Bài tập Mạch điện | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Bài tập Mạch điện | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.
Môn: Mạch điện 7 tài liệu
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 5.6 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
1. Ví dụ ứng dụng chương 1
VD1: Mạch điện gồm điện trở 10 Ω mắc nối tiếp với cuộn cảm với độ tự cảm L= 30mH
(mili Henry) với tần số f=200Hz. Xác định tổng trở phức của mạch? L R u Giải
Tổng trở phức của mạch: Z =R +iZL Với Z L = 3 2 f .L 2.3,14.200.30.10 37,68
Z 10 i37,68
VD2: Mạch điện gồm điện trở 5 Ω mắc nối tiếp điện trở 7 Ω nối tiếp với cuộn cảm với
độ tự cảm L= 30mH nối tiếp tụ điện có điện dung C=100 F với tần số f =100Hz. Xác
định tổng trở phức của mạch? L C R1 R2 u Giải
Tổng trở phức của mạch: Z = R1+R2+iZL-iZC Với 3 Z 2
f .L 2.3,14.100.30.10 18,84 Ω, L 1 1 Z 15,92 Ω C 6 2 fC 2.3,14.100.100.10
Z 5 7 1 i 8,84 – 1
i 5,92 12 i 2,92
VD3: Một mạch điện gồm hai nhánh mắc song song. Nhánh 1 gồm có điện trở 10 Ω mắc
nối tiếp với cuộn cảm với độ tự cảm L= 150mH. Nhánh 2 có điện trở 15 Ω mắc nối tiếp
với tụ điện có điện dung C=100 F . Với tần số làm việc của mạch là f=50Hz. Xác định
tổng trở phức tương đương của mạch? L1 u C2 R1 R2 Giải - Tổng trở nhánh 1: 3 Z R iZ R i2
f .L 10 i2.3,14.50. 5 1 0. 0 1 10 i47 1 , 1 1 1 L 1 1 - Tổng trở nhánh 2: 1 1
Z R iZ R i 15 i 15 i30,8 2 2 C 2 2 6 2 fC 2.3,14.50.100.10 1 1 1 - Tổng trở của mạch: Z Z Z tm 1 2 Z .Z
(10 i47,1).(15 i30,8) 1 2 Z tm Z Z
10 i47,115 i30,8 1 2
VD4: Cho mạch điện có ba tổng trở mắc song song, có sơ đồ như hình vẽ. Xác định tổng trở của mạch? Biết i /3
Z 5 i7; Z 8.e
; Z 10 i9 1 2 3 U Z1 Z2 Z3 Giải 1 1 1 1 - Tổng trở toàn mạch: Z Z Z Z tm 1 2 3 1 1 1 1 /3 Z 5 i7 8 i e 10 i9 tm VD5: Phép chiếu nổi
Trong không gian Euclid ba chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc O xét mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2 2 2 2
( 1/ 2) 1/ 4 . Mặt cầu (S) có tâm I(0,0,1/ 2)
bán kính r 1/ 2 . Lấy mặt phẳng 0 làm mặt phẳng phức sao cho trục thực Ox trùng với trục
O , trục ảo Oy trùng với trục O . Gọi N(0, 0,1) là cực bắc của mặt cầu (S). 2
+Sự tương ứng bằng biểu thức giải tích x y | z | ; ; . 2 2 2 1 | z | 1 | z | 1 | z |
+Từ mỗi điểm z( ,
x y) trên mặt phẳng phức ta kẻ tia Nz cắt mặt cầu (S) tại điểm z ( ,, ) . 1
+ Ngược lại từ mỗi điểm z (S) \ N ta kẻ tia Nz tia này cắt mặt phẳng phức tại điểm z( , x y) . 1 1
Phép tương ứng này được gọi là phép chiếu nổi.
