Thông tin
Quiz

Bài tập Chương 2 - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HCM

Bài tập Chương 2 - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HCM được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Xác suất thống kê (Hus) 27 tài liệu

Trường:

Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 290 tài liệu

Thông tin:

15 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài tập Chương 2 - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HCM

42 21 lượt tải Tải xuống

Chương 2

BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

1. TỔNG QUAN VỀ BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN

Xét phép thử



với không gian mẫu



. Giả sử, ứng với mỗi biến số sơ cấp



, ta liên kết

với một số thực

 

X  

, thì X được gọi là một biến số ngẫu nhiên.

Ví dụ 1. Với trò chơi sấp ngửa bằng cách thảy đồng xu, giả sử nếu xuất hiện mặt sấp, ta được 1

đồng; nếu xuất hiện mặt ngửa, ta mất 1 đồng. Khi đó, ta có

Phép thử

:

, "thảy đồng xu"

Không gian mẫu

 

S, N 

Biến số ngẫu nhiên X với

 

X S 1

và

 

X N 1 

. 

Tổng quát, biến số ngẫu nhiên X của một phép thử



với không gian mẫu



là một ánh xạ



X :

 



Khi

 

X 

là một tập hợp hữu hạn



1 2

x , x ,

hay là một dãy



1 2

x , x ,

, ta nói X là

một biến số ngẫu nhiên rời rạc. Khi

 

X 

là một khoảng của (hay cả ), ta nói X là một biến

số ngẫu nhiên liên tục.

Trong thực nghiệm, các biến số ngẫu nhiên thường là rời rạc. Tuy nhiên, khi biến số ngẫu

nhiên khảo sát lấy giá trị tùy ý trên một khoảng của (hay cả ), ta coi nó như một biến số ngẫu

nhiên liên tục. Chẳng hạn, biến số ngẫu nhiên trong ví dụ 1 là một biến số ngẫu nhiên rời rạc. Còn

lấy ngẫu nhiên một sinh viên trong trường và đo chiều cao (phép thử

:

"lấy một sinh viên trong

trường", không gian mẫu



là tập hợp tất cả các sinh viên và với sinh viên



thì

 

X 

là

chiều cao của



), ta được một biến số ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị đủ nhiều trên nên ta coi

nó là một biến số ngẫu nhiên liên tục. Thực chất, các biến ngẫu nhiên liên tục được dùng làm xấp xỉ

cho các biến ngẫu nhiên rời rạc khi tập các giá trị của biến số ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn.

Do các biến số ngẫu nhiên X là các ánh xạ có giá trị trong nên với một hàm số

u :

ta có thể thành lập biến số ngẫu nhiên

 

u X

, với

 

u X :

 

 

Chẳng hạn, với

 

u x x ,   

, ta có biến số ngẫu nhiên

 

u X X 

, với

    

X X    

với mọi



, và với

   

u x x 

, ta có biến số ngẫu nhiên

   

u X X 

, với

     

 

X X    

với mọi



Hơn nữa, trên thực tế, khi nghiên cứu một đối tượng, người ta thường quan tâm đến nhiều

tham số cùng một lúc. Nếu mỗi tham số khảo sát đều là một biến số ngẫu nhiên, ta nhận được một

vectơ ngẫu nhiên. Chẳng hạn, khi nghiên cứu tầm vóc con người, người ta quan tâm đến chiều cao

X và sức nặng Y. Do cả X lẫn Y đều là các biến số ngẫu nhiên, ta nhận được vectơ ngẫu nhiên

 

X, Y

Tổng quát, với n biến số ngẫu nhiên

X :  

k 1,2,

, ta nói ánh xạ

V :  

xác định bởi

      

 

1 2

V X ,X ,   

với mọi



, là một vectơ ngẫu nhiên, ký hiệu



1 2

V X , X ,

. Các

k 1,2,

được

gọi là các của V.biến ngẫu nhiên thành phần

Vectơ ngẫu nhiên V được gọi là ) nếu tất cả các biến số ngẫu nhiên thành rời rạc liên tục (

phần là rời rạc (liên tục).

Ngoài ra, với



1 2

V X , X ,

là một vectơ ngẫu nhiên và với hàm n biến



1 2

u :

x , x ,

ta có thể thành lập biến số ngẫu nhiên



1 2

u X ,X ,

, với



1 2

u X , X ,

với mọi



Chẳng hạn, với vectơ ngẫu nhiên

 

V X, Y

gồm hai biến số ngẫu nhiên X, Y và hàm số

    

u x, y x y   

, với

 

x, y 

và

, 

, ta có biến số ngẫu nhiên

    

u X, Y X Y    

, với

     

 

X Y X Y         

với mọi



2. XÁC ĐỊNH BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

Để xác định một biến số ngẫu nhiên rời rạc, người ta cần xác định các giá trị

i 1, 2,

, có

thể nhận được bởi biến ngẫu nhiên này và đồng thời cũng cần xác định xác suất để X nhận giá trị

này là bao nhiêu, nghĩa là, cần xác định

 

 

 

i i

P X x P X x    

, với

i 1, 2,

. Ta có

Xét biến số ngẫu nhiên rời rạc

X :  

, với

  

1 2

X x , x , 

. Giả sử

1 2

x x 

. Bảng các bộ giá trị tương ứng

với

 

i i

p P X x 

, được gọi là của X.bảng phân phối xác suất

Ví dụ 2. Thảy hai đồng xu, nếu được một sấp một ngửa thì được 10 đồng, nếu được hai mặt sấp thì

mất 4 đồng, hai ngửa thì mất 5 đồng. Gọi X số tiền được hay mất. Ta có X là biến ngẫu nhiên là

nhận các giá trị là

5, 4 

và 10 , với

   

P X 5 P NN 0.25

    

   

P X 4 P SS 0.25

    

   

P X 10 P SN, NS 0.5

   

và ta nhận được bảng phân phối xác suất của X

5

4

0.25

0.5

Ví dụ 3. Một cơ quan có 3 xe: 1 xe 4 chỗ; 1 xe 50 chỗ và 1 xe tải. Xác suất để trong một ngày làm

việc, các xe được xử dụng là 0.8, 0.4 và 0.9. Hãy lập luật phân phối xác suất cho số xe được xử

dụng trong một ngày của cơ quan.

Gọi X là số xe được xử dụng trong một ngày của cơ quan. Ta có

 

X 0,1, 2,3

. Đặt

1 2 3

A ,A , A

là biến cố . Khi đó, “xe 4 chỗ; xe 50 chỗ; xe tải được xử dụng trong ngày”

1 2 3

A ,A , A

là

các biến cố độc lập,

 

P A 0.8

 

P A 0.4

 

P A 0.9

và

 

       

0 1 2 3 1 2 3

p P X 0 P A A A P A P A P A 0.2 0.6 0.1 0.012       

 

       

 

     

 

     

 

1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

p P X 1 P A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A

P A P A P A P A P A P A P A P A P A

0.8 0.6 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 0.6 0.9 0.164

       

  

         

 

       

   

 

   

2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

p P X 2 P A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A

P A P A P A P A P A P A P A P A P A

0.8 0.4 0.1 0.2 0.6 0.9 0.2 0.4 0.9 0.536

       

  

         

         

3 1 2 3 1 2 3

p P X 3 P A A A P A P A P A 0.8 0.4 0.9 0.288       

Do đó, quy luật phân phối xác suất của X là

0.012

0.164

0.536

0.288

Chú ý rằng

p 0.012 0.164 0.536 0.288 1     

. 

Từ bảng phân phối xác suất của biến số ngẫu nhiên rời rạc X,

ta định nghĩa

2.1. Định nghĩa. Hàm số

f :

xác định bởi

 

i i

p , x x

f x

0 x x , i,









 



được gọi là , hay vắn tắt là , của X. Từ tính chất của bảng phân phối hàm mật độ xác suất hàm mật độ

xác suất, dễ thấy rằng

(i)

x 0 

, và

(ii)

 

f x 1



Ví dụ 4. Tung đồng xu 3 lần. Gọi X là số mặt sấp nhận được. Ta có không gian mẫu

 

SSS,SSN,SNS,SNN, NSS, NSN, NNS, NNN 

và

   

X 0,1, 2,3 

, với

   

 

P X 0 P NNN

  

   

 

P X 1 P SNN, NSN, NNS

  

   

 

P X 2 P SSN,SNS, NSS

  

   

 

P X 3 P SSS

  

và ta có bảng phân phối xác suất

Từ đó, ta nhận được hàm mật độ xác suất của X

 

x 0

x 1

f x

x 2

x 3

0 x 0,1, 2,3





























2.2. Định nghĩa. Với

f :

là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạc X, hàm số

xác định bởi

       

x x y x

F x P X x f x f y

 

   

 

được gọi là , hay vắn tắt là , của X.hàm phân phối tích lũy hàm phân phối

Bằng cách liệt kê các giá trị của

 

X 

theo thứ tự tăng dần, khi X chỉ lấy hữu hạn giá trị

1 2

x x 

ta có hàm phân phối

      

1 2 1 k 1 k

0 x x

F x f x f x x x x

1 x x

 







    









và khi X lấy giá trị tạo thành một dãy

1 2

x x 

ta có hàm phân phối

      

1 2 1 n 1 n

0 x x

F x f x f x x x x

1 x x , n

 







    





 



Từ tính chất của hàm mật độ và định nghĩa của hàm phân phối, ta có

(i)

 

0 F x 1, x   

(ii)

 

lim F x 0





và

 

lim F x 1





(iii) F là hàm tăng, và

(iv) F liên tục bên phải tại mọi

x 

Ví dụ 5. Với biến số ngẫu nhiên X cho bởi ví dụ 4, ta có hàm phân phối

 

0 x 0

0 x 1

F x

1 x 2

2 x 3

1 3 x





 





 





 











3. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

Trong phần này, ta định nghĩa tham số đặc trưng quan trọng cho một biến số ngẫu nhiên các

rời rạc : kỳ vọng phương sai, và trung bình .

3.1. Định nghĩa. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc,

  

1 2

X x , x , 

, với hàm mật độ xác

suất

 

f x

và

 

u X

là một hàm theo biến số ngẫu nhiên X. Kỳ vọng của

 

u X

được xác định bởi

 

       

i i

i x

E u X u x f x u x f x 

 

Đặc biệt, khi

 

u X X

, thì

 

E X

được gọi là trung bình của X, ký hiệu



, hay vắn tắt là



, nghĩa là

 

X i i

x f x 



Khi

   

u X X  

, kỳ vọng

   

E u X E X

 

  

 

được gọi là phương sai của X, ký hiệu

 

var X



, hay vắn tắt là



, nghĩa là

     

X i X i

var X x f x   



Giá trị

 

var X   

được gọi là độ lệch chuẩn của X.

Nhận xét. Vì

 

X  

chính là bình phương sai biệt giữa

 

X 

và trung bình của nó,



, và vì

phương sai



chính là trung bình của các sai biệt này nên phương sai của một biến ngẫu nhiên cho

ta hình ảnh về của các số liệu : sự phân tán



càng nhỏ, các số liệu càng tập trung xung quanh

trung bình của chúng. Ngoài ra, vì đơn vị đo của phương sai được tính theo bình phương đơn vị đo

của biến ngẫu nhiên, và do đó,



có cùng đơn vị đo với biến ngẫu nhiên X.

Ví dụ 6. Một hộp đựng 3 bi đỏ và 7 bi trắng. Mỗi lần lấy 1 bi (rồi trả lại vào hộp). Nếu được bi đỏ

thì thưởng 5000đ, nếu được bi trắng thì phạt 2300đ. Xét xem có nên tham gia trò chơi này nhiều lần

không ?

Gọi X là số tiền nhận được sau mỗi lần lấy bi. Ta được biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng

phân phối xác suất

2300

5000

Trung bình của X là

 

7 3

10 10

2300 5000 110       

Điều này có nghĩa là nếu ta chơi nhiều lần thì bình quân mỗi lần lấy một bi, ta bị lỗ 110đ. Để

thấy rõ điều này, ta tưởng tượng rằng, nếu tham dự trò chơi 1000 lần, ta có cơ may lấy được bi đỏ

300 lần và được bi trắng 700 lần. Do đó, số tiền nhận được sau 1000 lần chơi là

 

2300 700 5000 300 110000     

Từ đó suy ra, trung bình mỗi lần chơi, ta được

110000

110

1000



 

Vậy, không nên chơi trò chơi này nhiều lần. 

Ví dụ 7. Với 10 số liệu của X, Y cho trong bảng sau,

bằng phương pháp thống kê, ta có thể sắp xếp lại các giá trị của X, Y bằng các bảng tần số,

và

hay bằng bảng tần suất xác suất ( ),

và

Từ đó, ta có

X Y

6   

nhưng

1.9 

nhỏ hơn khá nhiều so với

8.2 

. Hai biến này có cùng

trung bình nhưng rõ ràng X ít phân tán hơn Y. 

3.2. Mệnh đề. Cho X là biến số ngẫu nhiên rời rạc với trung bình

 

E X  

. Ta có

 

2 2 2

X X

E X   

Chứng minh. Với hàm mật độ

 

f x

của X, ta có

 

   

 

     

 

2 2

2 2 2

X X X X X

x x

2 2

X X

x x x

2 2 2 2

X X X

E X x f x x 2x f x

x f x 2 xf x f x

E X 2 E X E X

         

   

       

 

  

 

f x 1 

và

 

E X  

. 

Ví dụ 8. Với biến số ngẫu nhiên rời rạc X trong ví dụ 4, ta có bảng phân phối xác suất

nên ta nhận được trung bình

3 31 1

8 8 8 8

0 1 2 3

         

và phương sai

 

2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 31 1

X X 8 8 8 8 2 4

E X 0 1 2 3            

. 

3.3. Định nghĩa. Cho X là biến số ngẫu nhiên rời rạc với hàm mật độ

 

f x

. Hàm số

 

tX tx

M t E e e f x 



được gọi là của X.hàm đặc trưng

Khác với các đại lượng trung bình và phương sai, hàm đặc trưng không mang ý nghĩa cụ thể

liên quan đến biến số ngẫu nhiên mà chỉ là một công cụ toán học để giải quyết các bài toán liên

quan đến hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên. Để tính trung bình và phương sai của X, ta lấy đạo

hàm hàm đặc trưng

 

M t

theo t,

   

 

tx tX

M t xe f x E Xe



 



và cho

t 0

, ta được

   

M 0 E X



  

và với đạo hàm bậc hai

     

 

2 tx 2 tX

M t M t x e f x E X e

 

  



và cho

t 0

, ta được

 

M 0 E X





Suy ra

 

   

 

2 2 2

E X M 0 M 0

     

Ta được

3.4. Mệnh đề. Cho X là biến ngẫu nhiên với trung bình



, phương sai



và hàm đặc trưng

 

M t

. Ta có

 

M 0



 

, và

   

 

M 0 M 0

 

  

Quan trọng hơn, ta chấp nhận kết quả sau

3.5. Định lý. Nếu hai hàm đặc trưng

 

M t

và

 

M t

của hai biến ngẫu nhiên X, Y bằng nhau

trên một khoảng mở chứa điểm có cùng một phân phối xác suất.0, thì X, Y

Trong các áp dụng thông thường, được hàm đặc trưng sau khi tính

 

M t

của một biến số

ngẫu nhiên X. So sánh

 

M t

với các hàm đặc trưng của phân phối xác suất đã biết. Nếu các

 

M t

, thì . trùng với hàm đặc trưng của phân phối nào X sẽ có phân phối xác suất đó 

4. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC THÔNG DỤNG

Trong lược đồ Bernoulli, khi ta thực hiện phép thử



một cách độc lập n lần và gọi X là số

lần xuất hiện của biến cố A, với

 

P A 0

, thì

X 0,1, 2,

và do Định lý Bernoulli,

   

n k

k k

P X k C p 1 p



  

với

k 0,1, 2,

, và do đó, hàm mật độ xác suất của X là

 

n k

k k

C p 1 p x 0,1, 2,

f x

0 x 0,1, 2,





 













và ta có

4.1. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

 

B n, p

4.1.1. Định nghĩa. Biến số ngẫu nhiên X gọi là có , ký hiệu phân phối nhị thức

, nếu

hàm mật độ của X có dạng

 

n x

x x

C p 1 p x 0,1,2,

f x

0 x 0,1,2,





 













Ví dụ 9. Trong một vùng dân cư có 65% gia đình có máy giặt, chọn ngẫu nhiên 12 gia đình. Gọi X

là số gia đình có máy giặt trong số 12 gia đình này. Ta có



X 65

và ta có thể tính một số

xác suất trên X như :

Xác suất để nhận được đúng 5 gia đình có máy giặt là

     

5 12 5

P X 5 C 0.65 1 0.65 0.0591



   

và xác suất để có ít nhất 2 gia đình có máy giặt là

          

12 11

P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.35 12 0.65 0.35 0.999

 

         

 

. 

4.1.2. Mệnh đề. Cho biến số ngẫu nhiên

. Với

q 1 p 

, ta có

i) trung bình :

np 

ii) phương sai :

npq 

Chứng minh. Ta có hàm đặc trưng của X là

 

n n

x n

n x n x

tX tx k x k t t

n n

x 0 x 0

M t E e e C p 1 p C pe 1 p 1 p pe

 

 

       

 

Lấy đạo hàm, ta có

 

n 1

t t

M t n 1 p pe pe





  

và cho

t 0

, ta được

   

E X M 0 np



   

Lấy đạo hàm bậc hai,

   

     

n 2 2 n 1

t t t t

M t n n 1 1 p pe pe n 1 p pe pe

 



      

và do đó,

   

 

     

2 2 2

M 0 M 0 n n 1 p np np np np np 1 p

 

 

          

 

. 

Ví dụ 10. Một nhân viên tiếp thị bán hàng ở 5 chỗ khác nhau trong ngày. Xác suất bán được hàng ở

mỗi nơi đều là 0.4. Tìm xác suất để nhân viên này bán được hàng trong ngày.

Gọi X là tổng số nơi bán được hàng trong ngày. Ta có



. Do đó, xác suất để bán

được hàng trong ngày là

       

0 5 0

P X 1 1 P X 0 1 C 0.4 1 0.4 0.92224



       

Ví dụ 11. Một lô thuốc gồm 10 lọ trong đó có 2 lọ thuốc hỏng. Lấy ngẫu nhiên 5 lọ từ lô thuốc, có

hoàn lại. Gọi X là số lọ hỏng trong 5 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của X.

Xét phép thử

:

“lấy một lọ từ lô thuốc” và biến cố A : “nhận được lọ hỏng”. Ta có

 

p P A 0.2  

. Việc lấy 5 lọ có hoàn lại từ lô thuốc cũng chính là việc thực hiện phép thử



năm lần độc lập nhau và X là số lần biến cố A xuất hiện trong 5 lần thực hiện phép thử. Do đó



và ta được hàm mật độ của X

 

   

x 5 x

C 0.2 0.8 x 0,1,2,3, 4,5

f x

0 x 0,1, 2,3, 4,5.





















Chú ý rằng trong ví dụ trên, nếu ta lấy 5 lọ thuốc từ lô thuốc nhưng không hoàn lại thì X

không thỏa phân phối nhị thức. Bằng cách xét phép thử

:

“lấy 5 lọ thuốc từ lô thuốc” với không

gian mẫu



và xét biến cố

: “nhận được đúng k lọ hỏng”, ta có

X 0,1,2,3, 4,5

và

   

P X k P A 

. Khi

k 3, 4,5

A  

, và khi

k 0,1, 2

thì do



có

phần tử và

có

k 5 k

2 8

C C



phần tử (xem ví dụ 2 chương 0 và ví dụ 13 chương 1), ta có

   

k 5 k

2 8

C C

P X k P A



  

và do đó, ta nhận được hàm mật độ xác suất của X là

 

x 5 x

2 8

C C

x 0,1, 2

f x

0 x 0,1,2.



















Tổng quát, nếu ta lấy n phần tử từ một tập hợp có N phần tử, trong đó có K phần tử mang tính

chất



và gọi X là số phần tử mang tính chất



nhận được trong n phần tử lấy ra, thì X chỉ có thể

lấy các giá trị từ 0 đến n và

 

k n k

K N K

C C

P X k



 

Hơn nữa, chú ý rằng khi

k K

hay

k n N K  

thì biến cố

X k

là không thể có. Do đó,

ta có hàm mật độ cho X,

 

x n x

K N K

C C

f x





khi

 

x max 0,n N K  

và

 

x min n, K

, và

 

f x 0

trong các trường hợp còn lại.

Từ đó, ta có

2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

 

H N, K, n

2.1. Định nghĩa. Biến số ngẫu nhiên X gọi là có phân phối theo luật siêu bội, ký hiệu



X , n

, nếu hàm mật độ của X có dạng

 

x n x

K N K

C C

f x





khi

 

x max 0,n N K  

và

 

x min n, K

, và

 

f x 0

trong các trường hợp còn lại.

Xuất phát từ một số tính chất sau :

(i)

 

x n x

K N K

x x

C C

P X x 1



  

 

(ii)

   

 

n 1 x 1

x 1

x n x

K 1

N 1 K 1

K N K

n 1

N 1

C C

k n

C N

  



  





(iii)

 

   

 

   

 

n 2 x 2x 2

x n x

K 2

N 2 K 2

K N K

n 2

N 2

C C

K K 1 n n 1C C

k k 1

C N N 1

  



  



 

 



người ta chứng minh được

2.2. Mệnh đề. Cho biến số ngẫu nhiên



X , n

. Với



và

q 1 p 

, ta có

i) trung bình :

np 

ii) phương sai :

N n

npq

N 1



 



Ví dụ 12. Từ một hộp đựng 15 quả cam trong đó có 5 quả hư, lấy ra 3 quả. Gọi X là số quả hư trong

3 quả lấy ra. Ta có



X 3

. Xác suất để cả 3 quả đều hư là

 

3 0

5 10

C C

P X 3 0.021978

  

Ngoài ra, trung bình (kỳ vọng) và phương sai của X lần lượt là

3 1   

, và

 

5 5 15 3

15 15 15 1 21

3 1



      

. 

Hơn nữa, nếu tỷ lệ



không đổi và

N  

(khi đó, ta cũng có

K 

) thì quy luật

phân phối siêu bội tiến về quy luật phân phối nhị thức, nghĩa là nếu



X , n

, thì

   

n k

k k

P X k C p 1 p



  

khi

N  

, với mọi

k 0,1,

Nói khác đi, nếu



X , n

và n khá nhỏ so với , thì để tính xác suất N

 

P X k

, ta có

thể xấp xỉ nó bằng phân phối nhị thức

, với



Ví dụ 13. Một lô thuốc lớn có tỷ lệ thuốc hỏng là

p 0.2

, lấy ngẫu nhiên 5 lọ. Gọi X là số lọ hỏng

trong 5 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ xác suất của X.

Ta có



X , 5

, với N là số lọ trong lô thuốc và K là số lọ hỏng. Do N lớn và

0.2

nên ta có thế xấp xỉ bằng phân phối nhị thức,



, với hàm mật độ

 

   

x 5 x

C 0.2 0.8 x 0,1,

f x

0 x 0,1,



















và bảng phân phối xác suất

0.328

0.409

0.205

0.051

0.007

0.000

Việc xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức nêu trên còn có thể phát biểu lại như

Cho một tổng thể



có N phần tử, trong đó có K phần tử mang tính chất



nào đó. Xét phép

thử

:

“lấy một phần tử của tổng thể” và biến cố A : “nhận được phần tử có tính chất



”, ta có

 

P A p 

. Lấy n phần tử từ



và gọi X là số phần tử mang tính chất



trong n phần tử lấy ra,

ta có :

Nếu ta , thì lấy mẫu có hoàn lại

;

Nếu ta lấy mẫu không hoàn lại, thì



X , n

. Tuy nhiên, nếu n khá nhỏ so với cỡ mẫu

kích thước tổng thể N thì ta có thể xấp xỉ phân phối xác suất của X bằng phân phối nhị thức,

, với

 

P A p 

. Nói khác đi,

Khi cỡ mẫu khá nhỏ so với kích thước tổng thể thì việc lấy mẫu có hoàn lại hay không hoàn

lại là như nhau.

Ngay cả với phân phối nhị thức,

. Khi cỡ mẫu n lớn, việc tính toán các xác suất

   

n k

k k

P X k C p 1 p



  

với

k 0,1,

, không đơn giản do ta phải tính các giai thừa

và các lũy thừa

m m

p ,q

, với m

lớn. Do đó, khi cỡ mẫu n lớn, người ta lại xấp xỉ X bằng phân phối Poisson hay phân phối chuẩn

tùy theo giá trị của n và p. Trước hết, ta có

3. PHÂN PHỐI POISSON

3.1. Định nghĩa. Biến số ngẫu nhiên X gọi là có , ký hiệu phân phối Poisson

, nếu hàm

mật độ xác suất của X có dạng

 

e x 0,1,

f x

0 x 0,1,





















Bằng cách viết

 

     

n k k

k k

n n 1

C p 1 p p 1 p np 1 p

k! k! n

 



    

và với

np  

không đổi, khi

n  

, ta có

p 0

và

  

n n 1 1

lim 1



 



   

n k k

n p 0

lim 1 p lim 1 p e



 



 

   

Từ đó, suy ra

 

n k

k k

C p 1 p e







 

khi n đủ lớn.

Nói cách khác, nếu

, trong đó đủ nhỏ và đủ lớn, thì được xem như có phân p n X

phối Poisson

 

P 

, với

np 

Ví dụ 14. Tỷ lệ thuốc hỏng trong một lô thuốc lớn là

p 0.05

. Lấy ngẫu nhiên 20 lọ. Gọi X là số lọ

hỏng nhận được. Tìm hàm mật độ của X và so sánh với giá trị xấp xỉ bởi phân phối Poisson.



X .05

nên nó có hàm mật độ

 

   

x 20 x

C 0.05 1 0.05 x 0,1,

f x

0 x 0,1,





 













Nếu ta xấp xỉ bởi phân phối Poisson, nghĩa là

, với

np 20 0.05 1    

, thì hàm mật độ

trở thành

 

e x 0,1,

f x

0 x 0,1,













và ta có bảng so sánh các phân phối xác suất

 

B B 20,0.05

và

 

P P 1

như sau

0.358

0.378

0.189

0.059

0.013

0.003

0.000

0.368

0.369

0.184

0.061

0.015

0.003

0.001

0.000

Kết quả cho thấy các sai số khá bé khi ta xấp xỉ phân phối nhị thức

 

B n, p

bởi phân phối Poisson

 

P np

Trong ứng dụng, khi

, trong đó

n 50, p 0.01 

và

np 5

thì ta có thể dùng xấp xỉ

Đặc biệt khi

n 100

p 0.01

, và

np 5

thì hàm mật độ của

 

B n, p

và

 

P np

gần như

trùng nhau. Do đó, phân phối Poisson được dùng để xấp xỉ phân phối nhị thức đối với các hiện

tượng hiếm, nghĩa là khi p và tích

nhỏ.

Bây giờ, với

, ta có

np   

và

 

np 1 p    

khi

n  

(do

p 0

và

np  

) thì

  

. Chính xác hơn, ta có

3.3. Mệnh đề. Cho

. Ta có

X X

    

Chứng minh. Ta có hàm đặc trưng của X là

 

e 1

tX tx t e

x! x!

x 0 x 0

M t E e e e e e e e e

 



 

   

 

    

 

Lấy đạo hàm, ta có

 

   

t t

e 1 t e 1

M t e e e

   



   

và cho

t 0

, ta được

   

E X M 0



    

Lấy đạo hàm bậc hai,

 

       

t t t t

t e 1 t e 1 e 1 t e 1

d d

M t e e 1 e e e

dt dt

       

     



       

     

     

và do đó,

   

 

   

M 0 M 0 1

 

           

 

. 

Ví dụ 15. Một máy dệt có 5000 ống sợi. Xác suất để trong 1 phút, một ống sợi bị đứt là 0.0002. Tìm

xác suất để trong 1 phút, có không quá 2 ống sợi bị đứt.

Gọi X là biến số ngẫu nhiên chỉ số ống sợi bị đứt trong 1 phút. Ta có



X ,0.0002

và

do đó, có thể xấp xỉ bằng phân phối Poisson

   

P 5000 0.0002 P 1 

. Khi đó, xác suất để trong 1

phút, có không quá 2 ống sợi bị đứt là

       

0 1 2

1 1 1

P 0 X 2 P 0 P 1 P 2 e e e 0.920

0! 1! 2!

  

        

. 

Ngoài việc dùng để xấp xỉ phân phối nhị thức đối với các hiện tượng hiếm, phân phối Poisson

còn được dùng để khảo sát các biến ngẫu nhiên chỉ số hiện tượng nào đó xảy ra tại một vùng không

gian xác định trong một khoảng thời gian xác định. Chẳng hạn

- số tai nạn giao thông X xảy ra tại một khu vực trong 1 ngày được mô hình bằng phân phối

Poisson

 

P 

, trong đó



là số tai nạn trung bình xảy ra tại khu vực đó trong một ngày,

- số máy tính X kết nối với một máy chủ trong 1 giờ được mô hình bằng phân phối Poisson

 

P 

, trong đó



là số máy tính trung bình kết nối với máy chủ này trong 1 giờ,

- số cuộc điện thoại X gọi đến một tổng đài trong 30 phút được mô hình bằng phân phối

Poisson

 

P 

, trong đó



là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến tổng đài này trong 30 phút, …

Ví dụ 16. Tại một đại lý bưu điện, các cuộc gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và có

trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút. Biết rằng số cuộc gọi trong một khoảng thời gian cố định có

phân phối Poisson. Tìm xác suất để

a) có đúng 5 cuộc gọi trong 2 phút.

b) không có cuộc gọi nào trong khoảng thời gian 30 giây.

c) có ít nhất một cuộc gọi trong khoảng thời gian 10 giây.

a) Do trung bình Gọi X là số cuộc gọi xuất hiện trong khoảng thời gian 2 phút. có 2 cuộc gọi xuất

hiện trong 1 phút, nên trong 2 phút, có trung bình 4 cuộc gọi xuất hiện, nghĩa là

và do đó

 

P X 5 e 0.156



  

b) Gọi Y là số cuộc gọi xuất hiện trong khoảng thời gian 30 giây. Do có trung bình 1 cuộc gọi xuất

hiện trong 30 giây, nên ta có

và do đó

 

P Y 0 e 0.3679



  

c) Gọi Z là số cuộc gọi xuất hiện trong khoảng thời gian 10 giây. Do có trung bình

1 1

6 3

2 

cuộc

gọi xuất hiện trong 10 giây, nên ta có

và do đó

   

 

P Z 1 1 P Z 0 1 e 0.2835



      

. 

BÀI TẬP

1. Có hai thùng thuốc A và B, trong đó :

thùng A có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ tốt,

thùng B có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt,

a) Lấy ở mỗi thùng 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong 2 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của X.

b) Lấy ở thùng B ra 3 lọ. Gọi Y là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của Y.

2. Một xạ thủ bắn bia với xác suất bắn trúng bia là

p 0.6

. Có 5 viên đạn được bắn lần lượt và xạ

thủ sẽ dừng bắn khi hết đạn hay ngay khi có một viên đạn trúng bia. Gọi X là số lần bắn. Tìm hàm

mật độ của X. Tính trung bình



và phương sai



3. Một thùng đựng lọ thuốc trong đó có 1 lọ hỏng. Ta kiểm tra từng lọ (không hoàn lại) cho đến 3

khi phát hiện được lọ hỏng thì dừng. Gọi X là số lần kiểm tra. Tìm hàm mật độ của X. Tính trung

bình



và phương sai



4. Hai nhà máy X, Y cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất nhận được sản phẩm hỏng ở nhà

máy X là

p 0.03

và ở nhà máy Y là

p 0.05

a) Một người mua 3 sản phẩm ở nhà máy X. Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng.

b) Nếu mua 3 sản phẩm ở nhà máy X và 2 sản phẩm ở nhà máy Y. Tính xác suất có ít nhất

một sản phẩm hỏng.

5. Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là

p 0.7

a) Bắn liên tiếp 3 phát. Tính xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia.

b) Hỏi phải bắn ít nhất mấy lần để có xác suất ít nhất một lần trúng bia

0.99

6. Trong một lô thuốc (rất nhiều) với xác suất nhận được thuốc hỏng là

p 0.1

. Lấy ngẫu nhiên 3 lọ

để kiểm tra. Tính xác suất để

a) cả 3 lọ đều hỏng,

b) có 2 lọ hỏng và 1 lọ tốt,

c) có 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt,

d) cả 3 họ đều tốt.

7. Một phân xưởng có 5 máy. Xác suất để trong một ca, mỗi máy bị hỏng là 0.1. Tìm xác suất để

trong một ca, có đúng 2 máy bị hỏng.

8. Tính xác suất để gieo con xúc xắc 10 lần, mặt một nút xuất hiện không quá 3 lần.

9. Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng (lớn) là 1%. Từ lô hàng này, lấy ra n sản phẩm. Hỏi n ít nhất

phải là bao nhiêu để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm

0.95

10. Giả sử tỷ lệ sinh trai gái là bằng nhau và bằng

. Một gia đình có 4 người con. Tính xác suất để

4 đứa con đó gồm

a) 2 trai và 2 gái,

b) 1 trai và 3 gái,

c) 4 trai.

11. Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ phế phẩm là 7%.

a) Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tính xác suất để

i) có đúng một phế phẩm,

ii) có ít nhất một phế phẩm,

iii) có nhiều nhất một phế phẩm.

b) Hỏi phải quan sát ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm

0.9

12. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 3 cuộc điện thoại trong mỗi phút. Tính xác suất

để trung tâm này nhận được 1 cuộc, 2 cuộc, 3 cuộc gọi trong 1 phút, biết rằng số cuộc gọi trong một

phút có phân ph ối Poisson.

13. Khi tiêm truyền một loại huyết thanh, trung bình có 1 trường hợp phản ứng trên 1000 trường

hợp. Dùng loại huyết thanh này tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để

a) có 3 trường hợp phản ứng,

b) có nhiều nhất 3 trường hợp phản ứng,

c) có hơn 3 trường hợp phản ứng.

14. Tỷ lệ một loại bệnh bẩm sinh trong dân số là

p 0.01

. Bệnh này cần sự chăm sóc đặc biệt lúc

mới sinh. Một nhà bảo sinh thường có 20 ca sinh trong một tuần. Tính xác suất để

a) không có trường hợp nào cần chăm sóc đặc biệt,

b) có đúng một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt,

c) có nhiều hơn một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt.

Tính bằng quy luật nhị thức rồi dùng quy luật Poisson để so sánh kết quả khi ta xấp xỉ phân phối nhị

thức

 

B n, p

bằng phân phối Poisson

 

P np

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/15

| | Tải xuống

Preview text:

5 Chương 2
BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
1. TỔNG QUAN VỀ BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN
Xét phép thử  với không gian mẫu  . Giả sử, ứng với mỗi biến số sơ cấp  , ta liên kết
với một số thực X  , thì X được gọi là một biến số ngẫu nhiên.
Ví dụ 1. Với trò chơi sấp ngửa bằng cách thảy đồng xu, giả sử nếu xuất hiện mặt sấp, ta được 1
đồng; nếu xuất hiện mặt ngửa, ta mất 1 đồng. Khi đó, ta có
Phép thử  : "thảy đồng xu",
Không gian mẫu   S,  N ,
Biến số ngẫu nhiên X với X S 1 và XN  1  . 
Tổng quát, biến số ngẫu nhiên X của một phép thử  với không gian mẫu  là một ánh xạ X :    
Khi X  là một tập hợp hữu hạn  x , x ,
hay là một dãy  x , x , , ta nói X là 1 2 1 2
một biến số ngẫu nhiên rời rạc. Khi X  là một khoảng của (hay cả ), ta nói X là một biến
số ngẫu nhiên liên tục.
Trong thực nghiệm, các biến số ngẫu nhiên thường là rời rạc. Tuy nhiên, khi biến số ngẫu
nhiên khảo sát lấy giá trị tùy ý trên một khoảng của (hay cả ), ta coi nó như một biến số ngẫu
nhiên liên tục. Chẳng hạn, biến số ngẫu nhiên trong ví dụ 1 là một biến số ngẫu nhiên rời rạc. Còn
lấy ngẫu nhiên một sinh viên trong trường và đo chiều cao (phép thử  : "lấy một sinh viên trong
trường", không gian mẫu  là tập hợp tất cả các sinh viên và với sinh viên  thì X  là
chiều cao của ), ta được một biến số ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị đủ nhiều trên nên ta coi
nó là một biến số ngẫu nhiên liên tục. Thực chất, các biến ngẫu nhiên liên tục được dùng làm xấp xỉ
cho các biến ngẫu nhiên rời rạc khi tập các giá trị của biến số ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn.
Do các biến số ngẫu nhiên X là các ánh xạ có giá trị trong
nên với một hàm số u : ,
ta có thể thành lập biến số ngẫu nhiên u X , với u X :     
Chẳng hạn, với u x  x ,  , ta có biến số ngẫu nhiên u X  X   , với
X   X
với mọi  , và với      2 u x x
, ta có biến số ngẫu nhiên      2 u X X , với  2 X
 X2 với mọi  .
Hơn nữa, trên thực tế, khi nghiên cứu một đối tượng, người ta thường quan tâm đến nhiều
tham số cùng một lúc. Nếu mỗi tham số khảo sát đều là một biến số ngẫu nhiên, ta nhận được một 6
vectơ ngẫu nhiên. Chẳng hạn, khi nghiên cứu tầm vóc con người, người ta quan tâm đến chiều cao
X và sức nặng Y. Do cả X lẫn Y đều là các biến số ngẫu nhiên, ta nhận được vectơ ngẫu nhiên X,Y.
Tổng quát, với n biến số ngẫu nhiên X :   , k 1, 2,
, ta nói ánh xạ V :   , k xác định bởi
V   X  , X  , 1   2   
với mọi  , là một vectơ ngẫu nhiên, ký hiệu V   X , X , . Các X , k  1, 2, được 1 2 k
gọi là các biến ngẫu nhiên thành phần của V.
Vectơ ngẫu nhiên V được gọi là rời rạc (liên tục) nếu tất cả các biến số ngẫu nhiên thành
phần là rời rạc (liên tục).
Ngoài ra, với V   X ,X ,
là một vectơ ngẫu nhiên và với hàm n biến 1 2 u :  x , x , 1 2
ta có thể thành lập biến số ngẫu nhiên u X ,X , , với 1 2 u X , X , 1 2 với mọi  .
Chẳng hạn, với vectơ ngẫu nhiên V   X, Y gồm hai biến số ngẫu nhiên X, Y và hàm số u x, y   x  
  y   , với x, y và ,
   , ta có biến số ngẫu nhiên u X, Y   X     Y   , với
X Y   X     Y  với mọi  .
2. XÁC ĐỊNH BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Để xác định một biến số ngẫu nhiên rời rạc, người ta cần xác định các giá trị x , i 1, 2, , có i
thể nhận được bởi biến ngẫu nhiên này và đồng thời cũng cần xác định xác suất để X nhận giá trị
này là bao nhiêu, nghĩa là, cần xác định P 
  X x P X  x , với i 1,2, . Ta có i  i 
Xét biến số ngẫu nhiên rời rạc X :   , với X  x , x , . Giả sử 1 2 x  x 
. Bảng các bộ giá trị tương ứng 1 2 X x x x 1 2 n P p p p 1 2 n
với p  P X  x , được gọi là bảng phân phối xác suất của X. i  i 
Ví dụ 2. Thảy hai đồng xu, nếu được một sấp một ngửa thì được 10 đồng, nếu được hai mặt sấp thì
mất 4 đồng, hai ngửa thì mất 5 đồng. Gọi X là số tiền được hay mất. Ta có X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị là 5  , 4  và 10, với        1 P X 5 P NN   0.25 , 4 7        1 P X 4 P SS   0.25 , 4       2 P X 10 P SN, NS   0.5 , 4
và ta nhận được bảng phân phối xác suất của X X 5  4 10 P 0.25 0.25 0.5
Ví dụ 3. Một cơ quan có 3 xe: 1 xe 4 chỗ; 1 xe 50 chỗ và 1 xe tải. Xác suất để trong một ngày làm
việc, các xe được xử dụng là 0.8, 0.4 và 0.9. Hãy lập luật phân phối xác suất cho số xe được xử
dụng trong một ngày của cơ quan.
Gọi X là số xe được xử dụng trong một ngày của cơ quan. Ta có X 0,1,2,  3 . Đặt
A , A , A là biến cố “xe 4 chỗ; xe 50 chỗ; xe tải được xử dụng trong ngày”. Khi đó, A , A , A là 1 2 3 1 2 3
các biến cố độc lập, PA  0.8 , PA  0.4 , PA  0.9 và 3  2  1  p  P X  0  P A A A
 P A P A P A  0.20.60.1 0.012 0  
 1 2 3  1  2  3
p  P X  1  P A A A  A A A  A A A  P A A A  P A A A  P A A A 1  
 1 2 3 1 2 3 1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3 
 PA P A P A  P A P A P A  P A P A P A 1 
 2   3  1  2   3  1  2  3
 0.80.6 0.1 0.2 0.40.1 0.2 0.60.9  0.164
p  P X  2  P A A A  A A A  A A A  P A A A  P A A A  P A A A 2  
 1 2 3 1 2 3 1 2 3  1 2 3  1 2 3  1 2 3
 PA P A P A  P A P A P A  P A P A P A 1 
 2  3  1  2  3  1  2  3
 0.8 0.4 0.1 0.2 0.6 0.9 0.2 0.4 0.9 0.536 p  P X  3  P A A A
 P A P A P A  0.80.40.9  0.288 3    1 2 3  1  2  3
Do đó, quy luật phân phối xác suất của X là X 0 1 2 3 P 0.012 0.164 0.536 0.288
Chú ý rằng  p  0.012  0.164  0.536  0.288 1.  i
Từ bảng phân phối xác suất của biến số ngẫu nhiên rời rạc X, X x x x 1 2 n P p p p 1 2 n ta định nghĩa
2.1. Định nghĩa. Hàm số f : xác định bởi   f x p , x x i i   0 x  x ,i,  i
được gọi là hàm mật độ xác suất, hay vắn tắt là hàm mật độ, của X. Từ tính chất của bảng phân phối
xác suất, dễ thấy rằng (i) x   0 , và 8 (ii) f  x 1 . x Ví dụ 4.
Tung đồng xu 3 lần. Gọi X là số mặt sấp nhận được. Ta có không gian mẫu
  SSS,SSN,SNS,SNN, NSS, NSN, NNS, NN  N
và X   0,1, 2,  3 , với       1 P X 0 P NNN  , 8       3 P X 1 P SNN, NSN, NNS  , 8       3 P X 2 P SSN,SNS, NSS  , 8        1 P X 3 P SSS  8
và ta có bảng phân phối xác suất X 0 1 2 3 P 1 3 3 1 8 8 8 8
Từ đó, ta nhận được hàm mật độ xác suất của X 1  x  0 8  3 x  1 8  f  x 3   x  2  8 1 x  3 8  0 x   0,1, 2,3 2.2. Định nghĩa. Với f :
là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạc X, hàm số F : , xác định bởi
F x  P X  x  f  x    f   y , i x   i x y x
được gọi là hàm phân phối tích lũy, hay vắn tắt là hàm phân phối, của X.
Bằng cách liệt kê các giá trị của X theo thứ tự tăng dần, khi X chỉ lấy hữu hạn giá trị x  x  1 2 ta có hàm phân phối  0 x  x1  F x  f   x  f x  x  x  x 1   2 1   k 1  k  1 x  x  n
và khi X lấy giá trị tạo thành một dãy x  x  1 2 ta có hàm phân phối 9  0 x  x1  F x  f   x  f x  x  x  x 1   2 1   n 1  n  1 x  x ,n  n
Từ tính chất của hàm mật độ và định nghĩa của hàm phân phối, ta có (i) 0  F x  1, x   ,
(ii) lim F x  0 và lim  F x 1, x  x  (iii) F là hàm tăng, và
(iv) F liên tục bên phải tại mọi x  .
Ví dụ 5. Với biến số ngẫu nhiên X cho bởi ví dụ 4, ta có hàm phân phối 0 x  0 1 0  x  1 8  F x 4   1  x  2  8 7 2 x  3 8  1 3   x
3. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Trong phần này, ta định nghĩa các tham số đặc trưng quan trọng cho một biến số ngẫu nhiên
rời rạc : kỳ vọng, trung bình và phương sai.
3.1. Định nghĩa Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc, X   x , x , , với hàm mật độ xác . 1 2
suất f  x và u X
là một hàm theo biến số ngẫu nhiên X. Kỳ vọng của u X được xác định bởi E u X   u  x f x  u x f x  . i   i      i x Đặc biệt, khi  u 
X  X , thì E X được gọi là trung bình của X, ký hiệu  , hay vắn tắt là X  , nghĩa là    x f x . X i  i  i Khi  u 
X  X    2 , kỳ vọng E u  X  E 
X   được gọi là phương sai của X, ký hiệu X2 X   var X , 2  , hay vắn tắt là 2  , nghĩa là X
var X      x   2 2 f x . X i X  i  i
Giá trị     var X được gọi là độ lệch chuẩn của X. X  
Nhận xét. Vì X   2 chính là bình phương sai biệt giữa X và trung bình của nó,  , và vì X X phương sai 2
 chính là trung bình của các sai biệt này nên phương sai của một biến ngẫu nhiên cho X
ta hình ảnh về sự phân tán của các số liệu : 2
 càng nhỏ, các số liệu càng tập trung xung quanh X
trung bình của chúng. Ngoài ra, vì đơn vị đo của phương sai được tính theo bình phương đơn vị đo
của biến ngẫu nhiên, và do đó,  có cùng đơn vị đo với biến ngẫu nhiên X. X 10
Ví dụ 6. Một hộp đựng 3 bi đỏ và 7 bi trắng. Mỗi lần lấy 1 bi (rồi trả lại vào hộp). Nếu được bi đỏ
thì thưởng 5000đ, nếu được bi trắng thì phạt 2300đ. Xét xem có nên tham gia trò chơi này nhiều lần không ?
Gọi X là số tiền nhận được sau mỗi lần lấy bi. Ta được biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân phối xác suất X 2  300 5000 P 7 3 10 10 Trung bình của X là   230  7 3 0   5000  1  10. X 10 10
Điều này có nghĩa là nếu ta chơi nhiều lần thì bình quân mỗi lần lấy một bi, ta bị lỗ 110đ. Để
thấy rõ điều này, ta tưởng tượng rằng, nếu tham dự trò chơi 1000 lần, ta có cơ may lấy được bi đỏ
300 lần và được bi trắng 700 lần. Do đó, số tiền nhận được sau 1000 lần chơi là  2  30 
0  700  5000 300  110000.
Từ đó suy ra, trung bình mỗi lần chơi, ta được 1  10000  1  10 . 1000
Vậy, không nên chơi trò chơi này nhiều lần.  Ví dụ 7.
Với 10 số liệu của X, Y cho trong bảng sau, X 4 4 5 6 4 6 8 7 6 5 Y 3 2 4 9 8 9 3 7 3 10
bằng phương pháp thống kê, ta có thể sắp xếp lại các giá trị của X, Y bằng các bảng tần số, X 4 5 6 7 8 N 3 2 3 1 1 và Y 2 3 4 7 8 9 10 N 1 3 1 1 1 2 1
hay bằng bảng tần suất (xác suất), X 4 5 6 7 8 N 3 2 3 1 1 10 10 10 10 10 và Y 2 3 4 7 8 9 10 N 1 3 1 1 1 2 1 10 10 10 10 10 10 10
Từ đó, ta có     6 nhưng 2
 1.9 nhỏ hơn khá nhiều so với 2
  8.2 . Hai biến này có cùng X Y X Y
trung bình nhưng rõ ràng X ít phân tán hơn Y. 
3.2. Mệnh đề. Cho X là biến số ngẫu nhiên rời rạc với trung bình E X   . Ta có X 2   E  2 X  2   . X X
Chứng minh. Với hàm mật độ f x của X, ta có 11
  E  X  2   x   2 2 f x    2 2 x 2x    f x X X X X X    x x 2
  x f  x 2  xf x 2    f x X X   x x x  E  2 X  2 E X 2    E 2 X  2   X X X
do  f x 1 và E X   .  x   X
Ví dụ 8. Với biến số ngẫu nhiên rời rạc X trong ví dụ 4, ta có bảng phân phối xác suất X 0 1 2 3 P 1 3 3 1 8 8 8 8
nên ta nhận được trung bình 3 1 3 3 1
  0 1  2  3  X 8 8 8 8 2 và phương sai   E X  1 3 3 1
  0  1   2   3    .  X X 8 8 8 8 322 2 2 2 2 2 2 2 3 4
3.3. Định nghĩa Cho X là biến số ngẫu nhiên rời rạc với hàm mật độ f x  . Hàm số . Mt  E tX e  tx   e f x x
được gọi là hàm đặc trưng của X.
Khác với các đại lượng trung bình và phương sai, hàm đặc trưng không mang ý nghĩa cụ thể
liên quan đến biến số ngẫu nhiên mà chỉ là một công cụ toán học để giải quyết các bài toán liên
quan đến hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên. Để tính trung bình và phương sai của X, ta lấy đạo
hàm hàm đặc trưng M  t theo t, Mt  tx  xe f  x  E tX Xe  x và cho t  0 , ta được M  0  E X  
và với đạo hàm bậc hai    d M t  M t 2 tx  x e f  x  E 2 tX X e  dt x và cho t  0 , ta được     2 M 0 E X  . Suy ra
           2 2 2 2 E X M 0 M 0 . Ta được
3.4. Mệnh đề. Cho X là biến ngẫu nhiên với trung bình  , phương sai 2
 và hàm đặc trưng M  t . Ta có 12
  M 0 , và         2 2 M 0 M 0 .
Quan trọng hơn, ta chấp nhận kết quả sau
3.5. Định lý. Nếu hai hàm đặc trưng M  t và M t của hai biến ngẫu nhiên X, Y bằng nhau X Y
trên một khoảng mở chứa điểm 0, thì X, Y có cùng một phân phối xác suất.
Trong các áp dụng thông thường, sau khi tính được hàm đặc trưng M t của một biến số X  
ngẫu nhiên X. So sánh M  t với các hàm đặc trưng của các phân phối xác suất đã biết. Nếu X M
t trùng với hàm đặc trưng của phân phối nào, thì X .
sẽ có phân phối xác suất đó  X   4. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC THÔNG DỤNG
Trong lược đồ Bernoulli, khi ta thực hiện phép thử  một cách độc lập n lần và gọi X là số
lần xuất hiện của biến cố A, với PA  0 , thì X  0,1,2,
và do Định lý Bernoulli, 
P X  k  C p 1  pn k k k , n với k  0,1, 2,
, và do đó, hàm mật độ xác suất của X là     f x C p 1 pn k k k x 0,1, 2, n    0 x  0,1, 2,  và ta có
4.1. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B n, p 
4.1.1. Định nghĩa. Biến số ngẫu nhiên X gọi là có phân phối nhị , thức ký hiệu X , nếu
hàm mật độ của X có dạng     f x C p 1 pn x x x x 0,1, 2, n    0 x  0,1, 2, 
Ví dụ 9. Trong một vùng dân cư có 65% gia đình có máy giặt, chọn ngẫu nhiên 12 gia đình. Gọi X
là số gia đình có máy giặt trong số 12 gia đình này. Ta có X 6 
5 và ta có thể tính một số xác suất trên X như :
Xác suất để nhận được đúng 5 gia đình có máy giặt là 
P X  5  C 0.655 1  0.6512 5 5  0.0591, 12
và xác suất để có ít nhất 2 gia đình có máy giặt là 12 11 PX 2 1 PX 0 PX  1 1
0.35 120.650.3  5           0.999   . 
4.1.2. Mệnh đề. Cho biến số ngẫu nhiên X
. Với q 1 p , ta có
i) trung bình :   np , X ii) phương sai : 2   npq , X
Chứng minh. Ta có hàm đặc trưng của X là   M  t  E  tX e  n tx k x  e C p 1 p n k  C  t pe x 1 p    t 1  p    pe . n n n n x n x x 0 x 0 13 Lấy đạo hàm, ta có       n 1 t t M t n 1 p pe pe và cho t  0 , ta được
  E X  M 0 np . Lấy đạo hàm bậc hai,
       
n2 2    n 1 t t t t M t n n 1 1 p pe pe n 1 p pe pe và do đó, 2 2 2
              2     2 M 0 M 0 n n 1 p np np  np np  np1    p . 
Ví dụ 10. Một nhân viên tiếp thị bán hàng ở 5 chỗ khác nhau trong ngày. Xác suất bán được hàng ở
mỗi nơi đều là 0.4. Tìm xác suất để nhân viên này bán được hàng trong ngày .
Gọi X là tổng số nơi bán được hàng trong ngày. Ta có X
. Do đó, xác suất để bán
được hàng trong ngày là  P X  
1 1  P X  0 1  C 0.40 1 0.45 0 0  0.92224 . 5
Ví dụ 11. Một lô thuốc gồm 10 lọ trong đó có 2 lọ thuốc hỏng. Lấy ngẫu nhiên 5 lọ từ lô thuốc, có
hoàn lại. Gọi X là số lọ hỏng trong 5 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của X.
Xét phép thử  : “lấy một lọ từ lô thuốc” và biến cố A : “nhận được lọ hỏng”. Ta có p  P A  2
  0.2 . Việc lấy 5 lọ có hoàn lại từ lô thuốc cũng chính là việc thực hiện phép thử  10
năm lần độc lập nhau và X là số lần biến cố A xuất hiện trong 5 lần thực hiện phép thử. Do đó X
 và ta được hàm mật độ của X x x 5 x  C 0.2 0.8 x  0,1, 2,3, 4,5 f x 5         0 x  0,1, 2, 3, 4,5. 
Chú ý rằng trong ví dụ trên, nếu ta lấy 5 lọ thuốc từ lô thuốc nhưng không hoàn lại thì X
không thỏa phân phối nhị thức. Bằng cách xét phép thử  : “lấy 5 lọ thuốc từ lô thuốc” với không
gian mẫu  và xét biến cố A : “nhận được đúng k lọ hỏng”, ta có X  0,1, 2,3,4,5 và k
P X  k  PA . Khi k  3, 4,5 , A  , và khi k  0,1, 2 thì do  có 5 C phần tử và A có k  k 10 k k 5 k
C C  phần tử (xem ví dụ 2 chương 0 và ví dụ 13 chương 1), ta có 2 8 k 5 k P X  k  P A  C C 2 8  k 5 C10
và do đó, ta nhận được hàm mật độ xác suất của X là x 5 x C2C8   f  x x 0,1, 2 5 C10    0 x   0,1, 2.
Tổng quát, nếu ta lấy n phần tử từ một tập hợp có N phần tử, trong đó có K phần tử mang tính
chất  và gọi X là số phần tử mang tính chất  nhận được trong n phần tử lấy ra, thì X chỉ có thể
lấy các giá trị từ 0 đến n và k n k  P X k  C C K N K    . n CN 14
Hơn nữa, chú ý rằng khi k  K hay k  n  N  K thì biến cố X  k là không thể có. Do đó,
ta có hàm mật độ cho X, x n x  f  x C C K N K   n CN
khi x  max 0, n  N  K  và x  min n, K  , và f x   0 trong các trường hợp còn lại. Từ đó, ta có
2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI H N,K,n
2.1. Định nghĩa. Biến số ngẫu nhiên X gọi là có phân phối theo luật siêu bội, ký hiệu X
, n , nếu hàm mật độ của X có dạng x n x  f  x C C K N K   n CN
khi x  max 0, n  N  K  và x  min n, K  , và f x   0 trong các trường hợp còn lại.
Xuất phát từ một số tính chất sau : x n x C C (i) K N K  P X  x  1   , n   x CN x x 1  n  1   x  1 x n x C C C C K K 1  N  1 K   (ii) 1 K N K k  n , n  n 1 C N C N  N  1 x2 n  2  x2 x nx C C K K 1 n n 1 C  C K 2  N  2   K  2 (iii) k k        K N K 1  , n C N N 1 C  N   n 2  N2 
người ta chứng minh được
2.2. Mệnh đề. Cho biến số ngẫu nhiên X , n . Với K p 
và q 1 p , ta có N
i) trung bình :   np , X N n ii) phương sai : 2   npq . X N 1 
Ví dụ 12. Từ một hộp đựng 15 quả cam trong đó có 5 quả hư, lấy ra 3 quả. Gọi X là số quả hư trong 3 quả lấy ra. Ta có X 
3 . Xác suất để cả 3 quả đều hư là 3 0 P X 3 C C 5 10  0.021978 . 3 C15
Ngoài ra, trung bình (kỳ vọng) và phương sai của X lần lượt là 5   3  1, và X 15 2 5   3   5 1  15 3 12   .  X 15 15 15 1  21 K
Hơn nữa, nếu tỷ lệ p 
không đổi và N   (khi đó, ta cũng có K  ) thì quy luật N
phân phối siêu bội tiến về quy luật phân phối nhị thức, nghĩa là nếu X , n, thì  P X  k k k  C p 1 p , n  n k 15
khi N   , với mọi k  0,1, . Nói khác đi, nếu X
, n và n khá nhỏ so với N, thì để tính xác suất P X  k , ta có
thể xấp xỉ nó bằng phân phối nhị thức X , với K p  . N
Ví dụ 13. Một lô thuốc lớn có tỷ lệ thuốc hỏng là p  0.2 , lấy ngẫu nhiên 5 lọ. Gọi X là số lọ hỏng
trong 5 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ xác suất của X. Ta có X
, 5 , với N là số lọ trong lô thuốc và K là số lọ hỏng. Do N lớn và K  0.2 N
nên ta có thế xấp xỉ bằng phân phối nhị thức, X  , với hàm mật độ x x 5 x    f x C 0.2 0.8 x 0,1, 5        0 x  0,1, 
và bảng phân phối xác suất X 0 1 2 3 4 5 P 0.328 0.409 0.205 0.051 0.007 0.000
Việc xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức nêu trên còn có thể phát biểu lại như sau :
Cho một tổng thể  có N phần tử, trong đó có K phần tử mang tính chất  nào đó. Xét phép
thử  : “lấy một phần tử của tổng thể” và biến cố A : “nhận được phần tử có tính chất ”, ta có P A K
  p . Lấy n phần tử từ  và gọi X là số phần tử mang tính chất  trong n phần tử lấy ra, N ta có : Nếu ta , t
lấy mẫu có hoàn lại hì X ;
Nếu ta lấy mẫu không hoàn lại, thì X
, n . Tuy nhiên, nếu cỡ mẫu n khá nhỏ so với
kích thước tổng thể N thì ta có thể xấp xỉ phân phối xác suất của X bằng phân phối nhị thức, X , với PA K   p . Nói khác đi, N
Khi cỡ mẫu khá nhỏ so với kích thước tổng thể thì việc lấy mẫu có hoàn lại hay không hoàn lại là như nhau.
Ngay cả với phân phối nhị thức, X
. Khi cỡ mẫu n lớn, việc tính toán các xác suất  P X  k k k  C p 1  p , n  n k với k  0,1,
, không đơn giản do ta phải tính các giai thừa m! và các lũy thừa m m p ,q , với m
lớn. Do đó, khi cỡ mẫu n lớn, người ta lại xấp xỉ X bằng phân phối Poisson hay phân phối chuẩn
tùy theo giá trị của n và p. Trước hết, ta có
3. PHÂN PHỐI POISSON
3.1. Định nghĩa. Biến số ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Poisson, ký hiệu X , nếu hàm
mật độ xác suất của X có dạng x     f x e x 0,1, x!    0 x  0,1, Bằng cách viết 16     n k  n n  1  C p 1 p  p 1  p  np 1p k k k n k k! k! n
và với np   không đổi, khi n   , ta có p  0 và n n   1   1 lim 1 , k n n   
lim 1 pn k  lim 1 p k  p  e . n p 0 Từ đó, suy ra k   C p 1 pn k k k  e n k! khi n đủ lớn. Nói cách khác, nếu X
, trong đó p đủ nhỏ và n đủ lớn, thì X được xem như có phân
phối Poisson P , với   np .
Ví dụ 14. Tỷ lệ thuốc hỏng trong một lô thuốc lớn là p  0.05. Lấy ngẫu nhiên 20 lọ. Gọi X là số lọ
hỏng nhận được. Tìm hàm mật độ của X và so sánh với giá trị xấp xỉ bởi phân phối Poisson. Do X .0 
5 nên nó có hàm mật độ x 20 x    f x x C 0.05 1 0.05 x 0,1, 20        0 x  0,1, 
Nếu ta xấp xỉ bởi phân phối Poisson, nghĩa là X
, với   np  200.05 1, thì hàm mật độ trở thành x 1   f  x 1 e x 0,1, x!   0 x  0,1, 
và ta có bảng so sánh các phân phối xác suất B  B20,0.0  5 và P  P   1 như sa u X 0 1 2 3 4 5 6 7 B
0.358 0.378 0.189 0.059 0.013 0.003 0.000 0.000 P
0.368 0.369 0.184 0.061 0.015 0.003 0.001 0.000
Kết quả cho thấy các sai số khá bé khi ta xấp xỉ phân phối nhị thức B n, p  bởi phân phối Poisson P np . Trong ứng dụng, khi X , trong đó
n  50, p  0.01 và np  5 ,
thì ta có thể dùng xấp xỉ X .
Đặc biệt khi n  100 , p  0.01, và np  5 thì hàm mật độ của B n, p  và Pnp gần như
trùng nhau. Do đó, phân phối Poisson được dùng để xấp xỉ phân phối nhị thức đối với các hiện
tượng hiếm, nghĩa là khi p và tích np nhỏ. Bây giờ, với X , ta có 17   np   và 2   np 1 p   X   X
khi n   (do p  0 và np   ) thì 2
  . Chính xác hơn, ta có X
3.3. Mệnh đề. Cho X . Ta có 2      . X X
Chứng minh. Ta có hàm đặc trưng của X là   x    M  t  Ee      te    t x t e 1 tX tx t e   e e  e e  e e  e . x! x! x0 x0 Lấy đạo hàm, ta có    t     t e 1 t e   1 t M t  e e  e và cho t  0 , ta được
  E X  M0   . Lấy đạo hàm bậc hai,               M  t d  t  d  t   t   t t e 1 t e 1 e 1 t e 1 t  e     e   1 e e  e dt   dt     và do đó, 2 2 2
  M 0 M  0    1           . 
Ví dụ 15. Một máy dệt có 5000 ống sợi. Xác suất để trong 1 phút, một ống sợi bị đứt là 0.0002. Tìm
xác suất để trong 1 phút, có không quá 2 ống sợi bị đứt.
Gọi X là biến số ngẫu nhiên chỉ số ống sợi bị đứt trong 1 phút. Ta có X ,0.0002 và
do đó, có thể xấp xỉ bằng phân phối Poisson P50000.0002  P 
1 . Khi đó, xác suất để trong 1
phút, có không quá 2 ống sợi bị đứt là 0 1 2 1  1  1 
P 0  X  2  P0 P   1 P 2 1 1 1  e  e  e 0.920.  0! 1! 2!
Ngoài việc dùng để xấp xỉ phân phối nhị thức đối với các hiện tượng hiếm, phân phối Poisson
còn được dùng để khảo sát các biến ngẫu nhiên chỉ số hiện tượng nào đó xảy ra tại một vùng không
gian xác định trong một khoảng thời gian xác địn h. Chẳng hạn
- số tai nạn giao thông X xảy ra tại một khu vực trong 1 ngày được mô hình bằng phân phối
Poisson P , trong đó  là số tai nạn trung bình xảy ra tại khu vực đó trong một ngày,
- số máy tính X kết nối với một máy chủ trong 1 giờ được mô hình bằng phân phối Poisson
P  , trong đó  là số máy tính trung bình kết nối với máy chủ này trong 1 giờ,
- số cuộc điện thoại X gọi đến một tổng đài trong 30 phút được mô hình bằng phân phối
Poisson P , trong đó 
là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến tổng đài này trong 30 phút, …
Ví dụ 16. Tại một đại lý bưu điện, các cuộc gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và có
trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút. Biết rằng số cuộc gọi trong một khoảng thời gian cố định có
phân phối Poisson. Tìm xác suất để
a) có đúng 5 cuộc gọi trong 2 phút. 18
b) không có cuộc gọi nào trong khoảng thời gian 30 giây.
c) có ít nhất một cuộc gọi trong khoảng thời gian 10 giây .
a) Gọi X là số cuộc gọi xuất hiện trong khoảng thời gian 2 phút. Do trung bình có 2 cuộc gọi xuất
hiện trong 1 phút, nên trong 2 phút, có trung bình 4 cuộc gọi xuất hiện, nghĩa là X và do đó PX 5 5 4 4 e 0.156. 5!
b) Gọi Y là số cuộc gọi xuất hiện trong khoảng thời gian 30 giây. Do có trung bình 1 cuộc gọi xuất
hiện trong 30 giây, nên ta có Y và do đó PY 0 0 1 1 e 0.3679 . 0!
c) Gọi Z là số cuộc gọi xuất hiện trong khoảng thời gian 10 giây. Do có trung bình 1 1 2  cuộc 6 3
gọi xuất hiện trong 10 giây, nên ta có Z và do đó 0 1 1   
        3 3 P Z 1 1 P Z 0  1 e  0.2835 .  0! BÀI TẬP
1. Có hai thùng thuốc A và B, trong đó :
thùng A có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ tốt,
thùng B có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt,
a) Lấy ở mỗi thùng 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong 2 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của X.
b) Lấy ở thùng B ra 3 lọ. Gọi Y là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của Y.
2. Một xạ thủ bắn bia với xác suất bắn trúng bia là p  0.6 . Có 5 viên đạn được bắn lần lượt và xạ
thủ sẽ dừng bắn khi hết đạn hay ngay khi có một viên đạn trúng bia. Gọi X là số lần bắn. Tìm hàm
mật độ của X. Tính trung bình  và phương sai 2  .
3. Một thùng đựng 3 lọ thuốc trong đó có 1 lọ hỏng. Ta kiểm tra từng lọ (không hoàn lại) cho đến
khi phát hiện được lọ hỏng thì dừng. Gọi X là số lần kiểm tra. Tìm hàm mật độ của X. Tính trung bình  và phương sai 2  .
4. Hai nhà máy X, Y cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất nhận được sản phẩm hỏng ở nhà
máy X là p  0.03 và ở nhà máy Y là p  0.05 . X Y
a) Một người mua 3 sản phẩm ở nhà máy X. Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng.
b) Nếu mua 3 sản phẩm ở nhà máy X và 2 sản phẩm ở nhà máy Y. Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng.
5. Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là p  0.7 .
a) Bắn liên tiếp 3 phát. Tính xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia.
b) Hỏi phải bắn ít nhất mấy lần để có xác suất ít nhất một lần trúng bia  0.99 .
6. Trong một lô thuốc (rất nhiều) với xác suất nhận được thuốc hỏng là p  0.1. Lấy ngẫu nhiên 3 lọ
để kiểm tra. Tính xác suất để a) cả 3 lọ đều hỏng,
b) có 2 lọ hỏng và 1 lọ tốt,
c) có 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt, d) cả 3 họ đều tốt. 19
7. Một phân xưởng có 5 máy. Xác suất để trong một ca, mỗi máy bị hỏng là 0.1. Tìm xác suất để
trong một ca, có đúng 2 máy bị hỏng.
8. Tính xác suất để gieo con xúc xắc 10 lần, mặt một nút xuất hiện không quá 3 lần.
9. Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng (lớn) là 1%. Từ lô hàng này, lấy ra n sản phẩm. Hỏi n ít nhất
phải là bao nhiêu để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm  0.95 .
10. Giả sử tỷ lệ sinh trai gái là bằng nhau và bằng 1 . Một gia đình có 4 người con. Tính xác suất để 2 4 đứa con đó gồm a) 2 trai và 2 gái, b) 1 trai và 3 gái, c) 4 trai.
11. Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ phế phẩm là 7%.
a) Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tính xác suất để
i) có đúng một phế phẩm,
ii) có ít nhất một phế phẩm,
iii) có nhiều nhất một phế phẩm.
b) Hỏi phải quan sát ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm  0.9 .
12. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 3 cuộc điện thoại trong mỗi phút. Tính xác suất
để trung tâm này nhận được 1 cuộc, 2 cuộc, 3 cuộc gọi trong 1 phút, biết rằng số cuộc gọi trong một
phút có phân phối Poisson.
13. Khi tiêm truyền một loại huyết thanh, trung bình có 1 trường hợp phản ứng trên 1000 trường
hợp. Dùng loại huyết thanh này tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để
a) có 3 trường hợp phản ứng,
b) có nhiều nhất 3 trường hợp phản ứng,
c) có hơn 3 trường hợp phản ứng.
14. Tỷ lệ một loại bệnh bẩm sinh trong dân số là p  0.01. Bệnh này cần sự chăm sóc đặc biệt lúc
mới sinh. Một nhà bảo sinh thường có 20 ca sinh trong một tuần. Tính xác suất để
a) không có trường hợp nào cần chăm sóc đặc biệt,
b) có đúng một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt,
c) có nhiều hơn một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt.
Tính bằng quy luật nhị thức rồi dùng quy luật Poisson để so sánh kết quả khi ta xấp xỉ phân phối nhị
thức Bn, p bằng phân phối Poisson Pnp.