Bài tập Chương 2 - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HCM

Bài tập Chương 2 - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HCM được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Xác suất thống kê (Hus)

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

2 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
71
72
Bài t p ậ
1. Có hai thùng thu c A và B, trong ó : ố đ
thùng A có 20 l g m 2 l h ng và 18 l t t, ọ ồ ọ ỏ ọ ố
thùng B có 20 l g m 3 l h ng và 17 l t t, ọ ồ ọ ỏ ọ ố
a) L y m i thùng 1 l . G i X là s l h ng trong 2 l l y ra. Tìm hàm m t ấ ở ỗ ọ ọ ố ọ ỏ ọ ấ ậ
độ ủ c a X.
b) L y thùng B ra 3 l . G i Y là s l h ng trong 3 l l y ra. Tìm hàm ấ ở ọ ọ ố ọ ỏ ọ ấ
mật c a Y. độ ủ
2. M t x th b n bia v i xác su t b n trúng bia là ộ ạ ủ ắ ớ ấ ắ
p 0.6
=
. Có 5 viên n đạ
đượ ắ ượ ủ đạ ộc b n lần l t và xạ th sẽ dừng bắn khi hết n hay ngay khi có m t
viên n trúng bia. G i X là s l n b n. Tìm hàm m t c a X. Tính trung đạ ọ ố ầ ắ ậ độ ủ
bình
µ
và ph ng sai ươ
2
σ
.
3. M t thùng ng 10 l thu c trong ó có 1 l h ng. Ta ki m tra t ng l ộ đự ọ ố đ ọ ỏ ể ừ ọ
(không hoàn l i) cho n khi phát hi n c l h ng thì d ng. G i X là s ạ đế ệ đượ ọ ỏ ừ ọ ố
lần ki m tra. Tìm hàm m t c a X. Tính trung bình ể ậ độ ủ
µ
và ph ng sai ươ
2
σ
.
4. G i X là tu i th c a con ng i. M t công trình nghiên c u cho bi t hàm ọ ổ ọ ủ ườ ộ ứ ế
mật c a X là độ ủ
( )
2
2
cx 100 x khi 0 x 100
f (x)
− ≤ ≤
=
< >
a) Xác nh h ng s c, đị ằ ố
b) Tính trung bình và ph ng sai c a X, ươ ủ
c) Tính xác su t cấ ủ ộ ườa m t ng i có tu i th ổ ọ
60
≥
,
d) Tính xác su t m t ng i có tu i th ấ ộ ườ ổ ọ
60
≥
, bi t r ng ng i ó hi n nay ế ằ ườ đ ệ
đ ổã 50 tu i.
5. Cho vect ngơ ẫ ảu nhiên có b ng phân ph i xác suố ất
Y
X
1 2 3
0 0.1 0.2 0.1
1 0.2 0.2 0.2
a) Tìm các hàm m t thành ph n ậ độ ầ
X
f (x)
,
Y
f (y)
,
b) Tìm các trung bình
X
µ
,
Y
µ
, các ph ng sai ươ
2
X
σ
,
2
Y
σ
và h s t ng ệ ố ươ
quan
(
)
X, Y
ρ
.
6. Cho vect ngơ ẫu nhiên có hàm m t ậ độ
( ) ( )
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
2
c x y khi x, y 0,1 0,1
f (x, y)
0 khi x, y 0,1 0,1
+ ∈ ×
=
∉ ×
a) Tìm các hàm m t thành ph n ậ độ ầ
X
f (x)
,
Y
f (y)
,
b) Tìm các trung bình
X
µ
,
Y
µ
, các ph ng sai ươ
2
X
σ
,
2
Y
σ
và h s t ng ệ ố ươ
quan
(
)
X, Y
ρ
.
7. Cho vect ng u nhiên ơ ẫ
(
)
V X, Y
=
, v i X, Y c l p. Gi s X, Y có ớ độ ậ ả ử
trung bình l n l t là ầ ượ
X
µ
,
Y
µ
và ph ng sai ươ
2
X
σ
,
2
Y
σ
. t Đặ
Z X Y
= α + β
.
Chứng minh r ng ằ
a)
Z X Y
µ = αµ + βµ
,
b)
2 2 2 2 2
Z Z Z
σ = α σ + β σ
8. Cho vect ngơ ẫu nhiên
(
)
V X, Y
=
. t Đặ
Z X Y
= +
. Ch ng minh r ng ứ ằ
Z X Y
µ = µ + µ
và
( )
2 2 2
Z X X Y Y
2 X, Y
σ = σ + ρ σ σ + σ
Suy ra r ng, n u X và Y không t ng quan, nghằ ế ươ ĩa là
(
)
X, Y 0
ρ =
, thì
2 2 2
Z X Y
σ = σ + σ
.
9. Cho vect ngơ ẫu nhiên
(
)
V X, Y
=
có b ng phân ph i xác su t ả ố ấ
Y
X
0 1
1
−
1
3
0
73
74
0 0
1
3
1
1
3
0
a) Tính trung bình và ph ng sai c a X và Y, ươ ủ
b) Tính h s t ng quan ệ ố ươ
(
)
X, Y
ρ
,
c) X và Y có c l p không ? độ ậ
10. Ch ng minh r ng n u vect ng u nhiên ứ ằ ế ơ ẫ
(
)
V X, Y
=
có X, Y c l p độ ậ
thì
(
)
X, Y 0
ρ =
.
11. Ch ng minh r ng v i m i vect ng u nhiên ứ ằ ớ ọ ơ ẫ
(
)
V X, Y
=
, ta có h s ệ ố
tương quan
(
)
X, Y
ρ
th a ỏ
(
)
1 X, Y 1
− ≤ ρ ≤
.
| 1/2
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

71 72 Bài tập
a) Tìm các hàm mật độ thành phần f X (x) , f Y (y) ,
1. Có hai thùng thuốc A và B, trong đó : b) Tìm các trung bình µ ươ 2 ệ ố ươ X , µY , các ph ng sai σX , 2 σ Y và h s t ng
thùng A có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ tốt, quan ρ (X, Y ) .
thùng B có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt,
6. Cho vectơ ngẫu nhiên có hàm mật độ
a) Lấy ở mỗi thùng 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong 2 lọ lấy ra. Tìm hàm mật 2  độ c(x + y) khi (x, y) ∈ [0,1]× [0,1] của X. f (x, y) =  0 khi (x, y ) ∉ [0,1]× [0,1]
b) Lấy ở thùng B ra 3 lọ. Gọi Y là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của Y.
a) Tìm các hàm mật độ thành phần f X (x) , f Y (y) ,
2. Một xạ thủ bắn bia với xác suất bắn trúng bia là p = 0.6 . Có 5 viên đạn 2 đượ
b) Tìm các trung bình µ , µ , các phương sai σ , 2 σ và hệ số tương
c bắn lần lượt và xạ thủ sẽ dừng bắn khi hết đạn hay ngay khi có một X Y X Y
viên đạn trúng bia. Gọi X là số lần bắn. Tìm hàm mật độ của X. Tính trung quan ρ (X, Y ) . bình µ và phương sai 2 σ .
7. Cho vectơ ngẫu nhiên V = ( X, Y ) , với X, Y độc lập. Giả sử X, Y có
3. Một thùng đựng 10 lọ thuốc trong đó có 1 lọ hỏng. Ta kiểm tra từng lọ trung bình lần lượt là µ và phương sai 2 σ , 2 σ . Đặt Z = αX + βY .
(không hoàn lại) cho đến khi phát hiện được lọ hỏng thì dừng. Gọi X là số X µ , Y X Y Chứng minh rằng
lần kiểm tra. Tìm hàm mật độ của X. Tính trung bình µ và phươ 2 ng sai σ . a) µ = αµ + βµ Z X Y ,
4. Gọi X là tuổi thọ của con người. Một công trình nghiên cứu cho biết hàm mật độ của X là b) 2 2 2 2 2 Z σ = α Z σ + β Z σ  2
cx (100 − x)2 khi 0 ≤ x ≤ 100
8. Cho vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y ) . Đặt Z = X + Y . Chứng minh rằng f (x) =  0 khi x < 0 hay x > 100 µ = µ + µ và 2 2 σ = σ + 2ρ X, Y σ σ + σ Z X ( ) 2 Z X Y X Y Y
a) Xác định hằng số c,
b) Tính trung bình và phương sai của X,
Suy ra rằng, nếu X và Y không tương quan, nghĩa là ρ(X, Y ) = 0 , thì
c) Tính xác suất của một người có tuổi thọ ≥ 60 , 2 2 2
d) Tính xác suất một người có tuổi thọ ≥ 60 , biết rằng người đó hiện nay Z σ = X σ + Y σ . đã 50 tuổi.
9. Cho vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y ) có bảng phân phối xác suất
5. Cho vectơ ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất Y 0 1 Y 1 2 3 X X −1 1 0 0 0.1 0.2 0.1 3 1 0.2 0.2 0.2 73 74 0 0 1 3 1 1 0 3
a) Tính trung bình và phương sai của X và Y,
b) Tính hệ số tương quan ρ (X, Y ) ,
c) X và Y có độc lập không ?
10. Chứng minh rằng nếu vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y ) có X, Y độc lập thì ρ (X, Y ) = 0.
11. Chứng minh rằng với mọi vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y ) , ta có hệ số
tương quan ρ (X, Y ) thỏa −1 ≤ ρ ( X, Y) ≤ 1.