Bài tập đại số - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Bài tập đại số - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số (MAT1093)

Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

5 trang 5 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Tuần 5
Bài 1 (bài 3-6 trang 168). Tính ma trận phụ hợp (adjoint matrix) của các
ma trận sau.
(i)
A =
1 0 0
0 2 6
0 4− −12
. (ii) A =
1 2 3
0 1 1−
2 2 2
.
(iii)
− −3 5 −7
2 4 3
0 1 1−
. (iv)
0 1 1
3 2 3
− −1 1 2
.
Bài 2 (bài 27-32 trang 169). Sử dụng quy tắc Cramer giải các hệ phương
trình tuyến tính sau.
(i)
4x x x
1
−
2
−
3
= 1
2x
1
+ 2 + 3x
2
x
3
= 10
5 2 2 1x
1
− x
2
− x
3
= −
(ii)
4 2x
1
− x
2
+ 3 2x
3
= −
2x
1
+ 2 + 5x
2
x
3
= 16
8 5 2x
1
− x
2
− x
3
= 4
(iii)
3x
1
+ 4x
2
+ 4x
3
= 11
4 4x
1
− x
2
+ 6x
3
= 11
6 6x
1
− x
2
= 3
(iv)
14 21 7 21x
1
− x
2
− x
3
= −
−4x
1
+ 2x
2
− 2x
3
= 2
56 21x
1
− x
2
+ 7x
3
= 7
1
(v)
3x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
= 1
3x
1
+ 5x
2
+ 9x
3
= 2
5x
1
+ 9 + 17x
2
x
3
= 4
(vi)
2x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
= 4
3x
1
+ 5x
2
+ 9x
3
= 7
5x
1
+ 9 + 17x
2
x
3
= 13
Bài 3 (bài 13-27 trang 197). Xác định xem tập hợp cùng với các phép toán
được nêu trong mỗi phần sau có lập thành một không gian vector hay không. Nếu
không, chỉ ra ít nhất một trong các tiên đề không gian vector bị vi phạm.
(i) M
4,6
với các phép toán thông thường.
(ii) M
1,1
với các phép toán thông thường.
(iii) Tập hợp các đa thức bậc 3 với các phép toán thông thường.
(iv) Tập hợp các đa thức bậc 5 với các phép toán thông thường.
(v) Tập hợp các đa thức bậc nhất ) có đồ thị đi qua gốc toạ độ,ax + b (với a 6= 0
cùng với các phép toán thông thường.
(vi) Tập hợp các đa thức bậc hai ) có đồ thị đi qua gốcax
2
+ bx + c (với a 6= 0
toạ độ, cùng với các phép toán thông thường.
(vii) Tập hợp cùng với các phép toán thông thường trong{( 0x, y) : x ≥ , y ∈ R}
R
2
.
(viii) Tập hợp cùng với các phép toán thông thường trong{(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}
R
2
.
(ix) Tập hợp cùng với các phép toán thông thường.{(x, x) : x ∈ R}
(x) Tập hợp {(x,
1
2
x) : x ∈ R} cùng với các phép toán thông thường.
(xi) Tập hợp các ma trận cỡ 2 2 có dạng
×
a b
c
0
cùng với các phép toán thông
thường.
(xii) Tập hợp các ma trận cỡ 2 2 có dạng
×
a b
c
1
cùng với các phép toán thông
thường.
(xiii) Tập hợp các ma trận suy biến (tức là không khả nghịch) cỡ 2 2 cùng với×
các phép toán thông thường.
(xiv) Tập hợp các ma trận không suy biến (tức là khả nghịch) cỡ 2 2 cùng với×
các phép toán thông thường.
(xv) Tập hợp các ma trận đường chéo cỡ 2 2 cùng với các phép toán thông×
thường.
Bài 4 (bài 29 trang 197, bài 33 trang 198). Khác với các phép toán cộng
vector và nhân với vô hướng thông thường trong R
2
, giả sử các phép toán này được
định nghĩa như sau.
2
(a)
(x
1
, y
1
) + (x x x
2
, y
2
) = (
1
+
2
, y ,
1
+ y
2
)
c(x, y cx, y .) = ( )
(b)
(x
1
, y
1
) + (x
2
, y ,
2
) = (x
1
, 0)
c(x, y cx, cy .) = ( )
(c)
(x
1
, y
1
) + (x x x
2
, y
2
) = (
1
+
2
, y ,
1
+ y
2
)
c
(x, y) = (
√
cx,
√
cy .)
(d)
(x
1
, y
1
) + (x x x
2
, y
2
) = (
1 2
, y
1
y ,
2
)
c(x, y cx, cy .) = ( )
Với mỗi định nghĩa mới này, có phải là không gian vector hay không? NếuR
2
không, chỉ ra ít nhất một trong các tiên đề không gian vector bị vi phạm.
