Bài giảng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Tài liệu gồm 31 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 2: Tổ Hợp Và Xác Suất.

82 41 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 8: Đại số tổ hợp (KNTT)

Môn: Toán 10

Thông tin:

31 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Trang 1
TỔ HỢP XÁC SUẤT
BÀI GIẢNG QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm vững quy tắc cộng, quy tắc nhân.
+ Hiểu và phân biệt được các khái niệm: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Kĩ năng
+ Vận dụng được quy tắc cộng và nhân cho các bài toán đếm.
+ Giải được các dạng toán đếm liên quan đến tổ hợ
p, chỉnh hợp.
+ Giải được phương trình liên quan đến công thức tổ hợp, chỉnh hợp.
TOANMATH.co
m
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Các quy tắc đếm
a) Quy tắc cộng
Định nghĩa
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một
trong hai phương án
A
hoặc B . Nếu phương án
A
có m
cách thực hiện, phương án
B có n cách thực hiện và
không trùng với bất kì cách nào trong phương án
A
thì
công việc đó có
mn cách thực hiện.
Công thức
Nếu
,
A
B là các tập hợp không giao nhau thì
.nA B nA nB
b) Quy tắc nhân
Định nghĩa
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn
A
và
B
. Nếu công đoạn
A
có m cách thực hiện và ứng với mỗi
cách đó có
n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó
có
.mn
cách thực hiện.
Công thức
Nếu
,
A
B là các tập hữu hạn phần tử thì

..nA B nAnB
2. Hoán vị
Định nghĩa
Một tập hợp gồm
n
phần tử

1.n Mỗi cách sắp xếp
n
phần tử theo một thứ tự được gọi là một hoán vị của
n
phần tử.
Số hoán vị của
n phần tử là: ! 1.2.3... .
n
P
nn
Hoán vị lặp
Cho k phần tử khác nhau
12
, ,..., .
k
aa a Mỗi cách sắp xếp
n phần tử trong đó gồm
1
n phần tử
12
;an phần tử
2
;...;
k
an
phần tử
12
, ,...,
kk
ann n n theo một thứ tự được gọi là
một hoán vị lặp cấp
n kiểu
12
, ,...,
k
nn n
của k phần tử.
Mở rộng: Một công việc được hoàn thành
bởi một trong
k
phương án
123
, , ,..., .
k
A
AA A Nếu phương án
1
có
1
m
cách thực hiện, phương án
2
A
có
2
m
cách
thực hiện,…phương án
k
A
có
k
m cách thực
hiện và các cách thực hiện của các phương
án trên không trùng nhau thì công việc đó
có
123
...
k
mmm m
cách thực hiện.
Cho các tập
12
, ,...,
n
A
AA
đôi một rời nhau.
Khi đó:
12 1 2
... ... .
nn
A
AAAAA
Mở rộng: Một công việc được hoàn thành
bởi
k hành động
123
, , ,...,
k
A
A A A liên tiếp.
Nếu hành động
1
A
có
1
m
cách thực hiện,
hành động
2
A
có
2
m cách thực hiện,...,
hành động
k
A
có
k
m cách thực hiện thì
công việc đó có
123
. . ...
k
mmm m cách hoàn
thành.
Cho các tập
12
, ,...,
n
A
AA hữu hạn phần tử.
Khi đó:
12 12
... . ... .
nn
A
AAAAA
Quy ước:
0! 1.
!1!.nn n

!
1 . 2 ...
!
n
p
pn
p

( với , ,np n p
 ).


!
1 . 2 ...
!
n
np np n
np

TOANMATH.co
m
Trang 3
Số hoán vị lặp cấp
n
kiểu
12
, ,...,
k
nn n của
k
phần tử là:

12
12
!
, ,..., .
! !... !
nk
k
n
Pnn n
nn n
Hoán vị vòng quanh
Cho tập
A
gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử
của tập
A
thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng
quanh của n phần tử.
Số hoán vị vòng quanh của n phần tử là:

1!.
n
Qn
3. Chỉnh hợp
Định nghĩa
Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử. Mỗi cách sắp xếp
k
phần
tử của

1
A
kn theo một thứ tự được gọi là một chỉnh
hợp chập
k của n phần tử của tập
A
.
Số chỉnh hợp chập
k của n phần tử:


!
1 2 ... 1 .
!
k
n
n
Ann n nk
nk

Chỉnh hợp lặp
Cho tập
A
gồm
n
phần tử. Một dãy gồm
k
phần tử của
A
, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần,
được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một
chỉnh hợp lặp chập
k của n phần tử của tập .
A
Số chỉnh hợp lặp chập
k của n phần tử:
kk
n
A
n .
4. Tổ hợp
Định nghĩa
Cho tập
A
gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm

1kkn phần tử của
A
được gọi là một tổ hợp chập k
của
n phần tử.
Số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử:

!
.
!! !
k
k
n
n
A
n
C
kknk

Tính chất
0
1;
n
nn
CC ;
knk
nn
CC
(với
,,np n p
).
Công thức này đúng cho trường hợp
0k hoặc .kn
Khi
kn
thì !.
n
nn
A
Pn
Quy ước:
0
1
n
C
Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp
Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công
thức:
!
kk
nn
A
kC
+ Chỉnh hợp: có thứ tự.
+ Tổ hợp: không có thứ tự.
+ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào
vị trí các phần tử ta dùng chỉnh hợp. Ngược
TOANMATH.co
m
Trang 4
1
11
;
kk k
nn n
CC C


1
1
;
kk
nn
kC nC
1
1
11.
kk
nn
kkCnnC

1
1
;
kk
nn
nk
CC
k

1
1
11
;
11
kk
nn
CC
kn

Tổ hợp lặp
Cho tập
12
; ;...;
n
A
aa a và số tự nhiên
k
bất kì. Một tổ
hợp lặp chập
k của n phần tử là một tập hợp gồm k phần
tử, trong đó mỗi phần tử là một trong
n phần tử của
A
.
Số tổ hợp lặp chập
k
của
n
phần tử:
1
11
kk n
nnk nk
CC C
 

lại, là tổ hợp.
Cách lấy
k phần tử từ tập n phần tử
kn
+ Không thứ tự, không hoàn lại: .
k
n
C
+ Có thứ tự, không hoàn lại: .
k
n
A
+ Có thứ tự, có hoàn lại:
.
k
n
A
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
QUY TẮC CỘNG
Công việc A
Phương án
1
Phương án
2
A
…
Phương án
k
A
1
m cách
2
m cách
…
k
m cách
12
...
k
mm m cách
TOANMATH.co
m
Trang 5
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Quy tắc đếm
Phương pháp giải
Để đếm số cách lựa chọn thực hiện một công việc
A
bằng quy tắc cộng, ta thực hiện các bước:
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu phương án
riêng biệt để thực hiện công việc
A
(có nghĩa công
việc
A
có thể hoàn thành bằng một trong các
phương án
12
; ;...;
k
A
AA
Bước 2: Đếm số cách chọn
12
; ;...;
k
x
xxtrong các
phương án
12
; ;...;
k
A
AA
Bước 3: Dùng quy tắc cộng, ta tính được số cách
lựa chọn để thực hiện công việc
A
là
12
... .
k
x
xx x
Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc
A
bằng quy tắc nhân, ta thực hiện các bước:
Ví dụ 1. Một trường THPT cử một học sinh đi dự
trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một
học sinh tiên tiến lớp 11A hoặc lớp 12B. Biết rằng
lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22
học sinh tiên tiến. Hỏi nhà trường có bao nhiêu
cách chọn?
Hướng dẫn giải
Nhà trường có thể chọn học sinh tiên tiến của lớp
11A hoặc lớp 12B.
Chọn một học sinh tiên tiến lớp 11A có 31 cách
chọn. Chọn một học sinh tiên tiến lớp 12B có 22
cách chọn.
Theo quy tắc cộng, số cách cử một học sinh đi dự
trại hè là:
31 22 53
(cách).
Ví dụ 2. Một bó hoa có 5 bông hoa hồng trắng, 6
bông hoa hồng đỏ và 7 bông hoa hồng vàng. Hỏi có
mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu?
QUY TẮC NHÂN
Công việc A
Hành động
1
A
Hành động
2
A
…
Hành động
k
A
1
m cách
2
m
cách
…
k
m cách
12
...
k
mm m cách
TOANMATH.co
m
Trang 6
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên
tiếp cần phải tiến hành để thực hiện công việc
A
(giả
sử
A
chỉ hoàn thành sau khi các công đoạn
12
; ;...;
k
A
AA hoàn thành).
Bước 2: Đếm số cách chọn
12
...
k
x
xx x trong
các công đoạn
12
; ;...;
k
A
AA
Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính được số cách lựa
chọn để thực hiện công việc
A
là
12
... .
k
x
xx x
Hướng dẫn giải
Để lấy được ba bông hoa có đủ ba màu thì ta sẽ
lấy mỗi loại một bông.
Số cách lấy bông hoa hồng trắng là 5 cách.
Số cách lấy bông hoa hồng đỏ là 6 cách.
Số cách lấy bông hoa hồng vàng là 7 cách.
Theo quy tắc nhân ta có số cách lấy ba bông có đủ
cả ba màu là:
5.6.7 210.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau.
a) Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn là
A. 13. B. 72.
C.
12. D. 30.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn một cái quần là 5 cách.
Số cách chọn một cái áo là 6 cách.
Số cách chọn một cái cà vạt là 3 cách.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn là:
46313 (cách).
Chọn A.
b) Số cách chọn một bộ gồm một quần, một áo và một cà vạt là
A. 13. B. 72.
C.
12. D. 30.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn một cái quần là 4 cách.
Số cách chọn một cái áo là 6 cách.
Số cách chọn một cái cà vạt là 3 cách.
Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là:
4.6.3 72
(cách).
Chọn B.
Ví dụ 2.
Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách
Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
Hướng dẫn giải
Theo quy tắc nhân, ta có:
Có
10.8 80 cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Toán khác nhau.
10.6 60 cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau.
TOANMATH.co
m
Trang 7
8.6 48
cách chọn một quyển sách Toán và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai quyển sách khác môn là
80 60 48 188
(cách).
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1:
Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học
sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số
cách chọn khác nhau là
A.
480.
B.
24.
C.
48.
D.
60.
Câu 2: An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con
đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến
nhà Cường?
A. 6. B. 4. C. 10. D. 24.
Câu 3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
A. 9. B. 10. C. 18. D. 24.
Câu 4: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một một bông)?
A. 60. B. 10. C. 15. D. 720.
Câu 5: Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu
kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể?
A. 2730. B. 2703. C. 2073. D. 2370.
Dạng 2: Các bài toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp
Phương pháp giải
Hoán vị:
Một tập hợp gồm n phần tử
1.n Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự được gọi là
một hoán vị của n phần tử.
Chỉnh hợp: Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử. Mỗi cách sắp xếp
k
phần tử của tập
1
A
kn
theo một
thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập
A
.
Tổ hợp: Cho tập
A
gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm
(1 )kkn
phần tử của tập
A
được gọi là một tổ
hợp chập
k của n phần tử.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Từ các số tự nhiên 1,2,3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách sắp xếp thứ tự bốn chữ số 1, 2, 3, 4 ta được một số tự nhiên theo yêu cầu đề bài.
Do đó số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4 là:
4! 24.
TOANMATH.co
m
Trang 8
Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh trong đó có An và Bình vào một hàng ghế dài gồm 7 ghế sao
cho An và Bình ngồi ở hai ghế đầu?
Hướng dẫn giải
An và Bình chỉ ngồi đầu và ngồi cuối, hoán đổi cho nhau nên có
2! cách xếp.
Xếp vị trí cho các bạn còn lại, ta có
5!
cách xếp.
Vậy ta có
2!.5! 240
cách xếp.
Ví dụ 3. Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai
thầy giáo không đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn giải
Có
8!
cách xếp 8 người.
Có
2! cách xếp hai giáo viên đứng cạnh nhau.
Khi đó có
2!.7! cách xếp 8 người sao cho hai giáo viên đứng cạnh nhau.
Mà hai giáo viên không đứng cạnh nhau nên số cách xếp là
8! 2!.7! 30240 cách xếp.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,...,9?
A.
15120.
B.
5
9. C.
9
5. D.
126.
Hướng dẫn giải
Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số
1, 2,...,9
là số cách sắp xếp thứ tự 5 chữ
số khác nhau từ 9 chữ số đã cho.
Do đó số các số thỏa mãn là:
5
9
15120.A
Chọn A.
Ví dụ 5.
Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh ngồi xung quanh một bàn tròn có
8 ghế?
Hướng dẫn giải
Xếp 8 học sinh theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn, sau đó xếp
vị trí cho 7 bạn còn lại có
7! cách.
Vậy có
7! 5040 cách.
Ví dụ 6
. Trong một túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng.
Các viên bi khác nhau có cùng kích cỡ. Tính số cách lấy ra 5 viên bi và sắp
xếp chúng vào 5 ô sao cho 5 ô bi đó có ít nhất một viên bi đỏ.
Hướng dẫn giải
Hoán vị vòng quanh: Cho
tập
A
gồm n phần tử.
Một cách sắp xếp
n phần
tử của tập
A
thành một
dãy kín được gọi là một
hoán vị vòng quanh của
n
phần tử. Số các hoán vị
vòng quanh của
n phần
tử là
1!.
n
Qn
TOANMATH.co
m
Trang 9
Số cách chọn ra 5 viên bi bất kì là
5
45
C
cách.
Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó không có viên bi đỏ nào là
3
35
C cách.
Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi đỏ là
55
45 35
CC cách.
Số cách xếp 5 viên bi vào 5 ô là
5!.
Theo quy tắc nhân ta có
55
45 35
5!. 107655240CC
(cách).
Ví dụ 7. Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách
Toán, 3 cuốn sách Lí, 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng
cho 5 em học sinh , , , ,
A
BCDE mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao
nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho số sách còn lại có đủ cả ba
loại?
Hướng dẫn giải
Trường hợp 1: Tặng hết 4 cuốn sách Toán.
Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách.
Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách.
Vậy có 6 cách chọn sách.
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là
5
5
120A
cách.
Vậy có 6.120 720 cách.
Trường hợp 2: Tặng hết 3 cuốn sách Lí.
Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách.
Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là
2
7
C cách.
Vậy có 21 cách chọn sách.
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là
5
5
120A
cách.
Vậy có 21.120 2520 cách.
Trường hợp 3: Tặng hết 3 cuốn sách Hóa: Tương tự trường hợp 2 thì có
2520 cách.
Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là
55
10 5
. 30240CA cách.
Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít
nhất một cuốn là 30240 720 2520 2520 24480 (cách).
Ví dụ 8. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào 7 toa tàu sao cho còn trống
đúng 3 toa?
Hướng dẫn giải
Bước 1:
Chọn bi
Bước 2:
Sắp xếp các viên
bi.
Tìm bài toán đối đó là tìm
số cách sao cho sau khi
tặng sách xong có 1 môn
hết sách.
TOANMATH.co
m
Trang 10
Ta thực hiện các bước sau:
Chọn 4 toa trong 7 toa để sắp xếp người, ta có
4
7
C cách chọn.
Chọn 1 toa và chọn 2 người cùng lên một toa đó có
21
54
.CC
cách chọn.
Xếp 3 người vào 3 toa còn lại đã chọn, có
3! cách chọn.
Vậy số cách xếp thỏa mãn đầu bài là:
421
754
. . .3! 8400CCC (cách).
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho tập
A
có
n
phần tử
*
,n khẳng định nào sau đây sai?
A. Số hoán vị của
1n
phần tử là
1.2.3... 2 1 .
n
P
nnn
B.
Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là

