −12 + 4
− 1 ⇔ ( ) = −1 ⇒ ( ) = − + ⇒ ( ) = Ψ( , ) = 4 − 4 − − + Vậy ( ) = 6 − − + − + 1 + (4 − 4 − − + ).
Bài 5.2 (đề thi môn GTP – K15): Cho ( , ) = ( − )
a. Chứng tỏ ( , ) là hàm điều hòa trên một miền thích hợp.
b. Tìm một hàm giải ch
( ) = ( , ) +
( , ), giải ch trên miền .
c. Biểu diễn trong câu (b) theo biến Giải:
a. Chứng minh ( , ) là hàm điều hòa. = − ( sin − cos ) + sin = (sin − sin + cos ) = − (sin − sin + cos ) − sin = (−2 sin + sin − cos ) = ( cos − cos + sin ) = (− sin + sin + sin + cos ) = (2 sin − sin + cos ) ⇒ + = 0
Vậy ( , ) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa phương trình
Laplace nên ( , ) là hàm điều hòa. b. Hàm ( ) = ( , ) +
( , ) giải ch trên miền nên ( , ), ( , ) thỏa điều kiện Cauchy-Riemann: GIẢI TÍCH PHỨC 20