Bài tập chương 1 - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Bài tập chương 1 - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

16 8 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 2 (MAT1042)

Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

3 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
I. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm.
a)
2 2
2 2
,
x y
f x y
x y
khi
, 0,0 .
x y
b)
2
2 4
,
xy
f x y
x y
khi
, 0,0 .
x y
c)
2 2
2 2
,
x y
f x y x y
khi
, 0,0 .
x y
d)
2 2
1
, 1
x y
f x y xy
khi
, 0,0 .
x y
e)
2
2
2
2
2 1 1
,
2
x y
f x y
x y
khi
, 0,2 .
x y
f)
2 2
2 2
,
4 2
x y
f x y
x y
khi
, 0,0 .
x y
g)
,
f x y
khi
, 0,3 .
x y
h)
3 3
2 2
,
x y
f x y
x y
khi
, 0,0 .
x y
i)
3 3
2 2
sin
,
x y
f x y
x y
khi
, 0,0 .
x y
j)
, arctan
y
f x y x
x
khi
, 0,0 .
x y
k)
2 2
2
1
, 1 cos
x y
f x y y
y
khi
, 0,0 .
x y
l)
cos
,
sin
x y x y
f x y
x y
khi
, 0,0 .
x y
m)
2 2
2
1 1 cos
,
x y y
f x y
y
khi
, 0,0 .
x y
n)
2
2 2
,
x
xy
f x y
x y
khi
, , .
x y
o)
2 2
,
x y
f x y
x xy y
khi
, , .
x y
II. Khảo sát sự liên tục của các hàm số sau.
a)
2 2
2 2
1
sin , , 0,0
,
0, , 0,0
x y x y
x yf x y
x y
tại (0,0).
b)
3 3
2 2
, , 0,0
, .
0, , 0,0
x y
x y
x yf x y
x y
tại điểm (0,0).
c)
2
arctan , 0
, .
0, 0
y
x x
f x y
x
x
tại điểm (0,0).
d)
2 2
sin sin
, , 0,0
, .
0, , 0,0
x y y x
x y
x y
f x y
x y
tại điểm (0,0).
e)
1
sin
, , 0,0
,
0, , 0,0
x y
x
x y
f x y
x y
x y
tại điểm (0,0).
f)
2
4 4
, , 0,0
,
0, , 0,0
x y
x y
x y
f x y
x y
tại điểm (0,0).
g)
cos cos
, 0,
,
2
1, 0
x y x y
xy
f x y
xy
xy
tại (0,0).
Bài 1. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau
a)
, lnsin
x a
f x y
y
b)
, arctan
x
x
f x y e y
y
c)
2 2
, ln
f x y x x y
d)
, ln tan
x
f x y
y
e)
, arctan
y
f x y
xz
f)
,
x
f x y xyz
yz
g)
, sin
f x y xy yz
h)
/
, tan
x y
f x y x y e
i)
2 2
, arcsin
x
f x y
x y
Bài 2. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số hợp sau
a)
2 2
, ,
f x y f x y x y
b)
, ,
x y
f x y f
y x
c)
, ,f x y f x y xy
d)
2 2
, , ,f x y f x y y x xy
e)
2 2 2 2 2 2
, , , ,
f x y z f x y y z x z
f)
2 2
2 2 2
, cos , ;
u v
z e u x v x y
g)
2 2
ln , ,
x
z u v u xy v
y
h)
2
, , .
v u x
z ue ve u e v yx
i)
2
ln , , 3 2
u
z x y x y u v
v
.
Bài 3. Tìm hàm số
,z z x y
thỏa mãn phương trình
a)
' '
2 0
x y
z z
bằng phép đổi biến số
, 2 .u x y v x y
b)
' ' 2 2
x y
xz yz x y
bằng phép đổi biến số
, .u x y v xy
Bài 4. Tìm vi phân toàn phần của các hàm tại các điểm chỉ ra
a)
2 3
0
, , 2,1 .
f x y x y M
b)
0
, , , 1,2,3 .
yz
f x y z M
x
c)
0
, , cos , 1, , .
6 6
f x y z xy yz M
d)
0
, , 0,0 .
xy
f x y e M
e)
0
, ln , 1,1 .
f x y x xy M
Bài 5. Đạo hàm theo hướng
a)
3 2 2
, 3 3 1
f x y x x y xy
tại điểm M(3,1) theo hướng từ
điểm này đến điểm (6,5).
b)
2 2
,
f x y x xy y
tại điểm M(1,1) theo hướng véc tơ
6 8v i j
.
c)
2 2
, ln
f x y x y
tại điểm M(1,1) theo hướng phân giác của
góc phần tư thứ nhất.
d)
2
, , 3 5f x y z x yz
tại điểm M(1,2,-1) theo hướng lập với
các trục tọa độ các góc bằng nhau.
e)
, , ln
x y z
f x y z e e e
tại gốc tọa độ và hướng lập với các
trục tọa độ x,y,z các góc tương ứng
, , .
f)
, , sin .f x y z x yz
Xác định
,
u
gradu
l