!
!
k
n
n
A
nk
với
*
,.knk
C.
Số tổ hợp chập k của n phần tử là

!
!!
k
n
n
C
knk
với , .
knk
D.
Mỗi hoán vị của
n
phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập
n
của
n
phần tử. Vì vậy
.
n
nn
P
A
Câu 2: Một tổ gồm có 5 bạn học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn sao cho
trong đó luôn có bạn nam và nữ?
A. 120 (cách). B. 126 (cách). C. 6 (cách). D. 60 (cách).
Câu 3: Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam và 10 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 5
người sao cho có ít nhất 2 nam và có ít nhất 1 nữ?
A. 12900 (cách). B. 450 (cách). C. 633600 (cách). D. 15494 (cách).
Câu 4:
Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam, 2 bạn nữ và 1 cô giáo ngồi vào một bàn tròn có 6 chỗ sao cho
cô giáo ngồi giữa 2 bạn nữ?
A. 2 (cách). B. 72 (cách). C. 12 (cách). D. 36 (cách).
Câu 5: Một trường cấp 3 có 8 giáo viên toán gồm 3 nữ và 5 nam, giáo viên vật lý thì có 4 giáo viên nam.
Có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra có 3 người trong đó có đủ hai môn toán lý vả có đủ giáo
viên nam và giáo viên nữ?
A. 90 (cách). B. 60 (cách). C. 12960 (cách). D. 120 (cách).
Câu 6: Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 tới 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 11 tới
30. Lấy hai quả bất kì trong hộp. Có bao nhiêu cách lấy được hai quả cầu có số chẵn?
A. 210 (cách). B. 55 (cách). C. 50 (cách). D. 105 (cách).
Câu 7: Cho hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 5 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ. Hộp thứ hai có
chứa 7 quả cầu xanh, 6 quả cầu vàng. Lấy mỗi hộp 2 quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy được tổng cộng 4
quả mà có đủ 3 màu?
A. 981 (cách). B. 2184 (cách). C. 1944 (cách). D. 630 (cách).
Câu 8: Có bao nhiêu cách chia 9 món quà khác nhau cho 3 người sao cho một người có 2 món quà, một
người 3 món quà, một người có 4 món quà?
A. 381024 (cách). B. 30240 (cách).
C.
5040 (cách). D. 7560 (cách).
TOANMATH.co
m
Trang 11
Câu 9: Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho
giữa hai học sinh lớp
A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
A. 80640 (cách). B. 108864 (cách).
C.
145152 (cách). D. 217728 (cách).
Câu 10: Một bộ đề ôn tập môn Toán được chia thành 3 loại dễ, trung bình và khó. Số câu dễ là 10 câu, số
câu trung bình là 15 câu và số câu khó là 5 câu. Thầy giáo chọn 5 câu bất kì để làm thành một đề thi. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn?
A.
30
5
C (cách chọn). B.
5
30
C (cách chọn).
C.
555
10 15 5
..CCC (cách chọn). D.
555
10 15 5
CCC(cách chọn).
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa công thức tổ hợp
Phương pháp giải
Chú ý các công thức:


!
1 2 ... 1 ;
!
k
n
n
Ann n nk
nk


!
.
!! !
k
k
n
n
A
n
C
kknk

Tính chất:
0
1;
n
nn
CC ;
knk
nn
CC
1
11
;
kk k
nn n
CC C


1
1
;
kk
nn
nk
CC
k

 
11 1
11 1
11
;;11.
11
kk k k k k
nn n n n n
kC nC C C k kC n nC
kn




Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Có bao nhiêu số tự nhiên
x
thỏa mãn
2
2
2x
3A 42 0?
x
A
A. 0. B. 1. C. 2. D. 6.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: ,2.xx


2
2
2x
2x
!
3A 0 3. 42 0
2! 2x 2!
x
x
A
x


2
3x 1 2x 2x 1 42 0 42 0xxx
7
6.
6
x
x
x


Vậy
6x
thỏa mãn đề bài.
Chọn D.
Ví dụ 2.
Tính tích
P
của tất cả các giá trị
x
thỏa mãn
21
14 14 14
2.
xx x
CC C


A. 4.P B. 12.P C. 32.P  D. 32.P
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 12
Điều kiện:
,0 12.xx
 
21
14 14 14
14! 14! 14!
22
!14 ! 2!12 ! 1!13 !
xx x
CC C
x
xx x x x



Rút gọn cả hai vế đại lượng

14!
!12 !
x
x
ta được:
 
112
14 13 1 2 1 13
x
xx x x x


1 2 14 13 2 14 2xx x x xx
2
4
12 32 0
8
x
xx
x

(thỏa mãn).
Vậy tích các giá trị của
x
là 32.
Chọn D.
Ví dụ 3.
Tìm
x
thỏa mãn
1232
66914.
xx x
CCC x x
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
3.x
Ta có
1232
66914
xx x
CCC x x
  
2
!! !
66914
1! 2!. 2! 3!. 3!
xx x
x
x
xx x


232 2
33 32914
x
xxxxxx x

2
0
9140 2 7
7
x
xx x x x
x

(do 3x ).
Vậy
7x thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 4. Tính tích
P
của tất cả các giá trị n thỏa mãn
22
71 6 2 .
nn n n
P
AAP
A. 12.P B. 5.P C. 10.P D. 6.P
Hướng dẫn giải
Điều kiện: , 2.nn
22 2
72 6 2 6 12 0
nn n n n n
PA A P P A
2
60
3
4
12 0
n
n
P
n
n
A



(thỏa mãn)
Vậy
3.4 12.P 
Chọn A.
Ví dụ 5.
Tìm n thỏa mãn
1
43
73.
nn
nn
CC n


Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 13
Điều kiện:
*
.n



1
43
4! 3!
73 73.
3! 1 ! 3! !
nn
nn
nn
CC n n
nn




432 321
73.
3! 3!
nnn nnn
n
 

42 2142nn nn
22
68 32420nn nn
3360 12nn
(thỏa mãn).
Vậy
12n
Ví dụ 6. Có bao nhiêu số tự nhiên
n
thỏa mãn
22
1
2330?
nn
CA

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: , 2.nNn
 
22
1
1!
!
23A302. 3. 300
2! 1 ! 2 !
nn
n
n
C
nn


13 1300nn nn
2
5
42300 3.
2
nn n
Mà , 2nn
nên 2.n
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1:
Các giá trị của
x
thỏa mãn

!1!
1
1! 6
xx
x

với
*
x
N
là
A.
1; 3 .x B.
2;3 .x C.
3.x D.
2.x
Câu 2: Nếu
2
!
n
A
n thì
n
bằng bao nhiêu?
A. 2. B. 3. C.
2;3 . D. .
Câu 3: Tìm
n
thỏa mãn
21
48.
n
nn
AC
A.
4.n
B.
0.n
C.
1 193
.
2
n
D.
.
Câu 4: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn
21
1
5.
n
nn
AC

A.
3.n
B.
5.n
C.
4.n
D.
6.n
Câu 5: Tìm k sao cho k thỏa mãn:
21
14 14 14
2
kk k
CC C


A. 4, 8.kk B. 8.k
C.
4.k D. Không có giá trị nào của .k
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình
32
521
xx
A
Ax là
TOANMATH.co
m
Trang 14
A.
3; 4 .S B.
2; 4 .S C.
2;3; 4 .S D.
4.S
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị của
n
thỏa mãn phương trình:
22
26 12 ?
nn nn
P
APA
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 8: Bất phương trình
22 3
2
16
.10
2
xx x
AA C
x
 có tập nghiệm là
A.

3; 5 .S B.
3; 4 .S C. {3;4.S D.
3; 4 .S
Câu 9: Tìm tập hợp các số âm trong dãy số
12
; ;...;
n
x
xx
với
4
4
2
143
.
4
n
n
nn
A
x
P
P

A.
54 23
;.
58
H




B.
1; 2 .H
C.
63 23
;.
48
H




D. .H 
Câu 10: Cho phương trình
3132
11 6
2 3 3 159.
xx
xx x
AC C xP



Giả sử
0
x
x
là nghiệm của phương trình trên thì
A.

0
10;13 .x B.

0
12;14 .x
C.

0
10;12 .x D.

0
14;16 .x
Câu 11: Giả hệ phương trình
2. 50
5. 2 80
yy
xx
yy
xx
AC
AC


ta được nghiệm
;
x
y là
A.

5; 2 .
B.

3; 4 .
C.

4;3 .
D.
2;5 .
Câu 12: Giải bất phương trình
43 2
11 2
5
0
4
nn n
CC A


với
n ta được
A.
6;7;8;9;10;11 .n B.
7;8;9;10;11;12 .n
C.
4; 5; 6; 7;8; 9 .n D.
5; 6; 7;8;9;10 .n
Dạng 4: Các bài toán liên quan đến chọn số
Phương pháp giải
Chú ý cấu tạo số và các dấu hiệu chia hết.
Khi lập một số tự nhiên
1
...
n
x
aa ta cần lưu ý:
0;1;2;...;9
i
a
và
1
0a .
Một số dấu hiệu chia hết:
+)
x
chia hết cho 2
n
a là số chẵn. Khi giải bài toán tìm số chẵn nếu bài toán chứa chữ số 0 thì ta nên
chia hai trường hợp: 0, 0.
nn
aa
+)
x
là số lẻ
n
a là số lẻ.
+)
x
chia hết cho
12
3 ...
n
aa a chia hết cho 3.
+)
x
chia hết cho
1
4
nn
aa
chia hết cho 4.
TOANMATH.co
m
Trang 15
+)
x
chia hết cho
50,5.
n
a
+)
x
chia hết cho 6
x
là số chẵn và chia hết cho 3.
+)
x
chia hết cho
21
8
nnn
aaa

chia hết cho 8.
+)
x
chia hết cho
12
9 ...
n
aa a
chia hết cho 9.
+)
x
chia hết cho 11 tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết
cho 11.
+)
x
chia hết cho
25
Hai chữ số tận cùng là
00,25,50,75.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Từ các chữ số
0,1, 2,3,4,5
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia
hết cho 9?
A. 16. B. 18. C. 20. D. 14.
Hướng dẫn giải
Gọi số cần tìm có dạng
abc
với
, , 0;1; 2;3; 4;5 .abc
Vì
9abc nên tổng các chữ số
9.abc
Khi đó
, , 0; 4;5 , 2; 3; 4 , 1;3;5 .abc
Trường hợp 1. Với
, , 0; 4;5abc . Do 0a nên a có 2 cách chọn.
Suy ra có
2.2 4 số thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 2. Với
,, 2;3;4,abc có 3! 6 số thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 3. Với
,, 1;3;5abc , có 3! 6 số thỏa mãn yêu cầu.
Vậy có thể lập được 16 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.
Chọn A.
Ví dụ 2.
Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn 5000?
A. 1232. B. 1120. C. 1250. D. 1288.
Hướng dẫn giải
Giả sử số cần tìm có dạng
1234
,;,1,4.
ij
xaaaaa aij
Vì
5000x và
x
là số chẵn nên

1
4
5; 6; 7;8;9
0; 2; 4;6;8
a
a
Trường hợp 1: Nếu
1
5; 7;9a
thì
1
a có 3 cách chọn. Khi đó
4
a có 5 cách chọn. Các số còn lại có
2
8
A
cách chọn. Do đó có
2
8
3.5. 840A số

1.
Trường hợp 2: Nếu
1
6;8a thì
1
a có 2 cách chọn và
4
a có 4 cách chọn. Các số còn lại có
2
8
A
cách
chọn.
TOANMATH.co
m
Trang 16
Tất cả có
2
8
2.4. 448A
số
2 .
Từ
1
và
2
ta có 840 448 1288 số.
Chọn D.
Ví dụ 3.
Cho ba số 1, 2, 3 . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho 2 chữ số giống nhau
không đứng kề nhau?
A. 72. B. 66. C. 30. D. 32.
Hướng dẫn giải
Gọi số cần tìm là d.abc ef
Chọn
a
có 3 cách.
Chọn
ba có 2 cách.
Chọn
cb có 2 cách.
Chọn
dc có 2 cách.
Chọn
ed có 2 cách.
Chọn
f
e có 2 cách.
Vậy số cách chọn thỏa mãn là
5
3.2 66
cách.
Chọn B.
Ví dụ 4.
Có bao nhiêu số có 5 chữ số tận cùng là 1 và chia hết cho 7?
A. 12855. B. 12856. C. 1285. D. 1286.
Hướng dẫn giải
Gọi số cần tìm có dạng:
1.abcd
Ta có
1 10. 1 3. 7. 1.abcd abcd abcd abcd
Vi
1abcd chia hết cho 7 nên 3. 1abcd chia hết cho 7 hay
1
3. 1 7 2 , .
3
k
abcd k abcd k k

Ta có
abcd là số nguyên khi 3 1, .kll Suy ra 72.abcd l
Do đó
998 9997
1000 7 2 9999 .
77
ll
Suy ra có 1286 giá trị của
.l
Vậy có 1286 số thỏa mãn bài toán.
Chọn D.
Ví dụ 5.
Cho tập hợp
1;2;3;4;...;2018A và các số ,,abc A . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có dạng
abc
sao cho
abc
và
2016?abc
A. 337681. B. 2027080. C. 2027090. D. 337690.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 17
Nhận xét
2016 1 1 1 ... 1
gồm 2015 dấu
.
Chọn 2 dấu
trong 2015 dấu
để hình thành các số
,,abc
có
2
2015
C
cách.
Suy ra có
2
2015
C cách chọn 3 số có tổng bằng 2016 (tính cả các hoán vị).
Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1 :
672,abc có 1 số.
Trường hợp 2: có 2 trong 3 số bằng nhau, chẳng hạn
2 2016.abc ac
Khi đó
c chẵn do
2 1008 .ca
Vì
1a nên 2014c . Do đó
2;4;6;...;2014 \ 672 .c
Vậy có 1006 cách chọn c.
Bộ
;;aac
có 3 hoán vị.
Vậy số cách chọn ở trường hợp 2 là
1006.3 3018 cách.
Vây có
2
2015
1 3018 2026086C  số
abc
thỏa mãn
2016
abc
abc


.
Mỗi bộ số
;;abc
được lập có
3! 6
cách hoán đổi vị trí.
Do đó số cách lập bộ số
;;abc thỏa yêu cầu
abc
là
2026086
337681.
6
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1:
Từ các chữ số 0,1, 2,3,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết
cho 5?
A. 72. B. 120. C. 54. D. 69.
Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 5 đứng liền giữa
chữ số 1 và 4 ?
A. 249. B. 1500. C. 3204. D. 2942.
Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 được lập từ các chữ số 0,1, 2,3,4?
A. 125. B. 120. C. 100. D. 69.
Câu 4: Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chọn từ tập
1; 2;3; 4;5A
sao cho mỗi số
lập được luôn có mặt chữ số 3?
A. 72. B. 36. C. 32. D. 48.
Câu 5: Cho tập
0;1; 2;3;4;5;6A từ tập
A
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chia
hết cho 2?
A. 1230. B. 2880. C. 1260. D. 8232.
TOANMATH.co
m
Trang 18
Câu 6: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa
hai chữ số 1 và 3?
A. 3204 số. B. 249 số. C. 2942 số. D. 7440 số.
Câu 7:
Có bao nhiêu số có 4 chữ số được viết từ các chữ số
1; 2;3; 4;5;6;7;8;9
sao cho số đó chia hết cho
15?
A. 234. B. 243. C. 132. D. 432.
Câu 8:
Từ các chữ số 1; 2;3; 4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thỏa mãn
điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2?
A. 720 số. B. 360 số. C. 288 số. D. 240 số.
Câu 9: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5; 6; 7;8;9. Tính tổng tất cả các số thuộc tập S.
A. 9333420. B. 46666200. C. 9333240. D. 46666240.
Câu 10: Từ các chữ số 2,3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần,
chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần?
A. 1260. B. 40320. C. 120. D. 1728.
Dạng 5. Các bài toán liên quan đến hình học
Phương pháp giải
Một số kết quả thường gặp
• Cho
n
điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
+ Số đường thẳng đi qua 2 điểm:
2
1
.
2
n
nn
C
+ Số vectơ nối hai điểm bất kì:
2
.n
+ Số vectơ khác
0
nối hai điểm bất kì:
2
1.
n
Ann
+ Số tam giác tạo thành:
3
12
.
6
n
nn n
C

+ Nếu trong
n điểm không có 4 điểm nào đồng phẳng thì số tứ diện được tạo thành:
4
.
n
C
• Cho đa giác lồi n đỉnh:
+ Số đường chéo của đa giác:
2
3
.
2
n
nn
Cn

+ Số đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh của đa giác:
3n .
+ Nếu không có 3 đường chéo nào đồng quy thì số giao điểm giữa các đường chéo là
4
123
.
24
n
nn n n
C

+ Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác:
3
12
.
6
n
nn n
C

+ Số tam giác có đúng 1 cạnh của đa giác và 2 cạnh còn lại là đường chéo:
1
4
4.
n
nC n n

+ Số tam giác có 2 cạnh của đa giác và 1 cạnh còn lại là đường chéo:
.n
TOANMATH.co
m
Trang 19
+ Số tam giác có cạnh đều là các đường chéo của đa giác:

2
3
920
4.
6
n
nn n
Cnnn


+ Số tam giác vuông:
Khi
n chẵn: số tam giác vuông là
2
2
..
n
nC
Khi
n
lẻ: số tam giác vuông là 0.
+ Số tam giác tù:
Khi
n chẵn: số tam giác tù là
2
2
2
..
n
nC
Khi
n lẻ: số tam giác tù là
2
1
2
..
n
nC
+ Số tam giác nhọn = số tam giác - (số tam giác vuông + số tam giác tù)
Khi n chẵn: số tam giác nhọn là
322
2
22
..
nnn
CnCC




Khi n lẻ: số tam giác nhọn là
32
1
2
..
nn
CnC
Cho đa giác đều
2n
đỉnh
2:n
+ Số đường chéo xuyên qua tâm
n số hình chữ nhật:
2
1
.
2
n
nn
C
+ Số tam giác vuông:
22.nn
MỘT SỐ KẾT QUẢ HAY GẶP VỀ TAM GIÁC
Số đỉnh của đa giác
đều
Số tam giác đều Số tam giác cân
Số tam giác cân nhưng
không đều
6n 2n
63 1 2.2nn n
63 1 3.2nn n
61n 0
613nn
613nn
62n
0
623nn
623nn
63n 21n
63312.21nn n
63313.21nn n
64n 0
6431nn

6431nn
65n
0

6532nn

6532nn
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hai đường thẳng song song
12
,dd. Trên đường thẳng
1
d lấy 10 điểm phân biệt, trên
2
d lấy
15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm nói trên?
Hướng dẫn giải
Số tam giác lập được thuộc một trong hai loại sau:
TOANMATH.co
m
Trang 20
Loại 1: Hai đỉnh thuộc
1
d
và một đỉnh thuộc vào
2
d
.
Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 điểm thuộc
1
d là
2
10
.C
Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc
2
d
là
1
15
.C
Loại 1 có
21
10 15
.CC tam giác.
Loại 2: Một đỉnh thuộc
1
d
và hai đỉnh thuộc
2
d
Số cách chọn một điểm trong 10 điểm thuộc
1
d là
1
10
.C
Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc
2
d là
2
15
.C
Loại 2 có:
12
10 15
.CC
tam giác.
Vậy có tất cả:
21 1 2
10 15 10 15
CC CC tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Hướng dẫn giải
Đa giác có
n
cạnh
,3.nn
Số đường chéo trong đa giác là:
2
n
Cn
Ta có:


2
7
!
2316 7
0
2!.2!
n
n
n
Cn n n nn n n
n
n

(vì 3n
³ ).
Vậy đa giác có 7 cạnh.
Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng
1
d và
2
d song song với nhau. Trên
1
d có 10 điểm phân biệt, trên d
2
có n
điểm phân biệt
2n . Biết rằng có 1725 tam giác có các đỉnh là ba trong số các điểm thuộc
1
d
và
2
d
nói trên. Tìm
n
Hướng dẫn giải
Để tạo thành một tam giác có hai khả năng: Lấy 1 điểm thuộc
1
d và 2 điểm thuộc
2
d hoặc lấy 2 điểm
thuộc
1
d và 1 điểm thuộc
2
d .
Tổng số tam giác được tạo thành là:
12 21
10 10
...
nn
SCC CC
Theo giả thiết có
1725.S
Ta có phương trình
 
12 21
10 10
!!
. . 1725 10. 45. 1725
2!. 2 ! 1 !
nn
nn
CC CC
nn


2
5 1 45 1725 5 40 1725 0nn n n n
15
15
23
n
n
n


(vì
2n ).
Vậy
15.n
TOANMATH.co
m
Trang 21
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác
cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Tính số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các
giao điểm nói trên.
Hướng dẫn giải
Mỗi hình bình hành tạo thành từ hai cặp cạnh song song nhau. Vì vậy số hình bình hành tạo thành chính
là số cách chọn 2 cặp đường thẳng song song trong hai nhóm đường thẳng trên.
Chọn 2 đường thẳng song song từ 2017 đường thẳng song song có
2
2017
C (cách).
Chọn 2 đường thẳng song song từ 2018 đường thẳng song song có
2
2018
C
(cách).
Vậy có
22
2017 2018
.CC
(hình bình hành).
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1
: Đa giác lồi 20 đỉnh có tất cả bao nhiêu đường chéo?
A. 40. B. 360. C. 190. D. 170.
Câu 2: Trong mặt phẳng có 30 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu vectơ
khác vectơ - không mà điểm đầu và điểm cuối được lấy từ 30 điểm trên?
A. 870. B. 435. C.
2
30 . D.
30
2.
Câu 3: Tính số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt khi không có ba đường nào đồng quy và
hai đường nào song song?
A. 90. B. 35. C. 45. D. 19.
Câu 4: Cho hai đường thẳng song song ,.dd
Trên d lấy 10 điểm phân biệt, trên d
lấy 15 điểm phân
biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh của nó được chọn từ 25 đỉnh nói trên?
A. 1050. B. 675. C. 1725. D. 708750.
Câu 5: Từ các điểm , , , ,
A
BCDE không thẳng hàng, ta có thể lập được bao nhiêu tam giác?
A.
3
5
10C (tam giác). B.
3
5
60A (tam giác).
C.
5
120P (tam giác). D.
3
6P (tam giác).
Câu 6: Trong mặt phẳng cho 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song
với nhau và cắt 6 đường đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên từ 14 đường thẳng đã
cho?
A.
22
66
.CC (hình). B.
22
68
.
A
A (hình).
C.
4
14
C
(hình).
D.
4
14
A
(hình).
Câu 7: Cho đa giác đều có n đỉnh n và 3n . Giá trị của n bằng bao nhiêu biết rằng đa giác đó có
90 đường chéo?
A. 15. B.
12
và 15. C. 18. D. .
Câu 8: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao
nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho?
A. 4039137. B. 4038090. C. 4167114. D. 167541284.
Câu 9: Cho 20 đường thẳng thì có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
TOANMATH.co
m
Trang 22
A. 40. B. 380. C. 190. D. 144.
Câu 10: Cho hai đường thẳng
1
d và
2
d song song với nhau. Trên có 10 điểm phân biệt, trên
2
d có n
điểm phân biệt
2n
. Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Giá trị
n bằng
A. 20. B. 21. C. 30. D. 32.
Câu 11: Cho hai đường thẳng
1
d và
2
d song song với nhau. Trên
1
d có 10 điểm phân biệt, trên
2
d có n
điểm phân biệt
2n
. Biết rằng có 1725 tam giác có các đỉnh là ba trong số các điểm thuộc
1
d
và
2
d
nói trên. Giá trị
n
bằng
A. 13. B. 15. C. 14. D. 16.
Câu 12: Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc
lớn hơn
100 ?
A.
3
897
2018.C . B.
3
1009
C . C.
3
895
2018.C . D.
3
896
2018.C .
ĐÁP ÁN
BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Dạng 1. Quy tắc đếm
1 – B 2 – D 3 – D 4 – A 5 – A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1
.
Theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn khác nhau là:
8 6 10 24 (cách).
Câu 2.
Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi để An đến nhà Cường là 4.6 24 (cách).
Câu 3.
Theo quy tắc nhân, số cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần là 4.2.3 24 (cách).
Câu 4.
Theo quy tắc nhân ta có số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau là
5.4.3 60
(cách).
Câu 5.
Có 15 cách chọn giải nhất, 14 cách chọn giải nhì, 13 cách chọn giải ba.
Theo quy tắc nhân, số cách cách chọn ra các giải nhất, nhì, ba là
15.14.13 2730
(cách).
Dạng 2. Các bài toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp
1 – A 2 – A 3 – A 4 – C 5 – A 6 – D 7 – A 8 – D 9 – C 10 – B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1
.
Số các hoán vị của
1n
phần tử là
1
1.2.3... 2 1 1
n
Pnnnn

nên A sai.
Câu 2.
Có
4
9
C cách chọn 4 bạn bất kì trong 9 bạn.
Có
4
5
C
cách chọn 4 bạn nam.
Có
4
4
C
cách chọn 4 bạn nữ.
TOANMATH.co
m
Trang 23
Vậy ta có số cách chọn 4 bạn luôn có cả bạn nam và nữ là:
444
954
120CCC
(cách).
Câu 3.
+ Chọn 2 nam, 3 nữ có:
23
10 10
.CCcách.
+ Chọn 3 nam, 2 nữ có:
32
10 10
.CCcách.
+ Chọn 4 nam, 1 nữ có:
41
10 10
.CCcách.
Áp dụng quy tắc cộng ta có
23 32 41
10 10 10 10 10 10
. . . 12900CC CC CC
(cách).
Câu 4.
Chọn vị trí cho cô giáo trên bàn tròn, có 1 cách chọn.
2 bạn nữ ngồi hai bên cô giáo là hoán vị của 2, vậy có
2!
cách xếp.
Còn lại 3 bạn nam xếp vào 3 chỗ còn lại, vậy có
3! cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có
1.2!.3! 12
cách xếp.
Câu 5.
+ Chọn 1 nam toán, 1 nữ toán, 1 nam lý có
111
534
..CCCcách
+ Chọn 1 nữ toán, 2 nam lý:
12
34
.CC
cách.
+ Chọn 2 nữ toán, 1 nam lý:
21
34
.CC
cách.
Áp dụng quy tắc cộng ta có
111 12 21
534 34 3 4
.. . . 90CCC CC C C (cách chọn).
Câu 6.
Trong 30 quả cầu ta có 15 quả cầu có số chẵn. Do đó chọn 2 quả bất kì trong 15 quả sẽ là tổ hợp chập 2
của 15, ta có
2
15
105C
cách chọn.
Câu 7.
+ Ở hộp thứ nhất chọn 2 quả đỏ, hộp thứ hai chọn 1 quả xanh, 1 quả vàng:
có
211
376
..CCC
cách chọn.
+ Ở hộp thứ nhất chọn 1 quả xanh, 1 quả đỏ và hộp thứ hai chọn 1 quả xanh, 1 quả vàng:
có
1111
5376
...CCCCcách chọn.
+ Ở hộp thứ nhất chọn 1 quả xanh, 1 quả đỏ và hộp thứ hai chọn 2 quả vàng:
có
112
536
..CCCcách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng, ta có
2111111112
3765376536
. . . . . . . 981CCCCCCCCCC
(cách chọn).
Câu 8.
Số cách chọn ra 2 trong 9 món quà là:
2
9
C cách. Chọn 1 trong 3 người để nhận quà có
1
3
C cách.
Do đó có
21
93
. 108CC cách chia một người nhận 2 món quà.
Chọn 3 món quà trong 7 món quà còn lại có
3
7
C cách. Chọn 1 trong 2 người còn lại để nhận quà có 2
cách. Do đó có
3
7
.2 70C cách chia một người nhận 3 món quà.
Còn lại 4 món quà và 1 người nên chỉ có 1 cách chọn.
Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
108.70.1 7560 cách.
Câu 9.
TOANMATH.co
m
Trang 24
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có
2!.8!
cách.
Trường hợp 2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có
2!.4.7!
cách.
Trường hợp 3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có
2
4
2!. .6!A
cách.
Trường hợp 4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có
3
4
2!. .5!A cách.
Trường hợp 5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có
4
4
2!. .4!A cách.
Vậy theo quy tắc cộng có
1234
4444
2! 8! 7! 6! 5! 4! 145152AAAA (cách).
Câu 10.
Chọn 5 câu bất kì trong 30 câu để làm thành 1 đề thi có
5
30
C
cách chọn.
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa công thức tổ hợp
1 – B 2 – C 3 – A 4 – B 5 – A 6 – A 7 – B 8 – D 9 – C 10 – A
11 – A 12 – D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
 
 
!1! 1!
1! 1111
1! 6 1! 1! 6 1 1 6
xx x
x
xxxxxx

 

2
2
560
3.
x
xx
x

Vậy tập nghiệm của phương trình là
2;3 .S
Câu 2.
Điều kiện:
*
2
n
n
Ta có
 

2
20 2
!1
!!12!1 .
21 3
2! 2!
n
nn
n
An n n
nn
nn


 




Vậy
2n hoặc 3n .
Câu 3.
Điều kiện:
2.n
Ta có:


21 32
!
48 . 48 1 48 48 0 4.
2! 1!
n
nn
nn
AC n n n n n n
nn
  

Vậy
4n .
Câu 4.
Điều kiện:
,2.nn
21
1
5.
n
nn
AC

TOANMATH.co
m
Trang 25


 
1!
!1
51 155.
2! 2! 1! 2
n
n
nnnn n
nn


Câu 5.
Điều kiện: 0 12, .kk
Phương trình trở thành:

14! 14! 14!
2
14 ! ! 12 ! 2 ! 13 ! 1 !kk k k k k


 
112
14 13 1 2 13 1kkkk kk


1 2 14 13 2 14 2kk k k kk
2
8
4 48 128 0 .
4
k
kk
k

Vậy
4;8 .k
Câu 6.
Điều kiện: 3, .xx
Bất phương trình trở thành

 
!!
521125121
3! 2!
xx
x
xx x xx x
xx


125121xx x (do 0x )
2
2240 6 4.xx x
Vì
3,xx nên
3; 4 .x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
3; 4 .S
Câu 7.
Điều kiện: 2, .nn
22 22 2
26A12 2 6 20 26 0
nn nnn n n n n
PPAPAAAP


2
2
!
2
12
2
2
2!
1
3.
6
3
3
!6
n
n
n
n
nn
n
A
n
n
n
P
n
n
n


Vậy có 2 giá trị
n
thỏa phương trình.
Câu 8.
Điều kiện: 3, .xx
 
22 3
2
16 12!!6!
.10 . . 10
2222!2!3!3!
xx x
xx x
AA C
xxxxx


22 2
21 1 1 210 2 3210xx xx x x x xx xx x
312 4.xx
Kết hợp với điều kiện xác định, ta có 3 4.x
Vậy
3; 4S là tập nghiệm của bất phương trình.
Câu 9.
TOANMATH.co
m
Trang 26
Theo đề ra ta có:
0
n
x
với
*
.n
Khi đó



4
4
2
4!
4!
143 143 143
!
000.
42!4.!2!4
n
nn
n
n
A
n
PP n n n



143
43 0.
4
nn

2
95 19 5
70 1;2.
422
nn n n
Vậy
63 23
;.
48
n
x




Câu 10.
Điều kiện: 3, .xx Phương trình đã cho trở thành:



2
21!31!
!
3x 6! 159.
3 ! 2! 1 ! 2! 3 !
xx
x
xxx



 
2
3
1 2 1 1 2 3x 879.
2
xx x xx x x
12.x
Câu 11.
Điều kiện: 0.yx
Ta có:
2. 50 20
5. 2 80 10.
yy y
xx x
yy y
xx x
AC A
AC C







Từ
!
y
y
x
x
A
C
y
suy ra
!22!2.
y
x
y
x
A
yy
C

Từ

22
5
20 1 20 20 0 5.
4
x
x
Axx xx x
x


Vậy 5; 2.xy
Câu 12.
Điều kiện:
5n
và
.n
Ta có



43 2
11 2
1! 1! 2!
55
0.0
44!5!3!4!44!
nn n
nn n
CC A
nn n




1234 123523
0
4! 3! 4
nn n n nn n n n 

2
9 22 0 2 11.nn n
Kết hợp điều kiện suy ra
5;6;7;8;9;10 .n
Dạng 4. Các bài toán liên quan đến chọn số
1 – A 2 – A 3 – A 4 – B 5 – D 6 – D 7 – B 8 – D 9 – C 10 – A
TOANMATH.co
m
Trang 27
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Gọi số cần tìm dạng dabc với 0.a
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau:
3
4
4. 96A số.
Các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5:
+ Trường hợp 1:
0d thì 4 số ,,abc có
3
4
A
cách chọn. Do đó có
3
4
A
số.
+ Trường hợp 2:
5d thì 4 số ,,abc có
2
3
3.
A
cách chọn. Do đó có
2
3
3.
A
số.
Vậy có
32
43
3A 42A số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là:
96 42 54số.
Cây 2.
Chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4 nên ta có thể có 154 hoặc 451.
Xét số
abc (các chữ số khác nhau từng đôi một và , ,abcthuộc
0; 2;3;6; 7;8;9
, sau đó ta chèn thêm
154 hoặc 451 để có được số gồm 6 chữ số cần tìm.
Trường hợp 1:
0a , số cách chọn a là 6, số cách chọn b và c là
2
6
A
, sau đó chèn 154 hoặc 451 vào 4
vị trí còn lại nên có
2
6
6. .4.2A
cách.
Trường hợp 2:
0a , số cách chọn a là 1, số cách chọn b và c là
2
6
A
, sau đó chèn 154 hoặc 451 vào vị
trí trước
a
có duy nhất 1cách nên có
2
6
.2
A
cách.
Vậy có
22
66
6. .4.2 .2 1500AA
(số).
Câu 3.
Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 bao gồm các số tự nhiên có 1,2,3chữ số.
Gọi số cần tìm là
,, 0;1;2;3;4abc a b c (không nhất thiết các chữ số đầu tiên phải khác 0).
a có 5 cách chọn. b có 5 cách chọn, c có 5 cách chọn.
Vậy có
5.5.5 125 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4.
Gọi số tạo thành có dạng
x
abc với ,,abcđôi một khác nhau và lấy từ
A
.
Chọn một vị trí
,ab hoặc c cho số 3 có 3 cách chọn.
Chọn hai chữ số khác 3 từ
A
và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của X có
2
4
A
cách.
Theo quy tắc nhân có
2
4
3. 36A
cách.
Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa yêu cầu.
Vậy có 36 số cần tìm.
Câu 5.
Gọi số có 5 chữ số cần tìm là
12345 1 2345 1 5
; , , , , ; 0; 0; 2; 4; 6 .x aaaaa a a a a a Aa a
Công việc thành lập số
x
được chia thành các bước:
Chọn chữ số
1
a có 6 lựa chọn vì
1
a khác 0.
TOANMATH.co
m
Trang 28
Chọn các chữ số
234
,,aaa
mỗi chữ số có 7 lựa chọn.
Chọn chữ số
5
a
có 4 lựa chọn vì số tạo thành chia hết cho 2.
Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3
6.7 .4 8232 (số).
Câu 6.
Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321.
Xét số
abcd (các chữ số khác nhau từng đôi một và ,,,abcd thuộc
0; 4;5;6;7;8;9 ), sau đó ta chèn thêm
123 hoặc 321 để có được số gồm 7 chữ số cần tìm.
Trường hợp 1: số cần lập có bộ ba số
123
.
+) Nếu bộ ba số
123
đứng đầu thì số có dạng
123 .abcd
Có
4
7
840A
cách chọn bốn số
,,,abcd
nên có
4
7
840A
số.
+) Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì có 4 vị trí đặt bộ ba số 123.
Có 6 cách chọn số đứng đầu và có
3
6
120A cách chọn ba số
,,.bcd
Theo quy tắc nhân có
3
6
6.4. 2880A số.
Theo quy tắc cộng có
840 2880 3720
số.
Trường hợp 2: số cần lập có bộ ba số 321. Do vai trò của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có 3720 số.
Từ hai trường hợp, ta có
2.3720 7440 số.
Câu 7.
Đặt tập
1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 .E
Gọi số cần tìm có dạng
.
x
abcd Ta có
3
15 5
5
x
xd
x

hay d có 1 cách chọn.
Chọn
a
có 9 cách
.aE
Chọn
b có 9 cách
.bE
Khi đó tổng
abdsẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 hoặc chia 3 dư 2 nên tương ứng trong từng
trường hợp c sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2 hoặc chia 3 dư 1.
Nhận xét:
Các số chia hết cho 3 là 3; 6; 9.
Các số chia 3 dư 1 là
1; 4; 9.
Các số chia 3 dư 2 là
2;5;7.
Mỗi tính chất như thế đều chỉ có 3 số nên c chỉ có đúng 3 cách chọn từ một số trong các bộ trên.
Vậy có
1.9.9.3 243 số thỏa yêu cầu.
Câu 8.
Gọi số có sáu chữ số cần tìm là
,n abcdef trong đó sáu chữ số khác nhau từng đôi một, 2c và
f
là số
chẵn.
Trường hợp 1: Nếu 2f thì
2.n abcde
Có 4 cách chọn
c nên có 4.4! 96 số.
Trường hợp 2: Nếu 4f thì
4.n abcde
Có 3 cách chọn
c nên có 3.4! 72 số.
TOANMATH.co
m
Trang 29
Trường hợp 3: Nếu
6f
thì
6.nabcde
Có 3 cách chọn
c
nên có
3.4! 72
số.
Vậy số các số cần tìm là
96 72 72 240
số.
Câu 9.
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ
5; 6; 7;8;9
là
5! 120
số.
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số
5; 6; 7;8; 9
xuất hiện ở hàng đơn vị là
4! 24
lần.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là
24 5 6 7 8 9 840.
Tương tự thì số lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.
Vậy tổng các số thuộc tập
S là
234
840 1 10 10 10 10 9333240.
Câu 10.
Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có
2
9
C
cách.
Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có
3
7
C
cách.
Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có
4
4
C cách.
Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là
234
974
1260CCC
số.
Dạng 5. Các bài toán liên quan đến hình học
1 – D 2 – A 3 – C 4 – C 5 – A 6 – A 7 – A 8 – B 9 – C 10 – A
11 – B 12 – D
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1
.
Số cách lấy 2 điểm trong 20 điểm là
2
20
190.C
Lấy 2 điểm kề nhau thì ta được cạnh, 2 điểm không kề nhau ta được đường chéo. Mà đa giác 20 đỉnh có
20 cạnh.
Vậy số đường chéo là
190 20 170
Câu 2.
Điểm thứ nhất của vectơ có 30 cách chọn.
Điểm thứ hai của vectơ có 29 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có
30.29 870 cách chọn.
Câu 3.
Đường thẳng thứ nhất giao với 9 đường còn lại nên có 9 giao điểm
Đường thẳng thứ hai giao với 8 đường còn lại nên có thêm 8 giao điểm (đã tính giao điểm với đường
thẳng thứ nhất ở trên)
Đường thẳng thứ 9 giao với 1 đường còn lại nên có thêm 1 giao điểm
Vậy có 98765432145 giao điểm.
Câu 4.
Trường hợp 1. Lấy hai điểm thuộc ,d một điểm thuộc
.d
Lấy điểm thứ nhất thuộc d có 10 cách, lấy điểm thứ hai thuộc d có 9 cách.
TOANMATH.co
m
Trang 30
Lấy điểm thuộc
d
có 15 cách.
Vì sự thay đổi các đỉnh trong tam giác không tạo thành một tam giác mới nên hai đỉnh lấy trên
d nếu đổi
thứ tự lấy không tạo thành tam giác mới.
Do đó có
10 9
15 675
2
 tam giác.
Trường hợp 2: Lấy hai điểm thuộc
d
một điểm thuộc d :
Tương tự có
15 14
10 1050
2

tam giác.
Vậy có
675 1050 1725tam giác.
Câu 5.
Số tam giác lập được từ các điểm , , , ,
A
BCDE là số tổ hợp chập 3 của 5 nên ta có
3
5
10C
(tam giác).
Câu 6.
Một hình bình hành được tạo từ 2 cặp cạnh song song.
Chọn 2 đường từ 6 đường song song nhau có
2
6
C
cách.
Chọn 2 đường từ 8 đường song song nhau có
2
8
C cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có
22
68
.CC
hình bình hành.
Câu 7.
Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác đã cho bằng
2
.
n
C
Đa giác đều có
n đỉnh thì có n cạnh nên số đường chéo của đa giác là

2
1
!
90 90 90
2!.2! 2
n
nn
n
Cn n n
n
  
2
15
3 18 15.
12
n
nn n
n


Vậy
15.n
Câu 8.
Mỗi vectơ thỏa yêu cầu bài toán ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 2010 nên số vectơ cần tìm là:
2
2010
4038090.A
Câu 9.
Để được nhiều giao điểm nhất thì 20 đường thẳng này phải đôi một cắt nhau tại các điểm phân biệt.
Vậy có
2
20
190C
giao điểm.
Câu 10.
Tam giác cần lập thuộc hai loại.
Loại 1 : Tam giác có một đỉnh thuộc
1
d và hai đỉnh thuộc
2
.d Loại này có
12
10
.
n
CCtam giác.
Loại 2: Tam giác có một đỉnh thuộc
2
d và hai đỉnh thuộc
1
d . Loại này có
21
10
.
n
CC
tam giác.
Theo bài ra ta có:
12 21
10 10
. . 2800.
nn
CC CC
TOANMATH.co
m
Trang 31
2
1
10 45 2800 8 560 0 20.
2
nn
nnn n

Câu 11
Để tạo thành một tam giác có hai khả năng:
Lấy 1 điểm thuộc
1
d
và 2 điểm thuộc
2
d
hoặc lấy 2 điểm thuộc
1
d
và 1 điểm thuộc
2
d
.
Tổng số tam giác được tạo thành là:
12 21
10 10
..
nn
SCC CC
Theo giả thiết ta có
1725S
Ta có phương trình
 
12 21
10 10
!!
. . 1725 10. 45. 1725
2!. 2 ! 1 !
nn
nn
CC CC
nn



2
15
5 1 45 1725 5 40 1725 0 15.
23
n
nn n n n n
n


Câu 12.
Gọi
1 2 2018
, ,...,
A
AA là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh nội tiếp đường tròn
.O
Các đỉnh của đa giác đều chia
O thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng
360
.
2018
Vì tam giác cần đếm có đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp
O . Suy ra góc lớn
hơn
100
sẽ chắn cung có số đo lớn hơn
200 .
Cố định một đỉnh .
i
A
Có 2018 cách chọn .
i
A
Gọi
ijk
A
AA là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho số đo cung nhỏ
ik
A
A nhỏ hơn 100thì
số đo cung lớn
ik
A
A
lớn hơn
200 .
Suy ra
100
ijk
AA A  và
ijk
A
AA là tam giác cần đếm.
Khi đó cung
ik
A
A là hợp liên tiếp của nhiều nhất
160
896
360
2018






cung tròn nói trên.
896 cung tròn này có 897 đỉnh. Trừ đi đỉnh
i
A
thì còn 896 đỉnh. Do đó có
2
896
C
cách chọn hai đỉnh
,.
jk
A
A
Vậy có tất cả
2
896
2018.C tam giác thỏa mãn.
| 1/31
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TỔ HỢP XÁC SUẤT
BÀI GIẢNG QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm vững quy tắc cộng, quy tắc nhân.
+ Hiểu và phân biệt được các khái niệm: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.  Kĩ năng
+ Vận dụng được quy tắc cộng và nhân cho các bài toán đếm.
+ Giải được các dạng toán đếm liên quan đến tổ hợp, chỉnh hợp.
+ Giải được phương trình liên quan đến công thức tổ hợp, chỉnh hợp. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Các quy tắc đếm
Mở rộng: Một công việc được hoàn thành a) Quy tắc cộng bởi một trong k phương án Định nghĩa
A , A , A ,..., A . Nếu phương án A có m 1 2 3 k 1 1
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một cách thực hiện, phương án A có m cách 2 2
trong hai phương án A hoặc B . Nếu phương án A có m thực hiện,…phương án A có m cách thực
cách thực hiện, phương án B có k k
n cách thực hiện và hiện và các cách thực hiện của các phương
không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì án trên không trùng nhau thì công việc đó
công việc đó có m n cách thực hiện.
có m m m  ... m cách thực hiện. Công thức 1 2 3 k Nếu ,
A B là các tập hợp không giao nhau thì
Cho các tập A , A ,..., A đôi một rời nhau.
n AB  nA  nB. 1 2 n Khi đó:
A A ... A A A  ...  A . b) Quy tắc nhân 1 2 n 1 2 n Định nghĩa
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và Mở rộng: Một công việc được hoàn thành
B . Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi bởi k hành động A , A , A ,..., A liên tiếp. 1 2 3 k
cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó Nếu hành động A có m cách thực hiện, 1 1 có .
m n cách thực hiện.
hành động A có m cách thực hiện,..., 2 2 Công thức
hành động A có m cách thực hiện thì k k Nếu ,
A B là các tập hữu hạn phần tử thì
công việc đó có m .m .m ...m cách hoàn 1 2 3 k
n AB  nA.nB. thành. 2. Hoán vị
Cho các tập A , A ,..., A hữu hạn phần tử. 1 2 n Định nghĩa Khi đó:
Một tập hợp gồm n phần tử n  
1 . Mỗi cách sắp xếp n
A A ... A A . A ... A . 1 2 n 1 2 n
phần tử theo một thứ tự được gọi là một hoán vị của n phần tử. Quy ước: 0!  1.
Số hoán vị của n phần tử là: P n!  1.2.3... . n n
n!  n   1 ! . n Hoán vị lặp n!
Cho k phần tử khác nhau a , a ,..., a . Mỗi cách sắp xếp   p  
1 . p  2...n 1 2 k p!
n phần tử trong đó gồm n phần tử a ; n phần tử a ;...; n 1 1 2 2 k ( với ,
n p  , n p ).
phần tử a n ,n ,...,n n theo một thứ tự được gọi là k 1 2 kn!
n p 1 . n p  2 ...n
một hoán vị lặp cấp n kiểu n ,n ,..., n của k phần tử.
n p     ! 1 2 k  TOANMATH.com Trang 2
Số hoán vị lặp cấp n kiểu n ,n ,..., n của k phần tử là:
(với n, p  , n p ). 1 2 k n P n n n n  ! , ,..., . 1 2 k
n !n !...n ! 1 2 k Hoán vị vòng quanh
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử
của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.
Số hoán vị vòng quanh của n phần tử là:
Q  n   1 !. n 3. Chỉnh hợp Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần
tử của A1 k n theo một thứ tự được gọi là một chỉnh
hợp chập k của n phần tử của tập A .
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
Công thức này đúng cho trường hợp n k A n n n n k  
k  0 hoặc k  . n n      ! 1 2 ... 1 n k .!
Khi k n thì n
A P n!. n n Chỉnh hợp lặp
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của
A , trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần,
được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một
chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập . A
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: k k A n . n 4. Tổ hợp Định nghĩa
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm Quy ước: 0 C  1 n
k 1 k n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp của n phần tử.
Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công
Số tổ hợp chập k của n phần tử: thức: k A n k
A k ! k C k ! n C   n n n k
k n k  . ! ! !
+ Chỉnh hợp: có thứ tự. Tính chất
+ Tổ hợp: không có thứ tự. 0 n C C  1; k n k C C   ;
+ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào n n n n
vị trí các phần tử ta dùng chỉnh hợp. Ngược TOANMATH.com Trang 3 k k 1  k C CC ; n k  lại, là tổ hợp. k 1 n n 1  n 1  k 1 C C  ; n n k k k 1
Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử kC nC  ; n n 1  1 k 1 k 1  k n  C C ; k   1 k
kC n nC n n 1    n   k 1 1 . n 1  k 1 n 1
+ Không thứ tự, không hoàn lại: . k C n Tổ hợp lặp
+ Có thứ tự, không hoàn lại: . k A n
Cho tập A  a ;a ;...;a và số tự nhiên k bất kì. Một tổ k 1 2 n
+ Có thứ tự, có hoàn lại: A . n
hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp gồm k phần
tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A .
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: k k n 1 C CC n nk 1  nk 1 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA QUY TẮC CỘNG Công việc A Phương án A Phương án A … Phương án A 1 2 k m cách m cách … 1 2 m cách k
m m  ...  m cách 1 2 k TOANMATH.com Trang 4 QUY TẮC NHÂN Công việc A Hành động A Hành động A … Hành động A 1 2 k m cách m cách … m cách 1 2 k
m m ... m cách 1 2 k
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Quy tắc đếm Phương pháp giải
Để đếm số cách lựa chọn thực hiện một công việc Ví dụ 1. Một trường THPT cử một học sinh đi dự
A bằng quy tắc cộng, ta thực hiện các bước:
trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một
học sinh tiên tiến lớp 11A hoặc lớp 12B. Biết rằng
lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22
học sinh tiên tiến. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu phương án Hướng dẫn giải
riêng biệt để thực hiện công việc A (có nghĩa công Nhà trường có thể chọn học sinh tiên tiến của lớp
việc A có thể hoàn thành bằng một trong các 11A hoặc lớp 12B.
phương án A ; A ;...; A 1 2 k
Bước 2: Đếm số cách chọn x ; x ;...; x trong các Chọn một học sinh tiên tiến lớp 11A có 31 cách 1 2 k
chọn. Chọn một học sinh tiên tiến lớp 12B có 22
phương án A ; A ;...; A 1 2 k cách chọn.
Bước 3: Dùng quy tắc cộng, ta tính được số cách Theo quy tắc cộng, số cách cử một học sinh đi dự
lựa chọn để thực hiện công việc A là
trại hè là: 31 22  53 (cách).
x x x  ...x . 1 2 k
Ví dụ 2. Một bó hoa có 5 bông hoa hồng trắng, 6
Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bông hoa hồng đỏ và 7 bông hoa hồng vàng. Hỏi có
bằng quy tắc nhân, ta thực hiện các bước:
mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu? TOANMATH.com Trang 5
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên Hướng dẫn giải
tiếp cần phải tiến hành để thực hiện công việc A (giả Để lấy được ba bông hoa có đủ ba màu thì ta sẽ
sử A chỉ hoàn thành sau khi các công đoạn lấy mỗi loại một bông.
A ; A ;...; A hoàn thành).
Số cách lấy bông hoa hồng trắng là 5 cách. 1 2 k
Bước 2: Đếm số cách chọn x x x  ...x trong Số cách lấy bông hoa hồng đỏ là 6 cách. 1 2 k
Số cách lấy bông hoa hồng vàng là 7 cách.
các công đoạn A ; A ;...; A 1 2 k
Theo quy tắc nhân ta có số cách lấy ba bông có đủ
Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính được số cách lựa cả ba màu là: 5.6.7  210.
chọn để thực hiện công việc A là x x x  ...x . 1 2 k Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau.
a) Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn là
A. 13. B. 72. C. 12. D. 30.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn một cái quần là 5 cách.
Số cách chọn một cái áo là 6 cách.
Số cách chọn một cái cà vạt là 3 cách.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn là: 4  6  3  13 (cách). Chọn A.
b) Số cách chọn một bộ gồm một quần, một áo và một cà vạt là
A. 13. B. 72. C. 12. D. 30.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn một cái quần là 4 cách.
Số cách chọn một cái áo là 6 cách.
Số cách chọn một cái cà vạt là 3 cách.
Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là: 4.6.3  72 (cách). Chọn B.
Ví dụ 2. Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách
Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
Hướng dẫn giải Theo quy tắc nhân, ta có:
Có 10.8  80 cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Toán khác nhau.
10.6  60 cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau. TOANMATH.com Trang 6
8.6  48 cách chọn một quyển sách Toán và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai quyển sách khác môn là
80  60  48  188 (cách).
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học
sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là
A. 480. B. 24. C. 48. D. 60.
Câu 2: An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con
đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
A. 6. B. 4. C. 10. D. 24.
Câu 3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
A. 9. B. 10. C. 18. D. 24.
Câu 4: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một một bông)?
A. 60. B. 10. C. 15. D. 720.
Câu 5: Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu
kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể?
A. 2730. B. 2703. C. 2073. D. 2370.
Dạng 2: Các bài toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Phương pháp giải
Hoán vị: Một tập hợp gồm n phần tử n  
1 . Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự được gọi là
một hoán vị của n phần tử.
Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập A1 k n theo một
thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A .
Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k(1  k n) phần tử của tập A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Từ các số tự nhiên 1, 2,3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách sắp xếp thứ tự bốn chữ số 1, 2,3, 4 ta được một số tự nhiên theo yêu cầu đề bài.
Do đó số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2,3, 4 là: 4!  24. TOANMATH.com Trang 7
Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh trong đó có An và Bình vào một hàng ghế dài gồm 7 ghế sao
cho An và Bình ngồi ở hai ghế đầu?
Hướng dẫn giải
An và Bình chỉ ngồi đầu và ngồi cuối, hoán đổi cho nhau nên có 2! cách xếp.
Xếp vị trí cho các bạn còn lại, ta có 5! cách xếp.
Vậy ta có 2!.5!  240 cách xếp.
Ví dụ 3. Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai
thầy giáo không đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn giải
Có 8! cách xếp 8 người.
Có 2! cách xếp hai giáo viên đứng cạnh nhau.
Khi đó có 2!.7! cách xếp 8 người sao cho hai giáo viên đứng cạnh nhau.
Mà hai giáo viên không đứng cạnh nhau nên số cách xếp là 8! 2!.7!  30240 cách xếp.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2,...,9? A. 15120. B. 5 9 . C. 9 5 . D. 126.
Hướng dẫn giải
Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2,...,9 là số cách sắp xếp thứ tự 5 chữ
số khác nhau từ 9 chữ số đã cho.
Do đó số các số thỏa mãn là: 5 A  15120. 9 Chọn A.
Ví dụ 5. Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh ngồi xung quanh một bàn tròn có Hoán vị vòng quanh: Cho 8 ghế?
tập A gồm n phần tử.
Hướng dẫn giải
Một cách sắp xếp n phần
Xếp 8 học sinh theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn, sau đó xếp tử của tập A thành một
vị trí cho 7 bạn còn lại có 7! cách.
dãy kín được gọi là một Vậy có 7!  5040 cách.
hoán vị vòng quanh của n
phần tử. Số các hoán vị
vòng quanh của n phần tử là
Q  n   1 !. n
Ví dụ 6. Trong một túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng.
Các viên bi khác nhau có cùng kích cỡ. Tính số cách lấy ra 5 viên bi và sắp
xếp chúng vào 5 ô sao cho 5 ô bi đó có ít nhất một viên bi đỏ.
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 8
Số cách chọn ra 5 viên bi bất kì là 5 C cách.
Bước 1: Chọn bi 45
Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó không có viên bi đỏ nào là 3 C cách. 35
Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi đỏ là 5 5 C C cách. 45 35
Số cách xếp 5 viên bi vào 5 ô là 5!.
Bước 2: Sắp xếp các viên
Theo quy tắc nhân ta có 5!. 5 5 C C  107655240 (cách). 45 35  bi.
Ví dụ 7. Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách
Toán, 3 cuốn sách Lí, 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 em học sinh ,
A B,C, D, E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao
nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho số sách còn lại có đủ cả ba loại?
Hướng dẫn giải
Trường hợp 1: Tặng hết 4 cuốn sách Toán.
Tìm bài toán đối đó là tìm
Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách.
số cách sao cho sau khi
Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách.
tặng sách xong có 1 môn
Vậy có 6 cách chọn sách. hết sách.
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là 5 A  120 cách. 5
Vậy có 6.120  720 cách.
Trường hợp 2: Tặng hết 3 cuốn sách Lí.
Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách.
Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là 2 C cách. 7
Vậy có 21 cách chọn sách.
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là 5 A  120 cách. 5
Vậy có 21.120  2520 cách.
Trường hợp 3: Tặng hết 3 cuốn sách Hóa: Tương tự trường hợp 2 thì có 2520 cách.
Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là 5 5
C .A  30240 cách. 10 5
Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít
nhất một cuốn là 30240  720  2520  2520  24480 (cách).
Ví dụ 8. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào 7 toa tàu sao cho còn trống đúng 3 toa?
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 9
Ta thực hiện các bước sau:
Chọn 4 toa trong 7 toa để sắp xếp người, ta có 4 C cách chọn. 7
Chọn 1 toa và chọn 2 người cùng lên một toa đó có 2 1
C .C cách chọn. 5 4
Xếp 3 người vào 3 toa còn lại đã chọn, có 3! cách chọn.
Vậy số cách xếp thỏa mãn đầu bài là: 4 2 1
C .C .C .3!  8400 (cách). 7 5 4
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho tập A có n phần tử  *
n   , khẳng định nào sau đây sai?
A. Số hoán vị của n  
1 phần tử là P  1.2.3...n  2n   1 . n n n k !
B. Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là A  với * k  , n k   . nn k! n k !
C. Số tổ hợp chập k của n phần tử là C  với , k n k  .  n k  ! n k !
D. Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. Vì vậy n P A . n n
Câu 2: Một tổ gồm có 5 bạn học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn sao cho
trong đó luôn có bạn nam và nữ?
A. 120 (cách). B. 126 (cách). C. 6 (cách). D. 60 (cách).
Câu 3: Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam và 10 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 5
người sao cho có ít nhất 2 nam và có ít nhất 1 nữ?
A. 12900 (cách). B. 450 (cách). C. 633600 (cách). D. 15494 (cách).
Câu 4: Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam, 2 bạn nữ và 1 cô giáo ngồi vào một bàn tròn có 6 chỗ sao cho
cô giáo ngồi giữa 2 bạn nữ?
A. 2 (cách). B. 72 (cách). C. 12 (cách). D. 36 (cách).
Câu 5: Một trường cấp 3 có 8 giáo viên toán gồm 3 nữ và 5 nam, giáo viên vật lý thì có 4 giáo viên nam.
Có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra có 3 người trong đó có đủ hai môn toán lý vả có đủ giáo
viên nam và giáo viên nữ?
A. 90 (cách). B. 60 (cách). C. 12960 (cách). D. 120 (cách).
Câu 6: Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 tới 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 11 tới
30. Lấy hai quả bất kì trong hộp. Có bao nhiêu cách lấy được hai quả cầu có số chẵn?
A. 210 (cách). B. 55 (cách). C. 50 (cách). D. 105 (cách).
Câu 7: Cho hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 5 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ. Hộp thứ hai có
chứa 7 quả cầu xanh, 6 quả cầu vàng. Lấy mỗi hộp 2 quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy được tổng cộng 4 quả mà có đủ 3 màu?
A. 981 (cách). B. 2184 (cách). C. 1944 (cách). D. 630 (cách).
Câu 8: Có bao nhiêu cách chia 9 món quà khác nhau cho 3 người sao cho một người có 2 món quà, một
người 3 món quà, một người có 4 món quà?
A. 381024 (cách). B. 30240 (cách).
C. 5040 (cách). D. 7560 (cách). TOANMATH.com Trang 10
Câu 9: Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho
giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
A. 80640 (cách). B. 108864 (cách).
C. 145152 (cách). D. 217728 (cách).
Câu 10: Một bộ đề ôn tập môn Toán được chia thành 3 loại dễ, trung bình và khó. Số câu dễ là 10 câu, số
câu trung bình là 15 câu và số câu khó là 5 câu. Thầy giáo chọn 5 câu bất kì để làm thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A. 30
C (cách chọn). B. 5
C (cách chọn). 5 30 C. 5 5 5
C .C .C (cách chọn). D. 5 5 5
C C C (cách chọn). 10 15 5 10 15 5
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa công thức tổ hợp Phương pháp giải Chú ý các công thức: n k A n n n n k   n      ! 1 2 ... 1 n k ;! k A n k ! n C   n k
k n k  . ! ! ! n k k 1 Tính chất: 0 n C C  1; k n k C C   ; k k 1  k C CC ; k 1 C C  ; n n n n n n 1  n 1  n n k k k  1 k 1 1 k 1 kC nC ; C
C  ; k kC n nC n nn n  1 kn   k 1 1 . 1 1 n 1 k 1 n 1  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 2 2 3A  A  42  0? x 2x
A. 0. B. 1. C. 2. D. 6. Hướng dẫn giải
Điều kiện: x  , x  2. 2 x! 2x 2   3A  A  0  3.   42  0 x 2x
x  2! 2x  2! 
x       2 3x 1
2x 2x 1  42  0  x x  42  0 x  7    x  6.  x  6
Vậy x  6 thỏa mãn đề bài. Chọn D.
Ví dụ 2. Tính tích P của tất cả các giá trị x thỏa mãn x x2 x 1 C C 2C    . 14 14 14
A. P  4. B. P  12. C. P  32.  D. P  32.
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 11
Điều kiện: x  ,0  x  12. x xx 14! 14! 14! 2 1 C C  2C    2 14 14 14 x
! 14  x!  x  2  ! 12  x!
x  1 !13 x! 14!
Rút gọn cả hai vế đại lượng ta được: x  ! 12  x! 1 1 2   
14  x13  x  x  
1  x  2  x   1 13  x  x  
1  x  2  14  x13 x  214  x x  2 x  4 2
x 12x  32  0   (thỏa mãn). x  8
Vậy tích các giá trị của x là 32. Chọn D.
Ví dụ 3. Tìm x   thỏa mãn 1 2 3 2
C  6C  6C  9x 14 . x x x x Hướng dẫn giải
Điều kiện: 3  x  .  Ta có 1 2 3 2
C  6C  6C  9x 14x x x x x! x! x! 2    6      x   6
x   9x 14x x 1 ! 2!. 2 ! 3!. 3 ! 2 3 2 2
x  3x  3x x  3x  2x  9x 14x x  0 x  2 x 9x 14 0    
  x  2  x  7  (do x  3 ). x  7 
Vậy x  7 thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 4. Tính tích P của tất cả các giá trị n thỏa mãn 2 P A    2
71 6 A  2P . n n n n
A. P  12. B. P  5. C. P  10. D. P  6. Hướng dẫn giải Điều kiện: ,
n   n  2. 2 P A    2
A P   P   2 72 6 2 6 A 12  0 n n n n n nP  6  0   n n 3    (thỏa mãn) 2  A 12  0  n  4 n
Vậy P  3.4  12. Chọn A.
Ví dụ 5. Tìm n thỏa mãn n 1  n CC  7 n  3 . n4 n3  
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 12 Điều kiện: * n   . n  4 ! n  3 ! n 1  n CC  7 n  3    7 n  3 . n4 n3        3! n     1 ! 3!n!
n  4n 3n  2 n 3n  2n  1    7n  3. 3! 3!
 n  4n  2 n  2n   1  42 2 2
n  6n  8  n  3n  2  42  0
 3n  36  0  n  12 (thỏa mãn). Vậy n  12
Ví dụ 6. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 2 2 2C  3A  30? n 1  n
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Hướng dẫn giải Điều kiện: ,
n N n  2. n 1 ! n! 2 2   2C  3A  30  2.  3.  30  0 n 1  n  2! n   1 ! n  2!
nn  
1  3n n   1  30  0 5 2
 4n  2n  30  0    n  3. 2 Mà ,
n   n  2 nên n  2. Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 3
x!  x   1 ! 1
Câu 1: Các giá trị của x thỏa mãn   với * x N là x   1 ! 6
A. x 1; 
3 . B. x 2; 
3 . C. x  
3 . D. x   2 . Câu 2: Nếu 2
A n! thì n bằng bao nhiêu? n
A. 2. B. 3. C. 2;  3 . D. . 
Câu 3: Tìm n thỏa mãn 2 n 1 A C   48. n n 1 193
A. n  4. B. n  0. C. n  . D. .  2
Câu 4: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 2 n 1
A C   5. n n 1 
A. n  3. B. n  5. C. n  4. D. n  6.
Câu 5: Tìm k sao cho k thỏa mãn: k k 2 k 1 C C 2C    14 14 14 A. 4,
k k  8. B. k  8.
C. k  4. D. Không có giá trị nào của k.
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình 3 2
A  5A  21x là x x TOANMATH.com Trang 13
A. S  3; 
4 . B. S  2; 
4 . C. S  2;3; 
4 . D. S    4 .
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị của n thỏa mãn phương trình: 2 2
2P  6A  12  P A ? n n n n
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. 1 6
Câu 8: Bất phương trình 2 2 3
A A  .C 10 có tập nghiệm là 2 2 x x x x
A. S  3;5. B. S  3;4. C. {3;4 S
. D. S  3;  4 . 4 A 143
Câu 9: Tìm tập hợp các số âm trong dãy số x ; x ;...; x với n4 x   . 1 2 n n P 4P n2 n  54  23   A. H   ;
. B. H  1;  2 .  5 8   63  23   C. H   ; . D. H .   4 8 
Câu 10: Cho phương trình 3 x 1  x3 2 A  2C  3C
 3x P 159. x x 1  x 1  6
Giả sử x x là nghiệm của phương trình trên thì 0
A. x  10;13 . B. x  12;14 . 0   0  
C. x  10;12 . D. x  14;16 . 0   0   2. y y A C  50
Câu 11: Giả hệ phương trình x x  ta được nghiệm  ; x y là 5. yA  2 y C  80  x x
A. 5;2. B. 3;4. C. 4;3. D. 2;5. 5
Câu 12: Giải bất phương trình 4 3 2 C
C A  0 với n  ta được n 1  n 1  n2 4
A. n 6;7;8;9;10;1 
1 . B. n 7;8;9;10;11;  12 .
C. n 4;5;6;7;8; 
9 . D. n 5;6;7;8;9;1  0 .
Dạng 4: Các bài toán liên quan đến chọn số Phương pháp giải
 Chú ý cấu tạo số và các dấu hiệu chia hết.
 Khi lập một số tự nhiên x a ...a ta cần lưu ý: a  và a  0 . i 0;1;2;...;  9 1 n 1
Một số dấu hiệu chia hết:
+) x chia hết cho 2  a là số chẵn. Khi giải bài toán tìm số chẵn nếu bài toán chứa chữ số 0 thì ta nên n chia hai trường hợp: 0
a  , a  0. n n
+) x là số lẻ  a là số lẻ. n
+) x chia hết cho 3  a a  ... a chia hết cho 3. 1 2 n
+) x chia hết cho 4  a a chia hết cho 4. n 1  n TOANMATH.com Trang 14
+) x chia hết cho 5  a 0,  5 . n
+) x chia hết cho 6  x là số chẵn và chia hết cho 3.
+) x chia hết cho 8  a a a chia hết cho 8. n2 n 1  n
+) x chia hết cho 9  a a  ... a chia hết cho 9. 1 2 n
+) x chia hết cho 11  tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.
+) x chia hết cho 25  Hai chữ số tận cùng là 00, 25,50,75. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9?
A. 16. B. 18. C. 20. D. 14.
Hướng dẫn giải
Gọi số cần tìm có dạng abc với a,b, c 0;1;2;3;4;  5 .
Vì abc9 nên tổng các chữ số a b c9. Khi đó a, , b c  
 0;4;5,2;3;4,1;3;5.
Trường hợp 1. Với a,b, c 0;4; 
5 . Do a  0 nên a có 2 cách chọn.
Suy ra có 2.2  4 số thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 2. Với a, , b c 2;3; 
4 , có 3!  6 số thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 3. Với a,b, c 1;3; 
5 , có 3!  6 số thỏa mãn yêu cầu.
Vậy có thể lập được 16 số tự nhiên thỏa mãn bài toán. Chọn A.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn 5000?
A. 1232. B. 1120. C. 1250. D. 1288.
Hướng dẫn giải
Giả sử số cần tìm có dạng x a a a a , a a ;i, j  1, 4. 1 2 3 4 i ja  5;6;7;8;9  1  
Vì x  5000 và x là số chẵn nên  a  0;2;4;6;8  4  
Trường hợp 1: Nếu a  5;7;9 thì a có 3 cách chọn. Khi đó a có 5 cách chọn. Các số còn lại có 2 A 1   1 4 8 cách chọn. Do đó có 2
3.5.A  840 số   1 . 8
Trường hợp 2: Nếu a  6;8 thì a có 2 cách chọn và a có 4 cách chọn. Các số còn lại có 2 A cách 1   1 4 8 chọn. TOANMATH.com Trang 15 Tất cả có 2
2.4.A  448số 2 . 8 Từ  
1 và 2 ta có 840  448 1288 số. Chọn D.
Ví dụ 3. Cho ba số 1, 2,3. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho 2 chữ số giống nhau không đứng kề nhau?
A. 72. B. 66. C. 30. D. 32.
Hướng dẫn giải
Gọi số cần tìm là ab d c ef . Chọn a có 3 cách.
Chọn b a có 2 cách.
Chọn c b có 2 cách.
Chọn d c có 2 cách.
Chọn e d có 2 cách.
Chọn f e có 2 cách.
Vậy số cách chọn thỏa mãn là 5 3.2  66 cách. Chọn B.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số có 5 chữ số tận cùng là 1 và chia hết cho 7?
A. 12855. B. 12856. C. 1285. D. 1286.
Hướng dẫn giải
Gọi số cần tìm có dạng: abcd1.
Ta có abcd1  10.abcd 1  3.abcd  7.abcd 1.
Vi abcd1 chia hết cho 7 nên 3.abcd 1chia hết cho 7 hay k 1
3.abcd 1  7k abcd  2k  , k  .  3
Ta có abcd là số nguyên khi k  3l 1,l  .
 Suy ra abcd  7l  2. 998 9997
Do đó 1000  7l  2  9999   l  . 7 7
Suy ra có 1286 giá trị của l.
Vậy có 1286 số thỏa mãn bài toán. Chọn D.
Ví dụ 5. Cho tập hợp A  1;2;3;4;...;  2018 và các số a, ,
b c A. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có dạng
abc sao cho a b c và a b c  2016?
A. 337681. B. 2027080. C. 2027090. D. 337690.
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 16
Nhận xét 2016  111 ...1gồm 2015 dấu . 
Chọn 2 dấu  trong 2015 dấu  để hình thành các số a,b,c có 2 C cách. 2015 Suy ra có 2 C
cách chọn 3 số có tổng bằng 2016 (tính cả các hoán vị). 2015 Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1 : a b c  672, có 1 số.
Trường hợp 2: có 2 trong 3 số bằng nhau, chẳng hạn a b c  2a c  2016.
Khi đó c chẵn do c  21008  a.
Vì a  1nên c  2014 . Do đó c 2;4;6;...;  2014 \   672 .
Vậy có 1006 cách chọn c. Bộ a;a;  c có 3 hoán vị.
Vậy số cách chọn ở trường hợp 2 là 1006.3  3018cách.
a b c Vây có 2 C
1 3018  2026086 số abc thỏa mãn . 2015 
a b c  2016 Mỗi bộ số a; ; b
c được lập có 3!  6 cách hoán đổi vị trí.
Do đó số cách lập bộ số a; ; b
c thỏa yêu cầu a b c là 2026086  337681. 6 Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Từ các chữ số 0,1, 2,3,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?
A. 72. B. 120. C. 54. D. 69.
Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 5 đứng liền giữa chữ số 1 và 4 ?
A. 249. B. 1500. C. 3204. D. 2942.
Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 được lập từ các chữ số 0,1, 2,3, 4?
A. 125. B. 120. C. 100. D. 69.
Câu 4: Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chọn từ tập A  1;2;3;4;  5 sao cho mỗi số
lập được luôn có mặt chữ số 3?
A. 72. B. 36. C. 32. D. 48.
Câu 5: Cho tập A  0;1;2;3;4;5; 
6 từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chia hết cho 2?
A. 1230. B. 2880. C. 1260. D. 8232. TOANMATH.com Trang 17
Câu 6: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3?
A. 3204 số. B. 249 số. C. 2942 số. D. 7440 số.
Câu 7: Có bao nhiêu số có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1; 2;3;4;5;6;7;8;9 sao cho số đó chia hết cho 15?
A. 234. B. 243. C. 132. D. 432.
Câu 8: Từ các chữ số 1; 2;3; 4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thỏa mãn
điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2?
A. 720 số. B. 360 số. C. 288 số. D. 240 số.
Câu 9: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5;6;7;8;9. Tính tổng tất cả các số thuộc tập S.
A. 9333420. B. 46666200. C. 9333240. D. 46666240.
Câu 10: Từ các chữ số 2,3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần,
chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần?
A. 1260. B. 40320. C. 120. D. 1728.
Dạng 5. Các bài toán liên quan đến hình học Phương pháp giải
Một số kết quả thường gặp
• Cho n điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. n n 1 2  
+ Số đường thẳng đi qua 2 điểm: C  . n 2
+ Số vectơ nối hai điểm bất kì: 2 n . 
+ Số vectơ khác 0 nối hai điểm bất kì: 2
A n n   1 . n n n 1 n  2 3   
+ Số tam giác tạo thành: C  . n 6
+ Nếu trong n điểm không có 4 điểm nào đồng phẳng thì số tứ diện được tạo thành: 4 C . n
• Cho đa giác lồi n đỉnh: n n  3 2  
+ Số đường chéo của đa giác: C n  . n 2
+ Số đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh của đa giác: n  3 .
+ Nếu không có 3 đường chéo nào đồng quy thì số giao điểm giữa các đường chéo là
n n 1 n  2 n  3 4     C  . n 24 n n 1 n  2 3   
+ Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác: C  . n 6
+ Số tam giác có đúng 1 cạnh của đa giác và 2 cạnh còn lại là đường chéo: 1 nCn n  4 . n4  
+ Số tam giác có 2 cạnh của đa giác và 1 cạnh còn lại là đường chéo: . n TOANMATH.com Trang 18 n 2 n  9n  20 3 
+ Số tam giác có cạnh đều là các đường chéo của đa giác: C n n n   n  4 . 6 + Số tam giác vuông:
Khi n chẵn: số tam giác vuông là 2 . n C . n 2
Khi n lẻ: số tam giác vuông là 0. + Số tam giác tù:
Khi n chẵn: số tam giác tù là 2 . n C . n2 2
Khi n lẻ: số tam giác tù là 2 . n C . n 1  2
+ Số tam giác nhọn = số tam giác - (số tam giác vuông + số tam giác tù)  
Khi n chẵn: số tam giác nhọn là 3 2 2 C  .
n C C . n n n2  2 2 
Khi n lẻ: số tam giác nhọn là 3 2 C  . n C . n n 1  2
Cho đa giác đều 2n đỉnh n  2 : n n 1 2  
+ Số đường chéo xuyên qua tâm  n số hình chữ nhật: C  . n 2
+ Số tam giác vuông: 2n  2 . n
MỘT SỐ KẾT QUẢ HAY GẶP VỀ TAM GIÁC
Số đỉnh của đa giác
Số tam giác cân nhưng
Số tam giác đều Số tam giác cân đều không đều 6n 2n 6n3n   1  2.2n 6n3n   1  3.2n 6n 1 0 6n   1 3n 6n   1 3n 6n  2 0
6n  23n
6n  23n 6n  3 2n 1
6n 33n   1  2.2n  
1 6n  33n   1  3.2n   1 6n  4 0
6n  43n   1
6n  43n   1 6n  5 0
6n 53n  2
6n 53n  2 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng song song d , d . Trên đường thẳng d lấy 10 điểm phân biệt, trên d lấy 1 2 1 2
15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm nói trên?
Hướng dẫn giải
Số tam giác lập được thuộc một trong hai loại sau: TOANMATH.com Trang 19
Loại 1: Hai đỉnh thuộc d và một đỉnh thuộc vào d . 1 2
Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 điểm thuộc d là 2 C . 1 10
Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc d là 1 C . 2 15 Loại 1 có 2 1
C .C tam giác. 10 15
Loại 2: Một đỉnh thuộc d và hai đỉnh thuộc d 1 2
Số cách chọn một điểm trong 10 điểm thuộc d là 1 C . 1 10
Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc d là 2 C . 2 15 Loại 2 có: 1 2
C .C tam giác. 10 15 Vậy có tất cả: 2 1 1 2
C C C C tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. 10 15 10 15
Ví dụ 2. Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Hướng dẫn giải
Đa giác có n cạnh n , n  3.
Số đường chéo trong đa giác là: 2 C n n n! n  7 Ta có: 2
C n  2n
n n n   n   n  (vì 3 n ³ ). nn  2 3  1 6 7 !.2!  n  0 Vậy đa giác có 7 cạnh.
Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng d và d song song với nhau. Trên d có 10 điểm phân biệt, trên d 1 2 1 2 có n
điểm phân biệt n  2 . Biết rằng có 1725 tam giác có các đỉnh là ba trong số các điểm thuộc d và d 1 2 nói trên. Tìm n
Hướng dẫn giải
Để tạo thành một tam giác có hai khả năng: Lấy 1 điểm thuộc d và 2 điểm thuộc d hoặc lấy 2 điểm 1 2
thuộc d và 1 điểm thuộc d . 1 2
Tổng số tam giác được tạo thành là: 1 2 2 1
S C .C C .C . 10 n 10 n
Theo giả thiết có S  1725. n! n! Ta có phương trình 1 2 2 1
C .C C .C  1725  10.  45.  1725 10 n 10 n 2!.n  2! n   1 !
nn   2 5
1  45n  1725  5n  40n 1725  0 n 15   n  15  (vì n  2 ). n  23  Vậy n  15. TOANMATH.com Trang 20
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác
cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Tính số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên.
Hướng dẫn giải
Mỗi hình bình hành tạo thành từ hai cặp cạnh song song nhau. Vì vậy số hình bình hành tạo thành chính
là số cách chọn 2 cặp đường thẳng song song trong hai nhóm đường thẳng trên.
Chọn 2 đường thẳng song song từ 2017 đường thẳng song song có 2 C (cách). 2017
Chọn 2 đường thẳng song song từ 2018 đường thẳng song song có 2 C (cách). 2018 Vậy có 2 2 C .C (hình bình hành). 2017 2018
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Đa giác lồi 20 đỉnh có tất cả bao nhiêu đường chéo?
A. 40. B. 360. C. 190. D. 170.
Câu 2: Trong mặt phẳng có 30 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu vectơ
khác vectơ - không mà điểm đầu và điểm cuối được lấy từ 30 điểm trên?
A. 870. B. 435. C. 2 30 . D. 30 2 .
Câu 3: Tính số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt khi không có ba đường nào đồng quy và hai đường nào song song?
A. 90. B. 35. C. 45. D. 19.
Câu 4: Cho hai đường thẳng song song d, d . Trên d lấy 10 điểm phân biệt, trên d lấy 15 điểm phân
biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh của nó được chọn từ 25 đỉnh nói trên?
A. 1050. B. 675. C. 1725. D. 708750.
Câu 5: Từ các điểm ,
A B,C, D, E không thẳng hàng, ta có thể lập được bao nhiêu tam giác? A. 3
C  10 (tam giác). B. 3
A  60 (tam giác). 5 5
C. P  120 (tam giác).
D. P  6 (tam giác). 5 3
Câu 6: Trong mặt phẳng cho 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song
với nhau và cắt 6 đường đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên từ 14 đường thẳng đã cho? A. 2 2
C .C (hình). B. 2 2
A .A (hình). 6 6 6 8 C. 4 C (hình). D. 4 A (hình). 14 14
Câu 7: Cho đa giác đều có n đỉnh n   và n  3 . Giá trị của n bằng bao nhiêu biết rằng đa giác đó có 90 đường chéo? A. 15. B. 12
 và 15. C. 18. D. . 
Câu 8: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao
nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho?
A. 4039137. B. 4038090. C. 4167114. D. 167541284.
Câu 9: Cho 20 đường thẳng thì có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm? TOANMATH.com Trang 21
A. 40. B. 380. C. 190. D. 144.
Câu 10: Cho hai đường thẳng d và d song song với nhau. Trên có 10 điểm phân biệt, trên d có n 1 2 2
điểm phân biệt n  2 . Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Giá trị n bằng
A. 20. B. 21. C. 30. D. 32.
Câu 11: Cho hai đường thẳng d và d song song với nhau. Trên d có 10 điểm phân biệt, trên d có n 1 2 1 2
điểm phân biệt n  2 . Biết rằng có 1725 tam giác có các đỉnh là ba trong số các điểm thuộc d và d 1 2
nói trên. Giá trị n bằng
A. 13. B. 15. C. 14. D. 16.
Câu 12: Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100? A. 3 2018.C . B. 3 C . C. 3 2018.C . D. 3 2018.C . 897 1009 895 896 ĐÁP ÁN
BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Dạng 1. Quy tắc đếm 1 – B 2 – D 3 – D 4 – A 5 – A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn khác nhau là: 8  6 10  24 (cách). Câu 2.
Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi để An đến nhà Cường là 4.6  24 (cách). Câu 3.
Theo quy tắc nhân, số cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần là 4.2.3  24 (cách). Câu 4.
Theo quy tắc nhân ta có số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau là 5.4.3  60 (cách). Câu 5.
Có 15 cách chọn giải nhất, 14 cách chọn giải nhì, 13 cách chọn giải ba.
Theo quy tắc nhân, số cách cách chọn ra các giải nhất, nhì, ba là 15.14.13  2730 (cách).
Dạng 2. Các bài toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp 1 – A 2 – A 3 – A 4 – C 5 – A 6 – D 7 – A 8 – D 9 – C 10 – B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Số các hoán vị của n  
1 phần tử là P  1.2.3... n  2 n 1 n n 1 nên A sai. n 1       Câu 2. Có 4
C cách chọn 4 bạn bất kì trong 9 bạn. 9 Có 4
C cách chọn 4 bạn nam. 5 Có 4
C cách chọn 4 bạn nữ. 4 TOANMATH.com Trang 22
Vậy ta có số cách chọn 4 bạn luôn có cả bạn nam và nữ là: 4 4 4
C C C  120 (cách). 9 5 4 Câu 3. + Chọn 2 nam, 3 nữ có: 2 3 C .C cách. 10 10 + Chọn 3 nam, 2 nữ có: 3 2 C .C cách. 10 10
+ Chọn 4 nam, 1 nữ có: 4 1 C .C cách. 10 10
Áp dụng quy tắc cộng ta có 2 3 3 2 4 1
C .C C .C C .C  12900 (cách). 10 10 10 10 10 10 Câu 4.
Chọn vị trí cho cô giáo trên bàn tròn, có 1 cách chọn.
2 bạn nữ ngồi hai bên cô giáo là hoán vị của 2, vậy có 2! cách xếp.
Còn lại 3 bạn nam xếp vào 3 chỗ còn lại, vậy có 3! cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có 1.2!.3!  12 cách xếp. Câu 5.
+ Chọn 1 nam toán, 1 nữ toán, 1 nam lý có 1 1 1
C .C .C cách 5 3 4
+ Chọn 1 nữ toán, 2 nam lý: 1 2 C .C cách. 3 4
+ Chọn 2 nữ toán, 1 nam lý: 2 1 C .C cách. 3 4
Áp dụng quy tắc cộng ta có 1 1 1 1 2 2 1
C .C .C C .C C .C  90 (cách chọn). 5 3 4 3 4 3 4 Câu 6.
Trong 30 quả cầu ta có 15 quả cầu có số chẵn. Do đó chọn 2 quả bất kì trong 15 quả sẽ là tổ hợp chập 2 của 15, ta có 2
C  105 cách chọn. 15 Câu 7.
+ Ở hộp thứ nhất chọn 2 quả đỏ, hộp thứ hai chọn 1 quả xanh, 1 quả vàng: có 2 1 1
C .C .C cách chọn. 3 7 6
+ Ở hộp thứ nhất chọn 1 quả xanh, 1 quả đỏ và hộp thứ hai chọn 1 quả xanh, 1 quả vàng: có 1 1 1 1
C .C .C .C cách chọn. 5 3 7 6
+ Ở hộp thứ nhất chọn 1 quả xanh, 1 quả đỏ và hộp thứ hai chọn 2 quả vàng: có 1 1 2
C .C .C cách chọn. 5 3 6
Áp dụng quy tắc cộng, ta có 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2
C .C .C C .C .C .C C .C .C  981 (cách chọn). 3 7 6 5 3 7 6 5 3 6 Câu 8.
Số cách chọn ra 2 trong 9 món quà là: 2
C cách. Chọn 1 trong 3 người để nhận quà có 1 C cách. 9 3 Do đó có 2 1
C .C  108 cách chia một người nhận 2 món quà. 9 3
Chọn 3 món quà trong 7 món quà còn lại có 3
C cách. Chọn 1 trong 2 người còn lại để nhận quà có 2 7 cách. Do đó có 3
C .2  70 cách chia một người nhận 3 món quà. 7
Còn lại 4 món quà và 1 người nên chỉ có 1 cách chọn.
Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 108.70.1  7560 cách. Câu 9. TOANMATH.com Trang 23
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có 2!.8!cách.
Trường hợp 2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có 2!.4.7!cách.
Trường hợp 3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có 2 2!.A .6!cách. 4
Trường hợp 4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có 3 2!.A .5!cách. 4
Trường hợp 5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có 4 2!.A .4!cách. 4
Vậy theo quy tắc cộng có 2  1 2 3 4
! 8! A 7! A 6! A 5! A 4!  145152 (cách). 4 4 4 4  Câu 10.
Chọn 5 câu bất kì trong 30 câu để làm thành 1 đề thi có 5 C cách chọn. 30
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa công thức tổ hợp 1 – B 2 – C 3 – A 4 – B 5 – A 6 – A 7 – B 8 – D 9 – C 10 – A 11 – A 12 – D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
x!  x   1 ! 1 x! x  1! 1 1 1 1         x   1 ! 6
x  1! x   1 ! 6
x 1 x x   1 6 x  2 2
x  5x  6  0   x  3.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2;  3 . Câu 2. * n  Điều kiện:  n  2 n! 1 n  2  0 n  2 Ta có 2 A n!   n    n     nn  2 ! !
n  2 1  2! 1 . !  n 2 1    n  3
Vậy n  2 hoặc n  3 . Câu 3.
Điều kiện: 2  n  .   n n n ! Ta có: 2 1 3 2 A C  48  
n n n   n n    n n n
n   .n   48  1 48 48 0 4. 2 ! 1 ! Vậy n  4 . Câu 4.
Điều kiện: n  , n  2. 2 n 1
A C   5. n n 1  TOANMATH.com Trang 24 n! n   1 ! 1            n  
n   5 n  1 n n n 1 5 n 5. 2 ! 2! 1 ! 2 Câu 5.
Điều kiện: 0  k  12, k  .  14! 14! 14!
Phương trình trở thành:     k k
  k k   2 14 ! ! 12 ! 2 !
13 k !k  1! 1 1 2    
14  k 13  k  k  
1 k  2 13  k k   1  k  
1 k  2  14  k 13 k   214  k k  2 k  8 2
 4k  48k 128  0  .  k  4 Vậy k 4;  8 . Câu 6. Điều kiện: 3 x  , x  .  x! x!
Bất phương trình trở thành   5         x   21x x x
1  x 2 5xx  1 21x x 3 ! 2 !  x  
1  x  2  5 x   1  21 (do x  0 ) 2
x  2x  24  0  6   x  4.
Vì x  3, x   nên x 3;  4 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  3;  4 . Câu 7. Điều kiện: 2 n  , n  .  2 2 P  
P A P  2  A    2 A      2 2 6A 12 2 6 2 0
A  26  P   0 n n n n n n n n nn! n  2 2 A  2  n n     n n    n  2 2  1 2 2 !    n  1      P  6  n  3 n  3. n n! 6 n  3 
Vậy có 2 giá trị n thỏa phương trình. Câu 8.
Điều kiện: x  3, x  .  1 6 1 2x! x! 6 x! 2 2 3
A A  .C 10  .   . 10 2 2 x x x x
2 2x  2!  x  2! x 3  ! x  3!
xx    xx    x  x   2 2 2 2 1 1 1
2 10  2x x x x x  3x  2 10
 3x 12  x  4.
Kết hợp với điều kiện xác định, ta có 3  x  4. Vậy S  3; 
4 là tập nghiệm của bất phương trình. Câu 9. TOANMATH.com Trang 25
Theo đề ra ta có: x  0 với * n   . nn  4! 4 A 143 143 n  4 ! 143 n4 n!   Khi đó   0    0    0. P 4P n  2 ! 4.n! n  2 ! 4 n2 n    
 n  n   143 4 3   0. 4 95 19 5 2  n  7n   0  
n   n 1;  2 . 4 2 2  63  23   Vậy x   ; . n  4 8  Câu 10.
Điều kiện: x  3, x  .
 Phương trình đã cho trở thành: x! 2 x   1 ! 3 x   1 ! 2       x   x   x   3x 6! 159. 3 ! 2! 1 ! 2! 3 !
xx  x    xx   3 1 2 1   x   1  x  2 2  3x  879. 2  x  12. Câu 11.
Điều kiện: 0  y  . x 2. y y A C  50 y A  20 Ta có: x x x    5. y A  2 y C  80 y C   10. x xx y A y A Từ y x C  suy ra y! x
 2  2! y  2. x y! y Cxx  5 Từ 2
A  20  x x    x x     x x   2 1 20 20 0 5.  x  4  Vậy 5
x  ; y  2. Câu 12.
Điều kiện: n  5 và n  .  5 n 1 ! n 1 ! 5 n  2 ! 4 3 2       Ta có C
C A  0    .  0 n 1  n 1  n2 4 4  ! n  5! 3 
! n  4! 4 n  4!
n  1n  2n 3n  4 n  1n  2n 3 5n  2n 3     0 4! 3! 4 2
n  9n  22  0  2   n 11.
Kết hợp điều kiện suy ra n 5;6;7;8;9;1  0 .
Dạng 4. Các bài toán liên quan đến chọn số 1 – A 2 – A 3 – A 4 – B 5 – D 6 – D 7 – B 8 – D 9 – C 10 – A TOANMATH.com Trang 26
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Gọi số cần tìm dạng ab d
c với a  0.
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau: 3 4.A  96 số. 4
Các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5:
+ Trường hợp 1: d  0 thì 4 số a,b,c có 3
A cách chọn. Do đó có 3 A số. 4 4
+ Trường hợp 2: d  5thì 4 số a,b,c có 2
3.A cách chọn. Do đó có 2 3.A số. 3 3 Vậy có 3 2
A  3A  42 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5. 4 3
Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là: 96  42  54 số. Cây 2.
Chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4 nên ta có thể có 154 hoặc 451.
Xét số abc (các chữ số khác nhau từng đôi một và a,b,c thuộc 0;2;3;6;7;8;  9 , sau đó ta chèn thêm
154 hoặc 451 để có được số gồm 6 chữ số cần tìm.
Trường hợp 1: a  0 , số cách chọn a là 6, số cách chọn b và c là 2
A , sau đó chèn 154 hoặc 451 vào 4 6 vị trí còn lại nên có 2 6.A .4.2 cách. 6
Trường hợp 2: a  0 , số cách chọn a là 1, số cách chọn b và c là 2
A , sau đó chèn 154 hoặc 451 vào vị 6
trí trước a có duy nhất 1cách nên có 2 A .2 cách. 6 Vậy có 2 2
6.A .4.2  A .2  1500 (số). 6 6 Câu 3.
Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 bao gồm các số tự nhiên có 1, 2,3chữ số.
Gọi số cần tìm là abc a, , b c 0;1;2;3; 
4  (không nhất thiết các chữ số đầu tiên phải khác 0).
a có 5 cách chọn. b có 5 cách chọn, c có 5 cách chọn.
Vậy có 5.5.5  125 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 4.
Gọi số tạo thành có dạng x abc với a, ,
b c đôi một khác nhau và lấy từ A .
Chọn một vị trí a,b hoặc c cho số 3 có 3 cách chọn.
Chọn hai chữ số khác 3 từ A và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của X có 2 A cách. 4 Theo quy tắc nhân có 2 3.A  36 cách. 4
Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa yêu cầu. Vậy có 36 số cần tìm. Câu 5.
Gọi số có 5 chữ số cần tìm là x a a a a a ; a , a , a , a , a  ;
A a  0;a  0; 2;4;6 . 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 5  
Công việc thành lập số x được chia thành các bước:
Chọn chữ số a có 6 lựa chọn vì a khác 0. 1 1 TOANMATH.com Trang 27
Chọn các chữ số a , a , a mỗi chữ số có 7 lựa chọn. 2 3 4
Chọn chữ số a có 4 lựa chọn vì số tạo thành chia hết cho 2. 5
Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3 6.7 .4  8232 (số). Câu 6.
Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321.
Xét số abcd (các chữ số khác nhau từng đôi một và a, ,
b c, d thuộc 0;4;5;6;7;8;  9 ), sau đó ta chèn thêm
123 hoặc 321 để có được số gồm 7 chữ số cần tìm.
Trường hợp 1: số cần lập có bộ ba số 123 .
+) Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng 123abcd. Có 4
A  840 cách chọn bốn số a, ,
b c, d nên có 4 A  840 số. 7 7
+) Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì có 4 vị trí đặt bộ ba số 123.
Có 6 cách chọn số đứng đầu và có 3
A  120 cách chọn ba số ,
b c, d. Theo quy tắc nhân có 3 6.4.A  2880 số. 6 6
Theo quy tắc cộng có 840  2880  3720 số.
Trường hợp 2: số cần lập có bộ ba số 321. Do vai trò của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có 3720 số.
Từ hai trường hợp, ta có 2.3720  7440 số. Câu 7.
Đặt tập E  1;2;3;4;5;6;7;8;  9 . x3
Gọi số cần tìm có dạng x abcd.Ta có x 15   
d  5 hay d có 1 cách chọn. x5
Chọn a có 9 cách a E.
Chọn b có 9 cách bE.
Khi đó tổng a b d sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 hoặc chia 3 dư 2 nên tương ứng trong từng
trường hợp c sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2 hoặc chia 3 dư 1. Nhận xét:
Các số chia hết cho 3 là 3;6;9.
Các số chia 3 dư 1 là 1;4;9.
Các số chia 3 dư 2 là 2;5;7.
Mỗi tính chất như thế đều chỉ có 3 số nên c chỉ có đúng 3 cách chọn từ một số trong các bộ trên.
Vậy có 1.9.9.3  243 số thỏa yêu cầu. Câu 8.
Gọi số có sáu chữ số cần tìm là n abcdef , trong đó sáu chữ số khác nhau từng đôi một, c  2 và f là số chẵn. Trường hợp 1: Nếu 2
f  thì n abcde2.
Có 4 cách chọn c nên có 4.4!  96 số. Trường hợp 2: Nếu 4
f  thì n abcde4.
Có 3 cách chọn c nên có 3.4!  72 số. TOANMATH.com Trang 28
Trường hợp 3: Nếu f  6 thì n abcde6.
Có 3 cách chọn c nên có 3.4!  72 số.
Vậy số các số cần tìm là 96  72  72  240 số. Câu 9.
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 5;6;7;8;9 là 5!  120 số.
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số 5;6;7;8;9 xuất hiện ở hàng đơn vị là 4!  24 lần.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là 245  6  7  8  9  840.
Tương tự thì số lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.
Vậy tổng các số thuộc tập S là  2 3 4
840 110 10 10 10   9333240. Câu 10.
Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có 2 C cách. 9
Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có 3 C cách. 7
Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có 4 C cách. 4
Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là 2 3 4 C C C  1260 số. 9 7 4
Dạng 5. Các bài toán liên quan đến hình học 1 – D 2 – A 3 – C 4 – C 5 – A 6 – A 7 – A 8 – B 9 – C 10 – A 11 – B 12 – D HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu 1 .
Số cách lấy 2 điểm trong 20 điểm là 2 C  190. 20
Lấy 2 điểm kề nhau thì ta được cạnh, 2 điểm không kề nhau ta được đường chéo. Mà đa giác 20 đỉnh có 20 cạnh.
Vậy số đường chéo là 190  20  170 Câu 2.
Điểm thứ nhất của vectơ có 30 cách chọn.
Điểm thứ hai của vectơ có 29 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 30.29  870 cách chọn. Câu 3.
Đường thẳng thứ nhất giao với 9 đường còn lại nên có 9 giao điểm
Đường thẳng thứ hai giao với 8 đường còn lại nên có thêm 8 giao điểm (đã tính giao điểm với đường
thẳng thứ nhất ở trên)
Đường thẳng thứ 9 giao với 1 đường còn lại nên có thêm 1 giao điểm
Vậ y c ó 9  8  7  6  5  4  3  2 1  45 giao điểm. Câu 4.
Trường hợp 1. Lấy hai điểm thuộc ,
d một điểm thuộc d .
Lấy điểm thứ nhất thuộc d có 10 cách, lấy điểm thứ hai thuộc d có 9 cách. TOANMATH.com Trang 29
Lấy điểm thuộc d có 15 cách.
Vì sự thay đổi các đỉnh trong tam giác không tạo thành một tam giác mới nên hai đỉnh lấy trên d nếu đổi
thứ tự lấy không tạo thành tam giác mới. 109 Do đó có 15  675 tam giác. 2
Trường hợp 2: Lấy hai điểm thuộc d một điểm thuộc d : 1514 Tương tự có 10 1050 tam giác. 2
Vậy có 675 1050  1725 tam giác. Câu 5.
Số tam giác lập được từ các điểm ,
A B,C, D, E là số tổ hợp chập 3 của 5 nên ta có 3 C  10 (tam giác). 5 Câu 6.
Một hình bình hành được tạo từ 2 cặp cạnh song song.
Chọn 2 đường từ 6 đường song song nhau có 2 C cách. 6
Chọn 2 đường từ 8 đường song song nhau có 2 C cách. 8
Áp dụng quy tắc nhân ta có 2 2
C .C hình bình hành. 6 8 Câu 7.
Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác đã cho bằng 2 C . n
Đa giác đều có n đỉnh thì có n cạnh nên số đường chéo của đa giác là n! n n 1 2  
C n  90   n    n nn   90 90 2 !.2! 2 n 15 2
n  3n  18   n  15.  n  12  Vậy n  15. Câu 8.
Mỗi vectơ thỏa yêu cầu bài toán ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 2010 nên số vectơ cần tìm là: 2 A  4038090. 2010 Câu 9.
Để được nhiều giao điểm nhất thì 20 đường thẳng này phải đôi một cắt nhau tại các điểm phân biệt. Vậy có 2
C  190 giao điểm. 20 Câu 10.
Tam giác cần lập thuộc hai loại.
Loại 1 : Tam giác có một đỉnh thuộc d và hai đỉnh thuộc d . Loại này có 1 2 C .C tam giác. 1 2 10 n
Loại 2: Tam giác có một đỉnh thuộc d và hai đỉnh thuộc d . Loại này có 2 1 C .C tam giác. 2 1 10 n Theo bài ra ta có: 1 2 2 1
C .C C .C  2800. 10 n 10 n TOANMATH.com Trang 30 n n   1 2  10
 45n  2800  n  8n  560  0  n  20. 2 Câu 11
Để tạo thành một tam giác có hai khả năng:
Lấy 1 điểm thuộc d và 2 điểm thuộc d hoặc lấy 2 điểm thuộc d và 1 điểm thuộc d . 1 2 1 2
Tổng số tam giác được tạo thành là: 1 2 2 1
S C .C C .C 10 n 10 n
Theo giả thiết ta có S  1725 n! n! Ta có phương trình 1 2 2 1
C .C C .C  1725  10.  45.  1725 10 n 10 n 2!.n  2! n   1 ! n
 5nn   15 2
1  45n  1725  5n  40n 1725  0   n  15.  n  23  Câu 12.
Gọi A , A ,..., A
là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh nội tiếp đường tròn O. 1 2 2018 360
Các đỉnh của đa giác đều chia O thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng . 2018
Vì tam giác cần đếm có đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp O . Suy ra góc lớn
hơn 100 sẽ chắn cung có số đo lớn hơn 200 .  Cố định một đỉnh .
A Có 2018 cách chọn . A i i
Gọi A A A là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho số đo cung nhỏ A A nhỏ hơn 100 thì i j k i k
số đo cung lớn A A lớn hơn 200 .  i k Suy ra 
A A A  100 và A
A A là tam giác cần đếm. i j k i j k    160 
Khi đó cung A A là hợp liên tiếp của nhiều nhất 
  896 cung tròn nói trên. i k 360    2018 
896 cung tròn này có 897 đỉnh. Trừ đi đỉnh A thì còn 896 đỉnh. Do đó có 2
C cách chọn hai đỉnh A , A . i 896 j k Vậy có tất cả 2
2018.C tam giác thỏa mãn. 896 TOANMATH.com Trang 31