Bài tập Cơ học lượng tử| BT môn Vật lý đại cương 3| Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Tính bước sóng de Broglie của electron và proton chuyển động với vận tốc 10^6 m/s.

16 8 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Vật lý đại cương

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

15 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Trịnh Thảo Anh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
o0o
BÀI TẬP VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG III
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Hà Nội, tháng 12/2020
1
Bi 1: Tnh bưc sng de Broglie ca electron v proton chuyn đng vi vn tc 10
6
m/s.
Bi gii
Ta c:
Đng năng ca ht:
hh
p mv
mv
Bưc sng de Broglie ca ht:
electron:
34
10
31 6
6,625.10
7,28.10
9,1.10 .10
e
e
h
m
mv
proton:
34
13
27 6
6,625.10
3,96.10
1,672.10 .10
p
p
h
m
mv
Bài 2:
Ht electron tương đi tnh chuyn đng vi vn tc 2.10
8
m/s. Tnh bưc sng De Broglie
ca n.
Bi gii
Bưc sng de Broglie ca ht:
p
h
vi m =
2
2
1
c
v
m
e
)(10.71,2
10.2.10.1,9
)10.3(
)10.2(
110.625,6
1
12
831
28
28
34
2
2
m
c
v
vm
h
e
Bi 3: Ht electron không vn tc đu đưc gia tc qua hiu đin th U. Tnh U bit rng
sau khi gia tc, ht electron chuyn đng vi bưc sng de Broglie bng 1 Amstrong
Bi gii
Ta c:
Năng lưng ca ht:
2
2
11
22
e
e
mv
E eU m v U
e
Đng năng ca ht:
e
e
hh
p m v v
m

Hiu đin th U:
2
2
34
2
2
2
2
19 10 31
6,625.10
1 1 1 1
150,7( )
2 2 2 2
1,6.10 . 10 .9,1.10
ee
ee
m v m
hh
UV
e e m e m




Bài 4: Xác định bưc sóng De Broglie ca ht electron có đng năng bng 1keV.
Bi gii
Đng năng ca ht electron bng 1keV (bng
3
10 MeV
) rất nhỏ so vi năng lưng nghỉ
ca electron (bng 0,51MeV) . Do đ, vn tc electron thu đươc không ln lắm, nên có th
sử dụng đưc công thức trong cơ học phi tương đi (cơ học Newtơn).
Khi đ: T=
Tmp
m
pvm
e
e
e
2
22
22
Bưc sóng de Broglie ca ht:
34
o
31 3 19
e
h h 6,625.10
0,39 A
p
2m T
2.9,1.10 .10 .1,6.10




2
Bi 5: Xc định bưc sng de Broglie ca ht proton đưc gia tc (không vn tc đu)
qua mt hiu đin th bng 1kV v 1MV.
Bi gii
Năng lưng ca ht:
2
12
2
qU
E qU mv v
m
Đng năng ca ht:
hh
p mv
mv
Bưc sng de Broglie ca ht:
22
h h h
mv
qU mqU
m
m
34
3 13
27 19 3
6,625.10
1 10 : 9,06.10
2
2.1,672.10 .1,6.10 .10
h
U kV V m
mqU

34
6 14
27 19 6
6,625.10
1 10 : 2,86.10
2
2.1,672.10 .1,6.10 .10
h
U MV V m
mqU

Bài 6:
Phải cung cấp cho ht electron thêm mt năng lưng bng bao nhiêu đ cho bưc sóng De
Broglie ca nó giảm từ
12
100.10
xung
12
50.10 m?
Bi gii
Áp dụng cơ học tương đi tính, ta có:
T=
)1
1
1
(
1
2
2
2
2
2
c
v
mcm
c
v
m
ee
e
2
2
2
2
1
cmT
cm
c
v
e
e
và v=
2
2
2
)2(.
cmT
cmTTc
e
e
Từ đ tính đng năng ca electron:
P=
c
cmTT
cmT
cm
cmT
cmTT
cm
c
v
vm
e
e
e
e
e
e
e
)2(
)2(
1
.
2
2
2
2
2
2
2
Bưc sóng de Broglie ca ht:
)2(
2
cmTT
hc
p
h
e
2
T
0)(2
2
hc
Tcm
e
+ Vi
12
1
100.10 :

34 8
2 31 8 2 2 17
1
12
6,625.10 .3.10
T 2.9,1.10 .(3.10 ) T ( ) 0 T 2,4112.10 0,1507 KeV
100.10

+ Vi
12
2
50.10 :

3
34 8
2 31 8 2 2 17
2
12
6,625.10 .3.10
T 2.9,1.10 (3.10 ) T ( ) 0 T 9,634.10 0,6021 KeV
50.10

y năng lưng cn phải cung cấp là:
21
E T T 0,6021 0,1507 0,4514 KeV
Bi 7: Ht neutron đng năng 25 eV bay đn va chm vo ht Deuteri (ht nhân ca đng
vị nng ca Hydro). Tnh bưc sng de Broglie ca hai ht trong h quy chiu khi tâm
chng.
Bi gii
Trong h quy chiu phòng th nghim:
- Vn tc ht neutron:
n
vv
thoả mãn
2
n
mv
25eV
2
- Vn tc ht Deuteri:
d
v0
Trong h quy chiu khi tâm:
- Vn tc ht neutron:
d
n
nd
mv
v
mm
- Vn tc ht Deuteri:
d
d
nd
mv
v
mm

Lc ny hai ht c vector đng lưng đi nhau. Module chung ca cc vector đng lưng
ca hai ht đ bng:
dn
o
nd
m m v
p
mm
(xét trường hp phi tương đi tnh)
Vy ht n v d c cùng bưc sng de Broglie trong h quy chiu khi tâm
Thay
n
2kT
v
m
ta đưc:
n
d
n
m
h
1
m
2m kT



