bai tap giai tich 2 bach khoa ha noi

Đại học Bách khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin
BÀI TẬP THAM KHẢO MÔN GIẢI TÍCH III Nhóm ngành 1
Mã học phần: MI1131, MI1131E Chương 1 Chuỗi 1.1 Chuỗi số
Bài 1. Xét sự hội tụ và tính tổng nếu có của các chuỗi số sau: ∞ 1 ∞ n a) P c) P sin n=1 n(n + 1) n=1 n + 1 ∞ 9 9 9 1 P b) + + · · · + + · · · d) ln 1 + 10 102 10n n=1 n
Bài 2. Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau: ∞ 2n + 3 ∞ ln n ∞ n2 a) P f) P 1 1 k) P 1 − n=1 4n + 5 n=2 n2 n=2 5n n ∞ n + 1 n ∞ 1 1 ∞ n2 b) P g) P − sin n + 1 P n n l) n=1 n + 2 n=2 n=1 n + 2 ∞ 1 ∞ n10 P n3 c) P sin h) ∞ 1 2n m) P cos n=1 n2 n=1 n=2 n ∞ √ ∞ (3n + 1)! P ∞ 1 d) P ( n e − 1) i) P n28n n) n=1 n=1 n=2 nln2n ∞ 2 ∞ 3n(n!)2 ∞ enn! e) P j) P o) P n=2 ln n n=1 (2n)! n=2 nn
Bài 3. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau: ∞ sin n ∞ (−1)n ∞ 1 πn2 a) P c) P √ e) P cos n=1 n2 n=2 n + (−1)n n=2 ln2n n + 1 ∞ (−1)nn ∞ √ ∞ (−1)n−1 b) P d) P sin π n2 + 1 f) P n=2 n2 + 1 n=1 n=1 np 1
Đại học Bách khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin √ ∞ (−1)n n ∞ (−1)n ∞ (−1)n g) P i) P √ k) P ln 1 + √ n n=1 n + 100 n=1 n n=2 n ∞ 2n + 100 n ∞ (−1)n ln n ∞ 1 πn h) P (−1)n j) P l) P sin n=1 3n + 1 n=1 n n=1 n 2 ∞ ∞ Bài 4. Cho chuỗi P u P
n hội tụ, liệu có thể suy ra chuỗi
u2 cũng hội tụ? Vẫn câu hỏi này, n n=1 n=1 ∞
nếu thêm giả thiết chuỗi P un hội tụ tuyệt đối. n=1 1.2 Chuỗi hàm số
Bài 5. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau: ∞ x ∞ xn ∞ n a) P e) P i) P n=1 (x2 + 1)n n=1 x2n + 1 n=1 xn ∞ sin(nx) ∞ nx + (−1)n ∞ x(x + n) n b) P f) P j) P n=1 enx n=1 n n=1 n ∞ (−1)n ∞ 1 n ∞ c) P g) P x + k) P ne−nx n n=1 nx n=1 n=1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ (n + x)n d) P h) P xn + l) P n=1 xn + 1 n=1 2nxn n=1 nn+x
Bài 6. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm số trên tập đã cho: ∞ ∞ xn a) P xn, |x| < q < 1 c) P n=1 n=1 (x2 + 1)n , x ∈ R ∞ ∞ 1 2x + 1 n b) P xn, |x| < 1 d) P , x ∈ [−1; 1] n=1 n=1 2n x + 2
Bài 7. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau: ∞ (n + 2)xn ∞ xn ∞ a) P d) P g) P (sin n)xn n! n=1 n2 + 1 n=1 n=1 ∞ 1 x − 1 n ∞ xn ∞ 3n + (−2)n P b) P e) h) P (x + 1)n 2n + 3n n n=1 n2 x + 1 n=1 n=1 ∞ n + 1 n ∞ (n!)3 ∞ 33n(n!)3 c) P xn f) P xn i) P tannx n=1 2n + 3 n=1 (3n)! n=1 (3n)!
Bài 8. Tính tổng của các chuỗi sau: ∞ ∞ xn+1 a) P nxn, x ∈ (−1; 1) c) P , x ∈ (−1; 1) n=1 n=1 n(n + 1) ∞ (−1)n+1 ∞ x4n−3 b) P d) P , x ∈ (−1; 1) n=1 (2n − 1)3n n=1 4n − 3 2
Đại học Bách khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin
Bài 9. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Maclaurin 2x + 4 1 a) y = c) y = √ e) y = ln(1 + x − 2x2) x2 − 3x + 2 4 − x2 1 b) y = xsin2x d) y = x2 + x + 1 f) y = arcsin x
Bài 10. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Taylor (trong lân cận điểm x0 tương ứng): 1 πx √ a) y = , x , x x, x0 = 4 0 = 4 b) y = sin 0 = 1 c) y = 2x + 3 3
Bài 11. Khai triển các hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π sau thành chuỗi Fourier a) y = x, x ∈ ( − π; π)
b) y = |x| , x ∈ [ − π; π]
Bài 12. Khai triển hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2 xác định như sau f (x) = |x| trong
khoảng (−1, 1) thành chuỗi Fourier.
Bài 13. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Fourier ( ( A nếu 0 < x < l ax nếu − π < x < 0 a) f (x) = b) f (x) = 0 nếu l < x < 2l bx nếu 0 < x < π
c) f (x) = 10 − x, x ∈ (5; 15) ( 0, nếu − π ≤ x < 0, Bài 14. Cho hàm số f (x) =
tuần hoàn chu kì 2π. Tìm giá trị x + 1, nếu 0 ≤ x < π,
của chuỗi Fourier S(x) của hàm số f (x) tại các điểm x = 10π và x = 12. 3
Đại học Bách khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin Chương 2 Phương trình vi phân 2.1
Phương trình vi phân cấp một
Bài 15. Giải các phương trình vi phân cấp một sau.
1) Các phương trình khuyết (SV tự học): 1 a) y′ = (y2 − 1), y(0) = 2 c) x = (y′)2 − y′ + 2 2 b) y′ + y = 1 d) y2 + (y′)2 = 4
2) Các phương trình phân ly: a) y′ = x2y c) y′ + ey+x = 0 b) 2y(x2 + 4)dy = (y2 + 1)dx d) 1 + x + xy′y = 0
3) Các phương trình thuần nhất: y x y 2 a) y′ = + + 1 c) 2y′ + = −1 x y x y b) xy′ = x sin + y d) (x + 2y)dx − xdy = 0 x
4) Các phương trình tuyến tính: 4 a) y′ − y = 4x7 c) y′ = x − y x √ b) xy′ + y = x d) (2xy + 3)dy − y2dx = 0
5) Các phương trình Bernoulli: y a) y′ + = x2y4, y(1) = 2 c) xy′ + y = −xy2 x 2 y3 b) y′ + y = d) ydx + (x + x2y2)dy = 0 x x2
6) Các phương trình vi phân toàn phần: a) (x2 + y)dx = (2y − x)dy c) eydx = (xey − 2y)dy b) (2xy + 3)dy = −y2dx d) (x2y2 − x)dy = ydx 4
Document Outline

• Chuỗi
  • Chuỗi số
  • Chuỗi hàm số
• Phương trình vi phân
  • Phương trình vi phân cấp một
  • Phương trình vi phân cấp hai
  • Hệ phương trình vi phân cấp một
• Phương pháp toán tử Laplace
  • Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược
  • Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu
  • Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản
  • Đạo hàm, tích phân và tích của các phép biến đổi