Bài tập chương 1 - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

2 x I.
Giới hạn của hàm số tại 1 điểm.  xy  2 2 x  y n) f x, y  
 khi  x, y  , . a) 2 2 f x, y  
khi x, y   0,0 .  x  y  2 2 x  y x  y 2 o) f x, y   khi  x, y   ,  . b) xy 2 2 f x, y  
khi x, y   0,0 . x  xy  y 2 4 x  y II.
Khảo sát sự liên tục của các hàm số sau. x y c)   1 
f x y    x  y  2 2 2 2 ,
khi  x, y  0,0.  2 2  x  y sin , x, y    0,0 2 2     f x, y    x  y 1 a)    tại (0,0). d)  ,  1  2 2 x y f x y xy   
khi  x, y  0,0. 0  ,  ,x y   0,0 x   y  2 2 2 1 1 3 3  x  y e) f x, y   khi  , x y  0,2. , x, y   0,0 2 2 2 x   y  22
b) f x, y    x  y . tại điểm (0,0).  2 2  0, x, y   0,0 f) x y f x, y  
khi  x, y  0,0. 2 2 4  x  y 2 2     arctan y x , x  0   c) f x, y    x  . tại điểm (0,0). g)     sin , xy f x y  khi  , x y  0,3. x 0  ,  x  0 3 3 x  y h)   f x, y   khi  , x y  0,0. x sin y y sin x 2 2 , x, y    0,0 x  y d) 2 2 f x, y   x  y  . tại điểm (0,0). sin  3 3 x  y  0  , x, y  0,0 i) f x, y   khi  , x y  0,0.  2 2 x  y  1 x sin  y  j)  ,   arctan y f x y x
khi  x, y  0,0.  x , x, y  0,0 x e) f x, y        x  y tại điểm (0,0). 2 2 1 x  y  k) f x, y  1 cos y x, y  0,0 . 0  ,   ,x y  0,0 2   khi     y 2  x y x  y cos x  y , , x y   0,0 4 4     l) f x, y      
khi  x, y   0,0. f x,    sin  f)  y x y tại điểm (0,0). x  y    0,  , x y   0,0 2 2 1  x  y 1 cos y m) f x, y 
khi  x, y  0,0.
cos x  y cos x  y 2 y  , xy  0, g) f x, y    2xy tại (0,0). 1  , xy   0
Bài 1. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau h) v u x 2
z  ue  ve , u  e ,v  yx .  u a)  ,   lnsin x a f x y i) 2
z  x ln y , x  , y  3u  2v . y v
Bài 3. Tìm hàm số z  z  x, y  thỏa mãn phương trình b) x f  x, y x   e arctan y y a) ' '
2 z  z  0 bằng phép đổi biến số u  x  y, v  x  2y. x y c) f  x y   2 2 , ln x  x  y  b) ' ' 2 2
xz  yz  x  y bằng phép đổi biến số u  x  y,v  x . y x y d)  ,   ln tan x f x y
Bài 4. Tìm vi phân toàn phần của các hàm tại các điểm chỉ ra y a) 2 3
f x, y   x y , M 2,1 . 0   e)  ,   arctan y f x y xz b) yz f  x, y, z  , M 1,2,3 . 0   x f) x f x, y   xyz  yz   c)   f  x, y, z  co  s xy  yz , M 1, , .   g) 0 f  ,
x y   sin xy  yz   6 6  h) xy      / , tan x y f x y x y e
d) f x, y  e , M 0,0 . 0  
e) f x, y   x ln xy , M 1,1 . 0   i)  ,   arcsin x f x y 2 2 x  y
Bài 5. Đạo hàm theo hướng
Bài 2. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số hợp sau a) f x y  3 2 2 ,
 x  3x y  3xy 1 tại điểm M(3,1) theo hướng từ a)
điểm này đến điểm (6,5). f x y   f  2 2 , x  , y x  y  b) f x y 2 2 ,
 x  xy  y tại điểm M(1,1) theo hướng véc tơ  x y     b) f x,y  f ,   v  6i  8 j .  y x  c) c) f x y 
x  y tại điểm M(1,1) theo hướng phân giác của f  ,
x y   f  x  y, xy   2 2 , ln góc phần tư thứ nhất. d) f  x y  f  2 2 , x  y , y  x , xy d) f  x y z 2 , ,
 x  3yz  5 tại điểm M(1,2,-1) theo hướng lập với e) f  x y z  f  2 2 2 2 2 2 , , x  y , y  z , x  z 
các trục tọa độ các góc bằng nhau. 2 2 e) , ,  ln x y z f x y z e  e  e
tại gốc tọa độ và hướng lập với các f) u 2 v 2 2     z  e ,u  cosx ,v  x  y ;
trục tọa độ x,y,z các góc tương ứng  , , . x g) 2 2
z ln u v  , u  xy,v  y          f) k) f x y z  3 2 3 , , x y z 5; x y z 0.
f  x, y, z  xsin yz. Xác định , u gradu tại M 1,3,0 với l 0   l     
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
được xác định bởi véc tơ v  i  2 j  k. a) 2
f  x y  2 x  y  , D là tam giác được giới hạn bởi các đoạn
Bài 6. Tính đạo hàm của hàm ẩn
thẳng x  0, y  0, x  y  6. a) Hàm 1 ln  xy xy xy e e      0 . Tính ' ' y , y . x xx b) f  x  y D   2 2 , x  y   1 . b) Tính 'y : y 1 x  y . x c) f   2 2 x  y  D   2 2 , x  y   1 . c) y Tính ' " 2 2 y , y : ln x  y  arctan . 3 3 x xx
d) f  x  y  3xy , D  0 x  2, 1 y  2 . x   d) Tính 3 3 4 y ' : x y  y x  a .
e) Bài 3. Chứng minh rằng e) Tính ': y x xy y xe  ye  e  0. 1 f) f x, y  ln thỏa mãn phương trình f) Hàm số   Tính 5 2 2 4 y' : y 3 x y 5 x 12. 2 2 x  y g) Tính 2 2 3 y' : 2 y  xy  3 x 17. 2 2  f  f f :   0. h) Tính ' ' z , z : y x xe  yz  ze  0. 2 2   x y x y i) Tính ' '
z , z : xyz  cos x  y  z . x y g) 1
Hàm số f x, y, z   thỏa mãn phương trình
Bài 7. Tìm cực trị các hàm số 2 2 2 x  y  z 2 2 2 a) 2 2  f  f  f
f x ,y   x   1   y   1 . f :    0. 2 2 2 x  y  z  b) f  x y 2 2 ,
 1 6x x  xy y .
c) f  x y   x 2 2 , 1  2y . d) f  x y 2 2 ,
 x  xy  y  2x  y. e) 3 2
f x ,y   x y 6 x  y  x  0,y  0.
f) f x ,y   xy ; x  y  1. g) f x y  2 2 ,  x  2y ; x  y  5. h) x y f x y  2 2 ,  x  y ;   1. 2 3 i) f x y z  2 2 2 , ,
 x  2y  2z ; x  y z  9. j) f x y z  2 2 2 , ,
 x  y  2z ; x  y  z  1.