Bài giảng nhị thức Niu-tơn

Tài liệu gồm 31 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề nhị thức Niu-tơn, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 2: Tổ Hợp Và Xác Suất.

30 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 8: Đại số tổ hợp (KNTT)

Môn: Toán 10

Thông tin:

16 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Trang 1
BÀI GIẢNG NHỊ THỨC NIU-TƠN
Mục tiêu
Kiến thức
+ Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
+ Biết tính chất các số hạng.
Kĩ năng
+ Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số chứa
x
trong khai triển.
+ Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn.
TOANMATH.co
m
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn
Với mọi số thực a, b và mọi
n ta có

n
ab
0
n
knkk
n
k
Ca b
011
... ...
nn knkk n
n
nn n n
Ca Ca b Ca b Cb

 
Quy ước:
00
1ab
.
Tính chất
a) Số các số hạng của khai triển bằng
1n
.
b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,
số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng các số mũ của a
và b trong mỗi số hạng bằng n.
c) Số hạng tổng quát thứ
1k có dạng:
1
knkk
kn
TCab
với
0,1,2,...,kn
.
d) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu
và cuối thì bằng nhau:
knk
nn
CC
e)
k
n
C
đạt giá trị lớn nhất khi
1
2
n
k
hay
1
2
n
k
với n lẻ;
2
n
k
với n chẵn.
f)
0
1
n
nn
CC
,
1
1
kkk
nnn
CCC

.
Tam giác Pascal
Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật:
- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi
hai số 1.
- Nếu biết hàng thứ n
1n
thì hàng thứ
1n
tiếp
theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp
của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị
trị giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối
Hệ quả:
Với
1ab
, ta có
01
2 ...
nn
nn n
CC C
.
Với
1; 1ab
, ta có:
 
01
0 ... 1 ... 1
kn
kn
nn n n
CC C C
Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường
gặp

011 1
1...
n
nn n n
nn n n
x
Cx Cx C x C


.

01 11
1...
n
nn nn
nn n n
x
CCx Cx Cx


.

01
1 ... 1
nn
nn
nn n
x
CCx Cx
.

01 1
0
2 1 1 ...
n
n
nk nn
nnn n n
k
CCC C C

.
 
01
0
0 1 1 1 ... 1
n
nk n
nk n
nnn n
k
CCC C

TOANMATH.co
m
Trang 3
hàng.
- Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy
gồm
1n số
012 1
, , ,..., ,
nn
nnn n n
CCC C C
.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn
Bài toán 1: Tìm hệ số của số hạng chứa
m
x
trong khai triển
n
pq
ax bx
Phương pháp giải
Xét khai triển:
n
pq
ax bx

0
.
n
nk k
kp q
n
k
Cax bx
0
.
n
knk knppkqk
n
k
Ca bx

.
Số hạng chứa
m
x
ứng với giá trị k thỏa mãn
mnp
np pk qk m k
qp

.
Vậy hệ số của số hạng chứa
m
x
là
.
knk k
n
Ca b
với
giá trị
mnp
k
qp
.
Nếu
k không nguyên hoặc
kn
thì trong khai
triển không chứa
m
x
, hệ số phải tìm bằng 0.
Ví dụ: Cho khai triển

10
21x
.
a) Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển trên.
Hướng dẫn giải
Ta có

10 10
10
10 10
00
21 .2 2 .
k
kkkk
kk
x
Cx Cx



.
Số hạng chứa
5
x
ứng với
5k
.
Hệ số cần tìm là
55
10
.2 8064C
.
Lưu ý: Tìm số hạng không chứa
x thì ta đi tìm
giá trị
k thỏa
0np pk qk
.
b) Tìm hệ số của số hạng không chứa
x trong khai
triển trên.
Hướng dẫn giải
Số hạng không chứa
x ứng với
0k
.
Hệ số cần tìm là
00
10
.2 1C
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa
x trong khai triển nhị thức Niu-tơn
21
2
2
x
x



0x .
Hướng dẫn giải
Ta có số hạng tổng quát là
Chú ý:
.
n
mmn
x
x ;
.
mn mn
x
xx
;
m
mn
n
x
x
x
;
TOANMATH.co
m
Trang 4

21 21 3
121 21
2
2
.2
k
k
knkk k k k k
kn
TCabCx Cx
x





.
Số hạng không chứa
x ứng với
21 3 0 7kk
.
Vậy hệ số cần tìm là
77
21
2 C
.
Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa
6
x
trong khai triển

8
3
1
x
x
Hướng dẫn giải
Số hạng tổng quát của khai triển là

33
88
.1

kk
kkk
x
Cx C x
.
Số hạng chứa
6
x
khi 36 3 kk.
Vậy hệ số cần tìm là

3
3
8
156C
.
Ví dụ 3. Tìm số hạng không chứa
x trong khai triển
10
3
3
2,0




xx
x
.
Hướng dẫn giải
Ta có
10
10
1
1
3
3
2
3
22.3.







xxx
x
.
Số hạng tổng quát trong khai triển là
 
10
110205
1
10 10
336
22
10 10
2 . 3 1 .2 .3 . . 1 .2 .3 . .










k
k
kk
k
kk
kkkkkk
Cx x xx C x
Số hạng không chứa
x ứng với
20 5 0 4kk
Vậy số hạng không chứa
x trong khai triển là

4
464
10
1 .2 .3 210.64.81 1088640C
.
m
n
m
n
x
x
.
Chú ý:
Phân biệt giữa hệ
số và số hạng.
Với


0
n
gk
x
k
P
xax
; số
hạng chứa
x
tương ứng
với

gk
; giải
phương trình ta tìm được
k.
* Nếu
;kkn
thì hệ
số phải tìm là
k
a. số
hạng phải tìm là
.
k
k
ax
.
* Nếu
k
hoặc
kn
thì trong khai triển không
có số hạng của
x
, hệ số
phải tìm bằng 0.
Bài toán 2: Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

n
tpq
P
xaxbxcx
Phương pháp giải
Ta có khai triển:


0

n
nnkk
tpq kt pq
n
k
P
x ax bx cx C ax bx cx
trong đó


00




kk
kkii
pk i qi
pq ip q ikii
kk
ii
bx cx C bx cx C b c x
.
Suy ra

 
00 00


 

 
nk nk
tn k pk i qi tn k pk i qi
knk ikii k inkkii
nk nk
ki ki
Px Ca x Cb cx CCa b cx
.
Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là


tn k pk i qi
kinkkii
nk
CCa b cx
.
Từ số hạng tổng quát của khai triển trên, ta tính được hệ số của
m
x
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa
2
x
trong khai triển

10
2
1Px x x .
TOANMATH.co
m
Trang 5
Hướng dẫn giải
Với
010qp
thì số hạng tổng quát của khai triển

10
2
1Px x x là
10
2202
10 10
.. . .1 ..


p
p
qpqqpqpqp
pp p
TCCx x CCx
.
Theo đề bài thì
20 2 2 18 pq p pq
.
Do
010qp
nên

;9;9;10;8pq
.
Vậy hệ số của
2
x
trong khai triển

10
2
1Px x x
là
99 108
10 9 10 10
..55CC CC
.
Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa
3
x
trong khai triển
60
2016 2017 2018
1 2 2015 2016 2017 xx x x.
Hướng dẫn giải
Ta có
60
2016 2017 2018
1 2 2015 2016 2017 xx x x

60
2016 2
1 2 2015 2016 2017



xx x x
 
60
60 59
0 1 2016 2 60 2016 2
60 60 60
1 2 1 2 2015 2016 2017 ... 2015 2016 2017CxCxx xx Cx xx

