Bài tập Chương 1 - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Chương 1
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài tập 1.1 Đưa các ma trận sau về dang bậc thang:  1 −3 2   2 5 6   −4 1 −6  A = B = C =  3 −4 1   1 2 5   1 2 −5  2 −5 3 1 3 2 6 3 −4  1 2 −3 0   2 −2 2 1  D = 2 4 −2 2 E = −3 6 0 −1     3 6 −4 3 1 −7 10 2
Bài tập 1.2 Đưa các ma trận sau về dang bậc thang rút gọn:  2 2 −1 6 4   2 3 −2 5 1   1 −2 3 1 2  A = 4 4 1 10 13 B = 3 −1 2 0 4 C = 1 1 4 −1 3       6 6 0 20 19 4 −5 6 −5 7 2 5 9 −2 8  1 3 −1 2   0 1 3 −2   1 2 −1 2 1  0 11 −5 3 0 4 −1 3 D =      E = 2 4 1 −2 3 F = 2 −5 3 1     0 0 1 1    3 6 2 −6 5   4 1 1 5 0 5 −3 4
Bài tập 1.3 Xác định hạng của ma trận sau:  3 5 7   1 1 3   1 1 −3  A =  1 2 3 B C  =  2 1 4  =  −1 0 2  1 3 5 1 2 5 −3 5 0  1 2 3 4   4 3 2 2   1 2 3 6  D =  2 4 6 8 E F  =  0 2 1 1  =  2 3 1 6  3 6 9 12 0 0 3 3 3 1 2 6  1 −1 5 −1   1 3 −2 −1  21 1 −2 3 2 5 −2 1 G =      H = 3 −1 8 1   1 1 6 13      1 3 −9 7 −2 −6 8 10
Bài tập 1.4 Xác định sự tồn tại nghiệm của mỗi hệ sau: 1 2
Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  x1 + 2x2 − 3x3 = −5  a. 2x1 + 4x2 − 6x3 + x4 = −8  6x1 + 13x2 − 17x3 + 4x4 = −21  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7    b. 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = −2 x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23    5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 12  x1 − 6x2 = 5    c. x2 − 4x3 + x4 = 0 −x1 + 6x2 + x3 + 5x4 = 3    − x2 + 5x3 + 4x4 = 0  2x2 − 2x3 + 2x5 = 2    d. x1 + 2x2 − 3x3 + x4 + 4x5 = 1
2x1 + 5x2 − 7x3 + 3x4 + 10x5 = 5    2x1 + 4x2 − 5x3 + 3x4 + 8x5 = 3
Bài tập 1.5 Biện luận các hệ phương trình cho bởi ma trận đầy đủ sau đây theo tham số a, b, c, d.    1 −1 4 −2 5 2 4 −3 6  0 1 2 3 4 a. 0 b 7 2 b.      0 0  d 5 7 0 0 a a   0 0 0 cd c
Bài tập 1.6 Viết ra nghiệm của hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với mỗi ma trận sau:  1 −2 0 0 7 −3   1 0 −5 0 −8 3  a. 0 1 0 0 −3 1 0 1 4 −1 0 6 A =   b.    B = 0 0 0 1 5 −4   0 0 0 0 1 0      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  1 0 −2 0 0 0   1 0 0 8 −3  c. 0 1 6 −3 −2 7 0 1 0 4 −6 C =   d.    D = 0 0 0 1 0 −5   0 0 1 −7 5      0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
Bài tập 1.7 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:  2x  1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6 x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 4   a. 3x e. 1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 3  9x  1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 14 5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5  2x  1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 2 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5       b. 4x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4 f. 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 4x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 4 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 1      2x  1 − 3x2 + 3x3 + 3x4 = 7 4x1‘ + 3x2 + 2x3 + x4 = −5 3   x1 + 2x2 + 3x 2x 3 = 14  1 + x2 − x3 + x4 = 0      3x1 + 2x2 + x3 = 10   c. 3x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2 g. x1 + x2 + x 5x 3 = 6 1 + x2 − x3 + 2x4 = −2     2x1 + 3x2 − x3 = 5  2x  1 − x2 + x3 − 3x4 = 4   x1 + x2 = 3  −x  1 + x2 + x3 + x4 = 4 2x1 + x2 + x3 = 2       d. 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 h. x1 + 3x2 + x3 = 5 5x1 + 3x2 + 3x3 + 5x4 = 2 x1 + x2 + 5x3 = −7      4x  1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −5 2x1 + 3x2 − 3x3 = 14
Bài tập 1.8 Biện luận theo a, b, c, d số nghiệm của hệ phương trình   x + 2y + 2z = a ax  1 + x2 + x3 + x4 = 1    a. 2x − y + z = b x b. 1 + ax2 + x3 + x4 = a 3x + y − z = c  x  1 + x2 + ax3 + x4 = b   x − 3y + 5z = d
Bài tập 1.9 Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm:  x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1    2x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0 x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = −2    4x1 − 2x2 + 2x3 = m
Bài tập 1.10 Giải các hệ thuần nhất sau:   3x1 − 2x2 − 5x x 3 + x4 = 0  1 + 2x2 − 3x3 = 0    a. 2x1 − 3x 2x 2 + x3 + 5x4 = 0 1 + 5x2 − 2x3 = 0 b. x1 + 2x2 − 4x4 = 0  3x  1 − x2 − 4x3 = 0   x1 − x2 − 4x3 + 9x4 = 0  x1 + 2x2 − x3 = 0    x1 − 2x2 + 3x3 − 2x4 = 0   c. 2x1 + 5x2 + 2x3 = 0 d. 3x1 − 7x2 − 2x x 3 + 4x4 = 0 1 + 4x2 + 7x3 = 0    4x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 0  x1 + 3x2 + 3x3 = 0 4
Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Chương 2 MA TRẬN
Bài tập 2.1 Thực hiện các phép tính:    1 −1 2  a. 1 2 3 A + B với A = và B = 4 5 6 0 3 −5   b. 1 −2 3 3A và −5A với A = 4 5 −6     c. 1 −2 3 3 0 2 2A − 3B với A = và B = 4 5 −6 −7 1 8
d. 5A − 2B; 2A + 3B; A(BC); (AB)C; AT ; BT ; AT BT ; A2; AC biết  1 2   5 0   1 −3 4  A = ; B = ; C = 3 −4 −6 7 2 6 −5   e. 1 2 0 AAT và AT A biết A = 3 −1 4       Bài tập 2.2 Tìm x y x 6 4 x + y x, y, z, w biết: 3 = + z w −1 2w z + w 3   Bài tập 2.3 Cho 1 2 A = tìm ma trận B ∈ M sao cho AB = 0 3 6 2×3
Bài tập 2.4 Cho các ma trận  1 −3 0   1 1 −2   2 0 −2  A = , B = , C =  4 5 1   3 0 4   4 7 −5  3 8 0 −1 3 2 1 0 −1
Gọi D = [dij] = 2AB +C2 không tính toàn bộ ma trận D mà hãy tính cụ thể mỗi phần tử: a. d11 b. d21 c. d32 5 6 Chương 2. MA TRẬN  1 4   4 3 2 1      Bài tập 2.5 Cho 1 5 −1 3 4 A = ; B = ; C = 1 3 −1 0 1 2 −1 3 3 5 2   ; D =   4 −3 2 1 0 3
a. Hãy tính các tích sau đây hoặc giải thích tại sao chúng không tồn tại: AB; BA; AC; DC; CD; CT D
b. Kiểm tra rằng A(BC) = (AB)C và (AB)T = BT AT .
