Bài giảng Phép nội suy và xấp xỉ hàm số | Phương pháp tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài giảng Phép nội suy và xấp xỉ hàm số | Phương pháp tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

56 28 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Phương pháp tính (BK)

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

6 trang 5 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương
Phép Nội Suy và Xấp Xỉ Hàm Số
§1. Bài toán Nội suy
Bằng cách nào đó ta thu được bảng số
]( ), 0, ; [ ,
i i i
y f x i n x a b
.
Việc phục hồi hàm số f(x) từ các giá trị trên gọi là phép nội suy.
Ta chọn đa thức để nội suy hàm f(x) vì đa thức là loại hàm đơn giản, luôn có
đạo hàm, nguyên hàm và việc tính giá trị cũng đơn giản.
Xây dựng đa thức
( )
n
P x
bậc
n
sao cho
( )
i i
n
xP y
Đa thức
( )
n
P x
gọi là đa thức nội suy của hàm
( )f x
. Đa thức này là duy nhất.
Với
x
cố định,
i
x x
thì
( ) ( ) ( )
n n
x f x PR x
được gọi là sai số tại điểm x.
Người ta đã chứng minh được rằng nếu hàm số
xác định, liên tục và có
đạo hàm liên tục đến cấp n+1 thì
1
1
( ) ( )
1 !
n
n
n
f
x x
n
R
,
1 0
[ , ], ( .) ( )).. (
nn
x xa b x x x
Sau đây là một số công thức tìm đa thức nội suy thường được sử dụng trong
thực tế
§2. Đa thức nội suy Lagrange
Giả sử đa thức
( )
n
P x
bậc n sinh ra từ bảng số
]( ), 0, ; [ ,
i i i
y f x i n x a b
Đa thức cơ sở:
1 1
0 1 1
0 1
1
. ... ...
( ) , 0,
... ...
n
j j
j j j j jj
j
n
j
x x x x x x x x x x
L x j n
x x x x x x x x x x
Đa thức nội suy
( )
n
P x
tính bằng:
0
( )( )
n
n
j j
j
P x yx L
Sai số của đa thức nội suy Lagrange:
1
( )
1
)
!
(
n
n
R x x
M
n
với
( 1)
1 0
, )...( )( ) [ , ] ( ) (
n
n
i
n
M f x x a b x x x xx x
§2. Đa thức nội suy Newton
Đa thức nội suy Newton với mốc bất kì
Khái niệm về tỉ hiệu:
Tỉ hiệu cấp 1 của y tại
i
x
là:
,[ ]
i j
i j
i j
y
y x
x
y
x
x
Tỉ hiệu cấp 2 của y tại
, ,
i j
k
x x x
là:
[ , ] [ , ]
, , ][
i j j
k
i j
k
i
k
y x x
y
y x x
x x
x
x
x
Đa thức Newton tiến xuất phát từ nút
0
x
0 0 0 1 0 1 0 1 2
0 1 0
]
, ] ,
]
( ) ( ). [ ( )( ). [ ...
+( )...( ). ,...
,
,
[
n
n
n
P x y x x y x x x x x y x
x x x
x x
x x y x
x
(2.1)
Đa thức Newton lùi xuất phát từ nút
n
x
11 1 2
1 1 1 0
( )( ). [ , ,
]
.( ) ). [
.
,
[
] (
,
] ..
