-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Bài tập Chương 1: Hàm nhiều biến - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội
Bài tập Chương 1: Hàm nhiều biến - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Giải tích 2 (MAT1042) 39 tài liệu
Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội 262 tài liệu
Bài tập Chương 1: Hàm nhiều biến - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội
Bài tập Chương 1: Hàm nhiều biến - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Giải tích 2 (MAT1042) 39 tài liệu
Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội 262 tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu khác của Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội
Preview text:
CHƯƠNG 1: HÀM NHIỀU BIẾN
BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA
Bài tập: Tìm và biểu diễn hình học miền xác định của hàm sau:
1. 𝑧 = √9 − 𝑥2 − 𝑦2 − √𝑥2 + 𝑦2 − 1
2. 𝑧 = √−𝑥2 + 𝑦 + √−𝑥 − 2𝑦 + 3 3. 𝑧 = arcsin 𝑥 + 2 √𝑥𝑦
4. 𝑦 = arcsin(𝑦 − 𝑥) + ln(1 − 𝑥2 − 𝑦2)
BTVN: Tìm và biểu diễn hình học miền xác định của hàm sau:
1. 𝑧 = √(𝑥2 + 𝑦2 − 4)(9 − 𝑥2 − 𝑦2) 2. 𝑧 = arcsin 𝑦 𝑥 3. 𝑧 = arccos 𝑦 𝑥−1
4. 𝑧 = ln(𝑥 − 2𝑦2) + √4 − 𝑥2 − 𝑦2
BÀI 2: ĐẠO HÀM Bài tập :
1. Tính các đạo hàm cấp 1 của các hàm sau:
a. 𝑧 = (𝑥2 + 𝑦2)𝑒5𝑥
b. 𝑧 = 𝑥𝑦𝑒𝑥+𝑦
c. 𝑧 = √3𝑦 + 1 ln(2𝑥 + 1)
d. 𝑧 = ln cos(2𝑥 − 3𝑦)
2. Tính các đạo hàm cấp 2 của các hàm sau:
a. 𝑧 = (𝑥2 + 2𝑥 − 5) sin(𝑦 + 1)
b. 𝑧 = (𝑥2 + 1) ln(5 − 3𝑦)
c. 𝑧 = 𝑒𝑥 ln(2𝑦 + 1)
d. 𝑧 = 𝑥2𝑦3 + 𝑥√𝑦
BÀI 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN
Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦3 + 12𝑥𝑦 + 2019
2. 𝑧 = 𝑥5 + 𝑦5 − 5𝑥𝑦 + 3
3. 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥 − 27𝑦 + 1
4. 𝑧 = (𝑥 − 1)2 + 2𝑦2
5. 𝑧 = 𝑥3 − 𝑦3 − 3𝑥𝑦 BTVN
Tìm cực trị của các hàm số sau:
6. 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦3 − 6𝑥𝑦 + 2019
7. 𝑧 = 2𝑦2 − 𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 4𝑥 − 10𝑦 + 2019
8. 𝑧 = 𝑒𝑥(𝑥2 + 2𝑥 − 𝑦2 + 4𝑦 − 1)
BÀI 4: MIN, MAX CỦA HÀM HAI BIẾN
Tìm Min, Max của các hàm số sau:
1. 𝑧 = 𝑦2 − 𝑥2 − 2𝑦 trong 𝐷 = {𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1}
2. 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 trong 𝐷 = {𝑥 = 0; 𝑦 = 0; 𝑥 + 𝑦 = 1}
3. 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥 − 6𝑦 + 5 trong 𝐷 = {0 ≤ 𝑥 ≤ 2; 0 ≤ 𝑦 ≤ 1} BTVN
Tìm Min, Max của các hàm số sau: 2 2 = + + + 4. z x 3x y
4 trong miền = (x y) 2 2 2 D , + y 1 3 2 2 = − + − − + 5. z x 3x 3x 3y
8y 1 trong miền =(x y) 2 D ,
1,0 y 2 2 2 = + − + + 6. z x y
xy x y trong miền = (x y) 2 D ,
y 0, x + y + 3 0
BÀI 4: ÔN TẬP CHƯƠNG 1
Nội dung ôn tập
1. Tìm và biểu diễn tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm cấp 1, cấp 2.
3. Tính vi phân cấp 1. 𝑑𝑧 = 𝑧′𝑥𝑑𝑥 + 𝑧′𝑦𝑑𝑦
4. Tìm cực trị của hàm số.
5. Tìm Min, Max của hàm số. Bài tập :
Tìm và biểu diễn tập xác định của hàm số.