 

Ta thấy chỉ có số hạng

60
0
60
12Cx
chứa
3
x
nên hệ số của số hạng chứa
3
x
là

3
03 3
60 60 60
.28CC C
.
Bài toán 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn
Phương pháp giải
Ví dụ:
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức

10
1Px x
.
Hướng dẫn giải
Bước 1: Tính hệ số
k
a theo k và n. Giả sử sau
khi khai triển ta được đa thức:
2
01 2
...
n
n
P
xaaxax ax
.
Ta có

10
10
10
0
1.

kk
k
x
Cx
.
Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển
nhị thức

10
1x
là
10
k
k
aC
.
Suy ra
1
110
, 1;2;3;...;10.

k
k
aCk
Bước 2: Giả sử
k
a là hệ số lớn nhất trong các hệ
số
01
, ,...,
n
aa a
. Khi đó ta có
1
1
.
kk
kk
aa
aa
Giải hệ phương trình với ẩn số k.
Giả sử
k
a là hệ số lớn nhất trong các hệ số
01 10
, ,...,aa a
. Khi đó ta có
1
1
kk
kk
aa
aa
1
10 10
1
10 10
911
5
22

kk
kk
CC
kk
CC
.
Từ đây ta có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị
thức là
5
510
252aC .
TOANMATH.co
m
Trang 6
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức

13
13 12
01 13
2 1 ... Px x ax ax a
Hướng dẫn giải
Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức

13
21x
là
13
13
.2
kk
k
aC
với
1;2;3;...;13k
Giả sử
k
a là hệ số lớn nhất trong các hệ số
01 13
, ,...,aa a.
Khi đó ta có
1
1
kk
kk
aa
aa
13 1 12
13 13
114 13
13 13
11
.2 .2
3
4
14
.2 .2
3





kkk k
kkkk
k
CC
k
CC
k
.
Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là
49
413
.2 366080aC
.
Ví dụ 2. Cho khai triển biểu thức
9
3
32 . Tìm số hạng nguyên có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là
9
3
9
32
kk
k
k
TC .
Vì bậc của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố nên để
k
T
là một số nguyên thì



63
3
3
39
09
9
3
99
3 3 2 4536
09
92
9328.
3



k
kTC
k
k
kTC
k
Dễ thấy
4536 8
nên trong khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là
3
4536T
.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1:
Hệ số của
5
x
trong khai triển
 
67 12
1 1 ... 1 Px x x x
là
A. 1715. B. 1711. C. 1287. D. 1716.
Câu 2: Trong khai triển
6
2



x
x
, hệ số của
3
x
với
0x
là
A. 60. B. 80. C. 160. D. 240.
Câu 3: Hệ số của
7
x
trong khai triển

15
32
x
là
A.
787
15
.3 .2C
. B.
778
15
.3 .2C
. C.
787
15
.3 .2C
. D.
778
15
.3 .2C
.
Câu 4: Hệ số của
5
x
trong triển khai thành đa thức

8
23x
là
TOANMATH.co
m
Trang 7
A.
553
8
.2 .3C
. B.
353
8
.2 .3C
. C.
335
8
.2 .3C
. D.
526
8
.2 .3C
.
Câu 5: Trong khai triển biểu thức

20
xy
, hệ số của số hạng chứa
12 8
x
y là
A. 77520. B. -125970. C. 125970. D. -77520.
Câu 6: Hệ số của
5
x
trong khai triển

510
2
12 13
x
xx x
là
A. 61204. B. 3160. C. 3320. D. 61268.
Câu 7: Hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển

10
2
31Px x x là
A. 1695. B. 1485. C. 405. D. 360.
Câu 8: Khai triển
124
4
57 . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
A. 30. B. 31. C. 32. D. 33.
1 – A 2 – A 3 – C 4 – B 5 – C 6 – C 7 – A 8 – C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Xét khai triển

6
1x
thấy ngay số hạng chứa
5
x
có hệ số là
1
6
C
.
Tương tự các khai triển còn lại ta lần lượt có hệ số của
5
x
là
23 7
78 12
, ,...,CC C
.
Do đó hệ số cần tìm là
12 7
67 12
... 1715CC C
.
Câu 2.
Số hạng tổng quát của khai triển:
3
6
6
2
16 6
2
2
k
k
kk kk
k
TCx Cx
x




.
Số hạng chứa
3
x
ứng với
3
632
2
kk
.
Vậy hệ số của
3
x
là
22
6
.2 60C
.
Câu 3.
Công thức số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Niu-tơn

15
32
x
là

15 15
115 15
.3 . 2 1 3 2
kk
kk kkkk
k
TC x C x


Để số hạng chứa
7
x
thì
7k
.
Vậy hệ số của số hạng chứa
7
x
là
787
15
32C
.
Câu 4.
Ta có khai triển

8
8
88
8
0
23 .2. .3
k
kkk
k
xCx


Số hạng chứa
5
x
ứng với
85 3kk
.
Hệ số cần tìm là

3
383 353
88
.2 . 3 .2 .3CC

.
TOANMATH.co
m
Trang 8
Câu 5.
Ta có khai triển

20
20
20
20
0
.1
k
kkk
k
xy Cx y

.
Ứng với số hạng chứa
12 8
x
y thì
20 12
8
8
k
k
k


.
Vậy hệ số của số hạng chứa
12 8
x
y là

8
8
20
1 . 125970C
.
Câu 6.
Hệ số của
5
x
trong khai triển

5
12
x
x
là

4
4
5
2.C
.
Hệ số của
5
x
trong khai triển

10
2
13
x
x
là
33
10
3.C
.
Vậy hệ số của
5
x
trong khai triển

510
2
12 13
x
xx x
là

4
433
510
2 . 3 . 3320CC
.
Câu 7.
Với
010qp
thì số hạng tổng quát của khai triển

10
2
31Px x x là
10
210202
10 10
..3 . .1 ..3 .
p
p
qpqqpqppqp
pp p
TCC x x CC x

.
Theo đề bài ta có
20 2 4 16pq p pq
.
Do
010qp
nên
;8;8;9;7;10;6pq
.
Vậy hệ số của
4
x
trong khai triển

10
2
31Px x x là
88108 97109 1061010
10 8 10 9 10 10
. .3 . .3 . .3 1695CC CC CC


.
Câu 8.
Ta có


124
124
124
4
24
124
0
5 7 . 1 .5 .7
kk
k
k
k
C

Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với

124
2
0;4;8;12;...;124
4
k
k
k

.
Vậy số các giá trị k là
124 0
132
4

.
Dạng 2: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước
Phương pháp giải
- Xác định số hạng tổng quát của khai triển
1
knkk
kn
TCab
(số hạng thứ
1k
).
- Kết hợp với yêu cầu bài toán, ta thiết lập một phương trình biến k.
- Giải phương trình để tìm kết quả.
Ví dụ mẫu
TOANMATH.co
m
Trang 9
Ví dụ 1. Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức
12
2
1



x
x
ta có hệ số của một số hạng
chứa
m
x
bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.
Hướng dẫn giải
Số hạng thứ
1k trong khai triển là

12
2242243
12 12 12
1
.....





k
k
kkkkkk
Cx Cx x Cx
x
Hệ số của số hạng
m
x
là 495 nên

12
4
12!
495 495
8.
!12 !
 
k
k
C
k
kk
Khi đó
24 3mk sẽ có 2 giá trị là 0m và 12m .
Ví dụ 2. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển

1
n
x
có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là
7
15
.
Hướng dẫn giải
Ta có

01 11
1 ... ...


n
kk k k nn
nn n n n
x
CCx CxCx Cx
.


