Bài tập Chương 4 - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HCM

5 Bài tập
1. Sau khi áp dụng một chế độ dinh dưỡng đặc biệt cho dân cư một vùng, người ta đo hàm lượng
cholesterol X (đơn vị mg%) cho một nhóm người trong vùng, với số liệu sau X 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 Số người 3 9 11 6 4 3
Già sử X có phân phối chuẩn.
a) Tìm khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể 2
 và độ lệch chuẩn tổng thể  ở độ tin cậy X X   0.95 .
b) Tìm khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể,  , ở độ tin cậy   0.95 . X
c) Nếu muốn sai số ước lượng cho trung bình tổng thể,  , không quá   4 mg%, ở độ tin cậy X 0
  0.95 , thì phải thu thập thêm ít nhất bao nhiêu số liệu ?
d) Trước đây, lượng cholesterol trung bình của dân cư vùng này là   180 mg%. Hỏi rằng chế độ 0
dinh dưỡng mới có làm thay đổi hàm lượng cholesterol trung bình không ? (kết luận với   0.1).
e) Người có hàm lượng cholesterol từ 180 mg% trở lên được gọi là có hàm lượng cholesterol cao.
Tìm khoảng ước lượng tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao tổng thể , ở độ ti , p n cậy   0.95 .
f) Nếu muốn sai số ước lượng cho tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao, p, không quá
 15% , ở độ tin cậy   0.95 , thì phải thu thập thêm ít nhất bao nhiêu số liệu ? 0
g) Trước đây, tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao của dân cư vùng này là p  55% . Hỏi rằng 0
chế độ dinh dưỡng mới có làm thay đổi tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao không ? (kết luận với   0.1).
Lời giải. Ta có n  36 , X  177.22 , S  13.96, và 2 S 194.92 . X X n   2 1 S a) Thống kê trục xoay X T  1 . 2   Do n  36 , T
, nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên a, b cho T ở mức xác suất
  0.95 , với a  20.569 , b  53.203 , nghĩa là
P 20.569  T  53.20  3  0.95 . n   2 1 S  Với 35 194.92 X T   , ta có 2 2   35 194.92 35 194.92 35 194.92 2
20.569  T  53.203  20.569   53.203     2  53.203 20.569 2
 128.23   331.67  11.32    18.21 Do  2
P 128.23    331.67   P 11.32    18.21  0.95 , ta được khoảng tin cậy của phương sai tổng thể 2
 và của độ lệch chuẩn tổng thể  ở độ tin cậy   0.95 lần lượt l à
128.23,331.67 và 11.32,18.2  1 . X  
b) Thống kê trục xoay T  . S / n X 6 Do n  36 , T
, nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên C,C cho
T ở mức xác suất   0.95, với C 1.960, nghĩa là P  1
 .96  T  1.96  0.95.     Với X 177.22 T   , ta có S / n 13.96 / 36 X 177.22  
1.96 T 1.96  1.96  1.96 13.96 / 36 13.96 13.96  177.22 1.96   177.22 1.96 36 36  172.66    181.78
Do P 172.66    181.78  0.95 , ta được khoảng tin cậy của trung bình tổng thể  ở độ tin cậy   0.95 là 172.66,181.78.
c) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho  ở độ tin cậy   0.95 là X S 13.96 X   C 1.96 . n n
Do vậy, nếu ta muốn sai số ước lượng không quá mức   4, ta cần 0 2 2  S   13.96  X n  C  1.96  46.79     ,     4  0
nghĩa là ta cần ít nhất n  47 số liệu. Do đó, ta cần thu thập thêm 47  36  11 số liệu. d)
Ta có bài toán kiểm định : H :  180 0  H :   180  A  
với thống kê kiểm định X 0 T  . S / n X Với T
và   0.1, ta được C  1.645, với P  1
 .645  T 1.645  0.9 1  .   
Từ số liệu nhận được, ta có X 177.22 180 0 T    1.19. S / n 13.96 / 36 X
Do T  C nên ta chấp nhận H , nghĩa là chế độ dinh dưỡng mới không làm thay đổi hàm 0
lượng cholesterol trung bình.
e) Với số liệu nhận được, ta có cỡ mẫu n  36 , và tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao trên mẫu là 6 4 3 f   0.36  36%. 36 7 
ta dùng thống kê trục xoay f p T  . f 1 f  / n Do T
, nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên C,C  cho T ở
mức xác suất   0.95 , với C 1.96, nghĩa là P  1
 .96  T  1.96  0.95.   Với f p 0.36 p T   , ta có f 1  f  / n 0.361 0.3  6 / 36 0.36 p
1.96  T  1.96  1.96   1.96 0.36 1 0.36 / 36 0.36 1 0.36 0.36 1 0.36  0.36 1.96  p  0.36 1.96 36 36  0.20  p  0.52.
Do P 0.20  p  0.52   0.95 , ta được khoảng tin cậy của p ở độ tin cậy   0.95 là 0.20,0.52.
f) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho p ở độ tin cậy   0.95 là f 1 f  0.36 1 0.36    C 1.96 . n n
Do vậy, nếu ta muốn sai số ước lượng không quá mức   0.15 , ta cần 0 2 2  C 
       1.96 n f 1 f   0.36   1 0.3  6  39.34 ,     0.15 0
nghĩa là ta cần ít nhất n  40 số liệu. Do đó, ta cần thu thập thêm 40  36  4 u. số liệ
g) Ta có bài toán kiểm định : H : p  0.55 0  H : p  0.55  A 
với thống kê kiểm định f p0 T  . p 1 p n 0  0  Với T
và   0.1, ta được C  1.645 , với P  1
 .645  T 1.645  0.9 1  .  
Từ số liệu nhận được, ta có f p 0.36 0.55 0 T    2.29. p 1 p n 0.55 1 0.55 / 36 0  0   
Do T  C nên ta bác bỏ H , nghĩa là chế độ dinh dưỡng mới có làm thay đổi tỷ lệ người có 0
hàm lượng cholesterol cao. 8
2. Một máy đóng gói các sản phẩm được thiết kế cho ra sản phẩm có khối lượng trung bình
  2kg . Sau một thời gian sử dụng, nghi ngờ máy hoạt động không bình thường, người ta thu 0
thập số liệu trên một mẫu ngẫu nhiên các sản phẩm và nhận được kết quả như sau : Khối lượng X (kg) 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 Số sản phẩm 6 30 40 15 3 2
Già sử X có phân phối chuẩn.
a) Tìm khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể 2
 và độ lệch chuẩn tổng thể  ở độ tin cậy X X   0.95 .
b) Tìm khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể,  , ở độ tin cậy   0.95 . X
c) Nếu muốn sai số ước lượng cho trung bình tổng thể,  , không quá   0.03 kg, ở độ tin cậy X 0
  0.95 , thì phải thu thập thêm ít nhất bao nhiêu số liệu ?
d) Tham số thiết kế máy đóng gói cho biết khối lượng trung bình sản phẩm là   2kg . Hỏi rằng số 0
liệu thu thập nêu trên có còn phù hợp với tham số trung bình này không ? (kết luận với   0.1).
e) Sản phẩm đạt chuẩn phải có khối lượng từ 1.9 kg đến 2.1 kg. Tìm khoảng ước lượng tỷ lệ sản
phẩm đạt chuẩn tổng thể , , ở độ tin cậy p   0.95 .
f) Nếu muốn sai số ước lượng cho tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn, p, không quá   9% , ở độ tin cậy 0
  0.95 , thì phải thu thập thêm ít nhất bao nhiêu số liệu ?
g) Tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn theo thiết kế là p  80% . Hỏi rằng số liệu thu thập nêu trên có còn phù 0
hợp với tham số thiết kế này không ? (kết luận với   0.1).
Lời giải. Ta có n  96 , X  1.87 , S  0.20, và 2 S  0.04 . X X  n   2 1 S a) Thống kê trục xoay X T   1 . 2  Do n  96 , T
, nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên a, b cho T
ở mức xác suất   0.95 , với a  69.925, b 123.858 , nghĩa là
P 69.925  T  123.858  0.95 . n   2 1 S  Với 95 0.04 X T   , ta có 2 2   95 0.04 95 0.04 95 0.04 2
69.925  T  123.858  69.925   123.858     2  123.858 69.925 2
 0.03   0.05  0.18    0.23 Do  2
P 0.03    0.05   P 0.18    0.23  0.95 , ta được khoảng tin cậy của phương sai tổng thể 2
 và của độ lệch chuẩn tổng thể  ở độ tin cậy   0.95 lần lượt là
0.03,0.05 và 0.18,0.23. X  
b) Thống kê trục xoay T  . S / n X 9 Do n  96 , T
, nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên C,C cho
T ở mức xác suất   0.95, với C 1.960, nghĩa là P  1
 .96  T  1.96  0.95.     Với X 1.87 T   , ta có S / n 0.2 / 96 X 1.87 
1.96  T  1.96  1.96   1.96 0.2 / 96 0.2 0.2 1.87 1.96    1.87 1.96 96 96 1.83   1.91
Do P 1.83    1.91  0.95 , ta được khoảng tin cậy của trung bình tổng thể  ở độ tin cậy   0.95 là 1.83,1.9  1 .
c) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho  ở độ tin cậy   0.95 là X S 0.2 X   C 1.96 . n n
Do vậy, nếu ta muốn sai số ước lượng không quá mức   0.03, ta cần 0 2 2  S   0.2  X n  C  1.96  170.74     ,     0.03  0
nghĩa là ta cần ít nhất n 171 số liệu. Do đó, ta cần thu thập thêm 17196  75 số liệu. d)
Ta có bài toán kiểm định : H :   2 0  H :   2  A  
với thống kê kiểm định X 0 T  . S / n X Với T
và   0.1, ta được C  1.645, với P  1
 .645  T 1.645  0.9 1  .   
Từ số liệu nhận được, ta có X 1.87 2 0 T    6.37 . S / n 0.2 / 96 X Do T  C nên ta bác
bỏ H , nghĩa là số liệu thu thập không còn phù hợp với tham số thiết kế 0 ban đầu.
e) Với số liệu nhận được, ta có cỡ mẫu n  96 , và tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn trên mẫu là 40 15 f   0.57  57% . 96 10 
ta dùng thống kê trục xoay f p T  . f 1 f  / n Do T
, nên với   0.95 , ta tìm được khoảng ước lượng hai bên C,C  cho T ở
mức xác suất   0.95 , với C 1.96, nghĩa là P  1
 .96  T  1.96  0.95.   Với f p 0.57 p T   , ta có f 1  f  / n 0.571 0.57 / 96 0.57 p
1.96  T  1.96  1.96   1.96 0.57 1 0.57  / 96 0.571 0.57 0.571 0.57  0.57 1.96  p  0.57 1.96 96 96  0.47  p  0.67.
Do P 0.47  p  0.67   0.95 , ta được khoảng tin cậy của p ở độ tin cậy   0.95 là 0.47,0.67.
f) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho p ở độ tin cậy   0.95 là f 1 f  0.57 1 0.57    C 1.96 . n n
Do vậy, nếu ta muốn sai số ước lượng không quá mức   0.09 , ta cần 0 2 2  C
       1.96 n f 1 f   0.57   1 0.57  116.24 ,     0.09  0
nghĩa là ta cần ít nhất n 117 số liệu. Do đó, ta cần thu thập thêm 117 96  21 số liệu.
g) Ta có bài toán kiểm định : H : p  0.8 0  H : p  0.8  A 
với thống kê kiểm định f p0 T  . p 1 p n 0  0  Với T
và   0.1, ta được C  1.645 , với P  1
 .645  T 1.645  0.9 1  .  
Từ số liệu nhận được, ta có f p 0.57 0.8 0 T    5.63. p 1 p n 0.8 1  0.8 / 96 0  0   
Do T  C nên ta bác bỏ H , nghĩa là số liệu thu thập không còn phù hợp với tham số thiết kế. 0