Bài tập ôn tập - Giải tích 3| Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 3 – MI1130Q Chương 1 Chuỗi 1.1 Chuỗi số
Bài 1.1. Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có): ∞ 1 ∞   a) 1 P d) P ln 1 + n(n + 1) n=1 n=1 n 1 1 1 ∞  9 2  b) + + + . . . e) P − 1.3 3.5 5.7 10n n=1 5n ∞ ∞ (−1)n−1.3n c) P (sin (n + 1) − sin n) f) P 10n+2 n=1 n=1
Bài 1.2. Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số sau:
1. Sử dụng điều kiện cần để chuỗi hội tụ ∞ (−1)n.n ∞  1  ∞  1  a) P c) P cos e) P (−1)n cos n + 1 n=1 n=1 n2 n=1 n n ∞ 2n + 3 ∞  n + 1 b) P d) P 6n n + 2 n=1 − 1 n=1
2. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh √ √ ∞ ∞ n2 + n + 1 ∞ n e − 1 2 P a) P √ d) P g) n ln(2n + 1) n=1 n2 n + 2 n=1 n=1 √ √  ∞ n + 2 − n ∞ ∞ 1 1  b) P e) P arctan(2−n) h) P √ − sin √ 2n + 1 n n n=1 n=2 n=1 ∞  1  ∞ ln n ∞ 4 + cos n c) P ln 1 − f) P i) P 2n2 n2 n2(1 + e−n) n=1 n=2 n=1 1
huong.nguyenthithu3@hust.edu.vn 3. Tiêu chuẩn D’Alembert ∞ 2019n ∞ ∞ nn a) P (n!)2 P P e) n! c) 4n.n! n=1 (2n + 1)! n=1 n=1 ∞ 1 (2n + 1)! ∞ n! ∞ enn! b) P d) P f) P 3n n2 3n2 nn n=2 − 1 n=1 n=2 4. Tiêu chuẩn Cauchy ∞  3n + 1 n2 ∞  n n2−1 ∞  1 n3 a) P c) P e) P cos 3n + 2 n + 2 n n=1 n=2 n=2 ∞ 1  1 n2 ∞ 1  n − 2n2+1 b) P 1 − d) P 4n n 3n n n=2 n=1 5. Tiêu chuẩn tích phân ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 a) P b) P c) P nlnnln(lnn) n=2 n ln2 n n=2 n ln n n=10
6. Chuỗi với số hạng có dấu thay đổi ∞ cos n ∞ ( ∞ (−1)n a) P √ −1)n.n3 c) P e) P n=1 n3 + 1 2n − 1 3n + cos n n=1 √ n=1 ∞ (−1)n n ∞ n cos(nπ) ∞ (−1)n + cos n b) P d) P f) P n + 1 2n2 + 1 n=1 n=1 n=2 n ln2 n
Bài 1.3. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số: ∞ (−1)nn ∞  2n + 100 n ∞ (−1)n−1.n3 a) P c) P (−1)n e) P n2 + 1 3n + 1 4 n=2 n=1 n=1 (n2 + 1)3 ∞ (−1)n√n ∞ (−1)n 1 ∞ (−1)n b) P d) P sin √ f) P √ n + 100 2n + 1 n n + ( n=1 n=1 n=2 −1)n
Bài 1.4. Xét sự hội tụ, phân kì ∞ n + 1 ∞ ∞   ( a) n5 P −1)n c) P e) P e √n − 1 (n2 + 2) ln(n + 3) n=1 3n + 2n n=1 n=2 ∞ 2 − n2.3−n2 ∞  1 1 ∞ (−1)n(n − 1) b) P d) P cos − cos f) P n2 n2 + 1 n=1 n + 1 n=1 n n=2 1.2 Chuỗi hàm số
Bài 1.5. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau: ∞ 1 ∞ 1 ∞ nx + ( a) P c) P −1)n e) P 1 + n−x xn + 1 n=1 n=1 n=1 n ∞ (−1)n ∞ xn ∞  1n b) P d) P f) P x + nx x2n + 1 n=1 n=1 n=1 n 2
huong.nguyenthithu3@hust.edu.vn √ ∞ n3 + 1 ∞ g) P P h) n.e−nx n=1 (x2 + 1)nx n=1
Bài 1.6. Tìm miền hội tụ của các chuỗi luỹ thừa sau: ∞ x2n ∞ enx ∞ (−1)n.n a) P d) P g) P √ (1 − 3x)n n n2 + n + 1 n=1 n=1 n=1 n3 + 1  n ∞ (x + 2)n ∞ n2 ∞ 1 − 2n b) P √ e) P (2x + 1)n h) P x2n+1 1 + n3 2n + 3 n=1 n n n=1 n=1 ∞ n ∞ xn ∞ (n!)2 c) P (x − 2)n f) P i) P xn 2n + 3n n=1 2n + 1 n=1 n=1 (2n)!
Bài 1.7. Xét sự hội tụ đều của các chuỗi hàm số sau trên tập đã cho: ∞ sin nx ∞  n a) P 1 , trên R 2x + 1 d) P , x ∈ [−1; 1] n=1 2x2 + n2 n=1 2n x + 2 ∞ e−nx + 1 ∞ x b) P , trên [0, ∞) e) P , trên [0, ∞) 1 + n4x2 n=1 n2 n=1 ∞ xn ∞ (−1)n−1 c) P , x ∈ R f) P , trên R. n=1 (4x2 + 9)n n=1 x2 + n + 2 ∞ Bài 1.8. sin nx 1. Cho F (x) = P . Chứng minh rằng n=1 n3 (a) ∞ F (x) liên tục ∀x (b) lim F (x) = 0 cos nx (c) F ′(x) = P x→0 n2 n=1 Z π  cos 2x cos 4x cos 6x  2. Chứng minh rằng + + + . . . dx = 0. 0 1.3 3.5 5.7
Bài 1.9. Tính tổng của các chuỗi số và chuỗi hàm số: ∞ ∞ ( a) P −1)n.π2n+1 nxn, x ∈ (−1; 1) d) P n=1 (2n + 1)! n=1 ∞ xn ∞ b) P ( , x ∈ (−1, 1) −1)n e) P n=1 n + 1 n=1 (n + 1).2n ∞ x4n−3 ∞ 3n + 1 c) P , x ∈ (−1; 1) f) P 8n n=1 4n − 3 n=1
Bài 1.10. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Maclaurin: a) y = sin2 x cos2 x 2x − 1 e) y = h) y = ln(1 + 2x) x2 + 2x − 3 b) y = sin x sin 3x 1 i) y = x ln(x + 2) f) y = c) y = e2x + 3x cos x x2 + x + 1 j) y = ln(1 + x − 2x2) 2x + 1 1 d) y = g) y = √ x2 − 3x + 2 4 − x2 k) y = arcsin x 3
huong.nguyenthithu3@hust.edu.vn
Bài 1.11. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Taylor tại điểm đã cho: 1 πx √ a) y = , x , x x, x 0 = 1 c) y = 0 = 4 2x + 3 0 = 4 b) y = sin 3
Bài 1.12. Vẽ đồ thị của các hàm số tuần hoàn sau và tính chuỗi Fourier của chúng a) (
y = x, x ∈ (−π, π), T = 2π 2x, 0 ≤ x < 3, d) y = , T = 6 0, −3 < x < 0
b) y = |x| , x ∈ (−π, π), T = 2π
e) y = 2x, 0 < x < 10, T = 10 ( ( 4, 0 < x < 2, 2 − x, 0 < x < 4, c) y = , T = 4 f) y = , T = 8 −4, 2 < x < 4 x − 6, 4 < x < 8
Trong mỗi phần, xác định các điểm gián đoạn của hàm số. Tại những điểm này, chuỗi
Fourier hội tụ về giá trị nào?
Bài 1.13. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Fourier
a) f(x) = x + 1, x ∈ [0, π).
b) f(x) = x(π − x), x ∈ [0, π] thành chuỗi Fourier cosine. Từ đó, chứng minh rằng ∞ X 1 π2 = . n2 6 n=1 4
huong.nguyenthithu3@hust.edu.vn Chương 2 Phương trình vi phân 2.1 PTVP cấp một Bài 2.1.
1) Phương trình phân li biến số a) 2y(x2 + 4)dy = (y2 + 1)dx e) y′ = x2y, y(1) = 1 b) y′ + ey+x = 0
f) xdx + ye−xdy = 0, y(0) = 1. √ g) y2 1 c)
− x2dy = arcsin xdx, y(0) = 0 1 + x + xy′y = 0 2x d) h) y′ = cos2 x cos2(2y) y′ = , y(0) = −2. y + x2y
2) Phương trình thuần nhất y x a) y y′ = + + 1 e) xy′ = y + e x , y(1) = 0 x y y y f) xy′ = y + 2x3 sin2 b) , y(1) = π xy′ = x sin + y x 2 x  y 2 y2 y c) 2y′ + = −1 g) y′ = − + 1, y(1) = 2 x x2 x d) (x + 2y)dx − xdy = 0
h) (2x − y + 4)dx + (x + 2y − 3)dy = 0.
3) Phương trình tuyến tính a) xy′ − 4y = 4x8
d) y′ + y sin x = sin x, y(0) = 0 3 b) (x2 + 1)y′ + 2xy = ex e) y′ − y = 2x2, y(1) = 2 x
c) xy′ − y = x2 cos x, y(π) = π f) (2xy + 3)dy − y2dx = 0. 4) Phương trình Bernoulli 2 y3 xe−2x2 a) y′ + y = c) y′ + xy = x x2 y x3
b) xy′ + y = −x3y2, y(1) = 1 d) xy′ = − 2y, y(1) = 2. y2 5
huong.nguyenthithu3@hust.edu.vn
5) Phương trình vi phân toàn phần y a) (x2 + y)dx = (2y − x)dy d) dx + (ey + 1 + ln x) dy = 0 x b) eydx = (2y − xey)dy
c) (3x2y2 + 2y + 1)dx + 2(x + x3y)dy = 0
e) (ex sin y+y2)dx+(ex cos y+2xy)dy = 0
Bài 2.2. Tìm thừa số tích phân để các phương trình sau trở thành phương trình vi phân toàn
phần, và giải phương trình  y   y  1. − 1 dx + + 1 dy = 0 x x
2. (3x2y + 2xy + y3) dx + (x2 + y2) dy = 0
3. ydx + (2xy − e−2y) dy = 0 z Bài 2.3. 2 Giải PTVP y′ = y2 − bằng cách đổi hàm y = . x2 x
Bài 2.4. Giải PTVP xy′ − (2x + 1)y + y2 + x2 = 0 bằng cách đổi hàm y = z + x.
Bài 2.5. Giải các phương trình vi phân sau: a) y′ = (x + y)2 e) (x2y2 − x)dy = ydx b) y′ = 1 + x + y + xy
f) 3xy2y′ − y3 = x, y(1) = 3
c) (2xy2 − 3y3)dx = (3xy2 − y)dy
g) (8xy2 − y)dx + xdy = 0, y(1) = 1
d) xy′ = y + x3 sin x, y(π) = 0 h) x = (y′)2 − y′ + 2 2.2 PTVP cấp hai
Bài 2.6. Giải các PTVP sau: a) xy′′ + 2y′ = 12x2 c) 2yy′′ = (y′)2 + 1 ( (
(1 − x2)y′′ − xy′ = 2,
(1 + x)y′′ + x(y′)2 = y′, b) d) y(0) = 0, y′(0) = 0 y(0) = 1, y′(0) = 2
Bài 2.7. Giải các PTVP sau: 1
1. (x − 1)2y′′ + 4(x − 1)y′ + 2y = 0, biết một nghiệm riêng y1 = . 1 − x sin x
2. xy′′ + 2y′ + xy = 0, biết một nghiệm riêng y1 = . x 2xy′ 2y 3. y′′ − +
= 0, biết một nghiệm riêng y1 = x. x2 + 1 x2 + 1  1  cos x 4. x2y′′ + xy′ + x2 −
y = 0, x > 0, biết một nghiệm riêng y √ . 4 1 = x 6
huong.nguyenthithu3@hust.edu.vn
Bài 2.8. Giải các PTVP tuyến tính với hệ số hằng:
a) y′′ − 4y′ + 3y = (15x + 37)e−2x
f) y′′ + y = 2 cos x cos 2x b) y′′ − y = 4(x + 1)ex
g) y′′ + 2y′ + 2y = 8 cos x − sin x
c) y′′ − 2y′ + y = (12x + 4)ex
h) y′′ + y′ − 2y = x + sin 2x
d) y′′ + 4y = 4 cos 2x − 8 sin 2x
i) y′′ + 3y′ − 4y = 3 sin2 x
e) y′′ + 2y′ + 10y = 120ex cos x
j) y′′ + 4y = e3x + x sin 2x
Bài 2.9. Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số, giải các PTVP sau: ex 1 a) y′′ − 2y′ + y = b) y′′ − 3y′ + 2y = x 1 + e−x
Bài 2.10. Giải phương trình (2x − x2)y′′ + 2(x − 1)y′ − 2y = −2, biết hai nghiệm riêng y1 = 1, y2 = x.
Bài 2.11. Giải các phương trình Euler
1. x2y′′ − 3xy′ + 4y = x3, y(1) = 1, y′(1) = 2 y′ y 2 2. y′′ − + = , x > −1. x + 1 (x + 1)2 x + 1 2.3 Hệ PTVP cấp một
Bài 2.12. Giải các hệ phương trình sau  dy  dx y  = 5y + 4z =   a) dx  dt x − y dz c) dy x  = 4y + 5z   = dx  dt x − y  dy  dx  = y + 5z  = y   b) dx d) dt dz dy 1  =   −y − 3z = −x + dx  dt cos t 7
huong.nguyenthithu3@hust.edu.vn Chương 3 Phép biến đổi Laplace
3.1 Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Laplace ngược
Bài 3.1. Sử dụng định nghĩa, tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: a) f(t) = t b) f(t) = e2t+3 c) f(t) = sin(2t).
Bài 3.2. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: √ √ a)  π  f (t) = t + 3t − 2t2 t c) f(t) = (et + e−2t)2 e) f(t) = 2 sin t + 3 b) f(t) = (t + 2)2 − 2e3t d) f(t) = 2 sin 3t. cos 5t
f) f(t) = e−2t − 3u(t − 2)
Bài 3.3. Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau: 3 2 4 5 − 3s a) e−2s + 5 F (s) = − + c) F (s) = e) F (s) = s4 5 s 2 s s2 + 9 s 3 10 10s − 3 e−πs 2s + 3 b) F (s) = + d) F (s) = f) F (s) = − s − 4 s + 2 s2 + 25 s s2 + 4
3.2 Biến đổi của bài toán giá trị ban đầu
Bài 3.4. Giải các bài toán giá trị ban đầu sau: ( (
x(3) − x′′ − x′ + x = e2t x(4) − 16x = 240 cos t a) c)
x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0
x(0) = x′(0) = x′′(0) = x(3) = 0 ( (
x(3) − 6x′′ + 11x′ − 6x = 0 x(4) + 8x′′ + 16x = 0 b) d)
x(0) = x′(0) = 0, x′′(0) = 2
x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0, x(3)(0) = 1
Bài 3.5. Giải các bài toán giá trị ban đầu sau:   y′ = 2y + z z′ + 2y = ex     a) z′ = y + 2z b) y′ − 2z = 1 + x    y(0) = 1, z(0) = 3
 y(0) = 1, z(0) = 2(BT V N ) 8
huong.nguyenthithu3@hust.edu.vn
3.3 Phép tịnh tiến. Hàm phân thức hữu tỉ
Bài 3.6. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: a)  π  f (t) = t4eπt b) f(t) = e−2t sin 3t c) f(t) = et sin t + 3
Bài 3.7. Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau: 2 + s 2s − 1 a) s2 F (s) = e) F (s) = − 2s i) F (s) = s2 − 3s + 2 s2 − 4 s4 + 5s2 + 4 3s − 2 b) 5 3s + 1 F (s) = − 2s f) F (s) = j) F (s) = s(s2 + 4) s2 + 7s + 10 s2 + 4s + 4 2s + 1 3s + 5 c) 1 F (s) = g) F (s) = k) F (s) = s2(s2 + 1) s3 − 5s2 s2 − 6s + 25 1 s2 + 3 d) 1 F (s) = h) F (s) = l) F (s) = s(s + 1)(s + 2) s4 − 16 (s2 + 2s + 2)2
3.4 Đạo hàm, tích phân, tích của các phép biến đổi
Bài 3.8. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: a) f(t) = t cos2 t c) f(t) = te2t sin 3t e2t − 1 e) f(t) = t 1 − cos 2t b) f(t) = (t − e2t)2 d) f(t) = (2t − sin 3t)2 f) f(t) = t
Bài 3.9. Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau: 1 s − 2 a) s2 + 1 F (s) = arctan b) F (s) = ln c) F (s) = ln s s + 2 (s + 2)(s − 3)
Bài 3.10. Giải các bài toán giá trị ban đầu sau: ( (
tx′′ + (t − 2)x′ + x = 0
tx′′ + (4t − 2)x′ + (13t − 4)x = 0 a) c) x(0) = 0 x(0) = 0 ( (
tx′′ − (4t + 1)x′ + 2(2t + 1)x = 0 ty′′ − ty′ + y = 2 b) d) x(0) = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
Bài 3.11. Giải các bài toán giá trị ban đầu sau:
( x′′ − 3x′ + 2x = u(t − 2) a) x(0) = 0, x′(0) = 1
( x′′ + 4x = sin t − u(t − 2π) sin(t − 2π) b) x(0) = 0, x′(0) = 0
( y′′ + 2y′ + 2y = e−(t−1)u(t − 1), c) y(0) = y′(0) = 0. 9
huong.nguyenthithu3@hust.edu.vn ( ( x′′ + 4x′ + 4x = f (t) t, 0 ≤ t < 2 d) với f(t) = x(0) = x′(0) = 0 0, t ≥ 2 ( ( x′′ + x = f (t) t , 0 ≤ t < 6 e) với f(t) = 2 x(0) = 0, x′(0) = 1 3, t ≥ 6 ( ( x′′ + x = f (t) cos t, 0 ≤ t < 2π f) với f(t) = x(0) = x′(0) = 0 0, t ≥ 2π. 10