Đ¾I HàC QUÞC GIA THÀNH PHÞ Hà CHÍ MINH
TR¯ỜNG Đ¾I HàC BÁCH KHOA Năm Học 2021-2022 -----úûúû-----
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN:GIÀI TÍCH 2
GiÁng viên h°ớng dẫn:Nguyßn Ngọc Quỳnh Nh° Lớp : L13-nhóm 8
TP Hà CHÍ MINH - 04/2022 òñ ò 1 THÀNH VIÊN NHÓM 1,Hà Thá Loan 2113923 2,TrÁn Thanh Long 2011565 3,Thiên HÁi Lâm 2113888 4,Đoàn Anh Kiát 2110299 5,Huỳnh Công Hoàng Lâm 2113875
LỜI CÀM ƠN
ĐÁu tiên, cho chúng em xin gửi lßi cÁm ¢n chân thành đến Tr°ßng đ¿i học Bách Khoa
– ĐHQG TPHCM, đã đ°a môn giÁi tích 2 vào ch°¢ng trình giÁng d¿y. Đặc biát, chúng
em xin gửi lßi cÁm ¢n sâu sắc đến giÁng viên bộ môn là cô Nguyßn Ngọc Quỳnh Nh°
đã d¿y dá, truyßn đ¿t cho chúng em kiến thąc quý báu, kiến thąc hay, sâu sắc trong
những ngày qua. Trong suát thßi gian tham gia lớp giÁi tích 2 căa thÁy cô, chúng em tự
th¿y bÁn thân mình t° duy h¢n, nhanh nhẹn thích ąng với viác học càng thêm nghiêm
túc và hiáu quÁ. Đây chắc chắn là những tri thąc đáng giá, là hành trang c¿p thiết cho chúng em sau này.
Bộ môn giÁi tích 2 là một môn học vô cùng hữu ích, đÁm bÁo cung c¿p đă nhu cÁu thực
tißn cho sinh viên. Tuy nhiên, do ván kiến thąc chúng em còn nhißu h¿n hẹp cũng nh°
còn bỡ ngỡ nên dù đã cá gắng hết sąc nh°ng chắc chắn bài tập lớn lÁn này khó có thá
tránh khßi những thiếu sót và đôi chá còn ch°a đ°ÿc chính xác. Kính mong thÁy cô xem
xét, góp ý cho Bài tập lớn căa chúng em đ°ÿc hoàn thián và hoàn hÁo h¢n.
Lßi cuái, xin một lÁn nữa gửi lßi biết ¢n sâu sắc đến các cá nhân, các thÁy cô đã dành
thßi gian chß dẫn cho nhóm. Đây chính là nißm tin, nguồn động lực to lớn đá nhóm có
thá đ¿t đ°ÿc kết quÁ này. 2 MĀC LĀC
I,giới thiáu, lßi cÁm ¢n …………………………………………….2
II,phÁn dách……………………………………………………….....3
III,các ví dā…………………………………………………………..10
IV,ąng dāng thực tế…………………………………………………14
V,tài liáu kham khÁo………………………………………………...16 PHÂN CHIA NHIàM VĀ Há & tên Nhiệm vÿ Hoàn thành Đoàn Anh Kiệt ✓ Tìm ví dā 1,2,3,4,5 100% (Tiếng anh) ✓ Dách và giÁi ví dā 1 Huỳnh Công Hoàng ✓ Dách và giÁi ví dā 2 100%
Lâm (nhóm tr°ởng) ✓ Nghiêng cąu ąng dāng thực tế căa đß tài Thiên HÁi Lâm ✓ Dách và giÁi ví dā 3 100% Hà Thß Loan ✓ Dách và giÁi ví dā 4 100% ✓ Thiết kế, tßng hÿp và chßnh sửa bài báo cáo trên word và powpoint. Trần Thanh Long ✓ Dách và giÁi ví dā 5 100% ✓ Dách bài báo cáo 3 II. PHÀN DàCH:
Chuỗi lũy thừa là một chuái có d¿ng [1]
trong đó ý là một biến và cn’s là hằng sá đ°ÿc gọi là hệ sß căa chuái. Với mái ý cá đánh,
chuái [1] là một chuái các hằng sá mà chúng ta có thá kiám tra sự hội tā hoặc phân kỳ.
