 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Nếu tại x  a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x  a ) là một nghiệm của đa thức đó.
 Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, …hoặc không có nghiệm.
Người ta đã chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt qua bậc của nó. II. BÀI TẬP 3 1
Bài 1: Chứng tỏ rằng và -
là các nghiệm của đa thức P (x ) 2
= 6x - 7x - 3 . 2 3 æ ö  3 Ta có: ç ÷ P ç ÷=
ç ÷ ……………………………………………………………………………… çè2÷ø
……………………………………………………………………………………………….. æ ö  - 1 Ta có: ç ÷ P ç ÷= ç
÷ …………………………………………………………………………… çè 3 ÷ø
………………………………………………………………………………………………..
Bài 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau: æ öæ ö ç ÷ç ÷
a) P (x ) = (x - 3)(x + 4); b) Q (x ) 1 3 = ç x - 1÷ 2 ç x - ÷ ç ÷ ç ç ÷ è3 ÷ç øè 5÷ ø
 ……………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………….. Trang 1
Bài 3: Cho hai đa thức: f x  3 x  2 x  x   3 ( ) 3 4 2 1 2x ; g x  3 x  2 ( )
4x  3x  2.
a) Thu gọn đa thức f (x). b) Tính (
h x)  f (x)  ( g x). c) Tìm nghiệm của ( h x).
 ……………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
Bài 4: Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: a) 2
f (x)  x  x  2 ;
Bài 6: Chứng minh rằng đa thức P x
có ít nhất hai nghiệm biết rằng b) 2 (
g x)  x  x  1;
x.P (x + )
1 = (x - 2)P (x ). c) 2 2 ( h )
x  3(x  1)  2(x 1)  1
 ……………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
Bài 5: Xét đa thức P (x ) 3 2
= ax + bx + cx + d. Chứng minh rằng:
a) Nếu a + b + c + d = 0 thì P x có một nghiệm x = 1 .
b) Nếu - a + b - c + d = 0 thì P x có một nghiệm x = - 1. Trang 2 HDG  3   1   Bài 1 P  P  0.      2   3  3
Bài 2: a) x = 3, x = - 4; b) x = 3, x = . 1 2 1 2 10
Bài 3: a) f x  3 x  2 ( )
4x  2x  1. b) (
h x)  5x  1.
c) Cho 5x  1  0 ta tìm được x  1 là nghiệm của ( h x). 5 1 1 1 7
Bài 4: Biến đổi f (x) , ta có: f (x)  2
x  x  2  2
x  x  x   2 2 4 4  2 1  1  1  7  1  1  7  1  7 7  x x   x        x  x    x         .  2  2  2  4  2  2  4  2  4 4
Do đó, với mọi x ta đều có f (x)  0. Vậy f (x) không có nghiệm. 2   b) Tương tự 2 1 3 3 (
g x)  x  x  1  x      .  2  4 4
Do đó, với mọi x ta đều có g(x)  0. Vậy f (x) không có nghiệm c) x  2  x  2 3( 1) 0,2(
1)  0 với mọi x . Suy ra h(x)  1 với mọi x .
Như vậy với mọi x ta đều có f (x)  0. Vậy f (x) không có nghiệm. Bài 5: a) P ( ) 3 2 1 = a.1 + .
b 1 + c.1 + d = a + b + c + d = 0 nên x = 1 là một nghiệm của P  x . 3 2 b) P (- ) 1 = a.(- ) 1 + . b (- ) 1 + . c (- )
1 + d = - a + b - c + d = 0 nên x = - 1 là một nghiệm
của P  x.
Bài 6: Vì x.P (x + )
1 = (x - 2)P (x ) với mọi x nên:
- Khi x = 0 ta có: 0.P (0 + )
1 = (0 - 2).P (0) Þ 0 = - 2P (0) Þ P (0) = 0.
Vậy 0 là một nghiệm của P  x.
- Khi x  2 ta có: 2.P (2 + )
1 = (2 - 2)P (2) Þ 2.P (3) = 0 Þ P (3) = 0.
Vậy 3 là một nghiệm nữa của P(x).
Do đó P(x) có ít nhất hai nghiệm là 0 và 3. Trang 3