1. 𝑧 = 2√𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 3√3 − 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥
2. 𝑧 = ln(2𝑥 + 𝑦) + √16 − 𝑥2 − 𝑦2
3. 𝑧 = arcsin(𝑦 − 𝑥) + ln(1 − 𝑥2 − 𝑦2)
4. 𝑧 = arccos(𝑥 + 𝑦) − √2𝑥 − 𝑦2
Tính đạo hàm cấp 1:
5. 𝑧 = 𝑒𝑥+𝑦√𝑥2 + 𝑦2
6. 𝑧 = arctan 𝑥+𝑦 1−𝑥𝑦
Tính vi phân toàn phần cấp 1:
7. 𝑧 = ln(𝑥 + √𝑥2 + 𝑦2) 8. 𝑧 = arcsin 𝑥 √𝑥2+𝑦2
Tính đạo hàm cấp 2:
9. 𝑧 = sin(2𝑥 + 3) 𝑒1−3𝑦 10.
𝑧 = ln(4𝑥 − 7) . cos(5 + 𝑦)
Tìm cực trị hàm số 11. 2 2
z = x + y + xy − 6x − 9y 12. 2 2
z = 2 y − x + 6xy − 4x −10 y + 2020
Tìm Min, Max của hàm số 13.
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 trong 𝐷 = {𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1} 14.
𝑧 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 8𝑦 với 𝐷 = {0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI
BÀI 1: TÍCH PHÂN KÉP
Tính tích phân trong miền hình chữ nhật :
1. 𝐼 = ∬ (𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 { } 𝐷
với 𝐷 = 0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
2. 𝐼 = ∬ (6𝑦2 − 2𝑥) { } 𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = 0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
3. 𝐼 = ∬ cos 𝑥 . sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋} 𝐷
với 𝐷 = {0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋4 4
Tính tích phân trong miền :
4. 𝐼 = ∬ (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 { } 𝐷
với 𝐷 = 𝑦 = 2 − 𝑥, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0
5. 𝐼 = ∬ (6𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
với 𝐷 = {𝑦2 = 𝑥; 𝑥 = 4}
6. 𝐼 = ∬ 𝑥𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 ) ( ) ( ) 𝐷
với 𝐷 là tam giác 𝑂𝐴𝐵 với 𝑂(0; 0 , 𝐴 1, −1 , 𝐵 2,0 .
7. 𝐼 = ∬ (5𝑦3 − 4𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 { 2 𝐷
với 𝐷 = 𝑦 = 𝑥 , 𝑥 = 1, 𝑦 = 0}
Tính diện tích hình phẳng:
8. 𝐷 = {𝑥 = −𝑦2; 𝑦 = 𝑥 + 2}
9. 𝐷 = {𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 2} 3 10.
𝐷 = {𝑦 = 𝑥2;𝑥 + 𝑦 = 2} 11.
𝐷 = {𝑥 = 𝑦2; 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0}
Đổi thứ tự tích phân: 3 2x 12.
I = dx f (x, y)dy. 1 0 2 1 4 x − 13. I = dx
f (x, y )dy. 0 3x 2 6 −x 14. I = dx
f (x, y )dy. 2 0 x 2 2 2 x − 15. I = dx
f (x , y )dy . 0 − 2 2 3 9− x 16. I = dx f ( , x y)d . y 2 − 9 3 x −
Tính tích phân trong miền hình bình hành: 17.