2. Ví dụ ứng dụng chương 2
VD1. Bài toán tìm ma trận chi phí
Xét một ví dụ đơn giản thường gặp trong kinh tế dưới đây. Một hãng sử dụng 4 loại vật
liệu khác nhau để sản xuất 3 loại sản phẩm. Cho biết, định mức về số đơn vị vật liệu cho
một đơn vị sản phẩm mỗi loại tương ứng và giá của một đơn vị vật liệu mỗi loại ở bảng sau Vật liệu 1 2 3 4 Sản phẩm I 2 4 0 1 II 3 0 1 2 III 1 2 3 4 Giá vật liệu (1000đ) 12 9 14 8
Hãy tính chi phí vật liệu cho một đơn vị sản phẩm mỗi loại. Giải
Trước hết ta thiết lập các ma trận định mức số đơn vị vật liệu trên mỗi đơn vị sản phẩm 2 4 0 1 A 3 0 1 2 1 2 3 4
Kí hiệu B là ma trận giá của đơn vị vật liệu mỗi loại và P là ma trận chi phí vật liệu của
một đơn vị sản phẩm mỗi loại thì 12 p 1 9 B ; P p ; 2 14 p 3 8
Sử dụng qui tắc nhân ma trận ta tính được 68
P A B 66 104 Vậy ta có:
+ Chi phí vật liệu của một đơn vị sản phẩm loại I: p 68; 1
+ Chi phí vật liệu của một đơn vị sản phẩm loại II: p 66; 2
+ Chi phí vật liệu của một đơn vị sản phẩm loại III: p 104. 3
VD2. Mô hình cân bằng cung cầu 3 thị trường của 3 loại hàng hóa 1, 2, 3 có các
phương trình quan hệ giữa sản lượng cung và sản lượng cầu của mỗi loại hàng hóa
theo giá của chúng được cho như sau: Các phương trình cung s q 10 p 1 1 s q 2 p 2 2 s q 5 3p . 3 3 Các phương trình cầu d
q 20 p p 1 1 3 d q 40 2 p p 2 2 3 d
q 10 p p p . 3 1 2 3
Hãy xác định các mức giá cân bằng thị trường của 3 loại hàng hóa trên. Giải
Từ các điều kiện cân bằng cung cầu s d
q q ;i 1, 2,3, ta rút ra hệ phương trình tuyến i i
tính xác định các mức giá cân bằng p , p , p có dạng 1 2 3 2 p p 30 1 3 4 p p 40 2 3 p p 4 p 15. 1 2 3
Hệ có nghiệm duy nhất tương ứng với các mức giá cân bằng cần tìm là 41 28 8 p ; p ; p . 1 2 3 3 3 3
VD3. Cân bằng phương trình hóa học; Phương trình hóa học mô tả số lượng các chất
được tiêu thụ và tạo ra bởi các phản ứng hóa học. Ví dụ, khi khí propan cháy, propan (
C H ) kết hợp với oxy ( O ) để tạo thành carbon dioxide ( CO ) và nước ( H O ), theo một 3 8 2 2 2 phương trình ở dạng
(x )C H (x )O (x )CO (x )H O. (*) 1 3 8 2 2 3 2 4 2
Để “cân bằng” phương trình này, nhà hóa học phải tìm các số nguyên x , , x sao cho 1 4
tổng số nguyên tử cacbon ( C ), hydro ( H ) và oxy ( O ) ở bên trái khớp với số nguyên tử
tương ứng ở bên phải (vì các nguyên tử không bị phá hủy cũng như không được tạo ra trong phản ứng).
Một phương pháp để cân bằng các phương trình phản ứng hóa học là thiết lập một
phương trình vectơ mô tả số nguyên tử của mỗi loại có trong một phản ứng. Vì phương
trình (*) liên quan đến ba loại nguyên tử (Carbon, Hydro và Oxy), hãy xây dựng một
vectơ trong R^3 cho mỗi chất phản ứng và sản phẩm trong (*) liệt kê số lượng “nguyên
tử trên mỗi phân tử”, như sau
Để cân bằng phương trình này, các hệ số x , , x 1 4 phải thỏa mãn
Để giải phương trình này, ta chuyển số hạng chứa x3 ở vế phải sang vế trái
Vì các hệ số trong phương trình phản ứng hóa học phải là số nguyên nên ta chọn x 4 4 ,
suy ra x 1, x 5
x 3 . Vậy, phương trình cân bằng là 1 2 và 3 C H +5O 3CO +4H O. 3 8 2 2 2
Phương trình này cũng sẽ được cân bằng nếu tất cả hệ số được nhân đôi. Tuy nhiên, đối
với hầu hết các mục đích, các nhà hóa học thích sử dụng một phương trình cân bằng có
hệ số là các số nguyên nhỏ nhất có thể.
VD4. Phương trình tuyến tính và mạch điện: Dòng điện trong các nhánh một mạch
điện có thể được mô tả bằng một hệ phương trình tuyến tính. Nguồn điện áp (như pin) tạo
ra dòng điện chạy qua mạch. Khi dòng điện đi qua một điện trở (chẳng hạn như bóng đèn
hoặc động cơ), một lượng điện áp được "sử dụng"; theo Định luật Ohm, "sự sụt giảm
điện áp" này trên một điện trở được tính bởi V RI, trong đó điện áp V được đo bằng
vôn, điện trở R tính bằng Ohm (kí hiệu là ) và cường độ dòng điện I tính bằng ampe (kí hiệu là A ).