( )( )...( ) ,...,
n n n
n
n n n n n
n
n n
n
n
P x x x x y x x x
x x
x y y x x
y
x
x x x
x
x x x x
(2.2)
Đa thức nội suy Newton với mốc cách đều một đoạn h
Khái niệm về sai phân:
Ta gọi
1
i
i
i
y yy
là sai phân tiến cấp 1
Sai phân tiến của sai phân tiến cấp n-1 là sai phân tiến cấp n, kí hiệu
1 1 1
0 0 1 0
( )
n n n n
y y y y
Ta gọi
1i i
i
yy y
"
là sai phân lùi cấp 1
Sai phân lùi của sai phân lùi cấp n-1 là sai phân lùi cấp n, kí hiệu
1 1 1
1 1 01
( )
n n n n
y y y y
" " " " "
Liên hệ giữa sai phân tiến và sai phân lùi:
k k
i
i k
y y
"
Quá trình tính sai phân tiến được mô tả trong bảng sau:
… …
2i
x
2i
y
2i
y
1i
x
1i
y
2
2
i
y
1i
y
2
3
i
y
i
x
i
y
1
2
i
y
2
4
i
y
i
y
1
3
i
y
1i
x
1i
y
2
i
y
1i
y
2i
x
2i
y
… …
Dễ thấy
0
0
[ ,..., ]
!
k
k
k
y
h
y
x x
k
(2.3)
[ ,..., ]
( )!
n
k
n
n
k
n
k
y x x
n k h
y
"
(2.4)
Đa thức Newton tiến có mốc cách đều
Đặt
0
x x ht
, và thế công thức (2.3) vào (2.1) ta được:
0
2
0 0 0 0
( 1) ( 1)...( 1)
2! !
( ) . . ... .
x x ht
n
n
t t t t t n
n
P y yx yt y
Đa thức Newton lùi có mốc cách đều
Đặt
n
x hx t
, và thế công thức (2.4) vào (2.1) ta được:
2
( 1) ( 1)...( 1)
. ... .
2! !
( ) .
n
n
n n n n n
x x ht
t t t t t n
P t
n
x yy yy
" " "
§2. Phương pháp bình phương tối thiểu
Ở trên, ta đã xấp xỉ hàm
( )f x
bằng đa thức nội suy xuất phát từ bảng số
( )
i i
y f x
.
Nhưng thực tế trong nhiều trường hợp, các giá trị
i
y
đó không có mà chỉ có các
giá trị gần đúng. Trong trường hợp này, việc xấp xỉ hàm
bằng đa thức nội
suy không còn phù hợp nữa, ta cần xấp xỉ hàm trong dạng khác thiết thực hơn.
Bài toán:
Từ bảng số
( )
i i
y f x
, hãy tìm hàm
)( ()
m
x P x
sao cho
1
0
2
0
( , ,..., )
n
m m
i
i
a a a y P
đạt min
Phương pháp tính:
Giả sử
m
P
là đa thức tuyến tính với hệ hàm
0
{ } { ( ),..., ( )}
m
k
x x
ví dụ
2
P a bx cx
tuyến tính với hệ hàm
2
{1, , }x x
1
0
2
0
( , ,..., )
n
m mi
i
a a a y P
đạt min dẫn tới:
0
1
0
0
...
0
m
a
a
a
hệ này tương đương:
0
0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0
0 0
0
1 1 1 1
0 0
1 1
0 1 1
0
. . ( ) . . ( . . ( ) ( ).
. . ( ) . . ( . . (
) ...
) ... ) ( ).
...
. . ( ) . . ( . . ( ) ( )) ... .
n n n n
i
i i i i
n n n n
i
i i i i
m m m mi
i
m m
i i i i
m mi i i i
m mi i i i
a x a x x x y
a x a x x x y
a x a x
a
xax y
a
0 0 0 0
n n n n
i i i
Sai Số:
(1):
2
2
1/
1
1
( )
m
n
i
i i
y x
n
(2):
0
1/2
1
,,
k
m
k k
m
y y a
n
y
Áp dụng tìm hàm thực nghiệm:
1. Hàm thực nghiệm dạng
bx
y ae
Lấy logarit tự nhiên 2 vế
ln lny a bx
Đặt
ln , ln , B=b, Y y A a X x
Suy ra
Y A BX
Tìm A và B xuất phát từ bảng số
)ln )) ln ( ) (ln( (
i i i i i
Y f xy f X F X
Cách tìm A và B chính là dạng 1 đã xét.
