Bài giảng ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Toán 12 CTST

Tài liệu gồm 776 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm kiến thức cần nắm, giải bài tập sách giáo khoa, phương pháp giải các dạng toán và bài tập chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số môn Toán 12 bộ sách Chân Trời Sáng Tạo (CTST). Mời bạn đọc đón xem!

TÍNH ĐƠN ĐIU VÀ CC TR CA HÀM S
BÀI 1: TÍNH ĐƠN DIU VÀ CC TR CA HÀM S ........................................................................ 2
A. KIN THC CƠ BN CN NM ....................................................................................................... 2
B. CÁC DNG TOÁN ................................................................................................................................. 7
Dạng 1: Xét định đơn điu ca hàm s cho bởi công thức ..... Li! Th đánh du không đưc xác
định.
Dạng 2: Xét tính đơn điệu da vào bng biến thiên, đ th .... Li! Th đánh du không đưc xác
định.
Dạng 3: Tìm tham s m để hàm s đơn điu .................. Li! Th đánh du không đưc xác định.
Dạng 4: ng dng tính đơn điu đ chng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương
trình, h bt phương trình ............................................... Li! Th đánh du không đưc xác định.
Dạng 5: Tìm cực trị hàm s cho bởi công thức .............. Li! Th đánh du không đưc xác định.
Dạng 6: Tìm cực trị da vào bng biến thiên, đồ th .... Li! Th đánh du không đưc xác định.
Dạng 7: Tìm m để hàm s đạt cực trị ti mt đim x
0
cho trước . Li! Th đánh du không đưc
c định.
Dạng 7: Toán thc tế ........................................................ Li! Th đánh du không đưc xác định.
C. GII BÀI TP SÁCH GIÁO KHOA ................................................................................................... 7
D. BÀI TÂP TRC NGHIM 4 PHƯƠNG ÁN ................... Li! Th đánh du không đưc xác định.
PHẦN 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CA HÀM S ..................... Li! Th đánh du không đưc xác định.
PHN 2. CC TR CA HÀM S ................................... Li! Th đánh du không đưc xác định.
E. CÂU TRC NGHIM ĐÚNG SAI ................................... Li! Th đánh du không đưc xác định.
F. TR LI NGN ................................................................. Li! Th đánh du không đưc xác định.
CHƯƠNG 1: NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIU VÀ CC TR CA HÀM S
A. KIN THC CƠ BN CN NM
1. Tính đơn điệu ca hàm s
Nhc li v tính đng biến, nghch biến ca hàm s
Kí hiu
K
là khong hoc đon hoc na khong. Gi s m s
()
y fx=
xác định trên
K
.
Hàm s
()y fx
=
gi là đng biến (tăng) trên
K
nếu vi mi
12
,xx
thuc
K
12
xx<
thì
( ) ( )
12
fx fx<
.
Hàm s
()y fx=
gi là nghch biến (gim) trên
K
nếu vi mi
thuc
K
12
xx
<
thì
( ) ( )
12
fx fx>
.
Nếu hàm s
()y fx=
đồng biến trên
K
thì đồ th của nó đi lên từ trái sang phi (Hình 1a).
Nếu hàm s
()
y fx=
nghch biến trên
K
thì đồ th của nó đi xuống t trái sang phi (Hình 1 b).
Hàm s đồng biến hoc nghch biến trên
K
được gọi chung là đơn điệu trên
K
.
Ví d 1. Tìm các khoảng đơn điệu ca hàm s
()y fx=
có đồ th cho Hình 2.
Lời giải
Hàm s đồng biến trên các khong
( 2;1)
(5;8)
, nghch biến trên khong
(1; 5)
.
Tính đơn điu ca hàm s
Tng quát, ta có kết qu sau đây:
Cho hàm s
()y fx=
có đạo hàm trên
K
.
Nếu
() 0
fx
>
vi mi
x
thuc
K
thì hàm s
()
y fx
=
đồng biến trên
K
.
Nếu
() 0fx
<
vi mi
x
thuc
K
thì hàm s
()
y fx
=
nghch biến trên
K
.
Ví d 2. Chng minh rng hàm s
()
1
x
gx
x
=
nghch biến trên khong
(1; )+∞
.
Lời giải
Hàm s xác định trên
(1; )+∞
. Ta có
2
1
() 0
( 1)
gx
x
=−<
vi mi
(1; )x +∞
.
Vậy
()gx
nghch biến trên khong
(1; )+∞
.
Chú ý: Khi xét tính đơn điệu ca hàm s mà chưa cho khoảng
K
, ta hiểu xét tính đơn điệu ca hàm s đó
trên tập xác định ca nó.
T kết qu trên, để xét tính đơn điệu ca hàm s
()y fx=
, ta thc hiện các bước sau:
Buc 1. Tìm tập xác định
D
ca hàm s.
Buớc 2. Tính đạo hàm
()fx
ca hàm số. Tìm các điểm
x
thuc
D
mà tại đó đạo hàm
()
fx
bng 0
hoặc đạo hàm không tn ti.
Buc 3. Xét du
()
fx
và lp bng biến thiên.
Buc 4. Nêu kết lun v các khoảng đồng biến, nghch biến ca hàm s.
Ví d 3. Xét tính đơn điệu ca các hàm s sau:
a)
32
() 3fx x x=−+
b)
1
()
gx x
x
= +
c)
3
()hx x=
.
Lời giải
a) Xét hàm s
32
() 3fx x x=−+
.
Tập xác định:
D =
. Ta có
2
() 3 6; () 0 0fx x xfx x
′′
= + =⇔=
hoc
.
Bng biến thiên:
Vậy hàm số
32
() 3fx x x=−+
đồng biến trên khong
(0; 2)
, nghch biến trên các khong
( ;0)−∞
(2; )+∞
.
b) Xét hàm s
1
()gx x
x
= +
.
Tập xác định:
\ {0}D =
.
Ta có
2
22
11
() 1
x
gx
xx
=−=
. Vì
2
0x >
vi mi
\ {0}
x
nên
()gx
cùng du vi
2
1
x
.
Ta có
2
() 0 1 0 1gx x x
= −= =
hoc
1x =
.
Bng biến thiên:
Vậy hàm số
1
()
gx x
x
= +
đồng biến trên các khong
( ; 1)
−∞
(1; )+∞
, nghch biến trên các khong
( 1; 0)
(0;1)
.
c) Xét hàm s
3
()
hx x
=
.
Tập xác định:
D =
. Ta có
2
() 3 ; () 0 0
hx x hx x
′′
= =⇔=
.
Bng biến thiên:
Vậy hàm số
3
()hx x=
đồng biến trên
.
Chú ý:
a) Nếu hàm s
()y fx=
có đạo hàm trên
, () 0Kf x
vi mi
xK
() 0fx
=
chi ti mt s hu
hạn điểm thì hàm s đồng biến trên
K
.
b) Nếu hàm s
()y fx=
có đạo hàm trên
, () 0Kf x
vi mi
xK
() 0fx
=
chi ti mt s hu
hạn điểm thì hàm s nghch biến trên
K
.
c) Nếu
() 0fx
=
vi mi
xK
thì hàm s không đổi trên
K
.
2. Cực trị ca hàm s
Khái nim cc tr ca hàm s
Cho hàm s
()y fx=
xác định trên tp hp
D
0
xD
.
- Nếu tn ti mt khong
(;)ab
chứa điểm
0
x
(;)ab D
sao cho
( )
0
()fx f x<
vi mi
{ }
0
( ; )\x ab x
thì
0
x
được gi là một điểm cục đại,
( )
0
fx
được gi là giá tr cục đại ca hàm s
()y fx=
, kí hiu
CD
y
.
- Nếu tn ti mt khong
(;)ab
chứa điểm
0
x
(;)ab D
sao cho
( )
0
()fx f x>
vi mi
{ }
0
( ; )\x ab x
, thì
0
x
được gi là một điểm cưc tiểu,
( )
0
fx
được gi là giá tr cc tiu ca hàm s
()y fx=
, kí hiu
CT
y
.
Chú ý:
a) Đim cực đại và điểm cc tiểu được gọi chung là điểm cc tr ca hàm s. Giá tr cực đại và giá tr cc
tiểu được gi chung là giá tr cưc tr (còn gi là cưc tr) ca hàm s.
b) Nếu
0
x
là một điểm cc tr (điểm cực đại, điểm cc tiu) ca hàm s
()y fx=
thì ta cũng nói hàm số
()y fx=
đạt cc tr (cực đại, cc tiu) ti
0
x
.
c) Hàm s có th đạt cực đại và cc tiu ti nhiều điểm trên
D
.
d) Nếu
0
x
là điểm cc tr ca hàm s
()
y fx=
thì điểm
( )
( )
00
;Mx fx
là một điểm cc tr của đồ th
hàm s
()y fx=
.
Ví d 4. Tìm cc tr ca hàm s
()y fx=
có đồ th được cho Hình 7.
Lời giải
Hàm s
()y fx
=
có:
-
1x =
là đim cực đại vì
( ) (1)fx f<
vi mi
( 0; 2 ) \ {1}, (1) 5
x yf∈==
;
-
6x
=
là đim cực đại vì
( ) (6)fx f<
vi mi
(5;7)\{6}, (6) 6
CD
x yf∈==
;
-
4x =
là đim cc tiu vì
( ) (4)fx f>
vi mi
(3; 5) \ {4}, (4) 1
CT
x yf∈==
.
Tìm cc tr ca hàm s
Cho hàm s
()y fx=
liên tc trên khoàng
chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên các khong
( )
0
;ax
( )
0
;xb
. Khi đó:
- Nếu
() 0fx
<
vi mi
( )
0
;x ax
() 0fx
>
vi mi
( )
0
;x xb
thì hàm s
()y fx=
đạt cc tiu ti
điểm
0
x
;
- Nếu
() 0fx
>
vi mi
( )
0
;x ax
() 0
fx
<
vi mi
( )
0
;x xb
thì hàm s
()
y fx=
đạt cực đại ti
điểm
0
x
.
Ví d 5. Tìm cc tr ca hàm s
32
( ) 2 9 24 1fx x x x=−−+
.
Lời giải
Tập xác định:
D =
.
Ta có
2
( ) 6 18 24fx x x
=−−
;
() 0 1fx x
=⇔=
hoc
4x
=
.
Bng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại ti
1x =
, giá tr cực đại là
( 1) 14f −=
; hàm s đạt cc tiu ti
4x =
, giá tr cc
tiu là
(4) 111f =
.
Nhn xét: T kết qu trên, để tìm cc tr ca hàm s
()y fx
=
, ta thc hiện các bước sau:
Buc 1. Tìm tập xác định
D
ca hàm s.
Buớc 2. Tính đạo hàm
()fx
ca hàm số. Tìm các điểm
x
thuc
D
mà tại đó đạo hàm
()fx
bng 0
hoặc đạo hàm không tn ti.
Buc 3. Lp bng biến thiên ca hàm s.
c 4. T bng biến thiên kết lun v cc tr ca hàm s.
Ví d 6. Tìm cc tr ca hàm s
32
() 3 3 4fx x x x
=− +−
.
Lời giải
Tập xác định:
D =
.
Ta có
2
() 3 6 3fx x x
= −+
;
( ) 0 1.fx x
=⇔=
Bng biến thiên:
Vậy hàm số không có cc tr.
Chú ý:
a) Nếu
( )
0
0fx
=
()fx
không đổi du khi
x
qua điểm
0
x
thì hàm s không có cc tr ti
0
x
.
b) Nếu
()fx
không đồi du trên khong
K
thì
không có cc tr trên khoảng đó.
B. GII BÀI TP SÁCH GIÁO KHOA
1. Tìm các khoảng đơn điệu và cc tr ca các hàm s có đồ th cho Hình 11.
2. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cc tr ca các hàm s sau:
а)
32
4 3 36 6yx x x=+−+
; b)
2
27
4
xx
y
x
−−
=
.
3. Tìm cc tr ca các hàm s sau:
a)
32
2 3 36 1
yx x x=+−+
; b)
2
8 10
2
xx
y
x
−+
=
; c)
2
4yx=−+
.
4. Chng minh rng hàm s
21
3
x
y
x
+
=
nghch biến trên tng khoảng xác định ca nó.
5. Kim ngch xut khu rau qu ca Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có th được tính xp x
bng công thc
32
( ) 0, 01 0,04 0, 25 0, 44
fxxxx= ++
(t USD) vi
x
là s năm tính từ 2010 đến
2017(0 7)
x≤≤
.
(Theo: https://infographics.vn/interactive-xuat-khau-rau-quadu-bao-bung-no-dat-4-ty-usd-trong-nam-
2023/116220.vna)
a) Tính đạo hàm ca hàm s
()y fx=
.
b) Chng minh rng kim ngch xut khu rau qu ca Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến
2017.
6. Xét mt chất điểm chuyển động dc theo trc Ox. To độ ca cht đim ti thời điểm
t
được xác định
bi hàm s
32
() 6 9xt t t t=−+
vi
0t
. Khi đó
()xt
là vn tc ca cht đim ti thi đim
t
, kí hiu
(); ()vt v t
là gia tốc chuyển động ca cht đim ti thi đim
t
, kí hiu
()at
.
a) Tìm các hàm
()vt
()at
.
b) Trong khong thi gian nào vn tc ca cht điểm tăng, trong khoảng thi gian nào vn tc ca cht
điểm gim?
7. Đạo hàm
()fx
ca hàm s
()y fx=
có đồ th như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cc tr ca
hàm s
()y fx=
.
C. CÁC DNG TOÁN
Dạng 1: Xét định đơn điu ca hàm s cho bởi công thức
1.1 Phương pháp
c 1: Tìm tập xác định
D
.
c 2: Tính đạo hàm
()y fx
′′
=
.
c 3: Tìm nghim ca
()fx
hoc nhng giá tr x làm cho
()fx
không xác định.
c 4: Lp bng biến thiên.
c 5: Kết lun.
1.2 Ví d minh ha
Câu 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghch biến ca hàm s
32
31yx x=−+
.
Câu 2. Tìm các khoảng đơn điệu ca hàm s
42
2yx x=
.
Câu 3. Tìm các khoảng đơn điệu ca hàm s
31
1
x
y
x
+
=
.
Câu 4. Tìm các khong nghch biến ca hàm s:
2
21
2
xx
y
x
−+
=
+
.
Câu 5. Tìm các khoảng đơn điệu ca hàm s
2
4yx x=
.
Dạng 2: Xét tính đơn điệu da vào bng biến thiên, đ th
2.1 Phương pháp
Nếu hàm s đồng biến trên
K
thì đồ th ca hàm s đi lên từ trái sang phi (H.1.3a).
Nếu hàm s nghch biến trên
K
thì đồ th ca hàm s đi xuống t trái sang phi (H.1.3b).
2.2 Ví d minh ha
Câu 1. Cho hàm s
( )
y fx=
có đ th như hình vẽ bên. Hàm s đã cho đng biến trên khoảng nào dưới
đây?
a) T đồ th hàm s trên hãy vẽ bng biến thiên
b) Tìm các khoảng đồng biến và nghch biến.
Câu 2. Cho hàm s
y fx
đồ th như hình vẽ bên. Hàm s đã cho đồng biến trên khong nào
dưới đây?
.
Câu 3. Cho hàm s
( )
y fx=
xác định và liên tc trên
và có bng biến thiên
Tìm các khoảng đồng biến ca hàm s
( )
21yfx= +
.
Dạng 3: Tìm tham s m để hàm s đơn điu
3.1. Phương pháp
t hàm s bc ba
32
() .y f x ax bx cx d= = + ++
c 1. Tp xác định:
.D =
c 2. Tính đạo hàm
2
() 3 2 .y f x ax bx c
′′
= = ++
+ Để
()
fx
đồng biến trên
()
2
()
30
( ) 0, ?
4 12 0
fx
fx
aa
y fx x m
b ac
= >
′′
= ∀∈
∆=
+ Đề
()fx
nghch biến trên
()
2
()
30
( ) 0, ?
4 12 0
fx
fx
aa
y fx x m
b ac
= <
′′
= ∀∈
∆=

Lưu ý: Dấu ca tam thc bc hai
2
() .f x ax bx c= ++
Để
0
( ) 0,
0
a
fx x
>
∀∈
∆≤
0
( ) 0,
0
a
fx x
<
∀∈
∆≤
t hàm s nht biến
()
ax b
y fx
cx d
+
= =
+
c 1. Tp xác định:
\
d
D
c

= −⋅


c 2. Tính đạo hàm
2
..
()
()
ad bc
y fx
cx d
′′
= =
+
+ Để
()fx
đồng biến trên
( ) 0, . . 0 ?D y f x x D ad bc m
′′
= > ∀∈ >
+ Để
()fx
nghch biến trên
( ) 0, . . 0 ?D y f x x D ad bc m
′′
= < ∀∈ <
Cô lập tham số
m
, tức là biến đi
( , ) 0( 0) ( ) ( )f xm gx m m ≥≤
.
ớc 1. Xác định tham s để hàm s
f
xác định trên khoảng đã cho.
c 2. Tính
(, )
f xm
.
ớc 3. Để gii bài toán dạng này, ta thường s dng các tính cht sau.
Nếu hàm s đồng biến trên
(;)ab
thì
[;]
() 0, [;] () ( ), [;] min () ( )
ab
f x x ab gx hm x ab gx hm ∀∈ ∀∈
.
Nếu hàm s đồng biến trên
(;)ab
thì
[;]
() 0, [;] () ( ), [;] min () ( )
ab
f x x ab gx hm x ab gx hm ∀∈ ∀∈
.
3.2. Ví d minh ha
Câu 1. Tìm
m
để hàm s
( )
32
1 32
yx m x x=++ ++
đồng biến trên
.
Câu 2. Tìm điu kin ca
m
để m s
( )
( )
23 2
1 14ym x m xx= + −+
nghch biến trên khong
( )
;−∞ +∞
.
1
1
;
2
m

∈−


Câu 3. Cho hàm s
4mx m
y
xm
+
=
+
vi
m
tham s. Tìm
m
để m s nghch biến trên các khong xác
định.
Dạng 4: ng dng tính đơn điu đ chng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bt phương
trình, h bt phương trình
4.1. Phương pháp
1. Nếu hàm s
()
y fx
=
liên tục và đơn điệu trên
D
thì
() 0fx=
có ít nht mt nghim.
2. Nếu hàm s
(), ()f x gx
liên tục và đơn điệu trên
D
thì
() ()f x gx=
có ít nht mt nghim.
3. Nếu
()fx
liên tục và đơn điệu trên
D
,
uv D
thì phương trình
() ()
fu fv u v
= ⇔=
.
4.2. Ví d minh ha
Câu 1. Giải phương trình
2017 3 2
6 13 9 0x xx x+ + −=
.
Câu 2. Giải phương trình sau
( ) ( )
55
21 52 52 21xxx x−− =
.
Câu 3. Giải phương trình
( )
32
3 4 2 4 64 5xxx x x+ + += + +
.
Dạng 5: Tìm cực trị hàm s cho bởi công thức
5.1. Phương pháp
c 1. Tìm tập xác định ca hàm s.
c 2. Tính
( )
fx
. Tìm các điểm tại đó
( )
fx
bng 0 hoc
( )
fx
không xác định.
c 3. Lp bng biến thiên.
c 4. T bng biến thiên suy ra các điểm cc tr.
5.2. Ví d minh ha
Câu 1. Tìm cc tr ca hàm s
32
3 91
yx x x
= −+
.
Câu 2. Tìm cc tr ca hàm s
32
2 3 61y xxx= −+
.
Câu 3. Tìm cc tr ca hàm s
42
41
yx x=++
.
Câu 4. Tìm cc tr ca hàm s
( )
( )
32
1 38y xx=−−
.
Câu 5. Cho hàm s
( )
fx
có đo hàm
( ) ( )( )
3
1 2,fx xx x x
= ∀∈
. S điểm cc tr ca hàm s đã
cho là.
Dạng 6: Tìm cực trị da vào bng biến thiên, đồ th
6.1. Phương pháp
- Nếu
( )
f x
đổi du qua
0
xD
thì
0
x
là cc tr. C thể:
+Nếu
( )
f x
đổi du t + sang thì
0
x
là điểm cực đại.
+Nếu
( )
f x
đổi du t - sang + thì
0
x
là điểm cc tiu.
- Chú ý:
+ Hàm s đạt cc tr ti:
x =
+ Đim cc tr ca hàm s là:
x =
+ Giá tr cc tr ca hàm s là:
y =
+ Cc tr ca hàm s là:
y =
+ Đim cc tr của đồ th m s:
(; )
xy
6.2. Ví d minh ha
Câu 1. Cho hàm
( )
fx
có bng biến thiên như sau:
a) Giá tr cc tiu ca hàm s.
b) Điểm cực đại của đồ th hàm s.
Câu 2: Cho hàm s
( )
y fx
=
liên tc trên
vi bng xét dấu đạo hàm như sau:
Hi hàm s
( )
y fx=
có bao nhiêu điểm cc tr?
Câu 3: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
và có đồ th như hình bên. Hỏi hàm s có bao nhiêu
điểm cc tr?
Câu 4: Cho hàm s
( )
y fx=
xác định, liên tục trên đoạn
[ ]
2; 2
và có đồ th là đường cong trong
hình v bên. Hàm s
( )
fx
đạt cực đại ti điểm nào dưới đây?
x
y
-2
-1
-1
O
1
Câu 5: Biết rng hàm s
( )
fx
có đạo hàm là
(
)
( )
( ) ( )
2 35
' 123f x xx x x=−−
. Hi hàm s
( )
fx
bao nhiêu điểm cc tr?
Câu 6: Cho hàm s
( )
y fx=
có đạo hàm liên tc trên
và hàm s
( )
y fx
=
có đồ th như hình vẽ
bên.
Tìm điểm cc tiu ca hàm s
Dạng 7: Tìm m để hàm s đạt cực trị ti mt đim x
0
cho trước
7.1. Phương pháp
c 1. Tính
( ) ( )
00
' , ''yx y x
c 2. Giải phương trình
( )
0
' 0?yx m=
c 3. Thay
m
vào th li
7.2. Ví d minh ha
Câu 1. Tìm
m
để hàm s
32
21y x mx mx= ++
đạt cc tiu ti
1x =
Câu 2. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
( )
32
1
11
3
y x mx m x= ++
đạt cc đi ti
2x =
Câu 3. m tt c tham s thc
m
để hàm s
( )
( )
42 2
1 2 2019ym x m x= −− +
đạt cc tiu ti
1x =
.
Dạng 8: Toán thc tế
Câu 1. Gi s s dân của mt th trn sau
t
năm kể t năm 2000 được mô t bi hàm s
25 10
() , 0
5
t
Nt t
t
+
=
+
trong đó
()Nt
được tính bằng nghìn người.
a) Tính s dân của th trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm
()
Nt
lim ( )
t
Nt
+∞
. T đó, giải thích ti sao s n của th trấn đó luôn tăng
nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.
Câu 2. Gi s doanh s (tính bng s sn phm) ca mt sn phm mi (trong vòng mt s năm nhất
định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bng hàm s
5000
() , 0
15
t
ft t
e
=
+
trong đó thời gian
t
được tính bng năm, k t khi phát hành sn phm mới. Khi đó, đạo hàm
()ft
s biu th tc đ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc đ bán hàng là
ln nht?.
Câu 3. Kim ngch xut khu rau qu ca Vit Nam trong các năm t 2010 đến 2017 có th được tính
xp x bng công thc
32
( ) 0, 01 0,04 0, 25 0, 44fxxxx= ++
(t USD) vi
x
là s năm tính từ
2010 đến
2017(0 7)
x≤≤
.
a) Tính đạo hàm ca hàm s
()
y fx=
.
b) Chng minh rng kim ngch xut khu rau qu ca Vit Nam ng liên tc trong các năm t
2010 đến 2017.
Câu 4. Xét mt chất điểm chuyển động dc theo trc
Ox
. To độ ca chất điểm ti thời điểm
t
được
xác đnh bi hàm s
32
() 6 9xt t t t=−+
vi
0t
. Khi đó
()xt
là vn tc ca chất điểm ti thi
điểm
t
, kí hiu
(); ()vt v t
là gia tốc chuyển động ca cht đim ti thi đim
t
, kí hiu
()at
.
a) Tìm các hàm
()vt
()at
.
b) Trong khong thi gian nào vn tc ca chất điểm ng, trong khoảng thi gian nào vn tc
ca cht đim gim?.
Câu 5. Th tích
V
(đơn vị: centimét khi) ca
1 kg
c ti nhit đ
(
)
0C 30C
TT°≤ °
đưc tính bi
công thức sau:
23
( ) 999,87 0,06426 0,0085043 0,0000679 .VT T T T
=−+
Hi th tích
( ),0C 30CVT T°≤ °
, gim trong khong nhiệt độ nào?.
Câu 6. Kính vin vọng không gian Hubble được đưa vào trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi
Discovery. Vận tc ca tàu con thoi trong s mệnh này, từ lúc ct cánh ti thời điểm
0( )ts=
cho đến khi tên lủa đẩy được phóng đi tại thời điểm
126( s)
t =
, cho bi hàm s sau:
32
( ) 0,001302 0,09029 23vt t t= −+
(
v
được tính bng
ft / ,1s
feet
0, 3048 m=
)
Hi gia tc ca tàu con thoi s tăng trong khoảng thi gian nào tính t thời điểm ct cánh cho
đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?.
D. BÀI TÂP TRC NGHIM 4 PHƯƠNG ÁN
PHẦN 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CA HÀM S
Câu 1: Cho hàm s
( )
y fx=
đồ th là đường cong trong hình bên. Hàm s đã cho nghịch biến trên
khoảng nào dưới đây?
A.
( )
1; 0 .
B.
( )
;1−∞
. C.
( )
0;1
. D.
( )
0; +∞
.
Câu 2: Cho hàm s
(
)
y fx=
bng biến thiên như sau
Hàm s đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
1;
+∞
. B.
( )
1;0
. C.
( )
1;1
. D.
( )
0;1
.
Câu 3: Cho hàm s
( )
y fx
=
có bng biến thiên như sau:
Hàm s nghch biến trong khong nào?
A.
( )
1;1
. B.
(
)
0;1
. C.
( )
4; +∞
. D.
( )
;2−∞
.
Câu 4: m s
32
1
3 2019
3
y xx x= −−+
nghch biến trên
A.
( )
1;3
. B.
( )
;1
−∞
. C.
( )
;1−∞
( )
3;+∞
. D.
( )
3;+∞
.
Câu 5: m s
32
32yx x=−+
đồng biến trên khong
A.
( )
0;2
. B.
( )
;0−∞
. C.
( )
1;4
. D.
( )
4;+∞
.
Câu 6: m s
52
3
x
y
x
=
+
nghch biến trên
A.
R\ 3
. B.
R
. C.
( )
;3−∞
. D.
( )
3; +∞
.
Câu 7: Cho hàm s
2
1
x
y
x
=
+
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m s nghch biến trên khong
( )
;
−∞ +∞
B. m s nghch biến trên khong
(
)
1; +∞
C. m s nghch biến trên khong
( )
;1
−∞
D. Hàm s đồng biến trên khong
( )
;1−∞
Câu 8: Cho hàm s
2
23
1
+−
=
+
xx
y
x
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. m s đồng biến trên khong
( )
2;4
.
B. m s nghch biến trên khong
( )
;−∞ +∞
.
C. m s nghch biến trên các khong
( )
;1
−∞
( )
1;
+∞
.
D. m s đồng biến trên khong
( )
;1−∞
và nghch biến trên khong
( )
1; +∞
.
Câu 9: Cho hàm s
( )
=y fx
có đạo hàm
( )
= +
2
1fx x
,
∀∈x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m s nghch biến trên khong
( )
+∞1;
B. m s nghch biến trên khong
(
)
1; 1
C. m s đồng biến trên khong
( )
−∞ +∞;
D. Hàm s nghch biến trên khong
( )
−∞;0
Câu 10: Cho hàm s
32
11
12 1
32
xy xx 
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. m s đồng biến trên khong
3; 4
.
B. m s đồng biến trên khong
4;
.
C. m s nghch biến trên khong
;4
.
D. m s nghch biến trên khong
3;

