Bài tập đại số tổ hợp Toán 10 Cánh Diều

Tài liệu gồm 156 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Bảo Vương, tuyển tập các dạng bài tập tự luận và trắc nghiệm chuyên đề đại số tổ hợp trong chương trình Toán 10 Cánh Diều, có đáp án và lời giải chi tiết.

129 65 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 8: Đại số tổ hợp (KNTT)

Môn: Toán 10

Sách: Cánh diều

Thông tin:

156 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT
I. Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có
m
cách thực hiện,
hành động thứ hai có
n
cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau đôi một) thì
công việc đó có
mn+
cách hoàn thành.
Ví dụ 1. Bạn Phương có 7 quyển sách Tiếng Anh và 8 quyển sách Văn học, các quyển sách là khác nhau.
Hỏi bạn Phương có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc?
Giải
Việc chọn một quyển sách để đọc là thực hiện một trong hai hành động sau:
Chọn một quyển sách tiếng anh: có 7 cách chọn.
Chọn một quyển sách Văn học: có 8 cách chọn.
Vậy có
7 8 15+=
cách chọn một quyển sách để đọc.
Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:
Một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có
m
cách thực hiện,
hành động thứ hai có
n
cách thực hiện, hành động thứ ba có
p
cách thực hiện (các cách thực hiện của ba
hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có
mn p++
cách hoàn thành.
II. Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có
m
cách thực hiện và
ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có
n
cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có
m
.
n
cách hoàn thành.
Ví dụ 2. Trong Hoạt động 1, nếu gia đình bạn Liên muốn chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1
, sau đó đi tham quan tiếp một địa điểm trong chương trình 2 thì có bao nhiêu cách chọn hai địa điểm ở hai
chương trình khác nhau để tham quan?
Giải
Việc chọn hai địa điểm ở hai chương trình khác nhau để tham quan là thực hiện hai hành động liên tiếp:
chọn một địa điểm trong chương trình 1 , sau đó chọn một địa điểm trong chương trình 2 .
Có 4 cách chọn địa điểm tham quan trong chương trình 1 .
Với mỗi cách chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1 sẽ có 7 cách chọn địa điểm tham quan
trong chương trình 2 .
Vậy có tất cả
cách chọn hai địa điểm tham quan ở hai chương trình khác nhau.
Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:
Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp: Nếu hành động thứ nhất có
m
cách thực hiện;
ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có
n
cách thực hiện
hành động thứ hai; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động thứ hai
có
p
cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có
mn p⋅⋅
cách hoàn thành.
Ví dụ 3. Trong kinh doanh nhà hàng, combo là một hình thức gọi món theo thực đơn được kết hợp từ nhiều
món ăn hoặc đồ uống. Nếu nhà hàng có 5 món rau, 4 món cá và 3 món thịt thì có bao nhiêu cách tạo ra một
combo? Biết mỗi combo có đầy đủ 1 món rau, 1 món cá và 1 món thịt.
Giải
Để tạo một combo ta thực hiện ba hành động liên tiếp: chọn 1 món rau, chọn 1 món cá và chọn 1 món thịt.
Chọn 1 món rau: Có 5 cách chọn.
Chọn 1 món cá: Có 4 cách chọn.
Chọn 1 món thịt: Có 3 cách chọn.
Vậy có
5.4.3 60=
cách tạo ra một combo
III. Sơ đồ hình cây.
Nhận xét
- Sơ đồ hình cây là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh toả ra các nút bổ sung.
Bài 1. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Trang 2
- Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi hỏi những
hành động liên tiếp.
Ví dụ 4. Bạn Hương có 3 chiếc quần khác màu lần lượt là xám, đen, nâu nhạt và 4 chiếc áo sơ mi cũng khác
màu lần lượt là hồng, vàng, xanh, tím. Hãy vẽ sơ đồ hình cây biểu thị số cách chọn:
a) 1 chiếc quần;
b) 1 chiếc áo sơ mi;
c) 1 bộ quần áo.
Giải
Các sơ đồ hình cây
1 2 12
,,T T TT
trong hình sau lần lượt:
a) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc quần;
b) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc áo sơ mi;
c) Biểu thị số cách chọn 1 bộ quần áo.
IV. Vận dụng trong bài toán đếm
1. Vận dụng trong giải toán
Ví dụ 5. Cho 10 điểm phân biệt, hỏi lập được bao nhiêu vectơ khác
0
? Biết rằng hai đầu mút của mỗi vectơ
là hai trong 10 điểm đã cho.
Giải
Việc lập vectơ là thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn điểm đầu và chọn điểm cuối.
Chọn điểm đầu: có 10 cách chọn. Chọn điểm cuối: có 9 cách chọn.
Vậy có
10 9 90⋅=
(vectơ).
Ví dụ 6. Phân tích số 10125 ra thừa số nguyên tố rồi tìm số ước nguyên dương của nó.
Giải
Ta có:
43
10125 3 5= ⋅
. Một ước nguyên dương của 10125 thì có dạng
35
mn
⋅
, trong đó
,mn
là hai số tự nhiên
sao cho
0 4,0 3mn≤ ≤ ≤≤
.
Như vậy, để tạo ra một ước nguyên dương của 10125 ta làm như sau:
Trang 3
- Chọn số tự nhiên
m
mà
04m≤≤
có 5 cách chọn.
- Chọn số tự nhiên
n
mà
03n≤≤
có 4 cách chọn.
- Lấy tích
35
mn
⋅
.
Vì vậy, số ước nguyên dương của 10125 là:
5.4 20=
(số).
2. Vận dụng trong thực tiễn
Ví dụ 7. Từ ba mảng dữ liệu
,,ABC
, máy tính tạo nên một thông tin đưa ra màn hình cho người dùng bằng
cách lần lượt lấy một dữ liệu từ
A
, một dữ liệu từ
B
và một dữ liệu từ
C
. Giả sử
,,ABC
lần lượt chứa
,,mn p
dữ liệu. Hỏi máy tính có thể tạo ra được bao nhiêu thông tin?
Giải
Việc máy tính tạo ra thông tin là thực hiện ba cách chọn liên tiếp: chọn dữ liệu từ
A
, chọn dữ liệu từ
B
và
chọn dữ liệu từ
C
.
Có
m
cách chọn một dữ liệu từ
A
.
Có
n
cách chọn một dữ liệu từ
B
.
Có
p
cách chọn một dữ liệu từ
C
.
Vậy số thông tin máy tính có thể tạo được là:
mn p⋅⋅
.
Ví dụ 8. Gia đình bạn Quân đặt mật mã của chiếc khoá cổng là một dãy gồm bốn chữ số. Hỏi có bao nhiêu
cách đặt mật mã nếu:
a) Các chữ số có thể giống nhau?
b) Các chữ số phải đôi một khác nhau?
Giải
Gọi dãy số mật mã là
abcd
.
a) Việc chọn mật mã là chọn liên tiếp các chữ số
,,,
abcd
, trong đó các chữ số có thể giống nhau.
Chọn
a
: Có 10 cách chọn. Chọn b: Có 10 cách chọn.
Chọn
c
: Có 10 cách chọn. Chọn d: Có 10 cách chọn.
Vậy có
10 10 10 10 10000⋅⋅⋅=
cách đặt mật mã.
b) Việc chọn mật mã là chọn liên tiếp các chữ số
,,,abcd
, trong đó các chữ số đôi một khác nhau.
Chọn a: Có 10 cách chọn.
Chọn
b
: Có 9 cách chọn (khác chữ số
a
đã chọn).
Chọn
c
: Có 8 cách chọn (khác hai chữ số
,ab
đã chọn).
Chọn
d
: Có 7 cách chọn (khác ba chữ số
,,abc
đã chọn).
Vậy có
10 9 8 7 5040⋅⋅⋅ =
cách đặt mật mã.
Ví dụ 9. Cho kiểu gen AaBbDdEE.
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử.
b) Từ đó, tính số loại giao tử của kiểu gen AaBbDdEE.
Biết quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường, không xảy ra đột biến.
Giải
a) Sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử:
Trang 4
b) Từ sơ đồ hình cây, ta có 8 loại giao tử của kiểu gen
AaBbDdEE
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Một đồng xu có hai mặt sấp và ngửa (Kí hiệu
S
và
N
). Tung đồng xu ba lần liên tiếp và ghi lại
kết quả. Tìm số kết quả có thể xảy ra, theo hai cách sau đây:
a) Vẽ sơ đồ hình cây.
b) Sử dụng quy tắc nhân.
Câu 2. Một bạn muốn đi từ tỉnh
A
đến tỉnh
B
trong một ngày nhất định. Biết rằng trong ngày hôm đó từ
tỉnh
A
đến tỉnh
B
có
14
chuyến ô tô,
5
chuyến tàu. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn để đi từ
A
đến
?B
Câu 3. Một cửa hàng có
10
bó hoa ly,
14
bó hoa huệ,
6
bó hoa lan. Một bạn muốn mua một bó hoa tại
cửa hàng này. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn?
Câu 4. Một lớp có
25
học sinh nam và
15
học sinh nữ. Hỏi giáo viên có bao nhiêu sự lựa chọn ra một
bạn trong lớp để làm lớp trưởng?
Câu 5. Một nhà hàng có
3
loại rượu,
4
loại bia và
5
loại nước uống. Một thực khách muốn lựa chọn
một loại đồ uống thì có bao nhiêu cách chọn?
Câu 6. Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra
45
phút môn Toán phần lượng giác. Trong ngân hàng câu hỏi
có
5
chủ đề, mỗi chủ đề có
4
câu. Để ra đề kiểm tra
45
p
gồm
5
câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo
viên có bao nhiêu cách ra đề?
Câu 7. Có
3
bạn nữ và
3
bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào một hàng dọc sao cho
nam nữ đứng xen kẽ nhau?
Câu 8. Một lớp có
7
học sinh giỏi Toán,
5
học sinh giỏi Văn,
6
học sinh giỏi Lịch Sử. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra
1
nhóm:
a/ Gồm
1
học sinh giỏi bất kỳ?
b/ Gồm
3
học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả
3
môn?
c/ Gồm
2
học sinh giỏi khác nhau?
Câu 9. Cho các số tự nhiên:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
c) Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
Trang 5
Câu 10. Cho các số tự nhiên sau :
1, 2, 5, 6, 7, 9
.
a) Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết
c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2
Câu 11. Cho các số tự nhiên :
0, 1, 2, 4, 5, 7, 9.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau?
Câu 12. Cho các số tự nhiên
0, 2, 3, 5, 6, 9
.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3?
c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601?
Câu 13. Từ các chữ số
0, 1, 2, 3, 4
có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ
39
hoặc cỡ
40
. Áo cỡ
39
có
5
màu khác nhau, áo cỡ
40
có
4
màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)?
A.
9.
B.
5.
C.
4.
D.
1.
Câu 2. Một người có
4
cái quần khác nhau,
6
cái áo khác nhau,
3
chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một
cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là:
A.
13.
B.
72.
C.
12.
D.
30.
Câu 3. Trên bàn có
8
cây bút chì khác nhau,
6
cây bút bi khác nhau và
10
cuốn tập khác nhau. Một học
sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách
chọn khác nhau là:
A.
480.
B.
24.
C.
48.
D.
60.
Câu 4. Trong một trường THPT, khối
11
có
280
học sinh nam và
325
học sinh nữ. Nhà trường cần chọn
một học sinh ở khối
11
đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
A.
45.
B.
280.
C.
325.
D.
605.
Câu 5. Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một
học sinh tiên tiến lớp
11A
hoặc lớp
12 .B
Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp
11A
có
31
học sinh tiên tiến và lớp
12B
có
22
học sinh tiên tiến?
A.
31.
B.
9.
C.
53.
D.
682.
Câu 6. Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ
1
đến
6
và ba quả cầu đen được đánh số
7, 8, 9.
Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
A.
27.
B.
9.
C.
6.
D.
3.
Câu 7. Giả sử từ tỉnh
A
đến tỉnh
B
có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay.
Mỗi ngày có
10
chuyến ô tô,
5
chuyến tàu hỏa,
3
chuyến tàu thủy và
2
chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ tỉnh
A
đến tỉnh
B
?
A.
20.
B.
300.
C.
18.
D.
15.
Câu 8. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao
gồm:
8
đề tài về lịch sử,
7
đề tài về thiên nhiên,
10
đề tài về con người và
6
đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh
được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?
A.
20.
B.
3360.
C.
31.
D.
30.
Câu 9. Một tổ có học sinh nữ và học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh
của tổ đó đi trực nhật.
A.
20
. B.
11
. C.
30
. D.
10
.
Câu 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:
5
6
Trang 6
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có
bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
A. 4. B. 7. C. 12. D. 16.
Câu 12. Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách
chọn bộ
''
quần-áo-cà vạt
''
khác nhau?
A. 13. B. 72. C. 12. D. 30.
Câu 13. Một thùng trong đó có
12
hộp đựng bút màu đỏ,
18
hộp đựng bút màu xanh. Số cách khác nhau
để chọn được đồng thời một hộp màu đỏ, một hộp màu xanh là?
A.
13.
B.
12.
C.
18.
D.
216.
Câu 14. Trên bàn có
8
cây bút chì khác nhau,
6
cây bút bi khác nhau và
10
cuốn tập khác nhau. Số cách
khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.
A.
24.
B.
48.
C.
480.
D.
60.
Câu 15. Một bó hoa có
5
hoa hồng trắng,
6
hoa hồng đỏ và
7
hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy
ba bông hoa có đủ cả ba màu.
A.
240.
B.
210.
C.
18.
D.
120.
Câu 16. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong năm món, một loại
quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một nước uống trong ba loại nước uống. Có bao nhiêu
cách chọn thực đơn.
A.
25.
B.
75.
C.
100.
D.
15.
Câu 17. Trong một trường THPT, khối
11
có
280
học sinh nam và
325
học sinh nữ. Nhà trường cần chọn
hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao
nhiêu cách chọn?
A.
910000.
B.
91000.
C.
910.
D.
625.
Câu 18. Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm
5
học sinh khối
12,
4
học sinh khối
11,
3
học sinh
khối
10.
Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em?
A.
12.
B.
220.
C.
60.
D.
3.
Câu 19. Có
10
cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong
bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng?
A.
100.
B.
91.
C.
10.
D.
90.
Câu 20. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có
4
con
đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có
6
con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà
Cường?
A.
6.
B.
4.
C.
10.
D.
24.
Câu 21. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
A. 9. B. 10. C. 18. D. 24.
Câu 22. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến D rồi quay lại A?
A. 1296. B. 784. C. 576. D. 324.
5
15
55
10
Trang 7
Câu 23. Có cái bút khác nhau và quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn cái
bút và quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?
A. . B. . C. . D. .
Câu 24. Một hộp đựng bi đỏ và bi xanh. Có bao nhiêu cách lấy bi có đủ cả màu?
A. . B. . C. . D. .
Câu 25. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm món ăn trong món ăn, loại quả
tráng miệng trong loại quả tráng miệng và loại nước uống trong loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn thực đơn?
A. . B. . C. . D. .
Câu 26. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 27. Số các số tự nhiên chẵn, gồm bốn chữ số khác nhau đôi một và không tận cùng bằng 0 là :
A. . B. . C. . D. .
Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?
A. . B. . C. . D. .
Câu 29. Có 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 7 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu
vàng được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số.
A. 392 B. 1023 C. 3014 D. 391
Câu 30. Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số được lập từ sáu chữ số , , , , , ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 31. Cho các số
1,5,6,7
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
4
chữ số với các chữ số khác nhau:
A.
12
. B.
24
. C.
64
. D.
256
.
Câu 32. Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi
bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?
A.
3991680.
B.
12!.
C.
35831808.
D.
7!.
Câu 33. Nhãn mỗi chiếc ghế trong hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái (trong bảng
24
chữ
cái tiếng Việt), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn
26.
Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế
được ghi nhãn khác nhau?
A.
624.
B.
48.
C.
600.
D.
( ) { }
, , , 1, 5, 6, 7 .abcd A∈=
Câu 34. Biển số xe máy của tỉnh
A
(nếu không kể mã số tỉnh) có
6
kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là
một chữ cái (trong bảng
26
cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập
{ }
1;2;...;9 ,
mỗi kí
tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập
{ }
0;1;2;...;9 .
Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh
A
có
thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?
A.
2340000.
B.
234000.
C.
75.
D.
2600000.
Câu 35. Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên?
A.
160.
B.
240.
C.
180.
D.
120.
Câu 36. Từ các chữ số
1, 5, 6, 7
có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có
4
chữ số (không nhất thiết
phải khác nhau)?
A.
324.
B.
256.
C.
248.
D.
124.
Câu 37. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn?
A.
99.
B.
50.
C.
20.
D.
10.
Câu 38. Từ các chữ số
1, 2, 3, 4, 5, 6
có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn
100
?
10
8
1
1
80
60
90
70
5
4
2
2
20
16
9
36
1
5
1
4
1
3
75
12
60
3
25
20
50
10
504
1792
953088
2296
1000
720
729
648
3
1
2
3
4
5
6
120
216
256
20
Trang 8
A.
36.
B.
62.
C.
54.
D.
42.
Câu 39. Từ các chữ số
0, 1, 2, 3, 4, 5
có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm
4
chữ số khác nhau?
A.
154.
B.
145.
C.
144.
D.
155.
Câu 40. Từ các chữ số
0, 1, 2, 3, 4, 5
có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm
4
chữ số khác nhau?
A.
156.
B.
144.
C.
96.
D.
134.
Câu 41. Từ các chữ số , , , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số?
A. . B. . C. . D. .
Câu 42. Có bao nhiêu sỗ chẵn gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? Câu trả lời
nào đúng?
A. số. B. số. C. số. D. số.
Câu 43. Cho các chữ số 1, 2, 3,., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác
nhau và không vượt quá 2011.
A. 168 B. 170 C. 164 D. 172
Câu 44. Từ các số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ
A. 360 B. 343 C. 480 D. 347
Câu 45. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người.
A. 81 B. 68 C. 42 D. 98
Câu 46. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho nam, nữ ngồi xen
kẽ?
A. 72 B. 74 C. 76 D. 78
Câu 47. Có bao nhiêu cách sắp xếp nữ sinh, nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ
ngồi xen kẽ:
A. . B. . C. . D. .
Câu 48. Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có chữ số và bắt đầu bởi chữ số đầu tiên là . Hỏi ở Huyện
Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:
A. . B. . C. . D. .
Câu 49. Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội thì
gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra.
A. 190 B. 182 C. 280 D. 194
Câu 50. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn ?
A. B. C. D.
Câu 51. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm chữ số khác nhau?
A. B. C. D.
Câu 52. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác nhau?
A. B. C. D.
Câu 53. Cho tập từ tập có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chữ số và chia
hết cho ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 54. Có
6
học sinh và
3
thầy giáo
A
,
B
,
C
. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ
9
người đó ngồi trên
một hàng ngang có
9
chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh.
A.
4320
. B.
90
. C.
43200
. D.
720
.
0
1
2
3
4
5
6
210
105
168
145
40000
38000
44000
42000
1, 2,3, 4,5,6,7
3
3
6
72
720
144
7
3
790
1000
100000
10000
1000000
1, 2, 3, 4, 5, 6
100
36.
62.
54.
42.
0, 1, 2, 3, 4, 5
4
154.
145.
144.
155.
0, 1, 2, 3, 4, 5
4
156.
144.
96.
134.
{ }
0;1;2;3;4;5;6A =
A
5
2
8232
1230
1260
2880
Trang 9
Câu 55. Một liên đoàn bóng đá có
10
đội, mỗi đội phải đá
4
trận với mỗi đội khác,
2
trận ở sân nhà và
2
trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:
A.
180
B.
160
. C.
90
. D.
45
.
Câu 56. Từ tập có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số
đứng cuối lẻ.
A. 11523 B. 11520 C. 11346 D. 22311
Câu 57. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn
100
chia hết cho
2
và
3
.
A.
12
. B.
16
. C.
17
. D.
20
.
Câu 58. Cho tập
{ }
1, 2,3, 4,5,6,7,8=A
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác
nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
A. 15120 B. 23523 C. 16862 D. 23145
Câu 59. Cho tập
{ }
0,1, 2,3,4,5,6=A
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và
chia hết cho 5.
A. 660 B. 432 C. 679 D. 523
Câu 60. Số các số tự nhiên gồm
5
chữ số chia hết cho
10
là:
A.
3260
. B.
3168
. C.
9000
. D.
12070
.
Câu 61. Cho tập hợp số:
{ }
0,1, 2,3,4,5,6=A
.Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và
chia hết cho 3.
A. 114 B. 144 C. 146 D. 148
Câu 62. Một hộp chứa quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ đến , năm quả cầu đỏ đánh số từ
đến và năm quả cầu vàng đánh số từ đến . Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó quả cầu vừa
khác màu vừa khác số.
A. . B. . C. . D. .
Câu 63. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho
6 học sinh trường và 6 học sinh trường vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho
bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau.
A. 1036800 B. 234780 C. 146800 D. 2223500
Câu 64. Có bao nhiêu cách sắp xếp
3
nữ sinh,
3
nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ
ngồi xen kẻ:
A.
6
. B.
72
. C.
720
. D.
144
.
Câu 65. Từ các chữ số , , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một
khác nhau và phải có mặt chữ số .
A.
36
số. B.
108
số. C.
228
số. D.
144
số.
Câu 66. Từ các chữ số
0
,
2
,
3
,
5
,
6
,
8
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
6
chữ số đôi một
khác nhau trong đó hai chữ số
0
và
5
không đứng cạnh nhau.
A.
384
B.
120
C.
216
D.
600
Câu 67. Một phiếu điều tra về đề tự học của học sinh gồm
10
câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có bốn lựa
chọn để trả lời. Khi tiến hành điều tra, phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu người được hỏi trả lời đủ
10
câu
hỏi, mỗi câu chỉ chọn một phương án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất
hai phiếu trả lời giống hệt nhau cả
10
câu hỏi?
A.
2097152
. B.
10001
. C.
1048577
. D.
1048576
.
Câu 68. Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5, 6, 7,8, 9.
Tính tổng tất cả các số thuộc tâp
.S
16
1
6
1
5
1
5
3
72
150
60
80
A
B
0
1
2
3
5
8
3
Trang 10
A.
9333420.
B.
46666200.
C.
9333240.
D.
46666240.
Câu 69. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có
6
chữ số khác nhau
và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
A.
32
. B.
72
. C.
36
. D.
24
.
Câu 70. Tô màu các cạnh của hình vuông
ABCD
bởi
6
màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một
màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô?
A.
360
. B.
480
. C.
600
. D.
630
.
Câu 71. Cho
5
chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
6
. Lập các số tự nhiên có
3
chữ số đôi một khác nhau từ
5
chữ số đã
cho. Tính tổng của các số lập được.
A.
12321
B.
21312
C.
12312
D.
21321
Câu 72. Có bao nhiêu số có
10
chữ số được tạo thành từ các chữ số
1
,
2
,
3
sao cho bất kì
2
chữ số nào
đứng cạnh nhau cũng hơn kém nhau
1
đơn vị?
A.
32
B.
16
C.
80
D.
64
Câu 73. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho
9
mà mỗi số
2011
chữ số và trong đó có ít nhất
hai chữ số
9
.
A.
2011 2010
9 2019.9 8
9
−+
B.
2011 2010
9 2.9 8
9
−+
C.
2011 2010
998
9
−+
D.
2011 2010
9 19.9 8
9
−+
Câu 74. Từ các số
1, 2,3,4,5,6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa
điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số
sau một đơn vị.
A. 104 B. 106 C. 108 D. 112
Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT
I. Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có
m
cách thực hiện,
hành động thứ hai có
n
cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau đôi một) thì
công việc đó có
mn+
cách hoàn thành.
Ví dụ 1. Bạn Phương có 7 quyển sách Tiếng Anh và 8 quyển sách Văn học, các quyển sách là khác nhau.
Hỏi bạn Phương có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc?
Giải
Việc chọn một quyển sách để đọc là thực hiện một trong hai hành động sau:
Chọn một quyển sách tiếng anh: có 7 cách chọn.
Chọn một quyển sách Văn học: có 8 cách chọn.
Vậy có
7 8 15+=
cách chọn một quyển sách để đọc.
Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:
Một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có
m
cách thực hiện,
hành động thứ hai có
n
cách thực hiện, hành động thứ ba có
p
cách thực hiện (các cách thực hiện của ba
hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có
mn p++
cách hoàn thành.
II. Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có
m
cách thực hiện và
ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có
n
cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có
m
.
n
cách hoàn thành.
Ví dụ 2. Trong Hoạt động 1, nếu gia đình bạn Liên muốn chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1
, sau đó đi tham quan tiếp một địa điểm trong chương trình 2 thì có bao nhiêu cách chọn hai địa điểm ở hai
chương trình khác nhau để tham quan?
Giải
Việc chọn hai địa điểm ở hai chương trình khác nhau để tham quan là thực hiện hai hành động liên tiếp:
chọn một địa điểm trong chương trình 1 , sau đó chọn một địa điểm trong chương trình 2 .
Có 4 cách chọn địa điểm tham quan trong chương trình 1 .
Với mỗi cách chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1 sẽ có 7 cách chọn địa điểm tham quan
trong chương trình 2 .
Vậy có tất cả
4.7 28
=
cách chọn hai địa điểm tham quan ở hai chương trình khác nhau.
Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:
Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp: Nếu hành động thứ nhất có
m
cách thực hiện;
ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có
n
cách thực hiện
hành động thứ hai; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động thứ hai
có
p
cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có
mn p⋅⋅
cách hoàn thành.
Ví dụ 3. Trong kinh doanh nhà hàng, combo là một hình thức gọi món theo thực đơn được kết hợp từ nhiều
món ăn hoặc đồ uống. Nếu nhà hàng có 5 món rau, 4 món cá và 3 món thịt thì có bao nhiêu cách tạo ra một
combo? Biết mỗi combo có đầy đủ 1 món rau, 1 món cá và 1 món thịt.
Giải
Để tạo một combo ta thực hiện ba hành động liên tiếp: chọn 1 món rau, chọn 1 món cá và chọn 1 món thịt.
Chọn 1 món rau: Có 5 cách chọn.
Chọn 1 món cá: Có 4 cách chọn.
Chọn 1 món thịt: Có 3 cách chọn.
Vậy có
5.4.3 60=
cách tạo ra một combo
III. Sơ đồ hình cây.
Nhận xét
- Sơ đồ hình cây là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh toả ra các nút bổ sung.
Bài 1. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Trang 2
- Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi hỏi những
hành động liên tiếp.
Ví dụ 4. Bạn Hương có 3 chiếc quần khác màu lần lượt là xám, đen, nâu nhạt và 4 chiếc áo sơ mi cũng khác
màu lần lượt là hồng, vàng, xanh, tím. Hãy vẽ sơ đồ hình cây biểu thị số cách chọn:
a) 1 chiếc quần;
b) 1 chiếc áo sơ mi;
c) 1 bộ quần áo.
Giải
Các sơ đồ hình cây
1 2 12
,,T T TT
trong hình sau lần lượt:
a) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc quần;
b) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc áo sơ mi;
c) Biểu thị số cách chọn 1 bộ quần áo.
IV. Vận dụng trong bài toán đếm
1. Vận dụng trong giải toán
Ví dụ 5. Cho 10 điểm phân biệt, hỏi lập được bao nhiêu vectơ khác
0
? Biết rằng hai đầu mút của mỗi vectơ
là hai trong 10 điểm đã cho.
Giải
Việc lập vectơ là thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn điểm đầu và chọn điểm cuối.
Chọn điểm đầu: có 10 cách chọn. Chọn điểm cuối: có 9 cách chọn.
Vậy có
10 9 90⋅=
(vectơ).
Ví dụ 6. Phân tích số 10125 ra thừa số nguyên tố rồi tìm số ước nguyên dương của nó.
Giải
Ta có:
43
10125 3 5= ⋅
. Một ước nguyên dương của 10125 thì có dạng
35
mn
⋅
, trong đó
,mn
là hai số tự nhiên
sao cho
0 4,0 3mn≤ ≤ ≤≤
.
Như vậy, để tạo ra một ước nguyên dương của 10125 ta làm như sau:
Trang 3
- Chọn số tự nhiên
m
mà
04m≤≤
có 5 cách chọn.
- Chọn số tự nhiên
n
mà
03n≤≤
có 4 cách chọn.
- Lấy tích
35
mn
⋅
.
Vì vậy, số ước nguyên dương của 10125 là:
5.4 20
=
(số).
2. Vận dụng trong thực tiễn
Ví dụ 7. Từ ba mảng dữ liệu
,,ABC
, máy tính tạo nên một thông tin đưa ra màn hình cho người dùng bằng
cách lần lượt lấy một dữ liệu từ
A
, một dữ liệu từ
B
và một dữ liệu từ
C
. Giả sử
,,ABC
lần lượt chứa
,,mn p
dữ liệu. Hỏi máy tính có thể tạo ra được bao nhiêu thông tin?
Giải
Việc máy tính tạo ra thông tin là thực hiện ba cách chọn liên tiếp: chọn dữ liệu từ
A
, chọn dữ liệu từ
B
và
chọn dữ liệu từ
C
.
Có
m
cách chọn một dữ liệu từ
A
.
Có
n
cách chọn một dữ liệu từ
B
.
Có
p
cách chọn một dữ liệu từ
C
.
Vậy số thông tin máy tính có thể tạo được là:
mn p⋅⋅
.
Ví dụ 8. Gia đình bạn Quân đặt mật mã của chiếc khoá cổng là một dãy gồm bốn chữ số. Hỏi có bao nhiêu
cách đặt mật mã nếu:
a) Các chữ số có thể giống nhau?
b) Các chữ số phải đôi một khác nhau?
Giải
Gọi dãy số mật mã là
abcd
.
a) Việc chọn mật mã là chọn liên tiếp các chữ số
,,,
abcd
, trong đó các chữ số có thể giống nhau.
Chọn
a
: Có 10 cách chọn. Chọn b: Có 10 cách chọn.
Chọn
c
: Có 10 cách chọn. Chọn d: Có 10 cách chọn.
Vậy có
10 10 10 10 10000⋅⋅⋅=
cách đặt mật mã.
b) Việc chọn mật mã là chọn liên tiếp các chữ số
,,,abcd
, trong đó các chữ số đôi một khác nhau.
Chọn a: Có 10 cách chọn.
Chọn
b
: Có 9 cách chọn (khác chữ số
a
đã chọn).
Chọn
c
: Có 8 cách chọn (khác hai chữ số
,ab
đã chọn).
Chọn
d
: Có 7 cách chọn (khác ba chữ số
,,abc
đã chọn).
Vậy có
10 9 8 7 5040⋅⋅⋅ =
cách đặt mật mã.
Ví dụ 9. Cho kiểu gen AaBbDdEE.
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử.
b) Từ đó, tính số loại giao tử của kiểu gen AaBbDdEE.
Biết quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường, không xảy ra đột biến.
Giải
a) Sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử:
Trang 4
b) Từ sơ đồ hình cây, ta có 8 loại giao tử của kiểu gen
AaBbDdEE
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Một đồng xu có hai mặt sấp và ngửa (Kí hiệu
S
và
N
). Tung đồng xu ba lần liên tiếp và ghi lại
kết quả. Tìm số kết quả có thể xảy ra, theo hai cách sau đây:
a) Vẽ sơ đồ hình cây.
b) Sử dụng quy tắc nhân.
Lời giải
a) Vẽ sơ đồ hình cây như Hình .
Từ sơ đồ này, ta thấy có 8 kết quả có thể xảy ra.
b) Có thể coi việc tung đồng xu ba lần liên tiếp là một công việc gồm ba công đoạn, mỗi công đoạn tương
ứng với một lần tung đồng xu. Mỗi lần tung có hai kết quả, là
S
hoặc
N
. Do đó, theo quy tắc nhân, số kết
quả của việc tung đồng xu ba lần liên tiếp là:
2.2 .2 8 =
(kết quả).
Câu 2. Một bạn muốn đi từ tỉnh
A
đến tỉnh
B
trong một ngày nhất định. Biết rằng trong ngày hôm đó từ
tỉnh
A
đến tỉnh
B
có
14
chuyến ô tô,
5
chuyến tàu. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn để đi từ
A
đến
?B
Lời giải.
Bạn đó đi từ tỉnh
A
đến tỉnh
B
bằng tàu có:
14
cách.
Bạn đó đi từ tỉnh
A
đến tỉnh
B
bằng ô tô có:
5
cách.
Vậy bạn đó có:
14 5 19+=
sự lựa chọn.
Trang 5
Câu 3. Một cửa hàng có
10
bó hoa ly,
14
bó hoa huệ,
6
bó hoa lan. Một bạn muốn mua một bó hoa tại
cửa hàng này. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn?
Lời giải.
Bạn đó mua hoa ly có:
10
sự lựa chọn.
Bạn đó mua hoa huệ có:
14
sự lựa chọn.
Bạn đó mua hoa lan có:
6
sự lựa chọn.
Vậy bạn đó có tất cả:
+ +=10 14 6 30
sự lựa chọn để mua một bó hoa.
Câu 4. Một lớp có
25
học sinh nam và
15
học sinh nữ. Hỏi giáo viên có bao nhiêu sự lựa chọn ra một
bạn trong lớp để làm lớp trưởng?
Lời giải.
Nếu chọn một bạn nam làm lớp trưởng có:
25
sự lựa chọn.
Nếu chọn một bạn nữ làm lớp trưởng có:
15
sự lựa chọn.
Vậy giáo viên có tất cả:
+=
25 15 40
sự lựa chọn.
Câu 5. Một nhà hàng có
3
loại rượu,
4
loại bia và
5
loại nước uống. Một thực khách muốn lựa chọn
một loại đồ uống thì có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải.
Nếu thực khách chọn rượu làm đồ uống thì có:
3
cách chọn.
Nếu thực khách chọn bia làm đồ uống thì có:
4
cách chọn.
Nếu thực khách chọn
5
loại nước uống còn lại làm đồ uống thì có
5
cách chọn.
Như vậy thực khách có tất cả:
++=34512
cách chọn.
Câu 6. Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra
45
phút môn Toán phần lượng giác. Trong ngân hàng câu hỏi
có
5
chủ đề, mỗi chủ đề có
4
câu. Để ra đề kiểm tra
45p
gồm
5
câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo
viên có bao nhiêu cách ra đề?
Lời giải.
Vì đề kiểm tra có
5
câu và bao gồm
5
chủ đề nên để thành lập đề kiểm tra mỗi chủ đề ta lấy một
câu hỏi.
Chọn
1
câu hỏi trong chủ đề
1
có
4
cách chọn.
Tương tự đối với các chủ đề
2;3; 4;5
.
Nên số cách chọn đề ra là:
=
5
4.4.4.4.4 4
cách.
Câu 7. Có
3
bạn nữ và
3
bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào một hàng dọc sao cho
nam nữ đứng xen kẽ nhau?
Lời giải.
Vị trí thứ nhất có
6
cách lựa chọn.
Vị trí thứ hai có
3
cách lựa chọn.(nếu vị trí thứ nhất là nam thì bắt buộc vị trí thứ 2 phải chọn 1
trong
3
bạn nữ và ngược lại)
Vị trí thứ ba có
2
cách lựa chọn.
Vị trí thứ 4 có
2
cách lựa chọn.
Vị trí thứ 5 có
1
cách lựa chọn.
Vị trí thứ 6 chỉ có
1
cách lựa chọn.
Nên có
=6.5.4.3.2.1 72
cách.
Câu 8. Một lớp có
7
học sinh giỏi Toán,
5
học sinh giỏi Văn,
6
học sinh giỏi Lịch Sử. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra
1
nhóm:
a/ Gồm
1
học sinh giỏi bất kỳ?
b/ Gồm
3
học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả
3
môn?
c/ Gồm
2
học sinh giỏi khác nhau?
Lời giải.
Trang 6
a. Số cách chọn
1
học sinh giỏi trong lớp là:
++=76518
cách.
b. Số cách chọn
1
học sinh giỏi toán là
7
cách.
Số cách chọn
1
học sinh giỏi văn là
5
cách.
Số cách chọn
1
học sinh giỏi sử là
6
cách.
Nên số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả các môn là
=7.6.5 210
cách.
c. Số cách chọn
2
học sinh trong đó một giỏi toán; một giỏi văn là
=7.5 35
cách.
Số cách chọn
2
học sinh trong đó một giỏi toán; một giỏi sử là
=7.6 42
cách.
Số cách chọn
2
học sinh trong đó một giỏi văn; một giỏi văn giỏi sử là
=
5.6 30
cách.
Vậy số cách chọn ra một nhóm gồm
2
học sinh giỏi khác nhau là
++=35 30 42 107
cách.
Câu 9. Cho các số tự nhiên:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
c) Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
Lời giải.
a) Gọi số tự nhiên cần lập là
,( 0)abcde a ≠
.
a
có 9 cách chọn.
b
có 9 cách chọn.
c
có 9 cách chọn.
d
có 9 cách chọn.
e
có 9 cách chọn.
nên số các số tự nhiên có 5 chữ số được thành lập từ các số trên là
5
9.9.9.9.9 9=
cách.
b) Gọi số tự nhiên cần lập là
,( 0)abcde a ≠
.
a
có 9 cách chọn.
b
có 8 cách chọn.
c
có 7 cách chọn.
d
có 6 cách chọn.
e
có 9 cách chọn.
nên số các số tự nhiên có 5 chữ số được thành lập từ các số trên là
9.8.7.6.5 15120=
cách.
c) Gọi số tự nhiên cần lập là
,( 0)abcde a ≠
.
e
có 4 cách chọn.
d
có 8 cách chọn.
c
có 7 cách chọn.
b
có 6 cách chọn.
a
có 5 cách chọn.
nên số các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau là
4.8.7.6.5 6720=
cách.
Câu 10. Cho các số tự nhiên sau :
1, 2, 5, 6, 7, 9
.
a) Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết
c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2
Lời giải.
a) Gọi số cần lập là
( 0),abc a ≠
.
Vì số cần lập là số lẻ nên c có thể là
1; 5; 7; 9 c⇒
có 4 cách chọn.
Vì khác
; ; abc
nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.
Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là
4.5.4 80=
số.
b) Gọi số cần lập là
( 0),abc a ≠
.
Trang 7
Vì số cần lập là số chia hết cho 5 nên
c
có thể là có 1 cách chọn.
Vì
; ; abc
khác nhau nên
b
có 5 cách chọn và
a
có 4 cách chọn.
Vậy số số có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là
5.4 20
=
số.
c) Các số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2
TH1: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 1 chữ số 2
- Số 2: có 3 vị trí đặt, 5 số còn lại mỗi số có 2 vị trí đặt
- Có 3.5.5 số có 3 chữ số có mặt 1 chữ số 2
TH2: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 2 chữ số 2
- Số 2: có 3 vị trí đặt, 5 số còn lại mỗi số có 1 vị trí đặt
- Có 3.5 số có 3 chữ số có mặt 2 chữ số 2
TH3: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 3 chữ số 2, suy ra có 1 số: 222. Vậy số số tự
nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 thành lập từ các số đã cho là:
3.5.5 3.5 1 91+ +=
số.
Câu 11. Cho các số tự nhiên :
0, 1, 2, 4, 5, 7, 9.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau?
Lời giải.
a) Gọi số cần lập là
(, )0abcd a ≠
.
Vì
0a ≠
nên
a
có 6 cách chọn.
Vì các chữ số khác nhau nên
b
có 6 cách chọn.
Tương tự
c
có 5 cách chọn;
d
có 4 cách chọn.
Nên số số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là
6.6.5.4 720=
số.
b) Gọi số cần lập là
(, )0abcd a ≠
.
Vì là số lẻ nên
1; 5; 7; 9d =
. Vậy
d
có 4 cách chọn.
Vì
0a ≠
và các chữ số là khác nhau nên
a
có 5 cách chọn.
b
có 5 cách chọn.
c
có 4 cách chọn.
Vậy số số lẻ có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là: 4.5.5.4  400 .
Câu 12. Cho các số tự nhiên
0, 2, 3, 5, 6, 9
.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3?
c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601?
Lời giải.
Ta phân các số trên thành 2 nhóm:
Nhóm 1 gồm các số
{2;5}
.
Nhóm 2 gồm các số
0; 3;{ 6;9}
.
b) Gọi số cần lập là
abc
thỏa mãn
3
()3abc a b c⇔ ++
; ; abc
sẽ không đồng thời thuộc cả
hai
Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 được thành lập từ nhóm 1 là:
Cả 3 chữ số giống nhau: 222, 555
Có 1 chữ số 2 và 2 chữ số 5: 255, 552, 525 (có 3 cách chọn vị trí để chữ số 5 có 1 cách chọn
để vị trí 2 chữ số 2, suy ra có 3 số).
Có 1 chữ số 5 và 2 chữ số 2: 522, 225, 252
Vậy từ nhóm 1 ta thành lập được 2 + 3 + 3 = 8 số chia hết cho 3.
Số các số chia hết cho 3 lập được từ nhóm thứ 2 là:
+ Có 3 cách chọn chữ số
a
.
+ Có 4 cách chọn chữ số
b
.
+ Có 4 cách chọn chữ số
c
.
Vậy có tất cả
3.4.4 48=
số có 3 chữ số được thành lập từ nhóm 2 chia hết cho 3.
Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 3 được thành lập từ các chữ số đã cho là
48 8 56+=
số.
Trang 8
c) Gọi số cần lập là
abc
thỏa mãn
600abc >
Vì
600ab c >
nên a chỉ có 2 cách chọn. (
6a =
hoặc
9a =
).
Chữ số
b
có 6 cách chọn, chữ số
c
có 6 cách chọn.
⇒
có
6.6.2 72=
số có 3 chữ số lớn hơn 600.
Trong 72 số trên có 1 số là:
600 601<
.
Vậy có tất cả 71 số lớn hơn 601 được thành lập từ các số trên.
Câu 13. Từ các chữ số
0, 1, 2, 3, 4
có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Lời giải.
Gọi số cần lập là
12345
aaaaa
với
1
0
a ≠
và các chữ số phân biệt.
+ Bước 1: chữ số
1
0
a ≠
nên
có 4 cách chọn.
+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có
4! 24=
cách. Vậy có
4.24 96=
số.
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ
39
hoặc cỡ
40
. Áo cỡ
39
có
5
màu khác nhau, áo cỡ
40
có
4
màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)?
A.
9.
B.
5.
C.
4.
D.
1.
Lời giải.
•
Nếu chọn cỡ áo
39
thì sẽ có
5
cách.
•
Nếu chọn cỡ áo
40
thì sẽ có
4
cách.
Theo qui tắc cộng, ta có
549+=
cách chọn mua áo.
Câu 2. Một người có
4
cái quần khác nhau,
6
cái áo khác nhau,
3
chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một
cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là:
A.
13.
B.
72.
C.
12.
D.
30.
Lời giải.
•
Nếu chọn một cái quần thì sẽ có
4
cách.
•
Nếu chọn một cái áo thì sẽ có
6
cách.
•
Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có
3
cách.
Theo qui tắc cộng, ta có
46313++=
cách chọn.
Câu 3. Trên bàn có
8
cây bút chì khác nhau,
6
cây bút bi khác nhau và
10
cuốn tập khác nhau. Một học
sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách
chọn khác nhau là:
A.
480.
B.
24.
C.
48.
D.
60.
Lời giải.
•
Nếu chọn một cây bút chì thì sẽ có
8
cách.
•
Nếu chọn một cây bút bi thì sẽ có
6
cách.
•
Nếu chọn một cuốn tập thì sẽ có
10
cách.
Theo qui tắc cộng, ta có
8 6 10 24++ =
cách chọn.
Câu 4. Trong một trường THPT, khối
11
có
280
học sinh nam và
325
học sinh nữ. Nhà trường cần chọn
một học sinh ở khối
11
đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
A.
45.
B.
280.
C.
325.
D.
605.
Lời giải.
•
Nếu chọn một học sinh nam có
280
cách.
•
Nếu chọn một học sinh nữ có
325
cách.
Theo qui tắc cộng, ta có
280 325 605+=
cách chọn.
Câu 5. Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một
học sinh tiên tiến lớp
11A
hoặc lớp
12 .B
Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp
11A
có
31
học sinh tiên tiến và lớp
12B
có
22
học sinh tiên tiến?
A.
31.
B.
9.
C.
53.
D.
682.
Lời giải.
•
Nếu chọn một học sinh lớp
11A
có
31
cách.
Trang 9
•
Nếu chọn một học sinh lớp
12B
có
22
cách.
Theo qui tắc cộng, ta có
31 22 53+=
cách chọn.
Câu 6. Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ
1
đến
6
và ba quả cầu đen được đánh số
7, 8, 9.
Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
A.
27.
B.
9.
C.
6.
D.
3.
Lời giải.
Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là
một lần chọn.
•
Nếu chọn một quả trắng có
6
cách.
•
Nếu chọn một quả đen có
3
cách.
Theo qui tắc cộng, ta có
639+=
cách chọn.
Câu 7. Giả sử từ tỉnh
A
đến tỉnh
B
có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay.
Mỗi ngày có
10
chuyến ô tô,
5
chuyến tàu hỏa,
3
chuyến tàu thủy và
2
chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ tỉnh
A
đến tỉnh
B
?
A.
20.
B.
300.
C.
18.
D.
15.
Lời giải.
•
Nếu đi bằng ô tô có
10
cách.
•
Nếu đi bằng tàu hỏa có
5
cách.
•
Nếu đi bằng tàu thủy có
3
cách.
•
Nếu đi bằng máy bay có
2
cách.
Theo qui tắc cộng, ta có
10 5 3 2 20+++=
cách chọn.
Câu 8. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao
gồm:
8
đề tài về lịch sử,
7
đề tài về thiên nhiên,
10
đề tài về con người và
6
đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh
được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?
A.
20.
B.
3360.
C.
31.
D.
30.
Lời giải.
•
Nếu chọn đề tài về lịch sử có
8
cách.
•
Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có
7
cách.
•
Nếu chọn đề tài về con người có
10
cách.
•
Nếu chọn đề tài về văn hóa có
6
cách.
Theo qui tắc cộng, ta có
8 7 10 6 31++ +=
cách chọn.
Câu 9. Một tổ có học sinh nữ và học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh
của tổ đó đi trực nhật.
A.
20
. B.
11
. C.
30
. D.
10
.
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ
11
học sinh, ta có
11
cách chọn.
Câu 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Với một cách chọn chữ số từ tập ta có duy nhất một cách xếp chúng theo
thứ tự giảm dần.
Ta có cách chọn chữ số từ tập
Do đó có số tự nhiên cần tìm.
Câu 11. Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có
bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
A. 4. B. 7. C. 12. D. 16.
Lời giải.
Để chọn một chiếc đồng hồ, ta có:
•
Có 3 cách chọn mặt.
•
Có 4 cách chọn dây.
5
6
5
15
55
10
9
{ }
0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9
10
9
{ }
0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9
10
Trang 10
Vậy theo qui tắc nhân ta có
3 4 12×=
cách.
Câu 12. Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách
chọn bộ
''
quần-áo-cà vạt
''
khác nhau?
A. 13. B. 72. C. 12. D. 30.
Lời giải.
Để chọn một bộ
''
quần-áo-cà vạt
''
, ta có:
•
Có 4 cách chọn quần.
•
Có 6 cách chọn áo.
•
Có 3 cách chọn cà vạt.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
4 6 3 72××=
cách.
Câu 13. Một thùng trong đó có
12
hộp đựng bút màu đỏ,
18
hộp đựng bút màu xanh. Số cách khác nhau
để chọn được đồng thời một hộp màu đỏ, một hộp màu xanh là?
A.
13.
B.
12.
C.
18.
D.
216.
Lời giải.
Để chọn một hộp màu đỏ và một hộp màu xanh, ta có:
•
Có
12
cách chọn hộp màu đỏ.
•
Có
18
cách chọn hộp màu xanh.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
12 18 216×=
cách.
Câu 14. Trên bàn có
8
cây bút chì khác nhau,
6
cây bút bi khác nhau và
10
cuốn tập khác nhau. Số cách
khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.
A.
24.
B.
48.
C.
480.
D.
60.
Lời giải.
Để chọn
''
một cây bút chì - một cây bút bi - một cuốn tập
''
, ta có:
•
Có
8
cách chọn bút chì.
•
Có
6
cách chọn bút bi.
•
Có
10
cách chọn cuốn tập.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
8 6 10 480×× =
cách.
Câu 15. Một bó hoa có
5
hoa hồng trắng,
6
hoa hồng đỏ và
7
hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy
ba bông hoa có đủ cả ba màu.
A.
240.
B.
210.
C.
18.
D.
120.
Lời giải.
Để chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu (nghĩa là chọn một bông hoa hồng trắng- một bông hoa
hồng đỏ- hoa hồng vàng), ta có:
•
Có
5
cách chọn hoa hồng trắng.
•
Có
6
cách chọn hoa hồng đỏ.
•
Có
7
cách chọn hoa hồng vàng.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
5 6 7 210×× =
cách.
Câu 16. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong năm món, một loại
quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một nước uống trong ba loại nước uống. Có bao nhiêu
cách chọn thực đơn.
A.
25.
B.
75.
C.
100.
D.
15.
Lời giải.
Để chọn thực đơn, ta có:
•
Có
5
cách chọn món ăn.
•
Có
5
cách chọn quả tráng miệng.
•
Có
3
cách chọn nước uống.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
553 75××=
cách.
Câu 17. Trong một trường THPT, khối
11
có
280
học sinh nam và
325
học sinh nữ. Nhà trường cần chọn
hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao
nhiêu cách chọn?
A.
910000.
B.
91000.
C.
910.
D.
625.
Trang 11
Lời giải.
Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có:
•
Có
280
cách chọn học sinh nam.
•
Có
325
cách chọn học sinh nữ.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
280 325 91000
×=
cách.
Câu 18. Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm
5
học sinh khối
12,
4
học sinh khối
11,
3
học sinh
khối
10.
Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em?
A.
12.
B.
220.
C.
60.
D.
3.
Lời giải.
Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có:
•
Có
5
cách chọn học sinh khối
12.
•
Có
4
cách chọn học sinh khối
11.
•
Có
3
cách chọn học sinh khối
10.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
5 4 3 60××=
cách.
Câu 19. Có
10
cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong
bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng?
A.
100.
B.
91.
C.
10.
D.
90.
Lời giải.
Để chọn một người đàn ông và một người đàn bà không là vợ chồng, ta có
•
Có
10
cách chọn người đàn ông.
•
Có
9
cách chọn người đàn bà.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
9 10 90×=
cách.
Câu 20. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có
4
con
đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có
6
con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà
Cường?
A.
6.
B.
4.
C.
10.
D.
24.
Lời giải.
•
Từ An
→
Bình có
4
cách.
•
Từ Bình
→
Cường có
6
cách.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
4 6 24×=
cách.
Câu 21. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
A. 9. B. 10. C. 18. D. 24.
Lời giải.
•
Từ
AB →
có
4
cách.
•
Từ
BC →
có
2
cách.
•
Từ
CD →
có
2
cách.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
4 2 3 24××=
cách.
Câu 22. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến D rồi quay lại A?
A. 1296. B. 784. C. 576. D. 324.
Lời giải.
Từ kết quả câu trên, ta có:
•
Từ
AD →
có
24
cách.
•
Tương tự, từ
DA →
có
24
cách.
Trang 12
Vậy theo qui tắc nhân ta có
24 24 576×=
cách.
Câu 23. Có cái bút khác nhau và quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn cái
bút và quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Số cách chọn cái bút có cách, số cách chọn quyển sách có cách.
Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn cái bút và quyển sách là: cách.
Câu 24. Một hộp đựng bi đỏ và bi xanh. Có bao nhiêu cách lấy bi có đủ cả màu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Lấy bi đỏ có cách.
Lấy bi xanh có cách.
Theo quy tắc nhân, số cách lấy bi có đủ cả màu là cách.
Câu 25. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm món ăn trong món ăn, loại quả
tráng miệng trong loại quả tráng miệng và loại nước uống trong loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn thực đơn?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Có cách chọn món ăn trong món ăn, cách chọn loại quả tráng miệng trong loại quả
tráng miệng và cách chọn loại nước uống trong loại nước uống.
Theo quy tắc nhân có cách chọn thực đơn.
Câu 26. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ là .
Số cách chọn số là cách.
Số cách chọn số là cách.
Vậy có số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 27. Số các số tự nhiên chẵn, gồm bốn chữ số khác nhau đôi một và không tận cùng bằng 0 là :
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi số ần tìm là
Có 4 cách chọn , 8 cách chọn , 8 cách chọn và 7 cách chọn . Vậy có tất cả :
(số)
Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi số cần lập là có ba chữ số đôi một khác nhau.
Chữ số có cách chọn.
Chữ số có cách chọn.
Chữ số có cách chọn.
Do đó có cách lập số.
Câu 29. Có 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 7 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu
vàng được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số.
A. 392 B. 1023 C. 3014 D. 391
Lời giải
Ta chọn các quả cầu theo trình tự sau
Chọn quả xanh: 7 cách chọn
10
8
1
1
80
60
90
70
1
10
1
8
1
1
10.8 80=
5
4
2
2
20
16
9
36
1
5
1
4
2
2
5.4 20=
1
5
1
4
1
3
75
12
60
3
5
1
5
4
1
4
3
1
3
5.4.3 60=
25
20
50
10
ab
a
5
b
5
5.5 25=
504
1792
953088
2296
abcd
d
a
b
c
4.8.8.7 1792=
1000
720
729
648
abc
a
9
b
9
c
8
9.9.8 648=
Trang 13
Chọn quả cầu vàng: có 7 cách chọn
Chọn quả cầu đỏ: có 8 cách chọn
Vậy có tất cả cách chọn.
Câu 30. Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số được lập từ sáu chữ số , , , , , ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi số tự nhiên có ba chữ số là .
Có cách chọn .
Có cách chọn .
Có cách chọn .
Theo quy tắc nhân có (số tự nhiên).
Câu 31. Cho các số
1,5,6,7
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
4
chữ số với các chữ số khác nhau:
A.
12
. B.
24
. C.
64
. D.
256
.
Lời giải
Gọi số tự nhiên có
4
chữ số cần tìm là:
, 0≠abcd a
, khi đó:
a
có
4
cách chọn
b
có
3
cách chọn
c
có
2
cách chọn
d
có
1
cách chọn
Vậy có:
4.3.2.1 24=
số.
Câu 32. Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi
bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?
A.
3991680.
B.
12!.
C.
35831808.
D.
7!.
Lời giải.
Một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn.
•
Có
12
cách chọn bạn vào ngày thứ nhất.
•
Có
11
cách chọn bạn vào ngày thứ hai.
•
Có
10
cách chọn bạn vào ngày thứ ba.
•
Có
9
cách chọn bạn vào ngày thứ tư.
•
Có
8
cách chọn bạn vào ngày thứ năm.
•
Có
7
cách chọn bạn vào ngày thứ sáu.
•
Có
6
cách chọn bạn vào ngày thứ bảy.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
3991612 11 10 9 8 7 06 8× × ×××× =
cách.
Câu 33. Nhãn mỗi chiếc ghế trong hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái (trong bảng
24
chữ
cái tiếng Việt), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn
26.
Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế
được ghi nhãn khác nhau?
A.
624.
B.
48.
C.
600.
D.
( ) { }
, , , 1, 5, 6, 7 .abcd A∈=
Lời giải.
Một chiếc nhãn gồm phần đầu và phần thứ hai
{ }
1;2;...;25∈
.
•
Có
24
cách chọn phần đầu.
•
Có
25
cách chọn phần thứ hai.
Vậy theo qui tắc nhân ta có
24 25 600×=
cách.
Câu 34. Biển số xe máy của tỉnh
A
(nếu không kể mã số tỉnh) có
6
kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là
một chữ cái (trong bảng
26
cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập
{ }
1;2;...;9 ,
mỗi kí
7.7.8 392=
3
1
2
3
4
5
6
120
216
256
20
abc
6
a
6
b
6
c
6.6.6 216=
Trang 14
tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập
{ }
0;1;2;...;9 .
Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh
A
có
thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?
A.
2340000.
B.
234000.
C.
75.
D.
2600000.
Lời giải.
Giả sử biển số xe là
123456
aaaaaa
.
•
Có
26
cách chọn
1
a
•
Có
9
cách chọn
1, 2, 3, 4, 5, 6
•
Có
10
cách chọn
3
a
•
Có
10
cách chọn
4
a
•
Có
10
cách chọn
5
a
•
Có
10
cách chọn
6
a
Vậy theo qui tắc nhân ta có
26 9 10 10 10 10 2340000×××××=
biển số xe.
Câu 35. Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên?
A.
160.
B.
240.
C.
180.
D.
120.
Lời giải.
Ta có
348
253125000 2 .3 .5=
nên mỗi ước số tự nhiên của số đã cho đều có dạng
2 35
mn p
××
trong
đó
, , mnp∈
sao cho
0 3; 0 4; 0 8.
mn p≤ ≤ ≤≤ ≤≤
•
Có
4
cách chọn
.
m
abcd
Có
5
cách chọn
.n
•
Có
9
cách chọn
.p
Vậy theo qui tắc nhân ta có
4 5 9 180
××=
ước số tự nhiên.
Câu 36. Từ các chữ số
1, 5, 6, 7
có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có
4
chữ số (không nhất thiết
phải khác nhau)?
A.
324.
B.
256.
C.
248.
D.
124.
Lời giải.
Gọi số cần tìm có dạng
abcd
với
(
)
{
}
, , , 1, 5, 6, 7 .
abcd A
∈=
Vì số cần tìm có
4
chữ số không nhất thiết khác nhau nên:
a
được chọn từ tập
A
(có
4
phần tử) nên có
4
cách chọn.
b
được chọn từ tập
A
(có
4
phần tử) nên có
4
cách chọn.
c
được chọn từ tập
A
(có
4
phần tử) nên có
4
cách chọn.
d
được chọn từ tập
A
(có
4
phần tử) nên có
4
cách chọn.
Như vậy, ta có
4444 256×××=
số cần tìm.
Câu 37. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn?
A.
99.
B.
50.
C.
20.
D.
10.
Lời giải.
Gọi số cần tìm có dạng
ab
với
( ) { }
, 0,2, 4, 6,8ab A∈=
và
0.a ≠
Trong đó:
•
a
được chọn từ tập
{ }
\0A
(có
4
phần tử) nên có
4
cách chọn.
•
b
được chọn từ tập
A
(có
5
phần tử) nên có
5
cách chọn.
Như vậy, ta có
4 5 20×=
số cần tìm.
Câu 38. Từ các chữ số
1, 2, 3, 4, 5, 6
có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn
100
?
A.
36.
B.
62.
C.
54.
D.
42.
Lời giải.
Các số bé hơn
100
chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập
{ }
1, 2,3,4,5,6 .A =
Từ tập
A
có thể lập được
6
số có một chữ số.
Gọi số có hai chữ số có dạng
ab
với
( )
,.ab A∈
Trong đó:
Trang 15
•
a
được chọn từ tập
A
(có
6
phần tử) nên có
6
cách chọn.
•
b
được chọn từ tập
A
(có
6
phần tử) nên có
6
cách chọn.
Như vậy, ta có
6 6 36×=
số có hai chữ số.
Vậy, từ
A
có thể lập được
36 6 42+=
số tự nhiên bé hơn
100.
Câu 39. Từ các chữ số
0, 1, 2, 3, 4, 5
có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm
4
chữ số khác nhau?
A.
154.
B.
145.
C.
144.
D.
155.
Lời giải.
Gọi số cần tìm có dạng
abcd
với
( ) { }
, , , 0,1, 2,3,4,5 .abcd A∈=
Vì
abcd
là số lẻ
{ }
1,3,5 :dd⇒= ⇒
có
3
cách chọn.
Khi đó
:a
có
4
cách chọn (khác
0
và
d
),
:b
có
4
cách chọn và
:c
có
3
cách chọn.
Vậy có tất cả
3 4 4 3 144×××=
số cần tìm.
Câu 40. Từ các chữ số
0, 1, 2, 3, 4, 5
có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm
4
chữ số khác nhau?
A.
156.
B.
144.
C.
96.
D.
134.
Lời giải.
Gọi số cần tìm có dạng
abcd
với
( ) { }
, , , 0,1, 2,3,4,5 .abcd A∈=
Vì
abcd
là số chẵn
{ }
0, 2, 4 .d⇒=
TH1. Nếu
0,d =
số cần tìm là
0.abc
Khi đó:
•
a
được chọn từ tập
{ }
\0A
nên có
5
cách chọn.
•
b
được chọn từ tập
{ }
\ 0,Aa
nên có
4
cách chọn.
•
c
được chọn từ tập
{ }
\ 0, ,A ab
nên có
3
cách chọn.
Như vậy, ta có
5 4 3 60××=
số có dạng
0.abc
TH2. Nếu
{ }
2, 4 :dd= ⇒
có
2
cách chọn.
Khi đó
:a
có
4
cách chọn (khác
0
và
d
),
:b
có
4
cách chọn và
:c
có
3
cách chọn.
Như vậy, ta có
2443 96×××=
số cần tìm như trên.
Vậy có tất cả
60 96 156+=
số cần tìm.
Câu 41. Từ các chữ số , , , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
• Gọi số có ba chữ số cần tìm là , với và là số chẵn chọn từ các số đã cho.
• nên có cách chọn, chẵn nên có cách chọn và tùy ý nên có cách chọn.
• Vậy số các số cần tìm là .
Câu 42. Có bao nhiêu sỗ chẵn gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? Câu trả lời
nào đúng?
A. số. B. số. C. số. D. số.
Lời giải
Gọi số có 6 chữ số đó là . Vì lẻ nên , vậy có 5 lựa chọn. Vì chẵn
nên , vậy có 5 lựa chọn. Tiếp theo có 8 lựa chọn, có 7 lựa chọn, có 6
lựa chọn, có 5 lựa chọn. Vậy có tất cả số thỏa mãn.
Câu 43. Cho các chữ số 1, 2, 3,., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác
nhau và không vượt quá 2011.
A. 168 B. 170 C. 164 D. 172
Lời giải
Gọi số cần lập ,
Vì chẵn nên . Đồng thời
0
1
2
3
4
5
6
210
105
168
145
n abc=
0a ≠
c
0a ≠
6
c
4
b
7
6.4.7 168=
40000
38000
44000
42000
abcdef
a
1;3;5;7;9a
a
f
0; 2; 4;6;8f
f
b
c
d
e
5.5.8.7.6.5 42000
=x abcd
{ }
, , , 1, 2,3,4,5,6,7,8,9∈abcd
x
{ }
2, 4,6,8∈d
2011 1≤ ⇒=xa
Trang 16
có 1 cách chọn, khi đó có 4 cách chọn; có cách
Suy ra có: số
Câu 44. Từ các số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ
A. 360 B. 343 C. 480 D. 347
Lời giải
Gọi số cần lập ; và đôi một khác nhau.
Vì số cần lập là số lẻ nên phải là số lẻ. Ta lập qua các công đoạn sau.
Bước 1: Có 4 cách chọn d
Bước 2: Có 6 cách chọn a
Bước 3: Có 5 cách chọn b
Bước 4: Có 4 cách chọn c
Vậy có 480 số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 45. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người.
A. 81 B. 68 C. 42 D. 98
Lời giải
Để xếp A ta có 3 cách lên một trong ba toa
Với mỗi cách xếp A ta có 3 cách xếp B lên toa tàu
Với mỗi cách xếp A,B ta có 3 cách xếp C lên toa tàu
Với mỗi cách xếp A,B,C ta có 3 cách xếp D lên toa tàu
Vậy có cách xếp 4 người lên toa tàu.
Câu 46. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho nam, nữ ngồi xen
kẽ?
A. 72 B. 74 C. 76 D. 78
Lời giải
Có 6 cách chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có 3 cách chọn một người khác
phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách
chọn vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6.
Vậy có: cách.
Câu 47. Có bao nhiêu cách sắp xếp nữ sinh, nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ
ngồi xen kẽ:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn vị trí 3 nam và 3 nữ: cách chọn.
Xếp 3 nam có: cách xếp.
Xếp 3 nữ có: cách xếp.
Vậy có cách xếp.
Câu 48. Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có chữ số và bắt đầu bởi chữ số đầu tiên là . Hỏi ở Huyện
Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi số điện thoại cần tìm có dạng .
Khi đó: có 10 cách chọn, có 10 cách chọn, có 10 cách chọn, có 10 cách chọn.
Nên có tất cả số.
Câu 49. Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội thì
gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra.
A. 190 B. 182 C. 280 D. 194
Lời giải
•
1= ⇒aa
d
,bc
7.6
1.4.6.7 168=
1, 2,3,4,5,6, 7
=x abcd
{ }
, , , 1, 2,3,4,5,6,7∈abcd
,,,abcd
x
d
x
3.3.3.3 81=
6.3.2.2.1.1 72=
3
3
6
72
720
144
2.1
3.2.1
3.2.1
( )
2
2.1. 3.2.1 72=
7
3
790
1000
100000
10000
1000000
790abcd
a
b
c
d
4
10.10.10.10 10=
Trang 17
Cứ mỗi đội phải thi đấu với 19 đội còn lại nên có trận đấu. Tuy nhiên theo cách tính này thì
một trận đấu chẳng hạn A gặp B được tính hai lần. Do đó số trận đấu thực tế diễn ra là:
trận.
Câu 50. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn ?
A. B. C. D.
Lời giải
Các số bé hơn chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập
Từ tập có thể lập được số có một chữ số.
Gọi số có hai chữ số có dạng với
Trong đó:
được chọn từ tập (có phần tử) nên có cách chọn.
được chọn từ tập (có phần tử) nên có cách chọn.
Như vậy, ta có số có hai chữ số.
Vậy, từ có thể lập được số tự nhiên bé hơn
Câu 51. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm chữ số khác nhau?
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng với
Vì là số lẻ có cách chọn.
Khi đó có cách chọn (khác và ), có cách chọn và có cách chọn.
Vậy có tất cả số cần tìm.
Câu 52. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác nhau?
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng với
Vì là số chẵn
TH1. Nếu số cần tìm là Khi đó:
được chọn từ tập nên có cách chọn.
được chọn từ tập nên có cách chọn.
được chọn từ tập nên có cách chọn.
Như vậy, ta có số có dạng
TH2. Nếu có cách chọn.
Khi đó có cách chọn (khác và ), có cách chọn và có cách chọn.
Như vậy, ta có số cần tìm như trên.
Vậy có tất cả số cần tìm.
Câu 53. Cho tập từ tập có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chữ số và chia
hết cho ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi số có chữ số cần tìm là .
Công việc thành lập số được chia thành các bước:
- Chọn chữ số có lựa chọn vì khác .
- Chọn các chữ số , mỗi chữ số có lựa chọn.
19.20
19.20
190
2
=
1, 2, 3, 4, 5, 6
100
36.
62.
54.
42.
100
{ }
1, 2,3,4,5,6 .A =
A
6
ab
( )
,.ab A∈
•
a
A
6
6
•
b
A
6
6
6 6 36×=
A
36 6 42+=
100.
0, 1, 2, 3, 4, 5
4
154.
145.
144.
155.
abcd
( ) { }
, , , 0,1, 2,3,4,5 .abcd A∈=
abcd
{ }
1,3,5 :dd⇒= ⇒
3
:a
4
0
d
:b
4
:c
3
3 4 4 3 144×××=
0, 1, 2, 3, 4, 5
4
156.
144.
96.
134.
abcd
( ) { }
, , , 0,1, 2,3,4,5 .abcd A∈=
abcd
{ }
0, 2, 4 .d⇒=
0,d =
0.abc
•
a
{ }
\0A
5
•
b
{ }
\ 0,Aa
4
•
c
{ }
\ 0, ,A ab
3
5 4 3 60××=
0.abc
{ }
2, 4 :dd= ⇒
2
:a
4
0
d
:b
4
:c
3
2443 96×××=
60 96 156+=
{ }
0;1;2;3;4;5;6A =
A
5
2
8232
1230
1260
2880
5
{ }
12345 1 2 3 4 5 1 5
; , , , , ; 0; 0;2; 4; 6x aaaaa a a a a a A a a= ∈≠∈
x
1
a
6
0
234
, , aaa
7
Trang 18
- Chọn chữ số có lựa chọn vì số tạo thành chia hết cho .
Số số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: (số).
Câu 54. Có
6
học sinh và
3
thầy giáo
A
,
B
,
C
. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ
9
người đó ngồi trên
một hàng ngang có
9
chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh.
A.
4320
. B.
90
. C.
43200
. D.
720
.
Lời giải
Sắp
6
học sinh thành một hàng ngang, giữa
6
học sinh có
5
khoảng trống, ta chọn
3
khoảng
trống và đưa
3
giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy tất cả có :
3
5
6!. 43200A =
cách.
Câu 55. Một liên đoàn bóng đá có
10
đội, mỗi đội phải đá
4
trận với mỗi đội khác,
2
trận ở sân nhà và
2
trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:
A.
180
B.
160
. C.
90
. D.
45
.
Lời giải
Mỗi đội sẽ gặp
9
đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có
10.9 90=
trận.
Mỗi đội đá
2
trận sân nhà,
2
trận sân khách. Nên số trận đấu là
2.90 180=
trận.
Câu 56. Từ tập có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số
đứng cuối lẻ.
A. 11523 B. 11520 C. 11346 D. 22311
Lời giải
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên
1
a
có
4
cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên
8
a
có 4 cách chọn. Các
số còn lại có
6.5.4.3.2.1
cách chọn
Vậy có
2
4 .6.5.4.3.2.1 11520=
số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 57. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn
100
chia hết cho
2
và
3
.
A.
12
. B.
16
. C.
17
. D.
20
.
Lời giải
Số các số tự nhiên lớn nhất, nhỏ hơn
100
chia hết cho
2
và
3
là
96
.
Số các số tự nhiên nhỏ nhất, nhỏ hơn
100
chia hết cho
2
và
3
là
0
.
Số các số tự nhiên nhỏ hơn
100
chia hết cho
2
và
3
là
96 0
1 17
6
−
+=
nên chọn
C
.
Câu 58. Cho tập
{ }
1, 2,3, 4,5,6,7,8=A
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác
nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
A. 15120 B. 23523 C. 16862 D. 23145
Lời giải
Vì
x
lẻ và không chia hết cho 5 nên
{ }
1, 3, 7∈⇒dd
có 3 cách chọn
Số các chọn các chữ số còn lại là:
7.6.5.4.3.2.1
Vậy
15120
số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 59. Cho tập
{ }
0,1, 2,3,4,5,6=A
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và
chia hết cho 5.
A. 660 B. 432 C. 679 D. 523
Lời giải
Gọi
=x abcde
là số cần lập,
{ }
0,5 , 0∈≠ea
•
0= ⇒ee
có 1 cách chọn, cách chọn
,,, :abcd
6.5.4.3
Trường hợp này có 360 số
5= ⇒ee
có một cách chọn, số cách chọn
,,, :abcd
5.5.4.3 300=
Trường hợp này có 300 số
Vậy có
660
số thỏa yêu cầu bài toán.
5
a
4
2
3
6.7 .4 8232=
Trang 19
Câu 60. Số các số tự nhiên gồm
5
chữ số chia hết cho
10
là:
A.
3260
. B.
3168
. C.
9000
. D.
12070
.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng:
( )
0≠
abcde a
.
Chọn
e
: có 1 cách
( )
0=e
Chọn
a
: có 9 cách
( )
0≠a
Chọn
bcd
: có
3
10
cách
Theo quy tắc nhân, có
3
1.9.10 9000=
(số).
Câu 61. Cho tập hợp số:
{ }
0,1, 2,3,4,5,6=A
.Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và
chia hết cho 3.
A. 114 B. 144 C. 146 D. 148
Lời giải
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập
con các chữ số chia hết cho 3 là
{0,1, 2, 3},
{0,1,2,6}
,
{0,2,3,4}
,
{0,3,4,5}
,
{1,2,4,5}
,
{1,2,3,6}
,
{ }
1,3,5,6
.
Vậy số các số cần lập là:
4(4! 3!) 3.4! 144−+ =
số.
Câu 62. Một hộp chứa quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ đến , năm quả cầu đỏ đánh số từ
đến và năm quả cầu vàng đánh số từ đến . Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó quả cầu vừa
khác màu vừa khác số.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Kí hiệu các quả cầu như hình vẽ.
TH1: Có quả xanh X6.
Bước 1: Lấy quả X6 có cách.
Bước 2: Lấy quả đỏ có cách.
Bước 3: Lấy 1 quả vàng có cách. (vì khác số với quả đỏ).
Vậy có (cách).
TH2: Không có quả xanh X6.
Bước 1: Lấy quả xanh có cách.
Bước 2: Lấy quả đỏ có cách. (vì khác số với quả xanh).
Bước 3: Lấy quả vàng có cách. (vì khác số với quả xanh, đỏ).
Vậy có (cách).
Vậy có 80 (cách).
Câu 63. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho
6 học sinh trường và 6 học sinh trường vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho
bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau.
A. 1036800 B. 234780 C. 146800 D. 2223500
Lời giải
Ta đánh số liên tiếp 12 chỗ ngồi bằng các số từ 1 đến 6 thuộc một dãy và từ 7 đến 12 thuộc một
dãy
1 2 3 4 5 6
12 11 10 9 8 7
16
1
6
1
5
1
5
3
72
150
60
80
1
1
5
4
1.5.4 20=
5
1
4
1
3
5.4.3 60=
A
B
Vị trí
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Số cách xếp
12
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
Trang 20
Vậy có cách xếp.
Câu 64. Có bao nhiêu cách sắp xếp
3
nữ sinh,
3
nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ
ngồi xen kẻ:
A.
6
. B.
72
. C.
720
. D.
144
.
Lờigiải
Chọn B
Chọn vị trí
3
nam và
3
nữ:
2.1
cách chọn.
Xếp
3
nam có:
3.2.1
cách xếp.
Xếp
3
nữ có:
3.2.1
cách xếp.
Vậy có
( )
2
2.1. 3.2.1 72=
cách xếp.
Câu 65. Từ các chữ số , , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một
khác nhau và phải có mặt chữ số .
A.
36
số. B.
108
số. C.
228
số. D.
144
số.
Lời giải
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là
abcd
. Do số cần lập là số lẻ và phải có mặt chữ số
3
nên ta có các trường hợp.
TH1:
3a =
khi đó số có dạng
3bcd
.
Có
2
cách chọn
d
.
Có
4
cách chọn
a
.
Có
3
cách chọn
c
.
Theo quy tắc nhân có
1.4.3.2 24=
(số).
TH2:
3b =
khi đó số có dạng
3a cd
.
Có
2
cách chọn
d
.
Có
3
cách chọn
a
(do
0a ≠
).
Có
3
cách chọn
c
.
Theo quy tắc nhân có
3.1.3.2 18=
(số).
TH3:
3c =
khi đó số có dạng
3ab d
.
Có
2
cách chọn
d
.
Có
3
cách chọn
a
(do
0a ≠
).
Có
3
cách chọn
b
.
Theo quy tắc nhân có
3.1.3.2 18=
(số).
TH4:
3d =
khi đó số có dạng
3abc
.
Có
4
cách chọn
a
(do
0a ≠
).
Có
4
cách chọn
b
.
Có
3
cách chọn
c
.
Theo quy tắc nhân có
4.4.3.1 48=
(số).
Theo quy tắc cộng có
24 18 18 48 108+++ =
(số).
Câu 66. Từ các chữ số
0
,
2
,
3
,
5
,
6
,
8
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
6
chữ số đôi một
khác nhau trong đó hai chữ số
0
và
5
không đứng cạnh nhau.
A.
384
B.
120
C.
216
D.
600
Lời giải
Số các số có
6
chữ số được lập từ các chữ số
0
,
2
,
3
,
5
,
6
,
8
là
6! 5!−
.
Số các số có chữ số
0
và
5
đứng cạnh nhau:
2.5! 4!−
.
Số các số có chữ số
0
và
5
không đúng cạnh nhau là:
( )
6! 5! 2.5! 4! 384−− − =
.
Câu 67. Một phiếu điều tra về đề tự học của học sinh gồm
10
câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có bốn lựa
chọn để trả lời. Khi tiến hành điều tra, phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu người được hỏi trả lời đủ
10
câu
hỏi, mỗi câu chỉ chọn một phương án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất
hai phiếu trả lời giống hệt nhau cả
10
câu hỏi?
A.
2097152
. B.
10001
. C.
1048577
. D.
1048576
.
2222
12.6.5 .4 .3 .2 .1 1036800=
0
1
2
3
5
8
3
Trang 21
Lời giải
Mỗi câu hỏi có
4
lựa chọn.
10
⇒
câu hỏi có
10
4 1048576=
phương án trả lời khác nhau.
Vậy nếu có nhiều hơn
1048576
phiếu hợp lệ thì luôn có ít nhất hai phiếu trả lời giống nhau nên số
phiếu hợp lệ tối thiểu cần phát là
1048577
phiếu.
Câu 68. Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5, 6, 7,8, 9.
Tính tổng tất cả các số thuộc tâp
.S
A.
9333420.
B.
46666200.
C.
9333240.
D.
46666240.
Lời giải
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ
5, 6, 7,8, 9
là
5! 120=
số.
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số
5, 6, 7,8, 9
xuất hiện ở hàng đơn vị là
4! 24=
lần.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là
( )
24 5 6 7 8 9 840
++++ =
.
Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.
Vậy tổng các số thuộc tập
S
là
( )
234
840 1 10 10 10 10 9333240++ + + =
.
Câu 69. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có
6
chữ số khác nhau
và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
A.
32
. B.
72
. C.
36
. D.
24
.
Lời giải
Gọi
123456
aaaaaa
là số cần tìm
Ta có
{ }
6
1;3;5a ∈
và
( ) ( )
123 456
1aaa aaa++ − ++ =
Với
6
1a
=
thì
( ) ( )
123 45
2
aaa aa++ − + =
{ }
{ }
123
45
, , 2, 3, 6
, 4,5
aaa
aa
∈
⇒
∈
hoặc
{ }
{ }
123
45
, , 2, 4,5
, 3, 6
aaa
aa
∈
∈
Với
6
3a
=
thì
(
) ( )
123 45
4aaa aa
++ − + =
{
}
{ }
123
45
, , 2; 4;5
, 1, 6
aaa
aa
∈
⇒
∈
hoặc
{ }
{ }
123
45
, , 1, 4, 6
, 2,5
aaa
aa
∈
∈
Với
6
5a =
thì
(
) ( )
123 45
6aaa aa
++ − + =
{ }
{ }
123
45
, , 2, 3, 6
, 1, 4
aaa
aa
∈
⇒
∈
hoặc
{ }
{ }
123
45
, , 1, 4, 6
, 2,3
aaa
aa
∈
∈
Mỗi trường hợp có
3!.2! 12=
số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả
6.12 72=
số cần tìm.
Câu 70. Tô màu các cạnh của hình vuông
ABCD
bởi
6
màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một
màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô?
A.
360
. B.
480
. C.
600
. D.
630
.
Lời giải
Trường hợp 1: Tô cạnh
AB
và
CD
khác màu:
Số cách tô cạnh
AB
:
6
cách.
Số cách tô cạnh
BC
:
5
cách (tô khác màu với cạnh
AB
).
Số cách tô cạnh
CD
:
4
cách (tô khác màu với các cạnh
AB
và
BC
).
Số cách tô cạnh
AD
:
4
cách (tô khác màu với các cạnh
AB
và
CD
).
Theo quy tắc nhân ta có:
6.5.4.4 480=
cách tô cạnh
AB
và
CD
khác màu.
Trường hợp 2: Tô cạnh
AB
và
CD
cùng màu:
Số cách tô cạnh
AB
:
6
cách.
Số cách tô cạnh
BC
:
5
cách (tô khác màu với cạnh
AB
).
Số cách tô cạnh
CD
:
1
cách (tô cùng màu với cạnh
AB
).
Số cách tô cạnh
AD
:
5
cách (tô khác màu với cạnh
AB
).
Theo quy tắc nhân ta có:
6.5.1.5 150=
cách tô cạnh
AB
và
CD
cùng màu.
Vậy số cách tô màu thỏa đề bài là:
480 150 630+=
cách.
Trang 22
Câu 71. Cho
5
chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
6
. Lập các số tự nhiên có
3
chữ số đôi một khác nhau từ
5
chữ số đã
cho. Tính tổng của các số lập được.
A.
12321
B.
21312
C.
12312
D.
21321
Lời giải
Mỗi số số tự nhiên có
3
chữ số đôi một khác nhau từ
5
chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
6
là một chỉnh hợp
chập
3
của các chữ số này. Do đó, ta lập được
3
5
60
A
=
số.
Do vai trò các số
1
,
2
,
3
,
4
,
6
như nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong các chữ số
này ở mỗi hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm) là như nhau và bằng
60 : 5 12=
lần.
Vậy, tổng các số lập được là:
(
)( )
12. 1 2 3 4 6 100 10 1S = ++++ + +
21312
=
.
Câu 72. Có bao nhiêu số có
10
chữ số được tạo thành từ các chữ số
1
,
2
,
3
sao cho bất kì
2
chữ số nào
đứng cạnh nhau cũng hơn kém nhau
1
đơn vị?
A.
32
B.
16
C.
80
D.
64
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng
1 2 3 10
...aa a a
Bước 1: Xếp số
2
ở vị trí lẻ
1
a
,
3
a
, …,
9
a
hoặc vị trí chẵn
2
a
,
2
a
, …,
10
a
có
2
cách.
Bước 2: Xếp các số
1
hoặc
3
vào các vị trí còn lại có
5
2
cách.
Theo quy tắc nhân ta có
5
2.2 64=
cách.
Câu 73. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho
9
mà mỗi số
2011
chữ số và trong đó có ít nhất
hai chữ số
9
.
A.
2011 2010
9 2019.9 8
9
−+
B.
2011 2010
9 2.9 8
9
−+
C.
2011 2010
998
9
−+
D.
2011 2010
9 19.9 8
9
−+
Lời giải
Đặt
X
là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
=A
{ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}
Với mỗi số thuộc A có
m
chữ số
( 2008)≤m
thì ta có thể bổ sung thêm
2011− m
số
0
vào phía
trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng
{ }
1 2 2011
... ; 0,1, 2,3,...,9∈
i
aa a a
{
0
|
= ∈
A aA
mà trong
a
không có chữ số 9}
{
1
|= ∈A aA
mà trong
a
có đúng 1 chữ số 9}
•
Ta thấy tập A có
2011
91
1
9
−
+
phần tử
•
Tính số phần tử của
0
A
Với
{ }
0 1 2011
... ; 0,1,2,...,8 1,2010∈ ⇒= ∈ =
i
xA xaa a i
và
2011
9= −ar
với
[ ]
2010
1
1; 9 ,
=
∈≡
∑
i
i
r ra
. Từ
đó ta suy ra
0
A
có
2010
9
phần tử
•
Tính số phần tử của
1
A
Để lập số của thuộc tập
1
A
ta thực hiện liên tiếp hai bước sau
Bước 1: Lập một dãy gồm
2010
chữ số thuộc tập
{ }
0,1, 2...,8
và tổng các chữ số chia hết cho 9.
Số các dãy là
2009
9
Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các
bổ sung số 9
Do đó
1
A
có
2009
2010.9
phần tử.
Trang 23
Vậy số các số cần lập là:
2011 2011 2010
2010 2009
9 1 9 2019.9 8
1 9 2010.9
99
− −+
+ −− =
.
Câu 74. Từ các số
1, 2,3,4,5,6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa
điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số
sau một đơn vị.
A. 104 B. 106 C. 108 D. 112
Lời giải
Cách 1: Gọi
{ }
12 6
... , 1, 2,3,4,5,6= ∈
i
x aa a a
là số cần lập
Theo bài ra ta có:
123 456
1+ + += + +aaa aaa
(1)
Mà
{
}
123456
, , , , , 1, 2,3,4,5,6∈
aaaaaa
và đôi một khác nhau nên
123456
123456 21+ + + + + =+++++=aaaaaa
(2)
Từ (1), (2) suy ra:
123
10++=
aaa
Phương trình này có các bộ nghiệm là:
123
( , , ) (1,3,6); (1, 4,5); (2,3,5)=aaa
Với mỗi bộ ta có
3!.3! 36=
số.
Vậy có
3.36 108=
số cần lập.
Cách 2: Gọi
=x abcdef
là số cần lập
Ta có:
123456 21
1
+++ ++ =+++++=
++= ++ +
abcde f
abc de f
11⇒++=abc
. Do
{
}
, , 1, 2,3,4,5,6∈abc
Suy ra ta có các cặp sau:
( , , ) (1, 4,6); (2,3,6); (2, 4,5)=abc
Với mỗi bộ như vậy ta có
3!
cách chọn
,,abc
và
3!
cách chọn
,,de f
Do đó có:
3.3!.3! 108=
số thỏa yêu cầu bài toán.
Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT
I. Hoán vị
1. Định nghĩa
Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử
(
)
*
n
∈
.
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự
n
phần tử của tập hợp
A
được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Ví dụ 1. Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
1, 2, 3
.
Giải
Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
1, 2, 3
là:
123,132,213, 231, 312,321
2. Số các hoán vị
Kí hiệu
n
P
là số các hoán vị của
n
phần tử. Ta có:
( 1) 2
n
P nn
= −…
. 1 .
Quy ước: Tích 1 .
2 n…
được viết là
n
! (đọc là
n
giai thừa), tức là
! 1.2nn= …
. Như vậy
!
n
Pn=
.
Ví dụ 2. Tính số cách xếp thứ tự đá luân lưu
11
m
của 5 cầu thủ.
Giải.
Mỗi cách xếp thứ tự đá luân lưu 11m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ. Vậy số cách sắp xếp là:
5
5.4.3.2.1 120P = =
II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa
Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử và một số nguyên
k
với
1 kn≤≤
.
Kết quả của việc lấy
k
phần tử từ
n
phần tử của tập hợp
A
và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được
gọi là một chỉnh hợp chập
k
của n phần tử đã cho.
Ví dụ 3. Hãy liệt kê tất cả các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1,2 ,
Giải
Các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số
1, 2,3,4,5
là:
12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,4
2,43,45,51,52,53,54.
2. Số các chỉnh hợp
Kí hiệu
k
n
A
là số các chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử
(1 )kn≤≤
.
Ta có:
( 1) ( 1)
k
n
A nn n k
= −… −+
.
Ví dụ 4. Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bạn Linh
đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để
tạo mật mã?
Giải
Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.
Vậy có
6
10
10 9 8 7 6 5 151200A = ⋅⋅⋅⋅⋅=
(cách để tạo mật mã).
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. HOÁN VỊ
Câu 1. Rút gọn:
Bài 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Trang 2
12!5!
10!6!
A =
( 1)!.( 1) !
!( 2)!
nn
B
nn
−+
=
−
1
( 2)!
nn
PP
C
n
−
−
=
−
Câu 2. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 1 hàng dọc theo 1 thứ tự bắt kỳ?
Câu 3. Có 3 cuốn sách lý, 4 cuốn sách sinh, 5 cuốn sách địa lý. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn
sách trên vào giá sách nếu:
a. Sắp xếp tùy ý?
b. Các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau?
Câu 4. (học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đếm và hoán vị) Cho các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4.
a. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chữ số 3 đứng ở chính giữa?
Câu 5. Bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn A, B, C, D, E, F, G vào 1 hàng sao cho
a. A đứng chính giữa?
b. A,B ngồi đứng 2 đầu dãy?
Câu 6. Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào 1 hàng sao không có 2 viên bi nào
cùng màu đứng gần nhau?
Câu 7. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao
cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau
DẠNG 2. CHỈNH HỢP
Câu 8. Rút gọn
65
4
nn
n
AA
M
A
+
=
23 3
56 5
66
.AA A
N
PP
= −
1
2
( 3)! ( 2)!
nn
n
PP
E
n An
+
= −
−+
Câu 9. Có thể lập được bao nhiêu vecto từ các đỉnh của hình ngũ giác đều?
Câu 10. Một nhà hàng có 10 món đặc sản. Mỗi ngày nhà hàng đó chọn ra 2 món ăn khác nhau, trưa 1 món,
tối 1 món. Hỏi nhà hàng đó có bao nhiêu cách chọn?
Câu 11. (Học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đém và chỉnh hợp) Cho các số tự nhiên 0,1,2,3,4,5,6,7.
a. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b. Bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau?
Câu 12. Một đội bóng có 22 cầu thủ, cần chọn ra 11 cầu thủ thi đấu chính thức. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn nếu:
a. Ai cũng có thể chơi ở bất kì vị trí nào?
b. Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn còn các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được?
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. HOÁN VỊ
Câu 1. Từ các chữ số
2,3,4,5,6,7
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
6
chữ số khác nhau?
A.
256
. B.
720
. C.
120
. D.
24
.
Câu 2. Cho các số
1
,
5
,
6
,
7
. Có bao nhiêu số tự nhiên có
4
chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã
cho.
A.
64
. B.
24
. C.
256
. D.
12
.
Câu 3. Cho
{ }
1,2,3,4A =
. Từ
A
lập được bao nhiêu số tự nhiên có
4
chữ số đôi một khác nhau?
A.
32
. B.
24
. C.
256
. D.
18
.
Câu 4. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
5
chữ số đôi một khác
nhau:
Trang 3
A.
120
. B.
720
. C.
16
. D.
24
.
Câu 5. Từ các số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5
chữ số khác nhau đôi một?
A.
60
. B.
120
. C.
24
. D.
48
.
Câu 6. Cho tập hợp
X
gồm
10
phần tử. Số các hoán vị của
10
phần tử của tập hợp
X
là
A.
10!
. B.
2
10
. C.
10
2
. D.
10
10
.
Câu 7. Số các số có
6
chữ số khác nhau không bắt đầu bởi
12
được lập từ
1; 2; 3; 4; 5; 6
là
A.
720
. B.
966
. C.
696
. D.
669
.
Câu 8. Từ các chữ số
0
,
2
,
3
,
5
,
6
,
8
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
6
chữ số đôi một
khác nhau trong đó hai chữ số
0
và
5
không đứng cạnh nhau.
A.
384
. B.
120
. C.
216
. D.
600
.
Câu 9. Có bao nhiêu cách sắp xếp
5
học sinh thành một hàng dọc?
A.
5
5
. B.
5!
. C.
4!
. D.
5
.
Câu 10. Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài là
A.
120
. B.
24
. C.
5
. D.
1
.
Câu 11. Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ?
A.
10
P
. B.
1
10
C
. C.
1
10
A
. D.
10
10
C
.
Câu 12. Ban chấp hành chi đoàn lớp
11D
có bạn An, Bình, Công. Hỏi có bao nhiêu cách phân công các
bạn này vào các chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm?
A.
2
. B.
3
. C.
6
. D.
9
.
Câu 13. Có tất cả bao nhiêu cách xếp
6
quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách?
A.
5!
B.
5
6
C.
6!
D.
6
6
Câu 14. Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một điểm thi có
5
sinh viên tình nguyện được phân
công trục hướng dẫn thí sinh ở
5
vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng
1
sinh viên. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công vị trí trực cho
5
người đó?
A.
120
. B.
625
. C.
3125
D.
80
.
Câu 15. Trong kì thi THPT Quốc gia năm
2017
tại một Điểm thi có
5
sinh viên tình nguyện được phân
công trực hướng dẫn thi sinh ở
5
vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng
1
sinh viên. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công vị trí trực cho
5
người đó?
A.
625
. B.
3125
. C.
120
. D.
80
.
Câu 16. Có một con mèo vàng,
1
con mèo đen,
1
con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con
mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào
6
cái ghế, mỗi ghế một con. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ
sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau.
A.
720
. B.
120
. C.
144
. D.
240
.
Câu 17. Tính số cách sắp xếp
6
nam sinh và
4
nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có
10
chỗ ngồi sao
cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.
A.
10!
. B.
7! 4!.×
C.
6! 4!.×
D.
6! 5!.×
Câu 18. Có
6
học sinh và
2
thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai
thầy giáo không đứng cạnh nhau?
A. 30240 cách. B. 720 cách. C. 362880 cách. D. 1440 cách.
Câu 19. Cho các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có
4
chữ số và các chữ số đôi một bất kỳ khác nhau.
A.
160
. B.
156
. C.
752
. D.
240
.
Trang 4
Câu 20. Cho hai dãy ghế được xếp như sau:
Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu
ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một
bạn nữ bằng
A.
4
4!.4!.2
. B.
4!.4!
. C.
4!.2
. D.
4!.4!.2
.
Câu 21. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?
A.
24
. B.
72
. C.
12
. D.
48
.
Câu 22. Một nhóm học sinh gồm
4
học sinh nam và
5
học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
9
học
sinh trên thành
1
hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ?
A.
5760
. B.
2880
. C.
120
. D.
362880
.
Câu 23. Có
3
viên bi đen khác nhau,
4
viên bi đỏ khác nhau,
5
viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
A.
345600
. B.
518400
. C.
725760
. D.
103680
.
Câu 24. Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu
các sách Văn phải xếp kề nhau?
A.
5!.8!
. B.
5!.7!
. C.
2.5!.7!
. D.
12!
.
Câu 25. Có bao nhiêu cách sắp xếp
3
nữ sinh,
3
nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ
ngồi xen kẽ?
A.
6
. B.
144
. C.
720
. D.
72
.
Câu 26. Xếp
6
chữ số
1
,
1
,
2
,
2
,
3
,
4
thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp
cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách
A.
120
cách. B.
96
cách. C.
180
cách. D.
84
cách.
Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ?
A.
320
. B.
144
. C.
180
. D.
60
.
Câu 28. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có
6
chữ số khác nhau
và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
A.
32
. B.
72
. C.
36
. D.
24
.
Câu 29. Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5, 6, 7,8, 9.
Tính tổng tất cả các số thuộc tâp
.
S
A.
9333420.
B.
46666200.
C.
9333240.
D.
46666240.
DẠNG 2. CHỈNH HỢP
Câu 30. Cho tập
{ }
1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9M =
. Số các số tự nhiên gồm
4
chữ số phân biệt lập từ
M
là.
A.
4!
. B.
4
9
A
. C.
9
4
. D.
4
9
C
.
Câu 31. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
A.
2
7
.C
B.
2
7.
C.
2
7
.A
D.
7
2.
Câu 32. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?.
A.
8
2
. B.
2
8
C
. C.
2
8
A
. D.
2
8
.
Câu 33. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số
1, 2,3,4,5
?
A.
4
5
A
. B.
5
P
. C.
4
5
C
. D.
4
P
.
Trang 5
Câu 34. Tính số chỉnh hợp chập
4
của
7
phần tử?
A.
24
. B.
720
. C.
840
. D.
35
.
Câu 35. Có bao nhiêu số tự nhiên có
5
chữ số, các chữ số khác
0
và đôi một khác nhau?
A.
5!
. B.
5
9
. C.
5
9
C
. D.
5
9
A
.
Câu 36. Cho tập hợp
{ }
1; 2;3; 4;5;6S
=
. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau
lấy từ tập hợp
S
?
A.
360
. B.
120
. C.
15
. D.
20
.
Câu 37. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số, các chữ số khác nhau và đều khác
0
?
A.
90
. B.
2
9
. C.
2
9
C
. D.
2
9
A
.
Câu 38. Từ tập
{ }
2,3,4,5,6X =
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một
khác nhau?
A.
60
. B.
125
. C.
10
. D.
6
.
Câu 39. Cho tập
{ }
1,2,3,5,7,9A =
. Từ tập
A
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi
một khác nhau?
A.
720
. B.
360
. C.
120
. D.
24
.
Câu 40. Cho tập hợp
M
có
10
phần tử. Số chỉnh hợp chập
2
của
10
phần tử của
M
là
A.
2
10
A
. B.
10
2
C
. C.
2
10
C
. D.
10
2
A
.
Câu 41. Tính số các chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử.
A.
21
. B.
2520
. C.
5040
. D.
120
.
Câu 42. Từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6
. Có thể lập được bao nhiêu số có
3
chữ số khác nhau?
A.
216
. B.
120
. C.
504
. D.
6
.
Câu 43. Tính số các chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.
A.
35
. B.
24
. C.
720
. D.
840
.
Câu 44. Từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6, 7,8,9
có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một
khác nhau
A.
3
9
.
C
B.
3
9
.A
C.
9!
. D.
32
98
.AA
−
Câu 45. Một tổ có
10
học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
2
học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ
trưởng và tổ phó.
A.
2
10
A
. B.
2
10
C
. C.
8
10
A
. D.
2
10
.
Câu 46. Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu
11
mét. Huấn luyện
viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự
5
cầu thủ trong
11
cầu thủ để đá luân lưu
5
quả
11
mét. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có bao nhiêu cách chọn?
A.
55440
. B.
120
. C.
462
. D.
39916800
.
Câu 47. Một câu lạc bộ có
25
thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm
1
chủ tịch,
1
phó chủ tịch và
1
thư kí là:
A.
13800
. B.
5600
. C. Một kết quả khác. D.
6900
.
Câu 48. Trong một lớp có 30 bạn học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn để làm lớp trưởng và
một bạn khác làm lớp phó?
A.
2
30
B.
28
30
A
C.
2
30
A
D.
2
30
C
Trang 6
Câu 49. Một câu lạc bộ có
25
thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm
1
chủ tịch,
1
phó chủ tịch và
1
thư ký là
A.
5600
. B.
13800
. C.
6900
. D. Kết quả khác.
Câu 50. Một nhóm học sinh có
10
người. Cần chọn
3
học sinh trong nhóm để làm
3
công việc là tưới
cây, lau bàn và nhặt rác, mỗi người làm một công việc. Số cách chọn là
A.
3
10
. B.
3 10
×
. C.
3
10
C
. D.
3
10
A
.
Câu 51. Số cách sắp xếp
6
học sinh ngồi vào
6
trong
10
ghế trên một hàng ngang là
A.
10
6
. B.
6!
. C.
6
10
A
. D.
6
10
C
.
Câu 52. Lớp
11A
có
38
học sinh. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra
3
bạn học sinh để sắp xếp làm Lớp
trưởng, Lớp phó và Thư kí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra như vậy?
A.
50616
. B.
8436
. C.
114
. D.
41
.
Câu 53. Có bao nhiêu cách chọn
5
cầu thủ từ
11
trong một đội bóng để thực hiện đá
5
quả luân lưu
11 m
,
theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm.
A.
5
11
A
. B.
5
11
C
. C.
2
11
.5!A
. D.
5
10
C
.
Câu 54. Cho tứ diện
ABCD
. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ
0
mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối
là hai đỉnh của tứ diện
ABCD
A.
12
. B.
4
. C.
10
. D.
8
.
Câu 55. Cho lục giác
.
ABCDEF
Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các
đỉnh của lục giác trên.
A.
2
6
. B.
6
2
. C.
2
6
C
. D.
2
6
A
.
Câu 56. Số các số gồm
5
chữ số khác nhau chia hết cho
10
là
A.
5436
. B.
3024
. C.
3260
. D.
12070
.
Câu 57. Từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6,7,8,9
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
3
chữ số đôi một khác
nhau?
A.
3
9
C
. B.
3
9
A
. C.
9!
. D.
32
98
AA−
.
Câu 58. Từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác
nhau?
A.
15
. B.
4096
. C.
360
. D.
720
.
Câu 59. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5, gồm 4 chữ
số khác nhau?
A. 120. B. 72. C. 69. D. 54.
Câu 60. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau.
A.
500.
B.
405.
C.
360.
D.
328.
Câu 61. Từ các số
0;1; 2;3;5
có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho
5
gồm
4
chữ số đôi
một khác nhau?
A.
120
. B.
54
. C.
72
. D.
69
.
Câu 62. Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5A =
. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và
lớn hơn 350?
A.
32
. B.
40
. C.
43
. D.
56
.
Câu 63. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết
phải có mặt chữ số 0?
A.
7056
. B.
120
. C.
5040
. D.
15120
.
Trang 7
Câu 64. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có
4
chữ số đôi một khác nhau?
A.
2520
. B.
50000
. C.
4500
. D.
2296
.
Câu 65. Từ các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
5
có thể lập được bao nhiêu số gồm
4
chữ số khác nhau và không chia
hết cho
5
?
A.
72
. B.
120
. C.
54
. D.
69
.
Câu 66. Từ các chữ số của tập hợp
{ }
0; 1; 2; 3; 4; 5
, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5
chữ số đôi
một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số
0
?
A.
504
. B.
480
. C.
720
. D.
120
.
Câu 67. Cho các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số
và các chữ số phải khác nhau.
A.
160
. B.
156
. C.
752
. D.
240
.
Câu 68. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau.
A. 648 B. 1000 C. 729 D. 720
Câu 69. Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7A =
. Hỏi từ tập
A
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
5
chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong
3
chữ số đầu tiên phải bằng
1
.
A.
2802
. B.
2280
. C.
65
. D.
2520
.
Câu 70. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm
3
chữ số khác nhau?
A.
500
. B.
328
. C.
360
. D.
405
.
Câu 71. Cho
5
chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
6
. Lập các số tự nhiên có
3
chữ số đôi một khác nhau từ
5
chữ số đã
cho. Tính tổng của các số lập được.
A.
12321
. B.
21312
. C.
12312
. D.
21321
.
Câu 72. Có bao nhiêu số tự nhiên có bẩy chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số
2
đứng liền giữa
hai chữ số
1
và
3
.
A.
3204
số. B.
249
số. C.
2942
số. D.
7440
số.
Câu 73. Từ các chữ số
1, 2, 3, 4, 5
có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau nằm trong
khoảng
( )
300;500
A.
24
. B.
25
. C.
23
. D.
22
.
Câu 74. Từ các chữ số
0,1, 2,3,4,5,6
có thể lập được bao nhiêu số có
5
chữ số đôi một khác nhau sao cho
có
3
chữ số chẵn và
2
chữ số lẻ đứng cạnh nhau.
A.
360
. B.
144
. C.
252
. D.
108
.
Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT
I. Hoán vị
1. Định nghĩa
Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử
(
)
*
n
∈
.
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự
n
phần tử của tập hợp
A
được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Ví dụ 1. Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
1, 2, 3
.
Giải
Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
1, 2, 3
là:
123,132,213, 231, 312,321
2. Số các hoán vị
Kí hiệu
n
P
là số các hoán vị của
n
phần tử. Ta có:
( 1) 2
n
P nn
= −…
. 1 .
Quy ước: Tích 1 .
2 n…
được viết là
n
! (đọc là
n
giai thừa), tức là
! 1.2nn= …
. Như vậy
!
n
Pn=
.
Ví dụ 2. Tính số cách xếp thứ tự đá luân lưu
11
m
của 5 cầu thủ.
Giải.
Mỗi cách xếp thứ tự đá luân lưu 11m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ. Vậy số cách sắp xếp là:
5
5.4.3.2.1 120P = =
II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa
Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử và một số nguyên
k
với
1 kn≤≤
.
Kết quả của việc lấy
k
phần tử từ
n
phần tử của tập hợp
A
và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được
gọi là một chỉnh hợp chập
k
của n phần tử đã cho.
Ví dụ 3. Hãy liệt kê tất cả các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1,2 ,
Giải
Các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số
1, 2,3,4,5
là:
12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,4
2,43,45,51,52,53,54.
2. Số các chỉnh hợp
Kí hiệu
k
n
A
là số các chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử
(1 )kn≤≤
.
Ta có:
( 1) ( 1)
k
n
A nn n k
= −… −+
.
Ví dụ 4. Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bạn Linh
đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để
tạo mật mã?
Giải
Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.
Vậy có
6
10
10 9 8 7 6 5 151200A = ⋅⋅⋅⋅⋅=
(cách để tạo mật mã).
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. HOÁN VỊ
Câu 1. Rút gọn:
Bài 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Trang 2
12!5!
10!6!
A =
( 1)!.( 1) !
!( 2)!
nn
B
nn
−+
=
−
1
( 2)!
nn
PP
C
n
−
−
=
−
Lời giải
12!5! 11.12
22
10!6! 6
A
= = =
2
( 1)!.( 1) !
( 1)( 1) 1
!( 2)!
nn
B nn n
nn
−+
= = − += −
−
2
1
( 1) !( 1)
( 1)
( 2)! ( 2)!
nn
PP
nn
Cn
nn
−
−
−−
= = = −
−−
Câu 2. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 1 hàng dọc theo 1 thứ tự bắt kỳ?
Lời giải
Số cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 1 hàng dọc theo 1 thứ tự bắt kỳ có 10! Cách.
Câu 3. Có 3 cuốn sách lý, 4 cuốn sách sinh, 5 cuốn sách địa lý. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn
sách trên vào giá sách nếu:
a. Sắp xếp tùy ý?
b. Các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau?
Lời giải
a. Có tất cả 12 cuốn sách nên có 12! cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách.
b. Ta phân giá sách làm 3 khu để 3 loại sách toán; lý; hóa có tất cả 3! cách phân như vậy.
Có 3! cách sắp xếp 3 cuốn sách lý vào khu đã được phân.
Có 4! cách sắp xếp 4 cuốn sách sinh vào khu đã được phân.
Có 5! cách sắp xếp 5 cuốn sách địa vào khu đã được phân.
Vậy có tất cả 3!3!4!5! = 103680 cách sắp xếp các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau trên giá.
Câu 4. (học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đếm và hoán vị) Cho các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4.
a. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chữ số 3 đứng ở chính giữa?
Lời giải
Cách 1
a. Số tự nhiên cần lập có dạng abcde (a ≠0)
Trong đó chữ sổ a có 4 cách chọn.
Chữ số b có 4 cách chọn.
Chữ số c có 3 cách chọn.
Chữ số d có 2 cách chọn.
Chữ số e có 1 cách chọn.
Nên có tất cả 4.4.3.2.1 = 96 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
b. Số tự nhiên cần lập có dạng ab3de (a ≠0).
Chữ số a có 3 cách chọn.
Chữ số b có 3 cách chọn.
Chữ số d có 2 cách chọn.
Chừ sô e có 1 cách chọn.
Vậy thành lập được tất cả 3.3.2 = 18 số có 5 chữ số khác nhau mà số 3 đứng chính giữa từ các số
trên.
Cách 2.
a. Mồi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là một hoán vị của {0; 1; 2; 3; 4}.
Các số có dạng 0abcd mà a;b;c;d khác nhau là một hoán vị của các số {1; 2; 3; 4}.
Nên 5 có tất cả 5! - 4! = 96 số có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên.
b. Tương tự phần a; các số có dạng ab3de bằng với số hoán vị của 4 số {0; 1; 2; 4}.
Trang 3
Các số có dạng 0a3cd bằng số hoán vị của 3 số {l;2;4}.
Nên có tất cả 4!—3! = 18 số có 5 chữ số khác nhau có số 3 đứng giữa được thành lập từ các số
trên.
Câu 5. Bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn A, B, C, D, E, F, G vào 1 hàng sao cho
a. A đứng chính giữa?
b. A,B ngồi đứng 2 đầu dãy?
Lời giải
Vì bạn A đứng chính giữa và 6 bạn còn lại sắp xép tùy ý nên có 6! cách sắp xếp một hàng.
Vi bạn A; B đứng 2 đầu dãy nên A;B có 2 cách chọn vị trí đứng. 5 bạn còn lại có 5! Cách sắp xếp.
5!cách sắp xếp.
Vậy có tất cả 2.5! cách sắp xếp 7 bạn thành 1 hàng sao cho A,B đứng 2 đầu dãy.
Câu 6. Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào 1 hàng sao không có 2 viên bi nào
cùng màu đứng gần nhau?
Lời giải
Ta đánh số vị trí của hàng bằng các số 1 đến 20. Vì các viên bi cùng màu không đứng gần nhau
nên các viên bi cùng màu được đánh số cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách sắp xếp 10 viên bị đỏ vào 10 vị trí cùng chẵn hoặc cùng lẻ có 10! cách.
Cách sắp xếp 10 viên bị đỏ vào 10 vị trí cùng chẵn hoặc cùng lẻ có 10! cách.
Vậy có tất cả 2.10! 10! cách sắp xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào 1 hàng sao cho không có 2
viên bi nào cùng màu đứng gần nhau.
Câu 7. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao
cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau
Lời giải
Xét số có 5 chữ số gồm 0, 1, 2, 5 và chữ số “kép” là (3,4).
+ Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn có thể là 0.
- Bước 1: sắp 5 chữ số vào 5 vị trí có 5! = 120 cách.
- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.
Suy ra có 120.2 = 240 số.
+ Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là 0.
- Bước 1: sắp 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách.
- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.
Suy ra có 24.2 = 48 số. Vậy có 240 - 48 = 192 số.
DẠNG 2. CHỈNH HỢP
Câu 8. Rút gọn
65
4
nn
n
AA
M
A
+
=
23 3
56 5
66
.AA A
N
PP
= −
1
2
( 3)! ( 2)!
nn
n
PP
E
n An
+
= −
−+
Lời giải
Trang 4
65
2
4
23 3
56 5
66
1
2
!! !
.( 5 1)
( 4)
( 6)! ( 5)! ( 5)!
( 4)
! !1
( 4)! ( 4)! ( 4)
5! 1 6!
5! 6! 5!
.1
.
.
5! 6! 13
2! 3 3!
3! 3! 2!
1
6! 6! 6! 2!6! 3.3! 4
!
!
( 3)! ( 2)!
( 3)!
nn
n
nn
n
nn n
n
AA
n
nn n
Mn
nn
A
n nn
AA A
N
PP
PP
n
E
n
n An
n
+
+ −+
+
−
−− −
= = = = = −
− −−