Mạch điện trong hình trên chứa ba vòng kín. Dòng điện chạy trong các vòng 1, 2 và 3
được kí hiệu là I ; I và I tương ứng. Chiều của các vòng kín được chỉ định tùy ý. Nếu 1 2 3
dòng điện chạy trong nhánh cùng chiều vòng (chiều được chọn trong hình) thì nhận giá
trị dương (+) và ngược lại nếu dòng điện chạy trong nhánh ngược chiều vòng thì nhận giá trị âm (-).
Dòng điện trong một vòng kín được chi phối bởi quy tắc sau (định luật điện áp của
Kirchhoff): Tổng đại số của điện áp trong một vòng kín bằng không.
Bài toán đặt ra là hãy xác định các dòng điện vòng trong mạch điện cho ở hình trên.
Đối với vòng 1, dòng điện I chạy qua ba điện trở và tổng của các lần giảm điện áp là 1
4I 4I 3I 11I . 1 1 1 1
Dòng điện trong vòng 2 cũng chạy trong một phần của vòng 1, qua nhánh ngắn giữa A
và B . Độ giảm điện áp ở đó là 3I vôn. Tuy nhiên, chiều của dòng điện trong nhánh AB 2
ở vòng 1 ngược với chiều được chọn cho dòng trong vòng 2, vì vậy tổng đại số của tất cả
điện áp giảm cho vòng 1 là 11I 3I . Vì nguồn điện áp trong vòng 1 là 30 vôn, nên 1 2
theo Định luật điện áp Kirchhoff, ta có
11I 3I 30. 1 2
Phương trình cho vòng 2 là 3
I 6I I 5. 1 2 3 Thành phần 3
I có được từ dòng của mạch vòng 1 qua nhánh AB (với điện áp âm vì 1
dòng điện ở đó ngược chiều với dòng trong mạch 2). Thành phần 6I là tổng của tất cả 2
các điện trở trong vòng 2, nhân với dòng điện vòng. Thành phần I có được do dòng 3
điện vòng 3 chạy qua điện trở 1 trong nhánh CD theo hướng ngược lại với chiều của vòng 2. Phương trình vòng 3 là
I 3I 2 5. 2 3
Lưu ý rằng pin 5 vôn trong nhánh CD được tính là một phần của cả vòng 2 và vòng 3,
nhưng nó là -5 vôn cho vòng 3 vì ngược hướng được chọn cho dòng điện trong vòng 3.
Pin 20 vôn cũng nhận giá trị âm vì lí do tương tự.
Các dòng điện vòng được xác định bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính 11I 3 I 30 1 2 3 I 6 I I 5 1 2 3 I 3 I 25 2 3 I 3 1 I 1 2 I 8. 3
Giá trị âm của I chỉ ra rằng dòng điện thực tế trong vòng kín 3 có chiều ngược lại với 3
chiều được chọn trước trong hình trên.
Bây giờ ta xem hệ phương trình trên như một phương trình vectơ
Vectơ điện trở đầu tiên r liệt kê điện trở trong các vòng khác nhau mà dòng điện I chạy 1 1
qua. Một điện trở được ghi giá trị âm khi dòng điện I chạy ngược chiều với dòng điện 1
trong một vòng lặp khác. Tương tự đối với các vectơ điện trở r và r . Dạng ma trận của 2 3 phương trình trên là
là một phiên bản ma trận của Định luật Ohm. Nếu tất cả các dòng điện vòng được chọn
theo cùng một hướng (giả sử ngược chiều kim đồng hồ), thì tất cả các phần tử ngoài
đường chéo chính của ma trận R sẽ là số âm hoặc bằng không.
Phương trình ma trận RI v cho thấy sự phụ thuộc tuyến tính của dòng điện và điện áp
một cách rõ ràng. Ví dụ, nếu vectơ điện áp tăng gấp đôi, thì vectơ dòng điện cũng phải
tăng gấp đôi. Ngoài ra, nó còn thể hiện nguyên tắc chồng chất của điện áp. Tức là nghiệm
của phương trình là tổng các nghiệm của phương trình
Mỗi phương trình ở đây tương ứng với trường hợp mạch điện chỉ có một nguồn điện áp
(các nguồn khác được thay thế bằng dây dẫn). Mô hình dòng điện là tuyến tính bởi vì
Định luật Ohm và Định luật Kirchhoff là tuyến tính: Điện áp trên một điện trở tỉ lệ với
dòng điện chạy qua nó (Ohm) và tổng của điện áp giảm trong một vòng kín bằng tổng
của các nguồn điện áp trong vòng kín đó (Kirchhoff).
Dòng điện vòng trong mạch điện có thể được sử dụng để xác định dòng điện trong bất kì
nhánh nào của mạch. Nếu chỉ có một dòng điện vòng đi qua một nhánh, chẳng hạn như từ
B đến D trong hình trên, thì dòng điện nhánh bằng dòng điện vòng. Nếu có nhiều hơn
một dòng điện vòng đi qua một nhánh, chẳng hạn như từ A đến B , thì dòng điện nhánh
là tổng đại số của các dòng điện vòng trong nhánh (định luật dòng điện của Kirchhoff).
Ví dụ, dòng điện trong nhánh AB là I I 31 2 am-pe, theo hướng I . Dòng điện 1 2 1
trong nhánh CD là I I 1 ( 8
) 9 am-pe, theo hướng I . 2 3 2
VD5. Mã hóa thông tin 1 2 1 Cho ma trận A 2 2 -1
và một sự tương ứng giữa các kí tự và các số như sau: 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 H N E D A O I M T K
Một người muốn gửi một dòng mật khẩu cho đồng nghiệp. Để đảm bảo bí mật anh ta
dùng bảng tương ứng trên chuyển dòng mật khẩu này thành một dãy số và viết dãy số này
thành ma trận B theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải mỗi số là một vị trí trên dòng
của B. Sau khi tính C BA và chuyển ma trận C về dãy số thì được dãy: 16 20 13 6 6 3 15 20 6.
Hãy giải mã dòng thông tin trên? Bài giải:
Việc giải mã dòng thông tin trên được tiến hành theo các bước sau:
Bước 1. Xác định ma trận C
Vì C BA nên C có số cột bằng số cột của A , mà ma trận A có 3 cột, vậy ma trận C có 3 cột.
Theo giả thiết khi chuyển ma trận C về dãy số có 9 số, suy ra ma trận C có cỡ 3x3.
Do đó, ma trận C được xác định là: 16 20 13 A 6 6 3 15 20 6
Bước 2. Sử dụng ma trận nghịch đảo và phép nhân ma trận 9 1 5 1
B CA 2 1 1 7 3 2
Bước 3. Đối chiếu với bảng tương ứng, ta có dãy số của ma trận B là : 9 1 5 2 1 2 7 3 2
Vậy, dãy ký tự là: T H A N H N I E N
ỨNG DỤNG TOÁN 1 VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ, KỸ THUẬT, KINH TẾ
Người soạn: Nguyễn Thu Hà
ỨNG DỤNG CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VECTO
Ví dụ 1. Ứng dụng của KGVT trong cơ học
Đặt vật có khối lượng m vào một lò xo như hình vẽ, nếu vật được kéo xuống và thả ra, hệ
thống lò xo và vật sẽ dao động điều hòa. Độ dịch chuyển y của vật khỏi vị trí cân bằng được cho bởi hàm
y(t) = c1cosωt + c2sinωt
với ω là một hằng số phụ thuộc vào lò xo và khối lượng m. Chứng tỏ rằng tập hợp tất cả các
hàm như trên là một không gian vectơ.
Ví dụ 2. Ứng dụng của KGVT trong cơ học
Cho vật rắn khối lượng m nằm cân bằng như trong hình 2.1a. Hãy biểu thị lực căng của các − → −→ −→
dây theo trọng lượng P. Vật cân bằng dưới tác dụng của các lực: P , TAB, TAC nên ta có: − → −→ −→ − → P + TAB + TAC = 0 . (∗)
Lần lượt chiếu (∗) lên trục Ox, Oy ta được π π TAC.cos − T − P = 0. 3 AB = 0 và TAC.sin 6
Vậy ta có biểu diễn cần tìm 2P P TAC = √ , TAB = √ . 3 3
Ví dụ 3. Ứng dụng vào phân tích các thành phần mạch điện
Đoạn mạch trong hình gồm một điện trở (R ohms), cuộn cảm (L henrys), tụ điện (C farads),
và một nguồn điện áp ban đầu. Cho b = R , và giả sử R, L và C đã được chọn sao cho b = 1 √ . 2L LC
Gọi v(t) là điện áp (V) tại thời điểm t, đo trên tụ điện. Biết rằng v thuộc không gian hạch KerT
của phép biến đổi tuyến tính 1 Tv(t) = Lv00(t) + Rv0(t) + v(t) C
và KerT = {v(t), v(t) = e−bt(c1 + c2t)}. Tìm cơ sở của KerT.
Ví dụ 4. Ứng dụng của KGVT trong bài toán sản xuất.
Giả sử nhà máy sử dụng m loại vật liệu thô để sản xuất n loại sản phẩm. Gọi aij là số vật liệu
thô loại i cần thiết để sản xuất 1 sản phẩm loại j (i = 1, m, j = 1, n). Khi đó vecto Aj = (a1j a2j a1j ...amj)T
thể hiện số vật liệu các loại cần thiết để sản xuất nên sản phẩm loại j.
Giả sử J là tập con khác rỗng của {1, 2, .., n} và B = {Aj, j ∈ J} là một cơ sở của {A1, A2, ..., An}.