Bài 8:
Xét các phân tử khí hyđrô cân bng nhit đng ở nhit đ phòng. Tính các bưc sóng De
Brogliecó xác suất ln nhất ca phân tử.
Bi gii
Xét định lut phân b phân tử theo vn tc ca Maxwell:
F(v)dv =
.)
2
(
4
2
3
kT
m
kT
mv
ev
2
2
2
dv
Nhn xét:
(trường hơp tương đi tính)
1
v
2
d
dv
Vy ta có th vit định lut phân b theo giá trị ca bưc sóng De Broglie như sau:
4
F(
de
m
h
kT
md
e
m
h
kT
m
d
Tm
h
Tm
h
2
2
2
2
2
42
2
3
2
2
2
2
3
).()
2
(
4
)()
2
(
4
)
=A
de
Tm
h
2
2
2
4
Hàm phân b F(
)
cực đi khi:
mT
h
oe
Tm
h
AeA
d
dF
Tm
h
Tm
h
2
..).4.(0
)(
2
2
2
2
2
2
4
2
3
Bi 9: Thit lp biu thức ca bưc sng de Broglie
ca ht tương đi tnh chuyn đng
vi đng năng T. Vi gi trị no ca T sự sai khc gia
tương đi tnh v
phi tương
đi tnh không qu 1% đi vi ht electron v proton.
Bi gii
Bưc sng de Broglie ca ht tương đi tnh:
2
2
2
2
1
h h hc
mv
p
T T mc
v
c
(p dụng bi 6)
Bưc sng de Broglie ca ht phi tương đi tnh:
22
2 2 2 2
2
2
11
11
100 100
1
oo
o
h T mc T T T mc
T
mv mc mc mc mc
v
c


Đi vi electron:
2
31 8
2
18 3
9,1.10 . 3.10
8,19.10 5,12.10
100 100
e
mc
T J eV
Đi vi proton:
2
27 8
2
12 6
1,672.10 . 3.10
1,5.10 9,4.10
100 100
p
mc
T J eV
Bi 10: Tnh đ bất định v tọa đ
x
ca ht electron trong nguyên tử Hydro bit rng
vn tc electron
6
1,5.10 /v m s
v đ bất định v vn tc
10%v
ca v. So snh kt
quả tm đưc vi đường knh d ca qu đo Bohr thứ nhất v xét xem c th p dụng khi
nim qu đo cho trường hp k trên đưc không.
Bi gii
Từ h thức bất định Heisenberg ta c:
34
10
31 6
6,625.10
7,7.10
2 .9,1.10 .0,1.1,5.10
xe
xm
P m v

Đường knh qu đo Bohr thứ nhất:
10 11
2 2.0,53.10 10,6.10
II
d r m x

Vy trường hp ny không th p dụng khi nim qu đo.
Bi 11: Ht electron c đng năng
15T eV
chuyn đng trong mt giọt kim loi kch
thưc
6
10dm
. Tnh đ bất định ca vn tc (ra %) ca ht đ.
Bi gii
p dụng h thức bất định Heisenberg
5
34
4
6
31 19
.
6,625.10
10 0,01%
10
2
2.9,1.10 .1,5.1,6.10
2
2
x p x m v v
mx
v
d
v mv x
mT

Bi 12: Ht vi mô c đ bất định v đng lưng bng 1% đng lưng ca n. Tnh tỉ s
gia bưc sng de Broglie
v đ bất định v tọa đ
x
ca ht đ.
Bi gii
Theo đ bi:
1
1%
100
P
P

Theo h thức bất định Heisenberg:
100
x
PP
Mt khc:
2h
PP

Vy
100
15,92
2
x


Bi 13: Cho bit đ bất định v to đ ca ht vi mô bng bưc sng de Broglie ca nó,
tính
p
p
đi vi đng lưng p ca vi ht.
Bi gii
Ta có:
Đ bất định v to đ:
h2
x
pp
Đ bất định v đng lưng:
hp
p
x2


Vy suy ra:
p1
p2
Bi 14: Dùng h thức bất định hãy đnh gi năng lưng nhỏ nhất ca electron.
1) Chuyn đng trong ging th năng mt chiu b rng bng l.
2) Chuyn đng trong nguyên tử Hydro c kch thưc
o
l 1A
Bi gii
Theo h thức bất định Heisenberg ta có:
min min
2
2
min min
2
2l
x p p m v v x
x x m x ml 2
2
vv
ml
12
E mv
2 ml




Vy năng lưng cực tiu c gi trị:
2
min
2
2
E
ml
Bi 15: Ht vi mô c đ bất định v vị tr cho bởi
x
2

vi
l bưc sng de Broglie
ca ht. Chứng minh rng đ bất định v vn tc ca ht
vv
.
Bi gii
Theo h thức bất định Heisenberg ta c:
6
x
2h
p m v
x
hay
h
m v p
(h thức de Broglie)
nghĩa là
m v mv v v
(đpcm)
Bi 16: Ht vi mô khi lưng m chuyn đng trong trường th mt chiu
2
1
2
U kx
(dao
tử điu hòa). Dùng h thức bất định xc định gi trị nhỏ nhất khả dĩ ca năng lưng.
Bi gii
H thức bất định Heisenberg dưi dng chnh xc:
2
2
xp
pp
xx
Mt khc năng lưng E ca dao tử điu hòa bng tng đng năng v th năng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2.
2 2 2 2 2 2 2
p p p
E kx k x k x p x
m m m

Vy gi trị nhỏ nhất khả dĩ ca năng lưng l:
min
2
E
Bi 17: Dùng hệ thức bất định, xác định giá trị nhỏ nhất kh dĩ của năng lượng của
electron trong nguyên tử Hydro v tính khong cách hiệu dụng từ electron đến hạt
nhân.
Bi gii
Tương tự bi 16 ta c:
rp
pp
rr


Năng lưng E = đng năng + th năng. Do đ:
2 2 2 2
o o o
2
o
p e e 1
E k k k
2m r 2mr r 4




Năng lưng cực tiu khi
dE
0
dr
, nghĩa l:
22
o
32
oo
e
k0
2mr r
Khoảng cch hiu dụng:
2
12
o
2
o
r 53.10 m
k me

Cực tiu năng lưng:
4
2
min o
2
mc
E k 13,6 eV
2
Bi 18: Ht chuyn đng trong ging th năng mt chiu hnh ch nht, chiu cao vô cùng,
. c năng lưng xc định. Kt quả đng lưng ca ht c bnh phương module xc định
2
2p mE
. Mt khc ht chuyn đng trong ging th năng. Ni cch khc:
x
∞. Hỏi
c g mâu thun vi h thức bất định Heisenberg?
Bi gii
Không có gì mâu thun vi h thức bất định vì tuy p
2
hoàn toàn xác định nhưng giá trị ca
đng lưng không xác định: Nó bng
p
(dấu + ứng vi truyn sóng từ trái sang phải, dấu
- ứng vi truyn sóng từ phải sang trái). Vy
2pp
7
Mt khác:
.2 2 2x a x p a p a mE
Thay
2 2 2
2
2
n
E
ma
Chọn
1n
ta c:
22
2
2
E
ma
Vy:
22
2
22x p a h
a
Bài 19: Dùng h thức bất định
Et
xác định đ rng ca mức năng lưng electron
trong nguyên tử Hydro ở trng thái:
a) Cơ bản
1n
b) Kích thích ứng vi thời gian sng
8
10 s
Bi gii
a)  trng thi cơ bản
0tE
b) Ta c:
34
8
8
6,625.10
6,59.10 ( )
2 .10
E eV
t