Một chuái lũy thừa có thá hội tā đái với một sá giá trá căa ý và phân kỳ đái với các giá
trá khác căa ý. Các tßng căa chuái là một hàm
mißn căa nó là tập hÿp t¿t cÁ ý mà chuái hội tā. Chú ý rằng �㕓 giáng với một đa thąc. Sự
khác biát duy nh¿t là có vô sá đißu kián.
Ví dā, nếu chúng ta l¿y cn = 1 với mọi n, chuái lũy thừa sẽ trá thành chuái hình học [2]
đ°ÿc gọi là chuỗi lũy thừa trong (�㖙 2 �㖂) hoặc chuỗi lũy thừa có tâm t¿i a hoặc chuỗi
lũy thừa về a. L°u ý rằng khi viết ra sá h¿ng t°¢ng ąng với �㕛 = 0 trong Ph°¢ng trình
1 và 2, chúng ta đã ch¿p nhận quy °ớc rằng (ý 2 �㕎)0 = 1 ngay cÁ khi ý = �㕎. Cũng chú
ý rằng khi ý = �㕎 t¿t cÁ các sá h¿ng đßu bằng 0 với �㕛 g 1 và do đó chuái lũy thừa [2]
luôn hội tā khi ý = �㕎.
VÍ Dþ 1 Với những giá trá nào căa chuái ∑∞ÿ=0 �㕛! ýÿ hội tā?
BÀI GIÀI Chúng tôi sử dāng Kiểm tra Tỷ lệ. Nếu chúng ta đặt �㕎ÿ, nh° th°ßng lá, biáu
thá sá h¿ng thą �㕛 căa chuái, thì �㕎ÿ = �㕛! ýÿ. Nếu ý b 0, chúng ta có
Bằng Kiám tra Tỷ lá, chuái phân kỳ khi ý b 0 . Do đó, chuái đã cho chß hội tā khi nào ý = 0.
VÍ Dþ 2 Với những giá trá nào căa ý thì chuái ∑ (ÿ23)�㕛 ∞ ÿ=1 hội tā? ÿ
BÀI GIÀI Đặt �㕎 �㕥23 �㕛 ÿ = ( ) . Sau đó ÿ
Bằng kiám tra tỷ lá, chuái đã cho là hoàn toàn ộ
h i tā, và hội tā khi |ý 2 3| < 1 và phân
kỳ khi |ý 2 3| > 1. Bây giß ta có 4
vì vậy chuái hội tā khi 2 < ý < 4 và phân kỳ khi ý < 2 hoặc ý > 4.
Kiám tra Tỷ lá không có thông tin khi |ý 2 3| = 1 vì vậy chúng ta phÁi xem xét ý = 2
và ý = 4 riêng biát. Nếu chúng ta đặt ý = 4 trong chuái, nó sẽ trá thành∑ 1 , chuái đißu ÿ
hòa, phân kỳ. Nếu ý = 2, chuái sẽ là∑ ( )
21 �㕛, chuái này hội tā bằng Kiám tra Chuái xen ÿ
kẽ. Do đó, chuái lũy thừa đã cho hội tā t¿i 2 f ý < 4.
