59 trang 30 lượt tải

Bài tập Chương 1 - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

60

Bài tập Chương 1 - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Đại số (MAT1093) 33 tài liệu

Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội 591 tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/59
Chương 1
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TU ẾN TÍNH
Bài tập 1.1 Đưa các ma trận sau về da thang:
A =
1 −3 2
3 −4 1
2
−5 3
B =
2
5
3 2
C =
− −4 1 6
1 2 5−
6 3
−4
D =
1 2 3 0−
2 4 2 2−
3 6
−4
=
2 −2 2 1
− −3 6 0 1
1
−7 10 2
Bài tập 1.2 Đ ma trận sau về dang bậc thang rút gọn:
A =
2 1 6 4
1 10 13
6 6 0 20 19
B =
2 3 −2 5 1
3 −1 2 0 4
4
−5 6 −5 7
C =
1 −2 3 1 2
1 1 4 1 3−
2 5 9
−2 8
D
=
1 3 −1 2
0 11 −5 3
2 −5 3 1
4 1 1 5
E =
1 2 −1 2 1
2 4 1 −2 3
3 6 2
−6 5
F =
0 1 3 2−
0 4 −1 3
0 0 1 1
0 5 −3 4
Bài tập 1.3 Xác định hạng của ma trận sau:
A =
3 5 7
1 2 3
1 3 5
B =
1 1 3
2 1 4
1 2 5
C =
1 1 3−
−1 0 2
−
3 5 0
D =
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
E =
4 3 2 2
0 2 1 1
0 0 3 3
F =
1 2 3 6
2 3 1 6
3 1 2 6
G
=
1 −1 5 1−
21 1 −2 3
3 −1 8 1
1 3 −9 7
H
=
1 3 1−2 −
2 5 −2 1
1 1 6 13
− −2 6 8 10
Bài tập 1.4 Xác định sự tồn tại nghiệm của mỗi hệ sau:
1
2 Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
a.
x x x
1
+ 2
2
− 3
3
= −5
2 6x
1
+ 4x
2
− x
3
+ x
4
= −8
6x
1
+ 13x
2
− 17 21x
3
+ 4x
4
= −
b.
x x x x x
1
+
2
+
3
+
4
+
5
= 7
3 3x
1
+ 2x
2
+ x
3
+ x
4
− x
5
= −2
x x x x
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 6
5
= 23
5x
1
+ 4 + 3x
2
x
3
+ 3 = 12x x
4
−
5
c.
x x
1
− 6
2
= 5
x x x
2
− 4
3
+
4
= 0
−x x x x
1
+ 6
2
+
3
+ 5
4
= 3
− x x x
2
+ 5
3
+ 4
4
= 0
d.
2 2x
2
− x
3
+ 2x
5
x x x x
1
+ 2
2
− 3
3
+
4
+ 4 1
2 7x
1
+ 5x
2
− x
3
+ 3 +x
4
= 5
2 5x
1
+ 4x
2
− x
3
+ 3x
4 5
= 3
Bài tập 1.5 Biện luận các hệ phư nh cho bởi ma trận đầy đủ sau đây theo tham
số .a, b, c, d
a.
2 6
7 2
a a
b.
1 −1 4 −2 5
0 1 2 3 4
0 0 d 5 7
0 0 0 cd c
Bài tập 1.6 Viết ra nghiệm của hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với mỗi ma
trận sau:
a.
A =
1 −2 0 0 7 −3
0 1 0 0 −3 1
0 0 0 1 5 4−
0 0 0 0 0 0
b.
B =
1 0 −5 0 −8 3
0 1 4 −1 0 6
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
c.
C =
1 0 −2 0 0 0
0 1 6 −3 −2 7
0 0 0 1 0 5−
0 0 0 0 1 0
d.
D =
1 0 0 8 −3
0 1 0 4 6−
0 0 1 −7 5
0 0 0 0 0
Bài tập 1.7 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
a.
2x
1
+ 7 + 3x
2
x
3
+ x
4
= 6
3x
1
+ 5 + 2x
2
x
3
+ 2 = 4x
4
9x
1
+ 4x
2
+ x
3
+ 7 = 14x
4
e.
x x x x
1
+
2
− 2
3
+ 3
4
= 4
2x
1
+ 3 = 3x
2
+ 3x x
3
−
4
5x
1
+ 7 = 5x
2
+ 4x
3
+ x
4
b.
2x
1
+ 5x
2
+ x
3
+ 3 = 2x
4
4x
1
+ 6x
2
+ 3x
3
+ 5 = 4x
4
4x
1
+ 14x
2
+ x
3
+ 7 = 4x
4
2 3x
1
− x
2
+ 3x
3
+ 3 = 7x
4
f.
x x x x
1
+ 2
2
+ 3
3
+ 4
4
= 5
2x
1
+ x
2
+ 2 + 3x
3
x
4
= 1
3x
1
+ 2x
2
+ x
3
+ 2x
4
= 1
4x
1
‘ + 3x
2
+ 2 5x
3
+ x
4
= −
3
c.
2x
1
+ +x x
2
−
3
x
4
= 0
3 2 3x
1
− x
2
+ 2x
3
− x
4
= 2
5x
1
+ x x
2
−
3
+ 2 2x
4
= −
2 3x x
1
−
2
+ x
3
− x
4
= 4
g.
x x x
1
+ 2
2
+ 3
3
= 14
3x
1
+ 2 = 10x
2
+ x
3
x x x
1
+
2
+
3
= 6
2x
1
+ 3x x
2
−
3
= 5
x x
1
+
2
= 3
d.
−x x x x
1
+
2
+
3
+
4
= 4
2x
1
+ x
2
+ 2 + 3x
3
x
4
= 1
5x
1
+ 3x
2
+ 3 + 5x
3
x
4
= 2
4x
1
+ 3x
2
+ 2 5x
3
+ x
4
= −
h.
2x
1
+ +x
2
x
3
= 2
x x x
1
+ 3
2
+
3
= 5
x x x
1
+
2
+ 5
3
= −7
3
1
+ 3x
2
− x
3
= 14
Bài tập 1.8 Biện luận theo a, b, c, d số nghiệm phương trình
a.
ax x x x
1
+
2
+
3
+
4
=
x ax x x
1
+
2
+
3
+
4
x x ax x
1
+
2
+
3
+
b.
x + 2y + 2z = a
2x − y + z = b
3x + y − z = c
x − 3y + 5z = d
Bài tập 1.9 Xác định m để h ng trình sau có nghiệm:
x x x− 2
2
+
3
+
4
= 1
+ x x
2
−
3
+ 2x
4
= 0
x x x
1
−
2
+ 2
3
− 3
4
= −2
4 2x
1
− x
2
+ 2x
3
= m
Bài tập 1. i các hệ thuần nhất sau:
a.
x x x
1
+ 2
2
− 3
3
= 0
2 2x
1
+ 5x
2
− x
3
= 0
3 4x x
1
−
2
− x
3
= 0
b.
3 2 5x
1
− x
2
− x
3
+ x
4
= 0
2 3x
1
− x
2
+ x
3
+ 5x
4
= 0
x x x
1
+ 2
2
− 4
4
= 0
x x x x
1
−
2
− 4
3
+ 9
4
= 0
c.
x x x
1
+ 2
2
−
3
= 0
2x
1
+ 5x
2
+ 2x
3
= 0
x x x
1
+ 4
2
+ 7
3
= 0
x x x
1
+ 3
2
+ 3
3
= 0
d.
x x x x
1
− 2
2
+ 3
3
− 2
4
= 0
3 7 2x
1
− x
2
− x
3
+ 4x
4
= 0
4x
1
+ 3 = 0x
2
+ 5 + 2x
3
x
4
4 Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Chương 2
MA TRẬN
Bài tập 2.1 Thực hiện các phép tính:
a.
A + B với A =
1 2 3
4 5 6
=
1 −1 2
0 3 −5
b.
3A và −5A với A =
3
5 −6
c.
2 3A − B với A
−2 3
4 5
−6
và B =
3 0 2
−7 1 8
d. 5 2A − B 3B; A(BC); (AB)C; A
T
; ;B
T
A
T
B
T
; A
2
; AC biết
A
=
1 2
3
−4
; B =
5 0
−
6 7
; C =
1 −3 4
2 6 −5
e.
AA
T
và A
T
A biết A =
1 2 0
3 −1 4
Bài tập 2.2
Tìm x, y, z, w biết: 3
x y
z w
=
x 6
−1 2w
+
4 x + y
z + w 3
Bài tập 2.3
Cho A =
1 2
3 6
tìm ma trận B ∈ M
2×3
sao cho AB = 0
Bài tập 2.4 Cho các ma trận
A =
1 −3 0
4 5 1
3 8 0
, B =
1 1 2−
3 0 4
−
1 3 2
, C =
2 0 2−
4 7 5−
1 0
−1
Gọi D = [d
ij
] = 2AB +C
2
không tính toàn bộ ma trận D mà hãy tính cụ thể mỗi phần tử:
a. d
11
b. d
21
c. d
32
5
6 Chương 2. MA TRẬN
Bài tập 2.5
Cho A =
1 5
−
1 3
; B =
−1 3 4
3 5 2
; C =
1 4
1 3
4
−3
; D =
4 3 2 1
−1 0 1 2
2 1 0 3
a. Hãy tính các tích sau đây hoặc giải thích tại sao chúng không tồn tại:
AB BA AC DC CD D
; ; ; ; ; C
T
b. Kiểm tra rằng A BC AB( ) = ( )C và .(AB A)
T
= B
T T
c. Không thực hiện phép tính, hãy tìm D
T
C
Bài tập 2.6
Cho A =
3 3 5−
0 −1 −1
− − −
2 4 4
và x =
3
−1
−
−6
0
4
, z =
15
3
9
a. Tính các tích Ax, Ay, Az
b. Dùng kết quả câu a) để tín A
x y z
Bài tập 2.7 Tìm ma trận đảo của mỗi ma trận sau:
A =
2
3−
7 1
; B =
2 1 1−
5 2 3−
0 2 1
; C =
1 −2 0
2 −3 1
1 1 5
D
=
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
;
E =
1 2 1 0
0 1 −1 1
1 3 1 2−
1 4 −2 4
;
F =
2 1 0 0
3 2 0 0
1 1 3 4
2 −1 2 3
Bài tập 2.8
Tìm ma trận nghịch đảo của A =
a b
c d
Ứng dụng:
A =
3 5
2 3
; B =
1 1
2 3
.
Bài tập 2.9 Cho A =
− − −1 5 7
2 5 6
1 3 4
là ma trận khả nghịch.
Không tìm toàn bộ ma trận A
−1
chỉ tìm
a. c
3
(A
−1
)
b. đồng thời hai cột, c
1
(A
−1
) và c
2
(A
−1
)
c. h A
2
(
−1
), từ đó suy ra giá trị x
2
của hệ A
x
1
x
2
x
3
=
2
1
1
7
Bài tập 2.10 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma
trận nghịch đảo tương ứng của nó:
a.
1 −3 2
3 7− m + 5
−
m 2m 1
; b.A =
1 0 p
1 1 0
2 1 1
Bài tập 2.11 Cho ma trận B =
2 −1 1
0 1 1
1 1
− −1
. H B
−1
, từ đó giải hệ phương
trình Bx = d với i)d =
2
3
−
1
, ii)d = 3
2
i)d =
4
−2
3
Bài tập 2.12 Giải các hệ phương t u bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:
a.
x x x
1
+
2
− 3 2
x x
1
+ 2
2
− 6
2x
1
+ 4x
2
− = −6
b.
x x x x
1
+
2
+
3
+
4
= 1
x x x x
1
+
2
−
3
−
4
= 1
x x
1
−
2
= −1
x x
3
−
4
= −1
c.
x x x
1
+
3
+
4
= −1
x x x
1
+
3
−
4
= 1
x x x
1
+
3
−
4
= −1
x x x x
1 2
−
3
+
4
= 1
Bài tập 2.13 Giải các phương trình ma trận sau đây:
a.
1 2
3 4
.X =
3 5
5 9
b. X.
3 −2
5 −4
=
−1 2
−5 6
c.
3 −1
5 −2
.X.
5 6
7 8
=
14 16
9 10
d.
1 2 3−
3 2 4−
2
−1 0
.X =
1 −3 0
10 2 7
10 7 8
e. X.
13 −8 −12
12 −7 −12
6
−4 −5
=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
8 Chương 2. MA TRẬN
Chương 3
ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.1 Không khai triển, hãy sử dụ chất để tính định thức của mỗi ma trận
sau:
A
=
0 1 5 1
2 −1 1 1−
0 1 0
3 −2 4
3 0 5 7
0 3 1 2 3
0 0 4 1 0
0 0 0 −1 8
0 0 0 0 3
;
C =
1 2 1 5−
2 4 0 1
3 0 1 6
1 2 1 5−
D
=
1 3 4 5 7−
3 3 1 2 0
2 −1 4 0 0
5 3 0 0 0
−2 0 0 0 0
Bài tập 3.2 Tính các định thức sau bằng cách khai triển theo hàng hay theo cột được
chọn một cách hợp lí nhất:
D
1
=
2 3 2
3 0 1
9 6 3
;
D
2
=
8 1 6
4 0 2
3
−2 5
;
D
3
=
1 −2 5 2
0 0 3 0
5 0 4 4
2 6− −7 5
;
D
4
=
6 3 2 4 0
9 0 −4 1 0
8 −5 6 7 1
3 0 0 0 0
4 2 3 2 0
Bài tập 3.3 Viết ra ma trận phụ hợp C = Cof A( ) của mỗi ma trận A sau đây rồi kiểm
tra lại công thức: AC detA I
T
= ( )
a. A =
3 2 1
4 5 2
2 1 4
; b. A =
2 3 4
5 6 7
8 9 1
; c.A =
2 1− −2
1 0 3
3
−1 0
Bài tập 3.4 Chứng minh rằng:
a a
11
+
′
11
a
12
+ a
′
12
··· a
1n
+ a
′
1n
a a a
21 22
···
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a a a
n1 n2
···
nn
=
a a a
11 12
···
1n
a a a
21 22
···
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a a a
n1 n2
···
nn
+
a
′
11
a
′
12
··· a
′
1n
a a a
21 22
···
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a a a
n1 n2
···
nn
9
10 Chương 3. ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.5 Tính định thức của mỗi ma trận sau:
a.A
=
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
;
b.B =
1 −2 0 2
2 −5 3 2
4 1 1 0
− − −5 0 4 4
c.C
=
2 −3 1 0
−5 8 2 1
1 −4 −2 0
2 −1 4 0
d.D =
a b a b+
b a + b a
a
+ b a b
e.E =
a b c
a + x b + x c +
a
+ y b + y
f.F =
a
+ b ab a
2
+ b
2
b
+ c bc b
2
+ c
2
c
+ a ca c
2
+ a
2
Bài tập 3.6 Tính các định thức sau đây:
a.
1 −λ 3 2
2 1 3− λ
3 2 1
− λ
b.
2 − λ 5
2 −1 −
2
− λ
;
c.
2 −λ 0 0
− −2 3 − λ 1
3
−2 2 − λ
Bài tập 3.7 Tìm t để ma trận sau khả bằng cách tính định thức
a.
t −2 4 3
1 t + 1 2−
0 0
t −4
; b
3 −3
−t + 5 3
−
6 6 t −4
; c.
t + 3 −1 1
7 t − 5 1
6
−6 t + 2
Bài tập 3.8 Chứng min
a.
a b a
1 1 1
x +
1
a b a
2 2 2
x + c
2
a b a
3 3 3
x
3
y + c
3
=
a b
1 1
c
1
a b
2 2
c
2
a b
3 3
c
3
c.
1 a bc
1 b ca
1
c ab
= (b−a)( )( )c−a c−b
b.
a b b
1
+
1
x a
1
−
1
x c
1
a b b
2
+
2
x a
2
−
2
x c
2
a b b
3
+
3
x a
3
−
3
x c
3
=
−2x
a b
1 1
c
1
a b
2 2
c
2
a b
3 3
c
3
Bài tập 3.9 Tìm các ma trận nghịch đảo bằng 2 cách ( phương pháp lập ma trận khối
(
A|I
n
) và phương pháp ma trận phụ hợp A
−1
=
1
detA
(Cof A( ))
T
):
A =
2 2 3
1 −1 0
2
−1 0
; B =
1 2 3
2 3 4
1 5 7
; C =
1 1 1 1
1 1 1−1 −
1 −1 0 0
0 0 1 1−
;
D =
1 1 1 1
1 1 1−1 −
1 −1 1 1−
1 −1 −1 1
Bài tập 3.10 Không giải hệ phương trình, tìm nhanh x
2
bằng hai cách
a.
2x
1
+ +x
2
x
3
= 2
x x x
1
+ 3
2
+
3
= 5
x x x
1
+
2
+ 5
3
= −7
2 3x
1
+ 3x
2
− x
3
= 14
b.
5 2x x
1
−
2
+ x
3
− x
4
= 2
3 2 3x
1
− x
2
+ 2x
3
− x
4
= 2
3x
1
+ 2 + 5 6x
2
+ 2x
3
x
4
= −
2 3x x
1
−
2
+ x
3
− x
4
= 4
c.
2 3x x
1
−
2
+ x
3
− x
4
= 4
5 2x x
1
−
2
+ x
3
− x
4
= 2
3 3x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
− x
4
= 2
2 3 7x
1
− x
2
+ 3x
3
− x
4
= 8
d.
−x x x x
1
+
2
+
3
+
4
= 4
2x
1
+ 2 + 3x
2
+ x
3
x
4
= 1
3x
1
+ x
2
+ 2 + 2x
3
x
4
= 1
4x
1
+ 2 + 3 5x
2
x
3
+ x
4
= −
11
Bài tập 3.11 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:
a.
2 3x x
1
−
2
− x
3
= 5
3 2x
1
− x
2
+ 2x
3
= 5
4 3x
1
− x x
2
−
3
= 16
b.
2 2x
1
+ 3x
2
− x
3
= 5
x x x
1
− 2
2
+ 3
3
= 2
4x x
1
−
2
+ x
3
= 1
c.
x x x
1
+ 2
2
+ 3
3
= 3
2x
1
+ 3x
2
+ 8x
3
= 4
3x
1
+ 2x
2
+ 10 = 1x
3
d.
x x x
1
+ 2
2
+ 2
3
= 2
3 2x
1
− x x
2
−
3
= 5
3x x
1
−
2
+ 9 4x
3
= −
Bài tập 3.12 Giải và biện luận theo a mỗi hệ phươ h tuyến tính sau:
a.
x x ax
1
+ 2
2
+
3
= 1
2x
1
+ =ax
2
+ 3x
3
−1
x x x
1
+ 2
2
− 2
3
= 1
c.
x x a a
+
2
+ (a + 1)
3
=
2
+ 3
x x a a
+ (a + 1)
2
+
3
=
3
+ 3
2
1) + 3x
1
+ x
2
+ x
3
= a
4
a
3
b.
x x x
1
+ 2
2
+ 2
3
0
−2x
1
+ (a −2)x
2
+ (a − = 2
ax x
1
+
2
+ (
3
= −2
d.
x x a x
1
+
2
+ (1 − )
3
= a + 2
(1 + a)x x
1
−
2
+ 2x
3
= 0
2x ax
1
−
2
+ 3x
3
= a + 2
Bài tập 3.13 Cho hệ phương
2x
1
+ 3x x
2
−
3
= 5
x x x
1
−
2
+
3
= 2
x x λx
1
+ 2
2
+
3
= 8
4x
1
+ x
2
+ x
3
= 9
a. Giải h ng trình trên khi λ = 1.
b. Tìm λ để hệ trên có nghiệm.
Bài tập 3.14 Cho hệ phương trình tuyến tính theo tham số a
ax x x x
1
+ 3
2
+ 11
3
+ 5
4
= 2
x x x x
1
+
2
+ 5
3
+ 2
4
= 1
ax x x x
1
+
2
+ 3
3
+ 2
4
= −3
x x x x
1
+
2
+ 3
3
+ 4
4
= −3
1. Giải hệ phương trình khi a=2.
2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập 3.15 Cho hệ phương trình:
x x x
1
+
2
− 2
3
= 1
2x
1
+ 3x
2
+ mx
3
= 2
4x
1
+ 5x x
2
−
3
= m + 1
a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
b. Tìm m để hệ có vô nghiệm.
12 Chương 3. ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.16 Cho hệ phương trình tuyến tính theo tham số :a
ax x x x
1
−
2
+
3
+ 2
4
= 10
x x x
1
+
2
− 2
4
= a −5
(a + 1)x
1
+ x
2
+ 2x
3
− 3x
4
= a + 5
x x x x
1
+
2
−
3
+ (a − 1)
4
= −2
1. Giải hệ phương trình trên khi .a = 3
2. Tìm a để hệ trên có nghiệm duy nhất.
Bài tập 3.17 Cho hệ phương trình:
x x
1
+
2
− = 1
2x
1
+ 3x
2 3
= 3
x k x
1
+ 3
3
= 2
Xác định giá trị của k sao cho:
a. Hệ có nghiệm duy nhất.
b. Hệ không có nghiệm.
c. Hệ có vô số nghiệ
Bài tập 3.18 Ch ương trình:
kx x x
1
+
2
+
3
= 1
x kx x
1
+
2
+
3
= 1
x x kx
1
+
2
+
3
= 1
Xác định giá trị của k sao cho:
a. Hệ có nghiệm duy nhất.
b. Hệ không có nghiệm.
c. Hệ có vô số nghiệm.
Bài tập 3.19 Cho phương trình ma trận sau:
1 2 λ
2 7 2λ + 1
3 9 4
λ
X =
−1
2
1
a. Giải hệ phương trình với λ = 0
b. Tìm λ để phương trình trên vô số nghiệm
Chương 4
KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Bài tập 4.1 Xác định các tập cùng với oán đã chỉ ra sau đây có phải là không
gian vectơ không?
a. R
2
với phép toán cộng và ph n nhân như sau:
(x x, y+(y
1 2
) = (
1
+ y
1
+ 1, x
2
+ y
2
)
α(x αx
1
, x
2
) = (
1
, αx
2
)
b. R
2
với phép toá và phép toán nhân như sau:
(x x
1
, x , y
2
) +(y
1 2
) = (3
1
+ 3y
1
, x
2
+ y
2
)
α(x αx
1
, x
2
) (3
1
, αx
2
)
c. R
2
với p ép toán cộng và phép toán nhân như sau:
(x x
1
, x , y
2
) + (y
1 2
) = (
1
+ y
1
, 0)
α(x αx
1
, x
2
) = (
1
, 0)
d. R
2
với phép cộng thông thường và phép nhân với vô hướng định nghĩa như sau:
α(x αx αx
1
, x
2
) = (
2
;
1
)∀α ∈ R và ∀(x x
1
;
2
) ∈ R
2
e. F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] với phép cộng hai hàm số và
phép nhân một số thực với một hàm số.
Bài tập 4.2 Xác định mỗi tập sau có phải là không gian con của M(n, n) không? Tại
sao?(Ký hiệu M(n, n) là không gian vectơ các ma trận cỡ n × n).
a. Tập hợp A tất cả các ma trận tam giác trên cỡ n ×n
b. Tập hợp B tất cả các ma trận chéo cấp n
c. Tập hợp C tất cả các ma trận bậc thang cỡ n ×n
d. Tập hợp D tất cả các ma trận đối xứng cỡ n × n
e. Tập hợp E tất cả các ma trận chéo đối xứng cỡ .n ×n
13
14 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Bài tập 4.3 Xác định xem W có phải là không gian con của các không gian vectơ tương
ứng hay không?
a. W = {(a, b, c) ∈ R
3
: a = 2b} ⊂ R
3
b. W = {(a, b, c) ∈ R
3
: a ≤ b ≤ c} ⊂ R
3
c. W = {(a, b, c) ∈ R
3
: ab = 0} ⊂ R
3
d. W = {(a, b, c) ∈ R
3
: a = b
2
} ⊂ R
3
e. W = {(a, b, c) ∈ R
3
: −a − 5b + 2c = 0} ⊂ R
3
f. W = {(a, b, c, d) ∈ R
4
: 3a − b + 7d = 5} ⊂
g. W = {(a, b, c, d) ∈ R
4
: 2a − 3b + 4d = b + c = 0} ⊂ R
4
Bài tập 4.4 Cho V là không gian ve ất cả các hàm số thực trên R. Chỉ ra rằng
W trong mỗi trường hợp sau có là k ian con của V hay không?
a. W = {f ∈ V : |f (x)| ≤ M } b. W = {f ∈ V : f (−x x) = f ( ), ∀x ∈ R}
Bài tập 4.5 Chứng minh bao gồm các vectơ cột sau đây là không gian vectơ,
bằng cách chỉ ra nó là kh an con sinh bởi tập các vectơ nào đó.
a.
A =
s
3s
2
s
∈ R
⊂ [R]
3
;
b.
D =

a b
c d
:
a + b −c = 0
a −c −d = 0
⊂ M(2 2),
c. ;B = {(t; 2t + s, t −s) : t, s ∈ R} ⊂ R
3
d.
C =
p ∈ P
3
[x] :
p(1) = p(−1)
p p(2) = (−2)
⊂ P
3
[x]
Bài tập 4.6 Cho W là tập tất cả các vectơ cột có dạng như đã chỉ ra, trong đó .a, b, c ∈ R
Trong mỗi trường hợp, hãy chỉ ra tập S sao cho W = Sp(S), hoặc chứng tỏ W không phải
là không gian con của không gian vectơ tương ứng.
a.
W =
3a + b
4
a
− 5b
: a, b ∈ R
⊂ [R]
3
; b. W =
1 − a
a −6b
a
+ 2b
, a, b ∈ R
⊂ [R]
3
c.
W =
a −b
b −c
c − a
b
:
a, b, c ∈ R
⊂
[R]
4
; d. W =
4a + 3b
0
a + b + c
−2a + c
:
a, b, c ∈ R
⊂ [R]
4
15
Bài tập 4.7 Gọi C
[a,b]
là tập tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn [a,b] thì C
[a,b]
lập
thành không gian con của không gian vectơ các hàm thực xác định trên [a,b]. Chứng minh
rằng tập E =
f ∈ C
[a,b]
: f f(a) = (b)
là không gian con của .C
[a,b]
Bài tập 4.8 Xác định tập nào trong các tập sau đây sẽ lập nên không gian con của
M(2 2), :
a.
E =

a + b b −2d
0
d
∈ M(2, 2) : a, b, d ∈ R
b.
E =

a a
2
b b
2
∈ M(2, 2) : a, b ∈ R
c.
E =

a a + 2
b c
∈ M(2, 2) : R
d.
E =

a b
c d
∈ M(2 + 2 + 3b −c d = 0
Bài tập 4.9
Cho F là ma t định nào đó thuộc M(3 2), , gọi ;H = {A ∈ M(2, 4) : F A = 0 }
(0 là ma trận k a không gian M(3 4), ). Xác định xem H có là không gian con của
M(2, 4) khôn
Bài tập 4.10 Xác định xem vectơ v có thuộc không gian con sinh bởi các vectơ v
i
đã
cho trong mỗi trường hợp sau:
a.
v =
5 7
5 −10
;
v
1
=
1 2
3 −4
, v
2
=
0 3
1 2
, v
3
=
1 2
0 0

b.
v =
7 6
− −5 10
;
v
1
=
3 0
1 1
, v
2
=
0 1
3 4
, v
3
=
1 2
0 1

c. v = 3x
2
+ 2x + 9; {v
1
= x
2
+ 1 + 3, v
2
= x }
d. v = 2x
2
+ x −3; {v
1
= x
2
− x + 1 + 2, v
2
= x
2
x −2}
Bài tập 4.11 Cho A =
4 0 4
6 4 8
− −
8 2 9
và w =
−2
1
2
. Hãy xác định xem w có là
phần tử của ColA, của NulA hay không?
Bài tập 4.12 Trong các tập W gồm các vectơ cột sau đây, hãy xác định tập nào là
không gian vectơ, tập nào không phải là không gian vectơ( bằng cách chỉ ra ma trận A
để W = NulA)?
16 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
a.
W =
a
b
c
: a + b + c = 2
b.
W =
a
b
c
d
:
a −2b = 0
2
a = c + 3d
c.
W =
b −2d
5 + d
b + 3d
d
:
b, d ∈ R
d.
W =
c − 6d
d
c
, c, d ∈ R
e.
W =
a
b
c
: 5a = b + 2c
Bài tập 4.13 Tìm ma trận A sao cho W gồm tơ cột cho sau đây là :ColA
a.
W =
2s + 3t
r + s − 2t
4r + s
3r − s − t
:
r, s, t ∈ R
W =
b −c
2b + +c d
5 4c − d
d
:
b, c, d ∈ R
Bài tập 4.14 Giả sử H và K l hông gian con của không gian vectơ V. Ta gọi tổng
giao của các không gian con K tương ứng là:
H ∩K = {v v ∈ H và v ∈ K}
H + K = : v ∈ H và w ∈ K}
a. Chứng minh r + K và H ∩ K là những không gian vectơ con của .V
b. Cho ví dụ, hạn khi V = R
2
, để chứng tỏ hợp của hai không gian con nói
chung không phải là không gian con. (Hợp của hai không gian con được hiểu theo nghĩa
hợp của hai tập hợp thông thường).
Bài tập 4.15 Xác định các tập sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
a. u
1
= (1; 3; −1; 4), u
2
= (3; 8; −5; 7) = (2; 9; 4; 23), u
3
b. u
1
= (1; −2; 4; 1), u
2
= (2; 1; 0; −3), u
3
= (3; −6; 1; 4)
c. u
1
= 1 = 3− 2x
2
, u
2
− −x x
2
, u
3
= −1 + 2 + 5x x
2
d. u
1
= x x x x x x
3
− 4
2
+ 2x + 3, u
2
=
3
+ 2
2
+ 4x −1, u
3
= 2
3
−
2
− 3x + 5
e. u
1
= x x x x x x
3
− 5
2
− 2x + 3, u
2
=
3
− 4
2
− 3x + 4, u
3
= 2
3
− 7
2
− 7x + 9
f. u
1
= x x x x
3
− 2x + 3, u
2
=
2
+ 1, u
3
= 2
3
+
2
− 4x + 10
g. u
1
= x x x x
3
− 2x + 3, u
2
=
2
+ x + 1, u
3
=
3
+ 2
2
+ 5
h.
S =