1
1! 1!
7! 717
..
15 ! ! ! 15 15
15 1 7 7 15 22 7 7 3 2 1.

 


k
n
k
n
knk
C
nk
Cknkn nk
knkn knkk
Vì
; kn
nên ta có
min min
17 6 21 kk n.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1:
Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của

4
11ax x
có chứa số hạng
3
22
x
.
A.
5a
. B.
3a
. C.
3a
. D.
2a
.
Câu 2: Biết rằng hệ số của
2n
x
trong khai triển
1
4



n
x
bằng 31. Tìm n.
A.
32n
. B.
30n
. C.
31n
. D.
33n
.
Câu 3: Xét khai triển

2
01 2
1 3 ...
n
n
n
x
aaxax ax
với
*
,3nn. Giả sử
1
27a , khi đó
2
a
bằng
A. 1053. B. 243. C. 324. D. 351.
Câu 4: Số hạng không chứa x trong khai triển
2
1



n
x
x
biết
22
105
nn
AC
là
A. -3003. B. -5005. C. 5005. D. 3003.
Câu 5: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
221
46
nnn
ACC n
. Hệ số của số hạng chứa
9
x
của khai
triển biểu thức

2
3
,0




n
Px x x
x
bằng
TOANMATH.co
m
Trang 10
A. 18564. B. 64152. C. 192456. D. 194265.
Câu 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
13
5
n
nn
CC
. Số hạng chứa
5
x
trong khai triển nhị thức Niu-
tơn
2
1
14




n
nx
P
x
với
0x
là
A.
35
16
. B.
16
35
. C.
5
35
16
x
. D.
5
16
35
x
.
Câu 7: Số hạng không chứa x trong khai triển của
4
1



n
xx
x
với
0x
nếu biết rằng
21
44
nn
CC
là
A. 165. B. 238. C. 485. D. 525.
1 – C 2 – A 3 – C 4 – D 5 – C 6 – C 7 – A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có
 
44 4
11 1 .1ax x x ax x
.
Xét khai triển

4
432
14641
x
xxxx
.
Suy ra số hạng chứa
3
x
là
3
4
x
.
Xét khai triển

4
432 5 4 3 2
14641464ax x ax x x x x ax ax ax ax ax
.
Suy ra số hạng chứa
3
x
là
3
6ax
.
Suy ra số hạng chứa
3
x
trong cả khai triển là
3
64ax .
Theo đề ra, ta có
6422 3aa
.
Câu 2.
Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn, ta có
0
11
44
nk
n
knk
n
k
xCx




.
Hệ số của
2n
x
nên ta có
2
2
nnk
xx k


.
Ta có
2
22
1
31 492 32
4
nn
CCn




.
Vậy
32n
.
Câu 3.
Ta có:

2
01 2
1
1 3 3 ...
n
nk
kn
nn
k
x
Cx aaxax ax

.
Theo giả thiết:
11 1
1
27 3 27 9 9
nn
aC Cn 
.
Suy ra
22
29
3324aC.
Câu 4.
TOANMATH.co
m
Trang 11
Ta có:

22
!!
105 105
2! 2! 2!
nn
nn
AC
nn



2
15
1
1 105 210 0 15
14
2
n
nn n n n
n


.
Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển là


15
2303
115 15
1
.. .1.
k
k
k
kkk
k
TCx C x
x




.
Số hạng không chứa x ứng với
30 3 0 10kk
.
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là

10
10
15
. 1 3003C 
.
Câu 5.
Với
2n
, ta có:


221
1
46 1 46
2
nnn
nn
ACC n nn nn
 
2
1
11 12 0 12
12
n
nn n
n


.
Với
12n
ta có khai triển:


12 12
12
2243
12 12
00
3
.. .3.
k
k
kkkk
kk
Px C x C x
x






.
Số hạng chứa
9
x
ứng với
24 3 9 5kk
.
Vậy hệ số cần tìm là
55
12
3 192456C
.
Câu 6.
Điều kiện:
,3nn
.
Ta có
 
13
5. ! ! 5 1
5
1!. 1! 3!. 3! 3! 2 1 6. 3!
n
nn
nn
CC
nnnnnn


2
7
3280 7
4
n
nn n
n


.
Với
7n
, ta có
7
2
1
2
x
P
x




.
Số hạng thứ
1k
trong khai triển là

14 3
17
7
1
..
2
k
kk
k
k
TCx
.
Số hạng chứa
5
x
ứng với
14 3 5 3kk
.
Vậy số hạng chứa
5
x
trong khai triển là

3
35 5
7
4
1
35
216
Cx x
 .
Câu 7.
Với
2n
ta có:
21
11
1
44 44 11
8
2
nn
n
nn
CC n n
n
 

.
TOANMATH.co
m
Trang 12
Với
11n
ta có khai triển:

11
33 11
11 11
11
2
11 11
44
00
11
.. .
k
k
k
kk
kk
xx C xx Cx
xx






,
Số hạng không chứa x ứng với
33 11
03
2
k
k

.
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là
3
11
165C
.
Dạng 3: Tính tổng dựa vào nhị thức Niu-tơn
Phương pháp giải
Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp:

01122 1
1 ... ...

 
n
nn n knk n n
nn n n n n
x
Cx Cx Cx Cx C x C
.

01 22 11
1 ... ...

 
n
kk n n nn
nn n n n n
x
CCxCx Cx Cx Cx
.
  
1
01122 1
1 ... 1 ... 1 1


nknn
nn n knk n n
nn n n n n
xCxCxCx Cx Cx C
.

01 1
0
211 ...
n
n
nk nn
nnn n n
k
CCC C C

.
 
012
0
0 1 1 1 ... 1

n
nk n
nk n
nnnn n
k
CCCC C
Một số kết quả thường sử dụng:
knk
nn
CC
;
11
1
,1


kk k
nn n
CC Cn
;
1
1
kk
nn
kC nC
;
1
1
11
11

kk
nn
CC
kn
;
1
1
11

kk
nn
kkC nnC;

221
21
1



kkk
nnn
kC n nC nC ;
01
... 2
nn
nn n
CC C
;

0
10

n
k
k
n
k
C
;
221
22 2
00 0
1
2



nn n
kk k
nn n
kk k
CC C
;

0
1

n
n
kk
n
k
Ca a
;
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Tính tổng
024 2020
2020 2020 2020 2020
...SCCC C
.
Hướng dẫn giải
Xét khai triển

0122
1 . . ... .
n
nn
nn n n
x
CxCxC xC
(*)
Thay
1; 2020xn
vào (*), ta được:
2020 0 1 2 2020
2020 2020 2020 2020
2 ...CCC C
(1).
Thay
1; 2020xn
vào (*), ta được
0 1 2 2020
2020 2020 2020 2020
0 ...CCC C
(2).
Cộng theo vế (1) và (2) ta được:
2020 2019
22 2SS
.
TOANMATH.co
m
Trang 13
Ví dụ 2. Cho khai triển nhị thức Niu-tơn của

2
23
n
x
, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
135 21
21 21 21 21
... 1024
n
nnn n
CCC C


. Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển trên.
Hướng dẫn giải
Ta có khai triển