Chúng ta s¿ th¿y r¿ng công dÿng chính cÿa chußi lũy thÿa là nó cung c¿p mßt cách
đß bißu dißn mßt sß hàm quan trßng nh¿t phát sinh trong toán hßc, v¿t lý và hóa
hßc. Cÿ thß, tßng cÿa chußi lũy thÿa trong ví dÿ ti¿p theo đ±ÿc gßi là hàm Bessel,
theo tên nhà thiên văn hßc ng±ßi Đÿc Friedrich Bessel (178431846), và hàm cho
trong Bài t¿p 33 là mßt ví dÿ khác cÿa hàm Bessel. Trên thÿc t¿, nhÿng chÿc năng
này xu¿t hißn l¿n đ¿u tiên khi Bessel gi¿i đ±ÿc ph±¡ng trình Kepler đß mô t¿
chuyßn đßng cÿa hành tinh. Kß tÿ thßi đißm đó, các chÿc năng này đã đ±ÿc ÿng
dÿng trong nhißu tr±ßng hÿp v¿t lý khác nhau, bao gßm sÿ phân bß nhißt đß
trong mßt đĩa tròn và hình d¿ng cÿa mßt trßng rung (xem các bÿc ¿nh ß trang 700). VÍ VÍ D Ụ Ụ 3
Tìm mißn cÿa hàm Bessel b¿c 0 đ±ÿc xác đßnh bßi BÀI B ÀI GI ẢI
Ả IĐặt �㕎ÿ = (21)�㕛�㕥2�㕛 . Khi đó [22�㕛(ÿ!)2
Do đó, b¿ng Kißm tra tỷ lß, chußi đã cho hßi tÿ vßi t¿t c¿ các giá trß cÿa ý. Nói cách khác, mißn �㔽 c ( 0
ÿa hàm Bessel là 2∞, ∞) = ℝ .
Nhß l¿i r¿ng tßng cÿa mßt chußi b¿ng gißi h¿n cÿa chußi các tßng riêng ph¿n. Vì
v¿y, khi chúng ta xác đßnh hàm Bessel trong Ví dÿ 3 là tßng cÿa mßt chußi, chúng
ta có nghĩa r¿ng, vßi mßi sß thÿc ý, 5
Một vài tßng đÁu tiên là
Hình 1 cho th¿y đồ thá căa các tßng từng phÁn này, là các đa thąc. T¿t cÁ chúng đßu là
giá trá gÁn đúng cho hàm, nh°ng l°u ý rằng giá trá gÁn đúng sẽ trá nên tát h¢n khi có
nhißu sá h¿ng h¢n. Hình 2 cho th¿y một đồ thá đÁy đă h¢n căa hàm Bessel.
Đái với chuái lũy thừa mà chúng ta đã xem xét cho đến nay, tập các giá trá ý mà chuái
hội tā luôn biến thành một khoÁng [một khoÁng hữu h¿n đái với chuái hình học và chuái
trong Ví dā 2, khoÁng vô h¿n (2∞, ∞) trong Ví dā 3 và một khoÁng thu gọn [0,0] =
{0} trong Ví dā 1]. Đánh lý sau đây, đ°ÿc chąng minh trong Phā lāc F, nói rằng đißu này nói chung là đúng.
Đßnh lý Đái với một chuái lũy thừa ∑ ∞ÿ=0 �㕐ÿ(ý 2 � 㕎 đã )ÿ cho, chß có ba khÁ năng:
(i) Chuái chß hội tā khi ý = �㕎.
(ii) Chuái hội tā với mọi ý.
(iii) Có một sá d°¢ng sao cho chuái hội tā nếu |ý 2 �㕎| < �㕅 và phân kỳ nếu |ý 2 �㕎| 6
Con sß trong tr±ßng hÿp (iii) đ±ÿc gßi là bán á n k í k n í h n h h ßi ß it ÿ
ÿ cÿa chußi lũy thÿa. Theo
quy ±ßc, bán kính hßi tÿ là �㕅 = t 0
rong tr±ßng hÿp (i) và �㕅 = ∞ trong tr±ßng hÿp (ii). Kho Kh ¿ng g t h t ßi ß ig i g a i n a n h
ßi it ÿ cÿa mßt chußi lũy thÿa là kho¿ng bao gßm t¿t c¿ các giá trß ý mà chußi
đó hßi tÿ. Trong tr±ßng hÿp (i) kho¿ng thßi gian chß bao gßm mßt đißm � 㕎 duy
nh¿t. Trong tr±ßng hÿp (ii) kho¿ng là
(2∞, ∞) . Trong tr±ßng hÿp (iii) l±u ý r¿ng
b¿t đ¿ng thÿc |ý = �㕎| < � có㕅
thß đ±ÿc vi¿t l¿i thành �㕎 2 �㕅 < ý < � . 㕎 Kh + i ý� l 㕅 à
đißm cußi cÿa kho¿ng, nghĩa là, ý = �㕎 ±,� b 㕅
¿t kÿ đißu gì có thß x¿y ra, chußi có
thß hßi tÿ t¿i mßt hoặc c¿ hai đißm cußi hoặc nó có thß phân kÿ ß c¿ hai đißm cußi.
Do đó, trong tr±ßng hÿp (iii) có bßn kh¿ năng x¿y ra đßi vßi kho¿ng hßi tÿ:
Tình hußng này đ±ÿc minh hßa ß Hình 3.
D±ßi đây là b¿ng tóm t¿t bán kính và kho¿ng thßi gian hßi tÿ cho mßi ví dÿ đã
đ±ÿc xem xét trong ph¿n này.
Nói chung, Kißm tra tỷ lß (hoặc đôi khi Kißm tra gßc) nên đ±ÿc sÿ dÿng đß xác
đßnh bán kính hßi tÿ R. Kißm tra Tỷ lß và Gßc th±ßng gặp lßi khi ý là đißm cußi cÿa
kho¿ng hßi tÿ, vì v¿y các đißm cußi ph¿i đ±ÿc kißm tra b¿ng mßt sß kißm tra khác. VÍ VÍ D Ụ Ụ 4
Tìm bán kính hßi tÿ và kho¿ng hßi tÿ cÿa chußi 7 BÀI B ÀI GI ẢI
Ả IĐặt �㕎ÿ = (23)�㕛�㕥�㕛 . Ta có √ÿ+1
B¿ng Kißm tra Tỷ lß, chußi đã cho hßi tÿ n¿u 3|ý| < 1 và phân kÿ n¿u 3|ý| > 1 .
Do đó, nó hßi tÿ n¿u |ý| < 1 và phân kÿ n¿u |ý| > 1 . Đißu này có nghĩa là bán kính 3 3 cÿa hßi tÿ là �㕅 = 1 . 3
Chúng tôi bi¿t chußi hßi tÿ trong kho¿ng (2 1 , 1) , nh±ng bây giß chúng tôi ph¿i 3 3
