Bài tập Chương 2 - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HCM

71 72 Bài tập
a) Tìm các hàm mật độ thành phần f X (x) , f Y (y) ,
1. Có hai thùng thuốc A và B, trong đó : b) Tìm các trung bình µ ươ 2 ệ ố ươ X , µY , các ph ng sai σX , 2 σ Y và h s t ng
thùng A có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ tốt, quan ρ (X, Y ) .
thùng B có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt,
6. Cho vectơ ngẫu nhiên có hàm mật độ
a) Lấy ở mỗi thùng 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong 2 lọ lấy ra. Tìm hàm mật 2  độ c(x + y) khi (x, y) ∈ [0,1]× [0,1] của X. f (x, y) =  0 khi (x, y ) ∉ [0,1]× [0,1]
b) Lấy ở thùng B ra 3 lọ. Gọi Y là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của Y.
a) Tìm các hàm mật độ thành phần f X (x) , f Y (y) ,
2. Một xạ thủ bắn bia với xác suất bắn trúng bia là p = 0.6 . Có 5 viên đạn 2 đượ
b) Tìm các trung bình µ , µ , các phương sai σ , 2 σ và hệ số tương
c bắn lần lượt và xạ thủ sẽ dừng bắn khi hết đạn hay ngay khi có một X Y X Y
viên đạn trúng bia. Gọi X là số lần bắn. Tìm hàm mật độ của X. Tính trung quan ρ (X, Y ) . bình µ và phương sai 2 σ .
7. Cho vectơ ngẫu nhiên V = ( X, Y ) , với X, Y độc lập. Giả sử X, Y có
3. Một thùng đựng 10 lọ thuốc trong đó có 1 lọ hỏng. Ta kiểm tra từng lọ trung bình lần lượt là µ và phương sai 2 σ , 2 σ . Đặt Z = αX + βY .
(không hoàn lại) cho đến khi phát hiện được lọ hỏng thì dừng. Gọi X là số X µ , Y X Y Chứng minh rằng
lần kiểm tra. Tìm hàm mật độ của X. Tính trung bình µ và phươ 2 ng sai σ . a) µ = αµ + βµ Z X Y ,
4. Gọi X là tuổi thọ của con người. Một công trình nghiên cứu cho biết hàm mật độ của X là b) 2 2 2 2 2 Z σ = α Z σ + β Z σ  2
cx (100 − x)2 khi 0 ≤ x ≤ 100
8. Cho vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y ) . Đặt Z = X + Y . Chứng minh rằng f (x) =  0 khi x < 0 hay x > 100 µ = µ + µ và 2 2 σ = σ + 2ρ X, Y σ σ + σ Z X ( ) 2 Z X Y X Y Y
a) Xác định hằng số c,
b) Tính trung bình và phương sai của X,
Suy ra rằng, nếu X và Y không tương quan, nghĩa là ρ(X, Y ) = 0 , thì
c) Tính xác suất của một người có tuổi thọ ≥ 60 , 2 2 2
d) Tính xác suất một người có tuổi thọ ≥ 60 , biết rằng người đó hiện nay Z σ = X σ + Y σ . đã 50 tuổi.
9. Cho vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y ) có bảng phân phối xác suất
5. Cho vectơ ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất Y 0 1 Y 1 2 3 X X −1 1 0 0 0.1 0.2 0.1 3 1 0.2 0.2 0.2 73 74 0 0 1 3 1 1 0 3
a) Tính trung bình và phương sai của X và Y,
b) Tính hệ số tương quan ρ (X, Y ) ,
c) X và Y có độc lập không ?
10. Chứng minh rằng nếu vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y ) có X, Y độc lập thì ρ (X, Y ) = 0.
11. Chứng minh rằng với mọi vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y ) , ta có hệ số
tương quan ρ (X, Y ) thỏa −1 ≤ ρ ( X, Y) ≤ 1.