Chương 1 Chuỗi 1.1 Chuỗi số
Bài 1. Xét sự hội tụ và tính tổng nếu có của các chuỗi số sau: ∞ ∞ a) P ( 1 + 1 ) d) P sin n 2n 3n n+1 n=1 n=1 ∞ ∞ b) P 1 e) P ln (1 + 1 ) n2−1 n n=2 n = 1 ∞ ∞ c) P 1 f) P n (n+1)(n+2)(n+3) ln2n n=1 n=2
Bài 2. Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau: ∞ ∞ ∞ 1 a) P 1000n e) P enn! i) P (n n2+1 − 1) n! nn n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ b) P (n!)2 f) P (n!)2 j) P 1 (2n)! 2n2 nplnq n n=1 n=1 n=2 ∞ ∞ ∞ c) P n! g) P n5 k) P 1 nn 2n+3n n n √n n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ d) P 2nn! h) P n n ( ( n−1 ) −1)
l) P  1 − ln 1 + 1  nn n+1 n n n=1 n=2 n=1
Bài 3. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau: ∞ ∞ ∞ a) P sin n2 b) P (−1)n−1 c) P (−1)n√n np n+100 n=1 n=1 n=1 1 CHƯƠNG 1. CHUỖI 2 ∞ ∞ ∞ d) P n (−1)n(2n+100) f) P (−1)n P √ h) ln(1 + (−1)n √ ) 3 n n+1 n+(−1) n n=1 n=2 n=2 ∞ ∞ √ ∞ e) P (−1)n g) P sin(π n2 + 1) i) P 1 sin πn n √n n 2 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞
Bài 4. Cho chuỗi P u hội tụ, liệu có thể suy ra chuỗi P u2 n
cũng hội tụ? Vẫn câu hỏi n n=1 n=1 ∞
này, nếu thêm giả thiết chuỗi P u hội tụ tuyệt đối. n n=1 1.2 Chuỗi hàm số
Bài 5. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau: ∞ ∞  n ∞ a) P n c) P x(x+n) e) P ne−nx xn n n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ b) P (−1)n n ( 1−x) d) P xn f) P (n+x)n 2n−1 1+x 1+x2n nn+x n=1 n=1 n=1
Bài 6. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm số trên các tập đã cho: ∞ ∞ a) P xn, |x| < q < 1 d) P 1 , 0 < x < ∞ (x+n)(x+n+1) n=1 n=1 ∞ ∞ b) P xn, |x| < 1 e) P 1 , x ∈ R x2+n2 n=1 n=1 ∞ ∞ c) P xn , |x| ≤ 1 f) P x2e−nx, x ∈ [0; ∞) n2 n=1 n=1
Bài 7. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau: ∞ n ∞ ∞ a) P 3n+(−2) n2 (x + 1)n c) P (1 + 1 ) xn e) P xn n n 2n2 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ b) P (n!)2 xn d) P (1 + 1 )−n2e−nx f) P 33n(n!)3tannx (2n)! n (3n)! n=1 n=1 n=1
Bài 8. Tính tổng các chuỗi hàm số sau với điều kiện |x| < 1: ∞ ∞ ∞ a) P x2n+1 c) P nxn e) P ( 2 −1)n−1n2xn n+1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ b) P xn d) P x2n f) P n(n + 1)xn n n ( +1) (2n)! n=1 n=0 n=1
Bài 9. Phân tích các hàm số sau thành chuỗi lũy thừa: CHƯƠNG 1. CHUỖI 3 a) e−x2 d) x √ g) arctan x 1−2x q √ b) cos2x e) ln 1+x h) ln(x + 1 + x2) 1−x c) x10 f) 1 i) arcsin x 1−x 1+x+x2
Bài 10. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Fourier trên các tập đã cho: a) f(x) = x trên (−π, π)
b) f(x) = |x| trên (−π, π)    ax nếu − π < x < 0 c) f(x) = trên (−π, π)   bx nếu 0 < x < π    A nếu 0 < x < l d) f(x) = trên (0, 2l)   0 nếu l < x < 2l Chương 2 Phương trình vi phân 2.1
Phương trình vi phân cấp một 2.2
Phương trình vi phân cấp hai 2.3
Hệ phương trình vi phân cấp một 4 Chương 3
Phương pháp toán tử Laplace 3.1
Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược
Bài 11. Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace của các hàm số sau: a) f(t) = t, b) f(t) = e3t+1, c) f(t) = sinh kt, d) f(t) = sin2 t.
Bài 12. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: √ a) f(t) = t + 3t, d) f(t) = cos2(2t), g) f(t) = 2 sin 3t cos 5t, b) f(t) = t − 2e3t, e) f(t) = (t + 1)3, h) f(t) = sinh2(3t), c) f(t) = 1 + cosh(5t), f) f(t) = 2 sin t + π, 3
Bài 13. Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau: a) F (s) = 3 , c) F (s) = 3 , e) F (s) = 10s−3 . s4 s−4 25−s2 b) F (s) = 1 − 2 , d) F (s) = 5−3s, s 5 s 2 s2+9 3.2
Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu
Bài 14. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: a) f(t) = (t + sin t)2, b) f(t) = (t − e2t)2,
Bài 15. Giải các phương trình vi phân với điều kiện ban đầu: 5
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE 6    (3) ′′ ′  x − x − x + x = e2t, x(4) − 16x = 240 cos t, a) c)  ′ ′′  ′ ′′ (3) x(0) = x (0) = x (0) = 0. x(0) = x (0) = x (0) = x = 0.    (3) ′′ ′  (4) ′′ x − 6x + 11x − 6x = 0, x + 8x + 16x = 0, b) d)  ′ ′′  ′′ (3)
x(0) = x (0) = 0, x (0) = 2.
x(0) = x′(0) = x (0) = 0, x (0) = 1.
Bài 16. Giải các hệ phương trình vi phân với điều kiện ban đầu     x′ = 2x + y, x′ + 2y′ + x = 0,         a) y′ = 6x + 3y, c) x′ − y′ + y = 0,           x(0) = 2, y(0) = 3. x(0) = 1, y(0) = 3.   x′′ + x′ + y′ + 2x x′′ + 2x  − y = 0,  − 4y = 0,            
y′′ + x′ + y′ + 4x − 2y = 0, y′′ − x + 2y = 0, b) d)   x(0) = y(0) = 1, x(0) = y(0) = 0,             ′ x′(0) = y′(0) = 3. x′(0) = 1, y (0) = −1. 3.3
Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản
Bài 17. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: a) f(t) = t4eπt, b) f(t) = e−2t sin 3t, c) f(t) = et sin t + π  4
Bài 18. Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau: a) F (s) = 1 , f) F (s) = 3 , k) F (s) = 1 , s2−3s 2s−4 s3 s −5 2 b) F (s) = 1 , g) F (s) = 1 , l) F (s) = 1 , s(s2+4) s2+4s+4 s3−1 c) F (s) = 1 , h) F (s) = 3s+5 , m) F (s) = 1 , s2 s ( 2+1) s2−6s+25 s4−16 d) F (s) = 1 , i) F (s) = 1 , n) F (s) = s2−2s , s2 s ( 2−1) s2−4 s4 s +5 2+4 e) F (s) = 1 , j) F (s) = 5−2s , o) F (s) = s2+3 . s s (s+1)( +2) s2+7s+10 (s2+2s+2)2
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE 7 3.4
Đạo hàm, tích phân và tích của các phép biến đổi
Bài 19. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: a) f(t) = t cos2 t, d) f(t) = sin t , g) f(t) = cosh t, t t b) f(t) = t2 sin kt, e) f(t) = e2t−1 , h) f(t) = 1−cos 2t , t t c) f(t) = te2t sin 3t, f) f(t) = sinh t , i) f(t) = et−e−t , t t
Bài 20. Tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo của các hàm sau a) F (s) = arctan 1, c) F (s) = ln s−2, e) F (s) = ln 1 + 1 , s s+2 s2 b) F (s) = ln s2+1 , d) F (s) = ln s2+1 , f) F (s) = e−3s . s2+4 (s+2)(s−3) s
Bài 21. Giải các bài toán giá trị ban đầu:    ′′  ′′ tx + (t − 2)x′ + x = 0, tx
+ (4t − 2)x′ + (13t − 4)x = 0, a) c)   x(0) = 0. x(0) = 0.    ′′  ′′ ′ tx
− (4t + 1)x′ + 2(2t + 1)x = 0, ty − ty + y = 2, b) d)   ′ x(0) = 0. y(0) = 2, y (0) = −4.
Bài 22. Giải các bài toán giá trị ban đầu:     x′′ + x = f (t), cos t, 0 ≤ t < 2π, a) ở đó f(t) =   x(0) = x′(0) = 0, 0, t ≥ 2π.     x′′ + 4x = f (t), 1, 0 ≤ t < π, b) ở đó f(t) =  ′  x(0) = x (0) = 0, 0, t ≥ π.    ′′ ′  x + 4x + 4x = f (t), t, 0 ≤ t < 2, c) ở đó f(t) =  ′  x(0) = x (0) = 0, 0, t ≥ 2.    ′′ ′  x + 4x + 5x = f (t), 1, 0 ≤ t < 2, d) ở đó f(t) =  ′  x(0) = x (0) = 0, 0, t ≥ 2.