1 2
3 1
;
1 1
1 1
;
2 1
4 2

i.
S =

1 2
−1 0
;
1 2
1 1
;
1 2
5 3

17
Bài tập 4.16 Từ tập hợp các vectơ sau hãy tìm một cơ sở cho không gian vectơ tương
ứng
a. {v v
1
= (1; 0; 0), v
2
= (0; 1; −1), v
3
= (0; 4; −3);
4
= (0; 2; 0)} ⊂ R
3
b. {p
0
= 2, p
1
= −4x, p
2
= x
2
+ x + 1 + 7, p
3
= 2x , p
4
= 5x
2
− 1} ⊂ P
2
[ ]x
Bài tập 4.17 Hãy mở rộng các tập sau thành một cơ sở của không gian vectơ tương ứng
a. {v
1
= (1; 0; 0; 0), v
2
= (1; 1; 0; 0), v
3
= (1; 1; 1; 0)
b.
v
1
=
1 0
0 0
, v
2
=
2 0
−1 0

⊂ M(
Bài tập 4.18 Tìm cơ sở và số chiều củ A, ColA, RowA biết :A
a. A =
− − −2 4 2 4
2 6− −3 1
−
3 8 2 −
b. A =
1 2 5 11 3− −
2 4 5 15 2−
1 2 0 4 5
3 6 5 19 2− −
Bài tập 4.19 Tìm cơ ố chiều của Sp(S), biết:
a. S = {(1; 1; 1 1 : 2; −1; −2; 1), (3; 5; (1; 2; 1;−1; −2; 5), −1; 4)}
b. S = {( ; 1), (2; 1; 2; 0; 1) (1; 1; 2; 3; 4), , (4; 1; 5; 4; 6)}
c.
S =
1 2
−1 3
,
2 5
1 −1
,
5 12
1 1
,
3 4
−2 5

d.
S =

1 2
0 1
,
3 4
1 1
,
1 2
1 1
,
0 2
1 2

e. S = {1 −2x x x
2
, 3 − x −
2
, −1 + 2x + 5
2
}
Bài tập 4.20 Cho .S = {(1; −1; −1), (3; (1;−1; 5) 1; 2; 1), (− , −3; −6)}
a. u = (−3; 6; 2) có thuộc Sp(S) hay không?
b. S có phải là tập sinh của R
3
hay không?
Bài tập 4.21 Cho .S = {1 + 2x x x− x
2
, −2 + 3 + x
2
, 1 + 9 − 2x x
2
, 5 −4x − 3
2
}
a. p(x x) = 4 + x −3
2
có thuộc Sp(S) hay không?
b. S có phải là tập sinh của P
2
[x] hay không?
Bài tập 4.22
a. Tìm cơ sở của không gian con P = {(x x x x x x
1
;
2
;
3
) ∈ R
3
|3
1
+
2
+ 5
3
= 0}
18 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
b. Tìm cơ sở của mặt phẳng cho bởi phương trình x
1 2
− x + 8x
3
= 0
Bài tập 4.23 Hãy tìm số chiều của các không gian con sau đây:
a.
W =
a −b + 2c
a + 3c
b −3c
a + 2b −c
:
a, b, c ∈ R
b.
W =
a −4b −2c
2 4a + 5b − c
−a + 2c
−3a + 7 + 6b c
:
a, b, c ∈ R
c. W = {(a b; ; c) : a − 3b + c = 0, b − 2c = c = 0}
d. W = {(a, b, c) : a −3b + c = 0}
e. Sp(S) với S = {(1; 1; 2; 1), (− − − }4; 2), (1; 1; 1; 0) (3; 1; 5; 2),
f. Sp(S) với S = {1 + 2x x− + x x x
2
+
3
, 1 + 2x −
3
}
Bài tập 4.24 Tìm số chi các không gian con của M(3, 3) sau đây:
a. Không gian co a trận chéo.
b. Không gian ác ma trận đối xứng.
c. Không gian con của các ma trận tam giác trên.
Bài tập 4.25 Tìm số chiều mỗi không gian con của P
5
[x] sau đây:
a. U = {(1 + x
2
)p p: ∈ P
3
[ ]x }
b. U = {p ∈ P
3
[x] : p(−x) = −p(x)∀x}
Bài tập 4.26 Cho U và W là các tập con của R
4
U = {(a, b, c, d) : b − 2c + d = 0}
W = {(a, b, c, d d, b) : a = = 2c}
a. Chứng minh U, W là các không gian con của R
4
b. Tìm cơ sở và số chiều của U, W, U W∩
Bài tập 4.27
a. Tìm cơ sở cho mặt phẳng có phương trình: x x x
1
+ 3
2
+ 4
3
= 0 trong R
3
, rồi mở rộng
cơ sở vừa tìm được thành một cơ sở của .R
3
19
b. Tập hợp các điểm (x
1
, x , x
2 3
, x
4
) ∈ R
4
thỏa mãn phương trình:
c
1
x x x x
1
+ c
2 2
+ c
3 3
+ c
4 4
+ c
5
= 0; (c
i
∈ R)
được gọi là siêu phẳng trong .R
4
Hãy tìm một cơ sở cho siêu phẳng: , rồi mở rộng cơ sở đóx x x x
1
+
2
+ 2
3
+
4
= 0
thành cơ sở cho .R
4
Bài tập 4.28 Cho E = {(x ax a x
2
− 4)(
2
+ bx + ), a, ⊂ P
4
[ ]
a. Chứng minh E là không gian con của P
4
[
b. Tìm dim E
Bài tập 4.29 Cho E = {(x
1
, x , x
2 3
)
2
= mhằng số} ⊂ R
3
a. Tìm m để E là không gian .R
3
b. Tìm dim E khi m = 0
Bài tập 4.30 Trong k an véc tơ R
3
cho tập
E
=
( )
x
1
, x , x
2 3
R
3
:
x x x
1 2 3
1 2 1
2 1 2
= 0
Chứng minh rằng E là không gian con của R
3
. Tìm số chiều và một cơ sở của E
Bài tập 4.31 Tìm tọa độ của các vectơ đối với cơ sở tuơng ứng được cho dưới đây
a. u = (9, 1, 5) với cơ sở của R
3
là B = {(−1; 2; 1), (2; (5;−5; −3), −7; −3)}
b. u = 7e
1
+ 5e e
2
−
3
, với cơ sở của R
3
là B = {e
1 2 3
, e
1
+ e , e
1
+ e
2
+ e }
c. p(x x) = 5
2
− 2x + 3, với cơ sở của P
2
[x] là B = {1, 1 + x, 1 + x
2
}
d. u = av bv cv
1
+
2
+
3
, với cơ sở C = {v v v
1
+
2
, v
1
−
2
, v
3
}, trong đó B = {v
1
, v , v
2 3
}
là một cơ sở của R
3
e.
A =
1 −2
3 4
∈ M(2, 2) đối với cơ sở
B
=

0 1
1 0
,
0 −1
0 0
,
1 −1
0 3
,
0 1
0 1

.
Bài tập 4.32 Hãy tìm vectơ, biết cơ sở B và -tọa độ của vectơ đó trong mỗi trườngB
hợp sau:
a. B = {(1; −4; 3), (5; 2; −2), (4; −7; 0)} và (x)
B
= (3; 0; −1)
20 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
b. B = {(− − −1; 2; 0), (3; 5; 2), (4; 7; 3)} và (x)
B
= (− −4; 8; 7)
c. B = {x + x x x
2
, x −
2
, 1 + } và ( (p x))
B
= (3; 1; 2)
Bài tập 4.33 Trong P
2
[ ]x , cho .p
1
(x x x x x x) =
2
− 1, p
2
( ) =
2
+ x + 1, p
3
( ) =
2
− mx −3
a. Với giá trị nào của m thì p
1
, p , p
2 3
trở thành cơ sở của ?P
2
[ ]x
b. Với m = 2, hãy biểu diễn p(x x) = 3
2
+ x + 1 theo .p
1
, p , p
2
Bài tập 4.34
Cho E =
2a + b −c
a −2b
−
3a − 4b + 2c
∈ R
3
: a, b
⊂ R
3
.
1. Chứng minh E là một không gian con của R
2. Tìm một cơ sở và số chiều của E.
Bài tập 4.35 Cho không gian vectơ P
3
[ ]x - gian các đa thức bậc không quá 3.
a. Chứng minh rằng B = {1, 1 − x x, (1 − )
3
} là cơ sở của .P
3
[ ]x
b. Tìm tọa độ của vectơ u = 2 2x
2
− x
3
đối với cơ sở .B
Bài tập 4.36
1. Chứng minh
E
b
c d
∈ M(2, 2) : a − 2c + d = 0
là một không gian con của
M(2 2), .
2. Trong không gian véc tơ P
2
[x] cho tập .B = {1, 1 + x, (1 + x)
2
}
a. Chứng minh B là cơ sở của P
2
[ ]x .
b. Tìm tọa độ của p(x x) = −
2
+ 4 đối với cơ sở B.
Bài tập 4.37 Cho B = {b
1
, b
2
, b
3
} và C = {c
1
, c , c
1 3
} là hai cơ sở của không gian vectơ
V. Giả sử b b b
1
= 4c c
1
−
2
;
2
= −c
1
+ c c
2
+
3
;
3
= c
2
− 2c
3
.
a. Tìm ma trận chuyển tọa độ từ cơ sở B sang cơ sở .C
b. Tìm [x]
C
biết .x = 3b
1
+ 4b
2
+ b
3
Bài tập 4.38 Cho B = {(1; 2; 0), (1; 3; 2) (0; 1; 3), } là một cơ sở của .R
3
a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sở .B
b. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở chính tắc .E
Bài tập 4.39 Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang C với:
a. B = {b
1
= (1; 1), b
2
= (1; 0)} và C = {c
1
= (0; 1) = (1; 1), c
2
}
b. B = {b
1
= (1; 0; 1), b
2
= (1; 1; 0), b
3
= (0; 1; 1)} và C = {c
1
= (0; 1; 1) =, c
2
(1; 1; 0), c
3
= (1; 0; 1)}
Chương 5
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài tập 5.1 Cho mỗi ánh xạ sau đây, hã g minh nó là ánh xạ tuyến tính hoặc chỉ
ra tại sau nó không phải là ánh xạ tuy .
a. f : R R
2
→ , f x, y( ) = 3x +
b. f : R
2
→ R
2
, f x, y( ) =
c. f : P
n
→ P
n+1
, f(p x(x + 1)p( )
d. f : P
n
→ R, =
1
R
0
p(x dx)
e. f : P f(p(x x)) = p
′
( ) + (5x + 2) với p
′
(x) là đạo hàm của p(x)
f. f : R
3
→ R
3
, f(x, y, z z, x z, x) = (y + + + y)
g. f : M M(n, m) → (m, n , f) (A A) =
T
h. f : M(n, n) → R, f(A det A) = ( )
Bài tập 5.2 Chứng minh mỗi ánh xạ sau đây là ánh xạ tuyến tính rồi tìm nhân, ảnh
của nó.
a. f : ]P
2
[x → P
2
[ ]x , f(ax
2
+ bx + c) = (a + b)x
2
+ bx + 2c
b.
f : ]P
3
[x → M(2 2), , f (ax
3
+ bx
2
+ +cx d) =
0 b
c d + 2a
c. f : P
n
[x] → R, f(p(x)) =
1
R
0
p(x dx)
d. f : M M(2, 2) → (2 2), , f (A) = A + A
T
e. T : F → F, T f(f) = 2
Bài tập 5.3 Cho ánh xạ T : M M(2, 2) → (2, 2) được xác định bởi
T
(A A) = A +
T
trong đó A =
a b
c d
.
21
22 Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
a. Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính.
b. Giả sử B ∈ M(2, 2) sao cho B B
T
= . Tìm A ∈ M(2, 2) để .T (A) = B
c. Chứng minh rằng .ImT = {B ∈ M(2, 2) : B
T
= B}
d. Tìm .KerT
Bài tập 5.4 Ánh xạ tuyến tính f : ]P
2
[x → [R]
2
thỏa mãn
f
(1) =
1
1
, f(x) =
−1
1
, f(x
1
Tìm .f(p), p = a + bx + cx
2
Bài tập 5.5 Cho ánh xạ f : R
3
→ R
3
được nh bởi
f(x x x x
1
, x , x
2 3
) = (
1
+
3
;
2
+
3
, x
1 2
+ x − 2x
3
)
a. Chứng minh f là ánh xạ tu h.
b. Tìm cơ sở và số chiều c f
Bài tập 5.6 Cho ánh [R]
4
→ [R]
3
, được xác định bởi ma trậnchính tắc A =
1 2 3 1
1 3 5 2−
3 8 13
−3
Tìm cơ sở và số chiều của KerT và ImT
Bài tập 5.7 Cho ánh xạ T : R R
3
→
3
, được xác định bởi ma trận chính tắc A =
1 2 5
3 5 13
− − −
2 1 4
Tìm cơ sở và số chiều của KerT và ImT
Bài tập 5.8 Chứng minh rằng mỗi ánh xạ sau đây là ánh xạ tuyến tính rồi tìm nhân
của mỗi ánh xạ.
a.
f : M M(2, 3) → (2 3), , f

a b c
d e f

=
d e f
0 0 0
b. f : M(3, 3) → R, f (A a a a) =
11
+
22
+
33
(Ảnh của ma trận A là tổng các phần tử
trên đường chéo).
c.
f : M M(3, 3) → (3 3), , f (A) =
1
2
(A + A
T
)
Bài tập 5.9 Chứng minh rằng mỗi ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính bằng cách chỉ ra nó
là ánh xạ ma trận.
23
a. T : [R]
3
→ [R]
3
, T
x
1
x
2
x
3
=
x
3
x
2
x
1
b. T : [R]
2
→ [R]
4
, T
x
1
x
2
=
5x x
2
−
1
0
3x
1
+ x
2
x
1
c. T : [R]
3
→ [R]
3
, T
x
1
x
2
x
3
=
2x
1
+ x
3
4x
2
+ 3x
3
x x x
1
+
2
+
3
d.
T : [R]
4
→ [R]
3
, T
x
1
x
2
x
3
x
4
=
x x
1
−
x
2
−
x x x
1
−
4
e.
T : [R]
4
→ [R]
1
, T
x
1
x
2
x
3
x
4
=
5x−
2
+ 3x
3
− x
4
Bài tập 5.10
a. Cho T : R
2
→ ánh xạ tuyến tính sao cho
T (x x x x x x
1
;
2
) = (
1
+
2
; 4
1
+ 7
2
)
Tìm ve x thỏa .T (x) = (− −2; 5)
b. Cho T : R R
2
→
3
là ánh xạ tuyến tính sao cho
T (x x x x x x x
1
;
2
) = (
1
+ 2
2
; −
1
− 3
2
; −3
1
− 2x
2
)
Tìm vectơ x thỏa .T (x) = (−4; 7; 0)
Bài tập 5.11 Giả sử T là ánh xạ tuyến tính từ R
n
vào R
m
tương ứng:
a. Cho T (1; 0) = (3; 1) và T (0; 1) = (−2; 5). Hãy tìm .T (4; −6)
b. Cho T (−1; 0) = (2; 3) và T(0; 1) = (5; 1). Hãy tìm .T (− −3; 5)
c. Cho T (1; 0; 0) = (−3; 1) 4; 1), T (0; 1; 0) = (− , T (0; −1; 1) = (3; −5). Hãy tìm T (−1; 4; 2)
d. Cho T(1; 2; −3) = (1; 0; 4; 2) 8; 3; 0; 1), T (3; 5; 2) = (− , .T (− − − −2; 3; 4) = (0; 2; 1; 0)
Hãy tìm T (5; −1; 4)
Bài tập 5.12 Hãy tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T : [R] [
n
→ R]
m
tương
ứng, xác định bởi công thức sau:
a.
T : [R]
2
→ [R]
2
, T
x
1
x
2
=
2x
1
+ x
2
x x
1
−
2
24 Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
b. T : [R]
3
→ [R]
3
, T
x
1
x
2
x
3
=
x x x
1
+
2
+
3
x x
1
+
2
x
1
c. T : [R]
3
→ [R]
1
, T
x
1
x
2
x
3
=
x
1
+ +x
2
x
3
Bài tập 5.13
a. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T → [ ]R
2
sao cho không gian
triệt của
T là KerT = Sp

2
1

và không h của T là ImT = Sp

2
1

.
b. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuy T : R
2
→ R
3
sao cho không gian triệt
của
T là KerT = Sp

1
−
1

ng gian ảnh của T là ImT = Sp
0
3
5
.
Bài tập 5.14 Cho f : V → nh xạ tuyến tính. Chứng minh là không gianf(E)
con của không gian W, sau cơ sở và số chiều của trong mỗi trường hợp sau:f(E)
a. f : R
3
→ R
3
, f( x x x x x a b b
3
) = (
1
−
2
;
1
+
2
;
2
), E = {( ; 2a + ; a − 2 ), a, b ∈ R}
b.
f : M(2, 2) → , f

a b
c d

=
a + 2b
c − d
, ,E = {A ∈ M(2 2) : A + A
T
= θ}
c. f : ]P
2
[x → P
2
[ ]x , f(ax
2
+ bx + c) = (a + 1) + ( + 1) + ( + 1)x
2
b x c , E = {p ∈ P
2
[x] :
p p(0) = (1)}
Bài tập 5.15 Cho mỗi ánh xạ tuyến tính sau, xác định ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh,
song ánh, hay không phải là đơn ánh và toàn ánh
a. f : R
3
→ R
2
, f x, y, z( ) = (x + y, z) b. f : R
3
→ R
3
, f x, y, z( ) = (y + z, x z, x+ + y)
c. f : R
3
→ R
3
, f x, y, z( ) = (y, y, y) d. f : P P
1
→
2
, f(a a x a a x
0
+
1
) =
0
x +
1
2
e.
f : M(2, 2) → R, f

a b
c d

= a + b + +c d
Bài tập 5.16 Tìm cơ sở cho Imf, Kerf của các ánh xạ tuyến tính cho ở bài tập trên.
Bài tập 5.17 Sử dụng tính chất của ánh xạ tọa độ, hãy xác định tính độc lập tuyến
tính, phụ thuộc tuyến tính của mỗi tập các đa thức sau:
a. B = {p
1
= 1 + 2x, p
2
= 3 −x, p
3
= −1 + 3x
2
}
b. B = {p
1
= 1 − 2x
2
− 3x
3
, p
2
= x + x
3
, p
3
= 1 + 3x −2x
3
}
25
c. B = {p
1
= 1 + x
3
, p
2
= 3 + x −2x
2
, p
3
= −x + 3x x
2
−
3
}
d. B = {p
1
= (1 − x)
3
, p
2
= (2 −3x)
2
, p
3
= 3x
2
− 4x
3
}
Bài tập 5.18 Không gian triệt của ánh xạ tuyến tính f được hiểu là Kerf. Hãy tìm cơ sở
cho không gian triệt của ánh xạ tuyến tính f : [R]
n
→ [R]
m
xác định bởi mỗi ma trận
chính tắc sau đây, từ đó tìm hạng của :f
a. A =
3 6 1
2 4 1
1 2 0
, b. A =
0 1 0 −2
1 2 1 −1
2 4 3
−1
,
1 1 1 1 1
0 1 2 3 4
1 0 1 3 3
1 1 3 6 8
Bài tập 5.19 Xác định các ánh xạ tuyến t sau đây, ánh xạ nào là đơn cấu, toàn
cấu, đẳng cấu:
a. T : [R]
4
→ [R]
3
, T (x) = Ax
3 4 9−
0 1 2 6
0 0 0 0
b.
T : [R]
4
→ [R]
4
= Ax, A =
−1 2 0 5
3 7 2 8
−4 2 0 0
1 3 0 6
c. T : R
3
T (1; 0; 0) = (2; 1), T , T(0; 1; 0) = (0; −2) (0; 0; 1) = (−1; 1)
d. .T : ]P
2
[x → P
2
[ ]x , T (x
2
) = ) = 2x
2
+ 3, T (x x
2
+ 4x x−1, T (1) = 3 − 1
Bài tập 5.20 Bằng cách xét số chiều của không gian triệt hay không gian ảnh, hãy xác
định số chiều của không gian triệt và hạng của mỗi ánh xạ tuyến tính sau đây:
a. D : P
n
[ 1[ ]x] → P
n
− x , D(p) = p
′
, ∀p ∈ P
n
[x] (D là phép lấy đạo hàm).
b. D : P
n
[ [ ]x] → P
n
x , D(p) = p
′
, ∀p ∈ P
n
[ ]x
c.
f : M M(2, 3) → (2 3), , f

a b c
d e f

=
d e f
0 0 0
d. T : M(3, 3) → R, T
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
a a a
31 32 33
= a a a
11
+
22
+
33
e.
S : M M(3, 3) → (3 3), , S(A) =
1
2
( (A + A
T
) (S A) được gọi là bộ phận đối xứng của
ma trận )A
Bài tập 5.21 Cho ánh xạ tuyến tính f : R
2
→ R
3
được cho bởi f(e e e
1
) = 2
1
−
3
và
f(e e e
2
) =
2
+
3
. Hãy tìm ma trận biểu diễn f đối với cặp cơ sở B = {e e e
1
−
2
, e
1
+
2
} và
C = {e
1
, e
1
+ + +e
2
, e
1
e
2
e
3
}
26 Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài tập 5.22 Gọi E = {e
1
, e
2
, e
3
} là cơ sở chính tắc của R
3
, B = {v
1
, v , v
2 3
} là cơ sở
của không gian vectơ V và f : R
3
→ V là ánh xạ tuyến tính xác định bởi
f(x x x v x x v x
1
, x , x
2 3
) = (
3
−
2
)
1
− (
1
+
3
)
2
+ (
1
− x
2
)v
3
a. Tìm f(e e e
1
), f(
2
), f(
3
)
b. Tìm ma trận của f theo cơ sở E và .B
Bài tập 5.23 Cho ánh xạ f : P
2
[ [x] → R]
3
, f(p) =
p
1)
.( (f p) ∈ R
3
, viết dưới
dạng vectơ cột).
a. Tìm ảnh qua f của .p(x x) = 5 + 3
b. Chúng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến t
c. Tìm ma trận của f theo cơ sở , x, x
2
} ⊆ P
2
[x] và cơ sở chính tắc E của .[R]
3
Bài tập 5.24 Cho ánh xạ f : R]
2
như sau:
, y, z) =
x + +y z
x −y − z + 2m
a. Xác định m một ánh xạ tuyến tính, sau đó tìm Kerf và số chiều của .Kerf
b. Với m = 0 tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở B = {v
1
= (1, ,0 1), v , v
2
= (0, ,1 1)
3
=
(1 0)
, 1, } của R
3
và C = =
w
1
1
0
, w
2
=
1
−1

của [R]
2
Bài tập 5.25 Cho ánh xạ f : [R]
3
→ [R]
3
như sau:
f
x
y
z
=
x + ay z+ 2
2x + +y az
ax
+ 2y + z
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính
b. Tìm điều kiện của a để không tồn tại ánh xạ ngược
c. Tìm cơ sở và số chiều của Kerf tùy thuộc vào .a
Bài tập 5.26 Cho ánh xạ f : P
2
[ [x] → P
2
x] xác định bởi qui tắc sau:
f
(ax b x c
2
+ bx + c) = (a + )
2
+ 2
và B = {(1 + x)
2
, x + 1, 2} là một cơ sở của P
2
[ ]x
1. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
27
2. Tìm .Kerf
3. Tìm B-ma trận của .f
Bài tập 5.27 Cho ánh xạ f : M M(2, 2) → (2, 2) xác định bởi qui tắc sau:
f

