Bài tập chương 1 - Môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa Hà Nội

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (TN013) Bài tập chương 1       1 0 −2
1. Cho các vector u =  , v   và w   2 = −1 = 1.5 . Hãy tính:       0 3 1 a) u + v và 3u − v + 2w.
b) u · v, u · w, w · v và w(u + v).
c) Độ dài ∥u∥, ∥v∥, và ∥v∥.
d) Kiểm tra các bất đẳng thức: |u · v| ≤ ∥u∥∥v∥ và |v · w| ≤ ∥v∥∥w∥. u e) e = và ∥e∥. ∥u∥
2. Hãy tìm đường chéo chính, tổng đường chéo chính (trace), và ma trận chuyển vị của các ma trận sau:       1 1 −1 0 1 1 0 1 1 −2  0 −2 −2 −1 A =       0 −1 1 , B =  1 0 1  , C =   .      2 2 −1 3  1 2 0 −1 −1 1   −1 0 2 1 " # " # " # 1 0 −1 −1 0 0 1 2 −1 3. Cho các ma trận A = , B = , C = . Hãy 0 1 2 1 1 1 0 −1 3 tìm a) A + B và 2B − C.
b) A + 2(B − C) và 3A − (2B − C).
c) 2A − {B − 3(B − 2A) + 2(B + C)}.
d) AT + BT + CT và (A + B + C)T . e) AT B A + T C và BT A + CT A. f) (ABT )2.
g) Hãy kiểm tra (ABT )2 và A2(BT )2 có bằng nhau hay không?     1 1 1 0 " # −1 1 2 h i 4. Cho các ma trận A =     −1 , B = , C = 1 −2 , D = 0 −1 1 .   1 0 1   1 1 2 0 a) Tính AT A, AAT và AT D. b) Tính CB, BD và AT BT . c) Tính BDBT . 1       1 1 0 1 1 −2 1 0 1 5. Cho các ma trận A =       0 −1 1 , B =  1 0 1  , C = −1 0 2  .       1 2 0 −1 −1 1 1 1 −1 Hãy tính: a) AB và BT C. b) 2AB + C2. c) BC + BAT − I3.
d) Tìm đường chéo chính (diag) và tổng của đường chéo chính (trace hoặc tr) của các ma trận A, B và C.     1 2 1 0 0 1 " # " # 1 0 −1 3 1 6. Cho các ma trận A =     , B = , C = 0 1  , D = −1 0 1 2 . −1 1 0 1 1     1 −1 2 1 0 1 Hãy tính: a) AB và BC. b) BD và DT BT . c) ABC và CT BT AT . " # 1 2 7. Cho ma trận vuông A =
. Hãy tìm ma trận lũy thừa A2 và A4. 0 3 1 −1 0 2  0 2 1 1
8. Cho ma trận vuông A =   A3 
. Hãy tìm ma trận lũy thừa .  1 4 0 4   1 1 0 0 " # 0 1 9. Cho ma trận A = . Tìm ma trận A2024. 1 0 " # 1 0 10. Cho ma trận A = . Tìm ma trận A2024. 3 1   0 1 0 11. Cho ma trận   A = An 0
0 1. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho = O3×3,   0 0 0 với O3 3 × 3 ×3 là một ma trận 0 cấp . 0 1 0 0 0 0 1 0 12. Cho ma trận A =    . 0 0 0 1   0 0 0 0 2
a) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho An = O O 4×4, với 4×4 là một ma trận 0 cấp 4 × 4. 2024 b) Tính P 2nAn. i=0
13. Chuyển về dạng ma trận bậc thang và tìm hạng của các ma trận sau:   2 −2 5 8 a) A =  .  1 −1 2 3   −1 1 0 2 1 −1 −1 2 −1 −2 b) B =    . 5 0 0    3 4 5  2 0 2 0  1 2 3 4  c) C =    . 1 4 9 16   3 6 13 20 0 1 2 1 1 2 1 1 d) D =    . 3 −1 −4 1   2 1 3 6  3 1 8 2 4  1 0 3 0 1 e) E =    .  0 2 −2 4 3   −4 1 11 3 8
14. Chuyển về dạng ma trận bậc thang rút gọn các ma trận sau:   1 −1 1 0 1 a)   A = 0 1 0 −1 2 .   0 0 2 4 −3   1 −2 1 0 1 b) B =   . 0 0 1 2 3   0 0 0 0 4   2 1 0 1 2 c) C =   0 1 0 1 1.   0 0 1 1 2 3
15. Chuyển về dạng ma trận bậc thang rút gọn các ma trận sau:  0 1 2 1 1 2 1 1 a) A =    . 3 −1 −4 1   2 1 3 6 3 4 1 5 0 1 1 2 b) B =     . 2 3 1 4   3 5 4 8  3 2 8 7 8 3 1 8 5 3 c) C =    . 2 1 5 3 2   2 1 6 7 1   2 2 0 7 5 d)   D = −3 −3 5 −8 0.   0 0 2 2 1  2 −3 1 −3 2   2 −3 5 −1 1  e) E =  .    0 0 4 3 2    −2 3 3 3 −9
16. Tính hạng của các ma trận  1 2 3 4 5  2 4 6 8 11 a) A =  .   3 6 9 12 14   4 8 12 16 20 1 3 5 7 9  2 4 6 9 10 b) B =     . 3 5 7 9 11   4 6 8 10 12  1 2 3 4 5  5 10 15 20 35 c) C =    . 3 7 9 12 14   4 8 13 16 20 4  1 1 −1 1 3  −1 −2 1 −1 −3 d) D =   .    2 0 1 2 3    4 0 2 4 7
17. Tính hạng của các ma trận  1 2 −1 1 2  2 4 1 0 −2 a) A =  .   4 8 −1 2 2    7 15 −9 8 18 1 −1 1 2 2  2 1 0 4 −2 b) B =  .   4 −1 2 8 2    7 −9 8 14 18  3 −1 1 −2 1   3 1 0 2 −1 c) C =   .    9 −1 2 −2 1    15 1 2 2 −1   2 1 1 1 1 2 1 1 d) D =     . 1 1 2 1   1 1 1 2
18. Tìm m để các ma trận sau có hạng lần lượt bằng 1, 2 , 3, và 4.  1  m 1 2 2 3  m − 1 2 m + 4 a) A =   .   4 5m − 1 m + 4 2m + 7   2 2m 2 4 1  m 1 2 2 3  m − 1 2 m + 4 b) B =    . 4 5m − 1 m + 4 2m + 7   2 2m 2 m + 4  3  m 0 1  6 2  m m 2 c) C =    .  9 3m 0 m + 2   15 5m + 1 0 7 5  3  m 0 1  6 2  m m 2 d) D =  .    9 3m 0 m + 2   15 5m 0 7
19. Tìm hạng của ma trận sau theo tham số:  3 1 1 4   m 4 10 1 a) A =     .  1 7 17 3   1 2 4 1 1 1 2 1 −2  2 2 4 3 −6  b) B =    . 0 1 2 2 −4    3 2 4 2 −4 + m
20. Cho các ma trận A, B, C ∈ Mn(R) là các ma trận khả nghịch. Hãy đơn giản biểu thức sau: a) D = [2C−1(2AB)−1A]−1.
b) E = (A−1B)−1(C−1A)−1(B−1C)−1.
21. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau đây bằng các phép toán biến đổi hàng (cột): " # 5 4 a) A = . 3 2   1 0 5 b)   B = . 1 1 0   3 2 6   1 4 −3 c)   C = . −2 −7 6    1 7 2   1 3 −1 d)   D = .  0 1 2    −1 0 8  0 1 1 1 1 0 1 1 c) E =    . 1 1 0 1   1 1 1 0 6  1 1 −1 0   0 −2 −2 −1 d) F =  .    2 2 −1 3    −1 0 2 1
22. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau đây bằng các phép toán biến đổi hàng (cột):   1 2 3 a) A =   −1 −3 −2.   0 3 4   1 −1 1 b)   B = . −1 1 1    1 1 −1  −1 1 1 1   1 −1 1 1  c) C =  .    1 1 −1 1    1 1 1 −1 −1 2 2 1   1 −3 −1 1  d) D =    .  0 1 −1 1    −3 5 1 −1
23. Cho A và B là các ma trận khả nghịch, lần lượt có nghịch đảo là:     2 3 5 −6 4 3     A−1 = 7 2 1, B−1 =  7 −1 5 .     4 −4 3 2 3 1 Hãy tính: a) (AB)−1. b) (3A)−1. c) (AT B)−1.
d) [(A−1B−1)−1A−1B]−1. 7