21
0 1 2 2 2121
21 21 21 21
1 ...
n
nn
nn n n
x
CCxCx Cx



. (*)
Thay
1
x
vào (*) ta được
21 0 1 2 21
21 21 21 21
2 ...
nn
nnn n
CCC C



. (1)
Thay
1x 
vào (*) ta được
01 2 21
21 21 21 21
0 ...
n
nnn n
CCC C


. (2)
Trừ vế theo vế (1) cho (2), ta được
135 212
21 21 21 21
... 2
nn
nnn n
CCC C


.
Từ giả thiết ta có:
2
1024 2 5
n
n
.
Suy ra

10
10
10
0
23 . 3.2 .
n
k
kkk
k
x
Cx

.
Hệ số của
7
x
trong khai triển là

7
7377
10 10
.3.2 8.3.CC
.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1:
Đặt
1 2 2017
2017 2017 2017
...SC C C
. Khi đó giá trị S là
A.
2018
2. B.
2017
2. C.
2017
21 . D.
2016
2.
Câu 2: Tính tổng
0122 1010
10 10 10 10
2. 2 . ... 2 .SC C C C
.
A.
10
2S
. B.
10
4S
. C.
10
3S
. D.
11
3S
.
Câu 3: Cho
8910 15
15 15 15 15
...SCCC C. Tính S.
A.
15
2S
. B.
14
2S
. C.
13
2S
. D.
12
2S
.
Câu 4: Cho
0122
5 5 ... 5
nn
nn n n
A
CC C C . Khi đó
A.
7
n
A
. B.
5
n
A
. C.
6
n
A
. D. 4
n
A
.
Câu 5: Cho khai triển

1009
2 2 2018
0 1 2 2018
1 ... .xx a axax a x
Khi đó
012 2018
...aaa a
bằng
A.
1009
3
. B.
1008
3
. C.
2018
3
. D.
2016
3
.
Câu 6: Giá trị của tổng
012 2017
2017 2017 2017 2017
11 1
...
2 3 2018
SC C C C
bằng
A.
2017
21
2017
. B.
2018
21
2018
. C.
2018
21
2017
. D.
2017
21
2018
.
Câu 7: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn

01122
3 3 3 ... 1 2048
n
nn n n
nnn n
CCC C


. Hệ số của
10
x
trong khai triển

2
n
x
là
A. 11264. B. 22. C. 220. D. 24.
Câu 8: Cho khai triển

80
280
01 2 80
2...
x
aaxax ax
.
Tổng
123 80
1. 2. 3. ... 80.Sa a a a
là
A. -70. B. 80. C. 70. D. -80.
TOANMATH.co
m
Trang 14
Câu 9: Hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
7
4
1
n
x
x



, biết
12 20
21 21 21
... 2 1
n
nn n
CC C


là
A. 210. B. 213. C. 414. D. 213.
Câu 10: Đặt
0 1 2 3 2018
2018 2018 2018 2018 2018
...SC C C C C
. Khi đó:
A. 0S . B.
2018
21S . C. 1S  . D.
2018
21S .
1 – C 2 – C 3 – B 4 – C 5 – A 6 – B 7 – B 8 – D 9 – A 10 – A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có khai triển

2017
0 1 2 2 2017 2017
2017 2017 2017 2017 2017
1 ... ...
kk
x
CCxCx Cx Cx
.
Thay
1
x
ta được
2017 0 1 2 2017
2017 2017 2017 2017 2017
2 ... ...
k
CCCCC.
Suy ra
2017 2017
21 21SS
.
Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển

2017
11
thì được
2017 0 1 2 2017
2017 2017 2017 2017 2017
2 ... ...
k
CCCCC
. Suy ra
2017
21S 
.
Câu 2.
Xét khai triển nhị thức

10
10
10 0 10 1 9 2 2 8 10 10
10 10 10 10 10
0
2 2 2 2 ... 2
kkk
k
x
Cx Cx Cx Cx C

.
Cho
1
x
, ta được

10
10 0 1 2 2 8 10 10
10 10 10 10
3 1 2 2 2 ... 2CC Cx C
.
Câu 3.
Sử dụng đẳng thức
knk
nn
CC
ta được:
8 9 10 15 7 6 5 0
15 15 15 15 15 15 15 15
... ...SCCC C CCC C
.

15
8 9 10 15 7 6 5 0 15
15 15 15 15 15 15 15 15 15
0
2 ... ... 2
k
k
SCCC C CCC C C
 
14
2S
.
Vậy

8 9 10 15 14
15 15 15 15
... 2SCCC C
.
Câu 4.
Xét khai triển

00 11 1 0
. . . . ... . .
n
nn nn
nn n
ab Cab Cab Cab

.
Với
5, 1ab
ta có:

00 11 1 0 0 1
5 1 .5 .1 .5 .1 ... .5 .1 5 ... 5
n
nn nn nn
nn n nn n
CC C CC CA

, hay
6
n
A
.
Câu 5.
TOANMATH.co
m
Trang 15
Xét khai triển
1009
2 2 2018
0 1 2 2018
1 ...
x
xaaxaxax
. (1)
Thay
1
x
vào (1) ta được:

1009
1009
0 1 2018
... 1 1 1 3aa a
.
Câu 6.
Xét số hạng tổng quát
2017
1
1
k
C
k
, ta có:
 
1
2017 2018
1 1 2017! 1 2018! 1
..
1 1 ! 2017 ! 2018 1 ! 2017 ! 2018
k k
CC
kkkkkk


. Vậy
1
2017 2018
11
1 2018
kk
CC
k
.
0
2018
01 2 2018 2018
2018
2018 2018 2018 2018
11121
... 2
2018 2018 2018 2018 2018
C
S CCC C

 

.
Câu 7.
Ta có

011 22
3 1 3 3 3 ... 1
nn
nn n n
nnn n
CCC C


11
2 2048 2 2 11
nn
n 
.
Xét khai triển

11
11
11
11
0
2.2
kkk
k
xCx

Tìm hệ số của
10
x
tương ứng với tìm
11kk
thỏa mãn 11 10 1kk .
Vậy hệ số của
10
x
trong khai triển

11
2x
là
1
11
.2 22C .
Câu 8.
Xét khai triển:

80
280
01 2 80
2 ...
x
aaxax ax
. (1)
Lấy đạo hàm theo biến x hai vế của (1) ta được:

79
279
12 3 80
80 2 2 3 ... 80
x
aaxax ax
. (2)
Thay
1
x
vào (2) ta được:

79
80 1 2 80S 
.
Câu 9.
Do
21
21 21
0,1, 2,...,2 1
knk
nn
CC k n


 nên
01 1 2 21
21 21 21 21 21 21
... ...
nnn n
nn n nn n
CC CCC C

 
.
Mặt khác:
12 2121
21 21 21
... 2
nn
nn n
CC C



.
Suy ra
01 2 21
21 21 21 21
2 ... 2
nn
nnn n
CCC C


12 202
21 21 21 21
... 2 2 1
nn n
nn n n
CC C C


220
2121 10
n
n
Khi đó:

10
10 10
10 10
747 47 1140
10 10
4
00
1
..
k
kkkk
kk
xxx CxxCx
x







.
Hệ số chứa
26
x
ứng với giá trị k:
11 40 26 6kk
.
TOANMATH.co
m
Trang 16
Vậy hệ số chứa
26
x
là
6
10
210C .
Câu 10.
Xét khai triển

