Đề thi giữa kì Đại số tuyến tính k71 ĐỀ 1
Câu 1: (4,0 điểm) Trong R3 cho các không gian véctơ con U =<(1;1;1),(1;2;3),(1;0;-1)> và
V =<(1;2;2),(2;3;2),(1;3;4)> a) Tính dimU và dim(R3/U).
b) Tìm một cơ sở cho mỗi không gian véctơ con V và U + V .
Câu 2: (4,0 điểm) Cho ánh xạ f từ R3 vào R2 chính nó xác định bởi công thức
f (x1; x2; x3) = (x1 + x2 + x3; x1 + x2)
a) Chứng minh rằng f là một toàn cấu.
b) Tìm mà trận của f đối với các cơ sở chính tắc.
c) Tìm cơ sở và số chiều của f(U) biết U =<(1;1;1),(-2;0;-1),(3;1;2)>
Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử V là một R-Không gian véctơ hữu hạn chiều, f, g: V → V là hai
tự đồng cấu tuyến tính. Biết rằng g, f là một đơn đẳng cấu. Chứng minh rằng f, g là một tự đẳng cấu. ĐỀ 2
Câu 1: (4,0 điểm) Trong R3 cho các không gian véctơ con U =<(1;1;-1),(1;2;-3),(1;0;1)> và
V =<(1;2;-2),(2;3;-2),(1;3;-4)> a) Tính dimU và dim(R3/U).
b) Tìm một cơ sở cho mỗi không gian véctơ con V và U + V .
Câu 2: (4,0 điểm) Cho ánh xạ f từ R3 vào R2 chính nó xác định bởi công thức
f (x1; x2; x3) = (x1 + x2 + x3; −x1 − x2)
a) Chứng minh rằng f là một toàn cấu.
b) Tìm ma trận của f đối với các cơ sở chính tắc.
c) Tìm cơ sở và số chiều của f(U) biết U =<(1;1;1),(-2;0;-1),(3;1;2)>
Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử V là một R-Không gian véctơ hữu hạn chiều, f, g: V → V là hai
tự đồng cấu tuyến tính. Biết rằng f, g là một toàn đẳng cấu. Chứng minh rằng g, f là một tự đẳng cấu. ĐỀ 3 Câu 1: (4,0 điểm)
1) Định nghĩa hệ vecto phụ thuộc tuyến tính trong không gian véctơ
2) Trong các R-Không gian véctơ R3, cho hệ vecto a = (1;1;1), b = (0;1;-1), c = (2;1;3).
a) Chứng minh rằng hệ véctơ trên phụ thuộc tuyến tính
b) Tìm cơ sở và số chiều của không gian vecto <(a, b, c)>
Câu 2: (4,0 điểm) Cho ánh xạ f từ R3 vào chính nó xác định bởi công thức
f (x1; x2; x3) = (x1 + x2, x2 + x3; x3 + x1)
a) Chứng minh rằng f là một tự đẳng cấu.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc.
c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở [α = (1;0;0),β = (1;0;0),γ = (0;1;1)]
Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử V, W là những R-Không gian vecto hữu hạn chiều f: V → W là
một đồng cấu tuyến tính và dimV > dimW . Chứng minh rằng f toàn cấu khi và chỉ
khi tiến tới không gian véctơ con thực sự U ⊂ V sao cho f(U) = W ĐỀ 5
Câu 1: (4,0 điểm) (Không rõ đề bài)
a) Định nghĩa không gian véctơ con.
b) Chứng minh rằng tập nghiệm của phương trình x1 + x2 + x3 + ...+ = 0 ()
là một không gian véctơ con của R-Không gian véctơ R4
c) Hãy tìm một cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Câu 2: (4,0 điểm) Cho ánh xạ f từ R3 vào chính nó xác định bởi công thức
f (x1; x2; x3) = (x2 − x3, x3 − x1; x1 − x2)
a) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc.
c) Tìm cơ sở và số chiều của Imf, Kerf.
Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử V, W là những R-Không gian vecto hữu hạn chiều f: V → W là
một đồng cấu tuyến tính. Chứng minh rằng f đơn cấu khi và chỉ khi ánh xạ tuyến tính
hạn chế f: U → f(U) là đẳng cấu với mọi U ⊂ V .