Bài tập ôn luyện - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Bài tập ôn luyện - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

23 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số (MAT1093)

Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

2 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Đại Số Tuyến Tính
TS. Nguyễn Tất Thắng, TS. Nguyễn Đăng Hợp
Kỳ Một, 2022/2023
Tờ bài tập số 7
Tuần thứ bảy, 21/11/2022
Chương 5. Không gian có tích vô hướng. Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Phương pháp trực
giao hóa Gram-Schmidt
Bài 1
Ký hiệu
M
2
là không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Với A =
a
1
a
2
a a
3 4
, B =
b
1
b
2
b b
3 4
,
định nghĩa
hA, Bi := a
1
b
1
+ 2 + 3a
2
b
2
+ a
3
b
3
a
4
b
4
.
1. Chứng minh rằng M
2
với phép toán trên là một không gian có tích vô hướng.
2. Cho
A =
−1 3
4
−2
, B =
0 −2
1 1
. Tìm .hA, Bi, || ||B , d(A, B)
Bài 2
Xét không gian C[−1, 1] các hàm liên tục trên khoảng [−1, 1] với tích vô hướng
hf, gi :=
1
Z
−1
f(t)g(t)dt.
Trong không gian này, xét các hàm số
f
0
(x) = 1, f
1
(x) = x, f
2
(x) =
3x
2
− 1
2
. Chứng minh rằng
f
m
và f
n
là trực giao nếu .m 6= n
Bài 3
Tìm hình chiếu trực giao proj
v
u của u lên v trong các trường hợp sau:
(1)
u =
−1
3
, v =
4
4
∈ R
2
. (2) u =
2
−
2
, v =
3
1
∈ R
2
.
(3)
u =
0
1
3
−6
,
v =
−1
1
2
2
∈
R
4
.
Vẽ hình minh họa các hình chiếu tìm được trong hai trường hợp đầu tiên.
Bài 4
Trong các tập các vectơ trong dưới đây, những tập nào là trực giao/trực chuẩn?R
n
(1)

3/5
4 5
/
,
−4 5/
3
/5

. (2)

11
4
,
8
−
3

.
1/2
Đại Số Tuyến Tính
TS. Nguyễn Tất Thắng, TS. Nguyễn Đăng Hợp
Kỳ Một, 2022/2023
(3)
4
−1
1
,
−1
0
4
,
−4
−17
−
1
. (4)
√
2
2
0
√
2
2
,
−
√
6
6
√
6
3
√
6
6
,
√
3
3
√
3
3
−
√
3
3
.
Bài 5
Dùng phương pháp trực giao hóa Gram–Schmidt để biến các hệ sau đây thành các hệ trực
chuẩn.
(1)
4
−3
0
,
1
2
0
,
0
0
4
. (2)
0
1
1
,
1
1
0
,
1
0
1
.
Bài 6
Xét không gian P
2
các đa thức của biến x với bậc không quá 2, với tích vô hướng cho bởi:
h
f, gi :=
Z
1
−1
f(t)g(t)dt.
Dùng phương pháp trực giao hóa Gram–Schmidt để biến cơ sở
{1, 1 + x, 1 − x
2
} thành một cơ
sở trực chuẩn của .P
2
Bài 7
Tìm một cơ sở trực chuẩn cho không gian nghiệm của mỗi hệ PTTT thuần nhất sau đây:
(1)
2x + y − 6z + 2t = 0,
x + 2y − 3z + 4t = 0,
x + y − 3z + 2t = 0.
(2)
(
x − y + +z t = 0,
x − 2y + z + t = 0.
Bài 8
Cho
S = Span
3
1
8
,
1
−3
−
4
là một không gian con của
R
3
. Tìm phần bù trực giao của .S
Bài 9
Tìm hình chiếu của vectơ
x =
2
−2
1
lên không gian vectơ con của R
3
sinh bởi các vectơ
1
0
1
,
2
1
1
,
3
2
1
.
2/2
| 1/2
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Đại Số Tuyến Tính
TS. Nguyễn Tất Thắng, TS. Nguyễn Đăng Hợp Kỳ Một, 2022/2023 Tờ bài tập số 7 Tuần thứ bảy, 21/11/2022
Chương 5. Không gian có tích vô hướng. Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt Bài 1 a  b  Ký hiệu M 1 a2 1 b2
2 là không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Với A = , B = , a3 a4 b3 b4 định nghĩa
hA, Bi := a1b1 + 2a2b2 + a3b3 + 3a4b4.
1. Chứng minh rằng M2 với phép toán trên là một không gian có tích vô hướng. −1 3  0 −2 2. Cho A = , B = . Tìm hA, Bi, ||B||, d(A, B). 4 −2 1 1 Bài 2
Xét không gian C[−1, 1] các hàm liên tục trên khoảng [−1, 1] với tích vô hướng 1 Z hf, gi := f (t)g(t)dt. 1 − 3x2 − 1
Trong không gian này, xét các hàm số f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = . Chứng minh rằng 2 f
và f là trực giao nếu m 6= n. m n Bài 3
Tìm hình chiếu trực giao proj u của u lên v trong các trường hợp sau: v −1 4  2  3 (1) u = , v = ∈ R2. (2) u = , v = ∈ R2. 3 4 −2 1  0  −1 1 1 (3)     u =   , v =   ∈ R4.  3   2  −6 2
Vẽ hình minh họa các hình chiếu tìm được trong hai trường hợp đầu tiên. Bài 4
Trong các tập các vectơ trong Rn dưới đây, những tập nào là trực giao/trực chuẩn? 3/5 −4/5 11  8  (1) , . (2) , . 4/5 3/5 4 −3 1/2 Đại Số Tuyến Tính
TS. Nguyễn Tất Thắng, TS. Nguyễn Đăng Hợp Kỳ Một, 2022/2023  √ √ √ 2     − 6  3  6 3   2 
 4  −1  −4                    (3) √ √    6   3  . −1 0 −17 . (4) 0  ,   ,   , ,    3   3   1 4 −1                 √   √ √   2 6 3  2 − 6 3 Bài 5
Dùng phương pháp trực giao hóa Gram–Schmidt để biến các hệ sau đây thành các hệ trực chuẩn.  4  1 0 0 1 1 (1) −3 2 0 . (2) 1 1 0 .   ,   ,     ,   ,   0 0 4 1 0 1 Bài 6
Xét không gian P2 các đa thức của biến x với bậc không quá 2, với tích vô hướng cho bởi: Z 1 hf, gi := f (t)g(t)dt. 1 −
Dùng phương pháp trực giao hóa Gram–Schmidt để biến cơ sở {1, 1 + x, 1 − x2} thành một cơ sở trực chuẩn của P2. Bài 7
Tìm một cơ sở trực chuẩn cho không gian nghiệm của mỗi hệ PTTT thuần nhất sau đây: 2x + y − 6z + 2t = 0, (   x − y + z + t = 0, (1) x + 2y − 3z + 4t = 0, (2) x − 2y + z + t = 0.  x + y − 3z + 2t = 0. Bài 8 3  1    Cho S = Span
là một không gian con của S 1 , −3
R3. Tìm phần bù trực giao của .  8 −4  Bài 9  2 
Tìm hình chiếu của vectơ x =
lên không gian vectơ con của −2 R3 sinh bởi các vectơ 1 1 2 3 0 1 2 .   ,   ,   1 1 1 2/2