0122
1 . . ... .
n
nn
nn n n
x
CxCxC xC
(*).
Thay
1; 2018xn
vào (*), ta được
0 1 2 2018
2018 2018 2018 2018
0 ...CCC C.
Vậy
0S
.
| 1/16
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI GIẢNG NHỊ THỨC NIU-TƠN Mục tiêu Kiến thức
+ Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
+ Biết tính chất các số hạng. Kĩ năng
+ Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số chứa x trong khai triển.
+ Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn Hệ quả:
Với mọi số thực a, b và mọi n   ta có
Với a b  1, ta có n 0 1
2  C C  ... nC . n n n   n a b n k nk k  C a b
Với a  1;b  1 , ta có: n k 0 0 1
0  C C  ...   C    C n n   1 k ... n   1 n k n 0 n 1 n 1
C a C a b  ... k nk kC a b  ... n nC b n n n n n
Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường Quy ước: 0 0 a b  1. gặp n Tính chấtx   0 n 1 n 1  n 1
1  C x C x  ...  nC x C . n n n n
a) Số các số hạng của khai triển bằng n 1.   xn 0 1 n 1  n 1 1
C C x  ...  n n
C x C x . n n n n
b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, x  n 0 1
1  C C x  ...   C x . n n  n n n
số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng các số mũ của a 1 n
và b trong mỗi số hạng bằng n. n 2  1 n n k 0 1 n 1
1  C C C ...  nCC . n n n n n
c) Số hạng tổng quát thứ k 1 có dạng: k 0 k nk k n T
C a b với k  0,1, 2,..., n . n k 0 1 n n k n k 1  n 0  1  1  C
C C    C n   1 ... n n   1 n k 0
d) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu
và cuối thì bằng nhau: k n k C C   n n n 1 n 1 e) k
C đạt giá trị lớn nhất khi k  hay k n 2 2 n
với n lẻ; k  với n chẵn. 2 f) 0 n
C C  1 , k 1  k k CC C . n n n n n 1  Tam giác Pascal
Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật:
- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
- Nếu biết hàng thứ nn  
1 thì hàng thứ n 1 tiếp
theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp
của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị
trị giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối TOANMATH.com Trang 2 hàng.
- Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n   1 số 0 1 2 n 1
C ,C ,C ,...,C  , n C . n n n n n
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn n
Bài toán 1: Tìm hệ số của số hạng chứa m
x trong khai triển p q ax bx Phương pháp giải Xét khai triển:
Ví dụ: Cho khai triển  x  10 2 1 .   n p q ax bx n
 C ax n k k k p . q bx a) Tìm hệ số của 5
x trong khai triển trên. nk 0
Hướng dẫn giải n k nk
 C a . k nppkqk b x . 10 10 n 10 k k k k k k 0 Ta có 2x   1
 C . 2x  2 C .x . 10   10 k 0 k 0 Số hạng chứa m
x ứng với giá trị k thỏa mãn Số hạng chứa 5
x ứng với k  5 . m np
np pk qk m k  . q p Hệ số cần tìm là 5 5 C .2  8064 . 10
Vậy hệ số của số hạng chứa m
x là k nk C a . k b với n m np giá trị k  . q p
Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển không chứa m
x , hệ số phải tìm bằng 0.
Lưu ý: Tìm số hạng không chứa x thì ta đi tìm b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai
giá trị k thỏa np pk qk  0 . triển trên.
Hướng dẫn giải
Số hạng không chứa x ứng với k  0 . Hệ số cần tìm là 0 0 C .2  1. 10 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn Chú ý: 21  2   n m m.n xx ; x   x  0. 2   x m . n m n x x x   ;
Hướng dẫn giải m x
Ta có số hạng tổng quát là mnx ; n x TOANMATH.com Trang 3 m    2 k 21  T
C a b C x .   2 k k n k k k k kk C x . n m n x x . k n  2    21 3 1 21 21  x
Số hạng không chứa x ứng với 21 3k  0  k  7 .
Chú ý: Phân biệt giữa hệ
Vậy hệ số cần tìm là 7 7 2 C . 21 số và số hạng.
Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa 6
x trong khai triển x   x8 3 1 n Với P xgk   a x ; số x
Hướng dẫn giải k 0
hạng chứa x tương ứng
Số hạng tổng quát của khai triển là 3
x .C xk C  k k k k 3 1     x . 8 8 với
g k    ; giải Số hạng chứa 6
x khi k  3  6  k  3 .
phương trình ta tìm được
Vậy hệ số cần tìm là C  3 3 1  56 . 8 k. 10  3    
Ví dụ 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 3 2 x  , x  0 * Nếu k ; k n thì hệ   .  x
số phải tìm là a . số k
Hướng dẫn giải
hạng phải tìm là a . k x . k 10 10 1 1  3     Ta có 3 3 2 2 x    
 2.x  3.x  .
* Nếu k  hoặc k n x   
thì trong khai triển không
Số hạng tổng quát trong khai triển là
có số hạng của x, hệ số 10 1 k 1 k 10k k 205       k 2  2  . 3 
   k 10 2 1 .2 .3 . .  1  k k k k
k .2 k.3k C x x x x C .x
. phải tìm bằng 0. 10   10 3 3 6 10    
Số hạng không chứa x ứng với 20  5k  0  k  4
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là  4 4 6 4
1 C .2 .3  210.64.81  1088640 . 10
Bài toán 2: Tìm hệ số của số hạng trong khai triển       n t p q P x ax bx cx Phương pháp giải nk k
Ta có khai triển: P x   t ax p bx q cx   n n k C t ax   p bx q cx nk 0 kk k k i i trong đó  p bx q cx    i C bx cx C b c x . k p   q i k i i
pk i   qi k i0 i0 n k n k
Suy ra P xk
nk tnk i k i i
pk iqi k i
nk k i i tnk  pk i  C a x C b c xC C a b c x . n k  qi n k k 0 i0 k 0 i0
Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là k i nk ki i tnkpkiqi C C a b c x . n k
Từ số hạng tổng quát của khai triển trên, ta tính được hệ số của m x . Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa 2
x trong khai triển P x  x x  10 2 1 . TOANMATH.com Trang 4
Hướng dẫn giải
Với 0  q p  10 thì số hạng tổng quát của khai triển P x  x x  10 2 1 là  p T p C . q C . x x C C x . p  10 2 pq q p q pq202 . .1  . . p p 10 10 p
Theo đề bài thì p q  20  2 p  2  p q  18 .
Do 0  q p  10 nên  ; p q   9;9;10;8. Vậy hệ số của 2
x trong khai triển P x  x x  10 2 1 là 9 9 10 8
C .C C .C  55 . 10 9 10 10
Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa 3 x trong khai triển   xxxx 60 2016 2017 2018 1 2 2015 2016 2017 .
