Bài tập môn Đại số tuyến tính | | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Đại số tuyến tính 1 Chương 0 Bài tập
0.1 Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ BÀI TẬP
1) Cho A, B, C là ba tập hợp tùy ý. Chứng minh rằng:
a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). c) A \ (A \ B) = A ∩ B.
d) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C. e) A ∪ (B \ A) = A ∪ B.
f) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
g) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
2) Cho E, F là hai tập hợp. Biết rằng A ⊂ E, B ⊂ F, chứng minh rằng A × B ⊂ E × F. 3) Chứng minh rằng:
a) A ∩ B = ∅ ⇔ (A × B) ∩ (B × A) = ∅. 3 4 CHƯƠNG 0. BÀI TậP
b) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D).
4) Cho A, B, C là các tập con của tập hợp E. Chứng minh rằng B = C
nếu A ∩ B = A ∩ C và A ∪ B = A ∪ C.
5) Cho ánh xạ f : X → Y, A ⊂ X, B ⊂ X. Chứng minh rằng a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B).
b) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). Hãy chỉ ra ví dụ không xảy ra dấu "=".
6) Cho ánh xạ f : X → Y, A ⊂ Y, B ⊂ Y. Chứng minh rằng
a) f−1(A ∪ B) = f−1(A) ∪ f−1(B).
b) f−1(A ∩ B) = f−1(A) ∩ f−1(B).
c) f−1(A \ B) = f−1(A) \ f−1(B).
7) Cho f : X → Y và g : Y → Z là các ánh xạ giữa các tập hợp. Gọi A
là tập con của X và C là tập con của Z. Chứng minh rằng: a) g(f(A)) = (g ◦ f)(A).
b) (g ◦ f)−1(C) = f−1(g−1(C)). 1 1
8) Cho ánh xạ f : R \ {0} → R bởi công thức f(x) = x3 + + x + . x3 x
Hãy tìm f−1(3), Imf và f−1([0, 1]). 1
9) Cho các ánh xạ f : R\{0} → R, g : R → R bởi công thức f(x) = x+ x x và g(x) =
. Hãy tìm Imf, Img và Im(g ◦ f). 1 + x2
10) Cho A là một tập con của tập hợp E. Ta định nghĩa hàm đặc trưng (0 nếu x ∈ A
f của tập A như sau: f (x) = . Chứng minh rằng các 1 nếu x ∈ A
hàm sau cũng là các hàm đạc trưng của các tập hợp nào đó: a) 1 − f,
0.1. TậP HợP - QUAN Hệ - ÁNH Xạ 5
b) fg và f + g − fg với g là hàm đặc trưng của tập con B trong E. 11) Cho f g
X −→ Y −→ X là các ánh xạ giữa các tập hợp thỏa mãn
g ◦ f = Id. Chứng minh rằng f là đơn ánh và g là toàn ánh.
12) Cho các ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z. Gọi h = g ◦ f là hàm hợp. Chứng minh rằng
a) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh.
b) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh.
c) Hãy chỉ ra các ví dụ chứng tỏ rằng các kết luận ngược lại của a) và b) là không đúng.
13) Cho các ánh xạ f1, f2 : X → Y, g : Y → Z. Chứng minh rằng:
a) Nếu g là đơn ánh và g ◦ f1 = g ◦ f2 thì f1 = f2.
b) Nếu với mọi f1, f2 mà từ g ◦ f1 = g ◦ f2 ta luôn suy ra f1 = f2, thì g là một đơn ánh.
c) Hãy chỉ ra các ví dụ chứng tỏ rằng các kết luận ngược lại của a) và b) là không đúng.
14) Cho tập hợp A gồm n phần tử và tập hợp B gồm m phần tử.
a) Có bao nhiêu ánh xạ f : A → B.
b) Có bao nhiêu đơn ánh g : A → B.
c) Có bao nhiêu toàn ánh h : A → B.
15) a) Tồn tại hay không song ánh f : N → Z?
b) Cho 0 < n ∈ N cố định. Tồn tại hay không song ánh g : N → N × {1, 2, . . . , n}?
c) Tồn tại hay không song ánh h : N → N × N?
d) Tồn tại hay không song ánh p : N → Q?
16) Cho a < b là hai số thực. Khi đó chứng minh rằng các tập sau có 6 CHƯƠNG 0. BÀI TậP
cùng lực lượng: (a, b), [a, b], (a, b], R+, R.
17) Chứng minh rằng tập hợp Q \ {0} cùng với phép nhân hai số hữu tỷ
lập thành một nhóm. Nhóm này có giao hoán không?.
18) Cho X là một tập hợp. Chứng minh rằng tập hợp Bij(X) gồm các
song ánh từ X vào chính nó cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập
thành một nhóm. Hãy chỉ ra rằng nhóm này không giao hoán nếu X có nhiều hơn 2 phần tử.
19) Cho G là một nhóm và H là một tập con G. Chứng minh rằng H là
một nhóm con của G nếu H thỏa mãn các điều kiện sau: a) H = ∅
b) a, b ∈ H =⇒ ab−1 ∈ H.
20) Cho G là một nhóm cùng với các nhóm con H1, H2 ⊂ G. Chứng minh
rằng H1 ∪ H2 là một nhóm con của G khi và chỉ kho hoặc H1 ⊂ H2 hoặc H2 ⊂ H1.
21) Cho G là một nhóm abel hữu hạn có n phần tử. Chứng minh rằng
với mọi g ∈ G, ta có gn = 1.
22) Chứng minh rằng tập các số nguyên cùng với các phép toán cộng và
nhân hai số nguyên là một vành.
23) Chứng minh rằng tập các đa thức cùng với các phép toán cộng và
nhân hai đa thức là một vành. √ √
24) Chứng minh rằng Q( 2) := {a + b 2 : a, b ∈ Q} là một trường và √ √ 3 ∈ Q( 2).
25) Cho K là một trường hữu hạn. Với n ∈ N và a ∈ K, ta kí hiệu:
na = a + a + . . . + a là tổng n lần a.
0.1. TậP HợP - QUAN Hệ - ÁNH Xạ 7
a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho na = 0 với mọi a ∈ K.
b) Chọn số n nguyên dương nhỏ nhất tỏa mãn (a), chứng minh rằng
n là số nguyên tố. Số n này được gọi là đặc số của trường K. 8 CHƯƠNG 0. BÀI TậP Chương 1 Không gian vectơ 1.1 Không gian vectơ BÀI TẬP
1) Chứng minh rằng R, C là các Q− không gian vectơ.
2) Cho a < b là hai số thực. Xét xem trong các tập hợp sau tập hợp nào
là một không gian vectơ trên R với phép cộng và phép nhân (với một số thực) thông thường.
a) Tập các ánh xạ từ [a, b] vào R.
b) Tập L[a, b] các hàm thực khả tích trên [a, b].
c) Tập C∞(a, b) các hàm thực khả vi vô hạn lần.
d) Tập các hàm thực bị chặn trên [a, b].
e) Tập các hàm thực không bị chặn trên [a, b].
f) Tập các hàm thực f thoả mãn f(a) = 0.
g) Tập các hàm thực f thoả mãn f(a) = c với c là một số thực cho trước.
h) Tập các hàm thực đơn điệu tăng trên [a, b]. 9 10 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VECTơ
3) Kí hiệu R+ là tập các số thực dương. Chứng tỏ rằng tập hợp này lập
thành không gian véctơ thực với hai phép toán được định nghĩa như sau:
Với x, y ∈ R+ và k ∈ R thì
a) Phép cộng x + y := xy (phép nhân thông thường). b) Phép nhân k · x := xk.
4) Trong R2 cho hai tập E = {(x, y) | 2x + 3y = 0} và
F = {(x, y) | 5x − 4y + 2 = 0}. Hãy chỉ ra rằng tập E cùng với phép cộng
và phép nhân với một số thực thông thường là một không gian vectơ nhưng F thì không.
5) Cho E là một không gian vectơ thực. Xét tập E × E = {(x, y) | x, y ∈
E}. Hãy chỉ ra rằng tập E × E là một không gian vectơ phức với các phép toán sau:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) và
(a + ib)(x, y) = (ax − by, ay + bx) với mọi a, b ∈ R.
6) Cho V = K × K với phép toán xác định như sau:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) và k · (a, b) = (ka, 0).
Chứng tỏ rằng V không là không gian véctơ. Từ đó suy ra tiên đề 8 là không thể bỏ được.
7) Hãy chỉ ra rằng tiên đề 8 có thể thay thế được bởi tiên đề sau: Phương
trình λ · x = 0 đúng nếu và chỉ nếu λ = 0 hoặc x = 0.
1.2 Tổ hợp tuyến tính-Hệ vectơ độc lập
tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính BÀI TẬP
1.2. Tổ HợP TUYếN TÍNH-Hệ VECTơ ĐộC LậP TUYếN TÍNH VÀ Hệ VECTơ PHụ
1) Chứng minh rằng các vectơ sau độc lập tuyến tính trong các R− không gian vectơ R2. a) (1; -1) và (0; 3). b) (-1; 1) và (1; 2). c) (5; -3) và (-4; 7).
2) Trong R− không gian vectơ R2, hãy biểu diễn vectơ X thành tổ hợp
tuyến tính của hai vectơ A và B.
a) X = (1; 0), A = (1; 1), B = (0; 1).
b) X = (2; 1), A = (1; −1), B = (1; 1).
c) X = (1; 1), A = (2; 1), B = (−1; 0).
3) Trong R− không gian véc tơ R2, cho hai véctơ (a, b) và (c, d). Chứng
minh rằng nếu ad − bc = 0 thì hai véc tơ phụ thuộc tuyến tính. Nếu
ad − bc = 0 thì hai véctơ này độc lập tuyến tính.
4) Chứng minh rằng các véctơ sau độc lập tuyến tính trong các R− không
gian véc tơ R3 và C− không gian véctơ C3. a) (1; 1; 1) và (0; 1; -1). b) (-1; 1; 0) và (0; 1; 2).
c) (1; 1; 0), (1; 1; 1) và (0; 1; -1).
d) (0; 1; 1), (0; 2; 1) và (1; 5; 3).
5) Chứng minh rằng trong Q− không gian véc tơ R các véctơ sau độc lập tuyến tính. a) 1 và π. √ b) 1 và 2. √ √ c) 1 , 2, 3. √ √ d) 1 , 2, 3, π. 12 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VECTơ
6) Xét xem trong không gian C[a, b] các hàm số thực liên tục trên đoạn
[a, b], hệ véctơ nào sau đây độc lập tuyến tính:
a) (t − 1)2, (t − 2)2, (t − 3)2. b) 1, et, e−t.
c) sin x, sin 2x, · · · , sin kx, (k ∈ Z+).
d) at, a2t, a3t, · · · , akt, (k ∈ Z+, a ∈ R+)?
7) Trong không gian véctơ R4, hệ véctơ nào sau đây là độc lập tuyến tính:
a) (1; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1).
b) (0; 1; 1; 1); (1; 1; 1; 0); (1; 1; 0; 1); (1; 0; 1; 1).
c) (1; 2; 3; 4); (2; 3; 4; 5); (3; 4; 5; 6); (4; 5; 6; 7).
d) (0; 1; 1; 1); (1; 1; 1; 0); (1; 1; 0; m); (1; 0; m; 1), m là tham số thực.
8) Trong Q3 cho hệ gồm ba véctơ (1, 2, −3); (−1, 1, −2), (2, 5, k), k ∈ Q.
Tìm k để hệ véctơ trên độc lập tuyến tính.
9) Cho hệ véctơ α1, α2, · · · , αn độc lập tuyến tính trong K-không gian
véctơ V. Chứng minh rằng hệ véctơ α1, α1−α2, α2−α3, · · · , αn−1−αn, n ∈
Z+ cũng là một hệ véctơ độc lập tuyến tính.
10) Giả sử α1, α2, · · · , αn là một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong R-
không gian véctơ V và aij ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n. Đặt βi = Pn a j=1 ij αj (1 ≤ i ≤ n). Chứng minh rằng:
a) Nếu aij = 0 với mọi i < j thì β1, β2, · · · , βn không độc lập tuyến
tính khi và chỉ khi a11 · a22 · · · ann = 0.
b) Nếu với mỗi i ∈ {1, ..., n} ta luôn có |aii| > P |aji| thì β i=j 1, β2, · · · , βn độc lập tuyến tính.
c) Nếu với mỗi i ∈ {1, ..., n} ta luôn có |aii| > P |aij| thì β i=j 1, β2, · · · , βn độc lập tuyến tính.
d) {β1, β2, · · · , βn} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi ma trận A = (aij)
1.3. HạNG CủA MộT Hệ HữU HạN VÉCTơ 13 khả nghịch.
1.3 Hạng của một hệ hữu hạn véctơ BÀI TẬP
1) Trong không gian véctơ R3 tìm hạng và một hệ vectơ độc lập tuyến
tính tối đại của hệ véctơ sau:
a) (1; 0; 0); (0; 1; 2); (2; 1; 2); (2; 3; 6).
b) (0; 1; 2); (1; 2; 3); (−1; −1; −1); (1; 4; 7).
2) Trong không gian véctơ R4 tìm hạng và một hệ vectơ độc lập tuyến
tính tối đại của hệ véctơ sau:
a) (1, 0, 0, 0); (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1), (1; 2; 3; 4).
b) (0, 1, 2, 3); (1, 2, 3, 4); (2, 3, 4, 5); (3; 4; 5; 6); (4; 5; 6; 7).
3) Trong C[a, b] tìm hạng của hệ véctơ sau đây:
a) t2 − 2t, t2 − 3t, t2 − 4t, t2 − 5t.
b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x.
4) Trong R3 cho hệ gồm ba véctơ
{(0, −2, 5); (1, 2, −3); (−1, 1, −2), (2, 5, k)}, k ∈ R.
Tuỳ theo k hãy tính hạng của hệ véctơ trên.
5) Cho hệ véctơ α1, α2, · · · , αn bất kì trong K−không gian véctơ V. Gọi
β1, β2, · · · , βm là các tổ hợp tuyến tính của các véctơ α1, α2, · · · , αn.
Chứng minh rằng hạng của hệ véctơ β1, β2, · · · , βm không vượt quá hạng
của hệ véctơ α1, α2, · · · , αn.
6) Giả sử α1, α2, · · · , αn và β1, β2, · · · , βm là hai hệ véctơ trong R-không 14 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VECTơ
gian véctơ V. Chứng minh rằng hạng của hệ véctơ
α1, α2, · · · , αn, β1, β2, · · · , βm
không vượt quá tổng các hạng của các hệ véctơ
α1, α2, · · · , αn và β1, β2, · · · , βm.
1.4 Cơ sở, số chiều của không gian véctơ BÀI TẬP
1) Trong các hệ véctơ sau đây, hệ nào lập thành một cơ sở của R3?. a) (2; 4;-4), (3;5;-2).
b) (1;0;-1), (3; 0; -3), (-2; 0; 2), (5; 0; -5).
c) (1; 1;1), (1; 2; 3), (3;-2;1).
d) (1; 1; 2), (1; 2; 5), (5; 8; 17).
2) Hệ véctơ nào sau đây là cơ sở của không gian véctơ R4? Khi hệ véctơ
đó là cơ sở của R4, hãy tìm toạ độ của véctơ (4; 3; 2; 1) trong cơ sở đó.
a) (1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 0); (0; 0; 1; 1); (1; 0; 0; 1).
b) (0; 1; 1; 1); (1; 1; 1; 0); (1; 1; 0; 1); (1; 0; 1; 1).
c) (0; 1; 2; 3); (1; 2; 3; 4); (2; 3; 4; 5); (3; 4; 5; 6).
3) Tính chiều của các không gian véctơ sau và chỉ ra một cơ sở của không gian véctơ đó : a) R-không gian véctơ C. b) C-không gian véctơ C. c) K-không gian véctơ Kn.
d) K-không gian véctơ tích V × W , trong đó V, W là các K-không
gian véctơ với chiều lần lượt là m và n.