a b
c d

=
a c + 2d
c d
và
B =

1 2
0 0
,
0 1
1 0
,
1 0
1 0
,
0 0
0 1

cơ sở của M(2 2),
1. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
2. Tìm .Kerf
3. Tìm B-ma trận của .f
28 Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Chương 6
VÉC TƠ RIÊNG, CHÉO H A VÀ DẠNG
TOÀN PHƯƠNG
Bài tập 6.1 Tìm giá trị riêng và v ng của mỗi ma trận sau đây:
a. A =
− −3 2 4
4 −1 4
8
−4
. A =
2 −1 1
1 0 1
1
−1 2
, c. A =
4 2 1−
− −6 4 3
− −
6 6 5
d. A =
2 −
5 3
−
2
, e. A =
− −1 3 1
− −3 5 1
−
3 3 1
Bài tập 6.2 Xác định tính chéo hóa được của mỗi ma trận sau, cho biết β là tập các giá
trị riêng:
a. A =
3 1 0
0 3 1
0 0 3
, β = {3}; b. A =
− −1 4 2
−3 4 0
−
3 1 3
, β = {1 2 3, , }
c. A =
2 2 1−
1 3 1−
− −
1 2 2
, β = {5 1, }; d. A =
− −3 1 1
− −7 5 1
− −
6 6 2
, β = {−2 4, }
Bài tập 6.3 Tìm ma trận P chéo hóa được và cho biết dạng chéo tương ứng củaA A
trong mỗi trường hợp sau đây:
a.
−3 4 4
−4 5 4
−
4 4 5
, b.
6 3 3−
− −2 1 2
16 8
−7
, c.
1 1− −1
1 3 1
1 1 3
d.
− −3 5 20
2 0 8
2 1 7
, e.
−1 2 2
−2 3 2
−
2 2 3
, f.
− −4 6 12
3 −1 6
3
−3 8
29
30 Chương 6. VÉC TƠ RIÊNG, CHÉO HÓA VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Bài tập 6.4 Tìm tất cả các giá trị riêng và véc tơ riêng của các phép biến đổi tuyến tính
sau:
a. f : R
3
→ R
3
, f x, y, z( ) = (2x − y + z; −x + 2y − z z; )
b. f : [R]
3
→ [R]
3
, f
x
y
z
=
2x + y
y − z
2
y + 4z
c. f : ]P
2
[x → P
2
[ ]x , f(ax
2
+ bx + c) = (3a − c)x
2
+ ( + 2−a c)x a
Bài tập 6.5 Cho các phép biến đổi tuyến tính f : [R ]
3
, f
x
y
z
=
2x + 5 + 3y z
3y + 4z
−
6z
.
Tìm cho [R]
3
một cơ sở để ma trận của f đối ở đó là ma trận chéo
Bài tập 6.6 Cho các phép biến đổi tuy f : R R
3
→
3
, f(x; y; z) = (5x + 4y +
6 4 4 5z; 4x + 5y + 6z; − x − y − z). Tìm một cơ sở để ma trận của f đối với cơ sở
đó là ma trận chéo
Bài tập 6.7 Cho ánh xạ T : P [P
2
x] xác định bởi qui tắc sau:
T
(ax x
2
+ b = (5a − b + c)
2
+ 2bx c− 12a + 4b − 2
1. Chứng minh T là ạ tuyến tính.
2. Tìm KerT . suy ra .r(T )
3. Chứng minh B = {x
2
+ 3x + 2, x + 3, −1} là một cơ sở của .P
2
[ ]x
4. Tìm [T ]
B
5 Tìm cho P
2
[x] một cơ sở sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo.
Bài tập 6.8 Cho ánh xạ T : P
2
[ [x] → P
2
x] xác định bởi qui tắc sau:
T
(ax x c
2
+ bx + c) = (a + 3b − c)
2
+ (a −b + c)x + 3a − 9b + 5
1. Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính.
2. Tìm KerT . Từ đó suy ra .r(T )
3. Chứng minh B = {x
2
+ 2x + 3, x + 1, 1} là một cơ sở của P
2
[x].
4. Tìm [T ]
B
5 Tìm cho P
2
[x] một cơ sở sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo.
Bài tập 6.9 Tính A
k
, biết:
a. A =
2 2 1−
1 3 1−
− −
1 2 2
, b. A =
1 2 2
2 1 2
2 2 1
, c. A =
7 4 16
2 5 8
− − −
2 2 5
Chương 7
ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲN VÀ MẶT BẬC
HAI
Bài tập 7.1 Quy các phương trình về dạng không còn hạng tử chéo:
a.
x
2
−
√
3xy .+ 2y
2
= 1
b.
3x
2
− 2
√
3xy + y
2
= 1
c.
3x
2
+ 2
√
3xy .+ y
2
+ 8
√
3y = 0
d. x
2
− 2xy + y
e.
√
2 2x
2
+
√
+
√
y
2
− 8x + 8y = 0.
Bài tập 7.2 ận dạng các đường cong sau:
a. 17 34x
2
+ y
2
− x + 6 + 280 = 0y .
b. 17 46 28x
2
+ 12 + 8xy y
2
− x − y + 17 = 0.
c. x
2
+ 6xy .+ y
2
+ 6x + 2y − 1 = 0
d. 4x
2
− 4xy .+ y
2
− 2x −14y + 7 = 0
e. 3x
2
+ 2xy .+ 3y
2
= 19
f.
3x
2
+ 4
√
3xy − y
2
= 7.
Bài tập 7.3 Dựng đồ thị của đường bậc hai cho bởi phươg trình:
a. 7x
2
− 8xy + y
2
− 16x −2y + 20 = 0; b. 5x
2
− 6xy + 5y
2
− 16x −16y − 16 = 0;
c. 5x
2
+ 8xy + 5y
2
− 18x −18y = 0; d. 9x
2
− 6xy .+ y
2
− 4x + 8y − 9 = 0
Bài tập 7.4 Ghép phương trình mặt sao cho đúng với đồ thị của nó, chú ý rằng số
phương trình đã cho nhiều hơn số đồ thị:
a. x
2
+ y
2
+ 4z
2
= 10 b. x
2
+ 2z
2
= 8
c. z
2
+ 4y
2
− 4x
2
= 4 d. z
2
+ x
2
− y
2
= 1
e. 9y
2
+ z
2
= 16 f. x = z
2
− y
2
g. x = y
2
− z
2
h. z = −4x
2
− y
2
i. x = −y
2
− z
2
j. y
2
+ z
2
= x
2
31
32 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
Bài tập 7.5 Trong mỗi trường hợp ãy chỉ rõ giao tuyến giữa hai mặt bậc hai và
mặt phẳng (bằng cách chỉ rõ ph ình, toạ độ tâm, các bán trục, toạ độ các đỉnh,
toạ độ các tiêu điểm và phươn các tiệm cận ) (nếu có):
a.
x
2
25
+
y
2
9
+
z
2
4
= 1 .0
b.
x
2
36
+
y
2
6
−
z
4
và z = 1; và .z = 2
c.
x
2
36
+
y
2
6
−
z
2
4
= −1 và z = 0; và z = 2; và .z = 4
d.
z =
x
2
4
− y
2
và z = h (h là hằng số).
Bài tập 7.6 Hãy gọi tên và vẽ sơ lược hình dạng các mặt cho bởi phương trình sau:
a. x x
2
+ y
2
= 4 b.z
2
−
2
− y
2
= 1 c. z
2
− y
2
= 1.
d.
9x x
2
+ y
2
+ z
2
= 9 e.z =
2
+ 4y
2
f. x
2
− y
2
−
z
2
4
= 1
g. y
2
− z
2
= x − 2 h. z = y
2
− 1 i. −x
2
+ 2y
2
+ z
2
= 0
j. −9x
2
+ y
2
+ 4z
2
= 1
Bài tập 7.7 Vẽ phần không gian bao gồm các điểm mà toạ độ của chúng thoả mãn:
a.
x
2
25
+
y
2
9
+
z
2
4
= 1
|z| ≥ 1
b.
x
2
25
+
y
2
9
+
z
2
4
= 1
|x| ≤ 1
c.
x
2
+ +y
2
z
2
≤ 4
x
2
+ y
2
≥ 1
d.
x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 4
x
2
+ y
2
≤ 1
33
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
Bài tập 1.1.
A →
1 −3 2
0 5 5−
0 0 0
; B →
1 2 5
0 1 4−
0 0 1
; C →
1 2 5−
0 9 −26
0 0 0
D →
1 2 3 0−
0 0 4 2
0 0 0 1
E →
1 −7 10 2
0 12 −18 3−
0 0 15 5
Bài tập 1.2.
A →
1 1 0 0
3
2
0 0 1 0 2
0 0 0 1
1
2
B →
1 0
13
11
0
15
11
−5
11
0 0 0 0
C →
1 0
11
3
0
17
6
0 1
1
3
0
2
3
0 0 0 1
1
2
D
→
1 0
4
11
13
11
0 1
−5
11
3
11
0 0 0 0
0 0 0 0
2 0 0
4
3
0 0 1 0 0
0 0 0 1
−1
6
F →
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
Bài tập 1.3.
r r r r r r r r(A) = 2 (B (C) = 3 (D) = 1 (E) = 3 (F ) = 3 (G) = 2 (H) = 3
Bài tập 1.4
a.Vì r r(A) = ) = 3 < n = 4 nên hệ vô số nghiệm
b. Vì r r(A) = (A
∗
) = 2 < n = 5 nên hệ vô số nghiệm
c.Vì r(A A) = 3 < r(
∗
) = 4 nên hệ vô nghiệm
d. Vì r r(A) = (A
∗
) = 4 < n = 5 nên hệ vô số nghiệm
Bài tập 1.5.
a)
+ Nếu a = 0 và b tùy ý thì r r(A) = (A
∗
) = 2 < n = 3 nên hệ vô số nghiệm
+ Nếu a 6= 0
• b = 0 thì r(A A) = 2 < r(
∗
) = 3 nên hệ vô nghiệm
• b 6= 0 thì r(A A) = r(
∗
) = 3 = n nên hệ có nghiệm duy nhất
b)
+ Nếu c = 0 và d tùy ý thì r r(A) = (A
∗
) = 3 < n = 4 nên hệ vô số nghiệm
+ Nếu c 6= 0
• d = 0 thì r(A A) = 3 < r(
∗
) = 4 nên hệ vô nghiệm
• d 6= 0 thì r(A A) = r(
∗
) = 4 = n nên hệ có nghiệm duy nhất
Bài tập 1.6.
a.
x x
1
= −1 −
5
x x
2
= 1 + 3
5
x
3
∈ R
x x
4
= −4 − 5
5
x
5
∈ R
b.
x x
1
= 3 + 5
3
x x x
2
= 6 − 4
3
+
4
x
3
∈ R
x
4
∈ R
x
5
= 0
c.
x x
1
= 2
3
x x
2
= −8 − 6
3
x
3
∈ R
x
4
= −5
x
5
= 0
d.
x x
1
= −3 + 8
4
x x
2
= −6 − 4
4
x x
3
= 5 + 7
4
x
4
∈ R
34 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
Bài tập 1.7.
a. Vô nghiệm b.
x
1
=
−19
16
−
9
8
x
3
x
2
=
−5
8
+
1
4
x
3
x
3
∈ R
x
4
=
5
2
c.
x
1
= 0
x x
2
= 2 +
3
x
3
∈ R
x
4
= −2
d.
x
1
= −2
x
2
= 2
x
3
= −3
x
4
= 3
e. Vô nghiệm f.
x
1
= −2
x
2
= 2
x
3
= −3
x
4
= 3
g.
x
1
= 1
x
2
= 2
x
3
= 3
.
x
1
= 1
x
2
= 2
x
3
= −2
Bài tập 1.8.
a. A
∗
=
a 1 1 1 1
1 a 1 1 a
1 1
a 1 b
→
1 1 a 1 b
0 a 1 − a 0 a −b
0 2
− − − − −a a
2
1 a 1 ab + a b
+ Nếu 2 − −a a
2
= 0 ⇒ a = a = −2
⋆ a = 1
• b = 1 ⇒ Hệ vô iệm
• b 6= 1 ⇒ H hiệm
⋆ a = −2 ⇒ số nghiệm ∀b
+ Nếu
2 − −a a
2
6= 0 ⇒
a 6= 1
a
6 −= 2
⇒ 1 −a 6= 0 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.
b.
A
∗
=
1 2 2 a
2 −1 1 b
3 1 −1 c
1 −3 5 d
→
1 2 2 a
0 5 3 2a −b
0 0 4 a + b −c
0 0 0 a + 5b − 3c − d
+ Nếu a + 5b −3c − d = 0 thì hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu a + 5b −3c − d 6= 0 thì hệ vô nghiệm
Bài tập 1.9. Hệ có nghiệm ⇔ m = −1
Bài tập 1.10.
a.
x
1
= 0
x
2
= 0
x
3
= 0
b.
x
1
= 0
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
= 0
c.
x x
1
= 9
3
x x
2
= −4
3
x
3
∈ R
d.
x
1
= −
23
16
x
4
x
2
= −
5
16
x
4
x
3
=
15
16
x
4
x
4
∈ R
Bài tập 2.1. Tự giải
Bài tập 2.2. x = 2 = 4, y , z = 1 = 3, w
35
Bài tập 2.3
. B =
− − −2d 2e 2f
d e f
với d, e, f ∈ R
Bài tập 2.4. a. d
11
= −14 b. d
21
= 67 c. d
32
= 6
Bài tập 2.5. Tự giải
Bài tập 2.6.
a. Ax =
26
5
14
; Ay =
−38
−4
−
4
; Az =
9
−12
−
78
A
x y z
=
26 −38 9
5 −4 −12
14
−4 −78
Bài tập 2.7.
A
−1
=
29
2
−17
2
7
2
−5
2
3
2
−1
2
3 −2
. =
8 3− −1
−5 2 1
10
−4 −1
; C
−1
=
− −8 5 1
−9
2
5
2
−1
2
5
2
−3
2
1
2
D
−1
=
1 −1 0
0 1 0
0 1−
0 0 1
;
E
−1
=
− −10 20 4 7
3 6 2−1 −
5 8 3−2 −
2 3 1−1 −
;
G
−1
=
2 −1 0 0
−3 2 0 0
31 −19 3 4−
− −23 14 2 3
Bài tập 2.8
. A khả nghịch khi và chỉ khi ad−bc 6= 0 và khi đó A
−1
=
d
ad
− bc
−b
ad −bc
−c
ad −bc
a
ad −bc
Ứng dụng:
A
−1
=
−3 5
2
−3
; B
−1
=
3 −1
−2 1
.
Bài tập 2.9. a. c
3
(A
−1
) =
5
−8
5
b. [c
1
(A
−1
) c
2
(A
−1
)] =
2 −1
−2 3
1
−2
c. h A x
2
( −1) =
− −2 3 8
⇒
2
= −9
Bài tập 2.10
. a. A khả nghịch ⇔ ⇔r(A) = 3 m
2
+ 3m + 2 6= 0 ⇔
m 6 −= 1
m
6 −= 2
và
A
−1
=
−
7 + 2 m m
2
+ 10
2 +
m
2
+ 3 m
4 m + 3
2 +
m
2
+ 3 m
−
3 m + 1
2 +
m
2
+ 3 m
−
5 m + 3 + m
2
2 +
m
2
+ 3 m
2 m + 1
2 +
m
2
+ 3 m
−
m −1
2 +
m
2
+ 3 m
−
m
2 +
m
2
+ 3 m
m
2 +
m
2
+ 3 m
2
2 +
m
2
+ 3 m
36 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
b. A khả nghịch ⇔ r(A) = 3 ⇔ p 6= 1 và
A
−1
=
−1
−
1 + p
−p
−1 + p
p
−1 + p
1
−1 + p
2 p −1
−
1 + p
−p
−1 + p
1
−1 + p
1
−
1 + p
−1
−1 + p
Bài tập 2.11.
B
−1
=
0 1
−1
2
3
1
−1
Ta có
x = B
−1
.d ⇒ i) x =
2
3
2
x =
6
9
2
3
2
, iii) x =
1
−1
0
Bài tập 2.12. Ta có Ax ⇒ x = A .B
−1
a.
A
−1
=
2
−1 0
0 −2 1
⇒ x =
x
1
x
2
x
3
=
−64
8
−
18
b.
A
−1
=
1/4 1/4 1/2 0
1 1/4 1/4 − /2 0
1 1/4 − /4 0 1/2
1 1 1/4 − /4 0 − /2
⇒ x =
x
1
x
2
x
3
x
4
=
0
1
−1/2
1/2
c.
A
−1
=
1/4 1/4 1/4 1/4
1 1 1/4 1/4 − /4 − /4
1 1 1/4 − /4 1/4 − /4
1 1 1/4 − /4 − /4 1/4
⇒ x =
x
1
x
2
x
3
x
4
=
0
0
−1
0
Bài tập 2.13.
a.
X =
"
−2 1
3 1
/2 − /2
#
.
3 5
5 9
=
"
−1 −1
2 3
#
b.
X. =
−1 2
−
5 6
.
"
2 −1
5 3
/2 − /2
#
=
"
3 −2
5
−4
#
37
c.
X =
"
2 −1
5
−3
#
14 16
9 10
"
−4 3
7 5
/2 − /2
#
=
"
1 2
3 4
#
d.
X =
− −4 3 2
− −8 6 5
− −7 5 4
1 −3 0
10 2 7
10 7 8
=
6 4 5
2 1 2
3 3 3
e. X. =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
13 −8 −12
12 −7 −12
6 4
− −5
=
− − −103 10 117
− −10 7 114
− −48 51
Bài tập 3.1. Tự giải
Bài tập 3.2. D
1
= 15 D D
3
= 6 = 9D
4
Bài tập 3.3
. a.
18 −12 6−
−7 10
−1
b.
− −57 51 3
33 −30 6
− −3 6 3
; c.
3 9 1−
2 6 1−
− −3 8 1
Bài tập 3.4. Khai ịnh thức theo hàng 1, sau đó tách ra thành 2 nhóm theo
a
11
, a
12
, ..., a
1n
và
2
, ..., a
′
1
n
ta sẽ được kết quả
Bài tập 3.5
a. det A = 160; b. det B = 156; c. det C = −5;
d. det D = −2(a b
3
+
3
); e. det E = 0; f. det F = 0
Bài tập 3.6.
a.(6 − λ)(λ
2
+ 5λ + 7); b. −(λ + 3)(λ
2
− 6λ)
c.(2 − λ)(λ
2
− 5λ + 4);
Bài tập 3.7. Điều kiện để ma trận A khả nghịch là det A 6= 0
a.
t 6 −= 2
t 6= 3
t 6= 4
; b.
t 6 −= 2
t 6= 2
t 6= 4
; c.
t 6 −= 3
t 6 −= 1
t 6= 4
Bài tập 3.8.
a. Thay c
3
→ c
3
− xc yc
1
−
2
b. Thay
c c
1
→ c
1
+
2
, tiếp theo c
1
→
1
2
c
1
, tiếp theo c c c
2
→
2
−
1
, cuối cùng c
2
→
−1
x
38 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
c. Thay
h h h h h
2
→
2
−
1
, h
3
→
3
−
1
, tiếp theo h
2
→
1
b
− a
h
2
, h
3
→
1
c
− a
h
3
, cuối cùng
thay h h h
3
→
3
−
2
Bài tập 3.9.
A
−1
=
0 −1 1
0 −2 1
1 4/3 2 − /3
;
B
−1
=
1 1/2 1/2 − /2
−5 2 1
7 3 1/2 − /2 − /2
C
−1
=
1/4 1/4 1/2 0
1 1/4 1/4 − /2 0
1 1/4 − /4 0 1/2
1 1 1/4 − /4 0 − /2
;
D
−1
=
1/4 /4 1/4
1 1 1/ − /4 − /4
1 1− /4 1/4 − /4
1 14 − /4 − /4 1/4
Bài tập 3.10. a. x
2
= 2 b. x
2
= c. x
2
= 0 d. x
2
= −3
Bài tập 3.11
. Áp dụng công thức
j
D
a. D = 8; D
1
= −48; D
2
= D
3
= −11 b. D = 21; = 67;D
1
= 8; D
2
D
3
= 56
c. D = 7; D
1
= −7; D D
3
= 0 d. D = − −73; D
1
= 146; D
2
= −73; D
3
= 73
Bài tập 3.12.
a. D = (a + 2)( a); D
1
= −(a + 2) + 2);
2
; D
2
= 3(a D
3
= 0
•
Nếu
a 6 −= 2
a
6= 4
thì hệ có nghiệm duy nhất
x
1
=
−(a + 2)
4 − a
x
2
=
3
4 − a
x
3
= 0
• Nếu a = 4 thì D = 0 nhưng D
1
= −36. Khi đó, hệ vô nghiệm.
•
Nếu a = −2 thì hệ vô số nghiệm
x
1
=
−1
3
x
3
x
2
=
1
2
+
7
6
x
3
x
3
∈ R
b. D = (a − 1)( 4( 3)a −3); D
1
= − a − 3); D
2
= 0; = 2(D
3
a −
•
Nếu
a 6= 1
a
6= 3
thì hệ có nghiệm duy nhất
x
1
=
−4
a −1
x
2
= 0
x
3
=
2
a −1
• Nếu a = 1 thì D = 0 nhưng D
2
= 8. Khi đó, hệ vô nghiệm.
•
Nếu a = −3 thì hệ vô số nghiệm
x
1
=
−4
5
−
6
5
x
3
x
2
=
2
5
−
2
5
x
3
x
3
∈ R
39
c. D = − −a
2
(a + 3); D
1
= a a a
2
(a + 3) (
3
+ 2
2
− −a 1) ;
D
2
= −a
2
(a a a+ 3)(2 − 1); D a
3
=
2
( + 3)(a
2
− 2)
•
Nếu
a 6= 0
a
6 −= 3
thì hệ có nghiệm duy nhất
x a a
1
=
3
+ 2
2
− a −1
x
2
= 2a − 1
x a
3
= 2 −
2
•
Nếu a = −3 thì hệ vô số nghiệm
x x
1
=
3
x x
2
=
3
x
3
∈ R
•
Nếu a = 0 thì hệ vô số nghiệm
x
1
= −
x
2
∈
x
3
R
d. D = a D a a D a(a + 2)(a −2);
1
= (a + 2 − (a + 2)(a + 3);
3
=
2
(a + 2)
•
Nếu
a 6= 0
a
6 ±= 2
thì hệ c m duy nhất
x
1
=
1)
a −2
x
2
=
−(a + 3)
a −2
x
3
=
a
a −2
• Nếu a = 2 thì D ng D
1
= 8. Khi đó, hệ vô nghiệm.
•
Nếu a = 0 th số nghiệm
x x
1
= −
2
x
2
∈ R
x
3
= 0
•
Nếu a = −2 thì hệ vô số nghiệm
x
1
= 1 −
3
2
x
3
x
2
= 1 +
1
2
x
3
x
3
∈ R
Bài tập 3.13
. a. (x x x
1
;
2
;
3
) = (1; 2; 3) b. λ 6=
−4
5
Bài tập 3.14
. 1. (x x x x
1
;
2
;
3
;
4
) = (− −2; 0; 1; 1) 2. D = 6a+2 6= 0 ⇔ a 6=
−1
3
Bài tập 3.15.
a. D 6= 0 ⇐⇒ ⇐⇒3 − m 6= 0 m 6= 3
b. Khi m = 3 hệ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Do đó, ta cần thử lại
A
∗
=
1 1 −2 1
2 3 3 2
4 5
−1 4
→ .... →
1 0 −9 1
0 1 7 0
0 0 0 0
⇒ Hệ vô số nghiệm.
Vậy không tìm được m để hệ vô nghiệm
40 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
Bài tập 3.16. 1. (x x x x
1
;
2
;
3
;
4
) = (− −2; 0; 1; 1) 2. D = a
2
+ 2a + 1 6= 0 ⇔ a 6 −= 1
Bài tập 3.17. D = (k + 3)(2 )− k
a. k 6 6 −= 2 ∧ k = 3 b. k = −3 c. k = 2.
Bài tập 3.18. D = (k + 2)(k − 1)
2
a. k 6 − 6= 2 ∧ k = 1 b. k = −2 c. k = 1.
Bài tập 3.19
. a. X =
−11
3
4
3
0
b. λ
Bài tập 4.1.
a. Không, sai ở tiên đề 5 b. sai ở tiên đề 8
c. Không, sai ở tiên đề 8 ng, sai ở tiên đề 8 e. Phải
Bài tập 4.2. a. Phải b. Ph c. Không d. Phải e. Phải
Bài tập 4.3.
a. W = {(a, b, c) = 2b} ⊂ R
3
là không gian con của R
3
. Thật vậy,
+ Ta có θ = 0) ∈ W ⇒ W 6= ∅.
+ Mặt khác,
∀ ∀u(a a
1
, b , c
1 1
), v(
2
, b , c
2 2
) ∈ W, α, β ∈ R ta có
a
1
= 2b
1
a b
2
= 2
2
Có αu + βv = (αa βa βb βc
1
+
2
, αb
1
+
2
, αc
1
+
2
)
Mà αa βa b b αb βb
1
+
2
= α2
1
+ β2
2
= 2(
1
+
2
) nên suy ra αu + βv ∈ W
b. Không, vì khi chọn α < 0 và u = (a; b; c) ∈ W thì αu 6∈ W
c. Không, vì W không khép kín đối với phép cộng.
d. Không, vì W không khép kín đối với phép cộng.
e. Phải, tự chứng minh
f. Không, vì (0, 0 0, , 0) 6∈ W
g. Phải, tự chứng minh
Bài tập 4.4.
a. Không, vì W không khép kín đối với phép cộng.
b. Phải, tự chứng minh
41
Bài tập 4.5.
a.
Sp
1
3
2
; b.
Sp

1 −1
0 1
0 1
1 −1
,
; c. Sp Sp{(1; 2; 1), (0; 1; −1)}; d. {1, x
2
}
Bài tập 4.6.
a. Không phải vì θ =
0
0
0
6∈ W b. Không i vì θ =
0
0
0
6∈ W
c.
W = Sp
1
0
−1
0
,
−1
1
0
1
,
0
−1
1
0
d
Sp
4
0
1
−2
,
3
0
1
0
,
0
0
1
1
Bài tập 4.7. Ta có:
+θ ∈ E E⇒ 6= ∅.
+
∀f
1
, f
2
∈ E ⇒
f
1
(a) =
f a b
2
( ) )
Khi đó:
f a a f b f b f f a f f b
1
( ) =
1
( ) +
2
( ) ⇒ (
1
+
2
)( ) = (
1
+
2
)( )
⇒ f f
1
+
2
∈ E
+∀α ∈ R E ⇒ f f(a) = (b), ta có:
( ( (αf)(a) = αf a) = αf b) = (αf)(b) ⇒ αf E∈
Vậy E là một không gian con.
Bài tập 4.8.
a.
E = Sp

1 0
0 0
,
1 1
0 0
,
0 −2
0 1

b. Không phải là không gian con của M(2, 2) vì nó không khép kín đối với cả 2 phép
toán
c. Không phải là không gian con của
M(2, 2) vì
0 0
0 0
6∈ M(2 2),
d.
E = Sp