Hướng dẫn giải Ta có   x xxx 60 2016 2017 2018 1 2 2015 2016 2017
   x  x   x   x  60 2016 2 1 2 2015 2016 2017 
C 1 2x  C 1 2x x
2015 2016x  2017x  ... C x  
2015 2016x  2017x  60 60 59 0 1 2016 2 60 2016 2  60 60 60 
Ta thấy chỉ có số hạng C 1 2x60 0 chứa 3
x nên hệ số của số hạng chứa 3
x là C .C 2  8C . 60 60  3 0 3 3 60 60
Bài toán 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn Phương pháp giải Ví
dụ: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức
P x   x  10 1 .
Hướng dẫn giải
Bước 1: Tính hệ số a theo k và n. Giả sử sau k Ta có  x   10 10 1   k C . k x . 10
khi khai triển ta được đa thức: k 0
Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển P x 2
a a x a x ... n a x . 0 1 2 n
nhị thức  x  10 1 là a k C . k 10 Suy ra k 1  a
C , k  1;2;3;...;10. k 1  10
Bước 2: Giả sử a là hệ số lớn nhất trong các hệ Giả sử a là hệ số lớn nhất trong các hệ số k ka aa a
số a , a ,..., a . Khi đó ta có k k 1 
a , a ,..., a . Khi đó ta có k k 1  0 1 n   a a .  0 1 10 a a k k 1   k k 1 
Giải hệ phương trình với ẩn số k. k k 1  C C 10 10 9 11     k   k  5 . k 1  Ck C 2 2  10 10
Từ đây ta có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức là 5
a C  252 . 5 10 TOANMATH.com Trang 5 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức
P x  2x  13 13 12 1
a x a x  ... a 0 1 13
Hướng dẫn giải
Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức  x  13 2 1 là 13 a C .2   k
k với k  1; 2;3;...;13 k 13
Giả sử a là hệ số lớn nhất trong các hệ số a , a ,..., a . k 0 1 13  11  k k k k k a a 13 1  12 C .2  C .2   Khi đó ta có k k 1  3  13 13      k  4 . a   a k 1  14k k 13 C .2  C .2 k 14 k k 1   13 13 k   3
Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là 4 9
a C .2  366080 . 4 13
Ví dụ 2. Cho khai triển biểu thức   9 3 3
2 . Tìm số hạng nguyên có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải 9k k
Số hạng tổng quát trong khai triển là T k C . k  3 3 2 9 
Vì bậc của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố nên để T là một số nguyên thì kk   
k  3 T      C k  36 23 3 3  4536 0 9 3 9   9 k 2   
k  9  T   C  30  29 9 3  8. 9 9 k3
Dễ thấy 4536  8 nên trong khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là T  4536 . 3
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Hệ số của 5
x trong khai triển P x   x  6   x  7    x  12 1 1 ... 1 là
A. 1715. B. 1711. C. 1287. D. 1716. 6  2 
Câu 2: Trong khai triển x    , hệ số của 3
x với x  0 là  x
A. 60. B. 80. C. 160. D. 240.
Câu 3: Hệ số của 7
x trong khai triển   x15 3 2 là A. 7 8 7 C .3 .2 . B. 7 7 8 C .3 .2 . C. 7 8 7
C .3 .2 . D. 7 7 8 C .3 .2 . 15 15 15 15
Câu 4: Hệ số của 5
x trong triển khai thành đa thức  x  8 2 3 là TOANMATH.com Trang 6 A. 5 5 3 C .2 .3 . B. 3 5 3 C .2 .3 . C. 3 3 5
C .2 .3 . D. 5 2 6 C .2 .3 . 8 8 8 8
Câu 5: Trong khai triển biểu thức  x y20 
, hệ số của số hạng chứa 12 8 x y là
A. 77520. B. -125970. C. 125970. D. -77520.
Câu 6: Hệ số của 5
x trong khai triển x   x5  x   x10 2 1 2 1 3 là
A. 61204. B. 3160. C. 3320. D. 61268.
Câu 7: Hệ số của số hạng chứa 4
x trong khai triển P x   x x  10 2 3 1 là
A. 1695. B. 1485. C. 405. D. 360.
Câu 8: Khai triển   124 4 5 7
. Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
A. 30. B. 31. C. 32. D. 33. 1 – A 2 – A 3 – C 4 – B 5 – C 6 – C 7 – A 8 – C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Xét khai triển  x  6
1 thấy ngay số hạng chứa 5 x có hệ số là 1 C . 6
Tương tự các khai triển còn lại ta lần lượt có hệ số của 5 x là 2 3 7
C ,C ,...,C . 7 8 12
Do đó hệ số cần tìm là 1 2 7
C C  ...  C  1715 . 6 7 12 Câu 2. k 3    kk 2 6 k
Số hạng tổng quát của khai triển: 6 k k 2 TC xC 2 x . k 1  6   6  x  3 Số hạng chứa 3
x ứng với 6  k  3  k  2 . 2 Vậy hệ số của 3 x là 2 2 C .2  60 . 6 Câu 3.
Công thức số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Niu-tơn   15 3 2x là 15 TC .3  .    
 2xk  k k k k 15
1 C 3 k2k k x k 1 15 15 Để số hạng chứa 7
x thì k  7 .
Vậy hệ số của số hạng chứa 7 x là 7 8 7 C 3 2 . 15 Câu 4. 8
Ta có khai triển 2x  38 8 8
 C .2 .x  . 3 k k k k 8   k 0 Số hạng chứa 5
x ứng với 8  k  5  k  3.
Hệ số cần tìm là C .2  .33 3 8 3 3 5 3  C .2 .3 . 8 8 TOANMATH.com Trang 7 Câu 5. 20
Ta có khai triển  x y20 20
 C x y . 1 k k k k . 20   k 0 20  k 12
Ứng với số hạng chứa 12 8 x y thì   k  8. k  8
Vậy hệ số của số hạng chứa 12 8 x y là  8 8 1 .C  125970 . 20 Câu 6. Hệ số của 5
x trong khai triển x   x5 1 2 là 24 4 .C . 5 Hệ số của 5
x trong khai triển x   x10 2 1 3 là 3 3 3 .C . 10 Vậy hệ số của 5
x trong khai triển x   x5  x   x10 2 1 2 1 3 là  2  4 4 3 3
.C  3 .C  3320 . 5 10 Câu 7.
Với 0  q p  10 thì số hạng tổng quát của khai triển P x   x x  10 2 3 1 là  p p T C . q C . x x C Cx      . p 3 10 2 p q q p q 10 p p q 20 2 . .1 . .3 . p p 10 10 p
Theo đề bài ta có p q  20  2 p  4  p q  16 .
Do 0  q p  10 nên  ; p q 
 8;8;9;7;10;6. Vậy hệ số của 4
x trong khai triển P x   x x  10 2 3 1 là 8 8 108 9 7 109 10 6 10 1  0 C .C .3  C .C .3  C .C .3  1695 . 10 8 10 9 10 10 Câu 8. 124 124 124 k k Ta có  4
5  7   C . k k 2 4 1 .5 .7 124 k 0 124   k    
Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với 2   k 0;4;8;12;  ...;124 . k     4 124  0
Vậy số các giá trị k là 1  32 . 4
Dạng 2: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước Phương pháp giải
- Xác định số hạng tổng quát của khai triển  Tk n k k
C a b (số hạng thứ k 1). k 1  n
- Kết hợp với yêu cầu bài toán, ta thiết lập một phương trình biến k.