𝐼 = ∬ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 với
𝐷 = {𝑦 = 𝑥 + 2; 𝑦 = 𝑥 − 1; 𝑦 = −2𝑥 + 1;𝑦 = −2𝑥 + 4}
Tích tích phân trong miền hình tròn: 18. Tính 2 2 I =
(x + y + 1)dxdy, với miền D = 2 2
(x, y) : x + y 9; y 0. D 19. Tính I = (3x +1)dxdy, với miền D = 2 2
(x, y) : x + y − 4 y 0. D 20. Tính I = 3xdxdy,
với miền D giới hạn bởi: D = 2 2
x + y − 2x 0 D 21. Tính 2 2 I = (1−
x + y )dxdy ,
với miền D giới hạn bởi: D D = 2 2 2
(x, y) R : x + y − 4 y 0 22. Tính I = (x + 3)dxdy
với miền D giới hạn bởi: D = 2 2 x + y 2 ; x y 0 . D 𝜋 4 sin 𝜑
21, 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ (1 − 𝑟)𝑟𝑑𝑟 0 0 𝜋 𝑟2 𝑟3 = ∫ ( 4sin𝜑 2 − 3 ) |0 𝑑𝜑 0 𝜋 64 sin3 𝜑 = ∫(8sin2 𝜑 − 3 )𝑑𝜑 0 𝜋 64 3 sin 𝜑 − sin3𝜑
= ∫ [4(1 − cos 2𝜑) − 3 . 4 ] 𝑑𝜑 0 16 cos 3𝜑 = [4𝜑 − 2 sin 2𝜑 − 𝜋 3 . (−3cos𝜑 + 3 )]|0 16 2 256
= 4𝜋 − 3 .(6− 3) = 4𝜋 − 9 3 sin 𝑥 − sin 3𝑥 sin2 1 − cos 2𝑥 𝑥 = 2 ; sin3 𝑥 = 4
Luyện tập 23.
Tính ∬ (4𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 { } 𝐷
với 𝐷 = 1 ≤ 𝑥 ≤ 2; 0 ≤ 𝑦 ≤ 3 24.
Tính ∬ 𝑥𝑦 cos 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 { } 𝐷
với 𝐷 = −1 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 2 4−𝑥2 25.
Đổi thứ tự tích phân: ∫ 𝑑𝑥 0 ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 0 3 1 26.
Đổi thứ tự tích phân: ∫ 𝑑𝑥 0 ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 √𝑥3 27.
Tính diện tích hình phẳng: 𝐷 = {𝑥 = 𝑦2; 𝑥 = 2𝑦 − 𝑦2} 28.
Tính diện tích hình phẳng: 𝐷 = {𝑥 = 𝑦2 − 1; 𝑥 = 2𝑦2 − 2} 29.
Tính 𝐼 = ∬ (9𝑦2 − 3𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 } 𝐷
với 𝐷 = {𝑥 = 1; 𝑥 = 𝑦2 4 30.
Tính 𝐼 = ∬ (3𝑥2𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 2 𝐷
với 𝐷 = {𝑦 = 2𝑥 ; 𝑦 = 2√𝑥} 31.
Tính 𝐼 = ∬ (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
với 𝐷 = {𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = 2𝑥 − 2; 𝑦 = 0; 𝑦 = 4} BTVN
1. Tính 𝐼 = ∬ (8𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 { 2} 𝐷
với 𝐷 = 𝑥 = 4; 𝑥 = 𝑦
2. Tính 𝐼 = ∬ (5𝑦3 − 4𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 { } 𝐷
với 𝐷 = 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 2
3. Tính 𝐼 = ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
với 𝐷 là miền tam giác 𝑂𝐴 𝐵 với
𝑂(0;0), 𝐴(1;−1), 𝐵(2;0)
4. Tính diện tích miền 𝐷 = {2√𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 3√𝑥; 𝑥 ≤ 4}
5. Tính diện tích miền D = { }
6. Tính diện tích miền D = { } 4 2
7. Đổi thứ tự tích phân: dy
f (x, y)dx 0 y 1 2
8. Đổi thứ tự tích phân: dx
f (x, y)dy 0 4 x
9. Tính: 𝐼 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 với
𝐷 = {𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0; 𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0; 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 3} 10. Tính I = (x + 1)dxdy,
với miền D giới hạn bởi: D = 2 2
x + y − 4 x 0 . D 11. Tính 2 2 I = (1−
x + y )dxdy,
với miền D giới hạn bởi: D D = 2 2 2
(x, y) R : x + y −10y 0 . 12. Tính I = (1+ 3y)dxdy,
với miền D giới hạn bởi: D D = 2 2 2
(x, y) R : x + y − 2x 0; x 0 .
BÀI 2: TÍCH PHÂN BỘI
1. Tính 𝐼 = ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 2 𝑉
với 𝑉 = {𝑥 ≥ 0; 0 ≤ 𝑧 ≤ √1 − 𝑥 − 𝑦2}
2. Tính 𝐼 = ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
với 𝑉 = {𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0} ( x y ) 3 2 2
, , z R : x + y −2 y 0
3. Tính tích phân I = (2z + 1)dxdydz , trong đó V = . , 0 z 2 V ( , x , y ) 3 2 2
z R : x + y 2
4. Tính tích phân I = 2dxdydz , trong đó V = . 2 2 , 0 z 4− − V x y
𝐷 = {𝑥 ≥ 0;𝑥2 + 𝑦2 = 1}
Tính thể tích miền giới hạn bởi:
5. Các mặt 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2.
6. Các mặt 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦.
7. Các mặt 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑧, 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2.
8. Các mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4, 𝑥 = 3, 𝑦 = 1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 BTVN Tính các tích phân sau:
1. Tính tích phân I = dxdydz , trong đó V = ( x y z) 3 2 2 , ,
R : x + y z 4 . V
2. Tính tích phân I = dxdydz , trong đó V = ( x y z) 3 2 R
− x − y 2 , , : 0 z 9 . V ( x y z) 3 2 2 , ,
R : x + y 4
3. Tính tích phân I = dxdydz , trong đó V = . ,
0 z 8− x− y V
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
4. Các mặt 2𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 = 4
5. Các mặt 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 27, 𝑥2 + 𝑦2 = 6𝑧.
ÔN TẬP CHƯƠNG 2
Các dạng bài:
▪ Tính TP kép trên miền D hình chữ nhật, hình thang và hình tròn. ▪ Đổi thứ tự TP.
▪ Tính diện tích miền D. ▪ Tính TP bội.
▪ Tính thể tích vật thế V. 1 √1−𝑥2
1. Đổi thứ tự tích phân: 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 −1 ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 −√1−𝑥2 2 √4−𝑥2
2. Đổi thứ tự tích phân: 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 0 ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 0
3. Tính diện tích 𝐷 = {𝑥 = −𝑦2; 𝑦 = 𝑥 + 2}
4. Tính diện tích 𝐷 = {𝑥 = 𝑦 − 𝑦2; 𝑦 = −𝑥}
5. Tính 𝐼 = ∬ (7𝑥3 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 } 𝐷
với 𝐷 = {𝑥 = 1; 𝑥 = 𝑦2 9
6. Tính 𝐼 = ∬ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 { } 𝐷
với 𝐷 = 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = 3
7. Tính 𝐼 = ∬ (𝑥 − 1)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
với 𝐷 = {𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0}
8. Tính 𝐼 = ∬ 𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
với 𝐷 = {𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0} ( x y z) 3 2 2 , ,
R : x + y − 2x 0 9. Tính tích phân 2 I = (3z +1)dxdydz , trong đó V = . ,0 z 1 V 10.
Tính 𝐼 = ∭ 𝑥𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 } 𝑉
với 𝑉 = {𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 9,𝑧 ≥ 0 . BTVN
1. Tính 𝐼 = ∬ (3𝑥2𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 2 𝐷
với 𝐷 = {𝑦 = 2𝑥 , 𝑦 = 2√𝑥}.
2. Tính 𝐼 = ∬ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
với 𝐷 = {𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9, 𝑥 ≥ 0}.
3. Tính 𝐼 = ∭ 𝑧. √𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐷
với 𝑉 = {𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1, 𝑦 ≥ 0} CHƯƠNG 3
BÀI 1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
1. Tính 𝐼 = ∫ 𝑥𝑑𝑠 ) ( ) 𝐴𝐵
, với 𝐴𝐵: 𝑦 = 𝑥2 với 𝐴(0,0 , 𝐵 2,2 . 2
2. Tính 𝐼 = ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑠 𝐴𝐵
với 𝐴𝐵: 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥.
3. Tính 𝐼 = ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑠 𝐴𝐵
với 𝐴𝐵: 𝑥2 + 𝑦2 = 4, 𝑦 ≥ 0. BTVN
4. Tính 𝐼 = ∫ 𝑦𝑑𝑥 ) ( ) 𝐴𝐵
với 𝐴𝐵: 𝑥 = 𝑦2 + 1 với 𝐴(1,0 , 𝐵 2,1 .
5. Tính 𝐼 = ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑥 = 1 và 𝑥 ≥ 0. 𝐴𝐵 với 𝐴𝐵: 𝑥2 + 𝑦2 9 16
BÀI 2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 Tính các TP sau:
1. 𝐼 = ∫ (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 ) ) 𝐴𝐵
, với 𝐴𝐵 {𝑥 = 3 − 𝑡3
𝑦 = 𝑡 + 4 với 𝐴(2;5 và 𝐵(3;4 .
HD: Thay 𝐴(2; 5) vào hệ ta có {2 = 3 − 𝑡3
5 = 𝑡 + 4 → 𝑡𝐴 = 1.
Tương tự, tìm 𝑡𝐵 thì cận 𝑡 là từ 𝑡𝐴 đến 𝑡𝐵.
2. 𝐼 = ∫ (𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑥 + 𝑥2𝑦𝑑𝑦 ) ) 𝐴𝐵
, với 𝐴𝐵: 4𝑥 + 𝑦2 = 4 nối 𝐴(1,0 đến 𝐵(0,2 .
3. 𝐼 = ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 ) ( ) 𝐴𝐵
, với 𝐴𝐵: 𝑦 = 𝑥3 với 𝐴(0,0 , 𝐵 2,8 .
4. 𝐼 = ∫ 𝑦𝑑𝑥 − (𝑦 + 𝑥2)𝑑𝑦 𝐴𝐵
, với 𝐴𝐵: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 nằm trên trục Ox.
5. 𝐼 = ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 = 1 𝐴𝐵
, với 𝐴𝐵: 𝑥2 + 𝑦2 nằm phía dưới Ox. 16 9
6. 𝐼 = ∫ (𝑥𝑦 + cos 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 𝐿+
, với 𝐿 là tam giác 𝑂𝐴 𝐵 với
𝑂(0,0),𝐴(1,0),𝐵(0,1).
7. 𝐼 = ∮ (𝑦2 + √𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑦 𝐿+
, với 𝐿 là hcn 𝐴𝐵𝐶𝐷 với
𝐴(0,0),𝐵(0,2), 𝐶(−2,2), 𝐷(−2,0).
8. 𝐼 = ∮ (𝑥𝑦 + √𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 − 𝑦2)𝑑𝑦 𝑥2 + 𝑦2 = 4 𝐿− , với 𝐿 là hình tròn .
9. 𝐼 = ∮ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 𝐿+
, với 𝐿 là hình tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦. 10.
𝐼 = ∮ (𝑥 + 𝑦)2𝑑𝑦 + 2(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 𝐿+
, với 𝐿 là tam giác 𝐴𝐵𝐶 trong đó
𝐴(1,1),𝐵(3,1), 𝐶(1,3). (Chú ý thứ tự dx,dy) 11.
𝐼 = ∮ (𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 = 1 𝐿− , với 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 . 9 16
Định lý 4 mệnh đề tương đương
12. Tính 𝐼 = ∫ 𝑦𝑑𝑥−𝑥𝑑𝑦 ) ( ) 𝐴𝐵
với 𝐴𝐵 là đường cong bất kỳ nối 𝐴(2,1 , 𝐵 1,2 . 𝑥2
13. Tính 𝐼 = ∫ 𝑥𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑥 ) ( ) 𝐴𝐵
với 𝐴𝐵 là đường cong bất kỳ nối 𝐴(0, −1 , 𝐵 1,0 . (𝑥−𝑦)2
Chứng minh các biểu thức sau là VPTP của hàm 𝑢(𝑥, 𝑦) nào đó. Tìm 𝑢. 14.
(2𝑥 − 3𝑥𝑦2 + 2𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥 − 3𝑥2𝑦 + 2𝑦)𝑑𝑦 15.
(3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑥 − (𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦2)𝑑𝑦 BTVN
1. 𝐼 = ∫ (𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 𝐴𝐵
, với 𝐴𝐵: { 𝑥 = 2 − 𝑡
𝑦 = 𝑡2 + 2 nối 𝐴(0,6) đến 𝐵(2,2).