2. Hàm thực nghiệm dạng
b
y ax
Tương tự như trên, lấy logarit tự nhiên 2 vế thu được
ln ln lny a b x
Đổi biến
ln , ln , , lnY y A a B b X x
ta thu được bảng số
ln , ln
i i i i
Y y X x
Tìm hàm thực nghiệm dưới dạng:
Y A BX
| 1/6
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Phép Nội Suy và Xấp Xỉ Hàm Số
§1. Bài toán Nội suy
Bằng cách nào đó ta thu được bảng số y f (x ), i 0  ,n ; x [  , a ] b i i i .
Việc phục hồi hàm số f(x) từ các giá trị trên gọi là phép nội suy.
Ta chọn đa thức để nội suy hàm f(x) vì đa thức là loại hàm đơn giản, luôn có
đạo hàm, nguyên hàm và việc tính giá trị cũng đơn giản.
Xây dựng đa thức n P ( ) x bậc n  sao cho n
P (x ) y i i Đa thức P ( ) x f x n
gọi là đa thức nội suy của hàm ( ). Đa thức này là duy nhất.
Với x cố định, x x
R x f x P x i thì n ( ) ( )
n ( ) được gọi là sai số tại điểm x.
Người ta đã chứng minh được rằng nếu hàm số f (x) xác định, liên tục và có
đạo hàm liên tục đến cấp n+1 thì n 1 f   R ( )   n xn   ( ) x n 1 1 !        , [ , a ] b , ( ) x
( x x )...( x x ) n 1  0 n
Sau đây là một số công thức tìm đa thức nội suy thường được sử dụng trong thực tế
§2. Đa thức nội suy Lagrange Giả sử đa thức n P ( )
x bậc n sinh ra từ bảng số
y f (x ), i 0  ,n ; x [  , a ] b i i i Đa thức cơ sở:
xx . xx ... xx x x ... x x 0   1   j 1  j 1    n L ( )   j x  , j 0, n x x
x x ... x x x x ... x x j 0   j 1
j j1  j j 1  j n
Đa thức nội suy P ( ) x n tính bằng: n P ( ) x  L ( ) n x y j j j 0 
Sai số của đa thức nội suy Lagrange: M   n
R (x)  n  (  x) n 1 1 ! (n 1  ) M f ( ) x x [  , a ]
b x ,  ( ) x (
xx )...( xx ) với i n 1  0 n
§2. Đa thức nội suy Newton
 Đa thức nội suy Newton với mốc bất kì
 Khái niệm về tỉ hiệu: y y [ y x , x ] i ji j x x
Tỉ hiệu cấp 1 của y tại i x là: i j [
y x ,x ]  y[x ,x ] [
y x , x , x ] i j j ki j k i
x , x j, x
Tỉ hiệu cấp 2 của y tại k là:  i x xk
 Đa thức Newton tiến xuất phát từ nút x0 n P (x)  0 y  (x  0 x ).y[ 0 x , 1 x ] (x  0 x )(x  1 x ).y[ 0 x , 1 x , 2 x ] ...