- Giải phương trình để tìm kết quả. Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 8 12  1 
Ví dụ 1. Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức 2 x  
 ta có hệ số của một số hạng  x  chứa m
x bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.
Hướng dẫn giải
Số hạng thứ k 1 trong khai triển là   k 12 2 k k  1  k 242kk k 243 .  . .  . k C x C x x C x . 12   12 12  x k k 12!   4
Hệ số của số hạng m
x là 495 nên C  495   495  12 k  ! 12  k !  k  8.
Khi đó m  24  3k sẽ có 2 giá trị là m  0 và m  12 .
Ví dụ 2. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển 1 n
x có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7 . 15
Hướng dẫn giải Ta có  xn 0 1 k k k 1  k 1 1 C C x ...    
  C x C x  ... n n C x . n n n n n k C 7 n! k n k k n    1  !    1 ! 7 1 7   .    . k 1  C 15 k n k n n k n !  ! ! 15  15  15k  
1  7n k   7n  15  22k  7n  73k  2  k 1.
Vì k; n   nên ta có k 17  k  6  n  21. min min
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của   ax  x4 1 1 có chứa số hạng 3 22x .
A. a  5 . B. a  3
 . C. a  3. D. a  2 .  1 n
Câu 2: Biết rằng hệ số của n2 x
trong khai triển x    bằng 31. Tìm n.  4 
A. n  32 . B. n  30 . C. n  31. D. n  33.
Câu 3: Xét khai triển 1 3xn 2
a a x a x  ... n a x với *
n   , n  3. Giả sử a  27 , khi đó a 0 1 2 n 1 2 bằng
A. 1053. B. 243. C. 324. D. 351.  1 n
Câu 4: Số hạng không chứa x trong khai triển 2 x    biết 2 2
A C  105 là  x n n
A. -3003. B. -5005. C. 5005. D. 3003.
Câu 5: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 2 2 1
A C C  4n  6 . Hệ số của số hạng chứa 9 x của khai n n n  3 n
triển biểu thức P x 2  x  , x  0   bằng  x  TOANMATH.com Trang 9
A. 18564. B. 64152. C. 192456. D. 194265.
Câu 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n 1 3 5  C
C . Số hạng chứa 5
x trong khai triển nhị thức Niu- n n 2  n nx 1  tơn P  
  với x  0 là  14 x  35 16 35 16 A.  . B.  . C. 5  x . D. 5  x . 16 35 16 35  1 n
Câu 7: Số hạng không chứa x trong khai triển của x x  
với x  0 nếu biết rằng 2 1
C C  44 là 4   x n n
A. 165. B. 238. C. 485. D. 525. 1 – C 2 – A 3 – C 4 – D 5 – C 6 – C 7 – A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Ta có   ax  x4    x4  ax   x4 1 1 1 . 1 .
Xét khai triển  x  4 4 3 2
1  x  4x  6x  4x 1. Suy ra số hạng chứa 3 x là 3 4x .
Xét khai triển ax x  4  ax 4 3 2
x x x x   5 4 3 2 1 4 6 4
1  ax  4ax  6ax  4ax ax . Suy ra số hạng chứa 3 x là 3 6ax . Suy ra số hạng chứa 3
x trong cả khai triển là  a   3 6 4 x .
Theo đề ra, ta có 6a  4  22  a  3 . Câu 2.  1 nk n k  1 k n
Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn, ta có x   C x       .  4 nk 0  4  Hệ số của n 2
x  nên ta có n2 nk xxk  2 . 2  1  Ta có 2 2 C
 31  C  492  n  32 . n    4 n  Vậy n  32 . Câu 3. n
Ta có: 1 3xn  C 3xk k 2
a a x a x  ... na x . n 0 1 2 n k 1  Theo giả thiết: 1 1 1
a  27  C 3  27  C  9  n  9 . 1 n n Suy ra 2 2
a C 3  324 . 2 9 Câu 4. TOANMATH.com Trang 10 n! n! Ta có: 2 2
A C  105    n nn   n   105 2 ! 2! 2 ! 1  
nn   n 15 2
1  105  n n  210  0   n  15 . 2  n  14  k 15k  1 
Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển là TC .    .   2x . C .    k k k 303 1 . k x k 1 15 15  x
Số hạng không chứa x ứng với 30  3k  0  k  10 .
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là C . 10 10 1  3003. 15 Câu 5.
Với n  2 , ta có: n n 1 2 2 1
A C C  4n  6  n n    n n n n n     1 4 6 2 n  1  2
n 11n 12  0   n 12  . n 12 12 k 12 12k k  3 
Với n  12 ta có khai triển: P x  C . 2 x k k 243 .  C .3 . k x . 12   12 k 0  x k 0 Số hạng chứa 9
x ứng với 24  3k  9  k  5 .
Vậy hệ số cần tìm là 5 5 3 C  192456 . 12 Câu 6.
Điều kiện: n  , n  3 .  n n n 5. ! ! 5 1 Ta có 1 3 5CC     n n 1!.n   1 ! 3!.n  3!
n 3 !n  2n  1 6.n 3! n  7 2
n  3n  28  0   n  7  . n  4  7 2  x 1 
Với n  7 , ta có P     .  2 x   1k
Số hạng thứ k 1 trong khai triển là k 14 3 T  .C . k x  . k 1  7k 7 2 Số hạng chứa 5
x ứng với 14  3k  5  k  3 .  3 1 35 Vậy số hạng chứa 5
x trong khai triển là 3 5 5 C x   x . 4 7 2 16 Câu 7. n n 1 n  11 2 1  
Với n  2 ta có: C C  44   n  44   n  11. n n 2  n  8  TOANMATH.com Trang 11 11 11 k 11 33 1  1 11  1   k  1 k k
Với n  11 ta có khai triển: x x   C . x x . k  C .x  , 4    2 11  4  11  x k 0  x k 0 33 11k
Số hạng không chứa x ứng với  0  k  3. 2
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là 3 C  165 . 11
Dạng 3: Tính tổng dựa vào nhị thức Niu-tơn Phương pháp giải
Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp: x n 0 n 1 n 1  2 n2 k nk n 1 1 C x C x C x ... C x ...       
  C x n C . n n n n n nxn 0 1 2 2 k k n 1 n 1 1 C C x C x ... C x ...        
  C x n n C x . n n n n n n
x n C x C x C x  k C x C x  n 1 0 1 1 2 2 1 1 ... 1 ... 1                 C   1 n n n n k n k n n . n n n n n n n 2  1 n n k 0 1 n 1
1  C C C ...  nCC . n n n n n k 0 0  1  1  n n C  k 0 1 2
1  C C C ...    1 n n k n C n n n n n k 0
Một số kết quả thường sử dụng: k nC k C ; k k 1  k 1  C C
C , n  1 ; n n n n n 1  k k 1  kC nC ; 1 k 1 n n 1  k 1  C C ; n n 1 k 1 n 1  k  1 k kC n nC ; 2 k k C n nC nC ; n    k 2 k 1 1    n    k 1 1  n 1  n2 n 1  0 1
C C  ...  n C  2n ; n n n
n 1k k C  0 ; n k 0 n n n k k  1 2 2 1 C C C ; nC a a ; n 1 n k k n   nk 2 2 2n k 0 k 0 2 k0 k 0 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính tổng 0 2 4 2020 S CCC  ... C . 2020 2020 2020 2020
Hướng dẫn giải
Xét khai triển   xn 0 1 2 2 1  C  .
x C x .C  ... nx . n C (*) n n n n
Thay x  1; n  2020 vào (*), ta được: 2020 0 1 2 2020 2  CCC  ... C (1). 2020 2020 2020 2020
Thay x  1; n  2020 vào (*), ta được 0 1 2 2020 0  CCC ... C (2). 2020 2020 2020 2020
