Bài tập Tích phân bội 3 - Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

TÍCH PHÂN BỘI 3 (TÍCH PHÂN 3 LỚP)
Bài 1. Tính các tích phân 3 lớp sau:
1) I   x  y  zdxdyd ,z 𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng E 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1. ĐS. 1 8
2) I    2 2 2
x  y  z  dxdyd ,
z 𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 0, E
𝑦 = 𝑏, 𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑐. ĐS. abc  2 2 2
a  b  c  3 dxdydz 3) I  , 
𝐸 là miền giới hạn bởi mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 và các mặt
 x  y  z E 1 3 phẳng tọa độ. ĐS. ln 2 5  2 16 4) I  ydxdyd , z 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑥 + 𝑧 = 1, 2𝑥 + 𝑧 = 2, 𝑥 = 𝑦2 E (𝑦 ≥ 0). ĐS. 1 12 5) 2 I  xz dxdyd , z 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0, E 𝑦 = 2, 𝑧 = 0, 𝑧 = 3. ĐS. 30 6) I  2xdxdyd , z 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 4 (𝑥, 𝑦 ≥ 0). E ĐS. 128 15 7) I  y cos 
x  zdxdydz, 𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑦 = √𝑥, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, E 𝑥 + 𝑧 = 𝜋. 2 2 ĐS.  1  16 2 8) I  ydxdyd , z 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑧 = 0, 𝑦 = 𝑥2. E ĐS. 8 35 dxdydz 9) I  , 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑥 + 𝑧 = 3, 𝑦 = 2, 𝑥 = 0, 𝑦 =
1 x  y  z E 3 0, 𝑧 = 0.  ĐS. 4 ln 2 1 8 10) I  xdxdydz , 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑧 = 1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, E 𝑧 = 0. ĐS. 1 6
Bài 2. Sử dụng phương pháp đổi biến số (tọa độ trụ, tọa độ cầu), hãy tính các tích phân sau: 1) I  ydxdyd , z 
𝐸 là miền giới hạn bởi mặt 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 (𝑧 ≥ 0). E ĐS. 0
2) I    2 2
x  y  dxdyd ,
z 𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 = 1. E ĐS.  6 3) 2 2 I  x  y d , xdydz 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2, 𝑧 = 1. E ĐS.  6 z 4) I  dxdydz, 
𝐸 là miền giới hạn bởi: 2 2
2az  x  y , 2 2 2 2
x  y  z  3a . 2 2  E x y ĐS. 32 2 3 a  15
5) I    2 2 2
x  y  z dxdyd ,
z 𝐸 là miền giới hạn bởi mặt 3(𝑥2 + 𝑦2) + 𝑧2 = 3𝑎2. E 5 ĐS. 4a 3 6) I  xydxdydz, 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = 1 E (𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0). ĐS. 1 8 7) I  xyzdxdydz, 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt phẳng toạ độ và mặt cầu 𝑥2 + E
𝑦2 + 𝑧2 = 1 (𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0). ĐS. 1 48 8) I  ydxdyd , z 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑦 = √𝑥2 + 𝑧2, 𝑦 = ℎ (ℎ > 0). E 4  ĐS. h 4
9) I    2 2 2
x  y  z  dxdyd ,
z 𝐸 là miền giới hạn bởi mặt 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧. E ĐS. 3 3  5 10) 2 2 2 I 
x  y  z dxdydz, 
𝐸 là miền giới hạn bởi 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 𝑥. E  ĐS. 10 11) 2 2 I 
z x  y dxdydz, 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥, 𝑦 = 0, 𝑧 = E 0, 𝑧 = 3. ĐS. 8 z 12) I  dxdydz , 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑥2 + 𝑧2 = 1, 𝑥2 + 𝑧2 = 2, 2 2 x  z E 𝑦 = 𝜋, 𝑦 = 2𝜋. ĐS. 0
13) I    2 2
x  y dxdydz, 𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑧, 𝑧 = 2. E ĐS. 0 14) 2 2 I 
z x  y dxdydz, 
𝐸 là miền giới hạn bởi các mặt 𝑦2 = 3𝑥 − 𝑥2, 𝑧 = 0, 𝑧 = E 2. ĐS. 24 2 2 2 x y z 15) 2 2 2 I  x y z dxdydz, 
𝐸 là miền giới hạn bởi:   1. 2 2 2 a b c E  ĐS. 4 abc3 945  a   2 2 2 2 2 x y  a a y 16) 2 2 I  dy dx x  y dz    . 0 y 0 4 ĐS. a  20