Khi đó với mỗi k 6= j ta có biểu diễn tuyến tính Ak = ∑ zjkAj. j∈J
Ý nghĩa kinh tế của biểu diễn tuyến tính ở trên: Lượng vật liệu sản xuất 1 sản phẩm loại k
bằng tổng các lượng vật liệu để sản xuất tất cả các loại sản phẩm trong J với số đơn vị sp loại j
là zjk. Nói cách khác, để có thêm 1 sản phẩm loại k thì ta phải bớt đi zjk đơn vị sản phẩm loại j.
Ví dụ: Nhà máy sử dụng 3 loại vật liệu thô để sản xuất 4 loại sản phẩm. Lượng vật liệu thô
cần thiết để sản xuất mỗi loại sản phẩm được cho bởi 2 3 1 11
u1 = 1 , u2 = 0 , u3 = 2 , u4 = 7 , 1 2 3 11 2
1. Biểu diễn tuyến tính u4 qua các vecto còn lại, nêu ý nghĩa kinh tế của nó.
2. Xác định số lượng các loại vật liệu thô cần thiết để sản xuất 5 sản phẩm loại 1, 7 sản phẩm
loại 2, 4 sản phẩm loại 3.
3. Với số lượng các loại vật liệu thô ở trên thì nếu nhà máy muốn sản xuất thêm 1 sản phẩm
4 thì số lượng các sản phẩm khác thay đổi thế nào. Số lượng sản phẩm 4 có thể sản xuất tối đa là bao nhiêu? GIẢI c 1 + 3c2 = 11
1). Giả sử u4 = c1u1 + c2u2 + c3u3. Khi đó ta có hệ 2c1 + c2 + c3 = 7 . 3c1 + c2 + 2c3 = 11
Giải hệ ta được c1 = 3, c2 = 1, c3 = 2. Vậy ta có biểu diễn tuyến tính u4 = 3u1 + u2 + 2u3.
Ý nghĩa: Từ biểu diễn trên ta suy ra: nếu bớt đi 3 sản phẩm loại 1 và 1 sản phẩm loại 2 và
2 sản phẩm loại 3 thì ta sẽ thêm đc 1 sản phẩm loại 4, hay nói cách khác là số vật liệu thô cần
thiết để sản xuất ra 3 sản phẩm loại 1, 1 sản phẩm loại 2 và 2 sản phẩm loại 3 bằng với số vật
liệu thô cần thiết để sản xuất ra 1 sản phẩm 4. 2). Ta có 2 3 1 35 5u1 + 7c2 + 4c3 = 5 + + = 1 7 0 4 2 13 1 2 3 31
Vậy số lượng các loại vật liệu thô cần thiết để sản xuất 5 sản phẩm loại 1, 7 sản phẩm loại 2,
4 sản phẩm loại 3 là 35 vật liệu thô loại 1, 13 vật liệu thô loại 2, 31 vật liệu thô loại 3. 3). Từ 1. và 2. ta suy ra
5u1 + 7c2 + 4c3 = 5u1 + 7c2 + 4c3 + u4 − (3c1 + c2 + 2c3) = 2u1 + 6c2 + 2c3 + u4
Vậy với số lượng các loại vật liệu thô ở trên thì nếu nhà máy muốn sản xuất thêm 1 sản phẩm
4 thì khi đó chỉ sản xuất đc 2 sản phẩm loại 1, 6 sản phẩm loại 2, 5 sản phẩm loại 3.
Ví dụ 5. Bài toán bỏ phiếu bầu cử
Giả sử kết quả bỏ phiếu của một cuộc bầu cử được đại diện bởi một vectơ trong không gian R3: D X = R , D: đảng dân chủ, L: đảng tự do R: đảng cầm quyền. L
Ta ghi lại kết quả của cuộc bầu cử hai năm một lần bằng vectơ loại này và biết rằng kết quả
của cuộc bầu cử chỉ phụ thuộc vào kết quả của cuộc bầu cử trước đó. Khi đó, chuỗi các vectơ
mô tả các phiếu bầu hai năm một lần là Chuỗi Markov với ma trận chuyển tiếp P (là một ma trận ngẫu nhiên). 3
Cột D: mô tả trong số những người bỏ phiếu cho đảng Dân chủ trong năm trước thì trong
cuộc bầu cử tiếp theo sẽ có: 70% bỏ phiếu D một lần nữa, 20% bỏ phiếu R, 10% bỏ phiếu L.
Tương tự cho các cột R, L của ma trận P. Nếu tỷ lệ phần trăm “chuyển tiếp” không đổi trong
nhiều năm kể từ một cuộc bầu cử nào đó thì chuỗi các vectơ cung cấp kết quả bỏ phiếu của cá
năm sau đó sẽ tạo thành một chuỗi Markov.
