9. BÀI T¾P PH¯¡NG TRÌNH VI PHÂN
PH¯¡NG TRÌNH VI PHÂN C¾P 1 Bài 1. Gi¿i PTVP sau: 2 2 y x a) 2 y dy + xdx = 0  S: + = C 3 2
b) (1+ x)dy = (1− y)dx S: (x + ) 1 ( y − ) 1 = C c) 2 2
x(1+ y ) + y(1+ x )y ' = 0 S: ( 2 x + )( 2 1 y + ) 1 = C y = tan ln Cx x ≠ 0 d) 2 (1+ y ) dx = xdy  ( ) S: x = 0 x = (1 − y e C − e ) e) −y e (1+ y ') = 1 S: y = 0 y x = ln tan + 2 cos y + C f)
y 'co s2 y − sin y = 0 S: 2 y = kπ ( k ∈ Z ) g) 2 ' x y y e + = − 2 S: 2x+ y e = x + C
h) y − y ' = 2x − 3 S: = 2 −1 x y x +Ce
Bài 2. Tìmnghißmriêngthßamãncácißukißn ban ¿uãchßra: a) 2 2 y + x y ' = 0 y(−1) = 1 S: y = x − b) (1 x + ) . ' x e y y = e y (0) = 1 S: 2 2 y x e = e +1 π c) y '. tanx− y = 1 y( ) = 1
S: y = 2sinx −1 2 π x tan
d) y'.sinx = yln y ( y ) = e S: 2 y =e 2
Bài 3. Gi¿i PTVP sau: (¿ngc¿p) y y y a) y ' x = +e S: ln x
x = e + C x y b) 2 y '− = x S: = ( 2 y x x −C ) x
c) (x − y )dx + xdy = 0 S: y = x − x +Cx ln
d) (x + 2y )dx − xdy = 0; y (1) = 2 −  S: e) 2 = ( 2 2 x dy
y − xy + x )dx S: = 2 −1 x y x + Ce ; x = 0 f)
(x + y + 2)dx +(2x +2y − ) 1 dy = 0
S: x + y + ln x + y − = x + C x + y = 5 3 ; 0 1 D±¡ngT.T.H±¡ng x − y + g) 2 5 y ' = − S: = 2 −1 x y x +Ce 2x − y + 4 3 2
h) (2 x −4 y +6) dx +( x + y −3) dy =0
S: (y − 2x ) =C (y −x −1) ; y = x +1
ü y = kπ x y ÿ i) xy ' = x sin + y S: ý y x tan = Cx ÿþ 2 x
Bài 4. Gi¿i PTVP sau: (PTVPTT) 2 a) 2 ' 2 xy 2 xe x y − + =  − x 2 S: y = e (x +C ) 2 ö ö − x b) sin ' (cos ). y e x y x x − + =  sinx S: y = e ÷ C + ÷ ø 2 ø C c) ( 2 x + )
1 y '+ xy = −x S: 2 y = − x +1 2 x + 1 2 d) 2 2 x' 4 . 4 e y y x − + = −  2 − y S: x = e (C − 4y ) 1 e) ' = (2 x + − 2 x y y xe e ) S: x 2
y = e +Cx x 2 y ö ö 2 y − − f) 2 ÷e
− xy ÷dy − dx = 0  2 ÷ ÷ S: x = e (C + y ) ø ø
Bài 5. Gi¿i PTVP sau: (PTVPTP) a) ( 2 2
x + xy )dx +( 2 3 3 6
6x y + 4y )dy = 0 S: 3 2 2 4
x + 3x y + y = C b) ( 2
3x + 2y )dx + (2x − 3)dy = 0 S: 3
x + 2xy − 3y = C 2 x c) (xcos y + ) 2 2
1 dx − x sin 2 . y dy = 0 S:
cos y + x = C 2 2 2 3 x y
d) (x + y + ) dx + ( 2 1
x − y + 3) dy = 0 S: + x + xy − + 3 y = C 2 3 e) (xy xy + xy ) 2 cos sin
dx + x .cos(xy)dy = 0
S: x sin xy =C Bài 6. Gi¿i PTVP sau: a. 2 3
yy '− y ' + y ' = 0 (khuy¿t x)
h. y ' + 3y = cos x − 3sinx b. ' + 2 ' x y
y + y = e i. 2 ' + 2 '+ = + 4 −1 + 4 x y y y x x e c. 2
y ' + y '−2 y = 6x j. 2 2 ' + '− 2 = 2 − + 2 + 2 + 4 x y y y x x e d. ' −3 ' + 2 x y y
y = e (2 x −3)
k. y ' − 4 y'+ 4y = sinx cos 2x e. x 2
y' −4 y' +4 y = e ( x +1)
l. y ' + 3 y = cos x − 3sinx 2 D±¡ngT.T.H±¡ng f. 2 ' −4 '+ 4 x y y
y = e ( x + 2)
m. y ' − 4 y'− 5y = 4sinx − 6x cos x
g. y ' +4 y = sin2x
Bài 7. Tìm nghißm riêng cÿa PTVP sau: (2016-2017) ( x π + ) +( x y e siny dx
x +e cosy ) dy = 0 vßi ißu kißn ban ¿u y(0) = 2 S: x
xy + e sin y = 1
Bài 8. Tìm nghißm PTVP y '+ y cos x = sin x cos x i qua ißm x = 0, y = 1 (2016-2017) S: 2 sinx y e − = + sinx −1
Bài 9. Tìm nghißm PTVP: y '− y tanx = sin x i qua ißm x = 0, y = 0 (2015-2016)  − cos x S: 1 2 y = 4 cos x
Bài 10. Tìm nghißm tßng quát cÿa PTVP: 3 ö x ö 2 3x ( 1+ ln ) y dx + ÷
− 2 y ÷ dy = 0 ( y > ) 0 (2017-2018) ø y ø S: 3 x ( + y ) 2 1 ln − y = C ( −1) x x e Bài 11. Gi¿i PTVP sau: ' x
y + y = xe (2017-2018) S: y = C cos x + C sinx + 1 2 2 Bài 12. Gi¿i PTVP sau: 2 2 ' ' 2 2 1 4 x y y y x x e − + − = − + + + (2015-2016) x − x 1 1 1 4 S: 2 2 2 − x
y = C e + C e + x − x − − xe 1 2 2 2 4 3 2 y
Bài 13. Gi¿i PTVP: y' − = ( x 1 + ) 3 vßi ißu kißn (
y 0) = 0 (2018-2019) x +1 4 2 x +1 − x +1  ( ) ( ) S: y = 2 3 Bài 14. Gi¿i PTVP: ' 4 ' 3 x y y y e − + + = vßi ißu kißn (
y 0) = 1, y (1 )= (2019-2020) 2e  ö x ö S: y = 1 x + ÷ ÷e − ø 2 ø 2 y
Bài 15. Gi¿i PTVP: xy '− y = thßa mãn ißu kißn ( y 1) = 1 S: 2
y = x (2020-2021-ca1) 2 x y 1
Bài 16. Gi¿i PTVP: y ' +
=x thßa mãn ißu kißn ( y 0) = 0 S: 3 2 y = (2x + 3x ) x +1 6 x + 6 (2020-2021-ca2) 3 D±¡ngT.T.H±¡ng Bài 17. Gi¿i PTVP: ' x y y e − + =
thßa mãn ißu kißn y(1) = 0 S: −x y = e (x − 1) (2020-2021-ca3) 4 D±¡ngT.T.H±¡ng