.
Câu 11: Cho hàm s
( )
y fx
=
đạo hàm
( ) ( )
3
2
f x xx
=
, vi mi
x
. Hàm s đã cho nghịch
biến trên khong nào dưới đây?
A.
( )
1; 3
. B.
( )
1; 0
. C.
( )
0; 1
. D.
( )
2; 0
.
Câu 12: Hàm s
( )
y fx=
có đo hàm
2
yx
=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. m s nghch biến trên
.
B. m s nghch biến trên
( )
;0−∞
và đồng biến trên
(
)
0; +∞
.
C. m s đồng biến trên
.
D. m s đồng biến trên
( )
;0−∞
và nghch biến trên
(
)
0; +∞
.
Câu 13: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
đạo hàm
( ) ( ) ( ) ( )
23
1 13fx x x x
= +−
. Hàm s
( )
y fx=
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;1−∞
. B.
( )
;1−∞
. C.
( )
1; 3
. D.
(
)
3; +∞
.
Câu 14: Hàm s nào dưới đây đồng biến trên khong
( )
;−∞ +∞
?
A.
1
2
x
y
x
=
B.
3
yx x= +
C.
3
3yxx=−−
D.
1
3
x
y
x
+
=
+
Câu 15: Cho hàm s
( )
y fx=
có bng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m s nghch biến trên khong
( )
;2−∞
B. m s đồng biến trên khong
( )
2;0
C. m s đồng biến trên khong
( )
;0−∞
D. m s nghch biến trên khong
( )
0; 2
Câu 16: Cho hàm s
( )
y fx=
có bng xét du ca đạo m như hình vẽ. Hàm s đã cho nghịch biến
trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
1;+∞
. B.
( )
;1−∞
. C.
( )
1; +∞
. D.
( )
;1−∞
.
Câu 17: Cho hàm s . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m s đồng biến trên khong . B. Hàm s nghch biến trên khong .
C. m s đồng biến trên khong D. Hàm s đng biến trên .
Câu 18: Hàm s
4
21yx= +
đồng biến trên khong
A.
1
;
2

−∞


B.
1
;
2

+∞


C.
( )
0; +∞
D.
( )
;0−∞
Câu 19: Trong các hàm s sau, hàm s nào va có khoảng đồng biến va có khong nghch biến trên tp
xác định ca nó.
( )
21
.
1
x
y
x
+
Ι=
+
,
( )
42
. 2y xxΙΙ = +
,
( )
3
. 3 4yx xΙΙΙ = +
.
A.
( ) ( )
;Ι ΙΙΙ
. B.
( ) ( )
& IIΙ
. C.
( ) ( )
;ΙΙ ΙΙΙ
. D.
( )
II
.
Câu 20: Cho hàm s
( )
y fx=
đo hàm
( )
2
2fx x x
=
,
x∀∈
. Hàm s
( )
2y fx=
đồng biến
trên khong
A.
( )
2;0
. B.
( )
0; 2
. C.
( )
2; +∞
. D.
( )
;2−∞
.
Lời giải
Chn B
Ta có:
( ) ( )
2
2 2 4 0 0; 2y fx x x x
′′
= = + >⇔∈
.
Suy ra: Hàm số
( )
2y fx=
đồng biến trên khong
( )
0; 2
2
1yx=
( )
1; +∞
( )
;0−∞
(0; ).+∞
( )
;−∞ +∞
Câu 21: Cho hàm s
42
1
21
4
= −−yxx
. Chn khẳng định đúng.
A. m s nghch biến trên các khong
(
)
2;0
( )
2;
+∞
.
B. m đng biến trên các khong
( )
;2
−∞
( )
0;2
.
C. m s đồng biến trên các khong
( )
2;0
( )
2;
+∞
.
D. m s nghch biến trên các khong
( )
;2−∞
(
)
2;+∞
.
Câu 22: Hàm s
42
41=−+ +yx x
nghch biến trên mi khoảng nào sau đây?
A.
( )
2;+∞
. B.
( )
3;0
;
( )
2;+∞
.
C.
( )
( )
2;0 ; 2; +∞
. D.
( )
2; 2
.
Câu 23: Cho hàm
2
65yxx= −+
. Mệnh đềo sau đây là đúng?
A. m s đồng biến trên khong
( )
5; .+∞
B. Hàm s đồng biến trên khong
(
)
3; .+∞
C. m s đồng biến trên khong
( )
;1 .−∞
D. Hàm s nghch biến trên khong
( )
;3 .
−∞
Câu 24: Tìm tt c các khoảng đồng biến ca hàm s
2
9
= yx
.
A.
( )
0; +∞
. B.
(
)
;0−∞
. C.
( )
3; 0
. D.
( )
0;3
.
Câu 25: Tìm khoảng đồng biến ca hàm s
sinyx x
=−+
.
A.
. B.
( )
;2−∞
. C.
. D.
( )
1; 2
.
Câu 26: Cho hàm s
ln
yxx
=
. Chn khẳng định sai trong s các khẳng định sau:
A. m s đồng biến trên khong
( )
0; +∞
. B. Hàm s đồng biến trên khong
1
;
e

