Bài tập phân tích định lượng - Toán học đại cương | Đại học Hoa Sen

BÀI TẬP PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯỢNG
1. Trong học kỳ hè, một sinh viên đăng ký học 3 môn. Gọi 𝐴𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3 là biến cố sinh viên thi
đậu môn thứ i. Hãy:
a) Biểu diễn các biến cố sau thành phép toán theo 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3
• Sinh viên đậu ít nhất 1 môn;
• Sinh viên rớt cả 3 môn;
• Sinh viên đậu đúng 2 môn;
• Sinh viên đậu không quá 2 môn;
b) Phát biểu thành lời các phép toán sau: • 𝐴1. 𝐴2. 𝐴3
sinh vi•n chỉ đậu m™n thứ hai vˆ ba
• 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 sinh vi•n đậu ’t nhất 1 m™n
• 𝐴1. 𝐴2. 𝐴3 + 𝐴1. 𝐴2. 𝐴3 + 𝐴1. 𝐴2. 𝐴3 sinh vi•n chỉ đậu 1 m™n • 𝐴1. 𝐴2. 𝐴3
2. Giả sử ta có một không gian mẫu với 6 biến cố sơ cấp có khả năng xuất hiện như nhau: S =
{𝐸1,𝐸2,𝐸3, 𝐸4,𝐸5, 𝐸6}. Đặt
𝐴 = {𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, 𝐸4}, 𝐵 = {𝐸2, 𝐸4, 𝐸6}, 𝐶 = {𝐸2, 𝐸3}
a) Tính 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐶);
b) Tính 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵), 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶);
c) Tính 𝑃(𝐶 ∪ 𝐵).
3. Tài khoản séc của Sun Bank được phân loại theo tuổi tài khoản và số dư tài khoản. Kiểm toán
viên chọn ngẫu nhiên một số tài khoản để thống kê thì thu được bảng số liệu như sau: Số dư tài khoản Tuổi tài khoản 0 – 499 $ 500 – 999 $ ≥ 1000 $ Dưới 2 năm 130 230 170 Từ 2 năm trở lên 100 280 190
a) Xác suất một tài khoản trên 2 năm là bao nhiêu?
b) Xác suất một tài khoản có số dư tối thiểu $ 1000 là bao nhiêu?
c) Xác suất một tài khoản ít hơn 2 năm và có số dư tối thiểu $ 1000 là bao nhiêu?
d) Giả sử chọn 1 tài khoản có số dư $ 500–999, tìm xác suất tuổi tài khoản từ 2 năm trở lên?
e) Xác suất 1 tài khoản có tuổi ít hơn 2 năm hoặc có số dư nằm trong khoảng $ 500–999 là bao nhiêu?
f) Giả sử chọn 1 tài khoản có tuổi từ 2 năm trở lên, xác suất số dư tài khoản này dưới $ 500 là bao nhiêu?
4. Xổ số kiến thiết của tỉnh A mỗi lần phát hành có giá là 10 nghìn đồng/vé. Cơ cấu giải thưởng cho 1 triệu vé như sau: Giải Đặc biệt Nhất Nhì Ba Tư Năm Sáu Bảy Tám Số tiền 2000 30 15 10 3 1 0,4 0,2 0,1 (triệu) Số giải 1 10 10 20 70 100 300 1000 10000
a) Hãy tính số tiền kì vọng nhận được khi mua một vé? Từ đó hãy so sánh với giá vé và cho nhận xét?
b) Mỗi lần phát hành, tỉnh A cung cấp cho thị trường 10 triệu vé. Hãy cho biết, nếu bán hết số
vé này, thì mỗi lần phát hành tỉnh A thu về bao nhiêu tiền lời?
5. Sau kỳ thi, giảng viên thống kê điểm số của sinh viên hai lớp A và B trong bảng sau: Điểm 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số SV lớp A 1 2 6 8 11 9 5 3 2
Số SV lớp B 2 4 6 5 8 4 7 3 1
Gọi 𝑋𝐴, 𝑋𝐵 tương ứng điểm số của sinh viên lớp A và lớp B
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của 𝑋𝐴 & 𝑋𝐵.
b) Làm sao để biết SV lớp nào học tốt hơn? Giải thích.
c) Lớp nào SV có năng lực học tập đồng đều hơn? Giải thích.
6. Các chuyên gia tư vấn đầu tư ước tính lợi nhuận thị trường chứng khoán cho bốn phân khúc thị
trường: máy tính, tài chính, cơ khí và dược phẩm. Dự báo lợi nhuận hàng năm thay đổi tùy thuộc
vào điều kiện kinh tế chung đang được cải thiện, ổn định hay đang suy giảm.
Tỷ lệ lợi nhuận (%) hàng năm dự kiến cho từng phân khúc thị trường trong từng điều kiện kinh tế như sau: Phân khúc
Điều kiện kinh tế thị trường Cải thiện Ổn định Suy giảm Máy tính 12 6 -4 Tài chính 10 7 -5 Cơ khí 8 5 0 Dược phẩm 7 5 3
a. Người lạc quan (optimistic) nên đưa ra quyết định đầu tư vào phân khúc thị trường nào?
b. Người bảo thủ (conservative) nên đưa ra quyết định đầu tư vào phân khúc thị trường nào?
c. Với phương pháp Minimax Regret thì nên chọn phân khúc thị trường nào?
d. Nếu xác suất xảy ra của các điều kiện kinh tế: cải thiện, ổn định hay đang suy giảm lần lượt
là 0.3; 0.6 và 0.1, thì nên chọn phân khúc thị trường nào bằng phương pháp EV? e. Tính EVPI?
7. Hudson Corporation đang xem xét ba lựa chọn để quản lý hoạt động xử lý dữ liệu của mình: tiếp
tục với đội ngũ nhân viên h
iện tại của riêng mình, thuê một nhà cung cấp bên ngoài thực hiện việc
quản lý (gọi là thuê ngoài) hoặc sử dụng kết hợp nhân viên của chính mình và một nhà cung cấp
bên ngoài. Chi phí của hoạt động phụ thuộc vào nhu cầu trong tương lai. Chi phí hàng năm của
mỗi lựa chọn (tính bằng hàng nghìn đô la) phụ thuộc vào nhu cầu như sau: Nhu cầu Các lựa chọn Cao Vừa phải Thấp
Đội ngũ nhân viên riêng 750 720 650 Thuê ngoài 1200 850 550 Kết hợp 800 700 600
a. Người quản lý lạc quan (optimistic) nên đưa ra quyết định nào?
b. Người quản lý bảo thủ (conservative) nên đưa ra quyết định nào?
c. Với phương pháp Minimax Regret, Người quản lý nên chọn phương án nào?
d. Nếu xác suất của nhu cầu: Cao, vừa phải và thấp lần lượt là 0.3, 0.4 và 0.3, thì quyết định nào
sẽ giảm thiểu chi phí trung bình của hoạt động xử lý dữ liệu? Chi phí trung bình hàng năm liên
quan đến quyết định đó là bao nhiêu?
e. Xây dựng hồ sơ rủi ro cho quyết định tối ưu trong phần (d). Xác suất chi phí vượt quá 700.000 đô la là bao nhiêu?
8. Một công ty có 3 phương án đầu tư, lợi nhuận dự kiến (đvt: nghìn USD) của các phương án đầu
tư phụ thuộc vào điều kiện kinh tế chung của thị trường và được cho trong bảng payoff sau:
a) Người ra quyết định trung lập với rủi ro chọn phương án nào?
b) Giả sử có 2 người ra quyết định A và B với xác suất bàng quan 𝑝 được cho trong bảng bên dưới:
Hãy chỉ ra đâu là người tránh rủi ro, người chấp nhận rủi ro? Sử dụng phương pháp độ thỏa
dụng trung bình (EU), Người ra quyết định A chọn phương án nào? Người ra quyết định B chọn phương án nào?
9. Giả sử rằng hai công ty là nhà sản xuất duy nhất của một sản phẩm cụ thể; họ cạnh tranh với
nhau để giành thị phần. Khi hoạch định chiến lược tiếp thị cho năm tới, mỗi công ty đang xem xét
ba chiến lược được thiết kế để chiếm thị phần từ công ty kia. Ba chiến lược, được giả định là giống
nhau cho cả hai công ty, như sau:
• Chiến lược 1: Tăng quảng cáo
• Chiến lược 2: Tăng chiết khấu theo số lượng
• Chiến lược 3: Tăng thời gian bảo hành sản phẩm
Bảng bên dưới thể hiện sự gia tăng thị phần của công ty A (và đúng bằng tổn thất của công ty B)
tương ứng với mỗi kết hợp chiến lược của 2 công ty.
a) Hãy xác định chiến lược tối ưu thuần túy của mỗi công ty.
b) Giá trị của trò chơi là gì?
10. Bảng bên dưới là một trò chơi hai người, có tổng bằng 0 và có chiến lược hỗn hợp:
a) Dùng chiến lược thống trị để giảm trò chơi xuống 2x2. Hãy chỉ ra các chiến lược thống trị này.
b) Hãy xác định chiến lược hỗn hợp tối ưu của mỗi người chơi.
c) Giá trị của trò chơi là gì?
11. Cho bài toán QHTT
• Hàm mục tiêu: 𝑀𝑎𝑥{5𝑥 + 2𝑦} D 3𝑥 − 2𝑦 ≤ 50 𝑥 + 𝑦 ≥ 100 E
• Các ràng buộc {0,2𝑥 + 𝑦 ≤ 100 𝑥, 𝑦 ≥ 0 C
Dựa vào đồ thị bên cạnh, hãy:
a) Chỉ ra miền xác định của bài toán, giải thích? B A
b) Tìm tọa độ các điểm cực biên của miền xác định?
c) Tìm nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của bài toán?
12. Một công ty sản xuất sữa bột đang lưu hành trên thị trường 2 loại sản phẩm: Nguyên kem và Ít
béo. Về cơ bản, cả 2 sản phẩm được sản xuất từ 3 loại nguyên liệu sau: sữa bò tươi nguyên chất,
sữa gầy, và các chất phụ gia (thực phẩm) khác. Bảng bên dưới là tỷ lệ phần trăm các loại nguyên
liệu để làm ra một tấn sữa bột và lợi nhuận thu được trên mỗi tấn sữa. Loai sữa Sữa gầy Sữa bò tươi Các chất phụ gia Lợi nhuận/1 tấn sữa (%) nguyên chất (%) khác (%) (triệu đồng) Nguyên kem - 90 10 13 Ít béo 50 40 10 15
Ở thời điểm hiện tại, công ty có 5 tấn sữa gầy, 18 tấn sữa bò tươi nguyên chất và 2 tấn các chất phụ gia khác. Hãy:
a) Lập mô hình quy hoạch tuyến tính của bài toán trên, với mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận và 2
biến là số tấn sản phẩm mỗi loại.
b) Tìm nghiệm tối ưu của bài toán bằng phương pháp đồ thị. Từ đó xác định lợi nhuận tối ưu.
c) Dựa vào bảng thống kê độ nhạy bên dưới, hãy cho biết ý nghĩa của các giá trị nằm trong 2
cột “Allowable Increase” và “Allowable Decrease”. Variable Cells
Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease Nguyên Kem Biến x 10 0 13 2 13 Ít béo Biến y 10 0 15 1E+30 2
13. Hiệp hội tín dụng nhân viên tại các trường đại học nhà nước đang lên kế hoạch phân bổ vốn
cho năm tới. Hiệp hội thực hiện bốn loại cho vay đối với các thành viên của mình. Ngoài ra, hiệp
hội còn đầu tư vào chứng khoán phi rủi ro để ổn định thu nhập. Các khoản đầu tư doanh thu khác
nhau cùng với tỷ suất lợi nhuận hàng năm như sau:
Hiệp hội có sẵn 2 triệu đô la để đầu tư trong năm tới. Luật pháp tiểu bang và chính sách của Hiệp
hội áp đặt các hạn chế sau đây đối với các khoản vay và đầu tư:
• Chứng khoán không rủi ro không được vượt quá 30% tổng số tiền.
• Khoản vay tín chấp (Signature loans) không được vượt quá 10% số tiền đầu tư vào tất cả
các khoản vay (ô tô, nội thất, các khoản vay có bảo đảm khác và tín chấp).
• Các khoản vay nội thất cộng với các khoản vay có bảo đảm khác không được vượt quá các khoản vay ô tô.
• Các khoản vay có bảo đảm khác cộng với các khoản vay tín chấp không được vượt quá số
tiền đầu tư vào chứng khoán phi rủi ro.
Nên phân bổ 2 triệu đô la cho mỗi phương án cho vay / đầu tư như thế nào để tối đa hóa tổng lợi
nhuận hàng năm? Tổng lợi nhuận hàng năm dự kiến là gì?
14. Một công ty nhập khẩu hàng hóa tại 2 cảng ở Philadelphia và New Orleans. Hàng hóa sau đó
được vận chuyển đến 4 đại lý ở Atlanta, Dallas, Columbus và Boston. Trong kỳ kế hoạch tiếp theo,
nguồn cung cấp tại mỗi cảng, nhu cầu của các đại lý và chi phí vận chuyển cho mỗi đơn vị hàng
hóa từ mỗi cảng đến từng đại lý như sau:
a) Hãy vẽ 1 network cho bài toán phân phối hàng hóa ở trên.
b) Xây dựng mô hình QHTT của bài toán và giải bằng excel solver, với mục tiêu là tối
thiểu tổng chi phí vận chuyển nhưng vẫn đáp ứng được nhu cầu của các đại lý.
15. Giả sử bài toán vận chuyển có sơ đồ mạng (network) như hình bên dưới.
a) Hãy xác định tổng cung, tổng cầu, cung đường có chi phí vận chuyển thấp nhất và cao
nhất trên mỗi đơn vị sản phẩm.
b) Hãy xây dựng mô hình QHTT của bài toán và giải bằng excel solver, với mục tiêu là tối
thiểu tổng chi phí vận chuyển nhưng vẫn đáp ứng được nhu cầu của các đại lý.
16. Một nhóm các bạn sinh viên cùng nhau khởi nghiệp với dự án kinh doanh cửa hàng thời trang
online, trước khi bắt tay vào thực hiện, nhóm đã cùng nhau trao đổi và đưa ra một danh sách các
hoạt động cần phải được hoàn tất cùng với thời gian hoàn thành dự kiến của mỗi hoạt động như sau: Các hoạt Mô tả
Hoạt động Thời gian động ngay trước (tuần) A
Khảo sát nhu cầu thị trường – 2 B
Lên ý tưởng, kế hoạch kinh doanh – 3 C Lập dự trù ngân sách – 2 D Xin giấy phép kinh doanh B, C 3 E Thiết kế trang web A, B 4 F Tìm kiếm nguồn hàng A, B 2 G
Ký kết hợp đồng với các trang bán hàng online D, F 1 H
Chạy thử nghiệm trang web E 4 I
Hoàn thiện quy trình kinh doanh G, H 2
a) Vẽ sơ đồ mạng dự án với thông tin về thời gian dự kiến hoàn thành từng hoạt động.
b) Hãy xác định critical path. Từ đó cho biết thời gian dự kiến hoàn thành toàn bộ dự án.
c) Các hoạt động nào có thể trì hoãn, và trì hoãn trong thời gian tối đa là bao nhiêu trước khi
ảnh hưởng đến thời gian hoàn thành dự án?
17. Doug Casey chịu trách nhiệm lập kế hoạch và điều phối chương trình đào tạo quản lý bán hàng
vào mùa xuân tới cho công ty của anh ấy. Doug liệt kê thông tin các hoạt động cho dự án như sau:
a) Hãy vẽ sơ đồ mạng dự án với thông tin thời gian hoàn thành trung bình của từng hoạt động;
b) Xác định Critical path. Từ đó tính thời gian trung bình hoàn thành dự án;
c) Tính xác suất hoàn thành d á
ự n trong không quá 13 tuần? Từ 12 đến 14 tuần?
18. Một tiệm tạp hóa cho biết, nhu cầu sản phẩm mì gói (mì Hảo Hảo, loại 75g) tại tiệm vào khoảng
720 thùng mỗi năm, giá mỗi thùng mì là 100 nghìn đồng. Chi phí đặt hàng là 60 nghìn cho mỗi đơn
hàng và chi phí giữ hàng là 15% giá trị hàng tồn kho. Mỗi năm, tiệm có 360 ngày làm việc và thời
gian giao hàng (lead time) là 3 ngày. Dùng mô hình EOQ, hãy xác định:
a. Số lượng đặt hàng kinh tế;
b. Thời điểm tái đặt hàng;
c. Thời gian mỗi chu kỳ;
d. Tổng chi phí hàng năm.
19. EL Computer sản xuất máy tính xách tay trên dây chuyền sản xuất có công suất hàng năm là
16.000 chiếc. EL Computer ước tính nhu cầu hàng năm đối với sản phẩm này ở mức 6000 chiếc.
Chi phí để thiết lập dây chuyền sản xuất là 2345 đô la và chi phí lưu trữ hàng năm là 20 đô la cho
mỗi đơn vị. Giả sử công ty làm việc 350 ngày mỗi năm. Dùng mô hình sản xuất kinh tế, hãy xác định:
a) Kích thước/quy mô lô sản xuất tối ưu là bao nhiêu? Tính tổng chi phí tối ưu tương ứng;
b) Có bao nhiêu đợt sản xuất nên được thực hiện mỗi năm? Thời gian mỗi chu kỳ là bao nhiêu?
c) Nếu thời gian thiết lập sản xuất là 5 ngày, thì điểm reorder point là gì?