−2 1
0 0
,
1 0
1 0
,
−3 0
0 1

Bài tập 4.9. H là không gian con của .M(2 4),
Thật vậy:
+
θ =
0 0 0 0
0 0 0 0
∈ H vì F θ = 0 nên H 6 ∅=
42 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
+
∀A, B ∈ H ⇒
F A = 0
F B
= 0
; ∀α, β ∈ R, ta có
F (αA + βB) = αF A + βF B = 0 + 0 = 0 ⇒ αA + βB H∈
Bài tập 4.10. Giả sử v =
n
P
i=1
α α
i
v Sp v
i
, nếu ∃α
i
thì v ∈ {
i
}, ngược lại ∄
i
thì v 6∈ Sp v{
i
}
a. v ∈ Sp v{
1
, v , v
2 3
} b. v 6∈ Sp {v
1
, v , v
2 3
} c. v ∈ Sp v{
1
, v
2
} d. v 6∈ }Sp{v
1
, v
2
Bài tập 4.11. w w∈ ColA vì hệ Ax = w có nghiệm 6∈ NulA vì Aw 6= θ
Bài tập 4.12.
a. W không phải là không gian con củ g gian vectơ [ ]R
3
vì θ =
0
0
0
6∈ W.
b.
W = NulA với A =
1 − 0
2 −1 −3
c.
W không phải ng gian con của không gian vectơ [ ]R
4
vì θ =
0
0
0
0
6∈ W.
d. W = NulA với A =
1 6 −1
e. W = NulA với A =
5 1− −2
Bài tập 4.13
. a. W = ColA với A =
0 2 3
1 1 2−
4 1 0
3 1− −1
b.
W = ColA với A =
1 −1 0
2 1 1
0 5 4−
0 0 1
Bài tập 4.14.
a.
∀ ∀v
1
, v
2
∈ H ∩ K, α, β ∈ R ⇒
v
1
, v
2
∈ H
v
1
, v K
2
∈
Vì
H và K là hai không gian con ⇒
αv
1
+ βv
2
∈ H
αv βv
1
+
2
∈ K
⇒ αv
1
+ βv
2
∈ H ∩ K
⇒ H ∩ K là không gian con.
43
b. Ví dụ: Hai đường thẳng (d
1
) : x
1
+ x
2
= 0 và là hai không gian(d
2
) : x x
1
−
2
= 0
con của R
2
nhưng hợp của hai đường thẳng này không phải là không gian con của
R
2
.
Thật vậy:
Lấy u = (1; −1) ∈ d
1
; v = (1; 1) ∈ d
2
thì u + v = (1; −1) + (1; 1) = (2; 0) 6∈ d
1
và
6∈ d
2
Bài tập 4.15.
a. phụ thuộc tuyến tính b. độc lập tuyến tính c lập tuyến tính
d. độc lập tuyến tính e. phụ thuộc tuyến t độc lập tuyến tính
g. phụ thuộc tuyến tính h. độc lập tuyến t i. phụ thuộc tuyến tính
Bài tập 4.16.
a. {v
1
= (1; 0; 0), v
2
= (0; 1; − = (0; 4; − }3)
b. {p
0
= 2, p
1
= −4x, p x + 1}
Bài tập 4.17.
a. Ta biết ủa R
4
gồm 4 vectơ độc lập tuyến tính. Ta có là 3 vectơ độc{v
1
, v , v
2 3
}
lập tu nh nên ta chỉ cần chọn thêm vectơ v
4
sao cho v
4
không là tổ hợp tuyến
tính của v
1
, v , v
2 3
. Ta chọn v
4
= (1; 1; 1; 1). Khi đó cơ sở của R
4
là {v
1
, v , v , v .
2 3 4
}
b. Ta biết cơ sở của M(2, 2) gồm 4 vectơ độc lập tuyến tính. Ta có {v
1
, v
2
} là 2 vectơ
độc lập tuyến tính nên ta chỉ cần chọn thêm vectơ v
3
, v
4
sao cho sao chov
3
, v
4
{
v
1
, v , v , v
2 3 4
} độc lập tuyến tính. Ta chọn v
3
=
0 1
0 0
, v
4
=
0 0
0 1
. Khi đó cơ
sở của R
4
là {v
1
, v
2
, v , v .
3 4
}
Bài tập 4.18.
a. A =
− − −2 4 2 4
2 −6 −3 1
− −
3 8 2 3
→ ... →
1 0 6 5
0 1
5
2
3
2
0 0 0 0
+ Cơ sở của
ColA là
−2
2
−
3
,
4
−6
8
và
NulA là
12
5
−2
0
,
10
3
0
−2
+ Cơ sở của RowA là {(1; 0; 6; 5) (0; 2; 5; 3), }
dim ColA = dim RowA = 2 và dim N ulA = 2
44 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
b.
A =
1 2 −5 11 3−
2 4 −5 15 2
1 2 0 4 5
3 6 −5 19 2−
→ ... →
1 2 0 4 0
0 0 1
−7
5
0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
+ Cơ sở của
ColA là
1
2
1
3
,
2
4
2
6
,
−5
−5
0
−5
và
Nu à
−2
1
0
0
0
,
−4
0
7
1
0
+ Cơ sở của RowA là {(1; 2; 0; 4; 0) 0; 0; 0; 1), (0; 0; 5; − }
dim ColA = dim RowA = 3 và dim N ulA =
Bài tập 4.19.
a. Lập ma trận cột
A
=
1 1 3
1 2
1 − 1
2 2 −1
5 4
→
1 1 3 1
0 1 2 1
0 −2 −4 0
0 −4 −8 −3
0 −2 −4 1
→
1 1 3 1
0 1 2 1
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
Cột chốt là cộ 1, 2, 4.
Cơ sở của Sp(S) là {(1; 1; 1; 2; 3) 2; 1) 1; 4), (1 : 2; −1; − , (1; 2; 1; − } và dim Sp(S) = 3
b. Cơ sở của Sp(S) là S và dim Sp(S) = 4
c. Cơ sở của
Sp(S) là

1 2
−1 3
,
2 5
1 −1
,
3 4
−2 5

và dim Sp(S) = 3
d. Cơ sở của
Sp(S) là S
′
=

1 2
0 1
,
3 4
1 1
,
1 2
1 1

và dim Sp(S) = 3
e. Vậy cơ sở của Sp(S) là S và dim Sp(S) = 3
Bài tập 4.20. a. u ∈ Sp(S) b. S là tập sinh của R
3
.
Bài tập 4.21. a. p(x x Sp) = 4+ x −3
2
∈ (S) b. S không phải là tập sinh của P
2
[ ]x
Bài tập 4.22.
a. Cơ sở của P là {(1; −3; 0), (0; −5; 1)}
b. Cơ sở của mặt phẳng là {(1; 1; 0), (−8; 0; 1)}..
45
Bài tập 4.23.
a. dim W = 3 b. dim W = 2 c. dim W = 0 d. dim W = 2 e. dim W = 2 f. dim W = 3
Bài tập 4.24. Giả sử E là các không gian con của M(3, 3) cần tìm số chiều
a. dim E = 3 b. dim E = 6 c. dim E = 6
Bài tập 4.25. a. dim U = 4 b. dim U = 2
Bài tập 4.26.
a. + Ta có U = Sp{(1; 0; 0; 0), (0; 2; 1; 0); (0; )} nên U là không gian con của R
4
+ Ta có W = Sp{(1; 0; 0; 1), (0; 2; 1; 0 W là không gian con của R
4
b. + Cơ sở của U là (1; 0; 0; 0) (0; 2 1; 0; 1), 0; − và dim U = 3
+ Cơ sở của W là (1; 0; 0; 1) 0), và dim W = 2
+ Cơ sở của U ∩ W
Ta có C =
0 1 −
1 0 1
0
0
→
1 0 0 1−
0 1 −2 1
0 0 0 1
→
1 0 0 0
0 1 −2 0
0 0 0 1
Vậy cơ sở củ W là {(0; 2; 1; 0)}
Bài tập 4.27
a. Đặt P = {(x x x x x x
1
;
2
;
3
) :
1
+3
2
+4
3
= 0}⇒ Cơ sở của P là S = {(− − }3; 1; 0); ( 4; 0; 1)
+ Chọn (1; 0; 0) ∈ R
3
nhưng 6∈ P . Khi đó, {(− −3; 1; 0); ( 4; 0; 1), (1; 0; 0)} sẽ là cơ sở
của R
3
b. Đặt P = {(x x x x x x x x
1
;
2
;
3
;
4
) :
1
+
2
+ 2
3
+
4
= 0}
⇒ Cơ sở của P là S = {(− − − }1; 1; 0; 0); ( 2; 0; 1; 0), ( 1; 0; 0; 1)
+ Chọn (1; 0; 0; 0) ∈ R
4
nhưng 6∈ P . Khi đó, {(− − − }1; 1; 0; 0); ( 2; 0; 1; 0), ( 1; 0; 0; 1) (1; 0; 0; 0),
sẽ là cơ sở của R
4
Bài tập 4.28.
a. E = Sp x x x x{(
2
− 4)(
2
+ 1); (
2
− 4) } nên E là không gian con của .P
4
[ ]x
b. Tìm dim E = 2
Bài tập 4.29.
a.
E là không gian con của R
3
⇔
(0; 0; 0) ∈ E
∀u, v ∈ ∈E ⇒ u + v E
∀ ∀
α ∈ R, u ∈ E ⇒ αu ∈ E
⇔ m = 0.
46 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
b. Tìm dim E = 2
Bài tập 4.30.
E
=
(
x
1
, x , x
2 3
) ∈ R
3
:
x x x
1 2 3
1 2 1
2 1 2
= 0
=
(x
1
, x , x
2 3
) ∈ R
3
: x x
1
−
3
= 0 =
= Sp{(1; 0; 1) (0; 1; 0), }
⇒ E là không gian con của R
3
Cơ sở của E là {(1; 0; 1), (0; 1; 0)} và dim E =
Bài tập 4.31. a.
8
−4
5
; b.
2
6
−
0
−2
5
; d.
a + b
2
a −b
2
0
; e.
3
5
1
1
Bài tập 4.32. a. x = (−1; − b. x = (0; 1; −5) c.p(x x) = 2 + 6x + 2
2
Bài tập 4.33.
a. Vì dim P
2
[x ên để {p
1
, p , p
2 3
} trở thành cơ sở của P
2
[x] ta chỉ cần điều kiện
để {p
1
, p
2
.p
3
} c lập tuyến tính ⇔ α
1
p
1
+ α α
2
p
2
+
3
p
3
= 0 = 0⇒ α
1
= α
2
= α
3
(1)
Ta có
A =
1 1 1
0 1 −m
− −1 1 3
→
1 1 1
0 1 −m
0 0 −2 + 2 m
(1) xảy ra ⇔ ⇔r(A) = 3 ⇔ −2 + 2m 6= 0 m 6= 1
b. p p p p(x) = α
1 1
+ α
2 2
+ α
3 3
A
∗
=
1 1 1 3
0 1 −2 1
− −1 1 3 1
→
1 0 0 −1
0 1 0 3
0 0 1 1
⇔ p p(x) = −
1
+ 3p p
2
+
3
Bài tập 4.34.
1.
E = Sp
2
1
−
3
,
1
−2
−
4
,
−1
0
2
2. Cơ sở của
E là
2
1
−
3
,
1
−2
−
4
và dim E = 2
47
Bài tập 4.35.
a. Vì dim P
3
[x] = 4 mà B có 4 véc tơ nên ta chỉ cần chứng minh B độc lập tuyến tính
hoặc B là tập sinh
Ta chứng minh B = {1, 1 − x, (1 − x x)
2
, (1 − )
3
} là tập sinh của .P
3
[ ]x
Lấy p(x cx dx x) = a + bx +
2
+
3
∈ P
3
[ ], giả sử có
α α α
1
. x1 + α
2
(1 − ) +
3
(1 −x)
2
+
4
(1 −x cx dx)
3
= a
2
+
3
⇔
(α
1
+ + +α
2
α
3
α
4
)+(−α
2
−2α
3
−3α
4
) )x+ α
4
x
2
−α
4
x bx cx dx
3
= a+ +
2
+
3
⇔
α α α
1
+
2
+
3
+α
4
= a
− − −α
2
2α
3
3α
4
= b
α α
3
+3
4
= c
−α
4
= a + b + c + d
2
= −b −2c −3d
α
3
= c + 3d
α
4
= −d
⇒
a a+bx cx dx+
2
+
3
= ( +b b+ +(− − − − − − −2c 3d)(1 x)+(c+3d)(1 x)
2
d(1 x)
3
⇒ B = {1, 1 − x, (1 − x x)
3
} là tập sinh của .P
3
[ ]x
Vậy B = {1, 1 − x, ( x, (1 − )
3
} là cơ sở của .P
3
[ ]x
b. Áp dụng kết qu a ta suy ra (u)
B
= (−4; 11; −7; 2)
Bài tập 4.36. hứng minh 2. Tương tự bài 4.38
Bài tập 4.3
P
B,C
=
4 −1 0
−1 1 1
0 1
−2
⇒ [ ]x
C
=
8
2
2
Bài tập 4.38
. a. P
E ,B
=
7 −3 1
− −6 3 1
4 −2 1
b.
P
B,E
=
1 1 0
2 3 1
0 2 3
Bài tập 4.39
. a. P
B,C
=
0 −1
1 1
b. P
B,C
=
0 0 1
0 1 0
1 0 0
Bài tập 5.1.
a. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh b. f không là ánh xạ tuyến tính. Tự giải thích
c. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh d. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh
e. f không là ánh xạ tuyến tính. Tự giải thích f. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh
g. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh h. f không là ánh xạ tuyến tính. Tự giải thích
Bài tập 5.2.
48 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
a. Tự chứng minh, Kerf = {0} và Imf = Sp x{
2
, x
2
+ x, 2}
b. Tự chứng minh,
Kerf =

a 0
0
−2a
, a ∈ R
và Imf = Sp

0 1
0 0
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1

c. Tự chứng minh,
Kerf = {p(x x) ∈ P
n
[ ]|
a
n
n
+ 1
+ ···+
a
2
3
+
a
1
2
+ a
0
= 0} và Imf = R
d. Tự chứng minh,
Kerf =

0 b
−
b 0
, b ∈ R
và Imf =

2 0
0 0
,
0 1
1 0
,
0 0
0 2

e. Tự chứng minh, KerT = {0} và Imf = F
Bài tập 5.3.
a. Tự chứng minh
b. Giả sử:
A
=
x y
z t
a b
b c
⇒ A =
a
2
y
b
− y
c
2
, y ∈ R
c. Tự chứng minh
d.
KerT =

0
, b ∈ R
Bài tập 5.4
. f(p) =
a − b + c
a + b + c
Bài tập 5.5. a. Tự chứng minh b. Cơ sở của Kerf là {(3; −1; 1)} và dim Kerf = 1
Bài tập 5.6.
a. Cơ sở của KerT là {(1; −2; 1; 0) 7; 3; 0; 1)
T
, (−
T
} và dim KerT = 2
b. Cơ sở của ImT là {(1; 1; 3)
T
, (2; 3; 8)
T
} và dim ImT = 2.
Bài tập 5.7.
a. Cơ sở của KerT là {(1; 2; −1)} và dim KerT = 1
b. Cơ sở của ImT là {(1; 3; −2) 1), (2; 5; − } và dim ImT = 2
Bài tập 5.8.
49
a. Tự chứng minh,
Kerf =

a b c
0 0 0
, a, b, c ∈ R
b. Tự chứng minh, Kerf = {A ∈ M(3, 3)|a a a
11
+
22
+
33
= 0}
c. Tự chứng minh,
Kerf =

0 b
−
b 0
, b ∈ R
.
Bài tập 5.9. Tự chứng minh
Bài tập 5.10
. a.
x
1
= −3
x
2
= 1
b.
−2
= 3
Bài tập 5.11. a. (24; −26) b. (−19 c. (− −15; 5) d. (802; −477; 398; 57)
Bài tập 5.12
. a. A =
2 1
1
−1
b. A =
1 1 1
1 1 0
1 0 0
c. A =
1 1 1
Bài tập 5.13
. a. A =
4t
2
t
với t ∈ R b. A =
0 0
3 3t t
5 5
t t
với t ∈ R
Bài tập 5.14
a. Tự chứn minh. Cơ sở của f(E) là { }(− −1; 3; 2), ( 1; 1; 1) , dim f(E) = 2
b. Tự chứng minh. Cơ sở của
f(E) là

−2
1

, dim f(E) = 1
c. Tự chứng minh. Cơ sở của f(E) là { }2x + 1 + 2, x
2
+ x , dim f(E) = 2
Bài tập 5.15.
a. f không phải là đơn ánh, nhưng là toàn ánh.f
b. f là song ánh
c. f không phải là đơn ánh, cũng không phải là toàn ánh.
d. f là đơn ánh, nhưng f không phải là toàn ánh.
e. f không phải là đơn ánh, nhưng là toàn ánh.f
Bài tập 5.16.
a. Cơ sở của Kerf là {(−1; 1; 0)} và cơ sở của Imf là {(1; 0), (0; 1)}
b. Kerf = {(0; 0; 0)} nên Kerf không có cơ sở và cơ sở của Imf là {(0; 1; 1) (1; 0; 1) (1; 1; 0, , }
50 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
c. Cơ sở của
Kerf là

−1 1
0 0
,
−1 0
1 0
,
−1 0
0 1
và cơ sở của Imf là {1}
d. Kerf = {0} nên Kerf không có cơ sở và cơ sở của Imf là {x, x
2
}
e. Cơ sở của và cơ sở củaKerf là {(1; 0; 0), (0; 0; 1} Imf là {(1; 1; 1)}
Bài tập 5.17.
a. B = {p
1
= 1 + 2x, p
2
= 3 −x, p
3
= −1 + 3x
2
}
Gọi E = {1, x, x
2
} là cơ sở chính tắc của P
2
[x
Ta xét ánh xạ tọa độ: f : P
2
[ [x] → R]
3
đư định như sau p
i
7→ [ ]p
i E
Để xét tính độc lập tuyến tính của {p ta sẽ xét tính độc lập của {[ ] [ ] [ ]p
1 E
, p
2 E
, p
3 E
}
Ta có
[p
1
]
E
=
1
]
E
=
3
−1
0
, [ ]p
3 E
=
−1
0
3
Lập ma trận có các các vectơ E -tọa độ của p
1
, p , p
2 3
A =
1 3 1−
2 −1 0
0 0 3
→
1 3 1−
0 −7 2
0 0 3
Ta có r(A) = 3 nên ta suy ra {[ ] [ ] [ ]p
1 E
, p
2 E
, p
3 E
} độc lập tuyến tính.
Vậy B độc lập tuyến tính.
b. Tương tự, B độc lập tuyến tính.
c. Tương tự, B độc lập tuyến tính.
d. Tương tự, B phụ thuộc tuyến tính.
Bài tập 5.18.
a. Cơ sở của
Kerf là
−2
1
0
và r(f) = ) = 2r(A
b. Cơ sở của
Kerf là
−2
2
−1
1
và r(f) = ) = 3r(A
51
c. Cơ sở của
Kerf là
−1
4
−5
2
0
và r(f) = ) = 4r(A
Bài tập 5.19.
a. T không phải là đơn cấu và toàn cấu b. T là đẳng u
c. T là toàn cấu, không phải là đơn cấu d. T là đẳ
Bài tập 5.20.
a. dim KerD = 1 và vàr(D) = n b. dim Ke r(D) = n c. dim Kerf = 3 và r(f ) = 3
d. dim KerT = 8 và r(T ) = 1 e. dim = 3 và r(S) = 6
Bài tập 5.21. [f ]
B,C
=
3 1
1
−
Bài tập 5.22. [f ]
−1 1
− −1 0 1
1
−1 0
Bài tập 5.23 a. Tự tìm b. Tự chứng minh c. [f]
B,E
=
1 −1 1
1 0 0
1 1 1
Bài tập 5.24.
a.
m = 0 và vàKerf = {(0; y; −y), y ∈ R} dim Kerf = 1 b. [f]
B,C
=
2 0 2
0 2 0
Bài tập 5.25.
a. Tự chứng minh b. a = −3
c. + Nếu a 6 −= 3 thì f là đơn cấu nên Kerf = {(0; 0; 0)} và dim Kerf = 0
+ Nếu a = −3 thì Kerf Kerf= {(a a a; ; ), a ∈ R} ⇒ dim = 1
Bài tập 5.26.
1. Tự chứng minh 2.
Kerf = {ax
2
− ax, a ∈ R} 3. [ ]f
B
=
3 1 0
− −6 2 0
5
2
3
2
1
52 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
Bài tập 5.27.
1. Tự chứng minh 2.
Kerf =

0 b
0 0
, b ∈ R
3. [ ]f
B
=
1/3 0 1/3 2/3
−2/3 1 1/3 2/3
2 2/3 0 2/3 − /3
0 0 0 1
Bài tập 6.1.
a. Tập các véc tơ riêng của
A ứng với λ = 1 (ké
s
2s + 2t
t
, s
2
+ t
2
6= 0
và
λ
= 3 là
t
−t
−
2t
, t 6= 0
b. Tập các véc tơ riêng của
với λ = 1 (kép) là
−s + t
t
s
, s
2
+ t
2
6= 0
và
λ
= 2 là
t
t
t
c. Tập các véc tơ riêng của
A ứng với λ = 2 (kép) là
s
t
2
s + 2t
, s
2
+ t
2
6= 0
và
λ
= 1 là
t
−3t
−
3t
, t 6= 0
d. Tập các véc tơ riêng của
A ứng với λ = −1 (bội 3) là
−t
−t
t
, t 6= 0
e. Tập các véc tơ riêng của
A ứng với λ = 2 (kép) là
s
t
−
3s + 3t
, s
2
+ t
2
6= 0
và
λ
= 1 là
t
t
t
, t 6= 0
Bài tập 6.2. a,d không chéo hóa được b,c chéo hóa được
Bài tập 6.3.
53
a.
λ
1
= 1
λ
2
= 5
, P =
1 1 1
1 0 1
0 1 1
và D =
1 0 0
0 1 0
0 0 5
b.
λ
1
= 0
λ
2
= 1
λ
3
= −3
, P =
1 0 1
− −2 1 1
0 1 2
và D =
0 0 0
0 1 0
0 0
−3
c.
λ
1
= 2
λ
2
= 3
, P =
− − −1 1 1
1 0 1
0 1 1
và D =
0
0 3
d.
λ
1
= −1
λ
2
= 2
λ
3
= 3
, P =
− − −5 3 5
2 1
1 1
D =
−1 0 0
0 2 0
0 0 3
e.
λ
1
= 1
λ
2
= 3
, P =
1 1
1
1
và D =
1 0 0
0 1 0
0 0 3
f.
λ
1
= 2
λ
2
= −
1 2− −2
1 0 1
0 1 1
và D =
2 0 0
0 2 0
0 0
−1
Bài tập 6.4.
a. Tập các véc tơ riêng của f ứng với λ
1
= 1 là {(s −t, s, t), s
2
+ t
2
6= 0} và λ
2
= 3 là
{(t; t; 0), t 6 }= 0
b. Tập các véc tơ riêng của
f ứng với λ
1
= 1 là
s
0
0
, s 6= 0
và λ
2
= 3 là
t
t
−
2t
, t 6= 0
c. Tập các véc tơ riêng của f ứng với λ
1
= 2 là {ax b
2
+ bx + a, a
2
+
2
6= 0} và λ
2
= 1
là {ax
2
− ax + 2a, a 6 }= 0
Bài tập 6.5
. B =
1
0
0
,
5
1
0
,
7
32
−
72
Bài tập 6.6. B = {(1; −1; 0), (−3; 0; 2); (1; 1; −1)}
54 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
Bài tập 6.7.
1. Tự chứng minh 2. KerT = {0} ⇒ r(T ) = 3 3. Tự chứng minh
4.
[T ]
B
=
4 2 1−
− −6 4 3
− −6 6 5
5. C = {x
2
+ 3x, x , x+ 1
2
− 4}
Bài tập 6.8.
1. Tự chứng minh 2. KerT = {0} ⇒ r(T ) = 3 3. Tự chứng minh
4.
[T ]
B
=
4 2 1−
− −6 4 3
− −6 6 5
5.
C = {−x
2
+ +x + + 1, 3x
2
x}
C
= {x
2
− x 3 + 2 + 5, x
2
x }
Bài tập 6.9. Ta có A
k
= P D
k
P
−1
với P là n chéo hóa được A và D là dạng chéo
của A
a.
A
k
= P D
k
P
−1
=
−2
1−
1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 5
k
−1/4 1/2 1/4
1/4 1/2 3/4
− −1/4 1/2 1/4
3 1 1 1
/4 + 1/4 .5
k
− /2 + 1/2 .5
k
/4 − /4 .5
k
−
1/4 + 1/4 . .5
k
1/2 + 1/2 5
k
1/4 − 1/4 .5
k
1 1 1
/4 − /4 .5
k
1/2 − /2 .5
k
3/ /4 + 1 4 .5
k
b.
A
k
= P D
k
P
−1
=
− −1 1 1
0 1 1
1 0 1
(
−1)
k
0 0
0 (
−1) 0
k
0 0 5
k
− −1/3 1/3 2/3
− −1/3 2/3 1/3
1/3 1/3 1/3
=
2 1
/3 (−1)
k
+ 1/3 .5
k
− /3 (−1)
k
+ 1/3 .5
k
−1/3 (−1)
k
+ 1/3 .5
k
− − − − −
1/3 ( 1)
k
+ 1/3 .5
k
2/3 ( 1)
k
+ 1/3 .5
k
1/3 ( 1)
k
+ 1/3 .5
k
− − − − −
1/3 ( 1)
k
+ 1/3 .5
k
1/3 ( 1)
k
+ 1/3 .5
k
2/3 ( 1)
k
+ 1/3 .5
k
c.
A
k
= P D
k
P
−1
=
− − −4 1 2
0 1 1−
1 0 1
3
k
0 0
0 3 0
k
0 0 1
− − −1 1 3
1 2 4
1 1 4
=
3
.3 3 3 8
k
− 2 2 .
k
− 2 8 .
k
−
− − −
1 + 3
k
1 + 2 .3
k
4 + 4 .3
k
− − −
3
k
+ 1 3
k
+ 1 3 .3
k
+ 4
55
Bài tập 7.1.
a.
5x
′
2
+ 2y
′
2
− 2 = 0 b. 4x
′
2
− 1 = 0 c. 4x x
′
2
− 8
√
3
′
+ 8y
′
= 0
d.
y
′
2
= 1 e. 2
√
2x
′
2
− y
′
= 0.
Bài tập 7.2.
a. Dạng Ellip b. Dạng Ellip c.Dạ erbol
d. Dạng Parabol e. Dạng Ellip g Hyperbol
Bài tập 7.3.
a. Ta có
x
= −
2
√
5
x
′
+
1
√
5
y
′
y
=
1
√
5
x
′
+
2
b. Ta có
x
=
1
2
x
′
−
1
2
y
′
y
=
1
2
x
′
+
1
2
y
′
⇒
9x
′
2
− y
′
2
+ 6
√
5 4x
′
−
√
20 = 0 ⇒ x
′
2
+ 8y
′
2
− 16x
′
− 16 = 0
Đặt
X = x
′
+
√
Y
= y
′
Đặt
X = x
′
− 4
Y
= y
′
⇒
9X
2
− Y
2
= ⇒ X
2
+ 4Y
2
= 24
Đồ thị Đồ thị
c. Ta có
x
= −
1
2
x
′
+
1
2
y
′
y
=
1
2
x
′
+
1
2
y
′
d. Ta có
x
= −
3
√
10
x
′
+
1
√
10
y
′
y
=
1
√
10
x
′
+
3
√
10
y
′
⇒
x
′
2
+ 9y
′
2
− 18y
′
= 0 ⇒ 10x
′
2
+ 2
√
10x
′
+ 2
√
10y
′
− 9 = 0
Đặt
X = x
′
Y
= y
′
− 1
Đặt
X
= x
′
+
1
√
10
Y
=
√
10y
′
− 5
⇒
X
2
+ 9Y
2
= 9 ⇒ X
2
= −
1
5
Y
Đồ thị Đồ thị
56 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
Bài tập 7.4.
a - hình 3 b - hình 2 c - hình 7 d - hình 8 hình 1
f - hình 9 g - hình 10 h - hình 6 i - hìn j - hình 4
Bài tập 7.5.
a. Ellip có phương trình
x
2
25
+
y
2
tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 5, bán trục nhỏ
3, đỉnh A
1
( (−5; 0), A
2
(5; ; −3), B
2
(0; 3), tiêu điểm F
1
−4; 0), F
2
(4; 0).
b. +
z = 1: Ellip c ng trình
x
2
45
+
y
2
15
2
= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn
3 5
√
, bán tr
q
15
2
, đỉnh A
1
(−3
√
5; 0), A
2
(3
√
5; 0), B
1
(0; −
q
15
2
), B
2
(0;
q
15
2
),
tiêu điểm
F
1
(−
75
2
; 0), F
2
(
q
75
2
; 0).
+
z = 2: Ellip có phương trình
x
2
18
+
y
2
3
= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 3
√
2,
bán trục nhỏ
√
3, đỉnh A
1
(−3
√
2; 0), A , B
2
(3
√
2; 0)
1
(0; −
√
3), B
2
(0;
√
3), tiêu điểm
F
1
(−
√
15; 0), F
2
(
√
15; 0).
c. + z = 0: Tập rỗng
+
z = 2: Phương trình
x
2
36
+
y
2
6
= 0 ⇒ O(0; 0)
+
z = 4 Ellip có phương trình
x
2
12
+
y
2
2
= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 2
√
3,
bán trục nhỏ
√
2, đỉnh A
1
(−2
√
3; 0), A , B
2
(2
√
3; 0)
1
(0; −
√
2), B
2
(0;
√
2), tiêu điểm
F
1
(−
√
10; 0), F
2
(
√
10; 0).
d. +
h < 0: Hyperbol có phương trình
x
2
4
h
−
y
2
h
= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục thực
p
|h|, bán trục ảo 2
p p
|h A|, đỉnh
1
(0; −
p
|h|), A
2
(0; |h F|), tiêu điểm
1
(0; −
p
|5h|),
F
2
(0;
p
|5h x|), tiệm cận y = ±2
+
h = 0: Hai đường thẳng cắtt nhau có phương trình là y = ±
x
2
57
+
h > 0: Hyperbol có phương trình
x
2
4
h
−
y
2
h
= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục thực
2
√
h h A h h F h h, bán trục ảo
√
, đỉnh
1
(−2
√
; 0), A
2
(2
√
; 0), tiêu điểm
1
(−
√
5 ; 0), F
2
(
√
5 ; 0),
tiệm cận
y = ±
x
2
Bài tập 7.6.
a b
Hình 7.1: Mặt trụ tròn Hình 7.2: Mặt Hypeboloid 2 tầng
c d
Hình 7.3: Mặt trụ hyperbol Hình 7.4: Mặt Ellipxoit
e f
Hình 7.5: Mặt Paraboloit elliptic Hình 7.6: Mặt Hyperboloit 2 tầng
58 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
g h
Hình 7.7: Mặt Paraboloit Hyper-
bolic Hình 7.8: Mặt Trụ Parabol
i j
Hình 7.9: Mặt Nón Hình 7.10: Mặt Hyperboloid 1 tầng
Bài tập 7.7.
Tài liệu tham khảo
[1] Bùi Xuân Hải - Trần Nam Dũng - Trịnh Than Thái Minh Đường - Trần Ngọc
Hội , Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc PHCM, (2001).
[2] Hồ Hữu Lộc, Bài tập Đại số tuyến tính ọc Cần Thơ, (2005).
[3] Ngô Thu Lương - Nguyễn Minh Hằ tập Toán cao cấp tập 2, NXB Đại học Quốc
Gia TPHCM, (2000).
[4] Nguyễn Viết Đông - Lê Th n Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ, Bài tập
Toán cao cấp tập 2, NX Dục, (2000).
[5] Tống Đình Quỳ - N Cảnh Lương, Giúp ôn tập tốt TOÁN CAO CẤP tập 4, NXB
Đại học Quốc NỘI, (2000).
[6] http://tuto ath.lamar.edu/AllBrowsers/2318
59

Tài liệu khác của Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Preview text:

Chương 1
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TU ẾN TÍNH
Bài tập 1.1 Đưa các ma trận sau về da thang:  1 −3 2   2  −4 1 −6  A = 5  3 −4 1  B =  C =  1 2 −5  2 −5 3 3 2 6 3 −4  1 2 −3 0  2 −2 2 1  D = 2 4 −2 2 −3 6 0 −1  =   3 6 −4 1 −7 10 2 Bài tập 1.2 Đ
ma trận sau về dang bậc thang rút gọn:  2 1 6 4   2 3 −2 5 1   1 −2 3 1 2  A = 1 10 13  3 1 1 4 −1 3  B =  −1 2 0 4  C =   6 6 0 20 19 4 −5 6 −5 7 2 5 9 −2 8  1 3 −1 2   0 1 3 −2   1 2 −1 2 1  0 11 −5 3 0 4 −1 3 D =       E =  2 4 1 −2 3  F =  0 0 1 1   2 −5 3 1  3 6 2 −6 5   4 1 1 5 0 5 −3 4
Bài tập 1.3 Xác định hạng của ma trận sau:  3 5 7   1 1 3   1 1 −3  A = 1 2 3 2 1 4   B =   C =  −1 0 2  1 3 5 1 2 5 −3 5 0  1 2 3 4   4 3 2 2   1 2 3 6  D = 2 4 6 8 0 2 1 1 2 3 1 6   E =   F =   3 6 9 12 0 0 3 3 3 1 2 6  1 −1 5 −1   1 3 −2 −1  21 1 −2 3 2 5 −2 1 G =       H =  1 1 6 13   3 −1 8 1    1 3 −9 7 −2 −6 8 10
Bài tập 1.4 Xác định sự tồn tại nghiệm của mỗi hệ sau: 1 2
Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  x1 + 2x2 − 3x3 = −5  a. 2x1 + 4x2 − 6x3 + x4 = −8
 6x1 + 13x2 − 17x3 + 4x4 = −21  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7    b. 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = −2 x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23    5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 12  x1 − 6x2 = 5    c. x2 − 4x3 + x4 = 0 −x1 + 6x2 + x3 + 5x4 = 3    − x2 + 5x3 + 4x4 = 0  2x2 − 2x3 + 2x5    d. x1 + 2x2 − 3x3 + x4 + 4 1 2x1 + 5x2 − 7x3 + 3x4 + = 5    2x1 + 4x2 − 5x3 + 3x4 5 = 3
Bài tập 1.5 Biện luận các hệ phư
nh cho bởi ma trận đầy đủ sau đây theo tham số a, b, c, d.    1 −1 4 −2 5 2 6  0 1 2 3 4 a. 7 2     b.  0 0 d 5 7  a a   0 0 0 cd c
Bài tập 1.6 Viết ra nghiệm của hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với mỗi ma trận sau:  1 −2 0 0 7 −3   1 0 −5 0 −8 3  a. 0 1 0 0 −3 1 0 1 4 −1 0 6 A =       b. B =  0 0 0 0 1 0   0 0 0 1 5 −4    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  1 0 −2 0 0 0   1 0 0 8 −3  c. 0 1 6 −3 −2 7 0 1 0 4 −6 C =   d.     D =    0 0 0 1 0 −5   0 0 1 −7 5  0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
Bài tập 1.7 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:  2x  1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6 x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 4   a. 3x e. 1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 3  9x  1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 14 5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5  2x  1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 2 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5       b. 4x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4 f. 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 4x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 4 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 1      2x  1 − 3x2 + 3x3 + 3x4 = 7 4x1‘ + 3x2 + 2x3 + x4 = −5 3  x1 + 2x2 + 3x  2x 3 = 14 1 + x2 − x3 + x4 = 0       3x1 + 2x2 + x3 = 10   c. 3x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2 g. x1 + x2 + x 5x 3 = 6 1 + x2 − x3 + 2x4 = −2     2x1 + 3x2 − x3 = 5  2x  1 − x2 + x3 − 3x4 = 4   x1 + x2 = 3  −x  1 + x2 + x3 + x4 = 4 2x1 + x2 + x3 = 2       d. 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 h. x1 + 3x2 + x3 = 5 5x1 + 3x2 + 3x3 + 5x4 = 2 x1 + x2 + 5x3 = −7    4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −5 1 + 3x2 − 3x3 = 14
Bài tập 1.8 Biện luận theo a, b, c, d số nghiệm phương trình   x + 2y + 2z = a ax  1 + x2 + x3 + x4 =    a. 2x − y + z = b x1 + ax2 + x3 + x4 b. 3x + y − z = c  x  1 + x2 + ax3 + x   x − 3y + 5z = d
Bài tập 1.9 Xác định m để h ng trình sau có nghiệm:  − 2x2 + x3 + x4 = 1 + x2 − x3 + 2x4 = 0 1 − x2 + 2x3 − 3x4 = −2 4x1 − 2x2 + 2x3 = m Bài tập 1.
i các hệ thuần nhất sau:   3x1 − 2x2 − 5x x 3 + x4 = 0  1 + 2x2 − 3x3 = 0    a. 2x1 − 3x 2x 2 + x3 + 5x4 = 0 1 + 5x2 − 2x3 = 0 b. x1 + 2x2 − 4x4 = 0  3x  1 − x2 − 4x3 = 0   x1 − x2 − 4x3 + 9x4 = 0  x1 + 2x2 − x3 = 0    x1 − 2x2 + 3x3 − 2x4 = 0   c. 2x1 + 5x2 + 2x3 = 0 d. 3x1 − 7x2 − 2x x 3 + 4x4 = 0 1 + 4x2 + 7x3 = 0   4x x x x  1 + 3 2 + 5 3 + 2 4 = 0  x1 + 3x2 + 3x3 = 0 4
Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Chương 2 MA TRẬN
Bài tập 2.1 Thực hiện các phép tính:    a. 1 2 3 1 −1 2 A + B với A = = 4 5 6 0 3 −5   b. 3 3A và −5A với A = 5 −6    c. −2 3 3 0 2 2A − 3B với A và B = 4 5 −6 −7 1 8 d. 5A − 2B
3B; A(BC); (AB)C; AT ; BT ; AT BT ; A2; AC biết  1 2   5 0   1 −3 4  A = ; B = ; C = 3 −4 −6 7 2 6 −5   e. 1 2 0 AAT và AT A biết A = 3 −1 4       Bài tập 2.2 Tìm x y x 6 4 x + y x, y, z, w biết: 3 = + z w −1 2w z + w 3   Bài tập 2.3 Cho 1 2 A = tìm ma trận B ∈ M sao cho AB = 0 3 6 2×3
Bài tập 2.4 Cho các ma trận  1 −3 0   1 1 −2   2 0 −2  A = 4 5 1 3 0 4   , B =   , C =  4 7 −5  3 8 0 −1 3 2 1 0 −1
Gọi D = [dij] = 2AB +C2 không tính toàn bộ ma trận D mà hãy tính cụ thể mỗi phần tử: a. d11 b. d21 c. d32 5 6 Chương 2. MA TRẬN  1 4   4 3 2 1      Bài tập 2.5 Cho 1 5 −1 3 4 A = ; B = ; C = 1 3 −1 3 −1 0 1 2 3 5 2   ; D =   4 −3 2 1 0 3
a. Hãy tính các tích sau đây hoặc giải thích tại sao chúng không tồn tại: AB; BA; AC; DC; CD; CT D
b. Kiểm tra rằng A(BC) = (AB)C và (AB)T = BT AT .
c. Không thực hiện phép tính, hãy tìm DT C Bài tập 2.6  3 3 −5   3  −6   15  Cho A = và 0 3  0 −1 −1  x =  −1   , z =   −2 −4 −4 − 4 9 a. Tính các tích Ax, Ay, Az
b. Dùng kết quả câu a) để tín A  x y z  Bài tập 2.7 Tìm ma trận
đảo của mỗi ma trận sau:  2   2 1 −1   1 −2 0  A = −3 ; ;  B =  5 2 −3  C =  2 −3 1  7 1 0 2 1 1 1 5  1 1 1 1   1 2 1 0   2 1 0 0  0 1 1 1 0 1 −1 1 3 2 0 0 D =   ;  ;    E = F = 0 0 1 1     1 1 3 4     1 3 1 −2    0 0 0 1 1 4 −2 4 2 −1 2 3  
Bài tập 2.8 Tìm ma trận nghịch đảo của a b A = c d     Ứng dụng: 3 5 1 1 A = ; B = . 2 3 2 3  −1 −5 −7  Bài tập 2.9 Cho A = 2 5 6 là ma trận khả nghịch.   1 3 4
Không tìm toàn bộ ma trận A−1 chỉ tìm a. c3(A−1)
b. đồng thời hai cột, c1(A−1) và c2(A−1)  x    1 2 c. h −1 của hệ 2(A
), từ đó suy ra giá trị x2 A x 1  2  =   x3 1 7
Bài tập 2.10 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma
trận nghịch đảo tương ứng của nó:  1 −3 2   1 0 p  a. m ; 1 1 0  3 −7 + 5  b.A =   −m 2m 1 2 1 1  2 −1 1 
Bài tập 2.11 Cho ma trận B = 0 1 1 . H
B−1, từ đó giải hệ phương   1 −1 −1  2   2  4  trình Bx = d với i)d = 3   , ii)d = 3  i)d =  −2  −1 3
Bài tập 2.12 Giải các hệ phương t
u bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:   x1 + x2 + x3 + x x 4 = 1  1 + x2 − 3x 2  a.   x1 + x2 − x3 − x x 4 = 1 1 + 2x2 − 6 b. x1 − x2 = −1  2x  1 + 4x2 − = −6   x3 − x4 = −1  x1 + x 3 + x4 = −1    c. x1 + x3 − x4 = 1 x1 + x3 − x4 = −1    x1 x2 − x3 + x4 = 1
Bài tập 2.13 Giải các phương trình ma trận sau đây:         a. 1 2 3 5 3 −2 −1 2 .X = b. X. = 3 4 5 9 5 −4 −5 6           1 2 −3 1 −3 0 c. 3 −1 5 6 14 16 .X. = d. 3 2 −4 10 2 7 5 −2 7 8 9 10   .X =   2 −1 0 10 7 8  13 −8 −12   1 2 3  e. X. 12 −7 −12 4 5 6   =   6 −4 −5 7 8 9 8 Chương 2. MA TRẬN Chương 3 ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.1 Không khai triển, hãy sử dụ
chất để tính định thức của mỗi ma trận sau: 3 0 5 7   0 1 5 1   1 2 1 −5  0 3 1 2 3 2 −1 1 −1  2 4 0 1 A =   0 0 4 1 0 ;    C = 0 1 0    3 0 1 6    0 0 0 −1 8    3 −2 4   1 2 1 −5 0 0 0 0 3  1 3 4 −5 7  3 3 1 2 0   D =    2 −1 4 0 0   5 3 0 0 0    −2 0 0 0 0
Bài tập 3.2 Tính các định thức sau bằng cách khai triển theo hàng hay theo cột được
chọn một cách hợp lí nhất:      6 3 2 4 0       1 −2 5 2     2 3 2   8 1 6   9 0 −4 1 0 0 0 3 0    D         1 =  3 0 1 4 0 2 ; 8  ; D2 =   ; D3 =   D4 =  −5 6 7 1       5 0 4 4     9 6 3   3 −2 5     3 0 0 0 0   2 −6 −7 5     4 2 3 2 0 
Bài tập 3.3 Viết ra ma trận phụ hợp C = Cof(A) của mỗi ma trận A sau đây rồi kiểm
tra lại công thức: ACT = (detA)I  3 2 1   2 3 4   2 −1 −2  a. A = 4 5 2 ; b. A = 5 6 7 ; c.A = 1 0 3       2 1 4 8 9 1 3 −1 0
Bài tập 3.4 Chứng minh rằng:  ′ ′ ′     ′ ′ ′   a11 + a a11 a12 · · · a a 11
a12 + a12 · · · a1n + a 1n   1n   11 a12 · · · a1n         a21 a22 · · · a2n   a21
a22 · · · a2n   a21 a22 · · · a2n   . . . .  =  . . . .  +  . . . .   .. .. .. ..   .. .. .. ..   .. .. .. ..         a      n1 an2 · · · a an1 an2 · · · a an1 an2 · · · a  nn   nn   nn  9 10 Chương 3. ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.5 Tính định thức của mỗi ma trận sau:  1 2 3 4   1 −2 0 2   2 −3 1 0  2 3 4 1 2 −5 3 2 −5 8 2 1 a.A =  ;       b.B =   c.C =    3 4 1 2   4 1 1 0   1 −4 −2 0  4 1 2 3 −5 0 −4 −4 2 −1 4 0  a b a + b   a b c   a + b ab a2 + b2  d.D = b a + b a a + x b + x c +   e.E =  f.F =  b + c bc b2 + c2  a + b a b a + y b + y c + a ca c2 + a2
Bài tập 3.6 Tính các định thức sau đây:       1 − λ 3 2   2 − λ 5  2 − λ 0 0  a.    ;    2 1 − λ 3 2 2 3 1  b.  −1 −  c.  − − λ −         3 2 1 − λ   2 − λ   3 −2 2 − λ 
Bài tập 3.7 Tìm t để ma trận sau khả
bằng cách tính định thức  t − 2 4 3   3 −3   t + 3 −1 1  a. ; t ;  1 t + 1 −2  b + 5 −3  c.  7 t − 5 1  0 0 t − 4 −6 6 t − 4 6 −6 t + 2 Bài tập 3.8 Chứng min        a1 b1 a1x + 1   a1 b1 c1   1 a bc  a.     c.    a2 b2 a2x + c2  =  a2 b2 c2   1
b ca  = (b−a)(c−a)(c−b)        a3 b3 a3x 3y + c3   a3 b3 c3   1 c ab       a1 + b1x a1 − b1x c1   a1 b1 c1  b.      a2 + b2x
a2 − b2x c2  = −2x  a2 b2 c2       a3 + b3x a3 − b3x c3   a3 b3 c3 
Bài tập 3.9 Tìm các ma trận nghịch đảo bằng 2 cách ( phương pháp lập ma trận khối ( 1
A|I ) và phương pháp ma trận phụ hợp n A−1 = (Cof(A))T ): detA  1 1 1 1   1 1 1 1   2 2 3   1 2 3  1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 A = ; 2 3 4 ; C =   ;    1 −1 0  B =    D = 1 −1 0 0   1 −1 1 −1  2 −1 0 1 5 7     0 0 1 −1 1 −1 −1 1
Bài tập 3.10 Không giải hệ phương trình, tìm nhanh x bằng hai cách 2  2x  1 + x2 + x3 = 2 5x1 − x2 + x3 − 2x4 = 2       a. x1 + 3x2 + x3 = 5 b. 3x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2 x1 + x2 + 5x3 = −7 3x1 + 2x2 + 2x3 + 5x4 = −6      2x  1 + 3x2 − 3x3 = 14 2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4  2x  1 − x2 + x3 − 3x4 = 4 −x1 + x2 + x3 + x4 = 4       c. 5x1 − x2 + x3 − 2x4 = 2 d. 2x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 1 3x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2 3x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 1      2x  1 − 3x2 + 3x3 − 7x4 = 8 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = −5 11
Bài tập 3.11 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:  2x  1 − x2 − 3x3 = 5 2x1 + 3x2 − 2x3 = 5   a. 3x1 − 2x2 + 2x3 = 5 b. x1 − 2x2 + 3x3 = 2  4x  1 − 3x2 − x3 = 16 4x1 − x2 + x3 = 1  x  1 + 2x2 + 3x3 = 3 x1 + 2x2 + 2x3 = 2   c. 2x d. 1 + 3x2 + 8x3 = 4 3x1 − 2x2 − x3 = 5  3x  1 + 2x2 + 10x3 = 1 3x1 − x2 + 9x3 = −4
Bài tập 3.12 Giải và biện luận theo a mỗi hệ phươ h tuyến tính sau:  x  2 1 + 2x2 + ax3 = 1 + x2 + (a + 1)x3 = a + 3a   a. 2x 3 2 1 + ax2 + 3x3 = −1 c. + (a + 1)x2 + x3 = a + 3a  x1 + 2x2 − 2x3 = 1 1)x1 + x2 + x3 = a4 + 3a3  x  1 + 2x2 + 2x3 0 x1 + x2 + (1 − a)x3 = a + 2   b. −2x1 + (a − 2)x2 + (a − = 2 d. (1 + a)x1 − x2 + 2x3 = 0  ax  1 + x2 + ( 3 = −2 2x1 − ax2 + 3x3 = a + 2
Bài tập 3.13 Cho hệ phương 2x1 + 3x2 − x3 = 5 x1 − x2 + x3 = 2 x1 + 2x2 + λx3 = 8    4x1 + x2 + x3 = 9 a. Giải h ng trình trên khi λ = 1.
b. Tìm λ để hệ trên có nghiệm.
Bài tập 3.14 Cho hệ phương trình tuyến tính theo tham số a  ax1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2    x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1 ax1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3    x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3
1. Giải hệ phương trình khi a=2.
2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập 3.15 Cho hệ phương trình:  x1 + x2 − 2x3 = 1  2x1 + 3x2 + mx3 = 2  4x1 + 5x2 − x3 = m + 1
a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
b. Tìm m để hệ có vô nghiệm. 12 Chương 3. ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.16 Cho hệ phương trình tuyến tính theo tham số a:  ax1 − x2 + x3 + 2x4 = 10    x1 + x2 − 2x4 = a − 5 (a + 1)x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = a + 5    x1 + x2 − x3 + (a − 1)x4 = −2
1. Giải hệ phương trình trên khi a = 3.
2. Tìm a để hệ trên có nghiệm duy nhất.
Bài tập 3.17 Cho hệ phương trình:  x1 + x2 − = 1  2x1 + 3x2 3 = 3  x1 + k 3x3 = 2
Xác định giá trị của k sao cho:
a. Hệ có nghiệm duy nhất. b. Hệ không có nghiệm. c. Hệ có vô số nghiệ Bài tập 3.18 Ch ương trình:  kx1 + x2 + x3 = 1  x1 + kx2 + x3 = 1  x1 + x2 + kx3 = 1
Xác định giá trị của k sao cho:
a. Hệ có nghiệm duy nhất. b. Hệ không có nghiệm. c. Hệ có vô số nghiệm.
Bài tập 3.19 Cho phương trình ma trận sau:  1 2 λ   −1  2 7 2λ + 1 2   X =   3 9 4λ 1
a. Giải hệ phương trình với λ = 0
b. Tìm λ để phương trình trên vô số nghiệm Chương 4 KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Bài tập 4.1 Xác định các tập cùng với
oán đã chỉ ra sau đây có phải là không gian vectơ không?
a. R2 với phép toán cộng và ph n nhân như sau:  (x
+(y1, y2) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2) α(x1, x2) = (αx1, αx2) b. R2 với phép toá
và phép toán nhân như sau:
 (x1, x2) +(y1, y2) = (3x1 + 3y1, x2 + y2) α(x1, x2) (3αx1, αx2)
c. R2 với p ép toán cộng và phép toán nhân như sau:  (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, 0) α(x1, x2) = (αx1, 0)
d. R2 với phép cộng thông thường và phép nhân với vô hướng định nghĩa như sau:
α(x1, x2) = (αx2; αx1)∀α ∈ R và ∀(x1; x2) ∈ R2
e. F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] với phép cộng hai hàm số và
phép nhân một số thực với một hàm số.
Bài tập 4.2 Xác định mỗi tập sau có phải là không gian con của M(n, n) không? Tại
sao?(Ký hiệu M(n, n) là không gian vectơ các ma trận cỡ n × n).
a. Tập hợp A tất cả các ma trận tam giác trên cỡ n × n
b. Tập hợp B tất cả các ma trận chéo cấp n
c. Tập hợp C tất cả các ma trận bậc thang cỡ n × n
d. Tập hợp D tất cả các ma trận đối xứng cỡ n × n
e. Tập hợp E tất cả các ma trận chéo đối xứng cỡ n × n. 13 14
Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Bài tập 4.3 Xác định xem W có phải là không gian con của các không gian vectơ tương ứng hay không?
a. W = {(a, b, c) ∈ R3 : a = 2b} ⊂ R3
b. W = {(a, b, c) ∈ R3 : a ≤ b ≤ c} ⊂ R3
c. W = {(a, b, c) ∈ R3 : ab = 0} ⊂ R3
d. W = {(a, b, c) ∈ R3 : a = b2} ⊂ R3
e. W = {(a, b, c) ∈ R3 : −a − 5b + 2c = 0} ⊂ R3
f. W = {(a, b, c, d) ∈ R4 : 3a − b + 7d = 5} ⊂
g. W = {(a, b, c, d) ∈ R4 : 2a − 3b + 4d = b + c = 0} ⊂ R4
Bài tập 4.4 Cho V là không gian ve
ất cả các hàm số thực trên R. Chỉ ra rằng
W trong mỗi trường hợp sau có là k ian con của V hay không? a. W = {f ∈ V : |f(x)| ≤ M }
b. W = {f ∈ V : f(−x) = f(x), ∀x ∈ R} Bài tập 4.5 Chứng minh
bao gồm các vectơ cột sau đây là không gian vectơ,
bằng cách chỉ ra nó là kh
an con sinh bởi tập các vectơ nào đó.   s     a. A = 3s  ∈ R ⊂ [R]3;  2s      b. a b a + b − c = 0 D = : ⊂ M(2, 2) c d a − c − d = 0
c. B = {(t; 2t + s, t − s) : t, s ∈ R} ⊂ R3;    d. p(1) = p(−1) C = p ∈ P3[x] : ⊂ P p(2) = p(−2) 3[x]
Bài tập 4.6 Cho W là tập tất cả các vectơ cột có dạng như đã chỉ ra, trong đó a, b, c ∈ R.
Trong mỗi trường hợp, hãy chỉ ra tập S sao cho W = Sp(S), hoặc chứng tỏ W không phải
là không gian con của không gian vectơ tương ứng.   3a + b    1 − a       a. W = 4 a   : a, b ∈ R
⊂ [R]3; b. W =  − 6b  , a, b ∈ R ⊂ [R]3  a − 5b   a + 2b    a − b    4a + 3b               c. b − c 0 W =      : a, b, c : a, b, c c  ∈ R ⊂ [R]4; d. W =  a + b + c  ∈ R ⊂ [R]4  − a             b   −2a + c  15 Bài tập 4.7 Gọi C
là tập tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn [a,b] thì lập [a,b] C[a,b]
thành không gian con của không gian vectơ các hàm thực xác định trên [a,b]. Chứng minh
rằng tập E = f ∈ C[a,b] : f(a) = f(b) là không gian con của C[a,b].
Bài tập 4.8 Xác định tập nào trong các tập sau đây sẽ lập nên không gian con của M(2, 2):    a. a + b b − 2d E = ∈ M(2, 2) : a, b, d ∈ R 0 d    b. a a2 E = ∈ M(2, 2) : a, b ∈ R b b2   c. a a + 2 E = ∈ M(2, 2) : R b c    d. a b E = ∈ M(2 + 2b − c + 3d = 0 c d Bài tập 4.9 Cho F là ma t
định nào đó thuộc M(3, 2), gọi H = {A ∈ M(2, 4) : F A = 0 }; (0 là ma trận k
a không gian M(3, 4)). Xác định xem H có là không gian con của M(2, 4) khôn
Bài tập 4.10 Xác định xem vectơ v có thuộc không gian con sinh bởi các vectơ v đã i
cho trong mỗi trường hợp sau:          a. 5 7 1 2 0 3 1 2 v = ; v , v , v 5 −10 1 = 3 −4 2 = 1 2 3 = 0 0          b. 7 6 3 0 0 1 1 2 v = ; v , v , v −5 −10 1 = 1 1 2 = 3 4 3 = 0 1
c. v = 3x2 + 2x + 9; {v1 = x2 + 1, v2 = x + 3}
d. v = 2x2 + x − 3; {v1 = x2 − x + 1, v2 = x2 + 2x − 2}  4 0 4   −2  Bài tập 4.11 Cho A = 6 4 8 và 1 . Hãy xác định xem  w có là  w =   −8 −2 9 2
phần tử của ColA, của NulA hay không?
Bài tập 4.12 Trong các tập W gồm các vectơ cột sau đây, hãy xác định tập nào là
không gian vectơ, tập nào không phải là không gian vectơ( bằng cách chỉ ra ma trận A để W = NulA)? 16
Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ  a    a            a. W b a − 2b = 0 = b b. W     : a + b + c = 2 =  : c    2a = c + 3d  c       d   b − 2d         c   − 6d c.W  5 + d    =   d.W  : b, d ∈ R = d b + 3d    , c, d ∈ R         c  d   a     e. W = b   : 5a = b + 2c  c 
Bài tập 4.13 Tìm ma trận A sao cho W gồm
tơ cột cho sau đây là ColA:  2s + 3t    b − c           a. W  r + s − 2t   2b + c + d  =   W    : r, s, t ∈ R = : b, c, d ∈ R 4r + s   c d     5 − 4         3r − s − t  d 
Bài tập 4.14 Giả sử H và K l
hông gian con của không gian vectơ V. Ta gọi tổng
giao của các không gian con K tương ứng là: H ∩ K = {v v ∈ H và v ∈ K} H + K = : v ∈ H và w ∈ K} a. Chứng minh r
+ K và H ∩ K là những không gian vectơ con của V. b. Cho ví dụ,
hạn khi V = R2, để chứng tỏ hợp của hai không gian con nói
chung không phải là không gian con. (Hợp của hai không gian con được hiểu theo nghĩa
hợp của hai tập hợp thông thường).
Bài tập 4.15 Xác định các tập sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
a. u1 = (1; 3; −1; 4), u2 = (3; 8; −5; 7), u3 = (2; 9; 4; 23)
b. u1 = (1; −2; 4; 1), u2 = (2; 1; 0; −3), u3 = (3; −6; 1; 4)
c. u1 = 1 − 2x2, u2 = 3 − x − x2, u3 = −1 + 2x + 5x2 d. u 3 2 3 2 3 2
1 = x − 4x + 2x + 3, u2 = x + 2x + 4x − 1, u3 = 2x − x − 3x + 5 e. u 3 2 3 2 3 2
1 = x − 5x − 2x + 3, u2 = x − 4x − 3x + 4, u3 = 2x − 7x − 7x + 9 f. u 3 2 3 2
1 = x − 2x + 3, u2 = x + 1, u3 = 2x + x − 4x + 10 g. u 3 2 3 2
1 = x − 2x + 3, u2 = x + x + 1, u3 = x + 2x + 5       h. 1 2 1 1 2 1 S = ; ; 3 1 1 1 4 2       i. 1 2 1 2 1 2 S = ; ; −1 0 1 1 5 3 17
Bài tập 4.16 Từ tập hợp các vectơ sau hãy tìm một cơ sở cho không gian vectơ tương ứng
a. {v1 = (1; 0; 0), v2 = (0; 1; −1), v3 = (0; 4; −3); v4 = (0; 2; 0)} ⊂ R3
b. {p0 = 2, p1 = −4x, p2 = x2 + x + 1, p3 = 2x + 7, p4 = 5x2 − 1} ⊂ P2[x]
Bài tập 4.17 Hãy mở rộng các tập sau thành một cơ sở của không gian vectơ tương ứng
a. {v1 = (1; 0; 0; 0), v2 = (1; 1; 0; 0), v3 = (1; 1; 1; 0)      b. 1 0 2 0 v1 = , v ⊂ M( 0 0 2 = −1 0
Bài tập 4.18 Tìm cơ sở và số chiều củ A, ColA, RowA biết A:    1 2 −5 11 −3 −2 4 −2 −4  a. 2 4 −5 15 2 A = b.    2 −6 −3 1 A =  1 2 0 4 5  −3 8 2 −   3 6 −5 19 −2 Bài tập 4.19 Tìm cơ
ố chiều của Sp(S), biết: a. S = {(1; 1; 1
1 : 2; −1; −2; 1), (3; 5; −1; −2; 5), (1; 2; 1; −1; 4)} b. S = {(
; 1), (2; 1; 2; 0; 1), (1; 1; 2; 3; 4), (4; 1; 5; 4; 6)}         c. 1 2 2 5 5 12 3 4 S = , , , −1 3 1 −1 1 1 −2 5         d. 1 2 3 4 1 2 0 2 S = , , , 0 1 1 1 1 1 1 2
e. S = {1 − 2x2, 3 − x − x2, −1 + 2x + 5x2}
Bài tập 4.20 Cho S = {(1; −1; −1), (3; −1; 5), (−1; 2; 1), (1; −3; −6)}.
a. u = (−3; 6; 2) có thuộc Sp(S) hay không?
b. S có phải là tập sinh của R3 hay không?
Bài tập 4.21 Cho S = {1 + 2x − x2, −2 + 3x + x2, 1 + 9x − 2x2, 5 − 4x − 3x2}.
a. p(x) = 4 + x − 3x2 có thuộc Sp(S) hay không?
b. S có phải là tập sinh của P2[x] hay không? Bài tập 4.22
a. Tìm cơ sở của không gian con P = {(x1; x2; x3) ∈ R3|3x1 + x2 + 5x3 = 0} 18
Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
b. Tìm cơ sở của mặt phẳng cho bởi phương trình x1 − x2 + 8x3 = 0
Bài tập 4.23 Hãy tìm số chiều của các không gian con sau đây:  a − b + 2c         a. a + 3c W =    : a, b, c ∈ R b   − 3c       a + 2b − c   a − 4b − 2c         b. 2a + 5b − 4c W =     : a, b, c ∈ R  −a + 2c       −3a + 7b + 6c 
c. W = {(a; b; c) : a − 3b + c = 0, b − 2c = c = 0}
d. W = {(a, b, c) : a − 3b + c = 0}
e. Sp(S) với S = {(1; 1; 2; 1), (−
4; −2), (1; −1; 1; 0), (3; 1; 5; 2)} f. Sp(S) với S = {1 + 2x − x + x2 + x3, 1 + 2x − x3} Bài tập 4.24 Tìm số chi
các không gian con của M(3, 3) sau đây: a. Không gian co a trận chéo. b. Không gian ác ma trận đối xứng.
c. Không gian con của các ma trận tam giác trên.
Bài tập 4.25 Tìm số chiều mỗi không gian con của P5[x] sau đây:
a. U = {(1 + x2)p : p ∈ P3[x]}
b. U = {p ∈ P3[x] : p(−x) = −p(x)∀x}
Bài tập 4.26 Cho U và W là các tập con của R4
U = {(a, b, c, d) : b − 2c + d = 0}
W = {(a, b, c, d) : a = d, b = 2c}
a. Chứng minh U, W là các không gian con của R4
b. Tìm cơ sở và số chiều của U, W, U ∩ W Bài tập 4.27
a. Tìm cơ sở cho mặt phẳng có phương trình: x1 + 3x2 + 4x3 = 0 trong R3, rồi mở rộng
cơ sở vừa tìm được thành một cơ sở của R3. 19
b. Tập hợp các điểm (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 thỏa mãn phương trình:
c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5 = 0; (ci ∈ R)
được gọi là siêu phẳng trong R4.
Hãy tìm một cơ sở cho siêu phẳng: x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0, rồi mở rộng cơ sở đó thành cơ sở cho R4.
Bài tập 4.28 Cho E = {(x2 − 4)(ax2 + bx + a), a, ⊂ P4[x]
a. Chứng minh E là không gian con của P4[ b. Tìm dim E
Bài tập 4.29 Cho E = {(x1, x2, x3) 2 = mhằng số} ⊂ R3
a. Tìm m để E là không gian R3. b. Tìm dim E khi m = 0 Bài tập 4.30 Trong k an véc tơ R3 cho tập   x   1 x2 x  3    E = (x   1, x2, x3)R3 : 1 2 1   = 0      2 1 2 
Chứng minh rằng E là không gian con của R3. Tìm số chiều và một cơ sở của E
Bài tập 4.31 Tìm tọa độ của các vectơ đối với cơ sở tuơng ứng được cho dưới đây
a. u = (9, 1, 5) với cơ sở của R3 là B = {(−1; 2; 1), (2; −5; −3), (5; −7; −3)} b. u = 7e , với cơ sở của 1 + 5e2 − e3
R3 là B = {e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3}
c. p(x) = 5x2 − 2x + 3, với cơ sở của P2[x] là B = {1, 1 + x, 1 + x2} d. u = av , với cơ sở 1 + bv2 + cv3
C = {v1 + v2, v1 − v2, v3}, trong đó B = {v1, v2, v3} là một cơ sở của R3   e. 1 −2 A =
∈ M(2, 2) đối với cơ sở 3 4    0   1   0 1  B 0 1 −1 −1 = , , , . 1 0 0 0 0 3 0 1
Bài tập 4.32 Hãy tìm vectơ, biết cơ sở B và B-tọa độ của vectơ đó trong mỗi trường hợp sau:
a. B = {(1; −4; 3), (5; 2; −2), (4; −7; 0)} và (x)B = (3; 0; −1) 20
Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
b. B = {(−1; 2; 0), (3; −5; 2), (4; −7; 3)} và (x)B = (−4; 8; −7)
c. B = {x + x2, x − x2, 1 + x} và (p(x))B = (3; 1; 2) Bài tập 4.33 Trong P , cho p 2 2 2
1(x) = x − 1, p2(x) = x + x + 1, p3(x) = x − mx − 3. 2[x]
a. Với giá trị nào của m thì p
trở thành cơ sở của P2[x]? 1, p2, p3
b. Với m = 2, hãy biểu diễn p(x) = 3x2 + x + 1 theo p1, p2, p .  2a + b − c  Bài tập 4.34  Cho E = a  − 2b  ∈ R3 : a, b ⊂ R3.  −3a − 4b + 2c 
1. Chứng minh E là một không gian con của R
2. Tìm một cơ sở và số chiều của E.
Bài tập 4.35 Cho không gian vectơ P -
gian các đa thức bậc không quá 3. 3[x]
a. Chứng minh rằng B = {1, 1 − x
, (1 − x)3} là cơ sở của P3[x].
b. Tìm tọa độ của vectơ u = 2
x2 − 2x3 đối với cơ sở B. Bài tập 4.36   1. Chứng minh b E
∈ M(2, 2) : a − 2c + d = 0 là một không gian con của c d M(2, 2).
2. Trong không gian véc tơ P2[x] cho tập B = {1, 1 + x, (1 + x)2} .
a. Chứng minh B là cơ sở của P2[x].
b. Tìm tọa độ của p(x) = −x2 + 4 đối với cơ sở B.
Bài tập 4.37 Cho B = {b1, b2, b3} và C = {c1, c1, c3} là hai cơ sở của không gian vectơ V. Giả sử b .
1 = 4c1 − c2; b2 = −c1 + c2 + c3; b3 = c2 − 2c3
a. Tìm ma trận chuyển tọa độ từ cơ sở B sang cơ sở C .
b. Tìm [x]C biết x = 3b1 + 4b2 + b3.
Bài tập 4.38 Cho B = {(1; 2; 0), (1; 3; 2), (0; 1; 3)} là một cơ sở của R3.
a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sở B.
b. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở chính tắc E .
Bài tập 4.39 Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang C với:
a. B = {b1 = (1; 1), b2 = (1; 0)} và C = {c1 = (0; 1), c2 = (1; 1)}
b. B = {b1 = (1; 0; 1), b2 = (1; 1; 0), b3 = (0; 1; 1)} và C = {c1 = (0; 1; 1), c2 = (1; 1; 0), c3 = (1; 0; 1)} Chương 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài tập 5.1 Cho mỗi ánh xạ sau đây, hã
g minh nó là ánh xạ tuyến tính hoặc chỉ
ra tại sau nó không phải là ánh xạ tuy .
a. f : R2 → R, f(x, y) = 3x + b. f : R2 → R2, f(x, y) = c. f : Pn → Pn+1, f(p (x + 1)p(x) 1 d. f : P R n → R, = p(x)dx 0 e. ′ ′ f : P
f(p(x)) = p (x) + (5x + 2) với p (x) là đạo hàm của p(x)
f. f : R3 → R3, f(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y)
g. f : M(n, m) → M(m, n), f(A) = AT
h. f : M(n, n) → R, f(A) = det(A)
Bài tập 5.2 Chứng minh mỗi ánh xạ sau đây là ánh xạ tuyến tính rồi tìm nhân, ảnh của nó.
a. f : P2[x] → P2[x], f(ax2 + bx + c) = (a + b)x2 + bx + 2c   b. 0 b
f : P3[x] → M(2, 2), f (ax3 + bx2 + cx + d) = c d + 2a 1 c. f : P R n[x] → R, f (p(x)) = p(x)dx 0
d. f : M(2, 2) → M(2, 2), f(A) = A + AT e. T : F → F, T (f) = 2f
Bài tập 5.3 Cho ánh xạ T : M(2, 2) → M(2, 2) được xác định bởi  a b  T (A) = A + AT trong đó A = . c d 21 22
Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
a. Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính.
b. Giả sử B ∈ M(2, 2) sao cho BT = B. Tìm A ∈ M(2, 2) để T (A) = B.
c. Chứng minh rằng ImT = {B ∈ M(2, 2) : BT = B}. d. Tìm KerT .
Bài tập 5.4 Ánh xạ tuyến tính f : P2[x] → [R]2 thỏa mãn  1   −1   f (1) = , f(x) = , f(x 1 1 1 Tìm f(p), p = a + bx + cx2.
Bài tập 5.5 Cho ánh xạ f : R3 → R3 được nh bởi f (x1, x2, x3) = (x1 + 3; x2 + x3, x1 + x2 − 2x3)
a. Chứng minh f là ánh xạ tu h.
b. Tìm cơ sở và số chiều c f Bài tập 5.6 Cho ánh
[R]4 → [R]3, được xác định bởi ma trậnchính tắc A =  1 2 3 1   1 3 5 −2 3 8 13 −3
Tìm cơ sở và số chiều của KerT và ImT
Bài tập 5.7 Cho ánh xạ T : R3 → R3, được xác định bởi ma trận chính tắc A =  1 2 5  3 5 13   −2 −1 −4
Tìm cơ sở và số chiều của KerT và ImT
Bài tập 5.8 Chứng minh rằng mỗi ánh xạ sau đây là ánh xạ tuyến tính rồi tìm nhân của mỗi ánh xạ.     a. a b c d e f f : M(2, 3) → M(2, 3), f = d e f 0 0 0 b. f : M(3, 3) → R, f(A) = a (Ảnh của ma trận 11 + a22 + a33 A là tổng các phần tử trên đường chéo). c. 1
f : M(3, 3) → M(3, 3), f (A) = (A + AT ) 2
Bài tập 5.9 Chứng minh rằng mỗi ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính bằng cách chỉ ra nó là ánh xạ ma trận. 23    5x2 − x x    1 1 x3   a. x 0 T : [R]3 → [R]3, T x x b. T : [R]2 1 =    2  =  2  → [R]4, T x  3x  x 2  1 + x2  3 x1 x1  x    1 2x1 + x3 c. T : [R]3 → [R]3, T x 4x  2  =  2 + 3x3  x3 x1 + x2 + x3  x  1  x1 − x d. x T : [R]4 → [R]3, T  2   = x x   2 −   3  x1 − x x x 4 4  x  1 e. x T : [R]4 → [R]1, T  2    = − x2 + 3x3 − 5x x  4  3  x4 Bài tập 5.10 a. Cho T : R2 →
ánh xạ tuyến tính sao cho
T (x1; x2) = (x1 + x2; 4x1 + 7x2) Tìm ve x thỏa T (x) = (−2; −5).
b. Cho T : R2 → R3 là ánh xạ tuyến tính sao cho
T (x1; x2) = (x1 + 2x2; −x1 − 3x2; −3x1 − 2x2)
Tìm vectơ x thỏa T (x) = (−4; 7; 0).
Bài tập 5.11 Giả sử T là ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm tương ứng:
a. Cho T (1; 0) = (3; 1) và T (0; 1) = (−2; 5). Hãy tìm T (4; −6).
b. Cho T (−1; 0) = (2; 3) và T (0; 1) = (5; 1). Hãy tìm T (−3; −5).
c. Cho T (1; 0; 0) = (−3; 1), T (0; 1; 0) = (−4; 1), T (0; −1; 1) = (3; −5). Hãy tìm T (−1; 4; 2)
d. Cho T (1; 2; −3) = (1; 0; 4; 2), T (3; 5; 2) = (−8; 3; 0; 1),T (−2; −3; −4) = (0; 2; −1; 0). Hãy tìm T (5; −1; 4)
Bài tập 5.12 Hãy tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T : [R]n → [R]m tương
ứng, xác định bởi công thức sau:     a. x 2x T : [R]2 → [R]2, T 1 = 1 + x2 x2 x1 − x2 24
Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  x    1 x1 + x2 + x3 b. T : [R]3 → [R]3, T x x1 + x  2  =  2  x3 x1  x  1 c. T : [R]3 → [R]1, T x x x   2  =  x1 + 2 + 3 x3 Bài tập 5.13
a. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T → [R]2 sao cho không gian     triệt của 2 2 T là KerT = Sp và không h của T là ImT = Sp . 1 1
b. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuy
T : R2 → R3 sao cho không gian triệt  0      của 1 T là KerT = Sp
ng gian ảnh của T là ImT = Sp 3 . −1    5  Bài tập 5.14 Cho f : V →
nh xạ tuyến tính. Chứng minh f(E) là không gian con của không gian W, sau
cơ sở và số chiều của f(E) trong mỗi trường hợp sau: a. f : R3 → R3, f(
3) = (x1 − x2; x1 + x2; x2), E = {(a; 2a + b; a − 2b), a, b ∈ R}     b. a b a + 2b f : M(2, 2) → , f =
, E = {A ∈ M(2, 2) : A + AT = θ} c d c − d
c. f : P2[x] → P2[x], f(ax2 + bx + c) = (a + 1)x2 + (b + 1)x + (c + 1), E = {p ∈ P2[x] : p(0) = p(1)}
Bài tập 5.15 Cho mỗi ánh xạ tuyến tính sau, xác định ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh,
song ánh, hay không phải là đơn ánh và toàn ánh
a. f : R3 → R2, f(x, y, z) = (x + y, z) b. f : R3 → R3, f(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y)
c. f : R3 → R3, f(x, y, z) = (y, y, y) d. f : P P 2 1 → 2, f (a0 + a1x) = a0x + a1x   e. a b f : M(2, 2) → R, f = a + b + c + d c d
Bài tập 5.16 Tìm cơ sở cho Imf, Kerf của các ánh xạ tuyến tính cho ở bài tập trên.
Bài tập 5.17 Sử dụng tính chất của ánh xạ tọa độ, hãy xác định tính độc lập tuyến
tính, phụ thuộc tuyến tính của mỗi tập các đa thức sau:
a. B = {p1 = 1 + 2x, p2 = 3 − x, p3 = −1 + 3x2}
b. B = {p1 = 1 − 2x2 − 3x3, p2 = x + x3, p3 = 1 + 3x − 2x3} 25 c. B = {p 2 3
1 = 1 + x3, p2 = 3 + x − 2x2, p3 = −x + 3x − x }
d. B = {p1 = (1 − x)3, p2 = (2 − 3x)2, p3 = 3x2 − 4x3}
Bài tập 5.18 Không gian triệt của ánh xạ tuyến tính f được hiểu là Kerf. Hãy tìm cơ sở
cho không gian triệt của ánh xạ tuyến tính f : [R]n → [R]m xác định bởi mỗi ma trận
chính tắc sau đây, từ đó tìm hạng của f:  1 1 1 1 1   3 6 1   0 1 0 −2  a. 0 1 2 3 4 A = 2 4 1 , b. ,    1 2 1  A =  −1   1 0 1 3 3  1 2 0 2 4 3 −1   1 1 3 6 8
Bài tập 5.19 Xác định các ánh xạ tuyến t
sau đây, ánh xạ nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu: 3 −4 9 
a. T : [R]4 → [R]3, T (x) = Ax 0 1 2 6  0 0 0 0  −1 2 0 5  b. 3 7 2 8 T : [R]4 → [R]4 = Ax, A =      −4 2 0 0  1 3 0 6 c. T : R3
T (1; 0; 0) = (2; 1), T (0; 1; 0) = (0; −2), T (0; 0; 1) = (−1; 1)
d. T : P2[x] → P2[x], T (x2) = x2 + 3, T (x) = 2x2 + 4x − 1, T (1) = 3x − 1.
Bài tập 5.20 Bằng cách xét số chiều của không gian triệt hay không gian ảnh, hãy xác
định số chiều của không gian triệt và hạng của mỗi ánh xạ tuyến tính sau đây: a. ′
D : Pn[x] → Pn − 1[x], D(p) = p , ∀p ∈ Pn[x] (D là phép lấy đạo hàm). b. ′
D : Pn[x] → Pn[x], D(p) = p , ∀p ∈ Pn[x]     c. a b c d e f f : M(2, 3) → M(2, 3), f = d e f 0 0 0  a  11 a12 a13
d. T : M(3, 3) → R, T  a21 a22 a  23  = a11 + a22 + a33 a31 a32 a33 e. 1
S : M(3, 3) → M(3, 3), S(A) = (A + AT ) (S(A) được gọi là bộ phận đối xứng của 2 ma trận A)
Bài tập 5.21 Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 được cho bởi f(e và 1) = 2e1 − e3 f (e
. Hãy tìm ma trận biểu diễn 2) = e2 + e3
f đối với cặp cơ sở B = {e1 − e2, e1 + e2} và
C = {e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3} 26
Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài tập 5.22 Gọi E = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3, B = {v1, v2, v3} là cơ sở
của không gian vectơ V và f : R3 → V là ánh xạ tuyến tính xác định bởi
f (x1, x2, x3) = (x3 − x2)v1 − (x1 + x3)v2 + (x1 − x2)v3 a. Tìm f(e1), f(e2), f(e3)
b. Tìm ma trận của f theo cơ sở E và B.  p
Bài tập 5.23 Cho ánh xạ f : P2[x] → [R]3, f(p) =
 .(f (p) ∈ R3, viết dưới 1) dạng vectơ cột).
a. Tìm ảnh qua f của p(x) = 5 + 3x.
b. Chúng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến t
c. Tìm ma trận của f theo cơ sở
, x, x2} ⊆ P2[x] và cơ sở chính tắc E của [R]3.
Bài tập 5.24 Cho ánh xạ f : R]2 như sau:  x + y + z  , y, z) = x − y − z + 2m a. Xác định m
một ánh xạ tuyến tính, sau đó tìm Kerf và số chiều của Kerf.
b. Với m = 0 tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở B = {v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 =   1   1  (1, 1, 0)} của R3 và C = w của 1 = , w [R]2 0 2 = −1
Bài tập 5.25 Cho ánh xạ f : [R]3 → [R]3 như sau:  x   x + ay + 2z  f y 2x + y + az   =   z ax + 2y + z
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính
b. Tìm điều kiện của a để không tồn tại ánh xạ ngược
c. Tìm cơ sở và số chiều của Kerf tùy thuộc vào a.
Bài tập 5.26 Cho ánh xạ f : P2[x] → P2[x] xác định bởi qui tắc sau:
f (ax2 + bx + c) = (a + b)x2 + 2c
và B = {(1 + x)2, x + 1, 2} là một cơ sở của P2[x]
1. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. 27 2. Tìm Kerf . 3. Tìm B-ma trận của f.
Bài tập 5.27 Cho ánh xạ f : M(2, 2) → M(2, 2) xác định bởi qui tắc sau:  a b   a c + 2d  f = c d c d         và B 1 2 0 1 1 0 0 0 = , , , cơ sở của M(2, 2) 0 0 1 0 1 0 0 1
1. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. 2. Tìm Kerf . 3. Tìm B-ma trận của f. 28
Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Chương 6
VÉC TƠ RIÊNG, CHÉO H A VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Bài tập 6.1 Tìm giá trị riêng và v
ng của mỗi ma trận sau đây:  −3 2 −4   2 −1 1   4 2 −1  a. A = 4 . A = 1 0 1 , c. A = 6 4 3  −1 4    − −  8 −4 1 −1 2 −6 −6 5  2 −  −1 3 −1  d. A = , e.  5 3  A = 3 5 1  − −  −2 −3 3 1
Bài tập 6.2 Xác định tính chéo hóa được của mỗi ma trận sau, cho biết β là tập các giá trị riêng:  3 1 0   −1 4 −2  a. A = 0 3 1   , β = {3}; b. A =  −3 4 0  , β = {1, 2, 3} 0 0 3 −3 1 3  2 2 −1   −3 1 −1  c. A =  1 3 −1 7 5 1  , β = {5, 1}; d. A = − −  , β = {−2, 4} −1 −2 2 −6 6 −2
Bài tập 6.3 Tìm ma trận P chéo hóa được A và cho biết dạng chéo tương ứng của A
trong mỗi trường hợp sau đây:  −3 4 4   6 3 −3   1 −1 −1  a. , b. 2 1 2 , c. 1 3 1  −4 5 4 − −      −4 4 5 16 8 −7 1 1 3  −3 5 −20   −1 2 2   −4 6 −12  d. 2 0 8 , e. , f.  3   −2 3 2   −1 6  2 1 7 −2 2 3 3 −3 8 29 30
Chương 6. VÉC TƠ RIÊNG, CHÉO HÓA VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Bài tập 6.4 Tìm tất cả các giá trị riêng và véc tơ riêng của các phép biến đổi tuyến tính sau:
a. f : R3 → R3, f(x, y, z) = (2x − y + z; −x + 2y − z; z)  x   2x + y  b. f : [R]3 → [R]3, f y y   =  − z  z 2y + 4z
c. f : P2[x] → P2[x], f(ax2 + bx + c) = (3a − c)x2 + (−a c)x + 2a  x   2x + 5y + 3z 
Bài tập 6.5 Cho các phép biến đổi tuyến tính f : [R ]3, f y 3y + 4z .   =   z −6z
Tìm cho [R]3 một cơ sở để ma trận của f đối ở đó là ma trận chéo
Bài tập 6.6 Cho các phép biến đổi tuy
f : R3 → R3, f(x; y; z) = (5x + 4y +
6z; 4x + 5y + 6z; −4x − 4y − 5z). Tìm
một cơ sở để ma trận của f đối với cơ sở đó là ma trận chéo
Bài tập 6.7 Cho ánh xạ T : P
P2[x] xác định bởi qui tắc sau: T (ax2 + b
= (5a − b + c)x2 + 2bx − 12a + 4b − 2c 1. Chứng minh T là ạ tuyến tính. 2. Tìm KerT . suy ra r(T ).
3. Chứng minh B = {x2 + 3x + 2, x + 3, −1} là một cơ sở của P2[x]. 4. Tìm [T ]B
5 Tìm cho P2[x] một cơ sở sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo.
Bài tập 6.8 Cho ánh xạ T : P2[x] → P2[x] xác định bởi qui tắc sau:
T (ax2 + bx + c) = (a + 3b − c)x2 + (a − b + c)x + 3a − 9b + 5c
1. Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính.
2. Tìm KerT . Từ đó suy ra r(T ).
3. Chứng minh B = {x2 + 2x + 3, x + 1, 1} là một cơ sở của P2[x]. 4. Tìm [T ]B
5 Tìm cho P2[x] một cơ sở sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo.
Bài tập 6.9 Tính Ak, biết:  2 2 −1   1 2 2   7 4 16  a. A = , b. 2 1 2 , c. 2 5 8  1 3 −1  A =   A =   −1 −2 2 2 2 1 −2 −2 −5 Chương 7
ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲN VÀ MẶT BẬC HAI
Bài tập 7.1 Quy các phương trình
về dạng không còn hạng tử chéo: √ a. x2 − 3xy + 2y2 = 1. √ b. 3x2 − 2 3xy + y2 = 1 √ √ c. 3x2 + 2 3xy + y2 + 8 3y = 0. d. x2 − 2xy + y √ √ √ e. 2x2 + + 2y2 − 8x + 8y = 0. Bài tập 7.2
ận dạng các đường cong sau:
a. 17x2 + y2 − 34x + 6y + 280 = 0.
b. 17x2 + 12xy + 8y2 − 46x − 28y + 17 = 0.
c. x2 + 6xy + y2 + 6x + 2y − 1 = 0.
d. 4x2 − 4xy + y2 − 2x − 14y + 7 = 0. e. 3x2 + 2xy + 3y2 = 19. √ f. 3x2 + 4 3xy − y2 = 7.
Bài tập 7.3 Dựng đồ thị của đường bậc hai cho bởi phươg trình:
a. 7x2 − 8xy + y2 − 16x − 2y + 20 = 0; b. 5x2 − 6xy + 5y2 − 16x − 16y − 16 = 0;
c. 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y = 0;
d. 9x2 − 6xy + y2 − 4x + 8y − 9 = 0.
Bài tập 7.4 Ghép phương trình mặt sao cho đúng với đồ thị của nó, chú ý rằng số
phương trình đã cho nhiều hơn số đồ thị: a. x2 + y2 + 4z2 = 10 b. x2 + 2z2 = 8 c. z2 + 4y2 − 4x2 = 4 d. z2 + x2 − y2 = 1 e. 9y2 + z2 = 16 f. x = z2 − y2 g. x = y2 − z2 h. z = −4x2 − y2 i. x = −y2 − z2 j. y2 + z2 = x2 31 32
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
Bài tập 7.5 Trong mỗi trường hợp
ãy chỉ rõ giao tuyến giữa hai mặt bậc hai và
mặt phẳng (bằng cách chỉ rõ ph
ình, toạ độ tâm, các bán trục, toạ độ các đỉnh,
toạ độ các tiêu điểm và phươn
các tiệm cận ) (nếu có): a. x2 y2 z2 + + = 1 0. 25 9 4 b. x2 y2 z + − và z = 1; và z = 2. 36 6 4 y2 z2 c. x2 + −
= −1 và z = 0; và z = 2; và z = 4. 36 6 4 d. x2 z =
− y2 và z = h (h là hằng số). 4
Bài tập 7.6 Hãy gọi tên và vẽ sơ lược hình dạng các mặt cho bởi phương trình sau: a. x2 + y2 = 4 b.z2 − x2 − y2 = 1 c. z2 − y2 = 1. d. z2 9x2 + y2 + z2 = 9 e.z = x2 + 4y2 f. x2 − y2 − = 1 4 g. y2 − z2 = x − 2 h. z = y2 − 1 i. −x2 + 2y2 + z2 = 0 j. −9x2 + y2 + 4z2 = 1
Bài tập 7.7 Vẽ phần không gian bao gồm các điểm mà toạ độ của chúng thoả mãn:  x2 y2 z2  x2 y2 z2 a.  + + = 1  + + = 1 25 9 4 b. 25 9 4  |z| ≥ 1  |x| ≤ 1   c. x2 + y2 + z2 ≤ 4 d. x2 + y2 + z2 ≤ 4 x2 + y2 ≥ 1 x2 + y2 ≤ 1 33
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Bài tập 1.1.  1 −3 2   1 2 5   1 2 −5  A → ; ;  0 5 −5  B →  0 1 −4  C →  0 9 −26  0 0 0 0 0 1 0 0 0  1 2 −3 0   1 −7 10 2  D → 0 0 4 2   E →  0 12 −18 −3 0 0 0 1 0 0 15 5 Bài tập 1.2.  1 1 0 0 3   1 0 13   1 0 11 0 17  2 11 3 6 A → 0 0 1 0 2 −5 0 2   B →  0 15 0 1 1 11 11  C →  3 3  0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2  1 0 4 13   0 1 0 0  11 11 2 0 0 4  0 1 −5 3 3 0 0 1 0 D →  11 11  0 0 1 0 0    0 0 0 0   F →  0 0 0 1    0 0 0 1 −1   0 0 0 0 6 0 0 0 0 Bài tập 1.3. r(A) = 2 r(B r(C) = 3 r(D) = 1 r(E) = 3 r(F ) = 3 r(G) = 2 r(H) = 3 Bài tập 1.4 a.Vì r(A) = r
) = 3 < n = 4 nên hệ vô số nghiệm
b. Vì r(A) = r(A∗) = 2 < n = 5 nên hệ vô số nghiệm
c.Vì r(A) = 3 < r(A∗) = 4 nên hệ vô nghiệm
d. Vì r(A) = r(A∗) = 4 < n = 5 nên hệ vô số nghiệm Bài tập 1.5. a)
+ Nếu a = 0 và b tùy ý thì r(A) = r(A∗) = 2 < n = 3 nên hệ vô số nghiệm + Nếu a 6= 0
• b = 0 thì r(A) = 2 < r(A∗) = 3 nên hệ vô nghiệm
• b 6= 0 thì r(A) = r(A∗) = 3 = n nên hệ có nghiệm duy nhất b)
+ Nếu c = 0 và d tùy ý thì r(A) = r(A∗) = 3 < n = 4 nên hệ vô số nghiệm + Nếu c 6= 0
• d = 0 thì r(A) = 3 < r(A∗) = 4 nên hệ vô nghiệm
• d 6= 0 thì r(A) = r(A∗) = 4 = n nên hệ có nghiệm duy nhất Bài tập 1.6.  x   1 = −1 − x5 x1 = 3 + 5x3 x1 = 2x3     x1 = −3 + 8x    4  x2 = 1 + 3x  x2 = 6 − 4x3 + x  x2 = −8 − 6x   5  4  3  a.     x2 = −6 − 4x x b. c. d. 4 3 ∈ R x3 ∈ R x3 ∈ R x3 = 5 + 7x4  x    4 = −4 − 5x x  5  x  4 = −5    4 ∈ R      x  x   4 ∈ R 5 ∈ R x5 = 0 x5 = 0 34
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI Bài tập 1.7.  x   1 = −19 − 9 x3 x1 = 0 x1 = −2  16 8         a. Vô nghiệm b. x2 = −5 + 1x x2 = 2 + x x 8 4 3 c. 3 d. 2 = 2 x3 ∈ R x3 ∈ R x3 = −3        x   4 = 5 x x 2 4 = −2 4 = 3  x1 = −2    x x  1 = 1 1 = 1    e. Vô nghiệm f. x2 = 2 g. x . x x 2 = 2 2 = 2 3 = −3     x3 = 3 x3 = −2  x4 = 3 Bài tập 1.8.  a 1 1 1 1   1 1 a 1 b  a. A∗ = 1 a 1 1 a   →  0 a 1 − a 0 a − b  1 1 a 1 b 0
2 − a − a2 1 − a 1 − ab + a − b
+ Nếu 2 − a − a2 = 0 ⇒ a = a = −2 ⋆ a = 1 • b = 1 ⇒ Hệ vô iệm • b 6= 1 ⇒ H hiệm ⋆ a = −2 ⇒ số nghiệm ∀b  + Nếu a 6= 1 2 − a − a2 6= 0 ⇒
⇒ 1 − a 6= 0 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất. a 6= −2  1 2 2 a   1 2 2 a  b. 2 −1 1 b 0 5 3 2a − b A∗ =       →    3 1 −1 c   0 0 4 a + b − c  1 −3 5 d 0 0 0 a + 5b − 3c − d
+ Nếu a + 5b − 3c − d = 0 thì hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu a + 5b − 3c − d 6= 0 thì hệ vô nghiệm
Bài tập 1.9. Hệ có nghiệm ⇔ m = −1 Bài tập 1.10.    x x x x 1 = 0  1 = −23   16 4 1 = 0 x1 = 9x  3  a.   x   x x x 2 = 0 c. 2 = − 516 4 2 = 0 b. x2 = −4x d. x 3 3 = 0 x x  x    3 = 15 16 4 3 = 0  x   x 3 ∈ R  4 = 0 x4 ∈ R Bài tập 2.1. Tự giải
Bài tập 2.2. x = 2, y = 4, z = 1, w = 3 35   Bài tập 2.3. −2d −2e −2f B = với d, e, f ∈ R d e f Bài tập 2.4. a. d11 = −14 b. d21 = 67 c. d32 = 6 Bài tập 2.5. Tự giải Bài tập 2.6.  26   −38   9   26 −38 9  a. Ax = 5 −4 −12 5 −4 −12   ; Ay =   ; Az =   A  x y z  =   14 −4 −78 14 −4 −78 Bài tập 2.7.  29 −17 7   −8 5 −1   2 2 2 8 −3 −1 −9 5 −1     A−1 =  −5 3 −1 . = ;    −5 2 1  C−1 = 2 2 2      2 2 2 10 −4 −1  5 −3 1  3 −2 2 2 2  1 −1 0  −10 −20 4 7   2 −1 0 0  0 1 0 3 6 −1 −2 −3 2 0 0 D       −1 = ; ;   E−1 =   G−1 =    0 −1   5 8 −2 −3   31 −19 3 −4  0 0 1 2 3 −1 −1 −23 14 −2 3  d −b 
Bài tập 2.8. A khả nghịch khi và chỉ khi ad−bc 6= 0 và khi đó A−1 =  ad − bc ad − bc   −c a  ad − bc ad − bc     Ứng dụng: −3 5 3 −1 A−1 = ; B−1 = . 2 −3 −2 1  5   2 −1  Bài tập 2.9. a. c b. 3(A−1) =  −8 
[c1(A−1) c2(A−1)] =  −2 3  5 1 −2
c. h2(A−1) =  −2 3 −8  ⇒ x2 = −9  Bài tập 2.10. a. m 6= −1
A khả nghịch ⇔ r(A) = 3 ⇔ m2 + 3m + 2 6= 0 ⇔ và m 6= −2  7 + 2 m2 + 10 m 4 m + 3 3 m + 1  − − 2 + m2 + 3 m 2 + m2 + 3 m 2 + m2 + 3 m     A−1 5 m + 3 + m2 =  2 m + 1 m − 1   − −   2 + m2 + 3 m 2 + m2 + 3 m 2 + m2 + 3 m     m m 2  −2 + m2 + 3 m 2 + m2 + 3 m 2 + m2 + 3 m 36
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
b. A khả nghịch ⇔ r(A) = 3 ⇔ p 6= 1 và  −1 −p p  −1 + p −1 + p −1 + p    1 2 p − 1 −p  A−1 =      −1 + p −1 + p −1 + p     1 1 −1  −1 + p −1 + p −1 + p Bài tập 2.11.  0 1 −1 3  B−1 =  2    1  −1  2  6  3 9  1  Ta có    x = B−1.d ⇒ i) x =  2
x =  2  , iii) x =  −1       3  0 2 Bài tập 2.12. Ta có Ax ⇒ x = A−1.B  2  x    1 −64 a. A   −1 = x 8  −1 0  ⇒ x =  2  =     0 −2 1 x3 −18  1/4 1/4 1/2 0   x    1 0  1/4 1/4 −1/2 0  b. x 1 A−1 =    2      ⇒ x =  = x     1/4 −1/4 0 1/2   3   −1/2    x4 1/2 1/4 −1/4 0 −1/2  1/4 1/4 1/4 1/4   x    1 0  1/4 1/4 −1/4 −1/4  c. x 0 A−1 =    2      ⇒ x =  = x     1/4 −1/4 1/4 −1/4   3   −1    x4 0 1/4 −1/4 −1/4 1/4 Bài tập 2.13. " −2 1 # " #   −1 −1 a. 3 5 X = . = 3/2 −1/2 5 9 2 3 " # " #   2 −1 3 −2 b. −1 2 X. = . = −5 6 5/2 −3/2 5 −4 37 " 2 −1 # " # " #   −4 3 1 2 c. 14 16 X = = 5 −3 9 10 7/2 −5/2 3 4  −4 3 −2     6 4 5 1 −3 0  d. X =      −8 6 −5  10 2 7 2 1 2   =       −7 5 −4 10 7 8 3 3 3    1 2 3   103 10 117 13 −8 −12  − − − e. X. = 4 5 6      12 −7 −12  =  −10 7 −114  7 8 9 6 −4 −5   −48 −51 Bài tập 3.1. Tự giải Bài tập 3.2. D1 = 15 D D3 = 6 D4 = 9  18 −12 −6  −57 51 −3   3 9 −1  Bài tập 3.3. a.  b.  ; c.    −7 10  33 −30 6   2 6 −1       −1 −3 6 −3 −3 −8 1 Bài tập 3.4. Khai
ịnh thức theo hàng 1, sau đó tách ra thành 2 nhóm theo ′ a và ta sẽ được kết quả 11, a12, ..., a1n 2, ..., a1n Bài tập 3.5 a. det A = 160; b. det B = 156; c. det C = −5; d. det D = −2(a3 + b3); e. det E = 0; f. det F = 0 Bài tập 3.6.
a.(6 − λ)(λ2 + 5λ + 7); b. − (λ + 3)(λ2 − 6λ) c.(2 − λ)(λ2 − 5λ + 4);
Bài tập 3.7. Điều kiện để ma trận A khả nghịch là det A 6= 0  t 6= −2  t 6= −2  t 6= −3    a. t 6= 3 ; b. t 6= 2 ; c. t 6= −1  t 6= 4  t 6= 4  t 6= 4 Bài tập 3.8.
a. Thay c3 → c3 − xc1 − yc2 b. Thay 1 −1 c , tiếp theo 1 → c1 + c2 c1 → c , tiếp theo c , cuối cùng 2 → c2 − c c 2 1 1 2 → x 38
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI c. Thay 1 1 h , tiếp theo
2 → h2 − h1, h3 → h3 − h1 h2 → h h , cuối cùng 3 b − a 2, h3 → c − a thay h3 → h3 − h2 Bài tập 3.9.    0 −1 1  1/2 1/2 −1/2 A−1 =   ;    0 −2 1  B−1 =  −5 2 1      1/3 2 −4/3 7/2 −3/2 −1/2  1/4 1/4 1/2 0   1/4 /4 1/4   1/4 1/4 −1/2 0   1/ −1/4 −1/4  C−1 =  ;     D−1 =    1/4 −1/4 0 1/2   −1/4 1/4 −1/4     1/4 −1/4 0 −1/2 4 −1/4 −1/4 1/4 Bài tập 3.10. a. x2 = 2 b. x2 = c. x2 = 0 d. x2 = −3
Bài tập 3.11. Áp dụng công thức j D a. D = 8; D1 = −48; D2 = D3 = −11
b. D = 21; D1 = 8; D2 = 67; D3 = 56 c. D = 7; D1 = −7; D D3 = 0
d. D = −73; D1 = −146; D2 = −73; D3 = 73 Bài tập 3.12. a. D = (a + 2)( a); D 2 1 = −(a + 2) ; D2 = 3(a + 2); D3 = 0  −(a + 2)   x1 =  a 6= −2   4 − a • Nếu
thì hệ có nghiệm duy nhất 3 a 6= 4 x2 =   4 − a   x3 = 0
• Nếu a = 4 thì D = 0 nhưng D1 = −36. Khi đó, hệ vô nghiệm.  −1   x1 = x3   3
• Nếu a = −2 thì hệ vô số nghiệm 1 7 x2 = + x3  2  6   x3 ∈ R b. D = (a − 1)(a − 3); D1 = −4(a − 3); D2 = 0; D3 = 2(a − 3)  −4  x  1 =  a 6= 1  a  − 1 • Nếu
thì hệ có nghiệm duy nhất x a 6= 3 2 = 0  2   x  3 = a − 1
• Nếu a = 1 thì D = 0 nhưng D2 = 8. Khi đó, hệ vô nghiệm.  −4 6   x1 = − x3   5 5
• Nếu a = −3 thì hệ vô số nghiệm 2 2 x2 = − x3  5 5    x3 ∈ R 39 c. D = −a2(a + 3); D 2 3 2
1 = −a (a + 3) (a + 2 a − a − 1) ; D 2
2 = −a2(a + 3)(2a − 1); D3 = a (a + 3)(a2 − 2)  x 3 2 1 = a + 2 a  − a − 1 a 6= 0  • Nếu
thì hệ có nghiệm duy nhất x a 6= −3 2 = 2a − 1  x 2 3 = 2 − a  x1 = x3 
• Nếu a = −3 thì hệ vô số nghiệm x2 = x3  x3 ∈ R  x1 = − 
• Nếu a = 0 thì hệ vô số nghiệm x2 ∈  x3 R d. D = a(a + 2)(a − 2); D 2 1 = a(a + 2
−a(a + 2)(a + 3); D3 = a (a + 2)  1)  x  1 =  a  − 2 a 6= 0   • Nếu thì hệ c m duy nhất −(a + 3) a 6= ±2 x2 =  a − 2   a   x3 = a − 2 • Nếu a = 2 thì D
ng D1 = 8. Khi đó, hệ vô nghiệm.  x1 = −x2  • Nếu a = 0 th số nghiệm x2 ∈ R  x3 = 0  3  x x  1 = 1 − 3   2
• Nếu a = −2 thì hệ vô số nghiệm 1 x2 = 1 + x3   2   x3 ∈ R Bài tập 3.13. a. −4 (x1; x2; x3) = (1; 2; 3) b. λ 6= 5 Bài tập 3.14. 1. −1
(x1; x2; x3; x4) = (−2; 0; 1; −1) 2. D = 6a+2 6= 0 ⇔ a 6= 3 Bài tập 3.15.
a. D 6= 0 ⇐⇒ 3 − m 6= 0 ⇐⇒ m 6= 3
b. Khi m = 3 hệ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Do đó, ta cần thử lại  1 1 −2 1   1 0 −9 1  A∗ = 2 3 3 2 0 1 7 0   → .... →   4 5 −1 4 0 0 0 0 ⇒ Hệ vô số nghiệm.
Vậy không tìm được m để hệ vô nghiệm 40
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
Bài tập 3.16. 1. (x1; x2; x3; x4) = (−2; 0; 1; −1)
2. D = a2 + 2a + 1 6= 0 ⇔ a 6= −1
Bài tập 3.17. D = (k + 3)(2 − k) a. k 6= 2 ∧ k 6= −3 b. k = −3 c. k = 2.
Bài tập 3.18. D = (k + 2)(k − 1)2 a. k 6= −2 ∧ k 6= 1 b. k = −2 c. k = 1.  −11  3 Bài tập 3.19   . a. X =  4  b. λ    3  0 Bài tập 4.1.
a. Không, sai ở tiên đề 5 b. sai ở tiên đề 8
c. Không, sai ở tiên đề 8 ng, sai ở tiên đề 8 e. Phải Bài tập 4.2. a. Phải b. Ph c. Không d. Phải e. Phải Bài tập 4.3. a. W = {(a, b, c)
= 2b} ⊂ R3 là không gian con của R3. Thật vậy, + Ta có θ = 0) ∈ W ⇒ W 6= ∅.  + Mặt khác, a ∀u(a 1 = 2b1
1, b1, c1), v(a2, b2, c2) ∈ W, ∀α, β ∈ R ta có a2 = 2b2
Có αu + βv = (αa1 + βa2, αb1 + βb2, αc1 + βc2)
Mà αa1 + βa2 = α2b1 + β2b2 = 2(αb1 + βb2) nên suy ra αu + βv ∈ W
b. Không, vì khi chọn α < 0 và u = (a; b; c) ∈ W thì αu 6∈ W
c. Không, vì W không khép kín đối với phép cộng.
d. Không, vì W không khép kín đối với phép cộng. e. Phải, tự chứng minh
f. Không, vì (0, 0, 0, 0) 6∈ W g. Phải, tự chứng minh Bài tập 4.4.
a. Không, vì W không khép kín đối với phép cộng. b. Phải, tự chứng minh 41 Bài tập 4.5.  1       a.   1 −1 0 1 Sp 3 ; b. ; c.  Sp  ,
Sp {(1; 2; 1), (0; 1; −1)}; d. Sp {1, x2} 0 1 1 −1  2  Bài tập 4.6.  0   0  a. Không phải vì θ = 0 0   6∈ W b. Không i vì θ =   6∈ W 0 0 
1   −1   0   4   3   0              c. 0 1 −1 0 0 0 W = Sp       d         ,  , Sp , , 0   1   1   1   1   −1                     0 1 0  −2 0 1  Bài tập 4.7. Ta có: +θ ∈ E ⇒ E 6= ∅. + f ∀f 1(a) = 1, f2 ∈ E ⇒ f2(a) b) Khi đó: f1(a
a) = f1(b) + f2(b) ⇒ (f1 + f2)(a) = (f1 + f2)(b) ⇒ f1 + f2 ∈ E +∀α ∈ R E ⇒ f(a) = f(b), ta có:
(αf )(a) = αf (a) = αf (b) = (αf)(b) ⇒ αf ∈ E
Vậy E là một không gian con. Bài tập 4.8.       a. 1 0 1 1 0 −2 E = Sp , , 0 0 0 0 0 1
b. Không phải là không gian con của M(2, 2) vì nó không khép kín đối với cả 2 phép toán  
c. Không phải là không gian con của M 0 0 (2, 2) vì 6∈ M(2, 2) 0 0       d. −2 1 1 0 −3 0 E = Sp , , 0 0 1 0 0 1
Bài tập 4.9. H là không gian con của M(2, 4). Thật vậy:   + 0 0 0 0 θ =
∈ H vì F θ = 0 nên H 6= ∅ 0 0 0 0 42
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI  + F A = 0 ∀A, B ∈ H ⇒ ; ∀α, β ∈ R, ta có F B = 0
F (αA + βB) = αF A + βF B = 0 + 0 = 0 ⇒ αA + βB ∈ H n
Bài tập 4.10. Giả sử v = P α , nếu thì thì ivi ∃αi
v ∈ Sp{vi}, ngược lại ∄αi v 6∈ Sp{vi} i=1
a. v ∈ Sp{v1, v2, v3} b. v 6∈ Sp {v1, v2, v3} c. v ∈ Sp{v1, v2} d. v 6∈ Sp{v1, v2}
Bài tập 4.11. w ∈ ColA vì hệ Ax = w có nghiệm w 6∈ NulA vì Aw 6= θ Bài tập 4.12.  0 
a. W không phải là không gian con củ g gian vectơ [R]3 vì θ = 0   6∈ W. 0   b. W 1 − 0 = NulA với A = 2 −1 −3  0  c. W không phải
ng gian con của không gian vectơ 0 [R]4 vì θ =    0  6∈ W.   0
d. W = NulA với A =  1 6 −1 
e. W = NulA với A =  5 −1 −2   0 2 3   1 −1 0  Bài tập 4.13. a. W 1 1 −2 2 1 1 = ColA với A =   b. W    = ColA với A = 4 1 0       0 5 −4  3 −1 −1 0 0 1 Bài tập 4.14.  a. v ∀v 1, v2 ∈ H
1, v2 ∈ H ∩ K, ∀α, β ∈ R ⇒ v1, v2 ∈ K  Vì αv
H và K là hai không gian con ⇒ 1 + β v2 ∈ H ⇒ αv αv 1 + βv2 ∈ H ∩ K 1 + βv2 ∈ K
⇒ H ∩ K là không gian con. 43
b. Ví dụ: Hai đường thẳng (d1) : x1 + x2 = 0 và (d2) : x1 − x2 = 0 là hai không gian
con của R2 nhưng hợp của hai đường thẳng này không phải là không gian con của R2. Thật vậy: Lấy u = (1; −1) ∈ d thì và 1; v = (1; 1) ∈ d2
u + v = (1; −1) + (1; 1) = (2; 0) 6∈ d1 6∈ d2 Bài tập 4.15.
a. phụ thuộc tuyến tính b. độc lập tuyến tính c lập tuyến tính d. độc lập tuyến tính e. phụ thuộc tuyến t độc lập tuyến tính
g. phụ thuộc tuyến tính h. độc lập tuyến t i. phụ thuộc tuyến tính Bài tập 4.16.
a. {v1 = (1; 0; 0), v2 = (0; 1; − = (0; 4; −3)} b. {p0 = 2, p1 = −4x, p x + 1} Bài tập 4.17. a. Ta biết
ủa R4 gồm 4 vectơ độc lập tuyến tính. Ta có {v1, v2, v3} là 3 vectơ độc lập tu
nh nên ta chỉ cần chọn thêm vectơ v sao cho không là tổ hợp tuyến 4 v4 tính của v . Ta chọn 1, v2, v3
