Bài tập ôn luyện - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Đại Số Tuyến Tính
TS. Nguyễn Tất Thắng, TS. Nguyễn Đăng Hợp Kỳ Một, 2022/2023 Tờ bài tập số 7 Tuần thứ bảy, 21/11/2022
Chương 5. Không gian có tích vô hướng. Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt Bài 1 a  b  Ký hiệu M 1 a2 1 b2
2 là không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Với A = , B = , a3 a4 b3 b4 định nghĩa
hA, Bi := a1b1 + 2a2b2 + a3b3 + 3a4b4.
1. Chứng minh rằng M2 với phép toán trên là một không gian có tích vô hướng. −1 3  0 −2 2. Cho A = , B = . Tìm hA, Bi, ||B||, d(A, B). 4 −2 1 1 Bài 2
Xét không gian C[−1, 1] các hàm liên tục trên khoảng [−1, 1] với tích vô hướng 1 Z hf, gi := f (t)g(t)dt. 1 − 3x2 − 1
Trong không gian này, xét các hàm số f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = . Chứng minh rằng 2 f
và f là trực giao nếu m 6= n. m n Bài 3
Tìm hình chiếu trực giao proj u của u lên v trong các trường hợp sau: v −1 4  2  3 (1) u = , v = ∈ R2. (2) u = , v = ∈ R2. 3 4 −2 1  0  −1 1 1 (3)     u =   , v =   ∈ R4.  3   2  −6 2
Vẽ hình minh họa các hình chiếu tìm được trong hai trường hợp đầu tiên. Bài 4
Trong các tập các vectơ trong Rn dưới đây, những tập nào là trực giao/trực chuẩn? 3/5 −4/5 11  8  (1) , . (2) , . 4/5 3/5 4 −3 1/2 Đại Số Tuyến Tính
TS. Nguyễn Tất Thắng, TS. Nguyễn Đăng Hợp Kỳ Một, 2022/2023  √ √ √ 2     − 6  3  6 3   2 
 4  −1  −4                    (3) √ √    6   3  . −1 0 −17 . (4) 0  ,   ,   , ,    3   3   1 4 −1                 √   √ √   2 6 3  2 − 6 3 Bài 5
Dùng phương pháp trực giao hóa Gram–Schmidt để biến các hệ sau đây thành các hệ trực chuẩn.  4  1 0 0 1 1 (1) −3 2 0 . (2) 1 1 0 .   ,   ,     ,   ,   0 0 4 1 0 1 Bài 6
Xét không gian P2 các đa thức của biến x với bậc không quá 2, với tích vô hướng cho bởi: Z 1 hf, gi := f (t)g(t)dt. 1 −
Dùng phương pháp trực giao hóa Gram–Schmidt để biến cơ sở {1, 1 + x, 1 − x2} thành một cơ sở trực chuẩn của P2. Bài 7
Tìm một cơ sở trực chuẩn cho không gian nghiệm của mỗi hệ PTTT thuần nhất sau đây: 2x + y − 6z + 2t = 0, (   x − y + z + t = 0, (1) x + 2y − 3z + 4t = 0, (2) x − 2y + z + t = 0.  x + y − 3z + 2t = 0. Bài 8 3  1    Cho S = Span
là một không gian con của S 1 , −3
R3. Tìm phần bù trực giao của .  8 −4  Bài 9  2 
Tìm hình chiếu của vectơ x =
lên không gian vectơ con của −2 R3 sinh bởi các vectơ 1 1 2 3 0 1 2 .   ,   ,   1 1 1 2/2