tại
0
1,3,0
M với l
được xác định bởi véc tơ
2 .v i j k
Bài 6. Tính đạo hàm của hàm ẩn
a) Hàm
1 ln 0
xy xy
xy e e
. Tính
' '
, .
x xx
y y
b) Tính
'
: 1 .
x
x
y y y
c) Tính
' " 2 2
, : ln arctan .
x xx
y
y y x y
x
d) Tính
3 3 4
': .y x y y x a
e) Tính
': 0.
y x xy
y xe ye e
f) Tính
5 2 2 4
': 3 5 12.
y y x y x
g) Tính
2 2
3
': 2 3 17.
y y xy x
h) Tính
' '
, : 0.
y x
x y
z z xe yz ze
i) Tính
' '
, : cos .
x y
z z xyz x y z
Bài 7. Tìm cực trị các hàm số
a)
2 2
, 1 1 .
f x y x y
b)
2 2
, 1 6 .f x y x x xy y
c)
2
2
, 1 2 .f x y x y
d)
2 2
, 2 .f x y x xy y x y
e)
3 2
, 6 0, 0 .
f x y x y x y x y
f)
, ; 1.
f x y xy x y
g)
2 2
, 2 ; 5.
f x y x y x y
h)
2 2
, ; 1.
2 3
x y
f x y x y
i)
2 2 2
, , 2 2 ; 9.
f x y z x y z x y z
j)
2 2 2
, , 2 ; 1.
f x y z x y z x y z
k)
3 2 3
, , 5; 0.
f x y z x y z x y z
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a)
2
2
f x y x y
, D là tam giác được giới hạn bởi các đoạn
thẳng
0, 0, 6.x y x y
b)
2 2
, 1 .
f x y D x y
c)
2 2 2 2
, 1 .
f x y D x y
d)
3 3
3 , 0 2, 1 2 .
f x y xy D x y
e) Bài 3. Chứng minh rằng
f) Hàm số
2 2
1
, lnf x y
x y
thỏa mãn phương trình
2 2
2 2
: 0.
f f
f
x y
g) Hàm số
2 2 2
1
, ,f x y z
x y z
thỏa mãn phương trình
2 2 2
2 2 2
: 0.
f f f
f
x y z
| 1/3
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

2 x I.
Giới hạn của hàm số tại 1 điểm.  xy  2 2 x  y n) f x, y  
 khi  x, y  , . a) 2 2 f x, y  
khi x, y   0,0 .  x  y  2 2 x  y x  y 2 o) f x, y   khi  x, y   ,  . b) xy 2 2 f x, y  
khi x, y   0,0 . x  xy  y 2 4 x  y II.
Khảo sát sự liên tục của các hàm số sau. x y c)   1 
f x y    x  y  2 2 2 2 ,
khi  x, y  0,0.  2 2  x  y sin , x, y    0,0 2 2     f x, y    x  y 1 a)    tại (0,0). d)  ,  1  2 2 x y f x y xy   
khi  x, y  0,0. 0  ,  ,x y   0,0 x   y  2 2 2 1 1 3 3  x  y e) f x, y   khi  , x y  0,2. , x, y   0,0 2 2 2 x   y  22
b) f x, y    x  y . tại điểm (0,0).  2 2  0, x, y   0,0 f) x y f x, y  
khi  x, y  0,0. 2 2 4  x  y 2 2     arctan y x , x  0   c) f x, y    x  . tại điểm (0,0). g)     sin , xy f x y  khi  , x y  0,3. x 0  ,  x  0 3 3 x  y h)   f x, y   khi  , x y  0,0. x sin y y sin x 2 2 , x, y    0,0 x  y d) 2 2 f x, y   x  y  . tại điểm (0,0). sin  3 3 x  y  0  , x, y  0,0 i) f x, y   khi  , x y  0,0.  2 2 x  y  1 x sin  y  j)  ,   arctan y f x y x
khi  x, y  0,0.  x , x, y  0,0 x e) f x, y        x  y tại điểm (0,0). 2 2 1 x  y  k) f x, y  1 cos y x, y  0,0 . 0  ,   ,x y  0,0 2   khi     y 2  x y x  y cos x  y , , x y   0,0 4 4     l) f x, y      
khi  x, y   0,0. f x,    sin  f)  y x y tại điểm (0,0). x  y    0,  , x y   0,0 2 2 1  x  y 1 cos y m) f x, y 
khi  x, y  0,0.
cos x  y cos x  y 2 y  , xy  0, g) f x, y    2xy tại (0,0). 1  , xy   0
Bài 1. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau h) v u x 2
z  ue  ve , u  e ,v  yx .  u a)  ,   lnsin x a f x y i) 2
z  x ln y , x  , y  3u  2v . y v
Bài 3. Tìm hàm số z  z  x, y  thỏa mãn phương trình b) x f  x, y x   e arctan y y a) ' '
2 z  z  0 bằng phép đổi biến số u  x  y, v  x  2y. x y c) f  x y   2 2 , ln x  x  y  b) ' ' 2 2
xz  yz  x  y bằng phép đổi biến số u  x  y,v  x . y x y d)  ,   ln tan x f x y
Bài 4. Tìm vi phân toàn phần của các hàm tại các điểm chỉ ra y a) 2 3
f x, y   x y , M 2,1 . 0   e)  ,   arctan y f x y xz b) yz f  x, y, z  , M 1,2,3 . 0   x f) x f x, y   xyz  yz   c)   f  x, y, z  co  s xy  yz , M 1, , .   g) 0 f  ,
x y   sin xy  yz   6 6  h) xy      / , tan x y f x y x y e
d) f x, y  e , M 0,0 . 0  
e) f x, y   x ln xy , M 1,1 . 0   i)  ,   arcsin x f x y 2 2 x  y
Bài 5. Đạo hàm theo hướng
Bài 2. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số hợp sau a) f x y  3 2 2 ,
 x  3x y  3xy 1 tại điểm M(3,1) theo hướng từ a)
điểm này đến điểm (6,5). f x y   f  2 2 , x  , y x  y  b) f x y 2 2 ,
 x  xy  y tại điểm M(1,1) theo hướng véc tơ  x y     b) f x,y  f ,   v  6i  8 j .  y x  c) c) f x y 
x  y tại điểm M(1,1) theo hướng phân giác của f  ,
x y   f  x  y, xy   2 2 , ln góc phần tư thứ nhất. d) f  x y  f  2 2 , x  y , y  x , xy d) f  x y z 2 , ,
 x  3yz  5 tại điểm M(1,2,-1) theo hướng lập với e) f  x y z  f  2 2 2 2 2 2 , , x  y , y  z , x  z 
các trục tọa độ các góc bằng nhau. 2 2 e) , ,  ln x y z f x y z e  e  e
tại gốc tọa độ và hướng lập với các f) u 2 v 2 2     z  e ,u  cosx ,v  x  y ;
trục tọa độ x,y,z các góc tương ứng  , , . x g) 2 2
z ln u v  , u  xy,v  y          f) k) f x y z  3 2 3 , , x y z 5; x y z 0.
f  x, y, z  xsin yz. Xác định , u gradu tại M 1,3,0 với l 0   l     
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
được xác định bởi véc tơ v  i  2 j  k. a) 2
f  x y  2 x  y  , D là tam giác được giới hạn bởi các đoạn
Bài 6. Tính đạo hàm của hàm ẩn
thẳng x  0, y  0, x  y  6. a) Hàm 1 ln  xy xy xy e e      0 . Tính ' ' y , y . x xx b) f  x  y D   2 2 , x  y   1 . b) Tính 'y : y 1 x  y . x c) f   2 2 x  y  D   2 2 , x  y   1 . c) y Tính ' " 2 2 y , y : ln x  y  arctan . 3 3 x xx
d) f  x  y  3xy , D  0 x  2, 1 y  2 . x   d) Tính 3 3 4 y ' : x y  y x  a .
e) Bài 3. Chứng minh rằng e) Tính ': y x xy y xe  ye  e  0. 1 f) f x, y  ln thỏa mãn phương trình f) Hàm số   Tính 5 2 2 4 y' : y 3 x y 5 x 12. 2 2 x  y g) Tính 2 2 3 y' : 2 y  xy  3 x 17. 2 2  f  f f :   0. h) Tính ' ' z , z : y x xe  yz  ze  0. 2 2   x y x y i) Tính ' '
z , z : xyz  cos x  y  z . x y g) 1
Hàm số f x, y, z   thỏa mãn phương trình
Bài 7. Tìm cực trị các hàm số 2 2 2 x  y  z 2 2 2 a) 2 2  f  f  f
f x ,y   x   1   y   1 . f :    0. 2 2 2 x  y  z  b) f  x y 2 2 ,
 1 6x x  xy y .
c) f  x y   x 2 2 , 1  2y . d) f  x y 2 2 ,
 x  xy  y  2x  y. e) 3 2
f x ,y   x y 6 x  y  x  0,y  0.
f) f x ,y   xy ; x  y  1. g) f x y  2 2 ,  x  2y ; x  y  5. h) x y f x y  2 2 ,  x  y ;   1. 2 3 i) f x y z  2 2 2 , ,
 x  2y  2z ; x  y z  9. j) f x y z  2 2 2 , ,
 x  y  2z ; x  y  z  1.