+∞


.
C. m s có đạo hàm
1 lnyx
= +
. D. m s có tập xác định là
( )
0;D = +∞
.
Câu 27: Cho hàm s
sin cos 3y x xx=+−
. Chn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. m s đồng biến trên
. B. Đồ th hàm s đi qua gốc tọa độ.
C. m s có điểm cc tr. D. m s nghch biến trên
.
Câu 28: bao nhiêu giá tr nguyên của tham s
m
sao cho hàm s
32
1
() 4 3
3
f x x mx x= + ++
đồng biến
trên
.
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Câu 29: Cho hàm s
( )
=−− + + +
32
49 5y x mx m x
, vi m là tham s. Hi có bao nhiêu giá tr nguyên
của m để hàm s nghch biến trên khong
( )
−∞ +∞;
A.
5
B.
4
C.
6
D.
7
Câu 30: Tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
( )
32
1 32yx m x x=+ + ++
đồng biến trên
A.
[ ]
4; 2
. B.
( )
4; 2
. C.
(
] [
)
; 4 2;−∞ +∞
. D.
( ) ( )
; 4 2;−∞ +∞
.
Câu 31: Cho hàm s
( )
32
1
32 1
3
y x mx m x=++++
. Tìm tt c giá tr ca
m
để hàm s nghch biến trên
.
A.
1
2
m
m
≥−
≤−
. B.
21m ≤−
. C.
21m < <−
. D.
1
2
m
m
>−
<−
.
Câu 32: Hi có bao nhiêu s nguyên
m
để m s
( )
( )
23 2
1 14ym x m xx= + −+
nghch biến trên
khong
( )
;
−∞ +∞
.
A.
0
B.
3
C.
2
D.
1
Câu 33: Hi có tt c bao nhiêu giá tr nguyên của tham s
m
để hàm s m s
(
)
232
1
2 32
3
y m m x mx x= −++
đồng biến trên khong
( )
;−∞ +
?
A.
4
. B.
5
. C.
3
. D.
0
.
Câu 34: S các giá tr nguyên của tham s
m
trong đoạn
[ ]
100;100
để hàm s
( )
32
13y mx mx m x= + ++
nghch biến trên
là:
A.
200
. B.
99
. C.
100
. D.
201
.
Câu 35: Giá tr ca tham s
m
sao cho hàm s
( )
32
1
32 2
3
y xx m x= −− + +
nghch biến trên đon
có đ dài bng
4
A.
1m =
. B.
1
2
m =
. C.
4m =
. D.
1
3
m =
.
Câu 36: Tt c các giá tr thc ca tham s
m
đ hàm s
( ) ( )
32
2 3 1 6 2 2017yx m x m x=+ + −+
nghch biến
trên khong
( )
;ab
sao cho
3ba−>
A.
0m <
. B.
0
6
m
m
<
>
. C.
6m >
. D.
9m =
.
Câu 37: Gi S là tp hp các giá tr ca tham s
m
để hàm s
( )
32
1
1 47
3
yxmx x= ++ ++
nghch biến
trên một đoạn có độ dài bng
2 5.
Tính tng tt c phn t ca S.
A.
2
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 38: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho hàm s
32
11
2 34
32
y x mx mx m= + −+
nghch
biến trên một đoạn có độ dài là 3?
A.
9
m =
. B.
1; 9mm= =
. C.
1; 9mm=−=
. D.
1m =
.
Câu 39: Tìm các giá tr ca tham s
m
để hàm s
( )
32
1
21 2
3
y x mx m x m= + −+
nghch biến trên
khong
( )
2;0 .
.
A.
1m >
. B.
1
2
m ≤−
. C.
1
2
m <−
. D.
0m =
.
Câu 40: Biết rng hàm s
( )
3
2
3 1 91
3
x
y mxx
=+ ++
nghch biến trên
(
)
12
;xx
đồng biến trên các
khong còn li ca tập xác định. Nếu
12
6
xx−=
thì giá tr
m
là:
A.
4
2
. B.
12+
12
. C.
4
. D.
2
.
Câu 41: Tìm tt c các giá tr thc
m
để
( ) ( )
32
3 1 23fx x x m x m=−+ + +
đồng biến trên mt khong
có độ dài lớn hơn
1
.
A.
5
0
4
m−< <
. B.
5
4
m >−
. C.
0m
. D.
0m
.
Câu 42: Hàm s
( ) ( )
33
3
y xm xn x=+ ++
đồng biến trên khong
( )
;−∞ +
. Giá tr nh nht ca biu
thc
( )
22
4P m n mn
= + −−
bng
A.
16
. B.
4
. C.
1
16
. D.
1
4
.
Câu 43: Cho hàm s
−−
=
23mx m
y
xm
vi
m
là tham s. Gi
S
là tp hp tt c các giá tr nguyên của
m
để hàm s đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm s phn t ca
S
.
A. Vô s B.
3
C.
5
D.
4
Câu 44: Cho hàm s
4mx m
y
xm
+
=
+
vi
m
tham s. Gi
S
tp hp tt c c giá tr nguyên của
m
đểm s nghch biến trên các khong xác định. Tìm s phn t ca
S
.
A.
4
B. Vô s C.
3
D.
5
Câu 45: Có bao nhiêu giá tr nguyên của tham s
m
để m s
2
4
xm
y
x
+
=
+
đồng biến trên tng khong
xác định ca nó?
A.
5
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 46: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
4mx
y
xm
=
nghch biến trên tng khong
xác định ca nó.
A.
2
2
m
m
≤−
. B.
22m−< <
. C.
2
2
m
m
<−
>
. D.
22m−≤
.
| 1/776

Preview text:

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI 1: TÍNH ĐƠN DIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 2
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ....................................................................................................... 2
B. CÁC DẠNG TOÁN ................................................................................................................................. 7
Dạng 1: Xét định đơn điệu của hàm số cho bởi công thức ..... Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
Dạng 2: Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị .... Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu .................. Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương
trình, hệ bất phương trình ............................................... Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
Dạng 5: Tìm cực trị hàm số cho bởi công thức .............. Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
Dạng 6: Tìm cực trị dựa vào bảng biến thiên, đồ thị .... Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
Dạng 7: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0 cho trước . Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
Dạng 7: Toán thực tế ........................................................ Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ................................................................................................... 7
D. BÀI TÂP TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN ................... Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
PHẦN 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ..................... Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
PHẦN 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ................................... Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
E. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI ................................... Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
F. TRẢ LỜI NGẮN ................................................................. Lỗi! Thẻ đánh dấu không được xác định.
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Tính đơn điệu của hàm số
Nhắc lại vể tính đổng biến, nghịch biến của hàm số
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K .
Hàm số y = f (x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x , x thuộc K x < x thì 1 2 1 2
f (x < f x . 1 ) ( 2)
Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x , x thuộc K x < x thì 1 2 1 2
f (x > f x . 1 ) ( 2)
Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình 1a).
Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình 1 b).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K .
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f (x) có đồ thị cho ở Hình 2. Lời giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2
− ;1) và (5;8) , nghịch biến trên khoảng (1;5).
Tính đơn điệu của hàm số
Tổng quát, ta có kết quả sau đây:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K .
Nếu f (′x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) đồng biến trên K .
Nếu f (′x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên K .
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số ( ) x g x =
nghịch biến trên khoảng (1;+∞) . x −1 Lời giải 1
Hàm số xác định trên (1;+∞). Ta có g (′x) = −
< 0 với mọi x∈(1;+∞) . 2 (x −1)
Vậy g(x) nghịch biến trên khoảng (1;+∞).
Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K , ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó
trên tập xác định của nó.
Từ kết quả trên, để xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x) , ta thực hiện các bước sau:
Buớc 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
Buớc 2. Tính đạo hàm f (′x) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f (′x) bằng 0
hoặc đạo hàm không tồn tại.
Buớc 3. Xét dấu f (′x) và lập bảng biến thiên.
Buớc 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a) 3 2
f (x) = −x + 3x b) 1
g(x) = x + c) 3
h(x) = x . x Lời giải a) Xét hàm số 3 2
f (x) = −x + 3x .
Tập xác định: D =  . Ta có 2 f (′x) = 3 − x + 6 ;
x f (′x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 . Bảng biến thiên: Vậy hàm số 3 2
f (x) = −x + 3x đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ 0) và (2;+∞) . b) Xét hàm số 1
g(x) = x + . x
Tập xác định: D =  \{0}. 2 1 −1 Ta có (′ ) =1 x g x − = . Vì 2
x > 0 với mọi x ∈ \{0} nên g (′x) cùng dấu với 2 x −1. 2 2 x x Ta có 2
g (′x) = 0 ⇔ x −1 = 0 ⇔ x = 1 − hoặc x =1. Bảng biến thiên: Vậy hàm số 1
g(x) = x + đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 1)
− và (1;+∞) , nghịch biến trên các khoảng x ( 1; − 0) và (0;1) . c) Xét hàm số 3
h(x) = x .
Tập xác định: D =  . Ta có 2
h (′x) = 3x ;h (′x) = 0 ⇔ x = 0 . Bảng biến thiên: Vậy hàm số 3
h(x) = x đồng biến trên  . Chú ý:
a) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K, f (′x) ≥ 0 với mọi xK f (′x) = 0 chi tại một số hữu
hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K .
b) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K, f (′x) ≤ 0 với mọi xK f (′x) = 0 chi tại một số hữu
hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K .
c) Nếu f (′x) = 0 với mọi xK thì hàm số không đổi trên K .
2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D x D . 0
- Nếu tồn tại một khoảng ( ;
a b) chứa điểm x và ( ;
a b) ⊂ sao cho f (x) < f (x với mọi 0 ) 0 D x∈( ; a b) \{x thì
f x được gọi là giá trị cục đại của hàm số 0}
x được gọi là một điểm cục đại, ( 0 ) 0
y = f (x) , kí hiệu y . CD
- Nếu tồn tại một khoảng ( ;
a b) chứa điểm x và ( ;
a b) ⊂ sao cho f (x) > f (x với mọi 0 ) 0 D x∈( ; a b) \{x , thì
f x được gọi là giá trị cục tiểu của hàm số 0}
x được gọi là một điểm cưc tiểu, ( 0 ) 0
y = f (x) , kí hiệu y . CT Chú ý:
a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực
tiểu được gọi chung là giá trị cưc trị (còn gọi là cưc trị) của hàm số.
b) Nếu x là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y = f (x) thì ta cũng nói hàm số 0
y = f (x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại x . 0
c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên D .
d) Nếu x là điểm cực trị của hàm số y = f (x) thì điểm M (x ; f x là một điểm cực trị của đồ thị 0 ( 0)) 0
hàm số y = f (x) .
Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số y = f (x) có đồ thị được cho ở Hình 7. Lời giải
Hàm số y = f (x) có:
- x =1 là điểm cực đại vì f (x) < f (1) với mọi x∈(0;2) \{1}, y = f = ; (1) 5
- x = 6 là điểm cực đại vì f (x) < f (6) với mọi x∈(5;7) \{6}, y = f = ; CD (6) 6
- x = 4 là điểm cực tiểu vì f (x) > f (4) với mọi x∈(3;5) \{4}, y = f = . CT (4) 1
Tìm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoàng ( ;
a b) chứa điểm x và có đạo hàm trên các khoảng (a; x và 0 ) 0
(x ;b . Khi đó: 0 )
- Nếu f (′x) < 0 với mọi x∈( ; a x và ′
> với mọi x ∈(x ;b thì hàm số = đạt cực tiểu tại 0 ) 0 ) f (x) 0 y f (x) điểm x ; 0
- Nếu f (′x) > 0 với mọi x∈( ; a x và ′
< với mọi x ∈(x ;b thì hàm số = đạt cực đại tại 0 ) 0 ) f (x) 0 y f (x) điểm x . 0
Ví dụ 5. Tìm cực trị của hàm số 3 2
f (x) = 2x − 9x − 24x +1. Lời giải
Tập xác định: D =  . Ta có 2
f (′x) = 6x −18x − 24 ; f (′x) = 0 ⇔ x = 1 − hoặc x = 4 . Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1
− , giá trị cực đại là f ( 1)
− = 14 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 , giá trị cực tiểu là f (4) = 111 − .
Nhận xét: Từ kết quả trên, để tìm cực trị của hàm số y = f (x) , ta thực hiện các bước sau:
Buớc 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
Buớc 2. Tính đạo hàm f (′x) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f (′x) bằng 0
hoặc đạo hàm không tồn tại.
Buớc 3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 4. Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số.
Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số 3 2
f (x) = x − 3x + 3x − 4 . Lời giải
Tập xác định: D =  . Ta có 2
f (′x) = 3x − 6x + 3 ; f (′x) = 0 ⇔ x =1. Bảng biến thiên:
Vậy hàm số không có cực trị. Chú ý:
a) Nếu f ′(x = 0 và ′ không đổi dấu khi x qua điểm 0 ) f (x)
x thì hàm số không có cực trị tại x . 0 0
b) Nếu f (′x) không đồi dấu trên khoảng K thì f (x) không có cực trị trên khoảng đó.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
1. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.
2. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau: 2 x − 2x − 7 а) 3 2
y = 4x + 3x − 36x + 6 ; b) y = . x − 4
3. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 x −8x +10 a) 3 2
y = 2x + 3x − 36x +1; b) y = ; c) 2 y = −x + 4 . x − 2
4. Chứng minh rằng hàm số 2x +1 y =
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. x − 3
5. Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức 3 2
f (x) = 0,01x − 0,04x + 0,25x + 0,44 (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017(0 ≤ x ≤ 7) .
(Theo: https://infographics.vn/interactive-xuat-khau-rau-quadu-bao-bung-no-dat-4-ty-usd-trong-nam- 2023/116220.vna)
a) Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) .
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
6. Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số 3 2
x(t) = t − 6t + 9t với t ≥ 0 . Khi đó x (′t) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu
v(t);v (′t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu a(t) .
a) Tìm các hàm v(t) và a(t) .
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?
7. Đạo hàm f (′x) của hàm số y = f (x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của
hàm số y = f (x) . C. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xét định đơn điệu của hàm số cho bởi công thức 1.1 Phương pháp
Bước 1:
Tìm tập xác định D .
Bước 2: Tính đạo hàm y′ = f (′x) .
Bước 3: Tìm nghiệm của f (′x) hoặc những giá trị x làm cho f (′x) không xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Bước 5: Kết luận.
1.2 Ví dụ minh họa
Câu 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 3 2
y = x − 3x +1.
Câu 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 4 2
y = x − 2x .
Câu 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 3x +1 y = . 1− x 2
Câu 4. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: −x + 2x −1 y = . x + 2
Câu 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 2
y = x 4 − x .
Dạng 2: Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị 2.1 Phương pháp
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a).
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b).
2.2 Ví dụ minh họa
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
a) Từ đồ thị hàm số trên hãy vẽ bảng biến thiên
b) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến.
Câu 2. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? .
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên  và có bảng biến thiên
Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = f (2x + ) 1 .
Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu 3.1. Phương pháp Xét hàm số bậc ba 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + d.
– Bước 1. Tập xác định: D = . 
– Bước 2. Tính đạo hàm 2
y′ = f (′x) = 3ax + 2bx + . c a = >  ′ a f x 3 0
+ Để f (x) đồng biến trên  ⇔ ( )
y′ = f (′x) ≥ 0, x ∀ ∈  ⇔  ⇒ m ? 2 ∆ = − ≤ ′ b acf x 4 12 0 ( ) a = <  ′ a f x 3 0
+ Đề f (x) nghịch biến trên ( )
 ⇔ y′ = f (′x) ≤ 0, x ∀ ∈  ⇔  ⇒ m ? 2 ∆ = − ≤ ′ b acf x 4 12 0 ( )
Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai 2
f (x) = ax + bx + . c a > 0 a < 0
• Để f (x) ≥ 0, x ∀ ∈  ⇔ 
⋅ • f (x) ≤ 0, x ∀ ∈  ⇔  ⋅ ∆ ≤ 0 ∆ ≤ 0 +
Xét hàm số nhất biến = ( ) ax b y f x = ⋅ cx + d
– Bước 1. Tập xác định:  \  d D  = − ⋅  c  . a d − . b c
– Bước 2. Tính đạo hàm y′ = f (′x) = ⋅ 2 (cx + d)
+ Để f (x) đồng biến trên D y′ = f (′x) > 0, x ∀ ∈ D ⇔ . a d − .
b c > 0 ⇒ m ?
+ Để f (x) nghịch biến trên D y′ = f (′x) < 0, x ∀ ∈ D ⇔ . a d − .
b c < 0 ⇒ m ?
Cô lập tham số m , tức là biến đổi f (′x,m) ≥ 0(≤ 0) ⇔ g(x) ≥ m(≤ m) .
Bước 1. Xác định tham số để hàm số f xác định trên khoảng đã cho.
Bước 2. Tính f (′x,m) .
Bước 3. Để giải bài toán dạng này, ta thường sử dụng các tính chất sau.
Nếu hàm số đồng biến trên ( ; a b) thì
f (′x) ≥ 0, x ∀ ∈[ ;
a b] → g(x) ≥ h(m), x
∀ ∈[a;b] ⇔ min g x h m . a b ( ) ( ) [ ; ]
Nếu hàm số đồng biến trên ( ; a b) thì
f (′x) ≤ 0, x ∀ ∈[ ;
a b] → g(x) ≤ h(m), x
∀ ∈[a;b] ⇔ min g x h m . a b ( ) ( ) [ ; ] 3.2. Ví dụ minh họa
Câu 1.
Tìm m để hàm số 3
y = x + (m + ) 2
1 x + 3x + 2 đồng biến trên  .
Câu 2. Tìm điều kiện của m để hàm số y = ( 2 m − ) 3 x + (m − ) 2 1
1 x x + 4 nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) . 1 m  ;1 ∈ −  2    + Câu 3. Cho hàm số mx 4m y =
với m là tham số. Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác x + m định.
Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương
trình, hệ bất phương trình 4.1. Phương pháp
1. Nếu hàm số y = f (x) liên tục và đơn điệu trên D thì f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm.
2. Nếu hàm số f (x), g(x) liên tục và đơn điệu trên D thì f (x) = g(x) có ít nhất một nghiệm.
3. Nếu f (x) liên tục và đơn điệu trên D u,v D thì phương trình f (u) = f (v) ⇔ u = v . 4.2. Ví dụ minh họa
Câu 1.
Giải phương trình 2017 3 2 x
+ x − 6x +13x − 9 = 0 .
Câu 2. Giải phương trình sau x − −
x − = ( x − )5 −( x − )5 2 1 5 2 5 2 2 1 .
Câu 3. Giải phương trình 3 2
x + 3x + 4x + 2 = (4x + 6) 4x + 5 .
Dạng 5: Tìm cực trị hàm số cho bởi công thức 5.1. Phương pháp
Bước 1.
Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f ′(x) . Tìm các điểm tại đó f ′(x) bằng 0 hoặc f ′(x) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
5.2. Ví dụ minh họa
Câu 1. Tìm cực trị của hàm số 3 2
y = x −3x −9x +1.
Câu 2. Tìm cực trị của hàm số 3 2 y = 2
x −3x − 6x +1.
Câu 3. Tìm cực trị của hàm số 4 2
y = x + 4x +1.
Câu 4. Tìm cực trị của hàm số y = ( − x)3 ( x − )2 1 3 8 . Câu 5.
Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) 3 = x (x − )
1 (x − 2),∀x ∈ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là.
Dạng 6: Tìm cực trị dựa vào bảng biến thiên, đồ thị 6.1. Phương pháp
- Nếu f ′ (x) đổi dấu qua x D thì x là cực trị. Cụ thể: 0 0
+Nếu f ′ (x) đổi dấu từ + sang – thì x là điểm cực đại. 0
+Nếu f ′ (x) đổi dấu từ - sang + thì x là điểm cực tiểu. 0 - Chú ý:
+ Hàm số đạt cực trị tại: x =
+ Điểm cực trị của hàm số là: x =
+ Giá trị cực trị của hàm số là: y =
+ Cực trị của hàm số là: y =
+ Điểm cực trị của đồ thị hàm số: ( ; x y) 6.2. Ví dụ minh họa
Câu 1.
Cho hàm f (x) có bảng biến thiên như sau:
a) Giá trị cực tiểu của hàm số.
b) Điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  với bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? y -1 O 1 x -1 -2
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên đoạn [ 2;
− 2] và có đồ thị là đường cong trong
hình vẽ bên. Hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
Câu 5: Biết rằng hàm số f (x) có đạo hàm là f (x) = x(x − )2 (x − )3 (x − )5 ' 1 2
3 . Hỏi hàm số f (x) có
bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  và hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm điểm cực tiểu của hàm số
Dạng 7: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0 cho trước 7.1. Phương pháp
Bước 1
. Tính y '(x , y '' x 0 ) ( 0)
Bước 2. Giải phương trình y '(x = 0 ⇒ m? 0 )
Bước 3. Thay m vào thử lại 7.2. Ví dụ minh họa
Câu 1.
Tìm m để hàm số 3 2
y = x − 2mx + mx +1 đạt cực tiểu tại x = 1
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 1 m để hàm số 3 2
y = x mx + (m + )
1 x −1 đạt cực đại tại 3 x = 2 −
Câu 3. Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y = (m − ) 4 x − ( 2 m − ) 2 1
2 x + 2019 đạt cực tiểu tại x = 1 − .
Dạng 8: Toán thực tế
Câu 1. Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số 25t +10 N(t) =
,t ≥ 0 trong đó N(t) được tính bằng nghìn người. t + 5
a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm N (′t) và lim N(t) . Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng t→+∞
nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.
Câu 2. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất
định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số 5000 f (t) = ,t ≥ 0 1+ 5 t e
trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm
f (′t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?.
Câu 3. Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính
xấp xỉ bằng công thức 3 2
f (x) = 0,01x − 0,04x + 0,25x + 0,44 (tỉ USD) với x là số năm tính từ
2010 đến 2017(0 ≤ x ≤ 7) .
a) Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) .
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
Câu 4. Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox . Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số 3 2
x(t) = t − 6t + 9t với t ≥ 0 . Khi đó x (′t) là vận tốc của chất điểm tại thời
điểm t , kí hiệu v(t);v (′t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu a(t) .
a) Tìm các hàm v(t) và a(t) .
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?.
Câu 5. Thể tích V (đơn vị: centimét khối) của 1 kg nước tại nhiệt độ T (0 C ° ≤ T ≤ 30 C ° ) được tính bởi công thức sau: 2 3
V (T) = 999,87 − 0,06426T + 0,0085043T − 0,0000679T .
Hỏi thể tích V (T),0 C ° ≤ T ≤ 30 C
° , giảm trong khoảng nhiệt độ nào?.
Câu 6. Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi
Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm t = 0(s)
cho đến khi tên lủa đẩy được phóng đi tại thời điểm t =126( s) , cho bởi hàm số sau: 3 2
v(t) = 0,001302t − 0,09029t + 23
( v được tính bằng ft / s,1 feet = 0,3048 m )
Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho
đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?.
D. BÀI TÂP TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN
PHẦN 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 1:
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 1; − 0). B. ( ; −∞ − ) 1 . C. (0; ) 1 . D. (0;+ ∞).
