Bài tập khoảng cách 2 đường chéo nhau | Toán 12

CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU
Câu 1. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt
phẳng đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝐴𝐶 và 𝑆𝐵 bằng bao nhiêu?
Câu 2. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuônng cạnh 2𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với (𝐴𝐵𝐶𝐷) và 𝑆𝐴 = 3𝑎. Gọi
𝑀 là trung điểm của cạnh 𝐶𝐷. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝑆𝐷 và 𝐵𝑀 bằng bao nhiêu?
Câu 3. Cho lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶 ⋅ 𝐴′𝐵′𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎, mặt bên
𝐴𝐶𝐶′𝐴′ là hình vuông. Gọi 𝑀, 𝑁, 𝑃 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐶, 𝐶𝐶′, 𝐴′𝐵′ và 𝐻 là hình chiếu của 𝐴 lên 𝐵𝐶.
Tính theo 𝑎 khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝑀𝑃 và 𝐻𝑁.
Câu 4. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật tâm 𝑂, biết 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑎√3,△ 𝑆𝐴𝐵 cân tại
𝑆 và (𝑆𝐴𝐵) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷). SO tạo với mặt phẳng đáy một góc 60∘. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝑆𝐴
và 𝐶𝑀 với 𝑀 là trung điểm 𝑆𝐷.
Câu 5. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có thể tích bằng 36𝑎3√2, 𝐴𝐵 = 6𝑎,△ 𝑆𝐴𝐵 đều, 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình bình hành. 2 2
Trên cạnh 𝑆𝐵, 𝑆𝐶 lần lượt lấy các điểm 𝐼, 𝐸 sao cho 𝑆𝐼 ⃗⃗ = 𝑆𝐵 ⃗⃗⃗ , 𝑆𝐸 ⃗⃗⃗ = 𝑆𝐶
⃗⃗ . Gọi 𝐻 là trọng tâm △ 𝐴𝐶𝐷. 5 3
Khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝐴𝐼 và 𝐻𝐸 bằng bao nhiêu?
Câu 6. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 đáy là hình thoi tâm 𝑂, cạnh 𝑎, 𝐴𝐵𝐶
̂ = 60∘. Hình chiếu của 𝑆 lên (𝐴𝐵𝐶𝐷) là
trung điểm 𝐻 của 𝐴𝑂, (𝑆𝐵, (𝐴𝐵
̂ 𝐶)) = 60∘. Tính khoảng cách giữa 𝑆𝐵 và 𝐶𝐼 với 𝐼 là trung điểm cạnh 𝑆𝐷.
Câu 7. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông tâm 𝑂 cạnh 𝑎, 𝑆𝑂 vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) và
𝑆𝑂 = 𝑎. Khoảng cách giữa 𝑆𝐶 và 𝐴𝐵 bằng bao nhiêu?
Câu 8. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎. Mặt bên 𝑆𝐴𝐷 là tam giác đều và
(𝑆𝐴𝐷) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷). Gọi 𝑀 là trung điểm của cạnh đáy 𝐴𝐵. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝑆𝐴 và 𝐶𝑀 là bao nhiêu?
Câu 9. Cho hình lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶 ⋅ 𝐴′𝐵′𝐶′ có đáy là tam giác vuông và 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐴′ = 𝑎√2, 𝑀 là
trung điểm của 𝐵𝐶. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝐴𝑀 và 𝐵′𝐶 bằng bao nhiêu?
Câu 10. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 = 𝑆𝐵 = 𝑆𝐶 = 𝑎, 𝐴𝑆𝐵 ̂ = 60∘ và 𝐶𝑆𝐴
̂ = 120∘. Tính khoảng cách 𝑑 giữa
hai đường thẳng 𝐴𝐶 và 𝑆𝐵. 𝐴𝑆𝐵 ̂ = 60∘, 𝐵𝑆𝐶 ̂ = 90∘ và 𝐶𝑆𝐴 ̂ = 120∘
Câu 11. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có các mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵); (𝑆𝐴𝐷) cùng vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷),
đáy là hình thang vuông tại các đỉnh 𝐴 và 𝐵, có 𝐴𝐷 = 2𝐴𝐵 = 2𝐵𝐶 = 2𝑎; 𝑆𝐴 = 𝐴𝐶. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng 𝑆𝐵 và 𝐶𝐷 bằng bao nhiêu?
Câu 12. Cho hình hộp chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 ⋅ 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝑎√2, 𝐴𝐴′ = 𝑎. Tính theo 𝑎 khoảng cách 𝑑
giữa hai đường thẳng 𝐴′𝐵 và 𝐴𝐶.
Câu 13. Cho hình lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 ⋅ 𝐴′𝐵′𝐶′ có đáy là tam giác vuông cân tại 𝐵 với 𝐴𝐵 = 𝑎. Hình chiếu vuông 𝑎√2
góc của 𝐴′ lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) là điểm 𝐻 trên cạnh 𝐴𝐵 sao cho 𝐻𝐴 = 2𝐻𝐵. Biết 𝐴′𝐻 = . Tính khoảng 3
cách giữa đường thẳng 𝐴𝐴′ và 𝐵𝐶 theo 𝑎.
Câu 14. Cho chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 𝑎, tam giác 𝑆𝐴𝐵 vuông cân tại 𝑆 và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách 𝑑 giữa 𝑆𝐵 và 𝐴𝐶. 𝑎√17
Câu 15. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh a, 𝑆𝐷 =
, hình chiếu vuông góc 𝐻 của 2
𝑆 trên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) là trung điểm của đoạn 𝐴𝐵. Gọi 𝐾 là trung điểm của đoạn 𝐴𝐷. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng 𝐻𝐾 và 𝑆𝐷 theo 𝑎 là bao nhiêu?
Câu 16. Cho hình hộp 𝐴𝐵𝐶𝐷 ⋅ 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 𝑎 𝐷𝐴𝐴′ ̂ = 𝐴′𝐴𝐵 ̂ = 60∘, 𝐵𝐴𝐷
̂ = 90∘. Gọi 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄 lần lượt là trung điểm của các cạnh 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐶′, 𝐷𝐷′. Tính khoảng cách giữa 𝑀𝑁 và 𝑃𝑄.
Câu 17. Cho hình chóp tứ giác 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, tam giác 𝑆𝐴𝐵 vuông cân tại 𝑆 và
tam giác 𝑆𝐶𝐷 đều. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝑆𝐴 và 𝐵𝐷.
Câu 18. Cho lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 ⋅ 𝐴′𝐵′𝐶′ có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐶 và cạnh 𝐴𝐶 = 2𝑎. Hình chiếu của 𝐴′
trên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) trùng với trung điểm 𝐻 của 𝐴𝐶. Biết góc giữa hai mặt phẳng (𝐴𝐴′𝐵′𝐵) và (𝐴𝐴′𝐶′𝐶)
bằng 30∘; góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 60∘. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝐴′𝐻 và 𝐵′𝐶.
Câu 19. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh a. Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy
(𝐴𝐵𝐶𝐷), 𝑆𝐶 = 2𝑎. Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐶𝐷. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝐵𝑀 và 𝑆𝐶.
Câu 17.89. Cho lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶𝐷 ⋅ 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có đáy là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵, gọi 𝐸 là trung điểm
𝐴𝐷. Cho 𝐴𝐷 = 2𝐴𝐵 = 2𝐵𝐶 = 2𝑎, 𝐴𝐴′ = 3𝑎. Hãy tính theo 𝑎 khoảng cách giữa hai đường thẳng 𝐵𝐸 và 𝐴′𝐷.
Câu 20. Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh 2𝑚. Từ tấm bìa này làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập,
người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là các cạnh của hình vuông rồi gấp lên và ghép lại
thành một hình chóp tứ giác đều. Thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình bằng
𝑎√2 (𝑚)(𝑎, 𝑏 ∈ ℤ; 𝑎, 𝑏 nguyên tố cùng nhau). Tính tổng 𝑎2 + 𝑏2 ? 𝑏