−



= − = − = = −=


= −=
−+
−
( 1) ! 1
2
( 2)! 2
( 2)!
n
n
nn
n
+
− =−−
++
−
Câu 9. Có thể lập được bao nhiêu vecto từ các đỉnh của hình ngũ giác đều?
Lời giải
Hình ngũ giác đều có tất cả 5 đỉnh. Cứ 2 đỉnh bất kì cho ta 2 vecto. Nên số vecto tạo từ các đỉnh
của hình ngũ giác là
2
5
20
A =
vecto.
Câu 10. Một nhà hàng có 10 món đặc sản. Mỗi ngày nhà hàng đó chọn ra 2 món ăn khác nhau, trưa 1 món,
tối 1 món. Hỏi nhà hàng đó có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải
Số cách chọn 2 món khác nhau từ 10 món là:
2
10
90A =
cách chọn.
Câu 11. (Học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đém và chỉnh hợp) Cho các số tự nhiên 0,1,2,3,4,5,6,7.
a. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b. Bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau?
Lời giải
Cách 1:
a. Gọi số cần lập là
abcd
.
Vì
0
a ≠
nên có 7 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 6 cách chọn, d có 5 cách chọn.
Vậy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là 7.7.6.5=1470 số.
b. Gọi số cần lập là
abc
Vì số cần lập là số chẵn nên c=0;2;4;6.
Nếu c=0 thì a có 7 cách chọn, b có 6 cách chọn.
Vậy có tất cả 7.6=42 số có dạng
0ab
được thành lập từ các số trên.
Nếu c=2;4;6 thì a có 6 cách chọn; b có 6 cách chọn.
Vậy có tất cả 3.6.6=108 số.
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 108+42=150 số.
Cách 2:
a. Số có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là:
4
8
1680A =
số.
Số có dạng
0 (,,)abc a b c
khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là:
3
7
210A =
số.
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là:
43
87
1470AA−=
số.
b. Số số có 3 chữ số được thành lập từ các chữ số trên là:
32
87
294AA−=
số.
Gọi số cần lập
abc
là số lẻ. Khi đó c có cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 6 cách chọn. Vậy số lẻ
được thành lập từ các chữ số trên là: 4.6.6=144 số.
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là: 294-144=150 số.
Câu 12. Một đội bóng có 22 cầu thủ, cần chọn ra 11 cầu thủ thi đấu chính thức. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn nếu:
Trang 5
a. Ai cũng có thể chơi ở bất kì vị trí nào?
b. Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn còn các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được?
Lời giải
a. Số cách chọn 11 cầu thủ trong 22 cầu thủ ra sân thi đấu là
11
22
A
.
b. Số cách chọn 11 cầu thủ trong đó cầu thủ A làm thủ môn còn các cầu thủ khác vào vị trí nào cũng
được là:
10
21
A
.
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. HOÁN VỊ
Câu 1. Từ các chữ số
2,3,4,5,6,7
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
6
chữ số khác nhau?
A.
256
. B.
720
. C.
120
. D.
24
.
Lời giải
Số cách lập số tự nhiên có
6
chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của
6
phần tử,
do đó có
6! 720=
Câu 2. Cho các số
1
,
5
,
6
,
7
. Có bao nhiêu số tự nhiên có
4
chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã
cho.
A.
64
. B.
24
. C.
256
. D.
12
.
Lời giải
Số các số tự nhiên có
4
chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho là:
4! 24
=
số.
Câu 3. Cho
{
}
1,2,3,4A
=
. Từ
A
lập được bao nhiêu số tự nhiên có
4
chữ số đôi một khác nhau?
A.
32
. B.
24
. C.
256
. D.
18
.
Lời giải
Mỗi số tự nhiên tự nhiên có
4
chữ số khác nhau được lập từ tập
A
là hoán vị của
4
phần tử.
Vậy có
4! 24=
số cần tìm.
Câu 4. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
5
chữ số đôi một khác
nhau:
A.
120
. B.
720
. C.
16
. D.
24
.
Lời giải
Mỗi số tự nhiên gồm
5
chữ số khác nhau được lập từ các số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
là một hoán vị của
5
phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
5
5!P =
120=
(số).
Câu 5. Từ các số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5
chữ số khác nhau đôi một?
A.
60
. B.
120
. C.
24
. D.
48
.
Lời giải
Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có
5! 120=
số cần tìm.
Câu 6. Cho tập hợp
X
gồm
10
phần tử. Số các hoán vị của
10
phần tử của tập hợp
X
là
A.
10!
. B.
2
10
. C.
10
2
. D.
10
10
.
Lời giải
Số các hoán vị của
10
phần tử:
10!
.
Câu 7. Số các số có
6
chữ số khác nhau không bắt đầu bởi
12
được lập từ
1; 2; 3; 4; 5; 6
là
A.
720
. B.
966
. C.
696
. D.
669
.
Lời giải
Chọn C
Trang 6
Lập số tự nhiên có
6
chữ số khác nhau, ta tìm được:
6!
số.
Lập số tự nhiên có
6
chữ số khác nhau nhưng bắt đầu bằng
12
, ta tìm được:
4!
số.
Vậy số các số có
6
chữ số khác nhau không bắt đầu bởi
12
là
6! 4! 696
−=
số.
Câu 8. Từ các chữ số
0
,
2
,
3
,
5
,
6
,
8
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
6
chữ số đôi một
khác nhau trong đó hai chữ số
0
và
5
không đứng cạnh nhau.
A.
384
. B.
120
. C.
216
. D.
600
.
Lời giải
Số các số có
6
chữ số được lập từ các chữ số
0
,
2
,
3
,
5
,
6
,
8
là
6! 5!−
.
Số các số có chữ số
0
và
5
đứng cạnh nhau:
2.5! 4!−
.
Số các số có chữ số
0
và
5
không đúng cạnh nhau là:
( )
6! 5! 2.5! 4! 384−− − =
.
Câu 9. Có bao nhiêu cách sắp xếp
5
học sinh thành một hàng dọc?
A.
5
5
. B.
5!
. C.
4!
. D.
5
.
Lời giải
Số cách sắp xếp
5
học sinh thành một hàng dọc là
5!
.
Câu 10. Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài là
A.
120
. B.
24
. C.
5
. D.
1
.
Lời giải
Ta có số cách xếp 5 học sinh vào một bàn dài là số các hoán vị của
5
học sinh đó. Vậy kết quả là:
5
5! 120P = =
.
Câu 11. Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ?
A.
10
P
. B.
1
10
C
. C.
1
10
A
. D.
10
10
C
.
Lời giải
Chọn A
Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của tập hợp có 10 phần tử.
Suy ra số cách sắp xếp là
10
P
.
Câu 12. Ban chấp hành chi đoàn lớp
11D
có bạn An, Bình, Công. Hỏi có bao nhiêu cách phân công các
bạn này vào các chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm?
A.
2
. B.
3
. C.
6
. D.
9
.
Lời giải
Chọn C
Mỗi cách phân công
3
bạn An, Bình, Công vào
3
chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà
không bạn nào kiêm nhiệm là một hoán vị của
3
phần tử. Vậy có
3! 6=
cách.
Câu 13. Có tất cả bao nhiêu cách xếp
6
quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách?
A.
5!
B.
5
6
C.
6!
D.
6
6
Lời giải
Chọn C
Mỗi cách sắp xếp
6
quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của
6
phần tử. Vậy số cách sáp xếp là
6!
.
Câu 14. Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một điểm thi có
5
sinh viên tình nguyện được phân
công trục hướng dẫn thí sinh ở
5
vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng
1
sinh viên. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công vị trí trực cho
5
người đó?
A.
120
. B.
625
. C.
3125
D.
80
.
Lời giải
Trang 7
Chọn A
Mỗi cách xếp
5
sinh viên vào
5
vị trí thỏa đề là một hoán vị của
5
phần tử.
Suy ra số cách xếp là
5! 120=
cách.
Câu 15. Trong kì thi THPT Quốc gia năm
2017
tại một Điểm thi có
5
sinh viên tình nguyện được phân
công trực hướng dẫn thi sinh ở
5
vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng
1
sinh viên. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công vị trí trực cho
5
người đó?
A.
625
. B.
3125
. C.
120
. D.
80
.
Lời giải
Số cách phân công
5
vị trí trực khác nhau cho
5
người là:
5! 120
=
.
Câu 16. Có một con mèo vàng,
1
con mèo đen,
1
con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con
mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào
6
cái ghế, mỗi ghế một con. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ
sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau.
A.
720
. B.
120
. C.
144
. D.
240
.
Lời giải
Chọn D
Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là:
2
.
Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với
1
con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1
con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được
5
phần tử. Xếp
5
phần tử này là:
5!
.
Vậy có:
2.5! 240=
.
Câu 17. Tính số cách sắp xếp
6
nam sinh và
4
nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có
10
chỗ ngồi sao
cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.
A.
10!
. B.
7! 4!.
×
C.
6! 4!.×
D.
6! 5!.×
Lời giải:
Chọn B
Sắp xếp
4
nữ sinh vào
4
ghế:
4!
cách.
Xem
4
nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với
6
nam sinh: có
7!
cách
vậy có
7! 4!×
cách sắp xếp.
Câu 18. Có
6
học sinh và
2
thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai
thầy giáo không đứng cạnh nhau?
A. 30240 cách. B. 720 cách. C. 362880 cách. D. 1440 cách.
Lời giải
Chọn A
Xếp 8 người thành hàng ngang có
8
P
cách.
Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có
7.2!.6!
cách.
Vậy số cách xếp cần tìm là:
8
7.2!.6! 30240P −=
cách.
Câu 19. Cho các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có
4
chữ số và các chữ số đôi một bất kỳ khác nhau.
A.
160
. B.
156
. C.
752
. D.
240
.
Lời giải
Gọi số cần tìm là:
abcd
(với
{
}
, , 0;1; 2;3; 4;5bcd∈
,
{ }
1; 2;3; 4;5a∈
).
Trường hợp 1:
Chọn
0d =
, nên có
1
cách chọn.
Trang 8
Chọn
}
{
1, 2,3,4,5a ∈
nên có
5
cách chọn.
Chọn
b
có
4
cách chọn.
Chọn
c
có
3
cách chọn.
Suy ra, có
1.5.4.3 60=
số.
Trường hợp 2:
Chọn
{
}
2, 4
d ∈
, nên có
2
cách chọn.
Chọn
0a ≠
nên có
4
cách chọn.
Chọn
b
có
4
cách chọn.
Chọn
c
có
3
cách chọn.
Suy ra, có
2.4.4.3 96=
số.
Vậy có tất cả:
60 96 156+=
số.
Câu 20. Cho hai dãy ghế được xếp như sau:
Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu
ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một
bạn nữ bằng
A.
4
4!.4!.2
. B.
4!.4!
. C.
4!.2
. D.
4!.4!.2
.
Lời giải
Chọn A
Xếp 4 bạn nam vào một dãy có
4!
(cách xếp).
Xếp 4 bạn nữ vào một dãy có
4!
(cách xếp).
Với mỗi một số ghế có 2 cách đổi vị trí cho bạn nam và bạn nữ ngồi đối diện nhau.
Số cách xếp theo yêu cầu là:
4
4!.4!.2
(cách xếp).
Câu 21. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?
A.
24
. B.
72
. C.
12
. D.
48
.
Lời giải
Chọn B
+) Xếp
5
bạn vào
5
chỗ ngồi có
5!
cách.
+) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có
2
cách. Xem An và Dũng là
1
phần tử cùng với
3
bạn
còn lại là
4
phần tử xếp vào
4
chỗ. Suy ra số cách xếp
5
bạn sao cho An và Dũng luôn ngồi cạnh
nhau là:
2.4!
cách.
Vậy số cách xếp
5
bạn vào
5
ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là:
5!– 2.4! 72=
.
Câu 22. Một nhóm học sinh gồm
4
học sinh nam và
5
học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
9
học
sinh trên thành
1
hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ?
A.
5760
. B.
2880
. C.
120
. D.
362880
.
Lời giải
Xếp
4
học sinh nam thành hàng dọc có
4!
cách xếp.
Trang 9
Giữa
4
học sinh nam có
5
khoảng trống ta xếp các bạn nữ vào vị trí đó nên có
5!
cách xếp.
Theo quy tắc nhân có
4!5! 2880=
cách xếp thoả mãn bài ra.
Câu 23. Có
3
viên bi đen khác nhau,
4
viên bi đỏ khác nhau,
5
viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
A.
345600
. B.
518400
. C.
725760
. D.
103680
.
Lời giải
Số cách xếp
3
viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng:
3!
.
Số cách xếp
4
viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng:
4!
.
Số cách xếp
5
viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng:
5!
.
Số cách xếp
3
nhóm bi thành một dãy bằng:
3!
.
Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng
3!.4!.5!.3! 103680=
cách.
Câu 24. Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu
các sách Văn phải xếp kề nhau?
A.
5!.8!
. B.
5!.7!
. C.
2.5!.7!
. D.
12!
.
Lời giải
Chọn A
Vì các sách Văn phải xếp kề nhau nên ta xem
5
cuốn sách Văn là một phần tử.
Xếp
7
cuốn sách toán lên kệ có
7!
cách.
Giữa
7
cuốn sách Toán có 8 khoảng trống, ta xếp phần tử chứa
5
cuốn sách Văn vào
8
vị trí đó
có
8
cách.
5
cuốn sách Văn có thể hoán đổi vị trí cho nhau ta được
5!
cách.
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
8.7!.5! 8!.5!=
.
Câu 25. Có bao nhiêu cách sắp xếp
3
nữ sinh,
3
nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ
ngồi xen kẽ?
A.
6
. B.
144
. C.
720
. D.
72
.
Lời giải
Chọn D
Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ
1
đến
6
.
Trường hợp 1: Nam đứng trước, nữ đứng sau.
Xếp nam (vào các vị trí đánh số
1,3,5
): Có
3! 6
=
cách.
Xếp nữ (vào các vị trí đánh số
2, 4, 6
): Có
3! 6=
cách.
Vậy trường hợp này có:
6.6 36=
cách.
Trường hợp 2: Nữ đứng trước, nam đứng sau.
Xếp nữ (vào các vị trí đánh số
1,3,5
): Có
3! 6=
cách.
Xếp nam (vào các vị trí đánh số
2, 4, 6
): Có
3! 6=
cách.
Vậy trường hợp này có:
6.6 36=
cách.
Theo quy tắc cộng ta có:
36 36 72+=
cách sắp xếp
3
nữ sinh,
3
nam sinh thành một hàng dọc
sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.
Câu 26. Xếp
6
chữ số
1
,
1
,
2
,
2
,
3
,
4
thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp
cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách
A.
120
cách. B.
96
cách. C.
180
cách. D.
84
cách.
Lời giải
Chọn D
Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là
6!
180
2!.2!
=
.
*) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau
Trang 10
+) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số
1
đứng cạnh nhau
4!
5. 60
2!
=
.
+) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số
2
đứng cạnh nhau
4!
5. 60
2!
=
.
+) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số
1
đứng cạnh nhau và hai chữ số
2
đứng cạnh nhau
-) Nếu hai chữ số
1
ở vị trí
(1; 2)
và
(5; 6)
ta có số cách xếp là
2.3.2 12=
.
-) Nếu hai chữ số
1
ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là
3.2.2 12=
.
Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là
60 60 12 12 96
+−−=
.
⇒
Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là
180 96 84
−=
.
Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ?
A.
320
. B.
144
. C.
180
. D.
60
.
Lời giải
Chọn A
Trường hợp 1: 3 chữ số đều lẻ. Có
3
5
60A =
số thỏa mãn.
Trường hợp 2: số đó gồm 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ
- Chọn 2 chữ số chẵn khác nhau có
2
5
10
C =
cách.
- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.
- Từ 3 số đã chọn đó lập được
3! 6=
số.
Do đó có
10.5.6 300=
dãy gồm 3 chữ số phân biệt, trong đó có 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ kể cả
chữ số 0 đứng đầu.
Xét dãy số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0
- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.
- Chọn 1 chữ số chẵn khác chữ số 0 có 4 cách.
Vậy có
4.5.2! 40=
số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng
0.
Do đó có
60 300 40 320
+ −=
số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ.
Câu 28. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có
6
chữ số khác nhau
và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
A.
32
. B.
72
. C.
36
. D.
24
.
Lời giải
Gọi
123456
aaaaaa
là số cần tìm
Ta có
{ }
6
1;3;5a ∈
và
( ) ( )
123 456
1aaa aaa++ − ++ =
Với
6
1a =
thì
( ) ( )
123 45
2aaa aa++ − + =
{ }
{ }
123
45
, , 2, 3, 6
, 4,5
aaa
aa
∈
⇒
∈
hoặc
{ }
{ }
123
45
, , 2, 4,5
, 3, 6
aaa
aa
∈
∈
Với
6
3a =
thì
( ) ( )
123 45
4aaa aa++ − + =
{ }
{ }
123
45
, , 2; 4;5
, 1, 6
aaa
aa
∈
⇒
∈
hoặc
{ }
{ }
123
45
, , 1, 4, 6
, 2,5
aaa
aa
∈
∈
Với
6
5a =
thì
( ) ( )
123 45
6aaa aa++ − + =
{ }
{ }
123
45
, , 2, 3, 6
, 1, 4
aaa
aa
∈
⇒
∈
hoặc
{ }
{ }
123
45
, , 1, 4, 6
, 2,3
aaa
aa
∈
∈
Mỗi trường hợp có
3!.2! 12=
số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả
6.12 72=
số cần tìm.
Trang 11
Câu 29. Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5, 6, 7,8, 9.
Tính tổng tất cả các số thuộc tâp
.S
A.
9333420.
B.
46666200.
C.
9333240.
D.
46666240.
Lời giải
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ
5, 6, 7,8, 9
là
5! 120=
số.
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số
5, 6, 7,8, 9
xuất hiện ở hàng đơn vị là
4! 24=
lần.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là
( )
24 5 6 7 8 9 840++++ =
.
Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.
Vậy tổng các số thuộc tập
S
là
( )
234
840 1 10 10 10 10 9333240++ + + =
.
DẠNG 2. CHỈNH HỢP
Câu 30. Cho tập
{ }
1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9M =
. Số các số tự nhiên gồm
4
chữ số phân biệt lập từ
M
là.
A.
4!
. B.
4
9
A
. C.
9
4
. D.
4
9
C
.
Lời giải
Số các số tự nhiên gồm
4
chữ số phân biệt lập từ
M
là:
4
9
A
.
Câu 31. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
A.
2
7
.C
B.
2
7.
C.
2
7
.A
D.
7
2.
Lời giải
Mỗi số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau thành lập được từ các chữ số
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
là một
chỉnh hợp chập
2
của
7
chữ số
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
. Vậy số các số tự nhiên thành lập được là
2
7
.A
Câu 32. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?.
A.
8
2
. B.
2
8
C
. C.
2
8
A
. D.
2
8
.
Lời giải
Số số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau lập được từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
là số
cách chọn 2 chữ số khác nhau từ 8 số khác nhau có thứ tự.
Vậy có
2
8
A
số.
Câu 33. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số
1, 2,3,4,5
?
A.
4
5
A
. B.
5
P
. C.
4
5
C
. D.
4
P
.
Lời giải
Số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số
1, 2,3,4,5
là một chỉnh hợp
chập
4
của
5
phần tử
Vậy có
4
5
A
số cần tìm.
Câu 34. Tính số chỉnh hợp chập
4
của
7
phần tử?
A.
24
. B.
720
. C.
840
. D.
35
.
Lời giải
Ta có:
4
7
7!
840
3!
A = =
.
Câu 35. Có bao nhiêu số tự nhiên có
5
chữ số, các chữ số khác
0
và đôi một khác nhau?
A.
5!
. B.
5
9
. C.
5
9
C
. D.
5
9
A
.
Lời giải
Mỗi số tự nhiên có
5
chữ số, các chữ số khác
0
và đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập
5
của
9
phần tử.
Trang 12
Vậy số các số tự nhiên thỏa đề bài là
5
9
A
số.
Câu 36. Cho tập hợp
{ }
1; 2;3;4;5;6S
=
. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau
lấy từ tập hợp
S
?
A.
360
. B.
120
. C.
15
. D.
20
.
Lời giải
Từ tập
S
lập được
4
6
360A =
số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau.
Câu 37. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số, các chữ số khác nhau và đều khác
0
?
A.
90
. B.
2
9
. C.
2
9
C
. D.
2
9
A
.
Lời giải
Số tự nhiên cần lập có
2
chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số từ
1
đến
9
nên có
2
9
A
số như
vậy.
Câu 38. Từ tập
{ }
2,3,4,5,6X =
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một
khác nhau?
A.
60
. B.
125
. C.
10
. D.
6
.
Lời giải
Số các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập
X
là số chỉnh
hợp chập
3
của
5
phần tử
⇒
số các số cần lập là
3
5
60A =
(số).
Câu 39. Cho tập
{ }
1,2,3,5,7,9A =
. Từ tập
A
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi
một khác nhau?
A.
720
. B.
360
. C.
120
. D.
24
.
Lời giải
Tập
A
gồm có
6
phần tử là những số tự nhiên khác
0
.
Từ tập
A
có thể lập được
4
6
360A
=
số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau.
Câu 40. Cho tập hợp
M
có
10
phần tử. Số chỉnh hợp chập
2
của
10
phần tử của
M
là
A.
2
10
A
. B.
10
2
C
. C.
2
10
C
. D.
10
2
A
.
Lời giải
Chọn A
Số chỉnh hợp chập
2
của
10
phần tử của
M
là:
2
10
A
.
Câu 41. Tính số các chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử.
A.
21
. B.
2520
. C.
5040
. D.
120
.
Lời giải
Chọn B
Theo lý thuyết công thức tính số các chỉnh hợp chập
5
của
7
:
( )
5
7
7!
2520
7 5!
A = =
−
.
Câu 42. Từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6
. Có thể lập được bao nhiêu số có
3
chữ số khác nhau?
A.
216
. B.
120
. C.
504
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Mỗi cách lập số là một chỉnh hợp chập 3 của 6.
Vậy có
3
6
120A =
số.
Câu 43. Tính số các chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.
Trang 13
A.
35
. B.
24
. C.
720
. D.
840
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
4
7
7!
840.
3!
A = =
Câu 44. Từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6, 7,8,9
có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một
khác nhau
A.
3
9
.C
B.
3
9
.A
C.
9!
. D.
32
98
.AA−
Lời giải
Chọn B
Mỗi số tự nhiên lập được có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6, 7,8,9
là một
chỉnh hợp chập 3 của 9.
Vậy lập được
3
9
A
số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 45. Một tổ có
10
học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
2
học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ
trưởng và tổ phó.
A.
2
10
A
. B.
2
10
C
. C.
8
10
A
. D.
2
10
.
Lời giải
Chọn ra
2
học sinh từ một tổ có
10
học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một
chỉnh hợp chập
2
của 10 phần tử. Số cách chọn là
2
10
A
cách.
Câu 46. Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu
11
mét. Huấn luyện
viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự
5
cầu thủ trong
11
cầu thủ để đá luân lưu
5
quả
11
mét. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có bao nhiêu cách chọn?
A.
55440
. B.
120
. C.
462
. D.
39916800
.
Lời giải
Số cách ủa huấn luyện viên của mỗi đội là
5
11
55440
A =
.
Câu 47. Một câu lạc bộ có
25
thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm
1
chủ tịch,
1
phó chủ tịch và
1
thư kí là:
A.
13800
. B.
5600
. C. Một kết quả khác. D.
6900
.
Lời giải
Mỗi cách chọn
3
người ở
3
vị trí là một chỉnh hợp chập
3
của
25
thành viên.
Số cách chọn là:
3
25
13800
A =
.
Câu 48. Trong một lớp có 30 bạn học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn để làm lớp trưởng và
một bạn khác làm lớp phó?
A.
2
30
B.
28
30
A
C.
2
30
A
D.
2
30
C
Lời giải
Mỗi cách chọn một bạn làm lớp trưởng và một bạn làm lớp phó là chỉnh hợp chập 2 của 30 phần
tử nên số cách chọn là
2
30
.A
Câu 49. Một câu lạc bộ có
25
thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm
1
chủ tịch,
1
phó chủ tịch và
1
thư ký là
A.
5600
. B.
13800
. C.
6900
. D. Kết quả khác.
Lời giải
Chọn B
Số cách chọn ban quản lí là
3
25
13800A =
cách.
Trang 14
Câu 50. Một nhóm học sinh có
10
người. Cần chọn
3
học sinh trong nhóm để làm
3
công việc là tưới
cây, lau bàn và nhặt rác, mỗi người làm một công việc. Số cách chọn là
A.
3
10
. B.
3 10×
. C.
3
10
C
. D.
3
10
A
.
Lời giải
Số cách chọn
3
em học sinh là số cách chọn
3
phần tử khác nhau trong
10
phần tử có phân biệt
thứ tự nên số cách chọn thỏa yêu cầu là
3
10
A
.
Câu 51. Số cách sắp xếp
6
học sinh ngồi vào
6
trong
10
ghế trên một hàng ngang là
A.
10
6
. B.
6!
. C.
6
10
A
. D.
6
10
C
.
Lời giải
Mỗi cách chọn
6
ghế từ
10
ghế sắp xếp
6
người là một chỉnh hợp chập
6
của
10
phần tử.
Vậy có
6
10
A
cách chọn.
Câu 52. Lớp
11A
có
38
học sinh. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra
3
bạn học sinh để sắp xếp làm Lớp
trưởng, Lớp phó và Thư kí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra như vậy?
A.
50616
. B.
8436
. C.
114
. D.
41
.
Lời giải
Chọn A
Chọn
3
học sinh trong
38
học sinh và sắp xếp ba học sinh vào ba chức vụ khác nhau: Lớp
trưởng, Lớp phó, Bí thư. Mỗi cách chọn ra
3
học sinh như vậy là một chỉnh hợp chập
3
của
38
phần tử.
Vậy số cách chọn là:
3
38
50616.A
=
.
Câu 53. Có bao nhiêu cách chọn
5
cầu thủ từ
11
trong một đội bóng để thực hiện đá
5
quả luân lưu
11 m
,
theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm.
A.
5
11
A
. B.
5
11
C
. C.
2
11
.5!A
. D.
5
10
C
.
Lời giải
Số cách chọn
5
cầu thủ từ
11
trong một đội bóng để thực hiện đá
5
quả luân lưu
11 m
, theo thứ
tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là số chỉnh hợp chập
5
của
11
phần tử nên số cách chọn là
5
11
A
.
Câu 54. Cho tứ diện
ABCD
. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ
0
mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối
là hai đỉnh của tứ diện
ABCD
A.
12
. B.
4
. C.
10
. D.
8
.
Lời giải
Số vectơ khác vectơ
0
mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện
ABCD
là số
các chỉnh hợp chập 2 của phần tử
⇒
số vectơ là
2
4
12A =
.
Câu 55. Cho lục giác
.ABCDEF
Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các
đỉnh của lục giác trên.
A.
2
6
. B.
6
2
. C.
2
6
C
. D.
2
6
A
.
Lời giải
Chọn D
Mỗi vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác
ABCDEF
là một
chỉnh hợp chập
2
của
6
phần tử. Vậy số vectơ thỏa yêu cầu bài toán là
2
6
A
vectơ.
Câu 56. Số các số gồm
5
chữ số khác nhau chia hết cho
10
là
A.
5436
. B.
3024
. C.
3260
. D.
12070
.
Lời giải
Trang 15
Chọn B
Xét
{ }
1, 2,3,4,5,6,7,8,9X =
,
9X =
.
Gọi
0x abcd=
là số cần lập
(,,,
abcd X
∈
và đôi một khác nhau).
Mỗi số cần lập là một chỉnh hợp chập
4
của
9
phần tử nên số các số thỏa yêu cầu bài toán là
4
9
3024A =
.
Câu 57. Từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6,7,8,9
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
3
chữ số đôi một khác
nhau?
A.
3
9
C
. B.
3
9
A
. C.
9!
. D.
32
98
AA
−
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
x abc=
, trong đó
a
,
b
,
c
đôi một khác nhau.
Lấy
3
phần tử từ tập hợp
{ }
1,2,3, 4,5,6,7,8,9X =
và xếp vào
3
vị trí. Có
3
9
A
cách.
Suy ra có
3
9
A
số thỏa yêu cầu bài.
Câu 58. Từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác
nhau?
A.
15
. B.
4096
. C.
360
. D.
720
.
Lời giải
Để được một số có 4 chữ số theo yêu cầu đề bài, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số đã cho và xếp
theo một thứ tự nào đó, nghĩa là ta được một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.
Vậy số các số cần thành lập là
4
6
360A =
.
Câu 59. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5, gồm 4 chữ
số khác nhau?
A. 120. B. 72. C. 69. D. 54.
Lời giải
Chọn D
Gọi số tự nhiên cần tìm là
abcd
, từ yêu cầu bài toán ta có:
{ }
1; 2; 3d ∈
: có 3 cách chọn
a
: có 3 cách chọn
( )
0,
a ad≠≠
Trong 3 số còn lại chọn ra 2 số lần lượt đặt vào các vị trí b,c có
2
3
A
cách.
Số các số thỏa yêu cầu bài toán là
2
3
3.3. 54SA= =
số.
Câu 60. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau.
A.
500.
B.
405.
C.
360.
D.
328.
Lời giải
Chọn D
Xét hai trường hợp.
TH1: Chữ số tận cùng là 0 có 1 cách chọn chữ số tận cùng.
Có
2
9
A
cách chọn hai chữ số đầu.
Do đó có 1*
2
9
A
= 72 số.
TH2: Chữ số tận cùng là 2, 4, 6, 8 có 4 cách chọn chữ số tận cùng.
Có 8 cách chọn chữ số đầu tiên.
Có 8 cách chọn chữ số ở giữa.
Do đó có 4*8*8 = 256 số.
Trang 16
Vậy có 72 + 256 = 328 số thỏa mãn bài toán. Chon
.D
Câu 61. Từ các số
0;1; 2;3;5
có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho
5
gồm
4
chữ số đôi
một khác nhau?
A.
120
. B.
54
. C.
72
. D.
69
.
Lời giải
Chọn B
Giả sử số tự nhiên có 4 chữ số có dạng
abcd
+ Do số tự nhiên đó không chia hết cho 5 nên d có 3 cách chọn (1; 2; 3)
+ Có 3 cách chọn a (khác d; 0)
+ Số cách chọn 2 chữ số còn lại là số chỉnh hợp chập 2 của 3
2
3
A⇒
Vậy có
2
3
3.3. 54A =
số.
Câu 62. Cho tập hợp
{
}
0;1;2;3;4;5A
=
. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và
lớn hơn 350?
A.
32
. B.
40
. C.
43
. D.
56
.
Lời giải
Chọn C
Gọi số có ba chữ số khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán là
abc
.
Vì
350abc >
nên ta xét 2 trường hợp sau:
TH 1: Chọn
{ }
4;5aa∈⇒
có 2 cách chọn.
Chọn
b
và
c
trong số 5 chữ số còn lại có
2
5
A
cách.
Suy ra TH 1 có
2
5
2. 40A =
số được lập.
TH 2: Chọn
{ }
3, 5 1;2;4ab c= =⇒∈
nên có 3 số được lập.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
40 3 43
+=
số.
Câu 63. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết
phải có mặt chữ số 0?
A.
7056
. B.
120
. C.
5040
. D.
15120
.
Lời giải
Chọn A
Gọi số đó có dạng
abcde
(
{ }
, , , , 0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9abcde∈
,
0
a ≠
).
TH1: e = 0
Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là:
4
9
A
( số).
TH2:
0e ≠
.
Khi đó e có 4 cách chọn ( vì e được lấy từ các số 2, 4, 6, 8).
Có 3 cách để xếp chữ số 0 vào 3 vị trí b, c, d.
Số cách lấy 3 số trong 8 số còn lại và sắp xếp là
3
8
A
.
Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là:
3
8
4.3.A
( số).
Vậy số các số tự nhiên chẳn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết
phải có mặt chữ số 0 là:
43
98
4.3. 7056AA+=
( số)
Câu 64. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có
4
chữ số đôi một khác nhau?
A.
2520
. B.
50000
. C.
4500
. D.
2296
.
Lời giải
Trang 17
Số có
4
chữ số khác nhau đôi một:
3
9
9.
A
.
Số có
4
chữ số lẻ khác nhau đôi một:
2
8
5.8.A
.
Vậy số có
4
chữ số chẵn khác nhau đôi một:
32
98
9. 5.8. 2296
AA−=
.
Câu 65. Từ các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
5
có thể lập được bao nhiêu số gồm
4
chữ số khác nhau và không chia
hết cho
5
?
A.
72
. B.
120
. C.
54
. D.
69
.
Lời giải
Gọi số cần tìm dạng:
abcd
,
( )
0a ≠
.
• Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau:
3
4
4.A
96
=
số.
• Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5:
32
43
3.AA+
42
=
.
• Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là:
96 42 54−=
số.
Câu 66. Từ các chữ số của tập hợp
{ }
0; 1; 2; 3; 4; 5
, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5
chữ số đôi
một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số
0
?
A.
504
. B.
480
. C.
720
. D.
120
.
Lời giải
• Cách 1: Gọi số cần tìm là
n abcde=
.
Có
4
vị trí xếp số
0
vì
0a
≠
.
-
,,,abcd
được chọn trong
5
số còn lại và sắp, có
4
5
120A =
cách.
Vậy số các số cần tìm là
4.120 480=
.
• Cách 2: Gọi số cần tìm là
n abcde=
.
Có
5
vị trí xếp số
0
(kể cả vị trí đầu tiên),
4
vị trí còn lại chọn
4
trong
5
số và sắp, nên có
4
5
5. 600A =
số.
Các số có dạng
0bcde
là
4
5
120A =
số.
Vậy số các số cần tìm là
600 120 480−=
.
Câu 67. Cho các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số
và các chữ số phải khác nhau.
A.
160
. B.
156
. C.
752
. D.
240
.
Lời giải
Gọi số có bốn chữ số khác nhau là
abcd
{ }
( )
, , , 0,1, 2,3,4,5 , 0abcd a∈≠
.
+ TH1:
0d =
Số cách ộ số
abc
là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử
{ }
1, 2,3,4,5
. Suy ra có
3
5
60A =
(số).
+ TH2:
{ }
2, 4d ∈
d
có
2
cách chọn
a
có
4
cách chọn
b
có
4
cách chọn
c
có
3
cách chọn
Trang 18
Suy ra có
2.4.4.3 96
=
(số)
Áp dụng quy tắc cộng ta có tất cả
60 96 156+=
(số)
Câu 68. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau.
A. 648 B. 1000 C. 729 D. 720
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng:
abc
(
0a ≠
; a;b;c đôi một khác nhau)
⇒
số có ba chữ số là:
32
10 9
648AA−=
.
Câu 69. Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7
A =
. Hỏi từ tập
A
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
5
chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong
3
chữ số đầu tiên phải bằng
1
.
A.
2802
. B.
2280
. C.
65
. D.
2520
.
Lời giải
Gọi số cần lập là
abcde
với
,,, ,abcde A∈
và
0
a
>
, các chữ số khác nhau.
TH1:
1a =
. Số cách ác chữ số còn lại là
4
7
840
A
=
.
TH2:
1a ≠
.
Để chọn vị trí cho chữ số
1
có
2
cách.
Để hữ số
a
có
6
cách.
Để ác chữ số còn lại có
3
6
A
.
Do đó có
3
6
2.6.
A
số lập được.
Vậy có
43
76
2.6. 2280AA+=
số thỏa mãn đề bài.
Câu 70. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm
3
chữ số khác nhau?
A.
500
. B.
328
. C.
360
. D.
405
.
Lời giải
Gọi số tự nhiên chẵn cần tìm có dạng
abc
,
{ }
0; 2; 4;6;8c ∈
.
Xét các số có dạng
0ab
có tất cả
2
9
72A =
số thỏa yêu cầu bài toán.
Xét các số dạng
abc
,
{ }
2; 4; 6;8c ∈
có tất cả:
4.8.8 256
=
số thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm
3
chữ số khác nhau là:
72 256 328
+=
số.
Câu 71. Cho
5
chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
6
. Lập các số tự nhiên có
3
chữ số đôi một khác nhau từ
5
chữ số đã
cho. Tính tổng của các số lập được.
A.
12321
. B.
21312
. C.
12312
. D.
21321
.
Lời giải
Mỗi số số tự nhiên có
3
chữ số đôi một khác nhau từ
5
chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
6
là một chỉnh hợp
chập
3
của các chữ số này. Do đó, ta lập được
3
5
60A =
số.
Do vai trò các số
1
,
2
,
3
,
4
,
6
như nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong các chữ số
này ở mỗi hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm) là như nhau và bằng
60 :5 12=
lần.
Vậy, tổng các số lập được là:
( )( )
12. 1 2 3 4 6 100 10 1S = ++++ + +
21312=
.
Trang 19
Câu 72. Có bao nhiêu số tự nhiên có bẩy chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số
2
đứng liền giữa
hai chữ số
1
và
3
.
A.
3204
số. B.
249
số. C.
2942
số. D.
7440
số.
Lời giải
Vì chữ số
2
đứng liền giữa hai chữ số
1
và
3
nên số cần lập có bộ ba số
123
hoặc
321
.
TH1: Số cần lập có bộ ba số
123
.
Nếu bộ ba số
123
đứng đầu thì số có dạng
123abcd
.
Có
4
7
840
A
=
cách ốn số
a
,
b
,
c
,
d
nên có
4
7
840A =
số.
Nếu bộ ba số
123
không đứng đầu thì số có
4
vị trí đặt bộ ba số
123
.
Có
6
cách chọn số đứng đầu và có
3
6
120
A =
cách a số
b
,
c
,
d
.
Theo quy tắc nhân có
3
6
6.4. 2880A =
số
Theo quy tắc cộng có
840 2880 3720+=
số.
TH2: Số cần lập có bộ ba số
321
.
Do vai trò của bộ ba số
123
và
321
như nhau nên có
( )
2 840 2880 7440+=
Câu 73. Từ các chữ số
1, 2, 3, 4, 5
có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau nằm trong
khoảng
( )
300;500
A.
24
. B.
25
. C.
23
. D.
22
.
Bài làm
Gọi số cần tìm là
abc
với
{ }
, , 1; 2;3;4;5abc∈
.
Để
( )
300;500abc ∈
thì
3a =
hoặc
4a =
.
Với
3a =
, số cách chọn
,
bc
là
2
4
12
A =
.
Với
4a =
, số cách chọn
,bc
là
2
4
12
A
=
.
Vây số các số lập được là
24
. Chọn đáp án A.
Câu 74. Từ các chữ số
0,1, 2,3,4,5,6
có thể lập được bao nhiêu số có
5
chữ số đôi một khác nhau sao cho
có
3
chữ số chẵn và
2
chữ số lẻ đứng cạnh nhau.
A.
360
. B.
144
. C.
252
. D.
108
.
Lời giải
Giả sử số cần lập có dạng
abcde
, với
{ }
, , , , 0;1; 2; 3; 4; 5; 6abcde∈
.
+ Trường hợp 1:
a
,
b
là hai chữ số lẻ: Có
2
3
6A =
cách chọn
ab
Với mỗi
ab
, có
3
4
24A =
cách chọn
cde
⇒
có
6.24 144=
số thỏa mãn.
+ Trường hợp 2:
d
,
e
là hai chữ số lẻ: Có
2
3
6A =
cách chọn
de
Với mỗi
de
, có
3
cách chọn
a
,
2
3
6A
=
cách chọn
bc
Trang 20
⇒
có
6.3.6 108=
số thỏa mãn.
Vậy có
144 108 252+=
số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử và một số nguyên
k
với
1 kn≤≤
.
Mỗi tập con gồm
k
phần tử được lấy ra từ
n
phần tử của
A
được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
đó.
Ví dụ 1. Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2
chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.
Giải
Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:
{áo vàng; áo xanh
}
, {áo vàng; áo trắng
},{
áo vàng; áo nâu
}
,
{áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.
2. Số các tổ hợp
Nhận xét: Số chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử nhiều gấp
!k
lần số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử đó.
Kí hiệu
k
n
C
là số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử với
1 kn≤≤
. Ta có:
!
k
k
n
n
A
C
k
=
.
Ví dụ 2. Chứng minh
!
!( )!
k
n
n
C
kn k
=
−
với
1 kn≤≤
.
Giải
Ta có:
( 1) ( 1)( ) 2.1 !
( 1) ( 1)
( ) 2.1 ( )!
k
n
nn nk nk n
A nn n k
nk nk
−… −+ − …
= −… −+ = =
−… −
.
Do đó
!
! !( )!
k
k
n
n
A
n
C
k kn k
= =
−
.
Quy ước:
0
0 ! 1; 1
n
C= =
.
Với những quy ước trên, ta có công thức sau:
!
!( )!
k
n
n
C
kn k
=
−
với
0.kn≤≤
Ví dụ 3. Lớp
10 A
có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.
a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?
c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?
Giải
a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có
3
18
C
cách chọn.
b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tố hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có
5
20
C
cách
chọn.
c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là:
35
18 20
816 15504 12651264CC⋅=⋅ =
3. Tính chất của các số
Ta có hai đẳng thức sau:
(0 )
k nk
nn
C C kn
−
= ≤≤
và
1
11
(1 )
kkk
nnn
C C C kn
−
−−
+ = ≤<
.
Bài 3. TỔ HỢP
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Trang 2
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. TỔ HỢP
Câu 1. Chứng minh rằng:
1 11
2
2
k kk k
n nn n
AC C C C
+ −+
+
=++=
Câu 2. Rút gọn:
8 9 10
15 15 15
10
17
2C CC
A
C
++
=
Câu 3. Một bó hoa có 9 bông hoa màu hồng và 5 bông hoa màu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 boonh
hoa thỏa mãn:
a. Có 2 bông màu hồng?
b. Có ít nhất 1 bông màu hồng?
c. Có đủ cả 2 màu?
Câu 4. Một lớp 50 học sinh, có 30 nữ. Cô giáo muốn lấy ra 5 học sinh để lập thành một đội văn nghệ. Hỏi
cô có bao nhiêu cách chọn nếu:
a. Chọn bất kỳ?
b. Có hai học sinh nam?
c. Có ít nhất 1 bạn nam?
Câu 5. Một hình đa giác đều gồm 20 cạnh. Hỏi có thể lập được
a. Bao nhiêu hình chữ nhật từ các đỉnh của đa giác trên?
b. Bao nhiêu hình tam giác từ các đỉnh của tam giác trên?
c. Bao nhiêu đường chéo?
Câu 6. Một tổ có
15
học sinh, thầy giáo có
3
đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn
5
học sinh cho mỗi đề
kiểm tra. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách?
DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
Câu 7. Rút gọn:
5 67
2 15 15 15
7
17
2
n
k
n nk
P C CC
B
A .P C
+
−
++
= +
Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ các số
012345678,,,,,,,,
. Trong đó chữ số 3 có
mặt đúng 2 lần. Các chữ số khác có mặt 1 lần?
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. TỔ HỢP
Câu 1. Cho tập hợp
M
có
10
phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của
M
là
A.
2
10
C
B.
2
10
C.
8
10
A
D.
2
10
A
Câu 2. Cho tập hợp
M
có
30
phần tử. Số tập con gồm
5
phần tử của
M
là
A.
4
30
A
. B.
5
30
. C.
5
30
. D.
5
30
C
.
Câu 3. Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là
A.
3
7
C
. B.
7!
3!
. C.
3
7
A
. D.
21
.
Câu 4. Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9M =
. Số tập con gồm 3 phần tử của
M
không có số
0
là:
A.
3
10
A
. B.
3
9
A
. C.
3
10
C
. D.
3
9
C
.
Trang 3
Câu 5. Cho tập hợp
M
có
30
phần tử. Số tập con gồm
5
phần tử của
M
là
A.
5
30
C
. B.
5
30
A
. C.
5
30
. D.
4
30
A
.
Câu 6. Có bao nhiêu tập con gồm
3
phần tử được lấy ra từ tập
{ }
;;; ;;A abcde f=
?
A.
10
. B.
80
. C.
40
. D.
20
.
Câu 7. Cho tập
M
gồm
10
phần tử. Số tập con gồm
4
phần tử của M là
A.
40
. B.
4
10
A
. C.
4
10
C
. D.
4
10
.
Câu 8. Cho tập hợp
E
có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp
E
?
A.
100
. B.
80
. C.
45
. D.
90
.
Câu 9. Cho tập
A
gồm
12
phần tử. Số tập con có
4
phần tử của tập A là
A.
8
12
A
. B.
4
12
C
. C.
4!
. D.
4
12
A
.
Câu 10. Cho tập hợp
E
có
10
phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có
8
phần tử của tập hợp
E
?
A.
100
. B.
90
. C.
45
. D.
80
.
Câu 11. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng
abc
với
a
,
b
,
c
{ }
0;1; 2;3;4;5;6∈
sao cho
abc<<
.
A.
120
. B.
30
. C.
40
. D.
20
.
Câu 12. Từ các chữ số
2
,
3
,
4
lập được bao nhiêu số tự nhiên có
9
chữ số, trong đó chữ số
2
có mặt
2
lần, chữ số
3
có mặt
3
lần, chữ số
4
có mặt
4
lần?
A.
1260
. B.
40320
. C.
120
. D.
1728
.
Câu 13. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà
chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục?
A.
48
. B.
72
. C.
54
. D.
36
.
Câu 14. Từ các chữ số
0
;
1
;
2
;
3
;
4
;
5
;
6
;
7
;
8
;
9
, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có
4
chữ số khác nhau mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng trước?
A.
4536
. B.
2513
. C.
126
. D.
3913
.
Câu 15. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là
A.
5
2
. B.
2
5
C
. C.
2
5
A
. D.
2
5
.
Câu 16. Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là
A.
2
6
A
. B.
2
6
C
. C.
6
2
. D.
2
6
.
Câu 17. Số cách chọn
2
học sinh từ
7
học sinh là
A.
7
2
. B.
2
7
A
. C.
2
7
C
. D.
2
7
.
Câu 18. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm
38
học sinh?
A.
38
2
B.
2
38
C
C.
2
38
D.
2
38
A
Câu 19. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm
34
học sinh?
A.
34
2
. B.
2
34
A
. C.
2
34
. D.
2
34
C
.
Câu 20. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm
38
học sinh?
A.
2
38
A
. B.
38
2
. C.
2
38
C
. D.
2
38
.
Câu 21. Cho tập hợp
M
có
10
phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của
M
là
A.
2
10
C
B.
2
10
C.
8
10
A
D.
2
10
A
Câu 22. Một lớp có
48
học sinh. Số cách chọn
2
học sinh trực nhật là
A.
2256
. B.
2304
. C.
1128
. D.
96
.
Trang 4
Câu 23. Cần phân công ba bạn từ một tổ có
10
bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
khác nhau?
A.
720
. B.
3
10
. C.
120
. D.
210
.
Câu 24. Một hộp đựng hai viên bi màu vàng và ba viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu cách lấy ra hai viên bi
trong hộp?
A.
10
. B.
20
. C.
5
. D.
6
.
Câu 25. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng
toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?
A.
2300.
B.
59280.
C.
455
D.
9880.
Câu 26. Một hộp đựng
50
viên bi gồm 10 viên bi màu trắng, 25 viên bi màu đỏ và 15 viên bi màu xanh.
Có bao nhiêu cách chọn 8 viên bi trong hộp đó mà không có viên bi nào màu xanh?
A.
8
50
C
. B.
88
10 25
CC+
. C.
8
35
C
. D.
88
50 15
CC−
.
Câu 27. Số cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao động là
A.
12
P
. B.
36
. C.
3
12
A
. D.
3
12
C
.
Câu 28. Có tất cả bao nhiêu cách chia
10
người thành hai nhóm, một nhóm có
6
người và một nhóm có
4
người?
A.
210
. B.
120
. C.
100
. D.
140
.
Câu 29. Trong một đa giác lồi
n
cạnh, số đường chéo của đa giác là.
A.
2
n
C
. B.
2
n
A
. C.
2
n
An−
. D.
2
n
Cn−
.
Câu 30. Cho một đa giác đều có
10
cạnh. Có bao nhiêu tam giác có
3
đỉnh thuộc các đỉnh của đa giác đã
cho.
A.
720
. B.
35
. C.
120
. D.
240
.
Câu 31. Cho
8
điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của
nó được chọn từ
8
điểm trên ?
A.
336
. B.
56
. C.
168
. D.
84
.
Câu 32. Số đường chéo của đa giác đều có
2 0
cạnh là bao nhiêu?
A.
170
. B.
190
. C.
360
. D.
380
.
Câu 33. Lục giác đều
ABCDEF
có bao nhiêu đường chéo
A.
15
. B.
5
. C.
9
. D.
24
.
Câu 34. Số giao điểm tối đa của
10
đường thẳng phân biệt là
A.
50
. B.
100
. C.
120
. D.
45
.
Câu 35. Trong mặt phẳng cho tập hợp
P
gồm
10
điểm phân biệt trong đó không có
3
điểm nào thẳng
hàng. Số tam giác có
3
điểm đều thuộc
P
là
A.
3
10
. B.
3
10
A
. C.
3
10
C
. D.
7
10
A
.
Câu 36. Cho đa giác đều có
20
đỉnh. Số tam giác được tạo nên từ các đỉnh này là
A.
3
20
A
. B.
3
20
3!C
. C.
3
10
. D.
3
20
C
.
Câu 37. Cho
20
điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành
từ các điểm này?
A.
8000.
B.
6480.
C.
1140.
D.
600.
Câu 38. Trong không gian cho
20
điểm trong đó không có
4
điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hỏi có bao nhiêu cách tạo mặt phẳng từ
3
điểm trong
20
điểm trên?
A.
190
. B.
6840
. C.
380
. D.
1140
.
Trang 5
Câu 39. Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm O?
A.
4
12
C
. B. 3. C. 4!. D.
4
12
A
.
Câu 40. Cho đa giác đều có
2018
đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có
4
đỉnh là các đỉnh của đa giác
đã cho?
A.
4
2018
C
. B.
4
1009
C
. C.
2
2018
C
. D.
2
1009
C
.
Câu 41. Trong mặt phẳng, cho
6
điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập
được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
A.
3
6
. B.
4
3
. C.
3
6
A
. D.
3
6
C
.
Câu 42. Số cách chia
12
phần quà cho
3
bạn sao cho ai cũng có ít nhất hai phần quà là
A.
28
. B.
36
. C.
56
. D.
72
.
Câu 43. Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó
có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
A.
32
10 8
CC
. B.
32
10 8
AA
. C.
32
10 8
+
AA
. D.
32
10 8
+CC
.
Câu 44. Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó
có cả nam và nữ.
A.
6
. B.
16
. C.
20
. D.
32
.
Câu 45. Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập, người ta tạo thành các đề
thi. Biết rằng một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất một câu lí thuyết và 1 câu bài tập. Hỏi có thể
tạo được bao nhiêu đề khác nhau.
A.
100
. B.
36
. C.
96
. D.
60
.
Câu 46. Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu cách lập từ đó một tổ công tác 5 người
gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên:
A. 420 cách. B. 120 cách. C. 252 cách. D. 360 cách.
Câu 47. Cô giáo chia
4
quả táo,
3
quả cam và
2
quả chuối cho
9
cháu (mỗi cháu
1
quả). Hỏi có bao
nhiêu cách chia khác nhau?
A.
120
. B.
1260
. C.
9
. D.
24
.
Câu 48. Tại một buổi lễ có
13
cặp vợ chồng tham dự, mỗi ông bắt tay với một người trừ vợ mình, các bà
không ai bắt tay nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay.
A.
234
. B.
312
. C.
78
. D.
185
.
Câu 49. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách chọn là
A.
48
. B.
46
. C.
15
. D.
64
.
Câu 50. Một lớp học có
30
học sinh gồm
20
nam,
10
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm
3
học
sinh sao cho nhóm đó có ít nhất
1
học sinh là nữ.
A.
1140
. B.
2920
. C.
1900
. D.
900
.
Câu 51. Một hộp chứa
20
quả cầu khác nhau trong đó có
12
quả đỏ,
8
quả xanh. Hỏi có bao nhiêu cách
lấy được
3
quả trong đó có ít nhất
1
quả xanh?
A. Đáp án khác. B.
220
. C.
900
. D.
920
.
Câu 52. Từ một tập gồm
10
câu hỏi, trong đó có
4
câu lý thuyết và
6
câu bài tập, người ta cấu tạo thành
các đề thi. Biết rằng trong một đề thi phải gồm
3
câu hỏi trong đó có ít nhất
1
câu lý thuyết và
1
câu hỏi bài
tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên?
A.
60
. B.
96
. C.
36
. D.
100
.
Trang 6
Câu 53. Ngân hàng đề thi gồm
15
câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và
8
câu hỏi tự luận khác nhau. Hỏi có
thể lập được bao nhiêu đề thi sao cho mỗi đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và
4
câu hỏi tự luận
khác nhau.
A.
10 4
15 8
.CC
. B.
10 4
15 8
CC+
. C.
10 4
15 8
.AA
. D.
10 4
15 8
AA
+
.
Câu 54. Một lớp có
40
học sinh gồm
25
nam và
15
nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn
4
em trực cờ
đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất phải có một nam?
A.
44
40 15
CC−
(cách). B.
4
25
C
(cách). C.
13
25 15
CC
(cách). D.
44
40 15
CC+
(cách).
Câu 55. Trong một buổi khiêu vũ có
20
nam và
18
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để
khiêu vũ?
A.
2
38
C
. B.
2
38
A
. C.
21
20 18
CC
. D.
11
20 18
CC
.
Câu 56. Một nhóm gồm
6
học sinh nam và
7
học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra
3
học
sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam.
A.
245
. B.
3480
. C.
336
. D.
251
.
Câu 57. Có
10
quyển sách toán giống nhau,
11
quyển sách lý giống nhau và
9
quyển sách hóa giống
nhau. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng cho
15
học sinh có kết quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử
lần hai của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần thưởng là hai quyển sách khác loại?
A.
73
15 9
CC
. B.
64
15 9
CC
. C.
34
15 9
CC
. D.
2
30
C
.
Câu 58. Có 6 học sinh lớp 12, 5 học sinh lớp 11 và 4 học sinh lớp 10. Số cách chọn ra ra 4 học sinh có đủ
cả ba khối là
A. 1365. B. 720. C. 280. D. 120.
Câu 59. Đội ca khúc chính trị của trường THPT Yên lạc
2
gồm có
4
học sinh khối
12
, có
3
học sinh
khối
11
và
2
học sinh khối
10
. Chọn ngẫu nhiên
5
học sinh để biểu diễn tiết mục văn nghệ chào mừng
ngày
20 /11
. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho khối nào cũng có học sinh được chọn.
A.
102.
B.
126.
C.
100.
D.
98.
Câu 60. Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có
đủ cả ba màu. Số cách chọn là:
A.
840
B.
3843
C.
2170
D.
3003
Câu 61. Từ
20
câu trắc nghiệm gồm
9
câu dễ, 7 câu trung bình và
4
câu khó.người ta chọn ra
10
câu để
làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ
3
loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra?
A.
176451
. B.
176465
. C.
176415
. D.
6415
.
Câu 62. Đội thanh niên xung kích của một trường trung học phổ thông có
10
người, gồm
4
học sinh lớp
A
,
3
học sinh lớp
B
,
3
học sinh lớp
C
. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
5
học sinh đi làm nhiệm vụ mà số
học sinh lớp
B
bằng số học sinh lớp
C
?
A. 36. B. 72. C. 144. D. 108.
Câu 63. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách lập ra một đội văn nghệ
gồm 6 người, trong đó có ít nhất 4 nam?
A.
412.803.
B.
2.783.638.
C.
5.608.890.
D.
763.806.
Câu 64. Một bó hoa có 14 bông hoa gồm: 3 bông màu hồng, 5 bông màu xanh còn lại là màu vàng. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn 7 bông trong đó phải có đủ ba màu?
A.
3058
. B.
3060
. C.
3432
. D.
129
.
Câu 65. Một hộp đựng
26
tấm thẻ được đánh số từ
1
đến
26
. Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng lúc
3
tấm thẻ.
Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm
thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị.
A.
1771
. B.
1350
. C.
1768
. D.
2024
.
Trang 7
Câu 66. Một hộp chứa
16
quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ
1
đến
6
, năm quả cầu đỏ đánh số từ
1
đến
5
và năm quả cầu vàng đánh số từ
1
đến
5
. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó ba quả cầu vừa
khác màu vừa khác số?
A.
60
. B.
72
. C.
150
. D.
80
.
Câu 67. Trong hộp có
5
quả cầu đỏ và
7
quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên
5
quả cầu
từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.
A.
245
. B.
3480
. C.
246
. D.
3360
.
Câu 68. Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có
8
giáo viên Toán gồm có
3
nữ và
5
nam, giáo viên Vật
lý thì có
4
giáo viên nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG gồm
3
người có đủ
2
môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn?
A.
60
(cách). B.
120
(cách). C.
12960
(cách). D.
90
(cách).
Câu 69. Đội văn nghệ của nhà trường gồm
4
học sinh lớp 12A,
3
học sinh lớp 12B và
2
học sinh lớp
12C. Chọn ngẫu nhiên
5
học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
A.
120
. B.
98
. C.
150
. D.
360
.
Câu 70. Trong kho đèn trang trí đang còn
5
bóng đèn loại I,
7
bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác
nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra
5
bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại
I nhiều hơn số bóng đèn loại II?
A.
246
. B.
3480
. C.
245
. D.
3360
.
Câu 71. Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho
3
người sao cho có một người được 2 đồ vật và
hai người còn lại mỗi người được ba đồ vật?
A.
23
86
3!
CC
. B.
23
86
CC
. C.
23
86
AA
. D.
23
86
3CC
.
Câu 72. Một tổ có
5
học sinh nữ và
6
học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên
5
học sinh của tổ trong đó
có cả học sinh nam và học sinh nữ là?
A.
545
. B.
462
. C.
455
. D.
456
.
Câu 73. Có
15
học sinh giỏi gồm
6
học sinh khối
12
,
4
học sinh khối
11
và
5
học sinh khối
10
. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra
6
học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất
1
học sinh?
A.
4249
. B.
4250
. C.
5005
. D.
805
.
Câu 74. Bình A chứa
3
quả cầu xanh,
4
quả cầu đỏ và
5
quả cầu trắng. Bình B chứa
4
quả cầu xanh,
3
quả cầu đỏ và
6
quả cầu trắng. Bình C chứa
5
quả cầu xanh,
5
quả cầu đỏ và
2
quả cầu trắng. Từ mỗi bình
lấy ra một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để cuối cùng được
3
quả có màu giống nhau.
A.
180
. B.
150
. C.
120
. D.
60
.
Câu 75. Tổ
1
lớp 11A có
6
học sinh nam và
5
học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra
4
học sinh
của tổ
1
để lao động vệ sinh cùng cả trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
4
học sinh trong đó có ít nhất một
học sinh nam?
A.
600
. B.
25
. C.
325
. D.
30
.
Câu 76. Một tổ có
5
bạn học sinh nam và
6
bạn học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên
3
em đi trực
nhật.Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để có cả nam và nữ?
A.
325
. B.
415
. C.
810
. D.
135
.
Câu 77. Có hai đường thẳng song song
( )
d
và
( )
d
′
. Trên
( )
d
lấy 15 điểm phân biệt, trên
( )
d
′
lấy 9
điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu?
A.
1485
. B.
540
. C.
1548
. D.
950
.
Câu 78. Cho đa giác đều
36
đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là
4
trong
36
đỉnh của đa giác
đều?
Trang 8
A.
306
. B.
153
. C.
9
. D.
58905
.
Câu 79. Trên đường tròn tâm
O
cho
12
điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm
O
?
A.
4
12
C
. B.
3
. C.
4!
. D.
4
12
A
.
Câu 80. Cho hai đường thẳng
1
d
và
2
d
song song với nhau. Trên
1
d
lấy
5
điểm phân biệt, trên
2
d
lấy
7
điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng
1
d
và
2
d
.
A.
220
. B.
175
. C.
1320
. D.
7350
.
Câu 81. Cho hình vuông
ABCD
. Trên cạnh
AB
,
BC
,
CD
,
DA
lần lượt lấy
1
,
2
,
3
và
n
điểm phân
biệt
3
n ≥
( )
n ∈
khác
A
,
B
,
C
,
D
. Tìm
n
biết số tam giác lấy từ
6n +
điểm trên là
439
.
A.
20.n
=
B.
12.n =
C.
8.n
=
D.
10.n =
Câu 82. Cho một đa giác lồi (H) có 10 cạnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó là ba đỉnh của
(H), nhưng ba cạnh không phải ba cạnh của (H)?
A. 40. B. 100. C. 60. D. 50.
Câu 83. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấy 20 điểm phân biệt. Trên đường
thẳng thứ hai ta lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ ba điểm trong các điểm
nói trên?
A.
22
20 18
18 20
CC+
. B.
33
18 20
20 18CC+
. C.
3
38
C
. D.
33
20 18
.CC
.
Câu 84. Cho một đa giác đều 40 đỉnh
1 2 40
...AA A
nội tiếp đường tròn
( )
O
. Số tam giác có các đỉnh là 3
trong 40 đỉnh trên gấp bao nhiêu lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 40 đỉnh trên?
A.
20.
B.
4
37
. C.
52
. D.
40
.
Câu 85. Có hai đường thẳng song song
(
)
d
và
( )
d
′
. Trên
( )
d
lấy 15 điểm phân biệt, trên
( )
d
′
lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu?
A.
1485
. B.
540
. C.
1548
. D.
950
.
Câu 86. Cho một tam giác, trên ba cạnh của nó lấy
9
điểm như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu tam giác có ba
đỉnh thuộc
9
điểm đã cho?
A.
79
. B.
48
. C.
55
. D.
24
.
Câu 87. Cho một đa giác đều
n
đỉnh
( )
2,nn≥∈
. Tìm
n
biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh
trong số
2n
đỉnh của đa giác đó là
45
.
A.
12n =
. B.
10n =
. C.
9n =
. D.
45n =
.
C
3
C
2
C
1
B
2
B
1
A
4
A
3
A
2
A
1
Trang 9
Câu 88. Cho đa giác đều
1 2 3 30
.AA A A
…
nội tiếp trong đường tròn
( )
O
. Tính số hình chữ nhật có các đỉnh
là
4
trong
30
đỉnh của đa giác đó.
A.
105
. B.
27405
. C.
27406
. D.
106
.
Câu 89. Cho đa giác đều
100
nội tiếp một đường tròn. Số tam giác từ được tạo thành từ
3
trong
100
đỉnh
của đa giác là:
A.
44100
. B.
78400
. C.
117600
. D.
58800
.
Câu 90. Một đa giác lồi có 10 cạnh, xét các tam giác mà 3 đỉnh là đỉnh của đa giác. Hỏi trong số các tam
giác này có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh đều không phải là cạnh của đa giác?
A.
60
. B.
70
. C.
120
. D.
50
.
Câu 91. Trên mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác
cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao
điểm nói trên.
A.
2017.2018.
B.
44
2017 2018
.
CC+
C.
22
2017 2018
..CC
D.
2017 2018.+
Câu 92. Cho đa giác lồi có
40
cạnh. Mỗi đoạn thẳng đi qua hai đỉnh bất kì của nó mà không phải là cạnh
được gọi là một đường chéo của nó. Số giao điểm nằm bên trong đa giác (không trùng với đỉnh) được tạo ra
do các đường chéo của nó cắt nhau nhiều nhất là bao nhiêu?
A.
91390
. B.
273430
. C.
740
. D.
1520
.
Câu 93. Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt trong đó có 2 chữ
số lẻ và 2 chữ số chẵn?
A. 144. B. 432. C. 696. D. 840.
Câu 94. Từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6
lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5
chữ số đôi một khác nhau trong
đó luôn có mặt hai chữ số
1
và
6.
A.
408.
B.
720.
C.
480.
D.
120.
Câu 95. Từ các chữ số của tập hợp
{ }
0;1; 2;3;4;5
, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5
chữ số đôi
một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số
0
?
A.
120
. B.
504
. C.
720
. D.
480
.
DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
Câu 96. Có bao nhiêu số tự nhiên có
2018
chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng
5
?
A.
1 2 234
2017 2017 2017 2017 2017
1 4 2017 2C C ACC+ + + ++
.
B.
2 345
2018 2018 2018 2018
12 2C CCC
++++
.
C.
2 345
2018 2018 2018 2017
12 2A AAC
+ + ++
.
D.
( ) ( )
2 22 33 4
2018 2017 2017 2017 2017 2017
12 2A CA CA C++ ++++
.
Câu 97. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số
0
, không có hai chữ số
0
nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.
A.
786240
. B.
846000
. C.
907200
. D.
151200
.
Câu 98. Từ các chữ số của tập
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7
A =
lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong
đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số còn lại đôi một khác nhau?
A. 31203. B. 12600. C. 181440. D. 27000
Câu 99. Một nhóm
6
bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua
6
vé gồm
3
vé mang số ghế
chẵn,
3
vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong sáu bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế
chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để
thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?
A.
36
. B.
180
. C.
72
. D.
18
.
Trang 10
Câu 100. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số
0
, không có hai chữ số
0
nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.
A.
786240
. B.
846000
. C.
907200
. D.
151200
.
Câu 101. Từ tập
{ }
1; 2;3; 4;5A =
có thể lập được bao nhiêu số có
8
chữ số sao cho chữ số
2
xuất hiện
4
lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần.
A.
120
. B.
840
. C.
576
. D.
1680
.
Câu 102. Có
5
tem thư khác nhau và
6
bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó
3
tem thư,
3
bì
thư và dán
3
tem thư đó ấy lên
3
bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm
như vậy?
A. 1200. B. 1800. C. 1000. D. 200.
Câu 103. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa có khác nhau vào 5 lọ khác nhau sao cho mỗi lọ cắm không
quá một bông?
A.
3
5
A
. B.
3!
. C.
3
5
C
. D.
2
5
A
.
Câu 104. Có
6
học sinh và
3
thầy giáo
A
,
B
,
C
. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ
9
người đó ngồi trên
một hàng ngang có
9
chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh.
A.
4320
. B.
90
. C.
43200
. D.
720
.
Câu 105. Một nhóm
6
bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua
6
vé gồm
3
vé mang số ghế
chẵn,
3
vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong
6
bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế
chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để
thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?
A.
72
. B.
36
. C.
18
. D.
180
.
Câu 106. Có bao nhiêu cách chia hết
4
đồ vật khác nhau cho
3
người, biết rằng mỗi người nhận được ít
nhất
1
đồ vật.
A.
36
B.
18
C.
12
D.
72
Câu 107. Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải
tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách
còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng.
A. 24412 B. 23314. C. 32512. D. 24480.
Câu 108. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số
0
, không có hai chữ số
0
nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.
A.
786240
. B.
846000
. C.
907200
. D.
151200
.
Câu 109. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân
công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ?
A. 12141421. B. 5234234. C. 4989600. D. 4144880
Câu 110. Có hai học sinh lớp
,A
ba học sinh lớp
B
và bốn học sinh lớp
C
xếp thành một hàng ngang sao
cho giữa hai học sinh lớp
A
không có học sinh nào lớp
.B
Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ?
A.
80640
. B.
108864
. C.
145152
. D.
217728
.
Câu 111. Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành
một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập
đội cờ đỏ.
A. 141666. B. 241561. C. 111300. D. 131444.
Câu 112. Ông và bà An cùng có
6
đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp
hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng:
A.
720
. B.
1440
. C.
18720
. D.
40320
.
Trang 11
Câu 113. Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ.
Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình
vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu
cách tô màu bảng?
A.
4374
. B.
139968
. C.
576
. D.
15552
.
Câu 114. Cho đa giác đều
2018
đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc
lớn hơn
100°
?
A.
3
897
2018.
C
. B.
3
1009
C
. C.
3
895
2018.C
. D.
3
896
2018.C
.
Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử và một số nguyên
k
với
1 kn≤≤
.
Mỗi tập con gồm
k
phần tử được lấy ra từ
n
phần tử của
A
được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
đó.
Ví dụ 1. Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2
chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.
Giải
Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:
{áo vàng; áo xanh
}
, {áo vàng; áo trắng
},{
áo vàng; áo nâu
}
,
{áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.
2. Số các tổ hợp
Nhận xét: Số chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử nhiều gấp
!k
lần số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử đó.
Kí hiệu
k
n
C
là số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử với
1 kn≤≤
. Ta có:
!
k
k
n
n
A
C
k
=
.
Ví dụ 2. Chứng minh
!
!( )!
k
n
n
C
kn k
=
−
với
1 kn≤≤
.
Giải
Ta có:
( 1) ( 1)( ) 2.1 !
( 1) ( 1)
( ) 2.1 ( )!
k
n
nn nk nk n
A nn n k
nk nk
−… −+ − …
= −… −+ = =
−… −
.
Do đó
!
! !( )!
k
k
n
n
A
n
C
k kn k
= =
−
.
Quy ước:
0
0 ! 1; 1
n
C= =
.
Với những quy ước trên, ta có công thức sau:
!
!( )!
k
n
n
C
kn k
=
−
với
0.kn≤≤
Ví dụ 3. Lớp
10 A
có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.
a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?
c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?
Giải
a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có
3
18
C
cách chọn.
b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tố hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có
5
20
C
cách
chọn.
c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là:
35
18 20
816 15504 12651264CC⋅=⋅ =
3. Tính chất của các số
Ta có hai đẳng thức sau:
(0 )
k nk
nn
C C kn
−
= ≤≤
và
1
11
(1 )
kkk
nnn
C C C kn
−
−−
+ = ≤<
.
Bài 3. TỔ HỢP
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Trang 2
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. TỔ HỢP
Câu 1. Chứng minh rằng:
1 11
2
2
k kk k
n nn n
AC C C C
+ −+
+
=++=
Lời giải
(
) (
)
1 11 11 1
112
2
k kk k k kk k k k
n nn n n nn n n n
AC CC C C CC C C C
+ −+ −+ +
+++
= + + = +++ = + =
Câu 2. Rút gọn:
8 9 10
15 15 15
10
17
2C CC
A
C
++
=
Lời giải
8 9 10 8 9 9 10 9 10 10
15 15 15 15 15 15 15 16 16 17
10 10 10 10
17 17 17 17
2
1
C CC CCCC CC C
A
C C CC
+ + +++ +
= = = = =
Câu 3. Một bó hoa có 9 bông hoa màu hồng và 5 bông hoa màu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 boonh
hoa thỏa mãn:
a. Có 2 bông màu hồng?
b. Có ít nhất 1 bông màu hồng?
c. Có đủ cả 2 màu?
Lời giải
a. Số cách chọn 2 bông hoa màu hồng trong 9 bông hồng:
2
9
C
Số cách chọn 1 bông hoa màu đỏ trong 5 bông màu đỏ: 5
Cách lấy ra 3 bông hoa thỏa mãn có 2 bông màu hông là:
2
9
5 180
.C =
.
b. Số cách chọn không có bông màu hồng là:
3
5
C
Số cách chọn có ít nhất 1 bông màu hồng là:
33
14 5
354CC
−=
.
c. Có hai trường hợp: 2 hồng 1 đỏ hoặc 2 đỏ 1 hồng
Như câu a ta có số cách chọn 2 đỏ 1 hồng là:
2
5
9C
Số cách chọn đủ cả hai màu là:
22
95
5 9 270CC .+=
Câu 4. Một lớp 50 học sinh, có 30 nữ. Cô giáo muốn lấy ra 5 học sinh để lập thành một đội văn nghệ. Hỏi
cô có bao nhiêu cách chọn nếu:
a. Chọn bất kỳ?
b. Có hai học sinh nam?
c. Có ít nhất 1 bạn nam?
Lời giải
a. Có
5
50
2118760C =
cách chọn.
b. Số cách chọn 2 học sinh nam:
2
20
C
Số cách chọn 3 hs nữ còn lại:
3
30
C
Số cách chọn 5hs trong đó có 2 hs nam là:
2
20
C
.
3
30
771400C =
c. Số cách chọn không có bạn nam nào (tất cả 5 hs đều là nữ):
5
30
C
Trang 3
Số cách chọn 5hs trong đó có ít nhất 1 hs nam là:
55
50 30
1976254CC−=
Câu 5. Một hình đa giác đều gồm 20 cạnh. Hỏi có thể lập được
a. Bao nhiêu hình chữ nhật từ các đỉnh của đa giác trên?
b. Bao nhiêu hình tam giác từ các đỉnh của tam giác trên?
c. Bao nhiêu đường chéo?
Lời giải
a. Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo đi qua tâm
O
của đa giác. Ta có
số đường chéo của đa giác đi qua tâm
O
là
10
. Chọn
2
trong
10
đường chéo thì lập được một
hình chữ nhật.
Vậy
2
10
45
C =
hình chữ nhật.
b. Một tam giác có
3
đỉnh không sắp thứ tự nên số tam giác:
3
20
1140C =
.
c. Một đường chéo được tạo thành từ hai điểm và trừ các cạnh của đa giác đó nên số đường chéo:
2
20
20 170C −=
Câu 6. Một tổ có
15
học sinh, thầy giáo có
3
đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn
5
học sinh cho mỗi đề
kiểm tra. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách?
Lời giải
+ Số cách chọn ra
5
hs trong 1 tổ cho đề kiểm tra số
1
là:
5
15
3003C =
+ Khi đó số học sinh còn lại chưa được phát đề kiểm tra là
10
hs
Số cách chọn ra
5
hs trong
10
hs còn lại cho đề kiểm tra số
2
là:
5
10
252C =
+ Có
1
cách chọn cho
5
hs còn lại cho đề kiểm tra số
3
.
Như vậy thầy giáo có:
3003 252 1 750750..=
cách
DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
Câu 7. Rút gọn:
5 67
2 15 15 15
7
17
2
n
k
n nk
P C CC
B
A .P C
+
−
++
= +
Lời giải
(
)
(
)
(
)
( )( )
5 67
2
2 15 15 15
7
17
2
2
1 2 11 3 3
n
k
n nk
n!
P C CC
B n n nn
n!
A .P C
n k!
n k!
+
−
+
++
= + = += + + += + +
−
−
Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ các số
012345678,,,,,,,,
. Trong đó chữ số 3 có
mặt đúng 2 lần. Các chữ số khác có mặt 1 lần?
Lời giải
- Xét TH 1 số
3
đứng đầu, khi đó số
3
thứ
2
có
4
cách chọn và ba vị trí còn lại có
3
8
A
cách chọn
Nếu 1 số 3 đứng đầu thì có:
3
8
4A
cách
- Xét TH 2 không có số
3
đứng đầu tiên, khi đó
+ Có
2
4
C
cách chọn
2
số
3
vào hai vị trí trong
4
vị trí còn lại.
+ Có
7
cách chọn vào vị trí đầu tiên
Trang 4
+ Có
2
7
A
(Chọn
2
số khác vị trí đầu và số
3
) cách chọn vào
2
vị trí còn lại
Nếu không có số
3
đứng đầu thì có
22
47
7.A .A
.
Như vậy có
3 22
8 47
47A C .A+
cách chọn.
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. TỔ HỢP
Câu 1. Cho tập hợp
M
có
10
phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của
M
là
A.
2
10
C
B.
2
10
C.
8
10
A
D.
2
10
A
Lời giải
Chọn A
Mỗi cách lấy ra
2
phần tử trong
10
phần tử của
M
để tạo thành tập con gồm
2
phần tử là một tổ
hợp chập
2
của
10
phần tử
⇒
Số tập con của
M
gồm
2
phần tử là
2
10
C
Câu 2. Cho tập hợp
M
có
30
phần tử. Số tập con gồm
5
phần tử của
M
là
A.
4
30
A
. B.
5
30
. C.
5
30
. D.
5
30
C
.
Lời giải
Chọn D
Số tập con gồm
5
phần tử của
M
chính là số tổ hợp chập
5
của
30
phần tử, nghĩa là bằng
5
30
C
.
Câu 3. Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là
A.
3
7
C
. B.
7!
3!
. C.
3
7
A
. D.
21
.
Lời giải
Chọn A
Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.
Vậy có
3
7
C
tập con cần tìm.
Câu 4. Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9M =
. Số tập con gồm 3 phần tử của
M
không có số
0
là:
A.
3
10
A
. B.
3
9
A
. C.
3
10
C
. D.
3
9
C
.
Lời giải
Mỗi tập con gồm 3 phần tử của
M
không có số
0
là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.
Số tập con gồm 3 phần tử của
M
không có số
0
là:
3
9
C
.
Câu 5. Cho tập hợp
M
có
30
phần tử. Số tập con gồm
5
phần tử của
M
là
A.
5
30
C
. B.
5
30
A
. C.
5
30
. D.
4
30
A
.
Lời giải
Số tập con gồm
5
phần tử của
M
là
5
30
C
.
Câu 6. Có bao nhiêu tập con gồm
3
phần tử được lấy ra từ tập
{ }
;;; ;;A abcde f=
?
A.
10
. B.
80
. C.
40
. D.
20
.
Lời giải
Chọn D
Mỗi tập con tập gồm
3
phần tử được lấy ra từ tập
A
có
6
phần tử là một tổ hợp chập
3
của
6
phần tử.
Trang 5
Vậy số tập con gồm
3
phần tử của
A
là
3
6
20
C
=
tập con.
Câu 7. Cho tập
M
gồm
10
phần tử. Số tập con gồm
4
phần tử của M là
A.
40
. B.
4
10
A
. C.
4
10
C
. D.
4
10
.
Lời giải
Chọn C
Số tập con gồm
4
phần tử của
M
là số cách chọn
4
phần tử bất kì trong
10
phần tử của
M
.
Do đó số tập con gồm
4
phần tử của
M
là
4
10
C
.
Câu 8. Cho tập hợp
E
có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp
E
?
A.
100
. B.
80
. C.
45
. D.
90
.
Lời giải
Chọn C
Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp
E
là một tổ hợp chập 8 của 10. Vậy số tập con có 8 phần tử
của tập hợp
E
là:
8
10
45C =
.
Câu 9. Cho tập
A
gồm
12
phần tử. Số tập con có
4
phần tử của tập A là
A.
8
12
A
. B.
4
12
C
. C.
4!
. D.
4
12
A
.
Lời giải
Chọn B
Theo định nghĩa tổ hợp: “ Giả sử tập
A
có
n
phần tử
( )
1n ≥
. Mỗi tập con gồm
k
phần tử của
A
được gọi là một tổ hợp chập
k
của
n
phần tử đã cho”.
Do đó theo yêu cầu bài toán số tập con có
4
phần tử của tập A là
4
12
C
.
Vậy chọn ý B
Câu 10. Cho tập hợp
E
có
10
phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có
8
phần tử của tập hợp
E
?
A.
100
. B.
90
. C.
45
. D.
80
.
Lời giải
Mỗi tập con có
8
phần tử của tập hợp
E
là một tổ hợp chập
8
của
10
phần tử nên số tập con cần
tìm là
8
10
45C
=
.
Câu 11. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng
abc
với
a
,
b
,
c
{ }
0;1; 2;3;4;5;6
∈
sao cho
abc<<
.
A.
120
. B.
30
. C.
40
. D.
20
.
Lời giải
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng
abc
với
a
,
b
,
c
{ }
0;1; 2;3;4;5;6∈
sao cho
abc<<
nên
a
,
b
,
c
{ }
1; 2;3;4;5;6∈
. Suy ra số các số có dạng
abc
là
3
6
20C =
.
Câu 12. Từ các chữ số
2
,
3
,
4
lập được bao nhiêu số tự nhiên có
9
chữ số, trong đó chữ số
2
có mặt
2
lần, chữ số
3
có mặt
3
lần, chữ số
4
có mặt
4
lần?
A.
1260
. B.
40320
. C.
120
. D.
1728
.
Lời giải
Chọn vị trí cho
2
chữ số
2
có
2
9
C
cách.
Chọn vị trí cho
3
chữ số
3
có
3
7
C
cách.
Chọn vị trí cho
4
chữ số
4
có
4
4
C
cách.
Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là
2
9
C
3
7
C
4
4
C
1260=
số.
Trang 6
Câu 13. Từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà
chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục?
A.
48
. B.
72
. C.
54
. D.
36
.
Lời giải
Cứ hai số được chọn từ trong chín chữ số đã cho chỉ lập được duy nhất một số theo yêu cầu, nghĩa
là ta được một tổ hợp chập
2
của
9
phần tử.
Vậy số các số cần lập là
2
9
36C =
.
Câu 14. Từ các chữ số
0
;
1
;
2
;
3
;
4
;
5
;
6
;
7
;
8
;
9
, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có
4
chữ số khác nhau mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng trước?
A.
4536
. B.
2513
. C.
126
. D.
3913
.
Lời giải
Vì chữ số cần lập mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng trước nên không có chữ số
0
.
Chọn
4
chữ số khác nhau từ các chữ số
1
;
2
;
3
;
4
;
5
;
6
;
7
;
8
;
9
có
4
9
126C =
cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn đó chỉ có duy nhất
1
cách xếp mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng
trước. Do đó có
126
số thỏa mãn đề bài.
Câu 15. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là
A.
5
2
. B.
2
5
C
. C.
2
5
A
. D.
2
5
.
Lời giải
Chọn B
Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. vậy có
2
5
C
cách.
Câu 16. Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là
A.
2
6
A
. B.
2
6
C
. C.
6
2
. D.
2
6
.
Lời giải
Chọn B
Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là:
2
6
C
.
Câu 17. Số cách chọn
2
học sinh từ
7
học sinh là
A.
7
2
. B.
2
7
A
. C.
2
7
C
. D.
2
7
.
Lời giải
Chọn C
Mỗi cách chọn
2
học sinh từ
7
học sinh là một tổ hợp chập
2
của
7
phần tử. Số cách chọn
2
học
sinh từ
7
học sinh là:
2
7
C
.
Câu 18. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm
38
học sinh?
A.
38
2
B.
2
38
C
C.
2
38
D.
2
38
A
Lời giải
Chọn B
Câu 19. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm
34
học sinh?
A.
34
2
. B.
2
34
A
. C.
2
34
. D.
2
34
C
.
Lời giải
Mỗi cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm
34
học sinh là một tổ hợp chập
2
của
34
phần tử
nên số cách chọn là
2
34
C
.
Trang 7
Câu 20. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm
38
học sinh?
A.
2
38
A
. B.
38
2
. C.
2
38
C
. D.
2
38
.
Lời giải
2
38
C
Câu 21. Cho tập hợp
M
có
10
phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của
M
là
A.
2
10
C
B.
2
10
C.
8
10
A
D.
2
10
A
Lời giải
Chọn A
Mỗi cách lấy ra
2
phần tử trong
10
phần tử của
M
để tạo thành tập con gồm
2
phần tử là một tổ
hợp chập
2
của
10
phần tử
⇒
Số tập con của
M
gồm
2
phần tử là
2
10
C
Câu 22. Một lớp có
48
học sinh. Số cách chọn
2
học sinh trực nhật là
A.
2256
. B.
2304
. C.
1128
. D.
96
.
Lời giải
Mỗi cách chọn
2
học sinh trong
48
là một tổ hợp chập
2
của
48
phần tử.
Suy ra số cách chọn là
2
48
1128C =
.
Câu 23. Cần phân công ba bạn từ một tổ có
10
bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
khác nhau?
A.
720
. B.
3
10
. C.
120
. D.
210
.
Lời giải
Số cách phân công là:
3
10
120C =
.
Câu 24. Một hộp đựng hai viên bi màu vàng và ba viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu cách lấy ra hai viên bi
trong hộp?
A.
10
. B.
20
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Số cách lấy ra hai viên bi là
2
5
10=
C
.
Câu 25. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng
toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?
A.
2300.
B.
59280.
C.
455
D.
9880.
Lời giải
Chọn D
Chọn 3 học sinh trong 40 học sinh nên ta có
3
40
9880C =
cách chọn.
Câu 26. Một hộp đựng
50
viên bi gồm 10 viên bi màu trắng, 25 viên bi màu đỏ và 15 viên bi màu xanh.
Có bao nhiêu cách chọn 8 viên bi trong hộp đó mà không có viên bi nào màu xanh?
A.
8
50
C
. B.
88
10 25
CC+
. C.
8
35
C
. D.
88
50 15
CC−
.
Lời giải
Chọn C
Số cách chọn
8
viên bi từ 35 viên bi trắng + đỏ là:
8
35
C
.
Câu 27. Số cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao động là
A.
12
P
. B.
36
. C.
3
12
A
. D.
3
12
C
.
Trang 8
Lời giải
Chọn D
Mỗi cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao động là tổ hợp chập 3 của 12.
Vậy số cách phân học sinh lao động là
3
12
.
C
Câu 28. Có tất cả bao nhiêu cách chia
10
người thành hai nhóm, một nhóm có
6
người và một nhóm có
4
người?
A.
210
. B.
120
. C.
100
. D.
140
.
Lời giải
Số cách phân nhóm
6
người trong
10
người là
6
10
C
. Sau khi phân nhóm
6
người còn lại
4
người
được phân nhóm vào nhóm còn lại. Vậy có
6
10
210
C =
cách.
Câu 29. Trong một đa giác lồi
n
cạnh, số đường chéo của đa giác là.
A.
2
n
C
. B.
2
n
A
. C.
2
n
An−
. D.
2
n
Cn−
.
Lời giải
Số đường chéo của đa giác là
2
n
Cn−
.
Câu 30. Cho một đa giác đều có
10
cạnh. Có bao nhiêu tam giác có
3
đỉnh thuộc các đỉnh của đa giác đã
cho.
A.
720
. B.
35
. C.
120
. D.
240
.
Lời giải
Ta có đa giác đều có
10
cạnh nên đa giác đều có
10
đỉnh.
Mỗi tam giác là một tổ hợp chập
3
của
10
phần tử.
Vậy có
3
10
120C =
tam giác.
Câu 31. Cho
8
điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của
nó được chọn từ
8
điểm trên ?
A.
336
. B.
56
. C.
168
. D.
84
.
Lời giải
Ta có số tam giác tạo thành từ
8
điểm trên là số tổ hợp chập
3
điểm của
8
điểm. Suy ra kết quả
là:
3
8
56C
=
.
Câu 32. Số đường chéo của đa giác đều có
2 0
cạnh là bao nhiêu?
A.
170
. B.
190
. C.
360
. D.
380
.
Lời giải
Số đường chéo của đa giác đều
n
cạnh là
2
n
Cn−
.
Với
20n =
thì
20
2
20 170C −=
.
Câu 33. Lục giác đều
ABCDEF
có bao nhiêu đường chéo
A.
15
. B.
5
. C.
9
. D.
24
.
Lời giải
Số đường chéo của lục giác đều (6 cạnh là) :
2
6
69C −=
Câu 34. Số giao điểm tối đa của
10
đường thẳng phân biệt là
A.
50
. B.
100
. C.
120
. D.
45
.
Lời giải
Số giao điểm tối đa của
10
đường thẳng phân biệt là
.
Trang 9
Câu 35. Trong mặt phẳng cho tập hợp
P
gồm
10
điểm phân biệt trong đó không có
3
điểm nào thẳng
hàng. Số tam giác có
3
điểm đều thuộc
P
là
A.
3
10
. B.
3
10
A
. C.
3
10
C
. D.
7
10
A
.
Lời giải
Với
3
điểm phân biệt không thằng hàng, tạo thành duy nhất
1
tam giác.
Vậy, với
10
điểm phân biệt trong đó không có
3
điểm nào thẳng hàng, số tam giác tạo thành là
3
10
C
.
Câu 36. Cho đa giác đều có
20
đỉnh. Số tam giác được tạo nên từ các đỉnh này là
A.
3
20
A
. B.
3
20
3!C
. C.
3
10
. D.
3
20
C
.
Lời giải
Số tam giác bằng với số cách chọn
3
phần tử trong
20
phần tử. Do đó có
3
20
C
tam giác.
Câu 37. Cho
20
điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành
từ các điểm này?
A.
8000.
B.
6480.
C.
1140.
D.
600.
Lời giải
Chọn C
Chọn
3
điểm từ
20
điểm ta có một tam giác nên số tam giác tạo thành từ
20
điểm đã cho là
3
20
1140.C =
.
Câu 38. Trong không gian cho
20
điểm trong đó không có
4
điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hỏi có bao nhiêu cách tạo mặt phẳng từ
3
điểm trong
20
điểm trên?
A.
190
. B.
6840
. C.
380
. D.
1140
.
Lời giải
Chọn D
Số cách tạo mặt phẳng là
3
20
1140C =
.
Câu 39. Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm O?
A.
4
12
C
. B. 3. C. 4!. D.
4
12
A
.
Lời giải
Chọn A
Ta có: Số cách lấy 4 điểm phân biệt bất kì từ 12 điểm phân biệt trên đường tròn tâm O sẽ là số tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm O được tạo thành. Vậy có
4
12
C
tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O
được tạo thành.
Câu 40. Cho đa giác đều có
2018
đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có
4
đỉnh là các đỉnh của đa giác
đã cho?
A.
4
2018
C
. B.
4
1009
C
. C.
2
2018
C
. D.
2
1009
C
.
Lời giải
Chọn D
Số đường chéo qua tâm là
1009
.
Số hình chữ nhật có
4
đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho bằng số cách lấy hai đường chéo qua
tâm, do đó số hình chữ nhật là
2
1009
C
.
Trang 10
Câu 41. Trong mặt phẳng, cho
6
điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập
được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
A.
3
6
. B.
4
3
. C.
3
6
A
. D.
3
6
C
.
Lời giải
Chọn D
Lấy
3
điểm trong
6
điểm lập thành tam giác có
3
6
C
cách.
Câu 42. Số cách chia
12
phần quà cho
3
bạn sao cho ai cũng có ít nhất hai phần quà là
A.
28
. B.
36
. C.
56
. D.
72
.
Lời giải
+ Chia trước cho mỗi học sinh một phần quà thì số phần quà còn lại là
9
phần quà.
+ Chia
9
phần quà cho
3
học sinh sao cho học sinh nào cũng có ít nhất một phần quà:
Đặt
9
phần quà theo một hàng ngang, giữa các phần quà sẽ có
8
khoảng trống, chọn
2
khoảng
trống trong
8
khoảng trống đó để chia
9
phần quà còn lại thành
3
phần quà mà mỗi phần có ít
nhất một phần quà, có
2
8
C
. Vậy tất cả có
2
8
C 28=
cách chia.
Câu 43. Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó
có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
A.
32
10 8
CC
. B.
32
10 8
AA
. C.
32
10 8
+AA
. D.
32
10 8
+CC
.
Lời giải
Chọn A
Số cách chọn ra 3 học sinh nam từ 10 học sinh nam là:
3
10
C
.
Số cách chọn ra 2 học sinh nữ từ 8 học sinh nữ là:
2
8
C
.
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là:
32
10 8
CC
.
Câu 44. Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó
có cả nam và nữ.
A.
6
. B.
16
. C.
20
. D.
32
.
Lời giải
Chọn B
Chọn 3 học sinh tùy ý từ nhóm 6 học sinh có:
3
6
C
cách.
Chọn 3 học sinh nam từ 4 học sinh nam có:
3
4
C
cách.
Do đó, số cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ là:
33
64
16CC−=
cách.
Câu 45. Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập, người ta tạo thành các đề
thi. Biết rằng một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất một câu lí thuyết và 1 câu bài tập. Hỏi có thể
tạo được bao nhiêu đề khác nhau.
A.
100
. B.
36
. C.
96
. D.
60
.
Lời giải
Chọn C
Trường hợp 1: 2 câu lí thuyết, 1 câu bài tập. Suy ra số đề tạo ra là
21
46
. 36CC
=
(đề)
Trường hợp 2: 1 câu lí thuyết, 2 câu bài tập. Suy ra số đề tạo ra là
12
46
. 60CC =
(đề)
Vậy có thể tạo được số đề khác nhau là:
36 60 96+=
(đề)
Trang 11
Câu 46. Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu cách lập từ đó một tổ công tác 5 người
gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên:
A. 420 cách. B. 120 cách. C. 252 cách. D. 360 cách.
Lời giải
Chọn A
Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng có 3 cách, 1 công nhân làm tổ phó có 7 cách và 3 công nhân làm tổ
viên có
3
6
C
cách.
Vậy số cách lập tổ công tác theo yêu cầu là:
3
6
3 7 420C×× =
cách
Câu 47. Cô giáo chia
4
quả táo,
3
quả cam và
2
quả chuối cho
9
cháu (mỗi cháu
1
quả). Hỏi có bao
nhiêu cách chia khác nhau?
A.
120
. B.
1260
. C.
9
. D.
24
.
Lời giải
Chọn B
Chọn nhóm
4
cháu để được chia táo thì có
4
9
C
(cách). Khi đó có một cách chia táo để mỗi cháu
trong nhóm này được một quả táo.
Chọn nhóm
3
cháu để được chia cam trong các cháu còn lại thì có
3
5
C
(cách). Khi đó có một cách
chia cam để mỗi cháu trong nhóm này được một quả cam.
Còn lại hai cháu và tương ứng có một cách chia cho mỗi cháu một quả chuối.
Số cách chia thỏa mãn bài toán là :
43
95
. .1 1260CC =
(cách).
Câu 48. Tại một buổi lễ có
13
cặp vợ chồng tham dự, mỗi ông bắt tay với một người trừ vợ mình, các bà
không ai bắt tay nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay.
A.
234
. B.
312
. C.
78
. D.
185
.
Lời giải
Chọn A
Số cái bắt tay của
13
cặp vợ chồng không có điều kiện gì là
2
26
325C =
.
Số cái bắt tay của
13
bà vợ với nhau là
2
13
78C =
.
Số cái bắt tay của
13
cặp vợ chồng với nhau (chồng bắt tay với vợ) là
13
.
Số cái bắt tay thỏa mãn yêu cầu bài toán là
325 78 13 234−−=
.
Câu 49. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách chọn là
A.
48
. B.
46
. C.
15
. D.
64
.
Lời giải
Chọn B
Số cách chọn ra
3
người từ
8
người là:
3
8
56C =
Số cách chọn ra
3
người không có nữ là
3
5
10C =
⇒
Số cách chọn ra
3
người trong đó có ít nhất
1
nữ là:
56 10 46
−=
.
Câu 50. Một lớp học có
30
học sinh gồm
20
nam,
10
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm
3
học
sinh sao cho nhóm đó có ít nhất
1
học sinh là nữ.
A.
1140
. B.
2920
. C.
1900
. D.
900
.
Lời giải
Chọn B
Số cách chọn ra
3
học sinh từ
30
học sinh:
3
30
4060C =
(cách).
Số cách chọn ra
3
học sinh nam là:
3
20
1140C =
(cách).
Trang 12
Số cách chọn một nhóm
3
học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất
1
học sinh là nữ:
4060 1140 2920−=
(cách).
Câu 51. Một hộp chứa
20
quả cầu khác nhau trong đó có
12
quả đỏ,
8
quả xanh. Hỏi có bao nhiêu cách
lấy được
3
quả trong đó có ít nhất
1
quả xanh?
A. Đáp án khác. B.
220
. C.
900
. D.
920
.
Lời giải
Chọn D
Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ 20 quả là
3
20
C
.
Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu mà không có quả cầu màu xanh là
3
12
C
.
Vậy số cách lấy ra 3 quả cầu trong đó có ít nhất 1 quả màu xanh là
33
20 12
920
CC−=
(cách).
Câu 52. Từ một tập gồm
10
câu hỏi, trong đó có
4
câu lý thuyết và
6
câu bài tập, người ta cấu tạo thành
các đề thi. Biết rằng trong một đề thi phải gồm
3
câu hỏi trong đó có ít nhất
1
câu lý thuyết và
1
câu hỏi bài
tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên?
A.
60
. B.
96
. C.
36
. D.
100
.
Lời giải
TH1: chọn
2
câu lý thuyết và
1
câu bài tập có:
21
46
.CC
cách.
TH1: chọn
1
câu lý thuyết và
2
câu bài tập có:
12
46
.
CC
cách.
Vậy số cách lập đề thỏa điều kiện bài toán là:
96
cách.
Câu 53. Ngân hàng đề thi gồm
15
câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và
8
câu hỏi tự luận khác nhau. Hỏi có
thể lập được bao nhiêu đề thi sao cho mỗi đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và
4
câu hỏi tự luận
khác nhau.
A.
10 4
15 8
.CC
. B.
10 4
15 8
CC+
. C.
10 4
15 8
.AA
. D.
10 4
15 8
AA+
.
Lời giải
Để lập được được một đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và
4
câu hỏi tự luận khác
nhau ta thực hiện qua
2
giai đoạn.
Giai đoạn 1: Chọn 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau từ
15
câu hỏi trắc nghiệm khác nhau có
10
15
C
cách chọn.
Giai đoạn 2: Chọn
4
câu hỏi tự luận khác nhau từ
8
câu hỏi tự luận khác nhau có
4
8
C
cách chọn.
Theo quy tắc nhân có
10 4
15 8
.CC
cách lập đề thi.
Câu 54. Một lớp có
40
học sinh gồm
25
nam và
15
nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn
4
em trực cờ
đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất phải có một nam?
A.
44
40 15
CC−
(cách). B.
4
25
C
(cách). C.
13
25 15
CC
(cách). D.
44
40 15
CC+
(cách).
Lời giải
Số cách chọn
4
em tùy ý trong lớp:
4
40
C
.
Số cách chọn
4
em nữ trong lớp:
4
15
C
.
Số cách chọn
4
em trong đó ít nhất phải có một nam:
44
40 15
CC−
.
Trang 13
Câu 55. Trong một buổi khiêu vũ có
20
nam và
18
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để
khiêu vũ?
A.
2
38
C
. B.
2
38
A
. C.
21
20 18
CC
. D.
11
20 18
CC
.
Lời giải
Chọn một nam trong
20
nam có
1
20
C
cách.
Chọn một nữ trong
18
nữ có
1
18
C
cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn một đôi nam nữ là
11
20 18
CC
.
Câu 56. Một nhóm gồm
6
học sinh nam và
7
học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra
3
học
sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam.
A.
245
. B.
3480
. C.
336
. D.
251
.
Lời giải
Chọn ra
3
học sinh tham gia văn nghệ trong
13
học sinh tùy ý có
3
13
C
cách.
Chọn ra
3
học sinh tham gia văn nghệ trong
7
học sinh nữ có
3
7
C
cách.
Vậy chọn ra
3
học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có
33
13 7
251CC−=
.
Câu 57. Có
10
quyển sách toán giống nhau,
11
quyển sách lý giống nhau và
9
quyển sách hóa giống
nhau. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng cho
15
học sinh có kết quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử
lần hai của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần thưởng là hai quyển sách khác loại?
A.
73
15 9
CC
. B.
64
15 9
CC
. C.
34
15 9
CC
. D.
2
30
C
.
Lời giải
Có duy nhất một cách chia
30
quyển sách thành
15
bộ, mỗi bộ gồm hai quyển sách khác loại,
trong đó có:
+
4
bộ giống nhau gồm
1
toán và
1
hóa.
+
5
bộ giống nhau gồm
1
hóa và
1
lí.
+
6
bộ giống nhau gồm
1
lí và toán.
Số cách trao phần thưởng cho
15
học sinh được tính như sau:
+ Chọn ra
4
người (trong
15
người) để trao bộ sách toán và hóa
⇒
có
4
15
C
cách.
+ Chọn ra
5
người (trong
11
người còn lại) để trao bộ sách hóa và lí
⇒
có
5
11
C
cách.
+ Còn lại
6
người trao bộ sách toán và lí
⇒
có
1
cách.
Vậy số cách trao phần thưởng là
45 64
15 11 15 9
. . 630630CC CC
= =
(cách).
Câu 58. Có 6 học sinh lớp 12, 5 học sinh lớp 11 và 4 học sinh lớp 10. Số cách chọn ra ra 4 học sinh có đủ
cả ba khối là
A. 1365. B. 720. C. 280. D. 120.
Lời giải
Chọn B
Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối 12, 1 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10 ta có
211
654
CCC
cách.
Trường hợp 2: Chọn 1 học sinh khối 12, 2 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10 ta có
121
65 4
CCC
cách.
Trường hợp 3: Chọn 1 học sinh khối 12, 1 học sinh khối 11, 2 học sinh khối 10 ta có
112
654
CCC
cách.
Vậy ta có số cách chọn thoả mãn là
211 121 112
6 54 65 4 654
720CCC CCC CCC++=
(cách).
Trang 14
Câu 59. Đội ca khúc chính trị của trường THPT Yên lạc
2
gồm có
4
học sinh khối
12
, có
3
học sinh
khối
11
và
2
học sinh khối
10
. Chọn ngẫu nhiên
5
học sinh để biểu diễn tiết mục văn nghệ chào mừng
ngày
20 /11
. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho khối nào cũng có học sinh được chọn.
A.
102.
B.
126.
C.
100.
D.
98.
Lời giải
Chọn D
Số cách chọn
5
học sinh tùy ý là
5
9
126.C =
Số cách chọn
5
học sinh gồm học sinh khối
10
hoặc khối
11
là
5
5
1.C =
Số cách chọn
5
học sinh gồm học sinh khối
11
hoặc khối
12
là
5
7
21.
C =
Số cách chọn
5
học sinh gồm học sinh khối
10
hoặc khối
12
là
5
6
6.C =
Vậy số cách chọn
5
học sinh đủ ba khối là
126 1 21 6 98.−− − =
Câu 60. Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có
đủ cả ba màu. Số cách chọn là:
A.
840
B.
3843
C.
2170
D.
3003
Lời giải
Chọn C
Tổng số có
15
viên bi.
Số cách chọn 5 viên bi tùy ý:
5
15
3003
C =
.
Số cách chọn 5 viên bi chỉ có một màu:
55
67
7CC+=
Số cách chọn 5 viên bi chỉ có một hoặc hai màu(xanh+ đỏ; xanh + vàng; đỏ + vàng):
(Trong số cách chọn này có lặp lại số cách chọn bi một màu)
(
)
5 5 5 55
11 10 9 6 5
833C C C CC+ +− + =
.
Vậy số cách chọn 5 viên bi có đủ cả ba màu là:
3003 840 2170−=
Câu 61. Từ
20
câu trắc nghiệm gồm
9
câu dễ, 7 câu trung bình và
4
câu khó.người ta chọn ra
10
câu để
làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ
3
loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra?
A.
176451
. B.
176465
. C.
176415
. D.
6415
.
Lời giải
Chọn A
Số cách chọn ra
10
câu bất kỳ trong số
20
câu
10
20
C
Số cách chọn ra
10
câu mà không có câu dễ:
10
11
C
Số cách chọn ra
10
câu mà không có câu khó:
10
16
C
Số cách chọn ra
10
câu mà không có câu trung bình:
10
13
C
Như vậy: Số cách chọn ra
10
câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ
3
loại dễ, trung bình và
khó là:
10 10 10 10
20 11 16 13
176451CCCC−−−=
Câu 62. Đội thanh niên xung kích của một trường trung học phổ thông có
10
người, gồm
4
học sinh lớp
A
,
3
học sinh lớp
B
,
3
học sinh lớp
C
. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
5
học sinh đi làm nhiệm vụ mà số
học sinh lớp
B
bằng số học sinh lớp
C
?
A. 36. B. 72. C. 144. D. 108.
Lời giải
Chọn B
Trường hợp 1: Lớp
B
và lớp
C
có
1
học sinh, lớp
A
có
3
học sinh. Khi đó, số cách chọn là
113
334
36CCC⋅⋅ =
.
Trang 15
Trường hợp 2: Lớp
B
và lớp
C
có
2
học sinh, lớp
A
có
1
học sinh. Khi đó, số cách chọn là
221
334
36
CCC
⋅⋅=
.
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách chọn
5
học sinh đi làm nhiệm vụ mà số học sinh lớp
B
bằng
số học sinh lớp
C
là
36 36 72+=
cách.
Câu 63. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách lập ra một đội văn nghệ
gồm 6 người, trong đó có ít nhất 4 nam?
A.
412.803.
B.
2.783.638.
C.
5.608.890.
D.
763.806.
Lời giải
Chọn C
Trường hợp 1: Đội văn nghệ gồm 4 nam, 2 nữ có
42
30 15
.CC
(cách chọn).
Trường hợp 2: Đội văn nghệ gồm 5 nam, 1 nữ có
51
30 15
.CC
(cách chọn).
Trường hợp 3: Đội văn nghệ gồm 6 nam, 0 nữ có
6
30
C
(cách chọn).
Vậy có tổng cộng:
42 51 6
30 15 30 15 30
. . 5.608.809CC CC C
+ +=
cách lập thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 64. Một bó hoa có 14 bông hoa gồm: 3 bông màu hồng, 5 bông màu xanh còn lại là màu vàng. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn 7 bông trong đó phải có đủ ba màu?
A.
3058
. B.
3060
. C.
3432
. D.
129
.
Lời giải
Chọn A
Chọn 7 bông bất kì từ 14 bông có:
7
14
3432C =
cách.
Chọn hai màu hồng, xanh có
34 25
35 35
. .8CC CC+=
cách.
Chọn hai màu hồng, vàng có
34 25 16
36 3 6 36
. . . 36CC C C CC++=
cách.
Chọn hai màu xanh, vàng có
52 43 34 25 16
56 56 56 56 56
. . . . . 330
CC CC CC CC CC++++=
cách.
Vậy có
( )
3432 8 36 330 3058−+ + =
cách
Câu 65. Một hộp đựng
26
tấm thẻ được đánh số từ
1
đến
26
. Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng lúc
3
tấm thẻ.
Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm
thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị.
A.
1771
. B.
1350
. C.
1768
. D.
2024
.
Lời giải
Chọn D
Chọn ra
3
tấm thẻ bất kì từ
26
tấm thẻ có
3
26
C
cách.
Chọn ra
3
tấm thẻ ghi số liên tiếp có
24
cách.
Chọn ra
3
tấm thẻ trong đó có đúng
2
tấm thẻ ghi số liên tiếp:
2.23 23.22 552+=
cách.
Số cách chọn ra
3
tấm thẻ thỏa yêu cầu bài toán là
3
26
24 552 2024C −− =
.
Giải thích: Nếu chọn được
2
số liên tiếp là
1, 2
hoặc
25,26
thì có
23
cách chọn
1
số thứ ba.
Nếu chọn được hai số liên tiếp khác cặp số trên thì có
22
cách chọn
1
số thứ ba.
Câu 66. Một hộp chứa
16
quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ
1
đến
6
, năm quả cầu đỏ đánh số từ
1
đến
5
và năm quả cầu vàng đánh số từ
1
đến
5
. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó ba quả cầu vừa
khác màu vừa khác số?
A.
60
. B.
72
. C.
150
. D.
80
.
Lời giải
Chọn D
Số cách chọn ba quả cầu khác màu là
111
655
. . 150CCC=
.
Số cách chọn ba quả cầu khác màu cùng một số là:
5
cách chọn.
Trang 16
Số cách chọn ba quả cầu khác màu nhưng có 2 quả cầu cùng số là:
5.5 5.4 5.4 65++=
.
Vậy có
(
)
150 5 65 80
−+ =
Câu 67. Trong hộp có
5
quả cầu đỏ và
7
quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên
5
quả cầu
từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.
A.
245
. B.
3480
. C.
246
. D.
3360
.
Lời giải
Chọn C
Lấy ngẫu nhiên
5
quả cầu từ hộp
12
quả cầu, để số quả cẩu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh, những
trường hợp có thể xảy ra là
Trường hợp 1:
5
cầu đỏ
Số khả năng:
5
5
1C =
khả năng.
Trường hợp 1:
4
cầu đỏ,
1
cầu xanh
Số khả năng:
41
57
.C 35
C =
khả năng.
Trường hợp 2:
3
cầu đỏ,
2
cầu xanh
Số khả năng:
32
57
.C 210
C
=
khả năng.
Áp dụng quy tắc cộng: có tất cả:
35 210 1 246+ +=
khả năng.
Câu 68. Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có
8
giáo viên Toán gồm có
3
nữ và
5
nam, giáo viên Vật
lý thì có
4
giáo viên nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG gồm
3
người có đủ
2
môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn?
A.
60
(cách). B.
120
(cách). C.
12960
(cách). D.
90
(cách).
Lời giải
Vì chọn ra
3
người mà yêu cầu phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn nên số giáo viên
nữ được chọn chỉ có thể bằng
1
hoặc
2
. Ta xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: Chọn
1
giáo viên nữ: Có
1
3
C
cách. Khi đó:
- Chọn
1
giáo viên nam môn Toán và
1
nam môn Vật lý: Có
11
54
CC
×
cách.
- Chọn
2
giáo viên nam môn Vật lý: Có
2
4
C
cách.
Trường hợp này có
( )
11 1 2
35 4 4
CC C C×+
cách chọn.
* Trường hợp 2: Chọn
2
giáo viên nữ: Có
2
3
C
cách chọn. Khi đó chọn thêm
1
giáo viên nam môn
Vật lý: Có
1
4
C
cách. Trường hợp này có
21
34
CC×
cách chọn.
Vậy tất cả có
( )
11 1 2 2 1
35 4 4 3 4
CC C C C C×+ +×
90=
cách chọn.
Câu 69. Đội văn nghệ của nhà trường gồm
4
học sinh lớp 12A,
3
học sinh lớp 12B và
2
học sinh lớp
12C. Chọn ngẫu nhiên
5
học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
A.
120
. B.
98
. C.
150
. D.
360
.
Lời giải
Số cách chọn ngẫu nhiên
5
học sinh
5
9
C
cách.
Số cách chọn
5
học sinh chỉ có
2
lớp:
555
765
CCC
++
Vậy số cách chọn
5
học sinh có cả
3
lớp là
( )
5 555
9 765
98C CCC− ++ =
.
Câu 70. Trong kho đèn trang trí đang còn
5
bóng đèn loại I,
7
bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác
nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra
5
bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại
I nhiều hơn số bóng đèn loại II?
A.
246
. B.
3480
. C.
245
. D.
3360
.
Trang 17
Lời giải
Có 3 trường hợp xảy ra:
TH1: Lấy được
5
bóng đèn loại I: có
1
cách
TH2: Lấy được
4
bóng đèn loại I,
1
bóng đèn loại II: có
41
57
.CC
cách
TH3: Lấy được
3
bóng đèn loại I,
2
bóng đèn loại II: có
32
57
.CC
cách
Theo quy tắc cộng, có
41 32
57 57
1 . . 246CC CC
++=
cách
Câu 71. Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho
3
người sao cho có một người được 2 đồ vật và
hai người còn lại mỗi người được ba đồ vật?
A.
23
86
3!CC
. B.
23
86
CC
. C.
23
86
AA
. D.
23
86
3
CC
.
Lời giải
Việc chia đồ vật trong bài toán được tiến hành theo các bước sau
- Bước
1
: Chia
8
đồ vật thành
3
nhóm đồ vật nhỏ ( một nhóm có
2
vật, hai nhóm còn lại mỗi nhóm có
3
đồ vật ), có
233 23
863 86
CCC CC=
cách
- Bước
2
: Chia
3
nhóm đồ ở bước
1
cho
3
người,có
3!
cách
Vậy có
23
86
3!CC
cách.
Câu 72. Một tổ có
5
học sinh nữ và
6
học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên
5
học sinh của tổ trong đó
có cả học sinh nam và học sinh nữ là?
A.
545
. B.
462
. C.
455
. D.
456
.
Lời giải
Chọn
5
học sinh bất kỳ từ tổ
11
học sinh có số cách chọn là
5
11
C
.
Số cách chọn
5
học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là
55
56
CC+
.
Số cách chọn ngẫu nhiên
5
học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là
( )
5 55
11 5 6
455
C CC−+=
.
Câu 73. Có
15
học sinh giỏi gồm
6
học sinh khối
12
,
4
học sinh khối
11
và
5
học sinh khối
10
. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra
6
học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất
1
học sinh?
A.
4249
. B.
4250
. C.
5005
. D.
805
.
Lời giải
Số cách chọn
6
học sinh bất kỳ trong
15
học sinh là
6
15
5005C
=
.
Số cách chọn
6
học sinh chỉ có khối
12
là
6
6
1C =
cách.
Số cách chọn
6
học sinh chỉ có khối
10
và
11
là
6
9
84C =
cách.
Số cách chọn
6
học sinh chỉ có khối
10
và
12
là
66
11 6
461CC−=
cách.
Số cách chọn
6
học sinh chỉ có khối
11
và
12
là
66
10 6
209CC−=
cách.
Do đó số cách chọn
6
học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất
1
học sinh là
5005 1 84 461 209 4250−− − − =
cách.
Câu 74. Bình A chứa
3
quả cầu xanh,
4
quả cầu đỏ và
5
quả cầu trắng. Bình B chứa
4
quả cầu xanh,
3
quả cầu đỏ và
6
quả cầu trắng. Bình C chứa
5
quả cầu xanh,
5
quả cầu đỏ và
2
quả cầu trắng. Từ mỗi bình
lấy ra một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để cuối cùng được
3
quả có màu giống nhau.
A.
180
. B.
150
. C.
120
. D.
60
.
Lời giải
Trường hợp 1: Lấy được
3
quả cầu xanh từ
3
bình: Số cách lấy:
111
345
60CCC =
(cách)
Trường hợp 2: Lấy được
3
quả cầu đỏ từ
3
bình: Số cách lấy:
111
435
60CCC =
(cách)
Trang 18
Trường hợp 3: Lấy được
3
quả cầu trắng từ
3
bình: Số cách lấy:
111
562
60
CCC
=
(cách)
Vậy có
60.3 180=
cách lấy được
3
quả cùng màu từ
3
bình.
Câu 75. Tổ
1
lớp 11A có
6
học sinh nam và
5
học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra
4
học sinh
của tổ
1
để lao động vệ sinh cùng cả trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
4
học sinh trong đó có ít nhất một
học sinh nam?
A.
600
. B.
25
. C.
325
. D.
30
.
Lời giải
Trường hợp 1: Chọn
1
nam và
3
nữ.
Trường hợp 2: Chọn
2
nam và
2
nữ.
Trường hợp 3: Chọn
3
nam và
1
nữ.
Trường hợp 4: Chọn
4
nam.
Số cách chọn cần tìm là
1322314
65 65 65 6
325CC CC CC C+ + +=
cách chọn.
Câu 76. Một tổ có
5
bạn học sinh nam và
6
bạn học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên
3
em đi trực
nhật.Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để có cả nam và nữ?
A.
325
. B.
415
. C.
810
. D.
135
.
Lời giải.
Từ
5
bạn học sinh nam và
6
bạn học sinh nữ chọn ngẫu nhiên
3
em có
3
11
C
cách chọn.
Trong số
3
11
C
cách chọn trên xảy ra trường họp sau:
Chỉ có nam có
3
5
C
hoặc chỉ có nữ có
3
6
C
hoặc có cả nam và nữ.
Vậy số cách chọn 3 học sinh để có cả nam và nữ là:
3 33
11 5 6
135
C CC
−−=
.
Câu 77. Có hai đường thẳng song song
( )
d
và
( )
d
′
. Trên
( )
d
lấy 15 điểm phân biệt, trên
( )
d
′
lấy 9
điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu?
A.
1485
. B.
540
. C.
1548
. D.
950
.
Lời giải
Chọn A
Có
12
15 9
. 540CC
=
tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 1 điểm thuộc
( )
d
và 2 điểm thuộc
( )
d
′
.
Có
21
15 9
. 945CC=
tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 2 điểm thuộc
( )
d
và 1 điểm thuộc
( )
d
′
.
Vậy có tất cả
1485
tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 78. Cho đa giác đều
36
đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là
4
trong
36
đỉnh của đa giác
đều?
A.
306
. B.
153
. C.
9
. D.
58905
.
Lời giải
Chọn B
Do đa giác đều
36
đỉnh có
18
đường chéo qua tâm.
Mặt khác cứ
2
đường chéo qua tâm ứng với một hình chữ nhật có
4
đỉnh là đỉnh của đa giác.
Vậy số hình chữ nhật là
2
18
153C =
.
Bài toán tổng quát:
Do đa giác đều
( )
2 ,2nn n∈≥
đỉnh có
n
đường chéo qua tâm.
Mặt khác cứ
2
đường chéo qua tâm ứng với một hình chữ nhật có
4
đỉnh là đỉnh của đa giác.
Vậy số hình chữ nhật là
2
n
C
.
Trang 19
Câu 79. Trên đường tròn tâm
O
cho
12
điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm
O
?
A.
4
12
C
. B.
3
. C.
4!
. D.
4
12
A
.
Lời giải
Chọn A
Chọn đỉnh thứ nhất: có 12 cách chọn.
Chọn đỉnh thứ hai: có 11 cách chọn.
Chọn đỉnh thứ ba: có 11 cách chọn.
Chọn đỉnh thứ tư: có 9 cách chọn.
Vì một tứ giác không kể đến thứ tự của các đỉnh nên số tứ giác được tạo nên:
( )
4
12
12 11 10 9 12 11 10 9 8! 12!
4! 4!8! 4! 12 4 !
C
××× ××××
= = =
−
Câu 80. Cho hai đường thẳng
1
d
và
2
d
song song với nhau. Trên
1
d
lấy
5
điểm phân biệt, trên
2
d
lấy
7
điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng
1
d
và
2
d
.
A.
220
. B.
175
. C.
1320
. D.
7350
.
Lời giải
TH1: Hai đỉnh thuộc
1
d
và một đỉnh thuộc
2
d
: Có
21
57
CC
tam giác.
TH2: Hai đỉnh thuộc
2
d
và một đỉnh thuộc
1
d
: Có
21
75
.CC
tam giác.
Vậy số tam giác được tạo thành là
21 2 1
57 7 5
. 175CC C C+=
.
Câu 81. Cho hình vuông
ABCD
. Trên cạnh
AB
,
BC
,
CD
,
DA
lần lượt lấy
1
,
2
,
3
và
n
điểm phân
biệt
3n ≥
( )
n ∈
khác
A
,
B
,
C
,
D
. Tìm
n
biết số tam giác lấy từ
6
n +
điểm trên là
439
.
A.
20.n =
B.
12.n
=
C.
8.n =
D.
10.
n =
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Do mỗi tam giác được tạo thành từ
3
điểm không thẳng hàng.
Trên cạnh
CD
chọn ra được
3
3
C
bộ
3
điểm thẳng hàng. Trên cạnh
DA
chọn ra được
3
n
C
bộ
3
điểm thẳng hàng. Do đó số tam giác tạo thành là
3 33
63nn
C CC
+
−−
.
Theo giả thiết ta có
33
63
439
n
nn
C CC
+
−−=
. Sử dụng máy tính kiểm tra thấy
10
n =
thỏa mãn điều
kiện đề bài.
Cách 2:
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên
AB
và
BC
là
12
12
.C 1C =
.
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên
AB
và
CD
là
12
13
.C 3C =
.
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên
AB
và
AD
là
12 2
1
.C
nn
CC=
.
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên
BC
và
DC
là
12 21
23 2 3
.C .C 9CC+=
.
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên
BC
và
AD
là
12 21 2 1
22
.C .C 2C 1C
n n nn
CC+=+
.
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên
BC
và
AD
là
12 21 2 1
33
.C .C 3C 3C
n n nn
CC+=+
.
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên
BC
và
AD
là
12 21 2 1
33
.C .C 3C 3C
n n nn
CC+=+
.
Số tam giác tạo thành có
3
đỉnh nằm trên ba cạnh
AB
,
BC
và
CD
là
111
123
6CCC
=
.
Số tam giác tạo thành có
3
đỉnh nằm trên ba cạnh
AB
,
BC
và
DA
là
111 1
12
2
nn
CCC C=
.
Số tam giác tạo thành có
3
đỉnh nằm trên ba cạnh
AB
,
CD
và
DA
là
111 1
13
3
nn
CCC C=
.
Trang 20
Số tam giác tạo thành có
3
đỉnh nằm trên ba cạnh
BC
,
CD
và
DA
là
111 1
23
6
nn
CCC C
=
.
Vậy số tam giác tạo thành là:
2 21 2 1 1 1 1 2 1
1 3 9 2 3 3 6 2 3 6 19 6 15 439
n nnnn nnn n n
C CCCC CCC C C++++ +++++++=++ =
(
)
1
6 15 420
2
nn
n
−
⇔ +=
2
3 12 420 0nn⇔+−=
10
14( )
n
nl
=
⇔
= −
10
n⇔=
.
Câu 82. Cho một đa giác lồi (H) có 10 cạnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó là ba đỉnh của
(H), nhưng ba cạnh không phải ba cạnh của (H)?
A. 40. B. 100. C. 60. D. 50.
Lời giải
Chọn D
Số tam giác được tạo thành từ 10 đỉnh của đa giác lồi (H) là:
3
10
C
.
Xét trường hợp số tam giác chỉ chứa hai cạnh của đa giác, là số tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa
giác. Có 10 tam giác như vậy.
Xét trường hợp số tam giác chứa đúng một cạnh của đa giác, là số tam giác có 2 đỉnh là 2 đỉnh
liên tiếp của đa giác và đỉnh còn lại không kề với hai đỉnh kia. Khi đó, xét một cạnh bất kỳ ta có
1
10 4
C
−
cách chọn đỉnh còn lại của tam giác (trừ hai đỉnh đã chọn và hai đỉnh kề nó). Trường hợp
này có
1
6
10.C
tam giác.
Vậy số tam giác không chứa cạnh của đa giác (H) là:
31
10 6
10 10. 50CC−− =
tam giác.
Câu 83. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấy 20 điểm phân biệt. Trên đường
thẳng thứ hai ta lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ ba điểm trong các điểm
nói trên?
A.
22
20 18
18 20
CC+
. B.
33
18 20
20 18CC+
. C.
3
38
C
. D.
33
20 18
.CC
.
Lời giải
Chọn A
Chọn 2 điểm trên đường thẳng thứ 2 và 1 điểm trên đường thẳng thứ nhất. Số tam giác được tạo
thành từ ba điểm trên là:
2
18
20C
(tam giác).
Chọn 2 điểm trên đường thẳng thứ 1 và 1 điểm trên đường thẳng thứ hai. Số tam giác được tạo
thành từ ba điểm trên là:
2
20
18C
(tam giác).
Vậy số tam giác được tạo thành theo ycbt là:
22
18 20
20 18CC+
.
Câu 84. Cho một đa giác đều 40 đỉnh
1 2 40
...AA A
nội tiếp đường tròn
(
)
O
. Số tam giác có các đỉnh là 3
trong 40 đỉnh trên gấp bao nhiêu lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 40 đỉnh trên?
A.
20.
B.
4
37
. C.
52
. D.
40
.
Lời giải
Chọn C
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 40 đỉnh trên là:
3
40
C
.
Đa giác đều đã cho có 40 đỉnh nên nó có 20 đường chéo đi qua tâm O. Mỗi hình chữ nhật thỏa đề
bài tương ứng với một tổ hợp chập 2 của 20 đường chéo này và ngược lại.
Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong 40 đỉnh của đa giác là:
2
20
C
. Suy ra số tam giác gấp số
hình chữ nhật là:
32
40 20
: 52.CC=
Câu 85. Có hai đường thẳng song song
( )
d
và
( )
d
′
. Trên
( )
d
lấy 15 điểm phân biệt, trên
Trang 21
( )
d
′
lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu?
A.
1485
. B.
540
. C.
1548
. D.
950
.
Lời giải
Chọn A
Có
12
15 9
. 540
CC
=
tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 1 điểm thuộc
( )
d
và 2 điểm thuộc
( )
d
′
.
Có
21
15 9
. 945CC=
tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 2 điểm thuộc
(
)
d
và 1 điểm thuộc
( )
d
′
.
Vậy có tất cả
1485
tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 86. Cho một tam giác, trên ba cạnh của nó lấy
9
điểm như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu tam giác có ba
đỉnh thuộc
9
điểm đã cho?
A.
79
. B.
48
. C.
55
. D.
24
.
Lời giải
Bộ
3
điểm bất kỳ được chọn từ
9
điểm đã cho có
3
9
C
bộ.
Bộ
3
điểm không tạo thành tam giác có
33
34
CC+
bộ.
Vậy số tam giác tạo thành từ
9
điểm đã cho có:
( )
3 33
9 34
79C CC−+=
.
Câu 87. Cho một đa giác đều
n
đỉnh
(
)
2,nn
≥∈
. Tìm
n
biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh
trong số
2n
đỉnh của đa giác đó là
45
.
A.
12n =
. B.
10n =
. C.
9n =
. D.
45n =
.
Lời giải
Do đa giác đều nên đa giác đó nội tiếp trong một đường tròn và có
n
đường chéo đi qua tâm
O
của đường tròn. Chọn 2 đường chéo khác nhau đi qua tâm thì
4
đỉnh của đường chéo cho ta một
hình chữ nhật. Vậy có
2
n
C
hình chữ nhật.
Theo đề bài ta có:
(
)
2
1
45 45 10
2
n
nn
Cn
−
= ⇔ = ⇔=
.
Câu 88. Cho đa giác đều
1 2 3 30
.AA A A…
nội tiếp trong đường tròn
(
)
O
. Tính số hình chữ nhật có các đỉnh
là
4
trong
30
đỉnh của đa giác đó.
A.
105
. B.
27405
. C.
27406
. D.
106
.
Lời giải
Trong đa giác đều
1 2 3 30
.AA A A
…
nội tiếp trong đường tròn
( )
O
cứ mỗi điểm
1
A
có một điểm
i
A
đối xứng với
1
A
qua
O
( )
1 i
AA≠
ta được một đường kính, tương tự với
2
,A
3
,..,
A
30
A
. Có tất cả
15
đường kính mà các điểm là đỉnh của đa giác đều
1 2 3 30
.
AAA A…
. Cứ hai đường kính đó ta được
một hình chữ nhật mà bốn điểm là các đỉnh của đa giác đều: có
2
15
105C =
hình chữ nhật tất cả.
Câu 89. Cho đa giác đều
100
nội tiếp một đường tròn. Số tam giác từ được tạo thành từ
3
trong
100
đỉnh
của đa giác là:
C
3
C
2
C
1
B
2
B
1
A
4
A
3
A
2
A
1
Trang 22
A.
44100
. B.
78400
. C.
117600
. D.
58800
.
Lời giải
Xét đường kính
1 51
AA
của đường tròn ngoại tiếp đa giác. Với điểm
1
A
có
2
49
2.
C
cách chọn hai
đỉnh thuộc cùng nửa đường tròn đường kính
1 51
AA
để tạo thành tam giác tù có góc
1
A
. Như vậy có
2
49
100.2.
C
tam giác, trong đó mỗi tam giác bị đếm hai lần.
Vậy số tam giác tù là
2
49
100. 117600
C =
.
Câu 90. Một đa giác lồi có 10 cạnh, xét các tam giác mà 3 đỉnh là đỉnh của đa giác. Hỏi trong số các tam
giác này có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh đều không phải là cạnh của đa giác?
A.
60
. B.
70
. C.
120
. D.
50
.
Lời giải
* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác là
3
10
C
.
* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác:
Chọn 2 đỉnh kề nhau: có 10 cách chọn.
Chọn đỉnh còn lại không kề với 1 trong 2 đỉnh đã chọn: có 6 cách.
Vậy có
10.6 60=
tam giác.
* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác
Chọn 2 cạnh kề nhau: có 10 cách.
Vậy số tam giác cần tìm là
3
10
60 10 50C −−=
tam giác.
Câu 91. Trên mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác
cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao
điểm nói trên.
A.
2017.2018.
B.
44
2017 2018
.CC
+
C.
22
2017 2018
..CC
D.
2017 2018.+
Lời giải
Với hai đường thẳng bất kì từ 2017 đường thẳng
i
d
song song đã cho và với hai đường thẳng bất
kì từ 2018 đường thẳng
j
∆
song song đã cho, xác định cho ta một hình bình hành.
Vậy số hình bình hành nhiều nhất thỏa đề bài là
22
2017 2018
..CC
Câu 92. Cho đa giác lồi có
40
cạnh. Mỗi đoạn thẳng đi qua hai đỉnh bất kì của nó mà không phải là cạnh
được gọi là một đường chéo của nó. Số giao điểm nằm bên trong đa giác (không trùng với đỉnh) được tạo ra
do các đường chéo của nó cắt nhau nhiều nhất là bao nhiêu?
A.
91390
. B.
273430
. C.
740
. D.
1520
.
Lời giải
Đa giác lồi có
40
cạnh sẽ có
40
đỉnh.
Số đường chéo của đa giác là:
2
40
40 740C −=
đường chéo.
Số giao điểm nằm bên trong đa giác (không trùng với đỉnh) được tạo ra do các đường chéo của nó
cắt nhau nhiều nhất là
2
740
273430C =
.
Câu 93. Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt trong đó có 2 chữ
số lẻ và 2 chữ số chẵn?
A. 144. B. 432. C. 696. D. 840.
1
d
i
j
d
1
Trang 23
Lời giải
Chọn B
+ Chọn 2 chữ số lẻ từ 7 chữ số đã cho có
2
4
C
cách.
+ Chọn 2 chữ số chẵn từ 7 chữ số đã cho có
2
3
C
cách.
+ Với 4 chữ số đã chọn ta xếp vào 4 vị trí có
4!
cách.
Do đó có
22
43
. .4! 432
CC
=
số.
Câu 94. Từ các chữ số
1, 2,3,4,5,6
lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5
chữ số đôi một khác nhau trong
đó luôn có mặt hai chữ số
1
và
6.
A.
408.
B.
720.
C.
480.
D.
120.
Lời giải
Chọn C
Chọn 3 chữ số khác nhau từ các số trong tập hợp
{ }
2;3; 4;5
: có
3
4
C
cách;
Sau đó, sắp xếp 5 chữ số đã chọn: có 5! cách;
Vậy có
3
4
.5! 480C =
số có 5 chữ số khác nhau và luôn có mặt số 1 và số 6.
Câu 95. Từ các chữ số của tập hợp
{ }
0;1; 2;3;4;5
, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5
chữ số đôi
một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số
0
?
A.
120
. B.
504
. C.
720
. D.
480
.
Lời giải
Chọn D
Giả sử số tự nhiên có
5
chữ số đôi một khác nhau có dạng:
12345
aaaaa
.
Chọn một số cho
1
a
ta có
5
cách chọn.
Tiếp theo ta bỏ số
1
a
và số
0
thì từ tập hợp đã cho chúng ta còn lại
4
số. Ta chọn
3
số từ
4
số
đó ta có
3
4
C
cách chọn.
Chúng ta xếp số
0
và
3
số vừa mới chọn vào
4
vị trí
2345
,,,aaaa
ta được
4!
cách xếp.
Chọn cho các số cho
2345
,,,aaaa
có mặt chữ số
0
ta có
3
5
.4!C
cách chọn.
Số số tự nhiên thỏa yêu cầu đề bài có thể lập được là:
3
4
5.4!. 480C
=
.
DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
Câu 96. Có bao nhiêu số tự nhiên có
2018
chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng
5
?
A.
1 2 234
2017 2017 2017 2017 2017
1 4 2017 2
C C ACC+ + + ++
.
B.
2 345
2018 2018 2018 2018
12 2C CCC++++
.
C.
2 345
2018 2018 2018 2017
12 2A AAC+ + ++
.
D.
( ) ( )
2 22 33 4
2018 2017 2017 2017 2017 2017
12 2A CA CA C++ ++++
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi a là số thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Như vậy các chữ số của a thỏa mãn các trường hợp
sau:
Trang 24
a chứa năm chữ số
1
và 2013 chữ số
0
:
4
2017
C
a chứa ba chữ số
1
, một chữ số
2
và
2014
chữ số
0
:
32
2017 2017
2015CC
+
a chứa hai chữ số
1
, một chữ số
3
và
2015
chữ số
0
:
22
2017 2017
CA+
a chứa một chữ số
1
, một chữ số 4 và
2016
chữ số
0
:
1
2017
2C
a chứa một chữ số 5 và 2017 chữ số
0
:
1
a chứa một chữ số
1
, hai chữ số
2
và
2015
chữ số
0
:
22
2017 2017
CA+
a chứa một chữ số
2
, một chữ số
3
và
2016
chữ số
0
:
1
2017
2C
Vậy có
1 234 2
2017 2017 2017 2017 2017
1 4 2017 2C CCC A
+ + +++
Câu 97. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số
0
, không có hai chữ số
0
nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.
A.
786240
. B.
846000
. C.
907200
. D.
151200
.
Lời giải
Chọn ra
5
chữ số khác
0
trong
9
chữ số (từ
1
đến
9
) và sắp xếp chúng theo thứ tự có
5
9
A
cách.
Để hai chữ số
0
không đứng cạnh nhau ta có
6
vị trí để xếp (do
5
chữ số vừa chọn tạo ra
6
vị
trí).
Do chữ số
0
không thể xếp ở đầu nên còn
5
vị trí để xếp số
0
.
Khi đó xếp 3 số
0
vào
5
vị trí nên có
3
5
C
cách.
Vậy có
53
95
151200
AC
=
số cần tìm.
Câu 98. Từ các chữ số của tập
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7A =
lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong
đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số còn lại đôi một khác nhau?
A. 31203. B. 12600. C. 181440. D. 27000
Lời giải
Chọn D
*Ý tưởng: Đầu tiên, ta chọn 7 chữ số gồm 3 chữ số 2 và 4 chữ số bất kì từ tập
{ }
0;1;3;4;5;6; 7
rồi
xếp vào 7 vị trí. Sau đó, ta trừ đi những trường hợp mà chữ số 0 đứng đầu.
Bước 1: Ta xếp 3 chữ số 2 vào 3 trong 7 vị trí
⇒
Có
3
7
C
cách.
Chọn 4 chữ số còn lại từ tập
{ }
0;1;3;4;5;6; 7
và xếp vào 4 vị trí còn lại
⇒
Có
4
7
A
cách.
Bước 2: Chọn chữ số đầu tiên bên trái là 0.
Ta xếp 3 chữ số 2 vào 3 trong 6 vị trí còn lại
⇒
Có
3
6
C
cách 3 chữ số còn lại có
3
6
A
cách chọn.
Kết luận: tổng cộng có
34 33
77 66
27000CACA
×−×=
số tự nhiên thỏa mãn đề bài.
Câu 99. Một nhóm
6
bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua
6
vé gồm
3
vé mang số ghế
chẵn,
3
vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong sáu bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế
chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để
thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?
A.
36
. B.
180
. C.
72
. D.
18
.
Lời giải
Xếp hai bạn vào ghế mang số chẵn có
2
3
A
cách.
Xếp hai bạn vào ghế mang số lẻ có
2
3
A
cách.
Số cách xếp hai bạn còn lại vào hai vị trí còn lại là
2!
cách.
Vậy số cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó là
22
33
. .2! 72AA =
(cách).
Trang 25
Câu 100. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số
0
, không có hai chữ số
0
nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.
A.
786240
. B.
846000
. C.
907200
. D.
151200
.
Lời giải
Chọn ra
5
chữ số khác
0
trong
9
chữ số (từ
1
đến
9
) và sắp xếp chúng theo thứ tự có
5
9
A
cách.
Để hai chữ số
0
không đứng cạnh nhau ta có
6
vị trí để xếp (do
5
chữ số vừa chọn tạo ra
6
vị
trí).
Do chữ số
0
không thể xếp ở đầu nên còn
5
vị trí để xếp số
0
.
Khi đó xếp 3 số
0
vào
5
vị trí nên có
3
5
C
cách.
Vậy có
53
95
151200AC
=
số cần tìm.
Câu 101. Từ tập
{ }
1; 2;3; 4;5A =
có thể lập được bao nhiêu số có
8
chữ số sao cho chữ số
2
xuất hiện
4
lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần.
A.
120
. B.
840
. C.
576
. D.
1680
.
Lời giải
Chọn
4
trong
8
vị trí để xếp số
2
: có
4
8
C
cách chọn.
Xếp các chữ số
1;3;4;5
vào
4
vị trí còn lại: có
4!
cách chọn.
Vậy có
4
8
.4! 1680C =
(số).
Câu 102. Có
5
tem thư khác nhau và
6
bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó
3
tem thư,
3
bì
thư và dán
3
tem thư đó ấy lên
3
bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm
như vậy?
A. 1200. B. 1800. C. 1000. D. 200.
Lời giải
Chọn A
Chọn
3
bì thư có
3
6
C
.
Chọn
3
tem thư và dán nó vào 3 bì thư có
3
5
A
.
Số cách chọn cần tìm là
33
65
. 1200CA
=
.
Câu 103. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa có khác nhau vào 5 lọ khác nhau sao cho mỗi lọ cắm không
quá một bông?
A.
3
5
A
. B.
3!
. C.
3
5
C
. D.
2
5
A
.
Lời giải
Chọn ra 3 lọ trong 5 lọ để cắm hoa. Số cách chọn lọ là:
3
5
C
Số cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ được chọn là:
3!
Số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ là:
33
55
.3! AC =
.
Câu 104. Có
6
học sinh và
3
thầy giáo
A
,
B
,
C
. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ
9
người đó ngồi trên
một hàng ngang có
9
chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh.
A.
4320
. B.
90
. C.
43200
. D.
720
.
Lời giải
Sắp
6
học sinh thành một hàng ngang, giữa
6
học sinh có
5
khoảng trống, ta chọn
3
khoảng
trống và đưa
3
giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy tất cả có :
3
5
6!. 43200A =
cách.
Trang 26
Câu 105. Một nhóm
6
bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua
6
vé gồm
3
vé mang số ghế
chẵn,
3
vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong
6
bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế
chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để
thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?
A.
72
. B.
36
. C.
18
. D.
180
.
Lời giải
Chọn A
Số cách chọn
2
vé cho hai bạn muốn ngồi ghế bên chẵn là
2
3
A
.
Số cách chọn
2
vé cho hai bạn muốn ngồi ghế bên lẻ là
2
3
A
.
Còn lại
2
vé cho hai bạn còn lại có
2!
cách.
Vậy số cách chọn là:
22
33
. .2! 72AA
=
cách.
Câu 106. Có bao nhiêu cách chia hết
4
đồ vật khác nhau cho
3
người, biết rằng mỗi người nhận được ít
nhất
1
đồ vật.
A.
36
B.
18
C.
12
D.
72
Lời giải
Chọn A
Có hai người mà mỗi người nhận một đồ vật và một người nhận hai đồ vật.
Chọn hai người để mỗi người nhận một đồ vật: có
2
3
C
cách chọn.
Chọn hai đồ vật trao cho hai người: có
2
4
A
cách chọn.
Hai đồ vật còn lại trao cho người cuối cùng.
Vậy số cách chia là :
2
3
C
.
2
4
A
36
=
cách.
Câu 107. Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải
tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách
còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng.
A. 24412 B. 23314. C. 32512. D. 24480.
Lời giải
Chọn D
Số cách lấy 5 cuốn sách và đem tặng cho 5 học sinh:
5
10
30240= =SA
cách.
Số cách chọn sao cho không còn sách Đại số:
2
17
.5! 2520= =SC
cách
Số cách chọn sao cho không còn sách Giải tích:
1
26
.5! 720= =SC
cách
Số cách chọn sao cho không còn sách Hình học:
2
37
.5! 2520= =SC
cách.
Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán::
123
24480−−−=SS S S
cách tặng.
Câu 108. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số
0
, không có hai chữ số
0
nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.
A.
786240
. B.
846000
. C.
907200
. D.
151200
.
Lời giải
Chọn D
Chọn ra
5
chữ số khác
0
trong
9
chữ số (từ
1
đến
9
) và sắp xếp chúng theo thứ tự có
5
9
A
cách.
Để hai chữ số
0
không đứng cạnh nhau ta có
6
vị trí để xếp (do
5
chữ số vừa chọn tạo ra
6
vị
trí).
Do chữ số
0
không thể xếp ở đầu nên còn
5
vị trí để xếp số
0
.
Khi đó xếp 3 số
0
vào
5
vị trí nên có
3
5
C
cách.
Vậy có
53
95
151200AC =
số cần tìm.
Trang 27
Câu 109. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân
công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ?
A. 12141421. B. 5234234. C. 4989600. D. 4144880
Lời giải
Chọn C
Có
4
12
C
cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất
Với mỗi cách phân công trên thì có
4
8
C
cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có
4
4
C
cách phân
công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba.
Khi phân công nam xong thì có
3!
cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó.
Vậy có tất cả
4 44
12 8 4
. . .3! 4989600=
C CC
cách phân công.
Câu 110. Có hai học sinh lớp
,A
ba học sinh lớp
B
và bốn học sinh lớp
C
xếp thành một hàng ngang sao
cho giữa hai học sinh lớp
A
không có học sinh nào lớp
.
B
Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ?
A.
80640
. B.
108864
. C.
145152
. D.
217728
.
Lời giải
Xét các trường hợp sau :
TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có
2!.8!
cách.
TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có
1
4
2!. .7!
A
cách.
TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có
2
4
2!. .6!A
cách.
TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có
3
4
2!. .5!A
cách.
TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có
4
4
2!. .4!
A
cách.
Vậy theo quy tắc cộng có
( )
1234
4444
2! 8! 7! 6! 5! 4! 145152
AAAA++++ =
cách.
Câu 111. Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành
một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập
đội cờ đỏ.
A. 141666. B. 241561. C. 111300. D. 131444.
Lời giải
Chọn C
Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm
1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:
•
chọn 1 nữ và 4 nam.
+) Số cách chọn 1 nữa: 5 cách
+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó:
2
15
A
+) Số cách chọn 2 nam còn lại:
2
13
C
Suy ra có
22
15 13
5.AC
cách chọn cho trường hợp này.
•
chọn 2 nữ và 3 nam.
+) Số cách chọn 2 nữ:
2
5
C
cách.
+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó:
2
15
A
cách.
+) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách.
Suy ra có
22
15 5
13 .AC
cách chọn cho trường hợp này.
•
Chọn 3 nữ và 2 nam.
Trang 28
+) Số cách chọn 3 nữ:
3
5
C
cách.
+) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó:
2
15
A
cách.
Suy ra có
23
15 5
.AC
cách chọn cho trường hợp 3.
Vậy có
22 22 23
15 13 15 5 15 5
5 . 13 . . 111300
+ +=
AC AC AC
cách.
Câu 112. Ông và bà An cùng có
6
đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp
hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng:
A.
720
. B.
1440
. C.
18720
. D.
40320
.
Lời giải
Chọn C
Ta dùng phần bù.
Sắp
8
người vào
8
vị trí theo hàng dọc có
8!
cách sắp xếp.
Sắp ông và bà An vào
2
trong
6
vị trí (trừ vị trí đầu và cuối hàng) có
2
6
A
cách.
Sắp
6
người con vào
6
vị trí còn lại có
6!
cách.
Vậy có
2
6
8! .6! 18720
A−=
cách sắp xếp.
Câu 113. Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ.
Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình
vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu
cách tô màu bảng?
A.
4374
. B.
139968
. C.
576
. D.
15552
.
Lời giải
Tô màu theo nguyên tắc:
Tô
1
ô vuông 4 cạnh: chọn
2
trong
3
màu, ứng với
2
màu được chọn có
6
cách tô. Do đó, có
2
3
6.C
cách tô.
Tô
3
ô vuông
3
cạnh (có một cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 3 cách tô màu 1
trong 3 cạnh theo màu của cạnh đã tô trước đó, chọn 1 trong 2 màu còn lại tô 2 cạnh còn lại, có
1
2
3. 6C =
cách tô. Do đó có
3
6
cách tô.
Tô 2 ô vuông 2 cạnh (có 2 cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 2 cách tô màu 2 cạnh
(2 cạnh tô trước cùng màu hay khác nhau không ảnh hưởng số cách tô). Do đó có
2
2
cách tô.
Vậy có:
23
3
6. .6 .4 15552C
=
cách tô.
Câu 114. Cho đa giác đều
2018
đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc
lớn hơn
100°
?
A.
3
897
2018.C
. B.
3
1009
C
. C.
3
895
2018.C
. D.
3
896
2018.C
.
Lời giải
Gọi
1
A
,
2
A
,…,
2018
A
là các đỉnh của đa giác đều
2018
đỉnh.
Gọi
( )
O
là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều
1 2 2018
...AA A
.
Trang 29
Các đỉnh của đa giác đều chia
( )
O
thành
2018
cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng
360
2018
°
.
Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của
(
)
O
.
Suy ra góc lớn hơn
100°
sẽ chắn cung có số đo lớn hơn
200°
.
Cố định một đỉnh
i
A
. Có
2018
cách chọn
i
A
.
Gọi
i
A
,
j
A
,
k
A
là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho
160
ik
AA <°
thì
100
i jk
AA A >°
và tam giác
i jk
AA A
là tam giác cần đếm.
Khi đó
ik
AA
là hợp liên tiếp của nhiều nhất
160
896
360
2018