c. Không thực hiện phép tính, hãy tìm DT C Bài tập 2.6  3 3 −5   3   −6   15  Cho A = và x = , y = , z =  0 −1 −1   −1   0   3  −2 −4 −4 −4 4 9 a. Tính các tích Ax, Ay, Az
b. Dùng kết quả câu a) để tính tích A  x y z 
Bài tập 2.7 Tìm ma trận nghịch đảo của mỗi ma trận sau:  1 3 −2   2 1 −1   1 −2 0  A = ; B = ; C =  2 8 −3   5 2 −3   2 −3 1  1 7 1 0 2 1 1 1 5  1 1 1 1   1 2 1 0   2 1 0 0   0 1 1 1   0 1 −1 1   3 2 0 0  D = ; ;   E =   F =    0 0 1 1   1 3 1 −2   1 1 3 4  0 0 0 1 1 4 −2 4 2 −1 2 3  
Bài tập 2.8 Tìm ma trận nghịch đảo của a b A = c d     Ứng dụng: 3 5 1 1 A = ; B = . 2 3 2 3  −1 −5 −7  Bài tập 2.9 Cho A = 2 5 6 là ma trận khả nghịch.   1 3 4
Không tìm toàn bộ ma trận A−1 chỉ tìm a. c3(A−1)
b. đồng thời hai cột, c1(A−1) và c2(A−1)  x    1 2 c. h −1 của hệ 2(A
), từ đó suy ra giá trị x2 A x 1  2  =   x3 1 7
Bài tập 2.10 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma
trận nghịch đảo tương ứng của nó:  1 −3 2   1 0 p  a. 3 −7 m + 5 ; b.A = 1 1 0     −m 2m 1 2 1 1  2 −1 1 
Bài tập 2.11 Cho ma trận B =
. Hãy tìm B−1, từ đó giải hệ phương  0 1 1  1 −1 −1  2   2   4  trình Bx = d với i)d =  3 , ii 3 , iii −2  )d = 3   )d =   −1 −1 3
Bài tập 2.12 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:  x1 + x2 + x3 + x  x 4 = 1  1 + x2 − 3x3 = −2    a. x1 + x2 − x3 − x x b. 4 = 1 1 + 2x2 − 3x3 = 6 x1 − x2 = −1  2x  1 + 4x2 − 5x3 = −6   x3 − x4 = −1  x1 + x2 + x3 + x4 = −1    c. x1 + x2 − x3 − x4 = 1 x1 − x2 + x3 − x4 = −1    x1 − x2 − x3 + x4 = 1
Bài tập 2.13 Giải các phương trình ma trận sau đây:         a. 1 2 3 5 3 −2 −1 2 .X = b. X. = 3 4 5 9 5 −4 −5 6          1 2 −3 1 −3 0  c. 3 −1 5 6 14 16 .X. = d. 3 2 −4 .X = 10 2 7 5 −2 7 8 9 10     2 −1 0 10 7 8  13 −8 −12   1 2 3  e. X. 12 −7 −12 4 5 6   =   6 −4 −5 7 8 9 8 Chương 2. MA TRẬN Chương 3 ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.1 Không khai triển, hãy sử dụng tính chất để tính định thức của mỗi ma trận sau:  1 3 0 5 7   0 1 5 1   1 2 1 −5   0 3 1 2 3   2 −1 1 −1     2 4 0 1  A = ;  B = 0 0 4 1 0 ; C = 0 1 0 1     3 0 1 6     0 0 0 −1 8    3 −2 4 −2   1 2 1 −5 0 0 0 0 3  1 3 4 −5 7   3 3 1 2 0    D = 2 −1 4 0 0      5 3 0 0 0  −2 0 0 0 0
Bài tập 3.2 Tính các định thức sau bằng cách khai triển theo hàng hay theo cột được
chọn một cách hợp lí nhất:      6 3 2 4 0       1 −2 5 2     2 3 2   8 1 6   9 0 −4 1 0 0 0 3 0    D         1 =  3 0 1  ; D2 =  4 0 2  ; D ; D 8 −5 6 7 1 3 =   4 =        5 0 4 4     9 6 3   3 −2 5     3 0 0 0 0   2 −6 −7 5     4 2 3 2 0 
Bài tập 3.3 Viết ra ma trận phụ hợp C = Cof(A) của mỗi ma trận A sau đây rồi kiểm