v4 = (1; 1; 1; 1). Khi đó cơ sở của R4 là {v1, v2, v3, v4}.
b. Ta biết cơ sở của M(2, 2) gồm 4 vectơ độc lập tuyến tính. Ta có {v1, v2} là 2 vectơ
độc lập tuyến tính nên ta chỉ cần chọn thêm vectơ v sao cho v3, v4 sao cho 3, v4  0 1   0 0  {v . Khi đó cơ
1, v2, v3, v4} độc lập tuyến tính. Ta chọn v3 = , v 0 0 4 = 0 1
sở của R4 là {v1, v2, v3, v4}. Bài tập 4.18.    −2 4 −2 −4  1 0 6 5 a. 5 3 A =    2 −6 −3 1  → ... → 0 1   −3 8 2 −3 2 2 0 0 0 0        12 10 −2   4          + Cơ sở của 5 3 ColA là 2 và       ,  −6 NulA là ,   −2   0   −3 8           0 −2 
+ Cơ sở của RowA là {(1; 0; 6; 5), (0; 2; 5; 3)}
dim ColA = dim RowA = 2 và dim N ulA = 2 44
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI    1 2 −5 11 −3  1 2 0 4 0 −7   b. 2 4 −5 15 2 0 0 1 0 A =      → ... → 1 2 0 4 5  5      0 0 0 0 1  3 6 −5 19 −2 0 0 0 0 0      −2 −4
 1   2   −5         1 0            + Cơ sở của 2 4 −5 ColA là       và  0   7   , , Nu à , 1   2   0                       0 1      3 6 −5       0 0 
+ Cơ sở của RowA là {(1; 2; 0; 4; 0), (0; 0; 5; − 0; 0; 0; 1)}
dim ColA = dim RowA = 3 và dim N ulA = Bài tập 4.19. a. Lập ma trận cột  1 1 3  1 1 3 1   1 1 3 1   1 2   0 1 2 1   0 1 2 1  A =      0 0 0 1   1 − 1  →  0 −2 −4 0  →    2 2 −1   0 −4 −8 −3   0 0 0 0        5 4 0 −2 −4 1 0 0 0 0 Cột chốt là cộ 1, 2, 4.
Cơ sở của Sp(S) là {(1; 1; 1; 2; 3), (1 : 2; −1; −2; 1), (1; 2; 1; −1; 4)} và dim Sp(S) = 3
b. Cơ sở của Sp(S) là S và dim Sp(S) = 4       c. Cơ sở của 1 2 2 5 3 4 Sp(S) là , , và dim Sp(S) = 3 −1 3 1 −1 −2 5       d. Cơ sở của ′ 1 2 3 4 1 2 Sp(S) là S = , , và dim Sp(S) = 3 0 1 1 1 1 1
e. Vậy cơ sở của Sp(S) là S và dim Sp(S) = 3
Bài tập 4.20. a. u ∈ Sp(S) b. S là tập sinh của R3.
Bài tập 4.21. a. p(x) = 4 + x −3x2 ∈ Sp(S)
b. S không phải là tập sinh của P2[x] Bài tập 4.22.
a. Cơ sở của P là {(1; −3; 0), (0; −5; 1)}
b. Cơ sở của mặt phẳng là {(1; 1; 0), (−8; 0; 1)}.. 45 Bài tập 4.23.
a. dim W = 3 b. dim W = 2 c. dim W = 0 d. dim W = 2 e. dim W = 2 f. dim W = 3
Bài tập 4.24. Giả sử E là các không gian con của M(3, 3) cần tìm số chiều a. dim E = 3 b. dim E = 6 c. dim E = 6 Bài tập 4.25. a. dim U = 4 b. dim U = 2 Bài tập 4.26.
a. + Ta có U = Sp{(1; 0; 0; 0), (0; 2; 1; 0); (0;
)} nên U là không gian con của R4
+ Ta có W = Sp{(1; 0; 0; 1), (0; 2; 1; 0 W là không gian con của R4
b. + Cơ sở của U là (1; 0; 0; 0), (0; 2 0; −1; 0; 1) và dim U = 3
+ Cơ sở của W là (1; 0; 0; 1), 0) và dim W = 2 + Cơ sở của U ∩ W  0 1 −  1 0 0 −1   1 0 0 0  Ta có C =  1 0 1  →  0 1 −2 1  →  0 1 −2 0  0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Vậy cơ sở củ W là {(0; 2; 1; 0)} Bài tập 4.27
a. Đặt P = {(x1; x2; x3) : x1+3x2+4x3 = 0} ⇒ Cơ sở của P là S = {(−3; 1; 0); (−4; 0; 1)}
+ Chọn (1; 0; 0) ∈ R3 nhưng 6∈ P . Khi đó, {(−3; 1; 0); (−4; 0; 1), (1; 0; 0)} sẽ là cơ sở của R3
b. Đặt P = {(x1; x2; x3; x4) : x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0}
⇒ Cơ sở của P là S = {(−1; 1; 0; 0); (−2; 0; 1; 0), (−1; 0; 0; 1)}
+ Chọn (1; 0; 0; 0) ∈ R4 nhưng 6∈ P . Khi đó, {(−1; 1; 0; 0); (−2; 0; 1; 0), (−1; 0; 0; 1), (1; 0; 0; 0)} sẽ là cơ sở của R4 Bài tập 4.28.
a. E = Sp{(x2 − 4)(x2 + 1); (x2 − 4)x} nên E là không gian con của P4[x]. b. Tìm dim E = 2 Bài tập 4.29.  (0; 0; 0) ∈ E 
a. E là không gian con của R3 ⇔ ∀u, v ∈ E ⇒ u + v ∈ E ⇔ m = 0.
 ∀α ∈ R, ∀u ∈ E ⇒ αu ∈ E 46
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI b. Tìm dim E = 2 Bài tập 4.30.   x   1 x2 x  3    E = (x   1, x2, x3) ∈ R3 :  1 2 1  = 0    2 1 2   
= (x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 − x3 = 0 = = Sp{(1; 0; 1), (0; 1; 0)}
⇒ E là không gian con của R3
Cơ sở của E là {(1; 0; 1), (0; 1; 0)} và dim E =  a + b   3   8   2  0  2 Bài tập 4.31   . a. ; b. 5 6 ; d.    a − b ; e.  −4    −2      1 5 − 5    2  0 1
Bài tập 4.32. a. x = (−1; −
b. x = (0; 1; −5) c.p(x) = 2 + 6x + 2x2 Bài tập 4.33. a. Vì dim P2[x
ên để {p1, p2, p3} trở thành cơ sở của P2[x] ta chỉ cần điều kiện để {p (1) 1, p2.p3}
c lập tuyến tính ⇔ α1p1 + α2p2 + α3p3 = 0 ⇒ α1 = α2 = α3 = 0  1 1 1   1 1 1  Ta có A =      0 1 −m  →  0 1 −m      −1 1 −3 0 0 −2 + 2 m
(1) xảy ra ⇔ r(A) = 3 ⇔ −2 + 2m 6= 0 ⇔ m 6= 1
b. p(x) = α1p1 + α2p2 + α3p3  1 1 1 3   1 0 0 −1  A∗ =      0 1 −2 1  →  0 1 0 3      −1 1 −3 1 0 0 1 1 ⇔ p(x) = −p1 + 3p2 + p3 Bài tập 4.34.  
2   1   −1     1. E = Sp 1 0   ,  −2  ,    −3 −4 2    2   1    2. Cơ sở của E là 1 và  dim E = 2  ,  −2   −3 −4  47 Bài tập 4.35.
a. Vì dim P3[x] = 4 mà B có 4 véc tơ nên ta chỉ cần chứng minh B độc lập tuyến tính hoặc B là tập sinh
Ta chứng minh B = {1, 1 − x, (1 − x)2, (1 − x)3} là tập sinh của P3[x].
Lấy p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ P3[x], giả sử có α 2 3
1.1 + α2(1 − x) + α3(1 − x)2 + α4(1 − x)3 = a cx + dx ⇔ (α 3 2 3
1 + α2 + α3 + α4) + (−α2 − 2α3 − 3α4)x + α4)x2 −α4x = a+bx+cx +dx  α  1 +α2 +α3 +α4 = a = a + b + c + d    −α2 −2α3 −3α ⇔ 4 = b 2 = −b − 2c − 3d α3 +3α4 = c α3 = c + 3d     −α  4 α4 = −d ⇒ a+bx+cx2+dx3 = (a+b+
+(−b−2c−3d)(1−x)+(c+3d)(1−x)2−d(1−x)3 ⇒ B = {1, 1 − x, (1 − x
x)3} là tập sinh của P3[x]. Vậy B = {1, 1 − x, (
, (1 − x)3} là cơ sở của P3[x]. b. Áp dụng kết qu
a ta suy ra (u)B = (−4; 11; −7; 2) Bài tập 4.36. hứng minh 2. Tương tự bài 4.38 Bài tập 4.3  4 −1 0   8  PB,C = 2  −1 1 1  ⇒ [x]C =   0 1 −2 2    7 −3 1  1 1 0 Bài tập 4.38. a. P     E b. ,B = 2 3 1  −6 3 −1  PB,E =       4 −2 1 0 2 3  0 0 1    Bài tập 4.39. a. 0 −1 PB b. ,C = P 0 1 0 1 1 B,C =   1 0 0 Bài tập 5.1.
a. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh
b. f không là ánh xạ tuyến tính. Tự giải thích
c. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh
d. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh
e. f không là ánh xạ tuyến tính. Tự giải thích f. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh
g. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh
h. f không là ánh xạ tuyến tính. Tự giải thích Bài tập 5.2. 48
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI
a. Tự chứng minh, Kerf = {0} và Imf = Sp{x2, x2 + x, 2}          b. Tự chứng minh, a 0 0 1 0 0 0 0 Kerf = , a ∈ R và Imf = Sp , , 0 −2a 0 0 1 0 0 1 c. Tự chứng minh, a a a Kerf = {p(x) ∈ P n 2 1 n[x]| + · · · + + + a n + 1 3 2 0 = 0} và I mf = R          d. Tự chứng minh, 0 b 2 0 0 1 0 0 Kerf = , b ∈ R và Imf = , , −b 0 0 0 1 0 0 2
e. Tự chứng minh, KerT = {0} và Imf = F Bài tập 5.3. a. Tự chứng minh b. Giả sử:  a   x y  a b  y A = ⇒ A = 2 z t b c  c  , y ∈ R b − y 2 c. Tự chứng minh   d. KerT = , b ∈ R 0   Bài tập 5.4. a − b + c f (p) = a + b + c
Bài tập 5.5. a. Tự chứng minh
b. Cơ sở của Kerf là {(3; −1; 1)} và dim Kerf = 1 Bài tập 5.6.
a. Cơ sở của KerT là {(1; −2; 1; 0)T, (−7; 3; 0; 1)T} và dim KerT = 2
b. Cơ sở của ImT là {(1; 1; 3)T, (2; 3; 8)T} và dim ImT = 2. Bài tập 5.7.
a. Cơ sở của KerT là {(1; 2; −1)} và dim KerT = 1
b. Cơ sở của ImT là {(1; 3; −2), (2; 5; −1)} và dim ImT = 2 Bài tập 5.8. 49    a. Tự chứng minh, a b c Kerf = , a, b, c ∈ R 0 0 0
b. Tự chứng minh, Kerf = {A ∈ M(3, 3)|a11 + a22 + a33 = 0}    c. Tự chứng minh, 0 b Kerf = , b ∈ R . −b 0
Bài tập 5.9. Tự chứng minh   Bài tập 5.10. a. x1 = −3 b. −2 x2 = 1 = 3
Bài tập 5.11. a. (24; −26) b. (−19 c. (−15; −5) d. (802; −477; 398; 57)  1 1 1    Bài tập 5.12. a. 2 1 A = b. A = 1 1 0 c. A =  1 1 1  1 −1   1 0 0  0 0    Bài tập 5.13. a. 4t A = với t ∈ R b. A = 3t 3t với t ∈ R 2t   5t 5t Bài tập 5.14
a. Tự chứn minh. Cơ sở của f(E) là {(−1; 3; 2), (−1; 1; 1)}, dim f(E) = 2  
b. Tự chứng minh. Cơ sở của −2 f (E) là , dim f (E) = 1 1
c. Tự chứng minh. Cơ sở của f(E) là {2x + 1, x2 + x + 2}, dim f(E) = 2 Bài tập 5.15.
a. f không phải là đơn ánh, nhưng f là toàn ánh. b. f là song ánh
c. f không phải là đơn ánh, cũng không phải là toàn ánh.
d. f là đơn ánh, nhưng f không phải là toàn ánh.
e. f không phải là đơn ánh, nhưng f là toàn ánh. Bài tập 5.16.
a. Cơ sở của Kerf là {(−1; 1; 0)} và cơ sở của Imf là {(1; 0), (0; 1)}
b. Kerf = {(0; 0; 0)} nên Kerf không có cơ sở và cơ sở của Imf là {(0; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0} 50
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI       c. Cơ sở của −1 1 −1 0 −1 0 Kerf là , , và cơ sở của Imf là {1} 0 0 1 0 0 1
d. Kerf = {0} nên Kerf không có cơ sở và cơ sở của Imf là {x, x2}
e. Cơ sở của Kerf là {(1; 0; 0), (0; 0; 1} và cơ sở của Imf là {(1; 1; 1)} Bài tập 5.17.
a. B = {p1 = 1 + 2x, p2 = 3 − x, p3 = −1 + 3x2}
Gọi E = {1, x, x2} là cơ sở chính tắc của P2[x
Ta xét ánh xạ tọa độ: f : P2[x] → [R]3 đư định như sau pi 7→ [pi]E
Để xét tính độc lập tuyến tính của {p
ta sẽ xét tính độc lập của {[p1]E , [p2]E , [p3]E } Ta có  1   3   −1  [p1]E = ] p 0  E =  −1  , [ 3]E =   0 3 Lập ma trận có các
các vectơ E -tọa độ của p1, p2, p3  1 3 −1   1 3 −1  A =  2 −1 0  →  0 −7 2  0 0 3 0 0 3
Ta có r(A) = 3 nên ta suy ra {[p1]E , [p2]E , [p3]E } độc lập tuyến tính.
Vậy B độc lập tuyến tính.
b. Tương tự, B độc lập tuyến tính.
c. Tương tự, B độc lập tuyến tính.
d. Tương tự, B phụ thuộc tuyến tính. Bài tập 5.18.   −2    a. Cơ sở của Kerf là và  1  r(f ) = r(A) = 2  0   −2        b. Cơ sở của 2 Kerf là   và   r(f ) = r(A) = 3  −1       1  51  −1         4  c. Cơ sở của   Kerf là   và  −5  r(f ) = r(A) = 4      2        0  Bài tập 5.19.
a. T không phải là đơn cấu và toàn cấu b. T là đẳng u
c. T là toàn cấu, không phải là đơn cấu d. T là đẳ Bài tập 5.20.
a. dim KerD = 1 và r(D) = n b. dim Ke
và r(D) = n c. dim Kerf = 3 và r(f) = 3 d. dim KerT = 8 và r(T ) = 1 e. dim = 3 và r(S) = 6  3 1 Bài tập 5.21. [f]B,C = 1  − −1 1  Bài tập 5.22. [f] −1 0 −1  1 −1 0  1 −1 1  Bài tập 5.23 a. Tự tìm b. Tự chứng minh c. [f]B,E = 1 0 0   1 1 1 Bài tập 5.24.   a. 2 0 2
m = 0 và Kerf = {(0; y; −y), y ∈ R} và dim Kerf = 1 b. [f]B,C = 0 2 0 Bài tập 5.25. a. Tự chứng minh b. a = −3
c. + Nếu a 6= −3 thì f là đơn cấu nên Kerf = {(0; 0; 0)} và dim Kerf = 0
+ Nếu a = −3 thì Kerf = {(a; a; a), a ∈ R} ⇒ dim Kerf = 1 Bài tập 5.26.  3 1 0  1. Tự chứng minh
2. Kerf = {ax2 − ax, a ∈ R} 3. [f] −6 −2 0 B =    5 3  1 2 2 52
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI Bài tập 5.27.  1/3 0 1/3 2/3      −2/3 1 1/3 2/3  1. Tự chứng minh 2. 0 b Kerf = , b ∈ R 3. [f]   0 0 B =    2/3 0 2/3 −2/3    0 0 0 1 Bài tập 6.1. s   
a. Tập các véc tơ riêng của A ứng với λ = 1 (ké 2s + 2t và   , s2 + t2 6= 0  t   t     λ = 3 là  −t  , t 6= 0  −2t    −s + t    
b. Tập các véc tơ riêng của với λ = 1 (kép) là và  t  , s2 + t2 6= 0  s   t   λ = 2 là t    t    s  
c. Tập các véc tơ riêng của  
A ứng với λ = 2 (kép) là t và   , s2 + t2 6= 0  2s + 2t   t     λ = 1 là −3t   , t 6= 0  −3t   −t    
d. Tập các véc tơ riêng của A ứng với λ = −1 (bội 3) là  −t  , t 6= 0  t   s    
e. Tập các véc tơ riêng của A ứng với λ = 2 (kép) là t và   , s2 + t2 6= 0  −3s + 3t   t     λ = 1 là t   , t 6= 0  t 
Bài tập 6.2. a,d không chéo hóa được b,c chéo hóa được Bài tập 6.3. 53  1 1 1   1 0 0   a.
λ1 = 1 , P = 1 0 1 và D = 0 1 0 λ     2 = 5 0 1 1 0 0 5  λ     1 = 0 1 0 1 0 0 0  b. λ , 2 = 1 P = và 0 1 0  −2 1 −1  D =    λ3 = −3 0 1 2 0 0 −3  1 1 1     − − − c. λ1 = 2 , P = 1 0 1 và D = 0 λ    2 = 3 0 1 1 0 3  λ    1 = −1 −5 −3 −5 −1 0 0 d.  λ , 2 = 2 P = 2 1 D = 0 2 0     λ3 = 3 1 1 0 0 3  1 1  1 0 0   e. λ1 = 1 , P = 1 và D = 0 1 0 λ    2 = 3 1 0 0 3 1 −2   2 0 0   −2 f. λ1 = 2 1 0 1 và D = 0 2 0 λ    2 = −  0 1 1 0 0 −1 Bài tập 6.4.
a. Tập các véc tơ riêng của f ứng với λ1 = 1 là {(s − t, s, t), s2 + t2 6= 0} và λ2 = 3 là {(t; t; 0), t 6= 0}  s    
b. Tập các véc tơ riêng của f ứng với λ1 = 1 là 0 và   , s 6= 0 λ2 = 3 là  0   t     t   , t 6= 0  −2t 
c. Tập các véc tơ riêng của f ứng với λ 2 2
1 = 2 là {ax + bx + a, a2 + b 6= 0} và λ2 = 1 là {ax2 − ax + 2a, a 6= 0}   1   5   7  Bài tập 6.5   . B = 0 1 32   ,   ,    0 0 −72 
Bài tập 6.6. B = {(1; −1; 0), (−3; 0; 2); (1; 1; −1)} 54
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI Bài tập 6.7. 1. Tự chứng minh
2. KerT = {0} ⇒ r(T ) = 3 3. Tự chứng minh  4 2 −1  4. [T ]   2 B = 5. C  −6 −4 3  = {x2 + 3x, x + 1, x − 4}   −6 −6 5 Bài tập 6.8. 1. Tự chứng minh 2. KerT = {0} ⇒ r(T ) = 3 3. Tự chứng minh  4 2 −1   4. C = {−x2 + x + + 1, 3x2 + x} [T ]   B = 5.  −6 −4 3  C = {x2 − x 3, x2 + 2x + 5}   −6 −6 5
Bài tập 6.9. Ta có Ak = P DkP −1 với P là
n chéo hóa được A và D là dạng chéo của A a.  −2
 1 0 0   −1/4 1/2 1/4  Ak = P DkP −1 =        −1  0 1 0  1/4 1/2 3/4        1 1 0 0 5k −1/4 −1/2 1/4 3/4 + 1/4 .5k
−1/2 + 1/2 .5k 1/4 − 1/4 .5k     −1/4 + 1/4 .5k 1/2 + 1/2 .5k 1/4 − 1/4 .5k    1/4 − 1/4 .5k 1/2 − 1/2 .5k 3/4 + 1/4 .5k b.  −1 −1 1    (−1)k 0 0  −1/3 −1/3 2/3  Ak = P DkP −1 =    k     0 1 1  0 (−1) 0   −1/3 2/3 −1/3        1 0 1 0 0 5k 1/3 1/3 1/3  2/3 (−1)k + 1/3 .5k
−1/3 (−1)k + 1/3 .5k −1/3 (−1)k + 1/3 .5k  =    −1/3 (−1)k + 1/3 .5k 2/3 (−1)k + 1/3 .5k −1/3 (−1)k + 1/3 .5k   
−1/3 (−1)k + 1/3 .5k −1/3 (−1)k + 1/3 .5k 2/3 (−1)k + 1/3 .5k c.
 −4 −1 −2   3k 0 0   −1 −1 −3  Ak = P DkP −1 =    0 3k 0   1 2 4   0 1 −1            1 0 1 0 0 1 1 1 4  3 .3k − 2 2 .3k − 2 8 .3k − 8  =   
−1 + 3k −1 + 2 .3k −4 + 4 .3k    −3k + 1 −3k + 1 −3 .3k + 4 55 Bài tập 7.1. √ a. ′ ′ ′ ′ 5x 2 + 2y 2 − 2 = 0 b. 4x 2 − 1 = 0
c. 4x 2 − 8 3x′ + 8y′ = 0 √ d. ′ ′ y 2 = 1 e. 2 2x 2 − y′ = 0. Bài tập 7.2. a. Dạng Ellip b. Dạng Ellip c.Dạ erbol d. Dạng Parabol e. Dạng Ellip g Hyperbol Bài tập 7.3.  2 1  1 1  x = − √ x′ + √ y′  x   = x′ − y′ a. Ta có 5 5 2 2 1 2 b. Ta có 1 1  y = √ x′ +  y = x′ + y′  5  2 2 ′ ′ √ √ ′ ′
⇒ 9x 2 − y 2 + 6 5x′ − 4 0 = 0
⇒ 2x 2 + 8y 2 − 16x′ − 16 = 0 √    Đặt X = x′ + Đặt X = x′ − 4 Y = y′  Y = y′ ⇒ 9X2 − Y 2 = ⇒ X2 + 4Y 2 = 24 Đồ thị Đồ thị  1 1  3 1  x = − x′ + y′  x = −√ x′ + √ y′ c. Ta có  2 2  10 10 1 d. Ta có 1 1 3  y = x′ + y′  y = √ x′ + √ y′  2 2  10 10 ′ ′ ′ √ √ ⇒ x 2 + 9y 2 − 18y′ = 0
⇒ 10x 2 + 2 10x′ + 2 10y′ − 9 = 0  1  Đặt X = x′  X = x′ + Đặt √10 Y = y′ − 1 √  Y = 10y′ − 5 1 ⇒ X2 + 9Y 2 = 9 ⇒ X2 = − Y 5 Đồ thị Đồ thị 56
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI Bài tập 7.4. a - hình 3 b - hình 2 c - hình 7 d - hình 8 hình 1 f - hình 9 g - hình 10 h - hình 6 i - hìn j - hình 4 Bài tập 7.5.
a. Ellip có phương trình x2 y2 +
tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 5, bán trục nhỏ 25 3, đỉnh A1(−5; 0), A2(5;
; −3), B2(0; 3), tiêu điểm F1(−4; 0), F2(4; 0). y2 b. + z = 1: Ellip c ng trình x2 +
= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 45 15 2 √ q √ √ q q 3 5, bán tr 15 , đỉnh A 5; 0), A 5; 0), B 15 15), 2 1(−3 2(3 1(0; − ), B 2 2(0; 2 tiêu điểm q F 75 1(− 75; 0), F ; 0). 2 2( 2 √ + y2
z = 2: Ellip có phương trình x2 +
= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 3 2, 18 3 √ √ √ √ √
bán trục nhỏ 3, đỉnh A1(−3 2; 0), A2(3 2; 0), B1(0; − 3), B2(0; 3), tiêu điểm √ √ F1(− 15; 0), F2( 15; 0). c. + z = 0: Tập rỗng + y2 z = 2: Phương trình x2 + = 0 ⇒ O(0; 0) 36 6 y2 √
+ z = 4 Ellip có phương trình x2 +
= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 2 3, 12 2 √ √ √ √ √
bán trục nhỏ 2, đỉnh A1(−2 3; 0), A2(2 3; 0), B1(0; − 2), B2(0; 2), tiêu điểm √ √ F1(− 10; 0), F2( 10; 0). d. + y2
h < 0: Hyperbol có phương trình x2 −
= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục thực 4h h p|h|, bán trục ảo 2p p
|h|, đỉnh A1(0; −p|h|), A2(0; |h|), tiêu điểm F1(0; −p|5h|),
F2(0; p|5h|), tiệm cận y = ±2x + x
h = 0: Hai đường thẳng cắtt nhau có phương trình là y = ±2 57 y2
+h > 0: Hyperbol có phương trình x2 −
= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục thực 4h h √ √ √ √ √ √ 2 h, bán trục ảo
h, đỉnh A1(−2 h; 0), A2(2 h; 0), tiêu điểm F1(− 5h; 0), F2( 5h; 0), tiệm cận x y = ±2 Bài tập 7.6. a b Hình 7.1: Mặt trụ tròn
Hình 7.2: Mặt Hypeboloid 2 tầng c d
Hình 7.3: Mặt trụ hyperbol Hình 7.4: Mặt Ellipxoit e f
Hình 7.5: Mặt Paraboloit elliptic
Hình 7.6: Mặt Hyperboloit 2 tầng 58
Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI g h
Hình 7.7: Mặt Paraboloit Hyper- bolic Hình 7.8: Mặt Trụ Parabol i j Hình 7.9: Mặt Nón
Hình 7.10: Mặt Hyperboloid 1 tầng Bài tập 7.7. Tài liệu tham khảo
[1] Bùi Xuân Hải - Trần Nam Dũng - Trịnh Than
Thái Minh Đường - Trần Ngọc
Hội , Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc PHCM, (2001).
[2] Hồ Hữu Lộc, Bài tập Đại số tuyến tính ọc Cần Thơ, (2005).
[3] Ngô Thu Lương - Nguyễn Minh Hằ
tập Toán cao cấp tập 2, NXB Đại học Quốc Gia TPHCM, (2000).
[4] Nguyễn Viết Đông - Lê Th
n Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ, Bài tập Toán cao cấp tập 2, NX Dục, (2000). [5] Tống Đình Quỳ - N
Cảnh Lương, Giúp ôn tập tốt TOÁN CAO CẤP tập 4, NXB Đại học Quốc NỘI, (2000). [6] http://tuto ath.lamar.edu/AllBrowsers/2318 59

Tài liệu liên quan: