Bài tập Giải tích 1 năm học 2025-2026 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Bài tập Giải tích 1 năm học 2025-2026 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Môn: Giải tích 1 132 tài liệu
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 5.6 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1 Năm học 2025 - 2026
CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC PHẦN TỰ LUẬN Bài 1. Tính giới hạn √ 1) lim ( x2 + 2x + 5 − x) ex − cos x 12) lim √ . x→+∞ x→0 1 + 2x − 1 √ √ 2) lim ( x2 − 5x − 1 − x2 + 3x + 3) 1 − cos x x→−∞ 13) lim √ . 4 √ √ x→0 1 + 4x2 − 1 cos x − 3 cos x 3) lim 1 − cos 5x x→0 sin2 x 14) I = lim . x→0 ln(1 + x sin x) 3 2 √ 4) lim √ − √ √ x→1 1 − x 1 − 3 x 1 − cos x. cos 2x 15) I = lim . x→0 sin2 x 1 1 1 TÍCH 5) lim + πx x→0 x x − 1 x + 1 16) lim(1 − x) tan x→1 2 √ px + x 3x + 1 4x 17) lim GIẢI 6) lim √ x→+∞ x + 1 x→∞ 3x + 2 3x2 + 1 2x2+x 1 ÁN 18) lim 7) lim x2 1 − cos x→∞ 3x2 + 5 x→∞ x TO √ 2x2 + 1 x2 1 + 2x2 − cos x 19) lim 8) lim x→∞ 2x2 − 5 x→0 x2 √ √ x + 2 3x 20) lim MÔN 5 − 4 + cos x 9) lim x→∞ x + 1 x→0 x2 21) lim(1 + sin πx)cot πx x→1 BỘ 2x − x2 10) lim x→2 x − 2 22) lim(1 − 2x2)cot2 x x→0 ex3 − 1 + x2 √ 11) lim 23) lim x pcos x x→0 x tan x x→0+
Bài 2. Vô cùng bé, vô cùng lớn 1) So sánh các VCB sau:
(a) f (x) = 1 − cos 2x và g(x) = x khi x → 0.
(b) f (x) = ln (1 + sin x) và g(x) = 2x khi x → 0. √ √ (c) f (x) = 1 + x −
1 − x và g(x) = x2 khi x → 0. πx
(d) f (x) = x − 1 và g(x) = cot khi x → 1. 2
(e) f (x) = 1 − cos2 x và g(x) = ln(1 + x2) khi x → 0. 1 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 √ √ (f) f (x) = 1 + x − 1 − x và g(x) = sin x khi x → 0. 2 1 1 (g) f (x) = cos − cos và g(x) = khi x → ∞. x x x 1 (h) f (x) = x. cos và g(x) = x khi x → 0. x
2) So sánh các VCL f (x) = ex + e−x, g(x) = ex − e−x khi (a) x → +∞. (b) x → −∞.
3) Tìm phần chính dạng Cxα khi x → 0 của VCB: √ (a) f (x) = 1 − 2x − 1 + x. (c) f (x) = ex2 − cos x. √ √ (b) f (x) = tan x − sin x. (d) f (x) = 3 − 2 + cos x. Bài 3. Xét tính liên tục √ 1 2x 1 + x − 1 với x 6= 0 nếu x > 0 1) f (x) = e2x − e−x 4) f (x) = x a với x = 0 a + 2 cos x nếu x ≤ 0 TÍCH x2 − 1 π (x2 − 1) sin nếu x 6= 1 nếu x 6= 1 2) f (x) = x − 1 5) f (x) = x − 1 GIẢI a nếu x = 1 a nếu x = 1 √ √ 1 − cos x 3 1 + 2x − 1 TẬP nếu x > 0 nếu x > 0 3) f (x) = x 6) f (x) = x ÀI a nếu x ≤ 0 a + x2 nếu x ≤ 0 B PHẦN TRẮC NGHIỆM x − 1 x+1 Câu 1. Tìm giới hạn lim x→0 x2 − 1 1 A 1. B 2. C 0. D . 4 1 1
Câu 2. Tìm các giới hạn L1 = lim và L 1 2 = lim 1 x→0+ 1 + e x→0− x 1 + e x 3 1 1 1 A L1 = và L2 = . B L1 = 0 và L2 = 1. C L1 = và L2 = 1. D L1 = 1 và L2 = . 2 3 2 2 ! ! 1 sin x 1 sin x
Câu 3. Tìm các giới hạn L1 = lim + và L + 1 2 = lim 1 x→0+ x x 1 + 2 x→0− x 1 + 2 x A L1 = −∞, L2 = 2. B L1 = 2, L2 = +∞. C L1 = 1, L2 = 2. D L1 = 2, L2 = 1. 1 + 2x sin x 1 + 2x sin x
Câu 4. Tìm các giới hạn L1 = lim + và L2 = lim + x→+∞ 2 + 3x x x→−∞ 2 + 3x x 1 3 1 1 A L1 = , L2 = 0. B L1 = , L2 = . C L1 = 0, L2 = 1. D L1 = 0, L2 = . 2 2 3 2 2 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 1 + 7x 1 1 + 7x 1
Câu 5. Tìm các giới hạn L1 = lim + x sin và L2 = lim + x sin x→+∞ 2 + 5x x x→−∞ 2 + 5x x 1 3 A L1 = , L2 = 0. B L1 = +∞, L2 = . 2 2 3 1 C L1 = , L2 = +∞. D L1 = 1, L2 = . 2 2 1 1 1 1
Câu 6. Tìm các giới hạn L1 = lim 1 + e x + x arctan và L2 = lim 1 + e x + x arctan x→0+ x x→0− x 1 3 A L1 = , L2 = 0. B L1 = +∞, L2 = . 2 2 C L1 = 1, L2 = +∞. D L1 = +∞, L2 = 1. √ √
Câu 7. Tìm các giới hạn L1 = lim x − x2 − 2x và L2 = lim x − x2 − 2x x→+∞ x→−∞ 1 3 A L1 = , L2 = 0. B L1 = +∞, L2 = . 2 2 1 C L1 = 1, L2 = −∞. D L1 = 1, L2 = . 2 √ Câu 8. Tìm giới hạn lim 3 1 − x3 + x x→+∞ A 0. B 1. C 2. D +∞. TÍCH √ √ Câu 9. Tìm giới hạn lim 3 x3 + 3x − x2 − 2x x→+∞ A 1. B 2. C 3. D 0. GIẢI x2 − 2x + 1 x Câu 10. Tìm giới hạn lim x→±∞ x2 + 4x + 5 ÁN A e3. B e4. C 1. D e−6. TO 1
Câu 11. Tìm giới hạn lim (1 + sin x) x x→0 √ A e3. B e4. C e. D 4 e. MÔN
Câu 12. Tìm giới hạn lim (cos x)cot2 x x→0 1 √ BỘ A e−6. B √ . C e4. D 4 e. e 2
Câu 13. Tìm giới hạn lim (cos 3x) x2 x→0 1 √ A e−9. B √ . C e4. D 4 e. e
Câu 14. Tìm giới hạn lim (cos x + sin x)cot x x→0 1 √ A e−9. B √ . C e. D 4 e. e √ √ 3 x2 − 2 3 x + 1 Câu 15. Tìm giới hạn lim x→1 (x − 1)2 1 3 A 1. B . C 3. D . 9 2 ln(m + ex) Câu 16. Tìm giới hạn lim , m > 0 x→−∞ x A m. B 2m. C −m. D 0. 3 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 ln(1 + tan4 x) Câu 17. Tìm giới hạn lim x→0 x2 sin2 x A 1. B 2. C 3. D +∞. 5x − 4x Câu 18. Tìm giới hạn lim x→0 x2 + x 5 4 3 A ln . B ln . C ln 5. D . 4 5 2 1 1
Câu 19. Tìm giới hạn lim x2 e x − e x−1 x→+∞ A 1. B −1. C 2. D 0. ! x x Câu 20. Tìm giới hạn lim − . x→+∞ 1 2 1 + e x 1 1 A 1. B 2. C − . D . 4 4 √ √ 1 + x − 1 − x
Câu 21. Tìm giới hạn lim √ √ . x→0 3 1 + x − 3 1 − x 3 A 1. B 3. C 2. D . 1 2 ln(m + ex) Câu 22. Tìm giới hạn lim , m > 0. x→+∞ x TÍCH A m. B 1. C −m. D 0. √ √ √ (1 −
x) (1 − 3 x) · · · (1 − n x) Câu 23. Tìm giới hạn lim , n ≥ 2. x→1 (x − 1)n−1 GIẢI (−1)n−1 (−1)n (−1)n+1 1 A . B . C . D . n! n! n! n! TẬP xmx − 1 Câu 24. Tìm giới hạn lim . x→1 x ln x ÀI A 2m. B m. C −m. D m + 1. B x − sin 5x + sin2 x Câu 25. Tìm giới hạn lim . x→0 4x + arcsin2 x + x2 A 1. B 2. C −1. D 0.
Câu 26. Cho f (x) = 1 − cos x + ln (1 + arctan2 x) + arcsin2 x. Khi x → 0 thì 3x2 5x2 x2 A f (x) ∼ x. B f (x) ∼ . C f (x) ∼ . D f (x) ∼ − . 2 2 2 √
Câu 27. Cho f (x) = ln (1 + tan 3x) +
1 + 2 sin x − 1 (arcsin 2x + x2). Khi x → 0 thì 3x2 5x2 x2 A f (x) ∼ 3x. B f (x) ∼ . C f (x) ∼ . D f (x) ∼ − . 2 2 2 x = arctan t
Câu 28. Cho hàm số y = f (x) xác định bởi phương trình tham số Khi x → 0 thì t2 y = . 2 x2 x2 3x2 5x2 A f (x) ∼ − . B f (x) ∼ . C f (x) ∼ . D f (x) ∼ . 2 2 2 2
Câu 29. Cho f (x) = 1 − cos 2x + ln (1 + tan2 2x) + 2 arcsin x. Khi x → 0 thì 3x2 5x2 x2 A f (x) ∼ 2x. B f (x) ∼ . C f (x) ∼ . D f (x) ∼ − . 2 2 2 4 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 √
Câu 30. Cho f (x) = ln (1 + x2) +
1 + 2x − 1 (arcsin 2x + x2). Khi x → 0 thì 3x2 5x2 x2 A f (x) ∼ 3x. B f (x) ∼ . C f (x) ∼ . D f (x) ∼ − . 2 2 2 sin x , nếu x 6= 0
Câu 31. Xác định m để hàm số f (x) = x liên tục tại x = 0. m, nếu x = 0 A m = 1. B m = 2. C m = 3. D m = 0. cos x , nếu x 6= 0
Câu 32. Xác định m để hàm số f (x) = x liên tục tại x = 0. 1 + 2m, nếu x = 0 A m = 1. B m = 2. C m = 3. D Không tồn tại m. 1 arctan , nếu x < 1 (x − 1)2
Câu 33. Xác định m để hàm số f (x) = liên tục tại x = 1. x2 + 3x + m , nếu x ≥ 1 x2 + 1 A m = 1. B m = 2. C m = π − 4. D m = −π − 4. x sin x + 2 tan2 x TÍCH , nếu x < 0
Câu 34. Xác định m để hàm số f (x) = x2 liên tục tại x = 0. cos2 x + 2m, nếu x ≥ 0 GIẢI A m = 0. B m = 1. C m = 2. D m = 3. x arcsin x , nếu x ∈ (−1; 1) \ {0} ÁN
Câu 35. Xác định m để hàm số f (x) = ln(1 + x2) liên tục tại x = 0. TO 1 + 3m, nếu x = 0 A m = 0. B m = 1. C m = 2. D m = 3. 1 arctan , nếu x 6= 2 MÔN
Câu 36. Tìm m để hàm số f (x) = x − 2 liên tục tại x = 2. 1 + 2m, nếu x = 2 BỘ A m = 1. B m = 2. C m = 3. D Không tồn tại m. ln (1 + tan4 x) , nếu x ∈ (−1; 1) \ {0}
Câu 37. Tìm m để hàm số f (x) = x sin x liên tục tại x = 0. m, nếu x = 0 A m = 1. B m = 2. C m = 0. D Không tồn tại m. √ 2x + 1 − cos x 1 , nếu x ∈ − ; +∞ \ {0} Câu 38. Tìm m để f (x) = x 2 liên tục tại x = 0. m, nếu x = 0 A m = 0. B m = 1. C m = 2. D Không tồn tại m. 5 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026
CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN PHẦN TỰ LUẬN Bài 1. Tính đạo hàm
1) Tính đạo hàm của các hàm số sau: (a) y(x) = x|x|. x2 + 1 với x ≤ 2, (g) f (x) =
(b) y(x) = |(x − 1)2(x + 1)|. 9 − 2x với x > 2. (c) y(x) = |(x + 1)2(x + 2)3|. 2x2 + 3x nếu x ≤ 0, (h) f (x) = ln(1 + x) − x nếu x > 0. x(x + 1)2 với x ≥ 0, (d) f (x) = 2x − 1 nếu x ≤ 0, − x(x + 1)2 với x < 0. (i) f (x) = ln(1 + x) nếu x > 0. 1 ex với x < 0, (e) f (x) = arctan x − x nếu x < 0, (j) f (x) = 1 + x với x ≥ 0. TÍCH x2 + 2x nếu x ≥ 0. x2 − 2x nếu x < 2 arctan x với x ≥ 0 GIẢI (f) f (x) = (k) f (x) = 2x − 4 nếu x ≥ 2 x2 + x với x < 0 TẬP
2) Tính y0(0) bằng định nghĩa. Biết: ÀI B
y = x(x − 1)(x − 2)...(x − 2020)(x − 2021) x nếu x 6= 0 3) Tính f 0 (0), f 0 1 + e1/x + −(0) của: f (x) = 0 nếu x = 0
4) Tính y0(x), y00(x) của hàm số cho dưới dạng tham số: x = et cos 2t x = a(t − sin t) x = t + et (a) (c) (e) y = et sin 2t y = a(1 − cos t) y = t2 + 2t3 x = a cos3 t x = 2et cos t (b) (d) y = a sin3 t y = 3et sin t Bài 2. Xét tính khả vi 6 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 1) y = (x + 2)|x − 1|.
6) Xét tính khả vi tại x = 1 của hàm số: 1 − cos x nếu x ≤ 0 2) f (x) = x2e1−x2 nếu x ≤ 1 y(x) = 1 ln(1 + x) nếu x > 0 nếu x > 1 x x2 nếu x ≤ 0 3) f (x) =
7) Xét tính khả vi tại x = 0 của hàm số: ln(1 + x) − x nếu x > 0 1 √ x2 arctan nếu x 6= 0 x x + 1 − 1 f (x) = nếu x > 0 0 nếu x = 0 4) f (x) = 2 0 nếu x ≤ 0
8) Tìm a, b để hàm số sau khả vi trên R x − 1 (x + 1)2 nếu x ≥ 1 x2 − 3x + 4 nếu x < 2 5) f (x) = 4 f (x) = x − 1 nếu x < 1 ax + b nếu x ≥ 2 Bài 3. Đạo hàm cấp cao TÍCH
1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số √ x − 1 (a) f (x) = . (d) f (x) = ln 3 1 − 4x. GIẢI x2 + 5x + 6 12x + 7 (e) f (x) = cos4 x + sin4 x. (b) f (x) = . ÁN 6x2 + 7x + 2 (f) f (x) = e2x(3x + 5). 1 + x TO (c) f (x) = . 1 − x (g) f (x) = (2x + 1) sin x.
2) Cho hàm số f (x) = ln(1 − 3x). Tính f (n)(0). MÔN x4 3) Cho y = . Tính d4y. 2 − x BỘ
Bài 4. Áp dụng quy tắc L’Hospital, tính giới hạn ln(1 + x) − x ln3 x 1) lim 7) lim x→0 x2 x→+∞ x ex − 1 − x 2) lim sin x 1/x2 x→0 x. sin x 8) lim x→0 x 4 arctan(1 + x) − π 3) lim 9) lim (sin x)tan 2x x→0 x x→0+ arctan x − x 4) lim 10) lim x(π − 2 arctan x) x→0 x3 x→+∞ e2x − 1 − 2x x − sin x 5) lim . 11) lim √ x→0 2x2 x→0 1 + 2x − ex √1 + 2x − ex 6) lim . 12) lim x2 ln x x→0 x2 x→0+ 7 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 π x 1 sin x 13) lim x − arctan 16) lim x→+∞ 4 x + 1 x→0 x2 x2 14) lim √ 1 1 17) lim − x→0 5 1 + 5x − (1 + x) x→0 x2 sin2 x x2017 15) lim x→+∞ ex PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = ln(x2 +e) tại điểm có hoành độ x = 0. A y = 0. B y = 1. C y = x + 1. D y = x − 1. ex
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số f (x) = . sin x ex(sin x − cos x) ex(sin x + cos x) A f 0(x) = . B f 0(x) = . sin2 x sin2 x ex(− sin x + cos x) ex C f 0(x) = . D f 0(x) = . sin2 x cos x
1 Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (1 + x)x, x > 1. x x
A f 0(x) = (1 + x)x ln(1 + x) + .
B f 0(x) = (1 + x)x ln(1 + x) − . x + 1 x + 1 x x TÍCH C f 0(x) = ln(1 + x) + . D f 0(x) = ln(1 + x) − . x + 1 x + 1
Câu 4. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = e−3x. GIẢI A y(n)(x) = (−3)ne3x. B y(n)(x) = (−3)n+1e−3x. C y(n)(x) = (−3)n−1e−3x. D y(n)(x) = (−3)ne−3x.
TẬP Câu 5. Tính đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = ln |x + 2|. (−1)nn! (−1)n(n − 1)! ÀI A f (n)(x) = . B f (n)(x) = . B (x + 2)n (x + 2)n (−1)n−1(n − 1)! (−1)n−1(n + 1)! C f (n)(x) = . D f (n)(x) = . (x + 2)n (x + 2)n
Câu 6. Tính đạo hàm cấp n của hàm số f (x) = ln |x2 − 3x + 2|. 1 1 A f (n)(x) = (−1)n(n − 1)! + . (x − 1)n (x − 2)n 1 1
B f (n)(x) = (−1)n−1(n − 1)! + . (x − 1)n (x − 2)n 1 1
C f (n)(x) = (−1)n−1(n + 1)! + . (x − 1)n (x − 2)n 1 1 D f (n)(x) = (−1)n−1n! + . (x − 1)n (x − 2)n dy x = cos t Câu 7. Tính y0 =
của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham số t ∈ (0; π). dx y = sin2 t, A y0 = 2 sin t. B y0 = 2 sin t cos t. C y0 = 2x. D y0 = −2x. x = arctan t π dy Câu 8. Tính y0 =
của hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số 3 dx π t2 x= 3 y = . 2 8 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 π √ π √ π √ π A y0 = 4 3. B y0 = 2 3. C y0 = 3 3. D y0 = 0. 3 3 3 3 dy x = arctan t Câu 9. Tính y0 =
của hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số với t > 0. dx y = ln t, t 1 + t2 1 + t2 t A y0(x) = . B y0(x) = − . C y0(x) = . D y0(x) = − . 1 + t2 t t 1 + t2 π dy x = arctan t Câu 10. Tính y0 =
của hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số 4 dx π x= 4 y = ln t. π π π π A y0 = 1. B y0 = 2. C y0 = 3. D y0 = 4. 4 4 4 4
Câu 11. Tính vi phân của hàm y = (3x)x. A dy = (3x)x (ln 3x + 3) dx. B dy = (ln 3x + 1) dx. C dy = (3x)x (ln 3x + 1) dx. D dy = (ln 3x + 3) dx. ln x
Câu 12. Tính vi phân dy của hàm y = arctan . 3 3 3 A dy = − dx. B dy = dx. x(9 + ln2 x) x(1 + ln2 x) TÍCH 1 3 C dy = dx. D dy = dx. x(9 + ln2 x) x(9 + ln2 x)
Câu 13. Tính vi phân cấp 2 của hàm y = ln (1 + x2). GIẢI 2x2 − 2 2x2 + 2 A d2y = dx2. B d2y = dx2. (1 + x2)2 (1 + x2)2 ÁN 2 − 2x2 2x2 + 2 C d2y = dx2. D d2y = − dx2. TO (1 + x2)2 (1 + x2)2
Câu 14. Tính vi phân cấp 2 của hàm y = arctan(x2). 2 + 6x4 2 − 6x4 A d2y = dx2. B d2y = dx2. (1 + x4)2 (1 + x4)2 MÔN 6x4 − 2 2 + 6x4 C d2y = dx2. D d2y = − dx2. (1 + x4)2 (1 + x4)2 BỘ √ 2024 x − 1 Câu 15. Tìm giới hạn lim √ x→1 2025 x − 1 2024 2025 A . B . C 0. D +∞. 2025 2024 e2x − 2x − 1 , nếu x ∈ (−1; 1) \ {0}
Câu 16. Xác định m để hàm số f (x) = sin2 x liên tục tại x = 3m − 1, nếu x = 0 0. A m = 1. B m = 2. C m = 3. D m = 0. e−2x + e2x − 2 , nếu x 6= 0
Câu 17. Xác định m để hàm số f (x) = 2x2 liên tục tại x = 0. 2m, nếu x = 0 A m = 0. B m = 2. C m = 3. D m = 1. 9 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 ln(1 + x) − x , nếu − 1 < x < 0
Câu 18. Xác định m để hàm số f (x) = sin2 x liên tục tại x = 0. 1 m − , nếu x = 0 2 A m = 3. B m = 2. C m = 1. D m = 0. 1 tan x x
Câu 19. Tính giới hạn lim . x→0 x √ √ 3 A 1. B 3 e. C e. D . 2 √ 3 x − 6 + 2
Câu 20. Tính giới hạn lim . x→−2 x3 + 8 1 1 1 1 A − . B . C . D − . 144 144 36 36 √ 5 32 + 2x − 2
Câu 21. Tính giới hạn lim √ . x→0 4 x + 16 − 2 2 2 4 4 A . B − . C . D − . 5 5 5 5 x2 √
1 Câu 22. Tính giới hạn lim . x→0 5 1 + 5x − 1 − x 2 2 1 1 A . B − . C . D − . 5 5 2 2 TÍCH cot3 x
Câu 23. Tính giới hạn lim (cos 2x + x2) . x→0+ A 0. B 1. C 2. D +∞.
GIẢI Câu 24. Tính giới hạn lim cos x + sin2 xcot2 x. x→0 √ √ √ A e. B e. C 3 e. D 4 e. TẬP x(x − 1) + 1, nếu x ≥ 0 ÀI
Câu 25. Xác định a, b để hàm số f (x) = có đạo hàm tại x = 0. B ax + b, nếu x < 0 A a = −1; b = 1. B a = 1; b = 1. C a = −1; b = −1. D a = 1; b = −1. d2y x = ln t Câu 26. Tính y00 (1) =
của hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số với dx2 x=1 y = t3, t > 0. A y00 (1) = 9e2. B y00 (1) = 9e3. C y00 (1) = 9e. D y00 (1) = 9e4. 10 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1. Ứng dụng của tích phân xác định
1) Tính độ dài của các đường cong sau:
(a) y = ln x, với 1 ≤ x ≤ e. (f) x2/3 + y2/3 = a2/3, a > 0. (b) y = ex, 0 ≤ x ≤ 1.
(g) r = a(1 + cos ϕ), a > 0. 1 (c) y = x2 − ln x; 1 ≤ x ≤ e. 8
(h) y = arcsin (e−x) ; 0 ≤ x ≤ 1 1 1 (d) x = y2 − ln y, 1 ≤ y ≤ e. (i) r = 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. 4 2
(j) y = ln(1 − x2), 0 ≤ x ≤ 1 x = a(t − sin t) 2 (e) ; 0 ≤ t ≤ 2π π y = a(1 − cos t) (k) y = ln(cos x), 0 ≤ x ≤ . 3 TÍCH
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(a) y = x2 − 1 và y = 3 − x2.
(i) (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2). GIẢI √
(b) y = 1 + 2x − x2 và y = 3 − x.
(j) y = − 4 − x2 và x2 + 3y = 0. ÁN (c) y = x3, y = 4x.
(k) y = 4 − x2 và y = 2x + 1. TO (d) x + y = 0; y = 3x − x2. x2 (l) Một cung (một nhịp) Xicloit (e) y = x2, y = , y = 2x. 2 x = a(t − sin t) MÔN x2 y2 (0 ≤ t ≤ 2π) và trục (f) (E): + = 1. y = a(1 − cos t) a2 b2 BỘ
(g) r = a(1 + cos ϕ); 0 ≤ ϕ ≤ 2π, a > 0. Ox. (h) y = x2, y = 4x2, y = 4.
(m) y = x3 (x ≥ 0), y = x và y = 2x.
3) Tính thể tích của vật thể tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi:
(a) y = 2x − x2, y = 0 quanh trục Ox.
(b) y = 4x − x2 và y = x quay quanh trục Ox.
(c) y = x2 và x = y2 quanh trục Ox.
(d) x2/3 + y2/3 = a2/3, a > 0 quanh trục Ox.
(e) x2 + (y − 2)2 = 1 quanh Ox. √ (f) y = x, x = 0, y = 1 − x2 quanh trục Oy.
(g) y = ln x, y = 0, x = e, quay quanh trục Ox. 11 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026
(h) x2 + y2 = 4x − 3 quanh trục Oy.
(i) x = y2 − 4 và x = 0 quanh trục Oy.
(j) y2 + x = 9 và x = 0 quanh trục Oy. x2 x3 (k) y = và y = quanh trục Ox. 2 8 x2 y2 (l) + ≤ 1 quanh trục Oy. a2 b2
Bài 2. Tính các tích phân suy rộng +∞ +∞ Z dx Z arctan x 1) 10) dx x2(x + 2) x2 1 1 +∞ Z dx +∞ 2) Z √ (x + 1)2(x + 2) 11) e− xdx 0 0 +∞ 1 Z xdx 3) +∞ (x2 + 1)3 Z x3 12) dx 0 ex2 +∞ 1 TÍCH Z dx 4) √ +∞ x x4 + 1 Z 1 13) x2e−xdx GIẢI +∞ Z dx 0 5) √ ( x + 1)3 +∞ TẬP 0 Z x. arctan x 14) dx +∞ p(1 + x2)3 ÀI Z dx √ 0 B 6) x x2 − 1 2 +∞ Z dx +∞ 15) . Z dx x2 + 2x + 10 7) √ −∞ x 4 1 + x3 1 1 +∞ Z dx Z ln x 16) √ 8) dx (2 − x) 1 − x x2 0 1 +∞ 2 Z ln x Z dx 9) dx. 17) I = √ . x3 x2 − 1 1 1
Bài 3. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng +∞ +∞ √ Z √ Z 1 xdx 1) x ln 1 + dx 2) x2 x2 + sin x 1 1 12 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 +∞ 1 √ Z ln(1 + x2) Z x 3) dx 12) dx x esin x − 1 1 0 +∞ 1 Z ln(1 + x) Z dx 4) √ dx 13) √ x2 x e 4 x − 1 1 0 +∞ 1 Z arctan x Z xdx 5) dx 14) x tan x − sin x 1 0 +∞ 1 √ Z arctan x Z x 6) √ dx 15) dx x x esin 2x − 1 1 0 +∞ 1 √ Z Z 1 sin x 7) 1 − cos dx 16) √ dx x 3 e x2 − 1 1 0 +∞ 1 √ Z dx Z ln(1 + x) 8) √ . 17) dx TÍCH x x4 + x2 + 1 esin x − 1 1 0 +∞ 1 √ Z dx Z 1 − cos x GIẢI 9) . 18) √ dx x(ln x)p x x 4 0 ÁN +∞ 1 √ Z x Z x 10) dx 19) dx TO 1 + xp ln(1 + x) 1 0 1 1 √ Z dx Z e x − 1 11) √ 20) dx MÔN tan x x 0 0 BỘ PHẦN TRẮC NGHIỆM I. Tích phân bất định Z 3 Câu 1. Tính I = dx. x + a A I = 3 |x + a| + C. B I = 3 ln (x + a) + C. C I = −3 ln (x + a) + C. D I = 3 ln |x + a| + C. Z 3 Câu 2. Tính I = dx. (x + a)2 3 A I = − + C. B I = 3 ln (x + a) + C. x + a 3 C I = + C. D I = 3 |x + a| + C. x + a Z dx Câu 3. Tính I = . x2 − 3x + 2 13 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 x − 1 x − 2 A I = ln + C . B I = ln + C . x − 2 x − 1 x − 1 x − 2 C I = ln + C. D I = ln + C. x − 2 x − 1 Z Câu 4. Tính I = sin(3x + 1)dx. cos(3x + 1) cos(3x + 1) A I = + C. B I = − + C. 3 3 C I = cos(3x + 1) + C. D I = − cos(3x + 1) + C. Z Câu 5. Tính I = cos(5x − 2)dx. sin(5x − 2) sin(5x − 2) A I = + C. B I = − + C. 5 5 C I = sin(5x − 2) + C. D I = − sin(5x − 2) + C. Z dx Câu 6. Tính I = . 4x − 1 ln |4x − 1| ln (4x − 1) A I = + C. B I = + C. 4 4 1 C I = ln(4x − 2) + C. D I = ln(4x − 1) + C. Z e3 Câu 7. Tính I = dx. e2x TÍCH e3−2x e3−2x A I = + C. B I = − + C. C I = e3−2x + C. D I = −e3−2x + C. 2 2 Z Câu 8. Tính I = 2x + x2 dx. GIẢI x3 2x x3 2x A I = 2x + x3 + C. B I = 2x + + C. C I = + + C. D I = + x3 + C. 3 ln 2 3 ln 2 TẬP Z dx Câu 9. Tính I = . 7x − 3 ÀI B ln (7x − 3) A I = + C. B I = ln |7x − 3| + C. 7 ln |7x − 3| C I = ln(7x − 3) + C. D I = + C. 7 Z Câu 10. Tính I = 53x+1dx. 53x+1 53x+1 A I = 53x+1 + C. B I = + C. C I = 53x + C. D I = + C. 3 ln 5 3 Z Câu 11. Tính I = sin x cos xdx. cos 2x A I = − + C. B I = cos 2x + C. C I = sin 2x + C. D I = − sin 2x + C. 4 Z √ Câu 12. Tính I = 9x + 9−x + 2dx. 3x − 3−x 3x A I = 3x − 3−x + C. B I = 3x + 3−x + C. C I = + C. D I = + C. ln 3 ln 3 Z dx Câu 13. Tính I = . x2 + x − 2 1 x − 1 x − 1 A I = ln + C . B I = ln + C . 3 x + 2 x + 2 x − 1 x + 2 C I = ln + C. D I = ln + C. x + 2 x − 1 14 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 Z dx Câu 14. Tính I = . x2 − x − 6 1 x − 3 x − 3 A I = ln + C . B I = ln + C . 5 x + 2 x + 2 x − 3 x + 2 C I = ln + C. D I = ln + C. x + 2 x − 3 Z 72 Câu 15. Tính I = dx. 75x 72−5x 72−5x 71−5x A I = + C. B I = − + C. C I = 75x + C. D I = + C. ln 7 5 ln 7 ln 7 Z 2ex Câu 16. Tính I = √ dx. 2 + 2ex + e2x √ √ A I = 2 ln ex + 1 + 2 + 2ex + e2x + C. B I = ln ex + 1 + 2 + 2ex + e2x + C. C I = 2 arcsin (ex + 1) + C. D I = 2 arctan (ex + 1) + C. Z ln x Câu 17. Tính I = dx. x3 2 ln x − 1 2 ln x + 1 A I = − + C. B I = − + C. 4x2 x2 2 ln x + 1 2 ln x + 1 C I = + C. D I = − + C. 4x2 4x2 TÍCH Z Câu 18. Tính I = sin x cos xesin xdx. GIẢI A I = (sin x + 1) esin x + C. B I = sin xesin x + C. sin 2xesin x C I = + C.
D I = (sin x − 1) esin x + C. 2 ÁN Z dx Câu 19. Tính I = √ . TO x(x + 1) √ √ A I = arctan x + C. B I = 2 arctan x + C. √ √ C I = arcsin x + C. D I = ln x + C. MÔN Z sin xdx Câu 20. Tính I = √ . cos2 x + 4 √ √ BỘ A I = ln cos x + 4 + cos2 x + 4 + C. B I = ln cos x + 2 + cos2 x + 4 + C. √ 1 C I = − ln cos x + cos2 x + 4 + C. D I = + C. ln (cos2 x + 4)
II. Tính tích phân suy rộng +∞ Z dx Câu 21. Tính I = √ . x x2 − 1 √2 π 1 A I = π. B I = . C I = . D I = +∞. 4 4 +∞ Z dx Câu 22. Tính I = . x2 + 4x + 9 −∞ π π π A I = . B I = . C I = √ . D I = +∞. 2 4 5 15 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 +∞ Z arctan x Câu 23. Tính I = dx. 1 + x2 0 π2 π2 π2 π2 A I = . B I = . C I = . D I = . 8 6 4 2 e2 Z dx Câu 24. Tính I = √ . x 3 ln x − 1 e 1 3 A I = . B I = . C I = 2. D I = +∞. 2 2 2 Z dx Câu 25. Tính I = . 3 p(x − 1)2 1 A I = 1. B I = 3. C I = 5. D I = +∞. 4 Z dx Câu 26. Tính I = √ . 6x − x2 − 8 2 A I = π. B I = 2π. C I = 3π. D I = +∞. 1 ln 2 Z dx Câu 27. Tính I = √ . ex − 1 TÍCH 0 π π π A I = . B I = . C I = . D I = +∞. 2 3 4 e GIẢI Z dx Câu 28. Tính I = . x(1 + ln2 x) 0 TẬP π π 3π A I = . B I = . C I = . D I = +∞. 2 4 4 ÀI 1 B Z dx Câu 29. Tính I = √ . (2 − x) 1 − x 0 π π A I = π. B I = . C I = . D I = +∞. 2 3
III. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng +∞ +∞ Z dx Z exdx Câu 30. Cho I = và J = √ . (x + 1)2ex x ln 2 2 A I hội tụ; J hội tụ. B I hội tụ; J phân kỳ. C I phân kỳ; J phân kỳ. D I phân kỳ; J hội tụ. 0 0 Z 1 − sin2 x Z 1 − cos 4x Câu 31. Cho I = dx và J = dx. (x + 1)2 3 p(x + 1)4 −1 −1 A I hội tụ; J hội tụ. B I hội tụ; J phân kỳ. C I phân kỳ; J phân kỳ. D I phân kỳ; J hội tụ. 16 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 +∞ +∞ Z dx Z dx Câu 32. Cho I = và J = √ . x2 + 2 sin2 x x − cos2 x 2 2 A I hội tụ; J hội tụ. B I hội tụ; J phân kỳ. C I phân kỳ; J phân kỳ. D I phân kỳ; J hội tụ. +∞ 1 Z 1 + x2 Z dx Câu 33. Cho I = dx và J = √ . x3 e 3 x − 1 1 0 A I hội tụ; J hội tụ. B I hội tụ; J phân kỳ. C I phân kỳ; J phân kỳ. D I phân kỳ; J hội tụ. +∞ 1 Z e−x2 Z dx Câu 34. Cho I = dx và J = . x2 px(x + 1) 1 0 A I hội tụ; J hội tụ. B I hội tụ; J phân kỳ. C I phân kỳ; J phân kỳ. D I phân kỳ; J hội tụ. 1 +∞ Z x2 Z Câu 35. Cho I = dx và J = sin xdx. TÍCH 3 p(1 − x2)5 0 0 A I hội tụ; J hội tụ. B I hội tụ; J phân kỳ. GIẢI C I phân kỳ; J phân kỳ. D I phân kỳ; J hội tụ. 2 +∞ Z x5 Z 1 + e−x ÁN Câu 36. Cho I = dx và J = dx. p(4 − x2)5 (x2 + 2x + 3)2 0 0 TO A I hội tụ; J hội tụ. B I hội tụ; J phân kỳ. C I phân kỳ; J phân kỳ. D I phân kỳ; J hội tụ. +∞ +∞ MÔN Z x Z 1 Câu 37. Cho I = dx và J = ln 1 + dx. x3 + 1 x2 BỘ 1 1 A I hội tụ; J hội tụ. B I hội tụ; J phân kỳ. C I phân kỳ; J phân kỳ. D I phân kỳ; J hội tụ. 1 +∞ Z x + 1 Z 2x Câu 38. Cho I = √ dx và J = ln 1 + dx. sin x x3 + 1 0 1 A I hội tụ; J hội tụ. B I hội tụ; J phân kỳ. C I phân kỳ; J phân kỳ. D I phân kỳ; J hội tụ.
IV. Xác định tham số để tích phân suy rộng hội tụ +∞ Z xα + 2x Câu 39. Tích phân I =
dx hội tụ khi và chỉ khi x3 + x + 1 1 A α < 2. B α > 2. C α < 3. D α > 3. 17 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 +∞ Z x2 + x + 1 Câu 40. Tích phân I =
dx hội tụ khi và chỉ khi xα + x4 1 A α ∈ R. B α > 2. C α < 3. D α > 3. +∞ Z x2 + x + 1 Câu 41. Tích phân I =
dx hội tụ khi và chỉ khi xα + x3 1 A α ∈ R. B α > 3. C α > 2. D α < 3. +∞ Z a + sin x Câu 42. Tích phân I = √
dx hội tụ khi và chỉ khi x 1 1 A a 6= 0. B − < a < 1. C a < 1. D a = 0. 2 +∞ Z x sin(ax) Câu 43. Tích phân I =
dx hội tụ khi và chỉ khi x3 + 1 1 1 A a ∈ R. B − < a < 1. C a < 1. D a = 0. 2 1 +∞ Z dx Câu 44. Tích phân I = hội tụ khi và chỉ khi x (ln x)2a+1 TÍCH e3 1 A a ∈ R. B − < a < 1. C a > 0. D a < 1. 2 +∞√ GIẢI Z lna−1 x Câu 45. Tích phân I =
dx hội tụ khi và chỉ khi x e 1 1 TẬP A a ∈ R. B − < a < 1. C a < −1. D a > − . 4 4 ÀI 1 B Z xa−1 Câu 46. Tích phân I =
dx hội tụ khi và chỉ khi p(x2 + 1) sin x 0 1 1 A a ∈ R. B a > . C < a < 1. D a < 1. 2 2 1 Z a + sin x Câu 47. Tích phân I = √
dx hội tụ khi và chỉ khi x x 0 1 A a = 0. B a 6= 0. C − < a < 1. D a < 1. 2 2 Z x2a Câu 48. Tích phân I =
dx hội tụ khi và chỉ khi p(x2 + x)(3 − x) 0 1 1 A a ∈ R. B a < 1. C a > − . D − < a < 1. 4 4 1 Z xa Câu 49. Tích phân I =
dx hội tụ khi và chỉ khi px(x + 1)(2 − x) 0 1 1 A a > − . B a < . C a < −1. D a tùy ý. 2 2 18 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026 1 √ Z x + 1 − 1 sin x Câu 50. Tích phân I =
dx phân kỳ khi và chỉ khi 3 pxa ln(x + 1) 0 A 0 < a < 8. B 8 < a < 9. C a ≥ 8. D a ∈ R.
V. Ứng dụng của tích phân x = a cos3 t; h π i
Câu 51. Tính độ dài cung có phương trình tham số với t ∈ 0; , a > 0. 2 y = a sin3 t 3a 6a 3a 9a A . B . C . D . 4 5 2 2 1 √
Câu 52. Tính độ dài cung y = (3 − x) x, 0 ≤ x ≤ 3. 3 √ A 2. B 1. C 2 3. D 3. 1 1
Câu 53. Tính độ dài cung phẳng y = x2 − ln x, 0 ≤ x ≤ e. 4 2n 1 1 1 e2 + 1 A . B . C . D . 2 3 4 4 TÍCH
Câu 54. Tính độ dài cung phẳng có phương trình r = a (1 + cos ϕ), a > 0. A 2a. B a. C 8a. D 3a. GIẢI
Câu 55. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2, y = 3x. 9 7 A . B . C 2. D 3. 2 2 ÁN
Câu 56. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2, x = y2. TO 2 1 A . B . C 2. D 3. 3 3
Câu 57. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường r2 = a2 cos 2ϕ. a2 MÔN A . B a2. C 2a2. D 3a2. 2
Câu 58. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường r = a (1 + cos ϕ); a > 0. BỘ 3πa2 πa2 A 2a2. B a2. C . D . 2 2 x = a cos3 t;
Câu 59. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
với t ∈ [0; 2π], a > 0. y = a sin3 t πa2 3πa2 A . B 2a2. C a2. D . 8 8 x = a (t − sin t) ;
Câu 60. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
với t ∈ [0; 2π], a > 0 và y = a (1 − cos t) đường y = 0. A πa2. B 2a2. C a2. D 3πa2.
Câu 61. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và đường y = 2x. 1 4 1 1 A . B . C . D . 2 3 3 4 19 BM TOÁN GIẢI TÍCH
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1/2025-2026
Câu 62. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các đường y = x2, y = x khi quay quanh trục Ox. 2π π π π A . B . C . D . 15 15 2 3
Câu 63. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các đường y = 2x − x2; đường y = 0 khi quay quanh trục Ox. π 16π π π A . B . C . D . 15 15 2 3
Câu 64. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các đường y = 2x − x2; y = 0 khi quay quanh trục Oy. 8π π π π A . B . C . D . 3 3 2 4
Câu 65. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi đường y = sin x; 0 ≤ x ≤ π khi quay quanh trục Ox. π2 3π2 π π A . B . C . D . 2 2 2 3
Câu 66. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các đường y = sin x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π khi quay quanh trục Oy. π π A π2. B . C 2π2. D . 2 3 1 x = a cos3 t,
Câu 67. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi đường
0 ≤ t ≤ 2π khi quay quanh trục y = a sin3 t, TÍCH Ox. 32πa3 2πa3 A . B . C πa3. D 2πa3. 105 105 √
GIẢI Câu 68. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi đường y = sin x, 0 ≤ x ≤ π khi quay quanh trục Ox. TẬP A 1. B 2. C 2π. D π. ÀI
B Câu 69. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các đường y = x2, y = 4 khi quay quanh trục Ox. 176π π π A π. B . C . D . 3 3 2 x = a (t − sin t) ;
Câu 70. Tính thể tích vật thể tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường y = a (1 − cos t)
với t ∈ [0; 2π], a > 0 và đường y = 0 quanh trục Ox. A π2a3. B πa2. C 2πa2. D 5π2a3. x = a (t − sin t) ;
Câu 71. Tính thể tích vật thể tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường y = a (1 − cos t)
với t ∈ [0; 2π], a > 0 và đường y = 0 quanh trục Oy. A π3a3. B 6π3a3. C πa3. D 2πa3. 20