Bài 20: Tính đ rng tỉ đi ca vch quang ph
w
w
bit thời gian sng ca nguyên tử ở
trng thái kích thích
8
10 s
và bưc sóng ca photon phát ra
0,6 m

.
Bi gii
Ta c:
2
2
c
w


v
Eh
E
h
Vy:
2
2
E
w
h

p dụng h thức bất định Heisenberg v năng lưng v thời gian sng ca vi ht ta c:
E
t

Do đ:
6
8
88
2 1 1 1 0,6.10
. 3.10
2 2 2 .3.10 .10

w
w
h t t w c


Bài 21: Vit phương trnh Schrodinger đi vi ht vi mô:
a) Chuyn đng mt chiu trong trường th
2
1
2
U kx
b) Chuyn đng trong trường tĩnh đin Coulomb
2
1
4
oo
o
Ze
U k k
r




c) Chuyn đng trong không gian hai chiu dưi tc dụng ca trường lực th
2
1
U kr
2
Bi gii
p dụng phương trnh Shrodinger
222
2 2 2 2
2
0
m
EU
x y z





(ton tử Laplace)
8
a) Chuyn đng mt chiu trong trường th:
2
1
2
U kx
Ta có:
2
2
x

Suy ra phương trnh Shrodinger:
2
2
22
21
0
2
m
E kx
x


b) Chuyn đng trong trường tĩnh đin Coulomb:
2
1
4
oo
o
Ze
U k k
r




Ta c: phương trnh Shrodinger:
2
o
2
2m Ze
E k 0
r



c) Chuyn đng trong không gian hai chiu dưi tc dụng ca trường lực th
2
1
U kr
2
:
Ta có:
22
22

xy

Suy ra phương trnh Shrodinger:
22
22
2 2 2
21
0
2




m
E k x y
xy

Bài 22: Dựa vào phương trình Schrodinger đi vi vi ht chuyn đng mt chiu, kt lun
rng
và
d
dx
phải liên tục.
Bi gii
Phương trnh Schrodinger đi vi ht chuyn đng mt chiu:
2
2
2
0
2
0
m
EU
d x m
E U x
dx

Vì
,,EU
đu hu hn
hu hn
d
dx
liên tục
Nghim ca phương trình có dng
1
Px Px
i x i x
Ae Be
trong đ đng lưng ca các ht
tự do
2p m E U
các đi lưng
,AB
là các hng s tuỳ ý. Đi lưng thứ nhất ca
1
mô tả chuyn đng theo chiu dương, còn đi lưng thứ hai mô tả chuyn đng theo
chiu âm ca trục
x
. Nu xét chuyn đng theo chiu dương: đt
0B
nghim có dng:
2m E U x
i
Ae
. Nghim này đơn tính liên tục hu hn vi mọi giá trị năng lưng.
Bài 23: Ht ở trong ging th năng mt chiu, chiu cao vô cùng:
0 0 x a
Ux
x 0;x a

9
a) Ht ở trng thi ứng vi n = 2. Xc định nhng vị tr ứng vi cực đi v cực tiu
ca mt đ xc suất tm ht.
b) Ht ở trng thi n = 2. Tnh xc suất đ tm ht c vị tr trong khoảng
a 2a
x
33

c) Tm vị tr x ti đ xc suất tm ht ở cc trng thi n = 1 và n = 2 l như nhau.
d) Chứng minh rng:
m n mn
x x dx
vi
mn
0 khi m n
1 khi m n

(ký hiu Kronecker)
e) CMR ti trng thi n, s đim nt ca mt đ xc suất tm ht (tức lnhng đim
c mt đ xc suất bng 0) bng n+1.
Bi gii
a)  trng thi n = 2:
2
22
x sin x
aa

Mt đ xc suất tm ht:
2
2
2
22
x sin x
aa




Ta có:
2
2 2 2
0 sin x
a a a




. Suy ra mt đ xc suất đt:
- Cực đi bng
2 2 a 3a
sin x 1 x ;
a a 4 4


- Cực tiu bng 0
2a
sin x 0 x
a2



b) Xc suất phải tm bng:
2a/3 2a/3
2
2
2
a/3 a/3
2 2 1 3
x dx sin x dx 0,195
a a 3 4




c) Đ xc suất tm ht ở cc trng thi n = 1 v n = 2 l như nhau:
22
22
12
2 2 a 2a
x x sin x sin x sin x sin x x ;
a a a a 3 3

Khi đ:
22
12
3
xx
2a
Bài 24: Dòng ht chuyn đng từ trái sang phải qua mt hàng rào th bc thang
Giả sử năng lưng ca ht bng E, vit hàm sóng ht cho bởi:
a) Vit biu thức hàm sóng phản x và hàm sóng truyn qua
b) Tính bưc sóng de Broglie ca ht ở hai min I và II. Tính tỉ s n bng (chit suất
ca sóng de Broglie)
c) Tìm h thức liên h gia h s phản x R và chit suất n
Bi gii
a) Biu thức hàm sóng phản x và hàm sóng truyn qua
Vì hàm th năng
U
có hai giá trị nên ta sẽ tìm hàm sóng
x
ca electron ở hai min
khác nhau:
- Min I:
0; 0xU
- Min II:
0;
o
x U U
10
Trong min I: hàm sóng
I
x
thoả mãn phương trình:
2
22
2
0
I
I
d
m
E
dx

Đt
2
2
2m
Ek
Phương trình trên có nghim tng quát là:
ikx ikx
I
Ae Be

ikx
Ae
mô tả sóng phẳng truyn từ trái sang phải (sóng ti) và
ikx
Be
mô tả sóng phản x
từ phải sang trái (sóng phản x).
Trong min II: hàm sóng
II
x
thoả mãn phương trình:
2
22
2
0
II
II
d
m
EU
dx
Đt
2
1
2
2m
E U k
Phương trình trên có nghim tng quát là:
11
ik x ik x
II
Ce De

Trong min II chỉ có sóng truyn từ trái sang phải (sóng truyn qua) nên ta phải cho
0D
nghĩa là:
1
ik x
II
Ce
Đ tìm đưc liên h gia các h s A, B, C ta vit điu kin liên tục ca hàm sóng và
đo hàm cấp 1 ti x=0:
00
00
I II
I
I II
I
II
A B C
kk
A B k B
k A B k C
A B k A k k
xx









Theo đ bài, ta có:
Sóng ti:
1
ikx
S
eA
Sóng phản x:
ikx
I
R
I
kk
Be B
kk
Sóng truyn qua có dng:
2
1
I
ik x
D
I
II
Ce
kk
k
C A B
k k k k

Vy:
E
0
II
Uo
x
11
2
I
ikx
I
R
I
ik x
D
I
kk
e
kk
k
e
kk



b)
2
22
2 2 2 2 2 2 1
2
h mE mE
E mv
p mv mvk k m v k



Trong min I:
2
I
k
Trong min II:
2
II
I
k
Chit suất ca sóng de Broglie
1
II
II II
k
U
n
kE
c) H thức liên h gia h s phản x R và chit suất n:
2
2
2
2
1
1
1
1
I
I
k
B
n
k
R
k
n
A
k








Bài 26: Khảo sát sự truyn sóng ca dòng ht từ trái sang phải ca hàng rào th bc thang
chiu cao vô cùng
a) Tìm hàm sóng ca ht
b) Tính h s phản x và h s truyn qua: giả sử ht có năng lưng xác định E.
Bi gii
a) Min I:
0; 0xU
2
2
22
0
ikx ikx
I
II
d
m mE
E Ae Be k
dx





Min II:
0;xU
2
2
2
2
0
o
xx
II
o II II
m U E
d
m
U E Ce De
dx





Đ đảm bảo gii hn ni ca hàm sóng cho
0D
2
1
2
0
x
II
o
o
II
Ce
m U E
khiU


Điu kin liên tục ti
0x
:
0
sin
ikx ikx
II
A B B A
A e e hay a kx

b) H s phản x:
2
2
B
R 1 B A
A
H s truyn qua:
D 1 R 1 1 0
12
Bài 27: Khảo st ht vi mô trong ging th năng 1 chiu đi xứng c b cao hu hn:
o
o
U x 0
U 0 0 x a
U x a
Giả sử năng lưng ca ht
o
EU
Bi gii
Xét ba min khc nhau
- Min I:
x ' x
I I I o
C e C e x 0,U U
- Min II:
ikx ikx
II
Ae Be 0 x a,U 0
- Min II:
x ' x
I III III o
C e C e x a,U U
Đ đảm bảo tnh gii ni ca hm sng trong hai min I v III, ta chọn cc hng s:
''
I III
C 0; C 0
Vy:
x
II
Ce

ikx ikx
II
Ae Be
x
I III
Ce


vi
o
11
k 2mE; 2m U E
Cc điu kin liên tục ca
v ca
d
dx
ti x = 0:
I
C A B
(a)
I
C ik A B
(b)
v ti x = a:
a ika ika
III
C e Ae Be


(c)
a ika ika
III
C e ik Ae Be

(d)
Từ (a) v (b) suy ra:
A B ik A ik a
A B B ik a

(*)
Từ (c) v (d) suy ra:
ika ika ika
ika ika ika
Ae Be ik Ae ik
Ae Be Be ik


(**)
Từ (*) v (**) rt ra:
22
2ika 2ika ika
ik ik ik k i k i
e e e
ik ik ik k i k i
Chọn dấu + khi lấy căn bc 2, kt quả thu đưc cũng tương tự nu lấy dấu -.
Tc phn thực v phn ảo ca hai v:
22
2 2 2 2
k 2k
coska isinka i
kk

ta đưc:
22
22
22
k
coska
k
2k
sin ka
k



Mt trong hai phương trnh ny cho phép ta tm đưc điu kin m năng lưng E ca ht
phải thoả mãn (điu kin tử ho năng lưng).
13
Xét phương trnh:
22
2k
sin ka
k

Thay k và
bng cc biu thức ca chng ta đưc:
o
o
oo
2 2mE U E
a2
sin 2mE E U E
2mE 2m U E U



Vẽ đ thị ca hai hm s ở hai v theo E v tm giao đim:
- Đường cong
1
a
f E sin 2mE


cắt trục ngang ti cc đim:
2
2
n
1
En
2m a



- Đường cong
2o
o
2
f E E U E
U

cắt trục ngang ti E = 0 và E = U
o
và có đi ti:
Kt quả cho thấy: Hai đường cong
1
fE
và
2
fE
luôn luôn cắt nhau ti mt s giao
đim. Cc giao đim ny cho ta gi trị năng lưng ca cc ht trong ging th năng. Ta
thấy rng năng lưng đ chỉ lấy mt s gi trị gin đon (năng lưng đ bị lưng tử ho).
Nhn xét rng
2
2
A
1
B
nên h s phản x ti x = 0 v x = a đu bng 1.
Đ thị hm sng theo x:
0
a
I
II
III
x
0
1
f
1
(E)
U
o
/2
U
o
E
1
E
2
E
3
f
2
(E)
14
Bài 28: Hm sng dao tử điu ho mt chiu khi lưng m ở trng thi cơ bản c dng:
2
x
x Ae


Trong đ A l hs chuẩn ho,
l hng s dương. Dùng phương trnh Schrodinger tnh
v năng lưng tương ứng vi trng thi đ ca dao tử điu ho.
Bi gii
Phương trnh Schrodinger đi vi dao tử điu ho mt chiu:
2
22
22
d 2m 1
E m x 0
dx 2


Từ
2
x
x Ae


ta có:
2
2
x 2 2
2
d d d
Ae 2 x 2 x 2 2 x 2 4 x
dx dx dx


Phương trnh trở thnh:
2 2 2 2
2m 1
2 4 x E m x 0
2


Kt quả tm đưc:
m
2

và
E
2
Trong đ đt
2
mk
Bài 29: Ht vi mô trong ging th năng mt chiu c b cao vô cùng (bi 23). Tnh gi trị
trung bnh ca
a) x
b) x
2
Bi gii
a)
aa
2
2
00
2 2 a
x x dx xsin x dx
a a 2




b)
a
2
2 2 2
22
0
11
x x dx a
3n



| 1/15
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI o0o
BÀI TẬP VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG III
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Hà Nội, tháng 12/2020
Bài 1: Tính bước sóng de Broglie của electron và proton chuyển động với vận tốc 106 m/s. Bài giải Ta có: Động năng củ h h a hạt: p   mv     mv
 Bước sóng de Broglie của hạt: 34 h 6, 625.10 electron: 10     7, 28.10 m e 31  6   m v 9,1.10 .10 e 34 h 6, 625.10 proton: 13     3,96.10 m p 2  7 6   m v 1, 672.10 .10 p Bài 2:
Hạt electron tương đối tính chuyển động với vận tốc 2.10 8 m/s. Tính bước sóng De Broglie của nó. Bài giải
Bước sóng de Broglie của hạt: h h m    với m = e p ( . m v) 2 v 1  2 c  ( 10 . 2 8 34 )2 , 6 625 10 . 1  2 h v . 3 ( 108 )2     1      10 . 71 , 2 12 (m) 2 m v c 10 . 1 , 9  . 31 10 . 2 8 e
Bài 3: Hạt electron không vận tốc đầu được gia tốc qua hiệu điện thế U. Tính U biết rằng
sau khi gia tốc, hạt electron chuyển động với bước sóng de Broglie bằng 1 Amstrong Bài giải Ta có: 2 Năng lượ 1 1 m v ng của hạt: 2 e E eU m v U  2 e 2 e Động năng củ h h a hạt: p
m v v e  me
 Hiệu điện thế U:  m v m h h 6,625.10 1 1 1 1 2 2 34 2 2 e e U        150,7(V ) 2 1  9 2 e 2 em 2 em 2    e e 1, 6.10 . 10 10 2 31 .9,1.10
Bài 4: Xác định bước sóng De Broglie của hạt electron có động năng bằng 1keV. Bài giải Độ 
ng năng của hạt electron bằng 1keV (bằng 3
10 MeV ) rất nhỏ so với năng lượng nghỉ
của electron (bằng 0,51MeV) . Do đó, vận tốc electron thu đươc không lớn lắm, nên có thể
sử dụng được công thức trong cơ học phi tương đối (cơ học Newtơn). m v2 p2 Khi đó: T= e   p  2m T 2 2m e e
Bước sóng de Broglie của hạt: 34  o h h 6, 625.10          0,39A 3  1 3 1  9 p 2m T   e 2.9,1.10 .10 .1, 6.10 1
Bài 5: Xác định bước sóng de Broglie của hạt proton được gia tốc (không vận tốc đầu)
qua một hiệu điện thế bằng 1kV và 1MV. Bài giải Năng lượ 1 2qU ng của hạt: 2 E qU mv v  2 m Động năng củ h h a hạt: p   mv     mv
 Bước sóng de Broglie của hạt: h h h     mv 2qU 2mqU m m 34 h 6, 625.10 3 1  3
U  1kV  10 V :     9,06.10 m 2  7 1  9 3 2mqU 2.1, 672.10 .1, 6.10 .10 34 h 6, 625.10 6 1  4
U  1MV  10 V :     2,86.10 m 2  7 1  9 6 2mqU 2.1, 672.10 .1, 6.10 .10 Bài 6:
Phải cung cấp cho hạt electron thêm một năng lượng bằng bao nhiêu để cho bước sóng De Broglie của nó giảm từ 12 100.10 xuống 12 50.10 m ? Bài giải
Áp dụng cơ học tương đối tính, ta có: me 2 1 T=  m c m (  ) 1 2 e e 2 v v 1  1  2 2 c c 2 2 v m c 2   . c T (T 2m c ) 1 e   và v= e 2 2 c T m c 2 T  2m c e e
Từ đó tính động năng của electron: T T (  2m c 2 ) m c e e m v . T m c 2 T T (  2m c 2 ) P= e e e   2 m c 2 c v e 1  2 c 2 T m c e
Bước sóng de Broglie của hạt: h hc hc    2  T  2 2 m c T  ( )  0 p e T (T  2 2 m c )  e  + Với 12   100.10 : 1 3  4 8  6, 625.10 .3.10 2 31 8 2 2 1  7
T  2.9,1.10 .(3.10 ) T  ( )  0  T  2, 4112.10  0,1507 KeV 12  1   100.10  + Với 12   50.10 : 2 2 3  4 8  6, 625.10 .3.10 2 31 8 2 2 1  7 T  2.9,1.10 (3.10 ) T  ( )  0  T  9, 634.10  0,6021 KeV 12  2   50.10
ậy năng lượng cần phải cung cấp là: E
  T  T  0,6021 0,1507  0,4514 KeV 2 1  
Bài 7: Hạt neutron động năng 25 eV bay đến va chạm vào hạt Deuteri (hạt nhân của đồng
vị nặng của Hydro). Tính bước sóng de Broglie của hai hạt trong hệ quy chiếu khối tâm chúng. Bài giải
Trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm: 2 m v
- Vận tốc hạt neutron: v  v thoả mãn n  25eV n 2
- Vận tốc hạt Deuteri: v  0 d
Trong hệ quy chiếu khối tâm: m v
- Vận tốc hạt neutron: d v  n m  m n d m v
- Vận tốc hạt Deuteri: d v   d m  m n d
Lúc này hai hạt có vector động lượng đối nhau. Module chung của các vector động lượng
của hai hạt đó bằng: m m v d n p 
(xét trường hợp phi tương đối tính) o m  m n d
Vậy hạt n và d có cùng bước sóng de Broglie trong hệ quy chiếu khối tâm 2kT Thay v  ta được: mn h  m  n   1  2m kT m   n d Bài 8:
Xét các phân tử khí hyđrô cân bằng nhiệt động ở nhiệt độ phòng. Tính các bước sóng De
Brogliecó xác suất lớn nhất của phân tử. Bài giải
Xét định luật phân bố phân tử theo vận tốc của Maxwell: mv2 4 3 m  F(v)dv = ( ) 2 . 2 2kT v e dv  2kT Nhận xét: h  
(trường hơp tương đối tính) mv 1  dv    dv  2 
Vậy ta có thể viết định luật phân bố theo giá trị của bước sóng De Broglie như sau: 3 3 h2 3 h2 4 m h   2 4 2 dm h 2  F( )d 2 2   ( ) ( ) e m T 2 2  ( ) .( )  4 2  e m T d  2kTm 2  2kT m h2  =A 4 2  e m T 2  d
Hàm phân bố F(  ) cực đại khi: h2 h2 dF() 2   2 3  4 h 2 h  0  A.( ).
4  e 2m T A . e 2mT .  o    dmT 2 mT
Bài 9: Thiết lập biểu thức của bước sóng de Broglie  của hạt tương đối tính chuyển động
với động năng T. Với giá trị nào của T sự sai khác giữa  tương đối tính và  phi tương
đối tính không quá 1% đối với hạt electron và proton. Bài giải
Bước sóng de Broglie của hạt tương đối tính: h h hc     (áp dụng bài 6) p mv T  2 T  2mc  2 1 v  2 c
Bước sóng de Broglie của hạt phi tương đối tính: 2 2 h  1 T mc TT   T 1 mc o       1 o   1      T o 2 2 2 2 2 mvmc mcmcmc 100 100 v 1 2 c 9,1.10 . m c 3.10 2 31 8 2 Đố  i với electron: e 18 T    8,19.10 J  3  5,12.10 eV  100 100 2  m c 1, 672.10 . p 3.10 2 27 8 Đố  i với proton: 12 T    1,5.10 J  6  9, 4.10 eV  100 100
Bài 10: Tính độ bất định về tọa độ x
 của hạt electron trong nguyên tử Hydro biết rằng vận tốc electron 6
v  1,5.10 m / s và độ bất định về vận tốc v
 10% của v. So sánh kết
quả tìm được với đường kính d của quỹ đạo Bohr thứ nhất và xét xem có thể áp dụng khái
niệm quỹ đạo cho trường hợp kể trên được không. Bài giải
Từ hệ thức bất định Heisenberg ta có: 34 6, 625.10 10 x      7,7.10 m 31  6   Pm v  2 .9,1.10 .0,1.1, 5.10 x e
Đường kính quỹ đạo Bohr thứ nhất: 1  0 1  1
d  2r  2.0,53.10 10,6.10 m xI I  
Vậy trường hợp này không thể áp dụng khái niệm quỹ đạo.
Bài 11: Hạt electron có động năng T 15eV chuyển động trong một giọt kim loại kích thướ  c 6
d  10 m . Tính độ bất định của vận tốc (ra %) của hạt đó. Bài giải
Áp dụng hệ thức bất định Heisenberg 4 xp     . x mv
 v mx 34 v  6, 625.10 4      10  0,01% 6  v mv xd   10 31 19 2mT 2.9,1.10 .1, 5.1, 6.10 2 2
Bài 12: Hạt vi mô có độ bất định về động lượng bằng 1% động lượng của nó. Tính tỉ số
giữa bước sóng de Broglie  và độ bất định về tọa độ x  của hạt đó. Bài giải  Theo đề P 1 bài:  1%  P 100 100
Theo hệ thức bất định Heisenberg: x   PP h 2 Mặt khác:    P P x  100 Vậy   15,92  2
Bài 13: Cho biết độ bất định về toạ độ của hạt vi mô bằng bước sóng de Broglie của nó, p tính
đối với động lượng p của vi hạt. p Bài giải Ta có: 
Độ bất định về toạ độ: h 2 x     
 Độ bất định về động lượng: h p p   p p x 2  Vậy suy ra: p 1  p 2
Bài 14: Dùng hệ thức bất định hãy đánh giá năng lượng nhỏ nhất của electron.
1) Chuyển động trong giếng thế năng một chiều bề rộng bằng l. o
2) Chuyển động trong nguyên tử Hydro có kích thước l  1A Bài giải
Theo hệ thức bất định Heisenberg ta có: 2  l  x  p    p    m v    v    x     x  x  m x  ml  2  2  v  v   min min ml 2 1 2 2  E  mv  min min 2 2 ml 2
Vậy năng lượng cực tiểu có giá trị: 2 E  min 2 ml 
Bài 15: Hạt vi mô có độ bất định về vị trí cho bởi x 
với  là bước sóng de Broglie 2
của hạt. Chứng minh rằng độ bất định về vận tốc của hạt v   v . Bài giải
Theo hệ thức bất định Heisenberg ta có: 5 2 h h p   m v    hay m v 
 p (hệ thức de Broglie) x x     nghĩa là m v  mv  v  v (đpcm) 1
Bài 16: Hạt vi mô khối lượng m chuyển động trong trường thế một chiều 2 U kx (dao 2
tử điều hòa). Dùng hệ thức bất định xác định giá trị nhỏ nhất khả dĩ của năng lượng. Bài giải
Hệ thức bất định Heisenberg dưới dạng chính xác: xp  2 p  p   2x x
Mặt khác năng lượng E của dao tử điều hòa bằng tổng động năng và thế năng: 2 2 2 p 1 p  1 p  1  2 2 2 E   kx   k x   2 . k x   px    2m 2 2m 2 2m 2 2 
Vậy giá trị nhỏ nhất khả dĩ của năng lượng là: E  min 2
Bài 17: Dùng hệ thức bất định, xác định giá trị nhỏ nhất khả dĩ của năng lượng của
electron trong nguyên tử Hydro và tính khoảng cách hiệu dụng từ electron đến hạt nhân. Bài giải
Tương tự bài 16 ta có: r  p  p  p  r  r
Năng lượng E = động năng + thế năng. Do đó: 2 2 2 2 p e e  1  E   k  k  k   o 2 o o 2m r 2mr r 4  o 
Năng lượng cực tiểu khi dE  0 , nghĩa là: dr 2 2 e   k  0 3 o 2 2mr r o o 2 Khoảng cách hiệu dụng  : 12 r   53.10 m o 2   k me o 4 Cực tiểu năng lượng mc : 2 E k  1  3,6 eV min o   2 2
Bài 18: Hạt chuyển động trong giếng thế năng một chiều hình chữ nhật, chiều cao vô cùng,
. có năng lượng xác định. Kết quả động lượng của hạt có bình phương module xác định 2
p  2mE . Mặt khác hạt chuyển động trong giếng thế năng. Nói cách khác: x   ∞. Hỏi
có gì mâu thuẫn với hệ thức bất định Heisenberg? Bài giải
Không có gì mâu thuẫn với hệ thức bất định vì tuy p2 hoàn toàn xác định nhưng giá trị của
động lượng không xác định: Nó bằng  p (dấu + ứng với truyền sóng từ trái sang phải, dấu
- ứng với truyền sóng từ phải sang trái). Vậy p   2 p 6 Mặt khác: x   a xp   .
a 2 p  2a 2mE 2 2 2  n Thay E  2 2ma 2 2 
Chọn n 1 ta có: E  2 2ma Vậy: 2 2  xp   2a  2   h 2 a
Bài 19: Dùng hệ thức bất định Et
  xác định độ rộng của mức năng lượng electron
trong nguyên tử Hydro ở trạng thái:
a) Cơ bản n   1
b) Kích thích ứng với thời gian sống 8  10  s Bài giải
a) Ở trạng thái cơ bản t     E   0 34 6, 625.10 b) Ta có: 8 E      6,59.10 (eV ) 8 t   2 .10 w
Bài 20: Tính độ rộng tỉ đối của vạch quang phổ
biết thời gian sống của nguyên tử ở w trạng thái kích thích 8  10 
s và bước sóng của photon phát ra   0, 6m . Bài giải 2 c
Ta có: w  2   E       và E hh 2 E Vậy: w 2       h
Áp dụng hệ thức bất định Heisenberg về năng lượng và thời gian sống của vi hạt ta có: E  t Do đó: 6 2 1 1 w 1  0, 6.10 8 w  .        3.10 8 8 h tt w 2 2 c 2 .3.10 .10
Bài 21: Viết phương trình Schrodinger đối với hạt vi mô: 1
a) Chuyển động một chiều trong trường thế 2 U kx 2 2 Ze  1 
b) Chuyển động trong trường tĩnh điện Coulomb U  kk   o o r 4  o
c) Chuyển động trong không gian hai chiều dưới tác dụng của trường lực thế 1 2 U  kr 2 Bài giải
Áp dụng phương trình Shrodinger 2m             E U  2 2 2   0        (toán tử Laplace) 2 2 2 2  xyz   7 1
a) Chuyển động một chiều trong trường thế: 2 U kx 2 2 Ta có:     2 x
Suy ra phương trình Shrodinger: 2   2m  1  2  E kx   0   2 2 x   2  2 Ze  1 
b) Chuyển động trong trường tĩnh điện Coulomb: U  kk   o o r 4  o
Ta có: phương trình Shrodinger: 2 2m  Ze     E  k   0 2 o  r 
c) Chuyển động trong không gian hai chiều dưới tác dụng của trường lực thế 1 2 U  kr : 2 2 2     Ta có:    2 2 xy
Suy ra phương trình Shrodinger: 2 2     2m  1   E   k   2 2 x y   0  2 2 2  xy  2 
Bài 22: Dựa vào phương trình Schrodinger đối với vi hạt chuyển động một chiều, kết luận d rằng  và phải liên tục. dx Bài giải
Phương trình Schrodinger đối với hạt chuyển động một chiều: 2m   
E U   0 2 d x 2m
E U x   0 2    dx 2 d d
Vì E,U , đều hữu hạn  hữu hạn  liên tục 2 dx dx Px Px i xi x
Nghiệm của phương trình có dạng AeBe  
1 trong đó động lượng của các hạt
tự do p  2m E U  các đại lượng ,
A B là các hằng số tuỳ ý. Đại lượng thứ nhất của
 1 mô tả chuyển động theo chiều dương, còn đại lượng thứ hai mô tả chuyển động theo
chiều âm của trục x . Nếu xét chuyển động theo chiều dương: đặt B  0 nghiệm có dạng: 2mE U  x i   Ae
. Nghiệm này đơn tính liên tục hữu hạn với mọi giá trị năng lượng.
Bài 23: Hạt ở trong giếng thế năng một chiều, chiều cao vô cùng: 0 0  x  a U x   x  0;x  a 8
a) Hạt ở trạng thái ứng với n = 2. Xác định những vị trí ứng với cực đại và cực tiểu
của mật độ xác suất tìm hạt. a 2a
b) Hạt ở trạng thái n = 2. Tính xác suất để tìm hạt có vị trí trong khoảng  x  3 3
c) Tìm vị trí x tại đó xác suất tìm hạt ở các trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau. d) Chứng minh rằng:   0 khi m n x  x dx    với   m   n   mn mn 1 khi m  (ký hiệu Kronecker) n
e) CMR tại trạng thái n, số điểm nút của mật độ xác suất tìm hạt (tức là những điểm
có mật độ xác suất bằng 0) bằng n+1. Bài giải 2 2
a) Ở trạng thái n = 2:  x  sin x 2   a a   
Mật độ xác suất tìm hạt:  x 2 2 2 2  sin x 2   a  a  2  2  2 Ta có: 2 0  sin x   
. Suy ra mật độ xác suất đạt: a  a  a      - Cực đại bằng 2 2 a 3a  sin x  1   x     ;  a  a  4 4     - Cực tiểu bằng 0 2 a  sin x  0  x     a  2
b) Xác suất phải tìm bằng: 2a /3 2a /3       x 2 2 2 1 3 2 dx  sin x dx    0,195  2   a  a  3 4 a /3 a /3
c) Để xác suất tìm hạt ở các trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau:                 x 2   x 2 2 2 a 2a 2 2  sin x  sin x  sin x   sin x  x           ;  1 2  a   a   a   a  3 3 
Khi đó:    2     2 3 x x  1 2 2a
Bài 24: Dòng hạt chuyển động từ trái sang phải qua một hàng rào thế bậc thang
Giả sử năng lượng của hạt bằng E, viết hàm sóng hạt cho bởi:
a) Viết biểu thức hàm sóng phản xạ và hàm sóng truyền qua
b) Tính bước sóng de Broglie của hạt ở hai miền I và II. Tính tỉ số n bằng (chiết suất của sóng de Broglie)
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hệ số phản xạ R và chiết suất n Bài giải
a) Biểu thức hàm sóng phản xạ và hàm sóng truyền qua
Vì hàm thế năng U có hai giá trị nên ta sẽ tìm hàm sóng   x của electron ở hai miền khác nhau:
- Miền I: x  0;U  0
- Miền II: x  0;U U o 9 E II Uo x 0 2 d  2m
Trong miền I: hàm sóng 
x thoả mãn phương trình: I E  0 I   2 2 I dx Đặt 2m 2 E k 2
Phương trình trên có nghiệm tổng quát là: ikxikx
  Ae Be I ikx Ae
mô tả sóng phẳng truyền từ trái sang phải (sóng tới) và ikx Be mô tả sóng phản xạ
từ phải sang trái (sóng phản xạ). 2 d  2m
Trong miền II: hàm sóng 
x thoả mãn phương trình: II E U   0 2 2   II   II dx Đặt 2m
E U k 2   2 1
Phương trình trên có nghiệm tổng quát là: ik x ik x 1 1    Ce De II
Trong miền II chỉ có sóng truyền từ trái sang phải (sóng truyền qua) nên ta phải cho D  0 nghĩa là: ik x 1   Ce II
Để tìm được liên hệ giữa các hệ số A, B, C ta viết điều kiện liên tục của hàm sóng và
đạo hàm cấp 1 tại x=0:    I  0 II  0 
A B CA B k B k k            I I 0 II  0   k
  A B  k C A B k A k k I I Ixx  Theo đề bài, ta có: Sóng tới: ikx
  e A  1 Sk k Sóng phản xạ: ikx I   BeB R k kI
Sóng truyền qua có dạng: ik x I   Ce D k k 2k
C A B  1 I   k k k k I I Vậy: 10  k k Iikx    e R k k   I 2k ik x I   e D k kI h 2 2 2mE 2 2mE 2 1 b) 2         E mv   2 2 p mv mvk k m v k  2  2 Trong miền I:   I k 2 Trong miền II:   II kIk U
Chiết suất của sóng de Broglie I I n    1  k E II II
c) Hệ thức liên hệ giữa hệ số phản xạ R và chiết suất n: 2  k  2 1 I  2 B   1 n kR        2 k A      I 1 n  1  k
Bài 26: Khảo sát sự truyền sóng của dòng hạt từ trái sang phải của hàng rào thế bậc thang chiều cao vô cùng
a) Tìm hàm sóng của hạt
b) Tính hệ số phản xạ và hệ số truyền qua: giả sử hạt có năng lượng xác định E. Bài giải
a) Miền I:  x  0;U  0 2 d  2m    2mE I E  0 ikx ikx
  Ae Bek   2 I I   dx  
Miền II:  x  0;U   2    d  2m 2m U E II    U E   0 x x o
  Ce De    2  o    II II dx    
Để đảm bảo giới hạn nội của hàm sóng cho D  0   x   Ce II
2m U E o  1     khi U   2 o   0 II
Điều kiện liên tục tại x  0 :
A B  0  B   A
  Aikx ikx ee hay   a kx I  sin I 2 B
b) Hệ số phản xạ: R  1 B  A 2   A
Hệ số truyền qua: D 1 R 11  0 11
Bài 27: Khảo sát hạt vi mô trong giếng thế năng 1 chiều đối xứng có bề cao hữu hạn: U x  0 o   U  0 0  x  a U x  a o  
Giả sử năng lượng của hạt E  U o Bài giải Xét ba miền khác nhau - Miền I: x  '  x C e C e     x  0, U  U I I I  o  - Miền II: ikx ikx   Ae  Be 0  x  a, U  0 II   - Miền II:  x  ' x C e C e    x  a, U  U I III III  o 
Để đảm bảo tính giới nội của hàm sóng trong hai miền I và III, ta chọn các hằng số: ' ' C  0; C  0 I III Vậy: x C e   I I ikx ikx Ae Be    II x C e   I III với 1 1 k  2mE;   2m U  E o  
Các điều kiện liên tục của  và của d tại x = 0: dx C  A  B (a) I C   ik A  B (b) I   và tại x = a:  a  ika ika C e  Ae  Be (c) III  a  C  e   ik  ika ika Ae  Be (d) III    Từ (a) và (b) suy ra: A B ik A ik a    (*) A  B  B ik  a ika ika ika    Từ (c) và Ae Be ik Ae ik (d) suy ra:    (**) ika ika ika Ae  Be  Be ik   Từ (*) và (**) rút ra: 2 2 ik   ik    ik     k  i  k  i 2ika 2ika ika e   e    e      ik   ik    ik     k  i  k  i
Chọn dấu + khi lấy căn bậc 2, kết quả thu được cũng tương tự nếu lấy dấu -. 2 2  
Tác phần thực và phần ảo của hai vế: k 2k cos ka  i sin ka   i ta được: 2 2 2 2 k   k   2 2  k   cos ka   2 2  k    2k sin ka  2 2  k  
Một trong hai phương trình này cho phép ta tìm được điều kiện mà năng lượng E của hạt
phải thoả mãn (điều kiện tử hoá năng lượng). 12 Xét phương trình 2k : sin ka  2 2 k  
Thay k và  bằng các biểu thức của chúng ta được:  a  2 2mE U  E o  2 sin 2mE         E U  E 2mE 2m U  E U o   o  o
Vẽ đồ thị của hai hàm số ở hai vế theo E và tìm giao điểm:  a  - Đường cong f E  sin
2mE cắt trục ngang tại các điểm: 1       2 1    2 E  n n   2m  a  2 - Đường cong f E 
E U  E cắt trục ngang tại E = 0 và E = U 2    o  o và có đại tại: Uo Uo E  2 f1(E) 1 E1 E2 f2(E) E3 0 Uo/2 Uo
Kết quả cho thấy: Hai đường cong f E và f E luôn luôn cắt nhau tại một số giao 2   1  
điểm. Các giao điểm này cho ta giá trị năng lượng của các hạt trong giếng thế năng. Ta
thấy rằng năng lượng đó chỉ lấy một số giá trị gián đoạn (năng lượng đó bị lượng tử hoá). 2 A Nhận xét rằng
 1 nên hệ số phản xạ tại x = 0 và x = a đều bằng 1. 2 B
Đồ thị hàm sóng theo x: I II III  x 0 a 13
Bài 28: Hàm sóng dao tử điều hoà một chiều khối lượng m ở trạng thái cơ bản có dạng:   2 x x Ae  
Trong đó A là hệ số chuẩn hoá,  là hằng số dương. Dùng phương trình Schrodinger tính
 và năng lượng tương ứng với trạng thái đó của dao tử điều hoà. Bài giải
Phương trình Schrodinger đối với dao tử điều hoà một chiều: 2 d  2m  1  2 2  E  m x   0   2 2 dx  2  Từ   2 x x Ae   ta có: 2    2 d  d d x  Ae 2 x    2  x     2    2x   2 2 2    4 x  2  dx dx dx
Phương trình trở thành:  2m  1  2 2 2  4 x  2 2  E  m x  0    2  Kết quả tìm được: m    và E  2 2 Trong đó đặt 2 m  k
Bài 29: Hạt vi mô trong giếng thế năng một chiều có bề cao vô cùng (bài 23). Tính giá trị trung bình của a) x b) x2 Bài giải a a   2 2 2  a a) 2 x  x  dx  x sin x dx      a  a  2 0 0 a 2  1 1  b) 2 2 2 x  x  dx   a    2 2  3 n   0 14