kißm tra hßi tÿ t¿i các đißm cußi cÿa kho¿ng này. N¿u ý = 2 1 , chußi trß thành 3
mà nó phân kÿ. (Sÿ dÿng Kißm tra Tích phân hoặc chß c¿n quan sát r¿ng nó là mßt chußi vßi �㕝 = 1
< 1 . N¿u ý = 1 thì chußi là 2 3
mà hßi tÿ bßi Kißm tra Chußi xen k¿. Do đó, chußi lũy thÿa đã cho hßi tÿ khi 2 1 < 3
ý f 1 , nên kho¿ng hßi tÿ là (2 1 , 1]. 3 3 3 VÍ VÍ D Ụ Ụ 5
Tìm bán kính hßi tÿ và kho¿ng hßi tÿ cÿa chußi BÀI B ÀI GI ẢI Ả IN¿u �㕎 �㕥+2 �㕛 ÿ = ÿ( ) thì 3�㕛+1
Sÿ dÿng Kißm tra tỷ lß, chúng ta th¿y r¿ng chußi hßi tÿ n¿u |�㕥+2|< 1 và nó phân kÿ 3
n¿u |�㕥+2|> 1 . Vì v¿y, nó hßi tÿ n¿u |ý + 2| < 3 và phân kÿ n¿u |ý + 2| > 3 . Do 3
đó, bán kính hßi tÿ s¿ là �㕅 = 3. 8
B¿t đ¿ng thÿc |ý + 2| < 3 có thß đ±ÿc vi¿t d±ßi d¿ng 25 < ý < 1 , vì v¿y chúng
tôi kißm tra chußi t¿i đißm cußi là -5 và 1. Khi ý = 25 , chußi s¿ là
phân kÿ bßi Kißm tra phân kÿ [ (21)ÿ�㕛
k hông hßi tÿ vß 0]. Khi ý = 1 , chußi là
mà cũng phân kÿ bßi Kißm tra sÿ phân kÿ. Do đó, chußi chß hßi tÿ khi 25 < ý < 1 ,
nên kho¿ng đßng bi¿n là (25, 1). 9 III. CÁC VÍ DỤ:
Ví dā 1: Xác đánh bán kính hội tā và khoÁng hội tā căa chuái lũy thừa sau : �㕛 ∑ (21) ÿ ∞ ÿ=1 (ý + 3 )ÿ (*) 4� 㕛 Bài giÁi Đặt �㕎ÿ = (21)�㕛 4� 㕛
Sử dāng tiêu chuẩn d’Alembert đá giÁi quyết bài toán : �㔌 = li|m �㕎�㕛+1 | =| l(im) 21 �㕛+1(ÿ+1)
4�㕛|= lim|2(ÿ+1) | = lim ÿ+1 = 1 ÿ→∞ �㕎� 㕛ÿ→∞ 4�㕛+1 (21)�㕛ÿ ÿ→∞ 4ÿ ÿ→∞ 4ÿ 4
Bán kính hội tā : R= 1 = 4 . �㔌 Xét ( x +3) = -4 → x=-7 �㕛 ∑ (21) ÿ ∞ ( ∞ ∞ ∞ ÿ=1 24 )ÿ ↔ ∑ ( ÿ=1 21)ÿ(21)ÿ �㕛 ↔ ∑ (21)�㕛ÿ ÿ=1 (ý + 3 )ÿ ↔ ∑ � ÿ=1 㕛 4� 㕛 4� 㕛
Suy ra chuái này phân kì vì lim �㕛 = ∞ ÿ→∞ Xét (x +3)=4 → x=1 ∑ (21)�㕛ÿ ∞ ∞ ÿ=1 4ÿ = ∑ (21)ÿ 4� 㕛 ÿ=1 �㕛
Suy ra chuái này phân kì vì lim(21)ÿ�㕛 không tồn t¿i ÿ→∞
Vì vậy, chuái lũy thừa không hội tā t¿i 2 điám cuái, mißn hội tā là (-7,1).
Ví dā 2: Xác đánh bán kính hội tā và mißn hội tā căa chuái lũy thừa sau: ∞2ÿ ∑ � 㕛 (4ý 2 8)ÿ ÿ=1 Bài giÁi:
Trong bài toán này, ta sử dāng tiêu chuẩn D’Alembert đá giÁi quyết. Ta có: �㕎ÿ = 2�㕛 và �㕋 = 4ý 2 8 ÿ Suy ra: �㕎ÿ+1 = 2�㕛+1 ÿ+1 �㕎 2ÿ+1 �㕛 2�㕛 �㔌 = lim | ÿ+1 | = lim | .| = lim | | = 2 ÿ→∞ �㕎ÿ ÿ→∞ �㕛 + 1 2ÿ ÿ→∞ �㕛 + 1
Bán kính hội tā: �㕅 = 1 = 1 � 㔌2 10
KhoÁng hội tā căa chuái lũy thừa ∑∞ �㕎 ÿ=1 ÿ. �㕋ÿ là (2 1 , 1) 2 2 Xét �㕋 = �㕅 = 1 2 ∑ 2�㕛 ∞ ∞ 1 1 ÿ=1 . (1 )ÿ = ∑ 1 ∞ ; ta nhận th¿y ∑ 1 = lim với ÿ 2 ÿ=1 ÿ ÿ=1 không âm và lim ÿ ÿ→∞ ÿ ÿ→∞ ÿ1
�㗼 = 1 nên chuái phân kì theo đißu kián cÁn. Xét �㕋 = 2�㕅 = 2 1 2 ∑ 2�㕛 ∞ ∞ ÿ=1 . (21 )ÿ = ∑ (21)�㕛 ∞
; ta nhận th¿y chuái đan d¿u ∑ (21)�㕛 ÿ 2 ÿ=1 ÿ ÿ=1 có: ÿ 1. lim �㕎 1 ÿ = lim= 0 ÿ→∞ ÿ→∞ ÿ 2. Dãy {�㕎+∞ +∞ ÿ}ÿ= = 1{1 } là dãy giÁm. ÿ ÿ=1
Khi đó chuái hội tā. Mißn hội tā theo X là 21 f �㕋 < 1 2 2
Ta có: 21 f �㕋 = 4ý 2 8 < 1 ↔ 15 f ý < 17 2 2 8 8
Vậy mißn hội tā căa chuái lũy thừa trên là [15 ; 17). 8 8
Ví dā 3:Xác đánh bán kính hội tā và khoÁng hội tā căa chuái lũy thừa sau. ∞ ∑ �㕛! (2ý + 1)ÿ ÿ=Ā Bài giÁi F(x) = 2x +1 �㕎ÿ = n! Bán kính hội tā
R= 1 p = lim |(ÿ+1)! | = lim (�㕛 + 1) = ∞ ā ÿ→∞ ÿ! ÿ→∞
R = 1 j 0 ⇒ Bán kính hội tā R = 0 ∞ KhoÁng hội tā F(x) = 2x +1 =0 1 ⇒ x = - 2
Vậy khoÁng hôi tā tai một điám x = - 1 2 11
Ví dā 4:Xác đánh bán kính hội tā và mißn hội tā căa chuái lũy thừa sau: ∞ (ý 2 6)ÿ ∑ ÿ=1 �㕛ÿ Bài giÁi:
Trong bài toán này, đá thuận tián, chúng ta sẽ khÁo sát chuái theo tiêu chuẩn Cauchy.
Đặt �㕎ÿ = 1 �㕣à �㕋 = ý 2 6 ÿ� 㕛 � 1 㕛 1 ρ = lim √��㕎㕛 √ ÿ = lim = lim ÿ→∞ ÿ→∞ �㕛ÿÿ→∞ � 㕛 = 0 Chuái ∑ (�㕥26)�㕛 ∞ ÿ=1
hội tā theo tiêu chuẩn Cauchy. ÿ�㕛
Bán kính hội tā căa chuái là: �㕅 = 1 = +∞ � 㔌
Vậy mißn hội tā căa chuái là (2∞; +∞).
Ví dā 5: Xác đánh bán kính hội tā và khoÁng hội tā căa chuái lũy thừa sau. ∞ ý2ÿ ∑ (23)ÿ ÿ=1 Bài giÁi:
ta sử dùng tiêu chuẩn Cauchy đá giÁi bài toán này:
Chúng ta sẽ sử dāng phép toán sau đá kiám tra phép thử lặp l¿i. 1 ý2ÿ ÿ ý2 ý2 �㔿 = li|m | = lim | | = ÿ→∞ (23)ÿ ÿ→∞ 23 3
Vậy nó sẽ hội tā nếu ý2 < 1 → ý2 < 3 3
Tuy nhiên, bán kính hội tā KHÔNG phÁi là 3. Do đó √ý2 < √3 |ý| < 3
Trong tr°ßng hÿp này, có vẻ nh° bán kính hội tā là �㕅 = √3.
Xét khoÁng hội tā: 2√3 < ý < √3 12 Kiám tra các đ á i m cuái ý = 2√3  Chuái lũy thừa ∞ 2ÿ ∞ (2√3) ((23)2)ÿ ∑ = ∑ (23)ÿ (23)ÿ ÿ=1 ÿ=1 =∑ 3�㕛 ∞ ∞ ÿ=1 = ∑ (21)ÿ (21)�㕛( ) 3 �㕛 ÿ=1
Chuái này phân kỳ do lim(21)ÿ không tồn t¿i. ÿ→∞
Với ý = √3, ta có chuái: ∞ ∞ (√3)2ÿ ∑ = ∑(21)ÿ (23)ÿ ÿ=1 ÿ=1 Mà chuái này phân kỳ.
Vậy khoÁng hội tā: 2√3 < ý < √3 13 IV.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHUỖI
Đß tài: ĄNG DĀNG CĂA CHUàI Sà G
Đà IÀI PH¯¡NG TRÌNH VI PHÂN 1) Mà ĐÀU Mßt sß
ph±¡ng trình vi phân r¿t khó (n¿u không mu n
ß nói là không thß) tìm nghiệm
ở d¿ng tß hÿp cÿa các hàm sß s¡ c¿p xác định. Đißu này cũng x¿y ra ngay c¿ khi các
ph±¡ng trình vi phân có d¿ng r¿t đ¡n gi¿n. Ví dÿ nh± ph±¡ng trình sau: þ′ 2 2ýþ′ + þ = 0 (1)
Đây là ph°¢ng trình vi phân cấp hai, h s
ß ố hàm nh°ng ta không thÅ tìm đ°ÿc 1
nghißm riêng d°ới dạng hàm số s¢ cấp. Tuy nhiên, vißc giải các ph°¢ng trình nh°
dạng ph°¢ng trình (1) là rất quan tráng vì nó nảy sinh từ các vấn đÃ, các bài toán căa
vật lý, cā thÅ, nó liên quan đÁn ph°¢ng trình Schrödinger trong c¢ hác l°ÿng tử. Vì
vậy, ta cần thiÁt phải xây dựng các ph°¢ng pháp nhằm tìm nghißm cho các ph°¢ng trình dạng này.
Một trong các phương pháp thông d n
ụ g là ứng d n
ụ g lý thuyết chu i ỗ để tìm nghiệm c a
ủ phương trình dưới dạng chu i ỗ lũy th a ừ : ∞ þ = ∑ �㕐 . ý = � ÿ ÿ 㕐 + � 0 㕐1ý + �㕐2ý2 + ⋯ (2 + ) �㕐ÿýÿ ÿ=0 2) C¡ SÞ LÍ THUYÀT CĂA PH¯¡NG PHÁP:
C¢ sß Toán hác căa ph°¢ng pháp này là ta thay thÁ biÅu thức (2) vào ph°¢ng
trình vi phân và từ đó xác nh đß giá tr ß căa các hằng số sao cho nó
nghißm đúng ph°¢ng trình vi phân
3) ĐIÂU KIÞN ĐÄ ÁP DĀNG PH¯¡NG PHÁP:
Chuỗi lũy thừa ứng với các hß số tìm đ°ÿ
c phải là chuỗi hội tā. 4) VÍ DĀ MINH HàA Xét ph°¢ng trình : þ′ + þ = 0 (3)
Theo ph°¢ng pháp s¢ cấp, ta đã biÁt nghißm căa ph°¢ng trình (3) có dạng:
þ = �㔶1 cos(ý) + �㔶2 sin(ý) Sử d i s
āng ph°¢ng pháp chuỗ ố. Ta giả sử nghißm căa ph°¢ng trình (3) có dạng: ∞ þ = ∑ �㕐 . ý = � ÿ ÿ 㕐 + � 0
㕐1ý + �㕐2ý2 + ⋯ + �㕐ÿýÿ ÿ=1 Khi đó, ta có: 14 þ′ = 2�㕐 + 2.3� 2
㕐3ý + 3.4�㕐4ý2 + ⋯ + �㕛. (�㕛 2 1)�㕐ÿýÿ22 ∞ ∞
= ∑ �㕛. (�㕛 2 1)�㕐 = ∑ � ÿýÿ22 ( 㕛 + 1). (�㕛 + 2) (4 � ) 㕐ÿ+2ýÿ ÿ=2 ÿ=0
Khi đó, từ (2),(3) và (4), ta s¿ có: ∞ ∞
∑(�㕛 + 1). (�㕛 + 2)�㕐ÿ + +2 ∑ýÿ �㕐 ÿ. ýÿ = 0 ÿ=0 ÿ=1 Hay ∑ ÿ[ ∞ (� =0
㕛 + 1). (�㕛 + 2)�㕐ÿ+ + 2ýÿ �㕐ÿ. ýÿ] = 0 (5)
Theo ph°¢ng pháp hß số bất đßnh, hai chuỗi số muốn bằng nhau thì từng hß số t°¢ng
ứng phải bằng nhau. Vì vậy,hß số ýÿ ß biÅu thức (5) phải bằng 0
Ta có: (�㕛 + 1). (�㕛 + 2)�㕐ÿ+2 + �㕐ÿ = 0 �㕐ÿ ⇔ �㕐ÿ+2 = 2 (�㕛 + ) 1 . (�㕛 + 2)
Ta có công thức truy hồi, theo đó, s¿ có: �㕛 = 0: �㕐 �㕐0 2 = 2 1.2 �㕛 = 1: �㕐 �㕐1 3 = 2 2.3
�㕛 = 2: �㕐4 = 2 �㕐2 = �㕐0= �㕐0 3.4 1.2.3.4 4! �㕛 = 3: �㕐 �㕐3 5 = 2 = �㕐0 = �㕐0 4.5 1.2.3.4.5 5! �㕛 = 4: �㕐 �㕐4 6 = 2 = 2 �㕐0 = 2 �㕐0 5.6 4!.5.6 6! �㕛 = 5: �㕐 �㕐5 7 = 2 = 2 �㕐0 6.7 7!
Theo quy luật trên, ta có:
Với các hß số chẵn: �㕐2ÿ = (21)ÿ �㕐0 (2ÿ)!
Với các hß số lẻ: �㕐2ÿ+1 = (21)ÿ �㕐0 (2ÿ+1)!
Từ đó, thÁ vào chuỗi (2), ta có: þ = �㕐 + � 0
㕐1ý + �㕐2ý2 + ⋯ + �㕐ÿýÿ ý2 ý4 ý2ÿ = �㕐0 (1 2 + 2 ⋯ + (21)ÿ + ⋯ ) + 2! 4! (2�㕛)! �㕐 ( )ÿ �㕥2�㕛+1 1(ý 2 �㕥3 + �㕥52 ⋯ + 21 + ⋯ ) 3! 5! (2ÿ+1)! Hay ∞ ∞ ý2ÿ ý2ÿ+1 þ = �㕐 21 0 ∑( )ÿ + �㕐 (2�㕛)! 1 ∑(21)ÿ (2�㕛 + 1)! ÿ=0 ÿ=0
Nh° vây ta có ph°¢ng trình phā thuộc vào 2 chuỗi số với �㕐0, �㕐1là 2 hằng số tùy ý. 15 V, TÀI LIỆU KHAM KHẢO
• Calculus - James Stewart - 7 th Edition
• Giáo trình GIẢI TÍCH II - NGUYỄN ĐÌNH HUY (chÿ biên) - NXB ĐHQG TP. Hß Chí Minh • Video Bkel • Phần mềm Geogebra
LINK VIDEO THUYẾT TRÌNH CỦA NHÓM:
https://drive.google.com/file/d/1oFuttFA2yRkkoZZayPR34 RqkF0uNDT6V/view 16