tra lại công thức: ACT = (detA)I  3 2 1   2 3 4   2 −1 −2  a. A = ; b. ; c.  4 5 2 A A  =  5 6 7  =  1 0 3  2 1 4 8 9 1 3 −1 0
Bài tập 3.4 Chứng minh rằng:  ′ ′ ′     ′ ′ ′   a11 + a a · · · a a11 a12 · · · a a a · · · a 11 12 + a12 1n + a 1n   1n   11 12 1n         a21 a22 · · · a2n   a21 a22 · · · a2n   a21 a22 · · · a2n   . . . .  =  . . . .  +  . . . .   .. .. .. ..   .. .. .. ..   .. .. .. ..         a      n1 an2 · · · a an1 an2 · · · a an1 an2 · · · a  nn   nn   nn  9 10 Chương 3. ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.5 Tính định thức của mỗi ma trận sau:  1 2 3 4   1 −2 0 2   2 −3 1 0  2 3 4 1 2 −5 3 2 −5 8 2 1 a.A =  ;       b.B =   c.C =    3 4 1 2   4 1 1 0   1 −4 −2 0  4 1 2 3 −5 0 −4 −4 2 −1 4 0  a b a + b   a b c   a + b ab a2 + b2  d.D = ;  b a + b a e.E f.F  =  a + x b + x c + x  =  b + c bc b2 + c2  a + b a b a + y b + y c + y c + a ca c2 + a2
Bài tập 3.6 Tính các định thức sau đây:        1 − λ 3 2   2 − λ 5 −1   2 − λ 0 0  a.  2 1 − λ 3  b.  2 −1 − λ 5 ; c.  −2 3 − λ −1               3 2 1 − λ   2 2 2 − λ   3 −2 2 − λ 
Bài tập 3.7 Tìm t để ma trận sau khả nghịch bằng cách tính định thức  t − 2 4 3   t − 1 3 −3   t + 3 −1 1  a. ; ;  1 t + 1 −2 b. −3 t + 5 −3 c. 7 t − 5 1      0 0 t − 4 −6 6 t − 4 6 −6 t + 2
Bài tập 3.8 Chứng minh rằng:        a1 b1 a1x + b1y + c1   a1 b1 c1   1 a bc  a.    a    2 b c.  a2 b2 a2x + b2y + c2  =  2 c2   1
b ca  = (b−a)(c−a)(c−b)        a3 b3 a3x + b3y + c3   a3 b3 c3   1 c ab       a1 + b1x a1 − b1x c1   a1 b1 c1  b.      a2 + b2x
a2 − b2x c2  = −2x  a2 b2 c2     a  3 b  a3 + b3x a3 − b3x c3   3 c3 
Bài tập 3.9 Tìm các ma trận nghịch đảo bằng 2 cách ( phương pháp lập ma trận khối ( 1
A|In) và phương pháp ma trận phụ hợp A−1 = (Cof(A))T ): detA  1 1 1 1   1 1 1 1   2 2 3   1 2 3  1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 A = ; B = ;   ;    1 −1 0   2 3 4 C D =  =  1 −1 0 0   1 −1 1 −1  2 −1 0 1 5 7     0 0 1 −1 1 −1 −1 1
Bài tập 3.10 Không giải hệ phương trình, tìm nhanh x bằng hai cách 2  2x  1 + x2 + x3 = 2 5x1 − x2 + x3 − 2x4 = 2       a. x1 + 3x2 + x3 = 5 b. 3x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2 x1 + x2 + 5x3 = −7 3x1 + 2x2 + 2x3 + 5x4 = −6      2x  1 + 3x2 − 3x3 = 14 2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4  2x  1 − x2 + x3 − 3x4 = 4 −x1 + x2 + x3 + x4 = 4       c. 5x1 − x2 + x3 − 2x4 = 2 d. 2x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 1 3x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2 3x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 1      2x  1 − 3x2 + 3x3 − 7x4 = 8 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = −5