Đề thi giữa kì số 1- Đại số tuyến tính | | Đại học Sư Phạm Hà Nội
Đề thi giữa kì số 1- Đại số tuyến tính | | Đại học Sư Phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống
Môn: Đại số tuyến tính( MATH 231A) 31 tài liệu
Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội 2.1 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Đề thi giữa kì Đại số tuyến tính k71 ĐỀ 1
Câu 1: (4,0 điểm) Trong R3 cho các không gian véctơ con U =<(1;1;1),(1;2;3),(1;0;-1)> và
V =<(1;2;2),(2;3;2),(1;3;4)> a) Tính dimU và dim(R3/U).
b) Tìm một cơ sở cho mỗi không gian véctơ con V và U + V .
Câu 2: (4,0 điểm) Cho ánh xạ f từ R3 vào R2 chính nó xác định bởi công thức
f (x1; x2; x3) = (x1 + x2 + x3; x1 + x2)
a) Chứng minh rằng f là một toàn cấu.
b) Tìm mà trận của f đối với các cơ sở chính tắc.
c) Tìm cơ sở và số chiều của f(U) biết U =<(1;1;1),(-2;0;-1),(3;1;2)>
Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử V là một R-Không gian véctơ hữu hạn chiều, f, g: V → V là hai
tự đồng cấu tuyến tính. Biết rằng g, f là một đơn đẳng cấu. Chứng minh rằng f, g là một tự đẳng cấu. ĐỀ 2
Câu 1: (4,0 điểm) Trong R3 cho các không gian véctơ con U =<(1;1;-1),(1;2;-3),(1;0;1)> và
V =<(1;2;-2),(2;3;-2),(1;3;-4)> a) Tính dimU và dim(R3/U).
b) Tìm một cơ sở cho mỗi không gian véctơ con V và U + V .
Câu 2: (4,0 điểm) Cho ánh xạ f từ R3 vào R2 chính nó xác định bởi công thức
f (x1; x2; x3) = (x1 + x2 + x3; −x1 − x2)
a) Chứng minh rằng f là một toàn cấu.
b) Tìm ma trận của f đối với các cơ sở chính tắc.
c) Tìm cơ sở và số chiều của f(U) biết U =<(1;1;1),(-2;0;-1),(3;1;2)>
Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử V là một R-Không gian véctơ hữu hạn chiều, f, g: V → V là hai
tự đồng cấu tuyến tính. Biết rằng f, g là một toàn đẳng cấu. Chứng minh rằng g, f là một tự đẳng cấu. ĐỀ 3 Câu 1: (4,0 điểm)
1) Định nghĩa hệ vecto phụ thuộc tuyến tính trong không gian véctơ
2) Trong các R-Không gian véctơ R3, cho hệ vecto a = (1;1;1), b = (0;1;-1), c = (2;1;3).
a) Chứng minh rằng hệ véctơ trên phụ thuộc tuyến tính
b) Tìm cơ sở và số chiều của không gian vecto <(a, b, c)>
Câu 2: (4,0 điểm) Cho ánh xạ f từ R3 vào chính nó xác định bởi công thức
f (x1; x2; x3) = (x1 + x2, x2 + x3; x3 + x1)
a) Chứng minh rằng f là một tự đẳng cấu.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc.
c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở [α = (1;0;0),β = (1;0;0),γ = (0;1;1)]
Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử V, W là những R-Không gian vecto hữu hạn chiều f: V → W là
một đồng cấu tuyến tính và dimV > dimW . Chứng minh rằng f toàn cấu khi và chỉ
khi tiến tới không gian véctơ con thực sự U ⊂ V sao cho f(U) = W ĐỀ 5
Câu 1: (4,0 điểm) (Không rõ đề bài)
a) Định nghĩa không gian véctơ con.
b) Chứng minh rằng tập nghiệm của phương trình x1 + x2 + x3 + ...+ = 0 ()
là một không gian véctơ con của R-Không gian véctơ R4
c) Hãy tìm một cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Câu 2: (4,0 điểm) Cho ánh xạ f từ R3 vào chính nó xác định bởi công thức
f (x1; x2; x3) = (x2 − x3, x3 − x1; x1 − x2)
a) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc.
c) Tìm cơ sở và số chiều của Imf, Kerf.
Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử V, W là những R-Không gian vecto hữu hạn chiều f: V → W là
một đồng cấu tuyến tính. Chứng minh rằng f đơn cấu khi và chỉ khi ánh xạ tuyến tính
hạn chế f: U → f(U) là đẳng cấu với mọi U ⊂ V .