Bài giảng Toán 9 từ cơ bản đến nâng cao – Trần Đình Cư

Tài liệu gồm 261 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, tuyển tập bài giảng Toán 9 từ cơ bản đến nâng cao với đầy đủ các dạng toán, giúp học sinh học tốt môn Toán lớp 9 (Đại số 9 và Hình học 9). Mời bạn đọc đón xe.

37 19 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 9

Môn: Toán 9

Thông tin:

261 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
LỚPTOÁNTHẦYTPHUẾ.SĐT:0834332133
CS1:TrungtâmMTC‐5NgôThờiNhậm
CS2:TrungtâmDKĐ–37LêVănHưu(11ĐỐNGĐA)
ài giảng Toán 9
(Từ cơ bản đến nâng cao- đầy đủ dạng toán)
Ấnphẩmcủatoanthaycu.com
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 1
BÀI 1. CĂN BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Căn bậc hai số học:
Căn bậc hai của số không âm
a
là số
x
sao cho
2
.
x
a
Số dương
a
có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là
a
và số âm
kí hiệu là
.a
Với số dương
a
, số
a
được gọi là căn bậc hai số học của
a
. Số 0 cũng được gọi là căn
bậc hai số học của 0.
2. So sánh các căn bậc hai số học
Với
0; 0ab
. Ta có
ab a b
.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học của một số
1. Phương pháp giải:
Căn bậc hai số học của số dương
a
là
a
( giá trị dương của căn bậc hai).
Với
0a
, ta có:
Nếu
x
a
thì
0x
và
2
.
x
a
Nếu
0x
và
2
x
a thì
x
a
.
2. Bài tập minh họa.
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:
64;81;100;196.
Ví dụ 2: Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau ( làm
tròn đến chữ số thập phân thứ ba):
a)
2
4,5x
. b)
2
5x
.
c)
2
7,5x
. d)
2
9,12x
.
Ví dụ 3: Tìm
x
sao cho :
a.
2
16x
b.
2
9
25
x
c.
2
4x
Dạng 2: So Sánh Hai Số
1. Phương pháp giải:
Áp dụng: Với 0, 0ab ta có:
ab a b
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 2
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: So sánh:
a) 3 và
5
b)
8
và
63
c)
9
và
79
Ví dụ 2: So sánh các số :
a.
231
và 10 b.
23
và
32
.
Dạng 3. Tìm
x
thỏa điều kiện cho trước
1. Phương pháp giải
Áp dụng:

2
0: ,xaa xa
Với
,0: .ab a b a b
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 4 SGK trang 7) số
x
không âm, biết:
a)
15;x
b)
214;x
c)
2;x
d)
24.x
Ví dụ 2. Đố. ( Bài 5 SGK Trang 7) Tính cạnh của một hình vuông, biết diện tích của nó bằng
diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng
3, 5
m và chiều dài
14
m.
Ví dụ 3: Giải phưong trình :
a.
x3
b.
5x
c.
0x
d.
x2
.
Hướngdẫngiải
2
a. 3 nên 3 v?ìy 9 xx x
b.
5x
nên
2
(5)x
vậy
5x
c. x 0 nên 0x
d. Vô nghiệm vì
0x
.
C. LUYỆN TẬP
Bài 1.1. Tính căn bậc hai số học của:
a) 0,09 ; b) 0,49 ; c) 0,64 d) 0,16 e)
1
64
Bài 1.2. Số nào có căn bậc hai là
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 3
a)
3
;
)1, 3; ) 0,1; ) 4bc d
Bài 1.3. Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau ( làm tròn
đến chữ số thập phân thứ ba):
a)
2
5x ; b)
2
2,5;x
c)
2
5x
.
Bài 1.4. So sánh
a) 2 và
12
; b) 1 và
31
; c)
311
và 12 ; d)
10
và
231
.
Bài 1.5 . Tìm x không âm, biết
a)
5x ; b) 2x ; c) 2x
.
Bài 1.6 Cho
0a
. Chứng minh:
a) Nếu
a1
thì aa :
b) Nếu a
1
thi
a a
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 4
BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
2
.AA
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Căn thức bậc hai:
Nếu
A
là một biểu thức đại số thì
A
gọi là căn thức bậc hai của
.A
A
xác định (hay có nghĩa) khi
0.A
2. Hằng đẳng thức
2
.AA
Với mọi số
,a
ta có
2
||.aa
2
0
0.
AkhiA
A
AkhiA

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm điều kiện để
A
có nghĩa
1. Phương pháp giải
①
A
có nghĩa
0.A
②
1
A
có nghĩa
0.A
2.
Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 6, tr. 10 SGK). Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a).
;
3
a
b).
4;a
c).
5;a
d).
37.a
Ví dụ 2: (Bài 12, tr. 11 SGK) Tìm
,
x
để mỗi căn thức sau có nghĩa:
a).
27;x
b)
34;x
c)
1
;
1
x
d)
2
1.
x
Ví dụ 3:
Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a).
2
1
;
a
b)
2
1
;
12
a
a
c)
2
1;a
d)
2
4.a
Dạng 2. Tính giá trị biểu thức
1. Phương pháp giải.
Áp dụng:
2
0
0.
AneuA
A
AneuA

2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
(Bài 7, tr. 10 SGK) Tính:
a).

2
0,1 ;
b)

2
0,3 ;
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 5
c).

2
1, 3 ;
d)

2
0,4 0,4 .
Ví dụ 2:
(Bài 11, tr. 11 SGK) Tính:
a).
16. 25 196 : 49;
b).
2
36: 2.3 .18 169;
c).
81;
d).
22
34.
Dạng 3. Rút gọn biểu thức
1. Phương pháp giải:
① Áp dụng
2
0
0
A khi A
AA
A khi A


Xét các trường hợp
0A
,
0A
để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
②
A
xác định ( có nghĩa)
0A
.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
Rút gọn các biểu thức sau:
a).

2
415 15
;
b).

22
23 13
;
c).
743 743; d).
2
49a , với
0a
.
Ví dụ 2.
Rút gọn các biểu thức sau:
a).
2
25 3aa , với
0a
; b).
42
16 6aa ;
c).
63
39 6aa , với
0a
;
d).
22
69 69aa aa , với
33a

.
Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a).
2
4
a
a
, với
0, 4aa
; b).
21
1
aa
a
, với
0, 1aa
;
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức
a)
423A 
b)
8215B 
c)
945C 
d)
713 713D 
e)
625 625E 
f)
1
7 2 10 20 8
2
F 
Hướng dẫn giải
a)

2
423 31 31A 
b)

2
8215 151 151B 
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 6
c)

2
945 2 5 52C 
d)
1
7 13 7 13 14 2 13 14 2 13
2
D 

22
1
13 1 13 1 2
2




e)
625 625 5251 5251E 
22
( 5 1) ( 5 1) | 5 1 | | 5 1 | 5 1 5 1 2
f)

2
11
7 2 10 20 8 5 2 2 5 .2 2
22
F 
522525225235
Dạng 4. Giải phương trình
1. Phương pháp giải:
Phương pháp giải: Áp dụng:
2
AA
;
22
AB
AB
AB


.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Tìm
x
biết:
a).
2
5x ; b).
2
25 10x ;
b).
2
428497xx; c).
10 25 3xx
.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a).
2
4640x 
; b).
4
70x ;
c).
2
921xx; d).
22
44 440xx xx .
Ví dụ 3. Tính cạnh của hình vuông, biết diện tích hình vuông đó bằng diện tích tam giác
vuông có hai cạnh góc vuông là
12,8 m
và
40 m
.
Ví dụ 4. (Bài 16 SGK trang 12) Đố: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “con muỗi nặng
bằng con voi”dưới đây.
Gỉa sử con muỗi nặng
m
(gam), còn con voi nặng
V
(gam).Ta có :
22 22
mV V m
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 7
Cộng cả hai vế với
2mV
, ta có:
2222
22mmVVV mVm
 hay

22
mV V m
Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:
mV V m

Từ đó ta có
22mV
, Suy ra
Vm
. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Dạng 5: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử
1. Phương pháp giải:
ÁP dụng các công thức:

2
A
A
(với
0A
) .

22
A
BABAB .
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
Phân tích thành nhân tử:
a).
2
2x
. b).
2
7x
.
c).
2
215 15xx
. d).
2
4433
x
x
.
Dạng 6: Chứng Minh Bất Đẳng Thức
1. Phương pháp giải.
Áp dụng
Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
và

2
A
A
để biến đổi vế trái thành vế phải hoặc ngược lại.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 13.
Chứng minh:
a).

2
51 625
. b).
625 5 1

.
C. LUYỆN TẬP
Bài 1.
Biểu thức sau xác định với giá trị nào của
x
?
a).
32x
; b).
4
23
x
; c).
2
2
x
;
d).

2xx
e).
2
961
x
x f).
21
2
x
x
g).
2
538xx h).
2
547xx
.
Bài 2. Tính:
a).

2
0,8 0,125 ; b).

6
2 ; c).

2
32
;
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 8
d).

2
22 3 ; e).
2
11
23



; f).

2
0,1 0,1 ;
g).
423
; h).
322
; i).
945
;
j).
16 6 7
.
Bài 3.
Rút gọn biểu thức:
a).
2
2
x
, với
0x
; b).
10
1
2
x
, với
0x
;
c).

2
5a , với
5a
; d).

10
10x , với
10x
;
e).
2
4816xxx , với
4x
;
f).

22
x
yxy
, với 0
x
y
.
Bài 4. Rút gọn biểu thức:
a).

3
,0,9
9
x
xx
x

;
b).

56
,0,9
3
xx
xx
x


;
c).

2
62 96 , 3xxxx
.
Bài 5.
Tìm
x
biết
a).

2
33
x
x
; b).
2
25 20 4 2 5xx x
 ;
c).
2
111
2164
x
xx
; d). 21 11xx x
 ;
e).
2
112 36 5xx ; g).
212xx

.
Bài 6.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
a).
2
11x ; b).
2
22 2xx
;
c).
5
x
(với
0x
) ; d).
2
57
x
(với
0x
) .
e).
34
x
(với
0x
) ;
Bài 7.
Chứng minh đẳng thức:
a).

2
945 52
; b).
945 5 2

;
c).
23 8 7 7 4
;
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 9
d). 422 4224aa aa(với
26a
).
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 10
BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Quy tắc khai phương một tích
Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi
nhân các kết quả với nhau.
Nếu 0, 0AB thì
.
A
BAB
.
2. Quy tắc nhân các căn bậc hai
Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với
nhau rồi khai phương kết quả đó.
Nếu 0, 0AB thì
.
A
BAB
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính
1. Phương pháp giải
Sử dụng các quy tắc khai phương một tích và quy tắc nhân các căn bậc hai
Nếu 0, 0AB thì
.
A
BAB
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:
a).
0,16.81
; b).

2
4
3. 5 ; c).
16,9.250
; d).
24
5.4 .
Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:
a).
5. 80
; b).
2,45. 40. 50
;
c).
0,6. 5, 4
; d).
8,1. 5. 4,5
.
Ví dụ 3. Khai phương tích
13.25.52
được:
a). 2600. b).130. c). 13. d). 260.
Hãy chọn kết quả đúng.
Ví dụ 4. Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính
a).
22
25 24 ; b).
22
26 10 ;
c).
22
137 88 ; d).
22
481 480 .
Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức
1. Phương pháp giải
Áp dụng các quy tắc
.
A
BAB
( 0, 0AB) và
2
AA
để rút gọn biểu thức.
Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 11
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức sau:
a).
2
0, 49a với
0a
;
b).

4
2
62
2
a
a



với
3a
;
c).

2
19.76 2 a với
2a
;
d).

2
22 2
1
. aa b
ab
với
0ab
.
Ví dụ 6. Rút gọn các biểu thức sau:
a).
25
.
518
aa
với
0a
; b).
99
11 .a
a
với
0a
;
c).
21 11 . 44aaa
với
0a
; d).

2
2
40,4.160aa
Ví dụ 7. Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) của các căn thức sau:
a).

2
2
94 20 25
x
x
tại
5x 
;
b).

22
2 2 12 18ab b tại
3, 3ab
.
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức
1. Phương pháp giải
Áp dụng hằng đẳng thức

22
A
BABAB và

2
,0AAA
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: ( Bài 23 SGK trang 15) Chứng minh:
a)

23231
b)

2006 2005
và

2006 2005
là hai số nghịch đảo
Dạng 4. Tìm x thỏa đẳn thức cho trước
1. Phương pháp giải
Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa
A
có nghĩa khi và chỉ khi
0A
Áp sụng tính chất

2
,0AAA
,
2
AA
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 12
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 25 Trang 16 SGK) Tìm
x
biết
a) 16 8x b) 45x
c)

9121x 
d)

2
41 6 0x

Ví dụ 2: Tìm
x
biết
a)
2
25 10x b)
2
412150x

c)
2
15 5 0xx d)
12
31
xx
xx
Dạng 5. So sánh hai số
1. Phương pháp giải
Áp dụng tính chất : Với a 0, 0b và a
22
b
thì
ab
.
- Để chứng minh
ab
(với a0, b0 ) ta chứng
22
minh a b
.
Chú ý
2
(A) A
(với
A0 .
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
(Bài 26, tr. 16 SGK)
a) So sánh
25 9
và
25 9
.
b) Với
0a
và
0b
, chứng
minh ab a b
.
C. LUYỆN TẬP
Bài 3.1.
Tính :
a)
1,2.270; 55.77.35 .
b)
2
( 3 2) ;(3 2 1)(3 2 1);( 6 2)( 3 2)
c)
2
85032
24 6;
3323





Bài 3.2. Thực hiện phép tính
a)
11
2 125 ; 2 1 2 1
85

.
b)
22
1
(2 3) 1162;(3 3)
33
 
.
25 3
2( ) 9
)98
342()
abb
cb
c
cab

toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 13
d)
1
63352 126
2




e)
1
2
ba
ab ab
abab





.
g)
2
22
2
am n ab a m n
mn a b
bmn b n m





.
Bài 3.3. Rút gọn rồi tính
a)
22
21,8 18,2 ; b)
22
6,8 3,2 ; c)
22
146,5 109.5 27 256
Bài 3.4. Rút gọn biểu thức
a)
15 6
35 14
; b)
10 15
812
c)
x
xy
yxy
d)
1
aab bba
ab

e)
215 210 6 3
2521036


f)
236816
234


Bài 3.5. Rút gọn biểu thức
a)
2
9(3 )a
voi
3a
: b)
22
(2)aa
vei
0a
.
Bài 3.6. Chứng minh đẳng thức
a)
9179178
; b)
12
(15 2 6) 201
526 526





Bài 3.7. Tìm
x
biết
a)
915x
; b)
2
48x
c) 4( 1) 8x  ;
d)
2
9(2 3 ) 6 :x
e)
2
420xx
.
Bài 3.8. Tìm
x,y
biết :
11
4
x
y
xy

Bài 3.9. So sánh các số :
a)
72
và 1 ;
b) 85 và 76 ;
c)
2005 2007
và
22006
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 14
Bài 3.10. Cho 0, 0, 0abc. Chứng minh rang :
a)
2
ab
ab
(bất đang thức Côsi) ;
b) abc ab bc ca ;
c)
1
2
ab a b

.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 15
BÀI 4 . LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Quy tắc phép khai phương của một phương
Muốn khai phương một thương
a
b
, trong đó số
a
không âm và số
b
dương, ta có thể khai
phương lần
lượt số
a
và số
b
, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai
AA
B
B
( với
0, 0AB)
2. Quy tắc phép chia căn bậc hai
Muốn chia căn bậc hai của số
a
không âm cho căn bậc hai của số
b
dương, ta có thể chia số
a
cho
số
b
rồi khai phương kết quả đó
AA
B
B
( với 0, 0AB)
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Thực hiện phép tính
1. Phương pháp giải
Sử dụng các quy tắc khai phương một thương và quy tắc chia hai căn bậc hai để tính
0, 0AB thì
AA
B
B
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
( Bài 28, tr. 18 SGK) Tính :
a).
289
225
. b).
14
2
25
. c).
0, 25
9
. d)
8,1
1, 6
.
Ví dụ 2.
( Bài 29, tr. 19 SGK) Tính :
a).
2
18
b).
15
735
.
c).
12500
500
. d).
5
35
6
2.3
.
Ví dụ 3.
( Bài 32, tr. 19 SGK) Tính :
a).
94
1.5.0,01
16 5
. b)
1,44.1,21 1, 44.0,4
.
c).
22
165 124
164
. d)
22
22
149 76
457 384
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 16
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
1. Phương pháp giải
Áp dụng phép khai phương một thương:
AA
B
B
( 0, 0AB)
Áp dụng
2
,0
,0
AkhiA
AA
AkhiA


.
Xét các trường hợp 0, 0AAđể bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
( Bài 30, tr. 19 SGK) Rút gọn các biểu thức sau:
a).
2
4
yx
x
y
với
0, 0xy
. b).
4
2
2
2
4
x
y
y
với 0y .
c).
2
6
25
5
x
xy
y
với
0, 0xy
. d)
33
48
16
0,2xy
x
y
với
0, 0xy
.
Ví dụ 2. ( Bài 34, tr. 19 SGK) Rút gọn các biểu thức sau:
a).
2
24
3
ab
ab
với
0, b 0a . b).

2
27 3
48
a
với
3a
.
c).
2
2
912 4aa
b

với 0, 1,5ba. d).


2
ab
ab
ab
với
0ab
.
Dạng 3. Giải phương trình
1. Phương pháp giải
Áp dụng:

0, 0 .
AA
AB
B
B

2
;
A
B
AAAB
A
B


(với
0B
).
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
(Bài 33, tr. 19 SGK) Giải phương trình:
a).
2. 50 0;x 
c).
2
3. 12 0;x
b).
2. 8 0;x 
d).
2
20 0.
5
x
Ví dụ 2: (Bài 35, tr. 20 SGK)
Tìm
,
x
biết:
a).

2
39;x 
b).
2
4416.xx

Ví dụ 3:
(Bài 37, tr. 20 SGK)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 17
Đố. Trên lưới ô vuông, mỗi ô vuông cạnh
1,cm
cho 4 điểm
,,,MNPQ
(H.3).
Hãy xác định số đo cạnh, đường chéo và diện tích của tứ giác
.MNPQ
Dạng 4. Chứng minh bất đẳng thức
1. Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng.
Bất đẳng thức đúng thường có dạng
2
0.
A
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 31, tr. 19 SGK)
a). So sánh
25 16
và
25 16;
b). Chứng minh rằng, với
0ab
thì
.ab ab
Ví dụ 2: (Bài 36, tr. 20 SGK) Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
a).
0,01 0,0001;
b).
0,5 0,25;
c).
39 7
và
39 6;
d).
 
413.23.41323.xx
C. LUYỆN TẬP
Bài 4.1 Tính
a).
7
2;
81
và
6
;
150
b).
()
57 75:35;+
c).
()
28 33 1: 6.-+
Bài 4.2 Tính
11 3 2 4 1
4,5 50 :
22 2 5 158
æö
÷
ç
÷
ç
-+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài 4.3 Rút gọn biểu thức
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 18
a).
(
)
2
;
xx yy
x
y
xy
+
--
+
b).
()
21
,0
21
xx
x
xx
-+
³
++
c).
()
()
()
2
4
21
1
. , 1, 1, 0
1
1
yy
x
xyy
y
x
-+
-
¹¹>
-
-
.
Bài 4.4.
Rút gọn và tính:
a).
2aabb
A
ab

(với
0ab
) tại 36; 25.ab
b).
33
:
3
xx
B
x
x

(với
3x
) tại
81.x
c).


4
2
2
5
25
(4)
4
4
x
x
Cx
x
x

, tại
3.x
d).
32
3
327 (0)
3
xx
Mx x
x

, tại
3.x
Bài 4.5 Giải phương trình
a).
41
3
1
x
x
; b).
41
3
1
x
x
;
c).
2
49 98 14 3 2 8
49
x
xx

; d).
15 1
25 25 6 1
29
x
x
x

Bài 4.6
a).
Cho
0.a
Chứng minh
1
2;a
a

b). Cho 0, 0.ab Chứng minh ;
22
ab a b
c). Cho ,0.ab Chứng minh
;
ab
ab
ba

d). Chứng minh
2
2
2
2
1
x
x
với mọi
.
x
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 19
BÀI 5. BẢNG CĂN BẬC HAI
Theo sách giáo khoa, giới thiệu học sinh biết cách sử dụng “ bảng với 4 chữ số thập phân”. Tuy
nhiên, ngày nay với sự phát triển của máy tính cầm tay, việt tìm căn bậc hai của một số ( số
nguyên dương, số thập phân,…) trở nên nhẹ nhàng. Trong nội dung bài này, sẽ giới thiệu cho
học sinh sâu hơn ứng dụng của máy tính cầm tay
1. Tìm căn bậc hai của một số
Tính
3,12
và làm tròn với 2 chữ số thập phân
Hướng dẫn thực hành
Sử dung dòng máy 580VN X
Tiếp tục ấn
SD
ta được kết quả
Bây giờ muốn làm tròn số với 2 chữ số thập phân ta ấn như sau
SHIFT SETUP 3 1 2
ta được kết quả như sau
2. Kiểm tra kết quả sau khi rút gọn biểu thức đã đúng hay chưa ?
Vi dụ : Rút gọn biểu thức
67195
;0,9
9
12 4
xx x x x x
Axx
x
xx x x



.
Hướng dẫn thực hành
Giả sử sau khi thực hiện các phép biến đổi, ta đưa A về được
1
3
x
A
x
Như vậy ta tiến hành kiểm tra như sau
Bước 1: Nhập biểu thức đề bài ban đầu
67195
9
12 4



xx x x x x
x
xx x x
Ấn
CALC 4
ta được kết quả là: -1
Bước 2 : Thử x= 2 vào biểu thức
1
3
x
x
ta được kết quả là -1
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 20
Như vậy : Việc rút gọn đến biểu thức
1
3
x
A
x
ta chấp nhận được.
3. Sử dụng chức năng
để tính giá trị của biểu thức
Ví dụ : Cho
11 1 1
...
12 23 34 120121
A 

và
11
1 ...
235
B 
.
Chứng minh rằng
BA
.
Hướng dẫn thực hành
Bước 1: Tính
11 1 1
...
12 23 34 120121
A 

Bằng cách nhập
120
1
1
1




x
xx
và ấn phím
ta được kết quả
Bước 2: Tương tự ta tính
11
1 ...
235
 B
ta được kết quả
Vậy
BA
4. Sử dụng MTCT hỗ trợ giải toán Trắc nghiệm có chưa căn thức
Ví dụ 1. Cho
625 625; 3 AB
. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
22
21AB
. B.
22
23AB
. C.
22
1AB
. D.
22
15AB
.
Lời giải.
Cách 1: Giải tự luận
22
6 25 6 25 (5 1) (5 1) A
|51||51| 51 5125
Do đó
22 2 2
(2 5) ( 3) 20 3 23 AB
suy ra đáp án A sai, B đúng. Lại có
22 2 2
(2 5) ( 3) 17 AB
suy ra đáp án C, D sai.
Cách 2: Sử dụng MTCT
Bước 1: Lưu
625 625 ;3 AB
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 21
Bước 2: Thử các phương án
Nhận thấy Đáp án A đúng
Ví dụ 2. Cho
11
3535
A 

. Nghiệm của phương trình
230Ax 
là
A.
1x
. B.
1x 
. C.
2x
. D.
2x 
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Tự luận
11
3535
A 


35 35
3535 3535


 

3535
3535


6
95
3
2
.
Khi đó:
230Ax 
3
2. . 3 0
2
x
330x 1x
.
Cách 2: Ta có thể giải bài toán bằng cách sử dụng máy tính Casio (fx -
580VNX
hoặc máy tính
có chức năng tương tự) như sau:
Từ phương trình
230Ax
suy ra
3
2
x
A
. Ta lưu
11
3535

vào A
Với
3
2
x
ta thay vào phương trình
230Ax
thì nhận được két quả là
1
.
Ví dụ 3. Cho
33
52 52a 
. Đáp án nào sau đây là đúng?
A.
3
34
aa

. B.
4
76
aa

. C.
3
34
aa

. D.
4
76
aa

.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 22
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức:
 
3
33
3
A
BABABAB

, ta có:
333
3
33 3 3 3333
52 52 52 52 3. 52. 52. 52 52a  
3
52 52 3. 52. 52.a
43a
3
34aa.
Cách 2: Sử dụng máy tính nhập biểu thức
33
52 52
được kết quả bằng
1
.
Tiếp theo thử từng đáp án.
Đáp án

3
13.1 24A  . Đáp án
4
17.18 6B
.
Đáp án

3
13.14C . Đáp án
4
17.1 66D
 .
Suy ra đáp án
C
đúng.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 23
BÀI 6 . BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với
0B
ta có
ì
ï
³
ï
ï
==
í
ï
-<
ï
ï
î
2
neáu A 0
neáu 0.
AB
AB A B
AB A
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
Với
0, 0AB³³
thì
2
.
A
BAB=
Với
0, 0AB<³
thì
2
.
A
BAB=-
B. CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn và đưa thừa số vào trong dấu căn
1. Phương pháp giải
① Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Tìm cách đưa biểu thức trong căn về dạng tích
2
A
B .
Thực hiện việc đưa thừa số ra ngoài dấu căn bằng cách áp dụng
2
A
BAB=
(với
0B ³ ).
② Đưa thừa số vào trong dấu căn:
Chú ý đến dấu của thừa số trước dấu căn.
Nếu 0A ³ thì
2
.
A
BAB=
Nếu
0A <
thì
2
.
A
BAB=-
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
( Bài 43, tr. 27 SGK) Viết các số hoặc biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích một
cách thích hợp rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn :
a).
54
. b).
108
. c).
0,1 2000
.
d)
0,05 28800
. e).
2
7.63.a
Ví dụ 2.
( Bài 44, tr. 27 SGK) Đưa thừa số vào trong dấu căn (với
x0>
và
0y ³
):
a).
35
. b).
52
. c).
2
3
x
y
. d).
2
x
x
.
Dạng 2: So Sánh Phân Số
1. Phương pháp giải
① Sử dụng đưa thừa số vào trong dấu căn hoặc ra ngoài dấu căn và chú ý rằng:
Nếu
0 AB<<
thì
AC BC<
(với
0C >
).
② Sử dụng đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh các số trong dấu căn.
Nếu
0 AB<<
thì
.
A
B<
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 24
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
( Bài 45, tr. 27 SGK) So sánh :
a)
33
và
12
. b)
7
và
35
.
c)
1
51
3
và
1
150
5
. d)
1
6
2
và
1
6
2
.
Dạng 3. Rút gọn biểu thức
1. Phương pháp giải:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi rút gọn các căn thức đồng dạng
()
p
AqArA pqr A
.
Ví dụ 1. ( Bài 46 SGK Trang 27) Rút gọn các biểu thức sau với
0x
:
a).
23 43 27 33
x
xx
b).
32 58 718 28xx x

.
Ví dụ 2.
( Bài 47 SGK Trang 27) Rút gọn
a).
2
22
23()
2
xy
xy
với
0, 0 và
x
yxy
.
b).

22
2
5144
21
aaa
a

với
a > 0,5.
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
45 245 80M 
58 50 218N 
125 4 45 3 20 80P 
12 27 48A 
23 327 300B 
(2 3 5 27 4 12): 3C 
Hướng dẫn giải
2
45 245 4 .5M 
22 2
3.5754.5
35 75 45 65
58 50 218N 
5.2 2 5 2 2.3 2
10 2 5 2 6 2
(10 5 6) 2 9 2



551256545P  
55
12 27 48
23 33 43
3
A 

22
23 327 300
2 3 3 3 .3 10 .3
B 

23 3.3.3 103
3

(2 3 5 27 4 12): 3
(2 3 5.3 3 4.2 3) : 3
53: 3 5
C 

 
Nhận xét: Đây là một dạng toán dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để kiểm tra kết quả, đa phần
áp dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán.
2
AB A B
(
0
B
)
C. LUYỆN TẬP
Bài 6.1.
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 25
a).
96.125
. b).
45
ab .
c).
611
ab . d).

4
3
11aaa
.
Bài 6.2.
Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a).
13x
với
0x
.
b).
2
x
với
0x
.
c).
11
x
x
với
0x
.
Bài 6.3. So sánh các cặp số:
a). 47 và 313. b).
1
82
4
và
1
6
7
.
Bài 6.4 Rút gọn các biểu thức
a).
50 32 3 8
;
b).
25 2 160 3 10aaa
với
0a
.
c).

27 3 7 84
.
d).

63 8 7 7 2 14
.
Bài 6.5 Khai triển và rút gọn biểu thức (với
0; 0xy
)
a).

212 21xxx
.
b).

224
x
yx xy y
.
c).

2
x
yxy
Bài 6.6
Chứng minh rằng:
a).
22
2
xy yx y x
x
y
xy


với
0, 0xy
.
b).
2
25 25 5 5xx x
với
5x
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 26
BÀI 7. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
Với ,
A
B mà
0AB
và 0,B ta có:
2
.
A
AB AB
BB B

2. Trục căn thức ở mẫu:
Với
0B
, ta có ;
AAB
B
B
Với
0A
và
2
,AB
ta có:
2
;
CAB
C
AB
AB
Với 0; 0AB và ,
A
B ta có:
.
CA B
C
AB
AB
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
1. Phương pháp giải
Bằng cách nhân tử và mẫu của biểu thức trong căn cho mẫu số rồi rút mẫu ra ngoài căn
bằng công thức:
2
A
AB AB
BB B

( Với ,
A
B mà
0AB
và 0).B
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
(Bài 48, 49 tr.
19
SGK). Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a).

2
13
11135
;;;; .
600 540 50 98 27
b).
;
a
ab
b
;
ab
ba
2
11
;
bb
3
9
;
36
a
b
2
3.xy
x
y
(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).
Dạng 2. Trục căn ở mẫu
1. Phương pháp giải
Áp dụng
①. ;
AAB
B
B
②.
2
;
ABC
A
BC
BC
③.

.
AB C
A
BC
BC
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 27
Nhận xét. Ta gọi
BC
và
BC
là hai biểu thức liên hợp.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
(Bài 50, 51, 52 tr.30 SGK). Trục căn ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có
nghĩa.
a).
5
;
10
5
;
25
1
;
320
22 2
;
52
yby
by
với 0; 0.by
b).
3
;
31
2
;
31
23
;
23
3
b
b
với 0;b
21
p
p
với
1
0, .
4
pp
c).
2
;
65
3
;
10 7
1
x
y
với
0, 0, ;
x
yxy
2ab
ab
với 0, 0, .abab
Dạng 3. Rút gọn biểu thức
1. Phương pháp giải
Thực hiện các phép biến đổi căn thức:
①.
2
.
A
A
②.
A
AB
BB
(với
0, 0AB
).
③.
2
A
BAB
(với
0B
).
.
④

A
BC
A
BC
BC
(
0, 0,
B
CBC
).
.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
(Bài 53, tr. 30 SGK) Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức chữ đều có
nghĩa):
a).

2
18 2 3 ;
c)
34
;
aa
bb
b).
22
1
1;
ab
ab
d)
.
aab
ab
Ví dụ 2: (Bài 54, tr. 30 SGK) Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức chữ đều có
nghĩa):
2
22155236
;;;;.
1213 821 2
p
p
aa
ap


Bài tập bổ sung
a).
11 6 2 ;
e).
21
21
xx
xx
(với
0x
).
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 28
b).
52
;
35 32
c).
13 2 4 6
;
24 4 3
d).
614
;
23 28
g).
23
;
2
f).
236816
;
234


h).
815
.
30 2
Dạng 4. Phân tích thành nhân tử
1. Phương pháp giải
Áp dụng:
①

2
A
A
(với
0A
).
②
2
A
BAB
(với
0B
).
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
(Bài 55, tr. 30 SGK) Phân tích thành nhân tử (với
,,,abx y
là các số không âm).
a).
1;ab b a a
b).
332 2
.
x
yxyxy
Bài tập bổ sung:
a).
1236;
b).
6551033.
Dạng 5. So sánh các số
1. Phương pháp giải
Đưa thừa số vào trong căn rồi so sánh các số trong căn.
0.
A
BAB
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
(Bài 56, tr. 30 SGK) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần
a).
3 5,2 6, 29,4 2;
b).
62, 38,37,214.
Bài tập bổ sung: So sánh
a).
33
và
12;
b).
20
và
35;
c).
1
54
3
và
1
150;
5
d).
30 29
và
29 28;
Dạng 6. Giải phương trình
1. Phương pháp giải
① Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa:
A
có nghĩa
0A
.
② Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
2
AB A B
.
③ Rút gọn các căn thức đồng dạng.
④ Biến đổi phương trình về dạng:
2
A
BAB

toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 29
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
Giải phương trình:
a).
1
18 9 3 4 12 9
2
xx x ;
b).
25 50 16 32 9 18 12 4 2xxx x  
.
Ví dụ 2.
(Bài 57 trang 30 SGK)
50 32 6xx
khi
x
bằng:
A. 36; B. 18; C. 72; D. 19.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
C. LUYỆN TẬP
Bài 1.
Khử mẫu các biểu thức dưới dấu căn rồi thực hiện phép tính:
311
2
20 60 15

.
Bài 2. Trục căn ở mẫu:
a).
9
3
b).
3
52
;
c).
21
21
; d).
53
53
e).
1
1
aa
a
; f).
1
18 8 2 2
.
g).
2
;
123
h).
1
325
Bài 3.
Rút gọn biểu thức:
a).
11
743 743
A 

; b).
15 4 12
6
61 62 3 6
B 

.
Bài 4.
Chứng minh đẳng thức:
a).
2
1 (a 0,b 0,a 0);
abb
ab
ab ab


b).



22
2
0
2
ab b ab b ab
abbab
ab
aa b b



Bài 5.
Giải phương trình:
a).
13 1
19924 17;
22 64
x
xx

b).
37 40;xx
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 30
c).
57 120;xx
Bài 6.
Xét biểu thức:
2
2
1
1
aaaa
A
aa a



a). Rút gọn
A
;
b). Biết
a1
, hãy so sánh
A
và
A
;
c). Tìm a để
2
A
;
d). Tìm giá trị nhỏ nhất của
A
.
Bài 7. Xét biểu thức:
2
33
1: 1
1
1
Ba
a
a







a). Rút gọn
B
;
b). Tìm giá trị của
B
nếu
3
;
23
a
c). Với giá trị nào của a thì
BB
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 31
BÀI 8. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Rút gọn biểu thức:
Để thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức ta sử dụng các phép biến đổi đơn giản như:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn,.
Đưa thừa số vào trong dấu căn.
Khử căn ở mẫu và trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một
biểu thức dưới dấu căn (căn đồng dạng).
Cộng trừ các căn thức đồng dạng:
.pA qA rA m p q r A m

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Rút gọn các biểu thức
1. Phương pháp giải
Thực hiện các phép biến đổi đơn giản của căn thức bậc hai để làm xuất hiện căn thức
đồng dạng.
Cộng, trừ các căn thức đồng dạng.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1
. (Bài 58, tr. 32 SGK) Rút gọn các biểu thức sau:
a).
11
5205
52

; b).
1
4,5 12,5
2

;
c).
20 45 3 18 72
; d). 0,1 200 2 0,08 0,4 50.
Ví dụ 2.
(Bài 59, tr.32 SGK) Rút gọn biểu thức sau (với 0, 0ab);
a).
32
5425516 29ab a ab a
b).
333 3
564 312 2 9 581.aab ab ababbab
Ví dụ 3.(Bài 60, tr. 33 SGK) Cho biểu thức:
16 16 9 9 4 4 1Bx x x x
 với
1.x 
a). Rút gọn biểu thức
B
;
b). Tìm
x
sao cho
B
có giá trị bằng
16
.
Ví dụ 4.(Bài 62, tr. 33 SGK) Rút gọn biểu thức sau:
a).
1331
48 2 75 5 1 ;
23
11

b).
2
150 1,6 60 4,5 2 6
3

;
c).

28 2 3 7 7 84
; d).
2
65 120
Ví dụ 5.
(Bài 63, tr. 33 SGK)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 32
a).
aab
ab
bba

với
0a
và
0b
;
b).
2
2
48 4
.
12 81
m m mx mx
xx


với
0m
và
1
x
.
Ví dụ 6. (Bài 65, tr. 34 SGK) Rút gọn rồi so sánh giá trị của
M
với
1
, biết:
11 1
:
121
a
M
aa a a a





với
0a
và
1a
.
Ví dụ 7.(Bài 66, tr. 34 SGK) Giá trị của biểu thức
11
2323

bằng:
A).
1
2
;
B).
1
; C).
4
; D).
4
.
Chọn câu trả lời đúng.
Ví dụ 8. Cho
29 321
56 23
xxx
B
x
xx x



a). Xác định
x
để cho
B
có nghĩa;
b). Rút gọn
B
;
c). Tìm
x
để
1B
;
d). Tìm
x
nguyên để
B
là số nguyên.
Dạng 2: Chứng Minh Đẳng Thức
1. Phương pháp giải:
Thực hiện các phép biến đổi căn thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi vế trái
bằng vế phải hoặc vế phải bằng vế trái của đẳng thức.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
(Bài 61 Trang 33 SGK) Chứng minh các đẳng thức sau:
a).
3236
62 4
2326

.
b).
62 1
6:6 2
33
x
xxx
x





với
0x
.
Ví dụ 2: (Bài 64 Trang 33 SGK) Chứng minh các đẳng thức sau:
a).
2
11
1
1
1
aa a
a
a
a






với a
0
và
1a
.
b).
24
22 2
2
ab ab
a
baabb

với
0ab
và
0b
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 33
Dạng 3. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
1. Phương pháp giải:
Thực hiện các phép biến đổi căn để biến đổi biểu thức không còn chứa biến.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a :
2
2
11 11
.1
1
22 22
a
aa
aa








với 0, 1aa.
C. LUYỆN TẬP
Bài 8.1
Rút gọn biểu thức:
a).
3
1
3 2 18 4 128
24
a
aa a

(
với
0a
)
b).
32
1
2
a
yx y x x x xy
xy axay


( với 0xy)
c).
ab ab
ab ab


(với
0, 0,abab)
Bài 8.2 Rút gọn biểu thức:
a).
21 2 21
222 2 2



b).
25 25
235 235

 
Bài 8.3
Tìm x, biết:
a).
11
2 9 27 25 75 49 147 20;
57
xxx
b).
3527
1;
23
xx
x


c).
22
22
15125125
945 16803 9;
12 16 4 9
xx
xx

 
d).
4,5 50 32 72 5 12 0.
2
x
xxxx

Bài 8.4
Chưng minh dăng thưc :
a)
22 22 4 2
42
22 22
1;
ax ax a a
x
x
ax ax



với ||||ax
b)
22
526 526
46
32 32







toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 34
c)
2
:( ) 1 ( 0, 0, )
xx yy
x
yxy xyxy
xy





Bài 8.5
Cho biểu thức:
12 25
4
22
x
xx
A
x
xx



a). Rút gọn A nếu
0x
và
4x
;
b). Tìm x để
2A
.
Bài 8.6 Cho biểu thức:
22 22 22
1:
aab
B
ab ab a ab





với
0.ab
a). Rút gọn B;
b). Tính B nếu
3
2
a
b
;
c). Tìm điều kiện của
,ab
để
1
B
Bài 8.7 Cho biểu thức:

2
1
22
.
12
21
x
xx
C
x
xx







a). Rút gọn C nếu
0, 1;xx
b). Tìm
x
để C dương;
c). Tìm giá trị lớn nhất của C.
Bài 8.8 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

2
2
.
2
x
yxy y
x
xy
x
yyx
xy






với
0, 0, .
x
yxy
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 35
BÀI 9. CĂN BẬC BA
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Căn bậc ba của một số a là số
x
sao cho
3
.
x
a
Mỗi số
a đều có duy nhất một căn bậc ba.
2. Tính chất

3
3
;aa
3
3
.aa
33
.ab a b
333
;ab a b
3
3
3
.( 0)
aa
b
b
b

Với
0; 0ab. Ta có
ab a b
.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính
1. Phương pháp giải
Áp dụng

3
33
3
;.aa aa
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1
: (Bài 67, tr 36 SGK) Hãy tìm
33
33 3
512; 729; 0,064; 0,216; 0,008.
Ví dụ 2:
(Bài 68, tr. 36 SGK) Tính:
a).
333
27 8 125;
b).
3
3
3
3
135
54. 4.
5
Ví dụ 3:
Thực hiện phép tính
a).

33
33 3
96432A 
b).
33
25 25.B 
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức
1. Phương pháp giải.
biến đổi hai vế của đẳng thức cùng bằng một biểu thức.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng nếu:
333
ax by cz
và
111
1
x
yz

thì
222
333
3
.ax by cz a b c
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 36
Dạng 3. So sánh hai số
1. Phương pháp giải
Đưa thừa số vào căn bậc ba rồi so sánh hai số trong căn:
3
3
3
A
BAB .
33
A
BAB
.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 2.
So sánh
a).
6
và
3
215
. b).
3
45
và
3
54
.
Dạng 4. Giải phương trình
1. Phương pháp giải
Áp dụng:
3
3
A
BAB
.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
Giải các phương trình
a).
3
212x . b).
3
12 2x
 .
c).
3
22
x
x
.
C. LUYỆN TẬP
Bài 9.1 Thực hiện phép tính
a).
33
3
1
18 3
2

. b).

33
21322; 423 31

.
c).
33
3
11
2164
24




. d).
33
33
111
9233 :2
233





.
e).

33
33 3
96432
.
Bài 9.2
Thực hiện phép tính
333
64 125 216
a).

33
33
41 41
b).

333
3
3
1
12 2 16 2 2 5 4 3
2





.
Bài 9.3 (Dạng 1).
Cho
33
2
22 2 4
x =
++
và
33
6
22 2 4
y =
-+
. Tính
33
x
yxy-
.
Bài 9.4 (Dạng 1). Trục căn ở mẫu số biểu diễn
3
33
1
16 12 9++
Bài 9.5. (Dạng 3 ) So Sánh:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 37
a).
3
23 và
3
23
; b).
33
và
3
3133
.
Bài 9.6. (Dạng 2) Chứng minh đẳng thức:


222
333
33 3
33 33
1
3.
2
xyz xyz x y z x y y z z x

Từ đó suy ra bất đẳng thức Cô-si cho
3
số không âm
,,:
x
yz
3
.
3
xyz
x
yz
Bài 9.7. (Dạng 4). Giải phương trình:
a).
3
32
93xxx; b).
3
55.xx

toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 38
ÔN TẬP CHƯƠNG I
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Các công thức biến đổi căn thức
1).
2
.
A
A
2).
.
A
BAB
(Với
0A
và
0B
).
3).
AA
B
B
(Với
0A
và
0B
).
4).
2
A
BAB
(Với
0B
).
5).
2
A
BAB
(Với
0A
và
0B
).
2
A
BAB
(Với
0A
và
0B
).
6).
1A
A
B
BB
(Với
0AB
và
0B
).
7).
AAB
B
B
(Với
0B
).
8).
2
CAB
C
AB
AB
(Với
0A
và
2
AB
).
9).
CA B
C
AB
AB
(Với
0A
,
0B
và
A
B
).
B. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
Bài 70.
Tìm giá trị của các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
a).
25 16 196
..
81 49 9
; b).
11434
3.2.2
16 25 81
;
c).
640. 34,3
567
; d).
22
21,6. 810. 11 5 .
Bài 71.
Rút gọn các biểu thức sau:
a).

83.2 10 2 5
;
b).


2
2
0, 2 10 .3 2 3 5 ;
c).
11 3 4 1
2 200 :
22 2 5 8





;
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 39
d).

 
2
24
223 2.351 .
Bài 72.
Phân tích thành nhân tử (với x, y,a,b không âm và ab ).
a).
--1;
x
yx y y
b).
--1;
x
yyx x
c).
--;ax by bx ay
d).
22
-;ab a b
e).
22
-- - ;ab a b
f).
12- - .
x
x
Bài 73.
Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a).
2
99124,aaa
tại
9;a
b).
2
4961
x
xx
tại
-3;x
c).
2
961
5
13
x
x
x
x

với
-3;x
d).
2
3
144,
2
m
mm
m

tại
1, 5 .m
Bài 74. Tìm
,
x
biết:
a).

2
21 3;x 
b).
2
91244;xx
c).
51
15 15 2 15 ;
33
x
xx
d).
3- - 27 -9 1,25 48-16 6.xx x
Bài 75.
Chứng minh các đẳng thức
a).
23 6 216 1
1, 5;
3
82 6





b).
14 7 15 5 1
:2;
12 13 7 5







c).
1
:
ab ba
ab
ab a b

với
0, 0, ;abab
d).
11 1
11
aa aa
a
aa







với
0, 1.aa
Bài 76. Cho biểu thức:
22 22 22
1:
aab
Q
ab ab a ab





với
0.ab
a). Rút gọn
Q
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 40
b). Xác định gía trị của
Q
khi
3.ab
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1:
Cho biểu thức
()
210 21
0; 9
632
xx x
Qxx
xx x x
+- -
=--³¹
-- - +
1. Rút gọn biểu thức
Q
2. Tính giá trị của
Q
khi
16
x
=
3. Tìm giá trị của
x
khi
1
3
Q =
4. Tìm giá trị của
x
sao cho
1
9
Q >
5. Tìm giá trị lớn nhất của
Q
.
Bài 2: Cho biểu thức
33 5
3223
13 2 3
x
xx
P
xxxx



.
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị của P, biết
423x 
;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 3: Cho biểu thức
12 5 2 3
:
4
22 44







x
xx xx
Q
x
xx xx
a) Rút gọn Q;
b) Tìm x để
2Q
;
c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm.
Bài 4:
Cho biểu thức
32
9
33
aa
B
a
aa


với
0; 9aa
a) Rút gọn B.
b) Tìm các số nguyên
a
để B nhận giá trị nguyên
Bài 5: Cho biểu thức
2
21122
1



x
xx xx
A
x
xxxxxxx
( Với
0, 1
x
x
)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức
329
23 6
x
xx
P
xxxx
-- -
=+-
-++-
với
0; 4
x
x³¹
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 41
a) Rút gọn P
b) Tìm
x
để
7
12
P =
c) Tìm
x
để
1
2
P >
d) Tìm tất cả các giá trị nguyên của
x
để
1
P
nhận giá trị nguyên.
e) Tìm tất cả các giá trị hữu tỷ của của
x
để P nhận giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức
111
1:
x
x
P
x
xxx









, (với
0
x
và
1
x
).
a) Rút gọn biểu thức
P
.
b) Tính giá trị của biểu thức
P
tại
2022 4 2018 2022 4 2018x 
.
Bài 8: Cho hai biểu thức
2
5
x
A
x
và
3202
25
5
x
B
x
x

với
0, 25xx.
a) Tính giá trị biểu thức
A
khi
9x
.
b) Chứng minh rằng
1
5
B
x
.
c) Tìm tất cả các giá trị của
x
để
.4ABx
.
Bài 9: Cho biểu thức
(
)
24
8
34 1 4
x
x
B
xx x x
+
=+-
-- + -
với
0; 16
x
x³¹
a) Rút gọn B.
b) Tìm giá trị của
x
để 1
B
=
c) Tính giá trị của
x
sao cho B không vượt quá
3
2
d) Tìm giá trị của B khi
x
thỏa mãn đẳng thức
21
x
x-=
e) Tìm
x
để giá trị của B là một số nguyên.
Bài 10: Cho biểu thức
22 1 1
1:
111
xx x
P
xx x x x
æö
+- -
÷
ç
÷
=-+
ç
÷
ç
÷
ç
+-++
èø
với
0
x
>
a) Rút gọn
P
b) Tính giá trị của
P
biết
743x =-
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 42
c) Tìm
x
để
21Px=-
d) Tìm
m
để có giá trị
x
thoả mãn
Pm=
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
Bài 11: Cho biểu thức
23 2
1:
132 6
xx x x
P
xx xxx
æöæ ö
+- -
÷÷
çç
÷÷
=- + +
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
++-+-
èøè ø
với
0; 4
x
x³¹
a) Rút gọn
P
b) Tính giá trị của
P
biết
35
2
x
-
=
c) Tìm
x
ZÎ
để
PZÎ
d) So sánh
P
với 1
e) Tìm các giá trị của
x
để
3Px=-
.
Bài 12: Cho biểu thức:
1
1
x
A
x
-
=
+
với 0
x
³
a) Khi
625x =-
tính giá trị biểu thức
A
b) Rút gọn biểu thức
15 2 1
:
25
55
xx
B
x
xx
æö
-+
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
-
+-
èø
với 0; 5
x
x³¹
c) Tìm
x
để biểu thức
M
BA=- nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
D. LUYỆN TẬP
Câu 1.
Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức
44 44Ax x x x=+ -+- -
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
.
1
B
xx
=
-+
Câu 3. Tìm
x
nguyên để biểu thức
1
3
x
x
+
-
nhận giá trị nguyên
Câu 4. Cho biểu thức
()
21 1
,0,1
111
xxxx
Cxxx
xx x x x
æöæö
++
÷÷
çç
÷÷
çç
=- -³¹
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
-+++
èøèø
a). Rút gọn C.
b). Tìm
x
để
3C =
Câu 5. Tìm
,,
x
yz
thỏa
()
1
12
2
x
yz xyz+-+-= ++
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 43
Câu 6. Cho a0,b0,c0thỏa
abc a b c
(1). Xác định tất cả các giá trị của
,,abc
Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a).
22
16 9 9 12 4Axxxx
b).
22 2
B= 2 1 4 4 6 9xx xx xx  
Câu 8.
Tính: 1162 1162 bằng hai cách.
Câu 9. Rút gọn:
a). 241241
A
xx xx Với
11
42
x
.
b).
53 20 4 9 4 2
Câu 10.
a) Cbo a, b, e, d không âm, chứng minh rằng:
()() acbd ab ad
b) Cho
ac,bc0
. Chứng minh:
() () ca c cb c ab
Câu 11. Tính giá trị của biểu thức
12 12
112 112


xx
A
x
x
với
3
4
x
Câu 12. Tính tổng :
11 1
T
1 2 2 3 99 100


.
Câu 13. Cho
2
Ax 3 y2y x
a) Phân tích A thành nhân tử ;
b) Tính giá trị của biểu thức
A
với
11
x,y
52 945


.
Câu 14. Cho các số dương
x,y,z
thỏa mãn
1

x
yyzzx
. Tính tổng
22 22 2 2
222
11 11 11
111



y
zzxxy
Sx y z
xyz
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 44
CHƢƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT
BÀI 1 . NHẮC LẠI, BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Khái niệm hàm số.
Nng
y
ph thu  i
x
sao cho vi m   ca
x
, ta
  c m  m ng ca
y
y
g   ca
x
(
x
g n s).
Ta vit :
y f x
,
y g x

 c
fx
t m
0
x
 
0
fx
.
Tập xác định
D
c
fx
p h ca
x
sao cho
fx

Khi
x
 
y
 n m     
y f x
g hàm
hằng.
2. Đồ thị của hàm số.
th c
y f x
p hp tt c m
;M x y
trong mt phng t
Oxy
sao
cho
, xy
th thc
y f x
.
3. Hàm số đồng biến, nghịch biến.

y f x
 p
D
  :
-  đồng biến 
1 2 1 2 1 2
" , : "D x x D x x f x f x
.
-  nghịch biến 
1 2 1 2 1 2
" , : "D x x D x x f x f x
.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1 . Tính giá trị của hàm số tại một điểm.
Phương pháp giải :  
0
y
c
y f x
t m
0
x
ta thay
0
xx

fx
,
c
00
y f x
.
Ví dụ :  
( ) 3 2 y f x x
a.  ca
x
 
b. 
f( 2);f(1);f( 3)
.
Bài 1.   
2
f x x

3g x x
.
a) T
1
3 , , 0 , 1 , 2 , 3 .
2
f f f g g g



b)    ca
a

2.f a g a
Bài 2.   
2
2g x x

35h x x
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 45
a)
3
0,4 , , 2 , 1,4 , 1 .
4
g g g h h



b)   ca
m

1
.
2
g m h m
Dạng 2 . Biểu diễn tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp giải:  biu di m
00
;M x y
t phng t  
- V ng thng song song vi trc
Oy
t   
0
xx
.
- V ng thng song song vi trc
Ox
t   
0
yy
.
- m c ng th  m
00
;M x y
.
Ví dụ 1: m
,MN
  i vi trc t nu :
a.
( ; ), ( ; )M a b N a b
;
b.
( ; ), ( ; )M a b N a b
;
c.
( ; ), ( ; )M a b N a b
.
Ví dụ 2: Trong mt phng t cho bm
( 2;1 ); (4;2); (2; 1);A B C
D
( 4 ; 2).
T    
Bài 1. a) Trong mt phng t
Oxy
u di   :
3;0 , 2;0 , 0;4 , 3;3 , 2; 2 , 4; 4 .A B C D E F
b)     th  
yx
.
Bài 2. 
2,5 .yx
a) nh v m
1; 2,5A
t phng t   th .
b)  m
2; 5 , 3;7 , 1;2,5 , 0;4B C D E
  th  ?
Bài 3. a) Trong mt phng t
Oxy
u di   :
2;0 , 3;0 , 0; 3 , 0; 4 , 1;4 , 4;2 .A B C D E F
b)     th  
1
2
yx
.
Bài 4. t phng t v ng thng
d
m
0;0O
m
13
;
22
A



. Hi
ng thng
d
 th c  
Dạng 3 . Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải: Ta thc hi c sau:
Bước 1: nh
D
c.
Bước 2: Gi s
12
xx

12
,x x D
u
12
H f x f x
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 46
+ Nu
0H
vi
12
,xx
bt k  s ng bin.
+ Nu
0H
vi
12
,xx
bt k   nghch bin.
Ví dụ 1:     :
( ) 2 3 y f x x
p hp s thc
R
.
Ví dụ 2:  
f(x)
  
(0,1)

1
f0
2



. Ch 
3
30
2




f

1
20
2




f
.
Bài 1.  ng bin, nghch bin c  sau:
a)
1 4 ;yx
b)
21yx
.
Bài 2.  ng bin, nghch bin c  sau:
a)
1
;
2
yx
b)
2 1 3yx
.
Bài 3. 
f x x
.
a) Chng minh r  ng bin;
b)  m
4;2 , 2;1 , 9; 3 , 8;2 2 ,A B C D
  
   th  ? 
Bài 4.  ng bin, nghch bin c  sau:
a)
1000 ;yx
b)
1
3
2
yx
.
Bài 5.  ng bin, nghch bin c  sau:
a)
35
;
4
x
y

b)
2 3 3y x x
.
Dạng 4 . Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số
0y ax a
.
Phương pháp giải: Ta s d n thc sau:
1. th   dng
0y ax a
ng th gc t
O
m
1;Ea
.
2. m
;
AA
A x y

;
BB
B x y
  n thng
AB
 
c:
22
B A B A
AB x x y y
.
Ví dụ 1: s a cng thng
y
ax.

(1;1)A
 
(1; 1)B

( 3;0)F
 
(2 3;2 3)I
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 47
Bài 1.   
3,5yx

3,5yx
a) V  t mt phng t  th ca ha   
b)      ng bi  ch bin?
c)    th c  
Bài 2.   
yx

2yx
a) V  th c   t mt phng t.
ng thng song song vi trc
Ox
t trc
Oy
t   
4y
l t ct
ng thng
2yx
,
yx
t  m
A
,
B
.
  c 
     
OAB
.
Bài 3. V  th    t mt phng t:
a)
3yx

1
3
yx
; b)
2y

3,5y 
.
Bài 4.  
yx

1
2
yx
.
a) V  t h trc t
Oxy
 th c  
  m
0; 5H
v ng thng
d
song song vi trc
Ox
, cng thng
yx

1
2
yx
l t
A

B
  cm
,AB
;
    
AOB
Bài 5. 
1y m x
.
   ca tham s
m
  nh  bng
5
ti
5x
;
b) V  a
m
 th  m
2; 3A
?
   ca
m
 m
0; 4B
thu  th .
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1.  
2
3
y f x x

2
3
3
y g x x
.

2f
,
0f
,
1
2
f




2g
,
0g
,
1
2
g



;
    c     n
x
l  ?
Bài 2. 
0,5yx

0,5 2yx
.
  ca m     a bin
x
r  ng sau:
x
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0,5yx
0,5 2yx
   ng c  khi bin
x
l  ?
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 48
Bài 3. 
1
1
x
fx
x
.
   ca
x
  nh;
b
4 2 3f

2
fa
vi
1a 
;

x
 
fx
 

x
sao cho
2
f x f x
.
Bài 4. 
5y f x ax
nh
a
nu bit:
a)
5y
ti
1x 
; b)
1
4
2
f




.
Bài 5. 
12
5
y
.
nh v m
12
1;
5
A


t phng t   th  ;
  m
24
2;
5
B


,
35
3;
5
C



,
0; 2,5D
,
100; 0E
  
th ?
Bài 6. m
2;1A
nh:
a) T m
B
i xng vi
A
qua trc tung;
b) T m
C
i xng vi
A
qua tr
c) T m
D
i xng vi
A
qua
O
;
d) Di   
ABCD
.
Bài 7. 
3 2 2 2 1yx
.
a)  ng bi ghch bin c  
b)   ca
y
khi
3 2 2x 
;
c)   ca
x

0y
.
Bài 8.  ng bi ch bin c sau:
a)
32yx
; b)
12yx
; c)
3
31yx
.
Bài 9. 
3yx
.
a) V  th ;
b) m
A
thu th    i gc t 
2 10
nh t m
A
.
Bài 10. 
23y m x
.
a)
m
  nh  bng
3
ti
2x
;
b) V   a
m
 th   m
1; 5A
?
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 49
c)
m
 m
5;0B
thu th  .
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 50
BÀI 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Hàm số bậc nhất   cho bc
y ax b
vi
0a
.
 bc nht
y ax b
nh vi mi
x
thuc  t sau:
- ng bi nu
0a
.
- Nghch bi  nu
0a
.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Nhận dạng hàm số bậc nhất
Phương pháp giải:
 bc nh ng
y ax b
vi
0a
.
Ví dụ:       bc nht. N
  a, b c
a.
13yx
b.
23yx
c.
31yx
d.
1
12
2
yx
.
Bài 1.      bc nh nh h s
,ab
c 
   ng bi  ch bin?
a)
15yx
; b)
0,5yx
; c)
2 1 3yx
;
d)
2
23yx
; e)
2 1 3yx
; f)
2
25yx
;
Bài 2. u kin ca tham s
m
   bc nht?
a)
51y m x
; b)
1
3,5
1
m
yx
m

.
Bài 3.      bc nh nh h s
,ab
c 
   ng bi  ch bin?
a)
2 4 5yx
; b)
4,3 2017yx
;
c)
5 3 2yx
; d)
4
32yx
.
Bài 4. V  a
m
   bc nht?
a)
2 3 4y m x
; b)
43
2
25
m
yx
m

.
Dạng 2. Tìm
m
để hàm số đồng biến, nghịch biến
Phương pháp giải:
  bc nht
y ax b
vi
0a
ng bi khi
0a
;
+ Nghch bi  khi
0a
.
Ví dụ 1:  
( 3)y m x
.
a. Vi   a
m
 ng bin, nghch bin ?
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 51
b.    ca
m
  th   m
A( 1;2)
.
c. V  a
m
 th  
Ví dụ 1:    :
2
( ) 3( 0); ( ) 1 1 f x ax a g x a x
Chng minh rng :
a. 
( ) ( ); ( ) ( )f x g x g x f x
ng bin.
s
( ) ( )f x g x
ch bin.
Bài 5. 
2 3 4y m x
   ca
m
     bc nh :
ng bin; b) Nghch bin.
Bài 6. 
1 6 5y m x
   ca
m
     bc nht
ch bin.
Bài 7. 
2
1y m m x m
. Chng minh vi m  ca
m
 
  bc nh ng bin.
Bài 8. 
4 5 7y m x
   ca
m
     bc nh :
ng bin; b) Nghch bin.
Bài 9. 
2
25 5y m x
   ca
m
     bc nh 
ng bin.
Bài 10.  bc nht
1
22
23
m
y x m
m
  ca
m
  
s
ng bin; b) Nghch bin.
Bài 11. 
2
2 5 7y m m x m
. Chng minh vi m  ca
m
 
 bc nhng bin.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 12.      c nh nh h s
,ab
c 
    ng bin, nghch bin?
a)
52yx
; b)
21tx
; c)
2
3
yx
;
d)
31y x x
; e)
2 1 2y x x
; g)
1
.yx
x

Bài 13. V  a
m
   c nht?
a)
7 3 5y m mx m
; b)
2
5.
1
m
y
m

Bài 14.  s
2
1
3.
32
m
yx
mm


   ca
m
    c
nh 
ng bin; b) Nghch bin.
Bài 15. 
2
( 3 6 7 ) .y m m x m
Chng minh vi m  ca
m
 
c nh ch bin.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 52
Bài 16.  bc nht
3
4.
45
yx
m

   ca
m
 :
ng bin; b) Nghch bin.
Bài 17.  bc nht
2
2
2 2.
54
y x m
mm

   ca
m
 :
ng bin; b) Nghch bin.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 53
BÀI 3. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
th c 
( 0)y ax b a
ng thng.
  th 
( 0)y ax b a
:
+ Nu
0b
 
y ax
 th ca
y ax
ng th c t
(0;0)O
m
(1; ).Aa
+ Nu
0b
 th
y ax b
ng th m
(0; ), ;0 .
b
A b B
a



B. PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Vẽ đồ thị hàm số
( 0)y ax b a
và tìm tọa độ giao điểm của hai đƣờng thẳng
Phương pháp giải:
ng s d n thc sau:
1. Cách vẽ đồ thị hàm số
( 0)y ax b a
:
Trường hợp 1. Nu
0b
 th   ng th  m
(0;0)O

1; .Aa
Trường hợp 2. Nu
0b
 th   ng th  m
(0; ), ;0 .
b
A b B
a



2. Cách tìm tọa độ giao điểm của hai đƣờng thẳng:
Bước 1.   m c ng th    m.
Bước 2.    m v    ng th 
  m.
Bài 1. ng thng
12
4
: 2 2, : 2
3
d y x d y x

3
1
: 3.
3
d y x
a) V ng thng
12
,dd

3
d
 mt mt phng t.
b) G  m c ng thng
3
d
vi
1
d

2
d
theo th t 
,.AB
    ca
,.AB
Bài 2.  
1yx
 th 
1
d

3yx
 th 
2
.d
a) V  th     t mt phng t.
b) Gi
,AB
l    m ca
12
,dd
vi tr  
C
m ca
1
d

2
d
.
  m
,AB

.C
c)
    
Bài 3. ng thng
12
4
: 2 2, : 2
3
d y x d y x

3
1
: 3.
3
d y x
a) V ng thng
12
,dd

3
d
 t mt phng t.
b) G m cng thng
3
d
vi
1
d

2
d
theo th t 
,.AB
   ca
,.AB
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 54
Bài 4.  
1yx
 th 
1
d

3yx
 th 
2
.d
a) V  th     t mt phng t.
b) ng thng
1
d

2
d
ct nhau ti C t trc Ox theo th t ti
,AB
.  t
m
, , .A B C
c)   ABC.
Dạng 2. Xác định các hệ số a,b để đồ thị hàm số
( 0)y ax b a
cắt trục
,Ox Oy
hay đi qua
một điểm nào đó.
Phƣơng pháp giải: th  
( 0)y ax b a
m
;
MM
M x y
  khi
MM
y ax b
.
Ví dụ :  
y x m
nh
m
bit:
a.    c tung t   
b.    m
( 1;
2 ).
c.        
1
.
Bài 5. 
( 2) .y m x m
a)    ca tham s m   th m s:
i) Ct tr     bng
3.
ii) Ct trc tung t   bng 4.
b) V  th c   ng v   ca m c   trc t
Oxy
   m c th va v c.
c) Bài 6. Gi
1
d
 th 
2y mx

2
d
 th  
1
1.
2
yx
a) Vi
1
,
2
m 
nh t m ca
1
d

2
d
.
b)    ca m 
( 3; 3)M 
 m ca
1
d

2
d
.
Bài 7. V  a m  th  
32y x m

4 5 2y x m
ct nhau ti mt
 c tung?
Bài 8. 
(2 ) 1.y m x m
a)    ca tham s m   th  :
i) Ct tr     bng
2.
ii) Ct trc tung t   bng
4.
b) V  th c   ng v   ca m c   trc t
Oxy
   m c th va v c.
Bài 9. Gi
1
d
 th 
2y mx

2
d
 th  
1
1.
2
yx
a) Vi
1
,
3
m 
nh t m ca
1
d

2
d
.
b)    ca m 
( 3; 3)M 
 m ca
1
d

2
d
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 55
Bài 10. V  a m  th  
22y x m

5 5 2y x m
ct nhau ti mt
 c tung?
Dạng 3. Xét tính đồng quy của ba đƣờng thằng
Phƣơng pháp giải:
 ng quy cng th  
   m c ng th  ng th 
c 2. Kim tra xem n m v c thu ng th  t lun ba
ng th ng quy.
Bài 11. ng thng
1 2 3
: 3 ; : 2 5; : 4d y x d y x d y x
.
a) Gi
A
m c ng thng
12
,dd
.  m
A
.
b) Chng minh ba ng thng
1 2 3
,,d d d
ng quy.
Bài 12. ng thng
12
: 3 ; : 3d y x d y x

3
:5d y mx
.
a)   m c ng thng
12
,dd
.
b)   ca tham s
m
 ng thng
1 2 3
,,d d d
ng quy.
Bài 13. ng thng
1 2 3
: 4; : 2 2; : 1,2 4,4d y x d y x d y x
.
a) Gi
I
m c ng thng
12
,dd
.  m
I
.
b) Chng minh bng thng
1 2 3
,,d d d
ng
Bài 14. ng thng
12
: 2 1; : 3 1d y x d y x

3
:3d y x
a) Ch ng th ng quy.
b) V   a
m
ng thng
( 1)y m x m
 m ca
ng th 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 15.  
yx

33yx
.
a) V  th   t h trc t.
b)   m
M
ca hai  th 
Bài 16. ng thng
12
1
: 2; : 2
3
d y x d y x

3
1
:3
3
d y x
a) V ng thng
12
,dd

3
d
 t mt phng t.
b) G m cng thng
3
d
vi
1
d

2
d
theo th t 
,AB
.
  ca
,AB
.
Bài 17. 
21yx
 th 
1
d

3yx
 th 
2
d
.
a) V  th    t mt phng t.
b) ng thng
1
d

2
d
ct nhau ti C t trc Ox theo th t A, B  
m A, B, C.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 56
c)   ABC.
Bài 18. 
5y m x m
.
a)    ca tham s m   th  :
i) Ct tr   bng 3.
ii) Ct trc tung t   bng 4.
b) V  th c  s ng v   m c  t h trc t
Oxy    m c  th va v c.
Bài 19. Gi
1
d
 th 
1y mx

2
d
 th  
1
2
2
yx
.
a) Vi
1
2
m 
nh t m ca
1
d

2
d
.
b)    m 
2,2M
 m ca
1
d

2
d
.
Bài 20. V    a tham s m  th 
42y x m

2 5 2y x m
ct
nhau ti m  c tung?
Bài 21. ng thng
1
:2d y x
,
2
: 1,5 7d y x

3
: 2 5d y mx
.
a)   m c ng thng
1
d
,
2
d
.
b)   ca tham s m  ng thng
1
d
,
2
d
,
3
d
ng quy.
Bài 22. ng thng
1
:2d y x
,
2
:3d y x

3
:4d y mx
.
a)   m c ng thng
1
d
,
2
d
.
b)   ca tham s m  ng thng
1
d
,
2
d
,
3
d
ng quy.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 57
BÀI 4. ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƢỜNG THẲNG CẮT NHAU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
ng thng
:d y ax b

' : y ' 'd a x b
, ' 0aa
 
'
/ / '
'
aa
dd
bb

.
d
cắt
'd
'aa
.
'
'
'
aa
dd
bb


.
' . ' 1d d a a
.
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chỉ ra các cặp đƣờng thẳng song song, các cặp đƣờng thẳng cắt nhau.
Phƣơng pháp giải:
ng thng
:d y ax b

' : y ' 'd a x b
, ' 0aa

'
/ / '
'
aa
dd
bb

.
d
cắt
'd
'aa
.
'
'
'
aa
dd
bb


.
' . ' 1d d a a
.
Ví dụ: ng thng
: ( 1) 2 3 d y a x a
ng thng d' :
(2 1) 4 y a x a
.

a.
d

d
' ct nhau;
b.
d
ct nhau ti m  c tung;
c. 
d.
d
 
e.
d
 
Bài 1.      ng thng c    ng thng song song vi nhau trong
s ng thng sau:
a)
1,5 2yx
; b)
2yx
; c)
0,5 3yx
;
d)
3yx
; e)
1,5 1yx
; g)
0,5 3yx
.
Bài 2.  
23y x k

2 1 2 3y m x k
u kin ca m k   th
c  
a) ng thng ct nhau;
b) ng thng song song vi nhau;
c) ng th  
Bài 3. Vi nh  a m   th c 
23y x m

35y x m
:
a) Ct nhau ti m c tung?
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 58
b) Ct nhau ti m 
Bài 4. ng thng:
22
1
: 1 5d y m x m
,
2
:1d y x
,
3
:3d y x
.
a) m c  
1
d
 
b) Chng minh nu
1
d
song song
3
d
1
d
vu 
2
d
.
c)    ca m  ng thng
1
d
,
2
d
,
3
d
ng quy.
Bài 5. ng thng:
1
: 2 1 2 3d y m x m
;
2
:1d y m x m
.
   ca m :
a)
1
d
ct
2
d
. b)
1
d
song song
2
d
.
c)
1
d
 
2
d
. d)
1
d
g vi
2
d
.
Bài 6.  ng thng
1
:5d y mx
,
2
: 3 1d y x
 ca m 
3; 8M

 m ca
1
d

2
d
.
Bài 7. Cho cng thng:
1
: 4 5d y mx m
,
22
2
: 3 1 4d y m x m
.
a) Chng minh khi m    ng thng
1
d
    m A c  ng
thng
2
d
 m B c nh.
b) V  a m 
1
d
song song
2
d
?
c) V a m 
1
d
ct
2
d
?  m khi
2m
.
Dạng 2. Xác định phƣơng trình đƣờng thẳng
Phƣơng pháp
1.  
y ax b
vi
0a
,
0b
   ng thng ct trc tung t m
0;Ab
, ct tr m
;0
b
B
a



.
2. m
00
;M x y
thung thng
y ax b
  khi
00
y ax b
.
Bài 9. 
3.y ax
nh
a
trong m ng hp sau:
a)  th c song song v ng thng
2yx
;
b) Khi
2x
 
7;y
c)  th  
3y ax
cng thng
21yx
t    bng 2.
Bài 10. 
2.y x b
b
bit rng:
a) Vi
4x
 
2y x b
  bng
5;
b) th  
2y x b
ct trc tung t  bng
3;
c)  th  
2y x b
m
1; 5 .A
Bài 11. Vi   ng thng
d
bit:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 59
a)
d
ct trc tung t  b t tr   bng
2;
b)
d
song song v ng thng
51yx
 m
2; 3 ;I
c)
d
  ng thng
1
3
4
yx
vm
0,5; 4 .I
Bài 12. 
7.y ax
nh h s
a
trong m ng hp sau:
a)  th  
7y ax
song song v ng thng
4yx
;
b) th  
7y ax
  ng thng
3,2yx
;
c)  th  
7y ax
cng thng
1,2 5yx
t    bng
1.
Bài 13. 
- 2 3.y m x m
  ca
m
  :
a)  ng bi ch bin?
b)  th song song v ng thng
3 3 ;y x m
c)  th   ng thng
3 3 ;y x m
d)  th ct
Ox
t    bng 3;
e)  th ct
Oy
t    bng 3;
f)  
2, 2 1y x y x
 th ng th 
Bài 14. Vi   ng thng
d
bit:
a)
d
ct trc tung t  bng
5
m
1; 3 ;A
b)
d
song song v ng thng
28yx
t tr     bng
5;
c)
d
  ng thng
3yx
ng thng
21yx
t  
bng 5.
Bài 15.  ng thng:
1
: 2 3d y x

2
2
: 2 3 1d y m x m
  c:
a)
1
d
ct
2
;d
b)
1
d
song song
2
;d
c)
1
d
 
2
;d
d)
1
d

2
;d
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 16. ng thng:
12
: 2 3; : 2d y x d y x m

3
1
: 1.
2
d y x
 i c ng thng:
a)
1
d

2
;d
b)
1
d

3
.d
Bài 17. V  a
m
ng thng
21yx
ng thng
3y x m
ct nhau ti
m 
a) Tr
b) Trc tung?
Bài 18. T  ng th   y bt c   
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 60
a)
2 1 .y mx m
b)
3.y mx x
c)
2 5 3.y m x m
d)
2.y m x
Bài 19.  ng thng:
1
: 1 3d y m x

2
: 2 1 4.d y m x
a) Chng minh khi
1
2
m 
1
d

2
d
 i nhau.
b) t c   c 
1
d

2
d
 i nhau.
Bài 20. Vi  bc nht
y ax b
bit:
a) H s
b
bng
3
 th   song song v ng thng
' : 2 1 0.d x y
b) th   n
3;2A

1; 1 .B
c)    m
2; 1C
  ng thng
' : 3 1.d y x
Bài 21. ng thng:
2
1 2 3
: 2; : 2 1; : 1 .d y x d y x d y m x m
nh t giao dim ca
1
d

2
;d
   ca tham s
m

i)
2
d

3
d
song song vi nhau.
ii)
1
d

3
d
 
iii)
12
,dd

3
d
ng quy.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 61
BÀI 5. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƢỜNG THẲNG
0y ax b a
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
ng thng
d
 
0.y ax b a

S thc
a
hệ số góc ca
.d
Gi
o bi tia
Ox

.d

+ Nu
0
90
0a

tan ;a
+ Nu
0
90
0a

0
tan 180 .a
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xác định hệ số góc của đƣờng thẳng
Phƣơng pháp giải:
ng thng
d
 
0,y ax b a

a
 s 
Bài 1. ng thng:
14y m x
m
2;1A
 s  
Bài 2. s ng thng
: 2 4 5d y m x
bi vi v ng thng
' : 2 3 0.d x y
V ng thng
d
c.
Bài 3. s ng thng
d
nu:
a)
d
c t m
1; 3A
.
b)
d
m
4;5 , 1; 1MN
.
Bài 4. ng thng
2( 1) 5 8y m x m
m
(3; 5)A
 s 
Bài 5. s ng thng
: (3 ) 2d y m x
bit   ng thng
' : 2 6 0d x y
. V ng thng
d
c.
Bài 6. s 
k
cng thng
d
bit:
c t m
2
( ; 3)
3
I
.
b)
d
m A c ng thng
3; 2y x y x
 m
( 1; 3)E
.
Dạng 2. Xác định góc tạo bởi tia Ox và đƣờng thẳng
d
Phƣơng pháp giải:
G c to bi tia
Ox

d
 
+ Nu
90
o
0a

tana
.
+ Nu
90
o
0a

tan(180 )
o
a
.
Bài 7. o bi tia
Ox
ng thng
21yx
.
Bài 8. ng thng
3y mx
 o bi tia
Ox

d
bit
d
m
( 3;0)A
.
Bài 9. o bi tia
Ox
ng thng
45yx
.
Bài 10. ng thng
:3d y mx
 o bi tia
Ox
ng thng
d
bit
d

m
( 3;0)A
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 62
Dạng 2. Xác định phƣơng trình đƣờng thẳng dựa vào hệ số góc.
Phƣơng pháp giải:
G  ng thng c
y ax b
. Ta cnh
,ab
dn thc v 
 s    t 
Bài 11.    ng thng
d
bit:
a)
d
 s ng
5
 m
( 3;4)A
.
b)
d
di qua
( 1; 2)B
o vng thng
1y
mng 45
0
.
Bài 12.    ng thng
d
bit:
a)
d
to vi trc
Ox
mng 30
0
m
(3; 1)M
.
b)
d
di qua
(0; 3)N
o vng thng
1y
mng 60
0
.
Bài 13.   
y ax b
 th ng thng
d
bit:
a)
d
to vi trc
Ox
mng 45
0
t trc tung t   bng
2
.
b)
d
to vi trc
Ox
mng 60
0
t tr     bng
1
.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 14. s 
k
cng thng
d
bit
d
c t O:
 m
(3 3; 3)M
.
  ng thng
21yx
.
Bài 15.  ng thng
12
: 5; : 3 3d y x d y x
.
a) V
12
;dd
 t phng t.
b) G  m ca
12
;dd

A
m
12
;dd
ca vi trc
Ox
l 
,BC
  
 
ABC
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 63
ÔN TẬP CHƢƠNG II
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Hàm số:
+ Nng
y
ph thung
x
sao cho vi m   ca
x
  c
ch m   ng ca
y
y
c ghàm số của x 
x
c g biến số.
 c cho bng bng hoc bc.
+ Tp hp tt c m biu di   ng
; x f x
t phng t
Oxy
c g  th c .
 ng bi ch bin c  
y f x
nh vi m  vi bt
c D:
+ Nu
12
xx

12
( ) ( )f x f x
  ng bi D.
+ Nu
12
xx

12
( ) ( )f x f x
  nghch biD.
2. Hàm số bậc nhất:
+ Hàm số bậc nhất  c cho bc
y ax b
 
,ab
 c

0a
.
 bc nhnh vi m  
- ng bi  khi
0a
.
- Nghch bi  khi
0a
.
 th c bc nht
( 0)y ax b a
một đường thẳng 
a
hệ số góc cng
thng.
 ng thng
1 1 1 2 2 2
( 0); ( 0)y a x b a y a x b a
:

a)
12
;dd
song song
12
12
aa
bb

.
b)
12
;dd
 
12
12
aa
bb

.
c)
12
;dd
ct nhau
12
aa
.
d)
12
;dd
 i nhau
12
.1aa
.
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng
Phƣơng pháp giải:
ng g vi   ng th 
Bài toán 1: Vi   ng th  c.
Bài toán 2: Vi   ng th   s c.
Bài toán 3: Vi   ng th  i mng thng cho
c.
Bài toán 4: Vi   ng th   i mng thng cho
c.
Bài 1. nh hng s
,ab
cng thng
y ax b
bit:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 64
a)
d
song song v ng thng
31yx
v m
2; 5 .A
b)
d
  ng thng
5yx
t
Ox
t    bng -2.
c)
d
m
1; 2 . 2; 3 .AB
Bài 2. ng thng
12
4
: 4 1, : 15 3 .
3
d y x m d y x m
a)
m

1
d
ct
2
d
t m
C
c tung.
b) Vi
m
v   m
,AB
ca
12
,dd
vi
Ox
.
c)   
ABC
.
d)  
ABC
.
Bài 3.
m
 ng thng
1y mx

21yx
ct nhau ti mm n ng
  hai trong mt phng t
.Oxy
Bài 4. m
(1; 1), (2;1), ( 3;1).A B C
Chng minh r ng thng
AB
 i
ng thng
.AC
Bài 5. Trong h t
Oxy
m
2;5 , 1; 1 , 4;9 .A B C
a) Vi  ng thng
BC
.
b) Chng minh r m
,,A B C
th 
Bài 6. 
2
32y m x
 th ng thng
.d
a) V
d
khi
2m
.
b)
m
  ng bin; nghch bin.
c)
m

d

1; 2A
.
d)
m

d

1; 8B
.
Bài 7. 
11y m x m
 th
d

m
:
a)
d
ct trc tung t  bng
2
.
b)
d
ct tr   bng
3
.
c)
d
to vi tr 
0
45
.
Bài 8. Vi   ng thng
d
m
2;1A

M
vi
M
n ng
thng
' : 2 3d x y

M
  bng
1
2
.
Dạng 2: Tìm điểm cố định của đƣờng thẳng.
Phƣơng pháp giải:
 m c nh cng thng
y ax b
ph thu  ta l 
- Gi t m c  
00
;M x y
;
- u ki  ng thc
00
y ax b
     i.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 65
Bài 9. ( Thi vào 10 chọn, trường THPT Phan Đình Phùng, Hà Nội,1995)
Ch ng thng
: 2 1 1d y m x m
 m c nh vi mi tham s
m
.
Bài 10.    H  ng thng
: 1.d y mx
Chng
minh
d
 m c nh vi mi tham s
.m
Dạng 3. Ba đƣờng thẳng đồng quy
Phƣơng pháp giải:
 u ki ng th   m c ng thng
 u ki  g  ng thng th ba.
Bài 11.  ng THPT Nguyn T    ca
m
 ba
ng thng
1 2 3
: 1, : 5 3,d : 4d y x d y x y mx
 m.
Bài 12.  :
3; 1; 3 2y x y x y x m

m
  th   
ng th ng quy.
Dạng 4. Bài toán liên quan đến diện tích
Bài 13. ng th  
1 2 .y m x m
m
 ng th n ct hai
trc t o vi hai trc m    ng
1
 di 
Bài 14. 
2; 2; 2 2y x y x y x
 th l 
1 2 3
,,d d d
.
a) V  th   t h trc t.
b) Cho bit
12
dd
ti
A
,
13
dd
ti
B
,
32
dd
ti
C
.  m
,,A B C
.
c) n t 
ABC
Bài 15. 
23y m x m
 th ng thng
d
.
a) Chng minh
d
 m c nh vi m  ca tham s
m
.
b)
m

d
ct
,O x Oy
t   ng
2.
Bài 16. ng thng
: 2 1 2d y m x
vi
1
2
m
. Gi s
d
ct
Ox
ti
A
, ct
Oy
ti
B

m
 di 
OAB
bng
1
2
.
Dạng 5. Khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến đƣờng thẳng
d
Phƣơng pháp giải:
   m gc t
O
ng thng
: y ax bd 
vi
0, 0ab


Bước 1.  m
,AB
lm ca
d
vi tr c tung ca h
trc t
.Oxy
Bước 2. Gi
H
n   t
O
n
d
 

2 2 2
1 1 1
.
OH OA OB
Bài 17. ng thng
d
 
2y mx
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 66
   ca
m
 kho  gc t
O
ng thng
d
bng
1
.
   c kho  gc t
O
ng thng
d
n nht.
Bài 18.(Thi vào lớp 10, thành phố Hà Nội, 2008) ng thng
d
 
1 2.y m x
m
 kho  gc t ng thng
d
n nht.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 19. Vi   ng thng
d
bit
d
ct trc tung t    bng
3
t
tr   bng
2
.
Bài 20. m
0; 2 ; 3; 1 ; 2; 4A B C
nh h s
,ab
bit r th  
y ax b
qua
,.AB
b) Chng minh rm
,,A B C
th 
Bài 21.    ng thng
d
bit r  ng thng
'd
 
1yx
m
2;1M
.
Bài 22. ng thng:
: 2 3d y m x
vi
2m

2
' : 1d y m x
vi
0m
.

m

d

'd
song song vi nhau.

m

d
ct
Ox
ti
A,
ct
Oy
ti
B

60
o
OAB
.
Bài 23.(Thi vào lớp 10, THPT Nguyễn Tất Thành, 2010) Trong mt phng vi h t v 
Oxy
m
1;1M
. Vi   ng th 
M
o vi hai trc t mt
   
Bài 24. Chng minh khi
m
 ng th  
1 3 4y m x m
 m c nh.
Bài 25. u kin ca tham s
m
 ng th  
2 1 0;yx
7yx

13y m x m
ng quy.
Bài 26.  ng thng

1
: 2 4d y x
,
2
1
: 1.
2
d y x
Cho bit
1
d
ct
Ox
ti
,A
2
d
ct
Ox
ti
,C
1
d
ct
2
d
ti
.M
a) Ch 
MAC
 i
.M
  
.MAC
Bài 27. 
2
y 2 2 4m m x
 th ng thng
.d
m
sao cho
d
ct
Ox
ti
,A
ct
Oy
ti
B
   
OAB
ln nht.
Bài 28. ng thng
: 2 1 2 2.d m x m y
a) Chng minh
d
 m c nh vi mi
.m

m
 kho 
O
n
d
n nht.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 67
CHƯƠNG III. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. - Phương trình bậc nhất hai ẩn
x
và
y
có dạng
ax by c
(1) trong đó a ,
b
, c là các số đã biết
(a 0
hoặc
0b
).
- Nếu
0
x
,
0
y
thỏa mãn (1) thì cặp số
00
; xy được gọi là một nghiệm của phương trình (1).
2. - Phương trình bậc nhất hai ẩn
ax by c
luôn luôn có vô số nghiệm.
Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường đường thẳng
ax by c
, kí hiệu là

d .
3. - Nếu
0a
và
0b
thì đường thẳng
d chính là đồ thị của hàm số
ac
yx
bb

.
- Nếu
0a
và
0b
thì phương trình có thể đưa về dạng
y
m
và đường thẳng

d song song
hoặc trùng với trục hoành.
- Nếu
0b
và
0a
thì phương trình có thể đưa về dạng
x
n
và đường thẳng

d song song
hoặc trùng với trục tung.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. XÉT CẶP SỐ

00
;
x
y CÓ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ax by c
KHÔNG?
Phương pháp giải
Thay
0
x
x
,
0
y
y
vào phương trình
ax by c
, nếu đẳng thức đúng thì cặp
00
;
x
y là nghệm
của phương
ax by c
.
Ví dụ 1. (Bài 1, tr. 7 SGK) Trong các cặp số
(2; 1)
,
0; 2 ,
1; 0 ,
1, 5; 3 và
4; 3 cặp số
nào là nghiệm của phương trình:
a)
548xy
? b)
35 3xy

?
DẠNG 2. TÌM NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯONG TRÌNH
ax by c
VÀ VẼ ĐƯỜNG
THẲNG BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA NÓ
Phương pháp giải
1. - Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
ax by c
- Nếu
0a
thì tìm
x
theo
y
:
cby
x
a
và công thức nghiệm tổng quát là:
cax
y
b
x
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 68
- Nếu
0b
thì tìm
y
theo
x
:
cax
y
b
và công thức nghiệm tổng quát là:
cby
x
a
y
2. Vẽ đường thẳng có phương trình:
ax by c
+ Nếu
0b
thì vẽ đường thẳng

1
ycax
b

.
+ Nếu
0b
thì vẽ đường thẳng
c
x
a
cùng phương với trục tung.
Ví dụ 2: (Bài 2, tr.7 SGK).
Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập
nghiệm của nó:
a)
32xy
b)
53xy
c)
43 1xy
d)
50xy
e)
40 2xy
f)
02 5xy
Ví dụ 3. (Bài 3, tr.7 SGK)
Cho hai phương trình
24xy
và
1xy
. Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai
phương trình đó trên cùng một hệ tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho
biết toạn độ của nó là nghiệm của phương trình nào.
DẠNG 3. TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ GỐC TỌA ĐỘ O ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp giải
Khoảng cách d từ gốc O đến đường thẳng:
ax by c
được tính theo công thức
22
c
dOH
ab

Với
H
là hình chiếu của
O
lên đường thẳng.
Cho
0
c
xy
b

Cho
0
c
yx
a

Đường thẳng cắt trục tung tại
0;
c
A
b



và cắt trục hoành tại điểm
;0
c
B
a



Kẻ đường cao
OH
của
ABO
, ta có:
222
111
OH OA OB

mà
c
OA
b
và
c
OB
a
Do đó
22 22
222 2
22
1
c
baab
OH
OH c c c
ab

.
Ví dụ 4. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến đường thẳng
341xy
.
C. LUYỆN TẬP
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 69
1.1 (Dạng 1) Trong các cặp số

0; 4 , 1; 3 , 1;1 , 2; 3 , 4; 6 cặp nào là nghiệm của phương
trình 53 2xy
1.2 (Dạng 2) Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a) 26xy b) 32xy
c) 321
x
y
d) 20 4xy e) 03 3xy
1.3 (Dạng 2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình
a) 20xy b) 30xy
c) 321
x
y
1.4 (Dạng 2) Cho đường thẳng
d
có phương trình
12axya

a) Xác định a để
d
:
i) song song với trục hoành
ii) song song với trục tung
iii) song song với đường thẳng 1
x
y
b) Tìm điểm cố định mà
d
luôn đi qua với mọi a
1.5 (Dạng 2) Vẽ các đường thẳng 3; 1; 1; 3xx yy. Gọi ,,,
A
BCD là các giao điểm của
chúng
a) Chứng minh ,,,
A
BCDlà 4 đỉnh của hình vuông
b) Viết phương trình các đường thẳng chứa hai đường chéo của hình vuông
c) Tính diện tích của tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường chéo của hình vuông
1.6 (Dạng 2) Cho đường thẳng
d
có phương trình
2380mxmym
 .
Định m để
d
:
a) Song song với trục hoành
b) Song song với trục tung
c) Chứng minh
d
luôn đi qua điểm
1; 2A
1.7 (Dạng 3) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến đường thẳng 86 3xy
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 70
BÀI 2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

ax by c
I
ax by c


+ Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung
00
;
x
y thì
00
;
x
y được gọi là một nghiệm của hệ
(I)
+ Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm
Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
2. Tập nghiệm của hệ phương trình (1) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường
thẳng
d
:
ax by c
và
ax by c
.
Vậy: * Nếu
d
cắt
'd
thì hệ (I) có nghiệm duy nhất
* Nếu
// 'dd
thì hệ (I) vô nghiệm
* Nếu
'dd
thì hệ (I) có vô số nghiệm.
3. Hệ phương trình tương đương.
Hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: ĐOÁN NHẬN SỐ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải
Cho hệ phương trình:
''
ax by c
ax by c


Gọi
d
là đường thẳng có phương trình:
ax by c
,
'd
là đường thẳng có phương trình:
''ax by c
. Dựa vào hệ số góc và tung độ góc của hai đường thẳng
d
và
'd
để biết số
nghiệm của hệ phương trình.
* Nếu
d
cắt
'd
thì hệ có một nghiệm.
* Nếu
d
song song
'd
thì hệ vô nghiệm.
* Nếu
d
trùng
'd
thì hệ vô số nghiệm.
Ví dụ 1. (Bài 4, tr. 11 SGK )
Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 71
a)
32
31
y
x
y
x


b)
1
3
2
1
1
2
y
x
y
x
c)
23
32
y
x
y
x

d)
33
1
1
3
xy
x
y
Ví dụ 2. (Bài 5 tr 11 SGK): Đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau bằng hình học
a)
21
21
xy
xy


b)
24
1
xy
xy

Ví dụ 3. (Bài 7, tr. 12 SGK) Cho hai phương trình
24xy
và
32 5xy
.
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ tọa độ,
rồi xác định nghiệm chung của chúng.
Ví dụ 4. (Bài 8, tr. 12 SGK) Cho các hệ phương trình sau
a)
2
23
x
xy

b)
32
24
xy
y
Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó
tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
Ví dụ 5. (Bài 9, tr. 12 SGK) Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
a)
2
33 2
xy
xy


b)
321
64 0
xy
xy


Ví dụ 6 (Bài 10 Tr12 SGK)
Đoán nhận số nghiệm của phương trình sau và giải thích vì sao?
a)
44 2
22 1
xy
xy
ì
-=
ï
ï
í
ï
-+ =-
ï
î
b)
12
33
32
xy
xy
ì
ï
ï
-=
ï
í
ï
ï
-=
ï
î
DẠNG 2: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Phương pháp giải
Hệ hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm
Hai hệ vô số nghiệm cũng được xem là tương đương
Ví dụ 7. ( Bài 6, tr11 SGK) Đố:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 72
Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô số nghiệm thì luôn tương đương với
nhau
Bạn phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cũng có vô số nghiệm thì cũng luôn
tương đương với nhau
Theo em, Các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao (Có thể cho một ví dụ minh họa bằng đồ thị)
Ví dụ 8. ( Bài 11, Tr 12 SGK)
Nếu ta thấy hai nghiệm phận biệt của mỗi hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ( nghĩa là được biểu diễn
bởi hai điểm phân biệt, thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?
Ví dụ 9: Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương:
1
22
xy
xy
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
và
22
1
ax y
xay
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
C. LUYỆN TẬP
2.1. (Dạng 1): Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau? Vì sao?
a)
23
31
xy
xy
ì
+=
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
b)
32 0
23 0
xy
xy
ì
+=
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
c)
30. 6
21
xy
xy
ì
+=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
d)
4
02
xy
xy
ì
-=
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
2.2 (Dạng 1) Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất với bất kì giá trị
nào của a
a)
1
xa
xy
ì
=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
b)
3xy
ya
ì
-=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
’
2.3 (Dạng 1) Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình:
31
23
xy
ax y
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
a) Có nghiệm duy nhất với a =-2
b) Vô số nghiệm với a = -6
2.4 (Dạng 1). Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình:
32
15 10 5
x
ya
xy
ì
-=
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
a) Có vô số nghiệm với a =1
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 73
b) Vô nghiệm với a ≠ 1
2.5 (Dạng 1) Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất
21
2
2
xy
xy
mx y m
ì
-=
ï
ï
ï
ï
+=
í
ï
ï
-=
ï
ï
î
2.6 (Dạng 2) Xác định m để hệ phương trình sau tương đương.
a)
23 5
43
xy
xy
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
và
23 5
12 3
xy
x
ya
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
b)
2
31
xy
xy
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
và
225
2
ax y
xay
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 74
BÀI 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Phương pháp giải
1. Quy tắc thế
Quy tắc thế để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
Quy tắc thế gồm 2 bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho ( Coi là phương trình thứ nhất) ta biến đổi
một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ 2 để được phương trình mới chỉ có một ẩn
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay th
ế cho phương trình thứ 2 của hê phương trình
(phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn kia có được ở bước
1)
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
1) Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có
một phương trình một ẩn
2)
Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
Phương pháp giải.
Các bước giải: Tóm tắt lí thuyết
Ví dụ 1. (Bài 12 tr 15.SGK)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
3
34 2
xy
xy
ì
-=
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
b)
73 5
42
xy
xy
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
c)
32
54 11
xy
xy
ì
+=-
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
Ví dụ 2. (Bài 13 tr15 SGK)
Giải phương trình sau bằng phương pháp thế
32 11
)
45 3
xy
a
xy
ì
-=
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
1
)
23
58 3
xy
b
xy
ì
ï
ï
-=
ï
í
ï
ï
-=
ï
î
Ví dụ 3. ( Bài 14. Tr 15-SGK)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
a)
50
53 1 5
xy
xy
ì
ï
+=
ï
í
ï
+=-
ï
î
b)
(2 3) 3 2 5 3
4423
xy
xy
ì
ï
--=+
ï
í
ï
+=-
ï
î
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 75
Ví dụ 4 ( Bài 15. Tr. 15 SGK)
Giải hệ phương trình sau
2
31
(1).62
xy
axya
ì
+=
ï
ï
í
ï
++=
ï
î
Trong mỗi trường hợp sau
a) a = -1 b) a = 0 c) a = 1
Ví dụ 5. (Bài 16, Tr 16 SGK)
Giải phương trình sau bằng phương pháp thế:
a)
35
52 23
xy
xy
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
b)
351
28
xy
xy
ì
+=
ï
ï
í
ï
-=-
ï
î
c)
2
3
10 0
x
y
xy
ì
ï
ï
=
ï
ï
í
ï
ï
+- =
ï
ï
î
Ví dụ 6. ( Bài 17, Tr 16.SGK)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a)
231
32
xy
xy
ì
ï
-=
ï
í
ï
+=
ï
î
b)
22 5
2110
xy
xy
ì
ï
-=
ï
í
ï
+=-
ï
î
c)
(2 1) 2
(2 1) 1
xy
xy
ì
ï
--=
ï
í
ï
++=
ï
î
Ví dụ 7. (Bài 18 Tr 16 SGK)
a) Xác định hệ số a,b biết rằng hề phương trình
24
5
xby
bx ay
ì
+=-
ï
ï
í
ï
-=-
ï
î
Có nghiệm là (
21;2-
)
b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là:
(2 1;2)-
Ví dụ 8. (Bài 19, tr 16SGK)
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x-a khi và chỉ khi P(a) = 0
Hãy tìm các giá trị của n sao cho đa thức sau đông thời chia hết cho x+1 và x-3
32
() ( 2) (3 5) 4
P
xmx m x n xn=+- ---
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp giải
- Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có)
- Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt
- Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 76
a)
11
1
34
5
xy
xy


b)
11
2
21
23
1
21
xy
xy


c)
22
22
35
31
xy
xy
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình
a)
121
2
21 1
1
xy
yx
xy




b)
21
12
xy y
yx


DẠNG 3: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải
- Từ một phương trình của hệ tìm
y
theo
x
rồi thay vào phương trình thứ hai để được phương trình
dạng
ax b
.
- Biện luận:
 Nếu
0a
thì
b
x
a
, thay vào biểu thức của
x
tìm
y
, lúc đó hệ có nghiệm duy nhất
 Nếu
0a
ta có
0.
x
b
.
 Nếu
0b
thì hệ có vô số nghiệm, nếu
0b
thì hệ vô nghiệm.
Ví dụ 11. Giải và biện luận hệ phương trình:
2(1)
46(2)
mx y m
xmym


DẠNG 4. ĐỊNH THAM SỐ m NGUYÊN ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM
,
x
y
NGUYÊN
Phương pháp giải
- Áp dụng phương pháp thế để tìm nghiệm
,
x
y của hệ theo tham số m .
- Viết nghiệm

,
x
y của hệ dưới dạng:
f( )
K
n
m
với ,nK nguyên.
- Tìm
m nguyên để f( )m là ước của
K
với f( )m là một đa thức với hệ số nguyên theo m .
Ví dụ 12. Định m nguyên để hệ sau có nghiêm duy nhất
,
x
y với
,
x
y
nguyên.
21
221
mx y m
xmy m


toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 77
DẠNG 5. HỆ GỒM BA PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ
Phương pháp giải
- Chọn hai trong ba phương trình của hệ, giải tìm nghiệm của hệ hai phương trình này.
- Nếu nghiệm

,
x
y vừa tìm đươc là nghiệm của hệ thứ 3 thì nghiệm
,
x
y là nghiệm của hệ đã
cho, nếu không thỏa thì

,
x
y không là nghiệm của hệ.
Ví dụ 13. Giải và biện luận hệ phương trình:
23 5 (1)
2(2)
4(3)
xy
xy
xym



C. LUYỆN TẬP
3.1 (Dạng 1). Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
54 3
24
xy
xy


b)
52
19
35
3
421
2
xy
y
x
3.2 (Dạng 2). Giải các hệ phương trình sau:
a)
23 13
33
xy
xy


b)
455
12 3 2
317
12 3 5
xy xy
xy xy
 
 
3.3 (Dạng 2). Giải hệ phương trình
a)
21
3
13
1
xyxy
xyxy




b)
32 2
21
xy
xy


3.4 (Dạng 2). Giải hệ phương trình:
a)
21 11
112
xy
xy


b)


2
2
122
3131
xy
x
y


3.5 (Dạng 3). Giải và biện luận hệ phương trình:
31
1
mx y m
xmym


3.6 (Dạng 4). Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 78
22
12 1
2
mxym
mx y m m


3.7 (Dạng 5). Giải và biện luận hệ

23
13
2
xy
mx m y m
xmym



3.8 (Dạng 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

22
21 2 5Txy xay
3.9 (Dạng 5). Giả sử hệ
ax by c
bx cy a
cx ay b



có nghiệm
Chứng minh rằng:
333
3a b c abc .
3.10 (Dạng 1) Cho hai đường thẳng:

d: 1 1 0
d': 2 2 0
mx n y
nx my


Xác định
,mn
để
d
và
d'
cắt nhau tại điểm.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 79
BÀI 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BĂNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Quy tắc cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy
tắc cộng đại số gồm hai bước sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương
trình mới.
Bước 2:Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên
phương trình kia)
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
1) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn
nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
2) Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ
số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn)
3) Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Phương pháp giải
Xem tóm tắc cách giải trong phần tóm tắt lý thuyết
Ví dụ 1. (Bài 20, tr. 19 SGK)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a)
33
27
xy
xy


d)
23 2
32 3
xy
xy


b)
25 8
23 0
xy
xy
e)
0,3 0,5 3
1, 5 2 1, 5
xy
xy

c)
43 6
24
xy
xy


Ví dụ 2. (Bài 21, tr 19 SGK)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
a)
23 1
222
xy
xy


b)
53 22
622
xy
xy

Ví dụ 3. (Bài 22, tr. 19 SGK) Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 80
a)
5x 2 4
6x 3 7
y
y


b)
2311
46 5
xy
xy


c)
3210
21
3
33
xy
xy


Ví dụ 4. (Bài 23, tr. 19 SGK) Giải hệ phương trình sau:




12 12 51
12 12 32
xy
xy


Ví dụ 5. (Bài 25, tr. 19 SGK) Ta biết rằng: Một đa thức bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó
bằng 0. Hãy tìm các giá trị của và để đa thức sau (với biến số
x
) bằng đa thức 0:

351 4 10Px m n x m n
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp giải
Đặt điều kiện (nếu có)
- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có)
- Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt
- Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Ví dụ 6. (Bài 24, tr. 19 SGK) Giải các hệ phương trình:
a)


234
25
xy xy
xy xy


b)


2231 2
3221 3
xy
xy


Ví dụ 7. (Bài 27, tr. 20 SGK) Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau
về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải:
a)
11
1
34
5
xy
xy


Hướng dẫn: Đặt
1
u
x
,
1
v
y
;
b)
14
2
21
23
1
21
xy
xy




Hướng dẫn: Đặt
1
2
u
x
,
1
1
v
y
;
DẠNG 3. GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NHỜ VÀO VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 81
- Xác định a ,
b
để đồ thị hàm số
yaxb
đi qua hai điểm
A
và
B
- Lần lượt thau tọa độ của và vào thì được hệ phương trình hai ẩn và.
Giải hệ phương trình này ta được
a và
b
.
Ví dụ 8. (Bài 26, tr. 19 SGK) Xác định a và
b
để đồ thị của hàm số
yaxb
đi qua hai điểm
A
và
B
trong mỗi trường hợp sau:
a)
2; 2A
và
1; 3B
b)
4; 2A
và
2;1B
c)

3; 1A
và
3; 2B
d)
3;2A
và
0; 2B
DẠNG 4. XÁC ĐỊNH THAM SỐ A ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ
NGHIỆM SỐ
Phương pháp giải
- Trước hết giải hệ phương trình tìm theo .
- Với điều kiện về nghiệm số của đề bài, tìm .
Ví dụ 9. Cho hệ phương trình:
1
xay
ax y a


a) Chứng minh hệ luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi
a .
b) Tìm
a để hệ có nghiệm

;
x
y
sao cho
1
x
;
1y
Ví dụ 10. Cho hệ phương trình
13axy
ax y a


a) Giải hệ với
2a 
b) Xác định
a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện
0xy
DẠNG 5. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
FX
THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
Bằng cách thay các giá trị đặc biệt vào hàm số để đưa về hệ phương trình với một ẩn là
f
x
Ví dụ 11. Xác định hàm số
f
x
(xác định trên R ), biết rằng:

1
f
xxfxx
(1) với mọi
x
R
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 82
Ví dụ 12. Xác định hàm số
f
x
, biết rằng:

1
2
f
xf x
x




(với
0x
) (1)
C. LUYỆN TẬP
4.1 (Dạng 1). Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a)
2x-3 1
x+3 2
y
y
b)

56
26
xy
xy
c)
43 2
4
xy
xy

4.2 (Dạng 1). Giải các hệ phương trình sau
a)
2x- 3 1
x+ 3 2
y
y
b)
22 5
2110
xy
xy


c)

21 2
21 1
xy
xy


d)
321
233
xy
xy


4.3 (Dạng 3). Xác định a ,
b
để đồ thị hàm số
yaxb
đi qua hai điểm
2; 4A

1; 5B
4.4 (Dạng 3). Cho biểu thức
2
4
f
xaxbx
. Xác định a ,
b
để
26f
,

10f 
.
4.5 (Dạng 4) Cho hệ phương trình
2
15
4a
axay
xaya


Tìm
a nguyên để hệ có nghiệm duy nhất
;
x
y
với
x
,
y
nguyên.
4.6 Giải hệ phương trình


32
56
43
x
yxy
yz y z
x
zxz
4.7 (Dạng 5) Tìm hàm số
f
x
biết rằng
a)

11
1
1
xfxf
x
x




(
0x
,
1
x
)
b)

2
1
3
f
xf x
x




0x
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 83
BÀI 5& BÀI 6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Tóm tắt các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1 (Lập hệ phương trình). Bao gồm:
- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Từ đó lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2 (Giải hệ phương trình). Giải hệ phương thu được.
Bước 3 (Trả lời) Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi trả lời.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TOÁN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ
Phương pháp giải
Biểu diễn số có hai chữ số:
10ab a b
a là chữ số hàng chục:
09a
,
aN
b
là chữ số hàng đơn vị:
09b
,
bN
- Biểu diễn số có ba chữ số:
100 10abc a b c
a là chữ số hàng trăm,
b
là chữ số hàng chục và c là chữ số hàng đơn vị.
Ví dụ 1. (Bài 28, tr. 22 SGK) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy
số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.
Ví dụ 2: Tổng các chữ số của một số là có hai chữ số bằng
6
. Nếu thêm vào số đó
18
đơn vị thì số
thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.
Vậy số cần tìm là
24
.
DẠNG 2. TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC
Phương pháp giải
Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia toàn bộ công việc, phần làm việc trong
một đơn vị thời gian (năng suất), thời gian.
 Năng suất làm việc: đưa về một đơn vị thời gian (chẳng hạn:
1
ngày,
1
giờ, …)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 84
Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được
1
x
công việc.
Xem toàn bộ công việc là
1
.
Ví dụ 3. (Bài 32, tr. 23 SGK)
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau
4
4
5
giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ
mở vòi thứ nhất và
9
giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau
6
5
giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay
từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
Ví dụ 4. (Bài 33, tr. 24 SGK)
Hai người thợ cùng làm một công việc trong
16
giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm
3
giờ
và người thứ hai làm
6
giờ thì chỉ hoàn thành được
25%
công việc. Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
Ví dụ 5 : (Bài 38, tr.24 SGK)
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong
1
giờ
20
phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong
10
phút và vòi thứ hai trong
12
phút thì chỉ được
2
15
bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?
DẠNG 3. LOẠI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Phương pháp giải :
− Toán chuyển động có ba đại lượng tham gia vào là: vận tốc, thời gian, quãng đường.
− Gọi
v là vận tốc,
t
là thời gian đi được, s là quãng đường đi được, ta có:
Svt
.
Ví dụ 6. (Bài 30, tr. 22 SGK)
Một ô tô đi từ
A
và dự định đến
B
lúc
12
giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc
35 /km h
thì sẽ
đến
B
chậm hơn
2
giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc
50 /km h
thì sẽ đến
B
sớm
hơn
1
giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường
A
B
và thời điểm xuất phát của ô tô tại
A
.
Ví dụ 7 (Bài 37, tr. 24 SGK)
Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính
20cm
, xuất phát cùng một lúc, từ
cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ
20
giây chúng lại gặp nhau. Nếu
chuyển động ngược chiều thì cứ
4
giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
DẠNG 4. CÁC DẠNG KHÁC
Ví dụ 8. (Bài 29, tr. 22 SGK)
Giải bài toán cổ sau :
Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho một trăm người cùng vui.
Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.
Trăm người, trăm miếng ngọt lành.
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ?
Ví dụ 9. (Bài 31, tr. 23 SGK)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 85
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên
3
cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm
2
36cm , và nếu một cạnh giảm đi
2
cm, cạnh kia
giảm đi
4
cm thì diện tích của tam giác giảm đi
2
26cm .
Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được dánh thành nhiều luống, mỗi
luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm
8
luống rau, nhưng mỗi
luống trồng ít đi
3
cây thì số cây toàn vườn ít đi
54
cây. Nếu giảm đi
4
luống, nhưng mỗi
luống trồng tăng thêm
2
cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm
32
cây. Hỏi vườn nhà Lan
trồng bao nhiêu cây rau cải bắp? (Số cây trong các luông như nhau).
Ví dụ 11. (Bài 35, tr. 24 SGK)
(Bài toán cổ Ấn Độ). Số tiền mua
9
quả thanh yên và
8
quả táo rừng thơm là
107
rupi. Số
tiền mua
7
quả thanh yên và
7
quả táo rừng thơm là
91
rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và
mỗi quả táo là bao nhiêu rupi ?
Ví dụ 12. (Bài 36, tr. 24 SGK)
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau
100
lần bắn là
8, 69
điểm. Kết quả
cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *) :
Điểm số của mỗi lần
bắn
10
9
8
7
6
Số lần bắn
25
42 *
15
*
Em hãy tìm lại các số trong số đó.
Ví dụ 13. (Bài 39, tr. 25 SGK)
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng
2,17
triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng
(VAT) với mức
10%
đối với loại hàng thứ nhất và
8%
đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế
VAT là
9%
đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng
2,18
triệu đồng. Hỏi nếu
không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?
C. LUYỆN TẬP
Bài 6.1 (Dạng 1). Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó bằng
11
, nếu đổi chỗ
hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm
27
đơn vị.
Bài 6.2 (Dạng 1). Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng
17
, chữ số hàng chục là
4
,
nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số giảm đi
99
đơn vị.
Bài 6.3 (Dạng 2). Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau
4
giờ
48
phút bể đầy. Nếu vòi
I
chảy
trong
4
giờ, vòi
II
chảy trong
3
giờ thì cả hai vòi chảy được
3
4
bể. Tính thời gian để mỗi vòi chảy
một mình đầy bể.
Bài 6.4 (Dạng 3). Một ô tô đi từ tỉnh
A
đến tỉnh
B
với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng thêm
20 /km h
thì thời gian đi được sẽ giảm
1
giờ, nếu vận tốc giảm bớt
10 /km h
thì thời gian đi tăng
thêm
1
giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Bài 6.5 (Dạng 3). Hai ca nô cùng khởi hành từ
A
đến
B
cách nhau
85km
và đi ngược chiều nhau.
Sau
1
giờ
40
phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi
dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là
9/km h
và vận tốc dòng nước là
3/km h
(vận tốc
thật của ca nô không đổi).
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 86
Bài 6.6 (Dạng 3). Đoạn đường
A
B
dài
200 km
. Cùng lúc một xe máy đi từ
A
và một ô tô đi từ
B
,
xe máy và ô tô gặp nhau tại
C
cách
A
120km
. Nếu xe máy khởi hành sau ô tô
1
giờ thì gặp nhau
tại
D
cách
C
24 km
. Tính vận tốc của ô tô và xe máy.
Bài 6.7 (Dạng 1). Tìm số có ba chữ số chia hết cho
11
, biết rằng khi chia số đó cho
11
được thương
bằng tổng các chữ số của số bị chia.
Bài 6.8 (Dạng 4). Một tam giác có chiều cao bằng
3
4
cạnh đáy. Nếu chiều xao tăng thêm
3dm
và
cạnh đáy giảm đi
2dm
thì diện tích của nó tăng thêm
2
12dm
. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam
giác.
Bài 6.9 (Dạng 4). Hai giá sách có
450
cuốn. Nếu chuyển
50
cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai
sẽ bằng
4
5
số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách của mỗi giá.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 87
ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
x
và
y
có dạng ax by c
, trong đó , ab và c là các số và
0a
hoặc
0b
.
2. Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by cluôn có vô số nghiệm. Trong mặt phẳng tọa độ, tập
nghiệm
của nó được biểu diễn bởi đường thẳng
ax by c
.
3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế :
a) Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới , trong
đó có một phương trình một ẩn.
b) Giải phương trình một ẩn vừa có nghiệm rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
4. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số :
a) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp ( nếu cần ) sao cho các hệ số của
chúng cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.
b) Áp dụng quy tắc cộng đại số để được một hệ phương trình mới, trong đó, một phương trình
có hệ s
ố của một trong hai ẩn bằng ( tức là phương trình một ẩn ).
c) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho .
5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình :
Bước 1: Lập hệ phương trình :
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên .
Bước 3: Trả lời : kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài
toán và kết luận.
B. GIẢI BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
Bài 40. Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được :
25 2
a)
2
1
5
xy
xy


0, 2 0,1 0,3
b)
35
xy
xy


31
c)
22
321
xy
xy


Bài 41. Giải các hệ phương trình sau :
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 88
5(1 3) 1
a)
(1 3 ) 5 1
x
y
xy


2
2
11
b)
3
1
11
xy
xy
xy
xy




Bài 42. Giải hệ phương trình
2
2
422
xym
xmy


trong mỗi trường hợp sau :
a)
m2
b)
m2
c)
m1
Bài 43. Hai người ở địa điểm A và B cách nhau 3,6km , khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều
nhau ở một địa điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên,
nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng
đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Bài 44. Một vật có khối lượng 124g và thể tích
3
15cm
là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong
đó có bao nhiêu gam đồng,v à bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích là
3
10cm
và
7gam kẽm có thể tích là
3
1cm
.
Bài 45. Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng
khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II
làm việc, do cải tiến cách làm , năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ đã làm xong phần việc còn
lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu , nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao
nhiêu ngày mới xong công việc trên ?
Bài 46. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị
thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn
vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc ?
C - LUYỆN TẬP
Bài 1. Giải hệ phương trình :
115
14 4
xy
xy
 

Bài 2. Xác định a để hệ sau có nghiệm duy nhất
,
x
y với
0, 0xy
20
32
xy
ax y
.
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau :
a)
2
1
1
5
xyz
xy
xyz
yz
b)
10
15
14
12
xyz
yzt
ztx
txy




toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 89
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau :
a)
439
73237z
xyz
xy


b)
9
12
12 9
9
12
...
98 1
... 90
x
xx
xx x



Bài 5. Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người
đi xe đạp từ A đến B hết 40phút và đi từ B về A hết 41 phút ( vận tốc lên dốc lúc đi và về như
nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và về như nhau).
Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
Bài 6. Tuổi hai anh em cộng lại bằng 21. Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em
hiện nay.Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 90
BÀI 1. HÀM SỐ
2
y
ax
0
a
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tập xác định của hàm số
Hàm số
2
y
ax
0a xác định với mọi
x
.
2. Tính chất biến thiên của hàm số
Nếu
0a
thì hàm số nghịch biến khi
0x
và đồng biến khi
0x
.
Nếu
0a
thì hàm số đồng biến khi
0x
và nghịch biến khi
0x
.
x

0

x
0

2
y
ax
0
2
y
ax
0
0a
0a
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. GIÁ TRỊ HÀM SỐ
2
0
yfx axa TẠI
o
x
x
Phương pháp giải
Để tính

o
f
x ta thay
o
x
x
vào

f
x .
Ví dụ 1. (Bài 1, tr. 30 SGK)
Diện tích
S
của hình tròn được tính bởi công thức
2
SR
, trong đó
R
là bán kính của hình tròn.
a) Dùng máy tính bỏ túi, tính các giái trị của
S
rồi điền vào các ô trống trong bảng sau ( 3,14
, làm
tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

cmR
0,57 1, 37 2,15 4,09

22
cmSR
b) Nếu bán kính tăng gấp 3 lần thì diện tích tăng hay giảm bao nhiêu lần?
c) Tính bán kính của hình tròn, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, nếu biết diện tích của nó
bằng
2
79,5cm
.
Ví dụ 2. (Bài 2, tr. 31 SGK)
Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m. Quãng đường chuyển động
S
(mét) của vật rơi phụ
thuộc vào thời gian
t
(giây) bởi công thức:
2
4St .
a) Sau 1 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét? Tương tự, sau 2 giây?
b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất?
Ví dụ 3. (Bài 3, tr. 31 SGK)
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 91
Lực
F
của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm
tỷ lệ thuận với bình phương vận tốc
v
của gió, tức
là
2
Fav
(
a
là hằng số). Khi vận tốc gió bằng
2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con
thuyền bằng
120 N
(Niu-tơn)
a) Tính hằng số
a
.
b) Hỏi khi
10m/sv
thì lực
F
bằng bao nhiêu?
Cùng câu hỏi này khi
20m/sv
c) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là
12000 N
, hỏi con thuyền có thể đi
được trong gió bão với vận tốc
90 km/h
hay không?
C. LUYỆN TẬP
1.1 (Dạng 1) Cho hàm số
2
3yx
. Lập bảng tính các giá trị của
y
ứng với giá trị của
x
lần lượt
bằng:
2
;
1
;
0
;
1
3
;
1
;
2
.
1.2 Cho hàm số

2
yfx x
a) Chứng minh rằng

0fa f a với mọi
a
.
b) Tìm
a
biết

14fa.
1.3 Chứng minh rằng hàm số
2
5yx
có các tính chất sau:
a)
y
đồng biến khi
0x
, nghịch biến khi
0x
.
b)
y
không dương với mọi giá trị của
x
.
c) nếu x gấp
n
lần thì
y
gấp
2
n
lần.
1.4 Cho hàm số

2
2ym x

2m  , Tìm các giá trị của
m
để:
a) hàm số đồng biến với
0x
.
b) có giá trị
4y
khi
1x 
.
c) hàm số có giá trị lớn nhất là 0.
d) hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 92
BÀI 2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ
2
yax

0a
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đồ thị hàm số
2
yax

0a
là một đường cong di qua gốc tọa độ và nhận trục
y
làm trục đối
xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh
O
.
Nếu
0a
thì đố thị nằm phía trên trục hoành,
O
là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu
0a
thì đố thị nằm phía dưới trục hoành,
O
là điểm cao nhất của đồ thị.
0a
0a
2. Vẽ đồ thị. Muốn vẽ đồ thị hàm số
2
yax

0a
ta đặt đỉnh tại điểm

0;0O
, xác định các điểm

1; a
,

2;4a
và các điểm đối xứng của chúng qua
Oy
rồi vẽ Parabol đi qua các điểm đó.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2
0 yfx axa
Phương pháp giải
Lập bảng giá trị tương ứng giữa
x
và
y
. Cho
x
lần lượt bằng:
3
;
2
;
1
;
0
;
1
;
2
;
3
… rồi tìm giá
trị
y
tương ứng bằng cách lập bảng.
Điểm

;
MM
Mx y
thuộc đồ thị
22
MM
yax y ax
Ví dụ 1. (Bài 4, tr.36 SGK)
Cho hàm số:
2
3
2
yx
,
2
3
2
yx
. Điền vào những ô trống của các bảng sau rồi vẽ hai đồ thị trên cùng
một mặt phẳng tọa độ.
x
2
1
0
1 2
2
3
2
yx
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 93
x
2
1
0
1 2
2
3
2
yx
Nhận xét về tính đối xứng của hai đồ thị đối với trục
Ox
.
Ví dụ 2. (Bài 5, tr.37 SGK) Cho hàm số:
2
1
2
y
x
;
2
y
x
;
2
2
y
x
.
a) Vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm ba điểm
A
,
B
,
C
có cùng hoành độ 1, 5
x theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Xác định tung độ
tương ứng của chúng.
c) Tìm ba điểm
A
,
B
,
C
có cùng hoành độ 1, 5
x theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Kiểm tra tính đối
xứng của
A
và
A
,
B
và
B
,
C
và
C
.
d) Với mỗi hàm số trên, hãy tìm giá trị
x
điểm hàm số đó có giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 3. (Bài 6, tr.38 SGK)
Cho hàm số
2
yfx x
.
a) Vẽ đồ thị hàm số đó.
b) Tính các giá trị

8f
;

1, 3f
;
0,75f
;
1, 5f
.
c) Dùng đồ thị để ước lượng các giá trị

2
0,5
;

2
1, 5
;

2
2,5
.
d) Dùng đồ thị để ước lượng vị trí các điểm trên trục hoành biểu diễn các số
3
;
7
.
Ví dụ 4. (Bài 10, tr.39 SGK)
Cho hàm số
2
0,75
y
x
. Qua đồ thị hàm số đó, hãy cho biết khi
x
tăng từ
2
đến 4 thì giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của
y
là bao nhiêu?
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH HỆ SỐ
a
CỦA HÀM SỐ
2
0
yfx axa
Phương pháp giải
Ví dụ 5. (Bài 7, tr.38 SGK)
Trên mặt phẳng tọa độ có một điểm
M
thuộc đồ thị hàm số
2
y
ax
.
a) Tìm hệ số a .
b) Điểm

4;4A
có thuộc đồ thị không?
c) Hãy tìm thêm hai điểm nữa (không kể điểm
O
) để vẽ đồ thị.
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 94
Ví dụ 6. (Bài 8, tr.38 SGK)
Biết rằng đường cong hình bên là một Parabol
2
yax
.
a) Tìm hệ số
a
.
b) Tìm tung độ của điểm thuộc Parabol có hoành độ
3x
.
c) Tìm các điểm thuộc Parabol có tung độ
8y
.
DẠNG 3. TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp giải
• Để tìm tọa độ giao điểm của

P
và

d
ta viết phương trình hoành độ giao điểm của

P
và

d
:

2
1ax bx c
- Nếu (1) vô nghiệm thì

d
không cắt

P
.
- Nếu (1) có nghiệm thì

d
cắt

P
.
Gọi
1
x
là hoành độ giao điểm thì tung độ giao điểm là
2
1
yax
hoặc
1
ybxc
.
Ví dụ 7
. (Bài 9, tr. 39 SGK) Cho hai hàm số
2
1
và 6
3
yxyx
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 95
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị đó.
DẠNG 4. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Phương pháp giải
Cho bất phương trình
) () (
f
x
g
x
(1)
- Vẽ đồ thị
( )
y
fx
và
( )
y
gx
trên cùng hệ trục tọa độ.
- Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên bằng cách giải phương trình
) () (
f
x
g
x
.
- Nghiệm của bất phương trình
) () (
f
x
g
x
là tập hợp các giá trị
x
là hình chiếu của
phần đồ thị
( )
yf
x
nằm dưới đồ thị
( )
yg
x
lên trục hoành.
Ví dụ 8. Giải bất phương trình sau bằng đồ thị
2
2xx
DẠNG 5. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Phương pháp giải
Cho phương trình dạng
f
xm
( m là tham số)
- Vẽ đồ thị hàm số
yfx
và đường thẳng
ym
cùng phương với
Ox
và qua điểm có tọa độ
0,m
.
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị
yfx
với đường thẳng
y
m
.
Ví dụ 9. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
a)-
2
2
x
m
b)
x
xm
C. LUYỆN TẬP
Bài 2.1 (Dạng 1). Cho hàm số
2
y
x
a) Vẽ đồ thị của hàm số.
b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không ?
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 96
95
3; ; 5; ; ( 10;1) ?
10 2
AB C




Bài 2.2 (Dạng 2). Xác định hệ số a để đồ thị hàm số
2
y
ax
đi qua điểm
(3;9)A
. Vẽ đồ thị trong
trường hợp này.
Bài 2.3 (Dạng 2). Xác định m để đồ thị hàm số
22
2ym x
đi qua điểm
A1;2
. Với mtìm
được, đồ thị hàm số có đi qua điểm

B2;9
không ?
Bài 2.4 (Dạng 2). Cho parabol
2
1
4
y
x
. Xác định m để các điểm sau nằm trên parabol :
) A( 2; )am
) B( 2; )bm
3
) C ;
4
cm



Bài 2.5 (Dạng 2). a) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc
O
và điểm
M2;4
.
b) Viết phương trình parabol dạng
2
y
ax
và đi qua
M2;4
.
c) Vẽ parabol và đường thẳng trên trong cùng hệ trục tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của chúng.
Bài 2.6 (Dạng 4). Trên cùng một hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị các hàm số
 
2
1
.
2
yfx xvàygx x
Dựa vào đồ thị hãy giải các bất phương trình :
a)
f
xgx
b)
.
f
xgx
Bài 2.7 (Dạng 3).
a) Xác định a để đổ thị hàm số đi qua
A1;2
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm
c) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4
d) Tìm tọa độ các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục tọa độ.
Bài 2.8 (Dạng 5). Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo msố nghiệm của phương trình
2
2 1
x
m
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 97
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa :
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng
2
0ax bx c
,
trong đó
x
là ẩn :
, , abc
là những số cho trước gọi là các hệ số và
0a
2. Ta có thể giải phương hình bậc hai bằng cách đặt nhân tử chung để đưa nó về phương trình tích.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ A, B, C CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp giải
- Khai triển rồi đưa các số hạng về vế trái, vế phải bằng 0.
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai
2
0ax bx c

Ví dụ 1. (Bài 11, tr. 42 SGK)
Đưa các phương, trình sau về dạng
2
0ax bx c

chỉ rõ các hệ số
, , abc
a)
2
524
x
xx;
b)
2
31
273
52
xx x .
c)
2
2331
x
xx
d)
22
22(1) 0xmxm
, m là một hằng số
DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp giải
- Đưa phương trình về dạng tích hoặc áp dụng :
22
ab
ab
ab

Ví dụ 2. (Bài 12, tr. 42 SGK) Giải các phương trình sau :
a)
2
80x ; b)
2
5200x ; c)
2
0, 4 1 0
x
;
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 98
2
d) 2 2 0xx
2
e) 0.4 1.2 0xx
Ví dụ 3. (Bài 13, tr. 43 SGK) Cho các phương trình :
2
) 8 2ax x
2
1
) 2
3
bx x
Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái
thành một bình phương.
Ví dụ 4. (Bài 14, tr. 43 SGK) Hãy giải phương trình :
2
2520xx

theo các bước như ví dụ 3
trong bài học.
C. LUYỆN TẬP
Bài 3.1 (Dạng 1). Viết các phương trình sau dưới dạng :
2
0ax bx c

rồi xác định các hệ số
, , abc
.
a)
22 2
44
x
xm
b)
2
(1)1
x
px p
c)
2
22 2
x
xx
Bài 3.2 (Dạng 2). Giải các phương trình:
a)
2
490x 
b)
2
250x
c)
2
360xx
Bài 3.3 (Dạng 2). Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích hoặc dạng

2
ax m n
a)
2
412 0xx
b)
2
4430xx

c)
2
20xx
d)
2
3100xx

Bài 3.4 (Dạng 2). Giải các phương trình sau bằng cách áp dụng
22
ab a b

a)

22
214 210xx xx 
b)

2
2
23230xx

c)

22
9241 0xx
d)
2
670xx

Bài 3.5 (Dạng 2). Giải phương trình sau :
a)
2
4 3 0xx
b)
2
616 0xx

c)
2
26 10xx
d)
2
670xx

GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 99
Bài 3.5 (Dạng 2). Giải phương trình sau :
a)
2
4 3 0xx b)
2
616 0
xx
c)
2
26 10xx d)
2
7 12 5 0
xx
Bài 3.6 (Dạng 2). Xác định hệ số c trong phương trình
2
6 0xxc

để phương trình có một
nghiệm là 5. Giải phương trình đó.
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 100
BÀI 4 & BÀI 5. CÔNG THỨC NGHIỆM CÙA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Đối với phương trình
2
0 0ax bx c a
và biệt thức
2
4bac
:
• Nếu
0
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
12
và
22
bb
xx
aa
 

• Nếu
0
thì phương trình có nghiệm kép
12
2
b
xx
a

• Nếu
0
thì phương trình vô nghiệm.
2. Công thức nghiệm thu gọn.
Đối với phương trình
2
0 0ax bx c a
và
2'bb
và
2
''bac

• Nếu
'0
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
'' ''
và
bb
xx
aa
 

• Nếu
'0
thì phương trình có nghiệm kép
12
'b
xx
a

• Nếu
'0
thì phương trình vô nghiệm.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp giải
• Xác định , , abc của phương trình
2
0 0
 ax bx c a
• Tính biệt thức
2
4 bac (hay
2
 bac
)
- Nếu
0
thì phương trình vô nghiệm.
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 101
- Nếu
0
thì phương trình có một nghiệm (nghiệm kép).
- Nếu
0
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 1. (Bài 15,tr.45SGK)
Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số
, , abc
, tính biệt thức
và xác định số nghiệm của
mỗi phương trình sau :
a)
2
723 0xx
; b)
2
521020xx

c)
2
12
70
23
xx
d)
2
1, 7 1, 2 2, 1 0xx

Ví dụ 2. (Bài 22, tr. 49 SGK)
Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
a)
2
15 4 2005 0 xx ; b)
2
19
7 1890 0
5
xx
;
DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp giải
- Xác định các hệ số ,,abccủa phương trình
2
0ax bx c
.
- Tính
(hoặc
'
).
- Áp dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai.
Ví dụ 3. (Bài 16, tr. 45 SGK)
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:
a)
2
2730xx; b)
2
650xx;
c)
2
650xx; d)
2
3520xx;
e)
2
8160yy
; f)
2
16 24 9 0zz.
Ví dụ 4. (Bài 17, tr. 49 SGK)
Xác định
,,abc rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình
a)
2
4410xx; b)
2
1385 14 1 0xx
 ;
c)
2
5610xx; d)
2
34640xx
.
Ví dụ 5. (Bài 18, tr. 49 SGK)
Đưa các phươg trình sau về dạng
2
0ax bx c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn
Để tìm giá trị gần đúng (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) nghiệm của các
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 102
phương trình:
a)
22
32 3xxx; b)


2
221 11xxx
;
c)

2
3321xx ; d)

2
0,5 1 1xx x .
Ví dụ 6. (Bài 20, tr. 49 SGK)
Giải các phương trình :
a)
2
25 16 0x ; b)
2
230x ;
c)
2
4, 2 5,46 0xx
; d)
2
42313xx.
Ví dụ 7. (Bài 21, tr. 49 SGK)
Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (Xem Toán 7, Tập 2, tr.26):
a)
2
12 228xx; b)
2
17
19
12 12
x 
.
Vậy
19;12S 
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Ví dụ 8. (Bài 19, tr. 49 SGK)
Đố. Đố em biết vì sao khi
0a
và phương trình
2
0ax bx c
 vô nghiệm thì
2
0ax bx c với mọi giá trị của
x
?
Ví dụ 9. (Bài 23, tr. 50 SGK)
Rađa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ô tô trong
10
phút, phát hiện rằng vận
tốc
v của ô tô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức :
2
330135vt t
(
t
tính bằng phút, v tính bằng km/h).
a)
Tính vận tốc của ô tô khi
5t
phút.
b)
Tính giá trị của
t
khi vận tốc ô tôt bằng
120
km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ
hai).
Ví dụ 10. (Bài 24, tr. 50 SGK)
Cho phương trình (ẩn
x
)
22
21 0xmxm
a)
Tính
'
b)
Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm.
DẠNG 4: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
2
0ax bx c
Phương pháp giải
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 103
Với
0a
: Phương trình trở thành bậc nhất
0bx c
- Nếu
0b
thì phương trình có nghiệm
c
x
a
- Nếu
0b
và
0c
thì phương trình vô nghiệm;
- Nếu
0b
và
0c
thì phương trình có vô số nghiệm.
Với
0a
: Phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt thức :
2
4bac
(hay
2
'bac )
- Nếu
0
thì phương trình vô nghiệm;
- Nếu
0
thì phương trình có nghiệm kép
12
2
b
xx
a

- Nếu
0
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
12
;
22
bb
xx
aa
 

Ví dụ 11. Giải và biện luận phương trình :
2
221 0mx mxm

DẠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI ẨN
x
VÀ
y
GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp giải
Từ phương trình bậc nhất của hệ tìm theo
y
và
x
.
Thay biểu thức
y
và
x
ở trên vào phương trình bậc hai của hệ ta được phương trình bậc hai đối
với
x
.
Giải phương trình tìm
x
, sau đó thay vào biểu thức của
y
để tìm
y
.
Ví dụ 12. Giải hệ phương trình :

2
2501
42
xy
yx x


Ví dụ 13. Giải hệ phương trình :
22
6xy
x
ya


Định
a để :
a)
Hệ vô nghiệm;
b)
Hệ có nghiệm duy nhất;
c)
Hệ có hai nghiệm phân biệt.
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 104
DẠNG 6. ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HAI PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM CHUNG
Phương pháp giải:
Giả sử
0
x
là nghiệm chung của hai phương trình. Thay
0
x
x
vào hai phương trình ta được hệ
với ẩn là các tham số.
Giải hệ tìm tham số.
Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không.
Ví dụ 14: Cho hai phương trình:
2
0xxavà
2
+ax+1=0x .
a)
Định a để hai phương trình trên có nghiệm chung ;
b)
Định a để hai phương trình trên tương đương.
DẠNG 7. PHƯƠNG TRÌNH CÓ HAI ẨN SỐ
Phương pháp giải
Trong một phương trình có hai ẩn số, ta xem một ẩn là tham số rồi giải phương trình ấy theo ẩn còn
lại. Phương pháp giải này được gọi là phương pháp “Đặt tham số mới”
Ví dụ 15 . Chứng minh rằng chỉ có một cặp số duy nhất
,
x
y thỏa phương trình
2
461301xxy y
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình

32
22
21
02
xy
xxyyy


C. LUYỆN TẬP
Bài 5.1 (Dạng 2). Giải các phương trình sau:
a)
2
3580;xx
b)
2
10 5
50;
749
xx

c)
2
53150;xx
d)
2
410.xx

Bài 5.2 (Dạng 2). Giải các phương trình sau:
a)
2
3720;xx
b)
2
41
0;
3512
xx

c)

2
52 10520;xx
d)
1 2 70.xx
Bài 5.3 (Dạng 3). Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
2
96 20.xmxmm
Bài 5.4 (Dạng 3). Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó:
a)
2
210 10xxm b)
2
512 30xxm

GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 105
Bài 5.5 (Dạng 3). Xác định m để phương trình sau vô nghiệm
a)
2
3420xxm b)
22
50mx mx

Bài 5.6 (Dạng 2). Chứng minh rằng phương trình

0xaxb xbxc xcxa

luôn có nghiệm với mọi ,,abc
Bài 5.7 (Dạng 3). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
22 2 2 2 2
0.bx b c a x c
Bài 5.8 (Dạng 3). Xác định m để phương trình sau có đúng một nghiệm:

2
221 0.mx mxm
Bài 5.9 (Dạng 4). Giải và biện luận các phương trình:
a)
2
10;xmxm
b)

2
32 60.mxmxm
Bài 5.10 (Dạng 5). Giải các hệ phương trình:
a)

3410
39
xy
xy x y


b)
23 2
60.
xy
xy x y


Bài 5.11 (Dạng 5). Giải và biện luận hê phương trình:
22
22
xym
xy x


Bài 5.12 (Dạng 6). Chứng minh rằng nếu hai phương trình:
2
ax+b=0x và
2
0,xcxd
có nghiệm chung thì
2
0.bd acadbc

Bài 5.13 (Dạng 6). Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
2
20xmx và
2
20xxm.
Bài 5.14 (Dạng 3). Cho

2.ac b dChứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình
22
+ax+b=0;x 0xcxd
có nghiệm.
Bài 5.15 (Dạng7). Giải phương trình:
42 2 2
4 11 4 8 8 40 52 0yxyyxyyx x

.
Bài 5.16 (Dạng 7). Giải hệ phương trình:
22
22
10 5 2 38 6 41 0.
325176200.
xyxyxy
xyxyxy


Bài 5.17 (Dạng 7). Giải hệ phương trình:
42
22
698
81
3340
xy
xyxyxy


GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 106
BÀI 6. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định lý Vi-ét
Nếu
12
,
x
x
là hai nghiệm của phương trình
2
ax 0 0bx c a
 thì
12
12
.
b
xx
a
c
xx
a

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
2
0.XSXP
Điều kiện để có hai số đó là:
2
40.SP
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, TÍNH TỔNG VÀ TÍCH CÁC NGHIỆM SỐ
Phương pháp giải
Tính
và chứng tỏ
0
để phương trình có nghiệm.
Áp dụng định lý Vi-ét:
12 12
;..
bc
Sxx Pxx
aa

Ví dụ 1. (Bài 25, tr. 52 SGK)
Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x
1
và x
2
là hai nghiệm (nếu có).
Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...):
a)
2
12 12
2 – 17 1 0; ; ; . ;xx xx xx
2
12 12
)5 350; ; ; . ;bx x x x xx
 
2
12 12
)8 1 0; ; ; . ;cx x x x xx
 
2
12 12
)25 1 0; ; ; . .10dx x xx xx  
Ví dụ 2. (Bài 29, tr. 54 SGK)
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
22
22
4 2 – 5 0; 9 – 12 4 0;
5 2 0; 1 59 – 2 – 1 0.
))
))
xx x x
xx x x


ab
cd
Ví dụ 3. (Bài 30, tr. 54 SGK)
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 107
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
222
– 2 0; 2 – 1 0.))xxm x m xm ab
DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH NHẨM NGHIỆM
Phương pháp giải
Áp dụng định lý Vi-ét:
12 12
;..
bc
Sxx Pxx
aa

Nhẩm:
12 12
;...Sxx mnPxx mn
thì phương trình có nghiệm
12
;.
x
mx n
Nếu
0abc
thì
12
1; .
c
xx
a

Nếu
0abc
thì
12
1; .
c
xx
a
 
Ví dụ 4. (Bài 26, tr. 52 SGK)
Dùng điều kiện
0abc
hoặc
– 0abc
để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình
sau:
2
) 35 – 37 2 0;ax x
2
) 7 500 – 507 0;bx x
2
) – 49 – 50 0;cx x
2
) 4321 21 – 4300 0dxx
Ví dụ 5. (Bài 27, tr. 53 SGK)
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
22
)7120 )7120ax x bx x 
.
Ví dụ 6. (Bài 30, tr. 54 SGK)
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
1, 5 2 1, 6 0,1 0) ax x
2
) 3 1 3 1 0bx x

 
2
) 2 3 2 3 2 3 0;cxx
2
)1 23 40dm x m xm
với
1m
.
DẠNG 3. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG.
Phương pháp giải
Từ hệ thức cho trước của
,
x
y
tìm tổng Sxy
, tích ..Pxy
,
x
y
là hai nghiệm của phương trình
2
0.XSXP

Ví dụ 7
. (Bài 28, tr. 53 SGK)
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 108
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
32, . 231; 8; . 105;
2; . 9.
))
)
uv uv uv uv
uv uv
 

ab
c
Ví dụ 8. (Bài 32, tr. 54 SGK)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
) 42, . 441auv uv ) 42; . 400buv uv
 
) 5; . 24cuv uv
Dạng 4. PHÂN TÍCH
2
ax bx c
THÀNH NHÂN TỬ
Phương pháp giải
Nếu phương trình
2
0ax bx c có hai nghiệm
12
;
x
x
thì

2
12
ax bxcaxx xx
Ví dụ 9. (Bài 33, tr.54 SGK)
Chứng tỏ rằng nếu phương trình
2
0ax bx c có nghiệm
1
x
và
2
x
thì tam thức
2
ax bx c phân
tích thành nhân tử như sau:
2
12
ax bxcaxx xx .
Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a)
2
253
x
x ; b)
2
382
x
x
.
DẠNG 5. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHI BIẾT HAI NGHIỆM CỦA NÓ
Phương pháp giải
Tính tổng hai nghiệm
12
Sxx
và tích hai nghiệm
12
P
xx
.
Phương trình có hai nghiệm
12
;
x
x
là
2
0XSXP
.
Ví dụ 10. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số sau:
a)
7
và
3
; b)
12
và
12
.
Ví dụ 11.
a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
1
10 72
và
1
10 6 2
.
b) Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là
35
35
.
DẠNG 6. DẤU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp giải
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 109
Cho phương trình bậc hai
2
0,( 0)ax bx c a
* Phương trình có hai nghiệm trái dấu
0P
.
* Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
0
0P
* Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
0
0
0
S
P
* Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
0
0
0
S
P
Ví dụ 12. Cho phương trình
2
2( 1) 1 0xmxm
(1)
Định
m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu;
b) Có hai nghiệm dương phân biệt
c) Có đúng một nghiệm dương.
DẠNG 7. XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM THÕA ĐIỀU
KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
Cho phương trình bậc hai
2
0, ( 0)ax bx c a
* Phương trình có hai nghiệm trái dấu
0P
.
* Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
0
.
* Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ đối với nghiệm
1
,
x
2
x
rồi thay vào phương trình thứ ba của
hệ để tìm tham số
m ;
* Kiểm tra lại
m có thỏa điều kiện có nghiệm không rồi kết luận.
Ví dụ 13: Xác định m để phương trình
2
20xxm
có hai nghiệm
1
,
x
2
x
thỏa:
12
321xx
.
DẠNG 8. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
12
x,x
CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC
HAI
Phương pháp giải
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 110
* Biểu thức
12
,
x
x
gọi là là đối xứng nếu ta thay
1
x
bởi
2
x
và
2
x
bởi
1
x
thì biểu thức không đổi.
* Biểu diễn biểu thức đối xứng qua
S
và
P
(tổng và tích các nghiệm số)
Chẳng hạn

2
22 2
12 12 12
22
x
xxx xxSP
 
3
22 3
1 2 12 1212
33
x
xxx xxxxSPS
22 2
12 1 2 1 2
12 12 21 12
11 2
;
xx x x x x
SSP
xx xx Px x xx P

 
* Từ hệ thức Vi-ét tính S và P rồi thay vào biểu thức đối xứng.
Ví dụ 14. Giả sử
1
,
x
2
x
là nghiệm của phương trình :
2
10.xmx
 Tính giá trị các biểu thức sau :
a)
33
12
x
x
; b)
22
12
22
21
x
x
x
x
.
Ví dụ 15. Giả sử
1
,
x
2
x
là nghiệm phương trình :
2
240xmx
.
Xác định
m sao cho
44
12
32xx
.
DẠNG 9. TÌM HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM
1
,
x
2
x
CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
KHÔNG PHỤ THUỘC THAM SỐ
Phương pháp giải
・Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm :
0
;
・Từ hệ thức Vi-ét tìm ,S
P
theo tham số m ;
・Khử tham số m từ ,S
P
để có hệ thức giữa
S
,
P
(tức là hệ thức giữa
1
,
x
2
x
) Không phụ thuộc
tham số
m .
Ví dụ 16. Giả sử
1
,
x
2
x
là nghiệm của phương trình :
22
2( 1) 1 0xmxm

Tìm hệ thức giữa
1
,
x
2
x
không phụ thuộc vào m .
DẠNG 10. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG HAI ẦN
Phương pháp giải
・Hệ gọi là đối xứng hai ẩn
,
x
y
nếu hệ không thay đổi khi thay
x
bởi
y
,
y
bởi
x
.
・Cách giải :
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 111
Đặt ,Sxy .Pxy .
Đưa hệ đã cho về hệ mới với hai ẩn
,S
P
. Chú ý đến các biểu thức đối xứng
,
x
y
(dạng 8).
Giải tìm
,S
P
. Khi đó
,
x
y
là nghiệm của phương trình
2
0XSXP

・Nếu

,
x
y là nghiệm thì

,yx cũng là nghiệm.
Ví dụ 17. Giải hệ phương trình :
22
5
5
xyxy
xy


C. LUYÊN TẬP
Bài 6.1 (Dạng 2). Dùng định lí Vi-ét đề nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a)
2
10 16 0xx; d)
2
7100xx
;
b)
2
15 50 0xx; e)
2
340xx
;
c)
2
650xx; g)
2
20 0xx
;
Bài 6.2 (Dạng 2). Dùng điều kiện
0abc
hoặc
0abc

để tính nhẩm nghiệm của mỗi
phương trình sau:
a)
2
(1) 3 210( 1)mx mxm m
.
b)
2
1
(2 1) 1 0
2
mxmxm m




.
Bài
6.3
(Dạng 5). Lập các phương trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau :
a) 10 và 8 ; b)
10
và
8
; c)
3
và
1
4
;
d)
3
4
và
2
3
; e)
23
và
23
;
Bài 6.4 (Dạng 2). Phương trình
2
37 0xxm có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và
tìm nghiệm còn lại.
Bài
6.5
(Dạng 2).
a) Phưong trình
2
0,1 0xxk

có một trong các nghiệm bằng
1
. Xác định số
k
và tìm nghiệm
còn lại.
b) Phương trình
2
15 1 0xbx
 có một trong các nghiệm bằng
1
3
. Xác định số
b
và tìm nghiệm
còn lại.
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 112
Bài 6.6 (Dạng 8). Cho phương trình
2
:(1) 0xmxm

1
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm. Tìm nghiệm của (1) ;
b) Tìm
m để
22
12
x
x
đạt giá trị nhỏ nhất nếu
12
,
x
x
là các nghiệm của (1).
Bài
6.7
(Dạng 7). Cho phương trình
2
2(21) 10xmxm

.
a) Tìm
m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
,
x
2
x
thoả điều kiện
12
34 11xx
;
b) Tìm
m để phương trình có hai nghiệm đều âm ;
c) Tìm một hệ thức giữa
1
,
x
2
x
không phụ thuộc vào m .
Bài 6.8 (Dạng 7). Xác định
K
để phương trình sau có nghiệm
1
,
x
2
x
thoả
12
2
x
x
.
a)
2
60xxK ; b)
2
80xKx
.
Bài 6.9 (Dạng 7). Xác định
K
để phương trình
2
20xxK
 có hai nghiệm
1
,
x
2
x
thỏa một trong
các điều kiện sau:
a)
22
12
12xx
; b)
22
12
1xx
.
Bài
6.10
(Dạng 9). Giả sử
1
,
x
2
x
là nghiệm phương trình :
2
(3)210.xmxm

Tìm hệ thức giữa
12
,
x
x
không phụ thuộc .m
Bài
6.11
(Dạng 6). Cho phương trình
22
:2(1) 30xmxmm

.
a) Định
m để phương trình có hai nghiệm trái dấu ;
b) Định
m để phương trình có đúng một nghiệm âm ;
c) Định
m để phương trình có một nghiệm bằng 0. Tìm nghiệm còn lại ;
d) Tìm hệ thức giữa các nghiệm
1
,
x
2
x
không phụ thuộc m ;
e) Định
m để phương trình có hai nghiệm thoả :
22
12
8xx
.
Bài
6.12
(Dạng 6). Cho phương trình
2
: ( 4) 2( 2) 1 0mx mxm

. Định m để phương trình có
hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 113
BÀI 7. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Phương trình trùng phương :
42
0ax bx c
0.a
Đặt
2
(0)tx t
ta được phương trình bậc hai
2
0at bt c
.
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.
Thực hiện các bước sau
：
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình ;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức ;
Buớc 3. Giải phương trình vừa nhận được ;
Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các
giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đ
ã cho.
3. Phương trình tích :
- Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.
- Giải phương trình tích.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
42
0ax bx c

(a 0)
Phương pháp giải:
Đặt
2
(0)txt
đưa về phương trình bậc hai:
2
0at bt c

Ví dụ 1. (Bài 34, tr. 56 SGK) Giải các phương trình trùng phương:
a)
42
540xx
; b)
42
2320xx
; c)
42
31030xx

Ví dụ 2. (Bài 37, tr. 56 SGK) Giải các phương trình trùng phương:
a)
42
91010xx
; b)
42 2
5 2 16 10
x
xx

;
c)
42
0,3 1,8 1,5 0xx
d)
2
2
1
21 4x
x
.
DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Phương pháp giải
Xem phần tóm tắt lý thuyết.
Ví dụ 3. (Bài 35, tr. 56 SGK) Giải các phương trình
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 114
a)


33
21
3
xx
x
x


; b)
26
3
52
x
x
x

;
c)

2
42
112
xx
xxx


.
Ví dụ 4. (Bài 38, tr. 56 SGK) Giải các phương trình
a)

22
34233
x
xx
;
b)


2
32 2
2312xxx x x
;
c)


3
22
10,5 1,5xxxx
;
d)

7
4
1
323
xx
xx

;
e)
2
14 1
1
93
x
x


;
f)

2
28
114
xxx
xxx


.
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH
Phương pháp giải
0
.0
0
A
AB
B

Ví dụ 5. (Bài 36, tr. 56 SGK) Giải các phương trình:
a)

22
351 40xx x
;
b)


2
2
2
24210xx x
.
Ví dụ 6. (Bài 39, tr. 57 SGK) Giải các phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
a)


22
37102115 530xx x x



;
b)
32
3260xxx;
c)


2
22
1 0,6 1 0,6
x
xxx
;
d)

22
22
25 5xx xx
.
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 115
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp giải
- Đặt điều kiện để phương trình xác định (nếu có).
- Đặt ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn mới.
- Trở về ẩn ban đầu và xác định tập nghiệm.
Ví dụ 7. (Bài 40, tr. 57 SGK) Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.
a)

2
22
3210xx xx
;
b)

2
22
2422440xx xx 
;
c)
57xx x
;
d)
1
10. 3
1
xx
xx

.
Hướng dẫn. a) Đặt
2
tx xta có phương trình
2
3210tt
 . Giải phương trình này, ta tìm đươc hai
giá trị của
t
. Thay mỗi giá trị của
t
vừa tìm được vào đẳng thức
2
tx x
, ta được một phương trình
ẩn
x
. Giải mỗi phương trình này ta sẽ tìm được giá trị của
x
.
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA CÓ MỘT NGHIỆM CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
Phương trình bậc ba:
32
00ax bx cx d a

có một nghiệm
x
Bằng phép chia đa thức (Hoặc dùng sơ đồ Horner) phân tích vế trái thành: để đưa phương trình về
dạng tích:
2
11
0xaxbxc

2
11
0
x
ax b x c

Giải phương trình bậc hai
2
11
0ax b x c
ta được các nghiệm khác ngoài nghiệm
x
của phương
trình bậc ba.
Sơ đồ Horner:
Chia đa thức

1
01 1
....
nn
nn
P
xaxax axa

cho
x
ta có:


12
01 1
....
nn
nn
Px x bx bx b b


Sơ đồ xác định
i
b
:
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 116
0
a
1
a
2
a
...
n
a
0
b
1
b
2
b
...
n
b
Với
00
ba
và

11
1, 2,....,
ii
bbai n

Ví dụ 8: Giải các phương trình:
a)

32
x6x 11x 6 01
b)

32
x 5x 7x 2 0 2
Ví dụ 9: Xác định m để phương trình:
2232
xm2m2.xm02m 3 x 
có ba nghiệm phân
biệt
DẠNG 6: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở MẪU
Phương pháp giải
Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu thức
Giải và biện luận phương trình bậc hai
Kiểm tra điều kiện và kết luận
Ví dụ 10. Giải và biện luận phương trình:
2
22
2x x m
xm xm 4x 4m


DẠNG 7 : TÌM THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN
VỀ NGHIỆM SỐ
Phương pháp giải
Cho phương trình trùng phương:
42
ax bx c 0 a 0

Đặt
2
Xx

X0
ta có phương trình:
2
aX bX c 0 1
Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt khi
1
có hai nghiệm dương phân biệt, khi
đó giải hệ sau theo m :
0
S0
P0

Phương trình trùng phương vô nghiệm khi
1
vô nghiệm hoặc
1
có hai nghiệm âm
Phương trình trùng phương có hai nghiệm trái dấu
P0
Ví dụ 11: Cho phương trình:
422
x2(m1)xm0 (1)
tìm
m
để phương trình:
a)
Có 4 nghiệm phân biệt
b)
Vô nghiệm
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 117
c) Có 3 nghiệm phân biệt
DẠNG 8. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN DẠNG
xaxbxcxd m

VỚI
abcd

Phương pháp giải
Phương trình được viết thành:

22
x abxab x cdxcdm


đặt
2
t x abx
ta được phương trình bậc hai:

tabtcd m
giải tìm
t
, từ đó tìm
x
bằng cách giải phương trình:
2
x abxt0

Ví dụ 12. Giải phương trình :

x 1 x 5 x 3 x 7 297.
Ví dụ 13: Cho các số
a,b,c,d,m
thoả mãn đk:
adbc và adbc 2m
Giải phương trình:

2
xaxbxcxd m 0
DẠNG 9: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

44
xa xb c

Phương pháp giải
Đặt
ab ab
tx xt
22


Phương trình trở thành:
44
ab ab
ttc
22





Khai triển và rút gọn ta được phương trình trùng phương đối với
t
Chú ý đẳng thức:
44 3 22 34
(x y) x 4x y 6x y 4xy y
Ví dụ 14: Giải phương trình:

4
4
x3 (x5) 2
DẠNG 10: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
432 2
ax bx c kbx k a 0(ka 0)

Phương pháp giải:
x0
không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế phương trình cho
2
x
ta được:
2
2
2
kk
ax bx c 0
xx







Đặt
22
22 2 2
22
kk k
t x t x 2k x t 2k
xx x

GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 118
Ta có phương trình bậc hai:

2
at 2k bt c 0
Ví dụ 15: Giải phương trình:
42
x45x(x2)1
DẠNG 11. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC
Phương pháp giải
Áp dụng một trong các phương pháp:
-
Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ
-
Đặt điều kiện rồi bình phương hai vế khi hai vế đều dương
Chú ý: Sau khi đã tìm được nghiệm cần phải kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm thích hợp.
Ví dụ 16. Giải phương trình: x5 x7
Ví dụ 19: Giải phương trình :
3x 7 x 1 2
DẠNG 12: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải
Áp dụng một trong các phương pháp sau:
Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ
Bỏ giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa:
x
x
x
x0
x0
nÕu
nÕu
Chú ý: Chọn nghiệm thích hợp với điều kiện đã được đặt ra trong quy trình giải
Ví dụ 18: Giải phương trình:
2
xx12x1
1
C. LUYỆN TẬP
7.1 (Dạng 1) Giải các phương trình trùng phương sau:
42
a) 4x 8x 12 0
42
7
b
) 5x 3x 0
16

42
c) 12x 5x 30 0

42
d) 8x x 7 0
7.2 (Dạng 2) Giải các phương trình sau:
2x 5 3x
a)
x1 x2

4x x 1
b)
x2 x2
2
2x 5 5
c)
x2x3 x 5x6


2
13 1
d) 1
3x 27 4 x 3

GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 119
7.3 (Dạng 3) Giải các phương trình sau:
22
a) (4x 25)(2x 7x 9) 0
22 2
b
) (2x 3) 4(x 1) 0

22
c) 2x(3x 1) 9x 1 0
32
d) x 3x x 3 0

7.4 (Dạng 5) Xác định m để phương trình bậc ba
32
6x 7x 16x m 0

có một nghiệm là
2
. Tìm các
nghiệm còn lại
7.5 (Dạng 8,9) Giải các phương trình sau
32
a) x 5x 7x 3 0
b
) x(x 1)(x 2)(x 3) 24

44
c) (x 1) (x 3) 0
42
d) x 9 5x(x 3)

7.6 (Dạng 5) Định m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
32
x (2m 1)x 3(m 4)x m 12 0
7.7 (Dạng 8) Định m để các phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:
2
a) (x 1)(x 3)(x 5) m
422
b
) x (2m 1)x m 0

7.8 (Dạng 11) Giải các phương trình sau
2
a) 3x 14 | x | 5 0
22
b
) x x 3x 5 3x 7
c) x 2 x 6 2

7.9(Dạng 10) Giả sử phương trình
43 2
xax bxax10
có nghiệm. Chứng minh rằng
2
a4b8
7.10 Giải hệ phương trình
222
xyz27
xy yz zx 27


7.11 Giải hệ phương trình
222
xyz12
xyz6


GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 120
BÀI 8 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Bước 1: Lập phương trình
a)
Chọn ẩn số và nêu điều kiện thích hợp của ẩn số;
b)
Biểu thị các dữ kiện chưa biết qua ẩn số;
c)
Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Đối chiếu nghiệm của phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số và với đề bài để trả lời.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: TOÁN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ
Phương pháp giải
Tổng hai số x, y là
x
y
Tổng bình phương hai số x, y là
22
x
y
Tổng nghịch đảo của hai số x, y là
11
x
y
Ví dụ 1. (Bài 41, tr.58 SGK)
Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho
hai số này hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải
chọn những số nào?
Ví dụ 2 (Bài 44 tra.59/ SGK)
Đố: Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của
nó bằng một nửa đơn vị.
Trả lời: Số phải tìm bằng
1
hoặc 2
Ví dụ 3: (Bài 45, tr.59/SGK)
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
DẠNG 2: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Phương pháp giải:
Gọi s là quãng đường đi được trong thời gian t với vận tốc là v thì ta có công thức
.svt
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 121
Ví dụ 4: (Bài 43, tr.58 SGK)
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường song dài 120 km.
Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về , xuồng đi theo đường khác dài hơn
đường lúc đi 5 km với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết
rằng thời gian về bằng thời gian đi.
Ví dụ 5: (Bài 47, tr.59 SGK)
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một
lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước
cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
DẠNG 3: TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC
Phương pháp giải
Đưa về năng suất làm việc:
Nếu đội nào đó làm xong toàn bộ công việc trong x ngày thì trong 1 ngày đội đó làm được
1
x
công
việc
Ví dụ 7: (Bài 49, tr.59 SGK)
Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm
riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm
trong bao nhiêu ngày để xong việc?
DẠNG 4: TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC
Ví dụ 8. (Bài 46, tr.59 SGK)
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240
2
m
. Nếu tăng chiều rộng lên 3m và giảm chiều
dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất?
Ví dụ 9: (Bài 48, tr.59 SGK)
Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5dm để làm
thành một cái thùng không nắp có dung tích 1500
2
dm
(H.15). Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc
đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 122
Ví dụ 10. (Bài 53, tr.60 SGK)
Tỉ số vàng. Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn
với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn.
Hãy tìm tỉ số ấy.
Đó chính là bài toán mà Ơ-clit đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được
gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là
phép chia vàng hay là phép chia hoàng kim.
Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.
DẠNG 5: CÁC DẠNG KHÁC
Ví dụ 11: (Bài 42, tr.58 SGK)
Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn 1 năm. Lẽ
ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một
năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm
bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần tră
m trong một năm?
Ví dụ 12: (Bài 50, tr. 59 SGK)
Miếng kim loại thứ nhất nặng 880g, miếng kim loại thứ 2 nặng 858g. Thế tích của miếng thứ
nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10
3
cm
, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn
hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1
3
/
g
cm
. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại?
Ví dụ 13. (Bài 5, tr.59 SGK)
Người ta đổ thêm 200g nước vào một dung dịch chứa 40g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi
10%. Hỏi trước khi đó đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước?
C. LUYỆN TẬP
8.1 (Dạng 1) Tìm hai số biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu bình phương
của chúng bằng 119.
5dm 5dm
5dm
5dm
A
B
M
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 123
8.2 (Dạng 2) Một ca nô đi xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km. Biết rằng thời gian đi xuôi dòng lâu
hơn thời gian đi ngược dòng là 1 giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là 6km/h. Tính vận
tốc ca nô lúc ngược dòng.
8.3 (Dạng 3) Hai đội cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian
tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung thì công việc hoàn thành trong 6 giờ.
Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu?
8.4 (Dạng 4) Một đa giác lồi tất cả 170 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
8.5 (Dạng 5) Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi
hai dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế
và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người ngồi?
8.6 (Dạng 5) Một phòng học có một số dãy ghế tổng cộng 40 chỗ ngồi. Do phải xếp 55 chỗ nên người
ta kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy ghế thêm 1 chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong phòng?
8.7 (Dạng 3) Nếu mở cả hai vòi chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng
từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi
vòi chảy bao lâu đầy bể?
8.8 (Dạng 5) Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn
0,2g/cm
3
để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 0,7g/cm
3
. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất
lỏng?
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 124
.ÔN TẬP CHƯƠNG IV
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Hàm số
2
(0)yaxa
0a
Hàm số đồng biến khi
0x
, nghịch
biến khi
x0
0y là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt
được khi
0x
0a
Hàm số đồng biến khi
x0
, nghịch biến
khi
0x
.
0y
là giá trị lớn nhất của hàm số, đạt
được khi
0x
2. Phương trình bậc hai
2
0( 0)ax bx c a
2
4abc
0
, phương trình có hai nghiệm phân
b
iệt:
1
2
b
x
a

;
2
b
x
a

0
, phương trình có nghiệm kép:
2a
b
0
, phương trình vô nghiệm
2
'abc

'0
phương trình có hai nghiệm phân
b
iệt:
1
''b
x
a

;
2
''b
x
a

'0
, phương trình có nghiệm kép:
'
a
b

'0
, phương trình vô nghiệm
3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Nếu
12
,
x
x
là hai nghiệm của phương trình
2
0( 0)ax bx c a

) thì
12
12
.
b
xx
a
c
xx
a

Muốn tìm hai số u và
v
, biết ;uv Suv P , ta giải phương trình:
Nếu
a0bc
thì phương trình
2
0( 0)ax bx c a

có hai nghiệm
12
1;
c
xx
a

Nếu
0abc
thì phương trình
2
0( 0)ax bx c a

) có hai nghiệm
12
1;
c
xx
a
 
B. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
Bài 54. Vẽ đồ thị của hai hàm số
2
1
4
y
x và
2
1
4
y
x trong cùng một hệ trục tọa độ.
a) Qua điểm
(0;4)B kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số
2
1
4
y
x tại hai
điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.
x
y
O
x
y
O
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 125
b) Tìm trên đồ thị hàm số
2
1
4
y
x điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với
M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ
- Tính toán theo công thức.
Bài 55. Cho phương trình
2
20xx
a) Giải phương trình.
b) Vẽ hai đồ thị hàm số
2
y
x
và 2yx trong cùng một hệ trục tọa độ.
c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Bài 56. Giải các phương trình:
a)
42
31290xx
b)
42
2320xx
c)
42
510xx
Bài 57. Giải các phương trình:
a)
2
531211xx x b)
2
25
53 6
xxx

c)
2
10 2
22
x
x
x
xx

d)
2
0,5 7 2
319 1
xx
xx


e)
2
23 1 3( 1)xx x

f)
2
22 4 3( 2)xx x
Bài 58. Giải các phương trình:
a)
32
1, 2 0, 2 0xx x
;
b)
32
5510xx x
Bài 59. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a)
222
2( 2 ) 3( 2 ) 1 0xx xx
b)
2
11
430
xx
xx
æöæö
÷÷
çç
+-++=
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Bài 60. Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:
a)
2
1
1
12 8 1 0,
2
xx x b)
2
1
27390; 3xx x

c)
2
1
220, 2xx x d)
2
1
210,2xmxm x

Bài 61. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 126
a) 12; 28uv uv và
uv
; b) 3; 6uv uv

Bài 62. Cho phương trình
22
72(1) 0xmxm
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai
nghiệm của phương trình.
Bài 63. Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi
trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Bài 64. Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhung bạn Quân
nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là
120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
Bài 65. Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quãng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình
SƠn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga
chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài
900 km.
Bài 66. Cho tam giác ABC có
16BC
cm, đường
cao
12
A
H
cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh
M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai
đỉnh
P và Q thuộc cạnh BC. Xác định vị trí của điểm
M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật
bằng 36 cm
2
.
C. LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho phương trình
2
221 10xmxm .
a) Tìm
m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,
x
x
thoả mãn điều kiện
12
34 11xx
;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều dương
c) Tìm một hệ thức giữa
12
,
x
x
không phụ thuộc vào m.
Bài 2. Cho phương trình
22
110 ax a b x m
a) Với
1, 2ab chứng minh rằng khi đó phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. Tìm m để tổng
bình phương hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất và tìm nghiệm trong trường hợp này.
Bài 3. Giả sử
12
,
x
x
là nghiệm của phương trình
2
0( 0)
 ax bx c a
và
34
,
x
x
là nghiệm của
phương trình
2
0cx bx a , với a, c cùng dấu. Với điều kiện nào của a, c thì biểu thức
12 34

M
xx xx
đạt giá trị nhỏ nhất?
N
M
H
Q
P
C
B
A
GiáoviêncónhucầusởhữutrọnbộfilewordBàigiảngToán9cólờigiảichitiếtvuilòngliênhệzaloTrần
ĐìnhCư:0834332133đểđượchỗtrợtốiđa.
Page 127
Bài 4. Cho a, b ,c là ba số khác nhau và
0
c
. Chứng minh rằng nếu các phương trình
2
0xaxbc và
2
0xbxac có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là
nghiệm của phương trình :
2
0 xcxab
Bài 5. Định m để phương trình sau có nghiệm:
22
210
xxmx m
Bài 6. Gọi
12
,
x
x
là nghiệm của phương trình
2
0
xpxq
. Lập phương trình bậc hai có hai
nghiệm là
12
21
,
11
x
x
xx
Bài 7. Cho hai phương trình:
2
0ax bx c và
2
0
ax bx c (0)
a .
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm;
b) Tìm điều kiện để cả hai phương trình cùng có nghiệm;
c) Giả sử
12
,
x
x
là nghiệm của
2
0ax bx c và
34
,
x
x
là nghiệm của
2
0ax bx c , chứng minh
rằng:

22 2
12 34 12
2
x
xxx xx
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
2
1210xx x
(1)
b)

2
2
2
3
1

x
x
x
(2)
Bài 9. Giải các phương trình sau:
a)
43 2
410 xx xx ; b)
2
2
16 10 4
933




xx
x
x
c)


2
111
212
1

xx
x
Bài 10. Chứng minh rằng nếu phương trình
42
0
xaxb có 4 nghiệm phân biệt thoả:
21 32 43

x
xxx xx
thì
2
9100ab
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 128
BÀI 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:




22
2
222
;1
2
3
111
4
babcac
hbc
bc ah
hbc




B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông (hoặc hai cạnh góc vuông), tính các hình
chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và ngược lại
1. Phương pháp giải:
Vận dụng hệ thức

22
1: ;babcac


2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
(Bài 1, tr. 68 SGK)
Hãy tính
x
và
y
trong mỗi hình sau:
Ví dụ 2:
(Bài 12, tr. 11 SGK)
Tìm
x
và
y
trong hình 3.
Ví dụ 3:
(Bài 5, tr. 69 SGK)
Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh
huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 129
Ví dụ 4:
(Bài 6, tr. 69 SGK)
Đường cao của tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy
tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
3. Bài tập áp dụng
Bài tập 1.
Tìm
x
và
y
trong hình biết
13BC
và
5
.
12
AB
AC
Bài tập 2.
Tìm
x
và
y
trong hình.
Bài tập 3.
Tìm
x
và
y
trong hình.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 130
Dạng 2. Các bài toán liên quan đến độ dài đường cao ứng với cạnh huyền
1. Phương pháp giải
Vận dụng các hệ thức

2
2: '',hbc
3:ha bc
.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Tìm
,
x
y
trong hình vẽ
Ví dụ 2. Tìm
,
x
y
trong hình vẽ
Ví dụ 3: Người ta đưa hai cách vẽ đoạn trung bình nhân
x
của hai đoạn thẳng ,ab như trong hai
hình sau:
Ví dụ 4: Tìm
,
x
y
trong hình vẽ
Dạng 3. Các bài toán liên quan đến tổng các nghịch đảo bình phương của hai đoạn thẳng
1. Phương pháp giải
Vận dụng hệ thức
222
111
.
hbc

2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 2. (Bài 9, tr.70 SGK)
y
x
7
5
x
1
y
2
b
a
O
x
a
b
O
4
9
x
x
x
2
y
y
y
12
16
x
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 131
Cho hình vuông
.ABCD
Gọi
I
là một điểm nằm giữa
A
và
.B
Tia
DI
và tia
CB
cắt nhau ở
.K
Kẻ đường thẳng qua
,D
vuông góc với
.DI
Đường thẳng này cắt đường thẳng
BC
tại
.I
Chứng
minh rằng:
a).
Tam giác
DIL
là một tam giác cân;
b).
Tổng
22
11
DI DK
không đổi khi
I
thay đổi trên cạnh
.AB
C. LUYỆN TẬP
Bài 1.
Tính
x
và
y
trong mỗi hình sau:
Hình 14 Hình 15
Bài 2.
Cho tam giác nhọn
ABC
, hai đường cao
CB
và
CB
, cắt nhau tại
H
. Trên
HB
và
HC
lần
lượt lấy các điểm
M
và
N
sao cho
90 .
o
AMC ANC
Chứng minh rằng
.AM AN
Bài 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết
20
21
AB
AC
và
420AH
. Tính chu vi
của tam giác ABC.
Bài 4.
Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết
213AB
;
6OA
. Tính diện tích hành thang.
Bài 5.
Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết khoảng cách từ O tới mỗi cạnh
của hình thoi là h. Biết rằng:
;AC m BD n
. Chứng minh rằng:
22 2
11 1
4mn h

.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 132
BÀI 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Cho góc nhọn
sin
cạnhđối
cạnhhuyền
; cos
cạnh kề
cạnh huyền
tan
cạnhđối
cạnhkề
; cot
cạnhkề
cạnhđối
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau thì
sin
góc này bằng
cosin
góc kia,
tan
góc này bằng
cotang
góc kia.
sin cos ;
cos sin
BC
BC
tan cot ;
cot tan .
BC
BC
3. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt
Tỉ số
lượng giác
0
30
0
45
0
60
sin
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tan
3
3
1
3
cot
3
1
3
3
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Viết các tỉ số lượng giác của một góc
cho trước
1. Phương pháp giải:
Dựng một tam giác vuông có một góc nhọn là
sau đó viết các tỉ số lượng giác theo định
nghĩa.
2. Ví dụ minh họa.
(Bài 10, tr. 76 SGK).
Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn
0
34
rồi viết các tỉ số lượng giác
của góc
0
34 .
Dạng 2. Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong một tam giác vuông biết độ dài
các cạnh
1. Phương pháp giải
Dựng một tam giác có hai cạnh là m và n ( m và n là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc
vuông và cạnh huyền ) rồi vận dụng định ngĩa của các tỉ số lượng giác để nhận ra góc
2. Ví dụ minh họa.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 133
Ví dụ 1: (Bài 11, tr. 76 SGK) Cho tam giác
ABC
vuông tai
C
, trong đó
BC 1, 2 m
. Tính các
tỉ số lượng giác cua góc
B
, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc
A
.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 8 cm, AC 15 cm
. Tính tỉ số lượng giác của góc
C , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc B .
Hướng dẩn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác A C vuōng tại A ta có:
22222
BC AB AC 8 15 289
Vậy
BC 289 17( cm)
Ta có:
8
sin
17

AB
C
BC
15
cos
17

AC
C
BC
AB 8 AC 15
tanC ; cot gC .
AC 15 BC 8
 
Do
B và
C là hai góc phụ nhau (tức tổng hai góc bằng 90
) Nên ta suy ra:
815
sin cos ;cos sin
17 17

AB AC
CB CB
BC BC
AB 8 AC 15
tanC cot gB ;cot gC tan B
AC 15 BC 8

Dạng 3. Biến đổi tỉ số lượng giác của một góc nhọn thành tỉ số lượng giác của một góc nhỏ
hơn ( hoặc lớn hơn 45 độ)
1. Phương pháp giải
Dựng một tam giác có hai cạnh là m và n ( m và n là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc
vuông và cạnh huyền ) rồi vận dụng định ngĩa của các tỉ số lượng giác để nhận ra góc
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 12, tr. 76 SGK) Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác
của các góc nhỏ hơn 45
:
'
sin 60 ;cos75 ;sin52 30 ;cot82 ;tan80

Ví dụ 2. Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn
45
:
os32 ;sin 42 't73;co 2 67

c
Dạng 4. Dựng góc
biết một tỉ số lượng giác là
m
n
1. Phương pháp giải
Dựng một tam giác có hai cạnh là m và n ( m và n là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc
vuông và cạnh huyền ) rồi vận dụng định ngĩa của các tỉ số lượng giác để nhận ra góc
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 13, tr. 77 SGK) Dựng góc nhọn
, biết rằng:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 134
a).
2
sin
3
; b).
cos 0,5
;
c).
3
tan
4
; d).
3
cot
2
.
Dạng 5.
Chứng minh một số hệ thức lượng giác
1. Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác và nếu cần thì dung thêm mối quan hệ giữa các cạnh
trong một tam giác vuông.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
( Bài 14, tr. 77 SGK)
Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng : Với góc nhọn
tùy ý, ta có:
a)
sin
tan
cos
;
cos
cot
sin
;
tan .cot 1

.
b)
22
sin cos 1


.
Gợi ý: sử dụng định lí Pi-ta-go.
Dạng 6.
Tính độ dài một cạnh trong tam giác vuông biết một góc và một cạnh
1. Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác, chẳng hạn
sin
canh doi
canh huyen
cạnh đối = cạnh huyền .
sin
.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (
Bài 16, tr 77 SGK)
Cho tam giác vuông có một góc
60
và cạnh huyền có độ dài là
8.
Hãy tìm độ dài của cạnh đối
diện với góc
60 .
Ví dụ 2.
(Bài 17, tr. 77 SGK). Tìm
x
trong Hình 25.
Hình 25
Dạng 7.
Biết sin hoặc cosin của một góc, tìm các tỉ số lượng giác khác của góc đó ).
1. Phương pháp giải
Vận dụng các hệ thức lượng giác cơ bản ở bài 14 (ví dụ 5).
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.
(Bài 15, tr. 77 SGK)
Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Biết
cos 0,8B
, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc
.C
Gợi ý:
Sử dụng bài tập 14.
Ví dụ 2:
Cho
7
sin .
25
Tìm cos ; tg

và cotg
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 135
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
22 2 2
7 49 576
sin cos 1 cos 1 sin 1 1
25 625 625





Do
là góc nhọn nên
cos 0
Hay nói cách khác:
576 24
cos
625 25

Ta có:
7
sin 7
25
tg
24
cos 24
25
.
Dạng 8. Một số hệ thức lượng giác khác.
1. Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác và hệ thức cơ bản
22
sin cos 1

2. Ví dụ minh họa.
Vi du 1. Chimg minh các hệ thửc:
a)
2
2
1
1tan
cos

b)
2
2
1
1cot
sin

Dạng 9. Biết tang hoặc cotang của một góc, tìm các tỉ số lượng giác của góc khác
1. Phương pháp giải
Sử dụng hệ thức
2
2
1
1tan
cos

hoặc
2
2
1
1cot
sin

đểtìm cos và
sin
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Biết
5
tan
12
hãy tìm
sin
và cos
.
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông
ABC
vuông ở
8
A, AB 30( cm), tan B
15
.
a. Tính
AC, BC
.
b. Tính sin ,cos ,cot
B
BgB.
Hướng dẫn giải
a. Trong tam giác vuông ABC ta có:
8
tg
15

AC
B
AB
mà 30( cm)AB nên ta có:
8 30.8
16( cm)
30 15 15

AC
AC
Theo định li Pitago ta lại có
22222
BC AB AC 30 16 1156 tir đây suy ra : BC 34( cm)
b. Theo định nghĩa ta có các ti số lượng giác của các góc là:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 136
16
sin 0,4706
34

AC
B
BC
30
cos 0,8824
34

AB
B
BC
AB 30
tg B 1,875.
AC 16

C. LUYỆN TẬP
Bài 2.1 (Dang 3). Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính nhanh giá trị biểu thức sau :
a)
20 2 0 2 2 0
cos 15 cos 25 cos 35 cos 45
M
222
cos 55 cos 65 cos 75


b)
22 2 2
sin 10 sin 20 sin 30 sin 40

N
222
sin 50 sin 70 sin 80


Bài 2.2 ( Dạng 5) cho góc nhọn
. Chứng minh rằng :
sin tan
và
cos cot .
Bài 2.3. Cho biết
cos 0,4
, hãy tìm sin;tan;cot

.
Bài 2.4 Cho góc nhọn
. Biết rằng
1
cos sin
5

. Hãy tính
cot
.
Bài 2.5. ( Dạng 3 và 7) Cho tam giác
ABC
vuông tại
C
. Biết
5
cos
13
C
, tính
tan B
.
Bài 2.6. ( Dạng 8) Chứng minh:
a).
cos 1 sin
1sin cos
b).
22
(sin cos ) (sin cos )
4
sin cos
 


Bài 2.7. Biết
8
cot
15
Tính
sin
và
cos
Bài 2.8. Cho tam giác nhọn
ABC
. Gọi ,,abc là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh ,,
A
BC.
a). Chứng minh rằng:
sin sin sin
abc
ABC

.
b). Có thể sảy ra đẳng thức:
sin sin sinABC
không?
Bài 2.9. Cho tam giác nhọn
ABC
,
30A 
. Hai đường cao
CH
và
BK
.
Chứng minh rằng:
3
AHK BCHK
SS
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 137
BÀI 3. BẢNG LƯỢNG GIÁC
Hướng dẫn sử dụng trên dòng máy 580VN X
1. Tìm tỉ số lượng giác của một góc nhọn cho trước
Ví dụ 1:
Tính
sin 60 , os45 , tan 30 , cot 60 .c
Hướng dẫn thực hành
Bước 1:
Chuyển sang chế độ đơn vị độ bằng cách ấn phím
ETUP 2 1SHIFT S
Bước 2:
Tình
sin 60
os45c
tan 30
cot 60 .
Lưu ý:
Trong máy tính không có phím
cot
. Muốn tính
cot
ta ấn

1
tan
cot osc
.
cot
là giá trị lượng giác của cotang, còn cos là giá trị lượng giác của cosin
2. Tìm số đo của góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác của góc đó
Ví dụ:
Tìm góc nhọn x khi biết
12
)sin ; )cos ; )tan 1; )cot 3.
22
ax bx cx dx
Hướng dẫn thực hành
Bước 1:
Chuyển sang chế độ đơn vị độ bằng cách ấn phím
ETUP 2 1SHIFT S
Bước 2:
Tính
1
sin
2
x
2
cos
2
x
tan 1x
cot 3x
1
sin
2
SHIFT
2
cos
2
SHIFT
tan 1SHIFT
1
tan
3
SHIFT
Vậy
30x 
Vậy
45x 
Vậy
45x

Vậy
30x 
Lưu ý:
Trong máy tính không có phím
cot
. Muốn tính
cot xa
ta ấn
1
tanSHIFT
a
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 138
BÀI 4. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Các hệ thức
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.
2. Giải tam giác vuông
Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố ( trong đó có ít nhất
một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông).
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. GIẢI TAM GIÁC VUÔNG
Phương pháp giải
Dùng hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông và dùng bảng lượng giác hoặc
máy tính để tính các yếu tố còn lại.
Ví dụ 1. (Bài 27, tr 88 SGK)
Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng:
a)
10cm, C 30 ;b
b)
10cm, C 45 ;
c
c)
a20 cm,B35

; d)
c21cm,b18 cm
.
Ví dụ 2: Giải tam giác vuông ABC vuông tại
A
biết rằng :
a.
0
72 cm,B 58a
b.
0
b
20 cm, B 48
c.
b
15 cm,C 30

c
a
b
H
ình 27
B
A
C
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 139
Hướng dẫn giải
a. Ta có:
A B C 180

Do đó:
00
C 180 A B 180 90 58 32


Áp dụng tỉ số lượng giác ta được:
AC
sin B AC BC sin B 72 sin 58 61,2( cm)
BC


Áp dụng định lý Pi-Ta-Go ta có:
222
BC AB AC
2222 2
AB BC AC 72 61,2 1438,56
b. Ta có:
a
A B C 180
Do đó:
ˆˆ
ˆ
180 180 90 48 42
    
CAB
Áp dung ti số lượng giác ta được:
0
20 20
ˆ
sin 27( cm)
ˆ
sin 48 0.74
sin

AC AC
BBC
BC
B
Áp dung định lý Pi-Ta-Go ta có:
222 22222
BC AB AC AB BC AC 27 20 329
Do đó:
AB 329 18,14( cm) .
c)
Tac : A B 1ó C80

Do đó:
B 180 A C 180 90 20 70

 
Áp dụng ti số lương giác ta được:
15
ˆ
cos 15,96( cm)
ˆ
0.94
cos

AC AC
CBC
BC
C
Ap dụng định lý Pi-Ta-Go ta có:
222 222 22
BC AB AC AB BC AC 15,96 15 29, 72
Do dó:
AB 29,72 5,45( cm )
Dạng 2. TÍNH CẠNH, TÍNH GÓC CỦA TAM GIÁC
Phương pháp giải
Vẽ thêm một đường cao để vận dụng hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 140
Ví dụ 1.
(Bài 30, tr.89 SGK)
Cho tam giác
,ABC
trong đó
11 , 38 ,BC cm ABC
30 .ACB 
Gọi điểm
N
là chân
đường vuông góc kẻ từ
A
đến cạnh
.BC
Hãy tính:
a)
Đoạn thẳng
;AN
b)
Cạnh
.AC
Ví dụ 2.
(Bài 31, tr.89 SGK)
Trong hình 33:
8, 9,6, 90, 54AC cm AD cm ABC ACB
và
74 .ACD 
Hãy tính:
a)
Đoạn thẳng
;AB
b)
.ADC
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
Phương pháp giải
Dùng hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông.
Ví dụ 1
: ( bài 26, tr88 SGK)
Các tia nắng Mặt Trời tạo với mặt đất một góc xấp xĩ bằng
34
và bóng của một tháp trên
mật đất dài
86 m
. Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 141
Ví dụ 2:
(Bài 28, tr89 SGK)
Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia
sáng Mặt Trời tạo với mặt đất (góc
như trong hình 35).
Ví dụ 3:
(Bài 29, tr89 SGK)
Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chéo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên
phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy đò lệch đi một
góc bao nhiêu độ? (góc
trong hình 36).
Ví dụ 4:
(Bài 32, tr89 SGK)
Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5
phút.Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc
0
70
.Từ đó ta đã tính được
chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có hãy tính kết quả (làm tròn đến mét).
C. LUYỆN TẬP
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 142
Bài 4.1 (Dạng 1) Giải tam giác vuông ABC, biết
90
A và:
a)
15 ; 10 .acmbcm
b)
12 ; 7 .bcmccm
Bài 4.2 (Dạng 2) Tam giác ABC có
60 ; 50

BC
và AC= 35cm. Tính diện tích tam giác ABC (
làm tròn đến hàng đơn vị).
Bài 4.3 (Dạng 2) Tứ giác ABCD có
90
AD ,
40
C . Cho biết AB = 4cm; AD = 3cm, tính
diện tích tứ giác ABCD.
Bài 4.4 (Dạng 2) Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết 4;
A
Ccm
5
BD cm
và
50
AOB . Tính diện tích tam giác ABCD.
Bài 4.5 (Dạng 2) Chứng minh rằng:
a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các
đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi
các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
Bài 4.6 (Dạng 3) Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là
0
28 và có độ cao là 2,1m. Tính độ
dài của mặt cầu trượt ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất ).
Bài 4.7 (Dạng 3) Hãy xác định độ cao của cột ăng- ten CH trong hình 38 với
8,5am
;
00
20 ; 24


(làm tròn đến hàng đơn vị )
Hình 38
A
C
H
B
α
β
a
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 143
ÔN TẬP CHƯƠNG I
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SÁCH GIÁO KHOA
Bài 33
. Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây :
a)
Trong hình 39
sin
bằng :
A)
5
3
B)
5
4
C)
3
5
D)
3
4
b)
Trong hình 40,
sin Q
bằng:
A)
PR
PS
B)
PR
QR
C)
PS
SR
D)
SR
QR
c)
Trong hình
41
,
0
cos30
bằng
A)
2
3
a
.
B)
3
a
.
C)
3
2
.
D)
2
23a
. Hình 41
Bài 34. a)
Trong hình
42
, hệ thức nào trong các hệ thức sau là
đúng ?
A)
sin
b
c
.
B)
cot
b
c
.
C)
tan
a
c
.
D)
cot
a
c
. Hình 42
b)
Trong hình
43
, hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng?
A)
22
sin cos 1


.
B)
sin cos

.
C)

0
cos sin 90


D)
sin
tan
cos
.
Hình 39
α
5
4
3
Hình 40
S
R
P
Q
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 144
Hình 43
Bài
35.
Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng
19 : 28
. Tìm các góc đó
Bài 36.
Cho tam giác có một góc bằng
0
45
. Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần
20cm
và
21cm
. Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại. (lưu ý hai trường hợp hình
44
và hình
45
).
Hình 44 Hình 45
Bài 37.
Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác
đó.
b) Hỏi điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?
Bài 38.
Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 47. Tính khoảng cách giữa
chúng (làm tròn đến mét).
45
0
20
21
B
A
C
H
45
0
20
21
B
A
C
H
H
ình 4
7
15
0
50
0
A
B
I
K
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 145
H
ình 51
b)
a)
70
0
60
0
3
3
B
C
C
A
A
B
Bài 39.
Tính khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 48 (làm tròn đến mét).
Bài 40.
Tính chiều cao của cây trong hình 49 (làm tròn đến đềximét).
Bài 41.
Tam giác
ABC
vuông tại
C
có:
2AC cm
;
5BC cm
;
BAC x
;
ABC y
.
Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm
xy
:
0
sin23 36' 0,4
;
0
2cos66 24' 0,4
;
0
tan21 48' 0,4
.
Bài 42.
Ở một cái thang dài
3m
người ta ghi: “Để đảm bảo an
toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một
góc có độ lớn từ
0
60
đến
0
70
”. Đo góc thì khó hơn đo độ
dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt
cách tường khoảng bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?
Bài 43.
Vào khoảng năm 200 trước công nguyên, Ơ-ra-tô-xten,
một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được
“chu vi” của Trái Đất (chu vi đường xích đạo) nhờ hai quan
sát sau:
1)
Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng
các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là Át-xu-an), tức là
tia sáng chiếu thẳng đứng.
2)
Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-xăng-đri-a cách Xy-en
800km
, một tháp cao
25m
có bóng trên mặt đất dài
3,1 m
.
Từ hai quan sát trên, em hãy thhh xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất.
(Trên hình 52, điểm S tượng trưng cho thành phố A – lếch –
xăng – đri – a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn
H
ình 48
20m
Cọc
Cọc
5m
50
0
C
A
D
B
E
H
ình 49
1,7m
30m
35
0
B
A
C
H
H
ình 52
H
ình 50
y
x
B
C
A
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 146
thẳng AB)
B. BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết
HB 112
,
HC 63
.
a) Tính độ dài cạnh AH
b) Tính độ dài AD
Bài 2. Cho hình thang ABCD có
o
AD90
và hai đường chéo vuông góc tại O.
a) Chứng minh rằng hình thang này có chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy.
b) Cho
AB 9
;
CD 16
. Tính diện tích hình thang ABCD.
c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA; OB; OC; OD
Bài 3. Tính diện tích hình thang ABCD (AB / /CD ), biết:
AB 10
;
CD 27
;
AC 12
và
BD 35
Bài 4. Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120 (cm). Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8,15,17.
a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông.
b) Tính khoảng cách từ giao điểm của ba đường phân giác đến mỗi cạnh
Bài 5. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
AB AC
, đường cao
A
H . Ta đặt
,,
B
CaACbABc
và
AH h
. Chứng minh rằng tam giác có các cạnh
;ahbc
và
h
là một tam giác vuông.
Bài 6. Cho tam giác nhọn
,
A
BC
diện tích là
1.
Vẽ ba đường cao
,,.
A
DBECF
Chứng minh rằng:
a)
222
cos cos cos
AEF BFD CDE
SSS A B C
b)
222
sin cos cos
DEF
SABC
Bài 7. Cho tam giác
ABC
cân tại
A
, đường cao
A
H . Biết
48 ; 13cm.AAH
Tính chu vi của
tam giác
ABC
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 147
BÀI 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Đường tròn: Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi ( R > 0) là
đường tròn tâm O có bán kính R (h.54).
2. Ba vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O; R)
Vị trí tương đối Hệ thức
M nằm trên đường tròn (O)
OM R
M nằm trong đường tròn (O)
OM R
M nằm ngoài đường tròn (O)
OM R
3. Định lí về sự xác định một đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
4. Tính chất đối xứng của đường tròn
Đường tròn là hình có tâm đối xứng và có trục đối xứng: Tâm đối xứng là tâm đường tròn, trục đối
xứng là bất kì đường kính nào.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM THUỘC CÙNG MỘT ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp giải
Chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm.
Ví dụ 1: (Bài 1, tr. 99 SGK)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm, BC=5cm. Chứng minh rằng bốn điểm
A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH TÂM CỦA ĐƯỜNG TRÒN ĐI QUA BA ĐIỂM
Phương pháp giải
Tâm đường tròn đi qua 3 điểm A,B,C là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC.
Ví dụ 2: (Bài 2, tr. 100 SGK)
R
H
ình 54
O
M
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 148
Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng.
(1) Nếu tam giác có 3 góc nhọn (4) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm
bên ngoài tam giác.
(2) Nếu tam giác có góc vuông (5) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm
bên trong tam giác.
(3) Nếu tam giác có góc tù (6) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung
điểm cạnh lớn nhất.
(7) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung
điểm cạnh nhỏ nhất.
Ví dụ 3: (Bài 3, tr. 100 SGK)
Chứng minh các định lí sau:
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam
giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ 4. (Bài 5, tr. 100 SGK)
Đố: Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn
đó.
DẠNG 3. NHẬN BIẾT HÌNH CÓ TÂM ĐỐI XỨNG, TRỤC ĐỐI XỨNG
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất đường tròn có tâm đối xứng , trục đối xứng, hình chữ nhật có tâm đối xứng, trục
đối xứng.
Ví dụ 5. (Bài 6, tr 100 SGK)
Trong các biển báo giao thông sau, biển nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối
xứng?
a) Biển cấm đi ngược chiều? (h.58)
b) Biển cấm ô tô đi? (h.59)
Hình 58
Hình 59
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 149
DẠNG 4. XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI MỘT ĐƯỜNG TRÒN CHO
TRƯỚC
Phương pháp giải:
Muốn xác định vị trí của điểm
M
đối với đường tròn
;OR
ta so sánh khoảng cách OM với bán
kính R.
Ví dụ 6. (Bài 4, tr 100 SGK)
Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, hãy xác định vị trí của mỗi điểm

1; 1A 
,
1; 2B
,

2; 2C đối với đường tròn tâm
O
bán kính 2.
DẠNG 5. GHÉP HAI Ô ĐỂ ĐƯỢC MỘT CÂU THOẢ MÃN ĐỊNH NGHĨA
ĐƯỜNG TRÒN HOẶC HÌNH TRÒN
Phương pháp giải
Ghép một ý với một ý khác sao cho thành mọt câu thoả mãn kiến thức đã học.
Ví dụ 7. (Bài 7 trang 101, sgk)
Hãy nối một ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:
(1) Tập hợp các điểm có khảng cách đến điểm A
cố định bằng 2cm
(4) là đường tròn tâm A bán kính 2cm
(2) Đường tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả
những điểm
(5) có khoảng các đến điểm A nhỏ hơn hoặc
bằng 2cm
(3) Hình tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả
những điểm
(6) có khoảng các đến điểm A bằng 2cm
(7) có khoảng các đến điểm A lớn hơn 2cm
DẠNG 6. DỰNG ĐƯỜNG TRÒN ĐI QUA HAI ĐIỂM B, C CHO TRƯỚC VÀ THOẢ
THÊM MỘT ĐIỀU KIỆN KHÁC
Phương pháp giải
Để dựng một đường tròn, ta cần xác định tâm và bán kính. Tâm
O
phải thỏa mãn hai điều kiện,
trong đó có một điều điện là nằm trên đường trung trực của
.BC
Ví dụ 8. (Bài 8, tr.101 SGK)
Cho góc nhọn
x
Ay
và hai điềm
,
B
C
thuộc tia
A
x
. Dựng đường tròn

O
đi qua
B
và sao cho
O
nằm trên tia
A
y
.
DẠNG 7. VẼ HÌNH TRANG TRÍ GỒM NHỮNG CUNG TRÒN
Phương pháp giải
Phải xác định tâm và bán kính của các cung tròn có trong hình.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 150
Ví dụ 9. (Bài 9, tr. 101, SGK)
Đố:
a) Vẽ hình hoa bốn cánh. Hình hoa bốn cánh trên hình 61 được tạo bởi các cung có
tâm A, B, C, D (trong đó A, B, C, D là các đỉnh của một hình vuông và tâm của cung
là tâm của đường tròn chứa cung đó). Hãy vẽ lại hình 61 vào vở.
b) Vẽ lọ hoa. Chiếc lọ hoa trên hình 62 được vẽ trên giấy kẻ ô vuông bởi 5 cung có
tâm A, B, C, D, E. Hãy vẽ lại hình 62 vào giấy kẻ ô vuông.
Hình 61 Hình 62
DẠNG 8. CHỨNG MINH MỘT ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN CỐ ĐỊNH
Phương pháp giải
Chứng minh điểm đó cách một điểm cố định bằng một khoảng không đổi.
Ví dụ 10. Cho đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng:
a) Nếu điểm M thuộc đường tròn thì
90AMB .
b) Đảo lại, nếu
90AMB  thì điểm M thuộc đường tròn đường kính AB.
C. LUYỆN TẬP
1.1 (Dạng 1). Cho tứ giác
ABCD
có
90 .CD Gọi
,,,MNPQ
lần lượt là trung điểm của
,,AB BC DC
và
.CA
Chứng minh rằng bốn điểm
,,,MNPQ
cùng nằm trên một đường tròn.
1.2 (Dạng 1). Cho hình thoi
ABCD
có
60 .A  Gọi
,,,EFGH
lần lượt là trung điểm các cạnh
,AB BC
,
,CD DA
. Chứng minh rằng 6 điểm
,,,,EFGHB
và
D
cùng nằm trên một đường
tròn.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 151
1.3 (Dạng 2). Cho hình thoi
ABCD
, đường trung trực của cạnh
A
B
cắt
B
D
tại
E
và cắt
AC
tại
F
. Chứng mình rằng
E
và
F
lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác
ABC
và
A
BD
.
1.4 (Dạng 8). Tam giác
ABC
có cạnh
BC
cố định, đường trung tuyến
1
B
M
cm. Hỏi
A
di động
trên đường nào?
1.5 (Dạng 8). Cho đường tròn

O
đường kính
A
B
. Vẽ đường tròn
I
đường kính
OA
. Bán kính
OC
của đường tròn
O
cắt đường tròn
I
tại
.
D
Vẽ
CH AB
. Chứng minh rằng, tứ giác
ACDH
là hình thang cân.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 152
BÀI 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. So sánh độ dài của đường kính và dây
Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
-Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của
dây ấy
- Đảo lại, trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua
tâm thì vuông góc với dây ấy.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG KHÔNG BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Có thể dùng định lí: Trong các dây của đường tròn , dây lớn nhất là đường kính
Ví dụ 1. (Bài
10
,tr.
104
SGK)
Cho tam giác
ABC
,các đường cao
,BD CE
.
Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm
,,,BEDC
cùng thuộc một đường tròn.
b)
DE BC
.
DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Có thể dùng định lí đường kính vuông góc với một dây.
Ví dụ 2. (Bài 11. Tr 104 SGK)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 153
Cho đường tròn (O), đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi
H và K theo thứ tự lag chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD.
Chứng minh CH = DK.
Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.
C. LUYỆN TẬP
2.1 (Dạng 1). Cho đường tròn (O; R) và ba dây AB, AC, AD; gọi M, N lần lượt lfa hình
chiếu của B lên các đường thẳng AC, AD. Chứng minh rằng MN
2R.
2.2 (Dạng 1). Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Chứng
minh rằng
2
2.
ABCD
SR
2.3 (Dạng 1). Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm. Gọi M là trung điểm của
AB. Qua M vẽ dây CD không trùng với AB. Chứng minh rằng điểm M không là trung
điểm của CD.
2.4 (Dạng 2). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B.
Qua M vẽ dây cung CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.
a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
b) Giả sử

R6,5cm
và
MA 4 cm
. Tính CD
c*) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh rằng:
3
MC
MH.MK
2R
H
ình 65
D
C
B
A
O
H
K
M
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 154
BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY CUNG VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY CUNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Trong một đường tròn
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Trong hình 66:
OH AB; OK CD
AB CD OH OK


2. Trong hai dây của một đường tròn
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT DÂY CUNG
Phương pháp giải:
Để tính độ dài của một dây ta có thể tính khoảng cách từ tâm đến dây. Kết hợp với bán kính đã
biết, dùng định lí Py – ta – go ta tính được độ dài của một nửa cung đã cho.
Ví dụ 1: (Bài 14 trang 106 SGK)
Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song
với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Bạn có thể dùng định lí đường kính vuông góc với một dây; định lí về sự liên hệ giữa dây và
khoảng cách từ tâm đến dây hoặc dùng phương pháp tam giác bằng nhau.
Ví dụ 2: (Bài 12 trang 106 SGK)
Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 155
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc
với AB. Chứng minh rằng CD = AB.
Ví dụ 3. (Bài 13, tr. 106 SGK)
Cho đường tròn
(O)
có các dây
AB
và
CD
bằng nhau, các tia
AB
và
CD
cắt nhau
tại điểm
E
nằm bên ngoài đường tròn. Gọi
H
và
K
theo thứ tự là trung điểm của
AB
và
CD
. Chứng minh rằng:
a)
EH EK
;
b)
EA EC
.
DẠNG 3. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG KHÔNG BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Dùng định lý: dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và đảo lại hoặc dùng mối quan hệ giữa cạnh huyền
và cạnh góc vuông trong một tam giác vuông
Ví dụ 4. (Bài 15, tr. 106 SGK)
Cho hình 70, trong đó hai đường tròn cùng có tâm là
O
. Cho biết
AB CD
. Hãy so
sánh các độ dài :
a)
OH
và
OK
b)
ME
và
MF
c)
MH
và
MK
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 156
Ví dụ 5. (Bài 16, tr. 106 SGK)
Cho đường tròn
(O)
, điểm
A
nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây
BC
vuông góc với
OA
. Vẽ dây
EF
bất kỳ đi qua
A
và không vuông góc với
OA
. So sánh độ dài hai
dây
BC
và
EF
C. LUYỆN TẬP
3.1 (Dạng 1). Cho đường tròn
(O)
và hai dây
AB
,
CD
bằng nhau và vuông góc với nhau tại
I
.
Giả sử
IA 2cm
,
IB 4cm
. Tính khoảng cách từ tâm
O
đến mỗi dây
3.2 (Dạng 1). Cho đường tròn

; 2,5Ocm
và dây
AB
di động sao cho
4.AB cm
Hỏi trung
điểm
M
của
AB
di động trên đường nào?
3.3 (Dạng 2). Cho đường tròn

; OR
. Vẽ hai bán kính
,OA OB
. Trên các bán kính
,OA OB
lần
lượt lấy các điểm
M
và
N
sao cho
OM ON
. Vẽ dây
CD
đi qua
M
và
N
(
M
nằm giữa
C
và
N
).
a) Chứng minh rằng
CM DN
b) * Giả sử
90
o
AOB , hãy tính
OM
theo
R
sao cho:
.CM MN ND
3.4 (Dạng 2). Cho đường tròn

; OR
đường kính
AB
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm của
,OA OB
. Qua
M
và
N
lần lượt vẽ các dây
CD
và
EF
song song với nhau (
C
và
E
cùng nằm
trên một nửa đường tròn đường kính
AB
).
a) Chứng minh rằng tứ giác
CDFE
là hình chữ nhật.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 157
b) Giả sử
CD
và
E
F cùng tạo với
A
B một góc nhọn là 30
o
, tính diện tích hình chữ nhật
CDFE
.
3.5 (Dạng 3). Cho đường tròn

; 13O
và một điểm
M
cách
O
là
5.
a) Tính dộ dài của dây dài nhất và dây ngắn nhất đi qua
M
.
b) Có bao nhiêu dây có độ dài là một số tự nhiên đi qua
.
M
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 158
BÀI 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Vị trí tương đối cảu đường thẳng và đường tròn Số điểm chung
Hệ thức giữa
d
và
R
+ Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
+ Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
+ Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
2
1
0
dR
dR
dR
2. Định lí
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc
với bán kính đi qua tiếp điểm.
Trong hình 72:
a
là tiếp tuyến của
(O)
, tiếp điểm
H
⇒
aOH
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHO BIẾT
d
VÀ
R
, XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG
THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN HOẶC NGƯỢC LẠI
Phương pháp giải
Hãy so sánh
d
với
R
:
Nếu
dR
(
dR
hoặc
dR
) thì đường thẳng không cắt đường tròn (cắt đường tròn hoặc tiếp xúc
với đường tròn) và ngược lại.
Ví dụ 1. (Bài 17, tr. 109 SGK)
Điền vào các chỗ trống
(...)
trong bảng sau (
R
là bán kính của đường tròn,
d
là
khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) :
R
d
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
5
cm
6
cm
4
cm
3
cm
...
7
cm
...
Tiếp xúc nhau
...
Ví dụ 2. (Bài 18, tr. 110 SGK)
Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm
A(3;4)
. Hãy xác định vị trí tương đối của
đường tròn
(A;3)
và các trục tọa độ
Hình 72
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 159
DẠNG 2. TÌM VỊ TRÍ CỦA TÂM MỘT ĐƯỜNG TRÒN CÓ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC
VÀ TIẾP XÚC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
Xác định xem tâm đường tròn cách đường thẳng cho trước một khoảng là bao nhiêu rồi vận dụng
tính chất các điểm cách một đường thẳng cho trước một khoảng cho trước
Ví dụ 3. (Bài 19, tr. 110 SGK)
Cho đường thẳng
xy
. Tâm của các đường tròn có bán kính bằng
1cm
và tiếp xúc với
đường thẳng
xy
nằm trên đường nào ?
DẠNG 3. TÍNH ĐỘ DÀI CẢU MỘT ĐOẠN TIẾP TUYẾN
Phương pháp giải
Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và định lý Pi-ta-go.
Ví dụ 4. (Bài 20, tr. 110 SGK)
Cho đường tròn tâm
O
bán kính
6
cm và một điểm
A
cách
O
là
10
cm. Kẻ tiếp
tuyến
AB
với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài
AB
.
C. LUYỆN TẬP
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 160
4.1 (Dạng 1). Cho
//ab
và cách nhau một khoảng là 2 cm. Lấy điểm
OaÎ
, vẽ đường tròn
()
;2Ocm
. Chứng minh rằng đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng
b
.
4.2 (Dạng 1). Cho đường thẳng
xy
đi qua điểm
A
nằm trong đường tròn
()
;OR
. Chứng minh rằng
đường thẳng
x
y
và đường tròn
()
;OR
cắt nhau.
4.3 (Dạng 2). Cho hai đường thẳng
a
và
b
song song với nhau, cách nhau một khoảng là
h
. Một
đường tròn
()
O
tiếp xúc với
a
và
b
. Hỏi tâm
O
di động trên đường nào?
4.4 (Dạng 3). Cho đường tròn
()
;2Ocm
và một điểm
A
chạy trên đường tròn đó. Từ
A
vẽ tiếp
tuyến
x
y
. Trên
x
y
lấy một điểm
M
sao cho 23AM = cm. Hỏi điểm
M
di động trên đường
nào?
4.5 (Dạng 3). Cho đường tròn
()
;OR
và dây
1, 6 RAB
=
. Vẽ một tiếp tuyến song song với
A
B ; cắt
các tia
OA
,
OB
theo thứ tự tại
M
và
N
. Tính diện tích tam giác
OMN
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 161
BÀI 5. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Dấu hiệu 1:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm
thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Dấu hiệu 2: Theo định nghĩa của tiếp tuyến.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH MỘT ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA MỘT
ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp giải
Có thể dùng một trong hai cách:
- Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó.
- Chứng minh
dR=
.
Ví dụ 1. (Bài 21, tr 111 SGK)
Cho tam giác
ABC
có:
3, 4, 5AB AC BC===
. Vẽ đường tròn
()
;BBA
. Chứng
minh rằng
AC
là tiếp tuyến của đường tròn.
Ví dụ 2. (Bài 22, tr.111 SGK)
Cho đường thẳng d, điểm
A
nằm trên đường thẳng
d
, điểm
B
nằm ngoài đường thẳng d. Hãy
dựng đường tròn

O
đi qua điểm
B
và tiếp xúc với đường thẳng d tại
A
.
Ví dụ 3. (Bài 24, tr. 111 SGK)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 162
Cho đường tròn

O
, dây AB khác đường kính. Qua
O
kẻ đường vuông góc với
AB
, cắt tiếp
tuyến tại
A
của đường tròn ở điểm
C
.
a) Chứng minh rằng
CB
là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của đường tròn bằng
15 cm
,
AB 24 cm
. Tính độ dài OC.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CHIỀU QUAY CỦA BÁNH XE
Phương pháp giải:
Nếu dây cua-roa mắc qua hai đường tròn mà cắt đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn thì chiều quay
của hai đường tròn sẽ ngược nhau.
Ví dụ 4. (Bài 23, tr. 111 SGK)
Đố: Dây cua-roa trên hình 79 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm A, B, C. Chiều
quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm
A và đường tròn tâm C (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 163
DẠNG 3. TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN TIẾP TUYẾN
Phương pháp giải
Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lí về tính chất của tiếp tuyến và hệ thức lượng trong tam
giác vuông.
Ví dụ 5. (Bài 25, tr.112 SGK)
Cho đường tròn tâm
O
có bán kính
,OA R
dây
BC
vuông góc với
OA
tại trung điểm
M
của
.OA
a) Tứ giác
OCAB
là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại
,B
nó cắt đường thẳng
OA
tại
.E
Tính độ dài
BE
theo
.R
C. LUYỆN TẬP
5.1. (Dạng 1). Cho đường tròn

O
và một dây
.AB
Gọi
M
là trung điểm của
.AB
Vẽ bán kính
OI
đi qua
.M
Từ
I
vẽ đường thẳng
// .xy AB
Chứng minh rằng
xy
là tiếp tuyến của đường
tròn

.O
5.2. (Dạng 1). Cho đường tròn

O
và một đường thẳng
.AB
Hãy dựng một tiếp tuyến của đường
tròn sao cho tiếp tuyến này song song với
.AB
5.3. (Dạng 1). Cho tam giác
,ABC
hai đường cao
,BD CE
cắt nhau tại
.H
a) Chứng minh rằng bốn điểm
,,,ADHE
cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là
O
).
b) Gọi
M
là trung điểm của
.BC
Chứng minh rằng
ME
là tiếp tuyến của đường tròn

.O
5.4. (Dạng 1, 3). Cho đường tròn

;OR
đường kính
.AB
Vẽ dây
AC
sao cho
30 .CAB 
Trên tia
đối của tia
BA
lấy điểm
M
sao cho
.BM R
Chứng minh rằng:
a)
MC
là tiếp tuyến của đường tròn

.O
b)
22
3.MC R
5.5. (Dạng 1, 3). Cho tam giác
ABC
vuông ở
A
có
8; 15.AB AC
Vẽ đường caoo
.AH
Gọi
D
là điểm đối xứng với
B
qua
.H
Vẽ đường tròn đường kính
CD
cắt
AC
ở
.E
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 164
a) Chứng minh rằng
H
E
là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Tính độ dài
.
H
E
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 165
BÀI 6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau (h.81)
AB
và
AC
là hai tiếp tuyến của đường tròn

12
12
AB AC
OAA
OO

2. Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi
là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là
ngoại tiếp đường tròn.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác các góc trong tam giác
(h.82).
3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia
gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác (h.83).
Tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC là giao điểm của hai đường phân giác
các góc ngoài tại B và C. Trong một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, HAI GÓC BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Ví dụ 1. (Bài 26, tr.115 SGK)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn.Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường
tròn (B,C là các tiếp điểm).
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 166
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB=2cm, OA=4cm.
Ví dụ 2. (Bài 27, tr.115 SGK)
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn (B,C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba với
đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB,AC theo thứ tự à D,E. Chứng minh rằng
chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
Ví dụ 3. (Bài 30, tr. 116, SGK )
Cho nửa đường tròn tâm

O
có đường kính
AB
( Đường kính của một đường tròn
chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi
,Ax By
là các tia vuông góc với
AB
(
,Ax By
và nửa đường tròn thuộc cùng môt nửa mặt phẳng bờ
AB
). Qua điểm
M
thuộc nửa đương tròn (
M
khác
A
và
B
), kẻ tiếp tuyến với nửa dường tròn, nó
cắt
Ax
và
By
theo thứ tự ở
C
và
D
. Chứng minh rằng :
a)
COD 90.
b)
CD AC BD
c) Tích
.AC BD
không dời khi điểm
M
di chuyền trên nửa đường tròn.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 167
Ví dụ 4. (Bài 31 trang 116, sgk)
Trên hình 87, tam giác
ABC
ngoại tiếp đường tròn

O
a) Chứng minh rằng:
2AD AB AC BC
.
b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a).
DẠNG 2. TÌM TÂM CỦA ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC VỚI HAI CẠNH CỦA MỘT
GÓC
Phương pháp giải:
Từ tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra tâm của đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một
góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Ví dụ 5. (Bài 28, tr. 116, SGK )
Cho góc
xAy
khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc
xAy
nằm trên đường nào?
Ví dụ 6. (Bài 29, tr. 116, SGK )
Cho góc
xAy
khác góc bẹt, điểm
B
thuộc tia
Ax
. Hãy dựng đường tròn

O
tiếp
xúc với
Ax
tại
B
và tiếp xúc với
Ay
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 168
DẠNG 3. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC ĐỀU NGOẠI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp giải
Đã biết bán kính của đường tròn nội tiếp từ đó suy ra đường cao của tam giác đều và độ dài mỗi
cạnh của tam giác. Cuối cùng tính diện tích tam giác theo công thức
2
ah
S
Ví dụ 7: (Bài 32, Tr 116 SGK)
Cho tam giác đều
ABC
ngoại tiếp đường tròn bán kính 1cm. Diện tích của tam giác
ABC bằng
A.
2
6cm
B.
2
3cm
C.
2
23
4
cm
D.
2
33cm
Hãy chọn câu trả lời đúng.
C. LUYỆN TẬP
6.1 (Dạng 1). Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến
,MA MB
với đường
tròn. Trên tia OB lấy điểm C sao cho BC=BO. Chứng minh rằng
1
2
BMC BMA
.
6.2 (Dạng 1). Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB,
AC. Chứng minh rằng
60BAC 
khi và chỉ khi
2.OA R
6.3 (Dạng 1). Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O
cắt tia AB tại M.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình thoi
b) Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
6.4 (Dạng 1). Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn
vẽ từ A và C cắt nhau tại M. Trên tia AM lấy điểm D sao cho AD=BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Ba đường thẳng
,,AC BD OM
đồng quy
F
O
E
D
A
C
B
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 169
6.5 (Dạng 1). Cho đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC vuông góc tại A. Chứng minh rằng
rpa
, trong đó
p
là nửa chu vi tam giác,
a
là động dài cạnh huyền
6.6 (Dạng 3). Chứng minh rằng diện tích tam giác ngoại tiếp một đường tròn được tính theo công
thức
Spr
, trong đó
p
là nửa chu vi tam giác,
r
là bán kính đường tròn nội tiếp.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 170
BÀI 7& 8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Tính chất đường nối tâm
Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường trìn. Từ đó suy ra:
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm (h.90).
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung (h.91).
2. Sự liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm
d
và các bán kính
R
và
r
Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung
Hệ thức giữa d và
, Rr
Hai đường tròn cắt nhau
2
Rrd Rr
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
i
ếp xúc ngoài
i
ếp xúc trong
1
dRr
dRr
Hai đường tròn không giao nhau
ngoài nhau
O
đựng

O
Đặc biệt,

O
và

O
đồng tâm
0
dRr
dRr
0OO
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN CÓ CHO HAI ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC NHAU
Phương pháp giải:
- Vẽ đường nối tâm và chú ý rằng tiếp điểm nằm trên đường nối tâm, dùng hệ thức
dRr
.
- Nếu cần, có thể vẽ tiếp tuyến chung tại tiếp điểm.
Ví dụ 1: (Bài 33, tr.119 SGK)
Trên hình 92, hai đường tròn tiếp xúc nhau tại
A
. Chứng minh rằng
//OC O D
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 171
Ví dụ 2: (Bài 38, tr.123 SGK)
Điền các từ thích hợp vào chỗ trống

...
:
a) Tâm của các đường tròn có bán kính bằng 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn

; 3Ocm
nằm trên …
b) Tâm của các đường tròn có bán kính bằng 1cm tiếp xúc trong với đường tròn

; 3Ocm
nằm trên …
Ví dụ 3: (Bài 39 trang 123 SGK)
Cho hai đường tròn

O
và

'O
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC
,

,'.BOCO
Tiếp tuyến chung trong tại
A
cắt tiếp tuyến chung ngoài
BC
tại
I
.
a) Chứng minh
90 .BAC 
b) Tính số đo
'OIO
c) Tính độ dài
BC
, biết
9cm, ' 4cmOA O A
.
DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN CÓ CHO HAI ĐƯỜNG TRÒN CẮT NHAU
Phương pháp giải
Vẽ dây chung của hai đường tròn rồi dùng tính chất đường nối tâm là đường trung trực của dây
chung.
Ví dụ 4. (Bài 34, trang 119 SGK)
Cho hai đường tròn

;20cmO
và

';15cmO
cắt nhau tại
A
và
B
. Tính đoạn nối
tâm
'OO
biết rằng
24cm.AB
Hình 92
D
C
A
O'
O
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 172
(Xét hai trường hợp:
O
và
'O
nằm khác phía đối với
;AB
O
và
'O
nằm cùng phía
đối với
;AB
.)
a) b)
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN KHI BIẾT HỆ
THỨC GIỮA D VỚI R, R VÀ NGƯỢC LẠI
Phương pháp giải
Nếu
dRr
thì hai đường tròn tiếp xúc trong và ngược lại;
Nếu
dRr
thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài và ngược lại;
Ví dụ 5. (Bài 35, trang 122 SGK).
Điền vào các chỗ trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn

;OR
và

';Or
có
';OO d R r
.
Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức giữa d, R, r
T

;OR
đựng

';Or
dRr
Tiếp xúc ngoài
dRr
2
Ví dụ 6. ( Bài 35, tr.123 SGK)
Cho đường tròn

O
bán kính OA và đường tròn

'O
đường kính OA.
a) Hãy xác định vị trí của hai đường tròn

O
và

'O
.
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng:
.AC CD
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 173
DẠNG 4. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TRÊN CÙNG MỘT DÂY CUNG BẰNG
NHAU
Phương pháp giải
Có thể vẽ đường kính vuông góc với một dây rồi dùng tính chất đường kính vuông góc với một dây
thì chia đôi dây ấy.
Ví dụ 7. ( Bài 37, tr 123 SGK)
Cho hai đường tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường nhỏ ở C và
D. Chứng minh rằng:
AC BD
.
DẠNG 5. XÁC ĐỊNH CHIỀU QUAY CỦA BÁNH XE
Phương pháp giải
- Nếu hai bánh xe có răng cưa tiếp xúc ngoài với nhau thì chúng quay ngược chiều nhau.
- Nếu hai bánh xe có răng cưa tiếp xúc trong với nhau thì chúng quay cùng chiều với nhau.
Ví dụ 8: (Bài 40, tr 123 SGK)
Đố: Trên các hình 97 a, b, c các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên
hình nào, hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào, hệ thống bánh răng
không chuyển động được?
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 174
Hình 97
C. LUYỆN TẬP
7.1 (Dạng 1) Cho ba đường tròn tâm O
1
, O
2
, O
3
cùng có bán kính R và tiếp xúc ngoài với nhau đôi
một. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba tiếp điểm.
7.2 (Dạng 1) Cho hai đường tròn (O) và (O′) tiếp xúc với nhau tại A. Qua A vẽ một cát tuyến cắt
đường tròn (O) tại B và cắt đường tròn (O′) tại C. Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O).
Từ C vẽ đường thẳng uv//xy. Chứng minh rằng uv là tiếp tuyến của đường tròn (O′).
7.3 (Dạng 2) Cho hai đường tròn (O; 17) và (O’; 10) cắt nhau tại A và B. Biết OO’ = 21, tính AB.
7.4 (Dạng 2) Cho hình vuông ABCD. Vẽ đường tròn (D; DC) và đường tròn đường kính BC.
Chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M, tia BE cắt AD tại N. Chứng
minh rằng:
a) N là trung điểm của AD.
b) M là trung điểm của AB.
8.1 (Dạng 2, 3) Cho góc vuông xOy. Lấy các điểm I và K thứ tự trên các tia Ox và Oy. Vẽ đường
tròn (I; OK) cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M). Vẽ đường tròn (K; OI) cắt tia Oy tại N (K
nằm giữa O và N)
a) Chứng minhhai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau
b) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (I), tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt nhau tại C.
Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông
c) Gọi A, B là các giao điểm của (I) và (K) trong đó B ở miền trong góc xOy. Chứng minh ba
điểm A, B, C thẳng hàng
d) Giả sử I và K thứ tự di động trên các tia Ox và Oy sao cho OI + OK = a không đổi. Chứng
minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
8.2 (Dạng 1, 3) Cho đoạn thẳng OO’ = 4cm. Vẽ các đường tròn (O; 2cm) và (O’; 1cm)
a) Hãy xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn đó.
b) Dựng đường tròn (I; 1,5cm) tiếp xúc ngoài với hai đường tròn (O) và (O’)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 175
ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SÁCH GIÁO KHOA
41. Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.
Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự
là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC
d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
42. Cho hai đường tròn

O
và

'
O
tiếp xúc ngoài tại
,ABC
là tiếp tuyến chung ngoài,


'
,.BOCO
Tiếp tuyến chung trong tại
A
cắt
BC
ở điểm
.M
Gọi
E
là giao điểm của
OM
và
,AB
F
là giao điểm của
OM
và
.AC
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác
AEMF
là hình chữ nhật.
b)
...ME MO MF MO
c)
OO
là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là
.BC
d)
BC
là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là
.OO
43. Cho hai đường tròn

; OR
và

; rO
cắt nhau tại
A
và
B
().Rr
Gọi
I
là trung điểm của
'
.OO
Kẻ đường thẳng vuông góc với
IA
tại
,A
đường thẳng này cắt các đường tròn

; RO
và

; rO
theo thứ tự tại
C
và
D
(khác
A
).
a) Chứng minh rằng
.AC AD
b) Gọi
K
là điểm đối xứng với điểm
A
và qua điểm
I
. Chứng minh rằng
KB
vuông góc với
AB
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 176
B. BÀI TẬP ÔN BỔ SUNG
1.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ đường phân giác BI.
a) Chứng mimh rằng ( I; IA) tiếp xúc với BC.
b) Cho biết AB = a. Chứng minh rằng AI =
(2 1)a
, từ đó suy ra
tan 22 30' 2 1
o

.
2.
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A vẽ tiếp tuyến xy. Từ
một điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O). Hai đường cao AD và BE của tam
giác MAB cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng ba điểm M, H, O thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tứ giác AOBH là hình thoi.
c) Khi điểm M di động trên xy thì điểm H di động trên đường nào?
3.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp
tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a) Chứng minh rằng MC = MD
b) Chứng minh rằng AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M di động trên nửa đường tròn.
c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC và AB.
d) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
4.
Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm BC. Trên các cạnh AB, Ac lần lượt lấy các điểm di
động D và E sao cho
60
o
DOE .
a) Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi.
b) Chứng minh
BOD OED
, từ đó suy ra DO là tia phân giác của góc BDE.
c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với
DE.
5.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm E di động trên nửa đường tròn đó ( E
không trung với A và B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Tia AE cắt By ở C,
tia BE cắt Ax ở D.
a) Chứng minh rằng tích AD. BC không đổi.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 177
b) Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng ba
đường thẳng MN, AB, CD đồng quy hoặc song song với nhau.
c) Xác định vị trí của điểm E trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. Tính
diện tích nhỏ nhất đó.
6. Cho đoạn thẳng AB cố định. Vẽ (O) tiếp xúc AB tại A, vẽ (O’) tiếp xúc AB tại B, hai đường
tròn này luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài với nhau. Hỏi tiếp
điểm M di động trên đường nào?
7. Cho trước đường tròn (O; 2cm) và đường thẳng xy tiếp xúc với nhau tại A. Dựng đường tròn
(I; 1cm) tiếp xúc ngoài với (O) và tiếp xúc với xy.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 178
Hình 1
α
O
B
A
CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
BÀI 1. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
Ví dụ: Góc AOB là góc ở tâm (h.1)
Nếu
0
<
<
180
thì cung nằm bên trong góc gọi
là cung nhỏ và cung nằm bên ngoài gọi là cung lớn.
Nếu
=
180
thì mỗi cung là một nữa đường tròn.
2. Số đo cung.
Số đo cung AB (kí hiệu là sđ
AB
) được định nghĩa như sau:
Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360
O
và số đo cung nhỏ.
Số đo nữa đường tròn bằng 180
O
.
Chú ý: “Cung không” có số đo 0
O
;
Cung cả đường tròn có số đo 360
O
.
3. So sánh hai cung
Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
4. Khi nào thì
s®AB s®AC + s®CB
Nếu C là một điểm năm trên cung AB thì
s®AB s®AC + s®CB
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH SỐ ĐO CỦA GÓC Ở TÂM, CỦA CUNG BỊ CHẮN
Phương pháp giải
Để tính số đo của góc ở tâm ta có thể:
- Dùng thước đo góc (nếu đề bài yêu cầu) .
- Đưa về cách tính số đo một góc của tam giác, tứ giác.
Để tính số đo của cung nhỏ, ta tính số đo của góc ở tâm tương ứng.
Để tính số đo của cung lớn ta lấy 360
O
trừ đi số đo của cung nhỏ.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 179
m
n
Hình 5
O
A
B
Hình 4
n
m
O
A
B
Ví dụ 1. (Bài 1 tr. 68 SGK)
Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào
những thời diểm sau:
a) 3 giờ; b) 5 giờ; c) 6 giờ; d) 12 giờ; e) 20 giờ.
Ví dụ 2: (Bài 2, tr.69 SGK) Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O, trong các góc tạo thành
có góc
40
. Vẽ một đường tròn tâm O. Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia
gốc O.
Ví dụ 3: (Bài 3, tr.69 SGK) Trên hình 4, 5 hãy dùng dụng cụ đo góc đẻ tìm số đo cung AmB . Từ
đó tính số đo cung AnB tương ứng.
Ví dụ 4: (Bài 4, tr.69 SGK)
Xem hình 6. Tính số đo của góc ở tâm AOB
và số đo cung lớn AB.
Hình 2
5
8
3
6
12
s
x
40
o
t
Hình 3
O
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 180
Ví dụ 5. (Bài 5, tr.69 SGK) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Biết
AMB 45.
a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA,
OB.
b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ) .
Ví dụ 6: (Bài 6, tr.69 SGK) Cho tam giác đều ABC. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh A,
B, C.
a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính
OA, OB, OC.
b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C.
Ví dụ 7: (Bài 9, tr.69 SGK)
Hình 6
T
O
A
B
35
o
Hình 7
B
A
O
M
Hình 8
C
B
O
A
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 181
Hình 10
D
M
N
P
C
B
O
A
Q
Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A, B, C sao cho
AOB 100
,
s® AC 45
. Tính số đo
cung nhỏ BC và cung lớn BC. (xét cả hai trường hợp: điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm
C nằm trên cung lớn AB) .
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI CUNG BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Để chứng minh hai cung (của một đường tròn) bằng nhau, ta chứng minh hai cung này có cùng
một số đo.
Ví dụ 8: (Bài 7, tr.69 SGK)
Cho hai đường tròn cùng tâm O với bán kính khác nhau.
Hai đường thẳng đi qua O cắt hai đường tròn đó tại các
điểm A, B, C, D, M, N, P, Q (h.10) .
a) Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP,
BN, DQ?
b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.
c) Hãy nêu tên các cung lớn bằng nhau.
DẠNG 3. TÌM CÂU ĐÚNG, SAI TRONG CÁC KHẲNG ĐỊNH LIÊN QUAN ĐẾN SO SÁNH
HAI CUNG
Phương pháp giải
- Trước hết xét xem hai cung có cùng thuộc một đường tròn hay không?
- Nếu hai cung cùng thuộc một đường tròn thì so sánh số đo của chúng. Khẳng định nào thỏa mãn
định nghĩa về so sánh hai cung thì khẳng định đó đúng, trái lại khẳng định đó sai
Ví dụ 9: (Bài 8, tr.70 SGK)
Mỗi khẳng định sao đúng hay sai? Vì sao?
a) Hai cung bằn nhau thì sóc số đo bằng nhau .
b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.
c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn.
d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn.
C. LUYÊN TẬP
1.1 (Dạng 1) . Cho đường tròn (O; R) . Vẽ dây
AB = R 2
. Tính số đo của hai cung AB.
Hình 9b
45
o
O
A
C
B
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 182
1.2 (Dạng 1) . Cho đường tròn (O; R) . Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng
1
2
số đo
của cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB
1.3 (Dạng 1,2) . Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và
R3
O;
2




. Trên đường tròn nhỏ lấy một
điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia OM cắt đường
tròn lớn tại C.
a) Chứng minh rằng
CA = CB
.
b) Tính số đo của hai cung AB.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 183
Hình 11
O
D
C
A
B
Hình 12
O
D
C
A
B
Hình 13
O
D
C
A
B
Hình 14
I
M
O
A
B
BÀI 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Định lí 1
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Trong hình 11:
= AB = CD AB CD .
Định lí 2
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau
a) Cung lớn hơn căng hai dây lớn hơn.
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Trong hình 12:
>AB > CD AB CD
Định lí bổ sung
1. (Bài 13 SGK) . Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Trong hình 13:
AB//CD AC BD
2. (Bài 14 SGK) . Trong hình 14
Điều kiện hạn chế:
(2) (1) và (2) (3) có điều kiện dây không qua tâm.
Đường kính vuông góc với dây (1)
Đường kính chia đôi dây (2)
Đường kính chia đôi cung căng dây (3)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 184
H
ình 15
O
A
B
IA IB OI AB MA MB
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHIA ĐƯỜNG TRÒN LÀM NHIỀU CUNG BẰNG NHAU (BÀI 10 SGK)
Phương pháp giải
Dựa vào nhận xét: Nếu các góc ở tâm bằng nhau thì các cung tương ứng bằng nhau.
Ví dụ 1. (Bài 10, tr.71 SGK)
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính
R2cm
.
Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng
60
. Hỏi dây AB
dài bao nhiêu xentimét?
b) Làm thế nào chia được đường tròn thành sáu cung
bằng nhau như trên hình 15.
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI CUNG KHÔNG BẰNG NHAU
Phương pháp giải
- Chứng minh hai dây cung (cung nhỏ) không bằng nhau, dây nào lớn hơn thì căng cung lớn hơn.
- Hoặc chứng minh hai góc ở tâm tương ứng không bằng nhau, góc nào lớn hơn thì có cung tương
ứng lớn hơn.
Ví dụ 2: (Bài 12, tr.72 SGK)
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho
AD = AC
. Vẽ đường
tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD
(H
BC, K
BD) .
a) Chứng minh rằng OH > OK.
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
DẠNG 3. CHỨNG MINH HAI CUNG BẰNG NHAU
Phương pháp giải
- Chứng minh hai dây căng cung bằng nhau;
- Hoặc chứng minh hai góc ở tâm tương ứng bằng nhau;
- Hoặc dùng định lí đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi cung căng dây.
Ví dụ 3: (Bài 11, tr.72 SGK)
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường
kính AOC, AOD. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’) khác điểm A.
a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung l
ớn ED
thành hai cung bằng nhau:
BE BD
)
Ví dụ 4. (Bài 13, tr.72 SGK)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 185
Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Ví dụ 5. (Bài 14, tr 72 SGK)
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm
của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hay nêu thêm điều kiện để mệnh đề
đảo đúng.
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây
cung ấy và ngược lại.
C. LUYỆN TẬP
Bài 2.1 (Dạng 1) Cho đường tròn (O;R) . Làm thế nào để chia đường tròn này thành ba cung bằng
nhau để dựng tam giác đều nội tiếp.
Bài 2.2 (Dạng 2) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O) . Biết
o
A50
, hãy so sánh
các cung nhỏ AB, AC và BC.
Bài 2.3 (Dạng 3) Chứng minh định lí:
Nếu tiếp tuyến của đường tròn song song với một dây thì tiếp điểm chia đôi cung căng dây.
Bài 2.4 (Dạng 3) Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ các
đường kính AOE, AO’F và BOC. Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là D.
Chứng minh rằng các cung nhỏ AB, CD, CE bằng nhau.
Bài 2.5 (Dạng khác) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với
nhau sao cho sđ
o
BM 90
. Vẽ dây MD // AB. Dựng DN cắt AB tại E. Từ E vẽ một đường thẳng
song song với AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh rằng:
a) AB
DN; b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 186
H
ình 21
O
A
B
C
BÀI 3. GÓC NỘI TIẾP
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa
hai dây cung của đường tròn đó (h.21) .
2. Định lí
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của
cung bị chắn.
1
A
sBC(h.21).
2
đ
3. Hệ quả
Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90
o
) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một
cung.
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU
Phương pháp giải:
Bạn có thể dùng hệ quả b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì
bằng nhau.
Ví dụ 1. (Bài 15, tr 75 SGK)
Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Trong một đường tròn các góc nội tiếp cùng chắn một cùng thì bằng nhau.
b) Trong một đường tròn các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.
Ví dụ 2. (Bài 18, tr.75 SGK)
Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí
A, B, C trên một cung tròn như hình 22. Hãy so sánh các góc

P
AQ,PBQ,PCQ
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 187
Ví dụ 3. (Bài 21, tr.76 SGK) Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ
đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N (A nằm giữa M và N) . Hỏi MBN là tam giác gì?
Tại sao?
DẠNG 2. TÍNH SỐ ĐO GÓC
Phương pháp giải
Bạn có thể dùng hệ quả c) : Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90
o
) có số đo bằng nửa số đo của góc
ở tâm cùng chắn một cung.
Ví dụ 4. (Bài 16, tr 75 SGK)
Xem hình 24 (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C)
a) Biết
o
M
AN 30
. Tính
PCQ
.
b) Nếu
P
CQ
=136
o
thì
M
AN
có số đo là bao nhiêu?
H
ình 22
A
P
Q
B
C
H
ình 23
N
B
A
O
O'
M
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 188
DẠNG 3. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Phương pháp giải
- Chứng minh hai tia trùng nhau hoặc đối nhau.
- Hai đầu đường kính thì thẳng hàng với tâm.
- Từ một điểm chỉ có thể vẽ được một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Ví dụ 5. (Bài 17, tr.75 SGK)
Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng ê ke thì phải làm thế nào?
Ví dụ 6. (Bài 20, tr. 76 SGK)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai
đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.
H
ình 24
N
M
C
B
P
Q
A
H
ình 25
B
O
A
M
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 189
DẠNG 4. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp giải:
- Dùng hệ quả d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
- Hoặc dùng tính chất ba đường cao của tam giác gặp nhau tại một điểm.
Ví dụ 7. (Bài 19, tr.75 SGK)
Cho đường tròn tâm (O) , đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn, SA và SB
lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. CHứng minh rằng SH vuông
góc với AB.
DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI BIỂU THỨC TÍCH BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Bạn có thể dùng tam giác đồng dạng hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Ví dụ 8. (Bài 22, tr. 76 SGK)
Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B) . Vẽ tiếp tuyến của (O) tại
A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có:
2
M
AMB.MC
H
ình 26
D
C
B
A
O
O'
H
ình 27
H
N
M
B
O
S
A
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 190
Ví dụ 9. (Bài 23. tr 76 SGK)
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai
đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và
D. Chứng minh: MA.MB=MC.MD
Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong
mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.
Ví dụ 10. (Bài 24, tr.76 SGK)
Một chiếc cầu được thiết kế như hình 30 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán
kính của đường tròn chứa cung AMB.
H
ình 28
M
B
O
A
C
H
ình 29
2
1
M
O
D
A
B
C
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 191
DẠNG 6. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Bạn hãy chứng minh hai đoạn thẳng đó là cạnh bên của một tam giác cân.
Ví dụ 11. (Bài 26. tr 77 SGK)
Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O) Tử điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN
song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và SN = SA.
Dạng 7. DỰNG TAM GIÁC VUÔNG BIẾT CẠNH HUYỀN VÀ MỘT YẾU TỐ KHÁC
Phương pháp giải
Dựa vào tính chất: cạnh huyền của tam giác vuông là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam
giác vuông đó.
Ví dụ 12. (Bài 25, tr 76 SGK)
Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm.
C. LUYỆN TẬP
Bài 3.1 (Dạng 1,2) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo
bằng 60
o
.
a) So sánh các góc của ∆ABC;
b) Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại
điểm I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc ACB.
S
N
M
O
B
C
A
1
1
2
1
Hình 31
C
O
B
A
Hình 32
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 192
Bài 3.2 (Dạng 1,2) Cho tam giác ABC cân tại A (
o
A
90
) . Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC
tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DBE cân; b)
1
CBE BAC
2
Bài 3.3 (Dạng 1,2) Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) . Vẽ đường kính MN
BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) . Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia
phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của ∆ABC.
Bài 3.4 (Dạng 1,3) Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I và K lần
lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA, MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI.
a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, B thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MAB.
c*) Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp ∆MAB.
Bài 3.5 (Dạng 1,2,3,4) Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường
tròn đó. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D,
đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N.
Chứng minh rằng:
a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng.
b) ID
MN.
c) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định, từ đó suy ra cách dựng đường tròn I nói trên.
Bài 3.6 (Dạng 3,4) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H. Vẽ đường kính AF.
a) Tứ giác BFCH là hình gì?
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng:
1
OM AH
2
Bài 3.7 (Dạng 1) Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường
tròn, C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia, CM cắt AB tại D. Vẽ dây AE vuông góc với CM tại
F.
a) Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân.
b) Vẽ CH
AB, chứng minh rằng tia CM là phân giác của góc HCO.
c) Chứng minh rằng
1
CD AE
2
Bài 3.8 (Dạng khác) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) . Biết
o
A90

. Tính độ dài
BC
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 193
BÀI 4. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định lí
Số đo của góc tạo bởi tia.tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Trong hình 33:
1
Ax
2
Bsđ AB
2. Hệ quả
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung
thì bằng nhạu.
3. Định lí (bổ sung)
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) , có số đo bằng nửa
số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến
của đường tròn (h.33) .
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU
Phương pháp giải
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- Hai góc kề đáy của tam giác cân bằng nhau.
- Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau.
Ví dụ 1. ( Bài 27, tr. 79 SGK)
Cho đường tròn tâm
O
, đường kính
A
B
. Lấy điểm
P
khác
A
và
B
và trên đường tròn. Gọi
T
là
giao điểm của
A
P
với tiếp tuyến tại
B
của đường tròn. Chứng minh rằng:
APO PBT .
Ví dụ 2. (Bài 29, tr.79 SGK)
Cho hai đường tròn
()O
và
(')O
cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn
(')O
cắt
()O
tại
C
và đối với đường tròn
()O
cắt
(')O
tại
D
. Chứng minh
CBA DBA .
T
B
O
A
M
Hình 34
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 194
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Phương pháp giải
Bạn có thể chứng minh hai đường thẳng tạo với đường thứ ba cắt chúng một cặp góc so le trong
bằng nhau.
Ví dụ 3. (Bài 28, tr. 79 SGK)
Cho hai đường tròn
()O
và
(')O
cắt nhau tại
A
và
B
. Tiếp tuyến tại
A
của đường tròn
(')O
cắt
đường tròn
()O
tại điểm thứ hai
P
.
Tia
PB
cắt đường tròn
(')O
tại
Q
. Chứng minh đường (thẳng
AQ
song song với tiếp tuyến tại
P
của đường tròn
()O
.
DẠNG 3. CHỨNG MINH MỘT TIA LÀ TIA TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp giải
- Bạn hãy chứng minh tia nạy vuông góc với bán kính đi qua gốc của tia.
- Hoặc bạn dùng phương pháp phản chứng.
Ví dụ 4. (Bài 30, tr. 79 SGK)
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:
- Nếu góc
BAx
(với đỉnh
A
nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung
A
B
) , có số đo bằng nửa
số đo của cung
A
B
căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh
Ax
là một tia tiếp
tuyến của đường tròn (h.37) .
Gợi ý : Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.
n
m
1
1
D
C
B
A
O'
O
n
m
2
1
C
D
B
A
O
O'
Hình 35
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 195
.
DẠNG 4. TÍNH SỐ ĐO GÓC HOẶC CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC GIỮA CÁC GÓC
Phương pháp giải
- Dùng định lí số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo của cung bị chắn.
- Dùng định lí về tổng các góc của tam giác, tứ giác.
Cho đường tròn
(;)OR
và dây cung
BC R
. Hai tiếp tuyến của đường tròn
()O
tại
,
B
C
cắt nhau ở
A
. Tính
,
A
BC BAC
.
Ví dụ 6 (Bài 32, tr. 80 SGK)
Cho đường tròn tâm
O
đường kính
.AB
Một tiếp tuyến của đường tròn tại
P
cắt đường thẳng
A
B
tại
T (điểm
B
nằm giữa
O
và T ) . Chứng minh
0
2. 90BTP TPB
DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI BLỂU THỨC TÍCH BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Dùng phương pháp tam giác đồng dạng.
x
x'
O
A
B
Hình 37a
A
O
C
B
Hình 38
1
1
B
P
O
A
T
Hì
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 196
Ví dụ 7. (Bài 33, tr. 80 SGK)
Cho $A, B, C$ là điểm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại
A
. Đường thẳng
song song
với At cắt BM tại
M
vàcắt AC tại
N
.Chứngminh
AB AM AC AN
.
Ví dụ 8. (Bài 34, tr. 80 SGK)
Cho đường tròn
(O)
và điểm
M
nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm
M
kẻ tiếp tuyến
M
T
và
cát tuyến
.
M
AB
Chứng minh
2
.
M
TMAMB
.
Ví dụ 9. (Bài 35, tr. 80 SGK)
Trên bờ biển có một ngoạn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilômét thì người quan
sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao
10m
so với mực
nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng
6400km
(h.42) .
Hướng dẫn. Áp dụng kết quả của bài tập 34.
t
N
O
B
C
A
M
Hình 40
Hình
41
T
O
A
B
M
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 197
C. LUYỆN TẬP
Bài 4.1 (Dạng 1) . Cho nửa đường tròn
()O
đường kính
A
B
. Trên tia đối của tia
A
B
lấy một điểm
M
. Vẽ tiếp tuyến
M
C
với nửa đường tròn. Gọi
H
là hình chiếu
C
của trên
A
B
.
a) Chứng minh rằng tia
CA
là lia phan giác của góc
M
CH
.
b) Giả sử
,2
M
AaMC a
, tính AB và HC theo
a
.
Bài 4.2 (Dạng 1) . Cho
ABC
ngoại tiếp đường tròn
()O
. Gọi
,,
D
EF
lần lượt là các tiếp điểm của
đường tròn trên các cạnh
,,AB BC CA
. Gọi
,,
M
NP
lần lượt là các giao điểm của đường tròn
()O
với
các tia
,OA OB
và
OC
. Chứng minh rằng các điểm
,,
M
NP
lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp
các tam giác
ADF, BDE
và
CEF
.
Bài 4.3 (Dạng 2) . Cho đường tròn
()O
và
(')O
cắt nhau tại
A
và
B
. Một đường thẳng tiếp xúc với
đường tròn
()O
tại
C
và tiếp xúc với đường tròn
(')O
tại D. Vẽ đường tròn

I
qua ba điểm
,,AC D
cắt đường thẳng
A
B
tại một điểm thứ hai là
E
. Chứng minh rằng:
a)

0
180CAD CBD .
b) Tứ giác
BCED
là hình bình hành.
Bài 4.4 (Dạng 3) . Trên một cạnh của góc
M
lấy điểm T trên cạnh kia lấy hai điểm
A
và
B
sao
cho
2
.
M
TMAMB
. Chứng minh rằng
M
T
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
TAB
.
Bài 4.5 (Dạng 5) . Cho hai đường tròn
()O
và
(')O
cắt nhau tại
A
và
B
. Vẽ dây
BC
của đường
tròn
()O
tiếp xúc với đưòng tròn
(')O
. Vẽ dây
BD
của đường tròn
(')O
tiếp xúc với đường tròn
()O
. Chứng minh rằng:
a)
2
.
A
BACAD
b)
B
CAC
B
DAD
Bài 4.6 (Dạng 5) . Cho đường tròn
()O
và một điếm
M
ở bên ngoài đường tròn. Tia
M
x
quay quanh
M
cắt đường tròn tại
A
và
B
. Gọi
I
là một điểm thuộc tia
M
x
sao cho
2
.
M
IMAMB
. Hỏi điểm
I
di động trên đường nào?
BÀI 4. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Hình 42
A
T
M
M
'
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 198
1. Định lí
Số đo của góc tạo bởi tia.tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Trong hình 33:
1
Ax
2
Bsđ AB
2. Hệ quả
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung
thì bằng nhạu.
3. Định lí (bổ sung)
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) , có số đo bằng nửa
số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến
của đường tròn (h.33) .
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU
Phương pháp giải
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- Hai góc kề đáy của tam giác cân bằng nhau.
- Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau.
Ví dụ 1. ( Bài 27, tr. 79 SGK)
Cho đường tròn tâm
O
, đường kính
A
B
. Lấy điểm
P
khác
A
và
B
và trên đường tròn. Gọi
T
là
giao điểm của
A
P
với tiếp tuyến tại
B
của đường tròn. Chứng minh rằng:
APO PBT .
Ví dụ 2. (Bài 29, tr.79 SGK)
Cho hai đường tròn
()O
và
(')O
cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn
(')O
cắt
()O
tại
C
và đối với đường tròn
()O
cắt
(')O
tại
D
. Chứng minh
CBA DBA .
T
B
O
A
M
Hình 34
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 199
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Phương pháp giải
Bạn có thể chứng minh hai đường thẳng tạo với đường thứ ba cắt chúng một cặp góc so le trong
bằng nhau.
Ví dụ 3. (Bài 28, tr. 79 SGK)
Cho hai đường tròn
()O
và
(')O
cắt nhau tại
A
và
B
. Tiếp tuyến tại
A
của đường tròn
(')O
cắt
đường tròn
()O
tại điểm thứ hai
P
.
Tia
PB
cắt đường tròn
(')O
tại
Q
. Chứng minh đường (thẳng
AQ
song song với tiếp tuyến tại
P
của đường tròn
()O
.
DẠNG 3. CHỨNG MINH MỘT TIA LÀ TIA TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp giải
- Bạn hãy chứng minh tia nạy vuông góc với bán kính đi qua gốc của tia.
- Hoặc bạn dùng phương pháp phản chứng.
Ví dụ 4. (Bài 30, tr. 79 SGK)
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:
- Nếu góc
BAx
(với đỉnh
A
nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung
A
B
) , có số đo bằng nửa
số đo của cung
A
B
căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh
Ax
là một tia tiếp
tuyến của đường tròn (h.37) .
Gợi ý : Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.
n
m
1
1
D
C
B
A
O'
O
n
m
2
1
C
D
B
A
O
O'
Hình 35
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 200
.
DẠNG 4. TÍNH SỐ ĐO GÓC HOẶC CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC GIỮA CÁC GÓC
Phương pháp giải
- Dùng định lí số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo của cung bị chắn.
- Dùng định lí về tổng các góc của tam giác, tứ giác.
Cho đường tròn
(;)OR
và dây cung
BC R
. Hai tiếp tuyến của đường tròn
()O
tại
,
B
C
cắt nhau ở
A
. Tính
,
A
BC BAC
.
Ví dụ 6 (Bài 32, tr. 80 SGK)
Cho đường tròn tâm
O
đường kính
.AB
Một tiếp tuyến của đường tròn tại
P
cắt đường thẳng
A
B
tại
T (điểm
B
nằm giữa
O
và T ) . Chứng minh
0
2. 90BTP TPB
DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI BLỂU THỨC TÍCH BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Dùng phương pháp tam giác đồng dạng.
x
x'
O
A
B
Hình 37a
A
O
C
B
Hình 38
1
1
B
P
O
A
T
Hì
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 201
Ví dụ 7. (Bài 33, tr. 80 SGK)
Cho $A, B, C$ là điểm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại
A
. Đường thẳng
song song
với At cắt BM tại
M
vàcắt AC tại
N
.Chứngminh
AB AM AC AN
.
Ví dụ 8. (Bài 34, tr. 80 SGK)
Cho đường tròn
(O)
và điểm
M
nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm
M
kẻ tiếp tuyến
M
T
và
cát tuyến
.
M
AB
Chứng minh
2
.
M
TMAMB
.
Ví dụ 9. (Bài 35, tr. 80 SGK)
Trên bờ biển có một ngoạn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilômét thì người quan
sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao
10m
so với mực
nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng
6400km
(h.42) .
Hướng dẫn. Áp dụng kết quả của bài tập 34.
t
N
O
B
C
A
M
Hình 40
Hình
41
T
O
A
B
M
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 202
C. LUYỆN TẬP
Bài 4.1 (Dạng 1) . Cho nửa đường tròn
()O
đường kính
A
B
. Trên tia đối của tia
A
B
lấy một điểm
M
. Vẽ tiếp tuyến
M
C
với nửa đường tròn. Gọi
H
là hình chiếu
C
của trên
A
B
.
a) Chứng minh rằng tia
CA
là lia phan giác của góc
M
CH
.
b) Giả sử
,2
M
AaMC a
, tính AB và HC theo
a
.
Bài 4.2 (Dạng 1) . Cho
ABC
ngoại tiếp đường tròn
()O
. Gọi
,,
D
EF
lần lượt là các tiếp điểm của
đường tròn trên các cạnh
,,AB BC CA
. Gọi
,,
M
NP
lần lượt là các giao điểm của đường tròn
()O
với
các tia
,OA OB
và
OC
. Chứng minh rằng các điểm
,,
M
NP
lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp
các tam giác
ADF, BDE
và
CEF
.
Bài 4.3 (Dạng 2) . Cho đường tròn
()O
và
(')O
cắt nhau tại
A
và
B
. Một đường thẳng tiếp xúc với
đường tròn
()O
tại
C
và tiếp xúc với đường tròn
(')O
tại D. Vẽ đường tròn

I
qua ba điểm
,,AC D
cắt đường thẳng
A
B
tại một điểm thứ hai là
E
. Chứng minh rằng:
a)

0
180CAD CBD .
b) Tứ giác
BCED
là hình bình hành.
Bài 4.4 (Dạng 3) . Trên một cạnh của góc
M
lấy điểm T trên cạnh kia lấy hai điểm
A
và
B
sao
cho
2
.
M
TMAMB
. Chứng minh rằng
M
T
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
TAB
.
Bài 4.5 (Dạng 5) . Cho hai đường tròn
()O
và
(')O
cắt nhau tại
A
và
B
. Vẽ dây
BC
của đường
tròn
()O
tiếp xúc với đưòng tròn
(')O
. Vẽ dây
BD
của đường tròn
(')O
tiếp xúc với đường tròn
()O
. Chứng minh rằng:
a)
2
.
A
BACAD
b)
B
CAC
B
DAD
Bài 4.6 (Dạng 5) . Cho đường tròn
()O
và một điếm
M
ở bên ngoài đường tròn. Tia
M
x
quay quanh
M
cắt đường tròn tại
A
và
B
. Gọi
I
là một điểm thuộc tia
M
x
sao cho
2
.
M
IMAMB
. Hỏi điểm
I
di động trên đường nào?
Hình 42
A
T
M
M
'
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 203
BÀI 5. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI
ĐƯỜNG TRÒN
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Định lí 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa số đo hai cung bị chắn.
Định lí 2: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
Trong hình 43:

2
sñBD sñ AC
BFD

2
sñBD sñ AC
BED
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU HOẶC CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC
GIỮA CÁC GÓC
Phương pháp giải
Tính số đo của các góc theo số đo của các cung bị chắn rồi so sánh các số đo đó.
Ví dụ 1. (Bài 36, tr. 82 SGK)
Cho đường tròn
()O
và hai dây
,AB AC
. Gọi
,MN
lần lượt là điểm chính giữa của
AB
và
AC
.
Đường thẳng
MN
cắt dây
AB
tại
E
và cắt dây
AC
tại
H
. Chứng minh tam giác
AEH
là tam giác
cân.
Ví dụ 2. (Bài 37, tr. 82 SGK)
Cho đường tròn
()O
và hai dây AB,AC bằng nhau. Trên cung nhỏ
AC
lấy một điểm
M
. Gọi
S
là
giao điểm của AM và BC. Chứng minh
AS CMCA
H
E
N
M
O
B
A
C
Hình 44
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 204
Ví dụ 3. (Bài 38, tr. 82 SGK)
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung
,,AC CD DB
sao cho

0
60sd AC sdCD sd DB
. Hai
đường thẳng
CA
và
CB
cắt nhau tại
E
. Hai tiếp tuyến với đường tròn tại
B
và
C
cắt nhau tại
T
.
Chứng minh rằng:
a)

AEB BTC
b) CD là tia phân giác của
BCT .
Ví dụ 4. (Bài 41, tr. 83 SGK)
Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn
()O
vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng
BN và CM cắt nhau tại một điểm
S
nằm trong hình tròn.
Chứng minh:
ˆ
2.ABSM CMN.
E
T
D
B
O
A
C
Hình 46
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 205
Ví dụ 5. (Bài 43, tr.83 SGK) Cho đường tròn

O
và hai dây cung song sng
,DAB C
(
A
và
C
nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ
BD
) :
DA
cắt
BC
tại
I
. Chứng minh
AOC AIC
.
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU.
Phương pháp giải
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai
cạnh của một tam giác cân.
Để chứng minh một tam giác là cân ta chứng minh hai góc của nó bằng nhau, bằng cách so
sánh số đo góc theo số đo các cung bị chắn.
Ví dụ 6. (Bài 39, tr. 83 SGK)
Cho
AB
và
DC
là hai đường kính vuông góc của đường tròn

O
. Trên cung nhỏ
DB
lấy một điểm
M
. Tiếp tuyến tại
M
cắt
AB
ở
E
, đoạn thẳng
CM
cắt
AB
ở
E
, đoạn thẳng
CM
cắt
AB
ở
S
. Chứng minh
ES EM
B
O
M
N
A
C
Hình 47
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 206
Ví dụ 7. (Bài 40, tr. 83 SGK)
Qua điểm
S
nằm ngoài đường tròn

O
, vẽ tiếp tuyến
SA
và cát tuyến
SBC
của đường tròn. Tia
phân giác
BAC
cắt dây
BC
tại
D
. Chứng minh
DSA S
.
DẠNG 3. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
Phương pháp giải
Bạn có thể chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó là góc vuông bằng cách tính số đo của góc đó
theo cung bị chắn.
Ví dụ 8. (Bài 42, tr.83 sgk)
Cho
ABC
nội tiếp đường tròn
,,PQR
theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung
,,BC CA AB
a) Chứng minh:
RAP Q
.
b)
AP
cắt
CR
tại
I
. Chứng minh
CPI
là tam giác cân.
C. LUYỆN TẬP
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 207
Bài 5.1 (Dạng 1) . Tam giác nội tiếp đường tròn
O
. Trên các cung nhỏ
A
B
và
AC
lần lượt lấy
các điểm
I
và
K
sao cho
A
IAK
. Dây
I
K
cắt các cạnh
A
B
và
AC
lần lượt tại
D
và
E
.
a) Chứng minh:
D
A
KACB
.
b)
ABC
phải có thêm điều kiện gì thì tứ giác
EACB
là hình thang cân.
Bài 5.2 (dạng 2) . Cho đường tròn
O
và một dây
A
B
. Vẽ đường kính
CD AB
(
D
cung
nhỏ
)AB
. Trên cung nhỏ
BC
lấy mjt điểm
N
. Các đường thẳng
CN
và
N
lần lượt cắt đường
thẳng
A
B
tại
E
và
F
. Tiếp tuyến của đường tròn tại
N
cắt đường thẳng
A
B
tại
I
. Chứng minh:
a)
E, INFIN
là tam giác cân.
b) AI bằng trung bình cộng của E
A
và
A
F .
Bài 5.3 (Dạng 1, 2) . Cho tam giác
ABC
nội tiếp
O
. Các tia phân giác
,BC
cắt nhau tại I và cắt
đường tròn lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh
rằng:
a)
AMN
là tam giác cân.
b)
A,
E
IDAI
là những tam giác cân.
c) Tứ giác
AMIN
là hình thoi.
Bài 5.4 (Dạng 2) . Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn
O
ta vẽ hai tiếp tuyến
,
M
BMC
. Vẽ
đường kính
B
D
. Hai đường thẳng
,CD MB
cắt nhau tại
A
. Chứng minh rằng
M
là trung điểm
A
B
.
Bài 5.5 (Dạng 3) . Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn
O
, vẽ hai cát tuyến
,DABC A E
(
B
nằm giữa
A
và
C
,
D
nằm giữa
A
và
E
) . Cho biết
00
50 , d 40AsBD
. Chứng minh rằng
DCBE
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 208
BÀI 6. CUNG CHỨA GÓC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Qũy tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng
AB
và góc

00
0180


ch trước thì quỹ tích của các điểm
M
thỏa
mãn
AMB
là hai cung chứa góc
dựng trên đoạn
AB
(h.52)
Đặc biệt: Quỹ tích các điểm
M
nhìn đoạn thẳng
AB
cho trước dưới một góc vuông là đường tròn
đường kính
AB
(H.53)
2. Cách vẽ cung chứa góc
- Vẽ đường trung trực d của AB.
- Vẽ tia Ax tạo với AB góc
.
- Vẽ đường thẳng
AxAy
. Gọi
O
là giao điểm của
Ay
với d.
- Vẽ

,AmB O
, bán kính
OA
sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ
AB
không chứa tia
Ax
.
3. Cách giải bài toán qũy tích.
Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng
minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.
Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.
B. CÁC DẠNG TOAN
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 209
DẠNG 1. QUỸ TÍCH LÀ CUNG CHỨA GÓC
Phương pháp giải
- Tìm đoạn thẳng cố định trong hình vẽ.
- Nối điểm phải tìm quỹ tích với hai đầu của đoạn thẳng cố định đó, xác định góc
tạo
thành.
- Khẳng định điểm phải tìm quỹ tích thuộc cung chứa góc
vẽ trên đoạn thẳng cố định.
Ví dụ 1. (Bài 44, tr.86 SGK)
Cho
ABC
vuông ở
A
, có cạnh
BC
cố định. Gọi
I
là giao điểm của ba đường phân giác
trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Giải (h.54)
Ví dụ 2. (Bài 45, tr. 86 SGK)
Cho các hình thoi
DABC
có cạnh
AB
cố định. Tìm quỹ tích giao điểm
O
của hai đường
chéo trong các hình thoi đó.
Ví dụ 3. (Bài 48, tr. 87 SGK)
Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính
không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
H
ình 55
O
A
C
B
D
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 210
Ví dụ 4. (Bài 50, tr. 87 SGK)
Cho đừng tròn đường kính
AB
cố định,
M
là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối
của tia
MA
lấy
I
sao cho
2.MI MB
a) Chứng minh:
AIB
không đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm
I
nói trên.
DẠNG 2. CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒNG
Phương pháp giải
Chứng minh các điểm này cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB và cùng nhìn thấy AB
dưới một góc như nhau.
Ví dụ 5. (Bài 51, tr. 87 SGK)
Cho
,IO
lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
với
0
60A
. Gọi
H
là giao điểm cả các đường cao
,BB CC

.
Chứng minh các điểm
,,, ,BCOH I
cùng thuộc một đường tròn.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 211
DẠNG 3. DỰNG TAM GIÁC BIẾT MỘT CẠNH, GÓC
ĐỐI DIỆN
Phương pháp giải
- Trước tiên dựng một đoạn thẳng có độ dài bằng cạnh đã cho.
- Dựng cung chứa góc
dựng trên đoạn thẳng đó.
- Sau đó tiếp đến điều kiện còn lại.
Ví dụ 6. (Bài 46, trang 86 SGK)
Dựng một cung chứa góc
55
trên đoạn thẳng
3AB cm
.
Ví dụ 7. (Bài 49, trang 87 SGK)
Dựng tam giác
ABC
, biết
6, 40BC cm A
và đường cao
4AH cm
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 212
DẠNG 4: SO SÁNH GÓC CÓ ĐỈNH NẰM BÊN TRONG, NẰM BÊN NGOÀI VÀ NẰM
TRÊN CUNG CHỨA GÓC
VÀ
Phương pháp giải:
Dùng tính chất góc ngoài của tam giác hoặc định lý góc có đỉnh ở bên trong, ở bên ngoài đường
trong để so sánh.
Ví dụ 8 (Bài 47, trang 86 SGK)
Gọi cung chứa góc
55
ở bài tập
46
là
AmB . Lấy điểm
1
M nằm bên trong và điểm
2
M nằm bên
ngoài đường tròn chứa cung này sao cho
12
,MM và cung AmB$ nằm cùng một phía đối với đường
thẳng AB. Chứng minh rằng:
a)
1
55
AM B ; b)
2
55
AM B .
Ví dụ 9 (Bài 52, trang 87 SGK)
“ Góc sút ” của quả phạt đền
11m
là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là
7,32m
. Hãy
chỉ ra vị trí khác trên sân có cùng “góc sút” như quả phạt đền
11m
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 213
C. LUYỆN TẬP
Bài 6.1 (Dạng 1) . Cho nửa đường tròn

;OR
đường kính
AB
. Vẽ dây
MN R
(điểm
M
ở trên
cung
AN
) . Hai dây
AN
và
BM
cắt nhau tại
I
. Hỏi khi dây
MN
di động thì điểm
I
di động trên
đường nào?
Bài 6.2 (Dạng 1) . Cho nửa đường tròn đường kính
AB
và một dây
AC
quay quanh
A
. Trên nửa
mặt phẳng bờ
AC
không chứa
B
ta vẽ hình vuông
ACDE
. Hỏi:
a) Điểm
D
di động trên đường nào ?
b) Điểm
E
di động trên đường nào ?
Bài 6.3 (Dạng 1) . Cho hình vuông
ABCD
. Trên cạnh
BC
lấy điểm
E
, trên tia đối của tia
CD
lấy điểm
F
sao cho
CE CF
. Gọi
M
là giao điểm của hai đường thẳng
DE
và
BF
. Tìm quỹ
tích của điểm
M
khi
E
di động trên cạnh
BC
.
Bài 6.4 (Dạng 1) . Cho tam giác
ABC
vuông góc ở
A
. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính
AB
và
AC
ra phía ngoài tam giác. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính
AB
và
AC
ra phía ngoài tam
giác. Qua
A
vẽ cát tuyến
MAN
(
M
thuộc nửa đường tròn đường kính
,AB N
thuộc nửa đường
tròn đường kính
AC
) .
a) Tứ giác
BMNC
là hình gì ?
b) Tìm quỹ tích trung điểm
I
của
MN
khi cát tuyến
MAN
quay quanh
A
.
Bài 6.5 (Dạng 2) . Cho nửa đường tròn đường kính
AB
. Gọi
M
là điểm chính giữa của cung
AB
.
Trên cung
AM
lấy điểm
N
. Trên các tia
,AM AN
và
BN
lần lượt lấy các điểm
,,CDE
sao cho
;MC MA ND NB

và
NE NA
. Chứng minh rằng năm điểm
,,, ,ABC DE
cùng thuộc một
đường tròn.
Bài 6.6 (Dạng 2) . Cho tam giác
ABC
vuông góc tại
A
, đường phân giác
BF
. Từ điểm
I
nằm
giữa
B
và
F
vẽ một đường thẳng song song với
AC
và cắt
AB
và
BC
lần lượt tại
M
và
N
.
Vẽ đường tròn ngoại tiếp
BIN
cắt đường thẳng
AI
tại một điểm thứ hai là
D
. Hai đường thẳng
DN
và
BF
cắt nhau tại
E
.
a) Chứng minh rằng bốn điểm
,,,ABDE
cùng nằm trên một đường tròn.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 214
b) Chứng minh rằng năm điểm
,,, ,ABCDE
cùng nằm trên một đường tròn, từ đó suy ra
BE CE
.
Bài 6.7 (Dạng 3) . Dựng tam giác
ABC
biết
3; 50ABC cm A

và
3,5AB cm
.
Bài 6.8 (Dạng 3) . Dựng tam giác
ABC
biết
4BC cm
, đường cao
3BD cm
và đường cao
3,5CE cm
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 215
BÀI 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (H.64)
2. Định lý
- Định lý thuận: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng
180
.
- Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng
180
thì tứ giác đó nội tiếp được
đường tròn.
Trong hình 64:
Tứ giác
ABCD
nội tiếp đường tròn

180OAC
.
3. Hệ thống một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
- Dùng định nghĩa: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.
- Dùng định lý đảo: Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng
180
thì tứ giác đó nội tiếp được
đường tròn.
- Dùng cung chứa góc
:
Tứ giác
ABCD
có hai đỉnh
C
và
D
sao cho
ACB ADB
thì tứ giác
ABCD
nội tiếp được (H.65)
.
4. Chú ý
Trong các tứ giác đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH SỐ ĐO GÓC
Phương pháp giải:
Muốn tính số đo của một góc của tứ giác nội tiếp ta lấy
180
trừ đi số đo của góc đối diện.
Ví dụ 1. (Bài 53, tr.89 SGK)
Biết
ABCD
là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bảng sau (nếu có thể) :
Trường hợp 1) 2) 3) 4) 5) 6)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 216
Góc
A
80
60
95
B
70
40
65
C
105
D
75
98
Ví dụ 2. (Bài 55, tr.89 SGK)
Cho
ABCD
là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm
M
, biết
80 , 30 , 70DAB DAM BMC

.
Hãy tính số đo các góc
,,,,,
M
AB BCM AMB DMC AMD MCD
và
BCD
.
Ví dụ 3. (Bài 56, tr.89 SGK)
Xem hình 66. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác
ABCD
.
DẠNG 2: NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Phương pháp giải
Có thể dùng một trong các cách sau:
- Vận dụng định nghĩa của tứ giác nội tiếp.
- Chứng minh tổng hai góc đối diện bằng
180
.
- Dùng cung chứa góc
.
Ví du 4. (Bài 57, tr.89 SGK)
Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn:
- Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân?
Vì sao?
Ví du 5. (Bài 58, tr.90 SGK)
Cho tam giác đều
ABC
. Trên nửa mặt phẳng bờ
BC
không chứa đỉnh
A
, lấy điểm
D
sao cho
D
BDC
và
1
2
DCB ACB
.
a) Chứng minh
ABDC
là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm
,,,ABDC
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 217
DẠNG 3. CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Phương pháp giải
- Trong một tam giác các đường trung trực của ba cạnh đồng quy.
- Trong một đường tròn, các đường trung trực của các dây không song song đồng quy.
Ví dụ 6. (Bài 54, tr.89 SGK)
Tứ giác
ABCD
có
180ABC ADC
. Chứng minh rằng các đường trung trực của
,,AC BD AB
cùng đi qua một điểm.
DẠNG 4. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Bạn có thể chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
Ví dụ 7. (Bài 59, tr.90 SGK)
Cho hình bình hành
ABCD
. Đường tròn đi qua ba đỉnh
,,ABC
cắt đường thẳng
CD
tại
P
khác
C
. Chứng minh
AP AD
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 218
DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Phương pháp giải
Bạn có thể chứng minh một cặp góc so le trong bằng nhau.
Ví dụ 8. (Bài 60, tr.90 SGK)
Xem hình 70. Chứng minh
//QR ST
.
Hướng dẫn: Xét cặp góc so le trong
;PST SRQ
.
C. LUYỆN TẬP
Bài 7.1 (Dạng 1,4) . Cho tam giác
ABC
cân tại
A
nội tiếp đường tròn

O
và

090A


. Gọi
M
là một điểm tùy ý trên cung nhỏ
AC
. Vẽ tia
Bx AM
cắt tia
CM
tại
D
.
a) Tính số đo góc
AMD
.
b) Chứng minh rằng
MD MB
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 219
Bài 7.2 (Dạng 1,2) . Tam giác
ABC
không có góc tù. Các đường cao
A
H
và đường trung tuyến
A
M
không trùng nhau. Gọi
N
là trung điểm của
A
B
. Cho biết
BAH CA
M
.
a) Chứng minh tứ giác
AMHN
nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Tính số đo của góc
BAC
.
Bài 7.3 (Dạng 1,2) Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Điểm
E
di động giữa
A
và
B
. Qua
B
vẽ
một đường thẳng vuông góc với tia
CE
tại
D
và cắt tia
CA
tại
H
. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác
ADBC
nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Góc
A
DH
có số đo không đổi khi
E
di động giữa
A
và
B
.
c) Khi
E
di động giữa
A
và
B
thì
..BA BE CD CE
không đổi.
Bài 7.4 (Dạng 2) Cho nửa đường tròn đường kính
A
B
và dây
AC
. Từ một điểm
D
trên
AC
vẽ
D
EAB
. Hai đường thẳng
D
E
và
BC
cắt nhau tại
F
. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác
BCDE
nội tiếp được đường tròn.
b)
AFE ACE
.
Bài 7.5 (Dạng 2)
Cho nửa đường tròn đường kính
A
B
. Lấy hai điểm
C
và
D
trên nửa đường tòn sao cho số đo các
cung AC; CD; DB bằng nhau. Các tiếp tuyến vẽ từ B và C của nửa đường tròn cắt nhau tại I. Hai tía
AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
a) Tam giác KAB và IBC là những tam giác đều.
b) Tứ giác KIBC nội tiếp được một đường tròn.
Bài 7.6 (Dạng 2)
Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn. Trên tia Bx
lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D) . Các tia AC và BD lần lượt cắt đường tròn tạ
i E và F.
Hai dây AF và BE cắt nhâu tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác FNEM nội tiếp được.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp được.
Bài 7.7 (Dạng 2)
Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua
trung điểm M của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn., Xác định tâm O của
đường tròn đó.
b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) tại đ
iểm thứ hai là I. Chứng minh rằng năm điểm A, I,
F, H, E
Bài 7.8 (Dạng 3;4)
Cho tam giác ABC; dựng ra ngoài tam giác này các tam giác đều BCD; ACE; ABF. Chứng minh
rằng:
a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác trên đều đi qua một điểm.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 220
b) Ba đường thẳng AD; BE; CF cùng đi qua một điểm.
c) Ba đoạn thẳng AD; BE; CF bằng nhau.
Bài 7.9 (Dạng 5) Trong hình 71, hãy chứng minh
//CE DF
Bài 7.10 (Dạng 2;5) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại I. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và
BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a)
//MN CD
.
b) Tứ giác ABNm nội tiếp được.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 221
BÀI 8. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa
a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và
đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được
gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại
tiếp đường tròn.
2. Định lý
Bất kỳ đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đường tròn
ngoại tiếp; có một và chỉ một đường tròn nội tiếp (h.72)
Tâm của hai đường tòn này trùng nhau goi là tâm của đa giác
đều.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. VẼ ĐA GIÁC ĐỀU NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN CHO TRƯỚC. TÍNH ĐỘ
DÀI MỖI CẠNH A THEO R
Phương pháp giải
Vẽ góc ở tâm có số đo
360
n
, cung tương ứng căng một cạnh của đa giác đều n cạnh.
Để tính các cạnh ta có thể dùng định lý Py– ta – go hoặc hệ thức giữa cạnh và góc trong
một tam giác vuông.
Ví dụ 1. (Bài 61 tr. 91 SGK)
a) Vẽ đường trong tâm O, bán kính 2 cm
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn ở câu a)
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O;r)
Ví dụ 2. (Bài 63 tr. 92 SGK)
Cho hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp một đường tròn (O;R) . Tính
các cạnh của hình đó theo R.
DẠNG 2. VẼ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP MỘT ĐA GIÁC ĐỀU CHO
TRƯỚC. TÍNH R, R
Phương pháp giải
Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh kề nhau, chúng cắt nhau tại điểm O, điểm này là tâm đường
tròn ngoại tiếp, cũng là tâm đường tròn nội tiếp của đa giác đều.
Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp là đoạn thẳng nối O với một đỉnh của đa giác.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 222
Bán kính r của đường tròn nội tiếp là đoạn thẳng nối O với trung điểm của một cạnh của đa giác.
Để tính R,r ta có thể dùng định lý Py- ta – go hoặc hệ thức giữa cạnh và góc trong một tam giác
vuông.
Ví dụ 3. (Bài 62 tr. 91 SGK)
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.
b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
c) Vẽ tiếp đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC. Tính r.
d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O;R) .
DẠNG 3. CHO TRƯỚC SỐ ĐO CỦA MỘT CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN (O;R) . TÍNH ĐỘ
DÀI CỦA DÂY CĂNG CUNG
Phương pháp giải
Nếu cung đã cho căng một dây là một cạnh của đa giác đều n cạnh thì ta tính độ dài của cạnh này
theo công thức:
180
2.sin
aR
n
Một số trường hợp thường gặp, ta lấy ngay kết quả ở bài 63:
- Với n = 3 thì
3
3aR
- Với n = 4 thì
4
2aR
- Với n = 6 thì
4
aR
Ví dụ 4. (Bài 64 tr. 92 SGK)
Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ A, ba cung AB, BC, CD sao
cho
60
sd AB
; số đo cung
90
BC
; số đo cung
120
CD
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 223
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
C. LUYỆN TẬP
Bài 8.1 (Dạng 1) . Một đường tròn có bán kính 3 cm. Tính diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn
đó.
Bài 8.2 (Dạng 2) . Một đa giác đều nội tiếp đường tròn (O; 2cm) . Biết độ dài mỗi cạnh của nó là
23cm
. Tính diện tích của đa giác đều đó.
Bài 8.3 (Dạng 2) . Cho hình lục giác đều ABCDEF, độ dài mỗi cạnh là c. Các đường thẳng AB và
CD cắt nhau tại M, cắt đường thẳng EF theo thứ tự tại N và P.
a) Chứng minh rằng
MNP
là tam giác đều.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
MNP
.
Bài 8.4 (Dạng 2) Cho ngũ giác đều ABCDE cạnh a. Hai đường chéo AC và AD cắt BE lần lượt tại
M và N.
a) Tính tỷ số giữa các bán kính của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều đó.
b) Chứng minh rằng các tam giác AMN và CMB là những tam giác cân.
c) Chứng minh rằng
2
.
AC BM a
Bài 8.5 (Dạng 3) Cho đường tròn (O;R) . Từ điểm A trên đường tròn này vẽ các cung AB và AC
sao cho số đo cung
30
AB
, số đo của cung
90
AC
(điểm A nằm trên cung nhỏ BC) . Tính
các cạnh của
ABC
và diện tích của nó.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 224
BÀI 9. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Công thức tính độ dài đường tròn.
2CR
hoặc
Cd
Trong đó: C là độ dài đường tròn bán kính R; d = 2R;
3,14.
2. Công thức tính độ dài cung tròn
180
AB
Rn
l
. (h. 77)
Trong đó
l
là độ dài cung tròn
n
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN HOẶC CÁC ĐẠI LƯỢNG CÓ
LIÊN QUAN
Ví dụ 1. (Bài 65, tr.94 SGK)
Lấy giá trị gần đúng
3,14.
hãy điền vào các ô trống trong bảng sau (Đơn vị độ dài cm; làm tròn
kết quả đến số thập phân thứ 2) :
Bán kính đường tròn (R) 10 3
Số đo của cung tròn (
n
)
10 3
Độ dài đường tròn (C) 20 25,12
Ví dụ 2. (Bài 66, tr.95 SGK)
a) Tính độ dài cung
60
của một đường tròn có bán kính 2 dm.
b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kinh 650mm.
Ví dụ 3. (Bài 67, tr.95 SGK)
Lấy giá trị gần đúng
3,14.
hãy điền vào các ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số
thập phân thứ nhất và đến độ) .
Bán kính đường tròn (R) 10 cm 21 cm 6,2 cm
Đường kính đường tròn (d)
90
50
41
25
Độ dài cung tròn (
l
)
35,6 cm 20,8 cm 9,2 cm
Ví dụ 4. (Bài 69, tr.95 SGK)
Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh sau xe có đường
kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi sau khi bánh xe sau lăn được 10 vòng
thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 225
Ví dụ 5. (Bài 70, tr.95 SGK)
Vẽ lại ba hình (tạo bởi các cung tròn) dưới đây và tính chu vi mỗi hình (Có gạch chéo) :
Ví dụ 6. (Bài 71, tr.96 SGK)
Vẽ lại cá hình tạo bởi cung tròn dưới đây với tâm lần lượt là B; C; D; A theo đúng kích thước đã
cho (cạnh hình vuông dài 1cm) . Nêu cách vẽ đường xoắn AEFGH. Tính độ dài đường xoắn đó.
Ví dụ 7. (Bài 72, tr. 96 SGK)
Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là
540 .mm
Dây cua-roa bao bánh xe theo cung
AB
có độ dài
200 .mm
Tính góc
AOB
(h.82) .
Ví dụ 8: Đường tròn lớn của trái đất dài khoảng
40000 .km
Tính bán kính trái đất.
Ví dụ 9. (Bài 74, tr. 96 SGK)
Vĩ độ của Hà Nội là
0
20 01'.
Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng
40000 .km
Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 226
DẠNG 2. SO SÁNH ĐỘ DÀI CỦA HAI CUNG
Phương pháp giải:
Tính độ dài của mỗi cung theo bán kính đường tròn và theo số đo độ của cung rồi so sánh các kết
quả
Ví dụ 10. (Bài 68. tr. 95 SGK)
Cho ba điểm
,,,ABC
thẳng hàng sao cho
B
nằm giữa
A
và
.C
Chứng minh rằng độ dài của
nửa đường tròn đường kính
AC
bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính
AB
và
.BC
Ví dụ 11. (Bài 75, tr. 96 SGK)
Cho đường tròn
(),O
bán kính
.OM
Vẽ đường tròn tâm
O
đường kính
.OM
Một bán kính
OA
của đường tròn
()O
cắt đường tròn
()O
ở
.B
Chứng minh
MA
và
MB
có độ dài bằng nhau.
Ví dụ 12. (Bài 76/tr 96 SGK)
Xem hình 86 và so sánh độ dài của cung
AmB
với độ dài đường gấp khúc.
.AOB
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 227
C. LUYỆN TẬP
Bài 9.1 (Dạng 1) Cho đường tròn
()O
bán kính
.OA
Từ trung điểm
M
của
OA
vẽ dây
.BC OA
Biết độ dài đường tròn
()O
là
4. ( ).
cm
Tính:
a) Bán kính của đường tròn
();O
b) Độ dài hai cung
BC
của đường tròn.
Bài 9.2 (Dạng 1) Tam giác
ABC
có
0
ˆ
3 ; 120 . AB AC cm A
Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp
tam giác
.ABC
Bài 9.3 (Dạng 2) Một tam giác đều và một hình vuông cùng có chu vi là
72 .cm
Hỏi độ dài
đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn ? Lớn hơn bao nhiêu ?
Bài 9.4 (Dạng 2) . Cho hai đường tròn
(; )OR
và
(; )OR
¢¢
tiếp xúc ngoài với nhau tại
.A
Một
đường thẳng qua
A
cắt dường tròn
()O
tại
,B
cắt đường tròn
()O
¢
tai
.C
Chứng minh rằng nếu
1
2
RR
¢
=
thì độ dài của cung
AC
bằng nửa độ dài của cung
AB
(chỉ xét các cung nhỏ
,AC AB
) .
Bài 9.5 (Dạng 2) Cho đường tròn đường kính
2.BC R
Trên đường tròn lấy một điểm
A
sao cho
3.AB R
Gọi
123
,,PP P là chu vi các đường tròn có đường kính lần lượt là
,CA AB
và
.BC
Chứng minh:
2
22
3
12
.
134

P
PP
Bài 9.6 (Dạng 2) . Cho tứ giác
ABCD
ngoại tiếp đường tròn
().O
Vẽ ra phía ngoài của tứ giác này
bốn nửa đường tròn có đường kính lần lượt là bốn cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng tổng độ dài
hai nửa đường tròn có đường kính là hai cạnh đối diện bằng tổng độ dài hai nửa đường tròn kia.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 228
BÀI 10. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Công thức tính diện tích hình tròn:
2
,SRp=
trong đó
S
là diện tích hình tròn bán kính
R
2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn (h.87)
2
360
Rn
S
p
=
hay
,
2
lR
S
=
trong đó
S
là diện tích hình quạt tròn;
R
là bán kính hình tròn;
n
là số đo độ của cung tròn;
l
là độ dài cung tròn.
3. Tính diện tích hình viên phân (h.88) và diện tích hình vành khăn (h.89)
AmB OAmB OAB
SS S=-
()
22
12
SRRp=-
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN HOẶC CÁC ĐẠI LƯỢNG CÓ
LIÊN QUAN
Phương pháp giải
Tính diện tích hình tròn ta dùng công thức:
2
SR
Tính diện tích hình quạt tròn ta dùng công thức:
2
360
Rn
S
Tính
R
ta có thể dùng công thức
2
C
R
hoặc
S
R
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 229
Tính
n
(số đo độ của cung tròn) ta dùng công thức
2
6.3 0
quat
S
n
Rp
=
Ví dụ 1. (Bài 77, tr. 98 SGK)
Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là
4.cm
Ví dụ 2. (Bài 78, tr. 98 SGK)
Chân một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi
12 .m
Hỏi chân
đống cát đó chiếm một diện tích là bao nhiêu mét vuông?
Ví dụ 3. (Bài 79, tr. 98 SGK)
Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính
6,cm
số đo cung là
36 .
o
Ví dụ 4. (Bài 80, tr. 98 SGK)
Một vườn cỏ hình chữ nhật
ABCD
có
40 , 30 .AB m AD m
Người ta muốn buộc hai con dê ở
hai góc vườn
,.AB
Có hai cách buộc:
- Mỗi dây thừng dài
20 .m
- Một dây thừng dài
30m
và dây thừng kia dài
10 .m
Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn (h.60) ?
Ví dụ 5. (Bài 81, tr. 99 SGK)
Diện tích hình tròn sẽ thay đổi thế nào nếu:
a) Bán kính tăng gấp đôi?
b) Bán kính tăng gấp ba?
c) Bán kính tăng
k
lần (
1k >
) ?
Ví dụ 6. (Bài 82, tr. 99 SGK)
Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) :
Bán kính đường
tròn
()R
Độ dài đường
tròn
()C
Diện tích hình
tròn
()S
Số đo của cung
tròn
0
n
Diện tích quạt
tròn cung
0
n
13,2cm
0
47, 5
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 230
2, 5cm
2
12, 5cm
2
37, 80cm
2
10, 60cm
DẠNG 2. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH VIÊN PHÂN, HÌNH VÀNH KHĂN VÀ NHỮNG HÌNH KHÁC
LIÊN QUAN ĐẾN CUNG TRÒN
Phương pháp giải
Dựa vào tính chất:
Nếu một hình
H
được chia thành hai hình
1
H
và
2
H
không có điểm trong chung thì
12
HH H
SSS=+
Suy ra diện tích hình
1
H
= diện tích hình
H
- diện tích hình
2
H
Ví dụ 7. (Bài 83, tr. 99 SGK)
a) Vẽ hình 92 (tạo bởi các cung tròn) với
10HI cm=
và
2.HO BI cm==
Nêu cách vẽ.
b) Tính diện tích hình
HOABINH
(miền gạch sọc) .
c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính
NA
có cùng diện tích với hình
HOABINH
đó .
Ví dụ 8. (Bài 84, tr. 99 SGK)
a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh
C
của tam giác đều
ABC
cạnh
1.cm
Nêu cách vẽ (h.93) .
b) Tính diện tích miền gạch sọc.
Ví dụ 9. (Bài 85, tr. 100 SGK)
Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy. Hãy tính diện
tích hình viên phân
,AmB
biết góc ở tâm
0
60AOB =
và bán kính đường tròn là
5, 1cm
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 231
(h.94) .
C.LUYỆN TẬP
Bài 10.1 (Dạng 1) . Một hình vuông và một hình tròn có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn
hơn.
Bài 10.2 (Dạng 1) . Chứng minh rằng diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông bằng hai lân diện
tích hình tròn nội tiếp hình vuông đó.
10.3 (Dạng 1) . Trong hình 97, biết diện tích miền gạch sọc là
2
86cm
. Tính diện tích hình tròn
Hình 97 Hình 98
Bài 10.4 (Dạng 1) . Vẽ lại hình 98 rồi tính:
a) Diện tích hình tròn ở giữa;
b) Diện tích miền gạch sọc
Bài 10.5( Dạng 2) . Tính diện tích hình vawnfh khăn tạo thành bởi đường tròn nội tiếp và đường
tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh là 6cm.
Bài 10.6 (Dạng 2) . Tam giác đều có cạnh a, nội tiếp đường tròn (O) . Tính diện tích hình viên phân
tạo thành bởi một cạnh của tam giác và một cung nhỏ căng cạnh đó.
Bài 10.7 (Dạng 2) . Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 2cm. Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ BC có chứa A ta vẽ ba nửa đường tròn có đường kính lần lượt là BH, CH và BC. Tính
diện tsich miền giới hạn bởi ba đường tròn đó.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 232
Bài 10.8 (Dạng 2) . Trong hình 99, biết
ABC
vuông tại A, AB =4; AC = 6. Hai nửa
đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại
H. Tính diện tích miền gạch sọc
Hình 99
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 233
ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. BÀI TẬP ÔN TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA
Bài 88. hãy nêu tên mỗi góc trong hình dưới đây:
(Ví dụ. Góc trên hình 100b là góc nội tiếp)
Hình 100a Hình 100b Hình 100c Hình 100d Hình 100e
Bài 89. Trong hình 101, cung
AmB
có số đo là
60
o
. Hãy:
a) Vẽ góc ở tâm chắn cung
AmB
. Tính góc AOB
b) vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung
AmB
. Tính
góc ACB.
c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung
BA. Tính góc Abt.
Hình 101
d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn. So sánh góc ADB và ACB
e) Vẽ góc AEB có đỉnh E bên ngoài đường tròn (E và C cùng phía đối với AB) . So sánh
AEB
và
ACB
Bài 90. a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm.
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.
c) vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 234
Bài 91. Trong hình 104 đường tròn tâm O có bán kính R= 2cm.
75
o
AOB
a) Tính số đo
ApB
b) Tính độ dài hai cung AqB và ApB
c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB
Bài 92. Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 105,106,107 (đơn vị độ dài : cm)
Hình 105 Hình 106 Hình 107
Bài 93. Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động khớp nhau. Khi m,ột bánh xe quay thì
hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng , bánh xe B có 40 cái răng, bánh xe C có
20 răng. Biết bán kính của bánh xe C là 1cm. Hỏi:
a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng ?
c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?
Bài 94. Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện
bán trú, ngoại trú, nội trú (h.108) . Hãy trả lời các câu hỏi sau:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 235
a) Có phải
1
2
số học sinh là học sinh ngoại
trú không?
b) Có phải
1
3
số học sinh là học sinh bán trú
không?
c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần
trăm?
d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học
sinh là 1800 em.
Hình 108
Bài 95. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H ( góc C khác
90
o
) và cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE b)
BHD
cân c) CD= CH
Bài 96. Cho tam giác ABC nội tiếpđường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M.
Vẽ đường cao AH. CHứng minh rằng:
a) OM đi qua trung điểm của dây BC
b) AM là tia phân giác của góc OAH
Bài 97. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính
MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 236
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp
b)
ABD ACD
c) CA là tia phân giác của góc SCB
Bài 98. Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm
M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.
Bài 99. Dựng
ABC
biết:BC = 6cm,
0
80BAC
, đường cao AH có độ dài là 2cm.
Hình 113
B. BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa
đường tròn. Một góc vuông quay quanh O, hai cạnh cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Hai đường
thẳng OD và Ax cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:
a) AC.BD =R
2
b) Tam giác CDE là tam giác cân.
c) CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 237
Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho
3AM R
. Vẽ tiếp tuyến MC ( C là tiếp điểm ) . Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BC
tại D.
a) CHứng minh rằng BD // OM.
b) Xác định dạng của các tứ giác OBDM và AODM.
c) Gọi E là giao điểm của AD với OM. Gọi F là giao điểm của MC với OD. Chứng minh rằng EF là
tiếp tuyến của đường tròn (O) .
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AOC và AOD.
Đường thẳng AC cắt đường tròn (O’) tại E. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F. CHứng minh
rằng:
a) Ba điểm C, B,D thẳng hàng.
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn
c) A là tâm đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp của EF
B
Bài 4. Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cắt tuyến ABC với đường tròn
( B nằm giữa A và C) . Gọi H là hình chiếu của T trên OA. Chứng minh rằng:
2
).
). .
aAT ABAC
bABAC AHAO
c) Tứ giác OHBC nội tiếp đường tròn.
Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC) . Vẽ dây AD// BC. TIếp tuyến tại A
và Bcuar đường tròn cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
)aAIB AOB
b) Năm điểm E, A, I, O,B cùng nằm trên một đường tròn.
c)
IO IE
Bài 6. Cho hình vuông ABCD. TRên hai cạnh CB và CD lần lượt lấy hai điểm di động M và N sao
cho CM = CN. Vẽ
CF BN
tại E (
F
AD
)
a) Chứng minh rằng tứ giác FMCD hình chữ nhật
b) Chứng minh năm điểm A,B,M,E,F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường
tròn đó.
c) Đường tròn (O) cắt AC tại điểm thư hai là I. Chứng minh rằng
IBF
vuông cân
d) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng FI tại K. CHứng minh rằng ba điểm K, C, D
thẳng hàng
Bài 7. Cho đường tròn (O) . Vẽ hai dây AC và BD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I ( điểm B
nằm trên cung nhỏ AC) . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD là hình thang cân
b) Tổng diện tích hai hình quạt tròn AOB và COD bằng tổng diện tích hai hình quạt tròn AOD và
BOC ( các hình quạt tròn ứng với các cung nhỏ) .
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 238
Bài 8.Cho nửa đường tròn đường kính BC = 10 cm và dây BA = 8cm. Vẽ ra phía ngoài của tam
giác ABC các nửa đường tròn đường kính AB và AC.
a) Tính diện tsich tam giác ABC.
b) Tính tổng diện tích hai hình viên phân
c) Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết
Bài 9. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Biết
0
2; 45BC cm A
a) Tính diện tích hình tròn (O)
b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC.
c) Xác định vị trí của điểm A để diện tích tam giác ABC lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 239
Hình 114
A
O
O'
B
CHƯƠNG IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
BÀI 1. HÌNH TRỤ - DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH TRỤ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Hình trụ
Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh
OO
cố định,
ta được một hình trụ ( h.114).
- Hai đáy là hai hình tròn

O
và
O
bằng nhau và nằm trên hai
mặt phẳng song song.
- Đường thằng
OO
là trục của hình trụ.
- là một đường sinh. Đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy.
Độ dài của đường sinh là chiều cao của hình trụ.
2. Diện tích xung quanh của hình trụ
2
xq
SRh
.
2
22
tp
SRhR

.
(
R
là bán kính đáy,
h
là chiều cao).
3. Thể tích hình trụ
.
2
VRh
..
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. NHẬN BIẾT CÁC YẾU TỐ CỦA HÌNH TRỤ
Phương pháp giải
Đối chiếu với bài học, phần cách tạo ra hình trụ.
Ví dụ 1. (Bài 1, tr. 110 SGK)
Hãy điền thêm các tên gọi vào dấu “…”
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 240
Ví dụ 2. (Bài 2, tr. 110 SGK)
Lấy một băng giấy hình chữ nhật (h.116). Biết
10cmAB
,
4cmBC
; dán băng
giấy như hình vẽ ( .
B . sát với A và
C
sát với D , không được xoắn).
Có thể dán băng giấy để tạo nên mặt xung quanh của hình trụ được không?
Ví dụ 3. (Bài 3, tr. 110 SGK)
Quan sát ba hình dưới đây và chỉ ra chiều cao, bán kính đáy của mỗi hình.
Hình 116
Vết cắt
A
A
B
C
D
C
B
D
7 cm
3 cm
c)
Hình 117
b)
1 cm
11 cm
a)
8 cm
10 cm
……
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 241
DẠNG 2. TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN, THỂ
TÍCH CỦA HÌNH TRỤ HOẶC CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN
Phương pháp giải
1. Tính diện tích xung quanh ta dùng công thức:
2SRh
xq
. (1)
2. Tính diện tích toàn phần ta dùng công thức:
2
22
tp
SRhR

.
3. Tính thể tích ta dùng công thức:
2
VRh
. (2)
4. Tính bán kính đáy ta dùng công thức:
2
x
q
S
R
h
( suy từ 1).
hoặc
V
R
h
( suy từ 2).
5. Tính
h
ta dùng công thức:
2
x
q
S
h
R
( suy từ 1).hoặc
2
VV
h
SR

( suy từ 2).
Ví dụ 4. (Bài 4, tr. 110 SGK)
Một hình trụ có bán kính đáy là
7cm
, diện tích xung quanh bằng
2
352cm .
Khi đó chiều cao của hình trụ là:
( A)
3, 2 cm
; ( B)
4,6cm
; (C)
1, 8 cm
( D)
2,1cm
; ( E) Một kết quả khác.
Hãy chọn kết quả đúng.
Ví dụ 5. (Bài 5, tr. 111 SGK)
Điền đủ các kết quả vào những ô trống của bàng sau:
Hình Bán kính
đáy

cm
Chiều cao

cm
Chu vi
đáy
cm
Diện tích
đáy
2
cm
Diện tích
xung quanh

2
cm
Thể tích
3
cm
1 10
5 4
8
4
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 242
Ví dụ 6. (Bài 6, tr. 111 SGK) Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy.
Diện tích xung quanh của hình trụ là
2
314cm
.Hãy tính bán kính đường tròn đáy và thể tích
hình trụ ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Ví dụ 7. (Bài 7, tr. 111 SGK)
Một bóng đèn huỳnh quang dài
1, 2 m
,
đường kính của đường tròn đáy là
4cm
, được đặt
khít vào một ống giấy cứng dạng hình hộp (h.
118). Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm
một hộp. ( Hộp hở hai đầu, không tính lề và mép
dán).
Ví dụ 8. (Bài 8, tr. 111 SGK)
Cho hình chữ nhật
ABCD

2,AB a BC a
. Quay hình chữ nhật đó quanh
AB
thì
được hình trụ có thể tích
1
V
; quanh
BC
thì được hình trụ có thể tích
2
V
. Trong các
đẳng thức dưới đây, hãy chọn đẳng thức đúng:
( A)
12
VV
; ( B)
12
2VV
; (C)
21
2VV
( D)
21
3VV
; ( E)
12
3VV
.
Ví dụ 9. (Bài 9, tr. 112 SGK)
Hình 119 là một hình trụ cùng với hình khai triển của nó kèm theo kích thước.
Hãy điền vào các chỗ … và các ô trống những cụm từ hoặc các số cần thiết.
Hình 118
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 243
Ví dụ 10. (Bài 10, tr. 112 SGK) Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi hình tròn đáy là
13cm
và chiều cao là
3cm
b) Thể tích của hình trụ có bán kính đường tròn đáy là
5mm
và chiều cao là
8mm
.
Ví dụ 11. (Bài 11, tr. 112 SGK)
Người ta nhấn chìm hoàn toàn một tượng
đá nhỏvào một lọ thủy tinh có nước dạng
hình trụ
(h.120). Diện tích đáy lọ thủy
tinh là
2
12,8cm
. Nước trong lọ dâng lên
thêm
8,5 mm
. Hỏi thể tích của tượng đá là
bao nhiêu?
Ví dụ 12. (Bài 12, tr. 112 SGK)
Điền đủ các kết quả vào những ô trống của bảng sau:
Hình Bán
kính
đáy
Đườngkính
đáy
Chiều
cao
Chu vi
đáy
Diện tích
đáy
Diện tích
xung
quanh
Thể
tích
25mm
7cm
6cm
1m
12 cm
10 cm
10 cm
12 cm
10 cm
Hình 119
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 244
5cm
1l
Ví dụ 13. (Bài 13, tr. 113 SGK)
Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như hình 121 ( lỗ khoan dạng hình trụ),
tấm kim loại dày
2cm
, đáy của nó là hình vuông có cạnh là
5cm
. Đường kính của
mũi khoan là
8mm
. Hỏi thể tích phần còn lại của tấm kim loại là bao nhiêu?
Ví dụ 14. (Bài 14, tr. 113 SGK)
Đường ống nối hai bể cá trong một
thủy cung ở miền nam nước Pháp có
dạng một hình trụ, độ dài của đường
ống là
30m
(h.122). Dung tích của
đường ống nói trên là
1800000
lít.
Tính diện tích đáy của đường ống.
C. LUYỆN TẬP
Bài 1.1 (Dạng 2). Một hình trụ có bán kính đáy bằng
1
4
đường cao. Khi cắt hình trụ
bằng một mặt phẳng đi qua trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật có diện tích là
2
50m .
Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.
Bài 1.2 (Dạng 2). Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích của
hình trụ là
3
128 cm
. Tính diện tích xung quanhn của nó.
Bài 1.3 (Dạng 2). Một hình trụ có bán kính đáy là
3cm
. Biết diện tích toàn phần gấp
đôi diện tích xung quanh. Tính chiều cao của hình trụ.
Bài 1.4 (Dạng 2). Một hình trụ có diện tích xung quanh là
2
20 cm
và diện tích toàn
phần là
2
28 cm
. Tính diện tích của hình trụ đó.
Hình 122
30 m
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 245
Bài 1.5 (Dạng 2). Từ một khoanh giò hình trụ,
người ta cắt rời ra một phần thẳng đứng
theo các bán kính
,OA OB
( xem hình 123).
Cho biết diện tích xung quanh của khoanh
giò sau khi cắt rời một phần ra đúng bằng
diện tích xung quanh trước khi cắt. Tính
góc
AOB
.
Hình 123
B
A
O
O'
B
'
A
'
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 246
Hình 124
O
C
A
Hình 125
r
R
h
l
O
C
S
O'
BÀI 2. HÌNH NÓN – HÌNH NÓN CỤT - DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA
HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Hình nón
Khi quay tam giác vuông
AOC
một vòng quanh cạnh góc vuông
OA
cố định thì được một hình nón ( h.124).
- Đáy của hình nón là hình tròn
O
. Đỉnh của hình nón là điểm A .
-
AC
là một đường sinh.
-
AO
là đường cao của hình nón.
2. Diện tích xung quanh của hình trụ
xq
SRl
;
2
tp
SRlR

.
(
R
là bán kính đáy,
l
là đường sinh).
3. Thể tích hình nón:
2
1
3
VRh
(
h
là chiều cao).
4. Hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón
nằm giữa mặt phẳng nón trên và mặt đáy được gọi là một
hình nón cụt (h.125).
5. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt

xq
SRrl


22
1
.
3
VhRrRr

B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. NHẬN BIẾT HÌNH NÓN
Phương pháp giải
Xét xem có tam giác vuông nào quay quanh một cạnh cố định không?
Ví dụ. ( Bài 18,tr.117 SGK)
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 247
Hình ABCD(h.126) khi quay quanh BC thì tạo ra :
• Một hình trụ;
• Một hình nón;
• Một hình nón cụt;
• Hai hình nón;
• Hai hình trụ.
Hãy chọn câu trả lời đúng
DẠNG 2. TÍNH SỐ ĐO CUNG HOẶC BÁN KÍNH HÌNH QUẠT TRÒN HOẶC NỬA GÓC
Ở ĐỈNH CỦA HÌNH NÓN KHI KHAI TRIỂN MẶT XUNG QUANH HÌNH NÓN
Phương pháp giải
Để tính số đo cung của hình quạt tròn ta làm theo hai bước:
Bước 1: Tính độ dài
1
l
của cung hình quạt ( chính là chu vi của hình tròn đáy).
Bước 2: Tính số đo cung ( hoặc góc ở tâm ) của hình quạt tròn theo công thức :
trong đó R là bán kính hình quạt cũng chính là đường sinh của hình nón.
1
180.
.
l
n
R
. Để tính đường sinh của hình nón ta có thể tính bán kính hình quạt tròn khi khai triển mặt
xung quanh của hình nón.
.Để tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón ta tính một tỉ số lượng giác của góc đó.Muốn vậy
cần tính hai trong
ba độ dài : đường sinh, đường cao , bán kính đáy.
sin ; tan
R
R
lh


Ví dụ 2: ( Bài 16,tr.117 SGK)
Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình
quạt.Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy.
Quan sát hình 127 và tính số đo cung của hình quạt tròn
Hình 126
A
B
C
D
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 248
Ví dụ 3. ( Bài 17,tr.117 SGK)
Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như ở hình 124 thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh
của hình nón.Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là , đọ dài đường sinh là a.Tính số đo cung của
hình quạt khi lhai triển mặt xung quanh của hình nón.
Ví dụ 4. ( Bài 19,tr.118 SGK )
Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình quạt là
16cm, số đo cung là thì độ dài đường sinh của hình nón là:
(A) 16cm ; (B) 8cm; (C)
16
3
cm;
(D) 4cm; (E)
16
3
cm;
Hãy chọn kết quả đúng.
Ví dụ 5. ( Bài 23,tr.119 SGK )
Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón ( góc của tam giác vuông AOS – hình
128 ) sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón bằng một phần tư diện tích của hình tròn (
bán kính SA)
Hình 124
O
C
A
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 249
Ví dụ 6. ( Bài 24,tr.119 SGK)
Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16
cm, số đo cung là . Tang của nửa góc ở đỉnh của hình nón là:
(A)
2
4
(B)
2
2
(C)
2
(D)
22
Hãy chọn kết quả đúng.
DẠNG 3. TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH , TÍNH THỂ TÍCH HÌNH TRỤ HOẶC CÁC
ĐẠI LƯỢNG CÓ LIÊN QUAN
Phương pháp giải
Bước 1: Viết công thức tính
x
q
S
, tính V ( hoặc từ đó suy ra công thức tính R,h,l ).
Bước 2: Xét xem những đại lượng nào đã biết , những đại lượng còn phải tính tiếp giá trị của đại
lượng đó.
Bước 3: Thay đầy đủ giá trị của các đại lượng vào công thức và thực hiện các phép tính.
Ví dụ 7. ( Bài 15,tr.117 SGK )
Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ ( cạnh của hình lập
phương bằng 1 )
Hình 128
α
O
A
B
S
B
Hình 128
α
O
A
B
S
B
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 250
( h.129 ). Hãy tính:
a) Bán kính đáy của hình nón .
b) Độ dài đường sinh.
Ví dụ 8. ( Bài 20,tr.118 SGK )
Hãy điền đầy đủ vào các ô trống ở bảng sau ( xem hình 130 ).
Bán kính
đáy r (cm)
Đường kính dây
d ( cm)
Chiều cao
h ( cm )
Độ dài đường sinh
l ( cm)
Thể tích
V (
10 10
10 10
10 100
10 100
10 100
Ví dụ 9. ( Bài 25,tr.119 SGK )
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy là a, b ( a < b ) và độ dài
đường sinh là l ( a,b,l có cùng đơn vị đo ).
Ví dụ 10. ( Bài 26, tr.119 SGK )
Hình 130
l
d
h
R
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 251
Hãy điền đủ vào các ô trống cho ở bảng sau ( đơn vị độ dài : cm )
Hình Bán kính
Đáy ( r)
Đường kính
Đáy ( d)
Chiều cao
(h)
Độ dài
Đường sinh (
l)
Thể tích
(V)
5 12
16 12
7 25
40 29
Ví dụ 11. ( Bài 28, tr. 120 SGK )
Một cái xô bằng inốc có dạng hình nón cụt đựng hóa chất , có các kích thước cho ở hình 131 ( đơn
vị: cm )
a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô.
b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu?
Ví dụ 12. ( Bài 29,tr.120 SGK )
Cối xay gió của Đôn – ki – hô – tê từ tác phẩm của Xec – van – téc ( Cervantès )
Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón ( h.132) .Chiều cao của hình nón là 42cm và
thể tích của nó là . Em hãy giúp chàng Đôn – ki – hô – tê tính bán kính đáy của hình nón (
làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ).
Hình 131
27
36
9
21
O
A
S
O'
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 252
DẠNG 4. TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH , TÍNH THỂ TÍCH CỦA NHỮNG HÌNH HỖN
HỢP BAO GỒM NHIỀU HÌNH
Phương pháp giải
Ta tính diện tích xung quanh hoặc thể tích của từng bộ phận rồi cộng lại.
Ví dụ 13. ( Bài 21, tr.118 SGK )
Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ ( H.133). Hãy tính tổng diện tích vải cần có
để làm nên cái mũ ( không kể riềm , mép, phần thừa).
Ví dụ 14. ( Bài 22,tr.118 SGK )
Hình 134 cho ta hình ảnh của một cái đống hồ cát với các kích thước kèm theo ( OA = OB ).
Hãy so sánh tổng các thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 253
Ví dụ 15. ( Bài 27, tr.119 SGK )
Một dụng cụ gồm một phần códạng hình trụ, phần còn lại có
dạng hình nón.Các kích thước
cho trên hình 135. Hãy tính:
a) Thể tích của dụng cụ này;
b) Diện tích mặt ngoài của dụng
cụ ( không tính nắp đậy )
C. LUYỆN TẬP
Bài 2.1 (Dạng 1, 3). Cho tam giác ABC vuông tại C. Biết BC = a, AC = b. Quay tam giác vuông
này một vòng lần lượt quanh cạnh AC và BC, được một hình nón đỉnh A và một hình nón đỉnh
B. Hãy so sánh tỉ số thể tích của hai hình nón và tỉ số diện tích xung quanh của hai hình nón ấy.
Bài 2.2 (Dạng 2). Một hình quạt tròn có bán kính 20cm và góc ở tâm là 144
0
. Người ta uốn hình
quạt này thành một hình nón. Tính số đo nửa góc ở đỉnh của hình nón đó.
Bài 2.3 (Dạng 3). Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh là .
2
65 cm
..
Tính thể tích của hình nón đó.
Bài 2.4 (Dạng 3). Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh là
2
135 cm
.
a) Tính chiều cao của hình nón đó.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đó.
Bài 2.5 (Dạng 3). Một xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là 14cm và
9cm, chiều cao là 23cm.
a) Tính dung tích của xô.
b) Tính diện tích tôn để làm xô (không kể diện tích các chỗ ghép).
Bài 2.6 (Dạng 4). Từ một khúc hình trụ cao 15cm người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn
nhất. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là
3
640 cm
.
a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ.
b) Tính diện tích xung quanh hình nón.
Hình 134
h
R
O
B
A
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 254
BÀI 3. HÌNH CẦU – DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hình cầu
Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh
đường kính AB cố định thì được một hình cầu
(h.136).
2. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng
Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình
tròn.
Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta
được một đường tròn:
- Đường tròn đ
ó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua
tâm.
- Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng không
đi qua tâm.
3. Diện tích mặt cầu
2
4SR
hay
2
Sd
(R là bán kính; d là đường kính của mặt cầu).
4. Thể tích hình cầu
3
4
3
VR
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH HOẶC BÁN KÍNH HÌNH CẦU
Phương pháp giải
Để tính diện tích mặt cầu ta dùng công thức
2
4SR
. (1)
Để tính thể tích hình cầu ta dùng công thức
3
4
3
VR
. (2)
Để tính bán kính hình cầu ta dùng công thức
4
S
R
(suy từ 1).
Hoặc
3
3
4
V
R
(suy từ 2).
Ví dụ 1. (Bài 30 tr. 124 SGK)
Nếu thể tích của một hình cầu là
3
1
113
7
cm
thì trong các kết quả sau đây. Kết quả nào là
bán kính của nó (lấy
22
7
)?
(A) 2cm; (B) 3cm; (C) 5cm;
Hình 136
B
O
A
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 255
(D) 6cm; (E) Một kết quả khác.
Ví dụ 2. (Bài 31 tr. 124 SGK)
Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:
Bán kính hình cầu 0,3mm 6,21dm 0,283m 100km 6hm 50dam
Diện tích mặt cầu
Thể tích hình cầu
Ví dụ 3. (Bài 33 tr. 125 SGK)
Dụng cụ thể thao
Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau
(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
Loại bóng Quả bóng
gôn
Quả khúc
côn
cầu
Quả ten-nít Quả bóng
bàn
Quả bi-a
Đường kính 42,7mm 6,5cm 40mm 61mm
Độ dài
đườn
g tròn
lớn
23cm
Diện tích
Thể tích
Ví dụ 4. (Bài 34 tr. 125 SGK)
Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê
(Montgolfier)
g
ày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người
Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không
khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có
đường kính 11m. Hãy tính diện tích mặt khinh
khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập
phân thứ hai).
Ví dụ 5. (Bài 37 tr. 126 SGK)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính
2AB R ,
Ax
và
By
là hai tiếp tuyến với nửa
đường tròn tại A và B. Lấy trên tia
Ax
điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt
By
tại
N
.
a) Chứng minh rằng
MON
và
APB
là hai tam giác vuông đồng dạng.
b) Chứng minh
2
.AM BN R
.
c) Tính tỉ số
MON
APB
S
S
khi
2
R
AM
.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 256
d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.
DẠNG 2. TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA NHỮNG HÌNH HỖN HỢP BAO
GỒM NHIỀU HÌNH
Phương pháp giải
Ta tính diện tích hoặc thể tích của từng bộ phận rồi cộng lại.
Ví dụ 6. (Bài 32 tr. 125 SGK)
Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị: cm).
Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 139. Hãy tính diện tích bề mặt của khối
gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lẫn trong).
Giải (h.139)
Ví dụ 7. (Bài 35 tr. 126 SGK)
Một cái bồn chứa xăng gồ
m hai nửa hình cầu và một hình trụ (h.140).
Hãy tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ.
Ví dụ 8. (Bài 36 tr. 126 SGK) Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu
với các kích thước đã cho trên hình 141 (đơn vị: cm).
x
y
Hình 138
1
1
M
N
B
O
A
P
Hình 139
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 257
a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA’ có độ dài không đổi và bằng 2a.
b) Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a.
C. LUYỆN TẬP
Bài 3.1 (Dạng 1).Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng cm
2
) đúng bằng số đo
thể tích của nó (tính bằng cm
3
). Tính bán kính của hình cầu đó.
Bài 3.2 (Dạng 1). Một hình cầu có diện tích bề mặt là
2
100 m
.Tính thể tích của hình cầu
đó.
Bài 3.3 (Dạng 1,2).Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Ta quay nửa đường tròn
nội tiếp và nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác đều này một vòng quanh AH. Tính:
a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình nón.
b) Tỉ số thể tích của hai hình cầu nói trên.
c) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi hình nón và hình cầu ngoại tiếp hình nón.
Hình 141
h
2x
A'
A
O'
O
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 258
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SÁCH GIÁO KHOA
Bài 38. Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình
142.
Bài 39. Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là
2
2a
và 6a. Cho hình vẽ quay quanh cạnh AB, ta được một hình trụ.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.
Bài 40. Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên
hình 144.
Hãy tính tỉ số thể tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành.
Bài 42. Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h. 146)
Hình 143
A
B
D
C
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 259
Bài 43. Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.147) (đơn vị: cm)
Bài 44. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O,
bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó,
EF là dây song song với AB (h.148). Cho hình đó quay xung
quanh trục GO. Chứng minh rằng :
a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông
bẳng thể tích của hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích
hình nón do tam giác đều sinh ra.
b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích
của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.
toanthaycu.com
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa .
Page 260
Bài 45. Hình 149 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong
một hình trụ, các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính:
a) Thể tích hình cầu ;
b) Thể tích hình trụ ;
c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu ;
d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là R
cm và chiều cao 2R cm ;
e) Từ các kết quả a), b), c), d), hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.
B. BÀI TẬP ÔN BỔ SUNG
Bài 1. Một hình cầu nội tiếp trong một hình trụ. Cho biết diện tích mặt cầu là
2
60cm
. Hãy
tính :
a) Diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Thể tích hình trụ.
Bài 2. Tam giác
ABC
vuông tai A có
BC 2a
và
B30
. Quay tam giac vuông này một
vòng quanh cạnh AB ta được một hình nón đỉnh B. Chứng minh rằng diện tích toàn phần
của hình nón ấy bằng diện tích mặt cầu có đường kính
AB
.
Bài 3. Người ta chia hình tròn (O ; 12cm) thành hai hình quạt có các số đo cung là
120
và
240
. Từ hai hình quạt này người ta uốn lại thành hai hình nón.
a) Tính nửa góc ở đỉnh của mỗi hình nón.
b) Tính thể tích của mỗi hình nón.
c) Tính tỉ số diện tích toàn phần của hai hình nón.
| 1/261
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

LỚP TOÁN THẦY TP HUẾ. SĐT: 0834 332133
CS1: Trung tâm MTC‐ 5 Ngô Thời Nhậm
CS2: Trung tâm DKĐ – 37 Lê Văn Hưu ( 11 ĐỐNG ĐA) ài giảng Toán 9
(Từ cơ bản đến nâng cao- đầy đủ dạng toán)
Ấn phẩm của toanthaycu.com toanthaycu.com BÀI 1. CĂN BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Căn bậc hai số học:
Căn bậc hai của số không âm a là số x sao cho 2 x  . a
Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là a và số âm kí hiệu là  a.
Với số dương a , số a được gọi là căn bậc hai số học của a . Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
2. So sánh các căn bậc hai số học
Với a  0;b  0. Ta có a b a b . B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học của một số
1. Phương pháp giải:
Căn bậc hai số học của số dương a là a ( giá trị dương của căn bậc hai).
Với a  0 , ta có:
Nếu x a thì x  0 và 2 x  . a
Nếu x  0 và 2
x a thì x a .
2. Bài tập minh họa.
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 64;81;100;196.
Ví dụ 2: Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau ( làm
tròn đến chữ số thập phân thứ ba): a) 2 x  4,5 . b) 2 x  5. c) 2 x  7,5 . d) 2 x  9,12 .
Ví dụ 3: Tìm x sao cho : a. 2 x  16 9 b. 2 x 25 c. 2 x  4
Dạng 2: So Sánh Hai Số
1. Phương pháp giải:
Áp dụng: Với a  0,b  0 ta có: a b a b .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 1 toanthaycu.com
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: So sánh: a) 3 và 5 b) 8 và 63 c) 9 và 79
Ví dụ 2: So sánh các số : a. 2 31 và 10 b. 2  3 và 3  2 .
Dạng 3. Tìm x thỏa điều kiện cho trước
1. Phương pháp giải
Áp dụng: x a a   2
0 : x a ,
Với a,b  0 : a b a  . b
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 4 SGK trang 7) số x không âm, biết:
a) x  15; b) 2 x 14; c)
x  2; d) 2x  4.
Ví dụ 2. Đố. ( Bài 5 SGK Trang 7) Tính cạnh của một hình vuông, biết diện tích của nó bằng
diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5 m và chiều dài 14m.
Ví dụ 3: Giải phưong trình : a. x 3 b. x  5 c. x  0 d. x  2 . Hướng dẫn giải 2
a. x  3 nên x  3 v?ìy x  9 b. x  5 nên 2 x  ( 5) vậy x  5
c. x  0 nên x  0 d. Vô nghiệm vì x 0  . C. LUYỆN TẬP
Bài 1.1. Tính căn bậc hai số học của: 1 a) 0,09 ; b) 0,49 ; c) 0,64 d) 0,16 e) 64
Bài 1.2. Số nào có căn bậc hai là
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 2 toanthaycu.com a) 3 ; b)1,3; c)  0,1; d)  4
Bài 1.3. Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau ( làm tròn
đến chữ số thập phân thứ ba): a) 2 x  5; b) 2 x  2,5; c) 2 x  5 . Bài 1.4. So sánh a) 2 và 1 2 ; b) 1 và 3 1; c) 3 11 và 12 ; d) 10  và 2  31 .
Bài 1.5 . Tìm x không âm, biết a) x  5;
b) x  2 ; c) x  2  .
Bài 1.6 Cho a  0 . Chứng minh:
a) Nếu a  1 thì a  a :
b) Nếu a 1 thi a  a .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 3 toanthaycu.com BÀI 2.
CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A A .
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Căn thức bậc hai:
Nếu A là một biểu thức đại số thì A gọi là căn thức bậc hai của . A
A xác định (hay có nghĩa) khi A  0.
2. Hằng đẳng thức 2 A A .
Với mọi số a, ta có 2 a |  a | . A khi A  0 2 A   A khi A  0. B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm điều kiện để A có nghĩa
1. Phương pháp giải ① 1
A có nghĩa  A  0. ② có nghĩa  A  0. A
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 6, tr. 10 SGK). Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a a). ; b). 4  a;
c). 5a; d).
3a  7. 3
Ví dụ 2: (Bài 12, tr. 11 SGK) Tìm x, để mỗi căn thức sau có nghĩa: 1
a). 2x  7; b) 3x  4; c) ; d) 2 1 x .  1 x
Ví dụ 3: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa: 1 2 a 1 a). ; b) ; c) 2 a 1; d) 2 4  a . 2 a 1 2a
Dạng 2. Tính giá trị biểu thức
1. Phương pháp giải.A neu A  0 Áp dụng: 2 A   A neu A  0.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 7, tr. 10 SGK) Tính: a).  2 0,1 ; b)  2 0,3 ;
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 4 toanthaycu.com c).   2 1,3 ; d)   2 0, 4 0, 4 .
Ví dụ 2: (Bài 11, tr. 11 SGK) Tính:
a). 16. 25  196 : 49; b). 2 36 : 2.3 .18  169; c). 81; d). 2 2 3  4 .
Dạng 3. Rút gọn biểu thức
1. Phương pháp giải:
A khi A  0 ① Áp dụng 2 A A  
A khi A  0
Xét các trường hợp A  0 , A  0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
② A xác định ( có nghĩa)  A  0 .
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau: 2 2 a).   2 4 15  15 ; b).
2 3  1 3 ;
c). 7  4 3  7  4 3 ; d). 2
49a , với a  0 .
Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau: a). 2
25a  3a , với a  0 ; b). 4 2 16a  6a ; c). 6 3
3 9a  6a , với a  0 ; d). 2 2
a  6a  9  a  6a  9 , với 3   a  3.
Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau: a  2 a  2 a 1 a). , với a  0, 4 a  ; b).
, với a  0, 1 a  ; a  4 a 1
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức a) A  4  2 3 b) B  8  2 15 c) C  9  4 5 d)
D  7  13  7  13
e) E  6  2 5  6  2 5 1
f) F  7  2 10  20  8 2 Hướng dẫn giải a) A      2 4 2 3 3 1  3 1 b) B      2 8 2 15 15 1  15 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 5 toanthaycu.com c) C      2 9 4 5 2 5  5  2 1
d) D  7  13  7  13   142 13 142 13 2 2 2 1      13   1   13   1  2  2  
e) E  6  2 5  6  2 5  5  2 5 1  5  2 5 1 2 2  ( 5 1)  ( 5 1) |
 5 1|  | 5 1| 5 1 5 1  2 f) F        2 1 1 7 2 10 20 8 5 2  2 5  .2 2 2 2
 5  2  2 5  2  5  2  2 5  2  3 5
Dạng 4. Giải phương trình
1. Phương pháp giải: A B
Phương pháp giải: Áp dụng: 2 A A ; 2 2 A B   . A  B
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Tìm x biết: a). 2 x  5 ; b). 2 25x  10 ; b). 2
4x  28x  49  7 ; c).
x 10 x  25  3.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a). 2 4x  64  0; b). 4 x  7  0 ; c). 2 9x  2x 1; d). 2 2
x  4x  4  x  4x  4  0 .
Ví dụ 3. Tính cạnh của hình vuông, biết diện tích hình vuông đó bằng diện tích tam giác
vuông có hai cạnh góc vuông là 12,8 m và 40 m .
Ví dụ 4. (Bài 16 SGK trang 12) Đố: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “con muỗi nặng
bằng con voi”dưới đây.
Gỉa sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam).Ta có : 2 2 2 2
m V V m
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 6 toanthaycu.com Cộng cả hai vế với 2  mV , ta có: 2 2 2 2
m  2mV V V  2mV m hay   2    2 m V V m
Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được: m V V m
Từ đó ta có 2m  2V , Suy ra V m . Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Dạng 5: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử
1. Phương pháp giải: ÁP dụng các công thức:   2 A
A (với A  0 ) . 2 2
A B   A B A B .
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Phân tích thành nhân tử: a). 2 x  2 . b). 2 x  7 . c). 2
x  2 15x 15 . d). 2
4x  4 3x  3 .
Dạng 6: Chứng Minh Bất Đẳng Thức
1. Phương pháp giải. Áp dụng
Các hằng đẳng thức đáng nhớ. và   2 A
A để biến đổi vế trái thành vế phải hoặc ngược lại.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 13. Chứng minh: a).   2 5 1  6  2 5 .
b). 6  2 5  5  1. C. LUYỆN TẬP
Bài 1. Biểu thức sau xác định với giá trị nào của x ? 4 2 a). 3
x  2 ; b). ; c). ; 2x  3 2 x 2x 1
d). x x  2 e). 2
9x  6x 1 f). 2  x g). 2 5x  3x  8 h). 2
5x  4x  7 . Bài 2. Tính: a).   2 0,8 0,125 ; b).  6 2  ; c).   2 3 2 ;
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 7 toanthaycu.com 2  1 1  d).   2 2 2 3 ; e).    ; f).   2 0,1 0,1 ;  2 3  g). 4  2 3 ;
h). 3  2 2 ; i). 9  4 5 ;
j). 16  6 7 .
Bài 3. Rút gọn biểu thức: 1 a). 2
2 x , với x  0 ; b). 10
x , với x  0 ; 2
c). a  2 5 , với a  5;
d).x  10 10 , với x  10 ; e). 2
x  4  x  8x 16 , với x  4 ; 2 2
f).x y   x y  , với 0  x y .
Bài 4. Rút gọn biểu thức: 3  x a).
, x  0, x  9 ; x  9 x  5 x  6 b).
, x  0, x  9 ; x  3 c). 2
6  2x  9  6x x ,  x  3 .
Bài 5. Tìm x biết
a). x  2
3  3  x ; b). 2
25  20x  4x  2x  5 ; 1 1 1 c). 2 x x
  x ; d).
x  2 x 1  x 1 1; 2 16 4 e). 2
112x  36x  5 ; g).
x  2 x 1  2 .
Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử. a). 2 x 11 ; b). 2
x  2 2x  2 ; c).
x  5 (với x  0 ) ; d). 2
5  7x (với x  0 ) . e).
3  4x (với x  0 ) ;
Bài 7. Chứng minh đẳng thức: a).     2 9 4 5 5 2 ;
b). 9  4 5  5  2 ;
c). 23  8 7  7  4 ;
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 8 toanthaycu.com
d). a  4 a  2  2  a  4 a  2  2  4 (với 2  a  6 ).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 9 toanthaycu.com
BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Quy tắc khai phương một tích
Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi
nhân các kết quả với nhau.
Nếu A  0, B  0 thì AB  . A B .
2. Quy tắc nhân các căn bậc hai
Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với
nhau rồi khai phương kết quả đó.
Nếu A  0, B  0 thì .
A B AB B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính
1. Phương pháp giải
Sử dụng các quy tắc khai phương một tích và quy tắc nhân các căn bậc hai
Nếu A  0, B  0 thì AB  . A B
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:
a). 0,16.81 ; b).  2 4 3 . 5 
; c). 16,9.250 ; d). 2 4 5 .4 .
Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:
a). 5. 80 ; b). 2, 45. 40. 50 ;
c). 0, 6. 5, 4 ; d). 8,1. 5. 4,5 .
Ví dụ 3. Khai phương tích 13.25.52 được: a). 2600. b).130. c). 13. d). 260. Hãy chọn kết quả đúng.
Ví dụ 4. Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính a). 2 2 25  24 ; b). 2 2 26 10 ; c). 2 2 137  88 ; d). 2 2 481  480 .
Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức
1. Phương pháp giải
Áp dụng các quy tắc AB  .
A B ( A  0, B  0 ) và 2
A A để rút gọn biểu thức.
Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 10 toanthaycu.com
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức sau: a). 2
0, 49a với a  0 ; 4  a
b).     a2 6 2 với a  3;  2  c).   2
19.76 2 a với a  2 ; 1 d).
. a a b 2 2 2 2
với a b  0 . a b
Ví dụ 6. Rút gọn các biểu thức sau: 2a 5a 99 a). . với a  0 ; b). 11a. với a  0 ; 5 18 a c).
21a  11a. 44a với a  0 ;
d).   a2 2 4  0,4. 160a
Ví dụ 7. Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) của các căn thức sau: a).
  xx 2 2 9 4 20 25 tại x   5 ; b). 2 a  2 2
2b 12b 18 tại a  3,b  3 .
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức
1. Phương pháp giải
Áp dụng hằng đẳng thức 2 2
A B   A B A B và 2
A A, A  0
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: ( Bài 23 SGK trang 15) Chứng minh:
a) 2  32  3 1
b)  2006  2005 và  2006  2005 là hai số nghịch đảo
Dạng 4. Tìm x thỏa đẳn thức cho trước
1. Phương pháp giải
Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa
A có nghĩa khi và chỉ khi A  0 2
Áp sụng tính chất  A  ,
A A  0 , 2 A A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 11 toanthaycu.com
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 25 Trang 16 SGK) Tìm x biết a) 16x  8 b) 4x  5 c) 9 x   1  21 d)   x2 4 1  6  0
Ví dụ 2: Tìm x biết a) 2 25x  10 b)  2 4 x   1  2 15  0 x 1 x  2 c) 2
x 15  x  5  0 d)  x  3 x 1
Dạng 5. So sánh hai số
1. Phương pháp giải
Áp dụng tính chất : Với a  0,b  0 và a 2 2
b thì a b .
- Để chứng minh a  b (với a  0,b  0 ) ta chứng 2 2 minh a  b . Chú ý 2
( A )  A (với A  0 .
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 26, tr. 16 SGK)
a) So sánh 25  9 và 25  9 .
b) Với a  0 và b  0 , chứng minh a b a b . C. LUYỆN TẬP Bài 3.1. Tính : a) 1, 2.270; 55.77.35 . b) 2
( 3  2) ;(3 2 1)(3 2 1);( 6  2)( 3  2) 2  8 50   3 2  c)   24   6;    3 3   2 3     
Bài 3.2. Thực hiện phép tính 1 1 a)  2  125  ; 2 1  2 1 . 8 5 b) 2 2 1
( 2  3)  11 6 2 ; ( 3  3)  . 3  3 2 5 3
2 (a b) b 9 c c)   98b 3 c 4 2(a b)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 12 toanthaycu.com  1  d) 6  3 3  5 2  1 2 6    2   b a 1  e)  ab  2    ab .  a b ab    2  am n ab a m n g) 2 2   mn   a b  . 2  b m n b n m  
Bài 3.3. Rút gọn rồi tính a) 2 2 21,8 18, 2 ; b) 2 2 6,8  3, 2 ; c) 2 2 146,5 109.5  27  256
Bài 3.4. Rút gọn biểu thức 15  6 10  15 a) ; b) 35  14 8  12 x xy
a a b b b a c) d) y xy ab 1 2 15  2 10  6  3 2  3  6  8  16 e) f) 2 5  2 10  3  6 2  3  4
Bài 3.5. Rút gọn biểu thức a) 2
9(3  a) voi a  3 : b) 2 2
a (a  2) vei a  0 .
Bài 3.6. Chứng minh đẳng thức  1 2 
a) 9  17  9  17  8; b)  (15  2 6)  201    5  2 6 5  2 6 
Bài 3.7. Tìm x biết a) 9x 15; b) 2 4x  8 c) 4(x 1)  8 ; d) 2 9(2  3x)  6 : e) 2
x  4  x  2  0 . 1 1
Bài 3.8. Tìm x, y biết : 
 4  x y x y
Bài 3.9. So sánh các số : a) 7  2 và 1 ;
b) 8  5 và 7  6 ;
c) 2005  2007 và 2 2006 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 13 toanthaycu.com
Bài 3.10. Cho a  0,b  0, c  0 . Chứng minh rang : a b a)
ab (bất đang thức Côsi) ; 2
b) a b c ab bc ca ; 1
c) a b   a b . 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 14 toanthaycu.com
BÀI 4 . LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Quy tắc phép khai phương của một phương a
Muốn khai phương một thương , trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể khai b phương lần A A
lượt số a và số b , rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai  ( với B B
A  0, B  0 )
2. Quy tắc phép chia căn bậc hai
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho A A
số b rồi khai phương kết quả đó 
( với A  0, B  0 ) B B
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Thực hiện phép tính
1. Phương pháp giải
Sử dụng các quy tắc khai phương một thương và quy tắc chia hai căn bậc hai để tính A A
A  0, B  0 thì  B B
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. ( Bài 28, tr. 18 SGK) Tính : 289 14 0, 25 8,1 a). . b). 2 . c). . d) . 225 25 9 1, 6
Ví dụ 2. ( Bài 29, tr. 19 SGK) Tính : 2 15 a). b). . 18 735 12500 5 6 c). . d). . 500 3 5 2 .3
Ví dụ 3. ( Bài 32, tr. 19 SGK) Tính : 9 4 a). 1 .5 .0,01 .
b) 1, 44.1, 211, 44.0, 4 . 16 5 2 2 165 124 2 2 149  76 c). . d) . 164 2 2 457  384
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 15 toanthaycu.com
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
1. Phương pháp giải A A
Áp dụng phép khai phương một thương: 
( A  0, B  0 ) B B  , A khi A  0 Áp dụng 2 A A   .   , A khi A  0
Xét các trường hợp A  0, A  0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. ( Bài 30, tr. 19 SGK) Rút gọn các biểu thức sau: 2 y x 4 x a).
với x  0, y  0 . b). 2 2y với y  0 . 4 x y 2 4y 2 25x 16 c). 5xy
với x  0, y  0 . d) 3 3 0, 2x y
với x  0, y  0 . 6 y 4 8 x y
Ví dụ 2. ( Bài 34, tr. 19 SGK) Rút gọn các biểu thức sau: 3 a  2 27 3 a). 2 ab
với a  0, b  0 . b). với a  3. 2 4 a b 48 2 9 12a  4a ab c).
với b  0, a  1  ,5 .
d). a b
với a b  0 . 2 ba b2
Dạng 3. Giải phương trình
1. Phương pháp giải A A Áp dụng: 
A  0, B  0. B BA B 2
A A ; A B   (với B  0 ).  A  B
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 33, tr. 19 SGK) Giải phương trình:
a). 2.x  50  0; c). 2
3.x  12  0; 2 x
b). 2.x  8  0;
d).  20  0. 5
Ví dụ 2: (Bài 35, tr. 20 SGK) Tìm x, biết:
a). x  2 3  9; b). 2
4x  4x 1  6.
Ví dụ 3: (Bài 37, tr. 20 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 16 toanthaycu.com
Đố. Trên lưới ô vuông, mỗi ô vuông cạnh 1cm, cho 4 điểm M , N, P, Q (H.3).
Hãy xác định số đo cạnh, đường chéo và diện tích của tứ giác MNP . Q
Dạng 4. Chứng minh bất đẳng thức
1. Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng.
Bất đẳng thức đúng thường có dạng 2 A  0.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 31, tr. 19 SGK)
a). So sánh 25 16 và 25  16;
b). Chứng minh rằng, với a b  0 thì a b a b.
Ví dụ 2: (Bài 36, tr. 20 SGK) Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? a). 0,01  0,0001; b). 0,  5  0  ,25;
c). 39  7 và 39  6;
d). 4 13.2x  3.4 13  2x  3. C. LUYỆN TẬP Bài 4.1 Tính 7 6 a). 2 ; và ; 81 150 b). (5 7+7 5): 35; c).(2 8 -3 3 + ) 1 : 6. æç1 1 3 2 ö÷ 4 1 Bài 4.2 Tính ç - 4,5 + 50÷ ç ÷: ç2 2 2 5 ÷÷ 15 8 è ø
Bài 4.3 Rút gọn biểu thức
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 17 toanthaycu.com x x + y y a).
-( x - y)2 ; x + y x -2 x +1 b). , (x ³ ) 0 x + 2 x +1 (y-2 y x + - )2 1 1 c). .
, x ¹1, y ¹1, y > 0 . 4 ( ) y -1 (x- ) 1
Bài 4.4. Rút gọn và tính:
a  2 ab b a). A
(với a b  0 ) tại a  36;b  25. a b x  3 x  3 b). B  :
(với x  3) tại x  81. x  3 xx 54 2 x  25 c). C   (x  4) x   , tại 3. 4  x2 x  4 3 2 x  3x
d). M  3x  27 
(x  0) , tại x  3. x  3
Bài 4.5 Giải phương trình 4x 1 4x 1 a).  3 ; b).  3 ; x 1 x 1 x  2 15 x 1 c). 49x  98 14
 3 x  2  8 ; d). 25x  25 
 6  x 1 49 2 9 Bài 4.6 1
a). Cho a  0. Chứng minh a   2; a a b a b
b). Cho a  0, b  0. Chứng minh  ; 2 2 a b
c). Cho a,b  0. Chứng minh a b   ; b a 2 x  2 d). Chứng minh  2 với mọi . x 2 x 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 18 toanthaycu.com BÀI 5. BẢNG CĂN BẬC HAI
Theo sách giáo khoa, giới thiệu học sinh biết cách sử dụng “ bảng với 4 chữ số thập phân”. Tuy
nhiên, ngày nay với sự phát triển của máy tính cầm tay, việt tìm căn bậc hai của một số ( số
nguyên dương, số thập phân,…) trở nên nhẹ nhàng. Trong nội dung bài này, sẽ giới thiệu cho
học sinh sâu hơn ứng dụng của máy tính cầm tay
1. Tìm căn bậc hai của một số
Tính 3,12 và làm tròn với 2 chữ số thập phân
Hướng dẫn thực hành
Sử dung dòng máy 580VN X
Tiếp tục ấn S  D ta được kết quả
Bây giờ muốn làm tròn số với 2 chữ số thập phân ta ấn như sau
SHIFT SETUP 3 1 2 ta được kết quả như sau
2. Kiểm tra kết quả sau khi rút gọn biểu thức đã đúng hay chưa ?
x x  6 x  7 x 19 x  5 x
Vi dụ : Rút gọn biểu thức A   
; x  0, x  9 . x  9 x x 12 x  4 x Hướng dẫn thực hành x 1
Giả sử sau khi thực hiện các phép biến đổi, ta đưa A về được A x  3
Như vậy ta tiến hành kiểm tra như sau
x x  6 x  7 x 19 x  5 x
Bước 1: Nhập biểu thức đề bài ban đầu   x  9 x x 12 x  4 x
Ấn CALC 4  ta được kết quả là: -1 x 1
Bước 2 : Thử x= 2 vào biểu thức
ta được kết quả là -1 x  3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 19 toanthaycu.com x 1
Như vậy : Việc rút gọn đến biểu thức A  ta chấp nhận được. x  3
3. Sử dụng chức năng để tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 1 1
Ví dụ : Cho A     ... và B  1  ... . 1 2 2  3 3  4 120  121 2 35
Chứng minh rằng B A .
Hướng dẫn thực hành 1 1 1 1
Bước 1: Tính A     ... 1 2 2  3 3  4 120  121 120  1  Bằng cách nhập 
 và ấn phím  ta được kết quả x 1   x x 1  1 1
Bước 2: Tương tự ta tính B  1  ... ta được kết quả 2 35 Vậy B  A
4. Sử dụng MTCT hỗ trợ giải toán Trắc nghiệm có chưa căn thức
Ví dụ 1. Cho A  6  2 5  6  2 5 ; B  3 . Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 2 2
A B  21. B. 2 2
A B  23. C. 2 2 A B  1  . D. 2 2
A B 15. Lời giải.
Cách 1: Giải tự luận 2 2
A  6  2 5  6  2 5  ( 5 1)  ( 5 1) |
 5 1|  | 5 1| 5 1 5 1  2 5 Do đó 2 2 2 2
A B  (2 5)  ( 3)  20  3  23 suy ra đáp án A sai, B đúng. Lại có 2 2 2 2
A B  (2 5)  ( 3)  17 suy ra đáp án C, D sai.
Cách 2: Sử dụng MTCT
Bước 1: Lưu 6  2 5  6  2 5  A ; 3  B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 20 toanthaycu.com
Bước 2: Thử các phương án
Nhận thấy Đáp án A đúng 1 1
Ví dụ 2. Cho A  
. Nghiệm của phương trình 2Ax  3  0 là 3  5 3  5
A. x 1. B. x  1
 . C. x  2 . D. x  2  . Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận 1 1 3  5 3  5 A     3  5 3  5
3 53 5 3 53 5 3  5  3  5  6 3    .
3  5 3 5 9  5 2 Khi đó: 2Ax  3  3
0  2. .x  3  0  3x  3  0  x  1  . 2
Cách 2: Ta có thể giải bài toán bằng cách sử dụng máy tính Casio (fx - 580VNX hoặc máy tính
có chức năng tương tự) như sau: 3  1 1
Từ phương trình 2Ax  3  0 suy ra x  . Ta lưu  vào A 2A 3  5 3  5 3
Với x  ta thay vào phương trình 2Ax  3  0 thì nhận được két quả là 1. 2 Ví dụ 3. Cho 3 3 a  5  2 
5  2 . Đáp án nào sau đây là đúng? A. 3
a  3a  4 . B. 4 a  7a  6  . C. 3
a  3a  4 . D. 4
a  7a  6 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 21 toanthaycu.com Lời giải Chọn C
Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức:  A B3 3 3
A B  3AB A B, ta có: a      3    3   3 3 3 3 3 3 3 3    3 3 5 2 5 2 5 2 5 2 3. 5 2. 5 2. 5  2  5  2         3 5 2
5 2  3.  5  2. 5  2.a  4 3a 3
a  3a  4 .
Cách 2: Sử dụng máy tính nhập biểu thức 3 3 5  2 
5  2 được kết quả bằng 1.
Tiếp theo thử từng đáp án. Đáp án  A 3 1  3.1  2
  4 . Đáp án B 4 1  7.1  8  6  . Đáp án C 3 1  3.1  4 . Đáp án D 4 1  7.1  6   6 .
Suy ra đáp án C đúng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 22 toanthaycu.com
BÀI 6 . BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ìïA B neáu A 0 2 ï ³ ï
Với B  0 ta có A B = A B = í ï-
ï A B neáu A < ïî 0.
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
Với A ³ 0, B ³ 0 thì 2 A B = A B.
Với A < 0, B ³ 0 thì 2 A B = - A B. B. CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn và đưa thừa số vào trong dấu căn
1. Phương pháp giải
① Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Tìm cách đưa biểu thức trong căn về dạng tích 2 A B .
Thực hiện việc đưa thừa số ra ngoài dấu căn bằng cách áp dụng 2
A B = A B (với B ³ 0 ).
② Đưa thừa số vào trong dấu căn:
Chú ý đến dấu của thừa số trước dấu căn. Nếu 0 A ³ thì 2 A B = A B. Nếu A < 0 thì 2 A B = - A B.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. ( Bài 43, tr. 27 SGK) Viết các số hoặc biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích một
cách thích hợp rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn : a). 54 . b).
108 . c). 0,1 2000 . d) 0, 05 28800 . e). 2 7.63.a
Ví dụ 2. ( Bài 44, tr. 27 SGK) Đưa thừa số vào trong dấu căn (với x > 0 và y ³ 0 ): 2 2 a). 3 5 . b). 5  2 . c). xy . d). x . 3 x
Dạng 2: So Sánh Phân Số
1. Phương pháp giải
① Sử dụng đưa thừa số vào trong dấu căn hoặc ra ngoài dấu căn và chú ý rằng:
Nếu 0 < A < B thì A C < B C (với C > 0 ).
② Sử dụng đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh các số trong dấu căn.
Nếu 0 < A < B thì A < B.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 23 toanthaycu.com
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. ( Bài 45, tr. 27 SGK) So sánh : a) 3 3 và 12 . b) 7 và 3 5 . 1 1 1 1 c) 51 và 150 . d) 6 và 6 . 3 5 2 2
Dạng 3. Rút gọn biểu thức
1. Phương pháp giải:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi rút gọn các căn thức đồng dạng
p A q A r A  ( p q r) A .
Ví dụ 1. ( Bài 46 SGK Trang 27) Rút gọn các biểu thức sau với x  0 : a).
2 3x  4 3x  27  3 3x b).
3 2x  5 8x  7 18x  28 .
Ví dụ 2. ( Bài 47 SGK Trang 27) Rút gọn 2 2 3(x y) a).
với x  0, y  0 và x y . 2 2 x y 2 2 b). 2 5a  2
1 4a  4a  với a > 0,5. 2a 1
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
M  45  245  80
N  5 8  50  2 18
P  125  4 45  3 20  80 A  12  27  48
B  2 3  3 27  300
C  (2 3  5 27  4 12) : 3 Hướng dẫn giải 2
M  45  245  4 .5
N  5 8  50  2 18
P  5 5 12 5  6 5  4 5 2 2 2
 3 .5  7 5  4 .5  5.2 2  5 2  2.3 2  5 5
 3 5  7 5  4 5  6 5  10 2  5 2  6 2  (10  5  6) 2  9 2 A  12  27  48
B  2 3  3 27  300
C  (2 3  5 27  4 12) : 3  2 3  3 3  4 3 2 2  2 3  3 3 .3  10 .3
 (2 3  5.3 3  4.2 3) : 3  3  2 3  3.3. 3 10 3  5  3 : 3  5   3
Nhận xét: Đây là một dạng toán dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để kiểm tra kết quả, đa phần
áp dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán. 2 A B A B ( B  0 ) C. LUYỆN TẬP
Bài 6.1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 24 toanthaycu.com a). 96.125 . b). 4 5 a b . c). 6 11 a b .
d). a   a4 3 1 a   1 .
Bài 6.2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a). x 13 với x  0 .
b). x 2 với x  0 . 11 c). x  với x  0 . x
Bài 6.3. So sánh các cặp số: 1 1 a). 4 7 và 3 13 . b). 82 và 6 . 4 7
Bài 6.4 Rút gọn các biểu thức
a). 50  32  3 8 ;
b). 25a  2 160a  3 10a với a  0 . c).
2 7 3 7 84 .
d).  63  8  7 7  2 14 .
Bài 6.5 Khai triển và rút gọn biểu thức (với x  0; y  0) a).
 2x  12x 2x  1. b).
x 2 yx2 xy 4y. c).
x y2 x y
Bài 6.6 Chứng minh rằng:
x y y x2 y 2 xa).
x y với x  0, y  0 . 2 xy b). x x     x  2 2 5 25 5 5 với x  5.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 25 toanthaycu.com
BÀI 7. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn: A AB AB Với ,
A B mà AB  0 và B  0, ta có:   . 2 B B B
2. Trục căn thức ở mẫu: A A B
Với B  0 , ta có  ; B B
C A B C  Với A  0 và 2
A B , ta có:  ; 2 A B A B
C A B C
Với A  0; B  0 và A B, ta có:  . A B A B B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
1. Phương pháp giải
Bằng cách nhân tử và mẫu của biểu thức trong căn cho mẫu số rồi rút mẫu ra ngoài căn A AB AB bằng công thức:   ( Với ,
A B mà AB  0 và B  0). 2 B B B
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 48, 49 tr.19 SGK). Khử mẫu của biểu thức lấy căn   2 1 3 1 11 3 5 a). ; ; ; ; . 600 540 50 98 27 a a b 1 1 3 9a 2 b). ab ; ;  ; ; 3xy . b b a 2 b b 36b xy
(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).
Dạng 2. Trục căn ở mẫu
1. Phương pháp giải Áp dụng A A B
AB C A  ①.  ; ②.  ; B B 2 B C B C
AB C A  ③.  . B C B C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 26 toanthaycu.com
Nhận xét. Ta gọi B C và B C là hai biểu thức liên hợp.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 50, 51, 52 tr.30 SGK). Trục căn ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa. 5 5 1 2 2  2 y b y a). ; ; ; ;
với b  0; y  0. 10 2 5 3 20 5 2 b y 3 2 2  3 b p 1 b). ; ; ; với b  0;
với p  0, p  . 3 1 3 1 2  3 3  b 2 p 1 4 2 3 1 2ab c). ; ;
với x  0, y  0, x y;
với a  0,b  0, a  . b 6  5 10  7 x y a b
Dạng 3. Rút gọn biểu thức
1. Phương pháp giải
Thực hiện các phép biến đổi căn thức: ①. 2
A A . ② A AB . 
(với A  0, B  0 ). B B ③. 2
A B A B (với B  0 )..
AB C A  ④ 
( B  0, C  0, B C ).. B C B C
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 53, tr. 30 SGK) Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức chữ đều có nghĩa): a a a).   2 18 2 3 ; c)  ; 3 4 b b 1 a ab b). ab 1 ; d) . 2 2 a b a b
Ví dụ 2: (Bài 54, tr. 30 SGK) Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức chữ đều có nghĩa): 2  2
15  5 2 3  6 a a p  2 p ; ; ; ; . 1 2 1 3 8  2 1 a p  2 Bài tập bổ sung x  2 x 1 a). 11 6 2 ; e). x  )..
x  2 x 1 (với 0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 27 toanthaycu.com 5  2 13 2  4 6 b). ; ; 3 5  c). 3 2 24  4 3 6  14 2  3 d). ; ; 2 3  28 g). 2 2  3  6  8  16 8  15 f). ; h). . 2  3  4 30  2
Dạng 4. Phân tích thành nhân tử
1. Phương pháp giải Áp dụng: ①   2 A
A (với A  0 ). ② 2
A B A B (với B  0 ).
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 55, tr. 30 SGK) Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm). a).
ab b a a 1; b). 3 3 2 2
x y x y xy . Bài tập bổ sung:
a). 1 2  3  6; b).
6  55  10  33.
Dạng 5. So sánh các số
1. Phương pháp giải
Đưa thừa số vào trong căn rồi so sánh các số trong căn. 0  A B A B.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 56, tr. 30 SGK) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần a). 3 5, 2 6, 29, 4 2; b). 6 2, 38, 3 7, 2 14.
Bài tập bổ sung: So sánh a). 3 3 và 12; b). 20 và 3 5; 1 1 c). 54 và 150;
d). 30  29 và 29  28; 3 5
Dạng 6. Giải phương trình
1. Phương pháp giải
① Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa: A có nghĩa  A  0 .
② Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: 2 A B A B .
③ Rút gọn các căn thức đồng dạng.
④ Biến đổi phương trình về dạng: 2
A B A B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 28 toanthaycu.com
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải phương trình: 1
a). 18x  9  x  3 
4x 12  9 ; 2
b). 25x  50  16x  32  9x 18 12  4 x  2 .
Ví dụ 2. (Bài 57 trang 30 SGK) 50x  32x  6 khi x bằng: A. 36; B. 18; C. 72; D. 19. Hãy
chọn câu trả lời đúng. C. LUYỆN TẬP 3 1 1
Bài 1. Khử mẫu các biểu thức dưới dấu căn rồi thực hiện phép tính: 2   . 20 60 15
Bài 2. Trục căn ở mẫu: 9 3 a). b). ; 3 5  2 2 1 5  3 c). ; d). 2 1 5  3 1 a a 1 e). ; f). . 1 a 18  8  2 2 2 1 g). ; h). 1 2  3 3  2  5
Bài 3. Rút gọn biểu thức: 1 1 15 4 12 a). A   ; b). B     6 7  4 3 7  4 3 6 1 6  2 3  6 .
Bài 4. Chứng minh đẳng thức: a b 2b a).  
 1 (a  0,b  0,a  0); a b a b a b 2 2
a b b ab b  2 ab b).  
a b b a b a b a a  2 b     0  b
Bài 5. Giải phương trình: 1 3 x 1 a). x 1  9x  9  24  1  7; 2 2 64 b).
3x  7 x  4  0;
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 29 toanthaycu.com c).
5x  7 x 12  0;
Bài 6. Xét biểu thức: 2 a a 2a a A   1 a a 1 a
a). Rút gọn A ;
b). Biết a 1, hãy so sánh A và A ;
c). Tìm a để A  2 ;
d). Tìm giá trị nhỏ nhất của A .  3   3 
Bài 7. Xét biểu thức: B   1 a :    1 2  a 1   1 a
a). Rút gọn B ; 3
b). Tìm giá trị của B nếu a  ; 2  3
c). Với giá trị nào của a thì B B .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 30 toanthaycu.com
BÀI 8. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Rút gọn biểu thức:
Để thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức ta sử dụng các phép biến đổi đơn giản như:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn,.
Đưa thừa số vào trong dấu căn.
Khử căn ở mẫu và trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một
biểu thức dưới dấu căn (căn đồng dạng).
Cộng trừ các căn thức đồng dạng: p A q A r A m   p q rA  . m B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Rút gọn các biểu thức
1. Phương pháp giải
Thực hiện các phép biến đổi đơn giản của căn thức bậc hai để làm xuất hiện căn thức đồng dạng.
Cộng, trừ các căn thức đồng dạng.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 58, tr. 32 SGK) Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 1 a). 5  20  5 ; b).  4,5  12,5 ; 5 2 2
c). 20  45  3 18  72 ; d).
0,1 200  2 0,08  0, 4 50 .
Ví dụ 2. (Bài 59, tr.32 SGK) Rút gọn biểu thức sau (với a  0, 0 b  ); a). 3 2
5 a  4b 25a  5 16ab  2 9a b). 3 3 3 3
5a 64ab  3 12a b  2ab 9ab  5b 81a b.
Ví dụ 3.(Bài 60, tr. 33 SGK) Cho biểu thức:
B  16x 16  9x  9  4x  4  x 1 với x  1. 
a). Rút gọn biểu thức B ;
b). Tìm x sao cho B có giá trị bằng 16 .
Ví dụ 4.(Bài 62, tr. 33 SGK) Rút gọn biểu thức sau: 1 33 1 2 a). 48  2 75   5 1 ; b).
150  1,6 60  4,5 2  6 ; 2 11 3 3 c).
 282 3 7 7  84 ; d).   2 6 5  120
Ví dụ 5.(Bài 63, tr. 33 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 31 toanthaycu.com a a b a). ab
với a  0 và b  0 ; b b a 2 m
4m  8mx  4mx b). .
với m  0 và x  1. 2 1 2x x 81
Ví dụ 6. (Bài 65, tr. 34 SGK) Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:  1 1  a 1 M   :  
với a  0 và a  1.  a a
a 1 a  2 a 1 1 1
Ví dụ 7.(Bài 66, tr. 34 SGK) Giá trị của biểu thức  bằng: 2  3 2  3 1 A). ; B). 1 ; C). 4 ; D). 4 . 2
Chọn câu trả lời đúng. 2 x  9 x  3 2 x 1
Ví dụ 8. Cho B    x  5 x  6 x  2 3  x
a). Xác định x để cho B có nghĩa;
b). Rút gọn B ;
c). Tìm x để B  1 ;
d). Tìm x nguyên để B là số nguyên.
Dạng 2: Chứng Minh Đẳng Thức
1. Phương pháp giải:
Thực hiện các phép biến đổi căn thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi vế trái
bằng vế phải hoặc vế phải bằng vế trái của đẳng thức.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 61 Trang 33 SGK) Chứng minh các đẳng thức sau: 3 2 3 6 a). 6  2  4  . 2 3 2 6  6 2x  1 b). x
 6x  : 6x  2  với x  0 . x 3  3  
Ví dụ 2: (Bài 64 Trang 33 SGK) Chứng minh các đẳng thức sau: 2 1 a a 1 a a).   a    1 
với a  0 và a  1. 1 a  1 a      2 4 a b a b b).
a với a b  0 và b  0 . 2 2 2 b
a  2ab b
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 32 toanthaycu.com
Dạng 3. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
1. Phương pháp giải:
Thực hiện các phép biến đổi căn để biến đổi biểu thức không còn chứa biến.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a : 2  1 1 a 1  1     . 1
với a  0, a  1 . 2  
 2  2 a 2  2 a 1 a   a C. LUYỆN TẬP
Bài 8.1 Rút gọn biểu thức: a a). 3 1
3 2a  18a  4 
128a (với a  0 ) 2 4 1 a b). 3 2
2y x y xx
x x y ( với x y  0 ) x y ax ay a b a b c).
(với a  0,b  0, a b ) a b a b
Bài 8.2 Rút gọn biểu thức: 2 1 2 2 1 2  5 2  5 a).   b). 2  2 2  2 2 2  3  5 2  3  5
Bài 8.3 Tìm x, biết: 1 1 a). 2 9x  27  25x  75 
49x 147  20; 5 7
3 x  5 2 x  7 b).  1  x; 2 3 2 2 1
x  5 1 25x 125 c). 2 2 9x  45  16x  80  3   9; 12 16 4 9 x
d). 4,5x  50x  32x  72x  5 12  0. 2
Bài 8.4 Chưng minh dăng thưc : 2 2 2 2 4 2
a x a x a a a)  1  ; với | a | |  x | 4 2 2 2 2 2
a x a x x x 2 2
 5  2 6   5  2 6  b)       4 6  3 2   3 2       
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 33 toanthaycu.com x x y yc) 2 
xy  : ( x y) 1 (x  0, y  0, x y)  x y      
Bài 8.5 Cho biểu thức: x 1 2 x 2 5 x A    x  2 x  2 4  x
a). Rút gọn A nếu x  0 và x  4 ;
b). Tìm x để A  2 .  
Bài 8.6 Cho biểu thức: a a b B   1  :
với a b  0. 2 2 2 2 2 2 a b
a b a a b a). Rút gọn B; a 3
b). Tính B nếu  ; b 2
c). Tìm điều kiện của ,
a b để B  1  x  2
x  2    x2 1
Bài 8.7 Cho biểu thức: C    .  x 1 x 2 x 1    2  
a). Rút gọn C nếu x  0, x  1;
b). Tìm x để C dương;
c). Tìm giá trị lớn nhất của C.
Bài 8.8 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:  2 xy x y   2 x y    
với x  0, y  0, x  . yx y   x y . 2  x y y x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 34 toanthaycu.com BÀI 9. CĂN BẬC BA
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa.
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho 3 x  . a
Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. 2. Tính chất a 3 3  a; 3 3 a  . a 3 3
a b a b. 3 3 3 ab a b; 3 a a 3  . ( b  0) 3 b b
Với a  0;b  0 . Ta có a b a b . B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính
1. Phương pháp giải
Áp dụng  3 a 3 3 3  a; a  . a
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 67, tr 36 SGK) Hãy tìm 3 3 3 3 3 512; 729  ; 0,064; 0  ,216; 0  ,008.
Ví dụ 2: (Bài 68, tr. 36 SGK) Tính: 3 135 a). 3 3 3 27  8   125; b). 3 3  54. 4. 3 5
Ví dụ 3: Thực hiện phép tính a). A   3 3 3 9  6  4  3 3 3  2  b). 3 3
B  2  5  2  5.
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức
1. Phương pháp giải.
biến đổi hai vế của đẳng thức cùng bằng một biểu thức.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu: 1 1 1 3 3 3
ax by cz và    1 thì 3 2 2 2 3 3 3
ax by cz a b c. x y z
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 35 toanthaycu.com
Dạng 3. So sánh hai số
1. Phương pháp giải
Đưa thừa số vào căn bậc ba rồi so sánh hai số trong căn: 3 3 3 A B A B . 3 3
A B A B .
2. Ví dụ minh họa. Ví dụ 2. So sánh a). 6 và 3 215 . b). 3 4 5 và 3 5 4 .
Dạng 4. Giải phương trình
1. Phương pháp giải Áp dụng: 3 3
A B A B .
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải các phương trình a).
3 2x 1  2 . b). 3 1 2x  2  . c).
3 x  2  2  x . C. LUYỆN TẬP
Bài 9.1 Thực hiện phép tính 1 a). 3 3 3  18   3 . b). 3      3 2 1 3 2 2 ;
42 3 3  1. 2  1 1   1 1  1 c). 3 3 3 2  16  4   . d). 3 3 3 3  9  2 3  3  : 2 .  2 4   2 3  3   e). 3 3 3 9  6  4  3 3 3  2 .
Bài 9.2 Thực hiện phép tính 3 3 3 64   125  216 3 3 a). 3   3 4 1 4   1  1  b).  3 3 3 12 2  16  2 2  3 3 5 4  3   . 2    2 6
Bài 9.3 (Dạng 1). Cho x = và y = . Tính 3 3 xy - x y . 3 3 2 2 +2+ 4 3 3 2 2 -2 + 4 1
Bài 9.4 (Dạng 1). Trục căn ở mẫu số biểu diễn 3 3 3 16 + 12 + 9
Bài 9.5. (Dạng 3 ) So Sánh:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 36 toanthaycu.com a). 3 2 3 và 3 23 ; b). 33 và 3 3 133 .
Bài 9.6. (Dạng 2) Chứng minh đẳng thức: 2 2 2 1   3
x y z  3 xyz   3 3 3
x y z  3 3
x y    3
3 y z    3 3 z x  . 2  
x y z
Từ đó suy ra bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm x, y, z : 3  xyz. 3
Bài 9.7. (Dạng 4). Giải phương trình: a). 3 3 2
x  9x x  3 ; b).
3 5  x x  5.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 37 toanthaycu.com ÔN TẬP CHƯƠNG I
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Các công thức biến đổi căn thức 1). 2 A A . 2). AB  .
A B (Với A  0 và B  0 ). A A 3).
(Với A  0 và B  0 ). B B 4). 2
A B A B (Với B  0 ). 5). 2
A B A B (Với A  0 và B  0 ). 2
A B   A B (Với A  0 và B  0 ). A 1 6).
AB (Với AB  0 và B  0 ). B B A A B 7).  (Với B  0 ). B B
C A B C8).  (Với A  0 và 2 A B ). 2 A B A B
C A B C9).
(Với A  0 , B  0 và A B ). A B A B
B. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
Bài 70. Tìm giá trị của các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp: 25 16 196 1 14 34 a). . . ; b). 3 .2 .2 ; 81 49 9 16 25 81 640. 34,3 c). ; d). 2 2 21,6. 810. 11  5 . 567
Bài 71. Rút gọn các biểu thức sau: a).
 83. 2 10 2 5 ; b).      2 2 0, 2 10 .3 2 3 5 ;  1 1 3 4  1 c).   2  200  :  ; 2 2 2 5  8  
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 38 toanthaycu.com 2 d).      2   4 2 2 3 2. 3 5 1 .
Bài 72. Phân tích thành nhân tử (với x, y,a, b không âm và a  b ). a).
xy - x y y -1; b).
xy - y x x -1;
c). ax by - bx - ay ; d). 2 2
a b a -b ; e). 2 2
a -b - a -b ; f).
12 - x - x.
Bài 73. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau: a). 2
9a  9 12a  4a , tại a  9; b). 2
4x  9x  6x 1 tại x  - 3; 2 9x  6x 1 c). 5x  với x  -3; 13x 3m d). 2 1
m  4m  4 , tại m  1,5. m  2 Bài 74. Tìm x, biết:
a). x  2 2 1  3; b). 2
9x 12x  4  4; 5 1
c). 15x  15x  2  15x ; 3 3
d). 3 - x - 27 - 9x 1, 25 48 -16x  6.
Bài 75. Chứng minh các đẳng thức  2 3  6 216  1 a).     1,5;  8 2 3   6    14  7 15  5  1 b).    :  2;  1 2 1 3    7  5   a b b a 1 c). :
a b với a  0,b  0, a  ; b ab a ba a   a a d). 1 1   1 a
với a  0, a  1. a 1   a 1       aab
Bài 76. Cho biểu thức: Q   1  :
với a b  0. 2 2 2 2 2 2 a b
a b a a b
a). Rút gọn Q
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 39 toanthaycu.com
b). Xác định gía trị của Q khi a  3 . b
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP x + 2 x -10 x - 2 1
Bài 1: Cho biểu thức Q = - - (x ³ 0; x ¹ ) 9 x - x -6 x -3 x + 2
1. Rút gọn biểu thức Q
2. Tính giá trị của Q khi x =16 1
3. Tìm giá trị của x khi Q = 3 1
4. Tìm giá trị của x sao cho Q > 9
5. Tìm giá trị lớn nhất của Q . 3 x x  3 x 5 3 2 2 3 
Bài 2: Cho biểu thức P    . x 1 3  x x  2 x  3 a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị của P, biết x  4  2 3 ;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.  x 1 2 x 5 x  2  3 x x
Bài 3: Cho biểu thức Q      :  x  2 x  2 4   x x  4 x  4   a) Rút gọn Q;
b) Tìm x để Q  2 ;
c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm. a 3 a  2
Bài 4: Cho biểu thức B   
với a  0; a  9 a  3 a  3 a  9 a) Rút gọn B.
b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên x  2 x x 1 1 2x  2 x
Bài 5: Cho biểu thức A   
( Với x  0, x  1) 2
x x 1 x x x x x x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên. x -3 x - 2 9- x
Bài 6: Cho biểu thức P = + -
với x ³ 0; x ¹ 4 2- x 3+ x x + x -6
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 40 toanthaycu.com a) Rút gọn P 7
b) Tìm x để P = 12 1
c) Tìm x để P > 2 1
d) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên. P
e) Tìm tất cả các giá trị hữu tỷ của của x để P nhận giá trị nguyên. 
1   x 1 1 x
Bài 7: Cho biểu thức P  1 :    
 , (với x  0 và x  1).  x   x x x    
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của biểu thức P tại x  2022  4 2018  2022  4 2018 . x  2 3 20  2 x
Bài 8: Cho hai biểu thức A  và B  
với x  0, x  25 . x  5 x  5 x  25
a) Tính giá trị biểu thức A khi x  9 . 1
b) Chứng minh rằng B  . x  5
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A  . B x  4 . 2(x + ) 4 x 8
Bài 9: Cho biểu thức B = + -
với x ³ 0; x ¹16 x -3 x - 4 x +1 x - 4 a) Rút gọn B.
b) Tìm giá trị của x để B =1 3
c) Tính giá trị của x sao cho B không vượt quá 2
d) Tìm giá trị của B khi x thỏa mãn đẳng thức 2x 1 - = x
e) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên. æçx 2 x 2 x 1 1 ö + - - ÷
Bài 10: Cho biểu thức P =1:ç - + ÷ ç ÷ với x > 0 çè x x +1 x - x +1 x +1÷ø a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết x = 7 -4 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 41 toanthaycu.com
c) Tìm x để P = 2 x 1 -
d) Tìm m để có giá trị x thoả mãn P = m
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của P æç x ö æ ÷ ç x 2 x 3 x 2 ö + - - ÷
Bài 11: Cho biểu thức P = 1 ç - ÷:ç + + ÷ ç ÷ çè + ÷ ç ÷ x 1ø çè x + 3 2- x x + x -6÷ø
với x ³ 0; x ¹ 4 a) Rút gọn P 3- 5
b) Tính giá trị của P biết x = 2
c) Tìm x Î Z để P Î Z d) So sánh P với 1
e) Tìm các giá trị của x để P = x -3. 1- x
Bài 12: Cho biểu thức: A = với x ³ 0 1+ x
a) Khi x = 6-2 5 tính giá trị biểu thức A 15 æç x 2 ö - ÷ x +1
b) Rút gọn biểu thức B = ç + ÷: ç
với x ³ 0; x ¹ 5 çè x-25 ÷ x + 5÷ø x -5
c) Tìm x để biểu thức M = B - A nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn giải D. LUYỆN TẬP
Câu 1. Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức A = x +4 x -4 + x -4 x -4 1
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = . x - x +1 x +1
Câu 3. Tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên x -3 æç 2x 1 x öæ ÷ç1 x x ö + + ÷
Câu 4. Cho biểu thức C = ç - ÷ç ç ÷ - x ÷ ç ÷ç
÷, (x ³ 0, x ¹ ) 1
çè x x -1 x + x +1÷ç øè 1+ x ÷÷ø a). Rút gọn C.
b). Tìm x để C =3 1
Câu 5. Tìm x, y, z thỏa x + y -1 + z-2 = (x + y + ) z 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 42 toanthaycu.com
Câu 6. Cho a  0, b  0,c  0 thỏa a b c a b c (1). Xác định tất cả các giá trị của a,b, c
Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của: a). 2 2
A  1 6x  9x  9x 12x  4 b). 2 2 2
B= x  2x 1  x  4x  4  x  6x  9
Câu 8. Tính: 11 6 2  11 6 2 bằng hai cách. Câu 9. Rút gọn: 1 1 a).
A  2x  4x 1  2x  4x 1 Với  x  . 4 2
b). 53  20 4  9  4 2 Câu 10.
a) Cbo a, b, e, d không âm, chứng minh rằng: (a c)(b d)  ab ad
b) Cho a  c, b  c  0 . Chứng minh: c(a c)  c(b c)  ab 1 2x 1 2x 3
Câu 11. Tính giá trị của biểu thức A   với x
1 1 2x 1 1 2x 4 1 1 1
Câu 12. Tính tổng : T    . 1  2 2  3 99  100 Câu 13. Cho 2
A  x  3x y  2y
a) Phân tích A thành nhân tử ; 1 1
b) Tính giá trị của biểu thức A với x  , y  . 5  2 9  4 5
Câu 14. Cho các số dương x, y,z thỏa mãn xy yz zx  1. Tính tổng  2 1 y  2 1 z   2 1 z  2 1 x   2 1 x  2 1 y S xyz 2 2 2 1 x 1 y 1 z
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 43 toanthaycu.com
CHƢƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT
BÀI 1 . NHẮC LẠI, BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Khái niệm hàm số.
 Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x , ta
luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y gọi là hàm số của x (x gọi là biến số).
Ta viết : y f x  , y gx , …
 Giá trị của hàm số f x tại điểm x kí hiệu là f x . 0  0
Tập xác định D của hàm số f x là tập hợp các giá trị của x sao cho f x có nghĩa.
 Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y f x gọi là hàm hằng.
2. Đồ thị của hàm số.
Đồ thị của hàm số y f x là tập hợp tất cả các điểm Mx;y  trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao
cho x, y thỏa mãn hệ thức y f x .
3. Hàm số đồng biến, nghịch biến.
Cho hàm số y f x xác định trên tập D. Khi đó :
- Hàm số đồng biến trên D  "x , x D : x x f x   f x " . 1 2 1 2 1  2
- Hàm số nghịch biến trên D  "x , x D : x x f x   f x " . 1 2 1 2 1  2
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1 . Tính giá trị của hàm số tại một điểm.
Phương pháp giải : Để tính giá trị y của hàm số y f x tại điểm x ta thay x x vào f x , 0 0 0
ta được y f x . 0  0
Ví dụ : Cho hàm số y f (x)  3 2x
a. Tìm giá trị của x để căn thức có nghia.
b. Háy tính f (2);f (1);f ( 3  ) .
Bài 1. Cho hai hàm số f x 2
x và g x  3 x .  1  a) Tính f  3
 , f  , f 0, g 1  , g 2    , g3.  2 
b) Xác định giá trị của a để 2 f a  g a.
Bài 2. Cho hai hàm số g x 2  2
x và hx  3x 5.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 44 toanthaycu.com  3  a) Tính g  0
 ,4, g  , g2, h 1  ,4, h 1    .  4  1
b) Xác định các giá trị của m để g m  hm. 2
Dạng 2 . Biểu diễn tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp giải: Để biểu diễn điểm M x ; y trên mặt phẳng tạo độ ta làm như sau: 0 0 
- Vẽ đường thẳng song song với trục Oy tại điểm có hoành độ x x . 0
- Vẽ đường thẳng song song với trục Ox tại điểm có tung độ y y . 0
- Giao điểm của hai đường thẳng trên chính là điểm M x ; y . 0 0 
Ví dụ 1: Các điểm M, N có vị trí như thế nào đối với trục tọa độ nếu : a. ( M ; a ) b , ( N ; a  ) b ; b. ( M ; a ) b , ( N  ; a ) b ; c. ( M ; a ) b , ( N  ; a  ) b .
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm ( A 2  ;1); (4 B ;2); (2; C 1); D ( 4  ; 2
 ). Tứ giác ABCD là hình gi? Vi sao?
Bài 1. a) Trong mặt phẳng tạo độ Oxy hãy biểu diễn các điểm sau đây :
A3;0 , B 2
 ;0, C0;4, D3;3, E2; 2  , F 4  ; 4  .
b) Điểm nào trong các điểm trên thuộc đồ thị hàm số y x .
Bài 2. Cho hàm số y  2,5 . x
a) Xác định vị trí của điểm A1; 2
 ,5  trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị hàm số.
b) Trong các điểm B2; 5
 , C 3;7 , 1
D ;2,5 ,  0;E  4
 , điểm nào thuộc đồ thị hàm số?
Bài 3. a) Trong mặt phẳng tạo độ Oxy hãy biểu diễn các điểm sau đây :
A2;0 , B 3
 ;0, C0;3, D0; 4
 , E1;4, F 4  ; 2. 1
b) Điểm nào trong các điểm trên thuộc đồ thị hàm số y   x . 2   Bài 4. 1 3
Trên mặt phẳng tọa độ vẽ đường thẳng d đi qua điểm O0;0  và điểm A   ;  . Hỏi  2 2 
đường thẳng d là đồ thị của hàm số nào?
Dạng 3 . Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.
Bước 2: Giả sử x x và x , x D . Xét hiệu H f x f x . 1   2 1 2 1 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 45 toanthaycu.com
+ Nếu H  0 với x , x bất kỳ thì hàm số đồng biến. 1 2
+ Nếu H  0 với x , x bất kỳ thì hàm số nghịch biến. 1 2
Ví dụ 1: Xét sư biến thiên của hàm số : y f (x) 2x 3 trên tập hợp số thực R .  
Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) đông biến trong khoáng (0,1) và 1 f  0   . Chứng minh rà ng  2   3    f 3   0   và 1 f 2   0   .  2   2 
Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) y  1 4 ; x
b) y  2x  1 .
Bài 2. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: 1 a) y   x;
b) y  2 x   1  3 . 2
Bài 3. Cho hàm số f x  x .
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến;
b) Trong các điểm A4;2 , B 2;1 , C  9;3 ,  8;
D 2 2 ,  điểm nào thuộc và điểm nào
không thuộc đồ thị hàm số? Vì sao?
Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: 1 a) y  1000 ; x b) y  3  x  . 2
Bài 5. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: 3  x  5 a) y  ;
b) y  2 x  3  x 3 . 4
Dạng 4 . Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số y axa  0 .
Phương pháp giải: Ta sử dụng các kiến thức sau:
1. Đồ thị hàm số dạng y axa  0 là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm E1; a .
2. Cho hai điểm Ax ; y và Bx ; y . Khi đó độ dài đoạn thẳng AB được tính theo B B A A  công thứ 2 2
c: AB  x xy y . B A   B A
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của các đường thẳng y  ax. a. Đi qua ( A 1;1) b. Đi qua B(1; 1  ) c. Đi qua F( 3  ;0)
d. Đi qua I(2  3;2  3)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 46 toanthaycu.com
Bài 1. Cho hai hàm số y  3,5x và y  3  ,5x
a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho.
b) Trong hai hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
c) Có nhận xét gì về đồ thị của hai hàm số đã cho?
Bài 2. Cho hai hàm số y x và y  2x
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ y  4 lần lượt cắt
các đường thẳng y  2x , y x tại hai điểm A , B .
i) Tìm tọa độ của các điểm A và B;
i ) Tính chu vi và diện tích của tam giác OAB.
Bài 3. Vẽ các đồ thị hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ: 1
a) y  3x và y   x ; b) y  2 và y  3  ,5 . 3 1 
Bài 4. Cho các hàm số y  x và y x . 2
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;
b) Qua điểm H 0; 5
  vẽ đường thẳng d song song với trục Ox , cắt đường thẳng y  x và 1  y
x lần lượt ở A và B . Tìm tọa độ của các điểm A, B ; 2
c) Tính chu vi và diện tích tam giác AOB
Bài 5. Cho hàm số y  m   1 x .
a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số nhận giá trị bằng 5  tại x  5 ;
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đi qua điểm A2; 3 ?
c) Tìm giá trị của m để điểm B0;4  thuộc đồ thị hàm số.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1. Cho các hàm số y f x 2
x và y g x 2  x  3 . 3 3  1   1  a) Tính f  2
  , f 0 , f   và g 2
  , g0 , g  ;  2   2 
b) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến x lấy cùng một giá trị?
Bài 2. Cho hàm số y  0,5x và y  0,5x  2 .
a) Tính giá trị của mỗi hàm số theo giá trị đã cho của biến x rồi điền vào bảng sau: x 2  ,5 2  1  ,5 1  0  ,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 y  0,5x
y  0,5x  2
b) Có nhận xét gì về các giá trị tương ứng của hai hàm số khi biến x lấy cùng một giá trị?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 47 toanthaycu.com  Bài 3 x
. Cho hàm số f x 1  . x  1
a) Tìm các giá trị của x để hàm số xác định;
b) Tính f 4  2 3 và  2
f a  với a  1  ;
c) Tìm x nguyên để f x là số nguyên;
d) Tìm x sao cho     2 f x f x  .
Bài 4. Cho hàm số y f x  ax  5 . Xác định a nếu biết:  1 
a) y  5 tại x  1  ; b) f  4    .  2  12
Bài 5. Cho hàm số y  . 5  12  
a) Xác định vị trí của điểm A 1;  
 trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị hàm số;  5   24    35 
b) Xét xem trong các điểm B 2;  , C  3;
 , D0; 2,5 , E 1
 00;0 điểm nào thuộc đồ  5   5  thị hàm số?
Bài 6. Cho điểm A2;1  . Xác định:
a) Tọa độ điểm B đối xứng với A qua trục tung;
b) Tọa độ điểm C đối xứng với A qua trục hoành;
c) Tọa độ điểm D đối xứng với A qua O ;
d) Diện tích tứ giác ABCD .
Bài 7. Cho hàm số y  3 2 2x 2 1.
a) Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số trên;
b) Tính giá trị của y khi x  3  2 2 ;
c) Tìm các giá trị của x để y  0 .
Bài 8. Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
a) y  3x  2 ; b) y  1 2x ; c) y   3 3 x   1 .
Bài 9. Cho hàm số y  3x .
a) Vẽ đồ thị hàm số;
b) Điểm A thuộc đồ thị hàm số có khoảng cách tới gốc tọa độ là 2 10 . Xác định tọa độ điểm A .
Bài 10. Cho hàm số y  2m  3x .
a) Tìm m để hàm số nhận giá trị bằng 3  tại x  2 ;
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đi qua điểm A 1  ;5 ?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 48 toanthaycu.com
c) Tìm m để điểm B 5
 ;0  thuộc đồ thị hàm số.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 49 toanthaycu.com
BÀI 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y ax b với a  0 .
 Hàm số bậc nhất y ax b xác định với mọi x thuộc và có các tính chất sau: - Đồng biến trên nếu a  0 . - Nghịch biến trên nếu a  0 .
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Nhận dạng hàm số bậc nhất Phương pháp giải:
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y ax b  với a  0.
Ví dụ: Xét xem các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất. Nếu có
xác định hê số a, b của chúng.
a. y  1 3x
b. y  2  x 3
c. y  3x 1 1 d. y x 1 2 . 2
Bài 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định hệ số a,b của chúng và
xem xét hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
a) y  1 5x ; b) y  0  ,5x;
c) y  2 x   1  3 ; d) 2
y  2x  3 ;
e) y  2 x  1  3 ; f) 2
y  2 x  5 ;
Bài 2. Tìm điều kiện của tham số m để các hàm số sau là hàm số bậc nhất? m  1
a) y  5  m x   1 ; b) y x  3,5 m  . 1
Bài 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định hệ số a,b của chúng và
xem xét hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
a) y  24  x  5 ;
b) y  4, 3x  2017 ;
c) y  5  3x  2 ; d) 4 y  3  x  2 .
Bài 4. Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất? 4  3m
a) y  2m  3 x  4 ; b) y x  2 2m  . 5
Dạng 2. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến Phương pháp giải:
Ta có hàm số bậc nhất y ax b với a  0 + Đồng biến trên khi a  0 ; + Nghịch biến trên khi a  0 .
Ví dụ 1: Cho hàm số y  (m  3)x .
a. Với giá trị nào của m thì hàm sồ đồng biến, nghịch biến ?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 50 toanthaycu.com
b. Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;2) .
c. Với giá trị nào của m thì đổ thị hàm số là trục hoành ?
Ví dụ 1: Cho hai hàm số : f x ax a g x   2 ( ) 3( 0); ( ) a 1  x 1 Chứng minh rằng :
a. Các hàm số f (x)  g(x); g(x)  f (x) là đồng biến.
b. Hàm số f (x)  g(x) là nghịch biến.
Bài 5. Cho hàm số y  2m 3x  4 . Hãy tìm các giá trị của m để hàm số là hàm số bậc nhất và : a) Đồng biến; b) Nghịch biến.
Bài 6. Cho hàm số y   m1 6x  5. Hãy tìm các giá trị của m để hàm số là hàm số bậc nhất và nghịch biến.
Bài 7. Cho hàm số y   2 m m  
1 x m . Chứng minh với mọi giá trị của m hàm số đã cho là
hàm số bậc nhất và đồng biến.
Bài 8. Cho hàm số y  4  5m7x. Hãy tìm các giá trị của m để hàm số là hàm số bậc nhất và : a) Đồng biến; b) Nghịch biến.
Bài 9. Cho hàm số y   2
25  m x  5. Hãy tìm các giá trị của m để hàm số là hàm số bậc nhất và đồng biến. m  1
Bài 10. Cho hàm số bậc nhất y
x  2m  2 . Hãy tìm các giá trị của m để hàm số là hàm 2m  3 số a) Đồng biến; b) Nghịch biến.
Bài 11. Cho hàm số y   2
2m  5m  7x m . Chứng minh với mọi giá trị của m hàm số đã cho
là hàm số bậc nhất và đồng biến.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 12. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm bậc nhất? Hãy xác định hệ số a,b của chúng và
xét xem hàm số nào đồng biến, nghịch biến? 2
a) y  5  2x ;
b) t x 2  1; c) y   x ; 3 1
d) y  3x   1  x ;
e) y  2x   1  2x ; g) y x  . x
Bài 13. Với giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau là hàm bậc nhất? 2m
a) y  7m  3mx  5m; b) y   5. m  1 m  1
Bài 14. Cho hàm số y x  3. 2 m  3m
Hãy tìm các giá trị của m để hàm số là hàm bậc 2 nhất và: a) Đồng biến; b) Nghịch biến. Bài 15. Cho hàm số 2 y  ( 3  m  6  7 ) m x  .
m Chứng minh với mọi giá trị của m hàm số đã cho
là hàm bậc nhất và nghịch biến.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 51 toanthaycu.com  Bài 16. Cho hàm số 3 bậc nhất y x  4. 4m
Hãy tìm các giá trị của m để hàm số: 5 a) Đồng biến; b) Nghịch biến. 2
Bài 17. Cho hàm số bậc nhất y
x  2m  2. Hãy tìm các giá trị của m để hàm số: 2 m  5m  4 a) Đồng biến; b) Nghịch biến.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 52 toanthaycu.com
BÀI 3. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Đồ thị của hàm số y ax b (a  0) là một đường thẳng.
 Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b (a  0):
+ Nếu b  0 ta có hàm số y ax . Đồ thị của y ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ ( O 0; 0) và điểm ( A 1; ). a b
+ Nếu b  0 thì đồ thị y ax b là đường thẳng đi qua các điểm ( A 0; ) b, B   ;0 .  a
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Vẽ đồ thị hàm số y ax b (a  0) và tìm tọa độ giao điểm của hai đƣờng thẳng
Phương pháp giải:
Ta thường sử dụng các kiến thức sau:
1. Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b (a  0):
Trường hợp 1. Nếu b  0 thì đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm (
O 0;0) và A1; a.   Trườ b
ng hợp 2. Nếu b  0 thì đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm ( A 0; ) b, B   ;0 .  a
2. Cách tìm tọa độ giao điểm của hai đƣờng thẳng:
Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm.
Bước 2. Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai phương trình đường thẳng ta tìm
được tung độ giao điểm. 4 1
Bài 1. Cho ba đường thẳng d : y  2x  2,d : y   x  2 và d : y x  3. 1 2 3 3 3
a) Vẽ các đường thẳng d ,d và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 1 2 3
b) Gọi giao điểm của đường thẳng d với d và d theo thứ tự là A, .
B Hãy tìm tọa độ của 3 1 2 A, . B
Bài 2. Cho các hàm số y x  1 có đồ thị là d và y  x  3 có đồ thị là d . 1 2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d ,d với trục hoành và C là giao điểm của d và d . 1 2 1 2
Hãy tìm tọa độ các điểm A, B và C.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC 4 1
Bài 3. Cho ba đường thẳng d : y  2
x  2,d : y   x  2 và d : y   x  3. 1 2 3 3 3
a) Vẽ các đường thẳng d ,d và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 1 2 3
b) Gọi giao điểm của đường thẳng d với d và d theo thứ tự là A, .
B Hãy tìm tọa độ của 3 1 2 A, . B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 53 toanthaycu.com
Bài 4. Cho các hàm số y  x  1 có đồ thị là d và y x  3 có đồ thị là d . 1 2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Hai đường thẳng d và d cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A, B . Hãy tìm tọa độ 1 2
các điểm A,B, . C
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Dạng 2. Xác định các hệ số a,b để đồ thị hàm số y ax  (
b a  0) cắt trục Ox,Oy hay đi qua
một điểm nào đó.
Phƣơng pháp giải: Đồ thị hàm số y ax  (
b a  0) đi qua điểm M x ; y khi và chỉ khi M M
y ax b . M M
Ví dụ : Cho hàm sô y  x m. Háy xác định m biết:
a. Đô thị hàm số cát trục tung tại điêm có tung độ là 3 .
b. Đô thị hàm số đi qua điếm ( 1  ; 2 ).
c. Đô thị hàm số cát trục hoành tại điếm có hoành độ là 1  .
Bài 5. Cho hàm số y  (m  2)x  . m
a) Xác định giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
i) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 
ii) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.
b) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m tìm được ở trên trên cùng hệ trục tọa độ
Oxy và tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị vừa vẽ được. 1
c) Bài 6. Gọi d là đồ thị hàm số y mx  2 và d là đồ thị hàm số y x  1. 1 2 2 1 a) Với m  
, xác định tọa độ giao điểm của d và d . 2 1 2
b) Xác định giá trị của m để ( M 3  ; 3
 ) là giao điểm của d và d . 1 2
Bài 7. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y  3
x m 2 và y  4x  5 2m cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Bài 8. Cho hàm số y  (2  )
m x m  1.
a) Xác định giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
i) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. 
ii) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4. 
b) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m tìm được ở trên trên cùng hệ trục tọa độ
Oxy và tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị vừa vẽ được. 1
Bài 9. Gọi d là đồ thị hàm số y mx  2 và d là đồ thị hàm số y   x 1. 1 2 2 1 a) Với m  
, xác định tọa độ giao điểm của d và d . 3 1 2
b) Xác định giá trị của m để ( M 3  ; 3
 ) là giao điểm của d và d . 1 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 54 toanthaycu.com
Bài 10. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y  2
x m 2 và y  5x  5  2m cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Dạng 3. Xét tính đồng quy của ba đƣờng thằng Phƣơng pháp giải:
Để xét tính đồng quy của ba đường thẳng cho trước, ta làm như sau:
Bước 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho.
Bước 2. Kiểm tra xem nếu giao điểm vừa tìm được thuộc đường thằng còn lại thì kết luận ba
đường thẳng đó đồng quy.
Bài 11. Cho ba đường thẳngd : y  3  ;
x d : y 2x 5; d : y x  4  . 1 2 3
a) Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d ,d . Tìm tọa độ điểmA . 1 2
b) Chứng minh ba đường thẳng d ,d ,d đồng quy. 1 2 3
Bài 12. Cho ba đường thẳng d : y  3 ;
x d : y x  3 và d : y mx  5 . 1 2 3
a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d ,d . 1 2
b) Tìm các giá trị của tham số m để ba đường thẳng d ,d ,d đồng quy. 1 2 3
Bài 13. Cho ba đường thẳngd : y x  4;d : y  2
x 2;d : y 1  ,2 x 4  ,4 . 1 2 3
a) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d ,d . Tìm tọa độ điểmI . 1 2
b) Chứng minh ba đường thẳng d ,d ,d đồng 1 2 3
Bài 14. Cho ba đường thẳng d : y  2x 1;d : y  3x 1và d : y x  3 1 2 3
a) Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y  (m  1)x m cũng đi qua giao điểm của các đường thẳng đó?
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 15. Cho các hàm số y x và y  3x  3 .
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm M của hai đồ thị trên. 1 1
Bài 16. Cho ba đường thẳng d : y x  2; d : y   x  2 và d : y x  3 1 2 3 3 3
a) Vẽ các đường thẳng d ,d và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 1 2 3
b) Gọi giao điểm của đường thẳng d với d và d theo thứ tự là A, B . 3 1 2
Hãy tìm tọa độ của A, B.
Bài 17. Cho hàm số y  2x  1 có đồ thị là d và y  x  3 có đồ thị là d . 1 2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Hai đường thẳng d và d cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự A, B. Tìm tọa độ các 1 2
điểm A, B, C.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 55 toanthaycu.com
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Bài 18. Cho hàm số y  m 5x m.
a) Xác định giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
i) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
ii) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 4.
b) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị m tìm được ở trên trên cùng một hệ trục tọa độ
Oxy và tìm tọa độ giai điểm của hai đồ thị vừa vẽ được. 1
Bài 19. Gọi d là đồ thị hàm số y mx 1 và d là đồ thị hàm số y x  2 . 1 2 2 1
a) Với m   , xác định tọa độ giao điểm của d và d . 2 1 2
b) Xác định giá trị m để M  2
 ,2 là giao điểm của d và d . 1 2
Bài 20. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y  4x  m  2 và y  2
x  5 2m cắt
nhau tại một điểm trên trục tung?
Bài 21. Cho ba đường thẳng d : y  2
x , d : y  1,5x  7 và d : y  2  mx  5 . 1 2 3
a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d , d . 1 2
b) Tìm các giá trị của tham số m để ba đường thẳng d , d , d đồng quy. 1 2 3
Bài 22. Cho ba đường thẳng d : y  2
x , d : y x  3 và d : y mx  4 . 1 2 3
a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d , d . 1 2
b) Tìm các giá trị của tham số m để ba đường thẳng d , d , d đồng quy. 1 2 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 56 toanthaycu.com
BÀI 4. ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƢỜNG THẲNG CẮT NHAU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT a a'
Cho hai đường thẳng d : y ax b
 và d' : y  a'x b' a,a'  0 . Khi đó, ta có:d / /d'   . b   b'
d cắt d'  a a' .    a a' d d'   . b   b'
d d'  . a a'  1  .
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chỉ ra các cặp đƣờng thẳng song song, các cặp đƣờng thẳng cắt nhau. Phƣơng pháp giải:
Cho hai đường thẳng d : y ax b
 và d':y  'a x  '
b a,a' 0  . Khi đó, ta có:    a a' d / /d'   . b   b'
d cắt d'  a a' .    a a' d d'   . b   b'
d d'  . a a'  1  .
Ví dụ: Cho đường thẳng d : y  (a 1
 )x 2a 3 và đường thẳng d' : y  (2a 1)x a  4 . Định a để
a. d và d ' cắt nhau;
b. d và d' cắt nhau tại một điểm trên trục tung; c. d và d' song song;
d. d và d' vuông góc;
e. d và d' trùng nhau.
Bài 1. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong
số các đường thẳng sau:
a) y  1, 5x  2 ;
b) y x  2 ;
c) y  0, 5x  3 ;
d) y x  3;
e) y  1, 5x  1;
g) y  0, 5x  3 .
Bài 2. Cho ham hàm số y  2x  3k và y  2m  
1 x  2k  3 . Tìm điều kiện của m và k để đồ thị của hai hàm số là:
a) Hai đường thẳng cắt nhau;
b) Hai đường thẳng song song với nhau;
c) Hai đường thẳng trùng nhau.
Bài 3. Với những giá tị nào của m thì đồ thị của các hàm số y  2x m  3 và y  3x  5  m :
a) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 57 toanthaycu.com
b) Cắt nhau tại một điểm trên trục hoành?
Bài 4. Cho ba đường thẳng: d : y   2 m   1 x   2
m  5 , d : y x  1, d : y  x  3 . 1  2 3
a) Tìm điểm cố định mà d luôn đi qua. 1
b) Chứng minh nếu d song song d thì d vuông góc d . 1 3 1 2
c) Xác định giá trị của m để ba đường thẳng d , d , d đồng quy. 1 2 3
Bài 5. Cho các đường thẳng:
d : y  2m  1 x  2m  3 ; d : y m  1 x m . 2   1    
Tìm các giá trị của m để: a) d cắt d .
b) d song song d . 1 2 1 2
c) d vuông góc d .
d) d trùng với d . 1 2 1 2
Bài 6. Cho các đường thẳng d : y mx  5 , d : y  3
x 1. Xác định giá trị của m để M3; 8   là 1 2
giao điểm của d và d . 1 2
Bài 7. Cho các đường thẳng:
d : y  4mx m  5 , d : y   2 3m   1 x   2 m  4 . 2  1  
a) Chứng minh khi m thay đổi thì đường thẳng d luôn đi qua một điểm A cố định, đường 1
thẳng d luôn đi qua một điểm B cố định. 2
b) Với giá trị nào của m thì d song song d ? 1 2
c) Với giá tị nào của m thì d cắt d ? Tìm tọa độ giao điểm khi m  2 . 1 2
Dạng 2. Xác định phƣơng trình đƣờng thẳng Phƣơng pháp
1. Ta có y ax b với a  0 , b  0 là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm  b
A0; b , cắt trục hoành tại điểm B   ; 0  .  a
2. Điểm M x ; y thuộc đường thẳng y ax b
 khi và chỉ khi y ax b . 0 0  0 0
Bài 9. Cho hàm số y ax  3. Hãy xác định a trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y  2  x ;
b) Khi x  2 thì hàm số có giá trị y  7;
c) Đồ thị hàm số y ax  3 cắt đường thẳng y  2x  1 tại điểm có hoành độ bằng 2.
Bài 10. Cho hàm số y  2x  .
b Tìm b biết rằng:
a) Với x  4 thì hàm số y  2x b có giá trị bằng 5; 
b) Đồ thị hàm số y  2x b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3; 
c) Đồ thị hàm số y  2x b đi qua điểm A1;5 .
Bài 11. Viết phương trình đường thẳng d biết:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 58 toanthaycu.com
a) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2; 
b) d song song với đường thẳng y  5
x 1 và đi qua điểm I  2;  3 ; 1
c) d vuông góc với đường thẳng y   x  3 và đi qua điểm I 0,5;4 . 4
Bài 12. Cho hàm số y  7  a .
x Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số y  7  ax song song với đường thẳng y  4x ;
b) Đồ thị hàm số y  7  ax vuông góc với đường thẳng y  3  ,2 x;
c) Đồ thị hàm số y  7  ax cắt đường thẳng y  1,2 x 5
 tại điểm có hoành độ bằng 1. 
Bài 13. Cho hàm số y  m- 2x m 3. Tìm giá trị của m để hàm số:
a) Luôn đồng biến? Luôn nghịch biến?
b) Có đồ thị song song với đường thẳng y  3x  3 ; m
c) Có đồ thị vuông góc với đường thẳng y  3x  3 ; m
d) Có đồ thị cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 3;
e) Có đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 3;
f) Cùng các hàm số y  x  2, y  2x  1 có đồ thị là ba đường thẳng đông quy.
Bài 14. Viết phương trình đường thẳng d biết:
a) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5
 và đi qua điểm A1;3 ;
b) d song song với đường thẳng y  2
x  8 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5;
c) d vuông góc với đường thẳng y x  3 và cắt đường thẳng y  2x  1 tại điểm có tungđộ bằng 5.
Bài 15. Cho hai đường thẳng:d : y  2
x  3 và d : y  2m 3x  2 m  1 2  1
Tìm các giá trị của m để: a) d cắt d ; 1 2
b) d song song d ; 1 2
c) d vuông góc d ; 1 2
d) d trùng d ; 1 2
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ 1
Bài 16. Cho các đường thẳng:d : y  2
x  3;d : y  2
x m và d : y x 1. 1 2 3 2
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: a) d và d ; 1 2 b) d và d . 1 3
Bài 17. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y  2x 1 và đường thẳng y  3x m cắt nhau tại một điểm trên: a) Trục hoành? b) Trục tung?
Bài 18. Tìm điểm sao cho các đường thẳng sau luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 59 toanthaycu.com
a) y  2mx  1 . m
b) y mx  3  . x
c) y  2m  5 x m  3.
d) y mx  2.
Bài 19. Cho hai đường thẳng:d : y m 1 x  3 và d : y  2m 1 x  4. 2   1   1
a) Chứng minh khi m   thì d và d vuông góc với nhau. 2 1 2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để d và d vuông góc với nhau. 1 2
Bài 20. Viết hàm số bậc nhất y ax b biết:
a) Hệ số b bằng 3 và đồ thị hàm số song song với đường thẳngd': 2x y 1  0.
b) Đồ thị hàm số đi qua điển A3;2  và B1;   1 .
c) Đồ thj hàm số đi qua điểm C 2; 1
  và vuông góc với đường thẳng d': y 3x 1  .
Bài 21. Cho các đường thẳng:d : y x  2;d : y 2x 1
 ;d : y   2 m 1  x m  . 1 2 3 
a) Xác định tọa độ giao diểm của d và d ; 1 2
b) Tìm các giá trị của tham số m để
i) d và d song song với nhau. 2 3
ii) d và d trùng nhau. 1 3
iii) d ,d và d đồng quy. 1 2 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 60 toanthaycu.com
BÀI 5. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƢỜNG THẲNG y ax ba  0
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho đường thẳng d có phương trình y ax ba  0. Khi đó:
 Số thực a là hệ số góc của . d
 Gọi  là góc tạo bởi tia Ox và . d Ta có: + Nếu 0
  90 thì a  0 và a  tan; + Nếu 0
  90 thì a  0 và a    0 tan 180  .
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xác định hệ số góc của đƣờng thẳng Phƣơng pháp giải:
Đường thẳng d có phương trình y ax ba  0, có a là hệ số góc.
Bài 1. Đường thẳng:y  m 
1 x  4 đi qua điểm A 2;
 1  có hệ số góc bằng bao nhiêu?
Bài 2. Tính hệ số góc của đường thẳng d : y  2m 4 x 5 biết nó song song với với đường thẳng
d': 2x y 3  0
 . Vẽ đường thẳng d tìm được.
Bài 3. Tìm hệ số góc của đường thẳng d nếu:
a) d đi qua gốc tọa độ O và đi qua điểm A1; 3 .
b) d đi qua hai điểm M 4; 5 , N 1;   1 .
Bài 4. Đường thẳng y  2(m 1)x 5m 8 đi qua điểm ( A 3; 5
 ) có hệ số góc bằng bao nhiêu?
Bài 5. Tìm hệ số góc của đường thẳngd : y (3  )
m x 2 biết nó vuông góc với đường thẳng
d': x 2y 6 0 . Vẽ đường thẳng d tìm được.
Bài 6. Tìm hệ số góc k của đường thẳng d biết: 2
a) đi qua gốc tọa độ O và đi qua điểmI( ; 3  ). 3
b) d di qua giao điểm A của hai đường thẳng y  x 3;y  2x và đi qua điểm ( E 1  ; 3) .
Dạng 2. Xác định góc tạo bởi tia Ox và đƣờng thẳng d Phƣơng pháp giải:
Gọi là góc tạo bởi tia Ox và d . Khi đó: + Nếu 90o  
thì a  0 và a  tan . + Nếu 90o  
thì a  0 và   tan(180 o a  )  .
Bài 7. Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y  2x  1.
Bài 8. Cho đường thẳng y mx  3 . Tính góc tạo bởi tia Ox và d biết d đi qua điểm ( A  3;0) .
Bài 9. Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y  4x  5 .
Bài 10. Cho đường thẳng d : y mx  3 . Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d biết d đi qua điểm ( A 3  ;0) .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 61 toanthaycu.com
Dạng 2. Xác định phƣơng trình đƣờng thẳng dựa vào hệ số góc. Phƣơng pháp giải:
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y ax b . Ta cần xác định a,b dựa vào kiến thức về góc
và hệ số góc trong phần Tóm tắt lí thuyết ở trên.
Bài 11. Xác định phương trình của đường thẳng d biết:
a) d có hệ số góc bằng 5  và đi qua điểm ( A 3  ;4) . b) d di qua ( B 1
 ; 2) và tạo với đường thẳngy  1 một góc bằng 450.
Bài 12. Xác định phương trình của đường thẳng d biết:
a) d tạo với trục Ox một góc bằng 300 và đi qua điểm ( M 3; 1 ) .
b) d di qua N(0; 3) và tạo với đường thẳng y  1 một góc bằng 600.
Bài 13. Xác định hàm số y ax b có đồ thị là đường thẳng d biết:
a) d tạo với trục Ox một góc bằng 450 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 .
b) d tạo với trục Ox một góc bằng 600 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1  .
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 14. Tìm hệ số góc k của đường thẳng d biết d đi qua gốc tọa độ O: a) Đi qua điểm ( M 3 3;  3) .
b) Vuông góc với đường thẳng y   2x  1.
Bài 15. Cho hai đường thẳng d : y x  5;d : y   3x  3. 1 2
a) Vẽ d ; d trên cùng mặt phẳng tọa độ. 1 2
b) Gọi giao điểm của d ; d là A , giao điểm d ; d của với trục Ox lần lượt là B,C . Tính số đo các 1 2 1 2
góc của tam giác ABC .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 62 toanthaycu.com ÔN TẬP CHƢƠNG II
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Hàm số:
+ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được
chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
+ Hàm số thường được cho bằng bảng hoặc bằng công thức.
+ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các tập giá trị tương ứng x; f x  trên mặt phẳng tọa độ Oxy
được gọi là đồ thị của hàm số.
+ Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số: Cho hàm số y f x xác định với mọi giá trị với bất kì thuộc D:
+ Nếu x x mà f (x )  f (x ) thì hàm số đồng biến trên D. 1 2 1 2
+ Nếu x x mà f (x )  f (x ) thì hàm số nghịch biến trên D. 1 2 1 2 2. Hàm số bậc nhất:
+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức yaxb trong đó a,b là các số cho trước và a  0.
+ Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị và: - Đồng biến trên khi a  0 . - Nghịch biến trên khia  0 .
+ Đồ thị của hàm số bậc nhất y ax b (a  0) là một đường thẳng và a là hệ số góc của đường thẳng.
+ Cho hai đường thẳng y a x b (a  0);y a x b  (a  0) : 1 1 1 2 2 2 Ta có a a
a) d ; d song song 1 2   . 1 2 b   b 1 2 a a
b) d ; d trùng nhau 1 2   . 1 2 b   b 1 2
c) d ; d cắt nhau  a a . 1 2 1 2
d) d ; d vuông góc với nhau  a .a  1  . 1 2 1 2
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng Phƣơng pháp giải:
Ta thường gặp các bài toán về viết phương trình đường thẳng sau đây:
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước.
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc cho trước.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước.
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Bài 1. Xác định hằng số a,b của đường thẳng y ax b  biết:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 63 toanthaycu.com
a) d song song với đường thẳng y  3x  1 và đi qua điểm A2;5 .
b) d vuông góc với đường thẳng y x  5 và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng -2.
c) d đi qua 2 điểm A 1
 ;2 . B2; 3 . Bài 4
2. Cho 2 đường thẳng d : y  4x m  1,d : y x  15  3 . m 1 2 3
a) Tìm m để d cắt d tại điểm C trên trục tung. 1 2
b) Với m vừa tìm được, hãy tìm gia điểm A, B của d ,d với Ox . 1 2
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC .
d) Tính các góc của tam giác ABC .
Bài 3. Tìm m để hai đường thẳng y mx 1 và y  2x 1 cắt nhau tại một điểm nằm trên đường
phân giác của góc phần tư thứ hai trong mặt phẳng tọa độ Ox . y
Bài 4. Cho ba điểm ( A 1; 1 ), (2 B ;1), ( 3 C ;1) .
Chứng minh rằng đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng AC.
Bài 5. Trong hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A2;5 , B  1;
 1 , C 4;9 . 
a) Viết phương trình đường thẳng BC .
b) Chứng minh rẳng ba điểm A, B,C thẳng hàng.
Bài 6. Cho hàm số y   2
m  3 x  2 có đồ thị là đường thẳng . d
a) Vẽ d khi m  2 .
b) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến.
c) Tìm m để d đi qua A1; 2 .
d) Tìm m để d đi qua B1; 8.
Bài 7. Cho hàm số y  m 
1 x m  1 có đồ thị d . Tìm m để:
a) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 .
b) d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3  .
c) d tạo với trục hoành một góc 0 45 .
Bài 8. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 2;
 1  và M với M nằm trên đường 1
thẳng d': 2x y 3 và M có hoành độ bằng . 2
Dạng 2: Tìm điểm cố định của đƣờng thẳng. Phƣơng pháp giải:
Để tìm điểm cố định của đường thẳng y ax b
 phụ thuộc vào tham số ta làm như sau: -
Gọi tọa độ điểm cố định là M x ; y ; 0 0  -
Tìm điều kiện để đẳng thức y ax b luôn đúng khi tham số thay đổi. 0 0
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 64 toanthaycu.com
Bài 9. ( Thi vào 10 chọn, trường THPT Phan Đình Phùng, Hà Nội,1995)
Chứng minh đường thẳng d : y  2 m 1x m 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi tham số m .
Bài 10. ( Thi vào lớp 10, Thành phố Hồ Chí Minh,2005) Cho đường thẳng d : y mx 1. Chứng
minh d luôn đi qua một điểm cố định với mọi tham số . m
Dạng 3. Ba đƣờng thẳng đồng quy Phƣơng pháp giải:
Để tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm của hai trong ba đường thẳng
và tìm điều kiện để giao điểm này thuộc đường thẳng thứ ba.
Bài 11. ( Thi vào lớp 10 trường THPT Nguyễn Tất Thành, 2007) Tìm các giá trị của m để ba
đường thẳng d : y x 1,d : y 5x 3,d : y mx 4
 cùng đi qua một điểm. 1 2 3
Bài 12. Cho các hàm số: y x  3;y x 1;y  3xm 2 . Tìm m để các đồ thị hàm số trên lầ
các đường thẳng đồng quy.
Dạng 4. Bài toán liên quan đến diện tích
Bài 13. Cho đường thẳng có phương trình y  m  1 x  2 .
m Tìm m để đường thẳng trên cắt hai
trục tọa độ và tạo với hai trục một tam giác có diện tích bằng 1 ( đơn vị diện tích).
Bài 14. Cho hàm số y x  2; y  x  2; y  2
x  2 có đồ thị lần lượt là d ,d ,d . 1 2 3
a) Vẽ đồ thị ba hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Cho biết d d tại A , d d tại B , d d tại C . Tìm tọa độ các điểm A, B,C . 1 2 1 3 3 2
c) Tính diện tích tam giác ABC
Bài 15. Cho hàm số y  m 2x m 3 có đồ thị là đường thẳng d .
a) Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của tham số m .
b) Tìm m để d cắt Ox,Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2. 1 
Bài 16. Cho đường thẳng d : y  2m 1x 2 với m
. Giả sử d cắt Ox tại A , cắt Oy tại B 2 1
. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng . 2
Dạng 5. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đƣờng thẳng d Phƣơng pháp giải:
Để tìm khoảng cách từ điểm gốc tọa độ O đến đường thẳng d : y ax b
 với a  0, b 0 ta làm như sau:
Bước 1. Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt là giao điểm của d với trục hoàng và trục tung của hệ trục tọa độ Ox . y 1 1 1
Bước 2. Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ O đến d . Khi đó:   . 2 2 2 OH OA OB
Bài 17. Cho đường thẳng d có phương trình y mx  2 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 65 toanthaycu.com
a) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng 1 .
b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.
Bài 18.(Thi vào lớp 10, thành phố Hà Nội, 2008) Cho đường thẳng d có phương trình
y  m  
1 x  2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 19. Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 .
Bài 20. Cho ba điểm A0;2; B3;  1 ;C 2; 4
a) Xác định hệ số a,b biết rằng đồ thị hàm số y ax b qua A, . B
b) Chứng minh rằng ba điểm A, B,C thẳng hàng.
Bài 21. Xác định phương trình đường thẳng d biết rằng nó song song với đường thẳng d'
có phương trình y  x  1 và đi qua điểm M 2;1  .
Bài 22. Cho các đường thẳng: d : y  m 2x  3 với m  2 và d y   2 ' :
m x  1 với m  0 .
a) Tìm m để d và d' song song với nhau.
b) Tìm m để d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B mà  60o OAB .
Bài 23.(Thi vào lớp 10, THPT Nguyễn Tất Thành, 2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc
Oxy cho điểm M 1;1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Bài 24. Chứng minh khi m thay đổi thì các đường thẳng có phương trình y  m 
1 x  3m  4
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 25. Tìm điều kiện của tham số m để các đường thẳng có phương trình y  2x 1  0; y x  7
và y  m 
1 x m  3 đồng quy. 1
Bài 26. Cho hai đường thẳng d : y  2x  4 , d : y   x  1. Cho biết d cắt Ox tại A, d cắt 1 2 2 1 2
Ox tại C, d cắt d tại M. 1 2
a) Chứng minh tam giác MAC vuông tại M.
b) Tính diện tích tam giác MA . C
Bài 27. Cho hàm số   2 y
m  2m  2 x  4 có đồ thị là đường thẳng .
d Tìm m sao cho d cắt Ox
tại A, cắt Oy tại B mà diện tích tam giác OAB lớn nhất.
Bài 28. Cho đường thẳng d :2 m 1x  m 2 y  2.
a) Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố định với mọi . m
b) Tìm m để khoảng cách từ O đến d là lớn nhất.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo
Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 66 toanthaycu.com
CHƯƠNG III. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. - Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng ax by c (1) trong đó a , b , c là các số đã biết
(a  0 hoặc b  0 ). - Nếu x ;
được gọi là một nghiệm của phương trình (1). 0 x , 0
y thỏa mãn (1) thì cặp số  0 0 y
2. - Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c luôn luôn có vô số nghiệm.
Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường đường thẳng ax by c , kí hiệu là d  .
3. - Nếu a  0 và b  0 thì đường thẳng d  chính là đồ thị của hàm số a c y   x  . b b
- Nếu a  0 và b  0 thì phương trình có thể đưa về dạng y m và đường thẳng d  song song
hoặc trùng với trục hoành.
- Nếu b  0 và a  0 thì phương trình có thể đưa về dạng x n và đường thẳng d  song song
hoặc trùng với trục tung. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. XÉT CẶP SỐ x ;
CÓ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ax by c 0 0 y KHÔNG? Phương pháp giải Thay x  , 
vào phương trình ax by c , nếu đẳng thức đúng thì cặp  x ; là nghệm 0 0 y  0 x y 0 y
của phương ax by c .
Ví dụ 1. (Bài 1, tr. 7 SGK) Trong các cặp số ( 2  ; 1) , 0; 2 ,  1
 ; 0 , 1,5; 3 và 4; 3   cặp số
nào là nghiệm của phương trình:
a) 5x  4y  8 ?
b) 3x 5y  3  ?
DẠNG 2. TÌM NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯONG TRÌNH ax by c VÀ VẼ ĐƯỜNG
THẲNG BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA NÓ Phương pháp giải
1. - Tìm nghiệm tổng quát của phương trình ax by c    c axy
- Nếu a  0 thì tìm x theo y : c by x
và công thức nghiệm tổng quát là:  b a x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 67 toanthaycu.com    c byx
- Nếu b  0 thì tìm y theo x : c ax y
và công thức nghiệm tổng quát là:  a b y
2. Vẽ đường thẳng có phương trình: ax by c 1
+ Nếu b  0 thì vẽ đường thẳng y  c ax . b c
+ Nếu b  0 thì vẽ đường thẳng x  cùng phương với trục tung. a
Ví dụ 2: (Bài 2, tr.7 SGK).
Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a) 3x y  2 b)
x  5 y  3 c) 4x  3y  1 
d) x  5y  0 e)
4x  0 y  2 f)
0x  2 y  5
Ví dụ 3. (Bài 3, tr.7 SGK)
Cho hai phương trình x  2 y  4 và x y  1. Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai
phương trình đó trên cùng một hệ tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho
biết toạn độ của nó là nghiệm của phương trình nào.
DẠNG 3. TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ GỐC TỌA ĐỘ O ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải c
Khoảng cách d từ gốc O đến đường thẳng: ax by c được tính theo công thức d OH  2 2 a b
Với H là hình chiếu của O lên đường thẳng. Cho  0 c xy b Cho  0 c yx a    
Đường thẳng cắt trục tung tại 0; c c A
 và cắt trục hoành tại điểm B ;0    b   a  1 1 1
Kẻ đường cao OH của ABO  , ta có:   mà c OA  và c OB  2 2 2 OH OA OB b a 2 2 2 2 1 b a a b c Do đó     OH  . 2 2 2 2 2 2 OH c c c a b
Ví dụ 4. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng 3x  4y  1. C. LUYỆN TẬP
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 68 toanthaycu.com
1.1 (Dạng 1) Trong các cặp số 0;4, 1;  3,1; 
1 ,2;3,4;6 cặp nào là nghiệm của phương
trình 5x  3y  2
1.2 (Dạng 2) Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a) 2x y  6 b) x  3y  2
c) 3x  2y  1
d) 2x  0y  4
e) 0x  3y  3
1.3 (Dạng 2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình
a) 2x y  0 b) x  3y  0
c) 3x  2y  1
1.4 (Dạng 2) Cho đường thẳng d có phương trình a  
1 x  2y a
a) Xác định a để d :
i) song song với trục hoành
ii) song song với trục tung
iii) song song với đường thẳng x y  1
b) Tìm điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi a 1.5
(Dạng 2) Vẽ các đường thẳng x  3; x  1; y  1; y  3  . Gọi ,
A B, C, D là các giao điểm của chúng a) Chứng minh ,
A B, C, D là 4 đỉnh của hình vuông
b) Viết phương trình các đường thẳng chứa hai đường chéo của hình vuông
c) Tính diện tích của tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường chéo của hình vuông
1.6 (Dạng 2) Cho đường thẳng d có phương trình m  2 x  m  3 y m  8  0 .
Định m để d :
a) Song song với trục hoành
b) Song song với trục tung
c) Chứng minh d luôn đi qua điểm A 1;  2
1.7 (Dạng 3) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng 8x  6 y  3 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 69 toanthaycu.com
BÀI 2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
 ax by c I  a x   b y   c
+ Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung  x ; thì  x ;
được gọi là một nghiệm của hệ 0 0 y  0 0 y  (I)
+ Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm
Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
2. Tập nghiệm của hệ phương trình (1) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường
thẳng d : ax by c và ax by c .
Vậy: * Nếu d cắt d ' thì hệ (I) có nghiệm duy nhất *
Nếu d / /d ' thì hệ (I) vô nghiệm *
Nếu d d ' thì hệ (I) có vô số nghiệm.
3. Hệ phương trình tương đương.
Hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: ĐOÁN NHẬN SỐ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải
ax by c Cho hệ phương trình: 
a ' x by c '
Gọi d là đường thẳng có phương trình: ax by c , d ' là đường thẳng có phương trình:
a ' x b ' y c . Dựa vào hệ số góc và tung độ góc của hai đường thẳng d và d ' để biết số
nghiệm của hệ phương trình.
* Nếu d cắt d ' thì hệ có một nghiệm.
* Nếu d song song d ' thì hệ vô nghiệm.
* Nếu d trùng d ' thì hệ vô số nghiệm.
Ví dụ 1. (Bài 4, tr. 11 SGK )
Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 70 toanthaycu.com  1     y x 3 y  3  2x  a) 2  b) 
y  3x 1 1  y x 1  2
3x y  3 2y  3  x  c)  d)  1  3y  2x x y  1  3
Ví dụ 2. (Bài 5 tr 11 SGK): Đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau bằng hình học
 2x y 1
2x y  4 a)  b) 
x  2y  1 
x y  1
Ví dụ 3. (Bài 7, tr. 12 SGK) Cho hai phương trình 2x y  4 và 3x  2y  5 .
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ tọa độ,
rồi xác định nghiệm chung của chúng.
Ví dụ 4. (Bài 8, tr. 12 SGK) Cho các hệ phương trình sau x  2
x  3y  2 a)  b) 
2x y  3 2y  4
Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó
tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
Ví dụ 5. (Bài 9, tr. 12 SGK) Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao: x y  2 3
x  2y 1 a)  b)  3
x  3y  2  6
x  4y  0
Ví dụ 6 (Bài 10 Tr12 SGK)
Đoán nhận số nghiệm của phương trình sau và giải thích vì sao? ì ì ï1 2 ï4x -4y = 2 ï x- y = a)ïí b) ï ï í3 3 -2x + 2y = -1 ïî ïïïx-3y = 2 î
DẠNG 2: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp giải
 Hệ hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm
 Hai hệ vô số nghiệm cũng được xem là tương đương
Ví dụ 7. ( Bài 6, tr11 SGK) Đố:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 71 toanthaycu.com
Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau
Bạn phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cũng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau
Theo em, Các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao (Có thể cho một ví dụ minh họa bằng đồ thị)
Ví dụ 8. ( Bài 11, Tr 12 SGK)
Nếu ta thấy hai nghiệm phận biệt của mỗi hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ( nghĩa là được biểu diễn
bởi hai điểm phân biệt, thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?
Ví dụ 9: Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương: ìïx- y =1 ï ìïax-2y = 2 í và ï ï í 2x + y = 2 ïî ïx + ay =1 ïî C. LUYỆN TẬP
2.1. (Dạng 1): Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau? Vì sao? ìï2x + y = 3 3 ìï x + 2y = 0 a) ïí b)ïí 3 ï x- y =1 ïî 2 ï x-3y = 0 ïî 3 ìï x +0.y = 6 ìïx- y = 4 c)ïí d)ï ï í 2x + y =1 ïî 0 ï x- y = 2 ïî
2.2 (Dạng 1) Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất với bất kì giá trị nào của a ìïx = a ìïx- y = 3 a)ïí b)ï ’ ï í x + y = 1 ïî ïy = a ïî
2.3 (Dạng 1) Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình: 3 ìï x- y =1 ïí ïax + 2y = 3 ïî
a) Có nghiệm duy nhất với a =-2
b) Vô số nghiệm với a = -6
2.4 (Dạng 1). Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình: 3
ìï x-2y = a ïí 15 ï x-10y = 5 ïî
a) Có vô số nghiệm với a =1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 72 toanthaycu.com b) Vô nghiệm với a ≠ 1
2.5 (Dạng 1) Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất ìï2x- y =1 ïïíx+ y=2
ïïïmx- y = 2m ïî
2.6 (Dạng 2) Xác định m để hệ phương trình sau tương đương. ìï2x-3y = 5 ìï2x-3y = 5 a)ïí và ï ï í 4x + y = 3 ïî 12
ï x +3y = a ïî ìïx- y = 2 ìï2ax-2y = 5 b) ïí và ïí 3 ï x + y =1 ïî ïx + ay = 2 ïî
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 73 toanthaycu.com
BÀI 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phương pháp giải 1. Quy tắc thế
Quy tắc thế để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
Quy tắc thế gồm 2 bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho ( Coi là phương trình thứ nhất) ta biến đổi
một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ 2 để được phương trình mới chỉ có một ẩn
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ 2 của hê phương trình
(phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn kia có được ở bước 1)
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
1) Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có
một phương trình một ẩn
2) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Phương pháp giải.
Các bước giải: Tóm tắt lí thuyết
Ví dụ 1. (Bài 12 tr 15.SGK)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế ìïx- y = 3 7 ìï x-3y = 5 ìïx +3y = 2 - a)ïí b) ïí c)ïí 3 ï x-4y = 2 ïî ï4x + y = 2 ïî 5 ï x-4y =11 ïî
Ví dụ 2. (Bài 13 tr15 SGK)
Giải phương trình sau bằng phương pháp thế ì 3 ì ï ï x y x - 2 y =11 ï ï - =1 ï a)í b) ï í2 3 4x-5y = 3 ïî ï5 ïï x-8y = 3 î
Ví dụ 3. ( Bài 14. Tr 15-SGK)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ìï ì x + y 5 = 0 (2
ï - 3)x-3y = 2+5 3 a)ïí b)ï ï í ï ï x 5 + 3y = 1- 5 î
ï4x + y = 4- 2 3 î
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 74 toanthaycu.com
Ví dụ 4 ( Bài 15. Tr. 15 SGK) ìïx +3y =1
Giải hệ phương trình sau ïí
Trong mỗi trường hợp sau 2 (
ï a +1).x + 6y = 2a ïî a) a = -1 b) a = 0 c) a = 1
Ví dụ 5. (Bài 16, Tr 16 SGK)
Giải phương trình sau bằng phương pháp thế: ìï x 2 3 ìï x- y = 5 3 ìï x +5y =1 ï = ï a) ïí b) ïí c)í y 3 5 ï x + 2y = 23 ïî ï2x- y = -8 ïî ïïïx+ y 10 - = 0 ïî
Ví dụ 6. ( Bài 17, Tr 16.SGK)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: ìï ì x 2 - y 3 = 1 ïx-2 2y = 5 a) ïí b)ï ï í ï ï x + y 3 = 2 î ïx 2 + y =1- 10 î (
ìï 2 -1)x- y = 2 c)ïí
ïïx+( 2 +1)y =1 î
Ví dụ 7. (Bài 18 Tr 16 SGK)
a) Xác định hệ số a,b biết rằng hề phương trình ìï2x +by = -4 ïí Có nghiệm là ( 2 1 - ; 2 ) bx ï -ay = -5 ïî
b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là: ( 2 1 - ; 2)
Ví dụ 8. (Bài 19, tr 16SGK)
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x-a khi và chỉ khi P(a) = 0
Hãy tìm các giá trị của n sao cho đa thức sau đông thời chia hết cho x+1 và x-3 3 2
P(x) = mx + (m - 2)x -(3n -5)x - 4n
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp giải
- Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có)
- Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt
- Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 75 toanthaycu.com 1 1    1 1 1    2   x y
x  2 y 1 2 2
3x y  5 a)  b)  c)  3 4  2 2   2 3    5    1 x 3y 1 x y
 x  2 y 1
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình  1 x 2 y 1    2
 x y  2y 1 a)  2y 1 1 x b)  
y 1  2xx y  1
DẠNG 3: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải
- Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thay vào phương trình thứ hai để được phương trình
dạng ax b . - Biện luận: Nếu a  0 thì b x
, thay vào biểu thức của x tìm y , lúc đó hệ có nghiệm duy nhất a
Nếu a  0 ta có 0.x b .
Nếu b  0 thì hệ có vô số nghiệm, nếu b  0 thì hệ vô nghiệm.
Ví dụ 11. Giải và biện luận hệ phương trình:
mx y  2m (1) 
4x my m  6 (2)
DẠNG 4. ĐỊNH THAM SỐ m NGUYÊN ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM x, y NGUYÊN Phương pháp giải
- Áp dụng phương pháp thế để tìm nghiệm  x, y của hệ theo tham số m . - Viết nghiệm  K
x, y  của hệ dưới dạng: n
với n, K nguyên. f (m)
- Tìm m nguyên để f (m) là ước của K với f (m) là một đa thức với hệ số nguyên theo m .
Ví dụ 12. Định m nguyên để hệ sau có nghiêm duy nhất  x, y với x, y nguyên.
mx  2y m 1 
2x my  2m 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 76 toanthaycu.com
DẠNG 5. HỆ GỒM BA PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ Phương pháp giải
- Chọn hai trong ba phương trình của hệ, giải tìm nghiệm của hệ hai phương trình này.
- Nếu nghiệm  x, y vừa tìm đươc là nghiệm của hệ thứ 3 thì nghiệm  x, y là nghiệm của hệ đã
cho, nếu không thỏa thì  x, y không là nghiệm của hệ.
Ví dụ 13. Giải và biện luận hệ phương trình:
2x  3y  5 (1)  x y  2 (2)
x  4y m (3)  C. LUYỆN TẬP
3.1 (Dạng 1). Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế 5
x  4y  3 5x 2y a)    19 
2x y  4  b) 3 5  3 4 y x   21  2
3.2 (Dạng 2). Giải các hệ phương trình sau:
2x  3 y 13  4 5 5 a)     3      x y  3 x y 1 2x y 3 2 b)  3 1 7   
 x y 1 2x y  3 5
3.3 (Dạng 2). Giải hệ phương trình  2 1    3 3
x  2 y  2 
x y x y b)  a) 
2 x y 1  1 3    1
 x y x y
3.4 (Dạng 2). Giải hệ phương trình: 2 2 x 1  y 1  1
x  1  2y  2 a)  b) 
x 1  y 1  2  3   x  2 1  3y  1
3.5 (Dạng 3). Giải và biện luận hệ phương trình:
mx y  3m 1 
x my m 1
3.6 (Dạng 4). Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 77 toanthaycu.com m  
1 x  2 y m 1  2 2
m x y m  2m
3.7 (Dạng 5). Giải và biện luận hệ
x  2y  3 
mx  m   1 y  3m
x my m  2
3.8 (Dạng 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T   x y  2   x ay  2 2 1 2 5
ax by c
3.9 (Dạng 5). Giả sử hệ bx
  cy a có nghiệm
cx ay b  Chứng minh rằng: 3 3 3
a b c  3abc .
3.10 (Dạng 1) Cho hai đường thẳng:
d : mx  n   1 y 1  0
d' :nx  2my  2  0
Xác định m, n để d và d' cắt nhau tại điểm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 78 toanthaycu.com
BÀI 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BĂNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Quy tắc cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy
tắc cộng đại số gồm hai bước sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
Bước 2:Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
1) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn
nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
2) Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ
số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn)
3) Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ Phương pháp giải
Xem tóm tắc cách giải trong phần tóm tắt lý thuyết
Ví dụ 1. (Bài 20, tr. 19 SGK)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: 3
x y  3
2x  5y  8
4x  3y  6 a)  b)  c) 
2x y  7
2x  3y  0
2x y  4
2x  3y  2 
0,3x  0,5y  3 d)  e)  3
x  2y  3  1,
 5x  2y  1,5
Ví dụ 2. (Bài 21, tr 19 SGK)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
x 2 3y 1 5
 x 3  y  2 2 a)  b) 
2x y 2  2
x 6  y 2  2
Ví dụ 3. (Bài 22, tr. 19 SGK) Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 79 toanthaycu.com 3
x  2y 10  5x   2y  4
2x  3y 11  a)  b)  c)  2 1 6x  3y  7   4
x  6y  5 x y  3  3 3
Ví dụ 4. (Bài 23, tr. 19 SGK) Giải hệ phương trình sau: 1 2 
x1 2y 5  1   1 2 
x1 2y 3 2
Ví dụ 5. (Bài 25, tr. 19 SGK) Ta biết rằng: Một đa thức bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó
bằng 0. Hãy tìm các giá trị của và để đa thức sau (với biến số x ) bằng đa thức 0:
P x  3m  5n  
1 x  4m n 10
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp giải
Đặt điều kiện (nếu có)
- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có)
- Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt
- Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Ví dụ 6. (Bài 24, tr. 19 SGK) Giải các hệ phương trình: 2
  x y  3 x y  4
2x  2  31 y  2   a)  b)   x y
 2x y  5 3
 x  2  21 y  3 
Ví dụ 7. (Bài 27, tr. 20 SGK) Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau
về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải: 1 1   1 x y 1 1 a) 
Hướng dẫn: Đặt u  , v  ; 3 4    5 x y  x y  1 4   2
x  2 y 1 1 1 b) 
Hướng dẫn: Đặt u  , v  ; 2 3      x 2 y 1 1
 x  2 y 1
DẠNG 3. GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NHỜ VÀO VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 80 toanthaycu.com
- Xác định a , b để đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm A và B
- Lần lượt thau tọa độ của và vào thì được hệ phương trình hai ẩn và.
Giải hệ phương trình này ta được a và b .
Ví dụ 8. (Bài 26, tr. 19 SGK) Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b đi qua hai điểm A
và B trong mỗi trường hợp sau:
a) A2; 2 và B 1;3
b) A4;  2 và B 2;  1 c) A3;  1 và B 3; 2
d) A 3;2 và B 0;2
DẠNG 4. XÁC ĐỊNH THAM SỐ A ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM SỐ Phương pháp giải
- Trước hết giải hệ phương trình tìm theo .
- Với điều kiện về nghiệm số của đề bài, tìm .
Ví dụ 9. Cho hệ phương trình: x ay 1 
ax y a
a) Chứng minh hệ luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi a .
b) Tìm a để hệ có nghiệm  x; y sao cho x 1; y 1
Ví dụ 10. Cho hệ phương trình a   1 x y  3  ax   y a
a) Giải hệ với a   2
b) Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x y  0
DẠNG 5. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ F X THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải
Bằng cách thay các giá trị đặc biệt vào hàm số để đưa về hệ phương trình với một ẩn là f x
Ví dụ 11. Xác định hàm số f x (xác định trên R ), biết rằng:
f x  xf x  x 1 (1) với mọi x R
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 81 toanthaycu.com
Ví dụ 12. Xác định hàm số f x , biết rằng:   f x 1  2 fx   (với x  0 ) (1)  x C. LUYỆN TẬP
4.1 (Dạng 1). Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: 2x-3y  1 5x  6y
4x  3y  2 a)  b)  c)  x+3y  2 x  2   y  6 x y  4
4.2 (Dạng 1). Giải các hệ phương trình sau  2x- 3y 1
x  2 2y  5 a)  b)  x+ 3y  2
 2x y 1 10  2   1xy  2
 3x  2y 1 c)  d)  x       2  1y 1 2x 3y 3
4.3 (Dạng 3). Xác định a , b để đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm A2; 4 B 1;5
4.4 (Dạng 3). Cho biểu thức f x 2
ax bx  4 . Xác định a , b để f 2  6 , f   1  0 .
4.5 (Dạng 4) Cho hệ phương trình   a   1 x ay  5  2
x ay a  4a
Tìm a nguyên để hệ có nghiệm duy nhất  x; y với x , y nguyên.
4.6 Giải hệ phương trình
3xy  2x y 
5yz  6 y z 4xz  3  x z
4.7 (Dạng 5) Tìm hàm số f x biết rằng  
a)  x   f x 1 1 1  f   
( x  0 , x 1)  x x 1  1  b) f x 2  3 fx   x  0  x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 82 toanthaycu.com
BÀI 5& BÀI 6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Tóm tắt các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1 (Lập hệ phương trình). Bao gồm:
- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Từ đó lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2 (Giải hệ phương trình). Giải hệ phương thu được.
Bước 3 (Trả lời) Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi trả lời. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TOÁN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ Phương pháp giải
Biểu diễn số có hai chữ số: ab 10a b
a là chữ số hàng chục: 0  a  9 , a N
b là chữ số hàng đơn vị: 0  b  9 , b N
- Biểu diễn số có ba chữ số: abc 100a 10b c
a là chữ số hàng trăm, b là chữ số hàng chục và c là chữ số hàng đơn vị.
Ví dụ 1. (Bài 28, tr. 22 SGK) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy
số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.
Ví dụ 2: Tổng các chữ số của một số là có hai chữ số bằng 6 . Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số
thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.
Vậy số cần tìm là 24 .
DẠNG 2. TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC Phương pháp giải
Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia toàn bộ công việc, phần làm việc trong
một đơn vị thời gian (năng suất), thời gian.
Năng suất làm việc: đưa về một đơn vị thời gian (chẳng hạn: 1 ngày, 1 giờ, …)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 83 toanthaycu.com 1
Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được công việc. x
Xem toàn bộ công việc là 1. Ví dụ 3. (Bài 32, tr. 23 SGK) 4
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 4 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ 5 6
mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay 5
từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
Ví dụ 4. (Bài 33, tr. 24 SGK)
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ
và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? Ví dụ 5 : (Bài 38, tr.24 SGK)
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 2
20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 15
bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?
DẠNG 3. LOẠI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp giải : − Toán
chuyển động có ba đại lượng tham gia vào là: vận tốc, thời gian, quãng đường. −
Gọi v là vận tốc, t là thời gian đi được, s là quãng đường đi được, ta có: S vt . Ví dụ 6. (Bài 30, tr. 22 SGK)
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km / h thì sẽ
đến B chậm hơn 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km / h thì sẽ đến B sớm
hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A . Ví dụ 7 (Bài 37, tr. 24 SGK)
Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20cm , xuất phát cùng một lúc, từ
cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu
chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
DẠNG 4. CÁC DẠNG KHÁC
Ví dụ 8. (Bài 29, tr. 22 SGK) Giải bài toán cổ sau :
Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho một trăm người cùng vui.
Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.
Trăm người, trăm miếng ngọt lành.
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ? Ví dụ 9. (Bài 31, tr. 23 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 84 toanthaycu.com
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3
cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 2
36cm , và nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia
giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 2 26cm .
Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được dánh thành nhiều luống, mỗi
luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi
luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi
luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan
trồng bao nhiêu cây rau cải bắp? (Số cây trong các luông như nhau). Ví dụ 11. (Bài 35, tr. 24 SGK)
(Bài toán cổ Ấn Độ). Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số
tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và
mỗi quả táo là bao nhiêu rupi ? Ví dụ 12. (Bài 36, tr. 24 SGK)
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả
cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *) :
Điểm số của mỗi lần 10 9 8 7 6 bắn Số lần bắn 25 42 * 15 *
Em hãy tìm lại các số trong số đó. Ví dụ 13. (Bài 39, tr. 25 SGK)
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng
(VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế
VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu
không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ? C. LUYỆN TẬP
Bài 6.1 (Dạng 1). Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ
hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Bài 6.2 (Dạng 1). Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17 , chữ số hàng chục là 4 ,
nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số giảm đi 99 đơn vị.
Bài 6.3 (Dạng 2). Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu vòi I chảy 3
trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian để mỗi vòi chảy 4 một mình đầy bể.
Bài 6.4 (Dạng 3). Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng thêm
20km / h thì thời gian đi được sẽ giảm 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt 10km / h thì thời gian đi tăng
thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Bài 6.5 (Dạng 3). Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85km và đi ngược chiều nhau.
Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi
dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9km / h và vận tốc dòng nước là 3km / h (vận tốc
thật của ca nô không đổi).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 85 toanthaycu.com
Bài 6.6 (Dạng 3). Đoạn đường AB dài 200 km . Cùng lúc một xe máy đi từ A và một ô tô đi từ B ,
xe máy và ô tô gặp nhau tại C cách A 120km . Nếu xe máy khởi hành sau ô tô 1 giờ thì gặp nhau
tại D cách C 24 km . Tính vận tốc của ô tô và xe máy.
Bài 6.7 (Dạng 1). Tìm số có ba chữ số chia hết cho 11, biết rằng khi chia số đó cho 11 được thương
bằng tổng các chữ số của số bị chia. 3
Bài 6.8 (Dạng 4). Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều xao tăng thêm 3dm và 4
cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 2
12 dm . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Bài 6.9 (Dạng 4). Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 4
sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách của mỗi giá. 5
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 86 toanthaycu.com ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng ax  by c , trong đó a, b và c là các số và a  0 hoặc b  0 .
2. Phương trình bậc nhất hai ẩn ax  by c luôn có vô số nghiệm. Trong mặt phẳng tọa độ, tập nghiệm
của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax  by c .
3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế :
a) Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới , trong
đó có một phương trình một ẩn.
b) Giải phương trình một ẩn vừa có nghiệm rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
4. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số :
a) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp ( nếu cần ) sao cho các hệ số của
chúng cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.
b) Áp dụng quy tắc cộng đại số để được một hệ phương trình mới, trong đó, một phương trình
có hệ số của một trong hai ẩn bằng ( tức là phương trình một ẩn ).
c) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho .
5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình :
Bước 1: Lập hệ phương trình :
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên .
Bước 3: Trả lời : kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
B. GIẢI BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
Bài 40. Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được :
2x  5y  2 3 1 
0, 2x  0,1y  0,3  x y  a) 2 b)  c) 2 2 x y  1  3
x y  5 5 3
 x 2y 1
Bài 41. Giải các hệ phương trình sau :
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 87 toanthaycu.com  2x y    2  
x 5  (1 3) y  1
x 1 y 1 a)  b) 
(1 3)x y 5 1 x 3y    1
 x 1 y 1
2x y m
Bài 42. Giải hệ phương trình 
trong mỗi trường hợp sau : 2
4x m y  2 2 a) m   2 b) m  2 c) m  1
Bài 43. Hai người ở địa điểm A và B cách nhau 3,6km , khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều
nhau ở một địa điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên,
nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng
đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Bài 44. Một vật có khối lượng 124g và thể tích 3
15cm là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong
đó có bao nhiêu gam đồng,v à bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích là 3 10cm và
7gam kẽm có thể tích là 3 1cm .
Bài 45. Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng
khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II
làm việc, do cải tiến cách làm , năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ đã làm xong phần việc còn
lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu , nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao
nhiêu ngày mới xong công việc trên ?
Bài 46. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị
thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn
vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc ? C - LUYỆN TẬP
x 1  y 1  5 
Bài 1. Giải hệ phương trình : 
x 1  4y  4 
Bài 2. Xác định a để hệ sau có nghiệm duy nhất  x, y với x  0, y  0
x  2y  0  .
ax  3y  2
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau :  xyz
x y z  10  2    x y
y z t  15 a)  b)  xyz 1      z t x 14 1   y z 5 t
  x y 12
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 88 toanthaycu.com
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau :  x y z
x 1 x  2 x  9    1 2 9    ...  a) 4 3 9 b)  9 8 1
7x 3y  2z  37
x x ... x  90  1 2 9
Bài 5. Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người
đi xe đạp từ A đến B hết 40phút và đi từ B về A hết 41 phút ( vận tốc lên dốc lúc đi và về như
nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và về như nhau).
Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
Bài 6. Tuổi hai anh em cộng lại bằng 21. Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em
hiện nay.Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng
liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 89 BÀI 1. HÀM SỐ 2
y ax a  0
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tập xác định của hàm số Hàm số 2
y ax a  0 xác định với mọi x.
2. Tính chất biến thiên của hàm số
 Nếu a  0 thì hàm số nghịch biến khi x  0 và đồng biến khi x  0 .
 Nếu a  0 thì hàm số đồng biến khi x  0 và nghịch biến khi x  0 . x  0  x  0  2 y ax 0 2 y ax 0 a  0 a  0 B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. GIÁ TRỊ HÀM SỐ y f x 2
ax a  0 TẠI x x o Phương pháp giải
Để tính f x ta thay x x vào f x . o o
Ví dụ 1. (Bài 1, tr. 30 SGK)
Diện tích S của hình tròn được tính bởi công thức 2
S   R , trong đó R là bán kính của hình tròn.
a) Dùng máy tính bỏ túi, tính các giái trị của S rồi điền vào các ô trống trong bảng sau (  3,14 , làm
tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). R cm 0,57 1,37 2,15 4,09 2
S   R  2 cm 
b) Nếu bán kính tăng gấp 3 lần thì diện tích tăng hay giảm bao nhiêu lần?
c) Tính bán kính của hình tròn, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, nếu biết diện tích của nó bằng 2 79,5cm .
Ví dụ 2. (Bài 2, tr. 31 SGK)
Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m. Quãng đường chuyển động S (mét) của vật rơi phụ
thuộc vào thời gian t (giây) bởi công thức: 2 S  4t .
a) Sau 1 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét? Tương tự, sau 2 giây?
b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất?
Ví dụ 3. (Bài 3, tr. 31 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 90
Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm
tỷ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là 2
F av ( a là hằng số). Khi vận tốc gió bằng
2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con
thuyền bằng 120 N (Niu-tơn)
a) Tính hằng số a .
b) Hỏi khi v  10 m/s thì lực F bằng bao nhiêu?
Cùng câu hỏi này khi v  20 m/s
c) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000 N , hỏi con thuyền có thể đi
được trong gió bão với vận tốc 90 km/h hay không? C. LUYỆN TẬP
1.1 (Dạng 1) Cho hàm số 2 y  3
x . Lập bảng tính các giá trị của y ứng với giá trị của x lần lượt 1
bằng: 2 ; 1; 0 ; ; 1; 2 . 3
1.2 Cho hàm số    2 y f x x a)
Chứng minh rằng f a  f a  0 với mọi a . b) Tìm
a  biết f a   1  4 .
1.3 Chứng minh rằng hàm số 2 y  5
x có các tính chất sau: a)
y đồng biến khi x  0 , nghịch biến khi x  0 . b)
y không dương với mọi giá trị của x . c)
nếu x gấp n lần thì y gấp 2 n lần.
1.4 Cho hàm số y  m   2 2 x m  2
  , Tìm các giá trị của m để:
a) hàm số đồng biến với x  0 .
b) có giá trị y  4 khi x  1  .
c) hàm số có giá trị lớn nhất là 0.
d) hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 91
BÀI 2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2
y ax a  0
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đồ thị hàm số 2
y ax a  0 là một đường cong di qua gốc tọa độ và nhận trục y làm trục đối
xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O .
Nếu a  0 thì đố thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a  0 thì đố thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. a  0 a  0
2. Vẽ đồ thị. Muốn vẽ đồ thị hàm số 2
y ax a  0 ta đặt đỉnh tại điểm O 0;0 , xác định các điểm
1;a, 2;4a và các điểm đối xứng của chúng qua Oy rồi vẽ Parabol đi qua các điểm đó. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y f x 2
ax a  0 Phương pháp giải
Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y . Cho x lần lượt bằng: 3
 ; 2 ; 1; 0 ; 1; 2 ; 3 … rồi tìm giá
trị y tương ứng bằng cách lập bảng.
Điểm M x ; y thuộc đồ thị 2 2
y ax y ax M M M M
Ví dụ 1. (Bài 4, tr.36 SGK) 3 3 Cho hàm số: 2 y x , 2
y   x . Điền vào những ô trống của các bảng sau rồi vẽ hai đồ thị trên cùng 2 2
một mặt phẳng tọa độ. x 2 1 0 1 2 3 2 y x 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 92 x 2 1 0 1 2 3 2 y   x 2
Nhận xét về tính đối xứng của hai đồ thị đối với trục Ox . 1
Ví dụ 2. (Bài 5, tr.37 SGK) Cho hàm số: 2 y x ; 2 y x ; 2 y  2x . 2
a) Vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm ba điểm A , B , C có cùng hoành độ x  1,
 5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Xác định tung độ tương ứng của chúng. c) Tìm ba điểm 
A , B , C có cùng hoành độ x  1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Kiểm tra tính đối xứng của A và 
A , B và B , C và C .
d) Với mỗi hàm số trên, hãy tìm giá trị x điểm hàm số đó có giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 3. (Bài 6, tr.38 SGK) Cho hàm số y f x 2   x .
a) Vẽ đồ thị hàm số đó.
b) Tính các giá trị f 8 ; f 1,3 ; f 0,75 ; f 1,5 .
c) Dùng đồ thị để ước lượng các giá trị  2 0,5 ;  2 1,5 ;  2 2,5 .
d) Dùng đồ thị để ước lượng vị trí các điểm trên trục hoành biểu diễn các số 3 ; 7 .
Ví dụ 4. (Bài 10, tr.39 SGK) Cho hàm số 2 y  0,
 75x . Qua đồ thị hàm số đó, hãy cho biết khi x tăng từ 2 đến 4 thì giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của y là bao nhiêu?
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH HỆ SỐ a CỦA HÀM SỐ y f x 2
ax a  0 Phương pháp giải
Ví dụ 5. (Bài 7, tr.38 SGK)
Trên mặt phẳng tọa độ có một điểm M thuộc đồ thị hàm số 2 y ax . a) Tìm hệ số a .
b) Điểm A4;4 có thuộc đồ thị không?
c) Hãy tìm thêm hai điểm nữa (không kể điểm O ) để vẽ đồ thị.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 93
Ví dụ 6. (Bài 8, tr.38 SGK)
Biết rằng đường cong hình bên là một Parabol 2 y ax . a) Tìm hệ số a .
b) Tìm tung độ của điểm thuộc Parabol có hoành độ x  3  .
c) Tìm các điểm thuộc Parabol có tung độ y  8 .
DẠNG 3. TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải
• Để tìm tọa độ giao điểm của P và d  ta viết phương trình hoành độ giao điểm của Pvà d  : 2
ax bxc   1
- Nếu (1) vô nghiệm thì d không cắt P.
- Nếu (1) có nghiệm thì d  cắt P.
Gọi x là hoành độ giao điểm thì tung độ giao điểm là 2
yax hoặc ybx c . 1 1 1 1
Ví dụ 7. (Bài 9, tr. 39 SGK) Cho hai hàm số 2
y x và y  x  6 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 94
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị đó.
DẠNG 4. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Phương pháp giải
Cho bất phương trình f (x)  g(x) (1)
- Vẽ đồ thị yf (x) và yg(x) trên cùng hệ trục tọa độ.
- Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên bằng cách giải phương trình f (x)  g(x) .
- Nghiệm của bất phương trình f (x)  g(x) là tập hợp các giá trị x là hình chiếu của
phần đồ thị yf (x) nằm dưới đồ thị yg(x) lên trục hoành.
Ví dụ 8. Giải bất phương trình sau bằng đồ thị 2 x x  2
DẠNG 5. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Phương pháp giải
Cho phương trình dạng f x  m ( m là tham số)
- Vẽ đồ thị hàm số yf x và đường thẳng y m cùng phương với Ox và qua điểm có tọa độ 0,m.
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị yf x với đường thẳng ym .
Ví dụ 9. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : a)- 2 2x m b) x x m C. LUYỆN TẬP
Bài 2.1 (Dạng 1). Cho hàm số 2 y  x
a) Vẽ đồ thị của hàm số.
b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không ?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 95  9   5  A 3; ; B 5; ; C(10;1) ?      10   2 
Bài 2.2 (Dạng 2). Xác định hệ số a để đồ thị hàm số 2
y ax đi qua điểm A( 3;9) . Vẽ đồ thị trong trường hợp này.
Bài 2.3 (Dạng 2). Xác định m để đồ thị hàm số y   2 m   2
2 x đi qua điểm A 1;2 . Với mtìm
được, đồ thị hàm số có đi qua điểm B 2;9 không ? 1
Bài 2.4 (Dạng 2). Cho parabol 2
yx . Xác định m để các điểm sau nằm trên parabol : 4  3  a) A( 2; m) b) B( 2; m) c) C ; m    4 
Bài 2.5 (Dạng 2). a) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc O và điểm M 2;4 .
b) Viết phương trình parabol dạng 2
yax và đi qua M 2;4 .
c) Vẽ parabol và đường thẳng trên trong cùng hệ trục tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của chúng. 1
Bài 2.6 (Dạng 4). Trên cùng một hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị các hàm số y f x 2
x và y g x  . x 2
Dựa vào đồ thị hãy giải các bất phương trình :
a) f x  g x b)
f x  g x. Bài 2.7 (Dạng 3).
a) Xác định a để đổ thị hàm số đi qua A 1;2
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm
c) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4
d) Tìm tọa độ các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục tọa độ.
Bài 2.8 (Dạng 5). Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 2x 1  m
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 96
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định nghĩa :
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng 2
ax bx c  0,
trong đó x là ẩn : , ,
a b c là những số cho trước gọi là các hệ số và a  0
2. Ta có thể giải phương hình bậc hai bằng cách đặt nhân tử chung để đưa nó về phương trình tích. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ A, B, C CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp giải
- Khai triển rồi đưa các số hạng về vế trái, vế phải bằng 0.
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai 2
ax bx c  0
Ví dụ 1. (Bài 11, tr. 42 SGK)
Đưa các phương, trình sau về dạng 2
ax bx c  0 chỉ rõ các hệ số , , a b c a) 2
5x  2x  4  x ; 3 1 b) 2
x  2x  7  3x  . 5 2 c) 2
2x x  3  3x 1 d) 2 2
2x  2(m 1)x m  0 , m là một hằng số
DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp giải a b
- Đưa phương trình về dạng tích hoặc áp dụng : 2 2 a b   a b
Ví dụ 2. (Bài 12, tr. 42 SGK) Giải các phương trình sau : a) 2 x  8  0 ; b) 2 5x  20  0 ; c) 2 0, 4x 1  0;
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 97 2
d) 2x  2x  0 2 e) 0
 .4x 1.2x  0
Ví dụ 3. (Bài 13, tr. 43 SGK) Cho các phương trình : 2
a) x  8x  2 1 2
b) x  2x  3
Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái thành một bình phương.
Ví dụ 4. (Bài 14, tr. 43 SGK) Hãy giải phương trình : 2
2x  5x  2  0 theo các bước như ví dụ 3 trong bài học. C. LUYỆN TẬP
Bài 3.1 (Dạng 1). Viết các phương trình sau dưới dạng : 2
ax bx c  0 rồi xác định các hệ số , , a b c. a) 2 2 2
x  4x  4  m b) 2
x p(x 1)  1 p c) 2 x
2  x  2  x 2
Bài 3.2 (Dạng 2). Giải các phương trình: a) 2 4x  9  0 b) 2 2x  5  0 c) 2 3x  6x  0
Bài 3.3 (Dạng 2). Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích hoặc dạng a x m2  n a) 2
x  4x 12  0 b) 2
4x  4x  3  0 c) 2
x x  2  0 d) 2
x 3x 10  0
Bài 3.4 (Dạng 2). Giải các phương trình sau bằng cách áp dụng 2 2
a b a  b 2 a) 2
x x    2 2
1 4 x  2x   1  0 b) 2
2x  32x  3  0 2 2
c) 9 x  2  4 x   1  0 d) 2
x  6x  7  0
Bài 3.5 (Dạng 2). Giải phương trình sau : a) 2
x  4x  3  0 b) 2
x  6x 16  0 c) 2
2x  6x  1  0 d) 2
x  6x  7  0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 98
Bài 3.5 (Dạng 2). Giải phương trình sau : a) 2
x  4x  3  0 b) 2
x  6x 16  0 c) 2
2x  6x  1  0 d) 2
7x  12x  5  0
Bài 3.6 (Dạng 2). Xác định hệ số c trong phương trình 2
x  6x c  0 để phương trình có một
nghiệm là 5. Giải phương trình đó.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 99
BÀI 4 & BÀI 5. CÔNG THỨC NGHIỆM CÙA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN A.
TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Đối với phương trình 2
ax bx c   0 0
a   và biệt thức 2
  b  4ac :
• Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: b   b   x  và x  1 2 2a 2a b
• Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép x x   1 2 2a
• Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm.
2. Công thức nghiệm thu gọn. Đối với phương trình 2
ax bx c   0 0
a   và b  2b ' và 2
 '  b '  ac
• Nếu  '  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b '  ' b '  ' x  và x  1 2 a a b '
• Nếu  '  0 thì phương trình có nghiệm kép x x   1 2 a
• Nếu  '  0 thì phương trình vô nghiệm. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp giải
• Xác định a, b, c của phương trình 2
ax bx c   0 0 a   • Tính biệt thức 2
  b  4ac (hay 2
  b ac )
- Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 100
- Nếu   0 thì phương trình có một nghiệm (nghiệm kép).
- Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 1. (Bài 15,tr.45SGK)
Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số , ,
a b c , tính biệt thức  và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau : a) 2
7x  2x  3  0 ; b) 2
5x  2 10x  2  0 1 2 c) 2
x  7x   0 d) 2
1,7x 1, 2x  2,1  0 2 3 Ví dụ 2. (Bài 22, tr. 49 SGK)
Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: 19 a) 2
15x  4x  2005  0 ; b) 2
x  7x 1890  0 ; 5
DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp giải
- Xác định các hệ số a, ,
b c của phương trình 2
ax bx c  0 . - Tính  (hoặc  ' ).
- Áp dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Ví dụ 3. (Bài 16, tr. 45 SGK)
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau: a) 2
2x  7x  3  0 ; b) 2
6x x  5  0 ; c) 2
6x x  5  0 ; d) 2
3x  5x  2  0 ; e) 2
y 8y 16  0 ; f) 2
16z  24z  9  0 . Ví dụ 4. (Bài 17, tr. 49 SGK) Xác định a, ,
b c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình a) 2
4x  4x 1  0 ; b) 2
1385x 14x 1  0 ; c) 2
5x  6x 1  0 ; d) 2 3
x  4 6x  4  0 . Ví dụ 5. (Bài 18, tr. 49 SGK)
Đưa các phươg trình sau về dạng 2
ax bx c  0 rồi dùng công thức nghiệm thu gọn
Để tìm giá trị gần đúng (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) nghiệm của các
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 101 phương trình: 2 a) 2 2
3x  2x x  3 ; b)
2x 2 1x 1x 1; c) 2
3x  3  2 x  
1 ; d) x x     x  2 0,5 1 1 . Ví dụ 6. (Bài 20, tr. 49 SGK) Giải các phương trình : a) 2 25x 16  0 ; b) 2 2x  3  0 ; c) 2
4, 2x  5,46x  0 ; d) 2
4x  2 3x  1 3 . Ví dụ 7. (Bài 21, tr. 49 SGK)
Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (Xem Toán 7, Tập 2, tr.26): 1 7 a) 2
x  12x  228 ; b) 2 x   19 . 12 12 Vậy S   19  ;1  2
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ 8. (Bài 19, tr. 49 SGK)
Đố. Đố em biết vì sao khi a  0 và phương trình 2
ax bx c  0 vô nghiệm thì 2
ax bx c  0 với mọi giá trị của x ? Ví dụ 9. (Bài 23, tr. 50 SGK)
Rađa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ô tô trong 10 phút, phát hiện rằng vận
tốc v của ô tô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức : 2
v  3t  30t 135
( t tính bằng phút, v tính bằng km/h). a)
Tính vận tốc của ô tô khi t  5 phút. b)
Tính giá trị của t khi vận tốc ô tôt bằng 120 km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Ví dụ 10. (Bài 24, tr. 50 SGK)
Cho phương trình (ẩn x ) 2
x  m   2 2 1 x m  0 a) Tính  ' b)
Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm.
DẠNG 4: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 2
ax bx c  0 Phương pháp giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 102
Với a  0 : Phương trình trở thành bậc nhất bx c  0 c
- Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm x   a
- Nếu b  0 và c  0 thì phương trình vô nghiệm;
- Nếu b  0 và c  0 thì phương trình có vô số nghiệm. 
Với a  0 : Phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt thức : 2
  b  4ac (hay 2
  b '  ac )
- Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm; b
- Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép x x  1 2 2a
- Nếu   0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt b   b   x  ; x  1 2 2a 2a
Ví dụ 11. Giải và biện luận phương trình : m   2
2 x  2m   1 x m  0
DẠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI ẨN x VÀ y GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp giải
Từ phương trình bậc nhất của hệ tìm theo y và x . 
Thay biểu thức y và x ở trên vào phương trình bậc hai của hệ ta được phương trình bậc hai đối với x . 
Giải phương trình tìm x , sau đó thay vào biểu thức của y để tìm y .
2x y  5  0   1
Ví dụ 12. Giải hệ phương trình :  2
y x  4x  2 x y  6
Ví dụ 13. Giải hệ phương trình :  2 2
x y a Định a để : a) Hệ vô nghiệm; b) Hệ có nghiệm duy nhất; c)
Hệ có hai nghiệm phân biệt.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 103
DẠNG 6. ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HAI PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM CHUNG Phương pháp giải:
Giả sử x là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x x vào hai phương trình ta được hệ 0 0
với ẩn là các tham số.  Giải hệ tìm tham số. 
Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không.
Ví dụ 14: Cho hai phương trình: 2
x x a  0 và 2 x +ax+1=0 . a)
Định a để hai phương trình trên có nghiệm chung ; b)
Định a để hai phương trình trên tương đương.
DẠNG 7. PHƯƠNG TRÌNH CÓ HAI ẨN SỐ Phương pháp giải
Trong một phương trình có hai ẩn số, ta xem một ẩn là tham số rồi giải phương trình ấy theo ẩn còn
lại. Phương pháp giải này được gọi là phương pháp “Đặt tham số mới”
Ví dụ 15 . Chứng minh rằng chỉ có một cặp số duy nhất  ,
x y thỏa phương trình 2
x  4x y  6 y 13  0   1 3 2 x y  2   1
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình  2 2
x xy y y  0  2 C. LUYỆN TẬP
Bài 5.1 (Dạng 2). Giải các phương trình sau: 10 5 a) 2
3x  5x 8  0; b) 2 5x x   0; 7 49 c) 2
5x  3x 15  0; d) 2
x  4x 1  0.
Bài 5.2 (Dạng 2). Giải các phương trình sau: 2 x 4x 1 a) 2
3x  7x  2  0; b)    0; 3 5 12 c)    2 5
2 x 10x  5  2  0; d)
x  1x  2  70.
Bài 5.3 (Dạng 3). Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 2
9x  6mx mm  2  0.
Bài 5.4 (Dạng 3). Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó: a) 2
2x 10x m 1  0 b) 2
5x 12x m  3  0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 104
Bài 5.5 (Dạng 3). Xác định m để phương trình sau vô nghiệm a) 2
3x  4x  2m  0 b) 2 2
m x mx  5  0
Bài 5.6 (Dạng 2). Chứng minh rằng phương trình  x a x b   x b x c   x c x a  0
luôn có nghiệm với mọi a, , b c
Bài 5.7 (Dạng 3). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh phương trình sau vô nghiệm: 2 2 b x   2 2 2
b c a  2 x c  0.
Bài 5.8 (Dạng 3). Xác định m để phương trình sau có đúng một nghiệm: m   2
2 x  2m  
1 x m  0.
Bài 5.9 (Dạng 4). Giải và biện luận các phương trình: a) 2
x  1 mx m  0; b) m   2
3 x  2mx m  6  0. Bài 5.10
(Dạng 5). Giải các hệ phương trình:
3x  4y 1  0 
2x  3y  2 a)  b)  xy  3 
x y 9
xy x y  6  0. Bài 5.11
(Dạng 5). Giải và biện luận hê phương trình:
x y m  2 2
x y  2x  2 Bài 5.12
(Dạng 6). Chứng minh rằng nếu hai phương trình: 2 x  ax+b=0 và 2
x cx d  0, có nghiệm chung thì b d 2  a cad bc  0. Bài 5.13
(Dạng 6). Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung: 2
x mx  2  0 và 2
x  2x m  0 . Bài 5.14
(Dạng 3). Cho ac  2b d . Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình 2 2
x +ax+b=0; x  cx d  0 có nghiệm. Bài 5.15
(Dạng7). Giải phương trình: 4 2 2 2
y  4x y 11y  4xy 8y  8x  40x  52  0 . 2 2 10
 x  5y  2xy  38x  6y  41  0. Bài 5.16
(Dạng 7). Giải hệ phương trình:  2 2
3x  2y  5xy 17x  6y  20  0.  698 4 2 x y Bài 5.17
(Dạng 7). Giải hệ phương trình:  81 2 2
x y xy 3x 3y  4  0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 105
BÀI 6. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định lý Vi-ét
Nếu x , x là hai nghiệm của phương trình 2
ax  bx c  0a  0 thì 1 2  b x x    1 2  acx x  . 1 2  a
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình 2
X SX P  0.
Điều kiện để có hai số đó là: 2 S  4P  0. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, TÍNH TỔNG VÀ TÍCH CÁC NGHIỆM SỐ Phương pháp giải
Tính  và chứng tỏ   0 để phương trình có nghiệm. 
Áp dụng định lý Vi-ét: b c
S x x   ; P x .x  . 1 2 1 2 a a
Ví dụ 1. (Bài 25, tr. 52 SGK)
Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có).
Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...): a) 2 2x – 17x  1  0;   ;  x x  ;  x .x  ;  1 2 1 2 2
b)5x x  35  0;   ;
x x  ;  x .x  ;  1 2 1 2 2
c)8x x 1  0;   ;  x x  ;  x .x  ;  1 2 1 2 2
d) 25x 10x 1  0;   ;  x x  ;  x .x   . 1 2 1 2
Ví dụ 2. (Bài 29, tr. 54 SGK)
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau: 2 2
a )4x  2x – 5  0; b )9x – 12x  4  0; 2 2
c )5x x  2  0; d 1 59 )
x – 2x – 1  0.
Ví dụ 3. (Bài 30, tr. 54 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 106
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m. 2 2 a) x x m
b) x  m  2 – 2 0; 2
– 1 xm  0.
DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH NHẨM NGHIỆM Phương pháp giải
Áp dụng định lý Vi-ét: b c
S x x   ; P x .x  . 1 2 1 2 a a
Nhẩm: S x x m  ;
n P x .x  . m .
n thì phương trình có nghiệm x  ; m x  . n 1 2 1 2 1 2  c
Nếu a b c  0 thì x  1; x  . 1 2 ac
Nếu a b c  0 thì x  1; x   . 1 2 a
Ví dụ 4. (Bài 26, tr. 52 SGK)
Dùng điều kiện abc  0 hoặc a – bc  0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: 2
a) 35x – 37x  2  0; 2
b) 7x  500x – 507  0; 2
c) x – 49x – 50  0; 2
d) 4321x  21x – 4300  0
Ví dụ 5. (Bài 27, tr. 53 SGK)
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình. 2 2
a) x  7x 12  0
b) x  7x 12  0 .
Ví dụ 6. (Bài 30, tr. 54 SGK)
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình: a 1,
) 5x2 1, 6x  0,1  0 2
b) 3x  1 3 x 1 0 c    2 ) 2
3 x  2 3x  2  3  0;
d m   2 )
1 x  2m  3 x m  4  0 với m  1.
DẠNG 3. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG. Phương pháp giải
Từ hệ thức cho trước của x, y tìm tổng S x y , tích P  . x y. 
x, y là hai nghiệm của phương trình 2
X SX P  0.
Ví dụ 7. (Bài 28, tr. 53 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 107
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a 32 )u v  , . u v  231; b )u v  8  ; . u v  105  ; c 2; )u v  . u v  9.
Ví dụ 8. (Bài 32, tr. 54 SGK)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u v  42, u.v  441 b) u v  42; u.v  400
c) u v  5; u.v  24 Dạng 4. PHÂN TÍCH 2
ax bx c THÀNH NHÂN TỬ Phương pháp giải Nếu phương trình 2
ax bx c  0 có hai nghiệm x ; x thì 2
ax bx c a x x x x 1  2  1 2
Ví dụ 9. (Bài 33, tr.54 SGK)
Chứng tỏ rằng nếu phương trình 2
ax bx c  0 có nghiệm x và x thì tam thức 2
ax bx c phân 1 2
tích thành nhân tử như sau: 2
ax bx c a x x x x . 1   2 
Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) 2
2x  5x  3 ; b) 2
3x  8x  2 .
DẠNG 5. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHI BIẾT HAI NGHIỆM CỦA NÓ Phương pháp giải
 Tính tổng hai nghiệm S x x và tích hai nghiệm P x x . 1 2 1 2
 Phương trình có hai nghiệm x ; x là 2
X SX P  0 . 1 2
Ví dụ 10. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số sau: a) 7 và 3 ; b) 1 2 và 1 2 . Ví dụ 11. 1 1
a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và . 10  72 10  6 2 3  5
b) Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là . 3  5
DẠNG 6. DẤU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 108 Cho phương trình bậc hai 2
ax bx c  0,(a  0)
* Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P  0 .   0
* Phương trình có hai nghiệm cùng dấu   P  0   0 
* Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  S  0 P  0    0 
* Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  S  0 P  0 
Ví dụ 12. Cho phương trình 2
x  2(m 1)x m 1  0 (1)
Định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu;
b) Có hai nghiệm dương phân biệt
c) Có đúng một nghiệm dương.
DẠNG 7. XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM THÕA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải Cho phương trình bậc hai 2
ax bx c  0, (a  0)
* Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P  0 .
* Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm   0 .
* Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ đối với nghiệm x , x rồi thay vào phương trình thứ ba của 1 2
hệ để tìm tham số m ;
* Kiểm tra lại m có thỏa điều kiện có nghiệm không rồi kết luận.
Ví dụ 13: Xác định m để phương trình 2
x  2x m  0 có hai nghiệm x , x thỏa: 3x  2x 1. 1 2 1 2
DẠNG 8. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM x , x CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 1 2 HAI Phương pháp giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 109
* Biểu thức x , x gọi là là đối xứng nếu ta thay x bởi x và x bởi x thì biểu thức không đổi. 1 2 1 2 2 1
* Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P (tổng và tích các nghiệm số) Chẳng hạn
x x   x x 2 2 2 2
 2x x S  2P 1 2 1 2 1 2
x x   x x 3 2 2
 3x x x x  3  S  3PS 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 x x S x x x x S  2P 1 2 1 2 1 2    ;    x x x x P x x x x P 1 2 1 2 2 1 1 2
* Từ hệ thức Vi-ét tính S và P rồi thay vào biểu thức đối xứng.
Ví dụ 14. Giả sử x , x là nghiệm của phương trình : 2
x mx 1  0. Tính giá trị các biểu thức sau : 1 2 2 2 x x a) 3 3 x x ; b) 1 2  . 1 2 2 2 x x 2 1
Ví dụ 15. Giả sử x , x là nghiệm phương trình : 2
x  2mx  4  0 . 1 2
Xác định m sao cho 4 4
x x  32 . 1 2
DẠNG 9. TÌM HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM 1 x , 2
x CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
KHÔNG PHỤ THUỘC THAM SỐ Phương pháp giải
・Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm :   0 ;
・Từ hệ thức Vi-ét tìm S, P theo tham số m ;
・Khử tham số m từ S, P để có hệ thức giữa S , P (tức là hệ thức giữa x , x ) Không phụ thuộc 1 2 tham số m .
Ví dụ 16. Giả sử x , x là nghiệm của phương trình : 2 2
x  2(m 1)x m 1  0 1 2
Tìm hệ thức giữa x , x không phụ thuộc vào m . 1 2
DẠNG 10. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG HAI ẦN Phương pháp giải
・Hệ gọi là đối xứng hai ẩn x, y nếu hệ không thay đổi khi thay x bởi y , y bởi x . ・Cách giải :
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 110
Đặt S x y, P  . x y .
Đưa hệ đã cho về hệ mới với hai ẩn S, P . Chú ý đến các biểu thức đối xứng x, y (dạng 8).
Giải tìm S, P . Khi đó x, y là nghiệm của phương trình 2
X SX P  0
・Nếu  x, y là nghiệm thì  y, x cũng là nghiệm.
x y xy  5
Ví dụ 17. Giải hệ phương trình :  2 2 x y  5 C. LUYÊN TẬP
Bài 6.1 (Dạng 2). Dùng định lí Vi-ét đề nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) 2
x 10x 16  0 ; d) 2
x  7x 10  0 ; b) 2
x 15x  50  0 ; e) 2
x  3x  4  0 ; c) 2
x  6x  5  0 ; g) 2
x x  20  0 ;
Bài 6.2 (Dạng 2). Dùng điều kiện a b c  0 hoặc a b c  0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: a) 2
(m 1)x  3mx  2m 1  0 (m  1  ) .   b) 2 1
(2m 1)x mx m 1  0 m    .  2 
Bài 6.3 (Dạng 5). Lập các phương trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau : 1 a) 10 và 8 ; b) 10 và 8  ; c) 3 và ; 4 3 2 d)  và  ; e) 2  3 và 2  3 ; 4 3
Bài 6.4 (Dạng 2). Phương trình 2
3x  7x m  0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và tìm nghiệm còn lại. Bài 6.5 (Dạng 2). a) Phưong trình 2
0,1x x k  0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số k và tìm nghiệm còn lại. 1 b) Phương trình 2
15x bx 1  0 có một trong các nghiệm bằng . Xác định số b và tìm nghiệm 3 còn lại.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 111
Bài 6.6 (Dạng 8). Cho phương trình 2
: x  (m 1)x m  0   1
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm. Tìm nghiệm của (1) ; b) Tìm m để 2 2
x x đạt giá trị nhỏ nhất nếu x , x là các nghiệm của (1). 1 2 1 2
Bài 6.7 (Dạng 7). Cho phương trình 2
2x  (2m 1)x m 1  0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt   1 x , 2
x thoả điều kiện 3x 4x 11; 1 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều âm ;
c) Tìm một hệ thức giữa 1 x , 2
x không phụ thuộc vào m .
Bài 6.8 (Dạng 7). Xác định K để phương trình sau có nghiệm  1 x , 2 x thoả x 2x . 1 2 a) 2
x  6x K  0 ; b) 2
x Kx  8  0 .
Bài 6.9 (Dạng 7). Xác định K để phương trình 2
x  2x K  0 có hai nghiệm x , x thỏa một trong 1 2 các điều kiện sau: a) 2 2
x x  12 ; b) 2 2 x x  1. 1 2 1 2
Bài 6.10 (Dạng 9). Giả sử x , x là nghiệm phương trình : 2
x  (m  3)x  2m 1  0. Tìm hệ thức giữa 1 2
x , x không phụ thuộc . m 1 2
Bài 6.11(Dạng 6). Cho phương trình 2 2
: x  2(m 1)x m  3m  0 .
a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu ;
b) Định m để phương trình có đúng một nghiệm âm ;
c) Định m để phương trình có một nghiệm bằng 0. Tìm nghiệm còn lại ;
d) Tìm hệ thức giữa các nghiệm x , x không phụ thuộc m ; 1 2
e) Định m để phương trình có hai nghiệm thoả : 2 2 x x  8. 1 2
Bài 6.12 (Dạng 6). Cho phương trình 2
: (m  4)x  2(m  2)x m 1  0 . Định m để phương trình có
hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 112
BÀI 7. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Phương trình trùng phương : 4 2
ax bx c  0 a  0. Đặt 2
t x (t  0) ta được phương trình bậc hai 2
at bt c  0 .
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.
Thực hiện các bước sau：
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình ;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức ;
Buớc 3. Giải phương trình vừa nhận được ;
Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các
giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. 3. Phương trình tích :
- Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0. - Giải phương trình tích. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG 4 2
ax bx c  0 (a  0) Phương pháp giải: Đặt 2
t x (t  0) đưa về phương trình bậc hai: 2
at bt c  0
Ví dụ 1. (Bài 34, tr. 56 SGK) Giải các phương trình trùng phương: a) 4 2
x 5x  4  0 ; b) 4 2
2x 3x  2 0; c) 4 2
3x 10x  3 0
Ví dụ 2. (Bài 37, tr. 56 SGK) Giải các phương trình trùng phương: a) 4 2
9x 10x 1 0 ; b) 4 2 2
5x  2x 1610  x ; 1 c) 4 2
0,3x 1,8x 1,5  0 d) 2 2x 1   4 . 2 x
DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Phương pháp giải
Xem phần tóm tắt lý thuyết.
Ví dụ 3. (Bài 35, tr. 56 SGK) Giải các phương trình
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 113
x  3x 3 x  2 6 a)
 2  x1 x ; b)  3  ; 3 x  5 2  x 2 4 x x  2 c)  .
x 1  x   1  x  2
Ví dụ 4. (Bài 38, tr. 56 SGK) Giải các phương trình
a)  x  2   x  2 3 4  23  3x ;
b) x x   x  2 3 2  x   2 2 3 1 x  2; c)  x  3 2  x x 2 1 0,5 x 1,5 ; x x  7 x x  4 d) 1   ; 3 2 3 14 1 e)  1 ; 2 x  9 3  x 2 2x x x  8 f)  .
x 1  x   1  x  4
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH Phương pháp giải A  0 . A B  0   B  0
Ví dụ 5. (Bài 36, tr. 56 SGK) Giải các phương trình: a)  2
x x   2 3 5 1 x  4  0 ; 2
b)  x x    x  2 2 2 4 2 1  0 .
Ví dụ 6. (Bài 39, tr. 57 SGK) Giải các phương trình bằng cách đưa về phương trình tích. a)  2 x x   2 3 7 10  2x  
11 5x 53 0  ; b) 3 2
x  3x  2x  6  0 ; 2 c)  2 x    x   2 1 0,6
1  0,6x x ; 2 2 d)  2
x x     2 2 5
x x  5 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 114
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp giải
- Đặt điều kiện để phương trình xác định (nếu có).
- Đặt ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn mới.
- Trở về ẩn ban đầu và xác định tập nghiệm.
Ví dụ 7. (Bài 40, tr. 57 SGK) Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ. 2 a)  2
x x   2 3
2 x x 1 0;
b)  x x  2 2 2 2 4
2  2x  4x  4  0 ;
c) x x  5 x  7 ; x x 1 d) 10.  3. x 1 x
Hướng dẫn. a) Đặt 2
t x x ta có phương trình 2
3t  2t 1  0 . Giải phương trình này, ta tìm đươc hai
giá trị của t . Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức 2
t x x , ta được một phương trình
ẩn x . Giải mỗi phương trình này ta sẽ tìm được giá trị của x .
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA CÓ MỘT NGHIỆM CHO TRƯỚC Phương pháp giải Phương trình bậc ba: 3 2
ax bx cx d  0 a  0 có một nghiệm x  
Bằng phép chia đa thức (Hoặc dùng sơ đồ Horner) phân tích vế trái thành: để đưa phương trình về dạng tích:     x x   2
ax b x c  0  1 1   2
ax b x c  0  1 1
Giải phương trình bậc hai 2
ax b x c  0 ta được các nghiệm khác ngoài nghiệm x   của phương 1 1 trình bậc ba. Sơ đồ Horner:
Chia đa thức P xn n 1
a x a x   ....  a x a cho x   ta có: 0 1 n 1  n
P x   x   n 1  n2 b xb x  .... bb 0 1 n 1   n
Sơ đồ xác định b : i
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 115 a a a ... a 0 1 2 nb b b ... b 0 1 2 n
Với b a và b  b a i  1, 2,...., n i i 1  1   0 0
Ví dụ 8: Giải các phương trình: a) 3 2
x  6x  1 1x  6  0   1 b) 3 2
x  5x  7x  2  0  2
Ví dụ 9: Xác định m để phương trình: 3 x  2m  3 2 x   2 m  2m  2 2
.x  m  0 có ba nghiệm phân biệt
DẠNG 6: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở MẪU Phương pháp giải
 Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
 Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu thức
 Giải và biện luận phương trình bậc hai
Kiểm tra điều kiện và kết luận 2 2x x m
Ví dụ 10. Giải và biện luận phương trình:   2 2 x  m x  m 4x  4m
DẠNG 7 : TÌM THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM SỐ Phương pháp giải
 Cho phương trình trùng phương: 4 2
ax  bx  c  0 a  0 Đặt 2
X  x X  0 ta có phương trình: 2 a X  bX  c  0   1
 Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt khi 1 có hai nghiệm dương phân biệt, khi   0 
đó giải hệ sau theo m : S   0 P  0 
 Phương trình trùng phương vô nghiệm khi 1 vô nghiệm hoặc 1 có hai nghiệm âm
Phương trình trùng phương có hai nghiệm trái dấu  P  0
Ví dụ 11: Cho phương trình: 4 2 2 x  2(m 1)x  m 
0 (1) tìm mđể phương trình:
a) Có 4 nghiệm phân biệt b) Vô nghiệm
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 116
c) Có 3 nghiệm phân biệt
DẠNG 8. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN DẠNG x  a x  bx  cx  d  m VỚI a  b  c  d Phương pháp giải
Phương trình được viết thành: 2      2 x
a b x  ab  x  c  d x  cd m      đặt 2
t  x  a  b x ta được phương trình bậc hai:
t  abt  cd  m
giải tìm t , từ đó tìm x bằng cách giải phương trình: 2
x  a  b x  t  0
Ví dụ 12. Giải phương trình : x  
1 x  5x  3x  7  297.
Ví dụ 13: Cho các số a, b,c,d, m thoả mãn đk: a  d  b  c v à ad  bc  2m
Giải phương trình:          2 x a x b x c x d  m  0
DẠNG 9: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG   4    4 x a x b  c Phương pháp giải a  b a  b Đặt t  x   x  t  2 2 4 4  a  b   a  b 
Phương trình trở thành: t   t   c      2   2 
Khai triển và rút gọn ta được phương trình trùng phương đối với t Chú ý đẳng thức: 4 4 3 2 2 3 4
(x  y)  x  4x y  6x y  4xy  y
Ví dụ 14: Giải phương trình:   4 4 x 3  (x  5)  2
DẠNG 10: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 4 3 2 2
ax  bx  c  kbx  k a  0(ka  0) Phương pháp giải:
x  0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế phương trình cho 2 x ta được: 2  k   k 2  a x     b x   c  0 2    x   x  2 2 k k k Đặt 2 2 2 2 t  x   t  x   2k  x   t  2k 2 2 x x x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 117
Ta có phương trình bậc hai:  2
a t  2k  bt  c  0
Ví dụ 15: Giải phương trình: 4 2
x  4  5x(x  2)   1
DẠNG 11. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC Phương pháp giải
Áp dụng một trong các phương pháp:
- Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ
- Đặt điều kiện rồi bình phương hai vế khi hai vế đều dương
Chú ý: Sau khi đã tìm được nghiệm cần phải kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm thích hợp.
Ví dụ 16. Giải phương trình: x  5  x  7
Ví dụ 19: Giải phương trình : 3x  7  x 1  2
DẠNG 12: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải
Áp dụng một trong các phương pháp sau:
Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ
Bỏ giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa: x nÕu x  0 x   x nÕu x  0
Chú ý: Chọn nghiệm thích hợp với điều kiện đã được đặt ra trong quy trình giải
Ví dụ 18: Giải phương trình: 2
x  x 1  2x 1 1 C. LUYỆN TẬP
7.1 (Dạng 1) Giải các phương trình trùng phương sau: 4 2 7 a) 4x  8x 12  0 4 2 b) 5x  3x   0 4 2 c) 12x  5x  30  0 4 2 d) 8x  x  7  0 16
7.2 (Dạng 2) Giải các phương trình sau: 2x  5 3x 4x x 1 a)  b)  x 1 x  2 x  2 x  2 2x 5 5 1 3 1 c)   d)   1 2 x  2 x  3 x  5x  6 2 3x  27 4 x  3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 118
7.3 (Dạng 3) Giải các phương trình sau: 2 2
a) (4x  25)(2x  7x  9)  0 2 2 2
b) (2x  3)  4(x 1)  0 2 2
c) 2x(3x 1)  9x 1  0 3 2 d) x  3x  x  3  0
7.4 (Dạng 5) Xác định m để phương trình bậc ba 3 2
6x  7x 16x  m  0 có một nghiệm là 2 . Tìm các nghiệm còn lại
7.5 (Dạng 8,9) Giải các phương trình sau 3 2
a) x  5x  7x  3  0 b) x(x 1)(x  2)(x  3)  24 4 4
c) (x 1)  (x  3)  0 4 2 d) x  9  5x(x  3)
7.6 (Dạng 5) Định m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 3 2
x  (2m 1)x  3(m  4)x  m 12  0
7.7 (Dạng 8) Định m để các phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: 2
a) (x 1)(x  3)(x  5)  m 4 2 2
b) x  (2m 1)x  m  0
7.8 (Dạng 11) Giải các phương trình sau 2 a) 3x 14 | x | 5   0 2 2
b) x  x  3x  5  3x  7 c) x  2  x  6  2
7.9(Dạng 10) Giả sử phương trình 4 3 2
x  ax  bx  ax 1  0 có nghiệm. Chứng minh rằng 2 a  4b 8 2 2 2 x  y  z  27
7.10 Giải hệ phương trình  xy  yz  zx  27 2 2 2 x  y  z 12
7.11 Giải hệ phương trình x yz  6
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 119
BÀI 8 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A.
TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Bước 1: Lập phương trình a)
Chọn ẩn số và nêu điều kiện thích hợp của ẩn số; b)
Biểu thị các dữ kiện chưa biết qua ẩn số; c)
Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Đối chiếu nghiệm của phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số và với đề bài để trả lời. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: TOÁN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ Phương pháp giải
Tổng hai số x, y là x y
Tổng bình phương hai số x, y là 2 2 x y 1 1
Tổng nghịch đảo của hai số x, y là  x y
Ví dụ 1. (Bài 41, tr.58 SGK)
Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho
hai số này hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?
Ví dụ 2 (Bài 44 tra.59/ SGK)
Đố: Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của
nó bằng một nửa đơn vị.
Trả lời: Số phải tìm bằng 1 hoặc 2
Ví dụ 3: (Bài 45, tr.59/SGK) Tích
của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
DẠNG 2: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp giải:
Gọi s là quãng đường đi được trong thời gian t với vận tốc là v thì ta có công thức s  . v t
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 120
Ví dụ 4: (Bài 43, tr.58 SGK)
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường song dài 120 km.
Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về , xuồng đi theo đường khác dài hơn
đường lúc đi 5 km với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết
rằng thời gian về bằng thời gian đi.
Ví dụ 5: (Bài 47, tr.59 SGK) Bác
Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một
lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước
cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
DẠNG 3: TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC Phương pháp giải
Đưa về năng suất làm việc: 1
Nếu đội nào đó làm xong toàn bộ công việc trong x ngày thì trong 1 ngày đội đó làm được công x việc
Ví dụ 7: (Bài 49, tr.59 SGK) Hai
đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm
riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm
trong bao nhiêu ngày để xong việc?
DẠNG 4: TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC
Ví dụ 8. (Bài 46, tr.59 SGK)
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 2
m . Nếu tăng chiều rộng lên 3m và giảm chiều
dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất?
Ví dụ 9: (Bài 48, tr.59 SGK)
Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5dm để làm
thành một cái thùng không nắp có dung tích 1500 2
dm (H.15). Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc
đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 121 5dm 5dm 5dm 5dm
Ví dụ 10. (Bài 53, tr.60 SGK)
Tỉ số vàng. Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn
với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn. Hãy tìm tỉ số ấy.
Đó chính là bài toán mà Ơ-clit đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được
gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay là phép chia hoàng kim. A M B
Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.
DẠNG 5: CÁC DẠNG KHÁC
Ví dụ 11: (Bài 42, tr.58 SGK) Bác
Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn 1 năm. Lẽ
ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một
năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm
bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?
Ví dụ 12: (Bài 50, tr. 59 SGK)
Miếng kim loại thứ nhất nặng 880g, miếng kim loại thứ 2 nặng 858g. Thế tích của miếng thứ
nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 3
cm , nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn
hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 3
g / cm . Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại?
Ví dụ 13. (Bài 5, tr.59 SGK)
Người ta đổ thêm 200g nước vào một dung dịch chứa 40g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi
10%. Hỏi trước khi đó đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước? C. LUYỆN TẬP
8.1 (Dạng 1) Tìm hai số biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu bình phương của chúng bằng 119.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 122
8.2 (Dạng 2) Một ca nô đi xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km. Biết rằng thời gian đi xuôi dòng lâu
hơn thời gian đi ngược dòng là 1 giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là 6km/h. Tính vận
tốc ca nô lúc ngược dòng.
8.3 (Dạng 3) Hai đội cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian
tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung thì công việc hoàn thành trong 6 giờ.
Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu?
8.4 (Dạng 4) Một đa giác lồi tất cả 170 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
8.5 (Dạng 5) Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi
hai dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế
và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người ngồi?
8.6 (Dạng 5) Một phòng học có một số dãy ghế tổng cộng 40 chỗ ngồi. Do phải xếp 55 chỗ nên người
ta kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy ghế thêm 1 chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong phòng?
8.7 (Dạng 3) Nếu mở cả hai vòi chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng
từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi
vòi chảy bao lâu đầy bể?
8.8 (Dạng 5) Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn
0,2g/cm3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 0,7g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 123 .ÔN TẬP CHƯƠNG IV
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Hàm số 2
y ax (a  0) a  0 a  0 y y x O x O
 Hàm số đồng biến khi x  0 , nghịch biến khi x  0
 Hàm số đồng biến khi x  0 , nghịch biến
y  0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt khi x  0 .  được khi x  0
y  0 là giá trị lớn nhất của hàm số, đạt được khi x  0
2. Phương trình bậc hai 2
ax bx c  0(a  0) 2
  b  4ac  2
  b '  ac
   0 , phương trình có hai nghiệm phân
 '  0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: biệt: b   b   b '  ' b '  ' x  ; x x  ; x  1 2a 2a 1 a 2 a
   0 , phương trình có nghiệm kép:
 '  0, phương trình có nghiệm kép: b   b '   2a a
   0 , phương trình vô nghiệm
 '  0 , phương trình vô nghiệm
3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng b x x    1 2  
Nếu x , x là hai nghiệm của phương trình 2
ax bx c  0(a  0) ) thì a 1 2  cx .x  1 2  a
 Muốn tìm hai số u và v , biết u v S;uv P , ta giải phương trình:  c
Nếu a  b c  0 thì phương trình 2
ax bx c  0(a  0) có hai nghiệm x  1; x  1 2 ac
Nếu a b c  0 thì phương trình 2
ax bx c  0(a  0) ) có hai nghiệm x  1  ; x   1 2 a
B. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK 1 1
Bài 54. Vẽ đồ thị của hai hàm số 2 y x và 2
y   x trong cùng một hệ trục tọa độ. 4 4 1
a) Qua điểm B(0; 4) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số 2
y x tại hai 4
điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 124 1
b) Tìm trên đồ thị hàm số 2
y   x điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với 4
M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ
- Tính toán theo công thức.
Bài 55. Cho phương trình 2
x x  2  0 a) Giải phương trình.
b) Vẽ hai đồ thị hàm số 2
y x và y x  2 trong cùng một hệ trục tọa độ.
c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Bài 56. Giải các phương trình: a) 4 2
3x 12x  9  0 b) 4 2
2x  3x  2  0 c) 4 2
x  5x 1  0
Bài 57. Giải các phương trình: 2 x 2x x  5 x 10  2x a) 2
5x  3x 1  2x 11 b)   c)  5 3 6 2 x  2 x  2x x  0,5 7x  2 d)  e) 2
2 3x x 1  3(x 1) f) 2
x  2 2x  4  3(x  2) 2 3x 1 9x 1
Bài 58. Giải các phương trình: a) 3 2
1, 2x x  0, 2x  0; b) 3 2
5x x  5x 1  0
Bài 59. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: 2 æ 1ö æ 1ö a) 2 2 2
2(x  2x)  3(x  2x) 1  0 b) ççx ÷ + ÷ -4ççx ÷ + ÷+3 = 0 ç è x÷ø çè x÷ø
Bài 60. Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia: 1 a) 2
12x  8x 1  0, x  b) 2
2x  7x  39  0; x  3  1 2 1 c) 2
x x  2  2  0, x   2 d) 2
x  2mx m 1  0, x  2 1 1
Bài 61. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 125
a) u v  12;uv  28 và u v ; b) u v  3;uv  6
Bài 62. Cho phương trình 2 2
7x  2(m 1)x m  0
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai
nghiệm của phương trình.
Bài 63. Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi
trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Bài 64. Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhung bạn Quân
nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là
120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
Bài 65. Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quãng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình
SƠn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga
chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900 km.
Bài 66. Cho tam giác ABC có BC 16 cm, đường A
cao AH  12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh
M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai
đỉnh P và Q thuộc cạnh BC. Xác định vị trí của điểm M
M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật N bằng 36 cm2. B C Q H P C. LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho phương trình 2
2x  2m  
1 x m 1  0 .
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thoả mãn điều kiện 3x  4x 11 ; 1 2 1 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều dương
c) Tìm một hệ thức giữa x , x không phụ thuộc vào m. 1 2
Bài 2. Cho phương trình 2
ax  a b   2
1 x m 1  0
a) Với a  1,b  2 chứng minh rằng khi đó phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. Tìm m để tổng
bình phương hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất và tìm nghiệm trong trường hợp này.
Bài 3. Giả sử x , x là nghiệm của phương trình 2
ax bx c  0 (a  0) và x , x là nghiệm của 1 2 3 4 phương trình 2
cx bx a  0 , với a, c cùng dấu. Với điều kiện nào của a, c thì biểu thức
M x x x x đạt giá trị nhỏ nhất? 1 2 3 4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 126
Bài 4. Cho a, b ,c là ba số khác nhau và c  0 . Chứng minh rằng nếu các phương trình 2
x ax bc  0 và 2
x bx ac  0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là
nghiệm của phương trình : 2
x cx ab  0
Bài 5. Định m để phương trình sau có nghiệm: 2 2
x  2x m x 1  m  0
Bài 6. Gọi x , x là nghiệm của phương trình 2
x px q  0 . Lập phương trình bậc hai có hai 1 2 x x nghiệm là 1 2 , x 1 x 1 2 1
Bài 7. Cho hai phương trình: 2
ax bx c  0 và 2
ax bx c  0 (a  0) .
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm;
b) Tìm điều kiện để cả hai phương trình cùng có nghiệm;
c) Giả sử x , x là nghiệm của 2
ax bx c  0 và x , x là nghiệm của 2
ax bx c  0 , chứng minh 1 2 3 4
rằng:  x x 2   x x 2  2 x x 2 1 2 3 4 1 2
Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x  2 x  
1  x  2 1  0 (1) 2 x b) 2 x   3 (2) x  2 1
Bài 9. Giải các phương trình sau: 2 x 16 10  x 4  1 1 1 a) 4 3 2
x x  4x x 1  0 ; b)    c)   2   9 x 3  3 x
x x  2 x  2 1 12
Bài 10. Chứng minh rằng nếu phương trình 4 2
x ax b  0 có 4 nghiệm phân biệt thoả:
x x x x x x thì 2 9a  100b 2 1 3 2 4 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần
Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 127 toanthaycu.com
BÀI 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: 2 2
b ab ; c ac   1 2 h b c   2 bc ah 3 1 1 1   4 2 2 2 h b c B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông (hoặc hai cạnh góc vuông), tính các hình
chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và ngược lại
1. Phương pháp giải:
Vận dụng hệ thức   2 2
1 : b ab ; c ac
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Bài 1, tr. 68 SGK) Hãy tính x và y trong mỗi hình sau:
Ví dụ 2: (Bài 12, tr. 11 SGK)
Tìm x và y trong hình 3.
Ví dụ 3: (Bài 5, tr. 69 SGK)
Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh
huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 128 toanthaycu.com
Ví dụ 4: (Bài 6, tr. 69 SGK)
Đường cao của tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy
tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
3. Bài tập áp dụng AB 5
Bài tập 1. Tìm x và y trong hình biết BC 13 và  . AC 12
Bài tập 2. Tìm x và y trong hình.
Bài tập 3. Tìm x và y trong hình.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 129 toanthaycu.com
Dạng 2. Các bài toán liên quan đến độ dài đường cao ứng với cạnh huyền
1. Phương pháp giải
Vận dụng các hệ thức   2
2 : h b 'c ', 3 : ha bc .
2. Ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Tìm ,
x y trong hình vẽ 5 x 7 y Ví dụ 2. Tìm , x y trong hình vẽ y 2 1 x
Ví dụ 3: Người ta đưa hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a,b như trong hai hình sau: x a a b O O b Ví dụ 4: Tìm ,
x y trong hình vẽ x 16 y x 2 x 12 x 4 9 y y
Dạng 3. Các bài toán liên quan đến tổng các nghịch đảo bình phương của hai đoạn thẳng
1. Phương pháp giải 1 1 1 Vận dụng hệ thức   . 2 2 2 h b c
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 2. (Bài 9, tr.70 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 130 toanthaycu.com Cho hình vuông ABC .
D Gọi I là một điểm nằm giữa A và .
B Tia DI và tia CB cắt nhau ở K.
Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI.Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại I. Chứng minh rằng:
a). Tam giác DIL là một tam giác cân; 1 1 b). Tổng 
không đổi khi I thay đổi trên cạnh . AB 2 2 DI DK C. LUYỆN TẬP
Bài 1. Tính x và y trong mỗi hình sau: Hình 14 Hình 15
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao CB và CB , cắt nhau tại H . Trên HB và HC lần
lượt lấy các điểm M và N sao cho     90 .o AMC ANC
Chứng minh rằng AM AN. AB 20
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết 
và AH  420 . Tính chu vi AC 21 của tam giác ABC.
Bài 4. Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết
AB  2 13 ; OA  6 . Tính diện tích hành thang.
Bài 5. Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết khoảng cách từ O tới mỗi cạnh 1 1 1
của hình thoi là h. Biết rằng: AC  ;
m BD n . Chứng minh rằng:   . 2 2 2 m n 4h
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 131 toanthaycu.com
BÀI 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa: Cho góc nhọn  cạnh đối cạnh kề sin ; cos cạnh huyền cạnh huyền cạnh đối cạnh kề tan ; cot cạnh kề cạnh đối
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotang góc kia.
sinB  cosC ; cosB  sinC
tanB  cotC ; cotB  tanC.
3. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt  Tỉ số 0 30 0 45 0 60 lượng giác 1 sin 2 3 2 2 2 cos 1 3 2 2 2 2 tan 3 1 3 3 3 cot 3 1 3 B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Viết các tỉ số lượng giác của một góc cho trước
1. Phương pháp giải:
Dựng một tam giác vuông có một góc nhọn là  sau đó viết các tỉ số lượng giác theo định nghĩa.
2. Ví dụ minh họa.
(Bài 10, tr. 76 SGK). Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 0
34 rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 0 34 .
Dạng 2. Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong một tam giác vuông biết độ dài các cạnh
1. Phương pháp giải
Dựng một tam giác có hai cạnh là m và n ( m và n là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc
vuông và cạnh huyền ) rồi vận dụng định ngĩa của các tỉ số lượng giác để nhận ra góc 
2. Ví dụ minh họa.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 132 toanthaycu.com
Ví dụ 1: (Bài 11, tr. 76 SGK) Cho tam giác ABC vuông tai C , trong đó BC  1, 2 m . Tính các
tỉ số lượng giác cua góc B , từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  8 cm, AC  15 cm . Tính tỉ số lượng giác của góc
C , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc B . Hướng dẩn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác A C vuōng tại A ta có: 2 2 2 2 2
BC  AB  AC  8 15  289 Vậy BC  289  17( cm) Ta có: AB 8 sin C   BC 17 AC 15 cosC   BC 17 AB 8 AC 15 tanC   ; cot gC   . AC 15 BC 8 Do  B và 
C là hai góc phụ nhau (tức tổng hai góc bằng 90 ) Nên ta suy ra: AB 8 AC 15
sin C  cos B  
;cosC  sin B   BC 17 BC 17 AB 8 AC 15 tanC  cot gB   ;cot gC  tan B   AC 15 BC 8
Dạng 3. Biến đổi tỉ số lượng giác của một góc nhọn thành tỉ số lượng giác của một góc nhỏ
hơn ( hoặc lớn hơn 45 độ)
1. Phương pháp giải
Dựng một tam giác có hai cạnh là m và n ( m và n là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc
vuông và cạnh huyền ) rồi vận dụng định ngĩa của các tỉ số lượng giác để nhận ra góc 
2. Ví dụ minh họa. Ví dụ 1.
(Bài 12, tr. 76 SGK) Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác
của các góc nhỏ hơn 45 :    '
sin 60 ;cos75 ;sin 52 30 ;cot 82; tan80 Ví dụ 2.
Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45 : os32 ; 7 sin 42;c t o 27 c 36' m
Dạng 4. Dựng góc biết một tỉ số lượng giác là n
1. Phương pháp giải
Dựng một tam giác có hai cạnh là m và n ( m và n là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc
vuông và cạnh huyền ) rồi vận dụng định ngĩa của các tỉ số lượng giác để nhận ra góc 
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 13, tr. 77 SGK) Dựng góc nhọn , biết rằng:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 133 toanthaycu.com 2 a). sin  ; b). cos  0,5 ; 3 3 3 c). tan  ; d). cot  . 4 2
Dạng 5. Chứng minh một số hệ thức lượng giác
1. Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác và nếu cần thì dung thêm mối quan hệ giữa các cạnh
trong một tam giác vuông.
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. ( Bài 14, tr. 77 SGK)
Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng : Với góc nhọn  tùy ý, ta có: sin cos a) tan  ; cot  ; tan.cot  1. cos sin b) 2 2 sin   cos   1 .
Gợi ý: sử dụng định lí Pi-ta-go.
Dạng 6. Tính độ dài một cạnh trong tam giác vuông biết một góc và một cạnh
1. Phương pháp giải canh doi
Sử dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác, chẳng hạn sin   canh huyen
 cạnh đối = cạnh huyền . sin .
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 16, tr 77 SGK)
Cho tam giác vuông có một góc 60 và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60 . 
Ví dụ 2. (Bài 17, tr. 77 SGK). Tìm x trong Hình 25. Hình 25
Dạng 7. Biết sin hoặc cosin của một góc, tìm các tỉ số lượng giác khác của góc đó ).
1. Phương pháp giải
Vận dụng các hệ thức lượng giác cơ bản ở bài 14 (ví dụ 5).
2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Bài 15, tr. 77 SGK)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cos B  0,8 , hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.
Gợi ý: Sử dụng bài tập 14. 7
Ví dụ 2: Cho sin 
. Tìm cos; tg và cotg . 25
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 134 toanthaycu.com Hướng dẫn giải 2 7 49 576 Ta có: 2 2 2 2 sin  cos  1 cos  1 sin          1 1     25  625 625 576 24
Do  là góc nhọn nên cos  0 Hay nói cách khác: cos   625 25 7 sin 7 Ta có: 25 tg    . cos 24 24 25
Dạng 8. Một số hệ thức lượng giác khác.
1. Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác và hệ thức cơ bản 2 2 sin   cos   1
2. Ví dụ minh họa.
Vi du 1. Chimg minh các hệ thửc: 1 a) 2 1 tan   2 cos  1 b) 2 1 cot   2 sin 
Dạng 9. Biết tang hoặc cotang của một góc, tìm các tỉ số lượng giác của góc khác
1. Phương pháp giải 1 1 Sử dụng hệ thức 2 1 tan   hoặc 2 1 cot  
để tìm cos và sin  2 cos  2 sin 
2. Ví dụ minh họa. 5
Ví dụ 1. Biết tan 
hãy tìm sin và cos . 12 8
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A, AB  30( cm), tan B  . 15 a. Tính AC, BC .
b. Tính sin B,cos B,cot gB . Hướng dẫn giải
a. Trong tam giác vuông ABC ta có: AC 8 AC 8 30.8 tg B  
mà AB  30( cm) nên ta có:   AC  16( cm) AB 15 30 15 15
Theo định li Pitago ta lại có 2 2 2 2 2
BC  AB  AC  30 16  1156 tir đây suy ra : BC  34( cm)
b. Theo định nghĩa ta có các ti số lượng giác của các góc là:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 135 toanthaycu.com AC 16 sin B    0, 4706 BC 34 AB 30 cos B    0,8824 BC 34 AB 30 tg B   1,875. AC 16 C. LUYỆN TẬP
Bài 2.1 (Dang 3). Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính nhanh giá trị biểu thức sau : a) 2 0 2 0 2  2 0
M  cos 15  cos 25  cos 35  cos 45 2  2  2 cos 55 cos 65 cos 75    b) 2  2  2  2 N sin 10 sin 20 sin 30 sin 40     2  2  2 sin 50 sin 70 sin 80   
Bài 2.2 ( Dạng 5) cho góc nhọn  . Chứng minh rằng : sin  tan và cos  cot.
Bài 2.3. Cho biết cos  0, 4 , hãy tìm sin; tan;cot . 1
Bài 2.4 Cho góc nhọn  . Biết rằng cos  sin  . Hãy tính cot . 5 5
Bài 2.5. ( Dạng 3 và 7) Cho tam giác ABC vuông tại C . Biết cos C  , tính tan B . 13
Bài 2.6. ( Dạng 8) Chứng minh: cos 1 sin a). 1 sin cos 2 2
(sin  cos)  (sin  cos) b).  4 sin cos 8
Bài 2.7. Biết cot  Tính sin và cos 15
Bài 2.8. Cho tam giác nhọn ABC . Gọi a,b, c là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh , A B,C . a b c
a). Chứng minh rằng:   . sin A sin B sin C
b). Có thể sảy ra đẳng thức: sin A  sin B  sin C không?
Bài 2.9. Cho tam giác nhọn ABC , A  30 . Hai đường cao CH và BK . Chứng minh rằng: S  3S . AHK BCHK
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 136 toanthaycu.com
BÀI 3. BẢNG LƯỢNG GIÁC
Hướng dẫn sử dụng trên dòng máy 580VN X
1. Tìm tỉ số lượng giác của một góc nhọn cho trước
Ví dụ 1: Tính sin 60, os45 c ,tan 30, cot 60 .
Hướng dẫn thực hành
Bước 1: Chuyển sang chế độ đơn vị độ bằng cách ấn phím SHIFT ET S UP 2 1 Bước 2: Tình sin 60 os45 c  tan 30 cot 60 .  Lưu ý:  1
Trong máy tính không có phím cot . Muốn tính cot ta ấn  tan  
 cot  cos . cot là giá trị lượng giác của cotang, còn cos là giá trị lượng giác của cosin
2. Tìm số đo của góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác của góc đó
Ví dụ: Tìm góc nhọn x khi biết 1 2 a) sin x  ; b) cos x  ; c) tan x  1  ; d)cot x  3. 2 2
Hướng dẫn thực hành
Bước 1: Chuyển sang chế độ đơn vị độ bằng cách ấn phím SHIFT ET S UP 2 1 Bước 2: Tính 1 tan x  1  sin x  2 cot x  3 cos x  2 2 1   1 SHIFT sin  2 SHIFT tan 1 SHIFT cos  SHIFT tan  2 2 3 Vậy x  30 Vậy x  45 Vậy x  45   Vậy x  30 Lưu ý:
 Trong máy tính không có phím cot . Muốn tính cot x a ta ấn 1 SHIFT tan  a
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 137 toanthaycu.com
BÀI 4. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Các hệ thức
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. A c b B a C Hình 27
2. Giải tam giác vuông
Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố ( trong đó có ít nhất
một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông). B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. GIẢI TAM GIÁC VUÔNG Phương pháp giải
Dùng hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông và dùng bảng lượng giác hoặc
máy tính để tính các yếu tố còn lại.
Ví dụ 1. (Bài 27, tr 88 SGK)
Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng: a)  b  10cm, C  30 ;  b)  c  10cm, C  45 ;  c)  a 2 0cm, B 35   ; d) c  21cm, b  1 8cm .
Ví dụ 2: Giải tam giác vuông ABC vuông tại A biết rằng : a.  0
a  72 cm, B  58 b.  0 b  20 cm, B  48 c.  b 15 cm,C 30  
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 138 toanthaycu.com Hướng dẫn giải a. Ta có:    A B C 180    Do đó:  0     0 C 180 A B 180 90 58 32       
Áp dụng tỉ số lượng giác ta được:  AC  sin B AC BC sin B 72 sin 58        61, 2( cm) BC
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go ta có: 2 2 2 BC  AB  AC 2 2 2 2 2
 AB  BC  AC  72  61, 2 1438,56 b. Ta có:    a A  B  C  180 Do đó: ˆ  ˆ ˆ C 180
A B 180 90 48 42       
Áp dung ti số lượng giác ta được: AC AC 20 20 ˆ sin B   BC     27( cm) 0 BC ˆ sin B sin 48 0.74
Áp dung định lý Pi-Ta-Go ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2
BC  AB  AC  AB  BC  AC  27  20  329
Do đó: AB  329  18,14( cm) . c)    Tacó : A B C 180    Do đó:     B 180 A C 180 90 20 70         
Áp dụng ti số lương giác ta được: AC AC 15 ˆ cosC   BC    15,96( cm) BC ˆ cos C 0.94
Ap dụng định lý Pi-Ta-Go ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2
BC  AB  AC  AB  BC  AC  15,96 15  29,72
Do dó: AB  29,72  5, 45( cm)
Dạng 2. TÍNH CẠNH, TÍNH GÓC CỦA TAM GIÁC Phương pháp giải
Vẽ thêm một đường cao để vận dụng hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 139 toanthaycu.com
Ví dụ 1. (Bài 30, tr.89 SGK) Cho tam giác , ABC trong đó  BC 11c , m ABC  38 ,
ACB 30 . Gọi điểm N là chân
đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh . BC Hãy tính: a) Đoạn thẳng AN; b) Cạnh . AC
Ví dụ 2. (Bài 31, tr.89 SGK) Trong hình 33:   AC  8 , cm AD  9,6 , cm ABC  90 ,
ACB  54 và  ACD  74 .  Hãy tính: a) Đoạn thẳng ; AB b)  AD . C
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Phương pháp giải
Dùng hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông.
Ví dụ 1: ( bài 26, tr88 SGK)
Các tia nắng Mặt Trời tạo với mặt đất một góc xấp xĩ bằng 34 và bóng của một tháp trên
mật đất dài 86 m . Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 140 toanthaycu.com
Ví dụ 2: (Bài 28, tr89 SGK)
Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia
sáng Mặt Trời tạo với mặt đất (góc  như trong hình 35).
Ví dụ 3: (Bài 29, tr89 SGK)
Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chéo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên
phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy đò lệch đi một
góc bao nhiêu độ? (góc  trong hình 36).
Ví dụ 4: (Bài 32, tr89 SGK)
Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5
phút.Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 0
70 .Từ đó ta đã tính được
chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có hãy tính kết quả (làm tròn đến mét). C. LUYỆN TẬP
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 141 toanthaycu.com
Bài 4.1 (Dạng 1) Giải tam giác vuông ABC, biết   90 A và: a) a  15c ; m b  10c . m b) b  12c ; m c  7c . m
Bài 4.2 (Dạng 2) Tam giác ABC có     60 ;  50 B C
và AC= 35cm. Tính diện tích tam giác ABC (
làm tròn đến hàng đơn vị).
Bài 4.3 (Dạng 2) Tứ giác ABCD có     90 A D ,   40 C
. Cho biết AB = 4cm; AD = 3cm, tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 4.4 (Dạng 2) Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AC  4c ; m BD  5cm và   50 AOB
. Tính diện tích tam giác ABCD.
Bài 4.5 (Dạng 2) Chứng minh rằng:
a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các
đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi
các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
Bài 4.6 (Dạng 3) Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 0
28 và có độ cao là 2,1m. Tính độ
dài của mặt cầu trượt ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất ).
Bài 4.7 (Dạng 3) Hãy xác định độ cao của cột ăng- ten CH trong hình 38 với a  8,5m ; 0 0
  20 ;  24 (làm tròn đến hàng đơn vị ) C α β A a B H Hình 38
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 142 toanthaycu.com ÔN TẬP CHƯƠNG I
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SÁCH GIÁO KHOA
Bài 33. Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây :
a) Trong hình 39 sin bằng : 5 5 A) B) α 3 4 4 5 3 3 C) D) 5 4 3
b) Trong hình 40, sin Q bằng: Hình 39 PR PR A) B) P PS QR S PS SR C) D) SR QR R Q Hình 40 c) Trong hình 41, 0 cos30 bằng 2a a A) . B) . 3 3 3 C) . D) 2 2 3a . Hình 41 2
Bài 34. a) Trong hình 42 , hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng ? b b
A) sin  . B) cot  . c c a a
C) tan  . D) cot  . Hình 42 c c
b) Trong hình 43 , hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng? A) 2 2
sin   cos  1. B) sin  cos  . sin C)    0 cos
sin 90    D) tan  . cos
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 143 toanthaycu.com Hình 43
Bài 35. Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19 : 28 . Tìm các góc đó
Bài 36. Cho tam giác có một góc bằng 0
45 . Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần
20cm và 21cm . Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại. (lưu ý hai trường hợp hình 44 và hình 45 ). A A B 450 C B 450 C 20 21 H 21 20 H Hình 44 Hình 45
Bài 37. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.
b) Hỏi điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?
Bài 38. Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 47. Tính khoảng cách giữa
chúng (làm tròn đến mét). B A 150 500 I Hình 47 K
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 144 toanthaycu.com
Bài 39. Tính khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 48 (làm tròn đến mét). 5m Cọc D B A 20m Cọc 500 C E Hình 48
Bài 40. Tính chiều cao của cây trong hình 49 (làm tròn đến đềximét). B 350 A C 1,7m 30m Hình 49 H
Bài 41. Tam giác ABC vuông tại C có: A
AC  2cm ; BC  5cm ;  BAC x ;  ABC y . x
Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm x y : y 0 sin23 36'  0,4; 0 2cos66 24'  0,4 ; 0 tan21 48'  0,4. B C Hình 50
Bài 42. Ở một cái thang dài 3m người ta ghi: “Để đảm bảo an A A
toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ 0 60 đến 0
70 ”. Đo góc thì khó hơn đo độ
dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt 3 3
cách tường khoảng bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?
Bài 43. Vào khoảng năm 200 trước công nguyên, Ơ-ra-tô-xten, 700 600
một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được B C B C a) b)
“chu vi” của Trái Đất (chu vi đường xích đạo) nhờ hai quan Hình 51 sát sau:
1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng
các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là Át-xu-an), tức là
tia sáng chiếu thẳng đứng.
2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-xăng-đri-a cách Xy-en
800km , một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m .
Từ hai quan sát trên, em hãy thhh xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất.
(Trên hình 52, điểm S tượng trưng cho thành phố A – lếch – Hình 52
xăng – đri – a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 145 toanthaycu.com thẳng AB)
B. BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết HB 112 , HC  63. a) Tính độ dài cạnh AH b) Tính độ dài AD
Bài 2. Cho hình thang ABCD có   o
A  D  90 và hai đường chéo vuông góc tại O.
a) Chứng minh rằng hình thang này có chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy.
b) Cho AB  9 ; CD  16 . Tính diện tích hình thang ABCD.
c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA; OB; OC; OD
Bài 3. Tính diện tích hình thang ABCD ( AB / /CD ), biết: AB  10 ; CD  27 ; AC  12 và BD  35
Bài 4. Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120 (cm). Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8,15,17.
a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông.
b) Tính khoảng cách từ giao điểm của ba đường phân giác đến mỗi cạnh
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại AAB AC , đường cao AH . Ta đặt
BC a, AC b, AB c và AH h . Chứng minh rằng tam giác có các cạnh a  ;
h b c và h là một tam giác vuông.
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC, diện tích là 1. Vẽ ba đường cao AD, BE,CF. Chứng minh rằng: a) 2 2 2 SSS
 cos A  cos B  cos C AEF BFD CDE b) 2 2 2 S
 sin A  cos B  cos C DEF
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH . Biết A  48 ;
AH 13cm. Tính chu vi của
tam giác ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 146 toanthaycu.com
BÀI 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Đường tròn: Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi ( R > 0) là
đường tròn tâm O có bán kính R (h.54).
2. Ba vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O; R)
Vị trí tương đối Hệ thức
M nằm trên đường tròn (O) OM  R R
M nằm trong đường tròn (O) OM  R O M
M nằm ngoài đường tròn (O) OM  R Hình 54
3. Định lí về sự xác định một đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
4. Tính chất đối xứng của đường tròn
Đường tròn là hình có tâm đối xứng và có trục đối xứng: Tâm đối xứng là tâm đường tròn, trục đối
xứng là bất kì đường kính nào. B. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.
CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM THUỘC CÙNG MỘT ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp giải
Chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm. Ví dụ 1: (Bài 1, tr. 99 SGK)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm, BC=5cm. Chứng minh rằng bốn điểm
A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. DẠNG 2.
XÁC ĐỊNH TÂM CỦA ĐƯỜNG TRÒN ĐI QUA BA ĐIỂM Phương pháp giải
Tâm đường tròn đi qua 3 điểm A,B,C là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC. Ví dụ 2: (Bài 2, tr. 100 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 147 toanthaycu.com
Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng.
(1) Nếu tam giác có 3 góc nhọn
(4) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.
(2) Nếu tam giác có góc vuông
(5) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác.
(3) Nếu tam giác có góc tù
(6) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạnh lớn nhất.
(7) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạnh nhỏ nhất. Ví dụ 3: (Bài 3, tr. 100 SGK)
Chứng minh các định lí sau:
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam
giác đó là tam giác vuông. Ví dụ 4. (Bài 5, tr. 100 SGK)
Đố: Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó. DẠNG 3.
NHẬN BIẾT HÌNH CÓ TÂM ĐỐI XỨNG, TRỤC ĐỐI XỨNG Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất đường tròn có tâm đối xứng , trục đối xứng, hình chữ nhật có tâm đối xứng, trục đối xứng. Ví dụ 5. (Bài 6, tr 100 SGK)
Trong các biển báo giao thông sau, biển nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối xứng?
a) Biển cấm đi ngược chiều? (h.58)
b) Biển cấm ô tô đi? (h.59) Hình 58 Hình 59
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 148 toanthaycu.com DẠNG 4.
XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI MỘT ĐƯỜNG TRÒN CHO TRƯỚC Phương pháp giải:
Muốn xác định vị trí của điểm M đối với đường tròn  ;
O R ta so sánh khoảng cách OM với bán kính R. Ví dụ 6. (Bài 4, tr 100 SGK)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy xác định vị trí của mỗi điểm A 1  ;  1 , B  1  ; 2  
, C  2; 2 đối với đường tròn tâm O bán kính 2. DẠNG 5.
GHÉP HAI Ô ĐỂ ĐƯỢC MỘT CÂU THOẢ MÃN ĐỊNH NGHĨA
ĐƯỜNG TRÒN HOẶC HÌNH TRÒN Phương pháp giải
Ghép một ý với một ý khác sao cho thành mọt câu thoả mãn kiến thức đã học. Ví dụ 7.
(Bài 7 trang 101, sgk) Hãy
nối một ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:
(1) Tập hợp các điểm có khảng cách đến điểm A
(4) là đường tròn tâm A bán kính 2cm cố định bằng 2cm
(2) Đường tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả
(5) có khoảng các đến điểm A nhỏ hơn hoặc những điểm bằng 2cm
(3) Hình tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả
(6) có khoảng các đến điểm A bằng 2cm những điểm
(7) có khoảng các đến điểm A lớn hơn 2cm DẠNG 6.
DỰNG ĐƯỜNG TRÒN ĐI QUA HAI ĐIỂM B, C CHO TRƯỚC VÀ THOẢ
THÊM MỘT ĐIỀU KIỆN KHÁC Phương pháp giải
Để dựng một đường tròn, ta cần xác định tâm và bán kính. Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện,
trong đó có một điều điện là nằm trên đường trung trực của BC. Ví dụ 8. (Bài 8, tr.101 SGK)
Cho góc nhọn xAy và hai điềm B, C thuộc tia Ax . Dựng đường tròn O đi qua B
và sao cho O nằm trên tia Ay . DẠNG 7.
VẼ HÌNH TRANG TRÍ GỒM NHỮNG CUNG TRÒN Phương pháp giải
Phải xác định tâm và bán kính của các cung tròn có trong hình.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 149 toanthaycu.com Ví dụ 9. (Bài 9, tr. 101, SGK) Đố:
a) Vẽ hình hoa bốn cánh. Hình hoa bốn cánh trên hình 61 được tạo bởi các cung có
tâm A, B, C, D (trong đó A, B, C, D là các đỉnh của một hình vuông và tâm của cung
là tâm của đường tròn chứa cung đó). Hãy vẽ lại hình 61 vào vở.
b) Vẽ lọ hoa. Chiếc lọ hoa trên hình 62 được vẽ trên giấy kẻ ô vuông bởi 5 cung có
tâm A, B, C, D, E. Hãy vẽ lại hình 62 vào giấy kẻ ô vuông. Hình 61 Hình 62 DẠNG 8.
CHỨNG MINH MỘT ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN CỐ ĐỊNH Phương pháp giải
Chứng minh điểm đó cách một điểm cố định bằng một khoảng không đổi. Ví dụ 10. Cho
đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng:
a) Nếu điểm M thuộc đường tròn thì  AMB  90 . b) Đảo lại, nếu 
AMB  90 thì điểm M thuộc đường tròn đường kính AB. C. LUYỆN TẬP
1.1 (Dạng 1). Cho tứ giác ABCD có   C D  90 .
 Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của
AB, BC, DC và .
CA Chứng minh rằng bốn điểm M , N , P,Q cùng nằm trên một đường tròn.
1.2 (Dạng 1). Cho hình thoi ABCD có A  60 .
 Gọi E, F,G, H lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC , CD, DA . Chứng minh rằng 6 điểm E, F , G, H , B và D cùng nằm trên một đường tròn.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 150 toanthaycu.com
1.3 (Dạng 2). Cho hình thoi ABCD , đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F
. Chứng mình rằng E và F lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD .
1.4 (Dạng 8). Tam giác ABC có cạnh BC cố định, đường trung tuyến BM  1cm. Hỏi A di động trên đường nào?
1.5 (Dạng 8). Cho đường tròn O đường kính AB . Vẽ đường tròn I  đường kính OA. Bán kính
OC của đường tròn O cắt đường tròn  I  tại .
D Vẽ CH AB . Chứng minh rằng, tứ giác
ACDH là hình thang cân.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 151 toanthaycu.com
BÀI 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. So sánh độ dài của đường kính và dây
Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
-Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
- Đảo lại, trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua
tâm thì vuông góc với dây ấy. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG KHÔNG BẰNG NHAU Phương pháp giải
Có thể dùng định lí: Trong các dây của đường tròn , dây lớn nhất là đường kính Ví dụ 1. (Bài 10 ,tr.104 SGK)
Cho tam giác ABC ,các đường cao BD,CE . Chứng minh rằng: a)
Bốn điểm B, E, D,C cùng thuộc một đường tròn. b) DE BC .
DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp giải
Có thể dùng định lí đường kính vuông góc với một dây. Ví dụ 2. (Bài 11. Tr 104 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 152 toanthaycu.com
Cho đường tròn (O), đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi
H và K theo thứ tự lag chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh CH = DK.
Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD. D K C M H B A O Hình 65 C. LUYỆN TẬP
2.1 (Dạng 1). Cho đường tròn (O; R) và ba dây AB, AC, AD; gọi M, N lần lượt lfa hình
chiếu của B lên các đường thẳng AC, AD. Chứng minh rằng MN  2R.
2.2 (Dạng 1). Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng 2 S  2R . ABCD
2.3 (Dạng 1). Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm. Gọi M là trung điểm của
AB. Qua M vẽ dây CD không trùng với AB. Chứng minh rằng điểm M không là trung điểm của CD.
2.4 (Dạng 2). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B.
Qua M vẽ dây cung CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.
a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
b) Giả sử R  6,5cm và MA  4cm . Tính CD
c*) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh rằng: 3 MC MH.MK  2R
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 153 toanthaycu.com
BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY CUNG VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY CUNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Trong một đường tròn
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. OH  AB; OK  CD Trong hình 66: AB  CD  OH  OK
2. Trong hai dây của một đường tròn
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. B. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.
TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT DÂY CUNG Phương pháp giải:
Để tính độ dài của một dây ta có thể tính khoảng cách từ tâm đến dây. Kết hợp với bán kính đã
biết, dùng định lí Py – ta – go ta tính được độ dài của một nửa cung đã cho. Ví dụ 1:
(Bài 14 trang 106 SGK)
Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song
với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD. DẠNG 2.
CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp giải
Bạn có thể dùng định lí đường kính vuông góc với một dây; định lí về sự liên hệ giữa dây và
khoảng cách từ tâm đến dây hoặc dùng phương pháp tam giác bằng nhau. Ví dụ 2:
(Bài 12 trang 106 SGK)
Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 154 toanthaycu.com
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc
với AB. Chứng minh rằng CD = AB. Ví dụ 3. (Bài 13, tr. 106 SGK)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau
tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của
AB và CD . Chứng minh rằng: a) EH  EK ; b) EA  EC . DẠNG 3.
CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG KHÔNG BẰNG NHAU Phương pháp giải
Dùng định lý: dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và đảo lại hoặc dùng mối quan hệ giữa cạnh huyền
và cạnh góc vuông trong một tam giác vuông Ví dụ 4. (Bài 15, tr. 106 SGK)
Cho hình 70, trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O . Cho biết AB  CD . Hãy so sánh các độ dài : a) OH và OK b) ME và MF c) MH và MK
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 155 toanthaycu.com Ví dụ 5. (Bài 16, tr. 106 SGK)
Cho đường tròn (O) , điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với
OA . Vẽ dây EF bất kỳ đi qua A và không vuông góc với OA . So sánh độ dài hai dây BC và EF C. LUYỆN TẬP
3.1 (Dạng 1). Cho đường tròn (O) và hai dây AB , CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I .
Giả sử IA  2cm , IB  4cm . Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây
3.2 (Dạng 1). Cho đường tròn O ; 2,5cm và dây AB di động sao cho AB  4 . cm Hỏi trung
điểm M của AB di động trên đường nào?
3.3 (Dạng 2). Cho đường tròn O ; R . Vẽ hai bán kính ,
OA OB . Trên các bán kính , OA OB lần
lượt lấy các điểm M và N sao cho OM ON . Vẽ dây CD đi qua M và N ( M nằm giữa C và N ).
a) Chứng minh rằng CM DN b) * Giả sử  90o AOB
, hãy tính OM theo R sao cho: CM MN  . ND
3.4 (Dạng 2). Cho đường tròn O ; R đường kính AB . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của ,
OA OB . Qua M và N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau ( C và E cùng nằm
trên một nửa đường tròn đường kính AB ).
a) Chứng minh rằng tứ giác CDFE là hình chữ nhật.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 156 toanthaycu.com
b) Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn là 30o , tính diện tích hình chữ nhật CDFE .
3.5 (Dạng 3). Cho đường tròn O ; 13 và một điểm M cách O là 5.
a) Tính dộ dài của dây dài nhất và dây ngắn nhất đi qua M .
b) Có bao nhiêu dây có độ dài là một số tự nhiên đi qua M.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 157 toanthaycu.com
BÀI 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Hệ thức giữa
Vị trí tương đối cảu đường thẳng và đường tròn Số điểm chung d và R
+ Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d R
+ Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d R
+ Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d R 2. Định lí
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc
với bán kính đi qua tiếp điểm.
Trong hình 72: a là tiếp tuyến của (O) , tiếp điểm H ⇒ a  OH Hình 72 B. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.
CHO BIẾT d VÀ R , XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG
THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN HOẶC NGƯỢC LẠI Phương pháp giải Hãy so sánh d với R :
Nếu d  R ( d  R hoặc d  R ) thì đường thẳng không cắt đường tròn (cắt đường tròn hoặc tiếp xúc
với đường tròn) và ngược lại. Ví dụ 1. (Bài 17, tr. 109 SGK)
Điền vào các chỗ trống (...) trong bảng sau ( R là bán kính của đường tròn, d là
khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) : R d
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 5 cm 3 cm ... 6 cm ... Tiếp xúc nhau 4 cm 7 cm ... Ví dụ 2. (Bài 18, tr. 110 SGK)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(3; 4) . Hãy xác định vị trí tương đối của
đường tròn (A;3) và các trục tọa độ
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 158 toanthaycu.com DẠNG 2.
TÌM VỊ TRÍ CỦA TÂM MỘT ĐƯỜNG TRÒN CÓ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC
VÀ TIẾP XÚC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Phương pháp giải
Xác định xem tâm đường tròn cách đường thẳng cho trước một khoảng là bao nhiêu rồi vận dụng
tính chất các điểm cách một đường thẳng cho trước một khoảng cho trước Ví dụ 3. (Bài 19, tr. 110 SGK)
Cho đường thẳng xy . Tâm của các đường tròn có bán kính bằng 1cm và tiếp xúc với
đường thẳng xy nằm trên đường nào ? DẠNG 3.
TÍNH ĐỘ DÀI CẢU MỘT ĐOẠN TIẾP TUYẾN Phương pháp giải
Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và định lý Pi-ta-go. Ví dụ 4. (Bài 20, tr. 110 SGK)
Cho đường tròn tâm O bán kính 6 cm và một điểm A cách O là 10 cm. Kẻ tiếp
tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB . C. LUYỆN TẬP
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 159 toanthaycu.com
4.1 (Dạng 1). Cho a / /b và cách nhau một khoảng là 2 cm. Lấy điểm O Î a , vẽ đường tròn
(O;2cm). Chứng minh rằng đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng b .
4.2 (Dạng 1). Cho đường thẳng xy đi qua điểm A nằm trong đường tròn (O; R) . Chứng minh rằng
đường thẳng xy và đường tròn (O; R) cắt nhau.
4.3 (Dạng 2). Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, cách nhau một khoảng là h . Một
đường tròn (O) tiếp xúc với a và b . Hỏi tâm O di động trên đường nào?
4.4 (Dạng 3). Cho đường tròn (O; 2cm) và một điểm A chạy trên đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp
tuyến xy . Trên xy lấy một điểm M sao cho AM = 2 3 cm. Hỏi điểm M di động trên đường nào?
4.5 (Dạng 3). Cho đường tròn (O; R) và dây AB =1,6R . Vẽ một tiếp tuyến song song với AB ; cắt
các tia OA , OB theo thứ tự tại M và N . Tính diện tích tam giác OMN .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 160 toanthaycu.com
BÀI 5. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Dấu hiệu 1:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm
thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Dấu hiệu 2: Theo định nghĩa của tiếp tuyến. B. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.
CHỨNG MINH MỘT ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp giải
Có thể dùng một trong hai cách:
- Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
- Chứng minh d = R . Ví dụ 1. (Bài 21, tr 111 SGK)
Cho tam giác ABC có: AB = 3, AC = 4, BC = 5 . Vẽ đường tròn (B; BA) . Chứng
minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn. Ví dụ 2. (Bài 22, tr.111 SGK)
Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d , điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy
dựng đường tròn O đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A . Ví dụ 3. (Bài 24, tr. 111 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 161 toanthaycu.com
Cho đường tròn O , dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB , cắt tiếp
tuyến tại A của đường tròn ở điểm C .
a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15 cm , AB  24 cm . Tính độ dài OC. DẠNG 2.
XÁC ĐỊNH CHIỀU QUAY CỦA BÁNH XE Phương pháp giải:
Nếu dây cua-roa mắc qua hai đường tròn mà cắt đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn thì chiều quay
của hai đường tròn sẽ ngược nhau. Ví dụ 4.
(Bài 23, tr. 111 SGK)
Đố: Dây cua-roa trên hình 79 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm A, B, C. Chiều
quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm
A và đường tròn tâm C (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 162 toanthaycu.com DẠNG 3.
TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN TIẾP TUYẾN Phương pháp giải
Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lí về tính chất của tiếp tuyến và hệ thức lượng trong tam giác vuông. Ví dụ 5. (Bài 25, tr.112 SGK)
Cho đường tròn tâm O có bán kính OA  , dây vuông góc với tại trung điểm của R BC OA M . OA
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại ,
B nó cắt đường thẳng tại . Tính độ dài theo .
OA E BE R C. LUYỆN TẬP
5.1. (Dạng 1). Cho đường tròn Ovà một dây . AB Gọi Vẽ bán kính
M là trung điểm của . AB
OI đi qua M. Từ Chứng minh rằng
là tiếp tuyến của đường
I vẽ đường thẳng xy / / A . B xy tròn O.
5.2. (Dạng 1). Cho đường tròn Ovà một đường thẳng .
AB Hãy dựng một tiếp tuyến của đường
tròn sao cho tiếp tuyến này song song với . AB
5.3. (Dạng 1). Cho tam giác ABC, hai đường cao ,
BD CE cắt nhau tại H .
a) Chứng minh rằng bốn điểm , A ,
D H , E cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O ).
b) Gọi M là trung điểm của .
BC Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn O.
5.4. (Dạng 1, 3). Cho đường tròn  ; O R đường kính . AB Vẽ dây  Trên tia AC sao cho  CAB  30 .
đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM  .
R Chứng minh rằng:
a) MC là tiếp tuyến của đường tròn O. b) 2 2 MC  3R .
5.5. (Dạng 1, 3). Cho tam giác ABC vuông ở A có AB  8; AC 15. Vẽ đường caoo AH. Gọi D
là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 163 toanthaycu.com
a) Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn. b) Tính độ dài HE.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 164 toanthaycu.com
BÀI 6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau (h.81) AB và
là hai tiếp tuyến của đường tròn AC AB AC   O      1 A 2 A     1 O 2 O
2. Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi
là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là
ngoại tiếp đường tròn.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác các góc trong tam giác (h.82).
3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia
gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác (h.83).
Tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC là giao điểm của hai đường phân giác
các góc ngoài tại B và C. Trong một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp. B. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.
CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, HAI GÓC BẰNG NHAU Phương pháp giải
Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. Ví dụ 1. (Bài 26, tr.115 SGK)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn.Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường
tròn (B,C là các tiếp điểm).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 165 toanthaycu.com
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB=2cm, OA=4cm. Ví dụ 2. (Bài 27, tr.115 SGK)
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn (B,C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba với
đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB,AC theo thứ tự à D,E. Chứng minh rằng
chu vi tam giác ADE bằng 2AB. Ví dụ 3. (Bài 30, tr. 116, SGK )
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB ( Đường kính của một đường tròn
chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với
AB ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng môt nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm
M thuộc nửa đương tròn ( M khác A và B ), kẻ tiếp tuyến với nửa dường tròn, nó
cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D . Chứng minh rằng : a)  COD  90 .
b) CD AC BD c) Tích .
AC BD không dời khi điểm M di chuyền trên nửa đường tròn.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 166 toanthaycu.com Ví dụ 4.
(Bài 31 trang 116, sgk)
Trên hình 87, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn O
a) Chứng minh rằng: 2AD AB AC BC .
b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a). DẠNG 2.
TÌM TÂM CỦA ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC VỚI HAI CẠNH CỦA MỘT GÓC Phương pháp giải:
Từ tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra tâm của đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một
góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Ví dụ 5. (Bài 28, tr. 116, SGK )
Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc
xAy nằm trên đường nào? Ví dụ 6. (Bài 29, tr. 116, SGK )
Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax . Hãy dựng đường tròn O tiếp
xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 167 toanthaycu.com DẠNG 3.
TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC ĐỀU NGOẠI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp giải
Đã biết bán kính của đường tròn nội tiếp từ đó suy ra đường cao của tam giác đều và độ dài mỗi
cạnh của tam giác. Cuối cùng tính diện tích tam giác theo công thức ah S  2 Ví dụ 7: (Bài 32, Tr 116 SGK)
Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính 1cm. Diện tích của tam giác ABC bằng A A. 2 6cm B. 2 3cm C. 2 3 2 cm D. 2 3 3cm F E 4 O
Hãy chọn câu trả lời đúng. B D C C. LUYỆN TẬP
6.1 (Dạng 1). Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường
tròn. Trên tia OB lấy điểm C sao cho BC=BO. Chứng minh rằng  1  BMC BMA . 2
6.2 (Dạng 1). Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Chứng minh rằng 
BAC  60 khi và chỉ khi OA  2 . R
6.3 (Dạng 1). Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt tia AB tại M.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình thoi
b) Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
6.4 (Dạng 1). Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn
vẽ từ A và C cắt nhau tại M. Trên tia AM lấy điểm D sao cho AD=BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Ba đường thẳng AC, BD,OM đồng quy
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 168 toanthaycu.com
6.5 (Dạng 1). Cho đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC vuông góc tại A. Chứng minh rằng
r p a , trong đó p là nửa chu vi tam giác, a là động dài cạnh huyền
6.6 (Dạng 3). Chứng minh rằng diện tích tam giác ngoại tiếp một đường tròn được tính theo công
thức S pr , trong đó p là nửa chu vi tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 169 toanthaycu.com
BÀI 7& 8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Tính chất đường nối tâm
Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường trìn. Từ đó suy ra:
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm (h.90).
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung (h.91).
2. Sự liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r
Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung
Hệ thức giữa d và R, r
 Hai đường tròn cắt nhau 2
R r d R r
 Hai đường tròn tiếp xúc nhau iếp xúc ngoài 1
d R r iếp xúc trong
d R r
 Hai đường tròn không giao nhau ngoài nhau
d R r
O đựng O 0
d R r
Đặc biệt, O và O đồng tâm OO  0 B. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.
CÁC BÀI TOÁN CÓ CHO HAI ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC NHAU Phương pháp giải:
- Vẽ đường nối tâm và chú ý rằng tiếp điểm nằm trên đường nối tâm, dùng hệ thức d R r .
- Nếu cần, có thể vẽ tiếp tuyến chung tại tiếp điểm. Ví dụ 1: (Bài 33, tr.119 SGK)
Trên hình 92, hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A . Chứng minh rằng OC//O D  .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 170 toanthaycu.com C A O' O D Hình 92 Ví dụ 2: (Bài 38, tr.123 SGK)
Điền các từ thích hợp vào chỗ trống ... :
a) Tâm của các đường tròn có bán kính bằng 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn  ;
O 3cm nằm trên …
b) Tâm của các đường tròn có bán kính bằng 1cm tiếp xúc trong với đường tròn  ;
O 3cm nằm trên … Ví dụ 3: (Bài 39 trang 123 SGK)
Cho hai đường tròn O và O' tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC , B O,C O '.
Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I . a) Chứng minh  BAC  90 .  b) Tính số đo  OIO '
c) Tính độ dài BC , biết OA  9cm, O ' A  4cm . DẠNG 2.
CÁC BÀI TOÁN CÓ CHO HAI ĐƯỜNG TRÒN CẮT NHAU Phương pháp giải
Vẽ dây chung của hai đường tròn rồi dùng tính chất đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. Ví dụ 4.
(Bài 34, trang 119 SGK) Cho hai đường tròn  ;2
O 0cm và O ';15cm cắt nhau tại A và B . Tính đoạn nối
tâm OO ' biết rằng AB  24cm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 171 toanthaycu.com
(Xét hai trường hợp: O và O' nằm khác phía đối với ;
AB O và O ' nằm cùng phía đối với ; AB .) a) b) DẠNG 3.
XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN KHI BIẾT HỆ
THỨC GIỮA D VỚI R, R VÀ NGƯỢC LẠI Phương pháp giải
Nếu d R r thì hai đường tròn tiếp xúc trong và ngược lại;
Nếu d R r thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài và ngược lại; Ví dụ 5.
(Bài 35, trang 122 SGK).
Điền vào các chỗ trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn  ;
O R và O '; r  có
OO '  d; R r .
Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức giữa d, R, r T  ;
O R đựng O '; r
d R r Tiếp xúc ngoài
d R r 2 Ví dụ 6. ( Bài 35, tr.123 SGK)
Cho đường tròn O bán kính OA và đường tròn O' đường kính OA.
a) Hãy xác định vị trí của hai đường tròn O và O' .
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng: AC  . CD
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 172 toanthaycu.com DẠNG 4.
CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TRÊN CÙNG MỘT DÂY CUNG BẰNG NHAU Phương pháp giải
Có thể vẽ đường kính vuông góc với một dây rồi dùng tính chất đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi dây ấy. Ví dụ 7. ( Bài 37, tr 123 SGK)
Cho hai đường tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường nhỏ ở C và
D. Chứng minh rằng: AC BD . DẠNG 5.
XÁC ĐỊNH CHIỀU QUAY CỦA BÁNH XE Phương pháp giải
- Nếu hai bánh xe có răng cưa tiếp xúc ngoài với nhau thì chúng quay ngược chiều nhau.
- Nếu hai bánh xe có răng cưa tiếp xúc trong với nhau thì chúng quay cùng chiều với nhau. Ví dụ 8: (Bài 40, tr 123 SGK)
Đố: Trên các hình 97 a, b, c các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên
hình nào, hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào, hệ thống bánh răng
không chuyển động được?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 173 toanthaycu.com Hình 97 C. LUYỆN TẬP
7.1 (Dạng 1) Cho ba đường tròn tâm O1, O2, O3 cùng có bán kính R và tiếp xúc ngoài với nhau đôi
một. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba tiếp điểm.
7.2 (Dạng 1) Cho hai đường tròn (O) và (O′) tiếp xúc với nhau tại A. Qua A vẽ một cát tuyến cắt
đường tròn (O) tại B và cắt đường tròn (O′) tại C. Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O).
Từ C vẽ đường thẳng uv//xy. Chứng minh rằng uv là tiếp tuyến của đường tròn (O′).
7.3 (Dạng 2) Cho hai đường tròn (O; 17) và (O’; 10) cắt nhau tại A và B. Biết OO’ = 21, tính AB.
7.4 (Dạng 2) Cho hình vuông ABCD. Vẽ đường tròn (D; DC) và đường tròn đường kính BC.
Chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M, tia BE cắt AD tại N. Chứng minh rằng:
a) N là trung điểm của AD.
b) M là trung điểm của AB.
8.1 (Dạng 2, 3) Cho góc vuông xOy. Lấy các điểm I và K thứ tự trên các tia Ox và Oy. Vẽ đường
tròn (I; OK) cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M). Vẽ đường tròn (K; OI) cắt tia Oy tại N (K nằm giữa O và N)
a) Chứng minhhai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau
b) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (I), tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt nhau tại C.
Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông
c) Gọi A, B là các giao điểm của (I) và (K) trong đó B ở miền trong góc xOy. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
d) Giả sử I và K thứ tự di động trên các tia Ox và Oy sao cho OI + OK = a không đổi. Chứng
minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
8.2 (Dạng 1, 3) Cho đoạn thẳng OO’ = 4cm. Vẽ các đường tròn (O; 2cm) và (O’; 1cm)
a) Hãy xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn đó.
b) Dựng đường tròn (I; 1,5cm) tiếp xúc ngoài với hai đường tròn (O) và (O’)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 174 toanthaycu.com ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SÁCH GIÁO KHOA
41. Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.
Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự
là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC
d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
42. Cho hai đường tròn  '
O  và O  tiếp xúc ngoài tại ,
A BC là tiếp tuyến chung ngoài,
B OC  ' ,
O . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M . Gọi E là giao điểm của
OM và AB, F là giao điểm của OM và AC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) ME.MO MF.MO.
c) OO là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là . OO
43. Cho hai đường tròn O ; R và O ; r cắt nhau tại A và B (R r).
Gọi I là trung điểm của '
OO . Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại , A
đường thẳng này cắt các đường tròn O ; R  và O ; r theo thứ tự tại C và D (khác A ).
a) Chứng minh rằng AC AD.
b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A và qua điểm I . Chứng minh rằng KB vuông góc với AB
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 175 toanthaycu.com
B. BÀI TẬP ÔN BỔ SUNG
1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ đường phân giác BI.
a) Chứng mimh rằng ( I; IA) tiếp xúc với BC.
b) Cho biết AB = a. Chứng minh rằng AI = a( 2 1) , từ đó suy ra tan 22o30'  2 1.
2. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A vẽ tiếp tuyến xy. Từ
một điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O). Hai đường cao AD và BE của tam giác MAB cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng ba điểm M, H, O thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tứ giác AOBH là hình thoi.
c) Khi điểm M di động trên xy thì điểm H di động trên đường nào?
3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp
tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a) Chứng minh rằng MC = MD
b) Chứng minh rằng AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M di động trên nửa đường tròn.
c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC và AB.
d) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
4. Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm BC. Trên các cạnh AB, Ac lần lượt lấy các điểm di
động D và E sao cho  60o DOE  .
a) Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi. b) Chứng minh BOD   O
ED , từ đó suy ra DO là tia phân giác của góc BDE.
c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.
5. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm E di động trên nửa đường tròn đó ( E
không trung với A và B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Tia AE cắt By ở C, tia BE cắt Ax ở D.
a) Chứng minh rằng tích AD. BC không đổi.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 176 toanthaycu.com
b) Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng ba
đường thẳng MN, AB, CD đồng quy hoặc song song với nhau.
c) Xác định vị trí của điểm E trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. Tính
diện tích nhỏ nhất đó.
6. Cho đoạn thẳng AB cố định. Vẽ (O) tiếp xúc AB tại A, vẽ (O’) tiếp xúc AB tại B, hai đường
tròn này luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài với nhau. Hỏi tiếp
điểm M di động trên đường nào?
7. Cho trước đường tròn (O; 2cm) và đường thẳng xy tiếp xúc với nhau tại A. Dựng đường tròn
(I; 1cm) tiếp xúc ngoài với (O) và tiếp xúc với xy.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 177 toanthaycu.com
CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
BÀI 1. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Ví
dụ: Góc AOB là góc ở tâm (h.1) O
 Nếu 0 < < 180 thì cung nằm bên trong góc gọi α
là cung nhỏ và cung nằm bên ngoài gọi là cung lớn. B A
 Nếu  =180 thì mỗi cung là một nữa đường tròn. Hình 1 2. Số đo cung.
Số đo cung AB (kí hiệu là sđ 
AB ) được định nghĩa như sau:
 Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
 Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360O và số đo cung nhỏ.
 Số đo nữa đường tròn bằng 180O.
Chú ý: “Cung không” có số đo 0O;
Cung cả đường tròn có số đo 360O. 3. So sánh hai cung Trong
một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
 Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
 Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. 4. Khi nào thì   
s®AB  s®AC + s®CB
Nếu C là một điểm năm trên cung AB thì   
s®AB  s®AC + s®CB B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH SỐ ĐO CỦA GÓC Ở TÂM, CỦA CUNG BỊ CHẮN Phương pháp giải
 Để tính số đo của góc ở tâm ta có thể:
- Dùng thước đo góc (nếu đề bài yêu cầu) . -
Đưa về cách tính số đo một góc của tam giác, tứ giác.
 Để tính số đo của cung nhỏ, ta tính số đo của góc ở tâm tương ứng.
 Để tính số đo của cung lớn ta lấy 360O trừ đi số đo của cung nhỏ.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 178 toanthaycu.com
Ví dụ 1. (Bài 1 tr. 68 SGK) Kim
giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào những thời diểm sau: a) 3 giờ; b) 5 giờ; c) 6 giờ; d) 12 giờ; e) 20 giờ. 12 3 8 5 6 Hình 2
Ví dụ 2: (Bài 2, tr.69 SGK) Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O, trong các góc tạo thành
có góc 40 . Vẽ một đường tròn tâm O. Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O. t x 40o O s Hình 3
Ví dụ 3: (Bài 3, tr.69 SGK) Trên hình 4, 5 hãy dùng dụng cụ đo góc đẻ tìm số đo cung AmB . Từ
đó tính số đo cung AnB tương ứng. m m B A B A O O n n Hình 4 Hình 5
Ví dụ 4: (Bài 4, tr.69 SGK)
Xem hình 6. Tính số đo của góc ở tâm AOB và số đo cung lớn AB.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 179 toanthaycu.com A T O B Hình 6
Ví dụ 5. (Bài 5, tr.69 SGK) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Biết  AMB  45 .
a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB.
b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ) . A O M 35o B Hình 7
Ví dụ 6: (Bài 6, tr.69 SGK) Cho tam giác đều ABC. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C.
a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC. A O B C Hình 8
b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C.
Ví dụ 7: (Bài 9, tr.69 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 180 toanthaycu.com
Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A, B, C sao cho  AOB  1  00 ,  s® AC   45 . Tính số đo
cung nhỏ BC và cung lớn BC. (xét cả hai trường hợp: điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm
C nằm trên cung lớn AB) . B O A 45o C Hình 9b
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI CUNG BẰNG NHAU Phương pháp giải
Để chứng minh hai cung (của một đường tròn) bằng nhau, ta chứng minh hai cung này có cùng một số đo.
Ví dụ 8: (Bài 7, tr.69 SGK)
Cho hai đường tròn cùng tâm O với bán kính khác nhau. A Q
Hai đường thẳng đi qua O cắt hai đường tròn đó tại các B P
điểm A, B, C, D, M, N, P, Q (h.10) . O N
a) Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP, M C BN, DQ? D
b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau. Hình 10
c) Hãy nêu tên các cung lớn bằng nhau.
DẠNG 3. TÌM CÂU ĐÚNG, SAI TRONG CÁC KHẲNG ĐỊNH LIÊN QUAN ĐẾN SO SÁNH HAI CUNG Phương pháp giải
- Trước hết xét xem hai cung có cùng thuộc một đường tròn hay không?
- Nếu hai cung cùng thuộc một đường tròn thì so sánh số đo của chúng. Khẳng định nào thỏa mãn
định nghĩa về so sánh hai cung thì khẳng định đó đúng, trái lại khẳng định đó sai
Ví dụ 9: (Bài 8, tr.70 SGK)
Mỗi khẳng định sao đúng hay sai? Vì sao?
a) Hai cung bằn nhau thì sóc số đo bằng nhau .
b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.
c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn.
d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn. C. LUYÊN TẬP
1.1 (Dạng 1) . Cho đường tròn (O; R) . Vẽ dây A B = R 2 . Tính số đo của hai cung AB.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 181 toanthaycu.com
1.2 (Dạng 1) . Cho đường tròn (O; R) . Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng 1 số đo 2
của cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB  R 3 
1.3 (Dạng 1,2) . Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và O;  
. Trên đường tròn nhỏ lấy một 2   
điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia OM cắt đường tròn lớn tại C. a) Chứng minh rằng   C A = C B .
b) Tính số đo của hai cung AB.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 182 toanthaycu.com
BÀI 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định lí 1 D
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau: C
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. O
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. B Trong hình 11:  
AB = CD  AB = CD . A Định lí 2 Hình 11
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau
a) Cung lớn hơn căng hai dây lớn hơn. D
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. C Trong hình 12:   AB >CD  AB > CD O A B Hình 12 Định lí bổ sung
1. (Bài 13 SGK) . Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Trong hình 13:   AB//CDAC  BD
2. (Bài 14 SGK) . Trong hình 14 M A B A I B O C O D Hình 13 Hình 14
Đường kính vuông góc với dây (1)
Đường kính chia đôi dây (2)
Đường kính chia đôi cung căng dây (3) Điều kiện hạn chế:
(2)  (1) và (2) (3) có điều kiện dây không qua tâm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 183 toanthaycu.com   IAIBOI ABMAMB B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHIA ĐƯỜNG TRÒN LÀM NHIỀU CUNG BẰNG NHAU (BÀI 10 SGK) Phương pháp giải
Dựa vào nhận xét: Nếu các góc ở tâm bằng nhau thì các cung tương ứng bằng nhau.
Ví dụ 1. (Bài 10, tr.71 SGK) A B
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R  2cm.
Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60 . Hỏi dây AB O dài bao nhiêu xentimét?
b) Làm thế nào chia được đường tròn thành sáu cung
bằng nhau như trên hình 15. Hình 15
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI CUNG KHÔNG BẰNG NHAU Phương pháp giải
- Chứng minh hai dây cung (cung nhỏ) không bằng nhau, dây nào lớn hơn thì căng cung lớn hơn.
- Hoặc chứng minh hai góc ở tâm tương ứng không bằng nhau, góc nào lớn hơn thì có cung tương ứng lớn hơn.
Ví dụ 2: (Bài 12, tr.72 SGK)
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC . Vẽ đường
tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (HBC, KBD) . a)
Chứng minh rằng OH > OK.
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
DẠNG 3. CHỨNG MINH HAI CUNG BẰNG NHAU Phương pháp giải
- Chứng minh hai dây căng cung bằng nhau;
- Hoặc chứng minh hai góc ở tâm tương ứng bằng nhau;
- Hoặc dùng định lí đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi cung căng dây.
Ví dụ 3: (Bài 11, tr.72 SGK)
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường
kính AOC, AOD. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’) khác điểm A.
a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung lớn ED
thành hai cung bằng nhau:   BE  BD )
Ví dụ 4. (Bài 13, tr.72 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 184 toanthaycu.com
Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Ví dụ 5. (Bài 14, tr 72 SGK)
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm
của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hay nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy và ngược lại. C. LUYỆN TẬP
Bài 2.1 (Dạng 1) Cho đường tròn (O;R) . Làm thế nào để chia đường tròn này thành ba cung bằng
nhau để dựng tam giác đều nội tiếp. 
Bài 2.2 (Dạng 2) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O) . Biết o
A50 , hãy so sánh
các cung nhỏ AB, AC và BC.
Bài 2.3 (Dạng 3) Chứng minh định lí:
Nếu tiếp tuyến của đường tròn song song với một dây thì tiếp điểm chia đôi cung căng dây.
Bài 2.4 (Dạng 3) Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ các
đường kính AOE, AO’F và BOC. Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là D.
Chứng minh rằng các cung nhỏ AB, CD, CE bằng nhau.
Bài 2.5 (Dạng khác) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với  nhau sao cho sđ o
BM 90 . Vẽ dây MD // AB. Dựng DN cắt AB tại E. Từ E vẽ một đường thẳng
song song với AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh rằng: a) AB  DN;
b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 185 toanthaycu.com
BÀI 3. GÓC NỘI TIẾP
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định nghĩa
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa A
hai dây cung của đường tròn đó (h.21) . O C 2. Định lí
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của B cung bị chắn. Hình 211
A sđBC ( h.21 ). 2 3. Hệ quả Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90o) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU Phương pháp giải:
Bạn có thể dùng hệ quả b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Ví dụ 1. (Bài 15, tr 75 SGK)
Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Trong một đường tròn các góc nội tiếp cùng chắn một cùng thì bằng nhau.
b) Trong một đường tròn các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.
Ví dụ 2. (Bài 18, tr.75 SGK)
Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí
A, B, C trên một cung tròn như hình 22. Hãy so sánh các góc    PAQ,PBQ,PCQ.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 186 toanthaycu.com B C A P Q Hình 22
Ví dụ 3. (Bài 21, tr.76 SGK) Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ
đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N (A nằm giữa M và N) . Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao? N A M O O' B Hình 23
DẠNG 2. TÍNH SỐ ĐO GÓC Phương pháp giải
Bạn có thể dùng hệ quả c) : Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90o) có số đo bằng nửa số đo của góc
ở tâm cùng chắn một cung.
Ví dụ 4. (Bài 16, tr 75 SGK)
Xem hình 24 (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C)  a) Biết o
MAN 30 . Tính  PCQ . b) Nếu  PCQ =136o thì 
MANcó số đo là bao nhiêu?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 187 toanthaycu.com A B N M C Q P Hình 24
DẠNG 3. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Phương pháp giải
- Chứng minh hai tia trùng nhau hoặc đối nhau.
- Hai đầu đường kính thì thẳng hàng với tâm.
- Từ một điểm chỉ có thể vẽ được một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Ví dụ 5. (Bài 17, tr.75 SGK)
Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng ê ke thì phải làm thế nào? M A B O Hình 25
Ví dụ 6. (Bài 20, tr. 76 SGK)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai
đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 188 toanthaycu.com A O' O C B D Hình 26
DẠNG 4. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp giải:
- Dùng hệ quả d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
- Hoặc dùng tính chất ba đường cao của tam giác gặp nhau tại một điểm.
Ví dụ 7. (Bài 19, tr.75 SGK)
Cho đường tròn tâm (O) , đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn, SA và SB
lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. CHứng minh rằng SH vuông góc với AB. S N M H A B O Hình 27
DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI BIỂU THỨC TÍCH BẰNG NHAU Phương pháp giải
Bạn có thể dùng tam giác đồng dạng hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Ví dụ 8. (Bài 22, tr. 76 SGK)
Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B) . Vẽ tiếp tuyến của (O) tại
A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: 2
M A M B .M C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 189 toanthaycu.com C M A B O Hình 28
Ví dụ 9. (Bài 23. tr 76 SGK)
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai
đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh: MA.MB=MC.MD
Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong
mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng. C A 1 B M 2 O D Hình 29
Ví dụ 10. (Bài 24, tr.76 SGK)
Một chiếc cầu được thiết kế như hình 30 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán
kính của đường tròn chứa cung AMB.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 190 toanthaycu.com
DẠNG 6. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp giải
Bạn hãy chứng minh hai đoạn thẳng đó là cạnh bên của một tam giác cân.
Ví dụ 11. (Bài 26. tr 77 SGK)
Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O) Tử điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN
song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và SN = SA. A 1 S M N 1 O 2 1 B C Hình 31
Dạng 7. DỰNG TAM GIÁC VUÔNG BIẾT CẠNH HUYỀN VÀ MỘT YẾU TỐ KHÁC Phương pháp giải
Dựa vào tính chất: cạnh huyền của tam giác vuông là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó.
Ví dụ 12. (Bài 25, tr 76 SGK)
Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm. A B C O Hình 32 C. LUYỆN TẬP
Bài 3.1 (Dạng 1,2) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng 60o.
a) So sánh các góc của ∆ABC;
b) Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại
điểm I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc ACB.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 191 toanthaycu.com
Bài 3.2 (Dạng 1,2) Cho tam giác ABC cân tại A (  o
A90 ) . Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC
tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng: a) Tam giác DBE cân; b)  1 CBE BAC 2
Bài 3.3 (Dạng 1,2) Cho tam giác ABC (ABBC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) . Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia
phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của ∆ABC.
Bài 3.4 (Dạng 1,3) Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I và K lần
lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA, MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI.
a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, B thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MAB.
c*) Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp ∆MAB.
Bài 3.5 (Dạng 1,2,3,4) Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường
tròn đó. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D,
đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng. b) ID  MN.
c) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định, từ đó suy ra cách dựng đường tròn I nói trên.
Bài 3.6 (Dạng 3,4) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H. Vẽ đường kính AF.
a) Tứ giác BFCH là hình gì?
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng: 1 OM AH 2
Bài 3.7 (Dạng 1) Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường
tròn, C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia, CM cắt AB tại D. Vẽ dây AE vuông góc với CM tại F.
a) Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân.
b) Vẽ CH  AB, chứng minh rằng tia CM là phân giác của góc HCO. c) Chứng minh rằng 1 CD AE 2
Bài 3.8 (Dạng khác) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) . Biết o
A 90 . Tính độ dài BC
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 192 toanthaycu.com
BÀI 4. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định lí
Số đo của góc tạo bởi tia.tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. Trong hình 33:  1  BAx  sđ AB 2 2. Hệ quả
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhạu.
3. Định lí (bổ sung)
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) , có số đo bằng nửa
số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến
của đường tròn (h.33) . B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU Phương pháp giải
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- Hai góc kề đáy của tam giác cân bằng nhau.
- Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau.
Ví dụ 1. ( Bài 27, tr. 79 SGK)
Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Lấy điểm P khác A và B và trên đường tròn. Gọi Tlà
giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh rằng:   APO PBT . T M A B O Hình 34
Ví dụ 2. (Bài 29, tr.79 SGK)
Cho hai đường tròn (O ) và (O ') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O ') cắt
(O ) tại C và đối với đường tròn (O ) cắt (O ') tại D . Chứng minh   CBA DBA .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 193 toanthaycu.com A 1 2 O n m O' B D C Hình 35
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Phương pháp giải
Bạn có thể chứng minh hai đường thẳng tạo với đường thứ ba cắt chúng một cặp góc so le trong bằng nhau.
Ví dụ 3. (Bài 28, tr. 79 SGK)
Cho hai đường tròn (O ) và (O ') cắt nhau tại A và B . Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O ') cắt
đường tròn (O ) tại điểm thứ hai P .
Tia PB cắt đường tròn (O ') tại Q . Chứng minh đường (thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P
của đường tròn (O ) . A 1 n m D O' O B 1 C
DẠNG 3. CHỨNG MINH MỘT TIA LÀ TIA TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp giải
- Bạn hãy chứng minh tia nạy vuông góc với bán kính đi qua gốc của tia.
- Hoặc bạn dùng phương pháp phản chứng.
Ví dụ 4. (Bài 30, tr. 79 SGK)
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:
- Nếu góc BAx(với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB ) , có số đo bằng nửa
số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp
tuyến của đường tròn (h.37) .
Gợi ý : Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 194 toanthaycu.com O B x' x A Hình 37a .
DẠNG 4. TÍNH SỐ ĐO GÓC HOẶC CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC GIỮA CÁC GÓC Phương pháp giải
- Dùng định lí số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo của cung bị chắn.
- Dùng định lí về tổng các góc của tam giác, tứ giác.
Cho đường tròn (O ; R ) và dây cung BC R . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O ) tại , B C cắt nhau ở A . Tính   ABC, BAC . C A B O Hình 38
Ví dụ 6 (Bài 32, tr. 80 SGK)
Cho đường tròn tâm O đường kính .
AB Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại
T (điểm B nằm giữa O và T ) . Chứng minh   0
BTP  2.TPB  90 P 1 1 A O B T Hì
DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI BLỂU THỨC TÍCH BẰNG NHAU Phương pháp giải
Dùng phương pháp tam giác đồng dạng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 195 toanthaycu.com
Ví dụ 7. (Bài 33, tr. 80 SGK)
Cho $A, B, C$ là điểm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại A . Đường thẳng song song
với At cắt BM tại M vàcắt AC tại N .Chứngminh AB AM AC AN . t A N M O B C Hình 40
Ví dụ 8. (Bài 34, tr. 80 SGK)
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến M . AB Chứng minh 2 MT M . A MB . M O T A B Hình 41
Ví dụ 9. (Bài 35, tr. 80 SGK)
Trên bờ biển có một ngoạn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilômét thì người quan
sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10mso với mực
nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400km (h.42) .
Hướng dẫn. Áp dụng kết quả của bài tập 34.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 196 toanthaycu.com M T M' A Hình 42 C. LUYỆN TẬP
Bài 4.1 (Dạng 1) . Cho nửa đường tròn (O ) đường kính AB . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm
M . Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu C của trên AB .
a) Chứng minh rằng tia CA là lia phan giác của góc MCH .
b) Giả sử MA a,MC  2a , tính AB và HC theo a .
Bài 4.2 (Dạng 1) . Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O ) . Gọi D,E ,F lần lượt là các tiếp điểm của
đường tròn trên các cạnh AB, BC,CA . Gọi M , N , P lần lượt là các giao điểm của đường tròn (O ) với các tia ,
OA OB và OC . Chứng minh rằng các điểm M , N , P lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp
các tam giác ADF, BDE và CEF.
Bài 4.3 (Dạng 2) . Cho đường tròn (O ) và (O ') cắt nhau tại A và B . Một đường thẳng tiếp xúc với
đường tròn (O ) tại C và tiếp xúc với đường tròn (O ') tại D. Vẽ đường tròn  I  qua ba điểm
A, C, D cắt đường thẳng AB tại một điểm thứ hai là E . Chứng minh rằng: a)   0
CAD CBD  180 .
b) Tứ giác BCED là hình bình hành.
Bài 4.4 (Dạng 3) . Trên một cạnh của góc M lấy điểm T trên cạnh kia lấy hai điểm A và B sao cho 2 MT M .
A MB . Chứng minh rằng MT là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp TAB .
Bài 4.5 (Dạng 5) . Cho hai đường tròn (O ) và (O ') cắt nhau tại A và B . Vẽ dây BC của đường
tròn (O ) tiếp xúc với đưòng tròn (O ') . Vẽ dây BD của đường tròn (O ') tiếp xúc với đường tròn
(O ) . Chứng minh rằng: a) 2
AB AC.AD BC AC b)  BD AD
Bài 4.6 (Dạng 5) . Cho đường tròn (O ) và một điếm M ở bên ngoài đường tròn. Tia Mx quay quanh
M cắt đường tròn tại A và B . Gọi I là một điểm thuộc tia Mx sao cho 2 MI M . A MB . Hỏi điểm
I di động trên đường nào?
BÀI 4. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 197 toanthaycu.com 1. Định lí
Số đo của góc tạo bởi tia.tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. Trong hình 33:  1  BAx  sđ AB 2 2. Hệ quả
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhạu.
3. Định lí (bổ sung)
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) , có số đo bằng nửa
số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến
của đường tròn (h.33) . B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU Phương pháp giải
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- Hai góc kề đáy của tam giác cân bằng nhau.
- Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau.
Ví dụ 1. ( Bài 27, tr. 79 SGK)
Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Lấy điểm P khác A và B và trên đường tròn. Gọi Tlà
giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh rằng:   APO PBT . T M A B O Hình 34
Ví dụ 2. (Bài 29, tr.79 SGK)
Cho hai đường tròn (O ) và (O ') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O ') cắt
(O ) tại C và đối với đường tròn (O ) cắt (O ') tại D . Chứng minh   CBA DBA .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 198 toanthaycu.com A 1 2 O n m O' B D C Hình 35
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Phương pháp giải
Bạn có thể chứng minh hai đường thẳng tạo với đường thứ ba cắt chúng một cặp góc so le trong bằng nhau.
Ví dụ 3. (Bài 28, tr. 79 SGK)
Cho hai đường tròn (O ) và (O ') cắt nhau tại A và B . Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O ') cắt
đường tròn (O ) tại điểm thứ hai P .
Tia PB cắt đường tròn (O ') tại Q . Chứng minh đường (thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P
của đường tròn (O ) . A 1 n m D O' O B 1 C
DẠNG 3. CHỨNG MINH MỘT TIA LÀ TIA TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp giải
- Bạn hãy chứng minh tia nạy vuông góc với bán kính đi qua gốc của tia.
- Hoặc bạn dùng phương pháp phản chứng.
Ví dụ 4. (Bài 30, tr. 79 SGK)
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:
- Nếu góc BAx(với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB ) , có số đo bằng nửa
số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp
tuyến của đường tròn (h.37) .
Gợi ý : Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 199 toanthaycu.com O B x' x A Hình 37a .
DẠNG 4. TÍNH SỐ ĐO GÓC HOẶC CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC GIỮA CÁC GÓC Phương pháp giải
- Dùng định lí số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo của cung bị chắn.
- Dùng định lí về tổng các góc của tam giác, tứ giác.
Cho đường tròn (O ; R ) và dây cung BC R . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O ) tại , B C cắt nhau ở A . Tính   ABC, BAC . C A B O Hình 38
Ví dụ 6 (Bài 32, tr. 80 SGK)
Cho đường tròn tâm O đường kính .
AB Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại
T (điểm B nằm giữa O và T ) . Chứng minh   0
BTP  2.TPB  90 P 1 1 A O B T Hì
DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI BLỂU THỨC TÍCH BẰNG NHAU Phương pháp giải
Dùng phương pháp tam giác đồng dạng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 200 toanthaycu.com
Ví dụ 7. (Bài 33, tr. 80 SGK)
Cho $A, B, C$ là điểm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại A . Đường thẳng song song
với At cắt BM tại M vàcắt AC tại N .Chứngminh AB AM AC AN . t A N M O B C Hình 40
Ví dụ 8. (Bài 34, tr. 80 SGK)
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến M . AB Chứng minh 2 MT M . A MB . M O T A B Hình 41
Ví dụ 9. (Bài 35, tr. 80 SGK)
Trên bờ biển có một ngoạn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilômét thì người quan
sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10mso với mực
nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400km (h.42) .
Hướng dẫn. Áp dụng kết quả của bài tập 34.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 201 toanthaycu.com M T M' A Hình 42 C. LUYỆN TẬP
Bài 4.1 (Dạng 1) . Cho nửa đường tròn (O ) đường kính AB . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm
M . Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu C của trên AB .
a) Chứng minh rằng tia CA là lia phan giác của góc MCH .
b) Giả sử MA a,MC  2a , tính AB và HC theo a .
Bài 4.2 (Dạng 1) . Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O ) . Gọi D,E ,F lần lượt là các tiếp điểm của
đường tròn trên các cạnh AB, BC,CA . Gọi M , N , P lần lượt là các giao điểm của đường tròn (O ) với các tia ,
OA OB và OC . Chứng minh rằng các điểm M , N , P lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp
các tam giác ADF, BDE và CEF.
Bài 4.3 (Dạng 2) . Cho đường tròn (O ) và (O ') cắt nhau tại A và B . Một đường thẳng tiếp xúc với
đường tròn (O ) tại C và tiếp xúc với đường tròn (O ') tại D. Vẽ đường tròn  I  qua ba điểm
A, C, D cắt đường thẳng AB tại một điểm thứ hai là E . Chứng minh rằng: a)   0
CAD CBD  180 .
b) Tứ giác BCED là hình bình hành.
Bài 4.4 (Dạng 3) . Trên một cạnh của góc M lấy điểm T trên cạnh kia lấy hai điểm A và B sao cho 2 MT M .
A MB . Chứng minh rằng MT là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp TAB .
Bài 4.5 (Dạng 5) . Cho hai đường tròn (O ) và (O ') cắt nhau tại A và B . Vẽ dây BC của đường
tròn (O ) tiếp xúc với đưòng tròn (O ') . Vẽ dây BD của đường tròn (O ') tiếp xúc với đường tròn
(O ) . Chứng minh rằng: a) 2
AB AC.AD BC AC b)  BD AD
Bài 4.6 (Dạng 5) . Cho đường tròn (O ) và một điếm M ở bên ngoài đường tròn. Tia Mx quay quanh
M cắt đường tròn tại A và B . Gọi I là một điểm thuộc tia Mx sao cho 2 MI M . A MB . Hỏi điểm
I di động trên đường nào?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 202 toanthaycu.com
BÀI 5. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Định lí 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa số đo hai cung bị chắn.
Định lí 2: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. Trong hình 43:    sñBD sñ AC BFD   2    sñBD sñ AC BED   2 B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU HOẶC CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC GIỮA CÁC GÓC Phương pháp giải
Tính số đo của các góc theo số đo của các cung bị chắn rồi so sánh các số đo đó.
Ví dụ 1. (Bài 36, tr. 82 SGK)  
Cho đường tròn (O ) và hai dây AB, AC . Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của AB và AC .
Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H . Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân. A N M E H B O C Hình 44
Ví dụ 2. (Bài 37, tr. 82 SGK)
Cho đường tròn (O) và hai dây AB,AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M . Gọi S là
giao điểm của AM và BC. Chứng minh   ASC MCA
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 203 toanthaycu.com
Ví dụ 3. (Bài 38, tr. 82 SGK)
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC , CD , DB sao cho    0
sd AC sdCD sdDB  60 . Hai
đường thẳng CA và CB cắt nhau tại E . Hai tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng: a)   AEB BTC
b) CD là tia phân giác của  BCT . E T C D A B O Hình 46
Ví dụ 4. (Bài 41, tr. 83 SGK)
Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng
BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm trong hình tròn. Chứng minh: ˆ  
A BSM  2.CMN .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 204 toanthaycu.com C B O A M N Hình 47
Ví dụ 5. (Bài 43, tr.83 SGK) Cho đường tròn O và hai dây cung song sng AB, C D ( A và C
nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD ) : D
A cắt BC tại I. Chứng minh  
A O C A IC .
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU. Phương pháp giải
 Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai
cạnh của một tam giác cân.
 Để chứng minh một tam giác là cân ta chứng minh hai góc của nó bằng nhau, bằng cách so
sánh số đo góc theo số đo các cung bị chắn.
Ví dụ 6. (Bài 39, tr. 83 SGK) Cho
AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn O. Trên cung nhỏ D B
lấy một điểm M . Tiếp tuyến tại M cắt AB ở E , đoạn thẳng CM cắt AB ở E , đoạn thẳng CM
cắt AB ở S. Chứng minh ES EM
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 205 toanthaycu.com
Ví dụ 7. (Bài 40, tr. 83 SGK)
Qua điểm S nằm ngoài đường tròn O , vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác 
B A C cắt dây BC tại D . Chứng minh SA  D S .
DẠNG 3. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. Phương pháp giải
Bạn có thể chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó là góc vuông bằng cách tính số đo của góc đó theo cung bị chắn.
Ví dụ 8. (Bài 42, tr.83 sgk)
Cho ABC nội tiếp đường tròn P,Q, R theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung BC,CA, AB a)
Chứng minh: AP QR . b)
AP cắt CR tại I. Chứng minh CPI  là tam giác cân. C. LUYỆN TẬP
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 206 toanthaycu.com
Bài 5.1 (Dạng 1) . Tam giác nội tiếp đường tròn O . Trên các cung nhỏ AB và AC lần lượt lấy
các điểm I và K sao cho  
AI AK . Dây IK cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . a) Chứng minh:  
A D K A C B . b)
ABC phải có thêm điều kiện gì thì tứ giác AECB là hình thang cân.
Bài 5.2 (dạng 2) . Cho đường tròn O và một dây AB . Vẽ đường kính CD AB ( D cung
nhỏ AB) . Trên cung nhỏ BC lấy mjt điểm N . Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường
thẳng AB tại E và F . Tiếp tuyến của đường tròn tại N cắt đường thẳng AB tại I. Chứng minh: a) INE, I  NF là tam giác cân.
b) AI bằng trung bình cộng của AE và AF .
Bài 5.3 (Dạng 1, 2) . Cho tam giác ABC nội tiếp O . Các tia phân giác   ,
B C cắt nhau tại I và cắt
đường tròn lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a) AMN là tam giác cân. b)
EAI , DAI là những tam giác cân. c)
Tứ giác AMIN là hình thoi.
Bài 5.4 (Dạng 2) . Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn O ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC . Vẽ
đường kính BD . Hai đường thẳng CD, MB cắt nhau tại A . Chứng minh rằng M là trung điểm AB .
Bài 5.5 (Dạng 3) . Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn O , vẽ hai cát tuyến ABC , ADE ( B
nằm giữa A và C , D nằm giữa A và E ) . Cho biết  0  0 A  50 , d
s BD  40 . Chứng minh rằng CD  BE .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 207 toanthaycu.com
BÀI 6. CUNG CHỨA GÓC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Qũy tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng AB và góc   0 0
0    180  ch trước thì quỹ tích của các điểm Mthỏa mãn 
A M B   là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn AB (h.52)
Đặc biệt: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn
đường kính AB (H.53)
2. Cách vẽ cung chứa góc
- Vẽ đường trung trực d của AB.
- Vẽ tia Ax tạo với AB góc  .
- Vẽ đường thẳng Ay  Ax . Gọi O là giao điểm của Ay với d. - Vẽ 
AmB,O , bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax .
3. Cách giải bài toán qũy tích.
Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.
Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H. B. CÁC DẠNG TOAN
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 208 toanthaycu.com
DẠNG 1. QUỸ TÍCH LÀ CUNG CHỨA GÓC Phương pháp giải - Tìm
đoạn thẳng cố định trong hình vẽ. -
Nối điểm phải tìm quỹ tích với hai đầu của đoạn thẳng cố định đó, xác định góc  tạo thành. -
Khẳng định điểm phải tìm quỹ tích thuộc cung chứa góc  vẽ trên đoạn thẳng cố định.
Ví dụ 1. (Bài 44, tr.86 SGK) Cho
ABC vuông ở A , có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác
trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi. Giải (h.54)
Ví dụ 2. (Bài 45, tr. 86 SGK) Cho các hình thoi D
ABC có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường
chéo trong các hình thoi đó. B A C O D Hình 55
Ví dụ 3. (Bài 48, tr. 87 SGK) Cho hai
điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính
không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 209 toanthaycu.com
Ví dụ 4. (Bài 50, tr. 87 SGK)
Cho đừng tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối
của tia MA lấy I sao cho MI  2 . MB a) Chứng minh:  AIB không đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.
DẠNG 2. CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒNG Phương pháp giải
Chứng minh các điểm này cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB và cùng nhìn thấy AB dưới một góc như nhau. Ví dụ 5. (Bài 51, tr. 87 SGK)
Cho I ,O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với  0
A  60 . Gọi H là giao điểm cả các đường cao BB , CC  .
Chứng minh các điểm B, C , O , H , I cùng thuộc một đường tròn.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 210 toanthaycu.com
DẠNG 3. DỰNG TAM GIÁC BIẾT MỘT CẠNH, GÓC ĐỐI DIỆN Phương pháp giải -
Trước tiên dựng một đoạn thẳng có độ dài bằng cạnh đã cho. -
Dựng cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng đó. - Sau
đó tiếp đến điều kiện còn lại.
Ví dụ 6. (Bài 46, trang 86 SGK)
Dựng một cung chứa góc 55 trên đoạn thẳng AB  3cm .
Ví dụ 7. (Bài 49, trang 87 SGK)
Dựng tam giác ABC , biết  BC  6c ,
m A  40 và đường cao AH  4cm .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 211 toanthaycu.com
DẠNG 4: SO SÁNH GÓC CÓ ĐỈNH NẰM BÊN TRONG, NẰM BÊN NGOÀI VÀ NẰM
TRÊN CUNG CHỨA GÓC VÀ Phương pháp giải:
Dùng tính chất góc ngoài của tam giác hoặc định lý góc có đỉnh ở bên trong, ở bên ngoài đường trong để so sánh.
Ví dụ 8 (Bài 47, trang 86 SGK)
Gọi cung chứa góc 55 ở bài tập 46 là 
AmB . Lấy điểm M nằm bên trong và điểm M nằm bên 1 2
ngoài đường tròn chứa cung này sao cho M , M và cung AmB$ nằm cùng một phía đối với đường 1 2
thẳng AB. Chứng minh rằng: a)  AM B 55  ; b)  AM B 55  . 1 2
Ví dụ 9 (Bài 52, trang 87 SGK)
“ Góc sút ” của quả phạt đền 11m là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7, 32m . Hãy
chỉ ra vị trí khác trên sân có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11m.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 212 toanthaycu.com C. LUYỆN TẬP
Bài 6.1 (Dạng 1) . Cho nửa đường tròn  ;
O R đường kính AB . Vẽ dây MN R (điểm M ở trên cung 
AN ) . Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Hỏi khi dây MN di động thì điểm I di động trên đường nào?
Bài 6.2 (Dạng 1) . Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây AC quay quanh A . Trên nửa
mặt phẳng bờ AC không chứa B ta vẽ hình vuông ACDE . Hỏi:
a) Điểm D di động trên đường nào ?
b) Điểm E di động trên đường nào ?
Bài 6.3 (Dạng 1) . Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm E , trên tia đối của tia CD
lấy điểm F sao cho CE CF . Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF . Tìm quỹ
tích của điểm M khi E di động trên cạnh BC .
Bài 6.4 (Dạng 1) . Cho tam giác ABC vuông góc ở A . Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và
AC ra phía ngoài tam giác. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC ra phía ngoài tam
giác. Qua A vẽ cát tuyến MAN ( M thuộc nửa đường tròn đường kính AB , N thuộc nửa đường
tròn đường kính AC ) .
a) Tứ giác BMNC là hình gì ?
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi cát tuyến MAN quay quanh A .
Bài 6.5 (Dạng 2) . Cho nửa đường tròn đường kính AB . Gọi M là điểm chính giữa của cung AB .
Trên cung AM lấy điểm N . Trên các tia AM , AN và BN lần lượt lấy các điểm C, D, E sao cho
MC MA; ND NB và NE NA . Chứng minh rằng năm điểm A, B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6.6 (Dạng 2) . Cho tam giác ABC vuông góc tại A , đường phân giác BF . Từ điểm I nằm
giữa B và F vẽ một đường thẳng song song với AC và cắt AB và BC lần lượt tại M và N .
Vẽ đường tròn ngoại tiếp BI
N cắt đường thẳng AI tại một điểm thứ hai là D . Hai đường thẳng
DN và BF cắt nhau tại E .
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 213 toanthaycu.com
b) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C , D , E cùng nằm trên một đường tròn, từ đó suy ra BE CE .
Bài 6.7 (Dạng 3) . Dựng tam giác ABC biết  ABC  3c ;
m A  50 và AB  3,5cm .
Bài 6.8 (Dạng 3) . Dựng tam giác ABC biết BC  4cm, đường cao BD  3cm và đường cao CE  3, 5cm .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 214 toanthaycu.com
BÀI 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (H.64) 2. Định lý
- Định lý thuận: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180.
- Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. Trong hình 64:
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O  
A C  180 .
3. Hệ thống một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
- Dùng định nghĩa: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.
- Dùng định lý đảo: Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
- Dùng cung chứa góc  :
Tứ giác ABCD có hai đỉnh C và D sao cho  
ACB ADB thì tứ giác ABCD nội tiếp được (H.65) . 4. Chú ý
Trong các tứ giác đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH SỐ ĐO GÓC Phương pháp giải:
Muốn tính số đo của một góc của tứ giác nội tiếp ta lấy 180 trừ đi số đo của góc đối diện.
Ví dụ 1. (Bài 53, tr.89 SGK)
Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bảng sau (nếu có thể) : Trường hợp 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 215 toanthaycu.com Góc  A 80 60 95  B 70 40 65  C 105  D 75 98
Ví dụ 2. (Bài 55, tr.89 SGK)
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M , biết    DAB  80 ,
DAM  30 ,BMC  70.
Hãy tính số đo các góc       MA , B BCM, A , MB DM , C A , MD MCD và  BCD.
Ví dụ 3. (Bài 56, tr.89 SGK)
Xem hình 66. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD .
DẠNG 2: NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP Phương pháp giải
Có thể dùng một trong các cách sau: -
Vận dụng định nghĩa của tứ giác nội tiếp. -
Chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180. - Dùng cung chứa góc  .
Ví du 4. (Bài 57, tr.89 SGK)
Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn:
- Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân? Vì sao?
Ví du 5. (Bài 58, tr.90 SGK)
Cho tam giác đều ABC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A , lấy điểm D sao cho
DB DC và  1  DCB ACB . 2
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 216 toanthaycu.com
DẠNG 3. CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp giải -
Trong một tam giác các đường trung trực của ba cạnh đồng quy. -
Trong một đường tròn, các đường trung trực của các dây không song song đồng quy.
Ví dụ 6. (Bài 54, tr.89 SGK)
Tứ giác ABCD có  
ABCADC 180. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC , BD, AB cùng đi qua một điểm.
DẠNG 4. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp giải
Bạn có thể chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
Ví dụ 7. (Bài 59, tr.90 SGK)
Cho hình bình hành ABCD . Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B,C cắt đường thẳng CD tại P khác
C . Chứng minh AP AD .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 217 toanthaycu.com
DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Phương pháp giải
Bạn có thể chứng minh một cặp góc so le trong bằng nhau.
Ví dụ 8. (Bài 60, tr.90 SGK)
Xem hình 70. Chứng minh QR //ST .
Hướng dẫn: Xét cặp góc so le trong   PST;SRQ. C. LUYỆN TẬP
Bài 7.1 (Dạng 1,4) . Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn O và
A   0    90. Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AC . Vẽ tia Bx AM cắt tia CM tại D .
a) Tính số đo góc AMD.
b) Chứng minh rằng MD MB .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 218 toanthaycu.com
Bài 7.2 (Dạng 1,2) . Tam giác ABC không có góc tù. Các đường cao AH và đường trung tuyến AM  
không trùng nhau. Gọi N là trung điểm của AB . Cho biết BAH CAM.
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Tính số đo của góc BAC .
Bài 7.3 (Dạng 1,2) Cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm E di động giữa A và B . Qua B vẽ
một đường thẳng vuông góc với tia CE tại D và cắt tia CA tại H . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ADBC nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Góc ADH có số đo không đổi khi E di động giữa A và B .
c) Khi E di động giữa A và B thì . BA BE  . CD CE không đổi.
Bài 7.4 (Dạng 2) Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây AC . Từ một điểm D trên AC vẽ
DE AB . Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau tại F . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCDE nội tiếp được đường tròn.  
b) AFE ACE . Bài 7.5 (Dạng 2)
Cho nửa đường tròn đường kính AB . Lấy hai điểm C và D trên nửa đường tòn sao cho số đo các
cung AC; CD; DB bằng nhau. Các tiếp tuyến vẽ từ B và C của nửa đường tròn cắt nhau tại I. Hai tía
AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
a) Tam giác KAB và IBC là những tam giác đều.
b) Tứ giác KIBC nội tiếp được một đường tròn. Bài 7.6 (Dạng 2)
Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn. Trên tia Bx
lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D) . Các tia AC và BD lần lượt cắt đường tròn tại E và F.
Hai dây AF và BE cắt nhâu tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác FNEM nội tiếp được.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp được. Bài 7.7 (Dạng 2)
Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn., Xác định tâm O của đường tròn đó.
b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I. Chứng minh rằng năm điểm A, I, F, H, E Bài 7.8 (Dạng 3;4)
Cho tam giác ABC; dựng ra ngoài tam giác này các tam giác đều BCD; ACE; ABF. Chứng minh rằng:
a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác trên đều đi qua một điểm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 219 toanthaycu.com
b) Ba đường thẳng AD; BE; CF cùng đi qua một điểm.
c) Ba đoạn thẳng AD; BE; CF bằng nhau.
Bài 7.9 (Dạng 5) Trong hình 71, hãy chứng minh CE / / DF
Bài 7.10 (Dạng 2;5) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại I. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và
BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) M N / / C D .
b) Tứ giác ABNm nội tiếp được.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 220 toanthaycu.com
BÀI 8. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định nghĩa
a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và
đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được
gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn. 2. Định lý
Bất kỳ đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đường tròn
ngoại tiếp; có một và chỉ một đường tròn nội tiếp (h.72)
Tâm của hai đường tòn này trùng nhau goi là tâm của đa giác đều. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. VẼ ĐA GIÁC ĐỀU NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN CHO TRƯỚC. TÍNH ĐỘ
DÀI MỖI CẠNH A THEO R Phương pháp giải 360
 Vẽ góc ở tâm có số đo
, cung tương ứng căng một cạnh của đa giác đều n cạnh. n
 Để tính các cạnh ta có thể dùng định lý Py– ta – go hoặc hệ thức giữa cạnh và góc trong một tam giác vuông.
Ví dụ 1. (Bài 61 tr. 91 SGK)
a) Vẽ đường trong tâm O, bán kính 2 cm
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn ở câu a)
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O;r)
Ví dụ 2. (Bài 63 tr. 92 SGK)
Cho hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp một đường tròn (O;R) . Tính
các cạnh của hình đó theo R.
DẠNG 2. VẼ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP MỘT ĐA GIÁC ĐỀU CHO TRƯỚC. TÍNH R, R Phương pháp giải
 Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh kề nhau, chúng cắt nhau tại điểm O, điểm này là tâm đường
tròn ngoại tiếp, cũng là tâm đường tròn nội tiếp của đa giác đều.
 Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp là đoạn thẳng nối O với một đỉnh của đa giác.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 221 toanthaycu.com
 Bán kính r của đường tròn nội tiếp là đoạn thẳng nối O với trung điểm của một cạnh của đa giác.
 Để tính R,r ta có thể dùng định lý Py- ta – go hoặc hệ thức giữa cạnh và góc trong một tam giác vuông.
Ví dụ 3. (Bài 62 tr. 91 SGK)
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.
b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
c) Vẽ tiếp đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC. Tính r.
d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O;R) .
DẠNG 3. CHO TRƯỚC SỐ ĐO CỦA MỘT CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN (O;R) . TÍNH ĐỘ
DÀI CỦA DÂY CĂNG CUNG Phương pháp giải
 Nếu cung đã cho căng một dây là một cạnh của đa giác đều n cạnh thì ta tính độ dài của cạnh này theo công thức: 180 a  2 . R sin n
 Một số trường hợp thường gặp, ta lấy ngay kết quả ở bài 63: -
Với n = 3 thì a R 3 3 -
Với n = 4 thì a R 2 4
- Với n = 6 thì a R 4
Ví dụ 4. (Bài 64 tr. 92 SGK)
Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ A, ba cung AB, BC, CD sao cho 60 sd AB ; số đo cung  90 BC ; số đo cung  120 CD
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 222 toanthaycu.com
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R. C. LUYỆN TẬP
Bài 8.1 (Dạng 1) . Một đường tròn có bán kính 3 cm. Tính diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn đó.
Bài 8.2 (Dạng 2) . Một đa giác đều nội tiếp đường tròn (O; 2cm) . Biết độ dài mỗi cạnh của nó là
2 3 cm . Tính diện tích của đa giác đều đó.
Bài 8.3 (Dạng 2) . Cho hình lục giác đều ABCDEF, độ dài mỗi cạnh là c. Các đường thẳng AB và
CD cắt nhau tại M, cắt đường thẳng EF theo thứ tự tại N và P.
a) Chứng minh rằng MNP là tam giác đều.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp MNP .
Bài 8.4 (Dạng 2) Cho ngũ giác đều ABCDE cạnh a. Hai đường chéo AC và AD cắt BE lần lượt tại M và N.
a) Tính tỷ số giữa các bán kính của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều đó.
b) Chứng minh rằng các tam giác AMN và CMB là những tam giác cân. c) Chứng minh rằng 2
AC.BM a
Bài 8.5 (Dạng 3) Cho đường tròn (O;R) . Từ điểm A trên đường tròn này vẽ các cung AB và AC sao cho số đo cung  30 A B , số đo của cung  90 AC
(điểm A nằm trên cung nhỏ BC) . Tính
các cạnh của ABC và diện tích của nó.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 223 toanthaycu.com
BÀI 9. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Công thức tính độ dài đường tròn.
C  2R hoặc C   d
Trong đó: C là độ dài đường tròn bán kính R; d = 2R;   3,14.
2. Công thức tính độ dài cung tròn Rn l  . (h. 77)  AB 180
Trong đó l là độ dài cung tròn  n B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN HOẶC CÁC ĐẠI LƯỢNG CÓ LIÊN QUAN
Ví dụ 1. (Bài 65, tr.94 SGK)
Lấy giá trị gần đúng   3,14. hãy điền vào các ô trống trong bảng sau (Đơn vị độ dài cm; làm tròn
kết quả đến số thập phân thứ 2) :
Bán kính đường tròn (R) 10 3
Số đo của cung tròn (  n ) 10 3
Độ dài đường tròn (C) 20 25,12
Ví dụ 2. (Bài 66, tr.95 SGK)
a) Tính độ dài cung 6 0  của một đường tròn có bán kính 2 dm.
b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kinh 650mm.
Ví dụ 3. (Bài 67, tr.95 SGK)
Lấy giá trị gần đúng   3,14. hãy điền vào các ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số
thập phân thứ nhất và đến độ) .
Bán kính đường tròn (R) 10 cm 21 cm 6,2 cm
Đường kính đường tròn (d) 9 0  5 0  4 1 2 5 
Độ dài cung tròn ( l ) 35,6 cm 20,8 cm 9,2 cm
Ví dụ 4. (Bài 69, tr.95 SGK)
Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh sau xe có đường
kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi sau khi bánh xe sau lăn được 10 vòng
thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 224 toanthaycu.com
Ví dụ 5. (Bài 70, tr.95 SGK)
Vẽ lại ba hình (tạo bởi các cung tròn) dưới đây và tính chu vi mỗi hình (Có gạch chéo) :
Ví dụ 6. (Bài 71, tr.96 SGK)
Vẽ lại cá hình tạo bởi cung tròn dưới đây với tâm lần lượt là B; C; D; A theo đúng kích thước đã
cho (cạnh hình vuông dài 1cm) . Nêu cách vẽ đường xoắn AEFGH. Tính độ dài đường xoắn đó.
Ví dụ 7. (Bài 72, tr. 96 SGK)
Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là 540 .
mm Dây cua-roa bao bánh xe theo cung AB có độ dài 200 .
mm Tính góc AOB (h.82) .
Ví dụ 8: Đường tròn lớn của trái đất dài khoảng 40000 .
km Tính bán kính trái đất.
Ví dụ 9. (Bài 74, tr. 96 SGK)
Vĩ độ của Hà Nội là 0
20 01 '. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40000 . km
Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 225 toanthaycu.com
DẠNG 2. SO SÁNH ĐỘ DÀI CỦA HAI CUNG Phương pháp giải:
Tính độ dài của mỗi cung theo bán kính đường tròn và theo số đo độ của cung rồi so sánh các kết quả
Ví dụ 10. (Bài 68. tr. 95 SGK)
Cho ba điểm A, B ,C , thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và .
C Chứng minh rằng độ dài của
nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và B . C
Ví dụ 11. (Bài 75, tr. 96 SGK)
Cho đường tròn (O), bán kính OM . Vẽ đường tròn tâm O đường kính OM . Một bán kính OA
của đường tròn (O ) cắt đường tròn (O ) ở .
B Chứng minh MA và MB có độ dài bằng nhau.
Ví dụ 12. (Bài 76/tr 96 SGK)
Xem hình 86 và so sánh độ dài của cung AmB với độ dài đường gấp khúc. . AOB
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 226 toanthaycu.com C. LUYỆN TẬP
Bài 9.1 (Dạng 1) Cho đường tròn (O) bán kính .
OA Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC  . OA
Biết độ dài đường tròn (O) là 4. (cm). Tính:
a) Bán kính của đường tròn (O);
b) Độ dài hai cung BC của đường tròn.
Bài 9.2 (Dạng 1) Tam giác ABC có 0 ˆ
AB AC  3c ;
m A  120 . Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 9.3 (Dạng 2) Một tam giác đều và một hình vuông cùng có chu vi là 72cm. Hỏi độ dài
đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn ? Lớn hơn bao nhiêu ?
Bài 9.4 (Dạng 2) . Cho hai đường tròn (O;R) và (O ;¢R ¢) tiếp xúc ngoài với nhau tại . A Một
đường thẳng qua A cắt dường tròn (O ) tại B, cắt đường tròn (O ¢) tai .
C Chứng minh rằng nếu 1
R¢ = R thì độ dài của cung AC bằng nửa độ dài của cung AB (chỉ xét các cung nhỏ   AC,AB 2 ) .
Bài 9.5 (Dạng 2) Cho đường tròn đường kính BC  2 .
R Trên đường tròn lấy một điểm A sao cho
AB R 3. Gọi P , P , P là chu vi các đường tròn có đường kính lần lượt là , CA AB và . BC 1 2 3 2 2 2 P P Chứng minh: 1 2 3   P . 1 3 4
Bài 9.6 (Dạng 2) . Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Vẽ ra phía ngoài của tứ giác này
bốn nửa đường tròn có đường kính lần lượt là bốn cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng tổng độ dài
hai nửa đường tròn có đường kính là hai cạnh đối diện bằng tổng độ dài hai nửa đường tròn kia.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 227 toanthaycu.com
BÀI 10. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Công thức tính diện tích hình tròn: 2 S = R
p , trong đó S là diện tích hình tròn bán kính R
2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn (h.87) 2 R p n lR S = hay S = ,trong đó 360 2
S là diện tích hình quạt tròn;
R là bán kính hình tròn;
n là số đo độ của cung tròn;
l là độ dài cung tròn.
3. Tính diện tích hình viên phân (h.88) và diện tích hình vành khăn (h.89) S = S -S AmB OAmB OAB S = p ( 2 2 R - R 1 2 ) B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN HOẶC CÁC ĐẠI LƯỢNG CÓ LIÊN QUAN Phương pháp giải
Tính diện tích hình tròn ta dùng công thức: 2 S   R 2 
Tính diện tích hình quạt tròn ta dùng công thức:  R n S 360
Tính R ta có thể dùng công thức  C R hoặc  S R 2 
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 228 toanthaycu.com S 6 .3 0
Tính n (số đo độ của cung tròn) ta dùng công thức quat n = 2 R p
Ví dụ 1. (Bài 77, tr. 98 SGK)
Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là 4 . cm
Ví dụ 2. (Bài 78, tr. 98 SGK)
Chân một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi 12m. Hỏi chân
đống cát đó chiếm một diện tích là bao nhiêu mét vuông?
Ví dụ 3. (Bài 79, tr. 98 SGK)
Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính 6cm, số đo cung là 36o.
Ví dụ 4. (Bài 80, tr. 98 SGK)
Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB  40m, AD  30 .
m Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn , A .
B Có hai cách buộc: - Mỗi dây thừng dài 20 . m
- Một dây thừng dài 30m và dây thừng kia dài 10 . m
Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn (h.60) ?
Ví dụ 5. (Bài 81, tr. 99 SGK)
Diện tích hình tròn sẽ thay đổi thế nào nếu:
a) Bán kính tăng gấp đôi? b) Bán kính tăng gấp ba?
c) Bán kính tăng k lần (k > 1) ?
Ví dụ 6. (Bài 82, tr. 99 SGK)
Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) : Bán kính đường Độ dài đường Diện tích hình Số đo của cung Diện tích quạt tròn (R ) tròn (C ) tròn (S ) tròn 0 n tròn cung 0 n 13, 2cm 0 47,5
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 229 toanthaycu.com 2, 5cm 2 12,5cm 2 37,80cm 2 10,60cm
DẠNG 2. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH VIÊN PHÂN, HÌNH VÀNH KHĂN VÀ NHỮNG HÌNH KHÁC
LIÊN QUAN ĐẾN CUNG TRÒN Phương pháp giải Dựa vào tính chất:
Nếu một hình H được chia thành hai hình H và H không có điểm trong chung thì 1 2
S = S + S H H H 1 2
Suy ra diện tích hìnhH = diện tích hình H - diện tích hình H 1 2
Ví dụ 7. (Bài 83, tr. 99 SGK)
a) Vẽ hình 92 (tạo bởi các cung tròn) với HI =10cmvà HO = BI = 2c . m Nêu cách vẽ.
b) Tính diện tích hình HOABINH (miền gạch sọc) .
c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó .
Ví dụ 8. (Bài 84, tr. 99 SGK)
a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1 . cm Nêu cách vẽ (h.93) .
b) Tính diện tích miền gạch sọc.
Ví dụ 9. (Bài 85, tr. 100 SGK)
Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy. Hãy tính diện  tích hình viên phân 0
A m B , biết góc ở tâm AOB = 60 và bán kính đường tròn là 5, 1cm
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 230 toanthaycu.com (h.94) . C.LUYỆN TẬP
Bài 10.1 (Dạng 1) . Một hình vuông và một hình tròn có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn.
Bài 10.2 (Dạng 1) . Chứng minh rằng diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông bằng hai lân diện
tích hình tròn nội tiếp hình vuông đó.
10.3 (Dạng 1) . Trong hình 97, biết diện tích miền gạch sọc là 2
86cm . Tính diện tích hình tròn Hình 97 Hình 98
Bài 10.4 (Dạng 1) . Vẽ lại hình 98 rồi tính:
a) Diện tích hình tròn ở giữa;
b) Diện tích miền gạch sọc
Bài 10.5( Dạng 2) . Tính diện tích hình vawnfh khăn tạo thành bởi đường tròn nội tiếp và đường
tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh là 6cm.
Bài 10.6 (Dạng 2) . Tam giác đều có cạnh a, nội tiếp đường tròn (O) . Tính diện tích hình viên phân
tạo thành bởi một cạnh của tam giác và một cung nhỏ căng cạnh đó.
Bài 10.7 (Dạng 2) . Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 2cm. Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ BC có chứa A ta vẽ ba nửa đường tròn có đường kính lần lượt là BH, CH và BC. Tính
diện tsich miền giới hạn bởi ba đường tròn đó.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 231 toanthaycu.com
Bài 10.8 (Dạng 2) . Trong hình 99, biết
ABC vuông tại A, AB =4; AC = 6. Hai nửa
đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại
H. Tính diện tích miền gạch sọc Hình 99
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 232 toanthaycu.com ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. BÀI TẬP ÔN TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA
Bài 88. hãy nêu tên mỗi góc trong hình dưới đây:
(Ví dụ. Góc trên hình 100b là góc nội tiếp)
Hình 100a Hình 100b Hình 100c Hình 100d Hình 100e
Bài 89. Trong hình 101, cung AmB có số đo là 6 0 o . Hãy:
a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB . Tính góc AOB
b) vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB . Tính góc ACB.
c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc Abt. Hình 101
d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn. So sánh góc ADB và ACB
e) Vẽ góc AEB có đỉnh E bên ngoài đường tròn (E và C cùng phía đối với AB) . So sánh  A E B và  ACB
Bài 90. a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm.
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.
c) vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 233 toanthaycu.com
Bài 91. Trong hình 104 đường tròn tâm O có bán kính R= 2cm.  75o AOB  a) Tính số đo  ApB
b) Tính độ dài hai cung AqB và ApB
c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB
Bài 92. Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 105,106,107 (đơn vị độ dài : cm) Hình 105 Hình 106 Hình 107
Bài 93. Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động khớp nhau. Khi m,ột bánh xe quay thì
hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng , bánh xe B có 40 cái răng, bánh xe C có
20 răng. Biết bán kính của bánh xe C là 1cm. Hỏi:
a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng ?
c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?
Bài 94. Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện
bán trú, ngoại trú, nội trú (h.108) . Hãy trả lời các câu hỏi sau:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 234 toanthaycu.com
a) Có phải 1 số học sinh là học sinh ngoại 2 trú không?
b) Có phải 1 số học sinh là học sinh bán trú 3 không?
c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm? Hình 108
d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em.
Bài 95. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H ( góc C khác 9 0 o ) và cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) CD = CE b) BHD cân c) CD= CH
Bài 96. Cho tam giác ABC nội tiếpđường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M.
Vẽ đường cao AH. CHứng minh rằng:
a) OM đi qua trung điểm của dây BC
b) AM là tia phân giác của góc OAH
Bài 97. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính
MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 235 toanthaycu.com
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp b)   ABDACD
c) CA là tia phân giác của góc SCB
Bài 98. Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm
M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.
Bài 99. Dựng ABC biết:BC = 6cm,  0
BAC 80 , đường cao AH có độ dài là 2cm. Hình 113
B. BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa
đường tròn. Một góc vuông quay quanh O, hai cạnh cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Hai đường
thẳng OD và Ax cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) AC.BD =R2
b) Tam giác CDE là tam giác cân.
c) CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 236 toanthaycu.com
Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho
AM R 3 . Vẽ tiếp tuyến MC ( C là tiếp điểm ) . Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BC tại D.
a) CHứng minh rằng BD // OM.
b) Xác định dạng của các tứ giác OBDM và AODM.
c) Gọi E là giao điểm của AD với OM. Gọi F là giao điểm của MC với OD. Chứng minh rằng EF là
tiếp tuyến của đường tròn (O) .
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AOC và AOD.
Đường thẳng AC cắt đường tròn (O’) tại E. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F. CHứng minh rằng:
a) Ba điểm C, B,D thẳng hàng.
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn
c) A là tâm đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp của  EF B
Bài 4. Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cắt tuyến ABC với đường tròn
( B nằm giữa A và C) . Gọi H là hình chiếu của T trên OA. Chứng minh rằng: 2
a) AT A . B AC b) A .
B AC AH.AO
c) Tứ giác OHBC nội tiếp đường tròn.
Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC) . Vẽ dây AD// BC. TIếp tuyến tại A
và Bcuar đường tròn cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:   ) a AIB AOB
b) Năm điểm E, A, I, O,B cùng nằm trên một đường tròn. c) IO IE
Bài 6. Cho hình vuông ABCD. TRên hai cạnh CB và CD lần lượt lấy hai điểm di động M và N sao
cho CM = CN. Vẽ CF BN tại E ( F AD )
a) Chứng minh rằng tứ giác FMCD hình chữ nhật
b) Chứng minh năm điểm A,B,M,E,F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
c) Đường tròn (O) cắt AC tại điểm thư hai là I. Chứng minh rằng IBF vuông cân
d) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng FI tại K. CHứng minh rằng ba điểm K, C, D thẳng hàng
Bài 7. Cho đường tròn (O) . Vẽ hai dây AC và BD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I ( điểm B
nằm trên cung nhỏ AC) . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD là hình thang cân
b) Tổng diện tích hai hình quạt tròn AOB và COD bằng tổng diện tích hai hình quạt tròn AOD và
BOC ( các hình quạt tròn ứng với các cung nhỏ) .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 237 toanthaycu.com
Bài 8.Cho nửa đường tròn đường kính BC = 10 cm và dây BA = 8cm. Vẽ ra phía ngoài của tam
giác ABC các nửa đường tròn đường kính AB và AC.
a) Tính diện tsich tam giác ABC.
b) Tính tổng diện tích hai hình viên phân
c) Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết
Bài 9. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Biết  0 BC 2c ; m A  45
a) Tính diện tích hình tròn (O)
b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC.
c) Xác định vị trí của điểm A để diện tích tam giác ABC lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 238 toanthaycu.com
CHƯƠNG IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
BÀI 1. HÌNH TRỤ - DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH TRỤ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Hình trụ
Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh OO cố định, O A
ta được một hình trụ ( h.114).
- Hai đáy là hai hình tròn O và O bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song. O' B
- Đường thằng OO là trục của hình trụ. Hình 114
- là một đường sinh. Đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy.
Độ dài của đường sinh là chiều cao của hình trụ.
2. Diện tích xung quanh của hình trụ S  2 Rh . xq 2
S  2 Rh  2 R . tp (
R là bán kính đáy, h là chiều cao).
3. Thể tích hình trụ . 2
V   R h .. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. NHẬN BIẾT CÁC YẾU TỐ CỦA HÌNH TRỤ Phương pháp giải
Đối chiếu với bài học, phần cách tạo ra hình trụ.
Ví dụ 1. (Bài 1, tr. 110 SGK) Hãy
điền thêm các tên gọi vào dấu “…”
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 239 toanthaycu.com ……
Ví dụ 2. (Bài 2, tr. 110 SGK)
Lấy một băng giấy hình chữ nhật (h.116). Biết AB  10cm , BC  4cm ; dán băng
giấy như hình vẽ ( . B . sát với A và C sát với D , không được xoắn). Có
thể dán băng giấy để tạo nên mặt xung quanh của hình trụ được không? D C D C A B Vết cắt A B Hình 116
Ví dụ 3. (Bài 3, tr. 110 SGK)
Quan sát ba hình dưới đây và chỉ ra chiều cao, bán kính đáy của mỗi hình. 10 cm 1 cm 3 cm 11 cm 8 cm 7 cm a) b) c) Hình 117
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 240 toanthaycu.com
DẠNG 2. TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN, THỂ
TÍCH CỦA HÌNH TRỤ HOẶC CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN Phương pháp giải
1. Tính diện tích xung quanh ta dùng công thức: S  2 Rh xq  . (1)
2. Tính diện tích toàn phần ta dùng công thức: 2
S  2 Rh  2 R . tp
3. Tính thể tích ta dùng công thức: 2
V   R h . (2) S
4. Tính bán kính đáy ta dùng công thức: xq R  ( suy từ 1). 2 h V hoặc R  ( suy từ 2).  h S 5. Tính V V
h ta dùng công thức: xq h  ( suy từ 1).hoặc h   ( suy từ 2). 2 R 2 SR
Ví dụ 4. (Bài 4, tr. 110 SGK)
Một hình trụ có bán kính đáy là 7 cm , diện tích xung quanh bằng 2 352cm . Khi
đó chiều cao của hình trụ là: ( A) 3, 2 cm ; ( B) 4,6cm ; (C) 1,8cm ( D) 2,1cm ; ( E) Một kết quả khác. Hãy chọn kết quả đúng.
Ví dụ 5. (Bài 5, tr. 111 SGK)
Điền đủ các kết quả vào những ô trống của bàng sau: Hình Bán kính Chiều cao Chu vi Diện tích Diện tích Thể tích đáy cm cm đáy cm đáy  2 cm  xung quanh  3 cm   2 cm  1 10 5 4 8 4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 241 toanthaycu.com
Ví dụ 6. (Bài 6, tr. 111 SGK) Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy.
Diện tích xung quanh của hình trụ là 2
314cm .Hãy tính bán kính đường tròn đáy và thể tích
hình trụ ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Ví dụ 7. (Bài 7, tr. 111 SGK)
Một bóng đèn huỳnh quang dài 1, 2 m ,
đường kính của đường tròn đáy là 4 cm , được đặt
khít vào một ống giấy cứng dạng hình hộp (h.
118). Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm Hình 118
một hộp. ( Hộp hở hai đầu, không tính lề và mép dán).
Ví dụ 8. (Bài 8, tr. 111 SGK)
Cho hình chữ nhật ABCD AB  2a, BC a . Quay hình chữ nhật đó quanh AB thì
được hình trụ có thể tích V ; quanh BC thì được hình trụ có thể tích V . Trong các 1 2
đẳng thức dưới đây, hãy chọn đẳng thức đúng: ( A) V V ; ( B) V  2V ; (C) V  2V 1 2 1 2 2 1 ( D) V  3V ; ( E) V  3V . 2 1 1 2
Ví dụ 9. (Bài 9, tr. 112 SGK)
Hình 119 là một hình trụ cùng với hình khai triển của nó kèm theo kích thước. Hãy
điền vào các chỗ … và các ô trống những cụm từ hoặc các số cần thiết.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 242 toanthaycu.com 10 cm 10 cm 12 cm 12 cm 10 cm Hình 119
Ví dụ 10. (Bài 10, tr. 112 SGK) Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi hình tròn đáy là 13cm và chiều cao là 3cm
b) Thể tích của hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 5 mm và chiều cao là 8 mm .
Ví dụ 11. (Bài 11, tr. 112 SGK)
Người ta nhấn chìm hoàn toàn một tượng
đá nhỏvào một lọ thủy tinh có nước dạng
hình trụ (h.120). Diện tích đáy lọ thủy tinh là 2
12,8cm . Nước trong lọ dâng lên
thêm 8,5mm . Hỏi thể tích của tượng đá là bao nhiêu?
Ví dụ 12. (Bài 12, tr. 112 SGK)
Điền đủ các kết quả vào những ô trống của bảng sau: Hình Bán Đườngkính Chiều Chu vi Diện tích Diện tích Thể kính cao tích đáy đáy đáy xung đáy quanh 25 mm 7 cm 6 cm 1m
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 243 toanthaycu.com 5cm 1l
Ví dụ 13. (Bài 13, tr. 113 SGK)
Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như hình 121 ( lỗ khoan dạng hình trụ),
tấm kim loại dày 2 cm , đáy của nó là hình vuông có cạnh là 5cm . Đường kính của
mũi khoan là 8 mm . Hỏi thể tích phần còn lại của tấm kim loại là bao nhiêu?
Ví dụ 14. (Bài 14, tr. 113 SGK)
Đường ống nối hai bể cá trong một
thủy cung ở miền nam nước Pháp có
dạng một hình trụ, độ dài của đường
ống là 30 m (h.122). Dung tích của
đường ống nói trên là 1800000 lít.
Tính diện tích đáy của đường ống. 30 m Hình 122 C. LUYỆN TẬP Bài 1.1
(Dạng 2). Một hình trụ có bán kính đáy bằng 1 đường cao. Khi cắt hình trụ 4
bằng một mặt phẳng đi qua trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật có diện tích là 2 50 m .
Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ. Bài 1.2
(Dạng 2). Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích của hình trụ là 3
128 cm . Tính diện tích xung quanhn của nó. Bài 1.3
(Dạng 2). Một hình trụ có bán kính đáy là 3cm . Biết diện tích toàn phần gấp
đôi diện tích xung quanh. Tính chiều cao của hình trụ. Bài 1.4
(Dạng 2). Một hình trụ có diện tích xung quanh là 2
20 cm và diện tích toàn phần là 2
28 cm . Tính diện tích của hình trụ đó.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 244 toanthaycu.com
Bài 1.5 (Dạng 2). Từ một khoanh giò hình trụ, A
người ta cắt rời ra một phần thẳng đứng O theo các bán kính ,
OA OB ( xem hình 123). B
Cho biết diện tích xung quanh của khoanh
giò sau khi cắt rời một phần ra đúng bằng
diện tích xung quanh trước khi cắt. Tính góc AOB . A' O' B' Hình 123
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 245 toanthaycu.com
BÀI 2. HÌNH NÓN – HÌNH NÓN CỤT - DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA
HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Hình nón
Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh góc vuông OA A
cố định thì được một hình nón ( h.124). -
Đáy của hình nón là hình tròn O . Đỉnh của hình nón là điểm A . -
AC là một đường sinh. O C -
AO là đường cao của hình nón. Hình 124
2. Diện tích xung quanh của hình trụ S   Rl ; 2
S   Rl  R . xq tp (
R là bán kính đáy, l là đường sinh). 1
3. Thể tích hình nón: 2
V   R h ( h là chiều cao). 3 4. Hình nón cụt S
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón
nằm giữa mặt phẳng nón trên và mặt đáy được gọi là một hình nón cụt (h.125). O' r 5.
Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt l h
S   R r l xq   R O C 1 2 2 Hình 125
V  .h R r Rr 3 B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. NHẬN BIẾT HÌNH NÓN Phương pháp giải
Xét xem có tam giác vuông nào quay quanh một cạnh cố định không?
Ví dụ. ( Bài 18,tr.117 SGK)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 246 toanthaycu.com A B C D Hình 126
Hình ABCD(h.126) khi quay quanh BC thì tạo ra : • Một hình trụ; • Một hình nón; • Một hình nón cụt; • Hai hình nón; • Hai hình trụ.
Hãy chọn câu trả lời đúng
DẠNG 2. TÍNH SỐ ĐO CUNG HOẶC BÁN KÍNH HÌNH QUẠT TRÒN HOẶC NỬA GÓC
Ở ĐỈNH CỦA HÌNH NÓN KHI KHAI TRIỂN MẶT XUNG QUANH HÌNH NÓN Phương pháp giải
Để tính số đo cung của hình quạt tròn ta làm theo hai bước:
Bước 1: Tính độ dài của cung hình quạt ( chính là chu vi của hình tròn đáy). 1 l
Bước 2: Tính số đo cung ( hoặc góc ở tâm ) của hình quạt tròn theo công thức : 180.l
trong đó R là bán kính hình quạt cũng chính là đường sinh của hình nón. 1 n  .R
. Để tính đường sinh của hình nón ta có thể tính bán kính hình quạt tròn khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.
.Để tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón ta tính một tỉ số lượng giác của góc đó.Muốn vậy cần tính hai trong
ba độ dài : đường sinh, đường cao , bán kính đáy. R R sin  ; tan  l h
Ví dụ 2: ( Bài 16,tr.117 SGK)
Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình
quạt.Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy.
Quan sát hình 127 và tính số đo cung của hình quạt tròn
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 247 toanthaycu.com
Ví dụ 3. ( Bài 17,tr.117 SGK)
Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như ở hình 124 thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh
của hình nón.Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là , đọ dài đường sinh là a.Tính số đo cung của
hình quạt khi lhai triển mặt xung quanh của hình nón. A O C Hình 124
Ví dụ 4. ( Bài 19,tr.118 SGK )
Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình quạt là
16cm, số đo cung là thì độ dài đường sinh của hình nón là: 16 (A) 16cm ; (B) 8cm; (C) cm; 3 16 (D) 4cm; (E) cm; 3
Hãy chọn kết quả đúng.
Ví dụ 5. ( Bài 23,tr.119 SGK )
Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón ( góc của tam giác vuông AOS – hình
128 ) sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón bằng một phần tư diện tích của hình tròn ( bán kính SA)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 248 toanthaycu.com B S α A O B Hình 128
Ví dụ 6. ( Bài 24,tr.119 SGK)
Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16
cm, số đo cung là . Tang của nửa góc ở đỉnh của hình nón là: 2 2 (A) (B) (C) 2 (D) 2 2 4 2
Hãy chọn kết quả đúng. B S α A O B Hình 128
DẠNG 3. TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH , TÍNH THỂ TÍCH HÌNH TRỤ HOẶC CÁC
ĐẠI LƯỢNG CÓ LIÊN QUAN Phương pháp giải
Bước 1: Viết công thức tính S , tính V ( hoặc từ đó suy ra công thức tính R,h,l ). xq
Bước 2: Xét xem những đại lượng nào đã biết , những đại lượng còn phải tính tiếp giá trị của đại lượng đó.
Bước 3: Thay đầy đủ giá trị của các đại lượng vào công thức và thực hiện các phép tính.
Ví dụ 7. ( Bài 15,tr.117 SGK )
Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ ( cạnh của hình lập phương bằng 1 )
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 249 toanthaycu.com ( h.129 ). Hãy tính:
a) Bán kính đáy của hình nón . b) Độ dài đường sinh.
Ví dụ 8. ( Bài 20,tr.118 SGK )
Hãy điền đầy đủ vào các ô trống ở bảng sau ( xem hình 130 ). l h R d Hình 130 Bán kính Đường kính dây Chiều cao Độ dài đường sinh Thể tích đáy r (cm) d ( cm) h ( cm ) l ( cm) V ( 10 10 10 10 10 100 10 100 10 100
Ví dụ 9. ( Bài 25,tr.119 SGK )
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy là a, b ( a < b ) và độ dài
đường sinh là l ( a,b,l có cùng đơn vị đo ).
Ví dụ 10. ( Bài 26, tr.119 SGK )
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 250 toanthaycu.com
Hãy điền đủ vào các ô trống cho ở bảng sau ( đơn vị độ dài : cm ) Hình Bán kính Đường kính Chiều cao Độ dài Thể tích Đáy ( r) Đáy ( d) (h) Đường sinh ( (V) l) 5 12 16 12 7 25 40 29
Ví dụ 11. ( Bài 28, tr. 120 SGK )
Một cái xô bằng inốc có dạng hình nón cụt đựng hóa chất , có các kích thước cho ở hình 131 ( đơn vị: cm )
a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô.
b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu? O 21 A 36 9 O' 27 S Hình 131
Ví dụ 12. ( Bài 29,tr.120 SGK )
Cối xay gió của Đôn – ki – hô – tê từ tác phẩm của Xec – van – téc ( Cervantès )
Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón ( h.132) .Chiều cao của hình nón là 42cm và
thể tích của nó là . Em hãy giúp chàng Đôn – ki – hô – tê tính bán kính đáy của hình nón (
làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 251 toanthaycu.com
DẠNG 4. TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH , TÍNH THỂ TÍCH CỦA NHỮNG HÌNH HỖN
HỢP BAO GỒM NHIỀU HÌNH Phương pháp giải
Ta tính diện tích xung quanh hoặc thể tích của từng bộ phận rồi cộng lại.
Ví dụ 13. ( Bài 21, tr.118 SGK )
Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ ( H.133). Hãy tính tổng diện tích vải cần có
để làm nên cái mũ ( không kể riềm , mép, phần thừa).
Ví dụ 14. ( Bài 22,tr.118 SGK )
Hình 134 cho ta hình ảnh của một cái đống hồ cát với các kích thước kèm theo ( OA = OB ).
Hãy so sánh tổng các thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 252 toanthaycu.com A h R O B Hình 134
Ví dụ 15. ( Bài 27, tr.119 SGK )
Một dụng cụ gồm một phần códạng hình trụ, phần còn lại có
dạng hình nón.Các kích thước
cho trên hình 135. Hãy tính:
a) Thể tích của dụng cụ này;
b) Diện tích mặt ngoài của dụng
cụ ( không tính nắp đậy ) C. LUYỆN TẬP
Bài 2.1 (Dạng 1, 3). Cho tam giác ABC vuông tại C. Biết BC = a, AC = b. Quay tam giác vuông
này một vòng lần lượt quanh cạnh AC và BC, được một hình nón đỉnh A và một hình nón đỉnh
B. Hãy so sánh tỉ số thể tích của hai hình nón và tỉ số diện tích xung quanh của hai hình nón ấy.
Bài 2.2 (Dạng 2). Một hình quạt tròn có bán kính 20cm và góc ở tâm là 1440. Người ta uốn hình
quạt này thành một hình nón. Tính số đo nửa góc ở đỉnh của hình nón đó.
Bài 2.3 (Dạng 3). Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh là . 2 65 cm ..
Tính thể tích của hình nón đó.
Bài 2.4 (Dạng 3). Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh là 2 135 cm .
a) Tính chiều cao của hình nón đó.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đó.
Bài 2.5 (Dạng 3). Một xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là 14cm và 9cm, chiều cao là 23cm.
a) Tính dung tích của xô.
b) Tính diện tích tôn để làm xô (không kể diện tích các chỗ ghép).
Bài 2.6 (Dạng 4). Từ một khúc hình trụ cao 15cm người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn
nhất. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là 3 640 cm .
a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ.
b) Tính diện tích xung quanh hình nón.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 253 toanthaycu.com
BÀI 3. HÌNH CẦU – DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hình cầu A
Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh
đường kính AB cố định thì được một hình cầu (h.136).
2. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng O
 Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn. B
 Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta Hình 136
được một đường tròn:
- Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm.
- Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm.
3. Diện tích mặt cầu 2
S  4 R hay 2
S   d
(R là bán kính; d là đường kính của mặt cầu).
4. Thể tích hình cầu 4 3 V   R 3 B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH HOẶC BÁN KÍNH HÌNH CẦU Phương pháp giải
 Để tính diện tích mặt cầu ta dùng công thức 2
S  4 R . (1)  4
Để tính thể tích hình cầu ta dùng công thức 3
V   R . (2) 3  S
Để tính bán kính hình cầu ta dùng công thức R  (suy từ 1). 4 3V Hoặc 3 R  (suy từ 2). 4
Ví dụ 1. (Bài 30 tr. 124 SGK)
Nếu thể tích của một hình cầu là 1 3
113 cm thì trong các kết quả sau đây. Kết quả nào là 7 bán kính của nó (lấy 22   )? 7 (A) 2cm; (B) 3cm; (C) 5cm;
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 254 toanthaycu.com (D) 6cm; (E) Một kết quả khác.
Ví dụ 2. (Bài 31 tr. 124 SGK)
Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:
Bán kính hình cầu 0,3mm 6,21dm 0,283m 100km 6hm 50dam Diện tích mặt cầu Thể tích hình cầu
Ví dụ 3. (Bài 33 tr. 125 SGK) Dụng cụ thể thao
Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau
(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai): Loại bóng Quả bóng Quả khúc Quả ten-nít Quả bóng Quả bi-a gôn côn bàn cầu Đường kính 42,7mm 6,5cm 40mm 61mm Độ dài 23cm đườn g tròn lớn Diện tích Thể tích
Ví dụ 4. (Bài 34 tr. 125 SGK)
Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier)
gày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người
Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không
khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có
đường kính 11m. Hãy tính diện tích mặt khinh
khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Ví dụ 5. (Bài 37 tr. 126 SGK)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB  2R , Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa
đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N .
a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng. b) Chứng minh 2
AM .BN R . c) Tính tỉ số S R MON khi AM  . S 2 APB
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 255 toanthaycu.com
d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra. y N 1 x P M 1 A B O Hình 138
DẠNG 2. TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA NHỮNG HÌNH HỖN HỢP BAO GỒM NHIỀU HÌNH Phương pháp giải
Ta tính diện tích hoặc thể tích của từng bộ phận rồi cộng lại.
Ví dụ 6. (Bài 32 tr. 125 SGK)
Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị: cm).
Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 139. Hãy tính diện tích bề mặt của khối
gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lẫn trong). Giải (h.139) Hình 139
Ví dụ 7. (Bài 35 tr. 126 SGK)
Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (h.140).
Hãy tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ.
Ví dụ 8. (Bài 36 tr. 126 SGK) Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu
với các kích thước đã cho trên hình 141 (đơn vị: cm).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 256 toanthaycu.com
a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA’ có độ dài không đổi và bằng 2a.
b) Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a. A O h 2x O' A' Hình 141 C. LUYỆN TẬP
Bài 3.1 (Dạng 1).Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng cm2) đúng bằng số đo
thể tích của nó (tính bằng cm3). Tính bán kính của hình cầu đó.
Bài 3.2 (Dạng 1). Một hình cầu có diện tích bề mặt là 2
100 m .Tính thể tích của hình cầu đó.
Bài 3.3 (Dạng 1,2).Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Ta quay nửa đường tròn
nội tiếp và nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác đều này một vòng quanh AH. Tính:
a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình nón. b)
Tỉ số thể tích của hai hình cầu nói trên.
c) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi hình nón và hình cầu ngoại tiếp hình nón.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 257 toanthaycu.com ÔN TẬP CHƯƠNG IV
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SÁCH GIÁO KHOA
Bài 38. Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 142.
Bài 39. Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2
2a và 6a. Cho hình vẽ quay quanh cạnh AB, ta được một hình trụ.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này. D A B C Hình 143
Bài 40. Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 144.
Hãy tính tỉ số thể tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành.
Bài 42. Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h. 146)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 258 toanthaycu.com
Bài 43. Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.147) (đơn vị: cm)
Bài 44. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O,
bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó,
EF là dây song song với AB (h.148). Cho hình đó quay xung
quanh trục GO. Chứng minh rằng :
a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông
bẳng thể tích của hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích
hình nón do tam giác đều sinh ra.
b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích
của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 259 toanthaycu.com
Bài 45. Hình 149 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong
một hình trụ, các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính: a) Thể tích hình cầu ; b) Thể tích hình trụ ;
c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu ;
d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là R cm và chiều cao 2R cm ;
e) Từ các kết quả a), b), c), d), hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.
B. BÀI TẬP ÔN BỔ SUNG
Bài 1. Một hình cầu nội tiếp trong một hình trụ. Cho biết diện tích mặt cầu là 2 60cm . Hãy tính :
a) Diện tích toàn phần của hình trụ. b) Thể tích hình trụ.
Bài 2. Tam giác ABC vuông tai A có BC  2a và B  30 . Quay tam giac vuông này một
vòng quanh cạnh AB ta được một hình nón đỉnh B. Chứng minh rằng diện tích toàn phần
của hình nón ấy bằng diện tích mặt cầu có đường kính AB .
Bài 3. Người ta chia hình tròn (O ; 12cm) thành hai hình quạt có các số đo cung là 120 và
240. Từ hai hình quạt này người ta uốn lại thành hai hình nón.
a) Tính nửa góc ở đỉnh của mỗi hình nón.
b) Tính thể tích của mỗi hình nón.
c) Tính tỉ số diện tích toàn phần của hai hình nón.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9 có lời giải chi tiết vui lòng liên
hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . Page 260