+(x x )...(x x ).y[x ,..., x nn] 0 1 0 (2.1)
 Đa thức Newton lùi xuất phát từ nút xn
P (x) y (x x ). [
y x , x ] (x x )( x x ). [
y x , x , x ]... n n n n n 1 n n 1 n n 1 n 2 (
x x )(x x )...( x x ) . [
y x ,x ,..., x ] n n 1 1 n n1 0 (2.2)
 Đa thức nội suy Newton với mốc cách đều một đoạn h
 Khái niệm về sai phân:    Ta gọi y y y i i1
i là sai phân tiến cấp 1
Sai phân tiến của sai phân tiến cấp n-1 là sai phân tiến cấp n, kí hiệu n n 1  n 1  n 1        0 y ( 0 y ) 1 y 0 y Ta gọi " y y   y i i
i 1 là sai phân lùi cấp 1
Sai phân lùi của sai phân lùi cấp n-1 là sai phân lùi cấp n, kí hiệu n n 1 n 1 n 1 " y " (" y ) " y  " y 1 1 1 0
Liên hệ giữa sai phân tiến và sai phân lùi: k k   i
y " yik
Quá trình tính sai phân tiến được mô tả trong bảng sau: … … x y i 2 i  2 yi 2 x y 2 i 1 i 1  yi 2  y 3 i 1  yi 2 x 2 4 i i yyy i  1 i  2  3 i yyi 1 x y 2 i 1  i 1   iyyi 1 x y i2 i2 … … ky0 [
y x ,..., x ]  Dễ thấy 0 k k! k h (2.3) nk " y [ y x ,..., x ] nn k
(n k)! nk h (2.4)
 Đa thức Newton tiến có mốc cách đều
Đặt x x ht 0
, và thế công thức (2.3) vào (2.1) ta được: t(t  1) 2
t(t  1)...(t n 1) P ( ) x y   .t y   . y .  ..  . n ny   0 0 0 0 x 0 x ht 2! ! n
 Đa thức Newton lùi có mốc cách đều Đặt x n
x ht , và thế công thức (2.4) vào (2.1) ta được: t(t 1) 2
t(t 1)...(t n 1) P ( ) xy      .t" y  ." y ... . n n n n n " n y x xn ht 2! n!
§2. Phương pháp bình phương tối thiểu
Ở trên, ta đã xấp xỉ hàm f (x) bằng đa thức nội suy xuất phát từ bảng số
y f (x ) i i .
Nhưng thực tế trong nhiều trường hợp, các giá trị yi đó không có mà chỉ có các
giá trị gần đúng. Trong trường hợp này, việc xấp xỉ hàm f ( )
x bằng đa thức nội
suy không còn phù hợp nữa, ta cần xấp xỉ hàm trong dạng khác thiết thực hơn. Bài toán: Từ bảng số i
y f ( ix ) , hãy tìm hàm (x)  m
P (x) sao cho n 2
(a , a ,..., m a )  y P 0 1  i m i 0  đạt min Phương pháp tính:     Giả sử { } { ( ) x ,..., ( x k m )} m
P là đa thức tuyến tính với hệ hàm 0 2 ví dụ 2 P a
 bx cx tuyến tính với hệ hàm {1, x,x }   0   a  0    0  a1 ...  n 2     (a , a ,..., 0  m
a )  y P 0 1  i m a i 0 
đạt min dẫn tới:  m hệ này tương đương: n n n na  . 
 . (x )a . 
 . (x )...a    x    x y i m . . m ( ) ( ). 0 0 0 1 0 1 i 0 i 0 i ii 0  i 0  i 0  i 0   n n n n a  .   . (x            i ) a . . (xi) ... am.
. m(xi)  (xi).y 0 1 0 1 1 1 1 1 ii 0  i 0  i 0  i 0  .  ..  n n n na  .  .
  (x )a .  .
  (x )...a .  .
  (x )   (x ).y 0 m 0 i 1 m 1 i m m m im i ii 0  i 0  i 0  i 0  Sai Số: 1/2 n  2 1    
  y  (x ) mi in   (1):  i 1   1/2  1 m     
  y, y  a  , m y    k kn  (2):   k 0   
Áp dụng tìm hàm thực nghiệm: bx
1. Hàm thực nghiệm dạng y ae
Lấy logarit tự nhiên 2 vế ln y l  na bx Đặt Y l  n , y A l  n , a B=b, X x
Suy ra Y A BX
Tìm A và B xuất phát từ bảng số Y l
 n y ln( f (x )) l
 n f (X ) F  (X ) i i i i i
Cách tìm A và B chính là dạng 1 đã xét. b
2. Hàm thực nghiệm dạng y ax
Tương tự như trên, lấy logarit tự nhiên 2 vế thu được ln y l
 n a bln x Đổi biến Y l  n y, A l  n a, B  , b X l  n x
ta thu được bảng số Yi lnyi , X i lnxi
Tìm hàm thực nghiệm dưới dạng: Y A BX