Xác định kết quả có thể xảy ra của cuộc bầu cử tiếp theo và kết quả có thể xảy ra của cuộc
bầu cử tiếp theo nữa biết rằng kết quả của một cuộc bầu cử ban đầu là .55 X0 = .4 .05 GIẢI
Kết quả của cuộc bầu cử tiếp theo được mô tả bằng vectơ trạng thái X1,
.70 .10 .30 .55 .440 X1 = PX0 = = .20 .80 .30 .4 .445 .10 .10 .40 .05 .115
và cuộc bầu cử tiếp theo nữa được mô tả bằng X2,
.70 .10 .30 .440 .3870 X2 = PX1 = = .20 .80 .30 .445 .4785 .10 .10 .40 .115 .1345
Giải thích các giá trị nhận được trong vecto X1(kết quả của cuộc bầu cử tiếp theo):
+) Từ tỷ lệ phần trăm trong X0 ta thấy: Ở cuộc bầu cử “đầu tiên”, nếu có 1000 người đã bỏ
phiếu thì trong đó có 550 bầu cho D, 400 bầu cho R và 50 bầu cho L.
+) Trong cuộc bầu cử tiếp theo, 70% trong số 550 người sẽ bỏ phiếu D một lần nữa, 10%
trong số 400 sẽ chuyển từ R sang D và 30% trong số 50 sẽ chuyển từ L sang D. Do đó tổng số phiếu bầu D sẽ là
0.70 × 550 + 0.1 × 400 + 0.3 × 50 = 385 + 40 + 15 = 440,
do đó 44% phiếu bầu lần sau sẽ dành cho ứng cử viên D.
+) Tương tự ta có thể giải thích cho các giá trị còn lại trong vecto X1, hoặc các giá trị nhận được trong vecto X2. 4
ỨNG DỤNG CHƯƠNG 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - GIÁ TRỊ RIÊNG VECTO RIÊNG
Ví dụ 6. Bài toán mã hóa thông tin
Lý thuyết mật mã trong chuyển đổi những thông tin có ứng dụng rộng rãi trong an ninh quân
đội và giao dịch ngân hàng, nó liên quan đến việc giữ bí mật thông tin. Mã hóa là việc chuyển
đổi dữ liệu thành một số dạng không thể đọc được. Mục đích của nó là đảm bảo quyền riêng
tư bằng cách giữ bí mật thông tin với bất kỳ ai, ngay cả những người truy cập được dữ liệu đã được mã hóa.
Giải mã là một mặt khác của mã hóa, nó là sự chuyển đổi dữ liệu được mã hóa trở lại thành
một số dạng dễ hiểu. Mã hóa và giải mã yêu cầu sử dụng một số thông tin bí mật, thường được
gọi là khóa. Tùy thuộc vào cơ chế mã hóa được sử dụng, cùng một khóa có thể được sử dụng
cho cả mã hóa và giải mã.
Ví dụ: Để bảo mật, ta mã bảng chữ cái bằng cách thay thế mỗi chữ cái bằng biểu diễn số từ 1-26
và số 0 cho khoảng trắng: A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Giả sử chúng ta muốn gửi tin nhắn sau cho bạn của mình: MEET TOMOROW.
* Mã hóa thông điệp gốc:
+) Để bảo mật, trước tiên ta mã tin nhắn cần gửi theo quy tắc như trên: M E E T T O M O R R O W
13 5 5 20 20 15 13 15 18 18 15 23
Do đó, thông điệp mã gốc là
13 5 5 20 20 15 13 15 18 18 15 23
+) Để mã hóa thông điệp gốc, chúng ta áp dụng một phép biến đổi tuyến tính đối với thông điệp mã gốc. Gọi L : R3 → R3
L(x) = L(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 + 3x3, x1 + x2 + 2x3, x2 + 2x3)
+) Ta chia thông điệp mã gốc thành 4 vectơ 13 20 13 18
u1 = 5 , u2 = 20 , u3 = 15 , u4 = 15 . 5 15 18 23 5
Sử dụng phép biến đổi tuyến tính để thu được thông điệp được mã hóa, ta được
L(u1) = L(13, 5, 5) = (38, 28, 15)
L(u2) = L(20, 20, 15) = (105, 70, 50)
L(u3) = L(13, 15, 18) = (97, 64, 51)
L(u1) = L(18, 15, 23) = (117, 79, 61)
Do đó, ta có thể gửi tin nhắn được mã hóa: 38 28 15 105 70 50 97 64 51 117 79 61.
* Giải mã tin nhắn đã được mã hóa: Giả sử bạn của chúng ta biết quy tắc mã hóa thông qua
phép biến đổi tuyến tính và muốn giải mã tin nhắn trên. 1 2 3
Ma trận A của toán tử tuyến tính L đối với cơ sở chính tắc là A = 1 1 2 . Ta có thể coi 0 1 2 L(x) ∼ Ax.
