Bài tập chương 7: Tự tương quan môn Kinh tế lượng | Đại học Thăng Long

lOMoARcPSD| 40615597
PHẦN 7. TỰ TƯƠNG QUAN
Các giả thuyết của mô hình hồi quy tuyến tính bội cổ điển:
1. X là xác định, không ngẫu nhiên
2. Sai số U có trung bình bằng 0: E(U) = 0 (Tức là E(Ui) = 0, i)
3. Phương sai của Ui là không đổi và bằng nhau (phương sai thuần nhất) 2ui = 2
4. Các sai số Ui, Uj là không tương quan: cov(Ui,Uj) = 0
5. Các biến độc lập không có quan hệ tuyến tính với nhau
Nếu vi phạm giả thuyết thứ 4 (các sai số ngẫu nhiên Ui và Uj có mối liên hệ với nhau) thì người ta
nói mô hình có hiện tượng phương sai thay đổi.
I. Cách phát hiện một mô hình hồi quy có hiện tượng tự tương quan 1)
Phát hiện tự tương quan bằng cách vẽ biểu đồ tán xạ
1a) Vẽ biểu đồ tán xạ của phần dư (e ) theo thời gian (t) để phát hiện tự tương quan t
Xét mô hình: Y = B1 + B2X + U
Để vẽ biểu đồ tán xạ của phần dư (e ) theo thời gian ta làm như sau: t
Bước 1: Tính phần dư e bằng lệnh: e=resid(lm(Y~X))
Bước 2: Lập véc tơ thời gian t bằng lệnh t = c(1:n) (Trong đó: n là cỡ mẫu)
Bước 3: Câu lệnh vẽ biểu đồ của et theo thời gian như sau: plot(e~t)
VD1: File CONSVaGDP.rda chứa số liệu về tiêu dùng (CONS) và thu nhập
(GDP) trong thời kì 1960-1986 của Nigieria. Xét mô hình: CONS = B1 + B2GDP + U. Vẽ biểu đồ phần
dư et theo thời gian từ đó nhận xét về hiện tượng tự tương quan trong mô hình.
b) Vẽ biểu đồ tán xạ của et theo et 1 (phát hiện tự tương quan bậc 1 dương hay âm)
Xét mô hình: Y = B1 + B2X + U
Để vẽ biểu đồ tán xạ của et theo et-1 ta làm như sau:
Bước 1: Tính phần dư e bằng lệnh: e=resid(lm(Y~X))
Bước 2: Lập véc tơ et bằng lệnh e[2:n] và véc tơ et-1 bằng lệnh e[1:n 1]
(Trong đó: n là cỡ mẫu). Ý là bỏ quan sát đầu đối với et và bỏ quan sát cuối đối với et-1
Bước 3: Vẽ biểu đồ tán xạ của et theo et 1 như sau: plot(e[2:n]~e[1:n 1])
VD2: File CONSVaGDP.rda chứa số liệu về tiêu dùng (CONS) và thu nhập
(GDP) trong thời kì 1960-1986 của Nigieria. Xét mô hình: CONS = B1 + B2GDP + U. Vẽ biểu đồ phần
dư et theo et-1 từ đó nhận xét về hiện tượng tự tương quan cấp một trong mô hình. Nếu có thì đó
là tự tương quan dương hay âm? 2)
Phát hiện tự tương quan bậc một bằng kiểm định Durbin Watson
Xét mô hình: Y = B1 + B2X + U (1)
Xét cấu trúc tự tương quan bậc một: Ut = Ut 1 + Vt . Trong đó: 1 1
Ước lượng cho được gọi là hệ số tự tương quan bậc 1: =
Giá trị thống kê DW = ~ 2 (1 ) 1 lOMoARcPSD| 40615597
(Giá trị DW này sẽ nhìn thấy khi dùng lệnh kiểm định tự tương quan bậc 1 dwtest) Vì: 1 1 nên: 0 DW 4
Khi: 1 < 0 <=> 2 < DW 4 thì mô hình (1) có thể có tự tương quan âm
Khi: = 0 <=> DW = 2 thì mô hình (1) không có tự tương quan
Khi: 0 < 1 <=> 0 DW < 2 thì mô hình (1) có thể có tự tương quan dương Thiết
lập các cặp giả thuyết thống kê sau: H0: = 0 H0: = 0 H0: = 0
H1: > 0 H1: < 0 H1: 0 Lệch phải Lệch trái Hai bên Bài toán p–giá trị (p value) H0: = 0
p–giá trị < => bác bỏ H0 => Mô hình (1) có hiện tượng tự tương quan dương H1: > 0
p–giá trị > => chấp nhận H0 => Mô hình (1) không có hiện tượng tự tương quan dương Lệch phải H0: = 0
p–giá trị < => bác bỏ H0 => Mô hình (1) có hiện tượng tự tương quan âm H1: < 0
p–giá trị > => chấp nhận H0 => Mô hình (1) không có hiện tượng tự tương quan âm Lệch trái H0: = 0
p–giá trị < => bác bỏ H0 => Mô hình (1) có hiện tượng tự tương quan H1: 0
p–giá trị > => chấp nhận H0 => Mô hình (1) không có hiện tượng tự tương quan Hai bên
Muốn kiểm định cho các cặp giả thuyết trên thì ta phải dùng lệnh dwtest. Tuy nhiên muốn dùng
lệnh dwtest thì ta phải gọi library(lmtest) ra trước. dwtest(lm(Y~X),alt=“”) Trong đó:
lm(Y~X) : là ước lượng của mô hình (1)
alt=“” : là tên của các bài toán kiểm định
alt=“g” là bài toán lệch phải; alt=“l” là bài toán lệch trái; alt=“t” là bài toán hai bên.
VD3: File CONSVaGDP.rda chứa số liệu về tiêu dùng (CONS) và thu nhập
(GDP) trong thời kì 1960-1986 của Nigieria. Xét mô hình: CONS = B1 + B2GDP + U. Viết phương
trình hồi quy mẫu. Dùng kiểm định Durbin – Watson xem có tự tương quan trong mô hình trên không?
II.Cách khắc phục hiện tượng tự tương quan bậc một trong một mô hình hồi quy
Chúng ta khắc phục tự tương quan bằng phương pháp sai phân tổng quát
1) Khắc phục tự tương quan bằng phương pháp sai phân tổng quát mà đã biết sẵn giá trị của
Xét mô hình: Yt = B1 + B2Xt + Ut (1) 2 lOMoARcPSD| 40615597
Mô hình (1) Có cấu trúc tự tương quan bậc một như sau: Ut = Ut 1 + Vt và đã biết rõ giá trị của
là một con số cụ thể.
Mô hình (1) đúng tại thời điểm t thì cũng đúng tại thời điểm t–1, ta có: Yt-1 = B1 + B2Xt-1 + Ut-1 (2)
Nhân cả 2 vế của phương trình (2) với ta được: Yt-1 = B1 + B2Xt-1 + Ut-1 (3) Lấy
(1) – (3) ta được: Yt – Yt-1 = B1 – B1 + B2Xt – B2Xt-1 + Ut – Ut-1
<=> Yt – Yt-1 = B1 (1 ) + B2 (Xt – Xt-1) + Ut – Ut-1
Đặt Y* = Yt – Yt-1 , B1* = B1 (1 ) , X* = Xt – Xt-1 , Vt = Ut – Ut-1 Khi
đó mô hình trở thành: Y* = B1* + B2X* + Vt (4)
(4) được gọi là mô hình sai phân tổng quát.
Sau đó ta lại kiểm tra xem mô hình mới (mô hình (4)) có còn hiện tượng tự tương quan bậc một
nữa hay không. Giả sử mô hình (4) Có cấu trúc tự tương quan bậc một như sau: Vt = Vt 1 + Wt
bằng cách lại kiểm định các cặp giả thuyết của mô hình (4) bằng kiểm định Durbin Watson: H0: = 0 H0: = 0 H0: = 0 H1: > 0 H1: < 0 H1: 0
dwtest(lm(Ysao~Xsao),alt=“”) Trong đó:
lm(Ysao~Xsao) : là ước lượng của mô hình (4)
Ysao=Y[2:n]– *Y[1:n 1] (Tức là bỏ quan sát đầu đối với Yt và bỏ quan sát cuối đối với Yt-1)
Xsao=X[2:n]– *X[1:n 1] (Tức là bỏ quan sát đầu đối với Xt và bỏ quan sát cuối đối với Xt-1)
Với X và Y là tên các biến độc lập và phụ thuộc của mô hình (1). Và n là cỡ mẫu.
là một con số cụ thể đề bài sẽ cho (VD đề bài cho là = 0.5 , cỡ mẫu là 20 thì ta tạo Y* và
X* trên phần mềm bằng cách: Ysao=Y[2:20]–0.5*Y[1:19] và Xsao=X[2:20]–0.5*X[1:19])
alt=“” : là tên của các bài toán kiểm định
alt=“g” là bài toán lệch phải; alt=“l” là bài toán lệch trái; alt=“t” là bài toán hai bên.
Nếu mô hình (4) không còn hiện tượng tự tương quan thì kết luận là phương pháp sai phân
tổng quát đã khắc phục được hiện tượng tự tương quan.
Nếu mô hình (4) vẫn còn hiện tượng tự tương quan thì kết luận là phương pháp sai phân tổng
quát chưa khắc phục được hiện tượng tự tương quan.
VD4: File CONSVaGDP.rda chứa số liệu về tiêu dùng (CONS) và thu nhập
(GDP) trong thời kì 1960-1986 của Nigieria. Xét mô hình: CONS = B1 + B2GDP + U. Cho = 0.8 từ
đó dùng kiểm định Durbin Watson xem có hiện tượng tự tương quan trong mô hình sai phân tổng
quát không? Nếu khắc phục được tự tương quan hãy ước lượng cho B1 và B2 của mô hình gốc từ
mô hình sai phân tổng quát.
2) Khắc phục tự tương quan bằng phương pháp sai phân tổng quát mà chưa biết giá trị của
Xét mô hình: Yt = B1 + B2Xt + Ut (1)
Mô hình (1) Có cấu trúc tự tương quan bậc một như sau: Ut = Ut 1 + Vt
Đầu tiên ta cứ biến đổi mô hình (1) thành mô hình sai phân tổng quát trước đã. 3 lOMoARcPSD| 40615597
Mô hình (1) đúng tại thời điểm t thì cũng đúng tại thời điểm t–1, ta có: Yt-1 = B1 + B2Xt-1 + Ut-1 (2)
Nhân cả 2 vế của phương trình (2) với ta được: Yt-1 = B1 + B2Xt-1 + Ut-1 (3) Lấy
(1) – (3) ta được: Yt – Yt-1 = B1 – B1 + B2Xt – B2Xt-1 + Ut – Ut-1
<=> Yt – Yt-1 = B1 (1 ) + B2 (Xt – Xt-1) + Ut – Ut-1
Đặt Y* = Yt – Yt-1 , B1* = B1 (1 ) , X* = Xt – Xt-1 , Vt = Ut – Ut-1
Khi đó mô hình trở thành: Y* = B1* + B2X* + Vt (4)
Sau đó ta lại kiểm tra xem mô hình mới (mô hình (4)) có còn hiện tượng tự tương quan bậc một
nữa hay không. Giả sử mô hình (4) Có cấu trúc tự tương quan bậc một như sau: Vt = Vt 1 + Wt
bằng cách lại kiểm định các cặp giả thuyết của mô hình (4) bằng kiểm định Durbin Watson: H0: = 0 H0: = 0 H0: = 0 H1: > 0 H1: < 0 H1: 0
dwtest(lm(Ysao~Xsao),alt=“”) Trong đó:
lm(Ysao~Xsao) : là ước lượng của mô hình (4)
Ysao=Y[2:n]– *Y[1:n 1] (Tức là bỏ quan sát đầu đối với Yt và bỏ quan sát cuối đối với Yt-1)
Xsao=X[2:n]– *X[1:n 1] (Tức là bỏ quan sát đầu đối với Xt và bỏ quan sát cuối đối với Xt-1)
Với X và Y là tên các biến độc lập và phụ thuộc của mô hình (1). Và n là cỡ mẫu.
alt=“” : là tên của các bài toán kiểm định
alt=“g” là bài toán lệch phải; alt=“l” là bài toán lệch trái; alt=“t” là bài toán hai bên.
Nếu mô hình (4) không còn hiện tượng tự tương quan thì kết luận là phương pháp sai phân
tổng quát đã khắc phục được hiện tượng tự tương quan.
Nếu mô hình (4) vẫn còn hiện tượng tự tương quan thì kết luận là phương pháp sai phân tổng
quát chưa khắc phục được hiện tượng tự tương quan.
Vấn đề là bây giờ đề bài lại chưa cho sẵn giá trị của . Khi chưa biết cấu trúc của tự tương quan
bậc 1 (Tức là đề bài không cho sẵn giá trị của) thì chúng ta có thể ước lượng từ một trong ba cách sau:
Cách 1: Ước lượng từ giá trị thống kê DW: = 1 –
Trong đó: được gọi là hệ số tự tương quan bậc 1
Tìm cho cách 1 trên phầm mềm như sau: Nhìn vào kết quả của lệnh dwtest(lm(Y~X),alt=“”)
để biết được DW là bao nhiêu sau đó ra sẽ tính ra và lưu lại trên phần mềm bằng cách: romu=1–
DW/2 (tất nhiên DW lúc này sẽ là một con số cụ thể)
Cách 2: Ước lượng cho từ công thức: = Tìm cho cách 2 trên phầm mềm như sau:
Bước 1: Tính phần dư e dựa trên mô hình (1): e=resid(lm(Y~X)) Bước
2: Tính ra và lưu lại trên phần mềm bằng cách:
romu=sum(e[2:n]*e[1:n 1])/sum(e^2)
Trong đó: n là cỡ mẫu. Ta bỏ quan sát đầu đối với et và bỏ quan sát cuối đối với et-1 4 lOMoARcPSD| 40615597
Cách 3: Ước lượng cho từ mô hình tự hồi quy bậc 1 của phần dư: et = et-1 + Vt
Tìm cho cách 3 trên phầm mềm như sau:
Bước 1: Tính phần dư e dựa trên mô hình (1): e=resid(lm(Y~X)) Bước
2: Tính ra thông qua lệnh lm(e[2:n]~e[1:n 1]+0)
(Vì mô hình tự hồi quy bậc 1 là mô hình không có hệ số chặn nên ta phải + với 0)
Bước 3: Lưu lại kết quả của trên phần mềm bằng cách: romu= kết quả lấy ở bước 2
VD5: File CONSVaGDP.rda chứa số liệu về tiêu dùng (CONS) và thu nhập (GDP) trong thời kì 1960-
1986 của Nigieria. Xét mô hình: CONS = B1 + B2GDP + U. Ước lượng hệ số tự tương quan cấp một theo 3 cách:
Ước lượng dựa vào giá trị thống kê DW
Ước lượng theo công thức: =
Ước lượng từ mô hình tự hồi quy bậc nhất
Viết mô hình sai phân tổng quát. Dùng kết quả ở trên để ước lượng mô hình sai phân tổng quát
và kiểm định xem có còn tự tương quan trong mô hình sai phân tổng quát không?
VD6: File ChiSoGiaVaKQSX.xls chứa số liệu về chỉ số giá (Y) và kết quả sản xuất (X).
a. Viết phương trình hồi quy tuyến tính tổng thể của Y phụ thuộc X. Ước lượng phương
trìnhmẫu. Kiểm định DW xem có hiện tượng tự tương quan trong mô hình hồi quy tuyến tính tổng thể không?
b. Ước lượng hệ số tự tương quan bậc nhất theo 3 cách:
Ước lượng dựa vào giá trị thống kê DW
Ước lượng theo công thức: =
Ước lượng từ mô hình tự hồi quy bậc nhất
Dùng kết quả ở phần trên để kiểm định xem có còn hiện tượng tự tương quan trong mô hình sai
phân tổng quát không? Nếu không còn tự tương quan trong mô hình mới này thì hãy ước lượng
cho các hệ số hồi quy của mô hình gốc.
VD7: Trong file RWVaPRO.rda, RWAGES là chỉ số tiền lương thực tế một giờ và PRODUCT là chỉ
số năng suất lao động một giờ.
a.Lập phương trình hồi quy tuyên tính tổng thể RWAGES theo PRODUCT. Viết đường hồi quy
mẫu của RWAGES theo PRODUCT
b.Vẽ đồ thị của các phần dư theo thời gian và nhận xét về hiện tượng tự tương quan trong mô hình.
c.Vẽ đồ thị của et theo et−1. Nhận xét về hiện tượng tự tương quan trong mô hình.
d.Kiểm định DW xem có hiện tượng tự tương quan không?
e.Ước lượng cho hệ số tự tương quan ρ bằng cách hồi quy phần dư của mô hình gốc.
f. Với giá trị ước lượng trong câu e tiến hành hồi quy theo GLS (ý là hãy ước lượng mô hình sai phân
tổng quát). Kiểm định DW xem có còn hiện tượng tự tương quan trong mô hình mới không? Nếu
không hãy dùng mô hình mới này để ước lượng các hệ số hồi quy của mô hình gốc 5 lOMoARcPSD| 40615597
VD8: Trong file TLThayDoiTienLuong.rda, Y là phần trăm thay đổi mỗi năm trong chỉ số của tiền
lương tính theo giờ, X là tỉ lệ thất nghiệp.
a. Viết phương trình hồi quy tuyến tính tổng thể Y theo X. Có tự tương quan bậc một xảy
rakhông? Nếu có, nó là tự tương quan âm hay dương? (dùng phép kiểm định Durbin Watson)
b. Nếu có tự tương quan, hãy ước lượng hệ số tự tương quan bậc nhất ρ từ thống kê DW.
c. Hãy ước lượng mô hình sai phân tổng quát với ρ vừa ước lượng được. Theo bạn, với cách giải
quyết này có gặp tự tương quan khi ước lượng không?
3) Cách phát hiện một mô hình hồi quy có hiện tượng tự tương quan bậc k (từ bậc 2 trở lên)
Xét mô hình hồi quy: Yt = B1 + B2Xt + Ut (1)
Giả sử Ut hình thành theo mô hình tự tương quan bậc k như sau:
Ut = 1Ut 1 + 2Ut 2 + 3Ut 3 +…+ kUt k + Vt Kiểm
định cặp giả thuyết thống kê sau:
H0: 1 = 2 = 3 = … = k = 0 (Mô hình (1) không có tự tương quan bậc k) H 2 2 2 2
1: 1 + 2 + 3 +…+ k 0 (Mô hình (1) có tự tương quan bậc k)
Để kiểm định giả thuyết trên ta dùng kiểm định Breusch – Godfrey (dùng lệnh bgtest) . Tuy nhiên
muốn dùng lệnh bgtest thì ta phải gọi library(lmtest) ra trước.
bgtest(lm(Y~X),order=k,type= “Chisq” hoặc type= “F”) Trong đó:
lm(Y~X) : là ước lượng của mô hình (1)
order=k : là bậc của tự tương quan
type= “Chisq” hoặc type= “F” là kiểu thống kê kiểm định theo thống kê khi bình phương
hoặc theo thống kê F. Nếu đề bài không nói gì để mặc định là type= “Chisq”
VD9: File CungGia.rda chứa dữ liệu về lượng cung (Q) và giá (P) của một mặt hàng, số liệu thu
thập theo tháng. Xét mô hình: Qt = B1 + B2 Pt + Ut
1. Dùng phép kiểm định DW phát hiện xem có tự tương quan trong mô hình không?
2. Dùng phép kiểm định Breusch – Godfrey để phát hiện xem có tự tương quan bậc 2 trong môhình không?
Không cần học cách khắc phục cho mô hình có hiện tượng tự tương quan bậc k. 6