bai giang ve chi tiet co hoc chat long

Chương 3. Chuyển động của chất lỏng lý tưởng
$1. Các phương trình cân bằng của thủy tĩnh học
Đối với chất lỏng đứng yên:( v=0)- Phương trình Ơ le dv 1 1
 F  gradp (1) F  gradP  0 dt   (1) 1 P  1 P  1 P  X  ,Y  , Z  (2)  x   y   z 
trường hợp không có lực khối tác dụng lên chất lỏng thì phương trình cân bằng (2) có dạng P P   , 0  , 0 P  0 (3) x y z
Trong trường hợp lực khối tác dụng lên chất lỏng là lực trọng trường (4) P  P  P   , 0  , 0  g  x  y  z 
$1. Các phương trình cân bằng của thủy tĩnh học p  g  z  c (5)
Lấy gốc tọa độ trên mặt tự do của chất lỏng. Trên mặt tự do z=0, p=p0, suy ra  p  c  0
 p  p  gz  (6)  0 p  gz   c
(6) - định luật thủy tĩnh: áp suất ở độ sâu z bằng áp suất ngoài ( p0) cộng với trọng lượng cột nước
có chiều cao la z và diện tích bằng 1 đơn vị.
$2. Định luật Acsimet
p  p  gz  0 (1)
P0- áp suất khí quyển trên mặt tự do của chất lỏng  p  0 p  z  g   gz  '   (2)  g   p z  z 0 '  g
véc tơ chính và moment chính của áp suất trong chất lỏng tác động lên vật trong nó được xác định bằng công thức   P  pdS p  pn  , n S
$2. Định luật Acsimet P 
p cos(nxˆ)dS g  z'cos( x nˆ)dS x    S S P  p cos( y nˆ)dS g  z'cos( y nˆ)dS y    p S S z  z 0 '  g P  p cos( z nˆ)dS g  z'cos( z nˆ)dS z    S S n p  gz'
véctơ pháp tuyến trong của vật thể   
r  i x  jy  kz   p  n
p  p cos(nx)i  p cos(ny) j  p cos(nz)k
$2. Định luật Acsimet     i j k    r p x   x y z   
 p cos(nx) p cos(ny) p cos(nz)  
Từ công thức L  r p x   dS có S L  p y cos(nz)
z cos(ny) dS g  yz'cos(nz)
zz'cos(ny) dS x          S S L  p z cos(nx)
x cos(nz) dS g  zz'cos(nx)
xz'cos(ny) dS y          S S L  p x cos(ny)
y cos(nx) dS g  xz'cos(ny)
yz'cos(nx) dS z          S S 
$2. Định luật Acsimet
n véc to pháp tuyến trong
 f (x, y,z)cos(nx)     f dS d x S 
 f (x, y,z)cos(ny)     f dS d y S 
 f (x, y,z)cos(nz)     f dS d z S   z'
 p  g z'cos(nx)dS  g d  0 x   x  S   p  0 (3) y    '
p  g z'cos(nz)dS   z g
d  g  p  g  z     z S  z
$2. Định luật Acsimet  z  ' z   L  g  '
yz'cos(nz)  zz'cos(ny) dS  g   y  z dS    x      z  y   S S
 g yd   g  y   p y  c z c 
n là véc tơ pháp tuyến trong nên có dấu – L  g 
zz'cos(nx)  xz'cos(nz) dS  g  xd  g  x    p x   y   c z c S 
xc, yc là tọa độ trọng tâm của thể tích khối chất lỏng bị vật thể chiếm chỗ.
Lz=0 có nghĩa là: Lx=Pzyc, Ly=-Pzxc, Lz=0 (4)
Từ (3), (4) dễ dàng kiểm tra điều kiện để áp suất tác động lên mặt S có thể
qui về một lực là: PxLx+PyLy+PzLz=0
Định luật Acsimet: Áp suât thủy tĩnh của chất lỏng trên mặt kín của cố thể nhận
chìm trong nó được qui về một hợp lực bằng trọng lượng của thể tích chất lỏng
bị chiếm chỗ, lực này hướng thẳng đứng từ dưới lên và đặt tại các điểm của
đường thẳng đứng đi qua trọng tâm
của thể tích chất lỏng vị đẩy ra.
$3 Một số bài tóan đơn giản về chuyển động của chất lỏng lý tưởng Tích phân Becnuli
Giả sử rằng chuyển động của chất lỏng lý tưởng là chuyển động dừng
Viết lại phương trình chuyển động của chất lỏng lý tưởng – phương trình ơ le dV 1 F   gradp (1) dt 
Nhân vô hướng hai vế của phương trình (1) với yếu tố chuyển dịch của hạt lỏng dS=vdt dọc theo đường dòng dV 1 FVdt  Vdt  gradpVdt .  (2) dt 
Theo giả thiết về chuyển động dừng F p   , 0  , 0 V  0 t t t  1       2 1 p p p 1
Xdx  Ydy  Zdz  d  V   dx  dy  dz  dp (3)  2      x  y  z    Tích phân Becnuli
Nếu ta nhân vô hướng 2 vế của phương trình (1) với yếu tố dịch chuyển bất kỳ của hạt lỏng ( không theo đường dòng )
thì ta không có được phương trình (2) vì khi đó
ds  Vdt cos
α là góc giữa tiếp tuyến của đường dòng và phương của dịch chuyển ds.
(3) dễ dàng tích phân được nếu ta thêm hai điều kiện V  V  V  the the the   ,   ,  
1)Lực khối là lực có thế X Y Z x  y  z 
2) Chất lỏng là chất lỏng lý tưởng áp hướng, có nghĩa là tỷ khối của chất lỏng chỉ là hàm của áp suất   ( p) dp dp P  hay dP   (p)  (3) có thể viết  1 2 
 dV  d V   dP the  2  1 V
 V 2  P   the 2 Tích phân Becnuli 1 V
 V 2  P   (4) tích phân Becnuli. the 2
Г là hằng số tích phân có giá trị không đổi trên đường dòng cho trước nhưng thay đổi khi
chuyển từ đường dòng này sang đường dòng khác.
Nếu lực khối là lực trọng trường, trong hệ tọa độ vuông góc có trục Oz hướng thẳng đứng lên trên V  gz the V  the   g z 
tích phân Becnuli (4) có thể viết dưới dạng 1 gz 
V 2  P  F (5) 2
Nếu chất lỏng là chất lỏng lý tưởng không nén được   const Tích phân Becnuli p P  
tích phân Becnuli sẽ được viết : V 2 p z     2g  (6)   g 
Z số hạng thứ nhất biểu thị độ cao hình học V 2 p độ cao vận tốc. 2g  độ cao áp suât Tích phân Becnuli
Đối với các hạt lỏng trên một đường dòng 2 2 1 V 1 p 2 V p2      1 z z 2g  2 2g 
Nếu độ cao hình học không đổi dọc theo đường dòng 2 2 1 V  2 V p2 1 p   2g 2g 
Tích phân Cauchy
Giả sử chuyển động của chất lỏng lý tưởng là chuyển động không xóay,
trường xóay vận tốc trong chất lỏng bằng 0 rot V=0 (1)
vận tốc của chất lỏng là hàm vecto có thế V  grad    (2) V  ,V  ,V  x x y  y z  z  1 2 Sử dụng gradV  V 
. V   V  rotV 2
phương trình chuyển động của chất lỏng lý tưởng V  1 2 1
 gradV V  rotV  F  gradp (3) t  2 
Tích phân Cauchy
Nếu chất lỏng đang xét là chất lỏng lý tưởng áp hướng thì sẽ tồn tại hàm P dp  dP  1  p  p  p  p   P  P  P  P  dt  dx  dy  dz  dt  dx  dy  dz     t  x  y  z   t  x  y  z  1 p  P  1 p  P  1 p  P  1 p  P   ,  ,  ,   t  t   x  x   y  y   z  z 
1 gradp  gradP (5)  (grad) Ct có     grad(6)  t  t  V  1 2 1
 gradV V  rotV  F  gradp t  2   1
Tích phân Cauchy   V  grad    grad 
  gradV 2  gradP  F (7) V  ,V  ,V  x y z  x  y  z  t   2 rot V=0   1 2  grad 
 V  P  F (8)  t  2 
(8) chỉ ra rằng trong trường hợp chuyển động không xóay của chất lỏng lý tưởng áp hướng lực khối phải là lực có thế. ký hiệu F=-gradVthe (9)   1 2  grad 
 V  P  V (10) the   0  t 2   1 2
 V  P V  f (t) (11) tích phân Cauchy t  2 the Nhận xét 1.
Tích phân Cauchy
Nếu chuyển động của chất lỏng lý tưởng áp hướng là chuyển động dừng và không xóay 1 V  gz the
V 2  P  V  C (12) the 2 V  the   
Nếu chất lỏng là chất lỏng lý tưởng không nén được chịu tác động của lực trọng trường g  1 z 2 p V  z   2g  C (13) tích phân Becnuli-Ơle   g
hằng số C không đổi cho mọi hạt lỏng
Trong pt Becnuli Г là hằng số tích phân có giá trị không đổi trên đường dòng cho trước nhưng
thay đổi khi chuyển từ đường dòng này sang đường dòng khác- đó là điều khác biệt
Tích phân Becnuli Ơle là lời giải giải tích của bài tóan về chuyển động dừng, không xóay
của chất lỏng lý tưởng không nén được chịu tác động của lực trọng trường Nhận xét 2.
Tích phân Becnuli, Cauchy và Becnuli-Ơle có ý nghĩa thực tiễn quan trọng trong tính tóan thủy lực.
Tích phân Cauchy
Công thức xác định vận tốc dòng chảy của chất lỏng không nén được từ một bình lớn qua một lỗ bé – Công thức Torixeli.
diện tích của mặt thóang của chất lỏng là S, diện tích của lỗ thóat là s,
vận tốc của chất lỏng trên mặt thóang là V, vận tốc của chất lỏng tại lỗ thóat là v
Từ phương trình liên tục: SV=sv
Giả thiết chuyển động của chất lỏng là dừng và không xóay, chất lỏng là chất lỏng lý tưởng không nén được thì lời giải của bài tóan là tích
phân Becnuli-Ơle. Trong hệ tọa độ có gốc tọa độ trên mặt thóang, trục Oz hướng thẳng đứng xuống dưới, tích phân Becnuli-Ole: p 1 p 1 0 2 0 2  v  gz   V  2  2
p0 - áp suất trên mặt thóang chất lỏng ( áp suất của không khí).
v 2  V 2  2gz s 2 2 v 2 1 v   2gz 2 v  2gz 2 S 2  s  1     S 
Tích phân Cauchy
Bỏ qua đại lượng nhỏ 2  s     S 
v 2  2gz công thức Torixeli
$4. Chuyển động xóay của chất lỏng lý tưởng
Vecto xóay trong chất lỏng      i j k        rotV     x  y  z     V V V  x y z  V  V      y V V Vy V z x z x    ,    ,    x y  z y  z  x z  x  y  chuyển động xóay   rotV  0
chuyển động không có xóay   rotV  0
Chuyển động không có xóay của chất lỏng gọi là chuyển động có thế V=grad φ
hàm vecto xóay của chất lỏng sẽ bằng 0 vì Ω=rotv=rot grad φ =0
Định lý Lagrangio, Tomson
Định lý Tomson. Giả sử rằng:
Lực khối tác dụng lên chất lỏng có thế
Chất lỏng là chất lỏng lý tưởng, áp hướng.
Khi đó lưu số của vận tốc theo đường cong kín sẽ là đại lượng không đổi theo thời gian   S d V  const L
Chứng minh định lý Tomson xem trong [tập 1 trang 211-212]- SV tự đọc- có kiểm tra chứng minh. Định lý Lagrangio
Giả sử rằngLực khối tác dụng lên chất lỏng là lực có thế; Chất lỏng là chất lỏng lý tưởng, áp hướng.
Khi đó nếu tại thời điểm ban đầu trong một phần nào đó của chất lỏng không có xóay
thì trong phần chất lỏng ấy tại thời điểm trước không có xóay và cũng sẽ không có xóay trong phần chất
lỏng này ở thời điểm tiếp sau. VdS  rotV    d
công thức Stock trong giải tích vecto n (1) L S   rotV  0
Theo giả thiết tại thời điểm ban đầu trong chất lỏng không có xóay
tại thời điểm ban đầu
rotV  d  0  n  (3) nên VdS  0 (2) S L
tại thời điểm ban đầu