Vì ma trận A khả nghịch và có ma trận nghịch đảo 0 1 −1 A−1 = 2 −2 −1 , −1 1 1
nên người bạn đó sẽ xác định được toán tử ngược của L thông qua A−1. Viết lại tin nhắn đã
được mã hóa thành các vecto trong R3 và tính được 38 105 97 117 0 1 −1 38 105 97 117 13 20 13 18 A−1 = = 28 70 64 79 2 −2 −1 28 70 64 79 5 20 15 15 . 15 50 51 61 −1 1 1 15 50 51 61 5 15 18 23
Do đó người bạn có thể tìm thấy mã tin nhắn ban đầu thông qua ma trận nghịch đảo của A.
13 5 5 20 20 15 13 15 18 18 15 23 M E E T T O M O R R O W.
Ví dụ 7. Bài toán giải mạch điện (GTR-VTR)
Mạch trong hình vẽ có thể được mô tả bằng phương trình vi phân " # − x0 (t) 1 1 + 1 1 x 1 = C1 R1 R2 R2C1 1(t) , x0 (t) 1 −1 x 2 R 2(t) 2C2 R2C2
trong đó x1(t) và x2(t) là điện áp trên hai tụ điện tại thời điểm t. Giả sử R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, tụ
điện C1 = 1F, C1 = 0.5F và có một initial charge 5V trên tụ C1 và 4V trên tụ C2. Tìm công thức
của x1(t)và x2(t) mô tả sự thay đổi của điện áp theo thời gian. GIẢI −1.5 0.5 5
Giả sử x0(t) = Ax(t), theo giả thiết ta có A = và x . 1 −1 0 = 4 6
Ma trận A có giá trị riêng λ1 = 0.5, λ2 = −2 và vecto riêng tương ứng là 1 −1 v1 = , v . 2 2 = 1 Khi đó ta có y=P−1x y0 y
x0 = Ax = PDP−1x −−−−→ y0 = Dy ⇔ 1 = λ1 0 1 y0 y 2 0 λ2 2
với D là ma trận chéo, P là ma trận chéo hóa 1 −1 1 1 1 D = λ1 0 , P = , P−1 = . 0 λ2 2 1 3 −2 1 5
Vậy y1(t) = v1eλ1t, y2(t) = v2eλ2t. Với điều kiện đầu x0 = , ta có 4 c 1 1 1 5 3 y(0) = 1 = P−1x = . c 0 = 2 3 −2 1 4 −2 Vậy 1 −1 3eλ2t 3e−0.5t + 2e−2t x(t) = Py = = . 2 1 −2eλ2t 6e−0.5t − 2e−2t
Ví dụ 8. Bài toán giải mạch điện(GTR-VTR)
Mạch điện trong hình vẽ có thể được mô tả bằng phương trình " # i0 −R2 − 1 i L = L L L , v0 1 −1 v C C C R C 1
trong đó iL: dòng điện đi qua cuộn cảm L, vC: điện áp trên tụ điện C. Giả sử R1 = 5Ω, R2 =
8Ω, C = 0.1A, L = 0.4H. Ở thời điểm ban đầu biết cường độ dòng điện qua cuộn cảm là 3A và
hiệu điện thế U= 3V. Tìm iL và vC. GIẢI −2 −2.5 3
Với giả thiết đã cho, A = và x . 10 −2 0 = 3 7 i
Ma trận A có giá trị riêng λ = −2 + 5i và VTR tương ứng v1 = . 2
Các nghiệm phức của x0 = Ax là tổ hợp tuyến tính phức của i −i x1(t) = e(−2+5i)t và x e(−2−5i)t 2 2(t) = 2 3
Kết hợp với ea+bi = ea(cosb + isinb) và x0 = , ta có 3 −sin5t cos5t −sin5t cos5t x(t) = c1 e−2t + c e−2t suy ra x(t) = 1.5 e−2t + 3 e−2t. 2cos5t 2 2sin5t 2cos5t 2sin5t i −1.5sin5t + 3cos5t Vậy L(t) = e−2t. vC(t) 3cos5t + 6sin5t
Ví dụ 9. Bài toán hệ sinh thái thú mồi
Biểu thị quần thể cú và chuột gỗ tại thời điểm k bằng O x k k = Rk
trong đó k là thời gian (tháng), Ok là số cú trong khu vực
được nghiên cứu và Rk là số lượng chuột (nghìn con). 0.5 0.4
Giả sử xk+1 = Axk với A = , với p > 0 cho trước. −p 1.1 Ta có hệ (Ok+1 = 0.5Ok + 0.4Rk . Rk+1 = −pOk + 1.1Rk
+) 0.5Ok trong phương trình đầu tiên cho biết rằng nếu không có chuột gỗ làm thức ăn, chỉ một
nửa số cú sẽ sống sót/tháng,
+) 1.1Rk trong phương trình thứ hai nói rằng không có cú là động vật ăn thịt, quần thể chuột sẽ tăng 10%/tháng.