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1;+ ∞) . B. ( 1; − 0) . C. ( 1; − ) 1 . D. (0 ) ;1 .
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trong khoảng nào? A. ( 1; − ) 1 . B. (0; ) 1 . C. (4;+∞) . D. ( ;2 −∞ ) . Câu 4: Hàm số 1 3 2
y = x x − 3x + 2019 nghịch biến trên 3 A. ( 1; − 3). B. (−∞;− ) 1 . C. (−∞;− ) 1 và (3;+ ∞) . D. (3;+ ∞). Câu 5: Hàm số 3 2
y = −x + 3x − 2 đồng biến trên khoảng A. (0;2). B. (−∞;0) . C. (1;4). D. (4;+ ∞) . Câu 6: Hàm số 5 − 2x y = nghịch biến trên x + 3 A. R\   3 . B. R . C. ( ; −∞ 3 − ) . D. (3;+∞) . − Câu 7: Cho hàm số x 2 y =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x +1
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;
−∞ +∞) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; − +∞)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ − )
1 D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − ) 1 2 Câu 8: x + x − Cho hàm số 2 3 y =
. Phát biểu nào sau đây là đúng? x +1
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (2;4) .
B.
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ − ) 1 và ( 1; − +∞) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ − )
1 và nghịch biến trên khoảng ( 1; − +∞) .
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = 2
x + 1, ∀x∈  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;+∞) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0) Câu 10: Cho hàm số 1 3 1 2
y x x 12x1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 2
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 3;4.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 4;.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;4   .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;.
Câu 11: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = x(x − )3
2 , với mọi x∈ . Hàm số đã cho nghịch
biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; 3). B. ( 1; − 0) . C. (0; ) 1 . D. ( 2; − 0) .
Câu 12: Hàm số y = f (x) có đạo hàm 2
y′ = x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên  .
B. Hàm số nghịch biến trên (− ;0
∞ ) và đồng biến trên (0;+∞).
C. Hàm số đồng biến trên  .
D. Hàm số đồng biến trên (− ;0
∞ ) và nghịch biến trên (0;+∞).
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đạo hàm f ′(x) = ( − x)2 (x + )3 1 1 (3− x) . Hàm số
y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) ;1 −∞ . B. ( ; −∞ − ) 1 . C. (1;3). D. (3;+ ∞) .
Câu 14: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) ? − + A. x 1 y = B. 3
y = x + x C. 3
y = −x −3x D. x 1 y = x − 2 x + 3
Câu 15: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ 2
− ) B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; − 0)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0 −∞ )
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
Câu 16: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến
trên khoảng nào dưới đây? A. (1;+ ∞) . B. (−∞ ) ;1 . C. ( 1; − + ∞) . D. (−∞;− ) 1 . Câu 17: Cho hàm số 2
y = x −1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0 −∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).
D. Hàm số đồng biến trên ( ; −∞ +∞) . Câu 18: Hàm số 4
y = 2x +1 đồng biến trên khoảng A.  1 ;  −∞ −    B. 1 −  ;+∞ C. (0;+∞) D. ( ;0 −∞ ) 2      2 
Câu 19: Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập + xác định của nó. (Ι) 2x 1 . y = , (ΙΙ) 4 2 .
y = −x + x − 2 , (ΙΙΙ) 3 . 3
y = x + x − 4. x +1
A. (Ι);(ΙΙΙ) .
B. (Ι) & (II ) .
C. (ΙΙ);(ΙΙΙ). D. (II) .
Câu 20: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) 2
= x − 2x , x
∀ ∈  . Hàm số y = 2
f ( x) đồng biến trên khoảng A. ( 2; − 0) . B. (0;2) . C. (2;+∞) . D. ( ; −∞ 2 − ) . Lời giải Chọn B
Ta có: y′ = − f ′(x) 2 2 = 2
x + 4x > 0 ⇔ x ∈(0;2) . Suy ra: Hàm số y = 2
f ( x) đồng biến trên khoảng (0;2) Câu 21: Cho hàm số 1 4 2
y = x − 2x −1. Chọn khẳng định đúng. 4
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 2; − 0) và (2;+∞).
B. Hàm đồng biến trên các khoảng ( ; −∞ 2 − ) và (0;2) .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2; − 0) và (2;+∞) .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; −∞ 2 − ) và (2;+∞). Câu 22: Hàm số 4 2
y = −x + 4x +1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây? A. ( 2;+∞).
B. (− 3;0);( 2;+∞).
C. (− 2;0);( 2;+∞) . D. (− 2; 2). Câu 23: Cho hàm 2
y = x − 6x + 5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+∞).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ ) ;1 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ 3).
Câu 24: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số 2
y = 9 − x . A. (0;+∞). B. ( ;0 −∞ ) . C. ( 3 − ;0) . D. (0;3).
Câu 25: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = −x + sin x . A. ∅ . B. ( ;2 −∞ ) . C.  . D. (1;2) .
Câu 26: Cho hàm số y = xln x . Chọn khẳng định sai trong số các khẳng định sau:
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  1 ;  +∞  . e   
C. Hàm số có đạo hàm y′ =1+ ln x .
D. Hàm số có tập xác định là D = (0;+∞) .
Câu 27: Cho hàm số y = sin x + cos x − 3x . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. Hàm số đồng biến trên  .
B. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
C. Hàm số có điểm cực trị.
D. Hàm số nghịch biến trên  . 1
Câu 28: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số 3 2
f (x) = x + mx + 4x + 3 đồng biến 3 trên  . A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 .
Câu 29: Cho hàm số y = − 3 x − 2
mx + (4m + 9)x + 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;+∞) A. 5 B. 4 C. 6 D. 7
Câu 30: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3
y = x + (m + ) 2
1 x + 3x + 2 đồng biến trên  là A. [ 4; − 2]. B. ( 4; − 2) . C. ( ; −∞ 4
− ]∪[2;+∞). D. ( ; −∞ 4 − ) ∪(2;+∞) . Câu 31: Cho hàm số 1 3 2
y = − x + mx + (3m + 2) x +1. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên 3  . m ≥ 1 − m > 1 − A.  . B. 2 − ≤ m ≤ 1 − . C. 2 − < m < 1 − . D.  . m ≤ 2 − m < 2 −
Câu 32: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = ( 2 m − ) 3 x + (m − ) 2 1
1 x x + 4 nghịch biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) . A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 33: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số 1 y = ( 2 m m) 3 2
x + 2mx + 3x − 2 đồng biến trên khoảng ( ; −∞ + ∞) ? 3 A. 4 . B. 5. C. 3. D. 0 .
Câu 34: Số các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [ 100 − ;100] để hàm số 3 2
y = mx + mx + (m + )
1 x − 3 nghịch biến trên  là: A. 200 . B. 99. C. 100. D. 201.
Câu 35: Giá trị của tham số 1 m sao cho hàm số 3 2
y = x x − (3m + 2) x + 2 nghịch biến trên đoạn 3
có độ dài bằng 4 là A. m =1. B. 1 m = .
C. m = 4 . D. 1 m = . 2 3
Câu 36: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3
y = x + (m − ) 2 2 3
1 x + 6(m − 2) x + 2017 nghịch biến
trên khoảng (a;b) sao cho b a > 3 là m < 0
A. m < 0 . B.  .
C. m > 6.
D. m = 9 . m > 6 Câu 37: Gọi 1
S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số 3
y = x + (m + ) 2 1 x + 4x + 7 3 nghịch biến
trên một đoạn có độ dài bằng 2 5. Tính tổng tất cả phần tử của S. A. 2 − . B. 2 . C. 1 − . D. 4 .
Câu 38: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 1 1 m sao cho hàm số 3 2
y = x mx + 2mx − 3m + 4 nghịch 3 2
biến trên một đoạn có độ dài là 3? A. m = 9 .
B. m =1;m = 9 − . C. m = 1; − m = 9 . D. m = 1 − .
Câu 39: Tìm các giá trị của tham số m 1 để hàm số 3 2
y = x mx + (2m − )
1 x m + 2 nghịch biến trên 3 khoảng ( 2; − 0)..
A. m >1. B. 1 m ≤ − . C. 1 m < − .
D. m = 0. 2 2 3
Câu 40: Biết rằng hàm số x y = + (m − ) 2 3
1 x + 9x +1 nghịch biến trên (x ; x và đồng biến trên các 1 2 ) 3
khoảng còn lại của tập xác định. Nếu x x = 6 thì giá trị m là: 1 2 A. 4 − và 2 .
B. 1+ 2 và 1− 2 . C. 4 − . D. 2 .
Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực m để f (x) 3 2
= −x + 3x + (m − )
1 x + 2m − 3 đồng biến trên một khoảng
có độ dài lớn hơn 1. 5 5
A. − < m < 0 .
B. m > − .
C. m ≥ 0 .
D. m ≤ 0 . 4 4
Câu 42: Hàm số = ( + )3 + ( + )3 3 y x m
x n x đồng biến trên khoảng ( ;
−∞ + ∞) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( 2 2
4 m + n ) − m n bằng A. 16 − . B. 4 . C. 1. D. 1 . 16 4 Câu 43: Cho hàm số mx − 2m − 3 y =
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của x m
m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S . A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4 mx + 4m
Câu 44: Cho hàm số y =
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m x + m
để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S . A. 4 B. Vô số C. 3 D. 5 2
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số x + m
m để hàm số y =
đồng biến trên từng khoảng x + 4 xác định của nó? A. 5. B. 3. C. 1. D. 2 .
Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mx m để hàm số 4 y =
nghịch biến trên từng khoảng x m xác định của nó. m ≤ 2 − m < 2 − A. . B. 2
− < m < 2 . C. . D. 2
− ≤ m ≤ 2 . m ≥ 2  m > 2