2. 𝐼 = ∫ (𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑥 + 𝑥2𝑦𝑑𝑦 ) 𝐴𝐵
, với 𝐴𝐵: 𝑦 = 𝑥2 nối 𝐴(−1,1) đến 𝐵(1,1 . (𝑥2 2)𝑑𝑦
3. 𝐼 = ∫ −2𝑥𝑦𝑑𝑥+ −𝑦 𝐴𝐵 𝑥2+𝑦2
, với 𝐴𝐵: 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑥 ≥ 0.
4. 𝐼 = ∮ (𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑦 + (𝑥 + 𝑦)2𝑑𝑥 𝐿+
, với 𝐿 là tam giác 𝐴𝐵𝐶 trong đó
𝐴(1,1,), 𝐵(2,1),𝐶(1,2).
5. 𝐼 = ∮ 𝑥𝑦2𝑑𝑦 − 𝑥2𝑦𝑑𝑥 2 2 𝐿−
, với 𝐿: 𝑥 + 𝑦 = 9.
6. 𝐼 = ∮ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 + 𝑦2 = 1 𝐿+ , với 𝐿: 𝑥24 . 9 I = ( 2 2
x − xy + y )dx −( 2 2 3 2
x − 2xy + 3y ) dy 7. Tính L ,
trong đó L là đường cong bất kỳ nối từ điểm O(0,0) đến điểm ( A 2, ) 2 .
Chứng minh các biểu thức sau là VPTP của hàm 𝑢(𝑥, 𝑦) nào đó. Tìm 𝑢.
8. 𝑥(2 − 9𝑥𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑦(4𝑦2 − 6𝑥3)𝑑𝑦
9. 1 (1 − 𝑥2𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 𝑥2 BTVN 1. Tính I =
(2x + 3y )dx + (y + x )dy , AB x = 2 − t trong đó AB là cung nối từ điểm (
A 2; 4) đến điểm B(0;12) . 3 y = t + 4 2. Tính 2 2 + I x y = xe ds , L
trong đó L là phần đường tròn 2 2
x + y = 4 nằm trong góc phần tư thứ hai. 3. Tính = ( 4 3
x + xy ) dx +( 2 2 4 I 4
6x y −5 y ) dy , L
trong đó L là đường cong bất kỳ nối từ điểm A( 2 − ,− )
1 đến điểm B( 3, ) 0 .
BÀI 3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1
1. Tính 𝐼 = ∬ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑠 𝑆
với 𝑆 là mặt phẳng 𝑧 = 5 giới hạn bởi các mặt trụ 𝑦2 = 4𝑥, 𝑥 = 1. 2. Tính 𝐼 = ∬ 𝑧2 2 𝑆
𝑑𝑠 với 𝑆 là mặt 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦 giới hạn bởi các mặt trụ
𝑥 + 𝑦 = 4, 𝑥 = 1,𝑦 = 1. 3. Tính 𝐼 = ∬ 𝑥 𝑆
𝑑𝑠 với 𝑆 là mặt phẳng 𝑧 = 4 giới hạn bởi các mặt trụ
𝑦 = 1, 𝑥 = 1, 𝑦 = 𝑥 + 1.
4. Tính tích phân mặt loại 1 sau: ∬ 𝑥𝑦2𝑑𝑠 Ω ,
với Ω là mặt 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 giới hạn bởi mặt phẳng 𝑧 = 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
Công thức: Diện tích mặt cong 𝑆 = ∬ 𝑑𝑠 𝑆 (hàm lấy TP=1)
5. Tính diện tích mặt Ω với Ω là mặt phẳng 𝑧 = 2 giới hạn bởi các mặt trụ
𝑦2 = 4𝑥, 𝑥 + 𝑦 = 3, 𝑦 ≤ 0.
6. Tính diện tích mặt Ω trong đó Ω là phần mặt nón 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 bị cắt bởi mặt phẳng 𝑧 = 1. BTVN
7. Tính tích phân mặt loại 1 sau: ∬ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑠 Ω ,
với Ω là mặt 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 giới hạn bởi các mặt phẳng 𝑧 = 4.
8. Tính tích phân mặt loại 1 sau:
∬ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑠 Ω ,
với Ω là mặt toàn phần của hình trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 4, 0 ≤ 𝑧 ≤ 4.
9. Tính diện tích mặt cong Ω với Ω là phần mặt nón 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 bị cắt bởi mặt trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥.
ÔN TẬP CHƯƠNG 3 I = ( xy + cos ) x dx +( xy − ) y dy 1. Tính OABO ,
trong đó OABO là biên của tam giác lần lượt nối các điểm: O(0;0), (
A 1;0), B(0;1) . I =
(x + 3 y)dx + ( x − y)dy 2. Tính AB , x = 2 − t trong đó AB là cung nối từ điểm (
A 0;6) đến điểm B(2; 2) . 2 y = t + 2 x + y I = ds 2 2 + 3. Tính x y L ,
trong đó L là phần đường tròn 2 2
x + y = 4 nằm trong góc phần tư thứ hai. 2
I = (xy − 1)dx + x ydy 4. Tính L ,
trong đó L là đường thẳng có phương trình 2x + y = 2 nối từ điểm A(1,0) đến điểm B( 0, ) 2 . 1 x 5. Tính I = ( 2 xy + y dx − dy , 2 ) 2 y y L
trong đó L là đường cong bất kỳ nối từ điểm O(0, 2) đến điểm A(1, ) 1 . 6. Tính tích phân 2 2 2 2
(x x + y + y)dx + ( y x + y + )
x dy , trong đó L là đường bất kì L nối hai điểm ( A 0, 2 − ), B(2,0). dx + dy 7. Tính tích phân
, trong đó L là chu tuyến của hình vuông ABDC với + + x y L (
A 1;0), B(0;1),C (−1;0), D(0; 1
− ) , tich phân lấy theo chiều dương.
8. Chứng minh biểu thức y − 2x dx+
(1+ ln x)dy là vi phân toàn phần của một hàm x
số u(x, y) nào đó. Tìm hàm u đó.
9. Chứng minh biểu thức ( 3 y + x )dx + ( 2 cos
3y x + cos y )dy là vi phân toàn phần của
một hàm số u(x, y) nào đó. Tìm hàm u đó.
10. Tính tích phân mặt loại 1 sau ∬ 1 𝑑𝑠 Ω (1+𝑥+𝑦)2 ,
trong đó Ω là mặt biên của tứ diện 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0.
11. Tính diện tích mặt Ω trong đó Ω là mặt toàn phần của hình trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 4, 𝑧 = 4.
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
BÀI 2. PTVP CẤP 1
PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY
1. 𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑦 = 0
2. (𝑥𝑦2 + 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥2𝑦)𝑑𝑦 = 0
3. 𝑥(1 + 𝑦2)2𝑑𝑥 + 𝑦(1 + 𝑥2)2𝑑𝑦 = 0
4. (1 + 𝑒2𝑥)𝑦2𝑑𝑦 = 𝑒𝑥𝑑𝑥, 𝑦(0) = 0
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 5. 𝑦′ = 𝑦2 − 2 𝑥2
6. (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑦 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
7. 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥2
8. 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥 𝑥+1
9. (1 + 𝑥2)𝑦′ − 2𝑥𝑦 = (1 + 𝑥2)2 10.
(1 + 𝑥2)𝑦′ + 𝑥𝑦 = 1 + 𝑥2 11.
𝑥𝑑𝑥 = (𝑥2 − 𝑥𝑦3) 𝑑𝑦 𝑦 (Gợi ý: Chia cho dy) BTVN
1. sin 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0
2. 𝑦′. cos 2𝑦 − sin 𝑥 = 0
3. 𝑥𝑦𝑦′ + 𝑥2 − 2𝑦2 = 0
4. (𝑥2 − 𝑦2)𝑦′ = 2𝑥𝑦
5. 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥3 6. 𝑦′ + 𝑦 = −1 𝑥+1
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 2 1. 𝑦′ − 4𝑦 = 0
2. 𝑦′ + 6𝑦′ + 13𝑦 = 0
3. 𝑦′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 0
4. 𝑦′ + 4𝑦′ + 29𝑦 = 0
5. 𝑦′ − 2𝑦′ + 2𝑦 = 2𝑥
6. 𝑦′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥 + 3
7. 2𝑦′ + 𝑦′ − 𝑦 = 2𝑥𝑒𝑥
8. 𝑦′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 3𝑒2𝑥 BTVN
1. 𝑦′ − 2𝑦′ = 𝑥2 + 2𝑥 − 1
2. 𝑦′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 2𝑥
3. 𝑦′ − 7𝑦′ + 6𝑦 = 8𝑒2𝑥