+) Nếu lượng chuột dồi dào, 0.4Rk sẽ có xu hướng làm cho dân số cú gia tăng, 8
+) −pOk đo cái chết của chuột do cú săn mồi (Trên thực tế, 1000p là số lượng chuột trung bình
mà một con cú ăn trong một tháng.)
Xác định sự phát triển của hệ sinh thái này khi tham số săn mồi p = 0.104. GIẢI 0.5 0.4 Khi p = 0.104, ta có A =
. Ma trận A có các giá trị riêng −1.104 1.1
λ1 = 1.02 và λ2 = 0.58
với vector riêng tương ứng: 13 5 v1 = , v . 10 2 = 1
Với một x0 ban đầu nào đó, có thể tìm được c1, c2 sao cho c x 1 0 = c1v1 + c2v2 = v1 v2 . c2
Khi đó, theo tính chất của GTR, VTR ta có 1.02k 0 x −1 k = v1 v2 v x 0 0.58 1 v2
0 = c11.02kv1 + c2(0.92)k0.58kv2. Vậy 13 5 xk = c1(1.02)k + c , k ≥ 0. 10 2(0.58)k 1
Khi k đủ lớn, ta có xấp xỉ (tính chính xác trong xấp xỉ trên được cải thiện khi k tăng) 13 13 xk ' c1(1.02)k , (4) x ' 1.02x 10 k+1 ' c1(1.02)k+1 10 k. (5)
+) Từ (5) ta có: cả hai thành phần của xk (số cú và chuột) tăng gần 1,02 mỗi tháng, tỷ lệ tăng trưởng hàng tháng là 2%.
+) Qua (4), xk là bội số của (10; 13), vì vậy các mục trong xk gần giống nhau với tỷ lệ là 10 đến
13. Tức là cứ 10 con cú thì có khoảng 13 nghìn con chuột.
Ví dụ 10. Bài toán mô hình dịch chuyển dân số
Xét sự dịch chuyển dân cư giữa thành phố và vùng nông thôn thông qua mô hình x 0.95 0.03 0.7 X 1(t) k+1 = AXk với X = , A = , X . x 0 = 2(t) 0.05 0.97 0.3
với Xk là vecto phân bố dân cư ở thời diểm k (năm thứ k), A là ma trận phân bố dân cư, là một
ma trận ngẫu nhiên (các cột của nó là các vecto xác suất). Với mô hình đó ta thấy với những cư
dân thành phố thì có 5% sẽ chuyển về ngoại ô và với những người sống ở ngoại ô thì có 3% sẽ 9
chuyển ra thành phố trong vòng một năm. Hãy phân tích sự dịch chuyển cư dân ở hai vùng sau 10 năm. GIẢI
Dễ thấy A có các giá trị riêng λ1 = 1 và λ2 = 0.92 với vector riêng tương ứng là: 3 1 v1 = , v . 5 2 = −1 Khi đó ta có A = PDP−1,
với D là ma trận chéo, P là ma trận chéo hóa 1 0 3 1 0.125 0.125 D = , P = , P−1 = . 0 0.92 5 −1 0.625 −0.375 Vì Xk+1 = AXk nên
Xk = AXk−1 = AkX0 = PDkP−1X0, Do đó ta có 3 1 1k 0 0.125 0.125 0.7 Xk = = 0.125v 5 −1 0 0.92k 0.625 −0.375 0.3 1 + 0.325(0.92)kv2. Với k = 10, ta có 3 1 0.5162 X10 = 0.125.110 + 0.325(0.92)10 = . 5 −1 0.4838
Vậy sau 10 năm sẽ có 48.38% dân số sẽ sống ở vùng ngoại ô. Khi k → ∞, ta có 0.375 Xk ' 0.125v1 = , 0.625
do đó sự dịch chuyển dân cư có xu hướng ổn định.
ỨNG DỤNG CHƯƠNG 5: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Ví dụ 11. Bài toán mã hóa thông tin
Cho dạng toàn phương trong R3
Q(x) = 2x21 + x22 + x23 + 2x1x2 − 2x1x3 − 4x2x3
Một người muốn gửi một dòng thông tin cho đồng nghiệp. Để đảm bảo tính bảo mật, anh ta
dùng bảng tương ứng trên chuyển dòng mật khẩu thành một dãy số theo quy tắc A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 10