=



cung tròn nói trên.
896
cung tròn này có
897
đỉnh. Trừ đi đỉnh
i
A
thì còn
896
đỉnh. Do đó có
2
896
C
cách chọn hai
đỉnh
j
A
,
k
A
.
Vậy có tất cả
2
896
2018.C
tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT
4 04 13 222 3 3 44
44 4 4 4
4 3 22 3 4
5 05 14 232 323 4 4 55
55 5 5 5 5
5 4 32 23 4 5
()
46 4
()
5 10 10 5
a b C a C a b C a b C ab C b
a a b a b ab b
a b Ca Cab Cab Cab Cab Cb
a ab ab ab ab b
+= + + + +
=++ ++
+= + + + + +
=+++++
Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton
()
n
ab
+
ứng với
4; 5
nn
= =
.
Bằng cách như thế, ta có thể khai triển được
()
n
ab+
với
n
là số nguyên dương lớn hơn 5 . Công thức khai
triển cụ thể được trình bày trong Chuyên đề học tập Toán 10 .
Ví dụ 1. Khai triển
4
( 1)x +
.
Giải
Ta có:
4 4 3 22 3 4
( 1) 4 1 6 1 4 1 1x xx x x+ = + ⋅+ ⋅ + ⋅ +
432
4 6 4 1.xxxx=+ + ++
Ví dụ 2. Khai triển
4
( 1)x −
.
Giải
Ta có:
4 44 3 2 2 3 4
( 1) [ ( 1)] 4 ( 1) 6 ( 1) 4 ( 1) ( 1)x x xx x x− = +− = + ⋅− + ⋅− + ⋅− +−
432
4 6 41xxxx=− + −+
.
Ví dụ 3. Khai triển các biểu thức sau:
a)
4
( 2)xy
−
b)
5
(3 )xy−
.
Giải
a) Ta có:
4 44 3 2 2 3 4
( 2) [ (2)] 4 (2) 6 (2) 4(2) (2)xyx yxxyxy xy y− = +− = + − + − + − +−
4 3 22 3 4
8 24 32 16 .
x x y x y xy y=−+ − +
b) Ta có:
5 5 5 4 32 23 4 5
5 43 32 23 4 5
(3 ) [3 ( )] (3 ) 5(3 ) ( ) 10(3 ) ( ) 10(3 ) ( ) 5(3 )( ) ( )
243 405 270 90 15
xy x y x xy xy xy xy y
x xy xy xy xy y
− = +− = + − + − + − + − +−
= − + − +−
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Khai triển nhị thức Newton sau
STT
Cho khai triển nhị
thức sau
Yêu cầu
ĐA
Số hạng tổng quát Số hạng thứ k
1
(
)
7
35
x +
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
4
77
17
3 5.
k kk k
k
TC x
−−
+
=
Thứ 4
→
k=3
→
4
T
2
( )
9
15x−
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
5
( )
19
1 5.
k
k kk
k
TC x
+
= −
Các ý còn lại tương
tự.
3
( )
18
21x −
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
9
( )
18
18
2
1 18
12 .
k
k
kk
k
TC x
−
−
+
= −
4
( )
6
6xy−
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
( )
66
16
16. .
k
k k kk
k
T C xy
−−
+
= −
Bài 4. NHỊ THỨC NEWTON
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Trang 2
3
5
10
1
x
x

−


Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
7
( )
2 10
1 10
1.
k
kk
k
TC x
−
+
= −
6
( )
28
2
2xy+
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
25
28 28 2
1 28
2. .
k k kk
k
T C xy
−−
+
=
7
(
)
30
24xy−
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
16
(
)
30
30
2
1 30
12 . .
k
k
k kk
k
T C xy
−
+
+
= −
8
9
2
3
2
2
x
x

−


Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
8
( )
7 36
9
6
19
12.
k
k
kk
k
TC x
−
−
+
= −
Câu 2. Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển
12
1
1

+


x
Câu 3. Tìm hệ số của
21
x
trong khai triển
( )
25
23
x
−
Câu 4. Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau
a)
10
1
2
x

−


b)
( )
8
32x−
Câu 5. Tìm số hạng thứ tư trong khai triển
(
)
20
2ax−
theo lũy thừa tăng dần của
x
.
Câu 6. Viết 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của
x
của các đa thức sau
a)
( )
12
13x
−
b)
( )
9
12x
−
c)
20
1
3
x

−


Câu 7. Tìm
a) Số hạng thứ 8 trong khai triển
( )
12
12x
−
b) Số hạng thứ 6 trong khai triển
9
2
2
x

−


c) Số hạng thứ 12 trong khai triển
( )
15
2
x−
Câu 8. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển
( )
15
3
x xy−
Câu 9. Tìm hệ số của:
1. Số hạng chứa
5
x
trong khai triển:
( )
12
21x
−
.
2. Số hạng chứa
11
x
trong khai triển:
10
2
1
x
x

−


.
3. Số hạng chứa
7
x
trong khai triển:
(
)
14
2
xx+
.
4. Số hạng chứa
25 10
.xy
trong khai triển:
( )
15
3
x xy+
.
Câu 10. Tìm hệ số của số hạng không chứa
x
trong khai triển sau:
1.
12
2
4
1
x
x

+


.
Trang 3
2.
6
2
1
x
x

−


.
3.
7
3
4
1
x
x

+


.
Câu 11. Trong khai triển
10
3
2
1
2x
x

+


hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào
x
.
Câu 12. Tìm số hạng hữu tỷ của khai triển
( )
6
3 15−
Câu 13. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển sau:
1. Tìm hệ số của
6
x
trong khai triển của biểu thức:
( )
( )
7
11
2
21 1Ax x=−++
.
2. Tìm hệ số của
3
x
trong khai triển của biểu thức:
( ) ( )
10 5
11Ax x=+ +−
.
3. Khai triển
( )
Px
dưới dạng:
( )
2
01 2
...
n
n
P x a ax a x a x= + + ++
a) Tìm hệ số
9
a
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
9 10 11 14
1 1 1 ... 1Px x x x x=+ ++ ++ +++
.
b) Tìm hệ số
15
a
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 20
1 2 1 3 1 ... 20 1Px x x x x=+ + + + + ++ +
.
Câu 14. Cho khai triển:
10
10
0 1 10
12
...
33
x a ax a x

+ = + ++


. Hãy tìm số hạng
k
a
lớn nhất.
Câu 15. Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển đa thức của:
( )
8
2
11xx

+−

.
Câu 16. Khai triển đa thức
( ) ( )
12
2 12
0 1 2 12
1 2 ...P x x a ax a x a x
=+ = + + ++
. Tìm
(
)
0 1 2 12
max , , ,...,
a aa a
.
Câu 17. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau:
a)
( )
21
3
x xy+
.
b)
( )
20
4
2
3
1
xx
xy


+



.
Câu 18. Tìm hệ số của số hạng không chứa
x
trong khai triển
( )
7
3
4
1
fx x
x

= +


với
0x >
.
Câu 19. Cho khai triển đa thức
10
2 10
0 1 2 10
12
...
33
x a ax a x a x

+ = + + ++


. Hãy tìm số hạng
k
a
lớn nhất.
Câu 20. Cho
n
số nguyên dương thỏa mãn
13
5
n
nn
CC
−
=
. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển nhị thức
niu tơn
14
2
1
,0
14
nx
x
x

−≠



.
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Số số hạng trong khai triển
( )
50
2x +
là
A.
49
. B.
50
. C.
52
. D.
51
.
Câu 2. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức
( )
2018
23x −
A.
2019
. B.
2017
. C.
2018
. D.
2020
.
Trang 4
Câu 3. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn
( )
5
xy−
.
A.
5 4 32 23 4 5
5 10 10 5x xy xy xy xy y
−+ − +−
. B.
5 4 32 23 4 5
5 10 10 5x xy xy xy xy y
−−−−+
.
C.
5 4 32 23 4 5
5 10 10 5x xy xy xy xy y+++++
. D.
5 4 32 23 4 5
5 10 10 5x xy xy xy xy y+− + −+
.
Câu 4. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
2019
(3 2 )
x
−
có bao nhiêu số hạng?
A.
2019
. B.
2018
. C.
2020
. D.
2021
.
Câu 5. Từ khai triển biểu thức
( )
10
1
x
+
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa
thức là
A.
1023
. B.
512
. C.
1024
. D.
2048
.
Câu 6. Từ khai triển biểu thức
(
)
10
1x
+
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là
A.
1023
. B.
512
. C.
1024
. D.
2048
.
Câu 7. Tính tổng các hệ số trong khai triển
( )
2018
12x−
.
A.
1−
. B.
1
. C.
2018−
. D.
2018
.
Câu 8. Khai triển
124
4
( 5 7)−
. Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
A.
30
. B.
31
. C.
32
. D.
33
.
Câu 9. Trong khai triển nhị thức newton của
2018
3
( ) ( 2 3)
Px x
= +
thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số
hạng có hệ số nguyên dương?
A. 673. B. 675. C. 674. D. 672.
Câu 10. Trong khai triển
( )
20
2 20
0 1 2 20
1 2 ... .
x a ax ax a x
− = + + ++
Giá trị của
012
aaa−+
bằng
A. 801. B. 800. C. 1. D. 721.
Câu 11. Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức
( )
2019
35
35+
?
A.
136
. B.
403
. C.
135
. D.
134
.
Câu 12. Trong khai triển của
2019
1 1 11
15 3 3 5
x y xy

+


, số hạng mà lũy thừa của
x
và
y
bằng nhau là số hạng
thứ bao nhiêu của khai triển?
A.
1348
. B.
1346
. C.
1345
. D.
1347
.
Câu 13. Trong khai triển
9
2
8
x
x

+


, số hạng không chứa
x
là
A. 40096. B. 43008. C. 512. D. 84.
Câu 14. Số hạng độc lập với
x
trong khai triển
8
3
2
x
x

−


là
A.
1792
. B.
792
. C.
972
. D.
1972
.
Câu 15. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
12
3
1
x
x

−


.
A.
220−
. B.
220
. C.
924
. D.
924−
.
Trang 5
Câu 16. Cho
x
là số thực dương, số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức
30
2
x
x

+


là
A.
20
2
. B.
20 10
30
2 C
. C.
10 20
30
2 C
. D.
20
30
C
.
Câu 17.
Số hạng không chứa x trong khai triển
45
2
1
x
x

−


là
A.
5
45
C
. B.
5
45
C−
. C.
15
45
C
. D.
15
45
C
−
.
Câu 18. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
10
2
x
x

+


là
A.
5
10
C
. B.
55
10
.2C−
. C.
5
10
C
−
. D.
55
10
.2C
.
Câu 19. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
7
3
4
1

+


x
x
là:
A. 5. B. 35. C. 45. D. 7.
Câu 20. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
6
2
1
2x
x

−


,
0
x ≠
.
A.
240
. B.
15
. C.
240−
. D.
15−
.
Câu 21. Số hạng không chứa
x
trong khai triển biểu thức
12
2
1
Ax
x

= −


là
A.
924
−
. B.
495
. C.
495−
. D.
924
.
Câu 22. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
45
2
1
x
x

−


là
A.
15
45
C
. B.
30
45
C
. C.
5
45
C−
. D.
15
45
C−
.
Câu 23. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
5
2
3
1
x
x

+


.
A.
10
. B.
20
. C.
5
. D.
1
.
Chọn A
Câu 24. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
7
3
4
1

+


x
x
là
A. 5. B. 35. C. 45. D. 7.
Câu 25. Cho
x
là số thực dương, số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức
30
2
x
x


là
A.
20
2
. B.
20 10
30
2.C
. C.
10 20
30
2.C
. D.
20
30
C
.
Câu 26. Cho khai triển
( )
20
2
0 1 2 20 20
12x a ax a x a x− =+ + ++
. Giá trị của
0 1 2 20
aaa a++++
bằng:
A.
1
. B.
20
3
. C.
0
. D.
1−
.
Câu 27. Hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển nhị thức
12
2
x
xx

−


là:
A.
376
. B.
264−
. C.
264
. D.
260
.
Trang 6
Câu 28. Tìm hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển nhị thức
13
1
x
x

+


,.
A.
1716.
B.
68.
C.
176.−
D.
286.
Câu 29. Hệ số của
31
x
trong khai triển
40
2
1
,0
xx
x

+≠


là.
A.
4
40
C
. B.
2
40
C
. C.
3
40
C
. D.
5
40
C
.
Câu 30. Hệ số lớn nhất trong khai triển
4
13
44
x

+


A.
27
128
. B.
9
32
. C.
27
32
. D.
27
64
.
Câu 31. Cho biết hệ số của
2
x
trong khai triển
( )
12
n
x+
bằng
180
.Tìm
n
.
A.
8
n
=
. B.
12
n
=
. C.
14n =
. D.
10n =
.
Câu 32. Tìm hệ số
h
của số hạng chứa
5
x
trong khai triển
7
2
2
x
x

+


.
A.
84
h =
. B.
672h =
. C.
560h =
. D.
280h =
.
Câu 33. Hệ số của số hạng chứa
6
x
trong khai triển Newton
15
2
2
x
x

−


là
A.
3640−
. B.
3640
. C. 455. D.
1863680
−
Câu 34. Tìm hệ số của
25 10
xy
trong khai triển
( )
15
3
.x xy+
A. 58690. B. 4004. C. 3003. D. 5005.
Câu 35. Cho khai triển
6
2
x
x

+


với
0x >
. Tìm hệ số của số hạng chứa
3
x
trong khai triển trên
A.
80
. B.
160
. C.
240
. D.
60
.
Câu 36. Cho khai triển
6
2
x
x

+


với
0
x >
. Tìm hệ số của số hạng chứa
3
x
trong khai triển trên
A.
80
. B.
160
. C.
240
. D.
60
.
Câu 37. Biết hệ số của
2
x
trong khai triển của
( )
13
n
x−
là
90
. Tìm
n
.
A.
7n =
. B.
6n =
. C.
8n =
. D.
5n =
.
Câu 38. Số hạng thứ
13
trong khai triển
bằng?
A.
13
3640x
. B.
12
3640x
. C.
12
420x−
. D.
3640
.
Câu 39. Tìm số hạng chứa trong khai triển
9
1
2
x
x

−


.
A.
. B.
33
9
1
8
Cx
⋅
. C.
33
9
Cx−⋅
. D.
33
9
Cx
.
Câu 40. Tìm số hạng chứa
7
x
trong khai triển
13
1
x
x

−


.
A.
3
13
C−
. B.
37
13
Cx−
. C.
47
13
Cx−
. D.
4
13
C−
.
3
x
Trang 7
Câu 41. Tìm số hạng chứa
31
x
trong khai triển
40
2
1
x
x

+


?
A.
4 31
40
C x
. B.
37 31
40
C x
. C.
37 31
40
C x
. D.
3 31
40
C
x
.
Câu 42. Số hạng chứa
34
x
trong khai triển
40
1
x
x

+


là
A.
37 34
40
Cx−
. B.
3 34
40
Cx
. C.
2 34
40
Cx
. D.
4 34
40
Cx
.
Câu 43. Biết hệ số của số hạng chứa
2
x
trong khai triển
(
)
14
n
x+
là
3040
. Số tự nhiên
n
bằng bao nhiêu?
A.
28
. B.
26
. C.
24
. D.
20
.
Câu 44. Biết hệ số của
2
x
trong khai triển của
là
90
. Tìm
n
.
A.
5
n =
. B.
8n =
. C.
6n =
. D.
7n =
.
Câu 45. Cho biết hệ số của
2
x
trong khai triển
( )
12
n
x+
bằng
180
. Tìm
n
.
A.
12
n
=
. B.
14n =
. C.
8n =
. D.
10n =
.
Câu 46. Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển của biểu thức
5
3
2
2
3
x
x

−


.
A.
810−
. B.
826
. C.
810
. D.
421
.
Câu 47. Tìm hệ số của số hạng chứa
31
x
trong khai triển
40
2
1
x
x

+


.
A.
37
40
C
. B.
31
40
C
. C.
4
40
C
. D.
2
40
C
.
Câu 48. Trong khai triển
6
2
x
x

+


, hệ số của
(
)
3
0xx
>
là:
A.
80
. B.
160
. C.
240
. D.
60
.
Câu 49. Cho
n
là số tự nhiên thỏa mãn
0 1 22
2. 2 . ... 2 . 59049
nn
nn n n
CC C C+ + ++ =
. Biết số hạng thứ
3
trong
khai triển Newton của
2
3
n
x
x

−


có giá trị bằng
81
2
n
. Khi đó giá trị của
x
bằng
A.
1
B.
2
. C.
1±
D.
2±
.
Câu 50. Cho nhị thức
2
3
1
2
n
x
x

+


, trong đó số nguyên dương
n
thỏa mãn
3
72
n
An=
. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển.
A.
6 45
10
2 Cx
. B.
5 55
10
2 Cx
. C.
7 35
10
2 Cx
. D.
6 75
10
2 Cx
.
Câu 51. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức Newton của
2
3
2
n
x
x

−


( )
0x ≠
, biết rằng
123
1. 2. 3. ... . 256
n
nnn n
C C C nC n+ + ++ =
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
A.
489888
B.
49888
. C.
48988
. D.
4889888
.
Câu 52. Cho khai triển
( )
1
01
1 3 ...
n
n
n
x a ax ax+ = + ++
trong đó
*n ∈
và các hệ số thỏa mãn hệ thức
1
0
... 4096
33
n
n
a
a
a + ++ =
. Tìm hệ số
i
a
lớn nhất.
A.
1732104.
B.
3897234.
C.
4330260.
D.
3247695
.
Trang 8
Câu 53. Tìm hệ số của
6
x
trong khai triển
31
3
1
n
x
x
+

+


với
0,x ≠
biết
n
là số nguyên dương thỏa mãn
22
12
3 4.
nn
C nP A
+
+=
A.
6
210 .x
B.
210.
C.
6
120 .x
D.
120.
Câu 54. Tìm hệ số của số hạng chứa
6
x
trong khai triển
2
3
2
n
x
x

−


( )
0x ≠
, biết rằng
23
2 14 1
3
nn
C Cn
+=
(
k
n
C
là số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử).
A.
326592
. B.
3265922
C.
3265592
D.
32692
.
Câu 55. Tìm số hạng chứa
26
x
trong khai triển
7
4
1

+


n
x
x
biết
n
là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức
1 2 20
21 21 21
... 2 1
++ +
+ ++ = −
n
nn n
CC C
.
A.
325
. B.
210
. C.
200
. D.
152
.
Câu 56. Với
n
là số tự nhiên thỏa mãn
62
4
454
n
nn
C nA
−
−
+=
, hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển nhị
thức Niu-tơn của
3
2
n
x
x

−


bằng
A.
1972
. B.
786
. C.
1692
. D.
1792−
.
Câu 57. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn
13
13
nn
CC n
+=
, hệ số của số hạng chứa
5
x
trong khai triển
của biểu thức
2
3
1
n
x
x

+


bằng.
A.
120
. B.
252
. C.
45
. D.
210
.
Câu 58. Cho
n
là số nguyên dương thỏa mãn
2 21
46
n nn
ACC n=+++
. Hệ số của số hạng chứa
9
x
của khai
triển biểu thức
( )
2
3
n
Px x
x

= +


bằng:
A.
18564
. B.
64152
. C.
192456
. D.
194265
.
Câu 59. Biết
n
là số nguyên dương thỏa mãn
12
78
nn
nn
CC
−−
+=
, số hạng chứa
8
x
trong khai triển
3
2
n
x
x

−


là
A.
8
101376x−
. B.
101376−
. C.
112640−
. D.
8
101376
x
.
Câu 60. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn
( )
32
1
3 3 52 1
nn
CA n
+
−= −
. Trong khai triển biểu thức
(
)
32
2
n
xy+
, gọi
k
T
là số hạng mà tổng số mũ của
x
và
y
của số hạng đó bằng
34
. Hệ số của
k
T
là
A.
54912
. B.
1287
. C.
2574
. D.
41184
.
Câu 61. Cho
n
là số nguyên dương thỏa mãn
12
55
nn
CC−=
. Tìm hệ số
a
của
4
x
trong khai triển của biểu
thức
2
1
2
n
x
x

+


.
A.
11520a =
. B.
256a =
. C.
45
a =
. D.
3360a
=
.
Câu 62. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn
23
3 40
n
nn
AC
−
+=
. Hệ số của
6
x
trong khai triển
2
1
2
n
x
x

−


là
A.
1024
. B.
1024−
. C.
1042−
. D.
1042
.
Trang 9
Câu 63. Với
n
là số nguyên dương thoả mãn
21
3 120
nn
AC+=
, số hạng không chứa
x
trong khai triển của
biểu thức
4
3
n
x
x

−


bằng
A.
295245
. B.
245295
. C.
292545
. D.
259254
.
Câu 64. Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Niutơn của
(
)
2
, 0,
22
n
nx
x
x

+≠


biết số
nguyên dương
n
thỏa mãn
32
50.
nn
CA+=
A.
97
12
. B.
29
51
. C.
297
512
. D.
279
215
.
Câu 65. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức Newton của
2
3
2
n
x
x

−


( )
0x ≠
, biết rằng
123
1. 2. 3. ... 256
n
nnn n
C C C nC n+ + ++ =
(
k
n
C
là số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử).
A.
489888
. B.
49888
. C.
48988
. D.
4889888
.
Câu 66. Giả sử có khai triển
( )
2
01 2
1 2 ...
n
n
n
x a ax ax ax− = + + ++
. Tìm
5
a
biết
012
71.aaa
++ =
A.
672−
. B.
672
. C.
627
. D.
627−
.
Câu 67. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
23
10
nn
AC−=
, tìm hệ số
5
a
của số hạng chứa
5
x
trong khai triển
2
3
2
n
x
x

−


với
0
x ≠
.
A.
5
10a =
. B.
5
5
10ax= −
. C.
5
5
10ax=
. D.
5
10
a
= −
.
Câu 68. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển
( )
2
13
n
x+
biết
32
2 100
nn
AA
+=
A.
61236
. B.
63216
. C.
61326
. D.
66321
.
Câu 69. Cho
n
là số nguyên dương thỏa mãn
(
)
0 11 2 2
3 3 3 ..... 1 2048
n
nn n n
nnn n
CCC C
−−
− + − +− =
. Hệ số của
10
x
trong khai triển
( )
2
n
x +
là:
A.
11264
. B.
22
. C.
220
. D.
24
.
Câu 70. Trong khai triển
2
1
3
n
x
x

+


biết hệ số của
3
x
là
45
3
n
C
. Giá trị
n
có thể nhận là
A.
9
. B.
12
. C.
15
. D.
16
.
Câu 71. Hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển
( )
5
3
1
;0
n
xx
x

+>


biết
( )
1
43
73
nn
nn
CC n
+
++
−=+
là
A.
1303
. B.
313
. C.
495
. D.
13129
.
Câu 72. Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển nhị thức Newton
5
1
2
n
x
x

+


với
0x >
, biết
n
là số tự nhiên
lớn nhất thỏa mãn
54
2
18
nn
AA
−
≤
.
A.
8064
. B.
3360
. C.
13440
. D.
15360
.
Câu 73. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
2
1
n
x
x

−


biết
22
105
nn
AC−=
.
A.
3003−
. B.
5005−
. C.
5005
. D.
3003
.
Trang 10
Câu 74. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển thành đa thức của
(
)
2
23
n
x
−
, biết n là số nguyên dương thỏa
mãn:
024 2
21 21 21 21
... 1024
n
nnn n
CCC C
+++ +
++++=
.
A.
2099529
. B.
2099520−
. C.
1959552−
. D.
1959552
.
Câu 75. Biết
n
là số nguyên dương thỏa mãn
12
78
nn
nn
CC
−−
+=
, số hạng chứa
8
x
trong khai triển
3
2
n
x
x

−


là
A.
8
101376x
−
. B.
101376−
. C.
112640−
. D.
8
101376x
.
Câu 76. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển
2
,
n
x
x

−


biết
n
là số tự nhiên thỏa mãn
32
4
2
3
nn
C nC= +
A.
134
B.
144
C.
115
D.
141
Câu 77. Tìm hệ số không chứa
x
trong khai triển
3
2
n
x
x

−


, biết
n
là sô nguyên dương thỏa mãn
12
78
nn
nn
CC
−−
+=
.
A.
112640
. B.
112643
. C.
112640−
. D.
112643−
.
Câu 78. Cho biểu thức
10
3
2
3
11
1
xx
P
xx
xx

+−
= −

−
−+

với
0x >
,
1x ≠
. Tìm số hạng không chứa
x
trong
khai triển Niu-tơn của
P
.
A.
200
. B.
160
. C.
210
. D.
100
.
Câu 79. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
( )
9
2
2
,fx x
x

= −


0x ≠
bằng
A.
5376
. B.
5376−
. C.
672
. D.
672−
.
Câu 80. Số hạng không chứa
x
trong khai triển của
14
3
4
2
x
x

−


với
0x >
là:
A.
68
14
2 C
. B.
66
14
2 C
. C.
88
14
2 C
. D.
88
14
2 C−
.
Câu 81. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển của
11
11
5
1
xx
x

+


với
0x >
.
A.
485
. B.
238
. C.
165
. D.
525
.
Câu 82. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn
12
55
nn
CC+=
, số hạng không chứa
x
trong khai triển của
biểu thức
3
2
2
n
x
x

+


bằng
A.
13440
B.
3360
C.
80640
D.
322560
Câu 83. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển của
4
1
n
xx
x


với
0x
, nếu biết rằng
n
là số
nguyên dương thỏa mãn
21
44
nn
CC
.
A. 485. B. 525. C. 165. D. 238
Câu 84. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển của
4
1
n
xx
x

+


, với
0x >
, nếu biết rằng
21
44
nn
CC−=
.
Trang 11
A.
165
. B.
238
. C.
485
. D.
525
.
Câu 85. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
2
3
3
2
n
x
x

−


với
0x ≠
, biết
n
là số nguyên dương thỏa
mãn
32
1
2
nn
C nA
+
+=
là:
A.
12 4 12
16
.2 .3C−
. B.
0 16
16
.2C
. C.
12 4 12
16
.2 .3
C
. D.
16 0
16
.2C
.
Câu 86. Với số nguyên dương
n
thỏa mãn
2
27
n
Cn−=
, trong khai triển
2
2
n
x
x

+


số hạng không chứa
x
là
A.
84
. B.
672
. C.
8
. D.
5376
.
Câu 87. Cho khai triển
( )
2017
2 2 4034
0 1 2 4034
1 3 2 ...x x a ax ax a x− + = + + ++
. Tìm
2
a
.
A.
9136578
B.
16269122
. C.
8132544
. D.
18302258
.
Câu 88. Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển
(
)
( )
10
3
13 2
fx x x=−+
thành đa thức.
A.
204120
. B.
262440
−
. C.
4320−
. D.
62640−
.
Câu 89. Cho khai triển
(
)
9
2 18 17 16
0 1 2 18
3 2 ... .x x ax ax ax a− + = + + ++
Giá trị
15
a
bằng
A.
218700
. B.
489888
. C.
804816−
. D.
174960−
.
Câu 90. Tìm hệ số của
3
x
sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của
9
2
1
2xx
x

−+


,
0x ≠
.
A.
2940−
. B.
3210
. C.
2940
. D.
3210−
.
Câu 91. Hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển
(
)
6
2
32
xx−+
bằng
A.
6432−
. B.
4032−
. C.
1632−
.
D.
5418−
.
Câu 92. Tìm hệ số của số hạng chứa
5
x
trong khai triển
( )
10
23
1 xx x++ +
.
A.
582
. B.
1902
. C.
7752
. D.
252
.
Câu 93. Cho
n
là số tự nhiên thỏa mãn
012
3 4 5 ... ( 3) 3840
n
n nn n
C CC nC+ + ++ + =
.Tổng tất cả các hệ số của
các số hạng trong khai triển
23
(1 )
n
xx x+− +
là
A.
10
4
. B.
9
4
. C.
10
2
. D.
9
2
.
Câu 94. Giả sử
( )
11
2 3 10 2 3 110
0 1 2 3 110
1 ... ...x x x x a ax ax ax a x++ + ++ = + + + ++
với
0
a
,
1
a
,
2
a
,…,
110
a
là
các hệ số. Giá trị của tổng
0 1 2 3 10 11
11 11 11 10 11 9 11 8 11 1 11 0
...
T Ca Ca Ca Ca C a Ca= − + − ++ −
bằng
A.
11T = −
. B.
11
T =
. C.
0T =
. D.
1T =
.
Câu 95. Sau khi khai triển và rút gọn thì
18
12 2
1
( ) (1 )Px x x
x

=+++


có tất cả bao nhiêu số hạng
A.
27
. B.
28
. C.
30
. D.
25
Câu 96. Cho đa thức
( ) ( ) ( )
2017 2018
2 32Px x x=− +−
2018 2017
2018 2017 1 0
...a x a x ax a= + ++ +
. Khi đó
2018 2017 1 0
...Sa a aa= + ++ +
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
2018
. D.
2017
.
Trang 12
Câu 97. Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức
( )
12 21
23
2
31
2fx x x
xx

=+++


thì
( )
fx
có bao nhiêu
số hạng?
A.
30
. B.
32
. C.
29
. D.
35
.
Câu 98. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển
( ) ( ) ( ) ( )
6 7 12
1 1 ... 1
Px x x x=+ ++ +++
.
A.
1716
. B.
1715
. C.
1287
. D.
1711
.
Câu 99. Cho đa thức:
( ) ( )
( )
(
) (
) ( )
8 9 10 11 12
111 1 1Px x x x x x=+ ++ ++ ++ ++
. Khai triển và rút gọn ta được
đa thức:
( )
2 12
0 1 2 12
...P x a ax ax a x= + + ++
. Tìm hệ số
8
a
.
A.
720
. B.
700
. C.
715
. D.
730
.
Câu 100. Cho đa thức
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 9 10 11 12
111 1 1
Px x x x x x
=+ ++ ++ ++ ++
. Khai triển và rút gọn ta được
đa thức
( )
12
0 1 12
...P x a ax a x= + ++
. Tính tổng các hệ số
i
a
,
0;
i
=
1;
2;
...;
12
.
A.
5
. B.
7936
. C.
0
. D.
7920
.
Câu 101. Tìm hệ số của số hạng chứa
9
x
trong khai triển nhị thức Newton
(
)(
)
11
12 3xx++
.
A.
4620
. B.
1380
. C.
9405
. D.
2890
.
Câu 102. Cho khai triển
( )
( )
2
10
2 2 14
0 1 2 14
12 34 4x x x axaxax ax
+ + + = + + ++
. Tìm giá trị của
6
a
.
A.
482496
. B.
529536
. C.
278016
. D.
453504
.
Câu 103. Hệ số của
6
x
trong khai triển
( )
4
6
2
1
21
4
x xx

+ ++


thành đa thức là
A.
6
14
1
2
C
. B.
6
14
1
4
C
. C.
6
14
C
. D.
8
14
4
C
.
Câu 104. Hệ số của
5
x
trong khai triển biểu thức
( ) (
)
68
21 3xx x
− +−
bằng
A.
1752
B.
1272−
C.
1272
D.
1752−
Câu 105. Hệ số của
5
x
trong khai triển
( ) ( )
68
31 21xx x−+ −
bằng
A.
3007−
B.
577−
C.
3007
D.
577
Câu 106. Hệ số của
5
x
trong khai triển biểu thức
68
( 2) (3 1)xx x−+−
bằng
A.
13548−
B.
13668
C.
13668−
D.
13548
Câu 107. Hệ số của
5
x
trong khai triển biểu thức
( ) (
)
68
21 31xx x−+ −
bằng
A.
13848
B.
13368
C.
13848−
D.
13368−
Câu 108. Hệ số của
5
x
trong khai triển
( ) ( )
68
2 31xx x−+−
bằng
A.
13548−
. B.
13548
. C.
13668−
. D.
13668
.
Câu 109. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển đa thức

5 10
2
1 12 .fx x x x x
A.
965.
B.
263.
C.
632.
D.
956.
Câu 110. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển
( ) ( ) ( )
5 10
2
12 13Px x x x x=−++
.
A.
3240
. B.
3320
. C.
80
. D.
259200
.
Trang 13
Câu 111. Khai triển đa thức
12
12
0 1 12
1 2 ...P x x a ax a x 
. Tìm hệ số
k
a
0 12k
lớn nhất trong
khai triển trên.
A.
88
12
2.C
B.
99
12
2.C
C.
10 10
12
2.
C
D.
88
12
1 2.
C
Câu 112. Hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển
( )
(
)
12
2
12Px x= +
thành đa thức là
A.
162270
. B.
162720
. C.
126270
. D.
126720
.
Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT
4 04 13 222 3 3 44
44 4 4 4
4 3 22 3 4
5 05 14 232 323 4 4 55
55 5 5 5 5
5 4 32 23 4 5
()
46 4
()
5 10 10 5
a b C a C a b C a b C ab C b
a a b a b ab b
a b Ca Cab Cab Cab Cab Cb
a ab ab ab ab b
+= + + + +
=++ ++
+= + + + + +
=+++++
Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton
()
n
ab
+
ứng với
4; 5
nn
= =
.
Bằng cách như thế, ta có thể khai triển được
()
n
ab+
với
n
là số nguyên dương lớn hơn 5 . Công thức khai
triển cụ thể được trình bày trong Chuyên đề học tập Toán 10 .
Ví dụ 1. Khai triển
4
( 1)x +
.
Giải
Ta có:
4 4 3 22 3 4
( 1) 4 1 6 1 4 1 1x xx x x+ = + ⋅+ ⋅ + ⋅ +
432
4 6 4 1.xxxx=+ + ++
Ví dụ 2. Khai triển
4
( 1)x −
.
Giải
Ta có:
4 44 3 2 2 3 4
( 1) [ ( 1)] 4 ( 1) 6 ( 1) 4 ( 1) ( 1)x x xx x x− = +− = + ⋅− + ⋅− + ⋅− +−
432
4 6 41xxxx=− + −+
.
Ví dụ 3. Khai triển các biểu thức sau:
a)
4
( 2)xy
−
b)
5
(3 )xy−
.
Giải
a) Ta có:
4 44 3 2 2 3 4
( 2) [ (2)] 4 (2) 6 (2) 4(2) (2)xyx yxxyxy xy y− = +− = + − + − + − +−
4 3 22 3 4
8 24 32 16 .
x x y x y xy y=−+ − +
b) Ta có:
5 5 5 4 32 23 4 5
5 43 32 23 4 5
(3 ) [3 ( )] (3 ) 5(3 ) ( ) 10(3 ) ( ) 10(3 ) ( ) 5(3 )( ) ( )
243 405 270 90 15
xy x y x xy xy xy xy y
x xy xy xy xy y
− = +− = + − + − + − + − +−
= − + − +−
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Khai triển nhị thức Newton sau
STT
Cho khai triển nhị
thức sau
Yêu cầu
ĐA
Số hạng tổng quát Số hạng thứ k
1
(
)
7
35
x +
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
4
77
17
3 5.
k kk k
k
TC x
−−
+
=
Thứ 4
→
k=3
→
4
T
2
( )
9
15x−
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
5
( )
19
1 5.
k
k kk
k
TC x
+
= −
Các ý còn lại tương
tự.
3
( )
18
21x −
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
9
( )
18
18
2
1 18
12 .
k
k
kk
k
TC x
−
−
+
= −
4
( )
6
6xy−
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
( )
66
16
16. .
k
k k kk
k
T C xy
−−
+
= −
Bài 4. NHỊ THỨC NEWTON
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Trang 2
3
5
10
1
x
x

−


Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
7
( )
2 10
1 10
1.
k
kk
k
TC x
−
+
= −
6
( )
28
2
2xy+
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
25
28 28 2
1 28
2. .
k k kk
k
T C xy
−−
+
=
7
(
)
30
24xy−
Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
16
(
)
30
30
2
1 30
12 . .
k
k
k kk
k
T C xy
−
+
+
= −
8
9
2
3
2
2
x
x

−


Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
8
( )
7 36
9
6
19
12.
k
k
kk
k
TC x
−
−
+
= −
Lời giải
Khai triển nhị thức Newton sau
1.
( )
7
35+x
Theo công thức nhị thức Newton ta có
( )
7
35
+x
7
77
7
0
3 5.
−−
=
=
∑
k kk k
k
Cx
Số hạng tổng quát
77
17
3 5.
−−
+
=
k kk k
k
TC x
Số hạng thứ 4(k=3) là
3 73 3 73 4
47
3 5 . 35375
−−
= =TC x x
2.
(
)
9
15x−
Theo công thức nhị thức Newton ta có
( )
9
15x−
( )
9
9
0
1 5.
=
= −
∑
k
k kk
k
Cx
Số hạng tổng quát
( )
( ) ( )
9
19 9
1 5 1 5.
−
+
= −= −
kk k
k k kk
k
TC C x
Số hạng thứ 5(k=4) là
( )
4
4 44 4
59
1 5 . 78750
=−=TC x x
3.
( )
18
21x −
Theo công thức nhị thức Newton ta có
( )
18
21x −
( )
( )
18 18
1 1 18
18 18
18
22 2
18 18
00
2 1 1 2 12 .
−
−
−
= =

= −= − = −


∑∑
k
k
kk
k kk
kk
x Cx C x
Số hạng tổng quát
( )
18
18
2
1 18
12 .
−
−
+
= −
k
k
kk
k
TC x
Số hạng thứ 9 là
( )
18 8
8
8 18 8 10 8 5
2
9 18 18
1 2 . 2.
−
−
=−=T C x Cx
4.
( )
6
6xy−
Theo công thức nhị thức Newton ta có
( )
6
6xy−
( )
6
66
6
0
16. .
−−
=
= −
∑
k
k k kk
k
C xy
Số hạng tổng quát
( )
66
16
16. .
k
k k kk
k
T C xy
−−
+
= −
Số hạng thứ 3 (k=2) là
(
)
6 6 24 42
36 6
16. . 6
−−
=−=
k
k k kk
T C x y C xy
Trang 3
5.
10
1
x
x

−


Theo công thức nhị thức Newton ta có
10
1
x
x

−


( )
10
2 10
10
0
1.
−
=
= −
∑
k
kk
k
Cx
Số hạng tổng quát
( )
2 10
1 10
1.
−
+
= −
k
kk
k
TC x
Số hạng thứ 7 (k=6) là
( )
6
6 2.6 10 6 2
7 10 10
1.
−
=−=T C x Cx
6.
( )
28
2
2xy+
Theo công thức nhị thức Newton ta có
( )
28
2
2xy+
28
28 28 2
28
0
2. .
−−
=
=
∑
k k kk
k
C xy
Số hạng tổng quát
28 28 2
1 28
2. .
k k kk
k
T C xy
−−
+
=
Số hạng thứ 25(k=24) là
24 28 24 28 24 224 4 24 4 48
24 28 28
2. . 2
−−
= =T C x y C xy
7.
( )
30
24xy−
Theo công thức nhị thức Newton ta có
(
)
30
24xy
−
(
)
( )
30 30
1 1 30
30 30
30
22 2
30 30
00
2 4 .2 . 4 1 2 . .
−
−
+
= =

− = −= −


∑∑
k
k
kk
k k kk
kk
x y C x y C xy
Số hạng tổng quát
(
)
30
30
2
1 30
12 . .
k
k
k kk
k
T C xy
−
+
+
= −
Số hạng thứ 16(k=15) là
(
)
30 15 15
15
30 15 15 45 15 15
22
16 30
15 1 2 . . 2
−
+
=−=−T C x y Cxy
8.
9
2
3
2
2
x
x

−


Theo công thức nhị thức Newton ta có
9
2
3
2
2
x
x

−


( )
9
9
11
7 36
99
22
9
6
99
22
00
33
22
12.
22
−
−
−
= =




−− = − = −





∑∑
k
k
k
k
k kk
kk
xx
C Cx
xx
Số hạng tổng quát
( )
7 36
9
6
19
12.
k
k
kk
k
TC x
−
−
+
= −
Số hạng thứ 8(k=7) là
( )
7.7 36 13
7
97 7
66
89 9
5
1
12.
2
−
−
=−=−
k
T C x Cx
Câu 2. Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển
12
1
1

+


x
Lời giải
Số hạng thứ
1+k
trong khai triển là:
( )
12 12 2
12 12
1
0 12
−−

= = ≤≤


k
kk k k
k
a Cx Cx x
x
Ta chọn
12 2 8 2− =⇔=kk
Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa
8
x
và có hệ số là:
2
12
66=C
.
Câu 3. Tìm hệ số của
21
x
trong khai triển
( )
25
23x−
Lời giải
Số hạng thứ 21 trong khai triển
( )
20
20 5 20 5 20 20
25 25
2 3 23−=C xC x
.
Trang 4
Câu 4. Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau
a)
10
1
2
x

−


b)
(
)
8
32x
−
Lời giải
a)
2
45
15
4
−+xx
b)
8 17 26 2
88
3 32 34−+C xC x
Câu 5. Tìm số hạng thứ tư trong khai triển
( )
20
2ax−
theo lũy thừa tăng dần của
x
.
Lời giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton số hạng thứ 4 trong khai triển là
3 3 17 3
20
2−C ax
Câu 6. Viết 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của
x
của các đa thức sau
a)
( )
12
13
x−
b)
( )
9
12
x−
c)
20
1
3
x

−


Lời giải
a)
23
1 36 594 5940−+ −xx x
b)
2 33 2 3
9
1 18 144 8 1 18 144 672
−+ − =−+ −
xxCx xx x
c)
23
20 190 1140
1
3 9 27
−+ −xx x
Câu 7. Tìm
a) Số hạng thứ 8 trong khai triển
( )
12
12
x−
b) Số hạng thứ 6 trong khai triển
9
2
2
x

−


c) Số hạng thứ 12 trong khai triển
( )
15
2 x−
Lời giải
a)
7 77
12
2
−Cx
b)
55
9
1
2
− Cx
c)
11 11
15
16
− Cx
Câu 8. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển
(
)
15
3
x xy
−
Lời giải
Số hạng tổng quát trong khai triển
( )
15
3
x xy−
là
( )
( )
15
3
1 15
.
−
+
= −
k
k
k
k
T C x xy
Trong khai triển trên có
15=n
nên có 16 số hạng nên số hạng đứng giữa là số hạng thứ 8 và thứ 9.
( )
( )
15 7
7
7 3 31 7
8 7 1 15
. 6435
−
+
== −=−T T C x xy x y
( )
( )
15 8
8
8 3 29 8
9 8 1 15
. 6435
−
+
== −=T T C x xy x y
Câu 9. Tìm hệ số của:
1. Số hạng chứa
5
x
trong khai triển:
( )
12
21x
−
.
2. Số hạng chứa
11
x
trong khai triển:
10
2
1
x
x

−


.
3. Số hạng chứa
7
x
trong khai triển:
( )
14
2
xx+
.
4. Số hạng chứa
25 10
.xy
trong khai triển:
( )
15
3
x xy+
.
Lời giải
Trang 5
1.
( ) ( )
(
) (
)
12 12
12 12
12 12
12 12
00
21 2 1 2 1
kk k
k kk k
kk
x Cx C x
−
−−
= =
− = −= −
∑∑
Tại số hạng chứa
5
x
thì tương ứng với
12 5 7kk−=⇒=
.
Vậy hệ số của
5
x
là:
( )
7
75
12
2 1 25344C −=−
.
2.
( )
( )
( ) ( )
10
10 10 10
10
2 10
2 2 20 3
10 10 10
0 00
11
11
k
k
kk
kk
k k kk
k kk
x C x Cx C x
xx
−
−−
−
= = =

− = − = −= −


∑ ∑∑
Tại số hạng chứa
11
x
thì tương ứng với
20 3 11 3kk− = ⇒=
.
Vậy hệ số của
11
x
là:
( )
3
3
10
1 120C −=−
.
3.
( )
( )
14
14
2 14
1xx xx+= +
⇒
Không tồn tại số hạng chứa
7
x
.
Vậy hệ số của
7
x
là:
0
.
4.
( ) (
)
( )
(
)
15 15 15
15 15
3 15
3 3 45 2
15 15 15
0 00
k
k
kk
k k k k kk
k kk
x xy C x xy C x y C x y
−
−+
−
= = =
+= = =
∑ ∑∑
Tại số hạng chứa
25 10
.xy
thì tương ứng với
45 2 25
10
0
k
k
k
−=
⇒=
=
.
Vậy hệ số của
11
x
là:
10
15
3003
C =
.
Câu 10. Tìm hệ số của số hạng không chứa
x
trong khai triển sau:
1.
12
2
4
1
x
x

+


.
2.
6
2
1
x
x

−


.
3.
7
3
4
1
x
x

+


.
Lời giải
1.
(
)
12
12 12
2 12
2 24 6
12 12
44
00
11
.
k
k kk
k
kk
x Cx Cx
xx
−
−
= =

+= =


∑∑
Tại số hạng không chứa
x
thì tương ứng với
24 6 0 4kk− =⇒=
.
Vậy số hạng tự do là:
4
12
495C =
.
2.
( )
( )
( )
( )
6
66 6
26 26
2 12 3
66 6
00 0
11
.1 1
k
kk
k kk
k k kk
kk k
x Cx Cx Cx
xx
− −−
−
= = =

−= −= − = −


∑∑ ∑
Tại số hạng không chứa
x
thì tương ứng với
12 3 0 4kk− =⇒=
.
Trang 6
Vậy số hạng tự do là:
4
6
15C =
.
3.
( )
( )
7
1 1 1 77
7
7 77
77
3
3 3 3 4 3 12
4
7 77
1
4
0 00
4
11
.
kk
k
kk
k kk
k kk
x x Cx x Cx Cx
x
x
−
− −− −
= = =



+=+= = =





∑ ∑∑
Tại số hạng không chứa
x
thì tương ứng với
77
04
3 12
k
k− =⇒=
.
Vậy số hạng tự do là:
4
7
35C =
.
Câu 11. Trong khai triển
10
3
2
1
2x
x

+


hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào
x
.
Lời giải
Số hạng tổng quát trong khai triển
10
3
2
1
2x
x

+


là
( )
10
3 10 30 5
1 10 10
2
1
22
−
−−
+

= =


k
k
k kk k
k
T Cx C x
x
1+k
T
không phụ thuộc vào
x
30 5 0 6− =⇒=kk
Số hạng không phụ thuộc vào
x
là số hạng thứ 7 ứng với k=6:
64
7 10
2=TC
.
Câu 12. Tìm số hạng hữu tỷ của khai triển
( )
6
3 15−
Lời giải
Số hạng thứ
1+k
trong khai triển
( )
6
3 15−
là:
( )
( )
( )
( )
6
3
2
16 6
3 15 1 3 5 0 6
−
+
= − =− ≤≤
k
kk
k
kk
k
TC C k
1+k
T
là số hạng hữ tỉ
2
⇔
k
là một số tự nhiên
⇔ k
chia hết cho 2
{0;2; 4;6}⇔∈
k
(vì
06≤≤
k
)
Vậy trong khai triển các số hạng hữu tỉ x là số hạng thứ 1; 3; 5; 7
( )
0
0
03
2
16
1 3 5 27=−=TC
( )
2
2
23
2
26
1 3 5 2025=−=TC
( )
4
4
43
2
56
1 3 5 10125=−=
TC
( )
6
6
63
2
76
1 3 5 3375=−=TC
Câu 13. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển sau:
1. Tìm hệ số của
6
x
trong khai triển của biểu thức:
(
)
( )
7
11
2
21 1Ax x=−++
.
2. Tìm hệ số của
3
x
trong khai triển của biểu thức:
(
) ( )
10 5
11Ax x
=+ +−
.
3. Khai triển
( )
Px
dưới dạng:
( )
2
01 2
...
n
n
P x a ax a x a x= + + ++
a) Tìm hệ số
9
a
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
9 10 11 14
1 1 1 ... 1Px x x x x=+ ++ ++ +++
.
b) Tìm hệ số
15
a
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 20
1 2 1 3 1 ... 20 1Px x x x x=+ + + + + ++ +
.
Lời giải
1.
( )
( )
( ) (
)
( )
11 7
77
11 11
22
11 7
00
2 1 1 2 1 .1
k
kk
k kk
kk
A x x C x Cx
−
−
= =
= − + += −+ =
∑∑
( )
11 7
11 11 14 2
11 7
00
. 1 .2 . .
k
k kk k k
kk
C x Cx
−− −
= =
=−+
∑∑
Ta có hệ số của
6
x
trong
( )
11
21x −
thì tương ứng với
11 6 5kk−=⇒=
là
( )
5
65
11
1 .2 .C−
.
Trang 7
Ta có hệ số của
6
x
trong
( )
7
2
1x +
thì tương ứng với
14 2 6 4
kk
− =⇒=
là
4
7
C
.
Vậy hệ số của
6
x
là:
( )
5
65 4
11 7
1 .2 .CC−+
.
2.
( ) (
) (
)
10 5
10 5
10 5
10 5
00
1 1 .1 . 1
k
k kk k k
kk
A x x C x Cx
−−
= =
=+ +− = + − =
∑∑
( )
10 5
10 5
10 5
00
. . 1.
k
kk k k
kk
Cx C x
−−
= =
= +−
∑∑
Ta có hệ số của
3
x
trong
(
)
10
1x +
thì tương ứng với
10 3 7kk−=⇒=
là
7
10
C
.
Ta có hệ số của
3
x
trong
(
)
5
1x
−
thì tương ứng với
53 2kk−=⇒=
là
( )
2
22
55
1.CC−=
.
Vậy hệ số của
3
x
là:
72
10 5
130CC+=
.
3.
a)
(
) (
) (
) (
) (
)
9 10 11 14
1 1 1 ... 1Px x x x x=+ ++ ++ +++ =
9 10 14
9 10 14
00 0
. . ... .
kk kk kk
kk k
Cx Cx Cx
= = =
= + ++
∑∑ ∑
Hệ số của
9
a
là hệ số của
9
x
tương ứng với
9k =
:
99 9
9 10 14
... 3003CC C+ ++ =
b) Tương tự như câu a ta có hệ số của
15
a
là hệ số của
15
x
:
15 15 15
15 16 20
15 16 ... 20 400995CC C+ ++ =
.
Câu 14. Cho khai triển:
10
10
0 1 10
12
...
33
x a ax a x

+ = + ++


. Hãy tìm số hạng
k
a
lớn nhất.
Lời giải
10 10
10
10
0
12 1
2
33 3
k kk
k
x Cx
=

+=


∑
Như vậy số hạng
k
a
lớn nhất khi
10
.2
kk
C
là lớn nhất
5k⇒≥
Với
5, 6, 7,8, 9,10k =
ta có:
55
10
66
10
77
10 10
88
10
2 8064
2 13440
2 15360 .2
2 11520
.......................
kk
C
C
CC
C
=
=
= ⇒
=
là lớn nhất tại
7k =
, vậy số hạng
k
a
lớn nhất tại
10
1
7 .15360
3
k
ka

=⇒=


Câu 15. Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển đa thức của:
( )
8
2
11xx

+−

.
Lời giải
( ) ( ) ( ) ( )
34 8
0 32 42 82
88 8 8
... 1 1 ... 1fxC CxxCxx Cxx
 
= ++ − + − ++ −
 
Trang 8
Nhận thấy:
8
x
chỉ có trong các số hạng:
Số hạng thứ
4
:
( )
3
32
8
1
Cx x

−

Số hạng thứ
5
:
(
)
4
42
8
1Cx x

−

Vậy hệ số tương đương với:
32 40
8 83 84
238A CC CC
=+=
Câu 16. Khai triển đa thức
(
) ( )
12
2 12
0 1 2 12
1 2 ...P x x a ax a x a x
=+ = + + ++
. Tìm
( )
0 1 2 12
max , , ,...,a aa a
.
Lời giải
Gọi
k
a
là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra
1kk
aa
−
>
Từ đây ta có hệ phương trình:
11
12 12
11
12 12
21
22
12 1
12
22
12 1
kk k k
kk k k
CC
kk
CC
kk
−−
++
≥
≥

−+
⇔

≥

≥
−+
( )
88
0 1 2 12 8 12
max , , ,..., .2 126720a aa a a C⇒===
Câu 17. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau:
a)
( )
21
3
x xy+
.
b)
( )
20
4
2
3
1
xx
xy


+



.
Lời giải
a) Khai triển
( )
21
3
x xy+
có
21 1 22+=
số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ
11
và
12
.
Số hạng thứ
11
là:
( )
( )
11
10
10 3 10 43 10
21 21
C x xy C x y=
Số hạng thứ
12
là:
( )
( )
10
11
11 3 10 41 11
21 21
C x xy C x y=
b) Khai triển
( )
20
4
2
3
1
xx
xy


+



có
20 1 21+=
số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ
21 1
11
2
+
=
:
( )
10
10
65 20
7
2
10 10
63
4
3
20 20
C x xy C x y
−
−



=




.
Câu 18. Tìm hệ số của số hạng không chứa
x
trong khai triển
( )
7
3
4
1
fx x
x

= +


với
0x >
.
Lời giải
Số hạng tổng quát trong khai triển:
( )
77
7
3
3 12
17 7
4
1
k
k
k
kk
k
T C x Cx
x
−
−
+

= =


với
,7kk∈≤
Ứng với số hạng không chứa
x
ta có:
77
04
3 12
kk− =⇔=
Vậy số hạng không chứa
x
trong khai triển
( )
fx
là:
4
7
35C =
.
Trang 9
Câu 19. Cho khai triển đa thức
10
2 10
0 1 2 10
12
...
33
x a ax a x a x

+ = + + ++


. Hãy tìm số hạng
k
a
lớn nhất.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
10
10
10
10 10
10 10 10
0
12 1 1 1
12 2 2
33
33 3
k
k kk
k
k
x x Cx a C
=

+ = + = ⇒=


∑
11
1 10 10
11
1
10 10
22
22
kk k k
kk
kk k k
kk
aa C C
aa
CC
++
+
−−
−
≥≥
⇒⇔

≥
≥
Ta có
k
a
đạt được
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
2 .10! 2 .10!
12
!. 10 ! 1 !. 9 !
19 22
10 1
max
22
33
2 .10! 2 .10!
11
!. 10 ! 1 !. 11 !
kk
kk
k kk k
kk
k
kk
k kk k
+
−
≥
≥
− +−

−+
⇔ ⇔ ⇔ ≤≤


≥
≥
−
− −−
[
]
( )
7 , 0;10
k kk⇒= ∈ ∈

Vậy
7
7
7 10
10
2
max
3
k
aa C= =
.
Câu 20. Cho
n
số nguyên dương thỏa mãn
13
5
n
nn
CC
−
=
. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển nhị thức
niu tơn
14
2
1
,0
14
nx
x
x

−≠



.
Lời giải
( )( )
( )( )
13
12
5 5 1 2 30 7
6
n
nn
nn n
C C n nn n
−
−−
= ⇔ = ⇔ − − = ⇒=
(do
0n >
)
Gọi
a
là hệ số của
5
x
ta có:
( )
7
7
2
7 5 7 14 3 5
77
11
. 1. . .
22
k
kk
k
k kk
x
C ax C x ax
x
−
−
− −−


− = ⇔− =





14 3 5 3kk⇒ − =⇔=
và
7
7
7
1 35
.
2 16
k
k
C aa
−
−
−

− =⇒=


.
Vậy số hạng chứa
5
x
là
5
35
.
16
x
−
.
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Số số hạng trong khai triển
( )
50
2x +
là
A.
49
. B.
50
. C.
52
. D.
51
.
Lời giải
Số số hạng trong khai triển là:
1 50 1 51n += +=
.
Câu 2. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức
( )
2018
23x −
A.
2019
. B.
2017
. C.
2018
. D.
2020
.
Lời giải
Trong khai triển nhị thức
( )
n
ab+
thì số các số hạng là
1n
+
nên trong khai triển
( )
2018
23x −
có
2019
số hạng.
Câu 3. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn
( )
5
xy−
.
A.
5 4 32 23 4 5
5 10 10 5x xy xy xy xy y−+ − +−
. B.
5 4 32 23 4 5
5 10 10 5x xy xy xy xy y−−−−+
.
Trang 10
C.
5 4 32 23 4 5
5 10 10 5x xy xy xy xy y
+++++
. D.
5 4 32 23 4 5
5 10 10 5x xy xy xy xy y
+− + −+
.
Lời giải
Ta có:
(
) ( ) (
)
( )
( )
(
) ( )
5
5 1 2 3 45
05 14 23 32 41 5
55 5 5 5 5
x y x y Cx Cx y Cx y Cx y Cx y C y
− =+− = + −+ −+ −+ −+ −


Hay
( )
5
5 4 32 23 4 5
5 10 10 5x y x xy xy xy xy y−=− + − + −
.
Câu 4. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
2019
(3 2 )x−
có bao nhiêu số hạng?
A.
2019
. B.
2018
. C.
2020
. D.
2021
.
Lời giải
Chọn C
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn
()
n
ab+
có
1
n
+
số hạng.
Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
2019
(3 2 )x−
có
2020
số hạng.
Câu 5. Từ khai triển biểu thức
( )
10
1
x +
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa
thức là
A.
1023
. B.
512
. C.
1024
. D.
2048
.
Lời giải
Chọn C
Xét khai triển
( )
10
10
10
0
() 1 .
kk
k
fx x C x
=
=+=
∑
.
Gọi
S
là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có
( )
10
10
(1) 1 1 2 1024Sf= =+==
.
Câu 6. Từ khai triển biểu thức
(
)
10
1x
+
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là
A.
1023
. B.
512
. C.
1024
. D.
2048
.
Lời giải
Chọn C
Xét khai triển
( )
10
10
10
0
() 1 .
kk
k
fx x C x
=
=+=
∑
.
Gọi
S
là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có
( )
10
10
(1) 1 1 2 1024Sf= =+==
.
Câu 7. Tính tổng các hệ số trong khai triển
( )
2018
12x−
.
A.
1−
. B.
1
. C.
2018
−
. D.
2018
.
Lời giải
Xét khai triển
2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018
2018 2018 2018 2018 2018
(1 2x) 2. (2). (2). ... (2) .
CxCxCxC xC− = − +− +− + +−
Tổng các hệ số trong khai triển là:
0 1 2 2 3 3 2018 2018
2018 2018 2018 2018 2018
2. ( 2) . ( 2) . ... ( 2) .SC C C C C= − +− +− + +−
Cho
1x
=
ta có:
2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018
2018 2018 2018 2018 2018
(1 2.1) 2.1. ( 2.1) . ( 2.1) .C ... ( 2.1) .CCC C− = − +− +− + +−
( )
2018
11SS⇔− = ⇔ =
Câu 8. Khai triển
124
4
( 5 7)−
. Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
A.
30
. B.
31
. C.
32
. D.
33
.
Lời giải
Trang 11
Ta có
( )
124
124
124
4
24
124
0
( 5 7) . 1 .5 .7
kk
k
k
k
C
−
=
−= −
∑
Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với
124
2
4
k
k
−
∈
∈
{ }
0;4;8;12;...;124k⇔∈
.
Vậy số các giá trị
k
là:
124 0
1 32
4
−
+=
.
Câu 9. Trong khai triển nhị thức newton của
2018
3
( ) ( 2 3)Px x= +
thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số
hạng có hệ số nguyên dương?
A. 673. B. 675. C. 674. D. 672.
Lời giải
Chọn A
( )
2018
2018 2018
2018
2018 2018
33
3
00
( ) ( 2 3) 2 3 2 .3
k
k
k kk
kk
Px x x x
−
−
−
= =
=+= =
∑∑
Để hệ số nguyên dương thì
( )
2018 3 2018 3 2018 3k ktk t− ⇔ −= ⇔= −
,do
0 2018k
≤≤
nên ta
có
2018
0 2018 3 2018 0 672,6
3
tt≤ − ≤ ⇔ ≤≤ ≈
vậy t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị
Câu 10. Trong khai triển
( )
20
2 20
0 1 2 20
1 2 ... .
x a ax ax a x
− = + + ++
Giá trị của
012
aaa−+
bằng
A. 801. B. 800. C. 1. D. 721.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
20
20
20
0
12 2 ,
k
kk
k
xCx
=
−= −
∑
( )
kZ∈
0
0 20
,
aC⇒=
1
1 20
2. ,aC= −
( )
2
22
2 20 20
2 4.a CC=−=
Vậy
01 2
0 1 2 20 20 20
2 4 801.aaaCCC−+ = + + =
Câu 11. Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức
( )
2019
35
35
+
?
A.
136
. B.
403
. C.
135
. D.
134
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
( )
( )
2019
2019 2019
2019 2019
35 3 5
35
2019 2019
00
3 5 . 3 . 5 .3 .5
kk
kk
kk
kk
CC
−
−
= =
+= =
∑∑
.
Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì
0 2019 0 2019
2019
673
33
55
kk
kk
kk
kk
∈∈


≤≤ ≤≤


−
⇔

∈ −∈


∈∈





Trang 12
0 2019
15
k
k
k
∈
⇔ ≤≤
.
Ta có
15 15
k km⇒=
mà
0 2019 0 15 2019 0 134,6k mm≤≤ ⇔≤ ≤ ⇔≤ ≤
. Suy ra có
135
số
hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.
Câu 12. Trong khai triển của
2019
1 1 11
15 3 3 5
x y xy

+


, số hạng mà lũy thừa của
x
và
y
bằng nhau là số hạng
thứ bao nhiêu của khai triển?
A.
1348
. B.
1346
. C.
1345
. D.
1347
.
Lời giải
Chọn D
Ta có số hạng thứ
1
k +
là :
2019
1 1 11
15 3 3 5
2019
kk
k
C x y xy
−



2019 4 2019 2
15 15 3 15
2019
kk
k
Cx y
+−
=
Theo đề bài ta có;
2019 4 2019 2
15 15 3 15
kk+= −⇔
1346k =
Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ
1347
.
Câu 13. Trong khai triển
9
2
8
x
x

+


, số hạng không chứa
x
là
A. 40096. B. 43008. C. 512. D. 84.
Lời giải
Chọn B
Số hạng tổng quát
93
19
.8 . ,0 9
kk k
k
T Cx k
−
+
= ≤≤
.
Số hạng không chứa
x
ứng với
93 0 3kk− =⇔=
.
Vậy số hạng không chứa
x
trong khai triển là
33
49
.8 43008TC= =
.
Câu 14. Số hạng độc lập với
x
trong khai triển
8
3
2
x
x

−


là
A.
1792
. B.
792
. C.
972
. D.
1972
.
Lời giải
Chọn A
Ta có số hạng thứ
1k +
trong khai triển là
( )
( )
8
3 24 4
18 8
2
. .2
k
k
k
k kk
k
T C x Cx
x
−
−
+

= −= −


.
Do tìm số hạng độc lập với
x
suy ra
24 4 0 6kk− =⇔=
( )
6
6
78
. 2 1792TC⇒= − =
.
Câu 15. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
12
3
1
x
x

−


.
A.
220−
. B.
220
. C.
924
. D.
924−
.
Lời giải
Chọn A
Công thức số hạng thứ
( )
1k +
của khai triển
12
3
1
x
x

−


là:
Trang 13
(
)
( )
(
)
12
3 36 4
12 12
1
1 . 1 ,0 12,
k
kk
k kk
k
k
TC x C x k k
x
−
−
= − = − ≤≤ ∈
.
Số hạng không chứa
x
ứng với
36 4 0 9kk− =⇔=
.
Suy ra
( )
9
9
7 12
1 220TC= −=−
.
Câu 16. Cho
x
là số thực dương, số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức
30
2
x
x

+


là
A.
20
2
. B.
20 10
30
2 C
. C.
10 20
30
2 C
. D.
20
30
C
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
30
30
1 13
30 30
30
30
2 22
30 30
00
2
2 22
k
k
k k kk
kk
x x x Cx x C x
x
−
−−
−
= =


+=+ = =




∑∑
Số hạng tổng quát thứ
1k
+
trong khai triển là
3
30
2
1 30
2
k
kk
k
T Cx
−
+
=
.
Số hạng này không chứa
x
tương ứng với trường hợp
3
30 0 20
2
k
k− =⇔=
.
Vậy số hạng không chứa
x
trong khai triển là
20 20 20 10
21 30 30
22TC C= =
.
Câu 17.
Số hạng không chứa x trong khai triển
45
2
1
x
x

−


là
A.
5
45
C
. B.
5
45
C−
. C.
15
45
C
. D.
15
45
C−
.
Lời giải
Chọn D
Số hạng tổng quát trong khai triển là
( )
45 45 3
1 45 45
2
1
. . .1
k
k
kk k k
k
T Cx C x
x
−−
+

= −=−


Số hạng không chứa
x
trong khai triển ứng với
45 3 0 15kk− =⇔=
.
Vậy số hạng cần tìm là
( )
15
15 15
45 45
.1CC−=−
.
Câu 18. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
10
2
x
x

+


là
A.
5
10
C
. B.
55
10
.2
C−
. C.
5
10
C−
. D.
55
10
.2
C
.
Lời giải
Chọn D
Số hạng tổng quát trong khai triển
10
2
x
x

+


là:
10 10 2
1 10 10
2
. .2
k
k k kk k
k
T Cx C x
x
−−
+

= =


Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với
10 2 0 5kk− =⇔=
(thỏa mãn).
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là:
55
10
.2
C
.
Câu 19. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
7
3
4
1

+


x
x
là:
A. 5. B. 35. C. 45. D. 7.
Trang 14
Lời giải
Chọn B
Ta có:
7
3
4
1

+


x
x
( )
7
7
3
7
4
0
1
−
=

=


∑
k
k
k
k
Cx
x
77
7
3 12
7
0
.
−
=
=
∑
k
k
k
Cx
Số hạng không chứa
x
trong khai triển ứng với
77
0
3 12
0 7,
−=
≤≤ ∈
k
kk
4.⇒=k
Số hạng không chứa
x
trong khai triển
7
3
4
1

+


x
x
là:
Câu 20. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
6
2
1
2
x
x

−


,
0x ≠
.
A.
240
. B.
15
. C.
240
−
. D.
15−
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
(
)
( )
( )
6
6
66
6 63
66
22
00
11
2 .2 .1 .2.1.
k
k
kk
k kk k
kk
x Cx C x
xx
−
−−
= =

−= − = −


∑∑
Số hạng không chứa
x
xảy ra khi:
63 0 2kk− =⇔=
Số hạng đó là
( )
2
24
6
.2 . 1 240C −=
Vậy số hạng không chứa
x
trong khai triển trên là
240
Câu 21. Số hạng không chứa
x
trong khai triển biểu thức
12
2
1
Ax
x

= −


là
A.
924
−
. B.
495
. C.
495−
. D.
924
.
Lời giải
Chọn B
Số hạng tổng quát trong khai triển là
( )
12
2
1 12
1
k
k
k
k
TC x
x
−
+

= −


( )
3 12
12
1
k
kk
Cx
−
= −
.
Theo đề bài ta có
3 12 0 4kk
− =⇔=
.
Vậy số hạng không chứa
x
trong khai triển là
( )
4
4
12
1 495C −=
.
Câu 22. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
45
2
1
x
x

−


là
A.
15
45
C
. B.
30
45
C
. C.
5
45
C−
. D.
15
45
C−
.
Lời giải
Chọn D
Có
45
45
45
45
22
0
11
..
k
kk
k
x Cx
xx
−
=

−= −


∑
( )
45
45 3
45
0
1.
k
kk
k
Cx
−
=
= −
∑
.
Tìm số hạng không chứa
x
thì
45 3 0k−=
15k⇔=
.
Vậy số hạng không không chứa
x
là
15
45
C
−
.
Câu 23. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
5
2
3
1
x
x

+


.
Trang 15
A.
10
. B.
20
. C.
5
. D.
1
.
Chọn A
Lời giải.
Số hạng tổng quát trong khai trển
5
2
3
1
x
x

+


là:
( )
5
2 10 5
55
3
1
..
k
k
k kk
k
T C x Cx
x
−
−

= =


Số hạng cần tìm không chứa
x
nên ta có:
10 5 0 2.kk
− =⇔=
Vậy số hạng không chứa
x
trong khai triển là
2
25
10.TC= =
Câu 24. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
7
3
4
1

+


x
x
là
A. 5. B. 35. C. 45. D. 7.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
7
3
4
1

+


x
x
(
)
7
7
3
7
4
0
1
−
=

=


∑
k
k
k
k
Cx
x
77
7
3 12
7
0
.
−
=
=
∑
k
k
k
Cx
Số hạng không chứa
x
trong khai triển ứng với
77
0
3 12
0 7,
−=
≤≤ ∈
k
kk
4.⇒=k
Số hạng không chứa
x
trong khai triển
7
3
4
1

+


x
x
là:
Câu 25. Cho
x
là số thực dương, số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức
30
2
x
x


là
A.
20
2
. B.
20 10
30
2.C
. C.
10 20
30
2.C
. D.
20
30
C
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
30
30 30
60 3
30
2
30 30
00
22
2
k
k
kk
kk
kk
x Cx C x
xx












.
Số hạng không chứa
x
tương ứng
60 3
0 20
2
k
k

.
Vậy số hạng không chứa
x
là:
20 20 20 10
30 30
2. 2.CC
.
Câu15. Cho khai triển
20 2 20
0 1 2 20
(2 1) ....x a ax ax a x− =+ + ++
. Tìm
1
a
A. 20. B. 40. C. -40. D. -760.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
1
a
là hệ số của
x
Hạng tử chứa x trong khai triển là:
19
20 1
2 40Cx a− ⇒=−
Câu 26. Cho khai triển
( )
20
2
0 1 2 20 20
12x a ax a x a x− =+ + ++
. Giá trị của
0 1 2 20
aaa a++++
bằng:
A.
1
. B.
20
3
. C.
0
. D.
1−
.
Lời giải
( )
20
2
0 1 2 20 20
12x a ax a x a x− =+ + ++
( )
1
.
Thay
1x =
vào
( )
1
ta có:
( )
20
0 1 2 20
11aaa a++++ =− =
.
Trang 16
Câu 27. Hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển nhị thức
12
2
x
xx

−


là:
A.
376
. B.
264−
. C.
264
. D.
260
.
Lời giải
Chọn C
Số hạng tổng quát của khai triển
12
2
x
xx

−


(với
0x
>
) là
12
1 12
2
..
k
kk
k
T Cx
xx
−
+

= −


( )
3
12
2
12
2. . .
k
k
kk
Cx x
−
−
= −
( )
5
12
2
12
2. .
k
k
k
Cx
−
= −
.
Số hạng trên chứa
7
x
suy ra
5
12 7 2
2
k
k− =⇔=
.
Vậy hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển trên là
( )
2
2
12
2 . 264
C=−=
.
Câu 28. Tìm hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển nhị thức
13
1
x
x

+


,.
A.
1716.
B.
68.
C.
176.−
D.
286.
Lời giải
Chọn D
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức
13
1
x
x

+


.
13 13 2
1 13 13
1
k
kk k k
k
T Cx Cx
x
−−
+

= =


.
1k
T
+
chứa
7
13 2 7 3x kk⇔ − =⇔=
.
Vậy hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển nhị thức
13
1
x
x

+


bằng:
3
13
286C =
.
Câu 29. Hệ số của
31
x
trong khai triển
40
2
1
,0xx
x

+≠


là.
A.
4
40
C
. B.
2
40
C
. C.
3
40
C
. D.
5
40
C
.
Lời giải.
Chọn C
40
40 40
40 2 40 3
40 40
2
00
1
.
k kk k k
kk
x Cx x Cx
x
−− −
= =

+= =


∑∑
Theo giả thiết:
40 3 31 3kk− = ⇒=
.
Vậy hệ số của
31
x
là
3
40
9880C =
.
Câu 30. Hệ số lớn nhất trong khai triển
4
13
44
x

+


A.
27
128
. B.
9
32
. C.
27
32
. D.
27
64
.
Lời giải
Chọn D
Trang 17
Ta có
44
4
4
0
13 1 3
..
44 4 4
kk
k
k
xC
−
=
 
+=
 
 
∑
23 4
1 3 27 27 81
256 64 128 64 256
xxx x=++ + +
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là
27
64
.
Câu 31. Cho biết hệ số của
2
x
trong khai triển
( )
12
n
x+
bằng
180
.Tìm
n
.
A.
8n
=
. B.
12n =
. C.
14n
=
. D.
10n =
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
1
.2 .
k kk
kn
T Cx
+
=
.
Hệ số của
2
x
trong khai triển bằng
180
( )
( )
( )
22 2 2
10
!
.2 180 .2 180 1 90 90 0
9
2 .2
n
n
n
C nn n n
nl
n
=
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ −− =⇔
= −
−
Câu 32. Tìm hệ số
h
của số hạng chứa
5
x
trong khai triển
7
2
2
x
x

+


.
A.
84
h =
. B.
672h =
. C.
560h =
. D.
280h =
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
77
77
2 2 7 37
77
00
22
.2 . .
k
k
k k kk
kk
x Cx C x
xx
−
−−
= =

+= =


∑∑
Cần tìm
k
sao cho
3 75k −=
, suy ra
4.k =
Vậy hệ số
h
của số hạng chứa
5
x
trong khai triển
7
2
2
x
x

+


là
43
7
.2 280.hC= =
Câu 33. Hệ số của số hạng chứa
6
x
trong khai triển Newton
15
2
2
x
x

−


là
A.
3640−
. B.
3640
. C. 455. D.
1863680−
Lời giải
Chọn A
( )
(
)
( )
15
15 15 15
15 15 2 15 3
15 15 15
22
00 0
22
22
k
k
kk
kk kk k k
kk k
x Cx Cx x C x
xx
− −− −
= = =

− = −= − = −


∑∑ ∑
Số hạng tổng quát của khái triển
( )
15 3
1 15
2
k
kk
k
TC x
−
+
= −
Số của số hạng chứa
6
x
:
15 3 6 3kk− =⇔=
. Hệ số của số hạng chứa
6
x
( ) ( )
3
3
15 15
2 2 3640
k
k
CC−= −=−
Câu 34. Tìm hệ số của
25 10
xy
trong khai triển
( )
15
3
.x xy+
A. 58690. B. 4004. C. 3003. D. 5005.
Lời giải
Chọn C
Trang 18
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là
(
)
(
)
15
3 45 2
15 15
. . . .,
k
k
k k kk
C x xy C x y
−
−
=
với
0 15k≤≤
,
k ∈
. Số hạng này chứa
25 10
xy
khi và chỉ khi
10k =
.
Vậy hệ số của
25 10
xy
trong khai triển
(
)
15
3
x xy
+
là
10
15
3003.C =
Câu 35. Cho khai triển
6
2
x
x

+


với
0x >
. Tìm hệ số của số hạng chứa
3
x
trong khai triển trên
A.
80
. B.
160
. C.
240
. D.
60
.
Lời giải:
Chọn D
Ta có:
6
3
66
6
6
2
66
00
22
2
k
k
k k kk
kk
x Cx Cx
xx
−
−
= =

+= =


∑∑
.
Số hạng chứa
3
x
ứng với
3
632
2
k
k− =⇒=
. Vậy hệ số của số hạng chứa
3
x
bằng
22
6
2 . 60C =
.
Câu 36. Cho khai triển
6
2
x
x

+


với
0
x >
. Tìm hệ số của số hạng chứa
3
x
trong khai triển trên
A.
80
. B.
160
. C.
240
. D.
60
.
Lời giải:
Chọn D
Ta có:
6
3
66
6
6
2
66
00
22
2
k
k
k k kk
kk
x Cx Cx
xx
−
−
= =

+= =


∑∑
.
Số hạng chứa
3
x
ứng với
3
632
2
k
k− =⇒=
. Vậy hệ số của số hạng chứa
3
x
bằng
22
6
2 . 60C =
.
Câu 37. Biết hệ số của
2
x
trong khai triển của
( )
13
n
x−
là
90
. Tìm
n
.
A.
7
n =
. B.
6n =
. C.
8n =
. D.
5
n =
.
Lời giải
Chọn D
Số hạng thứ
1k +
trong khai triển của
( )
13
n
x−
là:
( )
1
3
k
kk
kn
TC x
+
= −
.
Số hạng chứa
2
x
ứng với
2k =
.
Ta có:
( )
2
2
3 90
n
C
−=
2
10
n
C⇔=
( )
!
10
2! 2 !
n
n
⇔=
−
( )
1 20nn⇔ −=
( )
5
4
n
nL
=
⇔
= −
. Vậy
5n =
.
Câu 38. Số hạng thứ
13
trong khai triển
bằng?
A.
13
3640
x
. B.
12
3640x
. C.
12
420x−
. D.
3640
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
15
15
15
15
0
2 .2 .
k
kk
k
xC x
−
=
−= −
∑
Số hạng thứ
13
trong khai triển tương ứng với
12k =
.
( )
12
12 15 12 12
15
.2 . 3640Cxx
−
⇒ −=
.
Trang 19
Câu 39. Tìm số hạng chứa trong khai triển
9
1
2
x
x

−


.
A.
. B.
33
9
1
8
Cx⋅
. C.
33
9
Cx−⋅
. D.
33
9
Cx
.
Lời giải
Chọn A
Số hạng thứ
1
k +
trong khai triển là:
9 92
19 9
11
22
kk
kk k
k
T Cx C x
x
−−
+

= ⋅− = ⋅−


.
Số hạng chứa
3
x
có giá trị
k
thỏa mãn:
92 3 3
kk− =⇔=
.
Vậy số hạng chứa
3
x
trong khai triển là:
33
9
1
8
Cx−
.
Câu 40. Tìm số hạng chứa
7
x
trong khai triển
13
1
x
x

−


.
A.
3
13
C
−
. B.
37
13
Cx−
. C.
47
13
Cx−
. D.
4
13
C
−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có công thức của số hạng tổng quát:
( ) ( )
13 13 13 2
1 13 13 13
1
. 1 .1
k
kk
kk kk k k k
k
T Cx Cx x C x
x
− −− −
+

= −= − = −


Số hạng chứa
7
x
khi và chỉ khi
13 2 7 3kk− =⇔=
.
Vậy số hạng chứa
7
x
trong khai triển là
37
13
Cx−
.
Câu 41. Tìm số hạng chứa
31
x
trong khai triển
40
2
1
x
x

+


?
A.
4 31
40
C x
. B.
37 31
40
C x
. C.
37 31
40
C x
. D.
3 31
40
C x
.
Lời giải
Chọn D
Ta có khai triển:
( )
40
40 40
40 2 40 3
40 40
2
00
1
−− −
= =

+= =


∑∑
k
kk k k
kk
x xx x
x
CC
Số hạng tổng quát trong khai triển:
40 3
40
−kk
C x
Số hạng chứa
31
x
ứng với:
40 3 31 3=−=⇔k k
Vậy số hạng chứa
31
x
là:
3 31
40
C
x
Câu 42. Số hạng chứa
34
x
trong khai triển
40
1
x
x

+


là
A.
37 34
40
Cx−
. B.
3 34
40
Cx
. C.
2 34
40
Cx
. D.
4 34
40
Cx
.
Lời giải
Chọn B
Số hạng thứ
1
k +
trong khai triển
40
1
x
x

+


là:
40 40 40 2
1 40 40 40
1
.
k
kk kkk k k
k
a Cx Cx x Cx
x
− −− −
+

= = =


.
3
x
Trang 20
Số hạng chứa
34
x
trong khai triển
40
1
x
x

+


tương ứng với:
40 2 34 3kk− = ⇔=
.
Vậy số hạng chứa
34
x
trong khai triển
40
1
x
x

+


là:
3 34
40
Cx
.
Câu 43. Biết hệ số của số hạng chứa
2
x
trong khai triển
( )
14
n
x+
là
3040
. Số tự nhiên
n
bằng bao nhiêu?
A.
28
. B.
26
. C.
24
. D.
20
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) (
)
00
14 4 4
nn
nk
k kkk
nn
kk
x Cx Cx
= =
+= =
∑∑
.
Hệ số của số hạng chứa
2
x
là:
22
4
n
C
.
Giả thiết suy ra
( )
( )
( )
22 2 2
20 t/m
1
4 3040 190 190 380 0
2
19 loai
nn
n
nn
C C nn
n
=
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ −− =⇔
= −
.
Câu 44. Biết hệ số của
2
x
trong khai triển của
là
90
. Tìm
n
.
A.
5
n
=
. B.
8n
=
. C.
6
n =
. D.
7
n =
.
Lời giải
Số hạng tổng quát thứ
1k +
là
( )
( )
1
33
kk
k kk
kn n
TC xC x
+
=−=−
.
Vì hệ số của
2
x
nên cho
2k
=
.
Khi đó ta có
(
)
2
2
3 90
n
C −=
( )
( )
( )
2
5
1
10 10
2
4
n
nn
nn
C
nl
=
−
⇔=⇔ =⇔
= −
.
Vậy
5n =
.
Câu 45. Cho biết hệ số của
2
x
trong khai triển
( )
12
n
x+
bằng
180
. Tìm
n
.
A.
12
n =
. B.
14
n =
. C.
8
n =
. D.
10
n =
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) (
)
2
01 2
1 2 .2 . 2 ... 2
nn
n
nn n n
x C C xC x C x+ = + + ++
.
Hệ số của
2
x
bằng
2
180 4. 180
n
C
⇔=
( )
!
4 180
2! 2 !
n
n
⇔=
−
( )
1 90nn⇔ −=
2
90 0
nn⇔ −− =
( )
9
10
nl
n
= −
⇔
=
.
Vậy
10
n
=
.
Câu 46. Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển của biểu thức
5
3
2
2
3x
x

−


.
A.
810−
. B.
826
. C.
810
. D.
421
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
( )
5
55
5
3 3 5 15 5
55
22
00
22
3 1 . . 3 . 1 . .3 .2
k
k
kk
k k kk k
kk
x Cx C x
xx
−
−−
= =

−=− =−


∑∑
.
Trang 21
Số hạng chứa
10
x
ứng với
15 5 10 1kk− = ⇔=
.
Hệ số của số hạng chứa
10
x
là
(
)
1
141
5
1 .3 .2 810C−=−
.
Câu 47. Tìm hệ số của số hạng chứa
31
x
trong khai triển
40
2
1
x
x

+


.
A.
37
40
C
. B.
31
40
C
. C.
4
40
C
. D.
2
40
C
.
Lời giải
Ta có:
40
40 40
40 40 3
40 40
22
00
11
.. .
k
kk k k
kk
x Cx Cx
xx
−−
= =

+= =


∑∑
.
Số hạng tổng quát của khai triển là:
40 3
1 40
.
kk
k
T Cx
−
+
=
.
Số hạng chứa
31
x
trong khai triển tương ứng với
40 3 31 3kk
− = ⇔=
.
Vậy hệ số cần tìm là:
3 37
40 40
CC
=
.
Câu 48. Trong khai triển
6
2
x
x

+


, hệ số của
( )
3
0xx>
là:
A.
80
. B.
160
. C.
240
. D.
60
.
Lời giải
Ta có:
6
6
1
2
2
2x xx
x
−


+=+




( )
1
6
6
2
6
0
2
k
k
k
k
Cx x
−
−
=

=


∑
( )
1
6
6
2
6
0
.2 2
k
k
kk
k
Cx x
−
−
=

=


∑
3
6
6
2
6
0
.2
k
kk
k
Cx
−
=
=
∑
Theo đề bài,
3
6
3
2
k
xx
−
=
3
63
2
k⇔− =
2k⇔=
Hệ số của
( )
3
0xx>
là:
22
6
.2 60C =
.
Câu 49. Cho
n
là số tự nhiên thỏa mãn
0 1 22
2. 2 . ... 2 . 59049
nn
nn n n
CC C C+ + ++ =
. Biết số hạng thứ
3
trong
khai triển Newton của
2
3
n
x
x

−


có giá trị bằng
81
2
n
. Khi đó giá trị của
x
bằng
A.
1
B.
2
. C.
1
±
D.
2±
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
0 1 2 2 10
2. 2 . ... 2 . 59049 2 1 59049 3 3 10
n
nn n
nn n n
CC C C n+ + ++ = ⇒ + = ⇔ = ⇔=
.
Ta được nhị thức
10
2
3
x
x

−


.
Số hạng thứ ba của khai triển là
(
)
2
8
2 2 14
3 10
3
. . 405TCx x
x

= −=


.
Theo giả thiết ta có:
14
81
405
2
xn
=
⇔
14
405 405x
=
⇔
14
1
x =
⇔
1x = ±
.
Câu 50. Cho nhị thức
2
3
1
2
n
x
x

+


, trong đó số nguyên dương
n
thỏa mãn
3
72
n
An=
. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển.
A.
6 45
10
2 Cx
. B.
5 55
10
2 Cx
. C.
7 35
10
2 Cx
. D.
6 75
10
2 Cx
.
Lời giải
Trang 22
Chọn C
Ta có:
( )
( )( )
3
!
72 72 1 2 72
3!
n
n
A n n nn n n
n
= ⇔ = ⇔ − −=
−
10n⇔=
.
Xét khai triển:
( )
10
10 10 10
10
2 2 10 20 2 3 10 20 5
10 10 10
33
0 00
11
2 2 .2 . .2
k
k
k kk kk kk k
k kk
x Cx Cxx Cx
xx
−
−−− −−
= = =

+= = =


∑ ∑∑
.
Số hạng chứa
5
x
trong khai triển tương đương với:
20 5 5 3
kk
− =⇔=
.
Suy ra số hạng chứa
5
x
trong khai triển là:
7 35
10
2 Cx
.
Câu 51. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức Newton của
2
3
2
n
x
x

−


( )
0x ≠
, biết rằng
123
1. 2. 3. ... . 256
n
nnn n
C C C nC n+ + ++ =
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
A.
489888
B.
49888
. C.
48988
. D.
4889888
.
Lời giải
Chọn A
Tìm
.n
Trước hết ta chứng minh công thức
1
1
kk
nn
k
CC
n
−
−
=
với
1 kn≤≤
và
2.n ≥
Thật vậy,
1
1
! ( 1) !
..
!( )! ( 1)!( )!
kk
nn
k kn n
CC
n nknk k nk
−
−
−
= = =
− −−
Áp dụng công thức trên ta có
123 1 2 3
123
1. 2. 3. ... . . . . ... .
nn
nnn n n n n n
n
C C C nC n C C C C
nnn n

+ + ++ = + + ++


( )
01 2 1 1
111 1
... 2
nn
nnn n
nCCC C n
−−
−−− −
= ++++ =
Theo đề
123 1 1
1. 2. 3. ... . 256 2 256 2 256 9.
nnn
nnn n
C C C nC n n n n
−−
+ + ++ = ⇔ = ⇔ = ⇔=
Chọn A.
Câu 52. Cho khai triển
( )
1
01
1 3 ...
n
n
n
x a ax a x
+ = + ++
trong đó
*n ∈
và các hệ số thỏa mãn hệ thức
1
0
... 4096
33
n
n
a
a
a + ++ =
. Tìm hệ số
i
a
lớn nhất.
A.
1732104.
B.
3897234.
C.
4330260.
D.
3247695
.
Lời giải
Chọn C
Xét khai triển
( )
1
01
1 3 ...
n
n
n
x a ax a x+ = + ++
.
Cho
1
3
x =
ta được
1
0
1
1
1 3. ... 2 4096 12.
3 33
n
n
n
n
a
a
an

+ = + ++ ⇒ = ⇔=


Khi đó
( )
12
12
12
0
1 3 .3 .
k kk
k
x Cx
=
+=
∑
.
Ta có hệ số
( )
12
12!
3 3.
!. 12 !
kk k
k
aC
kk
= =
−
Hệ số
k
a
lớn nhất nên
(
) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1
1
1
12! 12!
3. 3 .
!. 12 ! 1 !. 12 1 !
12! 12!
3. 3 .
!. 12 ! 1 !. 12 1 !
kk
kk
kk
kk
kk k k
aa
aa
kk k k
−
−
+
+
− − −+
⇔
≥
≥
≥
≥

− + −−
Trang 23
31
39
39 3
13
4
1 3 1 36 3 35
12 1 4
k
kk
kk
kk
k
kk
≥
≤
≥
≥
−

−
⇔⇔ ⇔

+−

−+
≥
≥
Vì
k ∈
nên nhận
9.k =
Vậy hệ số lớn nhất
99
9 12
3 . 4330260.aC= =
Câu 53. Tìm hệ số của
6
x
trong khai triển
31
3
1
n
x
x
+

+


với
0,x ≠
biết
n
là số nguyên dương thỏa mãn
22
12
3 4.
nn
C nP A
+
+=
A.
6
210 .x
B.
210.
C.
6
120 .x
D.
120.
Lời giải
Chọn B
Đk:
2, .nn≥∈
22
12
34
nn
C nP A
+
+=
(
)
( ) ( )
1!
!
3 2! 4
1 !2! 2 !
n
n
n
nn
+
⇔ +=
−−
( ) (
)
3
12 4 1
2
nn n nn⇔ ++ = −
( )
2
0
5 15
0
22
3
nL
nn
n
=
⇔−=⇔
=
Với
3
n =
, nhị thức trở thành
10
3
1
.
x
x

+


Số hạng tổng quát là
( )
10
3 4 10
10 10
1
.. .
k
k
k kk
C x Cx
x
−
−

=


Từ yêu cầu bài toán ta cần có:
4 10 6 4.kk− =⇔=
Vậy hệ số của số hạng chứa
6
x
là
4
10
210.
C
=
Câu 54. Tìm hệ số của số hạng chứa
6
x
trong khai triển
2
3
2
n
x
x

−


( )
0x ≠
, biết rằng
23
2 14 1
3
nn
C Cn
+=
(
k
n
C
là số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử).
A.
326592
. B.
3265922
C.
3265592
D.
32692
.
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình
23
2 14 1
3
nn
C Cn
+=
( )
1
Điều kiện:
3, nn
≥∈
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
2. 2 !.2! 14 3 !.3!
1 4 28 1
1
! 3. ! 1 1 2
nn
n n n nn nn n n
−−
⇔ + =⇔+ =
− −−
( )( )
( ) ( )( )
( )
2
9
4 28
1 4 2 28 1 2 7 18 0
2
1 12
n
n n n nn
nl
n nn
=
⇔ + =⇔ −+ =− −⇔ −−=⇔
= −
− −−
Trang 24
Với
9n =
ta có:
( )
( )
9
99
9
2 2 9 18 3
99
00
33
2 . 2 . .2 . 3 .
k
k
k
k kk k
kk
x Cx C x
xx
−
−−
= =

−= −= −


∑∑
Số hạng tổng quát của khai triển là
( )
9 18 3
9
.2 . 3 .
k
kk k
Cx
−−
−
Cho
18 3 6 4kk− =⇒=⇒
hệ số của số hạng chứa
6
x
trong khai triển là
( )
4
45
9
.2 . 3 326592C −=
.
Câu 55. Tìm số hạng chứa
26
x
trong khai triển
7
4
1

+


n
x
x
biết
n
là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức
1 2 20
21 21 21
... 2 1
++ +
+ ++ = −
n
nn n
CC C
.
A.
325
. B.
210
. C.
200
. D.
152
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết ta suy ra
0 1 2 20
21 21 21 21
... 2
+++ +
++++=
n
nnn n
CCC C
.
Mặt khác:
21
21 21
, ,0 2 1
+−
++
= ∀∈ ≤ ≤ +
k nk
nn
C C k kn
nên ta có:
(
)
(
)
21
01 2 01 2 21 2
21 21 21 21 21 21 21 21
11
... ... 1 1 2
22
+
+
+++ + +++ +
++++= ++++ =+ =
n
n nn
nnn n nnn n
CCC C CCC C
.
Suy ra:
2 20
2 2 10= ⇔=
n
n
.
Số hạng tổng quát trong khai triển
10
7
4
1

+


x
x
là:
( )
10
7 11 40
1 10 10
4
1
−
−
+

= =


k
k
k kk
k
T C x Cx
x
.
Hệ số của
26
x
là
10
k
C
với
k
thỏa mãn:
11 40 26 6− = ⇔=kk
.
Vậy hệ số của
26
x
là
6
10
210=C
.
Câu 56. Với
n
là số tự nhiên thỏa mãn
62
4
454
n
nn
C nA
−
−
+=
, hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển nhị
thức Niu-tơn của
3
2
n
x
x

−


bằng
A.
1972
. B.
786
. C.
1692
. D.
1792−
.
Lời giải
Điều kiện
6n ≥
và
n ∈
.
62
4
454
n
nn
C nA
−
−
+=
( )
( ) ( )
4!
!
454
6!2! 2!
n
n
n
nn
−
⇔ +⋅ =
−−
( )( )
( )
2
54
1
2
nn
nn
−−
⇔ +−
454=
32
2 9 888 0nn n⇔ −−− =
8n⇔=
(Vì
n ∈
).
Khi đó ta có khai triển:
8
3
2
x
x

−


.
Số hạng tổng quát của khai triển là
( )
( )
8
3 8 48
88
2
12
k
k
k
k k kk
C xC x
x
−
−−

−=−


.
Hệ số của số hạng chứa
4
x
ứng với
k
thỏa mãn:
4 84 3kk
−=⇔ =
.
Trang 25
Vậy hệ số của số hạng chứa
4
x
là:
( )
3
35
8
1 2 1792C −=−
.
Câu 57. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn
13
13
nn
CC n+=
, hệ số của số hạng chứa
5
x
trong khai triển
của biểu thức
2
3
1
n
x
x

+


bằng.
A.
120
. B.
252
. C.
45
. D.
210
.
Lời giải
( )
( )( )
13 2
12
!
13 13 13 6 3 2 78
3! 3 ! 6
nn
nn n
n
CC nn nn n n n
n
−−
+ = ⇔+ = ⇔+ = ⇔+ − +=
−
.
2
7
3 70 0
10
n
nn
n
= −
⇔−−=⇔
=
. Vì
n
là số nguyên dương nên
10n =
.
Ta có khai triển:
10
2
3
1
x
x

+


.
Số hạng tổng quát của khai triển:
( )
2 10
20 5
1 10 10
3
1
.
k
k
k kk
k
T Cx Cx
x
−
−
+

= =


.
Số hạng chứa
5
x
ứng với
20 5 5 3
kk
− =⇔=
. Vậy hệ số của số hạng chứa
3
10
120C
=
.
Câu 58. Cho
n
là số nguyên dương thỏa mãn
2 21
46
n nn
ACC n=+++
. Hệ số của số hạng chứa
9
x
của khai
triển biểu thức
( )
2
3
n
Px x
x

= +


bằng:
A.
18564
. B.
64152
. C.
192456
. D.
194265
.
Lời giải
2 21
46
n nn
ACC n
= +++
( )
( ) ( )
!! !
46
2 ! 2 !.2! 1 !.1!
nn n
n
nn n
⇔ = + ++
−− −
( )
( )
1
1 46
2
nn
nn n n
−
⇔ − = ++ +
2
11 12 0nn
⇔− −=
( )
( )
1
12
nl
nn
= −
⇔
=
.
Khi đó
( )
12
2
3
Px x
x

= +


.
Công thức số hạng tổng quát:
( )
12
2
1 12
3
..
k
k
k
k
T Cx
x
−
+

=


24 3
12
.3 .
kk k
Cx
−
=
.
Số hạng chứa
9
x
24 3 9 5kk⇒ − =⇔=
.
Vậy hệ số của số hạng chứa
9
x
trong khai triển là
55
12
.3 192456C
=
.
Câu 59. Biết
n
là số nguyên dương thỏa mãn
12
78
nn
nn
CC
−−
+=
, số hạng chứa
8
x
trong khai triển
3
2
n
x
x

−


là
A.
8
101376x−
. B.
101376−
. C.
112640
−
. D.
8
101376x
.
Lời giải
Ta có:
12
78
nn
nn
CC
−−
+=
( ) ( )
!!
78
1 !.1! 2 !.2!
nn
nn
⇔+ =
−−
(
)
1
78
2
nn
n
−
⇔+ =
Trang 26
2
156 0
nn⇔ +− =
12
13
n
n
=
⇔
= −
12n⇔=
.
Số hạng tổng quát trong khai triển
12
3
2
x
x

−


là:
( )
( )
12
3
12
2
1
k
k
k
k
Cx
x
−

−


( )
36 4
12
1 .2 .
k
kk k
Cx
−
= −
.
Cho
36 4 8k−=
7k⇔=
.
Vậy số hạng chứa
8
x
trong khai triển
12
3
2
x
x

−


là
7 78
12
.2 .Cx
−
8
101376x= −
.
Câu 60. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn
( )
32
1
3 3 52 1
nn
CA n
+
−= −
. Trong khai triển biểu thức
( )
32
2
n
xy+
, gọi
k
T
là số hạng mà tổng số mũ của
x
và
y
của số hạng đó bằng
34
. Hệ số của
k
T
là
A.
54912
. B.
1287
. C.
2574
. D.
41184
.
Lời giải
Điều kiện:
2
n
≥
,
*
n
∈
.
Ta có
( )
32
1
3 3 52 1
nn
CA n
+
−= −
( )
( ) ( )
( )
1!
!
3. 3 52 1
3! 2! 2!
n
n
n
nn
+
⇔ −=−
−−
( ) ( )
(
)
( )
11
3 1 52 1
2
n nn
nn n
−+
⇔ − −= −
2
6 104nnn
⇔ +− =
2
5 104 0nn
⇔−− =
13
8
n
n
=
⇔
= −
13n⇔=
.
(
)
13
32
2xy
+=
( ) ( )
13
13
32
13
0
2
kk
k
Cx y
−
∑
13
39 3 2
13
0
2
kk k k
Cxy
−
=
∑
.
Ta có:
39 3 2 34
kk−+=
5k⇔=
. Vậy hệ số
55
13
2C =
41184
.
Câu 61. Cho
n
là số nguyên dương thỏa mãn
12
55
nn
CC−=
. Tìm hệ số
a
của
4
x
trong khai triển của biểu
thức
2
1
2
n
x
x

+


.
A.
11520
a =
. B.
256a =
. C.
45a =
. D.
3360a
=
.
Lời giải
Điều kiện
n ∈
,
2n ≥
.
Có
( )
12
1
5 55 5
2
nn
nn
CC n
−
− =⇒− =
2
1
11 10 0
10
n
nn
n
=
⇔− +=⇔
=
Do
2 10
nn≥⇒=
.
Xét khai triển:
( )
10
10 10
10
10 10 3
10 10
22
00
11
2 2. 2
k
k
k kk k
kk
x Cx C x
xx
−
−−
= =

+= =


∑∑
Hệ số
a
của
4
x
trong khai triển tương ứng với
10 3 4 2kk− =⇔=
.
Vậy hệ số cần tìm là
28
10
.2 11520aC= =
.
Câu 62. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn
23
3 40
n
nn
AC
−
+=
. Hệ số của
6
x
trong khai triển
2
1
2
n
x
x

−


là
A.
1024
. B.
1024−
. C.
1042−
. D.
1042
.
Trang 27
Lời giải
Điều kiện
3,nn≥∈
.
Ta có
(
)
(
)
23
! ! 31
3 40 3 40 ! 40
2! 3! 3! 2 6 3!
n
nn
nn
AC n
nn
−

+=⇔ + =⇔ + =


−−

.
Vì
( )
31
1
2 6 3!n
+>
−
nên
! 40n <
. Lần lượt thử các giá trị
3, 4n =
ta có
4n =
thỏa mãn.
Với
4n
=
, số hạng tổng quát trong khai triển
8
1
2
x
x

−


là
( ) (
)
8
8 82
88
1
2 21
k
kk
k kk k
Cx C x
x
−
−−

−= −


.
Số hạng chứa
6
x
tương ứng với
82 6 1kk
− =⇔=
. Do đó hệ số cần tìm là
( )
1
1 81
8
2 1 1024C
−
−=−
.
Câu 63. Với
n
là số nguyên dương thoả mãn
21
3 120
nn
AC+=
, số hạng không chứa
x
trong khai triển của
biểu thức
4
3
n
x
x

−


bằng
A.
295245
. B.
245295
. C.
292545
. D.
259254
.
Lời giải
Giải phương trình:
21
3 120
nn
AC+=
, Đk:
2,
nn≥∈
.
( )
21
3 120 1 3 120
nn
A C nn n+ = ⇔ −+ =
( )
10
12
n
nl
=
⇔
= −
Có
4
3
n
x
x

−


( )
10
40 5
10
0
3
k
kk
k
Cx
−
=
= −
∑
.
Số hạng không chứa
x
khi
40 5 0 8kk− =⇔=
.
Vậy số hạng không chứa
x
trong khai triển là
( )
8
8
10
. 3 295245C −=
.
Câu 64. Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Niutơn của
( )
2
, 0,
22
n
nx
x
x

+≠


biết số
nguyên dương
n
thỏa mãn
32
50.
nn
CA
+=
A.
97
12
. B.
29
51
. C.
297
512
. D.
279
215
.
Lời giải
điều kiện
, 3.n Nn∈≥
( ) ( )
32
!!
50 50
3! 3 ! 2 !
nn
nn
CA
nn
+=⇔ + =
−−
( )( ) ( )
1 2 6 1 300 0nn n nn⇔ − − + −− =
32
3 4 300 0 6
nnn n⇔ + − − =⇔=
.
Ta có nhị thức
12
3
2
x
x

+


.
Số hạng tổng quát
12
12
2 12
12
12
.3
3
..
22
kk
kk
kk
k
C
x
Cx
x
−
−
−
 
=
 
 
Cho
2 12 8 10.kk− =⇒=
Trang 28
Hệ số cần tìm là
10 2
12
10
.3
297
.
2 512
C
=
Câu 65. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức Newton của
2
3
2
n
x
x

−


( )
0x ≠
, biết rằng
123
1. 2. 3. ... 256
n
nnn n
C C C nC n+ + ++ =
(
k
n
C
là số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử).
A.
489888
. B.
49888
. C.
48988
. D.
4889888
.
Lời giải
Xét khai triển
( )
0 1 22 33
1 ...
n
nn
nn n n n
x C Cx Cx Cx Cx+ = + + + ++
( )
1
Đạo hàm hai vế của
( )
1
ta được:
(
)
1
1 2 32 1
1 2 3 ...
n
nn
nn n n
n x C C x C x nC x
−
−
+ = + + ++
( )
2
Trong công thức
(
)
2
ta cho
1
x =
ta được:
11 2 3
2 2. 3. ...
nn
nnn n
n C C C nC
−
= + + ++
1
.2 256
n
nn
−
⇔=
1
2 256
n−
⇔=
9n⇔=
.
Khi đó,
2
3
2
n
x
x

−


9
2
3
2x
x

= −


(
)
9
9 18 3
9
0
32.
k
k kk
n
Cx
−−
=
= −
∑
.
Do đó số hạng không chứa
x
trong khai triển
9
2
3
2x
x

−


nếu
18 3 0
k−=
hay
6
k =
.
Suy ra số hạng cần tìm là
( )
6
63
9
3 2 489888C −=
.
Câu 66. Giả sử có khai triển
( )
2
01 2
1 2 ...
n
n
n
x a ax ax ax− = + + ++
. Tìm
5
a
biết
012
71.aaa++ =
A.
672−
. B.
672
. C.
627
. D.
627−
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
0
12 2
n
nk
k
n
k
x Cx
=
−= −
∑
. Vậy
0
1a =
;
1
1
2
n
aC= −
;
2
2
4
n
aC=
.
Theo bài ra
012
71
aaa
++ =
nên ta có:
12
1 2 4 71
nn
CC−+ =
( ) ( )
!!
1 2 4 71
1! 1 ! 2! 2 !
nn
nn
⇔− + =
−−
(
)
1 2 2 1 71n nn⇔− + − =
2
2 4 70 0
nn⇔ −−=
2
2 35 0nn⇔−−=
7n⇔=
hoặc
5n = −
(loại).
Từ đó ta có
( )
5
5
57
2 672aC= −=−
.
Câu 67. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
23
10
nn
AC
−=
, tìm hệ số
5
a
của số hạng chứa
5
x
trong khai triển
2
3
2
n
x
x

−


với
0x ≠
.
A.
5
10a =
. B.
5
5
10ax= −
. C.
5
5
10ax=
. D.
5
10
a = −
.
Lời giải
Ta có
23
10
nn
AC−=
( ) ( )
!!
10
2 ! 3! 3 !
nn
nn
⇔− =
−−
,
( )
,3nn∈≥
( )
( )( )
1
1 1 2 10
6
nn nn n⇔ −− − − =
32
2
134
10 0 6
623
5
n
nnn n
n
= −
⇔− + − − = ⇔ =
=
.
So điều kiện nhận
6n =
hay
5n =
.
Trang 29
Khi
6n =
, ta có
( )
6
6
26
2
6
33
0
22
k
k
k
k
x Cx
xx
−
=
−

−=


∑
( )
6
12 5
6
0
2
k
kk
k
Cx
−
=
= −
∑
.
Để có
5
x
thì
7
12 5 5
5
kk− =⇔=
.
Khi
5n =
, ta có
( )
5
5
25
2
5
33
0
22
k
k
k
k
x Cx
xx
−
=
−

−=


∑
( )
5
10 5
5
0
2
k
kk
k
Cx
−
=
= −
∑
.
Để có
5
x
thì
10 5 5 1
kk
− =⇔=
.
Vậy
( )
1
55
2 10aC= −=−
.
Câu 68. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển
( )
2
13
n
x+
biết
32
2 100
nn
AA+=
A.
61236
. B.
63216
. C.
61326
. D.
66321
.
Lời giải
Ta có:
32
2 100
nn
AA+=
(
) (
)
!!
2 100
3! 2!
nn
nn
⇔+ =
−−
( )( ) ( )
1 2 2 1 100nn n nn⇔ − −+ −=
32
100 0nn⇔−− =
5n
⇔=
.
Ta có:
( )
2
13
n
x+
( )
10
13x= +
(
)
10
10
0
3
k
k
k
Cx
=
=
∑
.
Hệ số
5
x
sẽ là
55
10
3 61236C =
.
Câu 69. Cho
n
là số nguyên dương thỏa mãn
(
)
0 11 2 2
3 3 3 ..... 1 2048
n
nn n n
nnn n
CCC C
−−
− + − +− =
. Hệ số của
10
x
trong khai triển
( )
2
n
x +
là:
A.
11264
. B.
22
. C.
220
. D.
24
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
0 11 2 2
3 1 3 3 3 ..... 1
nn
nn n n
nnn n
CCC C
−−
− = − + − +−
2 2048
n
⇔=
11
22
n
⇔=
11n⇔=
.
Xét khai triển
( )
11
11
11
11
0
2 .2
k kk
k
x Cx
−
=
+=
∑
Tìm hệ số của
10
x
⇔
tìm
( )
11kk∈≤
thỏa mãn
11 10 1kk−= ⇔=
.
Vậy hệ số của
10
x
trong khai triển
( )
11
2x +
là
1
11
.2 22C
=
.
Câu 70. Trong khai triển
2
1
3
n
x
x

+


biết hệ số của
3
x
là
45
3
n
C
. Giá trị
n
có thể nhận là
A.
9
. B.
12
. C.
15
. D.
16
.
Lời giải
Ta có
( )
2 2 23
00
11
33 3
nk
nn
nk
k k nk n k
nn
kk
x Cx C x
xx
−
−−
= =

+= =


∑∑
.
Biết hệ số của
3
x
là
45
3
n
C
nên
( )
233
4
5
5
9
0 ,,
nk
nk
k
k
n
k n kn N
−=
−=
=
⇔

=
=
≤≤ ∈
.
Vậy
9n =
.
Trang 30
Câu 71. Hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển
(
)
5
3
1
;0
n
xx
x

+>


biết
( )
1
43
73
nn
nn
CC n
+
++
−=+
là
A.
1303
. B.
313
. C.
495
. D.
13129
.
Lời giải
Điều kiện:
n ∈
Ta có
( )
( )
( )
(
)
( )
1
43
4! 3!
73 73
1 !3! !3!
nn
nn
nn
CC n n
nn
+
++
++
− = +⇔ − = +
+
( )( )( ) ( )( )( )
( )
432 321
73
66
nnn nnn
n
+++ +++
⇔ −=+
3 36 12nn⇔ = ⇔=
.
Xét khai triển
(
)
12
12
12
55
12
33
0
11
k
k
k
k
xC x
xx
−
=

+=


∑
( )
0 12,kk≤≤ ∈
60 11
12
2
12
0
k
k
k
Cx
−
=
=
∑
.
Để số hạng chứa
8
x
thì
60 11
84
2
k
k
−
=⇔=
.
Vậy hệ số chứa
8
x
trong khai triển trên là
4
12
495
C =
.
Câu 72. Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển nhị thức Newton
5
1
2
n
x
x

+


với
0x
>
, biết
n
là số tự nhiên
lớn nhất thỏa mãn
54
2
18
nn
AA
−
≤
.
A.
8064
. B.
3360
. C.
13440
. D.
15360
.
Lời giải
Điều kiện:
6n
n
≥
∈
Khi đó
54
2
18
nn
AA
−
≤
( )
( )
( )
2!
!
18.
5! 6!
n
n
nn
−
⇔≤
−−
( )( )( )( ) ( )( )( )( )
1234182345nnnnn nnnn⇔−−−−≤−−−−
( ) ( )
1 18 5nn n⇔ −≤ −
2
19 90 0nn
⇔− +≤
9 10n⇔≤≤
max
10
n
n
→
→ =
.
Số hạng tổng quát trong khai triển
10
5
1
2x
x

+


là
( )
10
1 10
5
1
.2 .
k
k
k
k
TCx
x
−
+

=


10 10
5
10
.2 . .
k
k kk
C xx
−
−−
=
50 6
10
5
10
.2 .
k
kk
Cx
−
−
=
.
Tìm
k
sao cho
50 6
4
5
k−
=
5k⇔=
.
Vậy hệ số của số hạng chứa
4
x
là
5 10 5
10
.2 8064.C
−
=
Trang 31
Câu 73. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
2
1
n
x
x

−


biết
22
105
nn
AC−=
.
A.
3003−
. B.
5005−
. C.
5005
. D.
3003
.
Lời giải
Ta có:
22
105
nn
AC−=
( ) ( )
!!
105
2! 2! 2!
nn
nn
⇔− =
−−
( )
1
1 105
2
nn⇔ −=
2
210 0
nn⇔ −− =
( )
15
14
n
nL
=
⇔
= −
.
Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển:
( )
15
2
1 15
1
..
k
k
k
k
T Cx
x
−
+

= −


( )
30 3
15
. 1.
k
kk
Cx
−
= −
.
Tìm
30 3 0 10kk− =⇔=
.
Vậy hệ số của số hạng không chứa
x
trong khai triển là:
( )
10
10
15
. 1 3003
C −=
.
Câu 74. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển thành đa thức của
( )
2
23
n
x−
, biết n là số nguyên dương thỏa
mãn:
024 2
21 21 21 21
... 1024
n
nnn n
CCC C
+++ +
++++=
.
A.
2099529
. B.
2099520
−
. C.
1959552
−
. D.
1959552
.
Lời giải
Ta có
( )
21
0 21 1 2 2 21
21 21 21 21
1 . . ... .
n
n n nn
n n nn
x Cx Cx CxC
+
++
+ + ++
+ = + ++ +
( )
1
Thay
1x =
vào
(
)
1
:
21 0 1 2 21
21 21 21 21
2 ...
n nn
nn nn
CC CC
++
++ ++
=++++
( )
2
Thay
1
x
= −
vào
( )
1
:
0 1 2 21
21 21 21 21
0 ...
nn
nn nn
CC CC
+
++ ++
=− + −− +
( )
3
Phương trình
( )
2
trừ
(
)
3
theo vế:
( )
21 0 2 2
21 21 21
2 2 ...
nn
nn n
CC C
+
++ +
= + ++
Theo đề ta có
21
2 2.1024 5
n
n
+
= ⇔=
Số hạng tổng quát của khai triển
(
)
10
23x−
:
( ) ( )
10 10
1 10 10
.2 . 3 .2 . 3 .
kk
kk kk k
k
TC xC x
−−
+
= −= −
Theo giả thiết ta có
5k =
.
Vậy hệ số cần tìm
( )
5
55
10
.2 . 3 1959552C −=−
.
Câu 75. Biết
n
là số nguyên dương thỏa mãn
12
78
nn
nn
CC
−−
+=
, số hạng chứa
8
x
trong khai triển
3
2
n
x
x

−


là
A.
8
101376x−
. B.
101376−
. C.
112640−
. D.
8
101376x
.
Lời giải
Ta có:
12
78
nn
nn
CC
−−
+=
( )
( )
!!
78
1 !.1! 2 !.2!
nn
nn
⇔+ =
−−
( )
1
78
2
nn
n
−
⇔+ =
2
156 0nn⇔ +− =
12
13
n
n
=
⇔
= −
12n⇔=
.
Số hạng tổng quát trong khai triển
12
3
2
x
x

−


là:
( )
( )
12
3
12
2
1
k
k
k
k
Cx
x
−

−


( )
36 4
12
1 .2 .
k
kk k
Cx
−
= −
.
Cho
36 4 8k−=
7k⇔=
.
Vậy số hạng chứa
8
x
trong khai triển
12
3
2
x
x

−


là
7 78
12
.2 .Cx−
8
101376x= −
.
Trang 32
Câu 76. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển
2
,
n
x
x

−


biết
n
là số tự nhiên thỏa mãn
32
4
2
3
nn
C nC= +
A.
134
B.
144
C.
115
D.
141
Lời giải:
Điều kiện :
3,nn≥∈
.
Ta có
( )
( )
( )( ) ( )
32
4 !4 !
2 1 286 1
3 3! 3 ! 3 2 !
nn
nn
C n C n nn n n nn
nn
= + ⇔ = + ⇔ − −=+ −
−−
22
0
32866 9 0
9
n
nn n nn
n
=
⇔−+=+−⇔−=⇔
=
. Đối chiếu điều kiện ta được
9n =
.
Số hạng tổng quát của khai triển
9
2
,
x
x

−


là :
( )
( )
9 92
99
2
.2
k
k
kk k k
k
Cx Cx
x
−−
−
= −
Số hạng này chứa
5
x
ứng với
92 5 2kk− =⇔=
.
Vậy hệ số của số hạng đó là
2
9
4. 144
C
=
.
Câu 77. Tìm hệ số không chứa
x
trong khai triển
3
2
n
x
x

−


, biết
n
là sô nguyên dương thỏa mãn
12
78
nn
nn
CC
−−
+=
.
A.
112640
. B.
112643
. C.
112640−
. D.
112643−
.
Lời giải
12
78
nn
nn
CC
−−
+=
( )
1
78
2
nn
n
−
⇔+ =
( )
12
13
n
nl
=
⇔
= −
.
12
33
22
n
xx
xx

−=−


( )
( )
12
12
3
12
0
1
2
k
k
k
k
k
Cx
x
−
=

= −=


∑
( )
12
36 4
12
0
2
k
kk
k
Cx
−
=
−
∑
.
Số hạng không chứa
x
ứng với
36 4 0 9kk− =⇔=
là
( )
9
9
12
2 112640C −=−
.
Câu 78. Cho biểu thức
10
3
2
3
11
1
xx
P
xx
xx

+−
= −

−
−+

với
0x >
,
1x ≠
. Tìm số hạng không chứa
x
trong
khai triển Niu-tơn của
P
.
A.
200
. B.
160
. C.
210
. D.
100
.
Lời giải
Ta có
33
3
2
3
1 1 11
1
1
xx x
xx
xx x x
xx
+− +
− = +− = −
−
−+
.
Nên
10
10
3
3
2
3
11 1
1
xx
Px
xx x
xx

+−

= −=−


−

−+

.
Số hạng tổng quát của khai triển là:
(
)
10 20 5
36
10 10
1
.1
k
kk
k
kk
Cx Cx
x
−−
−

= −


.
Khi
4k =
thì số hạng không chứa
x
là
( )
4
4
10
1 210C−=
.
Câu 79. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
( )
9
2
2
,fx x
x

= −


0x ≠
bằng
Trang 33
A.
5376
. B.
5376−
. C.
672
. D.
672−
.
Lời giải
Ta có
(
)
(
) (
)
(
)
99
9
2 2 9 29
99
00
22 2
k
k
k k k kk
kk
fx x x C x x C x x
− − − −× −
= =
=−= − =−
∑∑
( )
( )
99
2 9 93
99
00
22
kk
k kk k k
kk
Cx Cx
− +− −
= =
=−=−
∑∑
Số hạng không chứa
x
của khai triển
( )
fx
ứng với
93 0k−=
Vậy hệ số không chứa
x
là
( )
3
3
9
. 2 672C −=−
.
Câu 80. Số hạng không chứa
x
trong khai triển của
14
3
4
2
x
x

−


với
0x >
là:
A.
68
14
2 C
. B.
66
14
2 C
. C.
88
14
2 C
. D.
88
14
2 C
−
.
Lời giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
( )
( )
( )
56 7
14
3
12
14 14
4
2
1. . 1.2.
k
k
k
kk
k kk
Cx Cx
x
−
−

−=−


Cho
56 7
08
12
k
k
−
=⇔=
.
Vậy số hạng không chứa
x
trong khai triển là:
88
14
2 C
.
Câu 81. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển của
11
11
5
1
xx
x

+


với
0x >
.
A.
485
. B.
238
. C.
165
. D.
525
.
Lời giải
Ta có
11
11
5
1
xx
x

+


11
11
11 5
2
11
0
..
k
kk
k
x Cx x
−
−
=
=
∑
33 11
11
2
11
0
.
k
k
k
Cx
−
=
=
∑
.
Số hạng không chứa
x
trong khai triển ứng với
33 11 0 3kk− =⇔=
.
Số hạng cần tìm là
3
11
165
C =
.
Câu 82. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn
12
55
nn
CC+=
, số hạng không chứa
x
trong khai triển của
biểu thức
3
2
2
n
x
x

+


bằng
A.
13440
B.
3360
C.
80640
D.
322560
Lời giải
Chọn A
Ta có:
12
55
nn
CC+=
( ) (
)
( )
2
10
1
!!
55 55 110 0 10
11
1! 1 ! 2! 2 ! 2
n
nn
nn
n nn n
n
nn
=
−
⇔ + = ⇔+ = ⇔ +− =⇔ ⇒=
= −
−−
Với
10
n =
thì ta có:
3
2
2
n
x
x

+


=
10 10
10 10 10
3 3 3 10 2 20 10 5 20
10 10 10
22
00 0
22
. . . .2 . .2 .
k
kk kk kk k kk
kk k
x Cx Cx x C x
xx
−
−− −−
= = =

+= = =


∑∑ ∑
Để có số hạng không chứa
x
thì
5 20 0 4kk− =⇔=
.
Do đó hệ số của số hạng không chứa
x
trong khai triển là:
46
10
.2 13440C =
.
Trang 34
Câu 83. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển của
4
1
n
xx
x


với
0x
, nếu biết rằng
n
là số
nguyên dương thỏa mãn
21
44
nn
CC
.
A. 485. B. 525. C. 165. D. 238
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
,2
nn
21
1
11 ( )
44 44
8
2
nn
nn
n tm
CC n
n
 

Ta có
11
33 11
11 11
11
2
11 11
44
00
11
k
k
k
kk
kk
xx C xx Cx
xx













Số hạng không chứa
x
trong khai triển ứng với
33 11
03
2
k
k

Vậy số hạng không chứa
x
trong khai triểnlà
3
11
165C
.
Câu 84. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển của
4
1
n
xx
x

+


, với
0x >
, nếu biết rằng
21
44
nn
CC−=
.
A.
165
. B.
238
. C.
485
. D.
525
.
Lời giải
ĐK:
2n
n
≥
∈
(
)
*
.
Ta có
( )
21
1
44 44 11
2
nn
nn
CC n n
−
− = ⇔ −= ⇔=
hoặc
8n = −
.
Với
11n =
, số hạng thứ
1
k +
trong khai triển nhị thức
11
4
1
xx
x

+


là
( )
33 11
11
22
11 11
4
1
k
k
k
kk
C x x Cx
x
−
−

=


.
Theo giả thiết, ta có
33 11
0
22
k
−=
hay
3
k =
.
Vậy, số hạng không chứa
x
trong khai triển đã cho là
3
11
165C =
.
Câu 85. Số hạng không chứa
x
trong khai triển
2
3
3
2
n
x
x

−


với
0x ≠
, biết
n
là số nguyên dương thỏa
mãn
32
1
2
nn
C nA
+
+=
là:
A.
12 4 12
16
.2 .3C−
. B.
0 16
16
.2C
. C.
12 4 12
16
.2 .3C
. D.
16 0
16
.2C
.
Lời giải
Với điều kiện
3n,≥
n ∈
, ta có
32
1
2
nn
C nA
+
+=
( )( )
( )
12
21
3!
nn n
nn n
−−
⇔ +=+
( )( ) ( )
1 2 12 6 1nn n⇔− −+= +
2
1( )
9 80
8( )
n
nn
n
=
⇔ − +=⇔
=
loaïi
thoûa
.
Trang 35
Với
8n =
, ta có số hạng thứ
1k +
trong khai triển
16
3
3
2x
x

−


là
( )
16
16
3
3
2
k
k
k
Cx
x
−

−


( )
4
16
16
3
16
23
k
k
kk
Cx
−
−
= −
.
Theo đề bài ta cần tìm
k
sao cho
4
16 0
3
k
−=
12k⇔=
.
Do đó số hạng không chứa
x
trong khai triển là
12 4 12
16
.2 .3C
.
Câu 86. Với số nguyên dương
n
thỏa mãn
2
27
n
Cn−=
, trong khai triển
2
2
n
x
x

+


số hạng không chứa
x
là
A.
84
. B.
672
. C.
8
. D.
5376
.
Lời giải
( )
( )
2
1
!
27 27 27
2! 2 ! 2
n
nn
n
Cn n n
n
−
−= ⇔ −= ⇔ −=
−
( )
( )
2
9
3 54 0
6
n TM
nn
nL
=
⇔−−=⇔
= −
Xét khai triển
9
2
2
x
x

+


có số hạng tổng quát
9 93
19 9
2
2
. .2
k
k k kk k
k
T Cx C x
x
−−
+

= =


Số hạng không chứa
x
nên
93 0 3kk− =⇔=
.
Vậy số hạng không chứa
x
là:
33
49
.2 672
TC= =
.
Câu 87. Cho khai triển
( )
2017
2 2 4034
0 1 2 4034
1 3 2 ...
x x a ax ax a x− + = + + ++
. Tìm
2
a
.
A.
9136578
B.
16269122
. C.
8132544
. D.
18302258
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
( )
2017
2017
22
13 2 13 2A xx x x

=−+ = − +

( )
( )
( )
( )
(
) ( )
2 2017
2017 2016 2015
0 1 2 2 2 2017 2
2017 2017 2017 2017
13 13 2 13 2 ... 2
ACxCxxCxx Cx⇒=−+− +− ++
.
Trong khai triển trên chỉ có hai số hạng
( )
2017
0
2017
13Cx−
,
( )
( )
2016
12
2017
13 2C xx−
xuất hiện biểu
thức chứa
2
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2017 2 3 2017
0 0 0 1 2 3 2017
2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017
1 3 3 3 3 ... 3C x CCCxCxCx Cx

− = − + − +−

⇒
Hệ số chứa
2
x
trong số hạng
( )
2017
0
2017
13Cx−
là:
( )
2
02
2017 2017
3CC
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2016 2 2016
1 2 1 2 0 1 2 2016
2017 2017 2016 2016 2016 2016
1 3 2 2 3 3 ... 3C x xCxCCxCx Cx

− = − + ++

⇒
Hệ số chứa
2
x
trong số hạng
( )
( )
2016
12
2017
13 2C xx−
là:
10
2017 2016
2CC
.
Vậy hệ số
( )
2
02 10
2 2017 2017 2017 2016
3 2 18302258
a CC CC= +=
Câu 88. Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển
( )
( )
10
3
13 2fx x x=−+
thành đa thức.
Trang 36
A.
204120
. B.
262440−
. C.
4320−
. D.
62640−
.
Lời giải
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
10 10 10
10
10
33 3
10 10 10
0 00
1 3 2 1 3 .2 3 .2
k
kk
ki
k ki
k
k ki
f x x x C x x CC x x
−
−
−
= = =
=−+ = − = −
∑ ∑∑
.
( )
10 10
3
10 10
00
3 .2 .
k
i
k i k ik
k
ki
CC x
−
+
−
= =
= −
∑∑
( )
, ,0 10,0 10ik k i k∈ ≤ ≤ ≤≤ −
.
Số hạng chứa
7
x
ứng với
37ik
+=
.
Vậy hệ số của
7
x
là:
(
) (
)
( )
47
21 2 1 4 07
10 8 10 9 10 10
. . 3 .2 . . 3 .2 . . 3 62640CC CC CC−+ −+ −=−
.
Câu 89. Cho khai triển
( )
9
2 18 17 16
0 1 2 18
3 2 ... .x x ax ax ax a− + = + + ++
Giá trị
15
a
bằng
A.
218700
. B.
489888
. C.
804816−
. D.
174960−
.
Lời giải
Ta có:
( )
( ) ( )
99
9
2 18 2 18 2
99
0 00
32 . .32 . .3 2
k
ki
kk kkiki
k
k ki
x x Cx x Cx C x
− −−
= = =
−+ = − = −
∑ ∑∑
( )
09ik≤≤ ≤
Giá trị
15
a
ứng với:
13
18 2 3
89
ii
ki
kk
= =

− += ⇒ ∨

= =

.
Vậy:
( ) ( )
13
8 17 9 36
15 9 8 9 9
. .3 . 2 . .3 . 2 804816.a CC CC= −+ − =−
Câu 90. Tìm hệ số của
3
x
sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của
9
2
1
2xx
x

−+


,
0x ≠
.
A.
2940−
. B.
3210
. C.
2940
. D.
3210−
.
Lời giải
Ta có
( )
99
2
11
2 21x x xx
xx

−+ = + −



( )
9
9
9
0
1
. .2 1
k
k
kk
k
C xx
x
−
=

= −


∑
( )
9
29
9
00
1 2.
k
ki
i k i ki
k
ki
CC x
−
+−
= =
= −
∑∑
.
Theo yêu cầu bài toán ta có
2 93
ki+− =
2 12ki⇔ +=
;
09ik≤≤ ≤
;
,ik∈
Ta có các cặp
( )
;ik
thỏa mãn là:
( )
( ) ( )
0;6 , 2;5 , 4; 4
.
Từ đó hệ số của
3
x
là :
(
) (
) ( )
60 52 44
06 025 244 4
69 59 49
1 .2 1 .2 1 .2CC CC CC
−−−
− +− +−
2940= −
.
Câu 91. Hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển
(
)
6
2
32xx
−+
bằng
A.
6432
−
. B.
4032−
. C.
1632−
.
D.
5418−
.
Lời giải
( )
( ) ( )
6
66
2
32 1 2xx x x−+ =− −
Số hạng tổng quát trong khai triển
( )
6
1x −
là
( )
6
6
.1
k
kk
Cx
−
−
với
0;1; 2...;6k =
.
Số hạng tổng quát trong khai triển
( )
6
2x −
là
( )
6
6
.2
i
ii
Cx
−
−
với
0;1; 2...;6i
=
.
Số hạng tổng quát trong khai triển
( )
( ) ( )
6
66
2
32 1 2xx x x−+ =− −
là
( ) ( )
66
66
1. 2
ki
kk ii
Cx Cx
−−
−−
( ) ( )
12 6
66
1 .2
ik i
k i ik
CCx
−− −
+
= −
Trang 37
Số hạng chứa
7
x
ứng với
7ik+=
. Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm
16ik=⇒=
⇒
hệ số là
( ) ( )
55
61
66
1 . 2 192CC=−=−
25ik=⇒=
⇒
hệ số là
( ) ( )
54
52
66
1 . 2 1440CC=−=−
34ik=⇒=
⇒
hệ số là
(
)
( )
53
43
66
1 . 2 2400CC=−=−
43ik=⇒=
⇒
hệ số là
(
) ( )
52
34
66
1 . 2 1200CC=−=−
52ik=⇒=
⇒
hệ số là
(
) (
)
51
25
66
1 . 2 180CC=−=−
61ik=⇒=
⇒
hệ số là
(
) (
)
50
16
66
1 .2 6
CC=−=−
Vậy hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển
(
)
6
2
32
xx
−+
bằng
5418−
Cách 2.
( )
( )
( )
66
22
32 32xx x x− + = +− +
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là
(
)
(
)
6
2
6
. 32
k
k
k
Cx x
−
−+
với
0;1; 2...;6k =
.
Số hạng tổng quát trong khai triển
(
)
32
k
x−+
là
( )
.2 3
i
i ki
k
Cx
−
−
với
0 ik≤≤
.
Số hạng tổng quát trong khai triển
( )
6
2
32
xx−+
là
( )
( )
6
2
6
. .2 3
k
i
k i ki
k
Cx C x
−
−
−
(
)
(
)
12 2
6
.2 3 .
i
k i ki ki
k
CC x
− −+
= −
Số hạng chứa
7
x
ứng với
12 2 7ki
− +=
25
ki⇔ −=
. Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm
31ki
=⇒=
⇒
hệ số là
( )
1
3 12
63
2 3 720
CC= −=−
43ki
= ⇒=
⇒
hệ số là
( ) ( )
31
43
64
3 . 2 3240CC=−=−
55ki
=⇒=
⇒
hệ số là
(
) ( )
05
55
65
2 . 3 1458CC= −=−
Vậy hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển
( )
6
2
32xx−+
bằng
5418−
.
Câu 92. Tìm hệ số của số hạng chứa
5
x
trong khai triển
( )
10
23
1 xx x++ +
.
A.
582
. B.
1902
. C.
7752
. D.
252
.
Lời giải
Ta có:
( )
10
23
1 xx x++ +
( )
( )
10
10
2
11xx
=++
10 10
2
10 10
00
.. .
k k ii
ki
Cx Cx
= =
=
∑∑
10 10
2
10 10
00
..
k i ki
ki
CCx
+
= =
=
∑∑
Hệ số của số hạng chứa
5
x
nên
25ki
+=
.
Trường hợp 1:
0k =
,
5i =
nên hệ số chứa
5
x
là
05
10 10
.CC
.
Trường hợp 2:
1k =
,
3i =
nên hệ số chứa
5
x
là
13
10 10
.CC
.
Trường hợp 3:
2k =
,
1i =
nên hệ số chứa
5
x
là
21
10 10
.CC
.
Vậy hệ số của số hạng chứa
5
x
là
05 1 3 21
10 10 10 10 10 10
. . . 1902CC CC CC++=
.
Câu 93. Cho
n
là số tự nhiên thỏa mãn
012
3 4 5 ... ( 3) 3840
n
n nn n
C CC nC+ + ++ + =
.Tổng tất cả các hệ số của
các số hạng trong khai triển
23
(1 )
n
xx x+− +
là
A.
10
4
. B.
9
4
. C.
10
2
. D.
9
2
.
Lời giải
012
3 4 5 ... ( 3) 3840
n
n nn n
C CC nC+ + ++ + =
( ) ( ) ( ) ( )
01 2
0 3 1 3 2 3 ... 3 3840
n
nn n n
C C C nC⇔ + ++ + + ++ + =
Trang 38
( ) ( )
1 2 012
2 ... 3 ... 3840
nn
n n n n nn n
C C nC C C C C⇔ + ++ + + + ++ =
1
.2 3.2 3840
nn
n
−
⇔ +=
9
n
⇔=
Cho
1x =
⇒
(
)
9
2 39 2 3 9
(1 ) 1 1 1 1 2xx x+ − + = +− + =
.
Câu 94. Giả sử
( )
11
2 3 10 2 3 110
0 1 2 3 110
1 ... ...x x x x a ax ax ax a x++ + ++ = + + + ++
với
0
a
,
1
a
,
2
a
,…,
110
a
là
các hệ số. Giá trị của tổng
0 1 2 3 10 11
11 11 11 10 11 9 11 8 11 1 11 0
...T Ca Ca Ca Ca C a Ca= − + − ++ −
bằng
A.
11T = −
. B.
11T =
. C.
0T =
. D.
1T =
.
Lời giải
Ta có:
(
)
(
)
( )
11 11
11
2 3 10 11
1 ... 1 1
A xx x x x A x= ++ + + + ⇔ − = −
(
)
( )
11 110 11
11
11 11
0 00
.
m
k
k im
i
k im
PQ
C x ax C x
= = =
⇔− =−
∑ ∑∑
 
.
Hệ số của
11
x
trong
P
là:
0 1 2 3 10 11
11 11 11 10 11 9 11 8 11 1 11 0
...Ca Ca Ca Ca C a Ca T− + − ++ − =
Hệ số của
11
x
trong
Q
là:
1
11
C−
Vậy
1
11
11
TC=−=−
.
Câu 95. Sau khi khai triển và rút gọn thì
18
12 2
1
( ) (1 )
Px x x
x

=+++


có tất cả bao nhiêu số hạng
A.
27
. B.
28
. C.
30
. D.
25
Lời giải
Chọn A
Đặt
( )
12
1
Ax= +
;
18
2
1
Bx
x

= +


Ta có khai triển
( )
12
12
12
1
kk
k
A x Cx
=
=+=
∑
có 13 số hạng.
Và khai triển
18
18
2 36 3
18
0
1
ll
l
B x Cx
x
−
=

=+=


∑
có 19 số hạng.
Ta đi tìm các số hạng có cùng lũy thừa, mà giản ước được trong khai triển
()Px
, ta phải có :
36 3 3 36 (1)lk k l
− =⇔+ =
Phương trình cho ta ta 5 cặp nghiệm thỏa mãn
(k;l) {(0;12),(3;11),(6;10),(9;9),(12;8)}=
tương
ứng với 5 số hạng.
Vậy sau khi khai triển và rút gọn
()Px
ta có
13 19 5 27+ −=
số hạng.
Câu 96. Cho đa thức
( ) ( ) ( )
2017 2018
2 32Px x x=− +−
2018 2017
2018 2017 1 0
...
a x a x ax a= + ++ +
. Khi đó
2018 2017 1 0
...Sa a aa= + ++ +
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
2018
. D.
2017
.
Lời giải
Ta có
( )
2018 2017
2018 2017 1 0
...P x a x a x ax a
= + ++ +
Cho
1x =
( )
1
P⇒
2018 2017 1 0
...a a aa= + ++ +
( ) ( )
2017 2018
1 2 3 2.1 0=− +− =
.
Câu 97. Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức
( )
12 21
23
2
31
2fx x x
xx

=+++


thì
( )
fx
có bao nhiêu
số hạng?
Trang 39
A.
30
. B.
32
. C.
29
. D.
35
.
Lời giải
12
2
3
x
x

+


( )
12
12
2
12
0
3
k
k
k
k
Cx
x
−
=

=


∑
12
24 3
12
0
3
kk k
k
Cx
−
=
=
∑
21
3
2
1
2x
x

+


( )
21
21
3
21
2
0
1
2
k
k
k
k
Cx
x
−
=

=


∑
21
21 63 5
21
0
2
kk k
k
Cx
−−
=
=
∑
Ta cho
k
chạy từ
0
đến
12
thì các số mũ của
x
không bằng nhau.
Với khai triển
12
2
3
x
x

+


ta có
13
số hạng; Với khai triển
21
3
2
1
2x
x

+


ta có
22
số hạng. Vậy
tổng số hạng là:
35
.
Câu 98. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển
(
) (
) ( ) ( )
6 7 12
1 1 ... 1Px x x x=+ ++ +++
.
A.
1716
. B.
1715
. C.
1287
. D.
1711
.
Lời giải
Xét nhị thức
( )
( )
11
nn
xx+=+
có số hạng tổng quát là
kk
n
Cx
. Ta có:
Hệ số của
5
x
trong
( )
6
1
x
+
là
5
6
C
.
Hệ số của
5
x
trong
( )
7
1 x+
là
5
7
C
Hệ số của
5
x
trong
( )
12
1 x+
là
5
12
C
.
Vậy hệ số của
5
x
trong khai triển
( )
Px
là
55 5
6 7 12
... 1715
CC C+ ++ =
.
Câu 99. Cho đa thức:
(
) ( ) (
) ( )
( ) (
)
8 9 10 11 12
111 1 1Px x x x x x=+ ++ ++ ++ ++
. Khai triển và rút gọn ta được
đa thức:
( )
2 12
0 1 2 12
...
P x a ax a x a x= + + ++
. Tìm hệ số
8
a
.
A.
720
. B.
700
. C.
715
. D.
730
.
Lời giải
Ta có
(
)
8
0 1 88
88 8
1 ...
x C Cx Cx
+ = + ++
suy ra hệ số chứa
8
x
là
8
8
C
.
Lại có
( )
9
0 1 88 99
99 9 9
1 ...x C Cx Cx Cx+ = + ++ +
suy ra hệ số của
8
x
là
8
9
C
.
Tương tự trong khai triển
( )
10
1 x
+
có hệ số của
8
x
là
8
10
C
.
( )
11
1 x+
có hệ số của
8
x
là
8
11
C
.
( )
12
1 x+
có hệ số của
8
x
là
8
12
C
.
Suy ra hệ số của
8
x
trong
( )
Px
là
888 8 8
8 8 9 10 11 12
715aCCC C C=++ ++ =
.
Câu 100. Cho đa thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
8 9 10 11 12
111 1 1Px x x x x x=+ ++ ++ ++ ++
. Khai triển và rút gọn ta được
đa thức
( )
12
0 1 12
...P x a ax a x= + ++
. Tính tổng các hệ số
i
a
,
0;
i =
1;
2;
...;
12
.
A.
5
. B.
7936
. C.
0
. D.
7920
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 9 10 11 12
111 1 1Px x x x x x=+ ++ ++ ++ ++
.
Trang 40
Áp dụng khai triển
( )
0 1 22
1 ...
n
nn
nn n n
x C Cx Cx Cx+ = + + ++
.
Cho
1x =
, ta có
012
... 2
nn
n nn n
CCC C
+ + ++ =
.
Do đó ta có tổng hệ số của
( )
Px
là:
( )
8 9 10 11 12 8 8
2 2 2 2 2 2 1 2 4 8 16 31.2 7936S = + + + + = ++++ = =
.
Câu 101. Tìm hệ số của số hạng chứa
9
x
trong khai triển nhị thức Newton
( )
( )
11
12 3xx
++
.
A.
4620
. B.
1380
. C.
9405
. D.
2890
.
Lời giải
( )( )
11
12 3
xx
++
( ) ( )
11 11
3 23x xx=++ +
11 11
11 11
11 11
00
.3 . 2 .3 .
k kk k kk
kk
CxxCx
−−
= =
= +
∑∑
11 11
11 11 1
11 11
00
.3 . .2.3 .
k kk k kk
kk
C xC x
− −+
= =
= +
∑∑
Suy ra hệ số của
9
x
khi triển khai nhị thức trên là:
92 8 3
11 11
.3 .2.3 9045CC+=
.
Câu 102. Cho khai triển
( )
( )
2
10
2 2 14
0 1 2 14
12 34 4x x x axaxax ax+ + + = + + ++
. Tìm giá trị của
6
a
.
A.
482496
. B.
529536
. C.
278016
. D.
453504
.
Lời giải
Ta có:
( )
( ) ( )
10
2
10
2 432
10
0
1 2 3 4 4 .2 . . 16 32 40 24 9
k kk
k
x xx C x x x x x
=

+ ++ = + + + +


∑
Do đó
22 33 44 55 66
6 10 10 10 10 10
.2 .16 .2 .32 .2 .40 .2 .24 .2 .9 482496aCCCCC= + + + +=
.
Câu 103. Hệ số của
6
x
trong khai triển
( )
4
6
2
1
21
4
x xx

+ ++


thành đa thức là
A.
6
14
1
2
C
. B.
6
14
1
4
C
. C.
6
14
C
. D.
8
14
4C
.
Lời giải
Xét khai triển
(
) ( ) (
)
66
6
66
00
2 1 12 1 2 2
nn
k
k k kkk
kk
x x C x Cx
−
= =
+=+ = =
∑∑
8
488 8
28
0
1 11 1
4 22 2
j
j
j
j
xx x x C x
−
=

++ = + = + =


∑
Vậy
( )
88
48 8
6
2
6 8 68
0 0 00
11 1
2 1 2 . 2.
42 2
nn
jj
kkk J j kk J jk
k j kj
xxx CxCxCCx
−−
+
= = = =
 
+ ++ = =
 
 
∑ ∑ ∑∑
Số hạng của khai triển chứa
6
x
khi
6jk+=
Xét bảng:
Trang 41
Vậy hệ số
6
x
trong khai triển
( )
4
6
2
1
21
4
x xx

+ ++


thành đa thức là
6
14
3003 1
44
C=
.
Câu 104. Hệ số của
5
x
trong khai triển biểu thức
( ) ( )
68
21 3xx x− +−
bằng
A.
1752
B.
1272−
C.
1272
D.
1752−
Lời giải
Chọn B
Hệ số của
5
x
trong khai triển biểu thức
( )
6
21xx−
là
( )
2
44
6
2 1 240C −=
.
Hệ số của
5
x
trong khai triển biểu thức
( )
8
3x −
là
( )
3
5
8
3 1512C −=−
.
Suy ra hệ số của
5
x
trong khai triển biểu thức
( ) ( )
68
21 3
xx x
− +−
là
240 1512 1272
−=−
.
Câu 105. Hệ số của
5
x
trong khai triển
( ) ( )
68
31 21xx x−+ −
bằng
A.
3007−
B.
577−
C.
3007
D.
577
Lời giải
Chọn B
(
) ( )
68
31 21xx x−+ −=
( ) ( ) ( ) ( )
68
68
68
00
.3 1 .2 1
k k mk
km
km
xC x C x
−−
= =
−+ −
∑∑
( ) (
)
68
68
1
68
00
.3 1 .2 1
kk
kk k mm m
km
C xC x
−−
+
= =
= −+ −
∑∑
.
Hệ số
5
x
ứng với
4k =
;
5m =
.
Hệ số cần tìm là
( )
( )
23
44 55
68
.3 1 .2 1 577CC−+ −=−
.
Câu 106. Hệ số của
5
x
trong khai triển biểu thức
68
( 2) (3 1)xx x−+−
bằng
A.
13548−
B.
13668
C.
13668−
D.
13548
Lời giải
Chọn A
Hệ số của
4
x
trong khai triển nhị thức
6
( 2)x −
là
42
6
2 60C =
.
Hệ số của
5
x
trong khai triển nhị thức
8
(3 1)x −
là
55
8
( 3) 13608C −=−
.
Vậy hệ số của
5
x
trong khai triển biểu thức
68
( 2) (3 1)xx x−+−
bằng
13608 60 13548.− +=−
Câu 107. Hệ số của
5
x
trong khai triển biểu thức
( ) ( )
68
21 31xx x−+ −
bằng
A.
13848
B.
13368
C.
13848−
D.
13368−
Lời giải
Chọn D
Trang 42
Ta có
( )
( ) ( ) ( ) (
)
( )
68
68 6 8
68
00
21 31 . 2 1 3 1
kk mm
km
km
xx x x C x C x
−−
= =
−+ −= −+ −
∑∑
( )
( ) (
)
( )
68
68
78
68
00
2 1. 3 1 .
kk mm
k km m
km
C xC x
−−
−−
= =
= −+ −
∑∑
Để có số hạng của
5
x
trong khai triển thì
2; 3km
= =
Do đó hệ số của
5
x
trong khai triển bằng:
( )
( )
53
24 3
68
.2 . 3 1 13368.CC+ −=−
Câu 108. Hệ số của
5
x
trong khai triển
( )
(
)
68
2 31
xx x−+−
bằng
A.
13548−
. B.
13548
. C.
13668−
. D.
13668
.
Lời giải
Chọn A
Số hạng tổng quát trong khai triển trên có dạng:
(
) (
) ( ) ( ) ( )
6 8 68
1
68 6 8
.. 2 .3 .1 . 2 .3.1 .
k mm k k
kk m kk mm m
xCx C x Cx C x
− − −−
+
−+ −= −+ −
.
Để tìm hệ số của
5
x
ta cần tìm
,km
sao cho
15 4
55
kk
mm
+= =

⇔

= =

.
Hệ số của
5
x
cần tìm bằng:
( ) ( )
23
4 55
68
. 2 .3 . 1 13548
CC−+ −=−
.
Câu 109. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển đa thức

5 10
2
1 12 .fx x x x x
A.
965.
B.
263.
C.
632.
D.
956.
Lời giải
Chọn A
Hệ số của
5
x
là

4
41 3 73
5 10
.1 . 1 .1 .2 965.CC
Câu 110. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển
(
)
( ) (
)
5 10
2
12 13Px x x x x
=−++
.
A.
3240
. B.
3320
. C.
80
. D.
259200
.
Lời giải
Khải triển
( )
Px
có số hạng tổng quát
( )
5
2
k
k
xC x−
( )
2
10
3
m
m
xC x+
( )
1
5
2
k
kk
Cx
+
= −
2
10
3
m mm
Cx
+
+
(
k ∈
,
5k ≤
,
m
∈
,
10m ≤
)
Hệ số của
5
x
ứng với
k
,
m
thỏa hệ
15
25
k
m
+=
+=
4
3
k
m
=
⇔
=
.
Vậy hệ số cần tìm là
(
)
4
4
5
2 C−+
33
10
3 3320C =
.
Câu 111. Khai triển đa thức
12
12
0 1 12
1 2 ...P x x a ax a x 
. Tìm hệ số
k
a
0 12k
lớn nhất trong
khai triển trên.
A.
88
12
2.C
B.
99
12
2.C
C.
10 10
12
2.C
D.
88
12
1 2.C
Lời giải
Chọn A
Khai triển nhị thức Niu-tơn của
12
12x
, ta có
12 12
12
12 12
00
12 2 2
k
k k kk
kk
x Cx Cx



.
Suy ra
12
2
kk
k
aC
.
Trang 43
Hệ số
k
a
lớn nhất khi
11
1
12 12
11
1
12 12
12
22
23 26
12 1
.
21
33
22
12 1
kk k k
kk
kk k k
kk
aa
CC
kk
k
aa
CC
kk









0 12
8
k
k
k


. Vậy hệ số lớn nhất là
88
8 12
2aC
.
Câu 112. Hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển
(
)
(
)
12
2
12
Px x= +
thành đa thức là
A.
162270
. B.
162720
. C.
126270
. D.
126720
.
Lời giải
Chọn D
Khai triển:
(
)
12 12
22
12
00
2
kk k k
k
kk
P x C x ax
= =
= =
∑∑
với
12
2
kk
k
aC
=
.
1kk
aa
+
>
o
90
11
12 12
22
k k kk
CC
++
>
o
90
2 1 23
7
1 12 3
kk
kk
> ⇔< ⇔≤
+−
.
Như vậy
012 8
...
aaa a< < <<
.
1kk
aa
+
<
o
90
11
12 12
22
k k kk
CC
++
<
o
90
2 1 23
8
1 12 3
kk
kk
< ⇔> ⇔≥
+−
.
Như vậy
8 9 10 12
...aaa a> > >>
.
Vậy hệ số có giá trị lớn nhất là
88
8 12
2 126720aC= =
.
| 1/156
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bài 1. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT I. Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện,
hành động thứ hai có n cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau đôi một) thì
công việc đó có m + n cách hoàn thành.
Ví dụ 1. Bạn Phương có 7 quyển sách Tiếng Anh và 8 quyển sách Văn học, các quyển sách là khác nhau.
Hỏi bạn Phương có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc? Giải
Việc chọn một quyển sách để đọc là thực hiện một trong hai hành động sau:
Chọn một quyển sách tiếng anh: có 7 cách chọn.
Chọn một quyển sách Văn học: có 8 cách chọn.
Vậy có 7 + 8 =15 cách chọn một quyển sách để đọc.
Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:
Một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện,
hành động thứ hai có n cách thực hiện, hành động thứ ba có p cách thực hiện (các cách thực hiện của ba
hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có m + n + p cách hoàn thành. II. Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện và
ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có
m . n cách hoàn thành.
Ví dụ 2. Trong Hoạt động 1, nếu gia đình bạn Liên muốn chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1
, sau đó đi tham quan tiếp một địa điểm trong chương trình 2 thì có bao nhiêu cách chọn hai địa điểm ở hai
chương trình khác nhau để tham quan? Giải
Việc chọn hai địa điểm ở hai chương trình khác nhau để tham quan là thực hiện hai hành động liên tiếp:
chọn một địa điểm trong chương trình 1 , sau đó chọn một địa điểm trong chương trình 2 .
Có 4 cách chọn địa điểm tham quan trong chương trình 1 .
Với mỗi cách chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1 sẽ có 7 cách chọn địa điểm tham quan trong chương trình 2 .
Vậy có tất cả 4.7 = 28 cách chọn hai địa điểm tham quan ở hai chương trình khác nhau.
Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:
Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp: Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện;
ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện
hành động thứ hai; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động thứ hai
có p cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có m⋅n⋅ p cách hoàn thành.
Ví dụ 3. Trong kinh doanh nhà hàng, combo là một hình thức gọi món theo thực đơn được kết hợp từ nhiều
món ăn hoặc đồ uống. Nếu nhà hàng có 5 món rau, 4 món cá và 3 món thịt thì có bao nhiêu cách tạo ra một
combo? Biết mỗi combo có đầy đủ 1 món rau, 1 món cá và 1 món thịt. Giải
Để tạo một combo ta thực hiện ba hành động liên tiếp: chọn 1 món rau, chọn 1 món cá và chọn 1 món thịt.
Chọn 1 món rau: Có 5 cách chọn.
Chọn 1 món cá: Có 4 cách chọn.
Chọn 1 món thịt: Có 3 cách chọn.
Vậy có 5.4.3 = 60 cách tạo ra một combo
III. Sơ đồ hình cây. Nhận xét
- Sơ đồ hình cây là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh toả ra các nút bổ sung. Trang 1
- Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi hỏi những hành động liên tiếp.
Ví dụ 4. Bạn Hương có 3 chiếc quần khác màu lần lượt là xám, đen, nâu nhạt và 4 chiếc áo sơ mi cũng khác
màu lần lượt là hồng, vàng, xanh, tím. Hãy vẽ sơ đồ hình cây biểu thị số cách chọn: a) 1 chiếc quần; b) 1 chiếc áo sơ mi; c) 1 bộ quần áo. Giải
Các sơ đồ hình cây T ,T ,TT trong hình sau lần lượt: 1 2 1 2
a) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc quần;
b) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc áo sơ mi;
c) Biểu thị số cách chọn 1 bộ quần áo.
IV. Vận dụng trong bài toán đếm
1. Vận dụng trong giải toán
Ví dụ 5. Cho 10 điểm phân biệt, hỏi lập được bao nhiêu vectơ khác 0 ? Biết rằng hai đầu mút của mỗi vectơ
là hai trong 10 điểm đã cho. Giải
Việc lập vectơ là thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn điểm đầu và chọn điểm cuối.
Chọn điểm đầu: có 10 cách chọn. Chọn điểm cuối: có 9 cách chọn.
Vậy có 10⋅9 = 90 (vectơ).
Ví dụ 6. Phân tích số 10125 ra thừa số nguyên tố rồi tìm số ước nguyên dương của nó. Giải Ta có: 4 3
10125 = 3 ⋅5 . Một ước nguyên dương của 10125 thì có dạng 3m 5n ⋅ , trong đó ,
m n là hai số tự nhiên
sao cho 0 ≤ m ≤ 4,0 ≤ n ≤ 3.
Như vậy, để tạo ra một ước nguyên dương của 10125 ta làm như sau: Trang 2
- Chọn số tự nhiên m mà 0 ≤ m ≤ 4 có 5 cách chọn.
- Chọn số tự nhiên n mà 0 ≤ n ≤ 3 có 4 cách chọn.
- Lấy tích 3m 5n ⋅ .
Vì vậy, số ước nguyên dương của 10125 là: 5.4 = 20 (số).
2. Vận dụng trong thực tiễn
Ví dụ 7. Từ ba mảng dữ liệu ,
A B,C , máy tính tạo nên một thông tin đưa ra màn hình cho người dùng bằng
cách lần lượt lấy một dữ liệu từ A , một dữ liệu từ B và một dữ liệu từ C . Giả sử ,
A B,C lần lượt chứa , m ,
n p dữ liệu. Hỏi máy tính có thể tạo ra được bao nhiêu thông tin? Giải
Việc máy tính tạo ra thông tin là thực hiện ba cách chọn liên tiếp: chọn dữ liệu từ A , chọn dữ liệu từ B và
chọn dữ liệu từ C .
Có m cách chọn một dữ liệu từ A .
Có n cách chọn một dữ liệu từ B .
Có p cách chọn một dữ liệu từ C .
Vậy số thông tin máy tính có thể tạo được là: m⋅n⋅ p .
Ví dụ 8. Gia đình bạn Quân đặt mật mã của chiếc khoá cổng là một dãy gồm bốn chữ số. Hỏi có bao nhiêu cách đặt mật mã nếu:
a) Các chữ số có thể giống nhau?
b) Các chữ số phải đôi một khác nhau? Giải
Gọi dãy số mật mã là abcd .
a) Việc chọn mật mã là chọn liên tiếp các chữ số a,b,c,d , trong đó các chữ số có thể giống nhau.
Chọn a : Có 10 cách chọn. Chọn b: Có 10 cách chọn.
Chọn c : Có 10 cách chọn. Chọn d: Có 10 cách chọn.
Vậy có 10⋅10⋅10⋅10 =10000 cách đặt mật mã.
b) Việc chọn mật mã là chọn liên tiếp các chữ số a,b,c,d , trong đó các chữ số đôi một khác nhau.
Chọn a: Có 10 cách chọn.
Chọn b : Có 9 cách chọn (khác chữ số a đã chọn).
Chọn c : Có 8 cách chọn (khác hai chữ số a,b đã chọn).
Chọn d : Có 7 cách chọn (khác ba chữ số a,b,c đã chọn).
Vậy có 10⋅9⋅8⋅7 = 5040 cách đặt mật mã.
Ví dụ 9. Cho kiểu gen AaBbDdEE.
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử.
b) Từ đó, tính số loại giao tử của kiểu gen AaBbDdEE.
Biết quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường, không xảy ra đột biến. Giải
a) Sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử: Trang 3
b) Từ sơ đồ hình cây, ta có 8 loại giao tử của kiểu gen AaBbDdEE
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Một đồng xu có hai mặt sấp và ngửa (Kí hiệu S và N ). Tung đồng xu ba lần liên tiếp và ghi lại
kết quả. Tìm số kết quả có thể xảy ra, theo hai cách sau đây: a) Vẽ sơ đồ hình cây.
b) Sử dụng quy tắc nhân.
Câu 2. Một bạn muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một ngày nhất định. Biết rằng trong ngày hôm đó từ
tỉnh A đến tỉnh B có 14 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn để đi từ A đến B?
Câu 3. Một cửa hàng có 10 bó hoa ly, 14 bó hoa huệ, 6 bó hoa lan. Một bạn muốn mua một bó hoa tại
cửa hàng này. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn?
Câu 4. Một lớp có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Hỏi giáo viên có bao nhiêu sự lựa chọn ra một
bạn trong lớp để làm lớp trưởng?
Câu 5. Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 5 loại nước uống. Một thực khách muốn lựa chọn
một loại đồ uống thì có bao nhiêu cách chọn?
Câu 6. Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45 phút môn Toán phần lượng giác. Trong ngân hàng câu hỏi
có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu. Để ra đề kiểm tra 45p gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo
viên có bao nhiêu cách ra đề?
Câu 7. Có 3 bạn nữ và 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào một hàng dọc sao cho
nam nữ đứng xen kẽ nhau?
Câu 8. Một lớp có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn, 6 học sinh giỏi Lịch Sử. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 1 nhóm:
a/ Gồm 1 học sinh giỏi bất kỳ?
b/ Gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả 3 môn?
c/ Gồm 2 học sinh giỏi khác nhau?
Câu 9. Cho các số tự nhiên: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
c) Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? Trang 4
Câu 10. Cho các số tự nhiên sau : 1, 2, 5, 6, 7, 9 .
a) Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết
c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2
Câu 11. Cho các số tự nhiên : 0, 1, 2, 4, 5, 7, 9.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau?
Câu 12. Cho các số tự nhiên 0, 2, 3, 5, 6, 9 .
a) Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3?
c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601?
Câu 13. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc cỡ 40 . Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ
40 có 4 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)? A. 9. B. 5. C. 4. D. 1.
Câu 2. Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một
cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là: A. 13. B. 72. C. 12. D. 30.
Câu 3. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học
sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là: A. 480. B. 24. C. 48. D. 60.
Câu 4. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn
một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? A. 45. B. 280. C. 325. D. 605.
Câu 5. Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một
học sinh tiên tiến lớp 11A hoặc lớp 12 .
B Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có
31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến? A. 31. B. 9. C. 53. D. 682.
Câu 6. Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số
7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy? A. 27. B. 9. C. 6. D. 3.
Câu 7. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay.
Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B ? A. 20. B. 300. C. 18. D. 15.
Câu 8. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao
gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh
được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài? A. 20. B. 3360. C. 31. D. 30.
Câu 9. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh
của tổ đó đi trực nhật. A. 20 . B. 11. C. 30. D. 10.
Câu 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần: Trang 5 A. 5 . B. 15 . C. 55. D. 10 .
Câu 11. Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có
bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây? A. 4. B. 7. C. 12. D. 16.
Câu 12. Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách
chọn bộ ''quần-áo-cà vạt '' khác nhau? A. 13. B. 72. C. 12. D. 30.
Câu 13. Một thùng trong đó có 12 hộp đựng bút màu đỏ, 18 hộp đựng bút màu xanh. Số cách khác nhau
để chọn được đồng thời một hộp màu đỏ, một hộp màu xanh là? A. 13. B. 12. C. 18. D. 216.
Câu 14. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Số cách
khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập. A. 24. B. 48. C. 480. D. 60.
Câu 15. Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy
ba bông hoa có đủ cả ba màu. A. 240. B. 210. C. 18. D. 120.
Câu 16. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong năm món, một loại
quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một nước uống trong ba loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn. A. 25. B. 75. C. 100. D. 15.
Câu 17. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn
hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? A. 910000. B. 91000. C. 910. D. 625.
Câu 18. Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 3 học sinh
khối 10. Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em? A. 12. B. 220. C. 60. D. 3.
Câu 19. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong
bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng? A. 100. B. 91. C. 10. D. 90.
Câu 20. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con
đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường? A. 6. B. 4. C. 10. D. 24.
Câu 21. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần? A. 9. B. 10. C. 18. D. 24.
Câu 22. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến D rồi quay lại A? A. 1296. B. 784. C. 576. D. 324. Trang 6
Câu 23. Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái
bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn? A. 80 . B. 60 . C. 90. D. 70 .
Câu 24. Một hộp đựng 5 bi đỏ và 4 bi xanh. Có bao nhiêu cách lấy 2 bi có đủ cả 2 màu? A. 20 . B. 16 . C. 9. D. 36.
Câu 25. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món ăn, 1 loại quả
tráng miệng trong 4 loại quả tráng miệng và 1 loại nước uống trong 3 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn? A. 75. B. 12 . C. 60 . D. 3.
Câu 26. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ? A. 25 . B. 20 . C. 50. D. 10 .
Câu 27. Số các số tự nhiên chẵn, gồm bốn chữ số khác nhau đôi một và không tận cùng bằng 0 là : A. 504. B. 1792 . C. 953088. D. 2296 .
Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau? A. 1000 . B. 720 . C. 729 . D. 648.
Câu 29. Có 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 7 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu
vàng được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số. A. 392 B. 1023 C. 3014 D. 391
Câu 30. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ sáu chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 ? A. 120. B. 216 . C. 256 . D. 20 .
Câu 31. Cho các số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau: A. 12. B. 24 . C. 64 . D. 256 .
Câu 32. Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi
bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)? A. 3991680. B. 12!. C. 35831808. D. 7!.
Câu 33. Nhãn mỗi chiếc ghế trong hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái (trong bảng 24 chữ
cái tiếng Việt), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế
được ghi nhãn khác nhau? A. 624. B. 48. C. 600. D.
(a,b,c,d)∈ A ={1, 5, 6, } 7 .
Câu 34. Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là
một chữ cái (trong bảng 26 cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập {1;2;...; } 9 , mỗi kí
tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {0;1;2;...; }
9 . Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có
thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau? A. 2340000. B. 234000. C. 75. D. 2600000.
Câu 35. Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên? A. 160. B. 240. C. 180. D. 120.
Câu 36. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số (không nhất thiết phải khác nhau)? A. 324. B. 256. C. 248. D. 124.
Câu 37. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn? A. 99. B. 50. C. 20. D. 10.
Câu 38. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100? Trang 7 A. 36. B. 62. C. 54. D. 42.
Câu 39. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? A. 154. B. 145. C. 144. D. 155.
Câu 40. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? A. 156. B. 144. C. 96. D. 134.
Câu 41. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số? A. 210 . B. 105 . C. 168 . D. 145 .
Câu 42. Có bao nhiêu sỗ chẵn gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? Câu trả lời nào đúng? A. 40000 số. B. 38000 số. C. 44000 số. D. 42000 số.
Câu 43. Cho các chữ số 1, 2, 3,., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác
nhau và không vượt quá 2011. A. 168 B. 170 C. 164 D. 172
Câu 44. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ A. 360 B. 343 C. 480 D. 347
Câu 45. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người. A. 81 B. 68 C. 42 D. 98
Câu 46. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ? A. 72 B. 74 C. 76 D. 78
Câu 47. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ: A. 6 . B. 72 . C. 720 . D. 144.
Câu 48. Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có 7 chữ số và bắt đầu bởi 3 chữ số đầu tiên là 790 . Hỏi ở Huyện
Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại: A. 1000 . B. 100000. C. 10000. D. 1000000 .
Câu 49. Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội thì
gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra. A. 190 B. 182 C. 280 D. 194
Câu 50. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100 ? A. 36. B. 62. C. 54. D. 42.
Câu 51. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? A. 154. B. 145. C. 144. D. 155.
Câu 52. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? A. 156. B. 144. C. 96. D. 134.
Câu 53. Cho tập A = {0;1;2;3;4;5; }
6 từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chia
hết cho 2 ? A. 8232. B. 1230 . C. 1260 . D. 2880 .
Câu 54. Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A , B , C . Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên
một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. A. 4320 . B. 90. C. 43200 . D. 720 . Trang 8
Câu 55. Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2
trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 180 B. 160. C. 90. D. 45 .
Câu 56. Từ tập có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ. A. 11523 B. 11520 C. 11346 D. 22311
Câu 57. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3. A. 12. B. 16. C. 17 . D. 20 .
Câu 58. Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7, }
8 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác
nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5. A. 15120 B. 23523 C. 16862 D. 23145
Câu 59. Cho tập A = {0,1,2,3,4,5, }
6 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5. A. 660 B. 432 C. 679 D. 523
Câu 60. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là: A. 3260. B. 3168. C. 9000. D. 12070.
Câu 61. Cho tập hợp số: A = {0,1,2,3,4,5, }
6 .Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. A. 114 B. 144 C. 146 D. 148
Câu 62. Một hộp chứa 16 quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 , năm quả cầu đỏ đánh số từ
1 đến 5 và năm quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 5. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số. A. 72 . B. 150 . C. 60 . D. 80 .
Câu 63. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho
6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho
bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. A. 1036800 B. 234780 C. 146800 D. 2223500
Câu 64. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẻ: A. 6 . B. 72 . C. 720 . D. 144.
Câu 65. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một
khác nhau và phải có mặt chữ số 3 . A. 36số. B. 108số. C. 228 số. D. 144số.
Câu 66. Từ các chữ số 0 , 2 , 3, 5, 6 , 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một
khác nhau trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau. A. 384 B. 120 C. 216 D. 600
Câu 67. Một phiếu điều tra về đề tự học của học sinh gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có bốn lựa
chọn để trả lời. Khi tiến hành điều tra, phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu người được hỏi trả lời đủ 10 câu
hỏi, mỗi câu chỉ chọn một phương án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất
hai phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi? A. 2097152 . B. 10001. C. 1048577 . D. 1048576.
Câu 68. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5,6,7,8,9. Tính tổng tất cả các số thuộc tâp S. Trang 9 A. 9333420. B. 46666200. C. 9333240. D. 46666240.
Câu 69. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau
và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị A. 32. B. 72 . C. 36. D. 24 .
Câu 70. Tô màu các cạnh của hình vuông ABCD bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một
màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô? A. 360. B. 480 . C. 600 . D. 630 .
Câu 71. Cho 5 chữ số 1, 2 , 3, 4 , 6 . Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã
cho. Tính tổng của các số lập được. A. 12321 B. 21312 C. 12312 D. 21321
Câu 72. Có bao nhiêu số có 10 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2 , 3 sao cho bất kì 2 chữ số nào
đứng cạnh nhau cũng hơn kém nhau 1 đơn vị? A. 32 B. 16 C. 80 D. 64
Câu 73. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9. 2011 2010 − + 2011 2010 − + 2011 2010 − + 2011 2010 − + A. 9 2019.9 8 B. 9 2.9 8 C. 9 9 8 D. 9 19.9 8 9 9 9 9
Câu 74. Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa
điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị. A. 104 B. 106 C. 108 D. 112 Trang 10
Bài 1. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT I. Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện,
hành động thứ hai có n cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau đôi một) thì
công việc đó có m + n cách hoàn thành.
Ví dụ 1. Bạn Phương có 7 quyển sách Tiếng Anh và 8 quyển sách Văn học, các quyển sách là khác nhau.
Hỏi bạn Phương có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc? Giải
Việc chọn một quyển sách để đọc là thực hiện một trong hai hành động sau:
Chọn một quyển sách tiếng anh: có 7 cách chọn.
Chọn một quyển sách Văn học: có 8 cách chọn.
Vậy có 7 + 8 =15 cách chọn một quyển sách để đọc.
Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:
Một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện,
hành động thứ hai có n cách thực hiện, hành động thứ ba có p cách thực hiện (các cách thực hiện của ba
hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có m + n + p cách hoàn thành. II. Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện và
ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có
m . n cách hoàn thành.
Ví dụ 2. Trong Hoạt động 1, nếu gia đình bạn Liên muốn chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1
, sau đó đi tham quan tiếp một địa điểm trong chương trình 2 thì có bao nhiêu cách chọn hai địa điểm ở hai
chương trình khác nhau để tham quan? Giải
Việc chọn hai địa điểm ở hai chương trình khác nhau để tham quan là thực hiện hai hành động liên tiếp:
chọn một địa điểm trong chương trình 1 , sau đó chọn một địa điểm trong chương trình 2 .
Có 4 cách chọn địa điểm tham quan trong chương trình 1 .
Với mỗi cách chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1 sẽ có 7 cách chọn địa điểm tham quan trong chương trình 2 .
Vậy có tất cả 4.7 = 28 cách chọn hai địa điểm tham quan ở hai chương trình khác nhau.
Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:
Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp: Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện;
ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện
hành động thứ hai; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động thứ hai
có p cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có m⋅n⋅ p cách hoàn thành.
Ví dụ 3. Trong kinh doanh nhà hàng, combo là một hình thức gọi món theo thực đơn được kết hợp từ nhiều
món ăn hoặc đồ uống. Nếu nhà hàng có 5 món rau, 4 món cá và 3 món thịt thì có bao nhiêu cách tạo ra một
combo? Biết mỗi combo có đầy đủ 1 món rau, 1 món cá và 1 món thịt. Giải
Để tạo một combo ta thực hiện ba hành động liên tiếp: chọn 1 món rau, chọn 1 món cá và chọn 1 món thịt.
Chọn 1 món rau: Có 5 cách chọn.
Chọn 1 món cá: Có 4 cách chọn.
Chọn 1 món thịt: Có 3 cách chọn.
Vậy có 5.4.3 = 60 cách tạo ra một combo
III. Sơ đồ hình cây. Nhận xét
- Sơ đồ hình cây là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh toả ra các nút bổ sung. Trang 1
- Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi hỏi những hành động liên tiếp.
Ví dụ 4. Bạn Hương có 3 chiếc quần khác màu lần lượt là xám, đen, nâu nhạt và 4 chiếc áo sơ mi cũng khác
màu lần lượt là hồng, vàng, xanh, tím. Hãy vẽ sơ đồ hình cây biểu thị số cách chọn: a) 1 chiếc quần; b) 1 chiếc áo sơ mi; c) 1 bộ quần áo. Giải
Các sơ đồ hình cây T ,T ,TT trong hình sau lần lượt: 1 2 1 2
a) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc quần;
b) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc áo sơ mi;
c) Biểu thị số cách chọn 1 bộ quần áo.
IV. Vận dụng trong bài toán đếm
1. Vận dụng trong giải toán
Ví dụ 5. Cho 10 điểm phân biệt, hỏi lập được bao nhiêu vectơ khác 0 ? Biết rằng hai đầu mút của mỗi vectơ
là hai trong 10 điểm đã cho. Giải
Việc lập vectơ là thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn điểm đầu và chọn điểm cuối.
Chọn điểm đầu: có 10 cách chọn. Chọn điểm cuối: có 9 cách chọn.
Vậy có 10⋅9 = 90 (vectơ).
Ví dụ 6. Phân tích số 10125 ra thừa số nguyên tố rồi tìm số ước nguyên dương của nó. Giải Ta có: 4 3
10125 = 3 ⋅5 . Một ước nguyên dương của 10125 thì có dạng 3m 5n ⋅ , trong đó ,
m n là hai số tự nhiên
sao cho 0 ≤ m ≤ 4,0 ≤ n ≤ 3.
Như vậy, để tạo ra một ước nguyên dương của 10125 ta làm như sau: Trang 2
- Chọn số tự nhiên m mà 0 ≤ m ≤ 4 có 5 cách chọn.
- Chọn số tự nhiên n mà 0 ≤ n ≤ 3 có 4 cách chọn.
- Lấy tích 3m 5n ⋅ .
Vì vậy, số ước nguyên dương của 10125 là: 5.4 = 20 (số).
2. Vận dụng trong thực tiễn
Ví dụ 7. Từ ba mảng dữ liệu ,
A B,C , máy tính tạo nên một thông tin đưa ra màn hình cho người dùng bằng
cách lần lượt lấy một dữ liệu từ A , một dữ liệu từ B và một dữ liệu từ C . Giả sử ,
A B,C lần lượt chứa , m ,
n p dữ liệu. Hỏi máy tính có thể tạo ra được bao nhiêu thông tin? Giải
Việc máy tính tạo ra thông tin là thực hiện ba cách chọn liên tiếp: chọn dữ liệu từ A , chọn dữ liệu từ B và
chọn dữ liệu từ C .
Có m cách chọn một dữ liệu từ A .
Có n cách chọn một dữ liệu từ B .
Có p cách chọn một dữ liệu từ C .
Vậy số thông tin máy tính có thể tạo được là: m⋅n⋅ p .
Ví dụ 8. Gia đình bạn Quân đặt mật mã của chiếc khoá cổng là một dãy gồm bốn chữ số. Hỏi có bao nhiêu cách đặt mật mã nếu:
a) Các chữ số có thể giống nhau?
b) Các chữ số phải đôi một khác nhau? Giải
Gọi dãy số mật mã là abcd .
a) Việc chọn mật mã là chọn liên tiếp các chữ số a,b,c,d , trong đó các chữ số có thể giống nhau.
Chọn a : Có 10 cách chọn. Chọn b: Có 10 cách chọn.
Chọn c : Có 10 cách chọn. Chọn d: Có 10 cách chọn.
Vậy có 10⋅10⋅10⋅10 =10000 cách đặt mật mã.
b) Việc chọn mật mã là chọn liên tiếp các chữ số a,b,c,d , trong đó các chữ số đôi một khác nhau.
Chọn a: Có 10 cách chọn.
Chọn b : Có 9 cách chọn (khác chữ số a đã chọn).
Chọn c : Có 8 cách chọn (khác hai chữ số a,b đã chọn).
Chọn d : Có 7 cách chọn (khác ba chữ số a,b,c đã chọn).
Vậy có 10⋅9⋅8⋅7 = 5040 cách đặt mật mã.
Ví dụ 9. Cho kiểu gen AaBbDdEE.
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử.
b) Từ đó, tính số loại giao tử của kiểu gen AaBbDdEE.
Biết quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường, không xảy ra đột biến. Giải
a) Sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử: Trang 3
b) Từ sơ đồ hình cây, ta có 8 loại giao tử của kiểu gen AaBbDdEE
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Một đồng xu có hai mặt sấp và ngửa (Kí hiệu S và N ). Tung đồng xu ba lần liên tiếp và ghi lại
kết quả. Tìm số kết quả có thể xảy ra, theo hai cách sau đây: a) Vẽ sơ đồ hình cây.
b) Sử dụng quy tắc nhân. Lời giải
a) Vẽ sơ đồ hình cây như Hình .
Từ sơ đồ này, ta thấy có 8 kết quả có thể xảy ra.
b) Có thể coi việc tung đồng xu ba lần liên tiếp là một công việc gồm ba công đoạn, mỗi công đoạn tương
ứng với một lần tung đồng xu. Mỗi lần tung có hai kết quả, là S hoặc N . Do đó, theo quy tắc nhân, số kết
quả của việc tung đồng xu ba lần liên tiếp là: 2.2 .2 = 8 (kết quả).
Câu 2. Một bạn muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một ngày nhất định. Biết rằng trong ngày hôm đó từ
tỉnh A đến tỉnh B có 14 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn để đi từ A đến B? Lời giải.
Bạn đó đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng tàu có: 14 cách.
Bạn đó đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng ô tô có: 5 cách.
Vậy bạn đó có: 14 + 5 =19 sự lựa chọn. Trang 4
Câu 3. Một cửa hàng có 10 bó hoa ly, 14 bó hoa huệ, 6 bó hoa lan. Một bạn muốn mua một bó hoa tại
cửa hàng này. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn? Lời giải.
Bạn đó mua hoa ly có: 10 sự lựa chọn.
Bạn đó mua hoa huệ có: 14 sự lựa chọn.
Bạn đó mua hoa lan có: 6 sự lựa chọn.
Vậy bạn đó có tất cả: 10 +14 + 6 = 30 sự lựa chọn để mua một bó hoa.
Câu 4. Một lớp có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Hỏi giáo viên có bao nhiêu sự lựa chọn ra một
bạn trong lớp để làm lớp trưởng? Lời giải.
Nếu chọn một bạn nam làm lớp trưởng có: 25 sự lựa chọn.
Nếu chọn một bạn nữ làm lớp trưởng có: 15 sự lựa chọn.
Vậy giáo viên có tất cả: 25+15 = 40 sự lựa chọn.
Câu 5. Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 5 loại nước uống. Một thực khách muốn lựa chọn
một loại đồ uống thì có bao nhiêu cách chọn? Lời giải.
Nếu thực khách chọn rượu làm đồ uống thì có: 3 cách chọn.
Nếu thực khách chọn bia làm đồ uống thì có: 4 cách chọn.
Nếu thực khách chọn 5 loại nước uống còn lại làm đồ uống thì có 5 cách chọn.
Như vậy thực khách có tất cả: 3+ 4 + 5 = 12 cách chọn.
Câu 6. Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45 phút môn Toán phần lượng giác. Trong ngân hàng câu hỏi
có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu. Để ra đề kiểm tra 45p gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo
viên có bao nhiêu cách ra đề? Lời giải.
Vì đề kiểm tra có 5 câu và bao gồm 5 chủ đề nên để thành lập đề kiểm tra mỗi chủ đề ta lấy một câu hỏi.
Chọn 1 câu hỏi trong chủ đề 1 có 4 cách chọn.
Tương tự đối với các chủ đề 2;3;4;5.
Nên số cách chọn đề ra là: = 5 4.4.4.4.4 4 cách.
Câu 7. Có 3 bạn nữ và 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào một hàng dọc sao cho
nam nữ đứng xen kẽ nhau? Lời giải.
Vị trí thứ nhất có 6 cách lựa chọn.
Vị trí thứ hai có 3 cách lựa chọn.(nếu vị trí thứ nhất là nam thì bắt buộc vị trí thứ 2 phải chọn 1
trong 3 bạn nữ và ngược lại)
Vị trí thứ ba có 2 cách lựa chọn.
Vị trí thứ 4 có 2 cách lựa chọn.
Vị trí thứ 5 có 1 cách lựa chọn.
Vị trí thứ 6 chỉ có 1 cách lựa chọn.
Nên có 6.5.4.3.2.1 = 72 cách.
Câu 8. Một lớp có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn, 6 học sinh giỏi Lịch Sử. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 1 nhóm:
a/ Gồm 1 học sinh giỏi bất kỳ?
b/ Gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả 3 môn?
c/ Gồm 2 học sinh giỏi khác nhau? Lời giải. Trang 5
a. Số cách chọn 1 học sinh giỏi trong lớp là: 7 + 6 + 5 = 18 cách.
b. Số cách chọn 1 học sinh giỏi toán là 7 cách.
Số cách chọn 1 học sinh giỏi văn là 5 cách.
Số cách chọn 1 học sinh giỏi sử là 6 cách.
Nên số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả các môn là 7.6.5 = 210 cách.
c. Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi toán; một giỏi văn là 7.5 = 35 cách.
Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi toán; một giỏi sử là 7.6 = 42 cách.
Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi văn; một giỏi văn giỏi sử là 5.6 = 30 cách.
Vậy số cách chọn ra một nhóm gồm 2 học sinh giỏi khác nhau là 35+ 30 + 42 = 107 cách.
Câu 9. Cho các số tự nhiên: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
c) Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? Lời giải. a)
Gọi số tự nhiên cần lập là abcde,(a ≠ 0) . a có 9 cách chọn. b có 9 cách chọn. c có 9 cách chọn. d có 9 cách chọn. e có 9 cách chọn.
nên số các số tự nhiên có 5 chữ số được thành lập từ các số trên là 5 9.9.9.9.9 = 9 cách. b)
Gọi số tự nhiên cần lập là abcde,(a ≠ 0) . a có 9 cách chọn. b có 8 cách chọn. c có 7 cách chọn. d có 6 cách chọn. e có 9 cách chọn.
nên số các số tự nhiên có 5 chữ số được thành lập từ các số trên là 9.8.7.6.5 = 15120 cách. c)
Gọi số tự nhiên cần lập là abcde,(a ≠ 0) . e có 4 cách chọn. d có 8 cách chọn. c có 7 cách chọn. b có 6 cách chọn. a có 5 cách chọn.
nên số các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau là 4.8.7.6.5 = 6720 cách.
Câu 10. Cho các số tự nhiên sau : 1, 2, 5, 6, 7, 9 .
a) Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết
c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 Lời giải. a)
Gọi số cần lập là abc,(a ≠ 0) .
Vì số cần lập là số lẻ nên c có thể là 1;5;7;9 ⇒ c có 4 cách chọn.
Vì khác a; b; c nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.
Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 4.5.4 = 80 số. b)
Gọi số cần lập là abc,(a ≠ 0) . Trang 6
Vì số cần lập là số chia hết cho 5 nên c có thể là có 1 cách chọn.
Vì a; b; c khác nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.
Vậy số số có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 5.4 = 20 số. c)
Các số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2
TH1: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 1 chữ số 2
- Số 2: có 3 vị trí đặt, 5 số còn lại mỗi số có 2 vị trí đặt
- Có 3.5.5 số có 3 chữ số có mặt 1 chữ số 2
TH2: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 2 chữ số 2
- Số 2: có 3 vị trí đặt, 5 số còn lại mỗi số có 1 vị trí đặt
- Có 3.5 số có 3 chữ số có mặt 2 chữ số 2
TH3: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 3 chữ số 2, suy ra có 1 số: 222. Vậy số số tự
nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 thành lập từ các số đã cho là: 3.5.5 + 3.5 + 1 = 91 số.
Câu 11. Cho các số tự nhiên : 0, 1, 2, 4, 5, 7, 9.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau? Lời giải.
a) Gọi số cần lập là abcd,(a ≠ 0) .
Vì a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn.
Vì các chữ số khác nhau nên b có 6 cách chọn.
Tương tự c có 5 cách chọn; d có 4 cách chọn.
Nên số số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là 6.6.5.4 = 720 số.
b) Gọi số cần lập là abcd,(a ≠ 0) .
Vì là số lẻ nên d = 1;5;7;9 . Vậy d có 4 cách chọn.
Vì a ≠ 0 và các chữ số là khác nhau nên a có 5 cách chọn. b có 5 cách chọn. c có 4 cách chọn.
Vậy số số lẻ có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là: 4.5.5.4  400 .
Câu 12. Cho các số tự nhiên 0, 2, 3, 5, 6, 9 .
a) Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3?
c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601? Lời giải.
Ta phân các số trên thành 2 nhóm:
Nhóm 1 gồm các số {2;5} .
Nhóm 2 gồm các số {0;3;6;9} .
b) Gọi số cần lập là abc thỏa mãn abc3 ⇔ (a + b + c)3  a; b; c sẽ không đồng thời thuộc cả hai
Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 được thành lập từ nhóm 1 là:
Cả 3 chữ số giống nhau: 222, 555
Có 1 chữ số 2 và 2 chữ số 5: 255, 552, 525 (có 3 cách chọn vị trí để chữ số 5 có 1 cách chọn
để vị trí 2 chữ số 2, suy ra có 3 số).
Có 1 chữ số 5 và 2 chữ số 2: 522, 225, 252
Vậy từ nhóm 1 ta thành lập được 2 + 3 + 3 = 8 số chia hết cho 3.
Số các số chia hết cho 3 lập được từ nhóm thứ 2 là: +
Có 3 cách chọn chữ số a . +
Có 4 cách chọn chữ số b . +
Có 4 cách chọn chữ số c .
Vậy có tất cả 3.4.4 = 48 số có 3 chữ số được thành lập từ nhóm 2 chia hết cho 3.
Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 3 được thành lập từ các chữ số đã cho là 48 + 8 = 56 số. Trang 7
c) Gọi số cần lập là abc thỏa mãn abc > 600
Vì abc > 600 nên a chỉ có 2 cách chọn. ( a = 6 hoặc a = 9 ).
Chữ số b có 6 cách chọn, chữ số c có 6 cách chọn.
⇒ có 6.6.2 = 72 số có 3 chữ số lớn hơn 600.
Trong 72 số trên có 1 số là: 600 < 601.
Vậy có tất cả 71 số lớn hơn 601 được thành lập từ các số trên.
Câu 13. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Lời giải.
Gọi số cần lập là a a a a a với a ≠ 0 và các chữ số phân biệt. 1 2 3 4 5 1
+ Bước 1: chữ số a ≠ 0 nên có 4 cách chọn. 1
+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Vậy có 4.24 = 96 số.
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc cỡ 40 . Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ
40 có 4 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)? A. 9. B. 5. C. 4. D. 1. Lời giải.
• Nếu chọn cỡ áo 39 thì sẽ có 5 cách.
• Nếu chọn cỡ áo 40 thì sẽ có 4 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 5 + 4 = 9 cách chọn mua áo.
Câu 2. Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một
cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là: A. 13. B. 72. C. 12. D. 30. Lời giải.
• Nếu chọn một cái quần thì sẽ có 4 cách.
• Nếu chọn một cái áo thì sẽ có 6 cách.
• Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có 3 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 4 + 6 + 3 =13 cách chọn.
Câu 3. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học
sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là: A. 480. B. 24. C. 48. D. 60. Lời giải.
• Nếu chọn một cây bút chì thì sẽ có 8 cách.
• Nếu chọn một cây bút bi thì sẽ có 6 cách.
• Nếu chọn một cuốn tập thì sẽ có 10 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 8 + 6 +10 = 24 cách chọn.
Câu 4. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn
một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? A. 45. B. 280. C. 325. D. 605. Lời giải.
• Nếu chọn một học sinh nam có 280 cách.
• Nếu chọn một học sinh nữ có 325 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 280 + 325 = 605 cách chọn.
Câu 5. Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một
học sinh tiên tiến lớp 11A hoặc lớp 12 .
B Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có
31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến? A. 31. B. 9. C. 53. D. 682. Lời giải.
• Nếu chọn một học sinh lớp 11A có 31 cách. Trang 8
• Nếu chọn một học sinh lớp 12B có 22 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 31+ 22 = 53 cách chọn.
Câu 6. Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số
7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy? A. 27. B. 9. C. 6. D. 3. Lời giải.
Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.
• Nếu chọn một quả trắng có 6 cách.
• Nếu chọn một quả đen có 3 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 6 + 3 = 9 cách chọn.
Câu 7. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay.
Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B ? A. 20. B. 300. C. 18. D. 15. Lời giải.
• Nếu đi bằng ô tô có 10 cách.
• Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách.
• Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách.
• Nếu đi bằng máy bay có 2 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3+ 2 = 20 cách chọn.
Câu 8. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao
gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh
được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài? A. 20. B. 3360. C. 31. D. 30. Lời giải.
• Nếu chọn đề tài về lịch sử có 8 cách.
• Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách.
• Nếu chọn đề tài về con người có 10 cách.
• Nếu chọn đề tài về văn hóa có 6 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 8 + 7 +10 + 6 = 31 cách chọn.
Câu 9. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh
của tổ đó đi trực nhật. A. 20 . B. 11. C. 30. D. 10. Lời giải
Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 11 học sinh, ta có 11 cách chọn.
Câu 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần: A. 5 . B. 15 . C. 55. D. 10 . Lời giải
Với một cách chọn 9 chữ số từ tập {0,1,2,3,4,5,6,7,8, }
9 ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần.
Ta có 10 cách chọn 9 chữ số từ tập {0,1,2,3,4,5,6,7,8, } 9
Do đó có 10 số tự nhiên cần tìm.
Câu 11. Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có
bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây? A. 4. B. 7. C. 12. D. 16. Lời giải.
Để chọn một chiếc đồng hồ, ta có: • Có 3 cách chọn mặt. • Có 4 cách chọn dây. Trang 9
Vậy theo qui tắc nhân ta có 3× 4 =12 cách.
Câu 12. Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách
chọn bộ ' quần-áo-cà vạt '' khác nhau? A. 13. B. 72. C. 12. D. 30. Lời giải.
Để chọn một bộ ''quần-áo-cà vạt '', ta có:
• Có 4 cách chọn quần. • Có 6 cách chọn áo.
• Có 3 cách chọn cà vạt.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4×6×3 = 72 cách.
Câu 13. Một thùng trong đó có 12 hộp đựng bút màu đỏ, 18 hộp đựng bút màu xanh. Số cách khác nhau
để chọn được đồng thời một hộp màu đỏ, một hộp màu xanh là? A. 13. B. 12. C. 18. D. 216. Lời giải.
Để chọn một hộp màu đỏ và một hộp màu xanh, ta có:
• Có 12 cách chọn hộp màu đỏ.
• Có 18 cách chọn hộp màu xanh.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 12×18 = 216 cách.
Câu 14. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Số cách
khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập. A. 24. B. 48. C. 480. D. 60. Lời giải.
Để chọn ' một cây bút chì - một cây bút bi - một cuốn tập '', ta có:
• Có 8 cách chọn bút chì.
• Có 6 cách chọn bút bi.
• Có 10 cách chọn cuốn tập.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 8×6×10 = 480 cách.
Câu 15. Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy
ba bông hoa có đủ cả ba màu. A. 240. B. 210. C. 18. D. 120. Lời giải.
Để chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu (nghĩa là chọn một bông hoa hồng trắng- một bông hoa
hồng đỏ- hoa hồng vàng), ta có:
• Có 5 cách chọn hoa hồng trắng.
• Có 6 cách chọn hoa hồng đỏ.
• Có 7 cách chọn hoa hồng vàng.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 5×6×7 = 210 cách.
Câu 16. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong năm món, một loại
quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một nước uống trong ba loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn. A. 25. B. 75. C. 100. D. 15. Lời giải.
Để chọn thực đơn, ta có:
• Có 5 cách chọn món ăn.
• Có 5 cách chọn quả tráng miệng.
• Có 3 cách chọn nước uống.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 5×5×3 = 75 cách.
Câu 17. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn
hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? A. 910000. B. 91000. C. 910. D. 625. Trang 10 Lời giải.
Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có:
• Có 280 cách chọn học sinh nam.
• Có 325 cách chọn học sinh nữ.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 280×325 = 91000 cách.
Câu 18. Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 3 học sinh
khối 10. Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em? A. 12. B. 220. C. 60. D. 3. Lời giải.
Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có:
• Có 5 cách chọn học sinh khối 12.
• Có 4 cách chọn học sinh khối 11.
• Có 3 cách chọn học sinh khối 10.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 5× 4×3 = 60 cách.
Câu 19. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong
bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng? A. 100. B. 91. C. 10. D. 90. Lời giải.
Để chọn một người đàn ông và một người đàn bà không là vợ chồng, ta có
• Có 10 cách chọn người đàn ông.
• Có 9 cách chọn người đàn bà.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 9×10 = 90 cách.
Câu 20. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con
đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường? A. 6. B. 4. C. 10. D. 24. Lời giải. • Từ An  → Bình có 4 cách. • Từ Bình  → Cường có 6 cách.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4×6 = 24 cách.
Câu 21. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần? A. 9. B. 10. C. 18. D. 24. Lời giải. • Từ A  → B có 4 cách. • Từ B  →C có 2 cách. • Từ C  → D có 2 cách.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4× 2×3 = 24 cách.
Câu 22. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến D rồi quay lại A? A. 1296. B. 784. C. 576. D. 324. Lời giải.
Từ kết quả câu trên, ta có: • Từ A  → D có 24 cách.
• Tương tự, từ D  → A có 24 cách. Trang 11
Vậy theo qui tắc nhân ta có 24× 24 = 576 cách.
Câu 23. Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái
bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn? A. 80 . B. 60 . C. 90. D. 70 . Lời giải
Số cách chọn 1 cái bút có 10 cách, số cách chọn 1 quyển sách có 8 cách.
Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 cái bút và 1 quyển sách là: 10.8 = 80 cách.
Câu 24. Một hộp đựng 5 bi đỏ và 4 bi xanh. Có bao nhiêu cách lấy 2 bi có đủ cả 2 màu? A. 20 . B. 16 . C. 9. D. 36. Lời giải Lấy 1 bi đỏ có 5 cách. Lấy 1 bi xanh có 4 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách lấy 2 bi có đủ cả 2 màu là 5.4 = 20 cách.
Câu 25. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món ăn, 1 loại quả
tráng miệng trong 4 loại quả tráng miệng và 1 loại nước uống trong 3 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn? A. 75. B. 12 . C. 60 . D. 3. Lời giải
Có 5 cách chọn 1 món ăn trong 5 món ăn, 4 cách chọn 1 loại quả tráng miệng trong 4 loại quả
tráng miệng và 3 cách chọn 1 loại nước uống trong 3 loại nước uống.
Theo quy tắc nhân có 5.4.3 = 60 cách chọn thực đơn.
Câu 26. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ? A. 25 . B. 20 . C. 50. D. 10 . Lời giải
Gọi số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ là ab .
Số cách chọn số a là 5 cách.
Số cách chọn số b là 5 cách.
Vậy có 5.5 = 25 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 27. Số các số tự nhiên chẵn, gồm bốn chữ số khác nhau đôi một và không tận cùng bằng 0 là : A. 504. B. 1792 . C. 953088. D. 2296 . Lời giải
Gọi số ần tìm là abcd
Có 4 cách chọn d , 8 cách chọn a , 8 cách chọn b và 7 cách chọn c . Vậy có tất cả : 4.8.8.7 =1792 (số)
Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau? A. 1000 . B. 720 . C. 729 . D. 648. Lời giải
Gọi số cần lập là abc có ba chữ số đôi một khác nhau.
Chữ số a có 9 cách chọn.
Chữ số b có 9 cách chọn.
Chữ số c có 8 cách chọn.
Do đó có 9.9.8 = 648 cách lập số.
Câu 29. Có 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 7 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu
vàng được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số. A. 392 B. 1023 C. 3014 D. 391 Lời giải
Ta chọn các quả cầu theo trình tự sau
Chọn quả xanh: 7 cách chọn Trang 12
Chọn quả cầu vàng: có 7 cách chọn
Chọn quả cầu đỏ: có 8 cách chọn
Vậy có tất cả 7.7.8 = 392 cách chọn.
Câu 30. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ sáu chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 ? A. 120. B. 216 . C. 256 . D. 20 . Lời giải
Gọi số tự nhiên có ba chữ số là abc . Có 6 cách chọn a . Có 6 cách chọn b . Có 6 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có 6.6.6 = 216 (số tự nhiên).
Câu 31. Cho các số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau: A. 12. B. 24 . C. 64 . D. 256 .
Lời giải
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là: abcd, a ≠ 0 , khi đó: a có 4 cách chọn b có 3 cách chọn c có 2 cách chọn d có 1 cách chọn Vậy có: 4.3.2.1 = 24 số.
Câu 32. Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi
bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)? A. 3991680. B. 12!. C. 35831808. D. 7!. Lời giải.
Một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn.
• Có 12 cách chọn bạn vào ngày thứ nhất.
• Có 11 cách chọn bạn vào ngày thứ hai.
• Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ ba.
• Có 9 cách chọn bạn vào ngày thứ tư.
• Có 8 cách chọn bạn vào ngày thứ năm.
• Có 7 cách chọn bạn vào ngày thứ sáu.
• Có 6 cách chọn bạn vào ngày thứ bảy.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 12×11×10×9×8×7×6 = 39916 0 8 cách.
Câu 33. Nhãn mỗi chiếc ghế trong hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái (trong bảng 24 chữ
cái tiếng Việt), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế
được ghi nhãn khác nhau? A. 624. B. 48. C. 600. D.
(a,b,c,d)∈ A ={1, 5, 6, } 7 . Lời giải.
Một chiếc nhãn gồm phần đầu và phần thứ hai ∈{1;2;...; } 25 .
• Có 24 cách chọn phần đầu.
• Có 25 cách chọn phần thứ hai.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 24× 25 = 600 cách.
Câu 34. Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là
một chữ cái (trong bảng 26 cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập {1;2;...; } 9 , mỗi kí Trang 13
tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {0;1;2;...; }
9 . Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có
thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau? A. 2340000. B. 234000. C. 75. D. 2600000. Lời giải.
Giả sử biển số xe là a a a a a a . 1 2 3 4 5 6
• Có 26 cách chọn a 1
• Có 9 cách chọn 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Có 10 cách chọn a 3
• Có 10 cách chọn a 4
• Có 10 cách chọn a 5
• Có 10 cách chọn a 6
Vậy theo qui tắc nhân ta có 26×9×10×10×10×10 = 2340000 biển số xe.
Câu 35. Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên? A. 160. B. 240. C. 180. D. 120. Lời giải. Ta có 3 4 8
253125000 = 2 .3 .5 nên mỗi ước số tự nhiên của số đã cho đều có dạng 2m 3n 5p × × trong đó ,
m n, p ∈  sao cho 0 ≤ m ≤ 3; 0 ≤ n ≤ 4; 0 ≤ p ≤ 8. • Có 4 cách chọn . m
abcd Có 5 cách chọn . n • Có 9 cách chọn . p
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4×5×9 =180 ước số tự nhiên.
Câu 36. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số (không nhất thiết phải khác nhau)? A. 324. B. 256. C. 248. D. 124. Lời giải.
Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a,b,c,d )∈ A = {1, 5, 6, } 7 .
Vì số cần tìm có 4 chữ số không nhất thiết khác nhau nên:
a được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
b được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
c được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
d được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
Như vậy, ta có 4× 4× 4× 4 = 256 số cần tìm.
Câu 37. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn? A. 99. B. 50. C. 20. D. 10. Lời giải.
Gọi số cần tìm có dạng ab với (a, b)∈ A = {0,2,4,6, } 8 và a ≠ 0. Trong đó:
• a được chọn từ tập A\{ }
0 (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
• b được chọn từ tập A (có 5 phần tử) nên có 5 cách chọn.
Như vậy, ta có 4×5 = 20 số cần tìm.
Câu 38. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100? A. 36. B. 62. C. 54. D. 42. Lời giải.
Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập A = {1,2,3,4,5, }
6 . Từ tập A có thể lập được 6 số có một chữ số.
Gọi số có hai chữ số có dạng ab với (a,b)∈ . A Trong đó: Trang 14
• a được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn.
• b được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn.
Như vậy, ta có 6×6 = 36 số có hai chữ số.
Vậy, từ A có thể lập được 36 + 6 = 42 số tự nhiên bé hơn 100.
Câu 39. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? A. 154. B. 145. C. 144. D. 155. Lời giải.
Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a,b,c,d )∈ A = {0,1,2,3,4, } 5 .
Vì abcd là số lẻ ⇒ d = {1,3 }
,5 ⇒ d : có 3 cách chọn.
Khi đó a : có 4 cách chọn (khác 0 và d ), b : có 4 cách chọn và c : có 3 cách chọn.
Vậy có tất cả 3× 4× 4×3 =144 số cần tìm.
Câu 40. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? A. 156. B. 144. C. 96. D. 134. Lời giải.
Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a,b,c,d )∈ A = {0,1,2,3,4, } 5 .
Vì abcd là số chẵn ⇒ d = {0,2, } 4 .
TH1. Nếu d = 0, số cần tìm là abc0. Khi đó:
• a được chọn từ tập A\{ } 0 nên có 5 cách chọn.
• b được chọn từ tập A\{0, }
a nên có 4 cách chọn.
• c được chọn từ tập A\{0, a, }
b nên có 3 cách chọn.
Như vậy, ta có 5× 4×3 = 60 số có dạng abc0.
TH2. Nếu d = {2, }
4 ⇒ d : có 2 cách chọn.
Khi đó a : có 4 cách chọn (khác 0 và d ), b : có 4 cách chọn và c : có 3 cách chọn.
Như vậy, ta có 2× 4× 4×3 = 96 số cần tìm như trên.
Vậy có tất cả 60 + 96 =156 số cần tìm.
Câu 41. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số? A. 210 . B. 105 . C. 168 . D. 145 . Lời giải
• Gọi số có ba chữ số cần tìm là n = abc , với a ≠ 0 và c là số chẵn chọn từ các số đã cho.
• a ≠ 0 nên có 6 cách chọn, c chẵn nên có 4 cách chọn và b tùy ý nên có 7 cách chọn.
• Vậy số các số cần tìm là 6.4.7 = 168 .
Câu 42. Có bao nhiêu sỗ chẵn gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? Câu trả lời nào đúng? A. 40000 số. B. 38000 số. C. 44000 số. D. 42000 số. Lời giải
Gọi số có 6 chữ số đó là abcdef . Vì a lẻ nên a 1;3;5;7; 
9 , vậy a có 5 lựa chọn. Vì f chẵn
nên f 0;2;4;6; 
8 , vậy f có 5 lựa chọn. Tiếp theo b có 8 lựa chọn, c có 7 lựa chọn, d có 6
lựa chọn, e có 5 lựa chọn. Vậy có tất cả 5.5.8.7.6.5  42000 số thỏa mãn.
Câu 43. Cho các chữ số 1, 2, 3,., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác
nhau và không vượt quá 2011. A. 168 B. 170 C. 164 D. 172 Lời giải
Gọi số cần lập x = abcd , a,b,c,d ∈{1,2,3,4,5,6,7,8, } 9
Vì x chẵn nên d ∈{2,4,6, }
8 . Đồng thời x ≤ 2011⇒ a =1 Trang 15
• a = 1⇒ a có 1 cách chọn, khi đó d có 4 cách chọn; , b c có 7.6 cách Suy ra có: 1.4.6.7 =168 số
Câu 44. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ A. 360 B. 343 C. 480 D. 347 Lời giải
Gọi số cần lập x = abcd ; a,b,c,d ∈{1,2,3,4,5,6, }
7 và a,b,c,d đôi một khác nhau.
Vì số x cần lập là số lẻ nên d phải là số lẻ. Ta lập x qua các công đoạn sau.
Bước 1: Có 4 cách chọn d
Bước 2: Có 6 cách chọn a
Bước 3: Có 5 cách chọn b
Bước 4: Có 4 cách chọn c
Vậy có 480 số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 45. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người. A. 81 B. 68 C. 42 D. 98 Lời giải
Để xếp A ta có 3 cách lên một trong ba toa
Với mỗi cách xếp A ta có 3 cách xếp B lên toa tàu
Với mỗi cách xếp A,B ta có 3 cách xếp C lên toa tàu
Với mỗi cách xếp A,B,C ta có 3 cách xếp D lên toa tàu
Vậy có 3.3.3.3 = 81 cách xếp 4 người lên toa tàu.
Câu 46. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ? A. 72 B. 74 C. 76 D. 78 Lời giải
Có 6 cách chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có 3 cách chọn một người khác
phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách
chọn vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6.
Vậy có: 6.3.2.2.1.1 = 72 cách.
Câu 47. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ: A. 6 . B. 72 . C. 720 . D. 144. Lời giải
Chọn vị trí 3 nam và 3 nữ: 2.1 cách chọn.
Xếp 3 nam có: 3.2.1cách xếp.
Xếp 3 nữ có: 3.2.1cách xếp. Vậy có ( )2 2.1. 3.2.1 = 72cách xếp.
Câu 48. Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có 7 chữ số và bắt đầu bởi 3 chữ số đầu tiên là790 . Hỏi ở Huyện
Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại: A. 1000 . B. 100000. C. 10000. D. 1000000 . Lời giải
Gọi số điện thoại cần tìm có dạng 790abcd .
Khi đó: a có 10 cách chọn, b có 10 cách chọn, c có 10 cách chọn, d có 10 cách chọn. Nên có tất cả 4 10.10.10.10 =10 số.
Câu 49. Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội thì
gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra. A. 190 B. 182 C. 280 D. 194 Lời giải Trang 16
Cứ mỗi đội phải thi đấu với 19 đội còn lại nên có 19.20 trận đấu. Tuy nhiên theo cách tính này thì
một trận đấu chẳng hạn A gặp B được tính hai lần. Do đó số trận đấu thực tế diễn ra là: 19.20 =190 trận. 2
Câu 50. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100 ? A. 36. B. 62. C. 54. D. 42. Lời giải
Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập A = {1,2,3,4,5, }
6 . Từ tập A có thể lập được 6 số có một chữ số.
Gọi số có hai chữ số có dạng ab với (a,b)∈ . A Trong đó:
• a được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn.
• b được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn.
Như vậy, ta có 6×6 = 36 số có hai chữ số.
Vậy, từ A có thể lập được 36 + 6 = 42 số tự nhiên bé hơn 100.
Câu 51. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? A. 154. B. 145. C. 144. D. 155. Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a,b,c,d )∈ A = {0,1,2,3,4, } 5 .
Vì abcd là số lẻ ⇒ d = {1,3 }
,5 ⇒ d : có 3 cách chọn.
Khi đó a : có 4 cách chọn (khác 0 và d ), b : có 4 cách chọn và c : có 3 cách chọn.
Vậy có tất cả 3× 4× 4×3 =144 số cần tìm.
Câu 52. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? A. 156. B. 144. C. 96. D. 134. Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a,b,c,d )∈ A = {0,1,2,3,4, } 5 .
Vì abcd là số chẵn ⇒ d = {0,2, } 4 .
TH1. Nếu d = 0, số cần tìm là abc0. Khi đó:
• a được chọn từ tập A\{ } 0 nên có 5 cách chọn.
• b được chọn từ tập A\{0, }
a nên có 4 cách chọn.
• c được chọn từ tập A\{0, a, }
b nên có 3 cách chọn.
Như vậy, ta có 5× 4×3 = 60 số có dạng abc0.
TH2. Nếu d = {2, }
4 ⇒ d : có 2 cách chọn.
Khi đó a : có 4 cách chọn (khác 0 và d ), b : có 4 cách chọn và c : có 3 cách chọn.
Như vậy, ta có 2× 4× 4×3 = 96 số cần tìm như trên.
Vậy có tất cả 60 + 96 =156 số cần tìm.
Câu 53. Cho tập A = {0;1;2;3;4;5; }
6 từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chia
hết cho 2 ? A. 8232. B. 1230 . C. 1260 . D. 2880 . Lời giải
Gọi số có 5 chữ số cần tìm là x = a a a a a ; a ,a ,a ,a ,a ∈ ;
A a ≠ 0; a ∈ 0;2;4;6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 5 { } .
Công việc thành lập số x được chia thành các bước: - Chọn chữ số a 6 0
1 có lựa chọn vì khác .
- Chọn các chữ số a , a , a 7 2 3 4 , mỗi chữ số có lựa chọn. Trang 17 - Chọn chữ số a 4 2 5 có
lựa chọn vì số tạo thành chia hết cho .
Số số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3 6.7 .4 = 8232 (số).
Câu 54. Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A , B , C . Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên
một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. A. 4320 . B. 90. C. 43200 . D. 720 . Lời giải
Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng
trống và đưa 3giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán. Vậy tất cả có : 3 6!.A = 43200 cách. 5
Câu 55. Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2
trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 180 B. 160. C. 90. D. 45 . Lời giải
Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có 10.9 = 90 trận.
Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90 =180 trận.
Câu 56. Từ tập có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ. A. 11523 B. 11520 C. 11346 D. 22311
Lời giải
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a a
1 có 4 cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên 8 có 4 cách chọn. Các
số còn lại có 6.5.4.3.2.1 cách chọn Vậy có 2
4 .6.5.4.3.2.1 =11520 số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 57. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3. A. 12. B. 16. C. 17 . D. 20 .
Lời giải
Số các số tự nhiên lớn nhất, nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 96.
Số các số tự nhiên nhỏ nhất, nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 0 . −
Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 96 0 +1 =17 nên chọn C . 6
Câu 58. Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7, }
8 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác
nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5. A. 15120 B. 23523 C. 16862 D. 23145
Lời giải
Vì x lẻ và không chia hết cho 5 nên d ∈{1,3, }
7 ⇒ d có 3 cách chọn
Số các chọn các chữ số còn lại là: 7.6.5.4.3.2.1
Vậy 15120 số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 59. Cho tập A = {0,1,2,3,4,5, }
6 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5. A. 660 B. 432 C. 679 D. 523
Lời giải
Gọi x = abcde là số cần lập, e∈{0, } 5 ,a ≠ 0
• e = 0 ⇒ e có 1 cách chọn, cách chọn a,b,c,d : 6.5.4.3
Trường hợp này có 360 số
e = 5 ⇒ e có một cách chọn, số cách chọn a,b,c,d : 5.5.4.3 = 300
Trường hợp này có 300 số
Vậy có 660 số thỏa yêu cầu bài toán. Trang 18
Câu 60. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là: A. 3260. B. 3168. C. 9000. D. 12070.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng: abcde (a ≠ 0).
Chọn e : có 1 cách (e = 0)
Chọn a : có 9 cách (a ≠ 0) Chọn bcd : có 3 10 cách Theo quy tắc nhân, có 3 1.9.10 = 9000 (số).
Câu 61. Cho tập hợp số: A = {0,1,2,3,4,5, }
6 .Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. A. 114 B. 144 C. 146 D. 148
Lời giải
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập
con các chữ số chia hết cho 3 là {0,1,2,3}, {0,1,2,6}, {0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, {1,3,5, } 6 .
Vậy số các số cần lập là: 4(4!− 3!) + 3.4!=144 số.
Câu 62. Một hộp chứa 16 quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 , năm quả cầu đỏ đánh số từ
1 đến 5 và năm quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 5. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số. A. 72 . B. 150 . C. 60 . D. 80 . Lời giải
Kí hiệu các quả cầu như hình vẽ. TH1: Có quả xanh X6.
Bước 1: Lấy quả X6 có 1 cách.
Bước 2: Lấy 1 quả đỏ có 5 cách.
Bước 3: Lấy 1 quả vàng có 4 cách. (vì khác số với quả đỏ). Vậy có 1.5.4 = 20 (cách).
TH2: Không có quả xanh X6.
Bước 1: Lấy quả xanh có 5 cách.
Bước 2: Lấy 1 quả đỏ có 4 cách. (vì khác số với quả xanh).
Bước 3: Lấy 1 quả vàng có 3 cách. (vì khác số với quả xanh, đỏ). Vậy có 5.4.3 = 60 (cách). Vậy có 80 (cách).
Câu 63. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho
6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho
bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. A. 1036800 B. 234780 C. 146800 D. 2223500 Lời giải
Ta đánh số liên tiếp 12 chỗ ngồi bằng các số từ 1 đến 6 thuộc một dãy và từ 7 đến 12 thuộc một dãy 1 2 3 4 5 6 12 11 10 9 8 7 Vị trí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Số cách xếp 12 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 Trang 19 Vậy có 2 2 2 2
12.6.5 .4 .3 .2 .1 =1036800 cách xếp.
Câu 64. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẻ: A. 6 . B. 72 . C. 720 . D. 144. Lờigiải Chọn B
Chọn vị trí 3 nam và 3 nữ: 2.1cách chọn.
Xếp 3 nam có: 3.2.1cách xếp.
Xếp 3nữ có: 3.2.1cách xếp. Vậy có ( )2 2.1. 3.2.1 = 72cách xếp.
Câu 65. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một
khác nhau và phải có mặt chữ số 3 . A. 36số. B. 108số. C. 228 số. D. 144số. Lời giải
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là abcd . Do số cần lập là số lẻ và phải có mặt chữ số 3
nên ta có các trường hợp.
TH1: a = 3 khi đó số có dạng 3bcd . Có 2 cách chọn d . Có 4 cách chọn a . Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có 1.4.3.2 = 24 (số).
TH2: b = 3 khi đó số có dạng a3cd . Có 2 cách chọn d .
Có 3 cách chọn a (do a ≠ 0 ). Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có 3.1.3.2 =18 (số).
TH3: c = 3 khi đó số có dạng 3 ab d . Có 2 cách chọn d .
Có 3 cách chọn a (do a ≠ 0 ). Có 3 cách chọn b .
Theo quy tắc nhân có 3.1.3.2 =18 (số).
TH4: d = 3 khi đó số có dạng abc3 .
Có 4 cách chọn a (do a ≠ 0 ). Có 4 cách chọn b . Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có 4.4.3.1 = 48 (số).
Theo quy tắc cộng có 24 +18 +18 + 48 =108 (số).
Câu 66. Từ các chữ số 0 , 2 , 3, 5, 6 , 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một
khác nhau trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau. A. 384 B. 120 C. 216 D. 600 Lời giải
Số các số có 6 chữ số được lập từ các chữ số 0 , 2 , 3, 5, 6 , 8 là 6!− 5!.
Số các số có chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau: 2.5!− 4!.
Số các số có chữ số 0 và 5 không đúng cạnh nhau là: 6!− 5!− (2.5!− 4 )! = 384 .
Câu 67. Một phiếu điều tra về đề tự học của học sinh gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có bốn lựa
chọn để trả lời. Khi tiến hành điều tra, phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu người được hỏi trả lời đủ 10 câu
hỏi, mỗi câu chỉ chọn một phương án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất
hai phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi? A. 2097152 . B. 10001. C. 1048577 . D. 1048576. Trang 20 Lời giải
Mỗi câu hỏi có 4 lựa chọn. ⇒ 10 câu hỏi có 10
4 =1048576 phương án trả lời khác nhau.
Vậy nếu có nhiều hơn 1048576 phiếu hợp lệ thì luôn có ít nhất hai phiếu trả lời giống nhau nên số
phiếu hợp lệ tối thiểu cần phát là 1048577 phiếu.
Câu 68. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5,6,7,8,9. Tính tổng tất cả các số thuộc tâp S. A. 9333420. B. 46666200. C. 9333240. D. 46666240. Lời giải
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 5,6,7,8,9 là 5!=120 số.
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số 5,6,7,8,9 xuất hiện ở hàng đơn vị là 4!= 24 lần.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là 24(5 + 6 + 7 +8 + 9) = 840 .
Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.
Vậy tổng các số thuộc tập S là ( 2 3 4
840 1+10 +10 +10 +10 ) = 9333240 .
Câu 69. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau
và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị A. 32. B. 72 . C. 36. D. 24 . Lời giải
Gọi a a a a a a là số cần tìm 1 2 3 4 5 6
Ta có a ∈ 1;3;5 và (a + a + a − a + a + a =1 1 2 3 ) ( 4 5 6) 6 { }
a ,a ,a ∈ 2,3,6
a ,a ,a ∈ 2,4,5 1 2 3 { } 1 2 3 { }
 Với a = 1 thì (a + a + a − a + a = 2 ⇒ hoặc 1 2 3 ) ( 4 5) 6   a , a ∈ 4,5  a , a ∈ 3,6  4 5 { } 4 5 { }
a ,a ,a ∈ 2;4;5
a ,a ,a ∈ 1,4,6 1 2 3 { } 1 2 3 { }
 Với a = 3 thì (a + a + a − a + a = 4 ⇒ 1 2 3 ) ( 4 5) hoặc 6   a , a ∈ 1,6  a , a ∈ 2,5  4 5 { } 4 5 { }
a ,a ,a ∈ 2,3,6
a ,a ,a ∈ 1,4,6 1 2 3 { } 1 2 3 { }
 Với a = 5 thì (a + a + a − a + a = 6 ⇒ 1 2 3 ) ( 4 5) hoặc 6  
a , a ∈ 1, 4  a , a ∈ 2,3  4 5 { } 4 5 { }
Mỗi trường hợp có 3!.2!=12 số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả 6.12 = 72 số cần tìm.
Câu 70. Tô màu các cạnh của hình vuông ABCD bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một
màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô? A. 360. B. 480 . C. 600 . D. 630 . Lời giải
Trường hợp 1: Tô cạnh AB và CD khác màu:
 Số cách tô cạnh AB : 6 cách.
 Số cách tô cạnh BC : 5 cách (tô khác màu với cạnh AB ).
 Số cách tô cạnh CD : 4 cách (tô khác màu với các cạnh AB và BC ).
 Số cách tô cạnh AD : 4 cách (tô khác màu với các cạnh AB và CD ).
Theo quy tắc nhân ta có: 6.5.4.4 = 480 cách tô cạnh AB và CD khác màu.
Trường hợp 2: Tô cạnh AB và CD cùng màu:
 Số cách tô cạnh AB : 6 cách.
 Số cách tô cạnh BC : 5 cách (tô khác màu với cạnh AB ).
 Số cách tô cạnh CD : 1 cách (tô cùng màu với cạnh AB ).
 Số cách tô cạnh AD : 5cách (tô khác màu với cạnh AB ).
Theo quy tắc nhân ta có: 6.5.1.5 =150 cách tô cạnh AB và CD cùng màu.
Vậy số cách tô màu thỏa đề bài là: 480 +150 = 630 cách. Trang 21
Câu 71. Cho 5 chữ số 1, 2 , 3, 4 , 6 . Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã
cho. Tính tổng của các số lập được. A. 12321 B. 21312 C. 12312 D. 21321 Lời giải
Mỗi số số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số 1, 2 , 3, 4 , 6 là một chỉnh hợp
chập 3 của các chữ số này. Do đó, ta lập được 3 A = 60 số. 5
Do vai trò các số 1, 2 , 3, 4 , 6 như nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong các chữ số
này ở mỗi hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm) là như nhau và bằng 60 :5 =12 lần.
Vậy, tổng các số lập được là:
S =12.(1+ 2 + 3+ 4 + 6)(100 +10 + ) 1 = 21312 .
Câu 72. Có bao nhiêu số có 10 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2 , 3 sao cho bất kì 2 chữ số nào
đứng cạnh nhau cũng hơn kém nhau 1 đơn vị? A. 32 B. 16 C. 80 D. 64 Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng a a a ...a 1 2 3 10
Bước 1: Xếp số 2 ở vị trí lẻ a , a , …, a hoặc vị trí chẵn a , a , …, a có 2 cách. 1 3 9 2 2 10
Bước 2: Xếp các số 1 hoặc 3 vào các vị trí còn lại có 5 2 cách. Theo quy tắc nhân ta có 5 2.2 = 64 cách.
Câu 73. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9. 2011 2010 − + 2011 2010 − + 2011 2010 − + 2011 2010 − + A. 9 2019.9 8 B. 9 2.9 8 C. 9 9 8 D. 9 19.9 8 9 9 9 9
Lời giải
Đặt X là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
A = { các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}
Với mỗi số thuộc A có m chữ số (m ≤ 2008) thì ta có thể bổ sung thêm 2011− m số 0 vào phía
trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng
a a ...a ; a ∈ i 0,1,2,3,...,9 1 2 2011 { }
A = a ∈ A |mà trong 0 {
a không có chữ số 9}
A = a ∈ A | mà trong 1 {
a có đúng 1 chữ số 9} 2011 9 −1 • Ta thấy tập A có 1+ phần tử 9
• Tính số phần tử của A0
Với x∈ A ⇒ x = a ...a ;a ∈ 0,1,2,...,8 i = và a
= 9 − r với r ∈[1;9] 2010
,r ≡ ∑ a . Từ i 1,2010 0 1 2011 { } 2011 i i 1 =
đó ta suy ra A0 có 2010 9 phần tử
• Tính số phần tử của A1
Để lập số của thuộc tập A1 ta thực hiện liên tiếp hai bước sau
Bước 1: Lập một dãy gồm 2010 chữ số thuộc tập {0,1,2..., }
8 và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là 2009 9
Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9 Do đó A1 có 2009 2010.9 phần tử. Trang 22
Vậy số các số cần lập là: 2011 2011 2010 9 −1 2010 2009 9 − 2019.9 + 8 1+ − 9 − 2010.9 = . 9 9
Câu 74. Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa
điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị. A. 104 B. 106 C. 108 D. 112
Lời giải
Cách 1: Gọi x = a a . .a , a ∈ là số cần lập i 1,2,3,4,5,6 1 2 6 { }
Theo bài ra ta có: a + a + a +1 = a + a + a 1 2 3 4 5 6 (1)
Mà a ,a ,a ,a ,a ,a ∈ 1,2,3,4,5,6 và đôi một khác nhau nên 1 2 3 4 5 6 { }
a + a + a + a + a + a =1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 = 21 1 2 3 4 5 6 (2)
Từ (1), (2) suy ra: a + a + a =10 1 2 3
Phương trình này có các bộ nghiệm là: (a ,a ,a ) = (1,3,6); (1,4,5); (2,3,5) 1 2 3
Với mỗi bộ ta có 3!.3!= 36 số.
Vậy có 3.36 =108 số cần lập.
Cách 2: Gọi x = abcdef là số cần lập
a + b + c + d + e + f =1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 Ta có: 
a + b + c = d + e + f +1
⇒ a + b + c =11. Do a,b,c∈{1,2,3,4,5, } 6
Suy ra ta có các cặp sau: (a,b,c) = (1,4,6); (2,3,6); (2,4,5)
Với mỗi bộ như vậy ta có 3! cách chọn a,b,c và 3! cách chọn d, , e f
Do đó có: 3.3!.3!=108 số thỏa yêu cầu bài toán. Trang 23
Bài 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT I. Hoán vị 1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( * n∈  ) .
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Ví dụ 1. Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3. Giải
Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3 là: 123,132,213,231,312,321
2. Số các hoán vị
Kí hiệu P là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: P = n n − … . 1 . n ( 1) 2 n
Quy ước: Tích 1 . 2…n được viết là n ! (đọc là n giai thừa), tức là n!=1.2…n . Như vậy P = n . n !
Ví dụ 2. Tính số cách xếp thứ tự đá luân lưu 11 m của 5 cầu thủ. Giải.
Mỗi cách xếp thứ tự đá luân lưu 11m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ. Vậy số cách sắp xếp là: P = 5.4.3.2.1 =120 5 II. Chỉnh hợp 1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1≤ k ≤ n .
Kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được
gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Ví dụ 3. Hãy liệt kê tất cả các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1,2 , Giải
Các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1,2,3,4,5 là:
12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.
2. Số các chỉnh hợp Kí hiệu k
A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1≤ k ≤ n) . n Ta có: k
A = n n − … n − k + . n ( 1) ( 1)
Ví dụ 4. Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bạn Linh
đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã? Giải
Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số. Vậy có 6
A =10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5 =151200 (cách để tạo mật mã). 10
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1. HOÁN VỊ Câu 1. Rút gọn: Trang 1 12!5! − + P − P A = (n 1)!.(n 1)! B = n n 1 C − = 10!6! n!(n − 2)! (n − 2)!
Câu 2. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 1 hàng dọc theo 1 thứ tự bắt kỳ?
Câu 3. Có 3 cuốn sách lý, 4 cuốn sách sinh, 5 cuốn sách địa lý. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn
sách trên vào giá sách nếu: a. Sắp xếp tùy ý?
b. Các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau?
Câu 4. (học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đếm và hoán vị) Cho các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4.
a. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chữ số 3 đứng ở chính giữa?
Câu 5. Bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn A, B, C, D, E, F, G vào 1 hàng sao cho a. A đứng chính giữa?
b. A,B ngồi đứng 2 đầu dãy?
Câu 6. Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào 1 hàng sao không có 2 viên bi nào
cùng màu đứng gần nhau?
Câu 7. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao
cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau
DẠNG 2. CHỈNH HỢP Câu 8. Rút gọn 6 5 A + A 2 3 3 A .A A n n M = P P 5 6 5 N = − n n 1 E + = − 4 A P P 2 (n − 3)!A n + n ( 2)! n 6 6
Câu 9. Có thể lập được bao nhiêu vecto từ các đỉnh của hình ngũ giác đều?
Câu 10. Một nhà hàng có 10 món đặc sản. Mỗi ngày nhà hàng đó chọn ra 2 món ăn khác nhau, trưa 1 món,
tối 1 món. Hỏi nhà hàng đó có bao nhiêu cách chọn?
Câu 11. (Học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đém và chỉnh hợp) Cho các số tự nhiên 0,1,2,3,4,5,6,7.
a. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b. Bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau?
Câu 12. Một đội bóng có 22 cầu thủ, cần chọn ra 11 cầu thủ thi đấu chính thức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a. Ai cũng có thể chơi ở bất kì vị trí nào?
b. Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn còn các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được?
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. HOÁN VỊ
Câu 1. Từ các chữ số 2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau? A. 256 . B. 720 . C. 120. D. 24 .
Câu 2. Cho các số 1,5, 6 ,7 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho. A. 64 . B. 24 . C. 256 . D. 12.
Câu 3. Cho A = {1,2,3 }
,4 . Từ A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 32. B. 24 . C. 256 . D. 18.
Câu 4. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau: Trang 2 A. 120. B. 720 . C. 16. D. 24 .
Câu 5. Từ các số 1, 2 , 3, 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một? A. 60 . B. 120. C. 24 . D. 48 .
Câu 6. Cho tập hợp X gồm 10 phần tử. Số các hoán vị của 10 phần tử của tập hợp X là A. 10!. B. 2 10 . C. 10 2 . D. 10 10 .
Câu 7. Số các số có 6 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 12 được lập từ 1; 2; 3; 4; 5; 6 là A. 720 . B. 966. C. 696 . D. 669 .
Câu 8. Từ các chữ số 0 , 2 , 3, 5, 6 , 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một
khác nhau trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau. A. 384. B. 120. C. 216 . D. 600 .
Câu 9. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc? A. 5 5 . B. 5!. C. 4!. D. 5.
Câu 10. Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài là A. 120. B. 24 . C. 5. D. 1.
Câu 11. Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ? A. P . B. 1 C . C. 1 A . D. 10 C . 10 10 10 10
Câu 12. Ban chấp hành chi đoàn lớp 11D có bạn An, Bình, Công. Hỏi có bao nhiêu cách phân công các
bạn này vào các chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm? A. 2 . B. 3. C. 6 . D. 9.
Câu 13. Có tất cả bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách? A. 5! B. 5 6 C. 6! D. 6 6
Câu 14. Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một điểm thi có 5 sinh viên tình nguyện được phân
công trục hướng dẫn thí sinh ở 5 vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng 1 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công vị trí trực cho 5 người đó? A. 120. B. 625. C. 3125 D. 80 .
Câu 15. Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một Điểm thi có 5 sinh viên tình nguyện được phân
công trực hướng dẫn thi sinh ở 5 vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng 1 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công vị trí trực cho 5 người đó? A. 625. B. 3125. C. 120. D. 80 .
Câu 16. Có một con mèo vàng, 1 con mèo đen, 1 con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con
mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào 6 cái ghế, mỗi ghế một con. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ
sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau. A. 720 . B. 120. C. 144. D. 240 .
Câu 17. Tính số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi sao
cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau. A. 10!. B. 7!× 4!. C. 6!× 4!. D. 6!×5!.
Câu 18. Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai
thầy giáo không đứng cạnh nhau? A. 30240 cách. B. 720 cách. C. 362880 cách. D. 1440 cách.
Câu 19. Cho các chữ số 0 , 1, 2 , 3, 4 , 5. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4
chữ số và các chữ số đôi một bất kỳ khác nhau. A. 160. B. 156. C. 752 . D. 240 . Trang 3
Câu 20. Cho hai dãy ghế được xếp như sau:
Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu
ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ bằng A. 4 4!.4!.2 . B. 4!.4!. C. 4!.2 . D. 4!.4!.2 .
Câu 21. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A. 24 . B. 72 . C. 12. D. 48 .
Câu 22. Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học
sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ? A. 5760. B. 2880 . C. 120. D. 362880.
Câu 23. Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? A. 345600. B. 518400. C. 725760 . D. 103680.
Câu 24. Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu
các sách Văn phải xếp kề nhau? A. 5!.8!. B. 5!.7!. C. 2.5!.7!. D. 12!.
Câu 25. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ? A. 6 . B. 144. C. 720 . D. 72 .
Câu 26. Xếp 6 chữ số 1, 1, 2 , 2 , 3, 4 thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp
cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách A. 120 cách. B. 96 cách. C. 180cách. D. 84 cách.
Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ? A. 320. B. 144. C. 180. D. 60 .
Câu 28. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau
và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị A. 32. B. 72 . C. 36. D. 24 .
Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5,6,7,8,9. Tính tổng tất cả các số thuộc tâp S. A. 9333420. B. 46666200. C. 9333240. D. 46666240.
DẠNG 2. CHỈNH HỢP
Câu 30. Cho tập M = {1;2;3;4;5;6;7;8; }
9 . Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt lập từ M là. A. 4!. B. 4 A . C. 9 4 . D. 4 C . 9 9
Câu 31. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau? A. 2 C . B. 2 7 . C. 2 A . D. 7 2 . 7 7
Câu 32. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?. A. 8 2 . B. 2 C . C. 2 A . D. 2 8 . 8 8
Câu 33. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5? A. 4 A . B. P . C. 4 C . D. P . 5 5 5 4 Trang 4
Câu 34. Tính số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử? A. 24 . B. 720 . C. 840 . D. 35.
Câu 35. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau? A. 5!. B. 5 9 . C. 5 C . D. 5 A . 9 9
Câu 36. Cho tập hợp S = {1;2;3;4;5; }
6 . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau
lấy từ tập hợp S ? A. 360. B. 120. C. 15. D. 20 .
Câu 37. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số, các chữ số khác nhau và đều khác 0 ? A. 90. B. 2 9 . C. 2 C . D. 2 A . 9 9
Câu 38. Từ tập X = {2,3,4,5, }
6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau? A. 60. B. 125. C. 10. D. 6 .
Câu 39. Cho tập A = {1,2,3,5,7 }
,9 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau? A. 720 . B. 360. C. 120. D. 24 .
Câu 40. Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử của M là A. 2 A . B. 10 C . C. 2 C . D. 10 A . 10 2 10 2
Câu 41. Tính số các chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử. A. 21. B. 2520 . C. 5040. D. 120.
Câu 42. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 . Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? A. 216 . B. 120. C. 504. D. 6 .
Câu 43. Tính số các chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. A. 35. B. 24 . C. 720 . D. 840 .
Câu 44. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau A. 3 C . B. 3 A . C. 9!. D. 3 2 A − A . 9 9 9 8
Câu 45. Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó. A. 2 A . B. 2 C . C. 8 A . D. 2 10 . 10 10 10
Câu 46. Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện
viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ để đá luân lưu
5 quả 11 mét. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có bao nhiêu cách chọn? A. 55440. B. 120. C. 462 . D. 39916800.
Câu 47. Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và
1 thư kí là: A. 13800. B. 5600.
C. Một kết quả khác. D. 6900 .
Câu 48. Trong một lớp có 30 bạn học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn để làm lớp trưởng và
một bạn khác làm lớp phó? A. 2 30 B. 28 A C. 2 A D. 2 C 30 30 30 Trang 5
Câu 49. Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và
1 thư ký là A. 5600. B. 13800. C. 6900 . D. Kết quả khác.
Câu 50. Một nhóm học sinh có 10 người. Cần chọn 3 học sinh trong nhóm để làm 3 công việc là tưới
cây, lau bàn và nhặt rác, mỗi người làm một công việc. Số cách chọn là A. 3 10 . B. 3×10 . C. 3 C . D. 3 A . 10 10
Câu 51. Số cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 trong 10 ghế trên một hàng ngang là A. 10 6 . B. 6!. C. 6 A . D. 6 C . 10 10
Câu 52. Lớp 11A có 38 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 3 bạn học sinh để sắp xếp làm Lớp
trưởng, Lớp phó và Thư kí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra như vậy? A. 50616. B. 8436 . C. 114. D. 41.
Câu 53. Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 trong một đội bóng để thực hiện đá 5 quả luân lưu 11 m ,
theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm. A. 5 A . B. 5 C . C. 2 A .5!. D. 5 C . 11 11 11 10 
Câu 54. Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối
là hai đỉnh của tứ diện ABCD A. 12. B. 4 . C. 10. D. 8 .
Câu 55. Cho lục giác ABCDEF.Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các
đỉnh của lục giác trên. A. 2 6 . B. 6 2 . C. 2 C . D. 2 A . 6 6
Câu 56. Số các số gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 là A. 5436. B. 3024. C. 3260. D. 12070.
Câu 57. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau? A. 39 C . B. 39 A . C. 9!. D. 3 2 9 A − 8 A .
Câu 58. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 15. B. 4096 . C. 360. D. 720 .
Câu 59. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5, gồm 4 chữ số khác nhau? A. 120. B. 72. C. 69. D. 54.
Câu 60. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau. A. 500. B. 405. C. 360. D. 328.
Câu 61. Từ các số 0;1;2;3;5có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5 gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 120. B. 54. C. 72 . D. 69 .
Câu 62. Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4; }
5 . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và lớn hơn 350? A. 32. B. 40 . C. 43. D. 56.
Câu 63. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết
phải có mặt chữ số 0? A. 7056 . B. 120. C. 5040. D. 15120. Trang 6
Câu 64. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 2520 . B. 50000. C. 4500 . D. 2296 .
Câu 65. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? A. 72. B. 120. C. 54. D. 69 .
Câu 66. Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; }
5 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi
một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 ? A. 504. B. 480 . C. 720 . D. 120.
Câu 67. Cho các chữ số 0 , 1, 2 , 3, 4 , 5. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số
và các chữ số phải khác nhau. A. 160. B. 156. C. 752 . D. 240 .
Câu 68. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. A. 648 B. 1000 C. 729 D. 720
Câu 69. Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6; }
7 . Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1. A. 2802 . B. 2280 . C. 65. D. 2520 .
Câu 70. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau? A. 500. B. 328. C. 360. D. 405 .
Câu 71. Cho 5 chữ số 1, 2 , 3, 4 , 6 . Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã
cho. Tính tổng của các số lập được. A. 12321. B. 21312 . C. 12312. D. 21321.
Câu 72. Có bao nhiêu số tự nhiên có bẩy chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và3. A. 3204 số. B. 249 số. C. 2942 số. D. 7440 số.
Câu 73. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300;500) A. 24 . B. 25 . C. 23. D. 22 .
Câu 74. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho
có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau. A. 360. B. 144. C. 252 . D. 108. Trang 7
Bài 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT I. Hoán vị 1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( * n∈  ) .
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Ví dụ 1. Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3. Giải
Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3 là: 123,132,213,231,312,321
2. Số các hoán vị
Kí hiệu P là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: P = n n − … . 1 . n ( 1) 2 n
Quy ước: Tích 1 . 2…n được viết là n ! (đọc là n giai thừa), tức là n!=1.2…n . Như vậy P = n . n !
Ví dụ 2. Tính số cách xếp thứ tự đá luân lưu 11 m của 5 cầu thủ. Giải.
Mỗi cách xếp thứ tự đá luân lưu 11m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ. Vậy số cách sắp xếp là: P = 5.4.3.2.1 =120 5 II. Chỉnh hợp 1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1≤ k ≤ n .
Kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được
gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Ví dụ 3. Hãy liệt kê tất cả các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1,2 , Giải
Các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1,2,3,4,5 là:
12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.
2. Số các chỉnh hợp Kí hiệu k
A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1≤ k ≤ n) . n Ta có: k
A = n n − … n − k + . n ( 1) ( 1)
Ví dụ 4. Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bạn Linh
đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã? Giải
Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số. Vậy có 6
A =10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5 =151200 (cách để tạo mật mã). 10
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1. HOÁN VỊ Câu 1. Rút gọn: Trang 1 12!5! − + P − P A = (n 1)!.(n 1)! B = n n 1 C − = 10!6! n!(n − 2)! (n − 2)! Lời giải 12!5! 11.12 A = = = 22 10!6! 6
(n −1)!.(n +1)! 2 B =
= (n −1)(n +1) = n −1 n!(n − 2)! P − P − − n n 1 − (n 1)!(n 1) 2 C = = = (n −1) (n − 2)! (n − 2)!
Câu 2. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 1 hàng dọc theo 1 thứ tự bắt kỳ? Lời giải
Số cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 1 hàng dọc theo 1 thứ tự bắt kỳ có 10! Cách.
Câu 3. Có 3 cuốn sách lý, 4 cuốn sách sinh, 5 cuốn sách địa lý. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn
sách trên vào giá sách nếu: a. Sắp xếp tùy ý?
b. Các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau? Lời giải
a. Có tất cả 12 cuốn sách nên có 12! cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách.
b. Ta phân giá sách làm 3 khu để 3 loại sách toán; lý; hóa có tất cả 3! cách phân như vậy.
Có 3! cách sắp xếp 3 cuốn sách lý vào khu đã được phân.
Có 4! cách sắp xếp 4 cuốn sách sinh vào khu đã được phân.
Có 5! cách sắp xếp 5 cuốn sách địa vào khu đã được phân.
Vậy có tất cả 3!3!4!5! = 103680 cách sắp xếp các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau trên giá.
Câu 4. (học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đếm và hoán vị) Cho các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4.
a. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chữ số 3 đứng ở chính giữa? Lời giải Cách 1
a. Số tự nhiên cần lập có dạng abcde (a ≠0)
Trong đó chữ sổ a có 4 cách chọn.
Chữ số b có 4 cách chọn.
Chữ số c có 3 cách chọn.
Chữ số d có 2 cách chọn.
Chữ số e có 1 cách chọn.
Nên có tất cả 4.4.3.2.1 = 96 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
b. Số tự nhiên cần lập có dạng ab3de (a ≠0).
Chữ số a có 3 cách chọn.
Chữ số b có 3 cách chọn.
Chữ số d có 2 cách chọn.
Chừ sô e có 1 cách chọn.
Vậy thành lập được tất cả 3.3.2 = 18 số có 5 chữ số khác nhau mà số 3 đứng chính giữa từ các số trên. Cách 2.
a. Mồi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là một hoán vị của {0; 1; 2; 3; 4}.
Các số có dạng 0abcd mà a;b;c;d khác nhau là một hoán vị của các số {1; 2; 3; 4}.
Nên 5 có tất cả 5! - 4! = 96 số có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên.
b. Tương tự phần a; các số có dạng ab3de bằng với số hoán vị của 4 số {0; 1; 2; 4}. Trang 2
Các số có dạng 0a3cd bằng số hoán vị của 3 số {l;2;4}.
Nên có tất cả 4!—3! = 18 số có 5 chữ số khác nhau có số 3 đứng giữa được thành lập từ các số trên.
Câu 5. Bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn A, B, C, D, E, F, G vào 1 hàng sao cho a. A đứng chính giữa?
b. A,B ngồi đứng 2 đầu dãy? Lời giải
Vì bạn A đứng chính giữa và 6 bạn còn lại sắp xép tùy ý nên có 6! cách sắp xếp một hàng.
Vi bạn A; B đứng 2 đầu dãy nên A;B có 2 cách chọn vị trí đứng. 5 bạn còn lại có 5! Cách sắp xếp. 5!cách sắp xếp.
Vậy có tất cả 2.5! cách sắp xếp 7 bạn thành 1 hàng sao cho A,B đứng 2 đầu dãy.
Câu 6. Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào 1 hàng sao không có 2 viên bi nào
cùng màu đứng gần nhau? Lời giải
Ta đánh số vị trí của hàng bằng các số 1 đến 20. Vì các viên bi cùng màu không đứng gần nhau
nên các viên bi cùng màu được đánh số cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách sắp xếp 10 viên bị đỏ vào 10 vị trí cùng chẵn hoặc cùng lẻ có 10! cách.
Cách sắp xếp 10 viên bị đỏ vào 10 vị trí cùng chẵn hoặc cùng lẻ có 10! cách.
Vậy có tất cả 2.10! 10! cách sắp xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào 1 hàng sao cho không có 2
viên bi nào cùng màu đứng gần nhau.
Câu 7. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao
cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau Lời giải
Xét số có 5 chữ số gồm 0, 1, 2, 5 và chữ số “kép” là (3,4).
+ Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn có thể là 0.
- Bước 1: sắp 5 chữ số vào 5 vị trí có 5! = 120 cách.
- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4. Suy ra có 120.2 = 240 số.
+ Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là 0.
- Bước 1: sắp 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách.
- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.
Suy ra có 24.2 = 48 số. Vậy có 240 - 48 = 192 số.
DẠNG 2. CHỈNH HỢP Câu 8. Rút gọn 6 5 A + A 2 3 3 A .A A n n M = P P 5 6 5 N = − n n 1 E + = − 4 A P P 2 (n − 3)!A n + n ( 2)! n 6 6 Lời giải Trang 3 n! n! n! + .(n − 5 +1) 6 5 A + A n − n − n − n − n n ( 6)! ( 5)! ( 5)! ( 4) 2 M = = = = = (n − 4) 4 A n! n! 1 n (n − 4)! (n − 4)! (n − 4) 5! 6! 5! 5! 1 6!  . . −  1 2 3 3 A .A A  3! 3! 2! 2! 3 3!  5!  6!  13 5 6 5 N = − = − = = −  1 = P P 6! 6! 6! 2!6! 3.3!    4 6 6 P P (n +1)! 1 + n n n ! 1 E = − = − = n − 2 − 2 (n − 3)!A n + n (n + 2)! n + 2 n ( 2)! !
(n − 3)!(n−2)!
Câu 9. Có thể lập được bao nhiêu vecto từ các đỉnh của hình ngũ giác đều? Lời giải
Hình ngũ giác đều có tất cả 5 đỉnh. Cứ 2 đỉnh bất kì cho ta 2 vecto. Nên số vecto tạo từ các đỉnh của hình ngũ giác là 2 A = 20 5 vecto.
Câu 10. Một nhà hàng có 10 món đặc sản. Mỗi ngày nhà hàng đó chọn ra 2 món ăn khác nhau, trưa 1 món,
tối 1 món. Hỏi nhà hàng đó có bao nhiêu cách chọn? Lời giải
Số cách chọn 2 món khác nhau từ 10 món là: 2 A = 90 10 cách chọn.
Câu 11. (Học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đém và chỉnh hợp) Cho các số tự nhiên 0,1,2,3,4,5,6,7.
a. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b. Bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau? Lời giải Cách 1:
a. Gọi số cần lập là abcd .
Vì a ≠ 0 nên có 7 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 6 cách chọn, d có 5 cách chọn.
Vậy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là 7.7.6.5=1470 số.
b. Gọi số cần lập là abc
Vì số cần lập là số chẵn nên c=0;2;4;6.
 Nếu c=0 thì a có 7 cách chọn, b có 6 cách chọn.
Vậy có tất cả 7.6=42 số có dạng ab0 được thành lập từ các số trên.
 Nếu c=2;4;6 thì a có 6 cách chọn; b có 6 cách chọn.
Vậy có tất cả 3.6.6=108 số.
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 108+42=150 số. Cách 2:
a. Số có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là: 4 A =1680 8 số.
Số có dạng 0abc(a,b,c) khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là: 3 A = 210 7 số.
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là: 4 3 A − A =1470 8 7 số.
b. Số số có 3 chữ số được thành lập từ các chữ số trên là: 3 2 A − A = 294 8 7 số.
Gọi số cần lập abc là số lẻ. Khi đó c có cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 6 cách chọn. Vậy số lẻ
được thành lập từ các chữ số trên là: 4.6.6=144 số.
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là: 294-144=150 số.
Câu 12. Một đội bóng có 22 cầu thủ, cần chọn ra 11 cầu thủ thi đấu chính thức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: Trang 4
a. Ai cũng có thể chơi ở bất kì vị trí nào?
b. Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn còn các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được? Lời giải
a. Số cách chọn 11 cầu thủ trong 22 cầu thủ ra sân thi đấu là 11 A22.
b. Số cách chọn 11 cầu thủ trong đó cầu thủ A làm thủ môn còn các cầu thủ khác vào vị trí nào cũng được là: 10 A21 .
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. HOÁN VỊ
Câu 1. Từ các chữ số 2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau? A. 256 . B. 720 . C. 120. D. 24 . Lời giải
Số cách lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của 6 phần tử, do đó có 6!= 720
Câu 2. Cho các số 1,5, 6 ,7 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho. A. 64 . B. 24 . C. 256 . D. 12. Lời giải
Số các số tự nhiên có 4 chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho là: 4!= 24 số.
Câu 3. Cho A = {1,2,3 }
,4 . Từ A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 32. B. 24 . C. 256 . D. 18. Lời giải
Mỗi số tự nhiên tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập A là hoán vị của 4 phần tử.
Vậy có 4!= 24 số cần tìm.
Câu 4. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau: A. 120. B. 720 . C. 16. D. 24 . Lời giải
Mỗi số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2 , 3, 4 , 5 là một hoán vị của 5
phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là P = 5! =120 (số). 5
Câu 5. Từ các số 1, 2 , 3, 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một? A. 60 . B. 120. C. 24 . D. 48 . Lời giải
Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có 5!=120 số cần tìm.
Câu 6. Cho tập hợp X gồm 10 phần tử. Số các hoán vị của 10 phần tử của tập hợp X là A. 10!. B. 2 10 . C. 10 2 . D. 10 10 . Lời giải
Số các hoán vị của 10 phần tử: 10!.
Câu 7. Số các số có 6 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 12 được lập từ 1; 2; 3; 4; 5; 6 là A. 720 . B. 966. C. 696 . D. 669 . Lời giải Chọn C Trang 5
Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, ta tìm được: 6! số.
Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau nhưng bắt đầu bằng 12, ta tìm được: 4! số.
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 12 là 6!− 4!= 696 số.
Câu 8. Từ các chữ số 0 , 2 , 3, 5, 6 , 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một
khác nhau trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau. A. 384. B. 120. C. 216 . D. 600 . Lời giải
Số các số có 6 chữ số được lập từ các chữ số 0 , 2 , 3, 5, 6 , 8 là 6!− 5!.
Số các số có chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau: 2.5!− 4!.
Số các số có chữ số 0 và 5 không đúng cạnh nhau là: 6!− 5!− (2.5!− 4 )! = 384 .
Câu 9. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc? A. 5 5 . B. 5!. C. 4!. D. 5. Lời giải
Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là 5!.
Câu 10. Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài là A. 120. B. 24 . C. 5. D. 1. Lời giải
Ta có số cách xếp 5 học sinh vào một bàn dài là số các hoán vị của 5học sinh đó. Vậy kết quả là: P = 5!=120. 5
Câu 11. Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ? A. P . B. 1 C . C. 1 A . D. 10 C . 10 10 10 10 Lời giải Chọn A
Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của tập hợp có 10 phần tử.
Suy ra số cách sắp xếp là P . 10
Câu 12. Ban chấp hành chi đoàn lớp 11D có bạn An, Bình, Công. Hỏi có bao nhiêu cách phân công các
bạn này vào các chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm? A. 2 . B. 3. C. 6 . D. 9.
Lời giải Chọn C
Mỗi cách phân công 3 bạn An, Bình, Công vào 3 chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà
không bạn nào kiêm nhiệm là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy có 3! = 6 cách.
Câu 13. Có tất cả bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách? A. 5! B. 5 6 C. 6! D. 6 6 Lời giải Chọn C
Mỗi cách sắp xếp 6 quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của
6 phần tử. Vậy số cách sáp xếp là 6!.
Câu 14. Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một điểm thi có 5 sinh viên tình nguyện được phân
công trục hướng dẫn thí sinh ở 5 vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng 1 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công vị trí trực cho 5 người đó? A. 120. B. 625. C. 3125 D. 80 . Lời giải Trang 6 Chọn A
Mỗi cách xếp 5 sinh viên vào 5 vị trí thỏa đề là một hoán vị của 5 phần tử.
Suy ra số cách xếp là 5!=120 cách.
Câu 15. Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một Điểm thi có 5 sinh viên tình nguyện được phân
công trực hướng dẫn thi sinh ở 5 vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng 1 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công vị trí trực cho 5 người đó? A. 625. B. 3125. C. 120. D. 80 . Lời giải
Số cách phân công 5 vị trí trực khác nhau cho 5 người là: 5!=120 .
Câu 16. Có một con mèo vàng, 1 con mèo đen, 1 con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con
mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào 6 cái ghế, mỗi ghế một con. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ
sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau. A. 720 . B. 120. C. 144. D. 240 . Lời giải Chọn D
Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là: 2 .
Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với 1 con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1
con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được 5 phần tử. Xếp 5 phần tử này là: 5!. Vậy có: 2.5!= 240 .
Câu 17. Tính số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi sao
cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau. A. 10!. B. 7!× 4!. C. 6!× 4!. D. 6!×5!. Lời giải: Chọn B
Sắp xếp 4 nữ sinh vào 4 ghế: 4! cách.
Xem 4 nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với 6 nam sinh: có 7! cách
vậy có 7!× 4! cách sắp xếp.
Câu 18. Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai
thầy giáo không đứng cạnh nhau? A. 30240 cách. B. 720 cách. C. 362880 cách. D. 1440 cách. Lời giải Chọn A
Xếp 8 người thành hàng ngang có P cách. 8
Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có 7.2!.6! cách.
Vậy số cách xếp cần tìm là: P − 7.2!.6!= 30240 cách. 8
Câu 19. Cho các chữ số 0 , 1, 2 , 3, 4 , 5. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4
chữ số và các chữ số đôi một bất kỳ khác nhau. A. 160. B. 156. C. 752 . D. 240 . Lời giải
Gọi số cần tìm là: abcd (với ,
b c,d∈{0;1;2;3;4; } 5 , a∈{1;2;3;4; } 5 ).
Trường hợp 1:
Chọn d = 0 , nên có 1 cách chọn. Trang 7 Chọn a ∈{1,2,3,4, } 5 nên có 5 cách chọn.
Chọn b có 4 cách chọn.
Chọn c có 3 cách chọn.
Suy ra, có 1.5.4.3 = 60 số.
Trường hợp 2: Chọn d ∈{2, } 4 , nên có 2 cách chọn.
Chọn a ≠ 0 nên có 4 cách chọn.
Chọn b có 4 cách chọn.
Chọn c có 3 cách chọn.
Suy ra, có 2.4.4.3 = 96 số.
Vậy có tất cả: 60 + 96 =156 số.
Câu 20. Cho hai dãy ghế được xếp như sau:
Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu
ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ bằng A. 4 4!.4!.2 . B. 4!.4!. C. 4!.2 . D. 4!.4!.2 . Lời giải Chọn A
Xếp 4 bạn nam vào một dãy có 4! (cách xếp).
Xếp 4 bạn nữ vào một dãy có 4! (cách xếp).
Với mỗi một số ghế có 2 cách đổi vị trí cho bạn nam và bạn nữ ngồi đối diện nhau.
Số cách xếp theo yêu cầu là: 4 4!.4!.2 (cách xếp).
Câu 21. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A. 24 . B. 72 . C. 12. D. 48 . Lời giải Chọn B
+) Xếp 5 bạn vào 5 chỗ ngồi có 5! cách.
+) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có 2 cách. Xem An và Dũng là 1 phần tử cùng với 3 bạn
còn lại là 4 phần tử xếp vào 4 chỗ. Suy ra số cách xếp 5 bạn sao cho An và Dũng luôn ngồi cạnh nhau là: 2.4! cách.
Vậy số cách xếp 5 bạn vào 5 ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là: 5!– 2.4!= 72 .
Câu 22. Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học
sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ? A. 5760. B. 2880 . C. 120. D. 362880. Lời giải
Xếp 4 học sinh nam thành hàng dọc có 4! cách xếp. Trang 8
Giữa 4 học sinh nam có 5 khoảng trống ta xếp các bạn nữ vào vị trí đó nên có 5! cách xếp.
Theo quy tắc nhân có 4!5!= 2880 cách xếp thoả mãn bài ra.
Câu 23. Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? A. 345600. B. 518400. C. 725760 . D. 103680. Lời giải
Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng: 3!.
Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng: 4!.
Số cách xếp 5 viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng: 5!.
Số cách xếp 3 nhóm bi thành một dãy bằng: 3!.
Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng 3!.4!.5!.3! = 103680 cách.
Câu 24. Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu
các sách Văn phải xếp kề nhau? A. 5!.8!. B. 5!.7!. C. 2.5!.7!. D. 12!. Lời giải Chọn A
Vì các sách Văn phải xếp kề nhau nên ta xem 5 cuốn sách Văn là một phần tử.
Xếp 7 cuốn sách toán lên kệ có 7! cách.
Giữa 7 cuốn sách Toán có 8 khoảng trống, ta xếp phần tử chứa 5 cuốn sách Văn vào 8 vị trí đó có 8 cách.
5 cuốn sách Văn có thể hoán đổi vị trí cho nhau ta được 5! cách.
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 8.7!.5!= 8!.5!.
Câu 25. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ? A. 6 . B. 144. C. 720 . D. 72 . Lời giải Chọn D
Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ 1 đến 6 .
Trường hợp 1: Nam đứng trước, nữ đứng sau.
 Xếp nam (vào các vị trí đánh số 1,3,5 ): Có 3!= 6 cách.
 Xếp nữ (vào các vị trí đánh số 2, 4,6 ): Có 3!= 6 cách.
Vậy trường hợp này có: 6.6 = 36 cách.
Trường hợp 2: Nữ đứng trước, nam đứng sau.
 Xếp nữ (vào các vị trí đánh số 1,3,5 ): Có 3!= 6 cách.
 Xếp nam (vào các vị trí đánh số 2, 4,6 ): Có 3!= 6 cách.
Vậy trường hợp này có: 6.6 = 36 cách.
Theo quy tắc cộng ta có: 36 + 36 = 72 cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc
sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.
Câu 26. Xếp 6 chữ số 1, 1, 2 , 2 , 3, 4 thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp
cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách A. 120 cách. B. 96 cách. C. 180cách. D. 84 cách. Lời giải Chọn D 6!
Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là =180 . 2!.2!
*) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau Trang 9 4!
+) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau 5. = 60. 2!4!
+) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số 2 đứng cạnh nhau 5. = 60. 2!
+) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau và hai chữ số 2 đứng cạnh nhau
-) Nếu hai chữ số 1 ở vị trí (1;2) và (5;6) ta có số cách xếp là 2.3.2 =12.
-) Nếu hai chữ số 1 ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là 3.2.2 =12 .
Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là 60 + 60 −12 −12 = 96 .
⇒ Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là 180 − 96 = 84 .
Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ? A. 320. B. 144. C. 180. D. 60 . Lời giải Chọn A
 Trường hợp 1: 3 chữ số đều lẻ. Có 3
A = 60 số thỏa mãn. 5
 Trường hợp 2: số đó gồm 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ
- Chọn 2 chữ số chẵn khác nhau có 2 C =10 cách. 5
- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.
- Từ 3 số đã chọn đó lập được 3!= 6 số.
Do đó có 10.5.6 = 300 dãy gồm 3 chữ số phân biệt, trong đó có 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ kể cả chữ số 0 đứng đầu.
Xét dãy số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0
- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.
- Chọn 1 chữ số chẵn khác chữ số 0 có 4 cách.
Vậy có 4.5.2!= 40 số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0.
Do đó có 60 + 300 − 40 = 320 số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ.
Câu 28. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau
và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị A. 32. B. 72 . C. 36. D. 24 . Lời giải
Gọi a a a a a a là số cần tìm 1 2 3 4 5 6
Ta có a ∈ 1;3;5 và (a + a + a − a + a + a =1 1 2 3 ) ( 4 5 6) 6 { }
a ,a ,a ∈ 2,3,6
a ,a ,a ∈ 2,4,5 1 2 3 { } 1 2 3 { }
 Với a = 1 thì (a + a + a − a + a = 2 ⇒ hoặc 1 2 3 ) ( 4 5) 6   a , a ∈ 4,5  a , a ∈ 3,6  4 5 { } 4 5 { }
a ,a ,a ∈ 2;4;5
a ,a ,a ∈ 1,4,6 1 2 3 { } 1 2 3 { }
 Với a = 3 thì (a + a + a − a + a = 4 ⇒ hoặc 1 2 3 ) ( 4 5) 6   a , a ∈ 1,6  a , a ∈ 2,5  4 5 { } 4 5 { }
a ,a ,a ∈ 2,3,6
a ,a ,a ∈ 1,4,6 1 2 3 { } 1 2 3 { }
 Với a = 5 thì (a + a + a − a + a = 6 ⇒ hoặc 1 2 3 ) ( 4 5) 6  
a , a ∈ 1, 4  a , a ∈ 2,3  4 5 { } 4 5 { }
Mỗi trường hợp có 3!.2!=12 số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả 6.12 = 72 số cần tìm. Trang 10
Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5,6,7,8,9. Tính tổng tất cả các số thuộc tâp S. A. 9333420. B. 46666200. C. 9333240. D. 46666240. Lời giải
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 5,6,7,8,9 là 5!=120 số.
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số 5,6,7,8,9 xuất hiện ở hàng đơn vị là 4!= 24 lần.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là 24(5 + 6 + 7 +8 + 9) = 840 .
Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.
Vậy tổng các số thuộc tập S là ( 2 3 4
840 1+10 +10 +10 +10 ) = 9333240 .
DẠNG 2. CHỈNH HỢP
Câu 30. Cho tập M = {1;2;3;4;5;6;7;8; }
9 . Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt lập từ M là. A. 4!. B. 4 A . C. 9 4 . D. 4 C . 9 9 Lời giải
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt lập từ M là: 4 A . 9
Câu 31. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau? A. 2 C . B. 2 7 . C. 2 A . D. 7 2 . 7 7 Lời giải
Mỗi số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau thành lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là một
chỉnh hợp chập 2 của 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Vậy số các số tự nhiên thành lập được là 2 A . 7
Câu 32. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?. A. 8 2 . B. 2 C . C. 2 A . D. 2 8 . 8 8 Lời giải
Số số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8 là số
cách chọn 2 chữ số khác nhau từ 8 số khác nhau có thứ tự. Vậy có 2 A số. 8
Câu 33. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5? A. 4 A . B. P . C. 4 C . D. P . 5 5 5 4 Lời giải
Số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5 là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử Vậy có 4 A số cần tìm. 5
Câu 34. Tính số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử? A. 24 . B. 720 . C. 840 . D. 35. Lời giải Ta có: 4 7! A = = 840. 7 3!
Câu 35. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau? A. 5!. B. 5 9 . C. 5 C . D. 5 A . 9 9 Lời giải
Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử. Trang 11
Vậy số các số tự nhiên thỏa đề bài là 5 A số. 9
Câu 36. Cho tập hợp S = {1;2;3;4;5; }
6 . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau
lấy từ tập hợp S ? A. 360. B. 120. C. 15. D. 20 . Lời giải
Từ tập S lập được 4
A = 360 số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau. 6
Câu 37. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số, các chữ số khác nhau và đều khác 0 ? A. 90. B. 2 9 . C. 2 C . D. 2 A . 9 9 Lời giải
Số tự nhiên cần lập có 2 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số từ 1 đến 9 nên có 2 A số như 9 vậy.
Câu 38. Từ tập X = {2,3,4,5, }
6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau? A. 60. B. 125. C. 10. D. 6 . Lời giải
Số các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập X là số chỉnh
hợp chập 3 của 5 phần tử⇒ số các số cần lập là 3 A = 60 (số). 5
Câu 39. Cho tập A = {1,2,3,5,7 }
,9 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau? A. 720 . B. 360. C. 120. D. 24 . Lời giải
Tập A gồm có 6 phần tử là những số tự nhiên khác 0 .
Từ tập A có thể lập được 4
A = 360 số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau. 6
Câu 40. Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử của M là A. 2 A . B. 10 C . C. 2 C . D. 10 A . 10 2 10 2 Lời giải Chọn A
Số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử của M là: 2 A . 10
Câu 41. Tính số các chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử. A. 21. B. 2520 . C. 5040. D. 120. Lời giải Chọn B
Theo lý thuyết công thức tính số các chỉnh hợp chập 7! 5 của 7 : 5 A = = 2520 . 7 (7 −5)!
Câu 42. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 . Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? A. 216 . B. 120. C. 504. D. 6 . Lời giải Chọn B
Mỗi cách lập số là một chỉnh hợp chập 3 của 6. Vậy có 3 A =120 6 số.
Câu 43. Tính số các chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. Trang 12 A. 35. B. 24 . C. 720 . D. 840 . Lời giải Chọn D Ta có 4 7! A = = 840. 7 3!
Câu 44. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau A. 3 C . B. 3 A . C. 9!. D. 3 2 A − A . 9 9 9 8 Lời giải Chọn B
Mỗi số tự nhiên lập được có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9là một
chỉnh hợp chập 3 của 9. Vậy lập được 3
A số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 9
Câu 45. Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó. A. 2 A . B. 2 C . C. 8 A . D. 2 10 . 10 10 10 Lời giải
Chọn ra 2 học sinh từ một tổ có 10 học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một
chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử. Số cách chọn là 2 A cách. 10
Câu 46. Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện
viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ để đá luân lưu
5 quả 11 mét. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có bao nhiêu cách chọn? A. 55440. B. 120. C. 462 . D. 39916800. Lời giải
Số cách ủa huấn luyện viên của mỗi đội là 5 A = 55440 . 11
Câu 47. Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và
1 thư kí là: A. 13800. B. 5600.
C. Một kết quả khác. D. 6900 . Lời giải
Mỗi cách chọn 3 người ở 3 vị trí là một chỉnh hợp chập 3 của 25 thành viên. Số cách chọn là: 3 A =13800 . 25
Câu 48. Trong một lớp có 30 bạn học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn để làm lớp trưởng và
một bạn khác làm lớp phó? A. 2 30 B. 28 A C. 2 A D. 2 C 30 30 30 Lời giải
Mỗi cách chọn một bạn làm lớp trưởng và một bạn làm lớp phó là chỉnh hợp chập 2 của 30 phần
tử nên số cách chọn là 2 A . 30
Câu 49. Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và
1 thư ký là A. 5600. B. 13800. C. 6900 . D. Kết quả khác. Lời giải Chọn B
Số cách chọn ban quản lí là 3 A =13800 cách. 25 Trang 13
Câu 50. Một nhóm học sinh có 10 người. Cần chọn 3 học sinh trong nhóm để làm 3 công việc là tưới
cây, lau bàn và nhặt rác, mỗi người làm một công việc. Số cách chọn là A. 3 10 . B. 3×10 . C. 3 C . D. 3 A . 10 10 Lời giải
Số cách chọn 3 em học sinh là số cách chọn 3 phần tử khác nhau trong 10 phần tử có phân biệt
thứ tự nên số cách chọn thỏa yêu cầu là 3 A . 10
Câu 51. Số cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 trong 10 ghế trên một hàng ngang là A. 10 6 . B. 6!. C. 6 A . D. 6 C . 10 10 Lời giải
Mỗi cách chọn 6 ghế từ 10 ghế sắp xếp 6 người là một chỉnh hợp chập 6 của 10 phần tử. Vậy có 6 A cách chọn. 10
Câu 52. Lớp 11A có 38 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 3 bạn học sinh để sắp xếp làm Lớp
trưởng, Lớp phó và Thư kí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra như vậy? A. 50616. B. 8436 . C. 114. D. 41.
Lời giải Chọn A
Chọn 3 học sinh trong 38 học sinh và sắp xếp ba học sinh vào ba chức vụ khác nhau: Lớp
trưởng, Lớp phó, Bí thư. Mỗi cách chọn ra 3 học sinh như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 38 phần tử. Vậy số cách chọn là: 3 A = 50616.. 38
Câu 53. Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 trong một đội bóng để thực hiện đá 5 quả luân lưu 11 m,
theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm. A. 5 A . B. 5 C . C. 2 A .5!. D. 5 C . 11 11 11 10 Lời giải
Số cách chọn 5 cầu thủ từ 11 trong một đội bóng để thực hiện đá 5 quả luân lưu 11 m , theo thứ
tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là số chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử nên số cách chọn là 5 A . 11 
Câu 54. Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối
là hai đỉnh của tứ diện ABCD A. 12. B. 4 . C. 10. D. 8 . Lời giải
Số vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD là số
các chỉnh hợp chập 2 của phần tử⇒ số vectơ là 2 A =12 . 4
Câu 55. Cho lục giác ABCDEF.Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các
đỉnh của lục giác trên. A. 2 6 . B. 6 2 . C. 2 C . D. 2 A . 6 6 Lời giải Chọn D
Mỗi vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác ABCDEF là một
chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử. Vậy số vectơ thỏa yêu cầu bài toán là 2 A vectơ. 6
Câu 56. Số các số gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 là A. 5436. B. 3024. C. 3260. D. 12070. Lời giải Trang 14 Chọn B
Xét X = {1,2,3,4,5,6,7,8, } 9 , X = 9 .
Gọi x = abcd0 là số cần lập (a,b,c,d ∈ X và đôi một khác nhau).
Mỗi số cần lập là một chỉnh hợp chập 4 của 9 phần tử nên số các số thỏa yêu cầu bài toán là 4 A = 3024 . 9
Câu 57. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau? A. 39 C . B. 39 A . C. 9!. D. 3 2 9 A − 8 A . Lời giải Chọn B
Gọi x = abc , trong đó a , b , c đôi một khác nhau.
Lấy 3 phần tử từ tập hợp X = {1,2,3,4,5,6,7,8, }
9 và xếp vào 3 vị trí. Có 39 A cách. Suy ra có 39
A số thỏa yêu cầu bài.
Câu 58. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 15. B. 4096 . C. 360. D. 720 . Lời giải
Để được một số có 4 chữ số theo yêu cầu đề bài, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số đã cho và xếp
theo một thứ tự nào đó, nghĩa là ta được một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.
Vậy số các số cần thành lập là 4 A = 360 . 6
Câu 59. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5, gồm 4 chữ số khác nhau? A. 120. B. 72. C. 69. D. 54. Lời giải Chọn D
Gọi số tự nhiên cần tìm là abcd , từ yêu cầu bài toán ta có: d ∈{1;2; } 3 : có 3 cách chọn
a : có 3 cách chọn (a ≠ 0,a ≠ d )
Trong 3 số còn lại chọn ra 2 số lần lượt đặt vào các vị trí b,c có 2 A cách. 3
Số các số thỏa yêu cầu bài toán là 2
S = 3.3.A = 54 số. 3
Câu 60. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau. A. 500. B. 405. C. 360. D. 328. Lời giải Chọn D Xét hai trường hợp.
TH1: Chữ số tận cùng là 0 có 1 cách chọn chữ số tận cùng. Có 2
A cách chọn hai chữ số đầu. 9 Do đó có 1* 2 A = 72 số. 9
TH2: Chữ số tận cùng là 2, 4, 6, 8 có 4 cách chọn chữ số tận cùng.
Có 8 cách chọn chữ số đầu tiên.
Có 8 cách chọn chữ số ở giữa. Do đó có 4*8*8 = 256 số. Trang 15
Vậy có 72 + 256 = 328 số thỏa mãn bài toán. Chon . D
Câu 61. Từ các số 0;1;2;3;5có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5 gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 120. B. 54. C. 72 . D. 69 . Lời giải Chọn B
Giả sử số tự nhiên có 4 chữ số có dạng abcd
+ Do số tự nhiên đó không chia hết cho 5 nên d có 3 cách chọn (1; 2; 3)
+ Có 3 cách chọn a (khác d; 0)
+ Số cách chọn 2 chữ số còn lại là số chỉnh hợp chập 2 của 3 2 ⇒ A3 Vậy có 2 3.3.A = 54 số. 3
Câu 62. Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4; }
5 . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và lớn hơn 350? A. 32. B. 40 . C. 43. D. 56. Lời giải Chọn C
Gọi số có ba chữ số khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán là abc .
Vì abc > 350 nên ta xét 2 trường hợp sau:
TH 1: Chọn a∈{4; }
5 ⇒ a có 2 cách chọn.
Chọn b và c trong số 5 chữ số còn lại có 2 A cách. 5 Suy ra TH 1 có 2
2. A = 40 số được lập. 5
TH 2: Chọn a = 3, b = 5⇒ c∈{1;2 }
;4 nên có 3 số được lập.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 40 + 3 = 43 số.
Câu 63. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết
phải có mặt chữ số 0? A. 7056 . B. 120. C. 5040. D. 15120. Lời giải Chọn A
Gọi số đó có dạng abcde ( a,b,c,d,e∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8, } 9 , a ≠ 0 ). TH1: e = 0
Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là: 4 A ( số). 9 TH2: e ≠ 0 .
Khi đó e có 4 cách chọn ( vì e được lấy từ các số 2, 4, 6, 8).
Có 3 cách để xếp chữ số 0 vào 3 vị trí b, c, d.
Số cách lấy 3 số trong 8 số còn lại và sắp xếp là 3 A . 8
Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là: 3 4.3.A ( số). 8
Vậy số các số tự nhiên chẳn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết
phải có mặt chữ số 0 là: 4 3
A + 4.3.A = 7056 ( số) 9 8
Câu 64. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 2520 . B. 50000. C. 4500 . D. 2296 . Lời giải Trang 16
 Số có 4 chữ số khác nhau đôi một: 3 9.A . 9
 Số có 4 chữ số lẻ khác nhau đôi một: 2 5.8.A . 8
Vậy số có 4 chữ số chẵn khác nhau đôi một: 3 2
9.A − 5.8.A = 2296 . 9 8
Câu 65. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? A. 72. B. 120. C. 54. D. 69 . Lời giải
Gọi số cần tìm dạng: abcd , (a ≠ 0).
• Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau: 3 4.A = 96 số. 4
• Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5: 3 2 A + 3.A = 42 . 4 3
• Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là: 96 − 42 = 54 số.
Câu 66. Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; }
5 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi
một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 ? A. 504. B. 480 . C. 720 . D. 120. Lời giải
• Cách 1: Gọi số cần tìm là n = abcde .
 Có 4 vị trí xếp số 0 vì a ≠ 0 .  - a, ,
b c, d được chọn trong 5 số còn lại và sắp, có 4 A =120 cách. 5
 Vậy số các số cần tìm là 4.120 = 480 .
• Cách 2: Gọi số cần tìm là n = abcde .
 Có 5 vị trí xếp số 0 (kể cả vị trí đầu tiên), 4 vị trí còn lại chọn 4 trong 5 số và sắp, nên có 4 5.A = 600 số. 5
 Các số có dạng 0bcde là 4 A =120 số. 5
 Vậy số các số cần tìm là 600 −120 = 480 .
Câu 67. Cho các chữ số 0 , 1, 2 , 3, 4 , 5. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số
và các chữ số phải khác nhau. A. 160. B. 156. C. 752 . D. 240 . Lời giải
Gọi số có bốn chữ số khác nhau là abcd (a,b,c,d ∈{0,1,2,3,4, } 5 ,a ≠ 0) .
+ TH1: d = 0 Số cách ộ số abc là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử {1,2,3,4, } 5 . Suy ra có 3 A = 60 (số). 5 + TH2: d ∈{2, } 4 d có 2 cách chọn a có 4 cách chọn b có 4 cách chọn c có 3 cách chọn Trang 17
Suy ra có 2.4.4.3 = 96 (số)
Áp dụng quy tắc cộng ta có tất cả 60 + 96 =156 (số)
Câu 68. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. A. 648 B. 1000 C. 729 D. 720 Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng: abc ( a ≠ 0 ; a;b;c đôi một khác nhau)
⇒ số có ba chữ số là: 3 2
A − A = 648 . 10 9
Câu 69. Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6; }
7 . Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1. A. 2802 . B. 2280 . C. 65. D. 2520 . Lời giải
Gọi số cần lập là abcde với a,b,c,d,e∈ A và a > 0 , các chữ số khác nhau.
TH1: a =1. Số cách ác chữ số còn lại là 4 A = 840. 7 TH2: a ≠ 1.
Để chọn vị trí cho chữ số 1 có 2 cách.
Để hữ số a có 6 cách.
Để ác chữ số còn lại có 3 A . 6 Do đó có 3
2.6.A số lập được. 6 Vậy có 4 3
A + 2.6.A = 2280 số thỏa mãn đề bài. 7 6
Câu 70. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau? A. 500. B. 328. C. 360. D. 405 . Lời giải
Gọi số tự nhiên chẵn cần tìm có dạng abc , c∈{0;2;4;6; } 8 .
Xét các số có dạng ab0 có tất cả 2
A = 72 số thỏa yêu cầu bài toán. 9
Xét các số dạng abc , c∈{2;4;6; }
8 có tất cả: 4.8.8 = 256 số thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau là: 72 + 256 = 328 số.
Câu 71. Cho 5 chữ số 1, 2 , 3, 4 , 6 . Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã
cho. Tính tổng của các số lập được. A. 12321. B. 21312 . C. 12312. D. 21321. Lời giải
Mỗi số số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số 1, 2 , 3, 4 , 6 là một chỉnh hợp
chập 3 của các chữ số này. Do đó, ta lập được 3 A = 60 số. 5
Do vai trò các số 1, 2 , 3, 4 , 6 như nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong các chữ số
này ở mỗi hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm) là như nhau và bằng 60 :5 =12 lần.
Vậy, tổng các số lập được là:
S =12.(1+ 2 + 3+ 4 + 6)(100 +10 + ) 1 = 21312 . Trang 18
Câu 72. Có bao nhiêu số tự nhiên có bẩy chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và3. A. 3204 số. B. 249 số. C. 2942 số. D. 7440 số. Lời giải
Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321.
TH1: Số cần lập có bộ ba số 123.
Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng 123abcd . Có 4
A = 840 cách ốn số a , b , c , d nên có 4 A = 840 số. 7 7
Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123.
Có 6 cách chọn số đứng đầu và có 3
A =120 cách a số b , c , d . 6 Theo quy tắc nhân có 3 6.4.A = 2880 số 6
Theo quy tắc cộng có 840 + 2880 = 3720 số.
TH2: Số cần lập có bộ ba số 321.
Do vai trò của bộ ba số 123 và321 như nhau nên có 2(840 + 2880) = 7440
Câu 73. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300;500) A. 24 . B. 25 . C. 23. D. 22 . Bài làm
Gọi số cần tìm là abc với a,b,c∈{1;2;3;4; } 5 .
Để abc∈(300;500) thì a = 3 hoặc a = 4 .
Với a = 3, số cách chọn b,c là 2 A =12 . 4
Với a = 4 , số cách chọn , b c là 2 A =12 . 4
Vây số các số lập được là 24 . Chọn đáp án A.
Câu 74. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho
có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau. A. 360. B. 144. C. 252 . D. 108. Lời giải
Giả sử số cần lập có dạng abcde, với a,b,c,d,e∈{0;1; 2; 3; 4; 5; } 6 .
+ Trường hợp 1: a , b là hai chữ số lẻ: Có 2
A = 6 cách chọn ab 3 Với mỗi ab , có 3
A = 24 cách chọn cde 4
⇒ có 6.24 =144 số thỏa mãn.
+ Trường hợp 2: d , e là hai chữ số lẻ: Có 2
A = 6 cách chọn de 3
Với mỗi de , có 3 cách chọn a , 2
A = 6 cách chọn bc 3 Trang 19
⇒ có 6.3.6 =108 số thỏa mãn.
Vậy có 144 +108 = 252 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trang 20 Bài 3. TỔ HỢP
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1≤ k ≤ n .
Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.
Ví dụ 1. Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2
chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo. Giải
Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:
{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng },{ áo vàng; áo nâu},
{áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.
2. Số các tổ hợp
Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó. k Kí hiệu k
C là số tổ hợp chập k của n phần tử với 1≤ k ≤ n . Ta có: k An C = . n n k!
Ví dụ 2. Chứng minh k n! C =
với 1≤ k ≤ n . n
k!(n − k)! Giải Ta có: k
n(n −1)…(n − k +1)(n − k)…2.1 n!
A = n n − … n − k + = = . n ( 1) ( 1) (n − k)…2.1 (n − k)! k Do đó k A n n ! C = = . n
k! k!(n − k)! Quy ước: 0 0!=1;C = . n 1
Với những quy ước trên, ta có công thức sau: k n! C = với 0 ≤ k ≤ . n n
k!(n − k)!
Ví dụ 3. Lớp 10 A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.
a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?
c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam? Giải
a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có 3 C cách chọn. 18
b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tố hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có 5 C cách 20 chọn.
c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: 3 5
C ⋅C = 816⋅15504 =12651264 18 20
3. Tính chất của các số 𝑪𝑪𝒌𝒌𝒏𝒏
Ta có hai đẳng thức sau: k n−k C = C
≤ k ≤ n và k 1− k k C + = ≤ < . − C − C k n n n n (1 ) n n (0 ) 1 1 Trang 1
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1. TỔ HỢP
Câu 1. Chứng minh rằng: k 1 + k k 1 − k 1
A = C + C + C = C + n 2 n n n+2 Câu 2. Rút gọn: 8 9 10
C + 2C + C 15 15 15 A = 10 C17
Câu 3. Một bó hoa có 9 bông hoa màu hồng và 5 bông hoa màu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 boonh hoa thỏa mãn: a. Có 2 bông màu hồng?
b. Có ít nhất 1 bông màu hồng? c. Có đủ cả 2 màu?
Câu 4. Một lớp 50 học sinh, có 30 nữ. Cô giáo muốn lấy ra 5 học sinh để lập thành một đội văn nghệ. Hỏi
cô có bao nhiêu cách chọn nếu: a. Chọn bất kỳ? b. Có hai học sinh nam?
c. Có ít nhất 1 bạn nam?
Câu 5. Một hình đa giác đều gồm 20 cạnh. Hỏi có thể lập được
a. Bao nhiêu hình chữ nhật từ các đỉnh của đa giác trên?
b. Bao nhiêu hình tam giác từ các đỉnh của tam giác trên?
c. Bao nhiêu đường chéo?
Câu 6. Một tổ có 15 học sinh, thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 5 học sinh cho mỗi đề
kiểm tra. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách?
DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP Câu 7. Rút gọn: 5 6 7 P + + + C C C n 2 2 15 15 15 B = + k 7 A .P − C n n k 17
Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ các số 0 1,,2,3,4,5,6,7,8 . Trong đó chữ số 3 có
mặt đúng 2 lần. Các chữ số khác có mặt 1 lần?
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. TỔ HỢP
Câu 1. Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của M là A. 2 C B. 2 10 C. 8 A D. 2 A 10 10 10
Câu 2. Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là A. 4 A . B. 5 30 . C. 5 30 . D. 5 C . 30 30
Câu 3. Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là A. 3 C . B. 7! . C. 3 A . D. 21. 7 3! 7
Câu 4. Cho tập hợp M ={0;1;2;3;4;5;6;7;8; }
9 . Số tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là: A. 3 A . B. 3 A . C. 3 C . D. 3 C . 10 9 10 9 Trang 2
Câu 5. Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là A. 5 C . B. 5 A . C. 5 30 . D. 4 A . 30 30 30
Câu 6. Có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử được lấy ra từ tập A = {a; ; b ; c d; ; e f }? A. 10 . B. 80 . C. 40 . D. 20 .
Câu 7. Cho tập M gồm 10 phần tử. Số tập con gồm 4 phần tử của M là A. 40 . B. 4 A . C. 4 C . D. 4 10 . 10 10
Câu 8. Cho tập hợp E có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp E ? A. 100. B. 80 . C. 45 . D. 90.
Câu 9. Cho tập A gồm 12 phần tử. Số tập con có 4 phần tử của tập A là A. 8 A . B. 4 C . C. 4!. D. 4 A . 12 12 12
Câu 10. Cho tập hợp E có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp E ? A. 100. B. 90. C. 45 . D. 80 .
Câu 11. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng abc với a , b , c ∈{0;1;2;3;4;5; }
6 sao cho a < b < c . A. 120. B. 30. C. 40 . D. 20 .
Câu 12. Từ các chữ số 2 , 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2
lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần? A. 1260. B. 40320 . C. 120. D. 1728.
Câu 13. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà
chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục? A. 48 . B. 72 . C. 54. D. 36.
Câu 14. Từ các chữ số 0 ; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6 ; 7 ; 8 ; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4
chữ số khác nhau mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng trước? A. 4536 . B. 2513. C. 126. D. 3913.
Câu 15. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là A. 5 2 . B. 2 C . C. 2 A . D. 2 5 . 5 5
Câu 16. Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là A. 2 A . B. 2 C . C. 6 2 . D. 2 6 . 6 6
Câu 17. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là A. 7 2 . B. 2 A . C. 2 C . D. 2 7 . 7 7
Câu 18. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm 38 học sinh? A. 38 2 B. 2 C C. 2 38 D. 2 A 38 38
Câu 19. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh? A. 34 2 . B. 2 A . C. 2 34 . D. 2 C . 34 34
Câu 20. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm 38 học sinh? A. 2 A . B. 38 2 . C. 2 C . D. 2 38 . 38 38
Câu 21. Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của M là A. 2 C B. 2 10 C. 8 A D. 2 A 10 10 10
Câu 22. Một lớp có 48 học sinh. Số cách chọn 2 học sinh trực nhật là A. 2256 . B. 2304 . C. 1128. D. 96. Trang 3
Câu 23. Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau? A. 720 . B. 3 10 . C. 120. D. 210 .
Câu 24. Một hộp đựng hai viên bi màu vàng và ba viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu cách lấy ra hai viên bi
trong hộp? A. 10. B. 20 . C. 5. D. 6 .
Câu 25. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng
toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên? A. 2300. B. 59280. C. 455 D. 9880.
Câu 26. Một hộp đựng 50 viên bi gồm 10 viên bi màu trắng, 25 viên bi màu đỏ và 15 viên bi màu xanh.
Có bao nhiêu cách chọn 8 viên bi trong hộp đó mà không có viên bi nào màu xanh? A. 8 C . B. 8 8 C + C . C. 8 C . D. 8 8 C − C . 50 10 25 35 50 15
Câu 27. Số cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao động là A. P . B. 36. C. 3 A . D. 3 C . 12 12 12
Câu 28. Có tất cả bao nhiêu cách chia 10 người thành hai nhóm, một nhóm có 6 người và một nhóm có 4 người? A. 210. B. 120. C. 100. D. 140.
Câu 29. Trong một đa giác lồi n cạnh, số đường chéo của đa giác là. A. 2 C . B. 2 A . C. 2 A − n . D. 2 C − n . n n n n
Câu 30. Cho một đa giác đều có 10 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh thuộc các đỉnh của đa giác đã cho. A. 720 . B. 35. C. 120. D. 240 .
Câu 31. Cho 8 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của
nó được chọn từ 8 điểm trên ? A. 336. B. 56. C. 168. D. 84 .
Câu 32. Số đường chéo của đa giác đều có 20 cạnh là bao nhiêu? A. 170. B. 190. C. 360. D. 380.
Câu 33. Lục giác đều ABCDEF có bao nhiêu đường chéo A. 15. B. 5. C. 9. D. 24 .
Câu 34. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là A. 50. B. 100. C. 120. D. 45 .
Câu 35. Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng
hàng. Số tam giác có 3 điểm đều thuộc P là A. 3 10 . B. 3 A . C. 3 C . D. 7 A . 10 10 10
Câu 36. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Số tam giác được tạo nên từ các đỉnh này là A. 3 A . 3!C . C . 20 B. 320 C. 3 10 . D. 320
Câu 37. Cho 20 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành
từ các điểm này? A. 8000. B. 6480. C. 1140. D. 600.
Câu 38. Trong không gian cho 20 điểm trong đó không có 4 điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hỏi có bao nhiêu cách tạo mặt phẳng từ 3 điểm trong 20 điểm trên? A. 190. B. 6840 . C. 380. D. 1140. Trang 4
Câu 39. Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm O? A. 4 C . B. 3. C. 4!. D. 4 A . 12 12
Câu 40. Cho đa giác đều có 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho? A. 4 C . B. 4 C . C. 2 C . D. 2 C . 2018 1009 2018 1009
Câu 41. Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập
được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? A. 3 6 . B. 4 3 . C. 3 A . D. 3 C . 6 6
Câu 42. Số cách chia 12 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất hai phần quà là A. 28 . B. 36. C. 56. D. 72 .
Câu 43. Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó
có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ? A. 3 2 C C . B. 3 2 A A . C. 3 2 A + A . D. 3 2 C + C . 10 8 10 8 10 8 10 8
Câu 44. Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ. A. 6 . B. 16. C. 20 . D. 32.
Câu 45. Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập, người ta tạo thành các đề
thi. Biết rằng một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất một câu lí thuyết và 1 câu bài tập. Hỏi có thể
tạo được bao nhiêu đề khác nhau. A. 100. B. 36. C. 96. D. 60 .
Câu 46. Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu cách lập từ đó một tổ công tác 5 người
gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên: A. 420 cách. B. 120 cách. C. 252 cách. D. 360 cách.
Câu 47. Cô giáo chia 4 quả táo,3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu 1 quả). Hỏi có bao
nhiêu cách chia khác nhau? A. 120. B. 1260. C. 9. D. 24 .
Câu 48. Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự, mỗi ông bắt tay với một người trừ vợ mình, các bà
không ai bắt tay nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay. A. 234 . B. 312. C. 78. D. 185.
Câu 49. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách chọn là A. 48 . B. 46 . C. 15. D. 64 .
Câu 50. Một lớp học có 30 học sinh gồm 20 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học
sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ. A. 1140. B. 2920 . C. 1900. D. 900.
Câu 51. Một hộp chứa 20 quả cầu khác nhau trong đó có 12 quả đỏ, 8 quả xanh. Hỏi có bao nhiêu cách
lấy được 3 quả trong đó có ít nhất 1 quả xanh? A. Đáp án khác. B. 220 . C. 900. D. 920.
Câu 52. Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành
các đề thi. Biết rằng trong một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài
tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên? A. 60 . B. 96. C. 36. D. 100. Trang 5
Câu 53. Ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 8 câu hỏi tự luận khác nhau. Hỏi có
thể lập được bao nhiêu đề thi sao cho mỗi đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 4 câu hỏi tự luận khác nhau. A. 10 4 C .C . B. 10 4 C + C . C. 10 4 A .A . D. 10 4 A + A . 15 8 15 8 15 8 15 8
Câu 54. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 4 em trực cờ
đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất phải có một nam? A. 4 4
C − C (cách). B. 4 C (cách). C. 1 3 C C (cách). D. 4 4 C + C (cách). 40 15 25 25 15 40 15
Câu 55. Trong một buổi khiêu vũ có 20 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ? A. 2 C . B. 2 A . C. 2 1 C C . D. 1 1 C C . 38 38 20 18 20 18
Câu 56. Một nhóm gồm 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 3 học
sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam. A. 245 . B. 3480. C. 336. D. 251.
Câu 57. Có 10 quyển sách toán giống nhau, 11 quyển sách lý giống nhau và 9 quyển sách hóa giống
nhau. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng cho 15 học sinh có kết quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử
lần hai của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần thưởng là hai quyển sách khác loại? A. 7 3 C C . B. 6 4 C C . C. 3 4 C C . D. 2 C . 15 9 15 9 15 9 30
Câu 58. Có 6 học sinh lớp 12, 5 học sinh lớp 11 và 4 học sinh lớp 10. Số cách chọn ra ra 4 học sinh có đủ cả ba khối là A. 1365. B. 720. C. 280. D. 120.
Câu 59. Đội ca khúc chính trị của trường THPT Yên lạc 2 gồm có 4 học sinh khối 12, có 3 học sinh
khối 11 và 2 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh để biểu diễn tiết mục văn nghệ chào mừng
ngày 20 /11. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho khối nào cũng có học sinh được chọn. A. 102. B. 126. C. 100. D. 98.
Câu 60. Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có
đủ cả ba màu. Số cách chọn là: A. 840 B. 3843 C. 2170 D. 3003
Câu 61. Từ 20 câu trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó.người ta chọn ra 10 câu để
làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra? A. 176451. B. 176465. C. 176415. D. 6415.
Câu 62. Đội thanh niên xung kích của một trường trung học phổ thông có 10 người, gồm 4 học sinh lớp
A , 3 học sinh lớp B , 3 học sinh lớp C . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh đi làm nhiệm vụ mà số
học sinh lớp B bằng số học sinh lớp C ? A. 36. B. 72. C. 144. D. 108.
Câu 63. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách lập ra một đội văn nghệ
gồm 6 người, trong đó có ít nhất 4 nam? A. 412.803. B. 2.783.638. C. 5.608.890. D. 763.806.
Câu 64. Một bó hoa có 14 bông hoa gồm: 3 bông màu hồng, 5 bông màu xanh còn lại là màu vàng. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn 7 bông trong đó phải có đủ ba màu? A. 3058. B. 3060. C. 3432. D. 129.
Câu 65. Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26 . Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 tấm thẻ.
Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm
thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị. A. 1771. B. 1350. C. 1768. D. 2024 . Trang 6
Câu 66. Một hộp chứa 16 quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 , năm quả cầu đỏ đánh số từ
1 đến 5 và năm quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 5. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó ba quả cầu vừa khác màu vừa khác số? A. 60 . B. 72 . C. 150. D. 80 .
Câu 67. Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5quả cầu
từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh. A. 245 . B. 3480. C. 246 . D. 3360.
Câu 68. Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có 8 giáo viên Toán gồm có 3 nữ và 5 nam, giáo viên Vật
lý thì có 4 giáo viên nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG gồm
3 người có đủ 2 môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn? A. 60 (cách). B. 120 (cách). C. 12960 (cách). D. 90 (cách).
Câu 69. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp
12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? A. 120. B. 98. C. 150. D. 360.
Câu 70. Trong kho đèn trang trí đang còn 5 bóng đèn loại I, 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác
nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại
I nhiều hơn số bóng đèn loại II? A. 246 . B. 3480. C. 245 . D. 3360.
Câu 71. Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho có một người được 2 đồ vật và
hai người còn lại mỗi người được ba đồ vật? A. 2 3 3!C C . B. 2 3 C C . C. 2 3 A A . D. 2 3 3C C . 8 6 8 6 8 6 8 6
Câu 72. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó
có cả học sinh nam và học sinh nữ là? A. 545. B. 462 . C. 455. D. 456 .
Câu 73. Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh? A. 4249 . B. 4250 . C. 5005. D. 805 .
Câu 74. Bình A chứa 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng. Bình B chứa 4 quả cầu xanh, 3
quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng. Bình C chứa 5 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng. Từ mỗi bình
lấy ra một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để cuối cùng được 3 quả có màu giống nhau. A. 180. B. 150. C. 120. D. 60 .
Câu 75. Tổ 1 lớp 11A có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 học sinh
của tổ 1 để lao động vệ sinh cùng cả trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam? A. 600 . B. 25 . C. 325. D. 30.
Câu 76. Một tổ có 5 bạn học sinh nam và 6 bạn học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 em đi trực
nhật.Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để có cả nam và nữ? A. 325. B. 415 . C. 810 . D. 135.
Câu 77. Có hai đường thẳng song song (d ) và (d′) . Trên (d ) lấy 15 điểm phân biệt, trên (d′) lấy 9
điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu? A. 1485. B. 540. C. 1548. D. 950.
Câu 78. Cho đa giác đều 36 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 36 đỉnh của đa giác đều? Trang 7 A. 306. B. 153. C. 9. D. 58905.
Câu 79. Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm O ? A. 4 C . B. 3. C. 4!. D. 4 A . 12 12
Câu 80. Cho hai đường thẳng d và d song song với nhau. Trên d lấy 5 điểm phân biệt, trên d lấy 7 1 2 1 2
điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng d 1 và d . 2 A. 220 . B. 175. C. 1320. D. 7350 .
Câu 81. Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB , BC , CD , DA lần lượt lấy 1, 2 , 3 và n điểm phân
biệt n ≥ 3 (n∈) khác A , B , C , D . Tìm n biết số tam giác lấy từ n + 6 điểm trên là 439 .
A. n = 20.
B. n =12.
C. n = 8. D. n =10.
Câu 82. Cho một đa giác lồi (H) có 10 cạnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó là ba đỉnh của
(H), nhưng ba cạnh không phải ba cạnh của (H)? A. 40. B. 100. C. 60. D. 50.
Câu 83. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấy 20 điểm phân biệt. Trên đường
thẳng thứ hai ta lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ ba điểm trong các điểm nói trên? A. 2 2 18C + 20C . 20C +18C . C . C .C . 20 18 B. 3 3 18 20 C. 338 D. 3 3 20 18
Câu 84. Cho một đa giác đều 40 đỉnh A A ...A nội tiếp đường tròn (O) . Số tam giác có các đỉnh là 3 1 2 40
trong 40 đỉnh trên gấp bao nhiêu lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 40 đỉnh trên? A. 20. B. 4 . C. 52. D. 40 . 37
Câu 85. Có hai đường thẳng song song (d ) và (d′) . Trên (d ) lấy 15 điểm phân biệt, trên
(d′) lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu? A. 1485. B. 540. C. 1548. D. 950.
Câu 86. Cho một tam giác, trên ba cạnh của nó lấy 9 điểm như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu tam giác có ba
đỉnh thuộc 9 điểm đã cho? C3 B1 C2 C B 1 2 A1 A2 A3 A4 A. 79 . B. 48 . C. 55. D. 24 .
Câu 87. Cho một đa giác đều n đỉnh (n ≥ 2,n∈) . Tìm n biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh
trong số 2n đỉnh của đa giác đó là 45 . A. n =12 . B. n =10 . C. n = 9 . D. n = 45 . Trang 8
Câu 88. Cho đa giác đều A A A .
… A nội tiếp trong đường tròn (O) . Tính số hình chữ nhật có các đỉnh 1 2 3 30
là 4 trong 30 đỉnh của đa giác đó. A. 105. B. 27405 . C. 27406 . D. 106.
Câu 89. Cho đa giác đều 100 nội tiếp một đường tròn. Số tam giác từ được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là: A. 44100 . B. 78400 . C. 117600. D. 58800.
Câu 90. Một đa giác lồi có 10 cạnh, xét các tam giác mà 3 đỉnh là đỉnh của đa giác. Hỏi trong số các tam
giác này có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh đều không phải là cạnh của đa giác? A. 60 . B. 70 . C. 120. D. 50.
Câu 91. Trên mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác
cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên. A. 2017.2018. B. 4 4 C + C . C. 2 2 C .C . D. 2017 + 2018. 2017 2018 2017 2018
Câu 92. Cho đa giác lồi có 40 cạnh. Mỗi đoạn thẳng đi qua hai đỉnh bất kì của nó mà không phải là cạnh
được gọi là một đường chéo của nó. Số giao điểm nằm bên trong đa giác (không trùng với đỉnh) được tạo ra
do các đường chéo của nó cắt nhau nhiều nhất là bao nhiêu? A. 91390. B. 273430 . C. 740 . D. 1520.
Câu 93. Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt trong đó có 2 chữ
số lẻ và 2 chữ số chẵn? A. 144. B. 432. C. 696. D. 840.
Câu 94. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau trong
đó luôn có mặt hai chữ số 1 và 6. A. 408. B. 720. C. 480. D. 120.
Câu 95. Từ các chữ số của tập hợp {0;1;2;3;4; }
5 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi
một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 ? A. 120. B. 504. C. 720 . D. 480 .
DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
Câu 96. Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5? A. 1 2 2 3 4 1+ 4C + 2017C + 2A + C + C . 2017 2017 2017 2017 2017 B. 2 3 4 5 1+ 2C + 2C + C + C . 2018 2018 2018 2018 C. 2 3 4 5 1+ 2A + 2A + A + C . 2018 2018 2018 2017 D. 2 1+ 2A + 2( 2 2 C + A ) + ( 3 3 C + A ) 4 + C . 2018 2017 2017 2017 2017 2017
Câu 97. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 . B. 846000 . C. 907200. D. 151200.
Câu 98. Từ các chữ số của tập A = {0;1;2;3;4;5;6; }
7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong
đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số còn lại đôi một khác nhau? A. 31203. B. 12600. C. 181440. D. 27000
Câu 99. Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang số ghế
chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong sáu bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế
chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để
thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó? A. 36. B. 180. C. 72 . D. 18. Trang 9
Câu 100. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 . B. 846000 . C. 907200. D. 151200.
Câu 101. Từ tập A = {1;2;3;4; }
5 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số sao cho chữ số 2 xuất hiện 4
lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần. A. 120. B. 840 . C. 576. D. 1680.
Câu 102. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó 3 tem thư, 3 bì
thư và dán 3 tem thư đó ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? A. 1200. B. 1800. C. 1000. D. 200.
Câu 103. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa có khác nhau vào 5 lọ khác nhau sao cho mỗi lọ cắm không quá một bông? A. 3 A . B. 3!. C. 3 C . D. 2 A . 5 5 5
Câu 104. Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A , B , C . Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên
một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. A. 4320 . B. 90. C. 43200 . D. 720 .
Câu 105. Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang số ghế
chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong 6 bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế
chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để
thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó? A. 72 . B. 36. C. 18. D. 180.
Câu 106. Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật. A. 36 B. 18 C. 12 D. 72
Câu 107. Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải
tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách
còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng. A. 24412 B. 23314. C. 32512. D. 24480.
Câu 108. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 . B. 846000 . C. 907200. D. 151200.
Câu 109. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân
công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ? A. 12141421. B. 5234234. C. 4989600. D. 4144880
Câu 110. Có hai học sinh lớp ,
A ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao
cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp .
B Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ? A. 80640 . B. 108864. C. 145152. D. 217728 .
Câu 111. Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành
một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập
đội cờ đỏ. A. 141666. B. 241561. C. 111300. D. 131444.
Câu 112. Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp
hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng: A. 720 . B. 1440. C. 18720. D. 40320 . Trang 10
Câu 113. Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ.
Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình
vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng? A. 4374 . B. 139968. C. 576. D. 15552.
Câu 114. Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100° ? A. 3 2018.C . B. 3 C . C. 3 2018.C . D. 3 2018.C . 897 1009 895 896 Trang 11 Bài 3. TỔ HỢP
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1≤ k ≤ n .
Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.
Ví dụ 1. Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2
chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo. Giải
Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:
{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng },{ áo vàng; áo nâu},
{áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.
2. Số các tổ hợp
Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó. k Kí hiệu k
C là số tổ hợp chập k của n phần tử với 1≤ k ≤ n . Ta có: k An C = . n n k!
Ví dụ 2. Chứng minh k n! C =
với 1≤ k ≤ n . n
k!(n − k)! Giải Ta có: k
n(n −1)…(n − k +1)(n − k)…2.1 n!
A = n n − … n − k + = = . n ( 1) ( 1) (n − k)…2.1 (n − k)! k Do đó k A n n ! C = = . n
k! k!(n − k)! Quy ước: 0 0!=1;C = . n 1
Với những quy ước trên, ta có công thức sau: k n! C = với 0 ≤ k ≤ . n n
k!(n − k)!
Ví dụ 3. Lớp 10 A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.
a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?
c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam? Giải
a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có 3 C cách chọn. 18
b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tố hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có 5 C cách 20 chọn.
c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: 3 5
C ⋅C = 816⋅15504 =12651264 18 20
3. Tính chất của các số 𝑪𝑪𝒌𝒌𝒏𝒏
Ta có hai đẳng thức sau: k n−k C = C
≤ k ≤ n và k 1− k k C + = ≤ < . − C − C k n n n n (1 ) n n (0 ) 1 1 Trang 1
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1. TỔ HỢP
Câu 1. Chứng minh rằng: k 1 + k k 1 − k 1
A = C + C + C = C + n 2 n n n+2 Lời giải k 1 + k k 1
A = C + C + C − = C + + C + C + C − = C + + = + C + C + n 2 n n ( k 1 k n n ) ( k k 1 n n ) k 1 k k 1 n 1 n 1 n+2 Câu 2. Rút gọn: 8 9 10
C + 2C + C 15 15 15 A = 10 C17 Lời giải 8 9 10 8 9 9 10 9 10 10
C + 2C + C
C + C + C + C C + C C 15 15 15 15 15 15 15 16 16 17 A = = = = = 1 10 10 10 10 C C C C 17 17 17 17
Câu 3. Một bó hoa có 9 bông hoa màu hồng và 5 bông hoa màu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 boonh hoa thỏa mãn: a. Có 2 bông màu hồng?
b. Có ít nhất 1 bông màu hồng? c. Có đủ cả 2 màu? Lời giải
a. Số cách chọn 2 bông hoa màu hồng trong 9 bông hồng: 2 C 9
Số cách chọn 1 bông hoa màu đỏ trong 5 bông màu đỏ: 5
Cách lấy ra 3 bông hoa thỏa mãn có 2 bông màu hông là: 2 5.C =180 . 9
b. Số cách chọn không có bông màu hồng là: 3 C 5
Số cách chọn có ít nhất 1 bông màu hồng là: 3 3 C − C = 354 . 14 5
c. Có hai trường hợp: 2 hồng 1 đỏ hoặc 2 đỏ 1 hồng
Như câu a ta có số cách chọn 2 đỏ 1 hồng là: 2 9C 5
Số cách chọn đủ cả hai màu là: 2 2
5C + 9C = 270. 9 5
Câu 4. Một lớp 50 học sinh, có 30 nữ. Cô giáo muốn lấy ra 5 học sinh để lập thành một đội văn nghệ. Hỏi
cô có bao nhiêu cách chọn nếu: a. Chọn bất kỳ? b. Có hai học sinh nam?
c. Có ít nhất 1 bạn nam? Lời giải a. Có 5
C = 2118760 cách chọn. 50
b. Số cách chọn 2 học sinh nam: 2 C 20
Số cách chọn 3 hs nữ còn lại: 3 C 30
Số cách chọn 5hs trong đó có 2 hs nam là: 2 C . 3 C = 771400 20 30
c. Số cách chọn không có bạn nam nào (tất cả 5 hs đều là nữ): 5 C 30 Trang 2
Số cách chọn 5hs trong đó có ít nhất 1 hs nam là: 5 5
C − C =1976254 50 30
Câu 5. Một hình đa giác đều gồm 20 cạnh. Hỏi có thể lập được
a. Bao nhiêu hình chữ nhật từ các đỉnh của đa giác trên?
b. Bao nhiêu hình tam giác từ các đỉnh của tam giác trên?
c. Bao nhiêu đường chéo? Lời giải
a. Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo đi qua tâm O của đa giác. Ta có
số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là 10. Chọn 2 trong 10 đường chéo thì lập được một hình chữ nhật. Vậy 2
C = 45 hình chữ nhật. 10
b. Một tam giác có 3 đỉnh không sắp thứ tự nên số tam giác: 3 C =1140. 20
c. Một đường chéo được tạo thành từ hai điểm và trừ các cạnh của đa giác đó nên số đường chéo: 2 C − 20 =170 20
Câu 6. Một tổ có 15 học sinh, thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 5 học sinh cho mỗi đề
kiểm tra. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách? Lời giải
+ Số cách chọn ra 5 hs trong 1 tổ cho đề kiểm tra số 1 là: 5 C = 3003 15
+ Khi đó số học sinh còn lại chưa được phát đề kiểm tra là 10 hs
Số cách chọn ra 5 hs trong 10 hs còn lại cho đề kiểm tra số 2 là: 5 C = 252 10
+ Có 1 cách chọn cho 5 hs còn lại cho đề kiểm tra số 3.
Như vậy thầy giáo có: 3003.252.1 = 750750 cách
DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP Câu 7. Rút gọn: 5 6 7 P + + + C C C n 2 2 15 15 15 B = + k 7 A .P − C n n k 17 Lời giải 5 6 7 P + + + + C C C n ! n 2 2 2 15 15 15 ( ) B = + =
+1 = n + 2 n +1 +1 = n + 3n + 3 k 7 ( )( ) 2 A .P − C n! n n k 17
( − ) (n − k)! n k !
Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ các số 0 1,,2,3,4,5,6,7,8 . Trong đó chữ số 3 có
mặt đúng 2 lần. Các chữ số khác có mặt 1 lần? Lời giải
- Xét TH 1 số 3 đứng đầu, khi đó số 3 thứ 2 có 4 cách chọn và ba vị trí còn lại có 3 A cách chọn 8
Nếu 1 số 3 đứng đầu thì có: 3 4A cách 8
- Xét TH 2 không có số 3 đứng đầu tiên, khi đó + Có 2
C cách chọn 2 số 3 vào hai vị trí trong 4 vị trí còn lại. 4
+ Có 7 cách chọn vào vị trí đầu tiên Trang 3 + Có 2
A (Chọn 2 số khác vị trí đầu và số 3) cách chọn vào 2 vị trí còn lại 7
Nếu không có số 3 đứng đầu thì có 2 2 7.A .A . 4 7 Như vậy có 3 2 2
4A + 7C .A cách chọn. 8 4 7
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. TỔ HỢP
Câu 1. Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của M là A. 2 C B. 2 10 C. 8 A D. 2 A 10 10 10 Lời giải Chọn A
Mỗi cách lấy ra 2 phần tử trong 10 phần tử của M để tạo thành tập con gồm 2 phần tử là một tổ
hợp chập 2 của 10phần tử ⇒ Số tập con của M gồm 2 phần tử là 2 C 10
Câu 2. Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là A. 4 A . B. 5 30 . C. 5 30 . D. 5 C . 30 30 Lời giải Chọn D
Số tập con gồm 5 phần tử của M chính là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử, nghĩa là bằng 5 C . 30
Câu 3. Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là A. 3 C . B. 7! . C. 3 A . D. 21. 7 3! 7 Lời giải Chọn A
Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy có 3
C tập con cần tìm. 7
Câu 4. Cho tập hợp M ={0;1;2;3;4;5;6;7;8; }
9 . Số tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là: A. 3 A . B. 3 A . C. 3 C . D. 3 C . 10 9 10 9 Lời giải
Mỗi tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.
Số tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là: 3 C . 9
Câu 5. Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là A. 5 C . B. 5 A . C. 5 30 . D. 4 A . 30 30 30 Lời giải
Số tập con gồm 5 phần tử của M là 5 C . 30
Câu 6. Có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử được lấy ra từ tập A = {a; ; b ; c d; ; e f }? A. 10 . B. 80 . C. 40 . D. 20 . Lời giải Chọn D
Mỗi tập con tập gồm 3phần tử được lấy ra từ tập A có 6 phần tử là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử. Trang 4
Vậy số tập con gồm 3 phần tử của A là 3 C = 20 tập con. 6
Câu 7. Cho tập M gồm 10 phần tử. Số tập con gồm 4 phần tử của M là A. 40 . B. 4 A . C. 4 C . D. 4 10 . 10 10 Lời giải Chọn C
Số tập con gồm 4 phần tử của M là số cách chọn 4 phần tử bất kì trong 10 phần tử của M .
Do đó số tập con gồm 4 phần tử của M là 4 C . 10
Câu 8. Cho tập hợp E có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp E ? A. 100. B. 80 . C. 45 . D. 90. Lời giải Chọn C
Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp E là một tổ hợp chập 8 của 10. Vậy số tập con có 8 phần tử
của tập hợp E là: 8 C = 45 . 10
Câu 9. Cho tập A gồm 12 phần tử. Số tập con có 4 phần tử của tập A là A. 8 A . B. 4 C . C. 4!. D. 4 A . 12 12 12 Lời giải Chọn B
Theo định nghĩa tổ hợp: “ Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ )
1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của A
được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho”.
Do đó theo yêu cầu bài toán số tập con có 4 phần tử của tập A là 4 C . 12 Vậy chọn ý B
Câu 10. Cho tập hợp E có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp E ? A. 100. B. 90. C. 45 . D. 80 . Lời giải
Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp E là một tổ hợp chập 8 của 10 phần tử nên số tập con cần tìm là 8 C = 45 . 10
Câu 11. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng abc với a , b , c ∈{0;1;2;3;4;5; }
6 sao cho a < b < c . A. 120. B. 30. C. 40 . D. 20 . Lời giải
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng abc với a , b , c ∈{0;1;2;3;4;5; }
6 sao cho a < b < c nên a , b , c ∈{1;2;3;4;5; }
6 . Suy ra số các số có dạng abc là 3 C = 20 . 6
Câu 12. Từ các chữ số 2 , 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2
lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần? A. 1260. B. 40320 . C. 120. D. 1728. Lời giải
Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có 2 C cách. 9
Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có 3 C cách. 7
Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có 4 C cách. 4
Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là 2 C 3 C 4 C =1260 số. 9 7 4 Trang 5
Câu 13. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà
chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục? A. 48 . B. 72 . C. 54. D. 36. Lời giải
Cứ hai số được chọn từ trong chín chữ số đã cho chỉ lập được duy nhất một số theo yêu cầu, nghĩa
là ta được một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử.
Vậy số các số cần lập là 2 C = 36 . 9
Câu 14. Từ các chữ số 0 ; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6 ; 7 ; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4
chữ số khác nhau mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng trước? A. 4536 . B. 2513. C. 126. D. 3913. Lời giải
Vì chữ số cần lập mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng trước nên không có chữ số 0 .
Chọn 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6 ; 7 ; 8 ; 9 có 4 C =126 cách chọn. 9
Ứng với mỗi cách chọn đó chỉ có duy nhất 1 cách xếp mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng
trước. Do đó có 126 số thỏa mãn đề bài.
Câu 15. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là A. 5 2 . B. 2 C . C. 2 A . D. 2 5 . 5 5 Lời giải Chọn B
Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. vậy có 2 C cách. 5
Câu 16. Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là A. 2 A . B. 2 C . C. 6 2 . D. 2 6 . 6 6 Lời giải Chọn B
Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là: 2 C . 6
Câu 17. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là A. 7 2 . B. 2 A . C. 2 C . D. 2 7 . 7 7 Lời giải Chọn C
Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 7 phần tử. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là: 2 C . 7
Câu 18. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm 38 học sinh? A. 38 2 B. 2 C C. 2 38 D. 2 A 38 38 Lời giải Chọn B
Câu 19. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh? A. 34 2 . B. 2 A . C. 2 34 . D. 2 C . 34 34 Lời giải
Mỗi cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 34 phần tử nên số cách chọn là 2 C . 34 Trang 6
Câu 20. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm 38 học sinh? A. 2 A . B. 38 2 . C. 2 C . D. 2 38 . 38 38 Lời giải 2 C 38
Câu 21. Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của M là A. 2 C B. 2 10 C. 8 A D. 2 A 10 10 10 Lời giải Chọn A
Mỗi cách lấy ra 2 phần tử trong 10 phần tử của M để tạo thành tập con gồm 2 phần tử là một tổ
hợp chập 2 của 10phần tử ⇒ Số tập con của M gồm 2 phần tử là 2 C 10
Câu 22. Một lớp có 48 học sinh. Số cách chọn 2 học sinh trực nhật là A. 2256 . B. 2304 . C. 1128. D. 96. Lời giải
Mỗi cách chọn 2 học sinh trong 48 là một tổ hợp chập 2 của 48 phần tử. Suy ra số cách chọn là 2 C =1128. 48
Câu 23. Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau? A. 720 . B. 3 10 . C. 120. D. 210 . Lời giải Số cách phân công là: 3 C =120 . 10
Câu 24. Một hộp đựng hai viên bi màu vàng và ba viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu cách lấy ra hai viên bi
trong hộp? A. 10. B. 20 . C. 5. D. 6 . Lời giải
Số cách lấy ra hai viên bi là 2 C =10 . 5
Câu 25. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng
toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên? A. 2300. B. 59280. C. 455 D. 9880. Lời giải Chọn D
Chọn 3 học sinh trong 40 học sinh nên ta có 3 C = 9880 cách chọn. 40
Câu 26. Một hộp đựng 50 viên bi gồm 10 viên bi màu trắng, 25 viên bi màu đỏ và 15 viên bi màu xanh.
Có bao nhiêu cách chọn 8 viên bi trong hộp đó mà không có viên bi nào màu xanh? A. 8 C . B. 8 8 C + C . C. 8 C . D. 8 8 C − C . 50 10 25 35 50 15 Lời giải Chọn C
Số cách chọn 8 viên bi từ 35 viên bi trắng + đỏ là: 8 C . 35
Câu 27. Số cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao động là A. P . B. 36. C. 3 A . D. 3 C . 12 12 12 Trang 7 Lời giải Chọn D
Mỗi cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao động là tổ hợp chập 3 của 12.
Vậy số cách phân học sinh lao động là 3 C . 12
Câu 28. Có tất cả bao nhiêu cách chia 10 người thành hai nhóm, một nhóm có 6 người và một nhóm có 4 người? A. 210. B. 120. C. 100. D. 140. Lời giải
Số cách phân nhóm 6 người trong 10 người là 6
C . Sau khi phân nhóm 6 người còn lại 4 người 10
được phân nhóm vào nhóm còn lại. Vậy có 6 C = 210 cách. 10
Câu 29. Trong một đa giác lồi n cạnh, số đường chéo của đa giác là. A. 2 C . B. 2 A . C. 2 A − n . D. 2 C − n . n n n n Lời giải
Số đường chéo của đa giác là 2 C − n . n
Câu 30. Cho một đa giác đều có 10 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh thuộc các đỉnh của đa giác đã cho. A. 720 . B. 35. C. 120. D. 240 . Lời giải
Ta có đa giác đều có 10 cạnh nên đa giác đều có 10 đỉnh.
Mỗi tam giác là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử. Vậy có 3 C =120 tam giác. 10
Câu 31. Cho 8 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của
nó được chọn từ 8 điểm trên ? A. 336. B. 56. C. 168. D. 84 . Lời giải
Ta có số tam giác tạo thành từ 8 điểm trên là số tổ hợp chập 3 điểm của 8 điểm. Suy ra kết quả là: 3 C = 56. 8
Câu 32. Số đường chéo của đa giác đều có 20 cạnh là bao nhiêu? A. 170. B. 190. C. 360. D. 380. Lời giải
Số đường chéo của đa giác đều n cạnh là 2 C − n . n Với n = 20 thì 2 C − 20 =170. 20
Câu 33. Lục giác đều ABCDEF có bao nhiêu đường chéo A. 15. B. 5. C. 9. D. 24 . Lời giải
Số đường chéo của lục giác đều (6 cạnh là) : 2 C − 6 = 9 6
Câu 34. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là A. 50. B. 100. C. 120. D. 45 . Lời giải
Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là 2 C = 45 . 10 Trang 8
Câu 35. Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng
hàng. Số tam giác có 3 điểm đều thuộc P là A. 3 10 . B. 3 A . C. 3 C . D. 7 A . 10 10 10 Lời giải
Với 3 điểm phân biệt không thằng hàng, tạo thành duy nhất 1 tam giác.
Vậy, với 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, số tam giác tạo thành là 3 C . 10
Câu 36. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Số tam giác được tạo nên từ các đỉnh này là A. 3 A . 3!C . C . 20 B. 320 C. 3 10 . D. 320 Lời giải
Số tam giác bằng với số cách chọn 3 phần tử trong 20 phần tử. Do đó có 3 C tam giác. 20
Câu 37. Cho 20 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành
từ các điểm này? A. 8000. B. 6480. C. 1140. D. 600.
Lời giải Chọn C
Chọn 3 điểm từ 20 điểm ta có một tam giác nên số tam giác tạo thành từ 20 điểm đã cho là 3 C =1140. . 20
Câu 38. Trong không gian cho 20 điểm trong đó không có 4 điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hỏi có bao nhiêu cách tạo mặt phẳng từ 3 điểm trong 20 điểm trên? A. 190. B. 6840 . C. 380. D. 1140. Lời giải Chọn D
Số cách tạo mặt phẳng là 3 C =1140. 20
Câu 39. Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm O? A. 4 C . B. 3. C. 4!. D. 4 A . 12 12
Lời giải Chọn A
Ta có: Số cách lấy 4 điểm phân biệt bất kì từ 12 điểm phân biệt trên đường tròn tâm O sẽ là số tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm O được tạo thành. Vậy có 4
C tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O 12 được tạo thành.
Câu 40. Cho đa giác đều có 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho? A. 4 C . B. 4 C . C. 2 C . D. 2 C . 2018 1009 2018 1009 Lời giải Chọn D
Số đường chéo qua tâm là 1009.
Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho bằng số cách lấy hai đường chéo qua
tâm, do đó số hình chữ nhật là 2 C . 1009 Trang 9
Câu 41. Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập
được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? A. 3 6 . B. 4 3 . C. 3 A . D. 3 C . 6 6 Lời giải Chọn D
Lấy 3 điểm trong 6 điểm lập thành tam giác có 3 C cách. 6
Câu 42. Số cách chia 12 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất hai phần quà là A. 28 . B. 36. C. 56. D. 72 . Lời giải
+ Chia trước cho mỗi học sinh một phần quà thì số phần quà còn lại là 9 phần quà.
+ Chia 9 phần quà cho 3 học sinh sao cho học sinh nào cũng có ít nhất một phần quà:
Đặt 9 phần quà theo một hàng ngang, giữa các phần quà sẽ có 8 khoảng trống, chọn 2 khoảng
trống trong 8 khoảng trống đó để chia 9 phần quà còn lại thành 3 phần quà mà mỗi phần có ít
nhất một phần quà, có 2 C . Vậy tất cả có 2 C = 28 cách chia. 8 8
Câu 43. Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó
có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ? A. 3 2 C C . B. 3 2 A A . C. 3 2 A + A . D. 3 2 C + C . 10 8 10 8 10 8 10 8 Lời giải Chọn A
Số cách chọn ra 3 học sinh nam từ 10 học sinh nam là: 3 C . 10
Số cách chọn ra 2 học sinh nữ từ 8 học sinh nữ là: 2 C . 8
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là: 3 2 C C . 10 8
Câu 44. Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ. A. 6 . B. 16. C. 20 . D. 32. Lời giải Chọn B
Chọn 3 học sinh tùy ý từ nhóm 6 học sinh có: 3 C cách. 6
Chọn 3 học sinh nam từ 4 học sinh nam có: 3 C cách. 4
Do đó, số cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ là: 3 3
C − C =16 cách. 6 4
Câu 45. Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập, người ta tạo thành các đề
thi. Biết rằng một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất một câu lí thuyết và 1 câu bài tập. Hỏi có thể
tạo được bao nhiêu đề khác nhau. A. 100. B. 36. C. 96. D. 60 . Lời giải Chọn C
Trường hợp 1: 2 câu lí thuyết, 1 câu bài tập. Suy ra số đề tạo ra là 2 1
C .C = 36(đề) 4 6
Trường hợp 2: 1 câu lí thuyết, 2 câu bài tập. Suy ra số đề tạo ra là 1 2
C .C = 60 (đề) 4 6
Vậy có thể tạo được số đề khác nhau là: 36 + 60 = 96 (đề) Trang 10
Câu 46. Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu cách lập từ đó một tổ công tác 5 người
gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên: A. 420 cách. B. 120 cách. C. 252 cách. D. 360 cách. Lời giải Chọn A
Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng có 3 cách, 1 công nhân làm tổ phó có 7 cách và 3 công nhân làm tổ viên có 3 C cách. 6
Vậy số cách lập tổ công tác theo yêu cầu là: 3 3×7×C = 420 cách 6
Câu 47. Cô giáo chia 4 quả táo,3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu 1 quả). Hỏi có bao
nhiêu cách chia khác nhau? A. 120. B. 1260. C. 9. D. 24 . Lời giải Chọn B
Chọn nhóm 4 cháu để được chia táo thì có 4
C (cách). Khi đó có một cách chia táo để mỗi cháu 9
trong nhóm này được một quả táo.
Chọn nhóm 3 cháu để được chia cam trong các cháu còn lại thì có 3
C (cách). Khi đó có một cách 5
chia cam để mỗi cháu trong nhóm này được một quả cam.
Còn lại hai cháu và tương ứng có một cách chia cho mỗi cháu một quả chuối.
Số cách chia thỏa mãn bài toán là : 4 3
C .C .1 =1260 (cách). 9 5
Câu 48. Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự, mỗi ông bắt tay với một người trừ vợ mình, các bà
không ai bắt tay nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay. A. 234 . B. 312. C. 78. D. 185. Lời giải Chọn A
Số cái bắt tay của 13 cặp vợ chồng không có điều kiện gì là 2 C = 325. 26
Số cái bắt tay của 13 bà vợ với nhau là 2 C = 78. 13
Số cái bắt tay của 13 cặp vợ chồng với nhau (chồng bắt tay với vợ) là 13.
Số cái bắt tay thỏa mãn yêu cầu bài toán là 325 − 78 −13 = 234 .
Câu 49. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách chọn là A. 48 . B. 46 . C. 15. D. 64 . Lời giải Chọn B
Số cách chọn ra 3 người từ 8 người là: 3 C = 56 8
Số cách chọn ra 3 người không có nữ là 3 C =10 5
⇒ Số cách chọn ra 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ là: 56 −10 = 46 .
Câu 50. Một lớp học có 30 học sinh gồm 20 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học
sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ. A. 1140. B. 2920 . C. 1900. D. 900. Lời giải Chọn B
Số cách chọn ra 3 học sinh từ 30 học sinh: 3 C = 4060 (cách). 30
Số cách chọn ra 3 học sinh nam là: 3 C =1140 (cách). 20 Trang 11
Số cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ: 4060 −1140 = 2920 (cách).
Câu 51. Một hộp chứa 20 quả cầu khác nhau trong đó có 12 quả đỏ, 8 quả xanh. Hỏi có bao nhiêu cách
lấy được 3 quả trong đó có ít nhất 1 quả xanh? A. Đáp án khác. B. 220 . C. 900. D. 920. Lời giải Chọn D
Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ 20 quả là 3 C . 20
Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu mà không có quả cầu màu xanh là 3 C . 12
Vậy số cách lấy ra 3 quả cầu trong đó có ít nhất 1 quả màu xanh là 3 3
C − C = 920 (cách). 20 12
Câu 52. Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành
các đề thi. Biết rằng trong một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài
tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên? A. 60 . B. 96. C. 36. D. 100. Lời giải
TH1: chọn 2 câu lý thuyết và 1 câu bài tập có: 2 1 C .C cách. 4 6
TH1: chọn 1 câu lý thuyết và 2 câu bài tập có: 1 2 C .C cách. 4 6
Vậy số cách lập đề thỏa điều kiện bài toán là: 96 cách.
Câu 53. Ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 8 câu hỏi tự luận khác nhau. Hỏi có
thể lập được bao nhiêu đề thi sao cho mỗi đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 4 câu hỏi tự luận khác nhau. A. 10 4 C .C . B. 10 4 C + C . C. 10 4 A .A . D. 10 4 A + A . 15 8 15 8 15 8 15 8 Lời giải
Để lập được được một đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 4 câu hỏi tự luận khác
nhau ta thực hiện qua 2 giai đoạn.
Giai đoạn 1: Chọn 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau từ 15 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau có 10 C15 cách chọn.
Giai đoạn 2: Chọn 4 câu hỏi tự luận khác nhau từ 8 câu hỏi tự luận khác nhau có 4 C8 cách chọn. Theo quy tắc nhân có 10 4 C .C 15
8 cách lập đề thi.
Câu 54. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 4 em trực cờ
đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất phải có một nam? A. 4 4
C − C (cách). B. 4 C (cách). C. 1 3 C C (cách). D. 4 4 C + C (cách). 40 15 25 25 15 40 15 Lời giải
Số cách chọn 4 em tùy ý trong lớp: 4 C . 40
Số cách chọn 4 em nữ trong lớp: 4 C . 15
Số cách chọn 4 em trong đó ít nhất phải có một nam: 4 4 C − C . 40 15 Trang 12
Câu 55. Trong một buổi khiêu vũ có 20 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ? A. 2 C . B. 2 A . C. 2 1 C C . D. 1 1 C C . 38 38 20 18 20 18 Lời giải
Chọn một nam trong 20 nam có 1 C cách. 20
Chọn một nữ trong 18 nữ có 1 C cách. 18
Theo quy tắc nhân, số cách chọn một đôi nam nữ là 1 1 C C . 20 18
Câu 56. Một nhóm gồm 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 3 học
sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam. A. 245 . B. 3480. C. 336. D. 251. Lời giải
Chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ trong 13 học sinh tùy ý có 3 C cách. 13
Chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ trong 7 học sinh nữ có 3 C cách. 7
Vậy chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có 3 3 C − C = 251. 13 7
Câu 57. Có 10 quyển sách toán giống nhau, 11 quyển sách lý giống nhau và 9 quyển sách hóa giống
nhau. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng cho 15 học sinh có kết quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử
lần hai của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần thưởng là hai quyển sách khác loại? A. 7 3 C C . B. 6 4 C C . C. 3 4 C C . D. 2 C . 15 9 15 9 15 9 30 Lời giải
Có duy nhất một cách chia 30 quyển sách thành 15 bộ, mỗi bộ gồm hai quyển sách khác loại, trong đó có:
+ 4 bộ giống nhau gồm 1 toán và 1 hóa.
+ 5 bộ giống nhau gồm 1 hóa và 1 lí.
+ 6 bộ giống nhau gồm 1 lí và toán.
Số cách trao phần thưởng cho 15 học sinh được tính như sau:
+ Chọn ra 4 người (trong 15người) để trao bộ sách toán và hóa ⇒ có 4 C cách. 15
+ Chọn ra 5 người (trong 11 người còn lại) để trao bộ sách hóa và lí ⇒ có 5 C cách. 11
+ Còn lại 6 người trao bộ sách toán và lí ⇒ có 1 cách.
Vậy số cách trao phần thưởng là 4 5 6 4
C .C = C .C = 630630 (cách). 15 11 15 9
Câu 58. Có 6 học sinh lớp 12, 5 học sinh lớp 11 và 4 học sinh lớp 10. Số cách chọn ra ra 4 học sinh có đủ cả ba khối là A. 1365. B. 720. C. 280. D. 120. Lời giải Chọn B
Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối 12, 1 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10 ta có 2 1 1 C C C 6 5 4 cách.
Trường hợp 2: Chọn 1 học sinh khối 12, 2 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10 ta có 1 2 1 C C C 6 5 4 cách.
Trường hợp 3: Chọn 1 học sinh khối 12, 1 học sinh khối 11, 2 học sinh khối 10 ta có 1 1 2 C C C 6 5 4 cách.
Vậy ta có số cách chọn thoả mãn là 2 1 1 1 2 1 1 1 2
C C C + C C C + C C C = 720(cách). 6 5 4 6 5 4 6 5 4 Trang 13
Câu 59. Đội ca khúc chính trị của trường THPT Yên lạc 2 gồm có 4 học sinh khối 12, có 3 học sinh
khối 11 và 2 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh để biểu diễn tiết mục văn nghệ chào mừng
ngày 20 /11. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho khối nào cũng có học sinh được chọn. A. 102. B. 126. C. 100. D. 98.
Lời giải Chọn D
Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là 5 C =126. 9
Số cách chọn 5 học sinh gồm học sinh khối 10 hoặc khối 11 là 5 C =1. 5
Số cách chọn 5 học sinh gồm học sinh khối 11 hoặc khối 12 là 5 C = 21. 7
Số cách chọn 5 học sinh gồm học sinh khối 10 hoặc khối 12 là 5 C = 6. 6
Vậy số cách chọn 5 học sinh đủ ba khối là 126 −1− 21− 6 = 98.
Câu 60. Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có
đủ cả ba màu. Số cách chọn là: A. 840 B. 3843 C. 2170 D. 3003 Lời giải Chọn C Tổng số có 15 viên bi.
Số cách chọn 5 viên bi tùy ý: 5 C = 3003. 15
Số cách chọn 5 viên bi chỉ có một màu: 5 5 C + C = 7 6 7
Số cách chọn 5 viên bi chỉ có một hoặc hai màu(xanh+ đỏ; xanh + vàng; đỏ + vàng):
(Trong số cách chọn này có lặp lại số cách chọn bi một màu) 5 5 5
C + C + C − ( 5 5 C + C = 833. 11 10 9 6 5 )
Vậy số cách chọn 5 viên bi có đủ cả ba màu là: 3003−840 = 2170
Câu 61. Từ 20 câu trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó.người ta chọn ra 10 câu để
làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra? A. 176451. B. 176465. C. 176415. D. 6415. Lời giải Chọn A
Số cách chọn ra 10 câu bất kỳ trong số 20 câu 10 C 20
Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu dễ: 10 C 11
Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu khó: 10 C 16
Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu trung bình: 10 C 13
Như vậy: Số cách chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình và khó là: 10 10 10 10
C − C − C − C =176451 20 11 16 13
Câu 62. Đội thanh niên xung kích của một trường trung học phổ thông có 10 người, gồm 4 học sinh lớp
A , 3 học sinh lớp B , 3 học sinh lớp C . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh đi làm nhiệm vụ mà số
học sinh lớp B bằng số học sinh lớp C ? A. 36. B. 72. C. 144. D. 108. Lời giải Chọn B
Trường hợp 1: Lớp B và lớp C có 1 học sinh, lớp A có 3 học sinh. Khi đó, số cách chọn là 1 1 3
C ⋅C ⋅C = 36 . 3 3 4 Trang 14
Trường hợp 2: Lớp B và lớp C có 2 học sinh, lớp A có1 học sinh. Khi đó, số cách chọn là 2 2 1
C ⋅C ⋅C = 36 . 3 3 4
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách chọn 5 học sinh đi làm nhiệm vụ mà số học sinh lớp B bằng
số học sinh lớp C là 36 + 36 = 72cách.
Câu 63. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách lập ra một đội văn nghệ
gồm 6 người, trong đó có ít nhất 4 nam? A. 412.803. B. 2.783.638. C. 5.608.890. D. 763.806. Lời giải Chọn C
Trường hợp 1: Đội văn nghệ gồm 4 nam, 2 nữ có 4 2 C .C 30 15 (cách chọn).
Trường hợp 2: Đội văn nghệ gồm 5 nam, 1 nữ có 5 1 C .C 30 15 (cách chọn).
Trường hợp 3: Đội văn nghệ gồm 6 nam, 0 nữ có 6 C30 (cách chọn). Vậy có tổng cộng: 4 2 5 1 6
C .C + C .C + C = 5.608.809 cách lập thỏa yêu cầu bài toán. 30 15 30 15 30
Câu 64. Một bó hoa có 14 bông hoa gồm: 3 bông màu hồng, 5 bông màu xanh còn lại là màu vàng. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn 7 bông trong đó phải có đủ ba màu? A. 3058. B. 3060. C. 3432. D. 129. Lời giải Chọn A
Chọn 7 bông bất kì từ 14 bông có: 7 C = 3432 cách. 14
Chọn hai màu hồng, xanh có 3 4 2 5
C .C + C .C = 8 cách. 3 5 3 5
Chọn hai màu hồng, vàng có 3 4 2 5 1 6
C .C + C .C + C .C = 36 cách. 3 6 3 6 3 6
Chọn hai màu xanh, vàng có 5 2 4 3 3 4 2 5 1 6
C .C + C .C + C .C + C .C + C .C = 330 cách. 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6
Vậy có 3432 − (8 + 36 + 330) = 3058 cách
Câu 65. Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26 . Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 tấm thẻ.
Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm
thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị. A. 1771. B. 1350. C. 1768. D. 2024 . Lời giải Chọn D
Chọn ra 3 tấm thẻ bất kì từ 26 tấm thẻ có 3 C cách. 26
Chọn ra 3 tấm thẻ ghi số liên tiếp có 24 cách.
Chọn ra 3 tấm thẻ trong đó có đúng 2 tấm thẻ ghi số liên tiếp: 2.23+ 23.22 = 552 cách.
Số cách chọn ra 3 tấm thẻ thỏa yêu cầu bài toán là 3
C − 24 − 552 = 2024. 26
Giải thích: Nếu chọn được 2 số liên tiếp là 1,2 hoặc 25,26 thì có 23 cách chọn 1 số thứ ba.
Nếu chọn được hai số liên tiếp khác cặp số trên thì có 22 cách chọn 1 số thứ ba.
Câu 66. Một hộp chứa 16 quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 , năm quả cầu đỏ đánh số từ
1 đến 5 và năm quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 5. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó ba quả cầu vừa khác màu vừa khác số? A. 60 . B. 72 . C. 150. D. 80 . Lời giải Chọn D
Số cách chọn ba quả cầu khác màu là 1 1 1
C .C .C =150. 6 5 5
Số cách chọn ba quả cầu khác màu cùng một số là: 5cách chọn. Trang 15
Số cách chọn ba quả cầu khác màu nhưng có 2 quả cầu cùng số là: 5.5 + 5.4 + 5.4 = 65.
Vậy có 150 − (5 + 65) = 80
Câu 67. Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5quả cầu
từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh. A. 245 . B. 3480. C. 246 . D. 3360. Lời giải Chọn C
Lấy ngẫu nhiên 5quả cầu từ hộp 12 quả cầu, để số quả cẩu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh, những
trường hợp có thể xảy ra là
Trường hợp 1: 5cầu đỏ Số khả năng: 5 C =1khả năng. 5
Trường hợp 1: 4 cầu đỏ, 1 cầu xanh Số khả năng: 4 1 C .C = 35 khả năng. 5 7
Trường hợp 2: 3cầu đỏ, 2 cầu xanh Số khả năng: 3 2
C .C = 210 khả năng. 5 7
Áp dụng quy tắc cộng: có tất cả: 35 + 210 +1 = 246 khả năng.
Câu 68. Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có 8 giáo viên Toán gồm có 3 nữ và 5 nam, giáo viên Vật
lý thì có 4 giáo viên nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG gồm
3 người có đủ 2 môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn? A. 60 (cách). B. 120 (cách). C. 12960 (cách). D. 90 (cách). Lời giải
Vì chọn ra 3 người mà yêu cầu phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn nên số giáo viên
nữ được chọn chỉ có thể bằng 1 hoặc 2 . Ta xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: Chọn 1 giáo viên nữ: Có 1 C cách. Khi đó: 3
- Chọn 1 giáo viên nam môn Toán và 1 nam môn Vật lý: Có 1 1 C ×C cách. 5 4
- Chọn 2 giáo viên nam môn Vật lý: Có 2 C cách. 4 Trường hợp này có 1 C ( 1 1 2
C ×C + C cách chọn. 3 5 4 4 )
* Trường hợp 2: Chọn 2 giáo viên nữ: Có 2
C cách chọn. Khi đó chọn thêm 1 giáo viên nam môn 3 Vật lý: Có 1
C cách. Trường hợp này có 2 1
C ×C cách chọn. 4 3 4 Vậy tất cả có 1 C ( 1 1 2
C ×C + C ) 2 1
+ C ×C = 90 cách chọn. 3 5 4 4 3 4
Câu 69. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp
12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? A. 120. B. 98. C. 150. D. 360. Lời giải
 Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh 5 C cách. 9
 Số cách chọn 5 học sinh chỉ có 2 lớp: 5 5 5
C + C + C 7 6 5
Vậy số cách chọn 5 học sinh có cả 3 lớp là 5 C − ( 5 5 5
C + C + C = 98. 9 7 6 5 )
Câu 70. Trong kho đèn trang trí đang còn 5 bóng đèn loại I, 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác
nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại
I nhiều hơn số bóng đèn loại II? A. 246 . B. 3480. C. 245 . D. 3360. Trang 16 Lời giải
Có 3 trường hợp xảy ra:
TH1: Lấy được 5 bóng đèn loại I: có 1 cách
TH2: Lấy được 4 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II: có 4 1 C .C cách 5 7
TH3: Lấy được 3 bóng đèn loại I, 2 bóng đèn loại II: có 3 2 C .C cách 5 7 Theo quy tắc cộng, có 4 1 3 2
1+ C .C + C .C = 246 cách 5 7 5 7
Câu 71. Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho có một người được 2 đồ vật và
hai người còn lại mỗi người được ba đồ vật? A. 2 3 3!C C . B. 2 3 C C . C. 2 3 A A . D. 2 3 3C C . 8 6 8 6 8 6 8 6 Lời giải
Việc chia đồ vật trong bài toán được tiến hành theo các bước sau
- Bước 1: Chia 8 đồ vật thành 3nhóm đồ vật nhỏ ( một nhóm có 2 vật, hai nhóm còn lại mỗi nhóm có 3 đồ vật ), có 2 3 3 2 3
C C C = C C cách 8 6 3 8 6
- Bước 2 : Chia 3 nhóm đồ ở bước 1 cho 3 người,có 3! cách Vậy có 2 3 3!C C cách. 8 6
Câu 72. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó
có cả học sinh nam và học sinh nữ là? A. 545. B. 462 . C. 455. D. 456 . Lời giải
Chọn 5 học sinh bất kỳ từ tổ 11 học sinh có số cách chọn là 5 C . 11
Số cách chọn 5 học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là 5 5 C + C . 5 6
Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là 5 C − ( 5 5 C + C = 455. 11 5 6 )
Câu 73. Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh? A. 4249 . B. 4250 . C. 5005. D. 805 . Lời giải
Số cách chọn 6 học sinh bất kỳ trong 15 học sinh là 6 C = 5005. 15
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là 6 C =1 cách. 6
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và 11 là 6 C = 84 cách. 9
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và 12 là 6 6
C − C = 461 cách. 11 6
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và 12 là 6 6
C − C = 209 cách. 10 6
Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là
5005 −1−84 − 461− 209 = 4250 cách.
Câu 74. Bình A chứa 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng. Bình B chứa 4 quả cầu xanh, 3
quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng. Bình C chứa 5 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng. Từ mỗi bình
lấy ra một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để cuối cùng được 3 quả có màu giống nhau. A. 180. B. 150. C. 120. D. 60 . Lời giải
Trường hợp 1: Lấy được 3 quả cầu xanh từ 3 bình: Số cách lấy: 1 1 1 C C C = 60 (cách) 3 4 5
Trường hợp 2: Lấy được 3 quả cầu đỏ từ 3 bình: Số cách lấy: 1 1 1 C C C = 60 (cách) 4 3 5 Trang 17
Trường hợp 3: Lấy được 3 quả cầu trắng từ 3 bình: Số cách lấy: 1 1 1 C C C = 60 (cách) 5 6 2
Vậy có 60.3 =180 cách lấy được 3 quả cùng màu từ 3 bình.
Câu 75. Tổ 1 lớp 11A có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 học sinh
của tổ 1 để lao động vệ sinh cùng cả trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam? A. 600 . B. 25 . C. 325. D. 30. Lời giải
Trường hợp 1: Chọn 1 nam và 3 nữ.
Trường hợp 2: Chọn 2 nam và 2 nữ.
Trường hợp 3: Chọn 3 nam và 1 nữ.
Trường hợp 4: Chọn 4 nam.
Số cách chọn cần tìm là 1 3 2 2 3 1 4
C C + C C + C C + C = 325 cách chọn. 6 5 6 5 6 5 6
Câu 76. Một tổ có 5 bạn học sinh nam và 6 bạn học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 em đi trực
nhật.Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để có cả nam và nữ? A. 325. B. 415 . C. 810 . D. 135. Lời giải.
Từ 5 bạn học sinh nam và 6 bạn học sinh nữ chọn ngẫu nhiên 3 em có 3
C cách chọn. 11 Trong số 3
C cách chọn trên xảy ra trường họp sau: 11 Chỉ có nam có 3
C hoặc chỉ có nữ có 3
C hoặc có cả nam và nữ. 5 6
Vậy số cách chọn 3 học sinh để có cả nam và nữ là: 3 3 3
C − C − C =135. 11 5 6
Câu 77. Có hai đường thẳng song song (d ) và (d′) . Trên (d ) lấy 15 điểm phân biệt, trên (d′) lấy 9
điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu? A. 1485. B. 540. C. 1548. D. 950. Lời giải Chọn A Có 1 2
C .C = 540 tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 1 điểm thuộc (d ) và 2 điểm thuộc (d′) . 15 9 Có 2 1
C .C = 945 tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 2 điểm thuộc (d ) và 1 điểm thuộc (d′) . 15 9
Vậy có tất cả 1485 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 78. Cho đa giác đều 36 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 36 đỉnh của đa giác đều? A. 306. B. 153. C. 9. D. 58905. Lời giải Chọn B
Do đa giác đều 36 đỉnh có 18 đường chéo qua tâm.
Mặt khác cứ 2 đường chéo qua tâm ứng với một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác.
Vậy số hình chữ nhật là 2 C =153. 18
Bài toán tổng quát:
Do đa giác đều 2n (n∈,n ≥ 2) đỉnh có n đường chéo qua tâm.
Mặt khác cứ 2 đường chéo qua tâm ứng với một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác.
Vậy số hình chữ nhật là 2 C . n Trang 18
Câu 79. Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm O ? A. 4 C . B. 3. C. 4!. D. 4 A . 12 12 Lời giải Chọn A
Chọn đỉnh thứ nhất: có 12 cách chọn.
Chọn đỉnh thứ hai: có 11 cách chọn.
Chọn đỉnh thứ ba: có 11 cách chọn.
Chọn đỉnh thứ tư: có 9 cách chọn.
Vì một tứ giác không kể đến thứ tự của các đỉnh nên số tứ giác được tạo nên:
12×11×10×9 12×11×10×9×8! 12! 4 = = = C 4! 4!8! ( 4! 12 − 4) 12 !
Câu 80. Cho hai đường thẳng d và d song song với nhau. Trên d lấy 5 điểm phân biệt, trên d lấy 7 1 2 1 2
điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng d 1 và d . 2 A. 220 . B. 175. C. 1320. D. 7350 . Lời giải
TH1: Hai đỉnh thuộc d và một đỉnh thuộc d : Có 2 1 C C tam giác. 1 2 5 7
TH2: Hai đỉnh thuộc d và một đỉnh thuộc d : Có 2 1
C .C tam giác. 2 1 7 5
Vậy số tam giác được tạo thành là 2 1 2 1
C C + C .C =175 . 5 7 7 5
Câu 81. Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB , BC , CD , DA lần lượt lấy 1, 2 , 3 và n điểm phân
biệt n ≥ 3 (n∈) khác A , B , C , D . Tìm n biết số tam giác lấy từ n + 6 điểm trên là 439 .
A. n = 20.
B. n =12.
C. n = 8. D. n =10.
Lời giải Chọn D
Cách 1: Do mỗi tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng.
Trên cạnh CD chọn ra được 3
C bộ 3 điểm thẳng hàng. Trên cạnh DA chọn ra được 3 C bộ 3 3 n
điểm thẳng hàng. Do đó số tam giác tạo thành là 3 3 3 C − − . + C C n 6 n 3
Theo giả thiết ta có n 3 3 C − − =
. Sử dụng máy tính kiểm tra thấy n =10 thỏa mãn điều + C C n n 439 6 3 kiện đề bài. Cách 2:
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên AB và BC là 1 2 C .C =1. 1 2
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên AB và CD là 1 2 C .C = 3. 1 3
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên AB và AD là 1 2 2 C .C = C . 1 n n
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và DC là 1 2 2 1
C .C + C .C = 9. 2 3 2 3
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và AD là 1 2 2 1 2 1 C .C + C = + . n .Cn 2Cn 1C 2 2 n
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và AD là 1 2 2 1 2 1 C .C + C = + . n .Cn 3Cn 3C 3 3 n
Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và AD là 1 2 2 1 2 1 C .C + C = + . n .Cn 3Cn 3C 3 3 n
Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh AB , BC và CD là 1 1 1 C C C = 6 . 1 2 3
Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh AB , BC và DA là 1 1 1 1 C C C = C . n 2 1 2 n
Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh AB , CD và DA là 1 1 1 1 C C C = C . n 3 1 3 n Trang 19
Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh BC , CD và DA là 1 1 1 1 C C C = C . n 6 2 3 n
Vậy số tam giác tạo thành là: 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1
1+ 3+ C + + C + C + C + C + + C + C + C = + C + C = n 9 2 n n
3 n 3 n 6 2 n 3 n 6 n 19 6 n 15 n 439 n(n − ) 1 n =10 ⇔ 6 +15n = 420 2
⇔ 3n +12n − 420 = 0 ⇔ ⇔ n =10 . 2  n = 14( − l)
Câu 82. Cho một đa giác lồi (H) có 10 cạnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó là ba đỉnh của
(H), nhưng ba cạnh không phải ba cạnh của (H)? A. 40. B. 100. C. 60. D. 50. Lời giải Chọn D
Số tam giác được tạo thành từ 10 đỉnh của đa giác lồi (H) là: 3 C . 10
Xét trường hợp số tam giác chỉ chứa hai cạnh của đa giác, là số tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa
giác. Có 10 tam giác như vậy.
Xét trường hợp số tam giác chứa đúng một cạnh của đa giác, là số tam giác có 2 đỉnh là 2 đỉnh
liên tiếp của đa giác và đỉnh còn lại không kề với hai đỉnh kia. Khi đó, xét một cạnh bất kỳ ta có 1 C
cách chọn đỉnh còn lại của tam giác (trừ hai đỉnh đã chọn và hai đỉnh kề nó). Trường hợp 10−4 này có 1 10.C tam giác. 6
Vậy số tam giác không chứa cạnh của đa giác (H) là: 3 1
C −10 −10.C = 50 tam giác. 10 6
Câu 83. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấy 20 điểm phân biệt. Trên đường
thẳng thứ hai ta lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ ba điểm trong các điểm nói trên? A. 2 2 18C + 20C . 20C +18C . C . C .C . 20 18 B. 3 3 18 20 C. 338 D. 3 3 20 18 Lời giải Chọn A
Chọn 2 điểm trên đường thẳng thứ 2 và 1 điểm trên đường thẳng thứ nhất. Số tam giác được tạo
thành từ ba điểm trên là: 2 20C (tam giác). 18
Chọn 2 điểm trên đường thẳng thứ 1 và 1 điểm trên đường thẳng thứ hai. Số tam giác được tạo
thành từ ba điểm trên là: 2 18C (tam giác). 20
Vậy số tam giác được tạo thành theo ycbt là: 2 2 20C +18C . 18 20
Câu 84. Cho một đa giác đều 40 đỉnh A A ...A nội tiếp đường tròn (O) . Số tam giác có các đỉnh là 3 1 2 40
trong 40 đỉnh trên gấp bao nhiêu lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 40 đỉnh trên? A. 20. B. 4 . C. 52. D. 40 . 37 Lời giải Chọn C
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 40 đỉnh trên là: 3 C . 40
Đa giác đều đã cho có 40 đỉnh nên nó có 20 đường chéo đi qua tâm O. Mỗi hình chữ nhật thỏa đề
bài tương ứng với một tổ hợp chập 2 của 20 đường chéo này và ngược lại.
Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong 40 đỉnh của đa giác là: 2
C . Suy ra số tam giác gấp số 20 hình chữ nhật là: 3 2 C :C = 52. 40 20
Câu 85. Có hai đường thẳng song song (d ) và (d′) . Trên (d ) lấy 15 điểm phân biệt, trên Trang 20
(d′) lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu? A. 1485. B. 540. C. 1548. D. 950. Lời giải Chọn A Có 1 2
C .C = 540 tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 1 điểm thuộc (d ) và 2 điểm thuộc (d′) . 15 9 Có 2 1
C .C = 945 tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 2 điểm thuộc (d ) và 1 điểm thuộc (d′) . 15 9
Vậy có tất cả 1485 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 86. Cho một tam giác, trên ba cạnh của nó lấy 9 điểm như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu tam giác có ba
đỉnh thuộc 9 điểm đã cho? C3 B1 C2 C B 1 2 A1 A2 A3 A4 A. 79 . B. 48 . C. 55. D. 24 . Lời giải
Bộ 3 điểm bất kỳ được chọn từ 9 điểm đã cho có 3 C bộ. 9
Bộ 3 điểm không tạo thành tam giác có 3 3 C + C bộ. 3 4
Vậy số tam giác tạo thành từ 9 điểm đã cho có: 3 C − ( 3 3 C + C = 79 . 9 3 4 )
Câu 87. Cho một đa giác đều n đỉnh (n ≥ 2,n∈) . Tìm n biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh
trong số 2n đỉnh của đa giác đó là 45 . A. n =12 . B. n =10 . C. n = 9 . D. n = 45 . Lời giải
Do đa giác đều nên đa giác đó nội tiếp trong một đường tròn và có n đường chéo đi qua tâm O
của đường tròn. Chọn 2 đường chéo khác nhau đi qua tâm thì 4 đỉnh của đường chéo cho ta một
hình chữ nhật. Vậy có 2 C hình chữ nhật. n n n −1 2 ( )
Theo đề bài ta có: C = ⇔ = ⇔ n = . n 45 45 10 2
Câu 88. Cho đa giác đều A A A .
… A nội tiếp trong đường tròn (O) . Tính số hình chữ nhật có các đỉnh 1 2 3 30
là 4 trong 30 đỉnh của đa giác đó. A. 105. B. 27405 . C. 27406 . D. 106. Lời giải
Trong đa giác đều A A A .
… A nội tiếp trong đường tròn (O) cứ mỗi điểm A có một điểm A 1 2 3 30 1 i
đối xứng với A qua O ( A ≠ A ta được một đường kính, tương tự với A , A ,.., 1 A . Có tất cả i ) 1 2 3 30
15 đường kính mà các điểm là đỉnh của đa giác đều A A A .
… A . Cứ hai đường kính đó ta được 1 2 3 30
một hình chữ nhật mà bốn điểm là các đỉnh của đa giác đều: có 2
C =105 hình chữ nhật tất cả. 15
Câu 89. Cho đa giác đều 100 nội tiếp một đường tròn. Số tam giác từ được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là: Trang 21 A. 44100 . B. 78400 . C. 117600. D. 58800. Lời giải
Xét đường kính A A của đường tròn ngoại tiếp đa giác. Với điểm A có 2 2.C cách chọn hai 1 51 1 49
đỉnh thuộc cùng nửa đường tròn đường kính A A để tạo thành tam giác tù có góc A . Như vậy có 1 51 1 2
100.2.C tam giác, trong đó mỗi tam giác bị đếm hai lần. 49 Vậy số tam giác tù là 2 100.C =117600 . 49
Câu 90. Một đa giác lồi có 10 cạnh, xét các tam giác mà 3 đỉnh là đỉnh của đa giác. Hỏi trong số các tam
giác này có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh đều không phải là cạnh của đa giác? A. 60 . B. 70 . C. 120. D. 50. Lời giải
* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác là 3 C . 10
* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác:
Chọn 2 đỉnh kề nhau: có 10 cách chọn.
Chọn đỉnh còn lại không kề với 1 trong 2 đỉnh đã chọn: có 6 cách.
Vậy có 10.6 = 60 tam giác.
* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác
Chọn 2 cạnh kề nhau: có 10 cách.
Vậy số tam giác cần tìm là 3
C − 60 −10 = 50 tam giác. 10
Câu 91. Trên mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác
cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên. A. 2017.2018. B. 4 4 C + C . C. 2 2 C .C . D. 2017 + 2018. 2017 2018 2017 2018 Lời giải 1 j d 1 d i
Với hai đường thẳng bất kì từ 2017 đường thẳng d song song đã cho và với hai đường thẳng bất i
kì từ 2018 đường thẳng ∆ song song đã cho, xác định cho ta một hình bình hành. j
Vậy số hình bình hành nhiều nhất thỏa đề bài là 2 2 C .C . 2017 2018
Câu 92. Cho đa giác lồi có 40 cạnh. Mỗi đoạn thẳng đi qua hai đỉnh bất kì của nó mà không phải là cạnh
được gọi là một đường chéo của nó. Số giao điểm nằm bên trong đa giác (không trùng với đỉnh) được tạo ra
do các đường chéo của nó cắt nhau nhiều nhất là bao nhiêu? A. 91390. B. 273430 . C. 740 . D. 1520. Lời giải
Đa giác lồi có 40 cạnh sẽ có 40 đỉnh.
Số đường chéo của đa giác là: 2
C − 40 = 740 đường chéo. 40
Số giao điểm nằm bên trong đa giác (không trùng với đỉnh) được tạo ra do các đường chéo của nó
cắt nhau nhiều nhất là 2 C = 273430 . 740
Câu 93. Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt trong đó có 2 chữ
số lẻ và 2 chữ số chẵn? A. 144. B. 432. C. 696. D. 840. Trang 22 Lời giải Chọn B
+ Chọn 2 chữ số lẻ từ 7 chữ số đã cho có 2 C cách. 4
+ Chọn 2 chữ số chẵn từ 7 chữ số đã cho có 2 C cách. 3
+ Với 4 chữ số đã chọn ta xếp vào 4 vị trí có 4! cách. Do đó có 2 2
C .C .4!= 432 số. 4 3
Câu 94. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau trong
đó luôn có mặt hai chữ số 1 và 6. A. 408. B. 720. C. 480. D. 120. Lời giải Chọn C
Chọn 3 chữ số khác nhau từ các số trong tập hợp {2;3;4; } 5 : có 3 C cách; 4
Sau đó, sắp xếp 5 chữ số đã chọn: có 5! cách; Vậy có 3
C .5!= 480 số có 5 chữ số khác nhau và luôn có mặt số 1 và số 6. 4
Câu 95. Từ các chữ số của tập hợp {0;1;2;3;4; }
5 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi
một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 ? A. 120. B. 504. C. 720 . D. 480 . Lời giải Chọn D
Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau có dạng: a a a a a . 1 2 3 4 5
Chọn một số cho a ta có 5 cách chọn. 1
Tiếp theo ta bỏ số a và số 0 thì từ tập hợp đã cho chúng ta còn lại 4 số. Ta chọn 3 số từ 4 số 1 đó ta có 3 C cách chọn. 4
Chúng ta xếp số 0 và 3 số vừa mới chọn vào 4 vị trí a ,a ,a ,a ta được 4! cách xếp. 2 3 4 5
Chọn cho các số cho a ,a ,a ,a có mặt chữ số 0 ta có 3 C .4! cách chọn. 2 3 4 5 5
Số số tự nhiên thỏa yêu cầu đề bài có thể lập được là: 3 5.4!.C = 480 . 4
DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
Câu 96. Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5? A. 1 2 2 3 4 1+ 4C + 2017C + 2A + C + C . 2017 2017 2017 2017 2017 B. 2 3 4 5 1+ 2C + 2C + C + C . 2018 2018 2018 2018 C. 2 3 4 5 1+ 2A + 2A + A + C . 2018 2018 2018 2017 D. 2 1+ 2A + 2( 2 2 C + A ) + ( 3 3 C + A ) 4 + C . 2018 2017 2017 2017 2017 2017
Lời giải Chọn A.
Gọi a là số thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Như vậy các chữ số của a thỏa mãn các trường hợp sau: Trang 23
a chứa năm chữ số 1 và 2013 chữ số 0: 4 C 2017
a chứa ba chữ số 1, một chữ số 2 và 2014 chữ số 0: 3 2 C + 2015C 2017 2017
a chứa hai chữ số 1, một chữ số 3 và 2015 chữ số 0: 2 2 C + A 2017 2017
a chứa một chữ số1, một chữ số 4 và 2016 chữ số 0: 1 2C 2017
a chứa một chữ số 5 và 2017 chữ số 0: 1
a chứa một chữ số 1, hai chữ số 2 và 2015 chữ số 0: 2 2 C + A 2017 2017
a chứa một chữ số 2 , một chữ số 3 và 2016 chữ số 0: 1 2C 2017 Vậy có 1 2 3 4 2 1+ 4C + 2017C + C + C + 2A 2017 2017 2017 2017 2017
Câu 97. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 . B. 846000 . C. 907200. D. 151200. Lời giải
Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9) và sắp xếp chúng theo thứ tự có 5 A cách. 9
Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí).
Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 .
Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có 3 C cách. 5 Vậy có 5 3
A C =151200 số cần tìm. 9 5
Câu 98. Từ các chữ số của tập A = {0;1;2;3;4;5;6; }
7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong
đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số còn lại đôi một khác nhau? A. 31203. B. 12600. C. 181440. D. 27000 Lời giải Chọn D
*Ý tưởng: Đầu tiên, ta chọn 7 chữ số gồm 3 chữ số 2 và 4 chữ số bất kì từ tập {0;1;3;4;5;6; } 7 rồi
xếp vào 7 vị trí. Sau đó, ta trừ đi những trường hợp mà chữ số 0 đứng đầu.
Bước 1: Ta xếp 3 chữ số 2 vào 3 trong 7 vị trí ⇒Có 3 C cách. 7
Chọn 4 chữ số còn lại từ tập {0;1;3;4;5;6; }
7 và xếp vào 4 vị trí còn lại⇒ Có 4 A cách. 7
Bước 2: Chọn chữ số đầu tiên bên trái là 0.
Ta xếp 3 chữ số 2 vào 3 trong 6 vị trí còn lại ⇒ Có 3
C cách 3 chữ số còn lại có 3 A cách chọn. 6 6
Kết luận: tổng cộng có 3 4 3 3
C × A − C × A = 27000 số tự nhiên thỏa mãn đề bài. 7 7 6 6
Câu 99. Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang số ghế
chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong sáu bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế
chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để
thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó? A. 36. B. 180. C. 72 . D. 18. Lời giải
Xếp hai bạn vào ghế mang số chẵn có 2 A cách. 3
Xếp hai bạn vào ghế mang số lẻ có 2 A cách. 3
Số cách xếp hai bạn còn lại vào hai vị trí còn lại là 2! cách.
Vậy số cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó là 2 2
A .A .2!= 72 (cách). 3 3 Trang 24
Câu 100. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 . B. 846000 . C. 907200. D. 151200. Lời giải
Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9) và sắp xếp chúng theo thứ tự có 5 A cách. 9
Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí).
Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 .
Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có 3 C cách. 5 Vậy có 5 3
A C =151200 số cần tìm. 9 5
Câu 101. Từ tập A = {1;2;3;4; }
5 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số sao cho chữ số 2 xuất hiện 4
lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần. A. 120. B. 840 . C. 576. D. 1680. Lời giải
Chọn 4 trong 8 vị trí để xếp số 2 : có 4 C cách chọn. 8
Xếp các chữ số 1;3;4;5 vào 4 vị trí còn lại: có 4! cách chọn. Vậy có 4 C .4!=1680 (số). 8
Câu 102. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó 3 tem thư, 3 bì
thư và dán 3 tem thư đó ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? A. 1200. B. 1800. C. 1000. D. 200. Lời giải Chọn A Chọn 3 bì thư có 3 C . 6
Chọn 3 tem thư và dán nó vào 3 bì thư có 3 A . 5
Số cách chọn cần tìm là 3 3 C .A =1200 . 6 5
Câu 103. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa có khác nhau vào 5 lọ khác nhau sao cho mỗi lọ cắm không quá một bông? A. 3 A . B. 3!. C. 3 C . D. 2 A . 5 5 5 Lời giải
Chọn ra 3 lọ trong 5 lọ để cắm hoa. Số cách chọn lọ là: 3 C 5
Số cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ được chọn là: 3!
Số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ là: 3 3 C .3!= A . 5 5
Câu 104. Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A , B , C . Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên
một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. A. 4320 . B. 90. C. 43200 . D. 720 . Lời giải
Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng
trống và đưa 3giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán. Vậy tất cả có : 3 6!.A = 43200 cách. 5 Trang 25
Câu 105. Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang số ghế
chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong 6 bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế
chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để
thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó? A. 72 . B. 36. C. 18. D. 180. Lời giải Chọn A
Số cách chọn 2 vé cho hai bạn muốn ngồi ghế bên chẵn là 2 A . 3
Số cách chọn 2 vé cho hai bạn muốn ngồi ghế bên lẻ là 2 A . 3
Còn lại 2 vé cho hai bạn còn lại có 2! cách.
Vậy số cách chọn là: 2 2
A .A .2!= 72 cách. 3 3
Câu 106. Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật. A. 36 B. 18 C. 12 D. 72 Lời giải Chọn A
Có hai người mà mỗi người nhận một đồ vật và một người nhận hai đồ vật.
Chọn hai người để mỗi người nhận một đồ vật: có 2 C cách chọn. 3
Chọn hai đồ vật trao cho hai người: có 2 A cách chọn. 4
Hai đồ vật còn lại trao cho người cuối cùng. Vậy số cách chia là : 2 C . 2 A = 36 cách. 3 4
Câu 107. Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải
tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách
còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng. A. 24412 B. 23314. C. 32512. D. 24480. Lời giải Chọn D
Số cách lấy 5 cuốn sách và đem tặng cho 5 học sinh: 5
S = A = 30240 cách. 10
Số cách chọn sao cho không còn sách Đại số: 2
S = C .5!= 2520 cách 1 7
Số cách chọn sao cho không còn sách Giải tích: 1
S = C .5!= 720 cách 2 6
Số cách chọn sao cho không còn sách Hình học: 2
S = C .5!= 2520 cách. 3 7
Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán:: S − S − S − S = 24480 cách tặng. 1 2 3
Câu 108. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 . B. 846000 . C. 907200. D. 151200. Lời giải Chọn D
Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9) và sắp xếp chúng theo thứ tự có 5 A cách. 9
Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí).
Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 .
Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có 3 C cách. 5 Vậy có 5 3
A C =151200 số cần tìm. 9 5 Trang 26
Câu 109. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân
công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ? A. 12141421. B. 5234234. C. 4989600. D. 4144880 Lời giải Chọn C Có 4
C cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất 12
Với mỗi cách phân công trên thì có 4
C cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có 4 C cách phân 8 4
công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba.
Khi phân công nam xong thì có 3! cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó. Vậy có tất cả 4 4 4
C .C .C .3!= 4989600 cách phân công. 12 8 4
Câu 110. Có hai học sinh lớp ,
A ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao
cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp .
B Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ? A. 80640 . B. 108864. C. 145152. D. 217728 . Lời giải
Xét các trường hợp sau :
TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có 2!.8! cách.
TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có 1 2!.A .7! cách. 4
TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có 2 2!.A .6! cách. 4
TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có 3 2!.A .5! cách. 4
TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có 4 2!.A .4! cách. 4
Vậy theo quy tắc cộng có 2 ( 1 2 3 4
! 8!+ A 7!+ A 6!+ A 5!+ A 4! =145152 cách. 4 4 4 4 )
Câu 111. Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành
một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập
đội cờ đỏ. A. 141666. B. 241561. C. 111300. D. 131444. Lời giải Chọn C
Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm
1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau: • chọn 1 nữ và 4 nam.
+) Số cách chọn 1 nữa: 5 cách
+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: 2 A 15
+) Số cách chọn 2 nam còn lại: 2 C 13 Suy ra có 2 2
5A .C cách chọn cho trường hợp này. 15 13 • chọn 2 nữ và 3 nam. +) Số cách chọn 2 nữ: 2 C cách. 5
+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: 2 A cách. 15
+) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách. Suy ra có 2 2
13A .C cách chọn cho trường hợp này. 15 5 • Chọn 3 nữ và 2 nam. Trang 27 +) Số cách chọn 3 nữ: 3 C cách. 5
+) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: 2 A cách. 15 Suy ra có 2 3
A .C cách chọn cho trường hợp 3. 15 5 Vậy có 2 2 2 2 2 3
5A .C +13A .C + A .C =111300 cách. 15 13 15 5 15 5
Câu 112. Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp
hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng: A. 720 . B. 1440. C. 18720. D. 40320 . Lời giải Chọn C Ta dùng phần bù.
Sắp 8 người vào 8 vị trí theo hàng dọc có 8! cách sắp xếp.
Sắp ông và bà An vào 2 trong 6 vị trí (trừ vị trí đầu và cuối hàng) có 2 A cách. 6
Sắp 6 người con vào 6 vị trí còn lại có 6! cách. Vậy có 2
8!− A .6!=18720 cách sắp xếp. 6
Câu 113. Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ.
Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình
vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng? A. 4374 . B. 139968. C. 576. D. 15552. Lời giải Tô màu theo nguyên tắc:
Tô 1 ô vuông 4 cạnh: chọn 2 trong 3 màu, ứng với 2 màu được chọn có 6 cách tô. Do đó, có 2 6.C cách tô. 3
Tô 3 ô vuông 3 cạnh (có một cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 3 cách tô màu 1
trong 3 cạnh theo màu của cạnh đã tô trước đó, chọn 1 trong 2 màu còn lại tô 2 cạnh còn lại, có 1
3.C = 6 cách tô. Do đó có 3 6 cách tô. 2
Tô 2 ô vuông 2 cạnh (có 2 cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 2 cách tô màu 2 cạnh
(2 cạnh tô trước cùng màu hay khác nhau không ảnh hưởng số cách tô). Do đó có 2 2 cách tô. Vậy có: 2 3
6.C .6 .4 =15552 cách tô. 3
Câu 114. Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100° ? A. 3 2018.C . B. 3 C . C. 3 2018.C . D. 3 2018.C . 897 1009 895 896 Lời giải
Gọi A , A ,…, A là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh. 1 2 2018
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều A A ...A . 1 2 2018 Trang 28
Các đỉnh của đa giác đều chia (O) thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng 360° . 2018
Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của (O) .
Suy ra góc lớn hơn 100° sẽ chắn cung có số đo lớn hơn 200°.
Cố định một đỉnh A . Có 2018 cách chọn A . i i
Gọi A , A , A là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho  A A < ° thì i k 160 i j kA A A > ° và tam giác i j k 100
A A A là tam giác cần đếm. i j k     Khi đó 
A A là hợp liên tiếp của nhiều nhất 160 
 = 896 cung tròn nói trên. i k 360    2018 
896 cung tròn này có 897 đỉnh. Trừ đi đỉnh A thì còn 896 đỉnh. Do đó có 2 C cách chọn hai i 896 đỉnh A , A . j k Vậy có tất cả 2
2018.C tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. 896 Trang 29 Bài 4. NHỊ THỨC NEWTON
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
(a + b) = C a + C a b + C a b + C ab + C b 4 4 4 4 4 4 3 2 2 3 4
= a + 4a b + 6a b + 4ab + b 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
(a + b) = C a + C a b + C a b + C a b + C ab + C b 5 5 5 5 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5
= a + 5a b +10a b +10a b + 5ab + b
Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton ( + )n
a b ứng với n = 4;n = 5 .
Bằng cách như thế, ta có thể khai triển được ( + )n
a b với n là số nguyên dương lớn hơn 5 . Công thức khai
triển cụ thể được trình bày trong Chuyên đề học tập Toán 10 .
Ví dụ 1. Khai triển 4 (x +1) . Giải Ta có: 4 4 3 2 2 3 4
(x +1) = x + 4x ⋅1+ 6x ⋅1 + 4x⋅1 +1 4 3 2
= x + 4x + 6x + 4x +1.
Ví dụ 2. Khai triển 4 (x −1) . Giải Ta có: 4 4 4 3 2 2 3 4
(x −1) = [x + ( 1)
− ] = x + 4x ⋅( 1) − + 6x ⋅( 1) − + 4x ⋅( 1) − + ( 1) − 4 3 2
= x − 4x + 6x − 4x +1.
Ví dụ 3. Khai triển các biểu thức sau: a) 4 (x − 2y) b) 5 (3x − y) . Giải a) Ta có: 4 4 4 3 2 2 3 4
(x − 2y) = [x + ( 2
− y)] = x + 4x ( 2 − y) + 6x ( 2 − y) + 4x( 2 − y) + ( 2 − y) 4 3 2 2 3 4
= x −8x y + 24x y − 32xy +16y . b) Ta có: 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5
(3x − y) = [3x + (−y)] = (3x) + 5(3x) (−y) +10(3x) (−y) +10(3x) (−y) + 5(3x)(−y) + (−y) 5 4 3 3 2 2 3 4 5
= 243x − 405x y + 270x y − 90x y +15xy − y
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Khai triển nhị thức Newton sau ĐA STT Cho khai triển nhị thức sau Yêu cầu Số hạng tổng quát Số hạng thứ k 1 ( x + )7 3 5 Tìm số hạng tổng k 7−k k 7 T = Thứ 4 → k=3 → T + C 3 5 . −k x k 1 7 4 quát và số hạng thứ 4 2 ( − )9 1 5x Tìm số hạng tổng k T = − Các ý còn lại tương + C 1 k 5k. k x k 1 9 ( ) quát và số hạng thứ tự. 5 3 ( x − )18 2 1 Tìm số hạng tổng 18−k k k 18−k
quát và số hạng thứ T = − + C x k ( ) 2 1 2 . 1 18 9 4 ( − )6 6x y Tìm số hạng tổng k T = − + C
1 k 6 −k. −k x . k y k 1 6 ( ) 6 6 quát và số hạng thứ Trang 1 3 5 10  1 Tìm số hạng tổng k T = − + C 1 k . k x − k 1 10 ( ) 2 10 x −  x    quát và số hạng thứ 7 6 ( + )28 2 2x y Tìm số hạng tổng k 28−k 28−k 2 T = + C 2 .x . k y k 1 28 quát và số hạng thứ 25 7 ( x − y)30 2 4 Tìm số hạng tổng 30−k k k 30+k k
quát và số hạng thứ T = − + C x y k ( ) 2 1 2 . . 1 30 16 8 9  − 2 7k 36 x  Tìm số hạng tổng k k 9−k 6  − 
quát và số hạng thứ T = − + C x k 1 2 . 1 9 ( ) 3 2  x 2  8 12
Câu 2. Tìm hệ số của  1 8 x trong khai triển 1  +    x
Câu 3. Tìm hệ số của 21
x trong khai triển ( − )25 2 3x
Câu 4. Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau 10 a) 1 x  −  b) ( − )8 3 2x 2   
Câu 5. Tìm số hạng thứ tư trong khai triển (a − x)20 2
theo lũy thừa tăng dần của x .
Câu 6. Viết 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau 20 a) (  x − )12 1 3x b) ( − )9 1 2x c) 1  −  3    Câu 7. Tìm
a) Số hạng thứ 8 trong khai triển ( − )12 1 2x 9
b) Số hạng thứ 6 trong khai triển 2 x  −  2   
c) Số hạng thứ 12 trong khai triển ( − )15 2 x
Câu 8. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ( − )15 3 x xy
Câu 9. Tìm hệ số của: 1. Số hạng chứa 5
x trong khai triển: ( x − )12 2 1 . 10 2. Số hạng chứa 11
x trong khai triển:  2 1 x  −  . x    3. Số hạng chứa 7
x trong khai triển: ( + )14 2 x x . 4. Số hạng chứa 25 10
x .y trong khai triển: ( + )15 3 x xy .
Câu 10. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển sau: 12  2 1 x  +   1. 4  x  . Trang 2 6  2 1 x  −   2.  x  . 7  3 1 x  +  4  3.  x  . 10
Câu 11. Trong khai triển  3 1 2x  + 
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x . 2 x   
Câu 12. Tìm số hạng hữu tỷ của khai triển ( − )6 3 15
Câu 13. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển sau: 1. Tìm hệ số của 6
x trong khai triển của biểu thức: A = ( x − ) + (x + )7 11 2 2 1 1 . 2. Tìm hệ số của 3
x trong khai triển của biểu thức: A = (x + )10 + (x − )5 1 1 .
3. Khai triển P(x) dưới dạng: P(x) 2 = 0 a + 1 a x + 2 a x +... n + n a x a) Tìm hệ số 9 10 11 14 9
a : P(x) = (1+ x) + (1+ x) + (1+ x) +...+ (1+ x) . b) Tìm hệ số 2 3 20 15
a : P(x) = (1+ x) + 2(1+ x) + 3(1+ x) +...+ 20(1+ x) . 10
Câu 14. Cho khai triển:  1 2  10 + x = 0 a + 1 a x +...+   10
a x . Hãy tìm số hạng  3 3  k a lớn nhất.
Câu 15. Tìm hệ số của 8
x trong khai triển đa thức của:  2 1 x (1 x)8 + −   .
Câu 16. Khai triển đa thức P(x) = (1+ 2x)12 2 12 = 0 a + 1 a x + 2 a x +...+ 12 a x . Tìm max ( 0 a , 1 a , 2 a ,..., 12 a ).
Câu 17. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau: ( + )21 3 x xy a) . 20    4 1 x x  +  (   xy)2 3  b)   . 7
Câu 18. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển ( )  3 1 f x x  = +  với x > 0 . 4 x    10
Câu 19. Cho khai triển đa thức  1 2  2 10 + x = 0 a + 1 a x + 2 a x +...+   10
a x . Hãy tìm số hạng  3 3  k a lớn nhất.
Câu 20. Cho n số nguyên dương thỏa mãn 1 − 3 5 n
Cn = Cn . Tìm số hạng chứa 5
x trong khai triển nhị thức 14 2   niu tơn nx 1  −  , x ≠ 0  . 14 x   
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Số số hạng trong khai triển (x + )50 2 là A. 49 . B. 50. C. 52. D. 51.
Câu 2. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức ( x − )2018 2 3 A. 2019 . B. 2017 . C. 2018 . D. 2020 . Trang 3
Câu 3. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn ( − )5 x y . A. 5 4 3 2 2 3 4 5
x − 5x y +10x y −10x y + 5xy − y . B. 5 4 3 2 2 3 4 5
x − 5x y −10x y −10x y − 5xy + y . C. 5 4 3 2 2 3 4 5
x + 5x y +10x y +10x y + 5xy + y . D. 5 4 3 2 2 3 4 5
x + 5x y −10x y +10x y − 5xy + y .
Câu 4. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2019
(3− 2x) có bao nhiêu số hạng? A. 2019 . B. 2018 . C. 2020 . D. 2021.
Câu 5. Từ khai triển biểu thức (x + )10
1 thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là A. 1023. B. 512. C. 1024. D. 2048 .
Câu 6. Từ khai triển biểu thức (x + )10
1 thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là A. 1023. B. 512. C. 1024. D. 2048 .
Câu 7. Tính tổng các hệ số trong khai triển ( − )2018 1 2x . A. 1 − . B. 1. C. 2018 − . D. 2018 . Câu 8. Khai triển 4 124
( 5 − 7) . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên? A. 30. B. 31. C. 32. D. 33.
Câu 9. Trong khai triển nhị thức newton của 3 2018
P(x) = ( 2x + 3)
thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số
hạng có hệ số nguyên dương? A. 673. B. 675. C. 674. D. 672.
Câu 10. Trong khai triển (1− 2x)20 2 20
= a + a x + a x +...+ a x . Giá trị của a − a + a bằng 0 1 2 20 0 1 2 A. 801. B. 800. C. 1. D. 721.
Câu 11. Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức ( + )2019 3 5 3 5 ? A. 136. B. 403. C. 135. D. 134. 2019 1 1 1 1  
Câu 12. Trong khai triển của 15 3 3 5
x y + x y
, số hạng mà lũy thừa của x và y bằng nhau là số hạng  
thứ bao nhiêu của khai triển? A. 1348. B. 1346. C. 1345. D. 1347 . 9
Câu 13. Trong khai triển  8 x  + 
, số hạng không chứa x là 2 x    A. 40096. B. 43008. C. 512. D. 84. 8
Câu 14. Số hạng độc lập với x trong khai triển  3 2 x  −  là x    A. 1792. B. 792 . C. 972. D. 1972. 12
Câu 15. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  3 1 x  −  . x    A. − 220 . B. 220 . C. 924. D. −924 . Trang 4 30
Câu 16. Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức  2 x  +  là x    A. 20 2 . B. 20 10 2 C . C. 10 20 2 C . D. 20 C . 30 30 30 45
Câu 17. Số hạng không chứa x trong khai triển  1 x  −  là 2 x    A. 5 C . B. 5 C − . C. 15 C . D. 15 C − . 45 45 45 45 10
Câu 18. Số hạng không chứa x trong khai triển  2 x  +  là x    A. 5 C . B. 5 5 C − .2 . C. 5 C − . D. 5 5 C .2 . 10 10 10 10 7
Câu 19. Số hạng không chứa   x 1
trong khai triển 3 x +  là: 4   x A. 5. B. 35. C. 45. D. 7. 6
Câu 20. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  1 2x  −  , x ≠ 0 . 2 x    A. 240 . B. 15. C. 240 − . D. 15 − . 12
Câu 21. Số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức  1 2 A x  = −  là x    A. 924 − . B. 495 . C. 495 − . D. 924. 45
Câu 22. Số hạng không chứa  1
x trong khai triển x  −  là 2 x    A. 15 C C C − C − 45 . B. 3045. C. 545. D. 1545 . 5
Câu 23. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2 1 x  +  . 3 x    A. 10. B. 20 . C. 5. D. 1. Chọn A 7
Câu 24. Số hạng không chứa   x 1
trong khai triển 3 x +  là 4   x A. 5. B. 35. C. 45. D. 7. 30  
Câu 25. Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 2 x     là  x  A. 20 2 . B. 20 10 2 .C . C. 10 20 2 .C . D. 20 C . 30 30 30
Câu 26. Cho khai triển (1− 2x)20 2
= a + a x + a x ++ a x . Giá trị của + + ++ bằng: 0 1 2 20 20 a a a a 0 1 2 20 A. 1. B. 20 3 . C. 0 . D. 1 − . 12
Câu 27. Hệ số của số hạng chứa 7  2 
x trong khai triển nhị thức x −  là: x x    A. 376. B. 264 − . C. 264 . D. 260 . Trang 5 13
Câu 28. Tìm hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển nhị thức  1 x  +  ,. x    A. 1716. B. 68. C. 176. − D. 286. 40
Câu 29. Hệ số của 31
x trong khai triển  1 x  + , x ≠   0 là. 2  x A. 4 C . B. 2 C . C. 3 C . D. 5 C . 40 40 40 40 4
Câu 30. Hệ số lớn nhất trong khai triển  1 3 x +  4 4    A. 27 . B. 9 . C. 27 . D. 27 . 128 32 32 64 n Câu 31. (1+ 2x) Cho biết hệ số của 2
x trong khai triển
bằng 180.Tìm n .
A. n = 8.
B. n =12 .
C. n =14 .
D. n =10 . 7
Câu 32. Tìm hệ số h của số hạng chứa 5
x trong khai triển  2 2 x  +  . x    A. h = 84. B. h = 672 . C. h = 560 . D. h = 280 . 15
Câu 33. Hệ số của số hạng chứa 6
x trong khai triển Newton  2 x  −  là 2 x    A. 3640 − . B. 3640. C. 455. D. 1863680 −
Câu 34. Tìm hệ số của 25 10
x y trong khai triển (x + xy)15 3 . A. 58690. B. 4004. C. 3003. D. 5005. 6
Câu 35. Cho khai triển  2 x  + 
với x > 0 . Tìm hệ số của số hạng chứa 3
x trong khai triển trên x    A. 80. B. 160. C. 240 . D. 60 . 6
Câu 36. Cho khai triển  2 x  + 
với x > 0 . Tìm hệ số của số hạng chứa 3
x trong khai triển trên x    A. 80. B. 160. C. 240 . D. 60 .
Câu 37. Biết hệ số của 2
x trong khai triển của (1−3 )n
x là 90. Tìm n . A. n = 7 . B. n = 6 . C. n = 8. D. n = 5.
Câu 38. Số hạng thứ 13 trong khai triển ( − )15 2 x bằng? A. 13 3640x . B. 12 3640x . C. 12 −420x . D. 3640. 9
Câu 39. Tìm số hạng chứa 3
x trong khai triển  1 x  −  . 2x    A. 1 3 3 − C x . B. 1 3 3
C ⋅ x . C. 3 3 C − ⋅ x . D. 3 3 C x . 9 8 9 8 9 9 13
Câu 40. Tìm số hạng chứa 7
x trong khai triển  1 x  −  . x    A. 3 C − . B. 3 7 C − x . C. 4 7 C − x . D. 4 C − . 13 13 13 13 Trang 6 40
Câu 41. Tìm số hạng chứa 31
x trong khai triển  1 x  +  ? 2 x    A. 4 31 C x . B. 37 31 Cx . C. 37 31 C x . D. 3 31 C x . 40 40 40 40 40
Câu 42. Số hạng chứa 34
x trong khai triển  1 x  +  là x    A. 37 34 C − x . B. 3 34 C x . C. 2 34 C x . D. 4 34 C x . 40 40 40 40
Câu 43. Biết hệ số của số hạng chứa 2
x trong khai triển (1+ 4 )n
x là 3040. Số tự nhiên n bằng bao nhiêu? A. 28 . B. 26 . C. 24 . D. 20 .
Câu 44. Biết hệ số của 2
x trong khai triển của (1− 3 )n
x là 90. Tìm n . A. n = 5. B. n = 8. C. n = 6 . D. n = 7 .
Câu 45. Cho biết hệ số của 2
x trong khai triển (1+ 2 )n
x bằng 180. Tìm n . A. n =12 . B. n =14 . C. n = 8. D. n =10 . 5
Câu 46. Tìm hệ số của số hạng chứa 10
x trong khai triển của biểu thức  3 2 3x  −  . 2 x    A. 810 − . B. 826 . C. 810 . D. 421. 40
Câu 47. Tìm hệ số của số hạng chứa 31
x trong khai triển  1 x  +  . 2 x    A. 37 C . B. 31 C . D. 2 40 C . C. 4 C . 40 40 40 6
Câu 48. Trong khai triển  2 x  +  , hệ số của 3
x (x > 0) là: x    A. 80 . B. 160. C. 240 . D. 60 .
Câu 49. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 0 1 2 2
C + 2.C + 2 .C +...+ 2 .n n C =
. Biết số hạng thứ 3 trong n n n n 59049
khai triển Newton của  2 3 n x  − 
có giá trị bằng 81n . Khi đó giá trị của x bằng x    2 A. 1 B. 2 . C. 1 ± D. 2 ± . n
Câu 50. Cho nhị thức  2 1 2x  + 
, trong đó số nguyên dương n thỏa mãn 3
A = n . Tìm số hạng chứa n 72 3 x    5 x trong khai triển. A. 6 4 5 2 C x . 2 C x . 2 C x . 2 C x . 10 B. 5 5 5 10 C. 7 3 5 10 D. 6 7 5 10 n
Câu 51. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  2 3 2x  − 
(x ≠ 0) , biết rằng x    1 2 3
1.C + 2.C + 3.C +...+ . n n C = n ( k
C là số tổ hợp chập k của n phần tử). n n n n 256 n A. 489888 B. 49888 . C. 48988 . D. 4889888 .
Câu 52. Cho khai triển (1+ 3x)n 1 = a + a x +... n
+ a x trong đó n∈* và các hệ số thỏa mãn hệ thức 0 1 n a a 1 a + +... n +
= 4096. Tìm hệ số a lớn nhất. 0 3 3n i A. 1732104. B. 3897234. C. 4330260. D. 3247695. Trang 7 3 1 +
Câu 53. Tìm hệ số của 6
x trong khai triển  1 n 3 x  + 
với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn x    2 2 3C + = + nP A n 4 n . 1 2 A. 6 210x . B. 210. C. 6 120x . D. 120. n
Câu 54. Tìm hệ số của số hạng chứa 6
x trong khai triển  2 3 2x  − 2 14 1 
(x ≠ 0), biết rằng + = ( k C x    2 3 C C n n n 3 n
là số tổ hợp chập k của n phần tử). A. 326592. B. 3265922 C. 3265592 D. 32692. n
Câu 55. Tìm số hạng chứa 26
x trong khai triển  1 7  +  x
biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức 4   x  1 2 n 20 C + C + + C = − . n+ n+ ... n+ 2 1 2 1 2 1 2 1 A. 325. B. 210 . C. 200 . D. 152.
Câu 56. Với n là số tự nhiên thỏa mãn n−6 2 C + =
, hệ số của số hạng chứa 4
x trong khai triển nhị − nA n n 454 4 thức Niu-tơn của  2 n 3 x  −  x    bằng A. 1972. B. 786 . C. 1692. D. 1792 − .
Câu 57. Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3
C + C = n , hệ số của số hạng chứa 5 x trong khai triển n n 13
của biểu thức  2 1 n x  +  bằng. 3 x    A. 120. B. 252 . C. 45 . D. 210 .
Câu 58. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 2 2 1
A = C + C + n + . Hệ số của số hạng chứa 9 x của khai n n n 4 6
triển biểu thức ( )  2 3 n P x x  = +  bằng: x    A. 18564. B. 64152 . C. 192456. D. 194265.
Câu 59. Biết n là số nguyên dương thỏa mãn n 1− n−2 C + C = , số hạng chứa 8 x trong khai triển n n 78  3 2 n x  −  là x    A. 8 101376 − x . B. 101376 − . C. 112640 − . D. 8 101376x .
Câu 60. Với n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 3C − =
− . Trong khai triển biểu thức + A n n 3 n 52 1 1 ( ) ( 3 2 + 2 )n x y
, gọi T là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của T là k k A. 54912 . B. 1287 . C. 2574 . D. 41184 .
Câu 61. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2
5C − C = . Tìm hệ số a của 4
x trong khai triển của biểu n n 5 n thức  1 2x  +  . 2 x   
A. a =11520 . B. a = 256 .
C. a = 45 .
D. a = 3360 . 2n
Câu 62. Với n là số nguyên dương thỏa mãn n−2 3 3A + C = . Hệ số của 6
x trong khai triển  1  2x  − là n n 40 x    A. 1024. B. 1024 − . C. 1042 − . D. 1042. Trang 8
Câu 63. Với n là số nguyên dương thoả mãn 2 1 A + C =
, số hạng không chứa x trong khai triển của n 3 n 120 biểu thức  4 3 n x  −  bằng x    A. 295245 . B. 245295 . C. 292545 . D. 259254 . 2n
Câu 64. Tìm hệ số của số hạng chứa 8
x trong khai triển nhị thức Niutơn của  n x  + ,(x ≠   0), biết số  2x 2 
nguyên dương n thỏa mãn 3 2 C + A = n n 50. A. 97 . B. 29 . C. 297 . D. 279 . 12 51 512 215 n
Câu 65. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  2 3 2x  − 
(x ≠ 0) , biết rằng x    1 2 3
1.C + 2.C + 3.C +... n + nC = n ( k
C là số tổ hợp chập k của n phần tử). n n n n 256 n A. 489888 . B. 49888 . C. 48988 . D. 4889888 .
Câu 66. Giả sử có khai triển (1− 2x)n 2
= a + a x + a x +... n + a x . Tìm + + = 0 1 2 a a a 71. n a biết 5 0 1 2 A. 672 − . B. 672 . C. 627 . D. 627 − .
Câu 67. Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 2 3 A − C =
, tìm hệ số a của số hạng chứa 5 x n n 10 5
trong khai triển  2 2 n x  −  với x ≠ 0 . 3 x    A. a =10 . B. 5 a = 10 − x . C. 5 a =10x . D. a = 10 − . 5 5 5 5
Câu 68. Tìm hệ số của 5
x trong khai triển ( + )2 1 3 n x biết 3 2 A + A = n 2 n 100 A. 61236 . B. 63216 . C. 61326 . D. 66321.
Câu 69. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n 0 n 1 − 1 n−2 2
3 C − 3 C + 3 C −.....+ (− ) 1 n n C = . Hệ số của n n n n 2048 10 x trong khai triển ( 2)n x + là: A. 11264. B. 22 . C. 220 . D. 24 . n
Câu 70. Trong khai triển  2 1 3x  +  biết hệ số của 3 x là 4 5
3 C . Giá trị n có thể nhận là x    n A. 9. B. 12. C. 15. D. 16. n
Câu 71. Hệ số của số hạng chứa 8
x trong khai triển  1 5 x  + ; x >   0 biết n 1+ n C − = + là + C + n n n 7 3 4 3 ( ) 3 ( )  xA. 1303. B. 313. C. 495 . D. 13129. n
Câu 72. Tìm hệ số của 4  1 
x trong khai triển nhị thức Newton 2x + 
với x > 0 , biết n là số tự nhiên 5 x    lớn nhất thỏa mãn 5 4 A ≤ A . n 18 n−2 A. 8064 . B. 3360. C. 13440. D. 15360.
Câu 73. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2 1 n x  −  biết 2 2 A − C = . n n 105 x    A. 3003 − . B. 5005 − . C. 5005. D. 3003. Trang 9
Câu 74. Tìm hệ số của 5
x trong khai triển thành đa thức của ( − )2 2 3 n
x , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: 0 2 4 2 C + + + + = . + C + C + ... n C n n n n+ 1024 2 1 2 1 2 1 2 1 A. 2099529 . B. 2099520 − . C. 1959552 − . D. 1959552.
Câu 75. Biết n là số nguyên dương thỏa mãn n 1− n−2 C + C = , số hạng chứa 8 n n 78 x trong khai triển  3 2 n x  −  là x    A. 8 101376 − x . B. 101376 − . C. 112640 − . D. 8 101376x . n
Câu 76. Tìm số hạng chứa 5
x trong khai triển  2 x  − 4 
 , biết n là số tự nhiên thỏa mãn 3 2
C = n + C n 2  x  3 n A. 134 B. 144 C. 115 D. 141
Câu 77. Tìm hệ số không chứa x trong khai triển  3 2 n x  − 
, biết n là sô nguyên dương thỏa mãn x    n 1 − n−2 C + C = . n n 78 A. 112640. B. 112643. C. 112640 − . D. 112643 − . 10  + − 
Câu 78. Cho biểu thức x 1 x 1 P =  −
 với x > 0 , x ≠ 1. Tìm số hạng không chứa x trong 3 2 3
x − x +1 x − x
khai triển Niu-tơn của P . A. 200 . B. 160. C. 210 . D. 100. 9
Câu 79. Số hạng không chứa x trong khai triển f (x)  2 x  = − 
 , x ≠ 0 bằng 2  x A. 5376. B. 5376 − . C. 672 . D. 672 − . 14
Câu 80. Số hạng không chứa x trong khai triển của  3 2 x  −  với x > 0 là: 4 x    A. 6 8 2 C . B. 6 6 2 C . C. 8 8 2 C . D. 8 8 2 − C . 14 14 14 14 11
Câu 81. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 11  1 x x  +  với x > 0 . 5 x    A. 485 . B. 238 . C. 165. D. 525.
Câu 82. Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 C + C = , số hạng không chứa n n 55
x trong khai triển của biểu thức  3 2 n x  +  bằng 2 x    A. 13440 B. 3360 C. 80640 D. 322560 n  
Câu 83. Tìm số hạng không chứa 1
x trong khai triển của x  x    
vớix  0, nếu biết rằngn là số 4  x  nguyên dương thỏa mãn 2 1 C C  44 . n n A. 485. B. 525. C. 165. D. 238
Câu 84. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của  1 n x x  + 
, với x > 0 , nếu biết rằng 4 x    2 1 C − C = . n n 44 Trang 10 A. 165. B. 238 . C. 485 . D. 525. 2n
Câu 85. Số hạng không chứa x trong khai triển  3 2x  − 
với x ≠ 0 , biết n là số nguyên dương thỏa 3 x    mãn 3 2
C + n = A là: n 2 n 1 + A. 12 4 12 C − .2 .3 . B. 0 16 C .2 . C. 12 4 12 C .2 .3 . D. 16 0 C .2 . 16 16 16 16
Câu 86. Với số nguyên dương n thỏa mãn 2 C − n = , trong khai triển  2 nx  +
số hạng không chứa x n 27 2 x    là A. 84. B. 672 . C. 8 . D. 5376.
Câu 87. Cho khai triển (1−3x + 2x )2017 2 2 4034
= a + a x + a x +...+ a x . Tìm a . 0 1 2 4034 2 A. 9136578 B. 16269122. C. 8132544 . D. 18302258.
Câu 88. Tìm hệ số của 7
x trong khai triển f (x) = ( − x + x )10 3 1 3 2 thành đa thức. A. 204120 . B. 262440 − . C. 4320 − . D. 62640 − .
Câu 89. Cho khai triển (3− 2x + x )9 2 18 17 16
= a x + a x + a x +...+ a . Giá trị a bằng 0 1 2 18 15 A. 218700 . B. 489888 . C. 804816 − . D. 174960 − . 9
Câu 90. Tìm hệ số của 3  1
x sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của 2 x 2x  − +  , x ≠ 0 . x    A. 2940 − . B. 3210. C. 2940 . D. 3210 − .
Câu 91. Hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển (x − x + )6 2 3 2 bằng A. 6432 − . B. 4032 − . C. 1632 − . D. 5418 − .
Câu 92. Tìm hệ số của số hạng chứa 5
x trong khai triển ( + + + )10 2 3 1 x x x . A. 582. B. 1902. C. 7752 . D. 252 .
Câu 93. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 0 1 2
3C + 4C + 5C +...+ (n + 3) n C = n n n n
3840 .Tổng tất cả các hệ số của
các số hạng trong khai triển 2 3 (1+ − + )n x x x là A. 10 4 . B. 9 4 . C. 10 2 . D. 9 2 .
Câu 94. Giả sử (1+ x + x + x +...+ x )11 2 3 10 2 3 110
= a + a x + a x + a x +...+ a x với a a a a 0 , 1, 2 ,…, 110 là 0 1 2 3 110 0 1 2 3 10 11
các hệ số. Giá trị của tổng T = C a − C a + C a − C a +...+ C a − C a 11 11 11 10 11 9 11 8 11 1 11 0 bằng A. T = 11 − . B. T =11. C. T = 0 . D. T =1. 18
Câu 95. Sau khi khai triển và rút gọn thì 12  2 1
P(x) (1 x) x  = + + + 
có tất cả bao nhiêu số hạng x    A. 27 . B. 28 . C. 30. D. 25
Câu 96. Cho đa thức P(x) = (x − )2017 + ( − x)2018 2 3 2 2018 2017 = a x + a x
+ ...+ a x + a . Khi đó 2018 2017 1 0 S = a + a
+ ...+ a + a bằng 2018 2017 1 0 A. 0 . B. 1. C. 2018 . D. 2017 . Trang 11 12 21
Câu 97. Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức f (x)  2 3   3 1 x 2x  = + + +   
thì f (x) có bao nhiêu 2 x x      số hạng? A. 30. B. 32. C. 29 . D. 35.
Câu 98. Tìm hệ số của 5
x trong khai triển P(x) = (x + )6 + (x + )7 + + (x + )12 1 1 ... 1 . A. 1716. B. 1715. C. 1287 . D. 1711.
Câu 99. Cho đa thức: P(x) = ( + x)8 + ( + x)9 + ( + x)10 + ( + x)11 + ( + x)12 1 1 1 1 1
. Khai triển và rút gọn ta được đa thức: P(x) 2 12
= a + a x + a x +...+ a x . Tìm hệ số a . 0 1 2 12 8 A. 720 . B. 700 . C. 715. D. 730 .
Câu 100. Cho đa thức P(x) = ( + x)8 + ( + x)9 + ( + x)10 + ( + x)11 + ( + x)12 1 1 1 1 1
. Khai triển và rút gọn ta được đa thức P(x) 12
= a + a x +...+ a x . Tính tổng các hệ số a , 0 1 12 i = 0; 1; 2; ...; 12. i A. 5. B. 7936 . C. 0 . D. 7920 .
Câu 101. Tìm hệ số của số hạng chứa 9
x trong khai triển nhị thức Newton ( + x)( + x)11 1 2 3 . A. 4620 . B. 1380. C. 9405. D. 2890 .
Câu 102. Cho khai triển (1+ 2x)10 ( 2 3+ 4x + 4x )2 2 14
= a x + a x + a x ++ a x . Tìm giá trị của a . 0 1 2 14 6 A. 482496 . B. 529536. C. 278016 . D. 453504 . 4
Câu 103. Hệ số của 6
x trong khai triển ( x )6  2 1 2 1 x x  + + +  thành đa thức là 4    1 A. 6 C 1 14 . B. 6 C . C. 6 C . D. 8 4C . 2 14 4 14 14
Câu 104. Hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức x( x − )6 + (x − )8 2 1 3 bằng A. 1752 B. 1272 − C. 1272 D. 1752 −
Câu 105. Hệ số của 5 x 6 8
trong khai triển x(3x − ) 1 + (2x − ) 1 bằng A. 3007 − B. 577 − C. 3007 D. 577
Câu 106. Hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức 6 8
x(x − 2) + (3x −1) bằng A. 13548 − B. 13668 C. 13668 − D. 13548
Câu 107. Hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức x( x − )6 + ( x − )8 2 1 3 1 bằng A. 13848 B. 13368 C. 13848 − D. 13368 −
Câu 108. Hệ số của 5
x trong khai triển x(x − )6 + ( x − )8 2 3 1 bằng A. 13548 − . B. 13548. C. 13668 − . D. 13668.
Câu 109. Tìm hệ số của 5 10 5
x trong khai triển đa thức f x  x   x  2 1
x 1  2x . A. 965. B. 263. C. 632. D. 956.
Câu 110. Tìm hệ số của 5
x trong khai triển P(x) = x( − x)5 2 1 2 + x (1+ 3x)10 . A. 3240. B. 3320. C. 80. D. 259200 . Trang 12
Câu 111. Khai triển đa thức Px12x12 12
a a x ... a x . Tìm hệ số a 0  k 12 lớn nhất trong 0 1 12 k khai triển trên. A. 8 8 C 2 . B. 9 9 C 2 . C. 10 10 C 2 . D. 8 8 1C 2 . 12 12 12 12
Câu 112. Hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển P(x) = ( + x )12 2 1 2 thành đa thức là A. 162270. B. 162720. C. 126270. D. 126720. Trang 13 Bài 4. NHỊ THỨC NEWTON
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
(a + b) = C a + C a b + C a b + C ab + C b 4 4 4 4 4 4 3 2 2 3 4
= a + 4a b + 6a b + 4ab + b 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
(a + b) = C a + C a b + C a b + C a b + C ab + C b 5 5 5 5 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5
= a + 5a b +10a b +10a b + 5ab + b
Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton ( + )n
a b ứng với n = 4;n = 5 .
Bằng cách như thế, ta có thể khai triển được ( + )n
a b với n là số nguyên dương lớn hơn 5 . Công thức khai
triển cụ thể được trình bày trong Chuyên đề học tập Toán 10 .
Ví dụ 1. Khai triển 4 (x +1) . Giải Ta có: 4 4 3 2 2 3 4
(x +1) = x + 4x ⋅1+ 6x ⋅1 + 4x⋅1 +1 4 3 2
= x + 4x + 6x + 4x +1.
Ví dụ 2. Khai triển 4 (x −1) . Giải Ta có: 4 4 4 3 2 2 3 4
(x −1) = [x + ( 1)
− ] = x + 4x ⋅( 1) − + 6x ⋅( 1) − + 4x ⋅( 1) − + ( 1) − 4 3 2
= x − 4x + 6x − 4x +1.
Ví dụ 3. Khai triển các biểu thức sau: a) 4 (x − 2y) b) 5 (3x − y) . Giải a) Ta có: 4 4 4 3 2 2 3 4
(x − 2y) = [x + ( 2
− y)] = x + 4x ( 2 − y) + 6x ( 2 − y) + 4x( 2 − y) + ( 2 − y) 4 3 2 2 3 4
= x −8x y + 24x y − 32xy +16y . b) Ta có: 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5
(3x − y) = [3x + (−y)] = (3x) + 5(3x) (−y) +10(3x) (−y) +10(3x) (−y) + 5(3x)(−y) + (−y) 5 4 3 3 2 2 3 4 5
= 243x − 405x y + 270x y − 90x y +15xy − y
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Khai triển nhị thức Newton sau ĐA STT Cho khai triển nhị thức sau Yêu cầu Số hạng tổng quát Số hạng thứ k 1 ( x + )7 3 5 Tìm số hạng tổng k 7−k k 7 T = Thứ 4 → k=3 → T + C 3 5 . −k x k 1 7 4 quát và số hạng thứ 4 2 ( − )9 1 5x Tìm số hạng tổng k T = − Các ý còn lại tương + C 1 k 5k. k x k 1 9 ( ) quát và số hạng thứ tự. 5 3 ( x − )18 2 1 Tìm số hạng tổng 18−k k k 18−k
quát và số hạng thứ T = − + C x k ( ) 2 1 2 . 1 18 9 4 ( − )6 6x y Tìm số hạng tổng k T = − + C
1 k 6 −k. −k x . k y k 1 6 ( ) 6 6 quát và số hạng thứ Trang 1 3 5 10  1 Tìm số hạng tổng k T = − + C 1 k . k x − k 1 10 ( ) 2 10 x −  x    quát và số hạng thứ 7 6 ( + )28 2 2x y Tìm số hạng tổng k 28−k 28−k 2 T = + C 2 .x . k y k 1 28 quát và số hạng thứ 25 7 ( x − y)30 2 4 Tìm số hạng tổng 30−k k k 30+k k
quát và số hạng thứ T = − + C x y k ( ) 2 1 2 . . 1 30 16 8 9  − 2 7k 36 x  Tìm số hạng tổng k k 9−k 6  − 
quát và số hạng thứ T = − + C x k 1 2 . 1 9 ( ) 3 2  x 2  8 Lời giải
Khai triển nhị thức Newton sau 1. ( x + )7 3 5
Theo công thức nhị thức Newton ta có ( 7 x + )7 3 5 7−k k 7 = ∑ k C 3 5 . −k x 7 k=0 Số hạng tổng quát 7− 7 T = k k k k C x k+ 3 5 . − 1 7 Số hạng thứ 4(k=3) là 3 7−3 3 7−3 4
T = C 3 5 .x = 35375x 4 7 2. ( − )9 1 5x
Theo công thức nhị thức Newton ta có ( 9 − )9 1 5x = ∑ k
C −1 k 5k. k x 9 ( ) k=0
Số hạng tổng quát T = k C ( )9
1 −k − k = k C − k k k x k+ 5 1 5 . 1 9 ( ) 9 ( ) Số hạng thứ 5(k=4) là 4
T = C (− )4 4 4 4
1 5 .x = 78750x 5 9 3. ( x − )18 2 1
Theo công thức nhị thức Newton ta có 18 18−k ( 1 18 1 18 18−   k k   k x − )18 2 1 2 = k k
 2x −1 = ∑C (− ) 2 1 2x
= ∑C (− ) 18−k 2 1 2 .x 18 18   k=0   k=0 18−k
Số hạng tổng quát T = k C − k k x k+ ( ) 18− 2 1 2 . 1 18 18−8 Số hạng thứ 9 là 8 T C 1 2 − = − .x = 2 .C x 9 18 ( )8 18 8 2 10 8 5 18 4. ( − )6 6x y
Theo công thức nhị thức Newton ta có ( 6 − )6 6x y = ∑ k
C (− )k 6−k 6 1 6 . −k x . k y 6 k=0 Số hạng tổng quát k T = − +
C ( )k 6−k 6 1 6 . −k x . k y k 1 6
Số hạng thứ 3 (k=2) là T = k
C (− )k 6−k 6−k k 2 4 4 2
1 6 .x .y = C 6 x y 3 6 6 Trang 2 10 5.  1 x −  x   
Theo công thức nhị thức Newton ta có 10  1 10 x −  = ∑ k
C −1 k . k− x 10 ( ) 2 10 x    k=0
Số hạng tổng quát T = k C − k k x k+ ( ) 2 10 1 . − 1 10 Số hạng thứ 7 (k=6) là 6 T C ( )6 2.6 10 6 2 1 . − = − x = C x 7 10 10 6. ( + )28 2 2x y
Theo công thức nhị thức Newton ta có ( 28 + )28 2 2x y 28−k 28−k 2 = ∑ k C 2 .x . k y 28 k=0 Số hạng tổng quát k 28−k 28−k 2 T = + C 2 .x . k y k 1 28
Số hạng thứ 25(k=24) là 24 28−24 28−24 224 4 24 4 48 T = C 2 .x .y = 2 C x y 24 28 28
7. ( x − y)30 2 4
Theo công thức nhị thức Newton ta có 30 30−k ( 1 30 1 30 30−     k x − y)30 2 4 2 k 2 k k k
 2x − 4 y  = ∑C .2x
.(−4y) = ∑C (− ) 30+k 2 1 2 .x . k y 30 30   k=0   k=0 30−k Số hạng tổng quát k T = − +
C ( )k 30+k 2 1 2 .x . k y k 1 30 30 15 − 15
Số hạng thứ 16(k=15) là T 15 C 1 2 + = − .x
.y = −2 C x y 16 ( )15 30 15 2 15 45 15 2 15 30 9   8. 2 x  −  3 2  x 2 
Theo công thức nhị thức Newton ta có 9 k 9 1 9−k 1      2 x  2 9   2 9 7k−36  2 x k 2 x  −    − − = C   ∑ − = ∑ k
C −1 k 2 −k.x 2 9 2 9 ( ) 9 6 3 2  x 2   2  k      =  2 3 0 3  k=0 xx      7k−36 Số hạng tổng quát k T = C − − + x k ( )k 9 k 6 1 2 . 1 9 7.7−36 13
Số hạng thứ 8(k=7) là = k T C (− )7 9−7 1 6 7 6 1 2 .x = − C x 8 9 5 9 2 12
Câu 2. Tìm hệ số của  1 8 x trong khai triển 1  +    x Lời giải
Số hạng thứ k +1 trong khai triển là: k
k 12−k  1  k 12−2 a = C x = k C x x k 0 ≤ ≤   12 12 12 ( )  x
Ta chọn 12 − 2k = 8 ⇔ k = 2
Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa 8
x và có hệ số là: 2 C = 66 . 12
Câu 3. Tìm hệ số của 21
x trong khai triển ( − )25 2 3x Lời giải
Số hạng thứ 21 trong khai triển 20 5 C 2 (−3x)20 20 5 20 20 = C 2 3 x . 25 25 Trang 3
Câu 4. Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau 10 a) 1 x  −  b) ( − )8 3 2x 2    Lời giải a) 45 2 1− 5x + x b) 8 1 7 2 6 2
3 − C 3 2x + C 3 4x 4 8 8
Câu 5. Tìm số hạng thứ tư trong khai triển (a − x)20 2
theo lũy thừa tăng dần của x . Lời giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton số hạng thứ 4 trong khai triển là 3 3 17 3 −C 2 a x 20
Câu 6. Viết 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau 20 a) (  x − )12 1 3x b) ( − )9 1 2x c) 1  −  3    Lời giải a) 2 3
1− 36x + 594x − 5940x b) 2 3 3 2 3
1−18x +144x − 8C x = 1−18x +144x − 672x 9 c) 20 190 2 1140 3 1− x + x − x 3 9 27 Câu 7. Tìm
a) Số hạng thứ 8 trong khai triển ( − )12 1 2x 9
b) Số hạng thứ 6 trong khai triển 2 x  −  2   
c) Số hạng thứ 12 trong khai triển ( − )15 2 x Lời giải a) 7 7 7
−C 2 x b) 1 5 5 − C x c) 11 11 −16C x 12 9 2 15
Câu 8. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ( − )15 3 x xy Lời giải
Số hạng tổng quát trong khai triển ( − )15 3 x
xy là T = k C x xy k ( )15 3 −k − k + . 1 15 ( )
Trong khai triển trên có n = 15 nên có 16 số hạng nên số hạng đứng giữa là số hạng thứ 8 và thứ 9. 7
T = T = C x −xy = − x y + ( 3)15−7.( )7 31 7 6435 8 7 1 15 8
T = T = C x −xy = x y + ( 3)15−8.( )8 29 8 6435 9 8 1 15
Câu 9. Tìm hệ số của: 1. Số hạng chứa 5
x trong khai triển: ( x − )12 2 1 . 10 2. Số hạng chứa 11
x trong khai triển:  2 1 x  −  . x    3. Số hạng chứa 7
x trong khai triển: ( + )14 2 x x . 4. Số hạng chứa 25 10
x .y trong khai triển: ( + )15 3 x xy . Lời giải Trang 4 12 12 (2x − )12 1 k
= ∑ C (2x)12−k (− )k k 12
1 = ∑ C 2 −k (− )k 12−k 12 12 1 x 1. k=0 k=0 Tại số hạng chứa 5
x thì tương ứng với 12 − k = 5 ⇒ k = 7 . Vậy hệ số của 5 x là: 7 5 12 C 2 (− )7 1 = 25344 − . 10 10 k  2 1  k − x − = ∑ C ( 2 x )10 k 10  1  k ( 2 10−k ) 10 −k − = ∑ C x (− ) 1 k k = ∑ C (−     )k 20−3k 10 10 10 1 x 2.  x k=0  x k=0 k=0 Tại số hạng chứa 11
x thì tương ứng với 20 − 3k =11⇒ k = 3. Vậy hệ số của 11 x là: 310 C (− )3 1 = 120 − . ( 2x + x)14 14 = x (x + )14 1 3.
⇒ Không tồn tại số hạng chứa 7 x . Vậy hệ số của 7 x là: 0 . ( 3 −
x + xy)15 15 k = ∑ C ( 3 x )15 k 15 15 (xy)k k (315−k)+k k k 45−2k k 15 = ∑ 15 C x y = ∑ 15 C x y 4. k=0 k=0 k=0 45 − 2k = 25 Tại số hạng chứa 25 10
x .y thì tương ứng với  ⇒ k =10 . k = 0 Vậy hệ số của 11 x là: 10 15 C = 3003.
Câu 10. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển sau: 12  2 1 x  +   1. 4  x  . 6  2 1 x  −   2.  x  . 7  3 1 x  +  4  3.  x  . Lời giải 12 12  2 1  k ( −k) 12 2 12 1 k 24−6 x + = ∑ C x . k =   ∑ C x 4 12 4k 12 1.  x k=0 x k=0
Tại số hạng không chứa x thì tương ứng với 24 − 6k = 0 ⇒ k = 4 .
Vậy số hạng tự do là: 412 C = 495. 6 6 k  2 1  k ( −k) 6 6 2 6  1 x − = ∑ C x .  k −
= ∑ C (− )k (26−k) 1 −k k x = ∑ C (−     )k 12−3k 6 6 6 1 x 2.  x k=0  x k=0 k=0
Tại số hạng không chứa x thì tương ứng với 12 − 3k = 0 ⇒ k = 4 . Trang 5
Vậy số hạng tự do là: 46 C =15 . 7 7  1  1 7  1   1 (7−k) −k 1 7 (7−k) k 7 7 − 7 k 3 − 3  k 3 4 k 3 4 k 3 12 x + = x + = ∑ C x .x = ∑ C x =   ∑ C x 4  1  7 7 7  x    k=0 k=0 k=0 3. 4  x
Tại số hạng không chứa x thì tương ứng với 7 7k − = 0 ⇒ k = 4 . 3 12
Vậy số hạng tự do là: 47 C = 35 . 10
Câu 11. Trong khai triển  3 1 2x  + 
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x . 2 x    Lời giải 10 k
Số hạng tổng quát trong khai triển  3 1 2x  + −k k  1   là T = C x = k k k C x k+ 2   2 − − 1 10 ( )10 3 10 30 5 2 x    2 10  x
T không phụ thuộc vào − k = ⇒ k = k 1 x + 30 5 0 6
Số hạng không phụ thuộc vào x là số hạng thứ 7 ứng với k=6: 6 4 T = C 2 . 7 10
Câu 12. Tìm số hạng hữu tỷ của khai triển ( − )6 3 15 Lời giải
Số hạng thứ k +1 trong khai triển ( − )6 3 15 là: k k k T = k C C k k ( 3)6− − = − k k ≤ ≤ + ( 15) ( ) 3 2 1 3 5 0 6 1 6 6 ( )
T là số hạng hữ tỉ ⇔ k là một số tự nhiên ⇔ k chia hết cho 2 ⇔ k ∈{0;2;4;6} (vì 0 ≤ k ≤ 6 ) k 1 + 2
Vậy trong khai triển các số hạng hữu tỉ x là số hạng thứ 1; 3; 5; 7 0 2 T = (− )0 0 3 2
1 C 3 5 = 27 T = −1 C 3 5 = 2025 2 ( )2 2 3 2 1 6 6 4 6 T = (− )4 4 3 2
1 C 3 5 = 10125 T = −1 C 3 5 = 3375 7 ( )6 6 3 2 5 6 6
Câu 13. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển sau: 1. Tìm hệ số của 6
x trong khai triển của biểu thức: A = ( x − ) + (x + )7 11 2 2 1 1 . 2. Tìm hệ số của 3
x trong khai triển của biểu thức: A = (x + )10 + (x − )5 1 1 .
3. Khai triển P(x) dưới dạng: P(x) 2 = 0 a + 1 a x + 2 a x +... n + n a x a) Tìm hệ số 9 10 11 14 9
a : P(x) = (1+ x) + (1+ x) + (1+ x) +...+ (1+ x) . b) Tìm hệ số 2 3 20 15
a : P(x) = (1+ x) + 2(1+ x) + 3(1+ x) +...+ 20(1+ x) . Lời giải 7 11 7 − A = ( k 2x − ) 1 + ( 2 x + )1 k
= ∑ C (2x) −k (− ) 1 k k + ∑ C ( 2 k 11 7 x )7 11 11 .1 = 1. k=0 k=0 11 7 k
= ∑ C .(− )k 11−k 11−k k 14−2k 11 1 .2 .x + ∑ 7 C .x k=0 k=0 Ta có hệ số của 6
x trong ( x − )11
2 1 thì tương ứng với 11− k = 6 ⇒ k = 5 là (− )5 6 5 1 .2 . 11 C . Trang 6 Ta có hệ số của 6 x trong (x + )7
2 1 thì tương ứng với 14− 2k = 6 ⇒ k = 4 là 47 C . Vậy hệ số của 6 x là: (− )5 6 5 4 1 .2 . 11 C + 7 C . 10 5 A = (x + )10 1 + (x − )5 k 10−k k k 5 1 −k = ∑ 10 C x .1 + ∑ 5 C x .(− ) 1 k = 2. k=0 k=0 10 5 k 10 = ∑ C . −k k x
+ ∑ C .(− )k 5−k 10 5 1 .x k=0 k=0 Ta có hệ số của 3
x trong (x + )10
1 thì tương ứng với 10 − k = 3 ⇒ k = 7 là 710 C . Ta có hệ số của 3
x trong (x − )5
1 thì tương ứng với 5 − k = 3 ⇒ k = 2 là (− )2 2 2 1 . 5 C = 5 C . Vậy hệ số của 3 x là: 7 2 10 C + 5 C =130. 3. 9 10 11 14
a) P(x) = (1+ x) + (1+ x) + (1+ x) +...+ (1+ x) = 9 10 14 k k k k k k = ∑ 9 C .x + ∑ 10
C .x +...+ ∑ 14 C .x k=0 k=0 k=0 Hệ số của 9
a là hệ số của 9
x tương ứng với k = 9 : 9 9 9 9 C + 10 C +...+ 14 C = 3003
b) Tương tự như câu a ta có hệ số của 15
a là hệ số của 15 x : 15 15 15 15 15 C +16 16
C +...+ 20C20 = 400995 . 10
Câu 14. Cho khai triển:  1 2  10 + x = 0 a + 1 a x +...+   10
a x . Hãy tìm số hạng  3 3  k a lớn nhất. Lời giải 10 10 10  1 2   1  k k k + x =     ∑ 10 C 2 x  3 3   3  k=0 Như vậy số hạng k k k a lớn nhất khi 10
C .2 là lớn nhất ⇒ k ≥ 5
Với k = 5,6,7,8,9,10 ta có: 5 5 2 =  10 C 8064  6 6 2 10 C =13440 7 7 2  k k 10 C =15360 ⇒ 10
C .2 là lớn nhất tại k = 7 , vậy số hạng k a lớn nhất tại 8 8  2 10 C =11520
.......................  10 1 k 7 k a   = ⇒ =   .15360  3 
Câu 15. Tìm hệ số của 8
x trong khai triển đa thức của:  2 1 x (1 x)8 + −   . Lời giải
f (x) = C +...+ C x (1− x) 3
 + C x (1− x) 4
 +...+ C x (1− x) 8 0 3 2 4 2 8 2  8 8 8 8       Trang 7 Nhận thấy: 8
x chỉ có trong các số hạng:
 Số hạng thứ 4 : C x ( − x) 3 3 2  8 1  
 Số hạng thứ 5: C x ( − x) 4 4 2  8 1  
Vậy hệ số tương đương với: 3 2 4 0 8 A = 8 C 3 C + 8 C C4 = 238
Câu 16. Khai triển đa thức P(x) = (1+ 2x)12 2 12 = 0 a + 1 a x + 2 a x +...+ 12 a x . Tìm max ( 0 a , 1 a , 2 a ,..., 12 a ). Lời giải Gọi k
a là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra k a > k a 1−
Từ đây ta có hệ phương trình: 2 1 k k k 1 − k 1 2 − ≥  ≥  12 C 2 12 Ck 12 − k +1  ⇔  k k k 1 + k 1
2 C ≥ 2 C + 1 2 12 12  ≥ 12  − k k +1
⇒ max (a ,a ,a ,...,a ) 8 8 0 1 2 12 = 8 a = 12 C .2 =126720
Câu 17. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau: ( + )21 3 x xy a) . 20    4 1 x x  +  (   xy)2 3  b)   . Lời giải a) Khai triển ( + )21 3 x
xy có 21+1 = 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12. 11
 Số hạng thứ 11 là: 10 C ( 3 x ) (xy)10 10 43 10 21 = C21x y 10
 Số hạng thứ 12 là: 11 C ( 3 x ) (xy)11 10 41 11 21 = C21x y 20   b) Khai triển  4 1 x x  + 
có 20 +1 = 21 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ (   xy)2 3    10 21 7 10 +1 65 20   2 − −   =11: 10  4 C x  (xy) 10 6 3  = C x y . 2 3 20 20       7
Câu 18. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển ( )  3 1 f x x  = +  với x > 0 . 4 x    Lời giải − −
Số hạng tổng quát trong khai triển:   k
T + = C ( x) 7 7 7 3 k k 1 k k k 3 12 1 7 =   7 C x
với k ∈,k ≤ 7 4  x
Ứng với số hạng không chứa x ta có: 7 7 − k = 0 ⇔ k = 4 3 12
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển f (x) là: 47 C = 35 . Trang 8 10
Câu 19. Cho khai triển đa thức  1 2  2 10 + x = 0 a + 1 a x + 2 a x +...+   10
a x . Hãy tìm số hạng  3 3  k a lớn nhất. Lời giải 10 10 Ta có:  1 2  1 + x = ( + x)10 1 k k 1 1 2 = ∑ C 2 k x ⇒ k a =   C 2k 10 10 10 ( ) 10 10  3 3  3 3 k=0 3 k k k 1 + k 1 +  ≥  k a k a 1+  10 C 2 ≥ 10 C 2 ⇒  ⇔  ≥ k k k 1 − k 1  k a k a 1 − −  10 C 2 ≥ 10 C 2 k k 1  2 .10! 2 + .10!  ≥  1 2
k!.(10 − k )! (k + ) 1 !.(9 −  k )! ≥  Ta có 10  − k k +1 19 22 k
a đạt được max ⇔  ⇔  ⇔ ≤ k ≤ k k 1  2 .10! 2 − .10! 2 2 3 3  ≥ ≥ k!. 
(10 − k)! (k − ) 1 !.(11− k )! k 11− k
⇒ k = 7 (k ∈,k ∈[0;10]) 7 Vậy 2 7 max k a = 7 a = C . 10 10 3
Câu 20. Cho n số nguyên dương thỏa mãn 1 − 3 5 n
Cn = Cn . Tìm số hạng chứa 5
x trong khai triển nhị thức 14 2   niu tơn nx 1  −  , x ≠ 0  . 14 x    Lời giải n 1 − 3 n(n − ) 1 (n − 2)
5Cn = Cn ⇔ 5n = ⇔ (n − )
1 (n − 2) = 30 ⇒ n = 7 (do n > 0 ) 6 7 2 −k k 7−k  
Gọi a là hệ số của 5
x ta có: 7−k x  1  5 C   . − =  
ax ⇔ (− )k 7−k  1  14−3k 5 7 1 . 7 C .  .x = ax  2   x   2    7−k   −
⇒14 − 3k = 5 ⇔ k = 3 và 7−k 1 35 − 7 C . =  a ⇒ a =  .  2  16 − Vậy số hạng chứa 5 35 x là 5 .x . 16
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Số số hạng trong khai triển (x + )50 2 là A. 49 . B. 50. C. 52. D. 51. Lời giải
Số số hạng trong khai triển là: n +1 = 50 +1 = 51.
Câu 2. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức ( x − )2018 2 3 A. 2019 . B. 2017 . C. 2018 . D. 2020 . Lời giải
Trong khai triển nhị thức ( + )n
a b thì số các số hạng là n +1 nên trong khai triển ( x − )2018 2 3 có 2019 số hạng.
Câu 3. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn ( − )5 x y . A. 5 4 3 2 2 3 4 5
x − 5x y +10x y −10x y + 5xy − y . B. 5 4 3 2 2 3 4 5
x − 5x y −10x y −10x y − 5xy + y . Trang 9 C. 5 4 3 2 2 3 4 5
x + 5x y +10x y +10x y + 5xy + y . D. 5 4 3 2 2 3 4 5
x + 5x y −10x y +10x y − 5xy + y . Lời giải Ta có:
(x − y)5 = x +  (−y) 5 0 5 1 4  = C x + C x  (−y)1 2 3 + C x (−y)2 3 2 + C x (−y)3 4 1 + C x (−y)4 5 + C −y 5 5 5 5 5 5 ( )5 Hay (x − y)5 5 4 3 2 2 3 4 5
= x − 5x y +10x y −10x y + 5xy − y .
Câu 4. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2019
(3− 2x) có bao nhiêu số hạng? A. 2019 . B. 2018 . C. 2020 . D. 2021. Lời giải Chọn C
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn ( + )n
a b có n +1 số hạng.
Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2019
(3− 2x) có 2020 số hạng.
Câu 5. Từ khai triển biểu thức (x + )10
1 thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là A. 1023. B. 512. C. 1024. D. 2048 . Lời giải Chọn C
Xét khai triển f (x) = (x + ) 10 10 1 k = ∑C . kx . 10 k=0
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S = f = ( + )10 10 (1) 1 1 = 2 =1024.
Câu 6. Từ khai triển biểu thức (x + )10
1 thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là A. 1023. B. 512. C. 1024. D. 2048 . Lời giải Chọn C
Xét khai triển f (x) = (x + ) 10 10 1 k = ∑C . kx . 10 k=0
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S = f = ( + )10 10 (1) 1 1 = 2 =1024.
Câu 7. Tính tổng các hệ số trong khai triển ( − )2018 1 2x . A. 1 − . B. 1. C. 2018 − . D. 2018 . Lời giải Xét khai triển 2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018 (1− 2x) = C − 2 . x C + ( 2 − x) .C + ( 2 − x) .C + . .+ ( 2 − x) .C 2018 2018 2018 2018 2018
Tổng các hệ số trong khai triển là: 0 1 2 2 3 3 2018 2018 S = C − 2.C + ( 2) − .C + ( 2) − .C + ...+ ( 2) − .C 2018 2018 2018 2018 2018 Cho x =1 ta có: 2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018 (1− 2.1) = C − 2.1.C + ( 2.1 − ) .C + ( 2.1 − ) .C + ...+ ( 2.1 − ) .C 2018 2018 2018 2018 2018 ⇔ (− )2018 1 = S ⇔ S =1 Câu 8. Khai triển 4 124
( 5 − 7) . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên? A. 30. B. 31. C. 32. D. 33. Lời giải Trang 10 124 124−k k Ta có 4 124 ( 5 − 7) k = ∑C .(− )k 2 4 1 .5 .7 124 k=0 124  − k ∈  
Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với  2  ⇔ k ∈{0;4;8;12;...; } 124 . k  ∈   4 −
Vậy số các giá trị k là: 124 0 +1 = 32 . 4
Câu 9. Trong khai triển nhị thức newton của 3 2018
P(x) = ( 2x + 3)
thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số
hạng có hệ số nguyên dương? A. 673. B. 675. C. 674. D. 672. Lời giải Chọn A 2018 −k −k 3
P(x) = ( 2x + 3) = ∑( 3 2x) 2018 2018 2018 2018 k 3 k 2018 3 = ∑ 2 .3 −k x k=0 k=0
Để hệ số nguyên dương thì (2018 − k )3 ⇔ 2018 − k = 3t ⇔ k = 2018 −3t ,do 0 ≤ k ≤ 2018 nên ta có 2018
0 ≤ 2018 − 3t ≤ 2018 ⇔ 0 ≤ t ≤
≈ 672,6 vậy t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị 3
Câu 10. Trong khai triển (1− 2x)20 2 20
= a + a x + a x +...+ a x . Giá trị của a − a + a bằng 0 1 2 20 0 1 2 A. 801. B. 800. C. 1. D. 721. Lời giải Chọn A 20 Ta có (1− 2x)20 k = ∑C 2 k k −
x , (k ∈ Z ) 0 ⇒ a = C , 1 a = 2. − C , a = 2 − C = 4C . 2 ( )2 2 2 20 ( ) 0 20 1 20 20 20 k =0 Vậy 0 1 2
a − a + a = C + 2C + 4C = 801. 0 1 2 20 20 20
Câu 11. Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức ( + )2019 3 5 3 5 ? A. 136. B. 403. C. 135. D. 134. Lời giải Chọn C 2019 − 2019 2019 2019 −k k k k Ta có ( 3 5 3 + 5) k = ∑C .( 3 3) .(5 5) 2019 k 3 5 = ∑C .3 .5 2019 2019 . k=0 k=0 k ∈  k ∈  0 k 2019  ≤ ≤ 0 ≤ k ≤ 2019  
Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì 2019 − k   ∈ ⇔  673 k − ∈   3  3 kk  ∈   ∈  5 5 Trang 11 k ∈  
⇔ 0 ≤ k ≤ 2019.  k 15  Ta có k 15
 ⇒ k =15m mà 0 ≤ k ≤ 2019 ⇔ 0 ≤15m ≤ 2019 ⇔ 0 ≤ m ≤134,6 . Suy ra có 135 số
hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức. 2019 1 1 1 1  
Câu 12. Trong khai triển của 15 3 3 5
x y + x y
, số hạng mà lũy thừa của x và y bằng nhau là số hạng  
thứ bao nhiêu của khai triển? A. 1348. B. 1346. C. 1345. D. 1347 . Lời giải Chọn D 2019 1 1 −k 1 1 k     2019 4 2019 2
Ta có số hạng thứ k + − +1 là : k k k 15 3 3 5 Cx y   x y k 15 15 3 15 = C x y 2019  2019     Theo đề bài ta có; 2019 4 2019 2 + k = − k ⇔ k =1346 15 15 3 15
Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ 1347 . 9
Câu 13. Trong khai triển  8 x  + 
, số hạng không chứa x là 2 x    A. 40096. B. 43008. C. 512. D. 84. Lời giải Chọn B Số hạng tổng quát k k 9−3 T = ≤ ≤ . + C .8 . k x k k ,0 9 1 9
Số hạng không chứa x ứng với 9 − 3k = 0 ⇔ k = 3.
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 3 3
T = C .8 = 43008 . 4 9 8
Câu 14. Số hạng độc lập với x trong khai triển  3 2 x  −  là x    A. 1792. B. 792 . C. 972. D. 1972. Lời giải Chọn A k
Ta có số hạng thứ k +1 trong khai triển là k T   = − = − . + C (x )8 3 −k 2 k 24−4 . k   C x k . 2 k 1 8 8 ( )  x
Do tìm số hạng độc lập với x suy ra 24 − 4k = 0 ⇔ k = 6 6 ⇒ T = C . 2 − = 1792. 7 8 ( )6 12
Câu 15. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  3 1 x  −  . x    A. − 220 . B. 220 . C. 924. D. −924 . Lời giải Chọn A 12
Công thức số hạng thứ (k + ) 1 của khai triển  3 1 x  −  là: x    Trang 12 k T
C ( )k (x )12 3 −k 1 1 . k C x − = − = − ≤ k ≤ k ∈ . k ( )k 36 4 1 k k ,0 12, 12 12 x
Số hạng không chứa x ứng với 36 − 4k = 0 ⇔ k = 9. Suy ra 9 T = C 1 − = 220 − . 7 12 ( )9 30
Câu 16. Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức  2 x  +  là x    A. 20 2 . B. 20 10 2 C . C. 10 20 2 C . D. 20 C . 30 30 30 Lời giải Chọn B 30 30 1 30 1 k − 30 3       Ta có 2 − 30− k 2 k 30−k 2 k k 2  x + = 
x + 2x  = ∑C x
 2x  = ∑C 2 x 30 30  x    k =0   k =0 3
Số hạng tổng quát thứ k +1 trong khai triển là 30 2 T = . + C 2 k k k x − k 1 30
Số hạng này không chứa x tương ứng với trường hợp 3 30 k − = 0 ⇔ k = 20 . 2
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 20 20 20 10
T = C 2 = 2 C . 21 30 30 45
Câu 17. Số hạng không chứa x trong khai triển  1 x  −  là 2 x    A. 5 C . B. 5 C − . C. 15 C . D. 15 C − . 45 45 45 45 Lời giải Chọn D k
Số hạng tổng quát trong khai triển là k 45−k  1 T  = − = − + C .x . k   C . 1 k − k x k 2 ( ) 45 3 1 45 45  x
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 45 − 3k = 0 ⇔ k =15 .
Vậy số hạng cần tìm là 15 C .(− )15 15 1 = C − . 45 45 10
Câu 18. Số hạng không chứa x trong khai triển  2 x  +  là x    A. 5 C . B. 5 5 C − .2 . C. 5 C − . D. 5 5 C .2 . 10 10 10 10 Lời giải Chọn D 10
Số hạng tổng quát trong khai triển  2 x  +  là: x    k
k 10−k  2  k k 10−2 T = = +
C x .  C .2 k x k 1 10 10  x
Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với 10 − 2k = 0 ⇔ k = 5(thỏa mãn).
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 5 5 C .2 . 10 7
Câu 19. Số hạng không chứa   x 1
trong khai triển 3 x +  là: 4   x A. 5. B. 35. C. 45. D. 7. Trang 13 Lời giải Chọn B 7 7 k 7 7 7 Ta có:  7−k − 3 1  x + k  1   3 = ∑C x 3 12 = ∑ k k C x . 4     x 7 ( )  4 7 k =0  x k=0 7 7  − k = 0
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 3 12 ⇒ k = 4.
0 ≤ k ≤ 7, k ∈ 7 Số hạng không chứa   x trong khai triển 3 1 x +  là: 4 C = 35. 4   x  7 6
Câu 20. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  1 2x  −  , x ≠ 0 . 2 x    A. 240 . B. 15. C. 240 − . D. 15 − . Lời giải Chọn A 6 6 6 −k k 6 Ta có:  1  k  1 2x ∑C . 2x . 1  − = −
= ∑C .2 − . 1 k k k k −     . − k x 2 ( ) ( ) 6 2 ( ) 6 3 6 6  x k =0  x k =0
Số hạng không chứa x xảy ra khi: 6 − 3k = 0 ⇔ k = 2
Số hạng đó là C .2 .(− )2 2 4 1 = 240 6
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là 240 12
Câu 21. Số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức  1 2 A x  = −  là x    A. 924 − . B. 495 . C. 495 − . D. 924. Lời giải Chọn B 12−
Số hạng tổng quát trong khai triển là  1 k T  = − k 1 k k C x − = − . 12 ( ) 3 12 + C   ( 2 k k x k 1 12 )  x
Theo đề bài ta có 3k −12 = 0 ⇔ k = 4 .
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 4 C 1 − = 495. 12 ( )4 45
Câu 22. Số hạng không chứa  1
x trong khai triển x  −  là 2 x    A. 15 C C C − C − 45 . B. 3045. C. 545. D. 1545 . Lời giải Chọn D 45 45 k Có  1  k 45−k  1 x k  ∑C .x .  − = −  = (− ) 45 k 45 3 1 ∑C . k x − . 2 45  2 x    45 k =0  x k =0
Tìm số hạng không chứa x thì 45 − 3k = 0 ⇔ k =15.
Vậy số hạng không không chứa x là 15 C − . 45 5
Câu 23. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2 1 x  +  . 3 x    Trang 14 A. 10. B. 20 . C. 5. D. 1. Chọn A Lời giải. 5 k
Số hạng tổng quát trong khai trển  2 1 x  + −k k  1   là: T = C x . k − k =   C x k . 5 ( )5 2 10 5 3 x    3 5  x
Số hạng cần tìm không chứa x nên ta có: 10 − 5k = 0 ⇔ k = 2.
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 2 T = C =10. 2 5 7
Câu 24. Số hạng không chứa   x 1
trong khai triển 3 x +  là 4   x A. 5. B. 35. C. 45. D. 7. Lời giải Chọn B 7 7 k 7 7 7 Ta có:  7−k − 3 1  x + k  1   3 = ∑C x 3 12 = ∑ k k C x . 4     x 7 ( )  4 7 k =0  x k=0 7 7  − k = 0
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 3 12 ⇒ k = 4.
0 ≤ k ≤ 7, k ∈ 7 Số hạng không chứa   x trong khai triển 3 1 x +  là: 4 C = 35. 4   x  7 30  
Câu 25. Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 2 x     là  x  A. 20 2 . B. 20 10 2 .C . C. 10 20 2 .C . D. 20 C . 30 30 30 Lời giải Chọn B 30 30 k 30 60 3  k     Ta có 2   kx
  C x30k 2   k   
  C 2k x 2 . 30     30 x   k0 x k0 603k
Số hạng không chứa x tương ứng  0  k  20 . 2
Vậy số hạng không chứa x là: 20 20 20 10 2 .C  2 .C . 30 30
Câu15. Cho khai triển 20 2 20
(2x −1) = a + a x + a x +....+ a x . Tìm a 0 1 2 20 1 A. 20. B. 40. C. -40. D. -760. Lời giải Chọn C
Ta có: a là hệ số của x 1
Hạng tử chứa x trong khai triển là: 19 C − 2x ⇒ a = 40 − 20 1
Câu 26. Cho khai triển (1− 2x)20 2
= a + a x + a x ++ a x + + ++ 0 1 2
20 20 . Giá trị của a a a a bằng: 0 1 2 20 A. 1. B. 20 3 . C. 0 . D. 1 − . Lời giải (1− 2x)20 2
= a + a x + a x ++ a x ( ) 1 . 0 1 2 20 20 Thay x =1 vào ( )
1 ta có: a + a + a ++ a = (− )20 1 =1 0 1 2 20 . Trang 15 12
Câu 27. Hệ số của số hạng chứa 7  2 
x trong khai triển nhị thức x −  là: x x    A. 376. B. 264 − . C. 264 . D. 260 . Lời giải Chọn C 12
Số hạng tổng quát của khai triển  2 x  −  (với x > 0 ) là x x    k 3k 5k k 12−k  2 T  = − ( 2)k k 12 k 12 2
.C .x .x− − = − ( 2)k k 2 .C .x − = − . + C x k . . 1 12  x x    12 12 Số hạng trên chứa 7 x suy ra 5 12 k − = 7 ⇔ k = 2. 2
Vậy hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển trên là = ( 2 − )2 2 .C = 264 . 12 13
Câu 28. Tìm hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển nhị thức  1 x  +  ,. x    A. 1716. B. 68. C. 176. − D. 286. Lời giải Chọn D 13
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức  1 x  +  . x    13−  1 k k kk 13−2k T = = . + C x   C x k 1 13 13  x T chứa 7
x ⇔ 13− 2k = 7 ⇔ k = 3. k 1 + 13
Vậy hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển nhị thức  1 x  +  bằng: 3 C = 286 . x    13 40
Câu 29. Hệ số của 31
x trong khai triển  1 x  + , x ≠   0 là. 2  x A. 4 C . B. 2 C . C. 3 C . D. 5 C . 40 40 40 40 Lời giải. Chọn C 40 40 40  1  k 40−k 2 − k k 40−3 x + = ∑C x . k x =   ∑C x 2 40 40  x k =0 k =0
Theo giả thiết: 40 − 3k = 31⇒ k = 3. Vậy hệ số của 31 x là 3 C = 9880. 40 4
Câu 30. Hệ số lớn nhất trong khai triển  1 3 x +  4 4    A. 27 . B. 9 . C. 27 . D. 27 . 128 32 32 64 Lời giải Chọn D Trang 16 4 4 4 −k k Ta có  1 3  k  1   3 x ∑C .  .  + =   4 4 4     k=0  4   4  1 3 27 2 27 3 81 4 = + x + x + x + x 256 64 128 64 256
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là 27 . 64 n Câu 31. (1+ 2x) Cho biết hệ số của 2
x trong khai triển
bằng 180.Tìm n .
A. n = 8.
B. n =12 .
C. n =14 .
D. n =10 . Lời giải Chọn D k k k Ta có: T = + C x k n .2 . 1 . Hệ số của 2
x trong khai triển bằng 180 n! n = 10 2 2 2 2 C = ⇔ = ⇔ n n − = ⇔ n − n − = ⇔ n .2 180 (n − 2) .2 180 ( )1 90 90 0 .2 n = 9 −  (l) 7
Câu 32. Tìm hệ số h của số hạng chứa 5
x trong khai triển  2 2 x  +  . x    A. h = 84. B. h = 672 . C. h = 560 . D. h = 280 . Lời giải Chọn D 7 7 7 −k 7 Ta có:  2 2 x  + = ∑C ( 2 x )k k  2  k 7−k 3k−7 =    
∑C .2 .x . 7 7  x k =0  x k =0
Cần tìm k sao cho 3k − 7 = 5, suy ra k = 4. 7
Vậy hệ số h của số hạng chứa 5
x trong khai triển  2 2 x  +  là 4 3 h = C .2 = 280. x    7 15
Câu 33. Hệ số của số hạng chứa 6
x trong khai triển Newton  2 x  −  là 2 x    A. 3640 − . B. 3640. C. 455. D. 1863680 − Lời giải Chọn A 15 15 k 15  2  k −k  2  k −k x − = ∑C x − =∑C x 2 k k − k − x =∑C 2 k − k −     x 2 2 ( ) ( ) 15 15 15 2 ( ) 15 3 15 15 15  x k =0  x k =0 k =0
Số hạng tổng quát của khái triển k T = − +
C ( 2)k 15 3k x − k 1 15
Số của số hạng chứa 6
x : 15 − 3k = 6 ⇔ k = 3. Hệ số của số hạng chứa 6 x k C ( 2 − )k 3 = C 2 − = 3640 − 15 15 ( )3
Câu 34. Tìm hệ số của 25 10
x y trong khai triển (x + xy)15 3 . A. 58690. B. 4004. C. 3003. D. 5005. Lời giải Chọn C Trang 17
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là k .( )15 3 −k .( )k k 45−2 = . k . k C x xy C x y , 15 15
với 0 ≤ k ≤15 , k ∈ . Số hạng này chứa 25 10
x y khi và chỉ khi k =10 . Vậy hệ số của 25 10
x y trong khai triển ( + )15 3 x xy là 10 C = 3003. 15 6
Câu 35. Cho khai triển  2 x  + 
với x > 0 . Tìm hệ số của số hạng chứa 3
x trong khai triển trên x    A. 80. B. 160. C. 240 . D. 60 . Lời giải: Chọn D 6 6 k 6 3k Ta có:  2  k k  2  6 6 k k − − 2 x + = ∑C x =     ∑2 C x . 6 6  x k=0  x k=0 Số hạng chứa 3 k x ứng với 3 6 −
= 3 ⇒ k = 2. Vậy hệ số của số hạng chứa 3 x bằng 2 2 2 .C = 60. 2 6 6
Câu 36. Cho khai triển  2 x  + 
với x > 0 . Tìm hệ số của số hạng chứa 3
x trong khai triển trên x    A. 80. B. 160. C. 240 . D. 60 . Lời giải: Chọn D 6 6 k 6 3k Ta có:  2  k k  2  6 6 k k − − 2 x + = ∑C x =     ∑2 C x . 6 6  x k=0  x k=0 Số hạng chứa 3 k x ứng với 3 6 −
= 3 ⇒ k = 2. Vậy hệ số của số hạng chứa 3 x bằng 2 2 2 .C = 60. 2 6
Câu 37. Biết hệ số của 2
x trong khai triển của (1−3 )n
x là 90. Tìm n . A. n = 7 . B. n = 6 . C. n = 8. D. n = 5. Lời giải Chọn D
Số hạng thứ k +1 trong khai triển của (1− 3 )n x là: k T = − . + C x n 3 k k k 1 ( ) Số hạng chứa 2
x ứng với k = 2 . Ta có: 2 C − = 2 ⇔ C = n 10 n ( 3)2 90 n! n = 5 ⇔ ( = ⇔ n(n − ) 1 = 20 ⇔ . Vậy n = 5. n − ) 10 2! 2 ! n = 4 −  (L)
Câu 38. Số hạng thứ 13 trong khai triển ( − )15 2 x bằng? A. 13 3640x . B. 12 3640x . C. 12 −420x . D. 3640. Lời giải Chọn B 15 Ta có (2 − x)15 k 15 = ∑C .2 −k. k −x 15 ( ) k=0
Số hạng thứ 13 trong khai triển tương ứng với k = 12 . 12 15 12 C .2 − ⇒ .(−x)12 12 = 3640x . 15 Trang 18 9
Câu 39. Tìm số hạng chứa 3
x trong khai triển  1 x  −  . 2x    A. 1 3 3 − C x . B. 1 3 3
C ⋅ x . C. 3 3 C − ⋅ x . D. 3 3 C x . 9 8 9 8 9 9 Lời giải Chọn A k k
Số hạng thứ k +1 trong khai triển là: k 9−k  1  k  1  9−2 T = ⋅ − = ⋅ − . + C x   C   x k 1 9 9  2x   2  Số hạng chứa 3
x có giá trị k thỏa mãn: 9 − 2k = 3 ⇔ k = 3. Vậy số hạng chứa 3
x trong khai triển là: 1 3 3 − C x . 9 8 13
Câu 40. Tìm số hạng chứa 7
x trong khai triển  1 x  −  . x    A. 3 C − . B. 3 7 C − x . C. 4 7 C − x . D. 4 C − . 13 13 13 13 Lời giải Chọn B
Ta có công thức của số hạng tổng quát: k k 13−k  1  k 13 T = − = − = − + C x . −k   C x ( )1k −k k x C .( )k 13−2 1 k x k 1 13 13 13  x  Số hạng chứa 7
x khi và chỉ khi 13− 2k = 7 ⇔ k = 3. Vậy số hạng chứa 7
x trong khai triển là 3 7 C − x . 13 40
Câu 41. Tìm số hạng chứa 31
x trong khai triển  1 x  +  ? 2 x    A. 4 31 C x . B. 37 31 Cx . C. 37 31 C x . D. 3 31 C x . 40 40 40 40 Lời giải Chọn D 40 40 40 Ta có khai triển:  1  40− − k k k k − x + = ∑C x x =  ∑ k C x 2  ( 2) 40 3 40 40  x k=0 k=0
Số hạng tổng quát trong khai triển: k 40−3k C x 40 Số hạng chứa 31
x ứng với: 40 − 3k = 31 ⇔ k = 3 Vậy số hạng chứa 31 x là: 3 31 C x 40 40
Câu 42. Số hạng chứa 34
x trong khai triển  1 x  +  là x    A. 37 34 C − x . B. 3 34 C x . C. 2 34 C x . D. 4 34 C x . 40 40 40 40 Lời giải Chọn B 40 Số hạng thứ k  1 +1 trong khai triển x  +  là: x    k k 40−k  1  k 40−k −k k 40−2 a = = = . + C x . k   C x x C x k 1 40 40 40  x Trang 19 40 Số hạng chứa 34
x trong khai triển  1 x  + 
tương ứng với: 40 − 2k = 34 ⇔ k = 3. x    40 Vậy số hạng chứa 34
x trong khai triển  1 x  +  là: 3 34 C x . x    40
Câu 43. Biết hệ số của số hạng chứa 2
x trong khai triển (1+ 4 )n
x là 3040. Số tự nhiên n bằng bao nhiêu? A. 28 . B. 26 . C. 24 . D. 20 . Lời giải Chọn D n n Ta có: (1+ 4x)n k
= ∑C (4x)k k = ∑C 4k kx . n n k =0 k =0
Hệ số của số hạng chứa 2 x là: 2 2 C . n 4 n n −1 n = 20 t/m 2 2 2 ( ) ( ) Giả thiết suy ra 2 C = ⇔ C = ⇔ = ⇔ n − n − = ⇔ . n 4 3040 n 190 190 380 0  2 n = 19 −  (loai)
Câu 44. Biết hệ số của 2
x trong khai triển của (1− 3 )n
x là 90. Tìm n . A. n = 5. B. n = 8. C. n = 6 . D. n = 7 . Lời giải
Số hạng tổng quát thứ k +1 là k T = − = − . + C x C x n 3 k kn 3 k k k 1 ( ) ( ) Vì hệ số của 2
x nên cho k = 2 . n n −1 n = 5 n 2 ( ) ( ) Khi đó ta có 2 C − = ⇔ C = ⇔ = ⇔ . n 10 10 n ( 3)2 90  2 n = 4 −  (l) Vậy n = 5.
Câu 45. Cho biết hệ số của 2
x trong khai triển (1+ 2 )n
x bằng 180. Tìm n . A. n =12 . B. n =14 . C. n = 8. D. n =10 . Lời giải Ta có ( + x)n 0 1 2 1 2
= C + C .2x + C .(2x)2 +... n + C x . n n n n ( 2 )n Hệ số của 2 n! x bằng 2 180 ⇔ 4.C = ⇔ 4
= 180 ⇔ n(n − ) 1 = 90 n 180 ( 2! n − 2)! n = 9 − (l) 2
⇔ n − n − 90 = 0 ⇔  . n =10 Vậy n =10 . 5
Câu 46. Tìm hệ số của số hạng chứa 10
x trong khai triển của biểu thức  3 2 3x  −  . 2 x    A. 810 − . B. 826 . C. 810 . D. 421. Lời giải 5 5 k 5 Ta có  2  k −k k  2 3x ∑ 1 .C . 3x .  − = − = ∑ 1 k −     . k
C .3 −k.2k − k x . 2 ( ) ( )5 3 3 2 ( ) 5 15 5 5 5  x k =0  x k =0 Trang 20 Số hạng chứa 10
x ứng với 15 − 5k =10 ⇔ k =1.
Hệ số của số hạng chứa 10 x là (− )1 1 4 1 1 C .3 .2 = 810 − 5 . 40
Câu 47. Tìm hệ số của số hạng chứa 31
x trong khai triển  1 x  +  . 2 x    A. 37 C . B. 31 C . D. 2 40 C . C. 4 C . 40 40 40 Lời giải 40 40 k 40 Ta có:  1  k 40−k  1  k 40−3 x + = ∑C .x . =     ∑C . k x . 2 40 2 40  x k =0  x k =0
Số hạng tổng quát của khai triển là: k 40 3 T = . + C . k x − k 1 40 Số hạng chứa 31
x trong khai triển tương ứng với 40 − 3k = 31 ⇔ k = 3 .
Vậy hệ số cần tìm là: 3 37 C = C . 40 40 6
Câu 48. Trong khai triển  2 x  +  , hệ số của 3
x (x > 0) là: x    A. 80 . B. 160. C. 240 . D. 60 . Lời giải 6 6 1     6 1 k   6 1 k   6 3 Ta có: 2 − 6 2 k 6 k k k 6 kx + = 
x + 2x  = ∑C x  2x− − = ∑C .2 x  2x− − 2 = ∑C .2 k k k 6 ( ) 2 6 ( ) 2   x −  x    6 k=0   k=0   k=0 3 Theo đề bài, 6− k 3 2 3 x
= x ⇔ 6 − k = 3 ⇔ k = 2 2 Hệ số của 3
x (x > 0) là: 2 2 C .2 = 60 . 6
Câu 49. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 0 1 2 2
C + 2.C + 2 .C +...+ 2 .n n C =
. Biết số hạng thứ 3 trong n n n n 59049
khai triển Newton của  2 3 n x  − 
có giá trị bằng 81n . Khi đó giá trị của x bằng x    2 A. 1 B. 2 . C. 1 ± D. 2 ± . Lời giải Chọn C Ta có: 0 1 2 2 n n
C + C + C + + C = ⇒ + = ⇔ = ⇔ n = . n n n n ( )n n 10 2. 2 . ... 2 . 59049 2 1 59049 3 3 10 10
Ta được nhị thức  2 3 x  −  . x   
Số hạng thứ ba của khai triển là T = C .(x ) 2 8 2 2  3  14 . − =   405x . 3 10  x  Theo giả thiết ta có: 14 81 405x = n ⇔ 14 405x = 405 ⇔ 14 x =1 ⇔ x = 1 ± . 2 n
Câu 50. Cho nhị thức  2 1 2x  + 
, trong đó số nguyên dương n thỏa mãn 3
A = n . Tìm số hạng chứa n 72 3 x    5 x trong khai triển. A. 6 4 5 2 C x . 2 C x . 2 C x . 2 C x . 10 B. 5 5 5 10 C. 7 3 5 10 D. 6 7 5 10
Lời giải Trang 21 Chọn C Ta có: 3 n! A = n ⇔ = n ⇔ n n −
n − = n ⇔ n =10 . n 72 (n − ) 72 ( )1( 2) 72 3 ! Xét khai triển: 10 10  1 −  k k  1 k 2x + = ∑C 2  k x
=∑C .2 −k − k x . − k k x =    
∑C .2 −k − k x . 3 ( ) 10 10 10 2 2 10 20 2 3 10 20 5 10 3 10 10  x k =0  x k =0 k =0 Số hạng chứa 5
x trong khai triển tương đương với: 20 − 5k = 5 ⇔ k = 3. Suy ra số hạng chứa 5
x trong khai triển là: 7 3 5 2 C x . 10 n
Câu 51. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  2 3 2x  − 
(x ≠ 0) , biết rằng x    1 2 3
1.C + 2.C + 3.C +...+ . n n C = n ( k
C là số tổ hợp chập k của n phần tử). n n n n 256 n A. 489888 B. 49888 . C. 48988 . D. 4889888 . Lời giải Chọn A Tìm . n
Trước hết ta chứng minh công thức k k k 1
C = C − với 1≤ k ≤ n và n ≥ 2. n n 1 n − Thật vậy, k k k n! (n −1)! k 1 C = = = C − n . n− . 1 n
n k!(n − k)! (k −1)!(n − k)!
Áp dụng công thức trên ta có 1 2 3 n  1 1 2 2 3 3 1. 2. 3. ... .  . . . ... n C C C n C n C C C . n C  + + + + = + + + + n n n n n n n n n n n n    = n( 0 1 2 n 1 C + + + + = − C − C − C −− n − n n n ... n ) n 1 2 1 1 1 1 Theo đề 1 2 3 n n 1 − n 1 1.C C C n C n n n − + + + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ n = n
2. n 3. n ... . n 256 2 256 2 256 9. Chọn A.
Câu 52. Cho khai triển (1+ 3x)n 1 = a + a x +... n
+ a x trong đó n∈ * và các hệ số thỏa mãn hệ thức 0 1 n a a 1 a + +... n +
= 4096. Tìm hệ số a lớn nhất. 0 3 3n i A. 1732104. B. 3897234. C. 4330260. D. 3247695. Lời giải Chọn C
Xét khai triển (1+ 3x)n 1 = a + a x +... n + a x . 0 1 n n Cho 1 x = ta được  1  a a 1 1+ 3. = a + +... n +
⇒ 2n = 4096 ⇔ n =   12. 3 0 1  3  3 3n Khi đó (1+ 3x) 12 12 k
= ∑C .3k. kx . 12 k =0 Ta có hệ số k k k 12! a = C = k 3 3 . 12 k!.(12 − k)!  k 12! k 1 − 12! 3 . ≥ 3 . a ≥ a
k!. 12 − k !
k −1 !. 12 − k +1 ! k k 1 − ( ) ( ) ( )
Hệ số a lớn nhất nên  ⇔ k a ≥ a   k k+  k 12! k+ 12! 1 1 3 . ≥
k ( − k) 3 . !. 12 !
(k + )1!.(12− k −  )1! Trang 22 3 1  39 ≥ k ≤ k 13− k 39  − 3k ≥ k  4 ⇔  ⇔  ⇔ 1 3  k 1 ≥ 36 3k  + − 35  ≥ k ≥ 12  − k k +1  4
Vì k ∈ nên nhận k = 9. Vậy hệ số lớn nhất 9 9
a = 3 .C = 4330260. 9 12 3 1 +
Câu 53. Tìm hệ số của 6
x trong khai triển  1 n 3 x  + 
với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn x    2 2 3C + = + nP A n 4 n . 1 2 A. 6 210x . B. 210. C. 6 120x . D. 120. Lời giải Chọn B
Đk: n ≥ 2, n∈ .  2 2 3C + = + nP A n 4 1 2 n (n + )1! n! ⇔ 3 ( + = n − ) 2!n 4 1 !2! (n − 2)! 3 ⇔ n(n + )
1 + 2n = 4n(n − ) 1 2 5 15 n = 0 L 2 ( ) ⇔ n − n = 0 ⇔ 2 2  n = 3 10 Với  1 n
= 3, nhị thức trở thành 3 +  x  .  x  10−k Số hạng tổng quát là  1 C .  .( 3x)k k k 4k 10 =   C .x − 10 10  x
Từ yêu cầu bài toán ta cần có: 4k −10 = 6 ⇔ k = 4.
Vậy hệ số của số hạng chứa 6 x là 4 C = 210. 10 n
Câu 54. Tìm hệ số của số hạng chứa 6
x trong khai triển  2 3 2x  − 2 14 1 
(x ≠ 0), biết rằng + = ( k C x    2 3 C C n n n 3 n
là số tổ hợp chập k của n phần tử). A. 326592. B. 3265922 C. 3265592 D. 32692. Lời giải Chọn A Xét phương trình 2 14 1 + = ( ) 1 2 3 C C n n 3 n
Điều kiện: n ≥ 3, n∈
( ) 2.(n − 2)!.2! 14(n −3)!.3! 1 4 28 1 1 ⇔ + = ⇔ + = n! 3.n! n n(n − ) 1 n(n − ) 1 (n − 2) n 4 28 n = 9 2 ⇔ + = ⇔ n − + = n −
n − ⇔ n − n − = ⇔ n −1 (n − ) 1 (n − 2) 1 4( 2) 28 ( )1( 2) 7 18 0 n = 2 −  (l) Trang 23 9 9 k 9 Với n = 9 ta có:  3 2  k x − = ∑C .(2x )9 2 2 −k  3  k 9 . −
= ∑C .2 −k.( 3 −     )k 18−3 . k x 9 9  x k=0  x k=0
Số hạng tổng quát của khai triển là k 9 .2 −k.( 3 − )k 18−3 . k C x 9
Cho 18 − 3k = 6 ⇒ k = 4 ⇒ hệ số của số hạng chứa 6
x trong khai triển là 4 5 C .2 . 3 − = 326592 . 9 ( )4 n
Câu 55. Tìm số hạng chứa 26
x trong khai triển  1 7  +  x
biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức 4   x  1 2 n 20 C + C + + C = − . n+ n+ ... n+ 2 1 2 1 2 1 2 1 A. 325. B. 210 . C. 200 . D. 152. Lời giải Chọn B Từ giả thiết ta suy ra 0 1 2 n 20 C + C + C + + C = . n+ n+ n+ ... n+ 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Mặt khác: k 2n 1 + − C = k C ∀k ∈ k n nên ta có: n n  ≤ ≤ + + + , ,0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 n 1 C + C + C + + C = C + C + C + + n C = + n = n . n+ n+ n+ n+ ( 0 1 2 2 1 n+ n+ n+ n+ ) 1 ... ... (1 )2 1+ + 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 Suy ra: 2n 20 2 = 2 ⇔ n =10 . 10 10 k
Số hạng tổng quát trong khai triển  1 7  + k  1 −  kx là: k k − T = C x = C x . k 1 + 10  4  ( 7) 11 40 4   x  10  x  Hệ số của 26 x là k
C với k thỏa mãn: 11k − 40 = 26 ⇔ k = 6 . 10 Vậy hệ số của 26 x là 6 C = 210 . 10
Câu 56. Với n là số tự nhiên thỏa mãn n−6 2 C + =
, hệ số của số hạng chứa 4
x trong khai triển nhị − nA n n 454 4 thức Niu-tơn của  2 n 3 x  −  x    bằng A. 1972. B. 786 . C. 1692. D. 1792 − . Lời giải
Điều kiện n ≥ 6 và n∈ . (n − 4)!
(n −5)(n − 4) n−6 2 C n! + = ⇔ + n⋅ = 454 2 ⇔ + n (n − ) 1 = 454 − nA n n 454 4 (n −6)!2! (n − 2)! 2 3 2
⇔ 2n − n − 9n −888 = 0 ⇔ n = 8 (Vì n∈  ). 8
Khi đó ta có khai triển:  2 3 x  −  . x    8−k
Số hạng tổng quát của khai triển là k  2 C  ( 3 −x )k k = C (−  
)k 8−k 4k−8 1 2 x . 8 8  x
Hệ số của số hạng chứa 4
x ứng với k thỏa mãn: 4k −8 = 4 ⇔ k = 3 . Trang 24
Vậy hệ số của số hạng chứa 4 x là: 3 C (− )3 5 1 2 = 1792 − . 8
Câu 57. Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3
C + C = n , hệ số của số hạng chứa 5 x trong khai triển n n 13
của biểu thức  2 1 n x  +  bằng. 3 x    A. 120. B. 252 . C. 45 . D. 210 . Lời giải n! n n −1 n − 2 1 3 ( )( ) 2
C + C = n ⇔ n + = n ⇔ n +
= n ⇔ + n − n + = . n n 13 (n − ) 13 13 6 3 2 78 3! 3 ! 6 n = 7 − 2
⇔ n − 3n − 70 = 0 ⇔ 
. Vì n là số nguyên dương nên n =10 . n = 10 10 Ta có khai triển:  2 1 x  +  . 3 x    k
Số hạng tổng quát của khai triển:
k 2(10−k )  1  k 20−5 T = = . + C x . k   C x k 1 10 3 10  x  Số hạng chứa 5
x ứng với 20 − 5k = 5 ⇔ k = 3. Vậy hệ số của số hạng chứa 3 C =120 . 10
Câu 58. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 2 2 1
A = C + C + n + . Hệ số của số hạng chứa 9 x của khai n n n 4 6
triển biểu thức ( )  2 3 n P x x  = +  bằng: x    A. 18564. B. 64152 . C. 192456. D. 194265. Lời giải 2 2 1 n! n! n!
A = C + C + n + ⇔ = + + 4n + 6 n n n 4 6
(n − 2)! (n − 2)!.2! (n − )1!.1! − n = 1 − (l)
⇔ n(n − ) n(n ) 1 1 = + n + 4n + 6 2
⇔ n −11n −12 = 0 ⇔  . 2 n = 12  (n) 12 Khi đó ( )  2 3 P x x  = +  . x    k
Công thức số hạng tổng quát: T   = k k 24 3 .3 . k C x − = . + C x − k ( )12 2 k k 3 . . 1 12  x    12 Số hạng chứa 9
x ⇒ 24 − 3k = 9 ⇔ k = 5 .
Vậy hệ số của số hạng chứa 9
x trong khai triển là 5 5 C .3 =192456. 12
Câu 59. Biết n là số nguyên dương thỏa mãn n 1− n−2 C + C = , số hạng chứa 8 x trong khai triển n n 78  3 2 n x  −  là x    A. 8 101376 − x . B. 101376 − . C. 112640 − . D. 8 101376x . Lời giải (n − ) Ta có: n! n! 1 n n 1 − n−2 C + C = ⇔ + = 78 ⇔ n + = 78 n n 78
(n − )1!.1! (n − 2)!.2! 2 Trang 25 n =12 2
⇔ n + n −156 = 0 ⇔  ⇔ n =12 . n = 13 − 12 k
Số hạng tổng quát trong khai triển  3 2 x  − k −k k  2  k  là: (− ) 1 C x ( ) k k 36 4 1 .2 . k C x − = − . 12 ( )12 3 x       x  12
Cho 36 − 4k = 8 ⇔ k = 7 . 12 Vậy số hạng chứa 8
x trong khai triển  3 2 x  −  là 7 7 8 C − .2 .x 8 = 101376 − x . x    12
Câu 60. Với n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 3C − =
− . Trong khai triển biểu thức + A n n 3 n 52 1 1 ( ) ( 3 2 + 2 )n x y
, gọi T là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của T là k k A. 54912 . B. 1287 . C. 2574 . D. 41184 . Lời giải
Điều kiện: n ≥ 2 , * n∈ . (n +1)! Ta có 3 2 3C − = − n! ⇔ 3. − 3 = 52 n −1 + A n n 3 n 52 1 1 ( ) 3!(n − 2)! (n − 2) ( ) !
(n −1)n(n +1) ⇔
− 3n(n −1) = 52(n −1) 2
⇔ n + n −6n = 104 2 n = 13 2
⇔ n − 5n −104 = 0 ⇔  ⇔ n = 13 . n = 8 − ( 13 13 x + y )13 3 2 2 = ∑ ( )13 3 −k ( 2 2 k k C x y k k 39−3k 2 = ∑ 2 k C x y . 13 ) 13 0 0
Ta có: 39 − 3k + 2k = 34 ⇔ k = 5 . Vậy hệ số 5 5 C 2 = 41184 . 13
Câu 61. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2
5C − C = . Tìm hệ số a của 4
x trong khai triển của biểu n n 5 n thức  1 2x  +  . 2 x   
A. a =11520 . B. a = 256 .
C. a = 45 .
D. a = 3360 . Lời giải
Điều kiện n∈ , n ≥ 2 . n n −1 n =1 1 2 ( )
Có 5C − C = ⇒ n − = 2
⇔ n −11n +10 = 0 ⇔ n n 5 5 5 2  n =10
Do n ≥ 2 ⇒ n =10. 10 10 k 10 Xét khai triển:  1  k −k  1 2x + = ∑C 2x .  k =    
∑C 2 −k − k x 2 ( )10 10 10 3 10 2 10  x k =0  x k =0 Hệ số a của 4
x trong khai triển tương ứng với 10 − 3k = 4 ⇔ k = 2.
Vậy hệ số cần tìm là 2 8
a = C .2 =11520 . 10 2n
Câu 62. Với n là số nguyên dương thỏa mãn n−2 3 3A + C = . Hệ số của 6
x trong khai triển  1  2x  − là n n 40 x    A. 1024. B. 1024 − . C. 1042 − . D. 1042. Trang 26 Lời giải
Điều kiện n ≥ 3,n∈ .   Ta có n−2 3 n! n! 3 1 3A + C = ⇔ + = ⇔ n  +  = . n n 40 3 (n ) 40 ! (n ) 40 2! 3! 3 ! 2 6 3 ! − −   Vì 3 1 + (
> nên n!< 40 . Lần lượt thử các giá trị n = 3,4 ta có n = 4 thỏa mãn. n − ) 1 2 6 3 ! 8 k Với  1 k −k  1
n = 4 , số hạng tổng quát trong khai triển 2x  − 8  k −k k  là 2 − = 2 1 − k C x C −   x . 8 ( ) 8 8 ( ) 8 2 x     x  Số hạng chứa 6
x tương ứng với 8 − 2k = 6 ⇔ k =1. Do đó hệ số cần tìm là 1 8 1 C 2 − 1 − = 1024 − . 8 ( )1
Câu 63. Với n là số nguyên dương thoả mãn 2 1 A + C =
, số hạng không chứa x trong khai triển của n 3 n 120 biểu thức  4 3 n x  −  bằng x    A. 295245 . B. 245295 . C. 292545 . D. 259254 . Lời giải Giải phương trình: 2 1 A + C =
, Đk: n ≥ 2,n∈ n 3 n 120  . n =10 2 1 A + C =
⇔ n n − + n = ⇔ n 3 n 120 ( )1 3 120 n = 12 −  (l) 10 Có  4 3 n x  −  k = ∑C 3 k k − x − . 10 ( ) 40 5 x    k=0
Số hạng không chứa x khi 40 − 5k = 0 ⇔ k = 8 .
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 8 C . 3 − = 295245 10 ( )8 . 2n
Câu 64. Tìm hệ số của số hạng chứa 8
x trong khai triển nhị thức Niutơn của  n x  + ,(x ≠   0), biết số  2x 2 
nguyên dương n thỏa mãn 3 2 C + A = n n 50. A. 97 . B. 29 . C. 297 . D. 279 . 12 51 512 215 Lời giải
điều kiện n∈ N,n ≥ 3. 3 2 n! n! C + A = ⇔ + = n n 50
(n − ) (n − ) 50 3! 3 ! 2 ! ⇔ n(n − )
1 (n − 2) + 6n(n − ) 1 − 300 = 0 3 2
⇔ n + 3n − 4n − 300 = 0 ⇔ n = 6 . 12
Ta có nhị thức  3 x  +  . x 2    12−k k k 12−k
Số hạng tổng quát k  3   x C .3 12 2k 12 C . =     .x − 12  x   2  2k
Cho 2k −12 = 8 ⇒ k =10. Trang 27 10 2
Hệ số cần tìm là C .3 297 12 = . 10 2 512 n
Câu 65. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  2 3 2x  − 
(x ≠ 0) , biết rằng x    1 2 3
1.C + 2.C + 3.C +... n + nC = n ( k
C là số tổ hợp chập k của n phần tử). n n n n 256 n A. 489888 . B. 49888 . C. 48988 . D. 4889888 . Lời giải
Xét khai triển ( + x)n 0 1 2 2 3 3 1
= C + C x + C x + C x +... n n + C x ( ) 1 n n n n n Đạo hàm hai vế của ( )
1 ta được: n( x)n 1− 1 2 3 2 n n 1 1 C C x C x nC x − + = + + + + (2) n 2 n 3 n ... n
Trong công thức (2) ta cho x =1 ta được: n 1 − 1 2 3
n2 = C + 2.C + 3.C +... n + nC n 1 .2 n − ⇔ = 256n n 1 2 − ⇔ = 256 ⇔ n = 9 . n n n n n 9 9 Khi đó,  2 3 2x  −   k k  2 3 = 2x − = ∑C 3 − 2 −k. − k x . 9 ( ) 9 18 3 x      x n=0 9
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển  2 3 2x  − 
nếu 18 − 3k = 0 hay k = 6 . x   
Suy ra số hạng cần tìm là 6 C ( 3 − )6 3 2 = 489888. 9
Câu 66. Giả sử có khai triển (1− 2x)n 2
= a + a x + a x +... n + a x . Tìm + + = 0 1 2 a a a 71. n a biết 5 0 1 2 A. 672 − . B. 672 . C. 627 . D. 627 − . Lời giải n
Ta có (1− 2x)n k
= ∑C − x . Vậy a =1; 1 a = 2 − C ; 2 a = 4C . n ( 2 )k 0 1 n 2 n k =0
Theo bài ra a + a + a = 71 nên ta có: 0 1 2 1 2 n! n! 1− 2C + C = ⇔ 1− 2 + 4
= 71 ⇔ 1− 2n + 2n(n − ) 1 = 71 n 4 n 71 ( 1! n − ) 1 ! 2 (!n − 2)! 2
⇔ 2n − 4n − 70 = 0 2
⇔ n − 2n − 35 = 0 ⇔ n = 7 hoặc n = 5 − (loại). Từ đó ta có 5 a = C 2 − = 672 − . 5 7 ( )5
Câu 67. Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 2 3 A − C =
, tìm hệ số a của số hạng chứa 5 x n n 10 5
trong khai triển  2 2 n x  −  với x ≠ 0 . 3 x    A. a =10 . B. 5 a = 10 − x . C. 5 a =10x . D. a = 10 − . 5 5 5 5 Lời giải Ta có 2 3 n! n! A − C = ⇔ −
=10 , (n ∈ ,n ≥ 3) n n 10 (n − 2)! ( 3! n − 3)! n = 2 − ⇔ n(n − ) 1 1 − n(n − ) 1 (n − 2) = 10 1 3 3 2 4 n n n 10 0  ⇔ − + − − = ⇔ n = 6 . 6 6 2 3  n =  5
So điều kiện nhận n = 6 hay n = 5. Trang 28 6 6 6 Khi    − n 2 k −k 2 k = 6, ta có 2 2(6 ) x  ∑C x  − =  k = ∑C 2 k k − x − . 6 ( ) 12 5 3 6  3 x    k =0  x k =0 Để có 5 x thì 7
12 − 5k = 5 ⇔ k = . 5 5 5 5 Khi    − n 2 k −k 2 k = 5 , ta có 2 2(5 ) x  ∑C x  − =  k = ∑C 2 k k − x − . 5 ( ) 10 5 3 5  3 x    k =0  x k =0 Để có 5
x thì 10 − 5k = 5 ⇔ k = 1. Vậy 1 a = C 2 − = 10 − . 5 5 ( )
Câu 68. Tìm hệ số của 5
x trong khai triển ( + )2 1 3 n x biết 3 2 A + A = n 2 n 100 A. 61236 . B. 63216 . C. 61326 . D. 66321. Lời giải Ta có: 3 2 n! n! A + A = ⇔ + 2
=100 ⇔ n(n − )
1 (n − 2) + 2n(n − ) 1 =100 n 2 n 100
(n −3)! (n − 2)! 3 2
⇔ n − n −100 = 0 ⇔ n = 5 . 10 Ta có: ( + )2 1 3 n x = ( + )10 1 3x k = ∑C 3 k x . 10 ( ) k =0 Hệ số 5 x sẽ là 5 5 C 3 = 61236 . 10
Câu 69. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n 0 n 1 − 1 n−2 2
3 C − 3 C + 3 C −.....+ (− ) 1 n n C = . Hệ số của n n n n 2048 10 x trong khai triển ( 2)n x + là: A. 11264. B. 22 . C. 220 . D. 24 . Lời giải Ta có ( − )n n 0 n 1 − 1 n−2 2
3 1 = 3 C − 3 C + 3 C −.....+ (− ) 1 n n C n n n n 2n ⇔ = 2048 n 11 ⇔ 2 = 2 ⇔ n =11.
Xét khai triển (x + 2) 11 11 k 11 k
= ∑C x − .2k 11 k =0 Tìm hệ số của 10
x ⇔ tìm k ∈  (k ≤ )
11 thỏa mãn 11− k =10 ⇔ k =1. Vậy hệ số của 10
x trong khai triển (x + )11 2 là 1 C .2 = 22 . 11 n
Câu 70. Trong khai triển  2 1 3x  +  biết hệ số của 3 x là 4 5
3 C . Giá trị n có thể nhận là x    n A. 9. B. 12. C. 15. D. 16. Lời giải n k n n Ta có  2 1 3x  + = ∑C ( 2 3x )n−k k  1 
k n−k 2n−3 =     ∑C 3 k x . n nx k =0  x k =0 2n − 3k = 3  n − k = 4 k = 5 Biết hệ số của 3 x là 4 5 3 C nên  ⇔ . n k 5  =  n = 9
0 ≤ k ≤ n, 
(k,n∈ N ) Vậy n = 9 . Trang 29 n
Câu 71. Hệ số của số hạng chứa 8
x trong khai triển  1 5 x  + ; x >   0 biết n 1+ n C − = + là + C + n n n 7 3 4 3 ( ) 3 ( )  xA. 1303. B. 313. C. 495 . D. 13129. Lời giải
Điều kiện: n∈ Ta có + + + n n n n 4 ! 3 ! 1 C − = + ⇔ − = + + C + n n n n 7 3 7 3 4 3 ( ) ( ) ( ) (n + ) ( ) 1 !3! n!3!
(n + 4)(n +3)(n + 2) (n +3)(n + 2)(n + )1 ⇔ − = 7(n + 3) 6 6
⇔ 3n = 36 ⇔ n =12 . Xét khai triển 12 12  1   1 k −k k x ∑C  + =     x
(0 ≤ k ≤12,k ∈) 3 3 ( )12 5 5 12  xk =0  x  12 60 11 − k k 2 = ∑C x . 12 k=0 − Để số hạng chứa 8 k
x thì 60 11 = 8 ⇔ k = 4 . 2 Vậy hệ số chứa 8
x trong khai triển trên là 4 C = 495 . 12 n
Câu 72. Tìm hệ số của 4  1 
x trong khai triển nhị thức Newton 2x + 
với x > 0 , biết n là số tự nhiên 5 x    lớn nhất thỏa mãn 5 4 A ≤ A . n 18 n−2 A. 8064 . B. 3360. C. 13440. D. 15360. Lời giải n ≥ 6 Điều kiện:  n ∈ n! (n − 2)! Khi đó 5 4 A ≤ A ⇔ ≤ 18. n 18 n−2 (n −5)! (n −6)! ⇔ n(n − )
1 (n − 2)(n −3)(n − 4) ≤18(n − 2)(n −3)(n − 4)(n −5) ⇔ n(n − ) 1 ≤18(n −5) 2
⇔ n −19n + 90 ≤ 0 ⇔ 9 ≤ n ≤10 n→max → n =10 . 10 k
Số hạng tổng quát trong khai triển  1 2x  + k −k  1   là T = + C x k . 2 . 1 10 ( )10 5 x      5  x k 50−6k k 10 k 10 k 5
C .2 .x .x− − − = k 10−k 5 = C .2 .x . 10 10 − Tìm k
k sao cho 50 6 = 4 ⇔ k = 5 . 5
Vậy hệ số của số hạng chứa 4 x là 5 10−5 C .2 = 8064. 10 Trang 30
Câu 73. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2 1 n x  −  biết 2 2 A − C = . n n 105 x    A. 3003 − . B. 5005 − . C. 5005. D. 3003. Lời giải Ta có: 2 2 A − C = n! n! 1 ⇔ − = ⇔ n(n − ) 1 =105 2
⇔ n − n − 210 = 0 n n 105 (n − ) (n − ) 105 2 ! 2! 2 ! 2 n = 15 ⇔  . n = 14 −  (L) k
Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển: T   = − k . 1 k . k C x − = − . 15 ( ) 30 3 + C x − k ( )15 2 k k 1 . . 1 15  x   
Tìm 30 − 3k = 0 ⇔ k =10 .
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: 10 C . 1 − = 3003. 15 ( )10
Câu 74. Tìm hệ số của 5
x trong khai triển thành đa thức của ( − )2 2 3 n
x , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: 0 2 4 2 C + + + + = . + C + C + ... n C n n n n+ 1024 2 1 2 1 2 1 2 1 A. 2099529 . B. 2099520 − . C. 1959552 − . D. 1959552. Lời giải
Ta có (x + )2n 1+ 0 2n 1 + 1 2n 2n 2n 1 1 = C + + + + ( ) 1 + x C + x C + x C + n . n . ... n . 2 1 2 1 2 1 2n 1 + Thay x =1 vào ( ) 1 : 2n 1+ 0 1 2n 2n 1 2 = C + + + + (2) + C + C + C + n n ... 2 1 2 1 2n 1 2n 1 + Thay x = 1 − vào ( ) 1 : 0 1 2 2 1 0 = C − + − − + (3) + C + C + C + n n ... n n 2 1 2 1 2n 1 2n 1 +
Phương trình (2) trừ (3) theo vế: 2n 1 2 + = 2( 0 2 2 C + + + + C + C n n ... n 2 1 2 1 2n 1 + ) Theo đề ta có 2n 1 2 + = 2.1024 ⇔ n = 5
Số hạng tổng quát của khai triển ( − )10 2 3x : k 10 T = − = − +
C .2 −k.( 3x)k k 10
C .2 −k. 3 k . k x k 1 10 10 ( )
Theo giả thiết ta có k = 5 . Vậy hệ số cần tìm 5 5 C .2 . 3 − = 1959552 − . 10 ( )5
Câu 75. Biết n là số nguyên dương thỏa mãn n 1− n−2 C + C = , số hạng chứa 8 n n 78 x trong khai triển  3 2 n x  −  là x    A. 8 101376 − x . B. 101376 − . C. 112640 − . D. 8 101376x . Lời giải (n − ) Ta có: n 1− n−2 C + C = n! n! 1 n ⇔ + = ⇔ + = n n 78 ( n 78 n − ) (n − ) 78 1 !.1! 2 !.2! 2 n =12 2
⇔ n + n −156 = 0 ⇔  ⇔ n =12 . n = 13 − 12 k
Số hạng tổng quát trong khai triển  3 2 x  − k −k k  2  k  là: (− ) 1 C x ( ) k k 36 4k 12 ( )12 3 1 C .2 .x − = − . x       x  12
Cho 36 − 4k = 8 ⇔ k = 7 . 12 Vậy số hạng chứa 8
x trong khai triển  3 2 x  −  là 7 7 8 C − .2 .x 8 = 101376 − x . x    12 Trang 31 n
Câu 76. Tìm số hạng chứa 5
x trong khai triển  2 x  − 4 
 , biết n là số tự nhiên thỏa mãn 3 2
C = n + C n 2  x  3 n A. 134 B. 144 C. 115 D. 141 Lời giải:
Điều kiện : n ≥ 3,n∈ . Ta có 3 4 2 n! 4 n!
C = n + C ⇔ = n + ⇔ n n −
n − = n + n n − n 2 n (n − ) (n − ) ( )1( 2) 8 6 ( )1 3 3! 3 ! 3 2 ! n = 0 2 2
⇔ n − 3n + 2 = 8 + 6n − 6 ⇔ n − 9n = 0 ⇔ 
. Đối chiếu điều kiện ta được n = 9 . n = 9 9 − k −k 2 k 9 ( )
Số hạng tổng quát của khai triển  2 x  − k   , là : C x . = 2 k − k − C x 9 k ( ) 9 2  x  9 x Số hạng này chứa 5
x ứng với 9 − 2k = 5 ⇔ k = 2.
Vậy hệ số của số hạng đó là 2 4.C =144 . 9
Câu 77. Tìm hệ số không chứa x trong khai triển  3 2 n x  − 
, biết n là sô nguyên dương thỏa mãn x    n 1 − n−2 C + C = . n n 78 A. 112640. B. 112643. C. 112640 − . D. 112643 − . Lời giải n(n − ) n = 12 n 1 − n−2 C + C = 1 ⇔ + = ⇔ . n n 78 n 78 2 n = 13 −  (l) n 12  12 k 12 3 2   3 2 x 12−k k k  1    x  − = −  = ∑C ( 3x 2 − = k ∑C 2 k k − x − . 12 ( ) 36 4 12 ) ( ) x x        k=0  x k =0
Số hạng không chứa x ứng với 36 − 4k = 0 ⇔ k = 9 là 9 C 2 − = 112640 − . 12 ( )9 10  + − 
Câu 78. Cho biểu thức x 1 x 1 P =  −
 với x > 0 , x ≠ 1. Tìm số hạng không chứa x trong 3 2 3
x − x +1 x − x
khai triển Niu-tơn của P . A. 200 . B. 160. C. 210 . D. 100. Lời giải + − + Ta có x 1 x 1 3 x 1 3 1 − = x +1− = x − . 3 2 3
x − x +1 x − x x x 10 10  + −  Nên x 1 x 1  3 1 P    x  = − = −  . 3 2 3
x − x +1 x − x   x  10− k k 20−5k
Số hạng tổng quát của khai triển là: k  1 −  3 C x . = (−   )k k 6 1 C x . 10 10  x
Khi k = 4 thì số hạng không chứa x là (− )4 4 1 C = 210. 10 9
Câu 79. Số hạng không chứa x trong khai triển f (x)  2 x  = − 
 , x ≠ 0 bằng 2  x Trang 32 A. 5376. B. 5376 − . C. 672 . D. 672 − . Lời giải 9 9
Ta có f (x) = (x − 2x− )9 2 k = ∑C ( 2 2
− x− )k 9−k k x = ∑C ( 2
− )k 2−×k 9−k x x 9 9 k =0 k =0 9 k = ∑C ( 2 − ) 9 k 2 − k +9−k k x = ∑C ( 2 − )k 9−3k x 9 9 k =0 k =0
Số hạng không chứa x của khai triển f (x) ứng với9 − 3k = 0 ⇔ k = 3
Vậy hệ số không chứa x là 3 C . 2 − = 672 − . 9 ( )3 14
Câu 80. Số hạng không chứa x trong khai triển của   3 2 x −  với x > 0 là: 4 x    A. 6 8 2 C . B. 6 6 2 C . C. 8 8 2 C . D. 8 8 2 − C . 14 14 14 14 Lời giải k 56−7 14 k −k
Số hạng tổng quát trong khai triển là: ( )k k C ( 3 x)  2 1 . .  − = (−   )k k k 12 1 C .2 .x 14 14 4  x
Cho 56 − 7k = 0 ⇔ k = 8 . 12
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 8 8 2 C . 14 11
Câu 81. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 11  1 x x  +  với x > 0 . 5 x    A. 485 . B. 238 . C. 165. D. 525. Lời giải 11 11 11−k 11 33 11 − k Ta có 11  1 x x  +  11 k 2 5
= x ∑C .x . − k x k 2 = ∑C .x . 5 x    11 11 k=0 k=0
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 33−11k = 0 ⇔ k = 3. Số hạng cần tìm là 3 C =165 . 11
Câu 82. Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 C + C = , số hạng không chứa n n 55
x trong khai triển của biểu thức  3 2 n x  +  bằng 2 x    A. 13440 B. 3360 C. 80640 D. 322560 Lời giải Chọn A Ta có: 1 2 C + C = n n 55 n! n! n(n − ) 1 n = 10 2 ⇔ ( + = ⇔ n + = ⇔ n + n − = ⇔ ⇒  n = 1! n − ) 1 ! 2 (!n − 2) 55 55 110 0 10 ! 2 n = 11 −
Với n =10 thì ta có:  10 10 10 −k 10 10 3 2 n x  +  2  k k  2   = 3 3 k 3k 10−k 2k −20 k 10−k 5k −20 x + = ∑C .x .
= ∑C .x .2 .x =     ∑C .2 .x 2 x    2 10 2 10 10  x k =0  x k =0 k =0
Để có số hạng không chứa x thì 5k − 20 = 0 ⇔ k = 4 .
Do đó hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: 4 6 C .2 =13440 . 10 Trang 33 n  
Câu 83. Tìm số hạng không chứa 1
x trong khai triển của x  x    
vớix  0, nếu biết rằngn là số 4  x  nguyên dương thỏa mãn 2 1 C C  44 . n n A. 485. B. 525. C. 165. D. 238 Lời giải Chọn C Điều kiện: n  ,  n  2 n n  1 n   11 (tm) 2 1   C C 44 n 44        n n 2 n   8  11 k 11   11 11 33 11  k k   Ta có 1   k 1   k xx    C x x      C x 4     2 11  4  11 x    k0 x k0 Số hạng không chứa  k
x trong khai triển ứng với 33 11  0  k  3 2
Vậy số hạng không chứa x trong khai triểnlà 3 C  165 . 11
Câu 84. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của  1 n x x  + 
, với x > 0 , nếu biết rằng 4 x    2 1 C − C = . n n 44 A. 165. B. 238 . C. 485 . D. 525. Lời giải n ≥ 2 ĐK:  (*) . n ∈  n n −1 2 1 ( ) Ta có C − C = ⇔ − n =
⇔ n = hoặc n = 8 − . n n 44 44 11 2 11
Với n =11, số hạng thứ k +1 trong khai triển nhị thức  1 x x  +  là 4 x    − C (x x) 33 11 11  1 k k − k kk 2 2 =   C x . 11 4 11  x
Theo giả thiết, ta có 33 11k − = 0 hay k = 3. 2 2
Vậy, số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là 3 C =165 . 11 2n
Câu 85. Số hạng không chứa x trong khai triển  3 2x  − 
với x ≠ 0 , biết n là số nguyên dương thỏa 3 x    mãn 3 2
C + n = A là: n 2 n 1 + A. 12 4 12 C − .2 .3 . B. 0 16 C .2 . C. 12 4 12 C .2 .3 . D. 16 0 C .2 . 16 16 16 16 Lời giải
Với điều kiện n ≥ 3, n∈ , ta có n(n − ) 1 (n − 2) 3 2
C + n = A ⇔
+ 2n = (n + ) ⇔ (n − )
1 (n − 2) +12 = 6(n + ) 1 n 2 n 1 + 1 n 3! n =1(loaïi) 2
⇔ n − 9n + 8 = 0 ⇔  . n = 8(thoû ) a Trang 34 16
Với n = 8, ta có số hạng thứ k +1 trong khai triển  3 2x  −  là 3 x    k 4 k
C ( x)16−k  3 2  − k 2 k C 3 k k x − − = − . 16 ( ) 16 16 3 16  3 x   
Theo đề bài ta cần tìm k sao cho 4
16 − k = 0 ⇔ k =12. 3
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển là 12 4 12 C .2 .3 . 16
Câu 86. Với số nguyên dương n thỏa mãn 2 C − n = , trong khai triển  2 nx  +
số hạng không chứa x n 27 2 x    là A. 84. B. 672 . C. 8 . D. 5376. Lời giải n! n n −1 2 ( ) C − n = ⇔ − n = ⇔ − n = n 27 (n − ) 27 27 2! 2 ! 2 n = 9 (TM ) 2
⇔ n − 3n − 54 = 0 ⇔  n = 6 −  (L) 9 Xét khai triển  2 x  +  có số hạng tổng quát 2 x    k
k 9−k  2  k k 9−3 T = = +
C x .  C .2 k x k 1 9 2 9  x
Số hạng không chứa x nên 9 − 3k = 0 ⇔ k = 3.
Vậy số hạng không chứa x là: 3 3 T = C .2 = 672 4 9 .
Câu 87. Cho khai triển (1−3x + 2x )2017 2 2 4034
= a + a x + a x +...+ a x . Tìm a . 0 1 2 4034 2 A. 9136578 B. 16269122. C. 8132544 . D. 18302258. Lời giải Chọn D
Ta có A = ( − x + x )2017 = ( − x) 2017 2 2 1 3 2 1 3 + 2x    0 ⇒ A = C (1−3x)2017 1 + C (1−3x)2016 ( 2 2x ) 2 + C (1−3x)2015 ( 2 2x )2 2017 + . .+ C ( 2 2x . 2017 2017 2017 2017 )2017
Trong khai triển trên chỉ có hai số hạng 0 C 1− 3x , 1 C (1−3x)2016 ( 2
2x xuất hiện biểu 2017 ) 2017 ( )2017 thức chứa 2 x 0
C (1−3x)2017 0 0 1 = C
C −C (3x) 2 + C (3x)2 3 − C (3x)3 2017 +...− C 3x  2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 ( )2017   ⇒ Hệ số chứa 2 x trong số hạng 0 C 1− 3x là: 0 2 C C 3 2017 2017 ( )2 2017 ( )2017 1  C ( 1−3x)2016 ( 2 2x ) 1 = C ( 2 2x ) 0 1
C −C (3x) 2 + C (3x)2 2016 +...+ C 3x  2017 2017 2016 2016 2016 2016 ( )2016   ⇒ Hệ số chứa 2 x trong số hạng 1 C (1−3x)2016 ( 2 2x là: 1 0 2 2017 ) C C . 2017 2016 Vậy hệ số 0 2 a = C C (3)2 1 0 + 2C C = 18302258 2 2017 2017 2017 2016
Câu 88. Tìm hệ số của 7
x trong khai triển f (x) = ( − x + x )10 3 1 3 2 thành đa thức. Trang 35 A. 204120 . B. 262440 − . C. 4320 − . D. 62640 − . Lời giải − f (x) = ( k 3 1− 3x + 2x ) 10 k
= ∑C (1−3x) −k .( 3 2x ) 10 10 10 10 k k i = ∑ ∑ C C − . − x x k ( 3 )i .( 3 2 k 10 10 10 ) k =0 k =0 i=0 10 10−k k i = ∑ ∑ C C −
x + (i,k ∈,0 ≤ k ≤10,0 ≤ i ≤10 − k ) . −k ( 3)i k i 3 .2 . k 10 10 k =0 i=0 Số hạng chứa 7
x ứng với i + 3k = 7 . Vậy hệ số của 7 x là: 2 1 C .C .( 3 − ) 2 1 4 .2 + C .C .( 3 − )4 0 7 .2 + C .C . 3 − = 62640 − . 10 8 10 9 10 10 ( )7
Câu 89. Cho khai triển (3− 2x + x )9 2 18 17 16
= a x + a x + a x +...+ a . Giá trị a bằng 0 1 2 18 15 A. 218700 . B. 489888 . C. 804816 − . D. 174960 − . Lời giải 9 9 k
Ta có: (3− 2x + x )9 2 k 18−2 = ∑C . k x .(3− 2x)k k 18−2 = ∑C . k i x
∑C .3k−i − x (0 ≤ i ≤ k ≤ 9) k 2 i 9 9 ( ) k =0 k =0 i=0 i  = 1 i  = 3
Giá trị a ứng với: 18 − 2k + i = 3 ⇒  ∨ . 15 k 8  = k = 9 Vậy: 8 1 7
a = C .C .3 .( 2 − )1 9 3 6 + C .C .3 . 2 − = 804816. − 15 9 8 9 9 ( )3 9
Câu 90. Tìm hệ số của 3  1
x sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của 2 x 2x  − +  , x ≠ 0 . x    A. 2940 − . B. 3210. C. 2940 . D. 3210 − . Lời giải Ta có 9 9  1 9 9 −k 9 k 2  1 x 2x k  1  k k i k k −ix(2x ) 1  − + = + −  = ∑C .x . 2x −   1 = ∑∑C C 1 − 2i. k+i x − . k 9 ( ) 2 9 9 ( ) xx      k=0  x k =0 i=0
Theo yêu cầu bài toán ta có 2k + i − 9 = 3 ⇔ 2k + i =12 ; 0 ≤ i ≤ k ≤ 9; i,k ∈
Ta có các cặp (i;k) thỏa mãn là: (0;6),(2;5),(4;4) . Từ đó hệ số của 3 x là : 0 6 C C (− )6−0 0 2 5 1 .2 + C C (− )5−2 2 4 4 1 .2 + C C (− )4−4 4 1 .2 = 2940 − . 6 9 5 9 4 9
Câu 91. Hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển (x − x + )6 2 3 2 bằng A. 6432 − . B. 4032 − . C. 1632 − . D. 5418 − . Lời giải
( 2x −3x+2)6 = (x− )6 1 (x − 2)6
Số hạng tổng quát trong khai triển (x − )6 1 là k. k C x (− )6
1 −k với k = 0;1;2...;6 . 6
Số hạng tổng quát trong khai triển (x − )6 2 là i. i C x ( 2
− )6−i với i = 0;1;2...;6 . 6
Số hạng tổng quát trong khai triển ( 2
x − 3x + 2)6 = (x − )6
1 (x − 2)6 là k k (− )6 1 −k . i i C x C x ( 2 − )6−i 6 6 k i i k = C C x (− )12
1 −i−k .(2)6− + i 6 6 Trang 36 Số hạng chứa 7
x ứng với i + k = 7 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm
i =1⇒ k = 6 ⇒ hệ số là 6 1 = C C 1 − . 2 = 192 − 6 6 ( )5 ( )5
i = 2 ⇒ k = 5 ⇒ hệ số là 5 2 = C C 1 − . 2 = 1440 − 6 6 ( )5 ( )4
i = 3 ⇒ k = 4 ⇒ hệ số là 4 3 = C C 1 − . 2 = 2400 − 6 6 ( )5 ( )3
i = 4 ⇒ k = 3 ⇒ hệ số là 3 4 = C C 1 − . 2 = 1200 − 6 6 ( )5 ( )2
i = 5 ⇒ k = 2 ⇒ hệ số là 2 5 = C C 1 − . 2 = 180 − 6 6 ( )5 ( )1
i = 6 ⇒ k =1 ⇒ hệ số là 1 6 = C C 1 − . 2 = 6 − 6 6 ( )5 ( )0
Vậy hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển (x − x + )6 2 3 2 bằng 5418 − Cách 2.
(x − x+ )6 = (x +(− x+ ))6 2 2 3 2 3 2
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là k C .(x )6 2 −k 3
− x + 2 k với k = 0;1;2...;6 . 6 ( )
Số hạng tổng quát trong khai triển ( 3 − + 2)k x là i
C .2k−i − x với 0 ≤ i ≤ k . k ( 3 )i
Số hạng tổng quát trong khai triển (x − x + )6 2 3 2 là k C .(x )6 2 −k i
C .2k−i − x k 3 i 6 ( ) k i C C − x − + = −
k .2k i ( 3)i .( 12 2k i 6 ) Số hạng chứa 7
x ứng với 12 − 2k + i = 7 ⇔ 2k − i = 5. Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm
k = 3 ⇒ i =1 ⇒ hệ số là 3 1 2 = C C 2 3 − = 720 − 6 3 ( )1
k = 4 ⇒ i = 3 ⇒ hệ số là 4 3 = C C 3 − . 2 = 3240 − 6 4 ( )3 ( )1
k = 5 ⇒ i = 5 ⇒ hệ số là 5 5 = C C 2 . 3 − = 1458 − 6 5 ( )0 ( )5
Vậy hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển (x − x + )6 2 3 2 bằng 5418 − .
Câu 92. Tìm hệ số của số hạng chứa 5
x trong khai triển ( + + + )10 2 3 1 x x x . A. 582. B. 1902. C. 7752 . D. 252 . Lời giải 10 10 Ta có: ( + + + )10 2 3 1 x x x = ( 2
1+ x )10 (1+ x)10 k 2 = ∑C . k x . i ∑ 10 10 C . ix k i 2
= ∑∑C .C . k i x + 10 10 10 10 k =0 i=0 k =0 i=0
Hệ số của số hạng chứa 5
x nên 2k + i = 5 .
Trường hợp 1: k = 0 , i = 5 nên hệ số chứa 5 x là 0 5 C .C . 10 10
Trường hợp 2: k =1, i = 3 nên hệ số chứa 5 x là 1 3 C .C . 10 10
Trường hợp 3: k = 2 , i =1 nên hệ số chứa 5 x là 2 1 C .C . 10 10
Vậy hệ số của số hạng chứa 5 x là 0 5 1 3 2 1
C .C + C .C + C .C =1902. 10 10 10 10 10 10
Câu 93. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 0 1 2
3C + 4C + 5C +...+ (n + 3) n C = n n n n
3840 .Tổng tất cả các hệ số của
các số hạng trong khai triển 2 3 (1+ − + )n x x x là A. 10 4 . B. 9 4 . C. 10 2 . D. 9 2 . Lời giải 0 1 2
3C + 4C + 5C +...+ (n + 3) n C = n n n n 3840 ⇔ ( + ) 0 C + ( + ) 1 C + ( + ) 2 0 3 1 3
2 3 C +...+ (n + 3) n C = n n n n 3840 Trang 37 ⇔ ( 1 2 n
C + C + + nC ) + ( 0 1 2 2 ...
3 C + C + C +... n + C = n n n n n n n ) 3840 n 1 .2 3.2n n − ⇔ + = 3840 ⇔ n = 9
Cho x =1 ⇒ + x − x + x = ( + − + )9 2 3 9 2 3 9 (1 ) 1 1 1 1 = 2 .
Câu 94. Giả sử (1+ x + x + x +...+ x )11 2 3 10 2 3 110
= a + a x + a x + a x +...+ a x với a a a a 0 , 1, 2 ,…, 110 là 0 1 2 3 110 0 1 2 3 10 11
các hệ số. Giá trị của tổng T = C a − C a + C a − C a +...+ C a − C a 11 11 11 10 11 9 11 8 11 1 11 0 bằng A. T = 11 − . B. T =11. C. T = 0 . D. T =1. Lời giải Ta có: A = ( 2 3 10
+ x + x + x + + x )11 ⇔ ( − x)11 A = ( 11 1 ... 1 1− x )11 11 k
⇔ ∑C (−x) 110 11 k . i m
∑a x = ∑C −x . i ( 11 m 11 11 ) k=0 i=0 m=0
  P Q Hệ số của 11
x trong P là: 0 1 2 3 10 11
C a − C a + C a − C a +...+ C a − C a = T 11 11 11 10 11 9 11 8 11 1 11 0 Hệ số của 11
x trong Q là: 1 C − 11 Vậy 1 T = C − = 11 − . 11 18
Câu 95. Sau khi khai triển và rút gọn thì 12  2 1
P(x) (1 x) x  = + + + 
có tất cả bao nhiêu số hạng x    A. 27 . B. 28 . C. 30. D. 25 Lời giải Chọn A 18
Đặt A = ( + x)12 1 ;  2 1 B x  = +  x   
Ta có khai triển A = (1+ x) 12 12 k k
= ∑C x có 13 số hạng. 12 k = 18 18 Và khai triển  2 1  l 36−3l B = x + =  
∑C x có 19 số hạng. 18  x l=0
Ta đi tìm các số hạng có cùng lũy thừa, mà giản ước được trong khai triển P(x) , ta phải có :
36 − 3l = k ⇔ k + 3l = 36 (1)
Phương trình cho ta ta 5 cặp nghiệm thỏa mãn (k;l) = {(0;12),(3;11),(6;10),(9;9),(12;8)}tương ứng với 5 số hạng.
Vậy sau khi khai triển và rút gọn P(x) ta có 13+19 − 5 = 27 số hạng.
Câu 96. Cho đa thức P(x) = (x − )2017 + ( − x)2018 2 3 2 2018 2017 = a x + a x
+ ...+ a x + a . Khi đó 2018 2017 1 0 S = a + a
+ ...+ a + a bằng 2018 2017 1 0 A. 0 . B. 1. C. 2018 . D. 2017 . Lời giải Ta có P(x) 2018 2017 = a x + a x + ...+ a x + a 2018 2017 1 0
Cho x =1 ⇒ P(1) = a + a
+ ...+ a + a = ( − )2017 + ( − )2018 1 2 3 2.1 = 0 . 2018 2017 1 0 12 21
Câu 97. Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức f (x)  2 3   3 1 x 2x  = + + +   
thì f (x) có bao nhiêu 2 x x      số hạng? Trang 38 A. 30. B. 32. C. 29 . D. 35. Lời giải 12  12 2 3 x  + 12 k −  3 k k   = ∑ 12 C ( 2 x k k 24 3k = 12 ) ∑C 3 x − x      12 k=0  x k =0 21  21 k 3 1 2x  + 21−k k  1   = ∑ 21 C ( 3 2x k 21−k 63−5k = 21 ) ∑C 2 x 2 x      2 21 k=0  x k =0
Ta cho k chạy từ 0 đến 12 thì các số mũ của x không bằng nhau. 12 21 Với khai triển  2 3 x  +  1  
ta có 13 số hạng; Với khai triển 3  2x + ta có 22 số hạng. Vậy x     2  x  tổng số hạng là: 35.
Câu 98. Tìm hệ số của 5
x trong khai triển P(x) = (x + )6 + (x + )7 + + (x + )12 1 1 ... 1 . A. 1716. B. 1715. C. 1287 . D. 1711. Lời giải Xét nhị thức ( + ) 1 n = (1+ )n x
x có số hạng tổng quát là k k C x . Ta có: n Hệ số của 5 x trong ( + )6 1 x là 5 C . 6 Hệ số của 5 x trong ( + )7 1 x là 5 C 7 Hệ số của 5 x trong ( + )12 1 x là 5 C . 12 Vậy hệ số của 5
x trong khai triển P(x) là 5 5 5
C + C +...+ C =1715 . 6 7 12
Câu 99. Cho đa thức: P(x) = ( + x)8 + ( + x)9 + ( + x)10 + ( + x)11 + ( + x)12 1 1 1 1 1
. Khai triển và rút gọn ta được đa thức: P(x) 2 12
= a + a x + a x +...+ a x . Tìm hệ số 0 1 2 12 a . 8 A. 720 . B. 700 . C. 715. D. 730 . Lời giải Ta có (1+ x)8 0 1 8 8
= C + C x +...+ C x suy ra hệ số chứa 8 x là 8 C . 8 8 8 8 Lại có (1+ x)9 0 1 8 8 9 9
= C + C x +...+ C x + C x suy ra hệ số của 8 x là 8 C . 9 9 9 9 9
Tương tự trong khai triển ( + )10
1 x có hệ số của 8 x là 8 C . 10 ( + )11
1 x có hệ số của 8 x là 8 C . 11 ( + )12
1 x có hệ số của 8 x là 8 C . 12 Suy ra hệ số của 8
x trong P(x) là 8 8 8 8 8
a = C + C + C + C + C = 715 . 8 8 9 10 11 12
Câu 100. Cho đa thức P(x) = ( + x)8 + ( + x)9 + ( + x)10 + ( + x)11 + ( + x)12 1 1 1 1 1
. Khai triển và rút gọn ta được đa thức P(x) 12
= a + a x +...+ a x . Tính tổng các hệ số 0 1 12
a , i = 0; 1; 2; ...; 12. i A. 5. B. 7936 . C. 0 . D. 7920 . Lời giải Ta có
P(x) = ( + x)8 + ( + x)9 + ( + x)10 + ( + x)11 + ( + x)12 1 1 1 1 1 . Trang 39 Áp dụng khai triển ( + x)n 0 1 2 2 1
= C + C x + C x +... n n + C x . n n n n Cho x =1, ta có 0 1 2
C + C + C +... n + C = 2n . n n n n
Do đó ta có tổng hệ số của P(x) là: 8 9 10 11 12 8 S = + + + + = ( + + + + ) 8 2 2 2 2 2 2 1 2 4 8 16 = 31.2 = 7936 .
Câu 101. Tìm hệ số của số hạng chứa 9
x trong khai triển nhị thức Newton ( + x)( + x)11 1 2 3 . A. 4620 . B. 1380. C. 9405. D. 2890 . Lời giải ( + x)( + x)11 1 2 3
= ( + x)11 + x( + x)11 3 2 3 11 11 k 11−k k k 11
= ∑C .3 .x + 2x∑C .3 −k. kx 11 11 k =0 k =0 11 11 k 11−k k k 11−k k 1
= ∑C .3 .x + ∑C .2.3 .x + 11 11 k =0 k =0 Suy ra hệ số của 9
x khi triển khai nhị thức trên là: 9 2 8 3
C .3 + C .2.3 = 9045. 11 11
Câu 102. Cho khai triển (1+ 2x)10 ( 2 3+ 4x + 4x )2 2 14
= a x + a x + a x ++ a x . Tìm giá trị của a . 0 1 2 14 6 A. 482496 . B. 529536. C. 278016 . D. 453504 . Lời giải 10   Ta có: (1+ 2x)10 ( 2 3+ 4x + 4x )2 k
= ∑C .2k. kx .( 4 3 2
16x + 32x + 40x + 24x +   9 10 )  k=0  Do đó 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
a = C .2 .16 + C .2 .32 + C .2 .40 + C .2 .24 + C .2 .9 = 482496 . 6 10 10 10 10 10 4
Câu 103. Hệ số của 6
x trong khai triển ( x )6  2 1 2 1 x x  + + +  thành đa thức là 4    1 A. 6 C 1 14 . B. 6 C . C. 6 C . D. 8 4C . 2 14 4 14 14 Lời giải n n
Xét khai triển (2x + )6 1 = (1+ 2x)6 k 6−k k k k k = 6 C 1 (2x) = ∑ ∑ 6C2 x k=0 k=0 8 4 8 8 8− j  2 1   1   1  8  1  j x + x + = x + = + x =       C ∑   x  4   2   2 j   2  j=0 n 8 − n 8 4 8 j 8− j Vậy ( x + )6  2 1  k k k J  1  j k k J  1 2 1  j+k x + x + = ∑ 6
C 2 x .∑ 8C x =    
∑ 6C2 .∑ 8C   x  4   2   2  k=0 j=0 k=0 j=0
Số hạng của khai triển chứa 6
x khi j + k = 6 Xét bảng: Trang 40 4 Vậy hệ số 6
x trong khai triển ( x )6  2 1 2 1 x x  + + + 3003 1  thành đa thức là 6 = C . 4    14 4 4
Câu 104. Hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức x( x − )6 + (x − )8 2 1 3 bằng A. 1752 B. 1272 − C. 1272 D. 1752 − Lời giải Chọn B Hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức x( x − )6 2 1 là 4 4 C 2 1 − = 240 . 6 ( )2 Hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức (x − )8 3 là 5 C 3 − = 1512 − . 8 ( )3 Suy ra hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức x( x − )6 + (x − )8 2 1 3 là 240 −1512 = 1272 − .
Câu 105. Hệ số của 5 x 6 8
trong khai triển x(3x − ) 1 + (2x − ) 1 bằng A. 3007 − B. 577 − C. 3007 D. 577 Lời giải Chọn B 6 8
x( x − )6 + ( x − )8 3 1 2 1 = k
x∑C .(3x)k (− )6 1 −k m
+ ∑C .(2x)m (− )8 1 −k 6 8 k =0 m=0 6 k
= ∑C .3k (− ) 8 6−k k 1 1 m
x + ∑C .2m 1 − + k m − x . 6 8 ( )8 k =0 m=0 Hệ số 5
x ứng với k = 4 ; m = 5 . Hệ số cần tìm là 4 4 C .3 (− )2 5 5 1 + C .2 1 − = 577 − . 6 8 ( )3
Câu 106. Hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức 6 8
x(x − 2) + (3x −1) bằng A. 13548 − B. 13668 C. 13668 − D. 13548 Lời giải Chọn A Hệ số của 4
x trong khai triển nhị thức 6 (x − 2) là 4 2 C 2 = 60. 6 Hệ số của 5
x trong khai triển nhị thức 8 (3x −1) là 5 5 C ( 3 − ) = 13608 − . 8 Vậy hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức 6 8
x(x − 2) + (3x −1) bằng 13608 − + 60 = 13548. −
Câu 107. Hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức x( x − )6 + ( x − )8 2 1 3 1 bằng A. 13848 B. 13368 C. 13848 − D. 13368 − Lời giải Chọn D Trang 41 6 8
Ta có x(2x − )6 1 + (3x − )8 1 = . k
x ∑C (2x)6−k (− ) 1 k m
+ ∑C (3x)8−m 1 m − 6 8 ( ) k =0 m=0 6 k
= ∑C (2) −k (− ) 8 6 k 7 1 . k m x + ∑C (3)8− − m (− )m 8 1 . −m x 6 8 k =0 m=0 Để có số hạng của 5
x trong khai triển thì k = 2;m = 3 Do đó hệ số của 5
x trong khai triển bằng: 2 4 3 C .2 + C . 3 1 − = 13368. − 6 8 ( )5 ( )3
Câu 108. Hệ số của 5
x trong khai triển x(x − )6 + ( x − )8 2 3 1 bằng A. 13548 − . B. 13548. C. 13668 − . D. 13668. Lời giải Chọn A
Số hạng tổng quát trong khai triển trên có dạng: . k. k ( 2 − )6−k m +
.(3 )m .(− )8−m k k 1 1 = . 2 −k m − + .3 .m 1 − + k − . m x C x C x C x C x . 6 8 6 ( )6 8 ( )8 k +1 = 5 k = 4 Để tìm hệ số của 5
x ta cần tìm k,m sao cho  ⇔ . m 5  = m = 5 Hệ số của 5 x cần tìm bằng: 4 C .( 2 − )2 5 5 + C .3 . 1 − = 13548 − . 6 8 ( )3
Câu 109. Tìm hệ số của 5 10 5
x trong khai triển đa thức f x  x   x  2 1
x 1  2x . A. 965. B. 263. C. 632. D. 956. Lời giải Chọn A Hệ số của 5 x là C .1 . 1 C .1 .2 965. 5  4 4 1  3 7 3  10
Câu 110. Tìm hệ số của 5
x trong khai triển P(x) = x( − x)5 2 1 2 + x (1+ 3x)10 . A. 3240. B. 3320. C. 80. D. 259200 . Lời giải
Khải triển P(x) có số hạng tổng quát 2 k k xC − x 2 + 3 m m x C x ( 2)k k k 1 C x + = − 2 3m m m C x + + 10 ( ) 5 ( ) 5 10
( k ∈ , k ≤ 5, m∈ , m ≤10 ) k +1 = 5 k = 4 Hệ số của 5
x ứng với k , m thỏa hệ  ⇔  . m + 2 = 5 m = 3
Vậy hệ số cần tìm là ( 2 − )4 4 C + 3 3 3 C = 3320 . 5 10
Câu 111. Khai triển đa thức Px12x12 12
a a x ... a x . Tìm hệ số a 0  k 12 lớn nhất trong 0 1 12 k khai triển trên. A. 8 8 C 2 . B. 9 9 C 2 . C. 10 10 C 2 . D. 8 8 1C 2 . 12 12 12 12 Lời giải Chọn A
Khai triển nhị thức Niu-tơn của   12 1 2x , ta có 12 12
12x12  C 2 k k k
x  C 2k k x . 12   12 k0 k0 Suy ra k
a C 2k . k 12 Trang 42  1 2  k k k 1  k 1       Hệ số a a 2    C 2 C k k   12  k k 1 23 26 a lớn nhất khi 1 12 12        k  . k k k k 1  k 1 a   a       k k 2 C 2 C 2 1 3 3 1  12 12  
k 12k 1 0k 1  2
 k  8 . Vậy hệ số lớn nhất là 8 8 a C 2 . k 8 12
Câu 112. Hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển P(x) = ( + x )12 2 1 2 thành đa thức là A. 162270. B. 162720. C. 126270. D. 126720. Lời giải Chọn D
Khai triển: P(x) 12 12 k k 2k 2 = ∑C 2 k
x = ∑a x với k a = C . k 2k 12 k 12 k =0 k =0 a > o 90 k 1 + k 1 2 + k > 2k C C o 90 2 1 23 > ⇔ k < ⇔ k ≤ 7 . + a k 1 k 12 12 k +1 12 − k 3
Như vậy a < a < a < ... < a . 0 1 2 8 a < o 90 k 1 + k 1 2 + k < 2k C C o 90 2 1 23 < ⇔ k > ⇔ k ≥ 8. + a k 1 k 12 12 k +1 12 − k 3
Như vậy a > a > a > ... > a . 8 9 10 12
Vậy hệ số có giá trị lớn nhất là 8 8
a = C 2 =126720 . 8 12 Trang 43
Document Outline

  • Bài 1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân - câu hỏi
    • PHẦN A. LÝ THUYẾT
      • I. Quy tắc cộng
      • II. Quy tắc nhân
      • III. Sơ đồ hình cây.
      • IV. Vận dụng trong bài toán đếm
      • 1. Vận dụng trong giải toán
      • 2. Vận dụng trong thực tiễn
    • PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
    • PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
  • Bài 1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân - đáp án
    • PHẦN A. LÝ THUYẾT
      • I. Quy tắc cộng
      • II. Quy tắc nhân
      • III. Sơ đồ hình cây.
      • IV. Vận dụng trong bài toán đếm
      • 1. Vận dụng trong giải toán
      • 2. Vận dụng trong thực tiễn
    • PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
    • PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
  • Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp - câu hỏi
    • PHẦN A. LÝ THUYẾT
      • I. Hoán vị
      • 1. Định nghĩa
      • 2. Số các hoán vị
      • II. Chỉnh hợp
      • 1. Định nghĩa
      • 2. Số các chỉnh hợp
    • PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
      • DẠNG 1. HOÁN VỊ
      • DẠNG 2. CHỈNH HỢP
    • PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
      • DẠNG 1. HOÁN VỊ
      • DẠNG 2. CHỈNH HỢP
  • Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp - đáp án
    • PHẦN A. LÝ THUYẾT
      • I. Hoán vị
      • 1. Định nghĩa
      • 2. Số các hoán vị
      • II. Chỉnh hợp
      • 1. Định nghĩa
      • 2. Số các chỉnh hợp
    • PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
      • DẠNG 1. HOÁN VỊ
      • DẠNG 2. CHỈNH HỢP
    • PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
      • DẠNG 1. HOÁN VỊ
      • DẠNG 2. CHỈNH HỢP
  • Bài 3. Tổ hợp - câu hỏi
    • PHẦN A. LÝ THUYẾT
      • 1. Định nghĩa
      • 2. Số các tổ hợp
      • 3. Tính chất của các số ,𝑪-𝒏-𝒌.
    • PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
      • DẠNG 1. TỔ HỢP
      • DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
    • PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
      • DẠNG 1. TỔ HỢP
      • DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
  • Bài 3. Tổ hợp - đáp án
    • PHẦN A. LÝ THUYẾT
      • 1. Định nghĩa
      • 2. Số các tổ hợp
      • 3. Tính chất của các số ,𝑪-𝒏-𝒌.
    • PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
      • DẠNG 1. TỔ HỢP
      • DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
    • PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
      • DẠNG 1. TỔ HỢP
      • DẠNG 2. KẾT HỢP HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
  • Bài 4. Nhị thức newron - câu hỏi
    • PHẦN A. LÝ THUYẾT
    • PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
    • PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
  • Bài 4. Nhị thức newron - đáp án
    • PHẦN A. LÝ THUYẾT
    • PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
    • PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM