bài giảng về toán học lớp12 Chương1 đại số và giải tích

TOÁN 12. VECTO TRONG KGIAN
BÀI 2. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ
1) HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
* Hệ gồm ba trục O , x O ,
y Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong
không gian, hay đơn giản gọi là hệ toạ độ Oxyz .
Chú ý: Ta gọi i , j,k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục O , x O , y Oz .
* Trong hệ toạ độ Oxyz (Hình), ta gọi: điểm O là gốc toạ độ; Ox là
trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao; các mặt phẳng (Ox )
y ,(Oyz),(Oz )
x là các mặt phẳng toạ độ
Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz .
Nhận xét: Các mặt phẳng toạ độ (Ox )
y ,(Oyz),(Oz ) x đôi một vuông góc với nhau. VD1.
Cho hình tứ diện ABCD có ba cạnh A ,
B AC, AD đôi một vuông góc và
AB = 3, AC = 4, AD = 6 . Xét hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh A và các tia O , x O ,
y Oz lần lượt trùng với các tia A ,
B AC, AD . Đọc tọa độ điểm , B C, D . VD2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Nếu điểm A trùng với gốc toạ độ thì ( A 0;0;0) .
b) Nếu điểm A nằm trên tia Ox và OA = 5 thì ( A 5;0;0) .
c) Nếu điểm A nằm trên tia đối của tia Oy và OA = 3 thì ( A 0;3;0) .
d) Nếu điểm A nằm trên mặt phẳng (Oxy) thì cao độ của điểm A bằng 0. Page | 23
TOÁN 12. VECTO TRONG KGIAN
2) TOẠ ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM
Ta có định nghĩa sau (Hình):
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M .
- Xác định hình chiếu M của điểm M trên mặt phẳng 1
Oxy . Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tìm hoành độ a , tung
độ b của điểm M . 1
- Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz ,
điểm P ứng với số c trên trục Oz . Số c là cao độ của điểm M . Bộ số ( ; a ; b )
c là toạ độ của điểm M trong không gian với
hệ toạ độ Oxyz , kí hiệu là M( ; a ; b ) c .
Toạ độ của một điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz luôn tồn tại và duy nhất CHÚ Ý:
* Tọa độ điểm thuộc trục, mặt phẳng tọa độ
⬧ M Ox  M (x ;0;0 ⬧ M Oy  M (0; y ;0 ⬧ M Oz  M (0;0; z M ) M ) M )
⬧ M (Oxy)  M (x ; y ;0 ⬧ M (Oyz)  M (0; y ; z ⬧ M (Oxz)  M (x ;0; z M M ) M M ) M M )
+) Cho điểm M (x ; y ; z . Hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục, mặt tọa độ nào thì giữ M M M )
nguyên tọa độ đó còn các tọa độ khác bằng 0.
⬧ Trục Ox là: M x ;0;0 ⬧ Mặt tọa độ (Oxy) là: M x ; y ;0 4 ( M M ) 1 ( M )
⬧ Trục Oy là: M 0; y ;0 ⬧ Mặt tọa độ (Oyz) là: M 0; y ; z 5 ( M M ) 2 ( M )
⬧ Trục Oz là: M 0;0; z
⬧ Mặt tọa độ (Oxz) là: M x ;0; z 6 ( M M ) 3 ( M )
+) Điểm đối xứng của M (x ; y ; z qua các trục, mặt tọa độ nào thì giữ nguyên tọa độ đó còn đổi M M M )
dấu các tọa độ còn lại.
* Tọa độ điểm đặc biệt trong tam giác, tứ diện:  x + x B C x =  M 2  +) B + C  y + y
M là trung điểm của BC B C  M =  y = 2 M 2   z + z B C z =  M  2 Page | 24
TOÁN 12. VECTO TRONG KGIAN  x + x + x A B C x =  G 3  + +  + + +) A B C y y y
G là trọng tâm của ABC  A B C  G =  y = 3 G 3   z + z + z A B C z =  C  3 + + + +) A B C D
I là trọng tâm tứ diện ABCD  G = 4 VD3.
Cho tứ diện MNPQ có M (0;1;2); N ( 1
− ;3;4);P(0;0;2);Q(1; 2 − ; 4
− ) . Tìm tọa độ I là
trọng tâm tứ diện MNPQ. VD4.
Trong không gian Oxyz , cho các điểm ( A 6;1;0), ( B 1 − ;3;2) và C(1; 1 − ;1). Xét tính đúng,
sai của các mệnh đề sau:  
a) Trung điểm của AC là 7 M ;0; 1 −    2 
b) Trọng tâm của tam giác ABC là I(2;1;1) .
c) Hình chiếu của điểm B trên (Oyz) là H ( 1 − ;0;0)
d) Biết rằng C là trọng tâm của tam giác ABE . Toạ độ của điểm E là ( 2 − ; 7 − ;1) . VD5.
Trong không gian Oxyz , cho điểm (2 A ; 3
− ;5). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Oz có tọa độ là A (0;0;5) . 1
b) Điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là A (2;3;5) . 2
c) Điểm đối xứng của điểm A qua trục Oz có tọa độ là A ( 2 − ;3;5) . 3
d) Điểm đối xứng của điểm A qua trục Oy có tọa độ là A ( 2 − ; 3 − ; 5 − ) . 4 Page | 25
TOÁN 12. VECTO TRONG KGIAN
3) TỌA ĐỘ CỦA VECTO
Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ OM .
Nếu OM có tọa độ ( ; a ; b )
c thì ta viết OM = (a; ; b c) , trong đó
a gọi là hoành độ của vectơ OM ,b gọi là tung độ của vectơ
OM và c gọi là cao độ của vectơ OM (Hình).
Chú ý: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , ta có: - OM = ( ; a ; b c)  M ( ; a ; b c) ;
Vectơ đơn vị i trên trục Ox có tọa độ là i = (1;0;0) ;
Vectơ đơn vị j trên trục Oy có tọa độ là j = (0;1;0) ;
Vectơ đơn vị k trên trục Oz có toạ độ là k = (0;0;1)
* Toạ độ của một vectơ u là toạ độ của điểm A , trong đó A là
điểm sao cho OA = u .
Nếu u có tọa độ ( ; a ; b )
c thì ta viết u = ( ; a ; b )
c , trong đó a gọi là
hoành độ, b gọi là tung độ và c gọi là cao độ của vectơ u .
Ta có định lí sau:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu u = ( ; a ; b )
c thì u = ai + bj + ck.
Ngược lại, nếu u = ai + bj + ck thì u = ( ; a ; b ) c .
* Mối quan hệ giữa tọa độ vecto và tọa độ điểm
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(x ; y ;z và B(x ; y ;z . B B B ) A A A )
Khi đó,ta có: AB = (x − x ; y − y ; z − z , AB = ( x − x + y − y + z − z B A )2 ( B A )2 ( B A )2 B A B A B A )
* Hai Vecto bằng nhau: x = x 1 2 Với 
u = ( x ; y ; z và v = ( x ; y ; z , ta có: u = v   y = y . 2 2 2 ) 1 1 1 ) 1 2 z = z  1 2 Page | 26