-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Bài giảng môn Giải tích cổ điển 2 | Trường Đại học Đồng Tháp
Bài giảng môn Giải tích cổ điển 2 | Trường Đại học Đồng Tháp. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 96 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
Giải tích 2 (DT01) 3 tài liệu
Đại học Đồng Tháp 205 tài liệu
Bài giảng môn Giải tích cổ điển 2 | Trường Đại học Đồng Tháp
Bài giảng môn Giải tích cổ điển 2 | Trường Đại học Đồng Tháp. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 96 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Giải tích 2 (DT01) 3 tài liệu
Trường: Đại học Đồng Tháp 205 tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP NGUYỄN TRUNG HIẾU BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN 2 (Lưu hành nội bộ) ĐỒNG THÁP - 2022
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP NGUYỄN TRUNG HIẾU BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN 2 (Lưu hành nội bộ) ĐỒNG THÁP - 2022 Mục lục Lời nói đầu 4
1 GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 6
1.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Tính liên tục của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Vi phân của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Đạo hàm hàm hợp và hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.5 Một số ứng dụng của đạo hàm riêng và vi phân . . . . . . . . . . . . 17
Bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 TÍCH PHÂN BỘI 24
2.1 Tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Định nghĩa tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Điều kiện khả tích của tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Tính chất của tính tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.4 Cách tính tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.5 Phép đổi biến trong tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Định nghĩa tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Cách tính tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1
2.2.3 Phép đổi biến trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Ứng dụng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1.1
Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1.2
Thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1.3
Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.2 Ứng dụng vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2.1
Khối lượng của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2.2
Tọa độ trọng tâm của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2.3
Momen quán tính của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 50
3.1 Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Tích phân đường loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.1.1
Định nghĩa tích phân đường loại 1 . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.1.2
Cách tính tích phân đường loại 1 . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2 Tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.2.1
Định nghĩa tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.2.2
Cách tính tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.3 Liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2, Công
thức Green và điều kiện để tích phân đường loại 2 không phụ thuộc
vào dạng đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.3.1
Liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2 59 3.1.3.2
Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.3.3
Điều kiện để tích phân đường loại 2 không phụ thuộc vào
dạng đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1 Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.1.1
Tham số hóa mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.1.2
Định nghĩa và cách tính tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . 69
3.2.2 Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.2.1
Mặt định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2 3.2.2.2
Định nghĩa tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.2.3
Cách tính tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3 Liên hệ giữa tích phân mặt loại 1 và loại 2, công thức Ostrogradskii
và công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2.3.1
Liên hệ giữa tích phân mặt loại 1 và loại 2 . . . . . . . . . 73 3.2.3.2
Công thức Ostrogradskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.3.3
Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Lí thuyết trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.1 Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.1.1
Định nghĩa trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.1.2
Mặt mức và gradient của trường vô hướng . . . . . . . . . 80
3.3.2 Trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.2.1
Định nghĩa trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.2.2
Divergent của trường vectơ và luồng qua một mặt . . . . . 83 3.3.2.3
Phép quay của trường vectơ, rota và trường thế . . . . . . . 84
Bài tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Đề thi Kết thúc môn học tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3 Lời nói đầu
Học phần Giải tích cổ điển 2 (Calculus 2) trình bày một cách có hệ thống những kiến thức
cơ bản về lí thuyết giới hạn, tính liên tục, phép tính vi tích phân của hàm số nhiều biến số. Đây
là học phần tổng quát hóa từ những kiến thức và kĩ năng trong học phần Giải tích cổ điển 1,
đòi hỏi kĩ năng tính toán và lập luận chính xác. Ngoài ra, học phần cũng đóng vai trò nền tảng
quan trọng để sinh viên tiếp cận với những kiến thức và kĩ năng trong những học phần thuộc
Giải tích hiện đại trong chương trình đào tạo.
Mục tiêu của học phần là giúp sinh viên phân tích, vận dụng những kiến thức của Giải tích
cổ điển 2 vào giải được thành thạo một số dạng toán cơ bản bản và giải quyết được một số vấn
đề có liên quan đến những kiến thức cơ bản về lí thuyết giới hạn, tính liên tục, phép tính vi tích
phân của hàm số nhiều biến số. Từ đó, liên hệ được các nội dung toán học ở chương trình toán
phổ thông. Đồng thời, học phần này cũng góp phần rèn luyện, phát triển các thành tố năng lực
toán học như tư duy và lập luận toán học, mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học,
giao tiếp toán học; hình thành được kỹ năng học tập, nghiên cứu toán học; có được tinh thần
trách nhiệm, ý thức tự học và tự nghiên cứu.
Cụ thể, người học cần đạt được những mục tiêu sau đây khi kết thúc học phần Giải tích cổ điển 2. - Về kiến thức:
(1) Vận dụng được các kiến thức liên quan đến những khái niệm và tính chất cơ bản về giới
hạn, tính liên tục, phép tính vi tích phân của hàm số nhiều biến số để giải bài tập, giải
quyết những học phần có liên quan và trong tự học, tự nghiên cứu.
(2) Vận dụng được các kiến thức liên quan đến những khái niệm và tính chất cơ bản về giới
hạn, tính liên tục, phép tính vi tích phân của hàm số nhiều biến số để giải bài tập, giải
quyết những học phần có liên quan và trong tự học, tự nghiên cứu. - Về kĩ năng:
(1) Làm chuẩn xác được ví dụ minh họa cho những khái niệm, tính chất cơ bản; sử dụng linh
hoạt các kiến thức về giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, nguyên hàm, tích phân của
hàm số một biến số và chuỗi số để giải quyết vấn đề trong nhiều tình huống khác nhau
như trong giải toán, thuyết trình giải thích vấn đề, trong tự học và tự nghiên cứu. 4
(2) Thực hiện thành thạo kỹ năng thuyết trình, giải thích vấn đề; vận dụng chuẩn xác các kỹ
năng phát hiện và giải quyết các vấn đề, các kỹ năng giao tiếp, phản biện, kỹ năng tự học,
tự bồi dưỡng, tự đánh giá và kỹ năng thích ứng, làm việc nhóm.
- Về mức độ tự chủ và trách nhiệm:
(1) Thực hiện gương mẫu các nội quy của đơn vị công tác, các quy định pháp luật của Nhà
nước và quy định đạo đức nghề nghiệp của nhà giáo.
(2) Làm việc độc lập hoặc làm việc theo nhóm trong điều kiện thay đổi, chịu trách nhiệm cá
nhân và trách nhiệm đối với nhóm, có thể tự lập kế hoạch, quản lý và điều phối một số
hoạt động như hoạt động tự học, tự nghiên cứu.
Tài liệu được biên soạn dựa vào các tài liệu tham khảo được trình bày ở trang 93 với điểm
khác biệt cơ bản là cấu trúc theo đề cương học phần trong chương trình đào tạo Sư phạm Toán
học của Trường Đại học Đồng Tháp. Trong mỗi nội dung cụ thể, chúng tôi cố gắng minh họa
phương pháp giải, bài tập cơ bản và bài tập nâng cao.
Dù đã rất cố gắng, tài liệu chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót. Nhóm tác giả rất mong
nhận được ý kiến đóng góp. Mọi ý kiến xin gửi về địa chỉ:
ThS. Nguyễn Trung Hiếu, Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp, 783
Phạm Hữu Lầu, phường 6, thành phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp
Email: ngtrunghieu@dthu.edt.vn; Phone: 0939.428.941
Đồng Tháp, ngày 30 tháng 12 năm 2022 5 Chương 1
GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM RIÊNG
CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
1.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số
1.1.1 Hàm số nhiều biến số
Định nghĩa 1.1.1 (Khoảng cách trong không gian Rn). Xét Rn = {x = (x1,x2,..., xn) : xi ∈
R, i = 1, 2, . . . n} là một không gian vectơ với phép cộng (+) và phép nhân với vô hướng (.)
xác định bởi: với mọi x = (x1,x2,...,xn),y = (y1,y2,...,yn) ∈ Rn,λ ∈ R,
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),
λ x = (λ x1,λ x2,...,λ xn).
Tích vô hướng của hai điểm x,y ∈ Rn, kí hiệu < x,y >, xác định bởi
< x, y >= x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn.
Khoảng cách giữa 2 điểm x,y ∈ Rn, kí hiệu d(x,y), xác định bởi q d(x, y) =
(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + ··· + (yn − xn)2.
Khoảng cách trên được gọi là khoảng cách Euclide.
Nhận xét 1.1.2. Khoảng cách Euclide thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x,y,z ∈ Rn,
(1) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y. (2) d(x,y) = d(y,x) (3) d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z). 6
Ngoài ra, trên Rn người ta có thể trang bị những khoảng cách khác nhau như n d1(x, y) = ∑ |yk − xk|, k=1
d2(x, y) = max{|yk − xk|, k = 1, 2, . . . , n}.
Trong phần tiếp theo ta xét phân loại các tập con trong Rn.
Định nghĩa 1.1.3 (Một số khái niệm tôpô trong không gian Rn). Cho A ⊂ Rn, x0 ∈ Rn và r > 0. Khi đó,
(1) Hình cầu mở tâm x bán kính 0
r trong Rn, kí hiệu B(x0, r) xác định bởi
B(x0, r) = {x ∈ Rn : d(x, x0) < r}
(2) Tập A được gọi là lân cận của x nếu tồn tại 0
r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ A.
(3) Điểm x được gọi là đều có giao 0
điểm biên của tập A nếu mọi lân cận của x0 A và phần bù
của A. Tập hợp tất cả các điểm biên được gọi là biên của A.
(4) Tập A được gọi là tập mở nếu A không chứa bất kì điểm biên nào của A.
(5) Tập A được gọi là tập đóng nếu A chứa toàn bộ biên của A.
(6) Tập A được gọi là tập bị chặn nếu tồn tại M > 0 sao cho ||x|| ≤ M,∀x ∈ A, trong đó n 1 ||x|| = (∑ |x 2 k|2) . k=1
(7) Tập A được gọi là tập compact nếu A đóng và bị chặn.
(8) Tập A được gọi là miền mở nếu A là tập mở. Miền mở cùng với biên của nó được gọi là
miền đóng. Miền mở, miền đóng gọi chung là miền. Miền mà từ 2 điểm bất kỳ của nó
có thể nối với nhau bởi một đường gấp khúc nằm hoàn toàn trong miền gọi là miền liên thông.
Định nghĩa 1.1.4 (Sự hội tụ trong không gian Rn). Cho dãy {uk} ⊂ Rn và a ∈ Rn. Khi đó, a
được gọi là giới hạn của dãy {uk}, kí hiệu lim uk = a nếu lim d(uk,a) = 0. k→∞ k→∞
Điểm a được gọi là điểm giới hạn (điểm tụ) của tập D nếu tồn tại dãy {un} ⊂ D gồm các
phần tử khác a hội tụ đến a.
Ví dụ 1.1.5. Chứng minh rằng (1) 1 2 1 2 n + 1 lim ( , ) = (0, 0). (2) lim ( , , ) = (0, 0, 1). n→∞ n n n→∞ n n n
Nhận xét 1.1.6. Sự hội tụ trong không gian Rn là sự hội tụ theo tọa độ. Cụ thể trong R2, ta có
lim (xn, yn) = (x0, y0) ⇐⇒ lim xn = x0, lim yn = y0, n→∞ n→∞ n→∞
Ví dụ 1.1.7. Tính các giới hạn sau: 7 √ n + 2 (1) n + 2 n + 1 n + 2 n n lim , . (2) lim , n 2, . n→∞ 2n + 1 n n→∞ 2n2 + 1 n
Định nghĩa 1.1.8 (Hàm nhiều biến số). Ánh xạ f : D ⊂ Rn −→ R được gọi là hàm số nhiều
biến số trong đó x là các biến số và 1, . . . , xn
D là miền xác định của hàm số f . Kí hiệu z =
f (x1, . . . , xn) với (x1, . . . , xn) ∈ D. Trong R2, ta thường viết hàm hai biến số là z = f (x, y).
Ví dụ 1.1.9. Tìm miền xác định của các hàm số (1) 1 ) = ln(1 − x2 − y2 − 2). f (x, y) = . (2) f (x,y,z z p4 − x2 − y2
1.1.2 Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Mục này trình bày giới hạn hàm hai biến số, làm cơ sở cho việc nghiên cứu về các phép
tính vi tích phân của hàm số nhiều biến số trong không gian R2.
Định nghĩa 1.1.10 (Giới hạn hàm số hai biến số). Cho hàm f xác định trên D ⊂ R2,M0(x0,y0)
là điểm tụ của D. Khi đó số L ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f khi M(x,y) dần đến
M0(x0, y0), kí hiệu lim f (M) = L nếu lim | f (M) − L| = 0, tức là M→M0 M→M0
∀ε > 0,∃δ > 0,∀M ∈ D,0 < d(M,M0) < δ ,ta được| f (M) − L| < ε. Ta cũng viết q lim
f (x, y) = L ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀(x, y) ∈ D, 0 <
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ , (x,y)→(x y 0, 0) | f (x,y) − L| < ε.
Ví dụ 1.1.11. Chứng minh rằng x3 + y3 2x2 + 3y2 (1) lim = 0. (2) lim = 0. p (x,y)→(0,0) x2 + y2 (x,y)→(0,0) x2 + y2
Mệnh đề 1.1.12 (Đặc trưng giới hạn hàm qua giới hạn dãy). lim
f (x, y) = L ⇐⇒ ∀{xn, yn} ⊂ D\{(x0, y0)}, lim(xn, yn) = (x0, y0), lim f (xn, yn) = L. (x,y)→(x n→∞ n→∞ 0,y0)
Nhận xét 1.1.13. (1) Tồn tại hai dãy {(xn,yn)},{(un,vn)} ⊂ D\{(x0,y0)}, thỏa mãn
lim (xn, yn) = (x0, y0), lim (un, vn) = (x0, y0), và lim f (xn, yn) 6= lim f (un, vn). n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Khi đó, không tồn tại lim f (x, y). (x,y)→(x0,y0)
(2) Tồn tại dãy {(xn,yn)} ⊂ D\{(x0,y0)}, lim(xn,yn) = (x0,y0), lim f (xn,yn) 6= L. n→∞ n→∞ Khi đó, lim
f (x, y) 6= L (nếu giới hạn tồn tại) (x,y)→(x0,y0)
(3) Một số tính chất cơ bản như tính duy nhất của giới hạn, giới hạn của tổng, hiệu, định lý
kẹp... tương tự như của hàm một biến. 8
Ví dụ 1.1.14. Tính giới hạn của các hàm số sau nếu tồn tại. (1) xy x2y lim . (3) lim . (x,y)→(0,1) x + y (x,y)→(0,0) x2 + y2 (2) xy 1 lim . (4) lim (x + y) sin . (x,y)→(0,0) x2 + y2 (x,y)→(0,0) x + y
Định nghĩa 1.1.15 (Giới hạn lặp). Giả sử X,Y là hai tập con trong R, (x0,y0) là điểm tụ của
tập X ×Y và f là hàm số xác định trên X ×Y\{(x . Nếu với mỗi 0, y0)} y ∈ Y \{y0}, hàm số một
biến số x 7−→ f (x,y) có giới hạn khi x −→ x thì giới hạn này phụ thuộc vào 0 y, tức là lim f (x, y) = ϕ(y) x→x0
với ϕ là một hàm số xác định trên tập Y \{y0}. Do đó, có thể xét giới hạn của hàm số ϕ khi y −→ y . Ta viết 0 lim ϕ(y) = lim lim f (x, y). y→y0 y→y0 x→x0
Một cách tương tự, ta có định nghĩa của giới hạn lặp lim lim f (x,y). x→x0y→y0
Lưu ý là không phải bao giờ hai giới hạn lặp nói trên cũng tồn tại và nếu cả hai đều tồn tại,
chúng không nhất thiết bằng nhau.
Ví dụ 1.1.16. Tính giới hạn lặp của x − y + x2 + y2 f (x, y) = khi x → 0, y → 0. x + y
Ví dụ 1.1.17. Tính giới hạn lặp, giới hạn (nếu có) của 1 f (x, y) = x sin khi x → 0, y → 0. y
Mệnh đề 1.1.18. Cho X,Y là hai tập con trong R, (x0,y0) là điểm tụ của tập X ×Y và f là
hàm số xác định trên X ×Y \{(x0,y0)}. Giả sử (1) Tồn tại lim f (x, y) = L ∈ R. (x,y)→(x0,y0)
(2) Với mỗi y ∈ Y \{y0}, tồn tại giới hạn lim f (x, y) = ϕ(y) ∈ R. x→x0
Khi đó, tồn tại giới hạn lim ϕ(y) = lim lim f (x,y) và lim lim f (x,y) = L. y→y0 y→y0 x→x0 y→y0 x→x0
1.1.3 Tính liên tục của hàm nhiều biến số
Định nghĩa 1.1.19. Cho hàm f xác định trên D ⊂ R2 và (x0,y0) ∈ D. Khi đó, 9
(1) Hàm f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu lim f (x, y) = f (x0, y0). (x,y)→(x0,y0)
(2) Hàm f được gọi là gián đoạn tại (x0,y0) nếu nó không liên tục tại (x0,y0). Khi đó, (x0,y0)
được gọi là điểm gián đoạn của hàm f .
(3) Hàm f liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi (x,y) ∈ D.
Nhận xét 1.1.20. (1) f liên tục tại (x0,y0) khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε,x0,y0) > 0
sao cho với mọi (x,y) ∈ D mà p(x −x 2
0)2 + (y − y0) < δ , ta có | f (x, y) − f (x0, y0)| < ε .
(2) Cho hàm f xác định trên D ⊂ R2,(x0,y0) ∈ D. Giả sử (∆x,∆y) ∈ D sao cho (x0 +∆x,y0 + ∆y) ∈ D. Đặt
∆ f = f (x0 + ∆x,y0 + ∆y) − f (x0,y0).
Khi đó, f liên tục tại (x0,y0) nếu lim ∆ f = 0. (∆x,∆y)→(0,0) xy2
Ví dụ 1.1.21. Xét tính liên tục của hàm số nếu (x,y) 6= (0,0) f (x, y) = x2 + y2 tại (x,y) = 0 nếu (x,y) = (0,0). (0, 0). 1
Ví dụ 1.1.22. Xét tính liên tục của hàm số (x2 + y2) sin nếu (x,y) 6= (0,0) f (x, y) = x2 + y2 . 0 nếu (x,y) = (0,0).
Định nghĩa 1.1.23. Cho hàm f xác định trên D ⊂ R2 và (x0,y0) ∈ D. Khi đó, f được gọi là
liên tục đều trên D nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi (x,y),(x0,y0) ∈ D
mà p(x −x0)2 +(y−y0)2 < δ, ta có | f (x,y)− f (x0,y0)| < ε.
Ví dụ 1.1.24. Chứng minh rằng f (x,y) = 2x + 3y liên tục đều trên R2.
Mệnh đề 1.1.25 (Tính chất của hàm liên tục nhiều biến số). (1) Các định lý về tính liên tục
của tổng, hiệu, tích, thương, hàm lũy thừa, hàm hợp, hàm sơ cấp, khái niệm liên tục đều
và kết quả về liên tục đều tương tự như hàm một biến.
(2) Hàm số liên tập trên tập compact thì liên tục đều trên tập đó.
(3) Hàm số liên tục trên tập compact thì nó bị chặn và đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên tập đó.
1.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm số nhiều biến số
1.2.1 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số
Định nghĩa 1.2.1 (Đạo hàm riêng cấp một). Cho hàm z = f (x,y) xác định trên tập mở D ⊂ R2 và (x ta được
0, y0) ∈ D. Cố định y = y0
f (x, y0) = g(x) là hàm một biến theo x. Nếu hàm g(x) 10 có đạo hàm tại x thì 0
g0(x0) được gọi là đạo hàm riêng của hàm z = f (x, y) theo biến x tại điểm (x0, y0). Kí hiệu ∂ z(x ∂ 0, y0) f (x0, y0) z0 . x(x0, y0), f 0 , x(x0, y0), ∂ x ∂ x
Đạo hàm riêng của hàm số theo biến y tại điểm (x0,y0) được định nghĩa tương tự và được kí hiệu là ∂ z(x ∂ 0, y0) f (x0, y0) z0 . y(x0, y0), f 0 , y(x0, y0), ∂ y ∂ y
Nhận xét 1.2.2. (1) Cho số gia ∆x đủ nhỏ sao cho(x0 + ∆x,y0),(x0,y0 + ∆y) ∈ D. Khi đó f (x, y0) − f (x0, y0)
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) f 0 , x(x0, y0) = lim = lim x→x ∆ 0 x − x0 ∆x→0 x f (x0, y) − f (x0, y0)
f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0) f 0y(x0, y0) = lim = lim . y→y0 y − y0 ∆y→0 ∆y
(2) Hàm nhiều biến có thể có đạo hàm riêng tại điểm gián đoạn của hàm số.
(3) Để tính đạo hàm riêng của hàm số theo biến x ta xem x là biến và các biến còn lại là hằng
số rồi thực hiện tính đạo hàm như hàm một biến theo x.
Ví dụ 1.2.3. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau.
(1) f (x,y) = x2y3 + 2x2 + 3y2 + 2x + 3y −2. (3) f (x,y) = yex. (2) f (x,y) = x2 sinxy. (4) f (x,y) = xy.
Ví dụ 1.2.4. Tính đạo hàm riêng của hàm số f tại (0,0) với x3 − y2 nếu (1) (x, y) 6= (0,0) f (x, y) = px2 + y2 0 nếu (x,y) = (0,0). 1 (2) (x2 + y2) sin nếu (x,y) 6= (0,0) f (x, y) = x2 + y2 0 nếu (x,y) = (0,0).
Ví dụ 1.2.5. Chứng minh hàm số sau có đạo hàm riêng tại (0,0) nhưng không liên tục tại điểm đó. xy nếu (x,y) 6= (0,0) f (x, y) = x2 + y2 0 nếu (x,y) = (0,0). Mệnh đề 1.2.6. f
Nếu f ,g có đạo hàm riêng liên tục trên tập mở D thì f .g, f + g, (với g 6= 0 g
trên D) có cũng đạo hàm riêng liên tục trên tập mở D. 11
Nhận xét 1.2.7 (Ý nghĩa vật lý và ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng cấp một). (1) Đạo hàm
riêng theo biến x là tốc độ thay đổi tức thời của giá trị hàm z = f (x,y) theo phương của
đường thẳng y = y . Tương tự, đạo hàm riêng theo biến 0
y là tốc độ thay đổi tức thời của
giá trị hàm z = f (x,y) theo phương của đường thẳng x = x0.
(2) Giả sử đồ thị của hàm z = f (x,y) là mặt cong (S). Cho M(x0,y0, f (x0,y0)) là điểm nằm
trên mặt cong (S). Khi cố định y = y , ta thấy mặt phẳng sẽ cắt mặt cong (S) theo 0 y = y0
giao tuyến C . Khi cố định , ta thấy mặt phẳng sẽ cắt mặt cong 1 x = x0 x = x0 (S) theo giao
tuyến C . Cả hai đường cong và đều đi qua điểm 2 C1 C2
M. Như vậy, đường cong C1 là
đồ thị của hàm số g(x) = f (x,y
. Do đó, tiếp tuyến của đường 0) trên mặt phẳng y = y0 cong C tại
là đồ thị của hàm số 1
M có hệ số góc là g0(x0) = f 0x(x0, y0). Đường cong C2 h(y) = f (x
. Do đó, tiếp tuyến của đường cong tại
0, y) trên mặt phẳng x = x0 C2 M có hệ
số góc là h0(y0) = f 0y(x0,y0).
Định nghĩa 1.2.8 (Đạo hàm riêng cấp cao). Cho hàm z = f (x,y) xác dịnh trên tập mở D và
có các đạo hàm riêng là các hàm xác định trên D và điểm (x0,y0) ∈ D. Khi đó, các đạo hàm
riêng của f 0x(x,y), f 0y(x,y) tại điểm (x0,y0) (nếu tồn tại) được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai
của hàm f tại điểm (x0,y0). Kí hiệu: ∂ 2 f ∂ ∂ f ( x (x (x ∂ 0, y0) = 0, y0) hay f 00 0, y0) x2 ∂ x ∂ x x2 ∂ 2 f ∂ ∂ f ( x (x ∂ 0, y0) = 0, y0) hay f 00 xy(x0, y0) x∂ y ∂ y ∂ x ∂ 2 f ∂ ∂ f ( x (x (x ∂ 0, y0) = 0, y0) hay f 00 0, y0) y2 ∂ y ∂ y y2 ∂ 2 f ∂ ∂ f ( x (x ∂ 0, y0) = 0, y0) hay f 00 yx(x0, y0) y∂ x ∂ x ∂ y
Đạo hàm riêng cấp 3,4,. ..,n của hàm f được định nghĩa tương tự đạo hàm riêng cấp 2 theo quy nạp.
Ví dụ 1.2.9. Tính các đạo hàm cấp hai của hàm số.
(1) f (x,y) = x3y2 + x2y3 + x3 + y3 −xy. (3) f (x,y) = xsiny + ysinx. (2) f (x,y) = xexy. (4) f (x,y) = xcos(xy).
Ví dụ 1.2.10. Tìm f ”xy(0,0) và f ”yx(0,0) với f là hàm số xác định bởi x2 − y2 xy nếu(x,y) 6= (0,0) f (x, y) = x2 + y2 0 nếu(x,y) = (0,0).
Nhận xét 1.2.11. Các hàm đạo hàm f 00
nói chung không bằng nhau. Kết quả sau xác định xy, f 00 yx
điều kiện để các đạo hàm hổn hợp này bằng nhau.
Mệnh đề 1.2.12 (Schwarz). Cho hàm f xác định trên tập mở D. Nếu hàm f có các đạo hàm riêng f 00
liên tục tại điểm xy, f 00 yx
(x0, y0) ∈ D thì f 00xy(x0,y0) = f 00yx(x0,y0). 12
1.2.2 Vi phân của hàm số nhiều biến số
Định nghĩa 1.2.13 (Vi phân toàn phần). Cho z = f (x,y) xác định trên tập mở D và điểm
(x0, y0) ∈ D. Chọn ∆x và ∆y sao cho (x0 + ∆x,y0 + ∆y) ∈ D. Khi đó,
(1) ∆ f (x0,y0) = f (x0 +∆x,y0 +∆y)− f (x0,y0) được gọi là số gia toàn phần của f tại (x0,y0).
(2) Hàm số f được gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu tồn tại các hằng số A,B sao cho
∆ f (x0,y0) = A.∆x + B.∆y + α.∆x + β .∆y
trong đó α = α(x,y) −→ 0,β = β(x,y) −→ 0 khi (∆x,∆y) → (0,0).
(3) Đại lượng A.∆x + B.∆y được gọi là vi phân toàn phần của hàm f tại (x0,y0). Kí hiệu
d f (x0, y0) = A.∆x + B.∆y.
(4) Hàm f được gọi khả vi trên tập D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D.
Mệnh đề 1.2.14. (1) Nếu hàm f khả vi tại (x0,y0) thì nó liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm f khả vi tại (x0,y0) thì tồn tại các đạo hàm riêng tại điểm đó và
d f (x0, y0) = f 0x(x0, y0)∆x + f 0y(x0, y0)∆y.
(3) Nếu hàm f có các đạo hàm riêng trong lân cận (x0,y0) và các đạo hàm riêng liên tục tại
(x0, y0) thì f khả vi tại điểm (x0, y0) và
d f (x0, y0) = f 0x(x0, y0)∆x + f 0y(x0, y0)∆y.
Chứng minh. (1) Kiểm tra trực tiếp lim ∆ f = 0. (∆x,∆y→(0,0)
(2) Vì f khả vi nên tồn tại các hằng số A,B sao cho
∆ f (x0,y0) = A.∆x + B.∆y + α.∆x + β .∆y
trong đó α = α(x,y) −→ 0,β = β(x,y) −→ 0 khi (∆x,∆y) −→ (0,0).
Cố định y = y0, với ∆x đủ bé và ∆y = 0, khi đó ta có
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) A.∆x + α.∆x lim = lim = A. ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
Khi đó f 0x(x0,y0) = A. Tương tự ta có f 0x(x0,y0) = B.
(3) Với ∆x,∆y đủ bé, áp dụng định lý Lagrange, ta có
∆ f (x0,y0) = f (x0 + ∆x,y0 + ∆y) − f (x0,y0)
= f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0,y0 + ∆y) + f (x0,y0 + ∆y) − f (x0,y0)
= f 0x(x0 + α1∆x,y0 + ∆y)∆x + f 0y(x0,y0 + α2∆y)∆y 13 trong đó α liên tục tại 1, α2 ∈ (0, 1). Vì f 0 (x x, f 0y 0, y0) nên
f 0x(x0 + α1∆x, y0 + ∆y) = f 0x(x0,y0) + α
f 0y(x0, y0 + α2∆y) = f 0y(x0,y0) + β
trong đó α,β −→ 0 khi ∆x,∆y −→ 0. Do đó
∆ f (x0,y0) = f 0x(x0,y0)∆x + f 0y(x0,y0)∆y + α∆x + β∆y
trong đó α,β −→ 0 khi ∆x,∆y −→ 0. Vậy f khả vi.
Nhận xét 1.2.15. (1) Các công thức tính vi phân của hàm tổng, hiệu, tích, thương của hàm
nhiều tương tư như của hàm một biến.
(2) Tương tự như hàm một biến, nếu x,y là các biến số độc lập thì ta cũng có dx = ∆x,dy = ∆y.
Khi đó, nếu f liên tục có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của (x0,y0) thì
d f (x0, y0) = f 0x(x0, y0)dx + f 0y(x0, y0)dy.
(3) Đặt ρ = p∆x2 + ∆y2. Khi đó, α∆x+β∆y = o(ρ) là một VCB bậc cao của ρ khi ∆x,∆y −→ 0, α∆ tức là x + β ∆y 0 khi ∆x, ∆y
0, Do đó, ta có thể định nghĩa vi phân một cách ρ −→ −→
tương đương như sau: Hàm f khả vi tại (x0,y0) nếu ∆ f (x 0 0, y0) = f ∆ ρ
x(x0, y0)∆x + f 0y(x0, y0) y + o( )
trong đó o(ρ) −→ 0 khi ρ −→ 0 hay
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0) − f 0x(x0, y0)∆x − f 0 lim y(x0, y0)∆y = 0. p (∆x,∆y)→(0,0) ∆x2 + ∆y2
Ví dụ 1.2.16. Tìm vi phân toàn phần của hàm số (1) f (x,y) = xsiny + ysinx. (2) f (x,y) = xey + yex.
Ví dụ 1.2.17. Xét sự khả vị của hàm số f tại (0,0). x3 + y3 nếu ( (1) x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = px2 + y2 0 nếu (x,y) = (0,0). 1 (2) x3 sin nếu (x,y) 6= (0,0) f (x, y) = x2 + y2 0 nếu (x,y) = (0,0).
Ví dụ 1.2.18. Chứng minh hàm √
f (x, y) = 3 xy có các đạo hàm riêng tại (0, 0) nhưng không khả vi tại (0,0). 14
Định nghĩa 1.2.19 (Vi phân cấp cao). Cho f (x,y) xác định trên tập mở D và khả vi trên D.
Nếu xem dx,dy là các hằng số thì d f là một hàm số biến số trên D. Vi phân của d f tại (x0,y0)
được gọi là vi phân cấp hai của f tại (x0,y0). Kí hiệu là d2 f (x0,y0). Nếu f 00 liên tục thì xy, f 00 yx
d2 f (x0, y0) xác định bởi d2 f (x0, y0) = f 00 x2 (x0, y0)dx2 + 2 f 00 xy(x0, y0)d xdy + f 00 y2 (x0, y0)dy2.
Vi phân cấp n của f được định nghĩa là dn f (x n−1 0, y0) = d(d f )(x0, y0).
Một cách hình thức, ta có thể viết ∂ ∂ n dn f (x, y) = dx + dy f (x, y). ∂ x ∂ y
1.2.3 Đạo hàm hàm hợp và hàm ẩn
Mệnh đề 1.2.20 (Đạo hàm của hàm hợp). Cho hàm z = f (u,v), trong đó u = u(x,y),v = v(x,y)
với (x,y) ∈ D và D là miền mở. Giả sử các hàm u = u(x,y),v = v(x,y) khả vi tại (x0,y0) ∈ D
và hàm z = f (u,v) có đạo hàm riêng liên tục tại (u0,v0) với u0 = u(x0,y0),v0 = v(x0,y0). Khi
đó, hàm z = f (x,y) có các đạo hàm riêng tại (x0,y0). Hơn nữa, z0x = f 0u.u0x + f 0v.v0x, z0y = f 0u.u0y + f 0v.v0y.
Nhận xét 1.2.21. Trường hợp u = u(x) và v = v(x). Khi đó, hàm z = f (u(x),v(x)) có đạo hàm
theo x được xác định bởi: z0(x) = f 0 . u.u0(x) + f 0v.v0(x)
Ví dụ 1.2.22. (1) Cho z = f (u,v) = u3v+uv3 với u(x) = sinx+cosx và v(x) = ex +e−x. Tính z0(x).
(2) Cho z = f (u,v) = u2v + uv2 với u(x,y) = xsiny và v(x,y) = ycosx. Tính f 0 và . x f 0y
Phần tiếp theo trình bày đạo hàm hàm ẩn.
Mệnh đề 1.2.23 (Đạo hàm riêng của hàm ẩn xác định bởi F(x,y,z) = 0). Cho hàm F(x,y,z)
thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) F(x,y,z) xác định và liên tục trên tập mở chứa (x0,y0,z0). (2) F0
tồn tại và liên tục trên tập mở chứa x , F 0 y , F 0 z (x0, y0, z0).
(3) F(x0,y0,z0) = 0. 15
(4) F0z(x0,y0,z0) 6= 0.
Khi đó, phương trình F(x,y,z) = 0 xác định một hàm ẩn z = f (x,y) sao cho f (x0,y0) = z0 và
F(x, y, f (x, y)) = 0. Hàm z = f (x, y) có các đạo hàm riêng xác định bởi F0 F0 x y z0 . x = − , z0 F0 y = − z F0z
Nhận xét 1.2.24. Giả sử phương trình F(x,y) = 0 xác định hàm ẩn y = y(x), có nghĩa là
F(x, y(x)) = 0. Nếu hàm F là hàm khả vi thì chúng ta có thể áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm
hợp, lấy đạo hà hai vế của phương trình F(x,y) = 0 theo biến x ta được F0x.x0 + F0yy0(x) = 0. Nếu F0 F0 x . y 6= 0 thì y0(x) = −F0y π
Ví dụ 1.2.25. (1) Tính y0(0) nếu ysin(x −y)+xcos(x−y) = 0 với y(0) = . 4
(2) Tính đạo hàm riêng của hàm z = z(x,y) xác định bởi ex+y −z+ez = 0.
1.2.4 Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa 1.2.26 (Đạo hàm theo hướng). Đạo hàm theo hướng vector đơn vị − → u = (a, b) với
a2 + b2 = 1 của hàm số z = f (x, y) tại điểm M(x0, y0) được kí hiệu và xác định bởi giới hạn sau
(nếu giới hạn này tồn tại):
f (x0 + ha, y0 + hb) − f (x0, y0) f− → . u (x0, y0) = lim h→0 h
Nhận xét 1.2.27. Nếu − → u = (1, 0) thì f− → . Nếu − → . u = f 0x u = (0, 1) thì f− → u = f 0 y
Mệnh đề 1.2.28. Cho z = f (x,y) là hàm khả vi và có đạo hàm theo hướng của vector đơn vị − →
u = (a, b) với a2 + b2 = 1.Khi đó f− → x, y b.
u (x, y) = f 0x(x, y).a + f 0y( )
Ví dụ 1.2.29. (1) Tính đạo hàm của hàm z = f (x,y) = x2y + xy2 + x3y3 tại điểm M(1,2) theo √3 hướng của vector − → 1 u = , . 2 4
(2) Tính đạo hàm của hàm z = f (x,y) = x3y2 + x2y3 + x3 + y3 tại điểm M(−1,3) theo hướng của vector − → u = (2, 1).
Định nghĩa 1.2.30. Vector gradient của hàm số z = f (x,y) được kí hiệu và xác định như sau: − → − → ∇ f (x, y) = ( f 0 x, y . i + f 0 x, y . j . x(x, y), f 0y(x, y)) = f 0 x( ) y( ) 16
Mệnh đề 1.2.31. Nếu z = f (x,y) khả vi tại M(x0,y0) và − →
u = (a, b) với a2 + b2 = 1 là vector
đơn vị thì tại M(x0,y0) ta có f− → u (x0, y0) = − → u .∇ f (x0, y0).
Nhận xét 1.2.32. (1) Đạo hàm của hàm z = f (x,y) tại M(x0,y0) theo hướng của vector − → v được xác định bởi − → v f 0− → (x0, y .∇ v 0) = f (x0, y0). |− → v | |− → v | (2) Giả sử − →
v tạo với hướng dương của trục Ox một góc ϕ. Gọi − →
v ϕ là vector đơn vị theo hướng của − → v . Khi đó, − → − → v v ϕ = = (cos ϕ, sin ϕ). |− → v |
Do đó, f 0ϕ(x0,y0) = f0−→ (x v 0, y0) = − → v ϕ .∇ f (x0, y0) = f 0 ϕ
x(x0, y0) cos ϕ + f 0y(x0, y0) sin ϕ .
Ví dụ 1.2.33. Tính đạo hàm của hàm z = f (x,y) = x2y + xy2 + x3y3 tại điểm M(1,3) theo π
hướng của vector đơn vị − →
u tạo với tia Ox một góc ϕ = . 4
1.2.5 Một số ứng dụng của đạo hàm riêng và vi phân
Mệnh đề 1.2.34 (Công thức Taylor của hàm hai biến). Cho hàm hai biến f có các đạo hàm
riêng đến cấp n + 1 trong lân cận U của (x0,y0), với ∆x,∆y đủ bé sao cho (x0 + ∆x,y0 + ∆y).
Khi đó, tồn tại θ ∈ (0,1) sao cho 1 1 1
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0, y0) + d f (x0, y0) + d2 f (x0, y0) + ... + dn f (x 1! 2! 0, y0) n! 1 + dn+1 f (x ( 0 + θ x0, y0 + θ y0). (1.1) n + 1)!
Công thức (1.1) được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm hai biến f trong lân cận của điểm (x0,y0).
Nhận xét 1.2.35. (1) Từ kí hiệu của vi phân cấp cao, công thức (1.1) được viết về dạng n 1 ∂ ∂ k f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = ∑ ∆x + ∆y f (x0, y0) k! ∂ x ∂ y k=0 1 ∂ ∂ n+1 + ∆x + ∆y f (x x0, y y ( 0 + θ 0 + θ 0). n + 1)! ∂ x ∂ y n 1 ∂ ∂ k (2) Đa thức Pn(x,y) = ∑ ∆x + ∆y
f (x0, y0) được gọi là đa thức Taylor cấp n của k=0 k! ∂ x ∂ y
hàm f . Ta có thể xấp xỉ f (x,y) bởi Pn(x,y) với (x,y) gần (x0,y0). 17
(3) Khi x0,y0) = (0,0), công thức (1.1) được gọi là công thức Maclaurin của hàm f .
(4) Khi n = 1, từ công thức (1.1), ta có xấp xỉ sau với |∆x|,|∆y| rất bé : f (x 0
0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0, y0) + fx(x0, y0)∆x + f 0y(x0, y0)∆y.
Ví dụ 1.2.36. Tính gần đúng giá trị: (1) p3(1,01)2 + (0,99)2. (2) 1, 01 arctan . 0, 98
Phần tiếp theo trình bày ứng dụng của đạo hàm riêng và vi phân trong nghiên cứu cực trị,
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số hai biến số.
Định nghĩa 1.2.37 (Cực trị hàm số). Cho hàm f (x,y) xác định trên D,(x0,y0) ∈ D. Khi đó
(1) Hàm số f được gọi là đạt cực đại tại điểm (x0,y0) nếu tồn tại lân cận V của (x0,y0) sao cho
∀(x,y) ∈ V, f (x,y) ≤ f (x0,y0).
(2) Hàm số f được gọi là đạt cực tiểu tại điểm (x0,y0) nếu tồn tại lân cận V của (x0,y0) sao cho
∀(x,y) ∈ V, f (x,y) ≥ f (x0,y0).
(3) Nếu f đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm (x0,y0) thì f (x0,y0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu).
(4) Cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị.
Định lí 1.2.38 (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị). Nếu hàm số f đạt cực trị tại (x0,y0) và
tồn tại các đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì
f 0x(x0, y0) = f 0y(x0,y0) = 0. (1.2)
Điểm (x0,y0) thỏa mãn (1.2) được gọi là điểm dừng của hàm số f. Vậy điểm cực trị của
hàm số có thể là điểm dừng hoặc điểm mà tại đó không tồn tại các đạo hàm riêng.
Định lí 1.2.39 (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị). Cho hàm f xác định trên tập mở D, f có
các đạo hàm cấp 1, cấp 2 riêng liên tục trên D,(x0,y0) ∈ D và (x0,y0) là điểm dừng của f . Ta
xem vi phân cấp 2 cấp 2 của f là dạng toàn phương của các biến dx,dy. Khi đó,
(1) Nếu d2 f (x0,y0) xác định dương thì f đạt cực tiểu tại (x0,y0).
(2) Nếu d2 f (x0,y0) xác định âm thì f đạt cực đại tại (x0,y0).
(3) Nếu d2 f (x0,y0) đổi dấu thì f không đạt cực trị tại (x0,y0). 18