Cộng theo vế (1) và (2) ta được: 2020 2019 2S  2  S  2 . TOANMATH.com Trang 12
Ví dụ 2. Cho khai triển nhị thức Niu-tơn của   2 2 3 n x
, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3 5 2n 1 CCC
 ... C   1024 . Tìm hệ số của 7
x trong khai triển trên. 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1 
Hướng dẫn giải
Ta có khai triển 1 x2n 1 0 1 2 2 2n 1  2n 1  CC x C x  ...  C x  . (*) 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1 
Thay x  1 vào (*) ta được 2n 1  0 1 2 2n 1 2  CCC  ... C  . (1) 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  Thay x  1  vào (*) ta được 0 1 2 2 1 0  CCC ... nC  . (2) 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1 
Trừ vế theo vế (1) cho (2), ta được 1 3 5 2n 1 2 CCC
 ... C   2 n . 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  Từ giả thiết ta có: 2
1024  2 n n  5 . n
Suy ra 2  3x10  C . 3  k k 10 .2 k. k x . 10 k 0 Hệ số của 7
x trong khai triển là C .37 7 3 7 7 .2  8.3 .C . 10 10
Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Đặt 1 2 2017 S CC  ... C
. Khi đó giá trị S là 2017 2017 2017 A. 2018 2 . B. 2017 2 . C. 2017 2 1. D. 2016 2 . Câu 2: Tính tổng 0 1 2 2 10 10
S C  2.C  2 .C  ...  2 .C . 10 10 10 10 A. 10 S  2 . B. 10 S  4 . C. 10 S  3 . D. 11 S  3 . Câu 3: Cho 8 9 10 15
S C C C  ... C . Tính S. 15 15 15 15 A. 15 S  2 . B. 14 S  2 . C. 13 S  2 . D. 12 S  2 . Câu 4: Cho 0 1 2 2
A C  5C  5 C  ...  5n n C . Khi đó n n n n A. 7n A  . B. 5n A  . C. 6n A  . D. 4n A  .
Câu 5: Cho khai triển 1 x x 1009 2 2 2018
a a x a x  ... a x
. Khi đó a a a  ... a bằng 0 1 2 2018 0 1 2 2018 A. 1009 3 . B. 1008 3 . C. 2018 3 . D. 2016 3 . 1 1 1
Câu 6: Giá trị của tổng 0 1 2 2017 S CCC ... C bằng 2017 2017 2017 2017 2 3 2018 2017 2 1 2018 2 1 2018 2 1 2017 2 1 A. . B. . C. . D. . 2017 2018 2017 2018
Câu 7: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 0 1  1 2 2
3 C  3 C  3 C  ...   C  . Hệ số của 10 x n n n   1 n n n n n 2048 n trong khai triển  2n x  là
A. 11264. B. 22. C. 220. D. 24.
Câu 8: Cho khai triển  x  280 2 80
a a x a x  ... a x . 0 1 2 80
Tổng S 1.a  2.a  3.a ... 80.a là 1 2 3 80
A. -70. B. 80. C. 70. D. -80. TOANMATH.com Trang 13  1 n
Câu 9: Hệ số của số hạng chứa 26
x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 7  x  , biết 4   x  1 2 n 20 CC ... C  2 1 là 2n 1  2n 1  2n 1 
A. 210. B. 213. C. 414. D. 213. Câu 10: Đặt 0 1 2 3 2018 S CCCC  ... C . Khi đó: 2018 2018 2018 2018 2018
A. S  0 . B. 2018 S  2 1. C. S  1  . D. 2018 S  2 1. 1 – C 2 – C 3 – B 4 – C 5 – A 6 – B 7 – B 8 – D 9 – A 10 – A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Ta có khai triển 1 x2017 0 1 2 2 k k 2017 2017  CC x C x  ...  C x  ... C x . 2017 2017 2017 2017 2017
Thay x 1 ta được 2017 0 1 2 k 2017 2  CCC  ... C ... C . 2017 2017 2017 2017 2017 Suy ra 2017 2017 2
1 S S  2 1.
Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển   2017 1 1 thì được 2017 0 1 2 k 2017 2  CCC  ... C ... C . Suy ra 2017 S  2 1. 2017 2017 2017 2017 2017 Câu 2.
Xét khai triển nhị thức  x  2 10 10 k 10k k 0 10 1 9 2 2 8 10 10
 C x 2  C x  2C x  2 C x ... 2 C . 10 10 10 10 10 k 0
Cho x 1, ta được 3  1 210 10 0 1 2 2 8 10 10
C  2C  2 C x  ... 2 C . 10 10 10 10 Câu 3.
Sử dụng đẳng thức k n k C C   ta được: n n 8 9 10 15 7 6 5 0
S C C C  ...  C C C C  ...  C . 15 15 15 15 15 15 15 15
 2S  C C C ... C   C C C ... C  15 8 9 10 15 7 6 5 0 k 15  C  2 15 15 15 15 15 15 15 15 15 k 0 14  S  2 . Vậy S   8 9 10 15
C C C  ...  C  14  2 . 15 15 15 15 Câu 4.
Xét khai triển a bn 0 0 n 1 1 n 1  n n 0
C .a .b C .a .b  ... C .a .b . n n n
Với a  5, b 1ta có:   n 0 0 n 1 1 n 1  n n 0 0 1
5 1  C .5 .1  C .5 .1  ...  C .5 .1  C  5C  ...  5n n C A , hay n n n n n n 6n A  . Câu 5. TOANMATH.com Trang 14
Xét khai triển 1 x x 1009 2 2 2018
a a x a x  ... a x . (1) 0 1 2 2018
Thay x 1 vào (1) ta được: a a  ...  a  11 1009 1009 1  3 . 0 1 2018 Câu 6. 1 Xét số hạng tổng quát k C , ta có: 2017 k 1 1 1 k 1 k 1 2017! 1 2018! 1 k 1 C . . C     . Vậy k 1 C C   . 2017 k 1 1 k k
! 2017  k ! 2018 k   1  ! 2017  k  2018 ! 2018 2017 2018 k 1 2018 0 2018 1 C 1 1 2 1 0 1 2 2018 2018 2018  S  CCC ... C    2    2018 2018 2018 2018 2018  . 2018 2018 2018 2018 Câu 7. Ta có   n 0 1  1 2 2
3 1  3 C  3 C  3 C  ...    1 n n n n n C n n n n n n 11
 2  2048  2  2  n 11.
Xét khai triển  x  2 11 11 k 11 k
 C x  .2k 11 k 0 Tìm hệ số của 10
x tương ứng với tìm k   k  
11 thỏa mãn 11 k 10  k  1. Vậy hệ số của 10
x trong khai triển  x  11 2 là 1 C .2  22 . 11 Câu 8.
Xét khai triển:  x  280 2 80
a a x a x  ... a x . (1) 0 1 2 80
Lấy đạo hàm theo biến x hai vế của (1) ta được: 80 x  279 2 79
a  2a x  3a x  ... 80a x . (2) 1 2 3 80
Thay x 1 vào (2) ta được: S    79 80 1 2  80 . Câu 9. Do k 2n 1  k CC k
  0,1,2,..., 2n 1 nên 2n 1  2n 1  0 1 n n 1  n2 2n 1 CC ... CCC ... C  . 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  Mặt khác: 1 2 2n 1 2n 1 CC
 ... C   2  . 2n 1  2n 1  2n 1  Suy ra 2 0 1 2 CCC  ... nC   nnnn  2n 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 n 2n 0 2  CC ... C  2  C  2 n 1 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 20
 2 1  2 1  n 10 10 10 10  1 10 10k  Khi đó: 7  kxx x  C x . k k
x  C . k x   . 4   4 7  4 7 11 40 10 10  xk 0 k 0 Hệ số chứa 26
x ứng với giá trị k: 11k  40  26  k  6 . TOANMATH.com Trang 15 Vậy hệ số chứa 26 x là 6 C  210 . 10 Câu 10.
Xét khai triển   xn 0 1 2 2 1  C  .
x C x .C  ... nx . n C (*). n n n n Thay x  1
 ;n  2018 vào (*), ta được 0 1 2 2018 0  CCC ... C . 2018 2018 2018 2018 Vậy S  0 . TOANMATH.com Trang 16