Bài 5 (bài 34 trang 198). Cho V là tập hợp các số thực dương. Xác định xem
V có phải là không gian vector với các phép toán dưới đây hay không. Nếu có, kiểm
tra tất cả các tiên đề không gian vector. Nếu không, chỉ ra tất cả các tiên đề không
gian vector bị vi phạm.
x + y = xy,
cx
= x
c
(nghĩa là, phép cộng 2 phần tử của được định nghĩa bằng phép nhân 2 số thựcV
như thông thường, phép nhân vô hướng với một phần tửc ∈ R x ∈ V được định
nghĩa bằng phép lấy luỹ như thông thường).x
c
Bài 6 (bài 41 trang 198). Chứng minh rằng trong một không gian vector V
vector 0 là duy nhất.
Bài 7 (bài 42 trang 198). Cho u là một vector trong không gian vector .V
Chứng minh rằng vector là duy nhất.−u
Bài 8 (bài 1 trang 219). Cho S = {(2, −1 3) (5 0 4), , , , }. Xác định xem các
vector sau đây có thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vector trong S
hay không.
(a) .u= (1, 1 1), −
(b) v= (8, −
1
4
,
27
4
).
(c) .w= (1, −8 12),
(d) .z= (−1 2 2), − ,
Bài 9 (bài 3 trang 219). Cho S = {(2 0 7) (2 4 5) (2, , , , , , , −12 13), }. Xác định
xem các vector sau đây có thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vector
trong S hay không.
3
(a) .u= (−1 5 6), , −
(b) .v= (−3 15 18), ,
(c) w= (
1
3
,
4
3
,
1
2
).
(d) .z= (2, 20 3), −
Bài 10 (bài 21-22 trang 219). Xác định xem các tập hợp cho sau đây cóS
phải là hệ sinh của không gian vector hay không.R
3
(i) .S = { −(1, 2 0) (0 0 1) (, , , , , −1 2 0), , }
(ii) .S = {(1, 0 3) (2 0 1) (4 0 5) (2 0 6), , , , − , , , , , , }
Bài 11 (bài 30, 34 trang 219). Xác định xem các vector trong tập hợp S cho
sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
(i) S = {(
3
4
,
5
2
,
3
2
), ,(3 4,
7
2
), (−
3
2
, 6 2), }.
(ii) .S = {(0, 0 0 1) (0 0 1 1) (0 1 1 1) (1 1 1 1), , , , , , , , , , , , , , }
Bài 12 (bài 38 trang 219). Chỉ ra rằng các vector trong tập hợp
S = {(1, , , , , , , , ,2 3, 4) (1, 0 1 2) (1 4 5 6)}
phụ thuộc tuyến tính bằng cách chỉ ra một cách biểu diễn vector thành(0 0 0, , , 0)
tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các vector trong tập hợp . Sau đó biểuS
diễn một vector trong tập hợp thành tổ hợp tuyến tính của các vector khác trongS
cùng tập hợp này.
Bài 13 (bài 39 trang 219). Với giá trị nào của thì mỗi tập hợp các vectort
sau là độc lập tuyến tính?
(a) .S = {( 1t, , 1) (1 1) (1 1 ), , t, , , , t }
(b) .S = {( 1t, , 1) (1 0 1) (1 1 3 ), , , , , , t }
Bài 14 (bài 57-58 trang 220). Cho S là một tập hợp gồm hữu hạn các vector,
S
1
là một tập hợp con khác rỗng của S.
(i) Giả thiết S độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng cũng độc lập tuyến tính.S
1
(ii) Giả thiết S
1
phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh rằng cũng phụ thuộc tuyếnS
tính.
Bài 15 (bài 59 trang 220). Chứng minh rằng mọi tập hợp vector có chứa
vector 0 đều phụ thuộc tuyến tính.
Bài 16 (bài 60 trang 220). Cho {u u
1
, . . . ,
n
} là một tập hợp các vector độc
lập tuyến tính. Giả thiết rằng tập hợp các vector là phụ thuộc tuyến{u u
1
, . . . ,
n
, v}
tính. Chứng minh rằng là một tổ hợp tuyến tính của các vector .v u u
1
, . . . ,
n
Bài 17 (bài 61 trang 220). Cho {v v
1
, . . . ,
k
} là một tập hợp các vector độc
lập tuyến tính trong không gian vector V . Xóa vector v
k
khỏi tập hợp này. Chứng
minh rằng tập hợp các vector còn lại (tức là tập hợp ) không phải là{ }v
1
, . . . , v
k−1
hệ sinh của không gian vector .V
Bài 18 (bài 65 trang 220). Cho {u, v} là một tập hợp các vector độc lập
tuyến tính. Chứng minh rằng tập hợp các vector cũng độc lập tuyến{u u+ v, −v}
tính.
Bài 19 (bài 65 trang 220). Cho u, v, w là 3 vector bất kỳ trong một không
gian vector V . Xác định xem tập hợp các vector độc lập tuyến{v −u, w −v, u −w}
tính hay phụ thuộc tuyến tính.
4
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tuần 5
Bài 1 (bài 3-6 trang 168). Tính ma trận phụ hợp (adjoint matrix) của các ma trận sau. 1 0 0  1 2 3  (i) A = . (ii) A 0 2 6 = .  0 1 −1 0 −4 −12 2 2 2 −3 −5 −7  0 1 1 (iii) 2 4 3 . (iv) 3 2 3  .    0 1 −1 −1 −1 2
Bài 2 (bài 27-32 trang 169). Sử dụng quy tắc Cramer giải các hệ phương trình tuyến tính sau. (i) 4x1 − x2 − x3 = 1 2x1 + 2x2 + 3x3 = 10 5x1 − 2x2 − 2x3 = − 1 (ii) 4x1 − 2x2 + 3x3 = − 2 2x1 + 2x2 + 5x3 = 16 8x1 − 5x2 − 2x3 = 4 (iii) 3x1 + 4x2 + 4x3 = 11 4x1 − 4x2 + 6x3 = 11 6x1 − 6x2 = 3 (iv) 14x1 − 21x2 − 7x3 = − 21 −4x1 + 2x2 − 2x3 = 2 56x1 − 21x2 + 7x3 = 7 1 (v) 3x1 + 3x2 + 5x3 = 1 3x1 + 5x2 + 9x3 = 2 5x1 + 9x2 + 17x3 = 4 (vi) 2x1 + 3x2 + 5x3 = 4 3x1 + 5x2 + 9x3 = 7 5x1 + 9x2 + 17x3 = 13
Bài 3 (bài 13-27 trang 197). Xác định xem tập hợp cùng với các phép toán
được nêu trong mỗi phần sau có lập thành một không gian vector hay không. Nếu
không, chỉ ra ít nhất một trong các tiên đề không gian vector bị vi phạm.
(i) M4,6 với các phép toán thông thường.
(ii) M1,1 với các phép toán thông thường.
(iii) Tập hợp các đa thức bậc 3 với các phép toán thông thường.
(iv) Tập hợp các đa thức bậc 5 với các phép toán thông thường.
(v) Tập hợp các đa thức bậc nhất ax + b (với a 6= 0) có đồ thị đi qua gốc toạ độ,
cùng với các phép toán thông thường.
(vi) Tập hợp các đa thức bậc hai ax2 + bx + c (với a 6= 0) có đồ thị đi qua gốc
toạ độ, cùng với các phép toán thông thường.
(vii) Tập hợp {(x, y) : x ≥ 0, y ∈ R} cùng với các phép toán thông thường trong
R2. (viii) Tập hợp {(x,y) : x ≥ 0,y ≥ 0} cùng với các phép toán thông thường trong
R2. (ix) Tập hợp {(x,x) : x ∈ R} cùng với các phép toán thông thường.
(x) Tập hợp {(x, 1x) : x ∈ R} cùng với các phép toán thông thường. 2 a b
(xi) Tập hợp các ma trận cỡ 2 × 2 có dạng
cùng với các phép toán thông c 0 thường. a b
(xii) Tập hợp các ma trận cỡ 2 × 2 có dạng
cùng với các phép toán thông c 1 thường.
(xiii) Tập hợp các ma trận suy biến (tức là không khả nghịch) cỡ 2 × 2 cùng với
các phép toán thông thường.
(xiv) Tập hợp các ma trận không suy biến (tức là khả nghịch) cỡ 2 × 2 cùng với
các phép toán thông thường.
(xv) Tập hợp các ma trận đường chéo cỡ 2 × 2 cùng với các phép toán thông thường.
Bài 4 (bài 29 trang 197, bài 33 trang 198). Khác với các phép toán cộng
vector và nhân với vô hướng thông thường trong R2, giả sử các phép toán này được định nghĩa như sau. 2 (a)
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), c(x, y) = (cx, y). (b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, 0), c(x, y) = (cx, cy). (c)
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), √ √ c(x, y) = ( cx, cy). (d)
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1x2, y1y2), c(x, y) = (cx, cy).
Với mỗi định nghĩa mới này, R2 có phải là không gian vector hay không? Nếu
không, chỉ ra ít nhất một trong các tiên đề không gian vector bị vi phạm.
Bài 5 (bài 34 trang 198). Cho V là tập hợp các số thực dương. Xác định xem
V có phải là không gian vector với các phép toán dưới đây hay không. Nếu có, kiểm
tra tất cả các tiên đề không gian vector. Nếu không, chỉ ra tất cả các tiên đề không gian vector bị vi phạm. x + y = xy, cx = xc
(nghĩa là, phép cộng 2 phần tử của V được định nghĩa bằng phép nhân 2 số thực
như thông thường, phép nhân vô hướng c ∈ R với một phần tử x ∈ V được định
nghĩa bằng phép lấy luỹ xc như thông thường).
Bài 6 (bài 41 trang 198). Chứng minh rằng trong một không gian vector V vector 0 là duy nhất.
Bài 7 (bài 42 trang 198). Cho u là một vector trong không gian vector V .
Chứng minh rằng vector −u là duy nhất.
Bài 8 (bài 1 trang 219). Cho S = {(2, −1, 3), (5, 0, 4)}. Xác định xem các
vector sau đây có thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vector trong S hay không. (a) u= (1, 1, −1). (b) v= (8, −1, 27). 4 4 (c) w= (1, −8, 12). (d) z= (−1, −2, 2).
Bài 9 (bài 3 trang 219). Cho S = {(2, 0, 7), (2, 4, 5), (2, −12, 13)}. Xác định
xem các vector sau đây có thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vector trong S hay không. 3 (a) u= (−1, 5, −6). (b) v= (−3, 15, 18). (c) w= (1, 4 , 1 ). 3 3 2 (d) z= (2, 20, −3).
Bài 10 (bài 21-22 trang 219). Xác định xem các tập hợp S cho sau đây có
phải là hệ sinh của không gian vector R3 hay không.
(i) S = {(1, −2, 0), (0, 0, 1), (−1, 2, 0)}.
(ii) S = {(1, 0, 3), (2, 0, −1), (4, 0, 5), (2, 0, 6)}.
Bài 11 (bài 30, 34 trang 219). Xác định xem các vector trong tập hợp S cho
sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
(i) S = {(3 , 5, 3), (3, 4, 7), (−3 , 6, 2)}. 4 2 2 2 2
(ii) S = {(0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)}.
Bài 12 (bài 38 trang 219). Chỉ ra rằng các vector trong tập hợp
S = {(1, 2, 3, 4), (1, 0, 1, 2), (1, 4, 5, 6)}
phụ thuộc tuyến tính bằng cách chỉ ra một cách biểu diễn vector (0, 0, 0, 0) thành
tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các vector trong tập hợp S. Sau đó biểu
diễn một vector trong tập hợp S thành tổ hợp tuyến tính của các vector khác trong cùng tập hợp này.
Bài 13 (bài 39 trang 219). Với giá trị nào của t thì mỗi tập hợp các vector
sau là độc lập tuyến tính?
(a) S = {(t, 1, 1), (1, t, 1), (1, 1, t)}.
(b) S = {(t, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 3t)}.
Bài 14 (bài 57-58 trang 220). Cho S là một tập hợp gồm hữu hạn các vector,
S1 là một tập hợp con khác rỗng của S.
(i) Giả thiết S độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng S1 cũng độc lập tuyến tính.
(ii) Giả thiết S1 phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh rằng S cũng phụ thuộc tuyến tính.
Bài 15 (bài 59 trang 220). Chứng minh rằng mọi tập hợp vector có chứa
vector 0 đều phụ thuộc tuyến tính.
Bài 16 (bài 60 trang 220). Cho {u u 1, . . . ,
n} là một tập hợp các vector độc
lập tuyến tính. Giả thiết rằng tập hợp các vector {u u 1, . . . ,
n, v} là phụ thuộc tuyến
tính. Chứng minh rằng v là một tổ hợp tuyến tính của các vector u u 1, . . . , n.
Bài 17 (bài 61 trang 220). Cho {v v 1, . . . ,
k } là một tập hợp các vector độc
lập tuyến tính trong không gian vector V . Xóa vector vk khỏi tập hợp này. Chứng
minh rằng tập hợp các vector còn lại (tức là tập hợp {v1, . . . , vk 1 − }) không phải là
hệ sinh của không gian vector V .
Bài 18 (bài 65 trang 220). Cho {u, v} là một tập hợp các vector độc lập
tuyến tính. Chứng minh rằng tập hợp các vector {u u
+ v, − v} cũng độc lập tuyến tính.
Bài 19 (bài 65 trang 220). Cho u, v, w là 3 vector bất kỳ trong một không
gian vector V . Xác định xem tập hợp các vector {v −u, w −v, u−w} độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính. 4