Bài tập chương 2: Biến số ngẫu nhiên rời rạc - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Bài tập

1. Có hai thùng thuốc A và B, trong đó :

thùng A có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ tốt, thùng B có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt,

1. Lấy ở mỗi thùng 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong 2 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của X.
2. Lấy ở thùng B ra 3 lọ. Gọi Y là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của Y.

Lời giải. a) Gọi A, B lần lượt là biến cố lọ lấy từ thùng A, thùng B, là lọ hỏng. Ta có

5

PA  ² ,

20

PB  ³ , và ta có thể giả sử rằng A, B là hai biến cố độc lập. Ta có X  0,1, 2 , với X  0  AB ,

20

X  1  AB  AB , và X  2  AB . Do

PX  0  PAB  PAPB  18  17  0.765

20 20

PX  1  PAB  AB  PAB  PAB  PAPB  PAPB  18  3  2  17  0.22

20 20 20 20

PX  2  PAB  PA PB  ²  ³  0.015,

20 20

nên ta được bảng phân phối xác suất cho X

X

P

0

0.765

1

0.22

2

0.015

và hàn mật độ cho X

0.765, x  0,

 0.22, x  1, f_X x  



0.015, x  2,

 0, x  0,1, 2.

b) Thùng B có 20 lọ trong đó có 3 lọ hỏng. Lấy ra 3 lọ. Do X là số lọ hỏng nhận được trong 3 lọ lấy ra nên X có phân phối siêu bội, X H20, 3, 3 , với hàm mật độ

Cx C3x

 3 17 , x  0,1, 2, 3,

f x   C³ ◾

X 20

 0, x  0,1, 2, 3.



1. Một xạ thủ bắn bia với xác suất bắn trúng bia là p  0.6 . Có 5 viên đạn được bắn lần lượt và xạ thủ sẽ dừng bắn khi hết đạn hay ngay khi có một viên đạn trúng bia. Gọi X là số lần bắn. Tìm hàm mật độ của X. Tính trung bình  và phương sai ² .

Lời giải. Gọi

A1, A2 , A3 , A4

lần lượt là biến cố xạ thủ bằn trúng bia ở lần thứ nhất, nhì, ba, tư. Ta

có thể giả định

A1, A2 , A3 , A4

là các biến cố độc lập, và

PA_i   0.6 , với i  1, 2, 3, 4 . Ta có

X  1, 2,3, 4,5 , với X  1  A1 , X  2  A₁A₂ , X  3  A₁A₂A₃ , X  4  A₁A₂ A₃A₄ , và

X  5  A₁A₂ A₃ A₄ . Do

PX  1  PA1   0.6 ; PX  2  PA₁A₂   PA₁ PA₂   1 0.6 0.6  0.24 ;

PX  3  PA₁A₂A₃   PA₁ PA₂ PA₃   1 0.61 0.60.6  0.096 ;

PX  4  PA A A A

1 2 3 4 1 2 3 4

  PA PA

PA

PA

  1 0.63 0.6  0.0384 ; và

6

PX  5  A A A A  1 0.64  0.0256 ,

1 2 3 4

ta suy ra bảng phân phối xác suất cho X

và phương sai

  1 0.6  2 0.24  3 0.096  4 0.0384  5 0.0256  1.6496 ,

²  11.64962  0.6  2 1.64962  0.24  3 1.64962  0.096 

◾

4 1.64962  0.0384  5 1.64962  0.0256  35.8874

1. Một thùng đựng 3 lọ thuốc trong đó có 1 lọ hỏng. Ta kiểm tra từng lọ (không hoàn lại) cho đến khi phát hiện được lọ hỏng thì dừng. Gọi X là số lần kiểm tra. Tìm hàm mật độ của X. Tính trung bình  và phương sai ² .

Lời giải. Gọi

A1, A2

lần lượt là biến cố nhận được lọ hỏng ở lần kiểm tra thứ nhất, thứ nhì. Ta có

X  1, 2,3, với X  1  A1 , X  2  A₂ A₁ , và X  3  A₂ A₁ . Do

PX  1  PA   1 ; PX  2  PA A   PA PA   1  2  1 ; và

A1

1 3 2 1 2

¹ 2 3 3

PX  3  PA A   PA A PA   1  2  1 ,

2 1 2 1 1

2 3 3

ta suy ra bảng phân phối xác suất cho X

X

P

1

1

3

2

1

3

3

1

3

trung bình

và phương sai

  1 1  2  1  3 1  2 ,

²  1 22  ¹  2  22  ¹  3  22  ¹  16.6667 . ◾

3 3 3

3 3 3

1. Hai nhà máy X, Y cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất nhận được sản phẩm hỏng ở nhà

máy X là pX  0.03 và ở nhà máy Y là pY  0.05 .

• 1. Một người mua 3 sản phẩm ở nhà máy X. Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng.
  2. Nếu mua 3 sản phẩm ở nhà máy X và 2 sản phẩm ở nhà máy Y. Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng.

Lời giải. a) Gọi X là số sản phẩm hỏng nhận được trong 3 sản phẩm mua của nhà máy X. Ta có

1. B3, 0.03 và xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng là

PX  1  1 PX  0  1 C⁰ 0.03⁰ 1 0.0330  0.087 .

3

b) Gọi Y số sản phẩm hỏng nhận được trong 2 sản phẩm mua của nhà máy Y. Ta có

1. B3, 0.05 , X và Y độc lập, và X  Y là số sản phẩm hỏng nhận được trong 5 sản phẩm. Xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng là

7

PX  Y  1  1 PX  0, Y  0  1 PX  0PY  0

◾

 1 C⁰ 0.03⁰ 1 0.0330 C⁰ 0.05⁰ 1 0.0520  0.176.

2 3

1. Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là p  0.7 .
   1. Bắn liên tiếp 3 phát. Tính xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia.
   2. Hỏi phải bắn ít nhất mấy lần để có xác suất ít nhất một lần trúng bia  0.99 .

Lời giải. a) Gọi X là số phát bắn trúng bia. Ta có

bia là

X B3, 0.7

nên xác suất có ít nhất 1 lần trúng

PX  1  1 PX  0  1 C⁰ 0.7⁰ 1 0.730  0.973 .

3

b) Gọi n là số lần bắn và gọi Y là số phát bắn trúng bia. Ta có

Y Bn, 0.7 và xác suất có ít nhất

một lần trúng bia là PY  1  1 PY  0  1 C⁰ 0.7⁰ 1 0.7n0  1 0.3ⁿ . Do

n

1 0.3ⁿ  0.99  0.3ⁿ  0.01  n   3.82 .

 

ln 0.01

ln 0.3

Vậy phải bắn ít nhất 4 lần. ◾

1. Trong một lô thuốc (rất nhiều) với xác suất nhận được thuốc hỏng là p  0.1 . Lấy ngẫu nhiên 3 lọ để kiểm tra. Tính xác suất để
   1. cả 3 lọ đều hỏng,
   2. có 2 lọ hỏng và 1 lọ tốt,
   3. có 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt,
   4. cả 3 họ đều tốt.

Lời giải. Với X là số lọ thuốc hỏng nhận được trong 3 lọ kiểm tra. Ta có

X B3, 0.1

trong đó a)

PX  3 ; b) PX  2 ; c) PX  1 ; và d) PX  0 . ◾

1. Một phân xưởng có 5 máy. Xác suất để trong một ca, mỗi máy bị hỏng là 0.1. Tìm xác suất để trong một ca, có đúng 2 máy bị hỏng.

Lời giải. Với X chỉ số máy hỏng, ta có

X B5, 0.1

và xác suất cần tìm là PX  2 . ◾

1. Tính xác suất để gieo con xúc xắc 10 lần, mặt một nút xuất hiện không quá 3 lần.

Lời giải. Với X chỉ số mặt một nút xuất hiện, ta có X

 1 

B10, 

6

 

và xác suất cần tìm là

PX  3  PX  0  PX  1  PX  2  PX  3 . ◾

1. Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng (lớn) là 1%. Từ lô hàng này, lấy ra n sản phẩm. Hỏi n ít nhất phải là bao nhiêu để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm  0.95 .

Lời giải. Với X chỉ số phế phẩm nhận được trong n sản phẩm, ta có

X Bn, 0.01

và xác suất

nhận được ít nhất một phế phẩm là PX  1  1 PX  0  1 C⁰ 0.01⁰ 1 0.01n0  1 0.99ⁿ . Do

n

ln 0.05

1 0.99ⁿ  0.95  0.99ⁿ  0.05  n   298.07 ,

 

ln 0.99

ta suy ra rằng cần lấy ra ít nhất 299 sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm  0.95 .◾

8

1. Giả sử tỷ lệ sinh trai gái là bằng nhau và bằng ¹ . Một gia đình có 4 người con. Tính xác suất để

2

4 đứa con đó gồm

1. 2 trai và 2 gái,
2. 1 trai và 3 gái,
3. 4 trai.

Lời giải. Ta có thể giả định là giới tính của 4 người con là độc lập nhau. Khi đó, gọi X là số con gái

trong 4 ngưới con. Ta có X B4, 0.5 . Suy ra xác suất các biến cố : a) X  2 , b) X  3 , và c)

X  0 . ◾

1. Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ phế phẩm là 7%.
2. Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tính xác suất để
   1. có đúng một phế phẩm,
   2. có ít nhất một phế phẩm,
   3. có nhiều nhất một phế phẩm.
3. Hỏi phải quan sát ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm  0.9 .

Lời giải. a) Gọi X là số phế phẩm nhận được trong 10 sản phẩm quan sát. Ta có X B10, 0.07 .

b) Gọi n là số sản phẩm cần quan sát và gọi X là số phế phẩm nhận được trong n sản phẩm quan sát

này. Ta có X Bn, 0.07 và ta cần tìm n sao cho PX  1  0.9 . ◾

1. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 3 cuộc điện thoại trong mỗi phút. Tính xác suất để trung tâm này nhận được 1 cuộc, 2 cuộc, 3 cuộc gọi trong 1 phút, biết rằng số cuộc gọi trong một phút có phân phối Poisson.

Lời giải. Tương tự ví dụ 16, với X chỉ số cuộc điện thoại trung tâm bưu điện này nhận được trong 1

phút, ta có X P3 . ◾

1. Khi tiêm truyền một loại huyết thanh, trung bình có 1 trường hợp phản ứng trên 1000 trường hợp. Dùng loại huyết thanh này tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để
   1. có 3 trường hợp phản ứng,
   2. có nhiều nhất 3 trường hợp phản ứng,
   3. có hơn 3 trường hợp phản ứng.

1000

Lời giải. Gọi X là số trường hợp phản ứng khi tiêm cho 2000 người. Ta có

X B2000, ¹  và

phân phối nhị thức này được xấp xỉ bằng phân phối Poisson, X P2000  1   P2 . ◾

1000

1. Tỷ lệ một loại bệnh bẩm sinh trong dân số là p  0.01 . Bệnh này cần sự chăm sóc đặc biệt lúc mới sinh. Một nhà bảo sinh thường có 20 ca sinh trong một tuần. Tính xác suất để
   1. không có trường hợp nào cần chăm sóc đặc biệt,
   2. có đúng một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt,
   3. có nhiều hơn một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt.

Tính bằng quy luật nhị thức rồi dùng quy luật Poisson để so sánh kết quả khi ta xấp xỉ phân phối nhị thức Bn, p bằng phân phối Poisson Pnp .

Lời giải. Gọi X là số trường hợp cần chăm sóc đặc biệt trong (20 ca sinh) một tuần. Ta có

X B20, 0.01 mà ta có thể xấp xỉ bằng X P20  0.01  P2. ◾