Bài Tập Hình Học 7 Tính Chất Ba Đường Phân Giác Trong Của Một Tam Giác Có Lời Giải

 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA TAM GIÁC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A
1. Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một E
điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. F I
A = A , B = B , C = C 1 2 1 2 1 2 C  B D
ID = IE = IF .
2. Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường
trung tuyến của tam giác đó. II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác của góc . A
Chứng minh rằng ABC cân tại . A
Bài 2: Cho xOy, tia phân giác Oz. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 3 c . m Từ A kẻ
đường thẳng vuông góc với Ox cắt Oz tại H , cắt Oy tại K. Lấy điểm B trên tia Ox sao
cho KA là tia phân giác của góc OK .
B Hạ HI ⊥ OK.
a) Chứng minh AH = HI.
b) Biết OH = 5 c ,
m tính khoảng cách từ điểm H đến BK.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại .
A CP, BQ là các tia phân giác trong của ABC (
P  AB, Q  AC ). Gọi O là giao điểm của CP và . BQ
a) Chứng minh tam giác OBC là tam giác cân.
b) Chứng minh điểm O cách đều ba cạnh AB, AC và BC.
c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó. d) Chứng minh CP = . BQ
e) Tam giác APQ là tam giác gì? Vì sao?
Bài 4: Cho tam giác MNP có N = 50 ,  P = 60 .
 Các tia phân giác ME, PF cắt nhau ở H.
Hãy tính số đo góc N . HP
Bài 5: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác ở góc B và C cắt nhau ở I. a) Nếu A = 70 ,
 hãy tính số đo góc BIC. b) Nếu BIC = 140 ,  hãy tính số đo góc . A c) Chứng minh rằng = 90 + A BIC . 2 Hết Trang 1 HDG Bài 1: A
Hạ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC.
Vì AM là tia phân giác của A nên MD = ME. D E
Do đó BDM = CEM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra B = C. Vậy ABC cân tại . A B M C
Bài 2: a) Vì H nằm trên tia phân giác của xOy nên H cách đều
Ox, Oy  AH = HI. x b) Tính 2 2
AH = 5 − 3 = 4 c . m B z
Chứng minh H là giao điểm của ba đường phân giác trong A
OBK nên H cách đều ba cạnh của tam giác đó. H
Vậy khoảng cách từ điểm H đến BK bằng AH = 4 . cm O y I K Bài 3:
a) Từ giả thiết suy ra ABC = ACB, = = BAC B B , = = ACB C C 1 2 2 1 2 2
 B = B = C = C . A 1 2 1 2  OBC cân.
b) Vì O là giao điểm các tia phân giác CP và BQ trong ABC
nên O là giao điểm ba đường phân giác trong ABC. Do đó, O P Q
cách đều ba cạnh AB, AC và BC. O
c) Ta có ABC cân tại ,
A AO là tia phân giác ở đỉnh A nên AO 1 1 2 2 B C
đồng thời là trung tuyến và đường cao của ABC.
Vậy đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó.
d) PBC = QCB (g.c.g)  CP = . BQ
e) Có AP = AB − BP, AQ = AC − CQ ( ) 1 .
Mà PBC = QCB  BP = CQ; AB = AC (2). Từ ( ) 1 và (2) suy ra AP = . AQ
Vậy tam giác APQ cân tại A . Trang 2 Bài 4: M
Từ giả thiết suy ra N = 25 P = 30 .  1 và 1 F E H
Do đó, ta tính được góc NHP = 125 .  1 1 Bài 5: N P
a) Xét ABC, ta tính được B + C = 110 .  A
Do đó, IBC + ICB = 55 . 
Vậy BIC = 180 − 55 = 125 . 
b) Xét BIC, từ giả thiết suy ra IBC + ICB = 40 .  Do đó, ta có I ABC + ACB = 80 .  B C Vậy BAC = 100 . 
c) Ta có: BIC = 180 − (IBC + ICB) B + C 180 − = A 180 − =180 − 2 2  A  = A
180 − 90 −  = 90 + .  2  2   Bài tập bổ sung
Bài 6: Cho ABC vuông tại A có các tia phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại I. Vẽ
ID ⊥ AB tại D, IE ⊥ AC tại E.
a) Chứng minh AB + AC – BC = 2AE.
b) Cho biết AB = 6 cm, AC = 8cm . Tính IA, IB, IC ?
Bài 7: Cho ABC có BAC = 120 , có các phân giác AD, BE, CF.
a) Chứng minh DE là phân giác giác của góc ADC .
b) Đường thẳng vuông góc với CF tại C cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh D, E, K
thẳng hàng và tính góc BED ?
c) Tính chu vi DEF biết DE = 21cm , DF = 20 c . m Trang 3