Bài tập chương 3 .
1) Xét xem các tập hợp cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng cho sau đây có phải là KGVT trên R không? a) 2 (
 x ,x ),(y ,y )R : (x ,x )  (y ,y )  (x  y ,x  y ), 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 (
 x ,x )R ,R: (x ,x )  (x ,0), 1 2 1 2 1 b) 2 (x ,x ),(y , y ) R      : (x , x ) (y , y ) (x y ,x y ), 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 (  x ,x )R      2 (R      {(x ,x ) R | x 0,x 0)  , R: (x ,x ) ( x , x ), 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
c) P%là tập các đa thức bậc n với các phép toán thông thường:cộng hai đa thức và n
nhân đa thức với một số. d) 2 (x ,x ),(y , y ) R    : (x , x ) (y , y ) (x y ,x y ), 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2
(x ,x ) R , R: (x ,x )  (x,x  ). 1 2 1 2 1 2
2) Kiểm tra các tập sau đây có là không gian vector (KGVT) con của các không gian vector tương ứng không? a) 3
W {(x ,x ,x )R / x  0, i 1,2,3} 1 2 3 i b) 3
W {(x ,x ,x )R / x +2x =3x } 1 2 3 1 2 3 c) 3
W {(x ,x ,x )R / x +3x =1} 1 2 3 1 2  a b  d) W      M / b  c  0 2  c d    e) 2
W {a  a t  a t P [t]/ a  a  a  0} 0 1 2 2 0 1 2
3) Cho các vector u = (1, -3, 2) và v = (2,-1,1) trong 3 R
a) Hãy biểu diễn tuyến tính vector w = (1,7,-4) qua u,v.
b) Xác định m để w = (1, m, 5) là tổ hợp tuyến tính của u,v.
c) Tìm điều kiện của a,b,c để w = (a,b,c) là tổ hợp tuyến tính của u,v.
4) Xét sự độc lập tuyến tính (đltt) của các hệ vector sau trong các KGVT tương ứng:
a) a  (3,2,1),a  (2,3,5),a  (1,1,2) 1 2 3
b) b  (2,1,1,1),b  (1,1,2,1),b  (3,4,5,1),b  (1,2,1,2) 1 2 3 4
c) c  (1,2,1,3),c  (3,7,9,13),c  (2,4,2, 6  ) 1 2 3
d) d  (6,3,5,7),d  (5,9,8,11),d  (13,17,25,31), d  (25,18,19,41), 1 2 3 4 d  (33,79,81,1) 5  1 5    1 1  2 4    1 7   e) e   ,e   ,e   ,e  1 2 3 4  4 2   1 5  5 7    5 1       f) 3 2 3 2 3
f  x  2x  2,f  x 1,f  x  2x  2x,f  x 1 trong P [x]. 1 2 3 4 3
5) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của 4 R sinh bởi hệ vector sau:
a)   (1,2,1,3),  (2,1,2,4),  (0,5,4,2) 1 2 3
b)   (1,0,1,2),  (1,1,0,3),  (2,1,1,5),   (1,1,1,2),   (2,3,1,3), 1 2 3 5 4 6) Cho các vector
u  (1,2,1,2,0),u  (2,3,4,1,2),u  (0,2, 1  2,6, 4  ),u  (1,1,a,7,b), 1 2 3 4 và các không gian
L  span{u ,u ,u },L  span{u ,u ,u ,u }. 1 1 2 3 2 1 2 3 4
a) Tìm một cơ sở và số chiều của L . 1
b) Tùy vào điều kiện của a, b tìm số chiều của L . Khi nào L  L . 2 1 2 7) Trong 3 R , cho không gian con
L  span(S),S {u  (1, 3
 ,2),u  (2,1,1),u  (1,m,5)}. 1 1 2 3
a) Với giá trị nào của m thì 3 L  R .
c) Cho m = -8. Tìm điều kiện của a, b, c để x  (a,b,c)L.
8) Tập nào là không gian con của 4
R ? Tìm một cơ sở của nó (nếu là không gian con)
a) L {(x ,x ,x ,x )|x  x ,x R} 1 1 2 3 4 1 4 i b) 2
L {(x ,x ,x ,x )|x  x ,x R} 2 1 2 3 4 1 2 i
9) Tìm chiều và một cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình:
 x  2x  x  3x  4x  0 1 2 3 4 5 
2x  4x  2x  7x  5x  0 1 2 3 4 5
2x  4x  2x  4x  2x   0 1 2 3 4 5
10) Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình  x  3x  4x  0 1 3 4 
 x  x  7x  9x  0 1 2 3 4
2x  x 10x 13x  0  1 2 3 4 3  x  x 13x 17x   0 1 2 3 4
(Một hệ nghiệm cơ bản là một cơ sở của không gian nghiệm) 11) Trong 3 R cho các hệ vector:
  (1,1,1),  (1,1,2),  (1,2,3) (1) 1 2 3
  (2,1,1),  (3,2,5),  (1,1,m) (2) 1 2 3
a) Chứng minh rằng (1) là một cơ sở của 3 R .
b) Tìm tọa độ của vector u = (2,3,1) đối với cơ sở (1).
c) Tìm m để (2) là một cơ sở của 3 R . d) Cho m=1.
-Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (1) sang (2) . - Cho (x)  ( 1  ,2,3) (x)  ? /(2) . Tìm /(1)